1ªClas_260304

Com – Partida de Matemática del Uruguay
Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas
Centro Latinoamericano de Matemática e Informática – CLAMI
1ª PRUEBA DE SELECCIÓN para la
XLV Olimpíada Mundial de Matemática, Grecia 2004
XIX Olimpíada Iberoamericana de Matemática, España 2004
26 de marzo de 2004
Problema 1 (Eslovenia 2003)
En una casilla de un tablero de 5x5 se coloca un anillo, las restantes casillas son cubiertas
con fichas de 3x1 sin salirse ni superponerse.
Encontrar todas las posibles posiciones del anillo.
Problema 2 (Croacia 2003)
Sean a, b y c tres números reales que verifican
Calcular
a
b
c


1
bc ac ab
a2
b2
c2


bc ac ab
Problema 3 (shortlist Japón 2003)
Sea ABC un triángulo isósceles con AC=BC de incentro I. Llamaremos  a la
circunferencia circunscipta al ABC y ’ a la circunscripta al ABI.
Tomamos P variable en ’ en el arco AB que contiene a I tal que P no coincide con I.
La paralela a AC por P corta a AB en D, la paralela a AB por P corta a AC en F y la recta
PC vuelve a cortar a  en Q.
Se pide:
i)
ii)
Demostrar que AFPQ y DPBQ son inscriptibles
Demostrar que F, D y Q están alineados
Problema 4 (shortlist Japón 2003)
Dado un entero positivo a de más de una cifra, procedemos de la siguiente manera:
i)
ii)
iii)
Movemos el último dígito de a para la primera posición y obtenemos un
número b.
Hacemos el cuadrado de b y obtenemos un número c.
Movemos el primer dígito de c para la última posición y obtenemos un
número d.
Por ejemplo, si a es 2004, b es 4200, c es 17640000 y d es 76400001.
Hallar todos los números a tales que d = a²
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