228678016-Cronometria

Prof. Jenner Huamán Callirgos
05/06/2014
PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS
PROBLEMAS SOBRE TIEMPO
TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE
FALTA TRANSCURRIR
PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y
ATRASOS
PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS
FORMADOS
POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ
(HORARIO Y MINUTERO)
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE
APLICACIÓN
PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS O
AFINES
Cuando nos referimos a un evento que implica una acción, como
campanadas golpes, contactos seguidos a velocidad constante,
debemos considerar que el tiempo transcurrido es propiamente el de
los periodos comprendidos entre contacto y contacto, y no la duración
del contacto.
Ejemplo 1
En el campanario de una iglesia se hace oscilar el
péndulo dando tres campanadas en seis segundos. ¿En
cuántos segundos se dieron 7 campanadas?
Resolución
Graficando tenemos
1ºC
i
2ºC
i
3ºC
Ahora en 7 campanadas habrá 6
intervalos de tiempo, entonces el
tiempo pedido será :
6(3) = 18 seg.
Finamente se deduce :
Se
observa
que
en
tres
campanadas hay 2 intervalos de
tiempo (I)
Nº de
Nº de intervalos de
2I = 6 s
campanas -1
Tiempo (I)
I=3s
Otra forma:
DP
Nº de campanadas
Nº de intervalos
3
2
6s
7
6
Xs
2x = 6(6)
Tiempo
x = 18 s
Se cumple
Tiempo total (DP) Nº Intervalos
Tiempo total = (Nº de Intervalos) x (duración de cada intervalo)
En la tabla se puede notar que:
x3
-1
Nº
CAMPANADAS
Nº
INTERVALOS
TIEMPO
TOTAL
5
10
12
4
9
11
12
27
33
4
9
11
=
=
= 𝐾𝐾(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. )
12 27 33
APLICACIÓN
Un reloj da 6 campanadas en 10s. ¿Cuántos segundos demora en dar
12 campanadas?
Resolución
“Las ovejas saltan periódicamente sobre una cerca”, si 4 ovejas saltan
en 4 minutos, ¿Cuántas ovejas saltan en 1 hora?
Resolución
Tysson da (m-1) golpes en (m-2)2 segundos. ¿Cuántos segundos
tardará en dar (m+3) golpes?.
Resolución
Un reloj demora (p + 1) segundos en dar p2 campanadas. ¿Cuántas
campanadas dará en un segundo?.
a) p
b) p – 1
c) p2 – 1
d) p – 2
e) p2 – 2
Resolución
El campanario de una iglesia estuvo tocando durante 15 segundos
y se escucharon tantas campanadas como 2 veces el tiempo que
hay entre campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará
este campanario para tocar 8 campanadas?
A) 23 s B) 21s
Resolución
C) 24 s
D) 25 s
E) 26 s
PROBLEMAS SOBRE TIEMPO
TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE
FALTA TRANSCURRIR
La referencia en éste caso es a problemas que en su
enunciado establezcan una relación entre un intervalo de
tiempo transcurrido y otro que falte por transcurrir; de tal
manera que ambos intervalos sumen un periodo conocido
como son las 24 horas de un día, los 7 días de la semana,
los 30 días del mes de Abril, los 365 días de un año
ordinario, etc.
En este tipo de ejercicios se considera el siguiente
esquema:
Hora
actual
Tiempo transcurrido
Tiempo que falta transcurrir
Hora
Referencial 2
Hora
Referencial 1
Si las horas de referencia son de 0 h a 24 h, es decir, un día, se
cumple:
Hora actual = tiempo transcurrido
(Tiempo transcurrido) + (tiempo por transcurrir) = 24h
Ejemplo
Si el tiempo que falta transcurrir del día es la tercera parte
del tiempo transcurrido. ¿Qué hora es?
Resolución
De los datos se hace del siguiente diagrama :
Del enunciado :
24 horas
Tiempo
transcurrido
Tiempo que
falta transcurrir
(24−x)
(x)
Hora
(24 − x) = x
3
72 - 3x = x
72 = 4x
18 = x
La hora es 18 : 00 h < > 6 p.m.
Si fuera 5 horas más tarde de lo que es, faltarían para acabar
el día, el triple de las horas que habían transcurrido hasta
hace 3 horas. ¿Qué hora es?
Resolución
Sea "x" el tiempo transcurrido hasta hace 3 horas. Entonces "3x" será el
tiempo que faltará para acabar el día dentro de 5 horas.
Ahora veamos el siguiente esquema :
24 horas
x
5h
3h
3x
Hora
Del gráfico se deduce : x + 3 + 5 + 3x = 24
Resolviendo : x = 4
La hora es : x + 3 = 7 : 00 h
Dentro de 10 minutos el tiempo que faltará para las 5:00 pm será la
mitad del tiempo transcurrido desde las 4:00 pm hasta hace 20 minutos.
¿Qué hora es?
A) 4:20 p.m. B) 4:30 p.m. C) 4:40 p.m. D) 4:10 p.m. E) 4:35 p.m.
Resolución
Sea “x” la hora actual
Tiempo
transcurrido
4:00
pm
2k
20 min
10 min
x
Tiempo
que falta
transcurrir
k
5:00
pm
1h <> 60 min
Del gráfico:
2k + 20 +10 + k = 60
k = 10
Pero: x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min
Por lo tanto:
Hora actual: x = 4: 40 min
¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al
tiempo transcurrido?
Resolución
Cuando sean 2 horas más tarde de lo que es, faltarán para las
14 : 00 h el doble del número de minutos transcurrido desde
las 10 : 00 h. ¿Qué hora será dentro de 20 minutos?
Resolución
Consultando por la hora una persona contesta: Las horas que
me quedan del día son menores en 6 que las horas
transcurridas. ¿Qué hora será dentro de 3 ½ horas?
Resolución
Ya pasaron las 3 sin ser las 4 de esta tarde. Si hubiera pasado
25 min más, faltarían para las 5:00 p.m. los mismos minutos
que pasaron desde las 3:00 p.m. hasta hace 15 min. ¿Qué
hora es?
Resolución
PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y
ATRASOS
Situaciones en las cuales, como consecuencia de un
mal funcionamiento del reloj, este sufre adelantos y
atrasos respecto a la hora que indica un reloj de
funcionamiento normal.
Hora indicada
por un reloj
atrasado
Hora
real
Hora indicada
por un reloj
adelantado
Para relojes que se adelantan se cumple:
Hora marcada = hora real + adelanto total
Para relojes que se atrasan se cumple:
Hora marcada = hora real - atraso total
OBSERVACIÓN
Para que un reloj que se
adelanta o atrasa vuelva a
marcar la hora correcta por
primera vez, debe adelantarse o
atrasarse, según sea el caso:
12 horas <> 720 minutos
Aplicación
El reloj de la academia se adelanta 3 minutos cada 2 horas.
¿Cuánto se adelanta al cabo de 18 horas?
a) 3 min.
b) 6
c) 9 d) 27
e) N.A.
Resolución
Un reloj se adelanta 4 minutos en 6 horas. ¿A qué hora empezó
a adelantarse si a las 10:4 señala 10:50?
a) 8:44
b) 9:44
c) 13:44
d) 16:44
e) N.A.
Resolución
Un reloj se atrasa 10 minutos cada hora. ¿Después de cuántas
horas marcará la hora exacta?
a) 60h
b) 36
c) 72 d) 144
e) N.A.
Resolución
Un reloj se atrasa 20 minutos cada día. ¿Cuántos días serán
necesarios para que el reloj indique correctamente la hora?
a) 18
b) 72
c) 36 d) 144
e) N.A.
Resolución
Un reloj se atrasa 900 segundos por día, se pone a la hora
exacta un domingo a las 12 del mediodía. ¿Qué hora marcará
el reloj el sábado siguiente al mediodía?
a) 9:00 b) 10:30
c) 16:30
d) 5: 30
e) 11:30
Resolución
PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS
FORMADOS
POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ
(HORARIO Y MINUTERO)
Antes de la invención del reloj de péndulo, la humanidad se
basaba en la posición del Sol para conocer la hora. También
se inventaron los relojes de arena y otros artilugios para medir
períodos de tiempo determinados. Desde 1960, los relojes
mecánicos han sido reemplazados por relojes eléctricos y
electrónicos.
RELOJ DE ARENA
Durante el siglo I, los romanos
utilizaron relojes de arena para
medir el tiempo. La arena
tardaba un tiempo fijo en fluir,
atravesando la angostura,
desde la parte superior a la
inferior del cristal.
RELOJ ELECTRÓNICO
CONSIDERACIONES PREVIAS
1 hora equivale a 60 min y cada minuto a 60 segundos.
Un reloj de manecillas posee 12 divisiones que indican las
horas y cada una de éstas posee 5 pequeñas divisiones que
corresponden a los minutos, es decir, toda la circunferencia está
dividida en 60 pequeñas divisiones.
La circunferencia representa 360º
Luego:
60 div <> 60 min <> 360º
1 div <> 1 min <> 6º
Es decir:
Si el minutero recorre una división, entonces transcurrió un
tiempo de un minuto y, además barrió un ángulo de 6º
Debemos tener en cuenta que:
12
9
3
30º=6º+6º+6º+6º+6º
4
6
EH
5div.
=
EM 60div
EH
1
x
=
=
EM 12 12 x
EH = Espacio recorrido por el horario
EM = Espacio recorrido por el minutero
(en 1 hora)
Para la resolución de los
problemas sobre manecillas, se
recomienda analizar a partir de
la hora exacta anterior a la hora
indicada en un problema
determinado, a la cual
llamaremos hora de referencia.
Ejemplo:
Hora de
referencia
3:25
3:00
5:40
5:00
4:10
4:00
También podemos establecer las siguientes relaciones:
Recorrido del minutero
(en minutos)
Recorrido del horario
(en minutos)
30 min
2,5 min
1 (30)
12
60 min
5 min
40 min
(10/3) min
1 (60)
12
1 (40)
12
24 mim
2 mim
m min
(m/12) min
Unidades equivalentes
Recorrido del minutero
(en minutos)
Recorrido del horario
(en grados)
30 min
15º
60 min
30º
40 min
20º
25 mim
12.5º
m min
(m/2)º
Unidades diferentes
Ejemplo: Desde las 3 en punto hasta las 4 en punto
También:
En 60 min el horario avanza  60  = 30º
 2 
M
∴ En M min el horario avanza  
 2
.
º
Ángulo que forman las manecillas del reloj
(Horario–Minutero)
Cuando el reloj marca las “H” horas “M” minutos o
abreviadamente H:M el ángulo “α” formado por el horario y el
minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula:
11
α =  30H ± M
2
Donde:
H → hora de referencia (0≤H≤12)
M → # de minutos transcurridos a partir de la hora de
referencia
α → Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj
(en grados sexagesimales)
Caso I: Cuando el horario adelanta al minutero.
Transponiendo términos,
obtenemos:
α = 30 H – 11x
Para las H horas y M
minutos, de la figura se
observa que:
12x + α = 30H + x
Última hora pasada
por el horario
Teniendo en cuenta que
xº es lo que avanza el
horario en M minutos,
entonces:
𝐌𝐌
∝ = 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟏𝟏𝟏𝟏( )
𝟐𝟐
Caso I: Cuando el minutero adelanta al horario.
𝐌𝐌
− 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
∝ = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐
Para las H horas y M
minutos, de la figura se
observa que:
30H + x + α = 12x
α = 11x – 30H
Conclusión:
El
signo
negativo acompañará a la
manecilla que se encuentra
rezagada y el positivo al que
se
encuentra
adelantada
(tomando en cuenta siempre
el
movimiento
de
las
manecillas del reloj).
Notas:
a.Dado un tiempo determinado la
hora referencial será la hora exacta
anterior a la hora que nos dan.
b.Cuando se pregunta por el ángulo
que forman las manecillas del reloj;
se entiende que es por el menor
ángulo.
Aplicación
Graficar las posiciones de las agujas en cada caso, e indicar el ángulo
barrido por el horario, a partir de la hora de referencia.
a) 2:28
b) 2:40
c) 6:26
d) 2:10
e) 4:12
f) 9:44
Resolución
Hallar el ángulo formado por las manecillas del reloj en los siguientes
casos:
a) 5:40
Resolución
b) 8:20
c) 6:15
•Hallar “ θ “
en el gráfico.
A) 120º
E) 124º
B) 125,5º
11
C) 128,7º
Resolución
12
1
10
2
3
9
θ
4
8
7
5
6
D) 132,5º
¿Qué hora será después de 2 horas de la hora que indica el grafico?
a) 5:38
5
b) 5:35
c) 5:36
11
d) 5:39
e) 5:37
Resolución
¿Qué hora es según el grafico mostrando?
6
a) 2:35
7
b) 2:39:00
c) 2:38
4
7
d) 2:37:00
e) 2:36:00
Resolución
¿Qué hora es en la figura?
a) 2:26
b) 2:25
c) 2:24
12
Resolución
1
11
2
10
α
3
9
2α
4
8
7
5
6
d) 2:22
e) 2:27
EJERCICIOS Y
PROBLEMAS DE
APLICACIÓN
1. Un campanario emplea 6 segundos para tocar 4 campanadas.
¿Cuánto tiempo empleará 8 campanadas?
A)10 s
B) 12 s
C) 14 s
D) 16 s
E) 20 s
2. Si un campanario toca 10 campanadas en 27 segundos,
¿cuántas campanadas tocará en 1 min?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
3. Un campanario señala las horas con igual número de
campanadas. Si para indicar las 5:00 a.m. demora 6 s, ¿cuánto
demorará para indicar las 12:00 p.m.?
A) 12 s B) 14 s C) 16 s D) 16,5 s E) 18 s
4. Un reloj demora (m2-1) s en tocar (m+2) campanadas. ¿Cuántas
campanadas tocará en 1 s?
A) m/(m-1)
B) m/(m+1)
C) (m2-1)/m
D) (2m+1)/m
E) (m2+1)/(m-1)
5. Un reloj señala la hora con igual número de campanadas. Si
para indicar las 12:00 p.m. demoró 22 s, ¿cuánto demorará en
indicar las 4 p.m.?
A) 4 s
B) 6 s C) 9 s D) 11 s E) 12 s
6. Un reloj señala la hora con el triple de campanadas con que
señalaría un reloj normal. Si para indicar las 4:00 a.m. demoró
44 s, ¿cuánto demorará para indicar las 21:00 h?
A) 144
B) 108 C) 110 D) 231 E) 252
7. Un campanario emplea (m2-1) s en tocar m campanadas.
¿Cuántas campanadas tocará en 1 s?
A) (m+1)/(m-1)
B) m/(m+1)
C) (m-1)/m
D) (m+2)/(m+1)
E) (m+2)/(m-1)
8. Son las 2 p.m. sin ser las 3 p.m., pero dentro de 40 min faltará
para las 4 p.m. el mismo tiempo que ha transcurrido desde las 1
p.m. hasta hace 40 min. ¿Qué hora es?
A) 2:40 p.m.
B) 2:50 p.m.
C) 2:45 p.m.
D) 2:30 p.m.
E) 2:20 p.m.
9. Si la mitad del tiempo transcurrido del día es igual a la cuarta
parte del tiempo que falta transcurrir para que termine el día,
¿qué hora es?
A) 6 a.m. B) 7 a.m.
C) 8 a.m.
D) 9 a.m.
E) 12 p.m.
10. Si lo que falta para las 6 p.m. de hoy es igual a la mitad de lo
que faltará para las 6 a.m. de mañana dentro de 6h,¿qué hora
es?
A) 8 a.m. B) 9 a.m. C) 10 a.m. D) 11 a.m. E) 12 p.m.
11. Son más de las 7 p.m. pero aún no son las 9 p.m. Si el tiempo
transcurrido desde las 7 p.m. hasta hace 15 min es igual a 1/5
del tiempo que faltará para las 9 p.m. dentro de 15 min, ¿qué
hora es?
A) 7:15 p.m.
B) 7:20 p.m.
C) 7:30 p.m.
D) 7:40 p.m. E) 8:30 p.m.
12. Son más de las 2 p.m., pero aún no son las 5 p.m. Si los minutos
transcurridos desde las 2 p.m. son la cuarta parte de los minutos
que faltan para las 5 p.m., ¿qué hora es?
A) 2:36 p.m.
B) 3:20 p.m.
C) 3:24 p.m.
D) 3:36 p.m.
E) 3:44 p.m.
13. Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al
cuádruplo de las que faltan para terminar el día, ¿qué hora será
dentro de 4h?
A) 4 p.m. B) 6 p.m. C) 8 p.m. D) 10 p.m. E) 12 p.m.
14. Un reloj se adelanta 2 min cada 3h. ¿Qué hora será en realidad
cuando marque las 10:15 a.m., si hace 30 horas que va
adelantándose?
A) 9:50 a.m.
B) 9:55 a.m.
C) 10:00 a.m.
D) 10:05 a.m. E) 10:10 a.m.
15. Un reloj se adelanta 3 min por cada hora que transcurre. ¿A qué
hora comenzó a adelantarse si dentro de 2 horas tendrá un
adelanto de una hora y estará marcando las 10:37 p.m.?
A) 1:37 a.m.
B) 1:35 a.m.
C) 1:43 a.m.
D) 1:33 a.m. E) 1:40 a.m.
16. Según el gráfico. ¿Qué hora es?
A) 5:36
B) 5:24 C) 5:38 D)5:37 E) 5:18
17. Entre las 5 y las 6:00 pm. ¿A qué hora las manecillas formarán
un ángulo de 180º.
A) 5: 00 p.m. B) 6: 00pm
E) 3: 00 p.m.
C) 7: 00 p.m.
D) 4: 00 p.m.
18. Entre las 4h y las 5h. ¿A qué hora las manecillas formarán un
ángulo de 90?
19. Entre las 2 y las 3: 00 pm. ¿A qué hora las manecillas formarán
un ángulo que sea igual a los 2/3 de sus suplemento?
A) 2: 24 min B) 2: 54 min
E) 3: 24 min
C) 2: 23 min
D) 3: 45 min
11
20. ¿Qué hora es según el gráfico?
A) 5 h 8 min.
B) 5 h 9 min.
C) 5 h 12 min.
D) 5 h 7 min.
E) 5 h 6 min.
12
1
10
2
3
9
4
8
7
21. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?
5
6