Subido por Miguel alconz

Markov-Problemas2020

Anuncio
Practica Calificada N°5
Problemas:
1. Para la siguiente matriz de transición, calcule la probabilidad de
encontrarse en el estado A después de tres periodos para un estado
inicial de [0.5,0.5] .
A
B
A
0.3
0.5
B
0.7
0.5
2. Para la matriz de transición del problema 1, calcule las probabilidades
del estado estacionario para los estados A y B .
3. Para la siguiente matriz de transición, calcule:




las probabilidades de encontrarse en los estados X, Y o Z, después de
dos periodos, si el estado inicial fue (0.3 0.4 0.3).
Si actualmente la variable esta en el valor X cual será la probabilidad
que tres periodos después la variable tome el valor de Y.
Si el valor de la variable es Y cuantos periodos tienen que pasar en
promedio para volver estar en el estado Y por primera vez.
Si actualmente la variable se encuentra en el estado X cuantos periodos
tienen que pasar en promedio para pasar al estado Y por primera vez.
X
Y
Z
X
0.2
0.8
0.7
Y
0.2
0.1
0
Z
0.6
0.1
0.3
4. La Avertz Company renta su flotilla de 500 automóviles. Se inspecciona cada
automóvil una vez a la semana. Durante este tiempo, pudo haber estado
rentado, puede habérsele dado mantenimiento, o pueden haber sucedido ambas
cosas. En la primera semana de junio, se determino que 400 automóviles
estaban en condiciones de ser rentados, 80 necesitaban reparaciones menores y
20 necesitaban reparaciones mayores. En la segunda semana de junio 350 de los
automóviles que estaban en buenas condiciones se encontraban en la misma
circunstancia, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban
reparaciones mayores. De los 80 automóviles que necesitaban reparaciones
menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían requiriendo
reparaciones menores y otros 5 requerían ahora reparaciones mayores. Por
último, de los 20 automóviles que requerían reparaciones mayores, 15 estaban
en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores y 2 seguían
necesitando reparaciones mayores. Elabore una matriz de transición para este
problema.
5. Hace mucho tiempo, en una galaxia lejana existió un planeta en el que el clima
de cualquier día dependía solo del clima del día anterior. Por ejemplo, la
probabilidad de que lloviera hoy dependería solo de lo sucedido ayer. Existen
solo tres tipos de clima en este planeta; despejado, lluvia y nieve. En seguida se
presenta la matriz de transición diaria para estos tipos de clima:
Despejado
Lluvia
Nieve




Despejado
0.5
0.4
0.3
Lluvia Nieve
0.3
0.2
0.4
0.2
0.3
0.4
las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados, después
de dos periodos, si el estado inicial fue (despejado: 0.2 lluvioso: 0.4 con
nieve: 0.4).
Si actualmente el clima es despejado. cuál será la probabilidad que tres
días después el clima se torne con nieve.
Si el día de hoy es lluvioso cuantos días tienen que pasar en promedio
para volver estar en un día lluvioso por primera vez.
Si actualmente el clima es despejado cuantos días tienen que pasar en
promedio para pasar a un día lluvioso por primera vez.
6. En la industria de la cerveza “ligera” tres marcas comparten aproximadamente el
75% de todas las ventas, la Sudco, la Millis y la Schotz. Estas tres marcas
compiten en forma intensa por los clientes de la cerveza “ligera”. En tiempos
recientes, la Sudco hizo que una agencia externa llevara a cabo un estudio sobre
la forma en que los clientes estaban reaccionando a los anuncios. Los resultados
del estudio mostraron que después de tres meses, 50% de los clientes de Sudco
seguían prefiriendo la Suds Lite, 30% preferían la Millis, Light Beer y 20%
preferían la Schotz Easy Beer. De los clientes de Millis, 60% seguían
prefiriendo la Millis Light, 30% preferían la Suds Lite y 10% preferían la Schotz
Easy. De los clientes de la Schotz, 40% seguían prefiriendo su marca, 30%
preferían la Sudco y 30% preferían la Millis.
a. Elabore la matriz de transición para este problema de cambio de marca.
b. Determine el porcentaje de estado estacionario de los clientes que
prefieren cada tipo de cerveza.
7. La Carheel Computers es una nueva empresa que se especializa en la fabricación
de minicomputadoras. Sin embargo, las condiciones de flujo de efectivo de la
empresa no le permite fabricar más de dos maquinas por mes. La demanda
durante cada mes será una o dos maquinas. Existe una probabilidad de 0.3 para
la demanda de una maquina y 0.7 para la demanda de dos maquinas. La T arheel
Computers considera que debe satisfacer el nivel de demanda, cualquiera que
sea. Esto exige que determine una política de producción para satisfacer la
demanda. En seguida se muestra una posible política:
Inventario inicial
0
1
2
Producción
2
2
1
8. En Smalltown, al 90% de los días soleados siguen días soleados, y al 80% de los
días nublados siguen días nublados. Con esta información modelar el clima de
Smalltown como cadena de Markov.
9. Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada
periodo es como sigue: (1) se observa el nivel de inventario (llamemosle i) al
principio de del periodo. (2) Si i ≤ 1, se piden 4-i unidades. Si i ≥ 2 , no se hace
ningún pedido. (3) no se piden unidades durante el periodo, con probabilidad
1 3 ; se pide una unidad durante el periodo, con probabilidad 1 3 , y se piden 2
unidades durante el periodo, con probabilidad 1 3 ; se observa el nivel de
inventario al principio del siguiente periodo.
Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo.
Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema
de inventario como cadena de Markov.
10. Una fabrica tiene dos maquinas. Durante cualquier día, cada máquina que
trabaja al principio del día tiene probabilidad x de descomponerse. Si se
descompone una maquina durante el día, se manda a un taller de reparación y
estará trabajando después que se descompuso. Por ejemplo, si una máquina se
descompone durante el día 3, estará trabajando al principio del día 5. Si se hace
que el estado del sistema sea el numero de maquinas que trabajan al principio
del día, formule una matriz de probabilidad de transición para este caso.
11. En relación con el problema 8, suponga que el tiempo de mañana en Smalltown
depende del tiempo que haya prevalecido los últimos dos días; como sigue:(1)si
los últimos dos días han sido soleados, entonces el 95% de las veces mañana
será soleado. (2) Si ayer estuvo nublado y hoy soleado, entonces el 70% de las
veces mañana estará soleado. (3) si ayer estuvo soleado y hoy esta nublado,
entonces el 60% de las veces mañana estar nublado. (4) Si los últimos dos días
fueron nublados, entonces el 80% de las veces mañana será nublado.
12. En el prob. 10, suponga que una maquina que se descompone regresa al servicio
tres días después. Por ejemplo, la maquina que se descompone hoy, el día 3
estará trabajando al principio del día. Determine una matriz de transición de
probabilidad para este caso.
13. Al principio de cada año, mi automóvil está en buen, regular o mal estado. Un
buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con probabilidad 85%,
regular con probabilidad 10%, y mal con probabilidad 0.5. Un automóvil regular
estará regular al principio del año siguiente con probabilidad 70% y mal con
probabilidad 30%. Cuesta 6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regular
se puede conseguir por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta, y se debe
reemplazar de inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el
funcionamiento de un buen automóvil, y 1500 dólares el de uno regular. ¿Debo
reemplazar mi automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar
hasta que descomponga? Suponga a que el costo de funcionamiento de un
automóvil durante un año depende del tipo de vehiculo que se tiene a la mano al
principio del año (después de llegar cualquier auto nuevo, si es el caso). -
14. Se tiene dos acciones. Las acciones 1, siempre se venden a 10 dólares o 20
dólares. Si hoy las acciones 1 se venden a 10 dólares, hay una probabilidad, 80%
de que mañana se venda a 10 dólares. Si las acciones 1 se venden hoy a 20
dólares, hay una probabilidad. 90% a que mañana se vendan a 20 dólares. Las
acciones 2 siempre se venden a 10 dólares o a 25 dólares. Si se venden hoy a 10
dólares, hay una probabilidad. 90% a que se vendan mañana a 10 dólares. Si se
venden hoy a 25 dólares, hay una probabilidad. 85% de que mañana se vendan a
25 dólares. En promedio. Modele un proceso de Markov ¿Qué acciones se
venden a mayor precio?.
15. La compañía de seguros Payoff cobra a sus clientes de acuerdo a su historia de
accidentes. Un cliente que no haya tenido accidentes durante los últimos dos
años paga 100 dólares de prima anual. Quien haya tenido un accidente en cada
uno de los dos últimos años paga una prima anual de 400 dólares. A los que
haya tenido un accidente durante solo uno de los últimos dos años se les cobra
una prima anual de 300 dólares. Un cliente que tuvo un accidente durante el
último año tiene una probabilidad de 10% de accidentarse durante este año. Si
un cliente no ha tenido un accidente durante el último año tiene una
probabilidad de 3% de sufrir un accidente durante este año. Durante un año
dado ¿Cual es la prima que paga en promedio un cliente de Payoff?
16. El departamento de admisión del colegio estatal ha modelado la trayectoria de
un estudiante en esa institución como cadena de Markov:
Si ahora existen 1000 estudiantes de 1° año y 800 de 2° año
(a)¿Cuántos estudiantes de 1° año se espera que no se gradúen?
(b)¿Cuántos años en promedio se espera que pase en la escuela un alumno de
primer año?¿los años que necesita para graduarse un alumno de 2°año?
1ª año
2º año
Sale
Termina
1ºaño 2ºaño
Sale
Termina
0.10
0
0
0
0.2
0.20
1
0
0
0.60
0
1
0.70
0.20
0
0
17. El departamento de admisión del colegio estatal ha modelado la trayectoria de
un estudiante en esa institución como cadena de Markov:
1ª año
2º año
3º año
4º año
Sale
Termina
0.10
0
0
0
0
0
2ºaño
0.80
0.10
0
0
0
0
3ºaño
0
0.85
0.15
0
0
0
4ºaño
0
0
0.80
0.10
0
0
Sale
0.10
0.05
0.05
0.05
1
0
Termina
0
0
0
0.85
0
1
Se observa el estado de cada estudiante al principio de cada semestre de otoño.
Por ejemplo, si un estudiante es de 3º año al principio de este semestre de otoño,
habrá 80% de probabilidad de que al principio del siguiente semestre de otoño
sea de cuarto año, 15% de probabilidad de que aun sea 3º año y 5% de que salga.
Suponemos que una vez que sale un estudiante ya nunca vuelve ha inscribirse.
(a)Si un estudiante entra al colegio a primer año, ¿Cuántos años se espera que
pasen siendo estudiante?
(b)¿Cuál es la probabilidad de que se gradué un estudiante de nuevo ingreso?
18. El Herald Tibble obtuvo la siguiente información acerca de sus suscriptores:
durante el primer año como suscriptores, el 20% cancelan sus suscripciones. De
los que se han suscrito por un año, el 10% cancelan durante el segundo año. De
los que se han suscrito por más de dos años, el 4% cancelan durante cualquier
año dado. En promedio ¿Cuánto tiempo se suscribe una persona al Herald
Tribble?
19. Un bosque consta de dos tipos de árboles: los cuales tienen de 0 a 1.50 metros de
alto, y los que son más altos. Cada año, mueren el 40% de los árboles que tienen
menos de 1.50 metros, el 10% se venden a 20 dólares cada uno, 30%
permanecen entre 0 y 1.50m, y el 20% crecen mas de 1.50m. Cada año, el 50%
de los árboles de más de 1.50m se venden a 50 dólares, el 20% lo venden a 20
dólares, y el 30% permanece en el bosque.
(a)¿Cuál es la probabilidad de que muera un árbol de 0 a 1.50 metros antes de
venderse?
(b)Si se planta un árbol de menos de 1.50m, ¿Cuál es el ingreso esperado que se
va ha tener con ese árbol?
20. Las cadenas absorbentes de Markov se usan en ventas para modelar la
probabilidad de que un cliente que se localiza por teléfono compre finalmente un
producto. Considere un cliente posible a quien nunca se ha llamado acerca de
comprar un producto. Después de una llamada, hay una probabilidad de 60% de
que tenga poco interés en el producto, de 30% que muestre un gran interés en el
producto, y 10% de que sea borrado de la lista de los posibles clientes de la
compañía. Se tiene un cliente que actualmente tiene poco interés en el producto.
Después de otra llamada, hay 30% de probabilidad de que compre el producto,
20% de probabilidad de que sea borrado de la lista, 30% de que el cliente aun
tenga poco interés y 20% de que exprese un interés alto. Para un cliente que
actualmente exprese alto interés, después de otra llamada hay 50% de
probabilidad de que compre el producto, 40% de probabilidad de que siga
teniendo gran interés y 10% de probabilidad que tenga poco interés.
(a)¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo posible cliente al final compre el
producto?
(b)¿Cuál es la probabilidad de que un posible cliente con poco interés sea
borrado de la lista final?
(c) En promedio, ¿Cuántas veces habrá que llamar por teléfono a un nuevo
posible cliente para que compre el producto, o para que sea borrado de la lista?
21. En el problema de la ruina del jugador, suponga que p=.60.
(a)¿Que probabilidad hay de que alcance a ganar 4 dólares?
(b)¿Cuál es la probabilidad de que salga sin dinero?
(c)¿Cuál es la duración esperada del juego?
22. En el cuidado de pacientes ancianos en un hospital psiquiátrico, una meta
principal es la colocación correcta de los pacientes en pensiones u hospitales
para ancianos. El movimiento de pacientes entre el hospital, los hogares externos
y el estado absorbente (la muerte) se puede describir mediante la siguiente
cadena de Markov. La unidad de tiempo es un mes:
Hospital
Hogares
Muerte
Hospital
0.991
0.003
0.006
Hogares
0.025
0.969
0.006
Muerte
0
0
1
Cada mes que pasa un paciente en el hospital cuesta 655 dólares al estado, y
cada mes que pasa en una pensión le cuesta 226 dólares, también al estado. Para
mejorar la frecuencia de éxitos de colocación de pacientes, el estado
recientemente comenzó un “programa de resocialización geriátrica” (GRP) para
preparar a los pacientes a desempeñar en las pensiones. Algunos pacientes se
colocan en el GRP y a continuación pasan a pensionases menos probable que
estos pacientes no la puedan ajustar a sus pensiones. Otros pacientes continúan
pasando en forma directa del hospital a las pensiones sin haber tomado parte en
el (GRP). El estado paga 680 dólares cada mes lo que cuesta el paciente en el
GRP. El movimiento de los pacientes esta gobernado por la siguiente cadena de
Markov
GRP Hosp.
Pension
Pension
Muerte
(GRP)
(directo)
GRP
0.854 0.028
0.112
0
0.006
Hospital
0.013 0.978
0
0.003
0.006
Pensiones (GRP)
0.025 0
0.969
0
0.006
Pensiones (direct)
0
0.025
0
0.969
0.006
Muerte
0
0
0
0
1
23. Fresco, Inc.; vende refrigeradores. La fábrica otorga una garantía en todos los
refrigeradores que especifica cambio gratis de cualquier unidad que se
descomponga antes de tres años. Se nos da la siguiente información: (1) el 3%
de
todos los refrigeradores nuevos falla durante su primer año de
funcionamiento; (2) el 5% de todos los refrigeradores con un año de
funcionamiento falla durante el segundo año de trabajo, y (3) el 7% de todos los
refrigeradores con dos años de funcionamiento falla durante su tercer año. La
garantía no vale para el refrigerador de repuesto.
(a) Use la categoría de cadenas de Markov para predecir la fracción de todos
los refrigeradores que deberá cambiar Freezco
(b) Suponga que Freezco le cuesto 500 dólares cambiar un refrigerador y que
vende 10,000 refrigeradores al año. Si la fabrica redujera el plazo de garantía
a dos años, ¿Cuánto dinero se ahorraría en costos de reemplazo?
24. Se usa una máquina para producir herramientas de precisión. Si la maquina esta
hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de
probabilidad. Si la maquina esta en mal estado hoy, entonces estará en mal
estado mañana con 80% de probabilidad. Si la maquina esta en buen estado,
produce 100 herramientas por día, y si esta en mal estado, 60 herramientas por
día. En promedio, ¿Cuántas herramientas por día se producen?
25. La clientela compra automóviles en tres agencias. Dada la compañía a la que
compro un cliente la ultima vez, la probabilidad que compre la próxima vez es
Compró en
Comprara en
Agencia 1
Agencia 2
Agencia 3
Agenc 1
0.80
0.05
0.10
Agenc 2
0.10
0.85
0.20
Agenc 3
0.10
0.10
0.70
(a)Si alguien posee actualmente un automóvil de agencia 1, ¿Cuál es la
probabilidad, de que al menos 1 de los dos siguientes coches que compre sea
agencia 1?
(b)En la actualidad, a la agencia 1 le cuesta
dólares en promedio cada
automóvil, y el precio medio que paga al cliente es 8 000 dólares. La agencia 1
piensa instruir una garantía de 5 años. Estima que con ello se aumentará el costo
en 300 dólares por automóvil, pero una investigación de mercado indica que las
probabilidades cambiaran como sigue
Compró en
Comprara en
Agenc 1
Agenc 2
Agenc 3
Agencia 1
0.85
0.10
0.05
Agencia 2
0.10
0.80
0.10
Agencia 3
0.15
0.10
0.75
¿Debe instituir la garantía de 5 años la agencia 1?
26. Un equipo de béisbol consta de 2 estrellas, 13 novatos y 10 sustitutos. Para fines
de impuestos, el propietario debe evaluar a los jugadores. Se define el valor de
cada jugador como el valor total del sueldo que gana hasta su retiro. Al inicio de
cada temporada, se clasifican los jugadores en cuatro categorías:
Categoría 1: Estrella (una estrella gana 1 millón de dólares al año).
Categoría 2: Novato (un novato gana 400 000 dólares al año).
Categoría 3: Reserva (un reserva gana 100 000 dólares al año).
Categoría 4: Retirado (no gana salario).
Si un jugador es estrella, novato o reserva al principio de esta temporada, las
probabilidades de que pase a ser estrella, novato, reserva o retirado al principio
de la siguiente temporada.
Esta
Temporada
Estrella
Proxima temporada
Novato
Reserva
Estrella
0.50
0.30
Novato
0.20
0.50
Reserva
0.05
0.15
Retirado
0
0
Determine el valor de los jugadores del equipo.
0.15
0.20
0.50
0
Retirado
0.05
0.10
0.30
1
27. The Thrill of Statistics, el mejor libro de estadística para preparatoria, tiene una
demanda de 5 millones de ejemplares cada otoño. Algunos de los compran el
libro lo conservan, otros lo venden de nuevo a la librería. Suponga que el 90%
de los estudiantes que compra un libro nuevo lo venden, 80% de los que
compran un libro usado una vez lo vuelven a vender y que el 60% de los
estudiantes que compran un libro usado dos veces lo vuelven a vender. Si un
libro se ha usado cuatro veces o más. La pasta se le cae y ya no se puede vender.
(a). En el estado estable, ¿Cuántos ejemplares nuevos debe vender el editor cada
año?
(b). Suponga que la ganancia de una librería, en cada tipo de libro, se la
siguiente:
Libro nuevo = 6.00 dólares
Libro usado una vez = 3.00 dólares
Libro usado dos veces =2.00 dólares
Libro usado tres veces =1.00 dólar
Si el censo de estado estable representa las ventanas de la librería, ¿Cuales son
las ganancias promedio de esta, por libro?
28. Hearts Dog Food y Corporal Dog Food son dos compañías que compiten
fieramente en el Mercado nacional de croquetas para perro. El propietario de un
perro compra una caja de croquetas por mes. Si el propietario compro Hearts la
ultima vez, hay una probabilidad de 0.8 de que su siguiente compra también sea
de Hearts. Si la ultima compra del dueño fue de Corporal hay una probabilidad
de 0.9 de que su siguiente compra también sea de Corporal. El costo de
producción de croquetas Hearts es 80 centavos por caja, que vende a $1.00 dólar
(a)Si hay 40millones de propietarios de perros en los Estados Unidos, ¿Cuáles
son las ventas anuales esperadas de Hearts?.
29. Al principio de un periodo, una empresa observa su nivel de inventario.
Entonces puede hacer un pedido, que se recibe en forma instantánea. Por ultimo
se observa la demanda del periodo. Se nos da la siguiente información: (1) Se
define que hay un costo de dos dólares por cada unidad de inventario disponible
al final de un periodo. (2) Se define una multa de tres dólares por cada unidad
pedida que no se tiene a tiempo. Suponga que todas las unidades faltantes son
ventas perdidas.(3) hacer un pedido cuesta $0.50 por unidad mas un costo fijo de
5 dólares por pedido. (4) durante cada periodo, la demanda será igual a 1, 2 y 3
unidades, con igual probabilidad.
La compañía esta pensando implantar la siguiente política de pedido: al final de
cada periodo, si el inventario disponible es una unidad o menos, pedir la
cantidad suficiente para elevar el inventario disponible a cuatro unidades al
inicio del siguiente periodo.¿Que fracción de las veces estará el inventario
disponible al final de cada periodo en 0 unidades? ¿En 1 unidad? ¿En 2 unidad?
¿En 3 unidad? ¿En 4 unidad? ¿Determine el costo promedio por periodo
incurrido por esa política de pedidos.?
Descargar