Ejercicio para clase 1: En un tiempo largo se ha observado que un jugador de baloncesto puede encestar un tiro libr libree en un int intento ento det determinado erminado con pro probabilidad babilidad de 0.8, suponga que el lanza cuatro tiros libres. a)¿Cual es la probabilidad de que enceste exactamen exactamente te 2 tiros libres? b) ¿Cuál es la probabilidad de enceste al menos un tiro libre? Al menos un tiro libre significa que enceste 1,2,3 hasta 4 ya que solo lanza 4 tiros, entonces tenemos que encontrar la probabilidad de que enceste 1,2,3 y 4 tiros. Y luego sumarlos. Solución: a) Aquí solo se tienen dos opciones: encesta o no encesta, entonces utilizamos la formula de la binomial p=0.8 (éxito, encesta) q=1-0.8 = 0.2 (fracaso , no encesta) n=4 intentos (el total ) X=2 (lo que me piden, que enceste exactament exactamentee 2 tiros libres) a) P(x=2)= (4C2)*( )*( ) = (6) * (0.64) * (0.04) = 0.1536 Solución b) b) ¿Cuál es la probabilidad de enceste al menos un tiro libre? Al menos un tiro libre significa que enceste 1,2,3 hasta 4 ya que solo lanza 4 tiros, entonces tenemos que encontrar la probabilidad de que enceste 1,2,3 y 4 tiros. Y sumarlos. a)¿Cual es la probabilidad de que enceste exactamen exactamente te 1 tiro libre? b) ¿Cual es la probabilidad de que enceste exactamente 2 tiros libres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactamente 3 tiros libres? e) ¿Cuál es la probabilidad de que enceste exactament exactamentee 4 tiros libres? Solución b) Solución: a) b) c) d) P( P(x= x=1) 1)=( =(4C1)*( P(x= P( x=2) 2)== (4C2)*( P(x=3)= (4C3)*( P( P(x= x=4) 4)== (4C4)*( )*( )*( )*( )*( ) = (4)(0.8)(0.008)=0.0256 ) = (6)(0.64)(0.04)=0.1536 ) = (4)(0.512)(0.2)=0.4096 ) = (1)(0.4096)(1)=0.4096 P(x≥1) = p(x=1) + p(x=2) + p(x=3) p(x =3) + p(x=4) = 0.0256 + 0.1536 + 0.4096 + 0.4096 = 0.9984 Ejercicio para clase 2: 2: en una cierta área de la ciudad se da como una razón dell 75% (0. de 0.7 75) de lo loss robo boss la ne nece cesi sida dad d de di din ner ero o pa parra com omp prar estupefacientes. Encuentre la probabilidad que dentro de los 5 próximos asaltos reportados en esta área: a) Exactamente 2 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas. b)Cuando mucho 3 se debieran a la necesidad de dinero para comprar drogas. (aquí significa que se tiene que tomar en cuenta el 0,1,2 y 3) Solución: primero hay que determinar cual es el éxito para mi, para este caso es el que roben para comprar estupefacientes que es del 75%, y esta probabilidad de éxito debe estar acorde a la pregunta que nos están haciendo, si no es así, hay que ver cual es el éxito para mi dependiendo de la pregunta que me están haciendo. (por ejemplo si la pregunta hubiera sido encontrar la probabilidad de que el robo se debiera a otra razón que no se el de comprar drogas, mi éxito p= seria 0.25) Con Co n fr frec ecue uenc nciia el in intter erés és se ce cent ntrra en prob proble lema mass dond dondee es ne nece cesa sari rio o encontrar P(X<r), P(X≥r) o P(a≤X≤b). Para eso se dispone de las tablas bino bi nomi mial ales es ac acum umul ulaativ tivas qu quee se da dan n en la lass pagi pagina nass si sigu guie ien nte tess par para n=1,2,….20 y valores seleccionados de p de 0.1 a 0.9 Not Lass pr prob obab abililiida dade dess Nota: La bino bi nomi mial alees acumulativas difieren de las probabilidades binomiales individuales que se calcularon con la fórmula binomial. Estas tablas dan probabilidades acumulativas, no individuales, o sea siempre dan valores valores de cero cero al número que estamos buscando. Como se utiliza la tabla: primero se busca la probabilidad “p”, luego el valor de “n” y luego el valor de “r” (“k” (“k” o “x” en otros libros). Si se quiere un valor puntual debemos buscar el valor de dicho valor puntual y restarle el valor de la sumatoria inmediata inferior, ejemplo si queremos P(x=2) con p=0.8 y n=4 tenemos según las tablas 0.1808-0.0272=0.1536 como el ejemplo 1 inciso a. Ejemplo 1: Use la tabla binomial acumulativa con n=5 y p=0.6 para hallar las probabilidades de: 1. Exa Exacta ctamen mente te tres tres éx éxit itos os Solución: buscamos en la tabla p=0.6, n=5, y luego x=3 y tenemos el siguiente valor: 0.6630 Luego buscamos el valor inmediato inmediato inferior y es 0.3174 y se lo restamos y nos queda: 0.6630 – 0.3174 = 0.3456 Ejercicio para clase 3: probab obabili ilidad dad de que un pacie pacient ntee sobrevi sobreviva va a una 3: La pr rara enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad. Cuál es la probabilidad de que: a) sobrevivan exactamente exactamente 5 personas (utilice la tabla binomial) Solución:: Solución p=0.4 n=15 x=5 buscamos en la tabla luego buscamos n=15, y luego x=5 y encontramos quep=0.4, el valor es 0.4032 A ese dato le restamos el valor del inmediato inferior que es según la tabla 0.2173 y tenemos: 0.4032 – 0.2173 = 0.1859 La probabilidad de que exactamente 5 personas sobrevivan es del 18.59% Ejercicio para clase 4: 4: Se probó un régimen formado por una dosis diaria de vita vitamin minaa C pa parra de dete term rmin inar ar su ef efec ecti tivi vida dad d par para prev preven enir ir el re resf sfri riado ado común. Dieez pe Di perrso sona nass qu quee es estu tuvi vier eron on sigu siguie iend ndo o el rég égim imen en pr pres escr crit ito o fuer fueron on observadas durante el estudio. Suponga que la probabilidad de pasar el invierno sin un resfriado es 0.5 cuando se sigue el régimen de vitamina C. ¿Cuá ¿C uáll es la pr prob obab abililid idad ad de ob obse serv rvar ar exa xact ctam amen entte oc ocho ho resfriado? pa paci cien enttes si sin n Resolver por tabla binomial y por formula y comparar el resultado Solución: p=0.5 probabilidad de pasar el invierno sin resfriado q=1-0.5 = 0.5 probabilidad probabilida d de pasar el invierno invierno con resfriado resfriado n=10 pacientes X=8 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------En la tabla busco p=0.5, luego n=10 y luego x=8 que es lo que me piden y tengo el valor: 0.9893 A este valor le resto el inmediato inferior que es 0.9453 y tengo: 0.9893 – 0.9453 = 0.044 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si lo hubiera hecho por medio de la formula el resultado hubiera sido el mismo P(x=8) = = (10C8)*( )*( ) =(45)*(0.0039)*(0.25) =(45)*(0.0039)*(0.25) = 0.044 MEDIA Y DESVIACION ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCION BINOMIAL La media y la desviación estándar de la distribución binomial son: µ = np Ϭ= √npq Ejemplo 7: en encue cuentr ntree la media media y la desvia desviació ción n está estánda ndarr de los siguientes datos: n = 15 p = 0.4 q = 1 – p = 1 - 0.4 = 0.6 Solución Solución:: µ = (15)(0.4) = 6 Ϭ= √(15)*(0.4)*(0.6) = √ 3.6 = 1.897 clase: Ejercicio para clase: ¿Pre ¿P reffer erir iría ía ust usted tomar omar un exam examen en de op opci ción ón mú múlt ltip iple le o un uno o de recordatorio completo? Si no sabe nada del material, tendrá una calificación de cero en un examen de recordatorio recordatorio completo pero, si le dan cinco opciones por cada pregunta en un examen de opción múltiple, ¡tiene al menos una probabilidad en cinco de adivinar correctamente! correctamente! Si un examen de opción múltiple contiene 100 preguntas a) ¿cuá uáll es la calificación MEDIA para un es estu tud diante qu quee es esttá adivinando en cada pregunta? b) ¿Cua ¿Cuall es su des desvi viac ació ión n está estánda ndar? r? Solución: La probabilidad de una respuesta correcta, p, es una en cinco, cinco, de modo que p = 1/5 = 0.2 por consiguiente consiguiente q = 1- 0.2 = 0.8 n = 100 respuestas a) µ = np = (1 (100 00)( )(0. 0.2) 2) = 20 puntos b) Para calcular la desviación estándar: Ϭ= √npq = √(100)(0.2)(0.8) = 4 puntos TAREA PARA PRÓXIMO SABADO De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de sociólogos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente 60% (0.60) de loss adic lo adicttos al Valiu alium m lo tom omar aron on po porr prim primer eraa vez de debi bido do a problemas sicológicos. Encuen enttre la proba bab bilidad de que de los siguie uientes 8 adict cto os entrevistados: a) exactamente 3 hayan comenzado a usarlo debido a problemas sicológicos. Resolver Resolver por fórmula y por tablas binomiales. respuesta: a) 0.1239
