Tema 1: ECUACIONES LINEALES Ingeniería Técnica en Informática de Gestión Curso 2001-2002 2º Cuatrimestre Matemáticas II “Problemas Tema 1: ECUACIONES LINEALES” Grupo 11-1 -.1.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problemas Tema 1. ECUACIONES LINEALES Problema 1.1 Decida por eliminación si existe o no solución para cada uno de los siguientes sistemas: En caso de que exista, calcúlela. (a) u + v + w = 0 1 1 1 0 1 1 1 0 2f → 2f-1f ⇒ 0 1 2 0 ⇒ 3f u + 2v + 3w = 0 ⇒ 1 2 3 0 ⇒ 3u + 5v + 7 w = 1 3 5 7 1 3f → 3f-3*1f 0 2 4 1 → 1 2 3f 1 1 1 ⇒ 0 1 2 0 1 2 0 0 1 2 No tiene solución porque dos ecuaciones iguales (filas 2 y 3) no pueden dar resultados distintos. Por lo tanto, es un sistema incompatible u − v + 3w = 3 1 −1 3 3 1 −1 3 3 2f → 2f-1f (b) u + 2v − w = 2 ⇒ 1 2 −1 2 ⇒ ⇒ 0 3 −4 −1 ⇒ 3f 3f → 3f-2*1f 2u + v + 2 w = 5 2 1 2 5 − − 0 3 4 1 1 −1 3 3 ⇒ 0 3 −4 −1 ⇒ 1f 0 0 0 0 → 1f+ 1 3 2f → 3f-2f ⇒ −1 + 4 w v= 4 1 3 1 0 3 − 3 3 − 3 5 8 ⇒ 0 3 −4 −1 ⇒ u = − w 3 3 0 0 0 0 w → libre Sistema compatible indeterminado, es decir, que tiene infinitas soluciones, una por cada valor de w (c) 2u − 5v + 4 w = −3 2 −5 4 −3 1 −2 1 5 3f → 3f-1f ⇒ 1 −2 1 5 ⇒ 1f ↔ 2f ⇒ 2 −5 4 −3 ⇒ ⇒ u − 2v + w = 5 2f → 2f-2*1f u − 4v + 6 w = 10 1 −4 6 10 1 −4 6 10 1 −2 1 5 1 −2 1 5 1 −2 1 5 ⇒ 0 −1 2 −13 ⇒ 3f → 3f-2*2f ⇒ 0 −1 2 −13 ⇒ 2f → 2f-2*3f ⇒ 0 1 0 75 ⇒ 0 −2 5 5 0 0 1 31 0 0 1 31 ⇒ 1f → 1f+2*2f 1 0 1 155 ⇒ 0 1 0 75 ⇒ 1f 0 0 1 31 → 1f-3f u = 124 1 0 0 124 ⇒ 0 1 0 75 ⇒ v = 75 w = 31 0 0 1 31 Sistema compatible determinado, una única solución. -.2.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.2 Encuentre la solución general del sistema cuya matriz ampliada es la siguiente: 1 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a = 3 − 5b 3 b → libre −2 ⇒ c = −2 6 d =6 λ λ=0 λ tiene que ser 0 porque 0+0+0+0 sólo puede dar como resultado 0 porque si no el sistema sería incompatible, es decir, que el sistema sólo tiene solución cuando λ vale 0 Problema 1.3 Halle los posibles valores de h para los cuales las siguientes matrices son las matrices ampliadas de sistemas lineales compatibles: 4 -2 1 4 −2 1 ⇒ 2f → 2f-3*1f ⇒ ⇒ h − 12 = 0 ⇒ h = 12 −6 0 h − 12 0 a) 3 h Si h = 12 el sistema es un sistema indeterminado y, por lo tanto, no existe solución para el sistema. Si h ≠ 12 el sistema se convierte en un sistema compatible determinado con una única solución. 2 b) −4 −6 −3 2 -6 -3 ⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒ ⇒h−6=0⇒ h = 6 12 h 0 0 h − 6 Si h = 6 el sistema se convierte en un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones y una variable libre. Si h ≠ 6 el sistema es un sistema indeterminado y no existe solución. Problema 1.4 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. (Por razonar se entenderá citar teoremas o resultados apropiados en el caso verdadero y proporcionar contraejemplos en el caso falso). 1. Una matriz con n filas y m columnas puede tener, como máximo, n + m pivotes. → FALSO porque los pivotes sólo están relacionados con las filas pudiendo, como máximo, tener n pivotes, uno por fila. Da igual el número que tenga la matriz de columnas 2. Para que una matriz no tenga ningún elemento pivote debe ser, obligatoriamente, una matriz de ceros. → VERDADERO porque un pivote es el primer elemento de una matriz no nulo, siempre y cuando la matriz esté en forma escalonada. Es decir, si la matriz está escalonada, el primer elemento no nulo de cada fila es elemento pivote. Por lo tanto, para que no haya elementos pivote ha de ser una matriz de ceros 3. El número de pivotes de una matriz sólo depende de sus dimensiones. → FALSO si entendemos por dimensiones m x n donde m es el número de filas y n el número de columnas. Digo que es falso porque el número de -.3.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES elementos pivote depende del número de filas que tenga la matriz, de que la matriz esté en forma escalonada y de los ceros que haya en cada fila 4. Matrices escalonadas equivalentes por filas tienen exactamente el mismo número de columnas pivote. → VERDADERO mientras que no se trate de matrices de ceros 5. Una matriz 5 x 7 no puede tener una posición pivote en cada fila. → FALSO, sí puede tener un pivote en cada fila ya que no hace falta que haya tantas columnas como pivotes 6. Una matriz 6 x 5 no puede tener una posición pivote en cada fila. → VERDADERO porque no puede haber más de un pivote por columna Problema 1.5 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 1. Todas las columnas de la matriz ampliada de un sistema lineal indeterminado son columnas pivote. → FALSO porque si la última columna de un sistema lineal indeterminado es pivote ya no sería lineal indeterminado si no que sería incompatible porque para que haya pivote todos los elementos predecesores han de ser 0 y, por lo tanto, sería que quedase 0+0+0+0 = a, donde a es el pivote y eso es incompatible para todos los valores de a excepto el 0 pero si a = 0 ya no es columna pivote 2. Para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible determinado, se debe verificar que m ≤ n. → FALSO a no ser que haya ecuaciones que sean combinación lineal de otras ecuaciones ya que si no sobrarían ecuaciones y producirían resultados distintos. Sería VERDADERO si pusiese que m = n y siempre y cuando no hubiese ecuaciones que fuesen combinaciones lineales de otras 3. Si la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales presenta una fila de ceros en su forma escalonada, el sistema es obligatoriamente compatible determinado. → FALSO porque si hay una fila de ceros sólo puede ser o compatible indeterminado o incompatible ya que o quedan variables libres (compatible indeterminado) o no se puede resolver (incompatible) 4. En un sistema lineal, el número de variables básicas es siempre mayor que el número de variables libres. → FALSO porque puede que el sistema tenga varias variables libres y una sóla variable básica, por ejemplo: x1 libre x 2 libre Éste es un ejemplo que contradice la afirmación x =0 3 5. Las matrices ampliadas de dos sistemas compatibles determinados con la misma solución tienen, forzosamente, que ser idénticas en su forma escalonada reducida. → VERDADERO ya que si no los resultados no serían iguales. Esto es verdad porque una matriz escalonada reducida tiene unos como elementos pivote y por encima de cada pivote también hay ceros (al igual que por debajo) y, por lo tanto, sólo pueden tener la misma solución si son iguales en su forma escalonada reducida. Esto no quiere decir que los sistemas sean iguales porque pueden ser completamente -.4.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES distintos y tener la misma forma escalonada reducida y dar los mismos resultados 6. Sistemas de ecuaciones equivalentes tienen matrices ampliadas equivalentes por filas. → VERDADERO porque cualquier matriz es equivalente por filas a muchísimas más matrices escalonadas, exceptuando si la matriz es una matriz de ceros Problema 1.6 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: 1. Cualquier sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene como máximo n soluciones. → FALSO porque como mucho tiene una sóla solución, esto suponiendo que el sistema sea compatible determinado porque que no sea así y resulte que sea un sistema compatible determinado porque haya ecuaciones que sean combinación lineal de otras 2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene dos soluciones diferentes, entonces tiene infinitas soluciones diferentes. → VERDADERO porque no puede tener dos soluciones diferentes, o tiene una (sistema compatible determinado), o tiene infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado) o no tiene solución (sistema incompatible) 3. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables libres entonces tiene una única solución. → FALSO porque puede que no tenga solución aunque si no tiene variables libres sólo puede tener una solución o no tener solución 4. La presencia de una variable libre en un sistema garantiza que el sistema es compatible. → VERDADERO porque hace que el sistema tenga infinitas soluciones dependiendo del valor que tomen las variables libres 5. Si todas las columnas de la matriz de coeficientes de un sistema son columnas pivote, entonces el sistema tiene solución única. → VERDADERO porque a partir de ahí se sacan las soluciones para el sistema compatible determinado 6. Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y sólo si al menos una columna en la matriz de coeficientes no contiene una posición pivote. → VERDADERO porque esto quiere decir que la fila (en la que no hay pivote) de coeficientes es entera de ceros. Aunque se puede dar la salvedad de que sea la fila de coeficientes ceros pero que como último elemento de esa fila en la matriz no haya un cero lo que supondría que el sistema fuera incompatible por lo ya mencionado antes y es que si hay 0+0+0+0 no puede dar un número que no sea 0 7. Un sistema compatible de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si y sólo si al menos una columna en la matriz de coeficientes no contiene una posición pivote. → VERDADERO porque si es compatible sólo pueden darse los casos de que sea determinado o indeterminado pero además, para que tenga infinitas soluciones ha de tener una fila sin pivote -.5.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.7 Dadas las siguientes matrices: 4 −3 1 1 −3 6 −2 −7 6 0 , −1 3 1 7 −2 , 0 0 4 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 a) Encuentre una forma escalonada −3 6 −1 3 -1 3 ⇒ 1f ↔ 2f ⇒ ⇒ 2f → 2f-3*1f ⇒ −1 3 −3 6 0 -3 *** 4 −3 1 1 −2 −7 6 2f → 2f+2*1f 0 ⇒ ⇒ *** 3f → 3f-1f 1 7 −2 0 0 4 1 0 1 0 ⇒ 4f → 4f-3f ⇒ 0 0 1 0 *** 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 4 −3 1 0 1 0 3f → 3f-3*2f ⇒ ⇒ 3 1 4f → 4f-4*2f 0 4 1 0 4 −3 1 0 ⇒ 0 1 0 1 4 −3 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 ⇒ 2f ↔ 3f ⇒ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 b) Encuentre su forma escalonada reducida 1f → 1f+2f −3 6 -1 3 1 0 1 −1 3 apartado uuuuuuuuuuuaur 0 -3 ⇒ 2f → − 3 2f ⇒ 0 1 1f → -1f 4 −3 1 1 −2 −7 6 0 apartado a 1 7 −2 uuuuuuuuuuuur 0 0 4 1 0 4 −3 1 0 1 0 ⇒ 1f → 1f-4*2f ⇒ 0 1 0 0 0 0 -.6.- 0 -3 1 0 1 0 ⇒ 1f → 1f+3*3f ⇒ 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Tema 1: ECUACIONES LINEALES 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 apartado a 0 uuuuuuuuuuuur 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1f → 1f-3f ⇒ ⇒ 1 2f → 2f-4f 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 −1 0 −1 0 1 1 1 c) Decida qué columnas son columnas pivote −3 6 1 ⇒ −1 3 0 *** 0 1 4 −3 1 1 −2 −7 6 ⇒ 0 *** 7 −2 0 1 0 4 1 0 1 0 *** 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 ⇒ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 −1 −1 1 1 d) Si estas matrices fueran matrices ampliadas de sendos sistemas lineales, calcúlese la solución general de estos sistemas 1 −3 6 apartado c uuuuuuuuuuur −1 3 0 *** 4 −3 1 1 −2 −7 6 ⇒ 0 *** 7 −2 0 1 0 4 1 0 1 0 *** 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 ⇒ 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 ⇒ Sistema incompatible 1 0 0 0 ⇒ Sistema incompatible 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 −1 a = −1 −1 b = −1 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ 1 c =1 1 d = 1 e) Explicítese qué variables serían variables básicas y cuáles variables libres En ninguna de las opciones hay variables libres, todas son básicas en la única matriz que tiene solución -.7.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.8 Sabemos que un polinomio de tercer orden pasa por los puntos: (0,0) (1,0) (2,-8) y (4,12). Calcule los coeficientes del polinomio. [Ayuda: Un polinomio de orden n es una función de la forma f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + L + an x n , donde a1 , a2 , a3 ,L , an son los coeficientes del polinomio]. Polinomio = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Para (0,0) → d = 0 Para (1,0) → a + b + c + d = 0 Para (2,-8) → 8a + 4b + 2c + d = −8 Para (4,12) → 64a + 16b + 4c + d = 12 0 0 a b 4b 8a 64a 16b 0 c 2 4c d d d d 0 b c 0 a 0 ⇒ d = 0 ⇒ 8a 4b 2c −8 ⇒ 2f → 2f-8*1f ⇒ −8 64 16 4 12 a b c 12 0 0 b c b c a a ⇒ 0 −4b −6c −8 ⇒ 3f → 3f-64*1f ⇒ 0 −4b −6c −8 ⇒ 3f → 3f-12*2f ⇒ 64a 16b 4c 12 0 −48b −60c 12 a ⇒ 0 0 a ⇒ 0 0 0 c 0 a b 1 −4b −6c −8 ⇒ 3f → * 3f → 0 -4b -6c -8 ⇒ 2f → 2f + 6*3f ⇒ 12 0 12c 108 c 9 0 0 b c 0 a b c 0 a b 0 -9 1 -4b 0 46 ⇒ 2f → * 2f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒ 1f → 1f-3f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒ 4 0 c 9 0 0 c 9 0 0 c 9 5 a= 2 a 0 0 2'5 23 ⇒ 1f → 1f + 2f ⇒ 0 -b 0 11'5 ⇒ b = − 2 0 0 c 9 c=9 b c f ( x) = 5 3 23 2 x − x + 9x 2 2 -.8.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.9 Una función desconocida pasa por los puntos: A = (0,1) B = (1,0.5) y C = (2, −1) . Nos interesa estimar el punto en el que la función se anula (es decir, nos interesa encontrar un valor aproximado del punto en el que la función se hace cero). a) Represéntese los puntos en el plano Y A (0,1) B (1,½) C (2,-1) X b) Calcúlese la recta que pasa por los puntos B y C Recta = r: y = mx + n 1ª forma 2ª forma uuur BC = (2, −3) Para B (1,½) → ½ = m +n Para C (2,-1) → -1 = 2m + n x − 2 y +1 = 2 −3 ( −3)( x − 2) = 2 y + 2 2 y = −3 x + 4 3 1 = m + n m = − ⇒ 2 2 1 = −2m − n n = 2 3 y =− x+2 2 3 y =− x+2 2 c) Calcúlese el punto de corte de dicha recta con el eje de abscisas. Ésta será una estimación del punto buscado Eje de abscisas = Eje 0X ⇒ y = 0 -.9.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES 3 4 x + 2 ⇒ 4 − 3x = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 2 3 4 punto buscado = P ,0 3 y=0=− d) Para encontrar otra estimación, calcúlese un polinomio interpolador que pase por los puntos A, B y C. Discútase el orden que deberá tener dicho polinomio El orden de este polinomio ha de ser 2 puesto que si miramos la gráfica con los puntos (apartado a) nos damos cuenta de que lo que los une es una parábola Polinomio = f (x) = ax2 + bx + c 0 0 1 1 1 1 1 1 2 ↔ 2f 1f 1 B → a+b+c = ⇒ 4 2 1 − 1 ⇒ 2f → 2f - 4 *1f ⇒ ⇒ 1 1 1 12 ⇒ 2f ↔ 3f 2 0 0 1 1 C → 4a + 2b + c = −1 4 2 1 − 1 1 1 1 1 1 1 0 − 12 2 1 1f 1f 3f → 2f → 2f ⇒ 0 − 2 − 3 − 3 ⇒ ⇒ 0 − 2 0 0 ⇒ ⇒ 2 2f → 2f + 3f 0 0 0 0 1 1 1f → 1f + 2f 1 1 A → c =1 1 1 0 0 − 1 2 a = − 2 ⇒ 0 −1 0 0 ⇒ b = 0 0 0 1 1 c = 1 1 y = − x2 + 1 2 e) ¿En qué punto se hace cero el polinomio?. Ésta será otra estimación del punto buscado 1 y = − x2 + 1 = 0 2 1 x2 = 1 2 x2 = 2 ⇒ x = ± 2 f) Si quisiéramos calcular el punto de corte con un polinomio de orden mayor (digamos, un orden mayor), ¿cuántos puntos adicionales necesitaríamos? Hace falta 4 puntos para hallar los coeficientes de las ‘x’ en el polinomio de orden mayor. Esos 4 puntos deben pertenecer al polinomio de orden mayor y, una vez hallados los coeficientes lo único que hay que hacer es igualar las ‘y’ (porque cuando dos funciones se cortan en un punto, ese punto es común para ambas funciones y, por lo tanto, el valor que tenga cualquier coordenada en ese punto debe ser común para ambas funciones) de ambos polinomios y de ahí sacamos el valor de la coordenada ‘x’ del punto de corte, una vez hallado eso lo único que hay que hacer es irse a uno de los polinomios y sustituir esa ‘x’ por su valor para hallar el valor de la ‘y’. -.10.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Si el polinomio de mayor orden es s y el de menor orden (el ya hallado) es r entonces: r:y=− 1 2 x +1 2 s : y = rx 3 + sx 2 + tx + u Punto de corte = (x, y ) ⇒ Hallamos x ⇒ Igualamos las ' y' ⇒ rx 3 + sx 2 + tx + u = − 1 2 x +1 2 1 Hallamos y ⇒ f rx 3 + sx 2 + tx + u = − x 2 + 1 = y 2 Problema 1.10 Sean los vectores: −2 4 σ 5 1 a = , b = , c = 1 , d = 2 , e = 1 3 −1 −6 0 1 • Efectúense las siguientes operaciones: a) a – 5b 5 5 3 − −5 = 0 8 b) –5c + 6d - λe 10 24 −λσ −5 + 12 + −λ = 0 −36 −λ 34 − λσ 7−λ −36 − λ c) 2b + c No se pueden sumar porque no tienen −2 2 −2 + 1 ⇒ las matrices las mismas dimensiones 0 y para sumarlas deben tenerlas iguales d) 5 ( 2 ( c - 3µe ) + 6d ) −2 −3µσ 24 −2 − 3µσ 24 −4 − 6µσ 24 5 2 1 + −3µ + 12 = 5 2 1 − 3µ + 12 = 5 2 − 6 µ + 12 = −6µ −36 0 −3µ −36 −3µ −36 20 − 6µσ = 5 14 − 6µ = −36 − 6µ -.11.- 100 − 30µσ 70 − 30 µ −180 − 30 µ Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.11 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. Si u ≠ 0, el subespacio Gen{u,v} contiene a la recta que pasa por el origen y es paralela a u, incluso si v = 0 → FALSO porque para que eso sea cierto tanto los vectores u y v han de ser distintos de 0 2. Si u ≠ 0, el subespacio Gen{u,v} contiene a la recta que pasa por el origen y es paralela a u, sólo si v ≠ 0 → VERDADERO si u no es múltiplo de v y viceversa ya que si fuera así no sería cierto. 3. Preguntar si el sistema lineal correspondiente a una matriz ampliada [ a1 a3 b ] tiene solución es equivalente a preguntar si b pertenece subespacio Gen{a1,a2,a3} → VERDADERO según lo que dice en r r r teorema porque b es combinación lineal de a1 − a n ⇔ tiene solución, por tanto es compatible a2 al el lo 4. Un plano cualquiera se puede representar por el subespacio Gen{u,v} para unos ciertos vectores u y v → FALSO porque para representar R n necesitamos n vectores. En este caso sólo podemos representar R 2 ya que sólo nos dan 2 vectores 5. Si u y v son vectores no nulos, el subespacio Gen{u,v} puede, en determinadas situaciones, representar una recta que pasa por el origen → VERDADERO siempre y cuando v no sea múltiplo de u y viceversa 6. Si w = 0, entonces Gen{u,v} = Gen{u,v,w} → FALSO porque el primero representa un espacio generado en R 2 y el otro en R 3 aunque w = 0 7. Gen{u,v} = Gen{u,u - v} → FALSO porque no existe combinación lineal al hacer u – v Problema 1.12 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Dados a1, a2, a3, b ∈ R m , tales que b = a1 + 3a2 – 2a3, entonces: 1. El sistema lineal cuya matriz ampliada es [ a1 a2 a3 b ] tiene, necesariamente, solución única → VERDADERO porque b es combinación de a1 a2 a3 siempre y cuando el sistema tenga solución 2. La matriz [ a1 a2 a3 b ] tiene, necesariamente, tres elementos pivote → VERDADERO porque como tiene sólo una solución todas las variables son básicas y por la definición sabemos que hay un pivote en cada columna y, por lo tanto, cada variable es un pivote en la matriz 3. a2 ∈ Gen{a1,a3,b} → FALSO porque a2 es “independiente” de los otros, es b quien depende de los vectores a 4. Gen{a1,a2,a3} = R m → FALSO porque no representan a todo el espacio R m sino a una parte de ese espacio 5. Gen{a1,a2,a3} ⊂ R m → VERDADERO porque como he dicho antes ese subespacio es parte del espacio R m y, por lo tanto, está contenido en él 6. Gen{a1,a2,a3} = Gen{a1,a2,a3 b} → VERDADERO porque b pertenece al espacio generado por lo vectores a -.12.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES 1 7. Existe al menos un valor de λ ∈ R tal que [ a1 a2 a3 ] 3 = b → λ VERDADERO porque para que tenga solución b es combinación lineal de los vectores a 1 3 −4 Problema 1.13 Sean A = 3 2 −6 y b = −5 −1 8 b1 b 2 b3 a) Demuéstrese que la ecuación Ax = b no es consistente para cualquier b b1 1 3 −4 b1 1 3 −4 2f → 2f-3*1f 3 2 −6 b ⇒ ⇒ 0 −7 6 b2 − 3b1 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒ 2 3f → 3f+5*1f −5 −1 8 b3 0 14 −12 b3 + 5b1 b1 1 3 −4 ⇒ 0 −7 6 b2 − 3b1 0 −b1 + 2b2 + b3 0 0 Como podemos ver en la última fila hay valores de b que hacen que el sistema sea inconsistente b) Describa el conjunto de todos los posibles b para los que la ecuación sí es consistente. ¿Qué representa geométricamente dicho conjunto? El conjunto de todos los posibles b que hacen que la ecuación sea consistente es un plano en R 3 que pasa por el origen Problema 1.14 Escriba la solución de los siguientes sistemas en forma paramétrica vectorial indicando qué representan dichas soluciones geométricamente: x1 − 3x2 − 2 x3 = 0 (a) x2 − x3 = 0 −2 x + 3 x + 7 x = 0 1 2 3 1 −3 −2 x1 0 0 1 −1 x = 0 2 −2 3 7 x3 0 -.13.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES 1 −3 −2 0 1 -3 -2 0 0 1 −1 0 ⇒ 3f → 3f + 2 *1f ⇒ 0 1 -1 0 ⇒ 3f → 3f+3*2f ⇒ −2 3 7 0 0 -3 11 0 z libre 1 −3 −2 0 0 1 −1 0 ⇒ y−z =0→ y = z ⇒ 0 0 8 0 x − 3 y − 2 z = 0 → x = 3 y + 2 z z =ϕ y =ϕ x = 3ϕ + 2ϕ = 5ϕ x1 5 x = ϕ 1 2 x3 1 x1 + 2 x2 − 7 x3 = 0 (b) −2 x1 − 3x2 + 9 x3 = 0 − 2 x2 + 10 x3 = 0 2 −7 x1 0 1 −2 −3 9 x = 0 2 0 −2 10 x3 0 2 −7 0 1 1 2 -7 0 −2 −3 9 0 ⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒ 0 1 -5 0 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒ 0 −2 10 0 0 -2 10 0 z libre z=∂ 1 2 −7 0 ⇒ 0 1 −5 0 ⇒ y − 5z = 0 → y = 5z ⇒ y = 5∂ x = −3∂ x = 7z − 2 y 0 0 0 0 x1 −3 x = ∂ 5 2 x3 1 Problema 1.15 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1. Una ecuación homogénea es siempre consistente → VERDADERO porque al menos tiene una solución 2. Si el vector x = 0 es una solución de la ecuación Ax = b, entonces dicha ecuación es homogénea → FALSO porque el sistema es homogéneo cuando no presenta la solución trivial 3. Dada una ecuación homogénea Ax = 0, las soluciones no triviales son aquellas que no tienen ninguna componente nula → FALSO porque pueden -.14.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES tener alguna componente nula y que siga siendo la solución trivial, eso sí, no pueden tener todas las componentes nulas 4. La solución de una ecuación lineal Ax = b puede entenderse como una traslación de las soluciones de Ax = 0 → VERDADERO porque si Ax = 0 tiene una única solución, entonces el conjunto solución de Ax = b se obtiene trasladando el conjunto solución de Ax = 0 5. Si el sistema Ax = 0 tiene solución, entonces Ax = b debe, a su vez, tener solución (y consistirá en una mera traslación de la solución de Ax = 0) → FALSO porque el teorema dice puede no ser homogéneo o puede que no sea de la forma correcta 6. Siempre podemos encontrar un valor de b para el cual la ecuación lineal Ax = b es compatible → VERDADERO porque si Ax = b es consistente hay alguna solución fija que vendrá a ser la solución de la traslación 7. Si la solución de Ax = b puede escribirse paramétricamente como x = p + λv (p,v ≠ 0), entonces A tiene una y sólo una columna pivote → VERDADERO porque la solución general puede escribirse de varias formas y una de ellas es la forma paramétrica 8. Si la matriz ampliada del sistema Ax = b tiene dos pivotes (ninguno de los cuales se encuentra en la última columna), deben existir dos vectores p y q tales que cualquier solución del sistema x ∈ Gen{p,q} → FALSO porque la ecuación sólo tiene solución cuando b es es combinación lineal de las columnas de A 9. Si el sistema Ax = b tiene más de una solución, el sistema Ax = 0 también debe tener, necesariamente, más de una solución → FALSO porque sólo tiene la solución trivial NOTA: solución trivial = ( 0,0,0 ) Problema 1.16 Escriba la solución de los siguientes sistemas en forma paramétrica vectorial, indicando qué representan dichas soluciones geométricamente: x1 + 2 x2 − 7 x3 = 0 (a) −2 x1 − 3x2 + 9 x3 = 4 − 2 x + 10 x = −8 2 3 2 −7 0 1 1 2 -7 0 −2 −3 9 4 ⇒ 2f → 2f+2*1f ⇒ 0 1 -5 4 ⇒ 3f → 3f+2*2f ⇒ 0 −2 10 8 0 -2 10 8 1 2 −7 0 x1 = 7 x3 − 2 x2 ⇒ 0 1 −5 4 ⇒ x2 = 4 + 5 x3 0 0 0 0 x3 libre -.15.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES x1 −3x3 − 8 −8 −3 x = x2 = 5 x3 + 4 = 4 + x3 5 x3 x3 0 1 Representa la ecuación de una recta (b) x1 + 3 x2 = −1 en R 2 x −1 − 3x2 −1 −3 x = 1 = = + x2 1 x2 x2 0 Representa la ecuación de una recta (c) x1 + 3 x2 = −1 en R 3 x1 −1 −3 0 x = x2 = 0 + x2 1 + x3 0 x3 0 0 1 Representa la ecuación de un plano { Problema 1.17 Demuéstrese que cualquier conjunto de vectores a1 ,a 2 ,K ,a p } ∈ Rn es linealmente dependiente si p > n (Ayuda: Procédase de igual manera que si se conocieran los vectores a1,a2,...,ap) Imaginemos la matriz M que tiene dimensiones ( n x p ) y que p > n, entonces, hay más variables que ecuaciones por lo que habrá n – p variables libres (si no hay ecuaciones que sean combinación lineal una de otra) y, por lo tanto, será linealmente dependiente Problema 1.18 Sean tres vectores distintos v1, v2, v3 ∈ R 3 . Demuéstrese que si los extremos de los vectores caen en una línea (que no tiene por qué pasar por el origen), el conjunto { v1, v2, v3} es linealmente dependiente. ¿Es eso cierto si los vectores pertenecen a R 3 ? Para que 2 ó más vectores sean linealmente dependientes los vectores han de ser múltiplos de los otros. Pero en R 3 no ocurre exactamente así por lo que forman un plano. Aunque siguen siendo linealmente dependientes -.16.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES Problema 1.19 Razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas 1. Si el conjunto {a1,a2,a3,a4} de R 4 es linealmente independiente, entonces {a1,a2,a3} es también linealmente independiente → FALSO porque puede que sean combinaciones lineales de unos con otros por lo que serían linealmente dependientes 2. Si los conjuntos {a1,a2} y {a3,a4} de R 4 son linealmente independientes, entonces el conjunto {a1,a2,a3,a4} es también linealmente independiente → FALSO porque puede que exista alguna combinación lineal entre los vectores 3. Si el conjunto {a1,a2} es linealmente independiente, el conjunto {a1,a1 – a2} es también linealmente independiente → VERDADERO porque a1 – a2 no es combinación lineal de otro/s vectores 4. Lo anterior es sólo cierto en R 2 → FALSO porque trabajemos en la ℝn que sea una resta como es a1 – a2 nunca será un múltiplo y, por lo tanto, nunca habrá combinación lineal 5. Si x ∉ Gen{a1,a2,a3,a4} (es decir, x no es una combinación lineal de a1,a2,a3,a4), entonces {a1,a2,a3,a4,x} es un conjunto linealmente independiente de vectores → VERDADERO porque es verdadero cuando haya, al menos, un vector que sea combinación lineal de otro/s 6. El conjunto {0,a1,a2,a3,a4} es linealmente dependiente aunque {a1,a2,a3,a4} sea linealmente independiente → VERDADERO porque si contiene el vector 0 entonces el sistema es linealmente dependiente 7. Más de 4 vectores de R 4 tienen que ser linealmente dependientes → VERDADERO porque si un conjunto tiene más vectores que entradas por vector el sistema es linealmente dependiente 8. Sean a1,a2,a3 ∈ R m tales que Gen{a1,a2,a3} = R 3 , entonces m ≥ 3 → FALSO porque para que sean linealmente dependientes tiene que ser p > m y con lo cual m < 3 Problema 1.21 Sean 1 2 −1 A = 2 3 1 y b = 0 3 −8 5 9 4 Definimos la aplicación lineal T : R 3 → R 3 , como T ( x ) = Ax para todo vector x ∈ R 3 a) Encuéntrese x cuya imagen bajo T sea b Ax = b 1 2 −1 x1 5 2 3 1 x = 9 2 0 3 −8 x3 4 -.17.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES 1 2 −1 5 1 2 -1 5 2 3 1 9 ⇒ 2f → 2f-2*1f ⇒ 0 -1 3 -1 ⇒ 3f → 3f+3*2f ⇒ 0 3 −8 4 0 3 -8 4 1 2 −1 5 x1 = −2 −2 ⇒ 0 −1 3 −1 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 4 0 0 1 1 x3 = 1 1 La imagen de x bajo T es el vector b dado b) Determínese si la aplicación T es suprayectiva T es suprayectiva si cada b es la imagen de por lo menos una x c) Determínese si la aplicación T es inyectiva T también es inyectiva si cada b es la imagen de una y sólo una x Problema 1.22 Dada una transformación lineal T : R n → R m , cuya matriz estándar es A, razone si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas 1. Las dimensiones de A son m x n → VERDADERA, porque cuando hacemos r una transformación lineal lo que hacemos es asignar a cada vector x de R n un vector T(x) de R m 2. Si ej es la columna j-ésima de la matriz Im, la columna j-ésima de A resulta ser T(ej) → FALSO porque ej es la columna j-ésima de la matriz identidad en R n no en R m 3. Si todo x ∈ n tiene una imagen T(x), T es una aplicación suprayectiva → VERDADERO porque hay un teorema que asó lo afirma, diciendo que r r x →A x transformándose en R n, por lo tanto, es suprayectiva 4. Si dos vectores distintos x e y se transforman en el mismo vector (es decir, T(x) = T(y)), la aplicación T no puede ser inyectiva → FALSO porque para que sea inyectiva cada elemento perteneciente al conjunto donde esta T(x) y T(y) debe ser imagen de, al menos, 1 elemento 5. T puede ser, simultáneamente, suprayectiva e inyectiva → VERADERO porque para que sea suprayectiva debe existir, al menos, una solución por cada elemento mientras que para que sea inyectiva debe existir una única solución. Así pues, si tiene una solución T es suprayectiva e inyectiva. r r 6. Si T(0) = 0, la aplicación T es inyectiva → VERDADERO porque si T( x )= x se cumpliría 7. Las columnas de A deben ser linealmente independientes para que T sea inyectiva → VERDADERO porque no debe haber ninguna variable libre ya que si hubiera alguna sería linealmente dependiente 8. Si las columnas de A son linealmente dependientes, T no puede ser suprayectiva → FALSO porque al haber variables libres (y las hay siempre que son linealmente dependientes) se aseguran soluciones para el sistema -.18.- Tema 1: ECUACIONES LINEALES 9. A tiene m pivotes si y sólo si T es suprayectiva → FALSO porque puede ser inyectiva con m pivotes 10. A tiene n columnas pivote si y sólo si T es inyectiva → VERDADERO porque una función es inyectiva si cada elemento del conjunto imagen es imagen de alguna x del conjunto inicial 11. Si T es suprayectiva, debe verificarse que m ≤ n → FALSO porque no tiene porqué tener solución 12. Si m ≤ n, entonces T es suprayectiva → FALSO porque, al menos, debe haber una solución 13. Si T es inyectiva, debe verificarse que m ≥ n → VERDADERO porque dependiendo del sistema puede tener o no solución, si tiene solución, es única 14. Si m ≥ n, entonces T es inyectiva → VERDADERO porque T es siempre inyectiva si tiene una o ninguna solución y, en este caso, eso se cumple -.19.-