pOINTYNG

1
Temas teóricos
Electromagnetismo
Energía electromagnética. Vector de Poynting.
Lino
Spagnolo
Para los campos estáticos o cuasi estáticos se halló que las densidades de energía
almacenadas en los campos eran:
1 r r 1

u
=
D ⋅ E = εoE2
e

2
2

r r
u = 1 B ⋅ H = 1 µ H 2
o
 m 2
2
J
)
m3
J
( 3)
m
(
(01)
Para analizar el balance interno de energía en el caso de un campo
electromagnético general dado por las ecuaciones de Maxwell, en las cuales se
encontrarán corrientes variables y campos variables, la energía electromagnética total
almacenada en el sistema de campos eléctricos y magnéticos viene dada por:
W=
r r r r
1
1
(
D
⋅
E
+
B
⋅
H
)
dv
=
(ε E 2 + µ H 2 ) dv ( J )
∫
∫
2 v
2 v
(02)
Tanto los campos eléctricos como los magnéticos son funciones del tiempo y en
consecuencia la energía total también será una función del tiempo.
Esto significa que la energía es instantánea, variable en el tiempo. Su variación, o
disminución temporal, viene dada por la derivada, que para sistemas lineales,
homogéneos e isótropos, con ε y µ independientes del tiempo, viene dada por:
r
r
r dE
r
dW 1
dH
−
= ∫ ( −2 E ⋅ ε
− 2H ⋅ µ
) dv (W )
dt
2 v
dt
dt
(03)
Utilizando ahora las ecuaciones de Faraday y de Ampère-Maxwell
r
r
r
r

∂H
∂H
∴ µ
= −∇ × E
∇ × E = − µ
∂t
∂t
r
r

r
r
r
r
r
r
∂
E
∂
E
∇ × H = J + J = σ E + ε
∴ ε
= ∇ × H −σ E
C
D

∂t
∂t
(04)
Reemplazando en (03):
r
r
r
r
dW
= ∫ (σ E 2 dv − ∫ E ⋅∇ × H dv + ∫ H ⋅∇ × E dv
v
v
v
dt
r r
r r
dW
−
= ∫ ( E ⋅ J C ) dv + ∫ ∇ ⋅ ( E × H ) dv
v
v
dt
−
Potencia disipada por
Potencia irradiada.
(W )
(05)
2
Efecto Joule.
Y puesto que:
r
r r
r
r r
H ⋅ ∇ × E − E ⋅ ∇ × H = ∇ ⋅ (E × H )
(06)
Aplicando el teorema de Gauss a la potencia irradiada, se obtiene:
∫v
r r
∇ ⋅ ( E × H ) dv =
∫∫ S
r r
( E × H ) ⋅ nˆ dS
r r
r
(E × H ) = P
En la cual el producto vectorial:
(
(07)
W
)
m2
(08)
Es el denominado Vector de Poynting y que representa la densidad de flujo instantáneo
de la potencia irradiada a través de la superficie cerrada S .
La fórmula es conocida como Teorema de Poynting.
Considerando la fórmula (05), puede ponerse en la forma:
r r
r r
dW
(
E
J
)
dv
(
E
⋅
+
=
−
∫v C
∫∫ S × H ) ⋅ nˆ dS
dt
(09)
Que una forma de comprobar el cumplimiento del Principio de Conservación de la
Energía.
r
r
Si la integral del flujo del vector ( E × H ) es distinta de cero, su valor será igual a la
variación de la energía total, electromagnética más la perdida en calor, con el tiempo.
La primera integral es la energía que se pierde en calor, por efecto Joule, debido a los
choques internos de las partículas cargadas y en movimiento provocado por la densidad
r
de corriente J C .
Ello se debe a que si una partícula de masa m y carga
electromagnético estará sometida a una fuerza activa:
q
se halla en un campo
r
r r r
F = q( E + u × B)
Por lo cual su movimiento estará regido por la Ley de Newton:
r
r r r
du
m
= q( E + u × B)
dt
(10)
Por lo tanto la potencia en juego, o variación de la energía cinética, será:
r
dTcin
r du r r
r r r r
r r
= mu ⋅
= F ⋅ u = qu ⋅ ( E + u × B) = qu ⋅ E
dt
dt
Si tenemos en cuenta un grupo de partículas que forma una densidad de carga
variación de energía volumétrica será:
r r
dTcin
r
r r
qu se convierte en ρ v u = J ∴
= ∫ J ⋅ E dv
v
dt
(11)
ρv , la
(12)
3
El vector de Poynting es otra forma de ver que las ondas electromagnéticas transportan
energía a través del espacio desde un transmisor hasta un receptor.
r
r
r
El valor de la densidad de flujo de potencia instantáneo P = E × H es puntual
para cada punto del espacio de irradiación. Para hallar el valor de la potencia neta
irradiada se debe integrar el vector de Poynting a través de una superficie cerrada.
En el caso general se producen pérdidas en el dieléctrico por lo cual existe una
atenuación expresada a través de una constante de atenuación α que altera los campos
eléctricos y magnéticos de la forma:
r
E ( z , t ) = Eo e −α z cos(ωt − β z ) eˆx
r
E
H ( z , t ) = o e −α z cos(ωt − β z + θη ) eˆ y
(13)
η
Y el vector de Poynting es:
r r
r
E2
P = E x × H y = o e −2α z cos(ωt − β z ).cos(ωt − β z + θη )
η
El valor medio temporal, o promedio, de la potencia irradiada se calcula con:
r
r
r
1 T r
1
PPr o = ∫ P( z, t ) dt = Re ES × H S*
(14)
T 0
2
1
Teniendo en cuenta además que: cos A.cos B = ( cos( A − B ) + cos( A + B ) )
2
(
)
Reemplazando se obtiene:
r
r
r*
Eo2 −2α z
1
W
PPr o = Re ES × H S =
e
cos θη eˆz ( 2 )
2
2η
m
(
)
(15)
Mientras que la Potencia promedio temporal Total que atraviesa la superficie
será:
PPT =
∫∫ S
S
r
PPr o ⋅ nˆ dS (W )
Si el medio no tiene pérdidas, por ejemplo el vacío, el valor medio temporal, o
promedio, de la potencia irradiada es:
r
r
r*
Eo2
1
W
PPr o = Re ES × H S =
eˆz ( 2 )
2
2η
m
(
)
(16)
4
En el vacío, donde la conductividad σ = 0 , la potencia disipada por efecto
Joule es nula y por lo tanto toda la potencia que genera un foco puntual es irradiada, o
sea:
Wirr =
r
∫∫ S
r r
( E × H ) ⋅ nˆ dS = Po 4π r 2
r
Dado que E × H es constante sobre S por razones de simetría.
Luego la densidad de potencia irradiada para un radio r en el espacio tiene por valor:
Po =
Wirr W
( )
4π r 2 m 2
5
Integración del vector de Poynting – Valor medio.
La integración del vector de Poynting a través de una superficie S cerrada da el
valor de la potencia neta irradiada, que sale a través de esa superficie, y equivale al total
de la potencia generada menos la potencia perdida por efecto Joule.
Para el caso de un foco de radiación (antena), considerando el caso de ondas
planas (dado que las ondas esféricas se pueden considerar ondas planas a grandes
distancias del foco), los campos eléctricos y magnéticos generados tienen por valor:
r
E ( z , t ) = Eo e −α z cos(ωt − β z ) eˆx
r
E
H ( z , t ) = H o e −α z cos(ωt − β z − ϑη ) eˆ y = o e −α z cos(ωt − β z − ϑη ) eˆ y
η
En la cual
η =
Eo
(Ω )
Ho
es la impedancia intrínseca del medio, que en el vacío vale
η =
µo
= 120π (Ω) .
εo
El vector de Poynting instantáneo vale:
r r r E2
W
P = E × H = o e −2α z cos(ωt − β z ) cos(ωt − β z − ϑη )eˆz ( 2 )
η
m
r r r Eo2 −2α z
P = E×H =
e
[cos ϑη + cos(2ωt − 2β z − ϑη )]eˆz
η
1
cos A.cos B = [cos( A − B ) + cos( A + B )]
2
r
El valor medio o promedio temporal en un período de P , será:
Por las propiedades del coseno:
r
r
1 T r
W
2π
⟨ P⟩ = PPr om ( z ) = ∫ P( z , t ) dt ( 2 ) con T =
T 0
ω
m
(22)
Lo cual equivale a:
r
r
r*
r
Eo2 −2α z
1
W
⟨ P⟩ ( z ) = Re( Es × H s ) → ⟨ P⟩ ( z ) =
e
cos ϑη eˆz ( 2 ) (23)
2
2η
m
r
La ⟨ P⟩ ( z ) es una función vectorial de la potencia de Poynting que depende de la
posición pero, por ser un promedio temporal, es invariable en el tiempo. Es el valor de
densidad de potencia promedio que la onda como portadora lleva consigo o densidad de
potencia promedio que porta la onda.
6
Y la potencia promedio temporal total que atraviesa una superficie S será el flujo del
promedio del vector de Poynting a través de esa superficie:
r
r
PPt = ∫∫ PPr om ⋅ dS (W )
(24)
S
Es un escalar que mide la potencia de irradiación que atraviesa una superficie S.
Un ejemplo puede aclarar los conceptos.
Dada la onda de campo
r
V
E = 5sin(2π .107 t − 0,9.x) eˆz ( )
m
µ = µo y ε = ε oε r .
Hallar: 1. − ε r y η
en un medio en
que
r
2. − ⟨ P⟩ ( z )
3. − PPt = ∫∫
S
r
r
PPr om ⋅ dS (W )
que atraviesa una
S = 500 cm 2 del plano 2 x + y = 5
Solución. 1. − De la ecuación de onda se deduce que α = 0.
 β = 0,9
β = ω εµ con 
7
ω = 2π .10
β 1
βc
β = ω ε o µoε r ∴ ε r =
=
ω ε o µo
ω
Además
También:
β c 0,9 × 3.108
εr =
=
= 4, 24 → ε r = 18
ω
2π .107
µo 120π
µ
η=
=
=
= 88,9 Ω
ε
ε oε r
εr
r
2. − ⟨ P⟩ ( z ) . Cálculo del vector de Poynting:
r
E = 5sin(2π .107 t − 0,9.x) eˆz
r
5
H = − sin(2π .107 t − 0,9.x) eˆ y
η
r r r 25
P = E × H = sin 2 (2π .107 t − 0,9.x)eˆx
η
r
r
1 T r
1 T 25 2
⟨ P⟩ = PPr om ( z ) = ∫ P( z, t ) dt = ∫
sin (2π .107 t − 0,9.x)dteˆx
T 0
T 0 η
7
r
25 1 T
25 1
mW
2
7
ˆ
ˆ
ˆ
⟨ P⟩ =
sin
(2
π
.10
t
−
0,9.
x
)
dte
=
.
e
=
140,6
e
(
)
x
x
x
88,9 T ∫0
88,9 2
m2
3. − Cálculo del flujo del promedio del vector de Poynting a través de la superficie
r
S . PPt = ∫∫ PPr om ⋅ nˆ dS (W ) S = 500 cm 2 del plano 2 x + y = 5
S
Como la onda portadora tiene una potencia promedio temporal de
140,6 eˆx (
mW
)
m2
, que es realmente el flujo de potencia, la potencia total que atraviesa
la superficie S será la obtenida del cálculo
PPt .
∇f
2 iˆ + ˆj
=
∇f
5
r
2 iˆ + ˆj
Reemplazando: PPt = ∫∫ PPr om ⋅ nˆ dS = ∫∫ 140,6 eˆx ⋅
. dS
S
S
5
La normal a la superficie del plano es:
nˆ =
Al ser todas constantes pondremos:
PPt =140,6 eˆx ⋅
2 eˆx + eˆ y
5
.0,05 = 6, 29( mW )
Nota adicional.
La relación entre el electromagnetismo de los campos y la electrotécnica de los
circuitos con corrientes y tensiones no es tan inmediata. Pero como lo segundo puede
ser considerado un caso particular del primero y como además ambos enfoques
corresponden a una misma ciencia y a unas leyes comunes, es útil comparar como se
utilizan las ecuaciones y los conceptos en un caso y en el otro.
Sea el caso de un resistor
cilíndrico de radio a y longitud L , con
una conductividad σ , por el cual
circula una corriente I cuasi
estacionaria.
Analizar el balance de energía con
el vector de Poynting para llegar a
asimilar el fenómeno a una pérdida por
efecto Joule de valor
Pj = I 2 R.
Según lo visto anteriormente, las pérdidas por efecto Joule son:
8
r r
Po = ∫ E ⋅ J dv
(25)
v
Con v volumen de todo el espacio. Pero por tratarse de una corriente estacionaria, no se
produce el fenómeno de la radiación y toda la potencia contenida en los campos se
disipa en calor en el interior del resistor, por lo tanto el volumen a considerar es el solo
resistor.
r
r
r I
J = σ E y J = eˆz con S = π a 2
S
2
r r
J
dv '
Po = ∫ E ⋅ J dv = ∫
dv '2 = I 2 ∫
v
v' σ
v'σ S2
Dado que
(26)
Si tomamos el valor eficaz de la corriente y teniendo en cuenta que dv ' =
diferencial de volumen del resistor, la potencia disipada tendrá la forma:
Pj = I ef2
dv '
2
∫v ' σ S 2 = Ief
Pj =
L
dl
S dl
l
∫0 σ S = I ef σ S
I ef2
2
es el
(27)
R
Este enfoque corresponde a la teoría de circuitos, ¿pero que pasó con el vector
de Poynting y la potencia contenida en los campos?.
r
r
 r ∂D r ∂B 
−∫  E ⋅
+ H ⋅  dv
v
∂t
∂t 

r r r
Investigaremos primero el vector de Poynting: P = E × H
El campo eléctrico en el interior del resistor se vio que valía:
r
r J
I
E= =
eˆ
σ Sσ z
(28)
(29)
Para hallar el campo magnético en el interior del resistor es posible asimilarlo a un cable
coaxial. En tal caso se calculaba el campo H en el interior del conductor central con
una corriente I . El cálculo de H resulta:
r
Iρ
H=
eˆϕ
2π a 2
de dirección êϕ , tangente a la superficie lateral del resistor. El campo
superficie del resistor valdrá:
(30)
H
sobre la
r
I
H=
eˆϕ
2π a
(31)
Y el vector de Poynting será (en realidad coincide con el promedio del vector de
Poynting ya que los campos no son funciones del tiempo):
r r r
P = E×H =
I2
I2
ˆez × eˆϕ = −
eˆr
2π aSσ
2π aSσ
(32)
9
La dirección del vector de Poynting (o su promedio) es radial entrante a la superficie
lateral, por lo cual el flujo del vector de Poynting a través de la superficie lateral del
resistor que llamaremos S’, será:
ΦP =
∫∫ S '
r r
( E × H ) nˆ dS ' = −
I2
2π aSσ
∫∫ S ' dS '
I 2 2π aL
I 2L
ΦP = −
=−
= −I 2R
2π aSσ
Sσ
(33)
El cálculo del flujo medio se hace con los valores eficaces de la corriente:
PPt = ⟨Φ P ⟩ = − I ef2 R
(34)
El significado de estas ecuaciones es que la energía almacenada en los campos
es el flujo entrante del promedio del vector de Poynting, por la superficie lateral del
resistor y que se transforma totalmente en energía disipada por efecto Joule ya que no
hay energía de radiación por no ser variables los campos en el tiempo.
Existe un segundo caso muy importante de analizar pues da lugar a una
combinación novedosa de conceptos ya vistos.
Se tiene un capacitor plano de placas
circulares de radio a y distancia L entre ellas.
El dieléctrico es de permitividad ε y
circula una corriente cuasi estacionaria de baja
frecuencia pero que debe ser dependiente del
tiempo I (t ) para su efectiva circulación entre
las placas del capacitor.
Analizar el balance de energía en el
capacitor si se conoce la tensión entre las dos
placas:
V2 − V1 = ∆V( t )
El análisis circuital se centra en la potencia que entrega la fuente de tensión:
Po = − I .∆V = − I .V (W )
(35)
10
Donde se tiene que:
C=
∆Q
dQ
dV
d
→ I=
=C
= C (V )
∆V
dt
dt
dt
(36)
El cálculo de la capacidad de un capacitor plano nos da el valor:
C=
εS
L
∴ I=
επ a 2 d
L
dt
(V )
(37)
Por lo cual la potencia entregada valdrá:
Po = − I .V = −
επ a 2 d
2 L dt
(V 2 ) ∴ Po = −
d 1
( CV 2 )
dt 2
Se podrá despejar la potencia si se conoce alguna de las funciones V(t )
(38)
o I (t ) .
Se analizará ahora el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos en
el interior del capacitor.
El flujo del campo eléctrico viene dado por la ecuación de Maxwell:
r r Q
r Q
V
E
⋅
dS
=
∴
E
=
eˆz = eˆz
∫∫ S
ε
εS
L
(39)
El campo magnético en el interior del capacitor se calcula asimilándolo a un conductor
grueso en el cual se hace circular el campo H alrededor de una trayectoria cerrada
interior de radio ρ , tal como se ve en la figura. Por la ecuación de Maxwell:
r r
r I (t )
H
⋅
dl
=
I
∴
H
=
eˆϕ
(t )
∫l
2πρ
(40)
Pero también:
r
r
r r
r
∂D
H
⋅
dl
=
I
=
(
J
+
)
⋅
dS
(t )
∫l
∫∫S C ∂t
r
r
∂D
∂D r
En el capacitor sólo existe
por lo tanto: ∫∫
⋅ dS = I ( t )
S ∂t
∂t
(41)
(42)
Como S es constante y utilizando la fórmula (40):
I (t )
r
r
r
r
r I (t )
∂D
∂D S
∂D πρ 2
ρ ∂D
=
S ∴H =
eˆϕ =
eˆϕ =
eˆϕ =
eˆϕ
∂t
2πρ
∂t 2πρ
∂t 2πρ
2 ∂t
De la ecuación del campo eléctrico (39):
11
r r Q
r Q
V
ˆ
E
⋅
dS
=
∴
E
=
e
=
eˆz
z
∫∫ S
ε
εS
L
r ε ∂V πρ 2
ερ ∂V
H=
eˆϕ =
eˆϕ
2 L ∂t
L ∂t 2πρ
Además, como
Reemplazando:
dV
ε S επ a 2
I =C
y C=
=
dt
L
L
r ερ ∂V
ερ I
ρ I (t )
H=
eˆϕ =
eˆϕ =
eˆϕ
2 L ∂t
2L C
2 π a2
Para un punto interior de radio
El campo
convierte en
(43)
H
I (t )
π a2
ρ.
viene creado por la corriente de desplazamiento
(44)
r
∂D
∂t
que luego se
. En el caso del capacitor no hay potencia disipada por efecto Joule.
El vector de Poynting será ahora (que será realmente su promedio por ser los
campos cuasi estacionarios):
r r r V
ρ I (t )
ρ V I (t )
ˆ
P = E × H = eˆz ×
e
=
−
eˆr
ϕ
L
2 π a2
2 π La 2
(45)
La dirección del vector de Poynting es radial y entrante por la superficie lateral, por lo
cual el flujo del vector de Poynting ingresa a través de la superficie lateral del capacitor,
tomando ahora solamente la superficie lateral del capacitor de radio a como referencia,
será:
r r
a V I (t )
ˆ
×
=
−
(
E
H
)
n
dS
'
dS '
∫∫ S '
2 π La 2 ∫∫ S '
a V I (2π aL)
ΦP = −
= −V I Ver fórmula (38).
2 π La 2
ΦP =
(46)
Que es precisamente la potencia suministrada por la fuente que existe en el
campo en el interior del capacitor. En este caso no hay potencia disipada y toda la
potencia del flujo del promedio del vector de Poynting se concentra como potencia en
los campos
r
r
 r ∂D r ∂B 
−∫  E ⋅
+ H ⋅  dv
v
∂t
∂t 

existentes en el interior del capacitor.
(47)