Introducción Método del Área de Momento. Se utilizarán algunas propiedades geométricas de la curva de la elástica para así poder determinar tanto la pendiente como la deflexión de la viga en un punto cualquiera. En el presente trabajo podremos apreciar que en lugar de expresar el momento flector como una función M(x) e integrar esta función analíticamente, haremos el diagrama que representa la variación de M/EI a lo largo de toda la viga, además evaluaremos algunas áreas definidas por el diagrama así mismo los momentos de las mismas áreas. Este método del área de momento es un procedimiento que generalmente es muy útil cuando se desea obtener las pendientes y las deflexiones solamente en ciertos puntos seleccionados a lo largo de la viga. Se podría decir también que este método del área de momento es mucho más conveniente que el método de integración cuando la viga es sometida a varias cargas concentradas o a cargas distribuidas discontinuas y es particularmente efectivo cuando se trata de una viga de sección transversal variable. El método que estudiamos está basado en dos teoremas el cual detallaremos mas adelante pero que presentaremos a continuación: 1. El ángulo o cambio de pendiente entre las tangentes en dos puntos cualesquiera de una elástica continua es igual al área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos. 2. La distancia de un punto B” de una elástica continua medida perpendicularmente al eje primitivo AB a la tangente trazada por otro punto A” de dicha curva es igual al momento respecto a B del área del diagrama M/EI comprendida entre dichos puntos. Generalidades Objetivos El objetivo principal de estudiar y de aprender el método del área de momento es que el alumno esté en la capacidad de poder graficar correctamente los diagramas de momentos flectores. Además de que pueda calcular las pendientes y las deflexiones en cualquier punto de una viga. Justificación del trabajo Conocer la teoría o conceptos básicos del método del área de momentos para así poder dar solución a problemas relacionados con la pendiente y la deflexión en vigas. Analizar la curva elástica de la viga la que se deforma debido a las cargas existentes para así saber cómo diseñar estructuras considerando la deformación que pueda tener al ser sometido a cargas. MARCO TEORICO Un método muy útil y sencillo para determinar la pendiente y deflexión en las vigas es el Método del Área de Momentos, en el que intervienen el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por lo dos teoremas básicos de este método; luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación general de la elástica. Como en su utilización se ha de tener en cuenta la forma y relaciones geométricas en la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando. El método del área de momentos está sujeto a las mismas limitaciones que el de la doble integración. Sin embargo para verlo en su totalidad, como un conjunto completamente independiente, se repite una pequeña parte de lo dicho en la sección cualquiera. La figura 1-a representa una viga simplemente apoyada con una carga cualquiera. La Elástica, como intersección de la superficie neutra con el plano vertical que pasa por los centroides de las secciones, se representa en la figura 1-b, aun que sumamente exagerada. El diagrama de momentos se supone que es el representado en la figura 1-c. Al igual que en la deducción de la fórmula de la deflexión, dos secciones planas adyacentes, distantes una longitud dx sobre una viga inicialmente recta, giran un ángulo dθ una respecto a la otra. Se puede ver con más detalle en la parte CD ampliada en la figura 1-b. el arco ds medido a lo largo de la elástica entre las dos secciones es igual ρ dθ, siendo ρ el radio de curvatura de la elástica en ese punto. Se tiene la ecuación: Y como ds = ρ dθ, ahora escribimos: O bien: Figura 1. Teoremas del área de momentos En la mayoría de los casos prácticos, la elástica es tan llana que no se comete error apreciable suponiendo que ds es igual a su proyección dx. En estas condiciones, se tiene: (b) Evidentemente, dos tangentes trazadas a la elástica en C y D, como en la figura 1-b, forman el mismo ángulo dθ que el que forman las secciones OC y OD, por lo que la desviación angular, o ángulo entre las tangentes a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual a la suma de estos pequeños ángulos: (c) Obsérvese también, figura 1-b, que la distancia desde el punto B de la elástica, medida perpendicularmente a la posición inicial de la viga, hasta la tangente trazada a la curva por otro punto cualquiera A, es la suma de los segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt interceptados por las tangentes sucesivas trazadas a la elástica en puntos sucesivos. Cada uno de estos segmentos dt puede considerarse como un arco de radio x y ángulo dθ: dt = x dθ De donde Sustituyendo dθ por su valor en la ecuación (b) (d) La longitud tB/A se llama desviación de B con respecto a una tangente trazada por A, o bien, desviación tangencial de B con respecto a A. La figura 2 aclara la diferencia que existe entre la desviación tangencial tB/A de B respecto de A y la desviación tA/B de A con respecto a B. En general, dichas desviaciones son distintas. Figura 2. En general, tA/B no es igual a tB/A El significado geométrico de las ecuaciones (c) y (d) conduce a los dos teoremas fundamentales del método del área de momentos. En el diagrama de momentos flexionantes de la figura 1-c, se observa que M dx es el área del elemento diferencial rayado situado a distancia x de la ordenada que pasa por B. Ahora bien, como es la suma de tales elementos, la ecuación (c) se puede escribir en la forma: (1) Esta es la expresión algebraica del Teorema I, que se puede enunciar como sigue: Teorema 1: La derivación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualesquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos. La figura 6-8c muestra como la expresión x (M dx) que aparece dentro de la integral en la ecuación (d) es el momento del área del elemento rayado con respecto a la ordenada en B. Por tanto, el significado geométrico de la integral de x (M dx) es el momento con respecto a la ordenada en B del área de la porción del diagrama de momentos flexionantes comprendida entre A y B. Con ello la expresión algebraica es: TB/A = 1/EI *(área)AB XB El área bajo el diagrama de curvatura entre dos puntos A y B es igual al cambio en las pendientes entre esos dos puntos sobre la curva elástica. Ángulo tangente en B medido desde la tangente en A. Se mide en radianes. Áreas positivas indican que la pendiente crece. Teorema 2: La desviacion tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en direccion perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B delo área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B. El producto EI se llama rigidez a la flexión. Obsérvese que se ha supuesto tácticamente que E e I permanecían constantes en toda la longitud de la viga, que es un caso muy común. Sin embargo, cuando la rigidez es variable, no puede sacarse EI del signo integral, y hay que conocerla en función de x. tales variaciones suelen tenerse en cuenta dividiendo entre EI las ordenadas del diagrama de momentos para obtener de esta manera un diagrama de M/EI al que se aplican los dos teoremas, en vez de aplicarlos al diagrama de M. En los dos teoremas (área)AB representa el área de diagrama de momentos entre las ordenadas correspondientes a los puntos A y B, xB es el brazo de momento de ésta área con respecto a B. El momento de área se toma siempre respecto de la ordenada del punto cuya desviación se desea obtener. Por teoría de los ángulos pequeños tenemos: Si sumamos todos los desplazamientos verticales obtenemos la desviación vertical entre las tangentes en A y B. Momento de primer orden con respecto a A del área bajo la curva de entre A Y B. El teorema es: “La desviación de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B, es igual al momento del área bajo la curva M/EI entre los puntos Ay B con respecto a un eje A. Se cumple siempre cuando en la curva no haya discontinuidades por aarticulaciones.Esta desviación siempre es perpendicular a la posición original de la viga y se denomina flecha. Convencion de signos Los convenios de signos siguientes son de gran importancia: la esviacion tangencial de un punto cualquiera es positiva si el punto uqeda por encima de la tangente con respecto a la cual se toma esta desviación, y negativa si queda debajo de dicha tangente.
