2.
SEMANA 6
Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
MCD – MCM - FRACCIONES
1.
Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
P(x) x7 8x6 17x5 9x4 9x3 17x2 8x 1
Q(x) x5 5x4 x3 x2 5x 1
P(x)= 12x5 8x4 45x3 45x2 8x 12
Q(x)= 2x4 5x3 8x2 17x 6
A) x+1
C) (x-2)(2x-1)
E) (2x+3)(2x-1)
A) 3
D) 6
B) (x+1)(x-2)
D) 3x+2
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
Factorizando P(x)
1
-1
8 -45
-12
12
4
-4 -41
-45
8
41
-4
12
-1
4 -12
12
1
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1
0
10
7
1
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
c(x) 12x4 4x3 41x2 4x 12
1
1
c (x) x2 12 x2 2 4 x 41
x
x
1
1
x p x2 2 p2 2
x
x
2
2
c(x) x 12p 4p 65
c(x) 6p 13 2p 5
c(x) 6x2 13x 6 2x2 5x 2
8
0
Luego el cociente c(x)
C) 5
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
12
B) 4
E) 7
P(x) x 13x 22x 32x 1 x 2
Factorizando Q:
Q(x) 2x4 5x3 8x2 17x 6
Q(x) x 1 x 2 x 32x 1
1
1
1
c (x) x3 x3 3 7 x2 2 10 x 1
x
x
x
Haciendo:
1
1
m x2 2 m2 2
x
x
1
x3 3 m3 3m
x
x
P (x) x 1 x2 3x 1 x2 5x 1 x2 x 1
Factorizando Q(x) similarmente:
Q x x 1 x2 5x 1 x2 x 1
Por tanto:
MCM x 1 x2 5x 1 x2 x 1 x2 3x 1
Por tanto:
MCD(P,Q) x 1 x 2
RPTA.: B
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
3.
Halle el M.C.D. de:
RESOLUCIÓN
A x 4x4 4ax3 36a2 x2 44a3 x 16a4
Usando el método de Horner:
B x 6x4 6ax3 18a2 x2 30a3 x 12a4
A) 2 x a
B) x-a
C) x a
D) 2 x a
2
2
1 2
1
-2
-1
3
2
-4
1
3
Factorizando A por el aspa doble
especial:
A x 4 x4 ax3 9a2 x2 11a3 x 4a4
1
0 m-2=0 m 2
1 1
1
0
1
-2
x2
x2
1
-2
4a2
3ax
2 ax
n
2
2
1
a2
-2
2
E) x a²
RESOLUCIÓN
m
-4
n=4
0 n-4=0
Conclusión: m+n=6
Por tanto:
RPTA.: C
A(x) 4 x 4a x a
3
Similarmente
B x 6 x4 ax3 2a3x2 5a3x 2a4
x2
x2
5.
2a2
a2
ax
2 ax
Halle el MCD de los polinomios:
P(x) Xmn xm xn 1
Q(x) m n xmn1 mxm1 nxm1
Sabiendo que m;n;
B x 6 x 2a x a
m
n
3
Por consiguiente el MCD= 2 x a
3
RPTA.: D
A) xk 1
B) xm 1
C) xn 1
D) xk 1 1 E) xk 1 1
RESOLUCIÓN
4.
Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
A x 2x x 3x m
3
2
x
Q(x) nk n xnk n 1 nk xnk 1 n xnk 1
B) 5
E) 0
Similarmente:
x 2 . Halle “m+n”
A) 4
D) 7
P(x) xnk n xnk xn 1
P(x) xn 1 xnk 1
B x x3 x2 n , es:
2
Consideremos: m=nk
Entonces:
Q(x) nk n xnk 1 xn 1
C) 6
Por lo tanto:
M.C.D P(x),Q(x) xn 1
RPTA.: C
6.
Sean los polinomios:
7.
P(x) ax4 bx3 a c x2 bx c
Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
Q(x) 4ax3 4b 5a x2 4c 5b x 5c
A(x)
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
Los cuales verifican:
P(x) Q(x) MCD P Q
Calcule: "a b c "
A) 27
D) 125
B) 16
E) 9
2
M(x) x4 nx3 7n2 x2 n3x 6n4
N(x) x3 4nx2 n2 x 6n3
C) 64
RESOLUCIÓN
2
4c 4b x 4c.............................(1)
Por otro lado
polinomios
factorizando
3
Factorizando Q x :
Q(x) 4x 5 ax2 bx c
Por lo tanto:
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
MCD (M,N)= x2 nx 2n2
c
-1
Se pide el resto de la división:
x2 nx 2n2
R(x) 10n2
x 3n
RPTA.: D
Por lo tanto:
MCD= ax2 bx c
Desarrollamos
8.
2ac b x
MCD ax2 bx c
2
MCD
2
a2 x4 2abx3
2
2
2bcx c ...............................(2)
Comparando coeficientes de
1 y +2
a=1; b=4; c=4
a+b+c=9
RPTA.: E
Si
la
fracción
4x2 2x 3
se
2x2 x 1
transforma en otra equivalente
2
2
E) 12n2
N(x) x n x 2n x 3n
2
bx
ax2
2
ox
x
2
P(x) ax bx c x2 1
D) 10 n2
C) 6n2
M(x) x n x 3n x 2n x n
los
P(x) ax bx a c x bx c
4
B) 6n2
Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N).
Factorizando
los
polinomios
obtenemos.
ax b 4a x 4b 4a c x
3
A) 0
RESOLUCIÓN
Sumando P(x) Q x se obtiene:
4
M(x).N(x)
Halle el resto de
D(x)
A
B
C
donde A,B,C son
x 1 2x 1
constantes
reales.
Calcule:
A
3 B C
A) -1
B) 1
1
D)
3
5
E)
3
C) 3
Desarrollando
comparando
obtiene:
A=1; B= -2;
RESOLUCIÓN
Dividendo:
4x2 2x 3
5
2
2
2
2x x 1
2x x 1
5
2x 1 x 1
2
Descomponiendo
parciales
RPTA.: D
por
fracciones
10.
Halle: A + B + C
5
10
; c
3
3
A
2 5 10
3 B C 3 3 3 1
RPTA.: A
A= 2 ; B=
A) 1
D) 8
RPTA.: C
x 1
2
A) 2
D) -1
11.
B) -5
E) 0
Descomponiendo
parciales:
C) 1
4x3 x2 3x 2
x x 1
2
x2 x 1
2
Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
fracciones
P(x) x3 5x2 2x 8
Q(x) 2x2 mx 4 ;
A B
C
D
2
x x
x 1 x 12
Ax x 1 B(x 1) Cx x 1 Dx
2
en
Si la fracción se descompone en
fracciones parciales de la forma:
x2 1
A
Bx C
2
3
2
x 3x 3x 2 x 2 x x 1
RESOLUCIÓN
4x3 x2 3x 2
Comparando coeficientes se tiene
A=2
A B 5
B=3
A 2B C 9
C=1
A 2C 4
A+B+C=6
Halle: A+B+C+D
2
C) 6
5x 9x 4 A x2 x 1 Bx C x 2
4x3 x2 3x 2
x
B) 5
E) -5
RESOLUCIÓN
2
Sabiendo que A,B,C y D son los
numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser
descompuesta
la
siguiente
fracción:
2
Sabiendo que la fracción se
transforma en otra equivalente.
5x2 9x 4
A
Bx C
2
3
2
x 3x 3x 2 x 2 x x 1
Por tanto:
9.
C=3; D=-4
Por lo tanto:
A+B+C+D= -2
5
10
3
2
3
x
1
2x 1
y
luego
coeficientes
se
2
2
x2 x 1
m 9(A B C)
2
A) 4
D) 3
B) 2
E) 5
C) 3
2
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
x2 1 A B x2 A 2B C x A 2C
A B 1 , A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
2
B ,
3
2
A + B + C =
3
A
5
,
3
C
Si x=-1A=
3
2
Si x=-5C=
5
2
A+B+C=1=m
Entonces:
1
3
P(x) x3 6x2 11x 6
Q(x) x3 2x2 x 2
Por lo tanto: m= 6
Factorizando se tiene
Factorizando P (x) y Q(x)
Q(x) x 1 x 2 x 1
P(x) x 3 x 1 x 2
P(x) x 1 x 2 x 4
Q(x) 2 x 1 x 2
MCM P,Q = x 1 x 2 x 3 x 1
Grado =4
MCM = 2 x 1 x 4 x 2 x 2
RPTA.: B
Grado =3
RPTA.: A
12.
Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
x2 5
x3 8x2 17x 10
13.
Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x)
x
x
x
xd
(x a) (x b)(x c) x a x b x c
Calcule:
a2
b2
c2
p(a) p(b) p(c)
Luego se dan los polinomios:
P(x) x3 m 5 x2 11x 6
Q(x) x3 m 1 x2 x m 3
P(x) x x a x b x b x c x ax c
+x-d
C) 5
RESOLUCIÓN
Descomponiendo
parciales se tiene:
fracciones
x2 5
A
B
C
x 1 x 2 x 5 x 1 x 2 x 5
x2 5 A x 2 x 5 B(x 1) x 5 C x 1 x 2
Si x= -2B=-3
C) 0
Desarrollando se tiene:
Halle el grado del MCM
B) 4
E) 3
B) -1
E) 2
RESOLUCIÓN
siendo : m= A + B + C
A) 2
D) 6
A) -2
D) 1
Evaluando:
p(a) a(a b)(a c)
p(b) b(b a)(b c)
p(c) c(c a)(c b)
reemplazando en M:
a2
b2
c2
M
a a b a c b b ab c c(c a)(c b)
M=0
RPTA.: C
14.
Indicar la respuesta
luego de simplificar:
correcta,
1
1
a2 1
b2 c2
a2
1
1
b2 1
c2 a2
b2
1x
1 3x
1
1x
1 3
1 3x
E
1x
1
1
3x
13
1 x
1 3 1 3x
1
A) 1
D) 3x
B) x
E) -1
Entonces reemplazando en la
expresión:
c2 1
a2 1
b2 1
1
1
1
2
2
2
c
a
b
2c2 1
2a2 1
2b2 1
C) 2x
RESOLUCIÓN
Desarrollando
tiene:
el
numerador
se
16.
Si se verifica que:
2 a b 2ab a b a 1 b 1
ab a 2 ba b 2
b 1
a1
E
y el denominador :
8
2 6x
A) 1
D) 4
reemplazando y simplificando
E
2
2
2
ab
Simplificar:
1
1
1
1
1
1
2 1
2 1
2 1
2
2
2
a
b
b 2c
c 2a
2c2 1
2a 1
2b 1
D)
E
a b c
2
2
De la condición se tiene:
1
1
c2 1
a2 b2
c2
b a 1 2
2a
2b
a1 b 1
2
2a
2b
2
2
a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D
E) abc
RESOLUCIÓN
Entonces reemplazando en E
B) 1
2
a b 1 2
de la ecuación se tiene:
Si: ab bc ac abc
C) a2 b2 c2
C) 3
b 1
a1
2
2
E a
b
b 1
a1
RPTA.: B
A) 0
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
8x
2 6x
E
x
8
2 6x
2
RPTA.: B
Simplificar:
8x
2 6x
15.
1
1
1
2 2 1
2
c
a
b
17.
Simplificar la siguiente expresión
y halle:
a
c
a a c a3 c3
c
1 c
.
. 1
2
2 2
2
c
a ac c a b bc a c
2
c 1 c a
bc
A) 1
D) -2
B) 2
E) 3
C) -1
RESOLUCIÓN
a a c a c a2 ac c2
.
2
2
a ac c b a c a c
c c2 a
bc
a a c c2 a c
.
b a c a c c
2
c c2 a
bc
abc c2 a c
cb a c c c a
2
Desarrollando:
c 1
. 1
1
a c c
2 19.
2
p2x2 2m2xy m2y2
toma un valor constante k.
k 0 , para todo valor de x,y;
xy 0 , Halle:
a2 b2 p2 m2
en términos de
a2 b2 p2 m2
k.
2
a
2
ac
a
2
c
A)
B)
C) k+1
RESOLUCIÓN
x 1
x 1
2
2 1
1
1
x 1
x 2
x 1
1
1
x
x 1
x 1
x 1
x 1
ax by
2
k p2x2 2m2xy m2y2
a x 2abxy b y k p x 2m xy m y
2 2
2 2
2 2
2
2 2
Comparando coeficientes:
a2 kp2 ; b2 km2; ab km2
Entonces reemplazando en:
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
a2 b2 p2 m2 kp2 km2 p2 m2
Se obtiene:
A) 1
B) x2 x 1
C) x2 x 1
D) x4 x2 1
RESOLUCIÓN
k2 1
k2 1
E) k2 1
k 1
k 1
D) k-1
Al reducir la expresión:
E) x4 x2 1
Sabiendo que la fracción:
ax by
RPTA.: D
18.
2x2
x 1
x 1
x 1
x 1 x4 1
x 1
x 1
x2
x2
x2
x2
2x2
2
2
4
x 1 x 1 x 1
2x2
2x2
1
4
4
x 1 x 1
RPTA.: A
m2 p2 k 1
a2 b2 p2 m2
a2 b2 p2 m2
m2 p2 k 1
a2 b2 p2 m2 k 1
a2 b2 p2 m2 k 1
RPTA.: A
20.
Simplificar:
ax ax 1 ax 2 ax 3 1
1 ax 1 2ax 1 3ax a4x4
a x
a 2x
a
E)
x
ax 1
ax 2
A)
B)
D) 1
C)
xa
x 2a
RESOLUCIÓN
Haciendo: ax=m
m m 1 m 2 m 3 1
1 m 1 2m 1 3m m4
Agrupando:
m
2
2m
2
3m m2 3 2 1
3m 1 3m 1 m4
Factorizando:
m
m
2
2
3m 1
3m 1
2
2
1
RPTA.: D
0
