CEPREUNAC 2007 Álgebra Semana 6

2.
SEMANA 6
Indicar el grado del M.C.M. de los
polinomios P(x) y Q(x) , donde:
MCD – MCM - FRACCIONES
1.
Halle el MCD de los polinomios
P(x) y Q(x).
P(x)  x7  8x6  17x5  9x4  9x3  17x2  8x  1
Q(x)  x5  5x4  x3  x2  5x  1
P(x)= 12x5  8x4  45x3  45x2  8x  12
Q(x)= 2x4  5x3  8x2  17x  6
A) x+1
C) (x-2)(2x-1)
E) (2x+3)(2x-1)
A) 3
D) 6
B) (x+1)(x-2)
D) 3x+2
Factorizando P (x); el polinomio es
recíproco.
Factorizando P(x)
1
-1
8 -45
-12
12
4
-4 -41
-45
8
41
-4
12
-1
4 -12
12
1
17
9
-1
-7
-10
7
10
-1
9
17
8
1
1 -10
-7
-1
0
10
7
1
el polinomio cociente es reciproco
también, pero de grado par:
c(x)  12x4  4x3  41x2  4x  12
 

1 
1

c (x)  x2 12  x2  2   4  x    41
x
x 

 

1
1
x   p  x2  2  p2  2
x
x
2
2
c(x)  x 12p  4p  65
c(x)  6p  13 2p  5

c(x)  6x2  13x  6 2x2  5x  2

8
0
Luego el cociente c(x)

C) 5
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
12
B) 4
E) 7
P(x)   x  13x  22x  32x  1 x  2
Factorizando Q:
Q(x)  2x4  5x3  8x2  17x  6
Q(x)   x  1 x  2 x  32x  1

1
1
1 


c (x)  x3  x3  3   7  x2  2   10  x   1 
x 
x 
x 



Haciendo:
1
1
 m  x2  2  m2  2
x
x
1
x3  3  m3  3m
x
x

 P (x)   x  1  x2  3x  1 x2  5x  1 x2  x  1
Factorizando Q(x) similarmente:



Q  x    x  1 x2  5x  1 x2  x  1
Por tanto:




MCM   x  1 x2  5x  1 x2  x  1 x2  3x  1
Por tanto:
MCD(P,Q)   x  1  x  2
RPTA.: B
Gº = 1 + 2 + 2 + 2 = 7
RPTA.: E
3.
Halle el M.C.D. de:
RESOLUCIÓN
A  x   4x4  4ax3  36a2 x2  44a3 x  16a4
Usando el método de Horner:
B  x   6x4  6ax3  18a2 x2  30a3 x  12a4
A) 2  x  a
B) x-a
C)  x  a
D) 2  x  a
2
2
1 2
1
-2
-1
3
2
-4
1
3
Factorizando A por el aspa doble
especial:

A  x   4 x4  ax3  9a2 x2  11a3 x  4a4
1
0 m-2=0  m  2
1 1
1
0
1
-2
x2
x2
1
-2

4a2
 3ax
 2 ax
n
2
2
1
a2
-2
2
E) x  a²
RESOLUCIÓN
m
-4
n=4
0 n-4=0
Conclusión: m+n=6
Por tanto:
RPTA.: C
A(x)  4  x  4a  x  a
3
Similarmente
B  x   6 x4  ax3  2a3x2  5a3x  2a4

x2
x2
5.

2a2
a2
ax
2 ax
Halle el MCD de los polinomios:
P(x)  Xmn  xm  xn  1
Q(x)  m  n xmn1  mxm1  nxm1
Sabiendo que m;n;
B  x   6  x  2a  x  a
m

n

3
Por consiguiente el MCD= 2  x  a
3
RPTA.: D
A) xk  1
B) xm  1
C) xn  1
D) xk 1  1 E) xk 1  1
RESOLUCIÓN
4.
Sabiendo que el M.C.D. de los
polinomios:
A  x   2x  x  3x  m
3
2
x


Q(x)  nk  n xnk  n 1  nk xnk 1  n xnk 1

B) 5
E) 0

Similarmente:
 x  2 . Halle “m+n”
A) 4
D) 7
P(x)  xnk n  xnk  xn  1
P(x)  xn  1 xnk  1
B  x   x3  x2  n , es:
2
Consideremos: m=nk
Entonces:


Q(x)  nk  n xnk 1 xn  1
C) 6
Por lo tanto:
M.C.D P(x),Q(x)  xn  1
RPTA.: C
6.
Sean los polinomios:
7.
P(x)  ax4  bx3   a  c  x2  bx  c
Sea D(x) el Mínimo común
múltiplo de los polinomios M(x) y
N(x) si:
Q(x)  4ax3  4b  5a x2  4c  5b  x  5c
A(x) 
dividir A(x) entre (x-3n), sabiendo
que:
Los cuales verifican:
P(x)  Q(x)  MCD P  Q
Calcule: "a  b  c "
A) 27
D) 125
B) 16
E) 9
2
M(x)  x4  nx3  7n2 x2  n3x  6n4
N(x)  x3  4nx2  n2 x  6n3
C) 64
RESOLUCIÓN
2
  4c  4b  x  4c.............................(1)
Por otro lado
polinomios
factorizando
3



Factorizando Q  x  :

Q(x)  4x  5 ax2  bx  c
Por lo tanto:
MCD (M,N)= (x-n) (x+2n)
MCD (M,N)= x2  nx  2n2
c
-1
Se pide el resto de la división:
x2  nx  2n2
 R(x)  10n2
x  3n
RPTA.: D

Por lo tanto:
MCD= ax2  bx  c
Desarrollamos

8.

 2ac  b  x
MCD  ax2  bx  c
2
MCD
2
 a2 x4  2abx3
2
2
2bcx  c ...............................(2)
Comparando coeficientes de
1 y +2
a=1; b=4; c=4
a+b+c=9
RPTA.: E
Si
la
fracción
4x2  2x  3
se
2x2  x  1
transforma en otra equivalente
2
2

E) 12n2
N(x)   x  n  x  2n  x  3n
2
bx
ax2
2
ox
x
2
P(x)  ax  bx  c x2  1
D) 10 n2
C) 6n2
M(x)   x  n  x  3n  x  2n  x  n
los
P(x)  ax  bx   a  c  x  bx  c
4
B) 6n2
Como D(x) es MCM entonces A (x)
representa MCD (M.N).
Factorizando
los
polinomios
obtenemos.
ax  b  4a x   4b  4a  c  x 
3
A) 0
RESOLUCIÓN
Sumando P(x)  Q  x  se obtiene:
4
M(x).N(x)
Halle el resto de
D(x)
A

B
C

donde A,B,C son
x  1 2x  1
constantes
reales.
Calcule:
A

 3  B  C


A) -1
B) 1
1
D)
3
5
E)
3
C) 3
Desarrollando
comparando
obtiene:
A=1; B= -2;
RESOLUCIÓN
Dividendo:
4x2  2x  3
5
2
2
2
2x  x  1
2x  x  1
5
2x  1  x  1
 2
Descomponiendo
parciales
RPTA.: D
por
fracciones
10.
Halle: A + B + C
5
10
; c
3
3
A
 2 5 10
 3  B  C   3  3  3  1


RPTA.: A
A= 2 ; B=
A) 1
D) 8
RPTA.: C
 x  1
2
A) 2
D) -1
11.
B) -5
E) 0
Descomponiendo
parciales:
C) 1
4x3  x2  3x  2
x  x  1
2
x2  x  1
2

Halle el grado del MCM de los
polinomios P y Q.
Donde:
fracciones
P(x)  x3  5x2  2x  8
Q(x)  2x2  mx  4 ;
A B
C
D
 2 

x x
x  1  x  12
Ax  x  1  B(x  1)  Cx  x  1  Dx
2

en
Si la fracción se descompone en
fracciones parciales de la forma:
x2  1
A
Bx  C

 2
3
2
x  3x  3x  2 x  2 x  x  1
RESOLUCIÓN
4x3  x2  3x  2

Comparando coeficientes se tiene
A=2
A B 5
B=3
A  2B  C  9
C=1
A  2C  4
 A+B+C=6
Halle: A+B+C+D
2

C) 6
5x  9x  4  A x2  x  1  Bx  C   x  2
4x3  x2  3x  2
x
B) 5
E) -5
RESOLUCIÓN
2
Sabiendo que A,B,C y D son los
numeradores de las fracciones
parciales en que puede ser
descompuesta
la
siguiente
fracción:
2
Sabiendo que la fracción se
transforma en otra equivalente.
5x2  9x  4
A
Bx  C

 2
3
2
x  3x  3x  2 x  2 x  x  1
Por tanto:
9.
C=3; D=-4
Por lo tanto:
A+B+C+D= -2
5
10
3
2
 3
x

1

 2x  1

y
luego
coeficientes
se
2
2
x2  x  1
m  9(A  B  C)
2
A) 4
D) 3
B) 2
E) 5
C) 3
2
RESOLUCIÓN
Desarrollando fracciones parciales
x2  1   A  B x2   A  2B  C  x  A  2C
A  B  1 , A+ 2B + C = 0,
A + 2C = 1
2
B ,
3
2
A + B + C =
3
A

5
,
3
C
Si x=-1A=
3
2
Si x=-5C=
5
2
A+B+C=1=m
Entonces:
1
3
P(x)  x3  6x2  11x  6
Q(x)  x3  2x2  x  2
Por lo tanto: m= 6
Factorizando se tiene
Factorizando P (x) y Q(x)
Q(x)   x  1  x  2  x  1
P(x)   x  3  x  1  x  2
P(x)   x  1  x  2  x  4
Q(x)  2  x  1  x  2

MCM P,Q  =  x  1 x  2 x  3 x  1
Grado =4
MCM = 2  x  1  x  4  x  2  x  2
RPTA.: B
Grado =3
RPTA.: A
12.
Al descomponer la expresión en
fracciones parciales se tiene los
numeradores A, B y C:
x2  5
x3  8x2  17x  10
13.
Si: a,b,c, son números diferentes
y:
P(x)
x
x
x



 xd
(x  a) (x  b)(x  c) x  a x  b x  c
Calcule:
a2
b2
c2


p(a) p(b) p(c)
Luego se dan los polinomios:
P(x)  x3  m  5 x2  11x  6
Q(x)  x3  m  1 x2  x  m  3
P(x)  x  x  a x  b   x  b x  c    x  ax  c 
+x-d
C) 5
RESOLUCIÓN
Descomponiendo
parciales se tiene:
fracciones
x2  5
A
B
C



 x  1 x  2 x  5 x  1 x  2 x  5
x2  5  A  x  2 x  5  B(x  1)  x  5  C  x  1 x  2
Si x= -2B=-3
C) 0
Desarrollando se tiene:
Halle el grado del MCM
B) 4
E) 3
B) -1
E) 2
RESOLUCIÓN
siendo : m= A + B + C
A) 2
D) 6
A) -2
D) 1
Evaluando:
p(a)  a(a  b)(a  c)
p(b)  b(b  a)(b  c)
p(c)  c(c  a)(c  b)
reemplazando en M:
a2
b2
c2
M


a  a  b  a  c  b b  ab  c  c(c  a)(c  b)
M=0
RPTA.: C
14.
Indicar la respuesta
luego de simplificar:
correcta,
1
1
a2  1


b2 c2
a2
1
1
b2  1


c2 a2
b2
1x
1  3x
1
 1x 
1  3

 1  3x 
E

1x 
 1

1

3x


13

 1  x 
1  3  1  3x  



1
A) 1
D) 3x
B) x
E) -1
Entonces reemplazando en la
expresión:
c2  1
a2  1
b2  1
1
1
1
2
2
2
c
a
b


2c2  1
2a2  1
2b2  1
C) 2x

RESOLUCIÓN
Desarrollando
tiene:
el
numerador
se
16.
Si se verifica que:
2  a  b  2ab   a  b  a  1 b  1
ab  a  2 ba  b  2

b 1
a1
E
y el denominador :
8
2  6x
A) 1
D) 4
reemplazando y simplificando
E
2
2
2
ab 
Simplificar:
1
1
1
1
1
1
 2 1
 2 1
 2 1
2
2
2
a
b
 b 2c
 c 2a
2c2  1
2a  1
2b  1
D)
E
a b c
2
2
De la condición se tiene:
1
1
c2  1


a2 b2
c2
b  a  1  2
2a
2b

a1 b 1
2
2a
2b
2
2



a1 b 1 b 1 a1
E=4
RPTA.: D
E) abc
RESOLUCIÓN

Entonces reemplazando en E
B) 1
2
a b  1  2
de la ecuación se tiene:
Si:  ab   bc    ac    abc 
C) a2  b2  c2
C) 3
b 1
a1
2
2
E  a
b
b 1
a1
RPTA.: B
A) 0
B) 2
E) 5
RESOLUCIÓN
8x
2  6x
E
x
8
2  6x
2
RPTA.: B
Simplificar:
8x
2  6x
15.
1
1
1
 2  2 1
2
c
a
b
17.
Simplificar la siguiente expresión
y halle:
a
c
 a  a  c    a3  c3  
c
1 c
.
. 1

 2
2  2
2 
c 
 a  ac  c   a b  bc   a  c
2
c 1  c   a
bc
A) 1
D) -2
B) 2
E) 3
C) -1
RESOLUCIÓN

 a  a  c     a  c  a2  ac  c2

.
2
2
 a  ac  c   b  a  c   a  c 


c  c2  a
bc
a  a  c  c2  a  c
.
b a  c  a  c c
2
c  c2  a
bc

abc c2  a  c



cb  a  c  c  c  a

2
Desarrollando:
  
c 1 
. 1
 1
  a  c c 

 2 19.
2
p2x2  2m2xy  m2y2
toma un valor constante k.
k  0 , para todo valor de x,y;
xy  0 , Halle:
a2  b2  p2  m2
en términos de
a2  b2  p2  m2
k.
2
a
2
ac
a
 2
c
A)
B)
C) k+1
RESOLUCIÓN






x 1
x 1

 2


 2 1
1
1
x 1
x  2
x 1
1
1 
x


x 1
x 1

x 1
x 1
ax  by 
2

 k p2x2  2m2xy  m2y2


a x  2abxy  b y  k p x  2m xy  m y
2 2
2 2
2 2
2
2 2
Comparando coeficientes:
a2  kp2 ; b2  km2; ab  km2
Entonces reemplazando en:
a2  b2  p2  m2 kp2  km2  p2  m2

a2  b2  p2  m2 kp2  km2  p2  m2
Se obtiene:
A) 1
B) x2  x  1
C) x2  x  1
D) x4  x2  1
RESOLUCIÓN
k2  1
k2  1
E) k2  1
k 1
k 1
D) k-1
Al reducir la expresión:
E) x4  x2  1
Sabiendo que la fracción:
 ax  by 
RPTA.: D
18.



 2x2
x 1
x 1



x  1
x  1  x4  1



x 1
x 1


x2
x2 
 x2
x2 
2x2
 2
 2
 4
 x  1 x  1 x  1
 2x2 
2x2

1
 4

4
 x  1 x  1
RPTA.: A





m2  p2 k  1
a2  b2  p2  m2

a2  b2  p2  m2
m2  p2 k  1
a2  b2  p2  m2 k  1

a2  b2  p2  m2 k  1
RPTA.: A
20.
Simplificar:
ax  ax  1  ax  2  ax  3  1
1  ax  1  2ax  1  3ax   a4x4
a x
a  2x
a
E)
x
ax  1
ax  2
A)
B)
D) 1
C)
xa
x  2a
RESOLUCIÓN
Haciendo: ax=m
m m  1 m  2 m  3  1
1  m 1  2m 1  3m  m4
Agrupando:
m
2
2m
2


 3m m2  3  2  1

 3m  1 3m  1  m4
Factorizando:
m
m
2
2

 3m  1
 3m  1
2
2
1
RPTA.: D