CEPREUNAC 2007 Álgebra Semana 2

SEMANA 2
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
1.
Sea el polinomio:
P(X) = (xn1 + 2xn2 + n)n, si 2n
veces su término independiente es
igual
a
la
suma
de
sus
coeficientes, entonces “n” es:
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
M x 

C) 3
4.
T.I. = P(o) = nn
 coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
2n 4
2
x4
2

x10n4
x4n8
M(x) = x6n  22 = x2  6n  22 = 2
RPTA.: A
a
b
c


ab bc ac
Halle el grado absoluto de:
Si:
ab2 c2
2
x9a y8ac z8bc
transformable a una E.A.R.E.
RPTA.: C
A) 3
D) 7
B) 4
E) 8
C) 5
Calcule “m” si la expresión:
M x 
m
x
m
x²
m
m
x³
RESOLUCIÓN
xm
El G.A. =
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8
D) 11
B) 9
E) 12
M x 
m
M X  x
123....m
C) 10
x
m1
2

m
 m1 
m

 2 
x
Propiedad de proporciones:
abc
1

2 a  b  c  2
x


n 2
A) 4
D) 8

3
x
x 
n
x
x 
2n3
2
B) 5
E) 9
RESOLUCIÓN
4
2
4
a
1
 abck
ab 2
Lo reemplazamos en “”
9a²  8a²  8a² 25a²
G.A. 

5
4a²  a²
5a²
RPTA.: B
Calcule “n” para que el monomio
sea de 2º grado.
M x 

 x5
m=9
RPTA.: C
5.
Si: P(x+5) = x²  3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0
D) 3
2
C) 6
9a²  8ac  8bc
.....   
 a  b ²  c²
de la condición:
a
b
c


k
ab bc ac
RESOLUCIÓN
3.
x
E  x;y;z  
 2n . nn = (3 + n)n
 2n = 3 + n  n = 3



3n6 2n3
n=4
RESOLUCIÓN
2.
x

B) 1
E) 7
C) 2
RESOLUCIÓN
E = 3²  3(3) + 1 + 1  3 + 1
E=0
RPTA.: A
6.
A) 12
D) 11
Del siguiente polinomio
P(x; y) = 7xa+3yb2z6a+5xa+2yb3za+b
B) 7
E) 12
G.A. =
C) 8

7.
 n = 12
RPTA.: A
RPTA.: E
9.
 
A) 1
1
D)
2
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
B) 18
E) 33
Calcule “n” si el monomio es de
4to. grado M x  
P P x  P6X  9x  21
C) 19
x
n
x2
B) 3
1
E)
3
3
x
C) 2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN

30n  60 + 40n + 60  24n  192 = 360
46n = 552
G.A(P) = a+b+1
Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
A) 17
D) 32
2n  4 2n  3 2n 16



6
4
3
5
5
46n = 360 + 192
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3
G. Ry = b  2
 a + b = 12
C) 14
RESOLUCIÓN
en donde:
G.Rx  G.Ry = 3  G.A(P) = 13
Calcule: a + b
A) 6
D) 11
B) 13
E) 10
M x  
Sea P(x) = ax + b  P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
(a²  6a)x + ab = 9x + 21

a²  6a = 9  ab = 21
2n
x²
6n
x
1 1 1
 
n 6n
M x   x 2
Luego:
a²x + ab + b  6ax  b = 9x+21

x

1 1 1
 
4
2 n 6n
3n + 6 + 1 = 24n
(a3)² = 0

a=3

3b = 21
b=7
Entonces: P(x) = 3x + 7
 P(4) = 3(4) + 7 = 19
RPTA.: C
8.
Calcule “n”, si
monomio es 6.
M  x;y;z;w  
4
el
G.A.
x2n4
3
z2n3
y2n
5
w16
5
del

7 = 21n
n=
1
3
RPTA.: E
10.
Si: P x  
nx  1
x8
Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
A) 1
B) 8
D) 8
E) 5
C) 
1
8
A) 7
D) 12
RESOLUCIÓN
 
P p x 
n

2

C) 9
 1 x  n  8
n  8 x  65
RESOLUCIÓN
n

3
n3n=3
n30
como es independiente de “x” se
cumple:
n²  1 n  8

 65n² + 65 =
n8
65
n²  16n + 64


 7n  0
n7
n=6

64n² + 16n + 1 = 0
n=3

n=6
  de "n"  9
8n
1n=
8n
1
1
8
RPTA.: C
13.
RPTA.: C
11.
B) 8
E) 13
Sabiendo que:
P  x;y   5xm2yn²5 
Q  x;y  
2xn5ym 4
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
    27x  52
Si: P P P x
Calcule: P(1)
A) 1
D) 5
B) 4
E) 1
A) 1
D) 8
C) 4
Si: P(x; y)  Q(x; y)
  
P P P x 
es
lineal,
entonces: P(x) es lineal. Luego



P(x) = ax + b

m  2 = n + 5  m  n = 7 ....()
n² + 5 = m+4  n²m = 1 ...()
 + : n²  n  6= 0
n = 3  n = 2
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b

C) 5
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Como
B) 3
E) 13
a=3

Luego:
n=3
 m = 10
n = 2
m=5
 menos: m + n = 3
b=4
 P(x) = 3x + 4
P(1) = 3 + 4 = 1
RPTA.: B
RPTA.: E
14.
12.
Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
n
1
P x  2xn3  73 x  x7n  6 sea
3
racional entera.
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(1)) + P(P(1))
A) 0
D) 729
B) 3
E) 730
C) 728
17.
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³  P(1)=0  P(P(1)) = 1
P(1) = (2)³ = 8 
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
 P(P(1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
B) 13
E) 18
B)
1
1
y
2
4
E) 0 y 1
C)
Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya
es
homogéneo
ordenado
y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17
D) 16
1 1
y
2 3
1
D) 1 y
4
A) 1 y 3
RPTA.: E
15.
Halle a y b en la identidad:
b4ax7  bby8  abx7  aay8
RESOLUCIÓN
aa = bb 
b
a  b a ...   
C) 15
ab = b4a  b = 2a

1
1
 b
4
2
a=
RESOLUCIÓN

Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
16.
Calcule “m” si el polinomio
18.
RPTA.: A
2n
P x  7xn
n1
x
8n
 6x
n
n1
1
3
D) 
m²m3
 ...  x
1
2
1
E) 
3
B) 
2
3
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn términos.
RESOLUCIÓN
A) 4
D) 7
Luego:
B) 5
E) 8
C) 6
P(3) =
Es
ordenado
ascendente:
en
forma
2 1  


RPTA.: A
2
7
8
1
1
2   2n  23
8
1
n  
3
RPTA.: E
Px  7x0  6x  5x²  x³  ...xm³m3
El número de términos es:
m²  m + 3 + 1
m²  m + 4 = 4nn
m²  m + 4 = 16
m²  m  12 = 0
m=4
n
n

n2n  8n = 0  n = 2
Luego:
n
1
2
C)
xn + 1 = 3  xn = 2  x =
RESOLUCIÓN

Siendo: P(xn + 1) = x  1
7
Halle: “n”, si: P(3) = 
8
A)
 5x2n2 
RPTA.: C
19.
Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x  1)n+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
Calcule el valor de:
A) 6
D) 12
B) 5
E) 3
10  n
C) 4
RESOLUCIÓN
 coef  P 1  2
n

 5  1  70
2n = 64  n = 6
 10  6  4
RPTA.: C
20.
Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4  7ax5 + (n2)x74x  1
Calcule el valor de: nn
A) 1
D) 25
B) 4
E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN

Por ser mónico y de una variable
“x” (coeficiente principal = 1)
(n  2) = 1  n = 3
Luego nos piden: nn = 33 = 27
RPTA.: C