Solución a un sistema de tres ecuaciones lineales

MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias
incógnitas.
Trabajaremos sistemas con dos ecuaciones y dos incógnita (llamados 2x2) y con 3
ecuaciones y 3 incógnitas (3x3)
Una solución al sistema corresponde a un valor para cada incógnita, de modo que
al remplazarlas en las ecuaciones se satisface la igualdad. Expresaremos las
soluciones de un sistema de ecuaciones como pares ordenados (x, y) o (x,y,z)
según sea el caso.
Cada ecuación en un sistema se representa por medio del gráfico de una línea recta.
Técnicas de resolución de sistemas de 2x2
1) Resolución Gráfica:
Para resolver un sistema de ecuaciones por el método gráfico debemos de:
Sea el sistema:
{
3𝑥 + 𝑦 = 4
−𝑦 + 2𝑥 = 1
Primero, se despeja la incógnita y para escribirlo en la forma de una ecuación
principal, como sigue:
L1: y = –3x + 4
L2: y = 2x – 1
Para trazar las rectas, se asignan dos valores distintos a x, y se calcula el
correspondiente valor de y, en cada caso.
Se marcan estos dos puntos en el plano cartesiano. Luego, se traza la recta que
pasa por estos dos puntos, y se repite el procedimiento para la otra ecuación.
ELABORADO POR MAGISTER MARILÚ RIVERA
1
En este caso, en la primera ecuación, si x = 0, entonces y =
4,
esto corresponde al punto A(0, 4).
Por otro lado, si x = 2, entonces y = –2,
que corresponde al punto B (2, –2).
De la misma manera, en la segunda ecuación, si x = 0,
entonces
y = –1; esto corresponde al punto C (0, –1).
si x = 2, entonces y = 3, que corresponde al punto D(2, 3).
Con esto se pueden graficar ambas rectas como lo muestra el siguiente grafico
Las rectas se intersecan en el punto E (1, 1). Entonces, x = 1, y = 1 es solución del
sistema.
2) Resolución por igualación
Tenemos que resolver el sistema:
Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las
cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos
ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):
Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los
segundos también lo son, por lo tanto:
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2
Luego:
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la
segunda):
Operamos para hallar el valor de y:
y=2
Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):
Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2
Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos
ecuaciones.
3) Resolución por sustitución.
Tenemos que resolver el sistema:
Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos
y en la primera ecuación):
Y la reemplazamos en la otra ecuación:
Operamos para despejar la única variable existente ahora:
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3
Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos
arbitrariamente la primera):
Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No
verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta.
Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo.
4) Resolución por reducción
Tenemos que resolver el sistema:
El objetivo es eliminar una de las incógnitas, dejándolas inversas aditivas, sabiendo
que una igualdad no cambia si se la multiplica por un número.
También sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.
Si se quiere eliminar la x, ¿por qué número debo multiplicar a la segunda ecuación,
para que al sumarla a la primera se obtenga cero?
La respuesta es -2. Veamos:
Con lo que obtenemos:
Y la sumamos la primera obteniéndose:
-7y = -14
y=2
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4
Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuación:
Y finalmente hallar el valor de x:
Ejercicio: Resuelve por este método:
5) Resolución por determinante
Sabemos que un determinante se representa como:
a b
c d
Este se calcula de la siguiente manera:
Sea el sistema:
a2x + b2 y = c2
∆= a·d – b·c
a1x + b1y = c1
El valor de x e y está dado por:
c1 b1
c b2
x 2
a1 b1
a 2 b2
e
a1
a
y 2
a1
a2
c1
c2
b1
b2
Resolvamos el sistema::
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5
c1 b1
22 3
c b2
18 5 110  54 56
x 2



4
a1 b1
4 3
20  6
14
a 2 b2
2 5
a1
a
y 2
a1
a2
c1
4 22
c2
2 18 72  44 28



2
b1
14
14
14
b2
El punto de intersección de las rectas dadas es {(4, 2)}
Resuelve, por determinantes:
Ejercicios:
1. Resuelve por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a)
b)
6 x  5 y  9
4 x  3 y  13
c)
7 x  15 y  1
x  6 y  8
d)
3x  4 y  41
11x  6 y  47
e)
9 x  11y  14
6 x  5 y  34
10 x  3 y  36
2 x  5 y  4
2. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a)
x  3y  6
5 x  2 y  13
b)
5x  7 y  1
3x  4 y  24
c)
d)
4 y  3x  8
8 x  9 y  77
x  5y  8
7 x  8 y  25
e)
15 x  11y  32
7 y  9x  8
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6
3. Resuelve por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
a)
b)
x  6 y  27
7x  3y  9
c)
d)
x  6 y  27
7x  3y  9
3x  2 y  2
5 x  2 y  60
e)
7x  4 y  5
9 x  8 y  13
9 x  16 y  7
4 y  3x  0
4. Resuelve por el método gráfico los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
b)
x  y 1
x y 7
x  2 y  10
2 x  3 y  8
c)
d)
5x  3 y  0
7 x  y  16
e)
3x  4 y
5 x  6 y  38
3x  4 y  15
2x  y  5
5. Resuelve por el método que sea más conveniente los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
a)
8 x  3 y  30
5x  3 y  9
b)
9 x  5 y  83
4 x  5 y  48
c)
13x  9 y  50
10 x  9 y  26
d)
3 x  5 y  28
4 x  3 y  18
e)
16 x  5 y  125
7 x  4 y  42
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7
Sistema de tres ecuaciones lineales (3x3)
El método es similar al método de reducción empleado para dos ecuaciones lineales
pero tiene más pasos.
Ejemplo n°1
Resuélvase el sistema de tres ecuaciones lineales:
1). 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 6
2). 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2
3). 3𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 2
Solución
Combinando 1 y 2 tenemos que se puede eliminar la misma variable y se reduce el
sistema a dos ecuaciones en dos incógnitas.
𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 6
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2
4). 𝟑𝒙
−𝒛
= 𝟒
Ahora se combina la ecuación 2 y 3 eliminando la misma variable, lo que nos
proporciona una segunda ecuación con las variables x y z.
2(2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2)
4x − 2y + 4z = −4
3x + 2y + 5z = 2
5. 𝟕𝐱
+ 𝟗𝐳 = −𝟐
Luego resuélvase las ecuaciones 4 y 5 en x y z, eliminando a z
9(3𝑥 − 𝑧 = 4)
27x − 9z = 36
7x + 9z = −2
𝟑𝟒𝐱
= 𝟑𝟒
𝑥=1
Sustitúyase x en una de las ecuaciones en dos incógnitas y obténgase z
3𝑥 − 𝑧 = 4
3(1) − 𝑧 = 4
𝑧 = −1
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8
Sustitúyase x y z en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener y.
Empleando la ecuación 1.
𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 = 6
(1) + 𝑦 − 3(−1) = 6
𝑦=2
Por lo tanto, la solución es x=1, y=2, z=-1
x=1
y=2
z=-
Representada
ó (1,2,-1)
1
Determinantes: solución a un sistema de tres ecuaciones lineales por el método de
“por menores”
Es posible resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con determinantes 3x3
empleando un procedimiento similar al uso al resolver un sistema de dos ecuaciones
lineales. El valor de un determinante de 3x3 puede escribirse en términos de
elementos de la primera fila y de determinantes de 2x2 de la siguiente forma:
𝑎1
𝑎
| 2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑏
𝑐2 | = 𝑎1 | 2
𝑏3
𝑐3
𝑎2
𝑐2
| − 𝑏1 |𝑎
𝑐3
3
𝑐2
𝑎2
𝑐3 | + 𝑐1 |𝑎3
𝑏2
|
𝑏3
(1)
A cada uno de los determinantes 2x2 se les denomina menor del elemento por el
que está multiplicando. Un menor de un elemento es el determinante formado por
todos los elementos que no están en el la misma fila ni en la misma columna que el
elemento mencionada.
Para establecer los signos de los términos de cada menor utilice:
+ −
|− +
+ −
+
−|
+
(2)
(1) Es el denominador para x, y y z. Este procedimiento se expresa algebraicamente
por medio de la regla de Cramer.
Las soluciones para x, y y z dado un sistema lineal de tres ecuaciones en
forma estándar, como se muestra:
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑘1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑘2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑘3
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9
𝑘1
|𝑘2
𝑘
𝑥= 3
𝑎1
|𝑎2
𝑎3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
,
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
𝑎1
| 𝑎2
𝑎
𝑦= 3
𝑎1
|𝑎2
𝑎3
𝑘1
𝑘2
𝑘3
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
,
𝑎1 𝑏1 𝑘1
|𝑎2 𝑏2 𝑘2 |
𝑎 𝑏3 𝑘3
𝑧= 3
𝑎1 𝑏1 𝑐1
|𝑎2 𝑏2 𝑐2 |
𝑎3 𝑏3 𝑐3
Ejemplo n°2
Resuélvase el sistema lineal empleando determinantes.
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = −3
5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −1
Solución
Aplíquese la regla de Cramer para obtener las soluciones para x, y, z:
𝟓
|−𝟑
𝑥 = −𝟏
2
|3
5
3
−2
1
3
−2
1
1
4|
2
1
4|
2
−2 4
−3
5|
| − 3|
1 2
−1
𝑥=
−2 4
3
2|
| − 3|
1 2
5
4
−3 −2
| + 1|
|
2
−1 1
4
3 −2
| + 1|
|
2
5 1
𝑥=
5(−4 − 4) − 3(−6 + 4) + (−3 − 2)
−40 + 6 − 5
=
2(−4 − 4) − 3(6 − 20) + (3 + 10)
−16 + 42 + 13
𝑥=
−39
= −1
39
Una vez que se tiene el valor del denominador, no es necesario evaluarlo
nuevamente para y y z.
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1
0
2 𝟓
|3 −𝟑
𝑦 = 5 −𝟏
39
1
4|
2
3 4
3 −3
−3 4
2|
| − 5|
| + 1|
|
−1
2
5
2
5
−1
𝑦=
39
𝑦=
2(−6 + 4) − 5(6 − 20) + (−3 + 15) 78
=
=2
39
39
2
|3
𝑧= 5
3
𝟓
−2 −𝟑|
1 −𝟏
39
−2
2|
1
𝑧=
𝑧=
3 −3
3 2
−3
| − 3|
| + 5|
|
−1
5 −1
5 1
39
2(2 + 3) − 3(−3 + 15) + 5(3 + 10) 39
=
=1
39
39
Por lo tanto, la solución es (-1, 2, 1). Puede verificarse sustituyendo en las
ecuaciones originales, en la cual debe satisfacer las 3 ecuaciones.
ELABORADO POR MAGISTER MARILÚ RIVERA
1
1
Ejercicio de práctica
Resuélvase cada sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de reducción
o el de determinantes por menores.
1. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −3
R/. 1, 2, 3.
2. 3𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 6
4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 7
R/. 2, -3, 1.
3. 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −2
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −5
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 7
R/. 4, -1, 3.
4. 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
𝑥 + 5𝑦 − 2𝑧 = −1
3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 3
R/. -3, 2, 4.
5. 8𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 1
7𝑢 − 2𝑣 + 9𝑤 = −3
4𝑢 − 6𝑣 + 8𝑤 = −5
R/. 0.1, 0.5, -0.3.
6. 2𝑎 + 3𝑏 + 6𝑐 = 3
3𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐 = 2
4𝑎 − 2𝑏 − 2𝑐 = 1
R/. 0.5, 0.3, 0.2.
7. 2𝑑 + 𝑒 + 3𝑓 = −2
5𝑑 + 2𝑒 = 5
2𝑒 − 3𝑓 = −7
R/. 3, 5, 1.
8. 𝑟 = 𝑠 − 1
𝑠 =𝑡+2
𝑡 = 2𝑟 − 4
R/. 2.3, -1.3, -8.6.
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1
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