“UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL Y MECÁNICA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL MÓDULO: RESISTENCIA DE MATERIALES TEMA: CIRCULO DE MOHR ESTUDIANTES: GALARZA CHICAIZA LUDVIN DANIEL SEMESTRE: CUARTO SEMESTRE, PARALELO “A” FECHA DE ENTREGA: 3/6/2020 Mayo – octubre 2020 INTRODUCCION El Círculo de Mohr, método desarrollado por el ingeniero alemán Charles Otto Mohr a finales del siglo XIX, constituye una herramienta de gran interés para la resolución de problemas en el ámbito de la Resistencia de Materiales o la Mecánica de Suelos.[1] Es una técnica utilizada en ingeniería y geofísica que representa gráficamente los tensores simétricos (2x2 o 3x3), y en base a esto, calcula los momentos de inercia, deformación y tensión, y los adapta a las características circunferenciales (radio, centro, etc.). El esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta también se pueden calcular La hacer un análisis de solicitaciones imaginariamente extraemos un elemento infinitesimal de la estructura y en base a esto obtenemos sus esfuerzos, aparecerán esfuerzos normales (𝜎𝑥 ) y esfuerzos verticales (𝜎𝑦 ), y esfuerzos tangenciales llamados (𝜏𝑥𝑦 ), todos estos esfuerzos están mostrados en su dirección positiva, claramente también pueden existir esfuerzos negativos que están al lado contrario de los mostrados en la figura. Ilustración 1 Notación: • • • • • = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie. = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie. > 0 = Compresión; < 0 = Tracción. zx = Cortante en la dirección X. z = Esfuerzo normal y en la dirección Z. Todos estos esfuerzos están referenciados a un sistema “xy”, la cuestión surge al pretender rotar un ángulo(alfa) del sistema de coordenadas a uno nuevo que se nombrara como (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ), naturalmente los esfuerzos cambiaran de valor y se los renombrara con una apostrofe prima. Serán los mismos esfuerzos que en el anterior caso solamente rotados, ahora existirá un ángulo de rotación tal llamado beta (𝛽), que lograra q los esfuerzos de corte se anulen por completo y los esfuerzos normales serán máximos y mínimos. Con propósito prácticos esto ayudará a saber en qué dirección se ira a fisurar ese sector de la estructura y en que dirección habrá que reforzarla más. DESARROLLO. Construcción del círculo de Mohr. 1. Se dibuja un sistema de ejes coordenados con como abscisa, y como ordenada. 2. Ubicar el centro del circulo en el punto con coordenadas 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑦 𝜏 = 0 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 3. Ubicar el punto A que representa las condiciones de esfuerzo sobre la superficie 𝑥1 del elemento, marcando sus coordenadas 𝜎 = 𝜎𝑥 𝑦 𝜏 = 𝜏𝑥𝑦 . Tener en cuenta que 𝜃 = 00 . 4. Ubicar el punto B que representa las condiciones de esfuerzo sobre la superficie mostrada en la figura 2, marcando sus coordenadas 𝜎 = 𝜎𝑦 𝑦 𝜏 = 𝜏𝑥𝑦 . Tener en cuenta que 𝜃 = 900 . 5. Dibuje una línea en el punto A al B. esto corresponde a un diámetro de la circunferencia y pasa por el centro C. Los puntos A y B, representan los esfuerzos sobre planos a 900 . 6. Con centro en C trace un circulo por los puntos A y B. 𝑅 = √( 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ) + 𝜏𝑥𝑦 2 2 7. Cálculo de los esfuerzos principales y ubicación en la ilustración. 𝜎1,2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 ± 𝑅 8. Cálculo del ángulo 𝜃 2𝜃 = tan ( 2𝜏𝑥𝑦 ) 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 9. Calculo del esfuerzo cortante máximo, 𝜏𝑚𝑎𝑥 y del ángulo 𝛽. 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 Ilustración 2 Ejemplo. Encontrar los esfuerzos principales a partir de la siguiente situación de esfuerzos: 15 MPa 6 MPa 15 MPa 15 MPa 6 MPa 5 MPa 1. Dibujar los pares ordenados. 2. Dibujar el circulo 3. Calculamos el centro. 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 15 + (−5) 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 2 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 5 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 = 4. Calculamos el radio. 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 ) + 𝜏𝑥𝑦 2 2 15 + (−5) 2 𝑅 = √( ) + 62 2 𝑅 = 11.66 𝑅 = √( 5. Calculamos el ángulo 𝜃 6 𝜃 = atan ( ) 1 𝜃 = 30.96 6. Cálculo de esfuerzos principales. 𝜎1,2 = 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 ± 𝑅 𝜎1 = 5 + 11.66 𝜎1 = 16.66 𝑀𝑃𝑎 𝜎2 = 5 − 11.66 𝜎2 = 6.66 𝑀𝑃𝑎 7. Cálculo del esfuerzo cortante máximo, 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑅 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 11.66 𝑀𝑃𝑎 Conclusiones: • • • La utilización del círculo de mohr es un método grafico para poder hallar los esfuerzos normales de una estructura. Es un método rápido y exacto basado en fundamentos de geometría, pero eficientes para llar los esfuerzos normales y tangenciales. Se deberá tener en cuenta el sentido de giro del radio para no tener un ángulo equivocado. Bibliografía. [1] L. Ferri, J. Mocholí, and A. José, “Guía metodológica para el trazado del Círculo de Mohr de tensiones.”
