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APLICACIÓN DE LAS DERIVDAS EN LA ECONOMIA Y LA ADMINISTRACION.
TRABAJO COLOVORATIVO CONTEXTUALIZADO
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA
REALIZADO POR:
IBETH MELISSA COGOLLO ZABALA
YEIMY PAOLA VILCHE BILCHE
MARÍA ISABEL RUIZ MARTÍNEZ
MARÍA ALEJANDRA SÁNCHEZ
ANDRA CAROLINA DURANGO VILLALBA
WILBER ESTEBAN MONTES CORDERO
TUTOR: DIANA PATIÑO OCHOA
ESCUELA: ENFERMERIA
FACULTAD: ADMISNISTRACION DE SERVICIOS DE SALUD
UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SEDE –CERETÉ
22/05/2020
CONTENIDO
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA ......................................................................................... 3
JUSTIFICACIÓN....................................................................................................................... 6
OBJETIVOS ............................................................................................................................... 7
OBJETIVO GENERAL. ........................................................................................................ 7
OBJETIVOS ESPECÍFICOS................................................................................................ 7
MARCO DE REFERENCIA..................................................................................................... 8
MARCO REFERENCIAL .................................................................................................... 8
MARCO TEÓRICO ............................................................................................................... 9
Definición de derivada ....................................................................................................... 9
Máximos y mínimos de funciones ................................................................................... 10
Mínimos relativos ............................................................................................................. 12
Aplicación de la derivada (Costo Marginal) .................................................................. 12
Costo Marginal. ................................................................................................................ 13
Ingreso Marginal. ............................................................................................................. 15
Beneficio margina ............................................................................................................ 16
MARCO LEGAL.................................................................................................................. 18
DISEÑO METODOLOGÍCO ................................................................................................. 20
TIPO DE ESTUDIO ......................................................................................................... 20
POBLACIÓN .................................................................................................................... 20
MUESTRA ........................................................................................................................ 21
RESULTADOS ESPERADOS ............................................................................................ 21
CONCLUSIONES .................................................................................................................... 22
BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 23
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Con el paso de los años, el avance tecnológico se ha involucrado en todos los campos de la
educación, la medicina, la mecánica, etc. Las matemáticas no han sido la excepción, tomando en
cuenta que, en la antigüedad, uno de los primeros métodos de cálculo fue el ábaco, luego apareció
la regla de cálculo, después apareció la calculadora, y finalmente hasta ahora, el computador. Todas
estas formas de resolver ejercicios matemáticos han servido de mucho, por ejemplo, para calcular
desde una suma hasta las operaciones logarítmicas complejas, ahorrando tiempo y dinero,
colaborando también con el desarrollo tecnológico en el mundo.
Desde la práctica pedagógica, en el campo de las matemáticas es de conocimiento para los
profesionales de educación en esta área, que los estudiantes a lo largo de su vida escolar no
interpretan de una forma adecuada los problemas en matemáticas, lo cual, genera una serie de
dificultades que conllevan a que no haya una correcta resolución de los mismos, esto ha sido
determinado a través de las distintas pruebas y resultados nacionales como las Icfes e internacionales
Pisas, en las cuales se ha evidenciado esta problemática, ya que los estudiantes no poseen un método
claro para resolver problemas, simplemente aplican técnicas, sin tener en cuenta el antes y el después
del contexto y condiciones del problema.
Según un análisis realizado por el ICFES
sobre los resultados de las pruebas PISA, presentada
en el año 2012, muestra que: En matemáticas, el 74% de los estudiantes colombianos se ubicó por
debajo del nivel 2 y el 18%, en el nivel 2. Esto quiere decir que solo dos de cada diez estudiantes
pueden hacer interpretaciones literales de los resultados de problemas matemáticos; además,
emplean algoritmos básicos, fórmulas, procedimientos o convenciones para resolver problemas de
números enteros, e interpretan y reconocen situaciones en contextos que requieren una inferencia
directa.
De lo anterior, en este proyecto enfatizaremos en la importancia de las derivadas, dado que es una
de las nociones más importantes en las matemáticas y de igual modo, teniendo en cuenta el contexto
y aplicabilidad que nosotros como estudiantes y futuros profesionales podemos aplicar en el campo
de la Economía y Administración, desarrollando actividades académicas y laborales, de esto
podemos decir que su aplicación es amplia tanto en nuestro campo educativo como en las demás
carreras existentes.
La traficación de funciones elementales, así como la solución de problemas de optimización,
constituyen dos herramientas matemáticas fundamentales, cuyo conocimiento es muy importante
en la cultura general de cualquier profesional de esta y futuras épocas del desarrollo de la
humanidad, caracterizada por una acelerada revolución científico técnica, que se distingue, entre
otros aspectos, por la matematización del conocimiento en las más diversas ramas del saber humano.
Hasta el momento sólo una parte muy limitada de los estudiantes se apropian de estos
conocimientos, aquellos en los que en sus currículos de estudios universitarios están presentes las
matemáticas superiores.
En la carrera de Economía y en la Administración persisten las dificultades en este sentido. Los
estudiantes de estas carretas necesitan analizar, interpretar y desarrollar activadas elementales que
se desarrollaran en sus actividades laborales futuras, en donde se apropiaran de actividades de
implementación de las derivadas, por lo tanto, esta investigación aporta información sobre el análisis
y aplicabilidad de las derivadas en la comprensión de los conceptos en la Economía y
Administración, dado como estudiantes de estas carreras y como futuros profesionales, todo esto
para la resolución de problemas que se nos presenten en la carrera y en lo laboral. En particular nos
hemos planteado la siguiente cuestión de investigación:
 ¿Cuál es la recurrencia y aplicabilidad de las derivadas en los cursos de las carreras de
Economía y Administración?
JUSTIFICACIÓN
En la Resolución de Problemas Matemáticos se debe entender que hay factores ajenos al
pensamiento matemático que juegan un papel importante en la consecución de la respuesta correcta,
se hace referencia a factores como la motivación del estudiante, la cual permite que este enfrente la
situación propuesta desde una perspectiva coherente y que le resulte agradable en su rol. También
es claro que el docente no puede enseñar a razonar al estudiante, es algo que este debe desarrollar
por sí mismo. Partiendo de una motivación y un nivel de razonamiento adecuado, es importante
resaltar que el primer requisito que el estudiante debe cumplir al enfrentarse a un problema es la
comprensión del mismo, de no generarlo no se logrará que este encuentre la solución correcta.
En la formación de un profesional, se debe pensar en un ser integral con alto grado de racionamiento,
lógico, crítico, objetivo y analítico, capaz de enfrentar adecuadamente las diferentes situaciones
problemas a través de herramientas teórico-prácticas de las matemáticas. Por esto es indispensable
plantear en la formación del profesional, la matemática, no como un simple compendio de fórmulas
y modelos, sino como una ciencia básica fundamental del pensamiento humano como una forma de
pensar la vida, de sentir y poder así enfrentar cualquier tipo de problemática individual, social o
laboral.
Los seres humanos siempre están sujeto al cambio y por tanto es indispensable saber las razones de
estos sucesos; la velocidad con la que estos cambios se realizan no es constante y su puede calcular
mediante matemática aplicada “derivada”, y más aún, cuando se relacionan dos o más fenómenos o
variables. Es importante aplicar las matemáticas a la Economía y en la Administración, y lo que se
busca con este trabajo es explicar que usos le podemos dar a las derivadas, la importancia y la
aplicabilidad en las distintas áreas.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL.
Analizar la aplicación de las derivadas en los campos de la Economía y Administración, su
importancia y su aplicabilidad en las distintas áreas en nuestra carrera.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
 Implementar de la literatura científica, un método a seguir para la elaboración del TCC de
la aplicación de las derivadas.
 Implementar las derivadas para hallar los máximos y mínimos en una función para analizar
el costo marginal.
 Analizar el concepto de funciones marginales y derivadas de problemas defunciones de
ingreso, costo y utilidad marginal.
MARCO DE REFERENCIA
MARCO REFERENCIAL
Al revisar fuentes bibliográficas, se encontraron las siguientes investigaciones relacionadas con la
aplicación de derivadas en áreas de las Economía y Administración, que proporciona bases teóricas
a este estudio.
La resolución de problemas matemáticos ha sido expuesta por varios autores, el principal autor es
George Polya con su libro ¿Cómo plantear y resolver problemas?, en donde, él plantea una estrategia
para resolver un problema matemático, resaltando cuatro pasos en este proceso de resolución, luego,
diferentes autores han desglosado estos pasos incluyendo unos nuevos, pero siempre se han tenido
como base los expuestos por Polya en su libro.
De igual modo, el documento desarrollado por Marco Antonio Jara Riofrio, en donde podemos
encontrar material didáctico de apoyo para el estudiante, en el proceso de enseñanza /aprendizaje
de la asignatura Cálculo I, la cual se estudia como materia básica en el plan de estudio en las
universidades. En el texto se presentan, nuevo conocimiento y una aplicación práctica de la
utilización de la derivada en la economía y administración empresarial.
Por otra parte, encontramos el proyecto de Ángel Ariza Jiménez, que describe la relación entre los
conceptos matemáticos y los económicos cuando se resuelven problemas de economía. El uso de
los significados de la idea de derivada en la resolución de problemas de economía y que estos pueden
ser entendidos como un tipo de contextualización de los conceptos matemáticos usados para
construir los conceptos económicos que permiten entender parte de la realidad económica.
Los profesores Heriberto Bakke, Christian Ronald, Vilka Virginia, en su artículo de investigación
enfatizan la importancia que tiene la derivada en los distintos procesos y el campo que se encuentra
el empleo del cálculo diferencial como una herramienta para analizar y concretar resultados sean
favorables o no. La maximización de la utilidad de los distintos agentes, así como la minimización
de costos de transacción y optimización de distribución de riesgo, son algunos de elementos donde
la derivación de funciones cumple un rol esencial.
MARCO TEÓRICO
Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado
de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
Pero vayamos por partes.
La definición de derivada es la siguiente:
Antes que todo establezcamos cierta notación alterna para las derivadas de una función
.
Máximos y mínimos de funciones
La razón de establecer notaciones alternas para el mismo concepto, es porque hay ocasiones en que
los desarrollos son muy grandes o complicados, y es necesario para que sea más práctico que se
hagan menos extensas las notaciones, ya que aquí lo importante es que sigan representando el mismo
concepto.
La primer derivada de una función tiene las tres notaciones que tenemos aquí:
y la segunda derivada de una función (la derivada de la derivada), tiene las siguientes notaciones
alternas:
en este caso por términos de claridad ocuparemos para la primer derivada, a la notación
y para la segunda derivada
,
. Una vez establecida la notación que usaremos, comentemos
acerca de ciertas características que podemos estudiar de las funciones.
Hablando de forma más precisa, conozcamos los criterios que nos informan dónde una función
adquiere su máximo o mínimo valor posible dentro de una región establecida, razón por la cual se
llaman máximo o mínimos relativos.
Extremos relativos
Antes que todo identifiquemos el tipo de punto que deseamos localizar, en términos simples se
trata de puntos donde una función adquiere un máximo o mínimo valor posible, esto es en
comparación a los puntos de un entorno cercano a ellos, a este tipo de puntos los llamaremos
extremos relativos.
es una función derivable en
Si
, entonces
es un extremo relativo o local si:
Máximos relativos
Si
es una función derivable en
, entonces
es un máximo relativo o local si:
Mínimos relativos
Si
es una función derivable en
, entonces
es un mínimo relativo o local si:
Aplicación de la derivada (Costo Marginal)
El costo marginal se define como la variación en el costo total, ante el aumento de una unidad en
la cantidad producida, es decir, es el costo de producir una unidad adicional.
Matemáticamente se expresa como la derivada parcial del costo total respecto a la cantidad:
Costo Marginal = ∂Costo Total / ∂Cantidad
CMg = ∂CT / ∂Q
El costo marginal es un concepto fundamental en la teoría microeconómica, debido a que se utiliza
para determinar la cantidad de producción de las empresas y los precios de los productos.
El costo marginal depende de la tecnología utilizada en la producción y de los precios de los insumos
y los factores de producción.
Costo Marginal.
El costo marginal es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto
o servicio: x unidades, de tal manera que el costo por producir h unidades adicionales es: Q(x + h)
¡ Q(x): Al cociente Q(x + h) ¡ Q(x) /h
Ahora, supongamos que tenemos una función costo Q(x) que representa el costo por producir
se le conoce como el costo promedio por producir h unidades adicionales. Cuando existe el límite
del cociente anterior al tender h a cero,
se le llama costo marginal por producir h unidades adicionales, es decir,
Costo marginal = Q’(x)
Como se analizó anteriormente, en la práctica solamente se conocen puntos aislados de la función
costo, por tanto, no es posible, en general, conocer la función que corresponde a tales puntos de la
función costo, es por eso que se recurre a utilizar lo que se conoce como el análisis marginal, que
consiste en determinar el costo por producir la siguiente unidad por medio de los puntos que se
conocen de la siguiente manera:
Al suponer que se tienen algunos puntos y que no se conoce la función costo a la que corresponden
no se puede calcular el costo marginal al producir h unidades adicionales, pero, se puede calcular,
por extrapolación, el costo por producir la siguiente unidad, ya que se conoce el costo en el punto x
+ 1 (además de conocer el costo en el punto x); entonces, el costo adicional por producir 1 unidad
más es:
Q (x + 1) ¡Q(x):
Si se considera que en la práctica el dominio de la función Q es un subconjunto de los números
naturales y por tanto que x + h 2 N 1, y que, además, el punto más próximo a cero es 1, entonces,
podemos considerar una aproximación al costo marginal dada por la relación anterior, de la
siguiente manera
Q (x + h) ¡Q(x) ¼ Q 0 (x):
Cabe mencionar que, para que esta aproximación se ajuste a la realidad es necesario la función
costo sea una curva suave y se requiere considerar, además, que se producen solamente unidades
completas.
Ingreso Marginal.
De manera análoga a la definición de costo marginal se puede definir el ingreso marginal, que
es el ingreso adicional obtenido por la venta de una unidad más de un producto o servicio.
Observemos que, si cada una de las unidades de un producto se vende al mismo precio, entonces, el
ingreso marginal siempre es igual al precio.
Ahora, supongamos que t tenemos una función ingreso R(x) que representa el ingreso por la
venta de x unidades y x es la cantidad vendida, de tal manera que el ingreso por vender h
unidades adicionales es,
R(x + h) ¡ R(x):
Al cociente
R(x + h) ¡ R(x)
;
h
se le conoce como el ingreso promedio por vender h unidades adicionales y, si existe el límite
del cociente anterior cuando h t iende a cero,
entonces, a este límitese le llama ingreso marginal por vender h unidades adicionales, es decir,
Ingreso marginal = R0 (x):
Análogamente, como en la función costo, en la práctica sólo se conocen puntos aislados de la
función ingreso, por tanto, no es posible en general, conocer la función que
R(x + h) ¡ R(x) ¼ R0 (x):
Cabe mencionar que para que esta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la
función ingreso sea una curva suave y se requiere considerar, además, que se venden solamente
unidades completas.
Como x (número de unidades vendidas) y p (precio unitario) son variables no negativas, entonces
R(x) es no negativa. Sin embargo, dR(x)=dx puede ser positiva o negativa ya que, a medida que
se incrementa la demanda, el precio tiende a aumentar, hasta que se llega a un precio en el cual
la demanda disminuye y por tanto el ingreso también disminuye; lo que significa, que no obstante
que el ingreso total es no negativo, éste puede aumentar o disminuir a medida que se incrementa la
cantidad de demanda.
Beneficio margina
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La ganancia o beneficio marginal es la diferencia que existe entre el ingreso marginal y el
costo marginal.
Ahora, al suponer que se tiene una función beneficio G(x), donde x es la cantidad de
unidades producidas y vendidas y G(x) es el beneficio por producir y vender x unidades, de
tal manera que el beneficio por producir y vender h unidades adicionales es:
G(x + h) ¡ G(x):
Al cociente
G(x + h) ¡ G(x)
;
h
se le conoce como el beneficio promedio por producir y vender h unidades adicionales.
Si existe el límite del cociente anterior cuando h t iende a cero, entonces a
límx ! 0 G(x + h) ¡ G(x) / h
Se le llama beneficio marginal por producir y vender h unidades adicionales, es decir,
Beneficio marginal = G0(x):
Análogamente, como en las funciones costo e ingreso, se usará el análisis marginal para
determinar una aproximación a la función beneficio marginal, de la siguiente manera: Al
suponer que se conocen algunos puntos de cierta gráfica de una función beneficio que no
se conoce, por lo que no se puede calcular el beneficio marginal al producir y vender h unidades
adicionales, pero si se puede calcular, por extrapolación, el beneficio obtenido por producir
y vender la siguiente unidad, ya que se conoce el beneficio en el punto x + 1 (además de conocer
el beneficio en el punto x ), entonces, el beneficio adicional por producir y vender 1 unidad más
18
es:
G(x + 1) ¡ G(x):
Si se considera que en la práctica el dominio de la función G(x) es un subconjunto de los
números naturales y, por tanto, que x + h 2 N , y que además, el punto más próximo a cero
es 1, entonces se puede considerar una aproximación al beneficio marginal dada por la relación
anterior, de la siguiente manera
G(x + h) ¡ G(x) ¼ G0(x):
Cabe mencionar que para que esta aproximación se ajuste a la realidad es necesario que la
gráfica de la función beneficio sea una curva suave y se requiere considerar además que se
producen y se venden solamente unidades completas.
MARCO LEGAL
Se encontró como soporte en la ley 115 de educación general de 1994 en donde están los
objetivos generales de la educación, en donde enfatizan en la Ampliación y profundizar en el
razonamiento lógico y analítico para la interpretación y solución de los problemas de la
ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana. En los Estándares Básicos de Competencias en
Matemáticas se encuentra que: Las competencias matemáticas no se alcanzan por generación
espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones
19
problema significativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más
y más complejos.
Por otra parte, en el Foro Educativo Nacional: Ciudadanos Matemáticamente Competentes.
Aquí se plantea como orientar un ambiente de aprendizaje en matemáticas, teniendo en cuenta
los siguientes componentes dirigidos a la aplicación de los saberes matemáticos en la
resolución de problemas.
.
20
DISEÑO METODOLOGÍCO
TIPO DE ESTUDIO
En el presente trabajo se utilizará el Método bibliográfico o documental con la intención de
aproximar la investigación a referentes teórico-conceptuales que son indispensables para lograr
una comprensión teórica de la relación intrínseca entre la derivada y las diversas aplicaciones
que validan su aplicación y utilización en la Economía y Administración. Se desarrolló el
análisis y síntesis de la información que se requieran para llevar a cabo el trabajo, así como la
inducción-deducción de aquellos datos que permitan la profundidad del estudio.
Mediante la documentación consultada se pudieron encontrar los elementos y la aplicación de
la derivada en el campo de la Economía y Administración, así como los componentes esenciales
que se trabajan en estas áreas. Además, la bibliografía consultada aportó diferentes
aproximaciones para lograr una simplificación de los aspectos que contiene la derivada y su
aplicación en estas áreas del conocimiento.
POBLACIÓN
El proyecto tiene como población objetivo a todos y cada uno de los estudiantes y profesores
de la universidad de Cartagena – sede Cerete, particularmente todos aquellos que estén cursando
carreras relacionadas con la Economía y la Administración, de igual modo, no haciendo
exclusión de todas esas carreras en donde su currículo académico se presentan temáticas
relacionadas con la anterior investigación.
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MUESTRA
Para el desarrollo de este proyecto, se tomaría como muestra los estudiantes de la Universidad
de Cartagena – sede Cerete del programa de Administración en Salud, teniendo en cuanta
aquellos que estén cursando cursos de Economía y Administración.
RESULTADOS ESPERADOS

Como resultado de este trabajo de investigación podemos afirmar que se desarrolló de
forma analítica e investigativa para dar como resultado la búsqueda de conceptos y
definiciones de la aplicabilidad de la derivada en distintos de Economía y
Administración en donde se aplica y desarrollan actividades con ella.

Se ve reflejado la gran importancia y la necesidad que tienen las derivadas en nuestra
carrera, de igual modo, estos conceptos serán aplicados en nuestra vida laboral futura,
todo esto enmarcado en el ámbito del conocimiento, estudio de los conceptos y el
entendimiento de las derivadas.
22
CONCLUSIONES
En este Trabajo colaborativo contextualizado (TCC) se analizó y se explicó las derivadas y la
matemática como conceptos fundamentales en nuestra carrera, en la Economía Y
Administración; se puede afirmar que las matemáticas tienen un sentido propio ensimisma , de
igual modo podemos ver sus diferentes aplicaciones en muchas ramas del ciencia como lo son
la Administración y Economía, expuestas en este trabajo, estas aplicaciones de las derivadas
son muy importante en estos campos y han aportado mucho a ellos a lo largo de la historia, las
derivadas han solucionado problemas de optimización en muchos campos entre ellos los
estudiados en el presente (TCC) para calcular ingresos, costos, utilidades Y ganancias.
La información de los trabajos que hemos citado, en forma conjunta, ahondan en dos ámbitos
que conciernen a la manera como los estudiantes tienen como referencia la derivada en sus
carreras:
 Las características de los significados del concepto y aplicabilidad de la derivada en el
ámbito estudiantil y laboral.
 El desarrollo de tales conceptos en las distintas áreas de nuestra carrera.
Existe la creencia de que la toma de decisiones curriculares en la política educativa, así como
las instruccionales que realizan los profesores, deberían basarse, entre otras cosas, en los
resultados de investigaciones. La revisión que expusimos en este artículo busca aportar una
información útil, la cual debe ir completándose y ampliándose con los estudios que aborden las
nuevas líneas de investigación identificadas, cuyo objetivo radica en aumentar nuestra
comprensión de cómo los alumnos de la universidad dotan de significado y usan el concepto de
derivada en sus carreras y en sus futuras actividades laborales.
23
BIBLIOGRAFÍA
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24
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