Distribucion normal

Integrantes:
-Valeria Anahi Enríquez Samaniego
-Abigail Preciado Villa
-Irma Aylin Rábago Hernández
-José Antonio Cornejo Castillo
-Maria Dolores García Cabrera
-Jazmín Marmolejo Sandoval
-Alberto López Pérez
Agua Prieta, Sonora a 1 abril del 2020
•
Introducción general a las Distribuciones de
Probabilidad.
•
Teoría de la Distribución de Probabilidad Normal.
•
Fórmula de la Distribución Normal.
•
2 Problemas Resueltos con la Distribución Normal.
•
Grafica de la Distribución Normal.
•
Conclusiones personales.
•
Bibliografía.
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El siguiente trabajo fue realizado con el fin de
dar a conocer la distribución de probabilidad
normal, llevando a cabo la fórmula para
poder obtener los resultados del problema y
así poder explicar la distribución en casos
reales.
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La distribución normal fue presentada por
primera vez por Abraham de Moivre en un
artículo del año 1733, que fue reimpreso
en la segunda edición de su The Doctrine
of Chances, de 1738. En el contexto de
cierta aproximación de la distribución
binomial para grandes valores de n. Su
resultado fue ampliado por Laplace en su
libro Teoría analítica de las probabilidades
(1812), y en la actualidad se llama
Teorema de De Moivre-Laplace.
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss
(1777-1855) elaboró desarrollos
más profundos y formuló la ecuación de la
curva; de ahí que también se le conozca,
más comúnmente, como la “campana de
Gauss”.
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Es una de las distribuciones de
probabilidad de variable continua que con
más frecuencia aparece en estadística y en la
teoría de probabilidades.
La gráfica de su función de densidad tiene
una forma acampanada y es simétrica
respecto de un determinado parámetro
estadístico. Esta curva se conoce
como campana de Gauss y es el gráfico de
una función gaussiana.
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La distribución normal es un modelo teórico
capaz de aproximar satisfactoriamente el
valor de una variable aleatoria continua a una
situación ideal.
En otras palabras, la distribución normal
adapta una variable aleatoria continua a una
función que depende de la media y
la desviación típica. Es decir, la función y la
variable aleatoria continua tendrán la misma
representación pero con ligeras diferencias.
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Su esperanza es μ.
Su varianza es σ2 y, por tanto, su desviación típica es σ.
Es simétrica respecto a su media μ, como puede apreciarse
en la representación anterior.
Media, moda y mediana coinciden (μ).
Cualquier transformación lineal de una variable con
distribución Normal seguirá también el modelo Normal.
Si X ~ N(μ, σ) y definimos Y = aX + b (con a ≠ 0),
entonces Y ~ N(aμ + b, |a|σ). Es decir, la esperanza
de Y será aμ + b y su desviación típica, |a|σ.
Cualquier combinación lineal de variables normales
independientes sigue también una distribución Normal. Es
decir, dadas n variables aleatorias independientes con
distribución
Xi ~ N(μi, σi) para i = 1, 2, ..., n la
combinación lineal: Y = anXn + an−1Xn−1+ ... + a1X1 +
a0 sigue también el modelo Normal:
A continuación veremos la función de
probabilidad de la distribución normal.
µ: MEDIA
σ: DESV.TIPICA
σ2: VARIANZA
π: 3.1416
e: 2.7182
X: ABSCISA
Distribución normal aplicada a la temperatura
ambiental
En una ciudad se estima que la temperatura máxima
en el mes de junio sigue una distribución normal,
con media 23°y desviación típica 5°.
Calcular el número de días del mes en los que se
espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
Solución
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23°y desviación típica 5°.
Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y
27°
𝑥−𝜇
Utilizando la formula
Z= 𝜎 , vamos a sustituir el valor de la media (23), y la
desviación típica ( 5 ).
P 21 ≤ 𝑋 ≤ 27
=𝑃
21−23
5
≤𝑍≤
=P −0.4 ≤ 𝑍 ≤ 0.8
=P 𝑍 ≤ 0.8 − (1 − 𝑃 𝑍 ≤ 0.4 )
=P(Z≤ 0.8) − (1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.4))
27−23
5
Buscamos los valores correspondientes en la tabla de distribución normal:
𝑃 𝑍 ≤ 0.8 = 0.7881 𝑦
𝑃 𝑍 ≤ 0.4 = 0.6554
Por lo tanto
21 − 23
27 − 23
30 ∙ 𝑃 21 ≤ 𝑋 ≤ 27 = 30 ∙ 𝑃
≤𝑍≤
5
5
=(30)(0.7881-(1-0.6554))
=(30)(0.4425)
=13
Esto quiere decir, que en todo el mes, solo 13 días alcanzaran temperaturas entre 21 y
27 grados.
La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68
meses con una desviación típica de 5. se supone que se
distribuye según una distribución normal en un lote de 10,000
lámparas.
a) Cuántas lámparas superaran previsiblemente los 75 meses?
(75−68)
z=
= 1.4
5
P(X>75)=P(Z>1.4)=1-P(Z≤1.4)=1-0.9192=0.0808
Luego, el 8.08% de las lámparas (808 lámparas) superaran los 75
meses.
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b) Cuántas lámparas se estropearan antes de 60 meses?
(60−68)
z= 5 = 1.6
P(X ≤ 60)=P(Z≤1.6)=P(Z>1.6)=1-P(Z≤1.6)=0.0548
El 5.48% del lote (548 lámparas) no llegaran probablemente a durar
60 meses.
¿Qué
pasaría si se realiza una encuesta en una ciudad a personas
adultas consultando su estatura? A partir de los resultados
obtenidos, se puede elaborar un
histograma que tendría la
siguiente forma:
Como vemos, el histograma tiene forma de campana, una
característica importante de la distribución normal.
Un parámetro muy importante es la media (µ) y siempre estará al
centro de la curva con forma de campana.
Por ejemplo, aquí tenemos la gráfica de una distribución normal con
media igual a 8.
Además de la media, existe otro parámetro muy importante,
se trata de la desviación estándar, representada con la letra
griega σ. La desviación estándar es la medida de variabilidad
más utilizada y nos indica que tan dispersos se encuentran
los datos. Por ejemplo, aquí veremos dos curvas normales,
una con desviación estándar pequeña, y otra con desviación
estándar grande. Cuando la desviación estándar es pequeña,
los datos tienen una dispersión baja y se agrupan alrededor
de la media. En cambio, cuando la desviación estándar es
alta, los datos tienen una dispersión alta y se alejan de la
media.
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Valeria Enríquez: Obtuve aprendizaje en base a la
distribución normal el como calcular algunas cosas
con forme a la formula, guiándome en ejercicios ya
resueltos.
Abigail Preciado: adquirí un gran aprendizaje ya
que se trata de la distribución más frecuente en
estadística, y se considera la más importante.
Aylin Rábago: en cuanto a lo elaborado con lo
anterior aprendí a cómo calcular la distribución de
probabilidad normal, gracias a el ejemplo basado
en ella.
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Antonio Cornejo: aprendí en como se puede
utilizar esta distribución normal para poder
resolver algunos problemas.
Maria Garcia: obtuve un gran aprendizaje
sobre la distribucion normal ya que es la mas
importante de todas.
Jazmin Marmolejo: la probabilidad es muy
importante en nuestra vida, casi como las
matematicas ya que son datos o problemas
que tienden a ser muy exactos para una
respuesta concreta.
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Alberto López: conocí mejor una pequeña
parte de probabilidad que me ayudara a
calcular densidad de probabilidad.
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https://economipedia.com/definiciones/distribu
cion-normal.html
https://prezi.com/sjlzjo7fmieb/aplicacion-dela-distribucion-normal/
https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n
_normal
https://matemovil.com/distribucion-normalejercicios-resueltos/
https://rksbet.wordpress.com/2013/02/26/hist
oria-de-la-distribucionnormal/#:~:text=La%20distribuci%C3%B3n%20nor
mal%20fue%20reconocida,la%20%E2%80%9Ccamp
ana%20de%20Gauss%E2%80%9D.
http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statme
dia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t4.htm