MATEMATICAS
Matemáticas es el estudio de patrones en las estructuras de entes
abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se
refieren a ella como la
«Reina de las Ciencias»
Fórmulas de factorización
Son casos frecuentes de multiplicación de polinomios, se usan para
descomposición de los polinomios a multiplicadores, la simplificación de
fórmulas, la simplificación de polinomios.
Fórmulas de cuadrados
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Cuadrado de la suma
2
2
2
(a – b) = a – 2ab + b
Cuadrado de la diferencia
a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Diferencia de cuadrado
2
2
2
2
(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc
Formula de cubos
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Cubo de una suma
Cubo de una diferencia
Suma de cubos
Diferencia de cubos
Formula para la cuarta potencia
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
a4 – b4 = (a – b)(a + b)(a2 + b2)
Formula para n potencia
(a + b)n = an + nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + n!k!(n – k)!an – kbk + ... + bn
(a - b)n = an - nan – 1b + n(n – 1)2an – 2b2 + ... + (-1)kn!k!(n – k)!an – kbk + ... +
(-1)nbn
POTENCIA PROPIEDADES Y FORMULAS
Definición
Número c se llama n potencia del número a si.
a · a · ... · a
c=
an
=
n
Potencia propiedades y fórmulas se usan en la reducción y simplificación de
expresiones complejas, también cuando calculamos unas ecuaciones y
desigualdades.
1. a0 = 1
(a ≠ 0)
2. a1 = a
3. an · am = an + m
4. (an)m = anm
5. anbn = (ab)n
6. a-n = 1an
7. anam = an - m
8. a1/n = n√ a
Propiedades de los Radicales - Fórmulas
Definición
La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que,
bn = a.
Para a > 0, b > 0 y números naturales n, m, k utilizan las proporciones
siguientes:
1.
2.
n√
a b = n√ a · n√ b
abn=anbn
3.
(an)k=akn
4.
amn=anm
5.
aknk=an
6.
am·kn·k=(amn)
|a| si n – número par
ann=
a
si n – número impar
7. Para cualquier a y b, tales que 0 ≤ a ≤ b es correcto la desigualdad:
n√ a ≤ n√ b
Propiedades de los Logaritmos - Fórmulas
Definición Logaritmo del número b con la base a (loga b) se define como el
índice de la potencia a que hay que elevar el número a, para sacar b (el
logaritmo tienen sólo los números positivos).
logab = x significa que ax = b
El uso más amplio tienen los siguients tipos de logaritmos
loga b - logaritmo del número b con base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
lg b - logaritmo decimal (el logaritmo con la base 10, a = 10).
ln b - logaritmo natural (el logaritmo con la base e, a = e).
Propiedades de los Logaritmos
Para cualquier a; a > 0; a ≠ 1 y para cualquier x; y > 0.
1. alogab = b - Identidad logarítmica esencial
2. loga 1 = 0 - el logaritmo de 1 es cero
3. loga a = 1 - el logaritmo en base a de a es uno
4. loga(x · y) = logax + logay
5. loga xy = logax - logay
6. loga 1x = -logax
7. loga xp = p logax
8. logak x = 1k loga x, si k ≠ 0
9. logax = logac xc
10. loga x = logb xlogb a - Fórmula del traspaso a una base nueva
11. loga x = 1logx a
Propiedades de Progresión Aritmética - Fórmulas
Definición
Progresión aritmética es secuencia numerativa a1, a2, a3, ..., donde cada
miembro, empezando por segundo, equivale al suma del miembro anterior
y el tal número constante d, que se llama diferencia de la progresión.
Miembro n de la progresión aritmética
an = a1 +
(n -
1)d
an = an - 1 + d
Diferencia de la progresión aritmética
d = an - an - 1
Fórmulas del suma de progresión aritmética
(a1 + an) · n
Sn =
2
Sn =
2a1 + (n - 1) d
2
Propiedades de la progresión aritmética
an =
an + 1 + an - 1
2
·n
Propiedades de Progresión Geométrica - Fórmulas
Definición
Progresión geométrica — es secuencia numerativa b1, b2, b3, ..., en que
cada número siguiente, empezando por segundo, sale del anterior
mediante su multiplicación por un cierto número q (razón de la progresión),
где b1 ≠ 0, q ≠ 0.
Miembro n de la progresión geométrica
bn = b1 · qn bn = bn - 1 · q
Razón de la progresión geométrica
q=
bn
bn - 1
Fórmulas de suma de la progresión geométrica
Sn =
b1 - bn + 1
1-q
Sn = b1 ·
1 - qn
1-q
Propiedade de la progresión geométrica
bn2 = bn + 1 · bn - 1
Suma de la progresión geométrica infinita
Si |q| < 1 entonces con n → ∞
b1
S=
1-q
1
Fórmulas generales de diferenciación de funciónes
En estas fórmulas u y v son funciones cualquieras que están diferenciando
de variable real y c constante real. Estas fórmulas bastan para
diferenciación de función elemental cualquiera.
(c · u)′ = c · u ′
(u + v)′ = u ′ + v ′
(u · v)′ = u ′ · v + u · v ′
(
u ′
u′·v-u·v′
) =
v
v2
Tabla de derivadas de funciones elementales principales
Derivada de una constante
c ′ = 0, where c = const
Derivada de una función potencial
(xn )′ = n · xn - 1
Derivada de la una función exponencial
(ax )′ = ax · ln a
Derivada de una función exponencial a base “e”
(ex )′ = ex
Derivadas de logaritmos
1
(loga x)′ =
x · ln a
1
(ln x)′ =
x
Derivadas de funciones trigonométricas
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = -sin x
(tg x)′ = 1
cos 2 x
1
(ctg x)′ = -
sin 2 x
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
1
(arcsin x)′ =
√ 1 - x2
1
(arccos x)′ = -
(arctg x)′ =
√ 1 - x2
1
1 + x2
(arcctg x)′ = -
1
1 + x2
Derivadas de funciones hiperbólicas
(sh x)′ = ch x
(ch x)′ = sh x
(th x)′ =
1
ch2 x
(cth x)′ = -
1
sh2 x
La formulas del área. Área del triangulo, cuadrado, rectángulo, rombo,
parelelogramo, trapecio, círculo, elipse
Área de figuras geométricas es característica numeraria de una figura
geométrica que muestra el tamaño de esa figura (parte del plano limitado
por el derredor de esa figura). El valor del área se manifiesta por el número
de las unidades cuadradas que contiene
La formula del área del triangulo
1. La fórmula del área del triángulo a base de un lado y la altura
El área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de la
longitud del lado del triángulo por la longitud de la altura
A=
1
2
a·h
2. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados
La fórmula de Herón
A = √ s(s - a)(s - b)(s - c)
3. La fórmula del área del triángulo a base de dos lados y el ángulo entre
ellos
El área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de dos
sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A=
1
2
a · b · sin γ
4. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la
circunferencia circunscrita
A=
a·b·с
4R
5. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la
circunferecia
inscrita
El área del triángulo equivale a la multiplicación del semiperimetro del
triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
A=s·r
6.
donde A - área del triángulo,
a, b, c - longitud del triangulo lados,
h - longitud del triangulo altura,
γ - ángulo entre los lados a y b,
r - radio de la circunferencia inscrita,
R - radio de la circunferencia circunscrita,
a+b+c
s=
2
- del triangulo semiperimetro.
La formula del área del cuadrado
1. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su lado
El área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud del lado.
A = a2
2. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su diagonal
El área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de
diagonal.
A=
1
2
d2
3.
donde
A
área
alongitud
del
lado
d - longitud del diagonal del cuadro.
del
del
cuadrado,
cuadro,
La formula del área del rectángulo
El área del rectángulo equivale a la multiplicación de las longitudes de sus
dos lados contiguos
A=a·b
donde A - área del rectángulo,
a, b - longitud del rectángulo lados.
La formula del área del parelelogramo
1. La fórmula del área del paralelogramo a base de la longitud de su
lado
y
la
altura
El área del paralelogramo equivale a la multiplicación de la longitud
de su lado y la longitud de la altura.
A=a·h
2. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos lados y el ángulo
entre
ellos
El área del paralelogramo equivale a la multiplicación de las
longitudes de sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A = a · b · sin α
3. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos diagonals y el
ángulo
entre
ellos
El área del paralelogramo equivale a la mitad de la multiplicación de
las longitudes de sus diagonals multiplicada por el seno del ángulo
entre ellos.
A=
1
2
d1d2 sin γ
4.
donde A - área del paralelogramo,
a, b - longitud del parelelogramo lados,
h - longitud de la altura,
d1, d2 - longitud del parelelogramo diagonals,
α - ángulo entre lados,
γ - ángulo entre diagonals.
La formula del área del rombo
1. La fórmula del rombo a base de la longitud de su lado y altura
El área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su
lado y la longitud de la altura.
A=a·h
2. La fórmula del área del rombo a base de la longitud del lado y el
ángulo
El área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su
lado y el seno del ángulo entre los lados del rombo.
A = a2 · sin α
3. La fórmula del área del rombo a base de sus diagonales
El área del rombo equivale a la mitad de la multiplicación de las
longitudes de sus diagonales.
A=
1
2
d1 · d2
4.
donde A - área del rombo,
a - longitud de la lado del rombo,
h - longitud de la altura del rombo,
α - ángulo entre los lados del rombo,
d1, d2 - longitud de los diagonales.
La formula del área del trapecio
1. La fórmula de Herón para el trapecio
A=
a+b
|a - b|
√ (s - a)(s - b)(s - a - c)(s - a - d)
2.
3. La fórmula del área del trapecio a base de la longitud de sus bases y
la
altura
El área del trapecio equivale a la multiplicación del semisuma de sus
bases en la altura
A=
1
2
(a + b) · h
4. donde
A
área
del
a,
blongitudes
de
las
bases
del
c, d - longitudes de los lados laterales del trapecio,
a+b+c+d
s=
2
- semiperimetro del trapecio.
trapecio,
trapecio,
Fórmulas de área de un cuadrilátero convexo
1. Fórmula de área de un cuadrilátero a base de longitud de sus
diagonales
y
el
ángulo
entre
ellas
Área de un cuadrilátero convexo es igual a la mitad del producto de
sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo entre ellas:
A=
1
2
d1 d2 sin α
2.
donde
A
área
del
d1, d2 longitud
del
cuadrángulo
α - ángulo entre diagonals.
cuadrángulo,
diagonals,
3. Fórmula del área de un cuadrilátero circunscrito (a base de la longitud
del perímetro y el radio de la circunferencia inscrita)
Área de un cuadrilátero convexo es igual al producto del
semiperímetro por el radio de la circunferencia inscrita
A=s·r
4.
Fórmula de área de un cuadrilátero a base de la longitud de sus lados
y el valor de los ángulos opuestos
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd cos2θ
donde
A
área
a, b, c, d - longitud del cuadrángulo lados,
a+b+c+d
s=
2
α+β
θ=
2
del
cuadrángulo,
- semiperimetro del cuadrángulo,
- semisuma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero.
5. Fórmula de área de un cuadrilátero alrededor del cual se puede
circunscribir una circunferencia
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
La formula del área del círculo
1. La fórmula del área del círculo a base del radio
El área del círculo equivale a la multiplicación del radio al cuadrado
por el número “pi”
A = π r2
2. La fórmula del área del círculo a base del diámetro
El área del círculo equivale a la cuarta parte de la multiplicación del
diámetro al cuadrado por el número “pi”
A=
1
4
π d2
3. donde
A
área
rlongitud
del
radio
d - longitud del diámetro del círculo.
del
del
círculo,
círculo,
FIG.
La formula del área del elipse
El área del elipse equivale a la multiplicación de las longitudes de los
semiejes mayor y menor del elipse por el número “pi”.
A=π·a·b
donde
S
área
alongitud
del
semieje
mayor
b - longitud del semieje menor del elipse.
del
del
elipse,
elipse,
Rectángulo. Fórmulas y propiedades del rectángulo
Definición.
Rectángulo es un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos son iguales y todos
los cuatro ángulos son iguales también.
Los rectángulos se diferencian entre si solo por la relación del lado largo al
corto, pero todos sus cuatro ángulos son rectos, o sea, miden 90° cada uno.
Al lado largo de un rectángulo lo llaman la longitud de un rectángulo y al
corto lo llaman la anchura de un rectángulo.
Los lados de un rectángulo son al mismo tiempo sus alturas.
Las principales propiedades del rectángulo
Pueden ser un rectángulo tales figuras como un paralelogramo, un
cuadrado o un rombo.
1. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud, o sea, son
iguales:
AB = CD, BC = AD
2. Los lados opuestos de un rectángulo son paralelos:
AB||CD, BC||AD
3. Los lados adyacentes de un rectángulo siempre son perpendiculares:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Todos los cuatro ángulos de un rectángulo son rectos:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Suma de los ángulos de un rectángulo es igual a 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Las diagonales de un rectángulo tienen las longitudes iguales:
AC = BD
7. Suma de los cuadrados de las diagonales de un rectángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los lados:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Сada diagonal de un rectángulo lo divide en dos figuras iguales, o sea,
en dos triángulos rectangulares.
9. Las diagonales de un rectángulo se cruzan y en el punto de la intersección
se dividen por la mitad:
AO = BO = CO = d
DO =
2
10. El punto de la intersección de las diagonales se llama el centro de un
rectángulo y también es el centro de la circunferencia circunscrita
11. La diagonal de un rectángulo es el diámetro de la circunferencia
circunscrita
12. Siempre se puede circunscribir una circunferencia alrededor de un
rectángulo ya que la suma de los ángulos opuestos es 180°:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. En un rectángulo cuya longitud no es igual a la anchura no se puede
inscribir una circunferencia ya que las sumas de los lados opuestos no son
iguales entre si (se puede inscribir una circunferencia sólo en el caso
exclusivo de un rectángulo que es un cuadrado).
Lados del rectángulo
Definición.
Se llama la longitud de un rectángulo a la longitud del par más largo de sus
lados. Se llama la anchura de un rectángulo a la longitud del par más corto
de sus lados.
Fórmulas para hallar la longitud de los lados de un rectángulo
1. Fórmula del lado de un rectángulo (de longitud y de anchura de un
rectángulo) a través de una diagonal y otro lado:
a = √ d2 - b2
b = √ d2 - a2
2. Fórmula del lado de un rectángulo (de longitud y de anchura de un
rectángulo) a través del área y otro lado:
a=
A
b
b=
A
a
3. Fórmula del lado de un rectángulo (de longitud y de anchura de un
rectángulo) a través del perímetro
y otro lado:
P
2ª
P - 2b
b=
a=
2
2
4. Fórmula del lado de un rectángulo (de longitud y de anchura de un
rectángulo) a través del diámetro y el ángulo α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Fórmula del lado de un rectángulo (de longitud y de anchura de un
rectángulo) a través del diámetro y el ángulo β:
β
b = d cos
2
a = d sin
Β
2
Diagonal del rectángulo
Definición.
Se llama la diagonal de un rectángulo a cualquier segmento que une dos
vértices de los ángulos opuestos de un rectángulo.
Fórmulas para hallar la longitud de la diagonal de un rectángulo
1. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través de dos lados de un
rectángulo (mediante el teorema de Pitágoras):
d = √ a2 + b2
2. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del área y cualquier
lado:
d=
√ A2 + a4
a
=
√ A2 + b4
B
3. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del perímetro y
cualquier lado:
d=
√ P2 - 4Pa + 8a2
2
=
√ P2 - 4Pb + 8b2
2
4. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
d = 2R
5. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del diámento de la
circunferencia circunscrita:
d = Dо
6. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del seno del ángulo
adyacente a la diagonal y la longitud del lado opuesto a este ángulo:
d=
a
sin α
7. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del coseno del ángulo
adyacente a la diagonal y la longitud del lado adyacente a este ángulo:
d=
b
cos α
8. Fórmula de la diagonal de un rectángulo a través del seno del ángulo
agudo entre las diagonales y el área de un rectángulo:
d = √ 2A : sin β
Perímetro del rectángulo
Definición.
Se llama el perímetro de un rectángulo a la suma de las longitudes de
todos los lados de un rectángulo.
Fórmulas para hallar la longitud del perímetro de un rectángulo
1. Fórmula del perímetro de un rectángulo a través de dos lados de un
rectángulo:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Fórmula del perímetro de un rectángulo a través del área y cualquier
lado:
P=
2A + 2a2
a
=
2A + 2b2
b
3. Fórmula del perímetro de un rectángulo a través de una diagonal y
cualquier lado:
P = 2(a + √ d2 - a2 ) = 2(b + √ d2 - b2 )
4. Fórmula del perímetro de un rectángulo a través del radio de la
circunferencia circunscrita y cualquier lado:
P = 2(a + √ 4R2 - a2 ) = 2(b + √ 4R2 - b2 )
5. Fórmula del perímetro de un rectángulo a través del diámetro de la
circunferencia circunscrita y cualquier lado:
P = 2(a + √ Do2 - a2 ) = 2(b + √ Do2 - b2 )
Área del rectángulo
Definición.
Se llama el área de un rectángulo al espacio limitado por los lados de un
rectángulo, o sea, dentro de la zona del perímetro de un rectángulo.
Fórmulas para hallar el área de un rectángulo
1. Fórmula del área de un rectángulo a través de dos lados:
A=a·b
2. Fórmula del área de un rectángulo a través del perímetro y cualquier
lado:
A=
Pa - 2a2
2
=
Pb - 2b2
2
3. Fórmula del área de un rectángulo a través de una diagonal y cualquier
lado:
A = a√ d2 - a2 = b√ d2 - b2
4. Fórmula del área de un rectángulo a través de una diagonal y el seno
del ángulo águdo entre las diagonales:
A=
d2 · sin β
2
5. Fórmula del área de un rectángulo a través del radio de la
circunferencia circunscrita y cualquier lado:
A = a√ 4R2 - a2 = b√ 4R2 - b2
6. Fórmula del área de un rectángulo a través del diámetro de la
circunferencia circunscrita y cualquier lado:
A = a√ Do2 - a2 = b√ Do2 - b2
Circunferencia circunscrita alrededor del rectángulo
Definición.
Se llama la circunferencia circunscrita alrededor de un rectángulo al
círculo que pasa por cuatro vértices de un rectángulo cuyo centro es la
intersección de las diagonales del rectángulo.
Fórmulas para hallar el radio de la circunferencia circunscrita alrededor de
un rectángulo
1. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través de dos lados:
R=
√ a2 + b2
2
2. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del perímetro del cuadrado y cualquier lado:
R=
√ P2 - 4Pa + 8a2
4
=
√ P2 - 4Pb + 8b2
4
3. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del área de un rectángulo y la longitud de uno de sus
lados:
R=
√ A2 + a4
2a
=
√ A2 + b4
2b
4. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través de la diagonal de un rectángulo:
R=
d
2
5. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del diámetro de la circunferencia circunscrita:
R=
Dо
2
6. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del seno del ángulo adyacente a la diagonal y la
longitud del lado opuesto a este ángulo:
R=
a
2sin α
7. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del coseno del ángulo adyacente a la diagonal y la
longitud del lado adyacente a este ángulo:
R=
b
2cos α
8. Fórmula del radio de una circunferencia circunscrita alrededor de un
rectángulo a través del seno del ángulo agudo entre las diagonales y el
área del rectángulo:
R=
√ 2S : sin β
2
Ángulo entre el lado y la diagonal del rectángulo
Fórmulas para hallar el ángulo entre el lado y la diagonal
1. Fórmula para hallar el ángulo entre el lado y la diagonal de un
rectángulo a través de la diagonal y un lado:
a
sin α =
d
cos α =
b
d
2. Fórmula para hallar el ángulo entre el lado y la diagonal de un
rectángulo a través del ángulo entre las diagonales:
α=
β
2
Ángulo entre las diagonales del rectángulo
Fórmulas para hallar el ángulo entre las diagonales de un rectángulo
1. Fórmula para hallar el ángulo entre las diagonales de un rectángulo a
través del ángulo entre el lado y la diagonal:
β = 2α
2. Fórmula para hallar el ángulo entre las diagonales de un rectángulo a
través del área y la diagonal:
sin β =
2A
d2
Paralelogramo. Fórmulas, características y propiedades del paralelogramo
Definición.
Paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos a
pares (se ubican en las rectas paralelas).
Los paralelogramos se diferencian tanto por el tamaño de los lados
adyacentes como por los ángulos, sin embargo, los lados opuestos son
iguales.
fig.1
fig.2
Características del paralelogramo
El cuadrilátero ABCD será paralelogramo si se cumple por lo menos una de
las siguientes condiciones:
1. Un cuadrilátero tiene dos pares de los lados paralelos:
AB||CD, BC||AD
2. Un cuadrilátero tiene un par de los lados paralelos e iguales:
AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)
3. En un cuadrilátero los lados opuestos son iguales a pares:
AB = CD, BC = AD
4. En un cuadrilátero los ángulos opuestos son iguales a pares:
∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA
5. En un cuadrilátero las diagonales se dividen por la mitad con el punto de
intersección:
AO = OC, BO = OD
6. Suma de ángulos de cuadrilátero adyacentes a cualquier lado es 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
7. En un cuadrilátero la suma de cuadrados de diagonales es igual a la
suma de cuadrados de sus lados:
AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2
Propiedades básicas del paralelogramo
El cuadrado, el rectángulo y el rombo son paralelogramos
1. Los lados opuestos de paralelogramo tienen la longitud igual:
AB = CD, BC = AD
2. Los lados opuestos de paralelogramo son paralelos:
AB||CD, BC||AD
3. Los ángulos opuestos de paralelogramo son iguales:
∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB
4. La suma de ángulos de paralelogramo es 360°:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
5. - La suma de los ángulos de paralelogramo adyacentes a cualquier lado
es 180°:
∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°
6. Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales
7. Dos diagonales dividen un paralelogramo en dos pares de triángualos
iguales
8. Las diagonales del paralelogramo se cruzan y con el punto de su
intersección se dividen por la mitad:
AO = CO =
BO = DO =
d1
2
d2
2
9. El punto de intersección de las diagonales se llama el centro de simetría
de un paralelogramo
10. La suma de cuadrados de diagonales de paralelogramo es igual a la
suma de cuadrados de sus lados:
AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2
11. Las bisectrices de los lados opuestos de un paralelogramo siempre son
paralelas
12. Las bisectrices de los lados vecinos de un paralelogramo siempre se
cruzan bajo el ángulo recto (90°)
Lados del paralelogramo
Fórmulas para hallar la longitud de los lados de un paralelogramo:
1. Fórmula para hallar los lados de un paralelogramo a través de las
diagonales y el ángulo entre ellas:
a=
b=
√ d12 + d22 - 2d1d2·cosγ
2
√ d12 + d22 + 2d1d2·cosγ
2
=
=
√ d12 + d22 + 2d1d2·cosδ
2
√ d12 + d22 - 2d1d2·cosδ
2
2. Fórmula para hallar los lados de un paralelogramo a través de las
diagonales y otro lado:
a=
b=
√ 2d12 + 2d22 - 4b2
2
√ 2d12 + 2d22 - 4a2
2
3. Fórmula para hallar los lados de un paralelogramo a través de la altura y
el seno del ángulo:
a=
b=
hb
sin α
ha
sin α
4. Fórmula para hallar los lados de un paralelogramo a través del área y la
altura:
a=
b=
A
ha
A
hb
Diagonal del paralelogramo
Definición.
Se llama la diagonal de un paralelogramo cualquier segmento que une
dos vértices de los ángulos opuestos de un paralelogramo.
El paralelogramo tiene dos diagoneles – una larga d1, y otra corta d2
Fórmulas para hallar la longitud de las diagonales de un paralelogramo:
1. Fórmulas para hallar las diagonales de un paralelogramo a través de los
lados y el coseno del ángulo β (a base del teorema de cosenos)
d1 = √ a2 + b2 - 2ab·cosβ
d2 = √ a2 + b2 + 2ab·cosβ
2. Fórmulas para hallar las diagonales de un paralelogramo a través de los
lados y el coseno del ángulo α (a base del teorema de cosenos)
d1 = √ a2 + b2 + 2ab·cosα
d2 = √ a2 + b2 - 2ab·cosα
3. Fórmula para hallar las diagonales de un paralelogramo a través de dos
lados y otra diagonal conocida:
d1 = √ 2a2 + 2b2 - d22
d2 = √ 2a2 + 2b2 - d12
4. Fórmula para hallar las diagonales de un paralelogramo a través del
área, una diagonal conocida y el ángulo entre las diagonales:
d1 =
d2 =
2A
d2·sinγ
2A
d1·sinγ
=
=
2A
d2·sinδ
2A
d1·sinδ
Perímetro del paralelogramo
Definición.
Se llama el perímetro de un paralelogramo la suma de las longitudes de
todos los lados de un paralelogramo.
Fórmulas para hallar la longitud de perímetro de un paralelogramo:
1. Fórmula del perímetro de un paralelogramo a través de los lados de un
paralelogramo:
P = 2a + 2b = 2(a + b)
2. Fórmula del perímetro de un paralelogramo a través de un lado y dos
diagonales:
P = 2a + √ 2d12 + 2d22 - 4a2
P = 2b + √ 2d12 + 2d22 - 4b2
3. - Fórmula del perímetro de un paralelogramo a través de un lado, la
altura y el seno del ángulo:
P = 2(b +
P = 2(a +
hb
sin α
ha
sin α
)
)
Área del paralelogramo
Definición.
Se llama el área de un paralelogramo a un espacio limitado por los lados
de un paralelogramo, o sea, dentro del perímetro de un paralelogramo.
Fórmulas para hallar el área de un paralelogramo:
1. Fórmula del área de un paralelogramo a través del lado y la altura
relacionada a este lado:
A = a · ha
A = b · hb
2. Fórmula del área de un paralelogramo a través de dos lados y el seno
del ángulo entro ellos:
A = ab sinα
A = ab sinβ
3. Fórmula del área de un paralelogramo a través de dos diagonales y el
seno del ángulo entre ellas:
A=
A=
1
2
1
2
d1d2 sin γ
d1d2 sin δ
Rombo. Fórmulas, características y propiedades del rombo
Definición.
Rombo es un paralelogramo cuyos lados son iguales. Si todos los ángulos
de un rombo son rectos entonces éste se llama el cuadrado.
Los rombos se diferencian entre si por el tamaño de sus lados y por los
ángulos que tienen.
fig.1
fig.2
Características del rombo
Paralelogramo ABCD es un rombo si se cumple al menos una de estas
condiciones:
1. Sus dos lados adyacentes son iguales (de esto se deduce que todos los
lados son iguales):
АВ = ВС = СD = AD
2. Sus diagonales se cruzan bajo un ángulo recto:
AC┴BD
3. Una de las diagonales (bisectriz) divide los ángulos que la contienen por
la mitad:
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
4. Si todas las alturas son iguales:
BN = DL = BM = DK
5. Si las diagonales dividen un paralelogramo en cuatro triángulos
rectángulos iguales:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
6. Si es posible inscribir un círculo en el paralelogramo.
Propiedades del rombo
1. Posee todas las características de un paralelogramo
2. Sus diagonales son perpendiculares:
AC┴BD
3. Las diagonales son bisectrices de sus ángulos:
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
4. Suma de los cuadrados de las diagonales es igual al cuadrado de un
lado multiplicado por cuatro:
AC2 + BD2 = 4AB2
5. Punto de intersección de las diagonales se llama el centro de la simetría
de un rombo.
6. En cualquier rombo se puede inscribir una circunferencia.
7. Centro de la circunferencia inscrita en un rombo será el punto de
intersección de sus diagonales.
Lado del rombo
Fórmulas para hallar la longitud del lado de un rombo:
1. Fórmula del lado de un rombo a través del área y la altura:
a=
A
ha
2. Fórmula del lado de un rombo a través del área y el seno del ángulo:
a=
a=
√A
√ sinα
√A
√ sinβ
3. Fórmula del lado de un rombo a través del área y el radio de la
circunferencia inscrita:
a=
A
2r
4. Fórmula del lado de un rombo a través de dos diagonales:
a=
√ d12 + d22
2
5. Fórmula del lado de un rombo a través de la diagonal y el coseno del
ángulo agudo (cos α) o el coseno del ángulo obtuso (cos β):
a=
a=
d1
√ 2 + 2 cosα
d2
√ 2 - 2 cosβ
6. Fórmula del lado de un rombo a través de la diagonal mayor y el ángulo
mitad:
a=
a=
d1
2cos(α/2)
d1
2sin(β/2)
7. Fórmula del lado de un rombo a través de la diagonal menor y el ángulo
mitad :
a=
a=
d2
2cos(β/2)
d2
2sin(α/2)
8. Fórmula del lado de un rombo a través del perímetro:
a=
Р
4
Diagonales del rombo
Diagonales del rombo.
Se llama la diagonal de un rombo a cualquier segmento que une dos
vértices de los ángulos opuestos del rombo.
Rombo tiene dos diagonales – una larga - d1 y otra corta - d2
Fórmulas para hallar la longitud del rombo:
1. Fórmulas de la mayor diagonal del rombo a través de un lado y el
coseno del ángulo agudo (cosα) o el coseno del ángulo obtuso (cosβ)
d1 = a√ 2 + 2 · cosα
d1 = a√ 2 - 2 · cosβ
2. Fórmulas de la menor diagonal del rombo a través de un lado y el
coseno del ángulo agudo (cosα) o el coseno del ángulo obtuso (cosβ)
d2 = a√ 2 + 2 · cosβ
d2 = a√ 2 - 2 · cosα
3. Fórmulas de la mayor diagonal del rombo a través de un lado y el
ángulo mitad:
d1 = 2a · cos(α/2)
d1 = 2a · sin(β/2)
4. Fórmulas de la menor diagonal del rombo a través de un lado y el
ángulo mitad:
d2 = 2a · sin(α/2)
d2 = 2a · cos(β/2)
5. Fórmulas de las diagonales del rombo a través de un lado y otra
diagonal:
d1 = √ 4a2 - d22
d2 = √ 4a2 - d12
6. Fórmulas de las diagonales a través de la tangente del ángulo
agudo tgα o él obtuso agudo tgβ y otra diagonal:
d1 = d2 · tg(β/2)
d2 = d1 · tg(α/2)
7. Fórmulas de las diagonales a través del área y otra diagonal:
d1 =
d2 =
2A
d2
2A
d1
8. Fórmulas de las diagonales a través del seno del ángulo mitad y el radio
de la circunferencia inscrita:
d1 =
d2 =
2r
sin(α/2)
2r
sin(β/2)
Perímetro del rombo
Definición.
Se llama el perímetro del rombo a la suma de las longitudes de todos sus
lados.
Se puede hallar la longitud de un lado del rombo a través de las fórmulas
mencionadas arriba.
Fórmula para hallar la longitud del perímetro del rombo:
Fórmula del perímetro del rombo a través de un lado del rombo:
P = 4a
Área del rombo
Definición.
Se llama el área del rombo al espacio limitado por los lados del rombo, o
sea, en el marco del perímetro del rombo.
Fórmulas para hallar el área del rombo:
1. Fórmula del área del rombo a través de un lado y la altura:
A = a · ha
2. Fórmula del área del rombo a través de un lado y el seno de cualquier
ángulo:
A = a2 · sinα
3. Fórmula del área del rombo a través de un lado y el radio:
A = 2a · r
4. Fórmula del área del rombo a través de dos diagonales:
A = 1 d1d2
2
5. Fórmula del área del rombo a través del seno del ángulo y el radio de la
circunferencia inscrita:
A=
4r2
sinα
6. Fórmula del área del rombo a través de la mayor diagonal y la tangente
del ángulo agudo (tgα) o la menor diagonal y la tangente del ángulo
obtuso (tgβ):
A=
A=
1
2
1
2
d12 · tg(α/2)
d22 · tg(β/2)
Circunferencia inscrita en el rombo
Definición.
Se llama el círculo inscrito en un rombo al círculo adyacente a todos los
lados del rombo y cuyo centro está en la intersección de las diagonales
del rombo.
Fórmulas para hallar el radio del círculo inscrito en el rombo:
1. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través de la altura del
rombo:
r=
h
2
2. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través del área y un
lado del rombo:
r=
A
2a
3. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través del área y el
seno del ángulo:
r = √ A · sinα
2
4. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través de un lado y el
seno de cualquier ángulo:
r=
r=
a · sinα
2
a · sinβ
2
5. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través de la diagonal
y el seno del ángulo:
r=
r=
d1 · sin(α/2)
2
d2 · sin(β/2)
2
6. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través de dos
diagonales:
r=
d1 · d2
2√ d12 + d22
7. Fórmula del radio del círculo inscrito en el rombo a través de dos
diagonales y un lado:
r=
d1 · d2
4a
Fórmulas geométricas
Trapecio rectángulo. Fórmulas, características y propiedades del trapecio
rectángulo
Definición.
El trapecio rectángulo es tiene uno de sus lados laterales perpendicular a
las bases.
Características del trapecio
rectángulo
Un trapecio será rectángulo si se
cumpe una de las siguientes
condiciones:
1. un trapecio tiene dos ángulos
rectos adyacentes:
∠BAD = 90° y ∠ABC = 90°
2. un lado lateral es perpendicular
a las bases:
AB ┴ BC, AB ┴ AD
Propiedades básicas del trapecio rectángulo
1. El trapecio tiene dos ángulos rectos adyacentes:
∠BAD = ∠ABC = 90°
2. Uno de los lados laterales es perpendicular a las bases:
AB ┴ BC ┴ AD
3. La altura equivale al lado lateral menor:
h = AB
Lados del trapecio rectángulo
Fórmulas de las longitudes de los lados del trapecio rectángulo:
1. Fórmulas de la longitud de las bases a través de los lados y el ángulo al
lado de la base inferior:
a = b + d cos α = b + c ctg α = b + √ d 2 - c2
b = a - d cos α = a - c ctg α = a - √ d 2 - c2
2. Fórmulas de la longitud de las bases a través de los lados, las diagonales
y el ángulo entre ellas:
a=
b=
d1d2
c
d1d2
c
· sin γ - b =
· sin γ - a =
d1d2
c
d1d2
c
· sin δ - b
· sin δ - a
3. Fórmulas de la longitud de las bases del trapecio a través del área y
otros lados:
a=
2A
c
-b
2A
b=
c
-a
4. Fórmula del lado lateral a través de otros lados y el ángulo al lado de la
base inferior:
c = √ d 2 - (a - b)2 = (a - b) tg α = d sin α
5. Fórmulas del lado lateral a través de las bases, las diagonales y el ángulo
entre ellas:
c=
d1d2
d1d2
· sin γ =
a+b
a+b
· sin δ
6. Fórmulas del lado lateral a través del área, las bases y el ángulo al lado
de la base inferior:
c=
d=
A
m
=
2A
a+b
A
m sin α
=
2A
(a + b) sin α
7. Fórmula del lado lateral a través de otros lados, la altura y el ángulo al
lado de la base inferior:
d=
a-b
cos α
=
c
sin α
=
h
sin α
= √ c2 + (a - b)2
Mediana del trapecio rectángulo
Fórmulas de la longitud de la media del trapecio rectángulo:
1. Fórmulas de la mediana a través de la base, la altura (equivale al
lado d) y el ángulo α al lado de la base inferior:
m= a-h·
ctg α
2
= b+h·
ctg α
2
2. Fórmulas de la mediana a través de la base y los lados laterales:
m= a-
√ d 2 - c2
2
= b+
√ d 2 - c2
2
Polígono regular. Fórmulas, características y propiedades del polígono
regular
Definición. Polígono regular es un polígono cuyos lados o ángulos son
iguales (congruentes) entre sí.
Se denomina polígono a una parte del área que está limitada por una
línea poligonal cerrada que no se cruza.
Los polígonos se diferencian por el número de lados y ángulos.
Fig.1
Fig.2
Características del polígono regular
Será regular un polígono si se cumple por lo menos una de las condiciones
siguientes:
1. Todos sus lados son iguales:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an
2. Todos sus ángulos son iguales:
α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn
Propiedades esenciales del polígono regular
1. Todos sus lados son iguales:
a1 = a2 = a3 = ... = an-1 = an
2. Todos sus ángulos son iguales:
α1 = α2 = α3 = ... = αn-1 = αn
3. El centro de la cincunferencia iscrtita coincide con el centro de la
circunferencia circunscrita y forman el centro del polígono O.
4. Suma de todos los ángulos del polígono de n-vértices equivale a:
180° · (n - 2)
5. Suma de todos los ángulos exteriores del polígono de n-vértices equivale
a 360°:
β1 + β2 + β3 + ... + βn-1 + βn = 360°
6. Número de diagonales (Dn) del polígono de n-vértices equivale a la
mitad del producto del número de vértices por el número de diagonales
salientes de cada vértice:
Dn =
n · (n - 3)
2
7. En cualquier polígono se puede inscribir una circunferencia y circunscribir
un círculo y en este caso el área del anillo formada por estas
circunferencias depende sólo de la longitud del lado del polígono:
S=
π
4
a2
8. Todas las bisectrices de los ángulos entre los lados son iguales y pasan
por el centro del polígono regular O
Polígono regular – fórmulas
Fórmulas de la longitud del lado del polígono regular
1. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
a = 2r · tg
a = 2r · tg
180°
n
π
n
2. Fórmula del lado del polígono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
a = 2 R · sin
a = 2 R · sin
180°
n
π
n
Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular
Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del polígono regular a través
de la longitud del lado:
r = a : (2tg
r = a : (2tg
180°
n
π
n
)
)
Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular
Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del polígono regular a
través de la longitud del lado:
R = a : (2sin
R = a : (2sin
180°
n
π
n
)
)
Fórmulas del área del polígono regular
1. Fórmula del área del polígono regular a través de la longitud del lado:
S=
na2
4
· ctg
180°
n
2. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
S = nr2 · tg
180°
n
3. Fórmula del área del polígono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
S=
nR2
2
· sin
360°
n
Fórmula del perímetro del polígono regular:
Fórmula del perímetro del polígono regular:
P = na
Fórmula para hallar el ángulo entre los lados del polígono regular:
Fórmula para hallar el ángulo entre los lados del polígono regular:
αn =
n-2
n
· 180°
Рис.3
Triángulo equilátero
Fórmulas del triángulo equilatero:
1. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a
circunferencia inscrita:
a = 2r √ 3
2. Fórmula del lado del triángulo equilátero a través del radio de a
circunferencia circunscrita:
a = R√ 3
3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del triángulo equilátero a
través de la longitud un lado:
r=
a√ 3
6
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del triángulo
equilátero a través de la longitud un lado:
R=
a√ 3
3
5. Fórmula del área del triángulo equilátero a través de la longitud de un
lado:
S=
a2√ 3
4
6. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la
circunferencia inscrita:
S = r2 3√ 3
7. Fórmula del área del triángulo equilátero a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
S=
R2 3√ 3
4
8. Ángulo entre los lados del triángulo equilátero:
α = 60°
Рис.4
Cuadrilátero regular
El cuadrilátero regular es un cuadrado.
Fórmulas del cuadrilátero regular:
1. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
a = 2r
2. Fórmula del lado del cuadrilátero regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
a = R√ 2
3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del cuadrilátero regular a
través de la longitud de un lado:
r=
a
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero
regular a través de la longitud de un lado:
R=
a√ 2
2
5. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través de la longitud de un
lado:
S = a2
6. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
S = 4 r2
7. Fórmula del área del cuadrilátero regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
S = 2 R2
8. Ángulo entre los lados del cuadrilátero regular:
α = 90°
Hexágono regular
Fórmulas del hexágono regular:
1. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
a=
2√ 3
3
r
2. Fórmula del lado del hexágono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
a=R
3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del hexágono regular a
través de la longitud de un lado:
r=
a√ 3
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del hexágono regular
a través de la longitud de un lado:
R=a
5. Fórmula del área del hexágono regular a través de la longitud de un
lado:
S=
a2 3√ 3
2
6. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
S = r2 2√ 3
7. Fórmula del área del hexágono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
S=
R2 3√ 3
2
8. Ángulo entre los lados del hexángulo regular:
α = 120°
Octángono regular
Fórmulas del octángono regular:
1. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
a = 2r · (√ 2 - 1)
2. Fórmula del lado del octágono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
a = R√ 2 - √ 2
3. Fórmula del radio de la circunferencia inscrita del octágono regular a
través de la longitud de un lado:
r=
a(√ 2 + 1)
2
4. Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita del octágono regular
a través de la longitud de un lado:
R=
a√ 4 + 2√ 2
2
5. Fórmula del área del octágono regular a través de la longitud de un
lado:
S = a2 2(√ 2 + 1)
6. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la
circunferencia inscrita:
S = r2 8(√ 2 - 1)
7. Fórmula del área del octágono regular a través del radio de la
circunferencia circunscrita:
S = R2 2√ 2
8. Ángulo entre los lados del octángulo regular:
α = 135°
La formulas del área. Área del triangulo, cuadrado, rectángulo, rombo,
parelelogramo, trapecio, círculo, elips
La formula del área del triangulo
1. La fórmula del área del triángulo a base de un lado y la altura
El área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de la
longitud del lado del triángulo por la longitud de la altura
A=
1
2
a·h
2. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados
La fórmula de Herón
A = √ s(s - a)(s - b)(s - c)
3. La fórmula del área del triángulo a base de dos lados y el ángulo
entre ellos
El área del triángulo equivale a la mitad de la multiplicación de dos
sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre ellos.
A=
1
2
a · b · sin γ
4. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la
circunferencia circunscrita
A=
a·b·с
4R
5. La fórmula del área del triángulo a base de tres lados y el radio de la
circunferecia inscrita
El área del triángulo equivale a la multiplicación del semiperimetro
del triángulo por el radio de la circunferencia inscrita.
A=s·r
6.
donde A - área del triángulo,
a, b, c - longitud del triangulo lados,
h - longitud del triangulo altura,
γ - ángulo entre los lados a y b,
r - radio de la circunferencia inscrita,
R - radio de la circunferencia circunscrita,
a+b+c
s=
2
- del triangulo semiperimetro.
La formula del área del cuadrado
1. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su lado
El área de un cuadrado es el cuadrado de la longitud del lado.
A = a2
2. La fórmula del área del cuadrado a base de la longitud de su
diagonal
El área de un cuadrado es la mitad del cuadrado de la longitud de
diagonal.
A=
1
2
d2
3.
donde A - área del cuadrado,
a - longitud del lado del cuadro,
d - longitud del diagonal del cuadro.
La formula del área del rectángulo
El área del rectángulo equivale a la multiplicación de las longitudes de sus
dos lados contiguos
A=a·b
donde A - área del rectángulo,
a, b - longitud del rectángulo lados.
La formula del área del parelelogramo
1. La fórmula del área del paralelogramo a base de la longitud de su
lado y la altura
El área del paralelogramo equivale a la multiplicación de la longitud
de su lado y la longitud de la altura.
A=a·h
2. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos lados y el
ángulo entre ellos
El área del paralelogramo equivale a la multiplicación de las
longitudes de sus lados multiplicada por el seno del ángulo entre
ellos.
A = a · b · sin α
3. La fórmula del área del paralelogramo a base de dos diagonals y el
ángulo entre ellos
El área del paralelogramo equivale a la mitad de la multiplicación
de las longitudes de sus diagonals multiplicada por el seno del
ángulo entre ellos.
A=
1
2
d1d2 sin γ
4.
donde A - área del paralelogramo,
a, b - longitud del parelelogramo lados,
h - longitud de la altura,
d1, d2 - longitud del parelelogramo diagonals,
α - ángulo entre lados,
γ - ángulo entre diagonals.
La formula del área del rombo
1. La fórmula del rombo a base de la longitud de su lado y altura
El área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su
lado y la longitud de la altura.
A=a·h
2. La fórmula del área del rombo a base de la longitud del lado y el
ángulo
El área del rombo equivale a la multiplicación de la longitud de su
lado y el seno del ángulo entre los lados del rombo.
A = a2 · sin α
3. La fórmula del área del rombo a base de sus diagonales
El área del rombo equivale a la mitad de la multiplicación de las
longitudes de sus diagonales.
A=
1
2
d1 · d2
4.
donde A - área del rombo,
a - longitud de la lado del rombo,
h - longitud de la altura del rombo,
α - ángulo entre los lados del rombo,
d1, d2 - longitud de los diagonales.
La formula del área del trapecio
1. La fórmula de Herón para el trapecio
A=
a+b
|a - b|
√ (s - a)(s - b)(s - a - c)(s - a - d)
2.
3. La fórmula del área del trapecio a base de la longitud de sus bases y
la altura
El área del trapecio equivale a la multiplicación del semisuma de sus
bases en la altura
A=
1
2
(a + b) · h
4. donde A - área del trapecio,
a, b - longitudes de las bases del trapecio,
c, d - longitudes de los lados laterales del trapecio,
a+b+c+d
s=
2
- semiperimetro del trapecio.
Fórmulas de área de un cuadrilátero convexo
1. Fórmula de área de un cuadrilátero a base de longitud de sus
diagonales y el ángulo entre ellas
Área de un cuadrilátero convexo es igual a la mitad del producto de
sus diagonales multiplicado por el seno del ángulo entre ellas:
A=
1
2
d1 d2 sin α
2.
donde A - área del cuadrángulo,
d1, d2 - longitud del cuadrángulo diagonals,
α - ángulo entre diagonals.
3. Fórmula del área de un cuadrilátero circunscrito (a base de la
longitud del perímetro y el radio de la circunferencia inscrita)
Área de un cuadrilátero convexo es igual al producto del
semiperímetro por el radio de la circunferencia inscrita
A=s·r
4.
Fórmula de área de un cuadrilátero a base de la longitud de sus
lados y el valor de los ángulos opuestos
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd cos2θ
donde A - área del cuadrángulo,
a, b, c, d - longitud del cuadrángulo lados,
s = a + b + c + d - semiperimetro del cuadrángulo,
2
α+β
θ=
2
- semisuma de dos ángulos opuestos de un cuadrilátero.
5. Fórmula de área de un cuadrilátero alrededor del cual se puede
circunscribir una circunferencia
A = √ (s - a)(s - b)(s - c)(s - d)
La formula del área del círculo
1. La fórmula del área del círculo a base del radio
El área del círculo equivale a la multiplicación del radio al cuadrado
por el número “pi”
A = π r2
2. La fórmula del área del círculo a base del diámetro
El área del círculo equivale a la cuarta parte de la multiplicación del
diámetro al cuadrado por el número “pi”
A=
1
4
π d2
3. donde A - área del círculo,
r - longitud del radio del círculo,
d - longitud del diámetro del círculo.
La formula del área del elipse
El área del elipse equivale a la multiplicación de las longitudes de los
semiejes mayor y menor del elipse por el número “pi”.
A=π·a·b
donde S - área del elipse,
a - longitud del semieje mayor del elipse,
b - longitud del semieje menor del elipse.
Fórmulas del volumen de las figuras geométricas
Volumen del cubo
El volumen del cubo equivale a la longitud de su cara a tercera potencia.
Formula volumen de cubo:
V = a3
donde V - cubo volumen,
a - longitud de la cara del cubo.
Volumen de la prisma
El volumen de la prisma equivale a la multiplicación del área de la base en
la altura.
Formula volumen de prisma:
V = Ab h
donde V - prisma volumen,
Ab - área de las bases de la prisma,
h - longitud de la altura de la prisma.
Volumen del paralelepípedo
Volumen del paralelepípedoequivale a la multiplicación del área de la
base por la altura.
Formula volumen de paralelepípedo:
V = Ab · h
donde V - paralelepípedo volumen,
Ab - área de las bases de la paralelepípedo,
h - longitud de la altura de la paralelepípedo.
Volumen del ortoedro
Ortoedro volumen equivale a la multiplicación de su longitud, latitud y
altura.
Formula volumen de ortoedro:
V=a·b·h
donde V - ortoedro volumen,
a - longitud,
b - latitud,
h - altura.
Volumen de la pirámide
El volumen de la pirámide equivale a la tercera parte de la multiplicación
del área de su base en la altura.
Formula volumen de pirámide
V=
1
3
Ab · h
donde V - pirámide volumen,
Ab - área de las bases de la pirámide,
h - longitud de la altura de la pirámide.
Volumen del tetraedro regular
Formula volumen de tetraedro regular:
V=
a3 √ 2
12
donde V - tetraedro regular volumen,
a - longitud de la arista del tetraedro regular.
Volumen del cilindro
El volumen del cilindro equivale a la multiplicación del área de su base por
la altura.
Formula volumen de cilindro:
V = π R2 h
V = Ab h
donde V - cilindro volumen,
Ab - área de las bases de la cilindro,
R - radio de la cilindro,
h - longitud de la altura de la cilindro,
π = 3.141592.
Volumen del cono
El volumen del cono equivale a la tercera parte de la multiplicación del
área de su base por la altura.
Formula volumen de cono
V=
1
3
π R2 h
V = 1 Ab h
3
donde V - cono volumen,
Ab - área de las bases de la cono,
R - radio de las bases de la cono,
h - longitud de la altura de la cono,
π = 3.141592.
Volumen de la esfera
El volumen de la esfera equivale a cuatro tercias de su radio a la tercera
potencia multiplicado por el número “pi”.
Formula volumen de la esfera
V=
4
3
π R3
donde V - esfera volumen,
R - radio de la esfera,
π = 3.141592.
Fórmulas de área superficial de figuras geométricas
Área de cubo
Área superficial de cubo equivale a la longitud de su cara al cuadrado
multiplicada por seis
Fórmula de área de cubo:
A = 6 a2
donde A - área de cubo,
a - longitud de cara.
Área de ortoedro
Fórmula de área superficial de ortoedro:
A = 2(a · b + a · h + b · h)
donde A - área de ortoedro,
a - longitud,
b - latitud,
h - altura.
Área de cilindro
Área lateral de un cilindro redondo equivale al producto de perímetro de
su base por altura.
Fórmula para calcular área lateral de cilindro:
A=2πRh
Área superficial total de un cilindro redondo equivale a la suma del área
lateral de cilindro y la área duplicada de la base.
Fórmula para calcular área superficial total de cilindro:
A = 2 π R h + 2 π R 2 = 2 π R(R + h)
donde A - área,
R - radio de cilindro,
h - altura de cilindro,
π = 3.141592.
Área de cono
Área lateral de un cono equivale al producto de su radio y generatriz
multiplicado por el número π.
Fórmula de área lateral de cono:
A=πRl
Área superficial total de un cono equivale a la suma de área de la base y
área lateral.
Fórmula de área superficial total de un cono:
A = π R2 + π R l = π R (R + l)
donde A - área,
R - radio de la base de cono,
l - generatriz de cono,
π = 3.141592.
Área de esfera
Fórmulas de área de esfera:
Área superficial de esfera equivale a sus cuatro radios al cuadrado
multiplicados por el número π.
A = 4 π R2
Área superficial de esfera equivale a su diámetro al cuadrado
multiplicado por el número π.
A = π D2
donde A - área de esfera,
R - radio de esfera,
D - diámetro de esfera,
π = 3.141592.
Elipse. Fórmulas, atributos y propiedades de la elipse
Definición de la elipse
Definición.
La elipse es la curva plana y cerrada, cuya suma de distancias desde
cada punto hacia dos puntos F1 y F2 es constante. Los puntos F1 y F2 se
denominanan los focos de la elipse.
F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const
Рис.1
Рис.2
Elementos de la elipse
F1 y F2 - focos de la elipse
Ejes de la elipse.
А1А2 = 2a - eje mayor de la elipse (pasa por los focos de la elipse)
B1B2 = 2b - eje menor de la elipse (es perpendicular al eje mayor de la
elipse y pasa por su centro)
a - el semieje mayor de la elipse
b - el semieje menor de la elipse
O - centro de la elipse (el punto de intersección de los ejes mayor y menor
de la elipse)
Los vértices de la elipse A1, A2, B1, B2 son puntos de intersección de la elipse
con los ejes menor y mayor de la elipse.
El diámetro de la elipse es un segmento que une dos puntos de la elipse
pasando por su centro.
La distancia focal c es una mitad del segmento que une los focos de la
elipse.
La excentricidad de la elipse e caracteriza su extensión y se determina por
la razón entre su distancia focal c y su semieje mayor a. Para una elipse la
excentricidad siempre es 0 < e < 1, para un círculo e = 0, para una
parábola e = 1, para una hipérbola e > 1.
e=
c
a
Los radios focales de la elipse r1, r2 son la distancia de un punto en la elipse
hacia sus focos.
El radio de la elipse R es el segmento que une el centro de la elipse O con
un punto en esta elipse.
R=
ab
√ a2sin2φ + b2cos2φ
=
b
√ 1 - e2cos2φ
donde e - e es la excentricidad de la elipse, φ - es el ángulo entre el radio y
el eje mayor A1A2.
El perímetro focal de la elipse p es el segmento que sale del foco de la
elipse y es perpendicular al semieje mayor:
p=
b2
a
El achatamiento (o elipticidad) k es la razón de la longitud del semieje
menor al semieje mayor. Ya que el semieje menor es siempre más corto
que el semieje mayor, entonces k < 1, para el círculo k = 1:
k=
b
a
k = √ 1 - e2
donde e es la excentricidad.
El achatamiento de la elipse (1 - k) es la medida que equivale a la
diferencia entre 1 y elipticidad:
1-k=
a-b
a
Las directrices de la elipse son dos rectas perpendiculares al eje focal de la
elipse que la cruzan por la distancia ae del centro de la elipse. La distancia
desde el foco a la directriz es pe.
Propiedades básicas de la elipse
1. El ángulo entre la recta tangente de elipse y el radio focal r1 es igual al
ángulo entre la recta tangente y el radio focal r2 (Imagen 2, punto M3).
2. La ecuación de la recta tangente de la elipse en punto М con
coordenadas (xM, yM):
1=
xxM
a2
+
yyM
b2
3. Si una elipse es cruzada por dos rectas paralelas, entonces el segmento
que une los centros de los segmentos que resultan al cruzar las rectas y la
elipse siempre pasará por el centro de la elipse. (Esta característica le deja
contruir el centro de la elipse con ayuda de una regla y un compás.)
4. La evoluta de la elipse es el asteroide extendido a lo largo del eje menor.
5. Si inscribir una elipse con focos F1 y F2 en un triángulo ∆ ABC, entonces se
cumplirá la razón:
1=
F1A ∙ F2A
CA ∙ AB
+
F1B ∙ F2B
AB ∙ BC
+
F1C ∙ F2C
BC ∙ CA
Ecuación de la elipse
Ecuación canónica de la elipse:
Esta ecuación describe una elipse en coordenadas cartesianas. Si el centro
de la elipse О está al principio del sistema de coordenadas y ej eje mayor
está en abscisa, entonces la elipse se describe con la siguiente ecuación:
1=
x2
a2
+
y2
b2
Si el centro de la elipse О está desplazado al punto con coordenadas
(xo, yo), entonces la ecuación es:
1=
(x - xo)2
a2
+
(y - yo)2
b2
Ecuación paramétrica de la elipse:
{
x = a cos α
y = b sin α
де 0 ≤ α < 2π
Radio del círculo inscrito en la elipse
El círculo inscrito en la elipse toca sólo dos vértices de la elipse B1 y B2. Por
tanto el radio del círculo inscrito r será igual a la longitud del semieje menor
de la elipse OB1:
r=b
Radio del círculo circunscrito a la elipse
El círculo circunscrito a la elipse toca sólo dos vértices de la elipse A1 y A2.
Por tanto el radio del círculo circunscrito R será igual a la longitud del
semieje mayor de la elipse OA1:
R=a
Área de la elipse
Fórmula del área de la elipse:
A = πab
Área de un segmento de la elipse
Fórmula del área de un segmento que está a la izquierda de la cuerda con
coordenadas (x, y) y (x, -y):
A=
πab
2
-
b
a
( x √ a2 - x2 + a2 ∙ arcsin
x
a
)
Perímetro de la elipse
Hallar una fórmula exacta del perímetro de la elipse L es muy difícil. Abajo
está una fórmula del perímetro aproximado. El error experimental máximo
de esta fórmula ~0,63 %:
L≈4
πab + (a - b)2
a+b
Longitud de un arco de la elipse
Fórmulas del arco de la elipse:
1. Fórmula paramétrica para calcular un arco de la elipse por el semieje
mayor a y el semieje menor b:
t2
l=
∫
√ a2sin2t + b2cos2t dt
t1
2. Fórmula paramétrica para calcular un arco de la elipse por el semieje
mayor a y la excentricidad e:
t
2
l = ∫ √ 1 - e2cos2t dt,
e<1
