Clase 3 - Programación Lineal VF -15.01.19-convertido (1)

INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Ejemplo Metodo Gráfico
(Punto)
Si el modelo matemático es de dos variables, entonces se
puede resolver con el método gráfico:
1) MAX: Z = 2X + 4Y
SA (sujeto a)
2) 3X + Y <= 24
3) 2X + 6Y <= 48
4,5) X, Y>= 0
Graficando las las ecuaciones (2), (3),(4) y(5):
B
C
5
3
A
D 2
4
Hallar EL VALOR DE Z en (0,0)
1) MAX: Z= 2X + 4Y….(1)
(0,0) -> Z = 2(0) + 4(0) = 0 -> Z
=0
Hallar EL VALOR DE X en (0,8)
A
B
1) MAX: Z= 2X + 4Y….(1)
(0,8) -> Z = 2(0) + 4(8) = 32 -> Z
= 32
Hallar EL PUNTO C a través delas
ecuaciones 2 y 3 :
Hallar ELVALOR DE X en (8,0)
1) MAX: Z= 2X + 4Y….(1)
(0,8) -> Z = 2(8) + 4(0) = 16 -> Z =
16
C
Los puntos que maximizan la
ecuación Z son (6, 6) con un valor de
Z= 36
D
Semana 2
Programación lineal
(PL)
1. Presentación del curso.
• Formulación matemática del modelo de PL. Función Objetivo,
Restricciones. Método Simplex. Problemas Primal y Dual.
Conversión del Primal al Dual. Noción de Costo reducido.
Noción de Precio Sombra.
Práctica dirigida.
Método
Simplex
El método grafico podía resolver
problemas de 2 variables.
El método Simplex puede resolver problemas de 3 variables
o más
Resolución de problemas de programación lineal
Ejemplo 1 .MAX
S.A.:
Z = 50 X + 80 Y
……(1)
X + 2Y <= 120 ……………...(2)
X + Y <= 90
……………….(3) X, Y >= 0
Método
Simplex
Pasos:
a) Pasamos las ecuaciones a una lado de la igualdad, no inc. “no
negatividad”, pero los recursos ´(R) siguen quedando a la derecha
b) Reemplazamos los
valores “ >=“ ó “ <=“
por “ =”
(ya
que
simplex
sólo
trabaja con igualdades) y se
completa
con
una
variable de
Holgura
(H1, H2, …)para compensar la
= 0
Z - 50 X - 80
desigualdad.
Y
(1) (2
= 120
X + 2Y + H1
)
X + Y
+ H2 = 90 (3)
Método
Z
X
Elaborando la tabla simplex:
Simplex
1
-50
0
0
1
1
Y
-80
2
1
H1
H2
R
0
1
0
0
0
1
0
120
90
Identificando la columna pivote observando las variable de decisión, en
este caso X e Y,
y se elige
la más
negativa.
La
fila pivote
se elige dividiendo
constantes
(de los
entre los las
valores de la columna
recursos)
pivote,
escogiendo el menor
Columna Pivote
valor.
Z
1
0
0
H1
X Columna
Y
pivote
-50
-80
0
1
2
1
1
1
0
H2
R
0
0
1
0
120
90
Z
1
0
0
H1
H2
X
Y
-50
-80
0
0
1
2
1
0
1
1
0
1
Elemento Pivote :
R
0
120 /2 = 60
90 / 1 = 90
Fila
Pivot
e
Método
Según el método se debe Simplex
1. Convertir el elemento pivote en 1
2. Convertir en cero “0” o mayores los números sobre y debajo del
elemento pivote y en general de todos los coeficientes de las
variables de decisión.
Z
1
0
0
X
-50
1
1
Y
-80
2
1
H1
H2
R
0
1
0
0
0
1
0
120
90
Multiplicamos toda la fila (2) por 1/2
H1
H2
R
Z
X
Y
1
-50
-80
0
0
0
0 x 1/2 1 x 1/2 2 x 1/2 1 x 1/2 0 x 1/2 120 x 1/2
0
1
1
0
1
90
Z
1
0
0
X
-50
1/2
1
Y
-80
1
1
H1
H2
R
0
1/2
0
0
0
1
0
60
90
Método
Según el método se debe Simplex
1. Convertir el elemento pivote en 1
2. Convertir en cero “0” o mayores los números sobre y debajo del
elemento pivote y en general de todos los coeficientes de las
variables
de
H1
H2
R
Z
X
Y decisión.
a ) Fila 2 X 80 +
-> Nueva FILA
1
-50
-80
0
0
0
0
1/2
1
1/2
0
60
Fila 1
1
0
1
1
0
1
90
b) Fila 2 X -1
+ -> Nueva FILA
Z X Y H1 H2 R
a)
3
Fila
3
Z X Y H1 H2 R
1 -50 -80 0
FILA 1
FILA 2 x 80 0 40 80 40
Nueva Fila 1 -10 0 40
1
0
0
0 4800
0 4800
FILA 2 x -1 0 -0.5 -1 -0.5 0
b) 3
0 1
1
0 1
FILA
Nueva Fila 0 0.5 0 -0.5 1
3
-60
90
30
Método
Según el método se debe Simplex
1. Convertir el elemento pivote en 1
2. Convertir en cero “0” o mayores los números sobre y debajo del
elemento pivote y en general de todos los coeficientes de las
Columna
variables
de
decisión.
Nueva
pivote
Matriz
Z X
1 -10
0 1/2
0 0.5
Z
1
0
0
Y H1
0 40
1 1/2
0 -0.5
X
-10
1/2
1/2
Y
0
1
0
H2
R
Z X
1 -10
0 1/2
0 0.5
0 4800
0 60
1 30
H1
H2
R
40
1/2
-1/2
0
0
1
4800
60
30
Y H1
0 40
1 1/2
0 -0.5
H2
R
0 4800
0 60
1 30
R
Z X Y H1 H2
1 -10 0 40 0
4800
0 1/2 1 1/2 0 60 / (1/2) = 120
0 1/2 0 -1/2 1 30 / (1/2) = 60
No se divide entre números
negativos, si existieran no se
tomarían en cuenta.
Fila pivote
Método
Según el método se debe Simplex
1. Convertir el elemento pivote en 1
2. Convertir en cero “0” o mayores los números sobre y debajo del
elemento pivote y en general de todos los coeficientes de las
variables de decisión.
Convirtiendo
el elemento pivote en “1”, tenemos
H12: H2
R
Z
X (3)Ypor
Luego
1
-10
0
40
0 4800
->
Nueva
FILA
a ) Fila 3 X 10 +
0
1/2
1
1/2
0
60
1
Fila 1
0
1
0
-1
2
60
b) Fila 3 X -1/2
+ X -> Nueva
H1
H2
R
Z
Y
FILA
2
Fila 2
10x0+1 10x1-10
10x0+0
10x(-1)+40 10x2+0 10x60+4800
-1/2x0+0 -1/2x1+1/2 -1/2x0+1 -1/2x(-1)+1/2 -1/2x2+0 -1/2x60+60
0
1
0
-1
2
60
Método
Según el método se debe Simplex
1. Convertir el elemento pivote en 1
2. Convertir en cero “0” o mayores los números sobre y debajo del
elemento pivote y en general de todos los coeficientes de las
variables de decisión.
Convirtiendo
el elemento pivote en “1”, tenemos
H12: H2
R
Z
X (3)Ypor
Luego
1
-10
0
40
0 4800
->
Nueva
FILA
a ) Fila 3 X 10 +
0
1/2
1
1/2
0
60
1
Fila 1
0
1
0
-1
2
60
->Y Nueva H1
b) Fila 3ZX -1/2 X +
H2
R
Z=
FILA
2
Fila 2 1
0
0
30
20
5400
5400
0
0
1
1
-1
30
X = 60
0
1
0
-1
2
60
Ejemplo 2 .MAX
Método
Simplex
Z = 50 X + 56 Y
……(0)
S.A.:
X + Y <= 80 …………….. (1)
3 + 2Y 220 ……………….
X
<=
(2)
2 + 3Y 210 ………….… (3)
X
<=
Ejemplo 2
.MAX Z = 50 X + 56 Y
Método
Simplex
Z - 50 X - 56
= 0
Y
(0)
X + Y + H1
= 80
3 + 2Y
+
= 220
X
H2
2 + 3Y
+ H3 = 210
X
X + Y <=……(0)
80 ……………..(1)
3 + 2Y 220 ……………….(2)
X + 3Y<=
2X
<= 210 …………….…(3)
Pasando a tabla:
Z
X
Y H1 H2 H3
R
Z
-50
-56
0
0
0
0
X
1
1
1
0
0
80
H2
Y
3
2
2
3
0
0
1
0
0
1
220
210
…
... (1)
... (2)
... (3)
Método
Simplex
Ejemplo 2 .Eligiendo columna pivote, fila pivote y valor
pivote:
Z
X
Y H1 H2 H3
Z
-50
-56
0
0
0
0
X
1
1
1
0
0
80
H2
Y
3
2
2
3
0
0
1
0
0
1
220
210
Columna pivote (mayor más negativo):
Fila pivote (recursos /
constante de columna
pivote): se elige el menor
Z
X
Y H1 H2 H3
Z
X
H2
Y
-50
1
3
2
-56
1
2
3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
R
R
0
80/1 = 80
220/2= 110
210/3=70
Z
X
Z
H
2Y
X
Y
Método
Simplex
H1 H2 H3
R
1
1
-50 -56
3
2
2
3
210
0
1
0
0
0
0
0
1
(0
)
(1
)
(2
)
(3
)
0
8
0
22
0
0
0
1
0
Convirtiendo el pivote en 1 : (3)
entre 3
Z
X
X
Z
H2
1
1
-50 -56
3
2
220
2/3
1
Y
Y H1 H2 H3
R
1
0
0
0
0
1
0
0
0
80
0
0
0
1/3
70
(1
)
(2
)
(3
)
Método
Simplex
Convirtiendo - 56 en
"0"
(3) X 56 +(1)
Z
X
Z
56X2/3 + 50 X
1
H2
3
Y
2/3
Convirtiendo - 56 en
"0"
(3) X 56 +(1)
Y
56X1+56 1
2
H
56X0
1 +
0 1
0
0 0
1
H
56X1/3
3 +
0
0
0
1
0
0
1/3
Y
H
20
H
3
56/3
0
1
0
0
0
1/3
X
0
H
10
Z
-38/3
X
H2
Y
1
3
2/3
1
2
1
1
0
0
Z
H
56X0
2 +
R
56X70 +
0 8
0
22
0
7
0
(0
)
(1
)
(3
(2
))
R
392
08
0
22
07
0
(1
)
(2
)
(3
Método
Simplex
Convirtiendo 1 en
"0"
(3) X -1 + (2)
Z
X
Y
H1
Z
X
-38/3
2/3X(-1)+1
0
1X(-1)+1
0
0X(-1)+1
2
1
0
0
Y
H
10
H
20
H
56/3
3
1
0
0
0
1
0
-1/3
0
1/3
H2
3
Y
2/3
Convirtiendo 1 en
"0"
(3) X -1 + (2)
Z
X
Z
X
H2
Y
-38/3
1/3
3
2/3
0
0
2
1
H2
H3
R
0
56/3
3920
0X(-1)+0 1/3X(-1) + 0 70X(-1) +
80
1
0
220
0
1/3
70
(1
)
(2
)
(3
)
R
392
01
0
22
07
0
(1
)
(2
)
(3
)
Método
Convirtiendo 2 en
"0"
(3) X -2 + (2) -> SE HACE LA OPERACIÓN
Simplex
MENTALMENTE
Z
X
Y
H1
0
Z
-38/3
0
X
H2
Y
1/3
5/3
2/3
0
0
1
Columna
normalizada
1
0
0
H2
H3
0
3920
56/3
0
1
0
-1/3
-2/3
1/3
R
10
80
70
(1
)
(2
)
(3
)
Método
Definiendo nueva columna pivote
Simplex
(3) X -2 + (2) -> SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Y
1/3
X
Z
H2
-38/3
5/3
0
0
0
Y
2/3
1
H
10
H
20
H
56/3
3
0
0
1/3
1
0
0
1
-1/3
-2/3
R
392
01
0
8
0
7
0
(1
)
(2
(3
)
)
Definiendo nueva fila pivote
(3) X -2 + (2) -> SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Y
H1
H2
H3
R
Z
X
H2
Y
-38/3
1/3
5/3
2/3
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
56/3
-1/3
-2/3
1/3
3920
10/ (1/3) = 30/3 =30
80/ (5/3)=240/5=48
70/ (2/3)=210/2=105
(1
)
(2
)
Método
Definiendo nueva fila pivote
Simplex
(3) X -2 + (2) -> SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Y
Z
-38/3
0
X
1/3
0
H2
5/3
0
Y
Convirtiendo
el2/3
pivote en 1 1
(1) X 3 - > SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Z
H2
Y
X
Y
1
-38/3
5/3
2/3
0
0
0
1
H
10
H
20
H
56/3
3
1
0
0
0
1
0
-1/3
-2/3
1/3
H
10
H
20
H
56/3
3
3
0
0
0
1
0
1
-2/3
1/3
R
392
01
0
8
0
7
0
(1
)
(2
)
(3
)
R
392
03
0
8
0
7
0
(0
)
(1
)
(2
)
Método
Convirtiendo -38/3 en
"0"
Simplex
(1) X 38/3 + (0) -> SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Y
Z
X
H2
Y
0
1
5/3
2/3
Z
X
Y
1
H1
H
0
0
0
1
2
38
3
0
0
(1) X -5/3 + (2) -> SE HACE LA OPERACIÓN
Convirtiendo 5/3 en "0"
MENTALMENTE
X
Z
H2
Y
0
0
2/3
0
0
1
0
H1
H
0
0
0
1
3
2-5
38
0
0
1
0
0
H
36
1
-2/3
1/3
H
36
11
1/3
R
430
03
0
8
0
7
0
(0
)
(1
)
(2
)
(3
)
R
430
03
0
3
0
7
0
(0
)
(1
)
(2
)
Método
Convirtiendo 2/3 en "0"
Simplex
(1) X -2/3 + (3) -> SE HACE LA OPERACIÓN
MENTALMENTE
Z
X
Y
1
X
Z
H2
Y
0
0
0
X1
=
Y1
= Z
=
30
50
430
0
H
H
36
0
1
0
11
1
H1
0
0
0
1
3
2-5
38
-2
R
430
03
0
3
0
5
0
(0
)
(1
)
(2
)
(3
)
H2 =30 es un recurso sobrante ( que
no se utiliza en la optimización)
Modelos PRIMALES Y
DUALES
Los modelos Duales
se
crean como
una
opción
de
solución de
problemas
Primales (ó originales).
Las idea o intención, es que, de un problema de 3 variables de decisión
(Primal)
, se pueda convertir en uno más simple con 02 variables de decisión
(Dual)
En algunos casos es posible la simplificación y en otros casos no es
posible la misma.
Modelos PRIMALES Y
DUALEScomo un reflejo o el
Se plantea la ecuaciónDual,
opuesto
la
de Entonces se tiene :
Primal
Prima
Dua
l
l.
-3
MAX Z = -5 X1 – 35 X2 -20x3
Y
X 1 – X2 – x3 <= - 2
MIN W = -2 Y 1 – Y2 >= 2
5
Y1
- Y 1 –3
>= - X 1 –3
<= - 3
Y2
35
X2 X 1, X2,
>= 0
-Y1
>= X3
El modelo primal tiene 3 variables de restricción (x1,x2 y x3) y el20
modelo dual tiene 2 variables de restricción (y1, y2)
Modelos PRIMALES Y
DUALEScomo un reflejo o el
Se plantea la ecuaciónDual,
opuesto
la
de Entonces se tiene :
Prim
MAXalZ = 2 X1 +
Prima
Dual
4
l.
MIN W = 20 Y1 + 50
Y2
8 Y 1 + 3 Y2 <= 2
12 Y 1 – 15 Y2 <=
4 >= 0
Y 1, Y2
X2 8 X1 +
>= 20
12X2
>=
3XX1
1, -X2 >= 0 5
15X2
0
El modelo primal tiene 3 variables de restricción (x1,x2 y x3) y el
modelo dual tiene 2 variables de restricción (y1, y2)
Modelos PRIMALES Y
DUALES
Resolviendo la solución
dual se
tiene: Pasando las ecuaciones a
una matriz
W Y1
Y2
H1
H2
R
1
0
0
-50
3
-15
0
1
0
0
0
1
0
2
4
(1
)
(2
)
(3
)
-20
8
12
MIN W = 20 Y1
+
+ 3 Y2 <= 2
8 Y 1 – 15
<=
Y2>=
12YY1,1Y2
4
0
Determinando la columna y fila
pivote:
(1
)
(2
)
(3
W Pivote
Y1 (menor
Y2valor)H1
Columna
1
-20
-50
0
0
8
3
1
0
12
-15
0
H2
R
0
0
1
0
2
4
50 Y2
Fila
Pivote
(1
)
(2
)
(3
W
Y1
Y2
H1
H2
R
1
0
0
-20
8
12
-50
3
-15
0
1
0
0
0
1
0
2/3 = 0.66
4
Elemento Pivote es
“3
Modelos PRIMALES Y
DUALES
Resolviendo la solución
dual se
MIN W = 20 Y1 + 50
tiene:
Y2
Convirtiendo el valor pivote
en 1
8 Y 1 + 3 Y2 <= 2
(2) / R
3
:
12 Y – 15 Y2 <= 4
W
Y1 Y2 H1 H2
1
-20
-50
0
0
0
(1
Y 1,1 Y2 >=
)
(2
)
(3
)
(1
)
(2
)
(3
)
0
0
8
12
3
-15
1
0
0
1
2/3 = 0.66
4
W
Y1
Y2
H1
H2
R
1
0
0
-20
8/3
12
-50
1
-15
0
1/3
0
0
0
1
0
2/3
4
0
Modelos PRIMALES Y
DUALES
Resolviendo la solución
dual se
MIN W = 20 Y1 + 50
tiene:
Y2
Convirtiendo el valor pivote
en 1
8 Y 1 + 3 Y2 <= 2
(2) / R
3
:
12 Y – 15 Y2 <= 4
W
Y1 Y2 H1 H2
1
-20
-50
0
0
0
(1
1
)
0
8
3
1
0
2/3 = 0.66
(2
0
12
-15
0
1
4
Y 1,
>= 0
)
Y2el -50 : 50
(3
Eliminando
)
W
Y1
Y2
H1
H2
R
(1
)
(2
)
(3
)
1
0
0
-20
8/3
12
-50
1
-15
0
1/3
0
0
0
1
0
2/3
4
x(2) + (1)
(1
)
(2
)
(3
)
W
Y1
Y2
H1
H2
R
1
0
0
400/3-20
8/3
12
0
1
-15
50/3
1/3
0
0
0
1
100/3
2/3
4
Modelos PRIMALES Y
DUALES
Resolviendo la solución
dual se
tiene: Eliminando el -15:
15
x(2)W+ (3)Y1
(1
)
(2
)
(3
)
1
0
0
400/3-20
8/3
12
Entonces
tenemos:
W Y1
(1
)
(2
)
(3
)
1
0
0
340/3
8/3
52
Y2
H1
H2
R
0
1
-15
50/3
1/3
0
0
0
1
100/3
2/3
4
MIN W = 20 Y1 + 50
Y2
8 Y 1 + 3 Y2 <= 2
12 Y – 15 Y2 <= 4
Y 1,1 Y2 >=
0
W
Y2
H1
H2
R
0
1
0
50/3
1/3
5
0
0
1
100/3
2/3
10
=
Y1 =
Y2 =
100/
3
0
2/3
Programación lineal
(PL)
Coeficiente de costo reducido.Sea la siguiente
ecuación
Max Z = 3X1 +
6X2 3X1 + 2X2
X118
+ X2 >=5
<=
X1
<=
4
X1, X2 >=
0
3X1 + 2X2+
X3 X1 + X2
X1
X4
X1, X2,X3,X4,X5
>= 0
=
18
=5
+ X5 = 4
Programación lineal
(PL)
Coeficiente de costo reducido.Sea la siguiente
ecuación
3X1 + 2X2+
X3 X1 + X2
X1
X4
X1, X2,X3,X4,X5
>= 0
=
18
=5
+ X5 = 4
Ax = b
3
2
1
0
0
1
1
1
0
0
0
-1
0
0
1
X1
X2
X3
X4
X5
=
18
5
4
Programación lineal
(PL)
Coeficiente de costo reducido.Sea la siguiente
ecuación
Ax = b
3
2
1
0
0
1
1
1
0
0
0
-1
0
0
1
X1
X2
X3
X4
X5
Seria su forma
matricial
18
=
5
4
Programación lineal
(PL)
Coeficiente de costo reducido.Si asumimos que x4 y x5 = 0 ,
tenemos
Programación lineal
(PL)
Coeficiente de costo reducido.Si asumimos que x4= 1 y x5 = 0 ,
tenemos
Programación lineal
(PL)
Impacto de la solución
objetivo.Con la solución básica
Max Z = 3X1 + 6X2 = 3(4) + 6(1) = 18
Con la solución adyacente
Max Z = 3X1 + 6X2 = 3(4) + 6(2) = 24
Se ve que existe un incremento unitario en la
variable no básica X4 de 24 – 18 = 6 sobre la
función objetivo
Programación lineal
(PL)
Coeficiente del costo
reducido .Un cambio en la función objetivo como
resultado del incremento unitario de :
Una variable no básica Xj se llama coeficiente de
costo reducido de la variable Xj y se denota por
Cj
En el ejercicio anterior el coeficiente
de costo reducido para la variable o
¡GRACIA
S!
MEJORAS TÚ. MEJORA EL MUNDO.