Interés Compuesto: Unidad de Estudio

Unidad 3
Interés compuesto
Objetivos
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Calculará el monto producido por un cierto capital colocado a una tasa de interés compuesto
convertible anualmente, semestralmente y mensualmente.
• Calculará el capital necesario para que colocado a cierta tasa de interés compuesto capitalizable
en ciertos periodos de conversión, produzca un monto requerido.
• Calculará la tasa de interés compuesto necesaria para que un cierto capital se convierta en
un monto dado.
• Calculará el tiempo necesario para que un capital determinado, impuesto a cierta tasa de
interés compuesto convertible en periodos dados, produzca un monto requerido.
• Calculará la tasa efectiva anual de interés a partir de cierta tasa de interés compuesto
nominal y viceversa.
Introducción
E
n el mundo financiero muchas de las operaciones no se realizan sobre una base de capital
constante como lo visto en la unidad anterior, por el contrario, se utilizan sistemas donde
el capital va cambiando en cada periodo de tiempo debido a que el interés que se generó se
convierte en parte del nuevo capital para el siguiente periodo y así sucesivamente a lo largo de
la duración de la transacción, a esto se le conoce como interés compuesto.
En esta unidad se explica de manera más detallada el concepto y el cálculo de interés
compuesto. Se estudiará cómo calcular el monto, el valor presente, la tasa de interés y el
tiempo en una operación financiera, donde la base es el interés compuesto. Además, se
analizarán diferentes tipos de tasas de interés como son: la tasa nominal, la tasa efectiva por
periodo de capitalización y la tasa efectiva anual.
3.1. Interés compuesto
Al igual que el interés simple, el interés compuesto depende del capital, el tiempo y la tasa de
interés, aunque con pequeñas variaciones. Analicemos estos tres factores y el propio interés
compuesto mediante un ejemplo: piensa que realizas una inversión de $1 000 000 a 20% de
interés anual, durante un plazo de 7 años. Si recuerdas el concepto de interés simple, la cantidad
generada por concepto de intereses es constante y el capital es de $1 000 000 durante los 7 años,
sin embargo, ¿qué ocurriría si al finalizar cada año se reinvierten los intereses sumándolos al capital
inicial?, es decir, para el segundo año el capital ya aumentó, y así sucesivamente.
La siguiente tabla te muestra el comportamiento de ambas situaciones, para que
las puedas comparar:
81
matemáticas financieras
Como se puede observar en las columnas que muestran el comportamiento de la inversión
cuando se reinvierten los intereses, en cada periodo la cantidad de interés generado es mayor,
lo cual se debe a que éstos comienzan a ganar interés. A este proceso de convertir el interés
en parte del nuevo capital, se le conoce como capitalización. El interés acumulado al final del
tiempo que dura la inversión, se conoce como interés compuesto.
el interés compuesto es aquel que al final de cada periodo se agrega al capital, es decir, se
capitaliza; significa que, el capital va aumentando por la adición de los intereses vencidos al
final de cada uno de los periodos de tiempo a que se refiera la tasa, decimos entonces que el
interés se capitaliza periódicamente.
Como ya se mencionó, la tasa de interés es uno de los principales factores que
determinan el interés; cuando éste se capitaliza más de una vez por año, la tasa recibe el
nombre de tasa nominal, a la cual representaremos con la letra j.
Cuando se habla de una tasa nominal, se trata de una tasa anual capitalizable
periódicamente la cual puede estar expresada de diferentes formas, por ejemplo, una tasa de 10%
anual donde el interés se reinvierte o capitaliza cada semestre, se expresa:
• 10% anual capitalizable semestralmente
• 10% anual convertible semestral
• 10% anual compuesto semestralmente
• 10% compuesto semestral
Se puede utilizar de manera indistinta cualquiera de ellas, dependiendo de la institución
financiera.
Imaginemos una inversión de $1 000, impuesta a una tasa de 24% anual compuesto
mensualmente, durante un mes. La tasa de interés nos indica el periodo en que el interés
generado se capitaliza; en este caso es cada mes, sin embargo al tratarse de una tasa anual,
significa que no generará 24% cada mes, sino 2%, ya que el año tiene 12 meses y por tanto en
24
cada mes únicamente generará la doceava parte del interés anual (
= 2), por tanto el interés
12
generado durante un mes es:
(0.02)(1 000) = 200
82
unidad
Signif ica que para poder calcular el interés generado en cada
periodo de capitalización, se requiere primero determinar la tasa que
en realidad se aplica en cada periodo, tasa a la que llamaremos tasa
efectiva por periodo de capitalización, la cual representaremos
con la letra i.
La tasa efectiva por periodo de capitalización, se obtiene dividiendo
3
¿Cuál es
la diferencia
entre la tasa
nominal
y la tasa por
periodo de
capitalización?
la tasa nominal entre el número de capitalizaciones por año, identificando
dicho número de capitalizaciones por año con la letra k.
i=
j
k
donde:
i es la tasa de interés por periodo de capitalización
j es la tasa nominal
k es el número de capitalizaciones por año
Ejemplos
1. ¿Cuál es la tasa por periodo de capitalización que corresponde a una tasa de 36%
anual convertible trimestralmente?
Solución
Se identifican los valores:
j=36% anual convertible trimestral
k=4 ya que hay cuatro trimestres en un año
Se sustituyen los valores:
i=
i=
j
k
36
=9
4
Esto es, se aplica una tasa por periodo de 9%.
83
matemáticas financieras
2. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de capitalización que aplica una tasa nominal
de 18% compuesto anual?
Solución
Se identifican los valores:
j=18% anual convertible anualmente
k=1 ya que el interés se capitaliza anualmente
Se sustituyen los valores:
i=
i=
j
k
18
= 18
1
Esto es, se aplica una tasa por periodo de 18%.
Esta conversión de tasa nominal a tasa por periodo de capitalización es de suma
importancia, ya que para efectos de cálculo se aplica la tasa por periodo de capitalización
y no la nominal.
En lo que se refiere al tiempo, al cual identificaremos con la letra n, debe estar expresado
en las mismas unidades que los periodos de capitalización, por ejemplo: en una inversión a
24% anual compuesto bimestral, durante un tiempo de 18 meses, n=9 bimestres, ya que la
tasa de interés nos indica que los intereses se capitalizarán cada bimestre.
3.1.1. Cálculo del monto a interés compuesto
Como hemos visto el interés compuesto se calcula sobre el capital que va aumentando de
periodo a periodo, y no con respecto a un capital constante como ocurre con el interés simple,
por lo cual no es posible calcular el interés de forma directa, haciéndose necesario calcular
en primera instancia el monto.
84
unidad
3
Recuerda que el monto (también llamado valor futuro) es el resultado de sumar el capital
y los intereses generados. Para el interés compuesto el capital en cada periodo de inversión
corresponde al capital más el interés generado del periodo anterior.
Analicemos cómo se comporta una inversión con capital inicial C (el cual cambiará
en cada una de los periodos que dure la inversión), a una tasa de interés por periodo de
capitalización i, durante un tiempo n.
El interés generado para este caso durante el primer periodo es:
I=Ci
Si calculamos el monto para el primer periodo de capitalización tendríamos,
M=C+Ci
Factorizando con el método de factor común,
M=C(1+i)
Este monto representa el capital para el segundo periodo de capitalización, por lo cual
el interés se calcula sobre dicho capital, obteniendo,
I=C(1+i)i
El monto para el segundo periodo se obtiene sumando el capital (C(1+i)) y los intereses
generados en este periodo (C(1+i)i),
M=C(1+i)+C(1+i)i
Si se factoriza considerando C(1+i) como factor común se obtiene:
M=C(1+i) (1+i)=C(1+i)2
85
matemáticas financieras
Realizando el mismo procedimiento para los periodos 3 y 4 (primero para el tercer
periodo):
I=C(1+i)2 i
M=C(1+i)2+C(1+i)2 i
Si se factoriza considerando C(1+i)2 como factor común se obtiene:
M=C(1+i)2 (1+i)=C(1+i)3
Para el cuarto periodo,
I=C(1+i)i
M=C(1+i)3+C(1+i)3 i
Si se factoriza considerando C(1+i)3 como factor común se obtiene:
M=C(1+i)3 (1+i)=C(1+i)4
¿Qué tipo de
progresión es
el monto
compuesto?
86
Si obser va mos el va lor del monto compuesto obtenido en los
cuatro primeros periodos de capitalización, se puede notar que el monto
compuesto no es otra cosa que una progresión geométrica, de donde
se puede concluir que:
unidad
3
donde:
M es el monto
M=C(1+i) n
C es el capital
n es el tiempo expresado en las mismas unidades que
los periodos de capitalización
i es la tasa de interés por periodo de capitalización
Ejemplos
1. Si tenemos un capital de $1 000 invertido durante tres años con una tasa de interés de
25% anual capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto al final de estos tres años?
Solución
Primero se obtienen los datos:
C=1 000
j=25%=0.25 anual capitalizable anualmente
n=3 años
k=1 (ya que la capitalización es anual)
i=
j 0.25
=
= 0.25
k
1
Sustituimos en M=C(1+i)n:
M=1 000(1+0.25)3=1 000(1.25)3=1 000(1.953125)=1 953.13
El monto al final de los tres años es $1 953.13.
2. ¿Cuál es el monto producido por $80 000 durante 2 años 9 meses, si la tasa es de
18% anual compuesto trimestralmente?
87
matemáticas financieras
Solución
Primero se obtienen los datos:
C=80 000
j=18%=0.18 anual capitalizable trimestralmente
Debido a que el tiempo está expresado en diferentes unidades que la tasa de interés, es
necesario realizar algunas conversiones:
n=2 años 9 meses=33 meses=
33
trimestres=11 trimestres
3
k=4 (ya que la capitalización es trimestral)
i=
j 0.18
=
= 0.045
k
4
Éstos los sustituimos en M=C(1+i)n:
M=80 000(1+0.045)11=80 000(1.622853046)=129 828.24
El monto final es $129 828.24.
nota: en matemáticas financieras, una aproximación de resultados parciales durante el
procedimiento, puede ocasionar errores graves, por lo cual se deben de considerar todos los
decimales, y aproximar únicamente el resultado final.
Al principio de la unidad mencionamos que el interés compuesto no se puede obtener
de forma directa como ocurre con el interés simple; para calcularlo se despeja la fórmula que
nos dice que el monto es igual a la suma del capital más el interés (M=C+I), obteniendo
la siguiente relación:
I=M–C
88
unidad
3
Ejemplo
Una persona invierte $150 000 a 21% de interés compuesto anual. ¿Cuánto recibe de
esta inversión por concepto de intereses al cabo de 3 años?
Solución
Primero se obtienen los datos:
C=150 000
j=21%=0.21 anual capitalizable anual
n=3 años
k=1 (ya que la capitalización es anual)
i=
j 0.21
=
= 0.21
k
1
Sustituimos en M=C(1+i)n:
M=150 000(1+0.21)3=150 000(1.771561)=265 734.15
Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés:
I=265 734.15–150 000=115 734.15
Se reciben $115 734.15 por concepto de intereses.
3.1.2. Valor actual o presente
Hay ocasiones en las que se desea conocer cuál es la cantidad que se debe
invertir para que se obtenga determinado importe, en cierto tiempo con
una tasa de interés determinada. Esta cantidad (como se mencionó en
la unidad pasada) se conoce con el nombre de capital, valor presente
¿De qué otra
forma se
le conoce
al valor
actual?
o valor actual.
89
matemáticas financieras
Para determinar el valor actual, se puede utilizar la fórmula del monto compuesto
M=C(1+i)n y despejar de ahí el capital.
Ejemplo
¿Cuánto se debe invertir a 18% anual capitalizable bimestralmente para que en un plazo
de cuatro años se obtengan $180 000?
Solución
Se identifican los datos:
M=180 000
j=18%=0.18 anual capitalizable bimestralmente
n=4 años=4(6)=24 bimestres
k=6 ya que la capitalización es bimestral
i=
j 0.18
=0.03
=
k
6
Sustituimos en M=C(1+i)n:
180 000=C (1+0.03)24
180 000=C (2.032794106)
Se despeja el valor de C:
C=
180 000
= 88 548.07
2.032794106
Se requieren $88 548.07 de inversión.
90
unidad
3
Ejercicio 1
1. El señor López coloca $130 000 a 18% de interés anual compuesto anualmente
durante 5 años, ¿qué cantidad recibe al cabo de ese tiempo?
2. Alejandra pagará una deuda con $350 000 después de 4 años que se concedió el
préstamo, si la tasa de interés que se aplicó fue de 18% compuesto anual, ¿qué cantidad
le prestaron?
3. ¿Qué cantidad necesita invertir el señor Díaz a 18% de interés compuesto con
capitalización semestral, para recibir $125 000 al cabo de 2 años y medio?
4. ¿Qué cantidad en total paga una persona por un préstamo personal de $40 000 para
liquidarlo en 18 meses, a 26% de interés compuesto capitalizable trimestralmente?
5. ¿Qué cantidad se requiere invertir a 16% anual convertible trimestralmente, para que
en un año 3 meses se produzca un interés de $31 000?
3.1.3. Cálculo del tiempo
Cuando se requiere conocer el tiempo necesario para que un capital determinado se transforme
en un monto específico a una tasa de interés compuesto establecida, se puede utilizar la misma
fórmula del monto M=C(1+i)n, de donde se despeja n.
Ejemplos
1. ¿Durante cuánto tiempo debe el señor López colocar $100 000 a 16% de interés
compuesto anual, para hacer crecer su inversión hasta $210 000?
Solución
Se identifican los datos:
C=100 000
M=210 000
91
matemáticas financieras
j=16%=0.16 anual capitalizable anualmente
k=1
i=
j 0.16
=
= 0.16
1
k
Sustituimos en M=C(1+i)n:
210 000=100 000(1+0.16)n
210 000=100 000(1.16)n
100 000(1.16)n=210 000
(1.16)n=
210 000
100 000
(1.16)n=2.1
¿Cómo se
despeja
el tiempo
de esta
ecuación?
Recuerda que cuando la incógnita es parte del exponente, se trata de
una ecuación exponencial, en la que se aprovechan las propiedades de los
logaritmos para realizar el despeje.
Aplicamos logaritmos en ambos lados de la igualdad:
log(1.16)n=log2.1
n log1.16=log2.1
n=
log 2.1 0.322219294
=
=5
log 1.16 0.064457989
Dado que la unidad de tiempo en la que está expresada la tasa de interés es anual,
n estará expresada en la misma unidad, en este caso años, por lo tanto se requieren
aproximadamente 5 años.
2. ¿Qué tiempo en años se requiere para que una inversión de $120 000, a una tasa de
20.8% capitalizable trimestralmente, produzca $60 000 de intereses?
92
unidad
3
Solución
Se identifican los datos:
C=120 000
I=60 000
j=20.8%=0.208 anual capitalizable trimestralmente
k=4
i=
j 0.208
=
= 0.052
k
4
Para poder utilizar la fórmula del monto compuesto, primero es necesario conocer
el monto; si recuerdas, la definición de monto es el resultado de sumar el capital y los
intereses:
M=C+I
M=120 000+60 000=180 000
Sustituimos en M=C(1+i)n:
180 000=120 000(1+0.052)n
180 000=120 000 (1.052)n
120 000(1.052)n=180 000
(1.052)n=
180 000
120 000
(1.052)n=1.5
Aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad:
log(1.052)n=log1.5
93
matemáticas financieras
nlog1.052=log1.5
n=
log 1.5
0.176091259
=
=8
log 1.052 0.022015739
n=8 trimestres, ya que las unidades de la tasa de interés son trimestrales, sin embargo
el problema nos pide años, por lo que es necesario transformar los trimestres a años,
mediante una regla de tres simple.
un año
4 trimestres
x años
8 trimestres
x=
8(1)
= 2 años
4
Por lo tanto se requieren 2 años.
3.1.4. Cálculo de la tasa de interés
De igual manera como ocurre con el capital y el tiempo, en ocasiones es necesario determinar
la tasa nominal a la que está impuesto cierto capital, durante determinado tiempo, esperando
que se convierta en un monto dado. Esta tasa se puede obtener despejando la tasa efectiva
por periodo de capitalización (i) de la fórmula del monto compuesto, y posteriormente
convirtiéndola en una tasa nominal ( j).
Ejemplos
1. ¿A qué tasa de interés convertible semestralmente se necesitan colocar $50 000, para
que al cabo de 4 años se reciban en total $125 000?
Solución
Se identifican los datos:
C=50 000
94
unidad
3
M=125 000
k=2 ya que se trata de una tasa convertible semestralmente
n=4 años=4(2)=8 semestres
Sustituimos en M=C(1+i)n:
125 000=50 000(1+i)8
50 000(1+i)8=125 000
(1+i)8=
125 000
50 000
(1+i)8=2.5
1+i= 8 2.5
1+i=1.1214
i =1.1214–1=0.1214
Como ya se mencionó i es la tasa efectiva por periodo de capitalización, y lo que se nos
solicita es la tasa nominal, la cual podemos calcular utilizando la relación que existe entre la
j
tasa por periodo y la tasa nominal: i=
k
Por lo tanto:
i=
j
k
0.1214=
j
2
j=(0.1214) (2)=0.2428=24.28%
La tasa nominal anual compuesta semestralmente es 24.28%.
2. ¿Cuál es la tasa anual convertible anualmente a la que deben invertirse $150 000,
para convertirse en $350 000, después de 7 años?
95
matemáticas financieras
Solución
C=150 000
M=350 000
k=1
n=7 años
Sustituimos en M=C(1+i)n:
350 000=150 000(1+i)7
150 000(1+i)7=350 000
(1+i)7=
350 000
150 000
(1+i)7=2.333333333
7
1+i= 2.333333333
1+i=1.1287
i=1.1287–1=0.1287
Por lo tanto:
i=
j
k
0.1287=
j
1
j=(0.1287) (1)=0.1287=12.87%
La tasa nominal anual compuesta anualmente es 12.87%.
96
unidad
3
Ejercicio 2
1. ¿Cuántos años se requieren para que $100 000 a 20% de interés compuesto anual se
convierta en $430 000?
2. ¿A qué ta sa de i nterés a nua l compuesto se necesita coloca r u n capita l
de $75 000 para que al cabo de tres años se reciban $120 000 por concepto de capital más
intereses (monto)?
3. ¿Qué tasa de interés compuesto anual debe cobrar una institución bancaria por un
préstamo de $35 000 durante dos años si se requiere un monto de $53 000?
4. ¿Qué tasa nominal capitalizable semestralmente aplicaron a un capital de $75 000
durante un año 6 meses si el monto generado fue de $153 000?
5. ¿Cuántos años son necesarios para que una inversión de $84 000 a 16% de interés
mensualmente capitalizable se convierta en $106 614.25?
3.2. Tasa nominal y tasa efectiva anual
Al principio de la unidad se definió a la tasa nominal como aquella donde se presenta más
de una capitalización por año.
El interés compuesto generado por un capital determinado en un año, en realidad
representa un porcentaje mayor del capital con respecto a lo que indica la tasa nominal.
Veamos esto con un ejemplo:
Calcularemos el interés generado por $36 000 establecidos a una tasa nominal de
36% compuesto mensualmente.
Se identifican los datos:
C=36 000
j=36%=0.36 anual capitalizable mensualmente
n=un año=12 meses
k=12
97
matemáticas financieras
i=
j 0.36
=
= 0.03
12
k
Sustituimos en M=C(1+i)n:
M=65 000(1+0.03)12=65 000(1.425760887)=92 674.46
Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés:
I=92 674.46–65 000=27 674.46
Se reciben $27 674.46 por concepto de intereses.
Comparando el interés generado con el capital invertido para determinar el porcentaje
real que representa, se obtiene que:
$65 000.00
$27 674.46
x=
100%
x%
27 674.46(100)
= 42.58%
65 000
Esto significa que en realidad se obtuvo 42.58% de interés en un año, del cual,
comparado con la tasa nominal de 36%, podemos afirmar que ganó más de lo que indica la tasa
nominal, a este porcentaje mayor es a lo que se le conoce como tasa efectiva anual.
La tasa efectiva anual es la tasa de interés simple que producirá la misma cantidad acumulada
de interés en un año que la tasa nominal, también la podemos definir como aquella a la que
efectivamente está invertido un capital, a una tasa anual con más de un periodo de capitalización
en el año, y se representa con la letra ie.
Realicemos esta misma comparación, pero sin valores numéricos.
Como se mencionó, la tasa efectiva se puede considerar como un interés simple a un
plazo de un año, con lo que se tiene que el monto es:
98
unidad
3
M=C(1+ie)
Un interés compuesto a un plazo de un año genera un monto de:
M=C(1+
j k
)
k
Considerando que el rendimiento o interés en ambos casos es el mismo, tendríamos por
lo tanto que ambos montos también son iguales.
C(1+ie)=C(1+
j k
)
k
De esta igualdad podemos despejar ie, la cual representa la tasa efectiva anual a la que
corresponde una tasa nominal dada ( j).
donde:
j
ie =(1+ )k –1
k
ie es la tasa efectiva
j es la tasa nominal
k es el número de capitalizaciones por año
Ejemplo
¿Cuál es la tasa efectiva que cobra un banco por préstamos hipotecarios que ofrece con
una tasa nominal de 26% capitalizable semestralmente?
Solución
Se identifican los datos:
j=26%=0.26 anual capitalizable semestralmente
k=2
Se sustituyen los valores:
99
matemáticas financieras
ie=(1+
j k
) –1
k
0.26 

ie=  1 +
 –1
2 

2
2
ie= (1.13) –1
ie=1.2769–1=0.2769
La tasa efectiva anual es 27.69%.
A partir de la fórmula para calcular la tasa efectiva ie=(1+
la tasa nominal de ser necesario.
j k
) –1, es posible despejar
k
Ejemplo
¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente a una tasa efectiva
de 36%?
Solución
ie=(1+
j k
) –1
k
j

0.36 =  1 +  − 1
4

4
j

 1 +  = 0.36 + 1
4

4
1+
j 4
= 1.36
4
j
=1.079902949
4
j=4(0.079902949)=0.3196
La tasa nominal es de 31.96% anual capitalizable trimestralmente.
100
unidad
3
Ejercicio 3
1. ¿Cuál es la tasa efectiva que paga un banco en una cuenta que trabaja con una tasa
nominal de 18% compuesto bimestralmente?
2. ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente que cobra una compañía comercial,
en los créditos que otorga a sus clientes, si espera una tasa efectiva de 18%?
3. ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 45% anual compuesta
semestralmente?
4. ¿Cuál es la tasa nominal compuesta cuatrimestralmente equivalente a una tasa
efectiva de 23%?
Problemas resueltos
1. El señor Gómez obtiene un préstamo por $110 000 para la compra de un automóvil.
Se le otorga con una tasa de 12% anual compuesto trimestralmente a pagar en 12 años, ¿cuál
será el monto al final de estos 12 años?
Solución
Primero se obtienen los datos:
C=110 000
j=12%=0.12 anual capitalizable trimestralmente
n=12 años=12(4)=48 trimestres
k=4
i=
j 0.12
=
= 0.03
4
k
Sustituimos en M=C(1+i)n:
M=110 000(1+0.03)48=110 000(1.03)48=110 000(4.132251879)=454 547.71
101
matemáticas financieras
El monto al final de los tres años es $454 547.71.
2. ¿Qué interés producen $250 000 a 14% de interés con capitalización anual, durante
tres años?
Solución
Primero se obtienen los datos:
C=250 000
j=14%=0.14 anual capitalizable anualmente
n=3 años
k=1
i=
j 0.14
=
= 0.14
k
1
Sustituimos en M=C(1+i)n:
M=250 000(1+0.14)3=250 000(1.481544)=370 386
Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés:
I=370 386–250 000=120 386
Se reciben $120 386 por concepto de intereses.
3. ¿Cuánto se debe invertir a 17% anual capitalizable semestralmente para que en un
plazo de 18 meses se obtengan $165 000?
Solución
Se identifican los datos:
102
unidad
3
M=165 000
j=17%=0.17 anual capitalizable semestralmente
n=18 meses=
18
=3 semestres
6
k=2
i=
j 0.17
=0.085
=
k
2
Sustituimos en M=C(1+i)n:
165 000=C(1+0.085)3
165 000=C(1.277289125)
Se despeja el valor de C:
C=
165 000
= 129 179.84
1.277289125
Se requieren $129 179.84 de inversión.
4. ¿Cuántos años se requieren para duplicar una cantidad x a una tasa del interés de
24% compuesto mensualmente?
Solución
Se identifican los datos:
C=x
M=2x
j=24%=0.24 anual capitalizable mensualmente
k=12
103
matemáticas financieras
i=
j 0.24
=
= 0.02
12
k
Sustituimos en M=C(1+i)n:
2x=x(1+0.02)n
2x=x(1.02)n
x(1.02)n=2x
(1.02)n=
2x
x
(1.02)n=2
Aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad:
log(1.02)n=log2
nlog 1.02=log2
n=
log 2
0.301029995
=
= 35
log 1.02 0.008600171
n=35 meses, ya que las unidades de la tasa de interés son meses; sin embargo el problema
nos pide años, por lo que es necesario transformarlos, mediante una regla de tres simple:
un año
12 meses
x años
35 meses
x=
35(1)
= 2.92
12
Por lo tanto se requieren 2.92 años.
5. ¿A qué tasa de interés convertible trimestralmente se necesitan colocar $20 000 para
que al cabo de 9 años se reciban en total $225 000?
104
unidad
3
Solución
Se identifican los datos:
C=20 000
M=225 000
k=4
n=9 años=9(4)=36 trimestres
Sustituimos en M=C(1+i)n:
225 000=20 000(1+i)36
20 000 (1+i)36=225 000
(1+i)36=
225 000
20 000
(1+i)36=11.25
1+i = 36 11.25
1+i =1.06954
i=1.06954–1=0.06954
Como ya se mencionó, i es la tasa efectiva por periodo de capitalización, y lo que se nos
solicita es la tasa nominal, la cual podemos calcular utilizando la relación que existe entre la
j
tasa por periodo y la tasa nominal: i=
k
Por lo tanto:
i=
j
k
0.06954=
j
4
105
matemáticas financieras
j=(0.06954)(4)=0.27816=27.82%
La tasa nominal anual compuesta trimestral es 27.82%.
6. ¿Cuál es la tasa efectiva que cobra un banco que ofrece una tasa nominal de 19%
anual capitalizable bimestralmente?
Solución
Se identifican los datos:
j=19%=0.19 anual capitalizable bimestralmente
k=6
Se sustituyen los valores:
ie=(1+
j k
) –1
k
0.19 
ie=  1 +
 –1
6 

6
ie= (1.031666)6 –1
ie=1.20569–1=0.20569
La tasa efectiva anual es 20.57%.
Problemas propuestos
1. ¿Cuál es el monto que producen $28 000 colocados a 16% de interés compuesto
anual durante 3 años?
2. ¿Qué interés se obtiene al depositar $46 000 a 19% de interés anual convertible
trimestralmente durante 2 años 9 meses?
106
unidad
3
3. ¿A qué tasa nominal compuesta semestralmente se deben colocar $67 000 para que
al cabo de 2 años 6 meses se conviertan en $78 000?
4. ¿Cuál es el valor actual de un documento con valor de $54 000 con fecha de
vencimiento dentro de 3 años 4 meses, negociado a una tasa de 15.2% de interés compuesto
semestralmente?
5. ¿Qué tiempo es necesario para que un capital de $87 000 a 18% de interés compuesto
mensual se convierta en $155 487?
6. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de interés que da una institución bancaria si ofrecen
una tasa nominal de 15.5% de interés compuesto trimestral?
Respuestas a los ejercicios
ejercicio 1
1. M=$297 408.51
2. C=$180 526.11
3. C=$81 241.42
4. M=$58 365.69
5. C=$143 086.01
ejercicio 2
1. n=8 años
2. j=16.96%
3. j=23.06%
4. j=53.65%
5. n=1.5 años
107
matemáticas financieras
ejercicio 3
1. ie=19.41%
2. j=16.67%
3. ie=50.06%
4. j=21.43%
Respuestas a los problemas propuestos
1. M=$43 705.09
2. I=$30 639.41
3. j=6.17%
4. C=$33 136.91
5. n=3 años 3 meses.
6. ie=16.42%
108

Matemáticas inancieras
Unidad 3. Interés compuesto
Nombre:
Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación
1. El monto producido por $35 000 colocados a 14% de interés compuesto trimestralmente
durante 15 meses, es:
a)
b)
c)
d)
$48 355.27
$45 748.31
$43 229.51
$41 569.02
2. El valor actual de un documento con valor nominal de $59 000 colocado a 16.5% de interés
compuesto convertible mensualmente, que vence dentro de 4 meses, es de:
a)
b)
c)
d)
$55 863.55
$46 593.51
$48 054.20
$50 931.29
3. La tasa anual de interés compuesto trimestral a la que deben depositarse $70 000 para que
en un año y medio se conviertan en $100 000, es:
a ) 23.49%
b) 24.50%
c ) 25.49%
d) 26.49%
4. El tiempo en años y meses durante el cual $64 386.32 deben estar invertidos para transformarse
en $80 000 a una tasa nominal de 17.5% convertible mensualmente, es:
a ) Un año un mes.
b) Un año 2 meses.
c ) Un año 3 meses.
d) Un año 4 meses.
109
5. La tasa efectiva anual de interés que cobra una institución bancaria en sus préstamos personales,
fijada con una tasa nominal de 17.5% anual compuesto mensual, es de:
a)
b)
c)
d)
110
17.85%
17.97%
18.79%
18.97%