Unidad 3 Interés compuesto Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: • Calculará el monto producido por un cierto capital colocado a una tasa de interés compuesto convertible anualmente, semestralmente y mensualmente. • Calculará el capital necesario para que colocado a cierta tasa de interés compuesto capitalizable en ciertos periodos de conversión, produzca un monto requerido. • Calculará la tasa de interés compuesto necesaria para que un cierto capital se convierta en un monto dado. • Calculará el tiempo necesario para que un capital determinado, impuesto a cierta tasa de interés compuesto convertible en periodos dados, produzca un monto requerido. • Calculará la tasa efectiva anual de interés a partir de cierta tasa de interés compuesto nominal y viceversa. Introducción E n el mundo financiero muchas de las operaciones no se realizan sobre una base de capital constante como lo visto en la unidad anterior, por el contrario, se utilizan sistemas donde el capital va cambiando en cada periodo de tiempo debido a que el interés que se generó se convierte en parte del nuevo capital para el siguiente periodo y así sucesivamente a lo largo de la duración de la transacción, a esto se le conoce como interés compuesto. En esta unidad se explica de manera más detallada el concepto y el cálculo de interés compuesto. Se estudiará cómo calcular el monto, el valor presente, la tasa de interés y el tiempo en una operación financiera, donde la base es el interés compuesto. Además, se analizarán diferentes tipos de tasas de interés como son: la tasa nominal, la tasa efectiva por periodo de capitalización y la tasa efectiva anual. 3.1. Interés compuesto Al igual que el interés simple, el interés compuesto depende del capital, el tiempo y la tasa de interés, aunque con pequeñas variaciones. Analicemos estos tres factores y el propio interés compuesto mediante un ejemplo: piensa que realizas una inversión de $1 000 000 a 20% de interés anual, durante un plazo de 7 años. Si recuerdas el concepto de interés simple, la cantidad generada por concepto de intereses es constante y el capital es de $1 000 000 durante los 7 años, sin embargo, ¿qué ocurriría si al finalizar cada año se reinvierten los intereses sumándolos al capital inicial?, es decir, para el segundo año el capital ya aumentó, y así sucesivamente. La siguiente tabla te muestra el comportamiento de ambas situaciones, para que las puedas comparar: 81 matemáticas financieras Como se puede observar en las columnas que muestran el comportamiento de la inversión cuando se reinvierten los intereses, en cada periodo la cantidad de interés generado es mayor, lo cual se debe a que éstos comienzan a ganar interés. A este proceso de convertir el interés en parte del nuevo capital, se le conoce como capitalización. El interés acumulado al final del tiempo que dura la inversión, se conoce como interés compuesto. el interés compuesto es aquel que al final de cada periodo se agrega al capital, es decir, se capitaliza; significa que, el capital va aumentando por la adición de los intereses vencidos al final de cada uno de los periodos de tiempo a que se refiera la tasa, decimos entonces que el interés se capitaliza periódicamente. Como ya se mencionó, la tasa de interés es uno de los principales factores que determinan el interés; cuando éste se capitaliza más de una vez por año, la tasa recibe el nombre de tasa nominal, a la cual representaremos con la letra j. Cuando se habla de una tasa nominal, se trata de una tasa anual capitalizable periódicamente la cual puede estar expresada de diferentes formas, por ejemplo, una tasa de 10% anual donde el interés se reinvierte o capitaliza cada semestre, se expresa: • 10% anual capitalizable semestralmente • 10% anual convertible semestral • 10% anual compuesto semestralmente • 10% compuesto semestral Se puede utilizar de manera indistinta cualquiera de ellas, dependiendo de la institución financiera. Imaginemos una inversión de $1 000, impuesta a una tasa de 24% anual compuesto mensualmente, durante un mes. La tasa de interés nos indica el periodo en que el interés generado se capitaliza; en este caso es cada mes, sin embargo al tratarse de una tasa anual, significa que no generará 24% cada mes, sino 2%, ya que el año tiene 12 meses y por tanto en 24 cada mes únicamente generará la doceava parte del interés anual ( = 2), por tanto el interés 12 generado durante un mes es: (0.02)(1 000) = 200 82 unidad Signif ica que para poder calcular el interés generado en cada periodo de capitalización, se requiere primero determinar la tasa que en realidad se aplica en cada periodo, tasa a la que llamaremos tasa efectiva por periodo de capitalización, la cual representaremos con la letra i. La tasa efectiva por periodo de capitalización, se obtiene dividiendo 3 ¿Cuál es la diferencia entre la tasa nominal y la tasa por periodo de capitalización? la tasa nominal entre el número de capitalizaciones por año, identificando dicho número de capitalizaciones por año con la letra k. i= j k donde: i es la tasa de interés por periodo de capitalización j es la tasa nominal k es el número de capitalizaciones por año Ejemplos 1. ¿Cuál es la tasa por periodo de capitalización que corresponde a una tasa de 36% anual convertible trimestralmente? Solución Se identifican los valores: j=36% anual convertible trimestral k=4 ya que hay cuatro trimestres en un año Se sustituyen los valores: i= i= j k 36 =9 4 Esto es, se aplica una tasa por periodo de 9%. 83 matemáticas financieras 2. ¿Cuál es la tasa de interés por periodo de capitalización que aplica una tasa nominal de 18% compuesto anual? Solución Se identifican los valores: j=18% anual convertible anualmente k=1 ya que el interés se capitaliza anualmente Se sustituyen los valores: i= i= j k 18 = 18 1 Esto es, se aplica una tasa por periodo de 18%. Esta conversión de tasa nominal a tasa por periodo de capitalización es de suma importancia, ya que para efectos de cálculo se aplica la tasa por periodo de capitalización y no la nominal. En lo que se refiere al tiempo, al cual identificaremos con la letra n, debe estar expresado en las mismas unidades que los periodos de capitalización, por ejemplo: en una inversión a 24% anual compuesto bimestral, durante un tiempo de 18 meses, n=9 bimestres, ya que la tasa de interés nos indica que los intereses se capitalizarán cada bimestre. 3.1.1. Cálculo del monto a interés compuesto Como hemos visto el interés compuesto se calcula sobre el capital que va aumentando de periodo a periodo, y no con respecto a un capital constante como ocurre con el interés simple, por lo cual no es posible calcular el interés de forma directa, haciéndose necesario calcular en primera instancia el monto. 84 unidad 3 Recuerda que el monto (también llamado valor futuro) es el resultado de sumar el capital y los intereses generados. Para el interés compuesto el capital en cada periodo de inversión corresponde al capital más el interés generado del periodo anterior. Analicemos cómo se comporta una inversión con capital inicial C (el cual cambiará en cada una de los periodos que dure la inversión), a una tasa de interés por periodo de capitalización i, durante un tiempo n. El interés generado para este caso durante el primer periodo es: I=Ci Si calculamos el monto para el primer periodo de capitalización tendríamos, M=C+Ci Factorizando con el método de factor común, M=C(1+i) Este monto representa el capital para el segundo periodo de capitalización, por lo cual el interés se calcula sobre dicho capital, obteniendo, I=C(1+i)i El monto para el segundo periodo se obtiene sumando el capital (C(1+i)) y los intereses generados en este periodo (C(1+i)i), M=C(1+i)+C(1+i)i Si se factoriza considerando C(1+i) como factor común se obtiene: M=C(1+i) (1+i)=C(1+i)2 85 matemáticas financieras Realizando el mismo procedimiento para los periodos 3 y 4 (primero para el tercer periodo): I=C(1+i)2 i M=C(1+i)2+C(1+i)2 i Si se factoriza considerando C(1+i)2 como factor común se obtiene: M=C(1+i)2 (1+i)=C(1+i)3 Para el cuarto periodo, I=C(1+i)i M=C(1+i)3+C(1+i)3 i Si se factoriza considerando C(1+i)3 como factor común se obtiene: M=C(1+i)3 (1+i)=C(1+i)4 ¿Qué tipo de progresión es el monto compuesto? 86 Si obser va mos el va lor del monto compuesto obtenido en los cuatro primeros periodos de capitalización, se puede notar que el monto compuesto no es otra cosa que una progresión geométrica, de donde se puede concluir que: unidad 3 donde: M es el monto M=C(1+i) n C es el capital n es el tiempo expresado en las mismas unidades que los periodos de capitalización i es la tasa de interés por periodo de capitalización Ejemplos 1. Si tenemos un capital de $1 000 invertido durante tres años con una tasa de interés de 25% anual capitalizable anualmente, ¿cuál será el monto al final de estos tres años? Solución Primero se obtienen los datos: C=1 000 j=25%=0.25 anual capitalizable anualmente n=3 años k=1 (ya que la capitalización es anual) i= j 0.25 = = 0.25 k 1 Sustituimos en M=C(1+i)n: M=1 000(1+0.25)3=1 000(1.25)3=1 000(1.953125)=1 953.13 El monto al final de los tres años es $1 953.13. 2. ¿Cuál es el monto producido por $80 000 durante 2 años 9 meses, si la tasa es de 18% anual compuesto trimestralmente? 87 matemáticas financieras Solución Primero se obtienen los datos: C=80 000 j=18%=0.18 anual capitalizable trimestralmente Debido a que el tiempo está expresado en diferentes unidades que la tasa de interés, es necesario realizar algunas conversiones: n=2 años 9 meses=33 meses= 33 trimestres=11 trimestres 3 k=4 (ya que la capitalización es trimestral) i= j 0.18 = = 0.045 k 4 Éstos los sustituimos en M=C(1+i)n: M=80 000(1+0.045)11=80 000(1.622853046)=129 828.24 El monto final es $129 828.24. nota: en matemáticas financieras, una aproximación de resultados parciales durante el procedimiento, puede ocasionar errores graves, por lo cual se deben de considerar todos los decimales, y aproximar únicamente el resultado final. Al principio de la unidad mencionamos que el interés compuesto no se puede obtener de forma directa como ocurre con el interés simple; para calcularlo se despeja la fórmula que nos dice que el monto es igual a la suma del capital más el interés (M=C+I), obteniendo la siguiente relación: I=M–C 88 unidad 3 Ejemplo Una persona invierte $150 000 a 21% de interés compuesto anual. ¿Cuánto recibe de esta inversión por concepto de intereses al cabo de 3 años? Solución Primero se obtienen los datos: C=150 000 j=21%=0.21 anual capitalizable anual n=3 años k=1 (ya que la capitalización es anual) i= j 0.21 = = 0.21 k 1 Sustituimos en M=C(1+i)n: M=150 000(1+0.21)3=150 000(1.771561)=265 734.15 Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés: I=265 734.15–150 000=115 734.15 Se reciben $115 734.15 por concepto de intereses. 3.1.2. Valor actual o presente Hay ocasiones en las que se desea conocer cuál es la cantidad que se debe invertir para que se obtenga determinado importe, en cierto tiempo con una tasa de interés determinada. Esta cantidad (como se mencionó en la unidad pasada) se conoce con el nombre de capital, valor presente ¿De qué otra forma se le conoce al valor actual? o valor actual. 89 matemáticas financieras Para determinar el valor actual, se puede utilizar la fórmula del monto compuesto M=C(1+i)n y despejar de ahí el capital. Ejemplo ¿Cuánto se debe invertir a 18% anual capitalizable bimestralmente para que en un plazo de cuatro años se obtengan $180 000? Solución Se identifican los datos: M=180 000 j=18%=0.18 anual capitalizable bimestralmente n=4 años=4(6)=24 bimestres k=6 ya que la capitalización es bimestral i= j 0.18 =0.03 = k 6 Sustituimos en M=C(1+i)n: 180 000=C (1+0.03)24 180 000=C (2.032794106) Se despeja el valor de C: C= 180 000 = 88 548.07 2.032794106 Se requieren $88 548.07 de inversión. 90 unidad 3 Ejercicio 1 1. El señor López coloca $130 000 a 18% de interés anual compuesto anualmente durante 5 años, ¿qué cantidad recibe al cabo de ese tiempo? 2. Alejandra pagará una deuda con $350 000 después de 4 años que se concedió el préstamo, si la tasa de interés que se aplicó fue de 18% compuesto anual, ¿qué cantidad le prestaron? 3. ¿Qué cantidad necesita invertir el señor Díaz a 18% de interés compuesto con capitalización semestral, para recibir $125 000 al cabo de 2 años y medio? 4. ¿Qué cantidad en total paga una persona por un préstamo personal de $40 000 para liquidarlo en 18 meses, a 26% de interés compuesto capitalizable trimestralmente? 5. ¿Qué cantidad se requiere invertir a 16% anual convertible trimestralmente, para que en un año 3 meses se produzca un interés de $31 000? 3.1.3. Cálculo del tiempo Cuando se requiere conocer el tiempo necesario para que un capital determinado se transforme en un monto específico a una tasa de interés compuesto establecida, se puede utilizar la misma fórmula del monto M=C(1+i)n, de donde se despeja n. Ejemplos 1. ¿Durante cuánto tiempo debe el señor López colocar $100 000 a 16% de interés compuesto anual, para hacer crecer su inversión hasta $210 000? Solución Se identifican los datos: C=100 000 M=210 000 91 matemáticas financieras j=16%=0.16 anual capitalizable anualmente k=1 i= j 0.16 = = 0.16 1 k Sustituimos en M=C(1+i)n: 210 000=100 000(1+0.16)n 210 000=100 000(1.16)n 100 000(1.16)n=210 000 (1.16)n= 210 000 100 000 (1.16)n=2.1 ¿Cómo se despeja el tiempo de esta ecuación? Recuerda que cuando la incógnita es parte del exponente, se trata de una ecuación exponencial, en la que se aprovechan las propiedades de los logaritmos para realizar el despeje. Aplicamos logaritmos en ambos lados de la igualdad: log(1.16)n=log2.1 n log1.16=log2.1 n= log 2.1 0.322219294 = =5 log 1.16 0.064457989 Dado que la unidad de tiempo en la que está expresada la tasa de interés es anual, n estará expresada en la misma unidad, en este caso años, por lo tanto se requieren aproximadamente 5 años. 2. ¿Qué tiempo en años se requiere para que una inversión de $120 000, a una tasa de 20.8% capitalizable trimestralmente, produzca $60 000 de intereses? 92 unidad 3 Solución Se identifican los datos: C=120 000 I=60 000 j=20.8%=0.208 anual capitalizable trimestralmente k=4 i= j 0.208 = = 0.052 k 4 Para poder utilizar la fórmula del monto compuesto, primero es necesario conocer el monto; si recuerdas, la definición de monto es el resultado de sumar el capital y los intereses: M=C+I M=120 000+60 000=180 000 Sustituimos en M=C(1+i)n: 180 000=120 000(1+0.052)n 180 000=120 000 (1.052)n 120 000(1.052)n=180 000 (1.052)n= 180 000 120 000 (1.052)n=1.5 Aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad: log(1.052)n=log1.5 93 matemáticas financieras nlog1.052=log1.5 n= log 1.5 0.176091259 = =8 log 1.052 0.022015739 n=8 trimestres, ya que las unidades de la tasa de interés son trimestrales, sin embargo el problema nos pide años, por lo que es necesario transformar los trimestres a años, mediante una regla de tres simple. un año 4 trimestres x años 8 trimestres x= 8(1) = 2 años 4 Por lo tanto se requieren 2 años. 3.1.4. Cálculo de la tasa de interés De igual manera como ocurre con el capital y el tiempo, en ocasiones es necesario determinar la tasa nominal a la que está impuesto cierto capital, durante determinado tiempo, esperando que se convierta en un monto dado. Esta tasa se puede obtener despejando la tasa efectiva por periodo de capitalización (i) de la fórmula del monto compuesto, y posteriormente convirtiéndola en una tasa nominal ( j). Ejemplos 1. ¿A qué tasa de interés convertible semestralmente se necesitan colocar $50 000, para que al cabo de 4 años se reciban en total $125 000? Solución Se identifican los datos: C=50 000 94 unidad 3 M=125 000 k=2 ya que se trata de una tasa convertible semestralmente n=4 años=4(2)=8 semestres Sustituimos en M=C(1+i)n: 125 000=50 000(1+i)8 50 000(1+i)8=125 000 (1+i)8= 125 000 50 000 (1+i)8=2.5 1+i= 8 2.5 1+i=1.1214 i =1.1214–1=0.1214 Como ya se mencionó i es la tasa efectiva por periodo de capitalización, y lo que se nos solicita es la tasa nominal, la cual podemos calcular utilizando la relación que existe entre la j tasa por periodo y la tasa nominal: i= k Por lo tanto: i= j k 0.1214= j 2 j=(0.1214) (2)=0.2428=24.28% La tasa nominal anual compuesta semestralmente es 24.28%. 2. ¿Cuál es la tasa anual convertible anualmente a la que deben invertirse $150 000, para convertirse en $350 000, después de 7 años? 95 matemáticas financieras Solución C=150 000 M=350 000 k=1 n=7 años Sustituimos en M=C(1+i)n: 350 000=150 000(1+i)7 150 000(1+i)7=350 000 (1+i)7= 350 000 150 000 (1+i)7=2.333333333 7 1+i= 2.333333333 1+i=1.1287 i=1.1287–1=0.1287 Por lo tanto: i= j k 0.1287= j 1 j=(0.1287) (1)=0.1287=12.87% La tasa nominal anual compuesta anualmente es 12.87%. 96 unidad 3 Ejercicio 2 1. ¿Cuántos años se requieren para que $100 000 a 20% de interés compuesto anual se convierta en $430 000? 2. ¿A qué ta sa de i nterés a nua l compuesto se necesita coloca r u n capita l de $75 000 para que al cabo de tres años se reciban $120 000 por concepto de capital más intereses (monto)? 3. ¿Qué tasa de interés compuesto anual debe cobrar una institución bancaria por un préstamo de $35 000 durante dos años si se requiere un monto de $53 000? 4. ¿Qué tasa nominal capitalizable semestralmente aplicaron a un capital de $75 000 durante un año 6 meses si el monto generado fue de $153 000? 5. ¿Cuántos años son necesarios para que una inversión de $84 000 a 16% de interés mensualmente capitalizable se convierta en $106 614.25? 3.2. Tasa nominal y tasa efectiva anual Al principio de la unidad se definió a la tasa nominal como aquella donde se presenta más de una capitalización por año. El interés compuesto generado por un capital determinado en un año, en realidad representa un porcentaje mayor del capital con respecto a lo que indica la tasa nominal. Veamos esto con un ejemplo: Calcularemos el interés generado por $36 000 establecidos a una tasa nominal de 36% compuesto mensualmente. Se identifican los datos: C=36 000 j=36%=0.36 anual capitalizable mensualmente n=un año=12 meses k=12 97 matemáticas financieras i= j 0.36 = = 0.03 12 k Sustituimos en M=C(1+i)n: M=65 000(1+0.03)12=65 000(1.425760887)=92 674.46 Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés: I=92 674.46–65 000=27 674.46 Se reciben $27 674.46 por concepto de intereses. Comparando el interés generado con el capital invertido para determinar el porcentaje real que representa, se obtiene que: $65 000.00 $27 674.46 x= 100% x% 27 674.46(100) = 42.58% 65 000 Esto significa que en realidad se obtuvo 42.58% de interés en un año, del cual, comparado con la tasa nominal de 36%, podemos afirmar que ganó más de lo que indica la tasa nominal, a este porcentaje mayor es a lo que se le conoce como tasa efectiva anual. La tasa efectiva anual es la tasa de interés simple que producirá la misma cantidad acumulada de interés en un año que la tasa nominal, también la podemos definir como aquella a la que efectivamente está invertido un capital, a una tasa anual con más de un periodo de capitalización en el año, y se representa con la letra ie. Realicemos esta misma comparación, pero sin valores numéricos. Como se mencionó, la tasa efectiva se puede considerar como un interés simple a un plazo de un año, con lo que se tiene que el monto es: 98 unidad 3 M=C(1+ie) Un interés compuesto a un plazo de un año genera un monto de: M=C(1+ j k ) k Considerando que el rendimiento o interés en ambos casos es el mismo, tendríamos por lo tanto que ambos montos también son iguales. C(1+ie)=C(1+ j k ) k De esta igualdad podemos despejar ie, la cual representa la tasa efectiva anual a la que corresponde una tasa nominal dada ( j). donde: j ie =(1+ )k –1 k ie es la tasa efectiva j es la tasa nominal k es el número de capitalizaciones por año Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva que cobra un banco por préstamos hipotecarios que ofrece con una tasa nominal de 26% capitalizable semestralmente? Solución Se identifican los datos: j=26%=0.26 anual capitalizable semestralmente k=2 Se sustituyen los valores: 99 matemáticas financieras ie=(1+ j k ) –1 k 0.26 ie= 1 + –1 2 2 2 ie= (1.13) –1 ie=1.2769–1=0.2769 La tasa efectiva anual es 27.69%. A partir de la fórmula para calcular la tasa efectiva ie=(1+ la tasa nominal de ser necesario. j k ) –1, es posible despejar k Ejemplo ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 36%? Solución ie=(1+ j k ) –1 k j 0.36 = 1 + − 1 4 4 j 1 + = 0.36 + 1 4 4 1+ j 4 = 1.36 4 j =1.079902949 4 j=4(0.079902949)=0.3196 La tasa nominal es de 31.96% anual capitalizable trimestralmente. 100 unidad 3 Ejercicio 3 1. ¿Cuál es la tasa efectiva que paga un banco en una cuenta que trabaja con una tasa nominal de 18% compuesto bimestralmente? 2. ¿Cuál es la tasa nominal convertible mensualmente que cobra una compañía comercial, en los créditos que otorga a sus clientes, si espera una tasa efectiva de 18%? 3. ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal de 45% anual compuesta semestralmente? 4. ¿Cuál es la tasa nominal compuesta cuatrimestralmente equivalente a una tasa efectiva de 23%? Problemas resueltos 1. El señor Gómez obtiene un préstamo por $110 000 para la compra de un automóvil. Se le otorga con una tasa de 12% anual compuesto trimestralmente a pagar en 12 años, ¿cuál será el monto al final de estos 12 años? Solución Primero se obtienen los datos: C=110 000 j=12%=0.12 anual capitalizable trimestralmente n=12 años=12(4)=48 trimestres k=4 i= j 0.12 = = 0.03 4 k Sustituimos en M=C(1+i)n: M=110 000(1+0.03)48=110 000(1.03)48=110 000(4.132251879)=454 547.71 101 matemáticas financieras El monto al final de los tres años es $454 547.71. 2. ¿Qué interés producen $250 000 a 14% de interés con capitalización anual, durante tres años? Solución Primero se obtienen los datos: C=250 000 j=14%=0.14 anual capitalizable anualmente n=3 años k=1 i= j 0.14 = = 0.14 k 1 Sustituimos en M=C(1+i)n: M=250 000(1+0.14)3=250 000(1.481544)=370 386 Aplicando la fórmula I=M–C se puede obtener el interés: I=370 386–250 000=120 386 Se reciben $120 386 por concepto de intereses. 3. ¿Cuánto se debe invertir a 17% anual capitalizable semestralmente para que en un plazo de 18 meses se obtengan $165 000? Solución Se identifican los datos: 102 unidad 3 M=165 000 j=17%=0.17 anual capitalizable semestralmente n=18 meses= 18 =3 semestres 6 k=2 i= j 0.17 =0.085 = k 2 Sustituimos en M=C(1+i)n: 165 000=C(1+0.085)3 165 000=C(1.277289125) Se despeja el valor de C: C= 165 000 = 129 179.84 1.277289125 Se requieren $129 179.84 de inversión. 4. ¿Cuántos años se requieren para duplicar una cantidad x a una tasa del interés de 24% compuesto mensualmente? Solución Se identifican los datos: C=x M=2x j=24%=0.24 anual capitalizable mensualmente k=12 103 matemáticas financieras i= j 0.24 = = 0.02 12 k Sustituimos en M=C(1+i)n: 2x=x(1+0.02)n 2x=x(1.02)n x(1.02)n=2x (1.02)n= 2x x (1.02)n=2 Aplicando logaritmos en ambos lados de la igualdad: log(1.02)n=log2 nlog 1.02=log2 n= log 2 0.301029995 = = 35 log 1.02 0.008600171 n=35 meses, ya que las unidades de la tasa de interés son meses; sin embargo el problema nos pide años, por lo que es necesario transformarlos, mediante una regla de tres simple: un año 12 meses x años 35 meses x= 35(1) = 2.92 12 Por lo tanto se requieren 2.92 años. 5. ¿A qué tasa de interés convertible trimestralmente se necesitan colocar $20 000 para que al cabo de 9 años se reciban en total $225 000? 104 unidad 3 Solución Se identifican los datos: C=20 000 M=225 000 k=4 n=9 años=9(4)=36 trimestres Sustituimos en M=C(1+i)n: 225 000=20 000(1+i)36 20 000 (1+i)36=225 000 (1+i)36= 225 000 20 000 (1+i)36=11.25 1+i = 36 11.25 1+i =1.06954 i=1.06954–1=0.06954 Como ya se mencionó, i es la tasa efectiva por periodo de capitalización, y lo que se nos solicita es la tasa nominal, la cual podemos calcular utilizando la relación que existe entre la j tasa por periodo y la tasa nominal: i= k Por lo tanto: i= j k 0.06954= j 4 105 matemáticas financieras j=(0.06954)(4)=0.27816=27.82% La tasa nominal anual compuesta trimestral es 27.82%. 6. ¿Cuál es la tasa efectiva que cobra un banco que ofrece una tasa nominal de 19% anual capitalizable bimestralmente? Solución Se identifican los datos: j=19%=0.19 anual capitalizable bimestralmente k=6 Se sustituyen los valores: ie=(1+ j k ) –1 k 0.19 ie= 1 + –1 6 6 ie= (1.031666)6 –1 ie=1.20569–1=0.20569 La tasa efectiva anual es 20.57%. Problemas propuestos 1. ¿Cuál es el monto que producen $28 000 colocados a 16% de interés compuesto anual durante 3 años? 2. ¿Qué interés se obtiene al depositar $46 000 a 19% de interés anual convertible trimestralmente durante 2 años 9 meses? 106 unidad 3 3. ¿A qué tasa nominal compuesta semestralmente se deben colocar $67 000 para que al cabo de 2 años 6 meses se conviertan en $78 000? 4. ¿Cuál es el valor actual de un documento con valor de $54 000 con fecha de vencimiento dentro de 3 años 4 meses, negociado a una tasa de 15.2% de interés compuesto semestralmente? 5. ¿Qué tiempo es necesario para que un capital de $87 000 a 18% de interés compuesto mensual se convierta en $155 487? 6. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de interés que da una institución bancaria si ofrecen una tasa nominal de 15.5% de interés compuesto trimestral? Respuestas a los ejercicios ejercicio 1 1. M=$297 408.51 2. C=$180 526.11 3. C=$81 241.42 4. M=$58 365.69 5. C=$143 086.01 ejercicio 2 1. n=8 años 2. j=16.96% 3. j=23.06% 4. j=53.65% 5. n=1.5 años 107 matemáticas financieras ejercicio 3 1. ie=19.41% 2. j=16.67% 3. ie=50.06% 4. j=21.43% Respuestas a los problemas propuestos 1. M=$43 705.09 2. I=$30 639.41 3. j=6.17% 4. C=$33 136.91 5. n=3 años 3 meses. 6. ie=16.42% 108 Matemáticas inancieras Unidad 3. Interés compuesto Nombre: Grupo: Número de cuenta: Profesor: Campus: Autoevaluación 1. El monto producido por $35 000 colocados a 14% de interés compuesto trimestralmente durante 15 meses, es: a) b) c) d) $48 355.27 $45 748.31 $43 229.51 $41 569.02 2. El valor actual de un documento con valor nominal de $59 000 colocado a 16.5% de interés compuesto convertible mensualmente, que vence dentro de 4 meses, es de: a) b) c) d) $55 863.55 $46 593.51 $48 054.20 $50 931.29 3. La tasa anual de interés compuesto trimestral a la que deben depositarse $70 000 para que en un año y medio se conviertan en $100 000, es: a ) 23.49% b) 24.50% c ) 25.49% d) 26.49% 4. El tiempo en años y meses durante el cual $64 386.32 deben estar invertidos para transformarse en $80 000 a una tasa nominal de 17.5% convertible mensualmente, es: a ) Un año un mes. b) Un año 2 meses. c ) Un año 3 meses. d) Un año 4 meses. 109 5. La tasa efectiva anual de interés que cobra una institución bancaria en sus préstamos personales, fijada con una tasa nominal de 17.5% anual compuesto mensual, es de: a) b) c) d) 110 17.85% 17.97% 18.79% 18.97%
