8. Dinamica Estructuras

DINAMICA
Dinámica de Estructuras
Semana 11
Introducción
La dinámica estructural estudia las vibraciones de cuerpos
flexibles, aunque en muchos casos las deformaciones relativas
entre algunas partes de la estructura son de un orden de
magnitud tan pequeño, que pueden aplicarse los principios de la
dinámica de cuerpos rígidos en algunas porciones de la
estructura.
La segunda ley de Newton en términos de la cantidad de
movimiento Q, puede expresarse como
Introducción
Suponiendo que la masa del cuerpo permanece constante, las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo son iguales a la tasa de cambio de la cantidad de
movimiento o momentum:
D'Alembert (1717-1783) sugirió que la ecuación de la segunda ley de Newton se
escribiera de una manera similar a la ecuación de equilibrio en estática (F = 0),
en la forma que se conoce como principio de D'Alembert:
El principio de D'Alembert hace evidente que la denominada fuerza inercial
(ma) actúa en la dirección opuesta a la dirección de la aceleración del cuerpo.
Grados de Libertad
El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto
de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de
coordenadas necesarias para definir la posición en el espacio y
en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema.
Por ejemplo en una viga simplemente apoyada que está vibrando
transversalmente:
Grados de Libertad
Rigidez
Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o
dinámicas, sufre una deformación. La rigidez se define como la relación entre
estas fuerzas externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo.
Cuando el resorte se estira debido a la aplicación de una fuerza P en uno de sus
extremos, estando el otro extremo adherido a un apoyo, las deformaciones son
resistidas por medio de un trabajo interno que está asociado con la magnitud
de la deformación del extremo libre.
Rigidez
La rigidez es, por lo tanto, la relación entre las fuerzas y los desplazamientos y
usualmente se denomina por medio de la letra k. Matemáticamente se expresa
por medio de la siguiente relación:
El mismo concepto se puede extender a cuerpos elásticos que tienen otras
formas. Por ejemplo, se aplica una fuerza en la punta de una viga en voladizo,
lo cual causa en su extremo libre un desplazamiento, u, en la dirección de la
fuerza P.
Rigidez
Utilizando los principios de la resistencia de materiales es posible demostrar
que para el voladizo, la deflexión u, está dada por:
En este caso la rigidez de la viga será:
Rigidez
Rigidez
Rigidez
Amortiguamiento
En general en todo cuerpo en movimiento, éste último tiende a
disminuir con el tiempo.
La razón de esta disminución está asociada con una pérdida de la
energía presente en el sistema.
Esta pérdida de energía es producida por fuerzas
amortiguamiento o de fricción que obran sobre el sistema.
de
Amortiguamiento Viscoso
Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a
perder energía cinética debido a que la viscosidad del fluido se opone al
movimiento.
Esta pérdida de energía cinética está directamente asociada con la
velocidad del movimiento.
La descripción matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso es la
siguiente:
Amortiguamiento Viscoso
El ejemplo más común son los amortiguadores utilizados en los
automóviles, los cuales son amortiguadores viscosos pues
producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un
fluido viscoso a través de unos orificios en el émbolo de un
pistón de acción doble.
Amortiguamiento de Coulomb
Este amortiguamiento corresponde al fenómeno físico de
fricción entre superficies secas.
La fuerza de fricción es igual al producto de la fuerza
normal a la superficie N, y el coeficiente de fricción, µ.
Se supone que el amortiguamiento de Coulomb es
independiente de la velocidad del movimiento, una vez éste
se inicia.
Siempre se opone al movimiento, por lo tanto tiene el signo
contrario al de la velocidad.
Amortiguamiento Histerético
La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades
físicas se relacionan de una manera que depende de la historia de su
comportamiento previo.
Este tipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es
sometido a inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material
del elemento se encuentra en el rango inelástico o no lineal.
El hecho de que la curva de carga tenga una trayectoria diferente a la curva
de descarga conduce a que no toda la energía de deformación acumulada en
el elemento se convierta en energía cinética en el ciclo de descarga.
Dependiendo del tipo de material la forma tanto de la curva de carga como la
de descarga varía.
Amortiguamiento Histerético
Tipos de Excitación Dinámica
Tipos de Excitación Dinámica
Sistemas Lineales no amortiguados de un
grado de libertad
Vibración Libre No Amortiguada
Sea un sistema elástico de un grado de libertad compuesto por una masa m,
la cual puede deslizar sin fricción sobre una superficie horizontal y cuya
posición se describe por medio de la coordenada x, y por un resorte que
conecta la masa con un apoyo inmóvil.
Sistemas Lineales no amortiguados de un
grado de libertad
Fi
Vibración Libre No Amortiguada
Fr
𝐹−𝑚∗𝑎 =0
𝐹" − 𝐹$ = 0
−𝑘𝑥 − 𝑚𝑥̈ = 0
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
Como la masa es constante, dividimos la ecuación
por m, y expresando 𝑘
.
2𝑚 = 𝜔4
𝒙̈ + 𝝎𝟐 𝒙 = 𝟎
Ecuación diferencial que describe el desplazamiento de un
sistema no amortiguado de un grado de libertad.
Sistemas Lineales no amortiguados de un
x
grado de libertad
Fi
o
Vibración Libre No Amortiguada
𝒙̈ + 𝝎𝟐 𝒙 = 𝟎
Para t=0, x=0
0
1
Fr
Sistemas Lineales no amortiguados de un
x
grado de libertad
Fi
o
Vibración Libre No Amortiguada
Fr
Derivando la función del desplazamiento respecto al tiempo, obtenemos una
función que representa la velocidad del sistema
Para t=0, vo = 0
1
0
Sistemas Lineales no amortiguados de un
x
grado de libertad
Fi
o
Vibración Libre No Amortiguada
Reemplazando los valores de las constantes A y B,
Fr
Sistemas Lineales no amortiguados de un
x
grado de libertad
Fi
o
Vibración Libre No Amortiguada
Fr