Entregable 1: CAD-I Curso 19/20 Pautas para preparar el informe • El informe debe consistir en un único fichero en formato pdf. • Indicar el nombre y apellidos de todos los miembros del grupo. • En las demostraciones, argumentar cada uno de los pasos indicando los teoremas utilizados. • L@s que vaís a entregar un manuscrito procurad cuidar la estética del informe evitando cualquier tachadura. Fecha de entrega: 10 de mayo a las 23:50 Parte1: Cálculo integral y aplicaciones 1. Calcular las siguientes integrales: Z 2p a) 2x − x2 dx Z b) 0 √ 1 dx 1 + ex 2. Adoptando el cambio de variable x = π − θ, mostrar que Z π x sin(x) dx = π 2 /4 I= 2 0 1 + cos (x) 3. Utilizando los tests de comparación, estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias: Z 1 Z ∞ x−1 −t a) I1 (x) = t e dt b) I2 (x) = tx−1 e−t dt 0 1 4. Calcular la longitud de las curvas dadas por a) y = x2 − ln x , 8 1≤x≤2 b) r(θ) = 1 + cos(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π 5. Calcular el volumen de revolución del sólido generado al rotar entorno al eje y = −1 la región dada por: 1 ≤ y ≤ 1 + cos(x), −π/2 ≤ x ≤ π/2 1 Parte 2: Sucesiones y series de funciones 1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones: a) fn (x) = x(1 − 1/n) para x ∈ [0, 1] y x ∈ [0, ∞) b) gn (x) = (1 − x2 )n para x ∈ [−1, 1] 2. Sea hn (x) = sin(nx) √ n Mostrar que hn converge uniformemente a 0 en todo <, pero la sucesión de derivadas h0n (x) diverge para todo x ∈ < 3. Dada la sucesión de funciones r fn (x) = x2 + 1 n (a) Calcular el límite puntual de fn (x) y demostrar que la convergencia es uniforme en todo x ∈ <. (b) Demostrar que g(x) = limn→∞ fn0 (x) existe para todo x, y explica en qué intervalos la convergencia no es uniforme. 4. Sea g(x) = ∞ X n=1 x2 1 + n2 (a) Mostrar que g(x) es una función continua en todo <. (b) ¿Es g diferenciable? Si es el caso, ¿es la función derivada g 0 continua? 5. Calcular el radio de convergencia de las series siguientes: a) ∞ X n=2 xn n(ln n)2 b) ∞ X xn 2n n2 n=1 2
