Entregable 1: CAD-I
Curso 19/20
Pautas para preparar el informe
• El informe debe consistir en un único fichero en formato pdf.
• Indicar el nombre y apellidos de todos los miembros del grupo.
• En las demostraciones, argumentar cada uno de los pasos indicando los teoremas utilizados.
• L@s que vaís a entregar un manuscrito procurad cuidar la estética del informe evitando
cualquier tachadura.
Fecha de entrega: 10 de mayo a las 23:50
Parte1: Cálculo integral y aplicaciones
1. Calcular las siguientes integrales:
Z 2p
a)
2x − x2 dx
Z
b)
0
√
1
dx
1 + ex
2. Adoptando el cambio de variable x = π − θ, mostrar que
Z π
x sin(x)
dx = π 2 /4
I=
2
0 1 + cos (x)
3. Utilizando los tests de comparación, estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
Z 1
Z ∞
x−1 −t
a) I1 (x) =
t e dt
b) I2 (x) =
tx−1 e−t dt
0
1
4. Calcular la longitud de las curvas dadas por
a) y = x2 −
ln x
,
8
1≤x≤2
b) r(θ) = 1 + cos(θ),
0 ≤ θ ≤ 2π
5. Calcular el volumen de revolución del sólido generado al rotar entorno al eje y = −1 la región
dada por:
1 ≤ y ≤ 1 + cos(x),
−π/2 ≤ x ≤ π/2
1
Parte 2: Sucesiones y series de funciones
1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones:
a) fn (x) = x(1 − 1/n) para x ∈ [0, 1] y x ∈ [0, ∞)
b) gn (x) = (1 − x2 )n
para x ∈ [−1, 1]
2. Sea
hn (x) =
sin(nx)
√
n
Mostrar que hn converge uniformemente a 0 en todo <, pero la sucesión de derivadas h0n (x)
diverge para todo x ∈ <
3. Dada la sucesión de funciones
r
fn (x) =
x2 +
1
n
(a) Calcular el límite puntual de fn (x) y demostrar que la convergencia es uniforme en todo
x ∈ <.
(b) Demostrar que g(x) = limn→∞ fn0 (x) existe para todo x, y explica en qué intervalos la
convergencia no es uniforme.
4. Sea
g(x) =
∞
X
n=1
x2
1
+ n2
(a) Mostrar que g(x) es una función continua en todo <.
(b) ¿Es g diferenciable? Si es el caso, ¿es la función derivada g 0 continua?
5. Calcular el radio de convergencia de las series siguientes:
a)
∞
X
n=2
xn
n(ln n)2
b)
∞
X
xn
2n n2
n=1
2
0
