C alculo Innitesimal, Grup

Calculo Innitesimal, Grupos 12M, 13M y 17T
SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de funciones ffn (x)g1
n=1 :
x2n 1
nx3
; x 2 [0; 1]:
ii) fn(x) = 2n
; x2R:
i) fn(x) =
1 + nx
x +1
x n
nx2
iii) fn(x) = ne
; x2R:
iv) fn(x) = p
; x 2 [ 1; 2]:
n
x2n
2
v) fn(x) = 2nxe nx ; x 2 [0; 1]: vi) fn(x) = 2n
; x2R:
x +1
Ejercicio 1.
Estudiar el campo de convergencia y el tipo de convergencia en dicho campo,
siempre que no se reduzca a un punto, de:
sen nx
i) fn(x) = enx ; x 2 [ 1; 2]:
ii) fn(x) =
; x 2 (0; ]:
nx
n
n
X
X
cos(k2 x)
cos(3k x)
iii) fn(x) =
;
x
2
R
:
iv)
f
(
x
)
=
; x2R:
n
k2
2k
k=1
k=1
Ejercicio 2.
Ejercicio 3.
Dada las sucesion de funciones 8
>
<
fn : [0; +1) ! R denida por, fn(x) =
>
:
an xn
si 0 x 1
n 1
si 1 < x:
nx
i) Hallar an para que fn(x) sea continua en [0; +1), para todo n 2 N .
ii) Calcular f (x) = lim fn(x).
n!1
iii) Estudiar si la convergencia de fn a f es o no uniforme.
Ejercicio 4.
Dadas las sucesiones de funciones
a) fn(x) = 1 +
1
n
n
arctan(nx) b)
8
>
>
>
>
<
fn (x) =
>
>
>
>
:
i) Estudiar la continuidad de fn , para cada n 2 N .
1
1
si x n
nx
1
sen
si
x n1
2
n
1
1
si x > :
n
ii) Calcular f (x) = lim fn(x).
n!1
iii) Estudiar si la convergencia de fn a f es uniforme.
Dadas las sucesiones de funciones
x2n 1
a) fn(x) = xn log x b) fn(x) = 2n
x +1
Ejercicio 5.
i) Calcular lim
Z1
n!1 0
fn(x)dx y
Z1
lim fn (x)dx.
0 n!1
iv) Calcular f (x) = lim fn(x) y estudiar si la convergencia de fn a f es uniforme.
n!1