Sucesiones de funciones

Tema 7
Sucesiones de funciones
Definición 7.1 – Sea A ⊆ IR y F (A, IR) el conjunto de las funciones de A en IR. Llamaremos
sucesión de funciones de A a cualquier aplicación de IN −→ F (A, IR), y la denotaremos por
∞
{fn }∞
n=1 ó {fn (x)}n=1 .
7.1
Convergencia puntual.
Definición 7.2 – Diremos que la sucesión de funciones {fn (x)}∞
n=1 de A converge en el punto
∞
a ∈ A si, y sólo si, la sucesión numérica {fn (a)}n=1 es convergente. Es decir, si, y sólo si, existe
y es finito el lim fn (a).
n→∞
Definición 7.3 – Sea {fn (x)}∞
n=1 una sucesión de funciones de A. Llamaremos conjunto de
convergencia de {fn (x)}∞
n=1 al conjunto de puntos de A en los que converge la sucesión de
funciones, es decir, al conjunto C = {a ∈ A : {fn (a)}∞
n=1 converge}.
A la función f : C −→ IR, definida por f (x) = lim fn (x), se le llama función lı́mite de la
n→∞
sucesión de funciones y diremos entonces que {fn }∞
n=1 converge o converge puntualmente
(punto a punto) hacia f en C .
Usaremos, para expresar esto último, la notación fn −→ f en C .
Ejemplo 7.4 – Sea {fn : [0, ∞) −→ IR}∞
n=1 , definidas por fn (x) =
x
=
lim fn (x) = lim
n→∞
n→∞ 1 + nx
Para cada x ∈ [0, ∞),
(
x
1+nx .
lim 0 = 0, si x = 0
n→∞
x
lim 1+nx
n→∞
1
n=1
1
2
n=2
1
3
1
4
n=3
n=4
.
.
.
= 0, si x ∈ (0, ∞)
.
16
Fig. 7.1. Gráficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20 .
Luego f : [0, ∞) −→ IR, definida por f (x) = 0, es la función lı́mite de {fn }∞
n=1 .
(
Ejemplo 7.5 – Sea {fn : [0, ∞) −→
IR}∞
n=1 ,
definida por fn (x) =
(
lim fn (x) = f (x) =
n→∞
Sucesiones y Series de Funciones.
4
xn , si 0 ≤ x ≤ 1
1, si x > 1
lim xn = 0, si x ∈ [0, 1)
n→∞
lim 1 = 1, si x ≥ 1.
n→∞
81
7.2 Convergencia uniforme.
1
x
x2
x30
1
Fig. 7.2. Gráficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30.
(
Luego f : [0, ∞) −→ IR, dada por f (x) =
0, si x ∈ [0, 1)
, es la función lı́mite.
1, si x ≥ 1
4
(
1, si |x| ≤ n
. Entonces, para
0, si |x| > n
cada x ∈ IR, existe nx ∈ IN tal que |x| ≤ nx , luego para todo n ≥ nx , fn (x) = 1.
En consecuencia,
lim fn (x) = 1 = f (x), para todo x ∈ IR.
4
Ejemplo 7.6 – Sea {fn : IR −→
IR}∞
n=1 ,
definida por fn (x) =
n→∞
Ejemplo 7.7 – Sea {fn : [0, ∞) −→ IR}∞
n=1 , donde fn (x) =
Entonces, para cada x ∈ (0, 1), existe nx tal que
1
nx











h
1
n, si x ∈ 0, n+1
(n2 +n)(1−nx), si x ∈
0, si x ∈
h
h
´
1
1
n+1 , n
´
´
1
n, ∞
< x, luego para todo n ≥ nx , fn (x) = 0.
6
5
4
3
2
1
11 1
65 4
1
3
1
2
1
Fig. 7.3. Gráficas de f y fn , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 .
(
En consecuencia, lim fn (x) = f (x) =
n→∞
7.2
lim n = ∞, si x = 0
n→∞
lim 0 = 0, si x ∈ (0, ∞).
n→∞
4
Convergencia uniforme.
Definición 7.8 – Diremos que la sucesión de funciones {fn }∞
n=1 de A converge uniformemente en el conjunto A hacia la función f si, y sólo si,
para cada ε > 0, ∃ n0 ∈ IN tal que si n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A.
c.u.
Usaremos, para indicarlo, la notación fn −→ f en A
Observación 7.9 – La convergencia (puntual) en cada punto de un conjunto no es lo mismo
que la convergencia uniforme en ese conjunto; en el primer caso, la convergencia puntual en
Sucesiones y Series de Funciones.
82
7.2 Convergencia uniforme.
el conjunto, es una reunión de puntos en los que hay convergencia individual, mientras que en
el segundo caso, la convergencia uniforme en el conjunto, es una convergencia que se verifica
para todos los puntos del conjunto a la vez (es decir, de manera uniforme). Si expresamos
la definición de convergencia puntual en un conjunto en los mı́smos términos en que tenemos
definida la convergencia uniforme, la diferencia entre la convergencia uniforme y puntual en A
es más clara:
{fn }∞
n=1 converge puntualmente en A hacia f ⇐⇒ para cada x ∈ A, fn (x) −→ f (x)
⇐⇒ para cada x fijo de A y para cualquier ε > 0, existe un n0 (que depende de ε
y del punto x) tal que si n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε.
En el caso de la convergencia uniforme:
{fn }∞
n=1 converge uniformemente hacia f en
A ⇐⇒ para cada ε > 0, existe n0 , (que depende de ε, pero no depende de x) tal que si
n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, para todos los
x de A.
Es claro, por tanto, que si hay convergencia uniforme en
un conjunto hay convergencia puntual en todos los puntos
f −ε
del conjunto. Luego para que podamos hablar de converf +ε
gencia uniforme en un conjunto A debe de haber convergencia puntual en el conjunto.
Gráficamente, la convergencia uniforme significa que para cada ε > 0 todas las funciones de
la sucesión, a partir de una dada, están dentro de la “banda” formada por las funciones f − ε
y f + ε.
x
1+nx .
Ejemplo 7.10 – fn : [0, ∞) −→ IR, definida por fn (x) =
x
Como lim 1+nx
= 0 = f (x), para todo x ∈ [0, ∞),
n→∞
se tiene que fn −→ 0.
¦ Si x = 0, fn (0) = 0, ∀ n, luego |fn (0) − 0| = 0.
¯
¯
¯
¯
x
− 0¯ =
¦ Si x > 0, ¯ 1+nx
x
1+nx
<
x
nx
=
Luego dado ε > 0, existe n0 tal que
1
n.
1
n0
< ε, en consecuencia, si n ≥ n , se verifica que
0
¯
¯
c.u.
¯
¯ x
1
1
|fn (x) − 0| = ¯ 1+nx − 0¯ < n < n0 < ε, para todo x ∈ [0, ∞), luego fn −→ 0.
4

−1

 −1, si x ≤ n
1
nx, si −1
n <x< n .
1
1, si x ≥ n
1
Entonces, para cada x ∈ IR − {0}, existe n0 tal que n0 < |x|, luego para todo n ≥ n0 ,

(

 −1, si x < 0
−1, si x < 0
0, si x = 0
fn (x) =
. En consecuencia, lim fn (x) = f (x) =
y
n→∞

1, si x > 0
 1, si x > 0
Ejemplo 7.11 – Sea fn : IR −→ IR definida por fn (x) =
|fn (x) − f (x)| =

| − 1 − (−1)|, si x ≤ −1


n

−1


 |nx − (−1)|, si n < x < 0






Sucesiones y Series de Funciones.
|0 − 0|, si x = 0
|nx − 1|, si 0 < x <
|1 − 1|, si x ≥ n1
1
n


=

0, si x ≤ −1


n

−1


 nx + 1, si n < x < 0
0, si x = 0



1 − nx, si 0 < x < n1



0, si x ≥ 1
n
83
7.2 Convergencia uniforme.
1
Si tomamos ε < 12 , para
podemos tomar el punto x = 2n
, que verifica que
¯ cualquier n, siempre
¯
¯
1
1
1
1 ¯
1
1
x = 2n < n , y, en él, ¯fn ( 2n ) − f ( 2n )¯ = 1 − n 2n = 2 > ε. Luego, para cualquier n podemos
encontrar puntos que no verifican que |fn (x) − f (x)| < ε, en consecuencia, no puede existir un
n0 como el propuesto en la definición. Es decir, la sucesión no converge uniformemente.
4
Criterio del superior 7.12 – Sea la sucesión de funciones {fn }∞
n=1 de A. Entonces
Ã
c.u.
fn −→ f en A si, y sólo si, lim
n→∞
!
sup |fn (x) − f (x)|
= 0.
x∈A
Demostración:
c.u.
fn −→ f ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ IN / ∀ n ≥ n0 =⇒ |fn (x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A
⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ IN / ∀ n ≥ n0 =⇒ sup |fn (x) − f (x)| ≤ ε
Ã
⇐⇒ lim
n→∞
x∈A
!
sup |fn (x) − f (x)|
= 0.
x∈A
n
Ejemplo 7.13 – Estudiar la convergencia uniforme de fn (x) =
Solución:
x
Para cada x ∈ [0, 1], lim (1+x
2 )n = 0, luego fn −→ 0.
n→∞
x
(1+x2 )n
¯
¯
o∞
n=1
en [0, 1].
¯
¯
x
x
Como, para cada n, la función gn (x) = |fn (x) − f (x)| = ¯ (1+x
2 )n − 0¯ = (1+x2 )n es continua
en el cerrado y acotado [0, 1], el superior se alcanzará en el máximo (que existe por el Teorema
de Weierstrass).
Busquemos sus extremos. Derivando, obtenemos que
gn0 (x) =
1 + x2 − 2nx2
(1 + x2 )n − nx(1 + x2 )n−1 2x
=
= 0 ⇐⇒ 1 + x2 (1 − 2n) = 0,
(1 + x2 )2n
(1 + x2 )n+1
−1
√ 1
de [0, 1] (el otro valor, √2n−1
∈
/ [0, 1]). En
2n−1
´n
³
1
1
2n−1
gn ( √2n−1
) = √2n−1
ó gn (1) = 21n . Como
2n
luego para x =
gn (0) = 0 ó
consecuencia, el máximo será
¦ lim gn (0) = lim 0 = 0.
n→∞
n→∞
1
n
n→∞ 2
¦ lim gn (1) = lim
n→∞
³
¦ lim gn
n→∞
√ 1
2n−1
´
=0
√ 1
n→∞ 2n−1
= lim
³
1−
1
2n
´n
√ 1
n→∞ 2n−1
= lim
³
· lim
n→∞
1−
1
2n
´2n 1
2
1
= 0 · e− 2 = 0,
entonces
n
lim sup |fn (x) − f (x)| = lim sup gn (x) = lim max gn (0), gn
n→∞ x∈[0,1]
y la convergencia es uniforme.
Sucesiones y Series de Funciones.
n→∞ x∈[0,1]
n→∞
³
√ 1
2n−1
´
o
, gn (1) = 0
4
84
7.2 Convergencia uniforme.
Ejemplo 7.14 – Sean fn : [0, 1) −→ IR, definidas por
fn (x) = xn .
Para todo x ∈ [0, 1), se tiene que lim fn (x) =
n→∞
lim xn = 0 = f (x), luego |fn (x)−f (x)| = |xn | = xn para
n→∞
todo n. Como sup xn = 1, se tiene que lim sup xn =
n→∞ x∈[0,1)
x∈[0,1)
{fn }∞
n=1
1 6= 0, luego
no converge uniformemente en
[0, 1).
En la figura de la derecha puede observarse la no convergencia uniforme.
4
Proposición 7.15 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones definidas en el conjunto A.
c.u.
c.u.
a) Si fn −→ f en A =⇒ fn −→ f en B , para todo B ⊆ A.
c.u.
c.u.
c.u.
b) Sean B, C ⊆ A. Si, fn −→ f en B y fn −→ f en C , entonces fn −→ f en B ∪ C .
Demostración:
c.u.
a) fn −→ f en A =⇒ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ A =⇒
c.u.
∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B ⊆ A =⇒ fn −→ f en
B.
c.u.
b) Si fn −→ f en B =⇒ ∀ε > 0, ∃n1 ∈ IN / ∀n ≥ n1 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B ,
c.u.
y si fn −→ f en C =⇒ ∀ε > 0, ∃n2 ∈ IN / ∀n ≥ n2 se tiene |fn (x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ C .
Tomando n0 = max{n1 , n2 }, se tiene que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica
que
¦ si x ∈ B , como n ≥ n0 ≥ n1 , se cumple que |fn (x) − f (x)| < ε, y
¦ si x ∈ C , como n ≥ n0 ≥ n2 , se cumple que |fn (x) − f (x)| < ε.
En consecuencia, ∀n ≥ n0 , se verifica |fn (x) − f (x)| < ε, para todo x ∈ B ∪ C , y, por
c.u.
tanto, fn −→ f en B ∪ C .
Observación 7.16 – Es claro, que el resultado anterior es válido únicamente para uniones finitas,
y no aporta nada para uniones de infinitos conjuntos. En efecto, en la sucesión de funciones
c.u.
fn (x) = xn , para cada x ∈ [0, 1) se tiene que lim xn = 0, luego xn −→ 0 en cada conjunto
n→∞
B = {x} formado por un único punto y, sin embargo, no converge uniformemente en el conjunto
S
[0, 1) =
{x} unión de todos ellos.
x∈[0,1)
(
Ejemplo 7.17 – Sean fn (x) =
(
Como lim fn (x) =
n→∞
lim 1
n→∞ n
1
n
− 1, si x ∈ [−1, 0)
.
1 − n1 , si x ∈ [0, 1]
)
− 1 = −1, si x ∈ [−1, 0)
lim 1 −
n→∞
1
n
¦ En [−1, 0), se tiene que fn (x) =
lim
= 1, si x ∈ [0, 1]
1
n
sup |fn (x) − f (x)| = lim
n→∞ x∈[−1,0)
= f (x), es la función lı́mite.
− 1 y f (x) = −1, luego
¯
¯
¯
¯
sup ¯ n1 − 1 + 1¯ = lim
n→∞ x∈[−1,0)
¯ ¯
¯ ¯
1
n→∞ n
sup ¯ n1 ¯ = lim
n→∞ x∈[−1,0)
=0
y converge uniformemente en el intervalo [−1, 0).
Sucesiones y Series de Funciones.
85
7.2 Convergencia uniforme.
¦ En [0, 1], se tiene que fn (x) = 1 −
1
n
y f (x) = 1, luego
¯
¯
lim sup |fn (x) − f (x)| = lim sup ¯1 −
n→∞ x∈[0,1]
n→∞ x∈[0,1]
1
n
¯
¯
¯
¯
¯
¯
− 1¯ = lim sup ¯− n1 ¯ = lim
1
n→∞ n
n→∞ x∈[0,1]
=0
y converge uniformemente en ese conjunto.
c.u.
En consecuencia, fn −→ f en el conjunto unión [−1, 1] = [−1, 0) ∪ [0, 1].
7.2.1
4
Propiedades de la convergencia uniforme.
Convergencia uniforme y continuidad 7.18 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones definida
en A y que converge uniformemente hacia f en A. Si cada fn es continua en el punto a ∈ A,
entonces la función lı́mite f es continua en a ∈ A.
Demostración:
c.u.
fn −→ f en A ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN / ∀n ≥ n0 se tiene que |fn (x) − f (x)| < 3ε , ∀x ∈ A.
Sea ∀m ≥ n0 , entonces por ser fm continua en a se tendrá que ∃δ > 0 / ∀x ∈ A, |x−a| < δ
=⇒ |fm (x) − fm (a)| < 3ε Luego :
|f (x) − f (a)| = |f (x) + fm (x) − fm (x) + fm (a) − fm (a) − f (a)|
≤ |fm (x) − f (x)| + |fm (x) − fm (a)| + |fm (a) − f (a)| ≤
ε
3
+
ε
3
+
ε
3
=ε
siempre y cuando |x − a| < δ , luego f es continua en a.
Observación 7.19 – Es claro, que si las funciones fn son continuas en todos los puntos de A y
c.u.
fn −→ f en A, la función lı́mite f tiene que ser continua en todo A. Este resultado es muy
útil cuando se quiere probar que una sucesión de funciones no converge uniformemente en un
conjunto: si las funciones fn son continuas en A y la función lı́mite no es continua en A, la
convergencia no puede ser uniforme en A.
Pero ¡atención!, sólo de que f no sea continua en A no puede asegurarse que la convergencia
no sea uniforme, puesto que podrı́a ocurrir que las funciones fn no sean todas continuas en A
y la convergencia sı́ sea uniforme.
Ejercicio 7.20 – Búsquese un ejemplo de sucesión de funciones no continuas que converjan uniformemente a una funcion continua. (Puede obtenerse uno modificando adecuadamente la
sucesión del ejemplo 7.17.)
Convergencia uniforme e integración 7.21 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones definidas
c.u.
en el intervalo [a, b], siendo las fn funciones integrables Riemann en [a, b]. Entonces si fn −→ f
en [a, b], se tiene que
a) f es integrable Riemann en [a, b].
b) lim
Z b
n→∞ a
fn (x)dx =
Z b
lim fn (x)dx =
a n→∞
Z b
a
f (x)dx.
Demostración:
c.u.
a) fn −→ f en [a, b], luego ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se tiene que
|fn (x) − f (x)| <
Sucesiones y Series de Funciones.
ε
,
2(b − a)
para todo x ∈ [a, b].
86
7.2 Convergencia uniforme.
y, por tanto, ∀n ≥ n0 ,
fn (x) −
ε
ε
< f (x) < fn (x) +
,
2(b − a)
2(b − a)
para todo x ∈ [a, b].
Entonces, por las propiedades de las integrales superior e inferior, se tiene
Z bµ
¶
ε
fn (x) −
dx ≤
2(b − a)
a
Z b
a
f (x)dx ≤
Z b
a
f (x)dx ≤
Z bµ
a
¶
ε
fn (x) +
dx
2(b − a)
ε
y, como las funciones fn ± 2(b−a)
son integrables en [a, b], la integral inferior y la integral
superior coinciden, obteniéndose que
Z bµ
a
¶
ε
fn (x) −
dx ≤
2(b − a)
Z b
a
f (x)dx ≤
Z b
a
f (x)dx ≤
Z bµ
¶
ε
fn (x) +
dx.
2(b − a)
a
Luego
Z b
a
f (x)dx −
Z b
a
Z bµ
¶
ε
f (x)dx ≤
fn (x) +
dx −
2(b − a)
a
Z b
ε
=
dx = ε
a b−a
Z bµ
a
¶
ε
fn (x) −
dx
2(b − a)
y, por tanto, f es integrable en [a, b].
b) Por el apartado a), f es integrable en [a, b] y
Z b
a
f (x)dx existe, entonces
¯Z
¯ ¯Z
¯ Z
Z b
¯ b
¯ ¯ b
¯
b
¯
¯ ¯
¯
f (x) dx¯ = ¯ (fn (x) − f (x)) dx¯ ≤
|fn (x) − f (x)| dx
¯ fn (x) dx −
¯ a
¯ ¯ a
¯
a
a
c.u.
y, como fn −→ f en [a, b], se tiene que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN tal que ∀n ≥ n0 se verifica que
ε
, ∀x ∈ [a, b]. Luego, si n ≥ n0 , tenemos que
|fn (x) − f (x)| < b−a
¯Z
¯ Z
Z b
Z b
¯ b
¯
b
ε
¯
¯
dx = ε
f (x) dx −
f (x) dx¯ ≤
|fn (x) − f (x)| dx <
¯
¯ a n
¯
a
a
a b−a
y, en consecuencia, lim
Z b
n→∞ a
fn (x) dx =
Z
Ejemplo 7.22 – Calcular lim
n→∞
π
2
−π
2
xn+1
πn
Z b
a
f (x) dx.
nx
sen( n+1
) dx.
Solución:
c.u.
π
xn+1
nx
Tomemos fn : [ −π
2 , 2 ] −→ IR dadas por fn (x) = π n sen( n+1 ). Entonces, si fn −→ f en
π
[ −π
2 , 2 ], se tendrá que
Z π n+1
Z π
2 x
2
nx
lim −π n sen( n+1
) dx = −π f (x) dx.
n→∞
π
2
2
Como
xn+1
n
n→∞ π
lim
nx
sen( n+1
) = lim x
π
[ −π
2 , 2 ].
Entonces, como |x| ≤
n→∞
π
2
¡ x ¢n
π
³
sen
nx
n+1
´
= x · 0 · sen x = 0, se tiene que fn −→ 0 en
π
en [ −π
2 , 2 ], se tiene
¯
¯
¡ π ¢n+1
¯ xn+1
³
´¯
³
´¯
π
|x|n+1 ¯¯
¯
nx ¯
nx ¯
= n+1
|fn (x) − f x| = ¯ n sen n+1 ¯ =
¯sen n+1 ¯ ≤ 2 n
n
¯ π
¯
π
π
2
Sucesiones y Series de Funciones.
87
7.3 Ejercicios.
π
∀ x ∈ [ −π
2 , 2 ], que tiende hacia 0 si n → ∞; luego la convergencia es uniforme. En consecuencia,
Z
lim
n→∞
π
2
−π
2
xn+1
πn
nx
sen( n+1
) dx = 0.
4
Convergencia uniforme y derivación 7.23 – Sea {fn }∞
n=1 una sucesión de funciones definidas
en (a, b) y derivables en (a, b). Supongamos que en un punto x0 ∈ (a, b), la sucesión {fn (x0 )}∞
n=1
c.u.
converge. Si existe una función g tal que fn0 −→ g en (a, b), entonces:
c.u.
a) Existe f : (a, b) −→ IR tal que fn −→ f en (a, b).
b) f es derivable en (a, b) y f 0 (x) = g(x) = lim fn0 (x)
n→∞
Ejemplo 7.24 – Estudiar la convergencia uniforme de fn (x) =
 En x = 1 converge, pues lim fn (1) = lim
n→∞
n→∞
n−ln(1+n)
n2
nx−ln(1+nx)
n2
en (0, e).
= 0.
 Las funciones fn (x) = nx−ln(1+nx)
son derivables en (0, e) y la sucesión de las funciones
³ n2
´
x
1
n
0
.
derivadas es fn (x) = n2 n − 1+nx = 1+nx
x
 Como fn0 (x) = 1+nx
converge uniformemente hacia g(x) = 0 en [0, ∞) (ver ejemplo 7.10),
converge uniformemente hacia g(x) = 0 en (0, e).
c.u.
En consecuencia, fn −→ f en (0, e), siendo f derivable en (0, e) con f 0 = g . Como g = 0, se
tiene que f es constante y, como f (1) = lim fn (1) = 0, es la función 0.
4
n→∞
7.3
Ejercicios.
7.1 Estudiar la convergencia uniforme de las siguientes sucesiones de funciones.
(
a) fn (x) =
1
1+nx ,
b) fn (x) =
7.2 Sea fn (x) =
n2 x(1 − nx), si 0 ≤ x ≤
0, si x ≥ n1
1
n+x ,
1
n
, en [0, ∞).
en [0, 1].
con x ∈ [0, 3]. Hallar lim fn (x).
n→∞
Estudiar su convergencia uniforme. ¿Para qué valor de n0 se verifica la definición si
hacemos ε = 0.3?
7.3 Estudiar la convergencia uniforme de la sucesión de funciones fn (x) =
7.4 Calcular lim
Z π
n→∞ 0
fn (x)dx, siendo fn (x) =
x2n
1+x2n
en [−2, 5].
2nx+sen6 nx
.
n
7.5 Sea fn (x) = n(1 − x2 )n x, con x ∈ [0, 1]. Hallar lim fn (x) y calcular In =
n→∞
Z 1
0
fn (x)dx.
¿Qué se puede decir de la convergencia uniforme de {fn }∞
n=1 ?
n
7.6 Sea fn (x) = xn! . Hallar su conjunto de convergencia y estudiar si converge uniformemente
en él (ver ejercicio 6.4). ¿Qué se puede decir de la convergencia de {fn0 }∞
n=1 ?
x
7.7 Dada la sucesión de funciones fn (x) = 1+nx
2 , con x ∈ (−1, 1), estudiar su convergencia
uniforme ası́ como la convergencia uniforme de {fn0 }∞
n=1 .
Sucesiones y Series de Funciones.
88
7.3 Ejercicios.
7.8 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesión de funciones dada por
(
fn (x) =
(n − 1)x, si x ∈ [0, n1 )
.
1 − x, si x ∈ [ n1 , 1]
Representar gráficamente sus primeros términos.
2
7.9 Hallar lim fn (x), siendo fn (x) = n(1 − x2 )n x. ¿Qué se puede decir de la convergencia
n→∞
uniforme de {fn }∞
n=1 en [0, 1]?
7.10 Sean fn (x) =
xn
1+x2n
.
a) Hallar el conjunto de convergencia y la función lı́mite.
b) Estudiar la convergencia uniforme en [1, 2], en [2, 3] y en [2, 4].
7.11 Sea f una función continua en [0, 1] tal que f (1) = 0. Probar que la sucesión de funciones
gn : [0, 1] −→ IR definidas por gn (x) = xn f (x) converge uniformemente en [0, 1].
Sucesiones y Series de Funciones.
89