Guía de geometría y analítica. Tercer semestre

Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y
DE SERVICIOS No 158
Guía de aprendizaje
Geometría Analítica
S.A.E.T.I.
Chihuahua, Chih., mayo 2017
1
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
SISTEMA DE COORDENADAS
Apertura
Práctica 1
Nombre:___________________________________________________________Gpo:_________
Apertura. Secuencia uno
I. De manera individual y tomando nota en sus libretas los alumnos, darán respuestas a los siguientes
cuestionamientos, al terminar en grupo y dirigidos por su maestro comentaran las respuestas
obtenidas.
1.- En la época del auge del transporte marítimo donde grandes barcos navegaban por el mundo, para
transportar víveres o realizar travesías, ¿qué utilizaban los capitanes de los barcos para trazar las rutas de sus
viajes y no perder rumbo?
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
2.- De la película de los Piratas del Caribe Realiza el dibujo de la brújula que orienta así lo que más se quiere
(lo recuerdas), sin olvidar todas sus partes que señalan las direcciones.
3.- Matemáticamente: ¿A qué te recuerda el señalamiento de la brújula que indica el Norte, Sur, Este u Oeste?
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
II. En el siguiente plano ubica las coordenadas para identificar las rutas del barco Perla Negra en el
mar Caribe. Ubica los puntos señalados con la letra inicial y al final une los puntos para que observes el
recorrido.
(P) Playa Paraíso: (-5, 0)
(T) Isla “Tortuga”: (-2, 4)
(R) Rincón de las Almas: (3, 2)
(PÑ) Puerto Peñasco: (4, 4)
(V) Isla de las Víboras: (9, 5)
2
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Desarrollo
Introducción a la geometría analítica
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos
consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la
observación de la naturaleza.
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la
geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda los dos grandes en esta materia y época
fueron René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655).
Las ideas de la geometría analítica, es la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la
geometría de los métodos algebraicos, esto se concentra en una pequeña obra: "Introducción a la teoría de
los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se
denominaban planos y los representados por cónicas, espaciales.
Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio,
describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría
analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas,
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una
línea, recta o curva".
Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de
coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no
ejerció tanta influencia como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de
su edición y al complejo lenguaje algebraico utilizado.
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del
álgebra y geometría no pudieron realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado.
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del
análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la
construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la
aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables.
La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema
matemático moderno y por lo tanto el padre de la geometría analítica.
El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas
modernas en el siglo XVII.
Geometría Analítica: Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas, y resuelve los
problemas geométricos por métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por
ecuaciones.
SISTEMA UNIDIMENSIONAL
Localización de un punto en la recta.
Un punto puede estar situado en una recta, en un plano o en el espacio, según donde se halle, cambia la
referencia para localizarlo. En un sistema de coordenadas unidimensional se utiliza un solo eje (generalmente
en forma horizontal) donde existe un punto llamado origen representado por el cero, a la izquierda del origen
3
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
se encuentran los valores negativos y a la derecha los positivos. Este sistema también es conocido como
recta numérica.
Ejemplo 1: Ubica en la recta numérica los siguientes puntos:
SISTEMA BIDIMENSIONAL
Un sistema de referencia es un plano que permite representar puntos con los que es posible construir gráficas
o analizar figuras geométricas. En Matemáticas, los sistemas de referencias más comunes son el sistema de
coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares.
Un sistema de ejes coordenados se forma
cuando dos líneas rectas se intersecan. Si las
rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un
sistema de ejes coordenados rectangulares
denominado también, sistema de coordenadas
cartesianas. Este sistema fue creado por el
matemático y filósofo francés René Descartes
(1596-1650).
La recta X se denomina eje X o eje de las
abscisas, y la recta Y es el eje Y o eje de las
ordenadas.
El punto de intersección de los ejes
coordenados, es el punto O llamado origen.
Los ejes coordenados dividen al plano en 4
regiones llamadas cuadrantes, que se
enumeran en sentido contrario al giro de las
manecillas de un reloj y se enumeran con
números romanos.
Localizar un punto en el plano
En un sistema de coordenadas bidimensional se establece una relación:
4
g.f.s.
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A cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le
corresponde un par único de coordenadas (x, y).
Ejemplo 1: Localizar el punto A (-3, 1)
El primer número del par
ordenado indica desplazamiento
horizontal con respecto al cero.
El segundo número del par
ordenado indica desplazamiento
vertical con respecto al cero.
 positivo para los puntos ubicados a la derecha
-3
 negativo para los puntos ubicados a la izquierda
 positivo para los puntos ubicados hacia arriba.
1
 negativo para los puntos ubicados hacia abajo
Ejemplo 2: Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos:
A(-2, 3), B(2, -3),
C(2, 3), D(-2, -3),
E(0, 5), F(5, 0),
G(4, 4), H(-4, -4)
5
g.f.s.
Geometría Analítica
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Práctica 2
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________
Sistema coordenado rectangular
a) P1 ( 5 , 3 )
f) P6 ( -4 , 0 )
b) P1 ( 2 , 0 )
g) P7 ( 4 , -3 )
c) P3 ( -4 , 7 )
h) P8 ( 0 , -5 )
d) P4 ( 0 , 3 )
i) P9 ( 8/3 , -15/4 )
e) P5 (-6 , -2 )
j) P10 (-7/2 , 8/5 )
6
g.f.s.
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g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
PARTIENDO DE LA LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN PLANO, DETERMINAR
ÁREAS, DISTANCIAS Y PUNTO MEDIO.
Áreas de polígonos a partir de vértices
Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento
sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo:
donde b es la base y h es la altura del triángulo.
Área de un triángulo
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vértices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante
la siguiente fórmula:
Donde :
A = área del triángulo
El área de un polígono es igual a
la suma de las áreas de los
triángulos en que se descompone,
sin traslapes.
8
g.f.s.
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Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),… Pn(xn,yn) los vértices
de un polígono cualquiera, entonces su área se determina
mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir
una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los
vértices del polígono en el siguiente orden:
Áreas de polígonos a partir de vértices
Ejemplo 1: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A (0,0), B (5,6), C (7,2)
Paso No.1:
Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la
tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón:
Paso No.2:
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por
los que pasa cada una de las diagonales que se observan en la imagen:
9
g.f.s.
Geometría Analítica
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Paso No.3:
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los
que pasa cada una de las diagonales:
Paso No.4
El valor del determinante es la resta de los dos resultados obtenidos de las
multiplicaciones en el paso 2 y 3:
10 – 42 = -32
Paso No.5:
Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del triángulo es:
Ejemplo 2: Calcula el área de una región limitada por:
(-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,-8)
1) Se ubican las coordenadas en un plano bidimensional.
10
g.f.s.
Geometría Analítica
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2) Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos
columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el
primer renglón, para el orden de las coordenadas se toman según
los cuadrantes del plano con sentido contrario a las manecillas del
reloj iniciando en el primer cuadrante.
3) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos
números por los que pasa cada una de las diagonales como se
observa en la imagen:
4) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos
números por los que pasa cada una de las diagonales:
5) El valor del determinante es la resta de los productos de los
pasos 3 y 4 :
608 - ( - 368 ) = 976
6) Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del
triángulo es:
Distancia entre dos puntos.
Segmentos dirigidos:
Cuando en geometría usamos segmentos que representan magnitudes vectoriales, es necesario indicar el
sentido de dichos segmentos; esto lo hacemos usando los signos + o - , que se obtienen cuando establecemos
la diferencia de las abscisas o bien de las ordenadas. Para ello se sigue un orden preestablecido, consistente en
señalar una letra que corresponde al punto donde se inicia el segmento y a continuación la letra que
corresponde al punto donde termina el segmento.
Distancia dirigida: puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor
absoluto la distancia es siempre positiva.
Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica
11
g.f.s.
Geometría Analítica
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Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los puntos.
El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos.
La distancia entre P1 y P2 es 9:
Ejemplos: Determina la distancia no dirigida entre los puntos dados a continuación
12
g.f.s.
Geometría Analítica
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Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas:
Horizontal
Vertical
Si los valores de “y” son
iguales
Si los valores de “x” son iguales
Donde:
Inclinada
Cuando los valores de “x” y “y”
son diferentes
d = distancia
Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos: P1 (-3,2) y P2 (5,2)
Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia
entre dos puntos en forma Horizontal:
Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1(0,5) y P2(0,-3)
Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia entre
dos puntos en forma Vertical:
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g.f.s.
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Desarrollo para determinar la formula de la distancia entre dos puntos en su forma inclinada:
Encuentra la distancia entre los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, así como también el
segmento de recta
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el
punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
Pero
Donde
Sustituyendo los datos anteriores tenemos:
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados
Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por:
Ejemplo 3: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4).
Observamos que las “x” y “y” son diferentes, por lo tanto utilizamos la fórmula de la distancia entre dos
puntos en forma Inclinada:
14
g.f.s.
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15
g.f.s.
Geometría Analítica
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Práctica 3
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
Distancia entre dos puntos. Áreas y perímetros.
I. Resuelve los ejercicios siguientes con base en lo que se indica en cada figura.
1. Calcula la distancia entre los puntos A y C de la figura siguiente.
16.1
2. Calcula la longitud del segmento de recta AB de la figura que sigue.
13
II. Resuelve los ejercicios siguientes a partir de los datos proporcionados.
16
g.f.s.
Geometría Analítica
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3. Halla la distancia que hay entre los puntos 5. Halla la distancia que hay entre los puntos
A(7, 3) y B(12, 5).
N(-6, 1).
M(—2,8) y
Raíz de 65
5.38
4. Determina la distancia que hay entre los 6. Calcula la longitud del segmento de recta PQ cuyos puntos
puntos P(-7,4) y Q( l,--ll ).
extremos son P(-3, -1) y Q(9, 4).
17
13
17
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
III. Responde a las preguntas 7, 8, 9, 10 y 11 con base en el triángulo siguiente.
7. Calcula la longitud del lado AB.
9. Calcula la longitud del lado AC.
12.65
15.81
8. Estima la longitud del lado BC.
10. Determina el perímetro del triángulo.
9.49
37.95
18
g.f.s.
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MATEMÁTICAS
11. Calcula el área del triángulo.
60 U2
12. Calcula el área del triángulo de la figura siguiente.
90 U2
19
g.f.s.
Geometría Analítica
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13. Calcula el área del rombo de la figura siguiente.
60 U2
14. El cuadrilátero de la figura siguiente es un paralelogramo. Calcula su área.
122 U2
20
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada
En matemáticas básicas se abordaron los temas de razón y proporción, de los cuales se retomarán definiciones
para encontrar puntos de división de un segmento. Como recordarás, razón es la comparación por división de
dos cantidades semejantes, por lo general es mediante el cociente de las mismas.
Ejemplo 1.
Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más
rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide:
Esto es, por cada 7 palabras que lee Diego, un lector promedio lee 5.
De la misma forma si se tiene un segmento que es dividido en dos partes, la razón se calcula de la manera
siguiente
A continuación se realizará un análisis de diferentes razones en el eje coordenado horizontal y posteriormente
se generalizará al plano cartesiano.
Ejemplo 2.
El punto P divide el segmento
punto biseca al segmento.
en dos partes iguales, encontrar la razón a la cual el
Independientemente de lo que mida cada tramo, son iguales, y la razón se establece:
El punto de división es el punto medio y los segmentos están a razón de 1.
Ejemplo 3.
Se divide el segmento
en tres partes iguales, encontrar las razones en las cuales se
divide al segmento por cada punto de trisección.
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g.f.s.
Geometría Analítica
Primero se obtiene la razón a la cual punto P1 divide al segmento
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denominándola r1.
Ahora se obtiene la razón para el punto P2, la cual se denomina r2.
Por lo tanto, el primer punto de trisección P1 está a razón de 1/2, y el punto P2 está a razón de 2.
Ejemplo 4.
Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la izquierda del
extremo izquierdo, como se ve en la figura.
En este caso el segmento AP cambia de dirección y se refleja en el numerador de la razón, como se observa a
continuación.
Ejemplo 5.
Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la derecha del
extremo derecho del segmento.
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g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
División de un segmento del plano cartesiano, en una razón dada.
Para dividir un segmento construido en el plano cartesiano, se requiere ubicar un punto que lo divida y trazar
las proyecciones de sus coordenadas.
A continuación se observa que se forman dos triángulos semejantes con las proyecciones, ya que los ángulos
que forman el segmento con las proyecciones horizontales son iguales, por lo cual, se puede establecer las
proporciones de los lados correspondientes, como se muestra a continuación.
Cambiando la parte izquierda de cada una de las proporciones
anteriores por “r”, ya que corresponde a lo que se conoce como
razón, se obtiene:
Si se desea encontrar las coordenadas del punto de partición P(x, y),
teniendo como datos conocidos los extremos del segmento y la
razón a la que se encuentra el punto, se puede deducir la fórmula a
partir de las proporciones anteriores, de la siguiente manera:
23
g.f.s.
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Se realiza el despeje de las variables “x” y “y” de la proporción correspondiente.
Las fórmulas obtenidas son las coordenadas del punto que divide a un segmento a una razón dada.
Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A
y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B (11,6) en una razón de
Paso 1: Aplicamos las fórmulas
Paso 2:
Sustituyendo los datos:
Tenemos que:
Paso 3:
Por lo tanto las coordenadas del punto P son: P(5, 3)
Punto medio. (Pm) es un caso particular de la
división de un segmento en una razón dada, en la
cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las
fórmulas para calcular el punto medio:
Por lo tanto las coordenadas del punto medio
son: Pm = (Xm , Ym )
24
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplo 1: Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo P1 (4, –2) y P2 (3, 4)
Paso1:
Aplicamos las fórmulas
Paso 2:
Sustituyendo los datos
Tenemos que:
Paso3:
Por lo tanto las coordenadas del punto
medio son:
25
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 4
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
Dividir un segmento en una razón dada
I. Resuelve los ejercicios siguientes.
1. Determina en qué razón el punto P(3, 3) divide el segmento de recta cuyos puntos extremos
son A(-5,1) y B(15,6)
2/3
2. Indica en qué razón divide el punto P{3, 2) el segmento de recta AB cuyos puntos extremos son
A(—4, 7) y B(10, -3)
1
26
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
3. Indica en qué razón divide el punto P (4/3, 4) el segmento de recta AB cuyos puntos extremos
son A(6, -2) y B(-1,7)
2
4. Indica las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta determinado por los
puntos A(-4, 3) y B(8,6) en la razón r = 2.
P(4,5)
5. Halla las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos
extremos son A(-3, 8) y B(9, -4) en la razón r =1/2
P(l,4)
27
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
6. El punto P(-11/5) divide el segmento de recta QR en la razón r = 2/3. Si las coordenadas del
punto Q son (-7, -3), halla las coordenadas de R.
R(5, 6)
7. Determina las coordenadas del punto P{x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos
extremos son P1(-3, 1) y P2(6,7) en la razón r = -1/3
P(-15/2, -2)
8. El punto P(4, 1) es el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos
P1(x, 7) y P2(5, y). Determina los valores de "x" y" y".
x = 3 , y = -5
28
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
9. P(l, 3) es el punto medio del segmento de recta AB y las coordenadas de A son (-1,11). Halla
las coordenadas del punto B
B(3, -5)
10. El punto medio del segmento PQ es el punto R(-2, 3); las coordenadas del extremo
(6, 5). Halla las coordenadas del punto Q.
P son
Q(-10, 1)
11. Un niño de 24 kilogramos (kg) se sienta en el punto A(2, 5) de una tabla de madera y otro
niño de 12 kg se sienta en el punto 5(8, 12). Halla las coordenadas del punto P entre A y B, donde
se debe calcular un soporte para que la tabla permanezca en equilibrio. Por la ley de las
palancas debe cumplirse que 24AP = 12PB
P(4,22/3)
29
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
EL SISTEMA DE LAS COORDENADAS POLARES.
En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distancia r. Para medir el ángulo
necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo llamado polo y denotado con la letra O y
una semirrecta dirigida que parte del origen, llamada eje polar y denotada con la letra e, como se muestra en
la figura
A la distancia dirigida del polo al punto P(r , θ) se le llama radio vector del punto y al ángulo θ ángulo
polar, o bien argumento
A continuación te mostramos la gráfica de tres puntos en el eje polar: A(3,60º), B(2,π) y C(225º,4). Analiza
cuidadosamente su gráfica e intenta comprender la manera en que se gráfica cualquier punto P(r , θ) de esas
características.
También es posible que el radio vector sea negativo, al igual que el ángulo polar. Observa cuidadosamente la
gráfica de los puntos: A(-3,60º). B(-2,30º), C(4,-45º). D(4,-150º).
30
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
De lo anterior podemos concluir que:
a) Si r es positiva y θ positiva, entonces se traza el radio vector, de magnitud r, a partir del polo y con el
ángulo polar dado, quedando así ubicado el punto (r , θ). Si r es negativa y θ positiva, el radio vector
se traza en sentido contrario a lo que se hace cuando r es positiva. A continuación te mostramos un
dibujo donde se representa lo escrito.
b) Como pudiste observar, si el ángulo θ es positivo, se mide a partir del eje polar en sentido contrario
al movimiento de las manecillas del reloj y en el sentido de las manecillas del reloj cuando es
negativo, como muestra a continuación. En ambos casos hemos supuesto que el radio vector es
positivo.
El argumento se puede medir o dar en medidas angulares, grados, o en medidas circulares, radianes.
LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANO POLAR.
Después de haber comprendido lo anterior, no te será difícil entender el procedimiento que se te propone con
el fin de localizar puntos en el plano polar.
Si deseas localizar el punto P(r , θ), una forma de hacerlo es:
1) Traza una circunferencia de radio r con centro en O.
2) Después traza una línea con un ángulo de inclinación θ, considerando su signo.
3) Por último localiza el punto de intersección entre la circunferencia y la recta, tomando en cuenta el
signo de r. Este será el punto P(r , θ).
ACTIVIDAD 3.
En la siguiente figura se han trazado circunferencias de radio 1, 2, 3 y 4, y el plano polar, en Ella localiza los
siguientes puntos A(1,90°), B(1,135°), C(1,-120°), D(-1,-135°) y E(-1,225°). En caso de tener dudas
pregúntale a tu profesor, para que te ayude.
31
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Con el fin de que puedas realizar la transformación de grados a radianes y de radianes a grados te mostramos
el siguiente procedimiento, basado en que:
2πrad = 360º
1) Como 2πrad = 360º, entonces 1rad = 360º/2π. Lo anterior se obtiene al dividir ambas extremos del
signo igual por 2π.
2) A partir de que 1rad = 360º/2π, si multiplicamos ambos lados por x obtendremos:
esta relación nos sirve para transformar x radianes a grados.
3) De igual forma, si a 2πrad = 360º la dividimos por 360 obtendremos 2πrad/360 = 1º. Lo cual al
simplificarlo queda como π rad/180 = 1º, o bien que 1º = π rad/180. Finalmente, si multiplicamos ambos
lados por x obtendremos:
la cual nos permitirá transformar x grados en sus respectivos radianes.
Realiza lo que se te pide en cada uno de los siguientes enunciados.
EJERCICIO 3.
Localiza los puntos M (2,π/4), N (1,π/12) y P (-3,π) en el plano polar.
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES
Es conveniente poder transformar las representaciones gráficas del plano cartesiano al polar, del polar al
cartesiano, así como las representaciones algebraicas asociadas a cada una de ellas. En muchas ocasiones el
hacer esto permite resolver más fácilmente el problema que se esté tratando.
¿Qué coordenadas le corresponderán al punto (3,60°) del plano polar en el plano cartesiano?
Para contestar la pregunta dibujaremos el punto en un plano en el cual se encuentren las dos representaciones
superpuestas.
En el plano cartesiano los valores correspondientes a la abscisa y la ordenada los podremos encontrar
utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno como sigue:
32
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Así pues, el punto (3,60°) del plano polar se transforma en el punto (3cos60°,3sen60°) del plano cartesiano.
Ahora bien, ¿y el punto (4,5) del plano cartesiano cómo quedará representado en el plano polar? Sigamos un
procedimiento análogo. Dibujemos el punto en una gráfica en donde subsistan los dos planos.
En este caso, nuestro problema es encontrar los
valores del radio vector y del ángulo polar
correspondientes al punto (4,5) en el plano
cartesiano. ¿Cómo determinaremos el valor de r?
Claro, utilizando el teorema de Pitágoras. Y el valor
de θ? Utilizando la función trigonométrica tangente.
Pasemos a hacerlo:
Por lo anterior, podemos afirmar que el punto (4,5) del plano se transforma en el punto (41,tan-1(54)) en el
plano polar.
EJERCICIO 4.
Determina la representación gráfica y como pareja en el plano cartesiano de los puntos indicados en el plano
polar: A (1,45°), B(-4,30°) y C(5,-60°).
ACTIVIDAD 4.
Encuentra la representación gráfica y como pareja en el plano polar de los puntos indicados en el plano
cartesiano: A(4,-4), B(-3,4) y C(8,3).
Ahora pasemos a determinar, de manera general, cómo se transforma la representación de un punto en
coordenadas polares a coordenadas cartesianas y viceversa. Completa los pasos que no lo están.
a) Primero vamos a transformar el punto (x , y) en el plano cartesiano al punto (r , θ) en el plano polar.
Para auxiliarnos trazamos la gráfica del punto en los dos planos superpuestos.
Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos que:
r2 =
de donde r
33
g.f.s.
Geometría Analítica
Como sabemos, tanθ =
MATEMÁTICAS
, por lo que
Hemos encontrado que el punto (x,y) en el plano cartesiano se transforma en el punto
En el plano polar
b) Pasemos a transformar el punto (r , θ) en el plano polar al punto (x , y) en el plano cartesiano.
Podemos utilizar la figura anterior considerando que ahora tenemos como información al punto (r , θ). De ahí,
usando las funciones trigonométricas seno y coseno obtendremos:
cos θ = , de donde x = r cos θ
senθ = , por lo que y = r sen θ
Por lo tanto, el punto (r , θ) en el plano polar se transforma en el punto (r cos θ , r sen θ) en el plano polar.
34
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 5
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________
Sistema coordenado polar. Transformación del sistema polar al rectangular y viceversa.
Ejercicio 1.
En la figura anterior localiza además los siguientes puntos F(2,90°), G(3,135°), H(2,-120°), K(-3,135°) y M (-4,225°).
Ejercicio 2.
Encuentra las coordenadas polares de los puntos que se muestran en el siguiente plano polar y
asígnale a cada punto una letra mayúscula para su identificación.
Ejercicio 3.
Encuentra las coordenadas polares y realiza su interpretación gráfica en ambos planos
sobrepuestos de los siguientes puntos.
a) A(3,4)
b) B (1,1)
c) C(-2,3)
d) D(2,-3)
e) E(2,-1)
f) F (-1,-1)
g) G(-2,-3)
35
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejercicio 4.
Encuentra las coordenadas cartesianas y realiza su interpretación gráfica en ambos planos
sobrepuestos.
a) A(3,45°)
b) B (1,30°)
c) C(-2,30°)
d) D(2,135°)
e) E(2,-30°)
f) F(-1,-225°)
g) G(-2,60°)
36
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Apertura
Práctica 1
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________
Apertura. Secuencia dos
I. De manera individual contesta el siguiente ejercicio.
Un tema de preocupación de la humanidad es el calentamiento global, éste se esta viendo reflejado en
diversos cambios climáticos, uno de ellos es en el aumento de agua y temperatura en el mar por los deshielos
glaciares, a continuación realiza lo que se te pide y contestas las preguntas.
a) Indica los puntos de acuerdo a la
siguiente información:
(N1) Nivel del Mar en 1980: (-4, -2)
(N2) Nivel del Mar en 2003: (8, 5)
b) Une los puntos con color azul.
c) Observa el comportamiento del nivel
del mar
d) ¿Qué relación encuentras entre el comportamiento del nivel del mar con el título: espacio y diversidad?
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
II. De manera individual contesta las siguientes preguntas y guiados por tú maestro realicen un
pequeño debate grupal.
1.- ¿Crees recomendable en los próximos años invertir en bienes raíces a la orilla del mar?
¿Por qué?
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2.- Si ustedes fueran parte de un consejo técnico para la prevención de catástrofes ambientales, que
recomendaciones propondrían para los constructores de las zonas costeras.
(Menciona mínimo 3 recomendaciones).
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
37
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
LÍNEA RECTA
Desarrollo
Desde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de
variada naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante como: pagos de impuestos,
alargamiento de materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos,
conversión de escalas de temperatura, etc. El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es
importante por esta razón conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran:
Geométricamente Se define como la distancia más corta entre dos puntos.
Analíticamente
Gráficamente
Es una ecuación de primer grado con dos variables.
Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos
diferentes cualesquiera P1( X1 , Y1 ) y P2 ( X2 ,Y2 ) del lugar geométrico, el valor de
la pendiente m es siempre constante.
PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA
La pendiente ( m ) de una recta “ L ” se define como
la razón que existe en la variación de ordenadas (eje
y) entre la variación de abscisas (eje x).
La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y =
2x – 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en
2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad,
La razón de cambio de y entre el cambio correspondiente de x
es.
A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define
como sigue:
También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.
Si la pendiente de la recta es:
38
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Valor del ángulo de inclinación:
A partir de la ecuación
, despejando para el ángulo de inclinación de una recta tenemos:
Ejemplo 1: Encuentra y grafica la pendiente de la recta y su ángulo de inclinación determinada por los
siguientes pares de puntos:
39
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
a) A (-4, -1) y B (5, 2)
Paso 1: Identificamos P1 y P2. Si P1 (X1, Y1) = (-4, -1) y P2 ( X2, Y2) = (5, 2), entonces tenemos que:
Paso 2: Sustituir datos en formulas correspondientes
b) A (3, -6) y B (-2, 5).
Paso 1: Identificamos los P1 y P2
Si P1( X1, Y1) = (3, -6) y P2( X2, Y2) = (-2, 5), entonces tenemos:
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes
Paso 3: Los resultados son:
Pendiente es: m = - 2.2
Ángulo de inclinación de la recta es:
Θ= 114.44°
c) A(3, -1) y B(-2, -1)
Paso 1: Identificamos los P1 y P2
Si P1( X1, Y1) = (3, -1) y P2( X2, Y2) = (-2, -1),
40
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
entonces tenemos :
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes
Paso 3: Los resultados son:
Pendiente es:
m=0
Ángulo de inclinación de la recta es:
Θ = 0°
d) A(4, -4) y B(4, 5)
Paso 1: Identificamos los P1 y P2
Si P1( X1, Y1) = (4, -4) y P2( X2, Y2) = (4, 5) entonces tenemos :
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes
Paso 3: Los resultados son:
Pendiente es:
m=∞
Ángulo de inclinación de la recta es:
Θ = 90°
Ejemplo 2: Calcule la pendiente, dado el ángulo de inclinación.
El procedimiento a seguir para su solución es sustituir el ángulo en la formula:
41
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplo 3: Dada la pendiente, encuentre el ángulo Θ de inclinación.
Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de
inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer
una diferencia con respecto a 180° para obtener un
ángulo positivo:
Como la pendiente es positiva el ángulo de
inclinación es el resultante de la formula:
Θ = 63.43°
Como la pendiente es cero entonces el ángulo de
inclinación es:
Θ = 0°
Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de
inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer
una diferencia con respecto a 180° para obtener un
ángulo positivo:
42
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 2
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
La recta. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta.
I. Halla la pendiente y la inclinación de cada una de las rectas siguientes.
43
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
5. Determina la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-3, 0) y B(1, 2).
a. Pendiente
b. Inclinación de la recta
m = 1/2
Ɵ = 26.56°
6. Determina la pendiente y la inclinación de la recta a. Pendiente que pasa por los puntos M(-3, 3) y N(3, -4).
a. Pendiente
b. Inclinación de la recta
m = -7/6
Ɵ = 130.6°
7. Halla la pendiente y la inclinación de la recta que p asa por los puntos P1(7, 3) y P2(4, -3).
a. Pendiente
b. Inclinación de la recta
m=2
63,43°
8. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1, 1) y B(2, 4).
Ɵ=45°
9. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(2, 9) y B(7, 4).
Ɵ= 135°
44
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA
La ecuación de la línea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna
característica del lugar geométrico.
Formas de la ecuación de la recta
Ejemplo 1:
Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente y - y1= m(x - x1 ), pendiente-ordenada
y m x b , y general A x B y C 0, que pasa por los puntos A (-2,3) y B (5,-2)
Solución:
Primero hay que encontrar la pendiente
Para la forma punto-pendiente
por donde pasa.
Si tenemos que
necesitamos conocer la pendiente y un punto
y tomamos el punto A (-2,3), se sustituyen en la ecuación:
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto – pendiente es:
Para la forma pendiente- ordenada y = m x + b
45
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la
ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de
la ecuación.
Despejamos b de la ecuación
Sustituyendo el punto B (5, -2) en la ecuación ya despejada tenemos que:
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente – ordenada es:
Para la forma general
De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero.
Multiplicamos todo por el mínimo común denominador (m.c.d.) para este caso 7 tenemos que
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general es:
Ejemplo 2:
En mí casa se consumen dos refrescos diarios por persona al día, mí mama compra 3 refrescos extras por si
hace falta, crea la ecuación de la recta y representarla en una grafica.
Solución:
R(n) representa la cantidad de refrescos a comprar, mientras que n es la cantidad de personas consumidoras de
refresco en la casa.
Con una persona en la casa la cantidad de refresco a comprar seria: R(1) = 2(1)+3= 5.
Con dos personas: R(2) = 2(2)+3 =7
Con tres personas: R(3) = 2(3)+3 =9
Con cuatro personas: R(4) = 2(4)+3 =11
Por lo que se puede deducir que la ecuación R(n) = 2(n)+3 representa la cantidad de refrescos a comprar
dependiendo de la cantidad de n personas que se encuentren en casa.
De donde y = 2x+3 representa la ecuación de la recta pendiente-ordenada, que muestra la cantidad de
refrescos a comprar respecto la cantidad de n personas presentes en casa.
46
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
La ecuación general de la recta se obtiene igualando a cero, por lo que resulta 2x-y+3=0.
Gráficamente:
Ecuación:
y=2x+
3
(Ejercicios en binas)
En binas resuelve los ejercicios que a continuación se presentan real ízalos en tú libreta en lo individual,
anexándolo al reverso.
A) Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente
, pendienteordenada y = m x +b, y en general
que pasa por los pares de puntos dados. No olvides
graficar, puedes utilizar hojas milimétricas:
B) Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada dada por la pendiente ( m ) y con
intersección en “ y ” ( b ).
C) Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto A y que
tiene pendiente m.
D) Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas.
47
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 3
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
La recta. Ecuación de la recta Punto-pendiente, y Pendiente-ordenada en el origen.
I. Escribe la ecuación que corresponde a la respuesta correcta en la forma pendiente-ordenada en
el origen. Además determina la gráfica.
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4, 5) y cuya pendiente es 2.
y = 2x + 13
2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, -3) y que tiene pendiente igual a -2.
y = -2x + 5
3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(—3, 0) y B(l, 2).
4: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q{-4, -6) y R(l, 9).
y = 3x + 6
5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,4) y cuya pendiente es igual a 3/5
48
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
6. Determina la ecuación de la recta de pendiente 4 y ordenada en el origen igual a -5
y = 4x - 5
7. Determina la ecuación de la recta de pendiente -3 y ordenada en el origen igual 7
y = - 3x +7
8. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente
Y=x+5
9. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente
49
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 4
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
La recta. Gráfica de una recta y aplicaciones.
1. Utiliza la técnica descrita párrafos atrás para trazar la gráfica de la función y = 2x - 3. {Nota:
puedes escribir el valor de la pendiente como la razón -2/1 o como 2/-1. Si el cambio vertical es
negativo el desplazamiento a partir del punto (0, b) es hacia abajo, y si el cambio horizontal es
negativo el desplazamiento es hacia la izquierda.
2. Utiliza la pendiente y la ordenada en el origen para trazar la recta cuya ecuación es :
1. El valor comercial de un automóvil que tiene ocho años de uso es de $56 000. Cuando tenía
cinco años de uso, su valor era de $80 000. Si dicho valor varía linealmente con el tiempo,
determina:
50
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
a. La ecuación particular que expresa el valor del auto c. El valor del automóvil cuando era
en términos del tiempo de uso.
nuevo
V = -8000t + 120000
Costo nuevo $120000
b. El valor del automóvil cuando tenga 12 años de uso d. A los cuántos años de uso el automóvil
ya no tendrá valor comercial
$24000
15 años
e. Utiliza la pendiente como razón de cambio para completar la tabla siguiente.
T
v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2. Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $480 000, pero cuando era nueva su
valor era de $300 000. Si el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula.
a. La ecuación que expresa el valor de la casa en valor de la casa
c. La variación del valor de la casa por
dentro de 20 años.
año. términos del tiempo.
$45000/año
V = 45000t + 300000
b. El valor de la casa dentro de 20 años.
$1200000
51
g.f.s.
Geometría Analítica
d. Completa la tabla.
T
0
1
t
MATEMÁTICAS
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. A 15 000 pies sobre el nivel del mar el agua hierve a 185°F, mientras que a 18000 pies hierve a
179.6 °F. Si la relación entre el punto de fusión del agua y la altitud es lineal, determina:
a. La ecuación que expresa la temperatura de fusión
b. La temperatura de fusión del agua al
del agua respecto a la altitud.
nivel del mar.
T = -0.0018h + 212
212 °F
c. La temperatura de fusión del agua a 12 000 pies de d. La altura sobre el nivel del mar para la
altura sobre el nivel del mar.
cual el agua hierve a 194°F
190. 4°F
e. Cuanto varía la temperatura de fusión del agua por cada pie de altitud.
10000 pies
-0.0018°F/pie
Altitud h
(pies)
Temperatura
de fusión T
(°F)
0
1000
2000
3000
4000
5000
52
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 5
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
La recta. Ecuación de la recta en Forma simétrica, y Forma general.
I. Forma simétrica
1. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 3. Halla la forma simétrica de la ecuación de la
recta cuya abscisa y ordenada en el origen son recta de la figura siguiente.
2 y 7, respectivamente.
2. Halla la forma simétrica de la ecuación de la
recta cuya abscisa y ordenada en el origen son
-3 y 5, respectivamente
4. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 6. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta
y = 5x + 10
recta de la figura siguiente.
5. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 7. Halla la forma simétrica de la ecuación de la
recta 4x - 5y - 20 = 0.
recta y = 3x - 12.
53
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
II. Forma general
1. Halla la forma general de la ecuación de la 2. Halla la forma general de la ecuación de la
recta que pasa por el punto P(—5,1) y cuya recta que pasa por los puntos P{-3, 25) y Q(2, pendiente es 7.
10).
7x + y - 4 = 0
7x - y + 36 = 0
3 Halla la forma general de la ecuación de la 4. Halla la forma general de la ecuación de la
recta que pasa por el punto (-3, -2) y cuya recta que pasa por los puntos P(-10, -7) y Q(-6,
pendiente es -2/3
-2).
5x - 4y + 22 = 0
2x + 3y + 12 = 0
5. Halla la forma general de la ecuación de la 6. Halla la forma general de la ecuación de la
recta de la ecuación de la recta de la figura recta de pendiente 3/5 y ordenada en el
siguiente.
origen -4.
3x - 5y - 20 = 0
54
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
7. Halla la forma general de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son -5 y -6,
respectivamente.
x + 5y + 30 = 0
8. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(9, -4), P2(-3, 4). En la forma:
a. Pendiente ordenada en el
b. General.
c. Simétrica.
origen.
2x + 3y - 6 = 0
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-5, -32) y B(7, 16) en la forma:
a. Pendiente ordenada en el
b. General.
c. Simétrica.
origen.
4x - y -126 = 0
55
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
DISTANCIA Y COMPORTAMIENTO DE DOS RECTAS
Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto P ( X1 , Y1 ) desde la recta Ax + By + C = 0 , se determina al sustituir las
coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por
la ecuación:
Ejemplo 1: Para el punto
Del punto:
y de la recta
determina la distancia:
y la recta
,
Determinamos los valores:
Los sustituimos en la fórmula:
Así tenemos:
Por lo tanto la distancia del punto a la recta es: d = 2
Distancia entre rectas paralelas
Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la
distancia de ahí a la otra recta.
Ejemplo:
Encontrar la distancia entre las rectas 6x + 2y - 3 = 0 y 6x + 2y + 5 = 0.
56
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Solución: Las rectas son paralelas, pues mediante un cálculo directo se ve que la pendiente de ambas es
m = -3. Elegimos un punto cualquiera en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por
ejemplo x = 1, lo sustituimos en la ecuación y encontramos el valor de y correspondiente:
6 (1) + 2y – 3 = 0
Por tanto
Así que el punto
pertenece a la primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda
recta:
así que la distancia entre las rectas es:
57
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 6
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
Distancia entre un punto y una recta y entre rectas.
1. Determina la distancia dirigida del punto P(-2, 3) a la recta 8x - I5y + 10 = 0
3
2. Halla la distancia dirigida del P(-1,-2)a la
recta 20x + 2ly + 4 = 0
4. Halla la distancia dirigida del punto P(4, 2) a
la recta 6x + 8y + 5 = 0.
2
4.5
3. Halla la distancia dirigida del punto Q(-2,-1) a 5. Determina la distancia dirigida que hay del
la recta 3x — 4y — 12 = 0.
punto P(-3, -2) a la recta 5x - 12y - 22 = 0
14/5
1
6. Halla la distancia no dirigida entre las rectas
8. Halla la distancia no dirigida que hay entre
paralelas 3x + 4y - 12 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0.
las rectas paralelas 9x + I2y - 27 = 0 y 9x + 12y +
33 = 0
4
4
58
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
7. Halla la distancia no dirigida entre las rectas paralelas 15x + 8y + 30 = 0 y 15x + 8y - 4 = 0.
9. Halla la distancia no dirigida entre las rectas
paralelas 20x - 21y + 9 = 0 y 20x - 2l y - 20 = 0
2
1
10. Halla la distancia dirigida del origen a la
recta 3x - 4y +10 = 0.
2
59
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Análisis del comportamiento de dos rectas
Sean las rectas:
L1 de ecuación
L2 de ecuación
Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes:
Paralelismo: dos rectas
paralelas si y sólo si
pendientes son iguales.
son
sus
Perpendicularidad: dos rectas
son perpendiculares entre sí, si y
sólo si, sus pendientes son
inversas y de signos contrarios.
Coincidencia:
dos
rectas
coinciden entre sí si y sólo si sus
pendientes son iguales.
60
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Intersección: Dos rectas se
pueden cortar en uno y
solamente un punto, si y sólo
si, no son paralelas entre sí.
Ejemplo 1: La ecuación de una recta es 5x - 4y + 20 = 0. Encuentra la ecuación de la recta paralela que pasa
por el punto (2, 3).
Recta L1
Despejamos la recta para encontrar su pendiente:
Por lo tanto su pendiente
es
Por la condición de paralelismo:
Se sustituyen los datos en la ecuación :
Donde
Multiplicamos todo el resultado por -1
Se tiene que la ecuación es:
61
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplo 2: Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular 3x + 2y - 12 = 0
Recta L1
Despejamos la recta para encontrar su pendiente:
Por lo tanto su pendiente es
Por la condición de perpendicularidad:
Se sustituyen los datos en la ecuación :
Multiplicamos todo el resultado por -1
62
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ángulo entre dos rectas
En nuestro estudio de la recta, los ángulos están directamente relacionados, ya que, precisamente, los lados
del ángulo son líneas rectas. El ángulo que se forma en la intersección de un par de rectas se puede calcular en
función de sus pendientes.
La relación para obtener el valor del ángulo θ entre
dos rectas está dada por:
Para aplicar esta relación se debe determinar cuál es la pendiente m1 y cuál m2. Para ello se debe seguir las
indicaciones siguientes:



Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.
Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.
Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.
Ejemplo 1: Determina el valor del ángulo que forman las rectas:
Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada: y = mx + b
Determinamos cuál es m1 y cuál m2 como una es negativa y la otra positiva por lo tanto
63
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Sustituimos en la fórmula
Obtenemos el valor del ángulo:
64
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Práctica 7
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________
I. Rectas notables de un triángulo.
1.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo
cuyos vértices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5)
Sol : x+2y-1=0
2.-Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A del triángulo cuyos vértices
son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4)
Sol. 5x+2y-16=0
3.- Halla la ecuación de la altura que pasa por el vértice C del triángulo cuyos vértices son
A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4)
Sol. 3x+4y-7=0
65
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
II. Ecuaciones entre rectas
4. Halla la forma general de la ecuación de la 5. Halla la forma general de la ecuación de la
recta que pasa por el punto (3, -2) y que es recta que pasa por el punto P(6, 4) y que es
paralela a la recta 2x + 5y + 1 = 0.
paralela a la recta 2x - 5y - 10 = 0.
2x - 5y + 8 = 0
2x + 5y + 4 = 0
6. Halla la forma general de la ecuación de la 7. Halla la forma general de la ecuación de la
recta que pasa por el punto (4, -2) y que es recta que pasa por el punto B(-4, -6) y que es
perpendicular a la recta 5jc - y — 3 = 0.
perpendicular a la recta
.
X + 5y +6 = 0
2x - y + 2 = 0
8. Halla la forma general de la ecuación de la 9. Halla la forma general de la ecuación de la
recta que pasa por el punto A(-3, 5) y que es recta que pasa por el punto P(5,4) y que es
perpendicular a la recta y = 3x + 8
perpendicular a la recta
—
X + 3y - 12 = 0
5x + 2y - 33 = 0
66
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2, -5) y es paralela a la recta y = -4x + 11
y=-4x+3
10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y que es perpendicular a la recta
y = 5 x + 17
67
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
FALTA OTRA PRÁCTICA SOBRE RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y
OBLICUAS
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Apertura
Actividad 1. (Construcción de cónicas y preguntas por equipo)
En equipo de cuatro personas construir cada integrante un cono, utilizando hojas de papel, cinta o
pegamento, tijeras.
Cada alumno tiene que realizar los cortes específicos que se muestran a continuación.
Contesta en equipo las siguientes preguntas.
1. Al realizar el corte del cono 1, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó?
________________________________________________
2. Al realizar el corte del cono 2, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó?
________________________________________________
3. Al realizar el corte del cono 3, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó?
________________________________________________
4. Al realizar el corte de los cono 4 y 5, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó?
________________________________________________
5. Las diferentes figuras que se obtuvieron fueron a partir de:
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
6. ¿Qué puedes decir a cerca de las cónicas?
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
7. Dibuja un objeto con figura de cada cónica.
68
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Compara las respuestas con tus compañeros y con la ayuda del maestro lleguen a un acuerdo sobre las
preguntas anteriores. Pega en tu libreta la figura que te tocó construir.
Desarrollo
Actividad 2. (Elaboración de resumen)
Lee cuidadosamente el siguiente tema, subraya lo que consideres más importante y elabora un resumen
del mismo.
LAS CÓNICAS
Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico
de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un
plano.
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una
línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho
eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar
esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos
determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga llamado: Cónicas, en el cual se
estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este
trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las
generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono
fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio
hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla.
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una
de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio,
haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto
impone.
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:



La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas,
en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir
su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las
elipses.
La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la
línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea
vertical, es una parábola.
Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al
centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es
una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano, o como el
lugar geométrico de los puntos del plano tal que, la razón de sus distancias a un punto y a una recta es
constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.
69
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Circunferencia:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la
distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al
centro.
Elipse:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos
fijos se llaman focos de la elipse.
Parábola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Hipérbola:
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante.
Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
Cierre
Actividad 3. (Preguntas del tema individualmente)
De acuerdo al tema visto, completa de forma correcta los siguientes enunciados.
1.____________________________ se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un
plano.
2. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de ______________________________llamado
Cónicas.
3.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a
dos puntos fijos es constante.
70
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
4.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de
distancias entre dos puntos fijos es constante.
5.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro.
6.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Compara las respuestas con tus compañeros.
Actividad 4.
De manera individual realiza lo que se te pide a continuación. (Reflexión de vídeo)
Acude al laboratorio de informática y observa el video acerca de la contaminación del planeta y conciencia
social con la siguiente dirección electrónica:
http://www.youtube.com/watch?v=v1BfXfy3YM4
Escribe tu reflexión del video anterior y compártelo con tus compañeros de manera grupal.
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
71
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
CIRCUNFERENCIA
Apertura
Actividad 1. (Cuestionario contestado)
Individualmente contesta de las siguientes preguntas.
¿A qué figura se asemeja la forma de nuestro planeta? ____________________________________________
Menciona tres objetos con esa forma.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________
Escribe sobre la línea el nombre de los elementos señalados en la figura.
1. __________________________________
2. __________________________________
3. __________________________________
4. __________________________________
5. __________________________________
Compara las respuestas con tus compañeros y con la coordinación de tu maestro.
Actividad 2. (Mapa conceptual del tema)
De manera individual lee la siguiente información y subraya las ideas principales, para que realices un
mapa conceptual del mismo.
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.
La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas, pues
puede definirse como la intersección de un cono circular recto con un plano
perpendicular al eje del cono.
Geométricamente: es el lugar geométrico del punto P ( x , y ) que se mueve en un plano de tal manera que
siempre equidista de un punto fijo C ( h , k )del mismo plano.
72
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Geométricamente: es el lugar geométrico del punto P ( x , y ) que se
mueve en un plano de tal manera que siempre equidista de un punto
fijo C ( h , k )del mismo plano.
Al punto fijo C (h, k) se le llama centro de la
circunferencia y a la longitud constante del
segmento PC se le denomina radio.
CIRCUNFERENCIA viene del latín circum
(alrededor) y fero (llevar, trasladar).
Así la palabra circunferencia viene a significar lo que se mueve en torno a algo y describe la forma en que los
antiguos la pintaban, esto es, a un trozo de madera que clavaban en el suelo le ataban una cuerda acabada en
otro objeto puntiagudo. Llevaban esta cuerda alrededor del trozo a ras del suelo y quedaba dibujada una
circunferencia. Un primitivo compás.
DIÁMETRO viene del griego metrón (medida) y día (a través de, a lo largo de).
RADIO viene del latín radius, cada una de las varitas de las ruedas de un carro. Así se llamaban los
primitivos compases de los geómetras.
Actividad 3. (Completar mapa)
De manera individual completa el siguiente mapa conceptual con las palabras que a continuación se
listan: equidistan, punto fijo, curva plana y cerrada. Compara y discute con tus compañeros.
LA CIRCUNFERENCIA
es una
cuyos puntos
de otro
llamado
73
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Utilizando un sistema de coordenadas
cartesiano para estudiar la
circunferencia, está se puede trazar con
su centro en el origen del sistema de
coordenadas o en cualquier otro punto
de dicho sistema.
ECUACIÓN ORDINARIA DE UNA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN DEL
SISTEMA DE COORDENADAS
Cuando el centro de una circunferencia está en el origen del
sistema de coordenadas, le corresponden las coordenadas ( 0,0).
Si consideramos un punto arbitrario P(x,y) de la circunferencia, la
longitud del radio r queda determinada por la distancia del origen
O al punto P , como se muestra en la figura.
Con la distancia entre dos puntos para el segmento
Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el origen y radio r
Ejemplos de inducción:
1. Determina la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5.
2. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia que se muestra en la figura.
74
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Dado que tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas y la
distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia es de dos
unidades de longitud, la ecuación que describe esta circunferencia
está dada por:
Actividad 4. (Procedimiento de problemas)
De manera individual escribe paso a paso el procedimiento realizado en cada uno de los ejemplos
mostrados.
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
Actividad 5. (Problemas en binas)
En binas determina la ecuación de la circunferencia empleando
Cierre
Actividad 6. (Ejercicio circunferencia con centro en el origen)
Relaciona las circunferencias mostradas en las siguientes figuras con las ecuaciones que representan a
dichas circunferencias.
_________________________
75
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
____________________________
__________________________
___________________________
Actividad 7. (Respuesta a la pregunta y propuestas para evitar la contaminación del agua por equipo)
En equipo de tres personas reflexionen acerca del agua en la Tierra y realicen propuestas para evitar su
contaminación.
Sabías que:
 El Día Mundial del Agua se celebra el 22 de marzo.
 El Día Mundial del Agua 2010 tuvo por lema "Agua limpia para un mundo sano".
 El agua es fundamental para la vida en la Tierra.
 Investiga los alcances de la contaminación por radiación que tuvo Japón en este año 2011
 ¿Qué efectos tiene esta contaminación para el mundo?
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
Propuestas para evitar la contaminación del agua:
1._______________________________________________________________________
2._______________________________________________________________________
3._______________________________________________________________________
76
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA CIRCUNFERENCIA
Apertura
Actividad 1. (Respuesta a las preguntas)
Observa la gráfica de las circunferencias mostradas y contesta las preguntas.
¿Qué tienen en común los elementos de estas circunferencias?
______________________________________________
¿Cuál es la diferencia entre la circunferencia A con respecto a
la circunferencia B?
______________________________________________
¿Cuál es la ecuación que representa a la circunferencia A?
______________________________________________
¿Con lo que has visto hasta ahora podrías determinar la
ecuación de la circunferencia B?
______________________________________________
¿Qué debemos hacer para determinar la ecuación ordinaria de una circunferencia que tiene su centro fuera del
origen?
___________________________________________________________________________________
Desarrollo
Actividad 2. (Síntesis del tema)
Lee cuidadosamente la información que se presenta, considerando principalmente el procedimiento
para determinar la ecuación de la circunferencia y elabora una síntesis del tema.
Al centro de la circunferencia lo identificamos con un punto C( h , k )
y consideramos un punto arbitrario P( x , y ) en la circunferencia; de
esta manera la longitud del radio queda definida por la distancia entre
los puntos C y P , como se indica en la figura.
Al aplicar el concepto de distancia entre dos puntos se tiene que:
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se obtiene:
Ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C ( h , k ) y con longitud de radio r
Cuando se conoce la ecuación de una circunferencia en su forma ordinaria se obtener su centro C( h , k ) y su
radio comparando la ecuación dada con la forma ordinaria. Por ejemplo:
77
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Por lo tanto, las coordenadas del centro son C (-3, -5) y con una longitud de radio igual a 6 unidades.
Ejemplos de inducción:
1. Encuentra la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro (3, -5) y radio igual a 3.
Fórmula
Sustituyendo valores
Ecuación
2. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia mostrada en la siguiente figura.
En la gráfica se observa que el centro de la circunferencia se ubica
en h = - 2 y k = 4 y con una longitud de radio r = 5 , por lo que el
procedimiento para encontrar la ecuación ordinaria es:
Fórmula
Sustituyendo valores
Ecuación
3. Determinar la ecuación ordinaria de la circunferencia mostrada en la
gráfica de la siguiente figura.
¿Qué datos necesitamos para determinar su ecuación?
________________________________________________________
Además de su centro, necesitamos conocer la longitud del radio. En este
caso, requerimos calcular la distancia entre el centro y un punto de la
circunferencia. Esto se calcula como la distancia entre dos puntos
En la figura se puede observar que las coordenadas del centro son h = 1 y k = 1 ; así sustituimos en la
fórmula de la ecuación ordinaria de la circunferencia:
Fórmula
Sustituyendo valores
78
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ecuación
4. En la ecuación ordinaria ( x - 4 )2 + ( y + 3 )2 = 25 encuentra el centro C(h, k) y la longitud de su radio r.
Fórmula
Comparando las ecuaciones
Coordenadas del centro y
longitud del radio
Actividad 3. (Relación de ecuaciones con gráficas)
Relaciona la gráfica de las circunferencias colocando en cada una de ellas las siguientes ecuaciones
ordinarias que las representan.
___________________________________
____________________________________
___________________________________
__________________________________
79
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Actividad 4. (Ejercicio de aplicación)
Lee cuidadosamente la información mostrada a continuación y realiza las actividades.
Uno de los radares del aeropuerto de la ciudad de México se ubica en las
coordenadas (3, 2) km y puede detectar aviones al Este de la ciudad con
un máximo alcance de (11, 2) km.
¿Cuál será la ecuación de la circunferencia que describe este alcance?
Con centro C(3,2) y el punto del alcance (11,2) calculamos el radio.
Completa esta sustitución:
Por lo cual, la longitud del radio es igual a ____________ kilómetros.
Conociendo la longitud del radio, encontramos la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria al sustituir
en:
Fórmula
Sustituyendo valores
Ecuación
Cierre
Actividad 5. (Ejercicio circunferencia con centro fuera del origen)
Resuelve los ejercicios que a continuación se presentan de manera individual.
1: Encuentra el Centro C(h, k) y el radio r, para cada una de las ecuaciones que se presentan en forma
ordinaria.
80
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
2: Determina la ecuación de la circunferencia de radio 20 y que tiene su centro en el punto C (3, -5).
3: En el sistema coordenado que se muestra en la figura se tienen dos circunferencias, una de radio 15 y otra
de radio 20.
Determina la ecuación ordinaria de cada circunferencia
a) El centro de la circunferencia 1 está en el punto (0, 35)
___________________________________________
b) El centro de la circunferencia 2 está en el punto (40, 0)
___________________________________________
c) La ecuación de la circunferencia 3, pasa por los centros
de la circunferencia 1 y 2.
__________________________________________
Compara con tus compañeros las respuestas de los
ejercicios realizados
81
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA
Apertura
Actividad 1. (Rescate de conocimientos previos)
Contesta individualmente los siguientes cuestionamientos.
Una circunferencia se puede representar como una grafica o como una ecuación.
¿Pero cualquier ecuación puede representar una circunferencia?__________________________________
¿Cuál de las siguientes ecuaciones representan una circunferencia?
DESARROLLO
Actividad 2. (Resumen de Lectura subrayada)
Lee la información que a continuación se presenta y elabora un resumen
La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es:
Si se desarrollan los binomios cuadráticos del primer miembro, obtenemos:
Al ordenar términos e igualar a cero la ecuación, podemos escribirla como:
Si tomamos:
Y sustituimos en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación:
La forma general de la circunferencia
82
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplos de inducción
Dada la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, encuentra su ecuación general de los siguientes
ejercicios:
Para obtener la ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria a la forma general, debemos desarrollar los
dos binomios al cuadrado:
Igualando a cero la ecuación
Y la ecuación general de la circunferencia es:
Para obtener la ecuación de la circunferencia de la forma ordinaria a la forma general, debemos desarrollar los
dos binomios al cuadrado:
Igualando a cero la ecuación
Y la ecuación general de la circunferencia es:
Cuando tenemos una ecuación cuadrática con dos variables en la que hay dos términos cuadráticos que tienen
como coeficientes a la unidad (uno), esto es:
x2+ y2+ Dx+ Ey + F = 0
Podemos pensar que se trata de una circunferencia. Sin embargo, no toda la ecuación de la forma
anterior representa una circunferencia.
Para saber si una ecuación así corresponde o no a una circunferencia hay que llevarla a la forma
ordinaria, es decir a la forma:
( x - h )2 + ( y - k )2 = r2
También podemos utilizar el valor obtenido de la expresión D2 + E2 - 4F bajo el siguiente
criterio:
83
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplos de inducción
Determina si cada una de las ecuaciones siguientes representa una circunferencia. En caso afirmativo, calcula
la longitud del radio y las coordenadas del centro
Ejemplos de práctica o mecanización:
84
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Actividad 3. (Determinar si es circunferencia)
Determina si las ecuaciones siguientes representan una circunferencia.
DETERMINACION DE LOS ELEMENTOS CARACTERISTICOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE
SU ECUACION GENERAL
Conociendo los valores de los coeficientes D, E y F, se pueden encontrar las coordenadas del centro C (h, k) y
la longitud del radio (r) de una circunferencia.
Cualquier ecuación de una circunferencia puede escribirse en forma general. Sin embargo, la representación
2
2
gráfica de la ecuación x + y + D x + E y + F = 0 no siempre es una circunferencia.
Para investigar esto, es necesario transformar la ecuación cuadrática de la circunferencia a la forma
ordinaria, por medio del método de completar binomios al cuadrado. Después de este proceso se concluye
que las coordenadas del centro C (h, k) y la longitud del radio son las siguientes:
Ejemplos de inducción
Expresa en forma ordinaria cada ecuación de la circunferencia e indica el centro C (h, k) y su radio(r).
Sí
85
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Cierre
Actividad 4. (Ejercicios de ecuación general)
Determina la ecuación general de la circunferencia partiendo de las ecuaciones ordinarias.
86
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Actividad 5. (Circunferencia o no)
Determina si cada una de las ecuaciones siguientes representa una circunferencia. En caso afirmativo,
determina la longitud del radio y las coordenadas del centro.
Actividad 6. (Ecuación ordinaria)
Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia, partiendo del Centro (h, k) y el radio (r) en las
siguientes ecuaciones.
87
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
CIRCUNFERENCIA DETERMINADA POR CIERTAS CONDICIONES GEOMÉTRICAS
Apertura
Actividad 1. (Rescate de conocimientos previos)
Observa cuidadosamente las siguientes imágenes y contesta la pregunta que se presenta.
88
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Menciona la forma en cómo podemos determinar la ecuación de las circunferencias que se presentan en las
imágenes.
Compara tu respuesta con los compañeros y con el apoyo del maestro lleguen a un consenso.
Desarrollo
Actividad 2. (Resumen del tema)
Lee cuidadosamente la siguiente información y realiza un resumen.
2
2
2
Como la ecuación general de una circunferencia tiene las formas x + y + Dx+ Ey + F = 0 ó bien ( x - h )
+ ( y - k )2 = r2 tiene tres parámetros representados por D, E y F ó por , k y r, en consecuencia, se
requieren tres condiciones para poder determinarlas.
Hay un sin número de condiciones geométricas que determinan una circunferencia, mencionaremos los
siguientes cuatro casos:
CASO I
Determinar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria dado el
centro C (h, k) y el radio (r).
Debemos de partir siempre de la ecuación de la circunferencia escrita en su forma ordinaria y se deben de
sustituir los valores de h, de k y de r, veamos los siguientes ejemplos:
89
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Ejemplos de inducción:
Actividad 3. (Ecuaciones ordinaria)
Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la información proporcionada
90
g.f.s.
Geometría Analítica
CASO II
MATEMÁTICAS
Determinar el radio y la ecuación de la circunferencia en forma
ordinaria, dado el centro y un punto de la misma.
Ejemplos de inducción:
1) C( 0, 0) y pasa por el punto P( 3, 4)
Solución: Del Centro conocemos que h = 0 y k = 0 y del Punto que x = 3 , y = 4
Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio:
Del Centro tenemos que h = 0 y k =0, también tenemos que r = 5
Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:
2) C( 4, -2) y pasa por el punto P( 6, 2)
Solución: Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2 y del Punto que x = 6 , y = 2
Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio
Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2, también que: r es la raíz cuadrada de 20
Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:
91
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Actividad 4. (Ecuaciones ordinarias)
Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la información
proporcionada.
CASO III
Determinar el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia en
forma ordinaria dado los puntos A y B como extremos de su diámetro.
Ejemplos de inducción:
1) A(-4, 7 ) y B(10, -3 )
Solución: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la fórmula del punto medio del
segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:
Por lo tanto las coordenadas del centro son C (3,2).
92
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-4,7) del cual tenemos: x = -4, y = 7
Después, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio:
Y por último, del Centro tenemos que h = 3 y k = 2, también tenemos que r es igual a la raíz cuadrada de 74
Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:
2) A(-1, 5 ) y B(-5, -1 )
Solución: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la fórmula del punto medio del
segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:
Por lo tanto las coordenadas del centro son C (-3,2).
Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-1,5) del cual tenemos: x = -1, y = 5
Después, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio:
Y por último, del Centro tenemos que h = -3 y k = 2, también tenemos que r es igual a la raíz cuadrada de 13
Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:
Actividad 5. (Ecuaciones ordinarias)
Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con los dos puntos dados como
extremos de un diámetro.
93
g.f.s.
Geometría Analítica
CASO IV
MATEMÁTICAS
Dados tres puntos por donde pasa la circunferencia.
Ejemplos de inducción:
Encuentra la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria que pasa por los tres puntos siguientes.
1) A( 4 , -2 ), B( -5 , 1) y C( 2 , 2 )
Si conocemos las coordenadas de 3 puntos por donde pasa la circunferencia, debemos de partir de la ecuación de
la circunferencia escrita en su forma general x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y sustituir cada uno de los puntos en ella,
para obtener 3 ecuaciones con 3 incógnitas, esto es:
94
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Para resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (D, E y F):
Se emplea cualquier método descrito anteriormente en el curso de algebra.
Si resolvemos por el método de eliminación (suma y resta), seguimos los siguientes pasos:
I. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2
Si la ecuación 1 se multiplica por 5 y la ecuación 2 se multiplica por 4 las ecuaciones resultantes son:
De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresión - 6E + 9F = -204, si
multiplicamos toda la ecuación por -1 nos queda 6E - 9F =-204, la cual llamaremos Ecuación 4
II. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3
En las ecuaciones 2 y 3 hay que eliminar la misma variable que se elimino en el paso uno, en este caso la D.
La ecuación 2 se multiplica por 2 y la ecuación 3 se multiplica por 5 las ecuaciones resultantes son:
De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresión 12E + 7F = -92 , la cual
llamaremos Ecuación 5
III. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 4 y Ec. 5
95
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Se aplica el mismo procedimiento que en el paso uno y dos para eliminar la variable E.
En este paso obtenemos un valor de F= -20, el cual se sustituye en cualquiera de las ecuaciones Ec. 4 ó Ec. 5,
de esta manera obtenemos el valor de E= 4.
IV. Sustituir los valores obtenidos de F= -20 y E= 4 en cualquiera de las ecuaciones Ec. 1, Ec. 2 ó Ec. 3.
De esta manera obtenemos el valor de D= 2.
Por lo tanto, la solución del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene con los siguientes
valores:
Sustituyendo los valores de D=2 , E=4 y F=-20 en la ecuación de la circunferencia escrita en su forma general
obtenemos:
Actividad 6. (Ecuación de la circunferencia respecto a los puntos)
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos indicados en cada uno de los
siguientes ejercicios.
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MATEMÁTICAS
97
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Cierre
Actividad 7. (Mapa conceptual)
Completa el siguiente mapa conceptual sobre el tema de la circunferencia y sus tipos de ecuaciones y
realízalo en PowerPoint o Word de manera individual para entregarlo al maestro(a).
98
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Actividad 8. (Selección de respuesta correcta)
Lee cuidadosamente las preguntas a continuación, selecciona la respuesta correcta en cada
cuestionamiento.
1. El señor Marcos coloca una estaca atando en ella el extremo de una cuerda de cinco metros de longitud,
luego la tensa y gira marcando los puntos del otro extremo generando así una curva. La curva así descrita se
denomina.
2. Los elementos característicos de una circunferencia son:
3. La ecuación que describe a una circunferencia con centro en (0, 0) y radio r es:
99
g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
4. La ecuación que describe a una circunferencia con centro en C(h, k) y radio r es:
5. La ecuación general de una circunferencia es:
6. La ecuación de una circunferencia cuyo centro está en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano y
la longitud de su radio es igual a 9 es:
7. La ecuación ordinaria de la circunferencia cuyos extremos de uno de sus diámetros son los puntos A(-3, -5)
y B(1, 3) es:
Considerando la gráfica de la circunferencia mostrada en la
siguiente figura, contesta las preguntas 8 a 10.
8. La ecuación ordinaria de la circunferencia que se muestra es:
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g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
LA PARÁBOLA
Apertura
Actividad 1. (Rescate de conocimientos previos)
Observa detenidamente la siguiente figura, y contesta los cuestionamientos que posteriormente se
presentan.
1. ¿Cuál es el nombre que recibe esa imagen?
____________________________________
2. ¿Cuál era la función que tenía este aparato?
_______________________________________________________________
3. Considera que esa imagen cuenta con ciertas características que se pueden
plasmar en un sistema de coordenadas como lo es un plano cartesiano.
_______________________________________________________________
4. ¿Cómo se relaciona esta imagen con el tema visto anteriormente?
_______________________________________________________________
Desarrollo
Actividad 2. (Resumen del tema)
Lee cuidadosamente el tema y sub-temas que a continuación se presentan, no olvides ir subrayando
aquellos conceptos que consideres importantes, para la elaboración de un resumen.
DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Es el lugar geométrico de un punto P(x , y) que se mueve en un plano de tal
manera que su distancia de una recta fija (llamada directriz), situada en el
plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo (llamado foco) del
plano y que no pertenece a la recta.
Los elementos de la parábola lo constituyen puntos y rectas, los cuales son descritos y mostrados en la
siguiente figura:
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g.f.s.
Geometría Analítica
MATEMÁTICAS
Eje de la parábola o eje focal.- Es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice.
La posición del eje determina la posición de la parábola; hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas.
Directriz.- Es una recta perpendicular al eje de la parábola.
La directriz está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco.
Lado recto.- Es la recta que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la
parábola. Su longitud es cuatro veces la distancia del vértice al foco.
PARÁBOLAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Parábola horizontal con vértice en el origen
En esta figura, la distancia del vértice al foco la representamos con
P y observamos que por definición esta distancia P es la misma que
hay entre el vértice y la directriz.
Considerando a P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, siendo
ésta horizontal y con vértice en el origen, las coordenadas del foco
son F(p,0) y la ecuación de la directriz es x = - p, de acuerdo a la
definición de una parábola.
Para la obtención de la fórmula de la parábola nos basamos en su definición:
recta la a P de distancia d
Simplificando las ecuaciones tenemos que: se elimina la p 2 y X2 por lo que nos queda:
Forma ordinaria
de la ecuación de la parábola horizontal
con vértice en el origen
El signo de p nos indicará hacia dónde se abre la parábola, así tenemos que:
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MATEMÁTICAS
Parábola vertical con vértice en el origen
Considerando a P(x, y) un punto cualquiera de la
parábola, siendo ésta vertical y con vértice en el
origen, las coordenadas del foco son F (0, p) y la
ecuación de la directriz es x = p , de acuerdo a la
definición de una parábola.
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