GUIA APLICACIÓN
DE MATEMATICA
DISCRETA
ISAE UNIVERSIDAD
INTRODUCCIÓN
En este trabajo desarrollamos la guía pedagógica sobre matemática discreta en la
computación. Veremos puntos como lo son los sistemas numéricos, métodos de
conteo. También veremos la teoría de conjuntos, lógica matemática, algebra
booleana, relaciones y funciones, grafos y árboles, y veremos unos ejercicios de
ejemplos para entender mejor los temas.
¿Qué son los sistemas numéricos?
Un sistema numérico es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar
datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales,
que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que
ocupa en la cifra
Sistema de numeración decimal:
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se
compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un
valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas,
centenas, millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que
coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente
igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102 + 2*101 + 8*100, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso,
algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los
dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número
8245,97 se calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Sistema de numeración binario.
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que
ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un
exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y
como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad
de dígitos utilizados (2) para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula
así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20, es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 1110
y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
Conversión entre números decimales y binarios.
Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar
divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden
inverso al que han sido obtenidos.
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710 haremos una serie de
divisiones que arrojarán los restos siguientes:
77 /2 = 38 Resto: 1
38/ 2 = 19 Resto: 0
19 /2 = 9 Resto: 1
9 /2 = 4 Resto: 1
4 /2 = 2 Resto: 0
2 /2 = 1 Resto: 0
1 /2 = 0 Resto: 1
y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:
7710 = 10011012
El tamaño de las cifras binarias.
La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario
es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para
representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por
dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.
Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo,
para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos,
porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande
que puede representarse con ocho dígitos.
Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2e n,
números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad
menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total
de 16 números, porque 24 = 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1
= 15.
Conversión de binario a decimal.
El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más
sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito
en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado
más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando
posiciones hacia la izquierda.
Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos
teniendo en cuenta el valor de cada bit:
1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*21 = 83
10100112 = 8310
Sistema de numeración octal.
El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos
números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de
numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema
hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal
o a hexadecimal.
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho
dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor
distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones
viene determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*82 + 7*81 + 3*8e0= 2*64 + 7*8 + 3*1 = 18710
2738 = 18710
Conversión de un número decimal a octal.
La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya
hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y
colocando los restos obtenidos en orden inverso.
Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 122 10 tendremos que hacer
las siguientes divisiones:
122 / 8 = 15
Resto: 2
15 /8 = 1
Resto: 7
1 /8 = 0
Resto: 1
Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:
12210 = 1728
Conversión octal a decimal.
La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el
peso de cada posición en una cifra octal.
Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor
de cada dígito:
2*82 + 3*81 + 7*81 = 2*64+3*8+7*1=128 + 24 + 7 = 15910
2378 = 15910
Sistema de numeración hexadecimal.
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F
representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente,
porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno
de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula
mediante potencias de base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:
1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160=1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 =
6719=1A3F16 = 671910
Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de
un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del
número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:
1735 /16 = 108
Resto: 7
108 /16 = 6
Resto: C es decir, 1210
6 /16 = 0
Resto: 6
De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en
hexadecimal:
173510 = 6C716
Conversión de números binarios a octales y viceversa
Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los
sistemas decimal, binario y octal:
DECIMAL
BINARIO
OCTAL
0
000
0
1
001
1
2
010
2
3
011
3
4
100
4
5
101
5
6
110
6
7
111
7
Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario.
Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración
equivale a “expandir” cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en “contraer” grupos
de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.
Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 2 a octal tomaremos grupos
de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:
1012 = 58
0012 = 18
0112 = 38
y, de ese modo: 1010010112 = 5138
La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método,
reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para
convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada
uno de sus dígitos:
78 = 1112
58 = 1012
08 = 0002
y, por tanto: 7508 = 1111010002
Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa.
Del mismo modo que hayamos la correspondencia entre números octales y binarios,
podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y
cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:
DECIMAL
BINARIO
HEXADECIMAL
0
0000
0
1
0001
1
2
0010
2
3
0011
3
4
0100
4
5
0101
5
6
0110
6
7
0111
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F
La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza “expandiendo” o
“contrayendo” cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios.
Por
ejemplo,
para
expresar
en
hexadecimal
el
número
binario
1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la
derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal:
10102 = A16
01112 = 716
00112 = 316
y, por tanto: 1010011100112 = A7316
En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos,
se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:
1011102 = 001011102 = 2E16
La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,
reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla.
Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 16 hallaremos en
la tabla las siguientes equivalencias:
116 = 00012
F16 = 11112
616 = 01102
y, por tanto: 1F616 = 0001111101102
Métodos de conteo
Los métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de
posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento. Entre estos métodos
destaca el método del diagrama de árbol.
Método del diagrama de árbol:
Es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una
secuencia de experimentos o eventos donde a cada evento puede ocurrir en un
número finito de formas.
Principios básicos de conteo:
Hay dos principios básicos de conteo, uno comprende la adición y otro la
multiplicación.
1.- Principio de la suma o adición:
Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F
puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en
forma simultánea (disjuntos o mutuamente excluyentes). Entonces E o F pueden
ocurrir de m+n formas.
2.- Principio de la multiplicación:
Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de
este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones
de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.
COMBINACIONES:
Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La notación para
las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de combinaciones de "n" elementos
seleccionados, "r" a la vez. Es igual a la cantidad de permutaciones de "n" elementos
tomados "r" a la vez dividido por "r" factorial.. Esto sería P(n,r)/r! en notación
matemática .
Ejemplo:
Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuántas combinaciones de
cinco cartas habría?
La cantidad de combinaciones sería: P(9,5)/5! = (9*8*7*6*5) (5*4*3*2*1) =
126combinaciones posibles.
PERMUTACIONES:
Dado de un conjunto de n elementos, se denomina permutación a cada uno de los
conjuntos que se pueden formar con estos elementos tales que cada uno de ellos
difiere de otro en el orden en que son considerados los elementos.
Ejemplo:
Un grupo de 5 personas va a sentarse en fila para una foto. ¿Cuántas disposiciones
son posibles?
1a pos: 5
2a pos: 4
3a pos: 3
4a pos: 2
5a pos: 1
Cualquiera de las cinco personas puede ocupar la primera posición de la fila. Para
la segunda posición podemos elegir entre cuatro personas. Continuando de esta
manera, sólo tenemos una persona para ocupar la quinta posición. Esto produce un
total de5.4.3.2.1 = 120 dispociones posibles de la cinco personas. Se obtiene
exactamente la misma respuesta si las posiciones se ocupan de otro orden.
Teoría de Conjuntos
Un conjunto es una colección o familia de objetos.
Conjuntos
Generalmente asociamos la palabra “conjunto” con la agrupación de objetos. Por
ejemplo:
Un conjunto es una colección de elementos distinguibles entre sí, que tienen, por lo
menos, una característica en común.
En matemáticas, los conjuntos son elaborados con la notación de colección y
agrupamiento de objetos, esto es, simplemente utilizando elementos y pertenencia;
sin embargo podemos decir que:
Un conjunto es una colección definida de elementos
Lo distintivo de los conjuntos es su delimitación; es decir, que dado un objeto se
determina si éste pertenece o no al conjunto. Por ejemplo: en el conjunto de
manzanas, la piña no pertenece al conjunto.
Denotación. Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas: A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ lunes, martes, miércoles, jueves }
El símbolo Î , representa a un elemento perteneciente a un conjunto; sin embargo,
en caso de ser lo contrario, es decir, que el miembro o elemento no pertenezca a
éste, se representa con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï. Por
ejemplo: Sea B={ a, e, i, o, u }, aÎB y c Ï. B
Elementos
Los componentes que conforman un conjunto reciben el nombre de miembros o
elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que
se puede escribir así: { a, b, c, ..., x, y, z}
El conjunto se debe de escribir entre llaves { }, y van separados por comas (,).El
agrupar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma
tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Subconjuntos
Sean los conjuntos A={ a, b, c, d, f } y B={ c, d, e }:
De acuerdo al gráfico anterior, se denota que el conjunto B es un subconjunto de A,
simplemente porque pertenece, o bien se encuentra adentro de A; entonces, si A y
B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo
elemento de B también es de A.
De acuerdo a lo anterior, si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es
subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Observa que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.
Operaciones con conjuntos
Unión
La unión de dos conjuntos A y B se representa como A U B y es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se
denota por: A U B = {x/x X A ó x X B}
Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9} y B= {10, 11, 12}
A U B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}
Intersección
Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}. Los elementos comunes a los dos
conjuntos son:
{2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A W B,
algebraicamente se escribe así: AWB = {x/x X A y x X B} Y se lee “el conjunto de
elementos x que están en A y están en B”.
Ejemplo: Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k}
P= { l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Entonces, Q W P= {a, b, o, r, s, y }
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se indica como A-B y es el conjunto
de los elementos de A que no están en B y se representa por: A – B = {x/x ÎA; X Ï B}
Ejemplo: Sea A= {a, b, c, d} y B= {a, b, c, g, h},entonces, A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A
que no estén en B.
Si la operación fuera B – A, el resultado es B – A = {g, h}, e indica los elementos
que están en B y no en A.
Complemento
El complemento de un conjunto relacionado al conjunto universo U es el conjunto
de elementos de U que no pertenecen a A y se indica como AC y que se representa
como: AC = { x X U/x y x X A }
Ejemplo: Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A X U. El
complemento de A estará dado por: AC= {2, 4, 6, 8 }
Producto cartesiano
Un producto cartesiano de dos conjuntos puede representarse como A X B, a todos
los pares de elementos ordenados que podamos formar tomando como primer
elemento un elemento del conjunto A y como segundo un elemento del conjunto B,
de tal forma que tenemos:
Ejemplo:
Sea los conjuntos A= {1, 5, 10} y B= {2, 4, 6} se tiene:
AXB={(1,2),(1,4),(1,6),(5,2),(5,4),(5,6),(10,2),(10,4) ,(10,6)}
Cuando el producto cartesiano es AXB no significa que sea igual al de BXA, pero si
los conjuntos A y B tienen elementos comunes, entonces los elementos del producto
cartesiano de la forma (a, a) reciben el nombre de elementos diagonales.
Si el producto cartesiano fuese de un mismo conjunto AXA puede escribirse de
forma representativa como A2; si lo forman más de dos conjuntos los elementos del
producto cartesiano, lo formarán grupos de elementos tomados ordenadamente de
cada uno de los conjuntos que lo forman, tomando un elemento de cada uno de los
conjuntos
Para representar gráficamente el producto cartesiano como se muestra en la
figura.3.1, utilizaremos la representación cartesiana, que consiste en trazar ejes
perpendiculares. En el eje de las abscisas se representan los elementos del
conjunto A y en el eje de las ordenadas los elementos del conjunto B; los elementos
del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al
trazar los elementos del conjunto A paralelos al eje de las ordenadas y por los
elementos del conjunto B paralelos al eje de las abscisas.
Y para conocer el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el
diagrama de árbol.
Tenemos nueve elementos, que es el resultado de multiplicar el número de
elementos del conjunto A por los del conjunto B. Podemos saber el número de
elementos de un producto cartesiano formado por n conjuntos multiplicando el
número de elementos de cada uno de los conjuntos que intervienen.
card (AXB....Z)=card(A)card(B)...Card(Z)
Diagramas de Venn
Los diagramas de Venn son la representación gráfica de las relaciones entre los
conjuntos, estos se atribuyen al filósofo inglés John Venn (1834-1883).
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo y lo denotamos
por la letra U.
Como se puede observar en el diagrama anterior, se encuentra círculos denotados
con mayúsculas, éstos representan los conjunto, A, B,C, los cuales se encuentran
dentro del rectángulo, es decir, adentro del Universo que se está estudiando;
además, es importante mencionar que todos los aspectos de interés se resaltan
sombreando las áreas respectivas, por ejemplo:
Lógica Matemática
Lógica es el estudio del razonamiento; se refiere específicamente a si el
razonamiento es correcto. La lógica se centra en la relación entre las afirmaciones
y no en el contenido de una afirmación en particular.
Los métodos lógicos se usan en matemáticas para demostrar teoremas y en las
ciencias de la computación, para probar que los programas ejecutan lo que deben
de hacer.
Para ello se definen dos principales conceptos: proposición y conectivo.
Conocer, entender y aplicar los conceptos de:
Lenguaje proposicional:
Proposición primitiva
Proposición compuesta
Conectivo lógico:
Conjunción
Disyunción
Implicación
Bicondición
Tautología
Contradicción
Contingencia
Equivalencia lógica
