UNIVERSIDAD DE CASTILLA LA MANCHA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS PRESIONES DINÁMICAS EN ESTRUCTURAS DE CONTENCIÓN TESIS DOCTORAL JUANA ARIAS TRUJILLO Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Ciudad Real, Noviembre de 2015 A mis padres, a mis hermanos “No conocemos nuestra fortaleza hasta que ser fuerte es la única opción para seguir adelante” Anónimo “¡Estudia! No para saber una cosa más, sino para saberla mejor” Séneca Agradecimientos A la hora de echar la vista atrás, resulta tremendamente emotivo y abrumador recordar a todas las personas que han ido apareciendo en mi camino a lo largo de todos estos años y que, por un motivo u otro, han dejado una huella especial. Me gustarı́a comenzar expresando mi agradecimiento a mis directores de tesis, el Dr. Rafael Blázquez Martı́nez y la Dra. Susana López Querol, por la confianza que desde hace años han depositado en mı́ para el desarrollo de esta tesis, y de otros muchos proyectos. Por sus sabios consejos, su ayuda e incondicional apoyo para afrontar no solo los obstáculos propios de esta investigación, sino otros muchos implı́citos al mundo académico y al ámbito personal. Fueron profesores entregados en mi etapa universitaria y actualmente grandes investigadores, pero más importante aún, son excelentes personas de nobles principios a quienes siempre resulta valioso escuchar. Para ambos, mi más sincero agradecimiento y profunda admiración. Agradezco al Dr. Manuel Pastor Pérez y a su grupo de trabajo, permitirme utilizar los códigos del programa GeHoMadrid, fundamentales para el desarrollo de esta investigación. Quiero también dar las gracias tanto al profesor Pastor como al resto de compañeros con los que trabajé durante mi estancia en la Escuela de Caminos de Madrid, Miguel, Paola, Pablo, Jose Antonio, Vicente... por el tiempo que me dedicaron, por instruirme en los códigos de GeHoMadrid, en la programación de diferentes técnicas numéricas, y particularmente por acogerme como a uno más durante los meses que estuve allı́. A la Escuela Politécnica de Cáceres, la ventana que se abrió cuando me cerraron otras puertas. A todos los compañeros de la Politécnica, Pablo, César, Santi, Jose, Jesús, Miguel, Mercedes...entre otros muchos, por su continuo interés sobre los avances de la tesis y con quienes trabajar a diario es un placer. Quiero dar las gracias especialmente al profesor Dr. Agustı́n Matı́as por sus incansables palabras de ánimo y apoyo para la finalización de esta investigación, su paciencia y sus valiosos consejos sobre la tesis. Por asumir responsabilidades que no le correspondı́an cuando yo no pude hacerles frente, y por sus enormes muestras de preocupación e interés. A mis compañeros y amigos de la Escuela de Caminos de Ciudad Real, a todos los que estuvieron en la lista de correos para el café de media mañana, Rocı́o, José Antonio, Santos, Marı́a, Elisa, Manú, David, Gema, Mariam, Elvira, Maria Jose, Bea, Noe...y tantos I II otros, con un cariñoso recuerdo para Mari Carmen. Con todos ellos compartı́ momentos muy agradables, dentro y fuera de la escuela, y enriquecieron enormemente los numerosos años que he estado allı́. Gracias a ellos guardo gratos recuerdos de esta etapa que han hecho que olvide otros menos buenos. A mis profesores de la Escuela de Caminos de Ciudad Real, a los que continúan en ella y a los que se han marchado a otros centros. Muchos de ellos han sido y son grandes compañeros y amigos, además de grandes referentes para mı́. Al resto del personal de la escuela, gracias por su ayuda en muchos momentos. A los alumnos a los que he impartido clase, tanto en la escuela de Ciudad de Real como en la Politécnica de Cáceres, de quienes tanto he aprendido y han hecho que disfrute con la docencia y me apasione por ella. Al Ministerio de Ciencia e Innovación por la ayuda FPI concedida para el desarrollo de esta tesis y a la Universidad de Castilla-La Mancha por los fondos económicos de ((Ayuda a Tesis)). A mis compañeras de carrera, Maria Jose, Nuria y Rocı́o, porque tanto en los buenos como en los malos momentos siempre están ahı́, a pesar del tiempo y las distancias. Como en aquellas interminables noches de proyectos: “El Besós no caerá”. Al personal del Servicio de Oncologı́a del Hospital General Universitario de Ciudad Real, por su trato humano y gran profesionalidad para hacer frente a esta cruel enfermedad. Mi más profundo agradecimiento y reconocimiento por su labor. Quiero finalizar dando las gracias a mi familia a quienes les debo todo. A mis padres y a mis hermanos por su apoyo incondicional en todo momento, porque siempre han estado, están y estarán conmigo. A mis queridos abuelos, que aunque no están aquı́ nos acompañan desde el cielo. A todos los que se han preocupado por mı́ en estos últimos meses, GRACIAS. Valdepeñas, Noviembre de 2015 Resumen El cálculo y diseño de estructuras de contención es uno de los problemas de ingenierı́a más estudiados e investigados. Sin embargo, debido a la multitud de factores que intervienen y a la complejidad de los mismos, aspectos especialmente relevantes para la estimación de los empujes de tierras son susceptibles de estudio. Factores como la distribución de las presiones con la altura, el punto de aplicación de la resultante, la influencia de la magnitud y tipos de movimientos del muro, el fenómeno de interacción suelo-estructura, entre otros muchos, no están claramente definidos para problemas estáticos, y aún menos para problemas dinámicos. Este problema se vuelve más complejo cuando, además, el relleno del muro se encuentra en condiciones saturadas (problemas acoplados). El efecto del agua sobre las estructuras de contención en problemas dinámicos ha sido claramente menos estudiado, puesto que la gran mayorı́a de las investigaciones se han realizado para rellenos secos. Debido a la complejidad del problema dinámico, habitualmente se recurre a metodologı́as de cálculo simplificadas o pseudo-estáticas, que en muchos casos son solamente una aproximación al problema real ante la imposibilidad de considerar fenómenos complejos de forma simplificada, y por lo tanto, el campo de aplicación o rango de validez de las mismas es muy limitado. Por otra parte, muchas de estas metodologı́as son heredadas de los métodos estáticos de cálculo y heredan también sus ventajas e inconvenientes. En este sentido destaca especialmente el método de Mononobe-Okabe (M-O), el cual a pesar de su antigüedad y de la publicación de metodologı́as mucho más recientes, es, por su facilidad de uso, muy empleado hoy en dı́a por la mayorı́a de los ingenieros. Además de los procedimientos simplificados ya mencionados, y dada la complejidad de los factores que intervienen y la interacción entre ellos, también se ha tratado de abordar el diseño de las estructuras de contención a través de modelos numéricos, al igual que, en otras muchas ramas de la ingenierı́a. El procedimiento más extendido es el método de los elementos finitos, el cual permite modelar de forma más realista este complejo problema, no exento por otra parte de una mayor dificultad numérica. A pesar de la potencia de esta técnica y del interés de la estructuras de contención en el campo de la ingenierı́a, las investigaciones de tipo numérico son notablemente muy superiores en problemas estáticos frente a los dinámicos, y dentro de estos, en problemas sin agua frente a problemas saturados, sobre los cuales las investigaciones publicadas son relativamente escasas. En esta tesis doctoral se aborda, por un lado, una completa revisión y análisis crı́tico del estado del conocimiento en cuanto a metodologı́as de cálculo simplificadas y de modelización numérica publicadas para estructuras de contención bajo carga dinámica, prinIII IV cipalmente sismo, con y sin la presencia del agua. Y por otro lado, se desarrolla una modelización numérica avanzada para determinar las presiones y empujes resultantes sobre el trasdós de una estructura de contención rı́gida, con relleno granular y bajo solicitaciones dinámicas, especialmente terremotos, para dos condiciones extremas, con relleno seco y con relleno saturado. Del mismo modo, también se examinan los desplazamientos sufridos por la estructura y los asientos experimentados por el relleno. El modelo numérico, implementado en el código GeHoMadrid, se basa en las ecuaciones de Biot con una formulación u-p, y se adopta para el material de relleno el modelo constitutivo de Pastor-Zienkiewicz para arenas. Sobre dicho código se han implementado tres técnicas numéricas necesarias o convenientes para abordar el problema objeto de esta tesis doctoral. Estas técnicas permiten considerar diversos algoritmos de integración temporal, más allá de los habituales algoritmos de la familia de Newmark, que se emplean en el campo de la dinámica de suelos, como aquellos que tienen capacidad para amortiguar las altas frecuencias (Algoritmos Disipativos), permiten tratar adecuadamente los contornos fijos del dominio para evitar la reflexión de las ondas (Contornos Absorbentes), y permiten adoptar elementos especiales para el adecuado tratamiento numérico de la interfaz de contacto suelo-estructura (Elementos de Interface). Asimismo, se evalúa la respuesta de una estructura de contención rı́gida sometida a carga dinámica a través del modelo numérico desarrollado, y se analiza la influencia que tiene sobre dicha respuesta diferentes aspectos numéricos, sin perder de vista las referencias de los métodos tradicionales o simplificados de cálculo. Finalmente, se desarrollan varias simulaciones numéricas, tanto para condiciones secas como saturadas, con diferentes registros sı́smicos reales, analizando y contrastando los resultados numéricos obtenidos y los de las principales metodologı́as simplificadas de cálculo. Abstract The design of retaining wall has probably been one of the most studied engineering problems. However, due to the huge amount of factors involved and their complexity, relevant aspects for estimating earth pressures should be researched in-depth. Elements like pressure distribution along the height of the wall, point of application of resultant force, influence of magnitude and type of movement of the structure, soil-structure interaction phenomenon, among others, are not clearly established for static problems and least for the dynamic cases. For saturated backfills (coupled problems), this problem is more complex. The influence of water on retaining walls under dynamic conditions has been poorly studied, since most of the researches have been focused on dry backfills. Because of the complexity of dynamic problems, it is usual to employ simplified or pseudo-static methods, which are only an approximation to the physical problem due to the impossibility of taking into account complex effects from an easy manner, so the applicability of all of them is reduced. On the other hand, most of these methods come from static procedures and consequently, they also adopt their advantages and disadvantages. In this sense, the Mononobe-Okabe method (M-O), in spite of its old and the publications of plenty of modern methods, is nowadays widely used by engineers thanks to its simplicity. Apart from the simplified methods and due to the complexity of the factors involved and the interaction between them, the design of retaining structures has also been approached by means of numerical models, as happened with others areas of engineering. The finite element method is the most usual one. This procedure allows to model this complex problem from a more realistic way but, at the same time, it is not free of numerical drawbacks. In spite of the power of this tool and the interest of retaining walls for the civil engineering, numerical researches are significantly more numerous for static problems than for dynamics, and for the last one, with dry backfills respect to saturated backfills, which have been scarcely researched. Along this thesis, a complete review and critical analysis of the state of the art (simplified methods and numerical models) for designing of retaining wall under dynamic loadings (mainly earthquakes), with and without water, are included. On the other hand, an advanced numerical model is developed for obtaining the pressures and resultant of force acting on the back of a rigid wall, with granular backfill and dynamic solicitations for two extreme situations, dry and saturated backfills. At the same time, the displacement of the structure and the settlement of the backfill are also examined. The numerical model has been programmed in the code GeHoMadrid, which is based V VI on the Biot’s equations with an u-p formulation, while the constitutive model for the backfill material is the Pastor-Zienkiewicz model for sand. In the above code, three special numerical techniques have been implemented since they are very convenience for the proper development of the main object of this thesis. These techniques allow to consider different integration algorithms, apart from the common Newmark’s family, which are used in the field of soil dynamics, especially those one which can damp the highest frequency content (dissipative algorithms), allow to consider a proper treatment of the fixed boundaries of the domain to avoid the reflection of the waves (absorbing boundaries), and allow to consider singular elements to the model the contact interface between soil and structure (interface elements). Moreover, the response of a rigid retaining wall under dynamic loading is assessed by means of the numerical model developed, and the influence of different numerical aspects on the response is also researched, also with special reference to the simplified methods. Finally, several numerical simulations are carried out, both for dry and saturated backfills, and with different real earthquakes, to analyze and compare the numerical results with the main simplified methods. ÍNDICE Página 1 Introducción 1.1 Motivación . . . . . . . . . . . 1.2 Objetivos de la investigación 1.3 Metodologı́a . . . . . . . . . . 1.4 Organización del documento . . . . 1 1 4 5 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11 13 13 25 29 35 38 44 47 50 57 65 65 76 81 83 91 95 101 3 Modelo Numérico 3.1 Formulación Generalizada de Biot en problemas acoplados . . . . . . . . . . 3.1.1 Formulación simplificada en la forma u-p . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Condiciones de contorno y condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . 3.2 Resolución por el Método de los Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Discretización espacial (MEF) de un problema acoplado con formulación u-p 3.3.1 Casos Particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 106 108 109 109 110 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Estado del Conocimiento 2.1 Presiones de origen estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Presiones de origen dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Métodos basados en el Equilibrio Lı́mite: métodos pseudo-estáticos . . 2.2.2 Métodos basados en el Equilibrio Lı́mite: métodos pseudo-dinámicos . . 2.2.3 Métodos basados en la Teorı́a Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Métodos basados en Soluciones Elastoplásticas . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Métodos basados en la Teorı́a del Análisis Lı́mite . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Método de las Caracterı́sticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Resumen de métodos para estimar las presiones dinámicas . . . 2.3 Efecto del movimiento del muro en las presiones laterales . . . . . . . . . 2.4 Presiones debidas al agua: suelos saturados . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Métodos basados en Modelos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Modelos para problemas estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Modelos para problemas dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Modelos para problemas dinámicos en medios porosos saturados 2.5.3.1 Madabhushi y Zeng (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3.2 Madabhushi y Zeng (2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3.3 Dewoolkar, Chan, Ko y Pak (2007) . . . . . . . . . . . . . 2.5.3.4 Alyami, Rouainia y Wilkinson (2009) . . . . . . . . . . . . VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÍNDICE VIII 3.3.2 Matrices de Amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.3.3 Restricción de Babuska-Brezzi sobre N u y N p . . . . . . . . . . . . . 114 3.4 Integración temporal de un problema acoplado u-p . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.4.1 Método de Newmark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4.2 Métodos α-generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.3 Evaluación de los algoritmos temporales de integración . . . . . . . . 121 3.4.4 Ejemplos de validación: Algoritmos de integración temporal . . . . . . 126 3.4.4.1 Respuesta de un estrato horizontal de suelo elástico sometido a una solicitación sinusoidal en su base . . . . . . . . . . 126 3.4.4.2 Influencia de los algoritmos de integración paso a paso en la respuesta de un medio poroso saturado elástico semi-infinito 131 3.5 Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.5.1 Aplicación del Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.5.2 Criterios de convergencia y tolerancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.6 Modelo Constitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.6.1 Teorı́a de Plasticidad Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 3.6.2 El modelo de Pastor-Zienkiewicz (PZ) para arenas . . . . . . . . . . . 144 3.7 Contornos Absorbentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.7.1 Principales técnicas de modelización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.7.2 Revisión del Estado del Conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.7.3 Contornos absorbentes implementados en esta tesis doctoral . . . . . 156 3.7.4 Ejemplos de Validación: Contornos Absorbentes . . . . . . . . . . . . 159 3.7.4.1 Propagación de una onda en una barra sólida de longitud infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.7.4.2 Consolidación de una columna de longitud infinita de suelo saturado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 3.7.4.3 Propagación de una onda en un medio elástico semi-infinito 3.7.4.4 Propagación de una onda en un medio poroso saturado elástico semi-infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3.7.4.5 Comparación de la propagación de una onda en un medio elástico semi-infinito de diferentes tamaños . . . . . . . . . . 165 162 3.8 Interfaz de contacto Suelo-Estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.8.1 Revisión del Estado del Conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.8.2 Tratamiento numérico de la interfaz en la modelización de estructuras de contención . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.8.3 Tratamiento numérico adoptado para la interfaz de contacto . . . . . . 174 3.8.4 Ejemplos de validación: Interfaz de contacto suelo-estructura . . . . . 179 3.8.4.1 Ejemplo bidimensional con interfaz elástica . . . . . . . . . . 179 3.8.4.2 Ejemplo bidimensional sin tracciones en la interfaz 3.8.4.3 Bloque elástico con interfaz no elástica sometida a cortante 3.8.4.4 Ensayos de corte en una interfaz suelo-hormigón para el ajuste de un modelo elástico hiperbólico . . . . . . . . . . . 184 . . . . . 180 181 ÍNDICE 4 Análisis numérico de una estructura de contención rı́gida bajo solicitaciones dinámicas 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Descripción del caso tipo: Relleno Seco y Saturado . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Etapas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Cálculo estático del estado tensional del estrato base . . . . . . . . . 4.3.2 Cálculo estático del estado tensional del relleno . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Cálculo dinámico de la respuesta del muro . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Discusión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Respuesta dinámica del muro: Caso Seco . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Respuesta dinámica del muro: Caso Saturado . . . . . . . . . . . . . 4.5 Estudio paramétrico de la influencia de diferentes aspectos numéricos . . . . 4.5.1 Influencia de los bordes fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 . . . . . . . . . . . 4.5.3 Influencia del algoritmo de integración temporal . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Influencia de las propiedades de los elementos de interface . . . . . . 4.6 Empujes dinámicos para diferentes registros sı́smicos: Modelo Numérico y Métodos Simplificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Caracterización de los terremotos empleados . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Empujes sobre el trasdós: Relleno Seco y Saturado . . . . . . . . . . IX 187 187 188 193 193 194 198 198 198 205 211 211 213 224 243 253 253 254 5 Conclusiones y Futuras Lı́neas de Investigación 5.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Del estado del conocimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Del modelo numérico desarrollado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 De la respuesta de una estructura de contención rı́gida bajo carga armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Del estudio paramétrico sobre diferentes aspectos numéricos . . . . . 5.1.5 De las simulaciones numéricas del comportamiento de una estructura de contención rı́gida sometida a registros sı́smicos reales: resultados numéricos y métodos simplificados de cálculo . . . . . . . . . . . . . 5.2 Futuras lı́neas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 259 259 261 Bibliografia 275 265 267 270 271 X ÍNDICE ÍNDICE DE FIGURAS Página 2.1 Esquema de las principales variables del problema. . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Equilibrio de fuerzas sobre las distintas cuñas de rotura tanteadas según la teorı́a de Coulomb [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Equilibrio de fuerzas sobre la cuña de rotura tanteada según el método de Mononobe-Okabe [2]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Estudio paramétrico realizado por Seed y Whitman [3] sobre el método de M-O. 17 2.5 Influencia de kh en la inclinación del plano de rotura (β = α = kv = 0) según Davis, Richards y Chen [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.6 Influencia de la dirección de las fuerzas de inercia en el empuje sobre el muro, Fang y Chen [5]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 Cálculo del empuje activo propuesto por Kim et al. [6] como una extensión del método de M-O a un caso con cohesión, adhesión y sobrecarga. . . . . . 19 2.8 Comparación entre una superficie de rotura plana (M-O) y una superficie de rotura definida por un arco de espiral logarı́tmica (Morrison y Ebeling [7]) para distintos valores de δ y φ = 30o , kh = 0,2, kv = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Comparación del valor de Kpe calculado con una superficie de rotura plana (M-O) o con una superficie de rotura definida por un arco de espiral logarı́tmica, para distintos valores de φ, δ, kv , kh (Morrison y Ebeling [7]). . . . . . . . . 23 2.10 Comparación del coeficiente de empuje sı́smico (Kpe ) obtenido con una superficie de rotura plana (M-O), una superficie de rotura definida únicamente por un arco de espiral logarı́tmica (Morrison y Ebeling [7]) y por una superficie de rotura definida por la combinación de un arco de espiral logarı́tmica y un tramo recto (Kumar [8]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.11 Empuje dinámico y momento flector dinámico respecto a las aceleraciones en el punto medio y en la base del muro, Steedman y Zeng [9] (φ = 33o , δ = 16o , H/T vs = 0,275). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.12 Comparación del momento dinámico obtenido entre los resultados deducidos por M-O y por el método pseudo-dinámico de Steedman y Zeng, respecto a los resultados de un ensayo en centrifuga [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.13 Distribución de presiones del método pseudo-dinámico propuesto por Steedman y Zeng [9] (φ = 33o , δ = 16o , kh = 0,2, H/T vs = 0,3) y el método pseudo-dinámico de Choudhury y Nimbalkar [10] respecto a la solución obtenida por M-O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 XI XII ÍNDICE DE FIGURAS 2.14 Modelos elásticos propuestos por Matuo y Ohara [11], por Tajimi [12] y por Scott [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.15 Modelo de Wood [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.16 Modelo elástico propuesto por Veletsos y Younan [15]. . . . . . . . . . . . . . 33 2.17 Modelo elástico propuesto por Jung et al. [16]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.18 Modelo de cálculo en campo libre del método de Richards Jr. et at [17]. . . . 36 2.19 Estados de fluidificación propuestos por el método de Richards Jr. et at [17]. 36 2.20 Modelo de cálculo en campo libre del método de Richards Jr. et al. [18]. . . . 37 2.21 Mecanismo traslacional propuesto por Chang y Chen [19]. . . . . . . . . . . 40 2.22 Mecanismo traslacional propuesto por Soubra [20], a) Mecanismo Traslacional, b) Comparación del coeficiente Npγ para el mecanismo propuesto por Soubra [20] respecto al mecanismo log-sandwich de Chang y Chen [19] (φ = 45o , δ = φ, β = 0, kh = 0,3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.23 Comparación entre los resultados obtenidos por la formulación propuesta por Mylonakis et al. (teorema de la cota inferior) respecto a la formulación de Chang y Chen (teorema de la cota superior) y el método de M-O [21] (kv = 0, sin sobrecarga). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.24 Método de las Caracterı́sticas de Sokolosvkii [22]. . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.25 Diferentes campos tensionales definidos por Kumar y Chitikela [23] en función de θg y θw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.26 Modelo de cálculo basado en la teorı́a de Coulomb que introduce el tipo de movimiento en la ley de presiones en el caso estático, según Wang [24] para la traslación y Wang et at [25] para la rotación en coronación. . . . . . . . . . 52 2.27 Resultados obtenidos por el método de cálculo propuesto por Wang [24] y Wang et at [25] para el caso estático. a) Ley de presiones para un movimiento de traslación. b)Punto de aplicación de la resultante para los movimientos de rotación en coronación y traslación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.28 Leyes de presiones según el método de la redistribución de presiones de Dubrova [26]. a) Rotación en coronación, condición activa b) Rotación respecto a la base, condición pasiva c) Rotación en coronación, condición pasiva d) Rotación respecto a la base, condición activa e) Rotación respecto al punto medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.29 Comparación entre los resultados obtenidos por la metodologı́a propuesta por Bang y Hwang respecto a diferentes resultados experimentales [27]. a) Rotación respecto a la base para diferentes cotas (SP1: z=0.50 ft - SP5: z=2.6 ft) b) Rotación en coronación. c) Traslación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.30 Evolución de las tensiones tangenciales en el trasdós de un muro rugoso para distintos estados activos intermedios en el caso de rotación respecto a la base, según Bang y Hwang [27]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.31 Evolución de la ley de presiones y del punto de aplicación de la resultante (hR ) para distintos estados activos según el método propuesto por Blázquez y Arias [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ÍNDICE DE FIGURAS 2.32 Presión hidroestática y presión hidrodinámica calculada por Westergaard sobre un muro vertical durante un sismo [29]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.33 Coeficiente Cm para el cálculo de las presiones hidrodinámicas sobre un muro con trasdós inclinado según Zangar [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.34 Resultados obtenidos por Matuo y Ohara [31], a) empuje de la resultante sobre el muro y el punto de aplicación de la presión dinámica de poro b) distribución horizontal de la presión dinámica de poro (coeficiente sı́smico 0.3) obtenidas teóricamente (lı́neas) y experimentalmente (cı́rculos). . . . . . 2.35 Definición de los ángulos del coeficiente sı́smico (ψi ) y de los elementos unitarios de suelo empleados por Matsuzawa et al. [30] para los distintos tipos de relleno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.36 Análisis paramétrico realizado por Matsuzawa et al. [30]. . . . . . . . . . . . 2.37 Movimientos laterales y distribución de presiones obtenidas por Potts y Fourie [32] para diferentes valores de rigidez y K0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38 Desarrollo de los coeficientes de empuje activo y pasivo según Potts y Fourie [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.39 Distribución de presiones activa y pasiva para un muro liso según Potts y Fourie [33]. Ka y Kp son la distribución de presiones activa y pasiva de Rankine (φ = 25o , Ka = 0,41 y Kp = 2,46) y Ko es la distribución de presiones del empuje al reposo (Ko = 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.40 Distribución de presiones activa y pasiva para un muro rugoso según Potts y Fourie [33]. Ka y Kp son la distribución de presiones activa y pasiva calculadas a partir de Caquot-Kerisel (φ = 25o , Ka = 0,33 y Kp = 3,89) y Ko es la distribución de presiones del empuje al reposo (Ko = 2). . . . . . . . . . . . . 2.41 Distribución de presión de tierras obtenida por Bhatia y Bakeer [34] respecto a los resultados experimentales de Matsuo et al. [35]. (Los números entre corchetes se corresponden con los casos mostrados en la tabla 2.12). . . . . . . . . . . . . . . . . 2.42 Resultados obtenidos de la simulación numérica realizada por Matsuzawa y Hazarika [36] para cada modo de movimiento del muro, donde d representa el desplazamiento horizontal del muro, θ la rotación del muro con la vertical y s el valor del desplazamiento en el punto medio del muro para el modo RB-T. 2.43 Efecto de la densidad del relleno en la distribución del empuje de tierras activo según Matsuzawa y Hazarika [36], para los modos de traslación y rotación en coronación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.44 Principales conclusiones obtenidas del modelo en elementos finitos para carga cı́clica de Siddharthan y Maragakis [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.45 Resultantes, puntos de aplicación e incrementos de presión, tanto en el vástago (stem) como en la sección por el talón del muro (heel), obtenidos con el modelo de Green y Ebeling [38]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.46 Desfases observados por Green y Ebeling [38] en los resultados obtenidos para las resultantes, sus puntos de aplicación y la aceleración horizontal. . . 2.47 Distribuciones de presiones obtenidas del modelo de Green y Ebeling [38] para los valores máximos de Pstem , Pheel , (Y )stem y (Y )heel . . . . . . . . . . . XIII 59 60 62 64 65 68 69 70 71 74 76 77 79 82 83 83 XIV ÍNDICE DE FIGURAS 2.48 Fallos de estructuras de contención con presencia de agua tras sendos episodios sı́smicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.49 Esquema de la sección transversal de los modelos experimentales en centrı́fuga XZ7 y XZ9 [39]. (ACC: acelerómetro, PPT: transductor de presión de poro, LVDT: transductor de desplazamientos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.50 Esquema del modelo numérico para el ensayo XZ7 desarrollado por Madabhushi y Zeng [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.51 Comparación entre los registros obtenidos del ensayo en centrifuga XZ7 (relleno seco) y las simulaciones numéricas obtenidas por Madabhushi y Zeng [40]. La posición de los acelerometros (ACC) y transductores (LVDT) se muestran en la figura 2.49(a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.52 Comparación entre los registros obtenidos del ensayo en centrifuga XZ9 (relleno saturado) y las simulaciones numéricas obtenidas por Madabhushi y Zeng [40]. La posición de los acelerometros (ACC) y transductores de desplazamiento (LVDT) y poro (PPT) se muestran en la figura 2.49(b). . . . . . . 89 2.53 Deformada obtenida con el ensayo de centrifuga y con el modelo numérico para el ensayo XZ7 analizado por Madabhushi y Zeng [40]. . . . . . . . . . . 90 2.54 Deformada obtenida con el ensayo de centrı́fuga y con el modelo numérico para el ensayo XZ9 según Madabhushi y Zeng [40]. . . . . . . . . . . . . . . 91 2.55 Esquema del modelo de centrı́fuga y zonas discretizadas en el modelo de elementos finitos realizado por Madabhushi y Zeng [41] para un muro flexible. 92 2.56 Leyes de momentos flectores dinámicos obtenidas por Madabhushi y Zeng [41] para el modelo numérico y los ensayos en centrı́fuga. . . . . . . . . . . . 93 2.57 Desplazamientos sufridos por la coronación del muro frente a los sismos EQ2 y EQ3, tanto en el ensayo de centrı́fuga como en el modelo numérico, desarrollados por Madabhushi y Zeng [41]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.58 Deformada en el ensayo de centrı́fuga y en el modelo numérico para XZ3 (relleno saturado) según Madabhushi y Zeng [41]. . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.59 Distribución de presión de poro obtenidas a partir del modelo en elementos finitos empleado por Madabhushi y Zeng [41] antes y durante la aplicación de la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.60 Esquema del ensayo en centrı́fuga desarrollado por Dewoolkar et al. [42]. . . 95 2.61 Discretización numérica empleada por Dewoolkar et al. [42]. . . . . . . . . . 98 2.62 Resultados experimentales y numéricos obtenidos por Dewoolkar et al. [42], para los casos MMD12 (fluido viscoso) y MMD10 (agua). . . . . . . . . . . . 99 2.63 Sección transversal tipo (geometrı́a y materiales) de los diques del puerto de Kobe (PC1), y desplazamientos observados después del terremoto de 1995 reportados por Alyami et al [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.64 Malla deformada del modelo en elementos finitos desarrollado por Alyami et al [43] sobre los diques del puerto de Kobe tras la finalización del terremoto. 102 2.65 Evolución de los desplazamientos horizontales a lo largo del transcurso del terremoto obtenidos por Alyami et al [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ÍNDICE DE FIGURAS XV 2.66 Relación tensión-deformación obtenida por Alyami et al [43] en diferentes puntos del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.1 Representación gráfica de los errores AD y TE introducidos en la solución numérica frente a la analı́tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 3.2 Evolución del radio espectral (ρ) frente a ∆t/Tn para distintos algoritmos, según Kontoe et al [44]. (NMK1 → NM γ = 1/2 β = 1/4; MNK2 → NM γ = 0,6 β = 0,3025) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.3 Función de transferencia analı́tica frente a las funciones de transferencia numéricas para diferentes algoritmos de integración, diferentes sistemas y diferentes pasos de tiempo (ξ = 5 %). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.4 Geometrı́a y condiciones de contorno para un estrato horizontal de suelo sometido a una solicitación senoidal en su base. . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5 Desplazamiento horizontal del punto superior de una columna de suelo elástico sometida a una solicitación senoidal en su base, calculado por diferentes algoritmos numéricos de integración frente a las soluciones analı́tica y semianalı́tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.6 Geometrı́a, malla y condiciones de contorno adoptadas para analizar la influencia de los algoritmos de integración en un medio poroso saturado elástico.131 3.7 Acelerograma artificial de Bogdanoff para 22 términos y espectro de amplitudes de Fourier correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.8 Desplazamiento vertical y presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6, en un problema bidimensional con un medio poroso saturado, calculado por diferentes algoritmos de integración paso a paso respecto a la solución obtenida con el algoritmo NM-3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.9 Espectros de amplitudes de Fourier sobre la historia temporal en desplazamientos y en presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6, calculado para diferentes algoritmos de integración paso a paso. . . . . . . . 134 3.10 Diferencia en las amplitudes de Fourier de cada algoritmo de integración respecto al algoritmo sin amortiguamiento Newmark-3, tanto para la historia temporal en desplazamientos como en presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.11 Representación esquemática del procedimiento iterativo del método de NewtonRaphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.12 Ondas de cuerpo y ondas superficiales en una masa semi-inifita de suelo. . . 150 3.13 Ratio de la energı́a reflejada frente a la energı́a incidente para distintos ángulos de incidencia y valores de los parámetros a y b (ν = 0,25) según Lysmer y Kuhlemeyer [45, 46]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 3.14 Aplicación de las condiciones de contorno fijos o contornos absorbentes para la modelización de una barra de longitud infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.15 Desplazamiento del punto xi = 5 m, cuando se propaga una onda en una barra elástica de longitud infinita. Aplicación de diferentes condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 XVI ÍNDICE DE FIGURAS 3.16 Dimensiones de los cuatro casos considerados en el ejemplo de consolidación de una columna de suelo saturado y de longitud infinita. . . . . . . . . . 3.17 Carga aplicada en el ejemplo de consolidación de una columna de suelo saturado y de longitud infinita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18 Resultados obtenidos para cada uno de los cuatro casos analizados en el ejemplo de una columna saturada en un punto situado a 15 m bajo la superficie. a) Presión de poro b) Desplazamiento vertical. . . . . . . . . . . . . . . 3.19 Geometrı́a, malla y condiciones de contorno para el problema de propagación de una onda en un medio elástico semi-infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.20 Comparación del desplazamiento vertical obtenido en el punto A indicado en la figura 3.19, tanto con la aplicación de contornos absorbentes frente a los contornos fijos, asi como con la introducción de cierto grado de amortiguamiento Rayleigh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.21 Geometrı́a, malla y condiciones de contorno adoptadas para analizar la propagación de una onda en un estrato poroso saturado. . . . . . . . . . . . . . 3.22 Comparación del desplazamiento vertical y de la presión de poro obtenidos para el punto (5,10) indicado en la figura 3.21, considerando contornos fijos y contornos absorbentes, en un problema bidimensional con un medio poroso saturado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.23 Tamaño de los dominios de cálculo considerados y puntos de interés analizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.24 Respuesta de un punto situado en superficie a 4 metros de la carga puntual (punto A) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Desplazamiento vertical b)Espectro de amplitudes de Fourier de la respuesta en desplazamientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.25 Respuesta de un punto situado a 4 metros de la carga puntual y a 4 m de profundidad (punto B) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Tensiones Horizontales b)Espectro de amplitudes de Fourier de la historia temporal en tensiones horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26 Respuesta de un punto situado a 4 metros de la carga puntual y a 4 m de profundidad (punto B) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Tensiones Verticales b)Espectro de amplitudes de Fourier de la historia temporal en tensiones verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.27 Esquema de los modos de deformación de la interfaz [47] (A= área total de la interfaz; Ac =área de contacto). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.28 Relación tensión-deformación en la interfaz suelo-estructura [48]. . . . . . . . 3.29 Esquema del ejemplo bidimensional con interfaz elástica desarrollado por Desai et al [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30 Desplazamiento vertical del borde superior en el ejemplo bidimensional con y sin interfaz, destacando el desplazamiento relativo entre los puntos A y B. . 3.31 Esquema del ejemplo bidimensional sin tracciones en la interfaz. . . . . . . . 3.32 Solicitación sinusoidal aplicada para el ejemplo bidimensional con y sin tracciones en la interfaz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 162 162 163 164 164 165 166 167 168 168 169 175 179 180 181 181 ÍNDICE DE FIGURAS XVII 3.33 Ejemplo bidimensional con y sin tracciones en la interfaz cuando se somete a una carga senoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 3.34 Ejemplo de bloque elástico con interfaz no elástica sometida a cortante [49]. 183 3.35 Distribución de tensiones tangenciales en la interfaz para un bloque elástico con interfaz no elástica. Solución numérica (GHM) frente a la solución analı́tica de Hird y Russell [49]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.36 Esquema del modelo numérico para reproducir los ensayos de corte de una interfaz suelo-hormigón desarrollados por Gomez, Filz y Ebeling [50]. . . . . 185 3.37 Resultados experimentales (izquierda) obtenidos por Gomez, Filz y Ebeling [50] en los ensayos de corte sobre diferentes interfaces suelo-hormigón, frente a los resultados numéricos (derecha) obtenidos del modelo hiperbólico implementado para los elementos de interfaz en GHM. . . . . . . . . . . . . . . 186 4.1 Geometrı́a, malla, tipo de elementos, condiciones de contorno para los desplazamientos (caso seco y saturado) tanto en la etapa de cálculo estática (contornos fijos) como dinámica (contornos absorbentes), condiciones de contorno para la presión de poro (caso saturado) e identificación de los puntos de referencia en el análisis dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.2 Solicitación dinámica considerada de tipo armónico (T = 2,5 s; amax = 1 m/s2 ).193 4.3 Caso Seco: Resultados obtenidos del análisis estático. . . . . . . . . . . . . 195 4.4 Caso Saturado: Resultados obtenidos del análisis estático. . . . . . . . . . . 196 4.5 Caso Seco: Leyes de presiones sobre el trasdós del muro (análisis estático) y evolución del coeficiente de empuje de tierras K∗ = σh /σv con la profundidad.197 4.6 Caso Saturado: Leyes de presiones sobre el trasdós del muro (análisis estático) y evolución del coeficiente de empuje de tierras K∗ = σh /σv con la profundidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 4.7 Caso Seco: Deformada del modelo tras la aplicación de la solicitación dinámica y vectores de la resultante de desplazamiento (|u|) para diferentes instantes de tiempo con predominio de diferentes tipos de movimiento del muro. (El tamaño del vector es proporcional a la magnitud del desplazamiento. En la figura (b) se puede identificar la posición del centro de rotación del muro.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.8 Caso Seco: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y desplazamiento vertical (uy ) del punto A (22.5, 12) situado en la coronación del muro en el paramento de intradós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 4.9 Caso Seco: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) observado en la interface entre el trasdós del muro y el relleno, puntos B-Muro (28,12) y C-Relleno (28.2, 12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 4.10 Caso Seco: Historia temporal de las tensiones horizontales (σhz ) y tangenciales (τ ) de los puntos D-Relleno (30,10) y punto E-Trasdós (28.2, 6). . . . . 202 4.11 Caso Seco: Distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro para diferentes instantes de tiempo. . . . . . . . . . . . . . 203 XVIII ÍNDICE DE FIGURAS 4.12 Caso Seco: a) Historia temporal de la resultante de empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós; b) Historia temporal de la evolución de la posición del punto de aplicación de la resultante Eah con respecto a la base del muro; c) Momento desestabilizador respecto a la base del muro debido a Eah . (Se muestran los resultados obtenidos del modelo numérico y del método de M-O como referencia). . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4.13 Caso Saturado: Deformada del modelo tras la aplicación de la solicitación dinámica y vectores de la resultante de desplazamiento (|u|) para diferentes instantes de tiempo con predominio de diferentes tipos de movimiento del muro. (El tamaño del vector es proporcional a la magnitud del desplazamiento. En la figura b se puede identificar la posición del centro de rotación del muro.). . . . . . . . . . . . . . 206 4.14 Caso Saturado: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y desplazamiento vertical (uy ) del punto A (22.5, 12) situado en la coronación del muro en el paramento de intradós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.15 Caso Saturado: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) observado en la interface entre el trasdós del muro y el relleno, puntos B-Muro (28,12) y el punto C-Relleno (28.2, 12). . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.16 Caso Saturado: Historia temporal de las tensiones horizontales (σhz ), las tangenciales (τ ) y la presión de poro (Pw )del punto D-Relleno (30,10) y el punto E-Trasdós (28.2, 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.17 Caso Saturado: Historia temporal del grado de licuefacción ru para los puntos D-Relleno (30,10) y punto E-Trasdós (28.2, 6). . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.18 Caso Saturado: Distribución de tensiones horizontales, tensiones tangenciales y presión de poro sobre el trasdós del muro para diferentes instantes de tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.19 Caso Saturado: a) Historia temporal de la resultante de empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y del empuje de agua (Ew ) sobre el trasdós; b) Historia temporal de la evolución de la posición del punto de aplicación de la resultante Eah y Ew con respecto a la base del muro; c) Momento desestabilizador respecto a la base del muro debido a Eah y Ew . (Se muestran los resultados obtenidos del modelo numérico y de los métodos de M-O y Westergaard como referencia). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4.20 Caso Seco: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en los desplazamientos horizontal (ux ) y vertical (uy ) del punto A (22.5, 12), situado en la coronación del muro, y el punto E (28.2, 12), situado en el relleno junto al trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 4.21 Caso Saturado: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en los desplazamientos horizontal (ux ) y vertical (uy ) del punto A (22.5, 12), situado en la coronación del muro, y el punto E (28.2, 12), situado en el relleno junto al trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 ÍNDICE DE FIGURAS 4.22 Caso Seco: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en las historias temporales de tensiones horizontales (σhz ) y tangenciales (τ ) del punto D (30,10), situado en el relleno, y el punto E (28.2, 6), situado sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.23 Caso Saturado: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en las historias temporales de tensiones horizontales (σhz ), tensiones tangenciales (τ ) y presión de agua (Pw ) del punto D (30,10), situado en el relleno, y el punto E (28.2, 6), situado sobre el trasdós. . . . . . 4.24 Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.25 Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.26 Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. 4.27 Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28 Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.29 Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.30 Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y de la presión de poro (Ew ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.31 Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . . . . 4.32 Acelerograma artificial de Bogdanoff definido por 22 términos de frecuencia (fmin = 0,95 Hz, fmax = 12,77 Hz, amax = 1 m/s2 y h = 0,01 s) y espectro de amplitudes de Fourier correspondiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.33 Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). . . . 4.34 Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.35 Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . 4.36 Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.37 Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX 214 215 218 218 220 221 222 223 225 226 227 230 231 232 233 234 XX ÍNDICE DE FIGURAS 4.38 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). 236 4.39 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.40 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . 238 4.41 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . 239 4.42 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje del agua (Pw ) sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.43 Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de agua sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . 241 4.44 Caso Seco: Leyes de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro (análisis estático) para las diferentes rigideces a cortante de la interface consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.45 Caso Saturado: Leyes de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro (análisis estático) para las diferentes rigideces a cortante de la interface consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.46 Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface sobre el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)) y el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). (La localización de los puntos A y C se muestra en la figura 4.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 4.47 Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 4.48 Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. . . . . . . . . . . . . . 248 4.49 Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface sobre el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)) y el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). (La localización de los puntos A y C se muestra en la figura 4.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.50 Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y de la presión de agua (Ew ) sobre el trasdós. . . . . . . . . . . . . . . 251 4.51 Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo.252 4.52 Acelerogramas empleados: (a) Hollister (USA-1974) (b) Gilroy N-S registrado en suelo (USA-1989). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 ÍNDICE DE FIGURAS XXI 4.53 Caracterización de los registros sı́smicos empleados: (a) SA: Espectro de aceleración (b) AF: Espectro de amplitudes de Fourier en aceleraciones (c) AI: Intensidad de Arias (d) SED: Densidad de Energı́a Especifica, para el acelerograma de Hollister y el acelerograma de Gilroy N-S. . . . . . . . . . . 255 XXII ÍNDICE DE FIGURAS ÍNDICE DE TABLAS Página 2.1 Expresiones para el cálculo del empuje de tierras e inclinación del plano de rotura crı́tico θcrit según la teorı́a de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Expresiones para el cálculo del empuje de tierras e inclinación del plano de rotura crı́tico θcrit según el método de Mononobe-Okabe. . . . . . . . . . . . 16 2.3 Expresiones analı́ticas propuestas por Kim et al. [6] para el cálculo del empuje activo dinámico (figura 2.7), extendiendo el procedimiento de M-O a un caso con cohesión, adhesión y sobrecarga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Expresiones para el cálculo del empuje de tierras en el caso activo y pasivo según Shukla et al. [51] y Shukla y Habibi [52]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Expresiones propuestas por Steedman y Zeng [9] para el cálculo del empuje activo dinámico según el método pseudo-dinámico. . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Expresiones propuestas por Chang y Chen [19] para el cálculo del empuje dinámico activo y pasivo según el teorema de la cota superior de la Teorı́a del Análisis Lı́mite, figura 2.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.7 Expresiones propuestas por Kumar y Chitikela [23] para los coeficientes Kpγ y Kpq , en el cálculo del empuje pasivo dinámico según el Método de las Caracterı́sticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8 Cálculo del coeficiente Kpγ obtenido por diferentes metodologı́as y reportado por Cheng [53]. Muro vertical, relleno horizontal, φ = 30o , δ = φ y diferentes valores de kh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9 Principales investigaciones desarrolladas sobre el cálculo sı́smico de estructuras de contención (A=Activo, P=Pasivo, β=inclinación del trasdós, α=pendiente del relleno, c=cohesión, q=sobrecarga, kv =coeficiente sı́smico vertical). . . . 47 2.10 Definición de ψi en función del tipo de relleno desarrollado por Matsuzawa et al. [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 EI(kN m2 ) 2.11 Valores asignados de rigidez para los distintos muros empleados en la investigación numérica realizada por Potts y Fourie [32]. . . . . . . . . . 67 2.12 Resultados obtenidos con el modelo numérico de Bhatia y Bakeer [34] respecto a los resultados experimentales de Matsuo et al. [35]. . . . . . . . . . . 73 2.13 Coeficientes Mc y MR obtenidos para el ajuste de Matsuzawa y Hazarika [36] para el cálculo de KA y el punto de aplicación de la resultante, ecuaciones 2.25 y 2.26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 XXIII XXIV ÍNDICE DE TABLAS 2.14 Parámetros adoptados para el modelo constitutivo (P-Z III) empleado en el modelo de elementos finitos para un muro de gravedad utilizado por Madabhushi y Zeng (1998) [40], ensayos XZ7 (relleno seco de arena suelta) y XZ9 (relleno saturado de arena suelta), y en el modelo en elementos finitos para un muro flexible de Madabhushi y Zeng (2007) [41], ensayo XZ3 (relleno de arena saturada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.15 Parámetros para el modelo Mohr-Coulomb modificado empleado por Madabhushi y Zeng [41] en el ensayo de suelo seco (XZ2). . . . . . . . . . . . . . . 92 2.16 Aceleraciones pico de las señales de entrada empleadas en la investigación de Madabhushi y Zeng [41]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.17 Parámetros empleados para el modelo constitutivo (P-Z III) por diferentes autores, sobre los que se basaron Dewoolkar et al. [42] para su selección final (Arena de Nevada No 100 con un 60 % de densidad relativa). . . . . . . 97 3.1 Métodos de integración paso a paso de la familia de Newmark [54] . . . . . . 116 3.2 Máximo valor del modulo de la función de transferencia exacta para cada sistema analizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Propiedades del suelo empleado para el análisis de la influencia de los algoritmos de integración en un medio poroso saturado elástico. . . . . . . . . . . 131 3.4 Frecuencias circular y ángulos de fase adoptados para el acelerograma de Bogdanoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.5 Parámetros del modelo constitutivo de Pastor, Zienkiewicz y Chan [55] para arenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 3.6 Propiedades del suelo saturado empleado en el ejemplo de consolidación de una columna de longitud infinita formada por suelo saturado. . . . . . . . . . 161 3.7 Propiedades del suelo empleado en el ejemplo de propagación de una onda en un medio poroso saturado semi-infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.8 Comportamiento del elemento de interfaz para diferentes estados. . . . . . . 177 3.9 Datos del ejemplo bidimensional con interfaz elástica desarrollado por Desai et al [47] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.10 Datos de los materiales empleados para el caso de bloque elástico con interfaz no elástica bajo cortante (L = 10m, H = 1m y t = 0,01m) . . . . . . . . . 182 3.11 Parámetros propuestos por Gomez, Filz y Ebeling [50] para el ajuste del comportamiento de diferentes interfaces suelo-hormigón por medio de un modelo elástico hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.1 Propiedades del modelo constitutivo elástico-lineal considerado para el muro y el estrato base, tanto en el caso seco como saturado. . . . . . . . . . . . . 191 4.2 Propiedades del modelo constitutivo considerado para el relleno del muro: modelo elastoplástico con un criterio Mohr-Coulomb para el análisis estático y modelo Pastor-Zienkiewicz para arenas en el análisis dinámico [40, 56]. . . 192 4.3 Propiedades del material de relleno en el trasdós del muro, para el caso seco y saturado [40]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 ÍNDICE DE TABLAS 4.4 Propiedades del modelo constitutivo considerado para las interfaces de contacto Muro-Relleno (Interface Trasdós) y Muro-Base (Interface Base). . . . . 4.5 Valores del coeficiente de empuje de tierras K0 analizados para el caso seco y saturado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Caso Seco: desplazamiento horizontal máximo de la coronación del muro max ), empuje activo horizontal máximo ), asiento máximo del relleno (Srelleno (umax x max ) y empuje vertical concomitante (E conco ) obtenidos para los distintos (Eah av valores de rigidez de la interface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Caso Saturado: desplazamiento horizontal máximo de la coronación del muro max ), empuje activo horizontal máximo (umax ), asiento máximo del relleno (Srelleno x max ), empuje vertical concomitante (E conco ) y empuje de agua concomitan(Eah av te (Ewconco ) obtenidos para los distintos valores de rigidez de la interface. . . . 4.8 Parámetros caracterı́sticos de los registros sı́smicos empleados. . . . . . . . 4.9 Resultante del empuje activo sobre el trasdós del muro (|Ea |) obtenida del modelo numérico y de diferentes modelos simplificados de cálculo para los registros sı́smicos de Hollister (1974) y Gilroy (1989), en el caso con relleno seco (sin sobrecarga). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10 Resultante de empujes totales, terreno y agua, en la dirección normal al trasdós (RN ), obtenida del modelo numérico y de diferentes modelos simplificados de cálculo para los registros sı́smicos de Hollister (1974) y Gilroy (1989), en el caso con relleno saturado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXV 192 217 245 249 256 257 258 XXVI ÍNDICE DE TABLAS Capı́tulo 1 Introducción 1.1. Motivación Las estructuras de contención son unas de las construcciones empleadas con más frecuencia y extendidas en el ámbito de la ingenierı́a civil, constituyendo una tipologı́a estructural transversal a prácticamente cualquier rama de la ingenierı́a civil, obras lineales, obras portuarias, obras hidráulicas, elementos estructurales, entre otros. El diseño de estructuras de contención ha sido a lo largo de la historia uno de los problemas más tratados dentro de la ingenierı́a geotécnica. Sin embargo, dada la complejidad para analizar el comportamiento de este tipo de estructuras, importantes aspectos intrı́nsecos son hoy en dı́a objeto de numerosas investigaciones. A pesar de la extensa bibliografı́a existente, e incluso normativa al respecto, sigue sin establecerse una metodologı́a clara que predomine sobre el resto. En el caso particular de las estructuras de contención, no es fácil determinar las solicitaciones que se aplicarán sobre las mismas, ya que una de las grandes incógnitas de este tipo de problemas reside en la evaluación del empuje de tierras sobre el muro. Aspectos fundamentales tales como, la distribución de la ley de presiones con la profundidad, el punto de aplicación de las resultantes para la evaluación de los momentos desestabilizadores, la evaluación de los esfuerzos tangenciales sobre el trasdós son, actualmente, susceptibles de estudio y crı́tica. Dicha incertidumbre en la estimación de las presiones horizontales sobre el muro, se incrementa por la propia heterogeneidad de los materiales de relleno que la estructura debe contener, por lo que, es necesaria una buena caracterización del comportamiento de los mismos, lo que no siempre es posible. Por otra parte, en la estimación de los empujes sobre el muro intervienen otros factores relevantes, como la magnitud y dirección del movimiento que experimenta el muro. Es sobradamente conocido que el movimiento del muro influye en el tipo de empuje que actúa sobre el trasdós, y que puede llevar a una condición de empuje activo, de empuje al reposo, e incluso, hasta la condición de empuje pasivo. A pesar de esta tremenda simplificación reducida a tres condiciones, la situación más habitual es que se desarrolle una condición de empuje intermedia entre dos de ellas. Además, el tipo de movimiento que presenta el muro (rotación respecto a la base, rotación respecto a la coronación, traslación o una combinación de varios de ellos) también influye en el empuje que actúa sobre el mismo, especialmente, en la forma que adopta la distribución de presiones sobre el trasdós. A ambos factores 1 2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN anteriores, habrı́a que añadir un tercero que igualmente afecta de forma significa a las presiones sobre el muro, como es la propia deformabilidad de la estructura. Este tercer factor es muy relevante en las estructuras de tipo flexibles, como las pantallas de contención, aunque despreciable en el caso de las estructuras rı́gidas. Todos estos factores se engloban dentro del denominado fenómeno de interacción suelo-estructura, donde el comportamiento de la estructura afecta al terreno y viceversa, por lo que, las leyes tenso-deformacionales dependen uno del otro. Si ya resultaba complejo conocer el comportamiento y propiedades del material de relleno, más complejo es aún determinar las propiedades de la interface de contacto entre el suelo y el relleno. Como ha quedado expuesto, todos estos aspectos tienen un gran interés desde el punto de vista ingenieril. A pesar de la complejidad de todos los aspectos que intervienen en este tipo de problemas, tradicionalmente se ha abordado su diseño a partir de numerosos métodos simplificados, los cuales, poseen a su vez importantes carencias y limitaciones, tales como las teorı́as de Rankine o Coulomb para los problemas estáticos. Si bien este tipo de problemas no está completamente resuelto para el caso estático, obviamente se incrementa todavı́a más su complejidad cuando el problema que se plantea es de origen dinámico. En los cuales, salvo que se utilicen técnicas de cálculo más complejas, no es posible realizar un cálculo propiamente dinámico de forma simplificada, por lo que los métodos tradicionales de cálculo se limitan a aplicaciones pseudo-estáticas de la carga dinámica sobre métodos de cálculo estáticos, lo que por una parte, simplifica tremendamente la complejidad del problema, pero por otra, reduce la validez de los resultados obtenidos y limita el campo de aplicación de la misma. A pesar de la extensa bibliografı́a a este respecto, el método de Mononobe-Okabe (M-O), aunque presenta importantes limitaciones, es el más usado por la mayorı́a de los ingenieros a la hora de afrontar el diseño de muro bajo carga dinámica, relegando el numeroso conjunto de los restantes métodos existentes al conocimiento de especialistas, a su empleo en proyectos de gran envergadura o para fines de investigación. En resumen, se puede concluir que dentro del ámbito del diseño de estructuras de contención, aún no se ha establecido para su cálculo un procedimiento que predomine claramente sobre otros, ni para casos estáticos y aún menos para casos dinámicos. Por otra parte, es muy frecuente en el diseño de estas estructuras considerar la presencia del agua, donde la posición del nivel freático, a falta de mayor información, se suele considerar para la condición más desfavorable, es decir, en la coronación del relleno. El efecto del agua en problemas de carácter dinámico ha sido claramente menos estudiado, puesto que la gran mayorı́a de las investigaciones se han realizado para rellenos secos, ya que el agua aumenta más aún la complejidad (problemas acoplados). Las metodologı́as existentes para abordar este tipo de cálculos de forma simplificada son muy escasas, siendo necesario emplear técnicas numéricas más avanzadas que permitan afrontar el estudio de los principales parámetros que intervienen en el problema y la interacción entre ellos. Este tipo de problemas continuán presentando importantes incertidumbres, por lo que, es necesario seguir investigando sobre los mismos. Otra forma de abordar el estudio de estructuras de contención ha sido a través de modelos experimentales a escala reducida, los cuales no suelen estar muy extendidos debido a necesidades económicas de los mismos y a las limitaciones técnicas para llevarlos a cabo. 1.1. MOTIVACIÓN 3 Principalmente, los modelos experimentales se han desarrollado para problemas estáticos y, en menor medida, para problemas dinámicos. Por el contrario, el ámbito de la investigación se orienta a los análisis teóricos y a los modelos numéricos. Particularizando para los problemas dinámicos, además de los ya mencionados procedimientos simplificados, de aplicabilidad limitada, y dada la complejidad de los factores que intervienen y especialmente la interacción entre ellos, también se ha tratado de abordar el cálculo a través de modelos numéricos, al igual que en otras muchas ramas de la ingenierı́a. El procedimiento numérico más extendido es el método de los elementos finitos, el cual permite modelar de forma más realista este complejo problema, no exento, por otra parte, de una mayor dificultad y complejidad de tipo numérico. A pesar de la potencia de esta técnica y del interés de la estructuras de contención en el campo de la ingenierı́a, las investigaciones de tipo numérico son notablemente muy superiores en problemas estáticos frente a los dinámicos, y dentro de estos, en problemas sin agua frente a problemas saturados, sobre los cuales las investigaciones publicadas son relativamente escasas. Como ya se ha apuntado, los modelos numéricos no están exentos de limitaciones. Independientemente de que se calculen numéricamente problemas estáticos o dinámicos, la validez y precisión de los cálculos depende, entre otros factores, de aspectos tales como la formulación adoptada, la elección adecuada de un modelo constitutivo que represente correctamente el comportamiento del suelo y, en particular, la bondad de los parámetros de calibración del propio modelo. En problemas de interacción suelo-estructura, también resulta fundamental la correcta modelización de este fenómeno complejo. En cuanto a los problemas de tipo dinámico resueltos en el dominio del tiempo, son imprescindibles los algoritmos de integración temporal, y muy conveniente la adopción de técnicas especiales para el tratamiento adecuado de los contornos fijos del dominio para evitar su efecto, a la vez, que se pueda mantener un coste computacional razonable. Por otra parte, al tratarse de un problema dinámico, se debe partir de unas condiciones iniciales provenientes de una situación o cálculo estático previo, ya que la influencia de las tensiones iniciales de partida también puede ser muy relevante. Dado el interés del problema que se aborda en esta tesis doctoral dentro del ámbito de la ingenierı́a civil, y la complejidad de todos los factores que intervienen en el diseño del mismo, se desarrolla en esta investigación una modelización numérica avanzada para determinar las presiones y empujes resultantes sobre el trasdós de una estructura de contención rı́gida bajo solicitaciones dinámicas, especialmente terremotos, tanto para condiciones de relleno seco como saturado. Del mismo, se investigan los desplazamientos sufridos por la estructura y los asientos experimentados por el relleno. A lo largo de la investigación se presta especial atención a la influencia de diferentes aspectos numéricos, que han sido poco estudiados sobre este tipo de problemas, sin perder de vista las referencias de los métodos tradicionales o simplificados de cálculo. 4 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 1.2. Objetivos de la investigación De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior, los objetivos principales de esta tesis doctoral se recogen a continuación: 1. Revisar y analizar desde un punto de vista crı́tico el estado del conocimiento, en cuanto a metodologı́as de cálculo simplificadas y de modelización numérica, desarrolladas para estructuras de contención bajo carga dinámica, principalmente sismo, tanto en condiciones de relleno seco como saturado. 2. Implementar sobre el código de elementos finitos GeHoMadrid (GHM)1 las siguientes técnicas numéricas para poder abordar la modelización del tema objeto de esta tesis doctoral: Programar en GHM un algoritmo numérico que permita tratar adecuadamente los contornos fijos del dominio para el evitar la reflexión de las ondas (Contornos Absorbentes), en problemas con y sin agua. Ampliar la formulación existente en GHM correspondiente a los algoritmos numéricos de integración temporal de la familia de Newmark, a otros algoritmos de integración, también empleados en el campo de la dinámica de suelos por su capacidad para amortiguar las altas frecuencias (Algoritmos Disipativos). Desarrollar en GHM un tratamiento numérico adecuado para la interface de contacto suelo-estructura (Elementos de Interface). 3. Validar con ejemplos contrastados o de solución conocida la correcta implementación numérica de las técnicas anteriores. 4. Evaluar la respuesta, tanto en desplazamientos, como en tensiones y empujes sobre el trasdós, de una estructura de contención sometida a carga dinámica a través del modelo numérico desarrollado, ası́ como, estudiar dicha respuesta en dos casos tipo extremos, un problema con relleno seco y otro con relleno saturado. 5. Analizar la influencia de diferentes técnicas numéricas sobre la respuesta de una estructura de contención sometida a carga dinámica en ambos casos, seco y saturado. 6. Desarrollar diferentes simulaciones numéricas de la respuesta dinámica de una estructura de contención rı́gida, tanto con relleno seco como saturado, sometida a registros sı́smicos reales, y contrastar las soluciones numéricas obtenidas junto con las principales metodologı́as simplificadas de cálculo recogidas en la bibliografı́a. 1 GeHoMadrid (GHM) es un código en elementos finitos formulado en Fortran, que resuelve las ecuaciones de Biot en formulación u-p, y esta orientado especialmente para la aplicación a problemas geotécnicos bidimensionales. Este código, de carácter académico/investigador, ha sido desarrollado y validado en numerosas investigaciones por el grupo de investigación dirigido por el Dr. M. Pastor. 1.3. METODOLOGÍA 1.3. 5 Metodologı́a La metodologı́a seguida en esta investigación para alcanzar cada uno de los objetivos propuestos ha sido la siguiente: Revisión bibliografı́a desde 1929 (fecha de publicación del método de MononobeOkabe) sobre las metodologı́as desarrolladas para el cálculo de empujes en estructuras de contención bajo carga dinámica: 1. Métodos simplificados para determinar las presiones estáticas. 2. Métodos simplificados para determinar las presiones dinámicas. 3. Clasificación e identificación de los casos de aplicación de los métodos simplificados revisados. 4. Influencia de los movimientos del muro sobre las presiones del trasdós. 5. Presiones en el trasdós debidas a la presencia de agua. 6. Modelos numéricos para problemas estáticos, dinámicos en condición seca y dinámicos en medios porosos saturados. Implementación en GHM de las diferentes técnicas numéricas especiales (Contornos absorbentes, algoritmos de integración temporal y elementos de interfaz): 1. Revisión de la formulación del modelo en elementos finitos implementada en el código GHM existente. 2. Contornos absorbentes: revisión de las principales técnicas de modelización de los mismos y del estado del conocimiento en esta materia. Implementación en el código GHM de unos contornos absorbentes válidos tanto para problemas secos como saturados. Ejemplos de validación. 3. Algoritmos de integración temporal: revisión de los algoritmos habitualmente empleados para la resolución de problemas dinámicos en suelos, familia de Newmark y α−generalizados. Implementación en el código GHM. Análisis de los mismos a través de la metodologı́as basada en las funciones de transferencia. Ejemplos de validación sobre los algoritmos más representativos. 4. Elementos de contacto suelo-estructura: revisión del estado del conocimiento en esta materia, y de las posibilidades de tratamiento numérico de la interfaz para problemas de estructuras de contención. Implementación en el código GHM de unos elementos de interfaz apropiados que permitan desacoplar el comportamiento normal y cortante en el trasdós, ası́ como de una ley constitutiva propia. Ejemplos de validación. Análisis de una estructura de contención rı́gida bajo solicitaciones dinámicas: 1. Definición de un caso tipo que se utilizará como referencia, tanto en condiciones secas como saturadas, conformado por una estructura de contención rı́gida con un relleno homogéneo. 6 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2. Determinación de las etapas de calculo para alcanzar la fase dinámica. 3. Discusión de resultados de la respuesta dinámica de un muro bajo una solicitación armónica, comparado con los resultados obtenidos de métodos simplificados, ası́ como del caso seco frente al saturado. Estudio paramétrico de la influencia de diferentes aspectos numéricos sobre los casos tipos definidos anteriormente: 1. Necesidad de emplear condiciones de contorno absorbentes en problemas de tipo dinámico, para garantizar la validez de los resultados. 2. Análisis de la influencia del estado tensional inicial del modelo a través del coeficiente de empuje al reposo K0 , para los casos tipo seco y saturado, sobre la respuesta dinámica del muro (desplazamientos y tensiones) cuando se somete a una carga armónica. 3. Análisis de la influencia del algoritmo de integración temporal empleado en la respuesta dinámica del muro, cuando la estructura se encuentra sometida al acelerograma artificial de Bogdanoff, definido por un rango de 22 frecuencias. 4. Análisis de la influencia de las propiedades de los elementos de interface sobre la respuesta dinámica del muro bajo una carga armónica, tanto en el caso seco como saturado. Desarrollo de varias simulaciones numéricas para los casos tipo seco y saturado definidos, cuando se encuentran sometidos a diversos registros sı́smicos reales. Análisis de los resultados numéricos junto con los resultados obtenidos de las principales metodologı́as simplificadas de cálculo. 1.4. Organización del documento El documento se organiza en torno a cinco capı́tulos. En el primer capı́tulo se presenta la motivación y justificación del interés del tema de estudio, junto con la enumeración de los principales objetivos que se pretenden alcanzar y la metodologı́a seguida para llevarlos a cabo. En el capı́tulo 2, ((Estado del conocimiento)), se incluye una extensa revisión de la bibliografı́a disponible hasta el momento respecto a la diferentes metodologı́as de cálculo para la estimación de presiones y empujes sobre estructuras de contención. Esta parte comienza con la revisión de los métodos simplificados o pseudo-estáticos atendiendo a la metodologı́a sobre la que se formulan (equilibrio lı́mite, análisis lı́mite, soluciones elásticas etc.), y continúa con la revisión de aquellas metodologı́as simplificadas que tratan de tener en cuenta el tipo y magnitud del movimiento del muro sobre la estimación de las presiones en el trasdós, y la influencia del agua. El capitulo finaliza con la revisión de aquellas investigaciones más relevantes que emplean modelos numéricos para el análisis de estructuras de contención, tanto en condiciones estáticas, como dinámicas en problemas con relleno seco y saturado. 1.4. ORGANIZACIÓN DEL DOCUMENTO 7 En el capı́tulo 3, ((Modelo numérico)), se presenta una descripción de todos los elementos que intervienen y son necesarios para la formulación y resolución de un problema dinámico a través del método de los elementos finitos. Las caracterı́sticas más reseñables de este modelo son, que se basa en la ecuaciones de Biot a través de una formulación u-p, y para el material de relleno se adopta el modelo constitutivo de Pastor-Zienkiewicz para arenas. Este modelo se fundamente en la teorı́a de la Plasticidad Generalizada y ha sido ampliamente utilizado por su capacidad para reproducir adecuadamente diferentes comportamientos de los suelos, incluso baja cı́clica. Además se aborda cómo se ha desarrollado la implementación en el código de elementos finitos GHM de tres técnicas numéricas necesarias o convenientes para el problema objeto de esta tesis doctoral. Estas tres técnicas se corresponden con los algoritmos temporales de integración, técnicas de tratamiento de los contornos fijos del dominio a través de contornos absorbentes y la programación de elementos especiales para el adecuado tratamiento numérico de la interfaz de contacto sueloestructura. En cada una de estas técnicas, se presenta una revisión del correspondiente estado del conocimiento para seleccionar la más apropiada. Del mismo modo, también se incluyen diferentes ejemplos con solución conocida, que han sido desarrollados para la validación de dichas técnicas. En el capı́tulo 4, ((Análisis numérico de una estructura de contención rı́gida bajo solicitaciones dinámicas)), se recoge la aplicación del modelo numérico descrito en dos casos tipos de estructuras de contención, una con el relleno en condiciones secas y otra en condiciones saturadas. Todo el análisis posterior que se presenta en este capı́tulo se mantendrá para estos dos casos tipos. Dentro de este capı́tulo se pueden diferenciar cuatro partes. En la primera, se describen las caracterı́sticas (geometrı́a, discretización del dominio, condiciones de contorno...) del caso tipo adoptado en esta investigación, junto con las etapas de cálculo necesarias para llegar a alcanzar la fase de cálculo dinámico propiamente dicha. En la segunda parte del capı́tulo, se presenta una discusión de los resultados obtenidos de la respuesta dinámica del muro bajo una carga de tipo armónico, prestando especial atención al tipo de movimiento de muro, los desplazamientos del muro, asientos del relleno, comportamiento de la interface, resultantes de empujes horizontales y verticales sobre el trasdós, ası́ como, su punto de aplicación, los momentos desestabilizadores resultantes, y presión de agua en el caso saturado, para concluir con las distribuciones de tensiones, magnitud y forma, sobre el trasdós. A su vez se comparan los resultados obtenidos tanto para el caso seco como saturado, junto con diferentes soluciones pseudo-estáticas de referencia, como el método de Mononobe-Okabe para las presiones del terreno y el método de Westergaard para las presiones del agua. En la tercera parte del capı́tulo, se realiza un estudio paramétrico de la influencia que tienen sobre la respuesta calculada diferentes aspectos numéricos, los cuales se adoptan habitualmente sin un criterio especı́fico o, simplemente, porque son los procedimientos más habituales. Dicho estudio recoge la influencia de las condiciones de contorno absorbentes, del estado tensional inicial del modelo a través del coeficiente de empuje de tierras K0 , de diferentes algoritmos temporales de integración y, finalmente, de las propiedades aplicadas a los elementos de interface. Dicho estudio paramétrico se orienta especı́ficamente al comportamiento de estructura de contención rı́gida bajo carga dinámica. En la última parte de 8 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN este capı́tulo, se desarrollan diferentes simulaciones numéricas, nuevamente para los casos tipo seco y saturado adoptados, cuando se someten a varios registros sı́smicos reales con diferentes aceleraciones pico, intensidad y contenido frecuencial. Las soluciones obtenidas del modelo numérico se contrastan con las soluciones calculadas por diferentes métodos simplificados recogidos en la bibliografı́a especı́fica. En el capı́tulo 5, ((Conclusiones y futuras lı́neas de investigación)), se recogen las principales conclusiones derivadas de esta tesis doctoral, y se indican futuras lı́neas de investigación que se pueden desarrollar a partir de la misma. El documento concluye con la recapitulación de toda la bibliografı́a empleada. Capı́tulo 2 Estado del Conocimiento La evaluación del empuje de tierras sobre una estructura de contención ha sido y es uno de los problemas más estudiados en el campo de la Geotecnia. Aspectos fundamentales tales como, la distribución de la ley de presiones con la profundidad o el punto de aplicación de la resultante son, aún hoy en dı́a, susceptibles de estudio y crı́tica. Las incertidumbres e incógnitas en este tipo de estructuras se incrementan cuando el problema que se plantea es de origen dinámico. Para estos casos, el método más empleado es el conocido como Método de Mononobe-Okabe (M-O) [57, 58] el cual, a pesar de presentar importantes limitaciones es el más usado por la mayorı́a de los ingenieros a la hora de afrontar este tipo de diseños, relegando el numeroso conjunto de los restantes métodos existentes al conocimiento de especialistas, a su empleo en proyectos complejos o para fines de investigación. La estimación de la magnitud y tipo de movimientos que puede sufrir una estructura de contención, y la influencia que éstos tienen sobre la ley de presiones que se puede desarrollar sobre la misma, son aspectos de máximo interés desde el punto de vista ingenieril, pero de los aún no se han establecido para su cálculo un procedimiento que predomine claramente sobre otros, ni siquiera para el caso estático. Por otra parte, el efecto del agua sobre las estructuras de contención en problemas de carácter dinámico ha sido claramente menos estudiado puesto que la gran mayorı́a de las investigaciones se han realizado para rellenos secos. La presencia del agua aumenta más aún la complejidad del problema (problemas acoplados) siendo necesario emplear técnicas numéricas más avanzadas que permitan afrontar el estudio de los principales parámetros que definen el problema y la interacción entre ellos. Este tipo de problemas todavı́a presentan importantes incertidumbres, por lo que es necesario seguir investigando sobre los mismos. Por todo lo anterior, en los siguientes apartados se recoge una profunda revisión de las numerosas metodologı́as e investigaciones desarrolladas por diferentes autores y que se pueden encontrar en la literatura. Para hacer más sencilla y compresible dicha exposición, a continuación se describe la nomenclatura empleada para definir las principales variables que intervienen en el problema en concordancia con el esquema de la figura 2.1. Se analizará un problema bidimensional en deformación plana ya que es el planteamiento más habitual cuando se estudian estructuras de contención y que además permitirá comparar con los resultados obtenidos por otras metodologı́as y autores. 9 10 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.1 – Esquema de las principales variables del problema. Geometrı́a del problema H: altura del muro B: anchura de la base del muro β: inclinación respecto a la vertical del trasdós del muro α: inclinación respecto a la horizontal de la superficie del relleno L: extensión de la cuña de rotura o longitud del relleno para las soluciones elásticas θcrit : inclinación de la superficie de rotura en los métodos de cuñas planas Hp : altura del relleno en el intradós del muro (pasivo) Caracterı́sticas del relleno φ: ángulo de rozamiento interno del suelo ′ γ: peso especı́fico del suelo (γd : peso especı́fico seco, γsat : peso especı́fico saturado,γ : peso especı́fico sumergido) c: cohesión del suelo δ: rozamiento muro-terreno desarrollado en el trasdós del muro cw : adhesión muro-relleno desarrollada en el trasdós del muro Acciones kh : coeficiente horizontal de aceleración sı́smica kv : coeficiente vertical de aceleración sı́smica q: sobrecarga distribuida aplicada sobre la superficie del relleno Kae : coeficiente de empuje sı́smico activo Kpe : coeficiente de empuje sı́smico pasivo hR : punto de aplicación de la resultante del empuje respecto a la base del muro 2.1. PRESIONES DE ORIGEN ESTÁTICO 11 A lo largo de este capitulo se presenta en primer lugar una breve descripción y enumeración de los métodos más relevantes para el cálculo de presiones sobre muros en problemas estáticos, puesto que posteriormente algunos de los métodos pseudo-dinámicos más importantes, como por ejemplo M-O, se basarán en métodos estáticos propuestos previamente. En la segunda sección de este capitulo se recoge una revisión exhaustiva de los métodos e investigaciones desarrollados para problemas dinámicos. Todos estas investigaciones se han clasificado en métodos basados en equilibrio lı́mite, en soluciones elásticas y elastoplásticas, en análisis lı́mite o en el Método de las Caracterı́sticas. En la tercera parte de la exposición se revisan las investigaciones que analizan el efecto de la magnitud y tipo de movimientos sobre las presiones en el muro. En la cuarta sección del capı́tulo se revisan las metodologı́as para problemas con rellenos saturados o con presencia de agua. En la quinta sección se presentan las principales investigaciones sobre estructuras de contención basadas en métodos de elementos finitos, comenzando por los modelos más sencillos, es decir para problemas estáticos y sobre los que posteriormente se apoyaron modelos más complejos para problemas dinámicos (relleno seco) y problemas dinámicos acoplados (rellenos saturados). 2.1. Presiones de origen estático Las presiones estáticas ejercidas sobre un muro dependen en gran medida del tipo de movimiento sufrido por el muro, desarrollándose los conocidos estados de empuje activo, cuando el muro se aleja del relleno, y empuje pasivo, cuando el muro se acerca al terreno. Cuando el muro no sufre ningún movimiento se dice que se encuentra en la situación de empuje al reposo. Uno de los métodos de cálculo más usados para evaluar el empuje estático de tierras es el basado en la Teorı́a de Rankine (1857) [59, 57]. Éste es un procedimiento sencillo que se fundamenta en el análisis del estado tensional de una masa de suelo cuando se encuentra en una situación de fallo con el criterio de rotura Mohr-Coulomb. Mazindrani y Granjali (1997) [59] generalizaron dicha teorı́a para un terreno con cohesión tanto en la situación activa, ecuación 2.1, como en la situación pasiva, ecuación 2.2. σa = γzKa cos α (2.1) σp = γzKp cos α (2.2) En las ecuaciones 2.1 y 2.2, z es la cota medida desde la superficie en la que se evalúan las presiones y los coeficientes de empuje activo (Ka ) y pasivo (Kp ) se definen según la expresión 2.3, empleando el signo negativo para el caso activo y el signo positivo para el pasivo. 12 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2c cos φ sen φ 2cos2 α + γz 1 r 2 K∗ = −1 cos2 φ ± 4 cos2 α(cos2 α − cos2 φ) + 2c cos2 φ + 8c cos2 α cos φ sen φ γz γz (2.3) La teorı́a de Rankine conlleva importantes limitaciones puesto que asume que no existe rozamiento ni adhesividad entre el muro y el terreno y que toda la masa de suelo se encuentra en una situación de rotura. Implı́citamente se considera que las superficies de rotura que se desarrollan son planas, por lo que para el caso de relleno horizontal sin cohesión, forman un ángulo de 45 + φ/2 con la horizontal para el activo y de 45 − φ/2 para el pasivo. En cuanto a la distribución de presiones, asume que es prácticamente lineal y paralela a la superficie del relleno y que el punto de aplicación de la resultante se sitúa a H/3 de la base1 . La teorı́a de Coulomb (1776) [57] es el procedimiento más empleado para el cálculo del empuje estático en el trasdós de un muro. Esta teorı́a obtiene el empuje de tierras como el resultado del equilibrio de fuerzas sobre una cuña de rotura de suelo (equilibrio lı́mite), que se comporta como un cuerpo rı́gido y que está definida geométricamente por el trasdós del muro, la superficie del relleno y una superficie de rotura plana inclinada un ángulo θ con la horizontal (figura 2.2). El ángulo θ es desconocido a priori y se calcula como aquel que es capaz de desarrollar sobre el muro el máximo empuje para la situación activa o el mı́nimo empuje para la situación pasiva. Las expresiones del empuje de tierras y de la inclinación del plano de rotura crı́tico (θcrit ), tanto para el activo como el pasivo, se recogen en la tabla 2.1. En la teorı́a de Coulomb no se predice de forma explı́cita la distribución de presiones que se desarrolla en el trasdós del muro; por ello se suele asumir que ésta es lineal y que la resultante se sitúa a H/3 de la base del muro, formando un ángulo δ con respecto a la normal al trasdós del muro. El procedimiento empleado en la teorı́a de Coulomb también puede ser aplicable a otras situaciones de cálculo en las que no se disponga de las correspondientes expresiones analı́ticas, como por ejemplo suelos con cohesión, con sobrecarga o con acciones dinámicas. Se debe destacar que la teorı́a de Coulomb garantiza el equilibrio de acciones verticales y horizontales pero no el equilibrio de momentos. La principal hipótesis sobre la que se fundamenta la teorı́a de Coulomb es la de asumir superficies de rotura planas, lo que no es válido para la zona más próxima al muro puesto que la presencia del rozamiento entre el muro y el relleno provoca la aparición de una fuerza cortante que hace variar la dirección de las tensiones principales y por lo tanto la orientación de las superficies de rotura, definiendo ası́ una superficie de rotura curva [60, 1]. Para el caso activo, se ha observado que no existen grandes diferencias entre emplear cuñas planas y cuñas curvas, de ahı́ que para el cálculo en activo se emplee habitualmente la teorı́a de Coulomb. Por el contrario en el caso pasivo, el efecto del rozamiento es más influyente y la zona curva es mucho más pronunciada, por lo que el método de Coulomb suele conducir a valores sobrestimados del empuje pasivo que no caen del lado de la seguridad, más notables a medida que δ aumenta, especialmente para δ ≥ φ/2. Esto ha dado lugar 1 En el caso de que exista grieta de tracción, la resultante se situará a h/3 de la base, donde h es la altura del muro descontando la profundidad de la grieta de tracción. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO (a) Caso Activo 13 (b) Caso Pasivo Figura 2.2 – Equilibrio de fuerzas sobre las distintas cuñas de rotura tanteadas según la teorı́a de Coulomb [1]. al desarrollo de un importante grupo de métodos en los cuales se adoptan superficies de rotura curvas, aumentando ası́ la complejidad en la resolución del problema. Entre los métodos que adoptan superficies de rotura curva, cabe destacar el trabajo de Caquot-Kerisel (1948) [1], quienes proponen un método donde se adopta una superficie de rotura compuesta, formada por la combinación de un arco de espiral logarı́tmica en la zona más próxima al muro seguida de una superficie plana que se ajusta a un estado de Rankine. Sus resultados se encuentran recogidos en diversos ábacos y tablas. Otros autores como Shields y Tolunay (1973) [1], Rahardjo y Fredlund (1984) [61], Kumar y Subba-Rao (1997) [62], Zhu y Qian(2000)[1], entre otros, evaluaron el empuje de tierras a través del método de las dovelas en la teorı́a del equilibrio lı́mite. 2.2. Presiones de origen dinámico En la literatura se puede encontrar una extensa relación de métodos de diferente fundamento, que tratan de obtener las presiones que se generan en el trasdós de un muro cuando el origen de las acciones es dinámico, principalmente debido a un sismo. Para hacer más sencilla la exposición, dicha colección de métodos se presentan agrupados en las siguientes categorı́as. 2.2.1. Métodos basados en el Equilibrio Lı́mite: métodos pseudo-estáticos Los métodos pseudo-estáticos pasan por definir previamente una superficie de rotura. Se pueden establecer claramente dos tipos de grupos, aquellos que emplean superficies de rotura planas y los que emplean superficies de rotura curvas. En primer lugar se expondrán los métodos que emplean superficies planas, los cuales a su vez permiten obtener expresiones analı́ticas relativamente sencillas para el cálculo de empujes, y en segundo lugar se presentaran los métodos que emplean superficies de rotura curvas, principalmente orientados al cálculo del empuje pasivo. 14 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Tabla 2.1 – Expresiones para el cálculo del empuje de tierras e inclinación del plano de rotura crı́tico θcrit según la teorı́a de Coulomb. Caso Activo Pa = 12 γH 2 Ka Ka = cos2 cos2 (φ−β) i2 h q sen(δ+φ) sen(φ−α) β cos(δ+β) 1+ cos(δ+β) cos(α−β) θcrit = φ + tan−1 C1 = p h − tan(φ−α)+C1 C2 i tan(φ − α) [tan(φ − α) + cot(φ − β)] [1 + tan(δ + β) cot(φ − β)] C2 = 1 + {tan(δ + β) [tan(φ − α) + cot(φ − β)}] Caso Pasivo Pp = 12 γH 2 Kp Kp = cos2 (φ+β) i2 h q sen(δ+φ) sen(φ+α) cos2 β cos(δ−β) 1− cos(δ−β) cos(α−β) θcrit = −φ + tan−1 C3 = p h tan(φ+α)+C3 C4 i tan(φ + α) [tan(φ + α) + cot(φ + β)] [1 + tan(δ − β) cot(φ + β)] C4 = 1 + {tan(δ − β) [tan(φ + α) + cot(φ + β)}] Uno de los primeros métodos desarrollados para el cálculo de las presiones dinámicas es el conocido método de Mononobe-Okabe (1926; 1929) [57, 58]. El método de MononobeOkabe (M-O) consiste en una extensión directa de la teorı́a estática de Coulomb, donde las aceleraciones se introducen de forma pseudo-estática sobre una posible cuña de rotura plana, figura 2.3. El empuje del terreno se obtiene del equilibrio de fuerzas sobre dicha cuña incluidas las fuerzas pseudo-estáticas debidas al sismo. Las expresiones analı́ticas tanto para el cálculo del empuje, como de los coeficientes de empuje dinámico activo (Kae ) y pasivo (Kpe ) y del ángulo de inclinación del plano de rotura crı́tico (θcrit ) para un suelo seco y sin cohesión se muestran en la tabla 2.2. Para los casos con sobrecargas, terrenos irregulares, rellenos con cohesión etc., el método de M-O también se puede aplicar si se incluyen en el equilibrio todas las acciones que intervengan, y se tantean distintas cuñas de rotura hasta seleccionar la pésima. En el método de M-O se asume que la superficie de rotura es plana, que toda la cuña de suelo se comporta como un sólido rı́gido y que se moviliza toda la resistencia a cortante a lo largo del plano de rotura. También se desprecian las fuerzas de inercia de la propia estructura y se asume que el empuje actúa en un punto situado a H/3 de la base del muro. Para alcanzar el equilibrio de la cuña de rotura se debe satisfacer la condición de equilibrio φ − α ≥ ψ, además si la pendiente del relleno es nula (α = 0) se obtiene un valor crı́tico para la aceleración horizontal, calculada como (kh )crit ≤ (1 − kv ) tanφ, puesto que para un nivel de aceleración superior, la inclinación de la cuña de rotura se hace cero [4]. El método de M-O ha sido analizado por numerosos autores, entre los que caben destacar los siguientes trabajos. Seed y Whitman (1970) [3] realizaron un profundo estudio paramétrico sobre este método cuyos principales resultados se muestran en la figura 2.4. De este análisis se puede concluir que Kae aumenta significativamente cuando aumenta α o cuando disminuye φ, mientras que los parámetros δ y kv influyen poco en el resultado. Tam- 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 15 a b (a) Caso Activo a b (b) Caso Pasivo Figura 2.3 – Equilibrio de fuerzas sobre la cuña de rotura tanteada según el método de Mononobe-Okabe [2]. bién, proponen que el coeficiente de empuje activo dinámico (Kae ) se puede descomponer en la suma del coeficiente estático (Ka ) y un incremento de origen dinámico (∆Kae ). Este último se puede calcular de forma simplificada a través de la regla práctica2 ∆Kae ∼ = 3/4kh . En cuanto al punto de aplicación del empuje de tierras, recomiendan aplicar la componente dinámica (∆Pae ) a 0,6H respecto de la base. Richards y Elms (1979) [63] analizaron el efecto de la inercia del muro, no considerada por M-O, de cara a la estabilidad del muro frente a deslizamiento. Comprobaron que para muros de gravedad, el efecto de la inercia es del mismo orden que la presión dinámica del suelo obtenida por M-O, por lo que no puede ser despreciada en el cálculo. También comprobaron que, a diferencia de M-O, el rozamiento muro-relleno (δ) y la componente vertical de la aceleración (kv ) afectan significativamente en la evaluación del efecto de la inercia del muro. Davies, Richards y Chen (1986) [4] también realizaron un estudio paramétrico sobre Kae y Kpe deducidos del método de M-O. En dicho estudio comprobaron que la inclinación del plano de rotura respecto a la horizontal (θcrit ) tiende a cero a medida que aumenta kh y que para sismos moderados la superficie de fallo en el caso pasivo no difiere de manera considerable de la predicha para el caso estático, lo que no sucede en el caso activo (figura 2.5)3 . Por otra parte, a medida que kh aumenta, se reduce el empuje pasivo (Ppe ) y aumenta el empuje activo (Pae ). También observaron que Kpe no depende prácticamente de kv , aunque sı́ se ve afectado significativamente por δ, sobre todo para el caso estático y sismos moderados. La influencia de δ se reduce a medida que aumenta kh , lo que implica que la hipótesis de superficies planas tiene mayor validez para aceleraciones altas. Finalmente, comprobaron cómo la inclinación del trasdós afecta poco, mientras que Kpe aumenta cuando lo hacen α y φ, y en el caso activo Kae decrece cuando aumenta φ. Fang y Chen (1995) [5] investigaron la influencia de la dirección de las aceleraciones sı́smicas para el método de M-O, los resultados obtenidos se muestran en la figura 2.6. 2 Deducida para un caso tipo: muro vertical, relleno horizontal y φ = 35o . Atendiendo a la condición de equilibrio indicada anteriormente, no es admisible obtener superficies de rotura para valores superiores a (kh )crit , que para el ejemplo de la figura 2.5 vale (kh )crit = tan(φ) = 0,577. 3 16 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Tabla 2.2 – Expresiones para el cálculo del empuje de tierras e inclinación del plano de rotura crı́tico θcrit según el método de Mononobe-Okabe. Caso Activo Pa = 21 γH 2 Kae (1 − kv ) Kae = cos ψ cos2 cos2 (φ−β−ψ) i2 h q sen(δ+φ) sen(φ−α−ψ) β cos(δ+β+ψ) 1+ cos(δ+β+ψ) cos(α−β) θcrit = φ − ψ + tan−1 C1E = p h − tan(φ−α−ψ)+C1E C2E i tan(φ − α − ψ) [tan(φ − α − ψ) + cot(φ − β − ψ)] [1 + tan(δ + β + ψ) cot(φ − β − ψ)] C2E = 1 + {tan(δ + β + ψ) [tan(φ − α − ψ) + cot(φ − β − ψ)}] ψ = tan−1 h kh (1−kv ) Caso Pasivo i Pp = 21 γH 2 Kpe (1 − kv ) Kpe = cos ψ cos2 cos2 (φ+β−ψ) i2 h q sen(δ+φ) sen(φ+α−ψ) β cos(δ−β+ψ) 1− cos(δ−β+ψ) cos(α−β) θcrit = ψ − φ + tan−1 C3E = p h tan(φ+α−ψ)+C3E C4E i tan(φ + α − ψ) [tan(φ + α − ψ) + cot(φ + β − ψ)] [1 + tan(δ − β + ψ) cot(φ + β − ψ)] C4E = 1 + {tan(δ − β + ψ) [tan(φ + α − ψ) + cot(φ + β − ψ)}] ψ = tan−1 h kh (1−kv ) i Comprobaron que el máximo empuje dinámico activo (Pae ) se produce cuando kh se dirige hacia el muro y kv hacia abajo. Por el contrario, el mı́nimo empuje dinámico pasivo (Ppe ) se obtiene cuando kh se dirige hacia el muro mientras que kv se dirige hacia arriba. Por último, para fines de diseño, proponen que se considere kv ≤ kh /2. Recientemente Kim et al. (2010) [6] han extendido el procedimiento de M-O para obtener una expresión analı́tica (figura 2.7, tabla 2.3) para el cálculo del empuje activo donde se incluya la cohesión del suelo, la adhesión con el muro, y la aplicación de una carga puntual y/o distribuida sobre el relleno. Para demostrar la validez de la expresión obtenida, contrastaron su resultado con las soluciones obtenidas por M-O y con soluciones gráficas. Observaron que a medida que aumenta la cohesión (c) y la adhesión (cw ) disminuye el empuje sobre el muro, mientras que M-O sobrestimarı́a notablemente el valor del empuje en estos casos. Por el contrario, en el caso de sobrecarga puntual y distribuida, M-O subestima ligeramente el valor del empuje en ambos casos, aunque de forma más pronunciada para el segundo que para primero. Continuando con la filosofı́a del método de Mononobe-Okabe, otros procedimientos simplificados de cálculo son los siguientes. Arango (1969) [3] propone un método simplificado para obtener Kae a partir de valores tabulados de Ka obtenidos por el método de Coulomb en condiciones estáticas, pero empleando unos valores modificados de α y β. Kapila (1962) [1] propone una modificación del método gráfico de Culmann [1], desarrollado para la determinación del empuje estático activo (Pa ), incluyendo las componentes dinámicas de forma pseudoestática como kv Wcuña y kh Wcuña , donde Wcuña es el peso de la cuña de rotura tanteada. Finalmente, Saran y Prakash (1970) [64], Yakovlev y Shkola (1978) [65] y Micha- 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 17 Figura 2.4 – Estudio paramétrico realizado por Seed y Whitman [3] sobre el método de M-O. lowski (1984) [66] propusieron metodologı́as similares basadas en establecer el equilibrio de un elemento diferencial de suelo situado dentro de una cuña de rotura definida previamente en lugar de buscar el equilibrio de la cuña completa, lo que permite obtener la ley de presiones sobre el trasdós del muro y no solamente la resultante. En general comprueban que la resultante de presiones coincide con la obtenida por el método de M-O mientras que la distribución de presiones es no lineal por lo que el punto de aplicación de la resultante puede llegar a diferir significativamente del propuesto por M-O. A continuación se presenta una serie de métodos alternativos al de Mononobe-Okabe, también de carácter pseudoestático pero de distinto planteamiento, en los cuales se abarcan distintas geometrı́as para la superficie de fallo o se incluyen otro tipo de acciones. Dewaikar y Halkude (2002) [67] desarrollaron un procedimiento pseudo-estático para calcular el punto de aplicación del empuje activo y pasivo en condiciones sı́smicas basándose en las ecuaciones de Kötter4 [67] y en superficies de rotura planas. Para ello plantean el equilibrio de las acciones horizontales y verticales sobre una posible cuña de fallo, obteniendo dos ecuaciones cuya única incógnita es el empuje de tierras, ya que la reacción 4 Kötter obtuvo unas relaciones elastoplásticas que deben satisfacer los esfuerzos desarrollados a lo largo de una superficie de deslizamiento cualquiera en una condición de fallo incipiente. 18 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.5 – Influencia de kh en la inclinación del plano de rotura (β = α = kv = 0) según Davis, Richards y Chen [4]. a=0º a=0 º (a) Caso Activo (b) Caso Pasivo Figura 2.6 – Influencia de la dirección de las fuerzas de inercia en el empuje sobre el muro, Fang y Chen [5]. del terreno (R) sobre el plano de rotura se obtiene por medio de las mencionadas ecuaciones de Kötter. Tanteando con distintas cuñas, estas dos ecuaciones convergen a la misma solución, definiendo de este modo un único plano de rotura. Una vez conocidos el empuje de tierras y la resultante sobre la cuña, se plantea el equilibrio de momentos respecto de la base del muro para obtener el punto de aplicación de la resultante sobre el muro (hR ). A través de sus investigaciones numéricas observaron que, para el caso pasivo, hR decrece a medida que aumenta kh y kv , mientras que δ influye notablemente, aumentando hR según aumenta δ. En cuanto al caso activo, comprobaron que la influencia de δ sobre hR es menor que en la condición pasiva, aumentando hR según decrece δ o crece kh . Para el rango de valores estudiado obtuvieron valores de hR entre 0,39H y 0,62H en el pasivo y entre 0,35H y 0,51H en el activo. Además encontraron ajustes razonables con otros autores para Kae y Kpe . Praskash y Basavanna (1969) [68] plantearon para un suelo sin cohesión, un método analı́tico basado en cuñas planas y en el principio de superposición donde establecieron el equilibrio de acciones horizontales y momentos, a diferencia de la teorı́a de Coulomb que no garantiza el equilibrio de momentos, para obtener la distribución de presiones en el 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 19 Figura 2.7 – Cálculo del empuje activo propuesto por Kim et al. [6] como una extensión del método de M-O a un caso con cohesión, adhesión y sobrecarga. trasdós del muro. Sus análisis demostraron que no existen grandes diferencias en cuanto a la magnitud del empuje activo respecto al método de M-O, aunque sı́ en cuanto al punto de aplicación de la resultante, obteniendo valores superiores a H/3. Comprobaron que la distribución de presiones se ve afectada por los valores de δ y φ y no por kv . A continuación se presentan un conjunto de métodos que obtienen el valor del empuje de tierras como resultado de la suma varias componentes, según estén asociadas al peso del terreno (γ), a la cohesión (c) y a la sobrecarga (q), en el caso de que existan. Saran y Prakash (1966; 1968) [69, 70] desarrollaron una expresión analı́tica para el empuje de tierras activo, asumiendo cuñas planas según la teorı́a de Coulomb y considerando la aceleración horizontal como pseudoestática (kv = 0). Consideraron además sobrecarga, suelo con cohesión, relleno horizontal, trasdós inclinado y rozamiento. Tras establecer el equilibrio de acciones verticales y horizontales obtienen la expresión 2.4 definida por la suma de tres términos5 , donde (Na∗ )dyn representa los distintos coeficientes asociados al peso, a la cohesión y a la sobrecarga respectivamente, para los cuales también se tienen expresiones analı́ticas, ecuaciones 2.5 a 2.76 , donde ǫ = 90 + β + φ − θ, m = Hc /H y Hc es la profundidad de las grietas de tracción. Estos coeficientes dependen de la inclinación del plano de rotura (θcrit ), para lo cual maximizan cada coeficiente independientemente, lo que implica que se tantee con tres superficies de rotura distintas, dando de este modo resultados conservativos. En cuanto al punto de aplicación de la resultante, establecen que el término del peso se aplique a H/3 de la base, mientras que los términos de la cohesión y sobrecarga se sitúan a H/2. Pa = γH 2 (Naγ )dyn + qH (Naq )dyn − cH (Nac )dyn 5 (2.4) La estructura de esta ecuación es análoga a la estructura de la ecuación general de la capacidad portante para cimentaciones superficiales. 6 La expresión mostrada para (Nac )dyn difiere ligeramente de la recogida originalmente en el articulo [70]. 20 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Tabla 2.3 – Expresiones analı́ticas propuestas por Kim et al. [6] para el cálculo del empuje activo dinámico (figura 2.7), extendiendo el procedimiento de M-O a un caso con cohesión, adhesión y sobrecarga. Caso Activo Pad = 1 sen(β+δ) tan(θ−φ)+cos(β+δ) (S + T + U + V ) S = W tan(θ − φ) + kh W − kv W tan(θ − φ) T = kh PL − kv PL tan(θ − φ) + PL tan(θ − φ) + kh Qu l3 − kv Qu l3 tan(θ − φ) + Qu l3 tan(θ − φ) U = −cl1 sen θ tan(θ − φ) − cl1 cos θ V = −cw l2 cos β tan(θ − φ) + cw l2 sen β i h θl2 sen β) + h l1 = sen1 θ tan α(h+tan tan θ−tan α l3 = l2 = 1 cos α h cos β h+tan θl2 sen β tan θ−tan α W = 12 γhl2 sen β + 21 γh2 tan(90o − θ) + 12 γ (Naγ )dyn = (Naq )dyn = (Nac )dyn = h+tan θl2 sen β tan θ h tan α(h+tan θl2 sen β) tan θ−tan α [(tan β+tan(90−θ))(m+ 21 )+ 21 m2 tan β][cos(90−θ+φ)+kh sen(90−θ+φ)] sen(ǫ+δ) [(m+1) tan β+tan(90−θ)][cos(90−θ+φ)+kh sen(90−θ+φ)] sen(ǫ+δ) 2 cos(90−θ+φ)+sen(90−θ+φ)(tan(90−θ)−tan β) sen(ǫ+δ) i (2.5) (2.6) (2.7) Continuando con la idea de expresar el empuje de tierras como la suma de varios términos asociados cada uno de ellos a un factor distinto, Shukla et al. (2009) [51] para el caso activo y Shukla y Habibi (2011) [52] para el caso pasivo, desarrollaron sendas expresiones analı́ticas (tabla 2.4) para el empuje de tierras en un muro de contención con trasdós vertical, sin rozamiento (δ = 0), con relleno horizontal de tipo cohesivo friccional (c − φ) sin sobrecarga (q = 0), basándose en la cuña de rotura de Coulomb y considerando tanto aceleración horizontal como vertical. Para ello buscan la cuña de rotura que maximiza o minimiza, según corresponda, la expresión completa de la resultante del empuje (Pae o Ppe ) y no cada coeficiente de forma independiente, obteniendo de este modo una única superficie de rotura, a diferencia de Saran y Prakash [69, 70] que obtenı́an tres superficies crı́ticas distintas. Hasta ahora todos los estudios expuestos plantean superficies de rotura planas. A continuación se presentan diversas investigaciones donde se proponen superficies de rotura curvas, en su mayorı́a definidas por arcos de espirales logarı́tmicas, ya que uno de los graves inconvenientes que presenta la teorı́a de M-O es la de asumir superficies de rotura planas, lo que puede conducir a diseños no seguros al sobrestimar el valor del coeficiente de empuje sı́smico pasivo, Kpe , especialmente para valores de δ ≥ φ/2. Morrison y Ebeling (1995) [7] calcularon el empuje de tierras pasivo para distintos valores de δ, en un muro vertical, con relleno horizontal, sin cohesión ni sobrecarga y con una superficie de fallo compuesta únicamente por un arco de espiral logarı́tmica, para lo que tantearon con distintas cuñas estableciendo el equilibrio de cada una de ellas hasta obtener 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 21 Tabla 2.4 – Expresiones para el cálculo del empuje de tierras en el caso activo y pasivo según Shukla et al. [51] y Shukla y Habibi [52]. Caso Activo [51] Pae = 12 γH 2 (1 − kv )Kaeγ − cHKaec tan αc Kaeγ = cos(φ−ψ)−sen(φ−ψ)/ cos ψ(cos φ+tan αc sen φ) φ(1+tan2 αc ) Kaec = tan αcos c (cos φ+tan αc sen φ) h tan αc = sen φ sen(φ−ψ)+m sen(2φ)+ √ i sen φ sen(φ−ψ) cos ψ+4m2 cos2 φ+2m cos φ(sen φ cos ψ+sen(φ−ψ)) sen φ cos(φ−ψ)+2m cos2 φ m= c cos ψ γH(1−kv ) ; tan ψ = kh 1−kv ; (kh )crit = (1 − kv ) tan φ + 2c γH kh + ←; kv + ↑ Caso Pasivo [52] Ppe = 21 γH 2 (1 ± kv )Kpeγ + cHKpec tan αc Kpeγ = cos(φ−ψ)+sen(φ−ψ)/ cos ψ(cos φ−tan αc sen φ) φ(1+tan2 αc ) Kpec = tan αcos c (cos φ−tan αc sen φ) tan αc = h − sen φ sen(φ−ψ)−m sen(2φ)+ √ sen φ sen(φ−ψ) cos ψ+4m2 cos2 φ+2m cos φ(sen φ cos ψ+sen(φ−ψ)) i sen φ cos(φ−ψ)+2m cos2 φ m= c cos ψ γH(1±kv ) ; tan ψ = kh 1−kv ; (kh )crit = (1 ± kv ) tan φ + 2c γH kh + →; kv + ↓ la que proporciona el menor valor de Ppe . Se asume que toda la cuña de suelo se comporta como un bloque rı́gido y que los movimientos que sufra deben ser suficientes para movilizar toda la resistencia a cortante del suelo. Morrison y Ebeling comprobaron que los valores de Kpe obtenidos para una superficie de fallo en espiral logarı́tmica son notablemente menores que para una superficie plana puesto que esta última abarca mayor masa de suelo, como se puede observar en la figura 2.8, la cual además se ve afectada por el valor de δ. En el caso de rozamiento nulo (δ = 0) la superficie de rotura en espiral logarı́tmica degenera en una superficie plana. En la figura 2.9 se puede observar que las diferencias entre ambos métodos para el cálculo de Kpe son más importantes a medida que aumentan δ y/o φ, siendo especialmente relevantes a medida que kh disminuye, alcanzándose las máximas discrepancias para kh = 0. Por el contrario kv no afecta significativamente, encontrándose las mayores diferencias para valores bajos de kh . Posteriormente, Kumar (2001) [8] calculó nuevamente el empuje de tierras pasivo pero considerando una superficie de fallo compuesta por un arco de espiral logarı́tmica en las proximidades del muro y una superficie plana cerca de la superficie del terreno, uniendo ambas geometrı́as de forma tangencial. Las acciones sı́smicas se aplicaron de forma pseudoestática asumiendo en todo caso kv = 0, para un muro con el trasdós inclinado, con un relleno horizontal sin sobrecarga y un terreno sin cohesión. El procedimiento de cálculo consistió en tantear con distintas superficies de fallo, variando el foco de la espiral, y obtener por medio del equilibrio de momentos respecto a dicho foco, la superficie de rotura que da el menor valor de Ppe . En el estudio realizado, observaron que los valores de Ppe aumentan notablemente cuando disminuye kh o aumenta φ. Nuevamente se comprueba a través de la 22 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) δ = 0, L=2.01H (b) δ = φ/2, L=2.99H (c) δ = φ, L=4.58H Figura 2.8 – Comparación entre una superficie de rotura plana (M-O) y una superficie de rotura definida por un arco de espiral logarı́tmica (Morrison y Ebeling [7]) para distintos valores de δ y φ = 30o , kh = 0,2, kv = 0. figura 2.10 que los valores de Kpe calculados por el método de M-O (superficie plana) son muy superiores a los obtenidos con superficies de fallo curvas, coincidiendo ambos casos solamente cuando δ = 0. También se observa que, para δ 6= 0, los valores de Kpe calculados según Morrison y Ebeling [7] son ligeramente superiores a los obtenidos por Kumar [8]. Subba Rao y Choudhury (2005) [71] basándose en la superficie de rotura empleada por Kumar [8] (combinación de un arco de espiral logarı́tmica y tramo recto) determinaron los coeficientes de empuje pasivo asociados al peso del terreno (Kpγd ), a la sobrecarga (Kpqd ) y a la cohesión (Kpcd ), ecuación (2.8), de forma análoga a Saran y Prakash [69] para el caso activo y con superficie de rotura plana. Para cada coeficiente, establecieron el equilibrio de momentos anulando los términos correspondientes a los otros dos y buscaron la superficie de rotura que minimiza cada coeficiente de forma individual aplicando después el principio de superposición. De este modo, al minimizar cada componente por separado obtienen tres superficies de fallo distintas siendo difı́cil determinar cuál puede ser la verdadera. También realizaron un estudio paramétrico para cada uno de los coeficientes donde comprobaron que éstos son muy sensibles a los valores de kh y kv , disminuyendo cuando aumentan kh y kv . Siguiendo la metodologı́a indicada pero para una superficie de rotura definida solamente por un arco de espiral logarı́tmica, Choudhury y Subba Rao (2002) [72] analizaron el caso de empuje pasivo cuando se produce rozamiento negativo entre el terreno y el muro, por ejemplo cuando el muro se mueve hacia arriba respecto al relleno. Del estudio paramétrico realizado para este caso, dedujeron que los coeficientes asociados a cada factor disminuyen cuando aumenta kv , pero el efecto de kh sobre ellos depende de los valores que 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 23 Figura 2.9 – Comparación del valor de Kpe calculado con una superficie de rotura plana (M-O) o con una superficie de rotura definida por un arco de espiral logarı́tmica, para distintos valores de φ, δ, kv , kh (Morrison y Ebeling [7]). adopten otros parámetros como β, α o δ/φ. En ambos trabajos, los resultados están dados en forma de ábacos y gráficos, adoptando una relación de interpolación logarı́tmica para casos distintos a los analizados. Ppe = Ppγd + Ppqd + Ppcd = 1 1 γH 2 Kpγd + qHKpqd + 2cHKpcd cos(δ) 2 (2.8) Además de las investigaciones expuestas anteriormente, también es posible encontrar en la bibliografı́a trabajos muy recientes basados en la teorı́a del equilibrio lı́mite sobre cuñas de rotura compuestas, como por ejemplo la investigación llevada a cabo por Hazarika (2009) [73], donde adopta una superficie de fallo formada un arco de espiral logarı́tmica junto al muro seguida de un tramo plano más próximo a la superficie. Este autor intenta obtener una formulación analı́tica que permita calcular el empuje activo sobre el muro considerando además un fallo progresivo del material de relleno. Para ello emplea una estimación del ángulo de rozamiento interno del suelo movilizado, que adopta diferentes valores en los distintos puntos del plano de rotura en función de los estados de deformación alcanzados (definidos en función de φpico y φres ), a diferencia del método de M-O que considera un valor de φ constante. Contrasta los resultados obtenidos por este método con los resul- 24 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Kpe Kumar Figura 2.10 – Comparación del coeficiente de empuje sı́smico (Kpe ) obtenido con una superficie de rotura plana (M-O), una superficie de rotura definida únicamente por un arco de espiral logarı́tmica (Morrison y Ebeling [7]) y por una superficie de rotura definida por la combinación de un arco de espiral logarı́tmica y un tramo recto (Kumar [8]). tados experimentales de Ichichara y Matsuzama [74] y Ishibashi y Fang [75], observando que el método propuesto sigue la tendencia de dichos resultados experimentales, mientras que M-O solo predice los valores más bajos, subestimando el empuje activo especialmente para las aceleraciones más altas. En los casos en que exista una sobrecarga no uniforme o dicha sobrecarga este aplicada sobre un área finita distanciada de la coronación del muro, es habitual calcular el efecto que ocasiona dicha sobrecarga en el empuje por medio de la teorı́a elástica y, superponerlo con el cálculo del empuje obtenido para una condición de fallo sin sobrecarga, por ejemplo según Coulomb. Esto da lugar a un procedimiento de cálculo poco ortodoxo puesto que se considera que el suelo esta en condiciones elásticas, y a la vez sometido a unos desplazamientos suficientes para desarrollar el estado activo [76]. Por ello, cabe destacar algunos de los trabajos llevados a cabo por diferentes autores para casos donde la sobrecarga que actúa sobre el relleno no es uniforme o de extensión infinita. Jakovlev (1977) [77] propuso dos metodologı́as, ambas para condiciones sı́smicas. En la primera de ellas se basa en la teorı́a de Coulomb y obtuvo sendas expresiones para determinar el ángulo de inclinación de la superficie de fallo (plana) y el empuje activo de tierras para una situación donde puede actuar una sobrecarga de cualquier tipo (no uniforme, inclinada o alejada una cierta distancia de la coronación del muro) sobre un relleno horizontal en un muro rugoso y de trasdós inclinado. Un trabajo similar a este planteamiento fué desarrollado posteriormente por Motta (1994) [78]. En su segunda metodologı́a, Jakovlev propuso unas expresiones tanto para el empuje activo como pasivo, en un muro rugoso, de trasdós inclinado y bajo una sobrecarga uniforme que actúa sobre un terreno inclinado, basándose en la teorı́a “safe-stress state” desarrollada por Sokolovsky7 [22, 79]. En la misma lı́nea de los trabajos de Jakovlev [77] y Motta [78], Greco (2006)[76] propuso una solución analı́tica para el empuje activo basándose en la teorı́a de Coulomb cuando sobre un relleno sin cohesión actúa una sobrecarga vertical finita, en un muro donde el re7 Esta metodologı́a esta descrita con mayor detalle en la sección 2.2.6 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 25 lleno y el trasdós pueden estar inclinados. También analizó el efecto que tiene la posición de la sobrecarga tanto en el empuje activo como en la modificación del plano de fallo y además, propuso un procedimiento analı́tico simple para evaluar la posición del punto de aplicación del empuje. Aunque en principio todo el método analı́tico está desarrollado para un caso estático, es posible extenderlo a un caso dinámico de forma pseudo-estática, adoptando unos valores modificados de los parámetros φ, δ, γ y q. Basándose en el modelo de M-O, Caltabiano et al. (2000) [80] analizaron la influencia de la existencia de una sobrecarga aplicada en un muro vertical y relleno horizontal situada a cierta distancia de la coronación del muro. También consideraron la influencia del propio muro a través de las fuerzas normales y de cortante que se desarrollan en la base del mismo. Analizaron el equilibrio frente al deslizamiento y obtuvieron expresiones analı́ticas para la aceleración critica y la inclinación de la cuña de rotura. Concluyeron que se obtienen distintas cuñas de rotura en los casos con sobrecarga respecto a los casos sin sobrecarga y que el colapso del muro se puede presentar para valores de aceleración crı́tica menores cuando existe sobrecarga. 2.2.2. Métodos basados en el Equilibrio Lı́mite: métodos pseudo-dinámicos El trabajo desarrollado por Steedman y Zeng (1990) [9] es pionero dentro de los métodos pseudo-dinámicos para el cálculo de presiones y sobre él se han basado numerosas investigaciones posteriores. A partir de ensayos en centrı́fuga [9], Steedman y Zeng observaron que se producı́a una distribución de presiones no lineal con la profundidad, además de un desfase en las aceleraciones del relleno a medida que las ondas de corte se propagan desde la base a la superficie del terreno. Estos aspectos no son recogidos por los métodos pseudo-estáticos puesto que asumen que las aceleraciones son uniformes en magnitud y fase en todo el relleno 8 . Debido al hecho de que el módulo a cortante (G) de un relleno se va reduciendo para las cotas más próximas a la superficie y que la velocidad de las ondas de corte (vs ) tiene un valor finito, se produce un desfase y una amplificación entre el movimiento de la base y el movimiento de la superficie del terreno, siendo éstos los principales aspectos que los métodos pseudo-dinámicos son capaces de reflejar. Para un muro ménsula de base fija y α = β = kv = 0 sometido a una solicitación sinusoidal en la base de perı́odo T , asumiendo una superficie de rotura plana, y estableciendo el equilibrio de fuerzas horizontales, con un modulo de rigidez a cortante G constante, Steedman y Zeng obtuvieron una expresión analı́tica (tabla 2.5) para el cálculo de la resultante de presiones en función del ratio THvs , que representa el tiempo que tarda una onda en recorrer la altura del relleno respecto al perı́odo de la excitación. Observaron que Kae disminuye lentamente cuando THvs aumenta, especialmente para valores bajos de kh . Además, comprobaron que para valores intermedios de THvs , la diferencia entre el método pseudoestático de M-O y el método pseudo-dinámico no son significativas, aunque las diferencias entre ambos métodos pueden crecer si aumenta THvs . Observaron también que la cuña de rotura obtenida por esta aproximación pseudo-dinámica es mayor que en el caso estático, 8 La aceleración serı́a uniforme en magnitud y fase en el caso de suelo rı́gido y cuando la velocidad de las ondas de corte fuese infinita. 26 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO aunque menor que la obtenida por M-O, por lo que propusieron una descomposición alternativa a la de Seed y Whitman para Pae , definiéndola como Pae = Pas + Pad , donde Pas es el empuje sobre el muro debido al peso de la cuña y Pad es el empuje sobre el muro debido a la fuerza de inercia horizontal de la cuña. Ası́, en un caso dinámico, ambas componentes (estática y dinámica) se obtienen para la misma cuña. Por otra parte, para conocer la distribución de presiones con la profundidad, figura 2.13(a), derivaron la expresión analı́tica desarrollada de Pae respecto a z obteniendo una expresión claramente no lineal, debido a la componente Pad , verificando que el punto de aplicación de la resultante se desplaza hacia arriba a medida que THvs aumenta. Tabla 2.5 – Expresiones propuestas por Steedman y Zeng [9] para el cálculo del empuje activo dinámico según el método pseudo-dinámico. Caso Activo Pae = Qh cos(θ−φ)+W sen(θ−φ) cos(δ−θ+φ) Λγkh (2πH cos(ωζ) + Λ(sen(ωζ) 4π 2 tan θ ∂Pae (z) cos(θ−φ)kh γz = cos(δ−θ+φ) sen ω(t − z/vs ) ∂z tan θ Qh = pae = − sen(ωt))) + γz sen(θ−φ) tan θ cos(δ−θ+φ) Λ = vs T ; ζ = t − H/vs El efecto más significativo del desfase entre los movimientos de la base y la superficie, se observa en la figura 2.11, donde el máximo momento flector no coincide con la máxima aceleración en la base, encontrándose también un desfase entre el momento flector máximo y el empuje máximo, los cuales, para el caso de G constante, coinciden prácticamente con la aceleración en el punto medio del muro, siendo ésta la aceleración que según Steedman y Zeng se debe considerar para el diseño. Figura 2.11 – Empuje dinámico y momento flector dinámico respecto a las aceleraciones en el punto medio y en la base del muro, Steedman y Zeng [9] (φ = 33o , δ = 16o , H/T vs = 0,275). Dichos autores estudiaron además la influencia sobre Pae de un módulo a cortante variable con la profundidad, concretamente para el caso de una arena (G = Az β con A una 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 27 constante, z la profundidad desde la superficie y 0 < β < 1), observando que su influencia es muy pequeña. También analizaron el efecto de la amplificación de la onda de corte cuando se aproxima a la superficie, comprobando que su efecto es similar al de un incremento de kh , mientras que la variación en el punto de aplicación es despreciable. En los resultados del ensayo en centrifuga reportado por Steedman y Zeng [9], figura 2.12, se puede observar como la aproximación pseudo-dinámica presenta un mejor ajuste que M-O con los resultados experimentales. Figura 2.12 – Comparación del momento dinámico obtenido entre los resultados deducidos por M-O y por el método pseudo-dinámico de Steedman y Zeng, respecto a los resultados de un ensayo en centrifuga [9]. Posteriormente, Choudhury y Nimbalkar (2006) [10] realizaron una extensión del método pseudo-dinámico de Steedman y Zeng [9] en el caso activo, donde incluyen la velocidad de las ondas longitudinales (vp ) y una fuerza de inercia vertical (kv ). Del estudio paramétrico realizado sobre el modelo concluyen que, a medida que kh aumenta también lo hace Pae , acentuándose la no linealidad de la distribución de presiones y variando por tanto el punto de aplicación de la resultante. Observan una importante influencia de kv y φ, mientras que δ afecta poco. Dicho estudio paramétrico refleja los mismos comportamientos de φ, δ y kh que los observados en los estudios paramétricos de Seed y Whitman [3, 4] sobre M-O, a excepción de kv , el cual tenı́a poca influencia en M-O mientras que su influencia sı́ es notable en los métodos pseudo-dinámicos. Por último, contrastan los resultados obtenidos por el método pseudo-dinámico propuesto con los del método pseudo-estático de M-O, figura 2.13(b), obteniendo una distribución de presiones no lineal, más realista y de menor magnitud que en caso de M-O. Posteriormente Choudhury y Nimbalkar (2005, 2006) [81, 82], obtuvieron una expresión analı́tica equivalente para el caso de empuje pasivo. A su vez, Nimbalkar y Choudhury (2007) [83] aplicaron el enfoque pseudo-dinámico para analizar la estabilidad frente al deslizamiento de un muro en condición de empuje pasivo y considerando la inercia del relleno y la inercia del muro, aspecto que hasta el momento habı́a sido poco estudiado destacando solamente el trabajo desarrollado por Richards 28 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO y Elms [63]. Asumieron para su estudio una superficie de rotura plana por lo que los valores del mismo se limitan a un rango de δ/φ ≤ 0,5. Del estudio numérico desarrollado dedujeron que la estabilidad del muro frente a deslizamiento aumenta cuando aumenta φ, mientras disminuye cuando aumenta kv , el perı́odo de la solicitación o la amplificación del movimiento, observando nuevamente que la influencia de δ es poco destacable. (l=Tvs; h=Tvp) z/H Mononobe-Okabe Pseudo-dynamic (Steedman & Zeng) Mononobe-Okabe method Pseudo-dynamic (Choudhury & Nimbalkar) pae/gH (a) Método de Steedman y Zeng (b) Método de Choudhury y Nimbalkar Figura 2.13 – Distribución de presiones del método pseudo-dinámico propuesto por Steedman y Zeng [9] (φ = 33o , δ = 16o , kh = 0,2, H/T vs = 0,3) y el método pseudo-dinámico de Choudhury y Nimbalkar [10] respecto a la solución obtenida por M-O. Continuando con el modelo pseudo-dinámico propuesto por Steedman y Zeng [9] y modificado por Choudhury y Nimbalkar [10], P. Ghosh (2008, 2007) lo generaliza para un muro con el trasdós inclinado, tanto en caso activo [84] como pasivo [85], y también para el caso donde el trasdós del muro presente dos inclinaciones (P. Ghosh y Kolathayar, 2009 y 2011) [86, 87]. Posteriormente, P. Ghosh y Kolathayar (2011) [88] modificaron la superficie de rotura para el caso pasivo, desarrollando el método pseudo-dinámico para una superficie de rotura compuesta por un arco de espiral logarı́tmica y un tramo recto. A través de sus estudios numéricos comprobaron que los empujes obtenidos por el método pseudo-dinámico con superficie de rotura compuesta son más bajos que los obtenidos con el método pseudodinámico y superficie de rotura plana. En la lı́nea de estos trabajos, S. Ghosh (2010) [89] aplica el método pseudo-dinámico con superficie de rotura plana para la situación activa a un muro con trasdós y relleno inclinados. En último lugar, S. Ghosh y Sharma (2010) [90] extienden el método pseudo-dinámico con superficie de rotura plana a un muro no vertical con relleno horizontal, con sobrecarga, para el caso activo y para un suelo c − φ. También Azad et al. (2008) [91] emplearon el método pseudo-dinámico de Steedman y Zeng junto con el método de la rebanadas empleado previamente para el caso estático por autores como Rahardjo y Fredlund [61] para obtener la distribución de presiones activas sobre el muro. Para ello calculan la estabilidad (equilibrio de acciones horizontales, verticales y momentos) de cada rebanada, considerando una superficie de rotura plana junto con un criterio Mohr-Coulomb, para un muro vertical con relleno horizontal y sin sobrecarga en la condición activa, que maximizan para encontrar la superficie crı́tica. De los resultados 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 29 obtenidos comprueban que la resultante coincide con la resultante calculada por M-O, pero con una distribución de presiones totalmente distinta. A su vez, comparan sus resultados con los resultados experimentales de Seed y Whitman [3] encontrando un ajuste razonable para el punto de aplicación de la resultante. 2.2.3. Métodos basados en la Teorı́a Elástica En esta sección se presenta una revisión de los numerosos métodos de cálculo propuestos por diferentes autores y que están basados en soluciones obtenidas de la teorı́a de la elasticidad. Los primeros trabajos desarrollados en esta lı́nea aparecen a mediados del siglo XX. Uno de los trabajos más representativos se debe a Matuo y Ohara (1960) [11], quienes propusieron una nueva formulación para evaluar las presiones de tierras sobre un muro fijo, considerando que el relleno es un medio bidimensional elástico y uniforme, figura 2.14(a). Las soluciones obtenidas son de carácter elástico y derivan de las ecuaciones de la elastodinámica, asumiendo que la onda viaja a través del medio elástico hasta alcanzar el muro, desarrollando ası́ las presiones sobre éste. Matuo y Ohara deducen sendas expresiones analı́ticas para un muro fijo, tanto con parámetros elásticos constantes como variables con la profundidad, y para un muro con rotación respecto a su base. Contrastan sus soluciones teóricas con resultados experimentales, obteniendo un mejor ajuste para el caso de muro fijo frente a un muro con rotación. (a) Modelo de Matuo y Ohara (b) Modelo de Tajimi (c) Modelo de Scott Figura 2.14 – Modelos elásticos propuestos por Matuo y Ohara [11], por Tajimi [12] y por Scott [13]. Tajimi (1973) [12] realizó un análisis teórico de las presiones dinámicas de tierras sobre muros enterrados cuando se someten a vibraciones periódicas de traslación horizontal o rotación respecto a su base. Para ello, se basa en la teorı́a de propagación de ondas en dos dimensiones para un medio elástico y homogéneo. En el modelo matemático desarrollado, figura 2.14(b), adopta un cuarto del espacio infinito sobre cuyo borde vertical están impuestas las deformaciones laterales que acompañan al movimiento del muro. Finalmente, comprueba que sus resultados teóricos reproducen las tendencias obtenidas en diversos resultados experimentales [12] tanto en el caso de rotación como de traslación. Scott (1974) [13] propuso un modelo para reproducir el comportamiento dinámico del sistema muro-relleno, figura 2.14(c), donde considera el suelo como una viga a cortan- 30 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO te unidimensional conectada al muro por una serie continua de muelles (“continous shear beam”) de constante elástica K, que representan la interacción suelo-muro, obteniendo las presiones desarrolladas a cada cota del muro de modo proporcional a los desplazamientos laterales a ese nivel. Considera un relleno horizontal y el sismo conocido en la base del muro. Para simplificar asume que predomina el primer modo de vibración frente a los restantes, obteniendo la expresión para la deflexión de la viga y por tanto la distribución de presiones asociada, y a partir de ésta, el empuje resultante sobre el muro y el momento en la base. Propone expresiones tanto para un caso donde las propiedades elásticas sean constantes como variables con la profundidad, observándose que cuando el módulo a cortante G sigue una ley parabólica con la profundidad, el primer modo de vibración se mantiene lineal siendo el único modo que contribuye a dar momentos en la base del muro, aunque el resto de modos contribuyen a aumentar las presiones en el muro. El máximo momento asociado al primer modo se produce cuando la máxima fuerza esta aplicada a 0,6 − 0,7H sobre la base. Además analiza el efecto sobre el muro de la posición de los bordes del dominio elástico, estableciendo que la simplificación de considerar el primer modo de vibración es válida cuando 1 < H/L < 2, siendo L la posición horizontal del borde rı́gido (fin del dominio) respecto al muro, ya que cuando H/L < 1 esta metodologı́a no es aplicable y cuando H/L > 2 toman parte modos de vibración superiores (para rellenos infinitamente extensos se puede considerar H/L = 10). Por otra parte, Scott propone una metodologı́a simplificada para considerar la flexibilidad del muro, asumiendo que el muro se encuentra articulado en su base, lo que equivale a emplear un valor reducido de la rigidez del suelo. Finalmente comprueba que los valores obtenidos son similares a los de Matuo y Ohara [11], pero notablemente mayores a los del método de M-O. Debido a las evidencias observadas en muros tras episodios sı́smicos reales, plantea la existencia de unos estados intermedios entre una situación de rotura (M-O) y otra donde se produzcan deformaciones irreversibles y tensiones residuales pero no se llegue a rotura9 . Posteriormente, Yeh (1976) [92] adopta el modelo de Scott pero considerando movimientos tanto de traslación horizontal como de rotación del muro para analizar el efecto que los movimientos del muro tienen sobre las presiones y momentos. De los estudios numéricos desarrollados, comprueba que el punto de aplicación de la resultante es similar al obtenido por Scott pero que la magnitud de dicha resultante y los momentos producidos son mucho más altos. Wood (1973)[14] propuso soluciones analı́ticas tanto para la condición estática como dinámica por medio de la teorı́a elástica lineal, para un muro liso que retiene un relleno homogéneo y elástico limitado por bordes rı́gidos, figura 2.15. Resuelve tanto el caso de muro rı́gido como el cálculo de las presiones debidas a los desplazamientos inducidos por el terremoto, para posteriormente combinar ambas soluciones en el dominio de las frecuencias (“steady-state” o estado estacionario) usando el principio de superposición, y obtener una solución general para las presiones inducidas en una estructura deformable y sometida a un sismo horizontal en su base. Wood concluye que en el caso de muros rı́gidos sobre cimentaciones firmes, el comportamiento durante el terremoto puede ser principalmente 9 Esta idea es análoga a la desarrollada por Dubrova 2.3 para los estados activos intermedios 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 31 elástico (soluciones basadas en la teorı́a de la elasticidad), mientras que cuando existen grandes desplazamientos10 se puede desarrollar un estado plástico completo (soluciones basadas en la teorı́a plástica). En situaciones intermedias puede presentarse un importante comportamiento no lineal del suelo; en tales casos es conveniente establecer los lı́mites con ambas teorı́as. También Wood comprueba que en el caso de un muro rı́gido sobre cimentación rı́gida, con un relleno extenso, el empuje debido al sismo calculado por la teorı́a de la elasticidad es casi dos veces superior al calculado por M-O. Destaca la importancia de comprobar la influencia de la deformación del muro en la distribución de presiones y de incluir las propiedades dinámicas del muro cuando éste tiene una masa significativa o existe la posibilidad de que se produzcan importantes amplificaciones en las presiones debido a la deformación de la estructura cuando la frecuencia fundamental del muro sea superior a la frecuencia natural más baja del suelo. Finalmente, Wood encuentra buenos ajustes (en cuando a la magnitud de la resultante y los momentos respecto a la base) entre las predicciones de la teorı́a elástica y los resultados obtenidos por medio de modelos en elementos finitos y de ensayos [93]. Figura 2.15 – Modelo de Wood [14]. Arias et al.(1981) [94] propusieron un modelo elástico donde analizan la interacción estática y dinámica entre el muro y el relleno en el rango de los pequeños desplazamientos. El modelo del relleno consiste en una modificación de la viga a cortante donde las tensiones verticales son nulas y solamente actúan tensiones horizontales, obteniendo soluciones analı́ticas tanto para una solicitación sı́smica cualquiera como para un impulso. Su modelo se puede generalizar a un caso tridimensional, a rellenos no homogéneos o incluir un amortiguamiento lineal del relleno. También puede reproducir el modelo de Scott. De forma inherente, este modelo incluye el efecto de disipación de energı́a por radiación de las ondas que se propagan horizontalmente en el medio (relleno). Veletsos y Younan (1994) [15] reivindicaron la validez de las teorı́as elásticas frente al excesivo uso del método de M-O. Observan que el modelo propuesto por Scott puede, dependiendo de las caracterı́sticas del terremoto, presentar imprecisiones importantes debido a dos razones fundamentales. En primer lugar a que el modelo de Scott no incluye 10 Se suele asumir que la condición plástica se alcanza cuando el desplazamiento de la coronación del muro es superior al 0,5 % de la altura del muro. 32 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO amortiguamiento geométrico del medio, y en segundo lugar a que no tiene capacidad para trasmitir fuerzas verticales por medio de acciones de corte horizontales. En base a esto, proponen un modelo para un estrato semi-infinito y uniforme de material viscoelástico lineal, con amortiguamiento de tipo histerético, limitado por una capa rı́gida inferior, libre en superficie y contenido en uno de sus contornos laterales por un muro rı́gido, fijo o con restricciones elásticas frente a la rotación, figura 2.16. Este medio se modeliza por una serie de barras horizontales semi-infinitas, elásticas y de masa distribuida, junto con un grupo de muelles horizontales y lineales que representan la capacidad de transmitir acciones de cortante horizontales. La forma de proceder consiste en obtener la respuesta de cada barra y componer la respuesta total aplicando el principio de superposición para los m modos considerados, teniendo en cuenta que los modos más altos son poco significativos. La respuesta obtenida por este modelo coincide con la propuesta por Arias et al. [94]. Del estudio llevado a cabo con este modelo, observaron que a medida que aumenta la flexibilidad relativa entre el muro y el relleno se reducen las presiones sobre el muro, ası́ como el cortante y el momento en la base, y también se hace más importante la contribución de los modos más altos. La magnitud y la distribución de las presiones sobre el muro también son muy sensibles a la variación del módulo a cortante en el medio. Posteriormente, Veletsos y Younan realizaron diversos estudios sobre la influencia de los distintos parámetros que intervienen en la respuesta de muros flexibles (tipo Cantilever o ménsula), tales como un muro coartado elásticamente frente a la rotación [95], fijo en su base o con un apoyo (codal) en la coronación del muro [96]. Para ello, analizan la influencia de la flexibilidad del muro, de la base o la condición del apoyo superior según el caso, de las propiedades del relleno y de las caracterı́sticas de la solicitación (tanto armónica como un terremoto real) sobre las presiones, su resultante, el momento y el cortante en la base, y los desplazamientos del muro. Comprueban que las magnitudes y distribución de los desplazamientos del muro, ası́ como las presiones inducidas por el sismo son muy sensibles a la flexibilidad del muro y de su base, de tal modo que, a medida que aumenta la flexibilidad disminuyen las fuerzas sobre muro, llegando la resultante del empuje y el cortante en la base a ser inferiores a la mitad de los valores obtenidos para un muro rı́gido con base fija, siendo esta reducción más notable en el cálculo del momento. En el caso de muros con apoyo en coronación, esta reducción no es tan significativa. Por otra parte, comprueban que si se desprecian los efectos de amplificación del relleno, la magnitud de la resultante obtenida según esta metodologı́a es muy próxima a la obtenida por M-O, situándose el punto de aplicación en torno a 0,4H. También comprueban que en el caso de un terremoto real (El Centro, componente N-S, 1940) el factor de amplificación dinámica de la resultante puede variar entre 1,3 en un muro rı́gido de base fija y 1,9 en muros muy flexibles, mientras que el punto de aplicación no se ve afectado por las caracterı́sticas del sismo. Las principales limitaciones del modelo de Veletsos y Younan se deben por una parte a que asumen que el muro y el relleno están completamente unidos en todo momento por lo que no se puede representar la posible separación que en algunos casos puede aparecer entre ambos, y por otra porque asumen que las propiedades del medio son uniformes. Psarropoulos et al. (2005) [97] verificaron la solución analı́tica desarrollada por Veletsos y Younan [95] a través de un modelo en elementos finitos implementado en el programa 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 33 Figura 2.16 – Modelo elástico propuesto por Veletsos y Younan [15]. comercial ABAQUS [98]. Por medio de este modelo analizaron problemas más realistas que no podı́an ser estudiados por medio de la solución analı́tica. De forma particular consideraron un relleno no homogéneo y la flexibilidad de la cimentación frente a la traslación. En la implementación numérica consideraron tres casos de estudio. El primero de ellos reproducı́a exactamente el caso analizado por Veletsos y Younan, particularmente un muro con un relleno homogéneo en una sola capa. En el segundo caso consideraron un muro con un relleno no homogéneo donde el módulo a cortante se anula en superficie y en el tercer caso consideraron un muro rı́gido cimentado sobre un estrato finito de suelo, donde a diferencia de los dos casos anteriores, el muro está unido a la base a través de un muelle rotacional. Del primer caso observaron que tanto el modelo numérico como el analı́tico coincidı́an en las presiones obtenidas, excepto en la parte más alta de los muros más flexibles donde aparecı́an tracciones. En el segundo caso (suelo no homogéneo) no aparecı́an dichas tracciones y siempre existı́a contacto entre el muro y el relleno, obteniendo valores de la resultante y los momentos menores que en el caso homogéneo. Finalmente, en el tercer caso se introduce mayor flexibilidad en el muro al considerar la traslación del mismo, lo que implica que se reduzcan las presiones sobre él, siendo más notable cuanto mayor es la relación entre la magnitud de la base del muro y su altura. También se observa que la disipación de las ondas en la capa de apoyo puede ser muy influyente por lo que la modelización a través de un único muelle rotacional en la base, como en el modelo analı́tico, puede no ser suficiente. Jung et al. (2010) [16] amplı́an la solución analı́tica propuesta por Veletsos y Younan [95] incluyendo el desplazamiento horizontal del muro, figura 2.17. Contrastan sus resultados con las soluciones obtenidas de un modelo en elementos finitos donde además estudian la influencia de otros parámetros tales como el desplazamiento vertical, la existencia de una interfase friccionante muro-relleno y las caracterı́sticas de la solicitación sı́smica. En la solución analı́tica asumen que no existen tensiones de cortante en la interfase y que el muro y el relleno están siempre unidos, por lo que se pueden desarrollar tracciones, mientras que en el modelo numérico la interfase se modela como friccional donde el suelo se puede separar del muro si se produjeran tracciones. En ambos casos asumen que el muro y el suelo se mantienen en régimen elástico. Los desplazamientos que puede sufrir el mu- 34 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO ro pueden deberse a la flexión del muro y a los movimientos horizontales, verticales y de rotación como cuerpo rı́gido. Del análisis realizado concluyen que, tanto en muros rı́gidos como flexibles, los parámetros que afectan principalmente a la respuesta dinámica son la flexibilidad de la estructura y la capacidad de desplazarse horizontalmente, mientras que en los muros rı́gidos la capacidad de rotación respecto a la base también afecta significativamente. La fricción en la interfase y los movimientos verticales afectan poco en muros rı́gidos pero no ası́ en los muros flexibles, ya que a medida que el coeficiente de fricción aumenta o los movimientos verticales se impiden, las presiones sobre el muro se reducen. Por último comprueban que la magnitud de las presiones se ve muy afectada por el contenido frecuencial de la solicitación, especialmente cuando la frecuencia predominante de la solicitación se aproxima a la fundamental del suelo. Figura 2.17 – Modelo elástico propuesto por Jung et al. [16]. Wu y Finn (1996; 1999) [99, 100] desarrollaron un conjunto de ábacos que permiten el cálculo del empuje sı́smico sobre muros rı́gidos, con rellenos uniformes y no uniformes, de extensión finita o semiinfinita (L/H > 5) debido a una acción horizontal, solicitación armónica o registro sı́smico. Para ello emplean un método aproximado que se basa en una modificación del modelo de viga a cortante, trabajando sobre tres perfiles de suelo (G uniforme y G con variación lineal o parabólica con la profundidad), 25 valores de G y 10 acelerogramas que permiten obtener unas envolventes de empujes máximos. Obtienen soluciones analı́ticas para el caso de relleno elástico y uniforme y soluciones con un modelo en elementos finitos para el caso de relleno elástico no homogéneo y no lineal. De su investigación concluyen que el empuje sobre el muro es función de la frecuencia fundamental del sistema muro-relleno 11 . Obtienen las mayores presiones sı́smicas en los casos donde G es uniforme y las menores cuando G es lineal, mientras que el punto de aplicación de la resultante varia de 0,5H en el caso de G lineal a 0,64H, respecto a la base del muro, cuando G es uniforme. El máximo empuje dinámico para frecuencias próximas a la resonancia es mayor en rellenos finitos que semi-infinitos y viceversa cuando la frecuencia predominante del sismo es mucho menor a la frecuencia fundamental del sistema. Establecen que las 11 Proponen un método aproximado para calcular la frecuencia fundamental del sistema muro-relleno. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 35 soluciones de Wood [14] son válidas cuando el ratio entre la frecuencia predominante de la solicitación respecto de la fundamental del sistema es menor de 0,2, puesto que sobrestima la respuesta cuando el ratio es superior a 2 y la subestima cuando es próximo a 1. Finalmente, ponen de manifiesto la importancia del comportamiento no lineal del suelo en la evaluación de los empujes. En la lı́nea de los trabajos anteriores, Papazafeiropoulos y Psarropoulos (2010) [101] desarrollaron una solución analı́tica para el cálculo de presiones, de la resultante de los empujes y del cortante y momento en la base, considerada como fija, en un muro rı́gido y con una solicitación armónica en la base, como una extensión del modelo de Wood [14]. Para ello se basan en un riguroso desarrollo evitando el empleo de aproximaciones matemáticas. A partir de la formulación propuesta se pueden derivar los trabajos de Matuo y Ohara [11] y de Veletsos y Younan [15]. Obtienen diversos diagramas, que pueden ser empleados en el diseño de muros (cortante y momento en la base), ası́ como la envolvente de los valores máximos obtenidos para la situación de resonancia dentro del rango de valores analizados (concepto de “distress spectrum” definido por los autores). 2.2.4. Métodos basados en Soluciones Elastoplásticas En los trabajos desarrollados por los siguientes autores se pueden encontrar diversas soluciones de tipo elastoplásticas para el cálculo del empuje sobre muros. Richards Jr. et al.(1991) [17] obtuvieron una solución elastoplástica para un análisis en campo libre (sin presencia de una estructura) de una capa de suelo homogéneo de material granular cuando se encuentra sometida a una aceleración horizontal y vertical uniformes. Posteriormente Richards Jr. y Shi (1994) [102] lo generalizaron para suelos con cohesión. Estos autores presentaron su investigación desde un nuevo punto de vista, ya que asumen que al imponer al suelo una aceleración sı́smica superior a un cierto valor crı́tico, el estado del suelo cambiará por completo. De tal modo que cuando se alcance la plastificación general del suelo, éste tendrá un comportamiento más próximo a un “fluido anisótropo”, que es aquel cuyo flujo presenta restricciones sobre las direcciones en las cuales se puede desarrollar. Esto es lo que Richards Jr. et al. [17] definen como fluidificación del material (“seismic shear fluidization”). Para ello, establecieron el equilibrio de un elemento diferencial de suelo junto con un criterio de rotura de Mohr-Coulomb, figura 2.18, obteniendo ecuaciones simples que pueden reflejar varios estados de fluidificación y que permiten relacionar de este modo la fluidificación y la licuefacción12 . El primer estado de fluidificación (“fluidificación inicial”), figura 2.19(a), tiene lugar cuando el cı́rculo de Mohr en tensiones alcanza el criterio de rotura, en ese momento el suelo ha fluidificado y no hay obstáculo para el desplazamiento a lo largo de los planos de deslizamiento (“Shear Flow”). Para una etapa intermedia de fluidificación, a medida que aumenta kh (tan ψ = kh /(1 − kv )) lo hace también el radio del cı́rculo y por lo tanto el cı́rculo de Mohr crece. Un aumento en kh se puede soportar hasta que la trayectoria de tensiones toca de 12 La fluidificación se desarrolla con un flujo a cortante que tiene lugar a valores finitos de tensiones efectivas, produciéndose desplazamientos finitos e incrementales, mientras que en la licuefacción el flujo a cortante tiene lugar para valores nulos de tensión efectiva y los desplazamientos son ilimitados, entendiéndose por tanto la licuefacción como un caso lı́mite de fluidificación. 36 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO y Figura 2.18 – Modelo de cálculo en campo libre del método de Richards Jr. et at [17]. nuevo el criterio de rotura, alcanzándose entonces el mayor cı́rculo posible, lo que implica que la lı́nea de deslizamiento sea horizontal (“general fluidization”), figura 2.19(b). Esta situación se alcanza en suelos granulares cuando ψ = φ y en suelos cohesivos cuando tan ψ = (s − (σz tan φ + c)) / ((1 − kv )γz), donde s son las tensiones de cortante aplicadas en la superficie del terreno. Richards Jr. y Shi extrapolaron las soluciones en campo libre a casos con estructuras de contención, asumiendo que el desplazamiento del muro es el mismo que el del terreno adyacente a él. Contrastaron los resultados obtenidos de las ecuaciones en campo libre con la teorı́a de M-O, encontrando buenos ajustes en el empuje activo para valores moderados de kh y terreno granular, no ası́ en los empujes pasivos. Por otra parte, para un material cohesivo la distribución de tensiones es no lineal cuando kh es superior al valor de khi que provoca el estado inicial de plastificación, mientras que el plano de rotura es curvo. La presencia del término cohesivo reduce el empuje activo sobre el muro y lo aumenta en el caso pasivo. (a) Estado de fluidificación inicial (b) Estados intermedio y general de fluidificación Figura 2.19 – Estados de fluidificación propuestos por el método de Richards Jr. et at [17]. Posteriormente, Richards Jr., Huang y Fishman (1999) [18] desarrollaron una metodologı́a simplificada para estimar el empuje sobre un muro basada en la respuesta sı́smica 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 37 en campo libre (considerando un comportamiento plástico del suelo) y en la perturbación producida sobre la respuesta en campo libre por la interacción suelo-estructura, modelada a través del coeficiente de balasto, tanto en condiciones elásticas como plásticas, para diferentes niveles de aceleración y diferentes modos de movimiento del muro. Para ello consideraron un capa semi-infinita de un suelo elástico perfectamente plástico, con un criterio de plastificación de Mohr-Coulomb, sin cohesión y sometido a una aceleración horizontal, figura 2.20(a). Para obtener las tensiones horizontales sobre el muro, σx , aplicaron el principio de superposición, figura 2.20(b), sumando a las tensiones generadas en el suelo bajo condición de campo libre, σxF F (Richards Jr. et al. [17]), la variación de las tensiones debida al desplazamiento relativo entre el muro y el suelo respecto a la condición de campo libre, ∆σx , calculando este incremento de tensión como el producto del coeficiente de balasto por dicho desplazamiento relativo. El coeficiente de balasto se relaciona con el módulo a cortante elástico del suelo (G) o con el módulo secante, mientras que el cálculo de los desplazamientos del muro depende del tipo de movimiento que este sufra, ya sea rotación en coronación, en base o traslación. Para obtener los desplazamientos en campo libre se basaron en el trabajo de Huang et al.(1999) [103] de donde obtuvieron desplazamientos elásticos y plásticos13 , los cuales para una aceleración uniforme dependen solamente de la variación espacial del modulo a cortante elástico inicial. Ello significa que la magnitud del módulo a cortante no afecta y solamente interviene su distribución, por lo que la expresión para los desplazamientos elásticos se puede emplear para calcular la distribución de las presiones sı́smicas activas incluso después de que el suelo haya plastificado. El punto de aplicación de la resultante depende de la distribución de G con la profundidad y del tipo de movimiento que experimente el muro. (a) Modelo de cálculo (sxFF) (Dsx) (b) Principio de Superposición Figura 2.20 – Modelo de cálculo en campo libre del método de Richards Jr. et al. [18]. Dentro del ámbito de las soluciones plásticas, Evangelista et al. (2010) [104] desarrolla13 Suelo sin cohesión, elástico perfectamente plástico, con un criterio de rotura de Mohr-Coulomb. 38 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO ron una nueva solución definida como NSPPS (New Stress Pseudostatic Plasticity Solution) para evaluar el empuje de tierras activo, prestando especial atención al valor obtenido de la inclinación de la resultante respecto a la normal, δ. Aplican esta metodologı́a sobre muros flexibles (muros ménsula), con relleno horizontal o inclinado y sin cohesión. Para ello realizan el análisis del estado tensional de una masa de suelo sometida a una acción sı́smica horizontal (kh 6= 0, kv = 0) cuando se encuentra en una situación de fallo bajo un criterio de rotura de Mohr-Coulomb, planteamiento análogo al establecido en la teorı́a de Rankine [59, 57] pero introduciendo en este caso una acción de cortante debida a la aplicación de la acción sı́smica horizontal (kh ). Contrastan sus soluciones con los resultados de M-O obteniendo buenos ajustes cuando emplean los mismos valores de δ. También contrastan sus soluciones con las obtenidas de un modelo en elementos finitos donde el relleno se modeliza como un medio elasto-plástico con un criterio de rotura Mohr-Coulomb y el cimento y el muro se modelan como medios elásticos, tanto en un cálculo estático, pseudo-estático como dinámico. Finalmente comprueban que existe un buen ajuste entre los resultados del modelo numérico y el método propuesto, concluyendo que δ no es solamente una propiedad del suelo sino que también depende de los valores de la aceleración en cada instante o en su lugar de los coeficientes sı́smicos adoptados. También realizan un somero estudio sobre la influencia del contenido frecuencial del terremoto, aspecto escasamente estudiado hasta el momento, destacando que el empuje y el momento flector en el vástago del muro se ven afectados tanto por el valor pico de la aceleración como por el contenido frecuencial de la señal. Posteriormente en 2011, Santolo y Evangelista [105] aplicaron el método descrito anteriormente al caso de muros con rellenos irregulares. 2.2.5. Métodos basados en la Teorı́a del Análisis Lı́mite La teorı́a del análisis lı́mite ha sido ampliamente empleada en el campo de la Geotécnia para la resolución de diferentes tipos de problemas como la estabilidad de taludes, la capacidad de carga de cimentaciones o el empuje de tierras sobre muros de contención. Esta teorı́a se apoya en dos teoremas, el teorema de la cota superior y el teorema de la cota inferior, que permiten acotar superior e inferiormente el valor de la carga lı́mite del problema en estudio, de tal modo que cuando la solución aportada por ambos teoremas coincide se llega a una solución exacta. Esta teorı́a considera el suelo como un material perfectamente plástico que obedece a un criterio Mohr-Coulomb que sigue una regla de flujo asociada (condición de normalidad). Para la aplicación del teorema de la cota superior es necesario definir previamente un mecanismo cinemáticamente compatible sobre el que se aplica el principio de los trabajos virtuales, de tal modo que la variación de trabajo realizado por las cargas externas sobre dicho mecanismo debe ser igual a la variación de energı́a disipada en las lı́neas de discontinuidad del mismo14 . Dicho mecanismo se desconoce a priori, por lo que es habitual tantear con diferentes mecanismos siendo el mejor aquel que proporciona un valor más bajo de cota superior de la carga lı́mite. Por otra parte, para la aplicación del 14 Al considerar los bloques que conforman los diferentes mecanismos como perfectamente rı́gidos no se producen deformaciones plásticas y la energı́a interna solo se puede disipar en las discontinuidades entre bloques. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 39 teorema de la cota inferior es necesario definir previamente un estado tensional estáticamente admisible, es decir que todos sus puntos se encuentren en equilibrio y ninguno de ellos supere el criterio de rotura. Si se tantea con diferentes estados tensionales, el mejor es aquel que proporciona un valor más alto de cota inferior de la carga lı́mite. De este modo, la carga lı́mite verdadera esta comprendida entre ambas cotas, por lo que se puede observar que los resultados obtenidos por el teorema de la cota superior no son conservadores mientras que sı́ lo son los obtenidos por el teorema de la cota inferior. En cuanto al cálculo del empuje sobre un muro en condiciones sı́smicas a través de la teorı́a del análisis lı́mite se pueden encontrar en la bibliografı́a importantes estudios como se expondrá a continuación, aunque las referencias bibliográficas son mucho más extensas cuando se trata del caso estático. Además, dadas las singularidades de partida para el empleo de cada teorema, se pueden encontrar mayor número de investigaciones basadas en el teorema de la cota superior que en el teorema de la cota inferior. Por otra parte, es necesario indicar que la teorı́a del análisis lı́mite sólo proporciona resultados del valor lı́mite de la resultante sobre el muro, pero no da información ni de la distribución de presiones ni del punto de aplicación de dicha resultante. Uno de los trabajos más relevantes en esta materia fué el realizado por Chen y Rosenfarb (1973) [106] que aunque fue desarrollado para un problema estático, sirvió de base para posteriores investigaciones con carga dinámica. Estos investigadores emplearon el teorema de la cota superior para obtener el empuje lı́mite, tanto en la condición activa como en la pasiva en un caso general, es decir un suelo con cohesión, sobrecarga y un relleno con pendiente. Para ello estudiaron seis mecanismos traslacionales de fallo distintos, destacando favorablemente dos de ellos frente al resto. Uno de ellos estaba definido por dos bloques triangulares y el otro estaba compuesto por dos bloques triangulares intercalados por un tramo curvo definido por una espiral logarı́tmica (log-sandwich), obteniendo aún mejores resultados con este último. Posteriormente Chang y Chen (1982) [19], aplicando el teorema de la cota superior, generalizaron este mecanismo traslacional al caso sı́smico a través de la aplicación de cargas pseudo-estáticas, figura 2.21. Observaron que el sismo reducı́a el empuje pasivo, siendo la dirección más crı́tica cuando el sismo va hacia el relleno y hacia arriba, mientras que en el caso activo la dirección más crı́tica es alejándose del relleno y hacia abajo15 . A través de las expresiones recogidas en la tabla 2.6, y minimizando Ppe respecto a los ángulos ρ y ψ para el caso pasivo y maximizando Pae para el caso activo, se puede obtener el empuje sı́smico16 . Comparando los resultados obtenidos por el método del Análisis Lı́mite con M-O, se comprueba que ambos son prácticamente coincidentes para el caso activo y notablemente diferentes para el caso pasivo, especialmente para valores del rozamiento (δ) e inclinación del trasdós (β) muy altos. Del estudio paramétrico presentado por Cheng y Liu (1990) sobre la respuesta de Chan y Cheng [19], se puede concluir que a medida que aumenta φ, disminuye Kae y aumenta 15 Estas direcciones pésimas de las acciones sı́smicas coinciden con las obtenidas del análisis realizado sobre M-O por Fang y Chen [5] en el caso activo pero no en el caso pasivo. 16 Esta formulación se encuentra recogida en forma de tablas y ábacos en [19]. Asimismo, también se proporcionan diferentes correcciones para incluir en el cálculo los efectos de la sobrecarga, la cohesión, la dirección del sismo o varios de éstos a la vez. 40 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Caso Activo (b) Caso Pasivo Figura 2.21 – Mecanismo traslacional propuesto por Chang y Chen [19]. Kpe . En cuanto al rozamiento δ, cuando éste aumenta también lo hace Kpe y Kae , especialmente para valores δ altos en el activo. Respecto a la influencia de los parámetros que controlan la geometrı́a del problema, β y α, Kae aumenta cuando aumenta α ó disminuye β, mientras que Kpe aumenta cuando lo hacen α y β, siendo el efecto de α mayor para valores de kh altos en el caso activo y no dependiente de kh en el caso pasivo. En lo relativo a los coeficientes kh y kv se observa que para la situación activa el efecto de kv es máximo cuando kh ≈ 0,2 y decrece cuando kh aumenta, mientras que el efecto de kv es menor cuando el relleno está inclinado. No obstante, a efectos prácticos kv puede no ser tenido en cuenta en el cálculo del activo; sin embargo la influencia de kv en el pasivo puede llegar a tener gran importancia y no se debe despreciar. La presencia del sismo no sólo altera la cargas introducidas en el muro, sino que también modifica la superficie crı́tica, haciéndola más tendida en el caso sı́smico frente al estático, observándose además mayor diferencia entre ambas situaciones en el activo que el pasivo. Este efecto sobre la posición de la superficie crı́tica es especialmente interesante para el dimensionamiento de muros anclados o reforzados, donde la posición de los anclajes o refuerzos deben llevarse más allá de la superficie de rotura. Continuando con las metodologı́as basadas en el teorema de la cota superior, Soubra (1999) [20] propuso para el empuje pasivo un mecanismo de fallo traslacional conformado por n-bloques triangulares rı́gidos sometidos a una traslación horizontal, figura 2.22(a). Este mecanismo permite una superficie de deslizamiento más libre respecto al mecanismo log-sandwich propuesto por Chen y Rosenfarb [106] y Chang y Chen [19], y también permite introducir cohesión, sobrecarga y relleno con pendiente inclinada17 . Comprueban que a mayor número de triángulos disminuyen Npγ , Npq y Npc , obteniendo ası́ un valor inferior de cota superior de la carga lı́mite. Además, respecto al mecanismo log-sandwich, la solución propuesta por Soubra ofrece valores más bajos de Npγ , figura 2.22(b), por lo que en principio este mecanismo resulta más adecuado. Soubra también comprueba que a medida que aumenta kh , disminuyen Npγ y Npq , especialmente para suelos sueltos y valores bajos de φ, mientras que Npc no se ve afectado por kh . Posteriormente, Soubra y Machu (2002) 17 Como es habitual en el empleo del Análisis Lı́mite, se asume que el suelo obedece a una regla de flujo asociado con un criterio Mohr-Coulomb. Sin embargo es posible obtener la carga lı́mite para un material con una regla no asociada introduciendo unos coeficientes modificados de c∗ y φ∗ , [20, 19]. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 41 Tabla 2.6 – Expresiones propuestas por Chang y Chen [19] para el cálculo del empuje dinámico activo y pasivo según el teorema de la cota superior de la Teorı́a del Análisis Lı́mite, figura 2.21. Caso Activo Pae = Naγ = A (j sen ρ) + Nac = −1 cos β cos(ρ−δ) 1 2 2 γH Naγ cos(ρ+φ) A (1+a 2 ) cos φ + qHNaq + cHNac −aψ sen Γ e−aψ g + a j + e−aψ f + 1 h + A cos(ρ+φ)e m cos Λ cos(ρ+φ)e−2ψ tan φ (b sen(β+ρ+ψ)+d cos(β+ρ+ψ)) cos Λ cos β cos(ρ−δ) sen(β+ρ) cos(ρ+φ) sen Γe−2ψ tan φ cos(ρ+φ)(e−2ψ tan φ −1) + sen ρ + − cos β cos Λ sen φ Naq = cw c Caso Pasivo Ppe = 12 γH 2 Npγ + qHNpq + cHNpc cos(ρ−φ) Npγ = B (s sen ρ) + B (1+a 2 ) cos φ Npc = c aψ sen Γ eaψ q − a s + eaψ r + 1 t + B cos(ρ−φ)e n cos Ω cos(ρ−φ)e2ψ tan φ (p sen(β+ρ+ψ)−d cos(β+ρ+ψ)) cos Ω cos β cos(ρ+δ) sen(β+ρ) cos(ρ−φ) sen Γe2ψ tan φ cos(ρ−φ)(e2ψ tan φ −1) + sen ρ + + cos β cos Ω sen φ Npq = cw 1 cos β cos(ρ+δ) A= cos(ρ+φ) cos2 β cos(ρ−δ) cos φ ;B = cos(ρ−φ) cos2 β cos(ρ+δ) cos φ a = 3 tan φ; b = 1 + k sen θ; d = k cos θ; p = 1 − k sen θ g = −a cos ψ + sen ψ; f = −a sen ψ − cos ψ; q = a cos ψ + sen ψ; r = a sen ψ − cos ψ j = b sen(β + ρ) + d cos(β + ρ); h = b cos(β + ρ) − d sen(β + ρ) s = p sen(β + ρ) − d cos(β + ρ); t = p cos(β + ρ) + d sen(β + ρ) m = b sen(β + ρ + ψ) + d cos(β + ρ + ψ); n = p sen(β + ρ + ψ) − d cos(β + ρ + ψ) Γ = 90 − β + α − ρ − ψ; Λ = 90 − β + α − φ − ρ − ψ; Ω = 90 − β + α + φ − ρ − ψ [107] propusieron un mecanismo rotacional con una superficie de fallo definida por una espiral logarı́tmica, que aunque aplicaron tanto al caso activo como al pasivo, en un suelo c − φ, con sobrecarga y relleno y trasdós inclinados, sólo desarrollaron para el caso estático. Observaron que para un problema estático, los valores de Npγ obtenidos con el mecanismo rotacional son inferiores a los obtenidos con el mecanismo traslacional propuesto por Soubra [20], aunque Npq y Npc resultaban ligeramente superiores. Posteriormente, Yang y Yin (2006) [108] basándose en el teorema de la cota superior y empleando el mecanismo traslacional de n-triángulos de Soubra [20], calcularon el empuje sı́smico pasivo (kv = 0) con un criterio de rotura no lineal, a diferencia de los métodos anteriores que están basados en el método de Mohr-Coulomb. El criterio no lineal empleado está formado por una superficie de rotura curva y convexa definida por tres parámetros que se obtienen de forma experimental. Sin embargo, para simplificar el cálculo del trabajo exterior y la disipación de energı́a interna emplean una recta tangente a dicha superficie curva por el punto de rotura, procedimiento que da resultados muy similares a las investigaciones donde adoptan un criterio Mohr-Coulomb. El criterio de rotura no lineal fue también empleado para el cálculo del empuje activo por Yang (2007) [109], tanto para el caso estático donde empleó un mecanismo traslacional definido por dos bloques triangulares rı́gidos, como para el dinámico, donde empleó un mecanismo rotacional formado por un único bloque rı́gido curvo definido por una espiral logarı́tmica. Además de todas las investigaciones anteriores basadas en el teorema de la cota su- 42 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Soubra (1999) Log-sandwich (Chang y Chen, 1982) Npg a b a (deg) (a) (b) Figura 2.22 – Mecanismo traslacional propuesto por Soubra [20], a) Mecanismo Traslacional, b) Comparación del coeficiente Npγ para el mecanismo propuesto por Soubra [20] respecto al mecanismo logsandwich de Chang y Chen [19] (φ = 45o , δ = φ, β = 0, kh = 0,3). perior también se pueden encontrar en la bibliografı́a, aunque en menor número, investigaciones basadas en el teorema de la cota inferior. De los trabajos basados en el teorema de la cota inferior destacan las investigaciones desarrolladas por Lancellotta (2002, 2007) [110, 111] para el empuje pasivo, primero para el caso estático y posteriormente para el dinámico (pseudo-estático), donde llega a obtener una solución analı́tica, ecuación 2.9, para el cálculo de la presión normal sobre el muro (σxx ), mientras que las presiones tangenciales se pueden calcular como σxz = σxx tan δ. Con el teorema de la cota inferior, Lancellotta obtiene una solución conservadora, que en ausencia de sismo (problemas estáticos) coincide con las soluciones obtenidas por Sokolovskii [22, 79] y por Rankine [57]. σxx = γ̄ζ cos(α − ψ)Kpe (2.9) donde q (1 ± kv )2 + kh2 kh ψ = tan−1 1 ± kv " # p cos δ p cos δ + sen2 φ − sen2 δ e2θ tan φ = cos(α − ψ) − sen2 φ − sen2 (α − ψ) sen δ −1 −1 sen(α − ψ) 2θ = sen + sen + δ + (α − ψ) + 2ψ sen φ sen φ γ̄ = γ Kpe y donde kh se considera positivo cuando se dirige hacia el relleno y ζ es la profundidad respecto a un plano paralelo a la superficie. Coincidiendo con las publicaciones de Lancellotta [111] también se publicó el trabajo desarrollado por Mylonakis et al. (2007) [21], donde ambos mantienen importantes similitudes, aunque este último se puede aplicar a un caso más general, ya que permite tanto el cálculo del empuje activo como del pasivo y además la aplicación de una sobrecarga. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 43 Mylonakis et al. basándose en el teorema de la cota inferior, introducen el cálculo sı́smico de forma pseudo-estática, gracias a la rotación de los ejes del problema respecto al caso estático, al igual que Lancellotta [111], llegando a la expresión 2.10, donde el signo superior corresponde al caso activo mientras que el inferior corresponde al pasivo. 1 Pe = (1 − kv ) γH 2 Neγ + qHNeq 2 (2.10) donde Neγ 1 ∓ sen φ cos(∆2 ∓ δ) cos(β − α) cos(α + ψe ) = e∓2θE tan φ cos ψe cos δ cos2 β 1 ± sen φ cos [∆∗1 ± (α + ψe )] cos β Neq = Neγ cos(β − α) 2θE = ∆2 ∓ (∆∗1 + δ) + α − 2β − ψe sen(α + ψe ) sen δ kh ∗ ∆1 = arc sen ; ∆2 = arc sen ; ψe = arctan sen φ sen φ 1 − kv N N N Mylonakis et al. [21] compararon la formulación propuesta con los resultados obtenidos con el mecanismo log-sandwich (teorema cota superior) propuesto por Chang y Chen [19] tanto para el caso activo, figura 2.23(a), como pasivo, figura 2.23(b). De las respectivas figuras se puede comprobar como los resultados del método de Mylonakis et al. coinciden con los de Chang y Chen para el caso activo, mientras que en el pasivo los resultados obtenidos por el método de Mylonakis et al. son más conservadores que los de Chang y Chen, aumentando esta discrepancia para los valores más altos de φ. Nuevamente se puede observar como el método de M-O sobrestima el empuje pasivo. N M-O Analysis Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 1990) Mylonakis et al. (2007) (a) Caso Activo Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 1990) Mylonakis et al. (2007) (b) Caso Pasivo Figura 2.23 – Comparación entre los resultados obtenidos por la formulación propuesta por Mylonakis et al. (teorema de la cota inferior) respecto a la formulación de Chang y Chen (teorema de la cota superior) y el método de M-O [21] (kv = 0, sin sobrecarga). 44 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO 2.2.6. Método de las Caracterı́sticas La gran mayorı́a de los métodos propuestos para calcular el empuje de tierras sobre un muro, fundamentalmente los basados en las teorı́as de equilibrio lı́mite y análisis lı́mite, pasan por definir previamente una geometrı́a para la superficie de rotura. La hipótesis más sencilla y extendida es la de asumir una superficie de rotura plana. Sin embargo, el Método de las Caracterı́sticas (Method of Characteristics o también conocido como Slip line method) desarrollado por Sokolovskii en 1960 [22, 79] para la plastificación de medios coulombianos bidimensionales, permite obtener una superficie de rotura de forma automática para un problema bidimensional en deformaciones planas. Las ecuaciones de equilibrio y la condición de fallo, definida por un criterio Mohr-Coulomb, se satisfacen para cada punto de la masa de suelo involucrada. En la zona donde se desarrolla un estado plástico, Sokolovskii comprueba que existe una red formada por dos familias de lı́neas caracterı́sticas (α − line y β − line), figura 2.24. Para cada punto de esta red es necesario conocer sus coordenadas geométricas (x,y), el centro del cı́rculo de Mohr y el ángulo entre la dirección de la tensión principal primera y el eje vertical asociados al estado tensional en dicho punto18 . El cálculo se inicia a partir de dos puntos conocidos que se encuentran situados en el contorno, calculando para cada uno las dos familias de lı́neas que pasan por ellos y obteniendo un nuevo punto de cálculo como resultado de la intersección de dichas familias. Los datos de cada nuevo punto se obtienen de forma iterativa. En el caso de un muro, el cálculo se iniciarı́a en la superficie del relleno avanzando hacia el trasdós del muro. Figura 2.24 – Método de las Caracterı́sticas de Sokolosvkii [22]. Kumar y Chitikela (2002) [23] emplearon el método de las caracterı́sticas propuesto por Sokolovskii para determinar el empuje pasivo de un suelo sin cohesión en un muro de trasdós inclinado y relleno horizontal, bajo cargas sı́smicas aplicadas de forma pseudoestática, obteniendo dos coeficientes analı́ticos, Kpγ debido al peso propio y Kpq debido a la sobrecarga (ecuación 2.11), a través del principio de superposición. Kumar y Chitikela definieron tres posibles casos de cálculo según se muestra en la figura 2.25, en función de θg y θw que representan el ángulo entre la tensión principal primera y el eje vertical a lo largo de la superficie del relleno (θg ) y del muro (θw ), y que están definidos en la ecuación 18 Un desarrollo más exhaustivo de este método se puede encontrar en el texto elaborado por Jimenez Salas, tomo II, capı́tulo 4 [79]. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 45 2.12 donde ψh = tan−1 (kh ). Ası́, para el primer caso (figura 2.25-a) una parte de la red de lı́neas son planas y otras curvas obteniendo un punto singular en la coronación del muro. Por el contrario, en el segundo caso (figura 2.25-b) toda la red esta formada por lı́neas rectas sin la aparición de puntos singulares, mientras que en el tercer caso (figura 2.25-c), se obtiene una red de lı́neas rectas en las proximidades de la superficie del relleno seguida de una lı́nea de discontinuidad que se origina en la coronación del muro. Kumar y Chitikela obtuvieron expresiones analı́ticas para el coeficiente Kpq en los tres casos y para Kpγ en el caso 2; dichas expresiones se recogen en la tabla 2.7. Tanto Ppγ como Ppq forman un ángulo δ con la normal al trasdós del muro. Observaron que un aumento en el coeficiente horizontal de la aceleración sı́smica (kh ) provoca un decrecimiento significativo en Kpq y Kpγ , aunque también decrecen, pero de forma menos notable, cuando δ y/o φ disminuyen o cuando aumenta β. 1 Ppγ = γH 2 Kpγ 2 Ppq = qHKpq 1 θg = − sen−1 2 1 θw = − sen−1 2 sen ψh + ψh + π sen φ sen δ + 2β + π − δ sen φ (2.11) (2.12) Figura 2.25 – Diferentes campos tensionales definidos por Kumar y Chitikela [23] en función de θg y θw . Posteriormente, Cheng (2003) [53] amplı́a el trabajo desarrollado por Kumar y Chitikela [23] basado en el método propuesto por Sokolovskii, a un caso con el relleno inclinado y un suelo de tipo c − φ, tanto en la condición activa como pasiva, a través de tres coeficientes, uno asociado al peso propio (kaγ y kpγ ), otro a la sobrecarga (kaq y kpq ) y otro a la cohesión (kac y kpc ), aunque a diferencia de Kumar y Chitikela, Cheng no propone expre- 46 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Tabla 2.7 – Expresiones propuestas por Kumar y Chitikela [23] para los coeficientes Kpγ y Kpq , en el cálculo del empuje pasivo dinámico según el Método de las Caracterı́sticas. Kpq = 1−sen φ cos 2(θw −β) cos β cos δ Caso 1 i h exp ln 1+sen φ1 cos 2θg + 2 tan φ(θg − θw ) Caso 2 Kpγ = Kpq = 1−sen φ cos 2(θg −β) (1+sen φ cos 2θg ) cos β cos δ Caso 3 Kpq = ω0 = 1 2 1−sen φ cos 2(θw −β) (1+sen φ cos 2θg ) · sen 2(θg −ω0 ) cos β cos δ sen 2(θw −ω0 ) sen−1 (sen φ cos(θw − θg )) − π 2 + θw + θg siones analı́ticas para ellos sino que describe la metodologı́a a seguir. Determina que Kpγ varı́a linealmente con δ cuando φ ≤ 30o perdiendo dicha linealidad para valores más altos. También comprueba que Kpc es mucho mayor que Kpγ . Por último, Cheng concluye que el empuje de tierras sobre un muro se puede obtener como combinación lineal de estos tres coeficientes ya que las diferencias con respecto a un cálculo acoplado son pequeñas para un problema ordinario. Tanto Kumar y Chitikela [23] como Cheng [53] compararon sus resultados con los obtenidos por M-O (superficie de rotura plana) [58], Morrison y Ebeling (superficie de rotura logarı́tmica) [7], Soubra (teorema de la cota superior en el Análisis Lı́mite) [20] y Kumar (superficie de rotura compuesta logarı́tmica) [8]. En la tabla 2.8 se presenta la comparación realizada por Cheng [53] sobre los resultados obtenidos por estas metodologı́as para el cálculo del coeficiente Kpγ . De los valores expuestos en esta tabla se puede observar que los resultados dados por Morrison y Ebeling, Kumar y Soubra se encuentran bastante próximos entre sı́, mientras que los obtenidos por M-O sobrestiman bastante el coeficiente de empuje pasivo. Por otra parte, los resultados más bajos son los propuestos por Kumar y Chitikela y por Cheng, es decir el Método de las Caracterı́sticas proporciona los menores valores de empuje pasivo que cualquiera de los otros métodos. Tabla 2.8 – Cálculo del coeficiente Kpγ obtenido por diferentes metodologı́as y reportado por Cheng [53]. Muro vertical, relleno horizontal, φ = 30o , δ = φ y diferentes valores de kh . kh M-O [58] Morrison y Ebeling [7] Soubra [20] Kumar [8] Kumar y Chitikela [23] Cheng [53] 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 10,095 9,020 7,921 6,784 5,577 4,208 7,077 6,661 6,154 5,538 4,846 3,923 6,860 6,350 5,790 5,170 - 6,677 6,187 5,655 5,065 4,390 3,545 6,563 6,083 5,562 4,986 4,327 3,501 6,556 6,084 5,566 4,996 4,343 3,526 Dentro de los avances más recientes en esta lı́nea, se encuentra el trabajo de Liu y Wang (2008) [112] quienes generalizaron el método de Sokolovskii, que originalmente estaba planteado para problemas en deformaciones planas a problemas axisimétricos. También cabe destacar que previamente al trabajo de Kumar y Chitikela se pueden encontrar 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 47 en la bibliografı́a otras referencias para el cálculo del empuje sobre un muro basadas en el método de Sokolovskii, como por ejemplo el trabajo de Sabzevari y Ghahramani (1974) [113] que se relaciona también con el campo de desplazamientos y deformaciones y que se describe en el apartado 2.3 de este documento, o los trabajos de Yakovlev y Shkola (1978) [65] y Yakovlev (1977) [114] para un muro que presente quiebros tanto en el relleno como en el trasdós. 2.2.7. Resumen de métodos para estimar las presiones dinámicas En este apartado se presenta un resumen de las investigaciones más relevantes, y que ya han sido expuestas anteriormente, desarrolladas para estimar las presiones de origen dinámico sobre una estructura de contención, a excepción de los modelos numéricos que se expondran más adelante. Esta información se recoge en la tabla 2.9. Tabla 2.9 – Principales investigaciones desarrolladas sobre el cálculo sı́smico de estructuras de contención (A=Activo, P=Pasivo, β=inclinación del trasdós, α=pendiente del relleno, c=cohesión, q=sobrecarga, kv =coeficiente sı́smico vertical). EQUILIBRIO LÍMITE: MÉTODOS PSEUDO-ESTÁTICOS Mononobe-Okabe 1929) [57, 58] (1926; (A-P) Extensión de la teorı́a de Coulomb al problema dinámico. Estudios sobre M-O: Seed y Whitman (1970) [3], Richards y [β 6= 0, α 6= 0, c = 0, q = 0, kv 6= 0] Elms (1979) [63], Davies, Richards y Chen (1986) [4] y Fang y Chen (1995) [5] Kim et al. (2010) [6] (A) [β 6= 0, α 6= 0, c 6= 0, q 6= 0, kv 6= 0] Extiende el procedimiento de M-O a un caso con cohesión, adhesión, carga puntual y sobrecarga uniforme Dewaikar y Halkude (2002) [67] (A-P) [β 6= 0, α 6= 0, c = Superficie de rotura plana. Basado en el empleo de las ecuaciones de Kötter. 0, q = 0, kv 6= 0] Praskash y Basavanna (1969) [68] (A) Superficie de rotura plana. Equilibrio de acciones horizontales y momentos. [β 6= 0, α 6= 0, c = 0, q = 0, kv 6= 0] Saran y Prakash (1966; 1968) [69, 70] (A) [β = 6 0, α = 0, c 6= 0, q 6= 0, kv = 0] Superficie(s) de rotura plana. Superposición de componentes: (Naγ )dyn , (Naq )dyn , (Nac )dyn . Maximizan cada coeficiente independientemente por lo que se pueden obtener hasta tres superficies de rotura distintas. Shukla et al. y Shukla y Habibi (2009; 2011) [51, 52] (AP) [β = 0, α = 0, c 6= 0, q = 0, kv 6= Superficie de rotura plana. Superposición de componentes: Keγ , Kec . Maximizan/minimizan la resultante (Pae , Ppe ). 0] Morrison y Ebeling (1995) [7] (P) [β = 0, α = 0, c = 0, q = Superficie de rotura en espiral logarı́tmica. 0, kv 6= 0] Kumar (2001) [8] (P) [β 6= 0, α = 0, c = 0, q = 0, kv = 0] Superficie de rotura compuesta: espiral logarı́tmica y tramo plano. 48 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Subba Rao y Choudhury (2005) [71] (P) [β 6= 0, α 6= 0, c 6= 0, q 6= 0, kv 6= 0] Superficie(s) de rotura compuesta: espiral logarı́tmica y plana. Superposición de componentes: Kpγd , Kpqd , Kpcd . Minimizan cada coeficiente independientemente por lo que pueden obtener hasta tres superficies de rotura distintas. EQUILIBRIO LÍMITE: MÉTODOS PSEUDO-DINÁMICOS Steedman y Zeng (1990) [9] (A) [β = 0, α = 0, c = 0, q = 0, kv = 0] Choudhury y Nimbalkar; Nimbalkar y Choudhury (2006, 2007) [10, 83] (A-P) [β = 0, α = 0, c = 0, q = 0, kv 6= 0] Ghosh et al. (2007 - 2011) [84, 85, 86, 87, 88, 89, 90] (AP) [β 6= 0, α 6= 0, c 6= 0, q 6= 0, kv 6= 0] Azad et al. (2008) [91] (A) [β = 0, α = 0, c 6== 0, q = 0, kv = 0] Solicitación sinusoidal, consideran la velocidad de las ondas de corte (vs ) y el desfase en las aceleraciones del relleno. Cuña de rotura plana. Basado en el método de Steedman y Zeng pero considerando también vp y kv . Consideran, para el pasivo, la influencia de la inercia del muro y el relleno. Amplı́an el método pseudo-dinámico de Steedman-Zeng y Choudhury-Nimbalkar a un muro con trasdós y relleno inclinados, sobrecarga y cohesión. También, para el pasivo, aplican el método pseudo-dinámico a una superficie de rotura compuesta (arco de espiral logarı́tmica y tramo recto). Emplean el método de las rebanadas y el método pseudodinámico de Steedman y Zeng. Consideran una superficie de rotura plana y el criterio de rotura de Mohr-Coulomb, maximizando para encontrar la superficie critica. TEORÍA ELÁSTICA Matuo y Ohara (1960) [11] Ecuación de la elastodinámica. Muro fijo o con rotación en la base, medio elástico bidimensional y uniforme. Tajimi (1973) [12] Teorı́a de propagación de las ondas en un medio bidimensional, elástico y homogéneo. Scott (1974) [13] Considera el suelo como una viga a cortante unidimensional conectada al muro por una serie de muelles, obteniendo las presiones de forma proporcional a los desplazamientos. Wood (1973) [14] Teorı́a elástica lineal. Superposición de la solución de un problema de un muro rı́gido junto con las presiones debidas a los desplazamientos inducidos por el sismo. Arias et al. (1981) [94] Modelo elástico basado en una modificación de la viga a cortante. 2.2. PRESIONES DE ORIGEN DINÁMICO 49 Veletsos y Younan (1994, 1997) [15, 95] Modelo desarrollado con barras horizontales semi-infinitas, elásticas y de masa distribuida, junto con un grupo de muelles lineales. Simulan un medio semi-infinito, uniforme, de material viscoelástico y con amortiguamiento histerético. Superposición de m-modos de la respuesta de las barras. Muros sin rotación, fijos en la base o con un apoyo en coronación. Psarropoulos et al. (2005) [97] Verifican a través de ABAQUS el modelo de Veletsos y Younan y analizan casos más complejos con suelo no homogéneo y flexibilidad en la cimentación. Jung et al. (2010) [16] Amplı́an la solución de Veletsos y Younan incluyendo el desplazamiento horizontal del muro y analizan la influencia de parámetros como el desplazamiento vertical, la fricción muro-relleno y las caracterı́sticas de la solicitación sı́smica. Wu y Finn (1996; 1999) [99, 100] Método aproximado basado en una modificación de la viga a cortante. Aplicado a muros rı́gidos, rellenos uniformes y no uniformes, de extensión finita o semiinfinita. Papazafeiropoulos y Psarropoulos (2010) [101] Extensión del modelo de Wood para un muro rı́gido fijo en la base sometido a una solicitación armónica. Permite obtener presiones, empujes, cortante y momentos en la base. SOLUCIONES ELASTOPLÁSTICAS Richards Jr. et al. (1991, 1994) [17, 102] Definieron el concepto de los estados de fluidificación del material, que extrapolaron a problemas con estructuras de contención. Richards Jr., Huang y Fishman (1999) [18] Superposición de la solución de las tensiones obtenidas bajo la condición de campo libre y las variaciones de tensiones debidas al desplazamiento relativo del muro-suelo (coeficiente de balasto). Evangelista et al. (2010, 2011) [104, 105] Concepto NSPPS (New Stress Pseudostatic Plasticity Solution), estado tensional de una masa de suelo bajo carga sı́smica en una situación de fallo con un criterio MohrCoulomb. ANÁLISIS LÍMITE Chang y Chen (1982) [19] (A-P) Teorema de la cota superior. Mecanismo traslacional formado por dos bloques triangulares intercalados con uno curvo (mecanismo log-sandwich) con cargas pseudoestáticas. Soubra (1999) [20] (P) Teorema de la cota superior. Mecanismo traslacional formado por n-bloques triangulares sometidos a una traslación horizontal. 50 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Yang y Yin, Yang (2006, 2007) [108, 109] (A-P) Teorema de la cota superior. Aplican un criterio de rotura no lineal en lugar del habitual criterio de Mohr-Coulomb. Adoptan un mecanismo rotacional con un único bloque definido por una espiral logarı́tmica para el activo y el mecanismo de n-bloques de Soubra para el pasivo. Lancellotta (2002, [110, 111] (P) Teorema de la cota inferior. 2007) Mylonakis et al. (2007) [21] (A-P) Teorema de la cota inferior, aplicado a un caso más general que el trabajo de Lancellotta. MÉTODO DE LAS CARACTERÍSTICAS (Sokolovskii, 1960) [22, 79] Kumar y Chitikela (2002) [23] (P) [β = 6 0, α = 0, c = 0, q 6= Basado en el método de Sokolovskii. Superposición de los coeficientes Kpγ y Kpq . 0] Cheng (2003) [53] (A-P)[β 6= 0, α 6= 0, c = 0, q 6= 0] 2.3. Amplian el trabajo de Kumar y Chitikela. Superposición de los coeficientes Kpγ , Kpq y Kpc Efecto del movimiento del muro en las presiones laterales Los empujes que se pueden desarrollar sobre un muro dependen, entre otros factores, del tipo de movimiento sufrido por el muro y su magnitud. El movimiento más común es el de rotación del muro respecto a su base, pero se pueden presentar otros como la rotación respecto a un punto próximo a la coronación, la rotación respecto a un punto intermedio, la traslación o combinaciones de éstos, tanto en la condición activa como pasiva. Para llegar a movilizar todo el empuje activo son suficientes pequeños movimientos del muro, mientras que para llegar a movilizar completamente el empuje pasivo son necesarios movimientos mucho mayores que en el caso activo y que pueden no ser admisibles para la estructura. Por ello es habitual que en el diseño se aplique sobre el empuje pasivo un factor de seguridad o incluso que no se incluya en el cálculo. Las teorı́as tradicionales del cálculo de empujes asumen una situación de rotura del terreno que permite comprobar los estados lı́mites últimos pero no permiten conocer o analizar estados en los cuales los movimientos sufridos por la estructura no sean suficientes para alcanzar el estado último, es decir analizar estados previos a la rotura, ni tampoco comprobar los estados lı́mite de servicio (deformaciones). Por otra parte, las teorı́as de cálculo tradicionales tampoco definen cómo es la distribución de presiones en el trasdós del muro, como por ejemplo la teorı́a de Coulomb en el caso estático o la teorı́a de Mononobe-Okabe en el dinámico donde simplemente se asume que son lineales. Sin embargo, diversos estudios han demostrado que el tipo de movimiento sufrido por el muro y la magnitud de dicho movimiento influyen notablemente en la distribución de presiones en el trasdós de la estructura. Numerosos estudios experimentales como por 2.3. EFECTO DEL MOVIMIENTO DEL MURO EN LAS PRESIONES LATERALES 51 ejemplo [115, 116, 117, 118] entre otros, han puesto de manifiesto la influencia del tipo de movimiento del muro sobre la ley de presiones resultante, mientras que la clásica distribución lineal de presiones es válida solamente para muros muy rı́gidos con rellenos arenosos y rotación alrededor de la base según comprobaron Terzaghi y Tschebotarioff [26], quienes a su vez obtuvieron leyes parabólicas para otros movimientos, como rotación en coronación o traslación. A continuación se recogen diferentes trabajos que tratan de relacionar el empuje y la ley de presiones con el movimiento sufrido por el muro, ası́ como también analizar situaciones previas a la de rotura, por medio de expresiones analı́ticas o con una metodologı́a sencilla. Sin embargo, cabe destacar que este planteamiento no está aún resuelto para problemas dinámicos encontrándose incluso trabajos recientes que abordan este estudio en problemas estáticos. En primer lugar se presentan los trabajos realizados por Wang (2000) [24] para un movimiento de traslación y por Wang et al. (2004) [25] para un movimiento de rotación en coronación, ambos para el caso estático y la condición de empuje activo, basados en una modificación de la teorı́a de Coulomb19 . Estos autores trabajaron sobre un muro con trasdós vertical y relleno horizontal que retiene un suelo sin cohesión y donde puede estar aplicada una sobrecarga. Para ello establecieron el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales sobre un elemento diferencial de la cuña de rotura que trasdosa al muro, figura 2.26(a), a diferencia de la teorı́a de Coulomb que establece el equilibrio de la cuña completa. De dicho equilibrio obtienen una ecuación diferencial de primer orden con solución analı́tica conocida que permite obtener tanto la ley de presiones horizontales como verticales20 en función de la profundidad, la resultante del empuje y el punto de aplicación de la misma. Contrastan sus soluciones con la teorı́a de Coulomb y con diversos resultados experimentales [24, 25], observando que la magnitud del empuje obtenido por esta metodologı́a coincide con el valor obtenido por Coulomb, pero las leyes de presiones obtenidas son de marcado carácter no lineal, figura 2.27(a), lo que afecta notablemente al punto de aplicación de la resultante. Obtienen un buen ajuste del punto de aplicación del empuje respecto a los datos derivados de estudios experimentales como el del Fang e Ishibashi (1986) [117], puesto que Wang et al. [25] obtienen que éste se sitúa entre 0,36 − 0,45H para la traslación y 0,46 − 0,57H para la rotación en coronación, figura 2.27(b). Tal y como destacan estos autores, emplear esta metodologı́a o la obtenida por Coulomb, es decir tener en cuenta o no el tipo de movimiento sufrido por el muro, no tiene grandes repercusiones a la hora de calcular la estabilidad del muro frente a un fallo por deslizamiento, ya que la magnitud del empuje coincide en ambos métodos, sin embargo su influencia sı́ es importante en cálculo de la estabilidad a vuelco puesto que el punto de aplicación de la resultante difiere significativamente entre ambos. Finn (1963) [119] obtuvo diversas soluciones generales de un problema de mecánica de suelos con desplazamientos impuestos dentro del rango elástico, que particularizó para obtener la distribución de presiones de un muro, liso o rugoso, sometido a traslación o rotación en coronación sin carga sı́smica21 . Puesto que su planteamiento se realiza dentro 19 El planteamiento seguido por estos investigadores es similar al empleado por [64, 65, 66] La componente vertical se deriva a partir del rozamiento entre el muro y el relleno. 21 Posteriormente dichas expresiones analı́ticas fueron recogidas en el libro “Elastic Solutions for Soil and 20 52 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Modelo de cálculo: elemento diferencial (b) Traslación (c) Rotación en coronación Figura 2.26 – Modelo de cálculo basado en la teorı́a de Coulomb que introduce el tipo de movimiento en la ley de presiones en el caso estático, según Wang [24] para la traslación y Wang et at [25] para la rotación en coronación. de la teorı́a de la elasticidad, asume que se producen pequeños desplazamientos. Ante los escasos estudios sobre el empuje pasivo en condición dinámica disponibles para la época, la limitación de las teorı́as tradicionales de cálculo para definir los estados tensionales previos al fallo del terreno y la imposibilidad de distinguir entre distintos modos de movimiento del muro, ası́ como las distribuciones de presiones no lineales que se obtenı́an de los resultados experimentales, Sabzevari y Ghahramani (1974) [113] propusieron una metodologı́a independiente del tiempo y de carácter incremental para el análisis dinámico del empuje pasivo en un muro vertical que sostiene un relleno seco de arena suelta, que puede estar sometido a distintas aceleraciones y puede presentar tres movimientos (rotación en coronación, rotación en base y traslación). El terreno se considera como un sólido rı́gido y plástico (criterio de rotura Mohr-Coulomb). Este método divide el movimiento que sufre el muro en pequeños incrementos de movimiento que se aplican sucesivamente (fallo progresivo), empleando el método propuesto por Sokolovskii [22] para obtener los campos de tensiones, desplazamientos y deformaciones del relleno ası́ como las presiones sobre el muro. Obtuvieron una distribución de presiones no lineal comprobando que el punto de aplicación del empuje depende significativamente del tipo de movimiento sufrido por el muro. Al margen de las teorı́as expuestas anteriormente, el Método de la Redistribución de Presiones propuesto por Dubrova [26] ha sido y es uno de los referentes para el cálculo analı́tico o semi-analı́tico de la distribución de presiones en función del tipo de movimiento sufrido por muro. A partir del trabajo original formulado en 1963, se han ido desarrollando diversas modificaciones y se han propuesto nuevas teorı́as basadas en él que han dado lugar a resultados aceptables. A continuación se presenta brevemente este método ası́ como diferentes trabajos basados en el mismo. Rock Mechanics” de H.G. Poulos y E.H. Davis [120] 2.3. EFECTO DEL MOVIMIENTO DEL MURO EN LAS PRESIONES LATERALES 53 Wang K=0.4 Coulomb Experiment (a) (b) Figura 2.27 – Resultados obtenidos por el método de cálculo propuesto por Wang [24] y Wang et at [25] para el caso estático. a) Ley de presiones para un movimiento de traslación. b)Punto de aplicación de la resultante para los movimientos de rotación en coronación y traslación. Método de la redistribución de presiones El método de la redistribución de presiones formulado por Dubrova (1963) [26], ofrece un conjunto de expresiones analı́ticas para el caso estático que permiten definir una distribución no lineal de presiones para diferentes modos de movimiento del muro. Ası́, Dubrova define diferentes leyes lineales de variación del ángulo ψD con la profundidad para distintos tipos de movimientos del muro (figura 2.28) donde ψD representa el ángulo que forma la fuerza resultante sobre el plano de quasi-ruptura con la normal a dicho plano, asumiendo que la condición activa (ψD = +φ) y la pasiva (ψD = −φ) sólo se produce en los extremos del muro y desarrollándose infinitas lı́neas de quasi-ruptura intermedias (θ = π/4 + ψD /2)22 . Dubrova asume la validez de la solución de Coulomb y reemplaza el ángulo φ por ψD en las ecuaciones, obteniendo ası́ un empuje para cualquier tipo de movimiento del muro. La resultante del empuje sobre el muro (β = α = 0) esta dada por la ecuación 2.13, donde solamente es necesario sustituir la expresión de ψD correspondiente al tipo de movimiento a calcular (figura 2.28). También se comprueba que en el caso activo (ψ = +φ) y en el pasivo (ψ = −φ), la expresión 2.13 coincide con las expresiones de Coulomb (tabla 2.1). γ P = 2 cos δ " z 1 cos ψD + p tan2 ψD + tan ψD tan δ #2 (2.13) Derivando con respecto a z la expresión 2.13, se obtiene la ley de presiones sobre el mup ro (β = α = 0), ecuación 2.14, donde ψD esta definida en radianes y m = 1 + tan δ/ tan ψD 23 . 22 23 θ es el ángulo que forma la lı́nea de quasi-ruptura con la horizontal. Dubrova considera que el ángulo de rozamiento del muro, δ, debe ser función del ángulo de rozamiento 54 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Considerando un rango habitual de valores de δ entre φ/2 y 2/3φ, la ecuación 2.14 se puede simplificar resultando la expresión 2.15. dP dψD γz cos ψD z m2 + 1 p(z) = = cos ψD − sen ψD + dz cos δ(1 + m sen ψD )2 1 + m sen ψD dz 2m (2.14) dψD γz cos ψD cos ψD − z p(z) = cos δ(1 + 1,2 sen ψD )2 dz (2.15) En la figura 2.28 se muestran las leyes de presiones obtenidas según la teorı́a propuesta por Dubrova para los movimientos de rotación respecto al punto medio, a la base y a la coronación del muro, tanto en activo como en pasivo. Se debe destacar, que la teorı́a de Dubrova en los casos de empuje pasivo asume que éstos se pueden desarrollan completamente, lo que implica que sean necesarios movimientos significativos de la estructura. Esto puede llegar a afectar a las caracterı́sticas del suelo y a las del plano de rotura supuesto por Dubrova, lo que puede invalidar dicha teorı́a para estos casos. La metodologı́a propuesta por Dubrova también permite calcular la ley de presiones cuando el muro presenta un movimiento de traslación, calculado como el valor promedio de un caso de rotación respecto de la base y uno de rotación en coronación. De forma análoga, se puede obtener la ley de presiones para cualquier movimiento que resulte de la combinación de dos movimientos relativos o incluso definir una ley de presiones para muros flexibles con extremos fijos. Posteriormente, Saran y Prakash (1975) [121] generalizaron el método de la redistribución de presiones de Dubrova a un muro con trasdós y relleno inclinados bajo carga sı́smica, reemplazando en la expresiones de Mononobe-Okabe los términos de φ por ψD y δ por mψD , donde m es un coeficiente de valor menor de 1 que refleja la proporción entre δ y φ. Analizaron numéricamente los casos de rotación en base y en coronación para la condición de empuje pasivo, obteniendo leyes de presiones no lineales que siguen la tendencia de los resultados experimentales con los que contrastaron la validez de su formulación. También Zhang et al. (1998) [122] propusieron una metodologı́a similar a la de Dubrova para tratar de relacionar la ley de presiones con el tipo de movimiento y magnitud del mismo. Otra nueva metodologı́a fue la propuesta veinte años más tarde por Dimarogona (1983) [123], quien extrapola el método de Dubrova al caso sı́smico para un muro que puede rotar alrededor de cualquier punto. Obtiene diversas expresiones analı́ticas a partir del equilibrio de todas las acciones que intervienen en el relleno, que le permiten obtener la dirección pésima de la carga sı́smica, una ley de presiones de tipo parabólico y el punto de aplicación de la resultante, tanto en el caso activo como pasivo. Contrasta sus resultados con M-O y encuentra un buen ajuste con diversos resultados experimentales. Posteriormente Bang (1985) [124] propuso una variación sobre el método de Redistribución de Presiones introduciendo el concepto de los estados activos intermedios, que trata de reproducir la plastificación progresiva de la cuña para cargas estáticas. Este método perinterno p del suelo φ en lugar de depender de la orientación del plano de quasi-ruptura ψD , por lo que adopta m = 1 + tan δ/ tan φ. 2.3. EFECTO DEL MOVIMIENTO DEL MURO EN LAS PRESIONES LATERALES 55 Figura 2.28 – Leyes de presiones según el método de la redistribución de presiones de Dubrova [26]. a) Rotación en coronación, condición activa b) Rotación respecto a la base, condición pasiva c) Rotación en coronación, condición pasiva d) Rotación respecto a la base, condición activa e) Rotación respecto al punto medio. 56 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO mite estimar la magnitud y distribución de la presión lateral ejercida por un relleno horizontal sin cohesión sobre un muro cuando gira respecto a su base desde un estado activo inicial a un estado activo global. La situación activa inicial se produce cuando solamente el elemento del relleno más alejado del punto de rotación se encuentra en estado activo, mientras que la situación activa global se alcanza cuando todos los elementos de suelo (desde la superficie hasta la base) están en condición activa. La definición matemática del estado activo intermedio se realiza por medio del parámetro βi , adoptando el valor 0 en el activo inicial coincidiendo con la teorı́a de Dubrova, y tomando el valor 1 en el activo global coincidiendo con la teorı́a de Coulomb. Al igual que en el método de Dubrova, la fuerza resultante sobre el plano de quasi-ruptura forma un ángulo ψD con la normal que Bang modifica introduciendo el parámetro βi descrito anteriormente resultando la expresión 2.16 para el movimiento de rotación respecto a la base. Realizando el equilibrio de fuerzas sobre una cuña de suelo obtiene el empuje sobre el muro y derivando respecto a z resulta la ley de presiones mostrada en la ecuación 2.1724 , 2 y m = tan δ 25 . donde A = tan 45 − ψ2D , B = 1 + m 2 1−A tan ψD ψD = φ − φ(1 − βi ) z H γzA2 1 2 dψD A 1 + A2 − γz p(z) = B 2 dz B2 (2.16) B+ A2 m 2 (2.17) Posteriormente, Bang y Hwang (1986) [27] generalizaron el concepto de los estados activos intermedios para cualquier tipo de movimiento del muro (rotación en la base, rotación en coronación y traslación), introduciendo cambios respecto al trabajo original. Modificaron los valores del parámetro βi puesto que ahora consideran que el muro pasa de una situación en reposo (βi = 0) donde no existen movimientos al estado activo inicial (βi = 1) y progresivamente hasta el estado activo global (βi = 2), a excepción del movimiento de traslación donde se pasa directamente de la situación en reposo a la condición activa global. Las expresiones de cálculo que emplean resultan del equilibrio de un problema bidimensional en deformaciones planas junto con un criterio Mohr-Coulomb. Contrastan sus resultados con diferentes estudios experimentales [115, 117] encontrando un buen ajuste para los tres modos de movimiento estudiados, como se comprueba en la figura 2.29. Además esta nueva formulación también permite estudiar un aspecto hasta ahora poco analizado como es la evolución de las tensiones tangenciales en el trasdós de un muro rugoso para distintos estados intermedios, como se presenta en la figura 2.30 para la rotación respecto a la base. Finalmente, Blázquez y Arias (2007) [28] propusieron una expresión semi-analı́tica para el empuje, punto de aplicación y distribución de presiones sobre un muro en el caso activo, basándose en el método de redistribución de presiones de Dubrova [26] y la teorı́a de los estados activos intermedios de Bang [124] y extrapolándolas al caso dinámico (kh 6= 0, 24 Formulación propuesta por las revisiones de [125] y [126] al trabajo de Bang [124] debido a un error en el desarrollo matemático. 25 Al igual que Dubrova, Bang consideró que δ deberı́a depender de φ en lugar de ψD , por lo que simplificó el coeficiente m como m = tan δ/ tan φ obteniendo ası́ un valor constante. En revisiones posteriores al trabajo de Bang[124], esta simplificación también recibió diferentes crı́ticas [125, 126, 127] 2.4. PRESIONES DEBIDAS AL AGUA: SUELOS SATURADOS 57 i i i i i i i (a) Rotación respecto a la base (b) Rotación en coronación (c) Traslación Figura 2.29 – Comparación entre los resultados obtenidos por la metodologı́a propuesta por Bang y Hwang respecto a diferentes resultados experimentales [27]. a) Rotación respecto a la base para diferentes cotas (SP1: z=0.50 ft - SP5: z=2.6 ft) b) Rotación en coronación. c) Traslación. kv 6= 0) para los movimientos de rotación en la base y rotación en coronación. Nuevamente la progresión de la plastificación de la cuña de rotura se controla a través del parámetro βi y el tipo de movimiento por el parámetro ψD . Comprobaron que tanto para la rotación en base como en coronación durante los estados iniciales de plastificación la ley de presiones es claramente no lineal. Por el contrario esta ley tiende hacia la linealidad (M-O) a medida que se alcanzan estados de plastificación más avanzados (aumento de βi ) tal y como se observa en la figura 2.31. En cuanto al punto de aplicación de la resultante observan que para el caso de rotación respecto a la base, el punto de aplicación se desplaza hacia cotas superiores a medida que βi aumenta, mientras que en la rotación respecto a la coronación se desplaza hacia cotas inferiores, confluyendo ambos casos en H/3 cuando βi = 1. 2.4. Presiones debidas al agua: suelos saturados Como destacan diferentes autores, la mayorı́a de las investigaciones realizadas para el cálculo del empuje sobre estructuras de contención están referidas a rellenos secos disponiendo de mucha menos información cuando se trata de problemas donde interviene el agua. En la bibliografı́a se encuentran un número relativamente pequeño de investigaciones sobre procedimientos de cálculo analı́ticos o semi-analı́ticos para este tipo de problemas, ya que debido a su complejidad, la mayorı́a de la investigaciones se han llevado a cabo en base a estudios experimentales o a modelos numéricos. 58 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO i i i i i Figura 2.30 – Evolución de las tensiones tangenciales en el trasdós de un muro rugoso para distintos estados activos intermedios en el caso de rotación respecto a la base, según Bang y Hwang [27]. Como valor de referencia, numerosos autores adoptan el método de Westergaard [30, 29] para el cálculo de la presión hidrodinámica generada sobre una estructura vertical que retiene una masa semiinfinita de agua cuando se encuentra sometida a una aceleración sı́smica horizontal. El método de Westergaard fue desarrollado originalmente para presas de hormigón, empleando la ecuación de la elasticidad de un sólido para describir la propagación de sonidos en lı́quidos, ya que estas ondas se propagan sin distorsión angular, y considerando el agua como compresible. La solución fue desarrollada para solicitaciones armónicas aplicadas en la base del embalse. Esta solución ignora el efecto de las ondas superficiales y es válida solamente cuando el periodo de la solicitación armónica es superior al periodo fundamental del embalse [29]. La presión hidrodinámica se produce en desfase con la aceleración de la base. La distribución de la presión hidrodinámica adoptada en este método es de tipo parabólico y está definida analı́ticamente por la solución aproximada mostrada en la ecuación 2.18, donde kh es el coeficiente sı́smico horizontal del terremoto, x es la cota del nivel del agua medida desde la superficie de ésta (figura 2.32), γw es la densidad del agua y Hw es la altura total del nivel de agua (se asume que el nivel de agua es hidrostático). La resultante del empuje hidrodinámico, Pwd , se deduce integrando la ley anterior obteniendo la ecuación 2.19. Dicha resultante se aplica a 0,4Hw sobre la base de la masa de agua. En la figura 2.32 queda definido gráficamente el procedimiento de Westergaard. pwd (x) = Pwd = p 7 γ w kh Hw x 8 7 γw kh Hw2 12 (2.18) (2.19) También se pueden encontrar soluciones semi-analı́ticas para la presión hidrodinámica 2.4. PRESIONES DEBIDAS AL AGUA: SUELOS SATURADOS 59 i i i i i i i i i i i i R R i i (a) Rotación en base (b) Rotación en coronación Figura 2.31 – Evolución de la ley de presiones y del punto de aplicación de la resultante (hR ) para distintos estados activos según el método propuesto por Blázquez y Arias [28]. x pwd Hw Pwd Pws 0.4Hw Hw/3 arigid base = kh·g Figura 2.32 – Presión hidroestática y presión hidrodinámica calculada por Westergaard sobre un muro vertical durante un sismo [29]. en estructuras de contención con el trasdós inclinado, como por ejemplo la propuesta por Zangar (1953) [30] para presas, definida según la ecuación 2.20, la cual introduce un coeficiente corrector C por efecto de la inclinación del trasdós que depende de Cm y que se ′ obtiene de la figura 2.33 en función del ángulo de inclinación α . pwd = Cm 2 | " s # x x x x kh γ w Hw 2− + 2− Hw Hw Hw Hw {z } (2.20) C En las hipótesis de partida del método de Westergaard se asume que la longitud de la masa de agua es infinita. Cuando éste no es el caso y la masa de agua tiene una longitud finita (Lw ), Werner y Sundquist (1943) [30] desarrollaron un nuevo factor corrector para este aspecto, donde observaron que cuando el ratio Lw /Hw disminuye, la presión hidrodinámica también decrece, alcanzando la solución de Westergaard (masa de agua infinita) cuando el ratio Lw /Hw > 3. La solución aproximada propuesta por Westergaard fue desarrollada para estructuras de 60 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.33 – Coeficiente Cm para el cálculo de las presiones hidrodinámicas sobre un muro con trasdós inclinado según Zangar [30]. contención rı́gidas, por lo que en estructuras flexibles se pueden introducir grandes errores puesto que se obtienen presiones hidrodinámicas superiores al valor calculado por Westergaard debido al incremento de movimiento de la estructura [128]. Además, también se debe resaltar que el procedimiento de Westergaard fue formulado para embalses, por lo que la presencia del relleno interfiere en el movimiento del agua intersticial afectando a las presiones hidrodinámicas resultantes, como se expondrá más adelante. La presencia del agua en el relleno de una estructura de contención puede influir en el empuje sı́smico sobre el muro de tres formas: alterando las fuerzas de inercia dentro del relleno, desarrollando presiones hidrodinámicas dentro del relleno o generando un incremento de presión intersticial debido a la carga cı́clica. Entre las principales investigaciones sobre el cálculo de presiones en muros cuando estos retienen rellenos saturados cabe destacar las siguientes. Amano et al. (1956) [129] estudiaron la influencia de diversos factores en la estabilidad de los muros de muelles sometidos a acciones sı́smicas, tales como la tipologı́a del muro, las caracterı́sticas del sismo, las caracterı́sticas topográficas, las propiedades del terreno de cimentación y las caracterı́sticas del relleno. Consideraron que las presiones dinámicas del agua se transmiten a las partı́culas de suelo, de tal modo que el agua es considerada como parte del suelo, por lo que las fuerzas másicas de la cuña de rotura deben incluir tanto el suelo como el agua. Emplearon un coeficiente sı́smico aparente para definir la intensidad ′ ′ del terremoto en presencia del agua definido como kh = γsat kh /γ , donde γsat es la densidad ′ saturada y γ es la densidad sumergida. Este análisis presupone que el movimiento de agua esta completamente restringido por las partı́culas de suelo por lo que es apropiado para rellenos con muy baja permeabilidad como arcillas y limos. Entre los posibles factores que influyen en el fallo del muro, destacaron que la reducción de la capacidad portante del terreno en un sismo se debe principalmente al aumento de la inclinación de la carga y de la excentricidad, y que pequeños cambios en el ángulo de rozamiento interno del suelo se pueden traducir en grandes variaciones en la magnitud de la capacidad portante. Otro de los 2.4. PRESIONES DEBIDAS AL AGUA: SUELOS SATURADOS 61 factores destacados fue el asiento inducido en las arenas por efecto de la vibración, causa frecuente de fallo en las estructuras portuarias, siendo las arenas sueltas especialmente sensibles a este efecto a diferencia de los suelos arcillosos que son más estables frente a las vibraciones. Finalmente estos autores hicieron un breve análisis del comportamiento de las diferentes tipologı́as de muros ası́ como una revisión de los principales daños ocasionados por diversos terremotos relevantes en Japón. Posteriormente, Matuo y Ohara (1965) [31] desarrollaron una solución teórica para estimar la presión dinámica de agua intersticial contra un muro rı́gido vertical asumiendo que el suelo no sufre deformaciones durante la vibración y que el agua intersticial fluye a través de los poros siguiendo una ley de tipo Darcy. Considerando una solicitación sinusoidal en la base y relleno semi-infinito saturado (H = Hw ), obtuvieron la solución analı́tica mostrada en la ecuación 2.21 que permite calcular la presión dinámica de poro sobre el muro. pwd = ∞ X (2m + 1)π γm cos(ωt) + δm sen(ωt) (−1)m+1 4γw kh H cos ζ 2 + δ2 ) (2m + 1)π 2 (γm m (2.21) m=0 " γm δm # = v s u u 2 2 2 2 u (2m+1)π (2m+1)π ρw ω 2 H 2 ρw ω 2 H 2 γw nωH 2 − − + + u± 2 Ew 2 Ew Ew k t 2 donde pwd es la presión dinámica de poro, ζ = y/H situando y = 0 en la base del muro, ω es la frecuencia de la solicitación, γw es la densidad del agua, Ew es el módulo de compresibilidad del agua, n es la porosidad y k es el coeficiente de permeabilidad. En la figura 2.34(a), Matuo y Ohara mostraron de forma adimensional la resultante sobre el muro y el punto de aplicación de la presión dinámica de poro considerando un relleno arenoso, un rango de valores para la altura del muro entre 5 y 15 metros, una frecuencia de solicitación en el rango ω = 10π − π rad/seg y un coeficiente de permeabilidad en el rango k = 10−3 − 1 cm/seg. La resultante adimensional se define como P/(γw kh H 2 ) en el eje de ordenadas y el parámetro adimensional γw nωH 2 /(Ew k) en el eje de abscisas, donde también se ha incluido el valor de Westergaard como referencia. P es la presión total sobre el muro, T es el perı́odo de la vibración forzada y δ/T representa el desfase entre la presión total y la solicitación, comprobando que dicho desfase aparece cuando γw nωH 2 /(Ew k) > 1. A medida que γw nωH 2 /(Ew k) se reduce, la presión dinámica de poro aumenta. De tal modo que para la curva t/T = 0 ó 1, cuando γw nωH 2 /(Ew k) < 0,5 el valor normalizado de la presión dinámica de poro alcanza su máximo (≈ 0,5), próximo al valor de Westergaard. Por otra parte, cuando γw nωH 2 /(Ew k) > 102 el valor de P/(γw kh H 2 ) es inferior a 0,1. Se puede concluir por tanto que la presión hidrodinámica se encuentra afectada principalmente por la permeabilidad del medio (k), la altura de agua (H = Hw ), el periodo de la solicitación (T ) y en menor medida por la porosidad del medio (n) [30]. Estos autores validaron la expresión analı́tica propuesta a través de diversos ensayos en mesa vibrante para arena saturada[31], como se muestra en la figura 2.34(b), comprobando que la distribución horizontal de la amplitud de la presión dinámica de poro obtenida de los 62 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO ensayos (cı́rculos) es similar a los resultados obtenidos teóricamente26 (lı́neas). P/gwkhH 2 gwnwH 2 /Ewk gwnwH 2 /Ewk (a) (b) Figura 2.34 – Resultados obtenidos por Matuo y Ohara [31], a) empuje de la resultante sobre el muro y el punto de aplicación de la presión dinámica de poro b) distribución horizontal de la presión dinámica de poro (coeficiente sı́smico 0.3) obtenidas teóricamente (lı́neas) y experimentalmente (cı́rculos). Las investigaciones más relevantes desarrolladas hasta el momento sobre las presiones de tierra y de agua bajo carga dinámica fueron recogidas en el trabajo realizado por Matsuzawa et al. (1985) [30]. Además de dicha revisión, estos autores propusieron un procedimiento generalizado para el cálculo del empuje dinámico sobre un estructura rı́gida en la condición activa a través de la teorı́a del equilibrio lı́mite y de la definición de distintos ángulos del coeficiente sı́smico (pseudoestático), ψi , dependiendo de las condiciones del relleno según se muestra en la tabla 2.10. El caso del relleno seco ya ha sido resuelto, entre otros, a través de la teorı́a de M-O obteniendo el ángulo ψ, figura 2.35(a), y empleando la densidad seca del suelo γd . En el caso de rellenos sumergidos se pueden plantear dos situaciones de cálculo dependiendo de si la permeabilidad del medio es alta o baja. En rellenos sumergidos con alta permeabilidad, como gravas y arenas gruesas, se puede asumir que el agua se mueve libremente por los poros sin ninguna restricción por parte de las partı́culas de suelo, empleándose por tanto la ′ densidad sumergida del suelo (γ ). Solamente la parte sólida del elemento de suelo (figura 2.35(b)) estarı́a sometida a la aceleración horizontal y serı́a necesario sumar al empuje hidroestático el empuje hidrodinámico. La situación alternativa serı́a un relleno sumergido formado por un material con baja permeabilidad, como las arenas finas o los suelos limosos. En este caso se asume que la fase sólida y el agua intersticial del elemento de suelo se comportan conjuntamente por efecto 26 Los autores justifican la presión de poro negativa por la dilatancia de la arena. 2.4. PRESIONES DEBIDAS AL AGUA: SUELOS SATURADOS 63 de la aceleración sı́smica, por lo que todo el elemento unitario de suelo (figura 2.35(c)) contribuye a la componente horizontal del empuje empleándose por tanto la densidad saturada del suelo (γsat ). En este caso es necesario considerar solamente el empuje hidroestático. Esta situación de cálculo serı́a equivalente al caso analizado por Amano et al. [129], ya que si se toma kv = 0 en la tabla 2.10 se obtiene la misma corrección que la propuesta por Amano et al. [129]. En ambos tipos de rellenos sumergidos, el empuje dinámico de tierras se calcula modi′ ficando la formulación de M-O, sustituyendo γd por γ y ψ por ψ1 o ψ2 según el caso. Ante estos dos casos extremos, Matsuzawa et al. propusieron un procedimiento generalizado que aunara estas situaciones extremas en una sola formulación y además permitiera el cálculo de cualquier situación intermedia. Para ello definen ψ3 (figura 2.35(d)) como un ángulo aparente del coeficiente sı́smico, que depende de un parámetro m que adopta valores entre 0 y 1, y que se define como el ratio volumétrico del “agua restringida”, es decir el agua que no se puede mover libremente por los poros, respecto al volumen de huecos total. El coeficiente sı́smico horizontal kh se aplica solamente a las partı́culas sólidas y al “agua restringida”. Gracias al parámetro m se pueden alcanzar las dos situaciones extremas descritas anteriormente, ya que cuando m = 0 (medio muy permeable) ψ3 = ψ1 , mientras que cuando m = 1 (medio poco permeable) ψ3 = ψ2 . Tabla 2.10 – Definición de ψi en función del tipo de relleno desarrollado por Matsuzawa et al. [30]. Tipo de Relleno Sumergido Muy Permeable Poco Permeable Seco tan ψ = kh 1±kv tan ψ1 = Gs Gs −1 tan ψ tan ψ2 = Gs +e Gs −1 tan ψ Generalizado tan ψ3 = Gs +me Gs −1 tan ψ Gs : peso especı́fico de las partı́culas sólidas; e : ı́ndice de huecos Para el cálculo de la presión hidrodinámica, Matsuzawa et al. consideraron que esta solamente es proporcional al agua “libre”, es decir a (1−m), cuyo comportamiento ajustaron con una aproximación de la fórmula propuesta por Matuo y Ohara, obteniendo la expresión 2.22. De este modo cuando m = 0 se alcanza el valor de Westergaard. Dependiendo de la geometrı́a del problema se pueden introducir dos correcciones sobre Pwd : una si el trasdós del muro se encuentra inclinado, ecuación 2.20 y otra atendiendo al valor del ratio Lw /Hw según Werner y Sundquist [30]. Pwd γw nωHw2 = 0,543(1 − m) = 0,272 − 0,288 tanh log kh γ w H 2 7Ew k (2.22) A modo de resumen, Matsuzawa et al. propusieron el siguiente procedimiento de cálculo para obtener el empuje dinámico de tierras y de agua sobre un muro rı́gido con relleno sumergido. Este procedimiento esta definido por las ecuaciones 2.23 y 2.24, donde PN representa la componente normal de la resultante del empuje de tierras y agua, mientras que PT representa la componente tangencial. Pae (ψ3 ) es la resultante del empuje de tierras calculada con M-O y ψ3 , Pwd es la presión hidrodinámica calculada con la expresión 2.22 la cual recoge el efecto de la permeabilidad del relleno, y Pw es la presión hidroestática. 64 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Suelo Seco (b) Suelo Sumergido: muy permeable (c) Suelo Sumergido: poco permeable (d) Caso general Figura 2.35 – Definición de los ángulos del coeficiente sı́smico (ψi ) y de los elementos unitarios de suelo empleados por Matsuzawa et al. [30] para los distintos tipos de relleno. PN = Pae (ψ3 ) cos δ + Pwd + Pw (2.23) PT = Pae (ψ3 ) sen δ (2.24) En la figura 2.36(a) se observa el efecto del coeficiente de permeabilidad k y Hw sobre Kae . Ası́, para un valor de permeabilidad dado, a medida que aumenta el nivel del agua Hw también lo hace Kae . Cuando k < 10−4 cm/seg se aproxima a m = 1 (suelo poco permeable) y Kae alcanza el máximo, por el contrario cuando k > 1 cm/seg se aproxima a m = 0 (suelo muy permeable) y Kae alcanza el valor mı́nimo. La figura 2.36(b) muestra la influencia de kh y m sobre la componente normal del empuje dinámico de tierras, comprobando que éste aumenta cuando aumenta kh de forma más rápida en el caso de suelos sumergidos que secos, y que también aumenta cuando lo hace m. Steedman y Zeng (1990) [128] resaltaron la limitación implı́cita realizada al considerar que en medios poco permeables el agua se mueve conjuntamente con el suelo, ya que se está asumiendo que la presión hidrodinámica del relleno se encuentra en fase con el empuje de tierras, también destacaron que la presión hidrodinámica sobre un muro flexible 65 Kae (y3) 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS (a) Influencia de los parámetros k y Hw sobre Kae (b) Influencia de m y kh sobre Pae cos δ Figura 2.36 – Análisis paramétrico realizado por Matsuzawa et al. [30]. es superior a la obtenida por Westergaard. 2.5. Métodos basados en Modelos Numéricos El cálculo de las presiones generadas en el trasdós de muro también ha sido ampliamente investigado a través de la modelización del problema por medio de la técnica de los Elementos Finitos. La complejidad de los problemas investigados ha ido en aumento a medida que también lo hacı́a la capacidad de cálculo de los ordenadores. Las primeras investigaciones destacables, en lo que a la modelización de estructuras de contención se refiere, se producen a lo largo de la década de los 70 en el siglo XX, sentando en primer lugar las bases para la modelización de problemas estáticos y desarrollando posteriormente modelizaciones para problemas más complejos, tales como los problemas dinámicos o con formulación acoplada debido a la presencia de agua. Por ello, en primer lugar se realiza una breve revisión de los modelos numéricos más significativos para problemas estáticos y después se amplı́a dicha revisión al resto de problemas. 2.5.1. Modelos para problemas estáticos Dentro de las investigaciones basadas en la técnica de los elementos finitos para problemas estáticos, uno de los trabajos más relevantes es el llevado a cabo por G.W. Clough y J.M. Duncan (1971) [130], quienes analizaron el problema de interacción entre el suelo y la estructura asumiendo un comportamiento no lineal tanto para la interfaz como para el suelo a través de un procedimiento incremental. En su análisis emplearon ecuaciones empı́ricas 66 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO hiperbólicas para modelar el comportamiento de la interfaz, obtenidas a través de ensayos de corte directo de probetas compuestas por una parte de hormigón y por otra de suelo. Los elementos de interfaz se colocaron entre el muro y el relleno y el muro y la base de cimentación y se emplearon los propuestos por Goodman et al. [131, 132] para juntas en rocas, controlando que no se produjeran solapes entre ellos o su separación. Desarrollaron diferentes análisis para un muro rı́gido que retiene una arena de densidad media, y que puede alejarse o acercarse al relleno, es decir reproducir la condición activa o pasiva, partiendo del reposo. El primer tipo de movimiento analizado fue el de rotación respecto a la base (RB), asumiendo tres valores para el rozamiento de la interfaz: δ = 0,1o (muro liso), δ = 2/3φ y δ = φ, obteniendo que la distribución de presiones es bastante similar en todos los casos, aunque la variación de presiones con la profundidad es no lineal y la condición activa se alcanza en primer lugar en la coronación. También analizaron el movimiento de traslación del muro (T), observando que el desplazamiento necesario para alcanzar el activo es mucho menor que el necesario para el pasivo. En último lugar estudiaron el efecto del proceso constructivo, el cual puede tener una influencia importante sobre los movimientos y en la interacción entre la estructura y el suelo. También destacan de forma singular los trabajos realizados por Potts y Fourie (1984, 1985, 1986) [133, 32, 33] sobre la modelización en elementos finitos de problemas estáticos. Estos autores aprovecharon las ventajas de esta técnica numérica para investigar el efecto de diferentes aspectos en el comportamiento de las estructuras de contención, aspectos que a través de las técnicas simplificadas es complicado o incluso imposible considerar. De este modo, en sus investigaciones analizaron la influencia del tipo de construcción (relleno o excavación), de las tensiones iniciales del suelo (parámetro Ko ), de la rigidez del muro y de los tipos de movimiento que éste puede presentar. Comenzando por la influencia de la rigidez del muro, Potts y Fourie analizaron cuatro muros de diferente rigidez, como muestra la tabla 2.11, donde los casos etiquetados como Rigid Wall y Soft Wall corresponden a los casos extremos. Además consideraron la influencia del estado tensional inicial del suelo por medio de dos valores para el coeficiente de empuje al reposo: K0 = 2 para un terreno muy sobreconsolidado y K0 = 0,5 para un terreno normalmente consolidado o ligeramente sobreconsolidado. La geometrı́a estudiada corresponde a un muro de 20 m de altura con una excavación en el intradós hasta 13,26 m y que además dispone de un codal de apoyo en la parte superior del muro. Los resultados obtenidos en cuanto a movimientos del muro y leyes de presiones en el trasdós se muestran en la figura 2.37. Para el caso de K0 = 2, la rotación del muro de mayor rigidez se puede asimilar a una rotación en coronación, mientras que para los muros más flexibles, el mayor desplazamiento, se produce hacia la mitad del muro. Por otra parte, es destacable la influencia de la rigidez del muro en la ley de presiones generada, especialmente para el caso de K0 = 2. Por una parte, el muro con mayor rigidez presenta una distribución parabólica con el valor máximo situado a media altura, mientras que los muros con menor rigidez presentan en la mitad superior distribuciones similares al empuje activo clásico, con un drástico incremento en la mitad inferior y un bulbo de concentración de presiones en la coronación. Como queda reflejado, tanto la rigidez del muro como el estado tensional inicial del suelo tienen una gran 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 67 influencia en las presiones y los movimientos experimentados por el muro. Tabla 2.11 – Valores asignados de rigidez EI(kN m2 ) para los distintos muros empleados en la investigación numérica realizada por Potts y Fourie [32]. Rigid Wall 2,3 · 109 Diaphragm Wall 2,3 · 106 Sheet Pile Wall 7,8 · 104 Soft Wall 2,3 · 104 Estos autores [33] también investigaron la influencia del tipo de movimiento del muro analizando los mismos casos que Dubrova [26]: traslación, rotación en coronación y rotación en base. Adoptaron como estado tensional inicial K0 = 2, considerando tanto un muro liso como rugoso (δ = φ) y asumieron un comportamiento elasto-plástico del suelo con un criterio Mohr-Coulomb. Para ello definieron un coeficiente equivalente K que se calcula como K = 2P/(γH 2 ), donde P es la resultante27 de la fuerza horizontal aplicada por el suelo sobre el muro, y un factor de carga K̄ que se define como K̄ = (K0 − K)/(K0 − Ka ) para el empuje activo y K̄ = (K − K0 )/(Kp − K0 ) para el empuje pasivo, donde Ka y Kp se corresponden con los valores de Rankine en el caso de muro liso y de Caquot-Kerisel [1] en el caso de muro rugoso. Los resultados obtenidos para el caso del muro liso se muestran en las figuras 2.38(a) y 2.39, a partir de las cuales concluyeron que: En el movimiento de traslación, la distribución de presiones es próxima a la de Rankine, especialmente para el caso activo. En los movimientos de rotación, las distribuciones de presiones difieren bastante de la de Rankine, lo que implica que el punto de aplicación de la resultante, especialmente en el caso activo, se sitúe en una cota más alta. Los mayores desplazamientos para alcanzar la condición de rotura se producen para el movimiento de rotación en la base. Para un muro rugoso, figuras 2.38(b) y 2.40, Potts y Fourie comprobaron que: Nuevamente, el movimiento de rotación en la base es el que requiere mayores desplazamientos para alcanzar la condición de rotura. El valor final de Kp es significativamente mayor en el caso del muro con trasdós rugoso que en el caso de muro liso. Las distribuciones de presiones para un muro rugoso son similares a las del muro liso aunque la magnitud es notablemente superior. No se llegan a producir distribuciones de presiones claramente lineales y el punto de aplicación de la resultante depende considerablemente del tipo de movimiento. También concluyeron que la zona de plastificación del suelo afectada por el muro rugoso es más extensa que la del caso del muro liso, observando además para el caso pasivo cierta curvatura en el área plastificada, fénomeno que ya se consideraba en las superficies de rotura de algunos métodos tradicionales. En resumen se puede deducir que tanto el tipo de movimiento del muro como la rugosidad del mismo tienen una gran influencia en las presiones generadas. Potts y Fourie también analizaron la influencia de otros aspectos como el ángulo de dilatación del suelo, sobre el que concluyeron que tiene poca influencia en el cálculo del empuje, ya sea activo 27 La resultante P la calculan como la suma de todas las reacciones de los nodos que pertenecen al borde que define el muro. 68 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Movimiento Lateral para K0 = 2 (c) Distribución de presiones para K0 = 2 (b) Movimiento Lateral para K0 = 0,5 (d) Distribución de presiones para K0 = 0,5 Figura 2.37 – Movimientos laterales y distribución de presiones obtenidas por Potts y Fourie [32] para diferentes valores de rigidez y K0 . 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS (a) Muro Liso (b) Muro Rugoso Figura 2.38 – Desarrollo de los coeficientes de empuje activo y pasivo según Potts y Fourie [32]. 69 70 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.39 – Distribución de presiones activa y pasiva para un muro liso según Potts y Fourie [33]. Ka y Kp son la distribución de presiones activa y pasiva de Rankine (φ = 25o , Ka = 0,41 y Kp = 2,46) y Ko es la distribución de presiones del empuje al reposo (Ko = 2). 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 71 Figura 2.40 – Distribución de presiones activa y pasiva para un muro rugoso según Potts y Fourie [33]. Ka y Kp son la distribución de presiones activa y pasiva calculadas a partir de Caquot-Kerisel (φ = 25o , Ka = 0,33 y Kp = 3,89) y Ko es la distribución de presiones del empuje al reposo (Ko = 2). 72 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO o pasivo. En cuanto al parámetro K0 , observaron que para valores de K0 < 1 es necesario que se produzcan grandes desplazamientos para alcanzar la condición pasiva, mientras que el estado activo se alcanza rápidamente, lo que es coherente con los supuestos tradicionales. Sin embargo dicha condición pasiva se puede alcanzar para valores de desplazamiento menores cuando el suelo presenta valores de K0 altos, contradiciendo las hipótesis tradicionales. Finalmente también analizaron el efecto de una distribución creciente del modulo de Young con la profundidad en lugar de un valor constante, concluyendo que, al igual que con K0 , dicha distribución afecta principalmente al valor del desplazamiento necesario para alcanzar la condición lı́mite. Posteriormente Day y Potts (1998) [134] amplı́an el trabajo original de Potts y Fourie [33] desarrollado sobre los supuestos de muro liso o rugoso, a un modelo en elementos finitos donde introducen elementos de interfaz para investigar el efecto de las propiedades de la interfaz sobre el comportamiento del muro, tanto en la condición activa como pasiva, pero únicamente para el movimiento de traslación horizontal. Emplean para el suelo elementos isopamétricos rectangulares de 8 nodos, para el contacto suelo-muro emplean elementos de interfaz sin espesor (“zero thickness”) [131, 135], mientras que el muro lo modelan como parte del contorno. Adoptan un criterio de rotura Mohr-Coulomb y K0 = 1. Investigaron la influencia que el ángulo de fricción máximo28 , la rigidez (elástica) de la interfaz y la dilatación de la interfaz tienen sobre los coeficientes de empuje activo y pasivo, el mecanismo de fallo y la deformada de la superficie del relleno. Comprueban que los coeficientes de empuje dependen del ángulo de fricción máxima del muro pero son independientes de la dilatación y rigidez de la interfaz. En cuanto a los mecanismos de fallo observan que éstos no se ven afectados por el valor de la dilatación de la interfaz. Respecto a la deformación de la superficie del relleno, comprueban que en el caso de no disponer elementos de interfaz los desplazamientos verticales son nulos y los horizontales iguales al valor de desplazamiento prescrito, mientras que en el caso de existir estos elementos de interfaz el desplazamiento vertical sı́ se produce y el horizontal depende de la dilatación de la interfaz. Por lo tanto la dilatación de la interfaz tiene un marcado efecto sobre la deformación de la superficie del relleno. Finalmente concluyen que los resultados obtenidos para el caso de un muro rugoso con elementos de interfaz asumiendo una regla de flujo asociado coinciden básicamente con los resultados de un análisis sin elementos de interfaz, destacando por tanto la utilidad de los elementos de interfaz para modelar distintos valores de fricción en la interfaz, asi como del comportamiento no-asociado de la interfaz y del modelo Mohr-Coulomb para modelar el comportamiento de la interfaz en el análisis de muros por el método de los elementos finitos. También cabe destacar la investigación realizada por Bhatia y Bakeer (1989) [34] sobre la modelización por el método de los elementos finitos de un muro de gravedad que retiene un suelo seco sin cohesión bajo carga estática. En esta investigación, los autores ya ponen de manifiesto la relevante influencia de algunos aspectos en el empleo de esta técnica numérica, destacando como el tamaño de la malla, el número y tamaño de los elementos o las condiciones de contorno influyen sobre los resultados obtenidos del modelo. Emplearon 28 El ángulo de fricción lo calculan como tan−1 (Ph /Pv ), donde Ph y Pv son la suma de las reacciones horizontales y verticales a lo largo del muro, es decir es el ángulo que forma la resultante con la horizontal. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 73 elementos rectangulares de 8 nodos, para modelizar tanto el muro como el relleno, con una ley constitutiva elástica no lineal y plasticidad perfecta, junto con un criterio Von-Mises. También destacan la importancia de la correcta modelización de la interacción suelo-muro para el contacto muro-relleno y muro-base de cimentación. Para esto emplean dos conjuntos de elementos bidimensionales de interfaz que conectan los nodos de las esquinas de los elementos del suelo y el muro basándose en los elementos propuestos por Goodman et al. [131, 132]. Estos elementos presentan una fricción de tipo coulombiano29 , permiten la apertura y para su formulación los autores emplean los desplazamientos nodales relativos de los elementos que representan los dos materiales de la interfaz. La modelización la llevan a cabo con el programa ABAQUS, realizando una colección de simulaciones numéricas donde varı́an tanto la geometrı́a de malla, como las condiciones de contorno y los elementos de interfaz, empleando los resultados experimentales de Matsuo et al.30 [35] para validar el análisis realizado. Las simulaciones numéricas muestran un buen ajuste, figura 2.41 y tabla 2.12, con los mencionados resultados experimentales. Bhatia y Bakeer obtienen las siguientes conclusiones: Con un relleno de extensión horizontal igual a 4H y condiciones de contorno libres, se pueden representar adecuadamente los resultados experimentales. Para rellenos infinitamente extensos, los efectos de borde se pueden eliminar si la extensión lateral del modelo es al menos 6H. La profundidad del suelo de cimentación del muro debe ser al menos 0,2H para reducir el efecto de la coacción del contorno sobre las tensiones cerca de la base del muro. Es conveniente emplear mayor número de elementos cerca del trasdós del muro para obtener la posición del punto de aplicación de la resultante con mayor precisión, aunque su magnitud se ve menos afectada por este aspecto. También se debe emplear una malla más fina en el trasdós del muro con una extensión entre 0,8H y H para poder localizar la cuña de rotura en la condición activa. Para la condición pasiva, el refinamiento de la malla debe extenderse a una longitud mayor. Para detectar la superficie de fallo, se pueden comprobar las tensiones principales en cada elemento del relleno, siendo necesario un movimiento de 0,001H en el caso de rotación en base para desarrollarla. También comprobaron que esta cuña de fallo está limitada por dos planos que pasan por el talón del muro y tienen una pendiente de 45o ± φ/2. Tabla 2.12 – Resultados obtenidos con el modelo numérico de Bhatia y Bakeer [34] respecto a los resultados experimentales de Matsuo et al. [35]. 29 No Caso P (t/m2 ) K y/H 1 − Exp 3 − N um 8 − Exp 9 − N um 52,25 54,0 39 39,3 0,55 0,57 0,41 0,41 0,35 0,34 0,25 0,25 El ángulo de fricción de estos elementos oscila entre 18o y 40o para el muro-relleno y 27o para el murocimentación, tienen una rigidez de 1 · 108 t/m2 y el espesor de la separación oscila entre 0 y 0,005m. El relleno está compuesto por arena suelta con φ = 27o . 30 Los resultados reportados por Matuo et al. [35] derivan de ensayos en campo sobre muros a gran escala. 74 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Sin desplazamiento (b) Rotación del muro 0,0016H Figura 2.41 – Distribución de presión de tierras obtenida por Bhatia y Bakeer [34] respecto a los resultados experimentales de Matsuo et al. [35]. (Los números entre corchetes se corresponden con los casos mostrados en la tabla 2.12). Posteriormente, Matsuzawa y Hazarika (1996) [36] también emplearon los elementos finitos para evaluar la influencia del efecto del tipo de movimiento del muro sobre la presiones activas estáticas en un muro rı́gido y rugoso, con un relleno seco y sin cohesión. En dicha investigación tuvieron en cuenta cuatro modos de movimiento del muro: Traslación (T), Rotación en coronación (RT), Rotación en base (RB) y Rotación en base combinada con traslación (RB-T), contrastando los resultados obtenidos con las soluciones de Dubrova [26], Coulomb y el método de la espiral logarı́tmica [2]. Para ello toman como modelos de análisis los resultados experimentales de Ichihara y Matsuzawa (1993) [74] y Fang y Ishibashi (1986) [117]. Para modelizar el relleno y simular el fallo progresivo, emplean una ley de plasticidad con endurecimiento basada en el modelo de Drucker-Prager. También prestan especial interés a la modelización de la interfaz entre el suelo y el muro puesto que lo consideran como rugoso, para lo que introducen un elemento de conexión entre el muro y el relleno formado por un muelle en la dirección tangencial y un elemento de deslizamiento para representar la fricción de tipo coulombiana, evitando además la separación entre el muro y el suelo, y permitiendo de este modo que la masa de suelo deslice a lo largo del muro manteniendo siempre el contacto con él. Asumen un valor constante del rozamiento en todos los elementos de la interfaz independientemente de la profundidad31 . Los principales resultados de este trabajo se muestran en la figura 2.42, los cuales se ajustan bastante bien a los resultados experimentales. De dicha investigación se puede concluir lo siguiente: La distribución de presiones depende considerablemente del tipo de movimiento que sufre el muro. Dichas distribuciones presentan un marcado carácter no lineal principalmente en los movimientos distintos al de rotación en la base. 31 En las conclusiones, estos autores proponen una investigación más profunda sobre esta hipótesis, puesto que podrı́a considerarse como una aproximación muy grosera 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 75 La distribución de presiones para el modo RB-T se puede aproximar como la superposición de los modos RB y T, de forma análoga a Dubrova. Debido a la naturaleza no lineal de la distribución de presiones, el punto de aplicación de la resultante h/H difiere bastante del valor de H/3 asumido por Coulomb. Para el modo de T y RT, el ratio h/H aumenta gradualmente a partir del valor inicial de 0.333H hasta a un valor constante. Para los modos de RB y RB-T, inicialmente decrece y luego comienza a aumentar hasta un valor constante, inferior a 0.333H en el caso de RB y superior a 0.333H en el caso de RB-T. El coeficiente de empuje horizontal de tierras Ka presenta un descenso abrupto, seguido de un descenso más suave hasta alcanzar un valor estable. La variación del coeficiente de fricción tan δ depende del tipo de movimiento, aunque la tendencia general es un incremento gradual con el desplazamiento del muro hasta alcanzar un valor máximo. A diferencia de los resultados experimentales, los resultados numéricos muestran un descenso tras alcanzar el valor pico, siendo el modo RB-T el que mejor simula los resultados experimentales. Una vez alcanzado el estado activo (figura 2.42-c), se observa como los resultados numéricos se ajustan razonablemente con los experimentales. En los modos T y RT, los resultados numéricos se ajustan a la distribución de Dubrova en la parte superior e inferior del muro aunque no en la intermedia. En el modo de RB, todas las metodologı́as siguen la misma tendencia mientras que en el modo RB-T, los resultados numéricos muestran una tendencia similar a la de Dubrova en los 2/3 superiores del muro diferenciándose de ella en la parte inferior. Además, Matsuzawa y Hazarika realizaron un ajuste de los resultados obtenidos por medio de una regresión, proponiendo las ecuaciones analı́ticas 2.25 y 2.26 para calcular el coeficiente de empuje activo (Ka ) y el punto de aplicación de la resultante (h/H), respectivamente, a partir de los coeficientes Mc y MR mostrados en la tabla 2.13 y el ángulo de rozamiento interno φ (en grados). Ka = 186203472,74Mc3 + 5165156,87Mc2 + (47625,47 + φ)Mc + 146,50 (2.25) (h/H)a = −5191872,44MR3 + 43451,003MR2 + (59,16 + φ)MR − 0,3524 (2.26) Tabla 2.13 – Coeficientes Mc y MR obtenidos para el ajuste de Matsuzawa y Hazarika [36] para el cálculo de KA y el punto de aplicación de la resultante, ecuaciones 2.25 y 2.26. Mc MR T RT RB RB-T -0,00996 0,00427 -0,00970 0,00810 -0,00836 -0,00399 -0,00858 0,00375 Finalmente, los autores mencionados analizaron el efecto de la densidad del relleno para los modos de traslación y rotación en coronación. Comprobaron que en el caso de traslación, la densidad del relleno no afecta al patrón de la distribución de presiones aunque sı́ a su magnitud, como se comprueba en la figura 2.43(a). Por el contrario, el efecto de la densidad sı́ es relevante para el modo de rotación en coronación, presentando una distribución distinta, como se muestra en la figura 2.43(b). 76 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO a a a a a a a a (a) Presiones horizontales (b) Movimiento del muro (c) Presiones-activa Figura 2.42 – Resultados obtenidos de la simulación numérica realizada por Matsuzawa y Hazarika [36] para cada modo de movimiento del muro, donde d representa el desplazamiento horizontal del muro, θ la rotación del muro con la vertical y s el valor del desplazamiento en el punto medio del muro para el modo RB-T. 2.5.2. Modelos para problemas dinámicos Las primeras investigaciones32 sobre la modelización de estructuras de contención bajo cargas dinámicas se pueden encontrar en los años 80, las cuales a su vez suelen estar contrastadas con investigaciones experimentales. Entre dichos estudios numéricos se encuentra en primer lugar el trabajo desarrollado por Siddharthan y Maragakis (1989) [37], quienes a través de un modelo en elementos finitos y deformación plana, estudiaron la respuesta sı́smica de muros flexibles que retienen un suelo seco. El modelo considera un comportamiento no lineal del relleno a través de un enfoque incremental donde las propiedades 32 Para problemas dinámicos, la técnica de los elementos finitos también ha sido empleada por otros investigadores como Veletsos y Younan[96] o Jung et al. [16] para modelizar los métodos simplificados que han propuesto, no para abordar un problema dinámico complejo como tal. Por ello no se han incluido en este apartado sino junto con los correspondientes métodos de cálculo simplificados. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS (a) Traslación 77 (b) Rotación en Coronación Figura 2.43 – Efecto de la densidad del relleno en la distribución del empuje de tierras activo según Matsuzawa y Hazarika [36], para los modos de traslación y rotación en coronación. del suelo dependen de la trayectoria tensional seguida, considerando un amortiguamiento histerético del suelo. Estos autores también introducen un cierto valor de amortiguamiento viscoso tipo Rayleigh, en torno al 1-2 % del crı́tico, para amortiguar las altas frecuencias introducidas por el procedimiento de integración. Emplean elementos isoparamétricos para el suelo, elementos viga (elástico lineal) para el muro y los elementos de interfaz propuestos por Goodman et al. [131, 132] para el contacto muro-relleno y poder modelizar ası́ el deslizamiento entre ellos. El comportamiento para la interfaz se asume como elásticoperfectamente plástico y con un criterio de fallo Mohr-Coulomb33 . El estado tensional inicial (o in-situ) lo evalúan a través de un proceso constructivo capa a capa, mientras que la solicitación dinámica se aplica en la base y se define como una carga sinusoidal de periodo 1 seg. y una amplitud que varı́a linealmente hasta un máximo de 0,17g en 2 segundos manteniéndose constante durante 6 seg. y posteriormente reduciéndose linealmente hasta 0 en 2 seg. Los resultados obtenidos por este modelo se comparan en primer lugar con los registros observados de ensayo en centrifuga (Universidad de Cambridge) [37]. Después investigaron la influencia de la flexibilidad del muro y de la densidad del relleno sobre la respuesta concluyendo lo siguiente: Encontraron un buen ajuste con los resultados experimentales para la ley de momentos flectores residuales34 en el muro, aunque los momentos flectores máximos calculados son superiores a los medidos, figura 2.44(a). En cuanto a la influencia de la densidad del relleno, analizaron dos arenas (Ottawa) una densa (Dr = 75 %) y otra de densidad media (Dr = 54 %), concluyendo que las deformaciones para la arena de densidad media son superiores que las de la arena densa, lo que implica mayores momentos flectores, como muestra la historia temporal de la figura 2.44(b). Respecto a la influencia de la flexibilidad del muro trabajaron con dos valores de rigidez, EI = 7,5 · 105 kN/m2 y EI = 1,6 · 105 kN/m2 , junto con los dos casos anteriores 33 A pesar de que el método propuesto permite incorporar elementos de deslizamiento en la interfaz suelomuro, los autores adoptan una condición de no deslizamiento (“contacto perfecto”) para reducir el numero de parámetros del análisis. Además exponen que los elementos de deslizamiento afectan al asiento del relleno junto al muro, pero no afectan al momento flector ni a los asientos del relleno que se encuentra lejos del muro. 34 Los valores residuales se definen una vez que ha cesado la solicitación cı́clica. 78 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO de arena. Expresan los momentos flectores máximos y residuales en la base del muro 4 en función del número de flexibilidad35 ρ = H EI y respecto al momento flector MS−W obtenido por Seed y Whitman [3]. En la figura 2.44(c), observaron que una mayor flexibilidad del muro se traduce en una reducción importante de los momentos flectores, de tal modo que, según estos autores, los momentos flectores calculados por Seed y Whitman proporcionan valores conservadores para los muros flexibles y no conservadores para los muros más rı́gidos. La diferencia entre el momento flector máximo y residual es mucho más significativa para los muros más rı́gidos. Los muros más flexibles y con el relleno de menor densidad son los que presentan los desplazamientos horizontales más altos, figura 2.44(d). Los asientos obtenidos en el relleno lejos del muro también son superiores para el caso de la arena de densidad media. En la investigación realizada, Siddharthan y Maragakis asumen que el muro está unido rı́gidamente a la base, por lo que no tienen en cuenta el efecto que los desplazamientos del suelo de apoyo pueden tener sobre el comportamiento de la estructura. Al-Homoud y Whitman (1999) [136] desarrollaron un modelo bidimensional en elementos finitos para analizar la respuesta sı́smica de estructuras de contención rı́gidas, especialmente estribos de puentes de carreteras, que retienen y están cimentados en arena seca, con especial énfasis en su comportamiento frente a rotación. Para ello emplearon el código FLEX [136] formulado en FORTRAN 77. El modelo constitutivo empleado es de tipo “viscous-cap”, compuesto por una superficie de fallo y una ley de endurecimiento (“cap hardening”) junto con una regla de flujo asociado. Además el comportamiento visco-elástico representa un amortiguamiento de tipo histerético del suelo durante la carga dinámica. Disponen elementos de interfaz tanto en el trasdós del muro como en su base para permitir el deslizamiento y el despegue/contacto. En cuanto a los contornos del dominio numérico, se basan en la tipologı́a de contornos absorbentes propuestos por Lysmer y Kuhlemeyer [45] para simular la radiación de energı́a en los bordes laterales. Emplean elementos isoparamétricos de 4 nodos tanto para el relleno como para el material de cimentación, mientras que para el cálculo dinámico el código FLEX utiliza una técnica explı́cita de integración en el dominio del tiempo. Para iniciar los vectores de tensión y deformación se usan los resultados de un análisis estático previo. El modelo estudiado corresponde a un muro de gravedad de 8 m de altura y 3 m de ancho, sometido tanto a una solicitación sinusoidal como a diferentes sismos. Además los resultados obtenidos del modelo fueron comparados con diferentes ensayos en centrifuga y también se realizó un estudio paramétrico, obteniendo las siguientes conclusiones: El movimiento de rotación alejándose del relleno es el modo de respuesta dominante durante la aplicación de la carga dinámica presentado un valor de giro permanente una vez que cesa la solicitación. Además de esta rotación permanente, también tienen lugar un incremento permanente del empuje horizontal sobre el muro, un levantamiento permanente del tacón del muro y un hundimiento de la punta, acompañados de un incremento permanente de las tensiones verticales bajo la punta y un decremento de las tensiones verticales en el tacón. El valor del giro que sufre el muro depende del ratio entre la frecuencia de solicitación y la frecuencia fundamental del relleno, aumentando de forma no lineal el valor del giro cuando este ratio se aproxima a 1. También depende del número de ciclos, de la amplitud del input y del ancho de la base del muro. 35 Los muros más flexibles son aquellos que tienen un número de flexibilidad más alto, mientras que los más rı́gidos tienen un número de flexiblidad más bajo. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 79 (a) Ley de momento flector máximo y residual (b) Historia temporal del momento flector en un punto a 2,8 m de la base (c) Momento flector máximo y residual, en la base del muro (d) Desplazamiento horizontal máximo del muro Figura 2.44 – Principales conclusiones obtenidas del modelo en elementos finitos para carga cı́clica de Siddharthan y Maragakis [37]. 80 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Variaciones en los parámetros del suelo de cimentación afectan poco al valor de giro residual. Consideran que un modelo donde se asume el relleno y el suelo cimentación como elástico, ası́ como no permitir el despegue/contacto en la interfaz proporciona resultados irreales. Comparando con los resultados obtenidos por el modelo numérico, el procedimiento simplificado de Seed y Whitman [3] es conservador, mientras que la localización del punto de aplicación de la resultante del empuje dinámico es superior al valor de 0,6H propuesto por Seed y Whitman. Verifican que existe un desfase entre la aceleración máxima en la coronación y en la base, como ya observaron Steedman y Zeng [9]. El valor de este desfase depende del ratio entre la frecuencia de la solicitación y la frecuencia fundamental del relleno. El punto más alto de aplicación de la resultante se produce cuando dicha resultante es máxima y el punto más bajo cuando la resultante es mı́nima. En base a los resultados de este estudio, proponen un procedimiento aproximado para estimar el desplazamiento residual de un muro rı́gido tras un sismo. Posteriormente, Green y Ebeling (2003) [38] publicaron una investigación sobre el análisis sı́smico de estructuras flexibles, muros tipo ménsula, en base a una modelización numérica realizada en el programa en diferencias finitas FLAC [137]. Con ello pretendı́an determinar la magnitud y distribución de las cargas sı́smicas que actúan sobre la estructura, para analizar la estabilidad global de la misma y el diseño de los diferentes elementos estructurales. Consideraron un muro de altura 20 ft (≈ 7m) que retiene una arena de densidad media y esta apoyado sobre una base de arena densa. En cuanto a la solicitación dinámica empleada, trabajaron con terremotos reales registrados sobre roca o suelo firme, en particular con el terremoto de Loma Prieta (1989) en California, previamente escalado y tras filtrar las altas frecuencias. Puesto que el sismo seleccionado fue registrado en roca, obtuvieron el correspondiente acelerograma a aplicar en la base del modelo a través del programa SHAKE91 [138]. Para el terreno emplearon un modelo elastoplástico junto con un criterio de rotura Mohr-Coulomb, mientras que para el muro emplearon elementos viga elásticos considerando dos valores de inercia para la sección del muro, uno fisurado y otro sin fisurar. Respecto a la interacción suelo-muro emplearon los elementos implementados en FLAC que permiten tanto el despegue como el deslizamiento relativo. Para el comportamiento a cortante en la interfaz emplearon un modelo basado en el modelo elástico hiperbólico desarrollado por Gomez et al. [50] para problemas de carga/descarga (“Extended Hyperbolic Model”) y que esta basado a su vez en el modelo hiperbólico original de Clough y Duncan [130]. En cuanto al amortiguamiento, al emplear un modelo elastoplástico, las deformaciones plásticas del suelo introducen un amortiguamiento de tipo histerético, sin embargo cuando las tensiones se mantienen en el rango elástico no se produce amortiguamiento alguno, por ello adoptan un valor mı́nimo de amortiguamiento tipo Rayleigh entre el 1-2 % del critico. Sin embargo, puede no ser suficiente para eliminar los ruidos de altas frecuencias, más aún debido al algoritmo explı́cito de integración empleado, por ello estos autores adoptan como valor máximo de amortiguamiento Rayleigh, el valor obtenido de la última iteración del programa SHAKE en el cálculo del acelerograma. El modelo numérico se construye de forma similar al proceso constructivo real. Como resultados del modelo obtuvieron tanto la resultante sobre el vástago del muro (Pstem ), como sobre el plano vertical que pasa 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 81 por el talón de la base (Pheel ), ası́ como los puntos de aplicación de ambos, el incremento de empuje debido al sismo, y los desplazamientos permanentes del muro. Las principales conclusiones obtenidas fueron: El valor máximo del empuje sobre la sección que pasa por el talón (Pheel ) es superior al valor máximo del empuje sobre el vástago (Pstem ), presentando éste último mayores fluctuaciones. Al cesar la solicitación sı́smica, se obtiene un valor residual de empuje que se aproxima al valor del empuje al reposo, tanto en el vástago como en la sección por el talón (figura 2.45). Respecto al punto de aplicación de la resultante, se observa una tendencia creciente a medida que progresa el sismo, presentando mayor fluctuación en el caso del empuje sobre el vástago, figura 2.45. El punto de aplicación de Pstem se encuentra en desfase tanto con la aceleración horizontal como con la propia resultante sobre el vástago, sin embargo el punto de aplicación de Pheel se encuentra en desfase con la aceleración horizontal pero no con la resultante (Pheel ), figura 2.46. Los puntos de aplicación de ambas resultantes se sitúan en torno al punto medio del muro y en cualquier caso son superiores al valor estático (figura 2.47). El máximo incremento de empuje en el vástago obtenido del modelo no coincide con el valor máximo de aceleración aunque es muy próximo al incremento de presión derivado de Seed y Whitman (∆PSeedW hitman ). En el caso del talón, el valor del incremento de presión obtenido del modelo (∆Pheel ) coincide con el pico de aceleraciones aunque resulta mayor que ∆PSeedW hitman (figura 2.45). 2.5.3. Modelos para problemas dinámicos en medios porosos saturados Como ya se ha indicado anteriormente, el diseño de estructuras de contención es un problema tradicional de la Geotecnia, por lo que conocer los factores que gobiernan la respuesta de la estructura es fundamental a la hora de abordar el diseño de las mismas, especialmente en los casos dinámicos. Mientras que en los problemas con rellenos secos solamente es necesario determinar el incremento de presión de tierras debido a la carga sı́smica, en los rellenos saturados el cálculo se complica debido a la presencia de agua, ya que se introducen presiones hidrodinámicas adicionales junto con un incremento de presión de poro debido a la carga cı́clica, lo que puede conducir a una reducción de la resistencia y de la rigidez del relleno, además de un incremento de la presión lateral. Cuando las estructuras están construidas sobre suelos arenosos saturados, la carga sı́smica puede generar un incremento de la presión de poro que provoque la degradación de la rigidez y resistencia del suelo, afectando a la estabilidad de la estructura y, en el peor caso, dicho incremento de presión de poro puede generar la licuefacción del suelo, fenómeno al que son especialmente susceptibles algunas estructuras costeras. Algunos ejemplos de daños importantes ocasionados por terremotos en estructuras con presencia de agua son por ejemplo el puerto de Kobe (Japón) tras el terremoto de 1995, fotografı́a 2.48(a), o el fallo de la presa de San Fernando en California (EEUU) en 1971, fotografı́a 2.48(b). Factores como los efectos de inercia del muro, la rigidez relativa entre el relleno y el muro, las caracterı́sticas del sismo, las presiones laterales residuales, etc. contribuyen a aumentar la dificultad de este problema de interacción suelo-fluido intersticial-estructura. Este complejo problema requiere de sofisticadas técnicas numéricas para ser analizado, por ello las investigaciones numéricas sobre problemas dinámicos con rellenos saturados son escasas. 82 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.45 – Resultantes, puntos de aplicación e incrementos de presión, tanto en el vástago (stem) como en la sección por el talón del muro (heel), obtenidos con el modelo de Green y Ebeling [38]. Una de las técnicas más avanzadas son los modelos en elementos finitos, los cuales permiten abordar la complejidad del comportamiento del suelo bajo carga dinámica, la interacción suelo-estructura y la influencia del agua. Dos de estos modelos más difundidos son el programa SWANDYNE desarrollado por Chang, y una versión posterior ampliada conocida como DYANA-SWANDYNE II [56]. Para la validación de los modelos numéricos es muy habitual emplear resultados experimentales procedentes de ensayos a escala reducida principalmente realizados con mesa vibrante o ensayos en centrı́fuga destacando, entre otros, los resultados obtenidos del proyecto VELACS (Verification of Liquefaction Analysis by Centrifuge Studies) [56, 141]. En muchos casos, los resultados del ensayo se conocen de antemano lo que permite una mejor calibración de la ley constitutiva y del modelo numérico. A continuación se presentan las investigaciones más relevantes recogidas en la literatura y que abarcan el estudio de la respuesta dinámica de estructuras de contención con rellenos saturados a partir de modelos en elementos finitos, las cuales a su vez se apoyan en estudios experimentales para validar y contrastar los resultados. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 83 Figura 2.46 – Desfases observados por Green y Ebeling [38] en los resultados obtenidos para las resultantes, sus puntos de aplicación y la aceleración horizontal. Figura 2.47 – Distribuciones de presiones obtenidas del modelo de Green y Ebeling [38] para los valores máximos de Pstem , Pheel , (Y )stem y (Y )heel . 2.5.3.1. Madabhushi y Zeng (1998) En primer lugar destaca la investigación desarrollada por Madabhushi y Zeng (1998) [40] para analizar la respuesta de muros de gravedad en puertos frente a sismo. Para ello realizaron por una parte una modelización numérica del problema a través del programa SWANDYNE, que compararon con los resultados obtenidos de diferentes ensayos en centrifuga. Con esta investigación los autores pretendı́an desarrollar una técnica numérica que recogiera las principales caracterı́sticas de los comportamientos experimentales analizados. Los ensayos adoptados como referencia se llevaron a cabo en centrı́fuga (Cambridge Geotechnical Centrifuge Center) y se encuentran descritos detalladamente en el artı́culo publicado por Zeng (1998) [39], los cuales se corresponden a ensayos sobre arena suelta para relleno seco (XZ7) y para relleno saturado (XZ9)36 . Como ya se ha indicado, para analizar el problema de un medio poroso saturado sometido a cargas cı́clicas, Madabhushi y Zeng emplearon el código en elementos finitos SWANDYNE. Este código esta definido en deformaciones planas y emplea una formula36 Los resultados reportados en [39] son parte del proyecto VELCAS (Verification of Liquefaction Analysis using Centrifuge Studies), financiado por la National Science Foundation (EEUU) en la década de los 90. 84 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Parque en memoria del terremoto de Kobe de 1995 (Japón) (b) Fallo por licuefacción del espaldón de [139] aguas arriba en la presa de San Fernando tras el terremoto de 1971 [140] Figura 2.48 – Fallos de estructuras de contención con presencia de agua tras sendos episodios sı́smicos. ción acoplada y tensiones efectivas a través de la formulación de Biot [56], despreciando el término de aceleración del fluido (formulación u-p) y empleando el método incondicionalmente estable de Newmark (γ = 1/2 y β = 1/4) [54]. En cuanto al modelo constitutivo, emplean el modelo propuesto por Pastor, Zienkiewicz y Leung (1985) y conocido como (PZ III) [40]. Este modelo esta basado en la teorı́a de plasticidad generalizada con superficie frontera y una regla de flujo no asociado, definiéndose explı́citamente para el mismo las superficies de fluencia y de potencial plástico. Los parámetros del modelo fueron obtenidos de ensayos de laboratorio sobre la arena de Nevada para una densidad relativa del 40 %. Estos ensayos se muestran en la tabla 2.14 (ensayos XZ7 y XZ9). Para la correcta simulación de los resultados de laboratorio, Madabhushi y Zeng implementaron diferentes técnicas numéricas especiales. En primer lugar observaron que, debido a la forma en la que se aplica la carga en el ensayo de centrı́fuga, se parte de unas condiciones iniciales de velocidad y desplazamiento no nulas, las cuales se tienen en cuenta para el modelo numérico, y cuya magnitud se estima a partir de la aceleración registrada en la base del modelo experimental y con un algoritmo basado en las transformadas de Fourier37 . En segundo lugar, se debe prestar especial atención a los contornos del modelo para reproducir las condiciones de campo libre, para lo que es necesario emplear bordes absorbentes artificiales que eviten la reflexión de las ondas hacia el dominio del problema, lo que podrı́a llegar invalidar los resultados. En los ensayos este problema se aborda colocando en ambos extremos del modelo unas bandas de un material blando denominado “Duxeal”, mientras que en el modelo numérico se implementan unos contornos absorbentes conocidos como “compound parabolic collector-based nonreflecting boundaries”38 . En tercer lugar, se debe tener en cuenta que durante episodios de sismos intensos, el muro 37 Este algoritmo se encuentra resumido en [40]. Estos contornos se disponen en los extremos del modelo y están definidos por unos recintos parabólicos a modo de colectores, de tal modo que las ondas incidentes sobre el contorno se conducen hacia un apéndice de este recinto, donde debido a su geometrı́a tienen lugar múltiples reflexiones de las ondas que hacen que éstas queden atrapadas y no vuelvan a re-introducirse en el dominio de cálculo. 38 Parámetro Permeabilidad Densidad seca Índice de huecos Ángulo de fricción estado crı́tico Pendiente de CSL para vector de deformaciones plásticas Pendiente de CSL para el vector de cargaa Parámetro (dilatancia - ratio de tensiones) Parámetro (dilatancia - vector de deformaciones plásticas) Módulo plástico en carga Módulo plástico en descarga Parámetro de deformación plástica durante la descarga Parámetro de deformación plástica durante la re-carga Parámetro del modelo Parámetro del modelo Parámetro de tamaño (superficie de fluencia) Parámetro de tamaño (potencial plástico) a k (m/s) γd (kN/m2 ) e ′ φcrit Mg Mf αg αf H0L (kP a) H0U (kP a) γHu γDM β0 β1 pf pg Ensayo XZ7 Ensayo XZ9 Ensayo XZ3 6,6 · 10−5 14,69 0,79 26,6o 1,26 0,94 0,45 0,45 700 6000 2 2 4,2 4,2 - 5,6 · 10−5 14,9 0,764 31,3o 1,26 0,94 0,45 0,45 700 6000 2 2 4,2 4,2 - 6,6 · 10−5 14,6 0,74 33o 1,15 0,95 0,45 0,45 600 40000 2 0 4,2 0,2 1,2 1,2 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS Tabla 2.14 – Parámetros adoptados para el modelo constitutivo (P-Z III) empleado en el modelo de elementos finitos para un muro de gravedad utilizado por Madabhushi y Zeng (1998) [40], ensayos XZ7 (relleno seco de arena suelta) y XZ9 (relleno saturado de arena suelta), y en el modelo en elementos finitos para un muro flexible de Madabhushi y Zeng (2007) [41], ensayo XZ3 (relleno de arena saturada). El ratio Mg /Mf fue elegido en función de la densidad relativa del modelo de centrifuga 85 86 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO puede sufrir importantes desplazamientos laterales, rotaciones y asientos, lo que implica que sea necesario introducir en el modelo elementos de deslizamiento (“slip elements”) en la interfaz entre el muro y el relleno para poder reproducirlos. Madabhushi y Zeng introdujeron una serie de elementos deslizantes en el contacto muro-relleno, modelizados como elementos cuadrangulares isoparamétricos de muy baja rigidez a cortante (un orden de magnitud inferior a la rigidez a cortante de los elementos de suelo adyacentes), de tal modo que se puedan simular deformaciones importantes. Estos elementos siguen una ley de tipo Morh-Coulomb, con un ángulo de fricción menor de 18o . - Simulación numérica del ensayo con suelo seco- XZ7 El esquema correspondiente a este ensayo se muestra en la figura 2.49(a), mientras que el modelo numérico desarrollado por Madabhushi y Zeng para este ensayo se muestra en la figura 2.50, donde se emplearon en la mayor parte elementos isoparamétricos de 4 nodos y algunos elementos triangulares bajo el muro. En la figura 2.51 se muestra la comparación entre los resultados experimentales y los resultados numéricos obtenidos para el ensayo XZ7. (a) XZ7: Relleno seco con arena suelta (b) XZ9: Relleno saturado con arena suelta Figura 2.49 – Esquema de la sección transversal de los modelos experimentales en centrı́fuga XZ7 y XZ9 [39]. (ACC: acelerómetro, PPT: transductor de presión de poro, LVDT: transductor de desplazamientos). En general se observa como el modelo numérico reproduce bastante bien los resultados experimentales, tanto para el acelerómetro ACC3 situado detrás del muro y cerca de la su- 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 87 Figura 2.50 – Esquema del modelo numérico para el ensayo XZ7 desarrollado por Madabhushi y Zeng [40]. perficie, como para los acelerómetros ACC5 y ACC7 situados en el punto medio y los ACC8 y ACC9 cerca de la base del modelo. Los peores ajustes se producen para las zonas más próximas a los bordes del modelo (ACC10), mientras que el acelerómetro ACC11 muestra el registro en la base y que es usado como señal de entrada en el modelo numérico. En cuanto a la respuesta del muro, ACC1 y ACC2 se encuentran situados en la coronación y base del muro respectivamente, donde ACC1 registra una aceleración pico del −0,325g en una dirección y de 0,202g en la otra. Esta diferencia de amplitudes entre los ciclos puede ser debida al deslizamiento que sufre el propio muro [39], aunque ambas son recogidas de forma satisfactoria por el modelo numérico. Los autores concluyen que el amortiguamiento del modelo numérico es inferior al amortiguamiento real del ensayo en base a dos aspectos: el desfase (retraso) existente de los resultados numéricos respecto a los experimentales, y la reducción en la amplitud de la aceleración cuando cesa la solicitación. Dicha reducción es menor en el modelo numérico que en el ensayo. El desplazamiento horizontal de la coronación del muro simulado por el modelo es ligeramente superior al experimental. Por otra parte, aunque en el ensayo no se registraron los asientos del muro, a partir del modelo numérico los autores obtuvieron un valor en torno a 0,1 m una vez que cesa el sismo. En la figura 2.53 se comparan la deformada del muro tras el ensayo y el valor obtenido con el modelo numérico, observandose que las caracterı́sticas generales de la malla deformada son similares a las del ensayo, lo que indica que los elementos de deslizamiento dispuestos en la interfaz son adecuados. - Simulación numérica del ensayo con suelo saturado- XZ9 El ensayo XZ9 corresponde a un muro de muelle con relleno saturado y el nivel freático en superficie. El esquema correspondiente a este ensayo se muestra en la figura 2.49(b). La discretización en elementos finitos es similar a la del modelo para XZ7 aunque para este caso (saturado) se emplearon elementos isoparamétricos de 8 nodos para los desplazamientos y 4 para la presión de agua. En la figura 2.52 se muestra la comparación entre los resultados experimentales y los numéricos obtenidos para el ensayo XZ9. El acelerométro ACC6 muestra el registro en la base. El ACC1, situado en la coronación del muro refleja la respuesta de la estructura, mostrando un buen ajuste entre el modelo y el ensayo, observándose un pequeño desfase, 88 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.51 – Comparación entre los registros obtenidos del ensayo en centrifuga XZ7 (relleno seco) y las simulaciones numéricas obtenidas por Madabhushi y Zeng [40]. La posición de los acelerometros (ACC) y transductores (LVDT) se muestran en la figura 2.49(a). 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 89 Figura 2.52 – Comparación entre los registros obtenidos del ensayo en centrifuga XZ9 (relleno saturado) y las simulaciones numéricas obtenidas por Madabhushi y Zeng [40]. La posición de los acelerometros (ACC) y transductores de desplazamiento (LVDT) y poro (PPT) se muestran en la figura 2.49(b). 90 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Figura 2.53 – Deformada obtenida con el ensayo de centrifuga y con el modelo numérico para el ensayo XZ7 analizado por Madabhushi y Zeng [40]. como también sucedı́a para el caso seco, debido al amortiguamiento del modelo. Los registros de los acelerómetros ACC2, ACC3 y ACC4 (en menor medida) son similares en forma a los del modelo numérico pero no en magnitud, lo que los autores justifican debido a un fallo en la lectura de los transductores durante el ensayo. El ACC5, situado bajo el muro, muestra unos valores muy pequeños de aceleración lo que indica que la zona bajo el muro sufrió licuefacción, obteniendo un registro muy similar en el modelo numérico. En cuanto a la presión de poro, el transductor PPT1 situado detrás del muro cerca de la superficie, registra un incremento de presión de poro pequeño que es también predicho razonablemente bien por el modelo numérico. Sin embargo, el PPT2 situado cerca de la superficie en campo libre, registra experimentalmente la licuefacción que sufre el suelo después de dos ciclos y se mantiene en ese valor a lo largo de todo el ensayo, mientras que el modelo numérico muestra un claro comportamiento cı́clico. El PPT3 muestra un comportamiento similar. Esto pone de manifiesto que el modelo numérico sobrepredice el comportamiento dilatante de la arena para suelos con baja presión de confinamiento, resultando grandes presiones de poro negativas durante la descarga. Sin embargo, esto no es un problema para suelos muy confinados. Ası́ el registro del PPT4, situado a gran profundidad en el relleno, es reproducido adecuadamente por el modelo numérico. Nuevamente, para los PPT5 y PPT6 los resultados numéricos dan valores más bajos de presión de poro que los ensayos experimentales. Por lo tanto, los autores concluyen que el modelo numérico desarrollado reproduce razonablemente bien la presión de poro cuando la presión de confinamiento es alta, mientras que para los suelos con baja presión de confinamiento, el modelo sobrepredice la reducción de la presión de poro en la descarga, lo que asocian con unos valores demasiado altos de los parámetros αg y αf en el modelo constitutivo. El desplazamiento lateral permanente del muro deducido del modelo numérico (0,68 m) se ajusta muy bien al obtenido experimentalmente (0,7 m), mientras que el asiento del muro estimado del modelo se sitúa en torno a 0,15 m. En la figura 2.54 se muestra la deformada obtenida tras el ensayo de centrifuga y en el modelo numérico, donde se puede comprobar que el modelo en elementos finitos reproduce bastante bien la deformada experimental. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 91 Figura 2.54 – Deformada obtenida con el ensayo de centrı́fuga y con el modelo numérico para el ensayo XZ9 según Madabhushi y Zeng [40]. 2.5.3.2. Madabhushi y Zeng (2007) Posteriormente, Madabhushi y Zeng (2007) [41] presentaron los resultados de un modelo en elementos finitos, realizado con SWANDYNE, para un muro flexible que retiene un relleno de arena seca (XZ2) o saturada (XZ3) sometido a una carga sı́smica, comparando dichos resultados con los correspondientes de un ensayo en centrı́fuga39 . En la figura 2.55(a) se muestra una sección transversal del modelo de centrı́fuga para el muro flexible y en la figura 2.55(b) las zonas discretizadas en el modelo numérico. Puesto que la finalidad del estudio numérico es la de reproducir un ensayo de centrı́fuga, los autores incluyen el contenedor del ensayo de centrı́fuga en el modelo numérico, condiserándolo como elástico y asignándole las propiedades del acero, evitando ası́ la implementación de técnicas numéricas de contornos absorbentes como en la investigación anterior [40]. Por otra parte, la pantalla de aluminio también se modeliza como elástica. Además se colocan elementos de contacto (“slip elements”) en las interfaces entre el suelo y el metal, que sigue una ley elastoplástica con un rozamiento de 12o . En cuanto al suelo, se emplea para el cálculo dinámico un modelo constitutivo de tipo Mohr-Coulomb con una regla de flujo no asociado para el suelo seco (XZ2), tabla 2.15, y el modelo P-Z III descrito en la investigación anterior para el relleno saturado (XZ3), tabla 2.14, aunque para el caso saturado el estado tensional inicial se obtiene de un cálculo estático previo donde consideran un suelo de tipo Mohr-Coulomb. Para el contenedor y el muro emplearon elementos isoparamétricos con 8 nodos, mientras que para el relleno y los elementos de contacto emplearon elementos de 12 nodos, 8 para los desplazamientos y 4 para la presión de agua, empleando una discretización más fina para el caso del relleno saturado frente al seco, una técnica necesaria para alcanzar la convergencia. Se emplearon tres terremotos con distintas aceleraciones pico que se incrementan gradualmente según la tabla 2.16. Al tratarse de una estructura flexible destacan el análisis del momento flector, de los desplazamientos y deformada del muro, del incremento de presión de poro y de las ace39 En el ensayo en centrı́fuga emplearon aceite de silicona con una viscosidad 80 veces superior a la del agua para reproducir correctamente la permeabilidad del medio en un ensayo a escala reducida. 92 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Sección transversal del modelo de centrı́fuga (b) Zonas discretizadas en el modelo numérico Figura 2.55 – Esquema del modelo de centrı́fuga y zonas discretizadas en el modelo de elementos finitos realizado por Madabhushi y Zeng [41] para un muro flexible. Tabla 2.15 – Parámetros para el modelo Mohr-Coulomb modificado empleado por Madabhushi y Zeng [41] en el ensayo de suelo seco (XZ2). XZ2 Parámetro Módulo de Young Coeficiente de Poisson Cohesión Modulo de endurecimiento Ángulo de fricción interna Ángulo de dilatancia Presión de confinamiento prescrita para E Parámetro E (MPa) ν c (kPa) H φ δ PIN IT (kPa) α 204,8 0,3 5 100 33o 8o 50 0,5 leraciones, tanto del muro como del relleno. Las principales conclusiones obtenidas sobre estos aspectos se recogen a continuación. - Ley de momentos flectores dinámicos en el muro Las leyes de momentos flectores dinámicos obtenidos tanto en el ensayo como por el modelo numérico se muestran en la figura 2.59(a) para el caso seco y en la figura 2.59(b) para el caso saturado. La simulación numérica reproduce bastante bien los resultados experimentales, en particular para el caso seco, mientras que en el caso saturado los resultados numéricos son ligeramente superiores a los experimentales, especialmente a medida que la intensidad del terremoto crece. El efecto sı́smico es más severo en los casos con relleno saturado que con relleno seco, lo que puede ser debido a una combinación entre el incremento de fuerzas de inercia, de presión de poro en el relleno y de presiones hidrodinámicas. También comprueban que se obtienen unos momentos flectores residuales (cuando cesa el sismo) notablemente superiores a los de la situación estática, tanto en el caso seco como saturado. Tabla 2.16 – Aceleraciones pico de las señales de entrada empleadas en la investigación de Madabhushi y Zeng [41]. EQ1 EQ2 EQ3 XZ2-Seco XZ3-Saturado 0,12g 0,22g 0,23g 0,108g 0,17g 0,301g 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS (a) Caso Seco - XZ2 93 (b) Caso Saturado - XZ3 Figura 2.56 – Leyes de momentos flectores dinámicos obtenidas por Madabhushi y Zeng [41] para el modelo numérico y los ensayos en centrı́fuga. - Desplazamientos y deformada del muro La deformación sufrida por la estructura y su relleno son de especial interés en el diseño ya que afectan al servicio de la estructura. La deformación en el caso saturado es mucho mayor que en el caso seco. Ası́ en la figura 2.57 se muestra el desplazamiento sufrido por la coronación del muro tanto en el ensayo fı́sico como en el modelo numérico para los terremotos EQ2 y EQ3. En ambos casos se puede observar que estos desplazamientos son importantes, aunque para el terremoto EQ2 la simulación numérica subestima los desplazamientos durante el sismo pero llega a alcanzar una buena predicción del valor final. Por el contrario, en el terremoto EQ3 la simulación numérica a lo largo de la aplicación de la carga es bastante satisfactoria pero llega a sobrestimar el valor final. En cuanto a la deformada, tanto el modelo numérico como el ensayo, figura 2.58, muestran perfiles similares, destacando la zona de subsidencia que se produce detrás del muro, que afectarı́a a las estructuras que existieran en esa zona. EQ2 EQ3 Figura 2.57 – Desplazamientos sufridos por la coronación del muro frente a los sismos EQ2 y EQ3, tanto en el ensayo de centrı́fuga como en el modelo numérico, desarrollados por Madabhushi y Zeng [41]. 94 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO Deformada Ensayo Centrifuga XZ3 Deformada modelo de elementos finitos para XZ3-EQ3 Figura 2.58 – Deformada en el ensayo de centrı́fuga y en el modelo numérico para XZ3 (relleno saturado) según Madabhushi y Zeng [41]. - Incremento de presión de poro Los resultados numéricos de presión de poro siguen la tendencia de los registros obtenidos por los transductores en el ensayo. En la figura 2.59(a) se muestra la distribución de presión de poro antes de la aplicación de la carga, la cual se corresponde con la situación hidroestática, y en la figura 2.59(b) la distribución de la presión de poro durante el terremoto EQ3, obtenida a partir del modelo en elementos finitos. Se puede comprobar como el incremento de presión de poro se genera en cotas profundas del relleno, lejos del muro. Los autores destacan la aparición de pequeñas zonas de succión debidas a la dilatancia de la arena en la cuña activa detrás del muro y en la cuña pasiva frente al muro. (a) Antes del terremoto (b) Durante el terremoto EQ3 (t=0.07s) Figura 2.59 – Distribución de presión de poro obtenidas a partir del modelo en elementos finitos empleado por Madabhushi y Zeng [41] antes y durante la aplicación de la carga. - Historia de aceleraciones A través de los registros se puede conocer si las vibraciones se amplifican a medida que las ondas de corte se propagan por el relleno, o, como en el caso de la licuefacción del suelo, si las ondas se atenúan, ya que las ondas de corte no se pueden transmitir a través de un suelo licuado. En el caso saturado, tanto en los resultados experimentales como en los numéricos, existen grandes amplificaciones de la vibración desde la base hasta la coronación del muro; sin embargo esta amplificación no es tan clara en el estrato de suelo. En el caso del relleno seco, el modelo numérico reproduce adecuadamente las aceleraciones medidas en el ensayo tanto en el estrato de suelo como en el muro, aunque el modelo numérico sobrestima ligeramente las aceleraciones en la coronación del muro. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 95 2.5.3.3. Dewoolkar, Chan, Ko y Pak (2007) Otra de las investigaciones más recientes desarrolladas con modelos en elementos finitos es la realizada por Dewoolkar et al. (2009) [42] empleando el programa DIANASWANDYNE II en la modelización de una serie de ensayos en centrı́fuga desarrollados para estudiar el comportamiento de una estructura de contención flexible con rellenos licuables. Analizan la deformación por flexión y deflexiones del muro, las aceleraciones del muro, ası́ como el empuje lateral y su punto de aplicación sobre el muro, la aceleración del suelo, el asiento y el incremento de presión de poro. Los ensayos en centrı́fuga realizados se llevaron a cabo para 4 tipos de muros (aluminio) distintos con diferentes rigideces a flexión, la sección transversal del ensayo se muestra en la figura 2.60. El material ensayado corresponde a la arena de Nevada No. 100 con una densidad relativa del 60 %. Además se emplearon dos lı́quidos distintos como fluido intersticial para el relleno saturado, agua para el ensayo MMD10 y un fluido de mayor viscosidad (“metolose”) en el ensayo MMD12. En el muro, que está unido a la base, solo se permiten movimientos de flexión, el contacto del relleno con el contenedor del ensayo se hizo sin fricción, similar a la condición de contorno tipo “carrito” empleada en los elementos finitos, también se dispuso una capa de material blando “Duxseal” en el extremo del modelo para reducir la reflexión de las ondas. Para instrumentar el ensayo se emplearon acelerómetros y transductores de desplazamientos y de presión de poro. Figura 2.60 – Esquema del ensayo en centrı́fuga desarrollado por Dewoolkar et al. [42]. Como ya se ha indicado, el modelo numérico empleado por Dewoolkar et al. [42] es el DIANA-SWANDYNE II. El muro de aluminio se modela como elástico lineal, el suelo bajo cargas estáticas se modela con una ley constitutiva de tipo Mohr-Coulomb, mientras que para cargas dinámicas se emplea el modelo constitutivo P-Z Mark III, descrito en las investigaciones anteriores. Además se emplean elementos de contacto (“slip element”) en la interfaz suelo-muro y amortiguamiento fı́sico de tipo Rayleigh. 96 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO En primer lugar los autores mencionados validan la modelización del muro aislado contrastando los resultados del modelo numérico con los resultados de un ensayo en centrı́fuga realizado sobre el muro sin relleno y registrando tanto las aceleraciones como las deflexiones del muro. Dichos resultados avalan la discretización numérica adoptada para el muro, como una única columna de 8 elementos de 9 nodos y 4 puntos de integración de Gauss, de un material elástico lineal sin amortiguamiento, detectando que la frecuencia fundamental de la estructura se sitúa en torno a 220 Hz. En cuanto a la selección de los parámetros para la ley constitutiva de plasticidad generalizada P-Z Mark III, tabla 2.17, parten de los valores adoptados para este mismo material por otros autores como Chan et al. y Zienkiewicz et al. [42] en los modelos 4a y 1 del proyecto VELACS. Sin embargo realizan una validación adicional de dichos parámetros a través de un ensayo en centrı́fuga sobre un estrato de este suelo, en lugar de ensayar un testigo como es habitual, para ambos tipos de fluido intersticial. Además comparan los resultados del ensayo con los de una modelización numérica del mismo empleando los datos de Chang et al., que predice una magnitud del incremento de presión de poro más baja, y de Zienkiewicz et al., que proporciona valores de incremento de presión de poro más altos, además de grandes oscilaciones numéricas y componentes de altas frecuencias en los resultados al no incluir ningún amortiguamiento. En ambos casos los valores de asiento son inferiores al 50 % y presentan ratios más altos de generación y disipación de la presión de poro. En base a estas discrepancias tantean con diversas combinaciones de los parámetros que intervienen en el modelo hasta obtener una combinación que ajuste los resultados del ensayo de forma satisfactoria en cuanto a la magnitud y ratio de generación y disipación del incremento de presión intersticial, dando menos importancia al ajuste entre las aceleraciones. Aunque tanto en el ensayo como en el modelo numérico encuentran diferencias en los asientos e incrementos de presión intersticial entre el empleo del agua o de la metilcelulosa como fluido intersticial (debido a la diferencia de permeabilidad introducida por uno u otro fluido en el modelo), deciden adoptar como parámetro de permeabilidad en el modelo aquel que ajusta mejor el incremento de presión de poro respecto al ensayo frente al cálculo del asiento, resultando finalmente los valores mostrados en la tercera columna de la tabla 2.17. Por otra parte, estudian la influencia de incluir la componente vertical de la aceleración, observando que introduce gran cantidad de altas frecuencias, que se traducen en un elevado ruido introducido en el cálculo del incremento de la presión de poro. Una vez filtrado este ruido (filtros de 100 Hz) se obtienen unos resultados de incremento de presión de poro similares a los obtenidos cuando no se tiene en cuenta la componente vertical, por lo que Dewoolkar et al. solo incluyen la componente horizontal. Al igual que Madabhushi y Zeng [41], para determinar el estado tensional inicial y comenzar el cálculo dinámico parten de un cálculo estático previo donde adoptan para el suelo una ley constitutiva de tipo Mohr-Coulomb y una capa de elementos de contacto de pequeño espesor (“slip element”) dispuestos entre la interfaz del muro y el suelo 40 . Observan que el tipo de fluido intersticial empleado, y por tanto la permeabilidad, no afecta al cálculo estático para obtener el estado tensional inicial. 40 Los elementos de contacto dispuestos tienen una relación longitud/anchura de 15 y 1,2 mm de anchura. Tienen un coeficiente de fricción nula y una cohesión nula frente a tracciones. Parámetro Chan et al. Zienkiewicz et al. Dewoolkar et al. Densidad de las partı́culas sólidas: γs Índice de huecos: e Permeabilidad del suelo con agua: kw (m/s) Pendiente de CSL para el vector de deformaciones plásticas: Mg Pendiente de CSL para el vector de cargas: Mf Parámetro (dilatancia- vector de deformaciones plásticas): αg Parámetro (dilatancia- ratio de tensiones): αf ′ Ratio del módulo volumétrico respecto a las tensiones efectivas medias: Kev0c /po ′ Ratio de 3G respecto a las tensiones efectivas medias: Kes0c /po Parámetro del modelo: β0 Parámetro del modelo: β1 Módulo plástico en carga: H0L (kP a) Módulo plástico en descarga: H0U (kP a) Parámetro de deformación plástica durante la descarga: γHu Parámetro de deformación plástica durante la re-carga: γDM 2670 0,68 5,6 · 10−5 1,32 1,30 0,45 0,45 500 650 4,2 0,2 750 40.000 2,0 4,0 2668,5 0,661 5,6 · 10−5 1,26 0,76 0,45 0,45 350 550 4,0 0,2 1500a 8.000b 4,0 2,0 2670 0,68 5,6 · 10−5 1,32 0,80 0,45 0,45 175 350 4,0 0,2 1800 30.000 4,0 2,0 Parámetros del amortiguamiento Rayleigh: α Parámetros del amortiguamiento Rayleigh: β 2,5 % 2,5 % Para 100 Hz y 50g 0,0 0,0 5 %c 5 %d Para 50 Hz y 50g 0,6 0,3025 0,6 No listados No listados No listados 0,505 0,253 0,505 (kg/m3 ) Parámetros del algoritmo de integración γ β θ 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS Tabla 2.17 – Parámetros empleados para el modelo constitutivo (P-Z III) por diferentes autores, sobre los que se basaron Dewoolkar et al. [42] para su selección final (Arena de Nevada No 100 con un 60 % de densidad relativa). a Para los modelos 6 y 11 del proyecto VELACS se cambia a 700 Para los modelos 6 y 11 del proyecto VELACS se cambia a 60.000 c Se modifica posteriormente para las simulaciones con estructuras de contención d Se modifica posteriormente para las simulaciones con estructuras de contención b 97 98 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO En cuanto al tipo de malla empleada en los análisis dinámicos, figura 2.61, emplean un elemento rectangular de 9 nodos para los desplazamientos y 4 para la presión de poro. El material blando “Duxseal” no es introducido en el modelo, al igual que ningún tipo de técnica de contornos absorbentes, ya que justifican que no son necesarias cuando la longitud del relleno respecto a la altura del muro es igual o superior a 2,4. En cuanto a las propiedades del suelo consideran los datos mostrados en la tercera columna de la tabla 2.17, teniendo en cuenta que la permeabilidad del ensayo MMD12 es 60 veces inferior a la del ensayo MMD10 (agua). Para el muro de aluminio consideran una densidad de 2787,7 kg/m3 , un módulo de elasticidad E = 69 · 106 kP a y un coeficiente de Poisson de ν = 0,3. Como solicitación del sistema solamente introducen una aceleración horizontal en la base, omitiendo la componente vertical. Figura 2.61 – Discretización numérica empleada por Dewoolkar et al. [42]. Los resultados obtenidos tanto del ensayo en centrı́fuga como de la simulación numérica desarrollada por Dewoolkar et al. [42] se muestran en la figura 2.62. En esta figura sólo se recoge la parte dinámica, es decir el incremento respecto a la estática, de las variables representadas. El ajuste de las historias temporales del modelo numérico respecto al ensayo es bastante satisfactorio tanto en magnitud y forma, para las aceleraciones, deflexiones, deformaciones por flexión, empuje lateral y su punto de aplicación e incremento de presión de poro. En cuanto al efecto del tipo de fluido intersticial empleado, se puede observar que aunque la magnitud del incremento de presión de poro en ambos ensayos (MMD10 y MMD12) es similar, el ratio de disipación de la presión de poro es mucho más alto en el ensayo MMD10 (agua) que en el MMD12 (fluido viscoso), al igual que los desplazamientos, deformaciones y empujes registrados tras el sismo. Sin embargo las aceleraciones del suelo y los asientos no quedan bien ajustados por el modelo numérico, obteniéndose asientos numéricos menores que los medidos, ya que en la calibración de los parámetros del modelo los autores optaron por reproducir más correctamente las presiones de poro en detrimento de los asientos. Por otra parte observaron que en los resultados experimentales las presiones laterales, las deformaciones por flexión y los desplazamientos en el muro están en fase entre sı́ pero en desfase con respecto a la aceleración de la base. Además también observan pequeños desfases entre la aceleración de la base y la aceleración medida en el muro, desfases que 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 99 Figura 2.62 – Resultados experimentales y numéricos obtenidos por Dewoolkar et al. [42], para los casos MMD12 (fluido viscoso) y MMD10 (agua). 100 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO no son recogidos por el modelo numérico. Sin embargo el modelo sı́ es capaz de reproducir adecuadamente los valores de los empujes, deformaciones y deflexiones residuales una vez que cesa la carga. También aplicaron el modelo numérico sobre los resultados experimentales de 10 ensayos en centrı́fuga con cuatro rigideces de muro distintas (muro A hasta D), manteniendo la misma altura del muro. En general los resultados numéricos más representativos en el diseño de muros, como el empuje de tierras, punto de aplicación de la resultante, deformaciones por flexión y deflexión del muro, se ajustan a los resultados experimentales con diferencias inferiores al 30 %. Sin embargo las aceleraciones en el muro y en el suelo dependen fuertemente del valor del amortiguamiento Rayleigh empleado en el análisis. Además las predicciones para los muros de rigideces intermedias (muros B y C) fueron mejores que para los muros de rigideces extremas, muro A (muro más flexible) y muro D (muro más rı́gido). Hay que tener en cuenta que por una parte el muro A al ser muy flexible sufre mayores deformaciones generando deformaciones excesivas en la malla que podrı́an provocar grandes oscilaciones en el incremento de la presión de poro y empujes de tierras. Por otra parte, el muro D al ser muy rı́gido puede probablemente provocar reflexiones de las ondas y causar grandes oscilaciones en el análisis. Los autores exponen que las oscilaciones en el incremento de la presión de poro y en el empuje lateral de tierras podrı́an ser debidas a que las aceleraciones relativas del fluido se han despreciado, lo que se podrı́a corregir empleando una formulación u − w en lugar de una formulación u − p. En cuanto al amortiguamiento es necesario emplear valores altos de amortiguamiento tipo Rayleigh para alcanzar resultados numéricos estables. En concreto el coeficiente αR asociado a la masa comprueban que tiene poca influencia, mientras que el coeficiente βR asociado a la rigidez tiene gran importancia, siendo necesario alcanzar valores de βR = 20 % para llegar a soluciones numéricamente estables, aunque los autores adoptan un valor de βR = 33,7 % ya que se ajusta mejor a los resultados experimentales. Esto indicarı́a que los grandes ciclos histeréticos de tensión-deformación sufridos por el suelo y que el mecanismo de disipación plástica del modelo constitutivo no son suficientes para tener en cuenta la disipación fı́sica que se produce. Dewoolkar et al. [42] realizaron también un estudio paramétrico sobre βR , observando que las oscilaciones numéricas se reducen cuando el coeficiente de amortiguamiento aumenta, sin bien la tasa de crecimiento del incremento de presión de poro se reduce. A medida que los coeficientes de amortiguamiento se reducen, la magnitud de las aceleraciones aumenta, provocando un ratio de tensiones en el suelo mayor. Con un ratio de tensiones mayor, se produce el inicio del comportamiento dilatante del suelo, que origina una caı́da de la presión de poro. Si las aceleraciones son demasiado altas el suelo podrı́a fallar, lo que se puede detectar por una prematura falta de convergencia del proceso iterativo. Respecto al amortiguamiento numérico introducido por el esquema de integración temporal, los autores concluyen que éste no es relevante cuando se modelan problemas de estructuras en contacto con el suelo o cuando solo se modela el suelo, mientras que sı́ es influyente cuando analizan la respuesta del muro aislado. Se debe tener en cuenta que en la modelización del muro aislado, los autores lo consideran como elástico lineal. 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 101 2.5.3.4. Alyami, Rouainia y Wilkinson (2009) En el trabajo reportado por Alyami et al (2009) [43] reproducen numéricamente los desplazamientos sufridos por los diques verticales del puerto de Kobe debidos al terremoto de 1995, prestando especial interés a los problemas de licuefacción. Para ello utilizan un modelo en elementos finitos (UWLC [142]), en deformación plana, con una formulación acoplada de tipo u-p y basado en las ecuaciones de Biot, resueltas en el dominio del tiempo por el algoritmo de integración de Newmark (γ = 1/2, β = 1/4). Adoptan el modelo constitutivo formulado en plasticidad generalizada por Pastor, Zienkiewicz y Chang (1990), con ligeras modificaciones en la regla de flujo [55, 43] resultando un modelo constitutivo definido por 15 parámetros. Para la malla emplean 644 elementos cuadrangulares con 8 nodos para los desplazamientos y 4 para la presión de poro (u8p4). No consideran condiciones de contorno absorbentes limitándose a situar los contornos del modelo suficientemente alejados del muro. Para la interface, emplean elementos que permiten el deslizamiento y están gobernados por un comportamiento elástico (E, ν) junto con un criterio Morh-Coulomb (φ, c). El dique se modela como un material elástico e isótropo. Antes de iniciar el cálculo dinámico, toman los resultados (tensiones efectivas y presión de poro) de un análisis previo de tipo elástico y en condiciones estáticas para ası́ tener en cuenta el estado tensional debido al peso propio de los materiales. En la figura 2.63(a) se muestra la geometrı́a y disposición de materiales empleados en el modelo de Alyami et al, mientras que en la figura 2.63(b) se muestra la deformación observada en los cajones del puerto (16.5 m x 9.28 m) después del terremoto de 1995. En particular, la cabeza del cajón (punto A) presentó un desplazamiento horizontal de 2.75 m y un descenso vertical de 1.36 m. (a) Geometrı́a y materiales (b) Desplazamientos observados Figura 2.63 – Sección transversal tipo (geometrı́a y materiales) de los diques del puerto de Kobe (PC1), y desplazamientos observados después del terremoto de 1995 reportados por Alyami et al [43]. Las propiedades del material situado en el trasdós del muro se estima a partir de datos de ensayos SPT y diferentes relaciones empı́ricas de ajuste. Este material se determina como arena suelta de densidad relativa igual al 41 %. Los autores modelan este material con el modelo constitutivo en plasticidad generalizada (P-Z sand) indicado anteriormente, y estiman los parámetros a partir de simulaciones numéricas de ensayos triaxial cı́clicos reportados en la literatura, obteniendo un ajuste para una arena suelta. También obtienen los 102 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO parámetros necesarios para una arena densa, que emplearán posteriormente para analizar la influencia de la densidad relativa del material en los resultados. Por otra parte, tanto la interface del trasdós como la de base mantienen las mismas propiedades (E = 208M P a, ν = 0,3 y c = 1kP a) a excepción del rozamiento donde consideran el doble en la base que en el tradós (δb = 30o , δt = 15o ). En el terremoto aplicado toman los registros del terremoto de Kobe de 1995 obtenidos en una localización muy próxima al puerto (PC1), considerando tanto la componente horizontal como la vertical, con una aceleración pico de 4,8 y 2 m/s2 , respectivamente, y una duración de 30 segundos. Las principales conclusiones obtenidas de esta investigación se recogen a continuación. - Deformada y desplazamientos La malla deformada al finalizar el terremoto se muestra en la figura 2.64, donde se observan importantes desplazamientos hacia el lado de barlomar y rotaciones del cajón, debidos a deformaciones en el terreno de cimentación, ya que el cajón se considera como rı́gido. Del modelo numérico se obtienen que los asientos sufridos por la esquina superior del cajón situada en el lado de barlomar (punto A de la figura 2.63(a)) fueron de 0.73 m y el desplazamiento horizontal de 3.28 m, mostrando una rotación de 4.2o lo que origina un asiento en el relleno del terreno del trasdós del cajón de aproximadamente 1.83 m. Estos autores destacan que los elementos de interface situados en la base del muro han permitido un desplazamiento relativo entre el cajón y el terreno de cimentación de 0.3 m según el modelo, y resaltan que los elementos de interface de la base tienen poca influencia sobre el deslizamiento horizontal relativo que se pueda producir entre ambas superficies. Figura 2.64 – Malla deformada del modelo en elementos finitos desarrollado por Alyami et al [43] sobre los diques del puerto de Kobe tras la finalización del terremoto. La evolución de la superficie de fallo para diferentes instantes de tiempo durante el terremoto se muestran en la figura 2.65 a través de los desplazamientos horizontales. Se puede observar como la superficie de fallo se inicia en la parte superior del relleno progresando rápidamente hacia la areas inferiores. Los desplazamientos horizontales son muy superiores a los verticales. - Respuesta tenso-deformacional y trayectoria de tensiones En la figura 2.66 se recogen las trayectorias tensionales y la relación tensión-deformación obtenidas por Alyami et al para un punto situado en el trasdós y otro en la cimentación del cajón, puntos B y D de la figura 2.63(a), respectivamente. En el caso del trasdós del muro 2.5. MÉTODOS BASADOS EN MODELOS NUMÉRICOS 103 Figura 2.65 – Evolución de los desplazamientos horizontales a lo largo del transcurso del terremoto obtenidos por Alyami et al [43]. (Punto B), se observa un descenso rápido de p′ y q durante el terremoto, lo que se asocia con un incremento rápido de la presión de poro que conlleva la licuefacción del relleno. En esta localización las deformaciones tangenciales crecen hasta el 20 % y se observa una clara degradación de la resistencia del material con el incremento de las deformaciones. Por el contrario para el punto situado en la base del muro (Punto D), se observa que la trayectoria de tensiones efectivas se mueve hacia la izquierda con respecto al estado tensional inicial y converge hacia la resistencia última sobre la lı́nea de estado critico, por lo que no se produce fallo por licuefacción en el material de cimentación del cajón, gracias también a la contribución del peso del cajón en el aumento de la presión de confinamiento. La deformación tangencial máxima alcanza un valor aproximado del 13 %. - Influencia de la permeabilidad del medio En esta investigación, los autores también analizan la influencia de la permeabilidad del medio en el incremento de presión de poro. Para ello mantienen constante la densidad relativa del material (Dr = 41 %) y consideran tres valores de permeabilidad, desde una arena hasta una grava. Comprueban que a medida que la permeabilidad aumenta, el incremento de presión de poro disminuye, de tal modo que si la permeabilidad es suficientemente baja la presión de poro puede no disiparse. - Influencia de la densidad relativa del medio Finalmente, los autores también analizan la influencia de la densidad relativa del material de relleno y de cimentación en la deformación del cajón, considerando las posibles combinaciones resultantes de una arena suelta y una densa colocadas en el trasdós, en la base o en ambos. De las simulaciones numéricas realizadas concluyen que la mejora del material de apoyo del cajón reducen significativamente los desplazamientos horizontales del cajón, los asientos verticales y las rotaciones. Esta mejora es superior incluso respecto al caso donde se emplea una arena más densa tanto en la base como en el trasdós. 104 CAPÍTULO 2. ESTADO DEL CONOCIMIENTO (a) Punto B situado en el trasdós del muro (b) Punto D situado en la base del muro Figura 2.66 – Relación tensión-deformación obtenida por Alyami et al [43] en diferentes puntos del modelo. Capı́tulo 3 Modelo Numérico En este capı́tulo se describe el modelo numérico adoptado en la presente investigación. Para las simulaciones numéricas se ha empleado el código en elementos finitos GeHoMadrid (GHM), sobre el que se han introducido diferentes modificaciones de especial interés para el problema objeto de estudio. GeHoMadrid es un programa que resuelve las ecuaciones de Biot en formulación Euleriana u-p, esta implementado en FORTRAN y esta orientado especialmente para la resolución de problemas geotécnicos. Este programa, de carácter académico/investigador, ha sido desarrollado por el grupo de investigación dirigido por M. Pastor y sus colaboradores, P. Mira, J.A. Fernandez Merodo, entre otros. Por otra parte, para el pre-proceso y post-proceso de los diferentes modelos numéricos analizados se ha empleado el programa GID [143]. Puesto que se considera un problema dinámico, tanto con suelo seco como suelo totalmente saturado, se ha empleado una formulación acoplada de tipo u − p basada en las ecuaciones de Biot [56]. En los modelos desarrollados se han considerado elementos bidimensionales y deformación plana. Sobre el código de GeHoMadrid se han introducido tres técnicas numéricas especiales. En primer lugar se han implementado unas condiciones de contorno absorbentes para evitar la reflexión de las ondas hacia el dominio de cálculo cuando éstas alcanzan el contorno numérico. También se ha introducido un elemento de tipo interfaz para modelar la interacción suelo-muro. Y por último, se ha introducido una nueva familia de algoritmos de integración temporal paso a paso, los conocidos como α-generalizados [44], que permiten emplear un amplio abanico de algoritmos de integración, como por ejemplo el algoritmo HHT de Hilber, Hughes y Taylor, el método propuesto por Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ) o el método propuesto por Chung y Hulbert (CH). Estos algoritmos son disipativos ya que permiten controlar el amortiguamiento numérico introducido por el método de integración, especialmente sobre las altas frecuencias. Además, en función de los valores asignados a los distintos parámetros que intervienen, se pueden obtener los métodos de la familia de Newmark a partir de la formulación dada para los α-generalizados. En este capitulo de describe la formulación acoplada u-p, su resolución por el método de los elementos finitos y el modelo constitutivo. Estos aspectos a su vez describen el código GHM. También se desarrollan los algoritmos de integración implementados, las condiciones de contorno absorbentes y el tratamiento de la interfaz suelo-estructura adoptados. 105 106 3.1. CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Formulación Generalizada de Biot en problemas acoplados Las ecuaciones de gobierno para un medio poroso saturado bajo carga dinámica se basan en los trabajos de Biot (1956), quien estableciera las bases para la modelización de problemas acoplados (medios con dos fases). A continuación se expone la formulación propuesta por Zienkiewicz y Shiomi [56, 144, 145] sobre las ecuaciones de Biot para su resolución por el métodos de los elementos finitos. Las variables que intervienen en el problema son las siguientes: σij : tensor de tensiones de Cauchy de la mezcla suelo-agua ǫij: tensor de pequeñas deformaciones p: presión intersticial del fluido (agua) ui : desplazamiento de las partı́culas sólidas Ui : desplazamiento absoluto del fluido wi : desplazamiento relativo del fluido respecto a las partı́culas sólidas (wi = n (Ui − ui )). ẇi : velocidad relativa del fluido en sentido Darcy ρ: densidad del suelo (mezcla) ρf : densidad del fluido ρs : densidad de las partı́culas sólidas n: porosidad Las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de un problema acoplado son las siguientes: a) Tensor de pequeñas deformaciones, definidas a partir de las derivadas espaciales del campo de desplazamientos: 1 ǫij = 2 ∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi (3.1) b) Principio de las tensiones efectivas, el comportamiento mecánico del suelo esta go′ bernado por cambios en las tensiones efectivas (σij ), si se asume σ positiva en tracciones, p positiva en compresión y la función delta de Kronecker se define como δij , se tiene: ′ σij = σij + δij p (3.2) c) Ecuación constitutiva del material, introduciendo una relación tensión-deformación propia para suelos saturados y definiéndola de forma incremental se tiene: ′ dσij = Dijkl dǫkl (3.3) donde Dijkl son los coeficientes de la matriz elastoplástica definida por la ley constitutiva y dǫkl son los incrementos de deformación. 3.1. FORMULACIÓN GENERALIZADA DE BIOT EN PROBLEMAS ACOPLADOS 107 d) Ecuación de equilibrio de momentos de la mezcla, para un volumen unitario se tiene: ∂σij − ρüi − ρf ẅi + ρbi = 0 ∂xj (3.4) donde bi es un vector de fuerzas por unidad de masa, üi es la aceleración de la parte sólida y ẅi es la aceleración del fluido relativa a la fase sólida. Para un suelo saturado se cumple la siguiente relación entre las densidades y la porosidad: ρ = (1 − n)ρs + nρf . e) Ecuación de equilibrio de momentos de la fase fluida, para un volumen unitario se tiene: ∂p − Ri − ρf üi − ∂xi ρf g ∂p − − ẇi − ρf üi − ∂xi kij − ρf ẅi + ρf bi = 0 → n ρf ẅi + ρf bi = 0 n (3.5) donde Ri son las fuerzas de acoplamiento viscoso entre la fase sólida y la lı́quida. Asumiendo una ley de flujo de tipo Darcy, el término Ri se puede expresar como Ri = ′ ′ ẇj /k , donde kij son los coeficientes del tensor de permeabilidad expresados en unidades 3 ij −1 L TM , los cuales son diferentes de la permeabilidad (k) habitualmente empleada en la mecánica de suelos 1 y que tiene unidades de LT −1 . Ambas se relacionan a través de ′ k = gρkf , donde g es la aceleración de la gravedad. En las ecuaciones 3.4 y 3.5 se han despreciado los términos convectivos al tratarse de valores muy pequeños. f) Ecuación de continuidad del flujo, que establece el balance del flujo que entra o sale de un volumen de control y las variaciones del contenido del fluido en dicho volumen, de tal modo que despreciando los términos de cambio de densidad y de variación de volumen por causas térmicas se tiene: ṗ ∂ ẇi + αǫ˙ii + =0 Q∗ ∂xi (3.6) donde Q∗ representa la compresibilidad del conjunto fluido-esqueleto sólido, el cual se relaciona con la compresibilidad volumétrica del fluido (Kf ) y la de las partı́culas sólidas (Ks ) como Q1∗ = Knf + α−n Ks , mientras que el coeficiente α se suele considerar igual a la unidad (α = 1) para suelos [56, 145]. Las ecuaciones 3.4, 3.5 y 3.6, junto la ecuación constitutiva dada según 3.3 y las ecuaciones 3.1 y 3.2, forman un sistema de ecuaciones en derivadas parciales que puede emplearse para representar el comportamiento general de un suelo ası́ como la presión intersticial, tanto en situación estática como dinámica, junto con las correspondientes condiciones de contorno. Las variables incógnitas de este sistema de ecuaciones son: la presión de poro (p), las velocidades del fluido (ẇi ) y los desplazamientos de la matriz sólida (ui ). 1 k es la permeabilidad medida a partir de un ensayo, por ejemplo un permeámetro de carga constante o uno de carga variable. 108 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 3.1.1. Formulación simplificada en la forma u-p Aunque el sistema de ecuaciones definido por las expresiones 3.1 a 3.6 (formulación up-U) puede emplearse directamente para alcanzar una solución numérica [56, 145, 146], no es la formulación más utilizada, ya que debido al empleo de algoritmos implı́citos, junto con las fuertes no linealidades del problema a estudiar, se alcanzan sistemas de ecuaciones muy grandes por lo que es conveniente reducir el número de variables que intervienen, eliminando del problema aquellas cuyo valor sea tan pequeño que se pueden despreciar, para ası́ mejorar la eficiencia numérica del modelo. Por ello en esta investigación se adoptará la aproximación u-p. Esta aproximación es ampliamente utilizada y se basa en la hipótesis de que las aceleraciones relativas del agua respecto al sólido son despreciables, por lo que se eliminan los términos que involucran a ẅi . De este modo la ecuación 3.4 se simplifica como: ∂σij − ρüi + ρbi = 0 ∂xj (3.7) Por otra parte, anulando ẅi y despejando ẇi en la expresión 3.5 y sustituyendo en 3.6 se obtiene: kij −∂p ∂ ṗ ǫ˙ii + + ρf bj − ρf u¨j + ∗ =0 ∂xi ρf g ∂xj Q (3.8) Con esta simplificación, las incógnitas del problema se reducen a dos, los desplazamientos de la fase sólida (ui ) y la presión de poro (p). De forma resumida la formulación u-p se recoge en el sistema de ecuaciones diferenciales 3.9. 1 ǫij = 2 ′ ∂uj ∂ui + ∂xj ∂xi σij = σij + δij p ′ dσij = Dijkl dǫkl (3.9) ∂σij − ρüi + ρbi = 0 ∂xj kij −∂p ∂ ṗ ǫ˙ii + + ∗ =0 + ρf bj − ρf u¨j ∂xi ρf g ∂xj Q La hipótesis de despreciar el término ẅi , es decir la formulación u-p, es admisible para la mayorı́a de problemas con carga sı́smica, puesto que la aceleración absoluta del agua y la de las partı́culas sólidas se pueden considerar parecidas, mientras que en problemas dinámicos donde intervienen frecuencias muy altas y/o de corta duración, por ejemplo en las cimentaciones de máquinas vibratorias o problemas de impacto, esta simplificación puede no ser admisible, siendo necesaria emplear la formulación generalizada. Zienkiewicz et al (1980) [144] analizan la validez de la formulación u-p frente a la formulación generalizada, donde proponen un ábaco para determinar el rango de validez de la simplificación en función de dos parámetros adimensionales que dependen de las propiedades del material, de la solicitación y de la geometrı́a del problema. 3.2. RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 109 3.1.2. Condiciones de contorno y condiciones iniciales Para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales mostrado en 3.9 es necesario imponer unas condiciones iniciales y de contorno adecuadas. Las condiciones de contorno que se pueden aplicar sobre el contorno, Γ = Γt ∪ Γu = Γp ∪ Γw , pueden ser por una parte desplazamientos impuestos (ū) sobre el contorno Γu y tensiones aplicadas (t̄) sobre el contorno Γt . Respecto a la fase fluida, también se pueden imponer condiciones de contorno sobre la presión de poro (p̄) en el contorno Γp y valores prescritos de flujo normal (q̄) sobre el contorno Γq a través del vector normal al contorno n′ . Las condiciones de contorno se resumen en la expresión 3.10. ′ u = ū en Γu t = σij − δij p n′ = t̄ en Γt p = p̄ en Γp kij ∂p − ′ + ρf bi n′ = q̄ en Γq ρf g ∂n (3.10) Por otra parte, faltan por definir las condiciones iniciales que para este caso se recogen en la expresión 3.11: u = u0 para t = 0 u̇ = u˙0 para t = 0 (3.11) p = p0 para t = 0 3.2. Resolución por el Método de los Elementos Finitos Para la resolución del sistema de ecuaciones diferenciales obtenido de la formulación acoplada u-p, sistema 3.9, es necesario recurrir a técnicas numéricas (aproximadas), ya que dada la complejidad del problema que se pretende estudiar (acoplamiento, comportamiento fuertemente no lineal, dependencia temporal etc.) no posee, en general, solución analı́tica. La técnica numérica empleada es el Método de los Elementos Finitos (MEF) puesto que es un procedimiento potente y ampliamente empleado en problemas de ingenierı́a, entre otros. Si se define el sistema de ecuaciones diferencias de gobierno del problema, sistema 3.9, como A(Ψ) = 0 actuando sobre el dominio Ω, y B(Ψ) = 0 como el conjunto de condiciones que actúan sobre el contorno Γ del dominio, la resolución del problema pasa por obtener la función incógnita Ψ, que es un vector formado por las incógnitas del problema, en este caso las variables u y p. La función incógnita del problema Ψ se aproxima a un valor Ψ̂ que se obtiene a partir del valor de la función incógnita en los nodos, Ψ̄ei , y unas funciones de forma Nie (x) dependientes de las coordenadas espaciales x, según la ecuación 3.12. 110 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Ψ ≈ Ψ̂ = n X Nie (x)Ψ̄ei (3.12) i=1 Gracias a la definición aproximada de la función incógnita, ecuación 3.12, y aplicando el Método de los Residuos Ponderados [147], se puede transformar el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema en una expresión integral equivalente, ecuación 3.13, donde se introducen las funciones de peso W (x) y W̄ (x). En la literatura [147, 148, 131] se pueden encontrar diversos procedimientos para definir dichas funciones de peso, pero el método más habitual es el Método de Galerkin, en el cual se adoptan como funciones de peso las propias funciones de forma, W (x) = Nie (x), lo que conducen en la mayorı́a de casos a matrices simétricas. Z W (x)A(Ψ)dΩ + Ω I W̄ (x)B(Ψ)dΓ = 0 (3.13) Γ Aplicando el método de Galerkin a la expresión 3.13, se obtiene un sistema algebraico de ecuaciones a resolver de la forma que refleja 3.14. [K ∗ ] {Ψ} = {F } (3.14) donde [K ∗ ] es la matriz global de coeficientes (propiedades geométricas y fı́sicas), {Ψ} es el vector de incógnitas en los nodos y {F } es el vector con las cargas impuestas y los valores prescritos de las variables. La aplicación del MEF [147, 149] requiere en primer lugar una discretización espacial del problema, que consiste en la descomposición del dominio espacial del problema en un conjunto de elementos conformando un malla, de tal forma que no se generen ni huecos ni solapes, donde a su vez cada elemento esta definido por una serie de nodos. Esta descomposición se describe en el punto 3.3. Dado que la formulación acoplada u-p presentada en el sistema 3.9 también depende del tiempo, es necesario realizar una integración temporal del problema para eliminar las derivadas temporales y obtener una solución en el dominio del tiempo. Este aspecto se abordará en el apartado 3.4. 3.3. Discretización espacial (MEF) de un problema acoplado con formulación u-p En primer lugar se expresan la ecuación de equilibrio de momentos, ecuación 3.7, y la ecuación de continuidad del flujo, ecuación 3.8 de la formulación u-p en forma matricial, resultando las ecuaciones 3.15 y 3.16. sT σ − ρü + ρb = 0 k ∇ g T ṗ −1 ∇p + b − ü + mǫ̇ + ∗ = 0 ρf Q (3.15) (3.16) 3.3. DISCRETIZACIÓN ESPACIAL (MEF) DE UN PROBLEMA ACOPLADO CON FORMULACIÓN U-P111 donde el operador matriz s y los vectores ∇ y m se definen en el caso 2D como: ∂ ∂x 0 s= 0 ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y ;∇ = ( ∂ ∂x ∂ ∂y ) 1 ;m = 1 0 Puesto que en el problema intervienen dos variables, por una parte los desplazamientos de la fase sólida u y por otra la presión de poro p, se deben aproximar cada una de ellas por medio de sus correspondientes funciones de forma N u y N p según las ecuaciones 3.17 y 3.18, donde ū y p̄ representan los valores de las variables en los nodos. u ≈ N u ū (3.17) p ≈ N p̄ (3.18) p Para obtener las expresiones discretizadas en el espacio de las ecuaciones 3.15 y 3.16 se aplica el método de los residuos ponderados, ecuación 3.13, junto con el método de Galerkin para las funciones de peso y las aproximaciones dadas en las ecuaciones 3.17 y 3.18. Posteriormente se integra por partes y se aplica el teorema de Gauss-Green. Finalmente la discretización espacial para la ecuación de equilibrio de momentos (ecuación 3.15), después de sustituir el principio de las tensiones efectivas, se muestra en la expresión 3.19, donde B ≡ sN u y t̄ son las tensiones o presiones aplicadas sobre el contorno del dominio. Z u T u¨ (N ) ρN ūdΩ + Ω Z T Ω ′ B σ dΩ − Z T p B mN p̄dΩ = Ω Z u T (N ) ρbdΩ + Ω Z (N u )T t̄dΓ (3.19) Γ Análogamente, la discretización espacial para la ecuación de continuidad del flujo (ecuación 3.16) se muestra en la expresión 3.20. Z p T T u ˙ (N ) m sN ūdΩ + Ω Z k (∇N ) ∇N p p̄dΩ + ρf g Ω Z p T Z T 1 p ˙ N p̄dΩ = Q∗ Ω Z k (∇N p )T bdΩ − (N p )T qdΓ (3.20) g Γ Ω NP Sobre la ecuación de continuidad del flujo, expresión 3.20, se ha despreciado la contribución del término del flujo dinámico que se encuentra asociado a la aceleración de la fase sólida ü, ya que su inclusión conducirı́a a sistemas de ecuaciones no simétricos y el efecto de su omisión se puede considerar despreciable [56], por otra parte este término sólo tiene importancia en el rango de las altas frecuencias donde la formulación u − p ya no es válida2 . Reagrupando los términos de las expresiones 3.19 y 3.20 se obtienen finalmente las expresiones 3.21 y 3.22, las cuales se encuentran acopladas por medio de la matriz de acoplamiento Q. 2 Al despreciar la contribución de la aceleración de la fase sólida ü, en la ecuación 3.22 no aparece el término ¨. de las fuerzas dinámicas de flujo Gū 112 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO ¨+ M ū Z ′ B T σ dΩ − Qp̄ = f u (3.21) QT ū˙ + H p̄ + S p̄˙ = f p (3.22) Ω donde: Matriz de Masas: M = R Ω (N Matriz de Acoplamiento: Q = u )T R ρN u dΩ ΩB Matriz de Permeabilidad3 : H = Matriz de Compresibilidad: S = R T mN p dΩ Ω (∇N R Ω NP p )T T k p gρf ∇N dΩ 1 p Q N dΩ Vector de cargas en desplazamientos: f u = Vector de cargas en presiones: f p = R R Ω (∇N Ω (N u )T p )T k bdΩ g ρbdΩ + − R R Γ (N Γ (N p )T u )T t̄dΓ qdΓ Finalmente, el sistema de ecuaciones formado por las expresiones 3.21 y 3.22 definen la discretización espacial de las ecuaciones que rigen el comportamiento de un problema acoplado con un formulación u−p. Todas las matrices que intervienen M, Q, S, y H son matrices globales que resultan del ensamblaje de las correspondientes matrices elementales asociadas a cada elemento de la malla. Dentro del sistema de ecuaciones definido por 3.21 y 3.22, la ecuación 3.21 mantiene una estructura muy similar a la ecuación que gobierna la respuesta dinámica de un sólido, ecuación 3.23, de tal modo que para obtenerla solamente hay que prescindir de la ecuación 3.22 y por tanto del término de acoplamiento Q en la ecuación 3.21, como por ejemplo serı́a necesario para el caso de un suelo seco4 . ¨ + C ū˙ + M ū Z B T σdΩ = f u (3.23) Ω 3.3.1. Casos Particulares A partir de las ecuaciones 3.21 y 3.22 de la discretización espacial de la formulación up, se pueden introducir diversas simplificaciones que permiten obtener otras formulaciones más sencillas para determinados casos particulares [56]. Problema de Consolidación El problema de consolidación de un estrato de suelo se puede reproducir a partir de la formulación u − p eliminando de las expresiones 3.21 y 3.22 los términos asociados a las aceleraciones de la fase sólida y obteniendo la siguiente formulación: 3 Según se definió previamente: k′ = gρkf 4 Al tratarse de una formulación para un sólido o un suelo seco, no es necesario diferenciar entre tensiones efectivas y totales. El origen del término C u̇ se expone en el apartado 3.3.2 3.3. DISCRETIZACIÓN ESPACIAL (MEF) DE UN PROBLEMA ACOPLADO CON FORMULACIÓN U-P113 Z ′ Ω B T σ dΩ − Qp̄ = f u QT ū˙ + H p̄ + S p̄˙ = f p Problema Estático Drenado y No Drenado A partir de la formulación u − p también se pueden reproducir problemas estáticos si se omiten de las expresiones 3.21 y 3.22 los términos asociados con las derivadas temporales. De este modo se obtiene la siguiente formulación correspondiente a un caso estático drenado, y que degenera en un problema no acoplado puesto que en primer lugar se pueden obtener las presiones de poro y a partir de éstas los desplazamientos. Z ′ Ω B T σ dΩ − Qp̄ = f u H p̄ = f p Por el contrario, el comportamiento estático no drenado se alcanza cuando no se permite el movimiento de la fase fluida, es decir cuando la permeabilidad del medio es muy pequeña, por lo que también se eliminan de la formulación los términos relacionados con la permeabilidad (k → 0, H → 0 y f p → 0). Si se eliminan de la expresión 3.22 se obtiene QT ū˙ + S p̄˙ = 0, que integrando con respecto al tiempo y asumiendo condiciones iniciales nulas en desplazamiento y presión de poro, devuelven el siguiente sistema de ecuaciones no dependiente del tiempo: Z ′ Ω B T σ dΩ − Qp̄ = f u QT ū + S p̄ = 0 3.3.2. Matrices de Amortiguamiento Aunque de forma general el amortiguamiento introducido por el comportamiento plástico del suelo en los problemas dinámicos suele ser suficiente para amortiguar las posibles oscilaciones espureas tras la resolución numérica del problema u-p, es habitual incluir un término de amortiguamiento viscoso, C u̇, en la expresión 3.21 que permita introducir un cierto amortiguamiento numérico frente a las citadas oscilaciones numéricas en aquellos problemas donde el amortiguamiento histerético del problema sea pequeño o no se emplee plasticidad (comportamiento elástico) [56]. La inclusión de este término viscoso transforma la ecuación 3.21 en la ecuación 3.24. ¨ + C ū˙ + M ū Z ′ Ω B T σ dΩ − Qp̄ = f u (3.24) 114 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tanto en los problemas de dinámica de estructuras como de ingenierı́a sı́smica donde no se considera el suelo o se hace de forma muy simplificada, el tipo de amortiguamiento más habitual introducido en el modelo, cuando se carece de otro tipo de información, es un amortiguamiento tipo Rayleigh [150], que define la matriz de amortiguamiento C como una combinación lineal de la matriz de masas M y la matriz de rigidez K según la ecuación 3.25, donde αR y βR son los conocidos coeficientes de Rayleigh. C = αR M + β R K (3.25) En particular αR es un coeficiente asociado a la matriz de masas que permite amortiguar en mayor medida las bajas frecuencias, mientras que βR es un coeficiente vinculado con la matriz de rigidez que introduce un mayor amortiguamiento en las altas frecuencias. Ambos coeficientes están relacionados con el ratio de amortiguamiento modal ξi a través de la expresión 3.26, donde ωi es la frecuencia de vibración y el subı́ndice i hace referencia al modo de vibración considerado. El ratio de amortiguamiento ξi es adimensional y expresa el amortiguamiento del sistema como una fracción del amortiguamiento critico5 . 1 ξi = 2 αR + β R ωi ωi (3.26) Los coeficientes de Rayleigh αR y βR se pueden obtener si se conocen los ratios de amortiguamiento ξ1 y ξ2 que se producen para dos frecuencias particulares ω1 y ω2 . Por otra parte, si solamente se desea imponer un valor mı́nimo de ratio de amortiguamiento, se pueden seleccionar dos valores para αr y βr independientemente del valor de las frecuencias [151, 152, 42]. En la ecuación 3.25, la matriz K se puede calcular como la matriz de rigidez tangente definida según la expresión 3.27, donde Dep es la matriz elasto-plástica definida por el modelo constitutivo. K= Z B T Dep BdΩ (3.27) Ω 3.3.3. Restricción de Babuska-Brezzi sobre N u y N p Respecto al orden de interpolación de las funciones de forma N u y N p para los campos de desplazamiento y presión de poro, ecuaciones 3.17 y 3.18, es habitual satisfacer la condición de convergencia de Babuska-Brezzi en aquellos problemas acoplados donde la permeabilidad del suelo es muy baja y la compresibilidad de la fase fluida es despreciable, problemas incompresibles o cuasi-incompresibles e impermeables o cuasi-impermeables (problemas no drenados) evitando la aparición de términos próximos a cero en la diagonal de la matriz jacobiana [56, 153]. Esta condición se satisface cuando se emplean funciones de forma de mayor orden para el campo de desplazamientos que para el campo de presión de poro, es decir la función de forma N u debe ser al menos de un orden de interpolación superior a la función de forma N p . Cuando se emplean funciones de forma con el mismo 5 El amortiguamiento crı́tico es aquel que anula cualquier oscilación del sistema, es decir el sistema regresa a la posición de equilibrio sin oscilar. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 115 orden de interpolación, la condición de Babuska-Brezzi indicada no se satisface, lo que se puede traducir en la aparición de oscilaciones numéricas en el cálculo de las presiones de poro, especialmente para aquellos problemas que son incompresibles o que presentan baja permeabilidad. Por lo tanto, es habitual emplear interpolaciones cuadráticas para el campo de desplazamiento y lineales para el de presión de poro. Por el contrario, en problemas donde la permeabilidad del medio es suficientemente grande no es estrictamente necesario satisfacer la restricción de Babuska-Brezzi [56]. Se debe indicar que el empleo de funciones de forma cuadráticas supone un incremento en el número de nodos del problema y por lo tanto de su coste computacional. Por ello se pueden aplicar técnicas numéricas especiales de estabilización de la solución [56, 154, 155, 156, 157] que permiten emplear funciones de forma con el mismo orden de interpolación para ambos campos, desplazamiento y presión de poro, y a la vez satisfacer la condición de Babuska-Brezzi evitando la aparición de dichas oscilaciones numéricas. 3.4. Integración temporal de un problema acoplado u-p A partir del sistema de ecuaciones obtenido tras la discretización espacial, ecuaciones 3.21 o 3.24 y 3.22, es necesario realizar una integración temporal para eliminar las derivadas con respecto al tiempo y obtener finalmente un sistema de ecuaciones algebraicas a resolver. El procedimiento más habitual para abordar esta integración consiste en emplear un algoritmo de integración paso a paso [56, 131, 158]. La mayor parte de los métodos paso a paso discretizan el rango de tiempo en intervalos ∆t y además parten de que todas ¨n , p̄n ) son conocidas para el instante de tiempo tn (paso las variables de problema (ūn , ū˙ n , ū n), por lo que a partir de unas relaciones recurrentes definidas especı́ficamente por cada método, se obtiene el valor de cada una de las variables en el instante tn + ∆t (paso n + 1). Existen numerosos métodos de integración temporal paso a paso [147, 158, 159, 160], pero el Método de Newmark es claramente el más extendido [54]. Por otra parte, se debe destacar que tras la discretización espacial realizada por el Método de los Elementos Finitos, no es posible representar con suficiente precisión los modos de altas frecuencias, siendo estos cada vez más imprecisos a medida que las frecuencias son más altas. De aquı́ radica el interés de emplear algoritmos en el tiempo capaces de introducir cierto amortiguamiento numérico, algoritmos disipativos, que permita eliminar las oscilaciones numéricas espureas provocadas por las altas frecuencias, sin afectar a los modos de frecuencias medias y bajas, que si resultan de interés desde un punto de vista ingenieril. En esta lı́nea, otros métodos paso a paso que también son bastante empleados, aunque de forma significativamente menor comparados con el método de Newmark, son el método propuesto por Hilber, Hughes y Taylor (HHT) en 1977 [161], el método propuesto por Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ) o el método propuesto por Chung y Hulbert (CH o generalizedα) en 1933 [17] [162]. Concretamente, el algoritmo HHT es, respecto al resto del algoritmos indicados, el más empleado en problemas de dinámica de suelos, mientras que el método CH es muy empleado en el campo de la dinámica de estructuras. Estos algoritmos se 116 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tabla 3.1 – Métodos de integración paso a paso de la familia de Newmark [54] Método γ β Tipo Condición de Estabilidad Diferencias Centrales Método de Fox-Goodwin Método de Aceleración Promedio Método de Aceleración Escalón Método de Aceleración Lineal 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0 1/12 1/4 1/8 1/6 Explı́cito Implı́cito Implı́cito Implı́cito Implı́cito ∆tcrit = 0,318Tn ∆tcrit = 0,39Tn Incondicional ∆tcrit = 0,45Tn ∆tcrit = 0,551Tn caracterizan por introducir una gran disipación en los modos de vibración asociados a las altas frecuencias [131, 158, 160]. Por ello, en esta investigación se analizara la influencia del algoritmo de integración sobre la respuesta obtenida, tanto al aplicar los algoritmos de la familia de Newmark, los cuales ya estaban implementados en GHM, como los métodos de integración disipativos en las altas frecuencias, para lo cual se ha implementado en GHM los algoritmos α-generalizados a través de la formulación unificada empleada por Kontoe [131, 163]. 3.4.1. Método de Newmark La familia de algoritmos desarrollados por Newmark (1959) [54] permiten, a partir de los valores conocidos para las variables en el instante t = tn , obtener los valores de las variables para el instante t = tn+1 para el cual se verifica el sistema de ecuaciones 3.28. ¨n+1 + C ū˙ n+1 + M ū Z ′ Ω u B T σn+1 dΩ − Qp̄n+1 = fn+1 (3.28) p QT ū˙ n+1 + H p̄n+1 + S p̄˙n+1 = fn+1 Los algoritmos de Newmark permiten la integración de una ecuación diferencial de segundo orden y están gobernados por las expresiones 3.29 a 3.31. Este es el caso de la variable del desplazamiento u dentro de la formulación u − p o en la ecuación general de la dinámica, ecuación 3.23. Los parámetros γ y β son caracterı́sticos de este algoritmo y definen la variación de la aceleración de respuesta dentro de cada paso de tiempo, ası́ como las caracterı́sticas de estabilidad y precisión del algoritmo. Dependiendo de los valores asignados a γ y β se pueden obtener una amplia variedad de algoritmos. Ciertos métodos de esta familia han sido ampliamente estudiados por diferentes autores [158, 159, 160], principalmente para casos lineales. Las propiedades de algunos de estos métodos clásicos se recogen en la tabla 3.1. ¨n ¨n + ∆ū ¨n+1 = ū ū (3.29) ¨n ¨n ∆t + γ∆t∆ū ū˙ n+1 = ū˙ n + ū (3.30) ¨n ∆t2 + β∆t2 ∆ū ¨n ūn+1 = ūn + ū˙ n ∆t + 21 ū (3.31) Para el caso de la presión de poro p en la formulación u − p, la cual solamente presenta 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 117 derivadas temporales de primer orden, el algoritmo de Newmark queda definido por las expresiones 3.32 y 3.33, donde θ es el parámetro caracterı́stico del algoritmo para esta variable. p̄˙n+1 = p̄˙ n + ∆p̄˙n (3.32) p̄n+1 = p̄n + p̄˙n ∆t + θ∆t∆p̄˙ n (3.33) ¨n y ∆p̄˙ n son magnitudes desconocidas y los parámetros γ, β y θ adoptan valores ∆ū entre 0 y 1, de tal modo que para garantizar que el algoritmo sea incondicionalmente estable se debe satisfacer las siguientes condiciones [147, 158]: 2β ≥ γ ≥ 1 2 θ≥ 1 2 Concretamente, en el esquema en diferencias centrales γ = 12 , β = 0 y θ = 12 , se alcanza un algoritmo explı́cito para los desplazamientos u, siempre que las matrices de masa y amortiguamiento sean diagonales, e implı́cito para la presión de poro p, aunque resulta ser un método condicionalmente estable. Por el contrario, el algoritmo alcanzado cuando γ = 21 , β = 41 y θ = 21 (aceleración promedio o método trapezoidal) es incondicionalmente estable, de ahı́ que sea ampliamente utilizado, y además no introduce ningún tipo de amortiguamiento numérico en la solución. Sin embargo cuando no existe amortiguamiento fı́sico en el problema o éste no es suficiente, se hace necesario recurrir a algoritmos que introduzcan cierto amortiguamiento numérico en la solución, con el fin de amortiguar las posibles oscilaciones numéricas espurias asociadas normalmente a las altas frecuencias. Dentro de la familia de los algoritmos de Newmark, se pueden obtener algoritmos disipativos, es decir que introduzcan amortiguamiento numérico, si se adoptan alguno de los siguientes conjuntos de valores para los parámetros que intervienen en el método: γ = 0,6 β = 0,3025 θ = 0,6 γ = 0,51 β = 0,2575 θ = 0,51 Algunos investigadores como Dewoolkar que empleó el programa SWANDYNE II para la modelización de estructuras de contención [56], observó que el primer conjunto de valores introduce un excesivo amortiguamiento respecto a los resultados experimentales de ensayos en centrifuga, obteniendo un mejor ajuste si se emplea el segundo conjunto de valores. Sin embargo, en los problemas donde interviene el suelo, el amortiguamiento fı́sico de éste, bien viscoso o histerético, es mucho más significativo que el amortiguamiento numérico introducido por el método, siendo menos relevante el empleo de uno u otro conjunto de valores. Sustituyendo las expresiones 3.29 a 3.33 del algoritmo de Newmark en el sistema de 118 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO ecuaciones 3.28 deducido de la formulación u − p, se obtiene el sistema de ecuaciones no ¨ y ∆p̄˙ son las incógnitas. lineales definido por las expresiones 3.35 y 3.36, donde ∆ū u ¨n + γ∆tC∆ū ¨n + Pn+1 − θ∆tQ∆p̄˙ n − Fn+1 Gun+1 = M ∆ū =0 p ¨n + θ∆tH∆p̄˙ n + S∆p̄˙n − Fn+1 =0 Gpn+1 = γ∆tQT ∆ū (3.35) (3.36) donde: u u ¨n − C(ū˙ n + ∆tū ¨n ) + Q(p̄n + ∆tp̄˙ n ) Fn+1 = fn+1 − M ū p p ¨n ) − H(p̄n + ∆tp̄˙ n ) − S p̄˙ n − QT (ū˙ n + ∆tū = fn+1 Fn+1 Z Z ′ ′ B T ∆σn dΩ + Pn B T σn+1 dΩ = Pn+1 = Ω Ω ¨n y ∆p̄˙ n , Tras resolver el sistema de ecuaciones 3.35 y 3.36, se obtienen las variables ∆ū que sustituyéndolas en las expresiones 3.31 y 3.33 permiten conocer los valores de desplazamiento, ūn+1 , y presión de poro, p̄n+1 , para el instante tn+1 = tn + ∆t. Las expresiones p u se pueden evaluar a partir de la información disponible para el instante tn , P Fn+1 y Fn+1 es un vector de fuerzas internas que depende de los desplazamientos en cada instante y ′ ∆σn representa el cambio de tensiones efectivas al pasar de tn a tn+1 . De forma análoga, para la ecuación general de la dinámica o ecuación de gobierno para el caso de suelo seco, se sustituyen las expresiones 3.29 a 3.31 en la ecuación 3.23 y se obtiene la ecuación a resolver definida en la expresión 3.37. u ¨n + γ∆tC∆ū ¨n + Pn+1 − Fn+1 Gun+1 = M ∆ū =0 (3.37) donde: u u ¨n − C(ū˙ n + ∆tū ¨n ) Fn+1 = fn+1 − M ū Z Z Pn+1 = B T σn+1 dΩ = B T ∆σn dΩ + Pn Ω Ω 3.4.2. Métodos α-generalizados Dentro de la denominación de algoritmos α-generalizados se incluyen una colección de diferentes métodos de integración paso a paso comúnmente empleados en problemas dinámicos y que se pueden deducir a partir de una formulación unificada, que para esta investigación se seguirá la formulación empleada por Kontoe et al (2008) [44]. Entre los diferentes métodos que se pueden alcanzar destacan el método propuesto por Hilber et al (HHT) [161], el método propuesto por Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ) y el método propuesto por Chung y Hulbert (CH) [162], además de cualquier método perteneciente a la familia de algoritmos de Newmark. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 119 Todos estos algoritmos se basan en una generalización del algoritmo de Newmark, donde se introducen dos nuevos parámetros αm y αf que afectan a las ecuaciones de gobierno del problema, ecuaciones 3.21 o 3.24 y 3.22, que permiten evaluar los diferentes términos de las ecuaciones de gobierno en diferentes puntos dentro del intervalo de tiempo, ya que los términos de inercia se evalúan para el instante de tiempo t = tn+1−αm y el resto de términos para un instante anterior t = tn+1−αf , donde αf ≥ αm . Esto conduce a las ecuaciones de gobierno mostradas en 3.38. ¨n+1−αm + C ū˙ n+1−αf + M ū T Z ′ Ω u B T σn+1−αf dΩ − Qp̄n+1−αf = fn+1−α f Q ū˙ n+1−αf + H p̄n+1−αf + S p̄˙n+1−αf = (3.38) p fn+1−α f donde: tn+1−αm = (1 − αm )tn+1 + αm tn p̄n+1−αf = (1 − αf )p̄n+1 + αf p̄n tn+1−αf = (1 − αf )tn+1 + αf tn p̄˙n+1−αf = (1 − αf )p̄˙ n+1 + αf p̄˙n ū˙ n+1−αf = (1 − αf )ū˙ n+1 + αf ū˙ n p p + αf fnp fn+1−α = (1 − αf )fn+1 f ¨n+1−αm = (1 − αm )ū ¨n+1 + αm ū ¨n ū ūn+1−αf = (1 − αf )ūn+1 + αf ūn u u fn+1−α = (1 − αf )fn+1 + αf fnu f Pn+1−αf = (1 − αf )Pn+1 + αf Pn Sustituyendo las definiciones anteriores en 3.38 se obtienen las ecuaciones 3.39 y 3.40. ¨n+1 + αm M ū ¨n + (1 − αf )C ū˙ n+1 + αf C ū˙ n + (1 − αf )Pn+1 + αf Pn (1 − αm )M ū u − (1 − αf )Qp̄n+1 − αf Qp̄n = (1 − αf )fn+1 + αf fnu (3.39) (1 − αf )QT ū˙ n+1 + αf QT ū˙ n + (1 − αf )H p̄n+1 + αf H p̄n p + αf fnp (3.40) + (1 − αf )S p̄˙n+1 + αf S p̄˙n = (1 − αf )fn+1 A continuación se sustituyen las expresión del algoritmo de Newmark, ecuaciones 3.29 a 3.33, en las ecuaciones 3.39 y 3.40, obteniéndose las ecuaciones 3.41 y 3.42. ¨n + (1 − αf )γ∆tC∆ū ¨n Gun+1 = (1 − αm )M ∆ū u + (1 − αf )Pn+1 − (1 − αf )θ∆tQ∆p̄˙n − Fn+1 = 0 (3.41) p ¨n + (1 − αf )θ∆tH∆p̄˙ n + (1 − αf )S∆p̄˙n − Fn+1 =0 Gpn+1 = (1 − αf )γ∆tQT ∆ū (3.42) 120 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO donde: u u ¨n − C(ū˙ n + (1 − αf )∆tū ¨n ) − αf Pn + Q(p̄n + (1 − αf )∆tp̄˙n ) Fn+1 = (1 − αf )fn+1 + αf fnu − M ū p p ¨n ) − H(p̄n + (1 − αf )∆tp̄˙n ) − S p̄˙n + αf fnp − QT (ū˙ n + (1 − αf )∆tū = (1 − αf )fn+1 Fn+1 Z Z ′ ′ B T ∆σn dΩ + Pn B T σn+1 dΩ = Pn+1 = Ω Ω ¨n y Una vez resuelto el sistema de ecuaciones 3.41 y 3.42, se obtienen las variables ∆ū ∆p̄˙n , las cuales se sustituyen en las expresiones de los algoritmos de Newmark, ecuación 3.31 y 3.33, y permiten conocer para el instante tn + ∆t (paso n + 1) los valores de desplap u se pueden evaluar a y Fn+1 zamiento, ūn+1 , y presión de poro, p̄n+1 . Las expresiones Fn+1 partir de la información disponible para el instante tn . En esta formulación intervienen cuatro parámetros, α ,β,αm y αf , destacando que los parámetros α y β coinciden con los parámetros descritos en la presentación de la familia de algoritmos de Newmark. Dependiendo de los valores asignados a estos parámetros se pueden obtener diferentes algoritmos, pero a continuación se enumeran algunos algoritmos muy conocidos y que son empleados con gran frecuencia en problemas dinámicos, ası́ como los valores que deben adoptar cada uno de estos cuatro parámetros atendiendo a la investigación presentada por Kontoe et al [44]. CH: β = 0,3025; γ = 0,6; αm = 0,35; αf = 0,45. HHT: β = 0,3025; γ = 0,6; αm = 0; αf = 0,1. WBZ: β = 0,3025; γ = 0,6; αm = −0,1; αf = 0. Familia de Newmark: αm = 0; αf = 0. La principal caracterı́stica de los algoritmos HHT, WBZ y CH es que permiten controlar la disipación en los modos altos de vibración sin afectar excesivamente a las bajas frecuencias, destacando que el algoritmo CH tiene un efecto mı́nimo sobre las bajas frecuencias. Además, el algoritmo CH alcanza una precisión de segundo grado cuando γ = 1/2−αm +αf y es incondicionalmente estable si se cumple: αm ≤ αf ≤ 1 2 y β≥ 1 + 2(αf − αm ) 4 Kontoe et al [44] establecieron que el método CH puede alcanzar una disipación óptima de las altas frecuencias con el mı́nimo impacto sobre las bajas frecuencias cuando se satisfacen las siguientes tres condiciones, que estan definidas a través del valor del radio espectral ρ∞ : αm = 2ρ∞ − 1 ρ∞ + 1 αf = ρ∞ ρ∞ +1 β= 1 (1 − αm + αf )2 4 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 121 3.4.3. Evaluación de los algoritmos temporales de integración En la literatura se pueden encontrar diferentes investigaciones que tratan de analizar las ventajas y desventajas de los métodos de integración temporal paso a paso que han sido propuestos para la resolución de problemas de tipo dinámico [158, 164, 165, 166, 44, 160]. Generalmente, la mayorı́a de las investigaciones analizan el comportamiento (estabilidad y precisión) de los algoritmos numéricos para el caso de un sistema de un grado de libertad (SDOF) sin amortiguamiento y en vibración libre [158, 159]. Como medida de la precisión alcanzada por un determinado algoritmo, se emplean por una parte la variación en la amplitud del desplazamiento, conocida como “displacement amplitude decay” (AD) y por otra, la elongación del periodo, conocida como “period elongation” (PE). Estos dos tipos de errores se definen gráficamente en la figura 3.1. Figura 3.1 – Representación gráfica de los errores AD y TE introducidos en la solución numérica frente a la analı́tica. Además de los parámetros anteriores, también se emplea con gran frecuencia un tercero con el que se trata de representar además de la estabilidad y la precisión del método, la disipación numérica que puede introducir el algoritmo, resultando de especial interés su capacidad para la disipación en las altas frecuencias. Este parámetro es el radio espectral (ρ) de la matriz de amplificación (A), la cual es caracterı́stica de cada algoritmo y se define para un SDOF en vibración libre como muestra la expresión 3.43. El radio espectral se obtiene como el máximo autovalor (en valor absoluto) de A, ecuación 3.44 un+1 un mü + cu̇ + ku = 0 ⇒ u̇n+1 = [A] u̇n ün+1 ün − det(A − λI) = 0 ⇒ ρ(A) = max {|λ1 | , |λ2 | , |λ3 |} (3.43) (3.44) Se define que un algoritmo es estable cuando ρ(A) ≤ 1. Respecto a la disipación que introduce, cuando ρ(A) = 1, la disipación introducida por el algoritmo es nula, pero a medida 122 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO que ρ(A) decrece, la disipación aumenta. El radio espectral se suele representar frente al ratio ∆t/Tn , donde Tn es el periodo natural de vibración del sistema sin amortiguamiento. El comportamiento disipativo óptimo de un algoritmo paso a paso serı́a aquel que mantuviera un valor de ρ próximo a la unidad para el mayor rango de ∆t/Tn posible y decreciera significativamente (0.5-0.8) cuando ∆t/Tn tiende a infinito (ρ∞ ). Esto implicarı́a que el algoritmo es capaz de disipar las altas frecuencias, que no se encuentran correctamente representadas por la discretización espacial del modelo en elementos finitos, sin afectar a las bajas frecuencias, que son las que resultan de mayor interés. En la figura6 3.2 se muestra la evolución del radio espectral para diferentes algoritmos de integración paso a paso en el rango ∆t/Tn = 0,01 − 100, como métodos de referencia se mantienen el algoritmo sin amortiguamiento de Newmark γ = 1/2 β = 1/4 y el algoritmo disipativo de Newmark γ = 0,6 β = 0,3025. (a) Radio espectral para distintos algoritmos (ρ∞ =0.818) (b) Radio espectral de CH para distintos ρ∞ Figura 3.2 – Evolución del radio espectral (ρ) frente a ∆t/Tn para distintos algoritmos, según Kontoe et al [44]. (NMK1 → NM γ = 1/2 β = 1/4; MNK2 → NM γ = 0,6 β = 0,3025) Además, las diferentes investigaciones han demostrado que el valor de ∆t, y especialmente el ratio ∆t Tn representa un papel esencial en la precisión de la respuesta obtenida. Por otra parte, el análisis sobre sistemas bajo vibraciones forzadas han sido claramente menos estudiados [167, 168, 169, 160]. Arias-Trujillo et al (2012) [160] desarrollaron un amplio estudio comparando el comportamiento de diferentes algoritmos paso a paso para el caso de vibraciones forzadas por medio de una novedosa metodologı́a basada en sus correspondientes funciones de transferencia (FT) en el dominio de las frecuencias [167]. Esta metodologı́a permite estimar el comportamiento del algoritmo, en términos de amortiguamiento numérico y distorsión de frecuencias, en función del rango de frecuencias de la solicitación y diferentes valores de ∆t, tanto en sistemas de altas como bajas frecuencias naturales. Una función de transferencia es un operador matemático que relaciona la señal de entrada en el sistema (solicitación) con la respuesta obtenida. Dicha señal de entrada o so6 La nomenclatura asignada en esta figura a los algoritmos de la familia de Newmark no se corresponde con la empleada en esta investigación, ya que se ha mantenido la denominación original de Kontoe et al [44]. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 123 licitación se define como una función exponencial compleja (r(t) = e(iωt) ) por lo que la respuesta se obtendrá como una versión escalada de la entrada7 (H(iω)eiωt ), donde H(iω) es la función de transferencia del sistema y está definida como una función compleja. Es posible obtener tanto la función de transferencia exacta para un SDOF como para los distintos algoritmos paso a paso. De este modo, comparando la FT numérica correspondiente a un determinado algoritmo con la FT exacta se puede analizar el comportamiento de dicho algoritmo de integración. A continuación se expondrán las definiciones de las funciones de transferencia exacta y numéricas. Una descripción más detalla del procedimiento para obtenerlas se puede encontrar en [160]. La función de transferencia exacta8 en desplazamientos y velocidad se muestra en las ecuaciones 3.45 y 3.46, éstas dependen de la frecuencia de la solicitación (ω), de la frecuencia natural del sistema (ωn ) y del amortiguamiento del sistema (ξ). Hu∗ (iω, ξ) = 1 [−ω 2 + 2ωn ξωi + ωn2 ] Hv∗ (iω, ξ) = iωHu∗ (iω, ξ) = (3.45) iω [−ω 2 + 2ωn ξωi + ωn2 ] (3.46) Si un determinado algoritmo paso a paso se expresa en la forma matricial mostrada en la ecuación 3.47, sus funciones de transferencia, tanto en desplazamiento como en velocidad, serı́an las mostradas en la ecuación 3.48, donde I es la matriz de identidad 2x2, mientras que A′ y B ′ son las matrices de coeficientes correspondientes a cada algoritmo. En este caso, las funciones de transferencia numéricas dependen de cuatro parámetros, la frecuencia de la solicitación (ω), la frecuencia natural del sistema (ωn ), el amortiguamiento del sistema (ξ) y del intervalo de tiempo (∆t). A′ (ωn ,ξ,∆t) un+1 u̇n+1 Hu Hv ! ! = z = e }| a11 a12 a21 a22 iω∆t B ′ (ωn ,ξ,∆t) !{ un u̇n ′ ! I − A (ωn , ξ, ∆t) + −1 }| !{ b11 b12 b21 b22 z rn rn+1 1 ′ B (ωn , ξ, ∆t) eiω∆t ! (3.47) ! (3.48) Los respectivos coeficientes de la matrices A’ y B’ para la familia de Newmark y para el algoritmo α−generalizado son: a11 Método de Newmark 1 =∆ 2βξωn3 ∆t3 (γ − 1) − (1 + 2γξω n ∆t)(1 − a12 = a21 = a22 = b11 = 7 8 2 ∆t2 ωn 2 + βωn2 ∆t2 ) 1 2 2 + 2βξω ∆t2 ) n ∆ 2βξωn ∆t (2γ∆tξωn − 2∆tξωn + 1) − (1 + 2γξω n ∆t)(∆t − ξωn ∆t 2 ∆t2 ωn 1 2 2 2 2 2 2 2 + βωn ∆t ) ∆ −(1 + βωn ∆t )(∆tγωn − ωn ∆t) + γωn ∆t(1 − 2 1 2 2 2 − ξωn ∆t2 + 2βξωn ∆t2 ) ∆ −(1 + βωn ∆t )(2γ∆tωn − 2hωn + 1) + γωn ∆t(∆t 1 ∆t2 2 3 ∆ 2βξωn ∆t (1 − γ) − (1 + 2γξω n ∆t)( 2 − β∆t ) Esta definición se aplica para sistemas lineales no dependientes del tiempo. Se empleará el superı́ndice asterisco para la función de transferencia exacta. 124 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 3 γ − (1 + 2γξω ∆t)β∆t2 2βξω ∆t n n 2 b21 = −(1 + βωn2 ∆t2 )(1 − γ)∆t + γωn2 ∆t( ∆t2 − β∆t2 ) b22 = −(1 + βωn2 ∆t2 )γ∆t + γωn2 β∆t3 ∆ = −1 − βωn2 ∆t2 − 2γξωn ∆t b12 = 1 ∆ 1 ∆ 1 ∆ Método α−generalizado9 2k 2 2 a11 = 1 − 21 − β ∆t2 ωn2 − β∆t + β∆t P P Rωn 2 2 β∆t β∆t a12 = ∆t − 21 − β ∆t2 2ξωn − P Q + P R2ξωn γ∆t 2 a21 = − (1 − γ) ∆tωn2 − γhk P + P Rωn a22 = 1 − (1 − γ) ∆t2ξωn − γ∆tQ + γ∆t P P R2ξωn 2 β∆t β∆t2 1 2 b11 = 2 − β ∆t + P αf − P R 2 b12 = β∆t P (1 − αf ) γ∆t b21 = (1 − γ) ∆t + γ∆t P αf − P R b22 = γ∆t P (1 − αf ) P = m (1 − αm ) + c (1 − αf ) γ∆t + k (1 − αf ) β∆t2 Q = c + k (1 − αf ) ∆t R = mαm + c (1 − αf ) (1 − γ) ∆t + k (1 − αf ) 12 − β ∆t2 En la figura 3.3 se muestra las funciones de transferencia, en desplazamientos, numéricas frente a la analı́tica para siete algoritmos de la familia de Newmark, ampliamente empleados y reportados en la literatura, y tres algoritmos de los α−generalizados (HHT, WBZ y CH)10 . Todas las funciones de transferencia se han obtenido para un valor de amortiguamiento del 5 %, que suele ser un valor comúnmente adoptado en la resolución de problemas dinámicos. Para cada uno de los métodos se representan cuatro grupos de FT correspondientes a diferentes valores de periodo natural del sistema, para ello se ha adoptado un sistema de periodo largo (Tn = 4 seg.), un sistema de periodo intermedio (Tn = 1 seg.) y dos sistemas de periodo corto (Tn = 0,1 seg. y Tn = 0,05 seg.). En cuanto al rango de las frecuencias de la solicitación, esta se define en un intervalo entre una frecuencia mı́nima ωmin = π/50 rad/s y una frecuencia máxima obtenida en función del intervalo de tiempo (∆t) y de la frecuencia de Nyquist [170], de tal modo que se eviten el fenómeno de aliasing. Ası́ la frecuencia máxima de la solicitación será inferior a la frecuencia establecida por el criterio de Nyquist para un valor de ∆t dado. Los valores de ∆t considerados son 0,02, 0,01 y 0,005 segundos con lo que la máxima frecuencia de la solicitación (ωmax ) correspondiente a cada uno de ellos será 50π, 100π y 200π rad/s. A su vez se muestran tres curvas correspondientes a cada uno de los valores de ∆t empleados. En la figura 3.3 el modulo de la función de transferencia se normaliza por el máximo valor del modulo de la FT exacta en cada sistema, tabla 3.2, y el rango de las frecuencias de solicitación se normaliza por la máxima frecuencia que se puede aplicar, 200π. Los picos observados en estas figuras se deben a un fenómeno de resonancia. 9 Los términos k, m y c se corresponden con la rigidez, masa y amortiguamiento, respectivamente, del sistema. 10 El análisis de las funciones de transferencia para una amplio rango de algoritmos de integración se puede encontrar en el trabajo desarrollado por Arias-Trujillo et al [160]. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 125 Comparando la FT numéricas con la exacta para cada periodo y valor de ∆t, se puede analizar el comportamiento que presentará cada uno de los algoritmos de integración. En general se puede comprobar como para los sistemas de periodo largo e intermedio (Tn = 4 y 1 seg), las FT numéricas coinciden prácticamente con la exacta independientemente del valor de ∆t, a excepción del Newmark-6 (γ = 0,6 β = 0,3025) donde las FT numéricas se distancian ligeramente de la FT exacta para Tn = 1 seg. Por el contrario, el comportamiento de los algoritmos analizados es completamente diferente para los sistemas de periodo corto (Tn = 0,1 y Tn = 0,05 seg.). En estos dos casos se puede observar que para ninguno de los valores de ∆t empleados, las FT numéricas coinciden con la exacta. Además, los resultados numéricos se distancian más de la solución exacta para el sistema de periodo más bajo (Tn = 0,05 seg.), aunque a medida que el valor de ∆t disminuye, las FT numéricas se aproximan más a la exacta. Dependiendo del algoritmo, las FT numéricas se encuentran desplazadas (a la izquierda en la mayorı́a de los casos) independientemente de ∆t y, a la vez también se encuentran escaladas respecto a la FT exacta. Ambos fenómenos son más relevantes para los sistemas de periodos más cortos. El desplazamiento de la FT numérica respecto a la exacta se puede interpretar como la introducción de una distorsión de la frecuencia (“period elongation”). A la vez, la variación de escala de la FT numérica respecto a la exacta podrı́a representar el efecto de amplificación o deamplificación que puede introducir cada algoritmo en el cálculo de la solución numérica. Por ejemplo, el algoritmo NM-3 (γ = 1/2 β = 1/4) se caracteriza por no introducir amortiguamiento numérico en la solución [164, 161, 162, 44], y como se puede comprobar de sus FT numéricas, estas no están escaladas con respecto a la exacta. Por el contrario los algoritmos de NM-2 (γ = 1/2 β = 1/12) y NM-4 (γ = 1/2 β = 1/8) no introducirı́an distorsiones en las frecuencias puesto que sus FT numéricas no se encuentran desplazadas (ni a la derecha ni a la izquierda) con respecto a la exacta. Por otra parte, aquellos algoritmos disipativos, que se caracterizan por introducir un cierto amortiguamiento numérico principalmente en los modos de vibración altos [158], poseen unas FT numéricas con una gran deamplificación respecto a la exacta, especialmente para los sistemas de periodo corto (altas frecuencias), como se puede observar para los algoritmos NM-6 (γ = 0,6 β = 0,3025) y NM-7 (γ = 0,51 β = 0,2575) y para los algoritmos α−generalizados (CH, HHT y WBZ). A su vez, aquellos algoritmos que presentan mayor deamplificación en las FT numéricas respecto a la exacta son los que introducen mayor amortiguamiento, como por ejemplo se observa comparando los algoritmos de NM-6 y NM7, donde las FT numéricas del NM-6 están mucho más deamplificadas que las del NM-7, esto se corresponde con las evidencias observadas y reportadas por diferentes autores [56], quienes exponen que el algoritmo de NM-6 introduce mayor amortiguamiento que el NM-7. A su vez, cualquiera de los tres algoritmos α−generalizados que se presentan introducen menos amortiguamiento en la solución numérica que el NM-6. Esta metodologı́a es válida para para detectar la tendencia de cada algoritmo a modificar el resultado numérico que se obtiene de él, por ejemplo modificando su amplitud o introduciendo variaciones en las frecuencias. También es válida para determinar para qué combinación del conjunto de valores Tn − ∆t − ω las modificaciones introducidas por el algoritmo pueden ser más relevantes o menos. 126 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tabla 3.2 – Máximo valor del modulo de la función de transferencia exacta para cada sistema analizado. Tn (sec.) |Hd |max exact 4 4.052847 1 0.253303 0.1 0.002536 0.05 0.000634 Como conclusión se puede establecer que la metodologı́a basada en el análisis de las FT puede ser empleada para realizar un análisis tentativo del posible comportamiento que puede presentar un algoritmo de integración, a la vez que también se puede emplear para comparar el comportamiento entre diferentes métodos, especialmente para el caso de vibraciones forzadas y en función de las propiedades del sistema y del paso de tiempo empleado. Como se ha indicado, los algoritmos de integración introducen principalmente dos tipos de errores, distorsiones en las frecuencias y amplificaciones o deamplificaciones (amortiguamiento numérico), dependiendo de cada caso y de cada algoritmo de integración, el efecto de uno u otro tipo de error puede predominar en la precisión del resultado numérico que se alcance. En el marco de esta tesis doctoral se ha desarrollado esta nueva metodologı́a basada en las funciones de transferencia. Uno de los objetivos de esta investigación será el de analizar la posible aplicabilidad de dicha metodologı́a a la resolución de problemas dinámicos más complejos como los que se pretenden abordar en esta tesis. 3.4.4. Ejemplos de validación: Algoritmos de integración temporal 3.4.4.1. Respuesta de un estrato horizontal de suelo elástico sometido a una solicitación sinusoidal en su base El objetivo de este ejemplo es el de validar la correcta implementación de los algoritmos de integración introducidos en el código. Para ello se compara la solución numérica obtenida del código GHM frente a la solución analı́tica para la respuesta de un estrato horizontal de suelo homogéneo y elástico, de espesor H y sometido a una aceleración üg aplicada en su base. La solución analı́tica a este problema fue desarrollada por Idriss y Seed (1968) [1]. Considerando una sección unitaria de la columna de suelo, figura 3.4, la ecuación de gobierno del problema es la mostrada en la expresión 3.49, donde u(y, t) es el desplazamiento relativo horizontal (1-D) de un punto situado a la profundidad y en el instante t, G es el modulo de deformación transversal, el cual se define como G(y) = Ay B donde A y B son dos parámetros que dependen del tipo de suelo, c(y) es el coeficiente de amortiguamiento viscoso y ρ(y) es la densidad del suelo. ∂ 2 ug ∂u ∂ ∂u ∂2u − G(y) = −ρ(y) 2 ρ(y) 2 + c(y) ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t (3.49) La solución a la ecuación 3.49 se muestra en las ecuaciones 3.50 a 3.52, de ellas se comprueba que se puede alcanzar una solución semi-analı́tica que se expresa como el producto de una función analı́tica dependiente del espacio, Yn (y), (ecuación 3.51) y una función dependiente del tiempo, Xn (t), (ecuación 3.52) que se obtiene empleando una técnica numérica de integración temporal. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P Newmark−2 (γ=1/2; β=1/12) Newmark−1 (γ=1/2; β=0) 1.5 (T ) 4 sec. 1 sec. n (Tn) 4 sec. 1 sec. |H |/|H |max d exact 0.1 sec. 0.05 sec. 1 0.5 0 −3 10 1 −2 10 −1 ω /200π 0.5 0 −3 10 0 10 10 −2 10 d exact |H |/|H |max d exact 1 0.5 0 −3 10 −2 10 −1 ω /200π 0.5 0 −3 10 0 10 10 −2 10 Newmark−5 (γ=1/2; β=1/6) d exact 1 10 0 10 0.1 sec. 0.05 sec. 1 d d |H |/|H |max d exact (Tn) 4 sec. 1 sec. 0.1 sec. 0.05 sec. n −1 ω /200π Newmark−6 (γ=0.6; β=0.3025) 1.5 (T ) 4 sec. 1 sec. |H |/|H |max 0.1 sec. 0.05 sec. 1 1.5 0.5 0 −3 10 −2 10 −1 ω /200π (Tn) 4 sec. 1 sec. 0.5 0 −3 10 0 10 10 Newmark−7 (γ=0.51; β=0.2575) −2 10 −1 ω /200π HHT 10 0 10 1.5 (Tn) 4 sec. 1 sec. d exact 0.1 sec. 0.05 sec. |H |/|H |max 1.5 1 0.1 sec. 0.05 sec. 1 d d d exact 0 10 d d |H |/|H |max (Tn) 4 sec. 1 sec. 0.1 sec. 0.05 sec. n |H |/|H |max 10 1.5 (T ) 4 sec. 1 sec. 0.5 0 −3 10 −2 10 −1 ω /200π 0 −3 10 0 10 0.5 10 −2 10 1.5 1 sec. 0.1 sec. 0.05 sec. d exact (Tn) 4 sec. −1 ω /200π 10 0 10 CH WBZ 1.5 1 (Tn) 4 sec. 1 sec. 0.1 sec. 0.05 sec. 1 d d |H |/|H |max d exact −1 ω /200π Newmark−4 (γ=1/2; β=1/8) Newmark−3 (γ=1/2; β=1/4) 1.5 |H |/|H |max 0.1 sec. 0.05 sec. d d |H |/|H |max d exact 1.5 127 0.5 0 −3 10 −2 10 −1 ω /200π 10 h=0.005 seg. 0 10 h=0.01 seg. 0.5 0 −3 10 h=0.02 seg. −2 10 −1 ω /200π 10 0 10 Exact Figura 3.3 – Función de transferencia analı́tica frente a las funciones de transferencia numéricas para diferentes algoritmos de integración, diferentes sistemas y diferentes pasos de tiempo (ξ = 5 %). 128 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Figura 3.4 – Geometrı́a y condiciones de contorno para un estrato horizontal de suelo sometido a una solicitación senoidal en su base. u(y, t) = n=∞ X Yn (y)Xn (t) 0 < B < 0,5 (3.50) n=1 Yn (y) = 1 βn 2 b y b/θ y 1/θ J−b βn Γ(1 − b) H H Ẍn + 2ξωn Ẋn + ωn2 Xn = −Rn üg (3.51) (3.52) En las expresiones anteriores, el subı́ndice n se corresponde con el n-ésimo modo de vibración, J−b es la función de Bessel de primer tipo de orden −b, βn representa la raı́z de J−b (βn ) = 0, Γ es la función gamma, mientras que ωn y ξn son la frecuencia natural y el ratio de amortiguamiento del modo n-ésimo, respectivamente, los cuales se definen en la ecuación 3.53. El término Rn y los parámetros θ y b están definidos en la ecuación 3.54. p βn A/ρ ωn = θH 1/θ Rn = " 1 βn 2 1+b Γ (1 − b) J1−b (βn ) ξn = #−1 1 2c (3.53) ρωn θ= −2 B−2 b= −Bθ + θ 2 (3.54) Variando los parámetros B y ξ se pueden definir diferentes tipos de suelos. Puesto que la finalidad de este ejemplo es la de validar la correcta implementación de los algoritmos temporales programados en GHM, se considerará un valor de G constante (B = 0) para todo el espesor del estrato, lo que representarı́a un suelo cohesivo [1]. Además para analizar el amortiguamiento introducido por cada algoritmo se considerará un material sin amortiguamiento (ξ = 0). 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 129 Se ha considerado una columna de 30 m de altura formada por un suelo con las siguientes propiedades: ρ = 1920 kg/m3 , E = 6 · 107 N/m2 , G = 2 · 107 N/m2 y ν = 0,5. La solicitación aplicada, ecuación 3.55, se corresponde con una función sinusoidal de amplitud Ac = 3 m/s2 y ω = 2π rad/sec, durante un tiempo total de 10 seg. üg = Ac sin(ωt) (3.55) Para este problema se han obtenido tres tipos de soluciones. En primer lugar, al considerar una solicitación sinusoidal y un valor de G constante, se puede emplear la solución analı́tica dada por la expresión 3.56 [171]. u(y, t) = 4Aω 2 (2n−1)π − vs2 (2n−1)2 π 2 − n=1 4H 2 ∞ X ω2 sen (2n − 1)πy 2H 2Hω sen sen(ωt) − vs (2n − 1) vs (2n − 1)πt 2H (3.56) donde A es la amplitud en desplazamientos y se define como A = Ac /ω 2 , con Ac la p amplitud en aceleraciones, vs = G/ρ, donde vs es la velocidad de las ondas de corte, ρ es la densidad del suelo, G es el modulo de elasticidad transversal y H es el espesor del estrato. Por otra parte, n se corresponde con los modos de vibración considerados, la variable y representa la cota del punto dentro estrato, mientras que t es el tiempo. Para esta solución, se sitúa el origen de las cotas en la base del estrato de suelo y no en su superficie. Atendiendo a las ecuaciones 3.50, 3.51 y 3.52, también se puede alcanzar una solución semi-analitica ya que la componente espacial se puede obtener de forma analı́tica mientras que la componente temporal se obtiene como resultado del empleo de un algoritmo temporal de integración, donde para un suelo homogéneo B = 0, θ = 1, b = 1/2 y el término Rn i−1 h 1,5 . Γ (1/2) J1/2 (βn ) se define como Rn = 21 βn Finalmente, también se resuelve este problema con el código GHM y diferentes algoritmos de integración, definiéndose esta como la solución numérica. Se han empleado seis algoritmos, tres pertenecientes a la familia de Newmark y tres de la familia α−generalizados11 . Entre ellos, el algoritmo de Newmark sin amortiguamiento NM-3 (γ = 1/2 β = 1/4), los Newmark con amortiguamiento NM-6 (γ = 0,6 β = 0,3025) y NM-7 (γ = 0,51 β = 0,2575) y los algoritmos disipativos en altas frecuencias CH, HHT y WBZ. Para el modelo en elementos finitos se han empleado 65 elementos triangulares de 3 nodos, con movimientos restringidos (horizontales y verticales) en la base y movimientos verticales coartados en los laterales de la columna. En la figura 3.5 se muestra el desplazamiento horizontal del punto superior de la columna. En ella se compara la solución analı́tica, semi-analitica y numérica (GHM) para los seis algoritmos de integración indicados. Para el cálculo de la solución analı́tica y semi-analı́tica se han empleado un total de 10 modos de vibración, lo que equivale a 10 términos dentro del sumatorio (ecuación 3.50). Los periodos naturales de cada uno de estos 10 términos oscilan en un rango entre 1.1758 a 0.0619 segundos para los valores del problema indicados. El paso de tiempo empleado en el cálculo de las soluciones numérica y semi-analı́tica 11 Estos algoritmos se presentaron en el apartado 3.4.3. 130 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Newmark−6 (γ=0.6; β=0.3025) 0.8 0.6 0.6 Desplazamiento (m) Desplazamiento (m) Newmark−3 (γ=1/2; β=1/4) 0.8 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) −0.6 −0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0.2 0 −0.2 −0.4 8 9 −0.8 0 10 Newmark−7 (γ=0.51; β=0.2575) 0.6 Desplazamiento (m) 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) 1 2 3 4 5 6 2 3 4 7 8 9 −0.8 0 10 1 2 3 4 Desplazamiento (m) Desplazamiento (m) 5 6 7 9 10 CH 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) 5 8 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) tiempo (seg.) 0.6 4 10 −0.4 0.6 3 9 0 0.8 2 8 −0.2 WBZ 1 7 0.2 0.8 −0.8 0 6 0.4 −0.6 tiempo (seg.) −0.6 5 HHT 0.8 −0.8 0 1 tiempo (seg.) 0.8 −0.6 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) −0.6 tiempo (seg.) Desplazamiento (m) 0.4 6 tiempo (seg.) 7 8 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 Sol. Analítica Sol. Semi−analítica Sol. Numérica (GHM) −0.6 9 10 −0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 tiempo (seg.) Figura 3.5 – Desplazamiento horizontal del punto superior de una columna de suelo elástico sometida a una solicitación senoidal en su base, calculado por diferentes algoritmos numéricos de integración frente a las soluciones analı́tica y semi-analı́tica. es de 0.01 seg. Como se comprueba de la figura 3.5, las diferentes soluciones numéricas calculadas por los algoritmos indicados reproducen la solución analı́tica y la semi-analı́tica. Lo que pone de manifiesto que la implementación de los algoritmos α−generalizados en el código GHM es correcta. De esta figura también se puede comprobar como el algoritmo de Newmark-3 no introduce ningún tipo de amortiguamiento mientras que, como cabrı́a esperar, el Newmark6 amortigua más la solución que el Newmark-7. Por otra parte, el comportamiento de los distintos α−generalizados (HHT, WBZ y CH) es bastante similar entre sı́ para este caso, introduciendo cierto amortiguamiento con respecto a la solución analı́tica y presentando a su vez un comportamiento próximo al Newmark-6. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P 131 10 m (0,5) 10 m Figura 3.6 – Geometrı́a, malla y condiciones de contorno adoptadas para analizar la influencia de los algoritmos de integración en un medio poroso saturado elástico. Tabla 3.3 – Propiedades del suelo empleado para el análisis de la influencia de los algoritmos de integración en un medio poroso saturado elástico. ρs = 2700 kg/m3 E = 16,6 · 106 P a Ks = 1 · 1020 P a ρf = 1000 kg/m3 ν = 0,2 Kf = 8 · 106 P a ρ = 1798,12 kg/m3 n = 0,53 k = 1 · 10−5 m/s 3.4.4.2. Influencia de los algoritmos de integración paso a paso en la respuesta de un medio poroso saturado elástico semi-infinito En este ejemplo se analiza el comportamiento de diferentes algoritmos de integración paso a paso en el calculo de la respuesta de un estrato poroso saturado elástico semiinfinito, figura 3.6, tanto en desplazamiento como en presión de poro, cuyas propiedades se muestran en la tabla 3.3, donde no se ha introducido amortiguamiento en el material, se han empleado contornos absorbentes12 y se ha sometido a un determinado acelerograma. En este caso se ha seleccionado el acelerograma artificial de Bogdanoff [172], el cual se define como el sumatorio de n términos armónicos según la ecuación 3.57, donde B y αb son dos constantes de valores B = 0,292 y αb = −0,333, respectivamente, ωj y φj son la frecuencia y los ángulos de fase de cada término armónico, respectivamente, t es el tiempo en segundos y a es la aceleración en m/sec2 . a(t) = Bte αb t n X cos(ωj t + φj ) (3.57) j=1 A través del valor asignado a n es posible controlar el contenido frecuencial del acelerograma. En este caso se han considerado 22 términos, tabla 3.4, cuyo rango de frecuencias oscila entre 6 rad/s (0,95 Hz) y 80,25 rad/s (12,77 Hz), barriendo un amplio rango de frecuencias, resultado el acelerograma mostrado en la figura 3.7. La variación en la amplitud y en el contenido frecuencial de este acelerograma se puede visualizar a través del espectro de amplitudes de Fourier, figura 3.7. El acelerograma considerado tiene una duración total de 10 sec. con un intervalo de tiempo de 0,02 sec. Por lo tanto, de acuerdo con el criterio de 12 Los contornos absorbentes desarrollados para esta tesis doctoral se analizan en la sección 3.7. 132 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tabla 3.4 – Frecuencias circular y ángulos de fase adoptados para el acelerograma de Bogdanoff j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ωj (rad/sec) 6.00 8.00 10.00 11.15 12.30 13.25 14.15 16.20 17.35 19.15 22.00 φj (rad) 3.7663 1.3422 4.8253 0.2528 4.5204 1.8834 1.3320 1.7852 0.1517 2.4881 1.7654 j 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25.25 29.85 34.50 39.60 46.45 53.00 58.60 66.75 71.15 74.80 80.25 φj (rad) 1.6632 2.1862 0.8325 1.2387 2.3156 3.0012 1.0645 0.7843 1.5532 0.9586 2.3562 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 0 0.14 22 frecuencias 0.12 Amplitudes Fourier 2 a (m/s ) ωj (rad/sec) 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 1 2 3 4 5 6 Tiempo (seg) 7 8 9 10 0 0 5 10 15 20 25 Frecuencia (Hz) Figura 3.7 – Acelerograma artificial de Bogdanoff para 22 términos y espectro de amplitudes de Fourier correspondiente. Nyquist [170], la frecuencia máxima admisible para evitar el fenómeno de aliasing es de 50π rad/s (25 Hz), que no se supera por ninguna de las 22 frecuencias empleadas y ademas es el limite superior considerado en los diagramas de amplitudes de Fourier. En la figura 3.8 se muestra la historia temporal del desplazamiento vertical y de la presión de poro para un punto situado en la cota (0,5), indicado en la figura 3.6, calculado por diferentes algoritmos y comparado con la solución obtenida por el algoritmo sin amortiguamiento Newmark-3. En esta figura se puede comprobar como el algoritmo Newmark-7 prácticamente no introduce amortiguamiento en la solución ya que se solapa con la solución obtenida para el Newmark-3 (algoritmo sin amortiguamiento). Por otra parte los algoritmos Newmark-6, HHT y WBZ si introducen cierto amortiguamiento en la solución numérica. Para analizar el amortiguamiento introducido por cada algoritmo, se muestra en la figura 3.9 el espectro de amplitudes de Fourier calculado sobre la respuesta en desplazamientos verticales para el punto indicado y sobre la respuesta en presión de poro. En cada gráfico se presenta el resultado obtenido para los algoritmos Newmark-6, Newmark-7, HHT y WBZ, junto a la respuesta obtenida con el método de Newmark-3, que se adopta como solución de referencia. Para resaltar el amortiguamiento introducido por cada algoritmo, se muestra en la figura 3.1013 la diferencia obtenida entre la amplitud del espectro de Fourier calculado por los diferentes algoritmos respecto a la obtenida por el algoritmo de NM-3. En cuanto al comportamiento de los algoritmos temporales de integración, de las figuras 3.9 y 3.10 se pueden extraer las siguientes conclusiones: El comportamiento de cualquiera de los algoritmos analizados es similar tanto en la respuesta en desplazamientos como en presión de poro. 13 En el eje de abscisas sólo se muestra hasta la frecuencia de 15 Hz para una mejor visualización de los resultados, ya que en el intervalo 15-25 Hz las amplitudes son nulas. 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P Newmark−6 Newmark−6 −3 1.5 x 10 6000 NM−3 NM−6 NM−3 NM−6 4000 1 2000 p (N/m2) 0.5 0 w v u (m) 133 0 −2000 −0.5 −4000 −1 0 2 6 8 −6000 0 10 x 10 4 6 8 Tiempo (seg.) 10 Newmark−7 6000 NM−3 NM−7 NM−3 NM−7 4000 1 2000 p (N/m2) 0.5 0 w v u (m) 2 Newmark−7 −3 1.5 4 Tiempo (seg.) 0 −2000 −0.5 −4000 −1 0 2 4 8 −6000 0 10 x 10 4 6 8 Tiempo (seg.) 10 HHT 6000 NM−3 HHT NM−3 HHT 4000 pw (N/m ) 1 2000 2 0.5 v u (m) 2 HHT −3 1.5 6 Tiempo (seg.) 0 0 −2000 −0.5 −4000 −1 0 2 4 8 −6000 0 10 x 10 4 6 8 Tiempo (seg.) 10 WBZ 6000 NM−3 WBZ NM−3 WBZ 4000 pw (N/m ) 1 2000 2 0.5 v u (m) 2 WBZ −3 1.5 6 Tiempo (seg.) 0 0 −2000 −0.5 −1 0 −4000 2 4 6 Tiempo (seg.) 8 10 −6000 0 2 4 6 Tiempo (seg.) 8 10 Figura 3.8 – Desplazamiento vertical y presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6, en un problema bidimensional con un medio poroso saturado, calculado por diferentes algoritmos de integración paso a paso respecto a la solución obtenida con el algoritmo NM-3. 134 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Newmark−6 −4 1 x 10 Newmark−6 350 Amplitudes Fourier (P ) NM−3 NM−6 300 W Amplitudes Fourier (uv) NM−3 NM−6 0.8 0.6 0.4 0.2 250 200 150 100 50 0 0 5 15 20 x 10 5 10 15 Frecuencia (Hz) 20 25 Newmark−7 350 Amplitudes Fourier (P ) NM−3 NM−7 0.8 NM−3 NM−7 300 W Amplitudes Fourier (uv) 0 0 25 Newmark−7 −4 1 10 Frecuencia (Hz) 0.6 0.4 0.2 250 200 150 100 50 0 0 5 10 20 x 10 5 10 15 Frecuencia (Hz) 20 25 HHT 350 Amplitudes Fourier (P ) NM−3 HHT 0.8 NM−3 HHT 300 W Amplitudes Fourier (uv) 0 0 25 HHT −4 1 15 Frecuencia (Hz) 0.6 0.4 0.2 250 200 150 100 50 0 0 5 10 20 x 10 5 10 15 Frecuencia (Hz) 20 25 WBZ 350 Amplitudes Fourier (P ) NM−3 WBZ 0.8 NM−3 WBZ 300 W Amplitudes Fourier (uv) 0 0 25 WBZ −4 1 15 Frecuencia (Hz) 0.6 0.4 0.2 250 200 150 100 50 0 0 5 10 15 Frecuencia (Hz) 20 25 0 0 5 10 15 Frecuencia (Hz) 20 Figura 3.9 – Espectros de amplitudes de Fourier sobre la historia temporal en desplazamientos y en presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6, calculado para diferentes algoritmos de integración paso a paso. 25 3.4. INTEGRACIÓN TEMPORAL DE UN PROBLEMA ACOPLADO U-P pw uv −5 x 10 100 NM−6 NM7 HHT WBZ NM−3 1 0.5 AF 0 −0.5 0 NM−6 NM7 HHT WBZ 80 − AF 1.5 AF NM−3 − AF algortimo 2 algortimo 2.5 135 60 40 20 0 −20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia (Hz) 10 11 12 13 14 15 −40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frecuencia (Hz) 10 11 12 13 14 15 Figura 3.10 – Diferencia en las amplitudes de Fourier de cada algoritmo de integración respecto al algoritmo sin amortiguamiento Newmark-3, tanto para la historia temporal en desplazamientos como en presión de poro para el punto (0,5) indicado en la figura 3.6. El algoritmo de NM-6 introduce un fuerte amortiguamiento en el rango de las altas frecuencias, consiguiendo eliminar prácticamente la influencia de las frecuencias más altas, superiores a 10 Hz en este ejemplo, presentes en la solución en desplazamientos obtenida por el NM-3. El algoritmo de NM-7 mantiene un comportamiento muy próximo al NM-3, deamplificando ligeramente las amplitudes de las altas frecuencias, pero sin eliminar ninguna de ellas, mientras que no introduce ningún amortiguamiento en las frecuencias más bajas. Prácticamente, el comportamiento del NM-3 y del NM-7 es muy similar. Las soluciones obtenidas con el algoritmo de NM-6 y WBZ son prácticamente coincidentes para este ejemplo, además tanto los espectros de amplitudes como la diferencia de amplitudes respecto al NM-3 se superponen. El algoritmo HHT mantiene un comportamiento ligeramente diferente al NM-6 y WBZ, ya que en el cálculo de los desplazamiento verticales y para las bajas frecuencias y de las frecuencias muy altas, la diferencia de amplitudes de Fourier con respecto al NM3 se superponen con las obtenidas en los algoritmos de NM-6 y WBZ. Sin embargo en el rango de frecuencias medias-altas el amortiguamiento que introduce es mayor que con estos dos algoritmos. Por el contrario, en el cálculo de la presión de poro, el amortiguamiento introducido por el HHT es mayor que el introducido por NM-6 y WBZ también en el rango de frecuencias muy altas. Por otra parte, el comportamiento de los diferentes algoritmos de integración observado en las figuras 3.9 y 3.10 se corresponde con lo analizado a través de las respectivas funciones de transferencia mostradas en la figura 3.3, especialmente para las curvas correspondientes a h = 0,02 seg., Tn = 1 seg. y Tn = 0,1 seg., ya que se puede estimar que el perı́odo natural de una columna de suelo con las propiedades del material de este ejemplo vale Tn = 0,65 seg. [57]. De estas figuras se puede verificar lo siguiente: La FT de NM-7 correspondiente a h = 0,02 seg. es la que muestra una deamplificación menor respecto a la exacta, lo que explicarı́a que el algoritmo de NM-7 introduzca un bajo grado de amortiguamiento en la solución. 136 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO De la figura 3.10 se puede observar que ninguno de los algoritmos analizados introducen una fuerte distorsión en los periodos o frecuencias respecto al algoritmo de NM-3, ya que las frecuencias detectadas en el espectro de amplitudes de Fourier coinciden en todos los métodos analizados. Como se puede comprobar de la figura 3.3, todos los algoritmos estudiados presentan las FT numéricas de h = 0,02 seg. desplazada a la izquierda respecto a la solución exacta y además en la misma magnitud aproximadamente, incluido el NM-3. Los algoritmos NM-6, WBZ y HHT presentan unas FT numéricas similares entre si, al igual que el comportamiento que se observa en las figuras 3.9 y 3.10. Con la excepción del incremento de amortiguamiento observado en este ejemplo para el método HHT, puesto que cabrı́a esperar que el algoritmo NM-6 fuera que introdujera el mayor amortiguamiento al tener unas FT numéricas con una deamplificación mayor que el resto de métodos. 3.5. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales Después de aplicar el correspondiente algoritmo de integración temporal, se ha llegado a obtener un sistema de ecuaciones que es necesario resolver. En el caso más general, las ecuaciones obtenidas presentaran no linealidades debidas al material, es decir por el modelo constitutivo asignado (modelos elásticos no-lineales, elastoplásticos, viscoplásticos etc.), e incluso también pueden aparecer no linealidades debidas a la geometrı́a. Para la resolución numérica de estos sistemas no-lineales se empleará un método iterativo de tipo Newton-Raphson, con control de convergencia en cargas y en desplazamientospresiones de poro, de tal modo que se satisfagan unos valores de tolerancia previamente establecidos [149, 56, 173]. Esta técnica de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales es una de las opciones que se encuentran implementadas en GeHoMadrid. En cada intervalo de tiempo se realizaran las i iteraciones necesarias hasta alcanzar la convergencia de la solución, puesto que las matrices que conforman el sistema de ecuaciones no son R ′ constantes14 , en particular el término Ω B T σn+1 dΩ, ya que dependen de los desplazamientos y presiones obtenidos y deben actualizarse en cada iteración. El método de Newton-Raphson es uno de los métodos iterativos más empleados para la resolución de sistemas no lineales. Es una técnica de resolución potente con una tasa de convergencia rápida, llegando en ocasiones a una tasa de convergencia cuadrática. Dicho procedimiento iterativo se presenta en la figura 3.11, y se basa en transformar un problema no-lineal en sucesivos problemas lineales de forma incremental, para los que se debe encontrar una solución lo más aproximada posible por medio de las iteraciones necesarias. Las principales desventajas del método de Newton-Raphson son su coste computacional, ya que en cada iteración es necesario actualizar de rigidez tangencial, factorizar la matriz jacobiana, resolver un sistema de ecuaciones lineales y evaluar el vector de residuos, y la 14 En general, las matrices de masa, permeabilidad y compresibilidad se pueden suponer constantes ya que no varı́an a lo largo del proceso de carga-descarga. 3.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 137 posibilidad de perder las caracterı́sticas de simetrı́a de la matriz, si las tiene, en alguna fase del proceso. En la literatura [149, 173] se pueden encontrar variaciones sobre el método de NewtonRaphson, como el método de Newton-Raphson Modificado, donde la matriz de rigidez no se actualiza en cada iteración sino al comienzo de cada incremento de carga, esto supone un importante ahorro en el número de operaciones y tiempo de cálculo pero por el contrario suelen ser necesarias un mayor número de iteraciones para alcanzar la convergencia, pudiendo llegar incluso a la no convergencia en problemas con fuertes no linealidades. A priori no se puede saber cual de los algoritmos de Newton-Raphson resultan computacionalmente más ventajosos para un problema no lineal dado. Otra versión son los métodos de Quasi-Newton o métodos secantes, donde la solución de cada iteración se basa en una aproximación secante de la solución obtenida en las dos iteraciones anteriores. Otras técnicas más avanzadas pueden ser el método de la longitud de arco o el método de búsqueda direccional, entre otras [153, 149]. Todas estas modalidades quedan fuera del objetivo de esta investigación. Figura 3.11 – Representación esquemática del procedimiento iterativo del método de Newton-Raphson. 3.5.1. Aplicación del Método de Newton-Raphson De forma simplificada los sistemas de ecuaciones a resolver, sistema 3.35 - 3.36 o sistema 3.41 - 3.42, se pueden expresar de la forma Gn+1 (x) = 0, donde x es el vector de ¨n ; ∆p̄˙ n ] y Gn+1 es un vector de residuos definido como la incógnitas formado por x = [∆ū diferencia entre las fuerzas internas y las externas del sistema y formado por las ecuaciones que intervienen en el problema Gn+1 = Gun+1 ; Gpn+1 . El objetivo del método de Newton-Raphson es encontrar el vector x que satisfaga la condición Gn+1 (x) = 0. Para ello se comienza a iterar a partir de una solución inicial 15 xi , la bondad del punto de inicio afectará a la tasa de convergencia, que presumiblemen15 Es habitual comenzar con la solución convergida para el nivel de carga o paso de tiempo anterior. 138 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO te no satisfará dicha condición, Gn+1 xi 6= 0. Al no cumplirse la condición impuesta se deben buscar nuevos valores xi+1 , que se definen como xi+1 = xi + δxi+1 , hasta verificar Gn+1 xi+1 = 0, donde el superı́ndice i hace referencia a las iteraciones y δxi+1 es la corrección iterativa de xi , figura 3.11. La suma de todas las correcciones δxi+1 representa el incremento total (∆xin ) respecto al instante anterior, figura 3.11. En el caso particular de un problema lineal, una sola iteración resuelve el problema de forma exacta. Aplicando un desarrollo en serie de Taylor de Gn+1 (x) a partir del punto xi , y despreciando los términos de segundo orden, se obtiene la ecuación 3.58. Gn+1 x i+1 ≈ Gn+1 ∂G xi x + δxi+1 = 0 ∂x i (3.58) Reorganizando los términos de la expresión 3.58, pasando Gn+1 xi a la derecha, se obtiene la expresión 3.59. Jδx donde J = i+1 ∂G ∂x |x=xi = −Gn+1 x i →J " ¨n δ∆ū δ∆p̄˙ n #i+1 =− " Gun+1 Gpn+1 #i (3.59) es la matriz jacobiana y se puede definir según la ecuación 3.60. J= ∂Gu n+1 ¨n ∂∆ū ∂Gpn+1 ¨n ∂∆ū ∂Gu n+1 ∂∆p̄˙ n ∂Gpn+1 ∂∆p̄˙ n (3.60) - Sistema deducido a partir del Algoritmo de Newmark Para el sistema de ecuaciones no lineales del problema u-p deducido a partir del método de Newmark, ecuaciones 3.35 - 3.36, la matriz jacobiana se puede aproximar según la expresión 3.61 [56, 153, 174, 175], la cual se puede obtener sustituyendo el término Pn+1 = R T ′ Ω B σn+1 dΩ de la ecuación 3.35 por la expresión lineal equivalente K ūn+1 , junto con las correspondientes expresiones del método de Newmark. J= " M + γ∆tC + β∆t2 K −θ∆tQ T γ∆tQ S + θ∆tH # (3.61) donde K es la matriz de rigidez tangente16 definida según la expresión 3.62. K= Z B T Dep BdΩ (3.62) Ω Sustituyendo la ecuación 3.61 en 3.59 se obtiene el sistema a resolver 3.63. " M + γ∆tC + β∆t2 K −θ∆tQ T γ∆tQ S + θ∆tH #" ¨n δ∆ū δ∆p̄˙ n #i+1 =− " Gun+1 Gpn+1 #i (3.63) Como se puede observar del sistema 3.63, la matriz jacobiana es no simétrica, por ello es conveniente multiplicar la segunda ecuación por el escalar −θ/γ para obtener ası́ una 16 La matriz de rigidez tangente ya ha sido definida previamente en 3.27. 3.5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES 139 matriz simétrica, siempre que K también lo sea, de este modo el sistema 3.63 se transforma en el sistema 3.64 [153, 174, 175]. " M + γ∆tC + β∆t2 K −θ∆tQ 2 θ T −θ∆tQ − γ S − θ γ∆t H #" ¨n δ∆ū δ∆p̄˙ n #i+1 =− " Gun+1 −θ p γ Gn+1 #i (3.64) - Sistema deducido a partir del Algoritmo α-generalizado Para el sistema de ecuaciones no lineales deducido a partir del método α-generalizado, ecuaciones 3.41 - 3.42, se ha procedido en esta tesis doctoral de forma análoga al caso anterior, obteniendo la expresión aproximada del jacobiano según 3.65, donde K se define según la expresión 3.62, y tras sustituirla en 3.59 se obtiene el sistema a resolver 3.66. Para alcanzar nuevamente la simetrı́a en la matriz de coeficientes, se multiplica la segunda ecuación del sistema 3.66 por el escalar −θ/γ, resultando el nuevo sistema definido en 3.67. J= " (1 − αm )M + (1 − αf ) γ∆tC + β∆t2 K (1 − αf )γ∆tQT −(1 − αf )θ∆tQ (1 − αf ) (S + θ∆tH) " (1 − αm )M + (1 − αf ) γ∆tC + β∆t2 K (1 − αf )γ∆tQT −(1 − αf )θ∆tQ (1 − αf ) (S + θ∆tH) " (1 − αm )M + (1 − αf ) γ∆tC + β∆t2 K −(1 − αf )θ∆tQT −(1 − αf )θ∆tQ θ − γ (1 − αf ) (S + θ∆tH) #" ¨n δ∆ū δ∆p̄˙n #" # (3.65) #i+1 ¨n δ∆ū δ∆p̄˙ n " Gun+1 =− Gpn+1 (3.66) #i+1 =− " (3.67) Tras la resolución del sistema de ecuaciones planteado correspondiente se obtiene el ¨n ; δ∆p̄˙ n ]i+1 , que permite obtener la actualización i + 1 del valor del vector δxi+1 = [δ∆ū vector incógnita xi+1 según la expresión 3.68. x i+1 i i+1 = x + δx → " ¨n ∆ū ∆p̄˙n #i+1 = " ¨n ∆ū ∆p̄˙n #i + " ¨n δ∆ū δ∆p̄˙n #i+1 (3.68) A medida que el número de iteraciones aumenta, el proceso de cálculo deberı́a converger de tal modo que el vector residuos tienda a un valor cada vez más próximo a cero, lo que implicarı́a que las fuerzas internas están en equilibrio con las fuerzas externas aplicadas, figura 3.11. #i Gun+1 −θ p γ Gn+1 #i 140 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 3.5.2. Criterios de convergencia y tolerancias Como el proceso iterativo de Newton-Raphson es un prcedimiento aproximado, se deben establecer unos criterios de convergencia y unos valores de tolerancia para terminar con las iteraciones. Los criterios de convergencia o parada más habituales emplean un ratio de la norma del residuo o de la tasa de cambio de las variables del problema [149], también es recomendable emplear dos criterios simultáneamente [173]. En esta investigación se adoptaran los dos criterios implementados en el código de elementos finitos GeHoMadrid, los cuales deben satisfacerse a la vez según se describe a continuación. Atendiendo a la definición realizada del vector residuos, se está aplicando un control de la convergencia en fuerzas, donde el proceso iterativo finalizará cuando cualquiera de las condiciones de convergencia definidas en la expresión 3.69 sea menor que el valor, previamente establecido, de tolerancia para el equilibrio de fuerzas. Dichos criterios de convergencia están definidos por medio del ratio entre la norma del vector residuo y la norma del vector de fuerzas externas, empleando la norma euclı́dea (k.k2 ) o la norma infinita (k.k∞ ). kGk2 < toler(f uerzas) o kf ext k2 kGk∞ < toler(f uerzas) kf ext k∞ (3.69) Una vez garantizada la convergencia en fuerzas, se impone un segundo criterio de convergencia atendiendo a la variación de las variables del problema (δxi+1 ), desplazamientospresiones de poro. Este segundo criterio permite asegurar que el valor de dichas variables se mantiene estable después de alcanzar el equilibrio de fuerzas [176]. Nuevamente, este criterio se satisface si alguna de las condiciones expresadas en 3.70, bien a través de la norma euclidea o de la norma infinita, es menor que el valor de tolerancia preestablecido para los desplazamientos-presión de poro, donde ∆xi+1 = xi+1 − xn . δxi+1 2 < toler(u − p) o k∆xi+1 k2 δxi+1 ∞ < toler(u − p) k∆xi+1 k∞ (3.70) En cuanto a los valores de tolerancia a considerar se pueden encontrar diferentes recomendaciones como en [149]. En esta investigación se han adoptado de forma genérica los siguientes valores para el equilibrio en fuerzas y para los desplazamientos-presión de poro. Fuerzas: toler(f uerzas) = 10−5 Desplazamientos-presión de poro: toler(u − p) = 10−5 A pesar de que los criterios de parada en fuerzas y desplazamientos presentados anteriormente son los empleados con más frecuencia en la literatura relacionada con los modelos en elementos finitos, también es frecuente encontrar en otros códigos comerciales [177] criterios mixtos basados en criterios energéticos. 3.6. MODELO CONSTITUTIVO 3.6. 141 Modelo Constitutivo Una correcta modelización de la respuesta sı́smica de una geoestructura requiere el empleo de una ecuación constitutiva que sea capaz de reproducir el comportamiento del suelo, y en particular cuando éste está saturado y/o se encuentra sometido a cargas dinámicas. Por ello la elección de un modelo constitutivo adecuado se transforma en un aspecto fundamental en cualquier modelización numérica. El comportamiento de los suelos bajo cargas sı́smicas es complejo, por ello el modelo constitutivo empleado debe ser capaz de recoger las principales caracterı́sticas del mismo como las deformaciones permanentes, la dilatancia, los ciclos de histéresis, el amortiguamiento, los incrementos de presión de poro etc [56, 40]. Al margen de los modelo elásticos, ampliamente utilizados por su sencillez, los modelos constitutivos más empleados para suelos son el modelo de Mohr-Coulomb, el modelo de Mohr-Coulomb hiperbólico, el modelo de Von-Mises o el modelo de Drucker-Prager [56]. Dentro de la teorı́a elasto-plástica o también conocida como plasticidad clásica, se pueden encontrar modelos plásticos con endurecimiento (isótropo o cinemático), modelos reblandecientes, modelos con múltiples superficies de fluencia, etc. Junto con dicha teorı́a clásica de plasticidad también se han desarrollado un importante grupo de modelos constitutivos basados en el concepto de estado crı́tico y conocidos como modelos de estado crı́tico, como el modelo Cam-Clay (modificado) [178, 131]. Otros tipos de modelos constitutivos que se pueden encontrar en la literatura son los modelos endocrónicos [179], los modelos hipoplásticos o los modelos basados en la teorı́a de la plasticidad con superficie frontera (Bounding Surface Plasticity) [180]. Cada uno de los modelos constitutivos mencionados pueden presentar ciertas ventajas frente al resto, pero a su vez también pueden presentar limitaciones o desventajas, que los hacen válidos para unos determinados tipos de suelos o para modelar ciertos comportamientos en el suelo y no ser adecuados para otros. En muchos casos se han propuesto modificaciones o mejoras sobre los modelos originales, lo que ha dado como resultado un amplio rango de opciones posibles. Como se puede constatar, la investigación en el campo de los modelos constitutivos, en particular para suelos, es un área en continuo desarrollo. Junto con los modelos mencionados anteriormente, también se encuentran los modelos basados en la Teorı́a de Plasticidad Generalizada. Esta teorı́a fue propuesta originalmente por Zienkiewicz y Mroz y extendida a suelos por Pastor, Zienkiewicz y Chan (1990)[55]. La principal ventaja de los modelos en plasticidad generalizada se encuentra en su versatilidad y capacidad para reproducir adecuadamente los comportamientos de distintos tipos de suelos tanto bajo carga monótona como cı́clica. En estos modelos a diferencia de los de la teorı́a clásica de plasticidad, no es necesario definir explı́citamente la superficie de fluencia y el potencial plástico, lo que a su vez exime de verificar la condición de consistencia. En particular, para esta investigación se empleará el modelo propuesto para suelos desarrollado por Pastor, Zienkiewicz y Chan (1990)[55]. También cabe destacar que otras investigaciones sobre problemas dinámicos acoplados en medios porosos saturados como las desarrolladas por Madabhushi y Zeng o Dewoolkar, Chan, Ko y Pak [40, 41, 42] y que ya fueron descritos en la sección 2.5.3, también adoptaron modelos constitutivos 142 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO basados en la teorı́a de plasticidad generalizada. Por otra parte, investigaciones recientes [175, 181, 176, 174, 182, 183] que también abordan la modelización de problemas geotécnicos, tanto con arcillas como con arenas, bajo cargas dinámicas y con problemas saturados y no saturados, también adoptan modelos constitutivos basados en la teorı́a de plasticidad generalizada, en particular el modelo de Pastor, Zienkiewicz y Chan. 3.6.1. Teorı́a de Plasticidad Generalizada Pastor y Zienkiewicz [56, 183] extendieron la teorı́a de plasticidad generalizada para suelos, tanto arenas como arcillas, sometidos a cargas monótonas y cı́clicas. En primer lugar se presentó como modelo P-Z III (1985) y posteriormente se amplió por Pastor, Zienkiewicz y Chan [55] (1990). Será éste último el que se empleará en esta investigación. La teorı́a de plasticidad generalizada, frente a la teorı́a de plasticidad clásica, prescinde de la definición explı́cita de una superficie de fluencia y del potencial plástico, por lo que no es necesario verificar la condición de consistencia, esto simplifica el modelo y también su implementación en un código de elementos finitos. En primer lugar se asume que la respuesta del material no depende de la velocidad de variación de las tensiones, por lo que los incrementos de tensiones y deformaciones se pueden relacionar según la ecuación 3.71, donde D es el tensor constitutivo que depende del estado tensional σ, de unas variables de estado α y de la dirección del incremento de carga λ. dσ = D(λ, σ, α)dǫ (3.71) Para tener en cuenta la influencia de la dirección del incremento de carga (discriminar entre carga y descarga) se introduce el vector de dirección n en el espacio tensional, el cual también depende del estado tensional (σ) y de las variables de estado (α), y que permitirá discriminar entre un estado de carga (L) o de descarga (U) según: dσ T · n > 0 dσ T · n < 0 dσ T · n = 0 Carga (3.72) Descarga (3.73) N eutra (3.74) Imponiendo la condición de continuidad ente los estados de carga y descarga, se definen dos matrices constitutivas, una para carga (DL−1 ) y otra para descarga (DU−1 ) según las expresiones 3.75 y 3.76. ngL nT HL ngU nT = De−1 + HU DL−1 = De−1 + (3.75) DU−1 (3.76) HL y HU son dos funciones escalares que se denominan, respectivamente, módulo 3.6. MODELO CONSTITUTIVO 143 plástico en carga y descarga y que dependen del estado de tensiones y de los parámetros de estado α, mientras que ngL y ngU son dos vectores unitarios de flujo plástico para carga y descarga, respectivamente, definidos en todos los puntos del espacio de tensiones, que establecen la dirección en la que se producirá la deformación plástica al aplicar una variación de tensiones. Para el caso de carga neutra ambas funciones predicen la misma respuesta (De ) donde el comportamiento del material en estas condiciones es reversible, pudiéndose considerar como elástico, por lo que De cumple la función de tensor constitutivo elástico. Cabe destacar que es posible obtener las ecuaciones de potencial plástico y de la superficie de fluencia propias de la teorı́a de plasticidad clásica a través de de ngL y n. Cuando las direcciones ngL y n son distintas se dice que la regla de flujo es no-asociado y por lo tanto la matriz constitutiva será no simétrica. El incremento de deformación se puede descomponer en dos componentes, una elástica y otra plástica (dǫp ) según la expresión 3.77. (dǫe ) dǫ = dǫe + dǫp (3.77) dǫe = De−1 · dσ e ngL/U · nT dσ dǫp = HL/U (3.78) donde (3.79) De este modo la expresión 3.71 se puede definir como se muestra en 3.80 donde Dep es la matriz constitutiva elastoplástica definida en 3.81. Dep = De − dσ = Dep dǫ (3.80) De · ngL/U · nT · De HL/U + nT · De · ngL/U (3.81) De esta manera se han introducido en el modelo deformaciones de tipo plástico sin necesidad de definir explı́citamente superficies de fluencia ni potenciales plásticos, ası́ como tampoco es necesario verificar la condición de consistencia tal como se entiende en el marco de la teorı́a de plasticidad clásica. Para caracterizar la respuesta del material solamente es necesario definir dos funciones escalares HL y HU y los vectores ngL , ngU y n. Este modelo permite modelar el comportamiento de arenas sueltas saturadas y permite reproducir razonablemente fenómenos de licuefacción bajo carga cı́clica, ası́ como fenómenos de densificación. Por el contrario los parámetros que intervienen en este modelo tienen un sentido fı́sico menos evidente que los de la teorı́a de plasticidad clásica, por lo que es necesario contar con diferentes ensayos de laboratorio para ajustarlos. Finalmente, también cabe destacar que la implementación de los modelos de plasticidad generalizada en los códigos numéricos resulta más sencilla que la de los modelos de plasticidad clásica al no tener que satisfacerse la condición de consistencia. 144 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 3.6.2. El modelo de Pastor-Zienkiewicz (PZ) para arenas En primer lugar se presentan los tres invariantes tensionales sobre los que se formula el modelo, que son la tensión media efectiva o tensión de confinamiento p′ , la tensión desviadora q y el ángulo de Lode θ comprendido entre − π6 ≤ θ ≤ π6 : 1 p′ = − I 1 p3 3J2 q = 1 θ = − sen−1 3 (3.82) ! √ 3 3 J3 2 J 3/2 (3.83) (3.84) 2 donde: I1 = σ1 + σ2 + σ3 = σkk es el primer invariante del tensor de tensiones, J2 = 12 tr(s2 ) = 1 1 1 3 2 sij sji es el segundo invariante del tensor de tensiones desviador y J3 = 3 tr(s ) = 3 sij sjk ski es el tercer invariante del tensor de tensiones desviador, siendo el tensor de tensiones desviador s = σ − 31 I1 I donde I es la matriz de identidad. Los correspondientes invariantes del tensor de deformaciones son: dǫv = tr(dǫ) 2 deij deij dǫs = 3 1 de = dǫ − tr(dǫ) 3 (3.85) (3.86) (3.87) donde dǫv es la deformación volumétrica, dǫs es la deformación desviadora y de es el tensor de deformaciones desviador. En el caso particular del plano triaxial, las tensiones principales segunda y tercera coinciden y los invariantes adoptan la siguiente forma simplificada: 1 p′ = − (σ1 + 2σ3) 3 q = σ1 − σ3 dǫv = dǫ1 + 2dǫ3 2 (dǫ1 − dǫ3 ) dǫs = 3 (3.88) (3.89) (3.90) (3.91) Para el caso de materiales granulares, los distintos parámetros que intervienen en el modelo en plasticidad generalizada se describen a continuación. Comenzando por las componentes elásticas del incremento de deformaciones expresadas en el espacio de los invariantes, se introducen dos módulos elásticos, el modulo volumétrico (K e ) y el modulo de deformación tangencial (Ge ) dependientes de la presión de confinamiento p′ , siendo p′0 es el valor de p′ al inicio de la carga, según se expresa a continuación: 3.6. MODELO CONSTITUTIVO 145 p′ p′0 p′ donde Ge = Ge0 ′ p0 dp′ Ke dq dǫes = e G donde K e = K0e dǫev = (3.92) (3.93) En la teorı́a de la elasticidad, el modulo volumétrico se puede relacionar con el modulo tangencial a través de la siguiente relación, donde E es el modulo de elasticidad y ν el coeficiente de poisson. K0e = Ge0 E 2 (1 + ν) = 3 (1 − 2ν) 3(1 − 2ν) (3.94) Los vectores de flujo plástico en carga se pueden expresar en el espacio de invariantes n oT (p′ , q, θ) como ngL = npgL , nqgL , nθgL , donde: npgL = dg (3.95) nqgL (3.96) = 1 nθgL = −qMg cos(3θ) 2 (3.97) El término dg representa la dilatancia del suelo que se puede expresar como: dg = dǫpv = (1 + αg )(Mg − η) dǫps (3.98) donde αg es una constante del material que se puede obtener a partir de un diagrama de resultados experimentales de la dilatancia frente a η, Mg es la pendiente de la recta de estado crı́tico en el espacio (p′ , q) y η = q/p′ es el ratio de tensiones. El parámetro Mg se pueden expresar en función del ángulo de Lode (θ) y el ángulo de rozamiento interno del material (φ) como: Mg = 6 sen φ 3 − sen φ sen(3θ) (3.99) La ley de dilatancia indicada fue propuesta por Pastor, Zienkiewicz y Chan en base a los resultados experimentales obtenidos por Frossard [55]. Por otra parte, también se puede comprobar que la dilatancia se hace cero sobre la lı́nea η = Mg coincidiendo con la proyección en el plano (p′ , q) de la recta de estado crı́tico. Por otra parte, los vectores de flujo plástico en descarga se pueden expresar como n oT ngU = npgU , nqgU , nθgU , donde durante la descarga las deformaciones plásticas pueden ser de naturaleza contractiva (densificación). 146 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO npgU nqgU nθgU = − npgL (3.100) = (3.101) = nqgL nθgL (3.102) Para el vector de dirección de carga y descarga definido por el vector n, se hace necesario el empleo de una regla de flujo no asociada por lo que n 6= ngL aunque sin embargo se pueden definir de forma similar. Ası́ las componentes del vector de dirección de carga y T descarga se definen como n = np , nq , nθ , donde np = df (3.103) nq = 1 −qMf cos(3θ) nθ = 2 (3.104) df = (1 + αf )(Mf − η) (3.106) (3.105) donde df esta definido como: αf y Mf son dos parámetros del modelo y η = q/p′ . Si αf = αg y Mg = Mf la ley se vuelve asociativa. El ratio Mf /Mg depende de la densidad relativa del medio, asi Pastor et al [55] propusieron la siguiente relación, de tal modo que valores bajos de este ratio se corresponde con arenas sueltas y valores altos con arenas densas. DR = Mf Mg (3.107) En la definición del módulo plástico en carga (HL ) propuesto por Pastor, Zienkiewicz y Chan [55] tratan de tener en cuenta los siguientes comportamientos experimentales observados: La condición residual tiene lugar en la lı́nea de estado crı́tico q/p′ = η = M El fallo no ocurre necesariamente cuando la lı́nea de estado crı́tico se cruza por primera vez El caracter friccional del material granular requiere que se establezca una frontera entre los estados tensionales posibles de los imposibles. Para ello Pastor, Zienkiewicz y Chan [55, 183] propusieron la siguiente definición para el módulo plástico en carga: HL = H0 p′ Hf (Hv + Hs )HDM (3.108) 3.6. MODELO CONSTITUTIVO 147 donde: 1 η 4 donde ηf = 1 + Mf Hf = 1 − ηf αf η Hv = 1 − Mg Hs = β0 β1 e−β0 ξ αf ζmax γ η −1/αf ′ HDM = donde ζ = p 1 − ζ 1 + α f Mf (3.109) (3.110) (3.111) (3.112) Donde H0 , β0 , β1 , γ y αf son diferentes parámetros del material, que se consideran constantes durante el proceso de carga, ξ es la deformación plástica desviadora acumulada R ξ = |dǫps | , y ζ tiene en cuenta el estado tensional movilizado y permite introducir los efectos de endurecimiento debidos a etapas anteriores de carga, siendo ζmax el máximo valor de ζ alcanzado durante la historia de carga. A través del modulo plástico en carga HL , definido en la expresión 3.108, se incorpora la dependencia de la presión de confinamiento p′ , un modulo H0 que relaciona la deformaciones plasticas al inicio del proceso de carga, un factor ((friccional)) Hf , una función de endurecimiento en deformaciones volumétricas Hv que depende del ratio de tensiones mobilizado que se anula en la linea de estado critico, una función de enduremcimiento en deformaciones desviadoras Hs que reproduce la degradación del material debido a las deformaciones acumuladas y que permite cruzar la linea de estado critico sin provocar el fallo inmediato y una función HDM que incorpora la memoria del material. Finalmente, ηf define una superficie cónica no simétrica en el espacio de los invariantes tensionales y actúa como lı́mite de los estados posibles e imposibles. Para la situación de descarga, el módulo plástico en descarga se puede definir a través de la expresión 3.113 que depende del punto donde se inicia la descarga. HU = γ u HU 0 Mg ηu H U0 si si Mg ηu Mg ηu >1 (3.113) ≤1 donde HU 0 y γu son dos parámetros del modelo y ηu es el cociente q/p′ correspondiente a la descarga. El modelo esta definido por doce parámetros en total, que se ajustan a partir de resultados experimentales, para una determinada arena dado un estado tensional y densidad inicial. Estos doce parámetros se recogen en la tabla 3.5. El modelo de PZ puede reproducir fenómenos de licuefacción, ası́ como fenómenos de movilidad cı́clica y densificación. Una de las principales limitaciones de este modelo en el caso de las arenas, es que una misma arena que presenta diferentes densidades o sometida a diferentes presiones de confinamiento requiere diferentes conjuntos de parámetros para reproducir su comportamiento. Manzanal et al (2011) [183] propusieron una ampliación del modelo de PZ basada en parámetros de estado, que evita la necesidad de usar distintos conjuntos de parámetros para una misma arena. 148 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tabla 3.5 – Parámetros del modelo constitutivo de Pastor, Zienkiewicz y Chan [55] para arenas Parámetro Descripción K0e Ge0 Módulo elástico volumétrico (Pa) Módulo elástico tangencial (Pa) Pendiente de la recta de estado crı́tico (CSL) Pendiente del diagrama de dilatancia frente a η Función de la densidad relativa y la pendiente de CSL Parámetro del modelo (habitualmente se toma igual a αg ) Parámetro del modelo asociado al módulo plástico en carga (N/m2 ) Parámetro del modelo (habitualmente igual a 0.2) Parámetro del modelo (habitualmente igual a 4.2) Parámetro del modelo Parámetro del modelo asociado al módulo plástico en descarga (N/m2 ) Parámetro del modelo Mg αg Mf αf H0 β0 β1 γ HU 0 γu 3.7. Contornos Absorbentes La modelización numérica de los problemas geomecánicos que se desarrollan en un medio semi-infinito, como excavaciones subterráneas, cimentaciones o estructuras de contención, obliga a truncar dicho dominio fı́sico semi-infinito por un dominio de cálculo finito. Esta idealización numérica del problema supone la introducción de unos contornos artificiales que deben ser adecuadamente tratados. En problemas estáticos, es habitual incluir en el modelo grandes áreas de suelo de tal modo que se obtenga un dominio de cálculo representativo del problema y cuyos lı́mites estén suficientemente alejados de la zona de interés. Sin embargo, la consideración de un dominio de cálculo muy grande implica un coste computacional más elevado puesto que se introducen mayor número de elementos y nodos, es decir mayor número de incógnitas y por lo tanto sistemas de ecuaciones más grandes. Por otra parte, en los problemas dinámicos también se generan ondas que viajan a través del medio y que pueden llegar, si no se amortiguan antes, a alcanzar dichos contornos artificiales. Si los contornos son convencionales, cuando las ondas alcanzan el borde del dominio (contorno) se genera una reflexión de las mismas hacia el interior del modelo (“Efecto Caja”) y la energı́a se mantiene contenida en el contorno, lo que implica que se introduzcan en el dominio de cálculo reflexiones espurias que pueden afectar a la zona de interés del problema y alterar los resultados obtenidos del cálculo, pudiendo llegar incluso a invalidarlos. Para evitar este efecto de borde se puede, por una parte, situar estos contornos artificiales suficientemente alejados de la zona de interés para que gracias al amortiguamiento del material las ondas se amortigüen antes de llegar al contorno (“Borde Extendido”), aunque como ya se ha indicado esto supone un incremento del coste computacional del modelo. Otra alternativa aproximada para abordar esta limitación son los conocidos “tied node”17 que han sido empleados con relativa frecuencia [163, 174]. Para problemas de geometrı́a sencilla, esta técnica impone el mismo desplazamiento sobre los nodos de ambos contor17 Esta técnica también se ha empleado para imponer restricciones de desplazamiento, en una o varias direcciones, en problemas de contacto entre dos materiales, como por ejemplo en la interfaz suelo-muro empleada en el trabajo de Pathmanathan [184]. 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 149 nos. Otras técnicas alternativas se pueden encontrar en [163, 185, 184]. Por otra parte también es posible realizar un tratamiento numérico adecuado de los contornos artificiales que permitan modelar la radiación de las ondas hacia el exterior del dominio y de este modo se corresponda con el fenómeno fı́sico real. Para ello se emplean contornos especiales que se definen como Contornos Absorbentes (Absorbing Boundary) aunque también pueden recibir otras denominaciones como: Transmitting Boundary, Silent Boundary, Radiating Boundary, Transparent Boundary, Quiet Boundary, Non-reflecting Boundary, entre otros. Antes de abordar la descripción de las principales técnicas para mitigar el efecto de los contorno artificiales introducidos por el dominio de cálculo, se presentan algunos aspectos importantes en cuanto a la propagación de ondas en medios elásticos de extensión semiinfinita [57]. Propagación de ondas en una masa semi-inifita En un semiespacio elástico y tras un episodio sı́smico, se pueden presentar principalmente dos tipos de de ondas, ondas de cuerpo y ondas superficiales. Las ondas de cuerpo se corresponde con aquellas ondas que viajan a través del interior del medio. Éstas pueden ser de dos tipos, ondas longitudinales o de compresión (ondas-P) y ondas transversales o de corte (ondas-S), figura 3.12. En el caso de las ondas-P, las partı́culas del medio se mueven en la dirección de propagación de la onda y se transmiten a través de medios sólidos y fluidos. Por el contrario, en el caso de las ondas-S las partı́culas del medio se mueven en el plano perpendicular al de propagación de la onda, y pueden presentar una componente en el plano vertical (ondas-SV) y una componente en el plano horizontal (ondas-SH). Si se asume un análisis en deformaciones planas, sólo se consideran las ondas-P y las ondasSV, estas últimas se denominaran de forma simplificada a lo largo de este trabajo como ondas-S. A diferencia de las ondas longitudinales, las ondas-S no se propagan a través de los fluidos. La velocidad de propagación de las ondas depende de la rigidez del medio por el que viajan, puesto que los estratos de suelo tienen gran rigidez a compresión, las ondas-P se propagan a mayor velocidad que las ondas-S y son las primeras en llegar a un determinado punto, por eso también se las conoce como ondas primarias y secundarias, respectivamente. Por otra parte, también pueden aparecer ondas superficiales como resultado de la interacción entre las ondas de cuerpo y la superficie. Estas ondas se propagan a través de la superficie del terreno con amplitudes que decrecen exponencialmente con la profundidad. Las ondas superficiales más importantes desde el punto de vista ingenieril son de dos tipos, Rayleigh y Love, figura 3.12. Las ondas Rayleigh se producen como resultado de la interacción de las ondas-P y las ondas-SV con la superficie del terreno, provocando un desplazamiento tanto vertical como horizontal de las partı́culas. Las ondas Love resultan de la intersección de las ondas-SH con un estrato superficial blando, estas ondas no presentan componente vertical en el desplazamiento de las partı́culas. Puesto que se busca minimizar el efecto de las reflexiones originadas cuando las ondas alcanzan el contorno artificial impuesto por el dominio de cálculo, y teniendo en cuenta que estos contorno artificiales definen principalmente los laterales y la base del dominio de 150 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Figura 3.12 – Ondas de cuerpo y ondas superficiales en una masa semi-inifita de suelo. cálculo, se considerara solamente el efecto de las ondas de cuerpo descritas anteriormente, ondas-P y ondas-S. Aunque el objetivo principal de esta investigación no es el estudio pormenorizado de las técnicas para la modelización de los contornos absorbentes, sı́ es un aspecto importante a considerar en cualquier modelo numérico, por ello se presenta en primer lugar una breve descripción de las principales técnicas recogidas en la literatura. Posteriormente se describe la extrapolación o adaptación de las mismas a problemas en medios porosos y por último se describen los contornos absorbentes que se han empleado en esta tesis doctoral. 3.7.1. Principales técnicas de modelización Se pueden encontrar diferentes investigaciones que tratan de abordar el problema de la modelización numérica de los contornos absorbentes. Algunas de ellas están formuladas para problemas en el dominio de la frecuencia [186, 163], como por ejemplo los denominados Consistent Boundaries [186, 187] donde se implementa una matriz de rigidez dinámica dependiente de la frecuencia que relaciona entre si todos los nodos del contorno lateral, mientras que otras son aplicables al dominio del tiempo, siendo estas últimas las de interés para esta investigación. Una de las primeras técnicas para el tratamiento de los contornos absorbentes fue la propuesta por Lysmer y Kuhlemeyer (1969) [45]. Estos autores emplean fuerzas viscosas de amortiguamiento a lo largo del contorno para tratar de absorber las ondas que inciden sobre él y evitar que se refleje la energı́a hacia el dominio, basándose en la idea de colocar amortiguadores viscosos. Con este procedimiento se pueden tratar tanto las ondas longitudinales como las transversales que llegan al borde. La definición y eficacia de este tipo de contornos absorbentes no dependen de la frecuencia de las ondas pero sı́ de su ángulo de 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 151 incidencia, obteniendo una absorción casi completa para ondas de cuerpo que inciden con un ángulo superior a 30o y una absorción parcial para ángulos menores u ondas superficiales [45, 187, 163]. A pesar de ser uno de los trabajos más pioneros en este campo, es probablemente la metodologı́a más empleada hasta la actualidad para afrontar este problema, tanto por diferentes investigadores [163, 181, 136] como por códigos comerciales como ABAQUS o FLAC, con ligeras modificaciones [187, 188]. Posteriormente,Smith (1974) [189, 186, 163] propuso una técnica para eliminar la reflexión de cualquier tipo de onda independientemente de su frecuencia o ángulo de incidencia, superponiendo las soluciones obtenidas para dos problemas con diferentes condiciones de contorno. En un caso bidimensional, el primer problema tendrı́a impuestas tensiones normales nulas y desplazamiento tangencial nulo sobre el contorno, mientras que el segundo problema tendrı́a tensiones tangenciales y desplazamientos normales nulos en el contorno. En principio, las ondas longitudinales y transversales se reflejarı́an con la misma amplitud en ambos problemas pero con signos opuestos, por lo que al superponer ambas soluciones se anuları́an las ondas reflejadas hacia el dominio. El principal inconveniente de esta técnica se encuentra en su elevado coste computacional, ya que es necesario resolver 2n problemas para cada posible reflexión n, por lo que este método solamente es recomendable para problemas unidimensionales. Además, al aplicar la superposición de las soluciones se asume implı́citamente que el problema presenta un comportamiento lineal. Posteriormente Cundall (1978) [189, 163, 186] propuso una mejora para la eficiencia de este método. Por otra parte, Clayton y Engquist (1977) [186, 163, 175] extendieron el concepto Paraxial Boundary desarrollado por Engquist and Majda para una ecuación de onda escalar, a un problema de propagación de ondas elásticas. Este concepto se desarrolla a partir de la resolución de la ecuación de onda escalar bidimensional mostrada en la ecuación 3.114, donde v es la velocidad de propagación de la onda y u es el desplazamiento definido en función de las coordenadas x-z, resultando dos ondas de igual amplitud pero que se propagan en sentidos opuestos, una onda saliente del dominio y otra onda entrante. El objetivo de la aproximación paraxial es encontrar una ecuación diferencial que permita el desarrollo de la onda saliente y desprecie el de la onda entrante. ∂2 1 ∂2 ∂2 + − ∂x2 ∂z 2 v ∂t2 u=0 (3.114) De la solución de la ecuación 3.114 se obtiene el número de onda kx definido en 3.115, donde ω es la frecuencia de la onda, kx y kz son los números de onda en x e y, respectivamente, y los signos ± corresponden a la onda entrante y saliente, donde se seleccionará el signo correspondiente a la onda entrante ya que el objetivo es anularla (kx = 0). El término vkz incluido dentro de la raı́z se puede expandir con diversas aproximaciones diferenciaω les de distintos ordenes, obteniendo de este modo la condición de contorno paraxial. Cabe destacar que cuando las aproximaciones son de primer orden, este método coincide con los contornos viscosos propuestos por Lysmer y Kuhlemeyer, sin embargo cuando las aproximaciones tienen ordenes superiores, pueden conducir a inestabilidades numéricas. En principio, este método es especialmente conveniente para modelos basados en diferencias finitas. Análogamente, se puede encontrar en [56] un desarrollo de la aproximación paraxial 152 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO a un caso unidimensional. kx = ± ω v s 1− vkz ω 2 (3.115) Liao y Wong (1984) [163, 186] propusieron un método basado en la predicción del movimiento del contorno a partir de una extrapolación del movimiento de los puntos vecinos. Este método también se conoce como Extrapolation Boundary y es adecuado para modelos en elementos finitos. Este método esta relacionado con el concepto de la aproximación paraxial pero evitando sus dificultades numéricas. Presenta dos grandes desventajas, en primer lugar la necesidad de almacenar grandes volúmenes de información y en segundo, que el método puede presentar fallos cuando inciden sobre el contorno varias ondas. Posteriormente, Higdon (1990, 1992) [163, 188, 186] propuso otro tipo de contornos absorbentes basados en una serie de operadores diferenciales de primer orden. Este contorno se conoce como Multi-directional Boundary puesto que permite una absorción perfecta de las ondas incidentes bajo determinados ángulos. Considerando una onda que viaja con una velocidad v, hacia un contorno x, con un ángulo de incidencia α, se tiene que la condición de contorno18 para esta onda es la definida en la expresión 3.116. v ∂ ∂ + cosα ∂x ∂t u=0 (3.116) Higdon generalizó esta formulación para ondas que se propagan con ángulos de inciQ dencia iguales a ±αi , definiendo un nuevo contorno absorbente a partir del producto ( ) de varios operadores diferenciales según la expresión 3.117, donde αi con i = 1, 2...m son los ángulos de las m-ondas incidentes, desarrollando de este modo el concepto de contorno absorbente multidireccional. "m Y i=1 ∂ v ∂ + cosαi ∂x ∂t # u=0 (3.117) En la práctica sólo es posible abordar, como máximo, el producto de dos o tres operadores en la expresión 3.117, puesto que implica el empleo sucesivo de derivadas de ordenes superiores que resultan complicadas de definir en un formulación en elementos finitos, lo que además puede conllevar problemas de estabilidad. El método propuesto por Higdon derivarı́a en una aproximación paraxial haciendo m = 2 y α1 = α2 = 0. Investigaciones posteriores recogidas en [163], expusieron que la técnica propuesta por Higdon no representa notables ventajas en cuanto a términos de precisión respecto a otras técnicas, más aún teniendo en cuenta que su implementación en un código resulta más compleja. Recientemente se pueden encontrar en la literatura numerosas investigaciones [190, 191, 192, 193], entre las que destacan los trabajos de Givoli, Neta, Hagstrom y Warburton, quienes proponen diferentes alternativas para alcanzar unas condiciones de contorno noreflectantes de cualquier orden (high-order ABC) pero evitando el inconveniente encontrado en la formulación de Higdon con las derivadas de ordenes superiores. Una revisión de 18 Condición cinemática que se debe satisfacer en la superficie de un frente de ondas, deducida a partir de la teorı́a de propagación de ondas en medios elásticos. 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 153 algunos de estos métodos clasificados como de orden superior se puede encontrar en [194]. Otra técnica alternativa para la modelización de los contorno absorbentes, especialmente frente a los high-order ABC, es el método denominado como Perfectly Matched Layers (PML) [195, 193] propuesto originalmente para ondas electromagnéticas pero extendido rápidamente a otros campos. Este método consiste en rodear el dominio de cálculo por una capa que provoque que las ondas salientes decaigan exponencialmente al entrar en ella y a la vez, no se produzca la reflexión de las ondas cuando inciden sobre dicha capa. De este modo, se puede absorber cualquier onda incidente, con cualquier ángulo y cualquier frecuencia. Esencialmente, este método ha sido empleado en el dominio de las frecuencias, aunque autores como Basu y Chopra (2004) [196] lo han extendido al dominio del tiempo, observando que se alcanza una mayor precisión con los métodos PML frente a los contornos viscosos estándar, aunque por otra parte el coste computacional se incrementa entre 1.5 y 1.75 veces, pudiendo llegar a presentar imprecisiones para cierto tipo de ondas [196, 163]. Se pueden encontrar en la literatura investigaciones que comparan el método PML con los contornos high-order ABC, como las realizadas por Rabinovich et al [193, 197] o por Lancioni [195], que analiza un problema 1D en el dominio del tiempo frente a Rabinovich et al [197] que lo hace en el dominio de la frecuencia, observando de forma general que los high-order ABC tienen mayor precisión que los PML y requieren un esfuerzo computacional menor. Sin embargo, la implementación de los PML en un código de elementos finitos es más sencilla frente a la de los high-order ABC, puesto que la implementación de estos últimos no resulta trivial y puede requerir modificaciones especificas en el código, además de un tratamiento especial en las esquinas del dominio. 3.7.2. Revisión del Estado del Conocimiento El tratamiento de los contornos absorbentes en problemas con medios porosos saturados ha sido menos investigado que los métodos para medios sólidos o suelo seco descritos anteriormente. Las investigaciones en este campo son relativamente recientes, una amplia revisión de las mismas se puede encontrar en el trabajo desarrollado por Zerfa y Loret [198]. Del análisis de la propagación de ondas en un medio con dos fases se comprueba la existencia de tres tipos de ondas en el medio, dos longitudinales y una transversal. La velocidad de la primera onda longitudinal (mayor velocidad) depende de los parámetros del material, E y ν, mientras que la velocidad de la segunda onda longitudinal depende tanto de la frecuencia de la solicitación como de la permeabilidad del medio, puesto que esta segunda onda longitudinal se atenúa rápidamente con la profundidad y disipa energı́a por difusión se suele despreciar normalmente [198, 199]. Degrande y Roeck (1993) [200, 201] desarrollaron unas condiciones de contorno absorbentes para problemas dinámicos saturados definidos a través de la formulación de Biot, donde tratan de anular la amplitud de la onda reflejada y relacionar las tensiones efectivas y la presión de poro con el desplazamiento del contorno absorbente. Las contornos absorbentes definidos dependen de la frecuencia por lo que es un metodologı́a apropiada para cálculos en el dominio de la frecuencia, además obtienen reflexiones espurias de aquellas 154 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO ondas que inciden oblicuamente en el contorno. Comprueban que para la primera onda longitudinal, el movimiento del esqueleto sólido y del fluido intersticial están en fase, y en desfase para la segunda onda de compresión por lo que ésta tiende a desaparecer o atenuarse. Para valores bajos de la frecuencia de solicitación, o bajo contenido en altas frecuencias, el acoplamiento viscoso entre la fase sólida y la fluida es muy elevado, por lo que el medio bifásico (medio poroso saturado) se comporta como una única fase, anulándose el movimiento relativo del fluido respecto al sólido. Las condiciones de contorno absorbentes obtenidas para este caso coinciden con el contorno viscoso estándar o clásico propuesto por Lysmer y Kuhlemeyer. Por el contrario, para valores altos de la frecuencia de solicitación, el acoplamiento viscoso entre ambas fases desaparece y el medio poroso saturado se comporta como un medio poroso no disipativo. Modaressi y Benzenati (1994) [202, 199] aplicaron la aproximación paraxial descrita anteriormente a un problema de un medio poroso saturado, basándose en la formulación de Biot con una formulación simplificada u-p. Para alcanzar la solución aplicaron una transformación de Fourier sobre las ecuaciones de gobierno del problema, asumiendo un comportamiento elástico y lineal. También, asumen que la permeabilidad es isótropa e independiente de la frecuencia. Finalmente obtienen tres velocidades de ondas, dos longitudinales y una transversal, definidas por las expresiones mostradas en 3.118, donde Cp2 = (λ + 2µ)/ρ, Cs2 = µ/ρ y ρ = (1 − n)ρs + nρf , mientras que λ y µ son las constantes elásticas de Lamé, ′ Q∗ , k , n, ρs y ρf son, respectivamente, la compresibilidad del conjunto fluido-esqueleto sólido, la permeabilidad, la porosidad, la densidad de las partı́culas sólidas y la densidad del fluido, tal como se definieron en el apartado 3.1 de este documento. vp21 vp22 Q∗ 1+ = λ + 2µ λ + 2µ ′ ∗ = iωk Q λ + 2µ + Q∗ Cp2 (3.118) vs2 = Cs2 Cuando Q∗ /(λ+2µ) >> 1, por el medio se propagan dos ondas longitudinales. La primera onda (P1 ) se propaga con velocidad vp1 , independiente de la frecuencia y cuya definición es próxima a Cp junto con un término complementario proporcional a la compresibilidad del agua. La segunda onda longitudinal (P2 ) se atenua y su velocidad es proporcional a la raı́z cuadrada de la frecuencia angular de la solicitación (ω) y la permeabilidad. Por el contrario, cuando Q∗ /(λ + 2µ) << 1, la primera onda longitudinal (P1 ) se propaga con una velocidad equivalente a la de una onda longitudinal en un medio de una fase, mientras que la segunda onda (P2 ) nuevamente se atenua y su velocidad es proporcional a la permeabilidad, a la frecuencia y a la compresibilidad del fluido. En cualquier caso la presión de poro no se ve afectada por las ondas de corte. En la lı́nea del trabajo de Modaressi y Benzenati, se desarrolla el trabajo de Akiyoshi, Fuchida y Fang (1994) [203], quienes también emplearon una aproximación paraxial en un problema dinámico con un medio poroso definido por la teorı́a de Biot pero ampliado tanto a 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 155 la formulación u-p como u-w y u-U. Akiyoshi et al (1996) [204] aplicaron las condiciones de contorno absorbentes propuestas a un problema 2D no lineal, con suelo saturado y carga sı́smica. Comprobaron que se obtienen resultados satisfactorios con las condiciones de contorno absorbentes propuestas incluso en problemas con fuertes no linealidades. En ambas investigaciones, a pesar de emplear una técnica paraxial, la condición de contorno absorbente resultante es equivalente a la obtenida por el método de los contornos viscosos (apartado 3.7.3). Gajo, Saetta y Vitaliani (1996) [186] desarrollan un contorno absorbente multidireccional para un problema con dos fases (medio poroso elástico saturado) con una formulación uU (Biot). Para ello, en primer lugar desarrollan un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, que permiten la propagación de las ondas elásticas en una sola dirección, para posteriormente desarrollar un contorno absorbente multidireccional de orden superior (High-order Multidireccional Boundary) a través de una generalización del trabajo de Higdon [163, 188, 186]. Analizaron dos casos extremos, uno con alta permeabilidad y/o importante contenido en altas frecuencias, donde el acoplamiento viscoso entre la fase sólida y la fluida es bajo, desarrollándose dos ondas longitudinales y una transversal. Y otro caso con baja permeabilidad y/o bajo contenido en frecuencias altas, donde el correspondiente acoplamiento viscoso es elevado y el medio se comporta como una única fase, existiendo solamente una onda longitudinal y una transversal. La transición entre los altos y los bajos valores de acoplamiento se produce en un estrecho rango de valores de permeabilidad y contenido frecuencial, por lo que la diferencia de velocidad de las ondas entre ambos caso extremos es muy pequeña. Por ello las posibles reflexiones espurias que se producirı́an al aplicar las condiciones de uno de estos casos extremos a un caso intermedio son muy pequeñas [186]. En el caso de permeabilidades muy grandes, observan que la velocidad de la onda no depende de frecuencia. Mientras que para el caso de permeabilidad nula, el medio poroso se trata como un problema de una sola fase, y los resultados coinciden con los contornos viscosos clásicos, ası́ como con la formulación de Akiyoshi et al y Modaressi y Benzenati. Finalmente, en los ejemplos de validación realizados obtienen importantes reducciones de las ondas reflejadas tanto en problemas 1D como 2D. Por último se destaca el trabajo de Zerfa y Loret (2004) [198], quienes proponen aplicar tensiones de origen viscoso sobre los contornos absorbentes asumiendo un comportamiento elástico, lineal e isótropo de dichos contornos, para un problema poroso saturado y definido en el domino del tiempo con una formulación u-w. Emplean la condición matemática de Hadamard junto con las ecuaciones de gobierno del problema para obtener la velocidad de las ondas, que no depende de la frecuencia, y además no desprecian la contribución de la segunda onda longitudinal. Desarrollan el caso general de un medio muy permeable, mientras que los casos de suelo seco y materiales con baja permeabilidad (caso no drenado) se obtienen como sub-casos del anterior. La definición que alcanzan de la velocidad de las ondas en el caso no drenado es equivalente a la obtenida por Gajo et al [186]. 156 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 3.7.3. Contornos absorbentes implementados en esta tesis doctoral A la vista de la revisión expuesta anteriormente, resulta evidente que el tratamiento numérico de los contornos artificiales es una lı́nea de investigación en desarrollo, especialmente para los problemas de medios con dos fases, donde no predomina claramente una metodologı́a sobre el resto. Por otra parte, varias de las investigaciones descritas anteriormente acaban presentando una formulación que en numerosas ocasiones resulta equivalente con la de los contornos viscosos clásicos. Por ello, en este trabajo se empleará una adaptación de los contornos absorbentes viscosos propuestos por Lysmer y Kuhlemeyer [45, 46] a problemas en medios porosos saturados modificando la velocidad de las ondas longitudinales según las expresiones desarrolladas por Yang [205], como se expondrá más adelante. La combinación de estas condiciones de contorno viscoso, junto con una extensión adecuada y razonable del dominio de cálculo, que permita el amortiguamiento parcial de las ondas antes de su llegada al borde artificial, serán las herramientas adoptadas en esta investigación para disminuir los posibles errores numéricos debidos a las reflexiones espurias de las ondas cuando inciden sobre los contornos artificiales. Conceptualmente los contornos absorbentes viscosos propuestos por Lysmer y Kuhlemeyer [45] equivalen a colocar amortiguadores viscosos en cada uno de los grados de libertad de los elementos que conforman el contorno o borde artificial, simulando ası́ la radiación de las ondas hacia el exterior del dominio. Al igual que Modaressi y Benzenati [202, 199], se despreciará la segunda onda longitudinal, la cual tiende a atenuarse, especialmente para problemas con bajas frecuencias donde a su vez se encuadra el rango de interés en la dinámica de suelos. Esta simplificación también es consistente con la formulación u − p adoptada para esta investigación, ya que esta formulación es adecuada para dicho rango de frencuencias. Por lo tanto se considerará que por el medio viajan una onda longitudinal, que se propaga tanto en una fase sólida como lı́quida, y otra onda transversal que solo se propaga por la fase sólida, por lo que los contornos deben absorber la energı́a que le pueda llegar a través de estas ondas. Ası́, el efecto de estos amortiguadores se traduce en la aplicación de tensiones normales (σ) y tangenciales (τ ) sobre el contorno artificial definidas en función de la velocidad de las ondas [46], según las expresiones 3.119 y 3.120. σ = aρvp u̇n (3.119) τ (3.120) = bρvs u̇t donde vp es la velocidad de la onda de compresión, vs es la velocidad de la onda transversal, u˙n y u̇t son la velocidad en la dirección normal y tangencial del contorno, respectivamente, ρ es la densidad del medio, y por último a y b son unos parámetros adimensionales introducidos por Lysmer y Kuhlemeyer y que se describen a continuación. Los contornos propuestos por Lysmer y Kuhlemeyer presentan una absorción perfecta para ondas que inciden normales al contorno, lo que es equivalente a problemas unidimen- 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 157 sionales, mientras que en problemas bidimensionales, se alcanza una absorción elevada cuando el ángulo de incidencia19 es superior a 30o [45, 187, 163]. En la figura 3.13 se muestra el ratio entre la energı́a reflejada (Er ) y la energı́a incidente (Ei ) tanto de una onda longitudinal (vp ) como de una onda transversal (vs ) en un problema bidimensional, para distintos ángulos de incidencia y valores de los parámetros a y b. Cuando este ratio se aproxima a cero, la absorción del contorno es más alta, alcanzándose una absorción perfecta cuando el ratio Er /Ei = 0. De este gráfico se comprueba que para ángulos de incidencia superiores a 30o y unos valores de los parámetros a = b = 1 la absorción es casi perfecta, produciéndose pequeñas reflexiones para ángulos de incidencia menores, y no siendo posible encontrar una combinación de los parámetros a y b que permitan una absorción perfecta para todo el rango de valores de ángulos de incidencia [45]. Cuando a = b = 0 los contornos absorbentes degeneran en un borde reflejante y el ratio Er /Ei = 1. (a) Onda longitudinal: vp (b) Onda transversal: vs Figura 3.13 – Ratio de la energı́a reflejada frente a la energı́a incidente para distintos ángulos de incidencia y valores de los parámetros a y b (ν = 0,25) según Lysmer y Kuhlemeyer [45, 46]. La velocidad de las ondas para un sólido o un suelo seco, se obtienen a partir de las expresiones 3.121 y 3.122, donde K̃ es el módulo en compresión confinada20 [45, 57]. A su vez, vp también se puede expresar en función del modulo de elasticidad volumétrico del esqueleto sólido21 Kb [205]. vp = s K̃ = ρ s vs = E(1 − ν) = (1 − 2ν)(1 + ν)ρ s G = ρ s s Kb + 34 G ρ E 2(1 + ν)ρ (3.121) (3.122) En el trabajo desarrollado por Yang (2005) [205] se presenta la deducción de la velocidad de las ondas de compresión (vp ) a partir de la definición del parámetro de presión de poro B de Skempton, empleando la teorı́a de Biot y una formulación u-w. Finalmente, Yang obtiene 19 El ángulo de incidencia se mide a partir de la dirección paralela al contorno. E(1−ν) . El modulo en compresión confinada o módulo edométrico se define como K̃ = (1+ν)(1−2ν) 21 E El módulo de elasticidad volumétrico del esqueleto sólido se define como Kb = 3(1−2ν) . 20 158 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO la velocidad de las ondas de compresión para un suelo saturado según la expresión 3.123, la cual se diferencia del caso de suelo seco (ecuación 3.121) en la introducción del término Q∗ , que representa la compresibilidad del conjunto fluido-esqueleto sólido y que se puede simplificar como Kf /n si se asumen las partı́culas sólidas como incompresibles, con la densidad del medio definida como ρ = (1 − n)ρs + nρf . vp = s Kb + 4 3G ρ + Q∗ = s Kb + 43 G + ρ Kf n (3.123) Por lo tanto, en esta investigación se adoptará la expresión 3.121 para el cálculo de la velocidad de las ondas de compresión en el caso de suelo seco y la expresión 3.123 para suelo saturado, mientras que para la velocidad de las ondas transversales se considerará la expresión 3.122, independientemente del problema puesto que las ondas de corte no se propagan por un medio fluido. Por otra parte, cabe destacar que la formulación que se acaba de plantear resulta equivalente a la obtenida por Modaressi y Benzenati [202, 199] y que obtuvieron tras la aplicación de una aproximación paraxial a un problema saturado, y definido para una formulación u-p (Biot) en el dominio de las frecuencias. También es equivalente con la formulación empleada por otros investigadores como [181]. Implementación de los contornos absorbentes descritos en un código MEF Para la implementación en un código de elementos finitos de los contornos absorbentes descritos anteriormente se debe modificar la matriz de amortiguamiento (C) obtenida después de la discretización del problema [206], sistemas 3.28 ó 3.38. En este caso, solamente es necesario modificar los coeficientes de la matriz de amortiguamiento vinculados a los nodos que conforman el contorno absorbente. Para un problema bidimensional, los coeficientes de amortiguamiento asociados a las componentes x e y de un determinado nodo i se obtienen de las expresiones dadas en 3.124. Cxi = mi ρAf vxi = mi ρ(Lf e) (avp cos θf + bvs sen θf ) Cyi = mi ρAf vyi = mi ρ(Lf e) (avp sen θf + bvs cos θf ) (3.124) donde Af se corresponde con el área de la cara del elemento que conforma el contorno absorbente, al tratarse de un problema bidimensional, el área de la cara coincide con su longitud (Lf ) multiplicada por un espesor (e) que se suele adoptar como unitario, mientras que vxi y vyi son las componentes x e y de las proyecciones de la velocidad de las ondas. Por otra parte, θf se corresponde con el ángulo que forma la cara absorbente con la vertical, mientras que mi es un coeficiente que representa la participación de cada uno de los nodos que conforman dicha cara absorbente. De tal modo que en un problema bidimensional, si cada cara del elemento esta formada por dos nodos se tomarı́a mi = 1/2, mientras que si cada cara esta formada por tres nodos, se asignarı́a a los nodos extremos mi = 1/4 y al nodo intermedio mi = 1/2. Por otra parte también puede comprobarse que cuando el contorno es vertical (θf = 0o ) se obtiene vx = vp y vy = vs , y viceversa cuando es horizontal (θf = 90o ). 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 159 3.7.4. Ejemplos de Validación: Contornos Absorbentes 3.7.4.1. Propagación de una onda en una barra sólida de longitud infinita Para validar la correcta implementación de las condiciones de contorno absorbentes empleadas en esta investigación, se presenta en primer lugar una comparación de la solución obtenida numéricamente frente a la solución analı́tica, para un problema de propagación de una onda en una barra sólida de longitud infinita. Puesto que numéricamente no es posible representar una longitud infinita, se modela una barra de 50 m de longitud y espesor 1 m, a la que se impone en un caso contornos fijos y en otro contornos absorbentes, figura 3.14. La barra donde se propaga la onda es un medio elástico de propiedades ρ = 2000 kg/m3 , E = 2 · 107 N/m2 y ν = 0. Sobre uno de los extremos de la barra se aplica una carga distribuida q = 3000 N/m2 durante 3 segundos. La solución analı́tica [207] para la propagación de un onda en un medio unidimensional de longitud infinita esta dada en la expresión 3.125. Figura 3.14 – Aplicación de las condiciones de contorno fijos o contornos absorbentes para la modelización de una barra de longitud infinita. u(t) = qvp (t − t0 ) H(t − t0 ) E (3.125) donde q es la carga aplicada en el extremo de la barra, vp es la velocidad de propagación longitudinal de la onda en el medio, E es el modulo de elasticidad del medio, mientras que t0 = xi /vp donde xi es el punto de interés medido desde el extremo donde se aplica la carga y H(t − t0 ) se define como: 0 si t < t 0 H(t − t0 ) = 1 si t > t 0 En la figura 3.15 se muestra las soluciones obtenidas para la barra de longitud infinita con y sin condiciones de contorno absorbentes frente a la solución analı́tica para el punto de interés xi = 5 m. Como se observa en esta figura, cuando se imponen contornos fijos en el 160 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO extremo de la barra se producen diferentes reflexiones de las ondas que llegan a afectar al punto de interés perturbando completamente la solución. Sin embargo, cuando se imponen condiciones de contorno absorbentes, dichas reflexiones de las ondas ya no se producen y la solución numérica se ajusta perfectamente a la analı́tica. Esto refleja, especialmente para este caso, la validez de las condiciones de contorno absorbentes adoptadas y su correcta implementación. 0.045 0.04 0.035 Solucion Analítica Barra 50 m−bordes fijos Barra 50 m−bordes absorbentes 0.03 u (m) 0.025 (xi= 5 m) 0.02 0.015 0.01 0.005 0 −0.005 0 0.5 1 1.5 2 Tiempo (seg.) 2.5 3 Figura 3.15 – Desplazamiento del punto xi = 5 m, cuando se propaga una onda en una barra elástica de longitud infinita. Aplicación de diferentes condiciones de contorno. 3.7.4.2. Consolidación de una columna de longitud infinita de suelo saturado En este ejemplo se comprueba la validez y la correcta implementación de las condiciones de contornos absorbentes utilizadas en esta investigación aplicadas a una columna de longitud infinita y compuesta por un suelo saturado. Las propiedades del suelo saturado de este ejemplo son las que se recogen en la tabla 3.6 y la velocidad de propagación de las ondas longitudinales resulta igual a vp = 167,36 m/s. Puesto que numéricamente no se puede modelizar una columna de longitud infinita, se han considerado cuatro casos, según se muestran en la figura 3.16. En primer lugar se considera una columna de longitud 30 m y contornos fijos, en segundo lugar se considera la misma columna pero imponiendo contornos absorbentes y en tercer y cuarto lugar se consideran dos columnas de 60 m y 100 m, respectivamente, con contornos fijos. Con estos casos se pretende comprobar como se producen las reflexiones de las ondas que se propagan por el medio al incidir sobre el contorno fijo llegando a invalidar la solución obtenida, tanto en desplazamientos como en presión de poro. Cada columna esta sometida a dos cargas puntuales de magnitud 100 N definidas según la figura 3.17. Los cálculos se han realizado en todos los casos para un tiempo total de 3 seg. empleando una discretización temporal de 0.01 seg. 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 161 Tabla 3.6 – Propiedades del suelo saturado empleado en el ejemplo de consolidación de una columna de longitud infinita formada por suelo saturado. ρs = 2700 kg/m3 E = 3 · 107 P a Ks = 1 · 1040 P a ρf = 1000 kg/m3 ν = 0,2 Kf = 8,4034 · 106 P a ρ = 2190 kg/m3 n = 0,3 k = 1 · 10−5 m/s Figura 3.16 – Dimensiones de los cuatro casos considerados en el ejemplo de consolidación de una columna de suelo saturado y de longitud infinita. En la figura 3.18 se muestra la solución obtenida para cada uno de los cuatro casos analizados, en un punto situado a 15 m bajo la superficie. De esta figura se comprueba que en los tres casos donde se han impuesto contornos fijos se producen reflexiones de las ondas que introducen oscilaciones en la solución, destacando que la primera reflexión tiene lugar para instantes de tiempo mayores a medida que la longitud de la columna considerada es mayor, ya que la onda tarda más tiempo en llegar al contorno fijo. Estas perturbaciones en las solución numérica se producen tanto en los desplazamientos verticales como en la presión de poro. Por el contrario, para el caso donde se impusieron condiciones de contorno absorbentes, y a pesar de ser la menor de las longitudes consideradas dichas perturbaciones u oscilaciones por la reflexión de las ondas no se producen, ni en el cálculo de los desplazamientos ni de la presión de poro. A partir de esto se puede concluir que las condiciones de contorno adoptadas en esta investigación resultan eficaces también para problemas acoplados, y que dichas condiciones están bien implementadas en el código. 162 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Figura 3.17 – Carga aplicada en el ejemplo de consolidación de una columna de suelo saturado y de longitud infinita. 200 Pw (Pa) 150 100 50 0 −50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Tiempo (seg.) 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 1.4 1.6 Tiempo (seg.) 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 −4 5 x 10 u (m) 0 −5 −10 −15 −20 0 Columna 30m − Bordes fijos Columna 30 m − Bordes absorbentes Columna 60 m − Bordes fijos Columna 100 m − Bordes fijos 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Figura 3.18 – Resultados obtenidos para cada uno de los cuatro casos analizados en el ejemplo de una columna saturada en un punto situado a 15 m bajo la superficie. a) Presión de poro b) Desplazamiento vertical. 3.7.4.3. Propagación de una onda en un medio elástico semi-infinito Para validar la implementación de las condiciones de contorno absorbentes descritas se presenta a continuación su aplicación sobre un problema en deformaciones planas. Este ejemplo consiste en el estudio de la propagación de una onda en un medio elástico semiinfinito cuando se encuentra sometido a una carga puntual en superficie, figura 3.19. Se ha considerado un estrato de 100 m de ancho y 30 m de profundidad, para el que se han empleado un total de 1259 elementos triangulares lineales. El suelo que lo conforma se considera elástico lineal con las siguientes propiedades: ρ = 2000 kg/m3 , E = 5 · 107 N/m2 y ν = 0,25, resultando una velocidad de las ondas vp = 173,20 m/s y vs = 100 m/s. El estrato está sometido a una carga puntual aplicada en superficie en el extremo izquierdo, de valor constante en el tiempo y de magnitud igual a 50000 N . En cuanto a las condiciones de contorno aplicadas, se han restringido los desplazamientos horizontales en el borde izquierdo y se han permitido los desplazamientos verticales, 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 163 A (50,30) 30 m 100 m Figura 3.19 – Geometrı́a, malla y condiciones de contorno para el problema de propagación de una onda en un medio elástico semi-infinito. para simular la continuidad del estrato (eje de simetrı́a). En cuando al borde inferior y derecho se han aplicado tanto contornos fijos como contornos absorbentes para contrastar las soluciones. En la figura 3.20 se muestra el desplazamiento vertical obtenido para un punto situado en superficie, punto A de coordenadas (50,30), tanto con contornos absorbentes como con contornos fijos. Como se puede comprobar, gracias a la aplicación de las condiciones de contorno absorbentes se consigue reducir el efecto de las ondas de reflexión que se reintroducen en el dominio de cálculo frente al caso de la solución con contornos fijos donde las reflexiones llegan a invalidar la solución. Por otra parte, también se puede comprobar como tanto en el caso con contornos absorbentes como con contornos fijos se producen unas pequeñas oscilaciones en las soluciones, las cuales no se deben a la imposición de los contornos fijos, ya que en la solución con contornos absorbentes también aparecen. Por ello y de forma análoga a otras investigaciones similares [181, 208], se han recalculado ambas soluciones introduciendo un pequeño grado de amortiguamiento tipo Rayleigh (ecuación 3.25) de valor αR = 0,001 y βR = 0,002. Para este caso, se puede observar como las pequeñas oscilaciones numéricas descritas anteriormente han sido eliminadas. En todos los cálculos se ha empleado el algoritmo de integración de Newmark-3 γ = 1/2 β = 1/4 (sin amortiguamiento) con un paso de tiempo ∆t = 0,01 segundos. 3.7.4.4. Propagación de una onda en un medio poroso saturado elástico semi-infinito En este ejemplo se analiza el comportamiento de las condiciones de contorno absorbentes implementadas en el código sobre un problema bidimensional en deformaciones planas y con un medio saturado. Para ello se analiza un estrato de suelo saturado de 10 x 10 m, figura 3.21, cuando se encuentra sometido a una carga puntual aplicada en superficie en su extremo izquierdo. Se han empleado elementos triangulares con aproximación cuadrática en los desplazamientos y lineal en la presión de poro (u6p3), con un total de 1098 elementos. Las propiedades del material se describen en la tabla 3.7, de ellas resulta una velocidad de las ondas vp = 136,54 m/s y vs = 50,61 m/s. Por otra parte, la carga puntual aplicada 164 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO −4 8 x 10 6 4 v u (m) 2 0 −2 Punto (50,30) −4 −6 0 Contornos Fijos − Sol. sin amortiguamiento Contornos Absorbentes − Sol. sin amortiguamiento Contornos Fijos − Sol. con amortiguamiento Rayleigh Contornos Absorbentes − Sol. con amortiguamiento Rayleigh 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiempo (seg.) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Figura 3.20 – Comparación del desplazamiento vertical obtenido en el punto A indicado en la figura 3.19, tanto con la aplicación de contornos absorbentes frente a los contornos fijos, asi como con la introducción de cierto grado de amortiguamiento Rayleigh. se corresponde con un pulso senoidal de amplitud 1000 N , frecuencia 12.5 Hz y duración 0.04 segundos. En este ejemplo se ha empleado el algoritmo de integración de Newmark-6 γ = 0,6 β = 0,3025 y θ = 0,6, con un paso de tiempo de 0.01 segundos. En cuanto a las condiciones de contorno se han impuesto desplazamientos nulos en la dirección horizontal en el borde izquierdo y se han permitido los desplazamientos verticales. En el borde inferior y el borde derecho se han realizado las simulaciones numéricas empleando tanto contornos fijos como contornos absorbentes. En la figura 3.22 se muestra la evolución del desplazamiento vertical y de la presión de poro de un punto situado en superficie a 5 metros de la carga puntual, cota (5,10) indicada en la figura 3.21. Como se puede observar, las oscilaciones espurias introducidas por la reflexión de las ondas al in- (5,10) 10 m 10 m Figura 3.21 – Geometrı́a, malla y condiciones de contorno adoptadas para analizar la propagación de una onda en un estrato poroso saturado. 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 165 Tabla 3.7 – Propiedades del suelo empleado en el ejemplo de propagación de una onda en un medio poroso saturado semi-infinito. ρs = 2700 kg/m3 E = 16,6 · 106 P a Ks = 1 · 1020 P a ρf = 1000 kg/m3 ν = 0,2 Kf = 8 · 106 P a ρ = 1798,12 kg/m3 n = 0,53 k = 1 · 10−5 m/s −8 3 x 10 Estrato Saturado − Contornos Absorbentes Estrato Saturado − Contornos Fijos 2 0 v u (m) 1 −1 −2 −3 −4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiempo (seg) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tiempo (seg) 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.06 w 2 p (N/m ) 0.04 0.02 0 −0.02 −0.04 0 Figura 3.22 – Comparación del desplazamiento vertical y de la presión de poro obtenidos para el punto (5,10) indicado en la figura 3.21, considerando contornos fijos y contornos absorbentes, en un problema bidimensional con un medio poroso saturado. cidir sobre los contornos fijos quedan amortiguadas casi completamente por los contornos absorbentes adoptados, tanto para el desplazamiento vertical como para la presión de poro. 3.7.4.5. Comparación de la propagación de una onda en un medio elástico semiinfinito de diferentes tamaños En este ejemplo se emplearán tres dominios numéricos de cálculo de diferentes dimensiones, figura 3.23, sobre los que se aplicaran un impulso vertical puntual en superficie. En los tres casos se impiden los desplazamientos horizontales en el borde izquierdo mientras que sobre los contornos derecho e inferior se impondrán tanto condiciones absorbentes como fijas. Este ejemplo es análogo al desarrollado por Kontoe [163] y por Kellezi [209] para validar el comportamiento de los contornos absorbentes empleados. El primero de estos dominios tiene dimensiones 10x10 m (M10x10) y se ha discretizado con 100 elementos, el segundo tiene dimensiones 15x15 m (M15x15) y se han empleado 225 elementos y finalmente para el tercer dominio de 35x35 m (M35x35) se han empleado 1225 elementos. Éste último dominio junto con las condiciones absorbentes aplicadas tanto el borde inferior como derecho, será la solución adoptada como referencia. En todos los casos el tamaño del elemento es igual a 1 m. Para la discretización espacial se han empleado elementos rectangulares de 4 nodos (q4) y para la discretización temporal se han emplea- 166 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO do pasos de tiempo igual a 0.005 segundos y el algoritmo de integración de Newmark-3 γ = 1/2 β = 1/4 (sin amortiguamiento). En todos los casos se ha adoptado un material elástico e isótropo de propiedades: ρ = 2000 kg/m3 , E = 6,67 · 107 N/m2 y ν = 0,25, resultando una velocidad de las ondas longitudinales vp = 200 m/s y una velocidad de las ondas transversales igual a vs = 115,49 m/s. El impulso vertical aplicado en superficie es de tipo triangular, tiene una amplitud de 1 N y un periodo de 0,04 segundos. Figura 3.23 – Tamaño de los dominios de cálculo considerados y puntos de interés analizados. En primer lugar, se muestra en la figura 3.24 los resultados obtenidos con los tres dominios de cálculo respecto al desplazamiento vertical de un punto situado en superficie a 4 m de la carga puntual, punto A de la figura 3.23. En la primera parte de esta figura se compara la solución obtenida para la malla M1010 y la malla M1515 tanto con contornos fijos como absorbentes, respecto a la solución obtenida de la malla M3535 con contornos absorbentes, la cual, como se ha indicado anteriormente, es considerada como la solución de referencia. En cuanto a las soluciones con contornos fijos se puede observar como aparecen fuertes oscilaciones debidas a las reflexiones de las ondas al incidir sobre los contornos, mientras que estas oscilaciones prácticamente desaparecen al introducir en el cálculo los contornos absorbentes, observándose como las tres soluciones con contornos absorbentes tienden a aproximarse bastante entre sı́. En la segunda parte de esta figura se presenta el espectro de amplitudes de Fourier realizado sobre las respuestas obtenidas en cada uno de los casos calculados. Este espectro permite detectar las frecuencias predominantes de las ondas que componen una señal. En él se puede apreciar como las soluciones obtenidas al imponer condiciones de contorno fijas están contaminadas por numerosas ondas, que se corresponden con las ondas de reflexión reintroducidas en el dominio de cálculo. Estas ondas son debidas a la presencia de los contornos fijos en cada malla, ya que sus frecuencias son distintas para la malla M1010 3.7. CONTORNOS ABSORBENTES 167 −8 1.5 x 10 1 uv (m) 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tiempo (seg.) −9 Amplitudes Fourier 4 x 10 M1010− Contornos Absorbentes M1010− Contornos Fijos M1515− Contornos Absorbentes M1515− Contornos Fijos M3535− Contornos Absorbentes 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frecuencia (Hz) Figura 3.24 – Respuesta de un punto situado en superficie a 4 metros de la carga puntual (punto A) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Desplazamiento vertical b)Espectro de amplitudes de Fourier de la respuesta en desplazamientos. y para la M1515, mientras que su amplitud es superior para la malla M1010, es decir la que tiene los contornos fijos más próximos al punto de interés. Sin embargo, los espectros correspondientes a las mallas con condiciones absorbentes se mantienen próximos entre sı́ y definidos por una curva lisa, sin que en la respuesta intervenga ningún tipo de onda espuria. En las figuras 3.25 y 3.26 se muestran, respectivamente, la historia temporal de tensiones horizontales y verticales para un punto situado a 4 m de la carga puntual y a 4 m de profundidad, punto B de la figura 3.23. Al igual que sucedı́a con la respuesta en desplazamientos verticales, las historias temporales en tensiones horizontales y verticales presentan fuertes oscilaciones numéricas en aquellas soluciones correspondientes a los casos donde se han empleado condiciones de contornos fijos. Estas oscilaciones son debidas a las reflexiones producidas por las ondas al incidir sobre dichos contornos fijos. En cuanto a las soluciones derivadas de los casos con contornos absorbentes, se puede comprobar como dichas oscilaciones numéricas han desaparecido completamente, coincidiendo prácticamente las historias temporales en tensiones para las tres mallas. Se puede comprobar como las respuestas en tensiones de las tres mallas con contornos absorbentes están más próximas entre sı́ que en el caso de los desplazamientos verticales, probablemente debido al efecto de las ondas superficiales. En la segunda parte de ambas figuras se presenta el espectro de amplitudes de Fourier obtenido de las correspondientes historias temporales en tensiones, donde de nuevo se puede detectar la presencia de numerosas ondas espurias en las soluciones con contornos fijos, mientras que en las soluciones con contornos absorbentes el espectro está formado por una curva lisa, sin oscilaciones, el cual coincide prácticamente para las tres mallas. 168 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 0.15 0.1 2 σh (N/m ) 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tiempo (seg.) Amplitudes Fourier 0.03 0.025 M1010− Contornos Absorbentes M1010− Contornos Fijos M1515− Contornos Absorbentes M1515− Contornos Fijos M3535− Contornos Absorbentes 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frecuencia (Hz) Figura 3.25 – Respuesta de un punto situado a 4 metros de la carga puntual y a 4 m de profundidad (punto B) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Tensiones Horizontales b)Espectro de amplitudes de Fourier de la historia temporal en tensiones horizontales. 0.15 0.1 2 σv (N/m ) 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Tiempo (seg.) Amplitudes Fourier 0.03 0.025 M1010− Contornos Absorbentes M1010− Contornos Fijos M1515− Contornos Absorbentes M1515− Contornos Fijos M3535− Contornos Absorbentes 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frecuencia (Hz) Figura 3.26 – Respuesta de un punto situado a 4 metros de la carga puntual y a 4 m de profundidad (punto B) para los distintos dominios de cálculo considerados. a) Tensiones Verticales b)Espectro de amplitudes de Fourier de la historia temporal en tensiones verticales. 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 3.8. 169 Interfaz de contacto Suelo-Estructura 3.8.1. Revisión del Estado del Conocimiento El fenómeno de interacción suelo-estructura (SSI) tiene lugar en numerosos problemas geotécnicos, como en las estructuras de contención (muros anclados, muros de tierra armada etc.), en cimentaciones superficiales, cimentaciones profundas etc. La interacción suelo-estructura se desarrolla en una zona donde se produce una transmisión de tensiones y deformaciones, esta zona se corresponde con una fina franja de suelo en contacto con la estructura y comúnmente denominada interfaz. El estudio de dicha interfaz es un aspecto delicado que ha sido abordado en la literatura tanto experimentalmente como por medio de modelos numéricos [131, 47, 132, 210, 135, 211, 212]. Centrándonos en los modelos numéricos, en los últimos 40 años se han propuesto y desarrollado diferentes metodologı́as para abordar, a través del método de los elementos finitos, el problema de la modelización de la interfaz entre dos materiales, también conocidos como problemas de contacto. La necesidad de desarrollar técnicas numéricas especiales para abordar este fenómeno se debe a que en una situación de interacción entre el suelo y la estructura pueden aparecer movimientos relativos entre ambos, los cuales no se pueden modelar con los elementos finitos convencionales, ya que la compatibilidad nodal impuesta por el MEF obliga a los elementos de suelo y estructura a moverse juntos [131]. Por ello se plantean generalmente los cuatro modos de deformación de la interfaz que se muestran en la figura 3.27: Contacto/Sin-deslizamiento (“Stick”), Deslizamiento (“Slip”), Separación (“Debonding”) y Re-contacto (“Rebonding”). Además, como destaca Mao [213], cualquier modelización de la interfaz debe ser capaz de simular el deslizamiento cuando las tensiones tangenciales superen el valor de la resistencia y también garantizar que no se produce solapamiento entre los materiales. sn sn t t (a) Contacto (b) Deslizamiento (c) Separación (d) Re-contacto Figura 3.27 – Esquema de los modos de deformación de la interfaz [47] (A= área total de la interfaz; Ac =área de contacto). Como se ha indicado, en la literatura se recogen diferentes técnicas para abordar la modelización de la interfaz suelo-estructura, la gran mayorı́a de las cuales se pueden agrupar en los siguientes tipos: Elementos vinculados a través de muelles que conectan nodos enfrentados. Elementos finitos estándar o convencionales. 170 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Elementos de interfaz sin espesor o elementos junta (“Zero-thickness”), originalmente formulados por Goodman et al [131, 132] para juntas en roca y posteriormente extendidos por diferentes autores [134, 130, 132, 135]. Elementos de interfaz de pequeño espesor (“Thin Layer”), relacionados con investigaciones como la de Zienkiewicz [47, 132] pero difundidos a partir de la publicación presentada por Desai et al [47], y a su vez extendida por otros autores posteriores [214, 210, 215, 211, 216]. Métodos hı́bridos, en los cuales el suelo y la estructura se modelan por separado y la vinculación entre ambos se impone a través de ecuaciones de compatibilidad para las fuerzas y los desplazamientos en la interfaz22 . De las técnicas enumeradas anteriormente, se pueden encuadrar en el primer grupo los métodos que emplean muelles discretos. Este ha sido un procedimiento tradicional muy utilizado para la modelización simplificada de la interacción suelo-estructura en el cálculo de problemas dinámicos de estructuras. En esta lı́nea se pueden enmarcar las investigaciones numéricas desarrolladas sobre el modelo propuesto por Veletsos [96, 16] y que fueron presentadas en el capı́tulo 2. Dentro del segundo grupo se puede incluir el método propuesto por Zienkiewicz [132], quien empleó para la interfaz un elemento isoparamétrico delgado de 6 nodos, siguiendo una formulación y una ley constitutiva convencionales [132]. De forma análoga, Griffiths empleó elementos finitos convencionales bidimensionales para simular el deslizamiento en la interfaz [210]. También Ghaboussi y Wilson [47, 132, 212] emplearon un elemento bidimensional de pequeño espesor pero considerando los desplazamientos relativos entre los elementos contiguos a la interfaz como grados de libertad independientes, este trabajo fue posteriormente ampliado por Pande y Sharma [132]. A continuación se describen los tres últimos métodos de los incluidos en el listado anterior que son las metodologı́as más desarrolladas en la literatura. Elementos sin espesor o “Zero-thickness” Los elementos sin espesor (“Zero-thickness”) han sido ampliamente utilizados [131, 134, 47, 132]. Consisten en elementos isoparamétricos rectangulares de 4 o 6 nodos y espesor nulo, compatibles con los elementos finitos tradicionales, donde las tensiones normales y tangenciales de la interfaz se relacionan con los desplazamientos relativos entre los elementos que rodean a la interfaz, dichos desplazamientos pueden ser normales y tangenciales. La matriz constitutiva que relaciona las tensiones con los desplazamientos relativos esta formada por los respectivos valores de rigidez normal y tangencial, donde ambos comportamientos están desacoplados. Para simular el deslizamiento, se asigna un valor muy bajo o residual a la rigidez a cortante cuando la tensión tangencial supera la resistencia a cortante definida por un criterio preestablecido, en la mayorı́a de los casos por el criterio de Mohr-Coulomb. Por el contrario, 22 Estos métodos aparecen en la literatura bajo diferentes denominaciones como “Contact constraints”, “Contact mechanics”, “Frictional contact”, “Contact kinematic” entre otras. 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 171 para evitar el solapamiento entre los elementos de suelo y los elementos de la estructura, se asigna un valor muy alto a la rigidez normal. En la formulación de la matriz constitutiva no aparecen términos fuera de la diagonal, lo que implica que la deformación normal y contarte son independientes una de la otra (comportamiento no acoplado), esto supone que no se puedan reproducir fenómenos como la dilatancia, la cual es un aspecto importante del comportamiento de algunas interfaces reales, o como el reblandecimiento [132]. De forma general estos elementos simulan correctamente los modos de contacto y deslizamiento, donde las tensiones normales son de compresión, sin embargo para otros modos como el despegue o separación donde las tensiones normales son de tracción, las soluciones obtenidas son poco fiables tal como expone Desai [47]. Por ello se deben buscar estrategias como la de asignar valores nulos tanto a las rigidez normal como tangencial a fin de simular una separación en la junta [216], o la de adoptar funciones suavizadas para evitar el cambio abrupto de rigidez al pasar del contacto al despegue (paso de tensiones de compresión a tracción) lo que introduce a su vez valores residuales de tracciones [176]. Diferentes autores [131, 216, 132, 212, 47] han reportado las principales desventajas de estos elementos de interfaz sin espesor. Destacando los problemas de estabilidad numérica que pueden presentar, especialmente cuando existen grandes diferencias entre la rigidez del elemento de interfaz y el elemento de suelo o estructura adyacente [131, 134], o de mal condicionamiento numérico por la falta de espesor del elemento. También pueden surgir problemas en la generación de la malla, ya que que los nodos a cada lado del elemento de interfaz tienen las mismas coordenadas. Además aparecen problemas geométricos cuando tiene lugar la intersección de dos elementos de interfaz [134] 23 . Un análisis mas exhaustivo de este tipo de elemento se puede encontrar en los trabajos desarrollados por Li y Kaliakin [132] y Potts y Zdraovkovic [131]. Elementos de pequeño espesor o “Thin Layer” Los elementos de pequeño espesor (“Thin Layer”) se basan en la idea de que el comportamiento cerca de la interfaz involucra a una franja pequeña de material entre ambos cuerpos, en lugar de una zona sin espesor como asume la técnica anterior. Para ello, se disponen elementos finitos de pequeño espesor en la interfaz entre ambos materiales, y además se hace un tratamiento especial de la ley constitutiva que se le asigna a estos elementos para simular la interfaz correctamente, ya que el comportamiento de esta zona es diferente del comportamiento de los materiales que la rodean. En el caso bidimensional, estos elementos están formados por elementos rectangulares isoparamétricos de 4 ó 6 nodos, de espesor (pequeño) t y lado L, presentando un ratio de forma L/t muy alto. Estos elementos permiten incorporar varios modos de deformación de la interfaz (figura 3.27) incluido el despegue o separación, y además su implementación sobre un código de elementos finitos estándar preexistente es relativamente directa. Por el contrario, los aspectos sobre los que se debe tener especial cuidado son la elección de la ley constitutiva de la interfaz y una selección adecuada del espesor del elemento. Diferentes investigaciones [47, 210, 215, 211, 216] destacan la influencia del espesor del elemento 23 Este problema de intersección entre dos elementos de interfaz fue señalado por Day y Potts [134] en el punto de unión entre el trasdós y la base del muro. 172 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO de interfaz sobre los resultados del cálculo, puesto que si el espesor es muy grande el elemento se comportará como un elemento másico mientras que si es muy bajo pueden aparecer problemas numéricos. Métodos Hı́bridos o “Contact Constraints” A diferencia de los dos tipos de elementos de interfaz anteriores, cuyos enfoques están orientados a pequeños desplazamientos continuos de la interfaz, este tercer grupo está formado por los denominados Métodos Hı́bridos o Contact Constraints, que pueden ser empleados para inferfaces con grandes deformaciones y/o desplazamientos discontinuos [217, 218, 219]. De ahı́, que se encuentren en la literatura numerosas publicaciones de su aplicación para problemas con grandes deformaciones como por ejemplo en la modelización de pilotes hincados o de ensayos de penetración de cono [220, 217, 221, 222]. Dentro de este grupo se encuentran diferentes investigaciones como las realizadas por Katona [131, 212, 223], Villard [224], Mao [213], Zheng et al [223] y los trabajos desarrollados por Sheng, Wriggers, Sloan y sus colaboradores [218, 220, 217, 221, 222, 225]. La gran mayorı́a de estos métodos se aplican en dos fases [149, 219]. En primer lugar se debe identificar los puntos del contorno que interaccionan en sı́, concepto “master/slave”, los contactos se pueden definir nodo-nodo o nodo-segmento (NTS). En segundo lugar, se debe verificar si se produce contacto o no entre los contornos, a través del cálculo del hueco o “gap” para cada pareja de nodos o cada nodo-segmento. Si el valor del hueco no es nulo, implica que los cuerpos están separados y se deben imponer tensiones normales nulas sobre los contornos, ya que no son admisibles tensiones de tracción. Por el contrario, si el hueco o “gap” es nulo, se produce el contacto y se deben imponer ciertas restricciones cinemáticas que aseguren la no penetración de un cuerpo sobre el otro (“condición de no penetración”), ası́ como el cálculo de las fuerzas de contacto. Existen diferentes algoritmos matemáticos para asegurar la condición de no penetración, pero los más empleados son el método de los Multiplicadores de Lagrange, las Funciones de Penalización y el método Lagrangiano Aumentado, los cuales se detallan en [149, 217, 226]. El tipo de contacto que se puede presentar en el contorno puede ser sin fricción, donde sólo intervienen tensiones normales a la superficie, o contacto con fricción que es el más habitual en los problemas de ingenierı́a geotécnica, donde intervienen tanto tensiones normales como tangenciales a la superficie, para los que generalmente se suele aplicar un criterio Mohr-Coulomb. Estos métodos presentan la ventaja de que no es necesario asignar un modelo constitutivo propio a la interfaz, lo que a su vez implica que no se puedan tener en cuenta fenómenos de dilatancia. Ademas, estas técnicas resultan computacionalmente más costosas respecto a los elementos de interfaz descritos anteriormente (búsqueda de puntos en contacto, determinación de sus coordenadas, cálculo del “gap” etc.). También se pueden presentar problemas de mal condicionamiento, puesto que es importante una buena identificación del parámetro de penalización cuando se emplea por ejemplo el método de las funciones de penalización, mientras que en otros casos pueden aparecer divisiones por cero o ser necesarios valores muy altos en los coeficientes de la matriz de rigidez para minimizar la interpenetración entre los cuerpos. Por último cabe destacar que su implementación sobre un código de elementos finitos ya existente no es directa. 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 173 Comentarios adicionales Como se ha indicado anteriormente, la elección de un modelo constitutivo que represente adecuadamente el comportamiento de la interfaz resulta de gran importancia. Atendiendo a la clasificación que propone D’Aguiar et al. [227], en la literatura se pueden diferenciar dos grandes grupos de modelos. Por una parte se pueden encontrar investigaciones que han empleado leyes elástico lineales [34] o elástico no lineales de tipo hiperbólico [130, 38], y por otra modelos basados en la teorı́a elastoplastica, destacando los modelos elásticos con plasticidad perfecta gobernada en la mayorı́a de los casos por un criterio Mohr-Coulomb. Sin embargo, debido a la gran complejidad que implica la modelización de la interfaz de contacto suelo-estructura, ésta conforma por si sola una potente linea de investigación en continuo desarrollo. Las publicaciones más recientes están orientadas especialmente a la formulación de nuevas leyes constitutivas, más complejas que las indicadas anteriormente, que sean capaces de reproducir adecuadamente el comportamiento en la interfaz, especialmente fenómenos contractivos/dilatantes, cargas monótonas, cargas cı́clicas (procesos de carga-descarga), endurecimiento, reblandecimiento, daño etc. Dentro de las publicaciones más recientes en esta lı́nea, cabe destacar la revisión realizada por Said [216], y trabajos como [214, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 227, 234], por citar algunos. Una parte importante de estos avanzados modelos constitutivos están basados en teorı́as diferentes de la plasticidad clásica. En la mayorı́a de estos casos, los modelos constitutivos propuestos han sido validados o contrastados con resultados de ensayos de laboratorio (ensayos de corte simple, ensayo de corte directo, ensayo de corte anular bajo carga monótona o cı́clica etc.), pero su extrapolación a la modelización de problemas geotécnicos de mayor complejidad es aún escasa. Por otra parte, también se debe tener en cuenta que en una ley constitutiva compleja para la interfaz pueden intervenir un numero relativamente elevado de parámetros, habitualmente entre 7 y 15. Para la calibración de dichos parámetros, serı́a necesario disponer de resultados de laboratorio o emplear resultados ya publicados, con lo que la aplicación de estos modelos constitutivos no resulta inmediata. Además de todo esto, también se debe garantizar que exista cierta coherencia entre el modelo constitutivo que se adopte para el terreno y el modelo que se adopte para la interfaz. 3.8.2. Tratamiento numérico de la interfaz en la modelización de estructuras de contención De los elementos de interfaz presentados anteriormente, el elemento sin espesor (“Zerothicknes”) propuesto por Goodman et al [131, 132] y los elementos de espesor finito (“Thinlayer”) desarrollados por Desai y sus colaboradores [47] han sido los más empleados en la modelización de la interfaz de problemas de estructuras de contención. Dentro de las investigaciones desarrolladas para problemas de estructuras de contención en régimen estático, una de las primeras en abordar este problema fue la desarrollada por Clough y Duncan (1971) [130], como ya se indicó en el capı́tulo 2, quienes emplearon un comportamiento no lineal a través de los elementos propuestos por Goodman et al junto con los resultados de ensayos de corte directo sobre probetas de hormigón-suelo. 174 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Otras investigaciones numéricas relevantes sobre estructuras de contención fueron las desarrolladas por Potts y Fourie [133, 32, 33], quienes consideraron la interfaz bajo la simplificación de un contacto completamente liso o completamente rugoso. Posteriormente, Day y Potts [134] lo ampliaron para investigar el efecto de la interfaz sobre el comportamiento del muro, empleando también elementos sin espesor [135], sobre los que observaron que podrı́an aparecer diversos problemas numéricos y geométricos. También Bathia y Bakeer [34] analizaron la influencia de la modelización de la interacción suelo-muro, junto con otros factores de tipo numérico, para lo que emplearon unos elementos de interfaz que conectan los nodos de las esquinas de los elementos de suelo y de los elementos del muro, basándose en los desplazamientos relativos de los nodos, empleando una fricción de tipo Coulombiana y permitiendo la apertura. Matsuzawa y Hazarika [36] consideraron un contacto muro-suelo de tipo rugoso, para lo que introdujeron un muelle en la dirección tangencial y un elemento de deslizamiento para representar una fricción de tipo Coulombiana, impidiendo la separación entre el muro y el suelo. En cuanto a modelos numéricos para problemas dinámicos de estructuras de contención, en la investigación desarrollada por Siddharthan y Maragakis [37] adoptaron los elementos de interface propuestos por Goodman et al, con un comportamiento elástico perfectamente plástico con un criterio de tipo Mohr-Coulomb. Al-Homoud y Whitman [136] modelizaron el contacto de tal modo que permiten el desplazamiento relativo y el despegue/contacto entre los elementos que definen la interfaz. Mientras que Green y Ebeling [38] emplearon los elementos de interfaz definidos en FLAC permitiendo la separación y el deslizamiento, donde emplearon el modelo elástico hiperbólico desarrollado por Gomez et al [50] para problemas de carga/descarga y que esta basado en el modelo hiperbólico original de Clough y Duncan [130]. Por último, en las investigaciones desarrolladas por Madabhushi y Zeng [40, 41] y por Dewoolkar et al [42] para modelos numéricos en problemas dinámicos con medios porosos saturados, emplearon para la interfaz entre el muro y el relleno elementos de deslizamiento (“slip element”), formados en la mayorı́a de los casos por elementos cuadrangulares isoparamétricos con muy baja rigidez a cortante y una ley elastoplástica con un criterio de tipo Mohr-Coulomb. 3.8.3. Tratamiento numérico adoptado para la interfaz de contacto Para la correcta modelización del problema objeto de esta investigación se deben adoptar unos elementos de contacto que sean capaces de representar satisfactoriamente la interacción entre el terreno y la estructura, especialmente respecto al desplazamiento relativo entre ambos materiales. Sin embargo, la modelización numérica de la interfaz de contacto no es el objetivo principal de esta tesis doctoral, por ello no se han considerado algunas de las técnicas más complejas descritas anteriormente para un problema de contacto entre cuerpos y que supondrı́an un elevado coste computacional y esfuerzo de implementación, y se ha optado por otras técnicas de menor complejidad, y más simples de implementar en un código de elementos finitos preexiste como GHM, pero que a la vez permiten tener 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 175 en cuenta las principales caracterı́sticas que representan el comportamiento en la interfaz entre la estructura de contención y el terreno. A la vista de la modelización numérica de la interfaz suelo-muro realizada por diferentes investigadores, como se ha expuesto en la sección anterior, y que ha permitido obtener resultados satisfactorios, en esta investigación se ha adoptado un elemento especial de interfaz basado por un parte en los elementos de pequeño espesor (“Thin Layer”) propuestos originalmente por Desai et al [47], ası́ como en las conclusiones y propuestas de mejora realizadas por Ng et al [48] tras el estudio comparativo de diferentes elementos de interfaz, sobre el que se han incorporado diferentes leyes constitutivas. Por otra parte, investigaciones como las publicadas por Zong-Ze et al [235] defienden el empleo de elementos de pequeño espesor frente a los elementos sin espesor ya que pueden simular mejor el comportamiento deformacional de la interfaz. Como recoge Ng et al [48], el comportamiento en la interfaz de contacto entre el suelo y la estructura se puede dividir en dos, por una parte el comportamiento en la dirección normal a la interfaz (“comportamiento normal”) y por otra el comportamiento en la dirección tangencial a la interfaz (“comportamiento cortante”), figura 3.28. Para la interfaz se han empleado los elementos de pequeño espesor propuestos por Desai et al [47], los cuales se pueden considerar como un elemento finito convencional [47] pero con una ley constitutiva propia para el comportamiento normal y otra que gobierne el comportamiento tangencial (elástica lineal, elástica no lineal o elástoplastica), de este modo el comportamiento normal y tangencial estarı́an desacoplados [47, 235]. (a) Comportamiento Normal (b) Comportamiento Cortante Figura 3.28 – Relación tensión-deformación en la interfaz suelo-estructura [48]. Para un problema en deformación plana y elástico, la relación constitutiva en un elemento de interfaz quedarı́a definida por la expresión 3.126. σx C1 C2 0 ǫx σ y = C2 C1 0 ǫ y τxy 0 0 G γxy (3.126) donde G representa el modulo de rigidez transversal de la interfaz, el cual se define independientemente de los valores de E y ν considerados (comportamiento normal y cortante 176 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO desacoplados), mientras que los términos C1 y C2 se definen como24 : E(1 − ν) (1 + ν)(1 − 2ν) Eν C2 = (1 + ν)(1 − 2ν) C1 = Finalmente, con los elementos de interfaz implementados se pueden modelar diferentes interfaces de contacto con diferentes propiedades, lo que permitirı́a por ejemplo incluir en el modelo una interfaz para el contacto entre el trasdós del muro y el suelo del relleno y otra interfaz, con propiedades distintas, para el contacto entre la base del muro y el suelo de cimentación. Comportamiento Normal Puesto que en la modelización numérica de estructuras de contención, no es habitual que entre la estructura y el terreno se transmitan esfuerzos de tracción, se debe distinguir dentro del comportamiento en la dirección normal, cuando la interfaz se encuentra sometida a compresión y cuando a tracción. Cuando la interfaz está sometida a compresión, el comportamiento en la dirección normal estará gobernado por una ley elástico lineal, definida por los parámetros elásticos E y ν. El valor E asignado a la interfaz se define en función del valor asignado al terreno circundante. Por el contrario, cuando la interfaz esté sometida a tracciones se asignará un valor pequeño al modulo de elasticidad, Etrac , con lo cual las deformaciones normales serán grandes, y de este modo se conseguirá evitar, o al menos reducir, la transmisión de esfuerzos de tracción en la interfaz. Por lo tanto, el comportamiento normal de la interfaz estará gobernado por tres parámetros: E, ν y Etrac , los dos primeros para la situación en compresión y el tercero para los esfuerzos de tracción. Para determinar cuando la interfaz se encuentra en compresión o en tracción, se ha implementado un sistema de “etiquetas” o “flag” que identifican el estado en el cual se encuentra la interfaz en cada paso de cálculo. Dichos estados pueden ser: en compresión, en transición de compresión a tracción, en tracción o en transición de tracción a compresión. El estado de la interfaz, y por tanto la correspondiente “etiqueta” asignada, se controla con el signo alcanzado por las deformaciones normales en el interfaz (control en deformaciones), bien sean negativas (contacto) o positivas (separación). La transición entre un estado de compresión a uno de tracción, y vicervesa, tiene lugar cuando se produce un cambio de signo en las deformaciones normales respecto al estado anterior (estado en compresión o estado en tracción). Un procedimiento análogo de control de las tracciones en la interfaz ha sido empleado también en otras investigaciones como las desarrolladas por Ng et al [48] o Cuéllar [176]. Por otra parte, también se ha implementado un segundo mecanismo de control (control en tensiones), que complementa al anterior, encargado de detectar si la “etiqueta” asignada después de cada paso de cálculo resulta coherente con el signo que 24 En los elementos de interfaz G 6= E . 2(1+ν) Además, cuando ν = 0 el término C2 se anula y C1 = E. 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 177 Tabla 3.8 – Comportamiento del elemento de interfaz para diferentes estados. 0 1 Estado Interfaz Modulo de Elasticidad Compresión Compr. - Tracc. Modulo Cortante G (modelo) Etiqueta E | e−|ǫn | ǫn > 0: E = Etrac ǫn < 0: E = E 1 − e−|ǫn Gtrac 2 3 Tracción Tracc. - Compr. Etrac E = E e−|ǫn | Gtrac G (modelo) presentan las tensiones normales en la interfaz, en caso de no verificarse dicha coherencia se modifica convenientemente el valor de “etiqueta”. Esta opción resulta de especial interés cuando se producen las transiciones entre tracciones y compresiones. Los estados de compresión o tracción y la transición entre ellos, representan los modos de deformación de la interfaz de “Contacto”, “Separación” y “Re-contacto” enumerados al principio de la sección 3.8. Finalmente, como destacan Ng et al [48] la transición entre los modos de “contacto” a “separación” podrı́a involucrar una reducción gradual de la rigidez normal de la interfaz, sin embargo en la mayorı́a de los modelos numéricos la transición entre ambos modos se produce de forma inmediata, tan pronto como se produce un cambio en el signo de las tensiones normales o de las deformaciones normales en la interfaz. Atendiendo a la observación realizada por Ng et al [48], en esta tesis doctoral se han adoptado diferentes leyes para el modulo de elasticidad (E) que permiten una transición del mismo cuando se produce un cambio en el modo de deformación de la interfaz. Estas leyes, recogidas en la tabla 3.8, se han definido en función del valor de la deformación normal en la interfaz (ǫn ) y son de tipo exponencial para que el cambio en el valor del modulo de elasticidad, aunque gradual, sea rápido. También dependen del valor de E cuando la transición es de tracción a compresión, y de Etrac cuando es de compresión a tracción25 . Una formulación análoga, aunque diferente a la propuesta para esta tesis doctoral, también fue empleada por Cuéllar [176]. Comportamiento Cortante A través del comportamiento a cortante se reproduce el modo de deformación de la interfaz definido como “Deslizamiento”, el cuál es el encargado del desplazamiento relativo entre los materiales que definen el contacto, lo que resulta fundamental en la modelización de problemas con estructuras de contención. El comportamiento a cortante de la interfaz se define a través del valor asignado a G, ecuación 3.126, distinguiendo dos posibles situaciones en función de las tensiones normales de la interfaz, tabla 3.8. Por una parte, cuando la interfaz se encuentra sometida a tracciones o se esta produciendo un cambio de compresión a tracción, se asigna un valor pequeño al módulo de rigidez a cortante (Gtrac ). Por el contrario, cuando la interfaz se encuentra en compresión o se produce un cambio de tracción a compresión, el valor de G se puede definir según diferentes leyes constitutivas. Los modelos constitutivos que se han im25 Las leyes propuestas se han obtenido después de diferentes tanteos, seleccionando aquellas que proporcionaban los valores residuales de tracciones más bajos. 178 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO plementado en GHM en el marco de esta tesis doctoral para el comportamiento a cortante (bajo condición de compresión) de los elementos de interfaz son: a) Elástico lineal: este modelo define el comportamiento cortante de la interfaz a través de un único parámetro, G, de valor constante26 . b) Elástico lineal con un criterio Mohr-Coulomb: este modelo esta definido por un valor constante de G que define un comportamiento elástico, mientras que se mantiene dentro de la superficie de fluencia, hasta que se alcanza un valor de tensión tangencial limite (τlim ) establecido por un criterio Mohr-Coulomb. En la aplicación del modelo Mohr-Coulomb se puede emplear tanto una regla de flujo asociado como no asociado que permita tener en cuenta la dilatancia del material [131]. Cuando se alcanza τlim el valor de G se hace muy pequeño produciéndose entonces un deslizamiento ilimitado entre los materiales que definen la interfaz. En este modelo intervienen un total de tres parámetros si es asociado o de cuatro si es no asociado. Dichos parámetros son el modulo de elasticidad transversal G, la cohesión en la interfaz ca , el rozamiento en la interfaz δ y el ángulo de dilatancia ψ. La definición clásica del modelo Mohr-Coulomb es la relación mas empleada para el tratamiento numérico de la interfaz en la mayorı́a de los modelos numéricos desarrollados para estructuras de contención (sección 3.8.3). c) Elástico hiperbólico: este modelo constitutivo fue empleado inicialmente por Clough y Duncan [130] para la modelización de problemas estáticos de estructuras de contención, tanto para el relleno como para la interfaz de contacto, mientras que investigaciones posteriores como la desarrollada por Green y Ebeling lo emplearon también para la interfaz en problemas de estructuras de contención flexibles con carga sı́smica y relleno seco. En la definición del módulo G según un modelo hiperbólico intervienen un total de cinco parámetros y se obtiene, por unidad de longitud (t) del elemento de interfaz, según la expresión 3.127. Ksi }| { 2 Rf · τ σn nf 1− G = KI γw pa ca + σn tan(δ) z (3.127) Ksi representa la rigidez a cortante inicial del material, KI es un número adimensional de rigidez a cortante, nf es un exponente adimensional, Rf es el ratio de fallo, ca es la cohesión en la interfaz, δ es el rozamiento en la interfaz, γw es el peso del agua y pa es la presión atmosférica expresada en las mismas unidades que σn . En el trabajo desarrollado por Gomez, Filz y Ebeling [50], ası́ como en el trabajo original de Clough y Duncan [130] o en el trabajo de Zong-Ze et al [235] se pueden encontrar distintos rangos de valores para los parámetros que intervienen en este modelo según diferentes materiales. Elección del espesor del elemento La elección del espesor del elemento de interfaz puede afectar al resultado numérico obtenido, ya que si el espesor t del elemento es muy grande respecto a su longitud L, el elemento de interfaz se comportará como un elemento finito convencional, pero si es 26 El valor de G puede ser independiente de los valores E y ν asignados al comportamiento normal. 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 179 demasiado pequeño pueden aparecer dificultades de tipo numérico. Desai et al [47] realizaron un estudio paramétrico sobre la influencia del espesor del elemento en la modelización de un ensayo de corte directo entre dos bloques, arena-hormigón, bajo diferentes tensiones normales, y cuyos resultandos compararon con valores experimentales. De este estudio concluyeron que una simulación satisfactoria del comportamiento de la interfaz se podrı́a obtener para un ratio de forma Lt = 0,01 − 0,1. Investigaciones posteriores como [235, 211, 216] también prestan especial interés al ratio de forma del elemento de interfaz, adoptando un ratio Lt = 0,1 como valor adecuado en la mayorı́a de los casos. 3.8.4. Ejemplos de validación: Interfaz de contacto suelo-estructura 3.8.4.1. Ejemplo bidimensional con interfaz elástica En este ejemplo se reproduce el resultado obtenido por Desai et al (1984) [47] para la validación del elemento de interfaz adoptado. Este ejemplo bidimensional muestra el desplazamiento relativo entre los extremos superiores de dos bloques elásticos conectados por una interfaz también elástica. El esquema de este problema se presenta en la figura 3.29 y los datos de los materiales en la tabla 3.9, los cuales se expresan en unidades del SI y en unidades anglosajonas para poder comparar con la solución original ofrecida por Desai et al [47]. Como se puede observar a partir de las propiedades de la interfaz, el comportamiento normal y tangencial están desacoplados puesto que el valor de modulo de elasticidad transversal empleado no se corresponde con el que se obtendrı́a de los valores de E y ν. En la figura 3.30 se presenta tanto la solución obtenida por Desai et al [47] como la obtenida con el código GHM. En ambos se analiza la respuesta de un caso donde se emplea una interfaz de contacto frente al caso donde dicha interfaz no se considera, comprobando que el código GHM reproduce los resultados de Desai et al [47]. En ambas figuras se representa el desplazamiento vertical que presenta el borde superior de los bloques (puntos A y B de la figura 3.29) cuando se cargan. En dichas figuras se puede observar como el elemento de interfaz dispuesto permite el desplazamiento relativo entre ambos bloques mientras que esto no se produce para el caso sin interfaz. Figura 3.29 – Esquema del ejemplo bidimensional con interfaz elástica desarrollado por Desai et al [47]. 180 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO Tabla 3.9 – Datos del ejemplo bidimensional con interfaz elástica desarrollado por Desai et al [47] Suelo E = 10000 psi E = 69 · 106 Pa ν = 0,3 ν = 0,3 Interfaz E = 1000 psi E = 6,9 · 106 Pa ν = 0,3 ν = 0,3 G = 20 psi G = 138 · 103 Pa t = 0,1 inch t = 2,54 · 10−3 m 0 Con Interface Desplazamiento (inches) Sin Interface −0.5 −1 −1.5 −2 −5 (a) Solución original de Desai et al [47] 0 5 10 15 Distancia Horizontal (inches) 20 (b) Solución obtenida con GHM Figura 3.30 – Desplazamiento vertical del borde superior en el ejemplo bidimensional con y sin interfaz, destacando el desplazamiento relativo entre los puntos A y B. 3.8.4.2. Ejemplo bidimensional sin tracciones en la interfaz En este ejemplo se comprueba la corrección introducida en la modelización de la interfaz implementada en GHM para el evitar que se transmitan tracciones cuando se produce una apertura o despegue en ella. Este ejemplo esta formado por un bloque de material elástico unido a un contorno vertical fijo por medio de un conjunto de elementos de interfaz de espesor t = 0,002 m, figura 3.31, el bloque tiene además restringidos los movimientos verticales y horizontales en el borde inferior y se han aplicado condiciones de contorno absorbentes en el borde vertical derecho para evitar la reflexión de las ondas. Las propiedades de los materiales empleados tanto en el bloque como en la interfaz se recogen en la tabla 3.9. En este caso se aplicará una aceleración horizontal (sismo) definida por un pulso sinusoidal de amplitud 2,4 m/s2 , periodo natural Tn = 0,667 seg. (fn = 1,5 Hz) y duración total de 1seg., como muestra la figura 3.32. En la figura 3.33 se muestran las tensiones normales registradas para dos puntos situados en la interfaz, el punto superior y el punto medio. En esta figura se pueden comparar las tensiones normales obtenidas en ambos puntos para el caso de una interfaz donde no se transmiten tracciones con respecto a una interfaz que si las trasmita. En el caso de una interfaz sin tracciones, todas las tensiones normales son negativas (tensiones de compresión) mientras que toman un valor próximo a cero cuando la aceleración horizontal cambia de sentido y en la interfaz se producirı́a una apertura o separación. Por el contrario, cuando 25 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 181 Figura 3.31 – Esquema del ejemplo bidimensional sin tracciones en la interfaz. 2.5 2 1.5 a (m/s2) 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Tiempo (seg.) 0.7 0.8 0.9 1 Figura 3.32 – Solicitación sinusoidal aplicada para el ejemplo bidimensional con y sin tracciones en la interfaz. la interfaz puede soportar tracciones, las tensiones normales pasan de un valor negativo (compresión) a un valor positivo (tracción) cuando cambia de sentido el sismo. Por lo tanto, con la modelización de la interfaz introducida en GHM se puede controlar si se admiten tracciones o no en el elemento de interfaz cuando se produzca un estado de apertura o separación en la propia interfaz. 3.8.4.3. Bloque elástico con interfaz no elástica sometida a cortante En este ejemplo se contrasta la solución numérica obtenida con el código GHM y las modificaciones introducidas para la interfaz, respecto a la solución analı́tica propuesta por Hird y Russell [49] para un bloque elástico de gran longitud (L) y altura (H), unido por uno de sus lados a un material rı́gido con elementos de interfaz y manteniendo el otro borde libre. Sobre uno de los extremos se aplica una carga de compresión p mientras que el otro extremo permanece fijo. Para la geometrı́a de este ejemplo se ha empleado un bloque de longitud 10 m y altura 1 m (L/H = 10), de forma análoga al trabajo original de Hird y Russell [49]. En la figura 3.34 se muestra la geometrı́a y la discretización en elementos finitos empleada. El bloque está compuesto por un material elástico mientras que la interfaz presenta un comporta- CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 1000 1000 800 800 600 600 400 400 σxx (N/m ) 200 2 2 σxx (N/m ) 182 0 −200 −400 0 −200 −400 Punto Superior: Interfaz sin tracción Punto Medio: Interfaz sin tracción −600 −800 −1000 0 200 0.2 0.4 0.6 Tiempo (seg.) 0.8 Punto Superior: Interfaz con tracción Punto Medio: Interfaz con tracción −600 −800 −1000 0 1 0.2 (a) Interfaz sin tracción 0.4 0.6 Tiempo (seg.) 0.8 (b) Interfaz con tracción Figura 3.33 – Ejemplo bidimensional con y sin tracciones en la interfaz cuando se somete a una carga senoidal. Tabla 3.10 – Datos de los materiales empleados para el caso de bloque elástico con interfaz no elástica bajo cortante (L = 10m, H = 1m y t = 0,01m) E = 300 Pa Bloque elástico E = 1 · 105 Pa ν=0 Bloque Interfaz ν = 0,495 G = 100 Pa G = 5 · 104 Pa c = 30 Pa φ=0 miento a cortante gobernado por una ley elástica más un criterio de Mohr-Coulomb para el comportamiento a cortante. Las propiedades de los materiales empleados se muestran en la tabla 3.10. La solicitación aplicada sobre el bloque elástico consiste en una sobrecarga uniformemente distribuida p, que actúa como cortante sobre la interfaz, de magnitud 400P a. La solución analı́tica propuesta por Hird y Russell [49] permite obtener el desplazamiento relativo (w) entre el material rı́gido y el bloque elástico, ecuación 3.128, ası́ como las tensiones tangenciales que se desarrollan entre ambos, ecuación 3.132. w = C1 eαx + C2 e−αx (3.128) donde x representa el punto longitudinal del bloque mientras que α es una constante que depende de las propiedades de los materiales y se define como muestra expresión 3.129, donde Ks es la rigidez a cortante de la interfaz, E y ν son el modulo de Young y el coeficiente de Poisson, respectivamente, del bloque elástico y H es la altura del bloque. α= s ks (1 − ν − 2ν 2 ) EH(1 − ν) (3.129) En la expresión 3.128, C1 y C2 son dos constantes que se obtienen a partir de las condiciones de contorno y que se definen como: C1 = −C2 = (eαx1 w1 − e−αx1 ) (3.130) donde w1 (w1 = τmax /ks ) es la magnitud del desplazamiento relativo que tiene lugar cuando τ ≥ τmax y que se produce para la coordenada x = x1 . Cuando τ ≥ τmax se abandona el comportamiento elástico a cortante para entrar en un rango plástico. Para 1 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 183 (a) Geometrı́a y cargas (b) Discretización en elementos finitos Figura 3.34 – Ejemplo de bloque elástico con interfaz no elástica sometida a cortante [49]. obtener el valor correspondiente de x1 , se verifica que la magnitud de la presión p aplicada en el extremo x = L, responsable del inicio del deslizamiento relativo entre bloques se define como: ks w1 (eαx1 + e−αx1 ) + α(L − x1 ) p= αH (eαx1 − e−αx1 ) (3.131) Las tensiones tangenciales que se desarrollan en el contacto entre el bloque elástico y el material rı́gido, es decir en la interfaz, se define según la ecuación 3.132. Esta expresión está definida por dos tramos, aquel donde aún no se ha producido el deslizamiento (0 < x < x1 ) y la parte que desliza (x1 < x < L). τ = ks w 0 < x < x1 τ = τmax = ks w1 x1 < x < L (3.132) Para la solución numérica se ha empleado la discretización espacial mostrada en la figura 3.34, formada por elementos cuadriláteros de 4 nodos y elementos de interfaz con un espesor t = 0,01m, resultando un total de 20 elementos para la interfaz y 20 elementos para el bloque elástico. Se han restringido los desplazamientos verticales y horizontales tanto en el borde inferior (simulando el material rı́gido) como en el contorno izquierdo, mientras que solamente se han coartado los desplazamientos verticales en el borde superior. En el contorno derecho se aplica la sobrecarga p de forma incremental hasta el valor de 400 P a, con un total de 200 incrementos de 2 P a cada uno. Tal y como destacan Ng et al. [48] y Hird y Russell [49], en este caso también ha sido necesario aplicar unos pequeños valores de tensiones normales para garantizar que los elementos de interfaz se mantienen en compresión. En la figura 3.35 se compara la solución numérica obtenida con los elementos de interfaz implementados en GHM frente a la solución analı́tica propuesta por Hird y Russell [49], 184 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 35 30 τ (Pa) 25 20 15 Sol. Analitica − 100 Pa Sol. Numérica−100 Pa Sol. Analitica − 200 Pa Sol. Numérica−200 Pa Sol. Analitica − 300 Pa Sol. Numérica−300 Pa Sol. Analitica − 400 Pa Sol. Numérica−400 Pa 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Distancia (m) Figura 3.35 – Distribución de tensiones tangenciales en la interfaz para un bloque elástico con interfaz no elástica. Solución numérica (GHM) frente a la solución analı́tica de Hird y Russell [49]. para diferentes instantes de carga: 100-200-300-400 P a. Puesto que el material empleado es puramente cohesivo (φ = 0, c = 30 P a) es fácil comprobar que la tensión tangencial máxima (τmax ) se alcanza para el valor τmax = 30P a. Asi, a medida que aumenta el valor de la carga p aplicada se va produciendo un avance, desde x = L hacia x = 0, en el deslizamiento relativo que se desarrolla en la interfaz definido a medida que τ alcanza el valor máximo. Como se observa de la figura 3.35, se obtiene un buen ajuste entre la solución numérica obtenida con el código GHM frente a la analı́tica. 3.8.4.4. Ensayos de corte en una interfaz suelo-hormigón para el ajuste de un modelo elástico hiperbólico En este ejemplo se reproducen los ensayos de interfaz desarrollados por Gomez, Filz y Ebeling [50]. Estos ensayos se ejecutaron en un equipo de corte directo de grandes dimensiones (Large Direct Shear Box) de 711 x 406 mm que permitı́a un desplazamiento máximo de 305 mm. En una de la mitades de la caja de corte se colocó una probeta de hormigón mientras que en la otra mitad se colocó una probeta de suelo arenoso (ca = 0), sobre ambos se aplicó una tensión normal de compresión y un desplazamiento tangencial. La descripción completa de los ensayos realizados se encuentra recogida en la referencia [50]. De estos ensayos se obtuvieron diferentes curvas que representan la evolución de la tensión tangencial en la interfaz (τ ) frente al desplazamiento en la interfaz (∆d), para diferentes valores de tensión normal (σn ) y tres tipos de interfaces definidas por tres tipos distintos de suelo. Con los resultados obtenidos de dichos ensayos, los autores definieron el comportamiento de la interfaz por medio de un modelo elástico hiperbólico, ajustando los distintos parámetros que intervienen en el mismo a partir de los resultados de dichos en- 3.8. INTERFAZ DE CONTACTO SUELO-ESTRUCTURA 185 Tabla 3.11 – Parámetros propuestos por Gomez, Filz y Ebeling [50] para el ajuste del comportamiento de diferentes interfaces suelo-hormigón por medio de un modelo elástico hiperbólico Interfaz arena densa-hormigón Interfaz arena de densidad media-hormigón Interfaz arena Light Castle-hormigón KI Rf n δ 26625 21850 20700 0.846 0.88 0.79 0.83 0.81 0.79 31o 29.3o 33.7o Figura 3.36 – Esquema del modelo numérico para reproducir los ensayos de corte de una interfaz suelohormigón desarrollados por Gomez, Filz y Ebeling [50]. sayos. Los valores propuestos por Gomez, Filz y Ebeling [50] para los distintos parámetros del modelo hiperbólico según los tres tipos de interfaces analizadas se muestran en la tabla 3.11, el procedimiento seguido por los autores para el ajuste de los mismos se recoge en la referencia [50]. Para reproducir numéricamente los resultados de los ensayos de interfaz se ha adoptado la geometrı́a de la figura 3.36. Esta formada por un bloque superior de hormigón de 711 mm de longitud y 100 mm de espesor, unido inferiormente a un bloque de interfaz de igual longitud y espesor t=10 mm. El bloque de hormigón se modeliza como un material elástico de propiedades: E = 1 · 1012 N/m2 y ν = 0,1 mientras que para el bloque de interfaz se adopta un modelo hiperbólico para el comportamiento a cortante con las propiedades recogidas en la tabla 3.11, un modulo de elasticidad E = 1·109 N/m2 y ν = 0,1 para el comportamiento normal. En el borde inferior se coartan tanto los desplazamientos horizontales como verticales y sobre el borde derecho del bloque de hormigón se aplica de forma incremental un desplazamiento horizontal hasta un valor máximo de 2,5 mm. Además, sobre el borde superior se aplica una tensión normal de compresión σn constante, de magnitud variable según el tipo de ensayo a reproducir. En el modelo numérico se han empleado cuarenta elementos de 4 nodos para el bloque de hormigón y veinte para el bloque de interfaz. El desplazamiento impuesto se ha aplicado de forma incremental en 200 incrementos de 0,0125 mm cada uno. En la figura 3.37 se muestran las curvas τ -∆d de la interfaz obtenidas de la modelización en GHM de los ensayos de corte considerando un modelo hiperbólico. Estos resultados se comparan con los resultados experimentales obtenidos por Gomez, Filz y Ebeling [50] para los tres tipos de interfaz analizadas. De la comparación entre los resultados numéricos y experimentales (figura 3.37) se observa que por una parte, un modelo hiperbólico puede reproducir satisfactoriamente el comportamiento de la interfaz suelo-hormigón cuando esta es sometida a un desplazamiento tangencial y por otra, el modelo hiperbólico implementado en GHM para los elementos de interfaz en esta tesis doctoral funciona correctamente. 186 CAPÍTULO 3. MODELO NUMÉRICO 200 180 160 σ =274 kPa n 140 τ (kPa) 120 100 80 σ =102 kPa n 60 40 σ =33 kPa σn=15 kPa n 20 0 0 (a) Interfaz arena densa-hormigón: Experimental 0.5 1 ∆d (mm) 1.5 2 2.5 (b) Interfaz arena densa-hormigón: Numérico 200 180 160 140 σ =276 kPa n τ (kPa) 120 100 80 σn=104 kPa 60 40 σ =35 kPa n 20 0 0 (c) Interfaz arena densidad media-hormigón: Experimental 0.5 1 ∆d (mm) 1.5 2 2.5 (d) Interfaz arena densidad media-hormigón: Numérico 200 180 160 σn=276 kPa 140 τ (kPa) 120 100 80 σ =104 kPa n 60 40 σ =35 kPa σ =15 kPa n n 20 0 0 (e) Interfaz arena Light Castle-hormigón: Experimental 0.5 1 ∆d (mm) 1.5 2 (f) Interfaz arena Light Castle-hormigón: Numérico Figura 3.37 – Resultados experimentales (izquierda) obtenidos por Gomez, Filz y Ebeling [50] en los ensayos de corte sobre diferentes interfaces suelo-hormigón, frente a los resultados numéricos (derecha) obtenidos del modelo hiperbólico implementado para los elementos de interfaz en GHM. 2.5 Capı́tulo 4 Análisis numérico de una estructura de contención rı́gida bajo solicitaciones dinámicas 4.1. Introducción En este capitulo se presenta el análisis numérico desarrollado para una estructura de contención rı́gida sometida a una carga dinámica, y apoyado en la descripción del modelo numérico realizada en el capitulo 3 de esta tesis doctoral. Para dicho análisis se han considerado dos situaciones extremas, un caso de suelo seco y otro de saturado, para el cual se ha situado el nivel freático en la coronación del trasdós y en el pie del intradós del muro. En ambos casos la geometrı́a, materiales, discretización del dominio, condiciones de contorno y solicitaciones se mantienen iguales. Se presenta en primer lugar una descripción de todas las caracterı́sticas que definen ambos casos tipo. A continuación se detallan todas las etapas de cálculo seguidas en el modelo hasta alcanzar la etapa de cálculo dinámica, y en segundo lugar, la discusión de los resultados obtenidos de la respuesta dinámica del muro en cada uno de los casos, seco y saturado, considerados. En la discusión de estos resultados se presta especial atención tanto a los desplazamientos y asientos experimentados por diferentes puntos del modelo, como a las presiones (magnitud y distribución) y a las resultantes ejercidas sobre el trasdós del muro, en particular a los empujes horizontales y a los correspondientes puntos de aplicación de sus resultantes, entre otros. Como referencia, tanto para la respuesta estática como dinámica, se han incluido las soluciones obtenidas por dos de los métodos de cálculo simplificados más utilizados (capitulo 2), el método de Coulomb (situación estática) y el método de Mononobe-Okabe (M-O, situación dinámica) para las leyes de presiones horizontales sobre el muro, y el método de Westergaard para las leyes de presión de agua en el caso saturado. En la tercera parte del capı́tulo, se realiza un estudio paramétrico sobre la influencia que varios aspectos meramente numéricos o de modelización pueden tener sobre la solución obtenida para los dos casos tipo analizados, en desplazamientos pero especialmente en 187 188 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... presiones y resultantes de esfuerzos sobre el trasdós del muro. Con este estudio se pretende tener un criterio, o al menos un conocimiento más exhaustivo, a la hora de adoptar diferentes algoritmos o considerar diferentes valores en el modelo numérico que se desarrolla. Dentro de este estudio paramétrico se analizan: - La influencia o necesidad de la utilización de contornos absorbentes - La influencia del estado tensional inicial del modelo a través del empleo o no del coeficiente de empuje de tierras (K0 ) - La influencia del algoritmo de integración temporal - La influencia de las caracterı́sticas de la interface de contacto entre el muro y el relleno En la cuarta parte del capı́tulo, se desarrollan diferentes simulaciones numéricas para la estructura de contención anterior, tanto con relleno seco como saturado, sometida a varios registros sı́smicos reales con diferentes caracterı́sticas. Las soluciones obtenidas del modelo numérico se comparan con las obtenidas por diferentes métodos simplificados de cálculo. 4.2. Descripción del caso tipo: Relleno Seco y Saturado En este apartado se presenta el análisis numérico realizado sobre un caso tipo que representa una estructura de contención rı́gida de dimensiones estándar sometida a una solicitación sı́smica, en dos situaciones, caso seco, cuando retiene un relleno granular completamente seco, y caso saturado, cuando el relleno esta saturado de agua hasta la superficie del terreno, mientras que el resto de caracterı́sticas comunes se mantienen iguales para ambos casos. Geometrı́a y malla Se ha analizado una estructura de contención por el método de los elementos finitos bajo condiciones de deformación plana y en la situación de empuje activo. Esta estructura consiste en un muro rı́gido de hormigón de sección rectangular de 8 m de altura y 5.5 m de base, que retiene un relleno granular homogéneo y horizontal que se apoya sobre un estrato base uniforme de 4 m de espesor, apoyado a su vez en un estrato indeformable. En el modelo numérico se ha considerado una extensión del terreno de 32 m de longitud de relleno en el trasdós del muro (4 veces la altura del muro) y una longitud de 22.5 m en el intradós del muro (2.8 veces la altura del muro), tal como se muestra en la figura 4.1, y similar al considerado por Madabhushi y Zeng [40]. Para la discretización del relleno y del material del estrato base se han empleado elementos isoparamétricos triangulares de 3 nodos (T3) y elementos rectangulares de 4 nodos (Q4) para el muro. En los contactos entre el muro y el relleno del trasdós y entre el muro y la base se han dispuesto los elementos de interface desarrollados en esta tesis doctoral (sección 3.8.3), de tipo rectangular, formados por 4 nodos y de 0.2 m de espesor. La malla 4.2. DESCRIPCIÓN DEL CASO TIPO: RELLENO SECO Y SATURADO 189 (a) Etapa de cálculo estática (b) Etapa de cálculo dinámica Figura 4.1 – Geometrı́a, malla, tipo de elementos, condiciones de contorno para los desplazamientos (caso seco y saturado) tanto en la etapa de cálculo estática (contornos fijos) como dinámica (contornos absorbentes), condiciones de contorno para la presión de poro (caso saturado) e identificación de los puntos de referencia en el análisis dinámico. 190 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... resultante se muestra en la figura 4.1, está formada por 1223 nodos y por 2098 elementos, de los cuales 1912 son triangulares y 186 son cuadrangulares. Condiciones de contorno Como se detallará posteriormente, para el cálculo de la respuesta del muro ante una solicitación dinámica es necesario determinar el estado tensional inicial del modelo a partir de un cálculo estático; por ello, las condiciones de contorno que se adoptan para uno y otro análisis son ligeramente diferentes. Para este problema tipo, en el análisis estático se han empleado condiciones de contorno fijas para los desplazamientos, tanto en el caso seco como en el saturado, imponiendo desplazamientos horizontales y verticales nulos en todos los nodos del contorno inferior del modelo y se han restringido los desplazamientos horizontales en los bordes laterales permitiendo los desplazamientos verticales, tal como se muestra en la figura 4.1. En cuanto a la condiciones de contorno para la presión de poro en el caso saturado, se ha impuesto presión de poro nula en la superficie del terreno tanto del trasdós como del intradós del muro (borde drenante) y contornos impermeables tanto en el borde inferior como en los laterales. Para la etapa de análisis dinámico se han mantenido las condiciones contorno descritas anteriormente, excepto en el borde lateral derecho y en el borde lateral izquierdo del modelo donde se han adoptado las condiciones de contorno absorbentes desarrolladas en esta tesis doctoral (sección 3.7.3), que permiten simular la propagación de las ondas fuera del dominio de cálculo, tanto en el caso seco como saturado. En la figura 4.1 se muestra la representación esquemática de todas las condiciones de contorno descritas. Modelos constitutivos de los materiales Los modelos constitutivos adoptados tanto para el muro como para el material del estrato base son elásticos lineales, y sus propiedades se recogen en la tabla 4.1. Para el material granular del relleno en el trasdós se ha empleado el modelo constitutivo de Pastor-Zienkiewicz para arenas, el cual ha sido ampliamente utilizado en problemas de tipo dinámico (ver capitulo 2.5.) Para este caso tipo, se han adoptado los parámetros reportados por Madabhushi y Zeng [40], que provienen a su vez de ensayos en laboratorio desarrollados por Earth Technology Corporation, correspondientes a la arena de NevadaDR = 40 %. Los valores de los parámetros empleados se detallan en la tabla 4.2. Como se desarrollará más adelante, se hace necesario también la determinación del estado tensional inicial del modelo para lo cual se partirá de un análisis estático previo. En dicho análisis estático se adopta un modelo elastoplástico clásico definido por un criterio Mohr-Coulomb para el relleno del muro. Los valores considerados para dicho análisis estático, en particular los parámetros E y ν, son consistentes con el módulo elástico volumétrico (K0e ) y tangencial (Ge0 ) del análisis dinámico, tabla 4.2. El resto de parámetros necesarios para la caracterización del material, utilizados para ambos análisis (estático y dinámico) y para ambos casos (seco y saturado) se enumeran en la tabla 4.3. 4.2. DESCRIPCIÓN DEL CASO TIPO: RELLENO SECO Y SATURADO 191 Tabla 4.1 – Propiedades del modelo constitutivo elástico-lineal considerado para el muro y el estrato base, tanto en el caso seco como saturado. Muro ρ = 2400 kg/m3 Estrato Base: caso seco E = 7e9 P a ν = 0,2 ρd = 1900 kg/m3 E = 1,8e7 P a Amortiguamiento Rayleigh: αR = 0,1 Estrato Base: caso saturado ν = 0,15 βR = 0,1 ρs = 2700 kg/m3 ρf = 1000 kg/m3 Amortiguamiento Rayleigh: ν = 0,15 k = 5,6 · 10−5 m/s βR = 0,1 E = 1,8e7 P a Kf = 1 · 109 P a αR = 0,1 Por otra parte, para los elementos de interface se han adoptado los elementos desarrollados en la sección 3.8.3 de este documento. Estos elementos presentan un comportamiento desacoplado entre la componente normal y tangencial, considerando en este caso tipo un modelo elástico lineal para el comportamiento tangencial, el más sencillo de los que se han implementado, y que está gobernado exclusivamente por el parámetro G, mientras que el comportamiento normal esta gobernado por el parámetro E, el cual es independiente del tangencial. Los módulos de elasticidad considerados coinciden con los de los materiales de relleno y base, mientras que los módulos de deformación tangencial resultan ser de uno a dos órdenes de magnitud inferior que los materiales circundantes (sección 3.8.3). Además, estos elementos no soportan tracciones, por lo que anulan o reducen a un valor residual las tensiones normales en tracción y a su vez las tensiones tangenciales cuando se producen dichas tracciones (sección 3.8.3). Los valores adoptados para las interfaces se recogen en la tabla 4.4. Debe notarse que los elementos de interface implementados en GHM permiten considerar diferentes interfaces, con diferentes propiedades, dentro de un mismo modelo. En este caso se han considerado dos interfaces, una correspondiente al contacto muro-relleno en el trasdós (Interface Trasdós) y otra en el contacto muro-base (Interface Base). Solicitaciones Las cargas consideradas para este caso tipo son la acción gravitatoria debida al peso propio de los materiales y una sobrecarga uniformemente distribuida de valor 25 kN/m2 que actúa sobre la superficie del relleno en el trasdós del muro. En cuanto a la carga de origen dinámico (solamente componente horizontal) se ha considerado una solicitación de tipo armónico de frecuencia y amplitud conocidas. Dicha solicitación se inicia con un valor de amplitud nula durante varios segundos, seguida de un tren de ondas senoidales de 0,4 Hz de frecuencia (w = 5π rad/s, T = 2,5 s), amplitud 1 m/s2 , discretizada con un paso de tiempo h = 0,01 s y duración total de 10 s (figura 4.2), que permitirá desarrollar tanto la respuesta transitoria como estacionaria del problema ante la vibración forzada impuesta de tipo armónico. Por otra parte, la frecuencia propia de vibración del conjunto muro-relleno, calculada a partir de la respuesta elástica en vibración libre tras la aplicación de un impulso 192 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... Tabla 4.2 – Propiedades del modelo constitutivo considerado para el relleno del muro: modelo elastoplástico con un criterio Mohr-Coulomb para el análisis estático y modelo Pastor-Zienkiewicz para arenas en el análisis dinámico [40, 56]. Análisis Estático: Modelo Mohr-Coulomb Módulo de Elasticidad: E (P a) Coeficiente de Poisson: ν Cohesión: c (P a) Ángulo de rozamiento interno(*): φ (o ) Dilatancia: ψ (o ) 2,31e6 0,2 25e3 43o 43o (*Obtenido a partir del coeficiente Mf ) Análisis Dinámico: Modelo Pastor-Zienkiewicz para arenas Módulo elástico volumétrico: K0e (P a) Módulo elástico tangencial: Ge0 (P a) Pendiente de la recta de estado crı́tico (CSL): Mg Pendiente del diagrama de dilatancia frente a η: αg Función de la densidad relativa y la pendiente de CSL: Mf Parámetro del modelo: αf Parámetro asociado al módulo plástico en carga: H0 (P a) Parámetro del modelo: β0 Parámetro del modelo: β1 Parámetro del modelo: γ Parámetro asociado al módulo plástico en descarga: HU 0 (P a) Parámetro del modelo: γU 1,28e6 9,63e5 1,26 0,45 0,94 0,45 700e3 4,2 4,2 2 6000e3 2 Tabla 4.3 – Propiedades del material de relleno en el trasdós del muro, para el caso seco y saturado [40]. Caso Seco ρd = 1497,4 kg/m3 Amortiguamiento Rayleigh: Caso Saturado e = 0,79 αR = 0,0 βR = 0,0 ρs = 2678,6 kg/m3 ρf = 1000 kg/m3 Amortiguamiento Rayleigh: e = 0,764 Kf = 1 · 109 P a αR = 0,0 ρ = 1951,6 kg/m3 k = 5,6 · 10−5 m/s βR = 0,0 Tabla 4.4 – Propiedades del modelo constitutivo considerado para las interfaces de contacto Muro-Relleno (Interface Trasdós) y Muro-Base (Interface Base). Parámetros (N/m2 ) Módulo de elasticidad: E Módulo de rigidez transversal: G (N/m2 ) Módulos en tracción: E y G (N/m2 ) Interface Trasdós Interface Base 2,31e6 9e3 1e − 7 1,8e7 9e5 1e − 7 (*El comportamiento normal y tangencial están desacoplados) 4.3. ETAPAS DE CÁLCULO 193 1.5 amplitud (m/s2) 1 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 0 2 4 t (s) 6 8 10 Figura 4.2 – Solicitación dinámica considerada de tipo armónico (T = 2,5 s; amax = 1 m/s2 ). triangular, se sitúa en 0,77 Hz para el caso seco y en 0,61 Hz para el caso saturado, por lo que no se inducen fenómenos de resonancia entre la frecuencia de la solicitación aplicada y la frecuencia propia del sistema en cada uno de los casos considerados. Asimismo, el caso saturado se identifica como un sistema más flexible frente al caso seco, al poseer una frecuencia propia menor, lo cual se puede atribuir a la presencia del agua. 4.3. Etapas de cálculo En este capı́tulo se describe el análisis del comportamiento dinámico del muro, tanto en el caso seco como en el saturado, para lo que se hace necesario determinar el estado tensional estático previo del modelo, es decir, establecer las condiciones iniciales. Para ello, el análisis completo del modelo engloba un total de tres etapas de cálculo, que son las siguientes: 1. Cálculo estático del estado tensional del estrato base 2. Cálculo estático del estado tensional del relleno 3. Cálculo dinámico de la respuesta del muro 4.3.1. Cálculo estático del estado tensional del estrato base En primer lugar, se determina el estado tensional del estrato base donde se apoyará, posteriormente, tanto el muro como el relleno. Al realizar los cálculos por etapas independientes, se pueden obtener las tensiones geoestáticas del emplazamiento y, a su vez, permite omitir del análisis las deformaciones sufridas por el estrato base debidas a su propio peso, las cuales carecen de sentido fı́sico. En esta etapa, se incluye en el modelo únicamente el estrato base sometido a la acción de la gravedad, que se modela como un material elástico lineal cuyas propiedades se indican en la tabla 4.1. El campo de tensiones resultante, y las leyes de presión de poro obtenidas para el caso saturado, se reservan como condición inicial para la segunda etapa de cálculo. 194 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 4.3.2. Cálculo estático del estado tensional del relleno En esta segunda etapa de cálculo se incluye en el modelo anterior (estrato base) el muro, el relleno del trasdós y los elementos en ambas interfaces de contacto. El muro se considera como un material elástico-lineal (tabla 4.1), mientras que, el material del relleno se modela como un material elastoplástico con un criterio Mohr-Coulomb, cuyas propiedades se recogen en la tabla 4.2. Las solicitaciones que intervienen son la acción de la gravedad junto con una sobrecarga uniformemente distribuida de valor 25 kN/m2 aplicada en la superficie del relleno. Las cargas se aplican de forma progresiva en diez escalones de carga. Tras la finalización de esta etapa se obtiene el estado tensional y deformacional asociado a un cálculo estático del problema. En las figuras 4.3 y 4.4 se muestran los resultados obtenidos en el análisis estático para los casos seco y saturado, respectivamente. En ambos casos, se puede observar que el muro presenta una rotación hacia el exterior respecto a la base junto con una traslación, desarrollándose ası́ la condición de empuje activo sobre el muro. Mientras que en el caso seco, todos los puntos del dominio se mantienen dentro del rango elástico, no ocurre ası́ con el caso saturado donde aparecen plastificaciones en las proximidades al talón del muro. También se puede observar como los elementos de interface implementados permiten simular correctamente el desplazamiento relativo entre el muro y el relleno y entre el muro y la base de apoyo, tanto en el caso seco como saturado. En la figura 4.5(a) se muestran, para el caso seco, las leyes de tensiones verticales, horizontales y esfuerzos tangenciales sobre el trasdós del muro resultantes del análisis estático, mientras que en la figura 4.5(b) se muestra la evolución del coeficiente de empuje de tierras1 K∗ con la profundidad, el cual establece el ratio entre las tensiones horizontales y las verticales: K∗ = σh /σv . Los resultados análogos para el caso saturado se muestran en las figuras 4.6(a) y 4.6(b), respectivamente. Debido a la amplia tradición existente en el empleo de la teorı́a de Coulomb como método de cálculo de empujes para problemas estáticos, se ha incluido como referencia en las figuras 4.5(a) (caso seco) y 4.6(a) (caso saturado), la ley de presiones horizontales que se obtendrı́a sobre el trasdós del muro empleando la teorı́a de Coulomb2 . En ambos casos, se puede observar como la ley de presiones horizontales sobre el trasdós presenta un marcado carácter no-lineal, muy diferente a la distribución lineal de presiones que se suele asumir para el cálculo del empuje activo sobre el muro en situación estática cuando se emplea la teorı́a de Coulomb o Rankine, aunque en el caso seco se encuentra una mejor aproximación entre los resultados del modelo numérico y la teorı́a de Coulomb que en el caso saturado. Sin embargo, esta distribución no lineal resulta coherente con los resultados obtenidos en otras investigadores como, por ejemplo, el método simplificado propuesto por Wang [24] para el caso estático y movimiento de traslación, figura 2.27(a) y con las leyes de presiones propuestas por el Método de Redistribución de Presio1 Habitualmente este coeficiente recibe la denominación de empuje al reposo y la nomenclatura K0 , lo cual resultarı́a impreciso para este caso al tratarse de un problema de empuje activo, por ello se ha optado por utilizar la nomenclatura K∗ y evitando también confusiones con los conocidos coeficientes de empuje activo Ka de Coulomb o Rankine. 2 Se ha considerado δ = 2/3φ. 4.3. ETAPAS DE CÁLCULO 195 (a) Deformación (factor de amplificación=10) y desplazamientos (m) (b) Tensiones Verticales (Pa) (c) Tensiones Horizontales (Pa) Figura 4.3 – Caso Seco: Resultados obtenidos del análisis estático. 196 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... (a) Deformación (factor de amplificación=10) y desplazamientos (m) (b) Tensiones Verticales (Pa) (c) Tensiones Horizontales (Pa) (d) Presión de Poro (Pa) Figura 4.4 – Caso Saturado: Resultados obtenidos del análisis estático. 4.3. ETAPAS DE CÁLCULO 7 6 H (m) 5 8 σhz 7 σv 6 τ σhz −Coulomb H (m) 8 197 4 5 4 3 3 2 2 1 1 0 −7 −6 −5 −4 −3 −2 Tensión (Pa) −1 (a) Leyes de tensiones 0 1 4 x 10 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 k* 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Evolución del coeficiente K∗ = σh /σv Figura 4.5 – Caso Seco: Leyes de presiones sobre el trasdós del muro (análisis estático) y evolución del coeficiente de empuje de tierras K∗ = σh /σv con la profundidad. nes de Dubrova [26], figura 2.28. A su vez, también se han obtenido resultados similares en modelos numéricos desarrollados para el caso estático y diferentes modos de movimiento del muro, como los reportados por Potts y Fourie [33], figuras 2.39 y 2.40, y por Matsuzawa y Hazarika [36], figura 2.42. En cuanto a la distribución de tensiones tangenciales, figuras 4.5(a) y 4.6(a), éstas son decrecientes con la profundidad, presentando un comportamiento análogo al reportado por Dewoolkar et al. [42]. Además de la variación en la distribución de presiones horizontales sobre el trasdós, se puede comprobar también cómo las resultantes de empuje horizontal sobre el muro obtenidas a través de la teorı́a de Coulomb y del modelo numérico difieren entre sı́, alcanzando para el caso seco una resultante ligeramente superior por la teorı́a de Coulomb Coulomb = 103,5kP a) con respecto al modelo numérico (E N umerico = 86,5kP a), mien(EH H Coulomb = 77kP a) es tras que, para el caso saturado la resultante obtenida de Coulomb (EH N umerico = 156,4kP a). notablemente inferior a la obtenida por el modelo numérico (EH Por otra parte, en las figuras 4.5(b) (caso seco) y 4.6(b) (caso saturado) se puede observar que el valor de empuje de tierras K∗ no es uniforme con la profundidad, mostrando en ambos casos tendencias similares, con un valor máximo de K∗Seco = 0,29 en el caso seco y de K∗Saturado = 0,47 en el caso saturado. En las dos situaciones se verifica como se desarrolla una situación de empuje activo, algo que cabrı́a esperar al tratarse una estructura de contención cuya finalidad es resistir principalmente empujes horizontales, alejándose de un estado de tensiones isótropo (K∗ = 1) ası́ cómo de la condición de empuje activo de Coulomb (KaCoulomb = 0,18), por lo que la estructura de contención se encuentra en una condición de empuje activo intermedia, siendo ésta la situación más frecuente. Es decir, la condición de empuje activo de la que parte el muro depende de la capacidad de éste para moverse, ası́ como del tipo de movimiento que presente (traslación, rotación en base, etc.). Este fenómeno es ampliamente conocido en el cálculo estático de empujes de tierras sobre estructuras [2], pero debido a su complejidad y a la limitación de los métodos simplificados de cálculo (Coulomb o Rankine) se suele reducir a dos situaciones extremas, empuje activo o empuje al reposo. Del mismo modo, otras investigaciones como el Método de Redistribución de Presiones propuesto por Dubrova [26] han tratado de abordar este fenómeno de forma simplificada. CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 H (m) 5 4 8 σhz σv 7 τ Pw 6 σhz −Coulomb H (m) 198 5 4 3 3 2 2 1 1 0 −10 −8 −6 −4 −2 0 Tensión (Pa) 2 4 6 0 0 0.05 0.1 4 x 10 (a) Leyes de tensiones 0.15 0.2 0.25 K* 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 (b) Evolución del coeficiente K∗ = σh /σv Figura 4.6 – Caso Saturado: Leyes de presiones sobre el trasdós del muro (análisis estático) y evolución del coeficiente de empuje de tierras K∗ = σh /σv con la profundidad. 4.3.3. Cálculo dinámico de la respuesta del muro En esta tercera etapa se obtiene la respuesta dinámica del muro ante la solicitación impuesta, que en este caso es la solicitación armónica mostrada en la figura 4.2. Se asume como condición inicial para esta etapa solamente el estado tensional resultante del cálculo estático previo, por lo que no es necesario imponer ningún valor artificial de K∗ . También se sustituyen las condiciones de contorno fijas dispuestas en los bordes laterales del modelo por condiciones de contorno absorbentes, figura 4.1 y, por último se emplea para el material del relleno en el trasdós del muro, el modelo constitutivo de Pastor-Zienkiewicz para arenas con los parámetros mostrados en la tabla 4.2. Para la integración en el domino del tiempo se ha adoptado el algoritmo de la familia de Newmark γ = 1/2 β = 1/4 (denominado como NM-3 a lo largo de este documento), libre de amortiguamiento numérico, con un paso de tiempo igual al empleado en la discretización del acelerograma, h = 0,01 s. Para este caso tipo no se ha incluido ningún valor de amortiguamiento tipo Rayleigh en el relleno y, dado que el algoritmo de integración empleado tampoco introduce amortiguamiento en la solución, solo interviene el amortiguamiento debido exclusivamente al modelo constitutivo considerado para el relleno. En los siguientes apartados, se analizará la respuesta dinámica obtenida del muro a través del modelo numérico descrito, tanto para el caso seco como saturado. 4.4. Discusión de resultados 4.4.1. Respuesta dinámica del muro: Caso Seco Deformada y desplazamiento del muro En la figura 4.7(a) se muestra la deformada de la malla de elementos finitos del modelo tras la aplicación de la carga dinámica armónica de la figura 4.2, destacando que la geometrı́a del modelo al inicio de la etapa dinámica no presenta deformaciones. En dicha figura, se puede observar el efecto de los contornos absorbentes empleados en la simulación, especialmente en el borde lateral derecho, ya que la onda de presión producida por la carga dinámica al alcanzar el contorno es absorbida por éste, reduciendo notablemente la 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 199 (a) Deformada para t = 10 s (factor de amplificación=10) (b) Rotación base para t = 0,4 s (factor=100) (c) Traslación para t = 1,5 s (factor=100) Figura 4.7 – Caso Seco: Deformada del modelo tras la aplicación de la solicitación dinámica y vectores de la resultante de desplazamiento (|u|) para diferentes instantes de tiempo con predominio de diferentes tipos de movimiento del muro. (El tamaño del vector es proporcional a la magnitud del desplazamiento. En la figura (b) se puede identificar la posición del centro de rotación del muro.). reflexión de energı́a hacia el dominio, lo que se traduce en un desplazamiento del contorno en la dirección y sentido de la onda incidente. Dicho desplazamiento se produce en todos los contornos laterales donde se han aplicado condiciones de contorno absorbentes aunque se observan con mayor claridad en el contorno correspondiente al relleno frente a los contornos de la base del estrato debido a las propiedades que presenta cada material. Al igual que en el caso estático, el muro esta sometido a un empuje activo y el movimiento que experimenta resulta de la combinación de una traslación horizontal y una rotación respecto a la base, como se observa en las figuras 4.7(b) y 4.7(c) y, como cabrı́a esperar, se produce mayor asiento superficial en el relleno a medida que nos aproximamos al muro. En la figura 4.8 se muestra el desplazamiento vertical y horizontal que experimenta el vértice del muro situado en la esquina entre la coronación y el paramento de intradós, punto A (22.5, 12) de la figura 4.1. Los desplazamientos horizontales son notablemente superiores a los verticales, lo que pone de manifiesto el predominio del movimiento de traslación frente al de rotación respecto a la base del muro. En dicha figura también se puede observar la formación de la respuesta transitoria de la estructura y la aparición de la respuesta estacionaria debidas a la carga dinámica impuesta (vibración forzada), resultando un valor promedio de los desplazamientos al finalizar la solicitación o desplazamiento permanente de valor ux = 0,022 m y uy = 0,003 m. Por otra parte, también se puede observar que la frecuencia de la oscilación en los desplazamientos de la fase estacionaria, tanto verticales como horizontales, coincide prácticamente con la frecuencia de la solicitación impuesta. 200 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.01 Desplazamiento (m) 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 −0.03 u −0.035 u −0.04 0 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Figura 4.8 – Caso Seco: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y desplazamiento vertical (uy ) del punto A (22.5, 12) situado en la coronación del muro en el paramento de intradós. Finalmente, en la figura 4.46 se analiza el comportamiento de la interface implementada en el código a través del desplazamiento horizontal y vertical que se produce en el contacto entre el trasdós del muro y el relleno (Interface Trasdós) correspondiente a la cota de la superficie del terreno, es decir, entre el punto B (28,12) situado en la cara del muro y el punto C (28.2, 12) situado en la cara del relleno, figura 4.1. El asiento máximo que experimenta el relleno en el trasdós del muro es de 0,019 m. En la figura 4.46 se puede observar como el desplazamiento horizontal de ambas caras del contacto es prácticamente coincidente entre sı́ y, al tratarse de una estructura rı́gida, muy similar al observado para el punto A y representado en la figura 4.1. Por el contrario, el desplazamiento vertical entre ambas caras de la interface es completamente diferente tanto en amplitud como en fase, ya que los desplazamientos verticales sufridos por la interface en el lado del relleno son muy superiores a los que presenta la interface en la cara del trasdós del muro. Esto implica que los elementos de interface pueden modelizar adecuadamente el desplazamiento relativo entre el relleno y la estructura de contención. Un comportamiento similar puede observarse también en el contacto entre la base del muro con el estrato de apoyo (Interface Base); en este caso los desplazamientos verticales entre ambas caras de la interface son muy similares, mientras que la magnitud de los desplazamientos horizontales es diferente. Distribución de presiones y empujes en el trasdós del muro En primer lugar, se analiza en la figura 4.10 la historia temporal de tensiones horizontales y tangenciales en dos puntos representativos del modelo, el punto D (30,10) situado en las proximidades del trasdós del muro a dos metros de éste y a dos metros de la superficie del terreno, y el punto E (28.2, 6) situado sobre el trasdós3 en la parte inferior de éste donde habitualmente las presiones horizontales que debe soportar el muro son mayores, figura 4.1. Al igual que sucedı́a en el caso de los desplazamientos, en las historias de 3 Este punto esta situado en el elemento de interface en la cara en contacto con el relleno. 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 201 0.01 Desplazamiento (m) 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 −0.03 −0.035 −0.04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) u Muro (pto B) x u Relleno (pto C) x u Muro (pto B) y u Relleno (pto C) y Figura 4.9 – Caso Seco: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) observado en la interface entre el trasdós del muro y el relleno, puntos B-Muro (28,12) y C-Relleno (28.2, 12). tensiones, también se observa una parte de respuesta transitoria seguida de una respuesta estacionaria, de frecuencia similar a la de la solicitación. Por otra parte, se observa que las tensiones horizontales son superiores en magnitud a las tangenciales, especialmente en el punto situado sobre el trasdós del muro, a la vez que las amplitudes de las oscilaciones de la respuesta estacionaria también son mayores en el punto situado sobre el trasdós del muro que en el punto situado en el relleno, el cual puede verse afectado por el amortiguamiento propio del material de relleno. Otro aspecto muy importante y que a pesar de su relevancia ha sido poco analizado en la literatura para problemas estáticos y aún menos para problemas dinámicos, es la forma que adquiere la distribución de presiones sobre el trasdós, tanto para las tensiones horizontales como, especialmente, para las tensiones tangenciales, ası́ como su magnitud y el punto de aplicación de la resultante, aspectos fundamentales para el calculo de la estabilidad de una estructura de contención. Por ello, en la figura 4.11(a) se muestra, para diferentes instantes de tiempo, la distribución de presiones horizontales sobre el trasdós debidas al empuje del relleno y se incluye como referencia la ley de presiones obtenida por el método de Mononobe-Okabe4 (M-O, KaM −O = 0,23), mientras que, en la figura 4.11(b) se muestra la distribución de tensiones tangenciales sobre el trasdós del muro. Como se observa en la figura 4.11(a) la distribución de tensiones horizontales es claramente no-lineal con la altura del muro, al igual que sucedı́a en el caso estático (figura 4.5(a)), tendiendo a una distribución de tipo parabólico y aproximándose en algunas cotas y en algunos instantes de tiempo a los valores dados por M-O. Por otra parte, la distribución de tensiones tangenciales, figura 4.11(b), tiende a mantener la distribución bilineal que también se observaba en el caso estático (figura 4.5(a)). A continuación, en la figura 4.12(a) se muestra la historia temporal correspondiente a la resultante de los empujes activos horizontales (Eah ) y verticales (Eav ) sobre el trasdós, 4 Se ha considerado δ = 2/3φ. 202 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 4 0.5 x 10 0 Tension (Pa) −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −3 −3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) σ hz (Pto D) σ hz (Pto E) τ (Pto D) τ (Pto E) Figura 4.10 – Caso Seco: Historia temporal de las tensiones horizontales (σhz ) y tangenciales (τ ) de los puntos D-Relleno (30,10) y punto E-Trasdós (28.2, 6). que se obtiene de la integración de las distribuciones de tensiones para cada instante de tiempo. En dicha figura también se ha incluido como valor de referencia el empuje activo horizontal deducido del método de Mononobe-Okabe. Como se puede ver, la historia temporal de las resultantes también presenta una fase transitoria, tanto en el caso de la componente horizontal como en la vertical, seguida de una respuesta con tendencia a una fase estacionaria. Como ya se observaba en la figura 4.10 el valor de los empujes horizontales en el trasdós del muro son muy superiores a los verticales, a la vez que los horizontales presentan grandes oscilaciones vinculadas a la solicitación armónica impuesta, mientras que los verticales presentan unas pequeñas oscilaciones que hacen que la respuesta tienda a un valor prácticamente uniforme. Por otra parte, el valor del empuje horizontal máximo obtenido N umerico = 9,67·104 N , inferior al calculado por Mononobe-Okabe del modelo numérico es Eah M −O Eah = 13,4 · 104 N . Finalmente, en la figura 4.12(b) se analiza otro de los parámetros de gran interés en la literatura y muy vinculado a la geometrı́a de la distribución de presiones horizontales sobre el trasdós del muro, se corresponde con el punto de aplicación de la resultante Eah . Los valores mostrados en dicha figura están adimensionalizados por la altura del muro y están expresados respecto a la base de éste. En dicha figura, se puede comprobar que la cota de aplicación de Eah oscila entre 0,07H y 0,42H, produciéndose los valores más altos, y por lo tanto los más desfavorables de cara a la estabilidad de la estructura tanto en la fase transitoria como en la estacionaria especialmente, siendo este último valor superior al valor obtenido para M-O. Finalmente, en la figura 4.12(c) se representa el momento desestabilizador debido a Eah respecto a la base, donde para el cálculo de dicho valor intervienen los dos parámetros analizados anteriormente, la resultante de las presiones horizontales y su punto de aplicación. En dicha figura, además se incluye como referencia el momento desestabilizador que se obtendrı́a por el método de M-O, y se comprueba que éste es superior al máximo obtenido en el modelo numérico, aunque del mismo orden de magnitud. 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 203 8 7 6 t=0.25 s t=0.5 s t=1.25 s t=2.25 s t=3.25 s t=4.25 s t=6.25 s t=8.25 s t=10 s M−O H (m) 5 4 3 2 1 0 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 σhz (Pa) 0 0.5 1 1.5 4 x 10 (a) Tensiones horizontales (P a) 8 7 t=0.25 s t=0.5 s 6 t=1.25 s t=2.25 s H (m) 5 t=3.25 s 4 t=4.25 s t=6.25 s 3 t=8.25 s t=10 s 2 1 0 −2 −1.5 −1 −0.5 τ (Pa) 0 0.5 1 4 x 10 (b) Tensiones tangenciales (P a) Figura 4.11 – Caso Seco: Distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro para diferentes instantes de tiempo. 204 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 4 5 x 10 Eah y Eav (N) 0 −5 −10 M−O 4 =−13.4·10 ah (E −15 0 1 2 3 4 5 6 7 N) 8 9 10 7 8 9 10 7 8 9 10 t (s) Numerico ah E M−O ah E Numerico av E (a) Eah y Eav (N ) (x/H)base 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) (x/H)ENumerico ah (x/H)EM−O ah (b) Punto de aplicación 5 4.5 x 10 4 ah |MEbase| (N·m) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) |MENumerico| ah |MEM−O| ah (c) Momento desestabilizador: |MEah | (N · m) Figura 4.12 – Caso Seco: a) Historia temporal de la resultante de empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós; b) Historia temporal de la evolución de la posición del punto de aplicación de la resultante Eah con respecto a la base del muro; c) Momento desestabilizador respecto a la base del muro debido a Eah . (Se muestran los resultados obtenidos del modelo numérico y del método de M-O como referencia). 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 205 4.4.2. Respuesta dinámica del muro: Caso Saturado Deformada y desplazamiento del muro La deformada para el caso saturado, tras la aplicación de la carga dinámica armónica, se muestra en la figura 4.13(a) destacando que la geometrı́a del modelo al inicio de la etapa dinámica no presenta deformaciones. Al igual que en el caso seco, en dicha figura se puede observar el desplazamiento que se produce en los bordes laterales del modelo donde se han impuesto condiciones de contorno absorbentes para prevenir la reflexión de las ondas hacia el interior del dominio cuando alcanza el contorno debido a la carga dinámica aplicada. Como sucedı́a en la etapa de cálculo estático, el muro esta sometido a un empuje activo y el movimiento que experimenta resulta de la combinación de una traslación horizontal y una rotación respecto a la base, figuras 4.13(b) y 4.13(c). En la figura 4.14 se muestra el desplazamiento vertical y horizontal que experimenta el vértice del muro situado en la esquina entre la coronación y el paramento de intradós, punto A (22.5, 12) de la figura 4.1. En dicha figura se puede observar que los desplazamientos horizontales del muro son notablemente superiores a los verticales, por lo que, predomina el movimiento de traslación. Además se puede identificar la formación de una respuesta transitoria en la historia de desplazamientos y una respuesta estacionaria (vibración forzada), resultando un valor promedio de los desplazamientos al finalizar la solicitación de ux = 0,012 m y uy = 0,0045 m. Se observa además que la frecuencia de la oscilación en los desplazamientos verticales y horizontales de la fase estacionaria está muy próxima a la frecuencia de la solicitación impuesta. Por último, a través de la figura 4.49 se analiza el comportamiento de la interface implementada por medio de los desplazamientos horizontal y vertical que se producen entre ambas caras de la interface de contacto entre el trasdós del muro y el relleno (Interface Trasdós). En particular para la cota de 12 m correspondiente a la superficie del relleno, se analizan los desplazamientos entre el punto B (28,12), situado en la cara de la interface junto al muro, y el punto C (28.2, 12), situado en la cara de la interface junto al relleno, figura 4.1. Por una parte, el asiento máximo que experimenta el relleno en el trasdós del muro es de 0.023 m y, por otra, en la figura 4.49 se puede observar como el desplazamiento horizontal de ambas caras del contacto (ux de los puntos B-Muro y C-Suelo) es similar entre sı́ y similar al observado en el punto A al tratarse de una estructura rı́gida, figura 4.14. Por el contrario, el desplazamiento vertical entre ambas caras de la interface (uy de los puntos B-Muro y C-Suelo) es completamente diferente tanto en amplitud como en fase, siendo los desplazamientos verticales de la interface en el lado del relleno (punto C) muy superiores a los que presenta la interface en la cara del trasdós del muro (punto B). De nuevo se comprueba que, también para el caso saturado los elementos de interface pueden modelizar correctamente el desplazamiento relativo entre ambas caras del contacto. En el contacto entre la base del muro con el estrato de apoyo (Interface Base) igualmente puede observarse un desplazamiento relativo entre ambas superficies. 206 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... (a) Deformada para t = 10 s (factor de amplificación=10) (b) Rotación base para t = 0,4 s (factor=100) (c) Traslación para t = 1,5 s (factor=100) Figura 4.13 – Caso Saturado: Deformada del modelo tras la aplicación de la solicitación dinámica y vectores de la resultante de desplazamiento (|u|) para diferentes instantes de tiempo con predominio de diferentes tipos de movimiento del muro. (El tamaño del vector es proporcional a la magnitud del desplazamiento. En la figura b se puede identificar la posición del centro de rotación del muro.). 0.01 0.005 Desplazamiento (m) 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 −0.03 −0.035 −0.04 0 ux uy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Figura 4.14 – Caso Saturado: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y desplazamiento vertical (uy ) del punto A (22.5, 12) situado en la coronación del muro en el paramento de intradós. 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 207 0.01 Desplazamiento (m) 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 −0.03 −0.035 −0.04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) uxMuro (pto B) uxSuelo (pto C) uy Muro (pto B) uy Suelo (pto C) Figura 4.15 – Caso Saturado: Historia temporal del desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) observado en la interface entre el trasdós del muro y el relleno, puntos B-Muro (28,12) y el punto C-Relleno (28.2, 12). Distribución de presiones y empujes en el trasdós del muro En cuanto a las presiones ejercidas sobre el trasdós del muro, en la figura 4.16 se presenta la historia temporal de tensiones horizontales, tensiones tangenciales y presión de poro en los puntos D (30,10) situado en las proximidades del trasdós del muro y el punto E (28.2, 6) situado sobre el trasdós, en el elemento de interface en contacto con el relleno, figura 4.1. Una vez más, en las historias temporales correspondientes a las tensiones y presión de poro también se observa una parte de respuesta transitoria seguida de una respuesta estacionaria con una frecuencia próxima a la de la solicitación. En este caso, las tensiones horizontales son superiores en magnitud a las tangenciales para el punto E (situado sobre el trasdós) y similares para el punto D (situado en el relleno). En el caso de la presión de poro, presenta un valor superior en el punto E con respecto al punto D dado que se encuentra a mayor profundidad, y las oscilaciones debidas a la carga dinámica son también superiores en el punto que se encuentra situado sobre el trasdós (punto E), manteniendo en ambos puntos una frecuencia similar a la de la carga aplicada. Además, para los puntos D y E, se muestra en la figura 4.17 la historia temporal del grado de licuefacción ′ ′ ru = ∆u/σv donde ∆u representa el exceso de presión de poro y σv las tensiones verticales efectivas para cada punto. Este parámetro se ha empleado habitualmente para caracterizar el proceso de licuefacción cuando ru = 1. En ambos puntos, el valor de ru presenta fuertes oscilaciones al inicio de la aplicación de la carga dinámica, es decir mientras se desarrolla la respuesta transitoria en el modelo, para alcanzar posteriormente, en el último tramo de la solicitación, un valor estacionario (máximo) de ru igual al 9,9 % en el punto D y al 26 % en el punto E. Por otra parte, el punto E presenta un valor de ru significativamente elevado, oscilaciones de mayor amplitud en la historia temporal de ru y mayor incremento de presión de poro que el punto D, a pesar de que se localiza a mayor profundidad que éste. Ello se debe a que se encuentra más próximo al muro e intervienen fenómenos de interacción con él, co- 208 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 5 1 x 10 0.75 Tension (Pa) 0.5 0.25 0 −0.25 −0.5 −0.75 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) σ hz (pto D) σ hz (pto E) τ (pto D) τ (pto E) Pw (pto D) Pw (pto E) Figura 4.16 – Caso Saturado: Historia temporal de las tensiones horizontales (σhz ), las tangenciales (τ ) y la presión de poro (Pw )del punto D-Relleno (30,10) y el punto E-Trasdós (28.2, 6). mo también comprobaron Alyami et al. y Arablouei et al. en sus respectivas investigaciones [43, 236]. De nuevo para el caso saturado también se revisa la forma que presenta la distribución de presiones sobre el trasdós para las tensiones horizontales, las tangenciales y la presión de poro durante la etapa dinámica. En la figura 4.18(a) se muestra, para diferentes instantes de tiempo, la distribución de presiones horizontales sobre el trasdós debidas al empuje del relleno y se incluye como referencia la ley de presiones obtenida por el método de Mononobe-Okabe5 (M-O, KaM −O = 0,23). Como se observa en dicha figura la distribución de tensiones horizontales es marcadamente no lineal y normalmente muy superior al valor dado por M-O. Este mismo comportamiento ya se observó en la etapa estática, figura 4.6(a), con la ley de presiones dada por Coulomb y, puesto que el método de M-O se basa en la extrapolación del método de Coulomb a un caso pseudo-estático, es razonable que se repitan las mismas singularidades para el cálculo dinámico. En cuanto a la distribución de tensiones tangenciales sobre el trasdós, figura 4.18(b), tiende a una distribución de tipo triangular, salvo en la parte más inferior del muro, similar a la que se podı́a observar en la etapa estática (figura 4.6(a)) y, prácticamente, independiente del instante de tiempo analizado. Finalmente, en la figura 4.18(c) se muestra la distribución de la presión de poro para diferentes instantes de tiempo. Como valor de referencia se ha incluido la solución obtenida por el método de Westergaard según se describe en la sección 2.4, en particular en la figura 2.32. La solución numérica obtenida a partir del modelo presenta una distribución de presión de poro ligeramente curvilı́nea para algunos instantes de tiempo y normalmente es inferior en magnitud a los valores dados por Westergaard, aunque las tendencias entre el modelo numérico y la solución simplificada de Westergaard son similares. A partir de la integración para cada instante de tiempo de las distribuciones de presiones sobre el trasdós del muro se puede obtener la evolución de la historia temporal de las 5 Se ha considerado δ = 2/3φ. 4.4. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 209 0.5 0.4 0.3 ru=∆u / σ’v 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 r (pto D) u −0.3 r (pto E) u −0.4 −0.5 0 1 2 3 4 5 t (s) 6 7 8 9 10 Figura 4.17 – Caso Saturado: Historia temporal del grado de licuefacción ru para los puntos D-Relleno (30,10) y punto E-Trasdós (28.2, 6). correspondientes resultantes. En este sentido, en la figura 4.19(a) se muestra la historia temporal correspondiente a los empujes activos horizontales (Eah ), a los empujes verticales (Eav ) y al empuje del agua (Ew ) sobre el trasdós del muro. En dicha figura también se ha incluido como valor de referencia el empuje activo horizontal que se obtiene con el método de Mononobe-Okabe y el valor del empuje del agua siguiendo el método propuesto por Westergaard. En dicha figura se puede comprobar como se forman las fases transitorias y estacionarias en la respuesta del modelo, tanto en los empujes horizontales como de presión de agua. El empuje vertical constituye una excepción ya que mantiene un valor prácticamente constante como consecuencia de la independencia del tiempo que se observó en las distribuciones de tensiones tangenciales de la figura 4.18(b). Este fenómeno en los empujes verticales también se observó aunque de forma menos pronunciada en el caso seco 4.12(a). Nuevamente, en el caso saturado también se observa que los empujes horizontales sobre el trasdós son muy superiores a los verticales, y con un comportamiento en fase a lo largo de la etapa estacionaria con respecto a la resultante del empuje del agua. Por otra parte, comparando las resultantes obtenidas del modelo numérico con la M −O = 10 · 104 N ) se constata que el valor dado por obtenida por el método de M-O (Eah M-O es inferior aunque el orden de magnitud ambas soluciones es similar. En cuanto a la resultante del empuje del agua obtenida por el modelo numérico y la calculada por el método de Westergaard, se puede comprobar que el valor dado por Westergaard es superior (EwW estergaard = 35,05 · 104 N ), aunque también en este caso, el orden de magnitud de ambas soluciones es similar. En la figura 4.19(b) se analiza el punto de aplicación de las resultantes Eah y Ew , que es uno de los parámetros de gran interés en el cálculo de la estabilidad de una estructura de contención y que se encuentra directamente relacionado con la geometrı́a que adopta la distribución de presiones sobre el trasdós del muro. Los valores mostrados en dicha figura están adimensionalizados por la altura del muro y están expresados respecto a la base de 210 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 t=0.24 s t=1.24 s t=2.24 s t=3.24 s t=4.24 s t=5.24 s t=6.24 s t=8.24 s t=10 s M−O 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 σhz (Pa) −1 0 1 2 3 4 5 4 x 10 (a) Tensiones horizontales (P a) 8 7 t=0.24 s t=1.24 s t=2.24 s t=3.24 s t=4.24 s t=5.24 s t=6.24 s t=8.24 s t=10 s 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 τ (Pa) 0 0.5 1 4 x 10 (b) Tensiones tangenciales (P a) 8 t=0.24 s t=1.24 s t=2.24 s t=3.24 s t=4.24 s t=5.24 s t=6.24 s t=8.24 s t=10 s Westergaard 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 4 5 pw (Pa) 6 7 8 9 4 x 10 (c) Presión de poro (P a) Figura 4.18 – Caso Saturado: Distribución de tensiones horizontales, tensiones tangenciales y presión de poro sobre el trasdós del muro para diferentes instantes de tiempo. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS211 éste. En dicha figura se puede ver que la cota de aplicación de Eah oscila entre 0.28H y 0.58H, produciéndose los valores más altos y, por lo tanto, los más desfavorables de cara a la estabilidad de la estructura en la fase estacionaria, muy superiores al valor propuesto por M-O. En cuanto al punto de aplicación de la resultante de Ew , los resultados obtenidos del modelo numérico indican que oscila entre 0,24H y 0,43H, intervalo que se encuentra muy próximo a los valores obtenidos por el método de Westergaard. En último lugar, se representa en la figura 4.19(c) el momento desestabilizador debido a Eah y a Ew respecto a la base del muro, calculado como el producto de la resultante de los empujes por su punto de aplicación en cada instante de tiempo. También se ha incluido como referencia el momento desestabilizador que se obtendrı́a por el método de M-O para el empuje horizontal y el momento para el empuje del agua a través del procedimiento propuesto por Westergaard. Por una parte, se observa que los momentos de los empujes horizontales obtenidos a través del modelo numérico son superiores a los obtenidos por M-O, ya que tanto la magnitud de la resultante como su punto de aplicación en el modelo numérico adoptan valores superiores a los obtenidos por M-O. Por el contrario, el momento obtenido del modelo numérico para el empuje de agua es muy inferior al obtenido por Westergaard, ya que aunque el punto de aplicación de la resultante coincide aproximadamente en ambos casos, la magnitud de la resultante obtenida por Westergaard es superior a la derivada del modelo numérico, si bien ambas metodologı́as presentan un orden de magnitud similar para los momentos. 4.5. Estudio paramétrico de la influencia de diferentes aspectos numéricos 4.5.1. Influencia de los bordes fijos En este apartado se analiza la influencia que tiene, sobre los resultados numéricos, la aplicación de condiciones de contorno fijas en los bordes laterales izquierdo y derecho del modelo, figura 4.1. Como ya se ha indicado anteriormente, en problemas de tipo dinámico se generan ondas que viajan a través del medio, y si no se amortiguan antes, pueden llegar a alcanzar los contornos del modelo numérico. Si no se realiza un tratamiento numérico adecuado de dichos contornos, por ejemplo a través de contornos absorbentes, las ondas pueden reflejarse hacia el interior del dominio de cálculo, impidiendo simular correctamente la propagación de estas hacia el exterior y, por tanto de la energı́a, lo que se traduce en la introducción de oscilaciones espurias en los resultados. En las siguientes figuras se comparan los resultados obtenidos para diferentes puntos del dominio cuando se aplican condiciones de contorno fijas frente a las condiciones de contorno absorbentes. En las figuras 4.20 y 4.21 se muestran para el caso seco y para el caso saturado, respectivamente, los desplazamientos horizontales y verticales obtenidos para el punto A (22.5, 12) situado en la coronación del muro y para el punto C (28.2, 12) situado en el relleno junto al trasdós del muro, imponiendo ambos tipos de condiciones de contorno. Por otra parte, en las figuras 4.22 y 4.23 se comparan para ambos tipos de condiciones de contorno las historias temporales de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de agua (caso sa- 212 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 5 4 x 10 (EWestergaard =35.05·104 N) w Eah, Eav y Ew (N) 3 2 1 0 (EM−O =−10·104 N) ah −1 −2 −3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Numerico ah M−O ah E Numerico av E Numerico w E Westergaard w E E (a) Eah , Eav y Pw (N ) (x/H)base 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) (x/H)Numerico Eah (x/H)M−O Eah (x/H)Numerico Ew (x/H)Westergaard Ew (b) Punto de aplicación 5 10 x 10 8 7 w |MEbase|, |MEbase| (N·m) 9 6 ah 5 4 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) |MENumerico| ah |MEM−O| ah |MENumerico| w |MEWestergaard| w (c) Momento desestabilizador: |MEah | y |MEw | (N · m) Figura 4.19 – Caso Saturado: a) Historia temporal de la resultante de empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y del empuje de agua (Ew ) sobre el trasdós; b) Historia temporal de la evolución de la posición del punto de aplicación de la resultante Eah y Ew con respecto a la base del muro; c) Momento desestabilizador respecto a la base del muro debido a Eah y Ew . (Se muestran los resultados obtenidos del modelo numérico y de los métodos de M-O y Westergaard como referencia). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS213 Punto C (28.2,12): Relleno 0.04 0.02 0.02 Desplazamiento (m) Desplazamiento (m) Punto A (22.5,12): Muro 0.04 0 −0.02 −0.04 −0.06 −0.08 0 0 −0.02 −0.04 −0.06 0.5 1 1.5 2 2.5 t (s) 3 −0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (s) ux−Abs ux−Fijo uy−Abs uy−Fijo Figura 4.20 – Caso Seco: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en los desplazamientos horizontal (ux ) y vertical (uy ) del punto A (22.5, 12), situado en la coronación del muro, y el punto E (28.2, 12), situado en el relleno junto al trasdós. turado) para los puntos D (30,10), situado en el relleno, y E (28.2, 6), situado en el trasdós del muro. En todos los casos indicados, tanto en desplazamientos como en presiones, la correlación entre los resultados con contornos absorbentes y fijos es prácticamente coincidente durante los primeros instantes de la respuesta (en torno a 0.5 segundos), y a partir de entonces, para el caso de contornos fijos, aparecen oscilaciones anómalas y/o incrementos exagerados en los desplazamientos debido a la reflexión de las ondas hacia el interior del dominio y a las limitaciones del modelo para disipar la energı́a hacia el exterior, las cuales acaban por invalidar la solución y presentar problemas de estabilidad numérica. Cabe destacar que no se ha introducido ningún valor de amortiguamiento tipo Rayleigh en el relleno y el algoritmo de integración utilizado es el NM-3 que es libre de amortiguamiento, por lo que, salvo por las propiedades del material del relleno, no hay otra posible fuente de amortiguamiento en el cálculo. Debido a las circunstancias antes mencionadas, en el caso seco calculado con condiciones de contorno fijas se produce una parada prematura del cálculo. A la vista de los resultados expuestos, se concluye que es necesario aplicar condiciones de contorno absorbentes en los bordes laterales del modelo a lo largo de la etapa de cálculo dinámica del problema. 4.5.2. Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 Para abordar un cálculo numérico en el caso particular de problemas de tipo dinámico, es necesario partir de unas determinadas condiciones iniciales que corresponden normalmente a un estado tensional previo asociado a un cálculo estático. Sin embargo, existen grandes incertidumbres a la hora de determinar el estado tensional inicial de un problema 214 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... Punto C (28.2,12): Relleno 0.04 0.03 0.03 0.02 0.02 Desplazamiento (m) Desplazamiento (m) Punto A (22.5,12): Muro 0.04 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 0 0.5 1 1.5 2 2.5 −0.04 0 3 t (s) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (s) ux−Abs ux−Fijo uy−Abs uy−Fijo Figura 4.21 – Caso Saturado: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en los desplazamientos horizontal (ux ) y vertical (uy ) del punto A (22.5, 12), situado en la coronación del muro, y el punto E (28.2, 12), situado en el relleno junto al trasdós. 4 1 x 10 4000 0 2000 −2 τ (Pa) σ hz (Pa) −1 −3 −4 −5 0 −2000 −4000 −6 −7 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −6000 0 0.5 Pto D − Abs Pto D − Fijo 1 1.5 2 2.5 3 t (s) t (s) Pto E − Abs Pto E − Fijo Figura 4.22 – Caso Seco: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en las historias temporales de tensiones horizontales (σhz ) y tangenciales (τ ) del punto D (30,10), situado en el relleno, y el punto E (28.2, 6), situado sobre el trasdós. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS215 4 2 4 x 10 4000 9 x 10 8 0 2000 7 −2000 −6 −4000 −8 −6000 w −4 6 p (Pa) τ (Pa) 0 σ hz (Pa) −2 5 4 3 2 1 −10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (s) −8000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (s) Pto D − Abs Pto D − Fijo 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (s) Pto E − Abs Pto E − Fijo Figura 4.23 – Caso Saturado: Influencia de la aplicación de bordes fijos respecto a los contornos absorbentes, en las historias temporales de tensiones horizontales (σhz ), tensiones tangenciales (τ ) y presión de agua (Pw ) del punto D (30,10), situado en el relleno, y el punto E (28.2, 6), situado sobre el trasdós. debido al desconocimiento del proceso de formación del terreno, la falta de medidas en cuanto a la distribución de tensiones horizontales o la relación entre éstas y las tensiones verticales [56], por lo que normalmente se recurre, cuando es posible, a aplicar un determinado criterio ingenieril al problema en cuestión o a aplicar procedimientos de buena práctica o valores comúnmente aceptados. No obstante, según el problema de estudio, la elección de un estado tensional inicial u otro puede afectar notablemente en la solución numérica alcanzada. Para los problemas de tipo dinámico, es práctica habitual asumir un determinado valor de K0 o de coeficiente de empuje al reposo (K0 -procedure), de tal modo que, a partir de las tensiones verticales se estima el valor de las tensiones horizontales de partida a través de la relación K0 = σh /σv , imponiendo de este modo un estado tensional inicial al problema, que puede estar más o menos próximo a la realidad, y alterando también el valor de las tensiones desviadoras y, por tanto, la condición de rotura. El procedimiento más ampliamente extendido es considerar K0 = 1, por lo que se parte de un estado isótropo de tensiones en el modelo, y con menor frecuencia también se suele adoptar K0 = 0,5. Como ya se ha indicado, el imponer un determinado valor de coeficiente de empuje al reposo K0 para determinar las condiciones iniciales podrı́a llegar a influir notablemente en los resultados numéricos obtenidos. Un análisis del efecto de este procedimiento sobre un estrato de suelo saturado unidimensional se puede encontrar en [56] o para la rotura de un talud en [174]. En este sentido y para el análisis estático de estructuras de contención, destacan los trabajos numéricos desarrollados por Potts y Fourie [133, 32, 33] donde imponen dos valores de coeficiente de empuje al reposo, K0 = 0,5 y K0 = 2, para determinar el estado tensional inicial del problema. Los autores concluyen que, junto con otros factores, 216 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... el valor impuesto de K0 tiene una gran influencia en los movimientos y presiones desarrollados sobre el trasdós del muro, figura 2.37. Por otra parte, las referencias bibliográficas que se pueden encontrar en la literatura, en cuanto a la influencia de este parámetro en modelos numéricos de estructuras de contención bajo carga dinámica, son prácticamente inexistentes. En las estructuras de contención, la distribución de presiones horizontales, ası́ como el coeficiente de empujes de tierras (activo, reposo, pasivo o situaciones intermedias), son variables de gran interés en el problema. Además, en este tipo de construcciones la estimación de las presiones horizontales es aún más compleja, ya que tanto el tipo de movimiento que experimente el muro (rotación, traslación...) como la magnitud de dicho movimiento determinará el tipo de empuje que actúe sobre la estructura (condición activa, reposo o pasiva), a la vez, que la magnitud y distribución de las presiones horizontales sobre el trasdós, con lo que se incrementa aún más la incertidumbre en la estimación del coeficiente de empuje al reposo K0 que se pueda aplicar. Por último, también es necesario destacar que el coeficiente de empuje de tierras sobre el trasdós de una estructura de contención no es constante con la profundidad, como se recoge en las figuras 4.5(b) y 4.6(b). Ası́ pues, en base a las observaciones indicadas y a los trabajos previos revisados (especialmente en las investigaciones de Potts y Fourie), se analiza en esta sección la influencia en la respuesta dinámica del muro tipo descrito a lo largo de los apartados 4.2 y 4.3, cuando se asume un determinado valor de coeficiente de empuje de tierras (K0 ) como estado tensional inicial. El coeficiente de empuje al reposo, K0 , se impone a todo el modelo al inicio de la tercera etapa de cálculo descrita en la sección 4.3 (((Cálculo de la respuesta dinámica del muro))), de tal modo que el código a partir de los valores de tensiones verticales calculados en la etapa estática previa y el valor impuesto de K0 determina los valores de tensiones horizontales iniciales para comenzar la etapa dinámica. Para el análisis de la influencia del coeficiente de empuje de tierras se han considerado los valores de K0 recogidos en la tabla 4.5 tanto para el caso seco como saturado. En primer lugar, se adopta K0 = 0,18 y K0 = 0,23 coincidentes con el valor del coeficiente de empuje activo obtenido por el método de Coulomb (apartado 4.3.2) y con el coeficiente de empuje activo del método de Mononobe-Okabe para la solicitación aplicada (apartados 4.4.1 y 4.4.2), respectivamente. El tercer valor considerado se corresponde con el valor máximo del cociente entre tensiones horizontales y verticales obtenido del cálculo numérico estático previo desarrollado para el caso seco (K0 = 0,29), figura 4.5(b), y para el caso saturado (K0 = 0,47), figura 4.6(b). Finalmente, se han incluido para el caso seco los valores de K0 = 0,5 tal y como se considera en las investigaciones de Potts y Fourie [32] y, en último lugar, el valor de K0 = 1 que es el valor adoptado como práctica habitual en la modelización de problemas numéricos. Los diferentes resultados obtenidos para cada una de estas condiciones se comparan con los resultados obtenidos de la simulación numérica cuando no se impone ningún valor de K0 , es decir, siguiendo el procedimiento descrito en la sección 4.3. Este caso se denomina con la etiqueta K∗Estático a lo largo del documento. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS217 Tabla 4.5 – Valores del coeficiente de empuje de tierras K0 analizados para el caso seco y saturado. K0 = K0 = K0 = K0 K0 KaCoulomb KaM −O K∗M ax Caso Seco Caso Saturado 0,18 0,23 0,29 0,5 1 0,18 0,23 0,47 − − Caso Seco En la figura 4.24 se representan los desplazamientos horizontales y verticales que experimenta la coronación del muro (punto A (22.5, 12), figura 4.1) para los diferentes valores de coeficiente de empujes de tierras considerados. Como puede verse, los desplazamientos obtenidos para los casos K0 = 1 y K0 = 0,5 son muy superiores a los obtenidos para el resto de casos, donde también se puede comprobar que las historias temporales no alcanzan una etapa estacionaria, a diferencia del resto de casos que sı́ lo hacen. Mientras que para los desplazamientos verticales la respuesta obtenida por el resto de valores de K0 (a excepción de K0 = 1) está bastante próxima entre sı́, no es ası́ para los desplazamientos horizontales donde los casos calculados imponiendo valores de K0 proporcionan desplazamientos inferiores a los obtenidos del caso K∗Estático y con alternancia de signo. Es destacable la divergencia que se observa en los resultados para los casos donde el coeficiente de empuje utilizado se encuentra muy alejado de la condición de empuje activo, como sucede para los valores K0 = 1 y K0 = 0,5, mientras que, las respuestas se aproximan más entre sı́ y con el caso K∗Estático cuando se emplean valores de K0 menores y, por lo tanto, más representativos de la condición activa. En cuanto a los asientos experimentados por el relleno, se muestra en la figura 4.25 el asiento calculado para el punto C (28.2, 12), figura 4.1, y los diferentes valores de K0 analizados. Nuevamente, la magnitud del asiento obtenido para K0 = 1 es muy superior al obtenido con el resto de casos, mientras que los valores calculados para K0 = 0,5 están más cercanos en magnitud al caso K∗Estático , aunque la frecuencia de la respuesta es completamente diferente. El resto de casos presentan resultados muy próximos entre sı́; en particular, los valores obtenidos para K0 = 0,18 y K0 = 0,23 prácticamente se superponen, mientras que el caso K0 = 0,29 dá asientos ligeramente menores a los anteriores, siendo en los tres casos inferiores a los de K∗Estático . Sin embargo, en las historias temporales se mantiene la misma frecuencia en la respuesta aunque la amplitud de la oscilación es mucho menor que en el caso K∗Estático , fenómeno que no se observaba en los desplazamientos del punto situado sobre la estructura, figura 4.24. En la figura 4.26 se representa la historia temporal de las resultantes del empuje activo horizontal y vertical sobre el trasdós del muro para los diferentes casos analizados, donde también se ha incluido como referencia el valor obtenido por el método de MononobeOkabe. En cuanto al empuje Eah , los valores obtenidos del caso K0 = 1 son muy superiores a los obtenidos para el resto de casos, e incluso al valor de M-O, mientras que, por el contrario, los resultados de K0 = 0,5 son inferiores a los del caso de referencia K∗Estático . Respecto 218 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.05 ux (m) 0 −0.05 −0.1 −0.15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático * K K =0.18 K =0.23 0 0 K =0.29 K =0.5 0 0 K =1 0 (a) Desplazamiento horizontal: ux (m) 0.01 0 uy (m) −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 −0.05 −0.06 −0.07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático * K K =0.18 K =0.23 0 0 K =0.29 K =0.5 0 0 K =1 0 (b) Desplazamiento vertical: uy (m) Figura 4.24 – Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). 0.02 0.01 SRelleno (m) 0 −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 −0.05 −0.06 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático K * K =0.18 0 K =0.23 0 K =0.29 0 K =0.5 0 K =1 0 Figura 4.25 – Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS219 a los valores de Eah obtenidos para K0 = 0,18, K0 = 0,23 y K0 = 0,29 son prácticamente coincidentes entre sı́ e inferiores a los de K∗Estático , especialmente durante la respuesta estacionaria. En cuanto a la resultante de las tensiones tangenciales (Eav ), nuevamente se comprueba que las respuestas debidas a K0 = 0,18, K0 = 0,23 y K0 = 0,29 están próximas entre sı́ aunque son muy inferiores al valor de resultante obtenido para K∗Estático . Por el contrario, los mayores valores de Eav se obtienen ahora para K0 = 0,5 en lugar de para K0 = 1, siendo estos dos casos los que presentan comportamientos más dispares y. Al igual que sucedı́a en las historias temporales en desplazamientos, no se observa para ninguno de estos dos valores que se llegue a alcanzar un valor estacionario en la respuesta. Finalmente, en la figura 4.27 se representa la forma que adquieren las distribuciones de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro asociadas al valor máximo de empuje horizontal obtenido en cada uno de los casos de K0 analizados. En cuanto a las presiones horizontales sobre el trasdós, se puede observar que la distribución es prácticamente uniforme con la profundidad para los casos K0 = 0,18 y K0 = 0,23, mientras que el resto de casos sı́ presenta una distribución curva de presiones con la profundidad, destacando que la distribución correspondiente al caso K0 = 1 es muy superior tanto al caso de referencia K∗Estático como al valor de M-O. Con respecto a la distribución de las tensiones tangenciales, éstas presentan un valor próximo a cero en toda la altura del muro para los casos K0 = 0,18, K0 = 0,23 y K0 = 0,29, mientras que los resultados de K0 = 0,5 se aproximan mejor a los del caso K∗Estático . A modo de resumen, se puede concluir indicando que para el caso de la estructura de contención en condición seca analizada, el valor de K0 impuesto sı́ puede afectar de forma significativa a los resultados obtenidos del modelo numérico. Por una parte, serı́a recomendable descartar los valores habitualmente adoptados como de buena práctica, K0 = 1 y K0 = 0,5, ya que tienden a devolver resultados que pueden considerarse anómalos y muy alejados tanto del resto de casos como de los valores de referencia, especialmente el caso K0 = 1, mientras que, la condición K0 = 0,5 tiene tendencia a dar tensiones normales menores y valores superiores de tensiones tangenciales quedando ambos del lado de la no seguridad de cara al cálculo de la estabilidad de un muro. Por otra parte, no se observan diferencias significativas en las respuestas cuando se emplean los valores de K0 = 0,18 (Coulomb), K0 = 0,23 (M-O) o K0 = 0,29 (valor máximo del cálculo estático previo), ya que todos los casos tienden a dar valores menores de desplazamientos y asientos que el caso K∗Estático , ası́ como de empujes horizontales y verticales. Destaca de forma muy relevante la distribución uniforme de tensiones horizontales con la altura del muro, observada cuando se imponen cualquiera de estos valores de K0 y la distribución casi nula en las leyes de tensiones tangenciales. Caso Saturado En la figura 4.28 se representan, para el caso saturado, los desplazamientos horizontales y verticales de la coronación del muro (punto A (22.5, 12), figura 4.1) para los diferentes valores de coeficiente de empujes de tierras considerados. De dicha figura, se puede concluir que tanto en los desplazamientos horizontales como verticales los resultados obteni- 220 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 5 1 x 10 0.5 (N) 0 ah −0.5 E −1 −1.5 −2 −2.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático * K =0.18 K 0 K =0.23 K =0.29 0 0 K =0.5 0 K =1 M−O 0 (a) Eah (N) 4 6 x 10 5 E av (N) 4 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático * K K =0.18 0 K =0.23 0 K =0.29 0 K =0.5 0 K =1 0 (b) Eav (N) Figura 4.26 – Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS221 8 Estático * K 7 K =0.18 0 K =0.23 6 0 K0=0.29 H (m) 5 K =0.5 0 K =1 4 0 M−O 3 2 1 0 −6 −5 −4 −3 σ −2 −1 max hz [E ah ] 0 1 2 (Pa) 3 4 x 10 (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 Estático * K 7 K =0.18 0 K =0.23 6 0 K =0.29 0 H (m) 5 K =0.5 0 K0=1 4 3 2 1 0 −4 −3 −2 −1 τ 0 max [E ah ] (Pa) 1 2 3 4 x 10 (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) Figura 4.27 – Caso Seco: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 222 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.05 0.04 0.03 ux (m) 0.02 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 −0.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 t (s) Estático * K K =0.18 0 K =0.23 0 K =0.47 0 (a) Desplazamiento horizontal: ux (m) −3 x 10 uy (m) 5 0 −5 −10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) Estático * K K =0.18 0 K =0.23 0 K =0.47 0 (b) Desplazamiento vertical: uy (m) Figura 4.28 – Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el desplazamiento horizontal (ux ) y vertical (uy ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). dos para los diferentes valores de K0 se aproximan bastante entre sı́, en particular para los casos K0 = 0,18 y K0 = 0,23, siendo ligeramente inferiores en el caso K0 = 0,47. Las historias temporales en desplazamientos para los diferentes valores de K0 mantienen la misma tendencia (fase transitoria y estacionaria en la respuesta) que los resultados obtenidos para K∗Estático aunque de magnitud inferior y con alternancia de signo. En la figura 4.29 se muestra el asiento experimentado por el relleno, punto C (28.2, 12) en la figura 4.1, y calculado para los diferentes valores de K0 analizados. A diferencia de lo que sucedı́a para un punto situado sobre la propia estructura, en la figura 4.29 se pueden observan mayores discrepancias en las respuestas según el valor de K0 empleado, especialmente durante la fase de respuesta estacionaria. En cualquier caso, los asientos obtenidos empleando el procedimiento de K0 son inferiores, y de diferente signo según el caso, a los obtenidos para el caso K∗Estático . En la figura 4.30 se representa la historia temporal de las resultantes del empuje activo horizontal, vertical y de presión de poro sobre el trasdós del muro para los diferentes casos de K0 analizados. También se han incluido en dicha figura, como referencia, los valores ob- 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS223 0.01 0.005 −0.005 −0.01 S Relleno (m) 0 −0.015 −0.02 −0.025 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) Estático * K K =0.18 0 K =0.23 0 K =0.47 0 Figura 4.29 – Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). tenidos por el método de Mononobe-Okabe y por el método de Westergaard. A diferencia de lo que sucedı́a para el caso seco, los valores de Eah predichos para cada uno de los coeficientes K0 analizados son muy diferentes entre sı́, siendo el caso K0 = 0,18 (Coulomb) el que mejor se aproxima al caso de referencia K∗Estático , excepto durante la fase de respuesta transitoria, mientras que, K0 = 0,23 (M-O) y K0 = 0,47 (máximo ratio estático) proporcionan valores de la resultante de empujes horizontales inferiores y superiores, respectivamente, al caso K∗Estático . Por otra parte, los valores Eav obtenidos para K0 = 0,18 y K0 = 0,23 son prácticamente coincidentes y menores a los obtenidos para K0 = 0,47, siendo en todos los casos de K0 adoptados, muy inferiores a los de K∗Estático . Finalmente, en cuanto a las resultantes de presión de poro Ew , las historias temporales obtenidas para K0 = 0,18 y K0 = 0,23 se ajustan bastante bien a los resultados del caso de referencia K∗Estático , en particular, durante la fase estacionaria, siendo junto con el caso K0 = 0,47 aquel en el que menores valores de Ew se obtienen, inferiores al valor de Westergaard en todos los casos. Finalmente, en la figura 4.31 se representa la forma que adquieren las distribuciones de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós del muro asociadas al valor máximo de empuje horizontal obtenido en cada uno de los casos de K0 estudiados. En cuanto a la distribución de presiones horizontales sobre el trasdós, se puede comprobar que salvo el caso K0 = 0,23 que presenta una tendencia lineal que se ajusta muy bien a la ley de M-O, el resto de casos analizados exhiben una distribución de presiones con tendencia no-lineal. Cabe destacar, que el buen ajuste observado en las resultantes entre K0 = 0,18 y el caso K∗Estático (figura 4.30) no se repite para las distribuciones de presiones de la figura 4.31. La razón estriba en que en esta última figura, la resultante se corresponde con el valor máximo del empuje horizontal, el cual se desarrolla durante la fase transitoria donde el ajuste entre ambos casos (K0 = 0,18 y el caso K∗Estático ) no era tan bueno. Con respecto a la distribución de las tensiones tangenciales, éstas mantienen aproximadamente la misma forma para todos los casos estudiados. Nuevamente los resultados de K0 = 0,18 y K0 = 0,23 prácticamente se superponen y los resultados de K0 = 0,47 son ligeramente superiores a los anteriores, mientras que en los tres casos de K0 los valores de Eav son inferiores a los de la condición K∗Estático . Por último, en cuanto a la distribución de presión 224 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... de poro en el trasdós, todos los casos presentan una distribución de geometrı́a similar. El menor valor se obtiene para K0 = 0,47, mientras que, los casos K0 = 0,18 y K0 = 0,23 son prácticamente coincidentes y superiores al anterior. Para los tres casos de K0 considerados se obtienen presiones de agua inferiores a las calculadas para K∗Estático , el cual se aproxima al valor de Westergaard. A modo de resumen, en el caso saturado también se observa que el valor de K0 impuesto puede afectar de forma significativa a los resultados obtenidos del modelo numérico. Por una parte, no se observan grandes diferencias en los desplazamientos y asientos calculados entre los tres valores de K0 considerados, aunque los resultados obtenidos en todos los casos son menores a los del caso K∗Estático . Por el contrario, el valor de K0 utilizado sı́ afecta de forma mas significativa a los empujes horizontales sobre el trasdós, correspondiendo los mejores ajustes a K∗Estático para K0 = 0,18. Sin embargo los resultados de empujes verticales y presión de agua, tanto en resultante como en leyes de presiones, para los casos K0 = 0,18 y K0 = 0,23 son muy similares, diferenciándose notablemente de los valores para los casos K0 = 0,47 y K∗Estático . 4.5.3. Influencia del algoritmo de integración temporal En este apartado se analiza la influencia de diferentes algoritmos de integración temporal sobre la respuesta de la estructura de contención descrita en el apartado 4.2. En este análisis se empleará el acelerograma artificial de Bogdanoff [172] que presenta mayor contenido frecuencial, a diferencia de la solicitación armónica definida por una sola frecuencia y que se ha empleado los análisis anteriores. Dicho acelerograma de Bogdanoff se define como un sumatorio de n términos armónicos (ecuación 3.57). Se han considerado 22 términos cuyo rango de frecuencias oscila entre 6 rad/s (0,95 Hz) y 80,25 rad/s (12,77 Hz) y se ha escalado para obtener una aceleración pico de 1 m/s2 , al igual que en la solicitación armónica empleada en los análisis anteriores. De este modo resulta el acelerograma mostrado en la figura 4.32. El acelerograma considerado tiene una duración total de 10 s discretizado con un intervalo de tiempo de 0,01 s, por lo que de acuerdo con el criterio de Nyquist [170], la frecuencia máxima admisible para evitar el fenómeno de aliasing es de 100π rad/s (50 Hz), que no se supera por ninguna de las 22 frecuencias empleadas. La variación en la amplitud y en el contenido frecuencial de este acelerograma se puede visualizar a través del espectro de amplitudes de Fourier correspondiente, mostrado en la figura 4.32. En este estudio se han empleado los cinco algoritmos de integración que ya se analizaron, para casos más sencillos, en los apartados 3.4.3 y 3.4.4 de este documento. Estos cinco algoritmos resultan de gran interés ya que se utilizan, con mayor o menor frecuencia, en la resolución de problemas de dinámica de suelos en el dominio del tiempo atendiendo a las diferentes caracterı́sticas que presentan. La colección de algoritmos considerados, ası́ como la nomenclatura utilizada a lo largo de este análisis es la siguiente: Newmark γ = 1/2 β = 1/4 (NM3), Newmark γ = 0,6 β = 0,3025 (NM6), Newmark γ = 0,51 β = 0,2575 (NM7), el método propuesto por Hilber, Hughes & Taylor (HHT) [161] y el método propuesto por Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ). El primero de los algoritmos (NM3) no introduce 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS225 5 0 x 10 −0.5 Eah (N) −1 −1.5 −2 −2.5 −3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 9 10 t (s) KEstático * K0=0.18 K0=0.23 K0=0.47 M−O (a) Eah (N) 4 6 x 10 5 Eav (N) 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) KEstático * K0=0.18 K0=0.23 K0=0.47 (b) Eav (N) 5 4 x 10 3.5 3 Ew (N) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) KEstático * K0=0.18 K0=0.23 K0=0.47 Westergaard (c) Ew (N) Figura 4.30 – Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y de la presión de poro (Ew ) sobre el trasdós. 226 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 Estático * K K0=0.18 K =0.23 0 H (m) 5 K =0.47 0 M−O 4 3 2 1 0 −9 −8 −7 −6 −5 −4 σ −3 max hz [E ] ah −2 −1 0 (Pa) 1 4 x 10 (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 Estático * K 7 K =0.18 0 K =0.23 6 0 K =0.47 0 H (m) 5 4 3 2 1 0 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 τ −1 max [E ah −0.5 ] 0 0.5 1 (Pa) 1.5 4 x 10 (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) 8 Estático * K 7 K =0.18 0 K =0.23 6 0 K =0.47 0 H (m) 5 Westergaard 4 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 4 p 5 max w [E ah ] 6 7 8 (Pa) 9 4 x 10 (c) Presión de poro concomitante con (Eah )max (P a) Figura 4.31 – Caso Saturado: Influencia del coeficiente de empuje de tierras K0 en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS227 1.5 0.05 Amplitudes Fourier 2 a (m/s ) 1 0.5 0 −0.5 −1 0 1 2 3 4 5 t (s) 6 7 8 9 10 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0 5 10 15 20 Frecuencia (Hz) Figura 4.32 – Acelerograma artificial de Bogdanoff definido por 22 términos de frecuencia (fmin = 0,95 Hz, fmax = 12,77 Hz, amax = 1 m/s2 y h = 0,01 s) y espectro de amplitudes de Fourier correspondiente. amortiguamiento numérico mientras que los cuatro restantes se clasifican como algoritmos disipativos, puesto que introducen diferente grado de amortiguamiento numérico en la solución, especialmente en el rango de las altas frecuencias. Una descripción y análisis más detallado de cada uno, ası́ como de su comportamiento desde el punto de vista frecuencial, se encuentra recogido en el apartado 3.4 de este documento. Puesto que el algoritmo NM3 no introduce amortiguamiento numérico, se adoptará éste como solución de referencia para analizar el comportamiento del resto de algoritmos. En todos los cálculos se ha empleado un paso de tiempo igual a 0.01 s, coincidente con la discretización del acelerograma. A continuación, se revisa la influencia de los algoritmos de integración temporal, tanto para el caso seco como saturado, sobre la respuesta del modelo relativa a los desplazamientos horizontales observados en la coronación del muro y los asientos experimentados por el relleno junto al trasdós, punto A (22.5, 12) y punto C (28.2, 12) de la figura 4.1, respectivamente. También se consideran las historias temporales de las resultantes de los empujes horizontales (|Eah |), verticales (|Eav |) y de presión de agua (Pw , caso saturado), junto con las distribuciones de presiones horizontales (σhz ), verticales (τ ) y de presión de agua (pw ) sobre el trasdós del muro asociadas al valor de empuje horizontal max |). máximo (|Eah Caso Seco En las figuras 4.33 y 4.34 se representan las historias temporales correspondientes a los desplazamientos horizontales de la coronación del muro (punto A) y al asiento del relleno (punto C), respectivamente, calculadas con cada uno de los algoritmos analizados, junto con un análisis frecuencial de las mismas realizado a través del espectro de amplitudes de Fourier (AF). Por una parte, se puede observar que el punto situado sobre la estructura (punto A) presenta un menor contenido frecuencial que el punto situado en el relleno (punto C), ya que no presenta frecuencias superiores a la frecuencia más alta introducida por la señal, menor de 15 Hz, figura 4.32, lo que se justifica debido al carácter rı́gido de la estructura, a diferencia del punto en el relleno con frecuencias hasta los 40 Hz. Observando la respuesta del punto sobre la estructura, figura 4.33, se comprueba que los algoritmos NM6, HHT y WBZ proporcionan resultados prácticamente coincidentes entre 228 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... si, deamplificando la solución respecto a NM3. Cabe destacar el comportamiento anómalo del algoritmo NM7, ya que tiende a amplificar la solución, tanto en la historia temporal como en el espectro de frecuencias. Sin embargo dicha anomalı́a no se observa cuando el punto pertenece al relleno. En cuanto al asiento experimentado por el relleno (punto C), en la figura 4.34 se muestra la correspondiente historia temporal y espectros de Fourier. En este caso, todos los algoritmos deamplifican la respuesta, aunque NM6, HHT y WBZ lo hacen de forma muy similar y en mayor medida que NM7. De los análisis en frecuencias se puede observar claramente el carácter disipativo de todos estos algoritmos, ya que laminan notablemente el contenido de altas frecuencias existente en la respuesta respecto a NM3, a excepción del NM7 que lo reduce mucho menos. En la figura 4.35 se representa la resultante, en valor absoluto, de las tensiones horizontales sobre el trasdós (|Eah |) obtenida por cada algoritmo, además de los respectivos espectros de Fourier. Por una parte, se puede comprobar que los algoritmos NM6 y HHT presentan unos resultados muy próximos entre si, y similares a los de WBZ, amplificando con respecto a NM3 la solución en la primera parte de la historia temporal y deamplificando en la parte final. De los análisis de Fourier se observa como estos algoritmos, mantienen las bajas frecuencias mientras que laminan fuertemente las altas frecuencias de la respuesta, al igual que en los asientos del punto C (relleno). Nuevamente, el algoritmo NM7 presenta un comportamiento anómalo, ya que en la historia temporal de |Eah |, obtenida tras la integración de los empujes horizontales, se puede observar una clara deriva en la solución. Esta deriva suele aparecer cuando se integran señales que poseen una contaminación (ruido) en bajas frecuencias [237]. En este caso se puede comprobar a través del espectro de Fourier, que el algoritmo NM7 lamina significativamente todo el rango de frecuencias con respecto al NM3, tanto altas como bajas, por lo que la alteración en las bajas frecuencias introducida por el algoritmo NM7 podrı́a ser la causa de la deriva observada al integrar la señal para obtener las resultantes de los empujes. De forma análoga al caso anterior, se presenta en la figura 4.36 la resultante y sus respectivos espectros de Fourier para los empujes verticales sobre el trasdós (|Eav |) . En este caso todos los algoritmos deamplifican la respuesta, siendo el algoritmo NM7 el que deamplifica más y NM6 es el que deamplifica menos, mientras que, HHT y WBZ lo hacen en una magnitud similar. De nuevo, NM6, HHT y WBZ laminan claramente las altas frecuencias contenidas en la señal de respuesta, mientras que, en el caso de NM7 dicha laminación es menos significativa. Finalmente, en la figura 4.37 se representan las distribuciones de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós de la estructura, asociadas al valor máximo de empuje max ). En cuanto a las tensiones horizontales, en primer lugar cabe destacar horizontal (Eah que todos los algoritmos dan leyes de presiones inferiores a las obtenidas con MononobeOkabe (M-O) y aunque el orden de magnitud es similar a éste, el ajuste ya no es tan bueno como el observado para la solicitación armónica empleada en el caso tipo (figura 4.2, a pesar de que la aceleración pico en ambos casos es la misma (amax = 1 m/s2 ). Por otra parte, tanto NM6 como HHT presentan una distribución de presiones prácticamente coincidente. Las principales diferencias entre los algoritmos se observan para la mitad inferior 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS229 del muro, especialmente en la parte más próxima al estrato base. En cuanto a las tensiones tangenciales, se repite de nuevo el tipo de distribución que ya se observó para el caso tipo (con solicitación armónica), donde todos los algoritmos devuelven soluciones muy próximas y donde se observan ligeras diferencias en el tercio superior e inferior del trasdós. Caso Saturado Para el caso saturado, en las figuras 4.38 y 4.39 se representan las historias temporales calculadas con cada uno de los algoritmos, correspondientes a los desplazamientos horizontales de la coronación del muro (punto A) y al asiento del relleno (punto C), junto con los respectivos espectros de amplitudes de Fourier (AF). En los desplazamientos horizontales del punto A, se puede observar que todos los algoritmos presentan ligeras deamplificaciones respecto a la solución de NM3, observándose las mayores diferencias (amplificaciones) al principio de la respuesta, especialmente para NM7 y HHT. De los espectros también se puede comprobar que la señal de respuesta tiene un bajo contenido en altas frecuencias, ya que, al igual que en el caso seco, no se identifican frecuencias superiores a la frecuencia más alta contenida en el acelerograma, en torno a los 15 Hz (figura 4.32). Del análisis espectral se deduce también, que para NM6 y WBZ es prácticamente coincidente con el de NM3, mientras que NM7 y HHT no alteran el contenido frecuencial pero tienden a amplificar la respuesta. En cuanto al comportamiento observado para el punto situado en el relleno, punto C, nuevamente la respuesta de todos los algoritmos es bastante coincidente entre sı́ y próxima a NM3, excepto NM7 que amplifica algunos picos. De los espectros se comprueba que, para este punto localizado en el relleno, la señal presenta mayor contenido frecuencial, identificando frecuencias hasta los 30 Hz, a diferencia del caso seco donde se encontraban frecuencias hasta los 40 Hz, lo que equivale a considerar el caso saturado como un sistema más flexible, como ya se identifico a través de las frecuencias propias de vibración (apartado 4.2). En este caso, el algoritmo HHT lamina considerablemente las altas frecuencias de la señal, seguido por el NM7, mientras que, los algoritmos de NM6 y WBZ prácticamente no alteran el contenido frecuencial, ni tampoco afectan notablemente a la amplitud de la respuesta. Respecto a la resultante de los empujes horizontales (|Eah |), figura 4.38, todos los algoritmos, excepto WBZ, deamplifican ligeramente la respuesta respecto al NM3, siendo el NM7 el que mas deamplificación introduce. Por otra parte, el comportamiento del algoritmo WBZ es anómalo con respecto a lo que cabrı́a esperar de un algoritmo disipativo, como se deduce tanto de la historia temporal como del espectro de Fourier, donde este algoritmo introduce, al menos para este parámetro, un importante ruido o contaminación en altas frecuencias. Por el contrario, la laminación de las altas frecuencias contenidas en la señal, que introducen el resto de algoritmos, no es muy significativa. El análisis de los empujes verticales (|Eav |) se muestra en la figura 4.41. En este caso, la mayorı́a de los algoritmos amplifican la respuesta, aunque la solución obtenida por NM6 es muy próxima a la de NM3. Este comportamiento se observa también a través de los espectros de Fourier, donde cada uno de los algoritmos tiende a amplificar la respuesta con 230 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.03 0.02 ux (m) 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) Desplazamiento horizontal: ux (m) −2 −2 10 10 −4 Newmark−7 10 AF (ux) x AF (u ) Newmark−6 NM3 NM6 −6 10 −8 10 0 −4 10 −6 10 −8 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) −2 40 50 −2 −4 NM3 HHT WBZ 10 AF (ux) x AF (u ) 30 10 HHT −6 10 −8 0 20 Frecuencia (Hz) 10 10 NM3 NM7 −4 NM3 WBZ 10 −6 10 −8 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: ux Figura 4.33 – Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS231 0.015 SRelleno (m) 0.01 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) Asiento relleno: SRelleno (m) −2 −2 10 Newmark−6 Newmark−7 NM3 NM6 −4 AF (SRell) AF (S Rell ) 10 10 −6 10 −8 10 0 −4 10 −6 10 −8 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) −2 40 50 −2 −4 WBZ AF (SRell) ) Rell AF (S 30 10 NM3 HHT HHT 10 −6 10 −8 0 20 Frecuencia (Hz) 10 10 NM3 NM7 −4 NM3 WBZ 10 −6 10 −8 10 20 30 40 50 10 0 10 Frecuencia (Hz) 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: SRelleno Figura 4.34 – Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). 232 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 4 9 x 10 8 7 |Eah| (N) 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) |Eah | (N) 5 5 10 10 NM3 NM7 ah AF (Eah) Newmark−7 AF (E ) Newmark−6 NM3 NM6 0 0 10 10 −1 10 0 −1 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) 5 5 10 10 NM3 WBZ ah AF (Eah) WBZ AF (E ) HHT NM3 HHT 0 0 10 10 −1 10 0 −1 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: Eah Figura 4.35 – Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) sobre el trasdós. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS233 4 3.6 x 10 3.4 |Eav| (N) 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) |Eav | (N) Newmark−6 5 Newmark−7 5 10 10 AF (Eav) NM3 NM7 av AF (E ) NM3 NM6 0 10 −2 10 0 −2 10 20 30 40 10 50 Frecuencia (Hz) HHT 5 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) WBZ 10 AF (Eav) NM3 HHT av AF (E ) 0 5 10 0 10 −2 10 0 10 0 NM3 WBZ 0 10 −2 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: Eav Figura 4.36 – Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. 234 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 H (m) 5 NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ M−O 4 3 2 1 0 −7 −6 −5 −4 −3 σ −2 max hz [E ah ] −1 0 1 (Pa) 4 x 10 (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 7 NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −10000 −8000 −6000 −4000 −2000 τ 0 max [E ah ] 2000 4000 6000 8000 (Pa) (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) Figura 4.37 – Caso Seco: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS235 respecto a NM3, siendo NM6 el que menos lo hace. En general, ninguno de los algoritmos altera prácticamente el contenido frecuencial de la respuesta, en particular en la región de las altas frecuencias. En lo referente a la resultante de la presión de agua (Pw ), figura 4.42, la respuesta dada por los algoritmos NM6 y WBZ es bastante cercana a la obtenida con NM3, mientras HHT y NM7 tienden a deamplificar la solución. De los respectivos espectros de Fourier, se puede comprobar de nuevo que HHT y NM7 laminan ligeramente las altas frecuencias con respecto al NM3, mientras que, NM6 y WBZ no amortiguan las altas frecuencias de la señal e incluso, en el caso de NM6, introduce un cierto ruido de muy altas frecuencias. Cabe destacar que, el contenido frecuencial en la respuesta de la presión de agua es mayor que en el caso de las tensiones. Finalmente, en la figura 4.43 se muestran las distribuciones de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de agua sobre el trasdós correspondientes al máximo empuje horizontal. En la primera de ellas, σhz , se observa que la distribución de tensiones con la altura del muro es claramente no lineal y superior en todos los casos al valor dado por M-O, al igual que se comprobó en el análisis del caso tipo bajo solicitación armónica (apartado 4.4.2). De todos los algoritmos se obtiene una distribución de tensiones con la misma tendencia y muy similar entre sı́, detectando las mayores diferencias en la parte central de la altura del muro. En cuanto a las tensiones tangenciales, de nuevo se repite la distribución identificada en casos anteriores, a la vez que se observa que el algoritmo de integración utilizado no tiene influencia, ya que, las soluciones calculadas por los cinco integradores temporales se superponen. Por último, la distribución de presión de agua sobre el trasdós obtenida mediante los distintos algoritmos de integración es también muy similar, observándose ligeras diferencias en la parte inferior del muro. Principales observaciones y aplicabilidad de la metodologı́a basada en las Funciones de Transferencia A la vista de la exposición anterior, se puede concluir que el análisis de la influencia del algoritmo de integración temporal en la respuesta de este tipo de problemas es bastante complejo, ya que intervienen múltiples factores cuya influencia es difı́cil de identificar, a pesar de realizar un análisis tanto en el dominio del tiempo como frecuencial. En particular, la interacción con la propia estructura, el efecto disipador del agua y la posibilidad de que se reintroduzcan en el relleno reflexiones de las ondas que se propagan por el medio al incidir sobre el propio muro (ya que a todos los efectos éste puede considerarse equivalente a un borde fijo) son factores que propician esta dificultad. Sin embargo, a modo de resumen se pueden extraer las siguientes conclusiones: Independientemente del algoritmo de integración y de forma inherente al propio problema, las respuestas del relleno obtenidas para el caso de suelo seco presentan mayor contenido de altas frecuencias que en el caso de suelo saturado, y en ambos casos, son superiores a la frecuencia máxima introducida por la solicitación. Mientras que en ambos casos, la respuesta del punto situado sobre la propia estructura rı́gida 236 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.025 0.02 0.015 ux (m) 0.01 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) Desplazamiento horizontal: ux (m) −2 −2 10 Newmark−7 NM3 NM6 AF (ux) Newmark−6 x AF (u ) 10 −4 10 −6 10 0 −4 10 −6 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) −2 40 50 −2 WBZ AF (ux) NM3 HHT x AF (u ) 30 10 HHT −4 10 −6 0 20 Frecuencia (Hz) 10 10 NM3 NM7 NM3 WBZ −4 10 −6 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: ux Figura 4.38 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS237 0.01 SRelleno (m) 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) Asiento relleno: SRelleno (m) −2 −2 10 10 Newmark−7 −4 AF (SRell) AF (S Rell ) Newmark−6 NM3 NM6 10 −6 10 −8 10 0 −4 10 −6 10 −8 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) 40 50 −2 WBZ NM3 HHT −4 AF (SRell) ) Rell AF (S 30 10 HHT 10 −6 10 −8 0 20 Frecuencia (Hz) −2 10 10 NM3 NM7 −4 NM3 WBZ 10 −6 10 −8 10 20 30 40 50 10 0 10 Frecuencia (Hz) 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: SRelleno Figura 4.39 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). 238 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 5 2 x 10 1.8 |Eah| (N) 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) |Eah | (N) 6 6 10 10 Newmark−6 AF (Eah) 2 10 0 10 −2 10 0 Newmark−7 4 ah AF (E ) 4 10 NM3 NM6 10 2 10 0 10 −2 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) 30 40 50 6 HHT 4 2 10 0 10 −2 0 WBZ 4 AF (Eah) 10 10 NM3 HHT ah AF (E ) 20 Frecuencia (Hz) 6 10 10 NM3 NM7 10 NM3 WBZ 2 10 0 10 −2 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: Eah Figura 4.40 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) sobre el trasdós. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS239 4 4.8 x 10 4.6 |Eav| (N) 4.4 4.2 4 3.8 3.6 3.4 3.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) |Eav | (N) 5 5 10 Newmark−7 NM3 NM6 AF (Eav) Newmark−6 av AF (E ) 10 2 10 0 2 10 0 10 10 −1 10 0 −1 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) 5 30 40 50 5 10 NM3 HHT WBZ av AF (Eav) HHT AF (E ) 20 Frecuencia (Hz) 10 2 10 0 NM3 WBZ 2 10 0 10 10 −1 10 NM3 NM7 0 −1 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: Eav Figura 4.41 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. 240 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 5 2.8 x 10 2.6 Pw (N) 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ (a) Pw (N) 6 6 10 10 4 Newmark−7 AF (Pw) AF (Pw) Newmark−6 NM3 NM6 10 2 10 0 10 0 4 10 2 10 0 10 20 30 40 10 50 0 10 Frecuencia (Hz) 40 50 4 10 WBZ NM3 HHT AF (Pw) AF (Pw) 30 6 HHT 10 2 10 0 0 20 Frecuencia (Hz) 6 10 10 NM3 NM7 4 NM3 WBZ 10 2 10 0 10 20 30 40 50 10 0 Frecuencia (Hz) 10 20 30 40 50 Frecuencia (Hz) (b) Amplitud Fourier: Pw Figura 4.42 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la resultante del empuje del agua (Pw ) sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS241 8 NM−3 NM−6 NM−7 HHT WBZ M−O 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −5 −4 −3 −2 −1 σ max hz [E ] ah 0 1 2 (Pa) 4 x 10 (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 7 NM−3 NM−6 6 NM−7 H (m) 5 HHT WBZ 4 3 2 1 0 −2.5 −2 −1.5 τ −1 −0.5 ah 0 0.5 4 x 10 (Pa) max [E ] (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) 8 7 NM−3 NM−6 6 NM−7 H (m) 5 HHT WBZ 4 Westergaard 3 2 1 0 0 1 2 3 4 p 5 max w [E ah ] 6 7 8 (Pa) 9 4 x 10 (c) Presión de poro concomitante con (Eah )max (P a) Figura 4.43 – Caso Saturado: Influencia de los algoritmos de integración temporal en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de agua sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 242 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... (punto A) tiene un contenido frecuencial pobre en altas frecuencias y muy similar al de la propia solicitación. Por otro lado, el contenido frecuencial de la respuesta de la presión de agua es mayor que el de las respuestas en tensiones (caso saturado). Como se puede comprobar, el contenido de altas frecuencias que aparece en la respuesta del relleno depende significativamente del tipo de problema, seco o saturado. A raı́z de esto, por una parte puede resultar conveniente la utilización de algoritmos disipativos que permitan eliminar los ruidos asociados a dichas altas frecuencias, especialmente de cara a mejorar la estabilidad numérica del problema, aunque por otra la influencia de estos algoritmos será diferente para un caso con relleno seco o saturado puesto que el contenido de altas frecuencias en cada uno de ellos es diferente. Del estudio realizado con los cinco algoritmos indicados, se observan determinados comportamientos singulares en los siguientes casos y algoritmos, los cuales deben usarse con cautela. En el caso seco, el algoritmo NM7 presenta un comportamiento anómalo en algunos de los parámetros analizados, mientras que, en el caso saturado, el algoritmo WBZ presenta importantes discrepancias en el calculo de Eah con respecto al resto de algoritmos estudiados. En la mayorı́a de las respuestas del caso seco se comprueba que las soluciones obtenidas con NM6 y HHT se encuentran muy próximas entre sı́, aunque el número de iteraciones necesarias para la convergencia de HHT es superior al de NM6. En el caso saturado, se obtienen soluciones muy próximas entre sı́ con todos los algoritmos utilizados, a la vez que el esperado efecto de amortiguamiento de las altas frecuencias (algoritmos disipativos) es muy reducido o prácticamente no se produce en muchos casos, y en cualquier caso es mucho menor que en el caso seco. En cuanto a la aplicabilidad de la metodologı́a basada en Funciones de Transferencia (FT), descrita en el apartado 3.4.3, para evaluar el comportamiento de los algoritmos de integración en un problema más complejo como el que se aborda en este estudio, se puede concluir lo siguiente: Como ya se comprobó de la figura 3.3, las FT correspondientes al algoritmo de NM3 no están deamplificadas con respecto a la exacta en todo el rango de frecuencias, por lo tanto este algoritmo no introduce ningún tipo de amortiguamiento. Este fenómeno se ha podido comprobar claramente a través de los análisis de frecuencias (espectros de Fourier) realizados para los diferentes parámetros recogidos en este estudio, tanto en el caso seco como saturado, donde los resultados obtenidos con dicho algoritmo presentan, a diferencia del resto métodos, un gran contenido en altas frecuencias. La influencia, en términos absolutos, de los algoritmos de integración en los valores obtenidos de desplazamientos, empujes y presiones sobre el muro es moderada. Esto es debido a que ambos sistemas, caso seco y saturado, cuentan con un periodo fundamental de vibración medio-largo, de valor 1,29 seg para el caso seco y 1,64 seg para el caso saturado. A través de la figura 3.3 se puede comprobar que las FT numéricas 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS243 para periodos de vibración medios o largos, como los de este problema, prácticamente son coincidentes con la FT exacta en todos los algoritmos, de ahı́ su limitada influencia. Por lo tanto, las diferencias observadas en este problema más complejo se deben a las alteraciones que los algoritmos introducen en los rangos de altas frecuencias como se comprueba de los respectivos espectros de Fourier, a la vez que son las frecuencias donde las FT numéricas se modifican respecto a la exacta. De los estudios en frecuencias sobre los resultados del caso de muro, también se observa que, en general, los algoritmos amortiguan más a media que las frecuencias son más altas, como también sucede con el comportamiento de las FT numéricas, las cuales se encuentran más deamplificadas respecto a la exacta a medida que el periodo natural de vibración es más bajo (frecuencia de vibración más alta). En general, los resultados y comportamientos observados del estudio del muro para los algoritmos NM6, HHT y WBZ, salvo algunas singularidades puntuales, son similares entre sı́, al igual que también son bastante similares entre sı́ el comportamiento exhibido por las respectivas FT numéricas de cada uno de ellos. Por otra parte, el algoritmo NM7 normalmente tiende a reducir ligeramente la amplitud de las altas frecuencias observadas en la respuesta del muro pero no a eliminarlas o reducirlas significativamente, ya que este algoritmo presenta unas FT numéricas que están mucho menos deamplificadas respecto a la exacta que en los tres métodos anteriores. El comportamiento opuesto a estos cuatro métodos se observa para el algoritmo de NM3, el cual no amortigua las altas frecuencias, como se observa evidentemente en los espectros de Fourier obtenidos de la respuesta del muro, y que se corresponde claramente con el comportamiento de sus FT numéricas, las cuales no están deamplificadas con respecto a la exacta para ningún valor de frecuencia de vibración. Finalmente, como tanto en las historias temporales del desplazamiento del muro como en las diferentes respuestas obtenidas para el relleno saturado, el contenido de altas frecuencias en estos casos es mucho menor que en la respuesta del relleno seco, la influencia de los algoritmos de integración estudiados también es menor. Ya que, a medida que en la respuesta interviene menos contenido de altas frecuencias, es decir toman más peso las frecuencias medias y bajas, las FT numéricas de los algoritmos para dichas frecuencias también están más próximas a la exacta y por lo tanto las diferencias entre los algoritmos se reduce. 4.5.4. Influencia de las propiedades de los elementos de interface En esta sección se analiza la repercusión que tiene las propiedades asignadas a los elementos de interface sobre la respuesta, estática y dinámica, de la estructura de contención considerada en este capitulo, tanto en condiciones de relleno seco como saturado. En este análisis se han mantenido las caracterı́sticas de los casos tipo descritos en el apartado 4.2 variando exclusivamente las propiedades a cortante de los elementos dispuestos en la interface del trasdós del muro. Para el estudio se han empleado un total de tres valores del 244 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 8 GSup=1.5GTipo 7 G =GTipo GInf =0.5GTipo 6 Coulomb 5 H (m) H (m) 5 4 4 3 3 GSup=1.5GTipo 2 2 G = GTipo 1 1 0 −2.5 −2 −1.5 −1 σhz (Pa) −0.5 0 0.5 4 x 10 0 −10000 GInf=0.5GTipo −8000 (a) Tensión horizontal −6000 −4000 τ (Pa) −2000 0 2000 (b) Tensión tangencial Figura 4.44 – Caso Seco: Leyes de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro (análisis estático) para las diferentes rigideces a cortante de la interface consideradas. 8 8 GSup=1.5GTipo 7 G = GTipo 6 GInf=0.5GTipo 6 5 Coulomb 5 4 3 2 2 1 1 −3 −2.5 G = GTipo 4 3 0 −3.5 GSup=1.5GTipo GInf=0.5GTipo H (m) H (m) 7 −2 −1.5 σ (Pa) −1 −0.5 (a) Tensión horizontal 0 0.5 4 x 10 0 −2.5 −2 −1.5 −1 τ (Pa) −0.5 0 0.5 4 x 10 (b) Tensión tangencial Figura 4.45 – Caso Saturado: Leyes de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós del muro (análisis estático) para las diferentes rigideces a cortante de la interface consideradas. modulo de elasticidad transversal G: un 50 % superior al valor de G adoptado para el caso tipo (Gsup = 1,5G = 13,5 · 103 N/m2 ), un 50 % inferior (Ginf = 0,5G = 4,5 · 103 N/m2 ) y finalmente el valor del caso de refencia (Gtipo = 9 · 103 N/m2 ).Para el resto de propiedades de los elementos de interfaz se han mantenido los datos recogidos en la tabla 4.4. Antes de revisar la influencia de la interface sobre la respuesta dinámica de la estructura de contención, se analiza su influencia en la respuesta estática. En las figuras 4.44 y 4.45 se muestran las leyes de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós, para el caso seco y saturado, respectivamente. Al igual que en los análisis anteriores, se mantiene la solución obtenida por el método de Coulomb (estático) como referencia. De dichas figuras se puede comprobar que, en ambos casos, el valor de la rigidez tangencial de la interface no tiene prácticamente influencia en las leyes de presiones horizontales pero si afecta significativamente a las leyes de tensiones tangenciales sobre el trasdós, manteniendo la distribución triangular que ya se ha observado en otros casos, pero escalada según el valor de G considerado, de tal modo que los esfuerzos tangenciales sobre el trasdós son mayores a medida que la rigidez de la interface aumenta. Caso Seco Para la respuesta dinámica del caso seco se analiza en primer lugar la influencia sobre los desplazamientos que experimentan diferentes puntos del modelo, sobre la influencia en 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS245 Tabla 4.6 – Caso Seco: desplazamiento horizontal máximo de la coronación del muro (umax ), asiento máxix max max mo del relleno (Srelleno ), empuje activo horizontal máximo (Eah ) y empuje vertical concomitante conco (Eav ) obtenidos para los distintos valores de rigidez de la interface. Gsup Gtipo Ginf umax (m) x max Srelleno (m) max (N ) Eah conco (N ) Eav −0,0260 −0,0302 −0,0307 −0,0173 −0,0194 −0,0157 1,45 · 105 9,67 · 104 8,04 · 104 3,42 · 104 2,36 · 104 1,51 · 104 las resultantes de los esfuerzos en el muro y, finalmente sobre las distribución de tensiones sobre el trasdós. En la figura 4.46 se representan los desplazamientos horizontales que experimenta la coronación del muro (punto A (22.5, 12), figura 4.1), y el asiento del relleno junto al trasdós (punto C (28.2, 12), figura 4.1), para los diferentes valores de rigidez transversal considerados. En cuanto a los desplazamientos horizontales de la estructura, se puede comprobar que para el valor más alto de rigidez (Gsup ) se producen menores desplazamientos que en los otros dos casos, Gtipo y Ginf , donde los desplazamientos horizontales obtenidos son muy similares, tabla 4.6. En cuanto al asiento del relleno, se observa que durante la respuesta transitoria los tres casos estudiados ofrecen valores muy próximos entre sı́ aunque el mayor asiento se produce para el menor valor de G. Sin embargo, este comportamiento no se mantiene a medida que la historia temporal progresa hacia la respuesta estacionaria, ya que en esta etapa, según aumenta el valor de G también lo hace la amplitud en la oscilación de la respuesta, debido al carácter elástico de la interface. En la figura 4.47 se representa la historia temporal de las resultantes del empuje activo horizontal y vertical sobre el trasdós del muro para los diferentes valores analizados, incluyendo como referencia el resultado según el método de Mononobe-Okabe (M-O). En cuanto al empuje activo horizontal, Eah , se obtienen mayores empujes para el caso de mayor rigidez (Gsup ) y menores empujes para el menor valor de G (tabla 4.6), aunque, al igual que sucedı́a para los desplazamientos horizontales del muro, las respuestas obtenidas para Gtipo y Ginf se encuentran más próximas entre sı́ que con respecto a Gsup , donde no se identifica claramente una etapa de respuesta estacionaria. Respecto a los valores del empuje vertical, Eav , se comprueba que éste depende claramente de la rigidez de la interface, obteniendo mayores empujes a media que la rigidez es más alta, tabla 4.6. Finalmente, las distribuciones de presiones horizontales y verticales sobre el trasdós del muro se representan en la figura 4.48 para los valores máximos de empuje horizontal max ). Por una parte, se puede observar la no linealidad de la ley de tensiones horizonta(Eah les verificando, al igual que en la figura 4.47, que se obtienen un empuje superior para el valor más alto de rigidez Gsup , mientras que la distribución de presiones para los otros dos casos, Gtipo y Ginf , se encuentra más próximas entre sı́. En cuanto a las distribuciones de tensiones tangenciales sobre el trasdós, se presenta de nuevo una distribución triangular, con valores más altos a media que aumenta la rigidez. Este comportamiento es análogo al observado en el cálculo estático. 246 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.02 (ux)Coronación (m) 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) G =1.5G Sup Tipo G=G G =0.5G Tipo Inf Tipo (a) Desplazamiento horizontal de la coronación del muro (punto A) 0.02 0.015 S Relleno (m) 0.01 0.005 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) G =1.5G Sup Tipo G=G Tipo G =0.5G Inf Tipo (b) Asiento del relleno (punto C) Figura 4.46 – Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface sobre el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)) y el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). (La localización de los puntos A y C se muestra en la figura 4.1). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS247 4 2 x 10 0 −2 Eah (N) −4 −6 −8 −10 −12 −14 −16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 t (s) G =1.5G Sup G=G Tipo G =0.5G Tipo Inf M−O Tipo (a) Eah (N) 4 4.5 x 10 4 E av (N) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) G =1.5G Sup Tipo G=G Tipo G =0.5G Inf Tipo (b) Eav (N) Figura 4.47 – Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ) y del empuje vertical (Eav ) sobre el trasdós. 248 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −4 −3 −2 σ −1 G =1.5G Sup 0 G=G Tipo 1 2 (Pa) hz 4 x 10 G =0.5G Tipo Inf M−O Tipo (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −12000 −10000 −8000 −6000 G −4000 =1.5G Sup −2000 τ (Pa) Tipo G=G Tipo 0 2000 4000 6000 G =0.5G Inf Tipo (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) Figura 4.48 – Caso Seco: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la distribución de tensiones horizontales y tangenciales sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS249 Tabla 4.7 – Caso Saturado: desplazamiento horizontal máximo de la coronación del muro (umax ), asiento máxix max max mo del relleno (Srelleno ), empuje activo horizontal máximo (Eah ), empuje vertical concomitante conco conco (Eav ) y empuje de agua concomitante (Ew ) obtenidos para los distintos valores de rigidez de la interface. Gsup Gtipo Ginf umax (m) x max Srelleno (m) max (N ) Eah conco (N ) Eav Ewconco (N ) −0,0309 −0,0330 −0,0353 −0,0173 −0,0228 −0,0210 2,59 · 105 2,40 · 105 2,38 · 105 6,36 · 104 4,78 · 104 5,85 · 104 4,25 · 105 2,81 · 105 3,57 · 105 Caso Saturado De forma análoga al caso seco, se muestra para el caso saturado, en la figura 4.49, los desplazamientos horizontales experimentados por la coronación del muro (punto A (22.5, 12), figura 4.1) y el asiento sufrido por el relleno localizado junto al trasdós (punto C (28.2, 12), figura 4.1) obtenidos para los tres valores de rigidez transversal considerados para la interface del trasdós. Por una parte, se comprueba que la rigidez de la interface tiene poca influencia sobre los desplazamientos horizontales de la estructura, ya que para los tres casos analizados se obtienen resultados muy similares, aunque el caso con mayor rigidez (Gsup ) devuelve el menor valor de desplazamiento y viceversa, tabla 4.7. En cuanto a los asientos del relleno, las respuestas obtenidas para los tres valores son coincidentes al inicio de la parte transitoria, como sucedı́a también en el caso seco, mientras que se diferencian ligeramente a medida que la historia temporal progresa hacia la etapa estacionaria, especialmente el caso de Gtipo frente a los otros dos. Respecto a las resultantes del empuje activo horizontal, de la figura 4.50 se puede comprobar que tampoco dependen significativamente de los valores de rigidez estudiados, siendo ligeramente superiores para el caso Ginf durante la respuesta estacionaria, aunque los valores máximos de Eah son muy similares en los tres casos, tabla 4.7. La influencia de la rigidez de la interface es más relevante en el empuje vertical sobre el trasdós (Eav ), aunque de forma no tan significativa como en el caso seco, ya que la respuesta para los valores extremos, Ginf y Gsup , se encuentra bastante próxima entre sı́, mientras que para el caso Gtipo es inferior. Finalmente, en cuanto a las resultantes del empuje de agua sobre el trasdós (Ew ), no se observan grandes diferencias para los tres casos considerados durante la respuesta estacionaria aunque sı́ durante la parte transitoria, tabla 4.7. En último lugar, en la figura 4.51 se muestra la forma que adquieren las distribuciones de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós del muro asociadas al valor máximo de empuje horizontal para cada uno de los valores de rigidez considerados. De las distribuciones de tensiones horizontales, se reafirma en primer lugar la no linealidad de éstas y en segundo lugar, la escasa dependencia de G. Para las distribuciones de tensiones tangenciales, se mantiene nuevamente una distribución aproximadamente triangular, donde los resultados para los casos extremos, Gsup y Ginf se aproximan bastante entre sı́, diferenciándose ligeramente de los resultados para el caso tipo Gtipo . En último lugar, la distribución de presión de poro sigue una tendencia no lineal, siendo el caso Gtipo el que más se aproxima a la solución de Westergaard, mientras que se obtienen resultados superiores en los otros dos valores de rigidez. 250 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.02 (ux)Coronacion (m) 0.01 0 −0.01 −0.02 −0.03 −0.04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t (s) G =1.5G Sup Tipo G=G G =0.5G Tipo Inf Tipo (a) Desplazamiento horizontal de la coronación del muro (punto A) 0.005 S Relleno (m) 0 −0.005 −0.01 −0.015 −0.02 −0.025 0 1 2 3 G 4 =1.5G Sup Tipo 5 t (s) G=G Tipo 6 7 8 9 10 G =0.5G Inf Tipo (b) Asiento del relleno (punto C) Figura 4.49 – Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface sobre el desplazamiento horizontal (ux ) de la coronación del muro (punto A (22.5, 12)) y el asiento del relleno (punto C (28.2, 12)). (La localización de los puntos A y C se muestra en la figura 4.1). 4.5. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA INFLUENCIA DE DIFERENTES ASPECTOS NUMÉRICOS251 5 −0.5 x 10 Eah (N) −1 −1.5 −2 −2.5 −3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 9 10 t (s) GSup=1.5GTipo G = GTipo GInf=0.5GTipo M−O (a) Eah (N) 4 7 x 10 6.5 Eav (N) 6 5.5 5 4.5 4 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (s) GSup=1.5GTipo G = GTipo GInf=0.5GTipo (b) Eav (N) 5 4.5 x 10 4 Ew (N) 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0 1 2 3 GSup=1.5GTipo 4 5 t (s) G = GTipo 6 7 GInf=0.5GTipo 8 Westergaard (c) Ew (N) Figura 4.50 – Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la resultante del empuje activo horizontal (Eah ), del empuje vertical (Eav ) y de la presión de agua (Ew ) sobre el trasdós. 252 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 8 7 6 H (m) 5 G =1.5G Sup Tipo G = GTipo G =0.5G Inf Tipo M−O 4 3 2 1 0 −10 −8 −6 −4 −2 σhz (Pa) 0 2 4 x 10 (a) Tensiones horizontales para (Eah )max (P a) 8 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −3.5 −3 −2.5 −2 G −1.5 =1.5G Sup −1 τ (Pa) G=G Tipo −0.5 0 0.5 4 x 10 G =0.5G Tipo Inf Tipo (b) Tensiones tangenciales concomitantes con (Eah )max (P a) 8 7 6 H (m) 5 4 3 2 1 0 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 p (Pa) G =1.5G Sup Tipo G=G Tipo G =0.5G Inf 9 4 x 10 w Tipo Westergaard (c) Presión de poro concomitante con (Eah )max (P a) Figura 4.51 – Caso Saturado: Influencia de la rigidez a cortante de los elementos de interface en la distribución de tensiones horizontales, tangenciales y de presión de poro sobre el trasdós correspondientes al empuje activo horizontal máximo. 4.6. EMPUJES DINÁMICOS PARA DIFERENTES REGISTROS SÍSMICOS: MODELO NUMÉRICO Y MÉTO A modo de resumen se puede concluir que la rigidez de la interface tiene poca influencia sobre las presiones horizontales en el caso estático, mientras que en la etapa dinámica, los empujes horizontales dependen de forma mas significativa de ésta, especialmente en el caso seco (mayor empuje a mayor rigidez) frente al saturado donde prácticamente no influye. La rigidez de la interface también afecta significativamente a las tensiones tangenciales en el trasdós, que presentan una distribución triangular y son de mayor magnitud a medida que la rigidez aumenta, tanto en la etapa estática y dinámica como en el caso seco y saturado. La resultante del empuje de agua sobre el trasdós (caso saturado) no depende significativamente de la rigidez durante la respuesta estacionaria pero sı́ durante la transitoria. En general, la rigidez de la interface tiene mayor influencia en la respuesta del caso con relleno seco frente a la situación saturada. 4.6. Empujes dinámicos para diferentes registros sı́smicos: Modelo Numérico y Métodos Simplificados Para finalizar este capitulo, se presentan los empujes activos sobre el trasdós resultantes de aplicar dos terremotos reales al muro tipo descrito en el apartado 4.2, tanto en la situación de relleno seco como con relleno saturado. Posteriormente se analizan los diferentes resultados obtenidos tanto con el modelo numérico como con los métodos simplificados de cálculo entre sı́. Dado que la práctica totalidad de dichos métodos simplificados consideran la carga dinámica casi exclusivamente a través del coeficiente de empuje sı́smico horizontal kh , se han seleccionado dos acelerogramas reales con un contenido frecuencial similar pero con diferentes valores de kh . Los acelerogramas empleados se corresponden con el registro de Hollister de 1974, con una aceleración pico de 0,12g (sismo suave), y el registro de Gilroy de 1989, componente N-S registrado en suelo y con una aceleración pico de 0,367g (sismo moderado). A continuación se presenta una breve descripción y caracterización de los dos registros indicados a través de los principales parámetros sı́smicos que los definen. Seguidamente, se presentan los valores de empujes sobre el trasdós obtenidos del modelo numérico, tanto para el caso seco como saturado y para cada uno de los acelerogramas, junto con los resultados de empujes derivados de los principales métodos de cálculo simplificados y que fueron recogidos en el capitulo 2. 4.6.1. Caracterización de los terremotos empleados En la figura 4.52 se representan los acelerogramas de los terremotos empleados para este estudio, un terremoto suave, el registro de Holliter con una aceleración pico o aceleración máxima de 0,12g, y un terremoto moderado, el registro de Gilroy (componente Norte-Sur) con una aceleración máxima de 0,367g, registrado en suelo. Las principales caracterı́sticas de ambos terremotos se recogen en la tabla 4.8 y en la figura 4.53. Para identificar el contenido frecuencial de cada registro, se muestran los correspondientes Espectros de Aceleraciones (SA) y Amplitudes de Fourier (AF), figuras 4.53(a) y 254 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... 0.15 Hollister Aceleración (g) 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 t (s) (a) Hollister 0.4 Gilroy 0.3 Aceleración (g) 0.2 0.1 0 −0.1 −0.2 −0.3 −0.4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t (s) (b) Gilroy NS-suelo Figura 4.52 – Acelerogramas empleados: (a) Hollister (USA-1974) (b) Gilroy N-S registrado en suelo (USA1989). 4.53(b), respectivamente. Con la finalidad de representar, aunque de forma muy limitada, a través de un único parámetro el contenido frecuencial de un registro, se recogen en la tabla 4.8 los valores de perı́odo predominante (Tpred ) y de perı́odo medio (Tmedio ) [57, 238]. Por otra parte, la Intensidad de Arias (AI) y la Densidad de Energı́a Especifica (SED), figuras 4.53(c) y 4.53(d), respectivamente, y tabla 4.8, son parámetros que tratan de identificar la energı́a de un terremoto y se definen según las siguientes expresiones: π AI = 2g Z SED = Z ∞ [a(t)]2 (4.1) [v(t)]2 (4.2) 0 tf 0 4.6.2. Empujes sobre el trasdós: Relleno Seco y Saturado En esta sección se comparan los resultados obtenidos tanto del modelo numérico como de diferentes métodos de cálculo simplificado para los dos registros sı́smicos indicados en el apartado anterior. Dada la heterogeneidad de metodologı́as de cálculo simplificadas existentes y de resultados que éstas pueden aportar, para este estudio comparativo se han Espectro de Aceleración: SA (g) 4.6. EMPUJES DINÁMICOS PARA DIFERENTES REGISTROS SÍSMICOS: MODELO NUMÉRICO Y MÉTO 1.6 Hollister Gilroy 1.4 (ξ=5%) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 Tn (s) 2.5 3 3.5 4 (a) Espectro de aceleración: SA Espectro de amplitudes de Fourier: AF −3 7 x 10 Hollister Gilroy 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30 Frecuencia (Hz) 35 40 (b) Espectro de amplitudes de Fourier: AF Intensidad de Arias: AI (m/s) 1.4 Hollister 1.2 Gilroy 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 t (s) 12 14 16 18 20 16 18 20 0.1 2 Specify Energy Density: SED (m /s) (c) Intensidad de Arias: AI 0.08 Hollister Gilroy 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 t (s) 12 14 (d) Specify Energy Density: SED Figura 4.53 – Caracterización de los registros sı́smicos empleados: (a) SA: Espectro de aceleración (b) AF: Espectro de amplitudes de Fourier en aceleraciones (c) AI: Intensidad de Arias (d) SED: Densidad de Energı́a Especifica, para el acelerograma de Hollister y el acelerograma de Gilroy N-S. 256 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... Tabla 4.8 – Parámetros caracterı́sticos de los registros sı́smicos empleados. Parámetros Hollister Gilroy (Sismo suave) (Sismo moderado) 0,120 0,4 0,373 0,106 0,0032 15,06 0,367 0,38 0,524 1,197 0,0876 20 amax (g) Tpred (s) Tmedio (s) AI (m/s) SED (m2 /s) tduracion (s) unificado considerado, para el caso seco la resultante del empuje activo sobre el trasdós (|Ea |), y para el caso saturado el valor del empuje total en la dirección normal al trasdós (RN ), incluyendo tanto la contribución del terreno como del agua. Para ambas variables se ha tomado el valor máximo del empuje para los resultados del modelo numérico. Para la resolución de estos casos, se han mantenido las caracterı́sticas de los casos tipos descritos en el apartado 4.2 de este capı́tulo, salvo en el caso seco donde se ha omitido la sobrecarga, ya que la gran mayorı́a de métodos simplificados de cálculo han sido formulados sin sobrecarga en el relleno. Para ambas situaciones, relleno seco y saturado, se ha empleado el algoritmo de integración Newmark γ = 0,6 β = 0,3025 (NM6) para eliminar los ruidos asociados a las altas frecuencias que se introducen en el relleno, como se comprobó en el apartado 4.5.3. En la siguiente lista se enumeran los distintos métodos simplificados de cálculo utilizados, agrupados según la metodologı́a sobre la que se han formulado. Todos ellos se describieron en el capitulo 2 (tabla 2.9) de este documento: Métodos de equilibrio limite: métodos pseudo-estáticos - Mononobe-Okabe (1926; 1929) [57, 58] y Kim et al. (2010) [6] - Seed y Whitman (1970) [3] - Dewaikar y Halkude (2002) [67] - Saran y Prakash (1966; 1968) [69, 70] - Shukla et al., Shukla y Habibi (2009; 2011) [51, 52] Métodos de equilibrio limite: métodos pseudo-dinámicos - Steedman y Zeng (1990) [9] - Choudhury y Nimbalkar, Nimbalkar y Choudhury (2006, 2007) [10, 83] Análisis Lı́mite - Chang y Chen (1982) [19] Presiones del agua - Westergaard (1933) [30, 29] - Matsuzawa et al. (1985) [30] 4.6. EMPUJES DINÁMICOS PARA DIFERENTES REGISTROS SÍSMICOS: MODELO NUMÉRICO Y MÉTO Tabla 4.9 – Resultante del empuje activo sobre el trasdós del muro (|Ea |) obtenida del modelo numérico y de diferentes modelos simplificados de cálculo para los registros sı́smicos de Hollister (1974) y Gilroy (1989), en el caso con relleno seco (sin sobrecarga). CASO SECO: |Ea | (kN ) Hollister Modelo Numérico* Gilroy (kh = 0,12g) (kh = 0,367g) 85,99 242,31 (Equilibrio lı́mite: Métodos pseudo-estáticos) Mononobe-Okabe/ Kim et al. Seed-Whitman Dewaikar-Halkude Saran-Prakash Shukla-Habibi 113,28 125,23 109,34 113,28 116,06 211,33 212,31 174,94 211,33 193,23 (Equilibrio lı́mite: Métodos pseudo-dinámicos**) Steedman-Zeng Choudhury-Nimbalkar 94,45 97,21 164,24 154,10 (Análisis lı́mite) Chang-Chen 113,28 *Se considera el valor de empuje activo máximo 211,29 (Eamax ). **La frecuencia de la solicitación senoidal w se ha calculado a partir del valor de Tm correspondiente. En aquellos métodos que se precisa se ha considerado δ = 2/3φ. Caso Seco Para ambos registros sı́smicos, se muestran en la tabla 4.9 los valores de la resultante de empuje activo sobre el trasdós, |Ea |, obtenidos a partir del modelo numérico empleado en esta investigación junto con los valores calculados a partir de diferentes métodos simplificados. En primer lugar se observa una buena concordancia para el terremoto de menor aceleración pico (Hollister) entre los resultados numéricos y los obtenidos con los métodos simplificados, especialmente con los pseudo-dinámicos, aunque los resultados de los distintos métodos simplificados presentan ciertas discrepancias entre sı́, siendo el método de Seed-Whitman el que devuelve el mayor empuje mientras que los resultados del modelo numérico, para este terremoto, son los más bajos. Sin embargo, a media que aumenta el coeficiente sı́smico horizontal (kh ), terremoto de Gilroy, las diferencias entre los métodos simplificados se incrementan ligeramente con respecto al sismo de Hollister, siendo en este caso los resultados del modelo numérico los más altos. Caso Saturado En el caso saturado, se muestra en la tabla 4.10 la resultante del empuje total en la dirección normal al trasdós (RN ) para diferentes métodos simplificados y para el modelo numérico. En este caso, el empuje obtenido del modelo numérico es ligeramente superior, aunque próximo, a los obtenidos con los métodos simplificados para el terremoto con menor valor de kh (Holliter), ası́ como también lo son las soluciones de los métodos simplificados 258 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS NUMÉRICO DE UN ESTRUCTURA DE CONTENCIÓN... Tabla 4.10 – Resultante de empujes totales, terreno y agua, en la dirección normal al trasdós (RN ), obtenida del modelo numérico y de diferentes modelos simplificados de cálculo para los registros sı́smicos de Hollister (1974) y Gilroy (1989), en el caso con relleno saturado. CASO SATURADO: RN (kN ) Hollister Modelo Numérico* Mononobe-Okabe y Westergaard Matsuzawa et al. Gilroy (kh = 0,12g) (kh = 0,367g) 506,48 463,29 481,34 604,15 644,99 765,89 *Se considera el valor de empuje activo máximo. En aquellos métodos que se precisa se ha considerado δ = 2/3φ. entre sı́. Mientras que para el registro con mayor valor de kh (Gilroy), se observan discrepancias más importantes tanto entre los distintos métodos simplificados como también con respecto al modelo numérico, siendo el método de Matsuzawa et al. el que devuelve el valor más alto y diferente al resto. Capı́tulo 5 Conclusiones y Futuras Lı́neas de Investigación 5.1. Conclusiones A continuación se exponen las principales conclusiones obtenidas en cada uno de los bloques desarrollados en esta tesis doctoral: 5.1.1. Del estado del conocimiento - De la extensa bibliografı́a existente, la práctica totalidad de las investigaciones publicadas sobre métodos de cálculo simplificado de empujes dinámicos en estructuras de contención, se pueden agrupar atendiendo a la metodologı́a sobre la que se sustentan según las siguientes categorı́as: métodos pseudo-estáticos y pseudo-dinámicos basados en la teorı́a del equilibrio lı́mite, basados en la teorı́a elástica, basados en soluciones elastoplásticas, basados en la teorı́a del análisis lı́mite y basados en el método de las lı́neas caracterı́sticas (“Slip line method”). - Las principales variables de diseño que se consideran en estos métodos son: el ángulo de rozamiento interno del material, el ángulo de rozamiento en el trasdós, la inclinación del trasdós, la pendiente del relleno, la cohesión, la sobrecarga sobre el relleno, el coeficiente sı́smico horizontal y el coeficiente sı́smico vertical. - A la vista de la gran variedad de investigaciones desarrolladas a partir de diferentes metodologı́as, y a las discrepancias reflejadas por los distintos autores, se puede concluir que no existe un método de cálculo simplificado que prevalezca claramente sobre el resto. La ventaja de muchos de estos métodos se encuentra en su facilidad de uso pero, por el contrario, también presentan importantes limitaciones inherentes a su formulación. Sin embargo, la mayorı́a de estas investigaciones muestran ajustes razonables tanto con resultados experimentales, cuando están disponibles, como con los valores reportados por otros autores, especialmente para la condición activa frente a la pasiva. En particular, es el método de Mononobe-Okabe (M-O), el utilizado como referente para estimar empujes sobre muros bajo situación dinámica. 259 260 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN - Las teorı́as tradicionales de cálculo de empujes asumen que se produce un movimiento suficiente del muro como para desarrollar una condición de rotura, tanto en activo como en pasivo, considerando habitualmente, y casi de forma exclusiva, el movimiento de rotación respecto a la base. Sin embargo, la situación más habitual es que se desarrolle solamente una situación intermedia de empuje activo o pasivo. - En general, los métodos simplificados no definen cómo es la distribución de presiones en el trasdós del muro, la cual se ve muy afectada por el tipo de movimiento que experimenta éste. Como consecuencia, tampoco definen ni el punto de aplicación de la resultante ni el momento desestabilizador de la estructura. La clásica distribución lineal de presiones sólo es válida para muros muy rı́gidos, con rellenos arenosos y con rotación respecto a la base. Para otro tipo o combinación de movimientos se observan leyes de distribución fuertemente no lineal. Este aspecto, no está claramente resuelto para problemas estáticos y, aún menos, para problemas dinámicos. - La mayor parte de las investigaciones publicadas se corresponden con rellenos secos, siendo mucho menos las que se refieren a rellenos saturados. Se disponen de pocos procedimientos analı́ticos o semi-analı́ticos para problemas saturados dinámicos, ya que, debido a su complejidad, la mayorı́a de las investigaciones son de tipo numérico. Se suele adoptar como referencia para el cálculo de las presiones hidrodinámicas el método simplificado de Westergaard. - Con respecto a los modelos numéricos para problemas estáticos, se puede concluir que: las leyes de presiones sobre el muro son, normalmente, no lineales y dependen del tipo de movimiento del muro, mientras que, la condición activa o pasiva solo se alcanza en una parte del relleno. También se ha observado que los siguientes aspectos tienen gran influencia en las leyes de presiones: el movimiento que experimenta el muro (magnitud y tipo), el proceso constructivo, las tensiones iniciales (K0 ), el ángulo de rozamiento interno del suelo, la flexibilidad del muro, la rugosidad del trasdós, las propiedades de la interfaz y la densidad relativa combinada con el tipo de movimiento. - En cuanto a investigaciones numéricas bajo solicitaciones dinámicas para rellenos sin agua, hay que indicar que un gran número de las mismas se han desarrollado para estructuras de contención flexibles. A pesar de esto, la mayorı́a de las investigaciones tienen en común los siguientes aspectos: modelos constitutivos elasto-plásticos para el relleno, amortiguamiento Rayleigh, elementos especiales para modelar la interfaz de contacto suelo-estructura, un estado tensional inicial proveniente de un cálculo estático previo, la consideración del proceso constructivo (especialmente para las estructuras flexibles), habitualmente el empleo de solicitaciones de tipo armónico, condiciones de contorno especiales para los bordes del dominio y con frecuencia algoritmos explı́citos de integración. De la revisión de las soluciones reportadas se observa, junto con los aspectos identificados para los modelos estáticos, que los siguientes aspectos también pueden tener gran influencia en las presiones sobre el trasdós: la densidad relativa del relleno, la amplitud y frecuencia de la solicitación y la frecuencia fundamental del relleno. 5.1. CONCLUSIONES 261 - Las investigaciones numéricas para estructuras de contención con rellenos saturados bajo solicitaciones dinámicas son relativamente recientes y escasas. Éstas se han desarrollado tanto para estructuras rı́gidas como flexibles, predominando incluso las segundas frente a las primeras. De la revisión de dichas investigaciones se pueden identificar las siguientes caracterı́sticas en común. Se basan en las ecuaciones de Biot (problema acoplado) y emplean una formulación simplificación u-p despreciando el término de la aceleración del fluido. El elemento estructural o de contención se suele modelar como un material elástico lineal, mientras que, para el relleno se emplean modelos elastoplásticos, siendo el más habitual el modelo de Pastor-Zienkiewicz, tanto para rellenos secos como saturados, y con menos frecuencia un modelo MohrCoulomb para el relleno seco. Muchas de las investigaciones revisadas consideran la arena de Nevada, cuyos parámetros para el modelo de Pastor-Zienkiewicz son conocidos y se encuentran bien calibrados para diferentes densidades relativas. Se adoptan diferentes técnicas numéricas especiales para establecer las tensiones iniciales, tratar numéricamente los contornos fijos del modelo y se utilizan elementos especiales para modelar la interfaz de contacto suelo-estructura, habitualmente con un criterio Mohr-Coulomb, aunque el comportamiento de estos elementos no suele estar definido con gran detalle en muchas de las publicaciones. En todas las publicaciones revisadas se han empleado algoritmos de integración pertenecientes a la familia de Newmark, sin un criterio unificado ni justificado para su elección. De igual modo, es muy frecuente introducir amortiguamiento tipo Rayleigh para garantizar la estabilidad numérica de los resultados, siendo por otra parte, difı́cil calibrar el grado de amortiguamiento que puede introducir, que en algunas investigaciones es muy elevado, y en particular, determinar cómo este afecta a la solución. Es habitual el empleo de un grado de interpolación mayor en los elementos de la malla para el campo de los desplazamientos que para el de presión de poro, independiente de la permeabilidad del medio. Finalmente, aquellas investigaciones que disponen de resultados experimentales, el ajuste con los resultados numéricos es razonable. 5.1.2. Del modelo numérico desarrollado Del tratamiento numérico de los bordes fijos del modelo - A través de los diferentes ejemplos de validación desarrollados en esta investigación se ha comprobado que es necesaria la adopción de técnicas numéricas para el tratamiento de los contornos fijos del dominio, con la finalidad de evitar la reflexión de las ondas hacia el dominio del cálculo, puesto que como se ha observado en dichos ejemplos, puede alterar significativamente, e incluso invalidar, la solución numérica. Por otra parte, el empleo de estas técnicas permite utilizar una extensión del dominio de cálculo más reducida y, por lo tanto, reducir el coste computacional del modelo. - De las diferentes técnicas revisadas, se ha optado por implementar unos contornos absorbentes basados en la propuesta de Lysmer y Kuhlemeyer [45], los cuales consisten en introducir unas fuerzas viscosas de amortiguamiento en los contornos. Esta 262 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN es la técnica más empleada por numerosos investigadores ya que permite controlar de forma efectiva las reflexiones de las ondas al incidir sobre el contorno. Por otra parte, ciertas formulaciones alternativas propuestas por otros autores acaban reduciéndose en esencia a la propuesta de Lysmer y Kuhlemeyer. - La implementación numérica de estas condiciones de contorno en el código GeHoMadrid (GHM) se ha realizado a través de la velocidad de las ondas de compresión (vp ) y la velocidad de las ondas transversales (vs ) del medio. La formulación original de Lysmer y Kuhlemeyer estaba planteada para medios sólidos o de una fase. En esta investigación se ha adaptado dicha formulación a un medio poroso saturado modificando vp con el término de compresibilidad del conjunto fluido-esqueleto sólido (Q∗ ). - A través de los diferentes ejemplos de validación, se verifica que los contornos absorbentes implementados, ası́ como, las modificaciones necesarias para adaptarlo a un medio poroso, son correctas y necesarias a la hora de calcular las historias temporales en desplazamientos, tensiones o de presión de poro, tanto en casos unidimensionales como bidimensionales, y en casos secos como saturados. En dichos ejemplos también se analiza el fenómeno de la reflexión de las ondas, ası́ como, el efecto que introducen estas condiciones de contorno, a través de un análisis frecuencial de la señal de respuesta, comprobando que éstas son satisfactorias. De los algoritmos temporales de integración paso a paso - La resolución por el método de los elementos finitos de problemas dinámicos requiere el empleo de algoritmos temporales de integración, siendo los algoritmos paso a paso, y en particular los de la familia de Newmark (NM) [54], concretamente Newmark γ = 1/2 y β = 1/4 (no disipativo) y Newmark γ = 0,6 y β = 0,3025 (disipativo), los más extendidos para problemas dinámicos de suelos. Sin embargo, a pesar de que en la literatura se pueden encontrar otros algoritmos alternativos su uso ha sido muy limitado. En esta lı́nea, muchas investigaciones van encaminadas a diseñar o emplear nuevos algoritmos disipativos, los cuales tienen la ventaja de introducir amortiguamiento numérico, especialmente, en el rango de las altas frecuencias, de tal modo que se eliminen las oscilaciones numéricas espurias debidas a éstas y se garantice una mejor estabilidad numérica de la solución. Por ello, en esta investigación se ha desarrollado la formulación necesaria para ampliar los algoritmos de integración de la familia de Newmark ya implementados en el código GeHoMadrid (GHM), a los denominados Métodos α-generalizados, que consisten en una formulación generalizada [44] que permite obtener cualquier algoritmo de la familia de Newmark ası́ como otros algoritmos disipativos introduciendo dos nuevos parámetros. En esta tesis se analizan los siguientes algoritmos: Newmark γ = 1/2 − β = 1/4 (NM3), Newmark γ = 0,6 − β = 0,3025 (NM6), Newmark γ = 0,51 − β = 0,2575 (NM7), el algoritmo de Hilber, Hughes y Taylor (HHT) y el algortimo de Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ). 5.1. CONCLUSIONES 263 - Tradicionalmente, la forma de evaluar el comportamiento de un algoritmo de integración temporal es a través de su estabilidad numérica y su precisión, para un SDOF sin amortiguamiento y en vibración libre. La primera de ellas se analiza con el radio espectral de la matriz de amplificación frente al ratio ∆t/Tn , y la segunda a través de la variación en la amplitud del desplazamiento y de la elongación del periodo. En este documento se presenta una forma alternativa de evaluar el comportamiento de los algoritmos de integración basada en las funciones de transferencia (FT) propias de cada uno de ellos frente a la exacta. Esta nueva metodologı́a permite, a diferencia de la anterior, evaluar la respuesta bajo vibración forzada desde un enfoque frecuencial que depende de cuatro parámetros: la frecuencia de la solicitación (ω), la frecuencia natural del sistema (ωn ), el amortiguamiento del sistema (ξ) y el paso de tiempo (∆t). Las FT se han obtenido tanto para la familia de algoritmos de Newmark como para el método α-generalizado, y se han definido para diferentes valores de ω, ωn y ∆t. - De la comparación de las FT numéricas frente a la exacta se puede comprobar que ambas coinciden, prácticamente, para los sistemas de periodo más largo y no para los sistemas de periodo muy corto (altas frecuencias), aunque, a medida que ∆t disminuye las FT se aproximan más entre sı́. Las FT numéricas se pueden encontrar desplazadas o escaladas con respecto a la exacta, en el primer caso supone una distorsión de la frecuencia y en el segundo un efecto de amplificación/deamplificación. Este último se observa, especialmente, en los conocidos algoritmos disipativos de altas frecuencias como NM6, HHT y WBZ, siendo el NM6 el que mayor amortiguamiento numérico introduce con respecto al resto, mientras que, a través de las FT también se puede verificar que el NM3 no introduce amortiguamiento alguno. - A través de dos ejemplos de validación, uno para un medio seco y otro para un medio saturado, tanto en la respuesta en desplazamientos como en presión de poro, se puede comprobar que los nuevos algoritmos están correctamente implementados en GHM, y que, en dichos ejemplos se reproducen la práctica totalidad de los comportamientos detectados a través de esta nueva metodologı́a basada en las FT. Del tratamiento numérico de la interfaz de contacto suelo-estructura - A pesar de la gran variedad de metodologı́as para afrontar los fenómenos de interacción suelo-estructura, éste es un tema actualmente en continuo desarrollo, que dada su complejidad requiere de nuevas investigaciones. - Tras la revisión de las principales técnicas para modelar la interfaz, se han adoptado para esta investigación unos elementos finitos especiales conocidos como elementos de pequeño espesor (((Thin Layer ))), por su idoneidad para ser implementarlos en un código de elementos finitos preexistente, y por los resultados satisfactorios avalados por otras investigaciones. La programación desarrollada de estos elementos en GHM 264 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN permite incluir diferentes interfaces (geometrias, propiedades y modelos constitutivos) dentro de un mismo modelo. - Estos elementos permiten reproducir los diferentes comportamientos que se pueden presentar en la interfaz suelo-estructura, siendo el deslizamiento relativo entre ambos materiales el más significativo. Los elementos de pequeño espesor presentan un ratio de forma pequeño y una ley constitutiva propia para el comportamiento normal (dirección normal a la interfaz) y otra para el comportamiento tangencial (dirección paralela a la interfaz), de tal forma que ambos comportamientos están desacoplados. • El comportamiento normal está gobernado principalmente por dos módulos de elasticidad, uno en compresión (E) y otro en tracción (Etrac ), de este modo se consigue reducir, e incluso suprimir en los casos más sencillos, la transmisión de esfuerzos de tracción a través de la interfaz. Para identificar las tracciones en la interfaz en cada paso de cálculo, se ha implementado un sistema de localización de dicho estado basado en ((etiquetas)). En total se definen cuatro estados, que se detectan por un cambio de signo en las deformaciones normales de los elementos de interfaz con respecto al estado del paso de tiempo anterior. Junto a este mecanismo, también se ha implementado un segundo mecanismo de control que verifica el signo de las tensiones normales. Para asegurar un cambio gradual pero rápido en la rigidez normal de la interfaz cuando se produce un cambio en el signo de las tensiones normales, se han implementado diferentes leyes de tipo exponencial para el módulo de elasticidad E en función de la deformación normal de la interfaz. • A través del comportamiento a cortante se reproduce principalmente el deslizamiento entre ambas caras del contacto. Este modo de deformación resulta de especial interés en modelos de estructuras de contención, ya que, es el encargado del desplazamiento relativo entre el relleno y el muro. El comportamiento a cortante se define por unas leyes constitutivas propias, a través del módulo de elasticidad transversal (G) e independientes de las definidas para el comportamiento normal. Estas leyes se aplican cuando las tensiones normales son de compresión, y, en caso contrario, se aplica un valor muy pequeño de G. Los modelos constitutivos implementados en esta tesis para el comportamiento a cortante son: elástico lineal, elástico lineal con un criterio Mohr-Coulomb y elástico hiperbólico. - A lo largo de los ejemplos de validación se puede comprobar que los elementos de interfaz implementados funcionan correctamente y son adecuados para reproducir adecuadamente el fenómeno de interacción entre dos superficies, puesto que los resultados numéricos coinciden con las soluciones analı́ticas de referencia utilizadas para todos los modelos constitutivos implementados. Por otra parte, el mecanismo adoptado para controlar y reducir la trasmisión de tracciones en la interfaz, también ha resultado satisfactorio a la vista de la solución obtenida en el correspondiente ejemplo de validación. 5.1. CONCLUSIONES 265 5.1.3. De la respuesta de una estructura de contención rı́gida bajo carga armónica - Mediante la aplicación de sucesivas etapas de cálculo donde se incorporan diferentes componentes del modelo progresivamente, se puede reproducir satisfactoriamente el estado tensional inicial del problema para iniciar a partir de él, la etapa de cálculo dinámico. - A través de las simulaciones desarrolladas se puede verificar que, tanto en el caso con relleno seco como saturado, se produce un movimiento del muro que resulta de la combinación de dos, rotación respecto a la base junto con traslación, bajo la condición de empuje activo. Este tipo de comportamientos ya han sido identificados también por los métodos simplificados. - Del análisis del estado tensional estático, previo a la etapa dinámica, se puede comprobar que: • En ambos casos, seco y saturado, las leyes de presiones horizontales sobre el trasdós presentan un marcado carácter no lineal, alejado de la tradicional distribución lineal asumida por la ley de Coulomb, encontrándose un mejor ajuste entre los resultados numéricos y la ley de Coulomb en el caso seco frente al saturado. Dicha distribución no lineal viene justificada por el tipo de movimiento que presenta el muro y resulta coherente con los resultados reportados por otros investigadores, tanto de teorı́as simplificadas como Wang [24] o Dubrova [26], como por modelos numéricos tales como los de Potts y Fourie [33] o Matsuzawa y Hazarika [36]. • Las resultantes numéricas de los empujes horizontales tampoco se aproximan al valor dado por la teorı́a de Coulomb, siendo ligeramente inferior a ésta para el caso seco y notablemente superior para el caso saturado. • Por otra parte, la distribución de tensiones tangenciales prácticamente no ha sido tratada en las diferentes investigaciones publicadas, ni con metodologı́as simplificadas ni con modelos numéricos. De los resultados numéricos obtenidos en esta investigación, se comprueba que éstas presentan una distribución aproximadamente triangular, con el máximo localizado en el tercio superior del muro y decrecientes con la profundidad, análogo al comportamiento identificado por Dewoolkar et al. [42]. • El valor del coeficiente de empuje de tierras (ratio entre las tensiones horizontales frente a las verticales), no es uniforme con la altura del muro, mostrando una distribución similar tanto en el caso seco como saturado, aunque de diferente magnitud y alejado del coeficiente de empuje activo de Coulomb, lo que indica que la estructura se encuentra en una condición de empuje activo intermedia. • Los elementos de interfaz pueden reproducir satisfactoriamente el desplazamiento relativo entre ambas caras de la interfaz, tanto para el contacto del trasdós como de la base. 266 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN - De la respuesta dinámica de los dos casos extremos analizados, seco y saturado, se obtienen las siguientes conclusiones: • Al igual que en el cálculo estático, en ambos casos se produce de nuevo un movimiento del muro resultante de la combinación de rotación respecto a la base junto con una traslación, predominando el segundo frente al primero. • En las respuestas tanto en desplazamientos como en tensiones y resultantes, se identifica claramente una componente transitoria seguida de una componente estacionaria, debida a la vibración forzada impuesta y, de frecuencia similar a la frecuencia de la solicitación aplicada. • Del análisis de la interfaz se puede observar que el desplazamiento horizontal de ambas caras de contacto es prácticamente coincidente entre sı́, e igual al que experimenta la estructura rı́gida, mientras que el desplazamiento vertical es completamente diferente, tanto en amplitud como en fase, siendo muy superiores los del lado del relleno frente a los del muro. Por lo tanto los elementos de interfaz, también para el caso dinámico, pueden reproducir correctamente el deslizamiento relativo entre muro y relleno. El comportamiento es equivalente para la interfaz de la base. • Al igual que en el caso estático, las leyes de tensiones horizontales sobre el trasdós son claramente no lineales con la altura del muro, de distribución aproximadamente parabólica. En el caso seco se aproxima, para algunas cotas, al valor dado por la distribución de presiones de Mononobe-Okabe (M-O), mientras que, en el caso saturado es muy superior a éste. Estos comportamientos también se han observado en la etapa estática con las leyes de presiones dadas por Coulomb. Puesto que el método de M-O es una extrapolación del método de Coulomb a un caso pseudo-estático, es razonable que se repitan las mismas singularidades en el cálculo dinámico. En todos los casos y como cabrı́a esperar, el valor de las tensiones horizontales es muy superior a las tangenciales. • Para las distribuciones de tensiones tangenciales sobre el trasdós se observan una leyes triangulares, salvo en la parte más inferior del muro, tanto en la etapa estática como dinámica, donde para esta última es prácticamente independiente del tiempo. • En el caso saturado, la distribución de presión de poro sobre el trasdós tiene tendencia curvilı́nea, de magnitud inferior al valor de Westergaard aunque de orden de magnitud similar. • En el caso saturado, los valores del ratio de licuefacción (ru ) son relativamente elevados, presentando fuertes oscilaciones durante la respuesta transitoria, para alcanzar finalmente una respuesta estacionaria. Sobre este parámetro influyen, entre otros, la proximidad al muro y los fenómenos de interacción con él, como también comprobaron Alyami et al. y Arablouei et al. en sus respectivas investigaciones [43, 236]. 5.1. CONCLUSIONES 267 • Las resultantes de los empujes horizontales (Eah ) presentan una frecuencia de oscilación próxima a la de la solicitación durante la fase estacionaria. En el caso seco, Eah es inferior al valor de M-O y el punto de aplicación1 oscila entre 0.07H y 0.42H, mientras que en el caso saturado, Eah es superior al valor de M-O y el punto de aplicación oscila entre 0.28H y 0.58H, alcanzando los valores más altos durante la fase estacionaria. De la combinación de ambos parámetros se comprueba que los momentos desestabilizadores respecto a la base obtenidos del modelo numérico son inferiores al calculado con M-O en el caso seco y superiores en el caso saturado. En resumen, el modelo M-O tiende a sobreestimar el empuje y acción desestabilizadora de éste frente al vuelco cuando el relleno esta seco y a subestimar éstos cuando el relleno esta saturado. • La resultante de la tensiones tangenciales (Eav ) presenta un valor prácticamente constante e independiente del tiempo, tanto en el caso seco como saturado. • En el caso saturado, la resultante del empuje de presión de poro (Ew ) del modelo numérico es inferior al valor de Westergaard, aunque dentro del mismo orden de magnitud. El punto de aplicación de Ew obtenido del modelo numérico oscila entre 0.24H y 0.43H, próximo a los valores dados por Westergaard, por lo tanto, el momento desestabilizador respecto a la base es inferior al del cálculo simplificado. • Eah se encuentra completamente en fase con Ew a lo largo de la respuesta estacionaria, resultando una combinación de acciones desfavorable de cara a la estabilidad del muro. 5.1.4. Del estudio paramétrico sobre diferentes aspectos numéricos De la influencia de los contornos absorbentes sobre la respuesta en una estructura de contención rı́gida - A través de las historias temporales analizadas, tanto en desplazamientos, tensiones como presión de poro, se ha comprobado que es necesario aplicar un tratamiento numérico en los lı́mites laterales del modelo, puesto que los contorno fijos no son válidos. En esta investigación se ha optado por condiciones de contorno absorbentes, para alcanzar ası́ unos resultados numéricamente admisibles. De la influencia del estado tensional inicial, K0 , sobre la respuesta en una estructura de contención rı́gida - La elección de un estado tensional inicial u otro basado en imponer un determinado valor de coeficiente de empujes de tierras al reposo K0 , afecta significativamente a los resultados numéricos obtenidos del modelo, con lo cual no es recomendable su uso para el tipo de problemas que se consideran en esta investigación. 1 Todas las cotas correspondientes al punto de aplicación de cualquier resultante están referidas a la base del muro. 268 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN - En el cálculo de una estructura de contención, la distribución de presiones horizontales y el coeficiente de empuje de tierras, que no es constante con la altura de muro, son variables del problema. Determinar las mismas, es aún más complejo porque dependen de la magnitud y tipo de movimiento que experimente el muro. - En trabajos previos desarrollados por otros investigadores como Potts y Fourie [32] para modelos estáticos de estructuras de contención, ya se destaca la gran dependencia de las presiones en el tradós del parámetro K0 . - Para el caso seco, se descartan los valores adoptados en la práctica habitual como K0 = 1, porque se obtienen resultados anómalos puesto que se fuerza a la estructura a partir de una condición de empuje más próxima al reposo y muy alejada de la condición activa. También se descarta el valor de K0 = 0,50 al subestimar las tensiones horizontales y sobreestimar las tangenciales sobre el trasdós, lo que no está del lado de la seguridad frente a la estabilidad de la estructura. No se observan diferencias significativas en las respuestas cuando se emplean los valores de K0 = 0,18 (Coulomb), K0 = 0,23 (M-O) o K0 = 0,29 (valor máximo del cálculo estático previo), ya que todos los casos tienden a dar menores desplazamientos del muro, asientos del relleno, empujes horizontales y verticales que cuando se parte del cálculo estático previo (K∗Estático ). Destaca de forma muy relevante la aparición de leyes de tensiones horizontales de distribución uniformes con la altura del muro, a la vez que unas leyes de tensiones tangenciales casi nulas para cualquiera de estos tres valores de K0 , lo que no se corresponde con la realidad. - Para el caso saturado, tampoco se observan grandes diferencias en los desplazamientos del muro y asientos del relleno entre los valores K0 = 0,18 (Coulomb), K0 = 0,23 (M-O) o K0 = 0,47 (valor máximo del cálculo estático previo), aunque los resultados obtenidos en todos los casos son menores a los de K∗Estático . Por el contrario, el valor de K0 utilizado sı́ afecta de forma muy significativa a los empujes horizontales sobre el trasdós, observando los mejores ajustes con K∗Estático para K0 = 0,18. Asimismo influye notablemente en la ley de presiones horizontales sobre el muro. Por otra parte, los resultados de empujes verticales y presión de agua, tanto en resultantes como en leyes de presiones, para los casos K0 = 0,18 y K0 = 0,23 son muy similares entre sı́, diferenciándose significativamente de los resultados obtenidos con K0 = 0,47 y K∗Estático . De la influencia de los algoritmos de integración temporal sobre la respuesta en una estructura de contención rı́gida - Determinar la influencia del algoritmo de integración temporal en la respuesta del muro es un proceso bastante complejo a pesar de que se ha analizado tanto en el dominio del tiempo como desde un punto de vista frecuencial. En él intervienen múltiples factores, tales como el contenido frecuencial de la señal, los modos de vibración propios 5.1. CONCLUSIONES 269 del problema, la rigidez de la estructura, las propiedades del relleno, el amortiguamiento del medio, la interacción con la propia estructura, el efecto disipador del agua, la posibilidad de que se reintroduzcan en el relleno reflexiones de las ondas al incidir sobre la estructura rı́gida, el algoritmo de integración, el paso de tiempo, la aplicación de amortiguamiento Rayleigh o no, entre otros. - Independientemente del algoritmo de integración y de forma inherente al propio problema, la respuesta de relleno obtenida para el caso seco presenta mayor contenido de altas frecuencias que en el caso saturado. Mientras que en ambos casos, la respuesta de la estructura rı́gida tiene un contenido frecuencial muy similar al de la propia solicitación. Por otra parte, en el caso saturado, el contenido frecuencial de la respuesta de la presión de poro es mayor que el de las respuestas en tensiones. - En el caso seco, el algoritmo Newmark γ = 0,51 − β = 0,2575 (NM7) presenta un comportamiento anómalo en algunos de los parámetros, como el empuje activo horizontal (Eah ) ya que altera notablemente el contenido de bajas frecuencias, mientras que en el caso saturado, el algoritmo de Wood, Bossak y Zienkiewicz (WBZ) presenta importantes discrepancias en el calculo de Eah con respecto al resto de algoritmos. - En la mayorı́a de las respuestas analizadas para el caso seco, se comprueba que las soluciones obtenidas con Newmark γ = 0,6 − β = 0,3025 (NM6) y Hilber, Hughes y Taylor (HHT) se encuentran muy próximas entre sı́. Sin embargo, el número de iteraciones necesarias para la convergencia con HHT es superior a NM6. Por otra parte, estos algoritmos disipativos permiten eliminar los ruidos asociados a las altas frecuencias que se introducen en el relleno, como se comprueba respecto a los resultados obtenidos del algoritmo no disipativo Newmark γ = 1/2 − β = 1/4 (NM3). - En el caso saturado, se obtienen soluciones muy próximas entre sı́ con todos los algoritmos utilizados, a la vez que el esperado efecto de amortiguamiento o laminación de las altas frecuencias, al tratarse de algoritmos disipativos, es muy reducido o prácticamente no se produce en muchos casos, y en cualquier caso es mucho menor que en el caso seco. - La metodologı́a propuesta para evaluar los algoritmos de integración basada en las Funciones de Transferencia (FT) permite identificar, al menos a grandes rasgos, el comportamiento que presenta un determinado algoritmo de integración paso a paso. Si bien, en los ejemplos más sencillos investigados, modelos elásticos, esta metodologı́a predice bastante bien los comportamientos observados, también es aplicable a problemas más complejos con comportamientos plásticos y disipativos, como la estructura de contención analizada tanto con relleno seco como saturado. De forma general, dicha metodologı́a es capaz de predecir la influencia sobre la respuesta (precisión) de emplear uno u otro algoritmo de integración en función del periodo fundamental del problema, en función del resto del contenido frecuencial inherente al problema y de la capacidad del algoritmo para amortiguar o laminar parcialmente el rango de altas frecuencias cuando las hay. 270 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN De la influencia de las propiedades de la interface sobre la respuesta en una estructura de contención rı́gida - Para el análisis estático, tanto con relleno seco como saturado, se observa que la rigidez de la interface no influye en las presiones horizontales sobre el trasdós, pero si afecta significativamente a las tensiones tangenciales, que son de distribución triangular y de mayor magnitud a medida que la rigidez aumenta. - Tanto con relleno seco como saturado, la rigidez de la interface tiene poca influencia sobre los desplazamientos de la estructura, aunque a mayor valor de G menor desplazamiento. Por otra parte, los asientos del relleno son independientes de la rigidez de la interface durante la fase de respuesta transitoria, pero se observa mayor dependencia a media que la respuesta progresa hacia la estacionaria, especialmente en el caso seco. - En la etapa dinámica, los empujes horizontales sobre el muro dependen de forma mas significativa de la rigidez de la interface en el caso seco (mayor empuje a mayor rigidez) frente al saturado, donde prácticamente no influye. Por el contrario, tanto en el caso seco como en el saturado y al igual que en el caso estático, el empuje vertical depende claramente de la rigidez, especialmente con relleno seco, obteniendo mayores empujes a media que la rigidez es más alta. Por último, la resultante del empuje de agua sobre el trasdós en el caso saturado no depende significativamente de la rigidez durante la respuesta estacionaria pero sı́ durante la transitoria. - La distribución de tensiones horizontales sobre el trasdós es de tipo no lineal en todos los casos analizados, y tiene escasa dependencia de la rigidez de la interface, sobretodo en el caso saturado. Por el contrario, y de forma análoga al caso estático, la distribución de tensiones tangenciales sobre el trasdós presenta una geometrı́a triangular y fuerte dependencia de G, con valores más altos a media que aumenta la rigidez. La distribución de presión de poro sigue una tendencia no lineal con la altura, y depende ligeramente de la rigidez de la interface aunque no de forma proporcional a ésta. - En general, la variación de la respuesta de la estructura no es proporcional a la variación de la rigidez, ya que, excepto los esfuerzos tangenciales, normalmente es más sensible a un aumento de G que a una reducción. Además la rigidez de la interface tiene mayor influencia en la respuesta del caso con relleno seco que con saturado. 5.1.5. De las simulaciones numéricas del comportamiento de una estructura de contención rı́gida sometida a registros sı́smicos reales: resultados numéricos y métodos simplificados de cálculo - Se observan discrepancias significativas entre los resultados obtenidos por los diferentes métodos simplificados entre sı́. Hay mayor concordancia entre los resultados de estos métodos para terremotos más suaves (menor valor de kh ), mientras que las discrepancias aumentan cuando el sismo es más severo (mayor valor de kh ). 5.2. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 271 - Los mejores ajustes entre los diferentes métodos simplificados y con el modelo numérico se obtienen para el registro con menor valor de aceleración pico (kh ), tanto con relleno seco como saturado. Las discrepancias con el modelo numérico también aumentan a medida que lo hace el valor de kh , ligeramente en el caso con relleno seco y de forma más significativa en el caso con relleno saturado. Para mayores valores de kh , el modelo numérico tiende a devolver empujes superiores a los métodos simplificados en el caso con relleno seco, y valores menores en el caso con relleno saturado. 5.2. Futuras lı́neas de investigación Las futuras lı́neas de investigación que se plantean a partir de esta tesis doctoral se enuncian a continuación. Respecto a las técnicas numéricas implementadas - Analizar la influencia en la respuesta dinámica de la estructura si se aplican desplazamientos impuestos para determinar el estado tensional inicial del modelo. - Analizar el comportamiento de las condiciones de contorno absorbentes implementadas cuando las ondas inciden de forma oblicua en el borde del dominio, especialmente cuando se aplican simultáneamente la componente horizontal y vertical del sismo, y calibrar para ese caso si fuera necesario, los parámetros a y b introducidos por Lysmer y Kuhlemeyer para mejorar la absorción del contorno. - Analizar la influencia del amortiguamiento tipo Rayleigh en la respuesta del modelo, discriminando la influencia de los coeficientes αR para las bajas frecuencias y βR para las altas frecuencias, tanto con una análisis en el dominio del tiempo como frecuencial. Analizar también su contribución en combinación con los algoritmos de integración temporal y con el contenido frecuencial de la señal, empleando para ello una solicitación dinámica con un rango de frecuencias controlado, como el acelerograma artificial de Bogdanoff utilizado en esta investigación. - Desarrollar la metodologı́a basada en las Funciones de Transferencia expuesta en esta investigación para estudiar y discriminar el efecto, si se produce, de los algoritmos de integración en el rango de las bajas y muy bajas frecuencias, a la vista de ciertos comportamientos singulares observados en determinados métodos paso a paso. Analizar la contribución del paso de tiempo utilizado en la integración sobre la precisión de la respuesta en la resolución de problemas complejos. - Discriminar la posibilidad de que reintroduzcan en el dominio reflexiones de las ondas al incidir sobre la estructura rı́gida, estudiando desde un enfoque frecuencial las respuestas obtenidas en diferentes secciones del relleno. Considerar de forma equivalente el efecto amortiguador del agua en el caso de relleno saturado. - Analizar la influencia del ratio de forma (t/L) de los elementos de interface. 272 CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN - Aplicar para una estructura de contención, tanto en estático como en dinámico, el modelo constitutivo elástico hiperbólico implementado para los elementos de interface, utilizando para ello datos de investigaciones experimentales que recojan tanto la caracterización de la propia interface como del material del relleno. - Analizar la influencia de rigidez de la interface de contacto muro-base, combinada con las propiedades de la interface muro-relleno, sobre los desplazamientos - giros de la estructura y las tensiones desarrolladas en el trasdós. - Aplicar los elementos de interface implementados en GHM a otros problemas donde se pueden presentar importantes fenómenos de interacción suelo-estructura, como las cimentaciones superficiales y especialmente, las cimentaciones profundas. Sobre la respuesta de una estructura de contención - Para problemas estáticos, proponer en base a una colección de simulaciones numéricas, una ley de empujes activos tanto de tensiones horizontales como tangenciales sobre el trasdós del muro, en función de los desplazamientos (tipo y magnitud) que experimente el muro y la condición de empuje que llegue a desarrollar, desde el activo hasta el pasivo, admitiendo cualquier situación intermedia. - A partir de diferentes simulaciones numéricas, proponer una metodologı́a para un cálculo estático que permita estimar el empuje sobre el muro debido a diferentes configuraciones de sobrecarga. - Contrastar los desplazamientos dinámicos sufridos por la estructura obtenidos del modelo numérico con los resultados calculados a partir de métodos simplificados como el método de Richard-Elms o Whitman-Lio. - Aplicar el modelo numérico de esta investigación para la simulación de resultados experimentales obtenidos de modelos a escala reducida o de obras reales bien caracterizadas e instrumentadas después de sufrir un episodio sı́smico. - Generalizar las simulaciones numéricas a otros casos tipo de estructuras de contención rı́gidas, también bajo carga dinámica, con diferentes geometrı́as, propiedades del relleno (parámetros del modelo Pastor-Zienkiewicz calibrados para otros suelos), y otros registros sı́smicos reales. - Contrastar las soluciones obtenidas al adoptar un modelo constitutivo mas simple, como el modelo de Mohr-Coulomb ampliamente utilizado en geotecnia, frente al modelo de Pastor-Zienkiewicz, en la respuesta dinámica de un muro rı́gido. - Para problemas dinámicos, definir la distribución y magnitud de las tensiones horizontales y, especialmente las tangenciales, en función del movimiento de muro que experimente la estructura de contención. 5.2. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 273 - Determinar la influencia en la respuesta dinámica de estructuras de contención rı́gidas de parámetros fı́sicos tales como: la densidad relativa del relleno, los parámetros del modelo constitutivo, la permeabilidad del medio, la posición del nivel freático, el valor de la sobrecarga, otros valores de rigidez de la estructura de contención (cajones con relleno). Ası́ como la componente vertical del sismo, la aceleración pico de éste, el contenido frecuencial y energético de la solicitación a través de parámetros como Tmedio , Tpromedio , la intensidad de Arias o la densidad de energı́a especifica (SED), entre otros, o la dirección de aplicación del sismo (hacia el muro o hacia el relleno). - En problemas saturados, analizar el fenómeno de licuefacción del relleno a través del ratio de licuefacción (ru ) tanto en puntos del relleno, como en las proximidades del muro y en la base de cimentación. - Discriminar la influencia de los numerosos factores anteriores frente a la estabilidad del muro, tanto a deslizamiento como a vuelco, a través de los correspondientes factores de seguridad. - Determinar, en base a simulaciones numéricas, la contribución del empuje pasivo sobre la respuesta del muro, tanto en condiciones estáticas como dinámicas. - Desarrollar un estudio análogo al presentado en esta investigación para estructuras de contención flexibles, tanto con relleno seco como saturado. - Introducir en el cálculo otro tipo de cargas dinámicas al margen de los terremotos, tales como oleaje o tráfico, a fin de analizar el comportamiento de estructuras de contención ubicadas por ejemplo en obras portuarias o en terraplenes de obras lineales. 274 CAPÍTULO 5. 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