Universidad Nacional Autónoma de Honduras en el valle de sula Asignatura: teoría de la probabilidad Catedrático: Zobeida Portillo Alumno: Kevin Josué López Silva Número de cuenta: 20152000638 Tema: investigación Parcial: II Fecha de entrega: 03/04/2020 Teoría de colas: Origen: El matemático danés Agner Krarup Erlang, trabajador de la Copenhagen Telephone Exchange, publicó el primer artículo sobre la teoría de colas en 1909.1 Específicamente se preocupó del estudio del problema de dimensionamiento de líneas y centrales de conmutación telefónica para el servicio de llamadas. Generalidades: La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Esta teoría estudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de trabajo del sistema sin que llegue a colapsar. Dentro de las matemáticas, la teoría de colas se engloba en la investigación de operaciones y es un complemento muy importante a la teoría de sistemas y la teoría de control. Se trata así de una teoría que encuentra aplicación en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y logística o telecomunicaciones. Objetivos: Los objetivos de la teoría de colas consisten en: Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza su coste. Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en su coste total. Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera. Aplicaciones: Las redes telefónicas se diseñan para acomodar la intensidad ofrecida del tráfico con solamente una pequeña pérdida. El funcionamiento de los sistemas depende de si la llamada es rechazada, de si está perdida, etc. Normalmente los sistemas de desbordamiento hacen uso de rutas alternativas e incluso estos sistemas tienen una capacidad de carga finita o máxima de tráfico. Sin embargo, el uso de las colas permite que los sistemas esperen por las peticiones de su cliente hasta que los recursos libres estén disponibles. Esto significa que si los niveles de la intensidad del tráfico exceden de la capacidad disponible, las llamadas del cliente se perderían. La disciplina de colas determina la manera de cómo manejar las llamadas de los clientes. Define la manera en que les servirán, la orden de las cuales se sirven, y la manera en la que los recursos se dividen entre los clientes. Modelos: Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. En las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos. Ejemplo: práctico de teoría de colas: Centro de reparación Apple Store El servicio técnico de la tienda Apple Store debe hacer todos los cambios de batería del IPhone, pero hay algunos casos en los que se complica ya que deben por política de empresa, cambiar la pantalla. El tiempo de reparación está distribuido de forma exponencial con una media de 30 minutos por teléfono entre abrir cambiar la batería, cerrar y comprobar. A pesar de que hay cita previa, nadie llega exactamente a la hora y los clientes con su teléfono van llegando durante todo el día. Asumiremos por facilidad, que ese día no sacan ningún teléfono nuevo, y los clientes llegan de forma más o menos escalonada. Para reparaciones: Llegan de media 10 al día en las 8 horas que está abierta la tienda. Queremos conocer cuál es la capacidad de reparación y cuanto tiempo está el servicio técnico sin reparar teléfonos. Como la tasa de llegada de teléfonos (lambda) es de 10/8 teléfonos a la hora. MU (tasa de reparación) es de 2 teléfonos a la hora. ro = lambda / mu = Ro0= 1- lambda / mu = 1 – 5/8=3/8 ¿De media cuantos teléfonos hay por reparar? L = ro / 1- ro = ¿Cuál es el tiempo medio total que un usuario con su teléfono está en la Apple store para una reparación? W= 1 / mu ( 1-ro)) tantos minutos. Proceso de poisson: Generalidades: En estadística y simulación, un proceso de Poisson, también conocido como ley de los sucesos raros, es un proceso estocástico de tiempo continuo que consiste en "contar" eventos raros (de ahí el nombre "sucesos raros") que ocurren a lo largo del tiempo. El tiempo entre cada par de eventos consecutivos tiene una distribución exponencial con parámetro λ; cada uno de tales tiempos es independiente del resto. Es llamado así por el matemático Siméon Denis Poisson (1781–1840). Aplicaciones: Una importante aplicación del proceso Poisson se encuentra en la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora. El problema fue tratado formalmente por Filip Lundberg en su tesis doctoral en 1903. Posteriormente, Harald Cramér desarrolla las ideas de Lundberg y da lugar a lo que hoy se conoce como el proceso de ruina o modelo de Crámer-Lundberg. El proceso de Poisson también se ha aplicado para los siguientes ejemplos: Número de accidentes de tránsito (o heridos/fallecidos) en una zona específica. Goles anotados en un partido de futbol.3 Solicitudes individuales de documentos en un servidor de Internet.4 Emisión de partículas debido a la desintegración radiactiva de una sustancia inestable; en este caso el proceso de Poisson es no homogéneo de una manera predecible; la tasa de emisión declina conforme las partículas se emiten.5 Potenciales de acción emitidos por una neurona.6 L. F. Richardson demostró que el estallido de la guerra se presentó como un proceso de Poisson entre 1820 y 1850.7 El conteo de fotones que llegan a un fotodiodo, en particular en ambientes con baja luminosidad; este fenómeno está relacionado con el llamado ruido de disparo. Las oportunidades para que las empresas ajusten los precios de nómina.8 La llegada de innovaciones en investigación y desarrollo.9 La solicitud de llamadas telefónicas en conmutadores.10 En la teoría de colas (véase Agner Krarup Erlang), el número de llamadas entrantes en una central telefónica puede calcularse como un proceso de Poisson. La cantidad de clientes que entran a una tienda. El número de coches que pasan por una autopista. La llegada de personas a una fila de espera. Cadenas de markov: Generalidades: En la teoría de la probabilidad, se conoce como cadena de Márkov o modelo de Márkov a un tipo especial de proceso estocástico discreto en el que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Markov. Recibe su nombre del matemático ruso Andréi Márkov (1856-1922), que lo introdujo en 1906.’ Estos modelos estadísticos cuentan con un gran número de aplicaciones reales. Aplicaciones: Meteorología Si consideramos el tiempo atmosférico de una región a través de distintos días, es plausible asumir que el estado actual solo depende del último estado y no de toda la historia en sí, de modo que se pueden usar cadenas de Márkov para formular modelos climatológicos básicos. Por ejemplo, se han desarrollado modelos de recurrencia de las lluvias basados en cadenas de Márkov.3 Modelos epidemiológicos Una importante aplicación de las cadenas de Márkov se encuentra en el proceso Galton-Watson. Éste es un proceso de ramificación que se puede usar, entre otras cosas, para modelar el desarrollo de una epidemia (véase modelaje matemático de epidemias). Internet El pagerank de una página web (usado por Google en sus motores de búsqueda) se define a través de una cadena de Márkov, donde la posición que tendrá una página en el buscador será determinada por su peso en la distribución estacionaria de la cadena. Simulación Las cadenas de Márkov son utilizadas para proveer una solución analítica a ciertos problemas de simulación, por ejemplo en teoría de colas el Modelo M/M/14 es de hecho un modelo de cadenas de Márkov. Juegos de azar Son muchos los juegos de azar que se pueden modelar a través de una cadena de Márkov. El modelo de la ruina del jugador, (Gambler's ruin), que establece la probabilidad de que una persona que apuesta en un juego de azar finalmente termine sin dinero, es una de las aplicaciones de las cadenas de Márkov en este rubro. Economía y finanzas Las cadenas de Márkov se pueden utilizar en modelos simples de valuación de opciones para determinar cuándo existe oportunidad de arbitraje, así como en el modelo de colapsos de una bolsa de valores o para determinar la volatilidad de los precios. En los negocios, las cadenas de Márkov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo. Genética Se emplean cadenas de Márkov en teoría de genética de poblaciones, para describir el cambio de frecuencias génicas en una población pequeña con generaciones discretas, sometida a deriva genética. Ha sido empleada en la construcción del modelo de difusión de Motō Kimura. Música Diversos algoritmos de composición musical usan cadenas de Márkov, por ejemplo el software Csound o Max. Uno de los compositores que usó esta técnica en sus composiciones fue Iannis Xenakis con su obra Analoguique A et B (1958–59). Operaciones Se emplean cadenas de Márkov en inventarios, mantenimiento, flujo de proceso Redes neuronales Se utilizan en las máquinas de Boltzman Modelo: Ejercicio N°1: Una empresa esta considerando utilizar Cadenas de Markov para analizar los cambios en las preferencias de los usuarios por tres marcas distintas de un determinado producto. El estudio ha arrojado la siguiente estimación de la matriz de probabilidades de cambiarse de una marca a otra cada mes: Si en la actualidad la participación de mercado es de 45%, 25% y 30%, respectivamente. ¿Cuales serán las participaciones de mercado de cada marca en dos meses más?. En primer lugar definimos la variable aleatoria que representa la marca que adquiere un cliente cualquiera en el mes n. Dicha variable aleatoria puede adoptar los valores 1,2,3 en el mes n=0,1,2,3,.. Adicionalmente conocemos cuál es la distribución inicial y la matriz de probabilidades de transición en una etapa tal como se observa a continuación: Luego para conocer la distribución de las participaciones de mercado al cabo de 2 meses (2 etapas) podemos utilizar la fórmula : Se concluye que las cuotas de mercado (participaciones de mercado) en dos meses a cambiado de un 45% a un 40.59%; de un 25% a un 33.91% y de un 30% a un 25.50%, para las marcas 1,2 y 3 respectivamente. Preguntas: 1.¿QUE ES LA DISTRIBUCION DE POISSON? La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente). 2.¿CUÁLES SON LAS VARIABLES QUE RELACIONAN LOS ANALISIS DE LAS LINEAS DE ESPERA? Los Análisis de Colas relacionan: la longitud de la línea de espera, el promedio de tiempo de espera y otros factores como: – la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola, Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente. 3.¿PORQUE SE FORMAN LAS FILAS O LINEAS DE ESPERA O TAMBIEN LLAMADAS COLAS DE ESPERA? Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. Fuentes: Desambiguación mediante Cadenas de Markov Una explicación visual por Victor Powell Gibbons, Robert D.; Bhaumik, Dulal; Aryal, Subhash (2009). John Wiley and Sons, ed. Statistical Methods for Groundwater Monitoring. p. 72. ISBN 0-470-16496-4.Lazowska, Edward D.; John Zahorjan; G. Scott Graham; Kenneth C. Sevcik (1984). Quantitative System Performance: Computer System Analysis Using Queueing Network Models. Prentice-Hall, Inc. ISBN 0-13746975-6. Zukerman, Moshe. Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models.
