UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA FACULTAD DE HUMANIDADES Y TECNOLOGÍAS DE LA COMUNICACIÓN SOCIAL ESCUELA DE CARTOGRAFÍA DIAGNÓSTICO DEL USO DE PROYECCIONES TRANSVERSALES DE MERCATOR EN ESCALAS URBANAS TESIS PARA OPTAR AL TÍTULO DE CARTÓGRAFO Y AL GRADO DE LICENCIADO EN CIENCIAS CARTOGRÁFICAS PROFESOR GUÍA : Miguel Valladares Quiroz AUTOR : Sebastián Alfredo Fuentes Santibáñez SANTIAGO – CHILE 2006 Nota Obtenida : ___________________ _________________________________ (Firma y timbre de autoridad responsable) 2 A Claudia, Cristina, Flor, Mario, Juan Pablo y Alejandro 3 Agradecimientos: A mi familia A mi profesor Guía Miguel Valladares Quiroz Al personal del sub departamento SIG del Servicio Agrícola Ganadero A mis amigos Ana Tapia y David Castillo Y a cuantos colaboraron de una u otra forma en el desarrollo de esta tesis Gracias de Corazón 4 RESUMEN La optima utilización de productos cartográficos como herramientas de análisis métrico del terreno, está condicionada, por una parte por la deformación inherente a la escala de representación, y por otra parte, por deformación propia de la proyección utilizada para representar el terreno. En el contexto de la representación urbana, el desconocer el origen e influencia de estas distorsiones puede derivar en la realización de mediciones erróneas y desajustadas de la realidad. La presente investigación busca definir el origen de las deformaciones métricas producidas en diversas proyecciones transversales de Mercator, su significancia en relación a las escalas de representación urbana y métodos para su corrección. ABSTRACT The optimal utilization of cartographic products as a tool of ground metric analysis, it’s conditional, for first instance for the inherent deformation of representation scale, and on second instance for the own deformation of the projection used to represent the ground. In the context of the urban representation, to not known the origin and influences of this distortions may to derivate in mistaken realizations of the measures and the may not fit the reality. The followin investigation search to define the origin of metrical deformations producted in several Transverse Mercator projections, his significance related to representation scale and methods for his correction 5 ÍNDICE DE MATERIAS 1. Aspectos generales 1.1. Introducción 1.2. Hipótesis de trabajo 1.3. Objetivos 1.3.1. Objetivo general 1.3.2. Objetivos específicos 2. Errores y su cuantificación 2.1. Conceptos generales 2.1.1. Cifras significativas 2.1.2. Precisión 2.1.3. Exactitud 2.1.4. Equivocación 2.1.5. Errores sistemáticos 2.1.6. Errores aleatorios 2.2. Conceptos básicos de probabilidades 2.2.1. Distribución de errores aleatorios 2.2.2. Probabilidad de ocurrencia de errores aleatorios 2.2.3. Cuantificación de errores aleatorios 2.2.4. Indicadores de precisión 3. Referenciales geodésicos 3.1. Elipsoide de Revolución 3.1.1. Coordenadas cartesianas en el espacio 3.1.2. Coordenadas geodésicas 3.1.3. Relación matemática entre coordenadas 3.1.4. Geometría del elipsoide 3.1.5. Arcos sobre el elipsoide 3.1.6. Línea geodésica 3.2. Referencia vertical 3.2.1. Geoide 3.2.2. Cuasi Geoide 3.2.3. Tipos de altura 3.2.4. Relación entre tipos de altura 3.2.5. Solución a las incompatibilidades entre tipos de altura 3.3. Sistemas geodésicos de referencia 3.3.1. Sistemas locales 3.3.2. Sistemas globales 4. Proyecciones Cartográficas 12 12 15 16 16 16 17 18 18 18 18 19 20 20 21 22 25 26 28 29 31 33 34 37 38 42 45 46 47 48 48 51 52 53 54 59 62 6 4.1. 5. Cálculo diferencial de elementos sobre el elipsoide 4.1.1. Elemento lineal 4.1.2. Elemento angular 4.1.3. Elemento superficial 4.2. Cálculo diferencial de elementos sobre el plano 4.2.1. Elemento lineal 4.2.2. Elemento angular 4.2.3. Elemento superficial 4.3. Módulos de deformación 4.3.1. Módulo de deformación lineal 4.3.2. Módulo de deformación angular 4.3.3. Módulo de deformación superficial 4.4. Elipse indicatriz de Tissot 4.4.1. Cálculo de semiejes según teorema de Apolonio 4.5. Clasificación de proyecciones 4.5.1. Según método de construcción 4.5.2. Según superficie de proyección utilizada 4.5.3. Según situación de la superficie de proyección 4.5.4. Según las propiedades que conserva 4.6. Proyecciones conformes 4.6.1. Uso de las proyecciones conformes 4.6.2. Condiciones de conformidad Proyecciones transversales de Mercator 5.1. Generalidades 5.2. Transformación de coordenadas 5.2.1. Conversión de coordenadas geodésicas a rectangulares 5.2.2. Conversión de coordenadas rectangulares a geodésicas 5.3. Convergencia de meridianos 5.4. Diferencia arco-cuerda 5.5. Factor de magnificación de escala 5.5.1. En función de coordenadas geodésicas 5.5.2. En función de coordenadas rectangulares 5.6. El artificio de Tissot 5.7. Proyección Universal Transversal de Mercator 5.7.1. Generalidades 5.7.2. Falso Este 5.7.3. Falso Norte 5.7.4. Factor de escala en el meridiano central 5.8. Proyección Local Transversal de Mercator 5.8.1. Falso Este 62 63 63 63 64 65 66 69 70 70 71 71 72 73 76 76 78 79 81 83 83 84 88 88 90 90 93 98 99 101 101 102 102 104 104 105 105 106 108 109 7 6. 7. 5.8.2. Falso Norte 5.9. Proyecciones LTM y planos topográficos locales 5.10. Proyección Gauss Kruger 5.11. Proyección Modificada Transversa de Mercator Metodología 6.1. Determinación de escalas de representación 6.2. Determinación de tolerancias 6.3. Determinación de proyecciones a utilizar 6.4. Determinación del área de estudio 6.5. Determinación de puntos muestrales 6.6. Proyección de la red de puntos muestrales 6.7. Determinación del factor de deformación de escala y convergencia de meridianos 6.8. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor de deformación de escala y las coordenadas proyectadas 6.9. Determinación de magnitudes lineales de segmentos proyectados y geodésicos 6.10. Determinación de escalas de representación según proyecciones TM 6.10.1. Caso general 6.10.2. Caso particular 6.11. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica Resultados 7.1. Determinación de escalas de representación 7.1.1. Criterios de representación urbana 7.2. Determinación tolerancias 7.3. Determinación de proyecciones a utilizar 7.3.1. Universal Transversal de Mercator 7.3.2. Gauss Kruger 7.3.3. Local Transversal de Mercator 7.3.4. Modificada Transversa de Mercator 7.3.5. Plano Topográfico Local 7.4. Determinación Área de estudio 7.5. Determinación de puntos muestrales 7.6. proyección de la red y determinación de factores de deformación de escala y convergencia de meridianos 7.7. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor de deformación de escala y las coordenadas proyectadas 7.8. Determinación de magnitudes lineales de segmentos 109 110 113 114 116 117 117 118 119 119 120 120 121 122 123 123 124 126 127 127 128 129 130 130 130 132 133 134 138 139 141 141 8 geodésicos y proyectado Determinación de escalas de representación según proyecciones TM 7.9.1. Caso general 7.9.2. Caso particular 7.10. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica 7.10.1. Reducción plano TM – Elipsoide 7.10.2. Reducción Elipsoide – plano topográfico local 7.10.3. Reducción plano TM – plano topográfico local 7.10.4. Ejemplos de reducciones plano TM – Elipsoide Análisis de resultados 8.1. Determinación del coeficiente de correlación entre el factor de deformación de escala y las coordenadas proyectadas 8.2. Determinación de magnitudes lineales de segmentos geodésicos y proyectados 8.3. Determinación de escalas de representación según tolerancias 8.3.1. Caso general 8.3.2. Caso particular 8.4. Relación entre proyecciones TM, elipsoide y superficie topográfica 8.4.1. Reducción Plano TM – Elipsoide 8.4.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico Local Conclusiones y recomendaciones Anexos Anexo Nº1 “Mapa de ubicación” Anexo Nº2 “Red de puntos muestrales” Anexo Nº3 “Mapa de ubicación red de puntos muestrales” Anexo Nº4 “proyección de puntos muestrales, factor de deformación de escala y convergencia de meridianos” Anexo Nº5 Determinación de arcos geodésicos y proyectados Anexo Nº6 Diagrama de flujo metodología Bibliografía 142 7.9. 8. 9. 10. 11. 144 144 145 147 148 149 151 151 155 155 156 158 158 159 162 162 163 166 169 170 172 175 177 192 197 199 9 ÍNDICE DE FIGURAS Fig Nº1 Fig Nº2 Fig Nº3 Fig Nº4 Fig Nº5 Fig Nº6 Fig Nº7 Fig Nº8 Fig Nº9 Fig Nº10 Fig Nº11 Fig Nº12 Fig Nº13 Fig Nº14 Fig Nº15 Fig Nº16 Fig Nº17 Fig Nº18 Fig Nº19 Fig Nº20 Fig Nº21 Fig Nº22 Fig Nº23 Fig Nº24 Fig Nº25 Fig Nº26 Fig Nº27 Fig Nº28 Fig Nº29 Precisión y exactitud Curva de distribución normal Curva de distribución normal estandarizada Coordenadas cartesianas en el espacio Coordenadas geodésicas Radio de curvatura de la elipse meridiana Normal principal Línea geodésica Altura elipsoidal Alturas normales Altura geométrica Cuadrilátero geodésico diferencial Cuadrilátero diferencial proyectado Deformación angular respecto al eje X Deformación angular respecto al eje Y Determinación semiejes según teorema de Apolonio Clasificación de proyecciones perspectivas Superficies de proyección Clasificación de proyecciones según superficie de proyección Sistema cilíndrico transverso conforme Latitud isométrica Convergencia de meridianos Diferencia arco-cuerda Variación longitudinal del factor de deformación de escala Plano Topográfico Local Codificación de puntos muestrales Puntos muestrales Relación plano TM – Elipsoide Relación Plano Topográfico Local – Elipsoide – Plano TM 19 23 24 34 36 38 40 46 49 50 51 63 64 67 69 74 77 79 80 89 95 98 100 107 110 122 140 148 150 10 ÍNDICE DE TABLAS Tabla Nº1 Tabla Nº2 Tabla Nº3 Tabla Nº4 Tabla Nº5 Tabla Nº6 Tabla Nº7 Tabla Nº8 Tabla Nº9 Tabla Nº10 Tolerancia según escala de representación Disposición altimétrica Planos Topográficos Locales Factor de deformación de escala Planos Topográficos Locales Correlación Coordenadas TM – factor de deformación de escala Arcos geodésicos y proyectados Arcos de paralelo Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso general Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a” Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “b” Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “c” 129 136 137 142 143 144 145 146 146 147 11 CAPITULO 1 ASPECTOS GENERALES 1.1. INTRODUCCIÓN El vertiginoso crecimiento de las ciudades chilenas observado desde mediados del siglo XX y el progresivo avance tecnológico vinculado a las actividades que en ella se realizan han derivado, por una parte en la creciente necesidad de representar de forma precisa y exacta el territorio y por otra parte, en un cambio de paradigma en cuanto a la concepción del espacio y la conceptualización de su representación, observándose por ejemplo, una evolución en el concepto de escala, ya que, mientras antiguamente se aceptaba este término como una “relación constante entre la distancia medida sobre un mapa o plano y la distancia correspondiente medida sobre el terreno representado”, hoy se acepta que este concepto involucra tanto la relación gráfica entre elementos representados en una carta o mapa y sus correspondientes en el terreno, como la cantidad de información que puede contener un elemento gráfico, la que evidentemente no se relaciona con el tamaño relativo del elemento representado. Con lo anteriormente señalado, se hace evidente que para satisfacer las necesidades cartográficas acordes a este cambio de paradigma, se hace necesaria una conceptualización clara 12 de las variables que intervienen en la representación del terreno y en la influencia de las distorsiones y errores inherentes al proceso proyectivo, para lograr con esto la optima utilización de la cartografía como herramienta precisa de representación del terreno. A pesar de la innegabilidad de esta necesidad, la realidad Chilena revela que el manejo de cartografía en ambientes públicos y privados, no considera de manera correcta las limitantes cartográficas impuestas por la escala de representación y la proyección a utilizar, resultando en la mayoría de los casos, la acumulación grosera e inconsciente de errores métricos que pueden interferir negativamente en la correcta toma de decisiones en el contexto del ordenamiento territorial. Como solución a esta problemática, la presente investigación analizará la relación existente entre la exactitud que entregan diferentes proyecciones Transversales de Mercator (TM en adelante) a distintas escalas de representación para el caso particular de la representación a escalas urbanas o de detalle. El primer capítulo expone las generalidades del tema a estudiar, la hipótesis de trabajo y los objetivos generales y específicos de la investigación. El capitulo Nº2 repasa los conceptos básicos de la teoría de errores y su cuantificación destacando el aporte de la estadística al campo de la cartografía. El capítulo Nº3 explica las características y alcances relativos a los referenciales geodésicos. El elipsoide como figura de referencia geodésica mediante sus características y 13 propiedades geométricas. Conceptos de referencia altimétrica donde se hace referencia al concepto de geoide, cuasi-geoide, tipos de altura, incompatibilidades entre tipos de altura y soluciones a estas incompatibilidades y finalmente el concepto de Datum destacándose los de tipo clásico y moderno. El capítulo Nº4 “Proyecciones Cartográficas” expone los conceptos básicos de geometría diferencial sobre el plano y el elipsoide, los módulos de deformación, la indicatriz de Tissot y con especial atención, las propiedades y fundamento matemático de las proyecciones conformes. El capítulo Nº5 explica los aspectos conceptuales de las proyecciones Transversales de Mercator mediante el desarrollo analítico de las transformaciones entre coordenadas Geodésicas y TM, aspectos geométricos de las proyecciones TM y ejemplos de proyecciones TM utilizadas alrededor del mundo. El capitulo Nº6 expone los pasos metodológicos utilizados en esta investigación para analizar los aspectos métricos de las proyecciones y la influencia del error que ellos producen. El capitulo Nº7 presenta los resultados de esta investigación según los pasos metodológicos seguidos. El capitulo Nº8 presenta el análisis de los resultados obtenidos. El capitulo Nº9 expone las conclusiones alcanzadas tras el análisis de los resultados. 14 1.2. HIPÓTESIS DE TRABAJO Las proyecciones Transversales de Mercator ofrecen en su conjunto, diferentes grados de exactitud, los cuales pueden resultar en ocasiones insuficientes para la representación del terreno a escalas de detalle. 15 1.3. OBJETIVOS 1.3.1. Generales • Realizar un análisis comparativo entre las deformaciones producidas por distintas proyecciones Transversales de Mercator en escalas de detalle. 1.3.2. Específicos • Establecer un criterio para la elección de una proyección Transversal de Mercator. • Establecer indicadores de comparación entre diferentes proyecciones Transversales de Mercator en función de las deformaciones que producen y de la escala de representación. • Determinar la exactitud con que diferentes proyecciones Transversales de Mercator representan los objetos a diferentes escalas de detalle. • Establecer indicadores que relacionen el plano de proyección y la superficie topográfica. • Determinar en la practica la influencia de los errores producidos por diferentes proyecciones TM en mediciones indirectas realizadas en diferentes escalas de representación. 16 CAPITULO 2 ERRORES Y SU CUANTIFICACIÓN El enfoque geométrico de la cartografía es aquel que prioriza la utilización de productos cartográficos para la representación precisa y exacta de los elementos facilitando con esto su medición y análisis. Sin embargo, todo proceso de medición involucra una serie de errores relativos al método, al dispositivo utilizado y a las limitaciones propias del ser humano que deben ser cuantificadas y minimizadas para obtener así magnitudes probables o que se acerquen a la realidad. En este ámbito, la estadística realiza un valioso aporte a la cartografía, ya que con la identificación, cuantificación de errores y el cálculo de probabilidades de ocurrencia de estos, es posible lograr un mejor desempeño de la disciplina cartográfica al permitir evaluar y estudiar las características de un producto cartográfico y datos espaciales en general y así interpretar y evaluar la exactitud que entrega un dato cualquiera como por ejemplo, el valor de una coordenada. Si bien es cierto, la teoría de errores no producirá como resultado final, el que una medición sea nominalmente igual a la realidad, si permitirá entre otras cosas conocer el la magnitud del error probable asociado a un fenómeno o valor y con esto mejorar finalmente la calidad de las representaciones cartográficas. El presente capítulo interioriza al lector en los conceptos básicos asociados al estudio de errores y en la cuantificación y métodos de manejo de los mismos. 17 2.1. CONCEPTOS GENERALES 2.1.1. Cifras significativas Constituidas por el numero de dígitos provenientes de una determinación cierta más un digito incierto. Por ejemplo, en una medición hecha con cinta métrica graduada al centímetro el ultimo digito cierto será la unidad de centímetro y el digito incierto estará dado por la estimación de la fracción del centímetro (usualmente la mitad). 2.1.2. Precisión En términos simples, la precisión es el grado de refinamiento en la ejecución de una operación y que por ende está vinculada con la calidad del instrumental utilizado (y la capacidad de este de leer pequeñas variaciones de la magnitud a medir), del operador, el procedimiento y los métodos involucrados. Este concepto se asocia directamente con el número de cifras significativas con que se representa el fenómeno. En un aspecto mas amplio, la precisión se asocia con la varianza de un conjunto de observaciones, de manera que la baja varianza de un conjunto de “N” valores es indicador de una alta precisión y viceversa. 2.1.3. Exactitud Se relaciona directamente con la distancia existente entre un valor representativo de un conjunto de “N” observaciones, y un valor patrón considerado la medida real. 18 Ya que en rigor no es posible determinar la magnitud verdadera y exacta de una medición, se recurre con frecuencia a patrones verdaderos derivados de observaciones como por ejemplo, la suma de los tres ángulos de un triangulo o el promedio de “n” observaciones. Y Exactitud X Precisión Figura Nº1 Precisión y Exactitud Si para la figura Nº1, el eje Y representa el valor real de una magnitud, y un conjunto de N mediciones se dispersa dentro de la zona coloreada, puede graficarse la exactitud como la distancia que separa al conjunto de observaciones (representados por la zona coloreada) del valor real “Y”, mientras que la precisión será inversamente proporcional a la magnitud de la dispersión de las observaciones. 2.1.4. Equivocación Son errores provocados generalmente por fallas en las lecturas, errores de digitación u observaciones descuidadas. Usualmente son muy grandes y fáciles de determinar. 19 2.1.5. Errores sistemáticos Siguen algún tipo de patrón y son generalmente constantes en magnitud y signo. En mediciones cartográficas, estos errores son generados principalmente por instrumentos desperfectos, errores en la determinación de escalas y cambios en las propiedades físicas de un cuerpo a raíz de variaciones de temperatura o humedad o bien responden a hábitos o tendencias del operador en los cuales reacciona de manera semejante ante condiciones similares. Los errores sistemáticos pueden ser tratados eliminados cuando se conoce concretamente las causas de su origen. 2.1.6. Errores aleatorios Son los errores no considerados en los ítems anteriores y provienen de fuentes y causas desconocidas y fuera del control del observador. Se caracterizan por: • Igual probabilidad de ocurrencia entre errores positivos y negativos. • Errores pequeños tienen mayor probabilidad de ocurrencia. • Errores grandes tienen una baja probabilidad de ocurrencia. La probabilidad de que un error aleatorio no exceda cierta magnitud, puede ser inferida mediante procesos estadísticos para un número finito de variables aleatorias. 20 2.2. CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES En términos sencillos, puede definirse probabilidad como la frecuencia de ocurrencia de un evento en relación al número de posibles ocurrencias. La probabilidad de ocurrencia de cualquier evento, estará entre cero y uno, si la probabilidad es 0 el evento nunca ocurrirá, mientras que si la probabilidad es 1 el evento ocurrirá con seguridad. De esto pueden deducirse cuatro reglas básicas de probabilidad . Si se considera P(A) como la probabilidad del evento “A” y P(B) como la probabilidad del evento “B”, se obtiene. a. la probabilidad de que un evento no ocurra o falle, es uno menos la probabilidad de ocurrencia del evento 1 - P(A) = fallo del evento A b. La probabilidad de que alguno de los eventos “A” o “B” ocurra, es igual a la suma de ambas probabilidades P(A o B) = P(A) + P(B) c. La probabilidad de que ambos eventos “A” y “B” ocurran, es igual al producto de sus respectivas probabilidades. P(A y B) = P(A) · P(B) 21 2.2.1. Distribución de errores aleatorios Existe una tendencia en la distribución de los valores de probabilidad de ocurrencia para un fenómeno cualquiera, que puede ser representado según una curva denominada “curva de distribución normal”, la que relaciona la magnitud del error (eje x) con la frecuencia de ocurrencia de dicho error (eje y). Cuando el numero de observaciones de un fenómeno estudiado tiende a infinito. La probabilidad de ocurrencia de un fenómeno “x” queda representada según la función “modelo probabilístico de distribución normal”. P( x) = 1 σ 2π − ( x−μ )2 2σ 2 e Donde: x = Magnitud de errores μ = Parámetro que representa el promedio de x σ = Desviación estándar de la variable e = Base de logaritmo natural siendo: σ = ∑ n i =1 ( xi − μ ) 2 n Donde: n = número de medidas 22 Para “n” observaciones, la función expresada anteriormente que reducida a: P( x) = 1 σ 2π − e x2 2σ 2 ya que el promedio de los errores de las n observaciones será cero. Así se puede llegar a la forma general de distribución normal de lo errores, representado por la figura Nº2 f(x) μ−σ μ μ+σ x Figura Nº2 Curva de Distribución Normal El análisis de esta curva permite deducir las siguientes propiedades de la magnitud de errores y de su distribución. • De la forma de campana de la curva, se puede deducir que los errores pequeños ocurren mas frecuentemente que los errores grandes, por lo tanto, a mayor error, menos probabilidad de ocurrencia. • La simetría de la curva indica que los errores de signo positivo y negativo, tienen la misma probabilidad de ocurrencia. 23 • La curva se extiende indefinidamente en forma asintótica respecto al eje X lo que indica que errores de gran magnitud tendrán una muy baja probabilidad de ocurrencia. Para el caso de mediciones finitas se emplea la curva de distribución normal estandarizada (figura Nº3), que tiene por característica, el aproximarse a cualquier función de distribución de error con una precisión tal que se hace innecesario definir una curva de errores por cada proyecto involucrado. La utilización de esta curva estandarizada debe realizarse previa modificación de la desviación estándar para pocas variables donde: σ = ∑ (di − d )2 n −1 Con di = Valor de una observación cualquiera d = Valor mas probable (promedio) del conjunto de observaciones f(x) 0.4 −3 −2 −1 0 1 2 3 C=x/σ Figura Nº3 Curva de Distribución Normal Estandarizada 24 La curva de distribución normal estandarizada cumple con poseer un promedio de errores (μ) igual a cero y una desviación estándar igual a 1 lo que se interpreta como una precisión unitaria. El eje x esta tabulado según C = x/σ lo que permite representar un conjunto de observaciones que posean una determinada desviación estándar y el eje Y representa frecuencias, las que toman un valor máximo cercano a 0.4 obtenido reemplazando en la función, los valores X=0 y σ=1 P ( x) = 1 = 0.3989 ≅ 0.4 2π 2.2.2. Probabilidad de ocurrencia de errores aleatorios Considerando las propiedades de la distribución de errores, puede establecerse que la probabilidad que ocurra un error determinado será siempre cero ya que para pocas observaciones el promedio de errores es siempre cero y se utilizan rangos de error simétrico en torno al error nulo. No obstante, puede determinarse el rango de error en el cual está inserta una observación delimitando la curva de distribución normal según dos abscisas simétricas con respecto al eje x=0 y calculando el área encerrada bajo la curva. Es decir, el número de observaciones expresado en porcentaje, que presentarán un error comprendido dentro del rango establecido en abscisas, será igual a la probabilidad, área encerrada bajo la curva entre dichas abscisas, expresada en porcentaje; el resto de las observaciones presentará errores fuera de los límites señalados. Así por ejemplo: 25 Si se considera un mismo tramo medido 10 veces sobre una carta y los resultados arrojan d = 1153.38m σ = ±1.5m y se quiere conocer la probabilidad de que una medición cualquiera (de las realizadas) contenga un error de a lo mas 1.5m (un sigma), basta con hacer C= x σ = 1.5 = ±1 ± 1.5 Buscando el valor C=1 en la tabla de áreas bajo la curva se obtiene el valor 68.27%, por lo que puede decirse que “existe un 68.27% de probabilidades que una medición cualquiera posea un error máximo de 1.5m” o de otra manera “una medición cualquiera de las realizadas, posee un error máximo de 1.5m con un sigma” Por otra parte, para conocer el rango de error que contiene una confianza del 90%, basta con plantear: x = C ·σ considerando : C=1.6449 (área para un 90% de confianza) se obtiene x = 1.5·1.6449 = 2.467 m así, se podría decir que “para una confianza del 90%, el error máximo que se produce en una de las 10 mediciones no debe ser superior a 2.467m”, es decir 9 de las 10 mediciones poseen un error menor que 2.467 y solo una puede tener un error mayor que los 2.467m 26 2.2.3. Cuantificación de errores aleatorios Como una forma de determinar la magnitud de los errores existentes en una medición o conjunto de ellas. Se han determinado tres indicadores utilizados frecuentemente y expresados en función de la desviación estándar (σ) 2.2.3.1. Error de una observación: determina la magnitud del error para una medición cualquiera, de un conjunto de observaciones de igual precisión y corresponde a: σ = ∑ (di − d )2 n −1 2.2.3.2. Error del valor mas probable: Corresponde al promedio de errores asociados a las mediciones y se representa por: σn = ∑ (di − d )2 n(n − 1) o por su equivalente σ n = ± σ n 2.2.3.3. Error del resultado: Corresponde al error en el cual se involucra la combinación de valores mas probables de varios elementos para dar como resultado una única magnitud. El error de esa magnitud, será función del error de cada una de las partes involucradas, es decir de cada uno de los valores mas probables con sus respectivos errores independientes. Por ejemplo: Sea R = f (a, b, c, . . .) una función cualquiera que involucra valores mas probables de “a”, “b”, “c” etc. La desviación estándar corresponde a: 27 ⎡⎛ δR ⎞ 2 ⎛ δR ⎞ 2 ⎛ δR ⎞ 2 ⎤ σr = ⎢⎜ σa ⎟ + ⎜ σb ⎟ + ⎜ σc ⎟ + ....⎥ ⎣⎢⎝ δa ⎠ ⎝ δb ⎠ ⎝ δc ⎠ ⎦⎥ Si la función “f” corresponde a una suma, el resultado de estará dado por la suma vectorial de los errores independientes, es decir: σr = ± (σa 2 + σb 2 + σc 2 + ...σn 2 )2 1 Si la función “f” corresponde al promedio de los valores mas probables de cada elemento o las medidas son ejecutadas con similar precisión, puede expresarse según: σ r = σm, i n Si la función “f” corresponde a una multiplicación de los valores mas probables de los elementos “a” y “b”, se obtiene: σ r = σa·σb 28 2.2.4. Indicadores de Precisión Comúnmente se utiliza una nomenclatura estandarizada para referirse a distintos tipos de indicadores de precisión en función de la desviación estándar. Así, según el manual de carreteras (MOP Vol Nº2 año 2001) se puede encontrar: 2.2.4.1. Error Estándar o Error medio cuadrático: equivale a una desviación estándar e implica que la probabilidad de ocurrencia de un error de a lo más +/- 1σ sea de 68.27%. E = +/- σ 2.2.4.2. Error Probable: o también llamado “error del 50%”, implica que existe igual probabilidad de que el error cometido esté comprendido dentro de un rango o fuera de él. E0 = +/- 0.6475 σ 2.2.4.3. Error del X%: Implica que el error cometido está comprendido dentro de un rango determinado con una probabilidad o confianza del X%. Ex%=+/- Cxσ 29 CAPITULO 3 REFERENCIALES GEODÉSICOS La evolución de las necesidades del hombre y el consecuente avance de la tecnología, han determinado la necesidad de entender las formas, dimensiones de la Tierra y procesos que en ella se generan. Para esto, las herramientas y conocimientos cartográficos han constituido un pilar fundamental para lograr su correcta representación. Sin embargo el vertiginoso avance del pensar humano requiere también un veloz desarrollo en la disciplina cartográfica tendiente a lograr una óptima representación del terreno y con ello alimentar una relación simbiótica con otras ciencias y disciplinas. Dadas las características elásticas de la Tierra, la representación de ella requiere que su asimilación a una figura simplificada y susceptible de análisis matemático, la que constituirá el llamado referencial geodésico. A lo largo de la historia, han sido diversos los intentos del hombre por relacionar la Tierra a una figura regular que le permitiese estudiarla y representarla. Desde Pitágoras quien en el siglo VI AC definió la esfericidad de la Tierra o Eratóstenes quien durante el siglo III AC calculó las dimensiones de ella con gran exactitud, se tendió a considerar la Tierra como una figura esférica perfecta. Sin embargo en 1687 el físico Isaac Newton por medio de su “Ley de Gravedad Universal” señaló que la Tierra debería ser mas achatada en los polos que en ecuador insinuándose con esto por primera vez al elipsoide de revolución como figura de representación de la Tierra. 30 Posteriormente en 1740, Collin MacLaurin demostró científicamente la posibilidad de que un elipsoide fuera una figura de equilibrio para una masa fluida en rotación. Tres años mas tarde Clairaut definiría el achatamiento en función de la gravedad y de la velocidad de rotación. A finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, científicos tales como Laplace, Bessel y Gauss plantearían la necesidad de representar la Tierra mediante un modelo elipsoidal para satisfacer las crecientes necesidades de precisión de posicionamiento. Carl Friedrich Gauss en el año 1822 introdujo el concepto de “Geoide” y lo definió como “una superficie en la que cualquiera de sus partes intersecta las direcciones de la gravedad en ángulo recto y de la que es una parte la superficie oceánica en reposo en condiciones ideales”. A finales del siglo XIX el geodesta Gabriel Stokes publicaría una solución al problema de definición del Geoide mediante el establecimiento de la formula fundamental de Gravimetría, que posteriormente seria desarrollada de manera mas rigurosa por Sergui Molodensky. Con todos estos avances científicos, el hombre ya disponía de una idea bastante cercana de la forma y dimensiones del planeta, sin embargo, el problema de la representación del mismo estaba lejos de ser solucionado ya que por una parte, debe buscarse el relacionar los distintos referenciales geodésicos y los métodos usados a lo largo de la historia y por otra parte se debe relacionar la referencia planimétrica, la referencia vertical y los elementos a representar para dar consistencia a una solución cartográfica acorde a las necesidades actuales. 31 3.1. ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN Elipsoide de revolución, es una figura matemática resultante de la rotación de una elipse cualquiera en torno a su semieje menor generando de esta forma un cuerpo tridimensional. Analíticamente es de la forma: x2 + y2 z2 + 2 =1 2a 2 b Si se considera a la Tierra como un cuerpo fluido homogéneo, se observará que debido al movimiento de rotación del planeta, la masa de este tenderá a concentrarse en las bajas latitudes en vez de en las cercanías de los polos formando así un elipsoide de revolución. Matemáticamente se puede determinar utilizando un valor medio de gravedad y velocidad de rotación, generándose con ellos, los valores semieje mayor “a” y acatamiento “f”. Un elipsoide de referencia es por lo tanto el elipsoide que se usa como soporte analítico para las coordenadas de puntos medidos en la superficie de la Tierra para su posterior representación y análisis. El elipsoide de referencia puede ser de carácter local donde representará solo una parte del planeta o de carácter global lo que implica que podrá representar con gran exactitud la forma global del planeta. Dentro los elipsoides de uso local utilizados en Chile , se pueden encontrar: • Internacional de 1909 (Internacional de 1924; Hayford) o a = 6.378.388m 32 o f = 1/297 • Elipsoide Sudamericano de 1969 o a = 6.378.160m o f = 1/298.25 Dentro de los elipsoides de uso global, se puede encontrar: • GRS-80 o a = 6.378.137m o f = 1/298.257222101 Elipsoide utilizado en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) 3.1.1. Coordenadas cartesianas en el espacio Un sistema coordenado cartesiano en el espacio, está definido como se muestra en la figura Nº4, por tres ejes mutuamente perpendiculares “x” “y” y “z”. Un punto en el espacio, se podrá localizar considerando la distancia perpendicular que lo separa de cada recta, formando así un trío coordenado (x,y,z). De esta manera, un sistema cartesiano puede soportar a un sistema geodésico considerando que: • El origen del sistema esta ubicado en el centro de masa de la Tierra • El eje “x” es coincidente con el plano ecuatorial 33 • El eje “z” es coincidente con el eje de rotación terrestre • El eje “y” es coincidente con el plano ecuatorial y forma un ángulo recto respecto al eje “x” definiendo el sistema como dextrógiro (giro hacia la derecha) z Polo Meridiano de Greenwich Y Z Y x X Plano Ecuatorial y Figura Nº4 Coordenadas Cartesianas en el Espacio 3.1.2. Coordenadas geodésicas Al considerar la forma analítica de la Tierra como un elipsoide, es necesario determinar en él ciertas líneas de referencia que permitan definir la posición de un punto sobre su superficie de manera inequívoca. Si el elipsoide de revolución rota en torno al semieje menor “b”, y en su punto medio se levanta un plano normal a dicho semieje denominado plano ecuatorial, la intercepción de este plano con el elipsoide, generará una línea de circulo máximo llamada ecuador, que dividirá al elipsoide en dos mitades iguales denominadas hemisferio norte y hemisferio sur. La intercepción 34 de los infinitos planos paralelos al plano ecuatorial con el elipsoide, genera las líneas de circulo menor llamadas paralelos. Por otra parte, los infinitos plano que contengan al eje de rotación (planos meridianos) definirán en su intersección con el elipsoide a las líneas llamadas meridianos. Convencionalmente se ha establecido como origen de estos meridianos al que pasa por el observatorio de Greenwich Inglaterra (figura Nº5) 3.1.2.1. Latitud Geodésica (φ) Ángulo formado entre el plano ecuatorial y la normal a un punto cualquiera siguiendo la dirección de un meridiano. Convencionalmente, se relaciona la línea de origen de las latitudes con el eje Y=0 de un sistema cartesiano plano, para diferenciar las coordenadas de hemisferio norte con las del hemisferio sur mediante los signos “+” y “-” respectivamente. De la misma forma, se suele diferenciar las coordenadas mediante los prefijos “N” y “S” para los hemisferios Norte y Sur respectivamente (Figura Nº5). 3.1.2.2. Longitud (λ) Ángulo diedro formado por un plano meridiano de origen y el plano meridiano que contiene al punto. Convencionalmente, se relaciona la línea de origen de las longitudes con el eje X=0 de un sistema cartesiano plano, para diferenciar las coordenadas “Este” con las coordenadas “Oeste” mediante los signos “+” y “-” respectivamente. De la misma forma, se suele diferenciar 35 las coordenadas mediante los prefijos “O” y “E” para los hemisferios según su si se localizan al oeste o al este del meridiano de origen respectivamente. (Figura Nº5). 3.1.2.3. Altura geométrica o Elipsoidal (h) Definida por la distancia normal entre el punto y la superficie del elipsoide (Figura Nº5). De esta forma, las coordenadas geodésicas quedan definidas por latitud (φ) longitud (λ) y altura geométrica (h). Z P Merid ia de Gre no enwic h λ Ecu ado r h Q O φ Y λ X P1 Figura Nº5 Coordenadas Geodésicas 36 3.1.3. Relación Matemática entre Coordenadas Diversos procesos de cálculo vinculados a la transformación de coordenadas y de sistemas geodésicos, requieren expresar las coordenadas geodésicas φ, λ y h en términos de coordenadas cartesianas tridimensionales y estas en coordenadas geodésicas. Las relaciones entre estas coordenadas pueden escribirse: X = (N + h ) cos φ cos λ Y = (N + h ) cos φsenλ ( ( ) ) Z = N 1 − e 2 + h senφ la transformación inversa viene dada por: ⎛ Z + b·e' 2 ·sen 3ψ 2 3 ⎝ d − a·e cos ψ φ = arctg ⎜⎜ λ = arctg h= ⎞ ⎟⎟ ⎠ y x d −N cos φ Donde: d= x2 + y2 ψ = arctg a· z b·d 37 3.1.4. Geometría del Elipsoide 3.1.4.1. Normales Principales a. Radio de curvatura de la elipse meridiana: Si se considera un punto “P” sobre el elipsoide, y siguiendo por el meridiano otro punto “Q” situado a una distancia infinitesimal del primero, se obtendrá un arco diferencial de meridiano que corresponde con el de un circulo que contiene a “P” y “Q”, luego, existe un único radio que define al círculo que contiene al segmento diferencial. Este radio se denomina Radio de curvatura de la elipse meridiana “M”. Usando la figura Nº6 se puede determinar el valor de M en función de la latitud de un punto. Z dz ds dx dφ M Figura XX Radio de Curvatura X Figura Nº6 Determinación del Radio de Curvatura de la Elipse Meridiana Tomando la distancia diferencial ds a lo largo de un arco de meridiano, se puede decir que: 38 ⎡ ⎛ dx ⎞ 2 ⎤ ds = Mdφ = (dx 2 + dz 2 ) = dz ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ dz ⎠ ⎥⎦ = dz (1 + tan 2 φ ) = dz cos φ dz cos φ = tan(90 + φ ) = − cot φ = − dx senφ ya que : Mdφ = entonces : dz cos φ ⎛ 1 ⎞⎛ dz ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ M = ⎜⎜ ⎝ cos φ ⎠⎝ dφ ⎠ Ya que “z” puede escribirse en términos de la latitud como z= a(1 − e 2 ) senφ (1 − e 2 sen 2φ ) Derivando respecto de la latitud se obtiene: 39 dz a(1 − e 2 ) cos φ = dφ (1 − e 2 sen 2φ ) 3 / 2 y usando M= ⎛ 1 ⎞⎛ dz ⎞ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ resulta finalmente M = ⎜⎜ ⎝ cos φ ⎠⎝ dφ ⎠ a(1 − e 2 ) (1 − e 2 sen 2φ ) 3 / 2 dicho valor también conocido como ρ b. Normal Principal: La normal principal o gran normal “N” se determina según el largo del segmento comprendido entre un punto cualquiera sobre el elipsoide y su intersección con el eje menor siguiendo la normal al punto. Usando la figura Nº7 se puede deducir el valor de la normal principal a partir de parámetros elipsoidales y la latitud geodésica de un punto. z φ N x Figura Nº7 Determinación de la Normal Principal 40 Tomando la ecuación de la elipse: x2 z2 + =1 a2 b2 diferenciando se obtiene: dz b2 x =− 2· dx a z 2 x 2 z dz + =0 a 2 b 2 dx operando: tgφ = − a2 z · b2 x e2 = como: a2 − b2 b2 = 1 − a2 a2 b2 entonces: 1 − e = 2 a 2 y despejando, se tiene que: b = a (1 − e 2 ) sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que : tgφ = 1 z a2 z · = · 2 2 a (1 − e ) x 1 − e 2 x despejando se obtiene: z = x(1 − e 2 )tgφ luego, llevando la ecuación anterior y el valor de b a la ecuación principal de la elipse, se x 2 x 2 (1 − e 2 ) 2 tg 2φ =1 obtiene: 2 + a a 2 (1 − e 2 ) operando, se obtiene: x 2 + x 2 (1 − e 2 )tg 2φ = a 2 41 y: a2 x2 = 1 + (1 − e 2 ) y finalmente x = como sen 2φ cos 2 φ = a 2 cos 2 φ cos 2 φ + (1 − e 2 ) sen 2φ a·cos φ (1 − e 2 sen 2φ ) x = N ·cos φ Entonces: x =N cos φ Con lo que se obtiene finalmente: N= a (1 − e 2 ·sen 2φ ) 3.1.5. Arcos Sobre el Elipsoide 3.1.5.1. Longitud de un arco meridiano Si una fracción diferencial de arco meridiano se puede representar por la expresión ds = M dφ, luego integrando esta expresión entre φ1 y φ2 se obtiene: φ2 S = ∫ Mdφ φ1 = a(1 – e2) φ2 ∫φ 1 (1 − e 2 sen 2φ ) −3 / 2 dφ El valor (1 – e2 sen2 φ)-3/2 se reduce mediante serie de McLaurin, cuya forma general es: 42 f ( x) = f (0) + xf ' (0) x 2 f ' ' (0) x 3 f ' ' ' (0) + + + ... 1! 2! 3! quedando: 3 15 35 (1 − e 2 sen 2φ ) −3 / 2 = 1 + e 2 sen 2φ + e 4 sen 4φ + e 6 sen 6 + ... 2 8 16 luego se reemplazan las potencias de senφ por ángulos múltiples para simplificar las integrales siendo: sen2φ = ½ - ½ cos2φ sen4φ = 3/8 - ½ cos2φ + 1/8 cos4φ sen6φ = 15/16 – 15/32 cos2φ + 3/16 cos4φ − 1/32 cos6φ sen8φ = 35/128 – 7/16 cos2φ + 7/32 cos4φ − 1/16 cos6φ + 1/128 cos8φ sen10φ = 63/256 – 105/256 cos2φ + 15/64 cos4φ − 45/512 cos6φ + 5/256 cos8φ - 1/512 cos10φ Poniendo estas ecuaciones en la ecuación anterior y ordenando según los ángulos múltiples se obtiene: (1 – e2 sen2 φ)-3/2 = A – B cos2φ + C cos4φ − D cos6φ + E cos8φ - F cos10φ Donde: A = 1 + ¾ e2 + 45/64 e4 + 175/256 e6 + 11025/16384 e8 + 43659/65536 e10 B = ¾ e2 + 15/16 e4 + 525/512 e6 + 2205/2048 e8 + 72765/65536 e10 43 C = 15/64 e4 + 105/256 e6 + 2205/4096 e8 + 10395/16384 e10 D = 35/512 e6 + 315/2048 e8 + 31185/131072 e10 E = 315/16384 e8 + 3465/65536 e10 F = 693/131072 e10 Ahora se puede escribir la integral φ2 a (1 − e 2 ) ∫ (1 − e 2 sen 2φ ) −3 / 2 dφ como φ1 φ2 s = a(1 − e 2 ) ∫ ( A − B cos 2φ + C cos 4φ − D cos 6φ + E cos 8φ − F cos10φ )dφ φ1 Separando la integral en partes, se obtiene: s = a(1 − e 2 ) ⎡⎢ ⎣ φ2 ∫φ 1 Adφ − B φ2 ∫φ 1 cos 2φdφ + C φ2 ∫φ 1 cos 4φdφ − D φ2 ∫φ 1 cos 6φdφ + E φ2 ∫φ 1 cos 8φdφ − ...⎤⎥ ⎦ Resolviendo las integrales se obtiene: B C D E F ⎡ ⎤ s = a(1 − e 2 ) ⎢ Aφφφ12 − sen2φφφ12 + sen4φφφ12 − sen6φφφ12 + sen8φφφ12 − sen10φφφ12 ⎥ 2 4 6 8 10 ⎣ ⎦ y finalmente se define la longitud de un arco de meridiano entre los puntos φ1 y φ2 B C ⎡ ⎤ ⎢ A(φ2 − φ1 ) − 2 ( sen 2φ2 − sen 2φ1 ) + 4 ( sen 4φ2 − sen 4φ1 )⎥ ⎢ ⎥ E 2 ⎢ D ⎥ S = a (1 − e ) − ( sen6φ2 − sen6φ1 ) + ( sen8φ2 − sen8φ1 ) ⎢ 6 ⎥ 8 ⎢ ⎥ ⎢− F ( sen10φ2 − sen10φ1 ) + ... ⎥ ⎢⎣ 10 ⎥⎦ 44 3.1.5.2. Longitud de un arco de paralelo (Sp) Si se sitúa φ1 y φ2 sobre el mismo paralelo, su distancia sobre el elipsoide estará definida en función de la separación angular entre ellos (Δλ) y el radio paralelo. Si se define el radio paralelo “r” como r = N ·cos φ , entonces Sp = N ·cos φ ·Δλ 3.1.6. Línea Geodésica Se entiende por “línea geodésica”, a aquella curva trazada sobre una superficie no plana, que cumple con ser la distancia mas corta entre dos puntos cualquiera. En el elipsoide de revolución posee una doble curvatura, y su aplicación en el campo de la Geodesia se remonta a las investigaciones de Gauss, quien en 1827 definió las relaciones de esta curva con las secciones normales 1 permitiendo con esto, una alternativa mas adecuada para la resolución de triángulos elipsoidales (Figura Nº8). Analíticamente, se caracteriza mediante el teorema de Clairaut, que señala que a lo largo de la geodésica el producto del radio del paralelo por el seno del azimut es una cantidad constante. Ello implica que mientras el recorrido de la línea geodésica aumenta en latitud, la línea geodésica debe aumentar su acimut hasta que este alcance los 90º y el radio de paralelo alcance su mínimo valor para descender nuevamente hacia el ecuador, donde el acimut irá disminuyendo hasta ser cero en la latitud 0º. 1 La sección normal se define como “Cualquier sección plana que contenga la normal que pasa por el punto” (Manual de carreteras Volumen 2 M.O.P sección 2.302.1 45 B Geodésica A Secciones Normales Figura Nº8 Línea Geodésica 3.2. REFERENCIA VERTICAL Para definir el concepto de altura de un punto, primero es necesario establecer el tipo de referencial que se usará como origen de ellas, el cual es adoptado arbitrariamente y se denomina “Datum vertical”. Clásicamente se ha adoptado como Datum vertical al nivel medio del mar, el cual es determinado por una red de mareógrafos a partir de observaciones realizadas durante largos periodos en distintos puntos del planeta. Sin embargo el gran dinamismo producido por las mareas y los movimientos de la Tierra, así como las variaciones internas del agua en cuanto a 46 temperatura, corrientes oceánicas y salinidad hacen que esta determinación pueda variar en varios metros entre distintos mareógrafos (SIRGAS, grupo de trabajo III). Como una forma de superar los inconvenientes encontrados en la determinación del nivel medio del mar se ha hecho necesario encontrar una figura de referencia de carácter global, que manteniendo como condición que forme una superficie equipotencial, sea independiente del nivel del mar observado. 3.2.1. Geoide Se puede definir al Geoide como la figura formada por una superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre, que coincide con el nivel medio del mar en condiciones ideales. La determinación exacta del geoide está en función de la cantidad de masa y distribución de ella al interior de la Tierra. Produciéndose con esto, variaciones en el potencial de gravedad según variaciones en la densidad de la tierra y por consiguiente una variación en la determinación del Geoide. Luego, para determinar la forma y dimensiones de un geoide sería necesario conocer las concentraciones de masa al interior de la Tierra y establecer en que medida influyen en el potencial de gravedad. Como evidentemente esta es una tarea imposible, se recurre a formular hipótesis geofísicas de concentración de masas lo que se traduce en variaciones del geoide a partir de un cambio en la hipótesis de estimación de masas. 47 3.2.2. Cuasi-Geoide Es una superficie no equipotencial que para su determinación no requiere de hipótesis geofísicas de distribución de masa, sino que se basa en el modelamiento matemático del campo de gravedad normal de un punto sobre la superficie física de la Tierra. Para su definición se calcula la altura del lugar a medir, en función del potencial de gravedad existente en ese punto y se asume como igual a lo largo del vector normal al punto. De esta forma se desprecian las diferencias entre el vector generado por el modelo geofísico de distribución de masa y el vector calculado para el punto. 3.2.3. Tipos de Altura Se define altura de un punto, como la distancia vertical existente entre el punto y el Datum vertical. En este sentido, la Geodesia clasifica distintos tipos de altura según su determinación o consideración respecto al campo de gravedad terrestre, a su aplicación practica y al modelo matemático o físico considerado en su definición. A continuación, se exponen los tipos de altura relacionados con el presente estudio. 3.2.3.1. Alturas Elipsoidales (h) Corresponde a la distancia que separa a la superficie física de la tierra y el elipsoide medida sobre la normal a este último (figura Nº9). Corresponde al tipo de alturas entregado por los sistemas de posicionamiento satelital. 48 Z P h Q O Y E X P1 Figura Nº9 Altura Elipsoidal (h) 3.2.3.2 Alturas Normales La altura Normal, puede definirse como la distancia que separa un punto cualquiera con el cuasigeoide siguiendo la dirección de la normal entre ellos. La determinación de esta altura no requiere de la formulación de hipótesis acerca de la distribución de masas, y con esto, que la exactitud de la altura se relacione únicamente con la exactitud del calculo del potencial de gravedad en la superficie física terrestre (Figura Nº10). 49 P W = WP H(norm) ζ Superficie topográfica CuasiGeoide Elipsoide Figura Nº10 Alturas Normales La determinación de las alturas Normales puede realizarse a partir de las alturas elipsoidales (GPS) y de la cuantificación de la anomalía de altura (ζ) u ondulación cuasi-geoidal mediante H ( norm) = h − ζ en donde la anomalía de altura puede obtenerse mediante cálculos gravimétricos o satelitales 3.2.3.3. Alturas Ortométricas La altura Ortométrica corresponde a la distancia vertical entre la superficie Geoidal y la superficie física de la tierra, siguiendo la dirección de la plomada (figura Nº11). Ya que como se mencionó anteriormente, el potencial de gravedad no puede ser medido a lo largo de la línea de la plomada, se estima su valor medio a partir de la gravedad observada en la superficie de la tierra y propagándola mediante la utilización de alguna hipótesis de distribución de masa y densidad. 50 P W = WP H (ortom ) N Su pe rficie top ográfica G eoide W = W0 Elipsoide Figura Nº11 Altura Ortométrica Las alturas Ortométricas pueden obtenerse a partir de las elipsoidales mediante H (ortom ) = h − N Donde N corresponde a la ondulación geoidal o diferencia entre el geoide y el elipsoide siguiendo la línea normal a las superficies equipotenciales. 3.2.4. Relación entre tipos de alturas 3.2.4.1. Alturas elipsoidales y Alturas físicas El origen de las alturas elipsoidales es una figura analítica que corresponde a una idealización de la forma de la Tierra, mientras que el origen de las alturas físicas se relaciona con el comportamiento gravimétrico particular del lugar cuya altura se desee conocer. Por consiguiente, las alturas de tipo físico solo se pueden relacionar con las elipsoidales modelando el comportamiento de la gravedad local. Esto es conociendo la ondulación Geoidal o la Anomalía de altura de lugar donde se encuentre el punto. 51 3.2.4.2. Alturas normales y Ortométricas Martinec, 1993; 1998; Martinec et al., 1995; 1996; y Huang et al. 2001, han demostrado en la actualidad, que es posible determinar la distribución de densidad con exactitudes suficientes para arrojar errores subcentimétricos en la determinación de alturas para la mayoría de los terrenos, por lo que las posibles limitantes acerca de la utilización de la determinación de alturas Ortométricas, puede ser desestimada. Recomendándose incluso el uso combinado de estas alturas para el ajuste de redes y establecimiento de puntos de nivelación. 3.2.5. Solución a las incompatibilidades entre tipos de altura Como se observó anteriormente, las distintas alturas expuestas presentan incompatibilidades o inconsistencias producto de la superficie a la cual están referidas que son necesarias de corregir para su correcta utilización. Una forma de corregir estas discrepancias, es calculando una red de puntos comunes donde sean conocidos los distintos tipos de altura antes señalados y la situación geoidal/cuasigeoidal de los mismos. De esta forma podrán calcularse parámetros o diferenciales de relación para diferentes alturas, logrando así una completa relación entre observaciones de diversa índole (mas información al respecto en “Vinculación de las alturas elipsoidales GPS al datum vertical clásico de Colombia”, L. Sánchez y W. Martinez; “Algunos Aspectos Sobre Alturas Ortométricas y Normales”, P. Vanicek, M. Santos, R. Tenzer, A. Hernández, año 2003) 52 En el contexto nacional, y considerando las características geomorfológicas del territorio nacional, es urgente la determinación de un modelo Geoidal, que permita modelar con precisión, el comportamiento gravitacional de nuestro territorio. Pese a que el Instituto Geográfico Militar, en un esfuerzo por refinar el Datum vertical afín a los nuevos sistemas de referencia, se encuentra realizando mediciones gravimétricas tendientes a generar un modelo Geoidal local, la solución aun parece lejana. Como solución para la determinación de un modelo Geoidal local, existen ciertos modelos mundiales que permiten una precisión en la determinación de la ondulación Geoidal del orden de los decímetros (R. Zepeda 2004) tales como el EGM96 (Earth Gravity Model 1996) 3.3. SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERENCIA La ubicación de puntos con coordenadas sobre la Tierra, requiere que estos estén referidos a un mismo origen con el fin de evitar ambigüedades. Para determinar coordenadas precisas que materialicen al sistema geodésico utilizado, se ha recurrido dos conceptualizaciones distintas. Por una parte los sistemas geodésicos clásicos, que se materializan usando observaciones astronómicas clásicas y mediciones gravimétricas locales. Y por otra parte, los sistemas Geodésicos geocéntricos que incorporan variables tetradimensionales y modernos sistemas de posicionamiento en su concepción. 53 3.3.1. Sistemas locales Como una forma de solucionar el problema del origen de las coordenadas para los levantamientos. La geodesia clásica ha creado soluciones particulares para espacios reducidos sobre la Tierra, en los que se determina con métodos astronómicos la posición precisa de un par de estaciones geodésicas que constituirán la base de los levantamientos. Una de las estaciones precisas determinadas será el denominado “punto Datum” o estación de coordenadas geodésicas precisas conocidas, que servirá como origen para las coordenadas geodésicas del sistema. Un punto Datum debe definirse utilizando un sólido de revolución (comúnmente un elipsoide) y debe estar relacionado directamente al geoide de manera que ambas figuras constituyan en conjunto la referencia horizontal y vertical para los futuros levantamientos ligados al Datum. No obstante, esta solución se considerará aceptable hasta una determinada distancia del punto Datum que considere el error implícito en el levantamiento de la red geodésica constituyente del sistema y la tolerancia de los proyectos referidos al Datum. Un punto Datum Clásico debe contar con: • Latitud astronómica conocida: Utilizando instrumentos ópticos adecuados, se observan las diferencias de declinación de parejas de estrellas. • Longitud Conocida: Observando el paso de estrellas por el meridiano del lugar • Acimut inicial conocido: Mediante la observación de un ángulo acimutal entre una marca terrestre y una estrella circumpolar a tiempo conocido. 54 • Ondulación Geoidal conocida: Mediante observaciones gravimétricas en el área cercana al punto Datum, se modela el comportamiento del geoide y se determina la separación entre el elipsoide y el geoide para el punto Datum. • Meridiana y primer vertical conocidos: Las coordenadas obtenidas mediante observación astronómica están referidas a la esfera celeste, por cuanto la latitud y longitud del punto Datum es astronómica, para referir estas coordenadas al elipsoide es necesario establecer la desviación de la vertical de la meridiana y del primer vertical. Cumplidas estas condiciones, es posible asegurar una correcta adaptación entre el Geoide y el Elipsoide. Si bien un sistema clásico permite materializar redes clásicas de primer orden (del orden de 1:100.000), su área de efectividad estará condicionada por la optima relación geométrica que exista entre el elipsoide y el geoide. Debido a la falta de paralelismo entre ambas figura y a las limitaciones propias de los métodos de posicionamiento clásico, la rigidez de la red que materializa al sistema local irá empeorando hasta alcanzar en ocasiones, errores relativos de varias decenas de metros para áreas lejanas al punto Datum. 3.3.1.1. Sistemas Locales Usados en Chile En la actualidad, los productos cartográficos nacionales, son referidos principalmente a dos sistemas locales, los cuales se materializan mediante redes clásicas de primer, segundo y tercer Orden, constituyendo así, la referencia horizontal clásica nacional. La referencia vertical es 55 independiente de la horizontal y se determina según el nivel medio del mar calculado con una red nacional de mareógrafos. Así, los sistemas locales usados en Chile corresponden a sistemas bidimensionales en los cuales el posicionamiento horizontal y vertical no están necesariamente relacionados en su concepción. a. PSAD-56 Durante la década de los 40’s y parte de los 50`s, el ejercito de Estados Unidos en cooperación con los países de América central y América del sur, construyó una red geodésica desde México hasta el sur de Chile la que se constituyó en la vértebra del llamado Datum Provisorio Sudamericano. El origen de este Datum se materializó en “La Canoa” Venezuela y su determinación fue hecha mediante observaciones astrogeodésicas y observaciones gravimétricas utilizadas para determinar la deflexión de la vertical. La figura de Referencia escogida fue el Elipsoide Internacional de 1924 y la ondulación geoidal fue cero por definición. La Heterogénea distribución de masas presentes en el continente sudamericano, ocasionan un comportamiento Geoidal muy complejo e imposible de modelar con las escasas mediciones gravimétricas realizadas en el marco del proyecto Psad-56. Debido a esto, la materialización de dicho Datum cuenta con errores que lo imposibilitan para cubrir con aceptable precisión el continente sudamericano y que generan por ejemplo, diferencias de hasta 300m entre el geoide y el elipsoide para latitudes cercanas a los 40º S. 56 Por otra parte, la precisión del transporte de coordenadas no es mejor que 10PPM lo que implica deformaciones para la representación del territorio nacional de hasta 50m en el valor de la coordenada de un punto de primer orden respecto del origen del Datum. Con estos antecedentes, el Instituto Panamericano de Geografía e Historia determinó que el Datum Psad-56 no resultaba adecuado como marco geodésico para la cartografía regular de las naciones sudamericanas por lo que se encargó el estudio de un Datum que se adecuara mas a las necesidades de todos los países del subcontinente. b. SAD-69 La comunidad científica americana presentó serias objeciones con respecto a la utilización del Sistema PSAD-56 como referencia para el continente, ya que, por una parte, la posición del punto Datum desfavorece la precisión que puede alcanzar los puntos mas alejados de él, y por otra parte, se consideró que las observaciones gravimétricas tendientes a determinar la desviación de la vertical eran insuficientes. Debido a esto, el Instituto Panamericano de Geografía e Historia solicito la creación de un grupo de trabajo que estudiara la creación de un Datum sudamericano que satisficiera las necesidades de todos los países sudamericanos. Se propuso en la VIII reunión de consulta celebrada en Cuba en 1958 que el punto Datum estuviera localizado entre los 15º y 27º sur y entre los 45º y 63º Oeste y que el propósito de este proyecto fuera el “establecer un Datum sudamericano unificado para las redes continentales de control de los levantamientos y para la 57 información de la Figura de la Tierra”. Durante la XI reunión de consulta de cartografía en la ciudad de Guatemala en 1965 fue presentado un informe sobre el geoide a nivel continental que sirvió como base para la creación de un nuevo sistema y como se establecería la conexión de las redes nacionales a partir de los datos geoidales existentes, se evaluó el impacto de la utilización de un nuevo Datum en términos de ondulación Geoidal y desvío de la vertical. De esta manera, se buscó que el nuevo Datum respondiera a las necesidades de ondulación geoidal y desvío de la vertical específicos logrando así que la ubicación escogida para el nuevo Datum estuviera en función de valores deseados. El elipsoide asociado a este Datum corresponde al Internacional de 1967 y sus valores son a = 6.378.160m y f = 1/298.25. En primera instancia se consideraron dos posibles orígenes de este sistema de referencia. Correspondientes a los orígenes de los Datum nacionales de Brasil (Chua) y Argentina (Campo Inchauspe) a los que les fueron asignadas las alturas Geoidales 0m y 2m respectivamente. Finalmente se eligió el punto “Chua” como origen del sistema. La utilización del Datum Sad-69 en Chile fue adoptada como oficial para la creación mapas y planos a escala 1:25.000 y mayores y aquellas regiones ubicadas desde el paralelo 43º 30’ hacia el sur. Debido a la rigurosidad con la que fue establecido y al empleo de las emergentes técnicas de posicionamiento moderno, el Datum Sad-69 es una solución mas consistente que el Datum Psad-56 para la representación cartográfica a escalas medias y grandes. No obstante lo anterior, se ha relegado a un segundo plano la utilización de este Sistema dentro de las actividades cartográficas nacionales. 58 3.3.2. Sistemas globales Son de origen geocéntrico lo que permite que el error del sistema no supeditado a la cercanía del punto de origen. Su existencia se debe a la necesidad de un sistema geodésico acorde a las precisiones entregadas por los modernos sistemas de posicionamiento (Interferometría de Base Muy Larga, Medición Láser a Satélites, Sistemas de Posicionamiento Satelital, etc) El sistema geocéntrico de mayor utilización es el ITRS (International Terrestrial Reference System), el cual se define utilizando un eje cartesiano con origen en el centro de masas de la Tierra, donde el eje Z es coincidente con el polo medio calculado originalmente por el BIH con época 1984.0 y que es susceptible de vincular al polo instantáneo o verdadero para una determinada época mediante una serie de parámetros calculados año a año por el International Earth Rotation Service (IERS). Para una precisa y exacta determinación de los ejes cartesianos que sustentan al sistema, las observaciones se vinculan a fuentes extragalacticas (Quasares, Pulsares) lo que asegura la no inercialidad del sistema. Para la materialización del sistema ITRS se recurre a múltiples estaciones alrededor del mundo, que por medio de técnicas combinadas (Interferometria de base larga, observación a satélites artificiales, posicionamiento doppler, entre otros) genera el llamado ITRF o (International Terrestrial Reference Frame) el cual representa la materialización del sistema concebido. 59 3.3.2.1.WGS-84 Es un sistema de referencia creado por el Departamento de Defensa de Estados Unidos el cual tiene por objetivo servir de base a las técnicas modernas de posicionamiento (en especial GPS). Al estar orientado según los parámetros IERS es compatible con el ITRF y se vincula al elipsoide WGS-84 (en la practica elipsoide GRS-80) el cual es utilizado por el sistema de posicionamiento global (GPS). 3.3.2.2.SIRGAS En un esfuerzo por crear un único referencial geodésico para América, que permita terminar con las ambigüedades en la delimitación del territorio y como una forma de acercar el trabajo mancomunado de las naciones americanas a las tecnologías de posicionamiento y necesidades actuales, se creó con ayuda de organismos especializados de Estados Unidos y Europa el Sistema de referencia Geocéntrico para las Américas, el cual es un sistema tetradimensional compatible con las tecnologías de posicionamiento satelitario y que considera su evolución a través del tiempo. Su materialización posee cerca de una veintena de estaciones pertenecientes a la red ITRF lo que concluye en la compatibilidad del sistema con el marco ITRF 2000. La red geodésica nacional la constituyen alrededor de 400 vértices calculados en campañas desarrolladas en 1995, en el año 2000 y en el 2003. Algunos de estos vértices son coincidentes con las redes geodésicas clásicas, lo que posibilita la obtención de parámetros de transformación entre sistemas de referencia clásicos y modernos. 60 Actualmente, el Instituto Geográfico Militar y diversas entidades públicas y privadas usuarias de cartografía se encuentran en etapa de transición hacia la completa utilización de este referencial Geodésico. Sin embargo, aun se observan ciertos impedimentos técnicos que mantienen a nuestro país relegado a los últimos lugares de la implementación de este sistema geodésico en el continente. 61 CAPITULO 4 PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS Una proyección cartográfica es la correspondencia matemática biunívoca entre los puntos localizados en la superficie de una esfera, elipsoide u otro cuerpo geométrico de referencia y sus transformados en un plano de proyección. Sin embargo, antes de asumir esta definición como cierta, habrá que tener claro en una primera instancia, que una proyección cartográfica siempre introducirá algún tipo de distorsión o deformación en cuanto a las longitudes, áreas, ángulos o acimutes que se puedan determinar por medio de ella. Debido a esto, la elección de la proyección mediante la cual se representará la superficie de la Tierra debe realizarse priorizando la o las característica geométricas que se deseen mantener para el proyecto en cuestión evitando con esto perjudicar la exactitud con que una proyección cartográfica puede representar el terreno. 4.1. CÁLCULO DIFERENCIAL DE ELEMENTOS SOBRE EL ELIPSOIDE Considérese un cuadrilátero ABCD formado por dos paralelos y dos meridianos infinitesimalmente separados (Figura Nº12). El arco de meridiano AB y el arco de paralelo AD se representan respectivamente por: AB = M dφ ; AD = N cos φ dλ 62 C B dφ A θ dλ D Figura Nº 12 Cuadrilátero geodésico diferencial Sobre él se pueden definir los siguientes elementos 4.1.1. Elemento lineal (dl) La diagonal AC se describe según AC = dl = (M 2 ·∂φ 2 + r 2 ∂λ2 ) 4.1.2. Elemento angular (θ) El ángulo θ formado por AC y AD está implícito en tgθ = Mdφ / rdλ 4.1.3. Elemento superficial (dS) El área del cuadrilátero infinitesimal ABCD está representada por la función DS = M ·r ·∂φ ·∂λ = M · N cos φ ·∂φ ·∂λ 63 4.2. CÁLCULO DIFERENCIAL DE ELEMENTOS SOBRE EL PLANO El estudio de las deformaciones producidas en la representación plana de la superficie terrestre requiere de ciertas conceptualizaciones que permitan cuantificar las magnitudes deformadas para conocer así los valores reales que los elementos proyectados tienen respecto de su geometría. Considérese primeramente un cuadrilátero A1, B1, C1 y D1 sobre un plano rectangular cuyos ejes X e Y son coincidentes con un meridiano y paralelo cualquiera (Figura Nº13). Las deformaciones producidas en la proyección, pueden ser estudiadas usando las funciones X A1 = f (λ A , φ A ) Y A1 = g (λ A , φ A ) e Siendo “f” y “g” las funciones de paso que dependerán de la proyección utilizada. Y C1 B1 dl1 dy D1 θ1 X A1 dx Figura Nº13 64 4.2.1. Elemento lineal (dl1) Las coordenadas del punto C1 con respecto a A1 serán C1 XA1 + dx YA1 + dy Donde: A1C1 = dl1 = dx 2 + dy 2 Para expresar los elementos “x” e “y” en relación con “φ” y “λ” se diferencia la expresión antes expuesta, resultando: dx = δx δx dλ + dφ δλ δφ dy = δy δy dλ + dφ δλ δφ Luego, sustituyendo las expresiones anteriores para formar así el elemento lineal, se obtiene: ⎡⎛ δx ⎞ 2 ⎛ δy ⎞ 2 ⎤ 2 ⎡⎛ δx ⎞ 2 ⎛ δy ⎞ 2 ⎤ 2 ⎡ δx δx δy δy ⎤ + dl1 = ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ dφ + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ dλ + 2 ⎢ ⎥ dφ ·dλ ⎣ δφ δλ δφ δλ ⎦ ⎣⎢⎝ δλ ⎠ ⎝ δλ ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ δφ ⎠ ⎝ δφ ⎠ ⎦⎥ Los elementos entre corchetes corresponden a las Cantidades Gaussianas Fundamentales “E”, “G” y “F” respectivamente. 65 2 2 2 2 ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ E = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δφ ⎠ ⎝ δφ ⎠ ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ G =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ δλ ⎠ ⎝ δλ ⎠ F= δx δx δy δy + δφ δλ δφ δλ y corresponden a expresiones diferenciales que expresan la razón de cambio de coordenadas rectangulares respecto a las componentes de las coordenadas geodésicas (φ,λ) y que permiten describir sus deformaciones. Siendo: E = Elemento diferencial sobre el meridiano G = Elemento diferencial sobre el paralelo F = Elemento diferencial en función de la latitud y la longitud Luego, la diagonal A1 C1 queda expresada como: dl1 = Edφ 2 + Gdλ2 + 2 Fdφdλ Sabiendo que para dos puntos sobre un mismo meridiano dλ = 0 y que para dos puntos sobre un mismo paralelo dφ = 0, Luego Distancia sobre el meridiano = Edφ 2 Distancia sobre el paralelo = Gdλ2 66 4.2.2. Elemento angular (θ1) El acimut formado por A1C1 con el eje X corresponde a (Figura Nº13): tgθ1 = dy dx o también: senθ1 = dy = dl1 dy dx 2 + dy 2 Debido a las deformaciones producidas, el lado A1D1 no forma un ángulo recto con el eje Y, (Figura Nº14) luego es posible calcular el ángulo formado entre A1 D1 y A1 D’1 (donde D’1 es el homologo de D1 sobre el elipsoide) mediante: tgθ AD1 = 1 D1 D'1 A1 D'1 Y D1 dl1 θ A1 D'1 X Figura Nº14 67 Como A1 y D1 poseen la misma latitud y D1 es función de la variación de la longitud de A1, entonces, D1D’1 es la variación en “y” al variar la longitud, por ende: D1 D'1 = δy dλ δλ A1 D '1 = δx dλ δy tgθ AD11 = δy δx : δλ δλ Análogamente se obtiene: Sustituyendo, se obtiene: o senθ AD11 = D1 D'1 dl1p = δy dλ : dl1p δλ siendo dl1p = A1 D1 Operando, se obtiene senθ AD11 = δy 1 δλ G De similar forma se obtiene el ángulo formado entre A1B1 con el eje X (Figura Nº15) tgθ AB11 = δy δx δy δx dφ : dφ = δφ δφ δφ δφ en función del seno: senθ AB11 = δy δy 1 dφ : dl1M = δφ δφ E 68 Y B1 B'1 dl1 θ X A1 Figura Nº15 4.2.3. Elemento superficial (dS1) Considerando las características lineales y angulares recién mencionadas, puede describirse la superficie formada por A1 B1 C1 D1 mediante dS1 = A1 B1 * A1 D1 sen(θ AB11 − θ AD22 ) Desarrollando sen(a – b) y sustituyendo por las cantidades Gaussianas fundamentales, se obtiene: ⎡ δy 1 δx 1 δx 1 δy 1 ⎤ dS1 = ⎢ − ⎥ E * G * dφ * dλ ⎣ δφ E δλ G δφ E δλ G ⎦ Operando se obtiene: ⎡ δy δx δx δy ⎤ − dS1 = ⎢ ⎥ dφ * δλ ⎣ δφ δλ δφ δλ ⎦ Una vez definidas y explicadas las deformaciones existentes en un cuadrilátero infinitesimal sobre el elipsoide, se está en condiciones de abordar las deformaciones que sufren 69 los elementos representados en cartografía y determinar así, las características fundamentales de las proyecciones cartográficas. 4.3. MÓDULOS DE DEFORMACIÓN Relación existente entre los elementos diferenciales calculados en el elipsoide y sus imágenes en el plano, mediante las cuales es posible determinar las condiciones que deben cumplir cada proyección para mantener sus características en cuanto a la preservación de ángulos, distancias y superficies. 4.3.1. Modulo de deformación lineal Corresponde a la relación entre una unidad diferencial calculada en el plano y su homólogo en el elipsoide. De esta manera se puede expresar L= dl1 dl Si este valor “L” es igual a la unidad se tratará de una proyección automecoica o equidistante en la que evidentemente no existirá diferencia en una distancia medida en el plano y su correspondiente en el elipsoide. 70 4.3.2. Modulo de deformación angular El ángulo que forman dos elementos lineales diferenciales en el elipsoide difiere del ángulo que formaran sus imágenes en el plano debido a deformaciones que serán analizadas con posterioridad. Esta diferencia de ángulos se conoce como “Modulo de deformación angular” y se puede expresar como: A = θ1 − θ Aquellas proyecciones en que se verifica que A = 0 se denominan proyecciones conformes. 4.3.3. Modulo de deformación superficial La razón entre la superficie de un cuadrilátero diferencial calculado sobre el elipsoide y su imagen en el plano se denomina “Modulo de deformación superficial” y se expresa según: S= dS1 dS Cuando S = 1 se trata de una proyección Equivalente 71 4.4. ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT Para comprender las deformaciones que afectan, la representación plana de un área urbana, habrá que considerar que en su extensión existirán infinitos valores de deformaciones diferente entre si, los que habrán de ser racionalizados para determinar los valores máximos y mínimos de estas deformaciones y la orientación de esta deformación para el área a estudiar. Para solucionar esto, se recurre a la utilización de un concepto diferencial que representa las características de la deformación asociada a un punto cualquiera, y que permite por repetición a lo largo del área de estudio, la correcta caracterización de este. Si tangente al centro de un circulo diferencial localizado sobre un elipsoide de revolución, se sitúa un plano en el cual proyectar el circulo diferencial, la porción infinitesimal de meridiano y de paralelo que antes fuesen rectas perpendiculares entre sí, ahora serán trazos que, habiendo perdido su perpendicularidad, delata que un circulo trazado sobre un elipsoide se proyecta sobre un plano como una elipse la que se denomina “Indicatriz de Tissot”. El principio fundamental de esta indicatriz señala que para todo punto en la superficie de un elipsoide, existen dos “direcciones principales” o perpendiculares entre sí, tales que en sus imágenes también lo son. El estudio de las propiedades de esta elipse se basa en conocer la orientación y la longitud de los trazos conformantes de las direcciones, para determinar así, las deformaciones inherentes a un sistema proyectivo. Para esto se recurre a los teoremas de 72 Apolonio, que determinan los semiejes a y b de esta elipse indicatriz por medio de los trazos dsm y dsp (proyecciones de dφ y dλ en el plano). 4.4.1. Cálculo de semiejes según teorema de Apolonio Los semiejes “a” y “b” de la indicatriz corresponden a las direcciones principales formadas en el elipsoide, es decir, corresponden a aquellos arcos diferenciales que habiendo sufrido rotación durante la transformación, mantienen su perpendicularidad. Ahora, llamando “h” al modulo de deformación lineal sobre el meridiano y “k” al modulo de deformación lineal sobre el paralelo, se obtiene 2 h= E ·dφ ⎛ ∂y ⎞ 1 ⎛ ∂x ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ρ ·dφ ρ ⎝ ∂φ ⎠ ⎝ ∂φ ⎠ 2 2 h= G·dλ 1 ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ⎞ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ N ·cos φ ·dλ N ·cos φ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ 2 El teorema de Apolonio relaciona dos semidiámetros conjugados “m1” y “m2” con ángulo “A1” formado entre ellos (Figura Nº16) con los semiejes a y b mediante m12 + m22 = a 2 + b 2 y m1 ·m 2 ·senA1 = a·b 73 A1 m1 a m2 O b Figura Nº16 Determinación de Semiejes Según Teorema de Apolonio Al aplicar el teorema de Apolonio a la elipse indicatriz se observará una diferencia en el ángulo A1 con respecto a su proyección. Esta diferencia puede denotarse como “I” y evidentemente será nula para las direcciones principales. Considerando que los diferenciales de meridiano y paralelo sobre el elipsoide “dlm” y “dlp” son unitarios y a su vez radios del circulo infinitesimal en dicho elipsoide, se puede expresar: h=dlm’ y k=dlp’ donde dlm’ y dlp’ corresponden a la proyección en el plano de los diferenciales de meridiano y paralelo “dlm” y “dlp” respectivamente. Aplicando los teoremas de Apolonio a estas direcciones principales, se obtiene: h2 + k 2 = a2 + b2 y h·k ·cos I = a·b 74 de esta manera puede deducirse la deformación de escala en un punto dado que tendrá como máximo y mínimo a las direcciones principales “a” y “b” de la indicatriz. La indicatriz de Tissot permite también derivar un estudio de las deformaciones angulares que sufre un determinado punto al ser proyectado en un plano. Tal como se vio anteriormente, el modulo de deformación angular es (θ1 – θ) para el caso de las direcciones principales y de particularmente las proyecciones conformes esta deformación es nula, sin embargo, se representa en función de “a” y “b” como tg (θ1 − θ ) = (b − a)tgθ (a + b·tg 2θ ) En tanto la alteración superficial en función de las direcciones principales de la elipse indicatriz corresponde a π ·a·b·dr 2 S= = a·b π ·dr 2 Así, teniendo las expresiones a2 + b2 = h2 + k 2 y 2·a·b = 2S se puede determinar los valores “a” y “b” del la elipse indicatriz a partir de las coordenadas geodésicas de un punto y sus transformadas en el plano, de manera que ambos valores serán los valores extremos de las deformaciones. Sumando y restando las expresiones anteriores y formando productos notables se obtiene: ( a + b) 2 = h 2 + k 2 + 2 S y 75 ( a − b) 2 = h 2 + k 2 − 2 S donde reemplazando convenientemente S por el modulo de deformación superficial se obtiene: ( a + b) 2 = 2 2 2 2 ⎛ ∂y ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ ∂x ⎞ 1 ⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎡ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎤ ⎛ ∂y ⎞ ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + − + ⎢ ⎥+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎥ ⎢ 2 2 M ⎢⎣⎝ ∂φ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ⎦⎥ M ·r ⎣ ∂φ ∂λ ∂φ ∂λ ⎦ ⎝ ∂φ ⎠ ⎥⎦ r ⎣⎢⎝ ∂λ ⎠ ( a − b) 2 = 2 2 2 2 ⎛ ∂y ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ ∂x ⎞ 1 ⎡⎛ ∂x ⎞ 2 ⎡ ∂y ∂x ∂x ∂y ⎤ ⎛ ∂y ⎞ ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + − + ⎢ ⎜ ⎟ ⎥− ⎜ ⎟ 2 2 M ·r ⎢⎣ ∂φ ∂λ ∂φ ∂λ ⎥⎦ φ φ λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ M ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎥⎦ r ⎢⎣⎝ ⎠ luego ordenando y operando se obtienen las expresiones finales 2 ⎡ 1 ∂y ⎡ 1 ∂x ∂x ⎤ ∂y ⎤ 1 1 + − ( a + b) 2 = ⎢ ⎥ +⎢ ⎥ ⎣ ρ ∂φ N ·cos φ dλ ⎦ ⎣ ρ ∂φ N ·cos φ ∂λ ⎦ 2 2 ⎡ 1 ∂x ⎡ 1 ∂y 1 ∂y ⎤ 1 ∂x ⎤ ( a − b) = ⎢ + +⎢ − ⎥ ⎥ ⎣ ρ ∂φ N ·cos φ dλ ⎦ ⎣ ρ ∂φ N ·cos φ ∂λ ⎦ 2 2 4.5. CLASIFICACIÓN DE PROYECCIONES 4.5.1. Según método de construcción 4.5.1.1. Geométricas: se basan en los principios de la geometría plana y espacial que determinan la posición de un punto en la superficie proyectada con respecto a un punto de origen. 76 i. Perspectivas: Se originan a partir del trazado de rayos con origen en un “foco” que proyectan la red de paralelos y meridianos sobre un plano tangente a la superficie de referencia (Figura Nº17). i.i. Ortográfica: Aquella en la cual los rayos yacen ortogonal al plano de proyección. Por lo tanto se asume el foco a una distancia infinita del plano de proyección. i.ii. Estereográfica: El foco de esta proyección esta diametralmente opuesto al punto de tangencia de la superficie de referencia con el plano de proyección. i.iii. Gnomónica: Aquella en la cual el foco se localiza en el centro de la superficie de referencia. Foco Foco Foco Figura 17 Clasificación de proyecciones perspectivas ii. Seudoperspectivas: En este tipo de proyecciones, se recurre a algún artificio para obtener una característica especial de la proyección. Por ejemplo, aquellas proyecciones perspectivas en que el foco se sitúa en el punto diametralmente opuesto de cada elemento a proyectar 77 4.5.1.2. Analíticas: pierden el sentido geométrico en beneficio de la mantención de algunas propiedades especiales. 4.5.1.3. Convencionales: a diferencia de las analíticas, estas se basan en convenciones arbitrarias en función de las cuales determinan sus expresiones matemáticas 4.5.2. Según superficie de proyección utilizada Se refiere a si la superficie en la cual se proyectan las coordenadas corresponde a un plano o a una superficie desarrollable. Se pueden subdividir en: 4.5.2.1. Planas o azimutales: se considera el plano de proyección como tangente o secante al Datum de referencia. Comúnmente son llamadas azimutales ya que mantienen el azimut para los puntos coincidentes con el lugar de tangencia. 4.5.2.2. Desarrollables: parten de una superficie geométrica desarrollable que “envuelve” a la figura de referencia, como es el caso de un cilindro, un cono (o muchos conos sucesivos como el caso de la proyección policónica) o un poliedro para luego extenderlo formando un plano final de proyección. La Figura Nº18 representa las diversas situaciones de la superficie de proyección utilizada. 78 PLANA CONICA CILINDRICA POLIEDRICA Figura Nº18 Superficies de proyección utilizadas 4.5.3. Según situación de la superficie de proyección Esta clasificación se realiza en función de la posición espacial de la superficie de proyección para el caso de las proyecciones planas o desarrollables. Las planas se clasifican en: 4.5.3.1. Polares: Centro de proyección en el polo y eje de rotación perpendicular al plano de proyección. 4.5.3.2. Ecuatoriales: Centro de proyección coincidente con el ecuador y eje de rotación paralelo al plano de proyección. 4.5.3.3. Oblicuas: Centro de proyección en un lugar distinto al polo y el ecuador, es decir el eje de rotación permanece inclinado con relación al plano de proyección Mientras que las proyecciones desarrollables se clasifican en: 4.5.3.4. Normal: Eje del cono coincidente con el eje de rotación 4.5.3.5. Ecuatorial: Eje del cilindro coincidente con el eje de rotación 79 4.5.3.6. Transversa: Eje del cono perpendicular al eje de rotación 4.5.3.7. Transversa o meridiana: Eje del cilindro perpendicular al eje de rotación 4.5.3.8. Oblicuas: Eje del cono o cilindro inclinado en relación al eje de rotación La figura Nº19 representa las distintas proyecciones en función de la Situación de la superficie de proyección Figura Nº19 Clasificación de proyecciones según su superficie de proyección 80 4.5.4. Según las propiedades que conservan: Las proyecciones cartográficas pueden clasificarse en función de alguna propiedad especial que mantengan. 4.5.4.1. Equidistantes: Son aquellas que cumplen con manifestar nulas deformaciones lineales manteniendo constante la relación entre una magnitud lineal medida en la proyección, la magnitud lineal en la superficie de referencia. Posee un modulo de deformación lineal “L” unitario y las elipses indicatrices de Tissot, poseen un semieje de magnitud unitaria orientado sobre la línea de equidistancia . La condición de equidistancia es válida para ciertas líneas en la proyección. Según el sentido de ellas puede subclasificarse en: i. Equidistante meridiana: la equidistancia se mantiene en el sentido de los meridianos. ii. Equidistante transversa: la equidistancia se mantiene en el sentido de los paralelos. iii. Equidistante azimutal u ortodrómica: la equidistancia se mantiene en la dirección de los círculos máximos que pasan por el centro de proyección. 4.5.4.2. Equivalentes: Se conserva una relación constante entre las áreas de los elementos representados y la superficie de referencia. El módulo de deformación superficial “S” es unitario y las elipses indicatrices de Tissot trazadas, conservaran las áreas en desmedro de la excentricidad de ellas. 81 4.5.4.3. Proyecciones conformes: Son aquellas que mantienen como ángulos rectos las intersecciones de meridianos y paralelos. De esta manera, son conservadas las formas de un elemento en condiciones restringidas de extensión. De particular interés para la geodesia y cartografía, debido a la posibilidad que ofrece, de realizar con relativa sencillez, precisas transformaciones angulares que permitan relacionar el plano de proyección con la superficie elipsoidal. En ellas, las elipses indicatrices de Tissot se proyectan como circunferencias de radios variables 4.5.4.4. Proyecciones afilácticas: no mantienen ángulos, ni áreas, ni escalas lineales, sin embargo, mantienen alguna otra propiedad importante de destacar y que justifica su construcción, por ejemplo, la proyección gnomónica, que no mantiene ninguna de las características anteriormente señaladas, pero que justifica su construcción en el hecho que las loxodrómicas se proyectan como líneas rectas, facilitando así la navegación apoyada en cartografía. En estas proyecciones, el comportamiento de las indicatrices de Tissot dependerá de la característica principal de la proyección. 82 4.6. PROYECCIONES CONFORMES Una proyección conforme, es aquella en la cual se mantienen los ángulos entre el plano de proyección y en el Elipsoide de Referencia. Para que una proyección sea conforme, se requiere que sus paralelos y meridianos se intercepten en ángulo recto y que se mantenga la escala en todas las direcciones alrededor del punto. Sabiendo que la deformación angular “A” será 0 en un punto cualquiera ya que los ángulos en el plano y en el terreno serán iguales. Se obtiene entonces A = ángulo en el plano – ángulo en el Datum horizontal = 0 Se asume esta condición para porciones pequeñas de terreno o mientras la exactitud esperada lo permita. 4.6.1. Uso de proyecciones conformes Para la representación de un área pequeña, el uso de un plano topográfico puede ser suficiente ya que el error generado a partir de la no consideración de la esfericidad terrestre puede diluirse en la precisión de los métodos de captura de la información. En el contexto del desarrollo urbano, ante la falta de planificación en el crecimiento de las ciudades, la utilización de un plano topográfico como referencial para la representación de una ciudad, puede provocar una gran acumulación de errores y discrepancias internas, las que pueden perjudicar la representación de la ciudad. En este sentido, la única alternativa satisfactoria para la correcta representación de un área urbana es la utilización de una proyección cartográfica. 83 Como se señaló anteriormente las proyecciones cartográficas se pueden clasificar en función de la propiedad que mantengan. En este sentido, debe destacarse que la representación de áreas urbanas debe realizarse usando una proyección conforme ya que sus características especiales permiten representar sin errores las formas de pequeños predios dentro de una carta, hecho de gran importancia en la planificación territorial que involucra el loteo de terrenos de pequeña extensión. Por otra parte, una proyección conforme satisface los requerimientos generales de los trabajos geodésicos ya que corresponde a una función matemática repetible y estudiable, representa correctamente los ángulos, hace posible la corrección en términos de deformación lineal sin mayor problema y considera al elipsoide de revolución como superficie de referencia. Así, una proyección conforme, se transforma al mismo tiempo en una herramienta de representación cartográfica y en un instrumento matemático para cálculos geodésicos 4.6.2. Condiciones de Conformidad Para que una proyección cartográfica sea conforme, se requiere que los incrementos diferenciales de arcos de meridiano sean iguales a los de paralelos, es decir, que la indicatriz de Tissot resultante posea valores a = b. Esto significa que para cada punto considerado, existirá una única escala valida para todas las direcciones, pero distinta de un punto a otro, lo que evidentemente señala la conformidad de la proyección. 84 Para cumplir con esto, se utilizan coordenadas intermedias llamadas “isométricas”, las que permiten que Mδφ = rδλ. La longitud isométrica (λ) es correspondiente con la longitud geodésica mientras que la latitud isométrica (q) se define según ∫ q dq = 0 φ ∫ 0 M sec φ ·∂φ N como M = a(1 − e 2 ) (1 − e sen φ ) 2 2 3/ 2 y N= a (1 − e 2 sen 2φ ) se tiene que φ (1 − e 2 )(cos 2 φ + sen 2φ ) 0 (1 − e 2 sen 2φ ) cos φ (cos 2 φ + sen 2φ ) ∫ dφ separando, se obtiene φ ∫ 0 φ dφ cos φdφ − e2 ∫ 0 cos φ (1 − e 2 sen 2φ ) la primera integral se resuelve φ ∫ 0 ⎡ ⎛ π φ ⎞⎤ dφ = ln ⎢ tan⎜ + ⎟⎥ cos φ ⎣ ⎝ 4 2 ⎠⎦ resolviendo la segunda integral por sustitución y combinando ambos resultados se obtiene finalmente e⎤ ⎡ ⎢ ⎛ π φ ⎞⎛⎜ 1 − e·senφ ⎞⎟ 2 ⎥ q = ln ⎢ tan ⎜ + ⎟⎜ 4 2 ⎠⎝ 1 + e·senφ ⎟⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎥⎦ 85 Ya que como se indicó en un principio, en las proyecciones conformes las alteraciones angulares son nulas, la indicatriz de Tissot es un circulo se puede decir que: a=b=h=k = E G = M r Lo que señala que puede deducirse la condición de conformidad igualando las cantidades Gaussianas E = G en función de la latitud isométrica, es decir: δx δy = δλ δq δx δy =− δq δλ Sabiendo que: 2 ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ E = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δφ ⎠ ⎝ δφ ⎠ 2 2 ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ G =⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ δλ ⎠ ⎝ δλ ⎠ ; 2 y F= δx δx δy δy + δφ δλ δφ δλ se hace F= δx δx δy δy + =0 δφ δλ δφ δλ despejando se obtiene: ∂y = ∂λ − ∂x ∂x ∂q ∂λ ∂y ∂q tomando esta expresión y sustituyéndola en 2 2 2 ⎛ δy ⎞ ⎛ δx ⎞ ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ δλ ⎠ ⎝ δλ ⎠ ⎝ δq ⎠ ⎝ δq ⎠ 2 se obtiene luego de ordenar los miembros 86 ⎛ δx ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎛ δy ⎞ δλ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ ⎠ 2 ⎝ δq ⎠ ⎛ δy ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δq ⎠ 2 ⎛ δx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δq ⎠ 2 ⎡⎛ δx ⎞ 2 ⎛ δy ⎞ 2 ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ δq ⎠ ⎝ δq ⎠ ⎥⎦ como por definición 2 ⎛ δx ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ δλ ⎠ = 1 2 ⎛ δy ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δq ⎠ se obtiene δx δy =± δλ δq tomando la raíz positiva y sustituyéndola en 2 ⎛ δx ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δq ⎠ 2 ⎛ δx ⎞ ⎜ ⎟ ⎡ 2 2 ⎛ δy ⎞ δλ ⎠ ⎛ δx ⎞ ⎛ δy ⎞ ⎤ ⎝ ⎢ ⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 ⎜ ⎝ δq ⎠ ⎝ δq ⎠ ⎥⎦ ⎛ δy ⎞ ⎢⎣⎝ δq ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ δq ⎠ 2 se obtiene finalmente: δx δy =− δq δλ Finalmente, las “ecuaciones de Cauchy-Rieman” reveladoras de la condición de conformidad son: δx δy = δλ δq δx δy =− δq δλ 87 CAPITULO 5 PROYECCIONES TRANSVERSALES DE MERCATOR 5.1. GENERALIDADES Esta proyección fue concebida inicialmente por el científico Alemán Johann Heinrich Lambert en 1772, pero su desarrollo analítico se adjudica a Carl Friederich Gauss. Es rigurosamente conforme, por lo que los meridianos y paralelos se interceptan en ángulo recto manteniendo así las formas de los elementos representados. Una forma didáctica de graficarlo es mediante la utilización de un cilindro transverso al eje de rotación y que envuelve al elipsoide terrestre (Figura Nº20). Para cubrir todo el elipsoide se utilizan numerosos cilindros transversos lo que deriva en que cada cilindro tiene un campo especifico de acción llamado “huso”, el que está definido por un meridiano central al cual pertenece y por un ancho de huso expresado en grados de desarrollo longitudinal, en estricto rigor, se trata entonces de un sistema de proyecciones que cubre el elipsoide y que dada la posición de cada cilindro, se hace recomendable para territorios donde predomine la extensión Norte-Sur (como es el caso particular de Chile) ya que como se demostrará a continuación, las distorsiones en sentido Este-Oeste son mayores que en sentido Norte-Sur. Como todos los husos 88 del sistema de proyección tienen igual ancho, analíticamente todos se definen de igual manera. Así, las funciones matemáticas para efectuar todo tipo de cálculos son idénticas en cada huso. Por definición este sistema proyectivo tiene un campo de escala definido por un error máximo, esto significa que los límites del huso estarán dados mientras el error asociado no exceda cierta norma. El meridiano central de cada huso, posee la particularidad de ser el único representado por una línea recta y poseer igual valor de escala en todo su largo y los valores X de la proyección tienen como origen dicho meridiano. Figura Nº20 2 Alrededor del mundo, son numerosos los ejemplos de la utilización de proyecciones TM con diferentes parámetros que los países del mundo han adoptado para normar la representación de su territorio siendo las mas utilizadas “Universal Transversal de Mercator”, “Gauss-Kruger”, 2 Fuente http://www.igm.cl/Proyeccion_utm.html 89 “Local Transversal de Mercator” “Modificada Transversa de Mercator” todas estas, desarrolladas durante el presente capítulo. 5.2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Si se considera que el mapeo conforme desde un plano complejo (λ, iq) en otro plano complejo (x, iy) queda sujeto a la función x + iy = f (λ +/- iq) se observará que para deducir la función de traspaso desde ambos planos complejos, habrá que determinar f(λ +/- iq) según las condiciones iniciales requeridas por la proyección deseada e igualar posteriormente las partes real e imaginaria para obtener así las coordenadas reales de mapeo x = x(λ, q) e y = y(λ, q). 5.2.1. Conversión de coordenadas geodésicas a rectangulares La primera condición que debe satisfacer la función de mapeo conforme para el caso de la proyección TM es la nula deformación en el meridiano central. Es decir, cuando λ = 0 debe cumplirse x = 0, quedando la función analítica de la forma iy = f (iq ) = iSφ recordando que: 90 φ ∫ Sφ = Mdφ 0 y que q= φ ∫ M sec φ ·dφ = N 0 φ ∫ 0 M dφ N ·cos φ donde dq = Mdφ N ·cos φ y M ·dφ = N ·cos φ ·dq se puede expresar entonces Sφ = φ ∫ N ·cos φ ·dq = f (q ) 0 lo que permite calcular coordenadas que se encuentren únicamente sobre el meridiano central. Ahora bien, para generalizar esta solución a puntos que se encuentren fuera del meridiano central, donde el valor de la abscisa no será cero y el valor de la ordenada será diferente al del arco de meridiano del punto considerado. Se expande la función x + iy = f (λ + iq) en torno al punto z = iq según serie de Taylor quedando x + iy = f (λ + iq) = f (iq) + λf ' (iq) + λ2 2! f ' ' (iq ) + λ3 3! f ' ' ' (iq ) + ... considerando la expresión f (iq ) = iSφ = if (q ) y diferenciando respecto a “z”, se obtiene d d f (iq ) = [if (q)] dz dz o f ' (iq ) = d [if (q)] dq dq dz 91 como dz d 1 d f (iq ) y finalmente f ' (q ) ≡ = i , f ' (iq ) = if ' (q) ; = f ' (q) , donde f ' (iq ) ≡ f (q ) dq dq i dz las derivadas de orden superior continúan: f ' ' (iq ) = −if ' ' (q ) f ' ' ' (iq ) = − f ' ' ' (q ) f iv (iq ) = if iv (q) etc. Reemplazando estos valores se obtiene: x + iy = if (q ) + λf ' (q ) − λ2 if ' ' (q) − 2! λ3 3! f ' ' ' (q) + λ4 4! if iv + ... igualando las partes real e imaginaria, se obtiene iy = if (q) − y = f (q) − λ2 2! λ2 if ' ' (q) + f ' ' (q) + 2! λ4 4! λ4 4! if iv (q ) + ... f iv (q ) + ... también x = λf ' ( q ) − λ3 3! f ' ' ' (q) + λ5 5! f v (q) donde las derivadas son: f ' (q) = N ·cos φ ⎡ dN ⎤ dφ N f ' ' (q) = ⎢ cos φ − N ·senφ ⎥ = − sen2φ 2 ⎣ dφ ⎦ dq (las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952) 92 reemplazando las derivadas en las funciones anteriores y operando, se obtiene: [ ] [ ] x λ3 cos3 φ λ5 cos5 φ = λ cosφ + 1 − t 2 +η 2 + 5 −18t 2 + t 4 + 14η 2 − 58t 2η 2 + 13η 4 − 64t 2η 4 + 4η 6 − 24t 2η 6 + ... 6 120 N [ y Sφ λ2 senφ ·cos φ λ4 senφ ·cos 3 φ = + + 5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 2 24 N N con ] t = tgφ ; η2 = e’2 cos2 φ y λ corresponde a la diferencia de longitud en radianes con respecto al meridiano central. las expresiones anteriormente desarrolladas pueden continuarse hasta sucesivos términos logrando así una exactitud mayor en la transformación. No obstante el tercer término asegura una exactitud suficiente para la mayoría de los trabajos geodésicos. Los ejes de este sistema de coordenadas estarán dados por la transformada del meridiano central del huso para las ordenadas y la transformada del ecuador para las abscisas. Es decir 0º de latitud geodésica y λ0 de longitud geodésica. De lo anteriormente expuesto, se deduce que a cualquier punto con un incremento de longitud geodésica negativa con respecto al meridiano central le corresponderá un valor negativo de X y que cualquier punto al sur del ecuador poseerá una coordenada Y también negativa. 5.2.2. Conversión de coordenadas rectangulares a geodésicas Partiendo de la función general de mapeo conforme (x + iy) = f1(λ + iφ) se puede abordar la transformación inversa desde la función (λ + iφ) = f2(x + iy). Expandiendo dicha función a cualquier punto (z) sobre el plano con coordenadas X0, Y0 se tiene: λ + iq = (λ0 + iq 0 ) + (Δλ + iΔq) 93 λ + iq = f 2 ( x0 + iy0 ) + f '2 ( x0 + iy0 )(Δx + iΔy ) + f ' '2 λ + iq = f 2 ( z ) + f ' 2 ( z 0 )(Δz ) + f ' ' 2 ( x0 + iy0 ) (Δx + iΔy ) 2 + ... 2! ( z0 ) (Δz ) 2 + ... 2! luego, seleccionando un punto sobre el meridiano central para ser evaluado con la serie anteriormente expuesta se tiene para y para x0 = 0 x = Δx; y = Δλ y = y0 Δy = 0; Δq = 0 Considerando estos argumentos e incorporándolos en la expresión anterior se obtiene: λ + iφ = f 2 (iy ) + f ' 2 (iy ) x + f ' ' 2 (iy ) 2 x + ... 2! obsérvese que x=0 y iq = f 2 (iy ) El concepto asociado a la expresión anterior, puede describirse mediante la Figura Nº21 donde se recurre a una latitud φ1 denominada latitud base, que corresponde a la proyección recta del paralelo en el meridiano central tal y como explica la figura. La latitud base isométrica corresponderá a q1 y se puede escribir iq1 = f 2 (iy ) 94 Meridiano Central Paralelo que pasa por y φi Paralelo del punto φ y Sφ Figura Nº21 Latitud Isométrica ahora, evaluando f2(iy) y sus derivadas se obtiene: f ' 2 (iy ) = df 2 (iy ) d (iq ) dq dS q = =i d (iy ) d (iy ) dS q d (iy ) donde iy = iSφ y iy = iSφ 1 = iS q1 entonces operando, la derivada será f ' 2 (iy ) = q' luego f ' ' 2 (iy ) = −iq ' ' f ' ' ' 2 (iy ) = −q ' ' ' f 2iv (iy ) = iq iv f 2v (iy ) = q v ahora expresando la función de mapeo mediante la latitud base φ1 se obtiene: 95 λ + iq = iq1 + xq1i − iq1ii 2 q1iii 3 iq1iv q1v 5 x − x + + x + ... 2! 3! 4! 5! luego, separando las partes reales e imaginarias: x 3 iii x 5 v q1 + q1 + ... 3! 5! x 2 ii x 4 iv q = q1 − q + q + ... 2! 4! λ = xq1i − reemplazando las derivadas complejas por las reales se obtiene qi = q ii = q iii = 1 N cos φ 1 N 2 cos φ 1 N cos φ 3 (1 + 2t 2 + η 2 ) (las derivadas de orden superior fueron calculadas por Thomas en 1952) Finalmente, ordenando los términos se obtiene: 5 2 4 2 2 2 ⎡ x 1 ⎛ x ⎞3 1 ⎛ x ⎞ ⎛⎜ 5 + 28t1 + 24t1 + 6η1 + 8t1 η1 2 2 ⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎜ + + + 1 2 t λ = sec φ1 η 1 1 120 ⎜⎝ N 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 3η14 − 4η16 + 4t12η14 + 24t12η16 ⎢ N 1 6 ⎝ N1 ⎟⎠ ⎣ ( φ = φ1 − ( t1 1 + η12 2 )⎛⎜⎜ Nx ⎞⎟⎟ ⎝ 1 ⎠ 2 + ) ( t1 1 + η12 24 )⎛⎜⎜ Nx ⎞⎟⎟ (5 + 3t 4 ⎝ 1 ⎠ 2 1 + η12 − 4η14 − 9η12 t12 − ⎞⎟⎤ ⎥ ⎟⎥ ⎠⎦ ) con las definiciones de “t” y “η” iguales que en la transformación anterior. La latitud base φ1 se puede obtener mediante el método iterativo “Newton-Rapson” que utiliza la razón entre la función que representa el arco de meridiano que subtiende la latitud base 96 y su primera derivada iterativamente partiendo de un valor inicial arbitrario hasta que las iteraciones arrojen un error menor a la tolerancia aceptada. La forma general de este método es φ1 = φn−1 − f (φ ) f ' (φ ) como primer paso en la determinación de la latitud base debe escogerse un valor inicial para el proceso iterativo (φτ). Ya que la latitud base es función del arco de meridiano central del huso. Se considera la expresión φτ = y a como suficiente para una primera aproximación. Como el valor φ1 es correspondiente con la magnitud del arco de meridiano entre el punto φ1 y el ecuador entonces f (φ ) = y recordando el capitulo III se puede escribir B C D E ⎡ ⎤ f (φτ ) = S ( 0−φτ ) = a (1 − e 2 ) ⎢ Aφτ − ( sen2φτ ) + ( sen4φτ ) − ( sen6φτ ) + ( sen8φτ ) − ...⎥ 2 4 6 8 ⎣ ⎦ entonces la primera derivada se escribe B C D E ⎡ ⎤ f ' (φτ ) = a (1 − e 2 ) ⎢ A − (cos 2φτ ) + (cos 4φτ ) − (cos 6φτ ) + (cos 8φτ ) − ...⎥ 2 4 6 8 ⎣ ⎦ el procedimiento debe repetirse hasta que el valor de la coordenada φn-φn-1 < ε donde ε = 10−12 . aproximadamente 2·10-7 segundos de arco. Esto asegura una precisión compatible con cualquier proceso geodésico. 97 5.3. CONVERGENCIA DE MERIDIANOS Como sobre el elipsoide el azimut esta referido al norte geodésico, y en el plano cartográfico las meridianos se presentan como línea cóncavas hacia el meridiano central, se observarán diferencias angulares entre el meridiano que pasa por el punto y la línea recta del eje “y”. A esta diferencia angular se le conoce como convergencia de los meridianos y será nula para el meridiano central, ya que solamente este meridiano tiene la particularidad de proyectarse como una línea recta, la que evidentemente será coincidente con el eje “y” del punto en cuestión. Analíticamente, la convergencia de meridianos puede definirse como el ángulo formado entre la tangente al meridiano en el punto y el eje Y que pasa por el mismo punto. O también como el ángulo formado entre la tangente al paralelo en el punto y el eje X que pasa por el mismo punto. como se observa en la Figura Nº22. O Ecuador Sφ y φ Paralelo dx x γ φ1 γ M er id ia no Meridiano Central dy Figura Nº22 Convergencia de Meridianos 98 Diferencialmente puede expresarse como: ∂y ∂y ∂ tgγ = λ = ∂x ∂x ∂λ y su desarrollo puede expresarse en función de coordenadas geodésicas como: γ = Δλsenφ + ( ) ( ) Δλ3 Δλ5 senφ cos 2 φ 1 − 3η 2 + 2η 4 + senφ cos 4 φ 2 − tg 2φ + ... 3 15 y en función de sus coordenadas planas γ = 5.4. ( ) ( ) x x3 x5 2 2 4 tgφ '− tg φ ' 1 + tg φ ' − η ' − 2 η ' + tgφ ' 2 + 5 yg 2φ '+3tg 4φ ' + ... N' 3N '3 15 N '5 DIFERENCIA ARCO-CUERDA (ψ) Se entiende como la diferencia entre el azimut geodésico proyectado “T” ( obtenido a partir del azimut geodésico y la convergencia de meridianos) y el azimut plano “t” ( obtenido directamente a partir de las coordenadas planas ). La diferencia de estos azimutes permite relacionar las direcciones observadas o elipsoidales a direcciones de cuadricula o planas, y su desarrollo puede observarse en la Figura Nº23. 99 NC NG A 2 t γ T ψ 1 ψ = Reducción Arco - Cuerda ( T - t ) A = Azimut Geodésico t = Azimut Plano T = Azimut Geodésico proyectado γ = Convergencia de Meridianos NG = Norte Geodésico NC = Norte Cartográfico . Figura Nº23 Diferencia Arco – Cuerda (T − t ) BA = ( y B − y A )·(2· x A + x B ) ·(1 + η m2 ) 6· N m ·M m (T − t ) BA = ( y B − y A )·(2·x B + x A ) ·(1 + η m2 ) 6·N m ·M m Donde el subíndice “m” indica que la magnitud esta referida a la latitud media entre los puntos “A” y “B” 100 5.5. FACTOR DE MAGNIFICACIÓN DE ESCALA 5.5.1. En función de coordenadas geodésicas Como se expuso en el capitulo Nº4, la expresión general de la deformación de escala en una proyección conforme es: 2 k= ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ N ·cos φ 2 ahora, usando la definición diferencial de la convergencia de meridianos: 2 ⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ ∂λ 2 tan γ = ⎝ ⎠ 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠ 2 2 2 ( ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ⎞ 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ 1 + tan γ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ∂λ ⎠ ) sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene: ∂x 1 + tan 2 γ ∂ λ k= N ·cos φ ya que el termino tanγ es muy pequeño, se puede desarrollar la raíz cuadrada en términos de una serie, y posteriormente evaluando la derivada parcial, se obtiene: k = 1+ λ2 2 cos2 φ (1 + η 2 ) + λ4 24 cos4 φ (5 − 4t 2 + 14η 2 + 13η 4 − 28t 2η 2 + 4η 6 − 48t 2η 4 − 24t 2η 6 ) 101 5.5.2. En función de coordenadas rectangulares Tomando el recíproco de la función anteriormente utilizada. Es decir: 1 = k N ·cos φ ∂λ ∂x (1 + tan γ ) 2 operando según la derivada parcial de la latitud isométrica, expresando la raíz cuadrada en serie, y expandiendo N·cosφ en una serie de Taylor con punto de expansión en la latitud base φ se obtiene: 2 1 + η12 ⎛ x ⎞ 5 + 6η12 − 3η14 − 4η16 + 24t12η14 + 24t12η16 ⎛ x ⎞ 1 ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1+ k 2 ⎜⎝ N1 ⎟⎠ 24 ⎝ N1 ⎠ 5.6. 4 EL ARTIFICIO DE TISSOT Como una forma de graficar las características de las proyecciones transversales de Mercator, se suele hacer referencia a un cilindro cuyo eje es perpendicular al eje de rotación de la Tierra, y que conforma el plano de proyección. Las diferentes posiciones relativas que tome este cilindro en cuanto a su secancia o tangencia con respecto al elipsoide condicionaran el valor de la deformación de escala que tendrá el cilindro en sus diferentes posiciones. Así, la proyección Gauss-Krugger por ejemplo, supone un cilindro tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano, en el cual se mantiene un factor de escala constante entre ambas figuras e igual a la unidad y que aumenta de acuerdo a la distancia longitudinal que separe al punto en cuestión del meridiano de 102 tangencia hasta donde termine la faja o campo. Para otras proyecciones transversales (UTM, LTM, etc) se considera a dicho cilindro secante, lo que geométricamente implica la generación de dos líneas cóncavas hacia el meridiano central cuyo factor de escala es igual a 1, y que disminuye hacia el meridiano central donde toma el valor nominal de la proyección (K0) y aumenta hacia el borde del huso. Para conocer el comportamiento del factor de escala en esta condición de secancia, se recurre al artificio de Tissot que implica lo siguiente. El valor K0 correspondiente al valor nominal de escala, esto es, valido solamente para el meridiano central de la proyección se deduce reduciendo a la mitad la deformación de los extremos del huso. Por ejemplo: En una proyección tangente, la deformación de escala en el borde del huso puede ser expresada por: (K’) = (1 + ε) Entonces se puede hacer que (K0) = (1 - ε/2) lo que implica que en los extremos del huso, el factor de escala con el artificio de Tissot valdrá (K) = K0 · (K’) = (1 - ε/2) · (1 + ε) = 1 + ε – ε/2 – ε2/2 ya que ε es un numero pequeño (K) ≡ 1 + ε/2 por lo tanto, la deformación del borde de uso queda reducida a la mitad 103 5.7. PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR ( U T M ) 5.7.1. Generalidades La proyección UTM es obra del cuerpo de ingenieros del ejercito de Estados Unidos y fue creada para homogenizar la representación cartográfica de países vinculados a los esfuerzos militares de ese país. Esta proyección, corresponde en rigor a una proyección TM a la que se le han impuesto ciertos parámetros particulares. Es un sistema policilíndrico que abarca la totalidad del elipsoide en sentido longitudinal y desde los 80ºS a los 84ºN en sentido latitudinal. Para controlar las deformaciones producidas al alejarse del meridiano central, esta proyección está formada por 60 husos de 6º de ancho cada uno. El elipsoide asociado es el “Internacional de 1924”, y los Husos se orientan desde los 180ºW aumentando hacia el Oeste, de tal manera que el meridiano de Greenwich corresponde al borde o separación de los husos 30 y 31. Como una forma de reducir las deformaciones producidas en los bordes de cada huso, (lugar geométrico en que el plano de proyección está mas alejado del elipsoide) el meridiano central no es equidistante (K0 = 0.9996), de manera que el cilindro que representa al plano cartográfico es secante al elipsoide. Así, los factores de deformación de escala “K” tienen un valor mínimo de k = 0.9996 en el meridiano central (1:2.500), nulo a lo largo de una línea cóncava hacia el meridiano central que dista unos 180 Km de él (k = 1) y un valor máximo de k = 1.001 (1:1.000) en el borde del Huso. 104 El territorio nacional comprende los Husos 18 (MC = 75º W) y 19 (MC = 69º W) para Chile Continental, el huso 17 para el archipiélago de Juan Fernández y el Huso 12 para la Isla de Pascua. 5.7.2. Falso Este Como una forma de evitar la existencia de coordenadas negativas dentro de un huso. Se adoptó por convención el asignar un valor inicial al meridiano central que sea mayor que la máxima diferencia en metros entre dicho meridiano y el borde de huso para la latitud 0º. Se optó por el valor 500.000 metros, por lo que las coordenadas Este varían entre 166.000m y 834.000m en el Ecuador y entre 443.000m y 557.000m aproximadamente para los límites latitudinales del huso (80º) 5.7.3. Falso Norte Dado que el origen latitudinal del sistema UTM se encuentra en el Ecuador. Se observa el inconveniente de que todos los territorios del hemisferio sur tendrían coordenadas negativas, como una forma de evitar la incomodidad inherente a trabajar con coordenadas negativas se decidió asignar un valor de norte falso valido para el hemisferio, que sea superior a la máxima distancia norte sur posible para la proyección. Así, se decidió asignar un valor de norte falso de 10.000.000m para el hemisferio sur y mantener el norte falso de 0m para el hemisferio norte. 105 5.7.4. Factor de Escala en el Meridiano Central La proyección UTM confiere al meridiano central de cada huso un valor de escala menor que la unidad y que se mantiene constante a través de este meridiano, esto con el fin de reducir las deformaciones en los extremos del huso (como se vio en el apartado referente al artificio de Tissot). El valor de este factor de escala se obtiene de reducir a la mitad la deformación asociada a una proyección transversal de mercator en una latitud media de 40º en un huso de 6º, es decir con un Δλ de 3º. Asi teniendo la función ( ) ⎡ Δλ 2 ⎤ K = K 0 ⎢1 + cos 2 φ 1 + η 2 ⎥ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ Evaluada para φ = 40º y Δλ = 3º K = 1.0008 ε = 0.0008 Entonces, reduciendo la deformación de los bordes a la mitad, se obtiene e/2 = 0.0004 Finalmente, como la deformación en los bordes es 1 + ε/2 y la deformación en el meridiano central es 1 – ε/2 se llega a K’ mc = K0 = 0.9996 K’ (φ = 40º; Δλ = 3º) = 1.0004 De la definición dada anteriormente, se desprende que los valores de la deformación de escala de un punto variarán desde 0.9996 en el MC hasta 1.000981069 (Figura Nº 24). entre estos valores existe un punto de equidistancia tal que aunque no corresponde a un meridiano. Permite comprender las variaciones en las deformaciones de escala como sigue: 106 • K = 0.9996, en el meridiano central • 0.9996 < K < 1 entre las líneas de secancia • K > 1, fuera de las líneas de secancia K0 = 0.9996 Cilindro de Proyección K=1 K(max) = 1.00098 6º Figura Nº24 Variación del factor de deformación de escala para el meridiano central en latitud 0º Al corresponder esta proyección a una versión particular de la proyección TM, los algoritmos de transformación y el análisis matemático se realiza de la misma manera y solo se debe considerar el factor de escala K0 (como se observa en la función de factor de escala). Siendo: Coordenada Norte UTM = 10.000.000 + 0.9996 · y Coordenada Este UTM = 500.000 + 0.9996 · x Correspondiendo los valores “x” e “y” a los desarrollados en el presente capítulo 107 5.8. PROYECCIÓN LOCAL TRANSVERSAL DE MERCATOR ( L T M ) La proyección LTM busca cubrir las necesidades cartográficas de proyección conforme de alta precisión para proyectos de ingeniería. Al igual que la UTM corresponde a un sistema cilíndrico transverso conforme secante, pero con parámetros particulares que la individualizan y que permiten mediante la manipulación del ancho de huso y factor de escala, el incrementar la exactitud en la representación de los elementos. Originalmente fue concebida como una herramienta de apoyo a los proyectos de ingeniería donde debe representarse el terreno con gran exactitud. Para la definición de esta proyección se establece una precisión del meridiano central de 1/200.000, es decir K0 = 0.999995, y ya que las líneas de secancia se encuentran muy cerca del meridiano central se determina un ancho de huso de 1º, en cuyos bordes existirá una exactitud mínima de 1/30.000, no obstante, el ancho efectivo del huso puede estar dado por la precisión esperada para la proyección. Así por ejemplo, para proyecto que requiera un control de orden primario (1/100.000) basta con restringir el huso hasta unos 35 km o 18’52’’ donde se cuenta con una precisión aproximada de 1/110.000. Pese a que se recomienda que el meridiano central corresponda a grados enteros o medio grados, en proyectos de ingeniería se debe considerar en una primera instancia, que el meridiano central de la proyección sea coincidente con el área de estudio para lograr así un 108 cubrimiento total. Para áreas extensas o mayores precisiones, se recomienda usar múltiples fajas que abarquen el total del área de estudio y/o que cumplan con la precisión señalada. 5.8.1. Falso Este Como una forma de evitar la existencia de valores negativos en las coordenadas proyectadas, se recurre a asignar un valor para el meridiano de origen, tal que sea mayor que la máxima extensión posible en sentido Este-Oeste (1º de desarrollo longitudinal en el ecuador corresponde a unos 111 km) de esta forma y para cubrir una posible extensión del huso mas allá de 1º se opta por asignar un valor de 200.000m. 5.8.2. Falso Norte Dada la cobertura latitudinal de la proyección LTM para el caso chileno (63º) se obtiene una distancia máxima en sentido norte o sur de 6.988km con respecto al ecuador. Por esto, se asigna un valor de 7.000.000 de metros como origen de las coordenadas Norte para el hemisferio Sur y de 0 metros para el hemisferio Norte, lo que radica en la imposibilidad de existencia de coordenadas negativas. Al igual que todas las proyecciones Derivadas del desarrollo Transverso de Mercator, se mantienen los algoritmos de transformación y de análisis planteados con anterioridad. Coordenada Norte LTM = 7.000.000 + 0.999995 · y Coordenada Este LTM = 200.000 + 0.999995 · x 109 5.9. PROYECCIONES LTM Y PLANOS TOPOGRÁFICOS LOCALES La forma de relacionar coordenadas sobre el elipsoide, el plano de proyección y posteriormente el terreno, implica arduas labores de cálculo y con esto la posibilidad cierta de cometer errores de distinto tipo haciendo aún mas complicada la racionalización del espacio por medio de cartografía. Como una forma de solucionar la discrepancia existente entre mediciones en terreno y cartografía sobre un plano de proyección, se suele utilizar una proyección LTM tal que el plano de proyección sea coincidente con el terreno. Para esto, se debe considerar un cilindro que pase por el terreno topográfico constituyendo así un plano topográfico local (PTL). Considerando la Figura Nº25 Distancia PTL Distancia NMM Distancia Elipsoidal H(ptl) R Figura Nº25 Plano topográfico local y superficie de referencia Puede determinarse un valor K relacionado con la altura del terreno sobre el elipsoide (cercana a la altura sobre el nivel del mar) de modo que implique tangencia con un punto del 110 terreno. De esta forma se obtiene para ese punto la directa relación terreno-plano de proyección facilitando así el transporte de coordenadas y las labores de replanteo. Por semejanza de triángulos, observando la figura Nº25 se obtiene: K hptl = R+h R Expresión que señala el factor de escala del meridiano central para el proyecto particular que permite que el cilindro sea tangente al terreno (en desmedro de la relación de secancia o tangencia entre el plano de proyección y elipsoide existentes para otras proyecciones TM). Para efectos prácticos, los proyectos topográficos suelen utilizar Diversos planos topográficos locales determinados según la inexactitud que provoca las diferencias de alturas observadas en el terreno. La determinación del número y posición de los PTL se realiza considerando la expresión K hptl = R+h R Que puede expresarse como el factor de escala de un desnivel haciendo K Δhptl = R + Δh R luego despejando Δh se obtiene la diferencia de altura que genera una imprecisión determinada, por ejemplo: Para un terreno cuyos valores altimétricos máximo y mínimo son 500 y 800 m respectivamente, un radio arbitrario de 6378000m y que deben representarse con una precisión mínima de 1:65.000 se obtiene 111 (K hptl ·R ) − R = Δh como 1:65.000 implica un error de 1.000015385, reemplazando se obtiene una diferencia de altura de 98.126m que, con signo positivo y negativo, corresponderá a la altura que abarcará un PTL para cumplir con la precisión esperada. Finalmente, debe considerarse que cada PTL debe estar a un desnivel máximo de 196.252m uno del otro y procurar que cubran la totalidad del área a representar. Un sistema de coordenadas PTL corresponde a un sistema topocéntrico de carácter local concebido para representar pequeñas extensiones de terreno. Al ser una versión de la proyección TM corresponde a un sistema plano-rectangular cuyo origen corresponde a coordenadas geodésicas, lo que se traduce en la georreferencia del sistema por medio de: • Posición: dada por las coordenadas geodésicas (φ,λ) del origen del sistema rectangular (x,y). • Orientación: Dada por un azimut geodésico del eje “y” del sistema local • Altura del plano de referencia: Dada por la altura ho del plano de referencia 112 5.10. PROYECCIÓN GAUSS-KRUGER La proyección Gauss-Kruger se considera la proyección base de las transversales de Mercator. Corresponden en su concepción a la primera y única proyección cilíndrica transversa conforme creada por Gauss durante el siglo XVIII y racionalizada posteriormente por Kruger. Pese a su amplia utilización a nivel mundial, no existe (en conocimiento del autor) una normativa o sugerencia acerca de su utilización a nivel mundial relacionada con las deformaciones que provoca ni las escalas de representación que puede soportar. El factor de escala en el meridiano central es 1, es decir corresponde a un cilindro tangente al elipsoide. El ancho de huso se define generalmente en 3º aunque hay casos documentados de países que utilizan una versión de esta proyección con un ancho de huso de 5º. Los parámetros FN y FE son variables, y se definen según las necesidades particulares de los países que las utilizan. Así por ejemplo, la republica Argentina utiliza el eje X para representar el eje norte de la proyección al contrario del sistema cartesiano que vincula a la dirección norte con el eje Y. El valor FN es igual en este caso, a la longitud del cuadrante meridiano del elipsoide siendo así coincidente el origen del falso norte con el polo sur. Por otra parte, las coordenadas Este (referidas al eje Y) se relacionan con el valor FE de 500.000m para cada faja de cobertura anteponiendo un prefijo para señalar la faja. Así, es posible encontrar por ejemplo 113 Norte (X) : 6.235.412 Este (Y) : 2.540.000 Donde la coordenada este señala en primera instancia que se refiere a la segunda faja del sistema. No obstante estas convenciones. La proyección Gauss-Kruger alrededor del mundo adopta parámetros distintos según las necesidades o características de los usuarios siendo la nunca norma el valor unitario del factor de escala en el meridiano central. El principal inconveniente en la adopción de esta proyección como una solución mundial para la cartografía sistemática, radica en la escasa cobertura del huso necesaria para mantener aceptables precisiones. Teniendo por ejemplo, la necesidad de utilizar 120 husos de 3º para la completa representación del planeta. 5.11. PROYECCIÓN MODIFICADA TRANSVERSA DE MERCATOR Corresponde en rigor a cualquier proyección Transversa de Mercator desarrollada para representar alguna región en particular con una situación geográfica singular y que difiera de otras proyecciones transversales de Mercator institucionalizadas (UTM, Gauss-Kruger, etc). Generalmente corresponde a una proyección cilíndrica secante por lo que el valor de escala para el meridiano central tiende a ser menor que la unidad y se imponen parámetros locales acerca del meridiano central, el ancho del huso y los valores de falso norte y falso este. 114 El caso de Canadá ejemplifica como ha de ajustarse una proyección TM para cumplir con los requerimientos del país. Debido a las altas latitudes en las cuales se localiza ese país, el sistema UTM y otros sistemas similares se tornan ineficaces. Para solucionar esto, se utiliza un sistema TM con un ancho de huso de 3º y un factor de escala del meridiano central de 0.9999 lo que mejora notablemente la precisión del meridiano central (1/10.000) y reduce la convergencia a limites tolerables (1º30’’ a 82º de latitud). 115 CAPITULO 6 METODOLOGÍA El estudio de las características particulares de una proyección cartográfica y de su capacidad para representar de manera eficaz ciertos elementos requieren por una parte, la definición de las exactitudes necesarias de alcanzar para los objetivos de cada proyecto y por otra parte, el conocimiento claro de la extensión y localización del área a representar. En este sentido, se deben establecer y considerar a la hora de ejecutar un proyecto cartográfico urbano, ciertos parámetros y restricciones inherentes al sistema proyectivo y a la escala de representación, que permitan representar de manera óptima el terreno. A continuación se presenta una metodología de estudio de deformaciones para diferentes proyecciones para el caso genérico de diversas proyecciones TM y de manera particular, en el contexto de la representación urbana a través de un estudio de caso. El anexo Nº6 presenta un diagrama de flujo de los pasos realizados en la presente metodología. 116 6.1. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN Antes de establecer las escalas de representación a estudiar, se hace necesario definir concretamente el concepto de escala urbana. Para esto, se debe considerar los usos principales de la cartografía como medio de representación del territorio para las actividades involucradas en el desarrollo, catastro y planificación de una ciudad. Con estos criterios y considerando diversos estudios sobre cartografía y documentos técnicos de ingeniería vial y otras actividades usuarias de cartografía, se procede a determinar las escalas urbanas de representación a utilizar. 6.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIAS La determinación de la deformación asociada a un determinado producto cartográfico, debe considerar la magnitud que involucra la resolución del ojo humano desnudo llevada a cada escala de representación considerada en el presente estudio. De este modo, se obtiene un patrón de comparación para cada escala de representación que permitirá verificar o refutar la idoneidad de cada proyección cartográfica para diferentes escalas de representación. 117 6.3. DETERMINACIÓN DE PROYECCIONES A UTILIZAR Debido a la variedad de proyecciones TM utilizadas en el mundo, y a la falta de una normativa sobre su utilización, se hace necesario definir un set de proyecciones TM para analizar en la presente investigación, que cumplan con la condición de ser utilizadas comúnmente por diferentes países o instituciones. Para esto, se investigó las principales instituciones usuarias y generadores de cartografía en Chile (IGM, DIFROL, MOP, entre otras) y a algunos organismo generadores de cartografía alrededor del mundo. De este modo, se genera un listado de proyecciones definidas según las siguientes características: • Elipsoide de Referencia • Falso Norte (si corresponde) • Falso Este (si corresponde) • Factor de Escala del meridiano central (K0) • Amplitud longitudinal del Huso • Identificación del Huso (si corresponde) 118 6.4. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Como una de forma contextualizar el presente estudio en la situación cartográfica nacional y buscando una mejor ejemplificación del problema métrico de la representación cartográfica, se recurre a estudiar la representación plana de una ciudad tipo de tamaño grande a las distintas escalas de representación señaladas y usando las proyecciones TM definidas. Como criterio secundario de selección del área de estudio, se desea la disponibilidad de cartografía digital con el fin de mostrar de manera gráfica los diferentes aspectos del presente estudio. 6.5. DETERMINACIÓN DE PUNTOS MUESTRALES Buscando simplificar la racionalización de la presente investigación, se define una red de puntos muestrales espacializados en el área de estudio con el objeto de determinar para cada uno de ellos la distorsión que los afecta por medio del cálculo de las magnitudes que representan su relación con el Datum de referencia y la superficie topográfica. La espacialización de ellos se realiza usando coordenadas geodésicas referidas al elipsoide internacional de 1924 sobre los meridianos y paralelos de manera obtener de forma sencilla patrones de comparación distanciométrico. 119 Ya que la red de puntos muestrales corresponde a puntos teóricos no sometidos a la influencia de los errores en su determinación, la distancia que los separe debe definirse de tal manera que cubra la ciudad con una densidad tal que no constituya un impedimento técnico para el cálculo de magnitudes en ellos. 6.6. PROYECCIÓN DE LA RED DE PUNTOS MUESTRALES Una vez definidos y espacializados los puntos conformantes de la red muestral se procede a proyectarlos en los distintos sistemas referidos con anterioridad. Utilizando los algoritmos desarrollados en el capitulo V y una planilla de cálculos, se obtiene una tabla de coordenadas geodésicas con sus coordenadas homólogas para cada proyección. 6.7. DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS Utilizando los algoritmos desarrollados en el capitulo V, se adjunta en la matriz de coordenadas el valor del factor de escala y de la convergencia de meridianos para cada punto. 120 6.8. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS PROYECTADAS Para determinar el grado de dependencia del valor que representa el factor de escala asociado a un punto con coordenadas proyectadas, se determina el coeficiente de correlación por separado para cada una de las componentes Norte y Este. De esta manera, se puede determinar el sentido de las distorsiones y la gradiente de ellas para el área de estudio en cada una las proyecciones definidas. La función “coeficiente de correlación”: R= ∑ν ν ∑ν ·∑ν E 2 E N 2 N Donde v es la desviación estándar de la muestra Luego se determina el coeficiente de determinación múltiple usando el cuadrado de la función anterior para obtener así un indicador del porcentaje de explicación del valor K respecto a las coordenadas que lo definen. 121 6.9. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS PROYECTADOS Y GEODÉSICOS Al representar la malla de puntos como una red de segmentos en el sentido de los meridianos y de los paralelos, es posible calcular sin dificultad la longitud de cada segmento en el caso geodésico y proyectado para su posterior comparación. Para facilitar la localización de cada segmento se genera un código único que permita localizarlo individualmente de manera sencilla y sin necesidad de recurrir a las coordenadas de origen y término que lo definen. De esta forma se genera para los segmentos en sentido de los meridianos un código único que empezando en la izquierda de la red y en sentido descendente de la columna en cuestión se nombra a1, a2, a3, . . ., a9; para la columna siguiente, es decir a la derecha de la recién codificada toma los nombres b1, b2, b3, . . .b9; etc Para las filas creadas en la red, el código tiene sentido izquierda a derecha y comenzando desde el de menor latitud se nombre 1a, 1b, 1c, . . . , 1i; para la fila siguiente los códigos son 2a, 2b, 2c, . . ., 2i; etc. Como se observa en la figura Nº26: 1a 1b a1 2a 2b d1 a2 3a 3b d2 a3 4a 4b d3 Figura Nº26 codificación de la red de puntos muestrales 122 Luego de establecer el código para cada segmento, se determinan sus longitudes usando las formulas contenidas en el capítulo III para el caso de los segmentos geodésicos y como rectas sobre el plano para el caso de los segmentos proyectados. Dichas longitudes se incorporan al código creado para constituir una tabla en la cual se almacenaran y realizaran las comparaciones de las magnitudes calculadas para su posterior análisis. Se procede también a agrupar los segmentos según corresponda para líneas continuas en sentido de los meridianos o paralelos que cubran la totalidad del área de estudio 6.10. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN PROYECCIONES TM 6.10.1. Caso General Como una forma de conocer los límites de una proyección TM en cuanto a la escala de representación que toleran, se determina la escala de representación máxima para los casos extremos y nominales dentro del territorio nacional. En una primera instancia se determina el valor máximo del factor de deformación Kp dentro del territorio nacional para cada proyección definida considerando una latitud extrema norte para el caso nacional (17ºN) en el borde de huso de cada proyección definida. Para este 123 valor Kp calculado, se asocia un valor de factor de escala susceptible de soportar considerando la tolerancia asociada a cada escala de representación y la exactitud que ofrece el valor Kp. De la misma manera, se asocia el valor K0 de cada proyección con la máxima escala de representación capaz de soportar obedeciendo al criterio recién expuesto. 6.10.2. Caso Particular Como una forma de expresar cartográficamente las deformaciones producidas al representar el área de estudio en cada una de las proyecciones TM analizadas, se definen las escalas cartográficas de mayor detalle que toleran las proyecciones definidas. Para esto se analizan tres aspectos vinculados a los valores K definidos según la red de puntos muestrales espacializada en el área de estudio. Como un primer análisis se consideran las diferencias existentes en los factores de escala máximo y mínimo para una determinara proyección en el área de estudio. Dicha diferencia de factores de escala se traduce en cantidad de deformación multiplicándola por un valor considerado como máximo de representación urbana obteniendo con esto una cantidad métrica de deformación susceptible de relacionarse con una determinada escala de representación por medio de la tolerancia vinculada a ellas. En este sentido, sabiendo que las ciudades de mayor tamaño en el territorio nacional exceptuando a Santiago, poseen longitudes máximas, a saber: • Valparaíso / Viña del Mar = 18 Km 124 • La Serena / Coquimbo = 14 Km • Antofagasta = 12 Km • Arica = 9 Km Se define el valor máximo de representación urbana en 20 km considerando con esto, un escenario crítico de deformación. Un segundo aspecto a considerar, consiste en determinar las deformaciones existentes entre el Datum horizontal y el plano de proyección para el área de estudio. Se determinan las diferencias existentes entre los valores K obtenidos de la red de puntos muestrales y el valor de escala unitario (K = 1). Se determina la máxima diferencia entre ellos y se expresa métricamente usando el valor máximo de representación urbana (20 km), para con esto determinar la cantidad de deformación para el peor caso posible. Una vez obtenido este valor, se determina la escala cartográfica de máximo detalle que tolere la deformación. Un tercer análisis derivado del estudio de los valores K para el área en cuestión, dice relación con la deformación que genera una proyección TM respecto de la superficie topográfica. Para expresar esta deformación en función de la escala cartográfica, se calculan las máximas diferencias generadas entre los valores Kh y Kp para el área de estudio. Posteriormente se expresan estas diferencias en términos de distancia multiplicándolas por el valor máximo de representación urbana (20km). Con este valor, se determina la escala cartográfica de máximo detalle que tolera esta deformación. 125 6.11. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE TOPOGRÁFICA Como una forma de determinar la exactitud con que un producto cartográfico representa al elipsoide de revolución y al plano topográfico. Se estudia la relación geométrica entre el elipsoide y dichas superficies analizando el origen y el sentido de las deformaciones ocurridas. Se determinan las condiciones generales de reducción entre referenciales y se incorpora un ejemplo de determinación de distancias geodésicas a partir de coordenadas proyectadas utilizando las condiciones de relación antes mencionadas, en donde se establecen además, la inexactitud asociada a cada reducción. 126 CAPITULO 7 RESULTADOS 7.1. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN Para el presente trabajo se determinaron escalas cartográficas de representación acordes a las necesidades de ejecución y planificación de proyectos de diversa índole en espacios urbanos y criterios de representación de elementos de importancia para el catastro, el desarrollo de proyectos y la planificación urbana. Para esto, se recurrió en una primera instancia a fuentes bibliográficas, las que correspondieron a “Manual de Carreteras” MOP capitulo 2.300 y “Cartografía y levantamientos urbanos” de Theodore Blachut. La primera publicación clasifica las escalas de representación en “escalas grandes” a 1:500, 1:1.000 y 1:2.000, las que tienen por objeto el facilitar estudios definitivos de proyectos de construcción vial así como su ejecución. Las escalas intermedias corresponden a 1:2.000, 1:5.000 y 1:10.000 y tienen por objeto el facilitar el estudio preliminar y alternativas de proyectos. La segunda publicación señalada sostiene la conveniencia de la representación urbana a una escala de máximo detalle de 1:500 y mantiene como alternativas viables de representación urbana las escalas 1:000, 1:2.000, 1:5.000 y 1:10.000. Siendo las dos últimas aptas para la planificación del crecimiento urbano y regularización de terrenos. 127 7.1.1. Criterios de representación urbana El uso de la cartografía como herramienta de representación para el desarrollo de distintas actividades vinculadas a la vida en la ciudad y al crecimiento de la misma, implica una diversificación de los elementos representables en un producto cartográfico y consecuentemente, el detalle con que estos deben ser plasmados en un modelo de representación plano. Es por esto, que debe considerarse antes de representar un espacio urbano, que la escala elegida, sea compatible con el desarrollo de la actividad para la cual fue creado el producto cartográfico. Por ejemplo, la planificación del crecimiento de una ciudad necesitará apoyarse en cartas a escala 1:5.000 y 1:10.000 3, el trazado de una autopista urbana requerirá de una precisión compatible con escalas 1:1.000 4 y cercanas mientras que la representación de una red de tuberías dentro de una ciudad necesitará una alta precisión no alcanzable por las escalas antes señaladas. En vista de esto, se determinaron finalmente que las escalas a estudiar en la presente investigación correspondan a: 3 4 • 1:10.000 • 1:5.000 • 1:2.000 • 1:1.000 • 1:500 Blachut, T. Cartografía y levantamientos urbanos. Año 1979 M.O.P. Manual de Carreteras Vol2. Año 2001 128 • 1:250 La elección de la escala 1:250 se sostiene fundamentalmente en la tolerancia necesaria para los levantamientos de plantas urbanas, y en las necesidades de precisión de actividades relacionadas con obras sanitarias y tendido de redes en general. 7.2. DETERMINACIÓN DE TOLERANCIAS Considerando el criterio descrito en la metodología y tomando como resolución del ojo humano desnudo los 0.2mm 5, las tolerancias para cada escala de representación se resumen en la siguiente tabla. Escala Tolerancia (m) 1:250 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000 0,05 0,1 0,2 0,4 1 2 Tabla Nº1 Tolerancia según escala de representación 5 Lousiana State University Health Sciences Center, en http://www.medschool.lsuhsc.edu/pathology/pathist/HRLM_TEM/default.htm 129 7.3. DETERMINACIÓN DE PROYECCIONES A UTILIZAR La elección del set de proyecciones a estudiar en la presente investigación tomó como criterio central la utilización de diferentes proyecciones Transversales de Mercator alrededor del mundo. Se eligieron cinco clases de proyecciones TM subdivididas en casos particulares determinados según su posición con respecto al área de estudio o a la tolerancia permitida: 7.3.1. Universal Transversal de Mercator (UTM) : Caso particular de las proyecciones Transversales de Mercator utilizado alrededor del mundo. Debido a la rígida normativa en cuanto a la definición de esta proyección, fue estudiada sin ningún tipo de modificaciones. Para este caso: Huso : 19 • Ancho Huso : 6º • K0 : 0.9996 • EF : 500.000 • NF : 10.000.000 • Elipsoide : Internacional de 1924 7.3.2. Gauss Kruger (GK): Caso particular de la proyección Transversal de Mercator utilizada en varios países del mundo. Esta proyección fue estudiada por separado para 130 dos situaciones de representación del área de estudio. La primera con el meridiano central cercano al área de estudio (GK1) y la segunda con el meridiano central alejado del área de estudio (GK2) para estudiar así, las características de esta proyección en situaciones de borde o sobrepaso de huso. 7.3.2.1. GK1 • Meridiano Central : 71º • Ancho Huso : 3º • K0 : 1 • EF : 300.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 7.3.2.2. GK2 • Meridiano Central : 70º • Ancho Huso : 5º • K0 : 1 • EF : 300.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 131 7.3.3. Local Transversal de Mercator (LTM) : Versión de la proyección Transversal de Mercator a la cual se le imponen parámetros que permitan minimizar la diferencia de ángulos y distancias medidas en terreno y las cantidades obtenidas en un sistema plano LTM para áreas reducidas. Utilizada en Chile en el marco de proyectos de ingeniería, esta proyección fue estudiada por separado para dos situaciones de representación del área de estudio. En primer lugar considerando el meridiano central local mas cercano al área de estudio (LTM1) y en segundo lugar con el meridiano central lejos del área de estudio para estudiar así una extensión de la proyección fuera de los límites establecidos (LTM2) 7.3.3.1. LTM1 • Meridiano Central : 71º30’ • Ancho Huso : 1º • K0 : 0.999995 • EF : 200.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 7.3.3.2. LTM2 • Meridiano Central : 71º • Ancho Huso : 2º • K0 : 0.999995 132 • EF : 200.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 7.3.4. Modificada Transversa de Mercator (MTM) : Modificación de la proyección Transversal de Mercator utilizada en algunos países europeos o norteamericanos para la representación de escalas medias. Esta proyección fue estudiada por separado para dos situaciones de representación del área de estudio. El primer caso corresponde a una proyección MTM con su meridiano central alejado del área de interés, donde se hace necesario extender el huso para la representación completa del área de estudio (MTM1) mientras que el segundo caso corresponde a una proyección MTM con el meridiano central mas cercano al área de estudio (MTM2) 7.3.4.1. MTM1 • Meridiano Central : 71º • Ancho Huso : 1º • K0 : 0.9999 • EF : 300.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 133 7.3.4.2. MTM2 • Meridiano Central : 71º30’ • Ancho Huso : 2º • K0 : 0.9999 • EF : 300.000 • NF : 7.000.000 • Elipsoide : Internacional 1924 7.3.5. Plano Topográfico Local (PTL) : Caso particular de la proyección Transversa de Mercator, que busca relacionar la superficie topográfica con el plano de proyección por medio de la tolerancia inherente a cada escala de representación y la situación altimétrica de la superficie topográfica. 7.3.5.1. Determinación de los PTL según situación altimétrica Como se vio anteriormente, la tolerancia para una escala de representación es función de la magnitud que representa la mínima diferencia discriminable en el producto cartográfico. Entonces para vincular esta tolerancia con un PTL es necesario definir que diferencia de altura genera una deformación a lo sumo igual a la deformación definida según la escala. Según lo estudiado en el capítulo V basta con plantear: Δh = ( K ·R ) − R 134 para obtener una diferencia de cota definida según la tolerancia esperada y el radio medio del lugar en estudio. En la ecuación anterior. K corresponde a la deformación de escala que existe entre un punto en la superficie topográfica. Su cálculo se realiza por medio de la razón entre la tolerancia para la escala en estudio y un valor que represente la cantidad máxima de terreno a representar (50km en este caso). Por otra parte, el valor R corresponde al radio medio Gaussiano o media geométrica entre el radio de curvatura y la gran normal para una coordenada media del área de estudio. Por ejemplo, para el caso de la escala 1:250 se obtiene K = 0.05m / 20.000, es decir K = 1.0000025. como las deformaciones ocurren con signo positivo y negativo (deformaciones positivas y deformaciones negativas), se asignan los valores 1.0000025 y 0.9999975 como valores máximo y mínimo para la tolerancia estipulada. Entonces: Δh = (1.0000025·6369626.987) − 6369626.987 lo que equivale a 15.924 m. Ahora considerando el valor K= 0.9999975 se obtiene Δh = (0.9999975·6369626.987) − 6369626.987 se obtiene el valor –15.924 m. La interpretación practica de los valores obtenidos dice que un plano topográfico local colocado a una altura “h0” tiene un rango de +15.924 y –15.924 a partir de la cota de origen. Por lo tanto el rango total para esta escala será de 135 2·15.924 = 31.848 m. Para simplificar la solución, es conveniente truncar el resultado convenientemente a 30m. Una vez determinado el rango de cada plano topográfico local se definen los “N” planos que den cobertura al área de estudio. Para esto se define una altura h0 para cada PTL según el campo calculado anteriormente (Tabla Nº2). Escala 1:250 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000 Δ h (Kh) 30m 60m 120m 250m 600m 1200m PTL1 (m) 15 30 60 125 250 250 PTL2 (m) 45 90 180 375 PTL3 (m) 75 150 300 PTL4 (m) 105 210 420 PTL5 (m) 135 270 PTL6 (m) 165 330 PTL7 (m) 195 390 PTL8 (m) 225 450 PTL9 (m) 255 PTL10 (m) 285 PTL11 (m) 315 PTL12 (m) 345 PTL13 (m) 375 PTL14 (m) 405 PTL15 (m) 435 Tabla Nº 2 Disposición altimétrica de los Planos Topográficos Locales según tolerancia. 136 7.3.5.2.Determinación del factor de deformación de escala para cada PTL Empleando las formulas desarrolladas en el capitulo V, y utilizando el valor Δh coincidente con el definido anteriormente, se determinan los valores K para cada PTL (Kptl) resultando (Tabla Nº3): Escala 1:250 1:500 1:1000 1:2000 1:5000 1:10000 PTL1 1,0000023549 1,0000047099 1,0000094197 1,0000196244 1,0000392488 1,0000392488 PTL2 1,0000070648 1,0000141296 1,0000282591 1,0000588731 PTL3 1,0000117746 1,0000235493 1,0000470985 PTL4 1,0000164845 1,0000329690 1,0000659379 PTL5 1,0000211943 1,0000423887 PTL6 1,0000259042 1,0000518084 PTL7 1,0000306140 1,0000612281 PTL8 1,0000353239 1,0000706478 PTL9 1,0000400337 PTL10 1,0000447436 PTL11 1,0000494534 PTL12 1,0000541633 PTL13 1,0000588731 PTL14 1,0000635830 PTL15 1,0000682929 Tabla Nº3 Factor de deformación de escala según PTL 7.3.5.3.Determinación de los PTL según diferencias de longitud Como caso particular de las proyecciones TM, un PTL es susceptible a dividirse en husos de acuerdo a la diferencia longitudinal entre un punto y el meridiano central. Debe estudiarse entonces las deformaciones producidas por el desarrollo longitudinal para un PTL localizado a una altura Hptl y en un meridiano central determinado y procurar que estas diferencias sean menores que la tolerancia requerida para la escala de 137 representación. Definiendo un punto de coordenadas medias φ = -32.91808994028 y λ = 71.5721722554º se le asigna un valor K0(Khptl) igual a cualquiera de los K0 de los PTL por ejemplo para la escala 1:250 K0(Kptl1)=1.0000023549. con este valor K0 se calcula el valor K para un punto extremo φ = -32.91808994028 y λ = 71.46º, donde K=1.00000371181. La diferencia observada entre ambos factores de escala genera una deformación de 0.027m para una magnitud de 20km, con lo que bastaría un único PTL por segmento altimétrico para el área de estudio. Cabe señalar que al verificarse esta situación para la escala de mayor exactitud se verifica automáticamente para el resto de las escalas de representación. 7.4. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE ESTUDIO Para concretar la presente investigación se decidió vincular un estudio de caso con una ciudad tal que pueda considerarse como caso típico de un centro urbano de gran tamaño en el contexto nacional. En vista de esto y de la existencia de cartografía a escala 1:5.000 que permite una fácil representación del territorio, se decidió utilizar la ciudad de Valparaíso. La ciudad de Valparaíso está localizada entre los 32º55’ y los 33º7’ de latitud Sur, y entre los 71º28’ y los 71º39’ de longitud Oeste (véase en Anexo Nº1). Político-administrativamente, se encuentra en la V Región del país, provincia de Valparaíso a unos 120 Km de la capital Santiago. 138 Económicamente, la actividad portuaria e industrial constituyen las principales fuentes de ingreso de la ciudad y son el motor fundamental que regula el crecimiento de esta ciudad. En términos cívicos y sociales, Valparaíso es la sede del poder legislativo de la nación y la capital de la institucionalidad cultural del país. Así mismo, es la única ciudad Chilena declarada por al UNESCO como Patrimonio de la Humanidad. Topográficamente, Valparaíso está dominado por 44 cerros que albergan a mas del 95% de sus habitantes, reflejando con esto, el acelerado crecimiento que ha tenido esta ciudad y la necesidad de un ordenamiento territorial que permita a esta ciudad desarrollarse en armonía con su entorno. Para representar la ciudad, se utilizó una base cartográfica correspondiente al plan regulador a escala 1:5.000 de las comunas de Valparaíso, y Viña del Mar en formato digital. 7.5. DETERMINACIÓN DE PUNTOS MUESTRALES Como una forma de estudiar las deformaciones producidas en el área de estudio para las proyecciones definidas anteriormente se creó una red de puntos muestrales espacializada en el elipsoide internacional de 1924, con el objeto de medir en cada uno de ellos, los valores de deformación K y determinar así la capacidad de cada proyección TM para representar el terreno a escala urbana. 139 Se definió un espaciamiento entre puntos de 2.500m sobre el meridiano de manera que el área de estudio fuera cubierta por unos 10 puntos para cada columna de la red asegurando con esto una distribución homogénea y la representatividad de los puntos. En el caso de los paralelos, se determinó también una distancia de 2.500m calculada sobre el paralelo de menor latitud. Así, se obtuvo finalmente, una red de 100 puntos muestrales (véase en Anexo Nº2 y Nº3) definida sobre el elipsoide y espacializada sobre los meridianos y paralelos lo que permite facilitar el cálculo de magnitudes geodésicas. Como una forma de facilitar la comprensión de los elementos geométricos derivados a partir de esta red de puntos. Se creó una codificación en filas y columnas que permite referir cada segmento formado por la union de dos puntos en sentido meridiano o paralelo a un único código. (Figura Nº27) Figura Nº 27 Puntos muestrales 140 7.6. PROYECCIÓN DE LA RED Y DETERMINACIÓN DE FACTORES DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS La proyección de la red de puntos muestrales y el calculo de factor de deformación de escala y convergencia de meridianos realizada para cada una de las proyecciones definidas, puede apreciarse en el anexo Nº4 7.7. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS PROYECTADAS Utilizando las formulas descritas en el capítulo II para los valores K y las coordenadas Norte y Este se adjunta una tabla que muestra el coeficiente de correlación “R” y el coeficiente de correlación múltiple “R2” (Tabla Nº4) 141 GK1 GK2 LTM1 LTM2 MTM1 MTM2 UTM Este Norte Este Norte Este Norte Este Norte Este Norte Este Norte Este Norte 2 R R -0,998723 0,001969 -0,999834 0,005307 -0,906571 0,000795 -0,998723 0,001969 -0,998723 0,001969 -0,906571 0,000795 -0,999938 0,008681 0,997447 0,000004 0,999669 0,000028 0,821870 0,000001 0,997447 0,000004 0,997447 0,000004 0,821870 0,000001 0,999877 0,000075 Tabla Nº4 Correlación Coordenadas TM y factor de deformación de escala 7.8. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS GEODÉSICOS Y PROYECTADOS Las magnitudes calculadas para cada segmento de meridiano se repiten para una misma diferencia de latitud. Luego, cada arco de meridiano estará formado por “N” segmentos de meridiano los que se repiten para distintas longitudes. Considerando esto, se determina la magnitud total del arco de meridiano como la suma de sus partes siendo esta de 22393.320m (Tabla Nº5). 142 Cada segmento de arco paralelo conforma el arco total es idéntico para una misma latitud. Entonces, es posible determinar la magnitud total de cada arco paralelo multiplicando por el número de segmentos la magnitud de un segmento cualquiera. Segmento Meridiano a1,b1. . .,j1 a2,b2. . .,j2 a3,b3. . .,j3 a4,b4. . .,j4 a5,b5. . .,j5 a6,b6. . .,j6 a7,b7. . .,j7 a8,b8. . .,j8 a9,b9. . .,j9 Segmento Paralelo 1a,1b. . .,1i 2a,2b. . .,2i 3a,3b. . .,3i 4a,4b. . .,4i 5a,5b. . .,5i 6a,6b. . .,6i 7a,7b. . .,7i 8a,8b. . .,8i 9a,9b. . .,9i 10a,10b. . .,10i Magnitud (m) 2488,111 2488,120 2488,129 2488,138 2488,147 2488,156 2488,165 2488,174 2488,183 Magnitud (m) 2098,598 2098,068 2097,539 2097,008 2096,478 2095,947 2095,416 2094,884 2094,352 2093,820 Tabla Nº5 Arcos Geodésicos y proyectados 143 La tabla Nº6 muestra la magnitud total de arcos de paralelo utilizando los segmentos antes descritos para cada latitud estudiada. Fila 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Latitud (º) 32,91808994 32,94052439 32,96295884 32,98539329 33,00782774 33,03026220 33,05269665 33,07513110 33,09756555 Arco paralelo (m) 18887,382 18882,616 18877,847 18873,075 18868,300 18863,522 18858,741 18853,957 18849,170 10 33,12000000 18844,381 Tabla Nº6 Arcos de paralelo La determinación de distancias proyectadas y la diferencia entre estas y los valores geodésicos se aprecian en el anexo Nº5 7.9. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA 7.9.1. Caso general Se calcularon los factores de deformación de escala para casos extremos de deformación en el territorio nacional y para la situación nominal de cada proyección. Con esto se determinó la escala cartográfica límite de representación para cada proyección (Tabla Nº7). 144 Valores típicos de distintas proyecciones TM para el territorio nacional Lat min = 17º; Lat max = 57º Nombre K0 Precisión (K0) K max LTM 1 0,999995 LTM 2 0,999995 GK 1 1 GK 2 1 UTM 0,9996 MTM 1 0,9999 1/200.000 1/200.000 Optima Optima ½.500 1/10.000 1,000030039 1,000135166 1,000315416 1,000876530 1,000862069 0,999935035 1/33.290 1/7.400 1/3.170 1/1.140 1/1.160 1/15.392 1.510 3.019 4.528 7.548 9.057 1.509 1:500 1:500 Máxima Máxima No urbana 1:10.000 1:5.000 No urbana No urbana No urbana No urbana 1:10.000 MTM 2 1/10.000 1,000040152 1/24.905 3.019 1:10.000 1:5.000 0,9999 Precisión (K max) Conv Mer max ‘’ Escala carto K0 Esc carto K max Tabla Nº7 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso general 7.9.2. Caso particular Utilizando el valor K máximo obtenido desde la red de puntos muestrales proyectada, se determinó el error máximo factible de ocurrir para una distancia de 20 km medidos en productos cartográficos a diferentes escalas. La deformación obtenida se contrastó con la tolerancia permitida para cada escala de representación pudiendo establecer con esto si dicha proyección cumple o no con la tolerancia requerida para cada escala de representación. La definición de escalas se llevó a cabo usando dos criterios centrales para el estudio de los valores de deformación de escala calculados. En primer lugar se determinó la máxima deformación generada a partir de la diferencia de factores de escala existente entre los valores K calculados dentro del área de estudio. De esta manera se determina la distorsión inherente al producto cartográfico sin considerar su relación con el elipsoide ni la validez del factor de escala nominal de la proyección (Tabla Nº8). 145 Deformación Escala Cartográfica Proyección Máxima (m) Asociada GK1 0.491 1:5.000 GK2 LTM1 1.381 0.056 1:10.000 1:500 LTM2 MTM1 0.491 0.491 1:5.000 1:5.000 MTM2 0.056 1:500 UTM 2.291 No urbana Tabla Nº8 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a” Un segundo criterio de estudio en las deformaciones lo constituye la capacidad de la proyección de representar al elipsoide con exactitud, para esto se determinó la máxima deformación producida por la diferencia entre el valor de escala unitario (K=1) y el máximo (o mínimo) valor de escala calculado en el área de estudio. Deformación Escala Cartográfica Proyección Máxima (m) Asociada GK1 0.945 1:5.000 GK2 LTM1 5.958 0.100 No urbana 1:500 LTM2 MTM1 0.845 1.546 1:5.000 1:10.000 MTM2 2.000 1:10.000 UTM 7.283 No urbana Tabla Nº9 Determinación de escalas de representación según tolerancia, caso particular “a” En la tabla Nº9 se puede observar aquellas escalas de representación en las cuales se puede considerar válida la relación directa entre el elipsoide y el plano de proyección. Es decir donde se puede aceptar que: 146 Magnitud Elipsoidal = Magnitud Cartográfica · Escala de representación Un tercer criterio a considerar, corresponde a la capacidad de un producto cartográfico de representar la superficie topográfica. Siguiendo la metodología propuesta, se adjunta a continuación una tabla que señala las deformaciones máximas existentes entre el plano de proyección y la proyección cartográfica para una magnitud dada y la escala cartográfica que tolera tal deformación (Tabla Nº10) Deformación Escala Cartográfica Proyección Máxima (m) Asociada GK1 0.912 1:5.000 GK2 LTM1 5.911 1.466 No urbana 1:10.000 LTM2 MTM1 1.012 2.912 1:10.000 No urbana MTM2 3.366 No urbana UTM 7.236 No urbana Tabla Nº10 7.10. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE TOPOGRÁFICA Una proyección TM sitúa al producto cartográfico en un plano de proyección tal, que posee una situación geométrica con respecto al Datum horizontal y al terreno, que no garantiza una perfecta correlación en los elementos representados por medio de la cartografía, los definidos en el elipsoide y los materializados en el terreno. Luego, para considerar válida la asociación 147 Carta / Elipsoide / Superficie Topográfica es necesario realizar una serie de reducciones o correcciones así como determinar la tolerancia asociada a cada escala de representación. 7.10.1. Reducción Plano TM - Elipsoide Observando la Figura Nº28: K<1 K>1 K=1 Plano de Proyección Elipsoide Figura Nº28 Relación Plano TM – Elipsoide Se aprecia que dentro del área de secancia, un segmento considerado en el plano de proyección, sufrirá deformaciones negativas, lo que indica que una magnitud considerada en el elipsoide será representada por una magnitud menor en el plano de proyección. Por otra parte, para las áreas fuera de la secancia se observará una deformación positiva lo que señala que una magnitud obtenida en el producto cartográfico representará una magnitud menor en el elipsoide. No obstante lo anterior en aquellas zonas con un factor de escala unitario, es decir donde el plano de proyección intercepta al elipsoide existirá una correspondencia libre de deformaciones entre ambas superficies. 148 Para eliminar estas deformaciones, debe considerarse el valor del factor de escala K de cada punto a reducir, o en su defecto un valor KP que represente la totalidad del elemento a representar dentro de los márgenes establecidos por la tolerancia asociada a la escala de representación. Una vez definido el factor K adecuado para la reducción, debe considerarse el inverso de él con el fin que se cumpla el contrasentido de la deformación. Posteriormente debe multiplicarse este factor corrector por la magnitud deseada. Es decir: −1 Dist ( geo) = K P ·Dist (TM ) Obteniéndose con esto, una función que reduce las magnitudes desde un plano de proyección al elipsoide de revolución. 7.10.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico Aunque como es sabido, la cartografía utiliza el elipsoide como superficie de referencia, los elementos representados están materializados sobre la superficie topográfica, lo cual puede hacer presumir (incorrectamente) a un lector inexperto en cartografía que cualquier magnitud considerada en la carta estará relacionada directamente con la realidad. Debido a esto, al pretender determinar una magnitud topográfica mediante cartografía, debe realizarse un proceso de reducción de magnitudes que permita homologar una distancia TM con una distancia Topográfica. 149 Como se vio en el capitulo V la relación entre la superficie topográfica y el elipsoide está determinada según la altura del plano topográfico, el radio medio del área a representar y la tolerancia de la magnitud a determinar. Al observar la figura Nº29 Terreno Kh Ptl Kp Plano de Proyección Elipsoide Figura Nº29 Relación Plano Topográfico Local – Elipsoide – Plano TM Se aprecia que la relación entre ambas superficies estará dada por el factor Kh estudiado en el capítulo V. Bastará con incorporar el factor corrector Kh a la magnitud elipsoidal para que esta sea transformada al Plano Topográfico Local. Recordando los tipos de alturas estudiados en el capitulo III se comprenderá que dicho factor Kh debe vincularse a la altura geométrica de la superficie topográfica en vez de la altura Ortométrica presente en productos cartográficos, lo que condicionará la correcta ejecución de la reducción, a la existencia de puntos con altura geométrica conocida o en su defecto, valores de ondulación Geoidal que permitan vincular las alturas Ortométricas con alturas Geométricas. 150 En la presente investigación, se utiliza la altura Ortométrica en la determinación del factor Kh asumiendo que el Elipsoide y el Geoide son cercanos en esta zona y que la diferencia entre ambos tipos de altura es despreciable respecto al radio medio para el área de estudio. 7.10.3. Reducción Plano TM – Plano Topográfico Local Considerando 7.10.1. y 7.10.2., puede introducirse de manera conjunta un nuevo indicador que relacione directamente el plano de proyección y el plano topográfico local o “factor de deformación de escala efectivo” (Ke). Siendo: Ke = Kp −1 ·Kh = Kh Kp 7.10.4. Ejemplos de Reducciones Plano TM – Elipsoide A continuación se construyen dos ejemplos para la determinación de distancias geodésicas usando coordenadas proyectadas. Un primer ejemplo determina una magnitud lineal geodésica usando coordenadas proyectadas y factor de escala para dos puntos sobre el mismo meridiano y un segundo ejemplo determina una magnitud lineal geodésica usando coordenadas proyectadas y factor de escala para dos puntos sobre el mismo paralelo. Para ambos casos, se establece un patrón de comparación distanciométrico mediante las coordenadas geodésicas de los puntos a estudiar. Sin embargo, debe recordarse que este patrón solo sirve para determinar la 151 deformación del método propuesto y con esto validar o rechazar la posibilidad del cálculo geodésico mediante cartografía. Debido a la diversidad de modelos de determinación de distancia geodésica por medio de coordenadas geodésicas y de la variedad de resultados diferentes que estos modelos ofrecen. No se considera en este estudio la determinación de distancias para dos puntos con coordenadas diferentes en su aspecto latitudinal y longitudinal. Para el presente estudio, se considera la máxima deformación entre el plano de proyección y el elipsoide a partir de la proyección UTM en el área de estudio, la que se utiliza como caso extremo considerando que una eventual validación del método será inmediatamente extrapolable al resto de las proyecciones definidas. Posteriormente, con los mismos ejemplos se desarrolla la reducción de magnitudes desde el plano de proyección hasta el plano topográfico. A: Para dos puntos “A” y “B” teóricos definidos sobre el elipsoide sobre el mismo meridiano. llevados a la proyección UTM definida anteriormente, se determinará la distancia geodésica que los separa, a partir de las coordenadas proyectadas de ambos puntos y el valor K medio obtenido de cada uno de los puntos que perteneciendo a la red de puntos muestrales es cercano a la coordenada media correspondiente con la magnitud a determinar (Pto medio 1 y Pto medio 2). Esto con el fin de estimar la deformación producida por la no rigurosidad en la determinación de la coordenada media. 152 Pto A Pto B Pto medio 1 Pto medio 2 Pto medio exacto Este 270470.000 269945.770 270236.656 270178.408 270207.528 Norte 6332660.312 6355053.119 6342612.744 6345100.834 6343856.790 K 1.0002495767 1.0002525759 1.0002509108 1.0002512440 1.0002505560 φ 33.1200000000 32.9180899403 33.0302621957 33.0078277446 33.0190449701 λ 71.4600000000 71.4600000000 71.4600000000 71.4600000000 71.4600000000 La distancia geodésica calculada usando la longitud del arco de meridiano elíptico entre los puntos A y B, corresponde al patrón de comparación distanciométrico del presente caso y su magnitud es de: 22393.320m La distancia proyectada entre los puntos A y B determinada según el teorema de Pitágoras corresponde a: 22398.943m Entonces, usando el valor K correspondiente al punto medio 1 se obtiene: D ( geo) = 1.0002509108−1 ·22398.943m = 22393.324m Por otra parte, usando el valor K correspondiente al punto medio 2 se obtiene: D( geo) = 1.0002512440 −1 ·22398.943m = 22393.317m La distancia reducida usando el punto medio exacto D( geo) = 1.0002510774 −1 ·22398.943m = 22393.320m Finalmente, la distancia reducida utilizando el promedio de los factores de deformación de escala de los puntos muestrales ubicados sobre el meridiano 71.46ºW, resulta: K Promedio = 1.0002510770 Distancia Reducida = K Promedio · Distancia Plana = 22393.320 153 B: Para dos puntos “A” y “B” teóricos, definidos sobre el elipsoide en un mismo paralelo y llevados a la proyección UTM definida anteriormente. Se obtiene un patrón distanciométrico de 18887.382m. Pto A Pto B Pto medio 1 Pto medio 2 Pto medio exacto Este 269945.770 251058.159 261551.427 259452.804 260502.118 Norte 6355053.119 6354594.027 6354853.556 6354802.546 6354828.107 K 1.0002525759 1.0003641421 1.0003010732 1.0003134695 1.0003066913 φ 32.9180899403 32.9180899403 32.9180899403 32.9180899403 32.9180899403 λ 71.4600000000 71.6619100597 71.5497378043 71.5721722554 71.5609550299 La distancia proyectada entre los puntos A y B determinada según el teorema de Pitágoras corresponde a: 18893.190m Entonces, usando el valor K correspondiente al punto medio 1 se obtiene: D( geo) = 1.0003010732 −1 ·18893.190m = 18887.503m Por otra parte, usando el valor K correspondiente al punto medio 2 se obtiene: D( geo) = 1.0003134695−1 ·18893.190m = 18887.269m La distancia geodésica usando el punto medio exacto D( geo) = 1.0003066913−1 ·18893.190m = 18887.397m Finalmente, usando el promedio de los valores “K” obtenidos de cada uno de los puntos muestrales ubicados sobre el paralelo 32.9180899403º S, se obtiene: K Promedio = 1.0003077064 Distancia Reducida = K Promedio · Distancia Plana = 18887.378 154 CAPÍTULO 8 ANÁLISIS DE RESULTADOS 8.1. DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN ENTRE EL FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y LAS COORDENADAS PROYECTADAS Observando los resultados expuestos en la tabla Nº4 se aprecia que en todas las proyecciones analizadas existe una alta correlación entre el valor del factor de deformación de escala K y la diferencia de coordenadas Este y por consiguiente una baja correlación entre el valor del factor de deformación de escala y la coordenada Norte. Las proyecciones LTM1 y MTM2, ambas con meridiano central cercano al área de estudio (71º30’ W) presentan un porcentaje de explicación del factor de deformación de escala según el valor de la coordenada Este del 82.2%. Las proyecciones GK1, LTM2 y LTM1, con meridiano central en 71º W presentan un porcentaje de explicación del factor de deformación de escala según el valor de la coordenada Este del 99.7% Mientras que las proyecciones UTM y GK2, con meridiano central en los 69º W y 70º W respectivamente presentan un porcentaje de explicación del factor de deformación de escala según el valor de la coordenada Este del 100.0% 155 Según lo expuesto en el capitulo 5, el factor de deformación de escala para una proyección conforme puede ser deducido a partir de la expresión: 2 k= ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ λ ∂ ⎝ ∂λ ⎠ ⎝ ⎠ N ·cos φ 2 Ya que la latitud expresada en radianes, es pequeña en comparación a la gran normal N que la acompaña en el denominador de la expresión, y que ∂x ∂y , puede comprenderse sin > ∂λ ∂λ dificultad la alta relación entre el valor del factor de deformación de escala K y el valor de la coordenada Este. 8.2. DETERMINACIÓN DE MAGNITUDES LINEALES DE SEGMENTOS GEODÉSICOS Y PROYECTADOS De los resultados expuestos en el anexo Nº4 se puede observar que: Para los casos en que el área de estudio se sitúa dentro de la zona de secancia de la proyección, las deformaciones de las magnitudes lineales consideradas en el sentido de los meridianos tienden a crecer hacia el meridiano central. Ello se entiende por el comportamiento del factor de deformación de escala “K” que se relaciona fuertemente a la variación de la coordenada este y que como se observó en el capítulo V posee un mínimo en el meridiano central donde la deformación es máxima. 156 Para los casos en que el área de estudio se ubica fuera de la zona de secancia de la proyección (K>1), las deformaciones de las magnitudes lineales consideradas en el sentido de los meridianos tienden a crecer a medida que crece la distancia al meridiano central. Ello se explica por que el factor de escala tiende a crecer en dimensión mientras se aleja la coordenada del meridiano central. Las variaciones de las deformaciones de magnitudes lineales consideradas en el sentido de los paralelos tienden a mantenerse constantes y con valores menores que para las deformaciones observadas en el sentido de los meridianos. Este hecho puede confirmarse si se considera que: Al corresponder un segmento de meridiano geodésico a una magnitud invariable según la latitud, y como se observa en el anexo Nº4, a menor latitud, mayor distorsión, se evidencia que las magnitudes calculadas sobre el paralelo en un plano TM poseerán mayores deformaciones en su comparación con la magnitud geodésica primitiva. Por otra parte. Ya que los arcos geodésicos de paralelo para un mismo Δλ, son magnitudes variables según la latitud, y poseen igual sentido de variación que su transformada, estas magnitudes poseerán deformaciones en su comparación con la magnitud Geodésica primitiva menores que en el sentido de los meridianos, hecho que se confirma mediante las desviaciones estándar de estas diferencias 157 8.3. DETERMINACIÓN DE ESCALAS DE REPRESENTACIÓN SEGÚN TOLERANCIAS 8.3.1. Caso general Considerando la deformación nominal de cada proyección (K0) y la deformación máxima considerable, es posible determinar que: Las proyecciones GK1 y GK2 permiten nominalmente una óptima relación entre el elipsoide y el plano de proyección al poseer un factor de escala en el meridiano central unitario (K0=1). Pese a esto, las deformaciones máximas que hipotéticamente produce esta proyección para el territorio nacional solo permiten la representación cartográfica para escalas 1:50.000 y 1:100.000 respectivamente ya que la situación tangencial de esta proyección aumenta las deformaciones en las lejanías del meridiano central no haciendo recomendable su uso para la representación urbana sin considerar la deformación para los casos particulares. Las proyecciones LTM1 y LTM2 presentan una exactitud nominal compatible con escalas 1:500 lo que señala la idoneidad de estas proyecciones para la representación del espacio en detalle en las cercanías del meridiano central. Sin embargo, estas proyecciones sometidas a una situación crítica de borde de huso en bajas latitudes ofrecen exactitudes compatibles con escalas 1:5.000 y 1:20.000 respectivamente, lo que señala que la utilización de esta proyección debe estar restringida a una cercanía al meridiano central que permita desarrollar exactitudes compatibles con las necesidades cartográficas de cada proyecto en particular. 158 Las proyecciones MTM1 y MTM2 ofrecen para el meridiano central, exactitudes compatibles con escalas de representación 1:10.000 lo que las hace adecuadas para ciertas actividades relacionadas con la planificación urbana. Se observa que para estas proyecciones la exactitud observada para el borde de huso en bajas latitudes no incrementa de sobre manera las deformaciones, produciéndose para el caso de la MTM1 una mantención de la escala de representación posible para el borde de huso (1:10.000) y para el caso de la MTM2 una mejora en cuanto a la exactitud posible de alcanzar para esta proyección en el meridiano central (1:5.000) La proyección UTM ofrece nominalmente exactitudes compatibles con la escala 1:50.000 y en el caso extremo exactitudes compatibles con la escala 1:100.000 lo que la hace totalmente inadecuada para la representación urbana 8.3.2. Caso particular En cuanto a la deformación ocurrida en el área de estudio debido a las diferencias de los factores K es posible determinar que: Aquellos casos en que el Huso de la proyección tiene su meridiano central dentro del desarrollo longitudinal del área de estudio (en 71º30’W), se presentan deformaciones menores, las que permiten representación cartográfica a una escala máxima 1:500. Para las demás proyecciones se observa un incremento en las diferencias de factores de escala acorde a la distancia que separa el área de estudio respecto al meridiano central. Así, las proyecciones con meridiano central en 71ºW permiten representación cartográfica hasta escala 1:5.000 y las 159 proyecciones con meridiano central en 70ºW permiten una representación cartográfica de hasta 1:10.000. Por otra parte la proyección UTM no permite representación cartográfica a escala urbana. Atendiendo a esto, se observa que cada una de las proyecciones estudiadas, a excepción de la UTM presenta algún grado de afinidad en cuanto a la representación a escala urbana y si bien es cierto los resultados recién expuestos no son indicador de un óptima relación plano de proyección – elipsoide – terreno, si indican las magnitudes de las deformaciones inherentes a cada proyección las cuales habrá que considerar para casos en los cuales bastará una única corrección al factor de deformación de escala para el área de estudio. En cuanto a la deformación ocurrida entre el plano de proyección y el elipsoide dentro del área de estudio, es posible determinar que: La proyección LTM1 al corresponderse con un meridiano central cercano al área de estudio (71º30’) y tener un factor de escala para el meridiano central cercano a uno, ve aumentada su exactitud de representación del elipsoide entre el meridiano central y las zonas mas alejadas de él. Así, puede considerarse que esta proyección para el caso local representa al elipsoide con una exactitud compatible con la escala de representación 1:500 Las proyecciones GK1 y LTM2 presentan exactitudes en el área de estudio que las hacen compatibles con escalas de representación 1:5.000 y menores. Esto se debe en el caso de la GK1 a su relativa cercanía con el meridiano central (45 km aproximadamente) que implica valores K 160 cercanos a la unidad. En el caso de la LTM2 la exactitud que entrega se explica por la cercanía del área de estudio con la zona de secancia, lo que implica valores del factor de escala cercanos a la unidad. Las proyecciones MTM1 y MTM2 presentan exactitudes compatibles con escalas de representación 1:10.000 debido fundamentalmente a su cercanía con el meridiano central y con la línea de secancia, lo que permite que los valores calculados K se mantengan cercanos a la unidad. En cuanto a la deformación ocurrida entre el plano de proyección y la superficie topográfica, es posible determinar que: La proyección GK1 posee los valores mas cercanos a la nula deformación entre el plano de proyección y la superficie topográfica, por lo que presenta una exactitud compatible con la escala de representación 1:5.000. Esta situación se explica básicamente por la escasa altitud que alcanza el área de estudio (menor que 450 metros de altura ortométrica), lo que implica que los valores Kh son cercanos en magnitud a los valores K presentes en esta situación. Las proyecciones LTM1 y LTM2 poseen una exactitud que las hace compatibles con escalas de representación 1:10.000 y menores. Esto, debido fundamentalmente por la relativa cercanía en los valores K con los valores Kh máximos definidos para el área de estudio. Para este caso particular, la proyección LTM1 provoca deformaciones negativas, Las que se manifiestan en una representación subdimensionada de una porción de superficie topográfica, debido a la condición de tangencia del cilindro TM para este caso. Por otra parte, la proyección LTM2 161 provoca deformaciones positivas, las que se manifiestan mediante una representación sobredimensionada de una porción de superficie topográfica, debido a la condición de secancia del cilindro TM para este caso. Las proyecciones GK2, MTM1, MTM2 y UTM presentan deformaciones que sobrepasan la tolerancia definida para las escalas urbanas de representación, debido a las notables diferencias existentes entre los valores K observados en el área de estudio y los valores Kh definidos según la situación altimétrica del terreno a representar. 8.4. RELACIÓN ENTRE PROYECCIONES TM, ELIPSOIDE Y SUPERFICIE TOPOGRÁFICA 8.4.1. Reducción Plano TM – Elipsoide Para validar la reducción de una magnitud considerada sobre un plano de proyección, será preciso el considerar el error inherente al método de producción cartográfica e interpretarlo como la tolerancia propia de cada escala cartográfica de representación. De esta forma, una reducción solo tendrá sentido si la diferencia entre la magnitud primitiva y la magnitud reducida es mayor que la tolerancia cartográfica definida para la escala de representación. La determinación del factor reductor de una determinada magnitud, debe hacerse de tal modo que este, modele óptimamente la relación geométrica existente entre las superficies 162 consideradas. En este sentido, la determinación del factor K utilizado en la reducción deberá realizarse poniendo especial atención en el error que puede introducirse a partir de la determinación de dicho factor. 8.4.2. Reducción Elipsoide – Plano Topográfico Local Pese a la sencillez del cálculo del factor reductor que transforma magnitudes elipsoidales en Topográficas, la obtención de las alturas Geométricas es un factor crítico para validar el método de reducción de magnitudes, ya que sin ello es imposible modelar la relación geométrica entre el elipsoide y el plano topográfico local. Pese a lo anterior, en la presente investigación se asume la coincidencia del elipsoide con el geoide para de esta forma utilizar la altura Ortométrica en reemplazo de la altura Geométrica. Al momento de realizar una reducción de este tipo, debe considerarse que esta será valida únicamente para un rango de alturas en función de la tolerancia aceptada para la escala de representación y que por lo tanto, para diferentes alturas del terreno, existirán diferentes niveles de exactitud para la reducción y que habrá que considerar siempre, el error máximo del rango de alturas a representar, para todo el Plano Topográfico Local. Ejemplos de Reducciones Para el ejemplo “a” expuesto en 7.10.4. se observa que la reducción de una magnitud desde el plano TM hasta el elipsoide considerada sobre un único meridiano y utilizando el factor 163 de deformación de escala del punto medio exacto entre los puntos observados, es coincidente hasta el milímetro con la medida patrón. Para la reducción hecha a partir del promedio de los factores de deformación de escala tomados de la red de puntos muestrales, la igualdad entre las magnitudes transformadas y patrón se mantiene también hasta el orden de los milímetros. Para las reducciones hechas utilizando un factor corrector proveniente del factor K de puntos distantes unos 1250m de la coordenada media exacta, se obtiene un error de 3mm entre la magnitud reducida y la magnitud patrón. Obsérvese que la variación de coordenadas Este que separa ambos puntos corresponde a 524.23m mientras que la variación de sus coordenadas Norte corresponde a 22392.807m. Para el ejemplo “b” expuesto en 7.10.4. se observa la reducción de una magnitud desde el plano TM hasta el elipsoide considerada sobre un único paralelo y utilizando el factor de deformación de escala del punto medio exacto entre los puntos observados, existe un error de 15 milímetros respecto de la medida patrón. Para la reducción hecha a partir del promedio de los factores de deformación de escala tomados de la red de puntos muestrales, el error de la reducción se reduce hasta los 4 milímetros. Para las reducciones hechas utilizando un factor corrector proveniente del factor K de un punto distante unos 1050m de la coordenada media exacta en el sentido del paralelo, se obtiene un error aproximado de 115mm entre la magnitud reducida y la magnitud patrón. 164 Obsérvese que la variación de coordenadas este que separa ambos puntos corresponde a 524.23m mientras que la variación de sus coordenadas norte corresponde a 22392.807m. 165 CAPITULO 9 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES A partir de los Objetivos planteados en la presente investigación y atendiendo a los resultados obtenidos es posible concluir que: Diferentes proyecciones TM presentan efectivamente diferentes niveles de exactitud, lo que condiciona la utilización de ellas en determinados márgenes dados por la tolerancia impuesta por la escala de representación y por la situación espacial del área a proyectar. Para el presente estudio, las deformaciones fluctúan entre los 0.147m y los 7.236m al considerar el plano de proyección y el plano topográfico. Entre los 0.845m y los 5.958m si se considera el plano de proyección y el elipsoide, y entre los 0.491m y los 2.291m al considerar las deformaciones producidas por la variación de los factores K al interior del área de estudio. La elección de la utilización de una determinada proyección, debe realizarse previo estudio de las deformaciones existentes para el área a representar en cuanto a: • La cantidad de deformación inherente a la proyección, definida según la máxima diferencia de los valores K observados en el área a representar y su significancia en la extensión a representar considerando la escala de representación. 166 • La máxima y mínima deformación existente entre la proyección y el elipsoide de referencia. • La máxima y mínima deformación existente entre la proyección y la superficie topográfica. La exactitud de representación de una proyección cartográfica debe definirse según la escala de máximo detalle que permite representar una determinada proyección. Se recomienda definir el tipo de relación optima que se espera del producto cartográfico en cuanto a la exactitud referida al elipsoide de revolución, o superficie topográfica. La óptima relación entre la superficie física de la Tierra y el plano de proyección debe considerar, para aquellos productos cartográficos referidos un elipsoide, los máximos y mínimos valores Kp y Kh presentes en el área a representar para con esto realizar las reducciones necesarias mediante la formula referida en el capitulo Nº7. Para la generación de nuevos productos cartográficos que deban referirse a la superficie física de la tierra, se debe optar por una proyección TM con factor Kh referido a la exactitud esperada según la escala de representación dependiendo de la situación altimétrica del área a representar y meridiano central variable. Al utilizar una proyección cartográfica como instrumento de medición de los elementos en él representado, debe considerarse la superficie de referencia del producto cartográfico y la 167 magnitud de deformación a la cual está sujeta la representación. debido a la alta correlación entre el factor de deformación de escala y la variación de la coordenada Este, debe utilizarse el factor de deformación promedio en la superficie a medir, para asegurar con esto, la exactitud de la medición. 168 CAPITULO 10 ANEXOS 169 ANEXO Nº1 MAPA DE UBICACIÓN 170 171 ANEXO Nº 2 RED DE PUNTOS MUESTRALES 172 ID Latitud Longitud ID Latitud Longitud 1 -33.12000000000 -71.46000000000 51 -33.00782774460 -71.46000000000 2 -33.12000000000 -71.48243445108 52 -33.00782774460 -71.48243445108 3 -33.12000000000 -71.50486890216 53 -33.00782774460 -71.50486890216 4 -33.12000000000 -71.52730335324 54 -33.00782774460 -71.52730335324 5 -33.12000000000 -71.54973780432 55 -33.00782774460 -71.54973780432 6 -33.12000000000 -71.57217225540 56 -33.00782774460 -71.57217225540 7 -33.12000000000 -71.59460670648 57 -33.00782774460 -71.59460670648 8 -33.12000000000 -71.61704115756 58 -33.00782774460 -71.61704115756 9 -33.12000000000 -71.63947560864 59 -33.00782774460 -71.63947560864 10 -33.12000000000 -71.66191005972 60 -33.00782774460 -71.66191005972 11 -33.09756554892 -71.46000000000 61 -32.98539329352 -71.46000000000 12 -33.09756554892 -71.48243445108 62 -32.98539329352 -71.48243445108 13 -33.09756554892 -71.50486890216 63 -32.98539329352 -71.50486890216 14 -33.09756554892 -71.52730335324 64 -32.98539329352 -71.52730335324 15 -33.09756554892 -71.54973780432 65 -32.98539329352 -71.54973780432 16 -33.09756554892 -71.57217225540 66 -32.98539329352 -71.57217225540 17 -33.09756554892 -71.59460670648 67 -32.98539329352 -71.59460670648 18 -33.09756554892 -71.61704115756 68 -32.98539329352 -71.61704115756 19 -33.09756554892 -71.63947560864 69 -32.98539329352 -71.63947560864 20 -33.09756554892 -71.66191005972 70 -32.98539329352 -71.66191005972 21 -33.07513109784 -71.46000000000 71 -32.96295884244 -71.46000000000 22 -33.07513109784 -71.48243445108 72 -32.96295884244 -71.48243445108 23 -33.07513109784 -71.50486890216 73 -32.96295884244 -71.50486890216 24 -33.07513109784 -71.52730335324 74 -32.96295884244 -71.52730335324 25 -33.07513109784 -71.54973780432 75 -32.96295884244 -71.54973780432 26 -33.07513109784 -71.57217225540 76 -32.96295884244 -71.57217225540 27 -33.07513109784 -71.59460670648 77 -32.96295884244 -71.59460670648 28 -33.07513109784 -71.61704115756 78 -32.96295884244 -71.61704115756 29 -33.07513109784 -71.63947560864 79 -32.96295884244 -71.63947560864 30 -33.07513109784 -71.66191005972 80 -32.96295884244 -71.66191005972 31 -33.05269664676 -71.46000000000 81 -32.94052439136 -71.46000000000 32 -33.05269664676 -71.48243445108 82 -32.94052439136 -71.48243445108 33 -33.05269664676 -71.50486890216 83 -32.94052439136 -71.50486890216 34 -33.05269664676 -71.52730335324 84 -32.94052439136 -71.52730335324 35 -33.05269664676 -71.54973780432 85 -32.94052439136 -71.54973780432 36 -33.05269664676 -71.57217225540 86 -32.94052439136 -71.57217225540 37 -33.05269664676 -71.59460670648 87 -32.94052439136 -71.59460670648 38 -33.05269664676 -71.61704115756 88 -32.94052439136 -71.61704115756 39 -33.05269664676 -71.63947560864 89 -32.94052439136 -71.63947560864 40 -33.05269664676 -71.66191005972 90 -32.94052439136 -71.66191005972 Continúa en página siguiente 173 ID Latitud Longitud ID Latitud Longitud 41 -33.03026219568 -71.46000000000 91 -32.91808994028 -71.46000000000 42 -33.03026219568 -71.48243445108 92 -32.91808994028 -71.48243445108 43 -33.03026219568 -71.50486890216 93 -32.91808994028 -71.50486890216 44 -33.03026219568 -71.52730335324 94 -32.91808994028 -71.52730335324 45 -33.03026219568 -71.54973780432 95 -32.91808994028 -71.54973780432 46 -33.03026219568 -71.57217225540 96 -32.91808994028 -71.57217225540 47 -33.03026219568 -71.59460670648 97 -32.91808994028 -71.59460670648 48 -33.03026219568 -71.61704115756 98 -32.91808994028 -71.61704115756 49 -33.03026219568 -71.63947560864 99 -32.91808994028 -71.63947560864 50 -33.03026219568 -71.66191005972 100 -32.91808994028 -71.66191005972 174 ANEXO Nº 3 MAPA DE UBICACIÓN RED DE PUNTOS MUESTRALES 175 176 ANEXO Nº4 PROYECCIÓN DE PUNTOS MUESTRALES, FACTOR DE DEFORMACIÓN DE ESCALA Y CONVERGENCIA DE MERIDIANOS 177 GK1 ID Este Norte Def escala ID Este Norte Def Escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 238082.019 238097.645 238113.281 238128.927 238144.582 238160.246 238175.920 238191.604 238207.296 238222.999 240180.673 240195.770 240210.876 240225.991 240241.115 240256.248 240271.391 240286.543 240301.704 240316.874 242279.323 242293.890 242308.466 242323.051 242337.644 242352.247 242366.858 242381.478 242396.107 242410.745 244377.970 244392.007 244406.053 244420.107 244434.170 244448.242 244462.322 244476.410 244490.507 3356086.152 3353597.972 3351109.784 3348621.587 3346133.382 3343645.167 3341156.943 3338668.711 3336180.470 3333692.220 3356099.104 3353610.930 3351122.746 3348634.554 3346146.353 3343658.143 3341169.924 3338681.696 3336193.459 3333705.213 3356111.611 3353623.440 3351135.261 3348647.073 3346158.876 3343670.671 3341182.456 3338694.232 3336206.000 3333717.759 3356123.670 3353635.504 3351147.329 3348659.146 3346170.953 3343682.751 3341194.541 3338706.322 3336218.093 1.0000472485 1.0000472245 1.0000472004 1.0000471763 1.0000471522 1.0000471281 1.0000471040 1.0000470798 1.0000470557 1.0000470316 1.0000440999 1.0000440774 1.0000440549 1.0000440325 1.0000440100 1.0000439875 1.0000439650 1.0000439424 1.0000439199 1.0000438974 1.0000410598 1.0000410389 1.0000410180 1.0000409970 1.0000409761 1.0000409552 1.0000409342 1.0000409132 1.0000408923 1.0000408713 1.0000381283 1.0000381089 1.0000380895 1.0000380700 1.0000380506 1.0000380311 1.0000380117 1.0000379922 1.0000379727 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 248575.252 248588.230 248601.216 248614.210 248627.211 248640.221 248653.238 248666.264 248679.297 248692.338 250673.888 250686.337 250698.793 250711.256 250723.727 250736.206 250748.692 250761.185 250773.687 250786.195 252772.522 252784.440 252796.366 252808.299 252820.240 252832.187 252844.142 252856.104 252868.073 252880.050 254871.152 254882.541 254893.937 254905.339 254916.749 254928.166 254939.589 254951.020 254962.457 3356146.449 3353658.291 3351170.125 3348681.949 3346193.764 3343705.571 3341217.368 3338729.157 3336240.936 3333752.707 3356157.169 3353669.015 3351180.852 3348692.680 3346204.499 3343716.309 3341228.110 3338739.903 3336251.686 3333763.460 3356167.442 3353679.291 3351191.132 3348702.964 3346214.786 3343726.600 3341238.405 3338750.201 3336261.988 3333773.766 3356177.268 3353689.121 3351200.965 3348712.800 3346224.627 3343736.444 3341248.252 3338760.051 3336271.842 1.0000325910 1.0000325744 1.0000325578 1.0000325412 1.0000325246 1.0000325079 1.0000324913 1.0000324747 1.0000324580 1.0000324414 1.0000299852 1.0000299699 1.0000299547 1.0000299394 1.0000299241 1.0000299088 1.0000298935 1.0000298782 1.0000298629 1.0000298475 1.0000274880 1.0000274740 1.0000274600 1.0000274460 1.0000274319 1.0000274179 1.0000274039 1.0000273898 1.0000273758 1.0000273618 1.0000250993 1.0000250865 1.0000250737 1.0000250609 1.0000250481 1.0000250353 1.0000250225 1.0000250097 1.0000249969 40 244504.613 3333729.856 1.0000379533 90 254973.902 3333783.623 1.0000249841 Continúa en página siguiente 178 ID Este Norte Def escala ID Este Norte Def Escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 246476.612 246490.120 246503.636 246517.160 246530.692 246544.233 246557.782 246571.338 246584.904 3356135.283 3353647.121 3351158.950 3348670.771 3346182.582 3343694.385 3341206.178 3338717.963 3336229.739 1.0000353054 1.0000352874 1.0000352694 1.0000352514 1.0000352334 1.0000352154 1.0000351974 1.0000351793 1.0000351613 91 92 93 94 95 96 97 98 99 256969.779 256980.638 256991.504 257002.377 257013.256 257024.142 257035.034 257045.933 257056.838 3356186.648 3353698.505 3351210.352 3348722.190 3346234.020 3343745.840 3341257.652 3338769.454 3336281.248 1.0000228192 1.0000228076 1.0000227959 1.0000227843 1.0000227727 1.0000227610 1.0000227494 1.0000227377 1.0000227261 50 246598.477 3333741.506 1.0000351433 100 257067.751 3333793.033 1.0000227144 179 GK2 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 144530.048 144569.298 144608.571 144647.869 144687.190 144726.535 144765.904 144805.296 144844.713 144884.153 146629.006 146667.725 146706.468 146745.234 146784.024 146822.837 146861.674 146900.535 146939.419 146978.326 148727.953 148766.142 148804.354 148842.590 148880.849 148919.130 148957.435 148995.764 149034.115 149072.490 150826.891 150864.550 150902.232 150939.936 150977.664 151015.414 151053.187 151090.983 151128.802 3355054.983 3352566.440 3350077.890 3347589.331 3345100.764 3342612.189 3340123.606 3337635.014 3335146.414 3332657.806 3355087.854 3352599.323 3350110.785 3347622.237 3345133.682 3342645.118 3340156.546 3337667.966 3335179.378 3332690.781 3355120.278 3352631.759 3350143.232 3347654.696 3345166.152 3342677.599 3340189.039 3337700.470 3335211.893 3332723.307 3355152.256 3352663.748 3350175.231 3347686.707 3345198.174 3342709.633 3340221.083 3337732.526 3335243.959 1.0002978963 1.0002977444 1.0002975925 1.0002974406 1.0002972886 1.0002971366 1.0002969845 1.0002968323 1.0002966801 1.0002965279 1.0002899066 1.0002897588 1.0002896110 1.0002894631 1.0002893152 1.0002891673 1.0002890192 1.0002888712 1.0002887231 1.0002885749 1.0002820255 1.0002818818 1.0002817380 1.0002815941 1.0002814502 1.0002813063 1.0002811623 1.0002810183 1.0002808742 1.0002807301 1.0002742531 1.0002741133 1.0002739735 1.0002738336 1.0002736937 1.0002735537 1.0002734137 1.0002732737 1.0002731335 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 155024.740 155061.338 155097.958 155134.601 155171.266 155207.953 155244.663 155281.394 155318.148 155354.924 157123.650 157159.718 157195.808 157231.920 157268.053 157304.209 157340.387 157376.586 157412.808 157449.051 159222.551 159258.089 159293.648 159329.229 159364.832 159400.456 159436.102 159471.769 159507.458 159543.169 161321.443 161356.451 161391.480 161426.530 161461.602 161496.694 161531.808 161566.944 161602.100 3355214.869 3352726.383 3350237.889 3347749.386 3345260.875 3342772.356 3340283.828 3337795.292 3335306.748 3332818.195 3355245.505 3352757.030 3350268.546 3347780.054 3345291.554 3342803.045 3340314.528 3337826.003 3335337.469 3332848.927 3355275.694 3352787.229 3350298.756 3347810.275 3345321.785 3342833.287 3340344.781 3337856.266 3335367.743 3332879.211 3355305.436 3352816.981 3350328.519 3347840.048 3345351.569 3342863.081 3340374.585 3337886.081 3335397.568 1.0002590343 1.0002589022 1.0002587702 1.0002586381 1.0002585059 1.0002583737 1.0002582415 1.0002581092 1.0002579768 1.0002578445 1.0002515878 1.0002514596 1.0002513313 1.0002512030 1.0002510747 1.0002509463 1.0002508178 1.0002506893 1.0002505608 1.0002504322 1.0002442500 1.0002441255 1.0002440010 1.0002438764 1.0002437518 1.0002436272 1.0002435025 1.0002433777 1.0002432530 1.0002431281 1.0002370208 1.0002369000 1.0002367792 1.0002366583 1.0002365374 1.0002364164 1.0002362954 1.0002361744 1.0002360533 40 151166.644 3332755.385 1.0002729934 90 161637.278 3332909.047 1.0002359322 Continúa en página siguiente 180 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 152925.820 152962.949 153000.100 153037.273 153074.469 153111.688 153148.929 153186.193 153223.480 3355183.786 3352695.289 3350206.784 3347718.270 3345229.748 3342741.218 3340252.680 3337764.133 3335275.578 1.0002665894 1.0002664535 1.0002663176 1.0002661816 1.0002660456 1.0002659095 1.0002657734 1.0002656373 1.0002655011 91 92 93 94 95 96 97 98 99 163420.327 163454.804 163489.303 163523.822 163558.363 163592.924 163627.506 163662.109 163696.733 3355334.730 3352846.287 3350357.834 3347869.374 3345380.905 3342892.427 3340403.942 3337915.447 3335426.945 1.0002299003 1.0002297831 1.0002296659 1.0002295487 1.0002294314 1.0002293141 1.0002291967 1.0002290793 1.0002289618 50 153260.789 3332787.014 1.0002653648 100 163731.378 3332938.434 1.0002288444 181 LTM1 ID Este 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 184854.427 184858.249 184862.073 184865.900 184869.729 184873.560 184877.394 184881.230 184885.069 184888.909 186953.017 186956.310 186959.604 186962.901 186966.199 186969.500 186972.802 186976.107 186979.413 186982.722 189051.607 189054.370 189057.134 189059.901 189062.669 189065.438 189068.210 189070.983 189073.757 189076.534 191150.196 191152.429 191154.664 191156.900 191159.137 191161.376 191163.616 191165.858 191168.101 Norte 3356287.109 3353799.007 3351310.896 3348822.775 3346334.646 3343846.508 3341358.360 3338870.204 3336382.039 3333893.864 3356290.109 3353802.008 3351313.897 3348825.778 3346337.650 3343849.512 3341361.366 3338873.211 3336385.047 3333896.873 3356292.662 3353804.561 3351316.452 3348828.334 3346340.206 3343852.070 3341363.925 3338875.770 3336387.607 3333899.434 3356294.768 3353806.669 3351318.560 3348830.442 3346342.316 3343854.180 3341366.035 3338877.882 3336389.719 Def Escala 0.9999978270 0.9999978256 0.9999978241 0.9999978227 0.9999978212 0.9999978198 0.9999978183 0.9999978169 0.9999978155 0.9999978140 0.9999970978 0.9999970968 0.9999970957 0.9999970946 0.9999970936 0.9999970925 0.9999970914 0.9999970904 0.9999970893 0.9999970882 0.9999964773 0.9999964765 0.9999964757 0.9999964750 0.9999964742 0.9999964735 0.9999964727 0.9999964720 0.9999964712 0.9999964705 0.9999959652 0.9999959647 0.9999959642 0.9999959637 0.9999959632 0.9999959627 0.9999959623 0.9999959618 0.9999959613 40 191170.345 3333901.547 0.9999959608 ID 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Este 195347.373 195348.547 195349.722 195350.897 195352.073 195353.250 195354.428 195355.606 195356.786 195357.965 203741.723 203740.779 203739.834 203738.889 203737.943 203736.996 203736.049 203735.101 203734.153 203733.204 197445.960 197446.605 197447.250 197447.895 197448.541 197449.187 197449.833 197450.480 197451.128 197451.775 201643.135 201642.721 201642.306 201641.891 201641.475 201641.060 201640.644 201640.228 201639.811 Norte 3356297.641 3353809.543 3351321.435 3348833.318 3346345.193 3343857.058 3341368.915 3338880.762 3336392.600 3333904.430 3356298.029 3353809.931 3351321.823 3348833.706 3346345.581 3343857.446 3341369.303 3338881.151 3336392.989 3333904.819 3356298.408 3353810.310 3351322.202 3348834.086 3346345.961 3343857.826 3341369.683 3338881.531 3336393.369 3333905.199 3356298.602 3353810.504 3351322.396 3348834.280 3346346.155 3343858.020 3341369.877 3338881.725 3336393.564 Def Escala 0.9999952668 0.9999952666 0.9999952665 0.9999952664 0.9999952662 0.9999952661 0.9999952660 0.9999952658 0.9999952657 0.9999952656 0.9999951725 0.9999951725 0.9999951724 0.9999951723 0.9999951722 0.9999951721 0.9999951720 0.9999951719 0.9999951718 0.9999951718 0.9999950804 0.9999950804 0.9999950803 0.9999950803 0.9999950802 0.9999950802 0.9999950801 0.9999950801 0.9999950801 0.9999950800 0.9999950333 0.9999950333 0.9999950332 0.9999950332 0.9999950332 0.9999950332 0.9999950332 0.9999950332 0.9999950331 90 201639.395 3333905.393 0.9999950331 Continúa en página siguiente 182 ID Este 41 42 43 44 45 46 47 48 49 193248.784 193250.488 193252.193 193253.899 193255.606 193257.313 193259.022 193260.732 193262.443 Norte 3356296.428 3353808.329 3351320.221 3348832.104 3346343.978 3343855.843 3341367.699 3338879.546 3336391.384 Def Escala 0.9999955617 0.9999955614 0.9999955611 0.9999955609 0.9999955606 0.9999955603 0.9999955600 0.9999955597 0.9999955594 ID 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Este 199544.548 199544.663 199544.778 199544.893 199545.008 199545.123 199545.239 199545.354 199545.469 Norte 3356298.728 3353810.630 3351322.523 3348834.406 3346346.281 3343858.147 3341370.004 3338881.852 3336393.690 Def Escala 0.9999950026 0.9999950026 0.9999950026 0.9999950026 0.9999950026 0.9999950025 0.9999950025 0.9999950025 0.9999950025 50 193264.155 3333903.213 0.9999955591 100 199545.585 3333905.520 0.9999950025 183 LTM2 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 138082.329 138097.955 138113.591 138129.236 138144.891 138160.555 138176.229 138191.913 138207.605 138223.308 140180.972 140196.069 140211.175 140226.290 140241.414 140256.547 140271.690 140286.841 140302.002 140317.172 142279.612 142294.179 142308.754 142323.339 142337.933 142352.535 142367.146 142381.766 142396.395 142411.033 144378.248 144392.285 144406.331 144420.385 144434.448 144448.519 144462.599 144476.688 144490.785 3356104.371 3353616.204 3351128.029 3348639.844 3346151.651 3343663.449 3341175.238 3338687.018 3336198.789 3333710.551 3356117.324 3353629.162 3351140.991 3348652.811 3346164.622 3343676.424 3341188.218 3338700.002 3336211.778 3333723.545 3356129.830 3353641.672 3351153.506 3348665.330 3346177.146 3343688.952 3341200.750 3338712.539 3336224.319 3333736.090 3356141.890 3353653.736 3351165.574 3348677.402 3346189.222 3343701.033 3341212.835 3338724.628 3336236.412 1.0000422483 1.0000422242 1.0000422001 1.0000421760 1.0000421519 1.0000421278 1.0000421037 1.0000420796 1.0000420555 1.0000420313 1.0000390997 1.0000390772 1.0000390547 1.0000390322 1.0000390098 1.0000389873 1.0000389647 1.0000389422 1.0000389197 1.0000388972 1.0000360596 1.0000360387 1.0000360178 1.0000359968 1.0000359759 1.0000359550 1.0000359340 1.0000359130 1.0000358921 1.0000358711 1.0000331281 1.0000331087 1.0000330893 1.0000330698 1.0000330504 1.0000330309 1.0000330115 1.0000329920 1.0000329725 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 148575.509 148588.487 148601.473 148614.467 148627.468 148640.478 148653.495 148666.520 148679.553 148692.594 150674.135 150686.583 150699.039 150711.502 150723.973 150736.452 150748.938 150761.432 150773.933 150786.441 152772.758 152784.676 152796.602 152808.535 152820.475 152832.423 152844.378 152856.340 152868.309 152880.286 154871.377 154882.766 154894.162 154905.565 154916.975 154928.391 154939.815 154951.245 154962.683 3356164.669 3353676.523 3351188.369 3348700.205 3346212.033 3343723.852 3341235.662 3338747.463 3336259.255 3333771.038 3356175.388 3353687.246 3351199.096 3348710.936 3346222.768 3343734.590 3341246.404 3338758.209 3336270.005 3333781.792 3356185.661 3353697.523 3351209.376 3348721.220 3346233.055 3343744.881 3341256.699 3338768.507 3336280.306 3333792.097 3356195.488 3353707.353 3351219.209 3348731.057 3346242.895 3343754.725 3341266.546 3338778.358 3336290.160 1.0000275909 1.0000275743 1.0000275576 1.0000275410 1.0000275244 1.0000275078 1.0000274911 1.0000274745 1.0000274579 1.0000274412 1.0000249851 1.0000249698 1.0000249545 1.0000249392 1.0000249239 1.0000249086 1.0000248933 1.0000248780 1.0000248627 1.0000248474 1.0000224878 1.0000224738 1.0000224598 1.0000224458 1.0000224318 1.0000224178 1.0000224037 1.0000223897 1.0000223757 1.0000223616 1.0000200992 1.0000200864 1.0000200736 1.0000200608 1.0000200480 1.0000200352 1.0000200224 1.0000200096 1.0000199968 40 144504.890 3333748.188 1.0000329531 90 154974.127 3333801.954 1.0000199839 Continúa en página siguiente 184 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 146476.880 146490.388 146503.903 146517.427 146530.960 146544.500 146558.049 146571.606 146585.171 3356153.502 3353665.353 3351177.195 3348689.027 3346200.851 3343712.666 3341224.472 3338736.269 3336248.058 1.0000303052 1.0000302872 1.0000302692 1.0000302512 1.0000302332 1.0000302152 1.0000301972 1.0000301792 1.0000301611 91 92 93 94 95 96 97 98 99 156969.994 156980.854 156991.719 157002.592 157013.471 157024.357 157035.249 157046.148 157057.053 3356204.867 3353716.736 3351228.596 3348740.447 3346252.288 3343764.121 3341275.945 3338787.760 3336299.566 1.0000178191 1.0000178074 1.0000177958 1.0000177842 1.0000177725 1.0000177609 1.0000177493 1.0000177376 1.0000177260 50 146598.744 3333759.837 1.0000301431 100 157067.965 3333811.364 1.0000177143 185 MTM1 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 238088.211 238103.836 238119.470 238135.114 238150.767 238166.430 238182.103 238197.784 238213.476 238229.177 240186.655 240201.750 240216.854 240231.968 240247.091 240262.223 240277.364 240292.514 240307.674 240322.842 242285.095 242299.661 242314.235 242328.818 242343.411 242358.012 242372.621 242387.240 242401.868 242416.504 244383.532 244397.568 244411.612 244425.665 244439.727 244453.797 244467.875 244481.962 244496.058 3356450.543 3353962.613 3351474.673 3348986.725 3346498.768 3344010.802 3341522.828 3339034.844 3336546.852 3334058.850 3356463.495 3353975.569 3351487.634 3348999.690 3346511.738 3344023.777 3341535.807 3339047.827 3336559.839 3334071.843 3356475.999 3353988.078 3351500.148 3349012.209 3346524.261 3344036.304 3341548.338 3339060.363 3336572.379 3334084.387 3356488.058 3354000.141 3351512.215 3349024.280 3346536.336 3344048.383 3341560.421 3339072.451 3336584.472 0.9999472438 0.9999472197 0.9999471957 0.9999471716 0.9999471475 0.9999471234 0.9999470993 0.9999470751 0.9999470510 0.9999470269 0.9999440955 0.9999440730 0.9999440505 0.9999440281 0.9999440056 0.9999439831 0.9999439606 0.9999439381 0.9999439155 0.9999438930 0.9999410557 0.9999410348 0.9999410139 0.9999409929 0.9999409720 0.9999409511 0.9999409301 0.9999409091 0.9999408882 0.9999408672 0.9999381245 0.9999381051 0.9999380857 0.9999380662 0.9999380468 0.9999380273 0.9999380079 0.9999379884 0.9999379689 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 248580.395 248593.371 248606.356 248619.348 248632.349 248645.357 248658.373 248671.397 248684.429 248697.469 250678.821 250691.268 250703.723 250716.185 250728.655 250741.132 250753.617 250766.109 250778.609 250791.117 252777.244 252789.162 252801.086 252813.018 252824.958 252836.904 252848.858 252860.819 252872.787 252884.762 254875.665 254887.052 254898.447 254909.849 254921.258 254932.673 254944.095 254955.525 254966.961 3356510.835 3354022.926 3351535.008 3349047.081 3346559.145 3344071.200 3341583.246 3339095.284 3336607.312 3334119.332 3356521.553 3354033.648 3351545.734 3349057.810 3346569.878 3344081.937 3341593.987 3339106.029 3336618.061 3334130.084 3356531.825 3354043.924 3351556.013 3349068.093 3346580.165 3344092.227 3341604.281 3339116.326 3336628.362 3334140.388 3356541.651 3354053.752 3351565.845 3349077.929 3346590.004 3344102.070 3341614.127 3339126.175 3336638.215 0.9999325878 0.9999325712 0.9999325546 0.9999325379 0.9999325213 0.9999325047 0.9999324881 0.9999324714 0.9999324548 0.9999324381 0.9999299822 0.9999299669 0.9999299517 0.9999299364 0.9999299211 0.9999299058 0.9999298905 0.9999298752 0.9999298599 0.9999298446 0.9999274852 0.9999274712 0.9999274572 0.9999274432 0.9999274292 0.9999274152 0.9999274011 0.9999273871 0.9999273731 0.9999273590 0.9999250968 0.9999250840 0.9999250712 0.9999250584 0.9999250456 0.9999250328 0.9999250200 0.9999250072 0.9999249944 40 244510.162 3334096.483 0.9999379495 90 254978.404 3334150.245 0.9999249816 Continúa en página siguiente 186 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 246481.965 246495.471 246508.986 246522.508 246536.039 246549.578 246563.126 246576.681 246590.245 3356499.670 3354011.756 3351523.835 3349035.904 3346547.964 3344060.015 3341572.058 3339084.091 3336596.116 0.9999353019 0.9999352839 0.9999352659 0.9999352479 0.9999352299 0.9999352119 0.9999351939 0.9999351758 0.9999351578 91 92 93 94 95 96 97 98 99 256974.082 256984.940 256995.805 257006.677 257017.555 257028.439 257039.331 257050.228 257061.133 3356551.030 3354063.135 3351575.231 3349087.318 3346599.396 3344111.465 3341623.526 3339135.577 3336647.620 0.9999228169 0.9999228053 0.9999227937 0.9999227820 0.9999227704 0.9999227587 0.9999227471 0.9999227354 0.9999227238 50 246603.817 3334108.131 0.9999351398 100 257072.044 3334159.653 0.9999227121 187 MTM2 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 284855.865 284859.687 284863.511 284867.338 284871.166 284874.997 284878.831 284882.667 284886.505 284890.345 286954.257 286957.549 286960.843 286964.139 286967.437 286970.738 286974.040 286977.344 286980.650 286983.958 289052.647 289055.410 289058.174 289060.940 289063.708 289066.477 289069.248 289072.021 289074.795 289077.571 291151.037 291153.270 291155.504 291157.740 291159.977 291162.216 291164.456 291166.697 291168.940 3356633.264 3354145.398 3351657.523 3349169.639 3346681.746 3344193.844 3341705.933 3339218.013 3336730.084 3334242.146 3356636.263 3354148.398 3351660.524 3349172.641 3346684.749 3344196.848 3341708.939 3339221.020 3336733.092 3334245.155 3356638.816 3354150.952 3351663.079 3349175.197 3346687.306 3344199.406 3341711.497 3339223.579 3336735.652 3334247.716 3356640.922 3354153.059 3351665.186 3349177.305 3346689.415 3344201.516 3341713.607 3339225.690 3336737.764 0.9999028267 0.9999028253 0.9999028238 0.9999028224 0.9999028210 0.9999028195 0.9999028181 0.9999028166 0.9999028152 0.9999028137 0.9999020976 0.9999020966 0.9999020955 0.9999020944 0.9999020934 0.9999020923 0.9999020912 0.9999020902 0.9999020891 0.9999020880 0.9999014771 0.9999014764 0.9999014756 0.9999014749 0.9999014741 0.9999014733 0.9999014726 0.9999014718 0.9999014711 0.9999014703 0.9999009651 0.9999009646 0.9999009641 0.9999009636 0.9999009631 0.9999009627 0.9999009622 0.9999009617 0.9999009612 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 295347.815 295348.989 295350.163 295351.339 295352.515 295353.692 295354.869 295356.048 295357.227 295358.406 303741.368 303740.424 303739.479 303738.533 303737.588 303736.641 303735.694 303734.747 303733.798 303732.850 297446.203 297446.847 297447.492 297448.138 297448.783 297449.429 297450.076 297450.722 297451.370 297452.017 301642.979 301642.565 301642.150 301641.735 301641.319 301640.904 301640.488 301640.072 301639.655 3356643.795 3354155.933 3351668.061 3349180.181 3346692.292 3344204.393 3341716.486 3339228.570 3336740.645 3334252.710 3356644.182 3354156.320 3351668.449 3349180.569 3346692.680 3344204.782 3341716.875 3339228.959 3336741.033 3334253.099 3356644.562 3354156.699 3351668.828 3349180.948 3346693.059 3344205.161 3341717.254 3339229.339 3336741.414 3334253.480 3356644.755 3354156.893 3351669.022 3349181.142 3346693.254 3344205.356 3341717.449 3339229.533 3336741.608 0.9999002668 0.9999002666 0.9999002665 0.9999002663 0.9999002662 0.9999002661 0.9999002659 0.9999002658 0.9999002657 0.9999002655 0.9999001725 0.9999001724 0.9999001724 0.9999001723 0.9999001722 0.9999001721 0.9999001720 0.9999001719 0.9999001718 0.9999001717 0.9999000804 0.9999000803 0.9999000803 0.9999000803 0.9999000802 0.9999000802 0.9999000801 0.9999000801 0.9999000801 0.9999000800 0.9999000333 0.9999000333 0.9999000332 0.9999000332 0.9999000332 0.9999000332 0.9999000332 0.9999000332 0.9999000331 40 291171.184 3334249.829 0.9999009607 90 301639.239 3334253.674 0.9999000331 Continúa en página siguiente 188 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 293249.426 293251.129 293252.834 293254.540 293256.246 293257.954 293259.663 293261.373 293263.083 3356642.582 3354154.719 3351666.847 3349178.967 3346691.077 3344203.178 3341715.270 3339227.354 3336739.428 0.9999005617 0.9999005614 0.9999005611 0.9999005608 0.9999005605 0.9999005602 0.9999005599 0.9999005597 0.9999005594 91 92 93 94 95 96 97 98 99 299544.591 299544.706 299544.821 299544.936 299545.051 299545.167 299545.282 299545.397 299545.513 3356644.882 3354157.020 3351669.149 3349181.269 3346693.380 3344205.482 3341717.575 3339229.659 3336741.735 0.9999000026 0.9999000026 0.9999000026 0.9999000026 0.9999000026 0.9999000025 0.9999000025 0.9999000025 0.9999000025 50 293264.795 3334251.493 0.9999005591 100 299545.628 3334253.801 0.9999000025 189 UTM ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 251058.159 251121.046 251183.970 251246.933 251309.934 251372.974 251436.051 251499.167 251562.321 251625.513 253156.844 253219.199 253281.592 253344.023 253406.492 253468.999 253531.544 253594.126 253656.746 253719.404 255255.513 255317.337 255379.198 255441.098 255503.035 255565.009 255627.021 255689.070 255751.157 255813.281 257354.166 257415.459 257476.789 257538.157 257599.561 257661.003 257722.482 257783.999 257845.552 6354594.027 6352105.805 6349617.576 6347129.340 6344641.097 6342152.847 6339664.590 6337176.326 6334688.055 6332199.777 6354646.828 6352158.625 6349670.415 6347182.198 6344693.973 6342205.742 6339717.503 6337229.257 6334741.005 6332252.745 6354699.182 6352210.997 6349722.806 6347234.607 6344746.400 6342258.187 6339769.967 6337281.739 6334793.505 6332305.263 6354751.088 6352262.922 6349774.748 6347286.567 6344798.379 6342310.184 6339821.982 6337333.772 6334845.556 1.0003641421 1.0003637523 1.0003633624 1.0003629724 1.0003625823 1.0003621920 1.0003618016 1.0003614111 1.0003610204 1.0003606296 1.0003513107 1.0003509276 1.0003505442 1.0003501608 1.0003497772 1.0003493935 1.0003490096 1.0003486257 1.0003482416 1.0003478573 1.0003385882 1.0003382115 1.0003378347 1.0003374577 1.0003370807 1.0003367034 1.0003363261 1.0003359486 1.0003355710 1.0003351933 1.0003259744 1.0003256042 1.0003252338 1.0003248633 1.0003244927 1.0003241219 1.0003237510 1.0003233800 1.0003230089 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 261551.427 261611.658 261671.926 261732.229 261792.570 261852.947 261913.361 261973.811 262034.297 262094.820 263650.035 263709.735 263769.471 263829.243 263889.052 263948.896 264008.777 264068.694 264128.648 264188.637 265748.628 265807.797 265867.002 265926.242 265985.518 266044.831 266104.179 266163.563 266222.983 266282.439 267847.207 267905.844 267964.517 268023.226 268081.971 268140.751 268199.566 268258.418 268317.304 6354853.556 6352365.426 6349877.288 6347389.143 6344900.991 6342412.832 6339924.665 6337436.491 6334948.310 6332460.122 6354904.119 6352416.006 6349927.886 6347439.759 6344951.625 6342463.483 6339975.334 6337487.178 6334999.014 6332510.843 6354954.233 6352466.138 6349978.036 6347489.926 6345001.809 6342513.685 6340025.554 6337537.415 6335049.269 6332561.115 6355003.900 6352515.823 6350027.738 6347539.645 6345051.546 6342563.439 6340075.325 6337587.203 6335099.075 1.0003010732 1.0003007157 1.0003003580 1.0003000002 1.0002996423 1.0002992843 1.0002989261 1.0002985679 1.0002982095 1.0002978509 1.0002887858 1.0002884345 1.0002880831 1.0002877316 1.0002873800 1.0002870282 1.0002866763 1.0002863243 1.0002859722 1.0002856200 1.0002766070 1.0002762620 1.0002759168 1.0002755715 1.0002752261 1.0002748806 1.0002745350 1.0002741892 1.0002738433 1.0002734973 1.0002645371 1.0002641982 1.0002638592 1.0002635201 1.0002631808 1.0002628415 1.0002625020 1.0002621624 1.0002618227 40 257907.143 6332357.332 1.0003226376 90 268376.227 6332610.938 1.0002614829 Continúa en página siguiente 190 ID Este Norte Def Escala ID Este Norte Def Escala 41 42 43 44 45 46 47 48 49 259452.804 259513.566 259574.365 259635.201 259696.073 259756.983 259817.929 259878.912 259939.932 6354802.546 6352314.398 6349826.242 6347338.079 6344849.909 6342361.732 6339873.548 6337385.356 6334897.158 1.0003134695 1.0003131056 1.0003127416 1.0003123775 1.0003120132 1.0003116489 1.0003112844 1.0003109197 1.0003105550 91 92 93 94 95 96 97 98 99 269945.770 270003.877 270062.019 270120.196 270178.408 270236.656 270294.939 270353.257 270411.611 6355053.119 6352565.059 6350076.991 6347588.916 6345100.834 6342612.744 6340124.647 6337636.543 6335148.431 1.0002525759 1.0002522431 1.0002519102 1.0002515772 1.0002512440 1.0002509108 1.0002505774 1.0002502440 1.0002499104 50 260000.989 6332408.952 1.0003101901 100 270470.000 6332660.312 1.0002495767 191 ANEXO Nº5 DETERMINACIÓN DE ARCOS GEODÉSICOS Y PROYECTADOS 192 Proyección GK1 Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) GK1 a 22394.376 22393.320 -1.056 1 18888.029 18887.382 -0.647 b 22394.304 22393.320 -0.984 2 18883.264 18882.616 -0.648 c 22394.239 22393.320 -0.919 3 18878.494 18877.847 -0.647 d 22394.171 22393.320 -0.851 4 18873.719 18873.075 -0.644 e 22394.107 22393.320 -0.787 5 18868.947 18868.300 -0.647 f 22394.050 22393.320 -0.730 6 18864.168 18863.522 -0.646 g 22393.989 22393.320 -0.669 7 18859.387 18858.741 -0.646 h 22393.935 22393.320 -0.615 8 18854.601 18853.957 -0.644 i 22393.881 22393.320 -0.561 9 18849.815 18849.170 -0.645 j 22393.827 22393.320 -0.507 10 18845.025 18844.381 -0.644 Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección GK2 Arco Meridiano Arco Meridiano Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) GK2 a 22399.976 22393.320 -6.656 1 18892.354 18887.382 -4.972 b 22399.797 22393.320 -6.477 2 18887.584 18882.616 -4.968 c 22399.621 22393.320 -6.301 3 18882.809 18877.847 -4.962 d 22399.447 22393.320 -6.127 4 18878.034 18873.075 -4.959 e 22399.276 22393.320 -5.956 5 18873.255 18868.300 -4.955 f 22399.107 22393.320 -5.787 6 18868.473 18863.522 -4.951 g 22398.942 22393.320 -5.622 7 18863.690 18858.741 -4.949 h 22398.777 22393.320 -5.457 8 18858.902 18853.957 -4.945 i 22398.615 22393.320 -5.295 9 18854.109 18849.170 -4.939 j 22398.457 22393.320 -5.137 10 18849.319 18844.381 -4.938 193 Proyección LTM1 Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) LTM1 a 22393.269 22393.320 0.051 1 18887.303 18887.382 0.079 b 22393.252 22393.320 0.068 2 18882.537 18882.616 0.079 c 22393.242 22393.320 0.078 3 18877.767 18877.847 0.080 d 22393.233 22393.320 0.087 4 18872.995 18873.075 0.080 e 22393.224 22393.320 0.096 5 18868.219 18868.300 0.081 f 22393.215 22393.320 0.105 6 18863.441 18863.522 0.081 g 22393.206 22393.320 0.114 7 18858.661 18858.741 0.080 h 22393.206 22393.320 0.114 8 18853.877 18853.957 0.080 i 22393.206 22393.320 0.114 9 18849.091 18849.170 0.079 j 22393.215 22393.320 0.105 10 18844.301 18844.381 0.080 Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección LTM2 Arco Meridiano Arco Meridiano Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) LTM2 a 22394.264 22393.320 -0.944 1 18887.937 18887.382 -0.555 b 22394.196 22393.320 -0.876 2 18883.169 18882.616 -0.553 c 22394.124 22393.320 -0.804 3 18878.399 18877.847 -0.552 d 22394.061 22393.320 -0.741 4 18873.627 18873.075 -0.552 e 22393.998 22393.320 -0.678 5 18868.850 18868.300 -0.550 f 22393.935 22393.320 -0.615 6 18864.071 18863.522 -0.549 g 22393.881 22393.320 -0.561 7 18859.292 18858.741 -0.551 h 22393.822 22393.320 -0.502 8 18854.508 18853.957 -0.551 i 22393.770 22393.320 -0.450 9 18849.721 18849.170 -0.551 j 22393.719 22393.320 -0.399 10 18844.930 18844.381 -0.549 194 Proyección MTM1 Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) MTM1 a 22392.135 22393.320 1.185 1 18886.140 18887.382 1.242 b 22392.065 22393.320 1.255 2 18881.376 18882.616 1.240 c 22392.000 22393.320 1.320 3 18876.606 18877.847 1.241 d 22391.933 22393.320 1.387 4 18871.834 18873.075 1.241 e 22391.870 22393.320 1.450 5 18867.059 18868.300 1.241 f 22391.811 22393.320 1.509 6 18862.280 18863.522 1.242 g 22391.748 22393.320 1.572 7 18857.499 18858.741 1.242 h 22391.694 22393.320 1.626 8 18852.715 18853.957 1.242 i 22391.640 22393.320 1.680 9 18847.930 18849.170 1.240 j 22391.591 22393.320 1.729 10 18843.139 18844.381 1.242 Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección MTM2 Arco Meridiano Arco Meridiano Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) MTM2 a 22391.145 22393.320 2.175 1 18885.508 18887.382 1.874 b 22391.127 22393.320 2.193 2 18880.742 18882.616 1.874 c 22391.118 22393.320 2.202 3 18875.974 18877.847 1.873 d 22391.100 22393.320 2.220 4 18871.202 18873.075 1.873 e 22391.091 22393.320 2.229 5 18866.427 18868.300 1.873 f 22391.091 22393.320 2.229 6 18861.649 18863.522 1.873 g 22391.082 22393.320 2.238 7 18856.869 18858.741 1.872 h 22391.082 22393.320 2.238 8 18852.086 18853.957 1.871 i 22391.082 22393.320 2.238 9 18847.300 18849.170 1.870 j 22391.082 22393.320 2.238 10 18842.511 18844.381 1.870 195 Proyección UTM Arco Meridiano Arco Meridiano Arco Paralelo Arco Paralelo Proyección Columna Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) Fila Proyectado (m) Geodésico (m) Diferencia (m) UTM a 22401.432 22393.320 -8.112 1 18893.193 18887.382 -5.811 b 22401.149 22393.320 -7.829 2 18888.416 18882.616 -5.800 c 22400.865 22393.320 -7.545 3 18883.641 18877.847 -5.794 d 22400.583 22393.320 -7.263 4 18878.860 18873.075 -5.785 e 22400.303 22393.320 -6.983 5 18874.076 18868.300 -5.776 f 22400.026 22393.320 -6.706 6 18869.290 18863.522 -5.768 g 22399.752 22393.320 -6.432 7 18864.501 18858.741 -5.760 h 22399.480 22393.320 -6.160 8 18859.710 18853.957 -5.753 i 22399.211 22393.320 -5.891 9 18854.914 18849.170 -5.744 j 22398.943 22393.320 -5.623 10 18850.117 18844.381 -5.736 196 ANEXO Nº6 DIAGRAMA DE FLUJO METODOLOGÍA 197 Determinación área de estudio Determinación de puntos muestrales Definición de proyecciones Proyección de puntos muestrales Segmentos lineales y geodésicos Determinación de factores “K” Coeficiente de correlación Determinación de tolerancias Escala de representación según proyecciones TM Caso general Deformación según diferencia ElipsoidePlano TM Caso particular Deformación según diferencia de factores “K” Deformación según diferencia PTL-plano TM 198 CAPITULO 11 BIBLIOGRAFÍA IPGH, Revista Cartográfica Nº70, Proyecciones Cartográficas Conformes, Enero-Junio 2000. Hosmer G, Geodesy, Segunda edición 1930, ed John Wiley & Sons, Inc, EE.UU, 461pp. Ministerio de Obras Públicas (MOP), Manual de Carreteras, Volumen II, Ingeniería básica aspectos geodésicos y topográficos, Santiago, Chile, 2001. Romero L, Maulén V, Sistema de proyección local transversal de Mercator y uso de planos topográficos locales aplicados a la ingeniería, Universidad de Santiago, Facultad de ingeniería, Departamento de ingeniería geográfica, Santiago, Chile, 2001. Borre, K, Elipsoidal geometry and conformal mapping, Edición revisada, Abril 2003. Martín Asin F, Geodesia y cartografía matemática, 1990, ed Parainfo, Tercera edición, Madrid, España. Blanchut, T, Chrzamowsky, A, Saastamoinen, J, Cartografía y Levantamientos Urbanos, 1979, ed. Springer-Verlag New York. Inc., New York, EE.UU. Izaurieta, R, Alcances relativos a la representación conforme del territorio nacional, racionalización de las operaciones cartográficas, Instituto Profesional de Santiago, Carrera de Cartografía, Santiago, Chile, 1982. Rapp, R, Geodesia Geométrica, Volumen I, Servicio Geodésico Interamericano DMAIAGS, departamento de Ciencias Geodésicas, Universidad Estatal de Ohio, EE UU, 1981. Vanicek, P, Santos, M, Tenzer, R, Hernández-Navarro, A, Algunos aspectos sobre alturas ortométricas y normales, Revista Cartográfica Nº76-77, Enero-Diciembre 2003. Spiegel, M, Estadística, 1988, ed Mc Graw-Hill, segunda edición, Madrid, España. 199 Gripp, J, Estudio comparativo de deformaciones en diferentes regiones del sistema UTM y LTM, Paper profesional, Universidad federal de Vicosa, Departamento de ingeniería civil, Sector de ingeniería en agrimensura. Sabber, G, Satellyte Geodesy, Fundations, methods and applications, 2003, Nueva York, EE.UU. Zepeda, R, Geodesia Geométrica, Apuntes de clases, 2004, Santiago, Chile. http://www.posc.org/Epicentre.2_2/DataModel/ExamplesofUsage/eu_cs34h.html http://www.gpsglobal.com.br/Artigos/sisref.pdf 200