ALGEBRA LINEAL
Base De Espacios Vectoriales
Subespacios Vectoriales
Base De Espacios Vectoriales
Definiciones Abstractas:
Sea (𝑽, 𝑹, +, ▪) un e.v y 𝑩 ⊆ 𝑽
B es base de e.v V, si y solamente si, B es :
LI y B genera al e.v V
Ejemplo
› Recordando: Los vectores e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1) forman una base para
𝑅2 , los vectores e1, e2 y e3 forman una base para 𝑅3 y, en general, los
vectores e1, e2, . . . ,en forman una base para 𝑅𝑛 . Cada uno de estos
conjuntos de vectores se llama base natural, base estándar o base
canónica para R2, R3 y Rn, respectivamente.
Ojo los vectores que forman una base son distintos entre ello y no nulos.
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Ejemplo 1
› Muestre que el conjunto S = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 }, donde 𝑣1 = (1, 0, 1,
0), 𝑣2 = (0, 1, −1, 2), 𝑣3 = (0, 2, 2, 1) y 𝑣4 = (1, 0, 0, 1), es una
base para 𝑅4 .
Solución: Para mostrar que S es linealmente independiente,
formamos la ecuación o realizamos el determínate.
𝑐1 𝑣1 + 𝑐2 𝑣2 + 𝑐3 𝑣3 + 𝑐4 𝑣4 = 0
La cual tiene como única solución que 𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 𝑐4 = 0,
indicando que S es linealmente independiente.
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› Para mostrar que S genera a 𝑅4 , sea 𝒗 = (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) un vector
cualquiera de 𝑅4 . Debemos encontrar constantes 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4
tales
𝑘1 𝑣1 + 𝑘2 𝑣2 + 𝑘3 𝑣3 + 𝑘4 𝑣4 = 𝑣
› Cuando se sustituyen 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 y 𝒗 , es siempre posible
hallar una solución para 𝑘1 , 𝑘2 , 𝑘3 , 𝑘4
del sistema lineal
resultante, para cualesquiera a, b, c, d; por lo tanto, S genera a
𝑅4 . Se concluye así que S es una base para R4.
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Ejemplo 2
› Demuestre que el conjunto S = {𝑡 2 + 1, t – 1, 2t + 2} es una base
para el espacio vectorial 𝑃2
Se desarrolla la matriz de forma escalonada aumentada al vector de
𝑃2 así:
1 −1 2 𝑎
0 1 2 𝑏
1 0 0 𝑐
Entonces 𝑎1 = 𝑐, 𝑎2 =
que S genera a V
𝑏−𝑎+𝑐
, 𝑎3
2
=
𝑏+𝑎−𝑐
,
4
se puede decir
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Primera opción:
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Si aplico el determínate a los vectores del conjunto S, se dice que 4≠0,
entonces S es linealmente Independiente (LI) y por consiguiente es un
sistema compatible determinado SCD
Segunda opción:
También se puede desarrollar la matriz de la forma escalonada con la
matriz aumentada así:
1 −1 2
0 1 2
1 0 0
0
0
0
Verificando que 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 0, 𝑎3 =0, entonces se puede decir que Se dice
que S es linealmente Independiente (LI) y por consiguiente es un sistema
compatible determinado SCD
Subespacios Vectoriales
Primera opción:
Base De Espacios Vectoriales
Si aplico el determínate a los vectores del conjunto S, se dice que 4≠0, entonces S
es linealmente Independiente (LI) y por consiguiente es un sistema compatible
determinado SCD
Segunda opción:
También se puede desarrollar la matriz de la forma escalonada con la matriz
aumentada así:
1 −1 2 0
0 1 2 0
1 0 0 0
Verificando que 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 0, 𝑎3 =0, entonces se puede decir que Se dice que S
es linealmente Independiente (LI) y por consiguiente es un sistema compatible
determinado SCD
En consecuencia S es base de 𝑷𝟐.
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Ejemplo 3
Si p(x) =𝒙𝟐 + 𝟏 y B={ p(x), p´(x), p´´(x) } entonces verifique que B
es base del espacio vectorial.
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Ejemplo 3
› Determine una base para el subespacio de P2, formado por los
vectores de la forma 𝑎𝑡 2 + 𝑏𝑡 + 𝑐, donde 𝑐 = 𝑎 – 𝑏.
