TeoriaExercicisResoltsPerTemes

Departament d'ESAII
320015 Control i Automatització Industrial
Exercicis resolts separats per temes
Les àrees temàtiques de l'assignatura fan molt difícil separar per temes el total de la matèria de
la part de control CAI arran de la seva imbricació; com a conseqüència d'aquest fet, es presenta
un document que separa en dos grans temes l'assignatura. Podria considerar-se que el primer
tema tracta els exercicis relacionats amb la modelització de la planta a controlar i el segon sobre
el sistema de control realimentat que regula aquesta planta o procés.
Contingut
Modelat de sistemes dinàmics, linealització, funció de transferència i resposta temporal..................2
Realimentació. Estabilitat, precisió i sintonia de reguladors lineals PID...........................................27
Pàgina 1 de 32
Modelat de sistemes dinàmics, linealització,
funció de transferència i resposta temporal
1.
Sigui el sistema mecànic de la figura; la
massa està unida elàsticament a l'estructura que
la conté a través de dues molles K 1, K 2 i dos
esmorteïdors B 1, B2 . La roda presenta un
fregament dinàmic amb el terra amb coeficient
B3 .
Se't demana:
a) (2 punts) Determina les equacions
diferencials (o diagrama de blocs) que descriuen el comportament horitzontal d’aquest sistema
considerant com a entrada la força f (t) i com a sortida la posició de la massa x (t ) .
d2 x (t)
dt 2
dx (t)
d2 x (t)
f (t)−(K 1 + K 2) x (t)−( B1+ B2 + B3 )
=M
2
dt
dt
f (t)−f K −f K −f B −f B −f B =M
1
2
1
2
3
Alternativament, es pot representar el comportament del sistema en forma de diagrama de blocs....
b) (1 punt) Determina la funció de transferència X (s )/ F ( s )
Ja sigui a través de la simplificació del diagrama o de les equacions es pot arribar a la funció de
transferència:
F( s)−( K 1 + K 2 ) X (s )−(B1 + B2 +B 3)· s·X (s)=M·s2 · X ( s)
F (s)=M·s2 · X ( s)+(B 1+ B2 + B3) · s·X (s)+(K 1 + K 2) X (s)
X (s )
1
=
2
F (s) M·s +( B1 + B2+ B3 )· s+( K 1 + K 2)
X (s)
1
Assumint ara que la funció de transferència del sistema és:
= 2
F( s) Ms +( B1 + B2 +B 3)s +(K 1+ K 2 )
c) (2 punts) Es coneixen els paràmetres B 1=B 2=50, B3 =25, K 1 =7 en les unitats que
correspon. Determina el valor de K 2 sabent que davant una força d'entrada de 20N el sistema es
Pàgina 2 de 32
desplaça 2 metres en règim permanent.
f ( t)=20 h( t)→F (s)=20 /s
x (t →∞)=lim s →0 sX ( s)
X (s) 20
x (t→∞)=lim s →0 s·
·
F (s) s
1
20
x (t→∞)=lim s →0 s·
·
2
M·s +(B1 + B2+ B 3) · s+(K 1 + K 2) s
20
20
x (t →∞)=
=
=2→ K 2=3
K 1 + K 2 7+ K 2
2. Sigui el sistema mecànic de la figura. Un ganxo
es troba unit elàsticament amb una molla K a una
massa M amb rodes que es mou entre dues guies;
existeix fregament dinàmic entre les rodes i les guies
amb coeficients B 1, B2, B3, B 4 .
Se't demana:
a) (2 punts) Determina les equacions
diferencials (o diagrama de blocs) que descriuen
el comportament horitzontal d’aquest sistema
considerant com a entrada la posició x (t ) i
com a sortida la posició de la massa y (t) .
f (t)=K (x (t)− y (t))
d 2 y (t)
f (t)−f B −f B −f B −f B =M
dt 2
dy (t)
d2 y (t)
K ( x (t)− y (t))−(B1 + B2 +B 3+ B 4 )
=M
2
dt
dt
1
2
3
4
El diagrama de blocs alternatiu és:
b) (1 punt) Determina la funció de transferència
Y ( s )/ X ( s)
Ja sigui a través de la simplificació del diagrama o de les equacions es pot arribar a la funció de
transferència:
K ( X (s)−Y (s))−( B1 +B 2+ B3 + B4 )s Y (s)=M· s 2 Y ( s)
K X ( s)=KY ( s)+( B1 + B2 +B 3+ B 4) s Y (s)+ M· s 2 Y ( s)
Y (s)
K
=
2
X (s) M·s +(B 1+ B2 + B3 +B 4 )· s +( K )
Pàgina 3 de 32
Y ( s)
K
= 2
X (s) Ms +( B1 + B2 +B 3+ B 4) s+ K
c) (2 punts) Es coneix que B 1=B 2=B3=B4 . Sabent que M =100, K=10 en les unitats
que correspon, determina el valor dels paràmetres B 1=B 2=B3=B4 si davant una entrada d'1
Assumint ara que la funció de transferència del sistema és:
metre el sistema respon amb un sobreimpuls d'1.2 metres.
(ln 0.2)2
1.2
=0.456
−1=0.2 . D'aquí es pot obtenir ξ= 2
1.0
π +( ln0.2)2
K
k ω 2N
Y ( s)
M
=
=
X (s) 2 ( B1 + B2+ B 3+ B 4)
K s2 +2 ξ ω N s+ω 2N
s+
s+
M
M
Com que es coneixen ω N = √ K /M = √ 10 /100=0.316
√
Mp=
L'enunciat indica el valor de
Finalment,
2 ξ ω N =2 · 0.456 · 0.316=0.288=
B1 + B2 + B3+ B 4 B1 + B2 +B 3+ B 4
=
→ B1=B 2=B3=B4 =28.8/ 4=7.2
M
100
3. Donat
el filtre passiu de la figura
adjunta se't demana:
a) Determina les equacions diferencials o
bé
el
diagrama
de
blocs
elementals
considerant el voltatge
com a
v i (t )
entrada i v o (t) com a sortida.
Segons la llei de Kirchhoff:
v i (t )−v R (t)−v C (t )=v 0 (t ) ; v i( t)−R1 i(t)−
1
1
El voltatge de sortida
C2 :
v R (t)=v C (t)=v 0 (t )
2
1
i(t )dt=v 0 (t)
C1 ∫
és el mateix que el de
v 0 (t )
R2
o el de
2
R1 és el mateix que el que passa per
El corrent que passa per
C1
i 1 , que passa per
C2 , i i 2 , que passa
i es bifurca en
per R2 : i(t)=i 1 (t)+i 2 (t)
i 1( t) i
v 0 (t ) :
i 2( t)=
i 2( t)
es poden posar en funció de la tensió de sortida
v 0 (t)
dv (t)
v (t)
dv (t )
; i1 (t )=C 2 0
; i(t )= 0 +C 2 0
R2
dt
R2
dt
Amb la qual cosa l'equació diferencial original resulta ser:
v i (t )−R1
(
v 0 (t)
dv (t)
v 0 (t)
dv (t)
1
+C 2 0
−
+ C2 0
dt =v 0 (t )
∫
R2
dt
C1
R2
dt
)
(
Pàgina 4 de 32
)
Alternativament, el diagrama de blocs del sistema és:
V o ( s)
a partir de les
V i ( s)
equacions diferencials o bé a partir de la reducció del diagrama
de blocs.
b) Determina la funció de transferència
Es pot procedir mitjançant la simplificació del diagrama de blocs
R2
anterior tot sumant els blocs de la resistència
i el
C2
condensador
que es troben el paral·lel al diagrama i
multiplicant el resultat amb la suma dels blocs en paral·lel
R1, C1 , ja que un conjunt es troba en cascada amb l'altre a la
cadena de realimentació negativa.
V 0 (s)
R2 C 1 s
=
El resultat final és: G(s)=
2
V i (s) R 1 R2 C1 C2 s +( R1 C1 + R2 C1 + R2 C2 ) s+1
Resultat al que s'arriba si es passa al domini de Laplace
l'equació
diferencial
anteriorment
determinada:
C2
R
1
1
V i ( s)=V 0 ( s) 1+ +
+ + R1 C 2 s
C1 R2C1 s R2
Traient
denominador
comú....
2
R R C C s +(R1 C 1 + R2 C 1 + R2 C 2 ) s+1
V i ( s)=V 0 ( s) 1 2 1 2
R2 C 1 s
[
[
]
]
D'on
es
desprèn
V 0 (s)
R2 C 1 s
G(s)=
=
V i (s) R 1 R2 C1 C2 s 2 +( R1 C1 + R2 C1 + R2 C2 ) s+1
Pàgina 5 de 32
fàcilment
que:
4. Un home forçut vol desplaçar manualment tres camions mitjançant tres cordes lligades a una barra que
estira amb les seves mans i que estan lligades a la part davantera dels tres camions. Cada corda es comporta
com una molla (amb constants diferents K1, K2 i K3), els camions tenen masses diferents (M1, M2 i M3) i
les seves rodes tenen coeficients de fregament dinàmic diferent (B1, B2 i B3). L'home aconsegueix
desplaçar-se amb la barra a una distància x (t ) .
x(t)
K1
K2
K3
Home forçut tibant dels tres camions
Considerant com a entrada la posició
y1(t)
yi(t)
M1,B1
y2(t)
Mi
M2,B2
y3(t)
B
M3,B3
Vista superior del problema
i
Fregament dinàmic de
les rodes amb el terra
Detall del camió i-èssim
x (t ) de l'home (amb la barra), es demana:
a) (2 punts) obtenir les equacions diferencials lineals o el diagrama de blocs elementals del
procés que lliguen la distància del forçut x (t ) amb els desplaçaments del tres camions (
y 1 (t ), y 2 (t ), y 3 (t) )
Els tres camions es desplacen de forma independent. La força que els fa moure és proporcional al
desplaçament entre els extrems de la molla (corda) i es pot escriure el balanç de forces segons:
dy 1 (t)
d 2 y 1 (t)
dy 2 (t)
d 2 y 2 (t)
=M 1
;
K
(x
(t)−
y
(t
))−B
=M
2
2
2
2
dt
dt
dt 2
dt 2
dy 3 (t)
d 2 y 3 (t )
K 3 (x (t)− y 3 (t))−B 3
=M 3
dt
dt 2
K 1 (x (t)− y1 (t))−B1
Alternativament, el diagrama de blocs de cada camió és:
Y 1 (s) Y 2 (s) Y 3 (s)
,
,
del procés
X ( s) X ( s) X ( s)
Ja sigui via reducció dels diagrames de blocs aniuats per cada
b) (2 punts) obtenir les funcions de transferència
Pàgina 6 de 32
camió o bé passant a Laplace les equacions diferencials per
cadascun
d'ells
s'arriba
a
les
funcions
de
transferència
demanades:
Y 1(s )
K1
=
2
X (s) M 1 s + B 1 s+ K 1
K 1 (X ( s)−Y 1 (s))−B1 s Y 1 (s)=M 1 s 2 Y 1 ( s)
Y 2 (s)
K2
=
K 2 (X ( s)−Y 2 (s ))−B2 s Y 2(s)=M 2 s2 Y 2 (s) →
2
X ( s) M 2 s + B 2 s + K 2
K 3 (X ( s)−Y 3 (s ))−B3 s Y 3 (s )=M 3 s 2 Y 3 (s)
Y 3 (s )
K3
=
2
X ( s ) M 3 s + B 3 s+ K 3
5. Donat
el sistema mecànic
de la figura adjunta se't
demana:
a.(2.5
punts)
Les
equacions diferencials del
sistema o bé dibuixar el
diagrama
de
blocs
elementals considerant que
l'entrada
es
la
força
i
la
sortida
és
la
f (t)
posició x 2( t) (de la massa
M2 )
en
funció
dels
paràmetres:
K 1, K 2, M 1, M 2, B1, B 2 .
El
balanç
de
forces
sobre
la
d x 1 (t)
f (t)−f B (t)−f B (t )−f K (t)=M 1
essent
dt 2
d ( x 1 (t)−x 2 (t ))
dx (t)
f B (t)=B1
; f K (t )=K 2 x 1 (t ) ; f B (t)=B 2 1
dt
dt
massa
2
1
2
2
1
2
2
El balanç de forces sobre la massa
essent
M2 :
d 2 x2 (t )
f B (t)−f K (t )=M 2
dt 2
f K (t )=K 1 x 2 (t )
1
Alternativament, en forma de diagrama de blocs:
Pàgina 7 de 32
1
1
M1 :
b.- (2.5 punts) Obtenir la funció de transferència
a
X 2 ( s)/ F (s)
partir de la simplificació de les equacions laplacianes o del
diagrama de blocs elementals precedent.
Les equacions laplacianes del sistema a modelitzar són (amb
condicions inicials nul·les) sobre la massa 1:
F( s)−F B (s )−F B ( s)−F K (s)=M 1 s2 X 1 (s )
F( s)−B1 s ( X 1 ( s)− X 2 (s ) )−B2 s X 1(s)−K 2 X 1(s)=M 1 s 2 X 1 (s )
i sobre la massa 2:
F B ( s)−F K (s)= M 2 s 2 X 2 (s )
1
1
2
2
1
B 1 s ( X 1 ( s)− X 2 (s) )−K 1 X 2 (s)=M 2 s 2 X 2 (s)→ B1 s X 1( s)=X 2 (s) ( M 2 s2 + B1 s+ K 1)
Si es substitueix la segona equació convenientment a la primera:
M s2 + B1 s+ K 1
2
X 1 ( s)= X 2 (s) 2
→→ F (s )−B1 s X 1 (s)+ B1 s X 2(s)−B 2 s X 1 (s)−K 2 X 1 (s)=M 1 s X 1 (s)
B1 s
S'arriba a la funció de transferència a la que també s'hagués
arribat reduint el diagrama de blocs:
X 2 ( s)
B1 s
=
4
3
F( s) M 1 M 2 s +( M 1 B1 + M 2 B2 + M 2 B1 )s +(B 1 B2 + M 1 K 1 + M 2 K 2 ) s 2+(B 1 K 2 + B2 K 1+ K 1 B 1)s + K 1 K 2
(
6. Donat
)
el sistema mecànic de la figura adjunta se't demana:
a.- (2.5 punts)
O
bé
les
equacions
diferencials del
sistema
o
bé
dibuixar
el
diagrama
de
blocs elementals
considerant
que
l'entrada es la
força f (t) i la
sortida
és
la
posició
x 2( t)
(de la massa M 2 ) en funció dels paràmetres:
K 1, K 2, K 3 M 1, M 2, B 1 .
d 2 x 2 (t)
Sobre la massa 2: f (t)−f K (t)−f K (t)−f K (t )=M 2
dt 2
essent f K (t )=K 1 x 2 (t ) ; f K (t)=K 3 x 2 (t) ; f K (t)=K 2 [x 2 (t)−x1 (t )]
d 2 x 1 (t)
Sobre la massa 1: f K (t )−f B (t )=M 1
dt 2
dx 1( t)
essent f B (t )=B1
dt
1
1
3
3
2
2
2
1
1
Alternativament, el diagrama de blocs del sistema és:
Pàgina 8 de 32
b.- (2.5 punts) Obtenir la
partir de la simplificació
diagrama de blocs elementals
Ja sigui reduint el diagrama
equacions laplacianes es pot
X 2 ( s)/ F (s) .
funció de transferència
a
X 2 ( s)/ F (s)
de les equacions laplacianes o del
precedent.
de blocs o bé manipulant les
arribar a la funció de transferència
X 2 (s )
M 1 s 2 +B 1 s+ K 2
=
F (s) M 1 M 2 s 4 + M 2 B1 s 3 +(K 1 M 1+ K 3 M 1 + K 2 M 2 ) s2 +(B 1 K 1 + B1 K 3 ) s+( K 1 K 2+ K 2 K 3 + K 2 )
Pàgina 9 de 32
7. Donat
el sistema hidràulic de la figura adjunta se't demana:
a.(2.5
punts)
Les
equacions diferencials del
sistema o bé dibuixar el
diagrama
de
blocs
elementals considerant que
l'entrada
es
el
cabal
i la sortida és el
q (t )
nivell de líquid
h2 (t)
(del segon dipòsit) en
funció
dels
paràmetres:
A 1, A2, A3 . Considera que
les vàlvules de sortida
dels
dipòsits
ofereixen
una resistència lineal al
pas del cabal R1 , R 2 , R3 .
Sobre
el
primer
dipòsit,
el
balanç
de
cabals
és:
dh 1
h1 (t)−h 2 (t)
essent q 1( t)=h1 (t )/R 1 i q 12(t )=
q (t)−q 1 (t)−q12 (t)= A 1
R12
dt
dh
Sobre el segon tanc: q 12(t )−q 2(t )= A2 2 essent q 2( t)=h2 ( t)/R 2
dt
No cal estudiar el tercer tanc ja que no afecta el comportament d'
h2 (t) ja que s'alimenta de caigudes de líquid lliures, sense que
els tancs 1 i 2 estiguin interconnectats amb el propi tanc 3.
El diagrama de blocs alternatiu és:
b.- Obtenir la funció de transferència
H 2 (s )/Q(s ) a partir de la
simplificació de les equacions laplacianes o del diagrama de blocs
elementals precedent.
Es procedirà en primer lloc a transformar (Laplace) les equacions
diferencials anteriors en equacions algèbriques per poder aplicar
el càlcul operacional de Heaviside.
H 1 (s) H 1 ( s)−H 2 (s)
H 1 (s )−H 2 ( s) H 2 (s)
−
= A1 s H 1 (s) i
−
=A 2 s H 2 ( s)
R1
R12
R12
R2
Aïllant
de la segona expressió i substituint-la a la
H 1 (s )
primera s'arriba a una sola equació on apareixen només
i
Q(s)
H 2 (s ) , entrada i sortida respectivament del sistema a modelitzar.
D'aquesta manera es conclou que la funció de transferència és:
Q(s)−
Pàgina 10 de 32
H 2( s)
R1 R22
=
Q( s) [ A2 R 1 R22 ] s+ R1 R2+[ A 1 R 1 R2 s +( R 2)]·[ A 2 R2 R12 s+( R2 + R12)]
H 2 (s)
R1 R22
=
Q( s) [ A1 A 2 R1 R22 R 12] s2 +[ A2 R1 R 22+ A 1 R1 R 22+ A 1 R1 R2 R 12+ A2 R12 R22 ] s+[R1 R2 + R22 + R2 R 12]
Alternativament, es pot reduir el diagrama de blocs per arribar al
mateix resultat anterior:
8. Donat el sistema elèctric de la
figura, se't demana:
a) (2 punts) Determina les
equacions
diferencials o el
diagrama de blocs elementals
que
descriuen
el
sistema
Considerant que l'entrada és el
voltatge u(t) i la sortida la tensió
y(t) en el condensador.
u (t)−v L (t)−v C 1 (t)−v R (t)−v C 2 (t)=0
di(t) 1
u(t)−L
− ∫ i(t )−R i(t)− y ( t)=0
La llei de Kirchhoff permet muntar el sistema:
dt
C1
1
y (t )= ∫ i(t)
C2
Pàgina 11 de 32
O bé es pot representar el diagrama de blocs simples:
Y (s )
U (s )
U ( s)−V L ( s)−V C 1( s)−V R ( s)−V C 2 (s)=0
I ( s)
U (s )−L·s·I ( s)−
−R I (s )−Y (s)=0
Les equacions anteriors passades a Laplace:
C1 s
I ( s)
Y (s)=
→C2 s Y (s )=I (s)
C2 s
b) (2 punts) Obtenir la funció de transferència
Operant.....
C2 s Y (s )
−R C 2 s Y (s)−Y (s )=0
C1 s
C
U ( s)= LC 2 s 2+ 2 + R C 2 s+1 Y (s)
C1
U ( s)−L·s· C 2 s Y (s)−
(
)
LC 1 C 2 s2 +C 2+ R C 1 C 2 s+ C1
U (s )=
Y ( s)
C1
(
)
S'arriba finalment a la funció de transferència:
C1
Y (s)
=
2
U (s ) LC 1 C2 s +C2 + R C 1 C 2 s+C 1
També es podia haver arribat a obtenir la funció de transferència a partir de la reducció del diagrama.
Pàgina 12 de 32
9. Donat el sistema elèctric de la figura se't
demana:
a) (2 punts) Determina les equacions
diferencials o el diagrama de blocs
elementals que descriuen el sistema.
La llei de Kirchhoff permet escriure el
següent sistema d'equacions diferencials:
u (t)−v R (t)−v L (t)= y (t)
dy (t)
C2
=i(t)
dt
i(t)=i R (t)+i C 1(t)
1
v R (t)=v C 1 (t)=Ri R (t)= ∫ iC 1 (t )
C1
di(t)
v L (t)=L
dt
Alternativament, es pot representar
el diagrama de blocs:
b) (2 punts) Obtenir la funció de transferència
Y (s )
U (s )
U (s)−V R (s)−V L ( s)=Y (s )
C2 sY ( s)=I (s )
I (s )=I R (s)+ I C 1 (s)
Les equacions passades al domini de Laplace:
1
V R (s )=V C 1 (s )=R·I R (s)=
I (s )
C1 s C
V L (s)=LsI (s)
1
i simplificant s'obté la funció de transferència:
I ( s)−I R (s )=I C1 (s)
1
V R (s )=V C 1 (s )=R·I R (s)=
(I (s)−I R (s))
C1 s
1
1
R·I R ( s)=
( I (s )−I R (s)) → I R ( s)=
I ( s)
C1 s
1+ RC 1 s
C sY (s )
C 2 sY ( s)=I (s) → U (s )−R· 2
−LC 2 s 2 Y ( s)=Y (s )
1+ RC 1 s
LC2 (1+ RC 1 s )s2 + R·C 2 s +( 1+ RC 1 s)
1+ RC 1 s
RC 1 s+1
RC 1 s +1
Y (s )
=
=
2
3
U (s ) LC 2( 1+ RC 1 s) s + R·C 2 s+(1+ RC 1 s) RLC 2 C 1 s + LC 2 s 2+ R (C 1+C 2) s +1
U (s )=Y (s)
(
)
Pàgina 13 de 32
10. Donat el sistema hidràulic de la figura adjunta
se't demana:
a.- Les equacions diferencials del sistema o bé
dibuixar el diagrama de blocs elementals
considerant que l'entrada es el cabal qi ( t) i la
h3 (t )
sortida és el nivell de líquid
(del tercer
dipòsit) en funció dels paràmetres A 1 , A 2 , A3
que són les seccions constants de cada tanc i
R1 , R2 , R12 que són les resistències al pas de
l'aigua de cadascuna de les vàlvules (considera
que les vàlvules de sortida dels dipòsits ofereixen
una resistència lineal al pas del cabal).
Sobre el tanc número 2:
Sobre el tanc número 1:
dh2 (t )
qi ( t)−q 12( t)= A2
dt
dh (t)
q 12(t )−q 1(t)= A1 1
dt
Sobre el tanc número 3:
q 1( t)−q 2 (t )= A 3
dh 3 (t)
dt
Per calcular el cabal que va del tanc 2 a l'1 cal tenir en compte que es troben interconnectats:
q12 (t)=
h2 (t )−h1 (t)
R12
La resta de cabals tenen lloc en caiguda lliure:
q1 (t )=
h1 (t )
h3 (t)
; q 2 (t)=
R1
R2
Alternativament, es pot representar el diagrama de blocs del sistema de tancs:
b.- Obtenir la funció de transferència
H 3 (s)
a partir de la simplificació de les equacions
Q i(s)
laplacianes o del diagrama de blocs elementals precedent.
Es pot procedir tot simplificant el diagrama de blocs anterior:
Pàgina 14 de 32
Quedant, finalment, la funció de transferència, com a:
H 3 (s)
R2
=
3
Q i (s) [ A1 A 2 A 3 R1 R2 R12 ] s +[ A1 A 2 R 1 R12+ R1 R2 A 2 A 3 + A 1 A 3 R1 R2 + A 2 A 3 R2 R12 ]s 2+[ A 2 R1 + A1 R1 + A 2 R 12 + A3 R2 ]s +1
Resultat al que també es pot arribar passant les equacions diferencials a algebraiques a través de la
transformada de Laplace per poder-les substituir una dins l'altra de manera que en resulti una final on
només hi apareguin l'entrada
Q i (s ) i la sortida
H 3 (s) .
11. Sigui el sistema de dipòsits com el de la figura.
Considera que el cabal impulsat per la bomba
és directament proporcional
K bomba
F3
al nivell
h3 (t ) . Considera, òbviament, que cada sortida de
líquid dels dipòsits presenta una resistència al pas del
fluid i que seran anomenades R1, R2, R23 .
Se't demana:
a) (1.5 punts) Determinar les equacions
diferencials (o el diagrama de blocs elementals)
del sistema anterior considerant com a entrada el
cabal f (t) que entra al primer dipòsit i com a
sortida el nivell del segon dipòsit h2 (t) .
Pàgina 15 de 32
b) (1.5 punts) La funció de transferència
H 2 (s)/ F (s)
Pàgina 16 de 32
Pàgina 17 de 32
12. Sigui el vaixell
de
vela
transporta
embarcació
pesca
al
darrera:
que
una
de
seu
La força que es genera en el vaixell de vela és proporcional a l’àrea de la vela A i a la diferència entre la
velocitat del vent ( v a ) i la velocitat en el vaixell de vela ( v v ). La massa del vaixell de vela és M v ,
Bv i entre el vaixell de vela amb l’embarcació de pesca hi ha una corda que es
comporta com una molla ( K ). La massa de l’embarcació de pesca (comptant el pescador i la canya) és
M e , la fricció amb el mar és Be i el suro i l’ham de la canya de pescar fa una fricció amb el mar de
valor B p i la velocitat de l’embarcació de pesca és v e .
la fricció amb el mar és
Se't demana:
a) (1 punt) Determinar les equacions diferencials (o diagrama de blocs) que descriuen el
comportament d’aquest sistema considerant com a entrada la velocitat del vent v a ( t) i com a
sortida la velocitat de l'embarcació
v e (t) .
Pàgina 18 de 32
b) (1 punt) Determinar la funció de transferència
V e ( s)/ V a ( s)
Suposant que la funció de transferència de l'apartat precedent és, numèricament:
G(s )=
V e (s)
2
= 3
2
V a (s) 3 s +5 s +7 s+9
c) (1 punt) És possible que els peixos, que corren com màxim a 2 m/s, puguin seguir l’ham de la
canya de l’embarcació de pesca, si la velocitat del vent de cua és permanentment de 10 m/s?
Justifica la teva resposta.
Pàgina 19 de 32
13.
Un castell, format per un
primer nivell base amb tres
persones i un segon nivell format
per l’anxaneta, ha estat carregat.
Es considera que, inicialment, el
castell està en equilibri, com
mostra la figura.
La massa del primer nivell és
M 1 , i l’anxaneta del segon
nivell té una massa M 2 . Si es
considera que les cames de la
colla es comporten com si fossin
molles amb una constant K1 del
primer nivell respecte del terra i de
constant K2 entre les cames de
l’anxeneta i els cossos del primer
nivell. I si, com és lògic, el
moviment dels cossos de les
persones del primer nivell i de
l’anxaneta friccionen amb l’aire,
amb unes constants B1 pel primer nivell i B2 per l’anxaneta. Se't demana:
a) (1 punt) Determinar les equacions diferencials (o el diagrama de blocs elementals) del
moviment del castell considerant com a entrada la força u (t) que fa el pes de la copa que
l'alcalde li dóna a l'anxaneta i com a sortida el desplaçament y 2 (t) de l'anxaneta.
Pàgina 20 de 32
b) (1 punt) La funció de transferència
Y 2(s )/U ( s)
Si la funció de transferència precedent és, numèricament:
Y 2(s )
0.009
=
U (s) 7 s 4 +6 s 3+5 s 2+ 4 s+3
c) (1 punt) El castell farà llenya si l'anxaneta baixa 0.1 metres des de la seva posició d’equilibri.
Què passarà quan l’anxaneta rebi una copa de la mà de l'alcalde que porporciona una força u (t)
de 25N (2,5 Kg de massa si suposem que la gravetat és
castell o caurà i farà llenya? Justifica-ho.
Pàgina 21 de 32
g=10 m/s 2 ). Es mantindrà dempeus el
Pàgina 22 de 32
14. La figura representa el sistema de suspensió activa d’un vehicle mecànic que aplica una força
f a (t ) sobre la massa
M 1 per tractar de que aquesta massa tingui el menor moviment i oscil·lació
possibles, malgrat que l’altre extrem segueixi un cert perfil variable (
u (t) ). Sabent que la força
que s’aplica és la suma de dos termes, un que es proporcional al desplaçament (
M 1 i un altre que és proporcional a la seva velocitat (
f a (t )
x (t ) ) de la massa
dx (t )
):
dt
f a (t )=K p x (t)+ K d
dx ( t)
dt
Se't demana:
a) (1.5 punts) Obtenir les equacions diferencials o el diagrama de blocs elementals que lliguen les
variables
u (t) (perfil del camí),
M 1 ) en funció dels paràmetres
f a (t ) (la força del actuador) i la
K 1 , B1 i M 1
x (t )
(posició de la massa
Recordi's que l'entrada és una posició, el perfil del camí u(t):
K 1 ( u (t)−x (t ) )+ B1
(
2
du (t) dx (t)
dx (t)
d x (t )
−
−K p x (t )−K d
=M 1
dt
dt
dt
dt 2
)
O bé, en forma de diagrama de blocs:
Vegi's que, en realitat, la força
f a (t) és l'acció d'un controlador PD (proporcional+derivatiu).
b) (1.5 punts) Obtenir la funció de transferència
X ( s)
U ( s)
Pàgina 23 de 32
Ja sigui a través de la reducció de diagrames de blocs o bé a través de la simplificació de les equacions
laplacianes obtingudes a partir de les equacions diferencials s'arriba a la funció de transferència
X ( s)
U ( s)
U ( s) [ K 1+ B1 s ]=[ M 1 s 2+( B1 + K d ) s +( K 1 + K p ) ] X ( s)
K 1 + B1 s
X (s )
=
2
U (s) M 1 s +( B1 + K d )s +(K 1 + K p )
15. Sigui el sistema locomotora+vagó de la figura.
Se't demana:
a) Escriu les equacions diferencials o bé representa
el diagrama de blocs del sistema, considerant com
a entrada la força u(t) i com a sortida la
posició de la locomotora y 1 (t) .
El balanç de forces sobre la locomotora és...
u(t)−f K (t )−f b (t)=m1
1
i sobre el vagó...
1
d2 y1
dt 2
;
f K (t )−f b (t)=m2
1
2
f k (t )=K 1 ( y 1 (t)− y 2 (t)) ; f b (t)=b1
1
dy 1(t)
dt
d2 y2
dt
2
Alternativament, el diagrama de blocs:
b)
Obtenir la funció de transferència
Y 1 (s )
U ( s)
A partir de la simplificació del diagrama de blocs o bé de les equacions diferencials passades al domini de
Laplace es pot obtenir la funció de transferència buscada:
Y 1 (s )
M 2 s2 + B2 s+ K 1
=
U ( s) M 1 M 2 s 4 + M 1 B2 s 3 + M 1 K 1 s 2+ B 1 s+ K 1
Pàgina 24 de 32
16.
Sigui el sistema electro-mecànic de la figura. Determina les equacions diferencials o bé el
diagrama de blocs elementals que descriu el comportament dinàmic del procés entorn d'un punt
d'equilibri. En acabat, determina la funció de transferència Y(s)/U(s).
La tensió aplicada al motor és el voltatge d'entrada amplificat: V a (t)=K a ·u(t)
El model equivalent del motor indica que v a ( t)−v R ( t)−v L (t)−v b (t)=0 essent v b =K b ·ω (t)
la força contraelectromotriu, la qual és proporcional a la velocitat angular de gir del motor. Alerta
dy (t )
que la velocitat angular del motor es pot obtenir segons R·ω (t)=
dt
di(t)
Les caigudes de tensió al motor són: v R (t)=Ra ·i(t ) ; v L ( t)=La ·
dt
El parell desenvolupat pel motor és proporcional al corrent del motor: T (t)=K m · i(t)
El parell resistent que provoquen els fregaments B1...B4 de la part mecànica es pot escriure com:
dy (t)
T fregaments=R·( B1 + B2+ B 3+ B 4)
dt
Amb tot, es pot representar de forma alternativa el diagrama de blocs:
a
a
a
a
Pàgina 25 de 32
La funció de transferència es pot obtenir a partir de la reducció de diagrames de blocs o bé de les
equacions diferencials passades a Laplace i simplificades.
17. A un sistema de control realimentat P se li aplica una consigna graó d'amplitud 5 r(t)=5h(t);
determina quina és l'expressió temporal del senyal de resposta y(t) i de l'error de control e(t).
R(s) +
E(s)
U(s)
2
1/s
_
La funció de transferència del sistema realimentat resulta ser
de primer ordre, amb guany estàtic K=1 i
Gtancat =
τ=0.5 segons:
Y (s) C ( s)G (s )
2
1
=
=
=
R(s) 1+C (s) G(s ) s+2 0.5 s +1
La seva resposta y(t) està prou categoritzada i es representa a
la figura següent; observi's que als 0.5 segons el valor de la
sortida és 3.16 (el 63.2% del valor final de la resposta, que
arriba a 5).
Per conèixer l'error de control es treballa amb una funció de
transferència diferent,
E( s)
1
s
=
=
, o bé,
R( s) 1+C (s)G(s ) s+2
directament, es fa la diferència del senyal anterior amb un
graó d'amplitud 5. El resultat es mostra a la segona figura.
Observa que als
τ=0.5
segons el senyal val 1.84, fet
que indica que s'ha reduït en un 63.2% del valor inicial (10.632)*5=1.84.
Pàgina 26 de 32
Y(s)
Realimentació. Estabilitat, precisió i
sintonia de reguladors lineals PID
18. Sigui el sistema de control PD (proporcional-derivatiu) de la figura:
R(s)
Y(s) Y(s)
Se't demana:
a) (2 punts) Determina, analíticament, la regió del paràmetre
Kd
que fa estable el sistema realimentat
Y ( s )/ R( s) .
8
s + 8 s +(4 +8 K d ) s
80
Gdirecta (s)= 3
2
s +8 s +(4+ 8 K d )s
80
Gtotal = 3
2
s +8 s +(4+ 8 K d ) s+80
3
2
Polinomi característic: s +8 s +(4+ 8 K d ) s+80
Ginterior (s )=
3
2
Aplicant taula de Routh sobre polinomi característic:
[
1
4 +8 Kd
8
80
64 Kd−48
0
80
0
]
Les condicions per a l'estabilitat del sistema realimentat són:
1>0,
8> 0,
64 Kd−48> 0,
D'on es desprèn que:
80>0
Kd> 0.75
0.75
eix Kd
K d del regulador per a que el sistema controlat es comporti com un
b) (2 punts) Sintonitza el paràmetre
sistema de primer ordre amb un temps d'establiment de 2 segons.
T s=2 segons → τ=T s /4=0.5 segons ; cal ubicar el pol a →s 1=−1/ τ=−2
Per altra banda, el polinomi característic és d'ordre 3:
s 3 +8 s 2 +(4+ 8 K d )s+80
Cal ubicar 3 pols però només es disposa de K d , un sol paràmetre que permet ubicar només un
pol o bé la part real de dos pols complexos conjugats. Amb això, el polinomi característic es pot
igualar a:
s 3 +8 s 2 +( 4+ 8 K d )s+80=( s +2)(s+ a)(s +b)
s 3+ 8 s 2+(4+8 K d ) s +80=( s+ 2)(s2 +(a+b) s+ab)
s 3 +8 s 2 +(4+ 8 K d )s+80=s3 +(a+b+ 2) s 2 +(2 a+ 2b +ab)s +2 ab
2 ab=80, 2 a+2 b+ab=4 +8 K d , a+b+2=8
a+ b=6, ab=40, 2· 6+2 · 6+ 40=4+8 K d → K d=6
c) (1 punt) Determina la precisió estàtica del sistema davant un graó, una rampa i una paràbola unitaris.
De la figura es desprèn que el procés en llaç obert és de tipus 1 (observi's l'integrador 1/s que
apareix); els errors en règim permanent són, doncs, de forma genèrica:
Pàgina 27 de 32
e pos=0
1
e vel =
=
K vel
1
lim s→0 s·
80
s + 8 s +(4+8 K d ) s
3
=
4+8 K d
80
2
e acc =∞
19. Sigui el sistema de control PD (proporcional-derivatiu) de la figura:
R(s)
Y(s)
Se't demana:
a) (2 punts) Determina, analíticament, la regió del paràmetre
Kp
que fa estable el sistema realimentat
Y ( s )/ R( s) .
Ginterior (s)=
G directa(s)=
Polinomi característic:
6
s + 4 s 2+62 s
6Kp
3
3
Aplicant taula de Routh sobre polinomi característic:
Les
1>0,
condicions
4 >0,
per
248−6 K p >0,
D'on es desprèn que:
2
s + 4 s +62 s
6Kp
Gtotal = 3
2
s +4 s +62 s+6 K p
3
2
s +4 s + 62 s+6 K p
a
6 K p> 0
l'estabilitat
[
1
62
4
6Kp
248−6 K p
0
6 Kp
0
del
]
sistema
realimentat
són:
0< Kp< 41.3
0
41.3
eix Kp
K p del regulador per a que el sistema controlat es comporti com un
b) (2 punts) Sintonitza el paràmetre
sistema de primer ordre amb un temps d'establiment de 4 segons.
T s=4 segons → τ=T s /4=1 segons ; cal ubicar el pol a →s 1=−1/ τ=−1
Per altra banda, el polinomi característic és d'ordre 3:
s 3 +4 s 2+ 62 s+6 K p
Cal ubicar 3 pols però només es disposa de K p , un sol paràmetre que permet ubicar només un
pol o bé la part real de dos pols complexos conjugats. Amb això, el polinomi característic es pot
igualar a:
Pàgina 28 de 32
s3 + 4 s2 +62 s +6 K p=(s +1)(s +a)(s+b)
s3 + 4 s 2 +62 s+ 6 K p=(s +1)( s 2+(a+ b) s+ ab)
s 3 +4 s 2+ 62 s+6 K p=s 3 +( a+b+ 1) s 2+(a+b+ ab)s+ ab
ab=6 K p , a+ b+ab=62, a+ b+1=4
a+ b=3, 3+ ab=62→ab=59
K p=ab /6=9.833
c) (1 punt) Determina la precisió estàtica del sistema davant un graó, una rampa i una paràbola unitaris.
e pos=0
1
e vel =
=
K vel
1
lim s→0 s·
6Kp
=
1
6 Kp
s 3+ 4 s 2+62 s
e acc =∞
20. Considera el sistema de
control I+P de la figura:
Se't demana:
a) (1 punt) Avalúa per quins
valors del guany proporcional
Kp el sistema és estable.
La funció de transferència del
llaç proporcional (intern) tancat és:
−s+2
4 s+1
−s+ 2
Gintern (s )=
=
−s +2 (4− Kp) s+(1+2 Kp)
1+ Kp
4 s +1
Si es multiplica aquesta funció per l'integrador pur s'obté la cadena directa 1:
Gdirecta ( s)=
−s +2
(4− Kp) s 2+(1+2 Kp) s
Fàcilment es pot determinar la funció de transferència total en llaç tancat (amb realimentació H(s)=1
unitària):
−s
2
+
(4−Kp) (4−Kp)
−s + 2
G total (s)=
=
2
2
(4− Kp) s +(2 Kp) s+ 2 2 (2 Kp)
s +
s+
(4− Kp) (4− Kp)
Per avaluar l'estabilitat s'aplicarà el test de Routh sobre el polinomi denominador (sense normalitzar, per
exemple) d'aquesta funció de transferència (polinomi característic). En primer lloc es construeix la taula:
1
Aquesta cadena directa (degut a que la realimentació del llaç extern és H(s)=1 unitària) es farà servir a l'apartat c)
per calcular l'error en règim permanent.
Pàgina 29 de 32
(
4−Kp 2
2 Kp 0
2
0
)
Del requeriment de positivitat de tots els elements de la primera columna per a que el sistema sigui estable
es deriva que
Kp∈(0,+4) . Qualsevol valor de Kp dins aquest interval obert farà el sistema realimentat
estable.
b) (1 punt) Sintonitza el valor de Kp per a que el sistema controlat respongui com un sistema amb
resposta sense sobrepic (overshoot) i amb un temps d'establiment de 8 segons.
La funció de transferència del conjunt del sistema és de segon ordre: cal ubicar dos pols. Per sintonitzar el
valor de Kp per a que el sistema controlat no tingui sobrepic i tingui un temps d'establiment de 8 segons es
proposa assignar un pol a un lloc on impliqui aquest temps d'establiment però caldrà deixar l'altre pol lliure.
Ts(2 % )=8 segons=4 τ →
τ=2 segons →
El polinomi característic a assignar és:
s1 =−1/ 2=−0.5, s2 =−a , a>0
(s+a)(s+ 0.5)=s2 +(0.5+a) s+ 0.5 a
S'iguala aquest polinomi al característic (normalitzat) de la funció de transferència en llaç tancat:
s 2+
(2 Kp)
2
s+
=s 2 +(0.5+a) s+ 0.5 a
(4−Kp) (4−Kp)
(2 Kp)
=(0.5+ a)
(4−Kp)
2
=0.5· a
( 4−Kp)
El sistema d'equacions que s'obté és:
D'on es desprèn molt fàcilment que
Kp=2.4 i a=2.5 .
c) (0,5 punts) Quina és la precisió estàtica del sistema de control davant consignes graó i rampa
unitàries?
Pel fet de tenir un integrador pur al regulador (regulador I+P) ja es preveu un error nul de posició.
- davant entrada graó unitari
e pos =
- davant entrada rampa unitària
1
=0
1+lim s→ 0 Gdirecta (s )
e vel =
1
1+ 2 Kp
=
=2.9
2
lim s→ 0 s·G directa ( s)
Pàgina 30 de 32
21. Un sistema té el següent model:
G(s )=
4
s +s
2
Es demana:
a) (1.5 punts) Sintonitzar un controlador PD ( C ( s)= Kp+ Kd·s ) que faci que el sistema
controlat respongui sense sobrepic (sense overshoot) i amb un temps d'establiment de 3 segons
(criteri del 2%).
Es demana que el sistema realimentat es comporti de forma críticament esmorteïda ( ξ=1 ). Del
4
4
4
→ωN =
=
=1.33 rad/seg
temps d'establiment al 2% s'obté la pulsació natural: Ts=
ξ ωN
ξ· Ts 1 · 3
Amb això, el polinomi característic és s 2 +2 ξ ω N s+ ω2N =s2 +2.67 s+1.77
4 Kd·s+ 4 Kp
La funció de transferència en llaç tancat és: G tancat = 2
s +(1+ 4 Kd) s+ 4 Kp
Igualant els dos denominadors de segon ordre es desprèn que: K d =0.4175 seg , K p=0.4425
b) (0.5 punts) Digues quina és la precisió del sistema davant consignes graó i rampa unitaris.
e pos=0 és nul gràcies a l'acció integral de regulador. Pel cas de la rampa unitària,
1
1
1
l'error estacionari és: e vel =
=
=
=0.525
K vel
4(Kd·s+ Kp) 4 Kp
lim s →0 s
s2 + s
Davant un graó l'error
22. La figura mostra un sistema de control realimentat.
Ki
-----s
+
R(s)
_
+
_
8
--------------5s+1
Y(s)
1+Kd·s
Se't demana:
a) (2 punts) Sintonitza els paràmetres Kd i Ki per a que el sistema realimentat Y(s)/R(s) per a que es
comporti com un sistema de segon ordre subesmorteït amb un sobreimpuls (overshoot) del 5% i un
temps d'establiment de 8 segons.
Les especificacions són:
(ln 0.05)2
4
4
=
=0.7245 rad/seg
=0.69 ; ω N =
2
2
ξ ·Ts 0.69 ·8
π +(ln 0.05)
2
Amb això ja es coneixen els pols a assignar: s 1,2=−ξ ω N ± j ω N √ 1−ξ =−0.5±0.524
Mp=5 %→ ξ=
o
bé,
2
en
√
altra
2
N
forma,
el
polinomi
característic
del
sistema
en
llaç
tancat:
2
s +2 ξ ω N s+ ω =s +1 s +0.525
La funció de transferència del sistema realimentat és (fixeu-vos que cal normalitzar-la per operar millor):
8Ki
Gtancat (s)=
=
(5+ 8 K d ) s2 +9 s+8 K i
8 Ki
(5+8 K d )
s 2+
8 Ki
9
s+
(5+ 8 K d ) (5+8 K d )
Observi's que ambdós polinomis són de 2n ordre i no cal afegir cap pol addicional (no dominant) en el
disseny. S'estableix el següent sistema d'equacions, gràcies a la identitat dels polinomis denominador:
Pàgina 31 de 32
9
→ K d =0.5 segons
(5+8 K d )
8 Ki
0.525=
→K i =1.125segons −1
(5+8 K d )
1=
b) (1 punt) Quins són els errors estacionaris davant un graó i rampa unitaris?
Davant un graó l'error e pos=0 és nul gràcies a l'acció integral de regulador. Pel cas de la rampa unitària,
l'error estacionari és:
e vel =
1
=
K vel
1
lim s →0 s
8 Ki
=1
(5+8 K d )s 2+ 9 s
Pàgina 32 de 32