06 Determinante

50 – Matemáticas 1 : Preliminares
Capı́tulo 6
Determinante de una matriz
6.1
Determinante de una matriz cuadrada
Definicin 121.- Sea A una matriz cuadrada de orden n . Llamaremos producto elemental en A al producto
ordenado de un elemento de cada fila, cada uno de los cuales pertenece a columnas distintas. Es decir, una
expresin de la forma a1j1 a2j2 · · · anjn con todos los jk distintos.
Llamaremos producto elemental con signo al valor (−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn donde el nmero N , para cada
producto elemental, es el nmero de “inversiones del orden” en el conjunto de las columnas {j1 , j2 , . . . , jn } , es
decir, el nmero de veces que cada ndice jk es menor que los anteriores a l.
Ejemplo 122 {2, 4, 1, 3} . Para calcular las inversiones tenemos que ver cuantas veces 4 , 1 y 3 son menores
que sus anteriores. Para el 4 , hay inversin cuando 4 < 2 , no. Para el 1 , cuando 1 < 2 , si ; y cuando 1 < 4 , si.
Y para el 3 , cuando 3 < 2 , no; 3 < 4 , si ; y 3 < 1 , no. El conjunto presenta entonces tres inversiones, N = 3 .
Definición 123.- Definimos la funcin determinante en el conjunto de las matrices de orden n , como la funcin
que asigna a cada matriz A el nmero real, que denotaremos por det(A) det A |A|, y cuyo valor es la suma
de todos los productos elementales con signo que se pueden formar en A:
X
det(A) = |A| =
(−1)N a1j1 a2j2 · · · anjn .
(j1 ,j2 ,...,jn )
Expresin del determinante de las matrices de orden 1, 2 y 3. Los determinantes de las matrices de
los primeros rdenes de magnitud se obtienen de la forma: a11 = a11 y
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22
a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32
a31 a32 a33
Estas expresiones admiten una regla nemotcnica grfica para recordar la construccin de los productos elementales
y el signo, siguiendo las direcciones de las diagonales principal y secundaria (para matrices de orden 3 se conoce
como Regla de Sarrus):
sign( ) = +
sign( ) = −
s
s
@
@
s @s
s
@
s
@
s
s
s
s
@
@
s
@s @s
@
@
@
@s
s @s @
s
s
s
s
s
s
Observación: Cada uno de los productos elementales con
signo se corresponde con el determinante de una matriz
(−1)3 a12 a24 a31 a43 =
que se forma haciendo cero todos los elementos que no
estan en el producto. Es claro, pues cualquier otro producto
tendr alguno de sus factores distinto de estos y, en consecuencia, ser 0 . De manera similar
dos resultados recogidos en la proposicin siguiente.
0
0
a31
0
son
a12 0 0
0 0 a24
0 0 0
0 a43 0
inmediatos los
Proposición 124.1.- Si A es una matriz que tiene una fila o una columna de ceros, entonces |A| = 0 .
2.- Si A es una matriz triangular superior o triangular inferior, |A| es el producto de los elementos de la
diagonal principal, es decir, |A| = a11 a22 · · · ann . (En todos los dems productos elementales aparece al
menos un 0: si hay algn elemento por encima de la diagonal, hay alguno por debajo.)
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
51 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.1.1
6.1 Determinante de una matriz cuadrada
Determinantes y operaciones elementales
Teorema 125.- Sea An×n una matriz. Se tiene que:
a) si A0 es la matriz que resulta de multiplicar una fila de A por una constante λ 6= 0 , entonces det(A0 ) =
λ det(A) .
b) si A0 es la matriz que resulta de intercambiar dos filas de A , entonces det(A0 ) = − det(A) .
c) si A0 es la matriz que resulta de sumar a la fila k un mltiplo de la fila i, entonces det(A0 ) = det(A) .
.
Corolario 126.- Una matriz con dos filas iguales tiene determinante cero.
Corolario 127.a) Si E es la matriz elemental resulta de multiplicar una fila de I por k ∈ R, entonces det(E) = k .
b) Si E es la matriz elemental que resulta de intercambiar dos filas de I , entonces det(E) = −1 .
c) Si E es la matriz que resulta de sumar a una fila k un mltiplo de la fila i, de I , entonces det(E) = 1 .
Demostración:
a) det(E) = k det(I) = k ;
6.1.1.1
b) det(E) = − det(I) = −1 ;
c) det(E) = det(I) = 1 .
Clculo de determinantes por reduccin a la forma escalonada
El teorema anterior nos ofrece la posibilidad de calcular el determinante de una matriz usando el mtodo de
Gauss. Si tenemos que Ek · · · E2 E1 A = R , donde R es la matriz escalonada que se obtiene al aplicar el mtodo
de Gauss, se tiene que
det(R) = det(Ek Ek−1 Ek−2 · · · E1 A) = δk det(Ek−1 Ek−2 · · · E1 A)
= δk δk−1 det(Ek−2 · · · E1 A) = · · · = δk δk−1 δk−2 · · · δ1 det(A),
donde δi es k , −1 1 , segn la operacin elemental que represente Ei . Luego
det(A) =
1
δ1
· · · δ1k det(R) =
1
δ1
· · · δ1k r11 r22 · · · rnn
pues R es una matriz triangular superior (recordar observacin 117 de pg. 47) y det(R) = r11 r22 · · · rnn .
6.1.2
Otras propiedades del determinante
Teorema 128.- Si A y B son matrices cuadradas de orden n , entonces
det(AB) = det(A) · det(B)
.
Teorema 129.- Sea An×n entonces, A es inversible ⇐⇒ det(A) 6= 0 .
Demostración:
Si A es inversible I = AA−1 , luego det(I) = det(AA−1 ) = det(A) det(A−1 ) , pero al ser det(I) = 1 6= 0 ,
necesariamente ha de ser det(A) 6= 0 .
Si A no es inversible, por la parte 3 de la demostracin del Teorema 128 (Anexo 0, pg. 67), se tiene que
det(AI) = 0 = det(A) det(I) y como det(I) = 1 , debe ser det(A) = 0 .
Corolario 130.- Si A es inversible, A−1 = |A|
−1
.
Teorema 131.- Si A es una matriz cuadrada, entonces |At | = |A|.
Prof: José Antonio Abia Vian
.
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
52 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.2
6.2 Desarrollo por cofactores
Desarrollo por cofactores
Definición 132.- Sea A una matriz cuadrada, llamaremos menor del elemento aij , y lo denotaremos por
Mij , al determinante de la submatriz que se forma al suprimir en A la fila i y la columna j . Al nmero
(−1)i+j Mij lo llamaremos cofactor del elemento aij y lo denotaremos por Cij .
Ejemplo A partir de la matriz A de abajo, construimos los cofactores C21 , eliminando la fila 2
1, y C34 , eliminando la fila 3 y columna 4 :


0 −1 2 5
0 −1
0 −1 2 5
 1 2 0 −2 
2 0 −2
3+4 1 2
2+1 1


C34 = (−1)
−→ C21 = (−1)
A=
2 −1
2 −1 1 3
2 −1 1 3 
0 2
0 2 4 −2
0 2 4 −2
y la columna
2
0
1
4
5
−2
3
−2
Teorema 133.- El determinante de una matriz A se puede calcular multiplicando los elementos de una fila (o
de una columna) por sus cofactores correspondientes y sumando todos los productos resultantes; es decir, para
cada 1 ≤ i ≤ n y para cada 1 ≤ j ≤ n :
det(A) = ai1 Ci1 + ai2 Ci2 + · · · + ain Cin y det(A) = a1j C1j + a2j C2j + · · · + anj Cnj
Ejemplo
.
11 12 13
12 13
11 13
11 12
21 22 23 = 21(−1)2+1
+ 22(−1)2+2
+ 23(−1)2+3
32 33
31 33
31 32
31 32 33
= 13(−1)1+3
21 22
11 12
11 12
+ 23(−1)2+3
+ 33(−1)3+3
31 32
31 32
21 22
Corolario 134.- Si desarrollamos una fila de una matriz A por los cofactores de otra distinta, el resultado es
cero; es decir,
ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn = 0, si i 6= j .
Idntico resultado para las columnas.
Demostración:
Es claro, pues si en A hacemos la fila j igual a la fila i , la matriz obtenida A0 tiene determinante cero y
0
0
0
0 = |A0 | = a0j1 Cj1
+ a0j2 Cj2
+ · · · + a0jn Cjn
= ai1 Cj1 + ai2 Cj2 + · · · + ain Cjn
Definición 135.- Dada una matriz A cuadrada de orden n , llamaremos matriz de cofactores de A a la
matriz que tiene por elementos los cofactores de A, C = (Cij ) , y llamaremos matriz adjunta de A a la
matriz de cofactores traspuesta, Adj(A) = C t .
Nota: Tambin es usual utilizar las denominaciones de menor adjunto para el cofactor y matriz adjunta para la
matriz de cofactores (sin trasponer). En este caso, los resultados son idnticos a los que aqu se presentan con la
nica consideracin a tener en cuenta es que donde aparece Adj(A) tendr que aparecer Adj(A)t .
Teorema 136.- Si A es una matriz inversible, entonces A−1 =
Demostración:
Si probamos que A · Adj(A) = |A|I
efecto, aplicando el teorema 133 y el

a11 a12
 a21 a22

A · Adj(A) = AC t =  .
..
 ..
.
Adj(A) .
entonces, como |A| =
6 0 , ser
corolario 134 anteriores,

· · · a1n
C11 C21 · · · Cn1
 C12 C22 · · · Cn2
· · · a2n 

..   ..
.. . .
.
..
. .  .
. ..
.
an1 an2 · · · ann
Prof: José Antonio Abia Vian
1
|A|
C1n C2n · · · Cnn
A
Adj(A)

|A|

= I y A−1 =
|A| 0 · · · 0
  0 |A| · · · 0
 
 =  ..
.. . .
.
  .
. ..
.
0 0 · · · |A|
1
|A|
Adj(A) . En



 = |A| · I

Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
53 – Matemáticas 1 : Preliminares
Ejemplo
6.3 Rango de una matriz



1 2 3
A =  4 5 −4  ;
−3 −2 −1
A−1
5 −4
 −2 −1

1 
− 2 3
=
−2 −1
|A| 


2 3
5 −4
4 −4
−
−3 −1
1 3
−3 −1
1 3
−
4 −4
4 5
−3 −2
1 2
−
−3 −2
1 2
4 5
t




−13 −4 −23

1
 =
 16 8 16 

40

7 −4 −3

Regla de Cramer 137.- Sea AX = B , un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, tal que A es inversible,
entonces el sistema tiene como nica solucin:
b1 a12 · · · a1n
b2 a22 · · · a2n
..
.. . .
.
. ..
.
.
bn an2 · · · ann
x1 =
, x2 =
|A|
6.3
a11 b1 · · · a1n
a21 b2 · · · a2n
..
.. . .
.
. ..
.
.
an1 bn · · · ann
, . . . , xn =
|A|
a11 a12 · · ·
a21 a22 · · ·
..
.. . .
.
.
.
an1 an2 · · ·
|A|
b1
b2
..
.
bn
.
.
Rango de una matriz
Definición 138 (Segunda definicin del rango).- Se llama rango de una matriz Am×n , rang(A) rg(A) , al
mximo orden que resulta de considerar todas las submatrices cuadradas que pueden formarse eliminando filas
y columnas completas de A y cuyo determinante sea distinto de cero.
Del determinante de una submatriz cuadrada de orden r de A , formada eliminando filas y columnas completas, de suele decir que es un menor de orden r de A, por analoga a la denominacin dada en la definicin 132
a los menores de un elemento.
Resulta evidente que para Am×n , se tiene rg(A) ≤ mı́n{m, n} . Esta nueva definicin de rango de una matriz es
equivalente a la dada anteriormente:
“el rango de una matriz es el nmero de filas distintas de cero que aparecen en alguna de las formas
escalonadas de la matriz”,
puesto que el menor formado con las filas y columnas que contienen a los elementos principales de la matriz
escalonada es distinto de 0, y cualquier menor de orden mayor es cero.
Corolario 139.- Si A es una matriz, rg(A) = rg(At ) .
Demostración:
De la nueva definicin de rango y de |M | = |M t | para cualquier submatriz cuadrada de A.
Proposición 140.- Sea A una matriz m×n , entonces
a) Si existe un menor de orden r distinto de cero el rg(A) ≥ r .
b) Si todos los menores de orden r son cero el rg(A) < r .
Demostración:
a) es claro, pues como r es el orden de un menor distinto de cero, el mximo de los rdenes de los menores
distintos de cero es al menos r .
b) Si todos los menores de orden r son cero, como un menor de orden r + 1 puede descomponerse como
suma de menores de orden r por constantes, todos los menores de orden r + 1 son cero y, tambin todos
los menores de orden mayor. Luego rg(A) < r
En una matriz m×n , el nmero de menores de orden r que podemos formar puede ser muy alto, de hecho es
m n
r
Prof: José Antonio Abia Vian
r
=
m!
n!
,
r!(m − r)! r!(n − r)!
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013
54 – Matemáticas 1 : Preliminares
6.4 Ejercicios
es decir, todas las posibles elecciones de r filas de entre las m y de r columnas de entre las n . Por tanto, para
ver que una matriz tiene rango menor que r usando los menores, hemos de comprobar que cada uno de los
n!
m!
r!(m−r)! r!(n−r)! menores son cero. Sin embargo, el coste de la evaluacin por menores, puede reducirse usando
el siguiente resultado:
Orlado de menores 141.- Sea Am×n una matriz, y Mr×r una submatriz de A con determinante distinto de
cero. Entonces, si el determinante de todas las submatrices de orden r + 1 que se pueden conseguir en A
aadiendo una fila y una columna a M son cero, el rango de A es r .
.
Este resultado nos indica el mtodo –conocido como “orlado de menores”– para encontrar el rango de una
matriz usando los menores:
“Buscamos un menor de orden uno distinto de cero: si no existe rg(A) = 0 ; si existe M1 6= 0
entonces rg(A) ≥ 1 , y buscamos un menor de orden 2 distinto de cero de entre los que “orlan” al
anterior : si todos ellos son cero, por el resultado anterior, el rg(A) = 1 ; si algn M2 6= 0 entonces
rg(A) ≥ 2 , y buscamos un menor de orden 3 distinto de cero de entre los que orlan a M2 : si no
existe rg(A) = 2 , y si existe M3 6= 0 entonces rg(A) ≥ 3 , y buscamos . . . .”
6.4
Ejercicios


a b c
6.66 Suponiendo que det(A) = 5 , siendo A =  d e f  , calcular
g h i
a)
e)
d e f
g h i
a b c
a g h
b h e
c i f
b)
f)
−a −b −c
2d 2e 2f
−g −h −i
2a − d d g
2b − e e h
2c − f f i
c)
a+d b+e c+f
d
e
f
g
h
i
g) det(3A)
d)
a
b
c
d−3a e−3b f −3c
2g
2h
2i
h) det(2A−1 )
6.67 Hallar el valor exacto del determinante de la derecha:
a) Usando nicamente el mtodo de Gauss
b) Mediante el desarrollo por cofactores
c) Aplicando simultaneamente ambas tcnicas para resolverlo ms
rpida y fcilmente.
i) det((2A)−1 )
0
2
3
0
−1
1
−2
2
1
1
2
3
1
2
−1
0
4
0
0
2
4
0
0
0
1
2
−1
3
4
0
0
2
1
0
1
2
6.68 Sea A una matriz cuadrada de orden n tal que la suma de los elementos de cada fila es cero. Demostrar
que A no es inversible.
6.69 Sean A y B matrices de orden n tales que A 6= 0 , B 6= 0 y AB = 0 . Demostrar que det(A) = det(B) = 0 .
6.70 Calcular los posibles valores del determinante de una matriz ortogonal.
6.71 Sea A una matriz antisimtrica de orden n impar. Demostrar que det(A) = 0 .
6.72 Si A es una matriz de orden n probar que | Adj(A)| = |A|n−1 .
Prof: José Antonio Abia Vian
Grados de Ing. Industrial : Curso 2012–2013