DESIGUALDADES

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Básica I
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: [email protected] - [email protected]
http://migueltarazonagiraldo.com/
Febrero del 2020
DESIGUALDADES
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
CONTENIDO TEÓRICO:
 Conoce los diferentes axiomas y teoremas sobre los
números reales, respecto a la relación de orden entre
ellos.
 Sabe operar adecuadamente con intervalos.
 Forma una base matemática para el estudio de las
inecuaciones.
RELACIÓN DE ORDEN
Es una comparación que se establece entre dos
elementos de un conjunto que pertenece al campo de
los números reales. El campo real es un CAMPO
ORDENADO.
COMENTARIO PREVIO:
Símbolos de la relación de orden:
La Resolución de Ecuaciones lineales y cuadráticas,
la congruencia de figuras geométricas y las relaciones
entre las diversas funciones trigonométricas son temas
relacionados con la igualdad. A medida que avancemos
en el desarrollo de las ideas matemáticas, veremos que
las
desigualdades son tan importantes en las
aplicaciones de la matemática como las ecuaciones.
Una desigualdad está involucrada cuando estamos más
interesados en el tamaño aproximado de una cantidad
que en su valor exacto; por ejemplo, si decimos que el
diámetro “d” de un planeta es aproximadamente 18
700 millas, queremos decir que:
>: “mayor que”
< : “menor que”
(estrictos)
 : “mayor o igual que”
 : “menor o igual que”
(no estrictos)
DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos
números reales de diferente valor. Existen dos tipos de
desigualdades:
1. Desigualdad Absoluta: Es aquella que se verifica
para todos los valores reales que se asignen a sus
variables.
18 650 d  18 750.
Ejemplos:
Si realizamos un análisis nos daremos cuenta que la
medición absolutamente exacta de cualquier cantidad
física; tal como una distancia, un peso, una velocidad,
etc. ... es completamente imposible, la precisión
depende de los instrumentos de medida y tales
instrumentos pueden usarse sólo para medir dentro de
ciertas tolerancias especificadas, nunca exactamente.
* x + 6 > x + 2; se verifica  x  R
2
* x + 1 > 0; Se verifica  x  R
2. Desigualdad Relativa: Es aquella que se verifica
sólo para cierto conjunto solución de sus incógnitas.
Ejemplos:
* 2x – 3 > 5; se verifica  x > 4
* 3x – 2  x + 4; se verifica  x  3
Por todo lo expuesto concluimos que es necesario un
buen entendimiento básico de las desigualdades.
Nos ocuparemos a continuación de las desigualdades
entre números reales y enseguida desarrollaremos
algunos conceptos y leyes fundamentales que
conciernen a ellos.
DEFINICIÓN DE < ; >
Dados a, b, c  R se asevera:
1. a < b si y sólo si b – a es positivo.
2. a > b si y sólo si a – b es positivo.
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Ejemplos:
 7 < 9 porque 9 – 7 = 2 y 2 es un número real
positivo.
2. Si a ambos miembros de una desigualdad se le
multiplica o divide por una misma cantidad positiva,
entonces el sentido de la desigualdad no se altera.
an  bn

Si: a < b  n > 0   a  b

 – 6 < –5 porque –5 – (–6) = 1 y 1 es un número real
positivo.
n
n
Aplicaciones:
 – 3 > –9 porque –3 – (–9) = 6 y 6 es un número real
positivo.
3 x > 75  x >
75
 x > 25
3
De la definición también se concluye:
y
8
a > 0 si y sólo si a es positivo.
3. Si a ambos miembros de una desigualdad se les
multiplica o divide por una misma cantidad
negativa, entonces el sentido de la desigualdad se
invierte.
a < 0 si y sólo si a es negativo.
DEFINICIÓN DE ≤; ≥
an  bn
a b
Sí a < b  n < 0   
 n n
Dados a, b  R se asevera:
1. a ≤ b si y sólo si a < b ó a = b
2. a ≥ b si y sólo si a > b ó a = b
Aplicaciones:
–2 > 10  x <
Las proposiciones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b se
denominan desigualdades.
x
5
En particular, a < b y a > b se llaman desigualdades
estrictas,
mientras que
a ≤ b y a ≥ b se llaman
desigualdades no estrictas.
Si a > b; c< d
Para cualquier número real “a”, una y solamente una de
las siguientes relaciones se cumple:
Corolario: Dado dos números reales a y b; sólo se
puede establecer una de las tres relaciones.
v ab
Si: 0<a<b; 0 < c < d  ac < bd
7. Si se divide miembro a miembro desigualdades de
sentidos contrarios y con todos sus miembros
positivos, entonces se conserva el sentido de la
desigualdad que hizo de dividendo.
Si
Propiedades
1. Si a ambos miembros de una desigualdad se les
suma o resta una misma cantidad, entonces el
sentido de la desigualdad no se altera.
 a–c>b–d
6. Si se multiplica miembro a miembro desigualdades
del mismo sentido y con todos sus miembros
positivos, entonces se conserva el sentido de la
desigualdad.
v a 0
Sí a  b  a  n  b  n
< 7  x > 7 (-5)  x > -35
5. Si se resta miembro a miembro desigualdades de
sentidos contrarios, entonces se conserva el sentido
de la desigualdad que hizo de minuendo.
LEY DE TRICOTOMIA
ab v ab
 x< - 5
Si: a < b; c < d  a + c < b + d
Sí a > 0 y b > 0, entonces a + b > 0
Sí a > 0 y b > 0, entonces a .b > 0
Sí a < b y b< c, entonces a < c
Sí a < b, entonces a + c < b + c
Sí a < b y c < d, entonces a + c < b + d
Sí a < b y c > 0, entonces a.c < b.c
Sí a < b y c < 0, entonces a.c > b.c
a  0 v a 0
10
2
4. Si se suma miembro a miembro desigualdades del
mismo sentido, entonces el sentido de la desigualdad
se conserva.
TEOREMAS: Dados a, b, c, d  R
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
< 2  y < 2 (8)  y < 16
a>b>00<c<d
a
b
>
c
d
8. Si se eleva ambos miembros de una expresión o un
mismo exponente impar entonces el sentido de la
desigualdad se conserva.
Si a > b  a 2n 1 > b 2n 1
Aplicaciones:
x+5 9x 9–5 x  4
y – 11  5  y  5 + 11  y  16
9. Si se eleva ambos miembros de una desigualdad a
un mismo exponente por entonces se conserva el
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sentido de la desigualdad siempre que ambos
miembros sean positivos.
x
Si a<b y a > 0  b > 0  a 2n  b 2n
a
-
Si: x  <a; b]  a < x  b
Semi-abierto por la derecha
Es una recta geométrica donde se establece una
biyección, es decir a cada número real se hace
corresponder un único punto de la recta y para cada
punto de la recta sólo le corresponde un único número
real.
x
a
-
Números
Positivos
Números
Negativos
0
b
+
Si x [a; b>  a  x < b
x>0
-
+
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “b”.
RECTA NUMÉRICA REAL
-
b
En dicho intervalo sólo se incluye el extremo “a”.
+
+
B. Intervalos No Acotados
x<0
Se denomina así cuando por lo menos uno de los
extremos es el ideal + ó -.
Estos son de la forma:
INTERVALOS
3. Sea I un subconjunto de IR (I  IR). Decimos que I
es un intervalo, si y sólo sí es el conjunto de todos
los número reales que están comprendidos entre dos
extremos (que pueden ser finitos o ideales).
Si I es un intervalo, puede ser: acotado o no
acotado
A. Intervalos Acotados
1.
x
-
a
+
Si: x  <a; +>  x > a
2.
Son intervalos cuyos extremos son números reales
(finitos) y a su vez serán:
x
-
1. Intervalo Cerrado
+
a
Si: x  [a; +>  x  a
x
-
a
b
3.
+
x
Si: x  [a; b]  a  x  b
En dicho intervalo se incluyen los extremos “a” y
“b”.
+
-
Si: x  <-; a>  x < a
2. Intervalo Abierto
4.
x
-
a
b
x
+
3. Intervalo Semi – abierto Mixto
+
-
Si: x  <a; b>  a < x < b
En dicho intervalo no están incluidos los extremos
“a” y “b”.
Si: x  <-; a]  x  a
5.
x
-
Semiabierto por la izquierda
+
Si: x  <-; +>  x  R
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A – B = {x  IR / x  A  x  B}
C A  A C  A' = {X  IR / x  IR  x  A}
OBSERVACIONES IMPORTANTES
1. La notación , que se lee infinito no es un número
real, sino un símbolo que se utiliza para indicar que
un intervalo es ilimitado por la derecha (+) o por la
izquierda (– )
2. Un intervalo abierto puede simbolizarse de 2
formas: <a; b> =] a; b [
Un intervalo cerrado sólo se simboliza de 1 forma:
[a; b]
3. Si el extremo de un intervalo es infinito, este
siempre irá como ABIERTO.
[a; +> ; <a; +> ; <-; a] ; <-; -a>
4. Los intervalos son sumamente útiles:
a) Para expresar
inecuaciones.
Ejemplo:
el
conjunto
solución
Aplicación: Sean los conjuntos (intervalos)
A = {x  IR / x  5}
B = {x  IR / - 8  x < 12}.
Hallar:
A  B , A  B , A – B , B – A , A’ , B’
ACOTACIONES
Cota superior, Cota Inferior, Supremo, Ínfimo,
Máximo y Mínimo de un Conjunto
Definición 1: Un subconjunto S no vacío de números
reales está acotado superiormente si existe un número
M, tal que:
de
El conjunto solución de la inecuación:
2
2 +3x – x  0 es el intervalo cerrado: x  [1; 2]
b) Para expresar el dominio y rango de una relación
y de una función de R en R.
Ejemplo:
xM , x  S
se llama "Cota
Superiores"
Es decir:
M es cota superior S  x  M,  x  S
Ejemplos:
1) En el intervalo A = <-2, 3> el extremo superior 3 o
cualquier número mayor que 3 es una cota superior
del intervalo A.
Ver el siguiente gráfico:
y
f(x)
4
7
-
x
-2
+
3
conjunto de
cotas
superiores
El dominio de la función f(x) es:
x  <0; 7]
El rango de f(x) es: y  <0; 4]
 El número 3 es una cota superior del intervalo <2, 3>, porque x < 3,
 x  <-2,3>
c) Para “ACOTAR”
 El número 3,002 es cota superior del intervalo <2, 3>, porque x < 3,002
 x  <-2, 3>, etc.
Todos los números mayores o iguales a 3 son
cotas superiores.
Ejemplo: Sí x  <-2; 3] ¿entre qué valores estará (x
+ 2)?
Si:
x ] –2; 3[ 
0 < x + 2
(Infimo)
cota
inferior
< 5
2) En el intervalo [-1; 1/2], el extremo superior 1/2 o
cualquier número mayor que 1/2 es una cota superior
del intervalo [-1; 1/2]
(Supremo)
cota
superior
-1
1/2
conjunto de
cotas
superiores
OPERACIONES CON INTERVALOS
Puesto que los intervalos en IR son conjuntos especiales
de los números reales, podemos operar con ellos.
Sean A y B intervalos, se definen y se denotan:
Definición 2: Un subconjunto S no vacío de números
reales está ACOTADO INFERIORMENTE, si existe
un número m, tal que:
A  B = {x  IR / x  A  x  B}
A  B = {x  IR / x  A  x  B}
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1.  a  IR: a2  0
mx,xS
2. 0  a  b  0  c  d  0  ac  bd
se llama "Cota
Inferiores"
3. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
Es decir:
m es cota inferior de S  m  x,  x  S
Ejemplos:
4. ab  0  (a  0  b  0)  (a  0  b  0)
1) En un intervalo A = <-3; 2], son cotas inferiores los
números –3, -3,002; -3,5;
-4, etc. Todos los
números menores o iguales que –3 son COTAS
INFERIORES.
Pues:
5. a  0 
1
0
a
6. a  0 
1
0
a
7.
Si a y b tiene el mismo signo, entonces:
axb 
 -3  x,  x  <-3; 2]
 -3,002  x  x  <-3; 2]
-3
8.
1 1 1
 
a x b
axb
a 2  x 2  b 2
; Si 0  a  b

 0  x 2  max [a 2 ; b 2 ] ; Si a  0  b  0
 2
b  x2  a2
; Si a  b  0

2
conjunto de
cotas
inferiores
Definición 3: Un número se llama SUPREMO de un
conjunto, si éste es la menor de las cotas superiores.
a
1
10. b 
1
9.
Ejemplos:
a
b
2
;  a  IR 
2
;  b  IR 
11. a2 + b2  2ab;  a, b  IR
1) En el intervalo: A =
 1 
  ;3
 2 
, el supremo es 3.
12. a2 + b2 + c2  ab+ ac+ bc; a, b, c  R
2) En el intervalo: B =
 ;5
, el supremo es 5.
13. a  b  ab 
2
Definición 4: Un número se llama INFIMO de un
conjunto, si éste es el mayor de las cotas inferiores.
 1 
  ; 3
 2 
;  a , b  IR 
abc 3
1
 abc 
1 1 1
3
 
a b c
3
Ejemplos:
1) En el intervalo: A =
1
1 1

a b
2
, el ínfimo es –1/2.
14.
2) En el intervalo: B = [5; >, el ínfimo es 5.
OBSERVACIONES:
15.
A. El supremo y el ínfimo representan al máximo y
mínimo
valor
que
toma
un
conjunto,
respectivamente.
B. Un conjunto de números está ACOTADO si y sólo
si está acotado superior e inferiormente.
Ejemplos:
;  a , b, c  IR 
abcd 4
 abcd ;  a , b, c, d  IR 
4
a 1  a 2  a 3  ...  a n
 n a 1 .a 2 .a 3 ... a n ;
n
 ai  IR  , i  1; 2; 3;...; n
m
a m  bm  a  b 

 ; 0  a  b; “m” no es
16.
2
 2 
fracción propia positiva.
 El intervalo: A =<–2;7> es ACOTADO.
PRÁCTICA DE CLASE
 El intervalo: B = < 8; +> no es ACOTADO.
C. El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden ser o
no un elemento del conjunto.
TEOREMAS ADICIONALES
01. Marque verdadero (V) o falso (F):
I. 2  3
II. 0  0
III. -1 < 0
IV.   3,14
a) FFVV
b) VVVV
c) FFVF
d) VVVF
e) FFFF
Sean a, b, c, d, x  IR
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02. Siendo x >0; y > 0; z > 0, indicar el menor valor de
( x  y)(x  z) y  z)
la expresión:
xyz
a) 1
b) 4
c) 6
d) 8
e) 8/3
12. Hallar el menor número “m” con la propiedad
7  12 x  2 x 2  m, x   Sea S
03. Siendo a > 0, b > 0; c> 0; d >0, indicar la correcta
afirmación acerca de  siendo:
EJERCICIOS PROPUESTOS

4
abcd
abcd
a) =1/4
b)   4
d)   1/4
e)  < 1/2
01. Sean los intervalos:
C = [-4; 4]; D = ]4; 8[ .Calcular : C  D
c)   1/8
a) [-4; 4]
d) [0;8]
04. Si:] x; y [  ] a; b [, entonces es verdad que:
a) x  a  y  b
d) x  a  y  b
b) x  a  y > b
e) x  a  y  b
c) x  a  y  b
p = [-11; 1[ ; q = ]3; 11]
Es: [p + q; m [  ] p - q; n]
Calcular: “p + q + m + n”
a) -11
b) 11
c) 1
d) -1
e) 0
x 5
b) -1/3
e) -6
c) -5/3
03. Sean los intervalos:
A = [-6; 5] B = ]-2; 9[
06.Dar el mayor número entero M que satisface la
desigualdad:
2x2 - 4x +1 > 2M, x  R
(Tal desigualdad la llamaremos absoluta)
a) 3
b) -2 c) 0
d) 1
e) -1
07. Hallar el menor número M con la propiedad de que
para todo x  R se cumpla:
1 +6x - x2  M
a ) 11 b) 9
c) 12
d) 10 e) 0
08. Si: x2 - 6x + 8 < 0 y demás consideraremos: =x26x + 8, entonces se puede afirmar que:
a)  e cualquier real negativo
b) -1 <  < 0 c) -1/2  <0
d) -1   < 0 e) -1 <   0
Calcular la suma de los valores enteros de AB
b) [1/4; +[ c) [2; -3[
e) ]1/4; +[
a 2  b2  c2
b)  >4
d)   4
e)  < 1
d) 13
e) 14
c) 12
b) 2
e) 5
c) 3
05. Para los reales afirmamos:
I. Si a > 0  a2 > 0
II. Si a < b  ac < bc
III. Si 0 < a < b  0 < b-1 < a-1
Son verdaderas:
a) Todas
b) I y II
d) I y III e) N.A.
c) Sólo I
06. Para reales afirmamos:
I. Si a < b  a + c < b + c
II. Si a < 0  -a > 0
III. (a + b)2 > 2 ab
Son verdaderas:
a) Sólo I
b) Sólo II
?
3 .S
a)   4
b) 11
a) 1
d) 4
10. Sea S el área de un triángulo de lados a; b y c.
¿Qué podemos afirmar de  si:

a) 10
04. Si la intersección de los intervalos:
A = ]-5; -1[ U ]2; 11[ B = [-3; 4]
Es [a; b [ U ]c; d].
Calcula “a + b + c + d”
09.Sabiendo que a > 0, indique el intervalo al que
pertenece, conociendo:
x  R
ax 2  (1  2a) x  a  R;
a) ]-; 2[
d) [1; +[
c) ]-4;8]
02. Si la unión de los intervalos:
05.Hallar el menor número racional “m” donde  x 
x3
[2; 4] satisface la desigualdad:
m
a) -2/3
d) -7
b) ]4; 8[
e) [-4; 8[
c)  < 4
d) Todas
c) Sólo III
e) N.A.
07. Si: a < 0 < b, afirmamos
1
n


11. Dado el conjunto: A   / n    
Determine si existe el supremo y el ínfimo de A y
establecer si pertenecen o no al conjunto A.
Página 6 de 9
I. a2 > ab
II. a – b –1 < 1
III. a–1 < b –1
IV. a2 < b2
¿Cuántas son verdaderas?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
08. Si: a/b < 0, entonces se cumple que:
a) a < 0 y b > 0 d) ab > 0
b) a > 0 y b < 0
e) ab < 0
c) a > b
03. Sean los intervalos:
M = [-15; -9] U [-3; 3] U [10; 17]
N = [-12; -1] U [1; 13]
Luego de calcular la intersección, indique un
intervalo
a) [-12; -3]
b) [-3; 10] c) [3; 13]
09. Hallar los valores de “m” para los cuales “x” es un
número positivo, si x = m - 2
a) m > 2
b) m < 2
c) m > -2
d) m  2
e) m < -2
d) [-3; -1]
04. Sean los intervalos:
10. Resolver:2x + 4  x +12
a) ]-; -8] b) ]-; -16]
d) [8; +[ e) [-8; +[
A = ]-; [
B = [-3; 4[
C = ]-1; 3[ . Calcular: A  B  C
a) ]-1; 4[
b) [-3; 3]
c) ]-1;3[
c) ]-; 8]
11. Resolver: (x - 5) (x - 2)  (x + 3) (x + 1)
a) x  7
b) 7/11  x c) x  7/11
d) x  7
e) N.A.
d) ]3; 4[
12. ¿Qué valor deberá tomar m > 0 para que la
desigualdad: 2x+3 < 3x  4m . Tenga como
m
solución]3; [
a) 6/13
b) 5/17
d) -17/14 e) 9/13
c) 19/14
13. Hallar el complemento del conjunto solución luego
de resolver:
(x - 5) (x - 3)  (x - 4) (x - 3)
a) [3; +[
b) ]-; 3[
c) [4; +[
d) ]-; 4[
e) ]-; -3[
14. Calcule el conjunto solución de la desigualdad:
x x x x
    x  17
2 3 4 5
a) [-60; +[
d) ]-60; 0[
b) ]-60; +[
c)]-; -60[
e) [-9; 10]
e) [-3; -1[
05. Para los números reales “a” y “b”. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
a) Si: a2 - b2 = 0  a = b
b) Si: a2 - b2 = 0  a = -b
c) Si: a2 - b2 = 0  a = b  a = -b
d) Si: a2 - b2 = 0  a = b = 0
e) Si: a2 - b2 = 0  a = b  a = -b
06. Si se sabe que 0 < x < 1; Cuál de las siguientes
proposiciones es verdadera?
a) 0 < x2 < x3 < 1
b) 0 < x3 < x2 < 1
c) 0 < 1-x < x < 1
d) 0 < x-1 < x < 1
e) 0 < 1-x < x < 1
07. Dados los números racionales U, V y W que
satisfacen:
U > W, entonces se cumple:
e) x  
V
a) U > V + W
b) U  V > W + 1
V
15. Resolver: 3x+4  2x+10 < 5x+8
a) [2/3; 6]
b) 
c) IR
d) ]2/3; 6]
c) V > U
d) U + V > W
e) U + W > V
e) ]2/3;6[
08. Si: “x” es entero. ¿Qué valor no puede tomar “x”
en: x  1  x  1 ?
.
3
a) 1
d) -6
TAREA DOMICILIARIA
01. Si la unión de los intervalos:
E = [-4; 5[
F = ]-2; 5]
Es: [a; b]. Calcular “ab”
a) -20
b) -10
c) 2
d) 8
e) 25
02. Si: a > b > 0 y M = [-2a; 2a] , N = [-2b; 2b]
Indicar M  N
a) [-2a ; 2b] b) [-2b; 2a]
c) [-a; b]
5
b) -3
e) 11
c) 0
x
a
a
 1 , Si a = 1 09. Resolver:
a 1
a) x > 1 + 5
d) x > 1- 5
b) x < 1 + 5
e) x < 1- 5
c) x  
10. Resolver el sistema:
2x+4  3x+6  5x-10
a) [-2; +[
b) [8; +[
d) 
e) [2; +[
d) [-2b; 2b] e) [-2a; 2a]
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5
c) [-8; +[
11. Resuelve el sistema y marque el intervalo
solución:
2  5-3x < 11
2 > -3-3x  -7
a)   5 ;1
b)   5 ;1
c) ]-2; 1]
d)
 3 


5

  2; 3 


e)
 3 


 5 4
 3 ; 3 


12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el sistema:
5x - 6 > 3x-14
7 x  6 < x + 12
2
a) 3
d) 6
b) 4
e) 7
c) 5
a) El equilibrio del modelo se presenta cuando los
costos son iguales a los ingreso. En este punto no hay ni
ganancias ni perdidas. Y = C entonces 37x=19x + 6300
x = 350
Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso de
equilibrio que tienen el mismo valor: C = Y = 37(350)
= 12 950.
13. Resolver el sistema:
2(2x-3) < 5x-3/4
8x  5 
b. ¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto
de S/. 15 800?
Solución
Determinamos las funciones de Costo total (C) e
ingresos totales (Y)
La función de costo total es la suma de los costos
variables más los costos fijos. Mientras que la función
de ingreso total es el producto del precio de venta por la
cantidad vendida.
Sea: x el número de camisas producidas y vendidas.
C = 19 x + 6 300
Y = 37 x
15 x  8
2
Y dar como respuesta la suma de todos los valores
enteros de “x”
a) -11
b) -12
c) -13
d) -14
e) -15
14. ¿Cuántos valores enteros satisfacen el siguiente
sistema?
5x+4 > 10
6x-5 < 12
4x+3 > 8
7x-6 < 14
3x+2 > 6
8x-7 < 16
a) 14
b) 8
c) 4
d) sólo 1
e) Ningún valor
Problemas
1. En una agencia de turismo se han vendido 25
paquetes turísticos a dos precios distintos: los de
“Turismo en Grupo” a S/. 120 y los de “Lima Tours” a
S/. 150 con las que han obtenido un ingreso de S/. 3
090. ¿Cuántos paquetes turísticos se han vendido de
cada precio?
Solución
Sea:
El número de paquetes turísticos Turismo en grupo: x
El número de paquetes Lima tours será: 25 – x
El ingreso por los paquetes Turismo en grupo es: 120x
El ingreso por los paquetes Lima Tours es 150 (25 –x)
Luego por las condiciones del problema podemos
plantear:
120x + 150 (25 –x) = 3 090
Resolviendo la ecuación tenemos:
120x + 3 750 –150x = 3 090
x = 22
Respuesta:
Se vendieron 22 paquetes de Turismo en grupo y 3 de
Lima Tours
2. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 6 300
mensuales y le cuesta S/.19 producir cada camisa. Se
sabe que la fábrica vende cada artículo en S/. 37.
a. Determine el punto de equilibrio de la empresa
b) Si el costo total es: C = 15800; reemplazamos en la
función de costo total y tenemos:
15 800 = 19x + 6 300
Resolviendo
X = 500
3. Se tiene expresado los costos, de la empresa “Dulce
Vida”, como C= 15 x + 6500, sabiendo que el precio de
cada caja de chocolate es de S/. 20. a. Determine el
punto de equilibrio de la empresa b. ¿Cuántas cajas de
chocolate debe producir y vender para obtener
utilidades de S/. 6 000?
Solución
Sea: x el número de cajas de chocolate producidas y
vendidas La función de costo total es: C = 15x + 6 500
La función de ingreso total es: Y = 20x La función de
utilidad es: U = Y –C entonces U = 5x – 6 500.
a) Equilibrio: Y = C 20x = 15x + 6 500 entonces x = 1
300 Reemplazando tenemos el costo total y el ingreso
de equilibrio que tienen el mismo valor: C = Y = 20 (1
300) = 26 000
b) Si U = 6 000 entonces reemplazando en la función de
utilidad tenemos:
6 000 = 5x – 6 500
Entonces
x = 2 500
Respuesta:
Debe producir y vender 2 500 cajas de chocolate para
tener una utilidad de 6 000 soles.
4. A un viaje de excursión asisten 50 personas. Si el
costo del viaje a los estudiantes universitarios es de S/.
60 y el de sus familiares es de S/. 100, ¿cuántos
universitarios viajan como máximo, si la recaudación
no debe ser menor de S/. 4000?
Solución
Sea x en número de estudiantes que asistieron al viaje.
50 –x es el número de familiares que asistieron al viaje
Realizamos el planteamiento de acuerdo a las
condiciones del problema
60x + 100 ( 50 –x ) ≥ 4000
60x +5000 –100x ≥ 4000
1000 ≥ 40x
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25 ≥ x Respuesta:
Viajan como máximo 25 estudiantes.
Respuesta: 100 perfumes
Aplicaciones
Para resolver un problema es importante seguir los
siguientes pasos:
1. Leer las veces que sean necesarias hasta comprender
el problema.
2. Determinar la o las variables.
3. Realizar el planteamiento, en el que se establece una
ecuación o inecuación
4. Resolver la ecuación o inecuación planteada.
5. Dar la respuesta.
1. Un hombre gasta la mitad de su sueldo mensual en el
alquiler de la casa y alimentación de su familia, y los
3/8 del sueldo en otros gastos. Al cabo de 15 meses ha
ahorrado S/. 6 000. ¿Cuál es su sueldo mensual?
Respuesta: 3 200
Un empresario ha comprado un local cuadrangular por
259 200 soles. Sabiendo que uno de los lados del local
tiene una longitud igual a las tres cuartas partes del otro
y que el precio por metro cuadrado es de 600 soles.
¿Cuáles son las dimensiones del local?
Respuesta: 24 y 18
9. Antonio compro cierto número de relojes a $192. Si
el precio de cada reloj es: ¾ del número de relojes.
¿Cuántos relojes compró?
Respuesta 16
10. Semanalmente una compañía puede vender “x”
unidades de cierto artículo a “p” soles cada uno, en
donde la relación entre p y x (precio y número de
artículos vendidos) está dada por la siguiente ecuación
de demanda: p = 460 – 10x. ¿Cuántos artículos debe
vender para obtener unos ingresos de 5 250 soles?
Respuesta: 21 o 25
2. Vendí un automóvil por $ 8 000 más la tercera parte
de lo que me había costado, y en esta operación gané $
2 000. ¿Cuánto me había costado el auto?
Respuesta:
Bibliografías:
file:///D:/Perfil%20de%20Miguel/Downloads/Federico
_Villarreal_U_n_i_v_e_r_s_i_d_a.pdf
3. En una peluquería el corte de cabello cuesta S/. 6
para hombre y S/. 8 para mujer. Si se hace el corte a 50
personas en un día y pagan en total S/. 360 ¿cuántos
hombres y cuántas mujeres se cortaron el cabello
durante el día?
Respuesta:
Referencias:
http://virtual.funlam.edu.co/repositorio/sites/default/file
s/repositorioarchivos/2012/05/Desigualdades_y_valor_
absoluto_880428.1674.doc
4. Una fábrica de camisas tiene costos fijos de S/. 9 750
mensuales y le cuesta S/.22 producir cada camisa. Se
sabe que la fábrica vende cada artículo en S/. 35. a.
Determine el punto de equilibrio de la empresa b.
¿Cuántas camisas produjo la fábrica si tuvo un gasto de
S/. 29550?
Respuestas:
a) 750 camisas y S/ 16500
b) 900 camisas
5. Una pequeña empresa de pantalones elabora un
número determinado de pantalones por día. Si duplica
su producción y vende 60, le quedan más de 54. Pero si
elabora 10 más y vende 28, tendrá entonces a lo sumo
40 pantalones por vender. Hallar ¿cuántos pantalones se
elaboraron en un día?
Respuesta:
6. Los vecinos del parque Los Olivos, desean
remodelarlo podando algunos árboles del parque. Si una
compañía alquila a S/ 150 una sierra eléctrica, más S/
20 por hora ¿Qué cantidad máxima de tiempo pueden
utilizar la sierra los vecinos del parque, si no pueden
gastar más de S/ 350?
Respuesta: 10 horas
7. Un laboratorio que produce perfumes encuentra que
el costo total C de producir x unidades está dado por: C
= 20x + 500 soles. Si cada unidad producida se vende a
S/ 25, ¿cuál debe ser el nivel mínimo de producción
para obtener alguna ganancia?
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