MATEMÁTICAS Mayores de 25 años
Tema 5. Geometría métrica del plano.
Pendiente de una recta.
Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Ecuación general de la recta.
Distancia entre dos puntos.
Distancia de un punto a una recta.
Distancia entre dos rectas paralelas.
Ecuaciones de lugares geométricos sencillos: circunferencia y mediatriz de un
segmento.
Representación gráfica de parábolas.
IPEP de Granada
Dpto. de Matemáticas
Tema 5. Geometría métrica del plano.
Pendiente de una recta.
http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/pendiente%20de%20una%20recta.htm
Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio
en x.
Si una recta pasa por dos puntos distintos (x 1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada
por:
Esto es,
Dada una recta, gráficamente su pendiente nos da su grado de inclinación.
Pendiente positiva
Pendiente negativa
Pendiente nula
Cuando la recta es creciente (al aumentar Cuando la recta es decreciente (al
Cuando la recta es constante se
los valores de x aumentan los de y), su aumentar los valores de x disminuyen los dice que tiene pendiente nula,
pendiente es positiva, en la expresión
de y), su pendiente es negativa, en la
en la expresión analítica m=0
analítica m>0
expresión analítica m<0
Ejemplo para reflexionar: Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente para
cada caso.
1) (-3,4) y (6, -2)
2) (-3, -4) y (3, 2)
3) (-4, 2) y ( 3, 2)
4) (2, 4) y (2, -3)
Con los ejemplos analizados podemos deducir la interpretación geométrica de la pendiente de
una recta:
Pendiente
positiva
negativa
cero
no definida
Tipo de recta
recta ascendente
recta descendente
recta horizontal
recta vertical
Ejercicio: Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.
1) (-3, -3) y (2, -3)
2) (0, 4) y (2, -4)
3) (-2, -1) y (1, 2)
4) (-3, 2) y (-3, -1)
Ecuaciones de la forma explícita
Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b la altura a la que la
recta corta al eje OY se conocen como ecuaciones en forma explícita.
Por ejemplo, la ecuación y = -3x + 5 está expresada de la forma explícita donde la pendiente (m)
es -3 y el punto intercepto en y es (0, 5).
Nota: Una ecuación de la forma y = mx representa una recta que pasa por el origen.
Ejemplo: La pendiente (m) es -3 y el intercepto en y es (0, 4). ¿Cuál es la ecuación de la recta
de la forma explícita? Solución: y = – 3 x + 4
Ejercicio: Escribe la ecuación de la recta de la forma explícita con pendiente 3 y que pasa por el
punto (0, 5).
Solución: y = 3 x + 5
Rectas verticales y horizontales
La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.
Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.
La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La
pendiente de una recta horizontal es cero.
Ejemplos: Construye la gráfica de cada ecuación:
1) x = -2
2) y - 5 = 0
3) 2y + 12 = 0
4) 3x – 15 = 0
Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.
La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) con pendiente m se llama ecuación puntopendiente de la recta. Es
y – y1 = m(x – x1).
Halla la ecuación de la recta dado:
1) m = -3, punto (8, 0)
2) m = -2, punto (4, 2)
3) puntos: (0, 5) y (3, 3)
4) puntos: (-2, 3) y (-1, -6)
Soluciones:
1) y = – 3 (x – 8)
2) y – 2 = –2 (x – 4)
3) El vector director de dicha recta es (3 – 0 , 3 – 5) = (3 , – 2) luego la pendiente es –2/3
La ecuación punto-pendiente de la recta es
y – 5 = –2/3 x
4) El vector director de dicha recta es (–2 – (– 1), 3 – (–6)) = (–1, 9) luego la pendiente es –9. La
ecuación punto-pendiente de la recta es y – 3 = – 9 (x – (–2)) es decir y – 3 = – 9 (x + 2)
Ejercicio: Halla la ecuación dado:
1) m = 5 y el punto (-7, -2)
2) puntos: (3, 1) y (-3, -1)
Soluciones:
1) y – (–2) = 5 (x – (–7))
es decir
y + 2 = 5 (x + 7)
2) El vector director de dicha recta es (3 – (– 3) , 1 – (–1)) = (6 , 2) luego la pendiente es 2/6 = 1/3
La ecuación punto-pendiente de la recta es y – 1 = 1/3 (x – 3)
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:
Cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la forma continua:
Despejando de aquí, o teniendo en cuenta la ecuación punto-pendiente de la recta tenemos
Ejemplos:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1,3) y B(2,-5)
Ecuación general de la recta.
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implícita de la recta. De esta forma se acostumbra a
dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Ejemplos:
1 Halla la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director
2 Halla la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m = -2.
Distancia entre dos puntos.
igual (-2, 1).
Ejemplo
Calcula la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).
Ejercicios
1) Determina a con la condición de que los puntos A(0, a) y B(1, 2) disten una unidad.
2) Prueba que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
Si O es el centro de la circunferencia las distancias de O a A, B, C y D deben ser iguales
3) Clasifica el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
Si:
Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a
la recta, trazada desde el punto.
Ejemplo:
Calcula la distancia del punto P (2,- 1) a la recta r de ecuación 3 x + 4 y = 0.
Distancia entre dos rectas paralelas.
Para hallar la distancia entre dos en rectas paralelas, se toma un punto cualquiera, P, de una de ellas
y calcular su distancia a la otra recta.
1) Halla la distancia entre las rectas:
r≡3x-4y+4=0
y
s ≡ 9 x - 12 y - 4 = 0.
La distancia entre dos rectas también se puede expresar del siguiente modo:
Calcula la distancia entre las rectas:
Ecuaciones de lugares geométricos sencillos: circunferencia y mediatriz de un
segmento.
Ejercicios
1) Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, halla el centro y el radio.
2) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3), C(1, 3).
Si sustituimos x e y en la ecuación
por las coordenadas de los puntos se
obtiene el sistema:
3) Indica si la ecuación: 4x2 + 4y2 - 4x - 8y - 11 = 0, corresponde a una circunferencia, y en caso afirmativo,
calcular el centro y el radio.
1.
Como los coeficientes de x2 e y2 son distintos a la unidad, dividimos por 4:
2.
No tiene término en xy.
3.
Es una circunferencia, ya que se cumplen las tres condiciones.
4) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.
5) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.
6) Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y
+ 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.
7) Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación
,y
que pasa por el punto (-3,4).
Por ser concéntricas tienen el mismo centro.
8) Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de
esta circunferencia?
9) Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia
sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.
que
10) Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la
recta: x + y + 4 = 0.
11) Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es
halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
Mediatriz
y cuyo centro se
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es perpendicular al
él.
Dibujo de la mediatriz de un segmento
1. Trazamos el segmento AB.
2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento AB.
3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera.
4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias es la mediatriz del segmento AB.
Punto medio de un segmento
La intersección de la mediatriz con la segmento AB es el punto medio M.
Mediatrices de un triángulo
Las mediatrices de un triángulo son cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su
punto medio.
Circuncentro
El circuncentro es el punto de corte de las tres mediatrices.
El circuncentro es el centro de una circunferencia circunscrita al
triángulo.
Ecuación de la mediatriz
Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de los extremos.
Ejercicio 1: Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2 , 5) y B(4, -7).
Ejercicio 2: Una recta de ecuación r ≡ x + 2y - 9 = 0 es mediatriz de un segmento AB cuyo extremo A
tiene por coordenadas (2,1). Hallar las coordenadas del otro extremo.
Representación gráfica de parábolas.
Re pr e se nta c ión grá fic a de la pa r á bola
P od e mo s co n strui r un a p a ráb o la a pa rti r de esto s pu n to s:
1 . Vé r tic e
P o r el vé rti ce p a sa e l ej e d e si me tría d e l a pa rá b ol a .
2 . P untos de c or te c on e l e je OX
E n el ej e d e ab sci sa s l a seg u n da coo rd e na d a e s ce ro , p o r l o qu e ten d re mo s qu e
re so l ve r l a e cu a ció n ax ² + bx + c = 0
para resolverla usamos la fórmula:
Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de
intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).
Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:
Que corte al eje X en dos puntos distintos s i b² − 4 a c > 0
Do s pu n to s d e co rte : (x 1 , 0 ) y (x 2 , 0 )
Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x) s i b² − 4 a c = 0
Un pu n to d e co rte : (x 1 , 0 )
Que no corte al eje X s i b ² − 4 a c < 0
N ingún punto d e co rte
3 . Pu n to de co rte co n e l e je OY
E n el ej e d e o rd e n ad a s la p ri me ra co o rd en a d a e s ce ro , p o r lo qu e te n d re mo s:
f ( 0 ) = a · 0 ² + b · 0 + c = c ( 0 , c ) Punto de corte en el eje de las ordenadas (eje Y)
(0, c)
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
x
-3 -2
-1 -0'5 0
0'5
1
2
3
f(x) =
9
4
1 0'25 0 0'25 1
4
9
x2
Esta curva simétrica se llama parábola.
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
x
-1 0
1
2
3
4
f(x) 0 -3 -4 -3
0
5
Completando la gráfica obtengo:
Ej e mp lo : R ep re se n ta r la fu n ci ó n f(x) = x² − 4 x + 3 .
1 . V é rti ce
x v = − (−4 ) / 2 = 2
y v = 2² − 4 · 2 + 3 = −1
V (2 , −1 )
2 . P u n to s d e co rte co n el ej e OX
x² − 4 x + 3 = 0
(3 , 0)
3 . P u n to d e co rte co n el ej e O Y
(1 , 0)
(0 , 3 )
http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica.html
Si a > 0 (positivo) la parábola tiene forma de U, como en
f(x) = 2x2 − 3x − 5
Si a < 0 (negativo) la parábola tiene forma de
colina, como en f(x) = −3x2 + 2x + 3
Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.
Ejercicio: Representa la función f(x) = x² − 4x + 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en +3
Representa la función f(x) = x² − 4x − 3
El eje de las ordenadas (Y) está cortado en −3
Observar que la parábola siempre cortará al eje de las ordenadas (Y), pero como ya vimos más
arriba al eje de abscisas (X) puede que no lo corte, lo corte en dos puntos o solamente en uno.
Eje de simetría o simetría
Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.
El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es
decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo
que refleja la mitad de la parábola.
Su ecuación está dada por:
Donde x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.
De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:
Vértice
Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto
de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas
0
