26 Teoria de conjuntos

Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Curso Iberoamericano de formación permanente de
profesores de matemática
Tema 26: Conjuntos
-1-
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Teoría de conjuntos
Contenido de este documento:
Introducción histórica.
Primeros conceptos sobre conjuntos.
Operaciones con conjuntos.
Propiedades. Estructura de Álgebra de Boole. -álgebra.
Producto de conjuntos.
Relaciones binarias.
Propiedades de las relaciones binarias homogéneas.
Casos de relaciones binarias homogéneas.
Relaciones binarias heterogéneas o correspondencias.
Correspondencias univocas y biunívocas.
Aplicaciones.
Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
Introducción histórica.
En el último cuarto del siglo XIX se vivió un episodio apasionante de la
historia de las matemáticas que las ligaría desde entonces a la historia de
la lógica.
Primero, Georg Boole (1815-1864) en su Mathematical Analysis of Logic
trató de presentar la lógica como parte de las matemáticas. Poco después
Gottlob Frege (1848-1925) intentó mostrar que la aritmética era parte de
la lógica en su Die Grundlagen der Arithmetik. Pero, dando un gran paso
tanto en la historia de las matemáticas como en la historia de la lógica,
Georg Cantor (1845-1918) se había adelantado a Frege con una
fundamentación lógica de la aritmética. Cantor había demostrado que la
totalidad de los números comprendidos en el intervalo de extremos 0 y 1
no es numerable, en el sentido de que su infinitud no es la de los
números naturales. Como una consecuencia de esa situación, Cantor creó
una nueva disciplina matemática entre 1874 y 1897: la teoría de
conjuntos.
Su obra fue admirada y condenada simultáneamente por sus
contemporáneos. Desde entonces los debates en el seno de la teoría de
conjuntos han sido siempre apasionados, sin duda por hallarse
estrechamente conectados con importantes cuestiones lógicas.
Según la definición de conjunto de Cantor, se trata de “una colección en
un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o
-2-
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto”. Frege fue
uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor, y dio una definición
de conjunto similar.
En 1903 Bertrand Russell demostraría que la teoría de conjuntos de
Cantor era inconsistente y cuestionaría la definición de conjunto dada por
él.
Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1908) y refinamientos de
ésta debidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y
otros, sentaron las bases para llegar a la teoría de conjuntos actual.
Es indiscutible el
matemática donde
resto de partes de
en particular, de la
hecho de que la teoría de conjuntos es la teoría
fundamentar el álgebra, la aritmética, el análisis y el
las matemáticas. Es también una parte de la lógica y,
lógica de predicados.
En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov (1903-1987)
propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado
en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos
años antes por Lebesgue, Borel y Frechet, entre otros.
Hoy deberíamos abrir las puertas de la teoría de conjuntos a los
conjuntos borrosos. Ciertamente, el conjunto de los números reales
mucho más grandes que 1, de las flores hermosas o de las imágenes
nítidas no constituyen conjuntos en sentido matemático tradicional. En
1920 Jan Lukasiewicz, desarrolló la primera lógica de vaguedades. Para él
los conjuntos tienen un posible grado de pertenencia con valores que
oscilan entre 0 y 1, y en este intervalo existen un número infinito de
valores. El padre del término "borroso" fue Lofti Asier Zadeh cuando en
1965 publicó Fuzzy Sets (Conjuntos Difusos).
En 1974, Assilian y Mamdani en el Reino Unido, desarrollaron el primer
controlador difuso diseñado para la máquina de vapor. En 1987 Hitachi
usa un controlador fuzzy para el control del tren de Sendai, este año es
considerado como el "fuzzy boom" debido a la gran cantidad de productos
basados en Lógica Borrosa que se comercializan.
En este tema solo se presenta la teoría intuitiva de conjuntos, basada en
la original de Cantor.
-3-
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Primeros Conceptos sobre Conjuntos
Si bien el concepto de conjunto no admite una definición precisa, podemos
entender de manera intuitiva que un conjunto es una colección de
objetos a los que llamamos elementos. Se dice que un objeto pertenece
a un conjunto si es uno de sus elementos.
También se considera conjunto al que carece de elementos y lo llamamos
conjunto vacío, denotado con el símbolo .
Un conjunto está bien definido cuando se sabe si un determinado
elemento pertenece o no al conjunto. Un conjunto se puede definir o
determinar de dos formas:
- por extensión, si se enumeran todos sus elementos, encerrados entre
llaves. Por ejemplo: {a,e,i,o,u}
- por comprensión, dando una propiedad que sólo cumplan sus elementos,
también entre llaves. Por ejemplo: {x | x es una vocal}
Nota: {x | x es una vocal} se leería: el conjunto formado por los “x”
tales que “x” es una vocal.
Si todo elemento de un conjunto B es también elemento de un conjunto A
entonces B es subconjunto de A. Decimos en este caso que B está
incluido o contenido en A.
Consideremos el objeto  y los conjuntos A y B.
Escribimos   A si  pertenece a A,   A en caso contrario.
Escribimos B  A si B está incluido en A, B  A en caso
contrario.
Todo conjunto tiene por subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío. Dado
un conjunto A, llamamos subconjunto propio a aquel que no sea el vacío
o A; a éstos los llamaremos subconjuntos impropios.
Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.
Esto es, cuando todo elemento de A pertenece también a B, y cuando
todo elemento de B lo es también de A.
En términos de pertenencia cuando
  A si y solo si   B.
En términos de inclusión cuando
B  A y A  B.
Conjunto potencia o conjunto de las partes de un conjunto A es el
formado por todos los subconjuntos de A y se denota por P(A).
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3}. Entonces:
P(A) = {{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Es fácil comprobar que, si A tiene n elementos, P(A) tiene 2n.
Cardinal del conjunto A es el número de elementos que lo determinan.
-4-
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Se simboliza Card(A), (A) o A.
El cardinal clasifica los conjuntos en finitos e infinitos.
Ejemplos
Consideremos tres conjuntos A, B y C que determinaremos a continuación
por extensión enumerando sus elementos.
A={ 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
B={ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
C={ 1, 2, 3, 6 }
Estos conjuntos se pueden definir también por comprensión enunciando
una propiedad que los caracterice.
A={ nN  n es divisor de 18 }
cuyo cardinal es (A)=6.
B={ nN  n es divisor de 12 }
cuyo cardinal es (B)=6.
C={ nN  n es divisor de 6 }
cuyo cardinal es (C)=4.
Podemos observar que 6 es un elemento de A, decimos por tanto que 6
pertenece a A y lo escribimos así 6A.
En cambio 9 no pertenece a B. 9B.
Como los elementos de C son también elementos de B decimos que C es
un subconjunto de B. Además es un subconjunto propio pues no es B ni
es vacío.
- Decimos C está incluido o contenido en B y lo escribimos así C  B.
En cambio no todos los elementos de A son también elementos de B, por
tanto A no es subconjunto de B, no está incluido en B y lo escribimos así
A  B.
Vamos a determinar el conjunto de partes de C, pero antes observaremos
que puesto que C tiene 4 elementos, P(C) tendrá 24=16 elementos.
Los elementos de P(C) son subconjuntos de C que clasificamos por su
cardinal.
Subconjuntos
Subconjuntos
Subconjuntos
Subconjuntos
Subconjuntos
de
de
de
de
de
Card=0
Card=1
Card=2
Card=3
Card=4

{1}, {2}, {3}, {6}
{1,2}, {1,3}, {1,6}, {2,3}, {2,6}, {3,6}
{1,2,3}, {1,2,6}, {1,3,6}, {2,3, 6}
{1,2,3,6}
Tenemos, en efecto, un total de 16 conjuntos.
Por lo tanto podemos escribir:
P(C)={ ,{1}, {2}, {3}, {6},{1,2}, {1,3}, {1,6}, {2,3}, {2,6},
{3,6},{1,2,3}, {1,2,6}, {1,3,6}, {2,3, 6}, C}
-5-
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Operaciones con Conjuntos.
Cuando en determinado contexto se tratan solo conjuntos que son partes
de uno dado U, llamamos a éste conjunto universal o de referencia.
Definiremos ahora operaciones sobre P(U).

Llamamos unión de dos conjuntos A y B al formado por objetos que
son elementos de A o de B, y lo denotamos por A  B.
A  B = {  U |   A    B}.
Esta notación matemática se lee: A unión B es igual a los 
pertenecientes a U tales que  pertenece a A o  pertenece a B.
unión.

Apréciese que si  pertenece a ambos conjuntos, pertenece a la
Llamamos intersección de dos conjuntos A y B al formado por
objetos que son elementos de A y de B, elementos comunes, y lo
denotamos por A  B. Dos conjuntos son disjuntos si A  B=.
A  B = {  U |   A    B}.
Esta notación matemática se lee: A intersección B es igual a los 
pertenecientes a U tales que  pertenece a A y  pertenece a B.
común.


Nótese que los conjuntos disjuntos no tienen ningún elemento en
Llamamos complementario del conjunto A respecto a U, o
simplemente complementario, al formado por objetos que son
elementos de U pero no de A, y lo denotamos por AC.
AC = {   U |   A }.
Es claro que un conjunto y su complementario son conjuntos
disjuntos.
El complementario relaciona U y  de la siguiente forma:
UC= y C=U.
Además de estas operaciones principales se consideran otras dos:

Llamamos diferencia de dos conjuntos A y B al formado por objetos
que son elementos de A pero no de B, y lo denotamos por A – B
A - B = {  U |   A    B}.
Es fácilmente comprobable que A - B = A  BC
Nótese que A
–
B es distinto de B
-6-
–
A.
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

Llamamos diferencia simétrica de dos conjuntos A y B al formado
por objetos que son elementos de A o de B pero no de ambos, y lo
denotamos por A  B= (A - B)  (B - A) = (A  B) - (A  B)
Ejemplos
Consideremos el conjunto A formados por los
divisores de 18 y el conjunto de referencia U
formado por los números naturales menores que
20.
Representación con Diagramas de Venn.
Se colocan los elementos de U en el rectángulo
y los de A dentro de la región sombreada.
El complementario de A estaría formado por
los elementos de U que no son de A y se colocan
por tanto fuera de la región marcada.
A={ 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
AC={ 0, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 19 }
Como los elementos de U son de A o de AC, U es la unión de ambos.
Escribimos ( A  AC )= U y decimos que A y AC recubren U.
Como A y AC no tienen elementos comunes su intersección es vacía.
Escribimos ( A  AC )= y afirmamos que A y AC son disjuntos.
Es decir, que hemos “partido” U en dos y por eso A y AC forman una
partición de U. Obviamente, se pueden establecer más particiones de U.
Consideremos en U además el conjuntos B formado por los divisores de
12.
A={ 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
B={ 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
Unión: Elementos de A o de B.
AB={ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 } (AB)=8
Intersección: Elementos de A y de B.
AB={ 1, 2, 3, 6 }
(AB)=4
Esta intersección nos permite establecer el
concepto de Máximo Común Divisor. En
efecto, observando los elementos de esa intersección formada por los
divisores comunes de 12 y 18 se tiene que el 6 es el mayor de los
elementos de la intersección. Por tanto: MCD(12,18)=6.
Diferencia de A y B: Elementos de A y no de B.
-7-
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
A-B= ABC ={ 9, 18 }
(A-B)=2
Diferencia de B y A: Elementos de B y no de A.
B-A= BAC ={ 4, 12 }
(A-B)=2
Diferencia simétrica: Elementos de A o de B pero no de ambos.
AB= (AB) - (AB)={ 4, 9, 12, 18 }
(AB)=4
Cardinal de la unión: (AB)=(A)+(B)-(AB)
Es fácil de justificar pues si para obtener el número de elementos de la
unión sumamos los que tiene A con los que tiene B, entonces hemos
considerado la intersección dos veces y por eso debe restarse.
Esta propiedad es una de las muchas propiedades que comparte el
cardinal con la probabilidad o el área por el hecho de ser medidas
definidas sobre P(U).
En una representación con Diagramas de Venn los elementos de U se
repartirían por las 4 zonas en que hemos “partido”
el conjunto.
Zona1 elementos de A y no de B= (ABC).
Zona2elementos de A y de B= (AB).
Zona3elementos de B y no de A= (ACB).
Zona4elementos que no son ni de A ni de B=
(ACBC).
Con esta representación podemos hacer la
siguiente observación.
A  Zona1 y Zona2. B  Zona2 y Zona3.
A  B  Zona1, Zona2 y Zona3.
(A  B)C  Zona4
AC  Zona3 y Zona4. BC  Zona1 y Zona4.
AC  BC  Zona4.
Por tanto (A  B)C = BC  AC. Esta es una de las leyes de De Morgan. Esta
argumentación, que es una demostración, nos lleva a certezas en las
propiedades de las operaciones con los conjuntos y las medidas sobre
ellos.
Propiedades. Estructura de Álgebra de Boole. -álgebra
PROPIEDADES
UNIÓN
INTERSECCIÓN
Idempotencia
AA=A
AA=A
Conmutativa
AB=BA
AB=BA
Asociativa
A(BC)=(AB)C
A(BC)=(AB)C
A(AB)=A
A(AB)=A
Absorción
simplificación
o
-8-
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Distributiva
A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC)
Complementariedad
A  AC = U
A  AC = 
Estas propiedades hacen que P(U) con las operaciones unión e intersección
tenga una estructura de álgebra de Boole.
Conviene observar el principio de dualidad por el que toda propiedad cierta lo
será también si se intercambia  y  así como  y U.
Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades:
Elemento neutro
A=A
AU=A
Identidad
AU=U
A=
Leyes de De Morgan
(A  B)C = BC  AC
(A  B)C = BC  AC
Propiedades del complementario:
Se deduce también que:
- UC=
- C=U.
- (AC)C=A (involución)
- A  B  BC  AC
Relación de inclusión:
  (AB)  A  (AB)  U.
  (AB)  B  (AB)  U.
Recubrimiento es una colección de conjuntos cuya unión es igual a U.
Una partición es un recubrimiento formado por conjuntos no vacíos dos a
dos disjuntos.
{Ai:iN} recubrimiento de U  U=iN Ai
{Ai:iN} partición de U  U=iN Ai, Ai i, AiAj= ij
Llamamos σ-álgebra (léase sigma-álgebra) a cualquier subconjunto V de
P(U) que sea cerrado bajo uniones, intersecciones y complementarios,
tanto finitas como infinitas numerables; es decir al realizar operaciones
con elementos de V obtenemos resultados que también están en V.
-
V  P(U) σ-álgebra 
 {Ai:iN}  V AiC  V,
(iN Ai)  V , (iN Ai)  V
Las σ-álgebras se usan principalmente para definir medidas en U, como
por ejemplo la probabilidad o el propio cardinal.
-9-
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Producto de Conjuntos.
Par ordenado es un objeto matemático formado por dos entes dados en
un orden determinado. Se simboliza (a,b).
Igualdad. Dos pares son iguales si lo son sus correspondientes
componentes entre sí, es decir: (a,b)=(c,d)  a=c y b=d.
Sean A y B dos conjuntos arbitrarios se llama producto cartesiano de A
y B, y se representa por AxB, al conjunto formado por los pares
ordenados (a,b) en los que aA y bB.
AxB={ (a,b)  aA y bB }
El producto de un conjunto A por si mismo se denota A2= Ax A
Cardinal. El número de elementos de AxB se obtiene multiplicando los de
A por los de B esto es: Card(AxB)= Card(A)xCard(B).
Propiedades

Conmutatividad. En general AxB  Bx A

Distributividad. Sean A,B,C  U. Se verifica:
o Ax(BC)=(AxB)(AxC)
(AB)xC=(AxC)(BxC)
o Ax(BC)=(AxB)(AxC)
(AB)xC=(AxC)(BxC)

Conjunto vacío. AxB=  A= o B=

Inclusión. Si AxB entonces CxD  AxB  C  A y D  B
El producto de un conjunto por sí mismo puede realizarse tres, cuatro o n
veces y sus elementos los llamaremos, respectivamente, ternas,
cuaternas o n-uplas.
Ejemplos
- Siendo A y B los conjuntos indicados, los elementos del conjunto
producto C=AxB en este caso estarían formados por pares ordenados
(camisa,pantalón). El cardinal de C es el número de combinaciones que
podemos formar: 3x2=6 en total.
(C)=(A)(B)=32=6
- 10 -
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
- Consideremos el conjunto dicotómico D={0,1}.
El producto D3= DxDxD está formado por las ternas:
D3={ (000),(001),(010),(011),(100),(101),(110),(111) }
Además:
(D3)=(D) (D)(D)=((D))3=23=8
- Sea U={a,b,c}, con D3 podemos obtener todos sus subconjuntos, es
decir todos los elementos de P(U), asignando a cada elemento de D3 un
subconjunto de U:
El 0 en la primera componente indica que “a” no pertenece al conjunto, el
1 que si, el 0 en la segunda componente indica que “b” no pertenece al
conjunto, el 1 que si, y lo mismo con “c” y la tercera componente.
(000) S1={}
(001) S2={c}
(010) S3={b}
(011) S4={b,c}
(100) S5={a}
(101) S6={a,c}
(110) S7={a,b}
(111) S8={a,b,c}
Hemos visto que P(U) y D3 tienen el mismo cardinal, (P(U))=(D3).
Lo mismo podríamos hacer si U tuviera “n” elementos en cuyo caso
(P(U))=(Dn)=2n.
Relaciones binarias.
Una relación binaria R entre elementos de dos conjuntos A y B es un
subconjunto de AxB.
Se dice que “a” está relacionado con “b” si el par que forman pertenece a
la relación, es decir: a R b  (a,b)  R.
La relación se puede determinar enumerando los pares ordenados que
forman R o estableciendo una propiedad que solo verifican los pares que
pertenecen a la relación.
Relación homogénea es la relación binaria que se establece entre
elementos del mismo conjunto. Una relación binaria R entre elementos de
A es un subconjunto de AxA.
Relación heterogénea o Correspondencia es la que se establece entre
elementos de conjuntos distintos.
- 11 -
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Relaciones homogéneas.
Propiedades de las relaciones binarias homogéneas.
Reflexiva. Una relación verifica la propiedad reflexiva si todo elemento
está relacionado consigo mismo.
- R  A2 reflexiva  (a,a)  R,  a  A.
Irreflexiva. Una relación verifica la propiedad irreflexiva si ningún
elemento está relacionado consigo mismo.
- R  A2 irreflexiva  (a,a)  R,  a  A.
Una relación puede no ser reflexiva ni irreflexiva; basta con que haya
algún elemento relacionado consigo mismo y alguno que no lo sea.
Simétrica. Una relación verifica la propiedad simétrica cuando para cada
par de elementos a,b distintos tales que “a” está relacionado con “b” se
verifica que “b” lo está con “a”.
- ab  (a,b) R  (b,a) R.
Antisimétrica es aquella en la que dados dos elementos a,b distintos, si
“a” está relacionado con “b” entonces “b” no lo está con “a”.
- ab  (a,b) R  (b,a) R.
Por tanto
(a,b) R  (b,a) R  a=b.
Una relación puede no ser simétrica ni antisimétrica, basta con que haya
un par de elementos que cumplan la condición de simetría y otro la de
antisimetría.
Transitiva es aquella en la que (a,b) R  (b,c) R  (a,c) R.
Circular es aquella en la que si (a,b) R y (b,c) R entonces (c,a) R.
Conexa es aquella en la que dados dos elementos a,b distintos o “a” está
relacionado con “b” o “b” lo está con “a” y se dice en este caso que todos
los elementos son comparables por R.
- Si ab  (a,b) R o (b,a) R.
Casos de relaciones binarias homogéneas.
Relación de orden es aquella que verifica las propiedades reflexiva,
antisimétrica y transitiva.
Relación de orden total es una relación de orden conexa; en caso
contrario la relación es de orden parcial.
- 12 -
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Relación de orden estricto es aquella que verifica las propiedades
irreflexiva, antisimétrica y transitiva.
Ejemplo

La reunión familiar anual ha congregado una veintena de personas
sobre las que se ha establecido la relación “ser descendiente de”.
Veamos que se trata de una relación parcial de orden estricto.
-
Como una persona no puede ser descendiente de si misma, la
relación es irreflexiva.
-
Si, por ejemplo, María desciende de Pedro entonces Pedro no es
descendiente de María. La relación es antisimétrica.
-
Si además Pedro desciende de Luis, entonces María es descendiente
de Luis. La relación es transitiva.
-
No tenemos a todos los asistentes relacionados por ser
descendientes pues si Lupe y Alex son hermanos, entonces ninguno
desciende del otro. La relación no es conexa.

La relación  ( ab  b-aN) sobre los números enteros es una
relación de orden total.

Dado un conjunto U, en el conjunto de las partes de U, P(U), la
inclusión ⊂ es una relación de orden parcial.
Relación de equivalencia es aquella que verifica las propiedades
reflexiva, simétrica y transitiva.
Clase de equivalencia de xA, módulo R, es el conjunto de todos los
elementos de A relacionados con x por R. Se denota por
[x]={ aA  a R x }
Conjunto cociente de A, módulo R, es el conjunto que tiene por elementos
las clases de equivalencia que R determina en A. Se denota A/R.
Teorema
1.
Toda relación de equivalencia en A establece una partición de A.
2.
Toda partición de A establece una relación de equivalencia en A.
Ejemplo
En el conjunto de los números naturales N, definimos la siguiente
- 13 -
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
relación: Tomado el par de elementos (a,b) cualesquiera, decimos que “a
está relacionado con b” mediante la relación R y lo representamos por
a R b si al dividirlos por 3 dan el mismo resto, es decir: las divisiones
(a:3) y (b:3) tienen el mismo resto
Se trata de una relación de equivalencia.
Se denota también ab (mod 3) y decimos que “a” es equivalente a “b”
módulo 3. Como esta división solo tiene tres posibles restos que son 0,
1 y 2, entonces se tienen solo tres clases de equivalencia:
Clase del 0: [0]={3n  nN }
Clase del 1: [1]={1+3n  nN }
Clase del 2: [2]={2+3n  nN }
Estos tres conjuntos establecen una partición de los números naturales
pues cualquiera que sea el número natural que se tome, estará en una y
solo una de estas clases. Además, la unión de las tres es igual a N.
El conjunto cociente está formado por tres elementos que son las tres
clases de equivalencia es decir: N/R ={ [0] , [1] , [2] }
Relaciones binarias heterogéneas o correspondencias.
Aunque una correspondencia es una relación, se entiende que hace
corresponder unos elementos a otros más que ponerlos en relación.
Si G  AxB es una correspondencia nos referimos a ella como g: AB
Si (a,b)G además de decir que “a” y “b” están relacionados por G
diremos que “g” hace corresponder “b” a “a” y escribiremos b=g(a).
Lo normal en las correspondencias es que se tenga b=g(a) y a partir de
esto se construye el subconjunto G  AxB.
- Por tanto G  AxB  g: AB y (a,b)G  b=g(a).
 Si G  AxB entonces decimos que A es el conjunto inicial y B el
conjunto final.
 Si b=g(a) entonces decimos que “b” es imagen de “a” por g y “a”
original de “b”.
 Llamamos conjunto origen al formado por los elementos del
conjunto inicial, que están relacionados con algún elemento del
conjunto final, lo representaremos Or(G).
 Llamamos conjunto imagen al formado por los elementos del
conjunto final con los que están relacionados los elementos del
conjunto origen, lo representaremos Im(G).
- 14 -
Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI
Si
G  AxB
es una correspondencia entre A y B, llamamos
correspondencia inversa G-1  BxA a la que se establece entre B y A
convirtiendo al original en imagen y la imagen en original:
- Por tanto (b,a)G-1  (a,b)G y a=g-1(b)  b=g(a).
Correspondencia unívoca es aquella en la que el elemento del conjunto
inicial que tiene imagen tiene una sola.
O también:
- ( b1=g(a)  b2=g(a) )  b1=b2.
Correspondencia biunívoca una correspondencia unívoca en la que el
elemento del conjunto final que tiene original tiene uno solo.
O también:
- ( b=g(a1)  b=g(a2) )  a1=a2
Una correspondencia es biunívoca si y solo si es unívoca y su inversa
también.
Aplicación es una correspondencia unívoca en la que todo elemento del
conjunto inicial tiene imagen. Cuando los conjuntos inicial y final son
numéricos suele referirse a las aplicaciones con el término funciones.
Aplicación inyectiva es aquella en la que el elemento del conjunto final
que tiene original tiene uno solo. Es decir:
- g(a1)=g(a2)  a1=a2 o equivalentemente a1a2  g(a1)  g(a2).
Aplicación sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva o exhaustiva) es
aquella en la que todo elemento del conjunto final tiene original:
-  b B,  a A  b=g(a).
Aplicación biyectiva es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Esta es la representación gráfica de
correspondencia entre los conjuntos A y B.
La correspondencia G  AxB es la siguiente:
G={(2,a),(2,e),(4,b),(5,e)}
Conjunto
Conjunto
Conjunto
Conjunto
una
inicial: A={1,2,3,4,5}
final: B={a,b,c,d,e}
original: Or(G)={2,4,5}
Imagen: Img(G)={a,b,e}
Los elementos del subconjunto
{1,3} de A no
tienen imagen. Además, el elemento 2 de A tiene
dos imágenes. Los de {c,d} de B no tienen original;
e tiene dos.
- 15 -
Curso Iberoamericano de formación permanente de profesores de matemática
Esta es una correspondencia en la
el elemento que tiene imagen tiene
sola.
Es
por
tanto
correspondencia
unívoca.
embargo no es biunívoca pues hay
imagen con dos originales.
que
una
una
Sin
una
Esta es la correspondencia inversa de
la anterior en la que se invirtieron
los papeles de A y B.
Si G fuere biunívoca G-1 sería
unívoca, pero no es el caso.
Esta aplicación no es inyectiva
pues hay dos elementos en A que
compartan imagen. Y tampoco es
suprayectiva
pues
hay
un
elemento en B sin original.
Esta aplicación es a la vez inyectiva
y suprayectiva, por tanto biyectiva.
Su inversa también es aplicación y
además biyectiva.
- 16 -