Función de Onda: Teoría y Ejemplos Resueltos

FUNCION DE ONDA Y
18 de marzo
de 2008
Teoría que explica el comportamiento de partículas microscópicas , creado por Edwin
Schrodinger, Werner Heisenberg (1925 a 1926)
¿Qué está haciendo el electrón?
"Si preguntamos si la posición del electrón permanece
constante, hemos de responder que NO.
Si preguntamos si la posición del electrón cambia en el tiempo,
hemos de responder que NO.
Si preguntamos si el electrón está en reposo, hemos de
responder que NO.
Si preguntamos si el electrón está en movimiento, hemos de
responder que NO."
JR Oppenheimer
Born, Max (1882 - 1970).
Nacimiento: 11 de diciembre de 1882 .Breslau, Polonia
Fallecimiento: 5 de enero de 1970. Göttingen, Alemania
Max Born fue un matemático y científico alemán. Ganó el Premio Nobel de Física en
1954, compartido con el físico alemán Walter Bothe. Born fue el único hijo de Gustav Born
y Margarete Kauffmann y el padre de G. V. R. Born. Huyó de Alemania en 1933,
escapando del nazismo estableciéndose en Gran Bretaña hasta 1953. Born fue también
uno de los once firmantes del Manifiesto Russell-Einstein.
La interpretación de la  fue sugerida por Max Born .
Max Born, publicó un artículo en 1924 denominado «Zur Quantummechanik», y en éste,
por primera vez, se usa la expresión «mecánica cuántica», pasando a constituirse en un
concepto permanente de la física. Born,
¿Cuál es la wavefunction «»? ¿Qué significa?
Born sugirió que el único aspecto observable de la
wavefunction era su cuadrado, y no la wavefunction
en sí misma. Sostuvo que la interpretación correcta
de la wavefunction era que el cuadrado en un punto
dado en espacio era proporcional a la probabilidad
de encontrar la partícula en ese punto en el
espacio. El cuadrado se llama la densidad de la
probabilidad mientras que la wavefunction la
amplitud de la probabilidad.
En 1921, Born reformuló la primera ley de la
termodinámica y fue nombrado profesor titular de
cátedra en Göttingen. En 1926, colaboró con Pauli y
su estudiante Heisenberg en la teoría cuántica. En
esta colaboración, Born reconoció que los aprontes
que había realizado Heisenberg sobre la mecánica
cuántica correspondían a matrices algebraicas.
Lic. José Luis Moreno Vega
FISICA CUANTICA
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En 1933, con la caída de la República Alemana, fue destituido de la cátedra por el
nazismo y abandonó su patria para continuar su labor en Inglaterra, donde fue profesor de
las universidades de Cambridge
y Edimburgo, hasta su jubilación "Ahora estoy convencido de que la
en 1953, y regresó por fin a Bad- física teórica es la verdadera
Pyrmont.
filosofía."
En 1936, le asignaron una
cátedra en Edimburgo. Allí, formó un centro de investigación integrado por profesionales
refugiados europeos. Uno de sus estudiantes de ese centro describió así los días de Born
en Edimburgo:
Cuando Born llegaba en las mañanas lo primero que hacía era una ronda a sus
estudiantes de investigación, preguntándoles si tenían algún progreso a divulgar,
dándoles consejos, o presentándoles a veces hojas de cálculos referentes a sus
problemas que él mismo había confeccionado el día anterior... El resto de la
mañana Born lo dedicaba a impartir clases a sus estudiantes de diplomado, atender
los aspectos administrativos de su cátedra, y realizar sus propios trabajos de
investigación. No obstante, la mayoría de las veces, esas labores investigativas las
realizaba en su casa después de sus horas de trabajo en la universidad.
Le concedieron el premio Nobel en 1954, por sus estudios estadísticos de las funciones
de la onda. Recibió muchos otros honores, demasiados para ser enumerados en su
totalidad. Pero entre ellos se destacan el nombramiento de miembro de la Royal Society
en 1939 y el otorgamiento de la medalla Hughes en 1950:
''Por la labor fundamental en mecánica cuántica,
interpretación probabilística de la función de la onda"
especialmente
por su
Olivia Newton John:
Hija de madre alemana, nacida en Cambridge, Inglaterra.
Actríz de películas como Grease y Xanadú, además de
intérprete de las bandas sonoras. Cantante, aparte de las
canciones de películas antes mencionadas, "Physical" es otra
canción con la que también fue exitosa y recordada.
¿Relación?
Max Born es abuelo de Olivia Newton John.
A lo mejor "Let´s get physical" tenía otra intención....
Lic. José Luis Moreno Vega
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Enlace conceptual entre partículas y ondas, con probabilidades
Sean :
PROBABILID AD N
  I  E2
V
V
Donde : N = Numero de fotones
I = Intensidad radiación
E = Campo electrico
Al reconocer la dualidad onda-particula de la radiación electromagnetica y la materia ;
tambien puede ser :
PROBABILID AD
 E2
V
PROBABILID AD
 (amplitud onda) 2
V
Amplitud de probabilidad
Función de onda = 
En general : Posición y tiempo :
 (r1 , r2 , r3......., rj ,........, t )   (rj ) 
Donde : w = frecuencia angular =
Tambien : Posición de onda :
e iwt
2  f
 ( x)  A  e
Donde : k = numero de onda angular =
ikx
2

A = amplitud = constante
Notas :
i)
No es posible medir 
ii)
iii)
Podemos medir :  = densidad de probabilidad
Probabilidad de hallar la partícula:
2
b
Pab    dx
2
a
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iv)
Condición de normalización sobre 



v)
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 dx  1
2
Valor esperado para la posición x :

 x    *.x.dx

Donde 
*
También :
es la conjugada de 

2
  * 
Por ejemplo:
 ( x)  A  e
2 iax 2
 ( x)  A 
2 iax 2
*
vi)
e
Valor esperado para una función f(x) :

 f ( x)    *. f ( x).dx

Ejemplos:
1. Considere una partícula cuya función de onda es :
 ( x)  A 
e
 ax 2
a) ¿Cuál es el valor de A, si esta función de onda esta normalizada?
b) ¿Cuál es el valor esperado de x para esta partícula
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Solución


Sabemos :  
Reemplazando :
2
dx  1




2
ax2
A  e dx  1

Simplificando : 
A  e  dx  1
2 ax2
2
2
A



e 2 ax dx  1
2
0

2
2
A2  e 2 ax dx   e 2 ax dx  1
  
0

Descomponiendo la integral :
Pero la integrales son iguales, porque representan igual área:
Luego :

2

A 2 e 2 ax dx  1
 0


2
aplicando :
1  
2A 
 1
2
2
a


Luego :
0
 2a 
A 
 
2

e ax dx 
2
1 
2 a
1/ 4

(b) Sabemos :
Reemplazo :
 x    *.x.dx

 x  
A.e .x.A.e dx


 ax2
 x  A
2
Simplificando :
Descomponiendo :
Pero :

0



x.e
 ax2
 2 ax2
dx
0

2
2
 x  A2  x.e 2 ax dx   x.e 2 ax dx
  
0

0
x.e 2 ax dx  ( x).e 2 a (  x ) (dx)

2
2

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
b
a

0

0
0
x.e 2 ax dx  ( x).e 2 a (  x ) (dx)
2


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a
f   f
b
2


aplicamos :
( x).e 2 a (  x ) (dx)   x.e 2 ax dx
2
2
0


2 ax2
2 ax2

 x  A   x.e
dx   x.e
dx
 0

0
2
Luego reemplazo :
Entonces : <x> = A2[ 0 ]
<x> = 0
Dada la simetría de la  alrededor de x = 0 , no es de sorprender el resultado que la
posición promedio de la partícula se dé en x = 0
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Vol. II. 6º edicicion. Thomson.Pag.640.2005
Sección 19,1 : Interpretación de la mecánica cuántica
1. Un electrón libre tiene una función de onda :
esta en metros . Encuentre :
a) Su longitud de onda de De Broglie
b) Su cantidad de movimiento
c) Su energía cinética en eV
 ( x)  A  e
i ( 51010 ) x
donde x
Solución
(a) Sabemos :
k
(b) Sabemos : p 
h

2

 5  1010
despejo :   126 pm
reemplazo : p = 5,27  10-24kg.
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m
s
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( c) Sabemos :  
2
1
h
despejo k    
   2m
h
2mk
reemplazo : k = 95,5 eV
2. La función de onda para una partícula es :
 ( x) 
a
 (x  a 2
2
Para a>0 y    x  
Determine la probabilidad de que la partícula este situada en algún punto entre x = -a
y x= +a
Solución

a
Sabemos :
P    dx
dx
1
x
 arctg
2
a
a
x a
2
2
a
a
a
a a dx
a 1
x
P

dx


arctg
Reemplazo:
a  ( x 2  a 2 )  a x 2  a 2   a
a  a
a
Luego :
a 1
1
 a 1  1   1 1 1
arctg (1)  arctg (1) =  .  .  =  =

 a
a
  a 4 a 4  4 4 2
Consideremos una partícula confinada a una región unidimensional del espacio(aun
cuando la “caja” sea en una sola dimensión)
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CLASICA
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Requiere que encontremos la función de onda
apropiada que sea consistente con las condiciones
de esta situación
Debido a que las paredes son impenetrables, no existe
la probabilidad alguna de hallar la partícula fuera de la
caja.
De donde : (x) debe ser cero para x > 0 y x > L
Una función de onda debe ser continua en el espacio.
Por lo tanto :
Si  es cero fuera de las paredes, también debe
ser cero en las paredes, esto es:
xyL
Solo se permiten las funciones de onda que satisfacen estas condiciones de frontera.
La función de onda para una partícula en la caja se puede expresar como una función
senoidal real :
 2x 




 ( x)  A.sen
Donde :
 = longitud de onda de De Broglie
Si x = 0

Si x = L  ( L) 
 2L 
A.sen
0
  
Solo puede ser verdadera si :
2L

 n

2L
n
donde n = 1,2,3 …
Podemos expresar la función de onda en términos del numero cuántico n :
 2x 
 2x 
 nx 
 ( x)  A.sen
  A.sen
  Asen

  
 2L / n 
 L 
 nx 

L


 ( x)  Asen
Observe que aun cuando  puede ser positiva o negativa, 
Lic. José Luis Moreno Vega
2
es siempre positiva.
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También 
Además 
2
2
es cero en las fronteras.
es cero en otros puntos, dependiendo de n.
Los valores permitidos de la energía del sistema:
Pero : p 
h

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
En 
1 2 p2
mv 
2
2m
h
nh

2L / n 2L
1 2 p 2 nh / 2 L 
mv 

2
2m
2m
2
Reemplazando : E n 
 h2  2
.n
Simplificando : E n  
2 
 8mL 
n = 1,2,3, …
De esta expresión : la energía de la partícula esta cuantizada
Si n = 1
 h2  2
h2
.(1) 
E1  
2 
8
mL
8mL2


 h2  2
.(2)  E1.(2) 2  4 E1
Si n = 2 E2  
2 
8
mL


E2  4E1
 h2  2
.(3)  E1.(3) 2  9 E1
Si n = 3 E3  
2 
 8mL 
E3  9E1
Y así consecutivamente
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La PARTICULA NUNCA PUEDE ESTAR EN REPOSO
La mínima energía que puede tener, corresponde a n =1 , se denomina energía del
estado fundamental.
Este resultado contradice, el punto de vista clásico, en el cual E = 0 es un estado
aceptable, como son todos los valores positivos de E.
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Ejemplo 1: Un electrón ligado
Un electrón esta confinado entre dos paredes impenetrables que están a 0,2 nm una de
otra. determine los niveles de energía para los estados n =1,2 y 3
Solución
Para n = 1
h2
E1 
8me L2
reemplazo : E1  0,42eV
Para n = 2
E2  4E1
reemplazo : E2  37,7eV
Para n = 3
E3  9E1
reemplazo : E3  84,8eV
Ejemplo 2 : Cuantización de la energía para un cuerpo macroscópico
Una pelota de béisbol de 0,5 kg esta confinado entre las dos paredes rígidas de un
estadio que se pueden modelar como una caja de 100 m de longitud.
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a) Calcule la rapidez mínima de la pelota de béisbol
b) Que pasaría si se conecta un hit de modo que la pelota se mueva con una rapidez
de 150 m/s?¿Cual es el numero cuántico del estado en el que se encuentra ahora
la pelota?
Solución
Parte (a)
La rapidez mínima corresponde al estado n=1
Para n = 1
E1 
Como E  K 
h2
2
8m pelotaL
1 2
mv
2
E1  1,1  10 71 J
reemplazo
 2K 
tenemos : v  

 m 
1/ 2
reemplazo : v = 6,63  10-36 m/s
Parte (b)
Sabemos K 
1 2
mv
2
De la ecuación :
reemplazo : K 
 h2  2
.n
E n  
2 
 8mL 
1
0,51502  5,62  103 J
2
despejamos n 
Reemplazo n 
8mL2 E n
h2
8(0,5)(100) 2 (5,62  10 3
(6,626  10 34 ) 2
n = 2,26  1037
Este es un número cuántico excesivamente grande. La naturaleza cuantica del universo
no es evidente en el movimiento de objetos macroscópicos
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Sección 19,2 : Una partícula en una caja
3. Un electrón esta confinado a una región unidimensional en donde la energía de su
estado base (n=1) es 2 eV. (a) ¿Cuál es la longitud de la región? (b)¿Cuánta
energía se necesita para promover al electrón a su primer estado excitado?
Solución
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Sabemos :
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 h2  2
.n
E n  
2 
 8mL 
Si n = 1
E  2eVx
1,6  10 19 J
1eV
(a) L = ?
 h2  2
.(1)
E1  
2 
 8mL 
h2
L
Despejo L
8mE
Reemplazo : L = 0,434 nm
(b) Sabemos :
 h2  2
.(1)
E1  
2 
 8mL 
E2 = 4E1 = 4(2) = 8 eV
Luego :
E2 - E1 = 8 eV – 2 eV = 6 eV
4. Un electrón que tiene una energía de aproximadamente 6 eV se mueve entre
paredes rígidas que tienen 1 nm de separación. Encuentre (a) el número cuántico
n para el estado de energía que el electrón ocupa y (b) la energía precisa del
electrón.
Solución
(a) Sea L = 1 nm y
 h2  2
.n
En  
2 
8
mL


1,6  10 19 J  h 2  2
.n
 
Reemplazo 6eV 
2 
1eV
 8mL 
Simplifico : n = 3,99
n =4
(b)
 h2  2
.(1)
E1  
2 
 8mL 
Reemplazo : E1 = 0,38 eV
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5. Un electrón esta contenido en una caja unidimensional de 0,1 nm de longitud (a)
Dibuje un diagrama del nivel de energía para el electrón con niveles hasta de n = 4
. (b) Encuentre las longitudes de onda de de todos los fotones que pueden ser
emitidos por ele electrón al hacer transiciones hacia abajo que puedan, en ultima
instancia, llevarlo del estado n= 4 al estado n = 1
Solución
(a) Sea L = 0,1 nm y
Para n = 1
 h2  2
.n
En  
2 
8
mL


 h2  2
.(1)
E1  
2 
 8mL 
Simplifico : E1= 37,7 eV
Pero : En = E1  n2
Para n = 2
E2  4E1
Para n = 3
E3  9E1
Para n = 4
E3  16E1
= 150,8 eV = 151 eV
= 339,3 eV = 339 eV
= 603,2 eV = 603 eV
Dibujo
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Tambien :
n=2 a n=1
E2 = 151 eV
E1 = 37,7 eV
1,6  10 19 J hc
=
1Ev

  10 nm
1,6  10 19 J hc
=
1Ev

  4 nm
1,6  10 19 J hc
E4 - E1 = 565,3 eV x
=
1Ev

  2 nm
E2 - E1 = 113,3 eV x
n=3 a n=1
E2 = 339 eV
E1 = 37,7 eV
E3 - E1 = 301,3eV x
n=4 a n=1
E2 = 603 eV
E1 = 37,7 eV
n=3 a n=2
E3 = 339 eV
E2 = 151 eV
1,6  10 19 J hc
=
1Ev

  6 nm
1,6  10 19 J hc
=
1Ev

  4 nm
1,6  10 19 J hc
=
1Ev

  2 nm
E3 - E2 = 188 eV x
n=4 a n=3
E4 = 603 eV
E3 = 339eV
E4 - E3 = 264 eV x
n=4 a n=2
E4 = 603 eV
E2 = 151 eV
E4 - E2 = 452 eV x
6. Una partícula alfa en un núcleo puede ser modelada como una partícula que se
mueve en una caja de longitud 1  10-14 m(diámetro aproximado de un núcleo).Con
el uso de este modelo, estime la energía y la cantidad de movimiento de una
partícula alfa en su estado mas bajo de energía , (m  = 4  1,66  10-27kg)
Solución
(a) Sea L = 1  10-14 m y
 h2  2
.n
En  
2 
8
mL


m = 4  1,66  10-27kg)
 h2  2
.(1)
E1  
2 
 8mL 
Reemplazo : E1 = 0,516 nm
(b) Sabemos :  
Pero :
2mK 
h

h
2mk
p
Reemplazo : p = 3,31  10-20 kg.
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m
s
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7. Un láser de rubi emite luz de 694,3 nm. Suponga que la luz de esta longitud
de onda se debe a la transición de un electrón en una caja del estado n = 2
al estado n = 1.Encuentre la longitud de la caja.
Solución
  694,3nm
n=2 a n=1
 ?
 h2  2
.(1)
Sabemos : E1  
2 
 8mL 
Luego: E2 - E1 = 4E1 - E1= 3 E1=
(a) También : E1 
Luego :
E2  4E1
y
hc

hc
3
h2
hc
 E1 
2
3
8mL
Despejo L :
L
3h
8mc
Reemplazo : L = 0,794 nm
8. Un láser de rubí emite luz de .Suponga que la luz de esta longitud de
onda se debe a la transición de un electrón en una caja del estado n = 2 al
estado n = 1.Encuentre la longitud de la caja.
Solución
Por el razonamiento anterior :
 h2  2
.(1)
Sabemos: E1  
2 
 8mL 
Luego: E2 - E1 = 4E1 - E1= 3 E1=
(b) También : E1 
E2  4E1
y
hc

hc
3
h2
hc
 E1 
Luego:
2
3
8mL
Despejo L :
L
3h
8mc
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18 de marzo
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9. La energía nuclear potencial que enlaza protones y neutrones en un núcleo se puede
aproximar a veces mediante un pozo cuadrado. Imagine un patrón confinado en un
pozo infinitamente alto con una longitud de 10 fm , el diámetro nuclear típico. Calcule
la longitud de onda y la energía asociada con el fotón emitido cuando el protón se
mueve del estado n = 2 al estado base. ¿A que región del espectro electromagnético
pertenece esta longitud de onda?
Solución
 ?
n = 2 a n = 1 (energía)
Sabemos:
 h2  2
.(1) y E2  4E1
E1  
2 
 8mL 
Luego: E2 - E1 = 4E1 - E1= 3 E1=
hc

2
Luego:
h
hc

E

1
8mL2
3
Comparando :
Reemplazo datos:   201,6  10 15 m  202 fm
Energía:
E1 
hc
3
2
 hc  8m p L 
  
2
 3  h 
(ULTRAVIOLETA)(RAYOS GAMMA)
reemplazo : E1 = 6,16 MeV
10. Un protón esta confinado a moverse en una caja unidimensional de 0,2 nm de longitud
. (a) Encuentre la energía mas baja posible del protón. (b) ¿Qué pasaría si? ¿Cual es
la mas baja energía posible de un electrón confinado a la misma caja? (c)¿Cómo
puede explicar usted la gran diferencia en los resultados de los incisos (a) y (b)
Solución
 h2  2
.(1)
(a) Sabemos: E1  
2 
8
m
L
 p 
reemplazo: E1 = 5,13  10 3 eV
(b) Electrón :
 h2  2
.(1) reemplazo : E1 = 9,41 eV
E1  
2 
8
m
L
 e 
(c) El electrón tiene energía mas alta porque es de mucho
menor masa
Lic. José Luis Moreno Vega
FISICA CUANTICA
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FUNCION DE ONDA Y
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11. Utilice el modelo de la partícula en una caja para calcular los primeros tres niveles
de energía de un neutron atrapado en un núcleo de 20 fm de diámetro.¿Las
diferencias en el nivel de energía muestran un orden de magnitud realista?
Solución
 h2  2
.(1)
E

Sabemos: 1 
2 
8
m
L
 p 
E2  4E1
= 2,05 MeV
E3  9E1
= 4,62 MeV
E1 = 0,513 MeV
(b) SI
12. Un fotón con una longitud de onda  es absorbido por un electrón confinado a una
caja. En consecuencia, el electrón se mueve del estado n =1 al estado n = 4. (a)
Encuentre la longitud de la caja. (b)¿Cuál es la longitud de onda del foton emitido en
la transición de ese electrón del estado n = 4 al estado n = 2?
Solución
(a)
n=1 a n=4
 h2  2

.(1)
E

Tambien :
1
2 
8
m
L
 e 
E4  16E1
Entonces : E4 - E1 = 15 E1 =
hc

 h  hc

2 =
8
m
L
 e  
Reemplazo : 15  
Despejo L :
(b)
E4  16E1
E2  4E1
L
15h
8mc
E4 – E2 = 12 E1 =
Despejo  :
Lic. José Luis Moreno Vega
2
hc


hc
12E1
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