LA LIBERTAD EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y PLANIFICACIÓN CURRICULAR 8. Medición en geometría. Enfoque de competencias Mg. Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA [email protected] I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario” Conceptos matemáticos fundamentales: Longitud y área Medida de un segmento (Lages, 1991, pp. 1-3) • La medida de un segmento 𝐴𝐵 es el número que debe representar cuantas veces dicho segmento contiene un segmento u. Dicho segmento u es considerado como unidad de medida o segmento unitario. • Se considera la medida de u = 1. u Cuando AB no contiene a un número entero de veces, es necesario un segmento contenido w que se encuentre n veces en u y m veces en afirma que AB y u son AB. Se conmensurables y submúltiplo común. poseen un Línea quebrada (Kiselev, 2006, pp. 22 - 24) • “Los segmentos de recta que no se sitúan en la misma línea recta forman una línea quebrada, si el final del primer segmento es el inicio del segundo, el final del segundo segmento es el inicio del tercero, y así sucesivamente.” Línea quebrada cerrada (Kiselev, 2006, pp. 22 - 24) • “Una línea quebrada cuyos extremos coinciden es llamada cerrada. Esta podría tener intersecciones consigo misma, como en la línea ADCBE. ABCDE no las tiene.” Polígono (Kiselev, 2006, pp. 22 - 24) • “La figura formada por una línea quebrada cerrada que no se interseca consigo misma, junto con la parte del plano limitada por dicha línea, es llamada polígono.” • “Una línea quebrada es llamada convexa si se sitúa ‘de un lado’ de uno de los segmentos y continua en ambas direcciones.” Polígono convexo (Kiselev, 2006, pp. 22 - 24) • Un polígono es llamado convexo si está limitado por una línea quebrada convexa. En la figura, lo es ABCDE, mientras MNPRS no. • Los lados y vértices de la línea quebrada son llamados, respectivamente, lados y vértices del polígono. Los ángulos formados por cada par de lados adyacentes son llamados ángulos del polígono. Regiones poligonales (Moise & Downs, 1986, p. 292) “Una región poligonal es la reunión de un número finito de regiones triangulares en un plano, tales que si dos cualesquiera de ellas se intersecan, su intersección es o bien un punto o un segmento.” Postulados de área y de congruencia (Moise & Downs, 1986, p. 293) “Postulado: A toda región poligonal le corresponde un número positivo único. Definición: el área de una región poligonal es el número que se le asigna según el postulado anterior. El área de la región R se denota aR. Postulado de la congruencia: Si dos triángulos son congruentes, entonces las regiones triangulares determinadas por ellos tienen la misma área. Postulado de la adición de áreas: Supongamos que R1 y R2 se intersecan, a lo sumo, en un número finito de segmentos y puntos. Entonces aR = aR1 + aR2 Volumen Sólido geométrico (Downing, 2009, p. 319) “Un sólido es una figura geométrica tridimensional que encierra completamente un volumen de espacio. Ejemplos: prisma, esfera, cilindro, cono, pirámide y poliedro.” Volumen (Moise & Downs, 1986, p. 549; Lages, 1991, p. 67) La idea intuitiva de volumen de un sólido está indicada por el número de veces que este contiene a un cubo unitario (donde a = b = h = 1). Principio de Cavalieri (Lages, 1991, p. 70-71) Sean A y B dos sólidos. Supóngase que ellos están incluidos entre dos planos paralelos. Si cualquier plano paralelo a ellos interseca a A y B y da secciones transversales con áreas iguales, entonces el volumen de A es igual al volumen de B. Volumen del parelelepípedo (Lages, 1991, pp. 72-74) • Un paralelepípedo (sólido P en la figura) es un sólido formado por seis paralelogramos: sus caras. • Su volumen está dado por el producto de la base por la altura. Esta expresión también permite determinar el volumen del cilindro y del prisma. Conceptos didácticos Medición geométrica (Battista, 2007, pp. 891-892) • Juega un rol central en la enseñanza de la geometría, desde los orígenes de esta ciencia. • La medición geométrica se refiere al concepto de asignar números a entidades geométricas de acuerdo con un conjunto de axiomas. Esta actividad, en la escuela, requiere la combinación de conceptos y procedimientos. • Precisamente, en la desconexión existente entre el número que expresa la medida y el proceso de medición reside uno de los principales problemas detectados. • De este modo, por ejemplo, se tienen estudiantes que miden la longitud de un objeto sin que un extremo se encuentre alineado con el “cero”. Niveles de sofisticación en el razonamiento de estudiantes acerca de la longitud y su medida (Battista, 2007, pp. 894-895) • Razonamiento basado en la apariencia, de carácter holístico. Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 • Los estudiantes descomponen o recomponen figuras para comparar longitudes • Los estudiantes comparan longitudes mediante deslizamientos o giros de las figuras. Así, basados en la forma y el movimiento, determinan si una figura es congruente con otra. Razonamiento “inconmensurable”: no emplea números Niveles de sofisticación en el razonamiento de estudiantes acerca de la longitud y su medida (Battista, 2007, p. 895) Nivel 0 Nivel 1 Nivel 2 Nivel 3 Nivel 4 • Los estudiantes usan el conteo para encontrar longitudes, pero ello no representa el uso de una unidad de longitud. • Los estudiantes intentan emplear lo que ellos consideran una unidad de medida. • Los estudiantes no solo comprenden lo que unidad de longitud es. Ellos coordinan la posición de cada unidad con la posición de la unidad precedente. Espacios vacíos, superposiciones o variaciones en las unidades son eliminadas. • Los estudiantes determinan algunas medidas de longitud sin emplear unidades en forma explícita. Operan con las mediciones en forma numérica o lógica. • Los estudiantes operan numérica y lógicamente con las medidas de longitud sin emplear unidades de longitud. Emplean propiedades de figuras geométricas y transformaciones. Razonamiento “conmensurable”: involucra unidades de longitud Niveles de sofisticación en la estructuración y enumeración de arreglos de cuadrados y cubos (Battista, 2007, pp. 897-898) • Proceso de localización de unidades: se realiza mediante la coordinación de las ubicaciones de cuadrados y cubos de acuerdo con las dimensiones de un arreglo (por ejemplo, “está en la cuarta columna y segunda fila”). • Proceso de organizar por compuestos: combina un arreglo de unidades en compuestos más complicados. Estos pueden ser usados para generar el arreglo completo (por ejemplo, en un arreglo de cuadrados, se pueden unir los cuadrados de una fila, ‘repetir’ las filas y tener el arreglo completo). Niveles de sofisticación en la estructuración y enumeración de arreglos de cuadrados y cubos (Battista, 2007, pp. 897-898) • Ausencia de localización de unidades y organización por compuestos Nivel 1 • La enumeración de cuadraditos o cubos ocurre casi al azar. Problema del doble conteo. • Comienzo en el uso de localización de unidades y organización por compuestos Nivel 2 • Después de contar los cubos en un lado del arreglo, pueden inferir el número de cubos en el lado opuesto. Nivel 3 Nivel 4 Nivel 5 • Proceso de localización de unidades suficientemente coordinado para eliminar el doble conteo. • Uso de compuestos máximos, pero coordinación insuficiente para el conteo. • Uso suficiente de la localización de unidades pero menos que el empleo de máximos compuestos • Desarrollo completo y coordinación de los procesos de localización de unidades y organización por compuestos. Nivel 6 Nivel 7 • Procedimientos numéricos conectados a estructuras espaciales. Generalización. La abstracción en geometría (Battista, 2007, p. 901) Procesos críticos de abstracción Abstraer unidades de medida 1. Abstracción incompleta de unidades de medida 2. Unidades interiorizadas y coordinadas 3. Estructura interiorizada de las unidades 4. Mediciones numéricas se vuelven símbolos Abstraer el atributo Enfocar el atributo a ser medido Un marco teórico conjeturado (Battista, 2007) ¿Por qué tanto empeño en los conceptos? La asignatura de matemática en la RDA (Jungk, 1979) Conceptos Métodos • Proposiciones • Definiciones • Teoremas • Cálculos • Reglas • Signos y símbolos Ideas filosóficas • Ideas políticas • Conclusiones morales e ideológicas Objetivos en la asignatura (Jungk, 1979) SABER PODER “Sobre la base de un saber seguro puede desarrollarse un poder seguro y estructurado en forma sistemática y aplicable. Ningún saber deja de convertirse en poder” (pp. 15, 18) “La matemática es instrumento para reconocer y transformar la naturaleza y la sociedad” (p. 16) • • • • Conceptos Proposiciones Procedimientos Símbolos, fórmulas y su aplicación, etc. • • • • • • EDUCACIÓN IDEOLÓGICA Cosmovisión y valores relacionados con el tipo de la sociedad en la que se registra el Habilidades operativas Habilidades en planteo y solución de currículo. En el caso de la RDA, ecuaciones dichos valores Trabajo con funciones los del Habilidades en la representación y eran socialismo. cálculo con objetos geométricos Comprender y utilizar correctamente símbolos matemáticos Capacidades de aplicar conocimientos y habilidades en la solución de ejercicios y problemas, etc. Líneas directrices de la asignatura (Jungk, 1979, p. 46) • Agrupamientos de la materia por determinados aspectos principales. • De esta forma, el profesor conoce cómo se trabaja en los distintos complejos de materia, cómo se trata los tópicos correspondientes y las condiciones previas. • Así mismo, la contribución de un complejo a la tarea general de la asignatura, la selección de temas (esenciales y no esenciales). Líneas directrices de la asignatura (Jungk, 1979, p. 46) • • • • • • • • Conjuntos Variables Ampliación de los dominios numéricos Ecuaciones e inecuaciones Correspondencia, transformaciones y funciones Definición Demostración Desarrollo de la expresión y terminología matemática • Adquisición de técnicas de trabajo mental • Educación socialista de los alumnos Reflexiones finales • El problema de las competencias (¿qué aprenderán los estudiantes?) no es nuevo. Se resuelve según los propósitos de la sociedad donde se plantea. • El empleo de unos u otros propósitos curriculares también significa asumir la teoría o concepciones que las sustentan. • La elaboración/puesta en práctica de las competencias comprende el empleo de nociones ancladas en el componente matemático y su investigación en Didáctica. Referencias • Battista, M. (2007). The Development of Geometric and Spatial Thinking. En Lester, F. (Ed.). Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, pp. 843-908. Charlotte, NC: NCTM. • Downing, D. (2009). Dictionary of Mathematics Terms. Hauppage, NY: Barron’s Educational. • Jungk, W. (1979). Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la matemática 1. Ciudad de La Habana, Cuba: Pueblo y Educación. • Kiselev, A. (2006). Geometry. Book I, Planimetry. El Cerrito, CA: Sumizdat. • Lages, E. (1991). Medida e forma em Geometria. Rio do Janeiro, RJ: Sociedade Brasileira de Matemática. • Moise, E. & Downs, F. (1986). Geometría moderna. México, D. F.: Addison-Wesley Iberoamericana.
