Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas Departamento de Matemáticas y Estadı́stica Coordinación de Ecuaciones Diferenciales Lista #2 de ejercicios adicionales (Clases 5 a 10) Marzo 05 de 2020 1. Un recipiente con agua a una temperatura de 100 ◦ C se coloca en una habitación que se mantiene a una temperatura constante de 25 ◦ C. Después de 3 minutos la temperatura del agua es de 90 ◦ C. Determinar la temperatura del agua después de 15 minutos. ¿Cuánto tiempo deberı́a transcurrir para que la temperatura del agua sea de 40 ◦ C? 2. Una taza de chocolate se retira de la cocina cuando alcanza 70 ◦ C de temperatura y se pone a reposar en la mesa de una habitación, donde la temperatura del aire es de 10 ◦ C. Transcurrido 1 minuto, la temperatura del chocolate es de 60 ◦ C. a) ¿Cuál será la temperatura del chocolate, luego de 3 minutos?, b) ¿Cuánto tiempo demorará el chocolate en enfriarse a 12 ◦ C ? 3. Un termómetro que indica 70 ◦ F se coloca en un horno precalentado y mantenido a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno, un observador registra que la temperatura marcada por el termómetro es de 110 ◦ F después de medio minuto y de 145 ◦ F después de 1 minuto. ¿A qué temperatura está el horno? 4. Por razones obvias, la sala de disección de un forense se mantiene a una temperatura constante de 5o C (o 41o F). Mientras se encontraba realizando la autopsia de la vı́ctima de un asesinato, el propio forense es asesinado, y el cuerpo de la vı́ctima robado. A las 10 a.m. el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23o C. A mediodı́a, su temperatura es de 18, 5o C. Suponiendo que el forense tenı́a en vida la temperatura normal de 37o C(o 98, 6o F), determine ¿a qué hora fue asesinado el forense? 5. Un objeto que tiene una temperatura 50o F se coloca a las 10:00 horas en un horno que se mantiene a 375o F. A las 11:15 horas su temperatura era 125o F. ¿A qué hora estará el objeto a 150o F? 6. El radio 226 tiene una vida media de 1620 años. Halle el perı́odo en el que un cuerpo de este material se reduce a tres cuartas partes de su tamaño original. 7. Un reactor nuclear transforma el Uranio 238, que es relativamente estable, en el isotopo Plutonio 239. Después de 15 años se determina que el 0,043 % de la cantidad inicial A0 de Plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de este isótopo, si la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad restante. 1 8. Una muestra de carbón encontrada en Stonehenge resultó contener un 63 % del Carbono 14 de una muestra actual de la misma masa. Estime la edad de la muestra de carbón hallada en Stonehenge. 9. Una muestra extraida de un cráneo antiguo contenı́a solamente una sexta parte del Carbono 14 original. ¿Cuál es la antiguedad del cráneo? 10. La vida media del Cobalto radioactivo es de 5270 años. Supóngase que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radioactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? (Ignore la posible presencia de otros elementos radioactivos). 11. La población de una ciudad minera aumenta a un ritmo proporcional a dicha población. En dos años la población se ha duplicado, y un año más tarde habı́a 10000 habitantes. ¿Cuál era la población inicial? 12. Un estudiante portador del virus COVID-19 regresa a un campus universitario aislado que tiene 1000 estudiantes. Al cabo de 4 dı́as hay 50 estudiantes contagiados. Si se supone que la rapidez con la que el virus se propaga es proporcional al número de estudiantes contagiados y al número de alumnos no contagiados, determine el número de estudiantes contagiados que habrá después de 6 dı́as. 13. Suponga que se deposita una suma S0 en un banco que paga interés a una tasa anual r, compuesto continuamente. a) Halle el tiempo T necesario para duplicar el valor de la suma original, como una función de la tasa de interés r. b) Determine T si r = 7 %. c) Encuentre la tasa de interés que debe pagar si la inversión inicial tiene que duplicarse en 8 años. 14. Una persona solicita un préstamo de $8000 para comprar un automóvil. El prestamista carga el interés a una tasa anual del 10 %. Si se supone que el interés se compone de manera continua y que el deudor efectúa pagos continuamente con una cuota anual constante k, determine la cuota de pago k necesaria para cubrir la deuda en 3 años. Determine también cuánto interés se paga durante el perı́odo de tres años. 15. Un depósito contiene 100 galones de salmuera en la que hay disueltas 40 libras de sal. Se desea reducir la concentración de sal hasta 0, 1 libras por galón vertiendo agua pura en el depósito a razón de 5 galones por minuto y permitiendo que salga a la misma razón. La mezcla se mantiene uniforme. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que se logre lo deseado? 16. Consideremos un depósito que contiene 1000 litros de agua. Una solución salada (salmuera) empieza a fluir hacia el interior del depósito, a una velocidad de 6 litros por minuto. La solución dentro del depósito se mantiene bien agitada y fluye 2 hacia el exterior a una velocidad de 5 litros por minuto. Si la concentración de sal en la salmuera que entra en el depósito es de 1 kilogramo por litro, determine la concentración de sal en el tanque en función del tiempo. 17. Un estanque contiene 100 m3 de agua contaminada. Con el propósito de descontaminarlo se introduce agua limpia a razón de 2 m3 /min y el agua contaminada (uniformemente mezclada) se deja salir del estanque a la misma razón. a) ¿Qué porcentaje de contaminantes se habrá eliminado después de una hora? b) ¿Qué tiempo debe transcurrir para que los contaminantes disminuyan en un 90 %? 18. Considere un tanque empleado en determinados experimentos de hidrodinámica. Después de un experimento, el tanque contiene 200 litros de una solución colorante con una concentración de 1 gramo por litro. En preparación para el siguiente experimento, el tanque se lava con agua pura que ingresa a razón de 2 litros por minuto y la solución bien mezclada sale a la misma razón. Encuentre el tiempo que debe transcurrir para que la concentración del colorante en el tanque alcance 1 % de su valor original. 19. Un cuerpo de masa constante m se proyecta verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 . Si se supone que la atracción gravitacional de la Tierra es constante, y se desprecian todas las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo, halle a) La altura máxima alcanzada por el cuerpo. b) El tiempo en el que se alcanza la altura máxima. c) El tiempo en el que el cuerpo regresa a su punto de partida. 20. Un paracaidista que pesa 180 lb (incluyendo el equipo) cae verticalmente desde una altura de 5000 pies, y abre su paracaı́das después de 10 segundos de caı́da libre. Suponga que la fuerza de la resistencia del aire es de 0,7|v| cuando el paracaı́das está cerrado y de 12|v| cuando el paracaı́das está abierto, en donde la velocidad v se da en pies por segundo. a) Encuentre la velocidad del paracaidista al abrirse el paracaı́das. b) Halle la distancia que cae antes de que se abra el paracaı́das. c) Estime cuánto tiempo permanece el paracaidista en el aire después de que el paracaı́das se abre. dN 21. Trace la gráfica de contra N ; determine los puntos crı́ticos (de equilibrio) y dt clasifique cada uno como estable o inestable. dN = N (N − 1)(N − 2), dt N0 ≥ 0. 22. Compruebe que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y resuelvalas. 3 a) (3x2 − y)dx + (3y 2 − x)dy = 0. b) (sen y + y sen x)dx + (x cos y − cos x)dy = 0. c) (yexy + 2x − 1)dx + (xexy − 2y + 1)dy = 0. d ) y cos x + 2xey + 1 + (sen x + x2 ey + 2y − 3)y 0 = 0. ax + by e) y 0 = − con a, b y c constantes. bx + cy f ) (ex sen y − 2y sen x)dx + (ex cos y + 2 cos x)dy = 0. g) (y ln x + y)dx + (x ln x − ey )dy = 0. 23. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales encontrando un factor integrante. a) (3xy + y 2 )dx + (x2 + xy)dy = 0. b) (y 3 + 2ex y) dx + (ex + 3y 2 )dy = 0. y c) y 0 = 3 . y − 3x d ) (2x2 + y)dx + (x2 y − x)dy = 0. e) y cos xdx + (y sen x + 2 sen x)dy = 0. 24. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas: a) (x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0, b) ydx + (2x + y)dy = 0, 2x2 + y 2 c) y 0 = , 3x2 p y y d ) ( x2 − y 2 − y arcsin )dx + x arcsin dy = 0, x x e) (2xy + y 2 )dx − 2x2 dy = 0. f ) ydx + x(ln x − ln y − 1)dy = 0. y y g) y 0 + e x = . x dy h) xy 2 = y 3 − x3 . dx 25. a) Encuentre la solución de la ecuación dy 2y − x = dx 2x − y b) Encuentre la solución de la ecuación dy 2y − x + 5 = dx 2x − y − 4 Sugerencia: Para reducir la ecuación del inciso b) a la del inciso a), considérese una sustitución preliminar de la forma x = X−h, y = Y −k. Elija las constantes h y k de modo que la ecuación sea homogénea en las variables X y Y . 4
