a.Modulo 5 de A y T (1)

56
2
Capítulo 2
Potenciación y
radicación
Contenido breve
Módulo 5
Leyes de los exponentes y los
radicales
Racionalización
Ejercicios
Capítulo 2, módulo 5
El número es una conquista del pensamiento humano.
Presentación
En álgebra es esencial manejar cierto tipo de operaciones con el fin de cambiar o
reducir determinadas expresiones algebraicas.
Se entenderá por expresión algebraica una expresión que está formada por constantes y variables y por operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Se entenderá por constante cualquier símbolo que se utiliza para nombrar exactamente una cosa; una variable es cualquier símbolo usado como concepto válido
para constantes tomadas de un conjunto de referencia.
En este capítulo se definirán los conceptos de exponenciación y radicación en los
números reales.
Álgebra y trigonometría
57
58
5
Leyes de los exponentes y los radicales
Racionalización
Alejandría
Introducción
p
q
En este módulo se le dará significado a expresiones como a , donde a, p, q son
números, y se enunciarán las leyes que los rigen. Esta nueva notación nos permite
obtener «economía» de símbolos al expresar grandes números. Con esta notación,
10100 es una representación breve para un número que en la notación usual requiere
de 101 cifras. Se estudiará también el concepto de racionalización.
Objetivos
Por el año 300 a. C. la ciudad griega de Alejandría, fundada
por Alejandro Magno en la costa mediterránea de Egipto,
era la urbe más grande del mundo. Tenía avenidas de 30
metros de ancho, un magnífico puerto y un gigantesco faro
para anunciar a los marinos que allí se dirigían que se
acercaban a su destino. El faro fue una de las siete maravillas
del mundo antiguo.
Alejandría era una ciudad cosmopolita donde convivían en
paz ciudadanos de muchas nacionalidades; era el lugar ideal
para un centro internacional de investigación. Ese centro
era la biblioteca y museo de Alejandría. El museo, un lugar
dedicado a las especialidades de las nueve musas, era el
centro de investigaciones propiamente dicho. La biblioteca
se guiaba por el ideal de reunir una colección de libros del
mundo con obras griegas y traducciones al griego de obras
escritas originalmente en otras lenguas del Mediterráneo,
el Medio Oriente y la India.
1. Definir el concepto de base y exponente en los números reales.
2. Establecer las propiedades de los exponentes.
3. Definir el concepto de raíz enésima.
4. Definir el concepto de racionalización.
Preguntas básicas
1. ¿Qué significa racionalizar una expresión?
2. ¿Qué es la raíz cuadrada de un número?
3.¿ Qué es base y qué es exponente?
4. ¿Cuáles son las principales leyes de los exponentes?
Contenido
5.1 Exponentes
5.2 Propiedades de los exponentes
5.3 Raíz enésima
5.4 Exponentes racionales
5.5 Radicales
5.6 Racionalización
5.7 Factor racionalizador
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
Vea el módulo 5 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría
59
Capitulo 2: Potenciación y radicación
5.1 Exponentes
Sean a un número real y n un entero positivo, entonces:
Escuche La historia de
Alejandría en su multimedia de
Álgebra y trigonometría
1.
a n = a · a · a...a, n veces.
2.
a0 = 1 , con a ≠ 0, 00 no está definido.
3.
a−n =
1
, con a ≠ 0.
an
5.2 Propiedades de los exponentes
Si m y n son enteros y a y b son números reales, entonces:
1.
a m · a n = a m+ n .
2.
(a )
3.
am
⎛a⎞
⎜ ⎟ = m,
b
⎝b⎠
4.
( a · b)
5.
⎧a m−n
am ⎪
= ⎨ 1 , con a ≠ 0.
an ⎪ n−m
⎩a
n m
= a n.m .
m
m
con b ≠ 0.
= a m · bm .
Para que las definiciones anteriores sean razonables, no se define 00. Si se tratara de
definir se llegaría a situaciones como las que denota el siguiente ejemplo:
00 · 0 2 = 0 0 + 2 = 02 = 0 × 0 = 0. O sea que como 0 2 = 0, entonces 00 podría ser cualquier número real y por tanto no estaría determinado de forma única.
Ejemplo 1
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16; 230 = 1.
7−3 =
1
.
73
;
a 5 · a −7 = a 5 − 7 =
a −5 =
1
.
a5
;
(a )
;
a7
⎛a⎞
=
.
⎜ ⎟
b7
⎝b⎠
2 −3
=
1
.
a2
1
.
a6
7
( a · b)
3
= a 3 · b3 .
5.3 Raíz enésima
La raíz cuadrada de un número b es un número r tal que r2 = b. La raíz cúbica de un
número b es un número r tal que r3 = b. Se dirá, en general, que r es una raíz enésima
de b si rn = b.
60
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
Ejemplo 2
2 y –2 son dos raíces cuartas de 16.
−4 no tiene raíz cuadrada real porque no existe ningún número real a que cumpla
que a 2 = −4.
Si n ∈ N y b ∈ R, se dice que b1/ n en una raíz enésima de b.
Si n es par y b es positivo, entonces b1/ n representa la raíz enésima real positiva de
b, y −b1/ n representa la raíz enésima real negativa de b. Hay que hacer notar que
( −b )1/ n no representa un número real.
Si n es impar y b es positivo o negativo, entonces b1/ n representa la raíz enésima real
de b. Para todo n perteneciente a los enteros positivos, 01/ n = 0.
Ejemplo 3
¿Cómo podría definirse un símbolo como 7 2 / 3 ?
Solución
Como las propiedades de los exponentes son válidas para exponentes racionales,
se tiene que:
2/ 3
7
( )
= 7
1/ 3
2
.
O sea que la expresión anterior representa el cuadrado de la raíz cúbica de 7. Lo
anterior motiva la siguiente definición:
5.4 Exponentes racionales
Sean m y n enteros positivos y b cualquier número real, con excepción de que b no
puede ser negativo cuando n es par, entonces:
m
1.
b n = ( b1/ n ) = ( b m ) .
2.
b
−
m
n
m
=
1
b
m
n
1/ n
.
5.5 Radicales
Para n mayor que 1 y entero y b número real, excepto que b sea negativo cuando n
es par, se define la raíz enésima de b como b1/n y se denota como n b.
Álgebra y trigonometría
61
Capitulo 2: Potenciación y radicación
El símbolo
se llama radical.
El símbolo n se llama índice.
El símbolo b se llama radicando.
De lo anterior se concluye que:
m
n
1
m n
1.
b = (b
)
2.
⎛ 1n ⎞
b = ⎜b ⎟ =
⎝ ⎠
= n bm .
m
m
n
( b)
n
m
.
Las expresiones radicales gozan de las siguientes propiedades:
1.
n
xn = x.
2.
n
xy = n x ·
3.
n
x nx
=
.
y ny
4.
m n
n
y.
x = m. n x .
Las propiedades de los radicales proporcionan medios para cambiar gran variedad
de expresiones algebraicas que contienen radicales a formas equivalentes. Se dice
que una expresión algebraica que contiene radicales está simplificada o en la forma
radical más simple, si se satisfacen las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
El radicando no contiene ningún factor con exponente mayor o igual al
índice del radical.
El exponente del radicando y el índice del radical no tienen otro factor común
aparte del 1.
No aparece ninguna fracción dentro del radical.
No aparece ningún radical en el denominador.
Ejemplo 4
Escriba en la forma radical más simple la expresión 12 x 3 y 5 z 2 .
Solución
12 x 3 y 5 z 2 = 4 x 2 y 4 z 2 ( 3 xy ) =
( 2 xy z ) ( 3 xy ) = ( 2 xy z ) ( 3 xy ) = 2 xy
2
2
2
2
2
z 3 xy .
5.6 Racionalización
Racionalizar una expresión algebraica que contiene radicales en un denominador
consiste en eliminar los radicales en un denominador.
62
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
Las expresiones algebraicas que contienen denominadores se suman, se restan y
multiplican siguiendo las mismas reglas empleadas para las operaciones con fracciones de números reales, es decir:
a c a · d +b · c
, con b y d diferentes de cero.
+ =
b d
bd
a c a· c
· =
, con b y d diferentes de cero.
b d b· d
a c a·d
, con b y c diferentes de cero.
÷ =
b d b· c
a c
= ⇔ a · d = b · c.
b d
k·a a
= , con k diferente de cero.
k·b b
En las anteriores igualdades, a , b, c, d representan expresiones algebraicas.
Ejemplo 5
Racionalice la expresión
6x2
3
9x
.
Solución
6 x2
3
9x
=
=
6 x2
3
·
9x
3
3x 2
3
3x 2
6 x2 3 3 x2
3
27 x3
=
(¿Por qué?).
6 x 2 3 3x 2
3
( 3x )
3
=
6 x 2 3 3x 2
3x
= 2 x 3 3x 2 .
Ejemplo 6
Simplifique
4
27a 3b3 4 3a5b3 .
Escuche Los grandes números en
su multimedia de Álgebra y
trigonometría
Álgebra y trigonometría
63
Capitulo 2: Potenciación y radicación
Solución
4
27a 3b3 4 3a 5b3 =
4
( 27a b )( 3a b )
3 3
5 3
= 4 81a8b 6
=
4
( 3a b )
4
=
4
( 3a b )
4 4
2
2
b2
b2
= 3a 2b 4 b2 = 3a 2 b ( b 2 )
1/ 4
= 3a 2b · b1/ 2
= 3a 2 b b .
5.7 Factor racionalizador
Una expresión con radicales se llama factor racionalizador de otra expresión con
radicales, si su producto es libre de radicales.
Ejemplo 7
3 − 1 es factor racionalizador de
3 + 1 porque
(
a x + b y es factor racionalizador de a x − b y
)(
3 −1
)
3 + 1 = 2.
(¿Por qué?).
Ejemplo 8
3
x − 3 y es factor racionalizador de
3
x2 + 3 x
3
y + 3 y 2 porque su producto es
x − y.
Ejemplo 9
Racionalice la siguiente expresión:
a+ b
a− b
.
Solución
Notemos que
a + b es un factor racionalizador del denominador, pues
( a + b )( a − b ) = a − b.
Multiplicando el numerador y el denominador por el factor racionalizador se obtiene:
a+ b
a− b
64
=
( a + b )( a + b )
( a − b )( a + b )
=
a+2 a b +b
.
a −b
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
Ejemplo 10
Simplifique y exprese con exponentes positivos
1
1
1
1
1
1
2
⎛ ay ⎞ 2 ⎛ bx ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 4
.
⎜
⎜
⎟
⎜ ⎟
2
2 2 ⎟
⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝a b ⎠
Solución
2
1
1
⎛ ay ⎞ 2 ⎛ bx ⎞ 3 ⎛ y ⎞ 4
− 12
2
2
⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 2⎟ = a y x
⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝a b ⎠
(
=a
) (b x y ) ( y a
1
3
− 23
1
3
( 12 − 12 ) ( 13 − 12 ) ( 13 − 12 ) ( 12 − 23 + 12 )
b
x
y
2
4
− 42
b
−1
− 42
)
−1
1
= b 6 x 6 y3
1
=
y3
( xb )
1
6
.
Ejemplo 11
Simplifique y exprese con exponentes positivos
3
1
⎛ a 2n +1 ⎞ n ⎛ a b ⎞ 4
⎟⎟ .
⎜ n +1 ⎟ ⎜⎜ 3
⎝ a ⎠ ⎝ ab ⎠
Solución
3
1
4
1
1
3
1
⎛ a 2n +1 ⎞ n ⎛ a b ⎞
a2 a n a 4 b8
=
⋅ 1 1 = aa 2 b 8 = a 2 b 8 .
⎜
⎟
⎜ n+1 ⎟ ⎜ 3
1
⎟
aa n a 4 b 4
⎝ a ⎠ ⎝ ab ⎠
1
3
3
Ejemplo 12
Simplifique y exprese con exponentes positivos
(x y )
a
b
−2
⎛ x a −b
⎜⎜ ab+b2
⎝y
2
2
b
1
⎞ a+b
⎟⎟
⎠
.
Solución
(x y )
a
b
−2
⎛ x a −b
⎜⎜ ab+ b2
⎝y
2
2
b
1
⎞ a+ b
⎟⎟
⎠
=
x a y −2b y
x
a2 −b2
a +b
ab +b2
a +b
b
x a y −2b y b x b ⎛ x ⎞
=
= b =⎜ ⎟ .
x a −b
y
⎝ y⎠
Álgebra y trigonometría
65
Capitulo 2: Potenciación y radicación
Ejemplo 13
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2n + 3 − 2 n + 7 a 3a + 9 a
÷ a
.
2 n+1 − 2n + 1
9 + 27 a
Solución
1
2 n + 3 − 2 n + 7 a 3a + 9 a
2n + 3 − 2n + 7 ⎛ 9a + 27 a ⎞ a
÷
=
⋅⎜
⎟
2n +1 − 2n + 1
9a + 27a
2n +1 − 2n + 1 ⎝ 3a + 9a ⎠
a
2n ( 23 − 1) + 7 ⎛ 9a (1 + 3a ) ⎞
⎜
⎟
= n
⋅
2 ( 2 − 1) + 1 ⎜ 3a (1 + 3a ) ⎟
⎝
⎠
1
7 ( 2n + 1) 9
⋅ = 7 ⋅ 3 = 21.
2n + 1 3
=
Ejemplo 14
Simplifique y exprese con exponentes positivos
(a
(a
x
x
+ a− x ) − ( a x − a− x )
+a
2
2
⎛ ax − a− x ⎞
1− ⎜ x
−x ⎟
⎝a +a ⎠
)
−x 2
2
.
Solución
(a
(a
x
x
+ a −x ) − ( a x − a−x )
2
+ a−x )
2
2
⎛ a x − a−x ⎞
1− ⎜ x
−x ⎟
⎝a +a ⎠
2
=
=
a 2 x + 2 + a −2 x − a 2 x + 2 − a −2 x
(a
x
+ a−x )
(a
x
+ a− x )
Simplifique y exprese con exponentes positivos
66
a 2 x + 2 + a −2 x − a 2 x + 2 − a −2 x
(a
4
Ejemplo 15
a⋅
2
a−b
a + b a 2 + 2b2
.
+b⋅
−
a+b
a−b
a 2 − b2
2
2
( a + a−x )
x
=
x
+ a−x )
2
2
2a x
= 2x
.
−x
a +a
a +1
x
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
Solución
a⋅
a −b
a + b a 2 + 2b 2 a a − b b a + b
a 2 + 2b 2
+ b⋅
−
=
+
−
a +b
a −b
a +b
a −b
a −b a +b
a 2 − b2
2
a ( a − b ) + b ( a + b ) − a − 2b 2
=
a −b a +b
−b 2
=
=−
a 2 − b2
b2 a2 − b2
.
a2 − b2
Ejemplo 16
Simplifique y exprese con exponentes positivos
2a 3
18 b 50a b 2
2
a
+
+
−
a
b3
ab 3 5 b5
32a 5
.
b7
Solución
2a 3
18 b 50a b 2
+ a2
+
−
3
b
ab3 5 b5
a
32a 5 a 2a 3a 2 2 5b 2a 4a 2 b 2 2a
=
+
+
−
b7
b b
b ab 5b 2 b
ab3 b
=
a 2a
b b
2
+
3a 2 2
b ab
2 + 3a
=
a
=
a 2
2
+
2a
b b
−
4 a 2a
2 + a 2 − 4a
b b
2
2
b ab
b ab
=
2ab
.
b2
Ejemplo 17
Racionalice
1 + x2 − 1 − x2
1 + x2 + 1 − x2
.
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
1+ x2 − 1 − x2 .
Álgebra y trigonometría
67
Capitulo 2: Potenciación y radicación
Entonces,
1 + x 2 − 1 − x2
1+ x + 1− x
2
2
(
=
(
)(
1 − x )(
)
1− x )
1 + x 2 − 1 − x2
1 + x 2 − 1 − x2
1+ x +
1+ x −
2
2
2
=
1 + x 2 + 1 − x 2 − 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 )
1 + x 2 − (1 − x 2 )
=
2 − 2 1 − x 4 1 − 1 − x4
.
=
2x2
x2
2
Ejemplo 18
Racionalice
9 + x2 − 3
9 + x2 + 3
.
Solución. La fórmula de la diferencia de cuadrados nos permite encontrar el factor
racionalizador:
9 + x2 − 3 .
Entonces,
(
=
+3 (
)(
+ 3)(
)
− 3)
9 + x2 − 3
9 + x2 − 3
9 + x2 − 3
9 + x2
9 + x2
9 + x2
=
9 + x 2 + 9 − 6 9 + x 2 x 2 − 6 9 + x 2 + 18
.
=
9 + x2 − 9
x2
Ejemplo 19
Racionalice
2 6
2+ 3− 5
.
Solución. Utilizando como factor racionalizador ( 2 + 3) + 5 se obtiene:
68
Módulo 5: Leyes de los exponentes y los radicales - Racionalización
2 6
2+ 3− 5
2 6
=
(
2+ 3+ 5
2+ 3− 5
)(
)
2+ 3+ 5
4 3 + 6 2 + 2 30
=
=
(
2+ 3+ 2 6 −5
=
)
=
4 3 + 6 2 + 2 30
(
2+ 3
)
2
−5
4 3 + 6 2 + 2 30
2 6
4 18 + 6 12 + 2 180 12 2 + 12 3 + 12 5
=
= 2 + 3 + 5.
12
12
Ejemplo 20
Racionalice
1
3
x + 3 y2
2
.
Solución. En este caso para hallar el factor racionalizador se utiliza la fórmula de la
suma de cubos:
a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) .
En ocasiones también es necesario usar la fórmula de la diferencia de cubos:
a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) .
Utilizando entonces como factor racionalizador:
(
3
)
x4 − 3 x2 3 y 2 + 3 y 4 ,
se obtiene
1
3
x2 + 3 y 2
=
(
3
=
(
3
3
x4 − 3 x2
x2 + 3 y2
)(
3
3
y2 + 3 y 4
x 4 − 3 x2
3
)
y2 + 3 y 4
)
x 4 − 3 x2 y 2 + 3 y 4
.
x2 + y 2
Álgebra y trigonometría
69
Ejercicios del capítulo 2 (módulo 5)
3
ab−1c−2 ( a −1b −2c −4 ) 6 .
−1
1.
Simplifique
2.
Simplifique
3.
⎡ n x2n
2
+ x n −1
Simplifique ⎢
x
⎣⎢
4.
⎛ a−2 + a−1· b−1 ⎞
.
Simplifique ⎜ −2
−1
−1 ⎟
⎝a − a · b ⎠
5.
⎛ 9n + 27n ⎞ n
Simplifique ⎜ n n ⎟ . RTA: 3.
⎝ 3 +9 ⎠
1
RTA: a 2 .
3−1 + 2−1
.
2−1 − 3−1
(
)
n
n −1
⎤
n2 + n ⎤
.
⎥ ÷ ⎣⎡ x + x
⎦
⎦⎥
RTA: 1.
−1
1
2n +1
4n +1
÷
6.
Simplifique 2n n −1
( )
(2 )
7.
⎡⎛ a2 −b2
x
Simplifique ⎢⎜
⎢⎜ a a3 −ab2
⎣⎝ x
n −1 n +1
.
n
⎞ a 3(a +b ) ⎤
⎥ .
⎟ a
⎟
⎥
⎠
⎦
1
RTA: a3n (a +b ) .
1
⎡ m2 ⎤ m − 1
⎢ x
⎥
.
⎢ 2m − 1 ⎥
⎢⎣ x
⎥⎦
8.
Simplifique
9.
⎛ a −3b2 ⎞ ⎛ b−2 a 2 ⎞ 4
Simplifique ⎜ −2 3 ⎟ ⋅ ⎜ −2 2 ⎟ .
⎝b a ⎠ ⎝a b ⎠
10.
Racionalice la siguiente expresión:
11.
Simplifique
12.
Racionalice la siguiente expresión:
13.
Simplifique
14.
Racionalice la siguiente expresión:
−1
−1
5
2n+1
(2 )
n n −1
÷
4n +1
(2 )
n −1 n +1
.
1
2 m
m +3 n
1
RTA: .
4
1
3n+ 4 − 6 ⋅ 3n+1
.
7 ⋅ 3n+ 2
3
0.008
RTA: 1.
2
3− 2
Capítulo 3: Potenciación y radicación
70
1
RTA: a5 b5 .
.
.
.
−3
2x ⋅ 4x +1 34 x 36 2 x
⋅
⋅ x ( 2 + 4x ) .
x
3⋅ 8
16 81
RTA:
3
.
15.
Simplifique
16.
Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
17.
2
⎤2
⎡
⎤2 ⎡
e x + e− x )
(
ae 4 x − ae −4 x
⎢
⎥ .
⎥ ÷
Simplifique ⎢ 2 + x − x
x
−x
x
−x 2
x
−x 2 ⎥
⎢
−
+
e
e
ae
ae
⎢⎣
⎥
(
)(
) ⎦ ⎣(e + e ) − (e − e ) ⎦
6 x+3
2
3 · 2n − 4 · 2n − 2
.
2n − 2n −1
1
1
RTA: 2.
( x + y) ·
2
18.
Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
(3 )
2 a a −1
(81 ) 243
⋅
( 27 )
a 2− a
.
Simplifique
20.
Efectúe las siguientes operaciones y escríbalas en la forma más simple:
21.
n −1
⎡ ( 5 2 ) 2 ÷ 5 n2
3n )
(
⎢
÷
Simplifique
⎢ 225 ( 5n ) n +1 ( 32 )3 ÷ 3n2
⎣
22.
( m + n) − ( m − n )
.
Simplifique completamente
−1
−1
( m + n) + ( m − n)
a −1 a +1
23.
Simplifique y racionalice
⎤ ⎡ n( 2n +1) ⎤
⎥ ⎢5
⎥.
⎥ ⎣ 3n(1− 2 n) ⎦
⎦
Demuestre que
25.
Simplifique y racionalice
26.
Demuestre que
n
Demuestre que
2
3
.
RTA:
(b
2
− c2 )
(b + c)
2
.
x − 3y
x + 3y
.
+
x + 3y
x − 3y
RTA:
2 x x2 − 9 y2
.
x2 − 9 y 2
4n · 6
1
= .
2n +1
4 n+1
4 +2
4
y2
28.
RTA: 2.025.
n
n
+
= n.
1 − x n 1 − x− n
24.
Racionalice
(b + c)
3n+ 4 − 6 · 3n+1
.
7 · 3n+ 2
−1
(b2 − c 2 )(b − c)
3
27.
.
RTA: 9.
−1
3
1
( x − y )2
a ( a −1)
19.
3a +1
x2 − y 2
x + x2 − y 2
.
2
2
RTA: x − x − y .
2n + 3 − 2n + 7
= 7.
2n +1 − 2n + 1
Álgebra y trigonometría
71
2 a +b +3 a −b
29.
Racionalice
30.
Racionalice
31.
Racionalice
32.
Demuestre que
33.
Racionalice
34.
Simplifique completamente
2 a +b − a −b
2− 5− 7
2+ 5+ 7
2+2 3
1+ 2 + 3
.
( 7a + b + 8
RTA:
a2 − b2
3a + 5b
).
.
RTA: 1 − 2 + 3.
.
1
1
+
= 1.
m−n
1+ x
1 + x n− m
3+ 6
5 3 − 2 12 − 32 + 50
RTA: 3.
.
3 8 + 5 18
2
2− 3+ 5
.
35.
Racionalice
36.
Simplifique completamente
37.
Racionalice
38.
Simplifique completamente
2+ 3− 5
1
.
2− 3 3
RTA:
.
6 + 15
.
3
RTA:
x4 m − x 4 n
.
x2 m + x2 n
2(4 + 3 3 + 3 9)
.
5
( m + n) −1 − ( m − n) −1
.
( m + n)−1 + (m − n) −1
3
1
.
.
Racionalice
40.
⎡ n4+1.
n
Escriba en la forma más simple ⎢ 9 · 3 · 3
⎢
−n
⎢⎣ 3 · 3
41.
Racionalice
42.
⎡ p + q − p − q ⎤ ⎡ p + p2 − q2 ⎤
p
⎥ = .
⎥ . ⎢
Demuestre que ⎢
p
q
⎥⎦
⎢⎣ p + q + p − q ⎥⎦ ⎢⎣
3
x 2 + 3 xy + 3 y 2
1
3
9+ 6+3 4
3
.
RTA:
x−3 y
39.
1
⎤n
⎥ .
⎥
⎥⎦
RTA: 3 3 − 3 2.
−1
72
x−y
−1