Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Función cuadrática - Ecuaciones de segundo grado – Traslaciones de función cuadrática y función raíz Nivel: 3° Medio Ecuación Función cuadrática 1. Ecuación cuadrática Una ecuación cuadrática es una aquella en que el exponente mayor de la incógnita es 2. Es decir, es una ecuación de segundo grado, y al resolverla obtendrás dos soluciones posibles: x1 y x2 . La ecuación general de la ecuación de 2º grado o cuadrática es de la forma: Ax2+ B x + C =0 (con A ≠ 0) Para resolver una ecuación cuadrática existen diferentes métodos, dependiendo de los coeficientes numéricos A, B, C. 1.2 Resolución de ecuaciones cuadráticas 1. Por factorización Podremos resolver una ecuación del tipo: x2 - 12x - 28 = 0, por este método solo si el trinomio puede ser factorizado. En este caso, buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; (se buscan todos los pares de factores cuyo producto sea 28). En este ejercicio, los números son 14 y 2, porque la suma de ellos es igual a -12. Por lo tanto, la factorización es (x - 14)(x + 2) = 0. Como el producto es igual a 0, entonces (x – 14) = 0 o bien (x + 2) = 0. A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2. Recíprocamente, podemos generalizar que si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado, entonces la ecuación (x – x1)· (x – x2) = 0 es un producto de binomios con 1 término común y corresponde a x2 – x1· x – x2· x + x1· x2 = 0, que si se factoriza en x2 resulta: x2 - (x1 + x2)· x + x1 x2 = 0. Es por esto que si el valor de A = 1, entonces B es el valor de la suma de las soluciones y C es el valor del producto de las soluciones. Este método se puede aplicar en cualquiera de los trinomios factorizables, incluyendo binomios de la forma: X2 – B2. Por ejemplo: x2 – 81 = 0, el que se factoriza en producto de suma por diferencia: (x + 9)· (x – 9) = 0, determinando las soluciones x1 = -9 y x2 = 9. 2. Utilizando la fórmula Todas las ecuaciones cuadráticas: ax2 + b x + c = 0 pueden resolver utilizando la fórmula: (con a ≠ 0) Se Ejemplo: Resolver la ecuación x2 – 10x + 24 = 0 En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24. Reemplazando en la fórmula, obtenemos: x2 = 4 determinando así las soluciones x1 = 6 o 3. Por completación de cuadrados Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0 Con los términos x2 y - 6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio: /+9 x2 – 6x + 8 = 0 2 / factorizamos el trinomio cuadrado perfecto x – 6x + 9 + 8 = 9 (x – 3)2 + 8 = 9 (x – 3)2 = 1 Por lo tanto, (x – 3) = 1 o (x – 3) = -1, de lo que se deduce que x1 = 4 o x2 =2 4. Despejando la incógnita En algunos casos en que sólo aparece la incógnita x, se puede despejar y calcular así las soluciones. Ejemplo: / restamos 15 (x + 8)2 + 15 = 136 / aplicamos raíz en ambos miembros de la igualdad (x + 8)2 = 136 – 15 x+8=± y x2 = -19 , entonces x1 = 11 – 8 o bien x2 = -11 – 8, por tanto : x1 = 3 1.3 Planteo de problemas con ecuaciones cuadráticas Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a su cuadrado aumentado en 5. ¿Cómo plantearías la ecuación? Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en: (2x – 1)2 = x2 + 5 donde el binomio (2x – 1)2 corresponde al cuadrado del antecesor del doble de un número entero, y el binomio X2 + 5 corresponde al cuadrado del número entero aumentado en 5 unidades. Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x2 – 4x – 4 = 0 Utilizando la fórmula, con a = 3, b = -4 y c = -4 Por lo tanto x1 = 2 o x2 = -2/3 Como el número que se pide es un número entero, la solución correcta solo es x = 2. Ejemplo: Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura? (Te sugiero dibujes la situación) Sea x la base, entonces su altura es x + 2, y su área: La ecuación que resuelve el problema es: Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x2 + 2x – 48 = 0 Factorizando: (x – 6)(x + 8) = 0 Î x = 6 o x = -8 Como x es una longitud, la solución descarta los números negativos, por lo tanto x = 6 (la base es 6) y la altura mediría 8 cm. 1.4 Naturaleza de una ecuación cuadrática Hemos visto que las soluciones de una ecuación cuadrática de la forma: ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0, se pueden obtener según la expresión: La cantidad subradical: (b2 – 4ac) se llama discriminante y se denomina con la letra griega delta: ∆. Nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática. Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales; si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si ∆ es positivo, las soluciones son dos números reales y distintos. Resumiendo: Ejemplo: ¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación x2 – (p + 3)· x + 9 = 0 sean reales e iguales? Con el análisis anterior, si las soluciones son reales e iguales, el discriminante debe ser igual a cero: a = 1, b = -(p + 3) , c = 9 b2 – 4ac = 0 Î (-(p + 3))2 – 4 · 1 · 9 = 0 Î p2 + 6p – 27 = 0 Factorizando: (p + 9)· (p – 3) = 0 Î p=-9op=3 1.5 Propiedades de las soluciones de la ecuación cuadrática Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 (con a ≠ Según la aplicación de la fórmula, las soluciones son: 0). ¿Qué valor algebraico corresponde a la suma de las soluciones? Si sumamos algebraicamente ambas fracciones obtendremos: Por tanto, la suma de las soluciones (x1 + x2) de una ecuación cuadrática es . igual a ¿Qué valor corresponde al producto de las soluciones? Si ahora multiplicamos algebraicamente las expresiones, tendremos que: Por tanto, el producto de las soluciones (x1 · x2) de una ecuación cuadrática es igual a . Es decir, que a través de los coeficientes de la ecuación podemos obtener la suma y la multiplicación de las soluciones sin tener que resolverla. Ejemplo: Si y ¿Cuál será la ecuación que cumple esta condición? Para resolver esto, primero debemos igualar los denominadores pues ambos valores representan el coeficiente a. (x1 + x 2 ) = 2 y mantenemos el valor de (x1 · x2); entonces podemos deducir que 4 a = 4 es el denominador común; b = -2 pues 2 es el valor de -b, y c = 3. 2. Función cuadrática Una función cuadrática representa un conjunto de valores (x, y), donde y = f(x) de la forma: f(x)= ax2+ bx +c. Su representación gráfica es una parábola en el plano cartesiano. Una de las aplicaciones de la función cuadrática es la altura h(t) que alcanza un objeto después de t segundos cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial v0. Su expresión es: Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2. Si nos damos algunos valores para t, obtenemos: Si graficamos esta función, obtenemos aproximadamente lo siguiente: La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función: h(t) = 10t – 5t2 0 = 10t – 5t2, factorizando: 5t(2 – t) = 0, obtenemos t = 0 o t = 2. Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo. Por otro lado, se puede observar en el gráfico que a 1 segundo se encuentra la máxima altura. Si reemplazamos h = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10· 1 – 5· 12, por lo tanto la altura máxima que se obtendrá es de 5 m. Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice. Analicemos a continuación, en forma general, las características del gráfico de una función cuadrática. 2.1 Elementos principales de la gráfica de una función cuadrática Sea la función cuadrática: f(x) = ax2 + bx + c. Sus elementos y características principales son: 1. Concavidad de la parábola Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba abre hacia abajo: Si a < 0, la parábola se 2. Intersección de la parábola con el eje Y Sea la función cuadrática: f(x)= ax2 + bx + c. Cuando su gráfica intercepte al el eje Y, debe acontecer que x = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: y = a· 02 + b· 0 + c Î y = c, por tanto tenemos que la intersección con el eje Y es el punto (0,c) 3. Intersección de la parábola con el eje X Cuando la gráfica intercepte al eje X, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0 = ax2 + bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje X se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. Como las soluciones dependen del signo del discriminante, tenemos que: - Si ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta al eje X. - Si ∆ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje X, es decir, lo intersecta en un solo punto. - Si ∆ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta al eje X en dos puntos. Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades: 4. Simetral de la parábola La simetral de la parábola es una recta paralela al eje Y que divide a la parábola en 2 partes iguales, simétricas. Esto significa que estará ubicada en el punto del eje X de tal manera que sea el punto medio entre x1 y x2 . Esto indica que la ecuación de la simetral es vértice de la parábola. y sobre ella se sitúa el 5. Vértice de la parábola El vértice de la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c es el punto de la función donde x asociado al toma el valor de la simetral vértice de la función es , por lo tanto, el punto Si a > 0, en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función: Si a < 0, en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función: 2.2 Traslación de la gráfica de la función cuadrática La gráfica de la función cuadrática y = x2 es: Observemos a continuación cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o a la variable dependiente (y). 1. Gráfico de y = x2 + 1. En este ejemplo, a la función y = x2 se le ha sumado 1 a la variable dependiente y, quedando una nueva función y = x2 + 1 En el gráfico de y = x2 + 1, se observa que el gráfico de y = x2 se ha trasladado en una unidad hacia arriba. 2. Gráfico de y = x2 – 1 En el gráfico de y = x2 –1, se observa que el gráfico de y = x2 se ha trasladado en una unidad hacia abajo. 3. Gráfico de y = (x – 1)2. En este ejemplo se ha restado 1 a la variable independiente x, quedando una nueva función: y = (x – 1)2 . El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la derecha cuando se transforma en la función y = (x – 1)2. 4. Gráfico de y = (x + 1)2 El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la izquierda cuando se transforma en la función y = (x + 1)2 Ejemplo: Graficar la función: y = (x – 1)2 + 2 Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de y = x2 un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba. 3. Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada es la inversa de la función potencia. Los valores de x en esta función no son negativos, pues no tiene valor la función para raíces de cantidades negativas. El gráfico de la función raíz cuadrada es el siguiente: Sin embargo, a esta gráfica le podemos aplicar las traslaciones horizontales o verticales, tal como lo hicimos a la función: y = x2 Por ejemplo, el trasladado una gráfico de correspondería al de unidad a la derecha, pues se le ha restado 1 a la variable independiente.
