MAQUINAS Y MECANISMOS

J
MÁQUINAS Y
MECANISMOS
C u a rta ed ic ió n
David H. Myszka
ALWAYS
LEARNING
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PEARSON
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MÁQUINAS Y
MECANISMOS
Cuarta edición
D avid H. M yszka
JniversityofDayton
T ra d u c c ió n
Antonio Enríquez B rito
T rad uctor e s p e c ia lis ta e n in g e n ie ría m e cá nica
R e v is ió n té c n ic a
S ergio Saldaña Sánchez
Ángel Hernández Fernández
Escuela S up erior de In g e n ie ría M ecánica y E lé ctrica
U n id a d P rofesion al Z a ca te n co
h s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l
México
H oracio Ahuett Garza
D ep a rta m e n to de In g e n ie ría M ecánica
In s titu to Tecnológico y d e E s tu d io s S uperiores de M onterrey
C am pus M onterrey
México
PEARSON
www.FreeLibros.me
____________ /
f t i t » de caialogación bibbográlV:T~
M YS/KA, DAVID II.
Máquina* y n*
Cuarta edición
PEARSON EDUCACIÓN. México. 2012
ISBN: 978407-32-1215-1
Arci! Ingeniería
Formato: 21 • 27 cm
Páginas: 384
Authorized translation from ihc English language edition, entitled M AC H IN ES & M E C IIA N ISM S: APPLIED KINEM ATIC A N ALYSIS, 4 * E dilion. by David M y x k a , p ib lish e d by Pearson Education. I n c . p u b tsh in g as Prentice Hall. C opyright © 2012. AQ rights
resen ed .
ISBN 9780132157803
Traducción autorizada d e la edición e n idiom a inglés, titu lad a M A C H IN E S& M E C H A N ISM S: APPLIED K IN E M A H C ANALYSIS.
4* edición p o r D avid Myszka. publicada p o r Pearson Education, I n c . publicada com o FYentice Hall. C opyright © 2012. Todos los
derechos reservados.
Esta e d id ó n e n español e s la ú n ic a autorizada.
Edición e n español
Dirección E ducación S uperior:
E ditor sponsor:
M ario C ontreías
Luis M . C ru z Castillo
luis.cnizepearson.com
Felipe H ernández Carrasco
Enrique Trejo Hernández
E ditor d e desarrollo:
Supervisor d e p roducción:
G erencia editorial
E ducadón S u p erio r Latinoamérica: M arisa d e Anta
CUARTA EDICIÓN, 2012
D.R. © 2012 p o r Pearson Educación d e México, S.A . d e C V .
A tlK om ulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, N aucalpan d e luárez, Estado d e México
C ám ara Nacional d e la In d u stria Editorial M exicana. Reg. n ú m . 1031.
Reservados todos los derechos. N i la totalidad n i p arte d e esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transm itirse, por
un sistem a d e recuperación d e inform ación, e n ninguna fo rm a n i por ningún m edio, sea electrónico, m ecánico, fotoqulmico.
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El préstam o, alquiler o cu alq u ier o tra form a de cesión de u so d e este ejem plar requerirá tam bién la autorización del e d ito r o d e :
representantes.
ISBN: 978-607-32-1215-1
ISBN e-book: 978407-32-1216-8
ISBN e-ch ap ten 978-607-32-1217-5
Im preso e n M éxico. Printed in Mocito.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12
PEARSON
w w w .p e a rs o n e n e s p a fto l.c o m
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ISBN: 978-607-32-1215-1
PREFA CIO
B p ro p ó sito d e este libro es ofrecer las técnicas necesarias p a r a es­
tu d ia r el m o v im ien to d e la s m á q u in as. E l tex to se enfoca e n la
aplicación d e teo rías cinem áticas a m a q u in a ria d el m u n d o real.
A dem ás, in te n ta c e rra r la b re c h a e n tre el e s tu d io te ó ric o d e la
cin em ática y la aplicación a m ecanism os prácticos. Los e stu d ia n ­
te s q u e te rm in e n u n c u rs o b a sa d o e n este libro serán capaces de
d e te rm in a r las características d el m o v im ien to d e u n a m áquina.
Los te m a s q u e se presentan e n e sta o b r a so n fu n d am en tales e n el
proceso d e diserto d e m áquinas, e n ta n to q u e d eb erían realizarse
an álisis c o n b a s e e n c o n c e p to s d e diserto p a ra o p tim iz a r el
m o v im ien to d e u n a m áquina.
E sta c u a r ta ed ic ió n in c o r p o ra b u e n a p a r te d e la retro alim e n ta c ió n recib id a d e los pro feso res y e stu d ia n te s q u e usaron
la s tr e s p r im e ra s ediciones. E ntre la s m ejo ras q u e incluy e esta
ed ició n d estacan las siguientes: u n a sección in tro d u c to ria a los
m e c a n ism o s d e p ro p ó sito s especiales; a m p lia c ió n d e la s d e s ­
crip cio n es d e la s p ro p ie d a d e s cinem áticas, p a r a d efin irlas c o n
m a y o r precisió n ; id en tifica ció n clara d e las c a n tid a d e s vectoria­
les p o r m e d io d e n o ta c ió n e n n eg ritas; gráficas d e tie m p o ; pre
s e n ta d ó n d e m é to d o s anahtico-sintéticos; ta b la s q u e describen
el m o v im ien to d e seguidores d e levas, y u n a tab la e stá n d a r q u e
s e u tiliz a p a r a se leccio n ar el p aso d e ca d e n a . S e re v isa ro n los
p ro b le m a s q u e ap arecen a l final d e c ad a c a p itu lo y, a d e m á s , se
in clu y ero n m u c h o s p ro b le m a s nuevos.
S e esp era q u e los e stu d ia n te s q u e u tilicen este lib ro hayan
cu rsad o d ib u jo técnico, álgebra a nivel universitario y tr ig o n o m e ­
tría. Si b ie n se m en cio n an con cep to s d e cálculo e le m e n ta l n o se
req u iere q u e el e s tu d ia n te haya c u rsa d o cálculo. A sim ism o, se rán
ú tile s lo s c o n o c im ie n to s d e v ecto res, m e c á n ic a y so ftw a re de
ap licació n c o m o h o jas d e cálculo. S in em bargo, estos con cep to s
tam b ién se explican e n el libro.
El e n fo q u e al a p lic a r d esarro llo s teóricos a p ro b le m a s p rá c ­
tico s es c o n sisten te c o n la filosofía d e p ro g ra m a s d e tecnología
in g e n ie ril. E ste lib ro s e o r ie n ta b á s ic a m e n te a lo s p ro g ra m a s
relacio n ad o s c o n m ecán ica y m a n u fa c tu ra , y p u e d e u tilizarse en
p ro g ram as ta n to p a ra lic e n c ia tu ra c o m o p a r a capacitación.
L as sig u ien tes s o n a lg u n as d e las características distintivas
d e este libro:
1. Ilu stra c io n e s y b o ceto s d e m á q u in as q u e in clu y en los
m ecan ism o s q u e s e e stu d ia n e n el texto.
6 . C ada c a p itu lo term in a , al m enos, c o n u n estu d io d e
caso. C a d a u n o ilu stra u n m ecan ism o q u e se utiliza en
e q u ip o in d u stria l, y d esafia al e s tu d ia n te a analizar
d fu n d am en to racio n al d e trá s d el diserto y a su g e rir
m ejoras.
7 . S e p resen tan m é to d o s d e análisis d e fuerzas d e m ecan is­
m o s estático s y dinám icos.
8 . D espués d e cada co n cep to im p o rta n te se incluye u n p ro ­
blem a d e e jem p lo q u e ilu s tra s u aplicación.
9 . Los p ro b le m a s d e e jem p lo co m ie n z a n c o n la in tro d u c ció n
d e u n a m á q u in a real q u e d ep en d e d el m ecan ism o q u e se
analiza.
10. N um erosos p ro b le m a s q u e se p resen tan a l final d e los
c a p ítu lo s so n co n sisten tes c o n el e n fo q u e d e aplicación del
texto. T odos lo s c o n c e p to s in tro d u c id o s e n el capitulo
tienen al m e n o s u n p ro b le m a asociado, b m ay o ría d e los
cuales in d u y e n b m á q u in a q u e d ep en d e d el m ecan ism o
que s e analiza.
11. S iem pre q u e sea p e rtin e n te , a l final d e lo s c a p ítu lo s s e i n ­
d u y e n p ro b le m a s q u e u tiliz a n los m é to d o s an alítico s, y
q u e so n lo s m á s a d e c u a d o s p a ra d isp o sitiv o s p ro g ram ab les
(calculadoras, h o jas d e cálculo, so ftw are d e m atem áticas,
etcétera).
In id a lm e n te , d esarro llé e ste lib ro d e tex to d esp u és d e im ­
p artir el cu rso d e m ecan ism o s d u ra n te v ario s sem estres, lo que
m e p e r m itió c o n s ta ta r q u e lo s e s tu d b n te s n o sie m p re d istin g u b n b s ap lic a c io n e s p rá c tic a s d e l m aterial. P a ra ello , d e s a ­
rrollé u n g ra n énfasis e n los p ro b le m a s d e e s tu d io d e caso y, de
hecho, ¡ n id a l» c ad a d a s e e x p o n ie n d o u n o . L o s e s tu d b n te s se
referían a ello c o m o d "m ecan ism o d el d b “. C o n s id e ro q u e esto
fu e u n a ex celen te o p o r tu n id a d p a r a c e n tra r b a te n c ió n e n
é fu n d o n a m ie n to d e las m áquinas; a d e m á s d e q u e p ro m u e v e el
d iá lo g o y c r e a u n a c o m u n id a d d e a p r e n d iz a je e n el a u b d e
dases.
R>r ú ltim o , b finalidad d e cu a lq u ie r libro d e texto es guiar
a lo s e stu d ia n te s a trav és d e u n a e x p e rie n d a d e ap ren d izaje de
u n a m a n e ra eficaz. E spero sin c e ra m e n te q u e este lib ro cu m p la
con su ¡n te n d ó n . D o y la b ie n v e n id a a to e b s b s sugerencias y
los c o m e n ta rio s q u e s e envíen a dm yszkaflhidayton.edu.
2. El e n fo q u e se c e n tra e n b aplicación d e las te o ría s cine­
m áticas a lo s m ecan ism o s co m u n e s y prácticos.
3. En el an álisis d e lo s m ecan ism o s s e em p le a n m é to d o s
an alítico s y técnicas gráficas.
4. C o n frecu en cia se u tilizan ejercicios e n W órldng M odel*.
u n p a q u e te d e so ftw are d in á m ic o d isp o n ib le com ercial m e n te (véase la sección 2.3 d e la p á g in a 32 p a r a co n su lta r
m a y o r in fo rm ació n ). En el lib ro se incluyen tu to ria le s y
p ro b le m a s q u e u tilizan este softw are.
5. A l o larg o d e la o b r a s e incluyen e ilu stra n sugerencias
p a r a im p le m e n ta r las té cn icas gráficas d e sistem as de
d iserto asistid o s p o r c o m p u ta d o ra ( cad ).
AG RA D ECIM IEN TO S
Q u ie ro expresar m i g ra titu d a los revisores d e este lib ro p o r sus
c o m e n ta rio s y su g e re n c ia s: D av e Brock, K a b m a z o o Vallcy
( b m m u n ity C ollege; l a u r a Calswell, U niversity o f C in d n n a ti;
C harles D rak e, E erris S tate U niversity; L u b a m b a la K ab en g e b ,
L hiversity o f N o rth C a ro lin a at C h a rlo tte; S u n g K im , P ied m o n t
Technical C ollege; M ic h a e l). R ider, O h io N o rth e rn University;
a n d C e ra ld W eism an, University o f V erm ont.
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Itave M yszka
C O N T E N ID O
1 I n t r o d u c c ió n a l o s m e c a n is m o s
y a la c in e m á tic a 1
O b je tiv o s
1.1
1.2
1
C in e m á tic a
1.4
T e rm in o lo g ía d e m e c a n is m o s
2
1.5
D ia g ra m a s c in e m á tic o s
1.6
In v e rs ió n c in e m á tic a
1 .7
M o v ilid a d
O b je tiv o s
2
4
8
8
1.7.1 E c u a c ió n d e G r u e b le r
12
E sla b o n e s y u n io n e s u sa d o s c o m ú n m e n te
1.8.1 M a n iv e la e x c é n tric a
1.8.3 U n ió n d e to r n illo
16
3
E l m e c a n is m o d e c u a tro b a r r a s
1.10.1 C r ite r io d e G r a s h o f
19
19
20
M e c a n ism o d e m a n iv e la - c o rr e d e r a
1.12
M e can ism o s p a r a p r o p ó s ito s e s p e c ia le s
41
1.12.3 M e can ism o s d e r e to m o rá p id o
23
1.12.4 M e c a n ism o d e y u g o e sco cés
23
23
1.13.1 T é c n ic a s tra d ic io n a le s
d e r e p re s e n ta c ió n g rá fic a
24
24
24
43
E scalares y v e c to r e s
3 .3
A n álisis v ecto rial g rá fic o
3.4
T é c n ic a s d e d ib u jo r e q u e rid a s p a ra el an álisis
s e c to ria l g r á fic o 44
3 .5
C o n o c im ie n to r e q u e r id o d e c a d p a r a
d an álisis v e c to ria l g r á fic o 44
3 .6
C o n o c im ie n to s d e trig o n o m e tr ía re q u e rid o s
pura el a n á lis is v ecto rial
44
43
43
3.6.1 T riá n g u lo r e c tá n g u lo
44
46
3 .7
M a n e jo d e v e c to re s
3 .8
S u m a g rá fic a d e v e c to re s ( + > )
3 .9
S u m a a n a lític a d e se c to re s ( + > ) : m é to d o
3 .1 0
C o m p o n e n te s d e u n v e c to r
3.11
S u m a a n a lític a d e v ecto res ( + > ) : m é to d o
de c o m p o n e n te s 53
del tr iá n g u lo
24
1.13.4 M é to d o s p o r c o m p u ta d o r a
43
In tro d u c c ió n
3.2
22
T é c n ic a s d e a n á lis is d e m e c a n is m o s
42
3.6.2 T riá n g u lo o b lic u o
22
37
V e c to re s 4 3
22
1.12.2 M e can ism o s d e p a r a le lo g ra m o
1.13.3 T é c n ic a s a n a lític a s
U so d e w o rk in g m o d e l p a r a m o d e la r
u n m e c a n is m o d e m a n iv c la - c o n c d e r a
22
1.12.1 M e can ism o s d e lín e a r e c ta
1.13.2 S iste m a s d e C A D
2 .5
20
20
1.11
1.13
U so d e w o rk in g m o d e l p a r a m o d e la r
u n m e c a n is m o d e c u a tr o b a r r a s 32
20
20
31
2.4
3.1
18
1.10.5 M e c a n ism o d e p u n to d e c a m b io
1.10.6 T rip le b a la n c ín
A d q u is ic ió n d e l so ftw a re w o rk in g
m o d e l 32
O b je tiv o s
1.9.3 G r a d o s d e lib e r ta d in a c tiv o s
1.10.4 D o b le b a la n c ín
2 .3
E s tu d io s d e c a s o
1.9.2 E x cep cio n es d e la ecu a c ió n
d e G r u e b le r 18
1.10.3 M a n iv c la -b a la n d n
S im u la c ió n p o r c o m p u ta d o r a
d e m e c a n is m o s 31
P ro b le m a s
C a so s e s p e c ia le s d e la ecu a c ió n
d e m o v ilid a d 16
1.10.2 D o b le m a n iv e la
2 .2
14
15
1.9.1 U n io n e s c o in c id e n te s
1.10
In tro d u c c ió n
14
14
1.8.2 U n ió n d e p e r n o e n u n a r a n u r a
31
2.1
8
1.7.2 A c tu a d o r e s e im p u ls o r e s
1.9
29
2 C o n s t r u c c i ó n d e m o d e lo s
d e m e c a n is m o s e n c o m p u t a d o r a
u s a n d o e l s o f tw a r e w o r k i n g m o d e l® 31
1
M á q u in a s y m e c a n is m o s
25
E stu d io s d e c a s o
1
I n tro d u c c ió n
1.3
1.8
P ro b le m a s
48
48
50
52
3 .1 2
Resta o s u s tra c c ió n v e c to ria l ( - > )
3 .1 3
S u s tra c c ió n g ráfica d e v e c to re s ( - > )
www.FreeLibros.me
55
55
C o n ten id o
3.14
Resta v ecto rial a n a lític a ( - > ) : m é to d o
d el tr iá n g u lo 57
3.15
Resta v e c to ria l a n a lític a ( - > ) : m é to d o
d e c o m p o n e n te s 59
3 .1 6
E cu acio n es v e c to ria le s
3.17
A p lic a c ió n d e e c u a c io n e s se c to ria le s
3 .1 8
3 .1 9
5
P o s ic ió n
R a z ó n d e ti e m p o
5.3
D ia g ra m a s d e ti e m p o
5 .4
D is e ñ o d e m e c a n is m o s
d e m a n iv d a - c o rr e d e r a
109
110
113
5.4.2 M e c a n ism o d e m a n iv e la -c o rre d e ra
d e s c e n tra d o 114
5 .5
D is e ñ o d e m e c a n is m o s de
m a n iv e la -b a la n c ín 115
72
5.6
D is e ñ o d e m e c a n is m o s de
m a n iv e la -c e p illo
72
5.7
72
4.2.2 P o s ic ió n a n g u la r d e u n e s la b ó n
4.2.3 P o sic ió n d e u n m e c a n is m o
D e s p la z a m ie n to
72
117
M e c a n ism o p a r a m o v e r u n e s la b ó n e n tre
d o s p o s ic io n e s 118
5.7.1 S íntesis d e d o s p o sic io n e s c o n u n
73
e s la b ó n q u e p iv o ta
73
4.3.1 D e s p la z a m ie n to lin e a l
A nálisis d e d e s p la z a m ie n to
118
5 .7 .2 S íntesis d e d o s p o sic io n e s c o n u n
a c o p la d o r d e u n m e c a n is m o d e c u a tro
73
4.3.2 D e s p la z a m ie n to a n g u la r
73
b a rra s
74
1 18
5.8
M e c a n ism o p a r a m o v e r u n e s la b ó n e n tre
tres p o s ic io n e s 119
4.5.1 D e s p la z a m ie n to d e u n s im p le e s la b ó n
im p u ls a d o 74
5.9
D e fe c to s d e c irc u ito y d e r a m ific a c ió n
4.5.2 D e s p la z a m ie n to d e lo s e sla b o n e s
E stu d io s d e c a s o
D e s p la z a m ie n to : an álisis g r á fic o
im p u ls a d o s
4 .6
109
5.4.1 M e c a n ism o d e m a n iv e la -c o rre d e ra
e n lín e a 113
4.2.1 P o sic ió n d e u n p u n to
4.5
5 .2
72
I n tro d u c c ió n
4 .4
In tro d u c c ió n
71
4 .2
109
5.1
67
4.1
4 .3
D is e ñ o d e m e c a n is m o s 109
O b je tiv o s
62
A n á lis is d e p o s i c ió n y
d e s p l a z a m i e n to 72
O b je tiv o s
108
60
D e te r m in a c ió n a n a lític a d e la s m a g n itu d e s
v e c to ria le s 66
B tu d io s d e c a s o
101
E stu d io s d e c a s o
D e te rm in a c ió n g rá fic a d e m a g n itu d e s
v e c to ria le s 63
P ro b le m a s
4
P ro b le m a s
74
P ro b le m a s
119
120
121
75
P o sició n : m é t o d o a n a lític o
79
6
4.6.1 E cu acio n es d e a n á lis is d e p o sic ió n
e n f o rm a ce rra d a p a r a u n a
m in iv e la -c o rre d e ra e n lín ea 81
A n á lis is d e v e lo c id a d 123
O b je tiv o s
6 .1
4.6.2 E cu acio n es d e an álisis d e p o sic ió n
e n f o rm a c e r r a d a p a ra u n a
m a n iv e la -c o rre d e ra d e s c e n tra d o 84
6 .2
4.8
P o sicio n es lim ite : m é to d o a n a lític o
4.9
A n g u lo d e tr a n s m is ió n
4 .1 0
C i d o c o m p le to : a n á lis is g r á fic o
de p o s ic ió n 94
c u a lq u ie ra
87
91
93
4.11
C i d o c o m p le to : a n á lis is d e la p o s ic ió n
4.12
D ia g ra m a s d e d e s p la z a m ie n to
4.13
C u rv a s d e l a c o p la d o r
V elocidad lin e a l
123
6.2.2 V elo cid ad lineal d e u n p u n to
124
6.2.3 P erfil d e v e lo c id a d d e l m o v im ie n to
4.6.4 C irc u ito s d e u n m e c a n is m o d e c u a tro
b a r r a s 87
P o sicio n es lím ite : a n á lis is g r á fic o
123
6.2.1 V elo cid ad lineal d e p u n to s
ir c tilín c o s 123
4.6.3 E cu acio n es d e p o sic ió n p a r a u n
m e c a n is m o c e rra d o d e c u a tro
b a r r a s 87
4 .7
123
In tro d u c c ió n
lin e a l
124
6 .3
V elo cid ad d e u n e s la b ó n
125
6 .4
R elación e n tre la s v elo cid ad es lineal
y a n g u la r 126
6 .5
V elo cid ad re la tiv a
6 .6
A nálisis g rá fic o d e v e lo c id a d : m é to d o
d e v e lo c id a d re la tiv a 130
%
98
101
6.6.1
P u n to s s o b re e s la b o n e s re strin g id o s
a ro ta c ió n p u r a o a tra sla c ió n
re c tilín e a
www.FreeLibros.me
128
130
ri
C o n te n id o
6 .6 .2 P u n to s e n g e n e ra l s o b re u n e s la b ó n
flo ta n te 132
7 .6
A n álisis d e a c e le ra c ió n re la tiv a :
m é to d o g r á fic o 181
6 .6 .3 P u n to s c o in c id e n te s s o b re e sla b o n e s
7 .7
A n álisis d e a c e le ra c ió n re la tiv a :
m é to d o a n a lític o 188
7 .8
S o lu cio n es a lg e b ra ic a s d e m e c a n is m o s
c o m u n e s 190
d ife re n te s
135
6 .7
Im a g e n d e v e lo c id a d
6 .8
E s tu d io a n a lític o d e v e lo c id a d : m é to d o
d e la v e lo c id a d re la tiv a 137
6 .9
S o lu c io n e s a lg e b ra ic a s p a r a m e c a n is m o s
com unes
137
7.8.1 M e c a n ism o d e m a n iv e la c o rre d e ra
190
142
7.8.2 M e c a n ism o d e c u a tr o b a r r a s
6.9.1 M e c a n ism o d e m a n iv e la c o r re d e ra
7 .9
142
6 .9 .2 M e c a n ism o d e c u a tro b a r r a s
142
6 .1 0
C e n tr o d e ro ta c ió n in s ta n tá n e o
6.11
L o calizació n d e c e n tr o s in s ta n tá n e o s
6 .1 1 .1 C e n tro s p rin c ip a le s
142
142
143
6 .1 1 .2 T e o re m a d e K e n n e d y
A c e le ra c ió n d e C o rio lis
7 .1 2
M e c a n is m o s e q u iv a le n te s
7 .1 3
C u r v a s d e a c e le r a c ió n
P ro b le m a s
6.13
M é to d o a n a lític o p a r a velo cid ad : m é to d o
d el c e n tr o in s ta n tá n e o 152
197
201
202
202
E s tu d io s d e c a s o
8
204
206
213
A n á lis is d e m e c a n is m o s a s is tid o
p o r c o m p u t a d o r a 215
155
6.14.1 D ife re n c ia le s g rá fic a s
O b je tiv o s
157
215
8.1
In tro d u c c ió n
161
8.2
H o ja s d e c á lc u lo
E stu d io s d e c a s o
8 .3
P ro g ra m a s d e c ó m p u to d e s a rro lla d o s
6 .1 4 .2 D ife re n c ia le s n u m é ric a s
P ro b le m a s
159
168
p o r e l u s u a rio
7
196
7.13.2 D iferenciales n u m é r ic a s
A nálisis g r á fic o d e v e lo c id a d : m é to d o
d el c e n tr o in s ta n tá n e o 149
C u rv a s d e v e lo c id a d
Im a g e n d e a c e le ra c ió n
7.11
7.13.1 D iferenciales g rá fic a s
6 .1 2
6 .1 4
7 .1 0
144
6 .1 1 .3 D ia g ra m a d e c e n tro s
in s ta n tá n e o s 144
191
A c e le ra c ió n d e u n p u n to e n g e n e ra l s o b re
u n e s la b ó n f lo ta n te
191
A n á lis is d e a c e le r a c ió n
215
215
221
8 3 .1 M e c a n ism o d e m a n iv e la -c o rre d e ra
170
d e s c e n tra d o
O b je tiv o s
7.1
7.2
170
I n tro d u c c ió n
221
8.3.2 M e c a n ism o d e c u a tr o b a r r a s
170
P ro b le m a s
A c e le ra c ió n lin e a l
170
221
222
E stu d io d e c a s o
222
7.2.1 A c e le ra c ió n lineal d e p u n to s q u e se
m u e v e n e n lín e a re c ta
170
9
7 .2 .2 A c e le ra c ió n re c tilín e a c o n s ta n te
O b je tiv o s
7 .2 .3 A c e le ra c ió n y el p e rfil d e
v e lo c id a d
171
7 .2 .4 A c e le ra c ió n lin e a l d e u n p u n to
e n g e n e ra l
7 .3
173
9.1
In tro d u c c ió n
9.2
T ip o s d e levas
223
9 .3
T ip o s d e s e g u id o re s
223
224
173
9.3.1 M o v im ie n to del s e g u id o r
7.3.1 A c e le ra c ió n a n g u la r
173
9.3.2 P o sic ió n d el s e g u id o r
A c e le ra c ió n n o rm a l y ta n g e n c ia l
7.4.1 A c e le ra c ió n ta n g e n c ia l
7 .4 .2 A c e le ra c ió n n o rm a l
7 .4 .3 A c e le ra c ió n to ta l
7 .5
223
A c e le ra c ió n d e u n e s la b ó n
7 .3 .2 A c e le ra c ió n a n g u la r c o n s ta n te
7 .4
L e v a s: d is e ñ o y a n á l i s i s c i n e m á t i c o 2 2 3
171
M o v im ie n to re la tiv o
173
174
174
175
175
179
M o v im ie n to p re sc rito d e l s e g u id o r
9.5
E sq u e m a s d e m o v im ie n to d el s e g u id o r
228
9.5.2 A celeració n c o n s ta n te
9.5.3 M o v im ie n to a r m ó n i c o
177
9.5.4 M o v im ie n to cic lo id a l
7 .5 .2 C o m p o n e n te s d e la a c e le ra c ió n
re la tiv a
225
9.4
9.5.1 V elo cid ad c o n s ta n te
177
7.5.1 A c e le ra c ió n relativ a
9.3.3 F o rm a d d s e g u id o r
224
224
228
228
230
9.5.5 E sq u em as d e m o v im ie n to
c o m b in a d o 236
www.FreeLibros.me
225
227
C o n te n id o
9.6
D ise n o g r á fic o d e l p e rfil d e u n a le ra
de d is c o 237
9.6.1 S e g u id o r d e c u n a e n lin ea
237
9.6.2 S e g u id o r d e r o d illo e n lín e a
238
9.6.3 S e g u id o r d e ro d illo d e s c e n tr a d o
239
10.11
C in e m á tic a d e e n g ra n e s c ó n ic o s
10.12
C in e m á tic a d e u n e n g ra n e s i n f i n
10.13
T re n e s d e e n g r a n e s
10.14
E n g ra n e s lo co s
10.15
T re n e s d e e n g r a n e s p la n e ta r io s
9.6.4 S e g u id o r d e tra sla c ió n c o n cara
p la n a
9 .6 .5 S e g u id o r d e r o d illo c o n p iv o te
Á n g u lo d e p r e s ió n
9.8
L im ita c io n e s d e d is e ñ o
9.9
D ise ñ o a n a lític o d el p e rfil d e u n a
leva d e d isc o
241
P ro b le m a s
293
295
E stu d io s d e c a s o
244
299
11 T r a n s m i s i o n e s d e c o r r e a
y d e c a d e n a 302
246
249
9.9.4 S e g u id o r d e c a r a p la n a c o n
tr a s la c ió n
249
9.9.5 S e g u id o r d e r o d illo c o n p iv o te
250
O b je tiv o s
302
11.1
In tro d u c c ió n
11.2
C o rreas
302
302
11.3
G e o m e tr ía d e la tr a n s m is ió n d e c o r r e a
9.10.1 D ise n o g rá fic o d e l p e rfil d e u n a leva
c ilin d ric a 251
11.4
C in e m á tic a d e u n a tr a n s m is ió n
d e c o r r e a 305
9 .1 0 .2 D iseñ o an a lític o d d perfil d e u n a
leva c ilin d ric a 25!
11.5
C adenas
L ev as c ilin d ric a s
251
E l m e c a n is m o d e G in e b r a
P ro b le m a s
252
1 1 .5 2 P a s o d e c a d e n a
G e o m e tr ía d e u n a tr a n s m is ió n
d e c a d e n a 310
11.7
C in e m á tic a d e la tr a n s m is ió n d e c a d e n a
313
E stu d io s d e c a s o
10.1
I n tro d u c c ió n
260
10.2
T ip o s d e e n g r a n e s
10.3
T e rm in o lo g ía d e u n e n g ra n e r e c to
10.4
P erfiles d e d ie n te s d e in v o lu ta
10.5
E n g ra n e s e s tá n d a r
261
12 M e c a n is m o s d e t o m i l l o 3 1 6
O b je tiv o s
266
R elaciones d e lo s e n g ra n e s a c o p la d o s
10.6.1 D ista n c ia e n tr e c e n tr o s
10.6.2 R a zó n d e c o n ta c to
10.6.3 In te rfe re n c ia
268
In tro d u c c ió n
12.2
C a ra c te rístic a s d e la s c u e r d a s
123
268
316
12.1
316
F o rm a s d e c u e rd a
1 2 .3 2 C u e rd a s m é tr ic a s
270
317
317
1 2 .3 3 C u e rd a s c u a d r a d a s
10.6.5 H o lg u ra (ju e g o )
12.3.4 C u e rd a s
272
1 0 .6 .6 A n g u lo d e p r e s ió n d e o p e r a c ió n
10.7
C in e m á tic a d e u n e n g r a n e r e c to
10.8
S elecció n d e u n e n g ra n e r e c to
273
273
275
276
10.8.2 Á n g u lo d e p r e s ió n
10.8.3 N ú m e r o d e d ie n te s
276
276
10.9
C in e m á tic a d e la c re m a lle ra y e l p iñ ó n
10.10
C in e m á tic a d e u n e n g r a n e h elico id al
281
282
317
317
acmé
12.4
T o rn illo s d e b o la s
12.5
A v an ce
12.6
C in e m á tic a d e to m illo s
12.7
F uerzas y to r q u e s e n e l to m illo
12.8
T o m illo s d ife re n c ia le s
12.9
T o rn illo s d e t a la d r o
P ro b le m a s
www.FreeLibros.me
317
317
325
E stu d io s d e c a s o
316
316
12.3.1 C u e rd a s u n ific a d a s
269
271
10.8.1 P aso d ia m e tr a l
315
262
264
310
11.6
P ro b le m a s
260
10.6.4 R e b a je
309
11.5.4 R uedas d e n ta d a s ( c a ta r in a s )
E n g ra n e s: a n á lis is c in e m á tic o
y s e le c c ió n 2 6 0
O b je tiv o s
308
309
1 1 .5 3 C a d e n a s m u ltitr a m o s
258
304
308
11.5.1 T ip o s d e c a d e n a s
254
I s tu d io s d e c a s o
10.6
290
243
9.9.3 S e g u id o r d e ro d illo d e s c e n tr a d o
10
288
290
p la n e ta rio s
243
9.9.2 S e g u id o r d e r o d illo e n lín e a
9.11
286
10.15.2 A n álisis p o r e c u a c ió n d e en g ra n e s
242
9.9.1 S e g u id o r d e c u ñ a
9.10
285
10.15.1 A n álisis d e e n g r a n e s p la n e ta rio s
p o r s u p e rp o s ic ió n 291
240
9.7
rli
328
318
324
325
322
311
tíü
C o n te n id o
13 A n á lis is d e f u e r z a s e s t á t ic a s 330
O b je tiv o s
13.1
13.2
330
In tro d u c c ió n
F u era s
330
14.2
M asa y p e s o
14.3
C e n tr o d e g ra v e d a d
14.4
M o m e n to d e i n e r d a
13.3
M o m e n to s y to r q u e s
13.4
L eyes d el m o v im ie n to
13.5
D ia g ra m a s d e c u e r p o lib re
330
14.4.2 R a d io d e g ir o
333
333
E q u ilib rio e s tá tic o
335
13.7
A nálisis d e u n e le m e n to c o n d o s f u e r a s
13.8
F u e r a d e fric c ió n d e d e s liz a m ie n to
14.5
F u e r a in ercial
352
14.6
T o rq u c i n e r d a l
357
P ro b le m a s
335
345
14 A n á lis is d e f u e r z a s d i n á m i c a s 3 4 6
370
I n d ic e a n a lític o
346
I n tro d u c c ió n
366
R e s p u e s ta s a p r o b le m a s p a re s
s e le c c io n a d o s 3 6 7
R e fe re n c ia s
14.1
363
E s tu d io d e c a s o
341
343
350
351
14.4.5 M o m e n to d e in e r d a : d e te r m in a c ió n
e x p e r im e n ta l 352
333
13.6
O b je tiv o s
350
14.4.4 C u e r p o s c o m p u e s to s
13.5.2 D e te r m in a c ió n d e la s fu erz as
de c o n ta c to 333
E stu d io d e c a s o
348
14.4.3 T e o re m a d e lo s e je s p a ra le lo s
13.5.1 E la b o ra c ió n d e u n d ia g r a m a d e c u e rp o
P ro b le m a s
347
14.4.1 M o m e n to d e i n e r d a d e fo rm a s
b á s ic a s 348
330
lib re
346
346
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371
C A P IT U L O
UNO
IN T R O D U C C IÓ N A LO S M E C A N IS M O S
Y A LA C IN E M Á T IC A
O B JE T IV O S
Al term in a r d e estu d ia r e ste capitulo, el alum no
*era ca p a z de:
I. E s p ita r la n ctrrid ad del anáR*i* cinem átia» d e lo*
2. D efinir lo» com ponentes báucos que integm n un
3 . Elaborar el diagram a tin e m á lito d e la villa d e una máquina
completa.
i
Calcular el núm ero de grado* d e libertad en un mecanismo.
5 . Identificar un m ecanism o d e cuatro barras y clasificarlo
de acuerdo con su posible movimiento.
6 . Identificar un m e ta n iu n o d e manivela-corredera.
1.1 IN T R O D U C C IÓ N
Im ag in e q u e fo rm a p a rte d e u n e q u ip o d e diserto y desarro llo . El
e q u ip o e s responsable d el diserto d e u n sistem a d e lim piadores
p a ra el p a ra b risa s d e u n au to m ó v il. El v eh ícu lo e n cu estió n es
u n m o d elo d e p o rtiv o c o n lin ca a e ro d in ám ica y el p a ra b risa s in ­
d in a d o . D esd e luego, el ob jetiv o d e este sistem a d e lim piadores
es rem o v er el a g u a y el p o lv o d el p arab risas, p a r a b r in d a r una
v isió n clara a l c o n d u c to r. G e n e ra lm e n te l o a n te r io r s e realiza
deslizan d o u n p a r d e lim p iad o res a trav és d e l cristal.
U n a d e las p rim e ra s tareas d el diserto consiste e n establecer
lo s m o v im ien to s ad ecu ad o s d e los lim piadores. Los m o v im ien ­
to s d e b e n s e r su fid e n te s p a ra g a ran tizar q u e se lim p ien las partes
critic as d el p arab risas. Ix>s ra n g o s d e visión d e diferentes c o n ­
d u c to re s s e d e te rm in a n m ed ian te e stu d io s estad ístico s ex h a u s­
tivos. Esta in fo rm a d ó n establece la s p a u ta s d el m o v im ien to re ­
q u erid o d e lo s lim p iad o res. S e h ab rán d e to m a r decisio n es im ­
portantes so b re s i el m o v im ie n to d e los lim piadores q u e m ejor se
ajusta al v eh ícu lo es e n tá n d e m o e n se n tid o op u esto . O tra s d eci­
siones se refieren al ta m a ñ o d e lo s án gulos d e lim p ieza d el lado
del c o n d u c to r y d el la d o d el pasajero, así c o m o la u b ic a d ó n de
los pivotes, l a figura 1.1 m u estra d c o n c e p to d e diserto c o n un
p a tró n d e m o v im ien to s opuestos d e los lim piadores.
U n a vez q u e s e estab lece el m o v im ie n to deseado, se debe
c o n fig u ra r d e n s a m b le d e lo s c o m p o n e n te s p a ra m o v er los
lim p iad o res d e a c u e rd o c o n el p a tr ó n d e g id o . L as activ id ad es
posteriores in d u y e n d análisis d e o tro s aspectos d el m ovim iento
c o m o la s in c ro n iz a d ó n y la te n d en cia a azo tarse d e lo s lim p ia ­
d ores. P ara ta l sistem a, al igual q u e e n las m áquinas, la c o m p re n ­
sió n y el a n á lis is d e l m o v im ie n to s o n in d isp en sab les p a r a un
(iin d o n a m ie n to adecuado. Estos tip o s y análisis d el m ovim iento
form an la p arte m e d u la r d e este libro.
O tra tarea im p o rtan te e n el diserto d e m aquinaria es b d eter­
m inación d el efecto d e las foerzas q u e actúan sobre la m á q u in a
Tales foerzas d efin en el tip o d e la fo e n te d e p o te n d a q u e se req jie r c p a ra o p erar la m á q u in a Las foerzas tam bién establecen b
resistencia req u erid a d e lo s c o m p o n en tes. El sistem a d e lim p ia ­
dores, p o r ejem plo, debe resistir b frix ió n q u e se crea c u a n d o se
lim p ia la savia q u e cayó so b re el parabrisas, luego d e que el a u ­
tom óvil se estacionara d e tu jo d e u n á r b o l Este tip o d e análisis de
foerzas es u n tem a fundam enta! e n b p arte final del libro.
1.2 M Á Q U IN A SY M EC A N ISM O S
Las m á q u in a s s o n d isp o sitiv o s q u e s e u tiliz a n al m o d ifica r,
tra n sm itir y d irig ir fuerzas p a ra llevar a c a b o u n ob jetiv o esp ed fic o U n a sie rra d e cad e n a es u n a m á q u in a c o n o d d a q u e dirige
fo erz as h a d a la cad e n a c o n la fin a lid a d d e c o rta r m a d e ra . Un
rrreanismo e s u n a p a rte m ecán ica d e u n a m áq u in a, c u y a fo n d ó n
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2
CAPITULO U N O
■ ¿La p la ta fo rm a está a salvo d e la te n d en cia a volcarse?
■ ¿C u álesd eb en ser el ta m a ñ o d e la sección transversal y el
m aterial p a r a q u e n o fallen las p ie rn a s d e soporte?
La m ay o ría d e los m ecanism os s e m u ev en d e tal fo rm a que
sus p a rte s s e m u e v e n e n p la n o s p aralelo s. E n el dispositivo de
b f ig u ra 1.2, s e u tiliz a n d o s m e c a n is m o s id é n tic o s e n lad o s
o p u esto s d e la p la ta fo rm a p a ra efecto s d e estab ilid ad . Sin e m ­
bargo. el m o v im ien to d e estos m ecanism os se d a e n u n p la n o e s ­
tric ta m e n te vertical. P o r c o n sig u ie n te , esto s m e c a n is m o s se
conocen c o m o mecanismos p lanos p o rq u e su m o v im ien to s e li­
m ita a u n espacio b id im en sio n al. La m a y o ría d e los m ecanism os
com erciales s o n p la n o s y so n el tem a p rin c ip a l d el libro.
1.2 P latafo rm a d e a ltu ra ajustable.
(C o rtesía d e A dvance Lifts).
f ig u r a
1.4 TE R M IN O L O G ÍA DE M ECANISM O S
e s tr a n s m itir m o v im ien to y fu e rz a d e u n a fu e n te d e p o te n c ia a
u n a salida. Es el c o ra z ó n d e la m á q u in a . En la s ie rr a d e cadena,
el m ecan ism o to m a la p o te n c ia d e u n p e q u e ñ o m o to r y la s u m i­
n istra e n el e x tre m o d e c o rte d e la cadena.
La fig u ra 1.2 ilu stra u n a p la ta fo rm a d e a ltu r a aju sta b le que
s e im p u lsa c o n c ilin d ro s h id rá u lic o s. Si b ie n se p o d r ía llam ar
m á q u in a al dispo sitiv o c o m p le to , las p a rte s q u e to m a n la p o te n ­
c ia d e lo s cilin d ro s y elevan y b a ja n la p la ta fo rm a s o n la s q u e i n ­
te g ra n el m ecanism o.
S e co n sid e ra n c o m o m ecan ism o las p artes ríg id a s q u e es­
tán c o n fig u ra d a s y c o n e c ta d a s d e m o d o q u e p ro d u c e n el m o ­
v im ie n to q u e se d esea e n la m á q u in a . El p ro p ó sito d el m eca­
n ism o d e la fig u ra 12 es elevar la p la ta fo rm a y cu a lq u ie r o b je to
q u e s e e n c u e n tre so b re ella. La síntesis e el p roceso d e d esarrollo
d e u n m e c a n is m o p a r a sa tis fa c e r los r e q u e r im ie n to s d e f u n ­
c io n a m ie n to d e la m á q u in a . E l a n álisis g > ran tiza q u e el m e­
c a n is m o s e m overá d e ta l m o d o q u e c u m p lirá c o n los re q u e ri­
m ientos.
1.3 C IN E M Á T IC A
La cin em á tica tra ta c o n la m a n e ra e n q u e s e m u e v e n lo s c u e r ­
p o s. Es el estu d io d e la g e o m e tría d el m o v im ie n to . El an álisis
c in e m á tic o im p lic a la d e te r m in a c ió n d e p o sic ió n , d e sp la z a ­
m ie n to , ro tació n , rap id ez, v elo cid ad y aceleración d e u n m eca­
nism o .
P ara ilu s tr a r la im p o rta n c ia d e e ste a n á lis is , re g re se a la
p la ta fo rm a d e elevación d e la fig u ra 1.2. El análisis cin em ático
o fre c e in fo rm a c ió n s o b re c u e s tio n e s significativas d el d ise rto
tales co m o :
■
¿C uál es la im p o rta n c ia d e la lo n g itu d d e la s p ie rn a s que
« p o r t a n la plataform a?
■
¿Es necesario q u e la s p ie rn a s d e s o p o rte e sté n cru zad as y
co n ectad as e n s u p u n to m e d io , o serta m e jo r configurarlas
p a r a q u e se c ru c e n m ás cerca d e la plataform a?
■
¿A q u é d istan cia d e b e n extenderse lo s cilin d ro s p a r a elevar
8 in b plataform a?
C o m o s e m en cio n ó , lo s m ecan ism o s co n siste n e n p a rte s conec­
tadas c o n el ob jetiv o d e tr a n s m itir m o v im ie n to y fuerza, desde
u n a fu e n te d e p o te n c ia h a s ta u n a salida. U n eslabonam iento es
u n m e c a n is m o d o n d e se u n en p a r te s ríg id a s p a ra fo rm a r u n a
cadena. U na d e la s p a r te s s e d e n o m in a bancada, p o rq u e sirve
c o m o m a rc o d e refe re n c ia p a r a el m o v im ie n to d e to d a s las
dem ás p a rte s. La b a n c a d a n o r m a lm e n te e s u n a p a r te s in m o ­
vim iento. En la fig u ra 1.3 se o b se rv a u n a p o p u la r m á q u in a de
gula e líp tic a p a ra ejercicio , e n la c u a l d o s e s la b o n a m ie n to s
p lan o s están c o n fig u rad o s p a ra o p e r a r fu e ra d e fase c o n la fina­
lidad d e sim u la r el m o v im ien to d e cam inar, in cluyendo el m o ­
v im iento d e los b razos. C o m o la base s e ap o y a e n el su e lo y n o se
m ueve d u ra n te la o p eració n , s e c o n s id e ra q u e la base es la b a n ­
cada
Los eáabonesson las p artes individuales d el m ecanism o y se
co n sid eran c u e rp o s rígidos q u e están c o n ectad o s c o n o tro s esb b o n e s p a ra tra n sm itir m o v im ien to y fuerzas. T eó ricam en te, u n
c u erp o rígido verdadero n o se d e fo rm a d u ra n te el m ovim iento.
A u n q u e e n realidad n o h a y u n c u erp o rígido, los eslabones d e los
m e c a n ism o s s e d is e ñ a n c o n s id e ra n d o u n a d e fo rm a c ió n m í­
n im a y se s u p o n e n rígidos. El reposapiés y los m a n u b rio s d e la
m á q u in a p a ra ejercicio c o m p re n d e n diferentes eslabones y, ju n ­
to c o n los eslabones, e stá n in terco n cctad o s para p ro d u c ir restric­
ciones al m ovim iento.
R u te s elásticas, c o m o los reso rtes, n o s o n rígidas: p o r lo
te n tó , n o s e c o n s id e ra n e sla b o n e s. N o tie n e n efecto s o b r e la
cin e m á tic a d el m ecan ism o y s e su e le n ig n o r a r en el an álisis
A sim ism o, el análisis d e las fuerzas d in ám icas d e la p lata
fo rm a a y u d a ría a c o n te sta r o tra s p reg u n tas im p o rta n te s d el d i ­
serto:
■
¿Q u é capacidad ( f u e r a m á x im a ) se req u iere e n el cilindro
hidráulico?
u M áquina d e g u ia elíptica p a ra ejercicio
d e en tre n a m ie n to (fo to d e vvww.precor.com ).
f ig u r a
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In trod u c c ió n a j o s m ec a n is m o s y a la c in em á tica ___________ 3
cin em ático . S u m in istran fuerzas, p o r l o q u e se d e b e n in c lu ir en
la p arte d el an álisis d e la s fuerzas dinám icas.
U na im ió n e s u n a co n ex ió n m ó v il e n tre lo s eslabones q u e
p e r m ite el m o v im ie n to re la tiv o e n tr e ellos. Las d o s u n io n e s
p r in c ip a le s , lla m a d a s ta m b ié n u n io n e s to ta le s , so n la u n ió n de
rev o lu ta y la u n ió n p r is m á tic a La u n ió n d e r e v o l u t a , co n o cid a
ta m b ié n c o m o u n ió n d e p e m o o d e b is a g r a , p erm ite la ro ta c ió n
p u r a e n tre lo s d o s eslabones q u e c o n ecta. L a u n ió n d e c o rred era ,
co n o cid a ta m b ié n c o m o u n ió n d e p is tó n o p r is m á ti c a , p erm ite el
d esliz am ie n to lin eal e n tre lo s eslab o n es q u e c o n e c ta L a figura
1.4 m u e s tra las d o s ju n tas.
La figura 1 3 a m u e s tra u n a u n ió n d e leva q u e p erm ite tan to
b ro ta c ió n c o m o el d e sliz a m ie n to e n tre lo s d o s eslab o n es q u e
co necta. D ebido al m o v im ien to co m p lejo q u e g en era, a la cone­
x ión d e leva s e le llam a m i ó n d e o r d e n s u p e r i o r o m e d ia u n ió n .
U n a c o n e x ió n d e en g ra n e s p e rm ite asim ism o la ro ta c ió n y el
deslizam iento e n tre los d o s eng ran es c o n fo rm e sus d ien tes se van
a c o p la n d o . E n la fig u ra 1.5b se p resen ta e sta c o n fig u rac ió n . La
co n ex ió n d e en g ran e ta m b ié n es u n a u n ió n d e o rd e n superior.
U n e s la b ó n s i m p l e es u n c u e r p o r íg id o q u e so lo tie n e d o s
u n io n e s q u e s e co n e c ta n c o n o tr o s e sla b o n e s. La fig u ra 1.6a
ilu stra u n e s la b ó n a m p ie . U n a m a n iv e la es u n e s la b ó n a m p ie
Eslabón 2
Eslabón I
Eslabón I
E sla b ó n 2
a ) P em o
b ) C orredera
F IG U R A 1 .4
U n io n es principales: a ) p e r n o y b ) c o rre d era.
Esbbón 2
Ot U n ió n d e le v a
f ig u r a 1 3
b ) U n ió n d e e n g r a n e
U niones d e o rd e n su p e rio r: a ) u n ió n d e lev a y b ) u n ió n d e engrane.
a) E sla b ó n s im p le
f ig u r a i A
E slabones: a ) eslab ó n sim ple
b ) E slabón c o m p le jo
y b)
eslabón co m p lejo .
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4
CAPITULO U N O
q u e p u e d e g ir a r c o m p le ta m e n te a lre d e d o r d e u n c e n tro fijo.
Un b a la n c ín es u n eslabón sim ple q u e o sc ila c o n c ie rto ángulo,
in v in ie n d o s u d irecció n a d e te rm in a d o s intervalos.
U n eslabón com plejo es u n c u e rp o rig id o q u e c o n tie n e m ás
d e d o s u n io n e s . La fig u ra 1.6b m u e s tra u n eslab ó n co m p lejo .
U n brazo d e bala n cín es u n eslab ó n co m p le jo q u e c o n tie n e tres
u n io n e s y p iv o ta cerca d e s u c e n tro . U n a m anivela d e cam pana
e s sim ila r a u n b ra z o d e b a la n c ín , p e ro e stá c u rv a d a e n el ce n ­
tro . E l eslab ó n co m p le jo d e la fig u ra 1.6b es u n a m an iv ela d e
cam pana.
U n p u n to d e interés es u n p u n to del e s la b ó n d o n d e el
m o v im ien to tie n e u n in terés especial. El ex trem o d el lim p ia d o r
del p a ra b risa s, m en cio n ad o a n te rio rm e n te , se c o n sid e ra ría un
p u n to d e in te ré s. U n a vez q u e se lleva a c a b o el an álisis cin e­
m ático , se d e te rm in a n e l desp lazam ien to , la v elo cid ad y la acele­
ra c ió n d e ese p u n t a
H ú ltim o c o m p o n e n te g e n e ra l d e u n m ecan ism o es el actuador, q u e es el c o m p o n e n te q u e im p u lsa e l m ecanism o. Los
a c tu a d o re s c o m u n e s in d u y e n m o to re s (e lé c tric o s e h id r á u li­
co s), m o to re s d e gaso lin a, c ilin d ro s (h id ráu licas y neu m ático s),
m o to re s d e to m illo s d e b o la s y solenoides. Las m á q u in as q u e se
o p e r a n m an u alm en te u tilizan el m o v im ie n to h u m a n a c o m o el
g iro d e u n a m an iv ela, c o m o a c tu a d o r. Los a c tu a d o re s s e a n a ­
lizarán e n la sección 1.7.
Ixis eslab o n am ien tos p u e d e n s e r antenas abiertas o ornadas.
C a d a eslabón e n la cad ena d n e m á tic a c e n a d a se c o n ecta a d a s o
m á s eslabones. La elev ad o ra d e la figura 12 y la m á q u in a d e guía
elíp tica d e la fig u ra 1J s o n cadenas cerradas. U n a cadena abier­
ta tiene, p o r lo m enos, u n eslabón q u e está co n ectad o únicam ente
a o tr o eslabón. E slabonam ientos ab ierto s c o t í unes so n los brazos
m b ó tico s c o m o el d e la fig u ra 1.7, a s i com o o tra s m áquinas “d e
carrera" co m o la s retroexcavadoras y la s grúas.
1.5 DIAGRAM AS C IN E M Á T IC O S
En el análisis d el m o v im iento d e u n a m áquina, con frecuencia se
d ifk u lta visualizar el m o v im ien to d e los com ponentes e n el d ib u jo
c o m p le to d e u n en sam b le. La fig u ra 1.8 p re se n ta u n a m áq u in a
que s e u tiliza p a ra m an ejar p artes e n u n a lín ea d e ensam ble. Un
f ig u r a
1.7 R obot a r tic u la d a (C o rte sía d e M o to m a n Inc.).
m o to r p ro d u ce la fuerza giratoria q u e im pulsa u n m ecanism o que
m u e v e los b ra z o s d e la n te d e u n la d o a o tr o d e m a n e ra s in ­
cronizada. C o m o se observa e n la figura 1A u n a im agen com pleta
d é l a m á q u in a es m u y com pleja, p o r lo q u e resulta difícil concen­
trarse e n el m ovim iento d el m ecanism o e n consideración.
i.s C a rg a d o r sin c ro n izad o d e d o s b razos. (C o rte sía d e P ickO m atic
System s, F erg u so n M a ch in e C a ) .
f ig u r a
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E s m á s f á á l rep re sen tar las p artes d e m a n e ra esquem ática,
de m o d o q u e s o lo se m u estren las d im en sio n es q u e influyen en
el m o v im ien to d el m ecanism o. Tales d iag ram as “d esm o n ta d o s"
s e c o n o c e n c o n fre c u e n c ia c o m o diagram as cinem áticos, cuyo
p ro p ó sito es sim ila r al d e lo s d iag ram as esq u em ático s d e lo s cir­
cu ito s eléctrico s o d e lo s d iag ram as d e tubería, d o n d e s e re p re ­
se n ta n las v ariab les q u e afectan la f u n d ó n p r i n d p a l d el m eca­
TABI.A 1.1
n is m o L a ta b la 1.1 m u estra la s c o n v e n d o n e s c o m u n e s q u e se
u sa n e n la elab o ració n d e lo s d iag ram as d n e m á tic o s .
Se req u iere q u e u n diag ram a d n e m á tic o se d ib u je a u n a es­
cala p ro p o rd o n a l c o n el m ecan ism o real. P a ra efectos d e identific a d ó n . lo s eslab o n es s e n u m e ra n , in ic ia n d o c o n la b a n c a d a
c o m o el eslab ó n n ú m e ro 1. P ara e v ita r co n fu sió n , las u n io n e s se
identifican c o n letras.
S ím b o lo s q u e s e u tiliz a n e n lo s d ia g r a m a s c in e m á tic o s
R rp ro o iU d ú n dnonética
Eslabón simple
Eslabón simple
(con un punió
de interés)
Eslabón complejo
Union de perno
(Continúa)
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6
CAPITULO U N O
TABLA 1.1
( C o n tin u a c ió n )
Componente
irme común
R e p re s e n ta d A n d n e m á tic a
U n ión d e corredera
<s3
ép
U n ión d e leva
U n ió n d e e n g r a n o
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.1
la figura 1.9 es d e una m áquina q u e se u sa para cortar y ajustar tableros d e circuitos electrónicos im presos. Elabore
un diagram a cinemático.
F IG U R A 1 .9 P r e n s a d e c o r t e d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 . 1 .
S O L U C IÓ N :
1.
Id en tifiq u e la bancada
H p r i m e r p a s o e n l a e la b o r a c i ó n d e u n d ia g r a m a c i n e m á t i c o e s d e c id ir l a p a r te q u e s e d is e r t a r á c o m o l a b a n c a d i . E l m o v i m i e n t o d e t o d o s l o s d e m á s e s l a b o n e s s e d e t e r m in a r á e n r e la c i ó n c o n l a b a n c a d a . E n a l g u n o s c a s o s ,
b s e l e c c i ó n e s e v i d e n t e p o r q u e l a b a n c a d a e s t á f ir m e m e n t e s u j e t a e n e l s u e l o .
& i e s t e p r o b l e m a , l a b a s e g r a n d e a t o r n il la d a a l a m e s a s e d e s i g n a c o m o b a n c a d a . El m o v i m i e n t o d e t o d o s l o s
dem ás eslabones se determ ina e n relación c o n esta base. La base se identifica c o m o el eslabón 1.
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2.
Identifique todos los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa revela o irás tres partes que se m ueven:
Eslabón 2 : M ango
Eslabón 3 : C uchilla córtam e
Eslabón 4: B arra que conecta la cuchilla con el m ango
3.
Identifique las uniones
Se utilizan p ernos para u n ir d eslabón 1 al 2, el eslabón 2 al 3 y d eslabón 3 al 4 . Tales u n iones s e identifican con
letras A a C . Además, el c o rtad o r se desliza hacia arriba y hacia abajo, a lo largo d e la base. Esta u n ió n d e correde­
ra conecta el eslabón 4 c o n el 1 y se identifica con la letra D.
4.
Identifique los p u n to s d e interés
Ib r últim o, se desea oxnocer el m ovim iento e n el ex trem o del m ango, q u e s e identifica c o m o el punto de inte­
rés X.
5.
Elabore el dia g ra m a cinem ático
En la figura 1.10 se presenta el diagram a cinem ático.
FIG U R A t . i o
D i a g r a m a c i n e m á t i c o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 .1 .
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.2
l a figura 1.11 ilustra u n as pinzas. Dibuje s u diagram a cin e m á tic a
F lG U R A i.il
S O L U C IÓ N :
1.
P i n z a s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 .2 .
Identifique la bancada
H prim er paso es decidir q u é p arte se designará c o m o bancada. En este problem a n o hay partes sujetas al suelo.
I b r consiguiente, la selección d e la bancada e s arbitraria.
Se designa el m ango superior com o bancada. El m ovim iento de todos los dem ás eslabones se determ ina en
le h c ió n con el m an g o superior. El m an g o su p erio r se identifica com o el eslabón 1.
2.
Identifique lodos los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa revela o tras tres paites que se m ueven:
Eslabón 2: M ango inferior
Eslabón 3: M ordaza inferior
Eslabón 4: B arra que conecta el m ango su p erio r y el m ango interior
3.
Identifique las uniones
Se utilizan c u a tro p ernos para conectar estos eslabones (el eslabón I al 2 , el 2 a l 3 , el 3 al 4 y el 4 al I ). Estas
uniones s e identifican c o n las letras A a D.
4.
Id en tifiq u e ¡os p u n to s d e interés
Se desea conocer d m ovim iento e n d ex trem o d e la m ordaza inferior, el cu al se desigra com o el p u n to de interés
X. Finalm ente, tam bién se busca d eterm in ar el m o v im ien to en el ex trem o del m ango inferior, que s e designa
com o el p u n to de interés Y.
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8
CAPITULO U N O
5.
biabare e l d¡agram a cinem ático
0 diagram a cinem ático se observa e n la figura 1.12.
f ig u r a
1.12 D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.2.
1.6 IN V E R SIÓ N C IN E M Á T IC A
E l m o v i m i e n t o a b s o l u t o s e m id e c o n re sp e c to a u n a b a n c a d a
estacio n aria. El n v v i m i e n t o r e la t iv o d e u n p u n to o u n eslab ó n se
m id e c o n respecto a o tro eslabón. C o m o se in d ic ó e n lo s ejem ­
p lo s an terio res, el p r im e r p aso e n la elab o ració n d e u n d ia g ra m a
cin em ático c o n siste e n la selección d e u n a p a rte q u e sirv a com o
b an cad a . En a lg u n o s casos, la selección d e la b a n c a d a es a r b i ­
tra ria . c o m o e n la s p in zas d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.2. C u a n d o
s e seleccio n an d iferen tes eslab o n es c o m o b an cad a , n o s e altera
e l m o v im ie n to relativ o d e los e sla b o n e s; s i n em b arg o , e l m o ­
v im ien to a b so lu to p u e d e s e r significativam ente d ife re n te . E n las
m á q u in as sin u n eslab ó n fijo, p o r l o g eneral el m o v im ien to reía
tivo es el resu ltad o b u scad o e n el análisis cinem ático.
E n el p ro b le m a d e e je m p lo 1.2, u n re su lta d o im p o rta n te
d el a n á lis is c in e m á tic o es la d ista n c ia q u e s e d e b e m o v e r el
m a n g o p a r a a b r i r las m o rd a z a s. Se t r a t a d e u n a c u e s tió n d e
p o sició n relativa d e lo s eslabones: el m ango y la m o rd aza. C o m o
e l m o v im ien to relativo d e lo s eslabones n o cam b ia c o n la selec­
c ió n d e u n a b an cad a , la selección d e u n eslab ó n c o m o m arco d e
refe re n c ia c o n frecu en cia n o tie n e im p o rta n c ia . El u so d e e s ­
lab o n es altern o s c o m o eslabones fijos s e co n o ce c o m o in v e rsió n
á n e m d tic a .
1.7 M O V IL ID A D
U n a p ro p ie d a d im p o rta n te e n el an álisis d e m e c a n ism o s e s el
n ú m e ro d e g ra d o s d e lib e rta d d el e s la b o n a m ie n to El g r a d o d e
libertad es el n ú m e ro d e en trad as in d ep en d ien tes requeridas p a ra
po sicio n ar c o n ex actitu d to d o s lo s eslabones d e u n m ecanism o
c o n respecto al s u e lo T am bién se p u ed e d e fin ir com o el n ú m ero
d e a c tu a d o res n ecesarios p a r a o p e r a r el m ecan ism o . U n m eca­
n ism o actu ad o r p o d ría ser el m o v im ien to m anual d e u n eslabón
hacia o t r a posición, la c o n e x ió n d e u n m o to r al eje d e u n esla­
b ó n o el em p u je d e l pistón d e u n c ilin d ro hidráulico.
El n ú m e ro d e g ra d o s d e lib erta d d e u n m ecan ism o tam bién
s e c o n o c e c o m o m o v ilid a d , el cu al se identifica con el sím b o lo M .
a ) U n g r a « lo d c lib e r a d < M - I )
F IG U R A 1 .1 3
C uando la configuración d e u n m ecanism o e stá co m p letam en te
defin id a con el p o sic io n a m ien to d e u n e slab ó n , el sistem a tiene
u n g rad o d e lib erta d . La m ayoría d e los m ecanism os com erciales
tienen u n g rad o d e lib e rta d . En c o n tra ste , lo s b ra z o s ro b ó tico s
suelen ten er tres g rados d e libertad o in clu so m ás.
1.7.1 E c u a c ió n d e G r u e b l e r
l o s g ra d o s d e lib e rta d p a r a eslab o n am ien to s p lan o s con ectad o s
con u n io n e s c o m u n e s se calcu lan c o n la e c u a c ió n d e G ru e b le r .
M = g rados d e lib e rta d = 3 ( n - 1) - 2j p - jt,
donde:
n = n ú m e r o total d e eslab o n es e n el m ecanism o
= n ú m ero total d e u n io n e s p rin c ip a le s (u n io n e s d e p e rn o s o
d e co rre d eras)
= n ú m e ro to ta l d e u n io n e s d e o rd e n s u p e rio r ( u n io n e s de
levas o engranes)
C o m o ya se m en cio n ó , la m ay o ría d e los eslabonam ientos
u sa d o s e n las m á q u in as tien en u n g ra d o d e lib erta d . En la figura
1.13a s e p resen ta u n eslab o n am ien to con u n g ra d o d e libertad.
Los eslab o n am ien to s c o n g ra d o s d e lib e rta d iguales a cero
o negativos s e co n o cen c o m o m e c a n is m o s b lo q u e a d o s , lo s cuales
so n in c a p a c e s d e m o v e rse y f o r m a r u n a e s tru c tu r a . U n a a r ­
m a d u r a es u n a e s tru c tu r a f o r m a d a p o r e sla b o n e s sim ples,
con ectad o s p o r u n io n e s d e p ern o , c o n c e ro g ra d o s d e libertad.
En la fig u ra 1.13b se ilu s tra u n m ecanism o b lo q u e a d o .
Los e sla b o n a m ie n to s c o n m ú ltip le s g ra d o s d e lib erta d
necesitan m á s d e u n im p u lso r p a r a o p e r a r c o n precisión. Los
m ecanism os co m u n e s c o n m ú ltip les g rados d e lib e rta d s o n ca­
d e n a s cin em áticas a b ie r ta s q u e sirv e n p a ra o b te n e r c ie rto a l­
can ce y p o sic io n a m ie n to , ta l c o m o los b ra z o s ro b ó tic o s y las
re!roexcavadoras. En general, los e sla b o n a m ie n to s c o n m ú lti­
ples g ra d o s d e lib e rta d o fre c e n m a y o r c a p a c id a d p a r a p o s i ­
c io n a r c o n precisión u n eslabón. En la fig u ra 1.13c s e presenta
u n m ecanism o c o n m ú ltip les g ra d o s d e lib erta d .
b) M e c a n is m o blo q u ea d o ( W ” 0 )
c ) M ú ltip le s g r a d o s d e l i b c n a d < * / - 2)
M ecanism os y e s tru c tu ra s c o n m ovilidad variable.
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In iro d u c c ió n a j o s m ec a n is m o s y a la c in em á tica ___________9
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.3
U figura 1.14 m u e s tra u n a su je ta d o ra d e ab razad era. Elabore u n diag ram a cinem ático, con la m o rd a z a d e la
abrazadera y el m ango com o p u n to s d e interés. Calcule tam bién los g rados d e libertad d e la abrazadera.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
i . u S u jetad o ra d e ab ra z a d e ra d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.3.
Identifique la bancada
El co m p o n en te ato rn illad o al banco o la m esa se designa com o la bancada. El m ovim iento d e los dem ás es­
labones se determ ina e n relación c o n tal bancada. La bancada se n u m era com o el eslabón 1.
2.
Identifique los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa re írla o tras tres partes que se m ueven:
Eslabón 2: M ango
Eslabón 3: Brazo q u e sirve com o abrazadera-m ordaza
Eslabón 4: B arra que conecta el brazo d e la abrazadera y d m ango
3.
Id en tifiq u e las uniones
Se utilizan c u a tro u n iones d e p ernos p a ra conectar los diferentes eslabones (el eslabón 1 al 2 . el 2 al 3. el 3 al 4 y
d 4 al 1). Tales u n iones s e identifican con las letras A a D.
4.
Identifique los p u n to s d e interés
Se desea conocer el m ovim iento d e la abrazadera-m ordaza, la cual s e designa com o el punto de interés X . Se desea
conocer tam bién el m ovim iento del extrem o d el m ango, que s e designa c o m o el p u n to d e interés y.
5.
Elabore e l d¡agram a cinem ático
En la figura 1.15 s e detalla el diagram a cinem ático.
X"
f ig u r a
6.
1.15 D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo
Calcule la m ovilidad
C on los cuatro eslabones y las cuatro u n iones d e perno,
n = 4 ,;p = 4 pernos. >h = 0
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1 .3 .
10
CAPITULO U N O
M - 3(n - 1) - 2>p - Á “ 3(4 - 1) - 2(4) - 0 - 1
0 m econism o está restringido con u n g rad o de libertad. Al m overse u n so lo eslabón, el m ango, se posiciortin correctam ente todos los dem ás eslabones e n la sujetador a.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.4
la figura 1.16 m uestra u n a tritu rad o ra de latas q u e se utiliza para reducir s u tam afto y b a lita r su alm acenam iento
antes d e reciclarse. Elabore un diagram a cin em ática c o n el extrem o del m ango com o p u n to de interés. Además, calcule
los grados d e libertad d el dispositivo.
S O L U C IÓ N :
I.
Id en tifiq u e la estructura
La parte de atrás d d dispositivo sirve c o m o base y puede sujetarse a la pared. Este co m p o n m te se elige c o m o la
hincada. El m ovim iento de los dem ás eslabones se determ ina con respecto a la bancada. 1.a bancada se identifica
to n e l n ú m ero 1.
2.
Id en tifiq u e los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa m uestra u n m ecanism o p lano c o n o tras tres partes móviles:
Eslabón 2: El m an g o
Eslabón 3: Bloque usado com o superficie tritu rad o ra o aplastadora
Eslabón 4: B arra que conecta el bloque aplastador y d m ango
3.
Id en tifiq u e las uniones
Se utilizan tres u n iones de p ern o para conectar estas partes diferentes. Un p e m o u n e el m ango con la base. Esta
u iió n se etiqueta com o A.Se u sa un se g u n d o p e m o para conectar el eslabón 4 c o n d m ango. Esta u n ió n se iden­
tifica com o B. U n tercer p em o une el bloque tritu rad o r y d eslabón 4 . Esta u n ió n se identifica com o C
El b lo q u e tritu rad o r se desliza verticálm ente d u ran te b operación, de m o d o que u n a u n ió n d e corredera
conecta el tritu rad o r con la base. Esta unión se identifica com o D.
4.
Id en tifiq u e los p u n to s d e interés
Se desea conocer el m ovim iento del extrem o del m ango. Este se designa com o el p u n to d e interés X.
5.
U a b o rt e l diagram a cinem ático
H diagram a cinem ático se presenta e n la figura 1.17.
71
F IG U R A 1 .1 7
D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo
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1 .4 .
In iro d u c c ió n a j o s m ec a n is m o s y a la c in em á tica __________ M
6.
Calcule la m ovilidad
Se d eterm in ó q u e hay c u a tro eslabones e n este m ecanism o. Tam bién existen tres u n iones d e p ern o y u n a u n ió n
d e corredera. POr lo tanto.
n = 4. Jp = (3 p ernos + 1 corredera) = 4 . ^ = 0
M = 3 (n - I) - 2 / p -
= 3<4 - l) - 2(4) - 0 = I
B m ecanism o tritu ra d o r de latas está restringido por u n g rad o d e libertad. C o n el m ovim iento de u n solo es­
labón. d m ango, s e pueden colocar con precisión los dem ás eslabones y aplastar u n a lata colocada debajo del
_______________________________
bloque tritu rad o r.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.5
La figura 1.18 m uestra otro dispositivo que sirve p a ra cortar m aterial. Elabore u n diagram a cinem ático, c o n el ex­
trem o del m an g o y el extrem o d e corte c o m o p u ntos d e interés. Tam bién calcule los grados de libertad de la prensa
cortadora.
S O L U C IÓ N :
I.
Identifique ta bancada
La base está atornillada a una superficie d e trabajo y se designa com o la bancada. E l m ovim iento d e los dem ás esb b o n e s se determ ina e n relación c o n esta bancada. A la bancada se le asigna el n ú m ero I .
2.
Identifique los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa revela o tras dos p artes móviles:
Islabón 2 : Engrane/m ango
Eslabón 3: Pálanca cortadora
3.
Identifique las uniones
Se usan dos uniones d e perno para conectar estas partes. U n perno conecta La palanca cortadora con La bancada.
Esta u n ió n se rotula com o A Se u sa u n segundo p ern o para conectar el engrane/m ango con la palm ea cortado­
ra. Esta unión se identifica com o B.
H engrane/m ango tam bién se conecta a la bancada con u n a u n ió n d e en g ran e Esta u n ió n d e orden su p e­
rior s e identifica com o C
4.
Identifique los p u n to s d e interés
Se desea conocer el m ovim iento del ex trem o del m ango y se designa c o m o el p u n to d e interés X Tam bién se
busca determ inar el m ovim iento de la superficie cortadora y s e designa c o m o el p u n to de interés Y.
5.
Elabore el diagram a cinem ático
El diagram a cinem ático s e presenta e n la figura 1.19.
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12
CAPITULO U N O
f ig u r a
1.19 D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.5.
C a lc u le l a m o v i l i d a d
Rira calcular la m ovilidad, se identificaron tres eslabones e n el m ecanism o. T am bién hay d o s u n io n e s d e p ern o y
u i a u n ió n de engrane, de m o d o que.
n ■ 3 ,/p - (2 pernos) - 2
/h “ (1 u n ió n de engrane) “ 1
y
M - 3 (n - 1) - 2>p - Á, - 3(3 - 1) - 2(2) - 1 - 1
H m ecanism o d e la prensa d e corte está restringido a u n g rad o de libertad. C on el m ovim iento d e u n solo
eslabón, el m ango, los dem ás eslabones s e posicionan c o n precisión y se lleva el extrem o de corte sobre la pieza
de trabajo.
1 .7 .2 A c t u a d o r e s e i m p u ls o r e s
Para o p e ra r u n m ecanism o, s e req u iere u n d isp o sitiv o a c tu a d o r
o im p u lso r q u e p ro p o rc io n e el m o v im ien to y la en ergía d e e n ­
tra d a . P ara o p e r a r c o n p recisió n u n m ecanism o, s e necesita un
im p u lso r p o r cada g rad o d e libertad. Se utilizan m u c h o s actú a
d o re s d iferen tes e n las m áquinas y lo s m ecanism os, ta n to in d u s ­
tria le s c o m o com erciales. A lgunos d e los m ás co m u n e s son:
l o s m o to re s e léctrico s d e c o r r ie n te a lte r n a b r in d a n el
m o v im ien to g irato rio c o n tin u o m en o s co sto so . S in em b u g o , están lim itados a u n as cu an tas velocidades estándar,
«fie so n u n a fim d ó n d e la frecuencia d e b corrien te eléc­
trica. En Estados U nidos la frecuencia d e la corriente es d e
60 H z, l o cu al c o rre sp o n d e a velocidades d e 3600, 1800,
9 0 0 ,7 2 0 y 6 0 0 rp m . Los m otores m onoÉfeicas se utilizan
a i aplicaciones residenciales y están disponibles desde 1/50
basta 2 h p . Los m otores trifásicos so n m ás eficientes, pero
en bi m ayoría d e los casos están H m itadosa aplicaciones i n ­
dustriales, p o rq u e requieren u n a potencia d e s e rv id o d e
tres fiases. Están disponibles d esd e 1/4 hasta 5 0 0 hp.
L o s m o to re s e léctrico s d e c o r rie n te c o n tin u a tam bién p ro
d u cen m o v im ien to girato rio . La v elo d d ad y la dirección
del m o v im ien to se m odifican fikilm ente, p e ro requieren
po ten cia d e u n g e n erad o r o u n a batería. L o s m o to re s d e
c o r rie n te c o n tin u a p u e d e n a lc a n z a r v elo cid ad es ex­
trem ad am en te g ran d es, h a s ta d e 30000 r p m . E stos m o ­
to res s e u sa n c o n frecu en cia e n vehículos, dispositivos iná á m b ric o s, o e n a p lic a d o n e s d o n d e s e requiere co n tro la r
m ú ltip le s v e lo d d a d e s y d ire c d o n e s , c o m o e n una
m á q u in a d e coser.
to rio c o n tin u o y su veloddad se regula d e n tro d e u n inter­
valo a p ro x im a d o d e 1000 a 8000 r p m . S o n im p u lso res
com u n es y altam en te p o rtátiles q u e se utilizan e n aplicad o n e s q u e req u iere n g ra n po ten cia. C o m o d e p e n d e n
del co n su m o d e com bustible, los m otores d e gasolina s ir­
ven p a ra im p u lsar m áquinas q u e o p eran e n exteriores.
Los se rv o m o to re s so n m o to re s q u e se acoplan a u n co n tro
b d o r p a ra g e n e ra r u n m o v im ien to p ro g ram ad o o m a n ­
tenerlo e n u n a p o s id ó n fija. El c o n tro la d o r req u iere s e n ­
sores s o b re el eslabón q u e s e desea m over, para b rin d a r
in form ación d e retro alim en tació n acerca d e s u p o sid ó n ,
v e lo d d a d y aceleració n . E stos m o to re s tie n e n m e n o r
c a p a d d a d d e p o te n c ia q u e las o tr a s d a s e s d e m o to re s y
son significativam ente m ás costosos; n o o b sta n te , se u ti­
lizan e n m á q u in as q u e re q u ie re n m o v im ien to s g u iados
con precisión c o m o los ro b o ts.
Los m o to re s d e a i r e o h id r á u lic o s ta m b ié n p ro d u c e n
m ovim iento g irato rio c o n tin u o y so n p are a d o s a los m o ­
tores eléctricos, p e ro tien en aplicadones m ás lim itadas. Lo
a n te rio r se debe a la necesidad d e u n a fuente hidráulica o
d e a ire c o m p rim id o . Tales d isp o sitiv o s d e in d u e d ó n se
usan principalm ente d e n tr o d e las m áquinas, c o m o e n el
eq u ip o d e c o n s tru c d ó n y los aviones, d o n d e se p u e d e
obtener u n flu id o h id ráu lic o d e a lta presión.
Los d l i n d r o s h id rá u lic o s o n e u m á tic o s so n co m p o n e n te s
co m u n e s p a r a im p u lsa r u n m ecanism o c o n u n a ca rre ra
lin e a l lim ita d a . La fig u ra 1.20a m u e s tra u n c ilin d ro
h id rá u lic o . 1.a fig u ra 1.20b es la re p re se n ta c ió n d n e m ática c o m ú n d el d lin d ro .
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In tro d u cció n a l o s i
Cilind
Pintón Varilla
¡ y a la c in em á tica
13
l.'tó ó n d - p e r n o .
E sla b ó n I
( p iw W varilla)
U n ió n *
p ern o
t lh n d r o )
FIGURA 1.20 C ilin d ro hidráulico.
El c ilin d ro c o n tie n e u n e n s a m b le d e p is tó n y u n a varilla
q u e s e desliza e n relació n c o n el cilin d ro . P a ra efectos
cin e m á tic o s, so n d o s e sla b o n e s (p is tó n /v a rilla y c ilin ­
d ro ) c o n ectad o s c o n u n a u n ió n p rism ática. El c ilin d ro y
el e x tre m o d e b v a r i l b su e le n te n e r a d ita m e n to s p a ra
u n io n e s d e p ern o .
Los a c tu ad o res d e to r n illo tam bién p ro d u c e n ca rre ra lineal
lim itada. Estos actuadores consisten e n u n m o to r q u e h a:e
g ir a r u n to rn illo . U na tu e rc a a p a re ja d a s u m in is tra m o ­
v im ien to lineal. Los actuadores d e to m illo se p u e d e n c o n ­
trolar con p recisió n y reem plazar d irectam en te a los cilin­
d ro s. S in em bargo, so n co n sid erab lem en te m ás costosos
q u e los cilin d ro s, a u n c u a n d o haya fu en tes d e a ire o
hidráulicas disponibles. C o m o e n los cilindros, e n los ac­
tu a d o re s d e to rn illo ta m b ié n existen a d ita m e n to s p a ra
u n io n e s d e p e rn o e n lo s d o s extrem os. Por consiguiente,
su diag ram a cinem ático es id én tico al d e b figura 1 2 0 b.
Los m e c a n is m o s m a n u a le s , u o p e ra d o s m a n u a lm e n te ,
com prenden u n gran n ú m ero d e m áquinas o herram ientas
m anuales. Los m o v im ien to s que se esperan d e los actu a­
dores "h u m a n o s" suelen ser bastan te com plejos. S in e m ­
bargo, s i los m o v im ien to s q u e se e sp era n so n repetitivos,
se d e b e ría ten er c u id a d o d e p o sib le s daflos p o r b tig a y
deform ación.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.6
l a figura 12 1 m uestra u n p ie d e balancín estabilizador para u n cam ión. H abore u n diagram a cinem ático c o n la parte
inferior de la p ierna estabilizador» c o m o u n p u n to d e interés. Tam bién calcule el g rad o de libertad.
fig u r a i J t
S O L U C IÓ N :
1.
B a l a n c ín e s t a b i l i z a d o r d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 . 6 .
I d e n tif iq u e la b a n c a d a
C uando s e utiliza el b a b n c ln estabilizador, el cam ión está detenido, de m o d o q u e se designa el cam ión com o la
hincada. El m ovim iento d e los dem ás eslabones se determ ina e n relación con el cam ió n , l a bancada se identifica
com o el eslabón 1.
I d e n tif iq u e lo s d e m á s e s la b o n e s
U na observación cuidadosa revela o tras tres partes móviles:
Eslabón 2: Pie de b a lín d n estabilizador
Eslabón 3: Cilindro
Eslabón 4: Pistón/varilla
I d e n tif iq u e la s u n io n e s
Se usan tres uniones de p ern o pora conectar b s partes. Una conecta b p ierna estabilizadora con la bancada del
cam ión, b cual s e identifica com o la u n ió n A O tra conecta la p ierna estabilizadora c o n b varilla del cilindro y se
identifica com o la u n ió n B. l a ú ltim a u n ió n d e p ern o conecta el c ilin d ro con la bancada del cam ión y se identi­
fica com o b u n ió n C
Hay u n a u n ió n d e corredera e n el cilindro, b cual conecta el pistó n /v arilb c o n el cilindro. Se identifica
com o b u n ió n D.
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14
CAPITULO U N O
4.
Id en tifiq u e los p u n to s de interés
0 p ie estab ilizad o res p arte del eslabón 2 , m ien tras el p u n to d e interés ubicado e n la parte inferior del p ie se
identifica com o el p u n to d e interés X.
5.
Elabore el diagram a cinem ático
0 diagram a cinem ático resultante se observa e n la figura 12 2 .
f ig u r a
6.
1.22 D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.6.
Calcule la m ovilidad
Para calcular la m ovilidad, se sabe q u e e n tal m ecanism o hay c u a tro eslabones, tres u n iones d e p e m o y una
u iió n de corredera. Por consiguiente,
n - 4 ,; p “ (3 p ernos + 1 corredera) - 4 , - 0
M - 3 ( n - 1 ) - 2 > p - Á , - 3(4 -
1) — 2 ( 4 ) - 0 -
1
B m eoinism o estabilizador está restringido por u n g rad o de libertad. C o n el m ovim iento de u n solo esb b ó n . el pistón, coloca e n posiciones precisas los dem ás eslabones e n el estabilizador y ubica al pie del balancín
estabilizador e n d suelo.
d e u n a m anivela excéntrica. La ventaja d e la m anivela excéntrica
es la g r a n su p e rfid e d el á r e a d el p e r n o m óvil, b cu al reduce el
desgaste.
1.8 ESLABONES Y U N IO N E S U SA D O S
COM ÚNM ENTE
1.8.1 M a n iv e la e x c é n tr ic a
& t m u c h o s m ecanism os, la lo n g itu d req u erid a d e u n a m anivela
e s tan c o rta que n o e s factible a ju sta r al tam año ad ecu a d o lo s s o ­
p o rtes c o n d o s u n io n e s d e p e rn o . U n a so lu c ió n frecuente c o n ­
siste e n disertar el eslabón c o m o u n cigüeñal excéntrico, c o m o se
in d ica e n la fig u ra 1.23a. E ste es el d ise rto q u e se u tiliz a e n la
m ayoría d e m o to res d e gasolina y com presores.
El p ern o , sobre el e x tre m o m ó v il d el eslabón, se alarg a d e tal
m a n e ra q u e c o n tie n e el eslabón c o m p le ta La circunferencia e x ­
terio r d el ló b u lo c irc u la r so b re el d g ü e fla l se co n v ie rte e n una
u n ió n d e p e rn o m ó v il, c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 1.23b. La
u b ic a c ió n deH os) s o p o rte !s) fijo(s) está d e scen tra d o al ló b u lo
e x c é n tric a Esta excen tricidad d d d g ü e fla l, e, es la lo n g itu d efec­
tiva d el a g ü e ita !. La fig u ra 1.23c m u e s tra u n m o d e lo cinem ático
1.8 .2 U n ió n d e p e r n o e n u n a r a n u r a
U na c o n e x ió n c o m ú n e n tr e e s b b o n e s es la u n ió n d e p e r n o
en u n a r a n u ra , c o m o b q u e se ilu stra e n la fig u ra 1.2 4 a. S e tr a ta
u n a u n ió n d e o r d e n s u p e rio r p o r q u e p e rm ite q u e lo s d o s es
lib o n e s g ire n y se deslicen e n tre si. P ara sim p lificar el an álisis
c in e m á tic a s e u tiliz a n la s u n io n e s p rin c ip a le s p a r a m o d e la r
esta u n ió n d e o rd e n su p e rio r. La u n ió n d e p e r n o en u n a ran u ra
se v uelve u n a c o m b in a c ió n d e u n ió n d e p e r n o y u n ió n d e
co rre d era, c o m o e n b fig u ra 1.24b. O b serv e q u e a s i s e agrega
C iro e s la b ó n a l m e c a n is m o . E n a m b o s c a so s, e l m o v im ie n to
relativo e n tre los e s b b o n e s e s el m is m a No o b sta n te , el u so de
u n m o d e lo a n e m á tic o c o n la s u n io n e s p r i n d p a le s fa c ilita el
análisis.
A ) C ig flc Aul e x c é n tr ic o
F IG U R A 1 .2 3
M anivela excéntrica.
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In tro d u cció n a los
is m o s y a !■ c in em á tica
15
1.8.3 U n ió n d e t o r n i l l o
.1 ) U n ión r e a l d e p ern o e n u na ranura
F IG U R A i J 4
b) M o d e lo d e p e r n o e n una ranura
U n ió n d e p e r n o e n u n a ran u ra .
/f) U n ió n r e a l d e t o m illo
F IG U R A I J 3
U na u n ió n d e to rn illo , c o m o la m o stra d a e n la fig u ra 1.25a, es
o tr a c o n e x ió n c o m ú n e n tre e sla b o n e s. Los m e c a n is m o s d e
to m illo s e an alizan c o n detalle e n el c ap itu lo 12. P o r a h o ra , só lo
se d irá q u e u n a u n ió n d e to rn illo p erm ite d o s m o v im ien to s re ­
lativ o s, a u n q u e d e p e n d ie n te s e n tr e lo s eslab o n es q u e u n e . El
giro especifico d e u n o d e lo s eslabones c a u s a rá u n m o v im ien to
relativo d e tra sla c ió n e n tre lo s d o s eslabones. P o r ejem plo, al g i­
ra r el to m illo u n a revolución, la tu e rc a se m u e v e u n a d is ta n d a
d e 0.1 in e n las cuerdas d el to m illo , d e m o d o q u e ú n icam en te se
in tro d u c e u n m o v im ie n to indep en d ien te.
A» T o m illo m o d e la d o c o m o u na corred era
U n ió n d e to rn illo .
La u n ió n d e to r n illo se m o d e la p o r l o g e n e ra l c o m o una
u n ió n d e c o rre d e ra , c o m o b q u e s e ilu s tra e n b fig u ra 1.25b.
D eb e q u e d a r d a r o q u e hay ro ta c ió n fu e ra d el p b n o ; s in e m ­
b arg o . ú n ic a m e n te la t r a s b e i ó n r e b t iv a e n tr e el to r n illo y b
tu erca se c o n sid era e n el análisis d n e m á tic o p lan o .
U n a c lu a d o r, t a l c o m o u n a m anivela, s u e le p r o d u c ir u n
g iro fuera d el p la n o . U n a p o r d ó n d el giro g e n e ra rá b c o rre s­
p o n d ie n te traslació n relativa e n tre lo s e s b b o n e s u n id o s p o r la
u n ió n d e to rn illo . E sta t r a s b d ó n re b tiv a s e utiliza c o m o “im ­
p u lso r” e n lo s análisis cin em ático s subsecuentes.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.7
l a figura 12 6 ilustra u n a mesa levadiza que se u sa para ajustar la altu ra d e trabajo de diferentes objetos. Elabore un
diagram a cinem ático y calcule los g rados d e libertad.
F IG U R A 1 J ó
S O L U C IÓ N :
I.
M esa levadiza d el p ro b le m a d e e jem p lo
1 .7 .
Identifique la bancada
l a placa d e b base in ferio r descansa sobre una superficie fija, d e m odo que b placa d e la base s e designa c o m o la
toncada. El soporte e n b parte in ferio r derecha de la figura 12 6 está atornillado a la placa d e la base. Asimismo,
los d o s soportes q u e sostienen el to m illo e n la parte izquierda tam bién están atornillados a la base.
En el análisis d e b sección a n te rio r se v io q u e n o se considera b ro ta c ió n fuera d el p la n o d el tom illo.
Solam ente la traslación rebtiva d e b tuerca s e incluye e n el m odelo cinem ático. Por lo tanto, el to m illo tam bién
se considera p arte d e la bancada. B m ovim iento d e los dem ás esb b o n es se determ inará e n relación con esta
placa d e base inferior, b cual se identifica con el eslabón 1.
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16
CAPITULO U N O
2.
Id en tifiq u e los dem ás eslabones
U na o b s e ro c ió n cuidadosa revela o lras cin c o parles m óviles:
Eslabón 2: ’Rierca
Eslabón 3: B ra/o de soporte q u e conecta la tuerca c o n la mesa
Eslabón 4: B razo d e soporte q u e conecta el soporte fijo c o n la ran u ra d e la mesa
Eslabón 5: Mesa
Eslabón 6: Eslabón extra utilizado p a ra m o d elar el p ern o e n la u n ió n d e ra n u ra con las u n iones d e p ern o y
Lacorredera por separado
3.
Id en tifiq u e las uniones
Se u sa una u n ió n d e corredera para m odelar el m ovim iento e n tre el to m illo y la tuerca. U na u n ió n d e perno,
designada com o p u n to A, conecta la tu erca con el brazo d e soporte identificado com o eslabón 3. U na u n ió n de
perno, designada com o p u n to & conecta los d o s brazos de soporte (eslabones 3 y 4). O tra u n ió n de perno, desig­
n ó la com o p u n to C conecta el eslabón 3 con é eslabón 6. U na u n ió n de corredera une el eslabón 6 con la mesa
(eslabón 5). U n perno, designado com o p u n to D. conecta la m esa con el brazo d e soporte (eslabón 3). Por ú l­
timo, u n a u n ió n d e perno, designada com o p u n to E s e em plea p a ra conectar la base con el brazo de soporte
(eslabón 4).
El d u g ram a cinem ático se presenta e n la figura 12 7 .
5.
Calcule la m ovilidad
Para calcular la m ovilidad, se sabe que hay seis eslabones e n el m ecanism o. T am bién hay cinco u n io n e s d e p em o
y dos uniones d e corredera. Por consiguiente,
n - 6
jp “ (5 pernos + 2 correderas) - 7 , /h “ 0
M « 3 (n — 1) - 2/p - ; h = 3(6 - 1) - 2(7) - 0 = 15 - 14 = 1
l a mesa levadiza tiene m ovim iento restringido con u n grado d e libertad. Un eslabón móvil, el m ango que
gira el tom illo, posicionari exactam ente todos los dem ás eslabones del dispositivo, elevando o bajando la mesa.
1.9 C A SO S ESPECIA LES DE LA ECUACIÓN
DE M O V ILID A D
La m ovilidad es u n a p ro p ie d a d ex trem adam ente im p o rta n te d e
u n m ecan ism o . E ntre o tra s cuestiones, b r in d a in fo rm a c ió n acer­
c a d e l n ú m ero d e a c tu a d o re s re q u erid o s p a r a o p e r a r u n m eca­
n ism o . S in em b arg o , p a ra o b te n e r los re su lta d o s co rre cto s, se
d e b e te n e r m u ch o c u id a d o a l u s a r la e c u a d ó n d e G ru e b le r. A
c o n tin u a c ió n se p re se n ta n a lg u n as c o n d ic io n e s especiales.
a) l i e s eslabones guatonas
¿>) Dos eslabones giratorios
y uno de corredera
1.9 .1 U n io n e s c o in c i d e n t e s
f i g u r a iM Tres eslab o n es c o n ectad o s a u n a sola u n ió n
d e p ern o .
A lg un o s m e c a n ism o s tie n e n tre s e s b b o n e s c o n e c ta d o s a u n a
so la u n ió n d e p ern o , c o m o se in d ica e n la fig u ra 1.28, lo cual
c a u s a a lg o d e c o n fu s ió n e n el m o d e la d o a n e m á tic o . F ísica­
m e n te, se u tiliza u n p ern o p a r a co n e c ta r lo s tre s eslabones. S in
em bargo, p o r defin ició n , u n a u n ió n d e p e rn o c o n ecta d o s es­
labones.
En el análisis cinem ático, esta configuración se d e b e m o d eh r m a tem áticam en te c o m o d o s u n io n e s se p ara d as. U n a u n ió n
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con ectará lo s eslabones p rim e ro y segundo. Lo seg u n d a u n ió n c o n e c ta rá e n to n c e s el se g u n d o y el te rc e r eslab o n es. P o r co n sig u íen te, cu an d o hay tre s eslabones ju n to s e n u n p e rn o c o m ú n , la
u n ió n s e tie n e q u e m o d e la r c o n d o s p e rn o s. E ste escen ario se
ilustra e n el p ro b le m a d e e jem p lo I &.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.8
l a figura 1 2 9 m uestra u n a prensa m ecánica q u e sirve para ejercer grandes fuerzas c insertar u n a parte p eq u eñ a en
una m ás g ran d e. C o n el e x tre m o d el m an g o com o p u n to d e in terés, elabore u n d ia g ra m a cin em ático y calcule,
además, los g rados d e libertad.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
i . » P rensa m ecánica d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.8.
Identifique la bancada
l a base d e la parte inferior para la prensa m ecánica está colocada sobre un banco de trabajo y perm anece esta­
cionaria d u r a n te la o p eració n . Por lo ta n to , e sta base d e la p a rte in ferio r se designa com o b an cad a . El
m ovim iento de los dem ás eslabones se determ ina e n relación con la base inferior. La bancada se identifica con
d eslabón 1.
2.
Identifique los dem ás eslabones
U na observación cuidadosa revela o tras cin c o partes móviles:
Eslabón 2: M ango
Eslabón 3: Brazo q u e conecta el m ango c o n los o tro s brazos
Eslabón 4: Brazo q u e conecta la base con los o tro s brazos
Eslabón 5: C abeza d e la prensa
Eslabón 6: Brazo q u e conecta la cabeza con los otros brazos
3.
Identifique las uniones
Se usan u n iones d e p ern o para conectar todas las partes. U n a conecta el m ango con la base y se identifica com o
u n ió n A . O tra conecta el eslabón 3 con el m an g o y se identifica com o u n ió n R O tra conecta el eslabón 4 con la
base y se identifica com o u n ió n C O tr a conecta el eslabón 6 c o n la cabeza d e la prensa y se identifica com o
u n ió n D.
Se utiliza u n p ern o para conectar los tres brazos (eslabones 3 .4 y 6) ju n to s. C om o tre s eslabones separa­
d o s están u n id o s e n u n p u n to c o m ú n , estos se d e b e n m o d elar com o d o s u n io n e s separadas, identificadas
com o E y F .
U ta u n ió n d e corredera conecta la cabeza de la prensa con la base. Esta u n ió n se identifica com o G.
4.
Identifiquelos p u n to s d e interés
Se desea conocer el m ovim iento e n el extrem o d d m an g o y s e identifica com o el p u n to d e interés X.
5.
I-labore el diagram a cinem ático
B diagram a cinem ático s e m uestra e n la figura I JO.
6.
Calcule la m ovilidad
Rúa calcular la m ovilidad, se sabe q u e hay seis eslabones e n é m ecanism o, se is u n iones d e p ern o y u n a u n ió n de
corredera. P o r l o tanto.
n - 6 , Jp ~ (6 p ernos + 1 corredera) — 7,ft, “ 0
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18
CAPITULO U N O
D iagram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.8.
F IG U R A l J O
r
M = 3(n -
1) -
2; p - ; h = 3 ( 6 -
1) -
2 ( 7 ) - 0 = 15 -
14 = 1
H m ecanism o de la prensa m ecánica está restringido por u n g rad o de libertad. C on tan so lo el m ovim iento
de u n eslabón, el m ango, se posicionan con precisión to d o s los dem ás eslabones d e la prensa, deslizando la
cabeza d e esta sobre la pieza de trabajo.
1 .9 .2 E x c e p c io n e s d e l a e c u a c ió n
d e G ru e b le r
E s n ecesario m e n c io n a r o t r a s itu a c ió n d e m o v ilid a d especial.
C o m o la ecuación d e G ru e b le r n o lo m a e n c u en ta la geom etría
d e lo s eslabones, e n raras o c a sio n e s e s to causa resu ltad o s e r r ó ­
n eos. En la fig u ra 1.31 se m u e s tra u n e jem p lo d e ello.
f ig u r a
I.3 I
O bserve q u e el eslab o n am ien to tie n e cinco eslab o n es y seis
u n io n e s d e p ern o . A l a p lic a r b e c u a c ió n d e G ru e b le r, e l esh b o n a m ie n to tie n e c e ro g ra d o s d e lib e rta d . P o r su p u e sto , lo a n ­
terio r sugiere q u e el m ecan ism o e stá b lo q u ead o . S in em bargo, si
todos los eslab o n es q u e p iv o tan fu era n d el m ism o t am afio, y la
d ista n c ia e n tre las u n io n e s s o b re la e s tru c tu ra y el a c o p la d o r
fu era n idénticos, este m ecan ism o se ría cap az d e m overse c o n u n
M ecanism o q u e tra n sg re d e l a ecuación d e G ruebler.
g r a d o d e lib erta d . El e s b b ó n c e n tra l e s re d u n d a n te , m ie n tra s
q u e c o m o s u lo n g itu d e s idén tica a la d e los o tro s d o s eslabones
su je to s a la e stru c tu ra , n o a lte ra la acción d el eslab o n am ien to .
H ay v a rio s e je m p lo s d e m e c a n is m o s q u e tr a n s g r e d e n la
ecu a c ió n d e G ru e b le r d e b id o a s u g e o m e tría ú n i c a U n d ise ñ a­
d o r d eb erta e sta r consciente d e q u e b ecu ació n d e m o v ilid ad , en
o casiones, p ro v o ca inconsistencias.
I b e rta d inactivo y n o b u s c a afectar el m o v im ien to d e salida del
m ecanism o. Es u n a característica d e diserto q u e reduce la fric­
ción y el desgaste s o b re b su p e rficie d e b leva. M ie n tra s q u e b
ecuación d e G ru e b le r especifica q u e u n m ecanism o d e lev a con
se g u id o r d e r o d illo tie n e u n a m o v ilid a d d e d o s, el d ise ñ a d o r
g e n e ra lm e n te e stá in te re s a d o s o lo e n u n g r a d o d e lib erta d .
V irio s m ecan ism o s c o n tie n e n g ra d o s d e lib e rta d inactiva.
1 .9 .3 G r a d o s d e l i b e r t a d i n a c tiv o s
E n alg u n o s m ecan ism o s, lo s eslab o n es p resen tan m o v im ien to s
q u e n o influyen e n la relación d e e n tr a d a y salida d el m ecan is­
m o . E stos grados de lib e rta d inactivos m u e s tra n u n a situ ac ió n
d o n d e la ecu a c ió n d e G ru e b le r d a re su lta d o s e rró n e o s . Un
e jem p lo es u n a leva c o n u n se g u id o r d e ro d illo c o m o el q u e se
p resen ta e n la fig u ra 1.32. l a ecu a c ió n d e G ru e b le r especifica
d o s g ra d o s d e libertad (4 eslabones, 3 p e rn o s, 1 u n ió n d e o rd en
s u p e rio r). C o n u n giro d e b leva, el e s b b ó n d e p iv o te o s c ib ,
m ie n tra s el s e g u id o r d e ro d illo g ir a a lre d e d o r d e su cen tro . Sin
em b arg o , ú n ic a m e n te el m o v im ie n to d el eslabón d e pivote sirv e
c o m o sa lid a d el m ecan ism o. El g iro d el rodillo e s d e u n g ra d o d e
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1.10 EL M E C A N ISM O D E CUATRO BARRAS
El e s la b o n a m ie n to m ás s im p le y m á s c o m ú n es el e s la b o n a ­
m ie n to d e c u a tr o b a r ra s . Es u n a c o m b in a c ió n d e c u a tro e s ­
labones, u n o d esig n ad o c o m o la b an cad a y c o n e c ta d o p o r cu a ­
tr o u n io n e s d e p e rn o . C o m o s e le e n c u e n tr a c o n m u c h a f r e ­
cu encia. u n a revisión ad icio n al n o e stá d e m ás.
La fig u ra 1.33a m u e s tra e l m e c a n is m o d e u n sis te m a de
lim p ia d o r p a r a el cristal tra se ro d e u n au to m ó v il. El diag ram a
c in e m á tic o s e p r e s e n ta e n la fig u ra 1.33b. O b s e rv e q u e e s un
FIGURA U 5 M ecanism o d el lim p ia d o r p a r a el cristal trasero .
m e c a n is m o d e c u a tro b a rra s , ya q u e s e in te g ra c o n c u a tro es­
lab o n es c o n ectad o s p o r c u a tro u n io n e s d e p e r n o y u n eslabón
está im p e d id o p a r a m overse.
L a m o v ilid ad d e u n m ecan ism o d e c u a tro b a r r a s e s com o
sigue:
s * lo n g itu d d el eslab ó n m á s c o rto
/ = lo n g itu d d el eslabón m á s largo
p = lo n g itu d d e u n o d e los eslab o n es d e lo n g itu d in term e d ia
q = lo n g itu d d el o tr o eslab ó n d e lo n g itu d interm edia
0 teo rem a d e G r a s h o f establece q u e u n m e c a n is m o d e cuatro
b urras tie n e al m en o s u n eslabón g ira to rio si:
n = 4 , ; p = 4 p e r n o s ,;h = 0
s+ l< p+ q
Af = 3 (n - 1) - 2h -
= 3 (4 - 1) - 2 (4 ) - 0 = 1
A la inversa, lo s tr e s eslab o n es q u e n o están fijo s so la m e n te
o sc ila rán si:
s + /> /> + q
C o m o el m ecanism o d e cuatro b a rra s tien e u n g ra d o d e li­
b e rta d , e stá restrin g id o a u n so lo a c tu a d o r o e s totalm ente o p e ­
ra d o p o r este. El sistem a d el lim p ia d o r d e la fig u ra 1.33 es a c ti­
v ad o p o r u n m o to r eléctrico d e c o r rie n te co n tin u a.
tt> r supuestt». el e s la b ó n im p e d id o p a ra m overse s e elige
co m o la b ancada. P o r lo general, el eslab«Sn pivote c o n e c ta d o al
im p u lso r o a la fu ente d e p o te n c ia s e c o n o c e c o m o eslabón de
entrada. El o t r o eslab ó n pivote, su je to a la b an cad a , s e designa
co m o el a la b ó n d e salida o seguidor. El acoplador o brazo conec­
ta r "acopla" el m o v im ien to d el eslab ó n d e e n tra d a c o n el d el es­
la b ó n d e salida.
1.1 0 .1 C r i t e r i o d e G r a s h o f
La sig u ien te n o m e n c la tu ra s e u tiliz a p a ra d escrib ir la lo n g itu d
d e lo s c u a tro eslabones.
Los m ecanism os d e c u a tro b a rra s c aen e n u n a d e las cinco
categorías listad as e n la ta b la 1.2.
TABLA 1.2
r
Cato
O lí a l o .
C a te g o ría s d e b s m e c a n is m o s d e c u a tr o
b a rra s
K libbn m itra rlo
Categoría
1
«+ K
p + q
Triple hulmán
Doble manivela
2
» + l<
p ♦ q
lado
Manivela-balancín
3
i
p * q
Acoplador
D o b le balancín
4
i + 1 - p + q
Cualquiera
Punió de cambio
5
s + l> p * q
Gialquirra
Triple taJanctn
+ l<
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1
20
CAPITULO U N O
M a n i v e I n - b n l a n c ln
fl) D o b l e m a n i v e l a
c ) D o b le b a la n c ín
e ) T rip le b a la n c ín
i P u n o d e c a m b io
f ig u r a
134
C ategorías d e m ecan ism o s d e c u a tro barras.
Las d iferen tes categ o rías se m u estran e n la fig u ra 1.34 y se
d escrib en e n las sig u ien tes secciones.
1 .10 .2 D o b le m a n iv e la
E n b fig u ra 1.34a s e ilu stra u n a d o b le m an iv ela o m anivelam an iv ela C o m o s e explica e n los c rite rio s d el caso 1 d e la tabla
1.2, tien e el eslab ó n m ás c o r to del m ecanism o d e c u a tro b arra s
c o n fig u rad o c o m o la b a n c a d a Si u n o d e los eslab o n es p iv o te g i­
ra c o n tin u a m e n te , el o tr o eslab ó n pivote tam b ién g ira rá c o n ti­
n u am en te. d e m o d o q u e los d o s eslabones piv o te, 2 y 4. p u ed en
g ir a r u n a revolución c o m p leta. El m ecanism o d e d o b le m anivela
tam b ién se co n o ce c o m o m ecanism o d e eslab ó n d e arra stre.
1 .1 0 .3 M a n iv e la - b a la n c ín
E n la fig u ra 1.34b se ilu stra u n m ecan ism o d e m anivete-baland n . C o m o se especifica e n lo s c rite rio s d el c a s o 2 d e la ta b la 1.2,
tie n e el e s la b ó n m á s c o r t o d e l m e c a n is m o d e c u a tro b a r r a s
ad y acen te a la b a n c a d a . Si e ste eslab ó n m ás c o r to g ir a c o n tin u a ­
m e n te, el eslabón d e salida oscilará e n tre u n o s lim ites. Así, el es­
la b ó n m ás c o rto se c o n o c e c o m o m anivela, y el eslab ó n d e salida
s e c o n o c e c o m o h tla n d n . FJ sistem a d el lim p ia d o r d e la figura
1.33 s e id e n tific a c o m o m e c a n is m o d e m a n iv e la -b a la n c ín .
C o n fo rm e u n m o to r h ace g ira r c o n tin u a m e n te el eslab ó n d e e n ­
tra d a , e l eslab ó n d e sa lid a oscila o "se balancea". El b r a z o y la
h o ja d el lim p ia d o r están su je to s firm em en te a l eslab ó n d e salida
y el lim p ia d o r o s ó la so b re el parabrisas.
1 .1 0 .4 D o b le b a l a n c í n
En la fig u ra 1 3 4 c se p resenta u n d oble balancín o balancln-baland n . C o m o se especifica e n lo s c rite rio s d el c a s o 3 d e la ta b la 1.2,
el e s la b ó n m ás c o r to , d el m e c a n is m o d e c u a tro b a rra s , está
o puesto al c o n fig u rad o c o m o la b an cad a . En e s ta c o n fig u ra d ó n ,
n in g ú n eslab ó n c o n e c ta d o a la b a n c a d a p o d r á c o m p le ta r una
r rv o lu d ó n . P o r lo ta n to , ta n to el eslabón d e e n tra d a c o m o el de
salida e stá n re strin g id o s a o s d l a r e n tr e d e r t o s lim ites, p o r lo
q u e se co n o cen c o m o b a la n a n e s . N o o b sta n te , el a c o p la d o r si
co m p leta u n a revolución.
1.10.5 M e c a n is m o d e p u n t o d e c a m b io
En la figura 13 4 d se m u e s tra u n m ecanism o de p u n to d e cam bio.
C ó m o se e sp e d fic a e n los c rite rio s d el caso 4 d e la ta b la 1.2, la
su m a d e d o s la d o s es la m ism a q u e la su m a d e los o tro s d a s . C o n
esta igualdad, el m ecanism o d e p u n to d e ca m b io s e posiciona,
d e m o d o q u e to d o s lo s eslab o n es se vuelvan colineales. El tip o
m is f a m ilia r d el m e c a n is m o d e p u n to d e c a m b io es el es­
la b o n a m ie n to q u e f o rm a u n p a ra le lo g ra m o . La b a n c a d a y el
¿co p iad o r so n d e la m ism a lo n g itu d , d e m o d o q u e so n los e s ­
b b o n e s pivote. P o r consiguiente, los c u a tro eslab o n es se traste­
a r á n e n tre sí. E n te co n fig u rac ió n co lin eal, e l m o v im ie n to se
vuelve in d e te rm in a d o . E l m o v im ie n to p u e d e p e rm a n e c e r e n
u n a co n fig u rac ió n d e p aralelogram o o volverse u n a c o n fig u ra­
c ió n c o n tr a r ia a u n p a ra le lo g ra m o ( o d e m a rip o s a ). P o r ta l
razó n , el p u n to d e ca m b io se c o n o c e c o m o u n a c o n fig u ra c ió n
d e sin g u larid ad .
1.10.6 T r ip le b a la n c ín
En te fig u ra 1J 4 e s e m u estra u n m ecanism o d e trip le b a te n d n .
S g u ie n d o lo s criterios d el caso 5 d e te tab la 1 3 , el trip le b a te n ­
d n n o tien e eslabones q u e logren c o m p letar u n a revolución c o m ­
pleta. d e m o d o q u e lo s tres eslabones m óviles s e balancean.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 1.9
En la figura 13 5 s e observa el ensam ble del tren d e aterrizaje d e u n avión pequeño. G asifique el m ovim iento d e este
m rcanism o d e c u a tro barras con base e n la configuración de los eslabones.
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r?
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
l J 5 E nsam ble d el tr e n d e aterrizaje d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.9.
Identifique b s e sla b o n a con base e n la b n g itu d
En u n análisis cen trad o en el tre n d e aterrizaje, el m ovim iento d el ensam ble d e la rueda s e d eterm in arla en
relación con el c u erp o del avión. Por lo tanto, d cuerpo d e la aeroiuve se designa com o la bancada, l a figura I J 6
lu s tr a el diagram a cinem ático d d ensam ble d e la rueda, con la num eración e identificación d e los eslabones,
l a p u n ta d e la rueda se designó c o m o el p u n to d e interés X.
(3)
f ig u r a
i J 6 D iagram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 1.9.
la s longitudes d e los eslabones son:
í - 12 in ; l - 32 in ; p - 30 ¡n; q - 26 in
2.
Compare criterios
0 eslabón m ás corto es el adyacente a la bancada. De acu erd o con el criterio de la tabla 12 , tal m ecanism o puede
ser u n a m anivcla-balancin, un p u n to d e cam bio o un balaixrín triple. Se deben repasarlos criterios de las d iferen ­
tes categorías de los m ecanism os d e cuatro barras.
3.
Verifique los criterios d e m a n n rla -b a la n cin (caso 2)
l o s criterios son:
s+K p +q
(12 + 3 2 ) < ( 3 0 + 26)
44 < 5 6
-*
{sl|
C om o los criterio s d e m anivcla-balandn so n válidos, el ensam ble del tre n de aterrizaje es u n m ecanism o de
rm nivcla-bolandn.
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22
CAPITULO U N O
1.11 M E C A N ISM O D E M ANIVELAC O RRED ERA
O t r o m e c a n is m o c o m ú n e s e l d e m a n iv e la -c o rre d e ra , el cual
c o n siste ta m b ié n e n u n a c o m b in a c ió n d e c u a tro e s b b o n e s, con
u n o d e s ig n a d o c o m o b b a n c a d a . E ste m e c a n is m o , s in e m ­
bargo, está c o n e c ta d o p o r tre s u n io n e s d e p e r n o y u n a u n ió n de
corredera.
En b fig u ra 1.37a se p resen ta u n m ecan ism o q u e im p u lsa
u n a b o m b a d e a g u a m a n u a l. En la fig u ra 1 3 7 b s e m u estra el d b g ra m a cin em ático co rre sp o n d ien te.
l J 7 M ecanism o d e b o m b e o d e u n a b o m b a d e a g u a m an u al: a) m ecanism o
y b) diag ram a c in e m á tic a
f ig u r a
La m ovilidad d el m ecan ism o m an iv ela-co rred era se repre­
se n ta c o m o sigue:
¿ s o p la d o r o b i e b “a c o p la " el m o v im ie n to d e b m an iv ela y b
corredera.
n = 4, Jp ■ (3 p e rn o s + 1 c o rre d e ra ) = 4 ,/h = 0
1.12 M EC A N ISM O S PARA P R O PÓ SIT O S
ESPECIALES
M - 3 (n - 1) - 2 j p - j h - 3(4 - 1) - 2 ( 4 ) - 0 - I.
C o m o el m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era tie n e u n g rad o
de lib ertad , está restrin g id o p a r a o p e r a r co m p letam en te c o n un
im p u lso r. La b o m b a d e la fig u ra 1.37 s e activ a e n fo rm a m anual
em p u ja n d o el m a n g o (eslabón 3).
E n g e n e ra l, el e s b b ó n p iv o te c o n e c ta d o a b b a n c a d a se
co n o ce c o m o m anivela. Este e s b b ó n n o sie m p re lo g ra efectuar
u n a revolución co m p leta. El e s b b ó n q u e m ueve se co n o ce com o
corredera. E ste e s b b ó n e s el p istó n -v arilla d e la fig u ra 1.37. El
1.12.1 M e c a n is m o s d e l í n e a r e c ta
lo s m ecanism os d e linea recta hacen q u e u n p u n to te n g a trayec­
to ria e n lin ea recta sin q u e esté g u ia d o p o r u n a superficie plana.
Históricam ente, las u n io n e s prism áticas d e calidad q u e perm iten
d m o v im ien to suave, r e c ta sin cam b io s bruscas, han s id o d ifid les
d e fab ricar. S e h a n ideado d iv erso s m ecan ism o s q u e g en eran
m ovim iento e n lin ea re c ta (o casi e n lin ca recta) c o n u n iones y ac­
tu a d ores g iratorios. L a fig u ra 1 3 8 a presenta u n eslabonam iento
d e W att; b fig u ra 138b, u n eslabonam iento d e Péaucellier-Lipkin.
a)
F IG U R A 1 .3 8 M e c a n i s m o s d e l í n e a r e c t a .
1 .1 2 .2 M e c a n is m o s d e p a r a l e l o g r a m o
Los m ecan ism o s e stá n fo rm ad o s c o n frecuencia p o r e s b b o n e s
q u e in te g ra n p a ra le lo g ra m o s p a r a m o v e r u n o b je to s in alterar
s u p aso . D ic h o s m e c a n ism o s cre a n m o v im ie n to p a ra le lo p a ra
ap licacio n es c o m o la s b áscu las, el tim ó n d e p b n e a d o r e s y las
p e rsia n a s p a r a v e n ta n a s . En b fig u ra 1.39a s e m u e s tra n d o s
tip o s d e e s la b o n a m ie n to s d e p a r a le lo g ra m o c o n u n e s la b o ­
n a m ie n to d e tijera; b fig u ra 1.39b, u n e s b b o n a m ie n to del
tra n s p o rta d o r d e u n a im p re n ta
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In trod u c c ió n a los m e c a n is m o s y a la c in em á tica __________23
F IG U R A 1 3 9 M e c a n i s m o s d e p a r a l e l o g r a m o .
1 .1 2 .3 M e c a n is m o s d e r e t o r n o r á p i d o
L o s m ecan ism o s d e reto rn o ráp id o tie n e n u n avance m ás rápido
e n u n a d irecció n q u e e n la o tr a , c u a n d o s o n im p u b a d o s a ve­
lo cid ad co n stan te c o n u n a c tu a d o r girato rio . Se u tiliz a n c o m ú n ­
m e n te e n m á q u in a s -h e rra m ie n ta q u e req u iere n u n a ca rre ra de
f ig u r a
1 .4 0
M ecan ism o s d e re to rn o
1. 12 .4 M e c a n is m o d e y u g o e s c o c é s
U n m ecan ism o d e y u g o escocés es u n m ecan ism o c o m ú n q u e
co n v ierte el m o v im ie n to d e ro ta c ió n e n u n m o v im ie n to lineal
d e sliz a n te , o v icev ersa. C o m o s e in d ic a e n la f ig u ra 1.41, el
p e rn o d e u n eslabón g ira to rio está in se rtad o e n la ra n u ra d e un
f ig u r a
M I
co rte len to y u n a d e re to m o ráp id o . En la figura 1.40 se observan
d o s m ecan ism o s d iferen tes d e re to rn o rá p id o . La fig u ra 1.40a
m uestra u n eslab o n am ien to d e m anivela-corredera descentrado;
y la fig u ra 1.40b, u n e s la b o n a m ie n to d e m an iv ela-cep illo li­
m ador.
r á p id o .
yugo corredizo. C o n respecto al m o v im ie n to d e e n tr a d a o sa li­
d a , el y u g o escocés es sim ila r a la m a n iv e la -c o rre d e ra , p e ro el
m o v im ie n to d esliz an te lineal es u n a s e n o id a l p u r a . En com H iració n c o n b m a n iv e la -c o rre d e ra , e l y u g o e sco cés tie n e la
ventaja d e m e n o r ta m a ñ o y m en o s p a rte s m óviles, p e ro suele
e x p erim en tar u n desgaste rá p id o e n b r a n u r a
M e can ism o d e y u g o escocés.
1.13 T É C N IC A S DE ANÁLISIS
DE M E C A N ISM O S
La m ay o ría d e lo s a n á lis is d e m e c a n ism o s im p lica g e o m e tría .
C o n fre c u e n c ia s e u tiliz a n m é to d o s g ráficos p a r a q u e el
m o v im ie n to d e lo s m ecan ism o s se logre visualizar c o n claridad.
l a s so lu c io n e s gráficas incluyen el d ib u jo d e lin e a s “a escala" en
á n g u lo s específicos. U n e je m p lo es el d ib u jo d e u n d ia g ra m a
c in e m á tic a L a so lu c ió n g ráfica r e q u ie re la p re p a ra c ió n d e un
d ib u jo q u e m u e s tre to d o s lo s e sla b o n e s a escala p ro p o rc io n a l
c o n el m ecanism o real. L a o rie n ta c ió n d e lo s eslabones tam b ién
se d e b e m o s tr a r c o n los m ism os á n g u lo s d el m ecan ism o real.
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24
CAPITULO U N O
El m é to d o g r á fic o tie n e la v e n ta ja d e fa c ilita r b visualiz a ció n y b so lu c ió n d e l p ro b le m a . S in em b arg o , la e x a c titu d
se ría difícil d e lo g ra r e n c o m p a ra c ió n c o n los resu ltad o s d e las
té cn icas a n a lític a s . D u r a n te m u c h a s d é c a d a s, el a n á lis is d e
m e c a n ism o s s e realizó u s a n d o b á sic a m e n te m é to d o s gráficos.
A p e s a r d e s u p o p u la r id a d , m u ch as técnicas gráfica s fu ero n
desechadas p o r su b i t a d e precisión. S in em bargo, e l d esarrollo
d e sistem as d e d ise ñ o asistido p o r c o m p u ta d o ra (C A D ) p e rm i­
tió q u e el e n fo q u e g ráfico se aplicara c o n precisión. E ste texto
in te n ta ilu s tra r lo s m é to d o s m á s co m u n e s q u e se u tiliz a n e n el
an álisis p ráctico d e m ecanism os. C ada u n o d e esto s m é to d o s se
d e s c rib e b rev em en te en las secciones siguientes.
1.13.1 T é c n i c a s t r a d i c i o n a l e s
d e re p re s e n ta c ió n g rá fic a
D u ra n te las ú ltim as d écadas, to d o s lo s análisis gráficos s e realiza­
b a n u s a n d o té cn icas d e d ib u jo tra d ic io n a le s. S e usaba e q u ip o
g ráfico p a r a d ib u ja r las lín e a s a escala necesaria e n á n g u lo s es­
pecíficos. El e q u ip o u tiliz a d o p a ra e fectu ar tales análisis incluía
e sc u a d ra s, r e g b s , c o m p a se s, tr a n s p o r ta d o re s y escalím etro s.
C o m o se m e n c io n ó , este m é to d o e r a c ritic a d o c o n frecuencia
p o r s e r im p re c is a S in em b arg o , c o n a te n c ió n ad e c u a d a a lo s d e ­
talles. se lo g ran o b te n e r so lu c io n e s precisas.
La rá p id a ad o p ció n d el softw are d e C A D e n los ú ltim o s años
fue lo q u e lim itó el u so d e las técnicas gráficas tradicionales. Aun
c u a n d o e n la in d u stria n o tien en g ra n aplicación, m uchos creen
que las técnicas gráficas tradicionales se p u e d e n enseñar todavía a
los estudiantes p a ra ilu stra r los con cep to s subyacentes e n el an áli­
sis gráfico d e m ecanism os. D esde lu e g a tales con cep to s son id é n ­
tico s a lo s q u e s e u s a n e n el a n á lis is g ráfico c o n u n sistem a d e
CAD . M ediante las técnicas de d ib u jo tradicionales, el estudiante
s e co n cen tra m ás e n las teorías cinem áticas, e n vez d e “atorarse"
a p re n d ie n d o lo s c o m a n d o s d e CAD.
d e CAD . La m eta principal d e este libro es in tro d u c ir y b r in d a r el
en ten d im ien to de los c o n c e p to s d el análisis d e m ecanism os. Tal
objetivo se p u e d e lo g ra r s in to m a r e n cuenta el sistem a d e C A D
específico que se utilice. P o r d io . el e s tu d b n te n o se d e b e ría p re ­
o c u p a r p o r el sistem a d e C A D u sa d o p a r a llevar a c a b o d análisis
gráfico. C o m o e n e ste c a s a d e s tu d ia n te n o se d e b e p re o c u p a r si
se u sa n gráficas m a n u a le s o d e c o m p u ta d o ra p a r a a p re n d e r d
análisis d e m ecanism os.
1.13.3 T é c n ic a s a n a lític a s
S e p u e d e n u s a r ta m b ié n los m é to d o s a n alítico s p a ra o b te n e r re ­
su lta d o s ex acto s. L as té cn icas a n a lític a s av an za d as in v o lu cran
con f re c u e n c b fu n cio n es m atem áticas com p lejas, la s cuales es­
tá n m ás allá d el alcance d e este lib ro y d el análisis r u tin a rio de
m ecanism os. A s im is m a b im p o r ta n c b d e lo s cálculos c o n fre­
c u e n c b e s difícil d e visualizar.
Las técnicas analíticas in c o rp o ra d a s e n e sta o b r a s o n c o n ­
siste n te s c o n la s te o ría s g e o m é tric a s, trig o n o m é tric a s y del
análisis gráfico d e m ecanism os q u e lo g ra so lu c io n e s precisas, en
tan to q u e las teorías gráficas p e rm ite n q u e se visualicen las so lu ­
ciones. Este m é to d o tie n e b desv en taja d e cálcu lo s b b o r io s o s
pura lo s m ecan ism o s m á s c o m p lejo s. A u n a s í, u n a g r a n p arte de
este tex to e stá ded icad a a la s técnicas analíticas.
1 .1 3 .4 M é to d o s p o r c o m p u t a d o r a
C o n fo rm e s e req u iere n so lu c io n e s an alíticas m ás p recisas p a ra
v arias p o sic io n e s d e u n m ecan ism o , d n ú m e r o d e cálcu lo s se
p o d ría v o lv er inm anejable. En tales casos, s e reco m ien d a el uso
d e u n a s o lu c ió n p o r c o m p u ta d o r a , la s cuales ta m b ié n s o n
valiosas c u a n d o s e d eb en a n a liz a r v a ria s ite ra c io n e s e n el d i­
seño.
El m é to d o c o m p u ta d o n a l p a ra d análisis d e m ecanism os
tien e v arias form as:
1 .1 3 .2 S is te m a s d e C A D
C o m o se m en cio n ó , el análisis gráfico se realiza u sa n d o p ro c e d i­
m ien to s d e d ib u jo trad icio n ales o u n sistem a d e CAD . c o m o se
hace n o rm a lm e n te e n b in d u stria . P ara el an álisis d e m ecanis
m o s, es p o sib le u tiliz a r c u a lq u ie ra d e lo s d iv erso s siste m a s d e
C A D d isp o n ib les co m ercialm en te. El sistem a d e C A D b id im en sio n al m ás c o m ú n es A utoCA D . Si b ie n los c o m a n d o s difieren
en tre u n o y o tr o sistem as, to d o s los sistem as d e C A D tie n e n b
cap acid ad d e d ib u ja r c o n a lta precisión las lineas c o n las lo n g i­
tu d e s y lo s á n g u lo s d e sig n ad o s. E sta e s e x a c ta m e n te b carac­
terística r e q u e r id a p o r el an álisis g r á fic o d e m e c a n ism o s.
A d em ás d el a u m e n to e n la e x a c titu d , o t r a v e n ta ja d e C A D es
q u e las lín eas n o n ecesitan e sta r a escala p a ra aju sta rse s o b re una
pieza d e papel d e d ib u jo . E n la c o m p u ta d o ra , la s líneas se trazan
so b re u n papel “v irtu a l” d e ta m a ñ o infinito.
A sim ism o , el m o d o d e d ib u jo re strin g id o e n siste m a s d e
m o d e la d o trid im e n s io n a l, c o m o Inv en to r. S o lid W o rk s y l’roE ngineer, suelen ser e x trem ad am en te ú tile s e n el an álisis cine­
m ático p la n o . Las restricciones grom étricas, com o b lo n g itu d , la
p erp en d icu larid a d y el paralelism o, se d e b e n c u m p lir al realizar
e l análisis cinem ático. Tales re striccio n es se ejecutan d e m anera
a u to m á tic a e n el m o d o d e d ib u jo d e m o d e la d o e n tres d im e n ­
sio n es.
E ste te x to n o p re te n d e e s tu d ia r e x h a u s tiv a m e n te los c o ­
m a n d o s d el sistem a especifico u tilizad o p a r a d ib u ja r la s lineas,
p ero varios p ro b le m a s d e e jem p lo s e resuelven c o n u n sistem a
■ Las hojas de cálculo so n m uy c o m u n e s e n la so lu c ió n de
p ro b le m a s r u tin a rio s d e m ecanism os. U n a característica
im p o rta n te d e las h o ja s d e cálculo es q u e al c am b iar los
d alo s q u e se in tro d u c e n e n u n a celda, lo s d e m á s resultados
se actu alizan au to m áticam en te. Esto p e rm ite q u e la s ite ra ­
ciones e n d d ise ñ o se realicen c o n facilidad. C o n fo rm e los
p ro b le m a s se v u elv en m ás c o m p le jo s, s u d e d ific u ltarse su
m a n e jo c o n u n a h o ja d e c á lc u la N o o b sta n te , a l o largo d el
tex to se usan h o ja s d e cálculo p a ra resolver p ro b lem as.
■ Se d isp o n e d e p ro g r a m a de análisis dinám ico comerciales,
com o VVórking M odel, A D A M S (A utom atic I>ynam ic
A nalysis o f M echanical S ystem s) o D ynam ic D esigner. Es
posible c re a r m o d e lo s d in ám ico s d e sistem as a p a r tir d e los
m e n ú s d e lo s c o m p o n e n te s generales. Las versiones res­
trin g id as d e lo s sistem as d e m o d e la d o e n tr e s dim ensiones
s o n p ro g ra m a s d e análisis d in á m ic o . H ay p aq u etes co m p le ­
tos d e so ftw are m á s ad ecu ad o s c u a n d o el análisis cin e­
m ático y el din ám ico fo rm a n u n a p a rte significativa del tra
bajo p o r realizar. El c ap itu lo 2 e stá d e d ic a d o a p ro g ra m a s d e
análisis d in á m ic a
■ Es p o sib le c re a r program as de cóm puto escritos p o r el usuario
e n lenguajes d e alto nivel c o m o M a lb b , M a th em atica,
V isualB asico C + + . El lenguaje d e p ro g ra m a c ió n selec­
cio n ad o d e b e te n e r acceso d ire c to a fu n cio n es tr ig o n o m é ­
tric a s y a funciones trig o n o m é tric a s inversas. D e b id o al
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tie m p o y al esfuerzo q u e se req u iere n p a r a d esarro llar p r o ­
g ram as especiales, estos so n m ás efectivos c u a n d o s e nece­
sita reso lv er u n p ro b le m a co m p le jo q u e n o se en fren ta
co tid ian am en te. En el c ap ítu lo 8 se incluyen alg o ritm o s
sim p les p a r a u n análisis cin em ático elem ental.
1 -4 .
En la fig u ra P1.4 se p resen ta u n a b o m b a d e pedal que
se utiliza p a ra in fla r n eu m ático s d e bicicleta, juguetes,
e tc é te ra D ib u je el d i o r a m a cin em ático d el m e c a n is­
m o d e la b o m b a . El p e d a l s e d e b e id en tifica r c o m o un
p u n to d e interés.
PROBLEM AS
P ro b le m a s d e e la b o r a c ió n d e d ia g ra m a s c in e m á tic o s
1 -1 . En la fig u ra P l . l se m u e s tra u n m ecanism o q u e sirve
ju r a a b r ir la p u e r ta d e u n h o r n o d e tr a ta m ie n to té r ­
m ico. D ib u je el d ia g r a m a c in e m á tic o d el m ecanism o.
0 e x tre m o d el m an g o s e d e b e d e fin ir c o m o u n p u n to
d e interés.
f ig u r a
1 -5 .
Pi .4 P ro b le m a s 4 y 29.
Hn la fig u ra P l .5 s e ilu stra n u n p a r d e tenazas. D ib u je el
d ia g ra m a cin em ático del m ecanism o.
f ig u r a p i
f ig u r a p i .i
J P ro b le m a s 5 y 30.
P r o b le m a s I y 2 6 .
1 -2 . En la fig u ra P 1.2 s e m u e s tra u n a c o rta d o ra d e p ern o s.
D ibuje el d ia g ra m a c in e m á tic o del m ecanism o, se lec­
c io n an d o el m an g o in fe rio r c o m o la b an cad a . Se deben
id en tifica r c o m o p u n to s d e in te ré s el e x tre m o del
m an g o s u p e rio r y la s u p e rfic ie c o r ta n te d e la s m o r-
1 -6 . E n la fig u ra P 1.6 se p resen ta o tr a co n fig u rac ió n d e un
p i r d e te n a z a s. E la b o re el d ia g ra m a c in e m á tic o d el
m ecanism o.
F IG U R A P I A P r o b l e m a s 6 y 3 1 .
1 -7 .
f ig u r a
P lJ
P roblem as 2 y 27.
1 -3 . En la fig u ra P l .3 se ilu stra u n a silla plegable q u e se usa
g en eralm en te e n los estadios. E labore el d ia g ra m a cin e­
m ático d el m ecan ism o p leg ad iza
E n la fig u ra P 1.7 s e ilu s tra el m ecanism o d e u n a v e n ­
tan a. D ib u je el d ia g ra m a c in e m á tic o d el m ecan ism o .
EstnicUiraifc su je c ió n
f ig u r a
Pl
.7 P ro b le m a s 7 y 32.
1 -8 . E n la fig u ra P 1.8 se m u e s tra o tr o m ecan ism o d e una
v e n ta n a . D ib u je e l d ia g ra m a c in e m á tic o d el m ecanism o.
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26
CAPITULO U N O
FIGURA PI.I i P ro b le m a s 11 y 36.
1 -1 2 . En la fig u ra P1.12 se m u e s tra u n p e q u e ñ o m o n tacarg as
frontal. D ib u je el d ia g ra m a cin em ático d el m ecanism o.
1 -9 . En la fig u ra P I.9 s e m u e s tra u n a su je ta d o ra d e a b r a ­
z a d era q u e sirv e p a ra s o s te n e r u n a pieza d e tra b a jo
c u a n d o s e m a q u in a . D ib u je u n d ia g ra m a cin em ático
del m ecanism o.
f i g u r a p i . 12
P roblem as 12 y 37.
1 -1 3 . En b fig u ra P 1 .1 3 s e ilu s tr a u n e s q u e m a d el tr a n s ­
p o rta d o r d e u n h o m o d e m icro o n d as usado p a r a ayu­
d a r a la g e n te e n s i l b d e ru e d a s. D ib u je el d b g r a m a
cin em ático d e l m ecanism o.
fig u r a
Pi.9 P ro b le m a s 9 y 34.
1—10. En la fig u ra P1.10 se ilu stra u n a ex cavadora d e juguete
q u e es c o m ú n e n m u c h o s areneros m unicipales. D ib u je
u n d ia g ra m a cin em ático d el m ecanism o.
1 -1 1 . En b fig u ra P 1.11 se m u e s tra u n a sie rra recip ro c an te.
D ib u je u n d ia g ra m a c in e m á tic o d el m e c a n is m o q u e
p m e ra el m o v im ie n to reciprocante.
1 -1 4 . En la fig u ra P l . 14 se p re se n ta el d ib u jo d e u n ca m ió n
ifta d o al e n tre g a r su m in is tro s p a r a lo s p a sa je ro s de
¡piones. D ib u je el d ia g ra m a cinem ático d el m ecanism o.
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In tro d u cció n a los m ec a n is m o s y a la c in em á tica
27
1 -1 8 . En la fig u ra P l . 1 8 s e p resen ta el d ia g ra m a d e u n trascabo. D ib u je el d ia g ra m a cin em ático d el m ecanism o.
1 -1 5 .
En la figura P I.1 5 se m u e s tra el esq u em a d e u n d isp o s i­
tivo p a r a m o v e r p a q u e te s d e u n b a n c o d e en sam b le a
u n a lin ea tr a n s p o r ta d o ra . D ib u je el d ia g ra m a c in e ­
m ático d el m ecanism o.
fig u ra
1 -1 9 .
1 -1 6 .
P ro b le m a s 18y 43.
En la fig u ra P l . 19 s e m u e s tra el esq u em a d e u n m o n ­
tacarg as f ro n ta l. D ib u je el d ia g ra m a c in e m á tic o d el
m ecanism o.
En la fig u ra P1.16 s e ilu stra el esq u em a d e u n a p la ta ­
fo rm a le v a d iz a . D ib u je el d ia g r a m a c in e m á tic o del
m ecanism o.
f ig u r a
1 -1 7 .
P l .1 8
P l . 16
P roblem as
16 y 41.
En la fig u ra P I.2 0 s e ilu s tra el esq u em a d e u n a p la ­
ta fo rm a d e a l tu r a a ju s ta b lc q u e sirv e p a r a c a rg a r y
d escargar cam io n es d e c a rg a D ibuje el d ia g ra m a cin e­
m ático d e l m ecanism o.
En la fig u ra P 1.17 s e m u e s tra el e s q u e m a d e u n a
p la ta fo rm a le v a d iz a . D ib u je el d ia g r a m a c in e m á tic o
del m ecanism o.
f ig u r a
P l JO
P ro b le m a s 20 y 45.
1 -2 1 . E n la fig u ra P 1.2I s e m u e s tra el esq u em a d e u n tr a n s ­
p o r ta d o r d e e le ctro d o m éstico s p a ra co c in a . D ib u je el
d ia g ra m a cin em ático d e l m ecanism o.
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28
CAPITULO U N O
f ig u r a
Pi.21 P ro b le m a s 21 y 46.
1 -2 2 . En la fig u ra P 1 .2 2 s e m u e s tra e l e s q u e m a d e u n e le ­
v ad o r p a r a la v entana d e u n au to m ó v il. D ib u je el d ia ­
g ra m a c in e m á tic o d el m ecanism o.
1 -2 5 . En la fig u ra P 1 .2 5 se m u e s tra el esq u em a d e u n c o m p o ­
n e n te d el d isp o sitiv o d e p ru e b a s d e desgaste. D ib u je el
diag ram a cinem ático d el m ecanism o.
f ig u r a
P
1.22 P ro b le m a s 22 y 47.
1 -2 3 . En la figura P 1.23 s e m u e s tra el esquem a d e u n d isp o s i­
tivo p a ra c e rra r las so la p a s su p e rio res d e cajas. D ib u je
el d ia g ra m a cin em ático d el m ecanism o.
1 -2 4 . E n la fig u ra P1.24 s e m u e s tra el e s q u e m a d e u n a m á­
q u in a d e coser. D ib u je el d ia g ra m a cinem ático d el m e­
canism o.
f ig u r a
P U 3 P ro b le m a s 23 y '18.
FIGURA p u
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s
f to b lc m a s 25 y 50.
In iro d u c c ió n a j o s m ec a n is m o s y a la c in em á tica __________29
P ro b le m a s d e c á lc u lo d e m o v ilid a d
Especifique el número d e eslabones y d e uniones y. luego, calcule la
movilidad del mecanismo mostrado e n la figura.
1- 26. Utilice
1-27. Utilice
1-28. Utilice
1-29. Utilice
1-30. Utilice
1-31. Utilice
1-32. Utilice
1-33. Utilice
1-34. Utilice
1-35. Utilice
1-36. Utilice
1-37. Utilice
1-38. Utilice
1-39. Utilice
1-40. Utilice
1-41. Utilice
1-42. Utilice
1-43. Utilice
1-44. Utilice
1-45. Utilice
1-46. Utilice
1-47. Utilice
1-48. Utilice
1-49. Utilice
1-50. Utilice
b figura P l.l
b figura PI.2
b figura P 1 J
b figura P1.4
b figura P13
b figura P 1.6
b figura PI.7
b figura P 1.8
b figura PI.9
b figura P l .10
b f ig u r a P I .il
b figura P l .l 2
b figura P l .l 3
b figura P1.14
b figura P l .l 5
b figura P l .l 6
b figura PI.17
b figura PI.18
b figura P l .l 9
b figura P U O
b figura P 1.21
b figura PI.22
b figura P 1.23
b figura P 1.24
b figura P1.25
m o v im ie n to , c u a n d o las lo n g itu d e s d e lo s eslab o n es
s o n a - 12 i n ,b ■ 5 ¡ n ,c ■ 1 2 in y d " 4 i n .
1 -5 3 . G a s ifiq u e el m ecanism o d e c u a tro b a rra s d el ro ciad o r
d e a g u a d e la fig u ra P 1 .5 1 , c o n b a s e e n s u p o sib le
m o v im ie n to , c u a n d o la s lo n g itu d e s d e lo s eslab o n es
s o n a = 12 in , b = 3 in , c = 8 in y d = 4 in.
1 -5 4 . C lasifique el m ecanism o d e c u a tro b a rra s d el ro ciad o r
d e a g u a d e la fig u ra P 1 .5 I , c o n b a s e e n s u p o sib le
m o v im ie n to , c u a n d o la s lo n g itu d e s d e lo s eslab o n es
so n a = 12 in , b = 3 in , c = 12 in y d = 5 in .
E ST U D IO S DE CASO
1 -1 . E l m e c a n is m o q u e se m u e s tra e n la fig u ra C l . l s e h a
to m a d o d el d isp o sitiv o a lim e n ta d o r d e u n a m á q u in a
au to m ática c n s a m b la d o ra d e cojinetes d e b o las. El m o ­
t o r elé c tric o e stá su je to a l e s la b ó n A c o m o s e indica.
E xam ine c u id ad o sam en te la co n fig u rac ió n d e lo s c o m ­
pon en tes d el m ecan ism o . Luego co n teste las siguientes
p reg u n tas p a ra c o n o c e r m ás acerca d e la o p e ra c ió n del
m ecanism o.
P ro b le m a s d e c la s ific a c ió n d e m e c a n is m o s
de c u a tr o b a rra s
1 -5 1 . En la figura P I.51 se ilu stra u n m ecanism o p a ra rociar
a g u a s o b re lo s vehículos e n u n servicio d e lavado a u ­
to m á tic o d e au to m ó v iles. C lasifique el m ecan ism o d e
1. C o n fo rm e el eslab ó n A g ir a 9 0 ° e n el s e n tid o h o ra rio
( d e la s m a n e c ilb s d e l re lo j), ¿ q u é p a s a rá c o n e l e s b bón a
2 . ¿Q u é su c ed e c o n b e ste ra a tra p a d a e n el deslizador C
c u a n d o está e n esa posición?
3 . C o n fo rm e el eslab ó n A c o n tin ú a g ir a n d o o tr o s 90* en
el se n tid o h o ra rio , ¿qué acción ocurre?
4 . ¿Cuál e s el o b je tiv o d e este dispositivo?
5 . ¿Por q u é hay ch aflan es e n la e n tra d a d el ro d a d e r o C?
6 . ¿Por q u é cree q u e s e necesita este dispositivo?
f ig u r a p iji
P ro b le m a s 51 a 54.
c u a tro b a r r a s c o n base e n s u p o sib le m o v im ie n ­
to, c u a n d o las lo n g itu d es d e los eslabones so n a = 12 in,
b = 1 .5 in , c = 14 in y d = 4 in.
1-52. G a sifiq u e el m ecanism o d e c u a tro b a rra s d el rociador
d e a g u a d e b fig u ra P 1 .5 1 , c o n b a s e e n s u p o sib le
1 -2 . La fig u ra E l.2 ilu stra u n m ecanism o q u e es c o m ú n en
d ta n q u e d e agua d e u n retrete. O bserve q u e la válvula
C e s tá hueca y lle n a c o n aire a tra p a d o . E xam ine cu id a ­
d o s a m e n te b c o n fig u ra c ió n d e los c o m p o n e n te s del
m e c a n ism o ; lu eg o , c o n te ste la s s ig u ie n te s p re g u n ta s
p a r a c o n o c e r m á s a c e rc a d e b o p e ra c ió n d el m e c a ­
nism o.
1. C o n fo rm e el m a n g o A g ir a e n el s e n tid o a n tih o ra rio ,
¿cóm o se m ueve la ta p a C?
2 . C u á n d o b v álvula C s e eleva, ¿qué efecto se p roduce?
3 . C u a n d o b v á lv u b C está le v a n ta d a , tie n d e a p e r­
m an e c e r e n u n a p o sic ió n hacia a r r ib a p o r u n tiem po.
¿Q u é c a u s a b te n d e n c b d e m a n te n e r le v a n ta d a b
válvub?
4 . ¿ C u á n d o te rm in a d e p r o d u c irs e e s ta te n d e n c b (de
m a n te n e r levantada la v á lv u b Q ?
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30
CAPITULO U N O
A
FIGURA B U (C o rte sfa d e In d u strial Press, Inc.).
5. ¿Q u é efecto h a r á q u e se m u e v a el flo ta d o r D?
6. C o n fo rm e el flo ta d o r D se m ueve e n s e n tid o a n tih o ­
rario , ¿q u é pasa c o n el eslab ó n P
7. ¿Q ué c o n tro la el eslab ó n P.
8. ¿C uál e s la o p e ra c ió n c o m p le ta d e e ste m ecanism o?
9. ¿Por q u é s e n ecesitan e s te m e c a n is m o y e l a lm a c e
n a m ie n to d e a g u a e n el tanque?
1-3. l a fig u ra E l.3 m u e s tra u n m ecanism o q u e g u la las va
rillas n u ev as d e ac e ro hacia u n d isp o sitiv o q u e las e n ­
ro lla en carretes. Las varillas e stá n calientes c u a n d o se
É ibrican, p o r lo q u e se u tiliz a agua p a ra a y u d ar al p r o ­
ceso d e en friam ien to . Las varillas p u e d e n te n e r varios
m iles d e p ies d e lo n g itu d , y se deslizan a u n a ra p id e z d e
h a s ta 25 m illas p o r h o r a a trav és d el can al S.
U n a vez q u e el carrete e stá lle n o , se rem ueve c o n la varilla
e n re d a d a . P a ra o b te n e r a lta eficiencia, las varillas s e siguen m uy
d e cerca u n as c o n o tra s . R esulta im p o sib le rem o v er el carrete en
u n intervalo d e tie m p o corto; p o r lo ta n to , es deseable u sa r d o s
carretes a lte rn a d a m e n te . E ste m e c a n is m o se h a d isenado p a r a
a lim e n ta r las varillas a lo s carretes.
Los c u b o s Bi y B ¡ tie n e n o rific io s e n el fondo. El flujo de
agua d el su m in istro e s m a y o r q u e el w lu m e n d e a g u a q u e s e es­
c ap a p o r lo s o rific io s . E x a m in e c u id a d o s a m e n te la c o n fig u ­
ración d e los c o m p o n e n te s d el m ecan ism o ; luego, c o n te ste las
sig u ien tes p re g u n ta s p a r a o b te n e r m ayor c o n o c im ie n to acerca
d e la o p e ra c ió n del m ecanism o.
1 . En la c o n fig u ra c ió n m o strad a, ¿ q u é sucede c o n el nivel
d e a g u a e n el c u b o B¡1
2 . En la c o n fig u ra c ió n m o strad a, ¿qué sucede c o n el nivel
d e a g u a e n el cu b o
3 . ¿Q ué p a s a rla c o n d b r a z o b a la n c ín C s i e l c u b o Bj
se fo rzara hacia arriba?
4 . ¿Q ué p asarla c o n el b ra z o b a la n c ín R s i el c u b o B> se
fo rzara hacia arriba?
5 . ¿Qué c o n tro la el b ra z o balancín R?
6 . ¿C óm o es d m o v im ien to c o n tin u o d e este dispositivo?
7 . ¿C ó m o p e r m ite e ste d isp o sitiv o q u e s e u s e n d o s ca­
rre te s se p ara d o s e n la situ ac ió n descrita?
8 . ¿P o r q u é s u p o n e q u e s e u tiliz a a g u a c o m o fu e n te de
en ergía p a ra la o p e ra c ió n d e e ste m ecanism o?
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CA P ITU LO
DOS
C O N S T R U C C IÓ N D E M O D E L O S DE
M E C A N ISM O S E N C O M P U T A D O R A U S A N D O
EL SO FTW A R E W O R K IN G MODEL®
2.2 SIM U LA C IÓ N P O R C O M PU T A D O R A
DE M EC A N ISM O S
O B JE T IV O S
A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s te c a p itu lo , e l a lu m n o
será c a p a z d r:
1. Entender el uso del software com ercial para el análisis
de mecanismos.
2 . Utilizar Worfciog Model* para construir modelos cinemáticos
3. Usar W orking Modcl* para anim ar el m ovim iento
de mecanismos.
4 . U tilizar W orking Modcl* para determ inar los valores
cinemáticos d e un mecanismo.
2.1 IN T R O D U C C IÓ N
El rá p id o d e s a rro llo d e la s c o m p u ta d o r a s y d el s o ftw a re ha
m o d ifica d o la f o rm a e n q u e s e realizan m u ch as ta re a s d e inge­
n iería. P ara el estu d io d e los m ecan ism o s se h a n d e sa rro lla d o
p a q u e te s d e so ftw a re q u e p e r m ite n a u n d is e ñ a d o r c o n s tru ir
m o d e lo s v irtu a le s d e u n m ecan ism o . L o s m o d e lo s v irtu ales
m u e s tra n al d ise ñ a d o r la sim u lació n total d e u n a m á q u in a . La
sim u lació n facilita a los in g en iero s c rear y p ro b a r p ro to tip o s del
p ro d u c to e n s u s c o m p u ta d o ra s d e escritorio. Los e rro re s d e d ise ­
ñ o s e aíslan y e lim in a n ráp id am en te, red u cien d o asi lo s gastos
en la elab o ració n d e u n p ro to tip o y acelerando, a la vez, el d e lo
d e d esarro llo d el p ro d u cto .
L o s p a q u e te s d e so ftw are resuelven ecuaciones cinem áticas
y d in á m ic a s, d e te r m in a n lo s v alo res d e l m o v im ie n to y d e las
fu erz as e n e l m e c a n is m o d u r a n te la o p e r a c ió n . A d em ás del
an álisis n u m é ric o , el so ftw a re a n im a u n m o d e lo e n c o m p u ­
ta d o ra d el m ecan ism o , lo cu al p e rm ite v isu alizar el d is e ñ o e n
acción.
E ste c a p itu lo sirv e fu n d a m e n ta lm e n te c o m o g u la e n la
sim u lació n d e m á q u in as y m ecanism os c o n el so ftw are W orking
M odel®. A un c u a n d o los valores cinem áticos g en erad o s d u ra n te
el an álisis q u iz á n o s e e n tie n d a n p o r c o m p le to , la visualización
d el m ecan ism o s u d e ser m uy en ten d ib le. El m aterial p resen tad o
e n v ario s d e lo s c a p ítu lo s sig u ie n te s p e rm itirá al lecto r en ten d er
las so lu c io n e s n u m éricas d d so ftw are d in ám ico . El d o m in io de
este tip o d e so ftw are d e an álisis d e m ecanism os, ju n t o c o n u n
co n o cim ien to só lid o d d an álisis cin em ático y d in ám ico , ofrece
u n a base só lid a p a ra el d ise ñ o d e m áquinas.
A d em ás d e W o rk in g M odel* ta m b ié n e stá n d isp o n ib le s o tr o s
p ro g ra m a s d e an álisis d in á m ic o , c o m o A D A M S* (A u to m atic
D ynam ic Analysis o f M echanical S ystem s), D y n a m ic D csigner",
LMS V irtuaLL ab y A naly tix * .T o d o s p e rm ite n la creación d e un
m ecanism o, a tr a v é s d e m e n ú s o ic o n o s, d e lo s c o m p o n e n te s
generales. L o s co m p o n e n te s generales incluyen aq u ello s q u e s e
p re se n ta ro n e n d c ap itu lo 1, c o m o eslab o n es sim p les y c o m p le ­
jas, u n io n e s d e p ern o s, u n io n e s d e c o rre d e ra y u n io n e s d e e n ­
g ra n e s. E l m e c a n is m o s e o p e r a s d e c d o n a n d o d e l m e n ú los
c o m p o n e n te s d d actu ad o r, tales c o m o m o to re s o cilindros.
E n el d ise ñ o d e m á q u in as, u n a d e las causas d e la ad o p ció n
jjm eralizad a d el m o d e la d o trid im e n sio n a l es q u e p re p a ra el es­
cenario p a r a m u c h o s u so s auxiliares: los p lan o s d e e je c u d ó n se
p u e d e n c rear m ás o m e n o s a u to m á tic a m e n te , se g e n e ra n pre­
sen tacio n es q u e se asem ejan estre c h a m e n te a la m á q u in a real y
los p ro to tip o s se e la b o ra n c o n fad lid ad . M u c h o s p r o d u c to s que
fu n c io n a n c o n d so ftw a re d e m o d e la d o trid im e n s io n a l están
d isp o n ib les p a r a analizar la in te g rid a d e s tru c tu ra l d e lo s c o m ­
p o n e n te s d e la m á q u in a . A sim ism o, d estu d io d d m o v im ien to y
las fu erz as e n m e c a n is m o s y en sa m b le s m ó v iles s e e stá v o l­
viendo casi u n efecto colateral d el m o d e la d o trid im en sio n al. La
figura 2.1 ilu stra el d is e ñ o d e u n m o d e lo trid im e n sio n a l a n a ­
lizado c o n D y n a m ic D esig n er d e n tr o d el A utodesk Inventor*
E nvironm ent.
S n im p o rta r el softw are que se u tilice, la e strateg ia general
jxira realizar el análisis d in á m ic o se resu m e c o m o sigue:
1 . D efinir u n c o n ju n to d e c u e rp o s ríg id o s (tam añ o s, p esos y
p ropiedades in crd ales), los cuales se c o n s tru y e n c o n d
p aquete d e d ise ñ o d e m o d d a d o trid im en sio n al.
2 . D eterm in ar las re striccio n es so b re los c u e rp o s rígidos
(co n ectan d o lo s c u e rp o s rígidos c o n u n io n es).
3 . E specificar d m o v im ien to d e e n tra d a (d efin ir las
p ropiedades d d m o to r im p u lso r, cilin d ro , etcétera)
o la s fuerzas d e e n tra d a .
4 . C o rre r el análisis.
5 . R epasar d m o v im ien to d e lo s eslab o n es y las fuerzas
e n d m ecanism o.
D esde luego, lo s c o m a n d o s e s p e d fic o s v a ria rá n e n tr e los
diferentes p aquetes. Las s e c d o n e s siguientes d el c ap itu lo se e n ­
fo c a n e n los d etalles d el an álisis d e m ecan ism o s c o n W orking
M o d d 2 D * .C o m o c o n cu a lq u ie r softw are, el c o n o c im ie n to se
ad q u iere p ractican d o y ejecu tan d o o tro s análisis, ad em ás d e los
ejem plos, d e m o d o q u e se in v ita al le c to r a e x p lo ra r el softw are
‘In v e n ta n d o ’’diversas m á q u in as v irtu a le s.
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32
CAPITULO DOS
f i g u r a 2 .1 A n á l i s i s d i n á m i c o d e u n m o d e l o t r i d i m e n s i o n a l .
2.3 A D Q U IS IC IÓ N D EL SOFTW ARE
W O R K IN G M O D EL
Paso 1: A b rir W o rk in g M odel
W o rk in g M o d e l 2 D f u e c re a d o p o r D e s ig n S i m u b t io n T ech ­
n o lo g ie s, q u e ta m b ié n l o d is trib u y e . S e p u e d e n c o m p r a r en
lin ea co p ias d el softw are, c o n d escu en to s significativos p a r a es­
tu d ia n te s , e n el s i t i o h ttp ://w w w .w o r k in g m o d e l.c o n i o en
h ttp ://w w w .d c s ig n s im u la tio n .c o m . H ay u n a v e rsió n descarg ib lc d e d e m o stració n gratis d e W orking M o d e l 2D , b cu al fad l i t a a lo s e s tu d b n te s b creación d e "p ro to tip o s v irtu a le s" to ta l­
m e n te fu n cio n ales d e d isertos d e m ecan ism o s c o m p lejo s. Sin
em b arg o , a lg u n a s fu n cio n a lid a d e s e stá n d esactiv ad as; las m ás
n o tab les s o n las fu n cio n es Save y P rin t. I b e ra d e ello, esta v e r­
s ió n o fre c e u n a e x c e le n te in tro d u c c ió n a la c o n s tru c c ió n d e
m o d e lo s d e m ecan ism o s p o r c o m p u ta d o ra . P a ra m a y o r in fo r­
m a c ió n c o n ta c te a D esig n S i m u b t io n T ech n o lo g ies, In c ., en
43311 Joy R oad, * 237, C a n tó n , M I 48187, (714) 446-6935.
C o n fo rm e s e a c tu a liz a W o rk in g M odel 2D , los m e n ú s e
iconos s e v u elv en lig eram en te d iferen tes d e los q u e se m u estran
e n lo s ejem p lo s d e e ste texto. N o o b sta n te , c o n u n p o co d e in tu i­
ció n , el e s tu d ia n te p u e d e a d a p ta rse y realizar c o n é x ito b s im u ­
lación d e m ecanism os.
2.4 USO DE W O R K IN G M O D E L PARA
M O D E L A R UN M E C A N ISM O
DE CUATRO BARRAS
C o m o s e m e n c io n ó . W orking M o d e l e s u n so ftw are p o p u la r d e
sim u la c ió n d e m o v im ie n to d isp o n ib le c o m e rd a lm e n te . E n una
c o m p u ta d o r a p e rso n a l, crea rá p id a m e n te u n m o d e lo q u e r e ­
p resen ta u n sistem a m e cán ico y ap lica u n an álisis d in á m ic o . En
esta se cció n s e u tiliza W orking M o d d p a r a c o n s tru ir e l m o d elo
d e u n m e c a n is m o d e c u a tr o b a r r a s y c o r r e r u n a sim u la c ió n
[ref. 16). S e in ten ta q u e fu n ja c o m o g u ia , e s decir, deberfo fu n ­
c io n a r e n b realid ad c o m o lo h ace W orking M odel. Se invita al
lecto r a p r a c tic a r c o n e l so ftw a re re a liz a n d o a n á lis is a d i­
cionales.
1. H aga clic s o b r e el ¡co n o d el so ftw are W orking M odel para
iniciar el pro g ram a.
2 . C r e e u n nuevo d o c u m e n to d e W orking M o d e l seleccioo in d o "N ew " d e l m e n ú “File*.
W brking M odel despliega u n a interfase d el usuario.
Aparecen las barras d e herram ientas q u e sirven para crear
eslabones, uniones y acatadores d e m ecanism os a los lados
de la pantalla. En la p a n e inferior estdn los controles que
r u tiliza n para correr y observar las simulaciones.
3 . E specifique las u n id a d e s q u e se em p le a rá n e n la s im u ­
lación. S eleccione “N u m b ers a n d U n its" e n el m enú
“Vicw-. C a m b ie “U nit S ystem " a inglés (libras).
L as unidades para m ediciones lineales serán pulgadas (in),
los ángulos se m edirán e n grados (deg) y las fuerzas se
especificarán e n libras (Ib).
Paso 2: C r e a r lo s eslab o n es
E ste p a s o d a c o m o re su lta d o los tre s e s b b o n e s m ó v iles e n el
m ecanism o d e c u a tro b arra s. El fo n d o d e b p a n ta lla sirv e c o m o
é c u a rto e s b b ó n , el fijo.
1 . C o n stru y a el m ecanism o crean d o los tre s e s b b o n e s q u e
no están fijos. H aga d o b le clic e n la h e rra m ie n ta rectáng i l o q u e e stá e n la b a r ra d e h erra m ien tas.
Se resalta la herram ienta indicando q u e se p u ed e u sa r vanas
2 . C o n b h e rra m ie n ta rectán g u lo , b o sq u e je tr e s c u e rp o s
co m o s e in d ica e n la fig u ra 2.2.
lo s rectángulos se dibujan p o siá o n a n d o el ratón e n la
prim era esquina, dando clic u n a vez y m oviendo luego el
ratón a la esquina opuesta, d o n d e se da o tro d ic . Los rectán­
gulos se d efinen param étricam ente, e n tanto q u e su tim arlo
exacto s e especifica más adelante.
3 . A b ra b v entana d e “ P ro p e rties" y b v e n ta n a “G eo m etry "
en el m e n ú “ W indow".
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C o n str u c c ió n d e m o d e lo s d e m e c a n ism o s e n c o m p u ta d o r a u f a d o e l w f t w i r f W o r k ln g M odcl*__________33
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FIGURA 2.2 ’ftes eslabones g ra d e a d o s c o n la h e r ra m ie n ta rectángulo.
Esto despliega inform ación acerca de los eslabones y perm ite
e d ita r la in fo rm ación
U se la v e n ta n a “P ro p e rties" p a ra cam biar el c e n tro d el es­
la b ó n h o riz o n ta l a x = 0 , y = 0,</> = 0.
l a ubicación d el rectángulo deberla cam biar d e acuerdo
con lo s datos introducidos.
Utilice la v e n ta n a "G eom etry" p a r a c a m b ia r el a n c h o d el
rectán g u lo h o riz o n ta l a 8 .5 i n y la a ltu r a a 0 .5 in.
C am biará la fo rm a d el rectángulo.
D e la m ism a m an era, u se la s v en tan as “P ro p e rties" y
“G eo m etry " p a r a u b ic a re ! c e n tro d el eslabón vertical
g ra n d e e n x = - 5 , y = - 3 y q u e te n g a u n a n c h o d e 0.5
y u n a a ltu ra d e 3 . G am b ie ta m b ié n el eslab ó n vertical
p e q u e ñ o p a r a ce n tra rlo e n x = 5, y = - 3 , c o n u n
a n c h o d e 0 .5 y u n a a ltu ra d e 1.5.
Otra vez, la fo rm a y la ubicación d el rectángulo deberían
ca m biar d e acuerdo con los datos q u e se intro d u jero n
Q c r r e las v en tan as d e "P ro p erties" y "G eom etry".
Se p u e d e u s a r el ic o n o z o o m (lu p a ) p a ra v e r ad e c u a d a ­
m e n te lo s eslabones.
P a so 3: U b ic a r lo s p u n to s d e in te r é s so b re
lo s e sla b o n e s
E ste p aso e n s e ñ a el u so d e la h e rra m ie n ta “O b je c t S nap" p a ra
u b icar lo s p u n to s d e interés c o n precisión. L a o p ció n d e “O bject
Snap" resalta las po siciones q u e se utilizan c o m ú n m e n te , com o
d cen tro d e u n lad o, p o r ejem plo, c o n u n a “ X t C u a n d o s e ubica
un p u n to c o n “O b je c t Snap", la posición del p u n to se d e fin e a u ­
to m á tic a m e n te c o n ecu ac io n e s param étrica s. E stas ecuaciones
g ir a n tiz a n q u e el p u n to m a n te n g a su p o sic ió n relativa a u n
d esp u és d e m o d ificar el ta m a ñ o d el eslabón o d e efectuar o tro s
1. H aga d oble clic e n la h e rra m ie n ta p u n to . El ic o n o es un
círculo p eq u e ñ o .
La herram ienta p u n to se resalta, lo cual indica q u e se puede
usa r varias veces, sin necesidad d e seleccionarla cada v a que
se bosqueje u n n u evo punto.
2 . M ueva el c u rs o r so b re u n o d e lo s eslabones.
Cbserve q u e aparece u n a “X ’ cerca deI apu n ta d o r a ra n d o se
centra e n u n lado, u n a esquina o el centro d e u n rectángulo.
A esta fu n á o n a lid a d se le llam a “O bject Snap " y resalta las
fo rtes q u e s e u sa n co m ú n m en te e n u n eslabón.
3 . C o lo q u e el c u rs o r so b re la p a rte s u p e rio r d e u n o d e los
eslabones verticales. C u a n d o aparezca u n a “ X" cerca del
^ u n t a d o r (fig u ra 2 .3 ), haga clic e n el b o tó n d el ra tó n .
4 . C o lo q u e lo s p u n to s adicionales, c o m o se in d ica e n b
figura 2.3.
Asegúrese de q u e cada u n o d e estos puntos se u b iq u e e n un
“p u n to d e ajuste" con la evidencia d e la “X q u e debe
aparecer e n el apuntador.
5 . Seleccione la h e rra m ie n ta a p u n ta d o r. El ic o n o es u n a
flecha q u e a p u n ta h a d a a r rib a a la izquierda.
6 . H ig a d o b le d i c so b re u n o d e los p u n to s q u e se estab led eron e n lo s p asos 3 y 4 p a r a a b r ir b v entana “Properties".
7 . O bserve que lus p u n to s “se ajustaron" a la m itad d el an ch o
del c u e rp o d esd e los tres bordes. Lo anterior d a rá c o m o re­
sultado u n a longitud efectiva e n el eslabón d e 8 .0 ,2 5 y 1.0 in.
P aso 4: U n ir lo s p u n to s p a r a c re a r u n io n e s
d e p e rn o
Este p a s o u n e los p u n to s p a r a c re a r u n io n e s d e p e rn o . U na
u n ió n d e p e rn o a c t ú a c o m o u n a b isa g ra e n t r e d o s c u e rp o s.
S m a rtE d ito r e v ita b r o tu ra d e las u n io n e s d u r a n te u n a oper a d ó n d e arrastre.
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34
CAPITULO DOS
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2 J U bicación d e p u n to s.
1. S eleccione la h e r ra m ie n ta a n d a .
d o n a r u n c u a d r o q u e r o d e e l o s d o s p u n t o s d e la
iz q u ie r d a , c o m o s e i n d ic a e n l a f ig u r a 2 .4 . S u e l t e e l b o t ó n
2. H ag a d ic e n el eslabón h o riz o n ta l p a r a a n d a rlo (su jetad o ).
Se u tiliza u n a a n d a para indicar a S m a n E d ito r q u e este
cuerpo no se debe m over d u rante la construcción d el meca rnsrno. Después d e q u e se hayan creado las u n iones d e pem o,
hen e que borrarse el anda.
i.
d e l r a tó n ; a h o r a l o s d o s p u n t o s d e b e n q u e d a r r e sa lta d o s
(o sc u r e d d o s).
Este m étodo de sd e c á ó n d e objetos s e conoce como “selección
p o r cuadros" C ualquier objeto q u e esté com pletam ente con­
tenido dentro del cuadro se resalta cuando s e suelta e l ratón.
S e le c c io n e la h e r r a m ie n t a a p u n ta d o r .
4. C o n la h e rra m ie n ta a p u n ta d o r activ ad a, h a g a d i c y a r r a s ­
tr e el a p u n ta d o r s o b re e l fo n d o d e la p an talla, p a r a s d e c -
5.
H a g a d i c s o b r e d b o t ó n “ |o i n " d e l a b a r r a d e h e r r a m i e n ­
ta s, fu s io n a n d o l o s d o s p u n to s e n u n a u n ió n d e p e r n o .
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C o n str u c c ió n d e m o d e lo s d e m e c a n ism o s e n co m p u ta d o r a u sa n d o e l so ftw a re W o r k in g M odel*__________35
S m a rtE ditor crea u n a u n ió n d e perno entre los dos puntos
seleccionados, m o vien d o a ese lugar el eslabón q u e no
está a n d a d o . El eslabón q u e se movió q u izá pierda su
verticalidad. Este s e fija e n u n m om ento.
6. Realice lo s p asos 4 y 5 p a ra los d o s p u n to s d e la derecha y,
luegoy cree o t r a u n ió n d e p ern o .
O tra vez, el eslabón horizontal perm anece e n la posición
original y S m a rtE ditor m u eve el eslabón vertical para crear
la u n ió n d e perno.
7. S eleccione el eslabón v e rtic a l d e la iz q u ie rd a h acien d o clic
so b re él c o n la h e rra m ie n ta a p u n ta d o r.
Aparecen cuatro cuadros negros alrededor del eslabón, lo cual
significa q u e f u e seleccionado. Estos cuadros s e la m a n palancas
y se pueden arrastrar para m odificar el ta m a ñ o d e u n objeto.
8. In tro d u zca u n “0 " e n el c a m p o (d e ro ta c ió n ) <f>, usan d o la
b a r ra d e co o rd en ad as d e la p a rte in fe rio r d e la p an talla.
Los cam pos d e coordenadas d e la p a rte inferior d e la p a n ­
talla son ú tiles para obtener inform ación acerca d e los obje­
tos e n W orking M odeL Estos cam pos tam bién sirven para
e d ita r inform ación d e los objetos. A l m odificar la rotación a
0a se a ju sta la barra de regreso a su posición vertical original.
9. Si e s n ecesario , efectúe los p asos 7 y 8 p a r a el eslab ó n v e r­
tical d el la d o d e r e c h a
10. S eleccione el a n d a u tiliz a d a p a r a m a n te n e r fijo el eslabón
h o riz o n ta l d u ra n te la c o n s tru c d ó n . y p re sio n e la ted a
“delete" p a r a elim inarlo.
El ancla y a n o es necesaria, p o r lo q u e debería borrarse.
11. S eleccione la h e rra m ie n ta “P in lo in t” y fo rm e u n a u n ió n
d e p e r n a u sa n d o el p u n to a ju s ta d a e n el e x tre m o in fe ­
r io r d el eslabón v ertical d e la izq u ierd a, c o m o s e indica
en la fig u ra 2.5. La h e rra m ie n ta " P in J o in t" h ace q u e
d o s eslab o n es aparezcan u n id o s p o r u n d reu lo .
La h erram ienta “P in Joint" es sim ila r a la herram ienta
p u n to u tiliza d a para crear las dos ú ltim a s uniones d e perno.
La opción d e u n ió n crea a u to m á tica m en te dos puntos, los
su jeta a lo s cuerpos debajo del cursor (o el cuerpo y el fo n d o
de la pantalla, como e n este caso), y crea u n a u n ió n perfecta­
m ente consistente e n u n solo paso. Estas uniones d e perno
conectan e l rectángulo con el fo n d o de la pantalla.
12. H aga d oble d ic e n la ju n ta d e p e rn o p a r a a b r ir la v entana
“P ro p o n ie s" y v erifiq u e q u e d p e rn o se haya co lo cad o a la
m itad d d a n c h o d el c u e rp o d esd e su b o r d e inferior. Lo anterio r d a c o m o resu ltad o u n a lo n g itu d efectiva d d eslabón
d e 2 .5 in .
P aso 5: A gregar u n m o to r al e s la b o n a m ie n to
Este paso agrega el m o to r a u n o d e los eslabones, a c tiv a n d o d
m ecanism o.
1. H aga d ic s o b re la h e rra m ie n ta m o to r e n la b a r ra d e h e r ra ­
m ien tas. E sta h e rra m ie n ta aparece c o m o u n d r e u lo con
un p u n to en su c e n tro , el cu al descan sa s o b re u n a base.
Se som brea la herram ienta motor, lo cual indica q u e f u e se­
bee io n a d a E l cursor se parece ahora a u n pequeño motor.
2 . C oloque d c u rso r sobre d “p u n to ajustado” e n el ex trem o in ­
ferior d d eslabón vertical d e la derecha. H aga d ic e n el ratón.
Aparece u n m o to r e n d eslabonam iento d e cuatro barras,
como se m uestra e n la fig u ra 2.5 . Tal com o e n la u n ió n de
perno, el m o to r tie n e dos p u n to s de sujeción. E l m otor
conecta autom áticam ente los dos cuerpos d e la parte su p e­
rior. S i solo u n cuerpo estuviera debajo del motor, u n ir ía el
cuerpo con el fo n d o d e la pantalla. Entonces, el m o to r apli­
caría u n torque entre los dos cuerpos ii los cuales está unido.
3. H aga d oble d i c so b re el m o to r p a ra a b r ir la v e n ta n a de
“P ro p e rties" y verifique q u e el p e r n o se colocó a la m itad
d d a n c h o d d c u e rp o d esd e d b o r d e inferior. Esto d a com o
resultado u n a lo n g itu d efectiva d el eslab ó n d e 1.0 in.
4 . E specifique la v e lo d d a d d d m o to r a 3 6 0 d eg /s. E sto es
igual a 60 rp m .
5 . H aga d i c so b re " Run" e n la b a r ra d e h erra m ien tas.
B m ecanism o d e cuatro barras com ienza a arrancar len ta ­
m en te a través d e su rango d e m ovim iento.
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36
CAPITULO DOS
6 . H aga d ic so b re “Reset" e n la b a r ra d e h erra m ien tas.
l a sim ulación se restaurará desde 0
0 eslabón se redim ensiona sobre la pantalla. O bserve cómo
Sm artE ditor a u to m á tica m en te redimensiorui, reposiciona y
reconstruye d m odelo con base e n las ecuaciones param étriats introducidas e n cada ubicación de u n a unión.
7 . H aga d o b le d i c so b re el m o to r p a ra a b r ir la v entana
“Properties".
l o anterior ta m b ién se logra a l seleccionar el m o to r y
elegir "Properties" e n el m enú "W in d o w " para abrir
la ventana "Properties".
4 . A sim ism o, re d im en sio n e lo s o tro s eslab o n es y m ueva la
p o s ia ó n d e la s u n io n e s. V igile q u e S m a rtE d ito r recons­
tru y a el m odelo.
Se pueden im estig a r configuraciones diferentes d e u n m o d e ­
lo usando las capacidades param étricas d e W orking ModeL
8. In c re m e n te la v e lo d d a d d el m o to r a 6 0 0 d eg /s tecleando
este v a lo r e n la v e n ta n a “ Properties".
l a s usuarios p u ed en d efinir u n m o to r para aplicar cierto
to rque pa ra moverlo a u n a posición d e g iro determ inada, o
bien, ptira que gire a u n a velocidad o u n a aceleración especí­
ficas. L os m otores tien en sistem as d e control integrados que
calculan au to m á ticam ente el torque necesario para la
rotación, la velocidad y la aceleración definidas.
Paso 7 : M e d ir la p o sició n
do u n p u n to
H aga d i c so b re “ Reset" e n la b a r ra d e h erram ientas.
l a sim ulación se detiene y se restaura a p a rtir de 0.
9 . H aga d ic e n “R un" s o b re la b a r ra d e h erram ientas.
0 eslabón d e cuatro barras com ienza a m overse n u e v a ­
m ente, esta v e z a u n a velocidad m ucho m ayor
2 . S elecd o n e la h e rra m ie n ta p u n to e n la b a r r a d e h e rra m ie n ­
tas. A parece c o m o u n d r e u lo h u e c o pequerto.
3. C o lo q u e e l c u rs o r s o b re el eslabón h o riz o n ta l d el m ecanis­
m o d e c u a tro b a rra s y presione el b o tó n d el rató n .
Un p u n to se coloca e n la barra. S e tra ta so lo d e u n p u n to y
r v su jeta la barra a l fo n d o d e la pantalla. Ú nicam ente es
“u n p u n to de interés".
P a so 6: K c d im e n sio n a r lo s esla b o n e s
E ste p aso u tiliza la b a r ra d e co o rd en ad as d e la p a rte in fe rio r d e
la p an talla, p a r a aju star el ta m a ñ o y el á n g u lo d e los eslabones.
E sta se cció n d e sta c a las capacidades p a ra m é tric a s d e W orking
M odeL O b serv e q u e c u a n d o s e re d im en sio n a u n eslabón, to d o s
lo s p u n to s p e rm a n e c e n e n s u s p o sic io n e s respectivas y to d as las
u n io n e s q u e d a n in ta c ta s . C o m o fu e ro n u b ic a d o s u tiliz a n d o
"O bject Snap". d ic h o s p u n to s se p o s ia o n a ro n c o n ecuaciones y
s e a ju s ta n a u to m á tic a m e n te d u r a n te lo s cam b io s e n el diseno.
4. S el p u n to n o s e h a se le c d o n a d o ( o s c u r e d d o ) to d av ía, se
se le c d o n a h acien d o d i c so b re 0 .
5 . C ree u n a n u ev a u n id ad d e m e d id a p a ra m e d ir la posición
d e e ste p u n to s e le c d o n a n d o “ PUsition" d el m e n ú “Measure".
Aparece la n u eva u n id a d de m edida. S e da d e baja la p o sia ó n
en metros para desplegar inform ación digital (num érica). Es
posible cam biar el m etro digital d e u n a gráfica, h a á en d o che
teta vez sobre la flecha d e la esquina superior izquierda.
1. Si n o s e h a se lecd o n ad o , haga d i c e n la h e rra m ie n ta
ap u n tad o r.
2. H ag a u n d i c e n el eslabón vertical d el la d o izquierdo
p a ra sd eccio n arlo .
6 . H ag a clic so b re “ R un" e n la b a r ra d e h erra m ien tas.
L a sim ulación com ienza inm ed ia ta m en te a correr y la infor­
m ación d e m edición aparece e n e l contador, como s e indica
e n la fig u ra 2.6. L os datos d el contador se pueden “exportar"
a u n archivo A SC II, q u e se copia e n u n portapapeles y se
3. In tro d u z c a u n n ú m e ro lig eram en te m ay o r e n el cuadro
“h " (a ltu ra ) d el eslab ó n se le c d o n a d o e n la b a r ra d e c o o r ­
d en ad as, e n la p a rte in ferio r d e la pantalla.
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T razad o d e la tra y e c to ria d e u n p u n to .
transfiere a u n program a d e hoja de cálculo para u n análisis
a d icio iu l. En este caso, la h oja d e cálculo recibirla cuatro
co lu m n a s d e inform ación: tiem po, X , Y y rotación.
Aparecerá u n a f il a p o rc a d a paso de integración calculado.
7. M o d ifiq u c la sim u lació n y vuélvala a correr.
La integración perfecta d e Working M odel, entre la edición y el
procesamiento del sistema dinámico, perm ite a l usuario investig i r rápidam ente muchas configuraciones d e simulaciones d ife­
rentes, Por ejemplo, la m odificaáón de la masa de la barra
horizontal, usando la ventana “Properties"y corriendo de
nuevo la simulación. Es posible modificar las ubicaciones d e los
pernos y rd im e n sio ra r los eslabones para, luego, m edirlas ve­
locidades y las fuerzas. Este mecanismo d e cuatro barras puede
incluso i m a n g a rse con gravedad cero, desactivando b opción
d e gravedad q u e s e encuentra debajo del m e n ú "World".
P aso 8: T ra z a r la tr a y e c to r ia d e u n p u n to
d e in te ré s
E ste p a s o c r e a u n tr a z o d el m o v im ie n to d e u n p u n to se lec­
cionado.
1. S eleccio n ar to d o s los o b jeto s u s a n d o el m é to d o d e selec­
ció n d e la v en tana descrito anterio rm en te.
Todos los elem entos aparecen e n color negro.
2. Seleccione la o p ció n “A ppearance" e n el m enú d e “Windovv".
3. En la v e n ta n a “A ppearance", desactive “T rack C e n te r o f
M ass" “Track C o n n e ct" y “T rack O utline".
Estas fu n cio n es se desactivan haciendo clic sobre la marca
d e verificación adecuada.
4. H ag a clic so b re el fo n d o d e la pan talla p a ra deseleccionar
to d o s lo s objetos.
5. Elija so la m e n te el p u n to d e interés creado e n el p aso 7.
Tan solo este p u n to debería aparecer e n color negro.
6 . S eleccione la o p ció n “A p p earan ce" e n el m enú
“W indow".
7 . E n la v e n ta n a “A ppearance", active “T rack Connect".
A segúrese d e q u e só lo se seleccio n e u n p u n t a
EsMfu n c ió n s e activa haciendo clic sobre la marca de verifi­
cación adecuada.
C o r r a la sim ulación. La pan talla s e d e b e p arecer a b fig u ra 2.7.
P aso 9: P ra c tic a r lo q u e se h a y a a p r e n d id o
Esta d e m o s tra c ió n in d ica c ó m o c re a r y c o rre r u n a s im u b c ió n
sim p le e n W o rk in g M odel. S e in v ita a l e s tu d ia n te a p ra c tic a r
con la s im u b c ió n o a c re a r u n m e c a n is m o n u e v a W o rk in g
M odel tie n e u n a g a m a in creíb le d e funciones, q u e p e rm ite n el
d esarrollo d e m o d e lo s p a r a a n a liz a r los d isp o sitiv o s m ecánicos
m ás com plejos.
2.5 U SO DE W O R K IN G M O D EL
PARA M O D E LA R U N M ECA N ISM O
DE M A N IV ELA -CO RRED ERA
Esta sección sirv e c o m o g u b p a ra c rear u n m ecanism o d e m a­
nivela-corredera. Se d e b e rla ap licar d u ra n te el u s o real d e W or­
king M odel. N u ev am en te s e in v ita al e s tu d ia n te a p ra c tic a r con
d softw are realizando o tro s análisis.
P aso 1: A b rir W o rk in g M o d el c o m o e n el p aso 1
d e la sección a n te r io r
P aso 2: C r e a r lo s e sla b o n e s
Este p a s o c r e a lo s tre s e s b b o n e s m óviles d e l m e c a n is m o d e
m anivela-corredera. O t r a vez, el fo n d o d e b p a n ta l b sirv e com o
d c u a rto eslab ó n f ija
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38
CAPITULO DOS
1. C ree u n n u ev o d o c u m e n to d e W brking M o d e l, seleccio­
n a n d o la o p ció n “N ew " d el m e n ú “File".
2. E specificar la s u n id a d e s q u e s e u s a rá n e n la sim ulación.
S eleccione “N u m b e rs a n d U nits” e n el m e n ú “View”.
C am b ie “U n it S ystem " a “SI" (g ra d o s |deg rces)).
L is u nidades lineales estarán e n metros, los ángulos se
m ed irá n e n grados y las fu erza s e n n ew to n s
3. C o n stru y a el m ecan ism o crean d o lo s tr e s eslab o n es q u e
n o so n fijos. H aga d o b le clic e n la h e rra m ie n ta rectán g u lo
d e la b a r ra d e h erra m ien tas.
L a herram ienta se resalta, lo cual in d ita q u e se p u ed e usar
varias veces.
4. C o n la h e rra m ie n ta rectángulo, b o sq u e je tre s c u e rp o s
co m o lo s q u e se m u e s tra n e n la fig u ra 2 .8 .
Posicione el ratón e n la prim era esquina, haga clic u n a vez y,
luego, m u eva e l ratón a la ubicación d e la esquina opuesta
y haga clic o tra tez. L os rectángulos está n definidos
param étrícam entc; s u s tam años exactos s e especifican más
adelante.
F a so 3: U sa r la u n ió n d e r a n u r a p a r a u n i r el
eslab ó n c o r r e d e r a co n el fo n d o d e la p a n ta lla
1. S eleccione el ico n o d e la u n ió n “keyed slot”. El icono
ap arece c o m o u n rectán g u lo m o n ta d o so b re u n a ra n u ra
horizo n tal.
2. M u ev a el c u rs o r so b re el p u n to d e ajuste e n el c e n tro
d el eslabón d e c o rre d e ra rectangular. H ag a clic e n el
b o tó n d el ra tó n . L a p a n ta lla d ebería s e r sim ila r a la
fig u ra 2.9.
5 . C a m b ie el á n g u lo a -45°.
C a m b ia la inclinación de la ranura.
A rrastre lo s o tro s eslabones h a s ta q u e la p a n ta lla se p arezca a la
fig u ra 2. 10.
Paso 4: C o n e c ta r lo s d e m á s e s la b o n e s p a ra
fo rm a r las u n io n e s d e p e rn o
Este p a s o crea p u n to s y los u n e p a ra fo rm a r u n io n e s d e perno.
U na u n ió n d e p e r n o a c tú a c o m o b isa g ra e n tre d o s cuerpos.
1. S eleccione la h e rra m ie n ta ancla.
2. H aga clic s o b re el eslab ó n vertical p a r a a n d a r el eslabón.
Una ancla indica a S m a rtkd ito r q u e no m ueva este cuerpo
á ira n te la construcción. Después d e crear las u n iones de
p em o, e l a n d a se borrará.
3. H aga d o b le d i c e n la h e rra m ie n ta p u n to . El ic o n o e s un
pequeflo circulo.
Se resalta la herram ienta punto, lo cual indita q u e s e puede
usar ta ñ a s veces, sin necesidad de volvería a seleccionar
antes de q u e se esboce cada p u n to nuevo.
4 . ( b lo q u e el c u rso r s o b re la p a rte s u p e rio r d e u n o d e los
e s b b o n e s verticales. C u a n d o aparezca u n a “X ” cerca del
a p u n ta d o r (fig u ra 2 . 1 1), h a g a d i c e n el b o tó n d el ra tó n .
5 . ( b lo q u e p u n to s e n los ex trem o s d el eslabón ho rizo n tal,
co m o s e m u e s tra e n la fig u ra 2.11.
Asegúrese de q u e cada u n o de estos p u n to s se colocó e n u n
"punto d e ajuste", como indica la “X " q u e a p a r e a e n el
apuntador.
6 . ( b lo q u e o tr o p u n to e n el c e n tro d el rectán g u lo d e la
corredera.
Este p u n to se usa para crear u n a u n ió n de p e m o con el
acoplador.
3. S eleccione la h e rra m ie n ta a p u n ta d o r.
4. H aga d o b le clic e n la ran u ra .
Esto a b re la tentaría "Properties" d e la ranura.
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f i g u r a 2.10 I h i ó n d e c o r r e d e r a .
7. S eleccione la h e rra m ie n ta a p u n ta d o r.
9.
8. C o n la h erram ien ta a p u n tad o r seleccionada, haga clic sobre
u n p u n to q u e se conectará c o n u n a u n ió n d e p ern o . Luego,
m an ten ien d o o p rim id a b te c b fhift, haga clic e n el segundo
p u n to , lo cu al fo rm ará u n a u n ió n d e p ern o . O bserve que los
d o s p u n to s a h o ra d e b e n e sta r resaltados (oscurecidos).
H ag a d i c e n el b o tó n “Jo in " d e la b a r ra d e h erra m ien tas,
fu sio n an d o lo s d o s p u n to s e n u n a u n ió n d e perno.
Sm artE ditor crea u n a u n ió n d e perno entre los dos p u ntos
elegidos a l m o ie r el eslabón sin anclaje a s u lugar. E l eslabón
q u e se m u eve q u izá >u n o sea vertical. Este perm anecerá fijo
e n u n m om ento.
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40
CAPITULO DOS
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C olocación d e p u n io s s o b re los d e m á s eslabones.
10. E jecute lo s p a s o s 8 y 9 p a r a lo s o tro s d o s p u n to s q u e
crearán o t r a u n ió n d e p e r n o . La p a n ta lla d e b e rá s e r com o
la fig u ra 2. 12.
O tra vez, d eslabón sertical perm anece e n s u posición
original y S m a rtE d ito r m ueve el eslabón vertical para
crear la u n ió n d e perno.
f i g u r a 2.12
11. H ^ a clic e n el eslab ó n vertical.
A parecen cuatro cuadros negros alrededor d el eslabón,
lo cual indica que f u e seleccionado.
12. S eleccione la o p c ió n "M o v e to f r o n t" e n el m e n ú "O bject"
Esto coloca e l eslabón vertical en fren te d el eslabón d e cone­
x ió n , haciendo visible el a n d a .
A dición d e las u n io n e s d e p e r n o y el m o to r a ! eslabonam iento.
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C o n str u c c ió n d e m o d e lo » d e m ec a n ism o » e n c o m p u ta d o r a u s a n d o e l so ftw a re W o r k ln g M odel*__________41
13. S eleccione el an cla, la cual s e u s a p a ra m a n te n e r el eslabón
vertical fijo d u r a n te la co n stru c c ió n y, luego, presione la
tecla “delete" p a r a b o rra rlo .
t i a n d a y a n o s e necesita, p o r b q u e se debe elim inar.
P aso 5: A g re g ar u n m o to r
a l e s la b o n a m ie n to
E ste p aso ag reg a el m o to r a u n o d e los eslab o n es p a r a im p u lsar
el eslab o n am ien to .
1. H aga clic so b re la h e rra m ie n ta m o to r e n la b a r ra d e h e ­
rra m ie n ta s . E sta o p c ió n aparece c o m o u n circulo, c o n un
p u n to e n el cen tro , q u e descan sa s o b re u n a base.
La h erram ienta m otarse oscurece, lo cual indica q u e fu e
seleccionado, t i cursor debería verse ahora com o un
pequeño motor.
2. C o lo q u e el c u rs o r e n el “p u n to d e aju ste" d el eslabón
vertical. H aga d i c e n el ra tó n .
A parece u n m o ta r e n el eslabonam iento d e m anivelacorredera, com o se m uestra e n la fig u ra 2.12. C o m o en
la u n ió n de p e m o , u n m o to r tien e dos p u n to s d e sujeción,
t i m o to r conecta a u to m á tica m en te los dos cuerpos supe­
riores. S i tan solo perm anece u n cuerpo debajo del m otor, el
m o to r u nirá el cuerpo con el fo n d o d e la pantalla. Luego,
d m o to r aplica u n torque entre los dos cuerpos a los cuales
está sujeto.
PROBLEMAS
Use el softw are W o rk in g M odel p a r a g e n e ra r el m o d e lo d e un
m ecanism o d e c u a tro b a rra s . U se los valores siguientes:
2 - 1 . b a n c a d a = 9 in ; m an iv ela = 1 in ; a c o p la d o r = 10 in;
seg u id o r = 3 5 in ; v e lo d d a d d e b m a n iv e b = 200 rad /s
2- 2 . buncad a = 100 m m ; m a n iv e b = 12 m m ; aco p lad o r =
93 m m ; se g u id o r = 24 m m ; v e lo d d a d d e b m a n iv e b
= 3 0 ra d /s
2 - 3 . b an cad a = 2 ft; m a n iv e b = 0.5 ft; a c o p la d o r = 2 1 ft;
seg u id o r “ 0.75 ft; v e lo d d a d d e la m a n iv e b = 25 rp m
U se el so ftw are W o rk in g M odel pora g e n e ra r el m o d e lo d e un
m ecan ism o d e m anivela-corredera. Utilice los valores siguientes:
2 - 4 . descen trad o = 0 in; m anivela = 1.45 in ; a c o p la d o r =
4.5 in ; v e lo d d a d d e la m a n iv e b = 2 0 0 rad /s
2 - 5 . d e scen tra d o = 0 m m ; m a n iv e b = 95 m m ; aco p lad o r
= 3 5 0 m m ; v elo cid ad d e b m a n iv e b = 2 0 0 rad /s
2 -6 . descen trad o = 5 0 m m ; m anivela = 95 m m ; aco p lad o r
= 3 5 0 m m ; v e lo d d a d d e b m a n iv e b = 2 0 0 rad /s
2 -7 . L a fig u ra P2.7 ilu s tra u n m ecan ism o q u e o p e r a el tre n
d e a te rriz a je d e u n a v ió n p eq u e ñ o . U se el so ftw are
W brking M odel p a r a generar u n m o d elo d e e ste m eca­
nism o. El m o to r o p e r a e n el sentido h o ra rio a u n a ve­
lo d d a d co n stan te d e 20 rpm .
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3. H ag a d i c e n “ R un" d e b b a r ra d e h erra m ien tas.
B eslabonam iento d e m arínela -corredera com ienza a
arrancar len ta m en te a través d e s u rango de
m ovim iento.
4. H ag a d i c e n “ Reset" d e b b a r ra d e h erram ientas.
La sim u la ció n s e restaura a p a rtir de 0.
5. H ag a d o b le clic s o b re el m o to r p a r a a b r ir la v e n ta n a
“Properties".
Lo anterior ta m bién se hace sdeccionando el m o to r y
d ig ien d o ‘ Properties" del m e n ú d e " W in d o w " para abrir
la ventana "Properties".
f ig u r a
6. In cre m e n te b v e lo d d a d d el m o to r a -3 0 0 d eg /s tecleando
este v a lo r e n b v entana “P roperties".
Los usuarios suelen d efinir u n m o to r para aplicar u n torque,
hacer u n m o vim ien to d e giro tletenninado, o girar a u n a
vd o cid a d o u n a aceleración específicas. L os motores tienen
integrados sistemas de control d e rotación, vd o cid a d y
acderación, q u e calculan autom áticam ente el torque
necesario. En este demo, s e u sa la velocidad d el m otor.
P 2 .7
P roblem a 7.
2 -6 . l a fig u ra P 2 .8 m u e s tra u n m e c a n is m o q u e o p e r a un
caballito d e e n tre te n im ie n to p a ra n iñ o s q u e f u n d o n a
con m o n e d a s. U tilice el softw are W orking M odel p a ra
7. H aga d i c e n “ R un" d e b b a r ra d e h erra m ien tas.
B eslabonam iento de manivela-corredera com ienza, una
vez m ás, a moverse, esta vez a u n a velocidad mucho
mayor.
P a so 6: P r a c tic a r lo q u e
se a p re n d ió
Se in v ita al e s tu d ia n te a p ra c tic a r c o n e sta s im u la d ó n o a crear
u n m ecan ism o n u ev o . W brking M o d e l tie n e u n a g a m a increíble
d e f u n d o n a lid a d e s q u e p e r m ite b cre a c ió n d e m o d e lo s p a ra
an alizar lo s d isp o sitiv o s m ecánicos m á s com plejos.
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42
CAPITULO DOS
g e n e ra r u n m o d e lo d e este e s lab o n am ien to . El m o to r
o p e ra e n se n tid o a n tih o r a rio a u n a velocidad co n stan te
d e 6 0 rp m .
2 -9 . La fig u ra P 2.9 p re se n ta u n m ecanism o d e transferencia
q u e le v a n ta p a q u e te s d e u n a b a n d a tr a n s p o r ta d o r a a
o tra . Use el softw are W o rk in g M odcl p a r a g e n e ra r un
m o d elo d e e ste m ecanism o. El m o to r o p e r a e n se n tid o
a u i h o r a r i o a u n a v elo cid ad c o n s ta n te d e 20 rpm .
f ig u r a
P 2 .9
u n m o d e lo d e e ste e s lab o n am ien to . El c ilin d ro se e x ­
tien d e a u n a velocidad c o n s ta n te d e 1 ft/m in .
2- 12. l a fig u ra 1*2.12 m u e s tra u n m ecan ism o q u e ap lica ró ­
tu lo s a lo s p a q u e te s . U se el so ftw a re W o rk in g M o d e l
p a ra g e n e ra r u n m o d e lo d e e ste e s la b o n a m ie n to . El
m o to r o p e ra e n s e n tid o a n tih o r a r io a u n a v elo cid ad
co n stan te d e 3 0 0 rpm .
P ro b le m a 9.
2 -1 0 . La fig u ra P 2 .I0 m u estra o t r o m ecanism o d e transferend a q u e e m p u ja paquetes d e u n a b a n d a tra n sp o rta d o ra
a o tra . Use el softw are W orking M odel p a ra g e n e ra r un
m o d e lo d e este m ecanism o. El m o to r o p e r a e n el sen­
tid o h o ra rio a u n a velocidad co n stan te d e 4 0 rpm .
E ST U D IO S D E CASO
2 - 1 . En la fig u ra E2.1 s e p re se n ta la v ista s u p e rio r d e u n
m ecanism o e n u n a o p e ra c ió n d e m a q u in ad o . E xam ine
cu id ad o sam en te la co n fig u rac ió n d e sus com ponentes;
luego, c o n te s te la s sig u ie n te s p re g u n ta s p a ra o b te n e r
m ay o r c o n o c im ie n to acerca d e la o p e ra c ió n d el m eca­
nism o.
f ig u r a
P2.I0 P ro b lem a 10.
2 -1 1 . La fig u ra P 2.11 ilu stra o tr o m ecanism o d e tra n sfe re n ­
cia q u e b aja p a q u e te s d e u n a b a n d a tra n s p o r ta d o ra a
a r a . U tilice el so ftw are W orking M o d e l p a r a g en erar
FIGURA E2.I M ecanism o d el e s tu d io d e c a s o 2.1.
f i g u r a P 2. l i
P ro b le m a 11.
1. C o n fo rm e gira el m an g o A, al m o v e r la varilla ro scad a B
a la izquierda, d escrib a el m o v im ien to d e la m o rd aza C
2. C o n fo rm e g ira el m an g o A, al m over la varilla ro scad a B
a la izquierda, d escrib e e l m ovim iento d e la m o rd a z a D.
3. ¿C uál e s el objetivo d e e ste m ecanism o?
4 . ¿Q u é a c ció n p ro v o c a rla q u e el eslab ó n D s e m o v iera
hacia arriba?
5 . ¿C uál e s el objetivo d el reso rte G?
6 . Analice el m o tiv o p a ra la e x tra ñ a fo rm a d e lo s eslabones
E yR
7 . ¿Q u é n o m b re p o n d r ía a este dispositivo?
8 . D e sc rib a las causas d el u so d e u n ex trem o re d o n d o de
la varilla ro scad a B.
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CA P ITU LO
T R E S
V EC T O R E S
O B J E T IV O S
A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s t e c a p itu lo , e l a lu m n o
se rá c a p a z de:
1. D iferenciar entre una cantidad m a l a r y un vector.
2. Aplicar los principios trigonom étricos adecuados
a un triángulo rectángulo.
3. Aplicar los principios trigonom étricos adecuados
a un triángulo general.
4. D eterm inar la resultan 1c de do» vectores, con e l uso tan to del
m étodo gráfico com o del m étodo analítico.
5. Separar cantidades vectoriales e n sus com ponentes e n las
d r e n iones verticales y horizontales.
6. Restar dos vectores, con el u w tanto del m étodo gráfico como
del m étodo analítico.
7 . Utilizar ecuaciones vectoriales.
8 . Em plear una ecuación vectorial para determ inar la m agnitud
de dos vectores.
d e m a g n itu d « c a l a r . E je m p lo s a d ic io n a le s d e c a n tid a d e s e s ­
calares so n los siguientes: u n a ta b la tie n e 8 ft d e largo, u n a clase
d u r a 5 0 m in u to s y la te m p e r a tu r a es d e 78"F ( la lo n g itu d , el
tie m p o y la te m p e ra tu ra s o n can tid ad es escalares).
En c o n tra ste , u n vector n o s e d efine p o r co m p le to ta n solo
c o n la m a g n itu d . T a m b ié n h a y q u e in d ic a r la d ire c c ió n d e la
c a n tid a d . A firm a r q u e u n a p e lo ta d e g o lf v ia jó 2 0 0 y a rd a s no
describe cab alm en te s u tray ecto ria. Al n o e x p re sa r la dirección
del reco rrid o s e o c u lta el h ech o d e q u e la p e lo ta cayó e n u n lago.
ft>r co n sig u ie n te , s e d e b e in c lu ir la d ire c c ió n p a r a d escrib ir
co m p letam en te tal ca n tid a d . E je m p lo s d e vectores d e fin id o s en
fo rm a ad e c u a d a so n “el p a q u e te q u e s e jala h a c ia la derecha con
u n a fuerza d e 5 Ib" o bien, “el tr e n q u e viaja hacia el n o r te a una
velocidad d e 50 m ph". El desp lazam ien to , la f i le n a y la veloci­
d a d so n c a n tid a d e s vectoriales.
Los v e c to re s s e d ife re n c ia n d e la s c a n tid a d e s escalares
p a rq u e s e d e n o ta n c o n neg ritas ( r ) . La n o tació n c o m ú n q u e se
utiliza p a ra rep re sen tar g ráficam en te u n v e c to r es u n segm ento
lineal c o n u n a p u n ta d e flecha e n u n e x tr e m a En el m é to d o del
análisis g rá fic a la lo n g itu d d el segm ento lineal se traza e n p ro ­
p orción a la m ag n itu d d e la cantidad que describe d vector. L a d i ­
rección s e d efine con la p u n ta d e flecha y la inclinación d e la linea
c o n respecto a u n eje d e referencia. La direcció n sie m p re s e m ide
d e la raíz, a la p u n ta d d vector. L a fig u ra 3.1 m u e s tra u n vec­
t o r d e velocidad c o m p le ta m e n te definido.
3.1 IN T R O D U C C IÓ N
B cab:
El an álisis d e m ecan ism o s im p lica d u so d e can tid ad es vectoria­
les. Las p rin c ip a le s c a racterísticas d el fu n c io n a m ie n to d e u n
m e c a n is m o s o n d e s p la z a m ie n to velocidad, aceleración y fu e r­
za. q u e so n v ecto res. A ntes d e tr a b a ja r c o n m ecanism os, se r e ­
q u ie re u n a in tro d u c c ió n In teg ra a los vectores y a la aplicación
d e lo s m ism o s. En e ste c a p itu lo s e p r e s e n ta n la s té cn icas de
so lu c ió n , ta n to g rá fic a c o m o a n a lític a . Los e stu d ia n te s q u e ya
to m a ro n u n c u rs o d e m ecán ica p u e d e n o m itir e ste c ap itu lo o
usarlo c o m o referencia p a ra rep asa r el m a n e jo d e vectores.
0
10
20
30
nph
I— 1 unidad—H
FIGURA J .l Un v e c to r d e velocidad
d e 45 m p h .
3.2 ESCALARES Y V ECTO RES
3.3 AN ÁLISIS V E C T O R IA L G R Á FIC O
En d a n á lis is d e m ecan ism o s se d e b e n d istin g u ir d o s tip o s de
c a n tid a d e s . U n escalar es u n a c a n tid a d q u e e s tá c a b a lm e n te
d efin id a c u a n d o se c o n o c e ú n icam en te su m a g n itu d P o r ejem ­
p l o al d e c ir“u n a d o c e n a d e rosquillas", u n o d escrib e la c a n tid a d
d e estas q u e h a y e n u n a caja. C o m o el n ú m e ro “ 12" establece
co rrectam en te d n ú m ero d e ro sq u illas e n la caja, la c a n tid a d es
La m ay o ría d el tra b a jo in v o lu c ra d o e n el e s tu d io d e m e c a n is­
m os y el an álisis d e vectores tien e q u e ver c o n la g eo m etría. En
estos a n á lis is se em p le a n fre c u e n te m e n te m é to d o s gráficos, ya
q u e d e esta m a n e ra se visualiza c o n claridad el m o v im ien to de
un m ecanism o. En lo s m ecan ism o s m ás c o m p lejo s, lo s cálculos
analíticos c o n v ecto res tam b ién se vuelven m ás laboriosos.
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44
CAPITULO TRES
El m é to d o d e an álisis g ráfico im p lica el d ib u jo d e líneas a
escala e n á n g u lo s específicos. P ara o b te n e r re su lta d o s c o n sis­
te n te s c o n las té cn icas analíticas, la exactitud h a b rá d e s e r el o b ­
je tiv o p r in c ip a l. D u r a n te m u ch as d écad a s, la e x a c titu d e n el
an álisis d e m ecanism os s e o b te n ía c o n c e n tra n d o la a te n c ió n en
la p recisió n y e n el e q u ip o d e d ib u jo adecuado. A un sie n d o p o ­
pu lares, s e d e s d e ñ a ro n m u ch as té cn icas gráficas p o r im precisas.
S in em b arg o , el d esarro llo d el d ise ñ o asistido p o r c o m p u ta d o ra
( c a d ) , c o n s u s c o n s tru c c io n e s geo m étricas ex actas, h a p e rm i­
tid o q u e la s técn icas g ráfica s s e a p liq u e n c o n precisión.
■ D ib u ja r lín e a s c o n u n a lo n g itu d específica y u n á n g u lo
determ inado;
■ In se rta r lineas, p erp e n d ic u la re s a las líneas existentes;
■ P ro lo n g a r líneas existentes h a s ta la intersección c o n o tr a
linea;
■ R eco rtar lineas e n la intersección c o n o t r a linea;
■ D ib u ja r arcos c o n c e n tro en u n p u n to específico y u n radio
d eterm in ad o ;
■ U b icar la in tersecció n d e d o s arcos;
■ M e d ir la lo n g itu d d e la s lín e a s existentes;
3.4 T É C N IC A S DE D IB U JO REQ U ERID A S
PARA EL A N ÁLISIS V E C T O R IA L
G RÁ FICO
Los m é to d o s g ráfico s d e análisis vectorial y d e m ecan ism o s son
id én tico s, ya sea q u e s e u tilice e q u ip o d e d ib u jo o u n softw are d e
c ad . A u n c u a n d o q u iz á se a o b so le ta e n el an álisis in d u stria l, la
rep resen tació n gráfica s e usa c o n éxito p a r a a p re n d e r y e n te n d e r
las técnicas.
( b a n d o s e tra b a ja c o n e q u ip o d e d ib u jo , s e re q u ie re n
líneas delgadas y arco s fin o s p a r a o b te n e r resu ltad o s exactos. Se
n ecesita u n tra z o p reciso p a r a d e te r m in a r c o n e x a c titu d lo s
p u n to s d e intersección. P o r l o ta n to , se d e b e te n e r c u id a d o d e
m a n te n e r e n b u e n estad o el e q u ip o d e d ib u jo .
La m e d ic ió n ex acta es t a n im p o rta n te c o m o la calid ad d e
las lín eas. L a lo n g itu d d e las lín e a s d e b e d ib u ja rse a u n a escala
p recisa, e n t a n t o q u e la s m e d ic io n e s lineales d e b e ría n ser tan
ex actas c o m o sea posib le. P o r ello, s e reco m ien d a u tiliz a r u n es
ca b m e tro c o n las p u lg ad as (in ) d iv id id as e n 30 partes. L as m ed i­
cio n es an g u lares tien en q u e s e r ig u alm en te precisas.
P o r ú ltim o , la elecció n a c e rta d a d e la escala d e d ib u jo es
ta m b ié n u n f a c to r m u y im p o rta n te . En g e n e ra l, c u a n to m ás
g ra n d e sea la co n stru c c ió n m á s exactos se rán los resultados d e la
m ed ició n . U na p recisió n d e 0 .0 5 i n causa m en o s e r r o r cu an d o
la lín ea es d e 10 i n d e largo q u e c u a n d o es d e 1 in . El ta m a ñ o del
d ib u jo e stá lim ita d o p o r el h e c h o d e q u e la s co n stru ccio n es m uy
g ra n d e s requieren e q u ip o especial. S in em bargo, hay q u e inten
ta r crear d ib u jo s tan g randes c o m o sea posible.
Se d e b e c o n s u lta r u n te x to d e d ib u jo p a r a los d etalles d e
b s té cn icas g en erales d e d ib u jo y d e la s c o n s tru c c io n e s g e o ­
m étricas.
3 5 C O N O C IM IE N T O R E Q U E R ID O D E c a d
PARA EL A N ÁLISIS V ECTO R IA L
G R Á FIC O
C o m o vim o s, lo s m é to d o s g rá fic o s d e an álisis d e m ecan ism o s
y d e v e c to re s s o n id é n tic o s , ya se a q u e s e utilice e q u ip o d e
d ib u jo o u n so ftw a re d e c a d . E ste ú ltim o o fre c e m a y o r p re
cisión. P o r fo rtu n a , ta n s o lo s e req u iere u n n iv d b á s ic o d e h a ­
b ilid ad es d d c a d p i r a re a liz a r a d e c u a d a m e n te u n a n á lis is v e c ­
to ria l g rá fic o c o m p le to , d e m o d o q u e e s p re fe rib le el u s o d e un
s is te m a d e c a d , p u es n o n e c e s ita u n a g ra n in v e r s ió n e n la
"cu rv a d e aprendizaje".
C o m o y a se m en cionó, d m é to d o g ráfico d e an álisis vecto­
rial im p lic a d d ib u jo d e líneas c o n lo n g itu d es precisas y a á n g u ­
los específicos. La siguiente lis ta d escrib e las destrezas e n d c a d
q u e s e re q u ie re n p a ra d an álisis v ectorial. El u su a rio d e b e ría ser
cap az de:
■
M e d ir e l á n g u lo i n c lu i d o e n t r e d o s lín e a s .
D esde lu eg o , las h abilidades a d ic io n a le s facilitan u n a n á li­
sis m á s eficiente. N o o b sta n te , la fam iliaridad c o n lo s c o m a n d o s
d e c a d que realizan las acciones m en cio n ad as es suficiente para
b g r a r c o n p recisió n el análisis vectorial.
3.6 C O N O C IM IE N T O S DE
T R IG O N O M E T R ÍA R E Q U E R ID O S
PARA EL A N Á LISIS V ECTO RIA L
En el caso an alítico d e vectores s e requieren c o n o cim ien to s bási­
cos d e trig o n o m e tría . Tal d iscip lin a e stu d ia las p ro p ie d a d e s de
b s triángulos. El p rim e r tip o d e triá n g u lo q u e se e s tu d ia rá e s el
triá n g u lo rectángulo.
3.6.1 T r i á n g u l o r e c tá n g u lo
Al e fectu ar u n a n á lis is v ecto rial, d u so d e la s fu n cio n es tr ig o ­
n o m é tric a s b ásicas es d e vital im p o rta n c ia . Las fu n cio n es tr i­
g o n o m étric as básicas s e a p lic a n so la m e n te p a ra los triá n g u lo s
rectángulos. l a figura 3 2 m u e s tra u n triá n g u lo rectán g u lo con
sus b d o s id en tifica d o s c o m o a, b y c, y sus á n g u lo s interiores,
com o A , Hy (.'.O bserve que el á n g u lo C e s u n ángulo recto d e 90*.
Ifor tal razón, d triá n g u lo se co n o ce com o triá n g u lo re c tá n g u la
Las r d a d o n e s trig o n o m é tric a s básicas son:
c a te to o p u e s to
s e n o /. A = s e n / . A = ——
=
h ip o te n u s a
a
-
(3.1)
c
b
c a te to a d y a c e n te
c o s e n o Z A = e o s / . A = — —------------------- = h ip o te n u s a
c
.
(3.2)
a t e t o o p u e s to
a
;----------- = a t e t o a d y a c e n te
b
(3.3)
ta n g e n te z l A = t a n Z A =
Tales d efiniciones se ap lican al á n g u lo B d e ig u al m anera:
s e n /. B = c
F IG U R A 3 J
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eosL S s
“
ta n Z B =
b
-
T riángulo rectángulo.
V ectores
45
El te o re m a d e P itá g o ra s establece la relación e n tre lo s tre s
lad o s d e u n triá n g u lo rectángulo. P ara el triá n g u lo d e la fig u ra
3.2, s e d e fin e c o m o
F inalm ente, la s u m a d e to d o s los á n g u lo s d e u n triá n g u lo
es igual a 180°. Si s e sabe q u e el á n g u lo C e s d e 90°, la su m a de
los o tro s d o s á n g u lo s es
a 2 + b* = ?
L A + L B = 90"
(3 .4 )
(3 3 )
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 . 1
La figura 3 J ilustra una pala cargadora con el cilindro B C en posición vertical l-’tilice trigonom etría para determ inar la
longitud requerida d el cilindro para o rie n ta r el brazo A B en la configuración m ostrada.
FIGURA i 3 P ala carg ad o ra d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.1.
S O L U C IÓ N :
1.
D eterm ine la lo n g itu d BC
Concéntrese e n el triángulo form ado por los puntos A , B y C de la figura 3 J . El b d o B C del triángulo s e calcula con
h ecuación (3.1).
scn ¿ A ■
sen 35* -
cateto opuesto
hipotenusa
BC
< % in)
ai d esp ejar
B C = (96 in ) sen 35* = 5 5 0 6 in
2.
D eterm ine la lo n g itu d AC
Aun cu an d o n o se requiere, observe que la distancia e n tre A y C se calcula d e m anera parecida con h ecuación
( 3 2 ) , d e m o d o que
cateto adyacente
cos¿ A
eo s 35*
hipotenusa
AC
(96 in)
despejando:
A C = (96 in ) eo s 35° = 78.64 in
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3.2
l a figura 3.4 presenta u n cam ión rem o lcad o r con el brazo d e la g rú a d e 8 ft, inclinado u n ángulo d e 25*. Utilice
trigonom etría para determ inar la distancia horizontal que cubre el brazo de la grúa.
S O L U C IÓ N :
I.
D eterm ine la proyección h o rizo n ta l d el brazo d e la grúa
La proyección horizontal del brazo s e determ ina con la ecuación (3 2 ):
proyección horizontal
C“ ' '
(8 ft)
proyección horizontal = (8 ft)cos 25* = 7 2 5
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ft
46
CAPITULO TRES
F IG U R A
2.
3.4 C a m ió n d e a rra stre d d p ro b le m a d e e jem p lo
3 .2 .
D eterm ine la proyección horizontal d el cam ión y el brazo
La distancia horizontal d d extrem o frontal d d cam ión al ex trem o del brazo es
6 ft * 7 2 5 ft - 1325 ft
3.
D eterm ine la saliente d el brazo
Corno la longitud total d el cam ión es d e 11 ft. la distancia horizontal q u e se extiende el brazo d d cam ión es
1325 ft -
11 ft » 2 2 5
ft
Los p ro b le m a s q u e im p lican la so lu c ió n d e u n triá n g u lo
cu alq u iera c aen e n u n o d e c u a tro casos:
3 .6 .2 T r i á n g u l o o b lic u o
El análisis p rev io se lim itó a los triá n g u lo s rectán g u lo s. S in e m ­
bargo. e n el e s tu d io d e lo s m ecan ism o s ta m b ié n es im p o rta n te
e l e n fo q u e d e triá n g u lo s e n g e n e ra l (o b lic u o s ) . La fig u ra 3.5
m u e s tra u n triá n g u lo cu alq u iera. D e n u ev o , a, b y c d e n o ta n la
lo n g itu d d e lo s lad o s y L A , L B y L C rep resen tan lo s án gulo s
in terio res.
P ir a e ste caso g e n e ra l, n o s o n ap lic a b le s las fu n c io n e s
trig o n o m é tric a s b ásicas d e s c rita s e n la se cció n a n te rio r. P ara
a n a liz a r u n triá n g u lo g en eral, hay q u e to m a r e n c u e n ta la ley d e
lo s sen o s y la ley d e lo s cosenos.
l a ley d e los senos s e expresa com o
C aso 1: C u a n d o s e co n o cen u n la d o (a ) y d o s á n g u lo s (L A y L B).
Para resolver u n p ro b le m a d e e sta Indole, s e utiliza la e cu a­
ción (3 .8 ) p a ra calcu lar el tercer ángulo:
L C =
180° -
L A -
LB
Se re p la n te a la ley d e los se n o s p a r a c a lc u la r lo s lad o s
restantes.
í sen ¿ B )
“Yk ^ Z í j
/ senLC \
s e n Z .A
se n ¿ fi
sen Z C
(3.6)
La ley d e b s cosenos s e e x p resa com o
c2 = ¿
+ b1 -
2ab
eos L C
(3 .7 )
P o r o tr o lad o , la su m a d e to d o s los á n g u lo s in terio res d e un
triá n g u lo c u a lq u ie ra es d e 180®. E n té rm in o s d e la fig u ra 3.4 , la
ecu a c ió n seria
C
C aso 2: C u a n d o s e c o n o c e n d o s la d o s ( a y b) y el á n g u lo o p u e s to
a u n ó d e los lad o s ( L A ) .
Para resolver u n p ro b le m a d el caso 2 , se u tiliz a la ley d e los
senos p a ra calcular el se g u n d o án g u lo . La ecu ació n (3 .6 ) s e re ­
p lan tea com o
L B =
L A + L B +
L C -
180°
“{ s e n L A J
(3.8)
j^
sen 1
sen Z . A
j
C o n la ecu ació n (3.8) se calcula el tercer ángulo:
L C = 180“ -
LA -
LB
Se utiliza la ley d e los co sen o s p a r a calcular el tercer lado.
La ecu a c ió n (3.7) se replantea com o:
F IG U R A 3 5
U n triá n g u lo o b licu o .
c = V io * + b2 -
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lab c o s¿ C |
V ectores
C a s o 3: C u a n d o s e c o n o c e n d o s la d o s ( a y b ) y e l á n g u lo i n ­
c lu id o {L C ).
P ara reso lv er u n p ro b le m a d el caso 3. s e utiliza la ley d e los
co sen o s p a r a calcu lar el tercer lado:
c = Z ¿
C a so 4 : C u a n d o s e co n o cen los tre s lados.
Para resolver u n p ro b le m a d e l caso 4, se u tiliz a la ley d e los
c o sen o s p a r a c a lc u la r u n á n g u lo . La e c u a c ió n (3 .7 ) se re p la n ­
tea c o m o
LC
+ b* — 2 a b c o s L C
C o n la ley d e los se n o s s e c a lc u la e l s e g u n d o á n g u lo . La
ecu ació n (3.6) s e rep lan tea com o
14 ( “ J s e n ¿ c j
L B = 180° -
LA -
( - lsc n Z C !
C o n la ecu ació n (3 .8 ) se calcula el tercer án g u lo :
S e u sa la ecu a c ió n (3 .8 ) p a r a calcu lar el tercer ángulo:
L B = 180° -
la b
C o n la ley d e lo s se n o s se c a lc u la u n se g u n d o á n g u lo La
ecu ació n (3 .6 ) se re p la n te a com o
L A = sen
L A = sen
47
LC
LA -
LC
U n a vez q u e se fa m ilia ric e c o n la so lu c ió n d e p ro b le m a s
q j e im plican triá n g u lo s generales, ya n o será necesaria la id e n ­
tificación d e lo s casos específicos.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3.3
l a figura 3.6 m uestra u n a pala carpido ra. Use trigonom etría pura determ inar la longitud requerida del cilindro con la
finalidad de orientar el brazo A B cn la configuración m ostrada.
FIGURA 3.6 P ala carg ad o ra d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.3.
S O L U C IÓ N :
I.
D eterm ine la lo n g itu d BC
Si se exam ina el triá n g u lo creado por los p u ntos A , B y C .e s evidente que se tra ta d e u n problem a del caso 3. El
tercer lado se calcula con la ley d e los cosenos:
B C = Z A C 1 + A B 1 - 2 (A C )(A B ) c o sL BAC
- V ( 7 8 i n ) 2 + (9 6 in )J - 2(78 in )(96in) eos 25*
- 41.55 in
C om o n o se requirió d cálculo d e los otros ángulos, el procedim iento descrito pura lo s problem as d el caso
3 quedará inconcluso.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .4
l a figura 3.7 m uestra d m ecanism o im pulsor del sistem a d e un m o to r d e gasolina. Use trigonom etría pura determ ir a r el ángulo de la m a n n e la que se indica e n la figura.
S O L U C IÓ N :
1.
D eterm ine e l ángulo BAC
Al exam inar el trü n g u lo form ado px»r los p u ntos A , B y C es evidente q u e se tra ta d e u n problem a del caso 4 . El
ángulo BAC se calcula redefiniendo las variables e n la ley d e los cosenos:
C“
- J A C J + A B 1 - BC¡ \
(
2 (AC ){AB)
J
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48
CAPITULO TRES
f ig u r a
2.
3.7 M e can ism o d el m o to r d e gasolina d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.4.
D eterm ine e l ángulo d e la m anivela
H á n g u lo BAC está definido e n tre el lado AC. (el lado vertical) y la p ierna AB. C o m o el á n g u lo d e la m anivela se
define a partir del eje horizontal, se determ ina d e la siguiente m anera:
Angulo de la m anivela = 90" - 67 J ° = 22.7*
3.
D eterm ine lo i dem ás ángulos interiores
Aun cu an d o n o se solicitó e n « t e problem a, el á n g u lo ACB se determ ina m ediante
L ACB -
sen ■' j ( 4 ? ) se n /. BAC
fttr últim o, se calcula el ángulo ABC:
L A B C = 180* - 67J * - 10.6* = 102.1*
3.7 M A N EJO D E V E C T O R E S
En el an álisis d e m ecan ism os, la s c a n tid a d e s v e c to ria l» (co m o
el d esp lazam ien to o la v elo cid ad ) se em plean d e d if e r e n te m a­
n e ra s . A l ig u a l q u e la s m a g n it u d e « c a l a r e , los v e c to r o se
s u m a n y se r e t a n . S in em bargo, a diferen cia d e las m a g n itu d e
« c a l a r e , n o s o n s i m p l e o p e r a d o n e algebraicas. P uesto q u e al
d e fin ir d v e c to r ta m b ié n se requiere, se d e b e c o n sid e ra r la d ire c ­
c ió n , ad em ás d e las o p e r a d o n e m atem áticas. La su m a y la resta
d e v ectores se e stu d ia n p o r se p a ra d o e n las sig u ien tes secd o n es.
La su m a d e v ectores « igual a la d e te rm in a d ó n del efecto
c o m b in a d o , o neto , d e d o s c a n t i d a d » q u e a c tú a n ju n ta s . P o r
e je m p lo , a l ju g a r u n a ro n d a d e g olf, el p rim e r tiro v iaja 200
y ard as, p e r o s e d e v í a a la d erech a. Luego, u n s e g u n d o tiro
reco rre 120 yardas y q u e d a a la izq u ierd a d el h o y a Un tercer t i ­
ro d e 70 y a rd a s c o lo ca a l g o lfista s o b re el green. C u a n d o este
golfista ve la h o ja d e resultados, se d a c u e n ta q u e el h o y o e stá ro ­
tu la d o c o n u n a d ista n c ia d e 3 1 0 yardas; n o o b sta n te , la p elo ta
viajó 3 9 0 y ardas ( 2 0 0 + 120 + 7 0 yard as).
C o m o s e h a se ñ alad o co n stan tem en te, la d ire c c ió n d e un
v ecto r o tan im p o rta n te c o m o su m a g n itu d . E n la su m a d e vec­
to res, 1 + 1 n o sie m p re « ig u al a 2; e t o d e p e n d e d e la dirección
d e lo s v ectores individuales.
3.8 SUM A GRÁFICA
D E V EC TO R E S ( + »
l a su m a g ráfica o u n a o p e ra c ió n q u e d e te rm in a el efecto n e to
d e lo s vectores. El m é to d o gráfico d e la su m a d e vectores incluye
el d ib u jo a « c a l a d e lo s v e c t o r e y s u o r ie n ta c ió n co rre c ta .
Luego, e so s v e c to r o s e r e u b ic a n c o n s e rv a n d o ta n to la escala
ro m o la o rie n ta c ió n . La co la d el p rim e r v e c to r s e to m a c o m o el
o rig en ( p u n to O ). El se g u n d o v e c to r se re u b ic a d e m o d o q u e su
cola q u e d e e n la p u n ta d el p rim e r v e c to r. El p ro c e so s e rep ite
pora to d o s lo s vectores restantes. 1.a té c n ic a s e c o n o c e c o m o el
m é to d o d e p u n ta con cola e n la su m a d e vectores. Este n o m b re
se explica p o r si m ism o c u a n d o s e o bserva u n p o líg o n o d e vec­
t o r o co m p leto . La p u n ta d e u n v e c to r s e c o n e c ta c o n la c o la del
siguiente.
H efecto c o m b in a d o o u n v e c to r q u e s e e x tie n d e d esd e la
ro la d el p rim e r v ector d e la se rie h a s ta la p u n ta d el ú ltim o vec
lo r d e la serie. S e tie n e u n a ex p resió n m a te m á tic a q u e re p re ­
se n ta el efecto c o m b in a d o d e los vectores:
R = A + > B +> C + > D + > .. .
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El v e c to r R e s la n o ta c ió n c o m ú n q u e s e u tiliz a p a r a representar
la resu ltan te d e u n a serie d e vectores. Resultante es el té rm in o
q u e d e s c rib e el efecto c o m b in a d o d e los v ecto res. O b serv e
asim ism o q u e el sim b o lo + > sirv e p a r a id en tifica r la su m a de
v ectores y p a r a diferenciarla d e la su m a algebraica [re£ 5 |.
N o te q u e lo s v ectores c u m p le n c o n la ley c o n m u ta tiv a d e la
su m a , es decir, el o r d e n e n q u e se su m a n los vectores n o altera el
resu ltad o . P o r lo ta n to .
R = (A + > B + > C ) = (C + > B + > A ) =
( B +> A +> C ) = . . .
El p roceso d e c o m b in a r los vectores s e p u e d e llev ar a c a b o gráfi •
com ente c o n técnicas d e d fc u jo m an u ales o u n so ftw are d e c a d .
In d e p e n d ie n te m e n te d e l m é to d o q u e se u tilice, los con cep to s
subyacentes so n id é n tk o s. L o s p ro b le m a s d e e jem p lo siguientes
ilu stran tal c o n c e p ta
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3.5
Determ ine gráficam ente e l efecto com binado de los vectores d e velocidad A y B , q u e s e m uestran en la figura 3.8.
E xah:
0
25
50
FIGURA 3* V ectores d el p ro b le m a d e ejem plo 3.5.
S O L U C IÓ N :
Construya los diagram as d e a c to re s
I.
Para d eterm in ar la resultante, los vectores se deben colocar d e tal m anera q u e la cola d e B se u b iq u e e n la p u n ta
d e A. Para verificar la ley conm utativa, los vectores se dibujaron d e nuevo, d e m o d o q u e la cola de A se localice en
b p u n ta d e B. La resultante es el vector dibujado d e la co la del prim er vector, el origen, a la p u n ta d d segundo
vector. En la figura 3.9 s e presentan los d o s diagramas.
2.
M ida la resultante
l a longitud del vector R es d e 66 in/s. Para definir com pletam ente el vector R tam bién s e requiere la dirección. El
ángulo d e la horizontal al vector R e ¡ d e 57°. P o r lo tanto, la m a n e ra correcta d e presentar la solución es:
fig u r a 3.9
Efecto com b inad o d e lo s vectores A y B del problem a d e ejem plo 3.5.
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50
CAPITULO TRES
P R O B L E M A DE E JE M P L O 3 .6
O te rm in e gráficam ente el efecto co m binado d e los vectores de fuerza A, B , C y D que se m uestran e n la figura 3.10.
E jra la
f i g u r a 3.10 V íctores d el problem a d e ejem plo 36.
S O L U C IÓ N :
1.
C onstruya diagram as d e los vectores
Para d eterm in ar b resultante, se deben colocar Ico vectores d e m anera q u e la cola d e B se ubique e n la p unta
de A. Luego la cola d e C * coloca sobre la p unta d e B. Finalm ente, la cola d e D se coloca sobre la p u n ta de C . De
n ie v a cuenta, el orden d e los vectores n o es im portante, y se utiliza cualquier com binación. C o m o ilustración, se
usa o tra com binación arbitraria e n este ejem plo, l a resultante es el vector dibujado de la co la del prim er vector,
en el origen, a la p unta del c u a rto vector. En la figura 3.11 se d ustran los diagram as d e los vectores.
2.
M id a la resultante
l a lo n g itu d m edida del vector R es d e 521 in/s. Para definir com pletam ente el vector R tam bién se necesita la d i­
rección. El á n g u lo m ed id o de la horizontal al vector R es de 68*. Por consiguiente, la m anera correcta d e presen­
tir la solución es la siguiente:
R - 521 in /s Á "
f ig u r a x
i l Efecto c o m b in a d o d e los vectores A , B, C y D d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.6.
3.9 SU M A A N A L ÍT IC A DE
V ECTORES ( + > ): M É T O D O
DEL T R IÁ N G U L O
S e u tilizan d o s m é to d o s analíticos p a ra d e te rm in a r el efecto n e to
d e lo s vectores. El p rim e r m é to d o es m e jo r c u a n d o tan so lo se re ­
q u ie re la resultante d e d o s vectores. G i m o c o n el m éto d o gráfico,
los d o s v e c to re s q u e s e v a n a c o m b in a r s e c o lo c a n p u n ta ­
ron-cola. La resultante s e o b tie n e co n ectan d o la co la d el p rim e r
v ector c o n la p u n ta d el se g u n d o vecto r, d e m o d o q u e la resul­
ta n te f o rm a el tercer la d o d e u n triá n g u lo . G eneralm ente, e ste es
i»i triá n g u lo oblicuo, p o r lo q u e se ap lican la s leyes descritas en
b sección 3 .6 2 . La lo n g itu d d el tercer lado y su á n g u lo d e refe­
ren cia s e d e te rm in a n a p lic a n d o la s le y e s d e los se n o s y los
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V ectores
cosenos, c o n la fin alidad d e d e fin ir co m p letam en te el v ector resu ltan te. Este m éto d o se ilustra m ediante u n p ro b lem a d e ejcm p í a P ara d istin g u ir c o n claridad las can tid ad es, los vectores se
51
representan c o n neg ritas (D ), e n tan to q u e la m ag n itu d d el vec» r s e rep re sen ta c o n cursivas n o rm ales (D ).
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3.7
D e t e r m i n e a n a l ít ic a m e n t e l a r e s u lt a n t e d e l o s d o s v e c t o r e s d e a c e l e r a c i ó n q u e s e m u e s t r a n e n l a f ig u r a 3 . 1 2 .
F IG U R A
S O L U C IÓ N :
I.
3.12 V ectores d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.7.
Elabore u n diagram a tre to r io l sim ple
l o s vectores se colocan punta-co n -co b , c o m o se indica e n la figura 3.13. O bserve q u e tan solo se requiere un
¿ a g ra m a sim ple porque la resultante s e determ ina analíticam ente.
R - A
•>■
f ig u r a 3.13
Efecto c o m b in a d o d e lo s vectores A y B
del p ro b le m a d e e jem p lo 3.7.
2.
D eterm ine u n ángulo interno
El á n g u lo e n tre A y la horizontal es d e 20°. Si se revisa la figura 3.13, se advierte q u e el ángulo e n tre los vectores
A y B es:
0 - 20° ♦ 75* - 95°
De m odo que el problem a p a ra determ inar la resu ltan te d e los dos vectores es e n realidad el caso d e un
triángulo general, com o el q u e s e describe en la sección 3
(caso 3).
3.
D eterm ine la m a g n itu d d e la resultante
Al aplicar el procedim iento m o stra d o para u n problem a del caso 3, s e utiliza la ley d e los cosenos para calcular la
m ig n itu d d e la resultante:
R = V A 3 + B2 - 2A B cos6
= V W /s V
4.
+ ( 2 3 f t/s V - 2(46ft/sI)(23ft/s, )|cos95*| = 53.19 ft/s2
D eterm ine la dirección d e la m a g n itu d
Se
u sa la ley d e los senos p a ra calcular el ángulo e n tre los vectores A y R:
'‘ “ “ " { ( I M
I (53.19 ft/s2) sen 95* J
5.
Especifique c o m p le ta m e n te la re su lta n te
S ángulo a p artir d e la horizontal es de 20* + 25-5* = 455 \ l a resultante se escribe correctam ente com o:
R - 53.19 ft/s2 4 5 , 5 \
o bien.
R = 5 3 . 1 9 f t /s 2 / 1 3 4 . 5 *
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52
CAPITULO TRES
vectores n o es im p o rta n te . P o r co n sig u ien te, es irrelevante si se
d b u ja n p rim e ro el v e c to r h o riz o n ta l o el vertical. En b figura
3.14c se ilu stran b s co m p o n en tes d e u n v ector g eneral e n el or­
den o p u e s to
O b serv e q u e b m ag n itu d d e b s c o m p o n e n te s s e c a lc u b d e ­
te rm in a n d o lo s b d o s d e lo s tr iá n g u lo s m o stra d o s e n b fig u ra
3 . 1 4 . Estos triá n g u lo s sie m p re so n triá n g u lo s rectángulos, p o r lo
q u e se p u e d e n u s a r lo s m é to d o s descrito s e n b se cció n 3.3 . Las
d irecciones d e b s co m p o n e n te s se to m a n d e los d ia g ra m a s de
vectores d e b s figuras 3.14b o 3.14c. La n o ta d ó n están d ar c o n ­
i s t e e n definir c o m o positivos los vectores h o rizo n tales dirigidos
h a d a la derecha. D e la m ism a form a, to d o s lo s vectores verticales
¿ r íg id o s h a d a a r rib a se to m a n c o m o positivos. E ntonces, la ditección d e b s co m p o n e n te s s e d e te rm in a a p a r tir d el signo alge­
b raico aso ciad o c o n la c o m p o n en te.
Un m é to d o a lte rn a tiv o p a ra d e te rm in a r b s co m p o n e n te s
rectangulares d e u n v e c to r e s id e n tific a r el ángulo d el v e c to r con
el eje p o sitiv o d e b s x e n u n sistem a c o n v e n d o n a l d e c o o rd e­
n ad as cartesianas. Este á n g u lo se d e n o ta c o m o 0 . L a m ag n itu d
de b s d o s c o m p o n e n te s s e c a lc u b u s a n d o r e b e lo n e s t r ig o ­
n o m étric as básicas com o
3.10 C O M P O N E N T E S
DE UN V ECTO R
E l se g u n d o m é to d o p a r a d e te r m in a r a n a lític a m e n te la re su l­
tan te d e v ecto res es m ás ad ecu a d o p a ra lo s pro b lem as d o n d e se
c o m b in a n m á s d e d o s vectores. E ste m é to d o im p lica la separ a d ó n d e lo s v ectores e n c o m p o n e n te s perpendiculares.
La d esco m p o sició n d e u n v ector es lo inverso d e la co m b in a d ó n d e v ecto res. U n v ector in d iv id u al se p u e d e d esco m p o n er
e n d o s v ecto res se p a ra d o s, a l o la r g o d e d ir e c d o n e s c o n v e ­
n ien tes. Las d o s co m p o n e n te s vectoriales tien en el m ism o efecto
q u e el v e c to r o rig in al.
B i la m ayoría d e las aplicaciones se recom ienda concentrarse
e n u n c o n ju n to d e vectores orien tad o s vertical y horizontalm ente,
de m o d o q u e un p roblem a típico im plica d eterm in ar las c o m p o ­
nentes h orizontal y vertical d e u n vector. El p ro b lem a se resuelve
c o n el m éto d o d e p u n ta-co n -c o la , a u n q u e invertido. P ara explicar
d m étodo, e n la figura 3.14 se ilu stra u n vector cu alq u iera A.
f ig u r a
3 .1 4
A», = A e o s 6 ,
(3.9)
A v = A sen 0,
(3.10)
la im p o rta n c ia d e este m éto d o ra d ic a en el h ech o d e que
b s d ire c c io n e s d e b s c o m p o n e n te s s o n e v id e n te s e n el sig n o
q u e r e s u lta d e la fu n c ió n tr ig o n o m é tr ic a ; es d e c ir, u n v e c ­
to r q u e a p u n ta h a d a el se g u n d o c u a d ra n te d e u n sistem a c o n ­
vencional d e c o o rd e n a d a s cartesian a s tie n e u n á n g u lo 0 „ e n tre
90“ y 180*. El c o se n o d e u n á n g u lo c o m o este d a c o m o result i d o u n v a lo r negativo; y el seno, u n v a lo r p o s itiv a L as ec u a d o n e s (3.9) y (3.10) im p lican q u e b c o m p o n e n te h o riz o n ta l es
n e g a tiv a (es d e c ir, h a c ia b iz q u ie rd a e n u n s is te m a c o n v e n ­
cio n al d e c o o rd e n a d a s c a rte sia n a s), m ie n tra s la c o m p o n e n te
vertical es po sitiv a (es d e d r , h a d a a r rib a e n u n sistem a c o n v e n ­
d o n a l d e c o o rd e n a d a s c a rte sb n a s).
C o m p o n e n te s d e u n vector.
Se d ib u jan d o s vectores c o n la p u n ta d e u n o e n la co la del
o tro , u n o a lo largo d e la vertical y el o t r o a lo largo d e la h o riz o n ­
tal. q u e tienen el efecto n e to d el o rig in a l La cola del vector h o r i­
zontal se coloca e n b cola del original y la p u n ta d el vector v erti­
cal se coloca e n b p u n ta d el v ector originaL En b fig u ra 13.4b se
m u estra esta descom posición d el vector e n s u s com ponentes h o ­
rizontal A* y vertical A ,. R ecuerde q u e el o rd en d e la su m a d e los
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3.8
E n l a f ig u r a 3 .1 5 s e p r e s e n ta u n a tu e r z a
F, d e
3 . 5 k N . D e t e r m i n e l a s c o m p o n e n t e s h o r i z o n t a l y v e r t i c a l d e e s t a fu e r z a
a » n e l m é t o d o a n a l ít ic o d e l t r iá n g u lo .
F IG U R A 3 .1 5 V e c t o r d e t u e r z a d e l p r o b l e m a
S O L U C IÓ N :
1.
d e e j e m p l o 3 .8 .
D ibuje las com ponentes d el vector
l a co m ponente horizontal del vector s e dibuja a p artir d e la cola del vector F . L i co m ponente vertical del vector
se dibuja a p artir del vector horizontal a la p u n ta del vector d e tuerza original. En b figura 3.16 se m uestran b s
dos com ponentes.
FIG U R A 3 .1 6
C om p onentes d e
b
fuerza del problem a d e ejem plo 3 .8 .
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V ectores
2.
53
L ie e l m étodo d el triángulo
Trabajando con el triángulo rectángulo, se escribe una expresión para am b as com ponentes con el uso de Jun­
ciones trigonom étricas:
J C T 3 5 » - catel° °P uesl°
hipotenusa
_
cateto adyacente
eos 35° = -----------hipotenusa
F,
3 3 kN
F»
—
3 3 kN
Am bas expresiones s e despejan e n térm inos de la m agnitud de las com ponentes deseadas:
F„ = (3 3 kN ) eo s 35° = 1 8 7 kN —
= - 2 3 7 kN
F„ - ( 3 3 k N )se n 35* - 1 0 0 k N ¿
- - 2 0 0 kN
3.
L ie el m étodo d el ángulo con e l eje x
Se o btiene u n a solución alternativa usan d o las ecuaciones (3.9) y (3.10). El á n g u lo 9 , d el eje x positivo al vector
F es d e 215*. Las com ponentes se calculan c o m o sigue:
F * - F e o s » , - (3 3 kN ) e o s 215’ - - 2 3 7 kN
= 2 3 7 kN —
F , = F s e n 9 , = ( 3 3 kN ) sen 215* = - 2 0 kN
= 2.0 k N ]
De ig u al m a n e ra , s e s u m a n to d a s la s c o m p o n e n te s vertie n u n a sola c o m p o n e n te v ectorial, la c u a l rep re sen ta el
vertical n e to d el c o n ju n to d e vectores:
3.11 SUM A ANALITICA DE
V ECTO RES ( + > ): M É T O D O
DE C O M PO N E N T E S
Las c o m p o n e n te s d e u n c o n ju n to d e vectores sirv en p a ra d eter­
m in a r el efecto n e to d e los vectores. C o m o s e m e n c io n ó , este
m é to d o es m e jo r c u a n d o se necesita c o m b in a r m ás d e d o s vec­
to res, ad em ás d e q u e im p lica la d esco m p o sició n d e c a d a vector
in d iv id u a l e n s u s c o m p o n e n te s h o riz o n ta le s y v e rtic a le s. En
general, se u sa la c o n v en ció n d el sig n o algebraico p a ra las c o m ­
p o n en tes, c o m o ya s e describió.
L uego se s u m a n to d a s la s c o m p o n e n te s h o rizo n tales p a ra
o b te n e r u n a c o m p o n e n te ú n ic a , la cu al representa el efecto h o r i­
z o n ta l n e to d el c o n ju n to d e vectores. E s im p o rta n te destacar
q u e las m a g n itu d es d e las c o m p o n e n te s se p u e d e n su m a r s in d i ­
ficultad p o r q u e to d as tie n e n la m ism a d irecció n . Estas c o m p o ­
n e n te s se t r a t a n c o m o m a g n itu d e s escalares. S e u s a u n signo
p o sitiv o o u n o n eg ativ o p a ra d e n o ta r el s e n tid o d e la c o m p o ­
n e n te . Este co n cep to se resu m e e n la sig u ien te ecuación:
Rh = Ah + Bh + Ch + O* +
...
(3 .1 1 )
R r= A , + B y -r C y + Dv + . . .
(3.12)
A hora se su m a n v ecto rialm en te las d o s c o m p o n e n te s n e ta s
para o b te n e r la resu ltan te. la s (u n cio n es trig o n o m é tric a s s e u t i ­
lizan p a r a o b te n e r la s ecu ac io n e s siguientes:
R = V R ¿ + R ,2
‘- “ " ( I )
(3.13)
(3.14)
La re su lta n te e s el efecto c o m b in a d o d e la serie co m p leta d e vec­
tores. El p ro c e d im ie n to a n te r io r se a p lic a m á s eficien tem en te
cu an d o lo s cálcu lo s s e o rg a n iz a n e n u n a tab la, c o m o se m u estra
en el p ro b le m a d e e jem p lo siguiente.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .9
Tres fuerzas actúan sobre un gancho, com o se indica e n la figura 3.17. D eterm ine el efecto neto de tales tuerzas con el
m étodo analítico d e com ponentes.
S O L U C IÓ N :
1.
Use el m étodo d el ángulo con e l eje x para d eterm in a r las com ponentes d e la resultante
Se determ inan la s com ponentes horizontal y vertical de cada tuerza por trigonom etría, las cuales s e ilustran e n la
figura 3.18. Tam bién se m uestran los vectores reorganizados del m odo p u n ta-co n -c o k . Las com ponentes están
organizadas e n la tab la 3.1.
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54
CAPITULO TRES
C - 501b
f ig u r a 3.17
F u m a s d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.9.
C = 501b
FIGURA 3.18 C o m p o n e n te s d e los vectores e n el p ro b lem a d e e jem p lo 3.9.
r^'lA B L A 3 .1
C o m p o n e n te s d e lo s v e c to r e s p a r a e l p r o b l e m a d e e je m p lo 3 .9
Ángulo de
referencia 0,
Vector
A
0*
B
45*
C
120*
Componente h(l>)
n , - f co* o .
|
Componente» (Ib)
1, “ F k»i 0,
A* - (30)cos <r - + 30 t>
A , - (30)sen 0° - 0
^ - (20)<« 45* - +14.14 Ib
B , - (20)tcn 45* - +14.14 Ib
q , - (50)coa 120* - - 2 5 Ib
R* - 19.14
C , - (50)sen 120* - +43JO fe
R , - 57.44
Observe e n la figura 3.18 que la su m a d e las m agnitudes de las com ponentes horizontales sigue la trayecto­
ria d e la "distancia” total navegada por los sectores e n la dirección horizontal. Lo m o m o es válido para la sum a
de las m agnitudes d e las com ponentes verticales. Esta es la lógica detrás del m M odo de com ponentes e n la c o m ­
binación d e vectores. En este problem a, las sum as de las com ponentes individuales horizontal y vertical nos dan
h s com ponentes de la resultante com o sigue:
R#, = 19.14 Ib
y
R , = 57.44 Ib
2.
C om bine las com ponentes d e la resultante
l a resultante es la su m a vectorial d e los d o s vectores perpendiculares, com o se m uestra e n la figura 3.19.
f ig u r a 3 1 9
Vector resu ltan te d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.9.
l a m ag n itu d d e la resultante se obtiene con la ecuación (2.13):
R = V R l 4- Rj__________
14 fc)2 + (57.44Ib)2 - 60341b
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V ectores
55
Se calcula el ángulo de la resultante:
—
' O —
•
Por lo tanto, la resultante d e las tres tu e rta s se d efine form alm ente com o
R - 6 0 5 4 Ib / ^ l ó *
3.12 RESTA O SU STRA CCIÓ N
V ECTO RIA L ( - > )
E n a lg u n o s c a so s, s e d e s e a c o n o c e r la d ife re n c ia e n t r e c a n ti­
d ad es vecto riales. En tales situ acio n es, d e b e n restarse lo s v e c ­
to re s . El s ím b o lo - > re p re se n ta la su stra c c ió n d e v ecto res, la
cu al es la d ife re n c ia d e la resta algebraica [ref. 5 ). L a re sta de
v ecto res se re a liz a d e m a n e ra sim ila r a la su m a . D e h e c h o , la
re sta s u m a el v e c to r n e g a tiv o u o p u e s to del v e c to r q u e s e va
a restar. E l n e g a tiv o d e u n v e c to r tie n e la m is m a m a g n itu d ,
p e ro e n d irecció n c o n tra ria . L a fig u ra 3 .2 0 ilustra el v e c to r A y
s u n eg ativ o - > A.
Ya sea q u e se u se el m é to d o g ráfico o el analítico, h a b rá q u e
d ib u ja r u n d ia g ra m a d e los vectores p a ra e n te n d e r el p ro c e d i­
m ien to . C o n sid e re u n p ro b le m a d o n d e el v e c to r B se d e b e restar
d el v ecto r A , c o m o s e in d ica e n la fig u ra 3.21a.
E sta su stra cció n s e efectú a d ib u ja n d o p rim e ro el negativo
del v e c to r B, - > B . Lo a n te r io r s e ilu s tra e n la fig u ra 3.21b.
Luego, el v e c to r - > B se su m a al v ector A, c o m o se in d ic a e n la
fig u ra 3 .2 1 c. La resta s e establece m a tem áticam en te c o m o
I = A - > B = A - > (-> B )
O b serv e q u e la expresión es idén tica a la resta d e cantidades es­
ca la re s c o n los m é to d o s alg eb raico s b ásico s. A sim ism o, se d e ­
sig n a c o m o I el resultado d e la re sta vectorial. La n o ta c ió n R se
reserva n o rm a lm e n te p a ra re p re se n ta r el resu ltad o d e u n a su m a
d e vectores.
La fig u ra 3.2 Id in d ica q u e s e o b tie n e el m ism o resu ltad o de
la resta vectorial c o lo c a n d o el v e c to r B so b re el v e c to r A. pero
c o n o rie n ta c ió n o p u e s ta d e p u n ta a c o la. Este m é to d o suele ser
el p referido, d esp u és d e a d q u irir d e r t a confianza, y a q u e e lim i­
n a la necesidad d e v o lv e r a d ib u ja r el v ector negativo. D e m ane­
r a g e n e ra l, lo s v ecto res s e s u m a n c o n el f o r m a to p u n ta -c o n c o la. m ie n tra s q u e se restan c o n el fo rm a to p u n ta - c o n -p u n ta Se
revisará e ste co n cep to c o n m ás detalle, c o n fo rm e los m é to d o s
in dividuales d e s o lu d ó n se revisen e n los sig u ie n te s pro b lem as
d e ejem plo.
3.13 SU STRA CCIÓ N GRÁFICA
DE V EC TO R ES ( - > )
C o m o s e vio. la resta d e vectores se parece m u c h o a la su m a de
vectores. P ara re sta r vectores g ráficam en te, s e reu b ican p a r a fo r­
m a r d iag ram as vectoriales d e p u n ta - c o n -p u n ta El v e c to r q u e se
b)
f ig u r a j j i
restará d e b e tra ta rse d el m o d o q u e se in d ic ó e n la s e c d ó n 3.12.
D e n u e v a c u e n ta , e l p roceso d e resta d e vectores p u e d e rea­
lizarse gráficam ente c o n técnicas d e d ib u jo m an u al, o b ie n , con
u n s o f tw a r e d e c a d . I n d e p e n d ie n te m e n te d e l m é to d o q u e se
utilice, lo s c o n c e p to s subyacentes so n id én tico s. Los d etalles del
p roceso s e m u e s tra n e n los ejem p lo s siguientes.
e)
Resta d e vectores.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 0
l>Hermine gráficam ente el resultado d e la resta del vector de velocidad B del vector A: J = A - > B .el cu al s e m ues­
tra e n la figura 3.22.
A-
3 2 in&
-
fig u r a
0
20
40
I— I— I— I— I
/
B
- 5 6 Infc
J.22 Vectores del problem a d e ejem plo 3.10.
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56
CAPITULO TRES
S O L U C IÓ N :
1.
C onstruya r í diagram a vectorial
Para o b ten er el resultado, los vectores se ubican e n la fo rm a punta-con-cola, pero con el v ector B j u n t a n d o h a ­
d a el vector A. D e nueva cuenta, esto o cu rre porque el vector B * e stá restando (lo opuesto a la aim a). En la
figura 3 2 3 se presenta el diagram a vectorial.
II W.
«V»*» *
IMR
®
6
2
j
'- - a
.1 = A
.1 = 5 6 . 8
B m tr/w nM r f— «
fJ
FIGURA 3.23 J = A - >
2.
»1R40W
B d d p ro b le m a d e e jem p lo 3.10.
M id a e l resultado
La re su lta n te s e e x tie n d e d e la co la d e A. el o rig en , a la c o la d e B . La lo n g itu d m e d id a d el v e c to r J e s de
56.8 in /s.
También se requiere la dirección p a ra definir com pletam ente el vector |. El á n g u lo d e la horizontal al vector
i es d e 99°. Por l o tanto, la m anera correcta de presentar la solución es com o sigue:
I = 5 6 6 in /s Á \ °
o bien,
I = 5 6 6 in /s 9 9 * \
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 1
D eterm ine gráficam ente el resultado d e I « A - > B - > C -f > D d e lo s vectores d e fuerza q u e se ilu stran e n la
figura 3 2 4 .
3001b
0
I
A = 2 0 0 Ib
C -1 7 8 1 b
fig u r a 3.24
Vectores del problem a d e ejem plo 3 .1 1.
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100
200
1----- 1-----1-----1
V ectores
S O L U C IÓ N :
I.
57
Construya el dia g ra m a v ttto ria l
P ú a d e te rm in a r el resu ltad o d e I = A —> B —> C + > D . los vectores d e b e n reubicaree p u n ta-co n -c o la o
p in ta -c o n -p u n ta . d ep en d ien d o d e si se su m a n o s e restan. Es necesario q u e el v ector B se dibuje a p u n ta n d o h a ­
d a e l secto r A . p o rq u e B se está restando. Algo parecido sucede c o n el vector C . Luego, la cola del secto r D se
coloca sobre la cola de C , porque D se va a sum ar a la serie d e vectores previam ente ensam blados. El diagram a de
la solución sectorial s e m uestra e n la figura 3 2 5 .
FIGURA 3 2 5 R esultado d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.11.
En el polígono sectorial d e la figura 3 2 5 , se observa que los vectores B y C aparecen colocados hacia atrás,
lo cual ocurre e n b resta de vectores.
2.
M ida el m u lta d o
La lo n g itu d del secto r I e s de 365 Ib. El ángulo d e la horizontal al v ector I e s de 81*. P o r lo tanto, la m anera
correcta d e presentar la solución es com o sigue:
I = 365 Ib
Al°
crib ió e n la sección a n te rio r. L uego se u sa n la s leyes d el triá n 31I0 p a r a d e te rm in a r el resu ltad o d e la resta d e vectores. Este
m é to d o g e n e ra l s e ilu s tra a trav és d el sig u ie n te p ro b le m a de
ejem plo.
3.14 RESTA V E C T O R IA L
A N A LÍTICA ( - > ) : M É T O D O
D EL T R IÁ N G U LO
C o m o e n la su m a an a lític a d e vectores, el m éto d o d el triá n g u lo
se a d ap ta m e jo r c u a n d o s e m a n e ja n so la m e n te d o s sectores. Se
d eb erla tra z a r u n d ia g ra m a vectorial u sa n d o la lógica q u e se d es­
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58
CAPITULO TRES
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 2
O te rm in e analíticam ente el resultado de la operación c o n vectores J • A - > B q u e se m uestra e n la figura 3.26.
F IG U R A 3 .2 6
S O L U C IÓ N :
I.
V ectores d e l p ro b le m a d e e jem p lo 3.12.
Dibuje u n diagram a vectorial sim ple
Se colocan los vectores e n u n polígono vectorial, com o se indica e n la figura 3.27. N uevam ente, el vector B se
coloca a p u n ta n d o lu c ia el vector A porque se va a restar. O bserve tam bién q u e se requiere tan solo u n diagram a
a m p ie porque la resultante se determ ina analíticam ente.
F IG U R A
i J 7 R esultado d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.12.
D eterm ine u n ángulo in terio r
Com o el ángulo entre A y la horizontal es d e 15a. el á n g u lo e n tre A y la vertical es d e 75°. O bserve que el ángulo
entre la vertical y A es el m o m o q u e el á n g u lo identificado com o 6 -, por lo tanto, H = 75".
H problem a para d eterm in ar la resultante d e A - > B es en realidad el caso de u n triángulo general, com o
el descrito en la sección 3.6 2 (caso 3).
D eterm ine la m a g n itu d d e la resultante
Al aplicar el procedim iento definido para el problem a del caso 3, se u sa la ley de los cosenos para c a k u h r la m ag­
nitud de la resultante:
1
= Va' +# - 2ABcose
- \ / ( 1 5 fty»2)2 ♦ (1 0 ft/s2)2 - 2(15 ft/s2)(1 0 (t/s2) eo s 75* - 15.73 ft/s2
4.
D eterm in e la directión d e la resultante
Se utiliza la ley d e los senos para calcular el ángulo entre los vectores A y J:
sen
5.
Especifique com pletam ente el resultado
Al exam inar la figura 3 2 7 , se observa que el ángulo q u e hace ) con la horizontal es de 37.9* - 15® - 22.9®. La
solución s e escribe correctam ente com o
I - 15.73 ft/s2
2 2 .9 /
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V ectores
3.15 RESTA V E C T O R IA L A N A LÍTICA ( - > ) :
M ÉTODO DE CO M PO N EN TES
P ara d e te rm in a r el re su lta d o an a lític o d e la re sta d e u n a serie
d e v ectores es m e jo r u tiliz a r el m é to d o d e c o m p o n e n te s, lo cual
se h a c e d e la m ism a f o rm a q u e e n la s u m a d e v ecto res.
C o n sid ere d p ro b le m a g e n e ra l d e la resta d e vectores d efin id o
p o r la sig u ien te ecuación:
I = A + > B - > C + > D + > ...
Se d e te r m in a n la s c o m p o n e n te s h o r iz o n ta l y v e rtic a l d e cada
v e c to r (c o m o e n la se cció n 3.10). T a m b ié n s e re q u ie re ap licar
u n a co n v en ció n d e s ig n o s p a r a d e n o ta r d se n tid o d e las c o m p o ­
n en tes. La convención q u e se u tiliz a e n la sección 3.1 0 designaba
las c o m p o n e n te s q u e a p u n ta b a n hacia a r rib a o hacia la derecha
c o n u n sig n o alg eb raico p o sitiv a
59
P uesto q u e se t r a t a d e m a g n itu d e s escalares, la s c o m p o ­
nentes in dividuales se c o m b in a n alg eb raicam en te al su m a rse o
restarse. Para el problem a general d efin id o aquí, las com ponentes
vertical y horizontal d e la resu ltan te se escriben c o m a
A* + Bf, -
Q , + Df, +
...
7V = A v + B r -
C v + Dv +
...
Ih -
O bserve q u e la s c o m p o n e n te s d e C s e restan d e to d a s la s dem ás
c o m p o n e n te s , lo c u a l es c o n s is te n te c o n la r e s ta desead a d el
vector. E ntonces, c o n la s ecu ac io n e s (3 .1 3 ) y (3 .1 4 ), se c o m b i­
n a n v e c to ria lm e n te las d o s c o m p o n e n te s re s u lta n te s e n u n a
sola resu ltan te, q u e es re su lta d o d e la m a n ip u la c ió n v ecto rial
d e la se rie d e v e c to re s c o m p le ta . D e n u e v a cu e n ta , e l p ro c e ­
d im ie n to s e p u e d e ap licar m ás eficien tem en te c u a n d o lo s cálcu ­
los s e o rg a n iz a n e n u n a tab la.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 3
Determ ine analíticam ente el resultado d e J = A —> B + > C + > D para los vectores d e velocidad m ostrados e n la
figura 3 2 8 .
C - 8 ft/s
A
= 6 ffs
í
FIGURA 3 2 8 Fuerzas d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.13.
S O L U C IÓ N :
Elabore u n diagram a vectorial ¡a trillo
I.
l a s com ponentes horizontal y vertical d e cada velocidad s e determ inan aplicando las ecuaciones trigonom étri­
cas (3.9) y (3.10), q u e son las q u e se m uestran e n la figura 3 2 9 . T am bién se m uestran todos los vectores reubicados e n u n a sola serie: punta-con-cola para la su m a y cola-con -punta para la resta.
FIGURA 329 R esultado d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.13.
l i e e l m étodo d el ángulo con e l efe x para d eterm in a r las com ponentes
Los valores de las com ponentes se listan e n la tabla 3 2 .
F T A B L A 3.2 V alores d e lo s c o m p o n e n te s p a r a e l p r o b le m a d e c jm p lo 3 .1 3
1
r ------------------Angulo de
Componente h (ft/s)
Componente v(ft/a)
Vector
referencia 0,
Vfc - V CO40,
V ,m V m n í,
A
300*
*3.00
B
195*
-U 3 9
- 3 .1 !
c
D
«5*
330*
+5.66
♦8.66
♦ 536
-5 .0 0
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-5.19
60
CAPITULO TRES
3.
D eterm ine las com ponentes d e la solución
l a m anipulación algebraica de las com pooentes vertical y horizontal proporciona las com ponentes d e la resul­
tante:
K = A h ~ B* + Q + D*
= (+ 3 .0 ) - ( —1139) + ( + 5 3 6 ) + ( + 8 3 6 ) = + 28.91 ft/s
lrm A . - B , + Cy+D,
- ( - 5 .1 9 ) - ( - 3 .1 1 ) ♦ ( + 5 3 6 ) + ( - 5 0 0 ) - - 1 .4 2 ft/s
4.
C om bine las com ponentes d e la solución
La m a g n itu d y la direcció n d e la re su lta n te se d e te rm in a n su m a n d o vccto rialm cn te las co m p o n en tes
(figura 3 3 0 ).
j
f ig u r a X30
— -r
Vector re su lta n te d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.13.
l a m ag n itu d d e la solución se determ ina con la ecuación (3.13):
______________
-
V (28.91 ft/s )J + ( - 1 .4 2 ft/s)* - 28.94 ft/s
B ángulo de la solución s e calcula a p artir d e la fo n d ó n tangente:
'* '
" “ - ‘( s S T K í ) * - 2'8'
Por lo tanto, la solución s e establece form alm ente com o
I = 28.94 f t/s \? .S r
3.16 EC U A C IO N ES V EC TO R IA LES
se replantea com o:
C o m o s e v io en la s e c d ó n 3.8, las o p e r a d o n e s v e c to ria le s se
p u e d e n e x p re sa r e n fo rm a d e e c u a a o n e s . La e x p re sió n p a ra
re sta r d o s v ecto res, I ■ A - > B, es e n realid ad u n a ecuación
vectorial. L as ecu ac io n e s vectoriales se u tilizan d e fo rm a sim ilar
a las ecu acio n es algebraicas. Los té rm in o s se p o d ría n in te rc a m ­
b ia r d e la d o d e la igualdad m odifican d o s u s signos. P o r ejem plo,
la ecuación
S e h a visto la im p o rta n c ia d e las ecuaciones vectoriales c o n las
o p eracio n es d e s u m a y resta d e vectores. En la su m a vectorial,
los v ecto res se u bican p u n ta -c o n -c o la , e n ta n to q u e la resultante
es u n v e c to r q u e se e x tie n d e d e s d e el o rig e n del p rim e r v ector
h a s ta la p u n ta d el v e c to r fin al. I d fig u ra 3 .3 1 a ilu s tra el d ia ­
g ra m a vectorial d e l o siguiente:
A+ > B = C +> D
A + > B —> C = D
R = A +>B
a)
A «-> ■ *> C ’ ■
fig u r a
b)
■ ♦ > € -■ -> A
d
A * > C --> B * > «
331 Ecuadones vectoriales.
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+>C
V ectores
La ecu ació n se rep lantea com o:
61
a lte r a r s u significado. La e c u a d ó n p u e d e re p la n te a rse u n a ve?
m ás c o m o (fig u ra 3 J le):
B + > C = R —> A
El d ia g ra m a v e c to ria l m o stra d o e n la fig u ra 3.31b ilu s tra esta
fo rm a d e la ecuación. O bserve q u e c o m o el v ector A se resta del
vector R. el v ecto r A debe a p u n ta r h a d a R . R ecuerde q u e este es
el m éto d o o p u e sto al d e punta-con-coia. ya q u e la resta es opuesta
a l a sum a.
O bserve q u e c o m o el d ia g ra m a fo rm a u n p o líg o n o cerrado,
b m a g n itu d y la d ir e c d ó n d e to d o s lo s v ecto res s e m an tien en
iguales. Esto v alida q u e las ecuaciones vectoriales se u tilicen sin
-> B +> R = A+ > C
C o m o s e ilu s tr ó e n la fig u ra 3 .3 1 , u n a ecu a c ió n v ecto rial se
p u e d e re p lan tear d e v arias m a n e ra s diferentes. Si bien lo s políg o n o s vectoriales creados p o r la s e c u a d o n e s tien en fo rm a s dis­
tin ta s, los vectores in d iv id u ales p e rm a n e c e n s in m o d ific a d ó n .
C o n este p r in d p io , es p o sib le escrib ir u n a e c u a d ó n v ecto rial
p a ra d escrib ir u n d ia g ra m a vectorial.
P R O B L E M A DF. E JE M P L O 3 .1 4
Escriba una e c u a d ó n vectorial para el arreg lo d e los vectores m o strad o e n la figura 3 J 2 .
fig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
3 J 2 D iag ram a vectorial del p ro b le m a d e e jem p lo 3.14.
B crib a u n a ecuación para seguirlas dos trayectorias d e O, a P,
Utilice el p u n to O] com o el origen de la e c u a d ó n vectorial y siga las trayectorias a l p u n to P |¡
La trayectoria su p erio r establece:
A+>B + > C + > D
La trayectoria inferior establece:
E + > F
G im o in ician y term inan e n u n p u n to c o m ú n , am bas trayectorias d eb en ser vectorialm ente iguales. Por
consiguiente, la ecuación se escribe com o:
0 ,P , ■ A + > B ♦ > C + > D ■ E f > F
2.
B crib a u n a ecuación para seguir las dos trayectorias d e O ¡ a P,
Se puede escribir o tra ecu ad ó n usan d o el p u n to 0> com o el origen y siguiendo las trayectorias al p u n to P,:
La trayectoria superior establece:
C+ > D
La trayectoria inferior establece:
-> B -> A + > E + > F
d e m o d o q u e b e c u a d ó n se escribe c o m o sigue:
O jP , - C + > D - - > A - > B »
O bserve q u e estas so n d o s form as d e la m ism a ecuación.
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E +> F
62
CAPITULO TRES
P R O B L E M A DE E JE M P L O 3 .1 5
Escríba u n a ecuación vectorial para el arreglo de vectores m ostrado e n la figura 3 5 3 . Luego, replantee la ecuación
para elim inar los term ino» negativos y elabore el diagram a vectorial correspondiente.
f ig u r a X
S O L U C IÓ N :
I.
» D iag ram a vectorial d el p ro b lem a d e e je m p lo 3.15.
B e rib a u n a ecuación para te p iir la id o s trayectorias d e O a P
Utilice el p u n to O com o el origen d e la ecuación vectorial y sigi las trayectorias al p u n to P.
La trayectoria su p e rio r establece:
A -> B +> C -> D
La trayectoria inferior establece:
->
E +> F
Por lo tanto, se escribe una ecuación com o
O P = A —> B + > C - > D = - > E + > P
2.
Replantee la ecuación
Para elim inar los térm inos negativos, los vectores B, D y E se deben trasladar a s u s respectivos lad o s opuestos de
h ecuación. Esto genera la siguiente ecuación:
A +> C +> E ■ H f> » + > F
Observe que el o rd en d e la su m a n o tien e im portancia. En la figura 3 5 4 se m u estra un n u ev o arreglo d e los
vectores.
Es necesario ad q u irir fam iliaridad c o n Las ecuaciones vectoriales conform e se u sa n extensivam ente e n el análisis
de m ecanism os. Por ejem plo, la obtención de k» aceleración en m ecanism os sim ples im plica ecuaciones vectoriales
con seis o m ás vectores.
f ig u r a 3 5 4
D iag ram a rep lan tead o d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.15.
3.17 A PLIC A C IÓ N DE ECUACIONES
V EC TO RIA LES
C a d a v e c to r d e u n a e c u a c ió n rep re sen ta d o s ca n tid a d e s: una
m ag n itu d y u n a d irecció n . P o r consiguiente, u n a ecu ació n vec­
to ria l tie n e realm en te d o s restricciones: la c o m b in a c ió n d e las
m a g n itu d e s vectoriales y la s d ireccio n es d e b e s e r eq u iv alen te.
R>r ello , u n a ecu ació n vectorial se u tiliz a p a ra resolver d o s i n ­
cógnitas. En lo s p ro b le m a s d e s u m a y resta e stu d ia d o s a n te rio r­
m e n te, se d e te rm in a b a n la m a g n itu d y la direcció n d e la resul­
tante.
U n a situ ac ió n c o m ú n e n el análisis d e m ecan ism o s im p lica
d e te rm in a r la m a g n itu d d e d o s vectores c u a n d o se co n o ce la d i­
rección d e to d o s lo s vectores. C o m o e n la s u m a d e vectores, este
p ro b lem a ta m b ié n c o n tie n e d o s in có g n itas, d e m o d o q u e una
ecu ació n vectorial e s su ficien te p a ra e fectu ar el análisis.
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V ectores
3.18 D E T E R M IN A C IÓ N G R Á FIC A DE
M A G N ITU D E S V ECTO R IA LES
E n p ro b le m a s d o n d e hay q u e d e te rm in a r la m a g n itu d d e d o s
vectores, la ecu ació n s e d e b e ria p la n te a r d e m o d o q u e u n o de
lo s v ecto res d esco n o cid o s se a el ú ltim o té rm in o e n c ad a lado
d e la e c u a c ió n . P a ra ilu s tr a r este p u n to , c o n s id e re el caso en
q u e s e d e b e n calcu lar las m a g n itu d e s d e lo s vectores A y B. La
ecu a c ió n vectorial es la siguiente:
A +> B +> C = D +> E
la cu al s e rep lan tea c o m o
C + > B = D +>E
-
> A
O bserve q u e lo s v ectores A y B, c o n m a g n itu d es desconocidas,
so n lo s ú ltim o s té rm in o s e n a m b o s lad o s d e la ecuación.
63
Para resolver g ráfica m e n te e ste p ro b le m a , se sa b e q u e los
vectores e n cada la d o d e la ecu ació n se colocan p u n ta-co n -c o la
(o p u n ta-co n -p u n ta. si lo s vectores se restan) p artien d o d e u n orí
y n co m ú n . Desde lu eg o , am bos lados d e la ecu ació n d e b e n ter­
m in a r e n el m ism o p u n t a f t » l o t a n t a Hay q u e in se rtar las lineas
e n la d ire c c ió n ad ecu ad a e n el p o lígono vectorial. La intersección
d e las d a s lineas representa la igualdad d e la ecuación que rige y
resuelve el problem a. Las lineas se m id e n c o n la escala co rre sp o n ­
d ien te p a r a d e te rm in a r las m ag n itu d es d e los vectores desconoci­
dos. T am bién se descu b re el se n tid o d el vector desconocido.
Este p ro c e so p a r a d e te rm in a r las m a g n itu d es vectoriales se
p u e d e realizar d e m a n e ra gráfica: p a ra e l l a habrá q u e u s a r té c n i­
c a s m a n u a le s d e d ib u jo o u n so ftw a re d e CAD. In d e p e n d ie n ­
te m e n te d el m é to d o q u e se u tilice, la e strateg ia su b y a cen te e s
idéntica. La estrategia d e solución se explica m ediante pro b lem as
d e e je m p la
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 6
Se escribe u n a ecuación vectorial com o
A+> B +>C = D +> E
Se conocen las direcciones d e los vectores A. B, C . D y E. asi c o m o las m agnitudes de los vectores B . C y D (figura 3.35).
Determ ine gráficamente las m agnitudes d e los vectores A y E.
E r a la :
I- 100 Inés2
D
C - 124 InA7
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
* 150 Inte*
0
I-
50 100
♦ ■> -I
Irv's*
\
3J 5 V ectores d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.16.
Reptanter las ecuaciones vectoriales
Prim ero, la ecuación se replantea d e m o d o que las m agnitudes desconocidas aparezcan com o el ú ltim o térm ino
en c ad a lado de la ecuación:
B +-> C + > A = D +-> E
2.
Coloque en el diagram a todos los sectores com pletam ente conocidos
Usando el p u n to O com o origen com ún, s e d ib u jan los vectores B y C com o punta-con-cola. C om o s e encuentra
del o tro la d o d e la ecuación, el vector D se deberia d ib u ja r a p artir del o rig en (figura 3.36a).
Dirección A-
FIG U R A
A
3.36 Diagramas vectoriales del problem a d e ejem plo 3.16.
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64
CAPITULO TRES
f i g u r a 3 J 6 {Continuación).
3.
Ubique lineas d e dirección para los vectores desconocidos
B id en tem en te , los vectores A y E cierran el hueco e n tre el final de los vectores C y D . Se coloca u n a lin ea que
representa la dirección del vector A a i la p u n ta d e C . E sto está definido por el lado izquierdo de la ecuación sec­
torial. Asimismo, s e coloca u n a lin ca q u e representa la dirección del vector E en la p u n ta d e D (figura 3 3 6 b ).
4.
Brearte los vectores desconocidos e n la intersección y m ida
0 punto de interjección d e las dos lineas define tanto h m agnitud com o el se n tid o d e los vectores A y F- S e dibuja
un polígono vectorial com pleto, c o m o establece la ecu ació n vectorial (figura 3 J 6 c).
Al m edir los vectores A y E se obtienen los resultados siguientes:
A * 160 in/s2 -*
E - 306 in/s2?
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 7
L ha ecu ació n vectorial se escribe com o sigue:
A + > B - > C +•> D ■ E + > F
Se conocen las d irecciones d e los vectores A, B , C . D, F. y F. asi com o las m ag n itu d es d e los vectores B, C , F. y F,
co m o se m uestra e n la figura 3 3 7 . O btenga gráficam ente las m agnitudes de los vectores A y D.
F -1 0 0 in*2
B cab:
0
50
100
F > ■* ♦ 1
Ws2
FIG URA J J 7 V e c t o r e s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 3 . 1 7 .
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V ectores
S O L U C IÓ N :
I.
65
Krplantee la ecuación vectorial
Se replantea prim ero la ecuación, de m o d o q u e las m agnitudes desconocidas aparezcan com o el ú ltim o térm ino
en cada u n o d e los lados de la ecuación:
B-> C +> A - E +> P -> D
2.
Coloque lo t vectores com pletam ente conocidos en e l diagram a
Usando el p u n to O com o origen c o m ú n , se d ib u jan pun ta-co n -p u n ta los vectores B y C ( porque C se resta].
C om o se en cu en tran del otro lado d e la ecuación, los vectores E y F se colocan punta-con-cola partiendo del o ri­
gen (figura 338a).
a)
fig u r a
3.
«
335 D iag ram as vectoriales d el p ro b le m a d e e jem p lo 3.17.
Coloque las lineas direcáonales d e los vectores desconocidos
C om o e n d ejem plo del problem a 3.16, los vectores A y D «bben cerrar el hueco entre los extrem os d e los vec­
to res C y F . S e coloca u n a lín ea q u e representa la direcció n d el v ector A en la p u n ta d e C . Lo a n te rio r está
definido por d lado izquierdo de la ecuación vectorial De igual m anera, se coloca u n a línea q u e representa la d i­
rección del vector D en la p u n ta de F (figura 3 3 8 b ).
4.
Recorte los vectores desconocidos e n la intersección y m id a
0 p u n to d e intersección d e las dos lineas d efine tan to ki m agnitud c o m o el sentido de los vectores A y D . Se elige
d se n tid o d e D en u n a dirección que sea consistente con su resta del lado derecho de la ecuación. Se dibuja el
polígono vectorial com pleto, com o lo determ ina la ecuación vectorial (figura 3 3 8 c).
Al m edir los vectores A y D se obtienen los siguientes resultados:
A = 30 in/s2 1
0 - 6 8 in/»2 6 p \
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66
CAPITULO TRES
3.19 D E T E R M IN A C IÓ N A N A LÍTICA D E LAS
M A G N IT U D E S V EC TO R IA LES
T am bién s e u tiliza u n m é to d o analítico p a r a d eterm in ar la m ag­
n itu d d e d o s vectores e n u n a ecu ació n . E n tales casos, se d eb en
d e te r m in a r las co m p o n e n te s v ertical y h o riz o n ta l d e to d o s lo s
vectores, c o m o se in d ica e n la sección 3.10. L as com ponentes d e
lo s vectores desco n o cid os se p u e d e n escribir e n térm in o s d e i n ­
có g n itas. C o m o e n lo s m é to d o s d e co m p o n e n te s an terio res, se
d e b e a d o p ta r u n a convención d e sig n o s algebraicos al calcu lar las
c o m p o n en tes, d e m o d o q u e , e n este p u n to , se ad q u iere u n s e n ­
tid o a rb itra rio d e lo s v ectores desconocidos.
Las c o m p o n e n te s h o riz o n ta le s d e lo s vectores se tie n e n que
a p e g a r a la e c u a d ó n v e c to ria l o rig in a l. D e l m ism o m o d o , las
co m p o n en tes verticales se d e b e ría n apegar a la e c u a d ó n vecto­
rial. Asi, se fo rm a n d o s ecu ac io n e s algebraicas y s e tien en que
d e te rm in a r d o s m a g n itu d e s d e s c o n o c id a s. A l reso lv er las d o s
ecu ac io n e s sim u ltá n e a s s e o b tie n e n lo s re su lta d o s deseados.
C u a n d o u n a d e la s m a g n itu d e s d e te rm in a d a s tie n e u n sig n o
neg ativ o , in d ic a q u e e l s e n tid o s u p u e s to d el v e c to r fu e in c o ­
rrecto. Ifor l o ta n to , la m a g n itu d calculada y el se n tid o o p u e sto
d efin en co m p letam en te el v e c to r d esco n o d d o .
Este m éto d o se ilu s tra e n el sig u ien te p ro b le m a d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 3 .1 8
L ha ecu ació n vectorial es com o sigue:
A + > B —> C + > D = E + > F
Se conocen h s direcciones d e los vectores A, B , C , Dk E y F, así com o las magnitudes de los vectores B, C . E y F , c o m o se
m uestra e n la figura 3 3 9 . Determ ine analíticam ente las m agnitudes d e los vectores A y D.
I
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
3.39 V ectores d el p ro b lem a d e e jem p lo 3.18.
Utilice el m étodo d el ángulo con el eje x p a ra d eterm inar las com ponentes vectoriales
Las com ponentes horizontal y vertical de cada foerza se determ inan c o n trigonom etría. Para los vectores des­
conocidos. se su p o n e el sentido, m ientras las com ponentes s e determ inan e n c u a n to a las incógnitas. Para este
ejemplo, suponga q u e el vector A a p u n ta hacia arriba y el vector D hacia abajo a la derecha. Las com ponentes se
h d u y e n e n la tabla 3 3 .
[
r
2.
tabla
3.3
C o m p o n e n te s v e c to r ia le s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 3 .1 8
Vector
Angulo de
referencia 0,
A
W
Componente Alta'»1)
*, = a c o te .
0
B
60*
•*0X1
c
133*
-4 2 .4
D
300*
E
30*
P
180*
Componente r(ln/*, >
a , - a se n e.
+A
+112.6
+ 4 2 .4
+ 300D
+ 1733
- .8 6 6 D
+100
-to o
0
ililic e las ecuaciones vectoriales para o b ten er las m a g n itu d es desconocidas
Se u sa n las co m p o n en tes p a ra g en erar las ecuaciones algebraicas que se d ed u cen d e la ecuación vectorial o ri­
ginal.
A + > B - > C + > l> = E + > F
com ponentes horizontales:
+ Bk -
Q i +
D i, -
E» +
Fi
(0) + (+ 6 5 .0 ) - ( - 4 2 .4 ) + ( + 0 3 0 0 D ) = (+ 173.2) + (-100X1)
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67
A , ♦ Br - Cr + D , - E , * F,
(+ A ) + (+ 112.6) - (42.4) + (-0 .8 6 6 D ) = ( + 100.0) + (0)
En este caso, b ecuación de la com ponente horizontal se despeja para obtener D. En general, am bas ecua­
ciones están acopladas y necesitan resolverse sim ultáneam ente. En este ejem plo, b ecuación d e la com ponente
horizontal se despejó para o b ten er lo siguiente:
D = -6 8 .4 in/s2
Se sustituye este valor de D e n la ecuación de la com ponente vertical para o b ten er
A 3.
-2 9 .4 in /s2
Especificar com pletam ente los sectores calculados
C o m o am bos valores so n negativos, la s direcciones originales supuestas d e los vectores desconocidos fueron
incorrectas. P o r lo tanto, los resultados correctos son
A -
29.4 in/»2!
D - 68.4 in/s2 60 \
PROBLEM AS
A un c u a n d o las té cn icas m an u ales d e d ib u jo e n los p ro b le m a s
q u e re q u ie re n so lu c ió n g rá fic a s o n d id á c tic a s, se reco m ien d a
am p lia m e n te el u so d e u n p a q u e te d e c a d .
T r a b a jo c o n t r iá n g u lo s
3 -1 . D e te rm in e a n a líticam en te el á n g u lo 0 d e la fig u ra P3.1.
f ig u r a
P3.5 P roblem a 5.
FIGURA P3.I P ro b le m a s 1 y 2.
3 -2 . D eterm in e a n a líticam en te la lo n g itu d d el la d o A d e la
figura P 3 .I.
3 - 6 . D e te rm in e e l á n g u lo p y la lo n g itu d s d e lo s d o s esb b o n e s d e s o p o rte id én tico s d e la fig u ra P 3.6, cu an d o
X ” 150 m m y y “ 275 m m .
3 -3 . D e te rm in e a n a lític a m e n te la lo n g itu d d el la d o X de
b fig u ra P3.3.
3 -4 . C alcu le el á n g u lo 9 y la h ip o te n u sa R d é l a fig u ra P3.3.
3 -5 . C a lc u le el á n g u lo 9 y la h ip o te n u s a R d e to d o s los
trián g u lo s d e la fig u ra P3.5.
f ig u r a
P3.3 Problem as 3 y 4.
3 -7 . D eterm in e la d ista n c ia x y la lo n g itu d » d e lo s d o s es­
labones d e s o p o rte id én tico s d e la fig u ra P3.6. cu an d o
P = 3 5 ° y y = 16 in.
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68
CAPITULO TRES
3 -8 . I \u a el anaquel plegadizo d e la fig u ra P 3.6, c o n p = 35"
y * = 10 in . d e te rm in e la s d istan c ia s * y y.
3 -9 . U n a m a rq u esin a q u e tie n e u n m o n ta je d e 8 p o r 12 se
in clin a h a d a a r r ib a 8 in v erticales, p o r c ad a 12 i n d e
d is ta n d a h o riz o n ta l. D e te rm in e el á n g u lo c o n la ho riro n ta l d e e sta m arquesina.
3 -1 0 . to r a la v e n ta n a g ira to ria d e la fig u ra P 3 .10, d e term in e
Li lo n g itu d í de los d o s eslabones d e so p o rte idénticos,
c u a n d o x = 8 5 0 m m , d = 5 0 0 m m y p = 35".
f ig u r a
P3.U P ro b le m a s 14 y 15.
3 -1 5 . P ira b escalera m o stra d a e n la fig u ra P 3.14, d e term in e
el á n g u lo q u e fo rm a c o n el suelo. La escalera tie n e 7 m
d e b r g o y descan sa so b re el su e lo a 2 m d e b pared.
3 -1 6 . P ara b tra n s p o r ta d o ra a g r íc o b m o stra d a e n la figura
P 3 .16, d e te rm in e la lo n g itu d re q u e rid a d e la varilla de
« p o r t e . El á n g u lo P es ig u al a 28" y las distancias so n
x = 20 ft y d = 16 ft. D eterm in e ta m b ié n b a ltu r a ver­
tical d el e x tre m o d e b tra n s p o rta d o ra si L = 2 5 ft.
f ig u r a p j .
10
Problem as
10 y 11.
3 -1 1 . P ara la v e n ta n a g ira to ria d e la fig u ra P 3 .10, d e term in e
el á n g u lo p c u a n d o x ■ 2 4 in , d - 16 in y s - 7 in.
3 -1 2 . Si la a ltu ra h del cam ión m o stra d o e n la fig u ra P 3.12es
d e 52 in , d e te rm in e la lo n g itu d necesaria d e la ra m p a
p i r a m a n te n e r u n á n g u lo P = 30°.
3 -1 7 . P ir a b tra n s p o r ta d o ra a g r ic o b m o stra d a e n b fig u ra
P 3 .16, d e te rm in e el á n g u lo P si s e re q u ie re u n a altu ra
v ertical d e 8 m e n e l e x tre m o d e la tra n s p o r ta d o ra y
x ■ 8 m , á « 10 m y L ■ 13 m.
3 -1 8. D eterm in e la a ltu r a v ertical d el cesto d e b fig u ra P 3 .18
cu an d o a = 24 in , i» = 36 in , c = 30 in , d = 60 in , e = 6 ft
y / = 10 ft.
f ig u r a
P J .1 2 P r o b l e m a s 1 2 y 1 3 .
3 -1 3 . Para la ra m p a m o s tra d a e n la fig u ra P3.12, d e term in e
el á n g u lo p q u e f o rm a c o n el su e lo . La a l tu r a d el
ca m ió n es d e 1.5 m , e n ta n to q u e la ra m p a m id e 4 m d e
b rg o .
3 -1 4 . La lo n g itu d d e la escalera m o stra d a e n b fig u ra P3.14
es d e 12 ft y el á n g u lo p q u e hace c o n el su e lo es d e 70°.
D eterm in e b d is ta n d a v e rtic a l so b re b p a re d , d o n d e
d escan sa la e scalera
f i g u r a P 3 .I 8
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Problemas 18 y 19.
3 -1 9 . Para el m o n tacarg as descrito e n el p ro b le m a 3 -1 8 , d e ­
te rm in e la a ltu ra v ertical d el cesto c u a n d o el c ilin d ro
h idráulico se a c o r ta a 5 0 in.
S u m a g r á f i c a d e v e c to r e s
3 -2 0 . to r a lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.20, d eter­
m in e g ráfica m e n te la re su lta n te R = A 4 > B.
tó- V
, D - 40
A = 50
B - 75
fócala:
0
50
H —H F IG U R A 1*3.24
fócab;
0
5
10
l - f -4 -4 - 1
y
C = 100
P ro b le m a s 2 4 .3 0 ,4 6 .4 7 , 5 4 , 5 5 .
3 -2 5 . Para los vectores m ostrados e n la fig u ra P3.25, determ ine
g ráficam en te la resu ltan te R = A + > B + > C + >
D +>Es
= 15
\30'
A - 10
F IG U R A P 3 .2 0
P roblem as 2 0 .
A - 40
2 6 ,3 2 ,3 3 .3 8 ,3 9 .
3 -2 1 . to r a lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.21, d e te r­
m in e g ráfica m e n te la re su lta n te R = A 4 > B.
fócala:
0
1
2
I--------1------ 1
fócala:
0
30
1 1 * 1
f ig u r a
C = 30
P 3 J5 P ro b le m a s 2 5 .3 1 ,4 8 ,4 9 ,5 6 ,5 7 .
B -3
S u m a v e c to r ia l a n a lí t ic a
J0 ^
F IG U R A P 3 .21
P roblem as
3 -2 6 . to r a los v ecto res m o s tra d o s e n la fig u ra P3.20, d e te r­
m in e a n a líticam en te la resu ltan te R = A + > B .
2 1 ,2 7 ,3 4 .3 5 .4 0 .4 1 .
3 -2 7 . t o r a los v ecto res m o s tra d o s e n la fig u ra P3.21, d e te r­
m in e a n a líticam en te la re su lta n te R = A + > B .
3 -2 2 . to r a lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.22, d eter­
m in e g ráfica m e n te la re su lta n te R = A + > B .
Escala:
0
50
A =150
f ig u r a
P J .2 2
3 -2 8 . t o r a lo s v ecto res m o s tra d o s e n la fig u ra P3.22, d e te r­
m in e a n a líticam en te la re su lta n te R = A + > B .
3 -2 9 . P ú a los vectores m ostrados e n la figura P 3 2 3 , determ ine
analíticam ente la resultante R = A + > B + > C
100
1-150
P ro b le m a s 2 2 ,2 8 , 3 6 , 3 7 , 4 2 , 4 3 .
3 -2 3 . to r a lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.23, d eter­
m in e g ráficam en te la resultante R = A 4 > B 4 > C .
3 -3 0 . t o r a los v ecto res m o s tra d o s e n la fig u ra P3.24, d e te r­
m in e a n a lític a m e n te la re su lta n te R = A + > B 4 >
C 4 > D.
3 -3 1 . t o r a lo s v ecto res m o s tra d o s e n la fig u ra P3.25. d e te r ­
m in e a n a líticam en te la re su lta n te R = A 4 > B 4 >
C 4 > D + > E.
R e s ta g r á f i c a d e v e c to r e s
3 -3 2 . to r a lo s v ecto res m o s tra d o s en la fig u ra P3.20, d eter
m in e gráficam en te el v e c to r J =• A - > B .
3 -3 3 . to r a los v ecto res m o s tra d o s en la fig u ra P3.20, d e te r m in e g ráficam en te el v e c to r K = B - > A.
fócala:
0
5
10
1 I ♦ >1
FIG U R A P 3 .2 S
P roblem as 2 3 , 2 9 , 4 4 . 4 5 .5 2 ,5 3 .
3-24. Para lo s vectores m ostrados e n la fig u ra P 3.24, determ ine
gráficam ente la resultante R = A 4 > B 4 > C 4 > D.
3 -3 4 . t o r a lo s v ecto res m o s tra d o s en la fig u ra P 3.21, d e te rm in e g ráficam en te el v e c to r J - : A —> B.
3 -3 5 . t o r a lo s v ecto res m o s tra d o s en la fig u ra P3.21, d e te rm in e g ráficam en te el v e c to r K = B - > A .
3 -3 6 . P ara lo s v ecto res m o s tra d o s en la fig u ra P3.22, d eter
m in e g ráficam en te el v e c to r J == A —> B .
3 -3 7 . to r a los v ecto res m o s tra d o s e i la fig u ra P3.22, d e te rm in e g ráficam en te el v e c to r K = B - > A.
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70
CAPITULO TRES
R e s ta v e c t o r i a l a n a l í t i c a
3 -3 8 . P ira lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.20, d e te r­
m in e a n a líticam en te el v e c to r J = A - > B .
3 -3 9 . R ira lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P3.20, d e te r­
m in e a n a líticam en te el v e c to r K = B - > A .
3 -4 0 . Para lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P 3.21, d e te r­
m in e a n a líticam en te el v e c to r J = A - > B .
3 -4 1 . R ira lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P3.21, d e te r­
m in e a n a líticam en te el v e c to r K = B - > A .
3 -4 2 . R ira lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P3.22, d e te r­
m in e a n a líticam en te el v e c to r J = A - > B .
3 -4 3 . f t r a lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P3.22, d e te r­
m in e a n a líticam en te d v e c to r K = B - > A .
3 -5 3 . I b r a los v ecto res m o stra d o s e n b fig u ra P 3.23, d eter­
m in e a n a líticam en te d v e c to r K = B - > A - > C .
3 -5 4 . Para lo s vectores m ostrados e n b figura P 3 2 4 , determ ine
an alític a m e n te d v ector J = C + > A - > B + > D.
E c u a c io n e s v e c to r ia le s g e n e r a le s ( g rá f ic a s )
3 -4 4 . P ara lo s v ectores m o s tra d o s e n b fig u ra P3.23. d e te r­
m in e g ráficam en te el v e c to r J = C + > A - > B .
3 -5 5 . Para lo s vectores m ostrados e n b figura P 3 2 4 . determ ine
analíticam ente d v ector K = B - > D + > A - > C .
3 -4 5 . R ira lo s v ectores m o s tra d o s e n la fig u ra P3.23. d e te r­
m in e g ráficam en te el v e c to r K = B - > A - > C .
3 -5 6 . P ara lo s v ecto res m o s tra d o s e n b fig u ra P 3 .2 5 , d e ­
te r m in e a n a lític a m e n te d v e c to r J = C + > A - >
B + > D - > E.
3 -4 6 . Para lo s vectores m ostrados e n b figura P 3 2 4 , d eterm i­
n e g ráfica m e n te el v e c to r I = C + > A - > B + > D .
3 -4 7 . f ó r a lo s v ectores m o s tra d o s e n b fig u ra P 3.24, d e te r­
m in e g ráficam en te el v ector K = B - > D + > A - > C .
3 -4 8 . P ú a lo s vectores m ostrados e n b fig u ra P 3 2 5 . determ ine
gráficam ente el vector J = C + > A - > B + > D - > E
3 -4 9 . R ira lo s v ectores m o s tra d o s e n b fig u ra P3.25, d e te r­
m in e g rá fic a m e n te d v e c to r K = B - > D + >
A -> C +> E
3 -5 0 . C o n el d ia g ra m a vectorial d e b fig u ra P 3 .5 0
3-57. Ifcra los v ecto res m o stra d o s e n b fig u ra P 3.25. d eter­
m in e a n a lític a m e n te d v e c to r K = B - > ü + >
A -> C + > E
S o lu c io n e s d e m a g n i t u d e s v e c to r ia le s ( g rá f ic a s )
3 -5 8 . Se escrib e u n a ecu ació n vectorial c o m o A ♦ > B *•> C D ♦ > E. Las d irecciones y m a g n itu d es d e lo s vectores
A B y D s e m u e s tra n e n la fig u ra P 3.58. D e te rm in e grá­
ficam en te ( u s a n d o té cn icas m an u ales d e d ib u jo o el
c a d ) las m a g n itu d es d e lo s vectores C y E.
a ) G enere u n a ecu ació n q u e d escrib a d d ia g ra m a vec­
torial.
f») R eplantee la s ecu ac io n e s p a ra elim in ar los té rm in o s
negativos.
c) D ib u je b u rd a m e n te los v ecto res y reorganícelos d e
a c u e rd o c o n la ecu ació n o b te n id a e n el in ciso b ).
f ig u r a
P338 P roblem as 58 y 61.
3-59. Se escrib e u n a ecu a c ió n vectorial c o m o A ♦ > B + > C
- > D = E - > F . L as d ireccio n es y m a g n itu d e s d e los
vectores A, B. C y E s e m u e s tra n e n la fig u ra P 3.59.
D e te rm in e g ráficam en te ( usan d o té cn icas m anuales de
d ib u jo o d c ad ) la s m a g n itu d es d e lo s vectores D y F.
K - 75
3 -5 1 . C o n el d ia g ra m a vectorial d e b fig u ra P3.51:
a ) G enere u n a ecu ació n q u e d escrib a d d ia g ra m a vec­
torial.
b) R eplantee la s ecu ac io n e s p a ra elim in ar los té rm in o s
negativos.
c) D ib u je b u rd a m e n te los v ecto res y reorganícelos d e
a c u e rd o c o n b ecu ació n g e n e ra d a e n el in ciso b).
3 -5 2 .
P ira lo s v ectores m o s tra d o s e n b fig u ra P3.23, d e te r­
m in e a n a líticam en te d v e c to r ) = C + > A - > B .
J
í 30-
I------H
FIGURA P.V59 P ro b le m a s 6 0 y 63.
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V ectores
3 -6 0 . U na ecu a c ió n v ecto rial s e e sc rib e c o m o A - > B - > C
+ > D = - > E + > F . Las d ireccio n es y m a g n itu d es d e los
v ecto res A . D . E y F se ilu s tr a n e n la fig u ra P 3.60.
D eterm in e g ráfica m e n te (u sa n d o técnicas m an u ales d e
d b u j o o el c ad ) la s m a g n itu d es d e los vectores B y C .
t/F -3 0
*
•<45°
F. * 4 5
I
f ig u r a p 3.60
1------ 1
P roblem as 6 0 y 63.
S o lu c io n e s d e m a g n i t u d e s v e c to r i a le s ( a n a lític a s )
3 -6 1 . D eterm in e a n a lític a m e n te lo s v ecto res C y E d el pro
M em a 3-58.
3 -6 2 . D eterm in e an alíticam en te los vectores D y F del p ro b le ­
m a 3-59.
3 -6 3 . D eterm in e a n a lític a m e n te lo s vectores B y C d el p ro M em a3 -6 0.
71
7. ¿En q u é d ire c c ió n s e d e b e ap licar la fu e rz a s o b r e la
placa A p a r a q u e a c tú e el reso rte C?
8. M e n cio n e m á q u in a s d ife re n te s d e la s su m a d o ra s q u e
p o d ría n u s a r este dispositivo.
9. ¿C uál e s la f o n d ó n d el p e r n o D?
3 -2 . U na m á q u in a a u to m á tic a q u e p r o d u c e a la m b r e d e
ac e ro o c a s io n a lm e n te s e a ta s c a c u a n d o la m a te ria
p r im a e stá s o b r e d im e n s io n a d a . P a ra p r e v e n ir d a n o s
severos a la m á q u in a , fu e n e c e s a rio q u e el o p e r a d o r
co rta ra la c o rrie n te in m ed iatam en te d esp u és d e q u e se
l a s c ó la m áq u in a. S in em bargo, el o p e ra d o r n o p u ed e
m a n te n e r u n a v ig ila n d a e stre c h a s o b re la m á q u in a
p i r a e v ita r el d añ o . P o r co n sig u ien te, s e s u g ie re el s i­
g uiente m ecan ism o p a ra resolver el p ro b lem a.
La fig u ra C 3 2 m u estra q u e el en g ran e C im p u lsa u n en¿yane a c o p la d o ( n o m o stra d o ) q u e o p e r a la m á q u in a
p ro d u c to ra d e alam bre. La flecha m o triz A tien e u n c o ­
llarín R e í cual e stá a c u n a d o a e lla El en g ran e C tie n e un
c u n a aju stad a s o b re la fle c h a D os p e rn o s, G y E, sujetan
respectivam ente lo s eslab o n es F y /J a l en g ran e G S e usa
u n p e m o adicional so b re el e n g ra n e C f u r a so sten er el
e x tre m o d el re s o r te H . E x a m in e c u id a d o s a m e n te la
c o n fig u ra d ó n d e lo s c o m p o n e n te s d el m ecan ism o .
L uego c o n te ste la s sig u ien tes p re g u n ta s p a r a ap ren d er
m ás acerca d e la o p eració n d el m ecanism o.
I. C o n fo rm e la flecha A g ir a e n el s e n tid o h o ra rio , ¿cóm o
se m ueve el c o lla rín R
E S T U D IO S D E C A S O
3 - 1 . La fig u ra C 3.1 m u e s tra d o s d e v arias te c la s d e u n a
su m a d o ra q u e foe p o p u la r hace v ario s altos. T am bién
se p resen tan las term in ales d e las teclas 1 y 2 p a ra ilu s­
t r a r s u c o n fig u ra c ió n . E x a m in e c u id a d o s a m e n te la
c o n fig u ra c ió n d e las c o m p o n e n te s d el m ecan ism o ,
lu e g o , co n teste la s siguientes p re g u n ta s p a r a ap ren d er
m ás s o b re la o p e ra c ió n d el m ecanism o.
f i g u r a CJ.2 (C ortesía d e In d u strial Press).
FIGURA CJ.I (C o rtesía d e In d u strial Press).
1. C o n fo rm e se p re sio n a la te d a 2, ¿ q u é pasa c o n la placa
o scilan te A?
2. ¿C uál es el ob jetiv o d el reso rte C?
3 . ¿C uál es el ob jetiv o del reso rte B?
4. C o n fo rm e s e p re sio n a el b o tó n 2, ¿ q u é s u c e d e c o n el
b o tó n 1 ?
3 . ¿C uál es el ob jetiv o d e este dispositivo?
6. C o m o la fu e rz a e s u n v e c to r, s u d ire c c ió n e s im p o r ­
tante. ¿En q u é d ire c d ó n s e d e b e ap licar la fuerza sobre
d b o tó n 1 p a ra q u e a c tú e el re so rte B?
2. Si el en g ran e C n o e stá fijo al co llarín R ¿ c ó m o p u e d e el
m o v im ien to e n el s e n tid o h o r a rio d e la flecha h a c e r g i­
ra r el engrane?
3. ¿Q u é s u c e d e c o n e l m o v im ie n to d el e n g ra n e C si se
f ile n a el eslab ó n D hacia arriba?
4. ¿Q ué a c d ó n p ro v o c a rla q u e el e s la b ó n D s e m o v iera
h a d a arriba?
5. ¿Q ué resistencia necesitarla el eslab ó n D p a r a moverse
h a d a arriba?
6. ¿C uál es el ob jetiv o d e e ste dispositivo?
7. ¿C ó m o lla m a rla u ste d a este dispositivo?
8. ¿De q u é m anera ayuda este dispositivo a la m áquina, d es­
c rita aquí, que p ro d u ce auto m áticam en te el alambre?
9. ¿Se d e b e rla “r e in id a r" este dispositivo alguna vez? ¿Por
q u é y c ó m o s e realizarla?
10. C o m o la fuerza es u n vecto r, su d ir e c d ó n es im p o r ­
t a n te . ¿E n q u é d ire c c ió n s e d e b e n a p lic a r la s fu erz as
p a r a q u e actú e el reso rte H?
11. M e n d o n e o tr a s m á q u in a s d iferen tes d e la p ro d u c to ra
d e ala m b re , e n la s c u a le s se p o d ría u s a r este dispositivo.
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C A P I T U L O
CUATRO
A N ÁLISIS D E P O S IC IÓ N
Y D E SPL A Z A M IE N T O
O B JE T IV O S
A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s te c a p i tu lo , e l a lu m n o
s e r á c a p a z de:
1 . D e fin ir U p o s ic ió n y c l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to .
2 . D e t e r m i n a r g r á fic a y a n a l ít ic a m e n t e l a p o s i c i ó n d e t o d o s
lo s e s la b o n e s d e u n m e c a n i s m o , c o n f o r m e s e d e s p la z a n l o s
O tra o p c ió n d e investigación seria c o m p re n d e r la tray ecto ­
ria d e lo s d ife re n te s c o m p o n e n te s d u r a n t e e l p ro c e so d e suje­
ción. S e d e b e n g a ra n tiz a r las to leran cias adecuadas con lo s c o m ­
pon en tes d e o t r a m á q u in a . El análisis d e p o sic ió n se repite p o r
b g eneral e n v ario s intervalos d e l m o v im ie n to d el m ecanism o,
con la finalidad d e te rm in a r la u b ic a c ió n d e to d o s lo s eslabones
e n v arias fases d el ciclo o p erativ o . El e n fo q u e d e este c a p ítu lo se
cen tra e n e so s tip o s d e a n á lis is d e p o sic ió n y desplazam iento.
e s la b o n e s im p u ls o r e s .
3 . D e t e r m i n a r g r á fic a y a n a l ít ic a m e n t e l a s p o s i c i o n e s lim it e
4 2 PO SIC IÓ N
1
La p o sic ió n se refiere a la u b ic a c ió n d e u n o b j e t a En la s sec­
cio n es sig u ien tes s e e s tu d ia rá la p o sic ió n d e p u n to s y eslabones.
D e t e r m i n a r g r á fic a y a n a l ít ic a m e n t e l a p o s i c i ó n d e t o d o s
i o s e s la b o n e s e n u n c i d o c o m p le t o d d m o v i m i e n t o d e l
5.
E la b o r a r u n d ia g r a m a d e d e s p l a z a m i e n t o d e v a r io s
p u n t o s d e l m e c a n i s m o , e n f u n c ió n d d m o v im ie n t o
d e o tr o s p u n to s .
4.1 IN T R O D U C C IÓ N
En m u c h o s m ecanism os, el p ro p ó sito d el análisis es d eterm in ar
ún icam en te la ubicación d e to d a s los eslabones conform e el (los)
eslab ó n (es) im p u ls o r e s ) d el m ecanism o se m ueve (n ) hacia o tra
po sició n . C o n sid ere la su je ta d o ra p a r a m aq u in ad o q u e se m ués
tr a e n la fig u ra 4.1. Si la sujetadora s e integra a u n a m á q u in a , re ­
su lta esencial e n te n d e r el m o v im ien to d e v ario s d e s u s eslabones.
U n a o p c ió n se ria in v estig ar el m o v im ie n to q u e s e re q u ie re del
m an g o p a r a c e rra r la m o rd aza. Este es u n m o v im ien to repetitivo
q u e s e requiere d e los o p e ra d o re s d e la m áquina. En el u so d e la
s u je ta d o ra s e d e b e n c o n sid e ra r el acceso, el esfuerzo necesario
p a ra o p e ra r y o tr o s “ factores h u m an o s” El análisis d e la posición
im plica c o n frecuencia el reposicionam iento d e los e s la b o n a d e
u n m ecan ism o e n d o s co n fig u rac io n e s alternativas.
F IG U R A 4 .1
4 .2 .1 P o s ic ió n d e u n p u n t o
La posición d e u n p u n to s o b re u n m ecan ism o es la u b icació n
espacial d e e s e p u n to , q u e s e d e fin e c o n u n vector de posición, R.
el cual se extiende d e u n o rig en d e referen cia a la u b icació n del
p u n to . L a fig u ra 4.2 ilu s tra u n v e c to r d e p o sic ió n . Rp> q u e es­
tablece la p o sic ió n e n u n p la n o d el p u n to P. Al igual q u e to d o s
los vectores, la p o sic ió n d e u n p u n to e n u n p la n o s e especifica
con la d ista n c ia desde el o rig e n (m a g n itu d v ectorial) y el á n g u lo
a p a r tir d e u n e je d e referencia (o rie n ta c ió n ).
I b a a lte rn a tiv a p rá c tic a q u e s e u tiliz a p a r a id e n tific a r la
posición d e u n p u n to es u sa r las c o m p o n e n te s rectangulares del
v ector d e posición e n u n sistem a d e c o o rd e n a d a s d e referencia.
O b s e rv e q u e la p o sic ió n d e l p u n to P e n la fig u ra 4.2 e stá
defin id a respectivam ente p o r s u s c o m p o n e n te s x . y , R 'r y R 'p.
4 .2 .2 P o s ic ió n a n g u l a r d e u n e s la b ó n
La p o sic ió n a n g u la r d e u n eslab ó n ta m b ié n es u n a m a g n itu d
im p o rta n te . La posición angular, 0 , s e d e fin e c o m o el á n g u lo
q u e f o rm a u n a lín e a e n tre d o s p u n to s d el eslab ó n c o n u n eje de
S ije ta d o ra p a ra m a q u in ad o . (C o rte sía d e C a rr Lañe M fg).
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f ig u r a
4J
V ector d e p o sic ió n
dci
p u n to P.
referencia. E n la fig u ra 4.2 , la lín ea M N q u e d a so b re el eslabón
4. L a p o sic ió n a n g u la r d el e s la b ó n 4 s e d e n o ta c o n 0A, q u e es
el á n g u lo e n tre el eje x y la lín ea M N . P o r co n sisten cia, la p o si­
c ió n an g u lar s e d efine c o m o po sitiv a si el á n g u lo s e m id e e n sen­
tid o a n tih o ra rio , desde el eje d e referencia, y negativa, s i se m ide
e n el se n tid o h o ra rio .
4 .2 .3 P o s ic ió n d e u n m e c a n is m o
H p r o p ó s ito fu n d am en tal d el análisis d e u n m ecan ism o e s e s tu ­
d ia r s u m o v im ien to. El m o v im ien to o c u rre c u a n d o se m o d ifi­
ca n la p o sic ió n d e los eslab o n es y lo s p u n to s d e referencia del
m ecan ism o . C o n f o r m e se a lte r a la p o sic ió n d e lo s eslabones,
el m ecan ism o se fu erza a to m a r u n a c o n fig u ra c ió n d iferen te, en
ta n to q u e el m o v im ien to avanza.
R ecu erd e q u e e n el c a p ítu lo 1 v im o s q u e u n a p ro p ie d a d
im p o rta n te d e u n m ecan ism o es la m ovilidad (g rad o s d e lib e r­
ta d ). P i r a esla b o n a m ie n to s c o n u n g r a d o d e lib e rta d , la p o si­
ción d e u n eslabón o u n p u n to p u e d e d e te rm in a r c o n precisión
la p o sic ió n d e to d o s lo s dem ás eslabones o p u n to s. D el m ism o
m o d o , e n lo s e s la b o n a m ie n to s c o n d o s g ra d o s d e lib e r ta d la
p o sic ió n d e d o s eslab o n es d e term in a c o n ex actitu d la posición
d e lo s d e m á s eslabones.
I\>r lo ta n to , la p o sic ió n d e to d o s los p u n to s y eslab o n es d e
u n m e c a n is m o n o es a rb itra ria n i in d ep en d ien te. Los p a rá m e ­
tro s in d e p e n d ie n te s so n la s p o sic io n e s d e c ie rto s e sla b o n e s o
p u n to s “im pulsores". El ob jetiv o p rin c ip a l d el a n á lis is d e p o si­
c ió n es d e te rm in a r la s p o sic io n e s resu ltan tes d e los p u n to s de
u n m ecan ism o , e n fu n c ió n d e la p o sic ió n d e esos eslab o n es o
p u n to s "im pulsores".
4 .3 D ESPLA ZA M IEN TO
f ig u r a
o
V ector d e d esp lazam ien to d el p u n to P.
B d esplazam iento lineal d el p u n to P se d e n o ta c o n AR/>y
se calcu la c o m o la d ife re n c ia vectorial e n tre la p o sic ió n inicial
y la p o sic ió n final. D a d o e n fo rm a d e ecuación:
A R p = R p ' —> R P
(4.1)
Cfoserve q u e el d esplazam iento lineal n o es la d ista n c ia v ia­
jada p o r el p u n to d u r a n te el m ovim iento.
l a m a g n itu d d el v e c to r d e d e sp la z a m ie n to es la distan cia
en tre la p o sic ió n inicial y la p o sic ió n final d u r a n te u n in terv alo .
Esta m a g n itu d tien e u n id a d e s lineales (p u lg ad as, p ies, m ilím e­
tros, etcétera). La d ire c c ió n s e id e n tific a c o n el á n g u lo e n tre un
eje d e referen cia y la lin ca q u e c o n ecta la s d o s p o sic io n e s. El
s e n tid o d e l v e c to r va d e la p o s ic ió n in ic ia l h a c ia la p o sic ió n
4 .3 .2 D e s p la z a m ie n to a n g u l a r
B d a p la za m ie n to angular, 1 0 , e s la d ista n c ia a n g u la r e n tre d o s
config u racio n es d e u n eslabón girato rio . E s la diferen cia e n tre la
p o sic ió n a n g u la r inicial y la p o sic ió n an g u lar final d el eslabón,
c o m o en la fig u ra 4.4 . Si b ie n p o se e m a g n itu d y direcció n (en el
se n tid o h o ra rio o a n tih o r a rio ) , el d esplazam iento a n g u la r técn i­
c a m e n te n o e s u n vecto r, p u e s to q u e n o c u m p le c o n la s leyes
c o n m u ta tiv a y asociativa d e la su m a d e vectores.
B d esplazam iento a n g u la r d e u n eslabón, p o r ejem plo el es­
la b ó n 3, s e representa c o n A0 , y se calcu la c o n la ecu a c ió n (4.2).
A 0, =
0y -
(4.2)
La m a g n itu d d el d esplazam iento an g u lar es el á n g u lo e n tre
b co n fig u rac ió n inicial y la co n fig u rac ió n final d el eslabón d u ­
ran te u n in terv alo . E sta m a g n itu d se especifica e n u n id a d e s d e
giro ( p o r ejem plo, g rad o s, ra d ia n e s y revoluciones), y el se n tid o
f o r a ñ o o a n tih o ra rio especifica la dirección.
B d esp lazam ien to es el p ro d u c to final d el m ovim iento. S e tra ta
d e u n v ecto r q u e rep re sen ta la d ista n c ia e n tre la p o sic ió n inicial
y la p o sic ió n fin a l d e u n p u n to o u n e s la b ó n . C o n s id e re d o s
tip o s d e desp lazam iento: lineal y angular.
4 .3 .1 D e s p l a z a m i e n t o lin e a l
El ¿ a p la za m ie n to lin ea l A R . e s la distan cia lineal recta e n tre la
posición inicial y la p o sic ió n final d e u n p u n to d u ra n te u n in te r­
valo d e tie m p o . La fig u ra 4 J ilu stra el p u n to P d e u n m ecanism o
q u e s e d esp laza a la p o sic ió n P .
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F IG U R A a a
D esplazam iento angular.
74
CAPITULO CUATRO
4.4 A N ÁLISIS DE D ESPLA ZA M IEN TO
U n a in v estig ació n cin em ática c o m ú n es la u b icació n d e la p o s i­
c ió n d e to d o s lo s eslabones d e u n m ecanism o c o n fo rm e el (los)
eslab ó n )es) im p u lso r)es) se d e s p la z a n ) . C o m o s e in d ic ó e n la
sección 4 .2 , lo s g ra d o s d e lib e rta d d e u n m ecanism o d eterm in an
el n ú m ero d e eslab o n es im pulsores in d ep en d ien tes. En la m ayo­
r ía d e lo s m ecan ism o s co m u n e s (c o n u n g ra d o d e lib e rta d ), el
a n á lis is d e d e sp la z a m ie n to consiste e n d e te rm in a r la posición
d e to d o s lo s eslabones m ie n tra s u n eslab ó n s e desplaza. La p o s i­
c i ó n d e to d o s lo s e sla b o n e s e n u n m o m e n to d e te rm in a d o se
c o n o c e c o m o a>nfignnu:¡ón d el m ecanism o.
La fig u ra 4 .5 ilu stra ta l an álisis. El m e c a n is m o m o stra d o
tien e c u a tro eslabones, to d o s ellos n u m erad o s. R ecuerde q u e el
e s la b ó n fijo , o la b a n c a d a , sie m p re d e b e e s ta r in c lu id o c o m o
u n e slab ó n . E n el m e c a n is m o ta m b ié n hay c u a tro u n io n e s d e
p ern o (rev o lu tas).
D e acu erd o c o n la ecu ació n (1. 1), lo s g ra d o s d e lib e rta d se
calcu lan co m o :
M = 3(4 -
1) - 2 (4 ) = 1
C o n u n g r a d o d e lib erta d , el m o v im ie n to d e u n eslab ó n posid o n a c o n e x a c titu d lo s d e m á s e sla b o n e s d el m ecan ism o . P o r
co n sig u ien te, u n p ro b le m a típ ico d el an álisis d e d esplazam iento
im p lica d e te rm in a r la p o s id ó n d e los eslabones 3 y 4 d e la figura
4.5, c o n f o r m e el e s la b ó n 2 tie n e u n d e sp la z a m ie n to d e te r m i­
n ad o . E n este ejem p lo , el d esp lazam ien to im p u lso r es angular,
■ 15®, e n el se n tid o h o r a r i a
Casi to d o s lo s eslab onam ientos tienen c o n fig u ra d o n e s alter­
n as p a ra u n a p o sid ó n d a d a d el (los) eslabón(es) im p u ls o r e s ) . En
la fig u ra 4 6 se m u estran d o s c o n fig u ra d o n e s p a r a la m ism a pori
a t o d e la m anivela d e u n m ecanism o d e c u a tro barras. Tales c o n ­
fig u rad o n es altern as se conocen c o m o inversiones geométricas. Es
f i g u r a 4 .7
G iro
de un
FIGURA 4.6 Dos inversiones g e o m é tric a s d e u n m ecanism o
d e c u a tro b arra s.
ra ro q u e u n m ecanism o se m ueva d e u n a inversión geom étrica a
c íra sin d esarm arlo o s in p asar p o r p u n to s m u e rto s. Así. cu an d o
se efectú a u n an álisis d e d e sp la z a rm e n ta es necesario revisar la
co n fig u rad ó n original d el m ecanism o p a r a d e te rm in a r la inver­
sió n geom étrica d e interés.
4.5 D ESPLA ZA M IEN TO : ANÁLISIS G R Á FIC O
4 .5 .1 D e s p la z a m ie n to d e u n s i m p l e e s la b ó n
i m p u ls a d o
R ir a o b te n e r u n a n u e v a c o n fig u ra c ió n e n u n m e c a n is m o , es
necesario reu b icar lo s eslab o n es e n s u s n u e v a s p o sid o n e s. Los
eslabones sim ples q u e g ira n a lre d e d o r d e c e n tro s fijo s s e p u ed en
reu b icar d ib u ja n d o arco s c o n su c e n tro e n el pivote f i j a a través
del pivote m óvil, c o n u n d esp lazam ien to a n g u la r e s p e d fic a Lo
a n te rio r s e o b se rv a e n la fig u ra 4 .5 c u a n d o el eslab ó n 2 se gira
15® e n d se n tid o h o rario .
En a lg u n o s an álisis, lo s e sla b o n e s c o m p le jo s su je to s a la
h in c a d a ta m b ié n p u e d e n g ira r. E sto s e logra sig u ie n d o v ario s
m éto d o s. En la m ay o ría d e los casos, el m éto d o m ás sim ple in i­
cia reu b ican d o u n a so la lín ea d el e slab ó n . L u e g a se reubica el
resto d e la g e o m etría d el eslabón, c o n base e n la p o s id ó n d e la
Hnea q u e s e haya reubicado.
La fig u ra 4.7 ilu stra el p roceso d e g iro d e u n eslabón c o m ­
plejo. En la fig u ra 4 .7 a, la lín ea AB del eslab ó n fue d esp lazad a a
b p o s id ó n desead a ABj = 80® en el s e n tid o h o r a rio . O bserve
q u e la p o sic ió n reu b icad a d el p u n to B s e d esig n a c o m o f f .
eslabón com plejo.
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A n á lisis d e p o s ic ió n y d e sp la za m ien to __________75
El p a s o s ig u ie n te e s d e te rm in a r la p o s ic ió n d el p u n to
r e u b ic a d o C , q u e s e d esig n a c o m o C '. C o m o el eslab ó n c o m ­
plejo es rigjdo y n o c a m b ia d e fo rm a d u ra n te el m o v im ien to , las
lo n g itu d e s d e las lineas A C y B C n o se m odifican. ft>r l o ta n to , el
p u n to C s e lo caliza m id ie n d o las lo n g itu d e s d e A C y BC , así
m m o d ib u ja n d o arco s a p a rtir d e los p u n to s A y B r e s p e c tiv a ­
m e n te (fig u ra <l.7b).
H ay u n segundo m é to d o basado e n u n sistem a d e cad . Las
lín eas q u e fo rm a n el eslab ó n s e d u p lic a n y g ir a n p a r a g e n e ra r el
eslab ó n reu b icad o . T o d o s lo s sistem as d e c a d in clu y en u n c o ­
m a n d o q u e g ira c o n facilidad y co p ia e n tid a d e s g eo m étricas. El
co m an d o sirv e p a r a g ira r to d a s las lineas d e u n e slab ó n , alred e­
d o r d e u n p u n to especifico, a u n d esplazam iento a n g u la r d eter­
m in a d o . Es c o n v e n ie n te m o stra r el eslab ó n g ir a d o e n o tr o color
y co lo c a rlo e n u n p la n o diferente.
rario. C o n el u so d e lo s p ro c e d im ie n to s descrito s e n la sección
4 5 . 1, b fig u ra 4.9 m u estra el eslab ó n 2 reu b icad o e n su p o s i­
c ió n d e s p b z a d a , b c u a l d e fin e la p o s ic ió n d el p u n t o B’.
T am bién se c o n stru y ó b tray ecto ria restrin g id a d el p u n to C y se
ilustra e n b fig u ra 4.9.
ft>r su rigidez, b lo n g itu d d d eslab ó n 3 n o c a m b ia d u ra n te
d m ovim iento. A un c u a n d o d eslab ó n 2 s e h a rep o sicio n ad o , no
m odifica b lo n g itu d e n tre lo s p u n to s B y C ( rg¿). Luego d e re ­
su m ir lo s h ec h o s d e e ste an álisis d e desp lazam ien to , s e sabe lo
sg u ie n te :
4 .5 .2 D e s p la z a m ie n to d e l o s e s la b o n e s
im p u l s a d o s
P artie n d o d e esto s hechos, s e c o n stru y e la n u ev a posición
d d e s b b ó n 3. Se m id e b lo n g itu d d e la lín ea B C .C o m o el p u n to
flse m o v ió a B’, s e c o n stru y e u n arco d e lo n g itu d rK ; c o n centro
e n B'. Al ex ten d er este a rc o , s e d e te rm in a la tray ecto ria posible
d el p u n to C \ S in e m b a rg o , el p u n t o C ta m b ié n d e b e p e r­
m anecer s o b re s u tra y e c to ria restringida, c o m o se in d ica e n b
figura 4.9 . P o r lo ta n to , el p u n to C ' se d e b e lo calizar e n b in ter­
sección d e lo s d o s arcos. E ste p ro c e so s e ilu s tra e n b fig u ra 4.10.
O b serv e q u e lo s á re o s ta m b ié n s e in tersecarán e n u n se g u n d o
p u n to , el cu al e stá a u n a d is ta n d a c o n sid e ra b le d e C y re p re ­
senta u n a seg u n d a inversión g eo m étrica d el eslab o n am ien to . El
e s b b o n a m ie n to d e b e d e sa rm a rse y a r m a r s e p a r a o b te n e r esa
c o n fig u ra d ó n alternativa, d e m o d o q u e se p u e d e ig n o ra r la inte rse c d ó n .
Es posible que los d o s arcos n o se intersequen e n absoluto.
Los casos d o n d e b trayectoria restrin g id a y b trayectoria posible
no se intersecan in d ic a n que la lo n g itu d de los eslabones indivi­
duales e v ita q u e el e s b b ó n im p u lso r alcan ce el desplazam iento
especificado.
U n a vez rep o sicio n ado el eslabón im p u lso r, se d e b e d e te rm in a r
la p o sició n d e lo s dem ás eslabones. P ara hacerlo , se tie n e n q u e
c o n s tru ir las tray ecto rias p o sib les d e to d o s lo s eslabones c o n e c ­
ta d o s a la b an cad a . P ara los eslabones q u e e stá n a p e rn a d o s a la
b an cad a , to d o s lo s p u n to s so b re el eslabón ta n s o lo p u ed en g i­
r a r e n relació n c o n la b an cad a . P o r ende, la s tray ecto rias p ro b a ­
bles d e estos p u n to s so n arcos circu lares c o n c e n tro e n el p ern o
q u e c o n ecta el eslabón c o n la bancada.
La fig u ra 4 .8 p re se n ta u n d ia g r a m a c in e m á tic o d e u n
m ecan ism o . Los eslab o n es 2 , 4 y 6 e stá n su je to s a la b a n c a d a .
C o m o lo s p u n to s B, C y E están u b ic a d o s respectivam ente sobre
lo s eslabones 2 ,4 y 6 , es posible c o n s tru ir fácilm ente s u s tray ec­
to ria s restrin g id as. La tra y e c to ria re strin g id a d el p u n to B es u n
a rc o c ir c u la r c o n c e n tro e n el p u n to A , q u e es e l p e r n o q u e
c o n ecta el eslab ó n 2 c o n la b an cad a . L as tray ecto rias restrin g i­
d as d e C y E se d e te rm in a n d e m o d o sim ilar.
l a tra y e c to ria r e s trin g id a d e u n p u n to s o b re u n eslabón
q u e e stá c o n e c ta d o a la b a n c a d a c o n u n a u n ió n d e co rre d era,
ta m b ié n se d e te rm in a fácilm ente. T odos lo s p u n to s s o b re el es­
lab ó n s e m u ev en e n u n a lin e a recta paralela a la direcció n d e la
su p erficie d e deslizam iento.
D esp u és d e q u e s e hayan c o n stru id o to d as la s trayectorias
restrin g id as d e lo s eslabones u n id o s a la b a n c a d a , se d e te rm in a n
las po sicio n es d e lo s eslabones c o n ectad o s. E s u n p roceso lógico
que se d e riv a d el h e c h o d e q u e to d o s lo s eslab o n es so n rígidos.
R igidez significa q u e los eslab o n es n o ca m b ia n d e lo n g itu d ni
d e fo rm a d u r a n te el m o v im ien to .
Hn la fig u ra 4 .5 , se desean co n o cer las p o sic io n e s d e lo s es­
lab o n es 3 y 4 , u n a vez q u e el eslab ó n 2 g ir a 15® e n el s e n tid o h o ­
f ig u r a 4A
1. El p u n to B s e h a m o v id o a B’.
2 . El p u n to C sie m p re p erm a n e c e so b re su trayectoria
restrin g id a (lo n g itu d r<j) d esd e D ) y
3 . La lo n g itu d e n tre B y C p erm an ece c o n s ta n te ( C 'd e b e
•a u n a lo n g itu d r ^ á e B 1).
Ihiyerirria
lesningkfa
* 1 p u n to C
F IG URA 4 .9
C o n s tru c d ó n d e
b
tray ecto ria restrin g id a d e C .
Trayectorias restringidas d e p u n tos sob re un e sb b ó n sujeto a la bancada.
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76
CAPITULO CUATRO
^ Thiyecloria pmiblc de C
¿7
La imereccción «presenta b
y S localización precisa de C
Trayectoria restringida
del punto C
/ /
-
La segunda intersección
representa ooa inversión
yoraítrica
FIGURA 4.10 U bicación d e la p o sic ió n d e C \
U n a v « q u e s e localiza C , se d ib u ja n las p o sic io n e s d e los
eslab o n es 3 y 4. D e este m o d o , s e d e te rm in a la c o n fig u ra c ió n del
m e c a n is m o , e n ta n to q u e el e s la b ó n im p u lso r fu e reposidonado.
E sta s e c d ó n p resenta la ló g ica d e trá s d el análisis gráfico d e
posición, e s d e d r, la u b ic a d ó n d e u n p u n to d esplazado a la in te r­
sección d e la tray ecto ria restringida y la trayectoria posible. Esta
lógica sim p le m e n te se repite c o n fo rm e lo s m ecan ism o s se v u e l­
ven m á s c o m p lejo s. La so lu c ió n real s e o b tie n e u s a n d o y a sea
técnicas d e d ib u jo m an u ales (con u n tra n s p o rta d o r y u n c o m ­
p ás) o u n sistem a d e c a d (c o n los c o m a n d o s roíate y copy). La
b g ic a es idéntica: s in em bargo, l a s o lu d ó n d e c a d no está sujeta
a las lim ita d o n e s d e ex actitu d e n el d i b u j a In d ep en d ien tem en te
del m éto d o q u e se utilice, los c o n c e p to s subyacentes d el análisis
gráfico d e p o s id ó n se ilu s tra n y a m p lía n e n lo s sig u ien tes p ro ­
blem as d e e je m p la
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.1
La figura 4 .1 1 m u estra u n diag ram a cin em ático d e u n m ecanism o im p u lsa d o p o r el m o v im ien to d el eslabón 2 .
Reposicione gráficam ente los eslabones del m ecanism o, conform e el eslabón 2 s e desplaza 30° e n sentido antihorario.
O te rm in e el desplazam iento angular resultante del eslabón 4 y el desplazam iento lineal del p u n to E.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule la m ovilidad
ftira verificar q u e el m ecanism o se posiciona únicam ente por u n eslabón m ó v il se calcula su m ovilidad. Están
identificados sris eslabones. O bserve que tres d e los eslabones están conectados e n d p u n to C Recuerde del cap i­
tulo 1 q u e esta configuración se debe tom ar en cuenta com o dos u n iones d e perno. Por consiguiente, se trata de
seis u n iones d e perno. U na u n ió n de corredera conecta los eslabones 1 y 6. N o hay uniones d e engrane n i d e leva:
n ■ 6 j p ■ (6 p ernos + I co rredera) ■ 7j¡, ■ 0
Y
M - 3 < n - l ) - 2 ; , - / f c = 3(6 - 1) - 2(7) - 0 = 1 5 - 14=1
C on un g rad o de libertad, el m ovim iento de u n so lo eslabón posiciona los dem ás eslabones d el m ecanism o.
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A n á lisis d e p o s ic ió n y d e sp la za m ien to __________77
2.
Reposicióne el eslabón im pulsor
H eslabón 2. se gira 30° e n sentido antihorario, estableciendo asi k posición d d p o n to B \ E stose m uestra e n la
figura 4.12a
f ig u r a
3.
4 .1 2
C o n stru c cio n es d e d esplazam iento d el p ro b le m a d e e jem p lo
4 . 1.
D eterm ine las trayectorias de todos los eslabones conectados directam ente a la bancada
Rira reposicionar el m ecanism o, se dibujan las trayectorias restringidas d e todos los p u ntos sobre los eslabones
que están conectados a la bancada (B. C y E ). l o a n te rio r tam bién se m uestra e n la figura 4.12a.
4.
D eterm ine la posición exacta del p u n to C
Ftor ser rígido, la fo rm a del eslabón 3 n o cam bia, e n tan to q u e la distancia e n tre los p u n to s B y C (r»r) perm anece
constante. C om o el p u n to B se m o v ió a B 'sc traza u n a rc o de lo n g itu d r a e con centro e n B '. Este arco representa
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78
CAPITULO CUATRO
b trayectoria posible del p u n to C '. La intersección del arco con la trayectoria restringida d e C da com o resultado la
posición d e C '. Esto s e observa e n la figura 4.12 b.
5.
D eterm ine la p o tld ó n e x a cta d el p u n to £ ’
Se utiliza la m ism a lógica para ubicar b posición del p u n to £ '. l a form a del esb b ó n 5 no puede cambiar, pero la
dutancia e n tre los puntos C y £ (fes) s e m antiene constante. C om o el punto C se m ovió a C‘. se dibuja un arco de
longitud r r r con centro e n C . Este arco representa b trayectoria posible del p u n to £ '. La intersección d el arco con
b trayectoria restringida d e E d a com o resultado b posición E ’(figura 4.12b).
6.
M id a e l desplazam iento del eslabón 4 y d el p u n to £ '
R»r últim o, al obtener la posición de C 'y £', se dibujan los eslabones 3 a 6 , l o cual se m u estra e n la figura 4.12c
0 desplazam iento del eslabón 4 es la distancia an g u lar entre la posición nueva y la original, q u e s e m id ió com o
A0 « = 26°. e n se n tid o antihorario
El desplazam iento del p u n to £ es la distancia lineal e n tre la posición n u ev a y la posición original del punto
£ La distancia entre E y E ’sc m ide y s e ajusta para la escala d e dibujo.
A H ,- .9 5 4 4 in —
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.2
O ta n d o se requieren grandes fuerzas d e corte, se usan con frecuencia unas tijeras d e palanca de hojalatero com o las
m ostradas e n b figura 4.13, en vez de las tijeras norm ales de h o jalatera C o n el u so del m ango superior com o bancada,
irposicione gráficam ente la s com ponentes d e las tijeras cuando la m ordaza s e abre 15*. D eterm ine el desplazam iento
resultante del m ango inferior.
F IG U R A 4 .1 3 T i j e r a s d e c o r t e d e h o j a l a t e r o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 4 . 2 .
S O L U C IÓ N :
I.
IH buje el diagram a cinem ático y calcule la m ovilidad
H diagram a cinem ático de las tijeras se presenta e n la figura4.14a. 0 m ango superior se diseñó com o la bancada,
m ientras los p u ntos d e interés se identificaron e n la p unta de b m ordaza de corte su p erio r (X) y e n el extrem o
del m ango inferior ( Y). O bserve que este es e l conocido m ecanism o de cuatro barras con u n grado d e libertad.
M oviendo u n sedo e sb b ó n , por ejem plo b m ordaza, se p o sid o n a n los dem ás eslabones del m ecanism o.
2.
Rrposieione e l eslabón im pulsor
Para reposkionar el m ecanism o, b m ordaza de corte superior, el e s b b ó n 2, se g ira 15° e n sentido antihorario.
Este m ovim iento corresponde a la posición abierta de b s tijeras. El p u n to d e interés. X,tam bién g ira ju n to c o n el
eslabón 2.
3.
D eterm ine la posición precisa del p u n to C
C om o este es u n m ecanism o d e cuatro barras, la posición del p u n to C 's c u b e a e n la intersección d e su trayectoñ a restringida con s u trayectoria posible. La figura 4.14b presenta las construcciones necesarias p a ra determ inar
b posición d e C ‘.
4.
D eterm ine la posición exacta d el p u n to Y*
finalm ente, se debe determ inar b ubicación d el p u n to d e interés Y. El eslabón 4 es rígido, por ello su form a no
se altera. C om o el lado C ' D ya está ubicado, el p u n to V"se e n c u e n tra con facilidad.
Igual que e n el procedim iento descrito e n b figura 4.7b, b lo n g itu d del lado D Y no cam bia. E ntonces, b
trayectoria del p u n to Y s e construye a p artir del p u n to D.T am poco cam bia la longitud d el lado C Y. No obstante,
d p u n to C sc re ubicó e n C ’.O tr a trayectoria posible de Y*se construye desde C . La intersección d e las dos trayec­
torias proporciona la ubicación final d e Y’.Tal construcción se m uestra e n la figura 4.14c.
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f ig u r a
5.
4 .1 4
C o n stru c c io n e s p a ra el p ro b le m a d e e jem p lo 4.2.
M ida el desplazam iento d el eslabón 4
Se m ide el desplazam iento requerido del m ango inferior p a ra abrir 15* la m ordaza. D e la figura 4.14c, el m ango
inferior, el eslabón 4, s e debe desplazan
1&4 - 35°, e n sentido antihorario
4 .6 P O S IC IÓ N : M É T O D O
A N A LÍTIC O
H ab lan d o e n g e n e ra l lo s m étodos analíticas s e utilizan e n el análiá s d e p o sició n p a ra o b te n e r resultadas c a í u n alto g rad o d e exac­
titud. El p re c io d e esta exactitud es q u e tales m étodos usualm ente
son m u y laboriosos. Por consiguiente, s e h a n desarrollado m éto­
d o s q u e usan u n a n o tació n com pleja e im p lican m atem áticas de
ord en su p erio r para d análisis d e posición ( r e f s .4 ,9 ,11, 12|.
En esc e n a rio s d e d ise ñ o , d o n d e d a n á lis is c in e m á tic o no
es u n a ta re a d ia ria , se ria d ifíc il e n te n d e r e im p le m e n ta r esos
m étodos c o m p lejo s. El m é to d o m ás sencillo d e an álisis d e p o s i­
ción u tiliz a las leyes trig o n o m étricas d é lo s triá n g u lo s. En h o n o r
a la v erd ad , esta té c n ic a d e “fuerza b r u t a " n o e s eficien te p a ra
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80
CAPITULO CUATRO
q u ie n e s realizan investigaciones cinem áticas. S in em bargo, p a ­
ra el in geniero d e d ise n o típ ic o la sencillez c o m p en sa c o n m u ­
c h o las in eficien d as. P o r lo ta n to , el m é to d o d el tr iá n g u lo d e
an álisis d e p o sició n es el q u e s e u sa rá e n e ste texto.
E n g e n e ra l, e s te m é to d o im p lica la in se rc ió n d e líneas
d e referencia d e n tr o d el m ecanism o y el análisis d e los trián g u lo s
resultantes. D espués, se u s a n las leyes d e los triá n g u lo s general
y rectán g u lo , c o n la finalidad d e d e te rm in a r las lo n g itu d e s d e los
lados y la m ag n itu d d e lo s á n g u lo s in terio res. C o n fo rm e se d e ­
te rm in a n lo s detalles d e la g e o m etría d e los triá n g u lo s , se orga
n iza e sta in fo rm ació n p a ra a n a liz a r el m ecanism o c o m p le ta
El g ra n ben eficio d el m é to d o analítico es s u capacidad para
m o d ificar las d im en sio n es y recalcular rá p id a m e n te la so lu ció n .
D u ra n te la s fases d el d ise n o se evalúan m u ch as configuraciones
y d im en sio n es d e la m áq u in a. T ratándose d el an álisis g r á fic a el
an álisis se d e b e re p e tir co m p letam en te c o n c ad a evaluación. En
lo s m é to d o s analíticos, e sp ecialm en te c u a n d o s e im p lcm en tan
en h o jas d e cálculo u o tr a s h e rra m ie n ta s d e c ó m p u t a las so lu ­
cio n es se actu alizan ráp id am en te.
E l m é to d o a n a lític o d el a n á lis is d e p o sic ió n s e en ten d erá
c o n m á s claridad c o n los sig u ien tes ejem plos:
P R O B L E M A DE E JE M P L O 4.3
la figura 4.15 m uestra u n a sujetadora q u e sirve para sostener con seguridad piezas de trabajo. D eterm ine analítica­
m ente el desplazam iento de b superficie d e sujeción, conform e el m ango g ira 15o hacia abajo.
F IG U R A 4 .1 5 S u j e t a d o r a
S O L U C IÓ N :
1.
d el p ro b le m a d e e jem p lo
4 .3 .
lia b o rr u n diagram a cinem ático
En b figura 4,16a s e ilustra el diagram a d n e m á tk o . El extrem o del m ango se identificó com o el punto de interés X
f i g u r a 4 .1 6
M ecanism o d e l problem a d e ejem plo 4.3.
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A n á lisis d e p o s ic ió n y d e sp la za m ien to __________81
2.
Analice la geom etría d e la configuración original
« t e m ecanism o de m anivela-corredera se form a de m o d o natural u n triángulo e n tre los p u ntos A. B y C . Este
triángulo se ilustra e n la figura 4.16b.
Antes de observar la configuración desplazada del m ecanism o, se deben determ inar todas las p ro p ie d a d »
de la configuración original. El ángulo interior e n la u n ió n C , ¿ B CA.se determ ina aplicando la ley d e los senos.
(3.6):
sen ¿ .B A C
se n ¿ B C A
(B C
(AB)
¿ B C A = sen’
38.68*
Ahora, el ángulo interior e n la u n ió n B , ¿-A B C se c a k u la porque la su m a d e todos los ángulos interiores de
cualquier triángulo es d e 180*:
¿ABC
-
I 8 l f - Í 3 0 * + 3 8 .6 8 " ) -
1 1 1 .3 2 o
La lo n g itu d d el lado A C representa la posición original d e la co rre d era y se d e term in a con la ley d e los
cosenos, ecu ació n (3 7 ):
AC -
V
a B2
♦ BC2 - 2 (A B )(B C ) cds¿A B C
= V ( 5 0 m ui)1 + (40 m rn )1 - 2(50 n u n )(4 0 m m )|c o s 111 J2 °J
- 7 4 5 2 mm
3.
Analice la geom etría de la configuración desplazada
l a configuración desplazada se m uestra en la figura 4.16c cu an d o el m ango gira 15” hacia abajo. O bserve que
« t e desplazam iento genera un ángulo interior en la u n ió n A. ¿ C ' A B igual a 15°. S e utiliza la ley de los senos
para calcular d á n g u lo interior d e la u n ió n C '. ¿ B C A :
L B C A = s e n - 'l |
|s e n L C A B '
50 m m .
• ' I ' — ------ |s e n 15"
40 m m
18.88"
De nuevo, el ángulo in te rio re n la unión B', ¿ A B C , s e calcula porque la su m a d e todos los ángulos interiores
d e u n triángulo sum an 180".
L A B ’C = 1 8 0 ° - (1 5 °+ 18.88") = 146.12°
la longitud d el la d o A C ' representa la posición desplazada d e la corredera. C o m o antes, s e determ ina con la
ley de los cosenos:
A C = V A B '2 + B C 1 - 2 (AB ’) ( B C ) c o s ¿ A B C ’
- V ( 5 0 m m ) 2 + (40 m m )2 - 2 (5 0 m m ) (40 mm)cos< 146.12") - 86.14 mm
- 86.14 mm
4.
Calcule el desplazam iento deseado
El desplazam iento de! p u n to C d u ran te este m ovim iento so c a k u la com o la diferencia d e los lados A C 'y A C del
triángulo:
A R c - A C - A C - 86.14 - 7 4 5 2 = 11.62 m m « -
4 .6 .1 E c u a c io n e s d e a n á l i s i s d e p o s ic ió n
en fo rm a c e rra d a p a ra u n a
m a n i v e l a - c o r r e d e r a e n lín e a
El m e c a n is m o d e su je ció n d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.3 e s u n
m e c a n is m o d e m anivela-corredera. S e co n o ce específicam ente
c o m o m ecan ism o d e m a n iv e la -c o rre d e ra e n lin ea, p o r q u e b
tray ecto ria restrin g id a d e b u n ió n d e p e r n o d e b c o rre d e ra se
e x tie n d e p o r el c e n tro d e ro ta c ió n d e la m anivela. La fig u ra 4.17
i u s t r a b c o n fig u ra c ió n b á sic a d e u n m e c a n is m o d e m anivela
to rc e d e ra e n linea.
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82
CAPITULO CUATRO
C o m o este es u n m ecanism o m u y co m ú n , se pueden g e n e ra ­
lizar lo s re su lta d o s d el p ro b le m a a n te r io r [ref. 12). El an álisis
típico im plica la ubicación de la posición d e los eslabones, dadas
sus lo n g itu d es (L j y L j) y el á n g u lo d e la m anivela (0 j ) . Específi­
cam en te, se d e b e n d e te rm in a r la posición d e la c o rre d e ra ( ¿ 4) y
las án g u lo s d e las u n io n e s in terio res (0 , y y ).
L as ecu acio n es q u e se u s a ro n e n el p ro b le m a d e e jem p lo
4.3 s e re su m e n e n té r m in o s d e L ,, L ¡ y
¿2
= sen 1 — s e n 0 2
.U
y = 180’ - (0 2 + 0 j )
=V¡¿ + L ¡ -
2 (¿ 2) ( L 3) c o s y
( 4 .4 )
(4.5)
Tales ecu ac io n e s sirv en u sa r p a ra d e te rm in a r la p o sic ió n d e los
eslab o n es e n u n a c o n fig u ra c ió n c u a lq u ie ra d el m ecan ism o de
m an ivela-corredera e n línea.
(4.3)
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.4
la figura 1.8 m uestra el concepto d e u n a bom ba m anual que se utiliza para increm entar k presión d d aceite e n una
In e a hidráulica. D eterm ine an alitk am en te el desplazam iento del pistón, confórm e el m ango gira 15* e n se n tid o an ti­
horario.
F IG U R A 4 .1 8
S O L U C IÓ N :
I.
B o m b a m a n u a l d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.4.
D ib u je el diagram a cinem ático
0 diagrama cinemático está dado en la figura 4.19a. El extrem o del m ango se identifcó com o el p u n to de interés X.
f ig u r a
2.
4 .1 9
D iagram as d el m ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo
4 .4 .
Analice la geom etría d e la configuración original
contraste con el problem a anterior, este m ecanism o es u n m ecanism o d e m anivela-corredera descentrado. En
o t e tipo d e m ecanism os c o m í en e en focarse e n dos triángulos rectángulos, los cuales se m uestran e n la figura
4.19b. O bserve que se indica el ángulo de 10* y s u com plem ento de 80*.
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A n á lisis d e p o sic i6 n y desp la z a m ie n to________ 83
Antes d e o b serv ar la configuración desplazada d d m ecanism o, es necesario d e te rm in a r to d a s la s
propiedades d e la configuración original. C oncentrándonos en el triángulo rectángulo inferior, los lados A D y
fíD se determ inan c o n las siguientes funciones trigonom étricas:
AD
eo s A B A D = —
AB
A D = (AB) eo s ¿ R 4 D = (5 in ) (eos W ) - 0 B 7 in
sen ¿ B A D -
BD
—
AB
B D = ( A B ) sen ¿ .B A D = (5 in) |s c n 8 0 ° | = 4.92 in
Al concentrase e n el triángulo superior, la lo n g itu d del lado CE se calcula su m a n d o la distancia del descen­
tra d o y b lo n g itu d del la d o A D desde el triángulo in fe rio r
C E = descentrado + A D = I B + 0 8 7 = 1 8 7 in
Se u sa el teorem a d e Pitágoras, ecuación (3.4), para d eterm in ar el lado BE
BE - V B C 2 - C E 3
= V W - I W ) 2 = 3 8 4 in
La posición original del pistón, el p u n to G s c calcula su m a n d o B D y BE:
Lc = B D + BE - 4.92 + 3 8 4 - 8.46 in
Aun cu an d o n o s e solicita e n este problem a, norm alm ente se desea conocer el ángulo que define la orien­
tación del eslabón 3. El ángulo Z.BCE * calcula con la función del coseno inverso:
L B C E = <os- l ( ^
'( ! )
3.
) = eo s1
= 62.13-
A nalice la geom etría d e la configuración desplazada
En la figura 4.19c se m uestra b configuración desplazada c o n el m ango g irad o 15* hacia abajo. O bserve q u e este
desplazam iento genera u n ángulo e n la u n ió n A de 25* y s u com plem ento, de 65*. tam bién se ilustra e n la figura.
Centrándose e n e l triángulo rectángulo interior, los lados A D ' y B D ' » determ inan aplicando las siguientes fun­
d o n e s trigonom étricas:
A D ' - ( A B ')c o s ¿ B 'A D 1 - (5 in) (eos 65*) - 2.11 in
B 'D ' - (A B ')s e n Z B 'A D ' - (5 m ) (sen 6 5 1 - 4 8 3 in
Al centrarse e n el triángulo superior, b longitud d el lado C 'E ' se calcula sum ando la distancia del descen­
tra d o (A R y la lo n g itu d d el lado A D 'del triángulo inferior:
C E ' - AF + A D '
-
IX) + 111 - 3.11 in
A hora se determ ina el lado B E \
B ’E ’ -
V ( B ’C ')1 - ( C E ')1 - V ( 4 in)J - (3.11 in)1 “ 2 8 2 in
La posición desplazada del pistón se calcula s u m a n d o B'D ' y B E \
l ¿ - B 'D ’ + B 'E ' - 4 8 3 + 2 8 2 - 7X>5 in
4.
Calcule el desplazam iento m u lt a n te
El desplazam iento del pistón, el p u n to C, d u ran te este m ovim iento se calcula restando la longitud L'c d e Lf<
A R c - 8.46 - 7X)5 - 1.41 in i
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84
CAPITULO CUATRO
4 .6 .2 E c u a c io n e s d e a n á l i s i s d e p o s ic ió n
en f o r m a c e r r a d a p a r a u n a
m a n iv e la -c o rre d e ra d e s c e n tra d o
0 m ecan ism o d el p ro b lem a d e ejem plo 4.4 e s u n m ecanism o d e
m anivela-corredera d escen tra d o , ya q u e la trayectoria restringida
d e la u n ió n d e p e m o e n la co rre d era n o se extiende a trav és del
m ism o nivel d el c e n tro d e ro tació n d e la m anivela. La fig u ra 4 2 0
ilu stra la c o n fig u ra c ió n b ásica d e u n m e c a n is m o d e m anivelaco rre d era descentrado.
típ ico im plica b localización d e la posición d e los eslabones, dadas
las longitudes ( t j , Lj y £*) y el á n g u lo d e la m anivela (0? XE specí­
ficam ente, h a y q u e d e te rm in a r la posición d e la co rre d era ( U ) y
los án gulos interiores (8 ¡ y y ) d e las un io n es.
Las ecuaciones generales son
9, = s e n " '
Chorno este tam b ién es un m ecanism o co m ú n , se pueden ge­
neralizar lo s resultados d el p ro b lem a anterior (ref. 12). Un análisis
(4.6)
L>
L+ =
L¡ e o s 02 +
y = 180° -
f i g u r a 4.20 M ecan ism o d e m an iv ela-co rred era descentrado.
¿ i + L j s e n 0,
¿ 3 COS 8 )
(A , + 0 S)
(4.7)
(4.8)
Estas ecuaciones se u tiliz a n p a r a d e te rm in a r la p o sic ió n de
los e s la b o n e s e n u n a c o n fig u ra c ió n c u a lq u ie ra d e u n m e c a ­
n ism o . R ecuerde, s in em bargo, q u e estas ecu ac io n e s ún icam en te
so n ap licab les a u n m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era d escen ­
tr a d o . L as ecuaciones ta m b ié n a p lic a n c u a n d o b d ista n c ia del
d e scen tra d o está e n d ire c c ió n o p u e s ta a la direcció n m ostrada
e n la fig u ra 4.20. E n tales casos, L\ e n la ecu a c ió n (4 .6 ) s e d e ­
b e rla s u s titu ir p o r u n v a lo r negativo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.5
La fig u ra 4.21 p re se n ta u n a su je ta d o ra q u e sirv e p a r a asegurar u n a pieza d e trabajo d u ra n te u n a o p e ra c ió n de
rm quinado. D eterm ine analíticam ente el ángulo que se debe desplazar el m ango para levantar d brazo de b sujeta­
d o ra 30* e n el sentido horario.
S O L U C IÓ N :
I.
D ibuje u n diagram a cinem ático
□ d h g ra m a cinem ático d e la sujetadora s e observa en la figura 4 2 2 a . El ex trem o del m an g o está d efin id o com o
d p u n to de interés X La nariz d e la sujetadora lú e identificada com o el p u n to d e interés Y,
2.
A nalice la geom etría d e la configuración original
Este es u n m ecanism o c o m ú n de c u a tro barras. Para u n análisis m is m inucioso d e la geom etría, la figura 4 2 2 b
detalla la cadena cinem ática A BCD .Se crea u n a diagonal para conectar B y D .con lo q u e form an dos triángulos.
Antes d e analizar la configuración desplazada del m ecanism o, se d eb en determ inar todas las propiedades de
b configuración original. O bserve que el triángulo inferior, A BD .es u n triángulo rectángulo. Se calcula la longi­
tud B D usando el teorem a de Pitágoras presentado e n la ecuación (3.4).
BD = V l A B )1 + (A D ) 2 -
V ( 1 2 ) 2 + (25)2 = 27.73 m m
lo s ángulos interiores, ¿ ABD y ZBDA.se calculan a partir d e las fundones trigonom étricas básicas siguientes:
, ( 25 m m \
L A B D - sen 1 — — ------- - 64.4»
V.27.73 m m /
L BDA = eos 1(
m m ^ _ 25
\ 27.73 m m /
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A n á lisis d e p osic ió n y d e sp la za m ien to
a) Diagrama cinemático
b) Configuración original
15
C¡ Configuración desplazad)
ó .ir
133 r
/% .ir
- 9or
T
í Ángulo interór en B
d)
f ig u r a
M ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo
4J2
4 .5 .
C entrándose e n el triángulo d e la p arte superior, el ángulo interior ¿ B C D s e calcula aplicando la ley d e los
cosenos, q u e se presentó e n la ecuación (3.7):
L B C D = eos
i BC* +
V
CD> - BD1 \
2 (B O (C D )
)
/ ( 2 0 m m )J + (15 m m )2 - (27.73 m m )2'
= f~
2(20 m m ) (15 m m)
l ----------------------------------------------
H á n g u lo interior Z.CBD se determ ina aplicando la ley d e los senos:
¿C B D
,- t
m
sen ¿B C D
3 1 .7 *
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*
1 0 3 .9 *
86
CAPITULO CUATRO
"it se puede calcular d ángulo in te rio r ¿ B D C porque la su m a d e los ángulos interiores de cualquier triánp ilo es igual a 180", de m o d o que
¿ BDC -
180" - (103.9" + 31.7") - 44.4"
Se d eterm in an a h o ra todos los án gulos del m ecanism o: d e la u n ió n B (entre los eslabones 2 y 3 ) y de la
unión D (entre los eslabones l y 4).
En la unión B:
¿-A B C = ¿ A BD + ¿ C B D ■ 6 4 .4 " + 31.7®= 96.1®
En la unión D:
L C D A - ¿ B D C + ¿ B D A = 44.4" + 25.6" = 70.G"
3.
Analice la geom etría d e la configuración desplazada
En h figura 4 22 c s e muestra b configuración desplazada con la nariz de la sujetadora, el eslabón 2. girado 30" en el
sentido horario. Observe que esto luce que el ángulo interior d e la u n ió n A, ¿ DAB"sea igual a 60*. Asimismo,
el triángulo inferior d e a d e ser un triángulo rectángulo.
l a lo n g itu d de la diagonal B 'D se calcula usan d o el triángulo inferior. A ABD, y la ley d e los cosenos:
B’D = V ( 1 2 m m )! + (25 m m )2 - 2(12 m m )(2 5 m m )c o $ 6 0 " = 2 1 6 6 m m
B ángulo interior Z-AB'D también se calcula aplicando la ley de los cosenos:
2 (A B ')(B 'D )
_,[‘(12)2 ♦ (21.66)* - (25)?
[
2(12X21.66)
91J "
Todos los ángulos interiores d e u n triángulo deben su m a r 180". Por lo tanto, el á n g u lo ¿ B 'D A se calcula fá ­
cilmente:
¿ B 'D A - 1 8 0 " - U D A B ' + ¿ A B 'D )
* 180*- (60° + 91J " ) - 28.7"
Enfocándose e n el triángulo d e la p arte superior, el ángulo in te rio r ¿ B 'C D se calcula aplicando la ley de los
cosenos:
( B ' Q 2 + ( C 'P ) 2 - ( B 'P ) 2 1
¿ B 'C 'D = e o s'
2 ( B 'C ) ( C 'D )
J
(20 m m )2 + (15 m m )2 - (21.66 m m )2
2(20 m m )(15 m m )
74.9°
H ángulo interior ¿ C B V se determ ina aplicando la ley d e los senos:
t e
n
- » - '[ ( £ 2 ) - * « ■ » ]
« n “M I
15 m m \
— Iscn 74.9°
»° = 42.0°
2166 m m /’
tt”
B ángulo interior final / B 'D C ' del triángulo su p erio r se calcula de la siguiente m anera:
¿ B ’D C -
180" - ( 6 C 'B 'D + ¿ B 'C 'D ) -
1 8 0 " - (4 2 B "+ 74.9") - 63.1"
Se d eterm in an ahora todos los ángulos del m ecanism o: de la u n ió n B‘ (entre los eslabones 2 y 3 ) y de b
unión D (entre los esk b o n es 1 y 4) de b siguiente m anera:
En la unión B':
¿ A B ' C = ¿ A B ’D + ¿ .C 'B 'D = 91J " + 42.0" = 133.3"
En la unión D:
¿LC'DA -
¿ B ' D C + ¿ B 'D A - 6 3 . 1 " + 2 8 .7 " - 916"
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A n á lisis d e p o s ic ió n y d e sp la za m ien to __________87
4.
C alcule e l d e sp la z a m ie n to r esu lta n te
H ¿ a p la z a m ie n to an g u lar del m a n g le ! eslabón 3, se determ ina enfocándose e n la u n ió n f t com o se indica e n la
figura 4 2 2 d . En b configuración original, d ángulo del eslabón 3 arriba d e la horizontal se expresa com o
L A B C - 9 0 ° = 96.1° - 903)° = 6.1®
&i la configuración ¿ a p la z a d a , el á n g u lo del a la b ó n 3 a rrib a d e la horizontal s e expresa com o
L A B ' C - 120" = 133J® - 1203)" - 133®
R m ím enle, el ¿ a p la z a m ie n to an g u lar del a la b ó n 3 se calcula con
- 1 3 3 " - 6.1® - 72®, e n sentido antihorario
4 .6 .3 E c u a c io n e s d e p o s i c i ó n p a r a u n
m e c a n is m o c e r r a d o d e c u a t r o b a r r a s
E l m e c a n is m o d e c u a tro b a rra s a o t r o e s la b o n a m ie n to m uy
co m ú n . La fig u ra 4 2 3 m u e s tra u n m ecan ism o d e c u a tro b arra s
general.
siones geom étricas. T a la regiones se co n o cen c o m o circuitos de
otsamble. U n m ecan ism o está im p o sib ilitad o p a ra m overse d e un
circuito d e ensam ble a o tr o s in desarm arse. El m ecanism o q u e se
lu s t r a e n la figura 4 2 3 o p e ra e n el p rim e r circu ito (figura 4.24a),
Ciicuito 1
b)
a)
F IG U R A 4 .2 4
Las cc u a c io n a especificas q u e s e u sa ro n e n el p ro b le m a de
e jem p lo 4 .5 s e p u ed en g e n e ra liz a r [ref. 12). Un an álisis típico
im p lica el c á lc u lo d e los á n g u lo s i n t e r i o r a (0 * 0 4 y y ) d e las
u n io n e s, si se c o n o c e n lo s e s la b o n a (L t, ¡4 , L j y U ) a cierto á n ­
g u lo d e la m an iv ela (0 2) . E sp ed ficam en te, se d eb en d e te rm in a r
lo s á n g u lo s in terio res (0 *. 0 * y y ) d e las u n io n a .
BD =
+ I¿ ( I 3 )2 +
7
C0S
(4.9)
2 (1 , ) ( W c o s ( 0 2)
( ¡ m )2 -
(B D )'-
2(L ¡H U )
1
(4 .1 0 )
\
C ircu ito s d e u n m ecan ism o d e c u a tro b arra s.
D a c o n c c ta n d o físicam en te la u n ió n C , lo s a l a b o n a se
p u ed en re o rie n ta r y en sam b lar d e n u ev o c o n la c o n fig u ra d ó n
m o stra d a e n la fig u ra 4.24b. C uando o p e r a a t e m ecanism o, se
m u e v e d e a c u e rd o c o n el s e g u n d o d r c u ito . A u n c u a n d o el
m o v im ie n to d el m e c a n is m o p a rece s e r d ife re n te , e n relación
c o n la o p e r a d ó n d el d rc u ito , n o cam b ia el m o v im ie n to relativo
e n tre los e s la b o n a . S in em bargo, e s necesario esp ed fica r el d r ­
c u ito d o n d e e stá e n s a m b la d o el m e c a n is m o p a r a e n te n d e r el
m o v im ien to a b so lu to y la o p e r a d ó n d el m ecanism o.
P a ra la o p e r a d ó n d el m ecanism o d e c u a tro b a rra s e n el se­
g u n d o d r c u ito , la e c u a d ó n (4 .1 1 ) s e d e b e m o d ific a r lig e ra ­
m en te d e la sig u ien te m anera:
= 2 ta n - I
0 4 = 2 ta n -1
- ¿ 2 s e n 02 + U s e n y
¿ j + Lj -
L¡ eo s 0 j -
£4 c ° s y \
¿2 s e n 02 — ¿3 s e n y
L¡ eo s d } + L , -
L¡ -
1
(4 .1 1 )
03 = 2 ta n
1
1
L} e o s y \
—¿ 2 s e n 02 . L t + L) -
1-t s e n y
L 2 COSO2 -
L fc o s y
(4.13)
(4 .1 2 )
Se tien en q u e a p lic a r estas e c u a c io n a p a ra d e te rm in a r la
p o s id ó n d e lo s e s la b o n a e n u n a c o n fig u ra c ió n c u a lq u ie ra de
u n m e c a n is m o . L as e c u a d o n a s o n a p l ic a b l a a cu a lq u ie r
m ecan ism o d e c u a tro b a rra s en sam b lad o , c o m o se in d ica e n la
fig u ra 4.23.
4 .6 .4 C i r c u i t o s d e u n m e c a n is m o
d e c u a tro b a r r a s
E n lo s m ecan ism o s d e c u a tro b a r r a s d a s ific a d o s c o m o de
m an iv ela-b u lan d n (com o el d o c r ito e n la sección 1.10), hay dos
re g io n e s d e p o sib le m o v im ie n to c o r re s p o n d ie n te a d o s in v er-
04 = 2 ta n -1
¿2 s e n 0 2 + L y s e n y
. Lj eo s0j +
-
L\
-
Lycos
(4.14)
r\
4.7 PO SIC IO N E S L ÍM IT E : AN ÁLISIS
GRÁ FICO
La c o n f ig u ra d ó n d e u n m e c a n is m o q u e u b ic a u n o d e lo s a l a b o n a se g u id o re s e n u n a p o s id ó n e x trem a s e c o n o c e com o
posición lim ite. M u c h a s m á q u in a s tien en m ecan ism o s q u e o s­
cilan c o n tin u a m e n te e n tre d o s p o s i d o n o lim ite. La fig u ra 4.25
ilu stra las p o s i a o n a lim ite d e u n m e c a n is m o d e m anivelac o rre d e ra d e s c e n tra d a
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88
CAPITULO CUATRO
E l d e s p la z a m ie n to d el eslab ó n se g u id o r d e u n a p o sic ió n
lim ite a o t r a d e fin e la carrera d el se g u id o r. En eslab o n es
c o n tra sla c ió n , c o m o el d e la fig u ra 4.25a, la c a rre ra e s lineal.
Para eslab o n es c o n ro ta d ó n p u ra , la ca rre ra es u n a cantidad a n ­
gular, q u e tam b ién se co n o ce c o m o desplazam iento, c o m o se in ­
d ica e n la fig u ra 4.25b. La c o n fig u ra c ió n d e lo s eslab o n es
q u e u b ic a u n se g u id o r e n u n a p o sic ió n lim ite está aso ciad a con
u n a m anivela y u n a c o p la d o r q u e se vuelven colineales. L a figura
4 .2 5 m u e s tra la s c o n fig u ra c io n e s lim ite d e u n m e c a n is m o de
m an iv ela-co rred era y u n o d e c u a tro b arra s. E l á n g u lo d e dese
q u iü b rio
se d efine c o m o el á n g u lo e n tre la co n fig u rac ió n del
a c o p la d o r e n las d o s p o sic io n e s lim ite. El á n g u lo d e d e se q u ili­
b r i o in flu y e e n el r itm o d e avance y retroceso d e la c a rre ra , el
cu al s e u tilizará extensivam ente e n el c ap itu lo 5 . <x>n frecuencia
s e desea c o n o c e r la p o sic ió n d e u n eslab ó n im p u lso r, o eslabón
actu ad o r, q u e coloca al eslab ó n seg u id o r e n u n a posición lim ite
o ex tre m a . A sim ism o , el m o v im ie n to d e u n m e c a n is m o está
c o m ú n m e n te relacionado c o n la p o sic ió n d el a c tu a d o r q u e c o ­
lo ca o) se g u id o r e n u n a p o sic ió n lim ite.
La ló g ica q u e se a p lic a e n la so lu c ió n d e e ste p ro b le m a es
s im ib r a la d el an álisis d e p o sic ió n q u e s e a c a b a d e efectuar.
L o s sig u ien tes e je m p lo s ilu s tra n ese análisis.
O rn er a . |A R c U ,
6 ) C u a tr o barras
FIGURA 405 P osiciones lím ite.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4 .6
H m ecanism o m o strad o e n la figura 4.26 es el eslabonam iento im pulsor d e u n a sierra caladora (de vaivén) recipro­
cante. D eterm ine las configuraciones d el m ecan sm o que u bican la hoja de la sierra e n sus posiciones limite.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
4 J 6 M ecanism o d e la sie rra ca la d o ra d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.6.
Dibuje u n diagram a cinem ático
H diagram a cinem ático del m ecanism o d e la sierra reciprocante se m uestra e n la figura 4.27a. Observe q u e se
trata d e u n m ecanism o d e m anivela-corredera, com o el d efin id o en el capitulo 1, que tien e un g rad o de libertad.
C onstruya la posición lim ite exten d id a
La hoja de b sierra, el esb b ó n 4, alcanza su posición extrem a hacia abajo cuando los esbbones 2 y 3 se m ueven aKreados colín calmen te. Esta configuración proporciona b distancia m áxima entre los puntos A y C Para determ inar
b distancia máxima, s e deben com binar las longitudes d e los esbbones 2 y 3 . l a su m a d e estas longitudes da
L¡ + Ly = 0.5 in + 1.75 in - 2 2 5 in
Una vez que se obtiene b lo n g itu d com binada d e las lineas 2 y 3 , se deberia c o n stru ir u n a rc o con e sta long tu d . con c e n tro en el p u n to A. C o m o s e ilustra e n la figura 4 2 9 b , la intersección del arco c o n la trayectoria
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A n á lis is d e p o s i d ó n y d e s p la z a m ie n to __________89
posible del p u n to C dctcrm ina la posición lím ite extendida d e C, denotada por C’.S c dibujan k » eslabones 2 y 3,
luego se determ ina el p u n to B'. E sto se observa e n la figura 4.29c.
3.
Construya la posición lim ite retraída
Ahora se debe determ inar la configuración que ubica la hoja de la sierra, d eslabón 4, e n su posición superior ex­
trem a. En esta configuración, los eslabones 2 y 3 so n cohneales nuevam ente, au n q u e esta vez se traslapan, lo cual
nos brinda la distancia m ínim a entre los p u ntos A y C d e m o d o que esta distancia m ín im a es la diferencia entre
h s lo n g itu d es d e los eslabones 3 y 2 . La diferencia d e las longitudes de los eslabones es
L > - L ¡ a L75 in - 0 5 in - 1 2 5 in
tí
f ig u r a
4 3 7 ftís id o n e s ex trem as d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.6.
Esta posición lim ite retraída se determ ina usan d o u n a técnica sim ilar a aquella q u e se u tliz ó p a ra determ ir n r la posición ex ten d id a. R ecuerde q u e la distan cia e n tre A y C \ e n b figura 4.27b, representa b longitud
sim a d a d e los eslabones 2 y 3. De la m ism a form a, b distancia entre los p u ntos A y C " represento b diferencia
entre los eslabones 3 y 2.
Usando la distancia L¡ - L¡,s e calcula la posición del p u n to C en su posición extrem a hacia arriba, repre­
sentada p o r C " (figura 4 2 7 b ). Finalm ente, se dibujan los eslabones 2 y 3 , luego se ubica la posición del p u n to B '.
M ida la carrera d el eslabón seguidor
C óm o se m uestra e n la figura 4 2 7 c, b carrera d e la hoja d e b sierra se m ide com o el desplazam iento extrem o del
p u n to C A I tom ar e n cuento la escala e n el diagram a cinem ático, se obtiene el siguiente resultado:
lA R jn * . » 1 2 7 in
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90
CAPITULO CUATRO
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.7
La figura 4.28 m uestra u n m ecanism o q u e opera la boquilla d e agua e n u n laxado autom ático de vehículos. D eterm i­
ne las posiciones lim ite del m ecanism o que ubica la boquiDa e n s u s posiciones extrem as.
S O L U C IÓ N :
I.
¡labore W diagram a cinem ático
f h la figura 4.29 s e m uestra el diagram a cinem ático del m ecanism o d e la boquilla de agua. Observe que es un
m ecanism o de c u a tro barras c o n u n g rad o d e libertad.
2.
C onstruya la posición lim ite exten d id a
H análisis de este ejem plo es m uy sim ilar al problem a de ejem plo 4.6. La boquiDa, el eslabón 4. alcanza su p o si­
ción extrem a hacia abajo cuando los eslabones 2 y 3 s e vuelven col incales. Esta configuración proporciona la dis­
tancia m áxim a entre los p u n to s A y C Para determ inar esta distancia m áxim a, se deben com binar las longitudes
de los eslabones 2 y 3. La su m a d e tales longitudes nos da
¿2+
= 0.75 in + 20 0 in = 2.75 in
I9
f i g u r a 4 .2 9 I b s i c i o n e s e x t r e m a s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o
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4.7.
A n á l i s i s d e p o s i c i ó n y d c s p l a z a m i e n t o ___________ 91
U ia vez que s e determ ina la longitud com binada d e las lincas 2 y 3 , se debería construir u n a rc o d e esta lo n ­
gitud con centro e n el p u n to A. C om o se m uestra e n la figura 4.28b. la intersección d e este a rc o y la trayectoria
posible del p u n to C d e te rm in an la posición extrem a hacia abajo d e C , denotada con C '. Se dibujan los eslabones
2 y 3. y se determ ina el p u n to B'. Esto se m uestra e n la figura 4.29c.
3.
Construya la posición lim ite retraída
Luego se determ ina la configuración que coloca la boquilla, el eslabón 4 e n su posición lim ite superior. Com o
a i la m anivela-corredera analizada a i el problem a d e ejem plo 4,6, la configuración retraída o cu rre cu an d o los
eslabones 2 y 3 s e v u ch én colinc.iles, pero s e traslapan. Asi se genera la distancia m ín im a e n tre los p u n to s A y C,
d e m o d o q u e esta distancia m ínim a es la diferencia e n tre las lo n g itu d es d e los eslabones 3 y 2 . La resta d e dichas
b n g itu d c s da
L , - L j = 2.00 in - .75 i n = 1 2 5 in
Esta distancia m ín im a se construye d e m anera parecida a la técnica de la distancia m áxim a. Recuerde que la
d sta n c ia e n tre A y C '.e n la figura 4 2 9 c , representa la longitud com binada d e los eslabones 2 y 3. Asim ismo,
b distancia e n tre los p u n to s A y C * representa la diferencia entre los eslabones 3 y 2.
Usando la distancia L, - L¡. es posible d eterm in ar la posición d el p u n to C en su posición extrem a hacia
arriba, denotada c o n C". lo cu al se presenta en la figura 4 2 9 b . Finalm ente, s e d ib u p n los eslabones 2 y 3 , y se lo ­
caliza la posición del p u n to B '.
M id a la carrera d el eslabón seguidor
C om o se m uestra e n b figura 4 2 ^ , la carrera d e la boquilla se m ide com o el d esp b zam io ito an g u lar extrem o
del eslabón 4 . l a m edición de este form ato gráfico d a c o m o resultado:
iM j-to
4 .8 PO SIC IO N E S LIM IT E : M É T O D O
A N A LÍTIC O
L a d e te rm in a c ió n a n a lític a d e la s p o sic io n e s lim ite d e u n
m ecan ism o e s u n a c o m b in a c ió n d e d o s c o n c e p to s presentados
c o n a n te rio rid a d e n e ste capitulo:
I. I a lógica d e la c o n fig u ra c ió n d e u n m ecan ism o en u n a
c o n fig u rac ió n lim ite. Esto s e p re se n tó e n el m éto d o
g ráfico p a r a d e te rm in a r la s p o sic io n e s lim ite, que
se in tro d u jo e n la se cció n 4.7.
-
4 7 j0 “
O . 0 m é to d o d e d e sco m p o sició n d e u n m ecanism o e n triá n (jilo s c o n v en ien tes y el u so d e la s leyes trig o n o m étricas,
p a ra d e te rm in a r to d o s lo s á n g u lo s y las lo n g itu d e s del
m ecanism o, p re se n ta d o e n la se cció n 4.6.
La c o m b in a c ió n d e esos d o s c o n c e p to s p a ra d e te rm in a r la
posición d e to d o s los e sla b o n e s d e u n m ecanism o e n u n a posid ó n lím ite se ilu s tra c o n el p ro b le m a d e e jem p lo 4.8.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4,8
La figura 4 JO m uestra el m ecanism o d e u n a b an d a tran sp o rtad o ra de transferencia, cuya función e s su m in istra r
piquetes a u n a estación d e em harque e n intervalos específicos. D eterm ine analíticam ente las posiciones extrem as del
segm ento d e elevación de la banda transportadora.
S O L U C IÓ N :
I.
Elabore el diagram a cinem ático
&i la figura 431 a se m uestra el diagram a cinem ático de este m ecanism o. El extrem o del segm ento transportador
* identificó com o el p u n to de interés X.
2.
Analice la geom etría e n la posición lim ite exten d id a
Este m ecanism o es o tro eslabonam iento d e c u a tro barras. Com o s e v io e n el problem a de ejemplo 4.7, el seguidor
de u n m ecanism o de c u a tro barras está e n la posición lim ite extendida cu an d o los eslabones 2 y 3 s e vuelven
m lincalcs. En la figura 4 J l b se ¡lustra el m ecanism o con el seguidor e n su posición superior. O bserve q u e los
esbbones form an u n triángulo general AAC’D. Tam bién advierta q u e b longitud d e A C ’ es de 20 in (16 + 4).
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92
CAPITULO CUATRO
FIGURA 4.50 B a n d a tra n s p o rta d o ra d e su m in istro
del p ro b le m a d e e jem p lo 4.8.
f i g u r a 4 . 31 M ecanism o d el p ro b le m a d e ejem plo 4.8.
l a posición lím ite superior se define com pletam ente determ inando los ángulos interiores. El á n g u lo inte*
ñ o r e n la u n ió n A , ¿ .C A D , se calcula c o n la ley de los cosenos:
L C A D - eo s 1
AD¡ + A C - C D ¡
2(AD ) (A C 1)
J
(18 in )J + (20 i n ) 1 ~ (8 in )J
-e o s-*
= 23.6*
2(18 in ) (20 in)
Se u sa la ley d e los senos para calcular cualquiera de los án gulos interiores restantes. Sin em bargo, la ley de
los senos quizás origine confusión c o n ángulos entre 90* y 180* porque
sen 0 - se n (180" - 0 )
C uando se utiliza h función inversa d el se n o e n u n a calculadora, el ángulo se encuentra e n tre 0 o y 90°. No
obstante, el resultado q u e se busca puede ser u n á n g u lo e n tre 90° y 180°. Para m inim izar tal contusión, se re­
com ienda d ib u ja r los trián g u lo s a u n a escala aproxim ada y verificar los resultados num éricos. A sim ism o, es
m ejor u sa r la ley de los senos con ángulos d o n d e sea evidente q u e s e eiK uentran e n el ran g o d e 0 o a 90°.
C on este enfoque, el ángulo in te rio r e n la u n ió n C ', ¿1ACT),se determ ina usando la ley d e los senos, porque
es evidente que es m en o r de 90*.
L A C D - sen-1 (
sen
|s e n ¿ C A D
18 in\
sen 23.6°
8 iaj
64.1*
Se determ ina el ángulo interior e n la u n ió n D. / . ADC'.
L A D C = 180* - ( ¿ C ’A D + ¿ .A D C ')
= 180" - (23.6* + 64.1*1 = 92J *
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A n á l i s i s d e p o s i c i ó n y d e s p U z a m i e n t q ___________ 9 3
3.
A nalice la geom etría en la posición lim ite retraída
l a figura 4.31c m uestra este m ecanism o con el seguidor e n la posición inferior. O tra ver, los eslabones form an
u n triángulo AA C D . O bserve que la lo n g itu d d e A C es de 12 in ( 1 6 - 4 ) .
Para definir com pletam ente esta configuración, s e determ inan los ángulos interiores con u n procedim iento
idéntico al q u e s e acaba de describir.
Para el ángulo interior de la u n ió n A , / . C ' A R
l
C
ad
= eos- '
A D 1 + A C '¡ - C 'D 3
22 (t A D ) ( A C )
L
j (1 8 in )? + (12 in)* - ( S in )2
C0Í [
- 20.7°
2(18 in ) ( ! 2 in)
0 ángulo interior e n D está e n el intervalo d e 0* a 90°. Por lo tanto, para el ángulo interior en Li u n ió n R
LAD C
L A D C " - sen
sen Z .C "A D |
32.1a
sen 20.7*
m
0>r últim o, el ángulo interior en la u n ió n C*. / A C ’D , se determ ina de la m anera siguiente:
/ . A C ”D = 180° - ( / . C " A D + /.A D C " )
= 180° - (20.7* + 32.1°) = 1272a
4.
M id a la carrera d el eslabón seguidor
Para resum ir, el segm ento transportador (ángulo interior e n ki u n ió n D. / AD C) recorre u n espacio angular que
se encuentra entre los 92 J * y 32.1”, m edido hacia a rrib a desde la vertical:
32.1a <
< 92 J *
y la carrera es
M m b = 92 J * - 32.1a = 6 0 2 a
4 .9 Á N G U L O D E T R A N S M I S I Ó N
= eo s
La ventaja m ecánica d e un m ecanism o e s la ra z ó n d e la fuerza de
salid a (o to rq u e) d iv id id a e n tre la fuerza d e e n tra d a (o torque).
En u n eslab o n am ien to , el ángulo d e transm isión y cu an tifica la
tran sm isió n d e la fiierza a tra v é s d el m ecanism o y a fre ta directa­
m en te la eficiencia m ecánica. E videntem ente, las d efiniciones del
á n g u lo d e tran sm isió n d e p en d en d e la selección d el eslabón im ­
pulsor. En la figura 4.32 s e presenta el á n g u lo d e tra n sm isió n de
m ecanism os d e m anivela-corredera y d e c u a tro b a rra s im p u lsa­
d o s p o r u n a m a n iv ela. En e s to s e sla b o n a m ie n to s, la ventaja
m ecán ica es p ro p o rc io n a l al s e n o del á n g u lo y . C o n fo rm e el es­
lab o n am ien to se m ueve, el á n g u lo d e transm isión, ju n to c o n los
o tro s á n g u lo s d e la s un io n es, y la v en taja m ecán ica, cam bian
co n stan tem en te. C o n frecu en cia s e d esean c o n o c e r los valores
a \re m o s d el á n g u lo d e tran sm isió n .
E n el eslab o n am ien to m an iv ela-co rred era, el á n g u lo de
tran sm isió n se m id e e n tre el acoplador y ti lin ea norm al a la d irec­
ción d e deslizam iento. Los valores m ín im o s y m áxim os del ángulo
d e tra n sm isió n s e d e te rm in a n g e o m é tric a m e n te c o n stru y en d o
configuraciones co m o la m ostrada e n la figura 4 J 2 a . D e m anera
alternativa, lo s án g ulos d e transm isión m ín im o y m á x im o d e u n
m ecan ism o m anivela-corredera s e calculan a p a rtir d e
-i
I , + L>
(4.15)
(4 1 6 )
E n los m ecan ism o s d e c u a tro b a rra s , el á n g u lo d e tr a n s ­
m isió n s e m id e e n tr e el eslab ó n d e salida y el acoplador. A l igual
q u e e n la m a n iv e la -c o rre d e ra , los v alo res d e los á n g u lo s de
tr a n s m is ió n m in im o y m á x im o s e d e te r m in a n g e o m é tric a ­
m e n te c o n s tru y e n d o c o n fig u ra c io n e s c o m o la m o stra d a e n la
fig u ra 4 J 2 b . A lternativam ente, los án gulos d e tran sm isió n m ín i­
m o y m áx im o se calcu lan con
y m tn =
eos
rm ix
COS
=
-1
• L\ +
-
(L | -
l¡ )2
(4 1 7 )
2 L jL 4
-1
‘ I i + ! j - ( L t +
2 I4 L 4
L2 ) 2
(4 1 8 )
El á n g u lo d e tra n sm isió n e s u n a m e d id a d e la calid ad d e la
tr a n s m is ió n d e la fu e rz a e n el m e c a n is m o . N o rm a lm e n te , el
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94
CAPITULO CUATRO
el á n g u lo d e tr a n s m is ió n in flu y e e n la v en taja m e c á n ic a d el
m e c a n is m o Las config u racio n es d e m ecan ism o s d e m anivelac o rre d e ra y d e c u a tro b a rra s , q u e p ro d u c e n á n g u lo s d e tr a n s ­
m isió n m ín im o s y m áxim os, ta m b ié n se m u estran e n la fig u ra
4 .3 2 . U na re g la p rá c tic a c o m ú n es q u e los á n g u lo s d e tr a n s ­
m isió n d e b e ría n p e rm a n e c e r e n tre lo s 4 5 ° y 135*. S e p r o p o r ­
c io n a m a y o r d e ta lle e n el an álisis d el d ise ñ o d el m ecan ism o en
el c a p itu lo 5.
4.10 C IC L O C O M PL E T O :
ANÁLISIS G R Á FIC O DE PO SIC IÓ N
f i g u r a 4.32
La configuración d e u n m ecanism o e n u n in sta n te especifico se
co n o ce tam bién c o m o jtise del m ecanism o. H asta a h o ra , los an áli­
sis d e posición se c e n tra ro n e n d e te rm in a r b láse d el m ecanism o
e n u n a cierta posición d e u n eslabón d e e n t r a d a El análisis d el ci­
c lo e s tu d b el m o v im ie n to d el m ecanism o d esd e u n a fase inicial y
a u m e n ta g rad u alm en te a tra v é s d e u n a serie d e fases d u ra n te la
operación. La asignación d e u n a fase inicial se utiliza com o refe­
rencia d e las fases subsecuentes. S e p u ed e elegir cu a lq u ie r confi­
guración ventajosa c o m o b fase iniciaL Es c o m ú n u sa r u n a p o si­
ción lím ite c o m o la fase inicial o d e referencia.
P ara efectuar el an álisis d e p o sic ió n d e u n d e l o com pleto,
l a co n fig u rac ió n d d m ecanism o se d e b e d e te r m in a ra diferentes
in terv alo s d e s u c id o . El p ro ced im ien to , y a sea g ráfico o a n a ­
lítico , e s ex actam en te d descrito e n b s secciones an terio res. La
ú n ic a diferen cia es q u e esto s p ro c e d im ie n to s s e re p ite n a d ife ­
ren tes intervalos d el d esplazam iento d e en trad a. Los problem as
d e e jem p lo sig u ien tes ilu stran d an álisis d e p o s id ó n d e u n d d o
c o m p le ta
A ngulos d e tran sm isió n .
a c o p la d o r es u n e s b b ó n d e te n s ió n o d e c o m p re sió n . P o r lo
ta n to , tan so lo p u e d e e m p u ja r o j a b r a lo largo d e b lin ea q u e
c o n ecta lo s d o s p e rn o s. C u a n d o s e ap lica u n a to rq u e al pivote d e
salid a, b tra n sm isió n ó p tim a d e b fuerza o c u r re c u a n d o el á n ­
g u lo d e tr a n s m is ió n es d e 90°. C o n f o r m e el á n g u lo d e t r a n s ­
m isió n s e desvia d e lo s 90°, s o lo u n a c o m p o n e n te d e la fuerza
del a c o p la d o r s e co n v ierte en to r q u e e n el pivote, d e m o d o q u e
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4.9
la figura 4 3 3 m uestra el m ecanism o im pulsor d e u n as tijera s para podar m anualm ente. El m ecanism o opera girando
d disco grande com o s e indica. D eterm ine gráficam ente la posición d d m ecanism o im pulsor e n varias fases de su d d o d e operación.
Un motor
Caradoras móviles
g ira e l d ú c o
1.0*
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
2.0*
4 3 3 T ije r a s p a r a p o d a r d d p r o b le m a d e e j e m p l o
4.9.
U abore e l diagram a cinem ático y calcule la m ovilidad
E n la figura 4 3 4 a se presenta el diagram a cinem ático. El ex trem o d e la h o ja d e c o rte m edia se identifica com o el
p u n to de interés X.
l a m ovilidad d d m ecanism o se calcu la com o:
n = 4 j f = (3 p ernos + I corredera) = 4 j k = 0
y
M
=
3(n — 1) -
2
j f
-
fl,
- 3(4 - 1) - 2(4) - 0 - 1
Por lo tanto, el ú n ic o e s b b ó n d e en tra d a se m ueve p a ra o p erar las tijeras.
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A n á lis is d e p o s ic ió n y d e s p la z a m ie n to __________95
2.
D iseñe la fa se d e referencia
Rna asignar una fcise d e referencia, únicam ente se debe esparificar b posición d el esb b ó n d e entrada. S e selecciona
en form a arbitraria b configuración cuando el disco impulsor, el esb b ó n 2. está en una poskión vertical, con la
rn ió n B directam ente debajo d e b u n ió n A.
3.
Construya u n in terv a lo d e fases
B d ib u jo del m ecanism o e n varias fases d e su ciclo es idéntico al análisis d e posición anterior, pero repetitivo.
M ientras s e dibujen las diferentes fases con m étodos gráficos, el diagram a cin cm átk o suele cargarse m uy rápido.
f i g u r a 4.34 Fases del m ecanism o del problem a d e ejem plo 4.9 .
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(C ontinúa).
96
CAPITULO CUATRO
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f ig u r a
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(G m if o iM a d r O
Se recom ienda am pliam ente que se utilicen diferentes colores o fuentes p a r a representar c ad a fase del ciclo.
Cuando s e u sa el CAD, tam bién es ventajoso colocar cada fase en u n nivel diferente, el cual logre desplegarse u
ocultarse rápido.
&i este problem a, el eslabón im pulsor, el eslabón 2 , se posiciona e n intervalos d e 45* a través d e s u ciclo. Por
consiguiente, se construyen o ch o fases del m ecanism o, las cuales se designan c o m o fases I a 8. Las ocho posi­
ciones d e los p u n to s B y X s e m uestran e n la figura 4.34b. O bserve q u e los p u ntos se identifican usan d o subhd ices del I al 8, de acuerdo con la fase correspondiente. E n la práctica, se utilizan incluso m enores increm entos
dependiendo d e los detalles que se requieran d el m ovim iento d el m ecanism o.
C onstruya las posiciones lim ite
También se determ inan las fases asociadas c o n las posiciones lim ite. La hoja d e corte alcanza s u posición m ás ele­
vada cu an d o d eslabón 4 g ira al m áxim o ángulo posible. Esto o cu rre cuando d eslabón 4 es tangente al circulo
que representa las posiciones posibles del p u n to B. El p u n to de tangencia se denota com o B 'y la posición corres­
pondiente de las cuchillas s e d enota c o n X '. Esto s e m uestra e n la figura 4.34c.
lai posición inferior d e la cuchilla o cu rre cu an d o d eslabón 4 g ira hasta su ángulo m en o r. O tra vez, esto
ocurre cu an d o d eslabón 4 es tangente al circulo q u e representa las trayectorias posibles d e R Los p u ntos rela­
cionados c o n kt configuración m ás baja se denotan e n la figura 4 3 4 c c o m o B 'y X*.
El desplazam iento m áx im o del eslabón 4 se m ide a p artir d e la construcción cinem ática:
-
4 .1 1
C IC L O C O M P L E T O :
A N Á L IS IS D E L A P O S IC IÓ N
Para o b ten er la configuración d e u n m ecanism o a trav és d e u n d d o . se repite el m éto d o an alítico para alcanzar varias fases. Suele
tra ta rse d e u n p ro ceso ex cesivam ente rep etitiv o , p o r lo c u a l es
c o m ú n u sa r pro g ram as d e software, c o m o se verá e n el c ap ítu lo 8.
290°
Las e c u a d o n e s g e n e ra d a s a p a r tir d e tr iá n g u lo s defin id o s
p ir c ia lm e n te p o r lo s e s b b o n e s d e l m ecan ism o , s e re su m e n
com o las e c u a d o n e s (4 .1 ) a (4 .12). Estas ecuaciones s e despejan
p i r a diferentes valores d e la p o s id ó n d el im p u lso r. Las h o ja s de
cálculo c o m o las q u e se v e rá n e n el capitulo 8 so n ideales para
tales análisis.
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A n á lisis d e p o s ic ió n y d e sp la za m ien to __________97
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4 .1 0
L i figura 4.35 ilustra u n m ecanism o que se diseñó para e m p u ja r piezas d e u n transportador a otro. D urante la tran s­
ferencia, las piezas se deben girar com o se indica. Determ ine analíticam ente la posición d e la varilla d e em p u je en
varias tases d e s u m ovim iento.
FIGURA4.35 A lim en tad o r d el tra n s p o rta d o r del p ro b le m a d e e jem p lo 4.10.
S O L U C IÓ N :
I.
IS b u je e¡ diagram a cinem ático
El diagram a cinem ático d e este m ecanism o s e presenta e n la figura 4 3 6 . Observe q u e se trata de un m ecanism o
de m anivela-corredera descentrado q u e tien e u n g rad o d e libertad.
f ig u r a
2.
4 3 6 D iag ram a cin em ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.10.
D iseñe la fase inicial
Se elige d e m anera arbitraria q u e la tase inicial sea cu an d o la m anivela está horizontal, colocando el p u n to B d i­
lectam ente a la izquierda de la u n ió n A.
3.
Construya las fases del intervalo
Recuerde q u e tas ecuaciones (4.6), (4.7) y (4.8) describen la posición d e u n m ecanism o d e m anivela-corredera
descentrado las cuales se pueden usar e n el anáfisis d e u n ó d o com pleto. Las ecuaciones se utilizaron ju n to con
u n a h o ja d e cálculo, lo cu al dio los resultados m ostrados e n la figura 4 3 7 . Si n o está fam iliarizado con las hojas
de c á lc u lo consulte el capitulo 8.
4.
Identifique las posiciones lim ite
C entrándonos e n la posición del eslabón 4, la op ilació n de la corredera se aproxim a com o
2631 m m < í , < 9 3 3 5 m m
y el desplazam iento m áxim o com o
l A t a U - ( te í n a , ~ W m u , * * 3 3 5 - 2 6 3 1 = 66.74 m m
Esto e s so lo u n a aproxim ación porque c o n increm entos de 15* la posición lím ite n o se puede detectar con exac­
titud. C uando s e requiere inform ación exacta sobre la posición lím ite, se recom ienda u sa r las técnicas presentadas en
b sección 4 3 .
Q uizás haya contusión al observar el valor del ángulo f i en el á n g u lo d e la m anivela, 0¡, que es igual a 360°. El
valor d ebería s e t idéntico al valor inicial e n 0° del á n g u lo de la m anivela. O bserve que los valores difieren d u ran te los
360°. U no m ide d ángulo interior, y el o tro el ángulo exterior. Esto m uestra la necesidad de verificar la inform ación
obtenida a partir de las ecuaciones con la d el m ecanism o fisico.
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98
CAPITULO CUATRO
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195
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18.57
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4 2 .3 9
12-37
-33.52
4 2 .3 7
225
4 8 .2 3
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721
-52.21
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255
220
6 2 .2 3
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3.29
0.84
8 3 .2 9
•758 4
0.00
■90.00
295
77.76
084
10584
Z1
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•123 29
315
9 0 66
9 4 .3 5
9 5 .3 5
7.21
12.37
14221
•162 3 7
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330
345
18.52
-183.52
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4 .1 2
4 J 7 Itosiciones d e la varilla d e em p u je d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.10.
D IA G R A M A S D E D E S P L A Z A M IE N T O
U n a vez q u e se efectú a el análisis d e p o sic ió n d e u n ciclo c o m ­
pleto, es m u y razo n ab le g ra fic a r el d esplazam iento d e u n p u n to
e n relació n c o n el d esp lazam ien to d e o t r o p u n to . Lo m á s fre ­
c u e n te e s g r a fic a r el d e s p la z a m ie n to d e u n p u n t o s o b r e el
se g u id o r e n relació n c o n el d esplazam iento d e u n p u n to so b re
el im pulsor.
C o m ú n m e n te , el d e sp la z a m ie n to d e l im p u lso r se g rá fic a
so b re la h o riz o n ta l. E n el c a s o d e u n a m a n iv ela, el d e sp la z a ­
m ie n to d el im p u lso r es d e u n a rev o lu ció n . El d esp lazam ien to
corresp o n d ien te d el se g u id o r s e g ráfica a l o largo d e la vertical.
3 d esplazam iento graficado so b re el eje vertical p u e d e ser lineal
o a n g u la r, d e p e n d ie n d o d e l m o v im ie n to q u e s e o b tie n e del
m ecan ism o esp ecífica
P R O B L E M A D E E JE M P L O 4 .1 1
La figura 4 3 8 ilustra el m ecanism o im pulsor de u n com presor reciprocante. Elabore u n diagram a d e desplazam iento
«fcl desplazam iento del pistón en relación con u n g iro d d cigüeñal.
S O L U C IÓ N :
1.
Elabore el diagram a cinem ático
Después de un exam en rig u ro sa el m ecanism o del com presor se identifica com o u n m ecanism o d e m anivelacorredera. Recuerde que este m ecanism o tien e u n g rad o de libertad y s e opera con el g iro de la m anivela. En
la figura 4 3 9 s e m uestra el diagram a cinem ático con las dim ensiones adecuadas.
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C a b r a d p i c i ta i d o
hgura
4.M C o m p re s o r del p ro b le m a d e e jem p lo 4.11.
C
2.0
.75
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(D
HGURA 4.39 D iag ram a cin em ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.11.
IH seile la f a s e d e referen cia
C óm o se observa e n la figura 4 J 9 . ia fase d e referencia s e elige arbitrariam ente c o n la m anivela e n posición ver­
tical, colocando la u n ió n B ¿ re c ta m e n te arriba d e la u n ió n A . La poskión d el pistón (el p u n to C) se m ide a partir
d e esta posición d e referencia.
C o n stru ya las fa se s d e l in te r v a lo
Los desplazam ientos reales se determ inan, analítica o gráficam ente, usan d o los m étodos presentados e n las sec­
ciones anteriores. Para d m ecanism o d e m anivela-corredera, el desplazam iento se obtuvo analíticam ente con las
ecuaciones ( 4 J ) a ( 4 3 ). C o n u n a hoja de cálculo, los resultados se obtuvieron c o m o se m uestran e n la figura
4.40. El desplazam iento d e la m anivela (0 ,) se m ide e n grados; y el desplazam iento d el pistón (ARc), e n pul­
i d a s (in ).
Id e n tifiq u e las p o sicio n es lim ite
C entrándose e n la posición del pistón, la oscilación se ap rtn im a com o
lA ^ U -U O ta
C om o se vio e n el problem a an terio r, esto es solo u n a aproxim ación, porque e n increm entos de 30* la posi­
d ó n lim ite n o se detecta c o n precisión. Sin em bargo, para el m ecanism o de m a n i vela-corredera en linea, u n exa­
m en d e la geom etría revela q u e las posiciones lim ite se presentan e n los án gulos 0* y 180" de la manivela. Por
consiguiente, la carrera e s exactam ente de 13 0 in .
Elabore e l d ia g r a m a d e d e sp la za m ie n to
Los valores obtenidos en la hoja de cálculo y tabulados e n la figura 4.40 se gráfica ron e n la figura 4.41 para c rear
d diagram a de desplazam iento.
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100
CAPITULO CUATRO
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8
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1.233
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1.435
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12
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1.233
13
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14
300
0 .4 8 3
15
330
0 .1 3 6
16
360
0 .0 0 0
- • * - « * -
•nd m i o rí» m
om i i »»io
FIGURA4.40 (to sid o n cs d e d esplazam ientos d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.11.
A ^ a <VUataai«t»
= F
FIGURA 4.41 D iag ram a d e d esplazam iento d el p ro b le m a d e e jem p lo 4.11.
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A n á lis is d e p o s ic ió n y d e s p la z a m ie n to _________101
4 .1 3
CURVAS DEL A CO PLA D O R
C o n frecuencia, la f o n d ó n d e u n m ecanism o es g u ia r u n a pieza a
lo larg o d e u n a trayectoria esp ecifica Las trayectorias generadas
p o r los p u n to s d e u n a b iela, o u n acoplador, d e u n m ecanism o de
cu atro b arra s c o n frecuencia lo g ran lo s m o v im ien to s com plejos
que se d esean , l a ru ta de u n p u n to es la trayectoria q u e sig u e el
p u n to c o n fo rm e el m ecanism o s e m ueve a trav és d e su d d a La
tray ecto ria t razad a p o r cu alq u ier p u n to d el a c o p la d o r s e co n o ce
co m o curva de acoplador. Las d o s c u rv as d e acoplador, e s decir,
aquellas trazad as p o r las u n io n e s d e p e rn o d d acoplador, s o n a r ­
co s sim p les, c o n c e n tro e n lo s d o s p iv o te s fijo s. N o o b sta n te ,
o tro s p u n to s d d a c o p la d o r sig u e n c u rv as com p lejas. La figura
4.42 ilu stra u n m ecanism o d e cuatro b a rra s , d o n d e se despliegan
las c u rv as d el aco p lad o r d e u n o s c u an to s p u n to s seleccionados.
F I G U R A N .! P ro b le m a s 1 y 2.
A n á lisis g r á fic o d d d e s p la z a m ie n to
4 -3 .
D e te rm in e g ráficam en te el d esp lazam ien to d e los p u n ­
to s P y Q c o n fo rm e el eslab ó n m o s tr a d o e n la fig u ra
P 4.3 s e d e sp la z a 2 5 ° e n s e n tid o a n tih o r a r io . U se
P - 5 5 ° y y = 30*.
P
Q
F IG U R A « .4 2 C u rv as d e acoplador.
Los m é to d o s d e e ste c ap itu lo sirven p a r a c o n s tru ir la r u ta
d d m o v im ien to d e ciertos p u n to s s o b re u n m ecanism o. La sec­
c ió n 4.10 in tro d u c e el co n cep to d e la co n stru c c ió n d e la confi­
g u ració n e n varias fases d e su d d o . P o r la m a n e ra c o m o se cons
tru y e n tales fases, se p u e d e v isu alizar la p o sic ió n d e ciertos
p u n to s . La c u rv a fo rm a d a c u a n d o s e u n e n la s p o s ic io n e s de
esto s p u n to s en v a ria s fases d el m ecan ism o d e te rm in a la ru ta
d e ese p u n to . Si lo s p u n to s se e n c u e n tra n e n u n eslab ó n flotante,
la ru ta resultante, o c u rv a d d aco p lad o r, es com pleja. E stas rutas
se u tilizan p a ra d e te rm in a r los req u erim ien to s espaciales d e u n
m ecanism o.
F IG U R A P 4 J P r o b l e m a s 3 , 4 , 3 8 , 3 9 .
4 -4 .
D e te rm in e g ráficam en te el d esplazam iento d e los p u n ­
to s P y Q c o n fo rm e el eslab ó n m o s tr a d o e n la fig u ra
P4.3 s e d e sp la z a 35* e n d s e n tid o h o r a r io . Use
/ í ” 65° y y • 15*.
4 -5 .
Posicione gráficam ente los eslabones del eslabonam iento
c o m p re so r e n b c o n fig u ra c ió n m o stra d a e n la figura
P 4.5. Luego, re p o s id o n e lo s eslab o n es c o n fo rm e la
n u n iv e la d e 4 5 m m g ir a 9 0 ° e n s e n tid o a n tih o ra rio .
Determ ine d desplazam iento resultante d d pistón.
PRO BLEM A S
A u n c u a n d o la s t é c n i c a s d e d i b u j o m a n u a l e s s o n d i d á c t i c a s e n
lo s p r o b le m a s q u e r e q u i e r e n s o l u c i ó n g r á f ic a , se r e c o m ie n d a
a m p lia m e n te d u so d e u n s is te m a d e
cad.
D e s p la z a m ie n to e n g e n e ra l
4 -1 .
4 -2
El d isp o sitiv o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra P4.1 es u n
m ecan ism o d e y u g o escocés. L a posición h o riz o n ta l d d
e slab ó n 4 s e d e fin e c o m o x - 3 eo s (5 0 f + 40°),
D eterm in e d d esplazam iento d el eslabón 4 d u r a n te un
intervalo d e 0 .1 0 a 1.50 s.
En d m ecan ism o d e y u g o escocés d e la fig u ra P4.1, la
po sició n h o riz o n ta l d el eslab ó n 4 s e d efine c o m o x = 3
eo s (5 0 f + 40°). D e te rm in e d d e sp la z a m ie n to del es­
lab ó n 4 d u r a n te u n intervalo d e 3.8 a 4 .7 s.
FIGU RA P 4 3 P ro b le m a s 5 ,6 .4 0 .5 6 ,6 3 ,7 0 ,7 6 .8 2 .
4 -6 .
IY »idonc gráficam ente los eslabones d d com presor e n la
configuración m ostrada e n la figura P 4 5 . Luego, reposi­
d o n e lo s eslabones c o n fo rm e la m anivela d e 45 m m gira
120° e n d se n tid o horario. D eterm ine d desplazam iento
resultante d d pistón.
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102
CAPITULO CUATRO
4 -7 .
l\> sid o n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d e l m ecan ism o
d e c o rte e n la co n fig u rac ió n m o stra d a e n la fig u ra P4.7.
lu eg o , re p o s id o n e lo s eslabones c o n fo rm e la m anivela
d e 0 .7 5 in g ira 100° e n el s e n tid o h o ra rio . D eterm in e
d d esp lazam iento re su lta n te d e la cuchilla.
4 -1
1. Ifosicione g rá fic a m e n te los e s b b o n e s d e la p u e rta d el
h o rn o e n la co n fig u rac ió n m o stra d a e n b fig u ra P 4 .11.
Luego, re p o s id o n e lo s e s b b o n e s c o n fo rm e el m ango,
que s e e n c u e n tra o rig in a lm e n te e n 10°, g ira h a s ta los
40* e n el s e n tid o a n t i h o r a r i a D e te rm in e el d e s p b z a m ic n to re su lta n te d e la p u e r ta
f ig u r a
4 -1 2 .
ftzsicione g rá fic a m e n te los e s b b o n e s d e b p u e rta del
to r n o e n b c o n fig u ra d ó n m o stra d a e n b fig u ra P 4.11.
l u e g a re p o s id o n e los eslabones c o n fo rm e b p u e rta se
d e v a 3 in . D e te rm in e e l d e s p b z a m ie n to a n g u b r re ­
f e r i d o d el m an g o p a r a elevar b p u e rta 3 in.
4 -1 3 .
En b fig u ra P 4.13 s e m u e s tra u n m ecan ism o tr itu r a d o r
de ro cas. P o sic io n e g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s en b
c o n f ig u ra d ó n m o s tra d a . L uego, re p o sic io n e los es­
b b o n e s c o n f o rm e la m a n iv e b g ira 3 0 " e n el s e n tid o
h o r a r i a D e te rm in e e l d e sp la z a m ie n to a n g u b r resu l­
ta n te d el ariete tritu ra d o r.
FIG U R A P4.7 P ro b le m a s7 .8 . 4 1 . 5 7 . 64. 7 1 .7 7 .8 3 .
4 -8 .
4 -9 .
Posicione g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d e l m ecan ism o
d e c o rte e n la c o n fig u ra d ó n m o stra d a e n la fig u ra P4.7.
lu e g o , re p o s id o n e los eslab o n es c o n fo rm e la cuchilla
d esd e n d e 0 2 in . D eterm in e el d esplazam iento an g u lar
resu ltan te d e b m an iv ela
P4.11 P roblem as 1 1 ,1 2 ,4 3 .
t o s i d o n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d e l m ecan ism o
d e e s ta m p a d o e n la c o n f ig u ra d ó n m o s tra d a e n la
fig u ra P4.9. Luego, re p o s id o n e lo s eslabones c o n fo rm e
el m an g o g ira 15® e n el s e n tid o h o ra rio . D e te rm in e el
d esp lazam ien to resultante d el sello y el d e sp b z a m ie n to
lin eal d el ex trem o d el m a n g a
360 mm
FIGU RA P 4 .I3 Problem as 13. 14. 4 4 . 5 8 . 65. 7 2 , 7 8 . 8 4 .
4 -1 4 .
En b fig u ra P4.13 se o b se rv a u n m ecan ism o d e tr it u ­
ra d o r d e rocas. P o s id o n e gráficam ente lo s eslabones en
b c o n fig u ra d ó n m o stra d a . L u e g a re p o s id o n e lo s es­
b b o n e s c o n fo rm e b m a n iv e b g ira 150“ e n s e n tid o and h o r a r i a D eterm in e el d esplazam iento a n g u la r resul­
tan te d el ariete tritu ra d o r.
4 -1 5 .
Posicione gráficam ente los e s b b o n e s del m ecan ism o del
im p ia d o r au to m o triz p osterior d e v id rio s m o strad o en
b fig u ra P 4 .I5 . L u e g a re p o s id o n e lo s e s b b o n e s c o n ­
form e b m a n iv e b d e 2 in gira 50“ e n el se n tid o horario.
D e te rm in e el d e s p b z a m ie n to a n g u b r re su lta n te del
brazo d el lim p ia d o r y el desplazam iento lineal e n el ex­
FIGU RA P4.9 Problem as 9 .1 0 . 42.
4 -1 0 .
ft> sid o n e g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d e l m ecan ism o
d e estam p ad o e n b c o n fig u ra c ió n q u e se p resen ta e n la
fig u ra P4.9, Luego, re p o s id o n e lo s eslabones c o n fo rm e
d m an g o g ir a 10" e n se n tid o a n tih o r a r ia D e te rm in e el
d e sp b z a m ie n to resultante d el sello y el d e sp b z a m ie n to
lin eal d el e x tre m o d el m ango.
tre m o d e b h o ja d el lim piador.
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A n á lis is d e p o s ic ió n y d e s p la z a m ie n to _________103
Hoja del limpiador
4 -2 0 .
Brazo «VI limpwfcir
fttsic io n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d el m ecan ism o
im p u lso r del tr e n d e a te r riz a je d e u n a a e ro n a v e p e ­
q u e ñ a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra P4.20. Luego, rep o si­
d o n e los eslabones c o n fo rm e la m anivela d e 12 i n g ira
60" e n el s e n tid o h o r a r io a p a r t i r d e la o rie n ta c ió n
m o strad a. D eterm in e el d esplazam iento a n g u la r resu l­
ta n te d el en sam b le d e la ru ed a.
Murivcla
f ig u r a
4 -1 6 .
4 -1 7 .
P t l5
P ro b le m a s 1 5 ,1 6 .4 5 .5 9 .6 6 ,7 3 ,7 9 .8 5 .
Ifosicione g rá fic a m e n te los e sla b o n e s d e l m ecan ism o
del lim p ia d o r tr a s e r o d e v id rio s m o stra d o e n la figura
P 4 .I5 . L uego, re p o sic io n e los e s la b o n e s c o n fo rm e la
m an iv ela d e 2 in g ir a 110® e n el s e n tid o h o r a rio .
D e te rm in e el d e s p la z a m ie n to a n g u la r re su lta n te d el
b razo d el lim p ia d o r y el d esplazam iento lineal e n el e x ­
tre m o d e la h o ja d el lim p iad o r.
Ifo sid o n e g rá fic a m e n te lo s eslab o n es d e la s pin zas de
p re s ió n m o s tra d a s e n la fig u ra P 4 .I7 . L uego, rep o si­
cio n es lo s eslab o n es c o n fo rm e la m o rd a z a s u p e rio r se
ab re 4 0 ° a p a r tir d e la o rie n ta c ió n m o stra d a , e n tan to
q u e la m o rd a z a in fe rio r p e rm a n e c e esta c io n a ria .
D e te rm in e el d e s p la z a m ie n to a n g u la r re su lta n te d el
m ango su p e rio r.
FIGURA P 4 J0 P roblem as 2 0 .2 1 ,4 7 ,6 0 ,6 7 ,7 4 ,8 0 ,8 6 .
4 -2 1 ,
Ifosicione g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d el m ecan ism o
im p u lso r del tr e n d e a te r riz a je d e u n a a e ro n a v e peq u en a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra P4.20. Luego, reposid o n e lo s eslabones c o n fo rm e la m anivela d e 12 in g ira
110° e n el s e n tid o h o r a r io a p a r tir d e la o rie n ta c ió n
m o strad a. D eterm in e el d esplazam iento a n g u la r resu l­
ta n te d el en sam b le d e la ru ed a.
4 -2 2 .
ftjs ic io n e g rá fic a m e n te lo s eslab o n es d e la b o m b a de
aire d e p e d a l q u e s e ilu s tra e n la fig u ra P4.22. Luego,
itp o sic io n e los eslabones c o n fo rm e el pedal gira 25° en
se n tid o a n tih o ra rio a p a rtir d e la o rie n ta c ió n m ostrada.
D e te rm in e el d e s p la z a m ie n to lineal re su lta n te del
p u n to X y la d is ta n d a que s e retrae el d l i n d r o d e aire.
Asim ism o, c o n el d iá m e tro d el cilindro igual a 25 m m ,
d e te rm in e el v o lu m e n d e a ire d esplazado p o r este
m ovim iento.
4 —18. Ifo sid o n e g rá fic a m e n te lo s eslab o n es d e la s pin zas de
p re sió n m o s tra d a s e n la fig u ra P 4 .I7 . Luego, reposid o n e s lo s eslab o n es c o n fo rm e la m o rd a z a s u p e rio r se
a b re 2 0 ° a p a r tir d e la o r ie n ta d ó n m o stra d a , e n tan to
q u e la m o rd a z a in fe rio r p e rm a n e c e e s ta d o n a ria .
D e te rm in e el d e s p la z a m ie n to a n g u la r re su lta n te del
m ango su p e rio r.
4 -1 9 . C u a n d o se g ira el to m illo d e m arip o sa e n el m an g o in ­
fe rio r d e la s pin zas d e p r e s ió n d e la fig u ra P 4.17, se
m u ev e el p u n t o d e p iv o te efectivo d el eslab ó n d e 7.0
cm . D u ra n te e ste m o v im ien to , el re so rte ev ita q u e las
m o rd azas se m u e v a n . P o sicio n e g rá fic a m e n te los e s ­
lab o n es c o n fo rm e el p u n to d e pivote electivo se m ueve
2 cm a la d e re c h a . L uego, re p o sic io n e los e sla b o n e s
co n fo rm e la m o rd a z a s u p e rio r s e a b r e 40" a p a r tir d e la
n u ev a o rie n ta c ió n , e n ta n to la m o rd a z a in fe rio r p e r­
m an ece e sta d o n a ria . D eterm in e el d esplazam iento a n ­
gu lar resu ltan te d el m an g o su p e rio r.
FIGURA P 4 J2 P ro b le m a s 2 2 ,2 3 ,4 8 .
4 -2 3 .
P osidone gráficam ente los eslabones d e la b o m b a d e aire
de p e d a l que se ilu stra e n la figura P 4 3 2 . Luego, rep o d
d o n e los eslabones conform e el cilindro d e aire se retrae
175 m m . D e te rm in e el d esp lazam ien to a n g u la r resu l­
t ó t e d el pedal y el desplazam iento lineal d el p u n to X.
4 -2 4 .
P o sid o n e g rá fic a m e n te los eslab o n es d el e le v a d o r del
h o r n o d e m ic ro o n d a s, q u e a y u d a a g e n te e n silla de
ruedas, m o stra d o e n la fig u ra P 4.24. Luego, re p o sid o n e
los e sla b o n e s c o n fo rm e el a c tu a d o r lin e a l se r e tr a e a
u n a lo n g itu d d e 4 0 0 m m . D e te rm in e el d esplazam iento
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104
CAPITULO CUATRO
a n g u la r re su lta n te d el e s la b ó n d e s o p o r te fro n ta l y el
d esp lazam ien to lineal d e cu a lq u ie r p u n to sobre el p o r ­
ta d o r d el h o rn o
4 -2 8 .
Posicione g ráficam en te lo s eslab o n es d e la p latafo rm a
ele v a d o ra m o s tra d a e n la fig u ra P 4 .2 8 . D e te rm in e la
lo n g itu d d el c ilin d ro h id r á u lic a L u e g a re p o s id o n e los
eslab o n es c o n f o rm e la p la ta fo rm a s e elev a a 4 0 in.
D eterm in e la lo n g itu d q u e se d e b e ex ten d er el cilindro
h id ráu lic o p a r a realizar e ste m ovim iento.
’k n a fo rm a
FIGURA P4.M P roblem as 28, 2 9 ,5 1 .
4 -2 5 .
R>sicione g ráfica m e n te los eslab o n es d el e le v a d o r del
Iw rn o d e m icro o n d as, q u e a y u d a a g e n te discapacitada,
m o stra d o en la fig u ra F 4.24. Luego, reposicione lo s es­
b b o n e s c o n fo rm e el eslabón d e s o p o rte frontal s e eleva
45° a p a r tir d e la o rie n ta c ió n m o stra d a . D e te rm in e la
d istan cia q u e necesita re tra e rse el a c tu a d o r lineal,
4 -2 6 .
t o s i d o n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d el c o n te n e d o r
d el ca m ió n q u e s e u sa p a r a c a rg a r su m in is tro s e n las
aero n av es, c o m o s e in d ic a e n la fig u ra P 4.26. Luego,
re p o s id o n e lo s eslab o n es c o n fo rm e el p e rn o in fe rio r se
d esliza 0 .5 m h a d a la cabina. D e te rm in e el d e sp la z a ­
4 -2 9 .
Ito sid o n e g ráfica m e n te lo s eslab o n es d e la p la ta fo rm a
elev ad o ra m o s tra d a e n la fig u ra P 4 .2 8 . D e te rm in e la
b n g itu d d el c ilin d ro h id r á u lic a L u e g a re p o s id o n e los
eslab o n es c o n f o rm e la p la ta fo rm a d escien d e a 30 in.
[> eterm ine la lo n g itu d q u e se d e b e re tra e r el c ilin d ro
h id ráu lic o p a ra e fectu ar e ste m o v im ien to .
4 -3 0 .
H m ecanism o m o stra d o e n la fig u ra P4.30 s e u sa e n los
proyectores d e d n e p a ra av a n z a r la película. P osicione
g ráfica m e n te lo s e s b b o n e s p a r a b c o n fig u ra c ió n
m ostrada. L u e g a re p o sicio n e los e s b b o n e s c o n fo rm e
b m anivela g ira 9 0 ° e n el se n tid o h o ra rio . D e te rm in e el
d esplazam iento re su lta n te d e la u n a d e avance.
m ie n to lin eal re su lta n te d e cu a lq u ie r p u n to d e la caja
d e carga.
f¥ m o < te d r s ln a m ifn to
281
48 mm
U ó a de —
avance
N it n iv e la
18 m m
f e lf c u la
f ig u r a p «j o
F IG U R A P 4 J6
4 -2 7 .
P ro b le m a s 2 6 ,2 7 ,5 0 .
!\> s¡d o n c g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d el c o n te n e d o r
d el ca m ió n q u e s e u sa p a r a c a rg a r su m in is tro s e n lo s
aero p lan o s, c o m o s e in d ica e n la fig u ra P 4.26. L u e g a
re p o sicio n e lo s e s b b o n e s c o n f o r m e e l p e rn o in fe rio r
se desliza 0 .7 5 m aleján d o se d e b cabina. D e te rm in e el
d esp lazam ien to lineal re su lta n te d e cu a lq u ie r p u n to d e
b caja d e carga.
2 5 mm
f to b le m a s 3 0 ,3 1 ,5 2 ,6 1 ,6 8 .
4 -3 1 .
H m ecanism o m o stra d o e n b fig u ra P 4 JO se utiliza en
los proyectores d e cin e p a ra avanzar b película. ft& icione
gráficam ente los e s b b o n e s p a r a b co n fig u rac ió n m o s­
tra d a . L u e g a re p o sicio n e lo s e s b b o n e s c o n fo rm e b
m a n iv e b g ir a 130* e n el se n tid o h o rario . D eterm in e el
desplazam iento resultante d e b u n a d e avance.
4 -3 2 .
Ifo s id o n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d el m ecan ism o
de b su s p e n s ió n d elan tera a u to m o triz q u e se ilu s tra en
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A n á lis is d e p o s ic ió n y d e s p la z a m ie n to ________ J0 5
la fig u ra P 4.32. Luego, re p o s id o n e los e s b b o n e s c o n ­
fo rm e el b ra z o d e c o n tro l s u p e rio r g ir a 20" e n el sen­
tido h o r a r i a C alcule el d esp lazam ien to resu ltan te d e b
j u r te in fe rio r d el n e u m á tic o . A sim ism o d e te rm in e el
cam b io e n b lo n g itu d d el resorte.
4 -3 4 .
Ifosicione g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d el m ecan ism o
tr itu r a d o r d e rocas q u e s e p resen ta e n b fig u ra P4.34.
l u e g a re p o s id o n e los eslabones c o n fo rm e b m anivela
gira 120° e n el se n tid o h o rario . D eterm in e el d e sp b z a m ie n to a n g u b r resu ltan te d el ariete tritu ra d o r.
FIGURA P4.34 P roblem as 3 4 ,3 5 ,5 4 ,6 2 ,6 9 .7 5 ,8 1 ,8 7 .
fig u r a
P4.32 P roblem as 3 2 ,3 3 , 53.
4 -3 3 . P bsicione g rá fic a m e n te los e s b b o n e s d e l m ecan ism o
en la su s p e n s ió n d elantera au to m o triz q u e se ilu stra e n
la fig u ra P4.32. L u e g a re p o s id o n e los e s b b o n e s c o n ­
fo rm e el b razo s u p e rio r d e c o n tro l g ira 10" e n se n tid o
a n tih o r a rio . D e te rm in e el d e s p la z a m ie n to re su lta n te
d e b p a r te in fe rio r d el n e u m á tic o . D e te rm in e a s i­
m ism o el ca m b io e n la lo n g itu d del resorte.
FIG U R A P-t-36
4 -3 5 .
PO sicione g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d e l m ecan ism o
tr itu r a d o r d e rocas m o stra d o e n la fig u ra P 4.34. L u e g a
r e p o s id o n e lo s e s b b o n e s c o n fo rm e b m a n iv e b g ira
75* e n el s e n tid o h o ra rio . D e te rm in e el d e sp b z a m ie n to
an g u lar resu ltan te d el a rie te tritu ra d o r.
4 -3 6 .
Ifosicione g rá fic a m e n te los e s b b o n e s d e l c a m ió n d e
volteo q u e s e ilu s tra e n b fig u ra P 4.36. L uego, reposic io n e los e s b b o n e s c o n f o rm e s e a c o r ta el c ilin d ro
Problemas 3 6 .3 7 . 5 5 .
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106
CAPITULO CUATRO
0 .1 5 m . D e te rm in e e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r re su l­
ta n te d e cu a lq u ie r p u n to s o b re la caja.
4 -3 7 .
Ifosicione g rá fic a m e n te los e sla b o n e s d e l c a m ió n d e
v o lteo d e b asu ra m o s tr a d o e n b fig u ra P 4.36. Luego,
re p o s id o n c lo s eslabones c o n f o rm e s e a b r g a el cilindro
0.2 m . D e te rm in e e l d e s p b z a m ie n to a n g u la r resu ltan te
d e cu a lq u ie r p u n to s o b r e la caja.
D e te rm in e a n a lític a m e n te e l d e s p la z a m ie n to d e lo s
p u n to s P y Q , c o n f o rm e e l e s la b ó n m o s tr a d o e n b
fig u ra P 4.3 s e d e s p b z a 30° en se n tid o a n tih o ra rio . Use
P = 5 5 °y y = 30*.
4 -3 9 .
D e te rm in e
p u n to s P y
fig u ra P 4.3
P * 65°yy
4 -4 0 .
D eterm in e an alíticam en te el d esplazam iento lineal del
p istó n d el eslab o n am ien to c o m p re s o r m o stra d o e n la
fig u ra P4.5, c o n fo rm e la m anivela d e 4 5 m m g ir a 90a a
p i r t i r d e su p o sic ió n actu al e n s e n tid o a n tih o ra rio .
4 -4 1 .
D eterm in e a n a líticam en te el d e sp b z a m ie n to lineal d e
la c u c h illa d e l m e c a n is m o d e c o rte m o s tr a d o e n b
fig u ra P4.7, c o n fo rm e b m a n iv e b d e 0 .7 5 i n g ir a 50a a
p a rtir d e su p o sic ió n actu al e n s e n tid o a n tih o ra rio .
4 -4 2 .
D e te rm in e an alíticam en te el d esplazam iento lineal del
sello del m ecanism o m o stra d o e n b fig u ra P4.9, c o n ­
fo rm e el m an g o g ir a 20a a p a r tir d e s u p o s id ó n actu al
e n el se n tid o h o ra rio .
4 -4 3 .
4 -5 0 . D eterm in e a n a líticam en te b d is ta n c b v ertical q u e d es­
ciende d c o n te n e d o r d d ca m ió n d e b fig u ra P4.26, si
los p e rn o s in ferio res se s e p a ra n d e 2.0 a 1.5 m .
4 -5 1 . D e te rm in e a n a lític a m e n te b ex ten sió n re q u e rid a del
d lin d ro h id rá u lic o p a r a elevar la p b ta f o rm a m o strad a
en b fig u ra P 4 .2 8 u n a a ltu r a d e 45 in .
A n álisis a n a lític o d e l d e s p la z a m ie n to
4 -3 8 .
4 -4 9 . D eterm ine analíticam ente el d esplazam iento a n g u la r del
eslabón d el s o p o r te fro n ta l d el d e v a d o r d el h o r n o de
m ic ro o n d a s m o stra d o e n b fig u ra F 4.24, c o n fo rm e el
actu ad o r lineal se retrae a u n a lo n g itu d d e 4 2 5 m m .
a n a lític a m e n te e l d e s p b z a m ie n to d e lo s
Q , c o n f o rm e e l e s la b ó n m o s tr a d o e n b
s e d e s p b z a 4 0 ° e n s e n tid o h o r a rio . Use
- 15a.
D eterm in e a n a lític a m e n te el d e sp b z a m ie n to lineal d e
b p u e r ta d e l h o r n o d el m e c a n is m o m o s tr a d o e n b
fig u ra P 4 . l l , c o n f o rm e e l m a n g o d e 26 i n g ir a 25a a
p a rtir d e s u p o s id ó n actu al e n s e n tid o a n tih o r a r ia
4 -4 4 .
D e te rm in e a n a lític a m e n te e l d e sp la z a m ie n to a n g u b r
del ariete d el m ecanism o tr itu r a d o r d e ro cas m o stra d o
en la fig u ra P 4.13, c o n fo rm e la m anivela d e 60 m m g ira
40a a p a rtir d e su p o s id ó n actu al e n el se n tid o h o rario .
4 -4 5 .
D eterm in e a n a lític a m e n te e l d e s p b z a m ie n to a n g u b r
del b r a z o d el lim p ia d o r tr a s e r o d d m e c a n is m o
m o stra d o e n b fig u ra P 4.15, c o n fo rm e b m an iv ela d e
2 in g ir a 100a a p a r tir d e s u p o s id ó n a c tu a l e n el sen­
tid o h o r a r i a
4 -4 6 .
D eterm in e a n a lític a m e n te e l d e s p b z a m ie n to a n g u b r
del m an g o s u p e rio r d e la s pin zas m o stra d a s e n b figura
P 4 .17, c o n fo rm e la m o rd a z a s u p e rio r se a b re 25a a p a r ­
tir d e su p o sic ió n a c tu a l e n tan to q u e la m o rd a z a infe­
r io r p erm a n e c e e sta c io n a rb .
4 -4 7 .
D eterm in e a n a lític a m e n te e l d e s p b z a m ie n to a n g u b r
d d en sam b le d e la r u e d a d d m ecan ism o im p u lso r del
tre n d e aterrizaje ilu stra d o e n la fig u ra P4.20, c o n fo rm e
la m a n iv e b d e 12 i n g ir a 60a a p a r tir d e su p o s i d ó n a c ­
tu al e n s e n tid o an tih o rario .
4 -4 8 .
D e te rm in e an alíticam en te la d is t a n d a q u e se retrae el
d lin d r o d e a i r e e n b b o m b a d e p e d a l m o stra d a e n la
fig u ra P 4 .2 2 , c u a n d o el p e d a l g ir a 20a a p a r t i r d e su
p o sició n actu al e n s e n tid o a n tih o ra rio . A s im is m a con
u n d iá m e tro d d c ilin d ro igual a 2 5 m m , calcule el vo­
lu m e n d e a ire d esplazado d u ra n te e ste m ovim iento.
4 -5 2 . D eterm in e an alíticam en te el d e sp b z a m ie n to d e la urta
d d m ecan ism o d e avance d e la p d f c u b m o stra d o e n b
fig u ra P 4.30, c o n fo rm e b m a n iv e b g ira 100° e n d sen­
tid o h o rario .
4 -5 3 . D eterm in e analíticam ente el desplazam iento d e b p arte
inferior d d neum ático d el m ecanism o d e la suspensión
a u to m o triz m o s tr a d o e n la fig u ra P 4.32, c o n fo rm e el
brazo s u p e rio r d e c o n tro l g ira 15a e n el se n tid o h o r a r ia
4 -5 4 . D e te rm in e a n a lític a m e n te el d e s p b z a m ie n to a n g u b r
d d a r ie te t r itu r a d o r d el m e c a n is m o m o s tr a d o e n b
fig u ra P 4.34, c o n f o rm e la m anivela g ir a 95a e n d sen­
tido h o rario .
4 -5 5 . D e te rm in e a n a lític a m e n te el d e s p b z a m ie n to a n g u b r
de la caja d el cam ión d e volteo m o stra d o e n la figura
P4.36, c o n fo rm e el d lin d r o s e a c o rta 0.1 m.
P o sic io n e s lím ite ( m é t o d o g rá fic o )
4 -5 6 . P o s ia o n e g rá fic a m e n te lo s e sla b o n e s d d m ecan ism o
c o m p re so r m o stra d o e n la fig u ra P4.5, p a r a b s confi­
g u ra c io n e s q u e c o lo c a n a l p is tó n e n s u s p o sic io n e s
lim ite. D e te rm in e e l d e s p b z a m ie n to lin e a l m á x im o
(c a rre ra ) d d pistón.
4 -5 7 . f tts irio n e g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d d m ecan ism o
de c o rte m o stra d o e n la fig u ra P4.7, d e acu erd o c o n b s
configuraciones q u e c o lo c a n a la cuch illa e n s u s p o si­
cio n es lim ite. D eterm in e el d esplazam iento lineal m á­
xim o (c a rre ra ) d e la cuchilla.
4 -5 8 . ib s id o n e gráficam ente los eslabones del m ecanism o tri­
tu rad o r d e rocas m o stra d o e n ki fig u ra P4.13, d e acuerdo
con las configuraciones que colocan al tritu ra d o r e n sus
posiciones lim ite. D eterm ine el desplazam iento an g u lar
(desplazam iento) m áx im o d el ariete triturador.
4 -5 9 . Ifo s id o n e g rá fic a m e n te lo s eslab o n es d d m ecan ism o
de lo s lim p ia d o re s d el p arab risas m o stra d o e n la figura
P4.15, d e acu erd o c o n las config u racio n es que colocan
d lim p ia d o r e n sus p o sic io n e s lim ite . D eterm in e d desp b z a m ie n to a n g u b r ( d e s p b z a m ie n to ) m á x im o del
im p ia d o r.
4 -6 0 . P o sicio n e g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d d m e c a n is m o
ac tu a d o r d e b r u e d a m o s tr a d o e n la fig u ra P 4 .2 0 , de
acu erd o c o n b s co n fig u rac io n e s q u e c o lo c a n d e n s a m ­
ble d e la r u e d a e n s u s p o sic io n e s lim ite . D e te rm in e
el d e s p b z a m ie n to a n g u la r ( d e s p b z a m ie n to ) m áx im o
d d ensam ble d e la ru ed a.
4 -6 1 . P o sicio n e g rá fic a m e n te lo s e s b b o n e s d d m ecan ism o
de avance d e b p d í c u b m o stra d o e n b fig u ra P 4.30, de
acu erd o c o n b s co n fig u rac io n e s q u e c o lo c a n el p e rn o
de d e sliz a m ie n to e n sus p o sic io n e s lim ite . D e te rm in e
el d esp lazam ien to lineal m á x im o (c a rre ra ) d e l perno.
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A n á lis is d e p o s ic i6 n y d e s p la z a m ie n t o_________107
4 - 6 2 . Ito sid o n e g rá fic a m e n te los e sla b o n e s d e l m ecan ism o
tr itu r a d o r d e ro cas m o s tr a d o e n la fig u ra P 4.34, de
c u e r d o c o n tas config u racio n es q u e colocan el ariete en
sus po siciones lim ite. D eterm in e el d esplazam iento a n ­
i l l a r (d e sp la z a m ie n to ) m á x im o d el a rie te tritu ra d o r.
D ia g ra m a s d e d c s p b z a m i c n t o ( m é t o d o a n a lític o )
4 -7 6 . P ara el m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n la fig u ra
1*4.5, ela b o re an alíticam en te u n diag ram a d e d e sp b z a m ie n to p a r a la p o s id ó n d el p is tó n , c o n f o rm e la
m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n se n tid o a n tih o ra rio .
4 -7 7 .
P o sic io n e s lím ite ( m é t o d o a n a lític o )
4 -6 3 . C alcu le a n a líticam en te el d esp lazam ien to lineal m áxi­
m o (c a rre ra ) d el p is tó n d e l m e c a n is m o c o m p re so r
m o stra d o e n la fig u ra P4.5.
4 -6 4 . C a lc u le a n a lític a m e n te el d e s p la z a m ie n to lin e a l m á ­
xim o (c a rre ra ) d e la cuch illa d el m ecan ism o d e c o rte
m o stra d o e n la fig u ra P4.7.
4 -6 5 . C a lc u le a n a lític a m e n te el d e s p la z a m ie n to a n g u la r
m á x im o (d e sp la z a m ie n to ) d el a r ie te d el m e c a n is m o
t r itu r a d o r d e rocas m o s tr a d o e n la fig u ra P4.13.
4 -7 8 . P a ra el m ecanism o tr itu r a d o r d e rocas m o stra d o en la
fig u ra P 4.13, ela b o re a n a lític a m e n te u n d ia g ra m a de
d e s p la z a m ie n to p a r a b p o s i d ó n a n g u la r d d a rie te ,
c o n fo rm e la m anivela d a u n g iro c o m p le to e n se n tid o
<mt¡horario.
4 -7 9 .
4 -6 6 . C a lc u le a n a lític a m e n te e l d e s p la z a m ie n to a n g u la r
m á x im o (d e sp la z a m ie n to ) d el m e c a n is m o lim p ia d o r
del p arab risas m o stra d o e n la fig u ra P 4.15.
4 - 6 7 . C a lc u le a n a lític a m e n te el d e s p la z a m ie n to a n g u la r
m áx im o (d esp lazam ien to ) del ensam ble d e la ru e d a del
m ecan ism o a c tu a d o r d e b ru e d a m o stra d o e n b figura
W .20.
4 -6 8 . C alcu le a n a líticam en te el d esp lazam ien to lineal m áxi­
m o (c a rre ra ) d el p e rn o q u e s e desliza d el m ecanism o
d e av an ce d e b p e líc u b m o s tr a d o e n b fig u ra P 4.30.
P a ra el m ecanism o d e c o rte m o s tr a d o e n b fig u ra P4.7,
d a b o r e a n a lític a m e n te u n d ta g ra m a d e d c s p b z a ­
m ic n to p a r a b p o s i d ó n d e la c u c h ilb , c o n f o rm e b
m anivela d a u n g iro co m p le to e n se n tid o a n tih o ra rio .
P a ra d m ecanism o lim p ia d o r d d p arab risas m o stra d o
en la figura P 4.15, elabore a n a líticam en te u n diag ram a
d e d esplazam iento p a r a b p o s id ó n a n g u la r d d lim p ia ­
dor, c o n f o rm e b m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n s e n ­
tid o an tih o rario .
4 - 8 0 . Para el m ecanism o a c tu a d o r d e b rueda m o strad o e n b
figura P 4 2 0 , elabore analíticam ente un diag ram a d e d es­
p la z a m ie n to p a ra la p o s id ó n a n g u la r d el en sam b le
d e la ru ed a, conform e b m a n iv e b d a u n g iro com pleto
e n se n tid o antihorario.
4 -8 1 .
4 -6 9 . C a lc u le a n a lític a m e n te el d e s p la z a m ie n to a n g u la r
m á x im o (d e sp la z a m ie n to ) d el a r ie te d el m e c a n is m o
tritu ra d o r d e ro cas m o s tr a d o e n la fig u ra P4.34.
P ara d m ecanism o tr itu r a d o r d e ro cas m o stra d o e n b
figura P 4 J 4 , elabore analíticam ente un diag ram a d e d es­
plazam iento d e la p o sid ó n an g u lar d el ariete, conform e
b m anivela d a u n giro co m p le to en se n tid o an tih o rario .
P ro b le m a s d e d e s p la z a m ie n to u s a n d o W o r k in g M o d e l
D ia g ra m a s d e d e s p la z a m ie n to ( m é t o d o g rá fic o )
4 -7 0 . to r a el m e c a n is m o c o m p re so r m o stra d o e n b fig u ra
B4.5, e la b o re g rá fic a m e n te u n d ia g ra m a d e d esp laza­
m ie n to d e b p o sic ió n d e l p istó n , c o n fo rm e b m a n iv e b
d a u n giro co m p le to e n el s e n tid o h o rario .
4 - 7 1 . Para el m ecanism o d e c o rte m o stra d o e n b fig u ra P4.7,
d a b o r e g ráficam en te u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
d e b cuchilla, c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g iro c o m ­
pleto e n el se n tid o h o ra rio .
4 -7 2 . Para el m ecanism o tr itu r a d o r d e ro cas m o stra d o e n la
figura P 4.13, ela b o re gráficam ente u n d ia g ra m a d e desp b z a m ie n to d e la p o sic ió n a n g u la r d el a rie te , c o n ­
fo rm e b m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n el se n tid o
h o rario .
4 -7 3 . Para el m ecan ism o lim p ia d o r d e p arab risas m o stra d o
e n b fig u ra P 4.15, elabore g ráfica m e n te u n d ia g ra m a
d e d e sp la z a m ie n to d e la p o s id ó n a n g u la r d el lim p ia<for, c o n fo rm e la m a n iv e b d a u n g iro c o m p le to e n el
se n tid o h o ra rio .
4 -7 4 . to r a el m ecan ism o a c tu a d o r d e la ru e d a m o stra d o en
la fig u ra P4.20, e la b o re g ráfica m e n te u n d ia g ra m a d e
desplazam iento d e la posición an g u lar d el ensam ble d e b
n ied a. c o n fo rm e la m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n el
se n tid o h o ra rio .
4 -7 5 . Para el m ecanism o tr itu r a d o r d e ro cas m o stra d o e n b
figura P 4 J 4 , elabore gráficam ente u n diag ram a d e d es­
p lazam ien to d e la p o s id ó n an g u lar del ariete, conform e
la m a n iv e b d a u n g iro co m p leto e n el s e n tid o h o r a r ia
4 -8 2 .
t o r a d m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n b fig u ra
P 4.5, u s e el s o ftw a re W o r k in g M o d e l p a r a c re a r una
á m u la d ó n y e la b o ra r u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
p i r a la p o sic ió n d d p is tó n , c o n f o r m e la m a n iv e b d a
u n g iro co m p le to e n s e n tid o a n tih o r a r ia
4 -8 3 . P ara el m ecanism o d e c o rte m o s tr a d o e n la fig u ra P4.7,
u se el so ftw are W o rk in g M o d e l p a ra c rear u n a sim uta d ó n y elaborar u n diag ram a d e d esplazam iento p a ra la
p o s i d ó n d e b c u c h ilb , c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n
giro co m p le to e n s e n tid o a n tih o ra rio .
4 -8 4 .
P a ra el m ecanism o tr itu r a d o r d e rocas m o stra d o e n la
fig u ra P 4 .13, use el so ftw are W brking M odel p a r a crear
u n a s i m u b d ó n y e la b o ra r u n d ta g ra m a d e d e sp la z a ­
m ie n to p a r a la p o s id ó n a n g u b r d el ariete, c o n fo rm e la
m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n se n tid o a n tih o ra rio .
4 -8 5 .
P a ra d m ecanism o lim p ia d o r d d p arab risas m o stra d o
en la figura P 4.15, u se el softw are W orking M odel p a ra
c rear u n a s i m u b d ó n y e la b o ra r u n d ia g ra m a d e d es­
p la z a m ie n to p a r a b p o s i d ó n a n g u b r d el lim p b d o r,
c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g iro c o m p le to e n se n tid o
a n tih o r a ria
4 -8 6 . P a ra el m ecanism o im p u lso r d e b ru e d a m o stra d o e n
b fig u ra P 4.20, u se d so ftw a re W o rk in g M odel p a ra
c rear u n a s i m u b d ó n y e la b o ra r u n d ia g ra m a d e des­
p lazam ien to p a ra la p o sic ió n a n g u la r d d en sam b le de
b ru e d a , c o n fo rm e b m a n iv e b d a u n g iro co m p le to e n
se n tid o a n tih o ra rio .
4 -8 7 .
P a ra el m ecanism o tr itu r a d o r d e rocas m o stra d o e n b
fig u ra P 4.34, use el so ftw are W brking M o d e l p a r a crear
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108
CAPITULO CUATRO
u n a sim u la c ió n y e la b o ra r u n d ia g ra m a d e d e sp la z a ­
m ie n to p a r a la p o sic ió n an g u lar d el a rie te , c o n fo rm e la
m anivela d a u n g iro co m p le to e n s e n tid o a n tih o ra rio .
1.
E ST U D IO S DE CA SO S
2.
4 -1 . La fig u ra E4.1 m u e s tra u n m ecan ism o q u e se d ise ñ ó
p u ra tra n sm itir m o v im ie n to e n u n a m áq u in a d e desliza­
m ie n to . E xam ine c u id ad o sam en te la c o n fig u ra c ió n d e
lo s co m p o n e n te s d el m ecan ism o ; luego, c o n te ste las
siguientes p reg u n tas para o b te n e r m ay o r com prensión
acerca d e la o p eración.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
f ig u r a
E 4.I (C o rtesía d e In d u s tria l Press).
1. M ien tras la ru e d a C p r a e n el s e n tid o h o r a rio y el
d e sliz a d o r/p e rm a n e c e in m ó v il, ¿qué sucede c o n el m o ­
v im ien to c o n tin u o d el p e r n o D?
2. ¿Cuál e s el m o v im ien to c o n tin u o del p e rn o Pt
3. ¿C uál e s el m o v im ien to c o n tin u o d el p e rn o X?
4. ¿Q u é e fe c to p r o d u c e el g ir o d el v o la n te F s o b r e el
d eslizad o r 7?
5. ¿Q u é efecto p ro d u c e e l g iro d el v o la n te F en el m o v i­
m ie n to d el m ecanism o? Asegúrese d e c o n s id e ra r todas
las características d el m ovim iento.
6. ¿C uál e s la finalidad d e este dispositivo?
7. H ab o re u n d ia g ra m a cin em ático y calcule la m ovilidad
del m e c a n is m o
luego, c o n te s te la s sig u ie n te s p re g u n ta s paro o b te n e r
m ay o r c o n o c im ie n to acerca d e la o p eración.
Los to r n illo s p e q u e ñ o s sin rosca, d e cabeza re d o n d a , se
alim en tan a u n a m á q u in a p a ra h a c e r c u erd as m ediante
los rieles tr a n s p o r ta d o re s B y C . ¿C ó m o p a s a n los
to m illo s d e la b a n d e ja A d tra n s p o rta d o r B?
Aun c u a n d o n o s e ve con claridad, el riel B tiene u n dise­
ñ o d e m anecillas paralelas. ¿P o r q u é se u sa u n diseño
d e m anecillas paralelas p a ra tra n s p o rta r lo s to m illo s?
C o n fo rm e u n se g u n d o m ecan ism o eleva in te rm ite n te ­
m e n te el eslab ó n D , ¿cuál es el m o v im ien to d el riel B?
¿Cuál e s la finalidad d el eslabón £?
C o n fo rm e u n se g u n d o m ecan ism o eleva interm iten te­
m e n te el e s la b ó n D , ¿cuál es el m o v im ie n to d e los
tornillos?
¿Q u é d e te r m in a q u e el e s la b ó n D p u e d a v ia ja r a la
posición inferior? O b serv e q u e las p u n ta s d el riel B no
to c a n la p a rte in fe rio r d e la b a n d e ja A
C o n fo rm e los to m illo s s e a m o n to n a n e n el riel d e sali­
d a C ¿qué o c u r re a la m anecilla F c o n fo rm e e l eslabón
D e s forzado a bajar?
C o n fo rm e los to m illo s s e a m o n to n a n e n el riel d e sa li­
d a C ¿qué o c u r re a la s p u n ta s d el riel B?
¿Cuál es el p ro p ó s ito d e este dispositivo? C o m e n te sus
características p rin cip ales.
¿Q ué tip o d e m ecan ism o p o d ría o p e r a r el eslabón D?
4 - 3 . La fig u ra E4.3 d escrib e u n a m á q u in a d e tra s p a s o que
m ueve a lo ja m ie n to s d e em b ra g u e s d e u n a e sta c ió n a
o tra . La p la ta fo rm a A so p o rta el a lo ja m ie n to d u ra n te la
tra n sfe re n c ia . E xam in e c u id a d o s a m e n te la c o n fig u ­
ración d e lo s c o m p o n e n te s d el m ecanism o; lu eg o , c o n ­
teste la s s ig u ie n te s p re g u n ta s p a r a o b te n e r m ay o r
c o n o cim ien to acerca d e la o p eració n .
4 -2 . La fig u ra E 4.2 m u e s tra u n in te re sa n te sis te m a d e
m a n e jo d e m ateriales p a ro co lo c a r piezas p eq u eñ as s o ­
bre u n riel d e su m in is tro . E xam in e c u id ad o sam en te la
c o n fig u ra c ió n d e los c o m p o n e n te s d el m e c a n ism o ;
FIGURA P.4.2 (Cortesía d e Industrial Press).
1. ¿A q u é tip o d e m ovim iento e stá restrin g id a la b a r r a B?
2. ¿Q ué m o v im ie n to realiza e l e s la b ó n C c o n fo rm e se
a c o rta el c ilin d ro d e aire L?
3. ¿Cuál es el m o v im ie n to d el p u n to K c o n fo rm e s e aco rta
el c ilin d ro d e a ire L?
4 . ¿Q ué necesita la u n ió n F p a r a desplazarse p o r la r a n u ­
ra G?
5 . ¿Cuál es el objetivo d e este m ecanism o?
6 . ¿Q ué e fe c to tie n e el g iro d e l e x tre m o R d e la varilla
roscada al ala rg a r la varilla d el cilin d ro ?
7 . H a b o re u n d ia g ra m a c in e m á tic o d e e ste m ecanism o.
8 . C alcule la m o v ilid ad d e este m ecanism o.
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C A PITU LO
CINCO
D IS E Ñ O D E M E C A N I S M O S
O B J E T IV O S
Al te r m in a r de estu d ia r este ta p itu lo , el alum no
será c a p a z de:
1 . D e s c r i b i r l a s ín t e s i s d e u n m e c a n is m o .
2 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e m a n iv e la - c o r r e d e r a e n lin c a .
3 . D e t e r m i n a r u n U n guk) d e d e s e q u i li b r io a d e c u a d o .c o n o c ie n d o
la r a z ó n d e s e a d a d e t i e m p o d e l m e c a n i s m o .
4 . U s a r d ia g r a m a s d e t i e m p o p a r a s in c r o n i z a r e l m o v im ie n t o ,
y c a lc u l a r m a g n it u d e s p i c o d e v e lo c i d a d y a c e le r a c ió n .
tulos an teriores. Esto im p lica c o n frecuencia u n a m eto d o lo g ía de
análisis-iteración q u e p o d ría v o lv er ineficiente el proceso, so b re
« xio c u a n d o el d ise ñ a d o r e s in e x p e r ta S in e m b a rg a e ste p r o ­
ceso d e iteración tie n e su m é r ita so b re todo e n p ro ceso s d o n d e
tos p ro c e d im ie n to s d e síntesis n o ex isten o n o e s p o sib le a p il­
a r l o s . N o o b sta n te , se h a n desarrollado v ario s m étodos d e s ín ­
tesis d im e n sio n a l, q u e suelen ser b a s ta n te útiles. Este c ap itu lo
sirve c o m o in tro d u c c ió n a tales procedim ientos. C o m o e n ocas o n e s la s té cn icas analíticas se vuelven m u y com plejas, el cstul i o se c e n tr a e n las técnicas gráficas. C o m o se señala e n to d o el
libro, el em p le o d e técnicas gráficas e n u n sistem a d e c a d d a re ­
su ltad o s exactos.
5 . D i s e ñ a r m e c a n i s m o s d e m a n iv e l a - c o r r e d e r a d e s c e n t r a d o s ,
m a n iv e la - b a la n c ín y m a n iv e la -c e p illa d o r a c o n m é t o d o s
5 .2 R A Z Ó N D E T IE M P O
g rá fic o s .
6 . D is e ñ a r u n s o lo e s la b ó n c o n p iv o te , q u e s e m u e v e e n tr e d o s
p o s i c i o n e s d e t e r m in a d a s , u t il iz a n d o m é t o d o s g r á fic o s .
7 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s d o n d e e l a c o p la d o r
k
m u e v e e n t r e d o s p o s i c i o n e s e s t a b l e c id a s , u s a n d o m é t o d o s
g r á fic o s .
8 . D i s e ñ a r u n m e c a n i s m o d e c u a t r o b a r r a s d o n d e e l a c o p la d o r s e
m u e v e e n t r e t r e s p o s i c i o n e s e s t a b l e c id a s , u t il iz a n d o m é t o d o s
g r á fic o s .
5 .1
IN T R O D U C C IÓ N
H asta a h o r a se h a n a n a liz a d o b á s ic a m e n te m e c a n is m o s exis­
ten tes. E n el cap itu lo a n te rio r se ex p lo ra ro n m é to d o s p a ra d eter­
m in a r el d esp lazam iento d e u n m ecanism o d o n d e se c o n o c e n las
lo n g itu d es d e sus eslabones. C o m p a ra d o c o n este análisis, el d i ­
se n o d e u n m ecan ism o e s la tarea o p u esta, es decir, se c o n o c e el
m o v im ie n to d esead o y se d e b e n d e te rm in a r la fo rm a y la s d i ­
m en sio n es d el m ecanism o. Síntesis es el té rm in o que s e u sa para
d e s c rib ir el p ro c e so d e d is e ñ o d e l m ecan ism o q u e p ro d u c e el
m o v im ien to d e sa lid a deseado, d a d o u n m o v im ien to d e en trad a.
La elecció n d e u n m e c a n is m o esp ecífico c a p a z d e realizar el
m o v im ien to d eseado se co n o ce c o m o dntesis d el tipo. EJ objetivo
d e u n d ise ñ a d o r d e b e rla s e r u tiliz a r el m e c a n is m o m ás sim ple
cap az d e e fectu ar la ta rc a deseada. P o r tal razó n , los m ecanism os
d e m an iv ela-co rredera y d e c u a tro b a rra s so n m uy favorecidos.
E ste c ap ítu lo se en foca e n estas d o s ciases d e m ecanism os.
D espués d e se leccio n ar u n tip o d e m ecanism o, s e requiere
d e te rm in a r la s lo n g itu d e s a d e c u a d a s d el eslab ó n m e d ia n te u n
p ro ceso llam ad o síntesis dim ensional. Este c a p itu lo ex a m in a la
sín tesis d im en sio n al. P ara d ise ñ ar u n m ecan ism o se d e b e usar
la in tu ic ió n , ju n to c o n lo s m é to d o s d e análisis descrito s e n cap í­
M ic h o s m ecanism os q u e p ro d u c e n m o v im ien to recip ro can te se
d ise ñ an p a ra g e n e ra r m o v im ien to s im é tr ic a es decir, la s carac­
terísticas d el m o v im ien to d e la carrera hacia afuera so n idénticas
a las d e la ca rre ra hacia a d e n t r a ( t o n frecuencia tales m ecanis­
m os realizan tra b a jo e n am b as direcciones. El m ecanism o d e un
m o to r d e gasolina y d e los lim piadores d el p arab risas so n ejem [io s d e m ecanism os e q u ilib ra d o s cinéticam ente.
Sin e m b a r g a o tra s aplicaciones d e d ise ñ o d e m á q u in as re ­
q u ie re n u n a v elo cid ad p ro m e d io d ife re n te e n tr e la c a rre ra de
avance y la c a rre ra d e re to rn o . E stas m á q u in a s n o rm a lm e n te
pro d u cen tra b a jo so la m e n te e n la ca rre ra d e avance, d e m o d o
«fie la ca rre ra d e re to rn o necesita ser tan rá p id a c o m o sea p o s i­
ble, p a ra q u e el m ay o r tie m p o d e o p e ra c ió n esté d isp o n ib le p a ra
la c a rre ra d e t r a b a j a Las m á q u in as c o rta d o ra s y e m p acad o ras
so n ejem p lo s d e estos m ecan ism o s d e reto rn o rápido.
U n a m e d id a d e la a c c ió n d e re to rn o r á p id o d e u n m eca­
n ism o e s la ra zó n de tiem p o Q, la cu al se d efine com o:
^
T iem p o d e la carrera m á s lenta
T ie m p o d e la carrera m ás rápida
1
(5.1)
El á n g u lo d e d e se q u ilib rio p e s u n a p ro p ie d a d q u e retod o n a la g e o m etría d e u n m ecan ism o específico c o n el tie m p o
d e la carrera. D ich o á n g u lo se relacio n a c o n la razón d e tie m ­
p o Q d e la m a n e ra siguiente:
180° 4- p
Q =
180° -
p
(5.2)
l a ecu ació n 5.2 s e rep lan tea p a r a o b te n e r el á n g u lo d e d e ­
se q u ilib rio com o:
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p = 180“
(Q ~ O
( Q + 1)
(5.3)
lio
CAPITULO CINCO
ft>r co n sig u ien te, e n la síntesis d im ensional d e u n m ecanism o,
b razó n d e tie m p o d esead a se co n v ierte en u n a restricción g e o ­
m é tric a n ecesaria a trav és d d á n g u lo d e d eseq u ilib rio p .
El tie m p o to ta l d el c i d o d d m ecanism o es:
A fado “ tie m p o d e la ca rre ra + tie m p o d e la carrera
m á s le n ta
m á s rá p id a
P ara m ecan ism o s q u e son im p u lsad o s a v e lo d d a d co n stan te p o r
u n a c tu a d o r q u e g ir a , la v d o c id a d re q u e rid a d e la m anivela,
"taanrétU. s e r e l a d o n a c o n el tie m p o d d c i d o d e la sig u ie n te
m anera:
(5.4)
'•'m an**, = ( ¿ f a id o ) " '
(5.5)
P R O B L E M A D E E JE M P L O 5.1
Se \ a a disonar un m ecanism o d e re to m o rápido, donde la carrera d e avance debe consum ir 1 2 s y la carrera d e re ­
tom o, 0.8 s. Determ ine h razón d e tiem po, d ángulo de desequilibrio, d tiem po del d d o y la veloddad a b cu al def rr ia im pulsare! m ecanism o.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule la razón d e tiem p o y el ángulo d e desequilibrio
La razón d e tie m p o se determ ina c o n la ecu ació n (5.1):
« - a B ángulo de desequilibrio resultante se calcula con la ecuación (5.3):
, (1 3 -
1)
í = 180 o T T Í J = 3 t
Calcule e l tiem po d el ciclo del m ecanism o
0 tiem po total d e la carrera de avance y la d e retorno es:
¿ fa d o " 1-2 + 0.8 = 2 0 s/rev
Calcule la \rlo c id a d requerida de la manivela
Com o u n d d o d e operación d e la m áquina im plica tan to la carrera d e avance com o la d e retom o, d tie m p o para
que la m anivela com plete u n a revolución tam bién es de 2.0 s. La velocidad requerida d e la m anivela,
se
determ ina com o:
a*™ni«d* m ( ^ fcido)
2 s/rev
- 0 3 rev/s
\1 m i n /
= 30 rev/m in
En el capitulo 6 se in tx o d u d rá form alm ente el co n cep to d e v elo d d ad angular.
5 .3 DIAGRAM AS D E T IE M P O
Los d iag ram as d e tie m p o se usan c o n frecuencia e n el p roceso
d e d is e ñ o d e u n m ecanism o, c o m o a y u d a e n la sincronización
d el m o v im ien to e n tre m ecanism os. P o r ejem plo, c u a n d o s e u t i ­
lizan d o s m e c a n is m o s p a ra tr a n s f e r ir p aq u etes d e u n a b a n ­
da tra n sp o rta d o ra a o tra , u n m ecan ism o eleva u n p aquete d e la
tra n s p o r ta d o ra in ferio r, e n ta n to q u e el o tr o m e c a n is m o e m ­
p u ja e l p a q u e te h a d a la tr a n s p o r ta d o r a su p e rio r, m ie n tra s el
p rim e ro p erm a n e c e in m ó v il. Luego, a m b o s m ecan ism o s regre­
s a n a la p o s i d ó n i n i d a l y e je c u ta n o tr o d d o . S e u s a u n d ia ­
g ra m a d e tie m p o p a r a d esplegar g ráficam en te e sta in fb rm a d ó n .
ft>r o tr o lado, lo s d iag ram as d e tie m p o sirv e n p a ra e stim a r las
m a g n itu d e s d e la v e lo d d a d y a c e le ra c ió n d e lo s e sla b o n e s
se g u id o res. La v e lo d d a d d e u n eslabón es la ra z ó n d e tie m p o a
la cu al cam b ia su p o sic ió n . La aceleración e s la razón d e tie m p o
a la cu al su v e lo d d a d c a m b ia y está d ire c ta m e n te r e la d o n a d a
con las fuerzas req u erid as p a ra o p e r a r d m ecanism o. El c ap itu lo
ó p r o p o r d o n a u n a c o b e rtu ra significativa d el an álisis d e v elo ci­
d a d d e lo s m ecan ism o s; el c a p itu lo 7 s e enfoca e n la a c e le ra d ó n
d e lo s m ecanism os. T a n to la v d o c id a d c o m o la a c e le ra d ó n so n
can tid ad es vectoriales; n o o b sta n te , tan s o lo s u s m ag n itu d es, vy
o, se u tiliz a n e n los d iag ram as d e tiem po.
Los d ia g ra m a s d e tie m p o q u e se u sa n p a r a sin c ro n izar el
m o v im ien to d e m ecan ism o s m ú ltip les, p o r l o g eneral su p o n e n
a a rle ra d ó n co n stan te. M ie n tra s q u e lo s valores d e la a e d e r a d ó n
real p ro d u c id a e n d m e c a n is m o p o d r ía n s e r m u y d iferen tes
(co m o se verá e n el c ap itu lo 7 ), el su p u e sto d e ace le ra d ó n c o n s ­
ta n te g e n e ra ecuaciones p o lin o m iales d e la w lo d d a d y la p o s i­
d ó n e n f iin d ó n d el tie m p o . El diag ram a d e tie m p o im p lica la
graficación d e la m a g n itu d d e la v elo cid ad d e salida c o n tra el
tiem po. S u p o n ien d o a c e le ra d ó n c o n sta n te , la gráfica d e v d o c i-
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D is e rto d e m e c a n is m o s
d a d - tie m p o m u e s tra ú n ic a m e n te líneas re c ta s. 0 d e sp la z a ­
m ie n to se relacio n a c o n b v elo cid ad m áxim a, la aceleración y el
tie m p o m ed ian te b s sig u ien tes ecuaciones.
C a rrera de elevación; Vpo, = 2 — = 2
Ax
a =
AR =
2 VpkoA í
( 5 .6 )
- |a ( A / ) 2
( 5 .7 )
Para el escenario del m ovim iento d e paquetes d e s c rito a n t e ­
rio rm en te, se desea q u e el m ecanism o d e lev an tam ien to s e eleve
8X) in e n 1.5 s. que perm anezca inm óvil p o r IX) s y q u e regrese en
lX )s. 0 m ecan ism o d e em p u je d eberta p erm an ecer inm óvil d u ­
ran te 1A s, e m p u ja r 6X) in e n 1X) s y regresar e n IX»s . Los d ia g ra ­
m a s d e tie m p o d e a m b o s m ecanism os se m u e s tra n e n la figura
5.1. Las fig u ra s in d ican q u e c u a n d o u n m ecanism o s e eleva ( b
velocidad a p a re c e c o m o u n tr iá n g u lo ) , el o t r o p erm a n e c e in ­
m óvil (sin velocidad). A dem ás, m ien tras el se g u n d o m ecanism o
e m p u ja , el p r im e r o p e rm a n e c e in m ó v il. P o r l o ta n to , b s in ­
cro n izació n e stá c o m p ro b ad a; ta m b ié n la velocidad m á x im a y b
aceleración se relacionan con el d esp lazam ien to y el tie m p o del
m o v im ien to , p o r lo q u e se reescriben las ecuaciones (5.6) y (5.7),
respectivam ente. P ara el m ecanism o elevador.
(8.0 m)
^
= 10.67 in/s
AR =
(8.0 in )
A í2
(1 .5 s ) 2
= 1 4 .2 2 ¡n /s-
4
C o n cálcu lo s sim ib re s, b velocidad p ic o d el re to rn o e s -1 6 .0 0
h / s y b aceleración es d e -3 2 .0 0 in/s2. P ara el m ecanism o d e e m ­
b ije, la velocidad pico d e b carrera d e em puje es igual a 12.00 in/s,
e n ta n to q u e b aceleración es igual a 24.00 in/s2. P ara el meca­
nism o d e em p u je, b velocidad p ic o d el re to m o es d e - 12.00 in/s
y b aceleración es d e - 24.00 in/s2.
Se o bserva q u e c o m o la velocidad es la razón d e tie m p o del
cam bio d e po sició n , lo s p rin c ip io s d e cálculo in d ic a n q u e el d es­
plazam iento d el m ecanism o es el área b a jo la lín e a d el diag ram a
v-t. Lo a n te r io r s e o b se rv a e n b ecu a c ió n (5 .6 ), d o n d e el d es­
plazam iento es el área d el triá n g u lo d e velo cid ad : l/2 (V p ,0Af).
En la fig u ra 5.1 s e id e n tific a el d e s p b z a m ie n to d e c a d a m o v i­
m iento. Se d e b e hacer énfasis e n q u e a u n cu an d o la velocidad y
la aceleración s o n estim aciones, so n ú tile s e n b e ta p a inicial de
diserto, c o m o se a d v ierte e n el siguiente p ro b le m a d e ejem plo.
Tiempo (s)
fl>
fig u r a s .i
III
Diagram as d e tiem po.
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112
CAPITULO CINCO
P R O B L E M A D E E JE M P L O 5.2
0 proceso d e inserción del m ango d e u n cojinete requiere que u n a transportadora se mueva 8 in e n 0.4 s y q u e se delengi m ientras el cojinete se presiona hacia u n alojam iento **bre la transportadora. FJ cojinete debe viajar 4 i n para
e n co n trar el alojam iento y. luego, se presiona 2.0 in h a d a el alojam iento. La carrera de p resión com pleta deberla
tom ar 0.6 s y el reto m o 0.4 s, m ientras la transportadora está funcionando.
o) D eterm ine la razón d e tiem po, el tiem po del ciclo y la velocidad del m o to r d d m ecanism o de presión.
M Elabore los diagram as de tie m p o d e sincronización.
c)
C alcule la velocidad pico y la aceleración del alojam iento d e la transportadora.
d) D eterm ine la velocidad pico y la aceleración d el m ovim iento d e presión del cojinete.
t)
S O L U C IÓ N :
C alcule la velocidad pico y la aceleración del re to m o después de presionar el cojinete.
fi
Optimice el m ovimiento d e m odo que b aceleración máxima d e cualquier parte sea m enor de l g ( Ig - .<86.4 in/»2).
I.
Calcule la razón d e tiem po, W tiem po d el ciclo y la velocidad d e la i
liv ela
l a razón d e tie m p o se determ ina con la ecuación (5.1):
0 tiem po total d e b ca rre ra d e avance y el reto rn o se calculan com o sigue:
A /Ollo - O ó + 0.4 s/rev
C om o u n ciclo d e operación de la m áquina requiere tan to b carrera d e avancr com o el retom o, el tiem po
para que b m anivela com plete u n a revolución es d e 1.0 s. La velocidad requerida de la m anivela se determ ina de
h m anera siguiente:
«™n¡wU = ( A /« i» ) '
1
- IJ) rev/s
1.0 s/rev
\ 1—
r o in1
/
= 60J}rev/m in
í
2.
H abore los diagram as d e tiem po
Se construyeron los diagram as d e tiem po q u e se m uestran e n b figura 5.2.
■4------- Movimiento-------- ►
sin movimiento-------------- ►(
-----------
/
£
:
:
|(r\
10
0.00
0.20
0.40
0.00
0.80
Tiempo (s)
a) Diagrama de tiempo de la transportadora
b) Diagrama de Uempo d rl mecanismo de presión
fig u r a
w
Diagram as d e tiem p o del problem a d e ejem p lo 5.2.
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LOO
D is e n o d e m e c a n is m o s
3.
113
Calcule los parám etros d e m o vim ien to d el alojam iento sobre la transportadora
l a s m agnitudes estim adas d e velocidad y aceleración del alojam iento sobre la transportadora son:
A*
( 8 0 fa)
A£
(8X3in>
.
,
*17? = ‘ ¡o T í? = !ooa‘ M‘
4.
Calcule los parám etros d e m o vim ien to d e la carrera d e re to rn o d e presión sobre el cojinete
l a s m agnitudes estim adas d e velocidad y aceleración d e la carrera d e reto m o d e presión sobre el cojinete son:
AR
v'
“
- 2
a
_ _
( - d O in )
í
»
' 2 -(o
_ 4(^ o b ,
A i,
5.
.
^
<0.4 s)
Calcule los p a rá m etro s d e m o vim ien to d e la carrera d e trabajo d e presión sobre el cojinete
l a s m agnitudes estim adas d e velocidad y aceleración de la carrera d e t rabajo d e presión sobre el cojinete son:
, AR
A*
6.
,( 6 D i n )
(6X)in)
,
O ptim ice e l m o vim ien to
La m ayor m agnitud de aceleración e s de 200 in /s2 ~ 20CV386.4 - 0A 17g, correspondiente al alojam iento del
transportador. El m ovim iento se puede optim izar e increm entar la producción, sustituyendo a ~ 386.4 in/s2 (lg )
en la ecuación (5.7), para obtener u n tiem po de m ovim iento m en o r e n la transportadora.
L Üa . V/4(386.4
—£^in/s2)
!L_<386.4 m/s2
V
0 .2 8 8 S
M anteniendo igual la razón d e tiem po, la carrera reducida d e la presión sobre el soporte se determ ina rec a n te a n d o la ecuación (5.1).
A t¡ = Q A /, = 1A (0 2 8 8 s) = 0 4 3 2 s
La velocidad increm entada d e h m anivela se determ ina con la ecuación 5 A:
- (0 2 8 8 + 0.432 s ) " 1
I
0.720 s/rcv
= 1A89 rcv/s(
60s \
I = 8 3 3 rev/m in
1 m in /
C om o la v elo d d ad d e producción está relacionada c o n la velocidad de la linea, la producción se increm enta 39%
usando diagram as d e tiem po y optim izando el m ovim iento, m ien tras se m antenga d en tro de lim ites d e aceleración
aceptables.
5.4 D ISE Ñ O D E M E C A N ISM O S DE
M A N IV ELA -CO RRED ERA
5.4.1 M e c a n is m o d e m a n iv e la - c o r r e d e r a
e n lín e a
M u c h as ap licacio n es re q u ie re n u n a m á q u in a c o n m o v im ien to
d e d e sliz a m ie n to lineal re c ip ro c a n te d e u n a c o m p o n e n te . Los
m o to re s d e g asolina y lo s c o m p reso res necesitan q u e u n pistón
s e m u e v a u n a d is t a n d a p re d s a , lla m a d a c a rre ra , c o n f o rm e la
m an iv ela g ir a e n (b rm a co n stan te. O tr a s ap licad o n es, c o m o las
m á q u in a s d e c o s e r y las s ie rr a s d e p o te n c ia p a r a m e ta l, re ­
q u ieren u n m o v im ien to lineal recip ro can te sim ilar. Esta es una
fo rm a d e u tilizar el m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era práctica­
m e n te e n to d a s las ap licad o n es.
Un m ecanism o d e m an ivela-corredera e n lín ea tien e el pivote d e
la m an iv ela e n e l m ism o e je d e d e sliz a m ie n to d el p e r n o del
p istó n . En la fig u ra 5.3 se ilu stra u n m ecan ism o d e m anivelaa tr r r d e r a e n línea. La carrera lA R ,!,,^ , se describe c o m o la d is ­
tan cia lineal q u e recorre el eslab ó n q u e s e desliza e n tre las p o si­
ciones extrem as. C o m o el m o v im ien to d e la m anivela (L j) y el
brazo c o n e c to r ( L ,) e s sim étrico e n relación c o n el eje d e desliza­
m iento, el á n g u lo d e la m a n iv e b req u erid o p a ra realizar b ca­
rre ra d e avance es el m ism o q u e e l req u erid o p a r a el reto m o . P o r
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114
CAPITULO CINCO
b distan cia d el d e scen tra d o (si existe), so b re la aceleración m áx i­
m a d el eslabón deslizante. E stos d a to s indican J a r a m e n te q u e la
lo n g itu d d d b r a z o c o n e c to r d e b e r b ser t a n g r a n d e c o m o sea
p o sib le. (O b se rv e q u e e n u n a m a n iv e b * c o rre d e ra e n lin ea el
v a lo r d el d e s c e n tra d o Lt es ig u al a cero .) C o m o re g b p rá c tic a
gen eral, d b r a z o c o n e c to r d e b e r b ser p o r lo m en o s tre s veces
m ay o r q u e b lo n g itu d d e b m anivela. S e tien e q u e llev ar a cabo
u n análisis d e ta lla d a c o m o d q u e se p re se n ta e n d c ap itu lo 7,
p a r a d e te rm in a r b s aceleraciones exactas d e los eslabones y b re­
s u lta n te d e b s cargas inerdales.
5 .4 .2 M e c a n is m o d e m a n i v e l a - c o r r e d e r a
d e s c e n tra d o
FIGURA 5.3 M ecan ism o d e m an ivela-corredera en linea.
tal ra z ó n , el m ecan ism o d e m anivela c o rre d e ra e n lin ea p ro d u ce
u n m o v im ie n to e q u ilib ra d a Si s e s u p o n e q u e la m anivela « i m ­
p u lsa c o n u n a fu e n te d e velocidad c o n sta n te , c o m o u n m o to r
e l é c tr ic a el tie m p o tr a n s c u rrid o d u r a n te la ca rre ra d e avance es
igual al tie m p o d e reto rno.
H d ise n o d e u n m ecanism o d e m anivela-corredera e n linea
im p lica la d e fin ic ió n d e la lo n g itu d a d e c u a d a d e lo s d o s es*
tabones. L j y ly , p a r a lo g rar la ca rre ra deseada, lAR4lm íl. C o m o se
o b se rv a e n la fig u ra 5 J , la ca rre ra d e l m ecanism o d e manivelaco rre d era e n lin ea es d d d o b le d e la lo n g itu d d e la m anivela, es
decir, la d ista n c ia e n tre B , y B . es la m ism a q u e la d ista n c ia e n tre
C | y Cg. Por lo t a n t a la longitud de la m an iv d a, L¡, e n u n m eca
n ism o d e m anivela-corredera e n linea s e d e term in a d e la siguiente
m anera;
El m ecanism o ilu stra d o e n la fig u ra 5.5a es u n m ecanism o de
m an ivela-corredera d e s c e n tra d a d o n d e s e in tro d u c e b d ista n c b d el d e s c e n tr a d a Este d e s c e n tra d o Lt e s b d ista n c ia e n tre el
p ivote d e b m a n iv e b y el eje d e deslizam iento. C o n la presencia
d el d e s c e n tra d a el m o v im ien to d e b m a n iv e b y el b ra z o c o n e c ­
t o r d eja d e s e r sim é tric o e n relación c o n el eje d e d e s liz a m ie n ta
d e m o d o q u e el á n g u lo d e b m a n iv e b req u erid o p a r a e fectu ar b
c a rre ra d e av a n c e e s d ife re n te d el á n g u lo d e b m a n iv e b n ece­
s a rio p a ra el r e to r n a U n m ecanism o d e m a n iv e b c o rre d e ra con
d e scen tra d o p ro d u c e u n re to rn o rá p id o c u a n d o s e req u iere un
avance d e tra b a jo m á s l e n t a
E n b figura 5 5 a , se o b se rv a q u e A, Q y Q no son colineales. P o r co n sig u ien te, la ca rre ra d e u n m ecanism o d e manivelac o rre d e ra c o n descen trad o sie m p re e s m ay o r del d o b le d e la lo n ­
g itu d d e la m anivela. C o n fo rm e el descen trad o se increm enta, b
c a rre ra se v uelve m ás grande. Si se exam ina la fig u ra 5 5 a , se verá
q u e el ran g o p o sib le d el d e scen tra d o s e expresa com o:
|A R ,r
L¡ < L j -
(5.8)
l a lo n g itu d d d b razo conector, L¡, n o afecta la ca rre ra d e un
m ecan ism o d e m an iv eb -co rred era e n linea. S in e m b a rg a u n b ra ­
zo c o n e c to r p e q u e ñ o p ro d u c e m ayores v alo res d e aceleración. La
figura 5 .4 m u estra d efecto d e b lo n g itu d d el brazo c o n e c to r y
f ig u r a
Li
(5.9)
En la fig u ra 5.5a s e m u estran las p o sic io n e s lim ite d el es­
la b ó n deslizante, q u e s e a n a liz a ro n e n el c a p itu lo 4. El d ise ñ o de
u n m e c a n is m o d e m a n iv e b - c o rr e d e r a r e q u ie re el cálcu lo del
d e s c e n tra d o ( b d ista n c ia L ,) y la s lo n g itu d e s d e lo s d o s es­
labones. L j y Ly p a ra o b te n e r b ca rre ra desead a
y el
5 .4 A c e l e r a c i ó n m á x i m a d e b c o r r e d e r a e n m e c a n i s m o s d e m a n i v e l a - c o r r e d e r a .
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D is e n o d e m e c a n is m o s
115
so n ra d io s d d m ism o arco, el r a d io A C , es igual a las lo n ­
g itu d es A C , + C |D . R e p la n te an d o e sta relación,
C \D = A C j — A C \
S ustituyendo y reag ru p an d o , la lo n g itu d d e b m a n iv e b Lj
d e e ste m ecanism o d e m a n iv e b -c o rre d e ra c o n descen trad o
se d e te rm in a com o
(5.10)
7.
En b co n stru c c ió n d e las p o sic io n e s lim ite ta m b ié n s e o b ­
serva que
ACi = I j -
Lj
R eagrupando, b lo n g itu d L , d d a c o p la d o r p a ra este m eca­
n ism o d e m a n iv e b -c o rre d e ra c o n d e scen tra d o es
L j = A C , + L¡
(5.11)
E n b fig u ra 5 .5 c se m u estra d m ecanism o c o m p le to . C o n
el p ro c e d im ie n to d e d is e n o im p le m e n ta d o e n u n s is te m a de
c a d , s e o b tie n e n resu ltad o s exactos.
O b serv e q u e e s p o sib le d ib u ja r u n a lín ea M c u a lq u ie ra a
través d d p u n to C , con u n á n g u lo d e inclinación a rb itra ria
Itor lo ta n to , se p o d r ía d ise rtar u n n ú m e ro infinito d e m ecanis­
m os funcionales. En gen eral, el m ecanism o q u e g e n e ra el brazo
c o n e c to r m ás g ra n d e tie n e aceleraciones m á s bajas y, e n co n se­
cu encia, m e n o re s fuerzas in errialcs. L a fig u ra 5.4 sirv e p a ra d e ­
te rm in a r la s re p e rc u sio n e s a l u s a r u n b r a z o c o n e c to r c o r to .
C o m o regla práctica gen eral, el b ra z o c o n e c to r d e b e s e r p o r lo
m enos tre s veces m ay o r q u e la lo n g itu d d e b m anivela. S e debe
efectuar u n análisis d etallad o d e aceleración, c o m o el q u e se rea­
liza e n el c a p ítu lo 7 , p a r a d e te rm in a r b s c a rg a s in e rc b le s i n ­
f ig u r a
53
M ecan ism o d e m an iv ela-co rred era c o n descentrado.
ángulo d e d eseq u ilib rio ¡i. El p ro c e d im ie n to g ráfico d e síntesis
d e u n m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era es el siguiente:
1. Localizar el eje d e la u n ió n d e p e rn o so b re el eslabón
d eslizante. E sta u n ió n s e id en tifica c o m o el p u n to (Ten la
fig u ra 5.5a.
2. D ib u ja r la s p o sic io n e s ex trem as d d eslab ó n deslizante,
sep arad as p o r la ca rre ra lA R J ^ ,..
trínsecas.
Se d isp o n e d e m é to d o s analíticos u tilizan d o el triá n g u lo d e
b fig u ra 5.5b, p a ra o b te n e r ex p resio n es p a r a b s lo n g itu d e s L „
L¡ y L), c o m o u n a f u n d ó n d e b ca rre ra IAR4 linll, el á n g u lo de
deseq u ilib rio P y b in d in a d ó n d e b lín e a a rb itra ria M (0 M).
se n (0 M) s c n ( f l M L , = IA R J™ ,
s e n (0 M) ¿2 = lA R J n * ,
5. L a in tersecció n d e las líneas M y N define d p u n to pivote
d e b m aniveb, el p u n to A . El descen trad o L\ se o btiene a
p a rtir d e b construcción con la escab adecuada (figura 5 5 b ).
6. En la c o n s tru c c ió n d e las p o sic io n e s lím ite, se o b se rv a q u e
b lo n g itu d e n tre C , y D e s 2L¡. O b serv e q u e d arco C jD
tie n e s u c e n tro e n el p u n to A C o m o a m b a s lin c a s ( M y N)
lA R J n ú x
(5.12)
s e n ( 0 ,,t (5.13)
2sen (p )
s e n ( 0 M) + s c n ( 0 M -
3. C o n stru ir, e n u n a d e las p o sic io n e s extrem as, u n a lín ea M
cualquiera que pase p o r la u n ió n d e p e rn o d el eslabón
d eslizante, in clinada u n á n g u lo B \(. E ste p u n to se id en ti­
fica c o m o C | e n la fig u ra 5.5b.
4. D ibujar, e n la o t r a p o sic ió n extrem a, u n a lín ea N q u e pase
a trav és d e la u n ió n d e p e rn o d d eslab ó n deslizante, id e n ­
tifica d a c o m o C ¡ e n la fig u ra 5.5b, in d in a d a a u n á n g u lo
P e n r e la d ó n c o n b lin ea M . O b serv e q u e 0 S - 0 W ~ P-
p)
sen O )
p)
(5.14)
2sc n (0 )
5.5 D ISEÑ O DE M EC A N ISM O S DE
M ANIVELA-BALANCIN
T am bién se h a a n alizad o e n v arias o casio n es el m ecan ism o de
m an iv ela-b alan d n . Es c o m ú n e n m u ch as a p lic a d o n e s d o n d e se
re q u ie re n o s c ila d o n e s re p e titiv a s. La fig u ra 5.6a m u e s tra la
g e o m e tr b d e u n m ecan ism o d e m a n iv e b -b a la n d n . S em ejante
a b ca rre ra d e u n m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era, el m eca
nism o d e m a n iv e b -b a la n d n tie n e u n ángulo d e desplazam iento
(^0«)mdx (fig u ra 5.6), a el cu al se d efine c o m o el á n g u lo e n tre las
p o sid o n e s ex trem as d el b a la n d n .
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116
CAPITULO CINCO
0 d ise ñ o d e u n m ecan ism o d e m an iv ela-b alan d n im plica
la d efin ició n d e las lo n g itu d e s adecuadas d e los c u a tro eslabones
p a r a o b te n e r el á n g u lo d e d esp lazam ien to deseado (A 04)„ tf, y el
ángulo d e d eseq u ilib rio p . 0 p ro ced im ien to gráfico d e la sínte­
sis d e u n m ecan ism o d e m a n iv e la -b a la n d n e s c o m o sigue:
U bicar el p iv o te D d el b a la n d n e n la fig u ra 5.6b.
B e g ir u n a lo n g itu d p o sib le L, m alquiera del b a la n d n . La
b n g itu d g e n e ralm en te e stá restrin g id a p o r la to le r a n d a
espacial d e l m ecanism o.
D ib u jar tos d o s p o sid o n e s d el balan cín , sep arad as p o r el
á n g u lo d e desplazam iento
En u n a d e las p o sic io n e s extrem as, c o n s tru ir u n a lín e a M
m alquiera a trav és del ex trem o d el b a la n c ín , inclinada a
un á n g u lo 0 M. E ste p u n t o s e id e n tific a c o m o C ¡ e n la
figura 5.6b.
En la o t r a p o s id ó n extrem a, d ib u ja r u n a lín e a N a través
«fcl ex trem o d el b a la n c ín , el cu al está in c lin a d o a u n ángulo
- PP e n relación c o n la lín ea M . O bserve q u e
l a intersección d e las líneas M y N d efine el p u n to pivote
d e la m aniveto, el p u n to A l a lo n g itu d L, e n tre lo s d o s
pivotes, L). se o b tie n e m id ie n d o to c o n s tru c c ió n c o n to es­
cala ad ecu ad a (fig u ra 5.6c). E n lo s casos d o n d e se req u iere
un r itm o d e balanceo e q u ilib ra d o ( Q - 1), las líneas M y
A 'so n c o lin t ales. Así, el p u n to pivote A d e to m aniveto se
ubica e n cu a lq u ie r p a rte a l o largo d e las lín e a s M y Ai
7. Al c o n s tru ir tos p o sic io n e s lím ite, s e o b se rv a q u e 1a lo n g i­
tu d e n tre Cj y E es 2L ]. O b serv e q u e este a rc o C ¡E tien e su
c e n tro e n A .C o m o am bas lín e a s ( M y N ) s o n arco s del
m ism o rad io , el ra d io A C , es igual a tos lo n g itu d e s A C , +
Q £ R e ag ru p an d o e sta relación se tiene:
C ^E = A C j - A C ,
Al s u s titu ir y reag m p ar, to lo n g itu d d e to m aniveto L¡ de
este m ecan ism o d e m anivela-balancín s e d e te rm in a c o m o
L j=
- (A C j -
AC,)
(5.15)
8 . A p a r tir d e to co n stru c c ió n d e tos p o sic io n e s lim ite, s e o b ­
serva q u e
AC, = 1 , - 1 2
Re-agrupando, 1a lo n g itu d L , del a c o p la d o r d e e ste m ecan is­
m o d e m anivela-balancín es
L , = A C , + L2
(5.16)
FIGURA 5 ó M ecanism o d e m aniveto-balancín.
Al igual q u e el m ecanism o d e m an ivela-corredera con d es­
centrado, el de m anivela-balancín s e utiliza c o m o u n m ecanism o
d e reto m o rápido. La razón de tie m p o definida e n las ecuaciones
(5.1) y (5 .2 ) s e aplica d el m ism o m o d o e n u n m ecan ism o d e
m in iv e to -b a la n d n . 0 á n g u lo d e d eseq u ilib rio p , d e u n m eca­
n ism o d e m anivela-balancín tam bién se presenta e n la fig u ra 5.6a.
En la fig u ra 5.6a s e m u e s tra n las p o s ic io n e s lím ite d el
m ecan ism o d e m a n iv e la -b a la n d n . la s cuales s e a n a liz a ro n a m ­
pliam en te e n el c ap ítu lo 4. O b serv e q u e to lo n g itu d radial e n tre
las d o s p o sic io n e s e x tre m a s e s d el d o b le d e la lo n g itu d d e la
m an iv ela. Este c o n o d m ie n to e s im p o rta n te c u a n d o s e d ise ñ a un
m ecan ism o d e m an iv eto -b alan d n .
En 1a fig u ra 5.6c se ilu stra e l m e c a n is m o c o m p le to . En el
|w so 4, to lín ea M se d ib u ja a tra v é s d el p u n to C¡, c o n u n á n g u lo
d e inclinación a rb itra ria 0 M. P o r lo ta n to , e s p o sib le d ise ñ ar un
n ú m e ro in fin ito d e m e c a n ism o s íiin cio n alcs p a r a o b te n e r el á n ­
g ulo d e d e sp la z a m ie n to y to ra z ó n d e tie m p o deseados. C o m o
e n los m e c a n ism o s d e m anivela-corredera, los m ecan ism o s de
c u a tro b a r r a s q u e in clu y en a c o p la d o re s m á s g r a n d e s te n d rá n
aceleracio n es m e n o re s y, e n c o n s e c u e n c ia , fu erz as in e rd a le s
m ás bajas.
I h a m e d id a adicional d e to “calidad" d e u n m ecan ism o de
cuatro b arra s es el ángulo d e transm isión y , q u e es el á n g u lo e n tre
d aco p lad o r y el b a la n d n . c o m o se ilu stra e n to fig u ra 5 6 c U na
f u n d ó n c o m ú n e n u n m ecanism o d e cuatro b a rra s es co n v ertir
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D is e r t o d e m e c a n i s m o s
el m o v im ien to g irato rio e n oscilatorio. En tales aplicaciones, c o n
fre c u e n c ia e s n ecesario tr a n s m itir g ra n d e s fu erz as. E n s itu a ­
cio n es a s i, el á n g u lo d e tr a n s m is ió n es d e vital im p o rta n c ia .
C u a n d o el á n g u lo d e tr a n s m is ió n e s p e q u e ñ o , se req u iere n
fuerzas g ran d es p a ra im p u lsa r el b ra z o d el b a la n d n . P ara obtener
lo s m ejo res resultados, el á n g u lo d e tran sm isió n d eberla e sta r lo
m á s cerca posible d e 90* d u ra n te el g iro co m p le to d e la m anivela.
Asi s e red u cirá la flexión e n la s eslab o n es y p ro d u cirá las c o n d i­
cio n es m á s favorables d e tr a n s m is ió n d e la fu erza. Los valores
ex trem o s d el á n g u lo d e tr a n s m is ió n s e p re se n ta n c u a n d o b
m an iv ela se e n c u e n tra a lo largo d e la lin ea d e b b a n c a d a . U na
regla p ráctica c o m ú n es q u e n o se d eberla u tiliz a r u n m ecanism o
d e c u a tro b a rra s c u a n d o el á n g u lo d e tra n sm isió n e stá fuera de
lo s lim ite s d e 45° y 135". S e reco m ien d a u s a r el análisis d e fuerza
q u e se p resenta e n lo s c ap ítu lo s 13 y 14, p a r a d e te rm in a r e l efecto
del á n g u lo d e tra n sm isió n real o b te n id a
E n c ie rto s casos, b lo n g itu d d e u n eslab ó n d e b e ten er una
d im e n sió n especifica. Es m uy c o m ú n q u e s e especifique u n a lo n ­
g itu d m eta (L ,) d e b bancada. Sin e m b a r g a tan so lo b lo n g itu d
(L4) d el b a b n d n está esp ecificad a d ire c ta m e n te e n el p ro c e ­
d im ie n to q u e se acab a d e d escribir. C o m o el m ecanism o d e cu a ­
tro b a rra s se d ise ñ ó p a ra o b te n e r resultados a n g u lares específi­
cos, la lo n g itu d d e to d o s lo s eslabones se d e b e m e d ir con la escala
ad ecu ad a p a ra lo g rar b d im e n sió n deseada d d eslab ó n y m a n ­
te n e r el o b je tiro d e diseño. T o d o s lo s sistem as d e c a d tien en la
capacidad d e ap licar la escala ad ecu ad a a b g e o m e tr fa c o n stru id a
d e b fig u ra 5.6b.
S e d e b e n a g re g a r m é to d o s a n a lític o s p a r a a n a liz a r los
triá n g u lo s d e b fig u ra 5 .6 b y o b te n e r ex p resio n es p a r a las lo n g i­
tu d e s d e lo s eslab o n es ¿2,
y ¿4 e n fu n c ió n d d d c sp b z a m ie n to
( A«l )nu, , d c b lo n g itu d ( ¿ () d e la b an cad a , d d á n g u lo d e dese­
q u ilib rio /? y d e b in clin ació n 0 M d e la lin ea a r b itr a r ia M .
u
( 5 .1 7 )
=
V
k
D o n d e:
k
-
|xira lo g r a r b ca rre ra desead a lA R f ln ^ . El p ro ced im ien to g rá ­
fico d e síntesis d e u n m ecan ism o d e m an iv e b -c e p illo e s com o
agüe:
3 . La intersección d e las d o s lineas in clin ad as u b ic a el pivote
d el balan cín , el p u n to A e n b fig u ra 5 .7 a. La lin ea e n tre los
p u n to s A y D | o e n tre A y D? representa el b a la n d n y se
d esig n a c o m o Ly
2 + 0 M))
L ,s e n (( A 0 4W 2 )
L j = _______
n -----------[ s e n flM + se n (d .u + /? )J
sen p
( 5 .1 8 )
2 L 4 se n ((A 0 4)m4x/ 2 ) s e n 0 M
se n /3
d e m a n iv c b - c e p illa d o r a .
2 . C o n s tru ir u n a lin c a in c lin a d a a p a r tir d e D | y o t r a a p a rtir
d e D ; c o n u n á n g u lo igual a pt'2 c o m o e n b fig u ra 5.7a.
4 s e n /? s e n ((A 0 <)raíx/2 ) s e n ( 0 M + /? )
L2 = Ly -
M ecanism o
1. C o n s tru ir u n a lin e a cuya lo n g itu d se a igual a b carrera
!A R ílm a deseada. L o s p u n to s ex trem o s se identifican
c o m o D | y D j, c o m o s e in d ica e n b fig u ra 5.7a.
= s e n 2/? + 4 s e n 2((A 0 4)m lx/ 2 ) s e n ?(0 M + /? )
s e n ( ( A 0 4W
F IG U R A 5 . 7
117
( 5 .1 9 )
5.6 D ISE Ñ O D E M E C A N SM O S DE
M ANIVELA-CEPILLO
En b fig u ra 5 .7 s e m u e s tra u n m ecan ism o d e m anivda-cepillo
q u e tien e b c ap ac id a d p a ra razo n es d e tie m p o m ás altas. Se le
l a m a asi p o r s u u s o e n m á q u in a s c e p illa d o ra s lim a d o ra s de
m etal, d o n d e u n a ca rre ra d e c o rte le n to v a seguida p o r u n re ­
to r n o rá p id o c u a n d o n o s e efectú a tr a b a jo . El d is e ñ o d e un
m ecan ism o d e m anivela-cepillo im p lica la o b te n c ió n d e b lo n ­
g itu d a d e c u a d a d e los tre s e s b b o n e s p rin c ip a le s { L y L2 y Ly)
4 . D ib u jar u n a lin ea p e rp e n d ic u la r a b lin ea D , D j a tra v é s de
A . E sta lin ea s e identifica c o m o b lin ea P e n b figura 5.7a.
5 . El p iv o te d e la m anivela, el p u n to C , se u b ic a e n cu alq u ier
lu g a r d e b lin ea P . L a d is ta n c b e n tre lo s p u n to s A y ¿ r e ­
p re se n ta la b a n c a d a y s e d esig n a c o m o L¡.
6 . D ib u jar u n a lin e a p e rp e n d ic u la r a b lin ea A D | a trav és del
p u n to C l o intersección se designa c o m o fí, (fig u ra 5.5a).
La lin ea B, C representa b m anivela y se d esig n a c o m o L j.
De m a n e ra sim ilar, se d ib u ja u n a lin ca p e r p e n d ic u b r a b
línea A D ¡ a trav és d el p u n to C . La in te rse c d ó n s e designa
c o m o B¡.
7.
La lo n g itu d d e L4 , c o m o s e in d ica e n b fig u ra 5.7b, s e hace
igual a u n v a lo r a d e c u a d o p a ra q u e se ajuste a la apli«ación. C o m o e n lo s m ecanism os d e m anivela co rre d era,
b s lo n g itu d e s m ás g ra n d e s red u cirá n las aceleraciones
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118
CAPITULO CINCO
O b s e rv e q u e el p iv o te d e I d m anivela, el p u n to C , s e u b ic a a lo
larg o d e la lin ca P, d e m o d o q u e es p o sib le d ise rtar u n n ú m e ro
in fin ito d e m e c a n ism o s fu n c io n a le s. U n a Li m ás g r a n d e p ro ­
d u c irá u n a m an iv ela L j m ás g ra n d e , la c u a l p re se n ta rá m enos
tu erza e n la u n ió n B , a u n q u e m ayores velocidades d e desliza­
m ien to . Es c o m ú n c o lo c a r y se leccio n ar el p u n to C cerca d e la
m itad d e la lin ea P.
S e p u e d e n a g re g a r m é to d o s a n a lític o s p a r a a n a liz a r el
triá n g u lo d e la fig u ra 5 .7 a, al g e n e ra r expresiones p a r a las lo n g i­
tu d e s d e lo s eslab o n es L j y L} e n fu n ció n d e la c a rre ra IARpL ^
el á n g u lo d e d eseq u ilib rio f i y la lo n g itu d L¡ d e la b a n c a d a selec­
cio n ad a. C o m o se m en cio n ó , LÁ d ebería s e r tan g r a n d e c o m o lo
p erm ita la aplicación.
A-,
B¡
fli .
« ■ -iS te
= ¿ |S c n ( /3 /2 )
(5.21)
5.7 M E C A N ISM O PARA M O V ER
U N ESLABÓN ENTRE
D O S P O S IC IO N E S
E n las m á q u in a s q u e m a n ip u la n m a te ria le s, r e s u lta c o m ú n
te n e r u n eslab ó n q u e se m ueve d e u n a p o sic ió n c u a lq u ie ra a
o ír a . C u a n d o se especifican d o s p o sic io n e s p a r a u n eslabón, los
p ro b lem as d e diserto q u e s e g e n e ra n se conocen c o m o ántesis de
dos posiciones. La tarea se realiza g ir a n d o u n eslab ó n alred ed o r
d e u n p u n t o p iv o te ú n ico , o b ie n , u s a n d o el a c o p la d o r d e u n
m ecan ism o d e c u a tro b arras.
5 .7 .1 S í n t e s i s d e d o s p o s ic io n e s c o n u n
e s la b ó n q u e p iv o ta
La fig u ra 5 .8 a ilu stra d o s p u n to s , A y fl.q u e se e n c u e n tra n s o ­
b re u n e s b b ó n c o m ú n y se m ueven d e A ,B , a A }B j. S e p o d ría
d ise rta r u n s o lo eslab ó n p a r a g en erar este d e sp la z a m ie n to . El
p ro b lem a s e red u ce a la o b te n c ió n d el p u n to pivote d e e ste es­
la b ó n y a l á n g u lo q u e d e b e g ir a r p a r a o b te n e r el d e s p la z a ­
m ie n to d e s e a d a
E l p ro c e d im ie n to g rá fic o d e sín te sis p a r a d ise rtar u n es­
b b ó n q u e p iv o ta p a r a alcanzar d o s p o sic io n e s e s el siguiente:
1. C o n s tru ir d o s lín eas q u e co n e c te n respectivam ente A, con
A j Y Bi c o n B¡.
2. C o n s tru ir u n a bisectriz p e rp e n d ic u la r a A | A 3.
3. C o n s tru ir u n a b ise c triz p e rp e n d ic u la r a B¡ B¡.
4. La in tersecció n d e estas d o s bise ctrices es la u b ic a c ió n q u e
se requiere p a ra el pivote d el eslabón, q u e s e identifica
c o m o el p u n to C e n la fig u ra 5.8b. t í c e n tro d e g iro e n tre
las d o s p o sic io n e s re q u e rid a s se co n o ce c o m o ¡ v io de des­
p lazam iento. t í p u n to C es el p o lo d e d esp lazam ien to de
las p o sic io n e s 1 y 2.
5. t í á n g u lo e n tre el p u n to p iv o te Q A ( y A ¡ es el á n g u lo re ­
q u e rid o q u e el eslab ó n d e b e g ir a r p a ra p ro d u c ir el d es­
p lazam ien to deseado. Este á n g u lo s e id en tifica com o
1 0 e n la fig u ra 5.8c. Se diserta e n seguida u n eslab o ­
n a m ie n to d el tip o m anivela-balancín p a ra o b te n e r este
m o v im ie n to g ira to rio , si s e desea im p u lso r el m ecanism o
c o n el giro c o n tin u o d e u n a m anivela.
f ig u r a
5 .8 S í n t e s i s p a r a d o s p o s i c i o n e s c o n u n e s l a b ó n
q u e p iv o ta .
5 .7 .2 S ín te s is d e d o s p o s ic io n e s c o n u n
a c o p l a d o r d e u n m e c a n is m o d e c u a tr o
b a rra s
La fig u ra 5.9a m u e s tra d o s p u n to s, A y B, e n u n p ro b lem a id é n ­
tico a l p re se n ta d o e n la se cció n a n te rio r, q u e s e d eb en situ a r
sobre u n eslabón y m overse d e A (B , a A 2B¡. En a lg u n as aplica­
ciones q u iz á sea im posible u sa r u n so lo eslabón c o n u n pivote,
p o r e jem p lo cu an d o el p u n to pivote es inaccesible. En tales ca­
sos, se p u e d e disertar u n a c o p la d o r d e u n m ecanism o d e c u a tro
borras y p r o d u c ir asi el desplazam iento req u erid o . S e d eb en d e ­
te r m in a r la s lo n g itu d e s c o rre c ta s d e lo s c u a tr o eslab o n es y la
ib ic a d ó n de los p u n to s pivote, d e m o d o q u e el a c o p la d o r logre
d d esplazam iento deseado.
H p ro c e d im ie n to g ráfico p a r a d ise rtar u n m ecan ism o de
c u a tro b a rra s p a ra la síntesis d e d o s p o sic io n e s e s c o m o sigue:
1 . C o n s tru ir d o s líneas q u e co n e c te n A t c o n A ¡ y B , c o n B¡,
respectivam ente.
2 . C o n s tru ir u n a bisectriz p e rp e n d ic u la r a A( A j.
3 . C o n s tru ir u n a bisectriz p e rp e n d ic u la r a B t Bj.
4 . Los p u n to s pivote d e lo s eslab o n es d e e n tra d a y salida se
u bican e n cu alq u ier lugar d e la b ise c triz p erp en d icu lar
co rresp o n d ien te. Estos p u n to s p iv o te s e in d ic a n c o m o los
p u n to s C y D e n la fig u ra 3.9b.
5 . l a lo n g itu d d e lo s d o s eslab o n es q u e p iv o ta n se d e term in a
m id ien d o las lo n g itu d e s A ,C y B |D con la escala ad ecu ad a
(fig u ra 5.9c).
En la fig u ra 5.9c se ilu stra el m ecan ism o c o m p le ta C o m o
los p u n to s p iv o te C y D s e p u e d e n u b ic a r e n cu a lq u ie r lu g a r a lo
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v
a
/
1
/
*Ubicación del
p ivo tee
Ubkaclfln del
pív«r I)
b)
FIGURA 5.9 Síntesis d e d o s posiciones c o n u n acoplador.
d
k irg o d e la s b ise ctrices p erp e n d ic u la re s, e s p o sib le disertar u n
n ú m e ro in fin ito d e m ecan ism o s p a ra real i / a r el d e sp b z a m ie n to
d e s e a d a A dv ierta q u e los eslab o n es m á s g ra n d e s q u e p iv o tan
g ira n a á n g u lo s m ás p e q u e ñ o s p a ra m o v er el a c o p la d o r e n tre las
d o s p o sic io n e s d e s e a d a s . E sto p ro d u c e m ayores á n g u lo s de
tra n sm isió n y re d u c e la fuerza re q u e rid a p a r a im p u lsa r el esb b o n a m i e n t a U n sis te m a d e c a d p ro d u c e re su lta d o s exactos.
5.8 M E C A N ISM O PARA M O V E R UN
ESLABÓN EN TRE TR E S PO SIC IO N E S
En a lg u n as m áq u in as q u e m an ip u lan m ateriales, se desea m over
u n eslabón e n tre tre s posiciones. C u a n d o se especifican tre s p o si­
ciones p a r a u n eslabón, los pro b lem as d e diserto q u e se generan
se conocen c o m o síntesis d e tres posiciones. G eneralm ente n o e s p o ­
sible u tilizar u n so lo eslabón q u e pivote e n b síntesis d e tre s p o si­
ciones. Esta tarea s e realiza c o n el aco p lad o r d e u n m ecanism o de
c u a tro barras.
La f ig u ra 5 .1 0 a m u e s tr a d o s p u n to s , A y B . q u e p e r ­
m a n e c e n s o b re u n e s la b ó n y s e m u e v e n d e A iB | a A ¡B i y a
A ,B ,. S e d e b e n d e te rm in a r b s lo n g itu d e s a d e c u a d a s d e lo s c u a ­
tro eslabones y b u b ic a c ió n d e lo s p u n to s piv o te, d e m o d o q u e
el a c o p b d o r p ro d u zca el d e s p b z a m ie n to deseado.
El p ro c e d im ie n to g rá fic o p a r a d ise rtar u n m e c a n is m o de
c u a tro b a rra s p a r a b síntesis d e tres p u n to s e s c o m o sigue:
1. C o n s tru ir c u a tro líneas q u e u n a n A | c o n
A j c o n A j y B¡ c o n B¡.
c o n B>.
2. C o n s tru ir u n a b ise c triz p e rp e n d ic u la r a A | A j. u n a bisec­
tr iz p e rp e n d ic u la r a B |B 2, u n a bisectriz p e rp e n d ic u la r a
A 2A j y u n a bisectriz p e rp e n d ic u la r a BjB>.
3. L a in tersecció n d e b b is e c tr iz p e rp e n d ic u la r a A tA 2 y b
b isectriz p e r p e n d ic u b r a A 2A5 u b ic a u n p u n to piv o te, el
cu al se m u e s tra c o m o el p u n to C e n b fig u ra 5.10b.
f ig u r a
5.io S íntesis d e tre s p o sic io n e s c o n u n acoplador.
4 . l a intersección d e b b ise c triz p e rp e n d ic u la r a B | y la b i ­
sectriz p e r p e n d ic u b r a B2B3 ubica el o tr o p u n to pivote.
Este se m u e s tra c o m o el p u n to D e n b fig u ra 5.10b.
5 . La lo n g itu d d e lo s d o s e s b b o n e s q u e p iv o tan se d e te rm in a
m id ien d o la s lo n g itu d e s A ,C y B ¡D c o n b escala adecuada,
c o m o s e in d ica e n la fig u ra 5 .7 c
H eslab o n am ien to co m p le to s e ilu stra e n la fig u ra
5.10c. O tr a vez, u n sistem a d e cad p ro d u c e resultados
exactos.
5.9 D E FE C T O S DE C IR C U IT O Y DE
RA M IFIC A C IÓ N
C ó m o s e v io e n el c ap ítu lo 4, los circuitos d e en sam b le so n t o ­
d as las c o n fig u ra c io n e s p o sib le s q u e p u e d e n p r o d u c ir lo s es­
b b o n e s d e u n m ecan ism o s i n d e s a rm a r b s u n io n e s, l a fig u ra
4.24 p resen ta d o s circu ito s d e en sam b le p a r a u n m ecanism o de
c u a tro b a r ra s . C u a n d o s e sig u e el p ro c e d im ie n to d e b s se c ­
ciones 5.5 y 5.6, e s posible que u n a p o sic ió n se e n c u e n tre e n un
circu ito d e en sam b le d i t a e n te, c o m o b s d e m á s posiciones. Esto
se co n o ce c o m o defecto de circuito, l o c u a l e s u n e r r o r grave e n
é diserto d e u n m ecanism o. U n a vez q u e se sin tetiza u n m eca­
nism o d e c u a tro b a rra s , s e d e b e r b e fectu ar u n análisis d e p o s i­
c ió n p a r a verificar q u e b p o sic ió n m e ta s e logre a p a r tir d e b
c o n fig u rac ió n inicial s in d e s a rm a r las uniones.
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120
CAPITULO CINCO
O c u rre u n defecto d e ram ificación c u a n d o el m ecan ism o
alcan za u n a p o sic ió n d e b lo q u eo e n tre p o sic io n e s m eta. A d ife ­
ren cia d el d e fe c to d e c ircu ito , u n d e fe c to d e ram ificació n d e ­
p e n d e d e la se le c c ió n d el e s b b ó n im p u lso r. E n u n a c o n fig u ­
ra c ió n d e b lo q u e o , el m ecan ism o s e b lo q u e a y el e s b b ó n
im p u lso r es in cap az d e a c tu ar. 0 d efecto d e ram ificación quizá
n o sea u n e rro r g rav e e n el d ise ñ o , s i u n eslab ó n a lte rn o s e activa
p a ra im p u lsa r el m ecan ism o e n tre las p o sic io n e s m eta.
PROBLEM AS_________________________________
C á lc u lo d e ra z o n e s d e tie m p o
F.n lo s p ro b le m a s 5-1 a 5-3 se v a a d ise ñ a r u n m ecanism o d e re ­
to rn o ráp id o , d o n d e la ca rre ra d e avance to m a u n tie m p o f, y el
re to rn o c o n su m e u n tie m p o t¡. D e te rm in e b razón d e tiem po,
el á n g u lo d e d eseq u ilib rio y la v elo cid ad a b cu al d ebería im p u l­
sa rse el m ecanism o.
D is e n o d e
E n lo s
m e c a n is m o s
p ro b le m a s
c o rre d e ra c o n
tie m p o
p o r
5 -1 1 a
u n a
ra z ó n
i.
d d o
U se
el
m é to d o
u n
Q,
tie m p o
m e c a n is m o
u n a
c a rre ra
g rá fic o
o
e l
L ¡,
d e
m a n iv e la -
!
y
m é to d o
a n a lític o .
u n
L j.e l d e s c e n tra d o
L,
m a n iv e la .
5 -1 1 . Q
=
1;
5 -1 2 . Q
=
1; lA R ,! ,* ,=
8 m m ; t = 0 .0 8 s
5 -1 3 . Q
=
1 ; IA R «lraáx=
0 .9 m m ;
5 -1 4 . Q
=
1.25; lA R ,! ,^ ,
=
5 -1 5 . Q
=
1.37; l A R , ! ^
=
46m m ; t =
5 -1 6 . Q
=
1.15; lA R ^ n * .
=
1 .2 i n ; f = 0 .0 1 4 s
5 -1 7 . Q
=
1.20; l A R ,! ,^ ,
=
0 .3 7 5 i n ; r = 0 .0 2 5 s
5 -1 8 . Q
=
1 .1 0 ; I A R , ! . *
=
0 .6 2 5 i n ; l = 0 .0 3 3 s
b n c ín
m e c a n is m o s
c o n
u n a
y “ n
5 -3 . í, = 0 .041 s ; f , = 0 .0 2 7 s.
d e
O lí e x i s t e ) y l a v e l o d d a d d e b
D is e ñ o d e
5 -2 . í, = 0 .3 5 S í , = 0 .2 0 s.
a n iv c b - c o r r c d c r a
E s p e c ifiq u e la s lo n g itu d e s d e lo s e s la b o n e s
F h lo s p ro b le m a s 5 -1 9 a
5 - 1 . f| = 1.1 s ; tj = 0 .8 s.
d e m
5 -1 8 . d is e ñ e
ra
2ó
n
= 2 i n ; f = 1 .2 s
tie m p o
tie m p o p o r c ic lo
a n a lític o . E s p e c ifiq u e
= 0 .4 s
t
=
0 .6 s
3 .4 s
d e m a n iv e la - b a la n c ín
5 -2 8 . d is e ñ e
d e
t
2 .7 5 ¡n ;
u n m e c a n is m o d e
Q , u n a á n g u lo d e
m a n iv e b -b a -
d e s p la z a m ie n to
f. U s e e l m é t o d o g r á f ic o o
la s lo n g itu d e s d e
e l m é to d o
L j, L>
lo s e s la b o n e s / . |f
L« y
la
v e lo c id a d d e la m a n iv e la .
E n I n p ro b le m a s 5 - 4 a 5 -6 , u n m e c a n is m o d e r e to m o r á p id o s e im p u b a
5 -2 0 . Q
=
t=
1 ; (Mdmtx =
5 -4 . Oí = 1 8 0 r p m ; ( i = 25°.
5 -2 1 . Q
=
1.15; (A 0 4 )mta
=
5 5 °; t
= 0 .4 5 s
5 -5 . o> = 7 5 r p m ; f i = 37°.
5 -2 2 . Q
=
1.24; ( A 0 4)mix
=
85«; t
= 1.8$
5 -6 . o> = 5 0 0 r p m ; f¡ = 20°.
5 -2 3 . Q
=
1.36; (A 0 4 )m ii
=
4 5 °;
= 1 .2 s
5 -2 4 . Q
=
1.20; (A 0 4)m¿ ,
=
9 6 ° ;í = 0 .3 s
5 -2 5 . Q
=
=
72°; í = 0 . 0 8 s ; I , = 8 .0 in
a a»
ip m y t i e n e u n á n g u lo d e d e s e q u i l i b r i o
tie m p o
yé
p. D
e t e r m i n e la r a z ó n d e
tie m p o j u r a c o m p le ta r la s c a r r e r a s d e .n a n c e y d e r e to r n o .
D ia g ra m a s d e tie m p o
5-7. U na sie rra recip ro can te necesita m o v er su h o ja 0 .7 5 in
h a d a a b a jo e n 0 .1 0 s y lo g ra r s u r e t o r n o e n 0 .0 8 s.
D e te rm in e la ra z ó n d e tie m p o y b v e lo d d a d d e b
m a n iv e b . A sim ism o, e to b o re el d ia g r a m a d e tie m p o ,
lu e g o calcu le b v e lo d d a d y la a c e le r a d ó n p ic o d el
m o v im ien to .
5-8. Una p rensa tro q u elad o ra necesita m over u n tro q u el 1 5
in h a d a ab a jo en 0 6 0 s y su re to m o e n 0 5 5 s. D eterm ine
b ra z ó n d e tie m p o y b v e lo d d a d d e la m anivela.
Asim ism o, elabore el diag ram a de tiem po, luego calcule
la v elo d d ad y b aceleración pico d el m ovim iento.
5 -9 . LVi p ro c e so requiere u n a tra n sp o rta d o ra p a r a m o v e r p a ­
quetes 6 .0 in e n 0 6 s y q u e s e d etenga m ie n tra s s e aplica
i n se llo al paquete. La cabeza d el sello d e b e reco rrer 8.0
in p a ra h a c e r contacto con el p aq u ete. La carrera c o m ­
pleta del sello d ebería d u r a r 0 .8 s. D eterm ine la razón d e
tie m p o y la v e lo d d a d d e la m an iv ela d d m ecanism o.
A sim ism o, e b b o r e lo s d iag ram as d e s in c ro n iz a d ó n d e
tiem po, lu eg o calcule la v elo d d ad y la ace le ra d ó n pico
d e lo s d iferen tes elem en to s m óviles.
5-10. U n p ro ceso req u iere u n a tra n s p o rta d o ra p a ra m o v er
lita s 2 .0 in e n 0.12 s y q u e el m o v im ien to s e d etenga
m ientras s e aplica u n a tapa a p resión sobre la lata. La tapa
deb e recorrer 3 .0 in para llegar a b lata. L a carrera com
fle ta de b tapa debería d u ra r 0 5 5 s. D eterm in e la razón
de tie m p o y la velocidad d e la m anivela d el m ecanism o.
A sim ism o, ela b o re lo s d iag ram as d e s in c ro n iz a d ó n d e
tiem po, lu eg o calcule b v e lo d d a d y b aceleración pico
d e lo s d iferen tes e le m e n to s m óviles.
5 - 1 9 . Q = 1; ( A ^ ) ^
= 78°;
1 .2 s
100";
1 .1 8 ;(A 0 4)m4l
t
t=
3.5 s
t
= 0 .2 s ; L\ = 6 .5 ¡n
5 -2 6 . Q =
1.10, (A 0 4 )mta = 115°;
5 -2 7 . Q =
1.22; (A 0 4 )ralx = 8 8 ° ;/ = 0 .7 5 s ;L , = 8 .0 ¡n
5 - 2 8 . Q = 1 .0 8 ; ( A ^ W , = 105°;
t
= 1.50s;
L \ = 100.0 m m
D is e n o
E n lo s
d e m e c a n is m o s
p ro b le m a s
5 -2 9
a
d e m a n iv e la - c e p illo
5 -3 2 , d is e ñ e
u n
m e c a n is m o
c e p illo c o n u n a r a z ó n d e tie m p o Q , u n a c a r r e r a
p » r c ic lo /.U s e e l m é to d o g r á f ic o o
b n g ilu d e i d e lo s e s b b o n e s L j,
5 -2 9 . Q
=
d e
!A R ,j ra , y
m a n iv e la u n tie m p o
e l m é t o d o a n a l í t i c o . E s p e d f i q u e la s
L¡, L
j. L« y b
v e lo d d a d
d e
b
m a n iv e b .
1.50; |A R f | m*
=
2 .7 5
in ;
t = 0 .6 s
t=
5 -3 0 . Q
=
1.75; lA R jJm á.
=
46 m m ;
5 -3 1 . Q
=
2 .0 0 ; |A R ¿ |max
=
0 .3 7 5 i n ; f = 0 .0 1 4 s
5 -3 2 . Q
=
1.80; l A R ^
=
1.2 ¡ n ; í = 0 .2 5 s
S ín te s is d e d o s
Dilo s
p o s ic io n e s , p iv o te
ú n ic o
p ro b le m a s 5 -3 3 a 5 -3 6 , u n e s b b ó n q u e c o n tie n e lo s p u n to s
d e b e s u p o n e r la s
p o s ic io n e s
D e te rm in e g rá fic a m e n te b
lis ta d a s e n l a
ta b b
d e
c a d a
Ay B
p ro b le m a .
u b i c a d ó n d e u n p iv o te fijo , p a r a u n s o l o e s ­
b b ó n q u e p iv o ta y p e r m ita e l m o v im ie n to I ñ u d o . D e te r m in e U m b ié n
b s g ra d o s q u e d e b e g ir a r e l e s b b ó n p a ra m o v e rs e d e
p » id ó n
b
p o s ic ió n
1
a
2.
5 -3 3 .
C o o rd en a d a s;
A,(ln)
Dairión I
0.0000
9 .0 0 0 0
50000
90000
6J600
6 .3 6 0 0
9 .9 0 0 5
26295
R ts id ó n
2
www.FreeLibros.me
8» (In)
V Iu )
U
3.4 s
D iserto d e m e c a n ism o s
121
g r a r lo s e s b b o n e s q u e p i v o t a n p a r a m o v e r e l a c o p b d o r d e b p o s ic ió n
5 -3 4 .
I a b p o s i c i ó n 2 y . lu e g o , d e b p o s i c i ó n 2 a b p o s i c i ó n 3 .
C o o r d e n a d a s;
4 ,(1 » )
V I»)
* ,« ■ )
M » )
fo s id ó n 1
2 .2 8 0 0
53400
63474
73744
fo n d ó n 2
9 .7 4 0 0
8 .5 0 0 0
123042
4336
5 -4 1 .
A , (la )
3 ,( 1 » )
fo a c ió n I
-1 X 1 0 0 0
-0 .9 0 0 0
5 .2 * 6 2
2
- 2 .7 0 0 0
-1 3 0 0 0
3*428
-0 .9 9 8 0
fo n d ó n 3
- 4 .4 0 0 0
- 2X 1000
1 .7 7 1 9
- 03068
B ,( ln )
* ,( ! ■ >
C o o rd en a d as:
fo n d ó n
5 -3 5 .
A , (m m )
A,í m m)
8 , (m m )
fo a c ió n 1
- 5 3 .0 0 0
41X 100
7 5 .2 0 5
1 9 .4 6 9
fo a c ió n 2
-3 6 .0 0 0
40X 100
8 7 .7 7 0
-8 .1 1 2
C b o n la u d is !
,
!
—
£
v
B , (m m )
1
2 5 .5 0 7
47312
8 3 .0 0 0
11X100
fo a c ió n 2
97X 100
3 0 .0 0 0
150*76
7 1 .7 4 8
fo a c ió n
- 1 .7 9 8 0
5 -4 2 .
A , fin )
A , (!■ )
fo n d ó n 1
—5 5 0 0 0
-0 .1 0 0 0
7 .9 8 3 6
fo n d ó n 2
- 2 .4 0 0 0
0 .5 0 0 0
1 2 .0 8 3 1
1 .1 9 9 2
fo n d ó n 3
-0 .6 0 0 0
1 .6 0 0 0
15*4*3
-1 .0 9 0 2
C o o rd en a d as;
A , (m m )
B ,ü n )
B ,< ,n m >
5 -3 6 .
C o o r d e n a d a s;
B , (In )
5 -2 3 3 1
5 -4 3 .
A y (m m )
B ,( m m )
fo n d ó n 1
0 .0 0 0
4 0 .0 0 0
5 4 .7 7 4
4 4 .9 8 0
fo n d ó n 2
21X 1 0 0
5 1 .0 0 0
72204
3 0 .9 2 0
fo n d ó n 3
39X 1 0 0
4 9 .0 0 0
8 2 .1 4 3
14387
C o o rd e n a d a » ;
A ,( m m )
S ín te sis d e d o s p o s ic io n e s , d o s p iv o tes
E n lo s p ro b le m a s 5 - 3 7 a 5 - 4 0 , u n e s la b ó n q u e c o n tie n e lo s p u n to s
Ay
B d e b e s u p o n e r b s p o s ic io n e s lis ta d a s e n b t a b b d e c a d a p ro b le m a .
D e te rm in e g r á f ic a m e n te b
u b ic a c ió n d e d o s p iv o t e s (¡ io s y b s l o n g i ­
tu d e s d e lo s c u a tr o e s la b o n e s d d
m e c a n is m o c o n u n a c o p la d o r q u e
k rn g a d m o v im ie n to l i s t a d a D e te r m in e ta m b ié n b c a n t id a d q u e d e b e n
g ira r lo s e s b b o n e s q u e p iv o U n p a r a m o v e r e l a c o p b d o r d e b p o s ic ió n
1 a b p o s i c i ó n 2.
C o o rd en a d as:
5 -3 7 .
A .( ln )
A y fin )
B ,( i» >
B ,< ln )
fo a c ió n 1
-0 3 5 3 6
4 .8 5 0 1
4 .4 0 0 0
33000
fo a c ió n 2
-3 .1 0 0 0
32000
13562
5X 1220
C o o rd e n a d a s:
A , ( r a m ) ______» > ■ ) ____ Br ( m r a )
fo n d ó n I
4 3 .0 0 0
-7 6 .0 0 0
1 4 9 .8 9 0
- 5 0 .0 2 7
fo s id ó n 2
3 .0 0 0
-5 2 .0 0 0
1 1 1 .1 2 7
- 72211
fo n d ó n 3
- 1 2 .0 0 0
-3 3 .0 0 0
9 1 .8 4 0
-6 9 2 9 4
E ST U D IO S DE CASO
5 -3 8 .
C o o rd e n a d a s:
A ,( m m )
4 ,(1 » )
« ,« ■ )
M
fo a c ió n 1
4 .( 1 » )
0 .9 0 0 0
43000
9X 1380
7 .7 1 5 0
fo v b c ió n 2
-1 .0 0 0 0
5 .6 0 0 0
53727
113760
» )
5 -3 9 .
C o o rd e n a d a s;
A .( m m )
A y (m m )
B .ím m )
fo a c ió n 1
-4 0 X 1 0 0
-6 0 .0 0 0
2 8 .9 3 6
- 3 0 .4 5 6
fo a c ió n 2
-6 5 3 5 0
-2 6 3 5 2
8 .0 0 0
-4 2 X 1 0 0
5 -1 .
L a fig u ra E5.1 p resen ta u n m ecan ism o q u e im p u lsa el
H o q u e /d e s liz a n te , el cu al a s u vez m u e v e la cuch illa de
u n a sie rra d e p o te n c ia p a r a m etales. E xam in e c u id a ­
d o s a m e n te la c o n fig u ra c ió n d e la s c o m p o n e n te s del
m e c a n is m o . L uego, c o n te ste b s p re g u n ta s sig u ien tes
p i r a o b te n e r u n a m ay o r c o m p re n sió n acerca d e b o p e ­
ra c ió n d el m ecanism o.
B ,< m m >
5 -4 0 .
C o o rd e n a d a s;
A ,( m r a )
V
—
>
fo a c ió n 1
-3 7 2 6 1
—2X341
fo a c ió n 2
— 1 8 .0 0 0
- 3 .0 0 0
B .ím m )
- 1 8 .0 0 0
0358
B , (m m )
1 .0 0 0
-7 .9 6 3
S ín te s is d e tres p o s ic io n e s
A y
B d e b e s u p o n e r b s t r e s p o s ic io n e s lis ta d a s e n b t a b b d e c a d a p v o b lc m a .
E n l o s p r o b l e m a s 5 - 4 1 a 5 - 4 4 , u n e s b b ó n q u e c o n t i e n e lo s p u n t o s
D e te rm in e g r á f ic a m e n te b
u b ic a c ió n d e d o s p iv o te s f ijo s y b s lo n g i­
tu d e s d e lo s c u a tr o e s b b o n e s d e l m e c a n is m o c o n u n a c o p la d o r q u e
te n g a e l m o v im ie n to lis ta d o . D e te rm in e ta m b ié n b c a n tid a d q u e d e b e n
f ig u r a
E 5 .I
(C o rtesía d e I n d u s tria l Press).
1. C o n fo rm e la m a n iv e b A g ir a 9 0 ° e n s e n tid o h o ra rio ,
¿cuál e s el m o v im ien to d el ló b u lo B q u e e stá su jeto a b
m anivela A?
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122
CAPITULO CINCO
2. C o n fo rm e la m an iv ela A g ir a 9 0 ° e n s e n tid o h o ra rio ,
¿cuál es el m o v im ien to d el eslabón C?
3. ¿Se n ecesita u n a r a n u ra e n el ro d illo fc?
4. C o n fo rm e la m an iv ela A g ir a 90° e n s e n tid o h o ra rio ,
¿cuál es el m o v im ien to d el p e rn o H?
5. C o n fo rm e la m an iv ela A g ir a 9 0 ° e n s e n tid o h o ra rio ,
¿cuál es el m o v im ien to d el p e r n o 1?
6. D e te rm in e la m o v ilid ad d e e ste m ecanism o.
7. C o n fo rm e la c u e rd a G g ira p a r a jalar al rodillo E h a d a
abajo, ¿có m o m odifica eso d m o v im ien to del eslabón Q
8. C o n fo rm e la c u e rd a G g ira p a r a jalar al rodillo E h a d a
abajo, ¿có m o m odifica eso el m o v im ien to d el eslabón H?
9. ¿C uál e s el o b jetiv o d e e ste m ecanism o?
5 - 2 . La fig u ra E5.2 ilu stra u n m ecan ism o q u e ta m b ié n im ­
p u ls a u n b lo q u e B d e s liz a n te . E ste b lo q u e , a la vez,
im p u lsa u n a h e r ra m ie n ta d e c o rte . E x a m in e c u id a ­
d o s a m e n te la c o n fig u ra c ió n d e la s c o m p o n e n te s d el
m ecan ism o . L uego, c o n te ste la s sig u ien tes p re g u n ta s
p o ra o b te n e r u n a m ay o r c o m p re n sió n s o b r e la oper a d ó n d el m ecanism o.
1. C o n fo rm e la v arilla A se m ueve hacia la d erech a, ¿cuál
es el m o v im ien to d el b lo q u e B deslizante?
2. D escriba el m o v im ie n to d d b lo q u e B d esliz an te
c u a n d o d ro d illo C lleg a a la r a n u r a D.
3. D escriba el m o v im ie n to d d b lo q u e B d esliz an te c o n ­
form e la varilla A se m ueve a la izq u ierd a, llev an d o a C
fuera d e la r a n u ra D.
4 . D e sc rib a d m o v im ie n to c o n tin u o d el b lo q u e q u e B
d esliz an te c o n fo rm e la v a rilla A o s d l a h o r iz o n ta l­
m ente.
5. ¿Cuál e s el p ro p ó sito d e este m ecanism o?
6 . D escriba u n d isp o sitiv o q u e im p u lse la varilla A h a d a
h izq u ierd a y h a d a la derecha.
7 . ¿Q ué c a ra c te rístic a d a n al m e c a n is m o la s r a n u ra s de
ajuste e n £?
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C A PITU LO
SEIS
ANÁLISIS D E V E L O C ID A D
6.2 V E L O C ID A D LINEAL
O B J E T IV O S
A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s te c a p itu lo , e l a lu m n o
será c a p a z de:
1 . D e f i n i r v e lo c id a d e s l i n e a l e s , d e g i r o y re la tiv o .
2 . C o n v e r tir v e lo c id a d e s lin e a le s a v e lo c id a d e s a n g u la re s
y v ic e v e rs a .
3 . U tiliz a r d m é to d o d e v e lo c id a d re la tiv a p a r a o b te n e r
g rá fic a m e n te l a v d o c id a d d e u n p u n to « o b r e u n e s la b ó n ,
c o n o c ie n d o la v e lo c id a d d e o tr o p u n to s o b r e e l m is m o
e s la b ó n .
4
U s a r e l m é to d o d e v d o c id a d re la tiv a p a r a d e te r m in a r , g rá fic a
y a n a lític a m e n te , l a v e lo c id a d d e u n p u n to d e in te r é s s o b r e u n
e s la b ó n flo ta n te .
5 . U tiliz a r d m é to d o d e v e lo c id a d re la tiv a p a r a o b te n e r
a n a lític a m e n te l a v e lo c id a d d e u n p u n to s o b r e u n e s la b ó n ,
c o n o c ie n d o la v e lo c id a d d e o tr o p u n to s o b r e e s e m is m o
e s la b ó n .
6 . U s a r e l m é to d o d e l c e n tr o in s ta n tá n e o p a ra d e te r m in a r
g rá fic a y a n a lític a m e n te l a v e lo c id a d d e u n p u n to .
La vdocidad lin ea l V d e u n p u n to e s el d esp lazam ien to lineal de
e s e p u n to p o r u n id a d d e tie m p o . R e c u e rd e q u e el d e sp la z a ­
m ie n to lineal AR d e u n p u n to es u n vecto r, q u e se defin ió com o
el ca m b io e n la p o s id ó n d e ese p u n to . S u co n cep to se in tro d u jo
e n la s e c d ó n 4.3.
( o r n o se describió e n el c ap itu lo 4, el d esp lazam ien to d e un
p u n to se considera u n a tra s la d ó n . l o cual y a s e analizó e n té rm i­
n o s lineales. P o r defin ició n , u n p u n to ú n icam en te p u e d e tener
d esplazam iento lineal. C u a n d o s e c o n sid era el tie m p o tra n sc u ­
r rid o d u r a n te u n desp lazam ien to , es p o sib le d e te rm in a r la v e ­
lo d d a d .
C ó m o el desplazam iento, la v elo d d ad tam bién es u n vector.
R ecuerde que los vectores s e rep resen tan c o n caracteres alfabéti
e o s e n n eg ritas. A la m a g n itu d d e la v elo cid ad se le d e n o m i­
n a c o n fre c u e n d a “rapidez." y s e representa c o m o v m jv|. Para
co n o cer la direcció n d e la v e lo d d a d lin eal, se req u iere d e te rm i­
n a r la direcció n e n q u e s e m ueve u n p u n to en u n in sta n te esp ed fico .
M a tem áticam en te, la v e lo d d a d lineal d e u n p u n to se e x ­
p resa com o:
dR
V = lím —
S i —0 d r
7 . C o n s tr u ir u n a c u r r a d e v d o c id a d p a r a lo c a liz a r lo s v a lo re s
e x tr e m o s d e v e lo c id a d .
(6.1)
y p a r a p e rio d o s d e tie m p o c o rto s com o:
V = f '
6.1 IN T R O D U C C IÓ N
El análisis d e velocidad im p lic a calcular “q u é tan ráp id o " viajan
ciertos p u n to s so b re lo s eslabones d e u n m ecanism o. La v e lo d ­
d a d es im p o rta n te p o r q u e a so c ia el m o v im ie n to d e u n p u n to
s o b re u n m e c a n is m o c o n el tie m p o . C o n fre c u e n c ia , la s in c ro n iz a d ó n es critica e n u n a m áq u in a.
ft»r ejem p lo , el m ecanism o q u e “jala" la película d e v id e o a
trav és d e u n p ro y ecto r d e d n e d e b e av a n z a r la pelícu la a u n a ve­
lo cid ad d e 30 c u a d ro s p o r se g u n d o . El m ecan ism o q u e alim en ta
m aterial d e p a q u e te ría e n u n a caja d e em b alaje tie n e q u e o p erar
en tá n d e m c o n la tra n s p o rta d o ra q u e m ueve las cajas d e em b a ­
laje. El m ecan ism o d e u n lim p ia d o r d e p a ra b risa s q u e funciona
a a lta v elo cid ad d e b e rla a r r a s tr a r el lim p ia d o r so b re el cristal
p o r l o m en o s 45 veces p o r m in u to .
L a d e te rm in a d ó n d e la v elo cid ad e n u n eslab o n am ien to es
d o b jetiv o d e este c a p itu lo . S e e x a m in a rá n d o s procedim ientos
d e a n á lis is c o m u n e s : el m é to d o d e la v e lo d d a d re la tiv a y el
m éto d o d el c e n tro in stan tán e o . En co n g ru en cia c o n o tr o s cap í­
tu lo s d e e s te lib ro , s e in d u y e n ta n to té cn icas g rá fic a s c o m o
analíticas.
(6 .2 ,
C o m o el d esp lazam ien to es u n vector, la e c u a d ó n (6 .1 ) i n ­
d ica q u e la v e lo d d a d ta m b ié n e s u n vector. C o m o c o n to d o s los
vectores, p a r a d e fin ir c o m p le ta m e n te la v d o d d a d s e req u iere
ta m b ié n u n a d ir e c d ó n . La v elo cid ad lineal s e e x p resa e n
u n id a d e s d e lo n g itu d d iv id a s e n tr e el tie m p o . E n el sis te m a
tra d id o n a l d e E stados U n id o s, las u n id a d e s co m u n e s q u e s e u ti­
lizan so n pies p o r se g u n d o (ft/s o fps), p ie s p o r m in u to (ft/m in
o fp m ) o p u lg a d a s p o r se g u n d o (in /s o ip s). E n el sistem a i n te r ­
nacional, las unid ad es c o m u n e s q u e s e u sa n s o n m etro s p o r se­
g u n d o (m /s ) o m ilím etro s p o r se g u n d o (m m /s).
6 .2 .1 V e lo c id a d l i n e a l d e p u n t o s r e c tilín e o s
Un p u n t o se p u e d e m o v er a l o la rg o d e u n a tra y e c to ria recta
o u n a tra y e c to ria c u rv a . C o m o s e vio e n c a p ítu lo s a n te rio re s ,
m uchos eslab o n es están restrin g id o s a u n m ovim iento e n linea
recta (rectilíneo). P ara p u n to s q u e están so b re u n eslabón lim i­
ta d o a m o v im ien to rectilíneo, se u tilizan las ecuaciones (6 . 1) y
(62 ) p a ra calcu lar la m agnitud d e la v e lo d d ad . La orientación del
v e c to r d e v e lo d d a d lineal s im p le m e n te e stá e n la direcció n
d d m ovim iento, la cual g e n e ralm en te es evidente.
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124
CAPITULO SEIS
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.1
la* cajas d e e m b a b u q u e s í en cu en tran sobre ti banda transportadora de b figura 6 .1, s e mueven h a d a b izquierda a
velocidad constante. Le tom a 40 s recorrer los 25 ft d e b banda transportadora. D eterm ine b velocidad lineal d e b caja.
FIGURA 6.1 T raslad o d e la caja d el p ro b le m a d e e jem p lo 6 . 1.
S O L U C IÓ N :
C o m o las cajas d e em balaje v iajan a velocidad constante, se utiliza la ecuación (6 2 ) pura d eterm in ar la velocidad
Enea) d e la caja.
6 .2 .2 V e lo c id a d l i n e a l d e u n p u n t o
c u a l q u ie r a
Las ecuaciones (6.1) y ( 6 2 ) a ú n son válidas e n general p a ra p u n ­
to s so b re u n eslabón e n m ovim iento. L a dirección d e la velocidad
lineal d e u n p u n to es la m ism a q u e la dirección d e su m ovim iento
instantáneo. La fig u ra 6 2 m u estra b velocidad d e d o s p u n to s so ­
bre u n eslabón. L is velocidades de los p u n to s A y fl se d en o tan respectiv am en te c o n V * y V » O b serv e q u e a u n q u e están so b re el
m ism o eslabón, am bos p u n to s p u e d e n ten er velocidades lineales
diferentes. Los p u n to s q u e están m ás lejos d el pivote v iajan m ás
rápido, lo cu al s e “siente" al sentarse e n lo s asientos exteriores d e
un ju e g o m ecán ico q u e g ira e n u n p arq u e d e diversiones.
E x am in an d o la fig u ra 6 2 . se ve que la velocidad del p u n to A.
V A, está d irig id a a lo largo d e la tray ecto ria e n q u e se m ueve el
p u n to A o í ese in stan te, es decir, tangente a u n arco con c e n tro en
O , la cual tam b ién es p erp en d icu lar al eslab ó n OA. En térm ino s
casuales, s i el p u n to A se d esp ren d iera d el eslabón 2 e n ese m o ­
m en to , el p u n to A viajarla e n la dirección d e s u velocidad lineal.
6 .2 .3 P e r f il d e v e lo c id a d d e l m o v i m i e n t o
lin e a l
Los av an ce s tecn o ló g ico s h a n p e r m itid o el c o n tro l p reciso d el
m o v im ie n to e n m u ch as ap lic a c io n e s, c o m o la s d e a u t o m a t i­
zación. p ru e b a y e q u ip o d e m e d ic ió n . Estos sistem as tien en i n ­
c o rp o ra d o s se rv o m o to res c o n tro la d o s p o r u n m icroprocesador.
El m o v im ie n to d e s e a d o s e esp ecifica e n u n c o n tro la d o r. Los
se n so re s m o n ito re a n el m o v im ie n to d el e s la b ó n m óvil y p ro
p o r d o n a n re tro a lim e n ta c ió n al c o n tro la d o r. Si se d e te c ta u n a
diferencia e n tre el m o v im ien to deseado y el m o v im ien to real, el
c o n tro la d o r m o d ific a rá la señal q u e va al m o to r y co rre g irá la
d esv iació n . P o r su p recisión, sensibilidad y b a jo costo, el u so d e
serv o sistem as e stá crecien d o c o n rapidez.
P ara u n c o n tro l d e m ovim iento ó p tim o , e s deseable m ovi­
m ie n to d e a lta velocidad suave, c o n u n m ín im o esfiierzo d el m o ­
tor. E l c o n tro la d o r deb e d irig ir el m o to r p a r a c am b iar b velod-
f ig u r a
6 2 V elocidades lineales d e p u n to s so b re u n eslabón.
dad acertadam ente y o b te n e r lo s m ejo res resultados. En u n sis­
tem a servo lineal, las características d el m o v im ien to d e traslación
d e b c o m p o n e n te d e u n a m á q u in a s e especifican g en eralm en te
con u n p e rfil d e velocidad m o d elad o . El perfil d e velocidad e s ­
tablece los lapsos d e aceleración, estad o estable y desaceleración
e n b tra sla c ió n d el eslabón. El d esplazam iento real s e c a lc u b a
p artir d e l perfil d e velocidad. R e p la n te an d o b ecu ació n (6.1),
JR = V Jl
Al d esp ejar p a ra o b te n e r el d e sp la z a m ie n to AR. se obtiene:
AR = f v d t
(6.3)
C o n u n c o n o c im ie n to elem en tal d e cálculo, se sabe q u e b
ecuación (6.3) indica q u e el desplazam iento p a ra d e r t o intervalo
d e tie m p o es el área debajo d e b c u rv a v -t para ese intervalo de
tiempo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.2
Los servoactuadores asistidos se program an para moverse d eacuerdo con u n perfil de velocidad especificado. El actua­
d a lineal m ostrado en b figura 6.3a fue program ado para extenderse, de acuerdo con el perfil de velocidad m ostrado
a i b figura 6 J b . D eterm ine el desplazam iento total d u ran te este m ovim iento program ado.
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A n á lisis d e v elo cid a d
125
v « !*)
f i g u r a 6 J ftrrfil d e v e lo d d a d d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.2 .
S O L U C IÓ N :
l.
D esplazam iento d u rante el lapso d e aerleración del m ovim iento
D urante el p rim e r segundo del m ovim iento, el actuador acelera hasta su estad o estable d e velocidad. El área d e ­
bajo d e la c u n a v-t fotm a u n triángulo y se calcula com o
A R * * ™ * , = '4 ( v .u a o ^ u b l ,) ( A t a m e t e ) =
----- -
(4 ÜV*) [(1 - 0 ) s ] = 2 i n
D esplazam iento d u ra n te el lapso d e m o vim ien to estable
O irán te el intervalo de tiem po d e I a 4.5 s, el actuador se m ueve con velocidad estable. El área debajo d e la curva
v-t form a un rectángulo y se calcula com o
A R m
a ^ u I iI .
=
(v * u a o « u b i» ) ( A
i ^ j o
« u h w )
=
( 4 iiV s )
IH -5
-
»
• )
=
u
“
---------- -
D esplazam iento d u ra n te el lapso d e desaceleración d el m o vim ien to
O ir á n te el intervalo de tiem po d e 4 3 a 5 3 s, el actuador desacelera a partir d e su estado estable d e velocidad.
El área d ebajo d e la curva v-t fo rm a u n triá n g u lo y se calcula com o
= V ,( 4 in /s ) ( (5 3 - 4.5)$] = 2 in ------►
AK*MaU»d«n =
D esplazam iento to ta l d u ra n te el m o vim ien to programado
B desplazam iento total d u ran te el m ovim iento program ado es la su m a d e los desplazam ientos d u ran te la acekración, el estado estable y la desaceleración del m ovim iento.
AR.cui ■ A
4 A R o a jo a u h i, -f A R ^ ^ ^ p , , - 2 4 14 4 2 - 18 in
6.3 V E L O C ID A D DE UN ESLABÓN
D ife re n te s p u n to s s o b re u n eslab ó n p u e d e n te n e r velocidades
lineales significativam ente d iferentes. E sto es válido s o b re todo
c u a n d o el eslab ó n g ira sim p le m e n te a lre d e d o r d e u n p u n to fijo,
co m o e n la fig u ra 6 .2 . En gen eral, el m o v im ien to d e u n eslabón
su ele s e r b astan te co m p le jo c u a n d o s e m ueve (se tra sla d a ) y da
v u eltas (ro ta).
C u a lq u ie r m o v im ie n to , in clu so e l c o m p le jo , p u e d e ser
v isto c o m o u n a c o m b in a c ió n d e m o v im ie n to e n lin e a recta y
m o v im ie n to g irato rio . L a d e scrip ció n c o m p le ta d el m ovim iento
d e u n eslab ó n c o n siste e n la id en tifica ció n d el m o v im ie n to li ­
n eal d e u n p u n to y el m o v im ien to g ira to rio del eslabón.
A un cu an d o v ario s p u n to s d e u n e s b b ó n p u ed en ten er
diferentes velocidades lineales, c o m o se tra ta d e u n c u erp o rígido,
el eslabón co m p le to tien e la m ism a velocidad an g u lar. La velocitkid angular tu d e u n eslabón es el d esplazam iento an g u lar d e esc
eslabón p o r u n id ad d e tiem po. R ecuerde q u e e l desplazam iento
g irato rio 3 0 de u n eslabón s e d efine c o m o e l cam bio a n g u la r en
la o rien tació n d e ese eslabón. Esto se vio e n la sección 4.3.
M a tem átic am en te, la v elo cid ad a n g u la r d e u n eslab ó n se
ex p resa co m o :
Ae
do
to = lim — = —
ót-o A r
dr
(extensión)
(6.4)
y p a r a p e rio d o s c o rto s d e tie m p o , o c u a n d o la v e lo c id a d se
su p o n e c o m o lineal,
A0
tu
Af
(6.5)
La d ire c c ió n d e la v e lo d d a d a n g u la r es la d ir e c d ó n d el giro
del e slab ó n . En a n á lis is p la n a r, se d escrib e c o m p le ta m e n te es
p e d fic a n d o el té r m in o sentido horario o sentido antihorario. P o r
ejem plo, el eslab ó n m o s tr a d o e n la fig u ra 6.2 tien e u n a v e lo d ­
dad a n g u la r q u e es consistente c o n la s v e lo d d a d e s lineales d e los
p u ntos q u e están e n el eslabón. P o r lo ta n to , el eslab ó n tie n e una
v e lo d d a d d e g iro e n se n tid o h o rario .
La v e lo d d a d a n g u la r s e e x p resa e n u n id a d e s a n g u lares d i ­
v id id as e n tr e el tie m p o . T a n to e n el sis te m a e s ta d o u n id e n se
c o m o e n el sistem a in te rn acio n al, las u n id a d e s d e u so c o m ú n
so n las revoluciones p o r m in u to ( rp m ) , los g ra d o s p o r se g u n d o
(deg/s) o lo s rad ian es p o r se g u n d o (ra d /s o rp s).
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126
CAPITULO SEIS
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.3
El en g ran e m o strad o e n la figura 6.4 g ira e n se n tid o a n tih o ra rio a velocidad constante. S e m ueve 300° e n 0 .5 s.
[ > term ine la velocidad angular del engrane.
fig u r a
S O L U C IÓ N :
6.4 E n g ran e g ira to rio d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.3.
C o m o el e n g ra n e g ir a a velocidad constante, se u sa la ecu ació n (6.4) p a r a d e te rm in a r la velocidad a n g u la r del
engrane.
Ai
°
O S » " 600 ^
6.4 RELACIÓN E N T R E LAS V ELOCIDADES
LINEAL Y ANGULAR
E n u n eslabón c o n ro ta c ió n p u ra , la m a g n itu d d e la velocidad
lineal d e cu a lq u ie r p u n to d el eslabón se relaciona con la veloci­
d ad a n g u la r d el eslab ó n . E sta relació n s e expresa com o
v * no
(6.6)
( í ! ^ ) = 50
e n sentido antihorario
p resa e n u n id a d e s d e lo n g itu d p o r tie m p o y n o c o m o l o s u ­
gerirla la ecu a c ió n (6 .6 ) e n ra d ia n e s las u n id a d e s d e lo n g itu d
p o r u n id ad d e tie m p o .
(ie n e ra lm e n te se tien e q u e hacer la c o n v e rsió n a la u n id ad
m ás c o m ú n d e revoluciones p o r m in u to (rp m ):
o » ( ra d /m in ) =
d o n d e:
< o (ra d /m in
= 2 i r [ < o (ra d /m in )]
(6.7)
v - IVI = m a g n itu d d e la v elo cid ad lineal d el p u n to
e n co n sid erac ió n
r ~ d istan cia d el c e n tro d e ro ta c ió n al p u n t o en
co n sid eració n
10 = velocidad a n g u la r d d eslabón g ira to rio q u e contiene
d p u n to e n co n sid eración
l a velocidad lineal sie m p re e s p e rp e n d ic u la r a la lin ea q u e
u n e el c e n tro d e ro ta c ió n del eslab ó n c o n el p u n to e n conside
ració n . P o r co nsiguiente, la velocidad lineal d e u n p u n to so b re
u n e s b b ó n c o n ro tació n p u r a se c o n o c e c o n frecuencia com o
vd o cid a d tangen cia l Lo a n te r io r se d e b e a q u e la v elo cid ad li ­
n eal es ta n g e n te a la tray ecto ria circular d el p u n to , o b ie n , p e r­
pen d icu lar a la lín ea q u e u n e el p u n to c o n d pivote.
Es e x trem ad am en te im p o rta n te reco rd ar q u e la v d o c id a d
a n g u la r o> e n la e c u a d ó n (6 .6 ), s e d e b e ex p resa r e n rad ian es p o r
u n id a d d e tie m p o . El r a d iá n es u n a u n id a d a d im e n s io n a l d e
m e d ic ió n a n g u la r q u e p u e d e o m itirs e . L a velocidad lineal s e e x ­
o i( r a d / s ) = [ « ( « , / m i n ) ) [ ( ^
= ~
[ a * (r e v /m in )]
) ( l ^
) ]
(6.8)
G im o s e m e n c io n ó , u n r a d iá n es u n a m e d id a a d im e n sional d e u n án g u lo . P ara ser precisos, u n á n g u lo expresado en
rad ian es e s la razón d e la lo n g itu d d el arco b a rrid o p o r el á n g u lo
al rad io . C u a n d o u n á n g u lo ex p resa d o e n rad ian es se m ultiplica
p o r o tr o valo r, se o m ite la designación d el rad ián .
G jm o s e estableció e n la sección an terio r, la velocidad a n ­
gular d el eslab ó n y las velocidades lineales d e lo s p u n to s so b re
el eslab ó n s o n consistentes, e s decir, las velocidades (ro tacio n al
o lin eal) e stá n e n la d ire c c ió n e n la q u e el o b je to (e sla b ó n o
p u n to ) se m ueve in sta n tá n e a m e n te . C o m o se in d icó , la veloci­
dad lineal sie m p re es p e rp e n d ic u la r a la lin ea q u e u n e el c e n tro
d e ro ta c ió n d el eslab ó n c o n el p u n to e n consideración.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.4
la figura 6.5 ilustra u n m ecanism o de leva que sirve para im pulsar la válvula d e escape d e u n m o to r de com bustión
interna. El p u n to B a un p u n to d e interés sobre el balancín. En este instante, la leva fuerza al p u n to B h»cia arriba a
3) m m /s. D eterm ine la velocidad an g u lar d el balancin y la velocidad d el p u n to C.
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A n á lis is d e v e lo c id a d
S O L U C IÓ N :
I.
127
H a b ó n e l diagram a cinem ático y calcule los grados d e libertad
B balancín está conectado a la bancada con una unión d e perno en el p u n to A. La velocidad del p u n to B a un
vector d irig id o hacia arriba c o n una m agnitud igual a 30 mm7s. l a figura 6.6 m uestra el diagram a cinem ático.
F IG U R A &6
2.
D iag ram a cin em ático d el p ro b le m a d e ejem plo 6.4.
Calcule la velocidad a n g u la r d el eslabón 2
Es c laro q u e com o el p u n to B viaja hacia arriba, el balancín (eslabón 2) se tuerza a g ira r e n sentido horario. Por
lo tonto, c o m o el p u n to B tiene velocidad lineal hacia arriba, el balancín debe ten er velocidad angular e n sentido
horario, l a m ag n itu d de la velocidad an g u lar se calcula reagrupando la ecuación (6 3 ):
30 m m /s
us¡
AB
20 m m
1.5 rad /s
Esto se convierte a rpm al reagru por la ecuación (6.6):
<uj(rev/m in) = — [<u2 (ra d /s )] = — | I 3 rad/s] = 14J rpm
B resultado incluyendo la dirección es:
*Ȓ 3.
1.5 rad /s, e n se n tid o horario
Calcule la velocidad lin ea l del p u n to C
La velocidad lineal del p u n to C tim b ién se calcula con la ecuación (6 3 ):
v r = rÁCo n = (15 m m ) ( l á rad /s) = 2 2 5 m m /s
la dirección d e h velocidad lineal de C cfcbc ser consistente con la velocidad an g u lar del eslabón 2. La ve­
locidad tam bién es perpendicular a la linca q u e une el c e n tro d e rotación del eslabón 2, el p u n to A ,con el p u n to
C P o r consiguiente, la velocidad d el p u n to C e stá d irigida 20° (90° - 70*) p o r encim a d e la horizontal.
Incluyendo la dirección, el resultado es
V c - 22 5 m m /s A o °
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128
CAPITULO SEIS
6 3 V E L O C ID A D RELATIVA
- velocidad a b s o lu ta del p u n to A
La d ife re n c ia e n tr e e l m o v im ie n to d e d o s p u n to s s e co n o ce
c o m o n v v irm e n to re la tiv a C o n sid ere u n a situ ac ió n d o n d e d o s
a u to m ó v ile s v iajan e n u n a c a rre te ra interestatal. El a u to m ó v il
d el c a r r il izq u ierd o viaja a 65 m illas p o r h o r a (m p h ); y el a u ­
to m ó v il d d carril d erech o , a 55 m p h . Las v d o c id a d e s s e m iden
e n re la c ió n c o n u n r a d a r e s ta c io n a rio , d e m a n e ra q u e so n
m ed icio n es d e m o vim ien to a b io lu ta
A un c u a n d o a m b o s se m ueven hacia adelante, a las personas
d d a u to m ó v il m á s rá p id o les p a rece q u e d o tr o a u to m ó v il se
m ueve realm ente h a d a a tr á s e s d e d r, d m ovim iento relativo del
au to m ó v il m ás len to v a e n d ire c d ó n o p u esta al m o v im ien to a b ­
so lu to d el autom óvil m ás r á p id a ftw el c o n tr a r ia a las personas
del au to m ó v il m ás len to les parece q u e d au to m ó v il m ás ráp id o
viaja a 10 m p h . Es d e d r . la velocidad relativa d el au to m ó v il m ás
rá p id o e s d e 10 m p h respecto d d au to m ó v il m ás lento.
{ tío d d a d relativa es u n té rm in o q u e s e utiliza c u a n d o la ve­
lo d d a d d e u n o b je to se r d a d o n a con o tr o o b je to d e referencia,
q u e ta m b ié n se p u e d e e sta r m o v ie n d o . La n o ta c ió n sig u ien te
d ife re n c ia la v e lo d d a d ab so lu ta d e la v d o d d a d relativa.
V fl -
v e lo d d a d ab so lu ta d d p u n to B
V b/ á = v d o c id a d relativa d d p u n to B c o n resp ec to a A
= v e lo d d a d d d p u n to B “o b se rv ad a " d esd e d p u n to A
El m o v im ie n to relativ o , e s to es, la d ife re n c ia e n tre d
m o v im ien to d e d o s p u n to s , se expresa m atem áticam en te c o m o
V » a = V f l - > V /,
(6 .9 )
o s e rep lan tea com o
V B = V * + > V R*
(6 .1 0 )
O b serv e q u e la s e c u a d o n e s (6 .9 ) y (6 .1 0 ) s o n e c u a d o n e s
vectoriales. R )r lo t a n t a p a r a u s a r b s e c u a d o n e s, se d e b e n ela­
b o ra r polígonos vectoriales d e a c u e rd o c o n las ecu ad o n es. Para
d m a n e jo d e estas ecu ac io n e s se reco m ien d a e m p lear las técn i­
cas analizadas en la sección 3.16.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.5
La figura 6.7 ilustra d m ecanism o para elevar carjp d e un cam ión repartidor. En este instante, el p u n to A tiene u n a ve­
locidad de 12 in /s e n la direcdón m ostrada, e n u n t o que el p u n to B nene una velocidad de 10.4 in /se n la d irecd ó n
m ostrada. D eterm ine la veloddad angular del eslabón m ás bajo y la velocidad relativa del p u n to B con respecto al
ju n to A.
FIGURA6.7 M ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.5.
S O L U C IÓ N :
1.
h la b o r t u n d ia g r a m a tin e m d lie o e id e n tifiq u e la m o v ilid a d
l a figura 6 8 a m uestra el diagram a cinem ático de este m ecanism o. Observe que se trata del conocido m ecanism o
de cuatro barras q u e tiene u n g rad o d e libertad.
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A n á lis is d e v e lo c id a d
129
Calcule la velocidad a n g u la r d el eslabón 2
Partiendo del diagram a cinem ático, resulta claro que el p u n to A viaja hacia arriba y a la derecha, e n tanto que el
eslabón 2 gira e n se n tid o antihorario. Entonces, el eslabón 2 tiene u n a velocidad angular en sentido antihorario.
la m ag n itu d d e la velocidad angular se calcula reagru pando la ecuación (6.6), c o m o sigue:
at¡
vA
(12 in/*)
„
------- ■
- Q j ra d /s
rAQ
(24 in )
^
Esto se convierte a rpm reagru pan d o la ecuación (6.7) com o
{ ^ (re v /m in ) -
^
[ « ^ r a d /s ) ] = *
(0.5 rad /s) = 4.8 rpm
Incluyendo la dirección,
a>2 ■ 42) rpm , e n se n tid o antihorario
Calcule la velocidad lin ea l del p u n ió B e n relación con el p u n to A
La velocidad relativa de B con respecto a A se calcula con la ecuación (6.9):
V a V „ - >
V„
Se crea u n polígono vectorial a partir d e esta ecuación, q u e se m uestra e n la ñ g u ra 6.8b. O bserve que este es un
triángulo cualquiera. T anto la solución gráfica com o la analítica sirven para determ inar el vector Vb/ a.
Al u sa r el m éto d o analítico, la m agnitud d e la velocidad
V W +
se calcula con la ley d e los cosenos.
»*J - 2 ( * ) ( n » ) < c o s 3 0 - ) |
- ^ ( 1 2 in /s)1 + (10.4 in/*)2 - 2(12 iiV») <10.4 in /s ) ( c o s 3 0 ‘ ) . 6J} ¡n/ ,
B ángulo entre las m agnitudes de las velocidades vB/A y ve se m uestra c o m o 0 en la figura 6 2 * . S e calcula
con la ley de los senos:
6 in /s
90°
I > m anera q u e este polígono vectorial forma e n realidad u n triángulo rectángulo. La velocidad relativa de
B con respecto a A se expresa form alm ente c o m o sigue:
V » * - 6 0 in /$ -
L a velocidad relativa e n tre d o s p u n to s d e u n eslabón es útil
p a ra d e te rm in a r las características d e la velocidad d el eslabón.
Específicam ente, la velocidad relativa d e d o s p u n to s cualesquiera
en u n eslabón sirve p a ra d e te rm in a r la velocidad a n g u la r d e ese
eslabón. S u p o n ien d o que lo s p u n to s A B , y C p erm anecen sobre
u n e slab ó n , la velocidad an g u lar se expresa c o m o
_
rAB
^B C _
r BC
^AJC
^AC
(6 . 1 1 )
La d ire c c ió n d e la velocidad an g u lar es c o n sisten te c o n la
velocidad relativa d e lo s d o s p u n to s. La v elo cid ad relativa d e B
con resp ec to a A im p lica q u e B se vea g ira n d o alred ed o r d e A
l\» r co n sig u ien te, la direcció n d e la velocidad relativa d e f i “vista
d esd e” A su g ie re la d ire c c ió n d el g iro d el eslabón c o m p a rtid o
por los p u n to s A y B . Si se c o n s id e ra la fig u ra 6.9 , c u a n d o v&A
se d irig e h a d a a r rib a y a l a izq u ierd a, la v elo cid ad a n g u la r del
eslabón es e n se n tid o a n tih o ra rio . P o r el c o n tra rio , c u a n d o vg/Á
se d irig e hacia ab a jo y a b d erech a, b v elo cid ad a n g u b r d el es­
la b ó n e s e n s e n tid o h o r a r i a
f i g u r a 6 .9 N f c lo á d a d r e l a ti v a d e d o s p u n t o s s o b r e e l m i s m o e s la b ó n .
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130
CAPITULO SEIS
6.6 A N ÁLISIS G R Á FIC O D E V ELO C ID A D :
M É T O D O DE V E L O C ID A D RELATIVA
El análisis g rá fk o d e v elo cid ad d e te rm in a la velocidad d e p u n ­
to s d e u n m ecan ism o e n u n a so la c o n fig u rac ió n . S e d e b e hacer
énfasis e n q u e lo s resu ltad o s d e e ste análisis c o rre sp o n d en a la
p o sic ió n a c tu a l d e l m e c a n is m o . C o n f o r m e el m e c a n is m o se
m ueve, la c o n fig u ra c ió n cam b ia al igual q u e las velocidades.
El fu n d a m e n to d el m é to d o d e análisis d e velocidad relativa
s e d e riv a d el h ech o siguiente:
Dos p u n ta s q u e residen e n el m ism o eslabón tan solo
pueden ten er u n a velocidad relativa que esté e n dirección
perpendicular a la linea que u n e los dos puntos.
E ste h e c h o es u n a a m p liació n d e la d efin ició n d e velocidad
re b tiv a . La fig u ra 6 .9 m u e s tra d o s p u n to s . A y B, q u e se e n c u e n ­
tra n s o b re el m ism o eslabón. R ecuerde q u e Vg/A la velocidad
d e B “c o m o s e o b se rv a ’ d esd e A . P a ra u n o b s e rv a d o r e n A ,
parece q u e B sim p lem ente g ir a a lre d e d o r d e A, sie m p re q u e A y
B s e en cu en tren so b re el m ism o eslabón. D e e sta m an era, la v e ­
lo cidad d e B c o n respecto a A debe s e r p e rp e n d ic u la r a la linea
q u e u n e a B to n A.
C o n este hecho, y las té cn icas d e análisis vectorial, es p o s i­
ble d e te rm in a r b velocidad d é l o s p u n to s s o b re u n m ecanism o.
i i g u r a 6.10 E sb b o n e s restrin g id o s a m o v im ien to s d e ro tació n
p u r a y tra sla c ió n rectilínea.
m en te p o rq u e ta m b ié n se c o n o c e la direcció n d e su velocidad.
Tan s o lo s e necesitan d e te rm in a r la m a g n itu d y el sentido.
El p ro c e d im ie n to d e so lu c ió n g e n e ra l p a r a los pro b lem as
de este tip o se resum e com o:
1. D eterm in ar b d ire c c ió n d e la velocidad d esco n o cid a con
b s restriccio n es im p u estas p o r b u n ió n , y a se a ro tació n
p u r a o traslació n p u ra .
2 . Establecer b direcció n d e b v elo cid ad r e b tiv a e n tre b s
d o s un io n es. P a ra d o s p u n to s so b re el m ism o eslabón,
b velocidad r e b tiv a sie m p re e s p e rp e n d ic u la r a b linea
q u e u n e lo s p u n to s.
3 . Usar la siguiente ecu ació n d e v elo cid ad re b tiv a p a r a tra z a r
un p o líg o n o vectorial:
6 .6 .1 P u n t o s s o b r e e s la b o n e s
re s trin g id o s a ro ta c ió n p u ra
o a t r a s l a c i ó n r e c tilín e a
Vpunto desconocido
^ punto conocido
Apunto desconocido/puico conocido
El análisis m ás sim p le c o n el m é to d o d e v elo cid ad relativa im ­
p lica p u n to s q u e resid en e n e sla b o n e s re strin g id o s a ro tació n
p u ra o a tra sla c ió n rectilínea. La ra z ó n es q u e s e c o n o c e la d irec­
c ió n d el m o v im ien to d e los p u n to s . L as u n io n e s d e p e rn o s son
p u n to s c o n v e n ie n te s d e an álisis p o r q u e resid en so b re d o s e s ­
b b o n e s , u n o d e lo s cuales n o rm a lm e n te está lim ita d o a rotación
p u ra o a tra sla c ió n rectilínea.
La figura 6 .1 0 ilu stra u n m ecan ism o d e m a n iv e b -c o rre d e
ra . El p u n to B s e e n c u e n tra so b re lo s eslabones 2 y 3 . O bserve
q u e s e c o n o c e b d irecció n d e la v elo cid ad d el p u n to B, p o rq u e el
e s la b ó n 2 e stá r e s trin g id o a ro ta c ió n p u r a . El p u n to C s e e n ­
c u e n tr a e n lo s eslabones 3 y 4. A sim ism o, s e c o n o c e b dirección
d e b velocidad d el p u n to C p o r q u e el eslabón 4 e stá restrin g id o
a u n m o v im ien to d e tra sla c ió n rectilínea. Si se c o n o c e b veloci­
d a d d e l p u n t o B. b v e lo c id a d d el p u n t o C s e c a lc u b rá p id a -
4.
U iliz a r los m étodos descritos e n b sección 3.18, y b ecua­
ción vectorial d e arriba, p a ra d eterm in ar las m agnitudes d e
^ punto desconocido X Apunto desconocido^pumo conocido
Este p rocedim iento d e análisis d escrib e la lógica d e trá s del
análisis gráfico d e b velocidad. La so lu c ió n real s e o b tie n e em ­
p lean d o té cn icas d e d ib u jo m a n u a le s ( u n tr a n s p o r ta d o r y u n
co m p á s), o b ie n , u n sistem a d e c a d ( e l c o m a n d o d e r o ta r y
copiar). L a lógica es idéntica; sin em bargo, b solución c o n c a d n o
o rig in a las lim itaciones d e p recisió n e n el d ib u jo . In d e p e n d ie n ­
tem en te d el m é to d o ap lic a d o , los c o n c e p to s su b y a c e n te s del
a iá lisis gráfico de b posición s e ilu stran m ejor y s e a m p lían con
el sig u ien te problem a d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .6
la figura 6.11 ilustra u n m ecanism o triturador d e rocas. S e usa en u n a m áquina donde s e coloca una roca grande e n una
to b a vertical y cae h a d a b cám ara de tritu rad ó n . Las rocas del tam año adecuado, que pasan a través de u n cribador, se
dcscargm por b parte inferior. Las rocas que n o pasan por el cribador se reintroduccn e n b cám ara d e trituración.
D eterm ine la velocidad angular d el ariete triturador, e n b configuración m ostrada, conform e b m anivela de
ffl m m g ira a 120 rpm e n sentido horario.
S O L U C IÓ N :
1. H abore el diagram a cinem ático y calcule los grados d e libertad
l a figura 6.12a m uestra el diagram a cinem ático d d m ecanism o. O bserve q u e el m ecanism o es el c o n o d d o es­
tib o ru m íe n lo d e cuatro barras q u e tiene u n solo g rad o d e libertad. C o n u n g rad o de libertad, tal m ecanism o
fo n d o n a totalm ente c o n u n solo m ovim iento d e en trad a. Desde luego, el m ovim iento es b rotación d el eslabón
2 a u n a velocidad de 120 rpm .
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A n á lisis d e v d o c id a d
F I G U R A 6 .1 1
131
M ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.6.
V o » (tra z a d a p e rp e n d ic u la r
©
ala linea S O
x/
V ( - (tr in a d a p e rp e n d ic u la r
lj
_
/ a l a l i n e a CD)
'
Vc - V , » V C>B
«
FIGURA 6.12 D iag ram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.6.
2.
Seleccione la ecuación adecuada d e \rlo c id a d relati va
H ob jetiv o del an álisis consiste e n d e te rm in a r la velocidad an g u lar d el eslabón 4. El eslabón 2 g e n e ra el
m ovim iento de entrada (velocidad). El p u n to Bse encuentra sobre los eslabones 2 y 3. El p u n to C ae encuentra
sobre los eslabones 3 y 4. C om o los p u ntos fíyC . lesiden e n el eslabón 3 , se utflba el m éto d o d e la velocidad rela­
tiv a p a ra relacionar la velocidad d e e n tra d a (eslabón 2 ) c o n la velocidad que se desea co n o cer (eslabón 4).
l a ecuación d e velocidad relativa para este análisis es
Vc - V B + > V üfl
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132
CAPITULO SEIS
D e t e r m i n e l a v e lo c id a d d e l p u n t o d e e n t r a d a
3.
l a velocidad del p u n to B se calcula com o
o»} ( r a d / s ) ■ ~ (120 rp m ) - 1 2 3 6 rad /s, e n se n tid o horario
V a = cu¡ rAB = ( l 2 3 6 ra d /s ) (60 m m ) = 754 m m /s
—
D e t e r m i n e l a s d ir e c c io n e s d e la s v e lo c id a d e s d e s e a d a s
4.
Com o el eslabón 4 está fijo a la bancada en R e í esb b ó n 4 está restringido a girar alrededor de D. Por consiguiente,
b velocidad del p u n to C debe ser perpendicular a b Hnea CD.
Asimismo, com o se estableció an teriorm ente, los p u n to s B y Cse encuentran en el eslabón 3, d e m anera que
b velocidad relativa de C con respecto a B debe perm anecer perpendicular a la lin ea B C
5.
D i b u j e e l p o líg o n o d e v e lo c id a d
B i b ecuación d e velocidad relativa, tan so lo se desconocen las m agnitudes d e V c y d e Vq ^. Esto e s idéntico a los
problem as d e la sección 3.18. El polígono vectorial que s e utiliza para resolver este problem a se ilu stra e n la
figura 6.12b. Las m agnitudes se determ inan al ex am in ar b intersección d e las lincas correspondientes a V c y
Vq » El polígono vectorial com pleto se flustra e n la figura 6.12c.
6.
M ida las \elocidades desde el polígono d e velocidad
Las velocidades s e m iden con la escala correspondiente e n el diagram a d e velocidad para obtener:
V c = 7 8 4 0 m m /s 7 J ) \
V c* -
7.
101.1 m m /s 7 2 .7 * \
C a lc u le l a s v e lo c id a d e s a n g u la r e s
ft>r últim o, se desean conocer las velocidades angulares del eslabón 4. Las velocidades angulares de los eslabones
3 y 4 s e determ inan c o n la ecuación (6.6):
yc
(789.4 m m /s)
a»4 = — =
— = 4 3 6 ra d /s , e n sentido horario
>a>
(180 m m )
*'ob
a*. - ----- =
' kc
101.1 m m /s
— = 0 2 5 r a d /s , en se n tid o horario
(400 m m )
G im o lo s p u n to s A . B y C están s o b r e el m ism o e s b b ó n ,
las d ireccio n es d e V 0 a y V o b so n perp en d icu lares a las li­
6 .6 .2 P u n t o s e n g e n e r a l s o b r e u n e s la b ó n
f lo t a n t e
neas C A y CB, respectivam ente.
La d eterm in ació n d e la velocidad d e p u n to s e n general sobre un
eslabón flo tan te requiere u n análisis a lg o m ás com plicado. U n es­
lab ó n flo tan te e s sim p lem en te u n eslabón q u e n o está restringido
a m o v im ien to d e ro tació n o a traslación rectilínea p u ra. I-a d ifi­
cu ltad e s trib a e n q u e n o se conocen la m ag n itu d n i la dirección
d e la v elo cid ad d e s c o n o c id a Esto e s m u y d ife re n te d d análisis
p resen tad o e n el p ro b lem a d e e jem p lo 6.6.
P a ra d e te rm in a r la velocidad d e u n p u n to cualesquiera s o ­
b re u n eslabón flotante, p rim e ro s e d e b e d e te rm in a r la v d o d dad d e d o s p u n to s adicionales s o b re el eslabón, los cuales p o r lo
g e n e ra l s o n u n io n e s d e p e r n o re strin g id o s a m o v im ie n to d e
traslació n o d e ro ta c ió n , c o m o s e v io e n la sección 6.6.1. L as v e ­
lo cid ad es d e esto s p u n to s especiales se o b tie n e n c o n facilidad
c o n u n análisis p arecid o al del p ro b le m a d e e jem p lo 6.6 .
La fig u ra 6.13a m u e s tra u n eslabón d o n d e las velocidades
d e lo s p u n to s A y B ya están d e te rm in a d a s. P a ra o b te n e r b ve­
lo cid ad d el p u n to C , se d e b e u tilizar el sig u ien te procedim iento:
I. E scrib ir la s d o s ecuaciones:
V c = VA + >
V<]A
Vc = V„ + > Vo s
2. S e igualan e n tre si las ecu ac io n e s in dividuales d e v d o c id a d
relativa. En este caso, se obtiene:
Vc = y
a
+ > V
q a
= V fl + > V 0 f l
3 . N uevam ente, las v d o d d a d e s relativas se d esp ejan usan d o
las técnicas descritas e n b sección 3.18, lo cual im p lica b
co n stru cció n d e u n p o líg o n o v ectorial, c o m o el q u e s e in ­
dica e n la fig u ra 6 . 13b.
4.
Las m a g n itu d es d e la v d o c id a d relativa s e m id e n e n el
p o líg o n o vectorial.
5 . C o n o c ie n d o las velocidades relativas, la v e lo d d a d d d
p u n to d e interés, el p u n to Q se d e te rm in a usan d o u n a de
las e c u a d o n e s in dividuales d e sc rita e n d p aso 1, q u e se
c a lc u b c o n facilidad a p a r tir d d p o líg o n o vectorial o r ig i­
nal, c o m o e n b fig u ra 6.13c.
De n u ev a cu e n ta , lo s p o líg o n o s v e c to rb le s s e c o n s tru y e n
con la m ism a lógica, y a sea c o n té cn icas d e d ib u jo m an u ales o el
Cad . La lógica d etrás d el análisis s e ilu s tra e n el sig u ie n te p ro ­
blem a d e ejem plo:
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A n á lisis d e v e lo c id a d
133
«
F IG U R A 6.13
Velocidad d e u n p u n ió d e interés.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.7
l a figura 6.14 ilustra u n m ecanism o q u e extiende bobinas d e cable desde u n cam ión repartidor. E s operado por un
d lin d ro hidráulico e n A . En este instante,el cilin d ró se retrae a u n a velocidad d e 5 m m /s. Determ ine b velocidad de
b u n ió n superior, el p u n to F.
S O L U C IÓ N :
1.
D ibuje e l diagram a cinem ático y calcule los grados d e libertad
l a figura 6.15a m uestra el diagram a cinem ático del m ecanism o. Para entender cabalm ente este m ecanism o, se
calcub la movilidad.
n = 6
jr = (5 pernos + 2 correderas) = 7
M - 3 (n - I ) - 2jp - * - 3 (6 - I ) - 2 (7 ) - 0 - 1
F IG U R A 6 .1 4
M ecanismo del problem a d e ejem plo 6.7.
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j, = 0
134
CAPITULO SEIS
FIGURA6.13 D iagram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.7.
C on u n grado d e libertad, este m ecanism o funciona com pletam ente con u n so lo m ovim iento d e entrada. Desde
luego, tal m ovim iento es la retracción hacia arriba del cilindro hidráulico a u n a velocidad de 5 m m/s.
Seleccione el m étodo para o b ten er la le lo c id a d deseada
H eslabón 5 transporta tan to el p u n to C (veIocidad conocida) com o el p u n to E( velocidad desconocida). Sin em ­
bargo. el e s b b ó n 5 e s u n e s b b ó n flotante, ya que n o está restringido a u n m ovim iento p u ro d e rotación o de
traslación. Por lo tanto, antes d e determ inar la velocidad d el p u n to £, se debe obtener o tra veloddad sobre es­
b b ó n 5. El p u n to D es u n p u n to conveniente porque se en cu en tra sobre el e s b b ó n 5 y o tro eslabón q u e está
restringido a m ovim iento d e rotación (esb b ó n 2).
D eterm ine la velocidad del p u n to conveniente <p u n to D)
l a ecuación q u e perm ite la o b te n d ó n de b velocidad d d p u n to D se escribe como:
V D = Vc + > V „ c
A testo que el eslabón 2 está fijo a b bancada e n B, d p u n to D está restringido a girar alred ed o r de B. P o r lo
tin to , b v elo d d ad del p u n to D d eb e ser perpendicular a b línea BD.
Asim ism o, los p u ntos D y C icsidcn e n d m ism o e sb b ó n , es d ed r, d eslabón 5. E ntonces b veloddad rela­
tiva d e D con respecto a C d e b e ser perpendicular a la linca DC. A p artir d e los dos c n u n d a d o s anteriores, se
conocen ahora las direcciones d e am bas velocidades V „ y \ DJO
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A n á lisis d e v elo cid a d
135
EJ poligono vectorial que se utiliza p a ra resolver este problem a se m uestra en la figura 6.15b. Las m a g n i­
tu d es se determ inan al ex am in ar la intersección de las líneas respectivas de V 0 y VD(t. Las m agnitudes d e las ve­
locidades se m iden con la escala correspondiente, para obtener las siguientes ecuaciones:
Vjwc “ 3.5
V u = 3 5 m m / S y /4 5 ’
D eterm ine la v d o c id a d del p u n to to b re el eslabón flo ta n te (eslabón 5)
A hora que se conocen cabalm ente las velocidades de dos p u n to s sobre el eslabón 5. es posible d eterm in ar la ve­
locidad del p u n to E U sando dos form as d e la ecuación d e velocidad ielativa.se relaciona la velocidad de los punto s C D y E
Vf - V c + > VD C - V D t > VBD
Se conocen las velocidades d e C y D, asi c o m o la dirección d e las velocidades relativas. En la figura 6.15c se
lu s tr a el polígono sectorial.
l i l a vez que se determ inan las m agnitudes de las velocidades relativas, e s posible elaborar el p o líg o n a En
h figura 6.15 d se m uestra el polígono com pleto. l a velocidad d e E se incluye e n el polígono de acuerdo con la
ecuación vectorial d e arriba. Si se m iden los vectores del polígono co m p leta
VBD - Z 65 m m / s ^ l 6 J “
VBC - 5.95 m m / s ^ 33.0*
Vf = 5 2 9 m m /s / 1 9 .4 °
6 .6 .3 P u n t o s c o i n c id c n tc s s o b r e e s la b o n e s
d ife re n te s
H cálcu lo d e velocidades d e eslabones m óviles que están u n id o s a
través d e u n a u n ió n d e corredera, im plica el u so d e p u n to s c o in ­
cidentes que s e en cu en tran e n lo s d o s cu erp o s. I\>r lo general se
conoce la dirección d d m o v im ien to d e deslizam iento. Entonces,
se co n o ce b d ire c c ió n d e la velocidad relativa d e los p u n to s coind d e n te s . S e tr a ta d e in fo rm a c ió n suficiente p a ra d e te rm in a r el
m ovim iento d e lo s eslabones im pulsados. El co n cep to se ilustra
m ejor c o n u n problem a d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6.8
l a figura 6.16 presenta u n m ecanism o que inclina b plataform a d e u n cam ión d e volteo. Determ ine la veloddad re­
querida del cilindro hidráuEco para inclinar la plataform a d d cam ión a u n a velocidad de 5 rad/m in.
fig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
6.16 M ecanism o d el ca m ió n d e volteo d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.8.
D ib u je e l d iap-am a cinem ático e id en tifiq u e los grados d e lib erta d
Desde u n p u n to de vista d n c m á tic a tal m ecanism o e s u n a inversión del conocido m ecanism o de m anivelacor redera. La m anivela-corredera tiene u n grado de libertad que. en este c a s a es la extensión y la contracción del
d lin d ro hidráulico. La figura 6.17a m uestra el diagram a cinem ático del m ecanism o.
El eslabón 1 representa U bancada, el eslabón 4 e s el c ilin d ra el eslabón 3 es b varilla/pistón y el eslabón 2
es b plataform a d el cam ió n . O bserve que b u n ió n d e perno q u e une los eslabones 2 y 3 está identificada c o m o el
p u n to B.Sin em bargo, com o los esbbones 2,3 y 4 se encuentran e n el p u n to & estos puntos coincidentes se iden­
tifican com o Bj, B , y B,.
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136
CAPITULO SEIS
c)
FIGURA 6.17 D iag ram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.8.
H ija e l m éto d o p a ra o b te n e r la velocidad d o ra d a
0 problem a es determ inar la velocidad del cilindro hidráulico, el cu al hará que el eslabón 2 g ire a u n a velocidad
de 5 rad/m in e n se n tid o antihorario. En térm inos del m odelo cinem ático, se debe d eterm in ar la velocidad de B¡
en relación c o n B«.
Las velocidades de los p u ntos coincidentes se relacionan m ediante la ecuación (6.9):
vb > -
V* + >
En esta ecuación, la m a g n itu d d e V w se calcula con la velocidad d e g iro del eslabón 2. A dem ás, com o lo s es­
bb o n es están restringidos al m ovim iento p u ro d e rotación, b s direcciones d e \ B¡ y V g, son perpendiculares a
los eslabones 2 y 4 . respectivamente.
Por últim o, c o m o B ¡ y B , están u n id o s a través de la u n ió n de corredera, y se conoce la dirección d e la
corredera, la velocidad relativa. Vb2/b + debe s e r a lo largo d e la dirección d e deslizam iento. Por consiguiente, se
tiene la inform ación suficiente para co nstruir el p o lígono d e velocidad.
D eterm ine la velocidad del p u n to d e entrada Ipunto
La velocidad d e B¡ se calcula d e la m a n e ra siguiente:
va = <o1r ÁB¡ = (5 r a d /m in ) (7 ft) = 35 ft/m in
La dilección de la velocidad del punto B¡ es perpendicular al eslabón 2, que e s hacia arriha a la izquierda.
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A n á lisis d e v e lo c id a d
4.
137
D eterm in e la xelocidad del p u n to sobre el seguidor (p u n to B4)
El p o llp m o vectorial que sirve p a ra resolver tal problem a se m uestra e n la figura 6.17b. U s m agnitudes se deter­
m inan exam inando la intersección d e las lineas correspondientes d e vw y »&>*«.
5.
M id a las xrlo tid a d es deseadas en el polígono
l a s m agnitudes de las velocidades se pueden m edir con la escala adecuada, e n e l diseño de c a í » d e la figura 6.17c,
para o b te n e r
V ^ a , = 33.1 ft/m in
V « - 11.4 ft/m in A i *
t o r lo tanto, e n este instante d cilindro se debe extender a u n a velocidad de 33 ft/m in para m an ten er inclinada la
plataform a a u n a velocidad d e 5 rad/m in.
6.7 IM AGEN D E V E L O C ID A D
U n a p ro p ied ad valiosa e n el análisis d e v elo cid ad e s q u e c ad a es­
la b ó n e n u n m ecan ism o tie n e u n a im agen e n el p o líg o n o d e ve­
lo cid ad . P ara ilu strarlo , e n la fig u ra 6 .1 8 a se p resen ta u n m eca­
n ism o aso ciad o c o n s u d ia g ra m a d e velocidad.
Revise el triá n g u lo d ib u ja d o u sa n d o b s te rm in a le s d e los
tres vectores d e velocidad ab so lu ta . Este triá n g u lo se fo rm ó c o n
d im en sio n es p ro p o rc io n a le s d el eslabón flo ta n te m ism o g irad o
90*. L a fo rm a e n e l p o lígono d e velocidad se co n o ce c o m o im ag tn d e velocidad del eslabón. L a im agen d e velocidad d el eslabón
5 d el p ro b le m a d e ejem plo 6 .7 se ilu s tra e n la fig u ra 6 . 15d.
Si in id a lm e n te s e c o n o c e este c o n c e p to d e im agen d e v e ­
locidad, el p ro c e so d e so lu c ió n se reduce d e m a n e ra significa­
tiva. U n a ve? q u e s e d e te rm in a b v elo cid ad d e d o s p u n to s so b re
d eslabón, b velocidad d e cu a lq u ie r o tro p u n to q u e se e n c u e n ­
tre s o b re el eslabón se d e te rm in a c o n b e ilid a d . Los d o s p u n to s
se u tilizan c o m o base d e b im a g e n d e velocidad. La fo rm a del
eslabón se d ib u ja a e s c a b y se c o n stru y e so b re el p o lip jn o d e veb e id a d . S e d e b e te n e r cu id ad o , s in em bargo, d e n o in v e r tir b
fo rm a d el eslab ó n e n tre el d ia g ra m a cin em ático y el p o líg o n o de
velocidad.
FIGURA 6.18 Im agen d e velocidad.
6.8 E S T U D IO A N A LITIC O DE V ELO C ID A D :
M É T O D O D E LA V E L O C ID A D RF.I.ATIVA
E l e s tu d io a n a lític o d e v e lo c id a d in v o lu c ra e x a c ta m e n te b
m ism a ló g ica e m p lead a e n el análisis g rá fic a Los p o líg o n o s vec­
to riales s e cre a n d e acuerdo c o n b s ecuaciones d e velocidad rekitiva a p ro p ia d a s. C u a n d o se u tiliz a n b s té cn icas an alíticas, b
e x a c titu d d d p o líg o n o n o tie n e m a y o r im p o r ta n c b ; n o o b s­
ta n te , u n a e s c a b , in clu siv e b u r d a , p e rm ite e n te n d e r la s s o lu ­
ciones. Las e c u a c io n e s v ecto riales se resuelven e m p le a n d o b s
técnicas analíticas estu d iad as e n d c ap itu lo 3.
En lo s siguientes p ro b le m a s d e e jem p lo se presentan s o lu ­
cio n es analíticas.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .9
l a figura 6.19 ilustra u n a b o m b a d e p o zo rudim entaria que es c o m ú n e n áreas p o co desarrolladas. P ira m axim izar el
• u jo de agua, el pistón deberla moverse hacia arriba a u n a velocidad d e 50 m m /s. En la posición que se m uestra, de►rmine b velocidad an g u lar que debe aplicarse e n el m ango para lograr la velocidad deseada del pistón.
S O L U C IÓ N :
I.
Elabore e l diagram a cinem ático e id en tifiq u e los grados d e libertad
La figura 6.20a m u estra el diagram a cinem ático d e este m ecanism o. O bserve que es u n a variación del mecaris m o de m anivela-corredera c o n u n g rad o d e libertad. □ e s b b ó n 2 representa el m a n g a d e m anera q u e el o b ­
jetivo de este problem a es d eterm in ar o>¡.
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138
CAPITULO SEIS
F IG U R A 6 .1 9
f ig u r a
2.
B om ba d e p o z o d
d
p ro b le m a d e e jem p lo 6.9 .
6 . » D iag ram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.9.
A n a lic e l a g e o m e tr ía d e l m e c a n is m o
l a fig u ra 6.20b aísla la geom etría d e lo s eslabones p rin cip ales d el m ecanism o. O bserve q u e s e u tilizó esta
fpom etria para form ar dos triángulos rectángulos. Al enfocarse e n el trü n g u lo su p erio r A BF /e m p le a r las fon­
d o n e s trigonom étricas, se determ ina li lo n g itu d d e los lad o s BF y AF.
BF = (250 m m )c o s 1 5 ° = 311.-18 m m
A F = (2 5 0 m m ) sen 15* = 6 4 .7 0 m m
l a lo n g itu d d e BE se calcula de la m anera siguiente:
B E -B F
EF ■ 241.48 m m
200 m m - 41.48 m m
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A n á lisis d e v elo cid a d
139
Al enfocarse e n el triángulo inferior, el ángulo in te rio r e n C se calcula como:
L BCE ■ sen-1 ^
3.
- 7 .9 5 *
Construya r l polígono d e te lo (¡d ad
Para o b ten er la velocidad angular del eslabón 2, s e tiene que determ inar la velocidad lineal del p u n to B, d cual se
encuentra e n el eslabón 2. El eslabón 3 es de interós especial, porque contiene tan to el p u n to C (velocidad c o n o ­
cida) com o el p u n to B (velocidad desconocida).
C óm o el eslabón 2 está su jeto a la bancada e n A, el p u n to B está restringido a girar alrededor d e A. Por lo
tin to , la velocidad del p u n to fie s perpendicular a la linea A B. Además, c o m o los p u ntos B y C se encuentran so ­
bre el m ism o eslabón (eslabón 3), la velocidad relativa de B con respecto a C e s perpendicular a la linea BC
A partir d e los dos enunciados anteriores, s e conocen las direcciones d e las velocidades V a y V&t> La veloci­
dad V B es perpendicular a AB, 15* a p artir d e la vertical. La velocidad
perpendicular a BC, 7.95* a p artir
d e la ho rizo n tal, o bien, 90a - 7.95* - 82.05* a p a r tir d e la vertical. Tales velocidades se relacionan c o n la
ecuación (6.10):
VB = Vc + > V s c
En esta ecuación, tan so lo se desconocen las m agnitudes d e V fl y Va,c. El polígono sectorial que se utiliza
para solucionar el problem a se ilustra e n la figura 6.20c. Las m agnitudes se pueden determ inar s i se o btiene la
b n g itu d de los lados (m agnitudes sectoriales) del triángulo.
H á n g u lo in te rio r restante d e este triángulo vectorial es
180* - 82.05® - 15* - 82.95°
4.
Calcule la velocidad d el p u n to B
Se utiliza la ley de los senos p a ra determ inar las m agnitudes vectoriales:
sen 15* \
sen!
v =Vcf
b
5.
\ 3Cn o 2 . v 5
)
/
= 49.90 m m /s 15*| = 49.9 m m / s 7 ? \
*1
D eterm ine la velocidad angular d el eslabón 2
A hora que se determ inó la velocidad d e B. s e obtiene b velocidad an g u lar del eslabón 2. Observe que. e n conty u cn d a con la dirección de V r c I eslabón 2 debe g ira r e n se n tid o horario:
vB
49.9 m m /s
a ), = — = --------------- = OJO rad/s. e n se n tid o horario
250 m m
Este resu ltad o s e c o n v ie rte a r p m d e la m a n e ra siguiente:
ai (r e v /m in ) = — [ « (r a d /s ) ] = — [OJO rad /s) = 1.9 r p n \ e n sentido horario
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 0
La figura 6 J 1 m uestra la banda transportadora de u n cam ión repartidor para colocar m aterb l e n u n techo. Se tran s­
portan m ateriales pesados de la b an d a transportadora al techo. La b an d a transportadora se eleva h a c a su posición,
« te n d ie n d o el brazo de un cilindro hidráulico. En este in su m e , el cilindro se extiende a u n a velocidad d e 8 fpm
(ft/m in). D eterm ine la velocidad a la q u e s e eleva la banda transportadora.
S O L U C IÓ N :
1.
D abore e l diagram a cinem ático e id en tifiq u e los grados d e libertad
l a figura 6 J 2 a p re se n u el diagram a cinem ático del m ecanism o. El eslabón 4 representa la banda tran sp o rta­
dora, el eslabón 2 representa el cilindro y el eslabón 3 rep resen u la varilla/pistón. C om o se u sa una u n ió n de
corredera para conectar d o s eslabones giratorios, la definición de los p u ntos coincidentes ayudará a b solución
del problem a. El p u n to B¡ está su jeto al eslabón 2 ; m ien tras el p u n to Bt está sujeto, com o p u n to de referencia, al
eslabón 4 . El objetivo del problem a e s d eterm in ar « 4.
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140
CAPITULO SEIS
*5.
Polígono (fe wlockhd
VM- V M fl+>V0
V*
Traía da perpendicular a AB
V„
Trazada perpendicular a BC
a 20* de la vertical o
70* (90* - 20*) a partir efe fe hwfeonal
Pm
Trazada a lo largo de A0 a 47.47* (180° - 132.53*)
d r fe ho rtam al
F IG U R A 6_ u
2.
D iagram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.10.
A nalice la geom etría d el mecanismo
l a figura 6 3 2 b aísla fe geom etría d e los esfebones principales del mecanismo. Observe que se utilizó esta
para form ar d o s triángulos. Al enfocarse e n el triángulo de abajo a fe derecha, ACE, se obtiene lo
AC = V | Á F + c F j
= V ( 1 ñ ) 1 + (3 ft)2 = 3.16 ft
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A n á lisis d e v elo cid a d
141
C om o el eslabón 4 está inclinado 20® por en cim a d e la horizontal, d á n g u lo total e n C e s
L B C E - SO° 4- 20* " 110°
kiego entonces, el á n g u lo e n C e n el triángulo superior es
L A C B = L B C E - L A C E = 110* - 18.43° = 91.57°
La geom etría del triángulo su p e rio r se determ ina con la ley de los cosenos
AB - V Á ^ T
b^
2 {A C ){B C Ü ^L A C B
- V (3 .1 6 ft)3 + (6 ft)3 - 2(3.16 ft)(6 fíjeos 9 1 5 7 ° - 6.86 ft
y la le y d e lo s senos
R rulm ente, el ángulo in clu id o total e n A es
L B A E = L C A E + L B A C = 7 1 3 7 “ + 60.96° = 13233°
biabare u n polígono d e velocidad
Para obtener la velocidad an g u lar del eslabón 2, se debe determ inar la velocidad lineal del p u n to B¿.el cual s e eno ie n tra e n el eslabón 2. S e conoce la extensión del c á in d ro hidráulico, b cu al representa la velocidad d el p u n to B
sobre el eslabón 4 , en relación c o n el p u n to B sobre el eslabón 2 (Vbí / bi )~S* pueden relacionar estas velocidades
usando la ecuación (6 .10):
V» -
+ > V„
G im o el eslabón 4 está su jeto a la bancada e n C , el p u n to B , está restringido a g ira r alrededor d e G Pbr lo
Unto, la velocidad del p u n to B4 es perpendicular a la lin ea BC.
Asimismo, d eslabón 2 está sujeto a la bancada e n A y el p u n to B¡ está restringido a g ira r alrededor de A. Por
am siguíente, la velocidad del p u n to B¡ e s perpendicular a la linea AB.
A partir d e los dos enunciados anteriores, se conocen las direcciones d e las velocidades
y V ^.
B polígono sectorial que s e utiliza para resolver este problem a se m uestra en la figura 6.22c. O bserve que
los vectores form an u n triángulo rectángulo. la s m agnitudes se determ inan al obtener la longitud de los lados
(m agnitudes vectoriales) del triángulo rectángulo.
H á n g u lo in te rio r in ferio r de este triá n g u lo vectorial es
180° - 7 0 ° - 47.47° = 6 233°
Calcule la velocidad d el p u n ió B
La velocidad d e B; se calcula a p artir de h s siguientes relaciones trigonom étricas de u n triángulo rectángulo:
v- ' ( d w )
D eterm ine la xelocidad angular d el eslabón 2
A hora que s e conoce la velocidad d e Bt , se o btiene la velocidad an g u lar d el eslabón 4 . O bserve q u e p o r con­
gruencia con la dirección de v ^ e l eslabón 4 debe girar en sentido horario:
Vtu
u»4 = — =
rK
17.43 ft/m in
_______
.
-------- = 2 3 9 rad /m in , e n sentido horario
b ft
Este resultado se convierte a rpm d e la siguiente m anera:
I rev \
/ 2 3 9 rad W
<■>4 = I -------- :-- I I ------- I = 0.46 rev /m in , e n sentido horario
\ m in / \ 2 n ra d /
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142
6 .9
CAPITULO SEIS
S O L U C IO N E S A L G E B R A IC A S P A R A
6 .1 0
M E C A N IS M O S C O M U N E S
C E N T R O D E R O T A C IÓ N
IN S T A N T Á N E O
E n d caso d e lo s m ecan ism o s c o m u n e s d e m an iv ela-co rred era y
d e c u a tro b a rra s , se h a n d esarro llad o so lu c io n e s algebraicas d e
fo rm a c e rra d a ¡ref. 12) y se e stu d ia n e n las sig u ien tes secciones.
6 .9 .1 M e c a n is m o d e m a n iv e l a - c o r r e d e r a
En la fig u ra 4.19 se p resen ta u n m ecanism o general d e m a n iv e b
c o rre d e ra q u e e stá d efinido ú n icam en te p o r las d im e n sio n e s L¡,
L¡ y L y C o n u n g ra d o d e lib e rta d , se especifica el m ovim iento d e
u n s o lo eslabón p a r a im p u lsar lo s o tr o s eslabones. C o n m ucha
frecuencia se im p u lsa b m anivela, d e m o d o que, con o cien d o
o*¡ y b p o sició n d e to d o s lo s eslabones, se d e te rm in a n la s veloci­
d a d e s d e lo s o tr o s e sla b o n e s c o n las e c u a c io n e s (4 .6 ) y (4 .7 ).
C o m o se v io e n el c ap itu lo 4, las ecuaciones d e p o sic ió n son
Al calcu lar b v elo cid ad d e los p u n to s s o b re u n m ecanism o, se
utiliza el c o n c e p to d e c e n tro s in stan tán eo s c o m o u n m é to d o al­
te rn a tiv o al m é to d o d e v e lo d d a d relativa. E ste e n fo q u e s e basa
m el h ech o d e q u e cu a lq u ie r eslabón, s in im p o rta r b co m p leji­
d a d d e s u m o v im ie n to , p a rece e sta r in s ta n tá n e a m e n te e n
ro tació n p u r a c o n resp ec to a u n p u n to d e te rm in a d o . E ste p u n to
p iv o te in s ta n tá n e o s e c o n o c e c o m o a n t r o in sta n tá n eo de
ro tació n d e u n e s b b ó n e n particu lar. En la fig u ra 6.23 se m u es­
tr a c o m o ( 13 ) el c e n tro in stan tán e o , e n relación c o n b bancada,
d e u n e s b b ó n flo ta n te , es d e d r , el e s b b ó n 3.
En este ¡mame.
/ 1 el eslabón 3 'parece*
/ ¡ girar alrededor del
(4.6)
LI = ¿2 COs(fl2) + L¡ c o s (S j)
(4.7)
Las e c u a d o n e s d e velocidad s o n las sig u ien tes |rcfs. 10,11,
12 ,1 4 ]:
( b
c o s flA
(6 . 1 2 )
s e n 0 ] + cüjL j s e n f l j
v, =
(6.13)
6 .9 .2 M e c a n is m o d e c u a t r o b a r r a s
En la fig u ra 4.23 s e ilu s tra u n m ecanism o general d e c u a tro b a ­
rras, d e fin id o ú n ic a m e n te p o r la s d im e n sio n e s £ | , L * L3 y L«.
C o n u n g r a d o d e lib e r ta d , s e e s p e d fic a el m o v im ie n to d e un
» l o eslabón p a r a im p u lsa r lo s o tro s eslabones. C o n m u c h a frec u e n d a s e im p u lsa la m a n iv e b , d e m o d o q u e , c o n o d e n d o 0 2,
<i>j, y b p o sic ió n d e to d o s lo s e s b b o n e s. s e d e te rm in a n b s velo d d a d e s d e lo s o tro s e s b b o n e s c o n b s e c u a d o n e s (4 .9 ) a
(4.12). C o m o s e v io e n el c ap itu lo 4, b s e c u a d o n e s d e p o s id ó n
s o n b s siguientes;
-
B D =
(4.9)
2 ( I,) (í* ) c d s e 2
( L ,) 2 + ( I * ) ’ - (B D )2
y = eos 1
(4.10)
2 (L ,)( t4 )
03=2tan- i
- L j s c n O , + L4s e n y
I , + L} -
L je o s B j -
/ .« c o s y
J (4 .1 1 )
A=2 tan"1. l 2e o s L0 i¡s e+n fLl 24-- L¿ |3s- eLnj yc o s y J]
0
(4.12)
L as ecu acio n es d e v elo cid ad s o n b s sig u ie n te s [reís. 10, 11, 12,
14):
o>¡ = -u>¡
L?s c n ( 04 - 0 2)
' L fS e n (0 3 - 0 2)
¿4seny
(6.15)
6.23Centroinstantáneo.
n (n N ú m e r o to ta l d e c e n tro s in s ta n tá n e o s =
6. II
(6.14)
Lj sen y
0»4 = ~U>2
FIGURA
M ediante e ste co n cep to se analiza c ad a eslabón c o m o s i es­
tu v ie ra e x p e rim e n ta n d o ro ta c ió n p u r a . El c e n tro in sta n tá n e o
p ie d e e sta r d e n tro o fuera d el cuerpo, y su posición n o es fija en
d tie m p o C o n fo rm e el eslabón se m ueve, su c e n tro instantáneo
tam b ién lo hace. S in em b arg o , las velocidades d e los diferentes
p u n to s d e u n m ecanism o tam bién so n instantáneas. D e m anera
q u e este h ech o n o representa u n a restricción se ria para el análisis.
Este co n cep to tam b ién se ap lica al m o v im ie n to relativo, es
d e d r, el m o v im ien to d e cu alq u ier eslabón, e n r e b d ó n c o n cual­
q u ie r o tro eslabón, in sta n tá n e a m e n te p a rece e sta r s o lo g iran d o
alred ed o r d e u n p u n to d e te r m in a d a D e n u e v a el p u n to pivote
im aginario se co n o ce o i m o c e n tro in stan tán e o e n tre los d o s e s ­
b b o n e s . P o r e je m p lo , s i d o s e sla b o n e s e s tu v ie ra n disertados
ro m o 1 y 3, el c e n tro in stan tán e o seria el p u n to d o n d e el eslabón
3 in sta n tá n e a m e n te p a rece g ir a r e n re la d ó n c o n el e s b b ó n 1.
Este c e n tro in stan tán e o s e d esig n a c o m o (1 3 ) y se expresa e n p a
lib ra s c o m o “u n o tres", n o c o m o trece. O b serv e q u e el c e n tro
in sta n tá n e o , m o s tr a d o e n b fig u ra 6.23, fu e d e s ig n a d o c o m o
(1 3 ). Si el e s b b ó n 1 fu e ra la tu n e a d a , c o m o e s b designación
típica, e ste c e n tro in sta n tá n e o describ iría el m o v im ie n to ab so ­
lu to d el e s b b ó n 3 . C o n s id e ra n d o la in v ersió n c in e m á tic a , este
p u n to tam b ién es el c e n tro d el m o v im ien to in stan tán e o d el es­
b b ó n 1 e n re la d ó n c o n el e s b b ó n 3. P o r ende, el c e n tro in sta n tá ­
neo (1 3 ) es l o m ism o que el c e n tro in sta n tá n e o (31).
C o m o e n c a d a e s b b ó n hay u n c e n tro in stan tán e o c o n cada
u n o d e los o tro s eslabones, to d o s los m ecan ism o s tien en varios
cen tro s in sta n tá n e o s. El n ú m e r o to ta l d e c e n tro s in sta n tá n e o s
d e u n m ecanism o d e n eslab o n es es
1)
(6.16)
L O C A L IZ A C IÓ N D E C E N T R O S
IN S T A N T Á N E O S
En u n análisis típico, es ra ro q u e s e utilicen to d o s los centros ins­
tan tán eo s. N o o b s ta n te , se d e b e ría c o n o c e r el p ro c e so d e locaiz a d ó n d e c ad a c e n tro p o rq u e s e p o d ría u tilizar cu alq u ier c e n tr a
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A n á lisis d e v elo cid a d
143
2. El c e n tro in sta n tá n e o d e d o s eslabones e n c o n ta c to d e r o ­
d a m ie n to s in deslizam iento se u b ic a e n el p u n to d e c o n ­
t a c t a La se g u n d a regla se ilu s tra e n la fig u ra 6.24b.
m o v im ien to d e d esliz am ie n to lineal e n relación c o n o tro
eslabón, es idén tica p a ra to d o s lo s p u n to s, e n direcció n del
d e s liz a m ie n ta P o r lo t a n t a e s p o sib le im a g in a r q u e este
m o v im ien to recto es d e ro ta c ió n a lre d e d o r d e u n p u n to
q u e se e n c u e n tra a u n a g r a n d istan cia, y a q u e u n a línea
recta p u e d e m o d e la rse c o m o la p a rte d e u n c irc u lo c o n un
radio d e ta m a ñ o in f in ita C o m o la velocidad sie m p re es
perp en d icu lar a la lin e a tra z a d a hacia el piv o te, este c e n tro
in stan tán e o d e b e s e r p e rp e n d ic u la r a la d ire c c ió n d e
deslizam iento. H ay q u e c o n s id e ra r q u e e ste c e n tro se e n ­
c u e n tra s o b re cu a lq u ie r lin e a p e rp e n d ic u la r a la direcció n
del d e s p la z a rm e n ta p o r q u e la s lineas s e ju n ta n e n el in ­
fin ita La tercera regla se ilu stra e n la fig u ra 6.24c.
3. El c e n tro in sta n tá n e o d e d o s eslabones e n c o n ta c to d e
d esliz am ie n to e n lin ea recta e stá e n el in fin ito , e n d irec­
ció n p e rp e n d ic u la r a la direcció n d e d esliz am ie n to . La ve­
lo c id a d d e to d o s lo s p u n to s d e u n eslabón, re strin g id o a
B c e n tro in sta n tá n e o d e d o s eslabones c o n u n c o n ta c to de
deslizam iento co m p le to se e n c u e n tra e n algún la d o d e la
Unca n o rm a l a la d ire c c ió n d el deslizam iento. L a cu arta
regla se ilu s tra n e n la fig u ra 6.24d.
6 .1 1 .1 C e n t r o s p r in c i p a l e s
A lg u n o s cen tro s in sta n tá n e o s s e lo calizan sim p le m e n te exam i­
n a n d o el m ecan ism o. D ich o s c e n tro s s e co n o cen c o m o centros
principales. P ara u b icarlo s s e d e b e n se g u ir las reglas siguientes:
1. C u a n d o d o s eslabones están c o n ectad o s p o r u n a u n ió n de
p e rn o , el c e n tro in sta n tá n e o q u e u n e los d o s eslab o n es es
este p u n t o pivote. L a p rim e ra regla se ilu stra e n la fig u ra
6.24a.
(2 3 )
P ilm e ra reg la
*»)
/ /
. " 1 3 a l infinito
(1 3 » )
2 3 a l o largo d e e s ta norm al c o m ú n
(2 3 )
HG URA6 J 4 Localiza ció n d e los cen tro s p rin cip ales.
P R O B If.M A DF. E JE M P L O 6.11
l a figura 6 2 5 ilustra el m ecanism o d e u n com presor de aire, localice todos los centros instantáneos principales de
este mecanismo.
S O L U C IÓ N :
I.
Elabore e l diagram a cinem ático
En la figura 6.26 se presenta el diagram a cinem ático del com presor de aire.
Entrada
F IG U R A
6.25 C om p resor d e a i r e d e l problem a d e ejem plo 6.11.
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144
CAPITULO SEIS
0
FIGURA 6.26 D iagram a cin em ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.11.
Aplique la p rim e ra regla para localizar los centros principales
Se n u m e ra n los c u a tro eslabones del diagram a cinem ático. Las u n io n e s d e p ern o se identifican con letras. La
prim era u n ió n d e perno. A ,conecta el eslabón 1 y el eslabón 2 . C onsiderando la prim era regla de los centros ins­
tantáneos principales, esta u n ió n es la ubicación del c e n tro instantáneo (12). A sim ism o, la u n ió n de p ern o B es
d c e n tro instantáneo (23) y la u n ió n d e p ern o C e s el centro instantáneo (34).
&i el diagram a cinem ático de la figura 6 2 6 resulta evidente que n o hay contacto de rodam iento e n ningún
eslabón. Por lo tanto, la segunda regla n o s e aplica e n este m ecanism o.
A plique la tercera regla para localizar centros principales
Com o hay u n a unión d e deslizam iento lineal entre los eslabones 4 y I, este centro instantáneo se visualiza e n el
h fin ito , e n dirección perpendicular a la dirección del deslizam iento. La figura 6 2 7 m uestra b notación q u e se
utiliza para identificarlo, ju n to con b identificación de los dem ás centros instantáneos principales. Recuerde que
este centro instantáneo p o d ría estar sobre una lin ea paralela a la lin ea (14«“ ), ya q u e se podría considerar que las
In eas paralelas se intersecan e n el infinito.
FIGURA6.27 C e n tro s in stan tán eo s p rin cip ales d el p ro b le m a d e ejem plo 6 .1 1.
En d diagram a cinem ático de la figura 6 2 6 s e p e ra b e claram ente que n o hay u n iones de deslizam iento general. Por
lo tanto, n o s e aplica la cu arta regla a este m ecanism o.
6 .1 1 .2 T e o r e m a d e K e n n e d y
Los cen tro s in sta n tá n e o s q u e n o se p u e d e n u b ic a r a p a r tir d e las
c u a tr o reg las d e c e n tro s p rin cip ales, s e lo calizan a p lic a n d o el
teorem a d e Kennedy, q u e establece l o siguiente:
Los tres centros in stantáneos correspondientes a tres cuerpos
cualesquiera perm anecen sobre la m istna recta.
P o r ejem plo, im agine tre s e s b b o n e s cualesquiera (e sb b o n e s 3 ,4 y
5). El teo rem a d e K ennedy establece q u e la s c e n tro s instantáneos
(3 4 ), (4 5 ) y (35) p erm anecen so b re u n a lin ea recta. C o n la a p li­
cación d e este teorem a, después d e localizar los cen tro s instantá­
neos principales, s e p u ed en d e te rm in a r lo s dem ás centros in sta n ­
táneos. La ubicación precisa d e los c e n tro s in stan tán eo s se realiza
usan d o m é to d o s gráficos o analíticos. D esde luego, lo s m étodos
gráficcs incluyen ta n to técnicas m anuales d e d ib u jo com o el c a d .
6 .1 1 .3 D i a g r a m a d e c e n t r o s i n s t a n t á n e o s
L h d iag ram a d e cen tro s in stan tán eo s es u n a técnica g ráfica q u e se
utiliza p a ra u b ic a r tan to los centros instantáneos, que ya se hayan
localizado, c o m o aquellos que a ú n necesitan definirse. Asim ismo,
señ ala la s co m b in ació n es d e c e n tr a s in stan tán eo s q u e e s pasible
u tilizar e n b aplicación d el te o re m a d e Kennedy. Es r a r o q u e se
w cesite localizar to d o s los cen tro s in stan tán eo s p a ra ejecu tar un
atáHsis d e velocidad. S e d eb en estudiar el m ecanism o y el (los) es
b b ó n (e s ) im p u lso r!es), asi com o la salida req u erid a p a r a d eter­
m in a r los c e n tro s in sta n tá n e o s específicos q u e se req u iere n , de
m a n e ra q u e el diag ram a d e c e n tro s in sta n tá n e o s se u tiliz a para
calcular los centros instantáneos específicos.
H diag ram a d e c e n tro s in sta n tá n e o s e s u n círculo d iv id id o
en segm entos: u n o p o r c ad a e s b b ó n d d m ecanism o q u e se an a ­
liza. Los se p a ra d o re s d e se g m e n to s se id e n tific a n c o n lo s n ú ­
m e ro s c o rre sp o n d ie n te s a lo s e s b b o n e s. E n b fig u ra 6.28a
se m u estra u n diag ram a d e cen tro s in sta n tá n e o s p a r a u n m eca­
n ism o d e c u a tro barras.
Q ia lq u ie r lin ea q u e u n e d o s p u n to s d d d ia g ra m a re p re ­
se n ta u n c e n tro instantáneo, q u e v in c u b los d o s e s b b o n e s id e n ­
tificad o s p o r lo s p u n to s d e lo s extrem os. P o r ejem plo, la línea
q u e u n e el p u n to 1 y d p u n to 4 . representa el c e n tro in stan tán e o
(14). P ara b s c e n tro s in stan tán eo s ya localizados, la lín ea c o rre s­
p o n d ie n te d el d ia g ra m a s e m arca c o n u n a lin ea c o n tin u a . La
fig u ra 6 2 8 b in d ica q u e ya se localizaron la s c e n tro s in stan tán eo s
(12), (23). (3 4 ) y (1 4 ). E ntonces, los c e n tro s in s ta n tá n e o s que
n e c e sita n id en tificarse p u e d e n re p re se n ta rse c o n lin e a s p u n ­
teadas. La fig u ra 6 2 8 c m u e s tra q u e los cen tro s in sta n tá n e o s (13)
y (2 4 ) a ú n n o s e h a n e n c o n tra d o . T odos lo s c e n tro s in stan tán eo s
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f ig u r a
145
&2S D iag ram a d e cen tro s in stan tán e o s.
se lo calizan c u a n d o c ad a p u n to se c o n e c ta c o n cada u n o d e los
d e m á s p u n to s.
O b serv e q u e la s lin e a s e n el d ia g ra m a fo rm an triá n g u lo s,
c ad a u n o d e lo s cu ales representa tre s c e n tro s in stan tán e o s, q u e
relacio n an lo s tre s eslabones e n lo s v értices. D e acu erd o c o n el
teo rem a d e Kennedy, lo s tr e s c e n tro s in sta n tá n e o s rep re sen ta­
d o s p o r lo s la d o s d e u n tr iá n g u lo d e b e n p e rm a n e c e r e n u n a
lin ea recta. P o r ejem plo, exam ine la ñ g u ra 6.28c, luego aísle el
triá n g u lo fo rm a d o p o r las lineas (1 2 ), (2 3 ) y (1 3 ). El teo rem a de
K ennedy establece q u e esto s tres c e n tro s in sta n tá n e o s d eb en ser
colin cales.
Si d o s la d o s d el tr iá n g u lo e stá n d ib u ja d o s c o n u n a linea
c o n tin u a , se tr a z a u n a lin e a so b re el d ia g r a m a d el m ecanism o
para u n ir los d o s cen tro s in s ta n tá n e o s c o n o c id o s. E sta lin ea
c o n tie n e el te rc e r c e n tro in stan tán e o . Si s e p u e d e d ib u ja r u n a s e ­
g u n d a línea, la intersección d e las d o s lineas u b icará el tercer ce n ­
tro. Para resum ir, con el p ro p ó sito d e localizar u n c e n tro in sta n tá ­
neo, se d eb en c o n s tru ir d o s triá n g u lo s e n el d ia g ra m a c o n dos
lados conocidos y, c o m o la d o desconocido, el c e n tro instantáneo
q u e s e busca.
Los s ig u ie n te s p ro b le m a s d e e je m p lo ilu s tr a n el p ro c e ­
d im ie n to p a ra o b te n e r to d o s lo s c e n tro s in stan tán e o s.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 2
La figura 6.29 m uestra u n a braza c o n autobloqueo e n u n a plataform a que se utiliza e n muelles de em barque. Localice
todos los centros instantáneos del m ecanism o.
FIGURA 6 J 9 B raza d e autobloqueo d el problem a de ejem plo 6.12.
S O L U C IÓ N :
I.
IX buje e l diagram a cinem ático
H diagram a cinem ático d e la plataform a d e carga se m uestra e n la figura 6.30a. En el diagram a cinem ático se n u ­
m eran los c u a tro eslabones. Las u n io n e s d e p ern o se identifican con letras. Se calcula el n ú m e ro total de centros
, con n = 4 esbbones, d e b siguiente m anera:
N ú m ero total d e cen tro s instantáneos ■
n (n -
I)
2
4 (4 -
2
1)
- 6
O abore u n diagram a d e centros instantáneos
B i la figura 6 3 0 b se presenta el diagram a d e centros instantáneos. Es posible utilizar b tabla 6.1 para listar sis­
tem áticam ente todos los centros instantáneos d el m ecanism o.
localice los centros instantáneos principales
l a prim era u n ió n d e perno. A ,conecta los eslabones 1 y 2 . Si se aplica la prim era regla d e los centros instantáneos
irincipales, esta u n ió n es h ubicación del c e n tro instantáneo (12). D e m anera s im ib r, las u n iones d e p ern o B, C
y D so n los centros instantáneos (23), (34) y (14), respectivam ente. En b figura 6 3 0 c se vuelve a dib u jar el diap a m a d e centros instantáneos para reflejar la localización de los centros instantáneos principales ( 12), (23), (34)
y (14). Los centros instantáneos ( 13) y (24) están sin determ inar.
Itilic e el teorem a de K ennedy pa ra localizar el centro in sta n tá n eo (13)
H diagram a d e centros instantáneos q u e se em pleó p a ra obtener (13) s e m uestra e n b figura 6 3 0 d . A hora hay
q je enfocarse e n el triá n g u lo de abajo form ado por (13), (14) y (34). Si s e apbca el teorem a d e Kennedy. (13)
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a)
d)
e>
FIGURA6.30 D iag ram a cin em ático y c e n tro s in stan tán eo s d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.12.
p l A B L A 6.1
r
C e n tr o s in s t a n tá n e o s p o s ib le s
d e u n m e c a n is m o ( n = 4 )
1
¡
i
12
23
13
14
24
34
debe perm anecer sobre la recta form ada por (14) y (34), los cuales ya se localizaron, com o lo in d k a n b s lineas
continuas de la figura 6 JO d.
O bserve tam bién el triángulo superior form ado p o r (13). (12) y (23). De la m a m a m an era, (13) d e b e p e r­
manecer tam bién sobre una lin ca recta form ada por (12) y (23), que fueron previam ente localizados.
Por lo tanto, la intersección d e estas lineas, (14)-(34) y (12)-(23), d e te rm in a rá la ubicación d e (13).
Recuerde que e n este instante el eslabón 3 parece girar alrededor del p u n to (13).
5.
I tilic e el teorem a d e K ennedy para lo ca liza r (24)
B» b figura 6 J 0 e s e m uestra el diagram a d e centros instantáneos que se usó para obtener (24). En un proceso idén­
tico, el teorem a d e Kennedy establea? que elcentro instantáneo (24) debe perm anecer sobre b m ism a linea que (14)
y (12), los cuales ya fueron localizados. Asimismo, (24) debe perm anecer tam bién sobre b m ism a linea de (23) y
(34), tam bién localizados. Entonces si se traza u n a linea recta a través d e (1 4 ) y (12), asi com o otra linca recta a
través d e (23) y (34), b intersección de tales lincas determ inará b ubicación d e (24). En este instante, el csb b ó n 2
jurcce girar, e n reb eió n c o n el csb b ó n 4, alrededor del p u n to (24).
La figura 6 J 1 presenta el m ecanism o con to d o s los centros instantáneos localizados.
FIGURA6.31 C entros in sta n tá n e o s d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.12.
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A n á lisis d e v elo cid a d
147
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 3
I d figura 6.32 m uestra u n tritu rad o r d e rocas. Localice todos los cen tro s instantáneos d e este m ecanism o.
S O L U C IÓ N :
1.
H a b ó n e l diagram a cinem ático
B i la figura 6.33a se ilustra el diagram a cinem ático del tritu rad o r d e rocas. S e num eran los seis eslabones del d ia­
gram a cinem ático, l a s u n iones d e p ern o s e identifican con letras. Se calcub el n ú m ero total d e centros instantá­
neos. c o n n = 6 eslabones, com o sigue:
N ú m ero total d e cen tro s instantáne
n (n -
1)
6 (6 -
1)
15
H a b ó n u n diagram a d e centros instantáneos
&i ki figura 6 J 3 b se m uestra el diagram a d e centros instantáneos, l a tabla 6 2 Esta sistem áticam ente todos los
centros instantáneos posibles d el m ecanism o.
localice los centros instantáneos principales
l a prim era u n ió n d e p ern o A «onecía los eslabones 1 y 2 . A plicando la prim era regla de los centros instantáneos
principales, esta u n ió n es la ubicación del c e n tro instantáneo (12). Asim ismo, las u n iones d e perno e n tre B y F
tin can los centros instantáneos (23), (34), (1 4 ). (45) y (5 6 ). respectivam ente.
C om o hay u n a u n ió n d e corredera Enea! e n tre los eslabones 6 y 1. el centro im tantáneo (16) se localiza e n el
h fin ito , sobre u n a linea perpendicular a la dirección del deslizam iento. Recuerde que este centro instantáneo p o ­
dría estar sobre una Enea paralela a esta Enea porque las Eneas paralelas se unen e n el infinito. En la figura 6 3 3 c se
dibuja de nuevo el diagram a de centros instantáneos para localizar (12). (23). (34), (45), (56), (14) y (16).
L ie e l teorem a d e K ennedy para localizarlos otros centros instantáneos
l a s com binaciones fallantes que se necesita determ inar son los centros instantáneos (13), (2 4 ), (35), (46), (25),
(36). (15) y (26).
En la figura 6 3 3 d s e presenta el diagram a d e centros instantáneos que s e utilizó para obtener (13). Ahora
lu y que enfocarse e n el triángulo form ado por (12). (23) y (13). Si se aplica el teorem a d e Kennedy, (13) debe
perm anecer sobre b lin ea recta form ada p o r (12) y (23). los cuales ya h a n sid o localizados, com o indican las
In cas continuas de b figura 6 3 3 d .
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148
CAPITULO SEIS
I)
A)
J)
FIGURA 6 J 3 D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.13.
TABLA 6 .2
C e ñ ir o s in s t a n t á n e o s p o s ib le s
d e u n m e c a n i s m o (n = 6)
1
2
3
4
5
12
23
34
45
56
13
24
46
14
25
35
36
15
16
26
6
Observe tam bién el triángulo form ado por (13), (34) y (14). D e m anera sim ilar, (13) debe perm anecer tam ­
bién sobre la recta form ada por (13) y (34), los cuales ya fueron localizados anteriorm ente. E ntonces, la intersec­
ción d e estas líneas, (12)-<23) y (13)-(34), determ inarán la ubicación d e (13).
La tabla 6 J se form uló ju r a localizar todos los cen tro s instantáneos follantes. O bserve que d orden con q u e se
A tie n e n los centros instantáneos depende considerablem ente de cuáles son los centros instantáneos q u e ya se hayan
bealizado. E sto se vuelve u n proceso bastante iterativo, pero el diagram a d e centros instantáneos es raboso e n la ap li­
cación d e este m étodo, l a figura 6 J 4 ilustra el m ecanism o con todos los centros instantáneos localizados.
TA B LA 6 .3
U b ic a c io n e s d e lo s c e n t r o s in s ta n t á n e o s d e l p r o b l e m a d e e je m p lo 6 .1 3
Para localizard centro instantáneo
UtiBcr la* hncas que se intersecan
Diagrama d e a n tr o instantáneo
13
24
(l2M 23)y(l4)-(34)
Figura 6J3d
(12HM )y(23)-(34)
Figura 6.3Je
15
46
(16M 56ty(l4M 45)
(I4M 16) y (451-156)
Figura 6J3Í
Figura 6.3Jg
36
26
(13M16)y(34)-(46)
(12).(l6)y(23M 36)
Figura 6 J3h
Figura 6J3i
35
25
(56M36) y (34)-(45)
04)-(45)y(23)-(35)
Figura 6J3j
Figura 6J3k
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A n á lisis d e v elo cid a d
6.12 A N ÁLISIS G R Á F IC O DE V ELO C ID A D :
M É T O D O D EL C E N T R O
IN STA N TÁ N EO
El m é to d o d el c e n tro in stan tán e o s e basa e n los sig u ien tes tres
principios:
L L a v elo cid ad e n u n c u e rp o q u e g ira es p ro p o rc io n a l a la
distan cia desde el p u n to pivote.
I I. El c e n tro in sta n tá n e o c o m ú n a d o s eslabones se p u ed e
c o n sid e ra r su jeto a c u a lq u ie ra d e ellos.
I II. 1.a velocidad a b s o lu ta d el p u n to , q u e sirv e c o m o c e n tro
in sta n tá n e o c o m ú n , es la m ism a, sin im p o rta r cuál
e slab ó n se co n sidere su je to a ese p u n to .
U tilizan d o estos p rin c ip io s , la v elo cid ad a b s o lu ta d e cu al­
q u ie r p u n to so b re u n m ecanism o se o b tie n e fácilm ente c o n u n
m é to d o general, el c u a l se d escrib e e n lo s sig u ien tes se is pasos:
1. A islar el eslabón d e v elo cid ad c o n o c id a (eslabón A ),
el eslabón q u e c o n tie n e el p u n to cuya v elo d d ad
se d esea c o n o c e r (eslabón B) y el eslab ó n fijo
(e sla b ó n C ).
2. U b ic a r el c e n tro in sta n tá n e o c o m ú n al eslabón d e
velocidad c o n o d d a y el eslab ó n fijo (c e n tro in stan tán e o
AQ.
3. Localizar el c e n tro in sta n tá n e o c o m ú n al eslabón d e
velocidad c o n o d d a y el eslab ó n q u e c o n tie n e el
149
p u n to c u y a v e lo d d a d s e desea c o n o c e r (c e n tro instantá­
n e o AB).
4 . D eterm in e la v elo d d ad d el c e n tro in sta n tá n e o (AB), si se
sabe que la v e lo d d a d d e u n p u n to s o b re u n eslab ó n es p ro ­
p o rcio n al a la d ista n c ia a p a rtir d e l pivote. El c e n tro in sta n ­
tá n e o ( AC) sirv e c o m o piv o te. L a velocidad c o n o c id a d el
eslabón A se m id e c o n la p ro p o rc ió n y la escala adecuadas
p a ra d e te rm in a rla v elo d d ad d el c e n tro in stan tán e o (AB).
5 . L ocalizar el c e n tro in sta n tá n e o c o m ú n al eslab ó n c o n el
p u n to c u y a v e lo d d a d s e d e s e a c o n o c e r y el eslab ó n fijo
( c e n tro in stan tán e o BC).
6 . D e te rm in a r la v elo cid ad deseada, si se sa b e q u e la v e lo d ­
d a d d e u n eslabón es p ro p o rc io n a l la distan cia d esd e el
pivote. El c e n tro in sta n tá n e o ( B Q sirv e c o m o pivote. La
velocidad d el c e n tro in sta n tá n e o c o m ú n ( AB) se m ide
c o n la p ro p o rc ió n y la escala adecuadas p a ra d e te rm in a r
la v e lo d d a d deseada.
La té c n ic a g rá fic a p a r a m e d ir a u n a escala p ro p o rc io n a l
a d e c u a d a u n v e c to r utiliza la línea d e centros, LC E sta es u n a
lin ea tra z a d a d esd e el p u n to p iv o te d e l eslab ó n al in i d o d el vec­
to r c o n o d d o . T a m b ié n s e u tiliz a u n a línea d e proporción, tí1, que
es u n a linea tra z a d a d esd e el p u n to pivote hasta el ex trem o del
v ector c o n o c id a La fig u ra 6.35a ilu stra ta n to la lín ea d e centros
ro m o la lín ea d e p ro p o rc ió n . La distan cia d el pivote al p u n to d e ­
seado se transfiere a la lín ea d e centros. La m ag n itu d d el vector
m e d id a p r o p o r d o n a lm e n te s e d e fin e c o m o p a ra le la a l vec­
tor c o n o d d o . ex ten d id a d e t e a l p en la d ista n c ia tran sferid a . Lo
a n te rio r ta m b ié n s e m u e s tra e n la fig u ra 6 .3 5 a
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150
CAPITULO SEIS
i
>LC
a)
b)
FIGURA 6.35 Uso d e u n a lín ea d e cen tro s y u n a lín ea d e p ro p o rció n .
D esd e lu eg o , la m ag n itu d d e la v elo cid ad e s p erp en d icu lar
a la lín ea q u e u n e el p u n to d e velocidad desconocida y el p u n to
piv o te. Al calcular la m a g n itu d y el p o sid o n a m ie n to d e u n vec­
to r e n la d ire c d ó n ad ecu ad a, s e d efine totalm en te e l vector. P o r
lo ta n to , el v e c to r es p ro p o rc io n a l gráficam ente. El resu ltad o se
ilu stra e n la fig u ra 6.35b.
Se h a d e s c rito la lógica d e trá s d el m éto d o d el c e n tro in stan ­
tá n e o d el a n á lis is d e v e lo c id a d m e d ia n te té cn icas g ráfica s. La
s o lu d ó n real se o b tie n e a l a p lic a r u n a ló g ic a id é n tic a c o n un
d ib u jo m anual o d e c a d . In d ep en d ien tem en te d el p roceso que
se u tilice, los con cep to s subyacentes d el p ro ced im ien to gráfico
d el m é to d o d e c e n tro in sta n tá n e o d el a n á lis is d e v e lo d d a d se
ilu stran c o n los sig u ie n te s p ro b le m a s d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 4
La figura 6 2 9 presenta la braza autom ática con autobloqueo en u n a plataform a que se u sa e n m uelles de em barque.
En el problem a 6.12 se localizaron todos los centros instantáneos del m ecanism o. D eterm ine la v elo d d ad an g u lar del
eslabón 4, s i s e sabe que d eslabón 2 s e eleva a u n a velocidad constante d e 3 rad/s.
S O L U C IÓ N :
I.
Elabore el diagram a cinem ático con los centros instantáneos y a localizados
&i la figura 6 3 6 a s e reproduce el diagram a cinem ático con inform ación de los centros instantáneos y la escala.
Escala:
0
3
1— -4 —— 1-------1
f ig u r a 6 3 6
2.
D iag ram a d n e m á tic o d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.14.
D eterm ine la velocidad lin ea l d e u n p u n to c o m e n ie n te (B)
La velocidad lineal del p u n to B se determ ina a p artir d e la velocidad an g u lar del eslabón 2 . La m e d id ó n del
pu n to B es de 3 ft desde el pivote del eslabón 2 (p u n to A).
V* -
M 3 f t ) ( 3 r * l / s ) - 9 f t /s £ 0 "
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A n á lisis d e v elo cid a d
3.
151
A plique e l procedim iento general d e velocidad d el centro instantáneo
a)
Aislé los eslabones.
B eslabón 2 tien e la velocidad conocida.
H eslabón 4 contiene el p u n to cuya velocidad se desea conocer.
H eslabón 1 es el eslabón fijo.
4.
b)
0 centro instantáneo c o m ú n e n tre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón fijo es (12).
c)
0 centro instantáneo c o m ú n e n tre el eslabón de velocidad co n o cid a y el eslabón de velocidad desconocida
es (24).
d)
La velocidad del centro instantáneo (24) se obtiene gráficam ente a p artir de la velocidad del p u n to B. El es­
labón 2 contiene tan to el p u n to B como e l c e n tro instantáneo (24); por ello, la velocidad se m ide p ro p o rd o n alm en te e n relación con el c e n tro instantáneo (12). Esta construcción s e presenta en la figura 6 3 6 b .
la m ag n itu d escalada de la velocidad, v(24), es d e 7.4 ft/s.
e)
0 centro instantáneo c o m ú n e n tre el eslabón de velocidad desconocida y el eslabón fijo es (14).
f)
La velocidad del p u n to C se o btiene gráfkam ente a partir d e la velocidad del centro instantáneo (24). El es­
labón 4 contiene tan to el p u n to C como e l c e n tro instantáneo (2 4 ); por ella, la velocidad se escala e n pro­
porción c o n el c e n tro instantáneo (14). En la figura 6 3 6 c se m uestra esta construcción. La m ag n itu d vc de
esta velocidad se escala a 13.8 ft/s.
D eterm ine la velocidad angular d el eslabón 4
R nalm ente. la velocidad angular del eslabón 4 s e obtiene a p artir de la velocidad del p u n to C La m edición a es­
cala indica q u e e l p u n to C está posicionado a u n a distancia de 5.4 ft desde el pivote del eslabón 4 (p u n to D).
vc
“ 4 =
13.8 ft/s
7rCU
~ =
s i f tti
5.4
=
26
^
C om o la dirección d e la velocidad angular debe s e r consistente c o n la velocidad del p u n to C e l eslabón gira
en sentido antihorario. Por l o tanto,
w4 ■ 2.6 rad /s, e n se n tid o antihorario
Observe q u e esta velocidad an g u lar tam bión se determ ina a p artir d e la velocidad d el centro instantáneo (2 4 ), ya
que este punto s e considera parte d e los eslabones 2 y 4 . Sin em bargo, com o e n el prim er problem a de ejem plo
» b r e el tem a, resulta difícil visualizar el p u n to que gira e n relación con el eslabón 4.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 5
la figura 6 3 2 m uestra u n dispositivo tritu rad o r de rocas. En el problem a de ejem plo 6.13 se localizaron todos los cen­
tros instantáneos del m ecanism o. E n la posición m ostrada, determ ine la velocidad d el ariete tritu ra d o r c u a n d o la
nnnivcla gira a una velocidad constante de 60 rpm e n sentido horario.
S O L U C IÓ N :
1.
Elabore e l diagram a cinem ático con los centros in sta n tá n eo s y a ubicados
En la figura 6 3 7 a se reproduce el diagram a cinem ático con inform ación de la escala.
2.
D eterm ine la selocidad lin ea l d e u n p u n to conveniente B
l a velocidad lineal d d p u n to B se determ ina a p artir de h velocidad angular del eslabón 2. El p u n to B se ha es­
calado para p o sid o n a rlo a u n a distancia d e 4 3 in a p artir del pivote del eslabón 2 (p u n to A):
o>j - 60 rp m ^
= 6 2 8 rad /s
■ rABral " (4 *5 in ) (6 3 8 r a d /s ) ■ 2 8 3 in/* / “ >*
0
o b je tiv o d e l p r o b le m a e s d e te r m i n a r la v e lo c id a d H n c a l d e l p u n t o C .
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152
CAPITULO SEIS
Bcala:
0
I—f —
f ig u r a 6.37
3.
30
H
ir*
D iag ram as d el p ro b le m a d e e jem p lo 6 . 15.
A plique el procedim iento general d e velocidad d el centro in a a n tú n e o
a) A b le los eslabones.
B eslabón 2 tien e ia velocidad conocida.
El eslabón 5 (o 6 ) contiene el p u n to cuya velocidad se desea conocer.
H eslabón 1 e s el eslabón fijo.
b) El centro instantáneo com ún entre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón fijo es (12).
c)
d)
El centro instantáneo c o m ú n e n tre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón c o n velocidad descono­
cida es (25).
La velocidad del centro instantáneo (25) s e obtiene gráficam ente a p artir d e la velocidad del p u n to B. El es­
labón 2 contiene tan to el p u n to B com o el c e n tro in stan tán e o (2 5 ); p o r ello, la veloddad se m id e p ro p o rd o n alm cn tc e n relación con el centro instantáneo (12). Esta construcción se ilustra e n h figura 6.37b.
l a m edición a escala de la m agnitud de esta v eloddad, v(2J), e s d e 37.1 in/s.
e)
El centro instantáneo c o m ú n entre el eslabón de velocidad desconocida y el eslabón fijo e s (15).
fl
La v d o cid ad del p u n to C s e obtiene gráficam ente a p artir d e la velocidad del centro instantáneo (25). El
eslabón 5 contiene tan to el p u n to C com o el centro instantáneo (25); por lo tanto, la velocidad del centro
h sta n tá n co (25) s e gira a una linca d e cen tro s creada por el p u n to C y e l c e n tro instantáneo (15). La v doci­
dad del centro instantáneo (25) sirve p ir a crear u n a E nea d e proporciones. Luego, se utiliza esta linea de
proporciones para construir la vdocidad C Esta construcción se m uestra e n la figura 6 3 7 c La m edición a
escala de la m agnitud de la velocidad, v0 es d e 3 3 3 in/s.
Establecido form alm ente.
Vc - 3 3 3 in /s i
6.13 M É T O D O A N A LÍTIC O PARA
V ELO CID A D : M É T O D O DEL
C E N T R O IN STA N TÁ N EO
n eo s se d e b e n d e te rm in a r ap lican d o trig o n o m etría, e n vez d e la
E l m é to d o d d c e n tr o in s ta n tá n e o p rá c tic a m e n te n o s e a lte ra
c u a n d o se u tiliz a u n m é to d o an alítico p a r a o b te n e r la so lu ció n .
La única d iferen cia « q u e las p o sic io n e s d e los c e n tro s instantá
c o m ú n u b ic a r tan s o lo lo s cen tro s in stan tán eo s re q u erid o s p o r
co n stru cció n d e lineas y d e la u b ic a c ió n d e p u n to s d e intersec­
ción. Esto p o d r ía volverse u n a ta re a ag o b ian te, d e m o d o q u e es
d a n á lis is d e v d o d d a d . M e d ia n te el p ro b le m a d e e jem p lo si­
gu ien te, se ilu s tra el m é to d o analítico.
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A n á lisis d e v e lo c id a d
153
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 6
l a figura 6 3 8 presenta un m ecanism o que s e u sa e n una línea d e producción para voltear cajas, d e m o d o q u e se lo0t n adherir etiquetas (rótulos) e n la parte inferior d e la caja. El brazo im pulsor tiene 15 in d e largo y, e n el instante
m ostrado, está in c lin a d o u n á n g u lo d e 60*. con u n a velocidad an g u lar d e 5 ra d /s e n s e n tid o h o rario . FJ eslabón
seguidor tien e 16 in de largo. La distancia entre lo s p ernos d el transportador es de 7 in y actualm ente están alineados
en fo rm a vvrtkal. D eterm ine b velocidad angular del tran sp o rtad o r y el brazo im pulsado.
Q Z
Brazo
impulsor
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
I.
6 3 8 M ecanism o v o lte a d o r d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.16.
D ibuje e l diagram a cinem ático
B i la figura 6 3 9 a se ilustra el diagram a cinem ático, En el ex trem o del transportador s e incluyó d p u n to de i n ­
terés X.
V*3)
FIG U R A 6.39
2.
D iag ram a cinem ático d el p ro b le m a d e e je m p lo 6 . 1 6 .
M a tic e la geom etría del m ecanism o
Se u sa la trigonom etría para determ inar las distancias y los ángulos característicos d e la configuración d e este
m ecanism o. Para hacer esto, se utilizan los triángulos m ostrados e n la figura 6 3 9 b . l a s distancia* B M y AAf se
pueden d eterm in ar a p artir del triángulo ABM.
B M = A B sen (60*) = (15 in ) sen (60*) = 13.0 in
A M - A B eos (60°) - (15 in ) eo s (60*) - 7 3 in
Alo largo d e b vertical BCM.
C M ■ B M - BC = 13.0 - 7.0 - 6.0 in
H á n g u lo A D C y la d ista n c b D N se d eterm in an a p artir del triángulo CDM .
—■
(i)—1
m
-
22. 0*
D M - C D c o s (22*) - (16 in) eo s (22*) - 1 4 3 in
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154
CAPITULO SEIS
3.
A plique t i procedim iento general d e velocidad d el centro instantáneo
En este punto, se sigue el m étodo general d el centro instantáneo para resolver el problem a,
n)
Aislé los eslabones.
B eslabón 2 tiene la velocidad conocida.
H eslabón 3 contiene el p u n to cuya velocidad s e desea conocer.
H eslabón 1 e s el eslabón fijo.
b)
El centro instantáneo com ún e n tre el eslabón de velocidad conocida y el eslabón fijo es (12). Por inspección,
se observa que este c e n tro instantáneo se encuentra e n el p u n to A.
c)
FJ centro instantáneo com ún e n tre el eslabón con velocidad conocida y el eslabón con velocidad descono­
cida es (23). Por inspección, se observa que este centro instantáneo se ubica en el p u n to B.
d)
La velocidad del centro instantáneo (23) es sim plem ente la velocidad del p u n to R que se determ ina com o sigue:
Vg ■ r ÁBo>¡ = (15 in ) (5 ra d /s ) - 75 in /s
t)
El centro instantáneo c o m ú n e n tre el eslabón d e velocidad desconocida y d eslabón fijo es (13). Este centro
instantáneo s e localiza e n la intersección d e los centros instantáneos (12)—(13) y (14)—(34). S e observa que
d centro instantáneo (34) s e localiza e n d p u n to C y el (14) e n el p u n to D. Por ello, d centro instantáneo
(13) se localiza en la in teracció n d e los eslabones 2 y 4 . Este p u n to se identifica com o N en la figura 639b.
l o s ángulos D A N y A N D , asi com o la distancia A N s e determ inan a p artir del triángulo A N D
L D A N - 180° - 60° - 120"
L A N D = 180* - ( 1 2 0 ° + 22") = 38*
AN
sen (¿A D .V )
. ( 7 3 in
22°(
1 i = 5 3 in
V sen (38°)
^
vsen ( ¿ A N D ) /
B N ■ BA - A N - 15 - 5 3 - 9 3 in
Asimismo,
DN -
CN - CD
fj
- 7.7 in
D N - 16 - 7.7 - 8 3 in
El eslabón 3 gira instantáneam ente alrededor del centro instantáneo (1 3 ). Por lo tanto, la velocidad angular
del eslabón 3 se calcula a partir d e la velocidad del centro instantáneo c o m ú n (23), e n relación con el cen t ro
instantáneo (13). Esto se ilustra e n la figura 6 3 9 c y se calcula com o sigue:
*
'■(is)-<2S>
<75Ü,/”
<9-5 «")
7.9 n d / í
C o m o la d ire c c ió n d e la velocidad a n g u la r d e b e s e r consistente c o n la velocidad del p u n to (2 3 ) c o n res­
p e c to a (1 3 ), el eslab ó n g ira e n se n tid o h o r a rio . E ntonces,
<o¡ = 7.9 rad /s, e n sentido horario
La v elo cid ad d el p u n to (34) ta m b ié n s e o b tie n e usan d o la v elo cid ad an g u lar d el e s b b ó n 3 , p o rq u e g ira
in sta n tá n e a m e n te a lre d e d o r d el c e n tro in stan tán e o (13).
V(M - *»3 1(1))-(M) - (7 .9 r a d /j) (8 3 in) - 65.6 in /s
- 65.6 in /s /f o "
C o m o el e s b b ó n 4 g ira e n relación c o n (14), b velocidad d el eslab ó n im p u lsa d o es
‘'O I
65.6 in /s
oí, = ------------ ■ —— — = 4.1 rad /s, e n sentido horario
'(14)—(21)
1610
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A n á lisis d e v elo cid a d
Al re p lan tear la s ecuaciones (6 .4 ) y (6.5),
6.14 CURVAS DE V ELO CID A D
L o s análisis p resen tad o s h a s ta e sta p arte d el c ap itu lo sirven para
calcular la velocidad d e p u n to s so b re u n m ecan ism o e n u n ins­
ta n te esp e c ific a A un c u a n d o lo s resu ltad o s sean útiles, tan solo
b rin d a n u n a “fo to instantánea” d el m ovim iento. El d efecto ev i­
d e n te d e e ste análisis es q u e la d e te rm in a c ió n d e las co n d icio n es
e x tre m a s e s d ifíc il. Se d e b e n in v e s tig a r v a ria s p o s ic io n e s del
m ecan ism o p a r a id en tifica r la s fases criticas.
E s c o n v e n ie n te tra z a r la m a g n itu d d e v elo cid ad d e cierto
p u n to , o eslabón, c o n fo rm e el m ecanism o se m ueve a trav és de
su ciclo. Este tra z o es la curva d e velocidad. U na c u rv a d e veloci­
d a d s e g e n e ra a p a rtir del d ia g ra m a d e desplazam iento, c o m o el
d escrito en la sección 4 . 11.
R ecu erd e q u e u n d ia g ra m a d e d e s p la z a m ie n to g rá fic a el
m o v im ie n to d e u n p u n to o eslabón c o m o u n a fu n ció n d el m o ­
v im ien to d e u n ju n to o eslabón d e entrada. L a m e d id a d el m ovi­
m ie n to d e e n tr a d a s e p u e d e c o n v e rtir fá c ilm e n te e n tie m p o .
E sto e s b a sta n te c o m ú n c u a n d o el im p u lso r o p e ra a velocidad
co n stan te.
C o m o s e h a v isto a lo largo d el c a p itu lo , la v elo cid ad es el
c a m b io e n el tie m p o d el d e s p la z a m ie n to . R e p la n te a n d o b s
ecu acio n es (6 . 1) y (6 .2),
V elocidad a n g u la r = to = cam bio e n el desplazam iento
a n g u b r e n tre ca m b io e n el tie m p o
dd
(i) =
V~
AR
di
Al
—
16
=£
—
dt
Ar
C o n frecuencia, d im p u lso r d e u n m ecanism o o p e r a a v e ­
locidad co n stan te. P o r ejem plo, u n eslab ó n d e e n tr a d a im p u t­
a d o p o r u n m o to r eléctrico e n estad o estable o p e ra a v e lo d d a d
co n stan te. La flecha d el m o to r p o d ría h a c e r q u e la m a n iv e b gire
a 3 0 0 rp m , su m in is tra n d o asi velocidad a n g u b r co n stan te. Esta
v e lo d d a d c o n s ta n te d el eslabón im p u lso r co n v ie rte el eje x de
un d b g r a m a d e d e s p b z a m ie n to , d e d e sp la z a m ie n to a n g u b r a
tiem po. En té rm in o s lineales, al re p lan tear b e c u a d ó n (6 .2 ) s e
cbtien e:
A f = —^
(6.17)
En té r m in o s angulares, re p b n te a n d o b e c u a d ó n (6.5):
A0
Af = —
M ag n itu d d e b v elo cid ad lineal ■ v ■ ca m b io e n el d esp laza­
m ie n to lineal e n tre ca m b io e n el tie m p o
dR
155
OI
(6.18)
De m o d o q u e b s e c u a d o n e s (6.17) y (6.18) sirven p a r a c o n ­
vertir el increm ento del d e sp b z a m ie n to d el eje x a u n increm ento
d e tie m p o . E sto se ilu s tra con el problem a d e e jem p lo 6.17.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 7
En el problem a de ejem plo 4.11 se g raficó el diag ram a d e desplazam iento d e u n pistón q u e opera e n u n co m p re­
sor, e n relación con la rotación d el ágüeflal. Use esos datos para graficar el desplazam iento del pistón e n relación con
d tiem po, cu an d o el cigüeñal es im pulsado por u n m o to r eléctrico a 1750 rpm .
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule el tiem p o para JO" d e giro d é la m anivela
La p rin d p a l tarea d e este p ro b lem a es convertir el in crem en to d el á n g u lo d e b m anivela d e b figura 4.41 a
tiempo. El increm ento e n d eje x es igual a 30°, m ientras el a g ü e n a l g ira a 1750 rpm . Para s e r consistentes con
h s unidades, el increm ento en el eje d e las x se convierte a revoluciones.
1 0 = 30° ( ■ y p ) “ 0.08333 rov
B increm ento de tiem po para que ki m aniveb g ire 0.08333 rev (30°) se calcula con la ecuación (6.18).
10
It = —
(0X18333 rev)
(1750 rev /m in )
- 0XKXXM76 m in
- (0.0000476 m in )
2.
60 s \
1 m in /
_
" 0XW286 s
Agregue u n a colum na d e tiem p o en la tabla d e desplazam iento
Los resultados d el análisis d e p o sic ió n se rep ro d u c en e n u n a h o ja d e cálculo in se rta n d o el in c re m e n to del
tiem po. Lo anterior se m uestra e n la figura 6.40, la cual m uestra d tiem po ta b u b d o e n m ilésim as d e segundo.
Si n o está fam iliarizado c o n u n a hoja de cálculo, consulte el capitulo 8.
3.
Use los datos d e desplazam iento y tiem p o para graficar u n a curva d e desplazam iento
C on el u so de b hoja d e cálculo, se grafican los valores e n la figura 6.41 para obtener un diagram a d e desplaza­
m iento e n relación con el tiem po.
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CAPITULO SEIS
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300
330
360
5
6
7
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10
11
12
13
14
15
16
17
c
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Tiempo
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0.00
2.86
(in)
0.000
0.136
5 J2
8.57
0.483
0896
1233
1.435
1.500
1.435
1-233
0.896
0.483
0.136
0.000
11.43
1429
17.15
20.00
22.86
25.72
2858
31.43
34.29
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Valores d e tie m p o y d esp lazam ien to d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.17.
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0 005
0.010
0.015
0.020
0.025
0 030
0 035
Tiempo (»)
f i g u r a 6.41
D i a g r a m a t i e m p o - d e s p l a z a m i e n t o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 6 .1 7 .
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A n á lisis d e v e lo c id a d
157
Estos diagramas d e desplazamiento e n relación con el tiem po s e usan para obtener una curva de velocidad, porque
,
Velocidad -
J(despkizam icnto)
------- — -------- ------d(Uempo)
B cálcu lo diferencial in d ica q u e la v elo cid ad e n u n in s ta n te especifico e s la p e n d ie n te d e l d ia g ra m a d e desplaza­
m ie n to e n ese in sta n te . E l tra b a jo consiste e n c a lc u la r la p e n d ie n te d el d ia g ra m a d e d esp lazam ien to e n varios
pu n to s.
6 .1 4 .1 D if e r e n c ia le s g r á f ic a s
La p e n d ie n te e n u n p u n to s e calcu la g ra d e a n d o u n a lín ea q u e
p ase p o r e l p u n to d e in terés, ta n g e n te a la c u rv a d e d esp laza­
m ien to . La p en d ien te d e la lín ea se o b tie n e si se calcula el cam bio
d e v alo r e n el eje y (desplazam iento) d iv id id o e n tre el ca m b io de
v alo r e n el eje x (tiem p o ).
D p ro ced im ien to s e ilu stra e n la fig u ra 6.42. O b serv e e n el
d ia g ra m a d e d esp lazam ien to q u e la lin ea ta n g e n te e n r, es h o r i­
zon tal. La p e n d ie n te d e e sta lín ea ta n g e n te es igual a cero. Por
co nsiguiente, la m a g n itu d d e la velocidad e n t , e s igual a c e r a
C o m o se o b se rv a e n d d ia g ra m a d e d esp lazam ien to , una
lín ea ta n g e n te e n l¡ tie n e u n a inclinación h a d a a r r i b a La p e n ­
d ie n te d e e sta lín e a s e calcu la c o m o el c a m b io e n el d esp laza­
m ie n to d iv id id o e n tre el c a m b io c o rre s p o n d ie n te d e tie m p o .
O bserve q u e este triá n g u lo A R , A t se trazó bastan te g ran d e para
m e jo ra r la exactitud d e la m ed ició n . La velocidad e n t¡ se o btiene
co m o A R /A / y es p o sitiv a d eb id o a la p e n d ie n te hacia a r rib a de
la lín ea tan g en te. O b serv e tam b ién q u e esta es la sección m á s in ­
clin ad a d e la p arte hacia a r r ib a d e la c u r v a d e desplazam iento.
Esto se tra d u c e e n la m ay o r m a g n itu d d e velocidad positiva.
E ste p r o c e d im ie n to se r e p ite e n v a ria s u b ic a c io n e s a lo
b r g o d el d iag ram a d e desp lazam ien to . S in em bargo, p o r l o g e ­
n eral so lo s e desea c o n o c e r la s velocidades ex trem as y lo s c a m ­
b io s a b r u p to s e n tr e e llas. C o n los c o n o c im ie n to s d e cálcu lo
d iferen c ia l y d e p e n d ie n te s , es p o sib le d e te c ta r v isu a lm en te las
p o sic io n e s d e in te ré s. En g e n e ra l, la s u b ic a c io n e s d e in te ré s
■
I « s p a rte s m á s in clin ad as d e l d ia g ra m a d e d esplazam ien­
to , las cuales c o rre sp o n d e n a las velocidades extrem as.
■
Las u b icacio n es d el d ia g ra m a d e d esp lazam ien to c o n b c u r ­
v a tu ra m ás g ran d e, q u e c o rre sp o n d e n a cam b io s a b ru p to s
en las velocidades.
C o m o se m en cio n ó , b velocidad e n t¡ e s b m ayor, p o rq u e
t ) 6 b p a rte m ás in clin ad a d el d ia g ra m a d e desplazam iento. La
velocidad e n t , es b v elo cid ad m ás g ra n d e e n b direcció n nega­
tiv a, p o rq u e
es b p a r te m á s in c lin a d a h a d a a b a jo d e l diag ra m a d e d e sp b z a m ie n to .
La id e n tific a d ó n d e las p o s ia o n e s d e v e lo d d a d c s extrem as
e s invaluable. E n estas u b ic a d o n e s , s e d e b e e fectu ar u n análisis
co m p le to d e v e lo d d a d , c o m o el p re se n ta d o e n las secciones a n ­
terio res d el c a p ítu lo , d e m o d o q u e ta n s o lo s e lleva a c a b o u n
an álisis ex h au stiv o d e v e lo d d a d e n las co n fig u rac io n e s im p o r ­
ta n te s d el m ecanism o.
*«>
f ig u r a
6 .4 2
C u rv as d e
v e lo d d a d .
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 8
Se construyó u n diagram a d e desplazam iento e n relación c o n el tie m p o para el m ecanism o del com presor del pro­
blem a de ejem plo 6.17. Use esto s d ato s para graficar la c u rv a d e veloddad e n relación con el tiem po.
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158
CAPITULO SEIS
S O L U C IÓ N :
I.
Id en tifiq u e las partes horizontales e n el dia g ra m a d e desplazam ien to
l a principal tarea e n la construcción de u n a curva d e velocidad es determ inar la pendiente de m uchos p u ntos s o ­
bre la c u r ra d e desplazam iento. Esta c u rra se reprodujo com o figura 6.43.
Curva de desplazamiento
(U|) UW!«I |a p o * i 4 W V ^ d s « ]
Tiempo (s)
f ig u r a
6.43 C u rv a d e d esplazam iento d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.18.
Analizando esta curva, es evidente q u e b curva tiene una tangente h o rizo n tal o pendiente igual a cero, en
t t 0.017 y 0.034 s. Por lo tanto, b velocidad del pistón e s cero e n 0 . 0J)17 y 03)34 s, cuyos p u ntos están identifica­
das c o m o
t¡ y ¡4, respectivamente.
Calcule la p en d ien te en las partes m ás sobresalientes d el diagram a d e desplazam iento
l a pendiente m áxim a hacia arriba s e encuentra e n 03KB s. Este p u n to se identifica com o t¡. La velocidad se calcub
con los valores d e AR¡ y Aft, que se Icen e n b gráfica, l a velocidad e n 0X 08 s se calcula com o
0.60 in
Asimismo, la pendiente m áxim a hacia abajo se encuentra e n 0X127 s. Este p u n to se identifica com o
De
nueva cuenta, el cálculo d e b velocidad se hace con los valores d e A R , y A h , que se leen e n b gráfica. La veloci­
dad e n 03)27 s se calcula com o
y ( f> )
-0 .6 0 in
03)04 s
- 1 5 0 in /s
B procedim iento d e cálculo d e la pendiente en b curva de desplazam iento se puede repetir e n otros p u ntos
del tiem po.
G rafique la cu rva d e \elocidad
S se recaba la inform ación d e pendientes y tiem po, se construye u n a curva d e velocidad com o b m ostrada e n b
figura 6.44.
Cirva áe ralor idad
-1 5 0
F IG U R A 6 .4 4
C urva d e velocidad del problem a d e ejem plo 6.18.
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A n á lisis d e v elo cid a d
6 .1 4 .2 D if e r e n c ia le s n u m é r i c a s
En la e la b o ra c ió n d e u n a c u rv a d e v elo cid ad c o n diferenciales
gráficas, se sig u e n estrictam ente las teorías d el cálculo diferencial.
S in e m b a rg o , in clu so s i se p o n e m ucha a te n c ió n , p o r l o g e n e ­
ral su rg e n im precisiones c u a n d o se elab o ran las c u rv as tangentes,
de m o d o q u e c o n frecuencia se u tilizan o tro s m éto d o s, p o r d e d r
m é to d o s n u m é ric o s, p a r a d e te rm in a r la d e riv a d a d e u n a curva
d e fin id a p o r u n a s e rie d e p u n to s c o n o c id o s . El m é to d o m ás
c o m ú n p a ra o b te n e r n u m é ric a m e n te la d e riv a d a e s el m éto d o
d e R ich a rd so n [ref. 2). Es a p lic a b le e n casos d o n d e lo s in cre­
m e n to s e n tre b s v ariab les in d e p e n d ie n te s s o n ig u ales. Esto
lim ita el análisis a u n in te rv a lo d e tie m p o co n stan te, lo cu al no
su ele ser dificiL La d eriv ad a d e b c u rv a d esp lazam ien to -tiem p o
se a p ro x im a n u m é ric a m e n te c o n b sig u ien te ecuación:
ARí+1 - ARj-|
Vi =
2Al
A R * ? - 2 A R i. , + 2 A R i _ , - A R , _ I
(6 .1 9 )
159
Aun c u a n d o b fo rm a g eneral q u iz á p arezca confusa c o n los
té r m in o s i, i + I, etcétera, b s u s titu c ió n real e s s e n c ilb . P ara
ilu strar el u so d e esta ecu ació n , la velocidad e n el q u in to d a to
del p u n t o se o b tie n e c o n b sig u ien te ecuación:
AR6 -
A R 4‘
2 Af
_ [ AR7 -
2A R 6 + 2 A R 4 -
AR,
12 Af
H iede h a b e r a lg u n a c o n fu sió n al calcular b d eriv ad a e n los
e x tre m o s d e las c u rv a s . E n el a n á lis is d e m e c a n ism o s, el d ia ­
g ra m a d e d e s p la z a m ie n to s e re p ite c o n c ad a v u elta d e b
manivela. P o rc o n sig u icn tc, c o n fo rm e b c u r v a se repite, lo s d ato s
d e los p u n to s an terio res d el in icio d el ciclo s o n los m ism os p u n ­
tos al final d el d d o , d e m o d o q u e c u a n d o se utilizan 12 p u ntos
p ir a g e n e ra r la c u rv a d e desp lazam ien to , el d esplazam iento e n el
p u n to I e s idéntico al d esplazam iento e n el p u n to 13, p o r lo que
bi velocidad e n el p u n to I s e calcu la com o
12A f
d o n d e:
A R > - A R 12'
A R , - 2 A R 2 + 2 A R ,< - A R ,,
2A í
12A f
*1 i = in terv alo d e d a to s d e lo s p u ntos
A R, = d esp lazam iento e n el d a to d el p u n to i
A í = % - / , = % — <2 = r4 — i,
.
C o m o e sta e c u a c ió n e s u n a a p ro x im a c ió n n u m é ric a , el e rro r
aso ciad o d ism in u y e d rá stic a m e n te c o n fo rm e s e in c re m e n ta el
án g u lo d e b m a n iv e b y se reduce el tiem po.
¡i = tie m p o e n el d a to d el p u n to i
P R O B L E M A D E E JE M P L O 6 .1 9
B i el problem a d e ejemplo 4.11 ,se graficó u n diagrama de despbzam iento de u n pistón que opera e n un com presor. Este
diagrama se convirtió a u n a curva de despbzam iento en relación con el tiem po e n el problem a de ejem plo 6.17. Emplee
estos datos para generar num éricam ente b curva d e velocidad.
S O L U C IÓ N :
1.
D eterm ine e l in crem en to d e tiem po entre las posiciones d e los datos d e los p u ntos
La hoja d e cálculo utilizada e n el problem a de ejem plo 6.17 se am p lía p a ra insertar u n a co lu m n a adicional para
r c h i i r la velocidad del pistón. El increm ento d e tie m p o se calcula como:
A / - t 2 - t, - (0X 0289 - 0.0) - 0.00286$
l i e la ecuación (6.19) para calcular la velocidad de los datos d e los p u n to s
Para ilustrar el cálculo d e las velocidades, s e presentan u n o s cuantos cálculos d e m uestra:
f ( A R , - AR,) j
2A f
12Ar
0X 96 - 2(0.483) + 2<0X) - 0.136
(0.483 - 0.0)
2(0X0286)
]-
p A R l 0 - A R ,) j
(0X96 ~ 1.435)
2(0X0286)
(A R „ ~ AR,
*12
' AR, ~ 2A R , 4- 2A R, - AR1;
2At
12(0X0286)
142X7 iiV$
A R „ ~ 2AR,0 + 2AR> - AR7 |
12Ar
0.483 - 2(0X96) 4 2(1.435) 12(0X0286)
1X0
- 9 5 .4 8 in /s
AR, - 2A R „ + 2A R n - A R „
12Ar
(0 .0 ~ 0.483)
0.136 ~ 2(0X ) + 2(0.483) - 0X96
2(0X0286)
2(0X0286)
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- 9 1 . 4 7 in /s
CAPITULO SEIS
3.
Calcule los dalos d e \rlo c id a d y grafique la cu rva d e telocidad
Se pueden calcular y tabular los resultados como se indica e n la figura 6.43. Se u só eficientemente una hoia d e cálcu­
lo para lealizar tales cálculos redundantes. Para quienes no estén familiarizados con hojas d e cálculo, s e sugiere que
consulten el capitulo 8.
B
C
D
E
A n g u lo *
T V -p o
IM p l.u m ln a u d d
M oA U
Um
« p l* .
e q ju n d o )
(m >
(in /» >
in iir b (m M iin u d f
0
0 .0 0
0 .0 0 0
0 .0 0
30
2 .8 6
0 .1 3 6
9 1 .4 7
60
5 .7 2
0 .4 8 3
1 4 2 .6 7
90
8 .5 7
0 .8 9 6
137JO
120
1 1 .4 3
1 .2 3 3
95 48
150
1429
1 .4 3 5
4603
180
1 7 .1 5
1 .5 0 0
0 .0 0
210
2000
1 .4 3 5
-4 6 0 3
240
2 2 86
1 .2 3 3
-9 5 4 8
270
2 5 .7 2
0896
-1 3 7 .5 0
300
2 8 .5 8
0 .4 8 3
-1 4 2 .6 7
330
3 1 .4 3
0 .1 3 6
-9 1 47
360
3 4 .2 9
0 .0 0 0
0 .0 0
6.45 D a to s d e velocidad d el p ro b le m a d e e jem p lo 6.19.
p a ló n
( ta /.)
f ig u r a
[* "* ■
(d e * )
dd
160
F IG U R A 6 .4 6 Q i r v a d e v e l o c i d a d d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 6 .1 9 .
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A n á lisis d e v d o c id a d
161
Estos valores se gradearon e n la figura 6.46 para form ar u n diagram a d e velocidad en relación con el tiem po.
Advierta que la curva a ú n es bastante b u rd a. Para electos de precisión, se recom ienda am pliam ente q u e el increm ento
del ángulo d e la m anivela se reduzca a 10* o 15*. C uando se utiliza una hoja de cálculo para generar los datos de ve­
locidad, se recom iendan increm entos todavía m ás pequeflos para reducir la dificultad de la torea.
PROBLEM AS
v (W s)
V elo cid ad g e n e ra l
6 - 1.
Un p a q u e te se m ueve a v elo cid ad c o n s ta n te d e u n e x ­
trem o a o tr o d e u n a b a n d a tra n s p o rta d o ra h o riz o n ta l
d e 25 ft e n 15 s . D e te rm in e la v e lo c id a d lineal d e la
b a n d a tra n sp o rta d o ra .
6 - 2 . U n c ilin d ro h id r á u lic o s e e x tie n d e a u n a v e lo c id a d
c o n s ta n te d e 2 f p m ( f t/m in ) . C a lc u le el tie m p o re ­
q u e rid o p a ra q u e v iaje su ca rre ra c o m p le ta d e 15 in.
6 -3 . D e te rm in e la v elo cid ad p ro m e d io ( e n m p h ) d e un
a l e t a q u e c o rre u n a m illa en 4 m in u to s.
6 -4 . Calcule la velocidad p ro m ed io (en m p h ) d e u n atleta que
co rre u n a distancia d e 100 m a to d a velocidad e n 10 s.
6 - 5 . Un e n g ra n e g ir a u n ifo rm e m e n te 270° e n s e n tid o h o ­
rario , e n 2 s. D e te rm in e la v e lo d d a d a n g u la r e n r p m y
rad/s.
6 -6 . C alcu le la v e lo d d a d a n g u la r (e n r p m ) d el se gundero,
del m in u tero y d e la m a n e d lla h o r a ria e n u n reloj.
6 - 7 . Un a c tu a d o r s e rv o im p u lsa d o e stá p ro g ra m a d o p a ra
ex te n d e rse d e a c u e rd o c o n el perfil d e v e lo c id a d
m o s tr a d o e n la fig u ra P 6.7. D e te r m in e el d e sp la z a ­
m ien to to tal d u r a n te e ste m o v im ien to p r o g ra m a d a
v (W s)
HGURAP6.il P ro b le m a s II y 12.
6 -1 2 . E n la figura P 6 .11 s e m u e s tra el rodillo im p u lso r d e una
tu n d a tra n sp o rta d o ra . D eterm in e b velocidad lineal de
la b a n d a c u a n d o el ro d illo o p e r a a 3 0 r p m en se n tid o
antihorario.
6 - 1 3 . En b fig u ra P6.13 s e ilu s tra el eslab ó n 2 aislado d e un
d ia g ra m a d n e m á ti c a El eslab ó n g ir a e n s e n tid o a n ti­
h o ra rio a u n a v e lo d d a d d e 300 rp m . D eterm in e b ve­
lo d d a d d e los p u n to s A y B . U se y = 5 0 °y / i = 60*.
6 - 8.
L h actu ad o r servoim pulsado e stá p ro g ram ad o p a ra e x ­
tenderse d e acuerdo c o n el perfil d e v elo d d ad m ostrado
o í la fig u ra P6.7. Use u n a h o ja d e cálculo p a r a generar
gráficas d e velocidad c o n tra tie m p o y d e desplazam iento
c o n tra tie m p o d u ra n te este m o v im ien to program ado.
6 -9 .
I h m o to r lineal está p ro g ra m a d o p a r a m o v e rse de
acu erd o c o n el perfil d e v elo d d ad m o stra d o e n la figura
1^.9. D e te rm in e el d e sp la z a m ie n to total d u r a n te este
m o v im ien to p ro g ram ad o .
6 - 10 .
U n m o to r lin e a l e stá p ro g ra m a d o p a r a m o v e rse de
a c u e rd o c o n el p e rfil d e v e lo d d a d m o s tr a d o e n b
figura P6.9. U se u n a h o ja d e cálcu lo p a ra g e n e ra r gráfi­
c a s d e v e lo c id a d c o n tr a tie m p o y d e d e s p b z a m ic n to
c o n tra tie m p o d u ra n te este m o v im ien to p ro g ram ad o .
6 - 11 .
En b fig u ra P 6 .1 1 s e m u e s tra el r o d illo im p u ls o r de
u n a b a n d a tra n sp o rta d o ra . D e te rm in e b v e lo d d a d ang u b r d el ro d illo c u a n d o la b a n d a f u n d o n a a 10 fpm
(1 0 ft/m in ).
6 -1 4 . En b fig u ra P 6 .13 se m u e s tra el eslab ó n 2 aislad o d e un
d ia g ra m a c in e m á tic o . El eslab ó n g ir a e n s e n tid o h o ­
ra rio im p u lsa n d o el p u n to A a u n a v elo cid ad d e 4 0 ft/s.
D eterm in e la v elo cid ad d e los p u n to s A y B, así c o m o b
v e lo d d a d an g u lar d d eslab ó n 2. U se y = 5 0 °y /3 = 60°.
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162
CAPITULO SEIS
M é to d o g r á fic o d e v e lo c id a d re la tiv a
V elo cid ad re la tiv a
6 -1 5 . En la fig u ra 1*6.15 se p resen ta el d ia g ra m a cinem ático
d e u n m e c a n is m o d e c u a tro b a rra s . En el in sta n te
m o stra d o , vA = 800 m m /s y vB = 888 m m /s. D eterm ine
g ráficam ente la velocidad relativa d el p u n to tí c o n res­
p e c to al p u n to A . D eterm in e ta m b ié n la velocidad a n ­
g u lar d e lo s eslab o n es 2 y 4.
6 - 1 9 . P ir a el m e c a n is m o c o m p re so r d e la fig u ra P6.19, u se
el m éto d o d e v elo cid ad relativa p a r a d e te rm in a r gráfi­
ca m e n te la v e lo c id a d lin e a l d el p is tó n , c o n f o rm e la
m anivela g ir a a 1 1 5 0 r p m e n s e n tid o h o r a r i a
Pistón
M u A th
f ig u r a
M .I 9
Problem as
1 9 .2 0 .4 1 ,5 2 ,6 3 ,7 4 ,8 5 .9 6 ,
1 0 4 y 112.
6 -2 0 . R ira e l m e c a n is m o c o m p re s o r d e la fig u ra P 6 .I9 , use
el m é to d o d e velocidad relativa p a ra d e te rm in a r gráfi­
cam en te la v e lo c id a d lin e a l d el p is tó n , c o n fo rm e la
rronivela g ir a a 1 7 7 5 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio .
f ig u r a
6 -2 1 . P ara la s ie rr a recip ro can te m o stra d a e n b fig u ra P6.21,
use el m é to d o d e v e lo c id a d r e b tiv a p a r a d e te rm in a r
g ráfica m e n te b v e lo c id a d lin e a l d e b cu ch illa, c o n ­
fo rm e b r u e d a d e b m a n iv e b g ira a 1500 rp m e n sen­
tid o a n tih o r a r ia
P6.IJ P roblem as 15 y 16.
■5<r
6 -1 6 .
En la fig u ra P6.15 se ilu stra el d ia g ra m a cinem ático d e
u n m e c a n is m o d e c u a tro b arra s. En el in s ta n te m o s­
tr a d o , vA - 20 m m /s y vB - 2 2 .2 m m /s . D e te rm in e
g ráficam ente la velocidad relativa d el p u n to tí c o n re s ­
p e c to al p u n to A. C alcule tam b ién la v elo cid ad an g u lar
d e lo s eslabones 2 y 4.
6-17.
En la fig u ra P6.17 se p resen ta el d ia g ra m a cinem ático
d e u n m e c a n is m o d e m a n iv e la -c o rre d e ra . E n e l ins­
ta n te m o s tr a d o . vÁ = 380 f t /s y v* = 400 ft/s .
D e te rm in e g ráficam en te la v elo cid ad relativa d el p u n to
A c o n respecto al p u n to f i C a lc u le tam b ién la veloci­
d a d a n g u la r d e l eslab ó n 2.
K i r d t d r la m a n iv e la
FIGURA P 6 J1 Problem as 2 1 .22. 4 2 . 5 3 , 64. 7 5 . 8 6 ,9 7 ,
105 y 113.
6 - 22. P ir a b s ie rr a recip ro can te m o s tra d a e n b fig u ra P6.21,
use el m é to d o d e v e lo c id a d r e b tiv a p a r a d e te rm in a r
g ráfica m e n te b v e lo c id a d lineal d e b c u c h ilb , c o n ­
fo rm e b ru e d a d e b m anivela g ir a a 9 0 0 r p m e n sen­
tido h o rario .
6 -2 3 . P ara b configuración d el m ecanism o d e c o rte m o strad o
en la fig u ra P 6.23, u se el m éto d o d e velocidad re b tiv a
pura d e te rm in a r g ráficam en te la v elo cid ad lineal d e b
cuchilla, conform e b m a n iv e b g ira a 100 rp m e n sentido
horario.
Vf ig u r a
P6.17 Problem as 17 y 18.
6 -1 8 . En la fig u ra P6.17 se ilu stra el d ia g ra m a cinem ático d e
u n m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era. En el in sta n te
m o stra d o , vA = 20 ft/s y va = 21 ft/s. D eterm in e gráfi­
cam ente la velocidad relativa d el p u n to A con respecto
al p u n to f i C a lc u le ta m b ié n la v elo cid ad a n g u la r d el
eslabón 2.
FIGURA P 6 J J P ro b le m a s 2 3 ,2 4 ,4 3 , 5 4 ,6 5 ,7 6 ,8 7 ,
98. 1 0 6 y 114.
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A n á lisis d e v e lo c id a d
6 - 2 4 . Para la co n figuración del m ecanism o d e c o rte m o stra d o
e n la fig u ra P 6.23, u se el m é to d o d e velocidad relativa
fu ra d e te rm in a r g ráficam en te la v elo cid ad lineal d e la
cuchilla, c o n fo rm e la m anivela g ira a 80 r p m e n se n tid o
an tih o rario.
163
fig u ració n m o s tr a d a , u tilic e el m é to d o d e v elo cid ad
relativa p a ra d e te rm in a r gráficam ente la v elo cid ad a n ­
gular d el ta n q u e d e agua, c o n fo rm e la m anivela e s im ­
p u lsa d a a 75 r p m e n se n tid o h o ra rio .
6 - 2 9 . El d isp o sitiv o d e la fig u ra P 6 .2 9 es el m ecan ism o im ­
6 - 2 5 . P ir a el m e c a n is m o d el lim p ia d o r d el cristal tra se ro
p u lso r d el a g ita d o r d e u n a lav ad o ra. P a ra la co n fig u ­
ra c ió n m o stra d a , u se le m é to d o d e v e lo c id a d re b tiv a
p a r a d e te rm in a r gráficam ente la v elo cid ad a n g u la r del
segm ento d e en g ran e, c o n fo rm e la m anivela e s im p u l­
sada a 50 rp m e n el se n tid o h o ra rio .
m o stra d o e n la fig u ra P6.25, u se d m éto d o d e veloci­
d ad relativa p a r a d e te rm in a r g ráficam en te la velocidad
a i g u b r d el brazo d el lim p iad o r, c o n fo rm e la m anivela
g ira a 40 r p m en s e n tid o a n tih o ra rio .
FIGURA P O » P roblem as 2 9 .3 0 ,4 6 .5 7 ,6 8 ,7 9 ,
90, 101, 109 y 117.
FIGURA P6.23 P roblem as 25. 2 6 .4 4 .5 5 ,6 6 .7 7 ,8 8 ,
9 9 ,1 0 7 y 1 1 5 .
6 -2 6 .
P ara el m e c a n is m o d el lim p ia d o r d el cristal tra se ro
m o stra d o e n la fig u ra 1*6.25, use el m éto d o d e veloci­
d ad re b tiv a p a r a d e te rm in a r g ráficam en te la velocidad
a ig u la r d el b ra z o del lim p ia d o r c o n f o rm e b m a n iv e b
g ira a 60 r p m e n s e n tid o h o rario .
6 - 2 7 . El d isp o s itiv o d e b fig u ra P 6 .2 7 es u n c h a p o te a d e ro
q u e s e u sa p a r a b v a r p r o d u c to s vegetales. P ara la c o n ­
figuración m o stra d a , u tilic e el m é to d o d e la velocidad
relativa p a r a d e te rm in a r gráficam ente b v elo cid ad a n ­
g u lar d el ta n q u e d e agua, c o n fo rm e la m a n iv e b es im ­
p u lsada a 100 r p m e n s e n tid o a n tih o r a ria
6 -3 0 . El d isp o sitiv o d e b fig u ra P 6 .2 9 e s el m ecan ism o im ­
p u lso r d el a g ita d o r d e u n a lavadora. P a ra b co n fig u ­
ra c ió n m o stra d a , u se le m é to d o d e v e lo c id a d re b tiv a
p a ra d e te rm in a r gráficam ente b v elo cid ad a n g u b r del
segm ento d e en g ran e, c o n fo rm e b m a n iv e b es im p u l­
sada a 35 r p m e n el s e n tid o an tih o rario .
6 -3 1 . P ira b c o rta d o ra m anual m o s tra d a e n b fig u ra P 6 .3 1,
u se e l m é to d o d e v e lo c id a d r e b tiv a p a r a d e te rm in a r
gráficam ente la v elo cid ad a n g u la r re q u e rid a d el m a n ­
g a p a r a p asar la h o ja d e c o rte a tra v é s d el m etal a u n a
v elo cid ad d e 3 m m /s. C a lc u le a s im is m o la v elo cid ad
lineal d el p u n to X.
FICURAP6JI P roblem as 3 1 ,3 2 ,4 7 , 5 8 .6 9 ,8 0 y 91.
f ig u r a
6 -2 8 .
P 6 .2 7
P ro b le m a s 2 7 , 2 8 . 4
108 y 116.
5 . 5 6 .6 7 . 7 8 , 8 9 , 1 0 0 .
El d isp o s itiv o d e b fig u ra P 6 .2 7 es u n c h a p o te a d e ro
q u e s e u sa p a r a lavar p ro d u c to s vegetales. P ara la con-
6 -3 2 .
P ira la c o rta d o ra m anual m o stra d a en la fig u ra P 6 .3 1,
u se e l m é to d o d e v e lo c id a d r e b tiv a p a r a d e te rm in a r
g rá fic a m e n te b v e lo c id a d lineal d e la h o ja d e c o rte ,
c o n fo rm e el m a n g o g ir a a u n a v elo cid ad d e 2 ra d /s e n
sentido h o ra rio . C alcule tam b ién la v elo cid ad lineal del
p u n to X.
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164
CAPITULO SEIS
6 - 3 3 . La fig u ra P6.33 m u e s tra u n a b o m b a d e a ire d e pedal.
Use el m é to d o d e v elo cid ad relativa p a r a d e te rm in a r
g ráficam ente la velocidad a n g u la r req u erid a d el pedal,
p i r a c o n tr a e r el c ilin d ro a u n a v e lo c id a d d e 5 in /s.
C alcule, asim ism o, la v elo cid ad lineal d el p u n to X
fig u r a
P 6 J7 P roblem as 3 7 ,3 8 , 5 0 ,6 1 ,7 2 ,8 3 ,9 4 ,1 0 3 ,
111 y 119.
6 - 3 8 . En b fig u ra P 6 .3 7 se m u e s tra u n d isp o sitiv o q u e m ueve
paquetes. P a ra b c o n fig u ra c ió n ilu strad a, u se el m éto ­
do d e v elo cid ad relativa p a r a d e te rm in a r gráficam ente
b v elo cid ad lin e a l d el p aq u ete, c o n fo rm e b m a n iv e b
gira a 65 r p m e n s e n tid o h o rario .
6 -3 4 .
6 -3 5 .
l a fig u ra P6.33 ilu stra u n a b o m b a d e a ire d e pedal. Use
d m é to d o d e velocidad relativ a p a ra d e te rm in a r g rá fi­
c a m e n te la v e lo c id a d d e c o m p re sió n d el cilin d ro ,
cu an d o la v elo cid ad an g u lar d el ensam ble d el p e d a l es
d e 1 r a d /s e n s e n tid o a n t ih o r a r i a C a lc u le ta m b ié n la
velocidad lineal d el p u n to X
6 - 3 9 . En b fig u ra P 6 .3 9 se m u e s tra u n d isp o sitiv o q u e m ueve
paquetes. P ara la co n fig u rac ió n ilu stra d a , u tilic e el m é*>do d e v elo cid ad re b tiv a c o n la finalidad d e d eterm ir u r g rá fic a m e n te la v e lo c id a d lineal d e la p b ta f o r m a
c o n fo rm e e l c ilin d ro h id rá u lic o s e e x tie n d e a u n a ve­
locidad d e 16 fpm .
E n la f íg u ra P 6 .3 5 s e p r e s e n ta d m e c a n is m o d e un
c o m p re s o r d e d o s cilin d ro s. P a ra la c o n fig u ra c ió n
m o strad a, use el m é to d o d e velocidad relativ a piara d e ­
te rm in a r g ráficam ente la velocidad lineal d e a m b o s p is ­
to n es, c o n fo rm e la m anivela d e 1.5 i n e s im p u lsa d a a
1775 r p m e n se n tid o h o ra rio . C alcule asim ism o la veb d d a d d e sa lid a d el flujo v o lu m é tric o in stan tán e o del
c ilin d ro d e r e c h a
0 l.tr
0 1 .0
FIGURA P6.W P roblem as 3 9 ,4 0 ,5 1 ,6 2 ,7 3 ,8 4 y 95.
6 - 4 0 . E n la fig u ra P 6 .3 9 se m u e s tra u n d isp o sitiv o q u e m ueve
f ig u r a
6 -3 6 .
6 -3 7 .
P6.35 P ro b le m a s3 5 ,3 6 .4 9 ,6 0 ,7 1 ,8 2 ,9 3 ,1 0 2 ,110
y 118.
En la fig u ra P6.35 se ilu stra el m ecan ism o d e u n c o m ­
p re so r d e d o s c ilin d ro s . P a ra la c o n fig u ra c ió n m o s ­
tra d a , u s e el m é to d o d e v e lo c id a d relativa p a ra d eter­
m in a r g rá fic a m e n te la v e lo c id a d lin e a l d e a m b o s
p istones, c o n fo rm e b m anivela d e 1.5 i n e s im p u lsa d a a
1150 r p m e n s e n tid o a n ti h o r a r i a C a lc u le ta m b ié n b
v elo cid ad d e sa lid a d e l flujo v o lu m é tric o in sta n tá n e o
del c ilin d ro izquierdo.
En la fig u ra P6.37 s e m u e s tra u n dispositivo q u e m ueve
p iq u e te s . P ara la configuración ilu stra d a , u se el m étot b d e velocidad relativa c o n b finalidad d e d e te rm in a r
g ráficam ente b velocidad lineal d el p aq u ete, c o n fo rm e
la m a n iv e b g ir a a 40 r p m e n se n tid o h o r a r ia
p u q u etes. P ara b c o n fig u ra c ió n ilu s tra d a , utilice el
m éto d o d e velocidad relativa c o n la finalidad d e d e te r­
m in a r g ráficam en te la v elo cid ad lineal d e b p latafo rm a
c o n fo rm e el c ilin d ro h id ráu lic o se re tra e a u n a veloci­
d a d d e 12 fpm .
M é to d o a n a lític o d e v e lo c id a d relativ a
6 - 4 1 . P ara e l m e c a n is m o c o m p re s o r ilu s tr a d o e n b figura
P 6 .I9 , utilice el m é to d o d e velocidad relativa p a ra d e ­
te rm in a r la v e lo c id a d lineal d e l p is tó n c o n f o rm e b
m a n iv e b g ir a a 950 r p m e n s e n tid o h o ra rio .
6 - 4 2 . P ir a b sie rra recip ro can te d e b fig u ra P 6 .2 1, u tilic e el
m éto d o d e velocidad re b tiv a c o n b finalidad d e d eter­
m in a r a n a líticam en te b v elo cid ad lineal d e b cuchilla
co n fo rm e b ru e d a d e b m a n iv e b g ir a a 17 0 0 r p m e n
se n tid o a n tih o ra rio .
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A n á lisis d e v elo cid a d
6 - 4 3 . P ara la c o n fig u ra c ió n m o s tra d a d el m e c a n is m o de
corte d e la fig u ra P 6.23, u tilic e el m éto d o d e velocidad
relativa c o n la finalidad d e d e te rm in a r an alíticam en te
la v elo cid ad lineal d e la cuchilla c o n f o rm e la m anivela
g ira a 85 r p m e n s e n tid o h o ra rio .
6 - 4 4 . ftir a el m e c a n is m o d el lim p ia d o r d el cristal tra se ro
m o stra d o e n la fig u ra P 6.25. u tilic e el m é to d o d e ve­
lo d d a d relativ a c o n la fin a lid a d d e d e te rm in a r a n a líti­
cam en te la velocidad a n g u la r d el b ra z o d el lim p ia d o r
c o n fo rm e la m anivela g ira a 45 r p m e n s e n tid o a n tih o ­
rario.
6 -4 5 . 0 dispo sitivo d e la figura P 6 2 7 es u n c h a p o te a d ero que
sirv e p a r a lav ar p r o d u c to s vegetales. P a ra la c o n fig u r a d ó n m o strad a, utilice el m éto d o d e velocidad relativa
c o n la finalidad d e d e te rm in a r analíticam ente la v e lo d ­
d a d a n g u la r d el ta n q u e d e a g u a c o n fo rm e la m anivela es
im p u lsad a a 90 r p m e n s e n tid o an tih o rario .
6 -4 6 . 0 d isp o sitiv o d e la fig u ra P 6 .2 9 e s el m ecan ism o im ­
p u lso r d el a g ita d o r d e u n a lavadora. P ara la configur a d ó n m o strad a, u tilic e el m é to d o d e v e lo d d a d rela­
tiv a c o n la fin a lid a d d e d e te rm in a r a n a lític a m e n te la
v e lo d d a d a n g u la r d el se g m en to d e e n g ra n e c o n fo rm e
la m an iv ela e s im p u lsa d a a 60 r p m e n se n tid o h o rario .
6 - 4 7 . Ib ra lo s eslab o n es d e la c o rta d o ra m anual m o s tra d a e n
la fig u ra P 6.31, u tilic e el m é to d o d e v elo cid ad relativa
con la fin alidad d e d e te rm in a r an alíticam en te la v e lo á d a d a n g u la r re q u e rid a d el m an g o p a ra p a s a r la cuchilla
a trav és d el m e ta l a u n a v e lo d d a d d e 2 m m /s.
6 -4 8 . lh r a la b o m b a d e a ire d e p e d a l m o stra d a e n la figura
P 6 J 3 , u tilice el m é to d o d e velocidad relativa c o n la fi­
n alid ad d e d e te rm in a r a n a lític a m e n te la v e lo d d a d de
com p resió n d e l d lin d r o conform e e l ensam ble del pedal
g ira a u n a v e lo d d a d d e 1 rad /s e n se n tid o antihorario.
6 - 4 9 . En la fig u ra P 6 .3 5 se ilu stra u n m ecan ism o co m p reso r
d e d o s cilin d ro s. P a ra la c o n fig u ra d ó n m ostrada, utilice
d m é to d o d e velocidad relativa c o n la finalidad d e d e ­
te rm in a r a n a lític a m e n te la v elo cid ad lineal d e a m b o s
pistones c o n f o rm e la m anivela d e 1.5 in es im pulsada a
2 0 0 0 rp m e n s e n tid o h o r a rio . D e te rm in e ta m b ié n la
v e lo d d a d d e sa lid a d e l flujo v o lu m é tric o in sta n tá n e o
del d l i n d r o d e r e c h a
6 -5 0 . En la fig u ra P6.37 s e ilu s tra u n dispositivo q u e mueve
p aq u etes. P ara la co n fig u rac ió n m o stra d a , utilice el m é­
to d o d e v e lo d d a d relativa c o n la finalidad d e d e te rm i­
n a r an alíticam en te la v elo cid ad lineal d el p aq u ete, c o n ­
fo rm e la m anivela g ir a a 8 0 rp m e n se n tid o h o rario .
6 - 5 1 . En la fig u ra P 6 .3 9 se ilu stra u n d isp o sitiv o q u e m ueve
p a q u e te s . P a ra b c o n fig u ra c ió n m o s tr a d a , u tilic e el
m éto d o d e v elo d d ad relativ a c o n b finalidad d e d eter­
m in a r a n a lític a m e n te b v e lo c id a d lin e a l d e la p b t a fo rm a c o n fo rm e el d l i n d r o h id rá u lic o se retrae a una
v elo d d ad d e 10 fpm .
U b ic a c ió n d e c e n tr o s in s ta n tá n e o s : m é to d o g rá fic o
165
6 -5 4 . Para b c o n f ig u ra d ó n d el m e c a n is m o d e c o rte m os
tra d a e n b fig u ra P 6.23, d e term in e gráficam ente la u b i­
cación d e to d o s los c e n tro s instantáneos.
6 -5 5 . P ara el m e c a n is m o d e l lim p ia d o r d el c ris ta l tr a s e r o
m o stra d o e n b fig u ra P 6.25, d e term in e g ráficam en te b
u b ic a d ó n d e to d o s los cen tro s instantáneos.
6 -5 6 . Fbra el c h a p o tc a d e ro d e b v a d o d e vegetales m o stra d o
e n la fig u ra P 6.27, d e te rm in e gráficam ente la u b icació n
d e to d o s lo s c e n tro s instantáneos.
6 -5 7 . Para el m ecan ism o a g ita d o r d e la la v a d o ra m o stra d o
e n b fig u ra P 6.29, d e te rm in e gráficam ente b u b icació n
d e to d o s lo s c e n tro s instantáneos.
6 -5 8 . P ara la c o rta d o ra m a n u a l m o s tr a d a e n b fig u ra P6.31,
d e term in e gráficam ente b u b ic a d ó n d e to d o s lo s ce n ­
tro s instantáneos.
6 -5 9 . R ira b b o m b a d e a ire d e p e d a l m o stra d a e n b figura
P 6.33, d e te rm in e g rá fic a m e n te b u b ic a d ó n d e to d o s
los c e n tro s in stan tán e o s.
6 - 60. l b r a el m e c a n is m o c o m p re s o r d e d o s c ilin d ro s m o s­
tr a d o e n la fig u ra P 6 .3 5 , d e te r m in e g rá fic a m e n te b
u b ic a d ó n d e to d o s los cen tro s instantáneos.
6 -6 1 . P ara el d isp o sitiv o q u e m ueve p aq u etes m o s tr a d o e n la
fig u ra P 6.37, d e te rm in e g rá fic a m e n te b u b ic a d ó n de
to d o s los c e n tro s instantáneos.
6 - 62. I b r a el d isp o sitiv o q u e m ueve p aq u etes m o stra d o e n la
fig u ra P 6.39, d e te rm in e g rá fic a m e n te b u b ic a d ó n de
to d o s los c e n tro s in stan tán e o s.
U b ic a c ió n d e c e n tr o s in s ta n tá n e o s :
m é to d o a n a lític o
6 -6 3 . I b r a el m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n b fig u ra
1*6.19, d e te rm in e a n a líticam en te la u b icació n d e todos
los c e n tro s instantáneos.
6 - 6 4 . P ara b sie rra re d p ro c a n te m o s tra d a e n b fig u ra P 6.21,
d e te rm in e a n a lític a m e n te b u b ic a c ió n d e to d o s los
cen tro s in stan tán e o s.
6 -6 5 . Para b configuración d el m ecan ism o d e c o rte m o stra ­
d a e n la fig u ra P 6.23, d e te rm in e an alíticam en te la u b i­
cación d e to d o s los c e n tro s instantáneos.
6 -6 6 . I b r a el m e c a n is m o d e l lim p ia d o r d el c ris ta l tr a s e r o
m o stra d o e n b fig u ra P 6.25, d e term in e an alíticam en te
b u b ic a d ó n d e to d o s lo s c e n tro s instantáneos.
6 -6 7 .
Para el ch apotcadero d el la v a d o r d e vegetales m o stra d o
en b fig u ra P 6 .2 7 , d e te rm in e a n a lític a m e n te b u b i­
cación d e to d o s los c e n tro s instantáneos.
6 -6 8 . Ib ra el m ecan ism o a g ita d o r d e la la v a d o ra m o stra d o
en b fig u ra P 6 .2 9 , d e te rm in e a n a lític a m e n te b u b i­
cación d e to d o s los c e n tro s instantáneos.
6 - 6 9 . I b r a b c o rta d o ra m a n u a l m o s tr a d a e n b fig u ra P6.31,
d e te rm in e a n a lític a m e n te b u b ic a c ió n d e to d o s los
cen tro s in stan tán e o s.
6 - 5 2 . Ib ra el m e c a n is m o c o m p re so r m o stra d o e n la fig u ra
P6.19, d e te rm in e g rá fic a m e n te b u b ic a c ió n d e to d o s
los cen tro s instantáneos.
6 -7 0 . R ira b b o m b a d e a ire d e p e d a l m o stra d a e n b figura
P 6.33, d e te rm in e a n a líticam en te la u b icació n d e todos
los c e n tro s instantáneos.
6 - 5 3 . Para b sie rra r td p r o c a n te m o s tra d a e n la fig u ra P 6 .2 1,
d e te rm in e gráficam ente b u b ic a d ó n d e to d o s lo s ce n ­
tro s instan táneos.
6 -7 1 . l b r a e l m ecanism o c o m p re so r d e d o s c ilin d ro s m ostra<b e n la fig u ra P 6.35, d e term in e a n a líticam en te b u b i­
cación d e to d o s los c e n tro s instantáneos.
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166
CAPITULO SEIS
6 -7 2 . Para el m ecan ism o q u e m ueve p aq u etes m o stra d o e n la
fig u ra P 6.37, d e te rm in e an alíticam en te la u b icació n d e
lo d o s lo s cen tro s in stan tán e o s.
m é to d o gráfico d e c e n tro in stan tán e o c o n la finalidad
d e d e te rm in a r la v e lo c id a d lin e a l del p a q u e te , c o n ­
fo rm e la m a n iv e b g ir a a 70 r p m e n s e n tid o h o rario .
6 -7 3 . Para el m ecan ism o q u e m u e v e p aq u etes m o stra d o e n la
fig u ra P 6.39, d e te rm in e an alíticam en te la u b ic a c ió n d e
to d o s lo s cen tro s in stan tán e o s.
6 - 8 4 . En la fig u ra P6.39 s e m u e s tra u n dispositivo q u e m u e ­
ve p aq u etes. P ara b c o n f ig u ra d ó n ilu strad a, u tilic e el
m é to d o d e c e n tro in sta n tá n e o c o n b finalidad d e d e ­
te rm in a r g rá fic a m e n te la v e lo d d a d lineal d e b p la ta ­
fo rm a, c o n f o rm e el c ilin d ro h id r á u lic o s e e x tie n d e a
u n a v e lo d d a d d e 8 fp m .
M é to d o g r á fic o d e l c e n tr o in s ta n tá n e o
6 -7 4 . R ira el m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n la fig u ra
P 3 .1 9 .u se el m éto d o d el c e n tro in sta n tá n e o p a r a d e te r­
m in a r g ráficam ente la v d o c id a d lineal d el p is tó n , c o n ­
fo rm e la m an iv ela g ir a a 1500 r p m e n s e n tid o a n tih o ­
rario.
6 -7 5 . Para la sie rra recip ro can te m o stra d a e n la fig u ra P6.21,
u tilice d m é to d o d e l c e n tro in sta n tá n e o c o n la fin ali­
d a d d e d e te rm in a r g ráficam en te la v elo cid ad lineal d e
b c u c h illa , c o n fo rm e la r u e d a d e la m an iv ela g ir a a
1200 r p m e n s e n tid o h o ra rio .
6 -7 6 . P ira la co n fig u rac ió n d el m ecan ism o d e c o rte m o stra ­
d a e n la fig u ra P 6.23, u tilic e el m é to d o del c e n tro ins­
ta n tá n e o c o n la finalidad d e d e te rm in a r g ráficam en te
b v elo cid ad lineal d e la cuchilla, c o n fo rm e la m anivela
g ira a 65 r p m e n s e n tid o a n tih o ra rio .
6 -7 7 . R ira d m ecan ism o d d lim p ia d o r d el cristal tra se ro
m o stra d o e n la fig u ra P 6 2 5 , utilice d m é to d o d el centro
in stan tán eo c o n la finalidad d e d e te rm in a r gráficam en­
te la v elo cid ad a n g u la r d el b r a z o d d lim p ia d o r, c o n ­
fo rm e la m anivela g ira a 55 rp m e n se n tid o horario.
6 -7 8 . Para el m ecan ism o d el ch ap o tead e ro d e lavado d e ve­
n t i l e s m o strad o e n la figura P6.27, utilice el m éto d o in s ­
ta n tá n e o c o n la finalidad d e d e te rm in a r g ráficam en te
ki v elo cid ad a n g u la r d el ta n q u e d e a g u a , c o n f o rm e la
m anivela es im p u lsad a a 110 rp m e n se n tid o horario.
6 -7 9 . P ira el m ecan ism o ag itad o r d e la lav ad o ra m o strad o en
b fig u ra P 6 2 9 , utilice el m éto d o d el c e n tro instantáneo
con la finalidad d e d e te rm in a r gráficam ente la velocidad
an g u lar d el se g m en to d e engrane, conform e la m anivela
es im p u lsad a a 7 0 rp m e n se n tid o antihorario.
6 - 80. Ib ra la co n fig u rac ió n d e la c o rta d o ra m anual m o strad a
en la fig u ra 1*6.31, u tilic e el m éto d o d el c e n tro instantá­
neo c o n la finalidad d e d e te rm in a r gráficam ente la v e ­
lo d d a d a n g u la r r e q u e r id a d el m an g o , p a ra p a s a r la
cu chilla a trav és d d m etal a u n a v d o d d a d d e 4 m m /s.
6 - 81. P ira la b o m b a d e a ire d e p e d a l m o stra d a e n la figura
PS.33, u tilice d m é to d o d el c e n tro in sta n tá n e o c o n la
fin alid ad d e d e te rm in a r g rá fic a m e n te la v elo cid ad d e
c o m p re sió n d el d li n d r o , c o n f o rm e el e n s a m b le d el
pedal g ira a u n a v elo d d ad d e 0 .7 5 ra d /s e n s e n tid o a n ­
tihorario.
6 -8 2 . 0 m ecan ism o d e u n co m p reso r d e d o s d lin d ru s e s m os­
tra d o e n la fig u ra P 6 J 5 . P ara la c o n fig u ra d ó n m o s tr a ­
da. u tilic e el m é to d o d el c e n tro in stan tán e o c o n la fi­
n alid ad d e d e te rm in a r gráficam ente la v e lo d d a d lineal
d e a m b o s p istones, c o n fo rm e la m anivela d e 1.5 in es
im p u lsad a a 2200 r p m . C alcule asim ism o la v e lo d d a d
in sta n tá n e a d el fligo v o lu m étrico d e salida d el cilindro
derecho.
6 -8 3 . En la fig u ra 1*6.37 s e m u e s tra u n dispositivo q u e m ueve
p iq u e te s . P a ra la c o n fig u ra c ió n m o s tr a d a , u tilic e le
M é to d o a n a lític o d e l c e n tr o in s ta n tá n e o
6 - 8 5 . P ir a el m ecan ism o c o m p re s o r m o stra d o e n la fig u ra
P 6 .I9 , u tilic e el m é to d o d el c e n tro in sta n tá n e o c o n b
fin a lid a d d e d e te rm in a r a n a lític a m e n te la v e lo d d a d
lineal d el p istó n , c o n f o rm e b m a n iv e b g ira a 1100 rp m
en s e n tid o h o ra rio .
6 - 8 6 . P ara b s i e r r a re d p ro c a n te m o s tra d a e n b fig u ra P6.21,
utilice el m éto d o d el c e n tro in stan tán e o p a r a d e te rm i­
n a r a n a lític a m e n te b v e lo c id a d lin e a l d e la cuchilla,
co n fo rm e la ru e d a d e b m a n iv e b g ira a 1375 rp m e n
se n tid o an tih o rario .
6 - 8 7 . P ara b c o n f ig u ra d ó n d e l m e c a n is m o d e c o rte m o s­
tra d a e n b fig u ra P6.23, utilice el m é to d o d e l c e n tro ins­
ta n tá n e o c o n b finalidad d e d e te rm in a r an alíticam en te
b v elo d d ad lineal d e b cuchilla, c o n fo rm e b m a n iv e b
gira a 55 r p m e n s e n tid o h o rario .
6 - 8 8 . P ir a el m ecan ism o d el lim p ia d o r del cristal tra se ro
m o stra d o e n la figura P6.25, utilice el m éto d o d d c e n tro
in sta n tá n e o c o n b fin a lid a d d e d e te rm in a r a n a lític a ­
m en te la veloddad a n g u la r d el brazo d el lim piador, con­
form e b m a n iv e b g ira a 35 rp m e n se n tid o antihorario.
6 - 8 9 . P ir a d ch ap o tead e ro b v a d o r d e vegetales m o stra d o en
b fig u ra P 6.27, utilice d m é to d o d el c e n tro in sta n tá n e o
con la finalidad d e d e te rm in a r an alíticam en te la v d o d ­
d a d a n g u b r d el ta n q u e d e agua, c o n fo rm e b m a n iv e b
es im p u lsad a a 9 5 r p m e n s e n tid o an tih o rario .
6 - 9 0 . Para el m ecanism o ag itad o r d e b lav ad o ra m o stra d o en
b figura P6.29, utilice el m éto d o d d c e n tro instantáneo
con b finalidad d e d e te rm in a r an alíticam en te la v elod­
dad a n g u b r d el se g m e n to d e e n g ra n e , c o n fo rm e la
m a n iv e b e s im p u lsa d a a 8 5 r p m e n se n tid o a n tih o ra ria
6 - 9 1 . P ir a b c o n fig u ra d ó n d e b c o rta d o ra m a n u a l m ostrada
en b figura P 6 J 1, utilice e l m éto d o d d c e n tro instantá­
neo con b finalidad de d e te rm in a r analíticam ente la ve­
locidad an g u lar req u erid a e n el m a n g a para pasar b hoja
de corte a través del m etal a u n a velocidad de 2 5 m m /s.
6 - 9 2 . P ara b b o m b a d e a ire d e p e d a l m o s tra d a e n b figura
P 6 J 3 , utilice d m é to d o d d c e n tro in stan tán e o con la fi­
n a lid a d d e d e te rm in a r a n a lític a m e n te b v elo cid ad de
com presión del cilindro, conform e d ensam ble d el pedal
gira a u n a vdocidad d e 0.6 rad /s e n se n tid o antihorario.
6 - 9 3 . En b fig u ra P6.35 s e ilu s tra el m ecan ism o co m p reso r
de d o s cilindros. P a ra b co n fig u rac ió n m o strad a, u tili­
ce el m é to d o d e c e n tro in stan tán e o c o n b finalidad de
d e te rm in a r an alíticam en te la velocidad lineal d e am bos
p istones, c o n fo rm e la m a n iv e b d e 1.5 in es im p u lsad a a
1775 rpm e n se n tid o h o r a r ia ( b lc u le , a s im is m a b ve­
locidad d e salida d d flu jo volum étrico in stan tán e o del
d lin d ro derecho.
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A n á lisis d e v elo cid a d
6 - 9 4 . En la fig u ra P6.37 se m u e s tra u n d isp o sitiv o p a ra m o ­
ver p aq u etes. P ara la co n fig u rac ió n ilu strad a, utilice el
m éto d o gráfico d el c e n tro in sta n tá n e o c o n la finalidad
d e d e te rm in a r la v e lo d d a d lineal d el p a q u e te , c o n ­
ta rm e la m anivela g ir a a 3 0 r p m e n se n tid o h o rario .
6 -9 5 . En la fig u ra P 6 .3 9 se m u e s tra u n d isp o sitiv o p a ra m o ­
ver p aq u etes. P a ra la c o n fig u ra rió n ilu strad a, utilice el
m éto d o d e l c e n tro in sta n tá n e o c o n la finalidad d e d e ­
term in a r a n a lític a m e n te la v e lo d d a d lineal d e la p la t i f o r m a , c o n f o rm e el c ilin d ro h id rá u lic o s e r e t r a e a
una v e lo d d a d d e 7 fpm .
C u rv a s d e v e lo c id a d : m é to d o g rá fic o
167
calcu le g rá fic a m e n te la p e n d ie n te c o n b fin a lid a d de
o b te n e r la velocidad a n g u la r d d se g m en to d e en g ran e
e n fu n ció n d d tie m p a
6 -1 0 2 . La m a n iv e b d e l m e c a n is m o c o m p re s o r d e d o s c ilin ­
d r o s m o s tr a d o e n b fig u ra P6.35 es im p u lsa d a a u n a
v d o d d a d d e 1250 r p m e n s e n tid o h o ra rio . E labore g rá ­
ficam ente la c u rv a d el d e sp b z a m ie n to lineal d e a m b o s
p is to n e s e n f u n d ó n d el á n g u lo d e b m a n iv ela.
C o n v ie rta d á n g u lo d e la m a n iv d a a tie m p o . Luego,
calcu le g rá fic a m e n te la p e n d ie n te c o n la fin a lid a d de
o b te n e r las c u rv as d e v e lo d d a d d e a m b o s p isto n e s e n
fu n ció n d el tie m p o .
6 - 1 0 3 . L a m a n iv e b d el d isp o sitiv o q u e m ueve p aq u etes m o s ­
6 -9 6 . l a m anivela d d m ecan ism o c o m p re so r m o stra d o e n la
figura P 6 .19 e s im p u lsad a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te de
1750 r p m e n s e n tid o h o rario . E la b o re g ráficam en te la
a i r v a d d d esp lazam ien to lineal d el p is tó n e n fu n d ó n
d d á n g u lo d e la m a n iv d a . C o n v ie rta d á n g u lo d e b
m a n iv e b a tiem po. Luego, calcule g ráfica m e n te la p e n ­
d ien te c o n la finalidad d e o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d
del p is tó n e n f u n d ó n d el tiem po.
6 - 9 7 . l a ru e d a d e b m a n iv e b d e la sie rra r e d p r o c a n te
m o strad a e n la figura P6.21 es im p u lsa d a a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 1500 rp m en s e n tid o a n tih o r a rio .
Elabore g ráficam ente la c u rv a d el d esplazam iento lineal
d e b h o ja d e la sie rra e n f u n d ó n d el á n g u lo d e b
manivela. C o n v ierta e l á n g u lo d e la m a n iv e b a tiem po.
Luego» calcule g ráficam en te b p e n d ie n te c o n la finali­
d a d d e o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d d e b h o ja d e b
á e r r a e n f u n d ó n d el tiem po.
6 -9 8 . La m a n iv d a del m e c a n is m o d e c o rte m o s tr a d o e n b
figura P6.23 e s im p u lsa d a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te de
8 0 r p m e n s e n tid o h o r a r io . E b b o re g rá fic a m e n te la
cu rv a d d d esp lazam ien to lineal d e b c u c h ilb e n fun­
d ó n d el á n g u lo d e b m anivela. C o n v ierta d á n g u lo de
la m a n iv d a a tie m p o . L uego, calcu le g rá fic a m e n te b
p e n d ie n te c o n b fin a lid a d d e o b te n e r b c u rv a d e ve­
lo d d a d d e b c u c h ilb e n f u n d ó n d d tiem po.
6 -9 9 . La m a n iv e b d el m ecanism o lim p ia d o r d el cristal trasero
m o strad o e n la fig u ra P6.25 e s im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 6 5 rp m e n s e n tid o h o r a r i a E labore
gráficam ente b c u rv a del d esplazam iento a n g u la r d e b
h o ja d el lim p ia d o r e n f u n d ó n d d á n g u lo d e la m a n i­
vela. C onvierta d á n g u lo d e b m anivela a tiem po. lu eg o ,
c alcu le g rá fic a m e n te b p e n d ie n te c o n b fin a lid a d de
o b te n e r la c u r v a d e v d o c id a d a n g u b r d e b h o ja d el
lim p ia d o r e n f u n d ó n d d tie m p a
6 -1 0 0 . La m a n iv e b d el c h a p o te a d e ro m o s tr a d o e n b fig u ra
P6.27 es im p u lsad a a 90 r p m e n s e n tid o a n ti h o r a r i a
Elabore g ráfica m e n te la c u r v a del d esplazam iento a n ­
g u b r d el c h a p o te a d e ro e n fu n c ió n d el á n g u lo d e b
m anivela. C o n v ie rta el á n g u lo d e b m a n iv e b a t i e m p a
L u e g a calcule g ráfica m e n te b p e n d ie n te c o n la finali­
d a d d e o b te n e r la c u rv a d e v e lo c id a d a n g u b r del
ta n q u e e n f u n d ó n d d tiem po.
6 -1 0 1 . La m a n iv e b d d m ecan ism o a g ita d o r d e b b v a d o r a
m o strad o e n b fig u ra P6.29 e s im p u lsad a a u n a v d o d d ad d e 8 0 rp m e n se n tid o h o rario . E b b o re gráficam en­
t e la c u rv a d e l d e sp la z a m ie n to a n g u b r d el se g m en to
d e e n g ra n e e n fu n c ió n d el á n g u lo d e la m a n iv e b .
C o n v ie rta e l á n g u lo d e b m a n iv d a a tie m p o . Luego,
tra d o e n b figura P 6 J 7 es im p u lsad a a u n a v d o d d a d d e
25 r p m e n s e n tid o h o r a r i a E la b o re g rá fic a m e n te la
c u rv a d d d e s p b z a m ie n to lineal d el a rie te e n f u n d ó n
del á n g u lo d e b m anivela. C o n v ie rta d á n g u lo d e b
m a n iv d a a tie m p a L u e g a calcule gráficam ente b p e n ­
d ien te c o n b finalidad d e o b te n e r la c u rv a d e v d o cid ad
del a rie te en f u n d ó n d d tiem po.
C u rv a s d e v e lo c id a d : m é to d o a n a lític o
6 - 1 0 4 . L a m a n iv e b d el m ecan ism o c o m p re s o r m o stra d o e n b
fig u ra P 6 .1 9 es im p u lsa d a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te
d e 2150 r p m e n se n tid o an tih o rario . Utilice u n a h o ja de
cálculo p a r a d a b o r a r a n a lític a m e n te la c u rv a d e d es­
p lazam iento lineal d d p istó n e n fu n ció n d el á n g u lo de
la m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e la m an i­
v d a s o b r e el e je . L uego, u s e d ife re n d a le s n u m é ric a s
con b fin a lid a d d e o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d del
p is tó n e n f u n d ó n d el t i e m p a
6 - 1 0 5 . La r u e d a d e la m a n iv e b d e b s ie rr a re d p ro c a n te m o s ­
tra d a e n la fig u ra P6.21 es im p u lsad a a u n a v e lo d d a d
co n stan te d e 1900 r p m e n se n tid o h o r a r i a U tilice una
h o ja d e cálcu lo c o n b finalidad d e e la b o ra r an a lític a ­
m e n te la c u rv a d e d esplazam iento lineal d e la h o ja d e la
á e r r a e n f u n d ó n d el á n g u lo d e b m anivela. C o n v ierta
a tie m p o el á n g u lo d e la m a n iv e b s o b re el eje. L u e g a
utilice d iferenciales n u m éricas c o n la finalidad d e o b ­
ten er la c u rv a d e v elo d d ad d e b h o ja d e b sie rra e n fu n ­
d ó n d el tie m p a
6 - 1 0 6 . L a m a n iv e b d e l m e c a n is m o d e c o rte m o s tr a d o e n b
fig u ra P6.23 es im p u lsa d a a u n a velocidad c o n s ta n te de
80 r p m e n se n tid o h o ra rio . U tilice u n a h o ja d e cálculo
con la finalidad d e e la b o ra r an alíticam en te la c u rv a de
desplazam iento lineal d e b cuch illa e n fu n ció n d el á n ­
g ulo d e b m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e la
m a n iv e b s o b re el eje. l u e g a u se diferenciales n u m é ri­
cas c o n la finalidad d e o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d de
b c u c h ilb e n f u n d ó n d el tiem po.
6 - 1 0 7 . La m a n iv e b d e l m e c a n is m o lim p b d o r d d cristal t r a ­
se ro m o s tr a d o e n b fig u ra P 6 .2 5 es im p u lsa d a a una
v elo d d ad co n stan te d e 55 r p m e n se n tid o a n tih o ra rio .
U ilic é u n a h o ja d e cálculo c o n b finalidad d e d a b o r a r
a n a líticam en te la c u rv a d e d esplazam iento a n g u b r de
L> h o ja d e l lim p ia d o r, e n fu n c ió n del á n g u lo d e la
m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e la m a n iv e b
so b re el eje. L uego, u s e d ife re n d a le s n u m é ric a s p a ra
o b te n e r b c u rv a d e v e lo d d a d a n g u b r d e la h o ja del
lim p ia d o r e n f u n d ó n d d tie m p a
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168
CAPITULO SEIS
6 - 1 0 8 . La m an iv ela d e l c h a p o te a d e ro m o s tr a d o e n la fig u ra
6 - 1 1 6 . La m a n iv e b d el c h a p o te a d e ro m o s tr a d o e n la fig u ra
P6.27 es im p u lsa d a a u n a velocidad d e 6 5 rp m e n s e n ­
tid o h o r a r i a Utilice u n a h o ja d e cálcu lo c o n la finali­
d a d d e e la b o ra r a n a lític a m e n te la c u rv a d e d e sp la z a ­
m ie n to a n g u b r d el c h a p o te a d e ro e n fu n c ió n d el
á n g u lo d e la m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e
La m an iv ela so b re e l eje. L u e g a u se d ife re n c ia le s n u ­
m éricas c o n la finalidad d e o b te n e r la c u rv a d e veloci­
d a d a n g u la r d e l ta n q u e e n f u n d ó n d el tie m p o .
P6.27 e s im p u lsa d a a 9 0 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio .
U tilice el so ftw are W orking M odel c o n b finalidad de
crear u n a s im u la d ó n y g ra fic a r b v e lo d d a d a n g u b r del
ta n q u e e n f u n d ó n d el á n g u lo d e b m a n iv e b .
6 -1 0 9 . La m anivela d el a g ita d o r d e la lavadora m o stra d o e n la
fig u ra P6.29 es im p u lsa d a a 6 5 r p m e n s e n tid o a n tih o ­
r a r i a U tilice u n a h o ja d e cálcu lo c o n la fin a lid a d d e
e la b o ra r a n a lític a m e n te la c u rv a d e d e sp la z a m ie n to
a n g u la r d el se g m en to d e e n g ra n e e n f u n d ó n d el á n ­
gulo d e la m anivela. C o n v ierta a tie m p o el á n g u lo d e la
m an iv ela s o b re el eje. L u e g a u se diferenciales n u m é ri­
cas c o n la finalidad d e o b te n e r la c u rv a d e velocidad a n ­
g u lar d el se g m en to d e en g ran e e n f u n d ó n d el tiem po.
6 -1 1 0 . La m an iv ela d el m e c a n is m o c o m p re s o r d e d o s c ilin ­
d ro s m o stra d o e n la fig u ra P 6 .3 5 es im p u lsa d a a 1500
rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio . U tilice u n a h o ja d e cálculo
con la finalidad d e e la b o ra r an alíticam en te la c u rv a d e
d e s p la z a m ie n to lin e a l d e a m b o s p is to n e s e n f u n d ó n
d el á n g u lo d e la m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n ­
g u lo d e la m a n iv e b s o b r e el eje. L uego, u s e d if e re n ­
ciales n u m éricas c o n b finalidad d e o b te n e r b s curvas
d e v elo cid ad d e a m b o s p isto n e s e n f u n d ó n d el tiem po.
6 - 1 1 7 . La m a n iv e b d el m ecan ism o a g ita d o r d e u n a lav ad o ra
m o stra d o e n b fig u ra P6.29 es im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d a d d e 80 r p m e n s e n tid o h o rario . U tilice el so ftw are
W o rk in g M o d e l c o n b fin a lid a d d e c re a r u n a s im u ­
b d ó n y g ra fic a r b velocidad a n g u b r d el segm ento de
en g ran e e n f u n d ó n d el á n g u lo d e la m anivela.
6 - 1 1 8 . La m anivela d el m ecanism o co m p reso r d e d o s d lin d ro s
m o stra d o e n b figura P 6 J 5 es im p u lsa d a a u n a v elo d cbd d e 1250 r p m e n se n tid o h o r a r i a Utilice el softw are
W orking M o d e l c o n la fin a lid a d d e c rear u n a s im u ­
b d ó n y graficar b velocidad a n g u b r d e a m b o s p isto n es
en f u n d ó n d el á n g u lo d e b m anivela.
6 - 1 1 9 . La m anivela d el d isp o sitiv o q u e m ueve p aq u etes m o s ­
tra d o e n la figura P 6 J 7 « im p u lsad a a u n a velocidad de
25 rp m e n se n tid o h o rario . Utilice el softw are W brking
M odel c o n la finalidad d e e r ra r u n a s im u la d ó n y g ra ­
ficar b v elo d d ad lineal d el ariete e n f u n d ó n d el á n g u lo
de b m anivela
E ST U D IO S D E CASO_________________________
6 - 1 I I . La m a n iv e b d el m e c a n is m o q u e m u e v e p a q u e te s
m o stra d o en b fig u ra P6.37 e s im p u lsad a a 30 rp m en
se n tid o a n tih o ra rio . U tilice u n a h o ja d e cálculo c o n la
fin alid ad d e e la b o ra r a n a lític a m e n te la c u rv a d e d e s ­
p lazam iento lin eal d el ariete e n fu n d ó n d el á n g u lo d e la
m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e b m aniveb so b re el eje. L u e g a use diferenciales n u m éricas c o n b
finalidad d e o b te n e r la c u rv a d e velocidad d el ariete en
f u n d ó n d el tiem po.
6 - 1 . En b fig u ra E6.1 se m u estra u n m ecan ism o q u e se u ti­
liza p a r a im p u lsa r u n a sierra d e p o te n d a p a r a m etales.
H m ecanism o e s im p u lsa d o p o r el eje d e u n m o to r eléctric o aco p la d a al e n g ra n e A . E xam ine cu id ad o sam en te
b con fig u ra d ó n e n cuestión. L u e g a conteste b s sig u ien ­
te s p re g u n ta s c o n b fin a lid a d d e o b te n e r m ay o r c o ­
n o cim ien to acerca d e la o p eració n d el m ecanism o.
V elo cid ad c o n W o r k in g M o d e l
6 -1 1 2 . La m a n iv e b d el m ecan ism o c o m p re so r m o stra d o e n b
figura P6.19 e s im p u lsad a a u n a velocidad co n stan te d e
1750 rp m e n se n tid o h o r a r ia Utilice el software W orking
Model para c rear u n a sim u lació n y graficar la v elo d d ad
In eal del pistón e n función del á n g u lo d e la manivela.
6 -1 1 3 .
l a r u e d a d e b m a n iv e b d e la sie rra recip ro can te m os­
tra d a e n b fig u ra 1*6.21 e s im p u lsad a a u n a v e lo d d a d
co n stan te d e 1500 rp m e n s e n tid o a n t ih o r a r ia Utilice
el so ftw a re W o rk in g M o d e l c o n b fin a lid a d d e c rear
u n a s im u la d ó n y graficar b velocidad lineal d e b h o ja
d e la sie rra e n fu n c ió n d el á n g u lo d e la m anivela.
6 -1 1 4 . La m a n iv e b d el m ecanism o d e c o rte m o stra d o e n b fi­
g u ra P6.23 es im p u lsad a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e
80 r p m e n s e n tid o h o r a r i a U tilice el so ftw are W orking
M o d e l c o n la fin a lid a d d e c re a r u n a s i m u b d ó n y
graficar b v e lo d d a d a n g u b r d e b cuchilla e n función
del á n g u lo d e la m an iv eb .
6 -1 1 5 .
La m a n iv e b d el m ecanism o lim p ia d o r d el cristal trasero
m o stra d o e n la fig u ra P6.25 es im p u lsad a a u n a v d o a <bd c o n s ta n te d e 65 r p m e n se n tid o h o rario . U tilice el
softw are W b rk ing M odel c o n la finalidad d e c rear una
sim ulación y graficar la velocidad an g u lar d e la h o ja del
im p ia d o r en fu n d ó n d el á n g u lo d e b m anivela.
f ig u r a
F6.I ( C o r te s b d e In d u strial Press).
1. ( b a n d o el en g ran e A s e f u e r a a g ir a r e n se n tid o a n tih o ­
r a r i a ¿cuál e s el m o v im ie n to d el e n g ra n e a c o p la d o B?
2. ( b a n d o el en g ran e A s e fuerza a girar e n s e n tid o an ti­
h o r a r ia ¿cuál es el m o v im ien to d el p e rn o in cru stad o C?
3 . C uando el e n g ra n e A s e fuerza a g ira r e n s e n tid o a n ti­
h o ra rio , ¿cuál es el m o v im ie n to d e b p a b n c a D t
4 . ¿ C ó m o d ifie re el m o v im ie n to d e la p a b n c a D del
m o v im ie n to d e b p a b n c a £?
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A n á lisis d e v elo cid a d
D e te rm in e la p o sic ió n del e n g ra n e B q u e c o lo c a rla a
b p alan ca D e n su p o sic ió n e x tre m a inferior.
D eterm in e la p o sic ió n d el en g ran e B que co lo caría a la
p ila n c a D e n s u posición e x trem a su p e rio r.
7. D eterm in e la c a n tid a d d e g iro s d el en g ran e B p a ra ele­
var la p a la n c a D y el n ú m e r o d e giros p a r a b a ja r la
palanca.
A proxim adam ente, ¿cuál es la diferen cia e n tre el tiem po
po ra e le v a rla palanca D y el tie m p o p a ra bajarla?
C o m e n te acerca del m o v im ie n to c o n tin u o d e la pabnca £
6 - 2.
169
8 . D escriba el m o v im ie n to d e la m esa R.
9 . ¿Cuál es b fu n ció n d e e ste m ecanism o?
10. ¿Por q u é h a y c u e rd a s d e to rn illo e n los ex trem o s d el es­
b b ó n H?
11. C alcule b m ovilidad d e este m ecanism o.
6 - 3 . L a fig u ra E 6.3 ilu s tr a u n m e c a n is m o q u e im p u lsa el
fuelle e n u n a m áq u in a d e respiración artificial. Exam ine
c u id ad o sam en te b c o n fig u ra c ió n e n cu estió n . L u e g a
c o n te s te b s sig u ie n te s p re g u n ta s c o n la fin a lid a d d e
o b te n e r m a y o r c o n o c im ie n to acerca d e la o p e ra c ió n
d el m ecanism o.
La fig u ra E6.2 ilu stra u n m ecan ism o q u e im p u lsa una
m esa p a r a u n a o p e ra c ió n especial d e a fila d a Exam ine
c u id a d o s a m e n te la c o n fig u ra c ió n e n cuestión. L u e g a
c o n te ste la s s ig u ie n te s p re g u n ta s c o n la fin a lid a d de
o b te n e r m a y o r c o n o c im ie n to a c e rc a d e la o p e ra c ió n
del m ecanism o.
V isa froreal
f ig u r a
f ig u r a
E6.2 (C o rtesía d e In d u stria l P ress).
1. C u a n d o la ru e d a C se fuerza a g i r a r e n s e n tid o a n t i­
h o r a r i a ¿cuál e s el m o v im ie n to d el p e r n o D?
2 . ( l ia n d o la r u e d a C s e fuerza a g ira r e n se n tid o a n tih o ­
r a r i a ¿cuál es el m o v im ien to d el eslab ó n G?
3 . D e te rm in e la p o sic ió n d e la ru e d a C q u e co lo carla
d p u n to / e n s u p o sic ió n e x trem a su p e rio r.
4 . D e te rm in e la p o sic ió n d e b r u e d a C q u e c d o c a r b el
p u n to / e n s u p o sic ió n e x trem a inferior.
5. D eterm in e b cantidad d e g iro s d e b r u e d a C p a ra e le ­
v a r el p u n to / y b c a n tid a d d e g iro s p a ra bajarlo.
6 A p ro x im adam ente, ¿cuál es b d ife re n c ia e n tre el tie m ­
p o p a r a elevar el p u n to / y el tie m p o p a ra bajarlo?
7 . ( lím e n te acerca d el m o v im ien to cíclico d e b palanca £
B6.3 (C o rte sía d e In d u stria l Press).
1. C u a n d o el e s b b ó n E g ir a c o n tin u a m e n te e n s e n tid o
a it¿ h o ra rio y recorre b r a n u ra / en el in sta n te m o s tr a ­
d a ¿cuál es el m o v im ien to d el d isc o P.
2. C u a n d o el e s b b ó n E g ir a c o n tin u a m e n te e n s e n tid o
a n tih o ra rio y recorre b r a n u ra / en el instante m o stra
d a ¿cuál es el m o v im ien to d e b b a n d a G?
3 . C u a n d o el e s b b ó n E g ir a c o n tin u a m e n te e n s e n tid o
a n tih o ra rio y recorre b r a n u ra / o í el instante m o stra ­
d a ¿cuál es el m o v im ien to d e b c o rre d e ra A?
4 . C o n fo rm e el e s b b ó n E se ap ro x im a a la r a m p a Af,¿qué
sucede c o n el reso rte N?
5 . C o n fo rm e el e s b b ó n E hace c o n ta c to c o n b ra m p a Af,
¿qué sucede c o n el e s b b ó n E?
6 C o n fo rm e el e s b b ó n E hace c o n ta c to c o n la ra m p a M ,
¿cuál e s el m o v im ien to d el d isc o R
7 . C o n fo rm e el eslab ó n E hace c o n ta d o c o n la r a m p a Af,
¿cuál e s el m ovim iento d e b c o rre d e ra A?
8. C o n fo rm e el eslab ó n E c o n tin ú a g ir a n d o m á s a l b d e b
ra m p a Af, ¿cuál e s el m o v im ie n to d el d isc o R
9. C o n fo rm e el eslab ó n £ a tra p a b r a n u r a K , ¿cuál es el
m o v im ie n to d el d isc o E?
10 . D escrib a el m o v im ien to c o n tin u o d e b c o rre d e ra A , b
cu al im p u lsa u n ex trem o d el fuelle.
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C A P IT U L O
SIETE
A N ÁLISIS D E A CELERA CIÓ N
se usa e n este a n á lis is es el m é to d o d e a c e le ra d ó n relativ a, el
cual utiliza lo s resu ltad o s d el m é to d o d e v d o d d a d relativa pre­
se n tad o e n el c ap itu lo 6 . En c o n g ru e n c ia con o tro s c ap ítu lo s de
este libro, se u tiliz a n técnicas ta n to gráficas c o m o analíticas.
O B JE T IV O S
Al term inar d t estudiar a te (apiado, ti alumno
será capaz de:
1. D efinir l o ik d r n o o n c s lineal, angular, norm al, tangencial,
<lr Corioli* y relativa.
2. Utilizar d m étodo d e aceleración relativa para obtener
gráficamente la aceleración d e un p u n to sobre un eslabón,
conociendo la aceleración d e o tro punto sobre el mismo
eslabón.
3. Utilizar d m étodo de acdcración relativa para determ inar
gráficamente la aceleración de un punto de interés sobre
un eslabón flotante.
7.2 ACELERACIÓN LINEAL
La aceleradón lin ea l A d e u n p u n to es el cam bio d e la velocidad
lineal d e ese p u n to p o r u n id a d d e tie m p o . E l c a p itu lo 6 se
d e d ic ó a l a n á lis is d e v elo cid ad . La v e lo c id a d es u n a c a n tid a d
vectorial q u e s e d efine p o r s u m a g n itu d y s u d ire c d ó n . P o r lo
ta n to , u n ca m b io e n la m a g n itu d o e n la d ire c d ó n d e la veloci­
d a d p ro d u c e u n a aceleració n . L a m a g n itu d d el v e c to r d e ace­
le ra d ó n se d esig n a c o m o a = | Al.
4. Saber cuándo se presenta la aceleración d e Corioh.v e incluirla
a i el análisis.
7.2.1 A c e le ra c ió n l i n e a l d e p u n t o s
q u e s e m u e v e n e n lí n e a r e c ta
5. Usar el m étodo d e aceleración relativa para obtener
m lilic a m c n tc la acdcración de u n punto.
6. Usar el m étodo d e aceleración relativa para obtener
analíticam ente la acdcración del punto de interés sobre
un eslabón flotante.
7. C o n stru ir una cu rv a d e aceleración para localizar los valores
extremos de aceleración.
C onsidere u n p u n to q u e tien e m o v im ien to rectilíneo o e n línea
recta. U n p u n to a s í se e n c u e n tra c o n m á s frecu en cia so b re u n
eslabón q u e e stá su jeto a la b a n c a d a p o r m e d io d e u n a u n ió n de
co rre d era. E n e ste caso, tan s o lo p u e d e c am b iar la m a g n itu d del
v e c to r d e v e lo c id a d . La a c e le r a d ó n s e d e s c rib e m a te m á tic a ­
m en te com o:
A =
AV
lím ——
a»—o A t
dv
dt
( 7 .1 )
Sin em bargo, com o
7.1 IN T R O D U C C IÓ N
El análisis d e aceleración incluye d e te rm in a r la m a n e ra e n q u e
d e r t o s p u n to s so b re lo s e sla b o n e s d e u n m ecan ism o " s e ace­
leran* o “s e desaceleran". La a c e le ra d ó n e s u n a p ro p ie d a d critica
p o r las fuerzas inerciales q u e s e le asocian. En el e s tu d io d e las
fu erzas, S ir Isaac N e w to n d e s c u b rió q u e la fu e rz a in ercia! es
p ro p o rc io n a l a la a c e le r a d ó n q u e a d q u ie r e u n c u e rp o . E ste
f e n ó m e n o s e o b s e rv a c a d a vez q u e u ste d av a n z a e n s u a u ­
to m ó v il rá p id a m e n te hacia a d e la n te y a p lic a los fre n o s con
m u c h a fuerza.
D esd e lu eg o , u n a p arte im p o rta n te del diserto d e m ecan is­
m o s e s g a ran tizar q u e la resistencia d e los eslab o n es y las u n io ­
n es se a su fid e n te p a ra s o p o r ta r b s fuerzas a q u e se so m e te n . Es
im p o rta n te la c o m p re n sió n d e to d as las fuerzas, so b re to d o las
d e inercia. E l an álisis d e fuerzas s e p re se n ta e n lo s c a p ítu lo s 13 y
14. S in e m b a rg o , c o m o p aso p re lim in a r, s e d e b e e fe c tu a r el
an álisis d e a c e le ra d ó n d e lo s eslab o n es d e u n m ecanism o.
El o b jetiv o d e este c ap itu lo es la d e te r m in a d ó n d e la a c e ­
le ra d ó n e n u n eslab o n am iento. El p ro ced im ien to p r in d p a l q u e
entonces.
A =
S R
(7.2)
d i2
Para p e rio d o s d e tie m p o cortos, o c u a n d o la a c e le ra d ó n se
su p o n e lin eal, se u tiliz a la siguiente re la d ó n :
A -
AV
Ai
(7.3)
C o m o la velocidad es u n vector, la e c u a d ó n (7 .1 ) establece
q u e la aceleración ta m b ié n es u n vector. La direcció n d e la ace­
le ra d ó n lineal es e n la d ir e c d ó n d el m o v im ien to lineal cu an d o
el eslabón acelera. P o r el c o n tra rio , c u a n d o el eslabón desace­
lera. la d ire c d ó n d e la a c e le ra d ó n lineal e s o p u esta a la d irec­
d ó n d el m o v im ie n to lineal.
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
La aceleració n lineal se expresa e n u n id a d e s d e velocidad
( lo n g itu d p o r tie m p o ) d iv id id as e n tr e u n id a d e s d e tie m p o , o
lo n g itu d p o r tie m p o al c u ad rad o . En el sistem a tra d ic io n a l esta­
d o u n id en se, b s u n id ad es d e u so c o m ú n so n pies p o r se g u n d o al
c u a d ra d o (ft/s2) o pulg ad as p o r se g u n d o a l c u a d ra d o (in /s2) . En
el sis te m a in tern acio n al, b s u n id a d e s d e u so c o m ú n so n m etro s
p o r se g u n d o a l c u a d ra d o ( m /s ‘) o m ilím e tro s p o r se g u n d o al
c u a d ra d o ( m m /s 2). P a ra fin es d e c o m p a ra c ió n , b aceleració n
lineal s e ex p resa c o n frecuencia e n relación c o n b aceleración d e
b grav ed ad : g = 3 2.17 ft/s2 - 386.4 in /s2 = 9.81 m /s2.D e m o d o
q u e u n a aceleració n d e 10# es ig u al a 3864 in /s2.
7 .2 .2 A c e le r a c ió n r e c t i l í n e a c o n s t a n t e
R ep lan teán d o la ecuación ( 7 3 ) ,el cam bio de velocidad q u e ocurre
d u ra n te u n p erio d o d e aceleración constante se expresa com o
A V = Vfínai - V ^ - y = A A i
(7.4)
171
A sim ism o, el d esp lazam ien to c o rre sp o n d ie n te q u e o c u rre
d u r a n te u n p e rio d o d e aceleració n c o n s ta n te s e escribe com o:
AR =
^ A A í2 + V « k y A r
(7.5)
L as ecu ac io n e s (7 .4 ) y (7 .5 ) se c o m b in a n p a ra ob ten er:
(V fBy ) 2 = (V lnkW)2 + 2 A A R
(7.6)
C o m o el m o v im ie n to re c tilín e o s e d a a lo la rg o d e u n a lín ea
recta, la d ire c c ió n del d e sp la z a m ie n to , la v e lo c id a d y b ace­
leración ( r, v, a ) s e especifican c o n u n sig n o alg eb raico a l o largo
d e u n eje d e c o o rd e n a d a s. D e m o d o q u e b s e c u a c io n e s (7 .4 ),
(7 .5 ) y (7 .6 ) s e expresan e n té rm in o s d e b s m a g n itu d es vecto­
riales ( r , v, a ).
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.1
B elevador exprés d e un edificio alto puede alcanzar u n a velocidad total d e 15 m p h e n 3 s. S u p o n ien d o que el ele­
vador experim enta aceleración constante, determ ine la aceleración y el desplazam iento d u ran te los 3 s.
S O L U C IÓ N :
1.
C alcúlela aceleración
Suponiendo q u e la aceleración es constante, se debe u sa r básicam ente la ecuación ( 7 3 ). C o m o el elevador parte
del reposo, el cam bio d e velocidad se calcula com o:
A V - (15 m p h - 0) = 15 m ph
Entonces, b aceleración se calcula com o:
At
3s
Normalice la aceleración con respecto a la gravedad
C uando Las personas se aceleran e n u n elevador, b aceleración "se normaliza" con frecuencia e n relación con b acek ració n de la gravedad. l a aceleración estándar d e la gravedad (g) sobre b tierra e s d e 32.17 ft/s2 o bien 9.81 m/s2.
R tr consiguiente, b aceleración d el elevador se expresa com o:
3.
Calcule el desplazam iento d u ran te el intervalo d e 3 segundos
H desplazam iento se determ ina c o n la ecuación (7 3 ).
A R = - (jA l2 + vmkU1A I = j ( 7 3 ft/s2)(3 s)2 + ( 0 )( 3 s )
- 32.9 ft T (o aproxim adam ente 3 pisos)
7 .2 .3 A c e le r a c ió n y e l p e r f il d e v e lo c id a d
C o m o s e estab lece e n b ecu a c ió n (7 .1 ), la aceleració n in sta n ­
tán ea es b p r im e ra d e riv a d a d e b velocidad in stan tán e a c o n res­
pecto al tie m p o . O c asio n alm en te s e e n c o n tró u n a ecu a c ió n de
fo rm a ce rra d a p a r a b v elo cid ad in sta n tá n e a d e u n p u n t a En
tales casos, b d eriv ad a d e b ecuación, evalu ad a e n el tie m p o es­
p e c ific a d a p ro p o rc io n a rá b aceleración instan tán e a. C o n m ás
frecu en cia, so b re to d o e n los a c tu a d o re s p ro g ra m a b le s q u e se
u sa n e n ta re a s auto m atizad as, lo s perfiles d e v elo cid ad s e especi­
fican c o m o se h iz o e n el c ap ítu lo 6. R ecuerde q u e el d e sp b z a m ie n to e n cierto in te rv a lo d e tie m p o es el á r e a d e b a jo d e b curva
v - t En c a m b ia b aceleración e n un cierto tie m p o e s b p en d ien te
d e la c u rv a v-L
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172
CAPITULO SIETE
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.2
U na operación autom atizada de ensam ble requiere m ovim iento lineal de u n se rv o m o to r El desplazam iento total
tfebe ser d e 10 in . Por razones d e diseno, la velocidad m áxim a está lim itada a 2 in/s, y la aceleración o la desaceleración
ntíxim as n o d eb en exceder 4 in /s2. O rifiq u e el perfil de velocidad para esta aplicación.
S O L U C IÓ N :
I.
D eterm ine los parám etros d el m o v im ie n to d u ra n Ir la aceleración
B i el perfil estándar d e velocidad d e u n servom otor, la parle de aceleración del m ovim iento es aceleración cons­
tante. R eagrupando y sustituyendo las m agnitudes de la velocidad v y d e la aceleración u en la ecuación <7 3 ) . se
obtiene el tiem po transcurrido d u ran te la aceleración.
¿v
(2 - 0) in /s
A i = — = ------------ — = 0 3 s
a
4 in/s2
Se u sa la ecuación (7 3 ) para calcular la m a g n itu d del desplazam iento d u ran te la aceleración.
A R = ^ u A í2 + Vfiuúi A t
= i (4 in/s2) ( 3 s ) 2 + < 0 )(3 s) — 0 3 in
2.
Calcule los parám etros d e m o v im ie n to d u rante la desaceleración
& i d perfil estándar d e velocidad, la p arte d e desaceleración del m ovim iento es aceleración constante. El tiem po
transcurrido d u ran te la desaceleración es:
Av
At = —
a
(0 - 2 ) in/s
t— y - 0 3 s
-á m /s 2
l a m ag n itu d d el desplazim icnto d u ran te la desaceleración es:
AR = ^ u A /2 +
v BU u1A I
- ( —4 in /s2 ) ( 3 s ) 2 + 22 in /s ( 3 s) = 0 3 i n
2
D eterm ine los parám etros d el m o v im ie n to d u ra n te el estado estacionario
Com o d u ran te la aceleración d desplazam iento es igual a 0 3 i n y d e otras 0 3 in d u ran te la desaceleración, las
9 in restantes de desplazam iento ocurren d u ran te el m ovim iento d e velocidad constante. Se usa la ecuación (6.2)
para calcular el tiem po transcurrido d u ran te la parte de velocidad constante.
A ft
9 ¡n
A r =» — - —— * 4 3 s
v
2 in /s
Calcule los parám etros d el m ovim iento d u ra n te el estado estacionario
Usando la inform ación d e velocidad y tiem po d e esta sccu cn cé, se genera el perfil de velocidad m ostrado e n la
figura 7.1.
Mió»)
F IG U R A
7.1 Perfil d e velocidad del problem a d e ejem plo 7 . 2 .
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
7 .2 .4 A c e le r a c ió n l i n e a l d e u n p u n t o
en g e n e ra l
173
a ese p u n to . C o m o c o n b v e lo d d a d , v ario s p u n to s so b re u n es­
labón p u e d e n te n e r a c e le r a d o n e s d iferen tes, a u n c u a n d o el
e s b b ó n co m p le to tenga b m ism a aceleración girato ria.
C o m o s e m e n c io n ó a n te rio rm e n te , la v e lo d d a d d e u n p u n to
c o n m o v im ie n to e n g eneral su e le c a m b ia r d e d o s m aneras:
7.3.1 A c e le r a c ió n a n g u l a r
1. U n ca m b io en la m a g n itu d d e la velocidad. E ste produce
u n a aceleración q u e actú a a lo la rg o d e la tray ecto ria d el
m o v im ien to , c o m o se se ñ aló e n b sección an te rio r. Esta
a c e le ra d ó n se c o n o c e c o m o aceleradón tangenc ia l A'.
2. L a d ire c d ó n d el v ector v e lo d d a d p u e d e c a m b ia r c o n fo rm e
p a s a el tie m p o . Esto o c u r re c u a n d o el e s b b ó n . c o n el cual
e stá aso ciad o el p u n to , e x p e rim e n ta m o v im ie n to g irato rio
q u e p ro d u c e u n a a c e le ra d ó n cen trifu g a, b cu al actú a
p e r p e n d ic u b rm e n te a la d ire c d ó n d e la tray ecto ria del
m o v im ien to . La aceleración se c o n o c e c o m o aceleración
norm al A".
La fig u ra 72 m u e s tra el p u n to A m oviéndose a lo largo de
u n a trayectoria cu rv a. L a acelerad ó n tangencial d el p u n to A, A'a,
es la ace le ra d ó n lin eal a lo largo d e b d ire c d ó n d el m o v im ien ­
to. O bserve q u e el v ector a p u n ta e n b d ire c d ó n del m ovim iento
p o rq u e el p u n to A e stá acelerando. Si el p u n to A estu v ie ra d e ­
saceleran d o , el v e c to r d e la a c e le ra d ó n a p u n t a r b e n se n tid o
o p u e sto a la d ir e c d ó n d el m ovim iento. D esde lu eg o , el v ector de
v elo d d ad sie m p re a p u n ta e n b d ire c d ó n d el m ovim iento. P o r lo
ta n to , u n p u n to q u e acelera está aso ciad o c o n u n v ector d e ace­
le ra d ó n tangencial que es consistente con el v ector d e v eloddad.
Por el con trario , la desaceleración e stá a so d ad a c o n u n vector de
ace le ra d ó n tangencial o puesto al v ector d e velocidad. La m agni­
tu d d e b ace le ra d ó n tan g en cial s e d e term in a u sa n d o b s ecuad o n e s (7 .1 ), (7 .2 ) o (7.3).
A ¿ (accbiación tangencial d d punto A)
V A (velocidad dd punto A)
X Trayectoria
dd movimicn
, A,4(aceleración normal d d punto A)
f ig u r a
7 J A c e lerad ó n d el p u n to A.
La aceleración a n g u la r a d e u n e s b b ó n es b v e lo d d a d a n g u b r
d e ese e s b b ó n p o r u n id a d d e tie m p o . M atem áticam ente, b a c e ­
leración a n g u la r d e u n eslab ó n se d escrib e com o:
a =
Acó
dúi
lim — — = —
d r —o A f
dt
(7.7)
Sin em bargo, com o
entonces.
ifio
(7.8)
dt
Para p e rio d o s d e tie m p o c o rto s, o c u a n d o s e s u p o n e q u e b ace­
leración a n g u b r e s lin eal, se u tiliz a la sig u ien te re la d ó n :
Acó
(7 .9 )
Af
Al igual q u e e n el análisis d e b sección 7.2, b d ire c d ó n de
t i a c e le ra d ó n a n g u b r e stá e n b d ire c c ió n d el m o v im ie n to
cu an d o la v elo cid ad a n g u la r se in crem en ta, o el e s b b ó n acelera.
Por el c o n tr a rio , b aceleración a n g u b r tie n e direcció n o p u esta
al m o v im ien to cu an d o b v e lo d d a d a n g u b r d ism in u y e, o el es­
la b ó n desacelera. En los análisis so b re u n p la n o , b d ire c d ó n se
describe c o m o e n se n tid o h o ra rio o e n s e n tid o a n tih o ra rio .
La a c e le ra d ó n a n g u b r se expresa e n u n id a d e s d e velocidad
a n g u b r (ángulo p o r tie m p o ) divididas e n tre u n id a d e s d e tie m ­
po, o á n g u lo p o r tie m p o al cuadrado. T anto e n el sistem a trad id o n a l e s ta d o u n id e n s e c o m o e n el s is te m a in te rn a c io n a l, b s
unid ad es q u e s e u sa n c o m ú n m e n te so n g ra d o s p o r se g u n d o al
c u a d ra d o (d e g /s 2), re v o lu c io n e s p o r s e g u n d o a l c u a d ra d o
(rev /s2) o la u n id a d p re fe rid a d e ra d ia n e s p o r s e g u n d o al
a la d r a d o (ra d /s 2).
7 .3 .2 A c e le r a c ió n a n g u l a r c o n s t a n t e
1.a a c e le ra c ió n n o rm a l d el p u n to A, A¡}> e s r e s u lta d o del
ca m b io e n la d irecció n d el v ector d e velocidad. A ctúa a l o largo
de b lín ea p e r p e n d ic u b r a la direcció n d el m ovim iento y h a d a
el c e n tro d e c u rv a tu ra d e b tray ecto ria. En b s e c d ó n 7.4 s e p r e ­
s e n ta n d etalles a d ic io n a le s d e b s a c e le ra d o n e s ta n g e n c b l y
n o rm al.
7.3 A CELERACIÓN D E U N ESLABÓN
R ecu erd e q u e e n b s e c d ó n 6.3 s e v io q u e c u a lq u ie r m o v i­
m ie n to , in d u s o u n m o v im ie n to co m p lejo , s e p u e d e visualizar
c o m o u n a c o m b in a c ió n d e m o v im ie n to e n lin ea recta y m o ­
v im ien to g i r a t o r i a La descrip ció n c o m p le ta d el m o v im ie n to de
u n eslabón co n siste e n la e s p e d fic a d ó n d el m o v im ie n to lineal
d e u n p u n t a y el m o v im ie n to g ira to rio d el eslab ó n c o n respecto
R e p b n te a n d o b e c u a d ó n (7 .7 ), el ca m b io d e v elo cid ad a n g u b r
q u e o c u r re d u r a n te u n p e rio d o d e a c e le r a d ó n a n g u b r c o n s ­
tan te se expresa com o:
A to = a»f1(B| - o iú ú tu = a A f
(7.10)
A sim ism o, el d esp lazam ien to a n g u la r c o rre sp o n d ie n te que
o c u rre d u ra n te u n p erio d o d e aceleración an g u lar c o n s ta n te se
expresa com o:
1 0 = “ « A l 2 + tu-m itéiA í
(7.11)
Las c c u a d o n e s (7.10) y (7.11) se c o m b in a n p a r a ob ten er:
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= f o n ic U ) 2 + 2 a l O
(7.12)
174
CAPITULO SIETE
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.3
Un m o to r eléctrico im pulsa la rueda de u n afilador e n sentido horario, com o se indica e n la figura 7 3 . l a rueda ace­
lera hasta 1800 rpm en 2 s cuando se enciende é m o to r. Suponiendo q u e esta aceleración e s constante, determ ine la
aceleración angular de la rueda afiladora. D eterm ine asim ism o el n ú m ero de resoluciones q u e la rueda g ira antes de
alcanzar la velocidad final.
F IG U R A 7 J
S O L U C IÓ N :
I.
R u e d a d e l a fila d o r d e l p r o b le m a d e e je m p lo 7 .3 .
Calcule la aceleración
G a m o l a a c e l e r a c i ó n n o r m a l m e n t e s e e s p e c if ic a e n r a d / s 2, s e c o n v i e r t e l a v e l o c i d a d d e l a
ru e d a d e l a fila d o r a
ra d /s d e la s ig u ie n te m a n e ra :
/ 2w r a d N / I m i n \
Aai = 1800 r p m l
II —
I = 188 ó rad/s, e n se n tid o horario
V I rev A « ) s /
C on aceleración constante, se debe u sa r la ecuación (7.9) para o b te n e r
A
oj
A /
( 188-5 n d f t - 0 ) .
^
e n sentido horario
L a d ire c c ió n d e la a c e le ra c ió n e s e n s e n tid o h o r a r io y tie n e la d ire c c ió n d e l m o v im ie n to p o rq u e l a r u e d a d e l
a fila d o r e s tá a c e le ra n d o .
2.
Calcule e l desplazam iento d u rante e l in terv a lo d e 2 segundos
H n ú m ero de revoluciones d u ran te este periodo de aceleración se determ ina con la ecuación (7.11).
A0 = '- a A l 2 + riH n ^ iA /= ~ (94.2 rad/s*)(2s)^ + (0 )<2 s)
= 188.4 rad( 7 >eV. ) = 30.0 revoluciones
\ 2w rad /
7.4 A CELERACIÓN NORM A L
Y TA N G EN CIA L
d a d . La c o m p o n e n te ta n g e n c ia l se fo rm a c o m o resu ltad o del
ca m b io e n b m agnitud del v ector d e v eloddad.
C o m o se ex p u so e n la sección 7.2.4, la velocidad d e u n p u n t o que
s e m ueve e n u n a tray ectoria cualquiera cam b ia d e d o s m aneras
independientes: la m ag n itu d o b d ire c c ió n d el v ector d e v e lo d ­
dad p u e d e n cam b iar e n el tiem po. D esde luego, b acelerad ó n es
el ca m b io d e v e lo d d a d d u ra n te el tie m p o tra n sc u rrid o , d e m a­
n e ra q u e b a c e le ra d ó n g e n e ralm en te se d iv id e e n d o s c o m p o ­
nentes: n o rm a l y tan g en cial. La c o m p o n e n te n o r m a l s e fo rm a
c o m o resu ltad o d el ca m b io e n b d ir e c d ó n d el v ector d e v e lo d ­
7.4 .1 A c e le ra c ió n ta n g e n c ia l
P ara u n p u n to so b re u n e s b b ó n g ira to rio , s e req u iere p o c o es­
fuerzo p a ra d e te rm in a r b d ir e c d ó n d e estos co m p o n e n te s d e b
a c e le ra d ó n . R ecuerde que b veloddad in stan tán e a d e u n p u n to
so b re u n e s b b ó n q u e g ira es p e r p e n d ic u b r a b lín ea q u e conecta
e s e p u n to c o n el c e n tro d e r o ta d ó n . C u a lq u ie r ca m b io en la
m ag n itu d d e esta v e lo d d a d crea u n a ace le ra d ó n tangencial, que
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
tam b ién es p e rp e n d ic u la r a la lin e a q u e u n e el p u n to c o n el ce n ­
t r o d e ro ta c ió n . La m a g n itu d d e la aceleració n ta n g e n c ia l d el
p u n to A so b re u n eslabón 2 q u e g ira se expresa com o:
A
di
« W o i)
—
t
M
rO A —
_
- rOA° 2
C o m o Afl es p e q u e ñ o e n la figura 7.4a. se establece la siguien­
t e relación:
d v A = vÁdQ¡
n . ,,
(7-13)
E s m u y im p o rta n te re c o rd a r q u e la aceleración a n g u la r o
e n la ecu ació n (7 .1 3) se d e b e expresar e n unid ad es d e radianes
p o r tie m p o al c u a d r a d a Los radianes p o r se g u n d o al cu ad rad o
so n la u n id a d m ás co m ú n . A l igual q u e e n el análisis d e la sec­
c ió n 7 .2 , la aceleració n tan g en cial a c tú a e n la d ire c c ió n d el
m o v im ie n to cu an d o la velocidad se increm enta o el p u n to ace­
lera. P o r el c o n t r a r i a la aceleració n tan g en cial a c tú a e n d irec­
c ió n o p u e s ta al m o v im ien to c u a n d o la v elo cid ad dism in u y e o el
p u n to d e s a c e le ra
D ebido a q u e h aceleració n se defin ió c o m o el c a m b io d e v e ­
locidad d u ra n te el tie m p o t r a n s c u r r id a al d iv id ir a m b o s lad o s
d e la ex p resió n a n te rio r e n tre el t i e m p a se o b tien e:
-
dvA
dO,
** = ~ d i = V/1T
= Vá“ *
U a n d o la ecu ació n (6.6), q u e relaciona las m ag n itu d es d e la ve­
lo c id a d lineal y la v elo cid ad a n g u la r, s e d e riv a n la s sig u ien tes
ecuaciones d e la m ag n itu d d e la aceleración n o rm a l d e u n p u n to :
7 .4 .2 A c e le r a c ió n n o r m a l
C u a lq u ier ca m b io e n la direcció n d e la velocidad crea u n a ace­
leració n n o rm a l, la cu al sie m p re s e d ir ig e hacia el c e n tro de
ro ta c ió n . La fig u ra 7.4a m u e s tra u n eslabón q u e g ir a a velocidad
c o n s ta n te . La v e lo c id a d d el p u n to A s e m u e s tra u n in s ta n te
an tes y u n in s ta n te d e s p u é s d e la c o n fig u ra c ió n e n c o n s id e ­
ra c ió n , se p ara d a p o r u n p e q u e ñ o á n g u lo dB¡. C o m o el eslabón
gira a v e lo c id a d c o n s ta n te , s o n ig u ales las m a g n itu d e s de
VA' y V * . D e m o d o q u e V A' = V / .
L a fig u ra 7 .4 b ilu s tra u n p o líg o n o d e velocidades resuelto
v e c to ria lm e n te p a r a o b te n e r e l c a m b io d v d e la v e lo c id a d .
O b serv e q u e el ca m b io d v e n el v ector d e v elo cid ad está d irig id o
h acia el c e n tro d e ro ta c ió n del e slab ó n . D e h e c h a la aceleración
n o rm a l siem pre estará d irig id a hacia el c e n tro d e ro ta c ió n d el
eslab ó n . Esto e s así p o rq u e c o m o el p u n to g ir a alred ed o r d e un
p iv o te f i j a el v ecto r d e velocidad cam b iará a lo largo d e la c u r­
v a tu ra d el m o v im ie n to . P o r co n sig u ie n te , e l v e c to r n o rm a l a
e sta c u rv a tu ra sie m p re e sta rá d irig id o hacia el p iv o te f ija
175
“ 3 = V /t*2 = (<O2r0A)a>2 = u>l rOA
(7.14)
«2 = vAo*2 =
(7.15)
V a*/
~
rIM
7 .4 .3 A c e le r a c ió n to ta l
C o m o s e m e n c io n ó a n te rio rm e n te , el análisis d e aceleración es
im p o rta n te p o rq u e las ace le ra c io n e s g e n e ra n fu erz as inerciales. S e d e b e n d e te rm in a r estas carg as p a r a a s e g u ra rs e q u e la
m á q u in a se d ise ñ e a d e c u a d a m e n te p a r a m a n e ja r estas cargas
d in ám icas. L as fu e rz a s in erciales s o n p ro p o rc io n a le s a la ace­
leración to ta l d e u n c u e rp o . L a axlcración total A es el v e c to r re ­
s u lta n te d e las c o m p o n e n te s tangencial y n o rm a l. M atem ática
m ente, e s to se expresa com o:
Aa = A l + > AÁ
(7.16)
©
u
.
f ig u r a
7 .4
A celeración n o r m
a l.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7 .4
El m ecanism o que se presenta e n la figura 7 5 se usa e n un c e n tro d e distribución p a ra em pujar cajas a lo largo de una
plataform a hacia el área d e cargi. El eslabón de en tra d a es im pulsado p o r un m o to r eléctrico el cual, e n el instante
m ostrado, tiene una velocidad de 25 rad/s yacclcra a 500 r a d /f.S i el eslabón d e en trada tiene u n a longitud d e 250 m m ,
determ ine la aceleración instantánea del extrem o del eslabón de entrada e n b posición que se m uestra.
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176
CAPITULO SIETE
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
7 J M ecanism o d e tran sferen cia d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.4.
D ibuje el diagram a cinem ático y calcule lo t grados d e libertad
B diagram a cinem ático del m ecanism o de transferencia se m uestra e n la figura 7.6a. O bserve q u e este es el c o n o ­
cido m ecanism o de cuatro barras.
(D
100
mmA!
FIGURA 7.6 D iag ram as del p ro b le m a d e e jem p lo 7.4.
2.
D eterm ine la aceleración tangencial d el p u n to A
Com o el eslabón d e en tra d a (eslabón 2) está e n rotación pura, se obtienen fácilmente las com ponentes de ace­
leración e n el ex trem o del eslabón. Se u sa la ecuación (7.13) para d eterm in ar la m ag n itu d de la aceleración tan-
<*a - ra¡ - (250 m m ) (500 rad/s2) - 125000 m m /i1 - 125.0 m /*2
C om o el eslabón está acelerando, la dirección del vector s e en cu en tra e n la dirección del m ovim iento e n el
extrem o d d eslabón, la cu al es perpendicular al eslabón m ism o. Por lo tanto, la aceleración tangencial es
A j, - 125b m /s2 ^ 5 0 3.
D eterm ine la aceleración n o rm a l d el p u n to A
Se utiliza la ecuación (7.14) p a ra determ inar la m ag n itu d de la aceleración norm al.
* a " ' o a “ j " (250 m m ) (25 ra d /s )2 -
156250 m m /s2 -
156.25 m /s2
La aceleración norm al sie m p re a p u n ta hacia el centro d e rotación. Por consiguiente, la aceleración norm al
se calcula com o:
Al -
156.25 m /s2
40/
l a s com ponentes d e la aceleración se m uestran e n la figura 7.6b.
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
177
D eterm ine la aceleración to ta l d el p u n to A
l a aceleración total s e calcula con los m étodos analíticos presentados e n el capitulo 3 . E n la figura 7Xc se m ues­
tra u n diagram a de la su m a de vectores. C o m o las com ponentes no rm al y tangencial so n ortogonales, la m agni­
tu d de la aceleración total se calcula com o:
+ (a W
-a "
B
á n g u lo
dd
V (l2 5 X )m /s2)2 + (2156-25 mi»1)2 - 200.10 m /s2
a
v e c to r d e a c e le r a c ió n to ta l
a
-
«
. - ' ( 4
)
V n ;/
p a r tir d e
-
la c o m
p o n e n t e n o r m a l s e c a l c u l a d e la s i g u ie n t e m a n e r a :
V. 136.23 m /s V
.
3 8 J *
La dirección del vector d e aceleración total a partir del eje horizontal es
40X* + 38.7* = 78.7*
Form alm ente, b aceleración total se escribe com o:
A a = 200.10 m /s2
La
7 8 ^
a c e le ra c ió n to ta l ta m b ié n s e d e te r m in a c o n u n p r o c e d im ie n to g rá fic o u tiliz a n d o e l
ca d o
la s té c n ic a s d e
d ib u jo t r a d k io n a l, c o m o s e e x p lic ó e n e l c a p ítu lo 3 .
1 5 M O V IM IE N T O RELATIVO
P artiendo d e la ecu ació n (6 .10), la relación e n tre la v elo d dad a b s o lu ta y la velocidad relativa se escrib e com o:
C o m o s e v io e n d e ta lle e n el c a p itu lo 6, la diferen cia e n tre el
m o v im ie n to d e d o s p u n to s se c o n o c e c o m o m o v im ie n to rela­
tivo . La velocidad relativa se defin ió c o m o la v elo cid ad d e u n o b ­
je to o b se rv a d o d esd e o tr o o b je to d e referen cia q u e ta m b ié n se
e stá m o v ie n d o . D el m ism o m o d o , la aceleración relativa e s la
aceleració n d e u n o b je to o b se rv a d o d esd e o t r o o b je to d e refe­
ren cia q u e ta m b ié n s e e stá m o v ien d o .
v B = VA + > V ^
D erivando c o n respecto al tie m p o la c c u a d ó n d e v c lo d d a d rela­
tiv a, s e o b tie n e la e c u a d ó n d e a c e le r a d ó n re la tiv a . M a te m á ­
ticam en te e s to se escrib e com o:
Ab = A a + > A sm
7 .5 .1 A c e le r a c ió n r e l a t i v a
C o m o c o n la v elo cid ad , se e m p le a la sig u ie n te n o ta c ió n p a ra
d istin g u ir e n tre a c e le ra d ó n a b s o lu ta y a c e le ra d ó n relativa:
A* = aceleración a b s o lu ta (to ta l) d el p u n to A
Ag - aceleración a b s o lu ta (to ta l) del p u n to B
A b/A = a c e le ra d ó n relativa (to ta l) d el p u n to B en
relació n c o n A
= a c e le ra d ó n (to ta l) d el p u n to B " co m o se observa’
d esd e el p u n to A
(7.17)
N o rm a lm e n te , r e s u lta m ás c o n v e n ie n te s e p a ra r la s acelerad o n e s totales d e la e c u a d ó n (7 .1 7 ) e n s u s c o m p o n e n te s n o rm a l
y tangencial, d e m o d o q u e s e se p ara c ad a ace le ra d ó n e n s u s dos
com ponentes:
A S + > A b = A ¿ + >A'a + > A n
aÁ + > A ¿ m
(7.18)
Cfoserve q u e las e c u a d o n e s (7.17) y (7.18) so n e c u a d o n e s
vectoriales y se d eb en u s a r las técnicas analizadas e n el c ap ítu lo
3 p a ra el m anejo d e tales ecu ad o n es.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.5
La fig u ra 7.7 m uestra u n a sierra d e p o te n d a para m etales. En este instante, el m o to r eléctrico g ira en se n tid o antihorario e im pulsa d extrem o libre d e la m anivela d d m o to r (p u n to B) a una velocidad de 12 in/s. Además, la m anivela
está acrlcrando a 37 rad/s2. La parte superior d e la sierra se mueve b a d a b izquierda con u n a velocidad d e 9X in /s y
acelera a 82 in/s2. D eterm ine la aceleradón relativa del p u n to C c o n respecto al p u n to B.
S O L U C IÓ N :
1.
Elabore e l diagram a cinem ático e id en tifiq u e los grados d e libertad
l a figura 7X a presenta el diagram a cinem ático d e la sierra d e potencia para m etales. O bserve que este es d co n o ­
cido m ecanism o d e m anivela-corredera con u n g rad o de libertad.
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178
CAPITULO SIETE
AOT- A c - > A S - > A 'fl
cy
f ig u r a
2.
7 3 D iagram a cinem ático d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.5.
D eterm ine la aceleración tangencial d el p u n to B
E xam inando el diagram a cinem ático,« evidente q u e el p u n to B viaja hada arriba y a la izquierda, conform e el
eslabón 2 g ira en sentido antihorario. C o m o la m anivela del m o to r (eslabón 2) tiene rotación pura, se calculan
ficilm ente las com ponentes de la aceleración e n el extrem o del eslabón. S e utiliza la ecuación (7.13) p a ra d eter­
m inar la m ag n itu d d e la aceleración tangencial.
“ s = rABa j = (1.75 in ) ( 3 7 rad/s2) = M .75 in/s2
C om o d eslabón acelera, la dirección del vector está en la dirección d d m ovim iento en el ex trem o del es­
b b ó n . Asi, la acderación tangencnl se calcula com o:
Afl = 61.75 in/s2
3.
6p\
Calcule la aceleración n o rm a l del p u n to B
Se usa la ecuación (7.15) p a ra determ inar la m agnitud d e b aceleración norm al.
(12 in /,) 2
1.75 in
- 82.29 in/s2
La aceleración no rm al siem pre está dirigida hacia el centro de rotación. Por consiguiente, la aceleración
n orm ales
Ag ■ 82.29 in /s2
30^
Se aisla el eslabón 2 y las com ponentes de esta aceleración s e indican e n la figura 7 3 b .
4.
Especifique la aceleración d el p u n to C
H p u n to C está restringido a m ovim iento lineal. Por lo tanto, el p u n to C no experim enta aceleración norm al. La
aceleración total se da e n el p b n te a m ie n to d e l problem a como:
A c = 82 in/s2 —
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
179
C onstruya el poligono d e aceleración d e la aceleración d e C relativa con B
5.
Para determ inar la aceleración relativa, s e plantea b ecuación (7.16) e n térm inos de los p u n to s fl y C y se reagrupa como;
Ana = Ao- > Afl
C óm o el p u n to B tiene s u s dos com ponentes d e aceleración, la ecuación se escribe com o:
a o b
** A c - > ( A ¡? + >
A ¿) “
Ac
—>
a b
—>
A Á
A partir d e esta ecuación se forma un poligono vectorial (figura 7,8c). El vector desconocido se determ ina
con los m étodos presentados e n el capitulo 3. Para d eterm in ar el vector A a f r se p u ed e aplicar u n a solución grá­
fica o analítica.
Obtenga las m agnitudes del le c to r desconocido
6.
U sando u n m étodo analítico, b aceleración A OBse calcula separando los vectores e n sus com ponentes vertical y
horizontal. C onsulte la tabla 7.1.
r
r
TABLA 7.1
Vector
C o m p o n e n te s v e c to r ia le s h o r i z o n ta l y v e r tic a l d e la a c e le r a c ió n
Angulode
reverenda («,)
Componenie ho rizo ntal
Ac/ b
ti
Componente vertical
a , - aten 0 ,
K
IDO*
- 82.00
0
V
210*
- 71.26
- 41.15
Afl'
120*
- 32.83
56.08
Se escriben ecuaciones algebraicas separadas de b s com ponentes horizontal y vertical de b siguiente m anera;
A o s = Ac - > A« ~ > A«
c o m p .h o rizo n tal:A * ^ . - ( - 8 2 .0 ) - ( - 7 1 .2 7 ) - (-3 2 .3 8 )
com p. vertical:
+ 21.35 = 21J 5 in/s2
A vc ,a = (0) - ( -4 1 .1 5 ) - (+ 56.08) = -1 4 .9 3 in/s1
l a m ag n itu d d e la aceleración se calcula com o:
a c /b
=
V (< ío b ): +
(d ó a ) :
- V (21 _35)2 + ( —14.93)1 - 26J)5 in/s?
La direcció n d el v e c to r s e d e te rm in a com o:
H ■
ta n - *
w,
" tan
*A?b ^ tan
a'oB.
■
- 1 4 .9 3
in/s3 ¡
h n -1
2 1 3 5 in/s2 ]
fim lm cntc, la aceleración relativa d e C a » n respecto a B es
A o b - 26X>5 in/sJ
7 .5 .2 C o m p o n e n t e s d e l a a c e le r a c ió n
r e la tiv a
La aceleración d e lo s p u n to s d e u n m ecan ism o se an aliza m u ch o
m á s fácilm ente c u a n d o s e se p ara e n s u s co m p o n e n te s n o rm a l y
tan g en cial. P a ra eslab o n es q u e están su je to s d ire c ta m e n te a la
b ancada, la dirección d e la s com ponentes d e la aceleración es ev i­
d en te, c o m o se v io e n la se cció n an terio r. La c o m p o n e n te no rm al
siem pre está d irig id a h a d a el c e n tro d e ro ta d ó n ; m ie n tra s q u e la
c o m p o n e n te tan g encial es p e rp e n d ic u la r a la c o m p o n e n te n o r­
^5^
m al, y e stá e n u n a d ire c d ó n consistente c o n la acele r a d ó n o con
la desaceleración d el p u n to . R ecuerde q u e la ace le ra d ó n tangen d a l está e n la d ire c d ó n d el m o v im ien to cu an d o el p u n to acelera
I b r el c o n tra rio , la aceleración ta n g c n d a l es o p u e s ta a la d irec­
d ó n d el m o v im ien to c u a n d o el p u n to desacelera.
E n p u n to s q u e se e n c u e n tra n s o b re el m ism o e slab ó n , un
eslabón q u e n o e stá su jeto d ire c ta m e n te a la bancada, el análisis
se c e n tra e n las a c e le ra d o n e s relativas d e esos p u n to s. La figura
7 .9 m u e s tra u n eslab ó n c o m o este, q u e n o está d ire c ta m e n te su ­
je to a la b a n c a d a , g e n e ra lm e n te lla m a d o e s la b ó n d o ta n te . S e
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180
CAPITULO SIETE
d ó n c o n el p u n to d e referencia. En o tra s palabras, el m ovim ien to relativo d e B c o n resp ec to a A s e visualiza c o m o si el p u n to B
estuviera g ira n d o a lre d e d o r d el p u n to A . P o r l o ta n to , la c o m p o ­
n e n te n o rm a l d e la a c e le ra c ió n relativ a e s tá d ir ig id a hacia el
c e n tro d e ro ta c ió n relativa, o p u n to d e referencia. La a c e le ra d ó n
tangencial relativa es p e rp e n d ic u la r a la a c e le ra d ó n n o rm a l re­
lativ a. Las m a g n itu d e s d e e s ta s c o m p o n e n te s s e c a lc u la n d e
m o d o sim ilar a la a c e le ra d ó n ab so lu ta d e lo s p u n to s q u e g ira n
a lre d e d o r d e p u n to s fijos.
di
(7.19)
di
< * * » )’
m u estra la aceleración relativ a e n tre d o s p u n to s q u e se e n c u e n ­
tr a n so b re e s e e slab ó n . O b serv e q u e ta m b ié n s e p re se n ta n las
c o m p o n e n te s n o rm a l y tan g en cial d e esta aceleración, y están
d irig id as a lo larg o d el eslab ó n ( n o rm a l) y so n perp en d icu lares
a l eslab ó n (ta n g e n c ia l). R eiteran d o , la a c e le ra c ió n relativ a d e
d o s p u n to s es la a c e le ra c ió n d e u n p u n to o b se rv a d o d e s d e el
o tr o p u n to d e referencia.
C o m o e n el an álisis d e velocidad, e l m o v im ie n to relativo
co n siste e n ro tació n relativ a p u r a d el p u n to o b se rv ad o e n rela-
(7.20)
'BA
La d ir e c d ó n d e la a c e le ra d ó n tangencial relativa d e b e ser
c o n s iste n te c o n la a c e le r a d ó n a n g u la r d el e s la b ó n flo ta n te , y
viceversa. En referen cia a la figura 7.9 , la ace le ra d ó n tangencial
relativa m u e s tra la a c e le ra d ó n tangencial d el p u n to B c o n fo rm e
g r a a lre d e d o r d d p u n to A d irig id a h a d a a r rib a a la d e r e c h a de
lo cu al s e d e d u c e u n a ace le ra d ó n an g u lar d el eslab ó n 3 e n s e n ­
tid o h o rario .
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7 .6
Para la sierra d e p o te n d a p a ra m etales del problem a d e ejem plo 7 5 , determ ine la aceleración an g u lar del eslabón
o n c c t o r d e 6 in (eslabón 3).
S O L U C IÓ N :
I.
Id en tifiq u e la g eo m etría d d eslabón relevante
l a acelerad ó n relativa d e C c o n respecto a B se determ inó como:
A OB - 26.05 in /s2 ^35*”
En la figura 7.7 observe asim ism o que el eslabón conector tien e u n á n g u lo d e inclinación d e 15a. E m plean­
do esos datos, la aceleración relativa total se o btiene a p artir d e las com ponentes no rm al y tangencial, las cuales
se ilustran e n la figura 7.10.
FIGURA 7.10 A ce le ra a o n e s relativas d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.6.
Obtenga la aceleración to ta l relativa a p a r tir d e las com ponentes n o rm a l y tangencial
l a figura 7.10 m uestra que son 20a (35a - 1 5a) los que separan al vector d e aceleración total relativa y la com ponente
nom uL E ntonces, lis m agnitudes de b s com ponentes de b aceleración relativa se determ inan analíticam ente con
A o * - *>c/fl(sen 20*) - 26.05 in /s 2(sen 20a) - &9I in/s2
A c/fl = flc/fl(ca>8 20*) = 2S05 in/s2 (eos 20*) = 24.48 in/s2
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^¡5*r
7 j/
A n á lisis d e a c e le r a c ió n
181
C a k u le la aceleración a n g u la r d el eslabón 3
En la figura 7.10 s e observa q u e b aceleración tangencial del p u n to C c o n respecto a Bes hacia abajo a la derecha.
Esto im plica q u e la aceleración an g u lar d el eslabón 3 tiene sentido antihorario. Id m ag n itu d se determ ina como:
a'oB
8.91 in /s2
6 in
- 1.49 rad/s2
Por lo tanto, la aceleración an g u lar del eslabón co n ecto r se determ ina de la siguiente m anera:
o , = 1.49 rad/s2, e n sentido antihorario
7.6 ANÁLISIS DE A CELERACIÓN RELATIVA:
M É T O D O G R Á F IC O
El análisis d e aceleración g e n e ralm en te se em p lea p a ra d e te r m i­
n a r la aceleración d e v ario s p u n to s so b re u n m ecan ism o en u n a
co n fig u ració n especifica. D eb e e n ten d erse q u e los resu ltad o s d e
este análisis s o n las características d el m o v im ie n to in stan tán e o .
C o n fo rm e el m ecan ism o s e m ueve, in clu so u n a d is ta n d a in fin i­
tesim al, c a m b ia n la s c a racterísticas d e l m o v im ie n to . S in e m ­
bargo, s e n ecesitan la s características in stan tán e as, s o b re to d o
lo s valores e x trem o s. Se h a h e c h o énfasis e n q u e la aceleración
p ro d u c e f u e r a s inerciales s o b re lo s eslab o n es d e u n m e c a n is­
m o. S e d e b e n e n te n d e r co m p letam en te lo s esfuerzos resultantes
p a ra g a ra n tiz a r la o p e ra c ió n se g u ra d e u n a m áquina.
l o estrategia p a ra d e te rm in a r la aceleración d e u n p u n to im ­
plica conocer l i aceleración d e crtro p u n to sobre el m ism o eslabón.
A sim ism o, se deb e co n o cer tam b ién la velocidad d el p u n to q u e se
desea calcular y la velocidad re b tiv a e n tre los d o s p u n to s. E sta info rm a d ó n p o d ría req u erir u n análisis de velocidad relativa com o
d d escrito e n el c ap itu lo 6.
0 an álisis p u e d e realizarse e n to d o el m e c a n is m o usan d o
p u n to s q u e so n co m u n e s a d o s eslabones. P o r e je m p lo , u n p u n ­
to q u e s e e n c u e n tra e n u n a u n ió n es c o m ú n a d o s e s b b o n e s.
P b r l o ta n to , d e te rm in a r b a c e le ra d ó n d e e ste p u n to f a d lita d e ­
te r m in a r p o s te rio r m e n te b a c e le r a d ó n d e o t r o p u n t o s o b re
cu a lq u ie r e slab ó n . E n to n c es, s e p u e d e d e te rm in a r b a c e le r a ­
d ó n d e c u a lq u ie r p u n to s o b re u n m ecan ism o tr a b a ja n d o h a d a
lucra, a p a r tir d el e s b b ó n d e e n tra d a .
R ecu erd e d e la e c u a d ó n (7.18) q u e b ecu ació n d e a c e le ­
r a d ó n relativa s e am p lía p a ra i n d u i r las co m p o n e n te s n o rm a l y
+ > A g = A£ + > A ¿ + > A % a + > A 'b a
S u p o n g a q u e s e n ecesita d e te rm in a r b a c e le ra c ió n d el
p u n to B y se c o n o c e la aceleración d el p u n to A. S u p o n g a ta m ­
b ié n q u e y a s e realizó u n a n á lis is c o m p le to d e v e lo d d a d in ­
cluyendo los d o s p u n to s. En u n a situ ac ió n típica, s e conocen las
d ire c d o n e s d e b s seis co m ponentes. Todas b s co m p o n e n te s n o r­
m ales están d irig id as h a d a el c e n tro d e ro tació n relativa. Todas
las co m p o n e n te s tangenciales so n perp en d icu lares a las c o m p o ­
nentes norm ales. A sim ism o, b s m a g n itu d es d e to d o s lo s vectores
d e ace le ra d ó n n o rm a le s se calculan c o n b e c u a d ó n (7.14) o la
(7 .1 5 ). D esde luego, b m ag n itu d d e b a c e le ra d ó n tangencial del
p u n to co n o cid o (p u n to A ) se h a d eterm in ad o tam bién. P o r c o n ­
sig u ie n te , el a n á lis is v e c to r b l t a n s o lo n ecesita d e te rm in a r b
m a g n itu d d e la c o m p o n e n te ta n g e n c ia l d el p u n t o d e s e a d o y
b m a g n itu d d e la c o m p o n e n te tangencial rebtiva.
El análisis d e acelerad ó n relativa es u n p ro b lem a d e vectores
id én tico a los p ro b le m a s g en erales p resen tad o s e n b s se c d o nes 3,18 y 3.19. Son posibles ta n to b s soluciones gráficas com o las
analíticas, com o se v io e n el c ap ítu lo 3. En m u c h o s problem as, el
v alor d e d e rto s térm inos p u ed e s e r a r o , elim inando d e esta m ane­
ra a lg u n a s d e b s se is c o m p o n e n te s v ecto riales d e la e c u a d ó n
(7 .18). P o r ejem plo, cu an d o el p u n to co n o cid o s e e n c u e n tra en
u n a u n ió n q u e e s c o m ú n a u n eslab ó n c o n v e lo d d a d a n g u la r
constante, el p u n to n o tien e ace le ra d ó n tangencial. O tr o ejem plo
se presenta cu an d o u n p u n t o es c o m ú n a u n e s b b ó n q u e está res­
trin g id o a m o v im ien to lineal. La veloddad d el p u n to n o c a m b b
d e d ir e c d ó n y p o r e llo el p u n to n o tien e ace le ra d ó n n o rm al.
C o m o e n el análisis d e v e lo d d ad , b so lu c ió n g ráfica d e los
p o líg o n o s d e a c e le ra d ó n s e realiza usan d o té cn icas m an u ales de
d ib u jo o u n sistem a d e c a d . L a lógica e s id én tica; n o o b sta n te , b
s o lu c ió n c o n c a d n o e stá lim ita d a p o r b ex actitu d d el dibujo.
In d e p e n d ie n te m e n te d el m é to d o q u e se u tilice, lo s con cep to s
subyacentes d el an álisis gráfico d e p o sic ió n se ilu stra n y s e a m ­
p lían m e jo r c o n lo s sig u ien tes pro b lem as d e ejem plo.
PR O B LE M A D E E JE M P L O 7.7
0 m ecanism o m o strad o e n b figura 7.11 se disertó para m over objetos a lo largo de u n transportador d e bandeja y,
luego, voltearlos y bajarlos a o tra banda transportadora, l a rueda im pulsora g ira c o n u n a velocidad angular constante
de 12 rpm . D eterm ine b velocidad angular d el balancín que g ira y baja las partes.
S O L U C IÓ N :
1.
Elabore el diagram a cinem ático e id en tifiq u e los grados de libertad
La parte d el m ecanism o que está e n consideración incluye la rueda im pulsora, el brazo seguidor y el eslabón que
u n e am bos. O bserve que, nuevam ente, este es d conocido m ecanism o d e c u a tro barras que tien e un g rad o d e li­
bertad. En la figura 7.12a s e presenta el diagram a cinem ático a escala.
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182
CAPITULO SIETE
2,
H ija e l m étodo para o b ten er la aceleración deseada
l a aceleración angular del balancín (eslabón 4) se o btiene a partir de la com ponente d e aceleración tangencial
del p u n to C POr consiguiente, b esencia del problem a es d eterm in ar b aceleración del p u n to C . En su m om ento,
b aceleración del p u n to C , la cual se e n c u e n tra tam bién sobre el eslabón 3 . se determ ina conociendo b ace­
leración del p u n to B. FJ p u n to B está u b icad o e n los esb b o n es 2 y 3. P o r ende, b aceleración del p u n to fi se o b ­
tiene conociendo el m ovim iento del eslabón de entrada, el e s b b ó n 2 .
f ig u r a
7 .1 1
M ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo
7 .7 .
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A)
f ig u r a
7 .1 2
Diagram as del problem a d e ejem plo
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7 .7 .
A n á lisis d e a c e le r a c ió n
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7 .1 2 ( C o n ti n u a c ió n ) .
D eterm in e la \eio cid a ¿ d e los p u n to s B y C
El prim er paso es construir u n diagram a d e velocidad que incluya los p u ntos B y C El cálculo de la m ag n itu d de
b velocidad d el p u n to B se realiza d e la siguiente m anera:
w 2( rad /s) = — (tu rp m ) = — (12 rp m ) = 1.26 rad/s, e n sentido antihorario
30
30
Vfl = <o} r»B = (1 2 6 rad /s)(0 7 5 ft) = .943 ft/s
^5*'
la dirección de V B« perpendicular al eslabón 2 y en una d irecd ó n consistente con at¡. la c ia abajo y a la
derecha. Utilizando el CAD.se traza un v ectora escala a p artir del origen del diagram a d e velocidad, para repre­
sen tar esta velocidad.
U ecuación de velocidad relativa para los p u ntos B y C s e escribe com o:
Vc » V * + > V o s
A s , e n el origen del diagram a d e velocidad, se traza u n a linea que represente la dirección d el vector Vc . Esta
es perpendicular al eslabón 4 porque el p u n to C se encuentra sobre el eslabón q u e pivota alrededor de un c e n tro
fijo. En el extrem o del secto r V * tam bién se traza u n a linea p a ra representar la dirección de V o » C o m o con los
sectores d e velocidad relativa, b dirección es perpendicular a la linea que u n e los p u n to s C y B. l a intersección
de las lineas d e dirección d e V c y V Cj b determ ina las m agnitudes de am bos vectores. En la figura 7.12b se m ues­
tra el diag ram a d e velocidad com pleto.
M idiendo con la escala adecuada lo s vectores d el diagram a se obtiene lo siguiente:
V C - 1 2 9 0 ft/s
Va a =
4.
1 .9 5 0 ft/S
/7 6 *
8 o \
C ala/le las com ponentes d e aceleración
El paso siguiente es c o n stru ir u n diagram a d e aceleración que incluya lo s p u ntos B y C El cálculo de las m agni­
tudes d e las aceleraciones conocidas se hace d e la siguiente m anera:
■'
A
(dirigida hacia el centro d e rotación,
p u n to A)
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184
CAPITULO SIETE
a'a = a , r A B = (0) (0.75 ft) = 0 ft/s 2
(V0 fl) J
a ob - - 7 —
(1.950 ft/*)2
-
TCB
/
- ^oo ft/s
4.75 II
A se .
(d irig id a d e
p a r tir d e l
C“
(V e)1
O ^ O ft/* )1
'a >
l-5 ft
C h a c ia
cad
B , m e d id a a
)
- 1.109 ft/s2
(d irig id a h a c ia e l c e n tr o d e ro ta c ió n ,
p u n to D , m e d id a a p a r tir d e l Ca
d
)
C onstruya e l diagram a d e aceleración
l a ecuación d e aceleración relativa de los p u n to s B y C e s
\ nc + > A 'c = A ; + > A¡, + > A ^ b + > A ¡ , ¡
En la elaboración d el diagram a d e acelerad ó n , b co n stru ed ó n del vector se inicia arbitrariam ente con el seg in d o m iem bro d e b ecuación. S e traza u n a linea e n el o rijp n del d n g ram a de aceleración que represente el vec­
tor A j que es totalm ente conocido. C om o tiene m agnitud igual a cero, el vector Aj, se elim in a del diagram a de
aceleración. Entonces, e n el ex trem o del vector A jjse traza otra linea que represente el vector A ^ e l cual tam ­
bién es totalm ente conocido. En el ex trem o d e este vector, s e traza u n a lin ea que represente la d irecd ó n del vec­
to r A¡j,». La m agnitud n o se conoce, pero la dirección e s perpendicular a la com ponente no rm al A?j b.
C entrándonos e n el lado izquierdo d e la ecuación, se inicia u n a n u ev a serie de vectores a partir del origen
del diagram a d e aceleradón. Se dibuja una linca para representar el vector A q el cual es totalm ente c o n o d d o . En
d extrem o d e este vector, se traza una lin ca q u e represente la dirección del vector A jj sin em barga, la m agnitud
drl vector es d esconodda. La lin ca se dirige perpendicular a la co m ponente no rm al A © Finalm ente, la intcrsecd ó n d e las direcciones d e la s lineas A ^ y AÓfidetermina las m agnitudes de am bos vectores. En la figura 7.12c se
m uestra el diagram a de aceleración com pleto.
M id a las com ponentes d e la aceleración q u e s e desea conocer
h C d ic n d o c o n l a e s c a la a d e c u a d a la s m a g n itu d e s e n e l d ia g r a m a , s e o b tie n e l o s ig u ie n te :
A¡7 = 1.879
A o a = 5 8 5 ft/s2
8o\
Advierta q u e la aceleración tangencial del p u n to C está e n la m ism a dirección q u e la velocidad. E llo indica
que el p u n to C está acelerando (increm entado s u velocidad), n o desacelerando.
C alcule la aceleración a n g u la r q u e s e desea conocer
F inalm en te, se calcula la aceleración a n g u la r d el eslabón 4. O b se rv a n d o la d ire c c ió n d e la c o m p o n e n te t a n ­
gencial d e la a c e le ra d ó n d el p u n to C (a rrib a y a la d e re c h a ), es evidente q u e el eslabón 4 acelera e n d irec­
d ó n h o r a ria . La m a g n itu d d e esta aceleración a n g u la r se calcu la d e la sig u ien te m anera:
•
’CD
(1 8 7 9 ft/s2)
1 .5 l t
" 1 2 5 r»d/»2
E ntonces, la a c e le ra d ó n a n g u la r d el b a la n c ín es
a 4 * 1.25 rad/s2, e n sentido horario
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.8
H m ecanism o m o strad o e n la figura 7.13 es u n a troqueladora disertada para realizar operaciones de estam pado suce­
sivas. La m áquina acaba de encenderse y e n d instante m ostrado ( u n d o n a a tc»da velocidad. 0 eje m o to r g ira e n sen­
tido h o rario c o n u n a velocidad an g u lar de 72 rad /s y acelera a 250 rad /s2. En el instante m ostrado, determ ine la ace­
lerad ó n de la m atriz d e estam pado q u e golpea la pieza d e trabajo.
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185
a - 2 5 0 in d i" '
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
7.13 M ecanism o d el p ro b le m a d e ejem plo 7.8.
B abore el diagram a cinem ático e id en tifiq u e los grados d e libertad
l a parle d el m ecanism o q u e está e n consideración incluye la rueda im pulsora, la m atriz de estam pado y el esla­
bón q u e los u n e . O bserve q u e esle es el conocido m ecanism o efe m anivela-corredera que tien e u n solo g ra d o de
libertad. En la figura 7.14 a se m uestra el diagram a cinem ático a escala.
B ija el m étodo para calcular la aceleración deseada
l a acelerad ó n de la m atriz (eslabón 4) corresponde a un m ovim iento estrictam ente de traslación y es idéntico al
m ovim iento del p u n to A . La aceleradón del p u n to A,el cu al tam bién se e n c u e n tra sobre el eslabón 3, s e deter­
m ina conociendo la aceleración del p u n to fl. El p u n to B se en cu en tra tanto e n el eslabón 2 com o e n el eslabón 3.
Ib r lo tanto, la aceleración del p u n to B se determ ina una vez q u e se conoce el m ovim iento del eslabón d e e n ­
trada, el eslabón 2.
D eterm ine la telo cid a d d e los p u n to s A y B
H cálculo d e la m ag n itu d d e la velocidad del p u n to B es com o sigue:
Vfl - o>¡rÁB - (72 r a d /s ) ( lá ) in) = 72 in/s
La dirección d e VB es perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la d irecd ó n de a>¡, hacia a rrib a a la
v q u ierd a. U sando el cx o .se dibuja u n vector a escala, a p artir del origen del diagram a d e velocidad, para repre­
sen tar esta veloddad.
f i g u r a 7.14 Diagram as del problem a d e ejem plo 7.8.
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186
CAPITULO SIETE
f i g u r a 7.14 {Continuación),
0 paso siguiente es construir un diagram a d e velocidad que incluya los p u n to s A y B. l a ecuación d e ve­
locidad relativa de los p u n to s A y B es
Va = V s + > V A/B
A si en d origen del diagram a d e velocidad, se traza una línea que represente la dirección del v ector VA. Esta
es paralela a la superficie de deslizam iento porque el eslabón 4 está restringido al m ovim iento de deslizam iento
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187
vertical. En el extrem o del vector V#, se traza una línea que represente la dirección de
C om o con todos los vec­
tores d e velocidad relativa entre dos puntos sobre la m ism a línea, b d itre d ó n es perpendicular a b Enea que une los
p u ntos A y R U intersección d e las lineas de dirección de VAy V v e determ ina las m agnitudes d e am bos vectores.
En b figura 7.14b se ilustra el diagram a d e velocidad com pleto.
M idiendo c o n la escala adecuada las m agnitudes de los vectores del diagram a, se obtiene lo siguiente:
V A = 7 0 3 in /s í
= 36.8 in /s / f 3 °
4.
Calcule las com ponentes d e la aceleración
El paso siguiente es c o n stru ir u n diagram a d e aceleración que incluya los p u ntos A y B.EI cálculo de las m agni­
tudes d e las aceleraciones conocidas s e realiza con las ecuaciones:
(dirigida hacia el c e n tro de rotación,
p in to Q
- a 2 rAB - (250 rad/sJ ) (1 .0 in) - 250 in/s2 6 o \
(en dirección perpendicular
a B C e n la dirección d e la
areleración angular)
( va >b) J
( 3 6 .8
in /s ) 2
4 C ta
*
3 5 8 1 ^
(dirigida d e A hacia B, m edida
delCAD)
O bserve q u e el p u n to A n o tiene aceleración no rm al porque el m ovim iento es estrictam ente de traslación.
5.
Construya el dia g ra m a d e aceleración
l a ecuación d e aceleración relativa de los p u n to s A y B se escribe como:
a- + > a; -
as
+ > a ¿ + > a ; „ * - > A ;/fl
Al elab o rar el diag ram a d e aceleración, la co n stru cció n vectorial iniciará arb itrariam en te e n el segundo
m iem bro d e b ecuación. En el o rig en d el diag ram a d e aceleración s e traza u n a lin ea q u e represente el vector
AS que se conoce. En el extrem o d e A ¿ s e traza u n a lín ea q u e represente el vector A ¿ q u e tam bién se conoce.
En el ex trem o d e e ste vector, se tra z a u n a lín ea que represente la dirección d el vector A ^/» Este es perp en d icu b r a la c o m p o n e n te no rm al A *,a, p e ro tie n e m ag n itu d desconocida.
Centrándose e n el lado izquierdo de la ecuación, se m id a u n a nueva serie d e vectores a partir del origen del
d u g ram a de aceleración. El vector A ^ tien e m agnitud igual a cero y se ignora. S e traza u n a linca q u e represente
b dirección d el vector A'*; sin em bargo, la m a g n itu d es d csco n o d d a. La lín ea es paralela al m o v im ie n to de
deslizam iento d el eslabón 4 . Finalm ente, la intersección d e las direcciones d e A * y a '^ b determ ina las m agni­
tu d es d e am bos vectores. El diagram a d e aceleración term in a d o se m uestra en la figura 7.14c.
6.
M íd a la s com ponentes d e la aceleración q u e se desea obtener
M idiendo c o n la escala adecuada las m agnitudes de los vectores e n el diagram a, s e o btiene lo siguiente:
A[ jB = 4404 in/s2
1^7
A¿ = 2138 in /s2 !
Cb m o d o que la aceleración total del p u n to A es
A a = A'a = 2138 in/s2 = 178 ft/s2 = 5 3 3 g T
Observe que la aceleración tangencial del p u n to A se en cu en tra m la m ism a dirección q u e la velocidad. Esto
indica q u e e l p u n to A ¡xelera (au m en ta de velocidad), n o desacelera.
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CAPITULO SIETE
7.7 ANÁLISIS DE A CELERA CIÓ N RELATIVA:
M É T O D O A N A LÍTIC O
La estrateg ia p a r a d e te rm in a r a n a líticam en te la aceleració n d e
v a rio s p u n to s so b re u n m ecan ism o es idén tica al m é to d o d es­
c rito en la se cció n an te rio r. L a diferen cia e s q u e lo s p o líg o n o s
vectoriales t a n s o lo necesitan e sta r g ra fic a d o s b u rd a m e n te . La
m a g n itu d y los á n g u lo s s e d e te r m in a n u s a n d o los m é to d o s
a n alítico s p re s e n ta d o s e n e l c a p ítu lo 3 e in c o r p o ra d o s en el
c ap ítu lo 6 y e n las secciones previas d e e ste c a p ítu lo . La fo rm a
m is efectiva d e p r e s e n ta r e l m é to d o a n a lític o d el a n á lis is de
aceleración e s c o n u n p ro b le m a d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.9
H m ecanism o que se presenta e n la figura 7.15 so útil ir a para alim entar cajas d e cartón a u n a m áquina etiquetadota
y. al m ism o tiem po, e v ita r q u e se caigan las cajas alm acenadas. A to d a velocidad, el eje im pulsor g ira con u n a veloci­
d ad an g u lar d e 2 0 0 rp m e n sentido h o rario . En el instante m o strad o , determ ine la aceleración d el ariete y la acckrración an g u lar d e la biela.
FIGURA 7.15 M ecanism o d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.9.
S O L U C IÓ N :
1.
hlabo re el diagram a cinem ático
l a parte d el m ecanism o que está e n consideración incluye la m aniveb im pulsora, el ariete d e em puje y el eslabón
«jue une a am bos. N uevam ente, observe que este es el conocido m ecanism o de m anivela-corredera e n línea. En la
figura 7.16a se presenta el diagram a cinem ático.
f ig u r a 7.16
2.
D iagram as d d p ro b le m a d e e jem p lo 7.9.
B ija el m ito d o para o b ten er la aceleración deseada
C o m o e n el problem a de ejem plo 7.8. la aceleración del ariete (eslabón 4) corresponde a un m ovim iento estricü m e n te d e traslación y e s idéntica al m ovim iento d el p u n to C . La aceleración d el p u n to C ,d cual tam bién reside
en el eslabón 3, se determ ina conociendo la aceleración d el p u n to B. El p u n to B se en cu en tra tanto e n el eslabón
2 com o e n el eslabón 3. P o r lo tanto, la aceleración del p u n to B se determ ina conociendo el m ovim iento del esh b ó n d e entrada, el eslabón 2.
3.
Analice la geom etría d el mecanismo
B ángulo e n tre el eslabón 3 y la superficie horizontal de deslizam iento del eslabón 4 ./J en la figura 7.16a, se detr m i n a u sa n d o la ley d e los senos.
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189
D eterm ine la velocidad d e los p u n to s B y C
Sr calcula la m agnitud d e la velocidad del p u n to B usando la siguiente ecuación:
«2 ■ ^
(200 rp m ) • 20.9 rad/s
V B = U jr jv =* (20.9 rad/s) (3.0 in ) = 62.8 in/s
^50*
la dirección de Vs es perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la dirección de <o¡, hacia abajo y a la
derecha. La velocidad del p u n to C e s paralela a la superficie horizontal d e deslizam iento, y la velocidad d e C c o n
respecto a B es perpendicular al eslabón q u e une los p u n to s B y C . Cal cu lando este ángulo:
90’ + ( - 0 ) « 90* + (-1 3 .9 * ) - 76.1*
C onociéndolas direcciones de los vectores d e interés s e ensam bla d poligono d e velocidad (figura 7.16b).
l a m ag n itu d del tercer ángulo e n el polígono d e velocidad s e determ ina porque la su m a de todos los án gulos en
u n triángulo e s d e 180°.
180* - (50* + 76.1’) = 53.9*
la s m agnitudes de las velocidades s e determ inan con la ley d e los senos.
l a s velocidades desconocidas se obtienen de la siguiente m anera:
v° ' - * • ( = £ ? ) • * «
■ 4 , í i-*
Calcule las com ponentes d e aceleración
B paso siguiente es construir u n diagram a de aceleración que incluya los p u ntos B y C Calcule las m agnitudes
de las aceleraciones conocidas usando las siguientes ecuadones:
_
( VB)2
Ab AB
(62.8 in /s)2
3.0 in
,
- 1314.6 in/á2
_
4C7 7
(dirigida hacia el c e n tro d e ro tad ó n ,
p u n to A)
AB =
o i' a b
— (0 rad/s1) (3J3 in ) = 0
(porque el eslabón im pulsor g ira a
v d o d d a d constante)
(V o s )1
A& * - — --------rBC
( 4 9 A in /s ) 1
r r —
8.0 in
,
«
- 3 0 7 3 in /¿
13.A ,
(dirigida d e C h a d a B)
Advierta q u e e l p u n to C n o tím e acelerad ó n no rm al porque el m ovim iento es estrictam ente de trasladón.
l i e m étodos vectoriales p a ra resolverla ecuación de aceleración relatU a
l a ecuación d e aceleradón relativa p a ra los p u ntos B y C s e escribe com o:
A£ +> A ¿ - A j +> A ¿ +> A 2 * + > A ' o b
Al elaborar d diagram a de aceleración, la ubicación vectorial inicia arbitrariam ente e n el lado derecho de la
e c u a d ó n . En el origen d el diag ram a d e aceleración, s e coloca el vector Aj| q u e es com pletam ente c o n o d d o .
C óm o n o hay co m ponente tangenda! de la acelerad ó n del p u n to B, s e ig n o ra e l térm ino A ¿ El vector A fraq u e
tam bién es com pletam ente conocido s e coloca e n el ex trem o de A% En el extrem o d el vector A?;Bse coloca el
secto r A (¡ ¿ sin em bargo, solam ente se co n o ce la d ire c d ó n de este vector. Es pcrpendkukir a la com ponente n o r­
m al A q B y. p o r lo tanto, perpendicular a la linca q u e u n e B y G E I ángulo se calcula com o:
90" + ( - 0 ) = 90° + (—13.4*) = 76.1*
Se ig n o ra el p rim e r té r m in o d el p rim e r m ie m b ro d e la e c u a d ó n p o rq u e n o existe c o m p o n e n te n o rm a l
d e la a c e le ra d ó n del p u n to C E ntonces, el v ector q u e rep re sen ta la ace le ra d ó n tan g en cial del p u n to C s e
coloca e n el o rig e n . S in em bargo, ú n ic a m e n te s e c o n o c e la direcció n d e este vector: es p aralelo a la su p e rfi­
cie h o riz o n ta l e n la cu al e stá re strin g id o el deslizam iento d el eslab ó n 4. E n la fig u ra 7 .1 6 c s e m u e s tra el
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CAPITULO SIETE
p o l l i n o v ectorial. Las m a g n itu d es v ecto riales desconocidas,
y A ^ s e d e te rm in a n u sa n d o los m étodos
p resen tad o s e n el c ap itu lo 3. P rim e ro se s e p a ra cada v e c to r e n s u s co m p o n e n te s h o riz o n ta l y vertical, c o m o
se in d ica e n la ta b la 7.2.
J TABLA 7 .2
C o m p o n e n te s d e a c e le r a c ió n d e l p r o b le m a d e e je m p lo 7 .9
r
Vector
Angulo de
referend* (0,)
Componente horizontal
•» = a a tsO ,
1
Componente vertical
a , - o te n » .
* ; a;
220*
10075
8455
A ¿a
166.1*
-2 9 8 5
73.9
76.1*
240
180*
Ac
-*«C
.971 a i *
0
S e escrib en ecuaciones algebraicas sep arad as d e las co m p o n e n te s h o riz o n ta l y vertical.
A c ■ Ag + > A q B + > A c /8
com p. horizontal- + ac - (-1 0 0 7 .0 ) + ( - 2 9 8 5 ) + ( + 0 2 4 0 u ó n )
com p. vertical:
0 -
( -8 4 5 .0 ) + (+ 7 3 .9 ) + ( +0.971 a'a B )
La ecu a c ió n d e la c o m p o n e n te vertical s e resuelve alg eb raicam en te p a ra o b te n e r:
a'on - 794.1 in/*1
E ste resu ltad o s e su stitu y e lu e g o e n la ecu a c ió n d e la c o m p o n e n te h o riz o n ta l p a r a d a rn o s la m ag n itu d
Oc - 1496.1 in /s2
7.
Especifique con claridad los resultados deseados
La respuesta form al del m ovim iento d el ariete es
V , - 5 2 5 in /s
—
A( “ 1496.1 in /s «—
Advierta que c o m o la aceleración tien e dirección opuesta al m ovim iento y a la velocidad d el ariete, el ariete
desacelera.
8.
Calcule la aceleración angular
finalm ente, se calcula el m ovim iento de la biela.
n*3
Vo b
4 9 5 in/s
_
„
------ ■ — -------= 6.2 rad/s, e n sentido a n ü h o ra n o
rCB
8 in
donde la dirección es consistente con la velocidad de C relativa c o n B, e n sentido antihorario. Asimismo,
a,
í »q b
794.1 in /s
,,
,.
--------- — - ■ ■----- ■ 9 9 5 rad/s‘, e n se n tid o an tih o ran o
rCfl
8.0 in
donde la dirección es consistente c o n la aceleración tangencial d e C relativa con B e n sentido antihorario.
7.8 SO L U C IO N E S ALGEBRAICAS
DE M E C A N ISM O S
COM UNES
7 .8 .1
Para lo s co n o cid o s m ecan ism o s d e m anivela-corredera y d e cua­
t r o b a rra s , s e d is p o n e d e so lu c io n e s a lg e b ra ic a s d e fo rm a ce­
rra d a |r e £ 12). Estas s e p ro p o rc io n a n e n la s siguientes secciones.
M e c a n is m o d e m a n iv e la - c o rr e d e r a
En la figura 4 2 0 s e p resen ta u n m ecanism o d e m anivela c o r re d ­
era e n general que s e d efine ta n so lo p o r las d im en sio n es L¡, L ¡ y
l * C o n u n g rad o d e lib erta d , ú n icam en te se d e b e especificar el
m o v im ie n to d e u n eslabón p a r a im p u lsa r los o tro s eslabones.
C o n m ucha frecuencia es la m anivela la q u e se im p u lsa y se es­
pecifican 0 2,
y i t j . Para resolver fácilm ente u n m ecanism o de
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
m a n iv e la -c o rre d e ra , e stá n d isp o n ib le s la s e c u a c io n e s d e p o si­
d ó n , v e lo d d a d y ace le ra d ó n (en (u n ció n d e
coj y a¿ ). C o m o
se v io e n el c ap itu lo 4 , las e c u a d o n e s d e p o s id ó n son:
0 3 = sen
=
La
L j
_ , / T , + L2 s c n f l2\
^
—
j
c o s (0 2) +
(4.6)
c o s ( 0 j)
(4 .7 )
C o m o se ex p u so e n el c ap itu lo 6 . la s e c u a d o n e s d e v e lo d ­
d a d so n :
( ¡ 2 COS 9 A
^ U
(6 . 12)
co sbJ
v« = -< o¡L¡ s e n
+ co yL yS en d y
(6 .1 3 )
Las ecu acio n es d e a c e le ra d ó n e stá n d a d a s p o r (re £ 12]
a, =
11$ L j s e n 0, +
¿ 3 s e n 6 , - a 7L j eo s 0 }
LyCOS 6 y
a « = - d j L j s e n f l* -
(7.21)
ayL ysendy
- tu jL j e o s 6 , - UtyLy t o s 63
(7 .2 2 )
O b serv e q u e el an álisis d e u n a m a n iv e la -c o rre d e ra e n lin ca se
realiza h a d e n d o L , igual a cero e n la e c u a d ó n (4.6).
7 .8 .2
M e c a n is m o d e c u a t r o b a r r a s
En la fig u ra 4.22 s e ilu s tra u n m e c a n is m o d e c u a tro b a rra s en
g en eral q u e s e d e fin e ú n ic a m e n te c o n la s d im e n sio n e s L \,L j,L y
y l+. C o n u n g r a d o d e lib erta d , t a n s o lo se d e b e e sp e d fic a r el
m o v im ie n to d e u n eslab ó n pora im p u lsa r lo s o tr o s eslabones.
C o n m u c h a frecuencia, es la m anivela la q u e s e im p u lsa, y s e esp e d fic a n 0¡. co jy o j. P ara resolver fá d lm e n te u n m ecan ism o de
c u a tro b arra s, están d isp o n ib les las e c u a d o n e s d e p o s id ó n . ve­
lo d d a d y a c e le ra d ó n (en (u n ció n d e 0 ,. u * y a } ). C o m o s e in ­
d ic ó e n el c ap itu lo 4. las e c u a d o n e s d e p o s id ó n son:
BD =
V L ¡ + L} - M
y
COS
[
» , = 2. a n - "
d t = 2 ta n - i
+ L\ -
BD '\
2( I , ) ( L , )
L| + I 3 -
+ L* X n y
(4.11)
L j cosQj — L , c o s y
L j s e n fl2 -
R ecuerde q u e u n eslab ó n flo ta n te n o e stá u n id o d ire c ta m e n te al
ed ab ó n fijo. P o r lo ta n to , el m o v im ien to d e u n eslab ó n flotante
n o e stá lim ita d o so la m e n te a ro ta c ió n o a tra s la d ó n , s in o a u n a
c o m b in a d ó n d e am bos. A su vez, p o r lo g eneral n o s e c o n o c e la
d ire c d ó n d el m o v im ie n to d e lo s p u n to s q u e se e n c u e n tra n s o ­
b re u n eslab ó n flo ta n te . C o m p á re lo c o n el m o v im ie n to d e un
p u n to q u e s e e n c u e n tra so b re u n eslabón u n id o al eslabón fijo.
0 m o v im ien to d e e s e p u n to d e b e piv o tar a u n a d ista n c ia fija d e
b u n ió n d e p e rn o . P o r co n sig u ien te, se co n o ce la d ire c d ó n del
m ovim iento.
b i los análisis d e aceleración presentados e n las se cd o n es a n ­
teriores, la prem isa subyacente d e la solución es q u e s e conoce la
d r e c d ó n d el m ovim iento. Para un p u n to e n g eneral sobre u n es­
b b ó n flotante, esto n o es válido. En dichos casas, se d eb en u sa r y
despejar sim ultáneam ente d o s e c u a d o n e s d e acelerad ó n relativa.
Para c o n o c e r la estrategia d e o b te n c ió n d e la a c e le ra d ó n de
un p u n to e n g eneral s o b re u n eslabón flo ta n te , considere el d ia ­
g ra m a d n e m á tic o d el m ecanism o d e c u a tro b arra s m o s tr a d o e n
b fig u ra 7.17.
El e s b b ó n 3 e s u n eslab ó n flo ta n te p o r q u e n o está su jeto
directam en te al eslabón 1, el eslab ó n f i ja C o m o lo s p u n to s A y
B se e n c u e n tr a n s o b re e sla b o n e s s u je to s a u n eslab ó n fijo, la
a c e le ra d ó n d e estos p u n to s s e d e te rm in a tá d lm e n te . E s d e d r,
usan d o lo s m é to d o s d e la s d o s se c d o n e s a n te rio re s , s e calcula
ta n to la direcció n c o m o la m a g n itu d d e A j, A*, AJJ y Ap.
S in e m b a r g a el p u n to C n o s e e n c u e n tra sobre u n eslabón
sujeto d irectam en te a u n eslabón fijo. P o r consiguiente, n o e s ev i­
d e n te la trayectoria exacta d el m o v im ien to d el p u n to C N o o b s­
tante. se escriben d o s ecuaciones d e aceleración relativa com o:
(4.10)
)
L j c o s d j + L4 -
7 .9 ACELERACIÓN DE U N PU N T O
EN GEN ERA L SOBRE UN
ESLABÓN FLOTANTE
(4.9)
2 ( L , ) ( L 2) c o s ( 6 2)
Ijs e n y
L, -
L jc o s y
(4.12)
L j s e n (0 4 - fl2) j
-C O j
co4 -
~ t» i
L ,s e n y
J
(6.14)
L j s e n (63 ~ d j)
(6.15)
L a sen y
Las e c u a d o n e s d e ace le ra d ó n se p resen tan com o:
a ,L , «tn(8; - fl.)
«*»
«j¿,cos(fl, - »«) - tojU * «jl,cos(g« - 0,)
L ,sm [0, - »,)
(7.23)
o , l , «n<», - 0 ,) * w } L , a * ( * , -
-
Ac = A g + > A'B + > K oh b + > A b a
(7.25)
AC = AS + > A*i + > A nO Á + > A ’cj a
(7-26)
E n la e c u a c ió n (7 .2 5 ) s e d esco n o cen ta n to la m a g n itu d
c o m o la d ir e c d ó n d e «ic ju n to c o n la m a g n itu d d e Oq * La
ecuación (7 3 6 ) presenta u n a in c ó g n ita ad id o n a l; a saber, la m ag­
n itu d d e A jy ¿ En g e n e ra l, s e p u e d e n e s c rib ir d o s e c u a d o ­
n es vectoriales, c a d a u n a c o n la c a p a d d a d d e d e te rm in a r d o s
C o m o se ex p u so en el c ap itu lo 6 , la s ecuaciones d e v e lo d ­
d a d so n :
COy =
191
o . f c t o r t é . - > .) +
(7.24)
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192
CAPITULO SIETE
in có g n itas. En u n análisis típico, « t a s e c u a c io n e p resen tan cuatr o c a n t i d a d » d esco n o cid as, d e m a n e ra q u e a l u s a r la s d o s
ecu ac io n e s sim u ltá n e a m e n te , se lo g ra d e te rm in a r la aceleración
d el p u n to C a p lic a n d o y a sea u n p ro c e d im ie n to g r á fic o o u n
p ro ced im ien to analítico. El siguiente p ro b le m a d e e jem p lo ilustr a este m étodo.
P R O B L E M A DE E JE M P L O 7 .1 0
B m ecanism o m o strad o e n la figura 7.18 sirv e p a ra jalar película cinem atográfica a través de u n proyector. El mecanism o es activado por b rueda im pulsora giratoria a una velocidad constante d e 560 rp m . En el instante m ostrado,
d eterm ine gráficam ente la aceleración d e la u n a q u e se en g u teh a en la película.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
7.18 M ecanism o d e avance d e la pelícu la d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.10.
Elabore ei diagram a cinem ático
B i b figura 7.19a se ilustra d diagram a cinem ático a escala d e este m ecanism o. O bserve que s e tra ta del m ecanis­
m o básico de m anivela-corredera con u n p u n to de interés, el p u n to X ,ubicado e n la ufta.
El prim er paso es c o n stru ir u n diagram a d e velocidad que incluya los p u ntos B, C y X. Calcule la m agnitud
de la velocidad del p u n to B de b siguiente m anera:
oí =
(560 rp m ) = 58.6 r a d /s e n sentido antihorario
y 8 ■ « 2 'a * ■ 258.6 rad 's(1 8 m m ) - 1055 m m /s - 1.055 m m /s
\3 0 °
La dirección de \ B] es perpendicular al eslabón 2 y es consistente con la dirección d e ut¡, hacia abajo y a la
derecha. P o r l o tanto, se dibuja u n vector a escala a partir d el origen e n el diagram a d e velocidad p a ra represen­
tar esta velocidad.
l a ecuación d e velocidad relativa d e los p u ntos B y C s e escribe com o:
Vc" V„♦>
VOB
La velocidad d e C está restringida a traslación e n dirección vertical. Desde luego, la velocidad relativa de C
oso respecto a B e s perpendicular a b linea q u e u n e C y B .Se d ib u jó el diag ram a de velocidad m o strad o e n la
figura 7.19b y se m idieron b s m a g n itu d » vectorial» para obtener:
Vc
- 1.087 m /s i
V OB -
f ig u r a 7.19
1.072 m /s
7 T 3 J7
Diagramas del problem a d e ejem plo 7.10.
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A n á lis is d e a c e le r a c ió n
/
/
■
o
« * - b
J
.
A
é +n o-
—
M
‘
^
y
a
T
i
- n
= ia n
V
=
V
+
%
b)
V c
5
/£■-§ + S2ff5: A * *% « « v«*8?a-
* --n
f i g u r a 7.19 {Continuación).
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>
Y
•: / B
a m
/ r - 1 . 0 7 2
193
194
CAPITULO SIETE
FIGURA 7.19 (G tram itación).
C o m o se l rata d e u n p u n to e n general sobre u n eslabón flotante, la velocidad del p u n to X se determ ina re­
solviendo las ecuaciones vectoriales sim ultáneas.
V x = Vfl + > Vx/fl
V x - Vc + > V „ c
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
195
Vi s e conocen las velocidades d e los p u ntos B y C e n tanto que b s direcciones d e V x/a Y v x / t a » 1 perpend eu lares a b s lincas que conectan los p u ntos X y B, y X y C respectivam ente. S us velocidades se trazaron a escala
y se a g regí ron al polígono d e velocidad. En la figura 7.19c se m uestra el diagram a d e velocidad com pleto. I.as
m agnitudes de las velocidades desconocidas se calcularon como:
V * c - 0 8 2 5 m /s ^ 5 -2 *
Vjefl = 1 8 4 6 m /s
6 6 .4 /
Calcule las com ponentes d e la aceleración
B paso siguiente es construir u n diagram a de aceleración que incluya los p u ntos A y B y a final de cuentas, X
Calcule las m agnitudes d e las aceleraciones conocidas de b siguiente m anera:
(1055 m m / i) 1
,
—----------- = 61834 m m /s2 = 6 1 8 m /s ÁAP
18 m m
„
(vB)2
A„ = -------’ab
(d irig id a h a d a el c e n tro d e ro ta d ó n ,
p u n to A)
is = 0 (porque a ,
_
( vO fl)J
(1072 m m /s)2____________________________ _____
A n o » — ----- =
= 23941 m m /s2 = 23.9 m /s2 \5 8 .5 "
rc g
'18 m m
V
( d ir i g id a d e
C
hada
B m e d id a s o b r e
d d ia g r a m a d e c a d )
Observe que el p u n to C no tien e aceleración norm al, ya que el m ovim iento es estrictam ente d e trasladón.
(*046 m m /s)2
,
, , ______
— - 24313 m m /s2 - 2 4 5 m /s2 \ 2 3 8 '
Ax/ b " — —
r „
45 m m
\
( d ir ig id a d e X h a c ia
B
m e d id a s o b r e e l
d ia g r a m a d e c a d )
( v* c ) 2
(6 2 5 m m /s)2
— -- 13950 m m /s2 Aw c - — -------28 m m
<a
,
,
13.9 m/s2 / » 4 8 °
.
--------------
(d ir ig id a
d e X h a c ia C
m e d id a s o b r e
d d ia g r a m a d e c a d )
C onstruir el diagram a d e aceleración
S se sabe q u e n o existen las com ponentes A¿ y A* d e a ed erad ó n , b ecuación d e acd eració n relativa de los p u n ­
tos B y C s e escribe como:
A C
*
A C *
A B
*■> A c / a * *
A
(JB
En b figura 7.19 d se m uestra el diagram a d e aceleración a escala.
4.
M id a las com ponentes desconocidas
M idiendo con la escala adecuada las m agnitudes del diagram a, se obtienen los siguientes resultados.
A o b ■ 50.9
315^
Ac = A¿ = 65 m/s2 T
5.
C ontinúe el diagram a d e aceleración
C om o con las velocidades, debido a q u e el p u n to X es un p u n to en general sobre u n eslabón flotante, su ace­
leración se debe d eterm in ar despejando las e c u a d o n e s vectoriales sim ultáneas.
Ax = AS + > A ¿ + > A ; , B + > A Í /b
A x = A J + > A ¿ + > A J / c + > A x /c
C om o se vio, las aceleraciones A ¿ y A ? so n iguales a cero. Asim ism o, ya se determ inaron AB, A ^ , A *,B y
Axt c
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196
CAPITULO SIETE
C* nueva cuenta, d e m a n e ra sim ilar al a n á ü s s d e velocidad, las dos ecuaciones d e aceleración se superpoi r n e n el polígono d e aceleración original. Las aceleraciones s e dibujaron a escala, y d diagram a co m p leto de
aceleración se ilustra e n la figura 7.19c.
M ida las com ponen les q u e s e desean conocer
la s m ag n itu d es d e las aceleraciones desconocidas se m idieron com o:
A ¿ / c = 31.6 m /s2
A i/B - 48.1 m /s2
6 6 ^
y, finalm ente,
A* - 33.8 m /s3
7 .1 0
IM A G E N D E A C E L E R A C IÓ N
C o m o e n el p o líg o n o d e v elo cid ad , c ad a eslabón d e u n m ecan is­
m o tien e u n a im ag en e n el p o líg o n o d e aceleració n [ref. 10).
Para ilu stra rlo , e n la fig u ra 7.20a se p re se n ta u n m ecanism o, con
su d ia g ra m a d e v elo cid ad aso ciad o e n la figura 7,20b, y los d ia­
g ra m a s d e a c e le ra d ó n e n las fig u ra s 7.20c y 7.20d.
En la fig u ra 7 .2 0 c se d ib u jó u n triá n g u lo u sa n d o to d o s los
vectores d e a c e le ra c ió n d e los p u n to s B y X O b serv e q u e este
triá n g u lo es u n a im ag en p ro p o rcio n al d el eslabón q u e c o n tie n e
\f)3 *
lo s p u n to s B y X . D e m a n e ra sim ilar, la fig u ra 7 .2 0 d m u e s tra un
triá n g u lo q u e se c o n s tru y ó a p a r tir d e to d o s los vectores d e ace­
leració n d e los p u n to s B, C y Y. O tr a vez, este triá n g u lo e s u n a
im agen p ro p o rc io n a l d el eslabón q u e c o n tie n e lo s p u n to s R C y
Y. Estas form as d e los polígonos d e a c e le ra d ó n s e co n o cen jus­
tific a d a m e n te c o m o imágenes d e aceleración d e los eslabones.
Este co n cep to o frece m ed io s convenientes p a r a c o n s tru ir el
p o líg o n o d e a c e le ra d ó n d e u n m ecan ism o c o n eslab o n es c o m ­
plejos. Las m a g n itu d e s d e lo s v ecto res d e ace le ra d ó n relativ a de
to d o s lo s p u n to s so b re u n eslab ó n s o n p ro p o rc io n a le s a la dis­
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
197
ta n d a e n tre b s p u n to s, l o cu al significa q u e lo s p u n to s d el d ia­
g ra m a d e a c e le ra d ó n fo rm a rá n u n a im agen c o n los p u n to s c o ­
rresp o n d ien tes d el d ia g ra m a d n e m á tic o . U na vez q u e se d eter­
m in a la acelerad ó n de d o s p u n to s sobre u n eslabón, la acelerad ó n
d e o tro p u n to cualesquiera se d e term in a fácilm ente. Los d o s p u n ­
to s sirven co m o bose d e b im agen d e b acelerad ó n . S in em bargo,
co m o c o n b im ag en d e v e lo d d ad , se d e b e ten er c u id a d o d e no
hacer sim étrica b fo rm a d el e s b b ó n e n tre d d ia g ra m a d n e m á tic o
y el p o líg o n o d e acelerad ó n .
b)
a)
f ig u r a
721
7.11 A CELERACIÓN
DE C O R IO L IS
A trav és d e lo s an álisis a n te rio re s , s e e x a m in a ro n ex h au stiv a­
m en te las d o s co m p o n e n te s d e u n v e c to r d e aceleración (es decir,
b n o rm a l y b ta n g e n c ia l). En a e r t a s co n d icio n es, se p resen ta
u n a tercera c o m p o n e n te d e la acelerad ó n . E sta c o m p o n e n te adid o n a l s e co n o ce c o m o com ponente de aceleración d e Coriolis y se
p resen ta e n casos d o n d e existe c o n ta c to d e deslizam iento e n tre
d o s e s b b o n e s giratorios.
Se sa b e q u e a lg u n o s m e c a n ism o s u tiliz a d o s e n m á q u in as
h a n follado d e b id o a la folta d e c o n s id e ra d ó n d e e sta c o m p o ­
n e n te . L a o m is ió n d e b c o m p o n e n te d e C o rio lis s u b e stim a b
ace le ra d ó n d e u n e s b b ó n y las fu erz as in e rd a le s asociadas. Los
esfu erzo s reales e n las co m p o n e n te s d e b m á q u in a p u ed en ser
m ayores d e b q u e el d ise n o p erm ite , y p o d ría o c u r r ir u n a folla.
I b r l o ta n to , e n c a d a s itu a d ó n s e d e b e ev aluar si existe o n o b
c o m p o n e n te d e a c e le ra d ó n d e C oriolis.
E sp ed ficam en te, la c o m p o n e n te d e C o rio lis se e n c u e n tra
en b a c e le ra d ó n re b tiv a d e d o s p u n to s cu an d o se p resen tan s i­
m u ltá n e a m e n te b s tre s c o n d id o n e s siguientes:
1. L o s d o s p u n to s s o n co in d d e n te s, p e ro s e e n c u e n tra n
e n d iferen tes eslabones;
2. El p u n to s o b re u n e s b b ó n sig u e u n a tra y e c to ria q u e
se e n c u e n tra s o b re el o tr o e s b b ó n , y
3. G ira el eslabón so b re e l cu al se e n c u e n tra la tra y e c to ria
La fig u ra 7.21 m u e s tra b v e n t a n i l b tra s e ra d e u n a m in iv a n
y el d ia g ra m a d n e m á tic o re la d o n a d o . O b serv e q u e el p u n t o B
s e p u e d e r e b d o n a r c o n lo s e s b b o n e s 2, 3 o 4. P a ra a c b r a r b
aso ciad ó n c o n u n e s b b ó n , el p u n to B * identifica c o m o
B¡
y B4. H asta e sta p a rte d el capitulo, se sabe q u e u n p u n to c o in d d e n te s o b r e e s b b o n e s d ife re n te s tie n e b m ism a a c e le ra d ó n
p o rq u e t a n s o l o s e u s a n u n io n e s d e p e rn o p a r a u n ir d o s e s ­
lab o n es g ira to rio s . En la fig u ra 7.21 s e u sa n ta n to u n io n e s de
p e rn o c o m o d e d esliz am ie n to p a r a c o n e c ta r d o s e s b b o n e s g ira ­
to rio s, lo s eslab o n es 2 y 4. En este caso, las velocidades y b s ace­
le ra d o n e s d e lo s p u n to s c o in d d e n te s B¿ y B« n o so n las m ism as.
Se p u e d e n u s a r b s ecu ac io n e s d e m o v im ie n to relativo para
re la d o n a r b s v e lo d d a d e s y b s ace le ra c io n e s d e b m a n e ra s i­
guiente:
V w = V S 4 - f > V iC(S1
Afl2 = Ag* + > A B?/B,
E sta s itu a d ó n rep re sen ta d caso d e an álisis d e u n m ecanism o
d o n d e s e deb e i n d u i r b co m p o n en te d e C oriolis e n d té rm in o de
a e d e r a d ó n relativa A ® ,# ,. O bserve que
C a so d o n d e e stá p resen te
C oriolis.
la
a c e le ra d ó n de
■ L o s p u n to s s o n c o in d d e n te s , p e ro n o s o b re d m ism o
eslabón (co n d ició n 1);
■ El p u n to B¿ s e desliza a lo largo d e u n a tray ecto ria so b re
el eslabón 4 (co n d ició n 2 ) y
■ El e s b b ó n s o b re el q u e se e n c u e n tra la tray ecto ria,
d eslabón 4 , g ira (co n d ició n 3).
S ep aran d o d té r m in o d e aceleración rd a tiv a e n s u s c o m ­
ponentes,
A 8 ¿ /8 4
=
A ffl/5 ,
+ > A b j / 8 4 + > A 'b j / b í
( 7 .2 7 )
donde
A ® / jm =
co m p o n en te d e a e d e r a d ó n d e C oriolis
La m a g n itu d d e b c o m p o n e n te d e a c e le ra d ó n d e C oriolis
s e defin ió [re£ 4 ] c o m o
í/H 4 -
2 v ® /5 ,a > 4
( 7 .2 8 )
’lan to b v e lo d d a d lineal r d a tiv a c o m o b v e lo d d a d a n g u b r
a b s o lu ta s e d e te rm in a n a p a r tir d e u n análisis exhaustivo d e b
v e lo d d a d d el m ecanism o. La v d o d d a d a n g u b r <od e b e ser b del
eslabón q u e c o n tie n e b tray ecto ria d d p u n to q u e se desliza. Hay
q u e te n e r c u id a d o p o rq u e u n e r r o r c o m ú n e n d cálcu lo d e b
co m p o n en te d e C o rio lis es la sd c c c ió n d e b v d o d d a d a n g u b r
in c o rre c ta
La d ir e c d ó n d e la c o m p o n e n te d e C o rio lis es p e rp e n d ic u ­
la r al v e c to r d e v elo cid ad re b tiv a v« / bz. 0 s e n tid o s e o b tie n e g i­
rando el v ector d e v elo cid ad relativa, d e m o d o q u e b p u n ta del
v ector esté o rie n ta d a e n b d ire c d ó n d e b v e lo d d a d an g u lar de
b tra y e c to ria . E ntonces, c u a n d o b v e lo d d a d a n g u b r ru4 d e la
tra y e c to rb g ir a e n s e n tid o h o r a rio , b d ir e c d ó n d e C o rio lis s e
o b tie n e g ir a n d o el v ector d e v e lo d d a d re b tiv a 90a e n se n tid o
h o r a rio . P o r el c o n tr a rio , c u a n d o b v e lo d d a d a n g u b r d e b
t r a y e c to r b , o*«, g ira e n s e n tid o a n tih o r a r io , la d ir e c d ó n d e
C oriolis s e o b tie n e g ira n d o el v ector d e velocidad re b tiv a 90“ en
s e n tid o a n tih o r a r io . La f ig u ra 7 .2 2 p r e s e n ta los c u a tro ca so s
d o n d e se d e term in a la direcció n d e la c o m p o n e n te d e C oriolis.
C o m o la m a g n itu d y la d ire c c ió n d e la c o m p o n e n te de
C o rio lis se calcu lan fo d lm e n te a p a r tir d e los d a lo s d e v e lo d ­
d ad, n o se agregan in có g n itas a d id o n a le s a la e c u a d ó n d e ace­
le ra d ó n . S in em b arg o , e n la s o lu d ó n d e p r o b le m a s .e s m ás c o n ­
v e n ie n te e sc rib ir b ecu a c ió n d e aceleració n c o n el p u n to q u e
d e s c rib e b tr a y e c to r b d e l la d o iz q u ie rd o . La té c n ic a d e es­
t e análisis d e a c e le ra d ó n se ilu stra m e jo r a tra v é s d el siguiente
p ro b le m a d e ejem plo.
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198
CAPITULO SIETE
Movimiento relativo
de b corredera
Pumo C
®
Movimiento reb in o
d? b corredera
^
tyej
Girado 90* en
se mido ant¿horario
tu, (en sentido ant¡horario)
f ig u r a
7.22 D irecciones d e la c o m p o n e n te d e aceleración d e C oriolis.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7.11
La figura 7 2 3 ilustra u n as tijeras m anuales p a ra c o rta r m aleza o pora c o rta r césped e n áreas d i& ilc s d e alcanzar con
podadoras ordinarias. La rueda im pulsora g ira a 400 rpm e n sentido antihorario. D eterm ine la aceleración angular de
b s cuchillas oscilantes e n el m o m en to m ostrado.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
7 2 3 T ijeras p a ra c o r ta r césped d el p ro b le m a d e e jem p lo 7.11.
1.
Elabore e l diagram a cinem ático
2.
H ija e l m tto d o para o b ten er la aceleración deseada
En la figura 7 2 4 a s e presenta el diagram a cinem ático a escala d e este m ecanism o.
L i aceleración d e B , se determ ina É kilm ente a partir de la inform ación d e en trada d el eslabón 2 . S e debe obtener la
aceleración d e B4 para calcular b aceleración angular del csb b ó n 4. Observe que existe deslizam iento e n tre los es­
b b o n es giratorios (2 y 4); por consiguiente, se cum plen b s tres condiciones d e Coriolis. l a aceleración del eslabón
4 se obtendrá usando b s ecuaciones (727) y (728).
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
199
2.7-
a)
FIGURA 7.24 D iagram as del problem a d e ejem plo 7.11.
3.
RealU e u n análisis com pleto d e velocidad
El prim er paso es construir u n diagram a de w lo d d a d q u e incluya los p u ntos B¡ y B4. C alcule b m ag n itu d d e b
velocidad d el p u n to B ¡ de la m anera siguiente:
o>2 =
Vm =
(400 rp m ) = 41.9 rad/s, e n sentido antihorario
= 241.9 rad /s (1.4 in ) = 58.6 in/s
La dirección de VBJ es p erp e n d ic u b r al eslabón 2 y es consistente con b dirección d e <o2, hacia abajo y a la
derecha. Por lo tanto, se dibuja u n vector a e s c a b a p a rtir del origen d el diagram a d e velocidad p a ra representar
a t a velocidad.
la e c u a d ó n de velocidad relativa d e los p u ntos B? y B« se escribe com o:
V m - V * * •> V * ,*
C óm o el eslabón 4 está su jeto con u n perno al eslabón fijo, la v clo d d ad d e B* o p erp en d icu b r a la lin ea que
conecta B4 con el centro d e rotación (el p u n to Q . En este caso, b velocidad relativa d e B ¡ con respecto a B4 es
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200
CAPITULO SIETE
c)
f i g u r a 7 .2 4 [ C o n tin u a c ió n ) .
paralela al eslabón 4 p o rq u e & * desliza a lo larga del eslabón 4. El diagram a d e velocidad m o strad o e n la figura
7 2 4 b se elab o ró a escala para obtener b s m agnitudes de velocidad d e
Vw - 50.7 in /s
^5*"
V m » = 29J in /s
7 ^ /
l a distancia a itr c los p u n to s C y B4 de 3.8 in so obtuvo m idiendo con
angular del eslabón 4 se calcula com o:
cad.
Por consiguiente, la velocidad
V a,
50.7 in/s
------ ■ _____ — ■ 13-3 rad/s, en sentido antihorario
'c m
i-o m
a i,
C om o se determ inó que la velocidad d e B4 está hada abajo y a la derecha, b velocidad angular de B, debe
estar e n se n tid o antihorario.
4.
Calcule las com ponente* d e la aceleración
Ltetermine las m agnitudes de las aceleraciones conocidas com o sigue:
= (58-b^ s ) . = 2 i53 ¡n/sí = 204 ft/s1 / ¿ *
, -4 ' n
(dirigida hacia el centro
ce
de
rotación, p u n to A)
r<ac
A fc -
0 (a , -
A£. -
0)
.
rCB*
aL«*
<_3l^
n /s >_ .
,n
a 6 inJs! m 5 6 ft/s2
/¡ y
(dirigida hacia el c e n tro de
rotación, el p u n to Q
" 0
(ya q u e B¡ s e d esli/a sobre B« y el m ovim iento relativo es d e traslación pura)
AIz/m - 2(vm,flt)(a>4/ " 2(293 in/s) (13 J rad/s)
= 779 in/s* = 65 ft/sJ
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A n á lis i s d e a c e l e r a c i ó n
201
La dirección d e la co m ponente d e C oriolis es v® /*,, que es paralela a la trayectoria de B¡ en relación c o n B,
(7W '’), girada 90* en la dirección d e ca« (sentid o a n tihorario). E ntonces, la com ponente de C oriolis es p erp en ­
dicular al eslabón 4, hacia abajo y a la derecha 0 ^ 5 ° ).
Construya el dia g ra m a d e aceleración
El paso siguiente es construir el diag ram a d e acderación q u e incluya los p u ntos B¡ y Bt . C o m o se m encionó, ge­
neralm ente resulta m ás conveniente escribir la ecuación de aceleración con el punto que recorre la trayectoria,
B j, d el prim er m iem bro. C on esta directriz, la ecuación de la aceleración se escribe com o:
A jí + >
A ®
-
A jJ , + > A r , + >
A ¡¡¡/¿ ,
+ >
A¡(J/g^ +
> A ) n /fl,
la s incógnitas e n h ecuación d e aceleración son Aj* y A foj». R eagrupando la ecuación d e aceleración de
m anera q u e cada incógnita sea el últim o térm ino d e <~a<b m iem bro de la ecuación:
A'b, * > A fc ,* - A f o * + > A fc ,* ♦ > A L + > A¿,
El diagram a d e aceleración dibujado a escala se presenta e n la figura 7.24c.
M id a las com ponentes d e la aceleración q u e se desea conocer
Se obtienen a escala las m agnitudes d e los vectores del diagram a usan d o las siguientes ecuaciones:
A ’bu b í = » 2 t U i / & *
A ¿ = 37 ft/s2 = « 4 in/s2
y, finalmente.
rc w
in
C om o se determ inó q u e la aceleración tangencial d e B , es hacia abajo y a la derecha, la aceleración angular
correspondiente del eslabón 4 debe ser e n el se n tid o antihorario: p o r lo tanto,
r»« = 177 r a d i e n sentido antihorario
7.12 M E C A N ISM O S EQUIVALENTES
H a s ta o t e p u n t o d e l libro, lo s e je m p lo s d e a n á lis is d e m o ­
v im ien to h a n in c lu id o ta n s o lo m ecanism os c o n u n i o n o p r in ­
cipales; o d e d r , u n i o n o d e p e rn o y d e c o r re d e ra R ecuerde del
c ap ítu lo 1 q u e u n a u n ió n d e o rd e n superior, c o m o u n a u n ió n de
leva o d e e n g ra n e , im p lic a m o v im ie n to d e ro d am ien to y desliza­
m ie n to . T anto las levas c o m o los e n g ra n e s so n el tem a d e e s tu ­
d io e n c ap ítu lo s p o ste rio res. S in em b arg o , el análisis d e m o v i­
m ie n to d e m ecanism os c o n u n io n e s d e o rd e n s u p e rio r s e realiza
u sa n d o lo s c o n c e p to s y a estudiados.
El an álisis d e v elo cid ad y aceleració n d e m ecan ism o s q u e
u tiliz a n u n io n e s d e o r d e n s u p e rio r s e sim plifica sig n ificativ a­
m e n te c o n la c o n s tru c c ió n d e u n m ecanism o eq u iv alen te. Este
m éto d o co n v ierte la c o n fig u ra c ió n in sta n tá n e a d e u n m ecan is­
m o e n u n m eca n ism o eq u iva len te, d o n d e los e sla b o n e s e stá n
c o n ectad o s c o n u n io n e s p rin cip ales. La fig u ra 7 .2 5 ilu stra d o s
m e c a n is m o s d e lev a q u e tie n e n u n io n e s d e ro d a m ie n to y
d esliz am ie n to . L as lín e a s p u n te a d a s rep re sen tan los m e c a n is­
m o s eq uivalentes.
O bserve q u e el a c o p la d o r d e estos m ecanism os eq u iv alen ­
te s e stá d ib u ja d o d esd e lo s cen tro s d e c u rv a tu ra respectivos d e
los d o s eslabones aparejados. Para u n periodo d e tie m p o finito, los
d o s c e n tro s d e c u rv a tu ra d e lo s eslab o n es a p a re ja d o s p e r ­
m an ecerán sep arad os a u n a distan cia constante. E n la fig u ra 7 2 5
observe q u e el aco plador se utiliza p a r a su stitu ir la u n ió n d e o r ­
d e n su p e rio r. Este a c o p la d o r s e extiende e n tre el c e n tro d e cur­
vatura d e las superficies e n c o n ta c to d e los d o s eslabones apareja­
dos. P a ra u n p erio d o d e tie m p o finito, los c e n tro s d e cu rv atu ra
d e d o s superficies aparejadas perm anecerán separados a u n a d is ­
tancia constante. El fu n d a m e n to p ro v ien e d el co n cep to d e centro
instantáneo in tro d u c id o e n la sección 6 . 10. ft>r l o tanto, se p u ed e
u sa r u n eslabón acoplador, con d o s u n iones d e p e r n o p a r a reem ­
p lazar la u n ió n d e o rd en su p e rio r. Es im p o rta n te observar q u e la
ubicación del c e n tro d e cu rv atu ra cam biará conform e el m ecanis­
m o s e m ueve. S in e m b a rg o u n a vez q u e se haya c o n s tru id o el
m ecanism o e q u iv a le n te , el m é to d o d e análisis es id é n tic o a los
p ro b lem as expuestos an terio rm en te e n este texto.
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f i g u r a 7 -2 5 M e c a n is m o s e q u iv a le n te s .
202
CAPITULO SIETE
7.13 CURVAS D E A CELERACIÓN
Los análisis p resen tad o s hasta a h o r a sirv en p a r a calcular la <*e
le ra d ó n d e p u n to s s o b re u n m ecanism o e n u n instante especi­
f i c a A u n c u a n d o s o n im p o rta n te s , los re su lta d o s o fre c e n tan
s o lo u n a fo to in s ta n tá n e a d el m o v im ie n to . L a desv en taja e v i­
d e n te d e e ste análisis es q u e se dificulta la o b te n c ió n d e las c o n d i­
cio n es extrem as d u r a n te u n ciclo. S e req u iere n investigar varias
po sicio n es d el m ecan ism o p a r a d e sc u b rir las lases críticas.
C o m o se m o stró c o n la velocidad, ta m b ié n es conveniente
se g u ir la m ^ n i t u d d e la aceleración d e d e r t o p u n t a o eslabón,
c o n fo rm e el m e c a n is m o se m ueve a tra v é s d e su ¿ d o . T al s e ­
g u im ie n to b r in d a in fo rm ació n acerca d e las foses críticas del a d o . La c u rv a d e a c e le ra d ó n p r o p o r d o n a ese t r a z a La c u rv a d e
a c e le ra d ó n g ráfica la aceleración d e u n p u n to o u n eslabón en
fu n d ó n d el tie m p o . S e p u e d e g e n e ra r a p a r tir d e la c u rv a d e ve­
lo d d a d , la cu al s e p re se n tó e n la s e c d ó n 6.14.
R ecu erd e q u e la c u r v a d e v elo d d ad g ráfica la m a g n itu d d e
la velocidad d e u n p u n to o u n eslab ó n e n f u n d ó n d el tiem po. La
c u r v a d e v e lo d d a d se g enera a p a rtir d e la c u rv a d e d e sp la z a ­
m ie n to . la cu al s e p re se n tó e n la s e c d ó n 4.11. ft>r consiguiente,
s e u tiliza u n a cu rv a d e d esplazam iento p a r a g en erar la c u rv a d e
v elo d d ad q u e, a la vez, sirv e p a ra g en erar la c u rv a d e aceleración.
Esto s e d e b e a q u e la a c e le ra d ó n s e p u e d e expresar com o:
ii( v e lo d d a d )
A c e le r a d ó n El cálculo diferencial sugiere q u e la a c e le ra d ó n e n u n ins­
tan te p a rtic u la r e s la p e n d ie n te d e la c u r v a d e v e lo d d a d e n ese
in stan te. C o m o la velocidad e s la d e riv a d a d el d esplazam iento
c o n respecto al tie m p o , la aceleración ta m b ié n s e expresa com o:
A cele r a c ió n =
( d e s p la z a m ie n to )
E sta e c u a d ó n sugiere q u e la a c e le ra d ó n e n u n in sta n te p a r­
ticu lar es la c u rv a tu ra e n la c u rv a d e d esp lazam ien to . Se debe
a d m itir q u e la c u r v a tu ra q u iz á n o se a m u y c o n v e n ie n te p a ra
c a lc u la r la p e n d ie n te . S in e m b a r g a e s fodl v isu alizar las u b ic a d o n e s d e a c e le ra d o n e s extrem as, lo calizan d o las regiones p u n ­
tia g u d a s d e la s c u rv as s o b r e el d ia g r a m a d e d e sp la z a m ie n to .
A un cu an d o lo s valores sean d ifid le s d e calcular, el m ecanism o
s e p u e d e c o n fig u ra r e n la p o s id ó n deseada y, l u e g a ejecu tar un
an álisis d e a c e le ra d ó n e x h a u s tiv a c o m o se p re se n tó e n la s sec­
cio n es an teriores.
P ara d e te rm in a r los valores d e las c u rv as d e aceleración, es
m e jo r d e te rm in a r la p e n d ie n te e n varias regiones d e la c u rv a de
v e lo d d a d (véase la s e c d ó n 6.14).
7.13.1 D IFER EN C IA LES GRÁFICAS
La ta re a consiste e n e s tim a r la p e n d ie n te d e la c u rv a d e veloci­
d a d e n v ario s p u n to s . La p e n d ie n te d e u n a c u rv a e n u n p u n to se
e stim a g ráficam en te d ib u ja n d o u n a lín ea tangente a la c u rv a e n
el p u n to d e interés. La p e n d ie n te d e la lín ea se d e te rm in a calcu ­
la n d o el cam bio m e d id o e n la "elevación" (v e lo d d a d ) d iv id id o
e n tr e el ca m b io m e d id o e n la “c o rrid a ” (tie m p o ).
Este p ro c e d im ie n to s e p u e d e rep etir e n v ario s p u n to s a lo
largo d el d ia g ra m a d e v e lo d d a d . S in em bargo, g en eralm en te ta n
s o lo s e d e s e a n c o n o c e r lo s c a m b io s a b r u p to s y ex trem o s e n la
a celeració n . U san d o los c o n c e p to s d e c á lc u lo d if e re n d a l y de
p en d ien tes, la s p o s id o n e s d e in te ré s se lo g r a n d e te c ta r v isu al­
m ente. Estas incluyen:
■
l a s p a rte s m á s in d in a d a s d el d ia g ra m a d e velocidad, que
c o rre sp o n d en a la s a c e le ra d o n e s extrem as, y
■
Las ubicaciones del d ia g ra m a d e v e lo d d a d c o n la c u rv a tu ra
m á s g ran d e, las cuales c o rre sp o n d e n a lo s cam b io s a b ru p to s
d e la s aceleradones.
S e d e b e d e sta c a r q u e q u iz á o c u r r a n fá d lm e n te erro re s e n la
d e te rm in a c ió n d e la p e n d ie n te d e u n a c u rv a . Tales e rro re s se
m a g n ific a n c o n fo rm e la p e n d ie n te s e m id e e n u n a c u r v a d e ­
rivada. Este es el caso c u a n d o la c u rv a d e aceleración s e o b tie n e
a p a r tir d e la c u rv a d e velocidad, la cu al p ro v ien e a la vez d e una
c u rv a d e desp lazam ien to . P o r ende, lo s v alo res o b te n id o s para
d el d ia g ra m a d e a c e le ra d ó n s e d e b e ría n u s a r c o n p re c a u d ó n .
N o o b s ta n te , e s in v a lu a b le la id e n tific a c ió n d e las p o s i­
d o n e s ex trem as d e a c e le ra d ó n . S e d e b e ría realizar entonces u n
a n á lis is d e a c e le ra c ió n e x h a u s tiv a c o m o el p re se n ta d o e n las
secciones an terio res d e e ste c a p it u la e n esas o r ie n ta d o n e s del
m e c a n is m o p a r a o b te n e r v alo res d e a c e le ra c ió n p r e d s o s . El
b e n e fic io d e la c u rv a d e a c e le ra c ió n e s u b ic a r la s c o n f ig u ra ­
c io n e s im p o rta n te s d el m ecan ism o : p o r lo t a n t a s e tie n e que
re a liz a r u n an álisis m eticu lo so d e la aceleración.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7 .1 2
En el problem a d e ejem plo 6.18 s e construyó la curva d e v elo d d ad d e u n m ecanism o com presor. C o n esos datos
gnifique u n a curva d e aceleración.
S O L U C IÓ N :
1.
Id en tifiq u e Im p a rte s horizontales d el diagram a d e ¡eloeidad
La tarea principal e n la c o n stm c d ó n d e u n a curva de acelerad ó n es d eterm in ar la pendiente d e m uchos p u ntos
de la curva de velocidad. Esta curva de v elo d d ad se construyó en el problem a de ejem plo 6.18 y se reproduce en
b figura 7.26.
En esta curva es evidente q u e hay tangentes horizontales, o de pendiente igual a cero, e n 0.007 y 0 0 2 7 s.
Entonces, la acelerad ó n del pistón es c e ro e n 0.007 y 0X127 s, cuyos p u n to s están identificados com o t¡ y t,. res­
pectivamente.
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
203
O ír » , de velocidad
M á x im a
( V n d lc n le
p e n ite n te
10 0
n e g a tiv a , l¡
p o s itiv a
«n*ndc. <,
á t j m .0 0 5 s
f ig u r a
2.
7 0 6 C u r v a d e v e lo c id a d d e l p r o b le m a d e e j e m p lo 7 .1 2 .
Calcule la p e n d ie n te e n las partes sobresalientes d e la c u r r a d e telocidad
La pendiente m áxim a lu c ia a rrib a se en cu en tra e n 0 s. Este p u n to se identifica c o m o to. S e p u ed e hacer u n esti­
m ado de la velocidad a p artir d e los valores de Av^ y A(q leídos e n la gráfica. La aceleración e n 0 se estim a com o:
| a . ¡ 2 S L . a c o ta d
A lo
00025 s
Asim ism o, la p en d ien te m áx im a hacia abajo aparece e n 0.017 s. Este p u n to se identifica com o t¡.
Nuevam ente, el estim ado de la aceleración s e hace a pa r tir de los valores d e A*j y Aí2 H d o s e n la gráfica. La ace­
lerad ó n en 0 .017 s s e estim a como:
«■3.
iAr*2
- ^0.003 s
Dibuje la cu rva d e aceleración
B procedim iento para determ inar la pendiente d e la curva d e veloddad s e repite con otros valores d e tiem po.
Recopilando la inform ación de la pendiente y el tiem po, se construye la curva de aceleración (figura 7 2 7 ).
f ig u r a
7 0 7 C u r v a d e a c e l e r a c i ó n d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 7 .1 2 .
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204
CAPITULO SIETE
= h - t, = b - h = U r, - tie m p o e n el d a to p u n tu a l i
7 .1 3 .2 D if e r e n c ia le s n u m é r i c a s
C o m o e n la sección 6.14.2, la c u rv a d e aceleración se d e te rm in a a
p a rtir d e lo s d a to s d e velocidad m ed ian te diferenciales n u m é ri­
cas. N u ev am en te, s e u sa el m é to d o d e R ichardson [ref. 3 ) p a ra
o b ten er la d e riv a d a d e u n a serie d e d ato s puntuales, a intervalo s
iguales, d e la v ariab le in dep en d ien te. l) e m o d o q u e la d eriv ad a
d e la c u rv a d e v e lo c id a d -tie m p o se a p ro x im a n u m é ric a m e n te
c o n la sig u ien te ecuación:
T a m b ié n s e p u e d e d e te rm in a r la s e g u n d a d e riv a d a m e­
d ian te ap ro x im ació n n u m é ric a . A un c u a n d o n o e s exacta, esto
p e rm ite q u e la c u rv a d e aceleración s e d e riv e d ire c ta m e n te d e la
curva d e d e s p la z a m ie n to -tie m p o . D e nuevo, s e u sa el m é to d o
d e R ichardson p a ra d e te rm in a r n u m é ric a m e n te la seg u n d a d e ­
rivada c o n la sig u ien te ecuación:
2
vi+ J - 2 v ,+ | + 2 v¿_| -
(7.29)
2A I
h
A R 1+, - 2 A R , + A
(7.30)
12 A i
A r2
donde:
i ™ su b ín d ice d e d a to s puntuales
d an d e, a d e m á s d e la n o ta c ió n an terio r.
v, = v d o c id a d e n el d a to p u n tu a l i
AR, = d esplazam iento e n el d a to p u n tu a l i
P R O B L E M A D E E JE M P L O 7 .1 3
En el problem a d e ejem plo 4.11 s e graficó u n diagram a d e desplazam iento de u n pistón q u e hinciona e n u n com pre­
sor. Partiendo d e este diagram a, se derivó la curva de velocidad e n el problem a d e ejem plo 6.18. Use estos d ato s para
g m c ra r num éricam ente la c u r ra d e aceleración.
S O L U C IÓ N :
1.
D eterm ine e lin c r e m e n to d e tiem po entre lo* datos puntuales
Los d ato s d e la hoja d e cálculo del problem a d e ejem plo 6.17 (figura 6.40) se am plían para insertar u n a colum na
adicional q u e incluya la m agnitud d e la aceleración d el pistón. Asim ism o, e n el problem a de ejem plo 6.18 e l in ­
crem ento d e tiem po se calculó com o:
A t = t, -
2.
t, = (0.00286 - 0X1) = 0X0286 s
l i e la ecuación ( 7 J 9 ) para calcular lo i dato* p u n tu a les d e aceleración
Para ilustrar el cálculo d e las aceleraciones, a continuación se presentan u n o s c u an to s ejem plos d e cálculo u&an<k» la ecuación (7 2 9 ):
v4 - 2 v j + 2 v, - v,j"
v , - V,
a¡ -
2A í
12 A r
1
[ 1 3 7 3 0 - 2 (1 4 2 3 7 ) ♦ 2 (0 0 )
142.67 - 0 0
2(.OG286)
-
.!
-
(-9 1 .4 7 )1
12(00286)
i
]
26898 in/s2
v„
vio “ ‘ b
2A r
•'*» ■
- 2v 10
+
2v , -
v
i
12 Ar
(-1 4 2 .6 7 ) - [-9 5 .4 8 )-
(-9 1 .4 7 ) - 2 ( - 142.67) + 2 ( -9 5 .4 8 ) -
2(00286)
12(00286)
- - 1 7 3 0 5 in/s2
«12 -
[ **i> -
[
*’ii
■
v¡ -
2A»
f (0.0) - ( - 1 4 2 3 7 ) "
l
2v
is +
2v„
- v10]
12 Ar
(91.47) - 2 ( 0 .0 ) + 2 (-9 1 .4 7 ) - ( 1 4 2 3 7 )
2(00286)
- 26898 in/s2
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12(00286)
A n á lis is d e a c e le r a c ió n
3.
205
Reúna los m u lta d o s d e aceleración y grafique la c u n a
l.i
inform ación resultante, con todas las m ag n itu d es d e aceleración calculadas, se proporciona e n la figura 7.28.
Estos valores están graficados e n la figura 7.29 para form ar el diagram a de aceleración e n reb ció n con el tiem po.
Observe que esta c u n a es todavía m uy burda. Para efectos d e exactitud, se recom ienda am pliam ente que el in ­
crem ento e n el á n g u lo d e la m anivela se reduzca a 10* o 15*. C uando se u sa u n a hoja d e cálculo p a ra generar los datos
de aceleración, son aconsejables incluso increm entos m enores p a ra n o volver la tarea m ás difícil.
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3
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0 .4 8 3
142 6 7
7901
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0 .8 9 6
-1 0 1 8 1
8
5
120
1143
1.2 3 3
1 3 7 .5 0
9 5 48
-1 7 3 0 5
9
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1 4 .2 9
1 .4 3 5
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10
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7
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10
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7901
* «M I.
f i g u r a 7 .28 D a t o s d e a c e l e r a c i ó n d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 7 . 1 3 .
fig u r a
7.29 Curva d e aceleración del problem a d e ejem plo 7.13.
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.
1
■
206
CAPITULO SIETE
r(ín*>
PROBLEM AS
L as té c n ic a s m a n u a le s d e d ib u jo s o n m u y d id á c tic a s e n los
pro b lem as d o n d e se requieren so lu c io n e s gráficas; n o o b sta n te ,
s e reco m ien d a am p lia m e n te el u so d e u n sistem a d e cad .
A c e le ra c ió n e n g e n e r a l
7 -1 . C u a n d o se activ a u n a b a n d a tra n sp o rta d o ra , h a y a lg u ­
nos ca ja s e n c im a d e ella q u e s e m u e v e n h a c ia la
d e re c h a . La b a n d a a lc a n z a u n a v elo cid ad to ta l d e 45
fp m (ft/m in ) e n 0.5 s . D e te rm in e la aceleración lineal
«le las c a ja s, s u p o n ie n d o q u e la a c e le ra c ió n es c o n s ­
tan te. D e te rm in e ta m b ié n el d esp lazam ien to lineal d e
b s cajas d u r a n te este p e rio d o d e aceleración.
7 -2 .
Un v e h íc u lo d e a l to re n d im ie n to v a d e 0 a 60 (m p h )
en u n tie m p o d e 8 3 s. D eterm in e la aceleración lineal del
vehículo y la d istan cia reco rrid a p a ra alcan za r 60 m p h .
7 -3 .
Un e le v a d o r s e m u e v e hacia a r rib a a u n a v e lo c id a d
«le 12 ft/s . D eterm in e la d ista n c ia re q u e rid a p a ra d e te ­
n e rlo , s i la d esa c e le ra c ió n c o n s ta n te n o excede lo s
10 ft/s2.
7 -4 . B p u n to A s e e n c u e n tra so b re u n a c o rre d e ra q u e ace­
lera u n ifo rm e m e n te hacia a r r ib a a lo la rg o d e una
tray ecto ria recta vertical. La c o rre d e ra tie n e u n a veloci­
dad d e 100 m m /s c u a n d o pasa p o r u n p u n to , y d e 300
m m /s c u a n d o p a s a p o r u n se g u n d o p u n to , 0.2 s m ás
ta rd e . D e te rm in e la a c e le r a d ó n lin e a l y el d e sp la z a ­
m ie n to lin e a l d el p u n to A d u r a n te e s te in te rv a lo d e
tiem p o .
7 -5 . S e u sa u n a c tu a d o r lineal p a ra e m p u ja r u n a ca rg a hacia
b izquierda. P a rtie n d o d e l re p o so , se re q u ie re n 1.5 s
p i r a alcan za r u n a v e lo d d a d to ta l d e 0 .7 5 m /s. D e te r­
m in e la a c e le ra d ó n lineal d e la carga. C alcule asim ism o
d d esp lazam iento lin e a l d e la ca rg a d u ra n te e sta fase d e
ace le ra d ó n d el m ovim iento.
7 -6 .
P artien d o d el re p o so , u n a leva acelera u n ifo rm em en te
h a s ta 7 5 0 r p m e n 8 s e n se n tid o h o r a r i a D eterm in e la
a c e le ra d ó n a n g u la r d e la leva.
7 -7 .
0 r o to r d e u n m o to r d e re a e d ó n g ira e n s e n tid o h o ­
ra rio y s e estab iliza e n 10000 r p m . C u a n d o se c o rta el
su m in istro d e c o m b u stib le, el m o to r dism in u y e la veb d d a d h a s ta d e te n e rse e n 2 m in . S u p o n ie n d o q u e la
velocidad s e reduce u n ifo rm e m e n te , d e te rm in e la a c e ­
le r a d ó n a n g u la r d el m o to r. C a lc u le a s im is m o el d es­
p lazam ien to an g u lar d el r o to r d u ra n te este p e rio d o d e
7 -8 . La v e lo d d a d a n g u la r d e u n eje se in crem en ta c o n ace
le ra d ó n constante d e 1000 a 2500 rp m e n 2 0 s e n sentido
h o r a r ia D eterm ine la acelerad ó n angular d el eje.
7 -9 .
U na r u e d a g ir a 4 0 0 re v o lu c io n e s e n s e n tid o a n tih o ­
r a rio m ie n tra s desacelera d e 1100 a 8 0 0 rp m . D e te r­
m in e la aceleración an g u lar d e la ru ed a.
P erfiles d e v elo ciilad
7 -1 0 . I b a c tu a d o r s e rv o im p u lsa d o está p ro g ra m a d o p a r a
e x ten d erse d e a c u e rd o c o n el p e rfil d e v e lo c id a d
m o stra d o e n la fig u ra P7.10. D eterm in e la aceleración
m áx im a, la d e s a c e le ra d ó n m áxim a y el d esplazam iento
lineal d u ra n te ese m o v im ien to p ro g ram ad o .
f i g u r a P7.I0
P ro b le m a s 1 0 y I I.
7 -1 1 . U n a c tu a d o r servoim pulsado está p ro g ra m a d o p a r a ex­
tenderse d e a c u e rd o con el perfil d e v elo d d ad m o stra d o
en la fig u ra P7.10. Use u n a h o ja d e cálculo p a r a g en erar
las gráficas d e d esplazam iento c o n tr a t i e m p a veloci«lad
c o n tra tie m p o y acelerad ó n c o n tra tie m p a d u ra n te este
m « m m icn to p ro g ra m a d a
7 - 1 2 . U n m o to r lin e a l e stá p ro g ra m a d o p a r a m o v e rse hacia
b d e re c h a d e a c u e rd o c o n el p e rfil d e v e lo d d a d
m o stra d o e n la fig u ra P 7.12. D e te rm in e la a c e le ra d ó n
m áxim a, la desaceleración m áxim a y el d esplazam iento
lineal d u r a n te e ste m o v im ien to p r o g ra m a d a
r ( U .)
7 -1 3 . Un m o to r lineal está p ro g ra m a d o p a r a m overse h a d a la
derecha d e acu erd o c o n el perfil d e v e lo d d a d m o stra d o
en la fig u ra P 7.12. Use u n a h o ja d e cálculo p a r a g en erar
b s gráficas d e d esplazam iento c o n tr a t i e m p a velocidad
c o n tra tie m p o y aceleración c o n tr a tie m p o d u ra n te este
m ovim iento p ro g ram ad o .
7 -1 4 . I b a c tu a d o r lineal e stá p ro g ra m a d o p a ra m o v e rse 10
in. La v elo d d ad m áxim a e s «le 4 in /s, y ta aceleración y la
desacelerad ó n c o n sta n te s están lim ita d as a 6 in/s2. Use
u n a h o ja d e cálcu lo p a r a g e n e ra r la s g rá fic a s d e d e s ­
plazam iento c o n tra t i e m p a velocidad c o n tra tie m p o y
a c e le ra d ó n c o n tr a tie m p o d u r a n te e ste m o v im ie n to
program ado.
7 -1 5 . I b a c tu a d o r lineal e stá p ro g ra m a d o p a ra m o v e rse 75
m m . L a v e lo d d a d m áx im a es d e 50 m m /s, y la ace­
le ra d ó n y la d esacelerad ó n c o n sta n te s están lim itadas
a 100 m m /s2. U se u n a h o ja d e cálcu lo p a r a g en erar las
gráficas d e d e sp la z a m ie n to c o n tr a t i e m p a velocidad
c o n tra tie m p o y a c e le ra c ió n c o n tr a tie m p o d u ra n te
este m o v im ien to p ro g ra m a d o .
A c e le ra c ió n n o r m a l y ta n g e n c ia l
7 -1 6 . En la fig u ra P 7 .1 6 se m u e s tra el eslab ó n 2 q u e se aisló
de u n d ia g ra m a d n e m á tic o y g ira a u n a v elo d d ad c o n s­
tan te d e 300 r p m e n se n tid o a n tih o ra rio . D eterm in e la
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A n á lis is d e a c e le r a c ió n
B
207
P 7 .I9 . En el in s ta n te m o s t r a d a el e je im p u lso r g ira a
3 0 0 r p m e n s e n tid o h o ra rio y desacelera a 3 0 0 ra d /s2.
A c e le ra c ió n r e b t iv a
7 -2 2 .
E n el d b g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.22. b lo n g itu d d el eslabón A B es d e 100 m m y 0 =
35°. El b lo q u e A se m ueve h a d a a r r ib a a u n a v e lo d d a d
d e 10 m m /s y acelera a 5 m m /s2. Al m ism o tie m p o , b
v elo cid ad d el b lo q u e B es d e 7 m m /s y acelera a 25
m m /s2. D e te rm in e g ráfica m e n te la v e lo d d a d lineal de
A con respecto a B y la ace le ra d ó n lineal d e A con re s ­
p e c to a B.
¡celeració n lineal total d e lo s p u n to s A y B . U se y ■* 50*
y P m 6 0 °.
7 - 1 7 . En la fig u ra P 7 .I6 se p re se n ta el eslabón 2 q u e se aisló
d e u n d ia g ra m a c in e m á tic a El eslab ó n g ir a a u n a ve­
locidad d e 200 r p m e n se n tid o a n tih o r a r ia y a c e le ra a
400 ra d /s2. D e te rm in e la a c d c ra c ió n lineal to ta l d e los
p u n to s A y B Utilice y = 50* y 0 = 60°.
f ig u r a
H G U R A P 7 .I 9
7 -1 9 .
P ro b le m a s 1 9 . 2 0
y
23.
En el d b g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n b fig u ra
P7.22, b lo n g itu d del eslab ó n A B e s d e 15 in y 0 = 40°.
H b lo q u e A se m ueve h a d a a r rib a a u n a v e lo d d a d de
50 in /s y desacelera a 125 in/s2. Al m ism o tie m p o , b v e ­
lo d d a d d el b lo q u e 6 es d e 42 in /s y acelera a 4 8 .6 in /s2.
D e te rm in e an alíticam en te b velocidad lineal d e A con
resp ec to a B y la a c e le ra d ó n lineal d e A con respecto
a B.
7 -2 4 .
En la fig u ra P7.24 se ilu stra u n d isp o sitiv o p a r a a b r ir
v e n ta n a s q u e se e n c u e n tra c o m ú n m e n te e n sitio s ele­
v a d o s d e g im n a sio s y fá b ric a s. En e l in s ta n te e n q u e
0 = 25°, b tu e rc a im p u lso ra se m u e v e a la derecha a
u n a v e lo d d a d d e 1 ft/s y a c e le ra a 1 f t/s 2. A l m ism o
tie m p a b v e lo d d a d d e b zap ata es d e 0 .4 7 ft/s , y acele­
ra a u n a v e lo d d a d d e 0 .9 1 ft/s2. D e te rm in e g rá fic a ­
m e n te la v e lo c id a d lin e a l d e C c o n re sp e c to a B y la
aceleración lineal d e C c o n respecto a B.
y 21.
D eterm in e la a c e le ra d ó n total d el p u n to A so b re la za­
p ata d e l e m b ra g u e c e n trifu g o m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.19. En el in s ta n te m o s t r a d a el eje im p u lso r g ir a a
3 0 0 r p m c o n sta n te s e n s e n tid o h o rario .
7 -2 0 . D eterm in e la a c e le ra d ó n total d el p u n to A so b re b za­
p ata d e l e m b r a g u e c e n trifu g o m o s tr a d o e n b fig u ra
P7.19. En el in s ta n te m o s t r a d a el eje im p u lso r g ir a a
300 r p m e n s e n tid o h o r a rio y acelera a 3 0 0 rad /s2!
7 -2 1 .
P ro b le m a s 2 2
7 -2 3 .
7 -1 8 . En la fig u ra P 7 .1 6 se p resen ta el eslab ó n 2 q u e se aisló
d e u n d ia g ra m a c in e m á tic a EJ eslab ó n g ir a a u n a ve­
lo cid ad d e 3 0 0 rp m e n se n tid o a n tih o ra rio y desacelera
a 8 0 0 rad /s2. D e te rm in e la a c e le ra d ó n lineal total d e los
p u n to s A y B U tilice y = 5 0 "y ( i = 60“.
La fig u ra P 7 .1 9 ilu s tra u n e m b ra g u e c e n trifu g o
q u e a c o p la d o s ejes a u n a v elo cid ad a n g u la r critica.
P 7J2
D eterm in e la ace le ra d ó n total d el p u n to A so b re la za­
p a ta d e l e m b ra g u e c e n trifu g o m o s tr a d o e n b fig u ra
7 -2 5 . En b fig u ra P7.24 se m u e s tra u n d isp o sitiv o p a r a ab rir
v entanas. En el in sta n te e n q u e 0 = 55*. la tu erca im ­
p u lso ra s e m ueve a b derecha a u n a velocidad d e 2 ft/s
y acelera a 1 ft/s2. Al m ism o tie m p a b v e lo d d a d d e la
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208
CAPITULO SIETE
zap ata o d e 2 .8 5 ft/s . y acelera a 8.51 ft/s2. D eterm in e
g ráficam ente la velocidad lineal d e C c o n resp ec to a B y
t i aceleración lineal d e C c o n respecto a B
M é to d o d e a c la r a c ió n re la tiv a : g r á fic o
7 -2 6 . fó ra d m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.26, u tilic e el m é to d o d e aceleración relativa p a ra d e ­
te r m in a r g rá fic a m e n te la v e lo c id a d lineal y la ace­
leració n lineal d el p is tó n c o n fo rm e la m anivela g ira a
u n a v elo cid ad c o n s ta n te d e 1150 rp m e n s e n tid o h o ­
ra ria
7-30. R ira el m e c a n is m o d e la m á q u in a d e co ser m o stra d o
en la fig u ra P 7.29. e n el in s ta n te e n q u e 0 - 30°. la
ru e d a im p u lso ra g ira a 3 0 0 rp m e n se n tid o h o r a rio y
acelera a 8 0 0 ra d /s2. Use el m é to d o d e aceleración rela­
tiv a p a ra d e te rm in a r gráficam ente b v e lo d d a d lineal y
la a c e le ra d ó n lineal d e b aguja.
7-31. R ira el m e c a n is m o d e la m á q u in a d e co ser m o stra d o
e n b fig u ra P 7 .2 9 . e n el in s ta n te e n q u e 8 » 120°. b
ru e d a im p u lso ra g ira a 2 0 0 rp m e n s e n tid o h o r a rio y
desacelera a 400 r a d /s 2. U se el m é to d o d e a c e le ra d ó n
relativa p a r a d e te rm in a r gráficam ente la v elo d d ad lineal
y b a c e le ra d ó n lineal d e la aguja.
7-32. E n b sie rra d e p o t e n d a p a ra m etales d e b fig u ra P7.32,
e n el in s ta n te m o s tr a d a b m a n iv e b d e 1.75 in g ira a
830 r p m c o n sta n te s e n s e n tid o h o r a rio . U se el m éto d o
de a c e le ra d ó n relativ a p a r a d e te rm in a r gráficam ente la
s d o a d a d lineal y la a c e le ra d ó n lineal d e b cuchilla de
b sierra.
Pistón
F IG U R A P 7 J 6
Pro blem as
2 6 .2 7 .2 8 . 4 4 .7 5 .8 1 y 8 7 .
7-27. Ih ra el m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.26, e n el in sta n te m o s tr a d a la m anivela g ir a a 2000
rp m e n s e n tid o a n tih o r a r io y a c e le ra a 10000 r a d /s 2.
U se el m é to d o d e la aceleración relativa p a ra determ i
t u r g rá fic a m e n te la v e lo c id a d lineal y la aceleració n
lineal d el p istó n .
7 -3 3 . En la sie rra d e p o te n c b p a r a m etales d e b fig u ra P7.32,
e n el in s ta n te m o s tr a d a b m a n iv e b d e 1.75 in g ira a
(O r p m e n se n tid o h o ra rio y a c e le ra a 4 0 ra d /s2. U se el
m é to d o d e a c e le ra d ó n relativ a p a ra d e te rm in a r gráfi­
cam ente la v e lo d d a d lineal y la aceleración lineal d e b
cuchilla d e b sie rra .
7-28. Ih ra el m e c a n is m o c o m p re s o r m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.26, e n el in sta n te m o s tr a d a b m a n iv e b g ir a a 1500
rp m e n s e n tid o h o r a r io y d c s a c e le ra a 12000 ra d /s2.
Use el m é to d o d e aceleración relativa p a r a d e te rm in a r
g ráficam en te b v elo cid ad lineal y b aceleración lineal
del p istó n .
7-29. P ara el m ecan ism o d e la m á q u in a d e coser m o stra d o en
b figura P 7 2 9 , e n el in sta n te e n q u e 0 ■ 30*. la rueda
im p u lso ra g ira a 2 0 0 r p m co n stan tes e n se n tid o a n tih o ­
rario . Use el m é to d o d e b aceleración relativa p a ra d e ­
te r m in a r g rá fic a m e n te b v elo cid ad lineal y la acele­
ra c ió n lineal d e b aguja.
F IG U R A
P7J2 P roblem as 3 2 .3 3 ,3 4 .4 6 .7 7 ,8 3 y 89.
7-34. En b sie rra d e p o t e n c b p a ra m etales d e b fig u ra P7.32,
en el in s ta n te m o s tr a d a b m a n iv e b d e 1.75 in g ira a
70 r p m e n s e n tid o h o r a rio y desacelera a 45 r a d /s '. Use
el m é to d o d e b a c e le ra d ó n relativ a p a r a d e te rm in a r
gráficam ente b v e lo d d a d lin e a l y b a c e le ra d ó n lineal
de b cuch illa d e la sierra.
7-35. El m o to r d el cab allo tra g a m o n e d a s d e b fig u ra P7.35
gira a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 9 0 r p m e n s e n tid o
F IG U R A
P7J5 Problemas 3 5 . 3 6 , 3 7 , 4 7 . 7 8 . 8 4
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y 90.
A n á lis is d e a c e le r a c ió n
209
ta r a rio . E n el in sta n te e n q u e 0 = 30*. u s e el m éto d o
d e aceleración relativa p a ra d e te rm in a r g ráficam en te la
v e lo d d a d a n g u la r y la ace le ra d ó n a n g u la r d el caballo.
7 -3 6 .
En el in stante e n q u e 0 = 45*. e l m o to r d el caballo trag u n o n c d a s d e la fig u ra P 7 .3 5 g ir a a 6 0 r p m e n se n tid o
h o rario y acelera a 30 r a d /s 2. Use el m é to d o d e acele
r a d ó n relativa p a r a d e te rm in a r gráficam ente la v e lo d ­
d a d a n g u la r y la ace le ra d ó n a n g u la r del caballo.
7 -3 7 .
En el in s ta n te e n q u e 0 = 120°, el m o to r d el cab allo
trag am o n edas d e la fig u ra P7.35 g ira a 40 r p m e n sen­
tid o h o r a rio y desacelera a 2 0 ra d /s2. Use el m éto d o d e
la a c e le ra d ó n relativa p a r a d e te rm in a r gráficam ente la
v e lo d d a d an g u lar y la a c e le ra d ó n a n g u la r d el caballo.
7 -3 8 .
El m o to r d el r o d a d o r p a r a lav ar a u to m ó v ile s d e la
figura P7.38 g ira a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 120 rpm
en s e n tid o a n tih o r a rio . U se el m é to d o d e a c e le ra d ó n
relativa, e n el m o m e n to e n q u e 0 - 40°, p a ra d e te rm i­
n a r g ráficam ente la v e lo d d a d a n g u la r y b acelerad ó n
a i g u l a r d el b ra z o d e la b o q u illa.
F IG U R A P 7 .4 1
Problem as
4 1 ,4 2 .4 3 .4 9 ,8 0 ,8 6 y 92 .
m é to d o d e b a c e le ra d ó n relativa p a ra d e te rm in a r g rá ­
ficam ente la v e lo d d a d a n g u la r y la a c e le ra d ó n an g u lar
d e b ru e d a d el ensam ble.
7 -4 2 .
En el in sta n te m o stra d o , b m a n iv e b d e 12 in so b re el
en g ran e im p u lso r d el tr e n d e aterrizaje d e u n a v ió n pe­
queño, m o stra d o e n la fig u ra 1*7.41, g ir a a 15 r p m en
srn tid o a n tih o ra rio y acelera a 4 rad /s2. Use el m éto d o
d e a c e le ra d ó n re b tiv a p a r a d e te rm in a r g ráficam en te b
velocidad a n g u la r y b a c e le ra d ó n a n g u la r d e b ru e d a
del ensam ble.
7 -4 3 .
En el in sta n te m o stra d o , la m a n iv e b d e 12 in so b re el
en g ran e im p u lso r d el tr e n d e aterrizaje d e u n avión p e ­
queño, m o stra d o e n la fig u ra P 7.41, g ir a a 18 rp m e n
s e n tid o a n tih o r a r io y desacelera a 3.5 r a d /s 2. U se el
m é to d o d e a c e le ra d ó n re b tiv a p a r a d e te rm in a r g rá fi­
cam en te b v e lo d d a d a n g u b r y b a c e le ra d ó n an g u lar
d e b r u e d a d el ensam ble.
M é to d o a n a lític o d e la a c e le ra c ió n r e b tiv a
7 -4 4 .
f ig u r a
7 -3 9 .
P 7 J« P ro b le m a s 3 8 .3 9 ,4 0 ,4 8 ,7 9 ,8 5 y 91.
En el m o m e n to e n q u e 0 “ 90", el m o to r d el rociador
jxira lavar au tom óviles d e la fig u ra P7.38 g ir a a u n a ve­
lo d d a d d e 150 rp m e n s e n tid o a n tih o r a rio y acelera a
2 0 0 rad /s2. U se el m é to d o d e ace le ra d ó n r e b tiv a para
d e te rm in a r gráficam ente b v elo cid ad a n g u b r y b ace­
le r a d ó n a n g u b r d el b ra z o d e b b o q u illa.
7 -4 0 .
En el m o m e n to e n q u e 0 = 120°. el m o to r d el ro d a d o r
po ra b v a r au tom óviles d e b fig u ra P 7 .3 8 g ir a a u n a ve­
lo d d a d d e 100 r p m e n s e n tid o a n tih o ra rio y desacelera
a 100 rad /s2. U se el m é to d o d e a c e le ra d ó n relativa para
d e te rm in a r gráficam ente b v elo cid ad a n g u la r y la ace­
leració n a n g u b r d el b ra z o d e b b o q u illa.
7 -4 1 .
La m an iv ela d e 12 in so b re el en g ran e im p u lso r d el tre n
d e a te r riz a je d e u n a v ió n p eq u e ñ o , m o s tr a d o e n b
figura P 7.41, g ira a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 20 rp m
e n s e n tid o a n tih o ra rio . E n el in sta n te m o stra d o , use el
En e l m ecan ism o c o m p re so r d e b fig u ra P 7 .2 6 , en el
in sta n te m o stra d o , b m a n iv e b g ir a a 1800 r p m e n s e n ­
tid o h o ra rio y acelera a 12000 rad /s2. Use el m é to d o d e
ace le ra d ó n relativ a p a ra d e te rm in a r a n a líticam en te b
v e lo d d a d lineal y la a c e le ra d ó n lineal d el pistón.
7 -4 5 . P ir a el m ecan ism o d e b m á q u in a d e co ser d e b figura
P 7.29, e n el instante e n q u e 6 - 30°. b ru e d a im p u lso ra
g ira a 2 5 0 r p m e n s e n tid o h o r a r io y acelera a 6000
rad /s2. U se el m é to d o d e b a c e le ra d ó n re b tiv a p a ra dete r m in a r a n a lític a m e n te b v e lo c id a d lin e a l y la ace­
le ra d ó n lineal d e b aguja.
7 -4 6 .
P ira b s i e r r a d e p o t e n d a p a r a m etales d e la fig u ra
P7.32, e n el in sta n te m o stra d o , b m a n iv e b d e 1.75 in
g ira a 55 rp m e n s e n tid o h o r a r io y d e s a c e le ra a 35
rad /s2. Use el m é to d o d e b a c e le ra d ó n re b tiv a p a ra d e ­
te r m in a r a n a lític a m e n te b v e lo d d a d lin e a l y b acele­
r a d ó n lineal d e b sierra.
7 -4 7 . En el instante e n q u e 0 = 45°, el m o to r d el caballo trag im o n e d a s d e b figura P7.35 g ira a 45 r p m en se n tid o
Iw ra rio y acelera a 25 ra d /s2. Use el m é to d o d e b ace­
le ra d ó n re b tiv a p a r a d e te rm in a r an alíticam en te b ve­
lo d d a d a n g u b r y la a c e le ra d ó n a n g u b r d el caballo.
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210
CAPITULO SIETE
7 -4 * . En el m o m e n to e n q u e 0 = 90", el m o to r d el ro ciad o r
p i r a lav ar a u to m ó v ile s d e la fig u ra P 7 .3 8 g ir a a 130
r p m e n s e n tid o a n tih o r a rio y desacelera a 180 r a d /s 2.
Use el m é to d o d e aceleración relativa p a r a d e te rm in a r
analíticam en te la v elo cid ad a n g u la r y la a a d e r a d ó n a n ­
g u lar d el b ro zo d e la boquilla.
7 -4 9 . En el in sta n te m o stra d o , la m anivela d e 12 in so b re el
e n g ra n e im p u lso r d el tre n d e a te rriz a je d el a v ió n p e ­
q u e ñ o m o s tr a d o e n la fig u ra P 7 .4 I g ira a 12 r p m en
sentido a n tih o ra rio y acelera a 3 rad /s2. U se el m éto d o
d e ace le ra d ó n relativ a p a ra d e te rm in a r an alíticam en te
la v e lo c id a d a n g u la r y la a c e le ra c ió n a n g u la r d e la
ru e d a d el en sam ble.
f ig u r a
P7J4
P r o b le m a s
54
a
57,59.
A c e le ra c ió n d e p u n to s s o b r e u n e s la b ó n flo ta n te :
m é to d o g rá fic o
7-50. H eslabón d e 3 .2 5 in d el m ecan ism o d e la tro q u elad o ra
d e la fig u ra P7.50 g ir a a u n a v e lo d d a d co n stan te d e 20
r p m e n s e n tid o h o r a r io . E n el m o m e n to e n q u e
8 = 60". d e te rm in e g ráficam en te b a c e le ra d ó n lineal
del p u n t o X s i b r e la tro q u elad o ra.
7 -5 5 . H e s b b ó n d e 0.5 m del m e c a n is m o le v a d iz o d e b
fig u ra P7.54 g ira a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 20 rp m
e n se n tid o h o ra rio . E n e l in s ta n te e n q u e 8 = 30", d e ­
term in e g ráficam en te b a c e le ra d ó n lineal d el p u n t o X
7 -5 6 . 0 e s b b ó n d e 0 .5 m d el m e c a n is m o le v a d iz o d e la
figura P7.54 g ira a 3 0 rp m e n s e n tid o h o ra rio y acelera
a 5 ra d /s2. En el in sta n te en q u e 8 - 20", d e te rm in e g rá ­
ficam ente la aceleración lineal d el p u n to X.
7 -5 7 . 0 e s b b ó n d e 0.5 m del m e c a n is m o le v a d iz o d e b
figura P7.54 g ira a 18 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio y desacelera a 5 ra d /s2. En el instante e n q u e 8 = 0 °, d eter­
m in e g ráficam en te b a c e le ra d ó n lineal d el p u n to X
A c e le ra c ió n d e p u n t o s s o b r e u n e s la b ó n flo ta n te :
m é to d o a n a lític o
7 -5 8 . 0 eslab ó n d e 3.25 in d el m ecan ism o d e la tro q u elad o ra
de b fig u ra 1*7.50 g ira a u n a v elo d d ad c o n s ta n te d e 20
rp m e n sentido h o ra rio . En el m o m e n to e n que 8 = 60",
d e te rm in e a n a lític a m e n te b a c e le ra c ió n lin e a l del
p u n to X so b re b tro q u elad o ra.
4.32*
7-59. El e s b b ó n d e 0.5 m d el m e c a n is m o le v a d iz o d e b
FIGURA P7j o P roblem as 50 a 5 3 ,5 8 .
7 -5 1 .
0 eslabón d e 3.25 in d el m ecan ism o d e la tro q u elad o ra
d e la fig u ra P7.50 g ir a a u n a v e lo d d a d co n stan te d e 20
r p m e n s e n tid o h o r a r io . E n el m o m e n to e n q u e
8 = 120", d e term in e g ráficam en te la a c e le ra d ó n lineal
del p u n t o X so b re la tro q u elad o ra.
7 -5 2 .
0 eslabón d e 3 .2 5 in d el m ecan ism o d e la tro q u elad o ra
d e la fig u ra P7.50 g ir a a 3 0 r p m e n se n tid o h o r a rio y
acelera a 6 rad /s2. En el m o m e n to e n q u e 8 = 90". d e ­
te rm in e g ráficam ente la aceleración lineal d el p u n to X
sobre la tro q u elad o ra.
7 -5 3 .
0 eslabón d e 3.25 i n d el m ecanism o d e la tro q u elad o ra
d e la fig u ra P 7 3 0 g ir a a 3 0 r p m e n sentido h o ra rio y d e ­
sacelera a 6 r a d / s 2. E n el m o m e n to e n q u e 8 = 90°,
d e term in e gráficam ente la a c e le ra d ó n lineal d el p u n to
X sobre b tro q u elad o ra.
7-54.
0 e s la b ó n d e 0.5 m d e l m e c a n is m o le v a d iz o d e la
fig u ra P7.54 g ira a u n a velocidad c o n s ta n te d e 12 rp m
e n se n tid o a n t i h o r a r i a E n el in sta n te e n q u e 8 = 20",
d e te rm in e g rá fic a m e n te la a c e le r a d ó n lin e a l d el
p u n to X
figura P7.54 g ira a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 12 rp m
en s e n tid o a n tih o ra rio . En el in sta n te e n q u e 8 = 20",
d e te rm in e a n a lític a m e n te la a c e le ra c ió n lineal del
p u n to X
A c e le ra c ió n d e C o rio lis
7 -6 0 . P ara e l d ia g ra m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n la figura
P7.60, e n el in sta n te e n q u e 8 = 60", la v e lo d d a d an g u ­
b r d el eslabón 2 e s d e 30 ra d /s e n s e n tid o h o ra rio . La
corredera 3 ta m b ié n se m ueve hacia afuera s o b re el es­
b b ó n 2 a u n a v e lo d d a d d e 15 m m /s. D e te rm in e b ace­
le ra d ó n d e C o rio lis d el p u n to fi so b re el eslabón 3 rela­
tiv a c o n el e s b b ó n 2 .
150 m m
f ig u r a
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P 7 JO P r o b le m a s 6 0 a 6 2 .
A n á lisis d e a c e le r a c ió n
7 - 6 1 . P ir a el d ia g ra m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.60. e n el in sta n te e n q u e f l - 45®. la v elo cid ad a n g u ­
lar d el eslabón 2 es d e 3 0 r a d /s e n s e n tid o a n tih o r a r ia
La c o rre d e ra 3 ta m b ié n se m ueve h a c ia afuera so b re el
e l a b ó n 2 a u n a v elo cid ad d e 15 m m /s. D e te rm in e b
a :e le ra d ó n d e C o rio lis d el p u n to tí m b r e el e s b b ó n 3
relativa c o n el e s b b ó n 2 .
7-62. P ara el d b g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n b fig u ra
211
s e n tid o h o r a r io y acelera a u n a ta s a d e 4 5 r a d /s 2.
D e te rm in e g rá fic a m e n te la a c e le ra c ió n lin e a l d e la
c u c h ilb d e la sierra.
7-67. La fig u ra P 7 .6 7 p resen ta el m ecan ism o d e u n a b o m b a
p a ra b icicleta. En el in sta n te m o s tr a d a el c ilin d ro se re ­
tra e a u n a v e lo c id a d c o n s ta n te d e 2 in /s . D e te rm in e
g ráfica m e n te la aceleració n a n g u b r d el en sam b le del
p e d a l y la aceleración lin e a l d e l p u n to X
P7.60, e n el in sta n te e n q u e 8 ■ 30°, la v elo cid ad an g u
lar d el e s b b ó n 2 es d e 30 ra d /s e n s e n tid o h o ra rio . La
c o rre d e ra 3 ta m b ié n s e m u e v e hacia a d e n tro s o b re el
e slab ó n 2 a u n a v elo cid ad d e 15 m m /s. D eterm in e la
x e le ra c ió n d e C o rio lis d el p u n to tí a » b re el e s b b ó n 3
relativa c o n el eslab ó n 2 .
p in to
X
M e c a n is m o c o n a c e le ra c ió n d e C o rio lis : m é t o d o g rá fic o
7 - 6 3 . P ara el d b g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n b fig u ra
P7.63, la velocidad a n g u la r d el eslabón 2 e s d e 20 rad /s
e n se n tid o a n tih o ra rio . D e te rm in e g ráfica m e n te la ve­
locidad a n g u b r d el eslabón 4, la velocidad d e desliza­
m ie n to d el e s b b ó n 3 s o b re el eslabón 4 y la aceleración
a ig u la r d e l eslabón 4.
HGURA P 767
Problem as 6 7 ,6 8 y 73.
7-68. En la b o m b a p a ra bicicleta d e la fig u ra P 7.67. el c ilin ­
d ro s e r e t r a e a u n a v e lo c id a d d e 2 in /s y acelera a
3 in /s2. D e te rm in e g rá fic a m e n te la aceleració n a n g u ­
lar d e l e n s a m b le d el p e d a l y b a c e le ra c ió n lineal del
p u n to X
hgura
P7.63
f to b le m a s 6 3 ,6 4 y 71.
7-64. P ir a el d b g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n b fig u ra
P7.63, b velocidad a n g u la r d el e s b b ó n 2 e s d e 20 rad /s
en s e n tid o a n tih o r a r ia y acelera a 5 r a d /s 2. D eterm ine
g ráficam en te la velocidad a n g u la r d el eslab ó n 4 , b ve­
lo cid ad d e d esliz am ie n to d el eslabón 3 s o b re el eslabón
4 y b aceleración a n g u b r d el e s b b ó n 4.
7-69. La fig u ra P7.69 p re se n ta el m ecan ism o d el tim ó n u sa­
d o e n b c o n d u c c ió n d e em barcaciones. En el instante
m o s tr a d a el im p u lso r se e stá ex ten d ien d o a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 0.1 m /s. D e te rm in e g rá fic a m e n te la
v e lo d d a d y b a c e le ra d ó n a n g u b r e s d e l en sam b le del
tim ón.
0 .3 m
0 .4 ra
7-65. La fig u ra P7.65 ilu stra el m ecanism o im p u lso r d e una
sie rra c a la d o ra . E n e l in s ta n te m o s t r a d a b m a n iv e b
p r a a u n a v elo cid ad c o n s ta n te d e 3 0 0 rp m e n se n tid o
h o r a r ia D e te rm in e g ráfica m e n te ki aceleració n lineal
d e b c u c h ilb d e la sierra.
7-70. E n el m ecan ism o d el tim ó n d e b fig u ra P 7.69, el im ­
7-66. En el m e c a n is m o d e b sie rra ca la d o ra d e la fig u ra
P7.65. b m a n iv e b g ira a u n a velocidad d e 2 0 0 r p m en
p u lso r s e e stá ex tendiendo a u n a v e lo d d a d d e 0 .1 m /s y
desacelera a u n a v e lo d d a d d e 0.3 m /s2. D eterm in e g rá ­
fic a m e n te b v e lo d d a d y b a c e le r a d ó n a n g u b r e s del
en sam b le d el tim ó n .
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212
CAPITULO SIETE
7-79. El m o to r d el m ecanism o ro d a d o r p a ra lavar autom óviles
M e c a n is m o c o n a c e le r a c ió n d e C o rio lis:
m é to d o a n a lític o
7 -7 1 . P ara e l d ia g r a m a c in e m á tic o m o s tr a d o e n la fig u ra
P7.63, la velocidad a n g u la r d el eslabón 2 es d e 2 0 ra d /s
e n s e n tid o a n tih o r a rio . D e te r m in e a n a lític a m e n te la
v elo cid ad a n g u la r d el e s b b ó n 4 , b v e lo c id a d d e
d eslizam ien to d el eslabón 3 so b re el e s b b ó n 4 , y b ace­
leració n an g u lar d el eslab ó n 4.
7 -7 2 . l a fig u ra 1*7.65 m u e s tra el m ecan ism o im p u lso r d e u n a
sierra c a la d o ra . E n el in s ta n te m o stra d o , b m a n iv e b
g ira a u n a velocidad c o n s ta n te d e 3 0 0 r p m e n se n tid o
h o ra rio . D e te rm in e an alíticam en te b aceleración lineal
d e b cu ch illa d e b sie rra .
7-73. l a fig u ra P7.67 m u e s tra el m ecan ism o d e u n a b o m b a
p i r a b icicleta. En el instante m o stra d o , el c ilin d ro s e re ­
tra e a u n a v e lo c id a d c o n s ta n te d e 2 in /s . D e te rm in e
an alíticam en te b aceleración a n g u la r d el e n s a m b le del
p e d a l y la aceleración lineal del p u n to X.
7 -7 4 . La fig u ra P7.69 p resen ta el m ecanism o d el tim ó n u sa­
d o e n la c o n d u c c ió n d e em barcaciones. En el instante
m o strad o , el im p u lso r s e extiende a u n a velocidad c o n s­
o m é d e 0.1 m /s. D e te rm in e a n a lític a m e n te b v e lo d ­
dad y la a c e le ra d ó n a n g u lares d el ensam ble d el tim ó n .
C u r v a s d e a c e le ra c ió n : m é to d o g rá fic o
7-75. l a m a n iv e b d el m ecanism o c o m p re so r m o stra d o e n la
fig u ra P 7 .2 6 es im p u lsa d a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e
1750 r p m e n s e n tid o h o r a r io . E b b o r e g rá fic a m e n te
u n a c u rv a d e d e sp b z a m ie n to lineal d el p is tó n e n fu n ­
d ó n d el á n g u lo d e b m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el
eje d el á n g u lo d e la m a n iv ela. Luego, calcu le g ráfica
m e n te la p e n d ie n te p a ra o b te n e r b s c u rv as d e v e lo d ­
dad y d e a c e le ra d ó n d el p is tó n e n f u n d ó n d el tiem po.
7 -7 6 . l a m a n iv e b d el m e c a n is m o d e b m á q u in a d e co ser
m o stra d a e n b fig u ra P7.29 es im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 175 r p m e n s e n tid o a n tih o r a rio .
H a b o re g ráficam en te b c u r v a d e d esp lazam ien to lineal
d e la a g u ja e n fu n c ió n d e l á n g u lo d e la m a n iv e ­
la. C o n v ie rta a tie m p o el eje d el ángulo d e la m a n iv e b .
Luego, calcule g ráficam en te b p e n d ie n te p a r a o b te n e r
b s c u rv as d e v elo cid ad y d e a c e le ra d ó n d e b aguja en
f u n d ó n d el tie m p a
7 -7 7 . l a m a n iv e b d e b s ie rr a d e p o t e n d a p a r a m etales
m o stra d a e n b fig u ra P7.32 e s im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 9 0 r p m e n se n tid o h o r a r i a E b b o re
g tá fic a m e n te la c u rv a d e d e s p b z a m ie n to lineal d e la
sierra e n f u n d ó n d el á n g u lo d e la m anivela. C o n v ierta
a tie m p o el eje d el á n g u lo d e b m a n iv e la L u e g a c a lc u ­
le g ráficam ente la p e n d ie n te p a ra o b te n e r b s c u rv a s d e
v elo cid ad y d e a c e le r a d ó n d e b sie rra e n f u n d ó n d el
tiem p o .
7-78. 0 m o to rd e l caballo tra g a m o n e d a s d e la fig u ra P7.35 es
im p u lsa d o a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 7 0 r p m en
sentido h o ra rio . E labore g ráficam en te la c u rv a d e d es­
p b z a m ie n to a n g u b r d el caballo e n fu n ció n d el ángulo
d e la m anivela. C o n v ierta a tie m p o el eje d el á n g u lo d e
b m anivela. Luego, calcu le g ráfica m e n te b p e n d ie n te
p a ra o b te n e r b s c u rv as d e v e lo d d a d an g u lar y d e acele­
r a d ó n a n g u la r d el caballo e n f u n d ó n d el tiem po.
de b figura P 7 J 8 e s im p u lsad o a u n a velocidad constan­
te d e 100 r p m e n s e n tid o a n tih o r a r ia E labore gráfica­
m ente b c u r ra d e d e s p b zam ien to an g u lar d el b ra z o d e b
bo q u ilb e n fu n d ó n d el ángulo d e b m an iv ela C onvierta
a tie m p o el eje d el á n g u lo d e b m an iv ela Luego, calcule
gráficam ente b pendiente p a ra o b ten er b s c u rra s d e ve­
locidad a n g u b r y d e ace le ra d ó n a n g u b r d el brazo d e b
bo q u ilb e n f u n d ó n d el tie m p a
7-80. La m a n iv e b s o b re el en g ran e d el m ecan ism o del tre n
d e aterrizaje m o stra d o e n la fig u ra P 7.4I es im pulsada
a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 18 r p m e n s e n tid o a n ti­
h o r a rio . E b b o re g rá fic a m e n te b c u rv a d e d e s p b z a ­
m ie n to a n g u la r d e l e n s a m b le d e b ru e d a e n f u n d ó n
del á n g u lo d e b m anivela. C o n v ie rta a tie m p o d eje del
án g u lo d e b m a n iv e b . L u e g a calcu le g rá fic a m e n te b
p en d ien te p a r a o b te n e r las c u rv as d e v e lo d d a d an g u lar
y d e a e d e r a d ó n a n g u b r d e b ru e d a d el e n s a m b le e n
fu n ció n d el tie m p o .
C u rv a s d e a c e le ra c ió n : m é to d o a n a lític o
7 - 8 1 . La m a n iv e b d d m ecan ism o c o m p re so r m o stra d o e n b
figura P7.26 es im p u lsa d a a u n a velocidad c o n s ta n te de
1450 r p m e n s e n tid o h o ra rio . Use u n a h o ja d e cálculo
p i r a o b te n e r a n a lític a m e n te la c u rv a d e d e s p b z a ­
m ie n to lin e a l d el p is tó n e n fu n c ió n d e l á n g u lo d e la
m anivela. C o n v ie rta a tie m p o el á n g u lo d e la m anivela.
L uego, u s e d iferen c ia le s n u m é ric a s p a r a o b te n e r las
curvas d e v e lo d d a d y d e a e d e r a d ó n d d p is tó n e n fun­
d ó n d d tiem po.
7-82. La m a n iv e b d d m e c a n is m o d e b m á q u in a d e co ser
m o stra d o e n b fig u ra P7.29 es im p u lsad a a u n a v d o d ­
dad c o n s ta n te d e 160 r p m e n se n tid o a n tih o ra rio . Use
u n a h o ja d e cálcu lo p a r a o b te n e r a n a lític a m e n te la
curva d e d e s p b z a m ie n to lineal d e la ag u ja e n fu n d ó n
del á n g u lo d e la m anivela. C o n v ierta a tie m p o d eje del
á n g u lo d e b m a n iv e la . L uego, u s e d ife re n c ia le s n u ­
m éricas p a r a o b te n e r las c u rv as d e velocidad y d e ace­
le r a d ó n d e la aguja en f u n d ó n d d tiem po.
7-83. La m a n iv e b d e b sie rra d e p o d e r p a r a m etales m o s­
tra d a e n b fig u ra P7.32 es im p u lsa d a a u n a v e lo d d a d
co n stan te d e 85 r p m e n s e n tid o h o rario . U se u n a h o ja
de cálculo p a ra o b te n e r analíticam ente b c u rv a d e d e s ­
plazam iento lineal d e b cuchilla d e b sierra e n fu n d ó n
del á n g u lo d e la m anivela. C o n v ierta a tie m p o el eje del
án g u lo d e la m a n iv e b . Luego, u se d iferen d a le s n u m é ri­
cas p a r a o b te n e r la s c u rv a s d e v e lo d d a d y d e a e d e ración d e la cuchiDa d e b sierra en fu n d ó n d d tiem po.
7 - 8 4 . El m o to r d d c a b a llo tra g a m o n e d a s m o s tr a d o e n la
fig u ra P7.35 es im p u lsa d o a u n a v d o d d a d c o n s ta n te de
80 r p m e n s e n tid o h o r a rio . U se u n a h o ja d e cálcu lo
p a ra o b te n e r a n a lític a m e n te b c u rv a d e d e s p b z a ­
m ie n to a n g u b r d el caballo e n fu n ció n d el á n g u lo d e b
m anivela. C o n v ierta a tie m p o el eje d el ángulo d e la m a
nivela. Luego, u se d ife re n d a le s n u m éricas p a ra o b te n e r
b s c u rv a s d e v e lo d d a d a n g u b r y d e a c e le ra c ió n a n ­
g u b r d el caballo e n f u n d ó n d d tiem po.
7 - 8 5 . H m o to r d el m ecanism o r o d a d o r p a r a lav ar a u ­
tom óviles d e b fig u ra P 7 J 8 es im p u lsa d o a u n a v elod­
dad c o n s ta n te d e 110 r p m e n se n tid o a n tih o ra rio . Use
u n a h o ja d e cálculo p a ra o b ten er analíticam ente la curva
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A n á lisis d e a c e le r a c ió n
213
d e d esp lazam iento a n g u la r d e la bo q u illa e n (u n ció n del
ángulo d e la m anivela. C onvierta a tie m p o el eje d el á n ­
g u lo d e la m anivela, lu e g o , u se diferenciación num érica
p rra o b ten er las curvas d e velocidad a n g u la r y d e acele­
ración an g u lar d e la bo q u illa e n fu n ció n d el tiem po.
7 -8 6 . La m an iv ela so b re el en g ran e d el m ecanism o d el tr e n d e
a te rriz a je m o s tr a d o e n la fig u ra P 7 .4 1 e s im p u lsa d a a
una v elo d d ad c o n s ta n te d e 16 r p m e n se n tid o an tih o rario . Use u n a h o ja d e c á lc u lo p a r a o b te n e r an a lític a ­
m ente la c u rv a d e d esplazam iento an g u lar d el ensam ble
d e la ru e d a e n f u n d ó n del á n g u lo d e la m anivela.
C o n v ie rta a tie m p o el e je del á n g u lo d e la m a n iv e ­
la. lu e g o , use diferenciación n u m é ric a p a ra o b te n e r las
c u rv as d e v e lo d d a d a n g u la r y d e a c e le ra d ó n a n g u la r
del en sam b le d e la ru e d a e n f u n d ó n d el tiem po.
f ig u r a
E7.I (C ortesía d e In d u stria l Press).
A c e le ra c ió n u s a n d o W o r k in g M o d e l
7 -8 7 . La m anivela d el m ecan ism o c o m p re so r m o stra d o e n la
figura P7.26 e s im p u lsa d a a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te de
1750 r p m e n se n tid o h o ra rio . Use el softw are W brking
M odel p a ra c rear u n a s im u la d ó n y graficar la c u rv a de
a c e le ra d ó n lineal d el p is tó n e n f u n d ó n d el tie m p o .
7 -8 8 . l a m an iv ela d el m e c a n is m o d e la m á q u in a d e coser
m o strad a e n la fig u ra P7.29 es im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d ad c o n s ta n te d e 175 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio . Use
d so ftw are W orking M o d e l p a ra c rear u n a s im u la d ó n
y graficar la c u rv a d e a c e le ra d ó n lineal d e la ag u ja en
f u n d ó n d el tiem po.
7 -8 9 . La m an iv ela d e la s ie rr a d e p o te n c ia p a r a m etales
m o strad a e n la fig u ra P7.32 es im p u lsad a a u n a v e lo d ­
d a d c o n s ta n te d e 90 rp m e n s e n tid o h o r a r io . U se el
softw are W orking M odel p a ra c rear u n a sim u lació n y
g raficar la c u rv a d e aceleración lineal d e la cuch illa de
b sie rra e n f u n d ó n d el tiem po.
1. C o n fo rm e el cig ü eftal I g ira 3 0 ° e n s e n tid o h o r a r io a
p a rtir d e b p o sic ió n m o stra d a , ¿cuál es e l m o v im ien to
d e b c o rre d e ra /?
2 . C o n fo rm e el cigüeñal / gira u n o s c u a n to s g ra d o s m ás
e n se n tid o h o r a r i a ¿ q u é su c ed e c o n el m ecanism o?
3 . ¿Para q u é sirv e b p a rte C?
4. C o n fo rm e e l d g ü e n a l / c o n tin ú a g i r a n d a d escrib a el
m o v im ie n to d e b c o rre d e ra .
5 . ¿P ara q u é sirv e la p a rte B?
6 . D escrib a el ob jetiv o d e e ste m ecanism o.
7 - 2 . L a fig u ra E7.2 p re se n ta u n a m á q u in a q u e a lim e n ­
ta rem aches a u n a m á q u in a e n s a m b b d o ra a u to m a ti­
zad». E xam in e c u id ad o sam en te b s co m p o n e n te s del
m ecan ism o y, l u e g a co n teste b s p re g u n ta s siguientes
p i r a o b te n e r m a y o r c o n o c im ie n to acerca d e su o p e ­
ración.
7 - 9 0 . H m o to r d el caballo tra g a m o n e d a s d e la fig u ra 17.35 es
im p u lsa d o a u n a v e lo d d a d c o n s ta n te d e 7 0 r p m en
se n tid o h o r a r i a U se el so ftw are W orking M o d e l p a ra
c rear u n a sim u lació n y g ra fic a r la c u rv a d e aceleración
a ig u la r d e l caballo e n f u n d ó n d el tiem po.
7 - 9 1 . El m o to r d el m e c a n is m o r o d a d o r p a r a lav ar a u ­
tom ó v iles d e la fig u ra P 7 .3 8 e s im p u lsad o a u n a v e lo d ­
d ad c o n s ta n te d e 100 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio . Use
é so ftw are W orking M o d e l p a ra c rear u n a s im u la d ó n
y graficar la c u rv a d e a c e le ra d ó n a n g u la r d el b ra z o de
b b o q u illa e n f u n d ó n d el tiem po.
7 -9 2 . La m a n iv e b so b re el e n g ra n e d el m ecan ism o d el tre n
d e aterrizaje m o stra d o e n la fig u ra P7.41 e s im pulsada
a u n a v elo cid ad c o n s ta n te d e 18 rp m e n s e n tid o an tth o r a r i a U se el softw are W orking M odel p a ra c re a r una
s im u la d ó n y g ra fic a r la c u rv a d e a c e le ra d ó n a n g u la r
d e la r u e d a d el ensam ble e n f u n d ó n d el tiem po.
E S T U D IO S DE C A SO _________________________
f ig u r a
7 - 1 . La fig u ra E7.1 m u e s tra u n a m á q u in a especializada im ­
p u lsada p o r d g O e n a l /. L a sa lie n te s u p e rio r H d e la
m áquina im p u lsa otro m e c a n is m a el cu al n o s e m uestra.
E x am in e c u id ad o sam en te la s co m p o n e n te s d e l m eca­
nism o y, luego, c o n te ste la s p re g u n ta s siguientes p a ra
o b ten er m ayor conocim iento acerca d e s u operación.
E7.2 (C o rtesía d e In d u stria l Press).
1. C o n fo rm e b m esa g ira to ria d e b m á q u in a g ir a e n s e n ­
tid o a n tih o r a r ia ¿qué su c ed e c o n la p alan ca £?
2. ¿Para q u é sirv e el reso rte A?
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214
CAPITULO SIETE
3. C o n fo rm e g ira la m esa ro ta to ria , ¿cuál es el m o v i­
m ie n to d e la p a rte D?
4. ¿Para q u é sirv e el reso rte U
5. ¿C uál e s el n o m b re g eneral d el tip o d e u n ió n e n tre las
p i n es B y I X D escrib a lo s d etalles d e su Junción.
6. ¿C uál es el o b jetiv o d e las c o m p o n e n te s d e la p arte H?
7. D escriba el m o v im ie n to y las acciones q u e o c u rre n d u ­
ra n te la o p e ra c ió n d e e sta m áq u in a.
7 - 3 . La fig u ra E 7.3 ilu stra u n a m á q u in a especializada q u e
acep ta cajas en ro llad as parcialm ente d esd e la ra n u ra B.
l a m á q u in a p liega lo s d esen ro llad o res s u p e rio r e infe­
rior, y m u ev e la caja h a d a o t r a o p e r a d ó n . En la p o s i­
d ó n q u e s e ilu stra , s e m u e s tra u n a caja e n A q u e está
sa lie n d o d e la m á q u in a . E xam in e c u id a d o s a m e n te las
c o m p o n e n te s d el m ecanism o y, luego, c o n te ste la s s i­
g u ientes p re g u n ta s p a r a o b te n e r m ay o r c o n o d m ie n to
acerca d e s u o p e r a d ó n .
1. C o n fo rm e el e s b b ó n / g ira 90“ e n s e n tid o h o r a r io a
p a rtir d e la p o sic ió n m o strad a, ¿cuál e s el m ovim iento
d e b p alan ca aco d ad a H?
2. C o n fo rm e e l e s b b ó n / g ira 90“ e n s e n tid o h o r a r io a
p u t i r d e b p o s id ó n m o strad a, ¿cuál e s el m o v im ien to
del a lim e n ta d o r E y d e b p b e a O
3. C o n fo rm e e l e s b b ó n / g ira 90“ e n s e n tid o h o r a r io a
p artir d e b p o s id ó n m o strad a, ¿cuál es el m o v im ien to
d el p e r n o S i (O b se rv e q u e el p e r n o S e stá su je to a la
c o rre d e ra D y n o e stá restrin g id o a m o v e rse e n b r a ­
n u ra).
4. C o n fo rm e el e s b b ó n / g ira 90“ e n s e n tid o h o r a r io a
p a rtir d e la p o s id ó n m o strad a, ¿cuál e s el m o v im ie n to
d e l p e r n o g u b R? (O b serv e q u e e l p e r n o R está lim i­
ta d o a m o v erse e n la ra n u ra ).
FIGURAE7J ( C o r tc s b d e In d u strial Press).
5 . C o n fo rm e el e s b b ó n / g ir a 9 0 ° en s e n tid o h o r a rio a
p a rtir d e b p o s id ó n m o strad a, ¿cuál es el m o v im ien to
d e b p alan ca acodada
6 . C o n fo rm e el e s b b ó n / g ir a 9 0 " e n s e n tid o h o r a rio a
p a rtir d e b p o sic ió n m o stra d a , ¿cuál es el m o v im ien to
d e b c o rre d e ra L y d e b p b e a M i
7 . ¿Por q u é e s necesario el eslabón c o r to N i ¿Puede el es­
b b ó n P c o n e c ta rse d ire c ta m e n te a b c o rre d e ra ü
8 . C o m e n te a lg o acerca d el e s p a d a m ie n to re b tiv o entre
b s p la c a s C y M d e s p u é s d e q u e el eslab ó n / g ira 90" en
se n tid o h o rario .
9 . C o m en te a lg o acerca d el m o v im ien to c o n tin u o d e b s
placas C y Af a lo largo d el a lim e n ta d o r E.
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CA PITU LO
OCHO
AN ÁLISIS D E M E C A N IS M O S A S IS T ID O
POR COM PUTADORA
sis dinám ico. Este capitulo se cen tra e n o tro s m étodos p o r c o m p u ­
tadora p a ra el análisis d e m econism os. D ich o s m étodos incluyen
d u so d e hojas d e cálculo y la c re a d ó n d e rutinas c o n el u so de
lenguajes d e p rogram ación.
O B JE T IV O S
A l t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s te c a p itu lo , e l a lu m n o
será c a p a z de:
1 . E n te n d e r l o s f u n d a m e n to s d e u n a h o ja d e c á lc u lo e n g e n e ra l.
8 .2 H O JA S DE C Á I.C U I.O
2 . C o m p r e n d e r la e s t r a t e g i a p o r a u s a r u n a h o j a d e c á lc u lo e n
g rn e rm l e n d
a n á lis is d e m e c a n is m o s .
3 . C r e a r r u tin a s d e c ó m p u to p a r a d e te r m in a r la s p ro p ie d a d e s
c in e m á tic a s d e m e c a n is m o s d e c u a tro b a r ia s o d e m a n irc la to rre d e ra .
8.1 IN T R O D U C C IÓ N
A l o la rg o d el lib ro , se h a n p re se n ta d o té cn icas ta n to g rá fi­
cas c o m o an alíticas p a r a el an álisis d e m ecanism os. C o m o so n
m ás precisas, es m ejor u tilizar soluciones analíticas p a ra diversas
po sicio n es d e u n m ecan ism o , a u n q u e el n ú m e r o d e cálcu lo s se
p o d ría volver difícil d e m anejar. En tales situaciones, lo m ás ad e ­
c u a d o so n las so lu c io n e s p o r c o m p u ta d o ra , las c u a le s tam bién
so n valiosas c u a n d o se d eb en analizar v arias iteraciones del d i ­
serto. En la s e c d ó n 2 2 , “S im u la d ó n p o r c o m p u ta d o ra d e m eca­
n ism o s'. se m e n d o n a ro n sistem as d e softw are d e d ic a d o al an áli­
F IG U R A 8 .1
l a s h o jas d e cálculo, com o Excel d e M icrosoft*, son m u y p o p u ­
lares e n el am b ien te p ro fesio n al p a ra u n a m u ltitu d d e tareas. Las
hojas d e cálcu lo tien en m u c h a s f u n d o n e s n u m éricas integradas,
facilidad para graficar lo s resultados y c a p a d d a d p a r a reconocer
fó rm u las. S o n características an alíticas q u e fa v o re d e ro n el uso
generalizado d e las h o jas d e cálcu lo p a ra resolver los pro b lem as
d e m ecanism os m ás ru tin a rio s. S e h a n utilizado h o ja s d e cálculo
e n v arias d e las s o lu a o n e s d e lo s p ro b le m a s d e este texto. Esta
se c d ó n d escrib e los fu n d am en to s e n el u so d e h o ja s d e cálculo.
D esde lu eg o , s e recom ienda co n su lta r lo s m anuales d el softw are
especifico p a r a m ayores detalles.
U n a h o ja d e cálcu lo e s tá c o n fig u ra d a c o m o u n a m atriz
g la n d e d e filas y co lum nas. El n ú m e ro d e filas y c o lu m n a s varía
e n tre los diferentes p ro d u c to s d e softw are. Los encabezados de
las c o lu m ñ as s e id en tifica n c o n caracteres alfabéticos d e la A a la
Z luego d e la AA a la A Z, luego d e la BA a la BZ, y asi sucesiva­
m ente. L as fila s s e id e n tific a n n u m e rá n d o la s c o m o 1, 2 , 3,
H oja d e c á l c u l o en general.
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216
CAPITULO O CHO
etcétera. En la fig u ra 8.1 se m u e s tra la esq u in a s u p e rio r d e una
hoja d e cálculo e n g en eral. L a intersección d e u n a c o lu m n a con
u n a fila se co n o ce c o m o celda. C a d a celd a se identifica c o n una
d ire c d ó n . q u e se c o m p o n e c o n la c o lu m n a y la fila q u e la d e ­
fin en . La celd a D 3 e stá d e fin id a p o r la c u a r ta c o lu m n a ( D ) y
la tercera fila . El c u rs o r se m ueve a tra v é s d e la s c e ld a s c o n el
teclad o (te d a s d e Hechas) o c o n el ra tó n .
El v a lo r d e u n a h o ja d e cálcu lo rad ica e n el a lm a c e ­
n a m ie n to , la m a n ip u la c ió n y el d e s p le g a d o d e los d a to s c o n ­
tenidos e n u n a celda. L o s d a to s g en eralm en te s o n texto, n ú m ero s
o fó rm u las. La h o ja d e cálcu lo q u e se m u e s tra e n la fig u ra 8.2
tien e texto e n las celdas A l, F1 y F2, asi c o m o n ú m e ro s e n las cel­
d as A2 a A 24, G1 y G 2.
A u n q u e q u izás haya d iferencias sutiles e n la sin tax is e n tre
lo s p ro g ra m a s d e h o ja d e cálculo, la lógica subyacente p a r a crear
las fó rm u la s e s id é n tic a . La s in ta x is q u e a q u í s e p ro p o rc io n a
c o rre sp o n d e a Excel d e M icrosoft. S e re c o m ie n d a c o n s u lta r el
m a n u a l d el u s u a rio d e a lg ú n o tr o p ro d u c to p a r a c o n o c e r las
d iferen cias e n la sintaxis.
L a in tro d u c c ió n d e u n a fó rm u la e n u n a celd a inicia c o n el
sig n o igual ( ■ ) . Luego, s e c o n stru y e la fó rm u la c o n el u s o d e v a ­
lores, o p e r a d o r e s ( + ,
*, / ) , referencias a celdas (p. ej. G 2) y
fu n cio n es (p. ej. SEN O , PR O M E D IO , ATAN y RA D IANES). Las
fó rm u la s d el análisis cin em ático su e le n s e r b astan tes com plejas.
C o m o u n ejem p lo , se coloca u n a fó rm u la sim p le e n la celda A8:
= A7 + 10
(8.1)
A un cu an d o la celd a c o n te n d ría e sta fó rm u la, m o stra rla v isu al­
m e n te el n ú m e r o 6 0 e n la c e ld a A 8. E l cálcu lo s e re a liz a en
fo rm a a u to m á tic a . C o m o o tr o e je m p lo , se in se rta la sig u ien te
ex p resió n e n la celd a B2:
= A S E N O (G l 4 SEN O (A 2 * PI( V 18 0 )/G 2 ) * 180/PI()
$
A
(8.2)
La e x p re sió n rep re sen ta el á n g u lo e n tr e la b iela y el p la n o d e
deslizam iento d e u n m ecanism o d e m an iv ela-co rred era e n linea
q u e se m o s tró c o m o la ecu a c ió n (4 .3 ) e n el c ap itu lo 4:
La fó rm u la e n la h o ja d e cálcu lo s u p o n e q u e s e in tro d u ­
jeron lo s siguientes valores:
■ d ¡ e n la celd a A2
■ £ ; en la celd a G 1
■ L¡ en la celd a G2
S e d e b e rla o b s e rv a r que, c o m o e n la m ay o ría d e la s fu n ­
ciones d e c o m p u tad o ra, cu a lq u ie r referencia a valores angulares
se tien e q u e especificar e n radianes. O bserve q u e A2, u n á n g u lo
a p r e s a d o e n g rad o s.se m u ltip lic a p o r i r /180 p a ra c o n v e rtirlo en
radianes. D e sp u é s d e u sa r la fu n ció n in v ersa d el seno, ASEN O, el
valor resu ltan te tam bién es u n á n g u lo e n radianes. P o r lo tanto,
se d e b e co n v ertir d e nuevo a g rados m ultiplicándolo p o r 180/rr.
Excel tam b ién tien e predefinidas las fu n cio n es d e RADIANES y
G R A D O S q u e p u e d e n s e r d e ay u d a e n la s co n v ersio n es. l a
e c u a d ó n (4 .3 ) s e in se rta a lte rn a tiv a m e n te e n la celda B2 de
b h o ja d e cálcu lo com o:
- G RA D O S(A SE N O (G 1 * S E N O <R A D IA N ES(A 2»/G 2)) (8.3)
Si la ex p resió n (8 .1 ) se te d e a ra e n A 8 y la expresión (8 .2 ) u
(8 .3 ) se te d e a ra e n B2, la h o ja d e cálculo re su lta n te se ría c o m o
b q u e s e ilu s tra e n la fig u ra 8.3. E s im p o rta n te re c o rd a r q u e
c u a n d o s e m o d ific a el c o n te n id o d e u n a c e ld a q u e c o n te n ía
d ato s d e e n tra d a , to d o s los resu ltad o s se actualizan. Lo a n te rio r
p e rm ite q u e s e efectúen ite ra d o n e s d e d ise ñ o c o n fad lid ad .
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A n á lisis d e m e c a n is m o s a sis tid o p o r c o m p u ta dora_________217
f ig u r a 8.3
H o ja d e cálculo c o n fórm u las in tro d u c id a s e n A 8 y B2.
O tr a característica im p o rta n te d e u n a h o ja d e cálcu lo es la
(u n ció n d e c o p ia r y pegar. EJ c o n te n id o d e u n a celda se p u ed e
d u p lic a r e in se rta r en o tr a celda. La característica d e c o p ia r y p e ­
g a r e lim in a la in tro d u c c ió n r e d u n d a n te d e e c u a c io n e s e n las
celdas.
L a referencia a celdas e n u n a fó rm u la es relativa o absoluta.
Las referen cias relativas se a ju s ta n a u to m á tic a m e n te c u a n d o la
co p ia d e u n a celd a s e coloca e n u n a n u ev a celd a. C o n sid e re
la sig u ien te f ó rm u la in tro d u c id a e n la celd a A8:
O b serv e q u e el d ire c c io n a m ie n to d e la celda A2 se a ju s tó a u ­
to m á tic a m e n te p a r a leer "A3". El á n g u lo d e la b iela s e calcula
fw ra el á n g u lo d e la m a n iv e b especificado e n la celd a A 3.
P ira c o n tin u a r c o n el an álisis d e u n m ecanism o, s e debe
te d e a r b siguiente f ó r m u b e n la celd a C2 :
= 180 -
(A 2 + B2)
E sta fó rm u la, m o stra d a e n b fig u ra 8.4 , calcu la d á n g u lo in te­
rio r e n tre b m a n iv e b y b b iela (e c u a d ó n 4 .4):
= A7 + 10
y = 180° - {0 j + 0 ,)
La referen cia a la celd a A7 e s u n a referencia relativa a la celd a in ­
m ed iatam en te a rrib a d e la celd a A8 q u e c o n tie n e la fó rm u la . Si
esta ecu a c ió n se co p ia ra y s e co lo c a ra e n la celd a A9, la fó rm u la
n u ev a s e co n v e rtiría en:
C o m o lo s án gulos sim p le m e n te se su m a n , y b f u n d ó n n o se h a
requerido, n o se necesita el eq u iv alen te e n radianes.
’lám b ién s e d e b e teclear b sig u ien te f ó r m u b e n la c d d a D2:
=RAIZ(($G$1)A2+(SGS2)A2(2*$G$
COS(C2•
= A8 + 10
O tra vez. la referencia a b celd a A 8 es relativa; p o r lo ta n to , b
h o ja d e cálcu lo aju sta rla a u to m á tic a m e n te b fó rm u la.
La d irecció n ab so lu ta n o m o d ific a au to m áticam en te la refer e n c b a la celd a d e s p u é s d e u s a r la (u n ció n d e c o p ia r y pegar.
Sin em b arg o , p a ra especificar u n a referencia a b s o lu ta , s e debe
co lo car u n s ím b o lo d e p e s o s a n te s d e b fila y la co lu m n a. Por
ejem p lo , u n a re fe re n c b a b s o lu ta a la celd a G 1 tie n e q u e ap a re ­
cer c o m o SGS1.
S u p o n g a q u e b e x p re sió n (8 .2 ) se v a a c o lo c a r e n b celda
B2. P ara h a c e rlo d e u n a m a n e ra m ás eficien te, e sta f ó r m u b se
m o d ificaría ligeram ente;
*= A S E N O ($G $l * (S E N O (A 2 * P I()/1 8 0 )/$ G $ 2 ))* 180/PIQ
Así, ta n so lo el á n g u lo d e b celd a A2 es u n a d ir e c d ó n relativa. Si
ki f ó r m u b se fu e ra a c o p ia r e n b celda B3, la n u e v a f ó r m u b
sería:
= A S E N O ($G $l * (S E N O (A 3 * P l()/1 8 0 )/$ í¡$ 2 ))* 180/PIO
(4.4)
I * $G $2 *
P I ( ) /1 8 0 )))
Esta fó rm u la c a lc u b la d is ta n d a d el pivote d e b m anivela a b
u n ió n d e p e r n o d e la c o rre d e ra (e c u a d ó n 4.5):
L, = V
l¡
+ L\ -
2 ( I ?) ( L ,) c o s y
(4.5)
Si las d o s fó rm u la s se teclearan e n C 2 y D 2 , y se te d e a r a n des
c r ip d o n e s d e texto en las celdas B l, C1 y D I , b h o ja d e cálculo
resultante serfo c o m o b d e la fig u ra 8.4.
R>r ú ltim o , c o m o se d e b e ten er m u c h o c u id a d o al u sa r direcd o n es ab so lu ta s y relativas d e celdas al crear b s fó rm u la s e n
B2, C 2 y D 2, e s p o sib le c o p ia r e n b s c d d a s d e ab a jo e n s u s res­
p e c tiv a s c o lu m n a s . S e re c o m ie n d a c o n s u lta r e l m a n u a l del
usuario p a r a los p asos reales necesarios p a r a c o p ia r los d a to s en
las c d d a s re sta n te s lo s cuales n o rm a lm e n te so n p ro ced im ien to s
se n cillo s d e d o s o tre s p aso s. L a h o ja d e c á lc u lo re su lta n te se
m u estra e n b fig u ra 8.5.
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218
CAPITULO O CHO
FIGURAS.* f ó rm u la ag reg ad a a la celd a C2.
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1.5
45
FIGURA s ¿ H o ja d e cálcu lo final.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 8.1
La figura 8.6 ilustra u n m ecanism o que opera u n a boquilla d e agua e n u n lavado autom ático d e autom óviles. C o n el
uso d e u n a hoja d e cálculo, d e term in e analíticam ente el m ovim iento a n g u la r d e la bo q u illa a través d el ciclo de
rotación de la manivela.
S O L U C IÓ N :
0 m ecanism o d e la boquilla e s el conocid o m ecanism o de c u a tro barras. La figura 8.7 m u e s tra la representación
cinemática d e este mecanismo. Se ctcó una hoja d e cálculo para este análisis y se ilustra la porción superior e n la figurad^.
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A n á lisis d e m eca n is m o s asis tid o po r c o m p u tad ora_________219
f i g u r a
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M e c a n is m o d e la b o q u ill a d e a g u a d e l p r o b le m a d e e je m p l o 8 .1 .
F IG U R A 8 .7
D ia g r a m a c i n e m á t i c o d e l p r o b le m a d e e j e m p l o 8 .1 .
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d e l p r o b le m a d e e je m p lo 8 .1 .
l a s e c u a d o n e s g e n e r a le s q u e rig e n e l m o v im ie n to d e lo s e s la b o n e s d e u n
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m e c a n is m o d e c u a tr o b a rra s s e p r e s e n ta ro n e n
e c u a d ó n 4 .9 e s La e c u a c ió n p n e r a l d e Li d ia g o n a l d e l p u n t o
B
a l p u n to
D,c
o m o s e i n d i c a e n La f i g u r a 8 . 7 :
B D = V i ? + L\ - 2 ( l,) ( ío ) c o s ( e ,)
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v e rs ió n
p a r a h o ja d e c á lc u lo d e e s ta e c u a c ió n
se
c o lo c a
y
s e c o p ia h a c ia a b a jo d e la c o lu m n a
B.
E n la c e ld a
se rta la s ig u ie n te f ó rm u la :
= RAIZ(SHS1A2 + $ H S 2 A2 - 2 - S H S l • SH S2 * CQS(RADIANES(A2)))
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B2
se in ­
220
CAPITULO O CHO
Observe q u e se utilizan direcciones absolutas y relativas para facilitar el copiado de la fórm ula. La ecuación 4.10 es la
ecuación general d el ángulo d e transm isión y ,c o m o se indica e n la figura 8.7:
L ¡ + BD2
y = c o s-« ^
Esta ecuación s e coloca y s e copia abajo d e Li c o lu m n a C e n la form a adecuada p a ra hoja de cálculo. En la celda C 2 se
inserta la siguiente fórmula:
= CR A D O S(A CO S(($H S3A2 + $ H S 4 A2 - B2A2)/(2 • SH S3 • SH S4)))
Replanteando la ecuación (4.11), se obtiene la ecuación general para el á n g u lo 0 , del eslabón 4. com o se m uestra e n la
figura 8.7:
04 - 2 tan ” '
tjs e n fi, “ ^ « n y
L ¡ e o s + I « - L¡ - L ycos y
Esta ecuación s e coloca y se copia abajo de la co lu m n a F. e n la form a adecuada p a ra hoja d e cálculo. En la celd a E2 se
inserta la siguiente fórmula:
- GRADOS(2 * A TAN((SH$2 * SENO(RADIANES(A2)) - $H S 3 * SENO(RADIANES(C2)))/
(&HS2 • COS(RADIANES(A2)) + S H S 4 - S H S I - SH S3 • COS(RAD IANES(C2))»J
finalm ente, la ecuación (4.12) nos da b ecuación general para el á n g u lo # , del eslabón 3, como se muestra e n la figura 8.7:
- 2 u n -1
- L , s e n 0 2 + i , sen y
¿ , + L y - L¡COS01 - L , c o s y
Esta ecuación s e coloca y s e copia abajo d e la co lu m n a D en la form a adecuada para hoja d e cálculo. E n la celda D2 se
inserta la siguiente fórmula:
- GRADOS(2 * ATAN((
$H S 2 • SENO(RADlANES(A2)) ♦ $ H $4 • SENO(RADIANES(C2))V
(S H S I + S H S 3 - $H S 2'C O S (R A D IA N E S (A 2)) - SH S4 » COS(RADIANES(C2)))))
Las fórm ulas de las celdas B2. C 2 . D2 y E2 s e copian y p egin e n sus colum nas respectivas. En la figura 8.9 s e ilustra la
porción su p e rio r d e la hoja d e cálculo resultante.
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15
70
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Hoja d e cálculo terminada del problem a d e ejem plo 8.1.
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A n á lisis d e m eca n is m o s as is tid o po r c o m p u tad ora_________221
8 .3 PRO G RA M A S DE C Ó M P U T O
DESARROLLADOS P O R EL USUARIO
P ara resolver p ro b le m a s d e m ecanism os, el u su a rio p u ed e desa­
rro lla r ru tin a s u sa n d o softw are c o m o M A TH C A D O MÁTLAB,
o bien , u n lenguaje d e alto nivel c o m o Visual Basic o V isu a lC + + .
El le n g u a je d e p ro g ra m a c ió n seleccio n ad o d e b e te n e r acceso
directo a las fu n d o n e s trig o n o m étricas n o rm ales e inversas. Por
el tie m p o y el esfuerzo requeridos p a r a escrib ir u n p ro g ra m a esp e d a l, ú n ic a m e n te se u tiliz a n c u a n d o es necesario resolver u n
p ro b lem a co m p lejo q u e s e e n c u e n tra c o n frecuencia.
L a lógica subyacente e n lo s p ro g ra m a s desarrollados e n esp e d a l p a r a realizar análisis cin em ático s es prácticam ente idéntica
a la d e la h o ja d e cálculo. L a estru ctu ra y la sintaxis d e los dife­
rentes lenguajes d e p ro g ra m a c ió n d e alto nivel v arían e n form a
agnificativa. I.as siguientes secciones ofrecen u n a estrategia para
escribir pro g ram as d e c ó m p u to p a ra obtener las p ro p ied ad es d nem áticas d e lo s d o s m ecanism os m ás com unes: el d e m anivelaco rre d era y el d e c u a tro barras.
Recuerde q u e las f o n d o n e s d e u n a c o m p u ta d o ra su p o n e n
«jue los án gulos están dados e n radianes. Ifor l o t a n t a es necesario
convertir la en tra d a y la salida angulares c o m o se h iz o e n los p esos
4 y 8. E ste alg o ritm o tam b ién fu n cio n a p a ra u n m ecanism o de
m anivela-corredera e n linea especificando L, = 0 com o e n tra d a
8 .3 .2 M e c a n is m o d e c u a t r o b a r r a s
El sig u ien te a lg o ritm o calcula p o s id ó n , velocidad y aceleración
d e to d o s los eslabones d e u n m ecanism o d e c u a tro b arra s, e n el
cual la m anivela g ira a v e lo d d a d co n stan te. En la fig u ra 8.11 se
m u e s tra el d ia g ra m a d n e m á tic o d e u n m e c a n is m o d e c u a tro
b arra s e n gen eral. D e n u ev a cu e n ta , la s re la d o n e s cinem áticas
g rn e ra le s q u e se u tiliz a n e n este a lg o r itm o s e p re s e n ta ro n e n
varias s e c d o n e s d e este tex to (ref. I2 |.
8 .3 .1 M e c a n is m o d e m a n i v e l a - c o r r e d e r a
d e s c e n tr a d o
El siguiente a lg o ritm o calcu la p o s id ó n , v e lo d d a d y acelerad ó n
de to d o s lo s eslab o n es d e u n m ecanism o d e m anivela-corredera
d escen trad o c o n fo rm e la m anivela g ira a v elo d d ad co n stan te. En
la fig u ra 8.10 se ilu stra el d ia g ra m a d n e m á tic o d e u n m ecanism o
g e n e ra l d e m a n iv e la -c o rre d e ra d e s c e n tr a d a L as re la d o n e s d n cm á tic a s e n g en eral, u sa d a s e n el a l g o r itm a s e p re se n ta n e n
varias se c d o n e s d e este lib ro [ r e t 12).
f ig u r a 8.10
M e can ism o d e m an ivela-corredera d escen tra d o ,
l a s dim en sio n es d el m ecanism o se introducen c o m o datos y
el alg o ritm o efectúa los cábula» d e u n d d o com pleto d e l g iro d e la
m anivela. L a sa lid a p u ed e im prim irse o escribirse e n u n archivo.
L u e g a este archivo se convierte e n h o ja d e c á b u la s i asi se desea.
P aso 1: A cep tar lo s d ato s n u m é ric o s d e ¿ j, L * L$ y o»*, y alm ace­
narlos
P aso 2: C a lc u la r i r - 4 ta n '(1 .0 )
P aso 3 : E n tr a r a u n a ite r a d ó n c o n el Indice i d esd e 0 hasta 360
P aso 4: C a lc u la r a = K w /180)
P aso 5: C a lc u la r b = L¡ sen a
P aso 6 : C a lc u la r c = L} eo s a
P aso 7: C a lc u la r d = sen U t t i + M /Ljl
P aso 8: C a lc u la r 0 , = * 180/rr)
P aso 9: C a lc u la r t = L¡ sen d
P aso 10: C a lc u la r / = L¡ eo s d
P aso 11: C a lc u la r g ~ L j s e n d
P aso 12: C a lc u la r h ~ L j «os d
P aso 13: C a lc u la r L« ■ c + h
P aso 14: C a lc u la r « , = - to j{ d f)
P aso 15: C a lc u la r
= -«2(1») - a>j(g)
P aso 16: C a lc u la r a , =
+ ¿ « a ) 2)/*
P aso 17: C a lc u la r «i, = - J g f a ,) + 4 * # + « « i ) 2}
P aso 18: Im p rim ir (o escribir e n u n archivo) i, 9 j.
<*j. I* . vt , o*
P aso 19: In c re m e n ta r i y regresar a l p aso 3
FIGURA 8.11 M ecanism o d e c u a tro b arra s.
C o m o e n el a lg o ritm o an te rio r, las d im e n sio n e s d el m eca­
n ism o s e in tro d u c e n c o m o d ato s, m ie n tra s el a lg o ritm o realiza
los cálculos d el c i d o co m p le to d e u n g iro d e la m a n iv e b . La sali­
d a p u e d e im p rim irs e o e s c rib irse e n u n a rc h iv o . L uego, este
arch iv o se co n v ie rte e n u n a h o ja d e cálculo, s i asi se desea.
Paso 1: A ceptar lo s d ato s n u m é ric o s d e L t, L¡, L » L , y « 2, y a l­
m acenarlos
Paso 2 : C a lc u la r ir = 4 ta i H ( 1.0)
Paso 3 : E n tra r a u n a iteración c o n el Indice i d esd e 0 h a s ta 360
Paso 4 : C a lc u la r a = i(tr/1 8 0 )
Paso 5: C a lc u b r b - (L,* + L ¿ - W ~ W V U h U )
Paso 6 : C a lc u b r c = L¡/L)L,
Paso 7 : C a lc u b r d = L¡ sen a
Paso 8 : C a lc u b r e = L , eo s «1
Paso 9 : C a lc u b r f = eo s < (b + ce)
Paso 10: C a lc u la r y = /(1 8 Q /ir)
Paso 11: C a lc u la r g - sen /
Paso 12: C a lc u b r h - e o s /
Paso 13: C a lc u b r p - 2 t a i r '( ( - d + L*g)/( - e + £* + 1 * -£ « h )}
Paso 14: C a lc u b r 9 , - p( 180/ít)
Paso 15: C a lc u la r q a 2 t a n - > |( d - L*g)/(e +
Paso 16: C a lc u b r 9« = «j( 180/ n )
Paso 17: C a lc u la rlo , = ü>2L ]Sen{q - a)HLyg)
Paso 18: C a lc u b r u>, = a»2L2s e n ( p - ú ) / ( L ^ )
Paso 19: Im p rim ir (o e sc rib ir e n u n a rch iv o ) i. y , 9 , . « , , 94, oja
Paso 20: In c re m e n ta r i y regresar al p aso 3
R ecu erd e q u e b s c o m p u ta d o r a s a s u m e n q u e lo s án gulos
e stá n d a d o s e n radianes. P o r e l l a es necesario co n v e rtir la s e n ­
tra d a s y salidas angulares, c o m o se h iz o e n lo s p a s o s 4 ,1 0 ,1 4 y
16. Este a lg o ritm o p ro p o rc io n a la so lu c ió n p a r a u n m ecanism o
d e c u a tro b a rra s e n el p r im e r c ir c u ita Si el m ecanism o estuviera
e n s a m b la d o e n el s e g u n d o d r c u it o , ta l r u tin a s e m o d ifica rla
rá p id a m e n te p a r a rep re sen tar esa c o n fig u rac ió n , lo cual se lle­
v a d a a c a b o s i se ca m b ia ra n los sig n o s m ás y m en o s e n lo s n u ­
m e ra d o re s d e los p a s o s 13 y 15.
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222
C A P IT U L O O C H O
PROBLEM AS
En los p ro b lem as 8-1 y 8-2 desarrolle u n a h o ja de cálculo d o n d e
s e an alice la p o sició n d e to d o s lo s eslabones d e u n m ecanism o
d e m anivela-corredera d escen trad o e n u n ran g o d e los án gulos d e
b m anivela d e O a 360°. H ág ab flexible, d e m o d o que sea posible
m odificar rápidam ente b lo n g itu d d e cu alq u ier eslabón. Use los
valores listad o s p a r a e la b o ra r u n a g rá fic a d e la d is ta n d a d e la
co rre d era c o n tra el á n g u lo d e U m anivela.
8 - 1 d e scen tra d o - 0.5 in ; m a n iv e b = 1.25 in ; a c o p b d o r
* 7 .0 in
8 - 2 d escen trad o “ 10 m m ; m anivela ” 25 m m ; aco p lad o r
■ 140 m m
E n lo s p ro b le m a s 8 -3 y 8 -4 d esarro lle u n a h o ja d e cálculo q u e
an alice la p o s id ó n d e to d o s lo s e s b b o n e s d e u n m ecan ism o d e
c u a tro b a rra s e n lo s á n g u lo s d e b m a n iv e b q u e v a n d e 0 a 360".
H á g a b flexible, d e m o d o q u e se m o d ifiq u e rá p id a m e n te b lo n ­
g itu d d e cu a lq u ie r e s b b ó n . U se los valores listad o s p a r a ela b o ­
ra r u n a g ráfica d el á n g u lo d el seg u id o r c o n tra el á n g u lo d e b
m a n iv e b .
8 - 3 tu n e a d a = 7 5 0 m m ; m a n iv e b “ 5 0 m m ; a c o p b d o r
= 7 5 0 m m ; se g u id o r = 75 m m
8 - 4 tu n e a d a = 14 in ; m anivela = 1 in ; a c o p la d o r = 16 in;
seg u id o r = 4 .0 in
E n lo s p ro b le m a s 8 -5 y 8 -6 d esarro lle u n a h o ja d e cálculo q u e
d e te rm in e p o sic ió n , v elo cid ad y aceleración d e b c o rre d e ra en
lo s á n g u lo s d e la m a n iv e b q u e se e n c u e n tr a n e n tr e 0 y 360".
H ág ala flex ib le, d e m o d o q u e s e m o d ifiq u e n rá p id a m e n te b
lo n g itu d d e cu a lq u ie r e s b b ó n . U se lo s v alo res lista d o s p a ra
e la b o ra r u n a gráfica d e la velocidad d e b c o rre d e ra c o n tr a el á n ­
g u lo d e la m anivela.
8 - 5 d e s c e n tra d o 1.25 in ; m a n iv e b = 3.25 in ; a c o p b d o r
= 1 7 .5 in ; v elo cid ad d e b m a n iv e b = 20 r a d /s : a c e ­
leració n d e b m a n iv e b = 0 ra d /s2
8 - 6 d e s c e n tra d o 3 0 m m ; m a n iv e b - 75 m m ; a c o p b d o r
=■ 4 2 0 m m ; v elo cid ad d e b m anivela = 35 ra d /s: acele­
ració n d e b m a n iv e b ” 100 ra d /s2
E n los p ro b le m a s 8 -7 y 8-8 desarrolle u n a h o ja d e c á k u lo que
d eterm in e b p o sic ió n y v elo d d ad d el se p jid o r, e n lo s á n g u lo s d e
la m a n iv e b q u e s e e n c u e n tra n e n tre 0 y 360". H á ¿ p b flexible,
de m o d o q u e se m o d ifiq u e rá p id a m e n te b lo n g itu d d e cualquier
e s b b ó n . Use lo s valores listad o s p a ra e la b o ra r u n a g ráfica d e b
v elo d d ad d el se g u id o r c o n tra el á n g u lo d e b m anivela.
8 - 7 tu n e a d a " 9 in ; m a n iv e b • 1 in ; a c o p b d o r ■ 10 in;
s e g u id o r = 3 .5 in ; v e lo c id a d d e la m a n iv e b = 200
rad /s; aceleración d e la m a n iv e b “ 0 ra d /s2
8 - 8 b a n c a d a = 3 6 0 m m ; m a n iv e b = 4 0 m m ; a c o p b d o r
= 400 m m ; seguidor = 140 m m ; veloddad d e b m an i­
v e b = 6 rad/s; aceleradón d e b m a n iv e b = 2 0 rad /s2
8 - 1 0 descen trad o » 40 m m ; m a n iv e b • 94 m m ; aco p lad o r
“ 5 2 5 m m ; velocidad d e la m a n iv e b “ 10 rad/s; acele­
r a d ó n d e la m anivela " 10 ra d /s2
En los p ro b le m a s 8-11 y 8 -1 2 ela b o re u n p ro g ra m a d e c ó m p u to
q u e d e te rm in e la p o s id ó n y v e lo d d a d d e to d o s lo s eslabones de
u n m ecanism o d e c u a tro b a rra s p a ra los á n g u lo s d e la m anivela
q u e van d e 0 a 360". Use los valores listad o s p a r a d e te rm in a r el
á n g u lo d e b m a n iv e b q u e p ro d u c e b a c e le r a d ó n d e desliza­
m ie n to m áxim a.
8 - 1 1 b an cad a = 18 in ; m anivela = 2 in; a c o p la d o r = 20 in;
seg u id o r = 7 in ; v e lo d d a d d e la m anivela = 150 rad/s;
aceleración d e b m a n iv e b = 0 ra d /s2
8 - 1 2 b a n c a d a « 60 m m ; m a n iv e b » 18 m m ; a c o p b d o r
= 70 m m ; se g u id o r — 32 m m ; velocidad d e b m aniveb = 3 6 0 rad/s; a c e le ra d ó n d e la m a n iv e b = 2 0 ra d /s2
EST U D IO D E CASO
8 - 1 . 0 m ecanism o m o stra d o en la figura E8.1 so n el cigüeñal
y la m a n iv e b d e u n m ecanism o d e m an ¡vela-corredera
elaborado q u e n o se m uestra, d o n d e K es b biela. Exa­
m ine cu id ad o sam en te los com ponentes d el m ecanism o
luego, c o n te ste b s sig u ie n te s p re g u n ta s p a ra o b te n e r
m ay o r c o n o d m ie n to a c e rc a d e b o p e ra d ó n .
1. En b p o s id ó n m o strad a, c o n fo rm e b c o rre d e ra E jala
l u d a la izquierda, ¿cuál es el m ovim iento d el e s b b ó n D?
2 . En b p o s id ó n m o strad a, c o n fo rm e b c o rre d e ra E j a b
h i d a b izq u ierd a, ¿cuál e s el m o v im ie n to d e d e sliz a ­
m ie n to d el b lo q u e P
3 . La p o le a / e s t á su je ta al eje A . C o n fo rm e la p o le a / gira,
¿cuál es el m ovim iento d e la espiga d e la m a n iv e b C del
cigüeñal?
4 . C o n fo rm e la p o le a / gira, ¿cuál es el m o v im ien to d e la
b a rra fc'que s e desliza?
5 . ¿Q ué efecto tie n e el m o v im ien to h a d a b iz q u ie rd a de
L> b a r ra £ q u e s e desliza s o b re b espiga d e b m an i­
v e b C y s o b re el m o v im ie n to d el m ecan ism o d e m a­
nivela-corredera q u e im pulsa?
6 . El m a n g u ito F e stá su je to a b carcasa H. C o n fo rm e b
polea /im p u ls a la flecha A , ¿cuál es el m o v im ien to del
m an g u ito R
7 . El m a n g u ito /e s tá m o ld ead o in teg ralm en te c o n b p arte
G. ¿Q ué e s la p a r te G?
8 . El m an g u ito / tien e u n a c u e rd a in te rn a e n su ex trem o
d erech o , e n ta n to q u e el m a n g u ito F tien e u n a cuerda
ex terna e n su e x tre m o d e r e c h a (C onform e b p a r te G
gira, ¿qué s u c e d e c o n el m a n g u ito P.
9 . C o n fó rm e b p a rte G g ira , ¿qué s u c e d e c o n b b a r ra £
que s e desliza?
1 0. ¿C uál es el p ro p ó s ito d e e ste m ecan ism o y c ó m o fundona?
Fn lo s p ro b le m a s 8 -9 y 8 -1 0 ela b o re u n p r o g ra m a d e c ó m p u to
q u e d e term in e p o sid ó n , velocidad y a c e le ra d ó n d e to d o s lo s es­
lab o n es d e u n m ecan ism o d e m an iv ela-co rred era e n lo s án gulo s
d e la m a n iv e b q u e van d e 0 a 360". H ágala flexible, d e m o d o q u e
s e m o d ifiq u e ráp id am en te b lo n g itu d d e cu a lq u ie r eslabón. Use
lo s v a lo re s lista d o s p a r a d e te rm in a r el á n g u lo d e la m a n iv e b
q u e p ro d u ce la aceleración d e deslizam iento m áxim a.
8 - 9 d e s c e n tra d o = 3 in ; m a n iv e b = 7.5 in ; a c o p b d o r
= 5 2 .5 in ; v e lo c id a d d e b m a n iv e b = 4 rad/s; acele­
r a d ó n d e la m a n iv e b = 0 ra d /s2
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CA PITU LO
N U E V E
LEVAS: D IS E Ñ O Y ANÁLISIS C IN E M Á T IC O
O B J E T IV O S
Al t e r m i n a r d e e s t u d i a r e s t e c a p i tu lo , e l a lu m n o
se rá c a p a z de:
1. Identificar lo s diferentes tipos de leras y seguidores d e levas.
2. C reare! diagram a de desplazam iento d el seguidor, a p artir
d r criterios prescritos d e m ovim iento del seguidor.
O-sor* de
h válvula
3. Entender lo s beneficios d e diferentes esquemas
de m ovim iento del seguidor.
4 . Utilizar ecuaciones para construir diagramas
de desplazam iento del seguidor d e la leva.
5. C o n stru ir geom étricam ente diagram as d e desplazam iento
del seguidor de la leva.
6. C o n stru ir gráfica y analíticam ente perfiles de levas
d r disco con varios tip o s d e seguidores.
7. C o n stru ir gráfica y analíticam ente perfile» d e levas
cilindricas.
F IG U R A 9 . 1
9.1 IN T R O D U C C IÓ N
U n a leva es u n elem ento c o m ú n d e u n m ecanism o q u e im p u l­
sa u n a c o m p o n e n te a p arejad a c o n o c id a c o m o seguidor. D esde
u n p u n to d e vista funcional, u n arreg lo d e le v a-seg u id o res m uy
sim ilar a lo s eslab o nam ientos e stu d ia d o s a lo largo d el libro. La
leva a c e p ta u n m o v im ie n to d e e n tr a d a p a re c id o a l d e u n a
m an iv ela e im p a rte m o v im ie n to al seguidor.
L a fig u ra 9.1 m u e s tra u n a d e la s ap licacio n es m ás com u n es
— a saber, el tr e n d e válvulas d e u n m o to r a u to m o triz — . En esta
aplicación, la leva d e fo rm a o v a la d a está m a q u in a d a s o b re un
eje. El á rb o l d e leva e s im p u lsa d o p o r el m o to r. C o n fo rm e la leva
gira, u n b a la n c ín s e b a rre s o b re la superficie ovalada. El b a la n ­
cín, a la ve?, im p a rte m o v im ie n to lineal reciprocante a la espiga
d e la v álv u la. El m o v im ie n to d e la v álvula d e b e ser ta l q u e la
tray ecto ria d e escape esté ce rra d a d u r a n te u n m o m e n to d el ci­
clo d e c o m b u s tió n y a b ie r ta d u r a n te o t r o m o m e n to d i s t i n t a
E n to n ces, la ap licación es p erfecta p a ra u n a leva p o rq u e el ritm o
y el m o v im ien to d e b e n e s ta r se cu en ciad o s c o n precisión.
O bserve q u e se utiliza u n reso rte alred ed o r d e la espiga d e la
válvula. El b a la n d n se g u id o r necesita estar e n c o n ta c to c o n la s u ­
perficie d e la lev a p a ra o b te n e r el m ovim iento d e s e a d a Así, e n la
m ayoría d e las aplicaciones d e levas, el seg u id o r se fuerza c o n tra
la superficie d e la leva a través d e algunos m ed io s m ecánicos. Los
re so rte s s o n m u y co m u n e s p a r a d ic h o p ro p ó sito . E n los casos
d o n d e el se g u id o r se e n c u e n tra e n el p la n o vertical, el p eso del
T re n d e v á lv u la s d e u n m o to r d e g a s o lin a .
seg u id o r p u e d e s e r suficiente p a ra m a n te n e r el c o n t a c ta En a l­
b in o s disertos d e levas, el s e g u id o r e stá a tra p a d o e n u n a ran u ra
p i r a m a n te n e r el c o n t a c ta El p u n to im p o rta n te es q u e el c o n ­
tacto e n tre la leva y el se g u id o r d e b e s e r p erm an en te.
La característica ú n ic a d e u n a leva e s q u e p u e d e im p a rtir
m ovim ientos m u y diferentes a s u seguidor. D e h e c h a las levas sir­
ven p a ra o b ten er m ovim iento inusual o irregular q u esería dificil o
im posible d e co n se g u ir c o n el uso d e o tr o s eslab o n am ien to s.
C o m o el m o v im ien to d e las levas es program able, so n m u y ad e ­
cu ad as p a ra aplicaciones d o n d e d esplazam ientos diferentes y su
a n c ro n iz a d ó n so n d e im p o rtan cia fundam ental. Las levas se e m ­
plean c o n frecu en cia e n e q u ip o in d u stria l a u to m á tic o , p o rq u e
p ro g ram an los d esplazam ientos a u n co sto razonable. Las levas
so n co m p o n e n te s d e m á q u in as d e precisión q u e p o r lo general
c u estan m ás q u e lo s eslabonam ientos convencionales. La figura
9.2 presenta u n g ru p o d e levas disertadas c o n req u erim ien to s de
m ovim iento especiales. O bserve la p recisió n d el m aq u in ad o del
perfil exterior. Este c ap itu lo es u n a introducción a l a s fu n d am en ­
tas d el diseño d e levas.
9 .2 T IP O S D E LEVAS
Liiy u n a g ra n v aried ad d e levas d e com partías especializadas e n
su d ise rto y m a n u fa c tu ra . Los fa b ric a n te s clasifican la s levas
en subeategorfas y las com ercializan según las d iferen tes aplica-
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224
CAPITULO NUEVE
f ig u r a 9j
Varias levas especiales. (C o rtesía d e DE-STA-Co C A M C O P roducts).
d o n e s o co n fig u rac io n e s. N o o b sta n te , la g ra n m ay o ría d e las
levas se a g ru p a n e n lo s tres tip o s generales siguientes:
l a s levas d e placa o de disco son el tip o d e levas m ás sim ples
y co m u n es. En la fig u ra 9 J a se ilu stra u n a leva d e placa.
Este tip o d e leva se m o ld e a so b re u n d isc o o u n a p laca. La
d istan cia ra d ia l a p a r t i r d e l c e n tro d el d isc o v aría a lo
b r g o d e la d r c u n f e r e n d a d e la leva. Si s e h ace q u e un
seg u id o r se m u eva so b re el e x tre m o exterior, se p ro p o r
d o n a al se g u id o r u n m o v im ien to radial.
9.3 T IP O S D E SEG U ID O RES
Los se g u id o res se clasifican p o r su m o v im ien to , s u fo rm a y su
posición. En la fig u ra 9.4 se p resen tan los d etalles d e la s clasifi­
caciones y se an alizan a co n tin u ació n .
9.3.1 M o v im ie n to d e l s e g u i d o r
El m o v im ie n to d el s e g u id o r s e d o s ific a e n las d o s categ o rías
siguientes:
E n la fig u ra 9 .3 b se p resen ta u n a írvu cilindrica o d e tam bor.
E sta clase d e lev a se m o ld e a so b re u n cilin d ro . S e c o rta
u n a r a n u ra e n el c ilin d ro c o n u n em p lazam ien to varia
b le a lo larg o d e s u eje d e giro. E n g an ch an d o u n seg u id o r
q u e s e m u ev e e n la r a n u ra , se d a a l se g u id o r u n m o v i­
m ie n to a lo larg o d el eje rotación.
En la fig u ra 9 .3 c s e m u e s tra u n a lesu lin e a l Este t i p o d e leva
se m o ld e a so b re u n b lo q u e d e tra s la c ió n . S e c o rta una
r a n u ra en el b lo q u e con u n a d ista n c ia q u e v aria d esd e el
p lan o d e traslació n . A l su je ta r u n se g u id o r q u e se m ueve
e n la ra n u ra , s e p ro p o rc io n a al se g u id o r u n m ovim iento
p e rp e n d ic u la r al p la n o d e tra sla d ó n .
Los seguidores de traslación está n restrin g id o s a m ovim iento
e n lin ea recta, q u e s e ilu stra n e n las figuras 9 .4 a y c
Los seguidores con b ra zo oscilante o con p iv o te e s tá n re s ­
trin g id o s a m o v im ie n to g ir a to rio y se m u e s tra n e n las
figuras 9 .4 b y d.
9 .3 .2 P o s ic ió n d e l s e g u id o r
l a p o sic ió n d el se g u id o r, e n relación c o n el c e n tro d e ro ta d ó n
d e la leva, s e v e afectad a g e n e ralm en te p o r los req u erim ien to s
C o m o ya s e seftaló , la s levas d e placa s o n el tip o m ás
c o m ú n . U n a vez q u e se e n tie n d e la te o ría subyacente, tam bién
e s p o sib le ap licar a o tr o s tip o s d e levas.
a)
a) L e v a d e
p la c a
S e g u id o r d e e u fta . e n lin e a
ó ) S e g u i d o r d e r o d illo , c o n p iv o te
i L e v a c ilin d ric a
afgana
*— •
M o v im ie n to d e la le v a
e l L e v a li n e a l
f ig u r a
e) Seguidor <fc cara plana.
descentrado
9.3 T ip o s d e levas.
d) Seguidor de cara esférica,
con pivole
F IG U R A 9 .4 T i p o s d e s e g u i d o r .
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I.evas: d iserto y a n á lisis c in e m ático_________225
d e e s p a d o d e la m á q u in a . La p o s id ó n d e lo s se g u id o re s de
traslació n s e d iv id e e n d o s categorías:
9.4 M O V IM IE N T O PR ESC R ITO
D EL S E G U ID O R
U n seg u id o r e n linea tie n e m o v im ie n to e n lin e a recta, de
m o d o q u e la lin e a d e tr a s ia d ó n se e x tie n d e a trav és del
c e n tro d e r o ta c ió n d e la lev a y s e ilu s tra e n la figu
ra 9.4a.
C o m o s e h a indicado, la característica ú n ic a d e u n a lev a e s que
im p a rte m o v im ie n to s m u y d ife re n te s a s u se g u id o r. D esde
luego, el m o v im ien to d el se g u id o r d e p e n d e d e la tarea req u erid a
y p u e d e d efin irse c o n to d o detalle.
Un seguidor descentrado tie n e m o v im ien to e n lin ea recta, de
m o d o q u e la lín e a d e m o v im ien to n o pasa p o r el centro
d e r o ta d ó n d e la lev a (s e p resen ta e n la fig u ra 9.4c).
p u ls a r la s m a n e c illa s r e c o le c to r a s d e u n a m á q u in a q u e m a n e ja
ft> r e je m p lo , s u p o n g a q u e s e u tiliz a u n s e g u id o r p a r a i m ­
p a p e l. L a p re s c r ip c ió n d e s e a d a d e l s e g u id o r im p lic a la s e p a r a d ó n d e l m o v im ie n to e n s e g m e n to s ,
E n e l c a s o d e s e g u id o re s c o n p iv o te , n o h a y n e c e s id a d d e
asi
c o m o la d e f in ic ió n d e
la a c d ó n q u e d e b e o c u r r i r d u r a n t e c a d a u n o d e l o s s e g m e n t o s .
d is tin g u ir e n tr e s e g u id o r e s e n lin e a y d e s c e n tr a d o s , y a q u e tie n e n
P a ra d e s c r i b i r e s t e p r o c e s o s u p o n g a q u e l a s m a n e c i l l a s r e c o l e c ­
la m is m a d n e m á tic a .
ta ra s d e b e n :
1. P erm anecer c e rra d o s p o r 0 .0 3 s.
2 .
9 .3 .3 F o r m a d e l s e g u i d o r
A b r ir s e u n a d i s ta n c i a d e 0 .2 5 i n , a p a r t i r d e l a p o s ic ió n
c e rra d a , e n
F in alm en te, la fo rm a d el se g u id o r s e a g ru p a e n la s c u a tro cate­
gorías siguientes:
El seguidor de cu ñ a consiste e n u n se g u id o r fo rm a d o p o r un
p u n to , q u e se a r r a s tr a s o b re el b o rd e d e la lev a. El
seg u id o r d e la fig u ra 9.4a es u n se g u id o r d e curta. Es la
fo rm a m ás sim p le, pero el ex trem o p u n tia g u d o p ro d u ce
a lto s e s tíle n o s d e c o n ta c to y se desgasta ráp id am en te. En
consecuencia, este tip o d e seg u id o r se utiliza raras veces.
E l seguidor d e rodillo consiste e n u n se g u id o r q u e tien e una
p a rte separada: el ro d illo q u e está sujeto a la esp ig a d el se­
g u id o r. El s e g u id o r m o s tr a d o e n la fig u ra 9 .4 b es u n
seg u id o r d e rodillo. C o n fo rm e la leva g ira , el ro d illo se
m an tien e e n c o n ta c to c o n la leva y r u e d a so b re la s u p e r­
ficie d e e s ta . E s el s e g u id o r m á s c o m ú n m e n te u sa d o ,
ya q u e la fric c ió n y los e sfu e rz o s d e c o n ta c to so n
m en o res q u e lo s d el se g u id o r d e curta. Sin em bargo, un
s e g u id o r d e r o d illo s e p o d r ía a ta s c a r d u r a n te u n d e s ­
p lazam ien to a b r u p to d e la leva. U n e s tu d io m ás d e ta ­
llado d e la te n d en cia d e u n s e g u id o ra b lo q u e a rse s e p re ­
3 .
0.01 s .
f tr m a n e c e r e n p o s ic ió n a b ie r ta d u r a n te 0 .0 2 s .
4 . M overse a la p o s id ó n c e rra d a e n 0.01 s.
D e m o d o q u e , lista n d o lo s re q u e rim ie n to s p reciso s d e las m a­
necillas recolectoras, se p rescribe el m o v im ien to d el seguidor.
E n la realidad, el m o v im ie n to d e l se g u id o r se expresa e n
té r m in o s d el d e s p la z a m ie n to a n g u b r d e b lev a e n vez de
tie m p o , l o c u a l es m á s c o n v e n ie n te e n a p lic a c io n e s d o n d e el
m o v im ien to d e b e e sta r sincronizado, ta l c o m o el tre n d e v álvu­
las d e b fig u ra 9.1.
P ara las m anecillas recolectoras q u e se acaban d e describir,
el m o v im ien to p rescrito, e s ta b le a d o e n té rm in o s d e b ro ta d ó n
d e la leva, se lista c o m o sigue:
1 . P erm anecen ce rra d o s e n 154.3® d e r o ta d ó n d e b leva.
2 . S e a b r e n u n a d is ta n d a d e 0 .2 5 in , a p a r tir d e b p o s id ó n
cerrad a, e n 51.4® d e r o ta d ó n d e b lev a
3. P erm an ecen e n e sta p o sic ió n a b ie rta e n 102.9® d e ro ta d ó n
d e b leva.
4 . S e m u ev en a b p o sic ió n c e rra d a e n 51.4® d e r o ta d ó n d e b
leva.
se n ta m ás adelante.
Un seguidor d e cara p la n a consiste en u n se g u id o r form ado
p o r u n a su p erficie g ran d e y p la n a d e c o n ta c to c o n la leva.
El s e g u id o r d e la fig u ra 9.4c es u n s e g u id o r d e cara
p la n a . E ste tip o d e se g u id o r s e u tiliz a c o n u n m o v i­
m ie n to a b r u p to d e la le sa s in q u e se atasq u e. E ntonces,
e ste tip o d e s e g u id o r es útU c u a n d o s e re q u ie re n
m o v im ien to s ráp id o s. N o o b sta n te , cu a lq u ie r deflexión
o d esalin eación d el se g u id o r causa g ra n d e s esfuerzos s u ­
perficiales. A sim ism o, las fuerzas d e fricción s o n m ayo­
res q u e la s d el se g u id o r d e rodillo d e b id o a l in ten so c o n ­
ta c to d e d esliz am ie n to e n tre la leva y el seguidor.
U n seguidor d e cara esférica c o n siste e n u n se g u id o r f o r ­
m ad o c o n u n ra d io d e la cara q u e e n tra e n c o n ta c to con
la lev a. El s e g u id o r m o s tr a d o e n la fig u ra 9 .4 d es un
seg u id o r c o n c a r a esférica. C o m o c o n el se g u id o r d e cara
p la n a , el d e c a r a e sfé ric a s e u tiliz a c o n m o v im ie n to
i i r u p t o d e la leva s in q u e se atasq u e. El ra d io d e la cara
c o m p e n s a la d eflex ió n o la d esalin eació n . C o m o e n el
s e g u id o r d e cara p la n a , la s fu e rz a s d e fricción todavía
s o n m ay o res q u e la s d e l se g u id o r d e rodillo.
U n a vez q u e el m o v im ien to d el se g u id o r e stá p rescrito , es c o n ­
veniente registrarlo e n fo rm a gráfica.
La g ráfica d e d e sp b z a m ie n to d el se g u id o r c o n tra el tiem po,
o el d e sp b z a m ie n to a n g u la r d e b leva, s e co n o ce c o m o diagrama
de desplazam iento d el seguidor. Este d b g r a m a es indispensable
p a ra e x p lo ra r el m ovim iento y la d n e m á tic a del se g u id o r inde­
p en d ie n te m e n te d e b fo rm a d e la leva m ism a. El eje vertical de
e ste d ia g ra m a representa el d e sp b z a m ie n to lineal d el seguidor,
ex p resa d o e n pulgadas o m ilím e tro s. E l eje h o riz o n ta l representa
el tie m p o , m e d id o e n seg u n d o s o m in u to s, o b ie n , d esplazam ien­
to s a n g u lares d e b leva, m e d id o s e n g ra d o s o e n fracciones de
u n a revolución. E ste d ia g ra m a n o rm a lm e n te se c o n stru y e a es
c a b y, ju n t o c o n d an álisis d n e m á tic o d el se g u id o r, e s e x ­
tre m a d a m e n te útil al d e te rm in a r la fo rm a d e la leva.
E n d an álisis c in e m á tic o , es m e jo r b c u rv a d e d e s p b z a ­
m ie n to d el se g u id o r c o n tra el t i e m p a C o m o a y u d a e n la tarea
d e d ise rto d e la f o rm a d e la lev a, se prefiere la c u rv a d el d es­
p b z a m ie n to d d seg u id o r c o n tr a d á n g u lo d e b leva. La relación
d d g iro d e la leva c o n d tie m p o es u n p roceso sencillo cu an d o
s e u tiliz a b te o ría p resen tad a e n d c ap itu lo 6. La ecu ació n (6.4)
d a l o siguiente:
O b s e rv e q u e estas c a ra c te rístic a s d el se g u id o r s o n in te r­
cam b iab les. Es d e d r , s e p u e d e c o m b in a r c u a lq u ie r f o rm a de
se g u id o r c o n cualesquiera d e sus m o v im ien to s o p o s id ó n .
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A0
- 17
<M )
226
CAPITULO NUEVE
C u a n d o la leva g ir a a velocidad constante, lo cu al su c ed e en
la in m en sa m ay o ría d e las aplicaciones, el tie m p o s e p u e d e rela­
c io n a r c o n el m o v im ien to a n g u la r y viceversa. La ro tació n d e la
leva d u r a n te u n in te rv a lo d el m o v im ie n to d el se g u id o r se e x ­
p resa usu alm en te p o r el s ím b o lo (i. A sim ism o, el tie m p o tra n s­
c u r rid o d u r a n te u n in te rv a lo d e l m o v im ie n to d d s e g u id o r se
d esig n a c o m o T . L a elevación o caíd a d d se g u id o r d u ra n te un
in terv alo s e d esigna c o m o H . Al re p lan tear la ecu ació n (6.4), y
u s a r la n o m e n c la tu ra d e levas, se o b tie n e la relació n e n tre d giro
d e la lev a y d tie m p o e n u n in te rv a lo a rb itra rio ¿
/* ,- =
( * 0 ( 7 ) )
( 9 .1 )
donde
2 7 ; - tie m p o total d e to d o s los intervalos d e m o v im ie n to que
c o m p ren d e u n c ic la
El p e r io d o d e ro ta c ió n d e la lev a, c u a n d o n o hay m ovi­
m ie n to d el seguidor, s e c o n o c e c o m o detención. Los detalles d d
m ovim iento d u ra n te los intervalos d e elevación y descenso d el se­
g u id o r s e r ig e n p rin c ip a lm e n te p o r la ta re a q u e necesita re ­
a liz a rse y p o r c o n s id e ra c io n e s d in á m ic a s. C o m o la s fuerzas
g ra n d e s e stá n a s o c ia d a s c o n a c e le ra c io n e s g ra n d e s , re su lta
b en éfico d is m in u ir la a c d c ra c ió n .
La ecu ació n (9.1) sirv e ta m b ié n p a r a d e te rm in a r la ra p id e z re­
q u e rid a d e la leva, c o n s id e ra n d o d tie m p o tra n sc u rrid o d u ra n te
un ddo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 9.1
Se utiliza u n a leva e n u n a plataform a q u e constantem ente levanta cajas desde u n tran sp o rtad o r inferior hacia u n
transportador superior. Esta m á q u in a se ilu stra en la figura 9.5. E labore u n diagram a d e desplazam iento y determ ine
la rapidez requerida d e la leva cu an d o la secuencia d e m ovim iento del seg u id o r es com o sigue:
|
t
hg ura
9 .5
S istem a d e lev a d d p ro b le m a d e e jem p lo
9 .1 .
1. Elevar 2 in e n U r .
2. re te n c ió n d u ran te O3 s.
3 . CW ccnder 1 in e n 0.9 s.
4 . D etención d u ran te 0.6 s.
5 . r w c e n d e r 1 in e n 0.9 s.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule e l tiem po d e u n ciclo completo
Es necesario el tie m p o total d e u n d e lo com pleto para d eterm in ar la rapidez requerida d e la leva.
2 T , = T , + T, + T , + Tt + T , = ( 1 2 + O J + 0.9 + 0.6 + 0 .9 )s = 3.9s
2.
D eterm ine la velocidad a n g u la r requerida d e la /evo
De la ecuación ( 9 2 ).
Ire v _ Irev
t t : = 0 2 5 6 re v /s
Z T , = t3.9
s
= 1 5 J 8 r Pm
Calcule e l giro d e la leva para cada in terv a lo d e m o vim ien to d el seguidor
H increm ento angular co n su m id o por la leva pora cada secuencia de m ovim iento d el seguidor se determ ina con
b ecuación (9.1).
f l i - <«!«*.>< T.) - ( 0 2 5 6 r c v / s ) ( l 2 s ) - 0.307rev
- (0 J0 7 re v )(3 6 0 * /l rev) -
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1103*
Leva»: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________227
02 -
4.
(0 2 5 6 rc v /s )(0 Js ) = 0 0 7 7 rcv - 270*
0, -
(0.256 rev/s)<0.9s) - 0 2 3 0 re v - 82.9"
04 -
(OJ56rev/s)(OOs) - O .I54rev - 55J "
0, =
(0 2 5 6 rev/s) (0.9s) = 0 2 3 0 r* v = 82.9*
d e ifiq u e el diagram a d e desplazam iento
En la figura 9 0 se m uestra el diagram a d e desplazam iento resultante, tan to con el Angulo d e la leva com o con el
tiem po desplegido en el eje horizontal. Observe que se construyó el perfil d e la curva de desplazam iento durante
b s secuencias d e elevación y descenso Consideraciones dinám icas determ inan la form a real de las secciones de
elevación y descenso.
3¿0»
C tro d rh
bva (deg)
IVm po 0»)
9 3 ESQ U EM A S DE M O V IM IE N T O
DEL SEG U ID O R
H o b jetiv o e n el diserto d e u n a leva es identificar su f o rm a ad e ­
cu ad a. El in terés p rin c ip a l c o n siste e n g a ran tizar q u e el seg u id o r
lo g re lo s d e s p lazam ien to s deseados. D esde luego, tales d esp laza­
m ie n to s s e d e s c rib e n e n e l d ia g r a m a d e d e sp la z a m ie n to . La
fo rm a d e la lev a e s s im p le m e n te el m e d io p a r a o b te n e r este
m o v im ien to .
E n la sección an te rio r, el m o v im ie n to d el se g u id o r d u ra n te
la s secu en cias d e e lev ació n y d e s c e n so n o s e id en tificó t o t a l ­
m e n te . S e m e n c io n ó q u e las c a ra c te rístic a s d in á m ic a s d el
seg u id o r s o n im p o rta n te s . A celeraciones g ra n d e s cau san fuerzas
g ran d es y, p o r co n sig u ien te, altos esfuerzos. El cam bio rá p id o d e
b s ace le ra c io n e s p ro v o c a v ib ra c ió n y, p o r lo ta n to , ru id o .
D e b id o a lo s p rin c ip io s d in ám ico s fundam entales, los p erio d o s
d e elev ació n y descenso d el d ia g ra m a d e d esp lazam ien to d e una
leva so n d e v ital im p o rtan c ia .
P ara levas c o n m o v im ien to lento, las g randes aceleraciones
n o so n u n p ro b lem a. P o r e ll o la leva se diserta con la finalidad
d e g e n e ra r s im p le m e n te los d e s p lazam ien to s d a d o s e n el in s ­
ta n te esp ecifica d o . La m a n e ra e n la c u a l el s e g u id o r llega al
p u n to d esead o n o es relevante. En esto s casos, la lev a se fabrica
del m o d o m ás co n veniente, sie m p re y c u a n d o se o b te n g a el d es­
p la z a m ie n to re q u e rid o . U na le v a d e p la c a p u e d e s e r t a n solo
u n a co m b in ació n d e arco s circulares y lin e a s rectas, la s cuales se
fa b ric a n c o n facilidad.
En aplicaciones d e a lta velocidad, n o es su ficien te p r o p o r ­
c io n a r ún icam en te el d esplazam iento r e q u e r id o L as caracterís­
ticas d in á m ic a s d el se g u id o r d u r a n te las secuencias d e elevación
y descen so se d e b e n especificar c o n m u c h o detalle p a r a m in i­
m izar las fuerzas y vibraciones.
H ay u n a g ra n v aried ad d e esquem as d e m ovim iento p a r a el
m ovim iento d el seguidor. El ob jetiv o d e estos esquem as es p ro ­
d u c ir el m o v im ien to c o n aceleraciones suaves. En el e s tu d io d e
b s características d in á m ic a s d el se g u id o r p a r a diferentes esque­
m as d e m o v im ien to , s e u tiliz a la siguiente no tació n :
H*~ D e sp lazam ien to t o t a l d el se g u id o r d u r a n te el i n te r ­
valo d e elevación o descen so e n co n sid erac ió n . E n el
c a s o d e u n s e g u id o r c o n piv o te, e s te es el d e sp la z a ­
m ie n to a n g u la r to ta l
d el e s la b ó n se g u id o r, d u ­
ra n te el intervalo particu lar.
T - P e rio d o total d e tie m p o p a r a el intervalo d e elevación
o descen so e n consideración.
t - Intervalo d e tie m p o d e elevación o descen so q u e d e ­
fin e las p ro p ied ad es in sta n tá n e a s d el seguidor.
0 - Ángulo d e ro ta c ió n d e la leva d u r a n te el intervalo de
elevación o descenso e n c o n sid e ra c ió n (grados).
- A n g u lo d u ra n te el in te rv a lo d e elevación o descenso
q u e d e fin e las p ro p ie d a d e s in stan tán e as d el seg u id o r
(grados).
<o^r a r- V e lo c id a d d e l a l e v a ( g r a d o s p o r u n i d a d d e t i e m p o ) .
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228
CAPITULO NUEVE
A R - M agnitud d el desplazam iento instantáneo d el seguidor
en el tie m p o o á n g u lo d e la leva. En el caso d e un
se g u id o r c o n piv o te, esto es sim ila r al desplazam iento
a n g u b r in stan táneo A 0¿del eslabón seguidor.
t
p
v - m a g n itu d d e b v e lo d d a d in s ta n tá n e a d el s e g u id o r
■ dR Jdt. En el caso d e u n se g u id o r c o n p iv o te esto es
sim ila r a la ro ta c ió n
d el e s b b ó n seguidor.
a ■= M a g n itu d d e b a c e le ra d ó n in s ta n tá n e a d el se g u i­
d o r = th ld t.
9 .5 .1 V e lo c id a d c o n s t a n t e
El esq u em a m á s s e n d llo d e m o v im ie n to d el se g u id o r d u ra n te
u n a c le v a d ó n o u n d escen so es e l d e v e lo d d a d c o n sta n te . El
m o v im ien to c o n v e lo d d a d c o n s ta n te se caracteriza p o r u n d ia ­
g ra m a d e d e s p b z a m ie n to e n lin e a recta, p o rq u e b v e lo d d a d es
u n ifo rm e. Las características d in á m ic a s d e u n a elevación a v e ­
lo cid ad co n stan te se lista n e n la t a b b 9.1.
A un c u a n d o b id ea d e u n a aceleración igual a c e ro es a tr a c ­
tiva, lo s ex trem o s d e e ste esq u em a d e m o v im ien to a tu s a n p r o ­
b lem as. T eó ricam en te , el s a lto in s ta n tá n e o d e c u a lq u ie r v a lo r
c o n s ta n te d e v e lo d d a d a o tro v a lo r c o n s ta n te d e velocidad gene­
ra u n a ace le ra d ó n in fin ita. C o m o las m á q u in as im p u lsad as p o r
el se g u id o r sie m p re te n d rá n m asa, esto re su lta teó ricam en te en
u n a tu erza in fin ita. En b p ráctica, es im p o sib le u n cam bio in s ­
ta n tá n e o e n la v e lo d d a d d e b id o a b flexibilidad d e lo s elem en ­
to s d e u n a m á q u in a N o o b sta n te , cu a lq u ie r sa cu d id a es im p o r ­
ta n te y s e d e b e m a n te n e r e n el m ín im o . P o r lo ta n to , e ste
m o v im ien to e n su fo rm a p u r a n o s e p resen ta, excepto e n aplica
d o n e s d e b aja velocidad.
En la fig u ra 9 .7 s e m u e s tra u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
c o n v e lo d d a d c o n sta n te , ju n to c o n b s c u rv as d e v e lo d d a d y
a c e le ra d ó n .
1. D ividir la se c u e n d a d e e le v a d ó n (o d escen so ) d el seg u id o r
en d o s m itades iguales. En la fig u ra 9.9 , A E representa
é p e rio d o d e tie m p o y Ü F b m a g n itu d d e la e le v a d ó n de
la p r im e ra m ita d d e e ste e s q u e m a d e m ovim iento.
2 . D ividir e n p a rte s iguales ta n to el eje h o riz o n ta l c o m o el
vertical d el c u a d ra n te AEFH.
3. Trazar lineas verticales a p artir d e la s divisiones horizontales.
4 . T razar lineas rectas a p a rtir d e la esq u in a A h a d a b s d iv i­
siones verticales.
5 . D ib u jar u n a c u r v a su a v e a trav és d e los p u n to s d e in ter­
sección d e b s lineas verticales y d e las lineas dibujadas
a p a r t i r d e la e s q u in a A.
6 . R epetir los p asos 2 a 5 p a ra b o t r a m itad d e b c u rv a que
se m u e s tra e n el c u a d ra n te FJCG e n b fig u ra 9.9.
El descen so c o n a c e le ra d ó n c o n s ta n te se c o n stru y e c o m o
u n a im a g e n esp ecu lar d e la fig u ra 9.9.
9 .5 .2 A c e le r a c ió n c o n s t a n t e
El m o v im ien to c o n ace le ra d ó n c o n s ta n te d u ra n te u n a secuencia
d e elev ació n o descenso genera los m enores valores p o sib les d e
aceleración e n u n in terv alo d e tie m p o y elevación d eterm in ad o s.
El d ia g ra m a d e d esp lazam iento d e u n intervalo d e elevación o
d e s c e n so s e d iv id e e n d o s m ita d e s iguales, u n a d e aceleración
c o n s ta n te y la o t r a d e d e s a c e le ra d ó n co n stan te. L as fo rm a s d e
c a d a m ita d d el d ia g ra m a d e d e s p b z a m ie n to s o n p a rá b o la s
d e im ágenes especulares. l a s características d in ám icas d e u n a ele­
vación c o n aceleración c o n s ta n te s e listan e n b ta b b 9.2.
E ste e s q u e m a d e m o v im ie n to , c o n o c id o ta m b ié n c o m o
m o v im ien to p arab ó lico o d e gravedad, tie n e aceleraciones c o n s­
ta n te s p o sitiv a s y negativas. N o o b s ta n te , p re se n ta u n ca m b io
b ru sco d e aceleració n al final d el m o v im ie n to y e n el p u n to d e
r ^ A B I-A
tran sició n e n tre las m itades d e aceleración y desaceleración. Los
cam bios b r a s a » provocan u n ca m b io b ru sc o e n las fuerzas inerciales, lo s cuales p o r lo g e n e ra l causan vib racio n es indeseables,
de m o d o q u e e ste m ovim iento e n fo rm a p u ra n o es c o m ú n , salvo
en aplicaciones d e b aja velocidad. En b figura 9.8 se m u e s tra un
d a g r a m a d e d e s p b z a m ie n to c o n aceleració n co n stan te, ju n to
c o n las c u rv as d e velocidad y acelerad ó n .
Se re q u ie re u n d b g r a m a d e d e s p b z a m ie n to a escala p a r a
c o n stru ir el perfil real d e b leva. Se p u e d e n u tilizar b s e c u a d o n e s
presentadas e n b t a b b 9 2 con u n a h o ja d e cálculo, o cualquier
o tro so ftw a re q u e g ra fiq u e e c u a d o n e s, p a ra e la b o ra r este dia¡y am a. A u n q u e este m é to d o an a lític o e s p re d s o , se d e b e ten er
cu id ad o p a r a graficar el d ia g ra m a a escala.
La construcción g ráfica d e u n diag ram a d e d e s p b zam ien to
es u n m é to d o alternativo p a r a e la b o ra r u n diag ram a d e desplaza­
m ie n to a escala. Su c o n s tru c d ó n se realiza u sa n d o u n esquem a
d e m o v im ien to c o n ace le ra d ó n c o n sta n te , re m itié n d o se a b fi­
gura 9.9 y ap lican d o el sig u ien te procedim iento:
9 .5 .3 M o v im ie n to a r m ó n ic o
C o m o se vio e n los esq u em as polinom iales d el seg u id o r q u e se
acaban d e describir, s e presentan p ro b le m a s in erd ales e n las dis­
c o n tin u id a d e s d e b s c u rv a s d e m o v im ien to . P ara a b o r d a r esa
desventaja, s e d e b e e s t u d b r el m o v im ie n to a rm ó n ic o , e l cual
tiene s u o rig en e n las f u n d o n e s trig o n o m étricas y, p o r e n d e , p re ­
senta c u rv as m u y suaves d e m ovim iento. D esde el p u n to d e vista
físico, es la p ro y e c d ó n d el m o v im ie n to d e u n p u n t o so b re un
disco q u e g ira proyectado e n u n a lin ea recta. Las características
d in ám icas d e u n a d e v a d ó n a r m ó n ic a s e lista n e n b ta b la 9.3.
Este e s q u e m a d e m o v im ie n to m e jo ra in d u d a b le m e n te las
c u rv as an terio res p o rq u e tie n e u n a aceleración c o n tin u a suave.
C in em á tica d e l se g u id o r d e b leva para m o v im ie n to c o n v e lo c id a d c o n s t a n t e
9 .1
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Levas: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________229
FVriodode elevación.
Periodo de descenso
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9 .2
C in e m á tic a d e l s e g u id o r d e b
le v a p a r a m o v im ie n to c o n a c e le r a c ió n c o n s ta n te
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D e tc e m o
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230
CAPITULO NUEVE
P e r ta t o d e e le v a c i ó n
P eriod o d e d e v e n s o ,
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FIGURA 9 ¿ ( iir v a s d e m o v im ien to c o n aceleración co n stan te.
La c o n s tr u c d ó n g ráfica d e u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
es u n m é to d o altern ativ o p a r a g e n e ra r el d ia g ra m a d e d esp laza­
m ie n to a escala. E sta c o n s tru c c ió n u s a n d o el e s q u e m a de
m o v im ie n to a r m ó n ic o s e realiza o b se rv a n d o la fig u ra 9.11 y
ap lican d o el sig u ien te procedim iento:
FVvación
drl seguid™.
1 . C o n s tru ir u n s e m id re u lo c o n d iá m e tro igual a la
e le v a d ó n (o d escen so ) d e s e a d a
2. D iv id ir el tie m p o d e elevación e n in crem en to s iguales
y sucesivos.
R -rto d o d e e le v a c ió n
f ig u r a
9.9 C o n stru c ció n d e u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
c o n a c e le ra d ó n co n stan te.
S in em bargo, tien e u n ca m b io re p e n tin o d e a c e le ra d ó n e n lo s
ex trem o s del m o v im ien to . N u ev am en te, e ste ca m b io rep en tin o
p o d ria ser in acep tab le a g ra n d e s velocidades.
&i la fig u ra 9.10 se m u estra u n diag ram a d e d esplazam ien­
to arm ó n ico , ju n to con las c u rv as d e v elo d d ad y aceleración.
C o m o e n o tro s esq u em as, se req u iere u n d ia g ra m a d e d es­
p lazam ien to a escala p a r a c o n s tru ir el perfil real d e la leva. Se
p u ed en u sa r las e c u a d o n e s d e la tab la 9.3 , ju n to c o n u n a h o ja d e
cálcu lo u o t r o p a q u e te q u e g rafiq u e e c u a d o n e s, p a ra e la b o ra r
e ste d ia g ra m a . A u n c u a n d o este m é to d o an a lític o e s preciso, se
d e b e te n e r c u id a d o e n e la b o ra r el d ia g ra m a c o n exactitud.
3. D iv id ir el se m id re u lo e n el m ism o n ú m e ro d e divisiones
iguales d el p e r io d o d e e le v a d ó n d el seguidor.
4 . T raza r líneas verticales a p a r tir d e las d iv isio n es sobre
el eje d e tiem po.
5 . T raza r lincas h o riz o n ta le s d esd e lo s p u n to s d e las d iv i­
sio n e s so b re el se m id re u lo h a s ta la s lin e a s d e división
c o rre sp o n d ie n te s so b re el eje d e tiem po.
6 . T raza r u n a c u rv a suave a trav és d e los p u n to s d e intersecd ó n o b te n id o s e n el p a s o an terio r.
El descenso a rm ó n ic o se c o n stru y e c o m o u n a imagen
esp ecu lar d e la fig u ra 9.11,
9 .5 .4 M o v im ie n to c ic lo id a l
El m o v im ie n to c id o id a l es o tr o e s q u e m a d e m o v im ie n to d e ­
riv ad o d e f u n d o n e s trig o n o m é tric a s . E ste e s q u e m a ta m b ié n
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I .e v u : d is e n o y a n á lisis c in e m á tic o
TA BLA 9 .3
231
C i n e m á t i c a d e l s e g u i d o r d e u n a le v a c o n m o v i m i e n t o a r m ó n i c o
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ftno(k) dr elevación,
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Periocto dr <kscriBo.
FIGURA9.10 C u rv as d e m o v im ie n to arm ó n ico .
p resen ta c u rv a s d e m o v im ien to m uy suaves y n o tie n e cam bios
re p e n tin o s d e aceleració n en los e x tre m o s d el m o v im ien to , lo
cual l o vuelve p o p u la r e n ap licacio n es d e a lta velocidad. T iene
escaso desgaste p o r v ib ració n y características d e esfuerzo d e t o ­
d as las c u rv as básicas d escritas. D esde u n p u n to d e vista fisico,
es el m o v im ien to d e u n p u n to so b re u n d isc o q u e r u e d a sobre
una lin e a r e c ta L as características d in ám icas d e b elevación d d o id a l se listan e n la ta b la 9.4. En b fig u ra 9.12 s e p resen ta un
d ia g ra m a d e d e sp la z a m ie n to cicloidal, ju n to c o n las c u rv as de
v e lo d d a d y a c e le ra d ó n .
(i> m o a n te s , se requiere u n d ia g ra m a d e d esp lazam ien to a
escala p a r a c o n s tru ir el p e rfil re a l d e b lev a. S e u tiliz a n las
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232
CAPITULO NUEVE
f ig u r a
9 .1 1
C o n stru c c ió n d e
un
d ia g ra m a d e d esp lazam ien to a r m ó n ic a
e c u a c io n e s p re se n ta d a s e n la ta b la 9.4, ju n t o c o n u n a h o ja d e
c á lc u lo o u n p a q u e te q u e g ra fíq u e ecu ac io n e s p a r a c o m p letar
e ste d ia g ra m a . A u n q u e e ste m é to d o a n a lític o e s p r e c is a se debe
ten er c u id a d o d e g ra fic a r el d ia g ra m a to ta lm e n te a escala, s i se
e m p le a n té c n ic a s d e c o n s tru c c ió n g ráfica p a r a d ise ñ a r la leva.
La co n stru cció n g ráfica d e u n d ia g ra m a d e d esplazam iento
e s u n m é to d o altern ativ o p a ra g e n e ra r el d ia g ra m a d e desplaza
m ie n to a e s cala. E sta c o n s tru c c ió n , u s a n d o el e s q u e m a d e
m o v im ie n to cicloidal, se realiza rem itién d o se a la fig u ra 9 .1 3 y
a p lic a n d o el sig u ien te procedim iento:
1. S o b re u n a c u a d ríc u la d e u n d ia g ra m a d e desplazam iento,
tra z a r u n a lin ea d el p u n to inicial d e la elevación (o d e s ­
censo) al p u n to final. L a lin e a se d ib u ja d e A a C e n la
fig u ra 9,13.
2. E x te n d er la lín ea d ib u ja d a e n el p aso a n te rio r y tra z a r un
circu lo d e ra d io r = H l2 it, c o n c e n tro e n cu a lq u ie r lu g a r
so b re la Unta.
3. C o n s tru ir u n a lín ea vertical a trav és d el c e n tro d e l d r c u lo .
TA B LA 9 .4
4 . D ividir el c irc u lo e n u n n ú m e ro p a r d e partes.
5 . U n ir las lineas q u e d iv id e n al c irc u lo c o m o s e in d ica en
la fig u ra 9.13 (1 a 4 .2 a 5. etcétera).
6 . M a rca r los p u n to s d e intersección d e las líneas d ib u jad as
e n el p aso 5 c o n la lin e a vertical tra z a d a e n el paso 3.
7 . D ividir el tie m p o e n el m ism o n ú m e ro d e p artes iguales
c o m o el c ir c u la T raza r líneas verticales a p a r tir d e estos
p u n to s d e división.
8 . P royectar lo s p u n to s id en tifica d o s e n el p aso 6 a lo largo
d e u n a lín ea paralela a la lin ea c o n s tru id a e n el p a s o I .
9 . M a rca r los p u n to s d e intersección d e las líneas co n stru id a»
e n el p aso 8 c o n las líneas verticales d ib u ja d a s e n el p a s o 7,
c o m o s e in d ica e n la fig u ra 9 . 13.
10. C o n s tru ir u n a c u r v a suave a tra v é s d e los p u n to s id en tifi­
cad o s e n el p aso 9.
El descenso cicloidal se construye c o m o u n a im agen especu­
la r d e la fig u ra 9.13.
C in e m á tic a d e l s e g u id o r d e u n a le v a c o n m o v im ie n to c ic lo id a l
P J ev a d ó n
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Levas: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________233
ftriodo de descenso.
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Desplazam iento
del
R>rio(k)deok\ación.
FIGURA9.12 ( l ir v a s d e m o v im ie n to cicloidal.
f i g u r a 9 .1 3 C o n s t r u c c i ó n d e u n d i a g r a m a d e d e s p l a z a m i e n t o c i c l o i d a l .
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234
CAPITULO NUEVE
P R O B L E M A DE E JE M P L O 9.2
Se va a disertar u n a leva para u n a parte d e u n cargador autom ático, com o se m uestra e n la figura 9.14. Em pleando las
ecuaciones d e m ovim iento, construya u n a tab la q u e ilustre los desplazam ientos del seguidor contra el tie m p o y c o n ­
tra la rotación d e la lesa. T am bién grañque estos datos cu an d o el m ovim iento prescrito de esta aplicación sea com o
sigue:
1. B evación d e 50 m m e n 1 3 s con el esquem a de m ovim iento d e velocidad constante.
2 . R etom o e n 2.0 s c o n el u so d d esquem a de m ovim iento cicloidal.
3 . D etención d e 0.75 s.
4.
Se repite la secuencia.
FIGURA 9.14 f ó r te d e l carg ad o r d el p ro b le m a d e e jem p lo 9.2 .
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule e l tiem p o para com pletar un ciclo completo
B tiem po tran scu rrid o para com pletar u n ciclo es necesario para determ inar la velocidad requerida d e la leva.
2 T , = T, + T, + T,
= 1.5 + 2X1 + 0.75 = 4 2 5 s
2.
Calcule la velocidad a n g u la r requerida d e la lesa
Si s e p arte d e la ecu ació n (9 2 ),
‘ s í ‘
■ u n ,p m
D eterm ine la rotación d e la leva p a ra cada in terv a lo d e m o vim ien to d el seguidor
B increm ento angular d e la leva consum ido por cada secuencia d e m ovim iento del seguidor se calcula con la
ecuación (9.1).
0 , - h J ( T , ) - (<X235 rev/s) ( 1.5s) - 0 3 5 3 rev - 127.0*
p ¡ = (0 2 3 5 rev/s) (2 JJs) = 0.470rev = 169.3*
P s = (Q 235rcv/s) (0.75$) » 0.177rev = 63.7*
Calcule e l desplazam iento d u rante cada in terv a lo d e m o vim ien to d el seguidor
0 prim er intervalo del m ovim iento tien e H j = 50 m m y T, = 13 s. Para u n a elevación c o n velocidad constante,
b ecuación del desplazam iento está dada por
u
, . %
B segundo intervalo del m ovim iento tien e l f* - 50 m m y T2 - 2-0 s. Para d descenso cicloidal, la ecuación de
desplazam iento está dada por
AR, - Hj
B últim o intervalo de m ovim iento es una detención, d o n d e AR es constante. Esta detención o cu rre e n la
posición retraída d el seguidor, por lo tanto, A R j - 0.
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I.e v a s : d i s e r t o y a n á l i s i s c i n e m á t i c o
235
Estas ecuaciones s e introdujeron e n la hoja d e cálculo (figura 9.15). Los datos s e u saron para generar la gráfica de
h figura 9.16.
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169 4
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211 8
232 9
254 1
275.3
2965
317.6
338 8
360 0
(wm)
D
000
833
1667
25.00
33 33
41 67
50 00
49 38
45 46
36 88
2500
13.12
454
062
000
000
000
000
E
■
*
9.15 H o ja d e cálculo d el p ro b le m a d e e jem p lo 9.2.
9 .1 6 D i a g r a m a d e d e s p l a z a m i e n t o d e l s e g u i d o r d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 9 . 2 .
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236
CAPITULO NUEVE
P R O B L E M A D E E JE M P L O 9.3
Construya gráficam ente el diagram a de desplazam iento del seguidor p a ra la aplicación del problem a d e ejem plo 9.2.
S O L U C IÓ N :
C on los datos del problem a d e ejem plo 9 2 . se construye el diagram a d e desplazam iento m o strad o a i h figura 9.17.
Observe que el d r e u lo usado para construir d descenso cidoidal tien e u n radio de:
H,
(50 m m )
r ■ — - — ------ ■ 7.96 mm
2i r
2 ir
9 .5 .5 E s q u e m a s d e m o v i m i e n t o c o m b in a d o
En b selección d e u n esquem a d e m o v im ien to particular, u n o b ­
jetivo es m in im iz a r b s fuerzas d in ám icas in d u cid as d u ra n te el i n ­
terv alo d e elevación o descenso. Lo a n te rio r se logra al m inim izar
la m a g n itu d d e la aceleració n d el se g u id o r y m a n te n e rla c o n ­
tinua. A sim ism o, la en ergía cinética alm acenada e n el se g u id o r es
pro p o rcio n al al cu ad rad o d e b velocidad. P o r lo tanto, m inim izar
la v elo cid ad m áx im a es o tr o o b je tiv o q u e d e b e r b co nsiderarse
c u a n d o se especifica u n esq u em a d e m ovim iento.
A dem ás d e estos o bjetivos, e n ap licacio n es d e a lta v e lo d ­
d a d , e s aco n sejab le m a n te n e r u n a a c e le ra d ó n suave p a ra e lim i­
n a r lo s cam b io s b ru sco s e n b s cargas dinám icas. La d e riv a d a d e
b ace le ra d ó n c o n respecto al tie m p o s e c o n o c e c o m o tirón. Los
c a m b io s re p e n tin o s e n la a c e le ra d ó n s e cuantifican c o m o m ag
n itu d e s a ltas d e u n tiró n . Así, r e d u d r b m ag n itu d y m a n te n e r
c o n tin u a b c u rv a d el tiró n c o n tr a el tie m p o d a v en tajas s o b re la
carga d e b m áquina.
C o n frecuencia se a ju s ta n lo s asp e c to s n e g itiv o s d e b ve­
lo d d a d c o n s ta n te y b aceleración c o n sta n te , así c o m o lo s esq u e­
m a s a r m ó n ic o y cicloidal, p a r a m e jo ra r b s c a racterísticas d el
m o v im ien to . El m o v im iento resultante se co n o ce c o m o esquem a
c o m b in ad o . M ás ad elan te se presentan descripciones d e alguno s
d e lo s esq u em as c o m b in a d o s m ás co m u n e s. S e reco m ien d a c o n ­
s u lta r fuentes m ás co m p letas d e diserto d e levas p a ra o b te n e r lo s
detalles d e b s ecu acio n es d e m o v im ien to [refe. 5 ,1 1 ,1 4 ] , Existe
softw are c o m o D y n acam , A nalytix/C am s y C am T rax para c o n s­
tr u ir d iag ram as d e m o v im ien to d el desplazam iento d el seg u id o r
d e estos y o tro s esquem as.
La a c e l e r a d ó n t r a p e z o i d a l es u n e s q u e m a q u e m e jo ra el e s ­
q u e m a d e ace le ra d ó n co n stan te q u e s e p resen ta e n b figura 9,10,
d o n d e b c u r v a d e a c e le ra d ó n c o n tra el tie m p o a p a re c e c o m o
u n a o n d a cu ad rad a. La d ific u ltad c o n b o n d a c u a d ra d a e s que b
aceleración y p o r ende, la fuerza inercial ca m b ia n bruscam ente,
d e m o d o q u e se in d u c e u n tiró n e n b m á q u in a . El esq u em a de
ace le ra d ó n trap ezo id al suaviza las tra n sic io n e s d o n d e la c u rv a
de aceleración c o n tr a el tie m p o aparece c o m o u n tra p e c io . Sin
em bargo, el área p e rd id a al e lim in a r b s esq u in as se d e b e sustituir
in crem en tan d o la aceleración m áxim a.
La a c e l e r a c i ó n t r a p e z o i d a l m o d i f i c a d a m e jo ra el e s q u e m a
tra p e z o id a l su s titu y e n d o los b d o s in d in a d o s d e la c u rv a de
ic c ic ra d ó n c o n tr a el tie m p o c o n p a rte s d e u n a o n d a senoidal.
E lim inando b s esq u in as, s e crea u n a c u r v a d e a c e le ra d ó n suave.
La p e n d ie n te c o n tin u a ( tir ó n ) g a ra n tiz a q u e el ca m b io e n las
tu erzas d in á m ic a s se a suave.
H d e s p la z a m ie n to p o li n o m ía I 3 -4 -5 es o tr o esq u em a q u e mep r a el esq u em a d e a c e le ra d ó n co n stan te. C o m o e s u n p o lin o ­
m io d e se g u n d o o rd e n , el esq u em a d e aceleración c o n s ta n te se
ve o b s ta c u liz a d o c o n u n a c u r v a d isc o n tin u a d e aceleració n .
C o m o e n el esq u em a tra p ezo id al, u n m é to d o p a r a e lim in a r b
d is c o n tin u id a d e s u tiliz a r u n p o lin o m io d e o rd e n su p e rio r,
d e m o d o que se f o rm u b u n esquem a q u e in c o r p o ra té rm in o s de
tercer, c u a r to y q u in to ó rd e n e s. C o n u n té r m in o d e q u in to
o rd en , este esquem a d a u n a p en d ien te c o n tin u a d e la c u rv a de
aceleració n c o n tra el tie m p o . S in em b arg o , la c u rv a d el liró n
c o n tra el tie m p o te n d rá d isco n tin u id ad es.
El d e s p la z a m ie n to p o lin o m ia i 4-5-Ó -7 a m p lb el e s q u e m a
f u lin o m ia l 3-4-5, el cual in d u > e u n té r m in o d e sé p tim o o rd e n
pora s u m in is tra r u n t ir ó n c o n tin u o y suave.
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le v a » : d iserto y a n á lisis c in e m á tic o
La a c e le ra d ó n se n o id a l m o d ific a d a m e jo ra el esquem a cicloidal
in c o rp o ra n d o u n se g u n d o té rm in o senoidal c o n u n a frecuencia
diferente; d e este m o d o , la suavidad del m o v im ien to cicloidal se
retien e y el m á x im o se reduce.
E n la ta b la 9 .5 s e m u e s tra u n re su m e n d e la v elo cid ad pico,
la aceleración p ic o y el t i r ó n p ic o d e lo s d iferen tes esquem as de
m o v im ien to , e n f u n d ó n d e la e le v a d ó n H y d el p e rio d o d d i n ­
terv alo T.
r TABLA
1
9 .5
C o m p a r a c io n e s d e lo s e s q u e m a s
237
El ta m a ñ o d d c irc u lo b a s e e stá s u p e d ita d o n o rm a lm e n te a las
re strie d o n e s espaciales d e la a p lic a d ó n . En gen eral, u n d r e u lo
base g ra n d e o rig in a m en o s p ro b le m a s c o n la tra n sm isió n d e la
f u e r a . S in em bargo, u n c irc u lo base g ra n d e y, p o r consiguiente,
u n a lev a g ra n d e s e c o n tra p o n e n c o n el o b je tiv o usual d e d ise ñ ar
p ro d u c to s p eq u eñ o s.
El p u n to d e trazo s r v e c o m o referen cia p a r a d e te rm in a r la
u b ic a c ió n efectiva d d se g u id o r. E n u n s e g u id o r d e curta es d
p u n to d o n d e e n tr a n e n c o n ta c to e l s e g u id o r y la leva. E n un
s e g u id o r d e ro d illo , d p u n to d e tra z o s e u b ic a e n d c e n tro d d
ro d illo . E n u n s e g u id o r d e c a r a p la n a o e sfé ric a , el p u n t o d e
tra z o se u b ic a so b re la su p e rficie d e c o n ta c to d el seguidor.
d e m o v im ie n to
E sq u em a d e
V e lo d d a d
A c e le r a d ó n
T ir ó n
m o v im ie n to
p ic o
p ic o
p ic o
Ytloddad constante
1.000 HIT
00
co
Aceleración constante
2.000 HIT
4.000 HIT3
00
Armónico
1371 117
4.945 HIT*
00
Cicloidal
2.000 10 T
6 M JI 0 T*
40 t a r
Hapezoidal
2.000 HIT
5.300 HIT*
44
Trapezoidal modificado
2.000 HIT
folinomial 3-4-3
1.875 tVT
5.777 H/T*
60
folinomól 4-S-6-7
2.188 H tT
7326 tBT*
52 IBT*
Senoidal modificado
1.760 H/T
3328 HIT3
69 HIT0
L a posidón d e entrada de la leva e s la o rie n ta c ió n q u e c o rre s­
p o n d e a u n a p o sic ió n d e referen cia d e 0 * e n u n diag ram a
d e desplazam iento.
El dreulo p n m a r io es u n d r e u lo q u e se d ib u ja a tra v é s del
p u n to d e tra z o d d seguidor, m ie n tra s la leva e stá e n su
p o s id ó n d e en trad a.
La curva de paso es la tray ecto ria d d c e n tro d el seguidor.
¡a r
6i w r ’
9 .6 D ISE Ñ O G R Á FIC O DEL PER FIL
DE UNA LEVA DE D ISC O
U n a ve* q u e e n u n d ia g ra m a d e d e s p la z a m ie n to s e d efine el
m o v im ie n to d eseado d e u n a leva y s u se g u id o r, es p o sib le dise­
rtar la f o rm a real d e la leva. La fo rm a d e la leva d e p e n d e d e su
tam arto y d e la c o n fig u ra d ó n d d se g u id o r. A ntes d e d ise ñ a r d
perfil d e u n a lev a d e disco, s e d e b e n d e fin ir a lg u n as característi­
cas g eo m étricas. En la fig u ra 9 .1 8 s e ilu stra n la s sig u ien tes c a ­
racterísticas.
El d re u lo base es d d r e u lo m á s p e q u e ñ o c o n c e n tro e n d
eje d e ro ta c ió n d e la leva y e s ta n g e n te a la superficie d e la leva.
P a ra fiid litar la co n stru cció n d el perfil d e la leva, se utiliza la
inversión d n e m á tic a . Se s u p o n e q u e la leva está in m ó v il. Luego
s e g ira el seg u id o r e n d ire c d ó n o p u esta al g iro d e la leva. L a p o s i­
d ó n deseada d d seguidor, e n v arias u b ic a d o n e s , se c o n stru y e a
p a rtir d el c írc u lo base. C o n c e p tu a lm e n te , e s to e s c o m p a ra b le
a e n ro lla r el d ia g ra m a d e d esp lazam ien to a lre d e d o r d el d r e u lo
base, crean d o así la fo rm a d e la lev a
E n la s s e c d o n e s sig u ie n te s s e ilu s tra n lo s p ro c e d im ie n to s
específicos p a ra diversas c o n fig u ra d o n e s d el seguidor. E n todas
las co n stru ccio n es se em p lea d d ia g ra m a g eneral d e d esp laza­
m ie n to d e la fig u ra 9.19. O b serv e q u e s e h a n id en tificad o d ife ­
re n te s d esp lazam ien to s d el se g u id o r e n á n g u lo s específicos d e la
leva, e n la s se cu en cias d e d e v a c ió n y descen so d d d ia g ra m a .
E stos d esp lazam ien to s p rescrito s se co n v ierten e n el perfil d e la
leva.
9.6 .1 S e g u id o r d e c u ñ a e n lín e a
La fo rm a m á s e fid en te d e d e s c rib ir la co n stru c c ió n d e u n a leva
c o n u n se g u id o r d e curta es a tr a v é s d e la c o n s tru c a ó n real. C o n
é d ia g ra m a d e d esp lazam ien to d e la fig u ra 9.19, s e h a c o n stru id o d perfil d e u n a leva q u e s e utiliza con u n seg u id o r d e curta, que
se m u e s tra e n la fig u ra 9.20.
P ir a c o n s tru ir g rá fic a m e n te u n p e rfil d e e ste tip o se
d isp o n e d d sig u ien te p ro c e d im ie n to general;
1. 'lía z a r el d r e u lo b a s e d e ra d io
El ta m a ñ o n o rm a lm e n te
e stá e n f u n d ó n d e las r e s trie d o n e s espaciales d e la ap li­
cadón.
2 . D ib u jar el se g u id o r e n la p o s id ó n d e e n tra d a .
3. T razar líneas radiales d el c e n tro d e la leva, e n c o rre sp o n ­
dencia c o n los á n g u lo s d e la leva identificados so b re el d ia­
g ra m a d e desplazam iento. P ara efectos d e c o n s tru c d ó n , la
leva p erm a n e c e rá inm óvil y el se g u id o r g ir a rá e n d ire c d ó n
o p u e s ta al giro real d e la leva.
4.
H G U R A 9 .I8 h f o m e n d a t u r a d e l a le v a .
T ransferir lo s d esp lazam ien to s d el d ia g ra m a d e d esp laza­
m ie n to a las líneas rad iales. Estos d esp lazam ien to s se m i­
d e n d esd e el d r e u lo base.
5 . D ib u jar u n a c u rv a suave a trav és d e lo s desplazam ientos
prescritos.
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238
CAPITULO NUEVE
f ig u r a
f ig u r a
9j o
9 .1 9
D iag ram a g eneral d e d esplazam iento d el seguidor.
D iseñ o d el perfil d e u n a leva: s e g u id o r d e c u ñ a
6 . P ara c o n s tru ir u n perfil c o n u n a precisión c o n sisten te con
el d ia g ra m a d e d esplazam iento, es necesario tra n sfe rir
p u n to s in te rm e d io s ad icio n ales d e los in terv alo s d e ele­
v ació n y descen so .
9 .6 .2 S e g u id o r d e r o d i l l o e n lín e a
D e nuev o , la fo rm a m á s eficiente d e d e s c rib ir la c o n s tru c c ió n d e
u n a lev a c o n u n se g u id o r d e ro d illo e n lin ca es c o n s u c o n s tru c ­
c ió n reaL C o n e l d ia g ra m a d e d esplazam iento d e la fig u ra 9.19,
s e c o n s tru y ó el p e rfil d e u n a leva q u e s e u tiliz a rá c o n u n s e ­
g u id o r d e ro d illo e n linea, el cual se ilu s tra e n la fig u ra 9 .2 1 . Para
c o n s tr u ir u n p e rfil a s i, s e u s a e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to ge­
neral:
1. T raza r el circu lo b a s e d e ra d io R(, El ta m a ñ o n o rm a lm e n te
está en fo n d ó n d e las restriccio n es espaciales d e la ap li­
cación.
2. D ib u ja r el r a d io d d seg u id o r f y e n la p o s id ó n d e e n tra d a ,
ta n g e n te al d r e u lo base.
3. T razar lín eas rad iales a p a r tir d el c e n tro d e la leva, e n c o ­
rre sp o n d e n c ia c o n lo s á n g u lo s d e esta, id en tifica d o s e n el
en
linea.
d ia g ra m a d e desp lazam ien to . P ara fines d e construcción,
la leva p erm a n e c e in m ó v il y el se g u id o r g ira e n d ire c d ó n
o p u e s ta al g iro real d e la leva.
4 . Id en tificar el p u n to d e tra z o e n su p o sic ió n d e en trad a.
E n u n se g u id o r d e ro d illo , este e s el p u n to e n el centro
d el rodillo.
5 . T raza r el d r e u lo p r im a rio a trav és d el p u n to d e tra z o e n su
p o s id ó n d e e n tra d a .
6 . T ran sfe rir lo s d esp lazam ien to s d el d ia g ra m a d e d esp laza­
m ie n to a las lineas rad iales. E stos d esp lazam ien to s s e m i­
den a p a r tir d el c irc u lo p rim a rio .
7 . D ib u jar el c o n to m o d el ro d illo d e r a d io Rf, c o n c e n tro en
los d esplazam ientos p re sc rito s id en tifica d o s e n el paso
an terio r.
8 . TVazar u n a c u rv a suave ta n g e n te a lo s c o n to rn o s del
rodillo e n lo s d esp lazam ien to s prescritos.
9 . P ara c o n s tr u ir u n perfil c o n u n a p recisió n consistente con
el d ia g ra m a d e desplazam iento, es necesario tra n sfe rir
p u n to s in term e d io s a d id o n a le s d e lo s intervalos d e ele vación y descenso.
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L evas: d is e ñ o y a n á lis is c i n e m á tico _________239
0o (Entrada)
180°
F IG U R A 9 J I
D i s e ñ o d e l p e r fil d e u n a le v a : s e g u id o r d e r o d illo e n lin e a .
9 .6 .3 S e g u i d o r d e r o d illo
d e s c e n tra d o
4 . H a zar el se g u id o r d e ra d io fy e n p o sic ió n d e e n tra d a , con
c e n tro e n d o n d e b lín e a cen tral d el se g u id o r in te rse c a el
d r e u lo prim a rio .
La f o rm a m á s eficiente d e d e s c rib ir la c o n s tru c c ió n d e u n a le­
v a con u n seg u id o r d e rodillo c o n d e scen tra d o es m ed ran te una
co n stru c c ió n real. C o n el d ia g ra m a d e d e s p b z a m ie n to d e la
figura 9.19, s e con struyó el perfil d e u n a leva q u e se utilizará con
un seg u id o r d e ro d illo c o n descentrado, el cual se m u e s tra e n la
figura 9 2 2 . S e tien e el siguiente p rocedim iento general p a ra cons­
tr u ir d ic h o perfil:
5 . Id en tificar el p u n to d e tra z o e n p o sic ió n d e e n tra d a . E n un
se g u id o r d e ro d illo , e ste es el p u n to q u e se e n c u e n tra e n el
c e n tro d el rodillo.
6 . D ib u jar el d r e u lo c o n d e scen tra d o d e r a d io e, c o n c e n tro
e n el e je d e r o ta d ó n d e la leva. Es ta n g e n te a b lin ea ce n ­
tral d el seguidor.
2. Trazar b lin ea central d el seg u id o r e n b posición d e entrada.
7 . T razar lin e a s tan g en tes al c irc u lo d e d escen tra d o , e n c o rre s ­
po n d en cia c o n lo s á n g u lo s d e referencia d e b leva d el drag ra m a d e d e sp b z a m ie n to . P a ra fines d e c o n stru c c ió n , b
leva p erm a n e c e in m ó v il y d se g u id o r g ir a e n d ire c d ó n
o p u e s ta al giro real d e b leva.
3. D ib u ja r el c irc u lo p rim a rio cu y o ra d io es igual a b su m a
d e lo s ra d io s del d r e u lo base y d el ro d illo d el seg u id o r
( R b < Rj).
8 . T ransferir lo s d esp lazam ien to s d el d ia g ra m a d e d esp laza­
m ie n to a las líneas d e d escen tra d o . Tales d e sp b z a m ie n to s
s e m iden a p a r tir d el d r e u lo prim a rio .
1. D ib u jar el c irc u lo base d e ra d io
El ta m a ñ o n o rm a l­
m e n te e stá e n (u n ció n d e las restricciones espaciales d e la
ap licació n .
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240
CAPITULO NUEVE
FIGURA 9J1 D iseño d el perfil d e u n a leva: se g u id o r d e rodillo c o n descentrado.
9 . D ibujar el c o n to m o d el rodillo d e ra d io f y c o n centro e n los
desplazam ientos prescritos identificados e n el p aso anterior.
c a d ó n . R ecuerde q u e p a ra este tip o d e se g u id o r, el d r e u lo
base tam b ién sirv e c o m o d r e u lo prim a rio .
10. I t a z a r u n a c u rv a suave ta n g e n te al rodillo e n los desplaza­
m ie n to s p rescritos.
2. D ib u ja r el s e g u id o r e n p o s i d ó n d e e n tra d a , ta n g e n te al
d r e u lo base.
11. P a ra c o n s tru ir u n perfil c o n u n a p recisió n c o n sisten te con
el d ia g ra m a d e d esplazam iento, es necesario tra n sfe rir
p u n to s in te rm e d io s ad icio n ales d e los in terv alo s d e ele­
v ació n y descen so .
3. T raza r lincas ra d ia le s d el c e n tro d e la leva, e n c o rrc sp o n d e n cia c o n los á n g u lo s d e la leva d el diag ram a d e d e s ­
p la z a m ie n to P ara efecto s d e c o n s tru c d ó n , la leva p e r ­
m anece in m ó v il y el se g u id o r g ir a e n d ire c d ó n o p u e s ta al
g iro real d e la leva.
9 .6 .4 S e g u i d o r d e tr a s l a c i ó n c o n c a r a p l a n a
4 . T ransferir los desplazam ientos d el diag ram a d e desplaza
m ie n to a las lineas radiales m ed id as a p artir del d r e u lo base.
La f o rm a m á s eficiente d e d escrib ir la co n stru c c ió n d e u n a leva
c o n u n se g u id o r d e c a r a p la n a e s m e d ia n te u n a co n stru cció n
real. C o n el d iag ram a d e d esplazam iento d e la figura 9.19, se h a
c o n s tru id o el p e rfil d e u n a leva q u e se u tiliz a rá c o n u n seg u id o r
d e traslació n d e c a r a p la n a y s e ilu stra e n la fig u ra 9.23.
P ara c o n s tru ir g ráficam en te u n perfil c o m o este se tie n e el
sig u ien te p ro c e d im ie n to general:
I. T raza r el circu lo b a s e d e ra d io R f. El ta m a ñ o n o rm a lm e n te
e stá e n fu n d ó n d e las restriccio n es e s p ád ales d e la apli-
5 . D ib u ja r el c o n to r n o d e c a r a p la n a c o n s tru y e n d o u n a línea
p e rp e n d ic u la r a las lin e a s radiales e n lo s d esp lazam ien to s
p rescritos.
6 . T raza r u n a c u r v a su a v e ta n g e n te a lo s c o n to rn o s d e cara
plana.
7 . P ara c o n s tru ir u n perfil c o n u n a p recisió n c o n sisten te con
el d ia g ra m a d e desplazam iento, es necesario tra n sfe rir
p u n to s in term e d io s a d id o n a le s d e lo s m o v im ien to s de
e le v a d ó n y descenso.
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L e w : d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________241
0"< Entrada)
f ig u r a
9 .2 5 D i s e r t o d e l p e r f i l d e u n a le v a : s e g u i d o r c o n c a r a p l a n a .
9 .6 .5 S e g u i d o r d e r o d i l l o c o n p iv o te
1. D ib u ja r d circulo base d e r a d io R& d o n d e d ta m a ñ o está
e n f u n d ó n d e la s re striccio n es espaciales d e b a p lic a d ó n .
H seg u id o r c o n pivote p ro p o rcio n a m o v im ie n to rotacional e n la
salid a d el sistem a leva-seguidor. E n los seguidores c o n traslación,
se utilizan la s ecuaciones presentadas e n la sección 9 5 p a ra calcu­
2. D ib u ja r el d r e u lo p rim a rio , cu y o ra d io e s igual a b sum a
d e los ra d io s d el d r e u lo base y d el ro d illo d el seguidor.
lar la m ag n itu d d el desplazam iento lineal in stan tán e o A R j, la ve­
lo cid ad vr y la a c e le ra d ó n a F d el c e n tro d el se g u id o r, el p u n to
F. Para seg u id o res con pivote se usan las e c u a d o n e s presentadas
e n la sección 9 5 p a ra calcu lar la m ag n itu d in stan tán e a d el d es­
p lazam iento ro tacional 5 0 ^ la v e lo d d a d <uf y la ace le ra d ó n o h
del eslabón seguidor. Al e m p lear la s e c u a d o n e s d e la s e c d ó n 9 5
e n el análisis d e m ovim iento g ira to rio , el d esp lazam ien to p res­
crito d el se g u id o r debe s e r el a n g u la r A 9¡ . e n vez d el lineal H.
O tr a vez, la fo rm a m ás e fid en tc d e describir la construcción
d e u n a leva c o n u n se g u id o r d e r o d illo c o n pivote es m ediante
u n a c o n s tr u c d ó n real. C o n el d ia g ra m a d e d e s p b z a m ie n to de
b fig u ra 9.19, se h a c o n s tru id o d p e rfil d e u n a leva q u e se u ti­
lizará con u n se g u id o r d e rodillo con pivote, q u e se m u e s tra e n b
fig u ra 9.24.
P ara c o n s tru ir u n perfil a s i, s e u tiliz a el sig u ien te p ro c e d i­
m ie n to general:
3. D ib u ja r d d r e u lo d d p iv o te d e ra d io Rr La d is ta n d a e n tre
d p is ó te y el eje d e b lev a tam b ién e s u n a f u n d ó n d e las
re strie d o n e s espaciales d e la a p lic a d ó n .
4 . U b icar b p o s id ó n d e e n tra d a d el pivote.
5. T raza r u n a rc o c e n tra d o e n d pivote d e e n tra d a , c o n un
ra d io igual a b lo n g itu d R¡ d d e s b b ó n se g u id o r que
p iv o ta
6 . D ib u ja r d se g u id o r d e ra d io Rt, e n p o s id ó n d e e n tra d a ,
c o n c e n tro d o n d e el arco d ib u ja d o e n el p a s o 5 in terseca d
d r e u lo prim a rio .
7 . T raza r lincas radiales d d c e n tro d e b leva al c irc u lo d d
piv o te, e n c o rre sp o n d e n c ia c o n lo s á n g u lo s d e la leva
d el d ia g ra m a d e desplazam iento. R ecuerde q u e el se g u id o r
g ira e n direcció n o p u e s ta al g iro d e b leva.
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242
CAPITULO NUEVE
8 . D esd e c ad a p u n to pivote, d ib u ja r u n a rc o d e ra d io igual
a b lo n g itu d del b razo d el seg u id o r RL hacia a fu e ra del
circu lo p rim a rio .
9. T ran sfe rir lo s d esp lazam ien to s d el d ia g ra m a d e despla­
zam ien to a lo s a rc o s d el pivote d ib u ja d o s e n el paso 8 .
C o m o se m en cio n ó , los d esplazam ientos p re sc rito s p a ra
u n se g u id o r q u e p ivota s o n a n g u b re s . S e u tiliz a la
ecu a c ió n (9.3) p a ra co n v e rtir el d esplazam iento an g u lar
d el e s b b ó n seguidor, a d esplazam iento lineal A R¡. del
c e n tro d el r o d illa
A R f = R ¿ \ / 2 (1 -
e o s A 0 ¿).
(9.3)
10. D ib u ja r el c o n to m o d el ro d illo c o n c e n tro e n lo s d esp laza­
m ie n to s p rescrito s identificados e n el paso an terio r.
11. T raza r u n a c u rv a suave ta n g e n te al rodillo e n estos desp b z a m ie n to s prescritos.
12. P ara c o n s tru ir u n perfil c o n u n a precisión c o n sisten te con
el d ia g ra m a d e d e s p b z a m ie n to .q u iz á sea necesario tra n s­
fe rir p u n to s in term e d io s adicionales d e los m o v im ien to s
d e elev ació n y descenso.
La fuerza re q u e rid a p a ra e m p u ja r el se g u id o r d ep en d e d e la
indicación d o n d e se u sa el sistem a d e leva. No o b sta n te , la fuerza
d e c o n ta c to e n tre b leva y el seg u id o r p u e d e ser m u y g ran d e, lo
cual d e p e n d e d e b u b ic a c ió n d el p u n to d e c o n ta c to . En reali­
dad, tan so lo u n a c o m p o n e n te d e la fuerza d e c o n ta c to p ro d u ce
el m o v im ie n to d e l seguidor. La o t r a c o m p o n e n te d e fuerza es
indeseable, p u es causa u n a ca rg a b te r a l. b cu al es a b so rb id a p o r
los co jin e te s q u e g u b n al seguidor.
0 ángulo depresión 8 correlaciona las d o s com ponentes d e la
fuerza d e contacto. El á n g u lo d e p resión e n cu alq u ier p u n to sobre
d perfil d e b leva es el á n g u lo e n tre el m o v im ien to del se g u id o r y
b dirección e n q u e la leva lo e m p u ja . M ás precisam ente, es el áng ilo e n tre b tra y e c to rb d el m ovim iento d el se g u id o r y b linea
p e r p e n d ic u b r al p e rfil d e b leva e n el p u n to d e c o n ta c to del
seguidor. C ada p u n to so b re b superficie d e b leva tie n e u n án91I0 d e presió n . En b fig u ra 9 2 5 se indica el á n g u lo d e presión.
Después d e c o n s tru ir g ráfica m e n te el perfil d e u n a leva, b
m a g n itu d d el á n g u lo d e p resión se visualiza o b se rv a n d o b u b i­
cación d el p u n to d e c o n ta c to e n relación c o n b lin e a c e n tra l del
seguidor. S e d e b e n id en tifica r b s regiones d o n d e el perfil d e la
leva presenta b c u rv a tu ra m ás g r a n d e . S e tie n e n q u e o b te n e r
m ediciones d e lo s á n g u lo s d e p resión e n e sta reg ió n . En general,
el á n g u lo d e p resión s e d e b e r b m a n te n e r ta n p e q u e ñ o c o m o sea
p asib le sin exceder lo s 30*. La m a g n itu d del á n g u lo d e p resión
se re d u c e d e la sig u ien te m anera:
9.7 Á N G U LO DE PR E SIÓ N
C o m o b fu e rz a sie m p re se tr a n s m ite d e m o d o p e r p e n d ic u b r
a b s s u p e rfic ie s e n c o n t a c t a b leva n o s ie m p re e m p u ja al
s e g u id o r en b d ire c c ió n d e s u m o v im ie n to . C o m o s e v io en
la se cció n an terio r, b c u rv a tu ra d e b leva afecta b p o sic ió n d e b
lin ea c e n tra l d el se g u id o r y el p u n to real d e co n tacto .
1. In c re m e n ta n d o el ta m a ñ o d el d r e u lo base,
2. D ism in u y en d o la m a g n itu d del d e s p b z a m ie n to del
seguidor.
3 . In c re m e n ta n d o el á n g u lo d e ro ta c ió n d e b leva p rescrito
p a ra la elevación o descen so d el seguidor,
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Levas: d iserto y a n á lisis c in e m á tic o _________243
u n á n g u lo d e la lev a igual a 135°. A dvierta asim ism o q u e , e n esta
p a rte d e la leva, lo s in crem en to s d el á n g u lo d e c o n s tru c c ió n se
hiciero n m ás p eq u eñ o s p a ra a u m e n ta r la precisión. El perfil d e
la lev a s e c o n stru y ó al u b ic a r lo s circu io s d el se g u id o r y d ib u ja r
el perfil d e la leva tangente a d ich o s círculos. O b serv e q u e la leva
no hace c o n ta c to c o n el se g u id o r e n to d as las posiciones. En un
á n g u lo d e 135* d e la leva, e sta n o e m p u ja al ro d illo a la posición
f i g u r a 9 .25 A n g u l o d e p r e s i ó n .
D ism in u y en d o el ta m a ñ o d el d e scen tra d o d el seguidor,
o bien .
M o d ifican d o el esq u em a d e m o v im ie n to d el seguidor.
T al situ a c ió n s e c o rrig e c o n el u so d e u n c írc u lo base m ás
g r a n d e o s i se re d u c e el d iá m e tr o d e l se g u id o r d e ro d illo . S in
em bargo, lo s esfuerzos d e c o n ta c to e n tr e la lev a y el seg u id o r
a u m e n ta n si el d iá m e tro d el ro d illo se red u ce. P o r lo ta n to , se
d e b e rla e v ita r u n rodillo c o n d iá m e tro excesivam ente p eq u e ñ o .
O c u rre u n a s itu a c ió n p a re c id a c o n u n s e g u id o r d e cara
p lana. L a f ig u ra 9 .2 7 a p re se n ta el se g m e n to d e u n a leva cuyo
seg u id o r ta m b ié n r e q u ie re u n a elevación rá p id a . O b serv e que
u n a vez q u e se u b ic a n las p o sic io n e s d d se g u id o r d e cara plana,
n o s e p u e d e c o n s tru ir u n a c u rv a suave p a ra representar d perfil
d e la leva. U na lin ea d e c o n s tru c c ió n d d se g u id o r (90°) q u e d a
fuera d e la intersección d e las lineas adyacentes d e co n stru c c ió n
d el seguidor, d e m o d o q u e . e n u n á n g u lo d e la lev a d e 90°, esta
n o em p u ja rá al se g u id o r d e cara p la n a a su posición deseada.
La fig u ra 9.27b m u e s tra o tr o se g m en to d e la leva c o n u n
c irc u lo b a s e m ás g ra n d e . E sta leva tien e ex actam en te los m is­
m o s re q u erim ien to s d e d esplazam iento q u e la d e la fig u ra 9.27a.
E n este caso, es p o sib le c o n s tru ir u n p e rfil suave d e la lev a ta n ­
g e n te a to d a s las lineas d e co n stru c c ió n del se g u id o r. D e nueva
c u e n ta , s e o b tu v o u n d is e ñ o f u n c io n a l in c re m e n ta n d o el
d iá m e tro d el c irc u lo base.
9.8 LIM IT A C IO N E S DE DISEÑ O
C o m o se vio e n la sección 9.6 , n o es p o sib le in iciar el d ise ñ o del
p e rfil d e u n a lev a, s in o h a s ta d e te r m in a r p rim e ro el tip o de
se g u id o r, a s i c o m o la u b ic a c ió n y el ta m a ñ o d e l c irc u lo base.
T ales d ecisio n es d e p e n d e n n o rm a lm e n te d e la m a g n itu d d e las
fu erz as tr a n s m itid a s y d e lo s re q u e rim ie n to s d e ta m a ñ o d e la
m a q u in a ria im p u lsad a p o r la le v a D eb e q u e d a r claro q u e estas
d ecisiones q u iz á n o sie m p re sean prácticas.
La fig u ra 9.26 ilu s tra u n a leva e n lin ea c o n u n se g u id o r de
r o d illa O b serv e q u e tie n e u n a elevación rá p id a y el descen so e n
9.9 D ISE Ñ O A N A LÍTICO
DEL PERFIL D E UNA
LEVA DE D ISC O
Las secciones an terio res ilu stra n m étodos g ráficos p a r a d ise ñ ar el
perfil d e u n a leva. Según la precisión requerida e n la aplicación,
tales m é to d o s su e len d a r c o m o resu ltad o perfiles lo su ficien te­
m en te precisos. D esde luego, la exactitud se increm enta c u a n d o la
co n stru cció n s e realiza c o n u n sistem a d e cad . C o n el Cad , p o r lo
0* (Entrada)
FIG U R A 9 0 6 L e v a d i s f u n c i o n a l c o n u n s e g u i d o r d e r o d i l l o .
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CAPITULO NUEVE
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F IG U R A 9 2 7 L e v a d i s f ú n d o n a l c o n u n s e g u i d o r d e c a r a p la n a .
g en eral se utilizan lineas radiales p a r a c o n stru ir la c u rv a suave del
perfil d e la leva, ( io n frecuencia, las lineas radiales tie n e n errores
d e p recisió n q u e p o d r ía n tra n s g re d ir las restriccio n es d e t a n ­
g en cia. P a ra a u m e n ta r la e x actitu d , se em p le a n m enores in cre­
m e n to s d el á n g u lo d e la leva.
En alg u n as situ ac io n e s s e req u iere n levas d e a lta precisión,
d o n d e es d eseab le d e te rm in a r a n a lític a m e n te la s c o o rd e n a d a s
d e lo s p u n to s so b re la superficie d e la leva, asi c o m o las c o o rd e ­
nadas del c o rta d o r q u e se usará p a ra fabricar la leva. Se h a n d e ­
s a rro lla d o ecu ac io n e s p a ra las c o o rd e n a d a s d e d iferen tes tip o s
d e se g u id o res. E sta sección so la m e n te m u e s tra estas ecuaciones,
y el lecto r d e b e c o n s u lta r fuentes m á s d e ta lla d a s p a r a las d e d u c ­
cio n es [ref. 4 ], La in c o rp o ra c ió n d e las ecuaciones a u n a h o ja d e
cálcu lo o a alg ú n o tr o d isp o sitiv o p ro g ra m a b le genera rápida­
m en te la s c o o rd e n a d a s d el perfil.
E n g e n e ra l, s e u tiliz a u n s is te m a d e c o o r d e n a d a s c a r te ­
sian as, d e m o d o q u e el o rig e n sea el c e n tro d e la leva. El eje y
positiv o se e n c u e n tra a lo largo d e la direcció n d el m ovim iento
d el se g u id o r e n la p o sic ió n d e e n tra d a . El eje x positivo se e n ­
c u e n tr a a 9 0 ° e n se n tid o h o r a rio a p a r tir d el e je y , e n c o n g ru e n ­
c ia c o n u n sistem a d e c o o rd e n a d a s d e m a n o d erech a. La fig u ra
9 .2 8 p re se n ta este sistem a d e coordenadas.
9 .9 .1 S e g u id o r d e c u ñ a
Las co o rd en ad as x y y d el perfil d e u n a leva e s tá n d ad as por:
R , = (R f r + A R ) s c n *
(9.4)
R y = (R * + A W c o s tf.
(9.5)
d o n d e s e u sa la siguiente no tació n :
R , ~ C o o rd e n a d a x d el p e rfil d e la superficie d e la leva
Ry. C o o rd e n a d a y d d perfil d e la su p e rficie d e la leva
Ri, R ad io d el d r e u lo base
4> - A n g u lo d e ro ta c ió n d e la leva, m ed id o c o n tr a la direcció n
d e giro d e la le v a a p a r tir d e la p o sic ió n d e en tra d a
AR - D esplazam iento d el se g u id o r e n el á n g u lo d e la leva <£
l a m a y o ría d e las levas s e o b tie n e n a tra v é s d e u n a o p e ­
ra c ió n d e c o rte u s a n d o m á q u in a s c o r ta d o ra s d e c o n tro l
n u m érico p o r c o m p u ta d o ra . E stas m á q u in as so n capaces d e g i­
ra r la lev a u n a fra c c ió n d e g ra d o , m ie n tra s q u e el c o r ta d o r
avanza m ilésim as d e m ilím etro. C o n u n m éto d o asi, el perfil de
b leva se fa b ric a c o n g ra n precisión.
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Levas: d iserto y a n á lisis c in e m ático_________245
Las c o o rd e n a d a s x y y del c e n tro d e la m á q u in a c o rta d o ra ,
d o n d e s e agrega la siguiente n o ta c ió n :
o r u e d a d e c o rte , e stá n d ad as p o r:
C x = c o o r d e n a d a * d el c e n tro d el c o rta d o r
Cx = (R.- + R* + A R )sen < ¿
Cy C o o r d e n a d a y del c e n tro d el c o rta d o r
R, = R adio d el c o rta d o r
(9 .6 )
C ^ Í R , + R* + A R ) c o s ¿
(9.7)
P R O B I Í M A DF. E JE M P L O 9 .4
Para la aplicación del problem a d e ejem plo 9 2 , determ ine analíticam ente las coordenadas del perfil de la leva cu an d o
se incorpora u n seguidor de cuna. Debido a las restricciones d e tam año d e la m áquina, se debe em plear u n a leva con
un d re u lo base de diám etro igual a 200 m m . La leva gira e n se n tid o antihorario.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule las coordenadas d el perfil d e la leva
El radio del circulo base es la m itad d e su d iám etro; por lo tanto:
Rft = 100 mm
S ustituyendo e n las c c u a d o n c s (9.4) y ( 9 3 ),
R , - (R* ♦ AR)sen<¿ - |(IO O m m ) ♦ A R )s e n ¿
R y = (Rft + AR)cos«A = ((100 m m ) + AR)cos<¿
2.
Obtenga las coordenadas d el p e r fil para varios ángulos d e la lesa
Usando estas ecuaciones e n u n a hoja d e cálculo, se obtienen los resultados listados e n la figura 9 2 9 ,
3.
Grafu¡ue las coordenadas del perfil
Se debe usar una hoja de cálculo para obtener feeilmente una gráfica con Las coordenadas del p e rfil Esta gráfica se
m uestra en la figura 9 3 0 y presenta el perfil d e la leva.
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f i g u r a 9 .2 9 C o o r d e n a d a s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 9 . 4 .
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CA PITU LO NUEVE
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FIGURA 9.30 Perfil d e la lev a de! p ro b le m a d e e jem p lo 9.4.
leva. E n s i t u a d o n e s d o n d e l a v e lo c id a d in s ta n tá n e a d e l s e g u id o r
9 .9 .2 S e g u id o r d e r o d i l l o e n lín e a
En general, u n se g u id o r de ro d illo es com plicado c u a n d o el p u n to
d e con tacto con la lev a n o está e n lin ea c o n el centro d d r o d illa El
á n g u lo e n tre la linea cen tral d el se g u id o r y el p u n to d e contacto
c o n la leva v aria según la c u rv a tu ra d el perfil d e la leva. En un
seg u id o r d e ro d illo e n linea, este á n g u lo es el á n g u lo d e presión. El
á n g u lo in stan tán e o se calcula com o:
n o se o b t i e n e c o n fa c ilid a d , b p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e d e s ­
p la z a m ie n to s e e s tim a c o n b e c u a d ó n (9 .7 ).
y
dR
AR
(9.9)
A«*>
E n to n c e s , b s c o o r d e n a d a s x y y d e l p e rfil d e b le v a e s tá n
d a d a s p o r:
a = ta n - l
‘
y
." i™
< K /+ *
+ AR)
= 5
(9.8)
(Rf + Rf, + A R )2
R* =
E n u n seg u id o r d e r o d illo e n lin ea, e ste á n g u lo es el á n g u lo d e
p re sió n . A d em ás d e la n o ta c ió n u sa d a e n la se c c ió n 9.9.1, los
sig u ien tes té r m in o s s e d efin en com o:
R j " R ad io d el se g u id o r d e rodillo
v ■ M agnitud d e b velocidad in stan tán e a d el seg u id o r
d e b leva e n el á n g u lo <f> d e b leva
o»iÍT1 “ V e lo d d a d a n g u b r d e b
u n id a d d e tie m p o
Ry -
-(R /+
R b + A R ]s e n « £ + R /s e n íd * -
[ R / + Rf, + A R j c o s ^ + f y c o s ( $ -
(9 .1 0 )
a)
a)
(9 .1 1 )
L as c o o r d e n a d a s x y y d e l c o r t a d o r e s tá n d a d a s p o r :
Cx = - I R , +
R„ + A R ) scnd> + [ R t -
a)
R ^ sc n (« -
(9.12)
leva e n r a d b n e s p o r
=
[ty +
El té r m in o (v/roj,.») e s u n a m e d id a d e la ra z ó n d e cam bio
d el d e s p la z a m ie n to d el se g u id o r c o n re sp e c to a l á n g u lo d e b
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Rb +
A R ) e o s (f> -
[R , -
cos(«f> -
a)
(9.13)
L evas: d is e rto y a n á lis is c in e m á tic o _________247
P R O B L E M A D E E JE M P L O 9.5
Se utilizan dos levas para im pulsar la pinza d e u n m anipulador m ecánico d e partes, la s dos levas generan m ovim ien­
tos horizontales y verticales independientes e n la pinza. Estas m áquinas pueden reubicar partes de m anera sim ilar a
un robot e n u n a fracción del costo. En la figura 9 3 1 s e m uestra el m anipulador d e partes.
B m ovim iento prescrito de u n o de los seguidores d e u n a leva es el siguiente:
1.
Elevación d e 1 3 in e n 1 3 s usan d o u n esquem a de m ovim iento arm ónico.
2. O te n c ió n d e 2 s.
5. Regreso e n 1 3 s usan d o u n esquem a de m ovim iento arm ónico.
4 . Detención d e 2 s.
5 . Se repite la secuencia.
I h seguidor d e rodillo e n linea con u n radio de 0 3 i n se em plea sobre u n a leva c o n u n circulo base de radio igual
a 3 3 in . Tabule el m ovim iento del seguidor y especifique la s coordenadas del perfil d e la leva.
F IG U R A 9 3 1
S O L U C IÓ N :
I.
M á q u in a m a n ip u la d o r a d e p a r t e s d e l p r o b le m a d e e j e m p lo
9 .5 .
Calcule el tiem po d e u n ciclo completo
Es necesario determ inar el tie m p o total d e u n ciclo co m p leto para calcular la velocidad requerida de la leva.
IT
- T , + T2 + T , + T4
- 1 3 + 2 .0 + 1 3 + 2.0 - 7.0s
2.
Calcule la velo d d a d a n g u la , requerida d e la I n a
E* la ecu ació n (9 3 ).
"w * "
3.
4 r~ ■ ~ ~
¿ 7¿
7s
■ 0.143 rev/s - 0 3 9 9 rad /s ■ 8 3 7 rpm
lieterm in e e l g iro d e la leva para cada intervalo d e m o vim ien to d el seguidor
El in crem en to angular d e la leva recorrido por cada secuencia d e m o v im ien to d el seguidor se calcu la c o n la
colación (9.1).
01 - ( « ita J ( T i) - (0.143re v /s )(1 3 $ ) “ 0 3 1 4 re v - 773*
0 , = (0.143 rev/s) (2.0$) = 0 3 8 6 re v = 1023"
0 , = (0.143 rev/s) (1.5$) = 0 3 1 4 re v = 773*
0 4 - (0.143 rev/s) (2.0$) - 0 3 8 6 rev -
4.
1023*
Calcule el desplazam iento d u ran te cada intervalo d e m o v im ie n to d el seguidor
l a ecuación de la elevación y el descenso arm ó n ico s se proporcionaron e n la tabla 9 3 . Si se sustituyen e n las
colaciones de elevación arm ónica,
AR, -
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248
CAPITULO NUEVE
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Tr<l-5 in ) I
2 T,
2 (1 J s )
[“ " l l J . J
Al su stitu ir e n las ecuaciones de descenso arm ónico:
5.
Calcule las coordenadas d el p e rfil d e la lesa
Sustituyendo e n las ecuaciones (9.8), (9.10) y (9.11),
V
n"1
a« ae htan
Ify
+
Rb
+
V
s l
- tan
1(0.5in) + (3.5in) t s)
( 0 8 9 9 rad/s) |( 0 5 i n ) + ( 3 5 in ) + s)1
«%v, [R , + Rb + *1* .
R , = - | f y + R|, + AR)sen<£ + Rfxn{<¡> - a ) = - ) 0 .5 + 3 3 + A R |s e n ¿ + 03sen(<¿ - a )
Ry 6.
- \ R ¡ ♦ R,, + A R] eos ó ♦ fy«xis(* - a ) -
- |0 . 5 + 3 5 *■ A R ]c o s ¿ - 0 .5 co s(* - a )
Obtenga las coordenadas d el p e rfil para to rio s ángulos d e la lera
Si s e introducen estas ecuaciones e n u n a hoja de cálculo, se obtienen los resultados listados e n la figura 9 5 2 .
7.
tira fiq u e las coordenadas d el perfil
Se utiliza u n a hoja d e cálculo p a ra o b ten er ftcilm en te la gráfica de las coordenadas del perfil. Esta gráfica se
m uestra e n la figura 9 5 3 e ilustra el perfil d e la leva.
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•4 731
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13
14
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17
11
19
4 55
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5 25
252
270
20
560
5 95
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306
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665
7.C0
342
360
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24
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•0 79
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1 50
1 50
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-1 2 7
0 02
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0 33
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FIGURA9.32 C oordenadas del perfil d e la leva d d problem a d e ejem plo 9.5.
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|
1
I.evas: d iserto y a n á lisis c in em á tico _________249
FIGURA 9 J 3 Perfil d e la lev a d el p ro b le m a d e e jem p lo 9.5.
tien e u n v a lo r positivo, d e m o d o q u e las c o o rd e n a d a s x y y del
perfil d e la leva e stá n d ad as p o r:
9 .9 .3 S e g u id o r d e r o d i l l o d e s c e n t r a d o
U n se g u id o r d e ro d illo d e s c e n tra d o o m ás c o m p lic a d o p o rq u e
e l m o v im ie n to d el se g u id o r n o e stá e n lín e a c o n el p u n to de
c o n ta c to d e la leva la cual, a s u vez. n o e stá e n lin e a c o n el centro
d el ro d illo . E n to n c es, la s e c u a c io n e s d e l p e rfil s e v u elv en u n
p o co m ás com p lejas. El á n g u lo e n tre las lineas q u e u n e n el ce n ­
tro d el se g u id o r c o n el p u n to d e c o n ta c to d e la lev a y el centro
d el s e g u id o r c o n el c e n tro d e la leva, se o b tie n e com o:
a = tan
fe )
R,
( r
Rx = (e)cos4 - [Rf + Rf, 4 AR]scnd>
4
Rfxn{t¡> - a)
( 9 .1 6 )
R , = (e)sen<¿ - |R y 4 Rj,
4
A R ) e o s 4 4 fy c o s (<¿ - a )
(9.17)
Las c o o rd e n a d a s * y y del c o r ta d o r están dadas p o r:
4
Cg = (e)cos<#> -
R * 4 AR
{Rf + Ry + AR)2 - e(p/tü\rya)
)]
(9.14)
C y = (t’)scn<¿ -
C o m o e n la ecu ació n (9.8), el té rm in o ( v /ti* - ^ es la m e d id a de
la ra z ó n d e c a m b io d el d e sp la z a m ie n to d el s e g u id o r c o n res
p e d o al á n g u lo d e la leva. En situaciones d o n d e la velocidad ins­
ta n tá n e a d el s e g u id o r n o se o b tie n e fácilm ente, la p e n d ie n te del
d ia g ra m a d e d e sp la z a m ie n to s e e stim a c o n la ecu a c ió n (9 .9 ).
El á n g u lo d e p re sió n d se calcula d e la siguiente m anera:
S = a - t a n ' 1^
R ,+ Rb + \R
(9.15)
C o m o an tes, la distan cia e del d escen tra d o , se d efine com o
la d ista n c ia e n tre la lin e a cen tral d el s e g u id o r y d c e n tro d e la
leva. U n d e scen tra d o positivo s e d efine e n la direcció n positiva
d e x P o r el c o n tra rio , u n descen trad o negativo se d efine e n la d i ­
rección negativa d e x El d e scen tra d o m o strad o e n la fig u ra 9 2 8
[ R f + Rj, 4 A R ] s e n d>
4 [R , [R f
4
Ry| s e n ( 4 Rh
4
( 9 .1 8 )
a)
A R ] eo s
( 9 .1 9 )
- [R( - IV) eos (* - a)
9 .9 .4
S e g u id o r d e c a r a p l a n a c o n tr a s la c ió n
la co n stru c c ió n a n a lític a d e u n se g u id o r d e c a r a p la n a con
traslación tam b ién p resen ta u n p u n to d e c o n ta c to que n o está en
lin ca con la lin ea cen tral d e la lev a El á n g u lo e n tre la lin ca cen tral
del seg u id o r y la lin ca q u e u n e el p u n to d e contacto d e la lev a con
d c e n tro d e la leva varia c o n la c u rv a tu ra del perfil de la lev a y se
calcula com o:
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(9.20)
250
CAPITULO NUEVE
C o m o e n la s e c u a d o n e s (9.8) y (9 .14),el té rm in o ( r f w ^ ) es la
m e d id a d e la ra z ó n d e ca m b io del d esp lazam ien to d el seg u id o r
c o n respecto al á n g u lo d e la leva. En situaciones d o n d e la v e lo d ­
d a d in sta n tá n e a d el se g u id o r n o se o b tie n e fácilm ente, la p e n ­
d ien te d el d ia g ra m a d e d e s p b z a m ie n to s e e stim a c o n la ecua­
d ó n (9.9).
E n to n ces, las c o o rd e n a d a s x y y d el perfil d e la lev a están
dadas p o r:
\
cosa
/
cos(d> +
„
/R *+A R \
,,
R r = I -------------- )sen(d>
cosa /
'
\
+
a)
( 9 .2 1 )
a )
( 9 .2 2 )
Las c o o rd e n a d a s x y y del c o r ta d o r están d a d a s p o r:
[
+ AR +
cosy
c o s(¿ + y )
S e u sa la sig u ien te no tació n :
R£ = L ongitud d el eslab ó n se g u id o r c o n pivote
R P “ D istancia e n tre el c e n tro d e la leva y la u b ic a d ó n del
pivote
A 0¿ “ fc sic ió n a n g u la r in sta n tá n e a d e l eslab ó n seg u id o r
con pivote
(Oí - V elo d d ad a n g u la r in sta n tá n e a d el eslabón seg u id o r
c o n pivote
a £ = A c e le ra d ó n a n g u la r in s ta n tá n e a d e l e s la b ó n s e ­
g u id o r c o n pivote
La diferen cia p r in d p a l e n u n se g u id o r q u e p iv o ta es q u e su
m o v im ie n to es g ira to rio y el m o v im ie n to p re s c rito g e n e ra l­
m ente e s la p o s id ó n a n g u la r d el se g u id o r c o n tra el tiem po, o el
á n g u lo d e la leva. La e c u a d ó n (9.3) d a la re la d ó n e n tre el d es­
p la z a m ie n to a n g u la r d e l eslab ó n se g u id o r y el d esplazam iento
lineal d el c e n tro d el ro d illo , e l p u n to F.
( 9 .2 3 )
AR f
se n (* + y )
( 9 .2 4 )
vr = R l ^
-I
' (Rfr + A R ) la n ( q )
.
Rt + Rf, + A R
( 9 .2 5 )
9 .9 .5 S e g u i d o r d e r o d i l l o c o n p iv o te
La c o n s tr u c d ó n an a lític a d e u n se g u id o r d e ro d illo c o n pivote
e s sim ila r a la del se g u id o r d e tr a s la d ó n d e s c e n tra d a S in e m ­
bargo, la g e o m e tría y la s d e f in id o n e s so n a lg o d iferen tes. l a
fig u ra 9 .3 4 p re se n ta la n o m e n d a tu r a u tiliz a d a e n u n a leva con
se g u id o r d e ro d illo c o n pivote.
( 9 .3 )
La v e lo d d a d d el c e n tro d el se g u id o r está re la d o n a d a c o n la ve­
lo d d a d an g u lar d el eslab ó n seguidor.
donde
y = ta n
eosA0¿)
= Rl V 2 { \ -
í
( 9 .2 6 )
N uevam ente, el á n g u lo e n tr e las lincas q u e u n e n el c e n tro
d d se g u id o r c o n el p u n to d e c o n ta c to d e la lev a y d c e n tro d d
se g u id o r c o n d c e n tro d e la leva v aria c o n la c u rv a tu ra d d perfil
d e la leva y se calcu la com o:
a i = ta n
-
f
vt "- W)
1
( R f + A R + Rfc) -
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(íftü ^ J c o s y
)]
( 9 .2 7 )
le v a » : d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________251
C o m o antes, el té rm in o ( v¡l<o
es la m e d id a d e la razón
d e ca m b io d el desplazam iento d el se g u id o r c o n resp ec to al á n ­
gulo d e la leva. En situaciones d o n d e la velocidad in sta n tá n e a del
seg u id o r n o se o b tie n e fácilm ente, la p en d ien te del d ia g ra m a d e
desplazam iento se estim a c o n la ecu ació n (9.9).
L o s á n g u lo s in te rn o s están d a d o s p o r;
R ¡ + (R* + R f + A R ) 1 -
R1
R j-f ( R , + ^
( 9 .2 8 )
)]
2 < R J ( R b + R* + s)
+ AR) , - R Í
<t> = e o s -1
( 9 .2 9 )
)]
2 (R p )(R b + R b + s)
9 . I 0 . I D is e ñ o g r á f ic o d e l p e rf il
d e u n a le v a c i l i n d r i c a
La fo rm a m á s eficien te p a r a d e s c rib ir la c o n s tru c c ió n d e u n a
leva c ilin d ric a es a trav és d e u n a c o n s tru c c ió n real. C o n el d ia­
g ra m a d e d esp lazam ien to d e la fig u ra 9.19, se c o n s tru y ó el perfil
d e u n a leva cilin d rica y s e m u e s tra e n la fig u ra 9 .3 5 . P a ra c o n s ­
tr u ir este perfil s e tie n e el sig u ien te p ro ced im ien to general:
1. T a z a r u n a lin ea recta igual a la circunferencia d e la leva
cilindrica.
2 . D iv id ir e sta lín ea e n secciones q u e c o rre sp o n d a n c o n los
á n g u lo s d e referen cia d e la leva d el d ia g ra m a d e desplaza­
m iento.
3.
P =
-
( 9 .3 0 )
+ <¡> + a
h > r ú ltim o , las c o o rd e n a d a s x y y d el perfil d e la leva e stá n d a ­
d as po r:
R,
=
R, =
-
[Rf
-
+ R/, +
[Rf +
Rf, +
A R ] c o s /3 ~ R f s e n ( /3 - a )
AR] s e n /? -
Rf co s
(9 .3 1 )
( 0 - a ) { 9 .3 2 )
y el á n g u lo d e p resión e stá d a d o p o r:
T ransferir lo s d esp lazam ien to s d el d ia g ra m a d e d e sp la z a ­
m ie n to a las líneas q u e c o rre sp o n d e n c o n los á n g u lo s de
referencia d e la leva.
4 . D ib u jar el se g u id o r d e ro d illo e n lo s d esplazam ientos
prescritos.
5.
T razar u n a c u rv a su a v e tangente a los co n to rn o s del rodillo.
6 . P ara c o n s tru ir u n p e rfil c o n u n a precisión c o n sisten te con
d d ia g ra m a d e desp lazam ien to , e s necesario tra n sfe rir
p u n to s in te rm e d io s ad icio n ales d e los m o v im ien to s de
d e v a a ó n y descenso.
( 9 .3 3 )
Las c o o rd e n a d a s x y y del c o r ta d o r están d a d a s por:
Cx = [ R f + R t + A R ] c o s 0 - [R c -
a)
Ry] s e n ( 0 -
( 9 .3 4 )
C y = [Ry + R h + A R ] s c n 0 -
|R , -
Ry]c o s ( fi -
a)
( 9 .3 5 )
0
f ig u r a
90
9 .3 5
180
270
D iseñ o d el p e rfil d e
u n a
360
leva cilin d rica .
9 .1 0 .2 D is e ñ o a n a l í t i c o d e l p e rfil
d e u n a le v a c i l i n d r i c a
9.10 LEVAS C IL IN D R IC A S
A un c u a n d o el tip o m á s c o m ú n d e levas es la leva d e d isc o , las
levas cilin d ricas ta m b ié n se u sa n am pliam ente. C o m o s e indicó
e n la sección 9 .2 y s e ilu stró e n la fig u ra 9.3b, u n a leva cilindrica
consiste e n u n a r a n u ra a lre d e d o r d e u n cilin d ro . U n a lev a cilin­
d ric a es u n a leva d e m o v im ien to p o sitiv o e n la cu al el seg u id o r
está c a u tiv o e n u n a r a n u ra , p o r l o q u e n o se n ecesita u n e le ­
m e n to ex tern o p a r a m a n te n e r el c o n ta c to e n tre el seg u id o r y b
leva. H ay m u ch as ap lic a c io n e s d o n d e e s necesario q u e b leva
ejerza u n c o n tro l positivo d el seg u id o r d u r a n te b s secuencias d e
elevación o descenso.
C o n frecu en cia s e em p lea u n seg u id o r d e ro d illo e n fo rm a
d e c u ñ a c o m o el q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 .3 b , p o rq u e el
b o rd e s u p e rio r d e b r a n u ra viaja a u n a v elo cid ad m ay o r q u e b
p a r te in fe rio r, d e m o d o q u e la c u n a c o m p e n s a la v e lo c id a d
diferencial, lo cu al im p id e cu a lq u ie r deslizam iento y a rra s tre del
rodillo. C u a n d o s e u sa u n rodillo c ilin d ric o , es aconsejable u sa r
u n a a n c h u ra an g o sta p a r a m in im iz a r b diferen cia d e velocidad
a trav és d e b cara d el rodillo.
E n g e n e ra l, lo s p ro c e d im ie n to s d e c á lc u lo y tra z a d o so n
s im ib re s a lo s d e b lev a d e d isc o . En b s sig u ien tes seccio nes se
an alizan las técn icas d e g en eració n d e perfiles d e u n a lev a cilin­
d ric a c o n u n se g u id o r d e tra sla c ió n . La g e n e ra c ió n d el perfil
p a ra o tro s tip o s d e se g u id o res es parecida.
C o m o u n a lev a c ilin d ric a e stá en ro lla d a a lre d e d o r d e u n c ilin ­
d ro , se u tiliz a u n sistem a d e co o rd en ad as c ilin d ric a s p a r a definir
d p e rfil d e b r a n u ra . La c o o rd e n a d a a n g u b r 6 es el á n g u lo
a lre d e d o r d e la leva, m ie n tra s el eje z es la posición ax ial d e la
leva. El á n g u lo e n tre la lín ea cen tral d el se g u id o r y el p u n to de
c o n ta d o d e la leva v aría c o n b c u rv a tu ra d el perfil d e la ran u ra ,
q u e se calcu la com o:
a L = ta n
'( £ )
( 9 .3 6 )
La n o ta c ió n q u e se u sa e s b m ism a d e las secciones a n te rio ­
res. E n u n se g u id o r c o n tra sla c ió n , e ste á n g u lo ta m b ié n es el áng ilo d e p re sió n . C o m o e n b s levas d e disco, el á n g u lo d e p resión
d e b e r b s e r m ín im o sin exceder los 30°.
La c o o rd e n a d a z d el perfil s u p e rio r d e la ra n u ra , cu an d o el
c e n tro d el s e g u id o r e stá e n <b, e stá d a d a p o r:
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R , = A R + R eco sa
= © -
tan
- m
( 9 .3 7 )
( 9 .3 8 )
252
CAPITULO NUEVE
A quí, Rf, es el ra d io la leva cilindrica.
La c o o rd e n a d a z d el perfil m á s b a jo d e la r a n u ra , c u a n d o el
c e n tro d el se g u id o r e stá e n r¡>,e stá d a d a por:
R, = AR -
R fto s a
( 9 .3 9 )
_ / R fccoossaa \
= d» + ta n
S < d - a
( 9 .4 7 )
La c in e m á tic a d e la r u e d a d e G in e b ra t a m b ié n s e d e term in a
an alíticam en te. El á n g u lo d el r o d illo A y s e d e fin e a p a r tir del
inicio d e s u reco rrid o e n la r a n u r a El á n g u lo d e b ru e d a , m e­
d id o a p a r t i r d el in icio d e l r e c o r r id a e stá d e fin id o p o r f i y se
c a lc u b com o:
( 9 .4 0 )
rT
)
0 = s e r r ,[(^ )se n (1 8 0 o -
* ))
( 9 .4 8 )
Las c o o rd e n a d a s d el c o r ta d o r están d a d a s p o r:
donde
Cz = A R
r = V a 2+ d* * = 180° - y 0 +
( 9 .4 1 )
( 9 .4 2 )
9.11 EL M E C A N ISM O
DE G IN EBRA
El m ecan ism o d e G in eb ra es u n d is e ñ o ú n ic o q u e p ro d u ce un
m o v im ien to in term iten te a p a r tir d e m ovim iento g ira to rio c o n s­
tan te. D e b id o a e ste m o v im ien to , el m ecanism o d e G in e b ra se
clasifica c o m ú n m e n te c o m o leva. E n la fig u ra 9.36 s e p resen ta
u n m ecan ism o d e G in e b ra c o n c u a tro estaciones.
El m ecanism o d e G in e b ra c o n siste e n u n rodillo im p u lso r y
u n a r u e d a d e G in e b ra . Esta ú ltim a e s u n d isc o c o n v a ria s r a ­
n u ra s rad iales, q u e está su je ta a u n eje d e salida. El ro d illo im ­
p u ls o r e stá su jeto a u n b ra z o q u e . a la vez. se sujeta a u n eje d e
e n t r a d a El b ra z o p o r lo g eneral e stá su jeto a u n d isc o d e b lo ­
q u e o , q u e im p id e q u e la r u e d a gire c u a n d o el rodillo im p u lso r
no re c o rre la r a n u r a El d isc o d e b lo q u eo se a ju sta a u n recorte
s o b re la r u e d a
El m o v im ie n to d el m e c a n is m o d e G in e b ra s e c a r a c te r i­
za p o r el rodillo q u e e n tra a la r a n u ra d e la ru e d a y la im pulsa.
( Alando el ro d illo se sa le d e la r a n u ra , la r u e d a se b lo q u e a e n esa
p o sic ió n h a s ta q u e el ro d illo e n tr a e n la sig u ie n te r a n u r a . En
la fig u ra 9 .3 6 a el ro d illo g ir a e n s e n tid o h o r a rio y e stá a p u n to
de e n tr a r a la r u e d a d e G inebra. En la fig u ra 9.36b, el ro d illo ya
e n tr ó a la r a n u ra y g ira la ru e d a e n s e n tid o a n tih o r a r ia O bserve
q u e e l d isc o d e b lo q u e o s e v a alejando d e la r u e d a y le p erm ite
2ad
Ay
- * ) ( 9. 49)
(9.50)
donde
A y = C a n tid ad d e ro ta c ió n d el im p u lso a p a r tir d e la posición
d o n d e el rodillo acaba d e e n tr a r a b ra n u ra .
La v e lo d d a d y a c e le r a d ó n in s ta n tá n e a s d e b r u e d a d e
G in eb ra se calculan ¡reí. 7] con:
*W d.
<*n*d. =
-
(
=
7 )
(
* ) ( '■ V < w « r » d .)c o s ( 0 - * )
( * V d e « .t» .d » > J i * n ( / ? - * )
( 9 .5 1 )
( 9 .5 2 )
df ranada) « * ( 0 - * )
+ ( f ) K e d e e « r a « k ) 2s e n (2 /? - 2 * )
Estas ecuaciones se d e d u je ro n c o n el u so d e la c o n v e n d ó n
típica d e sig n o s angulares, e s d e d r , 10 y a so n po sitiv as e n s e n ­
tid o a n tih o ra rio y negativas e n se n tid o h o r a r i a
C u a n d o se d ise ñ a u n a ru e d a , es im p o rta n te q u e el rodillo
e n tre a la r a n u ra tan g en cialm ente. D e o t r a m a n e ra , se crean c a r ­
g as d e im p acto y el m ecanism o f tin d o n a rá d e m a n e ra deficiente
a a ltas v elo cid ad es o a cargas g ran d es. D e b id o a esta restricción,
s e d e d u c e n las sig u ie n te s re la c io n e s g e o m é tric a s |r e f . 7).
R em ítase a la fig u ra 9.36 p a r a la s d efiniciones d e las p ro p ied ad es
geom étricas.
360°
e o s(1 8 0
Rodad?
Q n o b ra
E r o d i l l o i m p u l s a e n t r a a la
o r . u a d a La n i n f a d a C i m b r a
( 9 .4 3 )
d o n d e:
n = N ú m e ro d e estacio nes e n la ru e d a d e G in eb ra
yo= 9o°-y
( 9 .4 4 )
sen
( 9 .4 5 )
a = d
R = d eo s
(?)
(?)
( 9 .4 6 )
fig u r a
9.36 M ecanism o d e Ginebra c o n cuatro esta co n es.
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Levas: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________253
P R O B L E M A D E E JE M P L O 9 .6
En la figura 9 3 7 se m uestra el diserto de u n m ecanism o d e G inebra con seis estaciones. I.a distancia entre los ejes im fxjlsor e im pulsado es d e 80 m m . El brazo im pulsor gira a u n a velocidad constante d e 80 rpm e n sentido horario.
E xterm ine b velocidad y b aceleración angulares de b rueda cuando el brazo im pulsor gira 15* a p artir d e la posición
donde el rodillo acaba d e e n tra r a la ranura.
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule la geom etría del m ecanism o
Se usan b s ecuaciones (9.43) a (9.47) p a ra calcular la s propiedades geom étricas d e este m ecanism o d e Ginebra.
S° -
„
-
6
= 90» - -
To - 90“ -
a - d sc n ^ y )
- 60"
■ (8 0 m m )s rn ^ y )
R = d eos ^ y )
■ 40m m
= (8 0 m m )c o s ^
= 69.3 m m
S < d - a = 80 - 40 = -10m m
2.
Calcule las propiedades cinem áticas d el m ecanism o
Se u sa n b s ecuaciones (9.48) a (9.52) p a ra d e te rm in a r las relaciones cinem áticas cu an d o el brazo im pulsor
gira 15“ a p artir d e b posición donde el rodillo acaba de e n tra r a b ranura.
A y = 15"
* -
r -
-
180* - y , + A y - 180" - 60" + 15" - 135"
W
d2
+
\/( 4 0 m
m
—
) 2
♦
2a d
eo s!
18 0
( 8 0 m m )2
-i
-
-
* )
2 (4 0 m m ) (8 0 m m )c o s(4 5 " )
4 0 m m
s e n 4 5 "
=
2 8 .7 "
. 5 8 .9 4 m m
" n « < U « n ir» d í “
80 r p
m
■
-
8 /1 r a
d /s .e n s e n tid o h o r a r io
F IG U R A 9 .3 7 M e c a n i s m o d e G i n e b r a d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 9 . 6 .
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-
5 8 .9 4 m m
254
CAPITULO NUEVE
= I “ J (® -« í..« n ü .)c o sO - <H = (
)
( - 8 .4 ra d /s)a » (2 8 .7 " - 135*) = + 1.6rad /s = I5.3rpm, en sentido anlihorario
\r /
\ » .9 4 m m /
“ «•¿♦«niradj “ 0 (velocidad an g u lar constante d el eje d e entrada)
- a) -
)(«V aeen w .u )‘CS(0 - <*)
+ ( 7 ) (w«id.«n<™4.),» ,'( 2 0 - 2a)
( ^ ^ ) 2( - 8-4rad/l),‘ín(287° - ,350)- 0
¿ " " 7; ) (
=
+67.1 rad/s* =
PROBLEM AS
En b s so lu c io n e s gráficas, las técnicas m an u ales su e len ser m uy
did ácticas, p e ro s e re c o m ie n d a a m p lia m e n te el u s o d e u n sis­
tem a d e CAD.
D ia g ra m a s g rá fic o s d e d e s p la z a m ie n to
9 - 1 . S e req u iere u n a leva p a ra u n m ecanism o d e tran sieren d a autom ático. El seguidor d e la leva s e debe elevar hacia
afu era 1.0 in a velocidad c o n s ta n te e n 3 .0 s . h a c e r u n a
d e te n d ó n d e 5 s d e scen d er a v e lo c id a d c o n s ta n te en
2.0 s y, luego, rep etir la secuencia. D eterm in e b v e lo d ­
dad re q u e rid a d e b leva y ela b o re g ráfica m e n te el d b ­
g ra m a d e d e sp b z a m ie n to d el seguidor.
9 -2
S e re q u ie re u n a leva p a r a el se g u id o r re d p ro c a n te del
m ecan ism o m a n ip u la d o r d e u n b ra z o ro b ó tic o . El se
& iid o r d e la leva se d e b e elev ar h a d a afuera 0.75 in a ve
lo d d a d c o n s ta n te e n 1.4 s, h a c e r u n a d e te n d ó n d e
2 3 s , d e scen d er a v e lo d d a d c o n s ta n te e n 0 .8 s , hacer
u n a d e te n d ó n d e 1.9 s y, lu eg o , re p e tir la s e c u e n d a .
1»eterm ine Lav d o d d a d requerida d e la leva y e b b o r e g rá ­
ficam ente el d ia g ra m a d e desplazam iento d el seguidor.
9 -3 . S e req u iere u n a lev a p a r a im p u lsa r u n a p la ta fo rm a d e
em b arq u e q u e s e utiliza p a ra ev aluar b eficien cb d e e m ­
barque d e lo s paquetes. E l seg u id o r d e b leva s e debe ele­
var h a d a a fu e ra 1X) i n c o n ace le ra d ó n constante e n 0.7 s,
h icer u n a d eten ció n d e 0 2 s, descender c o n aceleración
co n stan te en 0 .5 s y, luego, re p e tir la secuencia. D eter
m ine la v elo d d ad requerida d e b lev a y elabore gráfica­
m ente el d iag ram a d e d esplazam iento del seguidor.
9 -4 . Se requiere u n a leva p a r a im p u lsa r u n m ecanism o q u e
alim en ta p a p e l e n u n a im p re n ta . El se g u id o r d e b leva
se d e b e elev ar h a d a afuera 1.0 i n c o n a c e le ra d ó n c o n s­
ta n te e n 1.7 s , h a c e r u n a d e te n d ó n d e 0 .8 s, descender
0 .5 i n c o n a c e le ra d ó n c o n s ta n te e n 0.8 s, h a c e r u n a d e ­
te n d ó n d e 0 .3 s, descender 0.5 i n c o n a c e le ra d ó n cons
ta n te e n 0 .8 s y, lu eg o , rep etir la s e c u e n d a . D eterm in e
b v e lo d d a d re q u e rid a d e la lev a y e b b o r e gráficam ente
d d ia g ra m a d e d esplazam iento d el seguidor.
9 -5 . S e r e q u ie re u n a leva p a r a im p u lsa r u n d esliz ad o r a u ­
to m ático sobre u n a m áq u in a d e to m illo que gira p artes
in trin ca d as. El se g u id o r d e b leva se d e b e elevar h a d a
-& 4 ra d /s ) Js c n [ 2 ( 2 8 .D - 2<135«)1
+67.1 rad/s1, e n sentido antihorario
afuera 1.5 in c o n a c e le ra d ó n c o n s ta n te e n 1.2 s, hacer
u n a detención d e 0.7 s, d e s c e n d e r 0 .5 in c o n acelerad ó n
constante e n 0.9 s, h a c e r u n a d e te n d ó n d e 0.5 s, d escen ­
der 1 in c o n acelerad ó n constante e n 12 S y , luego, repe­
t ir b secuencia. D eterm in e la v elo d d ad requerida d e la
leva y e b b o r e g rá fic a m e n te el d b g r a m a d e d esp laza­
m iento d el seguidor.
9 -6 . Se u sa u n a leva p a r a im p u lsa r u n m ecan ism o q u e im ­
pulsa a su vez u n a m á q u in a ensam blador.! autom ática. El
seguidor d e b leva s e debe elevar had a afuera 13 m m con
velocidad co n stan te e n 3 s> h a c e r u n a d eten ció n d e 3 s,
descender 5 m m c o n aceleración constante e n 2 s, hacer
u n a d eten ció n d e 3 s, descender 8 m m con ace le ra d ó n
constante e n 2 s y, luego, repetir la secuencia. D eterm ine
b veloddad requerida d e b leva y e b b o r e gráficam ente el
d b g ra m a d e d e s p b zam ien to del seguidor.
9 -7 . Se u sa u n a lev a p a ra im p u lsar u n m ecanism o q u e p ru eb a
li d u ra b ilid a d d e b s p u e rta s d e d e r to s h o r n o s . El se­
g u id o r d e b lev a s e d e b e elevar h a d a a fu e ra 2 in con
m ovim iento arm ó n ico e n 1 s, h a c e r u n a d e te n d ó n d e 0.5
s, descender 2 in con m o v im ien to arm ó n ico e n 1 s , hacer
u n a detención d e I s y, lu eg o , rep etir la se cu en d a. D eter­
m ine la velocidad requerida d e la leva y elabore gráfica­
m ente el d b g ra m a de desplazam iento del seguidor.
9 -6 . Se u sa u n a leva para im p u lsar u n m ecanism o q u e mueve
u n a h e rra m ie n ta e n u n p roceso a u to m ático d e m a­
q u in ad o d e tom illos. El seguidor d e b lev a s e debe ele­
v a r h a d a afuera 24 m m c o n m o v im ien to a im ó n ic o e n
0 2 s. hacer u n a d e te n d ó n d e 0 3 s. descender 10 m m con
m ovim iento arm ó n ico e n 0 3 s, h a c e r u n a detención de
0.2 s, d e scen d er 14 m m c o n m ovim iento a rm ó n ic o
en 0.2 s y, luego, repetir b se cu en d a. D eterm ine b veloci­
dad req u erid a d e b lev a y ela b o re gráficam ente el d ia­
gram a de d esp b zam ien to del seguidor.
9 -9 . Se u s a u n a lev a p a r a im p u ls a r u n m e c a n is m o que
coloca relleno e n cajas p a r a em b arq u e. El se g u id o r de
b leva se d e b e elev ar h a d a afuera 1 in c o n m o v im ien to
cicloidal e n 1.5 s d e scen d er 1 in c o n m o v im ie n to d d o id a l e n 1 s, h a c e r u n a d e te n c ió n d e 0 .5 s y, luego,
rep etir la secuencia. D e te rm in e la velocidad requerida
de b leva y ela b o re g rá fic a m e n te el d ia g ra m a d e d es­
plazam iento d el se g u id o r.
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I.evas: d iserto y a n á lisis c in e m ático_________255
9 -1 0 . Se u sa u n a leva p a ra im p u lsa r u n m ecan ism o in co rp o ­
rad o a u n a m á q u in a q u e cose zapatos. El seg u id o r d e la
leva s e debe elevar hacia aJuera 0 5 in c o n m ovim iento
cicloidal e n 0.7 s . h a c e r u n a detención d e 0 2 s , descender
Q?S i n c o n m ovim iento cicloidal e n 0 5 s, hacer u n a d e ­
te n c ió n d e 0.2 s, descender 0 2 5 i n c o n m o v im ie n to ci­
cloidal e n 0 5 s y, luego, repetir la se c u e n c ia D eterm ine
la velocidad req u erid a d e la lev a y elabore gráficam ente
d d iag ram a d e desplazam iento d el seguidor.
9 - 1 1 , S e req u iere u n a leva im p u lso ra p a r a sin c ro n iz a r los
m o v im ien to s d e u n d isp o sitiv a d e tra n sfe re n c ia a u ­
to m ático . El se g u id o r d e la leva s e d e b e elev ar hacia
afiiera 10 m m c o n aceleració n c o n s ta n te e n 90° de
rotación d e la leva, hacer u n a detención a los 30", descen­
der 10 m m e o n aceleración constante e n 18CT d e rotación
d e la leva y; lu eg o , h a c e r u n a d e te n c ió n d e 60*. Elabore
g ráficam en te d d ia g ra m a d e d e sp la z a m ie n to d d se¡jii-dor.
9 - 1 2 . S e u sa u n a leva p a ra u n a v álvula d e escape e n u n m o to r
d e gaso lin a. El se g u id o r d e la leva se d e b e elevar hacia
a fu e ra 0 .5 in c o n m o v im ie n to a r m ó n ic o e n 150° de
ro tació n d e la leva, h a c e r u n a d eten ció n d e 30" y. luego,
descen d er 0 .5 in c o n m o v im ie n to a rm ó n ic o e n 180® de
ro ta c ió n d e la leva. E la b o re g ráficam en te el d ia g ra m a
d e d esp lazam iento d d seguidor.
9 - 1 3 . S e u sa u n a leva p a ra u n d isp o sitiv o recolector d e p e r ió ­
dico . El se g u id o r d e la leva se debe d e v a r hacia afuera
0.5 in c o n m o v im ien to d d o i d a l e n 120“ d e r o ta d ó n d e
b leva, h a c e r u n a d e te n c ió n d e 30". d e scen d er 0 .5 in
c o n m o v im ie n to ciclo id al e n 120" d e r o ta c ió n d e la
leva, h a c e r u n a d eten ció n d e 30® y. luego, d e scen d er 0.5
in c o n m o v im ie n to d d o i d a l e n 60" d e r o t a d ó n d e la
leva. E la b o re g rá fic a m e n te el d ia g r a m a d e d e sp la z a ­
m ie n to d d seguidor.
D ia g ra m a d e d e s p la z a m ie n to a n a lftic o
En lo s p ro b lem as 9-14 a 9-23, determ ine ia v elo d d ad d e la leva;
adem ás, u se las ecuaciones d e m o v im ien to y u n a hoja d e cálculo
p a ra elab o rar el d iag ram a d e desplazam iento del seguidor. Calcule
asim ism o la v elo d d ad y la aceleración m áxim as d d seguidor.
En los p ro b le m a s 9 -2 4 a 9 -2 6 , use b s ecu ac io n e s d e m ovim iento
y u n a h o ja d e cálcu lo p a r a e b b o r a r el d b g r a m a d e d e s p b z a ­
m iento d d seguidor.
9 -2 4 . Use el m o v im ie n to req u erid o d d se g u id o r d e la leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9-11.
9 -2 5 . Use e l m o v im ie n to re q u e rid o d d s e g u id o r d e b leva
especificada e n el p ro b le m a 9 -1 2 .
9 -2 6 .
C u r v a s d e m o v im ie n to a n a lític a s
En los p ro b le m a s 9 -2 7 a 9 -3 6 , u se b s ecu ac io n e s d e m ovim iento
y u n a h o ja d e cálcu lo p a r a g e n e ra r g rá fic a s d e d e sp la z a m ie n ­
to, v d o c id a d y a e d e r a d ó n d e l s e g u id o r c o n tra d tie m p o .
9 -2 7 .
Use d m o v im ie n to req u erid o d d se g u id o r d e la leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9 -1 .
9 -2 8 .
Use el m o v im ie n to re q u e rid o del s e g u id o r d e la leva
esp ed fica d a e n el p ro b le m a 9 -2 .
9 -2 9 .
Use el m o v im ie n to req u erid o d e l se g u id o r d e la lev a es­
p e d fic a d a e n d p ro b le m a 9 -3 .
9 -3 0 .
U se el m o v im ie n to re q u e rid o d d s e g u id o r d e la leva
especificada e n el p ro b le m a 9 -4 .
9 -3 1
. U se el m o v im ie n to req u erid o d d se g u id o r d e la leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9 -5 .
9 -3 2 . Use e l m o v im ie n to re q u e rid o d d s e g u id o r d e b leva
esp ed fica d a e n el p ro b le m a 9 -6 .
9 -3 3 .
U se e l m o v im ien to req u erid o d d se g u id o r d e b leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9 -7 .
9 -3 4 .
U se el m o v im ie n to re q u e rid o d d s e g u id o r d e b leva
especificada e n el p ro b le m a 9 -8 .
9 -3 5 . U se el m o v im ie n to req u erid o d d se g u id o r d e la leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9 -9 .
9 -3 6 . U se el m o v im ie n to re q u e rid o del s e g u id o r d e b leva
esp ed fica d a e n el p ro b le m a 9 -1 0 .
D is e ñ o g rá fic o d e l p e rfil d e u n a lev a d e p b e a
9 -3 7 .
9 -1 4 . Use el m o v im ie n to re q u e r id o d e l s e g u id o r d e la leva
esp ed fica d a e n el p ro b le m a 9-1.
9 - 1 5 . Use d m o vim iento req u erid o d d se g u id o r d e la leva es­
p ed ficad a e n d p ro b le m a 9 -2 .
9 -3 8 .
U na lev a d e p b e a tien e q u e p r o p o r d o n a r el d e s p b z a ­
m ie n to q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .3 7 p a r a un
se g u id o r d e c u rta re c ip ro c a n te e n línea. L a lev a debe
ten er u n d r e u lo base d e 2.0 in y g ira r e n s e n tid o a n ti­
h o rario . C o n s tru y a el p e rfil gráficam ente.
9 -3 9 .
U n a lev a d e p b e a tie n e q u e p r o p o r d o n a r el d e s p b z a ­
m ie n to q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .3 7 p a r a un
seg u id o r d e ro d illo re d p ro c a n te e n línea. El d iá m e tro
del rodillo es d e 1 in . 1.a leva d e b e te n e r u n d r e u lo base
d e 3 .0 in y g ira r e n s e n tid o h o r a r ia C o n s tru y a gráfica­
9 - 1 7 . Use d m o vim iento req u erid o d el se g u id o r d e la leva es­
pecificada e n el p ro b le m a 9 -4 .
9 -1 9 . Use d m o vim iento req u erid o d el se g u id o r d e la leva es­
p ed ficad a e n el p ro b le m a 9 -6 .
9 - 2 0 . Use el m o v im ie n to re q u e rid o d e l s e g u id o r d e la leva
esp ed fica d a e n d p ro b lem a 9 -7 .
9 - 2 1 . Use d m o v im ien to req u erid o d el se g u id o r d e la leva es­
pecificada e n d p ro b le m a 9 -8 .
9 - 2 2 . Use d m o v im ie n to re q u e rid o d e l s e g u id o r d e la leva
esp ed fica d a e n d p ro b le m a 9 -9 .
9 - 2 3 . Use d m o vim iento req u erid o d d se g u id o r d e b leva es­
pecificada e n el p ro b le m a 9 -1 0 .
U n a lev a d e p la c a tie n e q u e p r o p o r d o n a r el d e s p b z a ­
m ie n to q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .3 7 p a r a un
se g u id o r d e c u rta re c ip ro c a n te e n línea. La lev a debe
ten er u n c irc u lo base d e 3.0 in y g ir a r e n s e n tid o h o ­
rario. C o n s tru y a el perfil gráficam ente.
9 -1 6 . Use el m o v im ie n to re q u e rid o d e l s e g u id o r d e la leva
esp ed fica d a e n el p ro b le m a 9 -3 .
9 -1 8 . Use el m o v im ie n to re q u e rid o d e l s e g u id o r d e la leva
e s p e d fic a d a e n d p ro b le m a 9 -5 .
U se el m o v im ien to req u erid o d el se g u id o r d e la leva es­
p e d fic a d a e n el p ro b le m a 9-13.
m e n te el p e rfil y calcu le el m a y o r á n g u lo d e presión.
9 -4 0 .
U na lev a d e p la c a tie n e q u e p r o p o r d o n a r el d e s p b z a ­
m ie n to q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .3 7 p a r a un
seg u id o r d e ro d illo re d p ro c a n te e n línea. El d iá m e tro
del ro d illo es d e 0 .7 5 in . La leva d e b e te n e r u n d r e u lo
base d e 2 .0 i n y g ira r e n se n tid o a n tih o ra rio . C o n stru y a
gráficam ente el perfil y calcule m a y o r el á n g u lo d e presión.
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256
CAPITULO NUEVE
Ángulo d* b leva (deg)
Angulo de
Císplazam.
Ángubde
ftsptaram .
Ángubde
EMptazam
b leva
del seguid*
b leva
* 1 seguidor
b leva
A l seguida
*g)
<P)
1*8)
(in)
(deg)
N
0
0.000
130
0.971
250
0.337
10
0.000
140
0.996
260
0.196
20
0.000
150
1.000
270
0.091
30
0.000
160
1.000
280
0.029
40
0.004
170
1.000
290
0.004
50
0.029
180
1.000
300
0 000
60
0.091
190
0.996
310
0.000
70
0.196
200
0.971
320
0.000
80
0.337
210
0.909
330
0 000
90
0.500
220
0.804
340
0.000
100
0.683
230
0.683
350
0 000
110
0.804
240
0.500
360
0.000
120
0.909
FIGURA P9.J7 P roblem as 37 a 44 y 47 a 54.
9 -4 1 .
9 -4 2 .
9 -4 3 .
U n a leva d e p la c a d e b e p ro p o rc io n a r el desplazam iento
q u e se m u e s tra e n la figura P93 7 a u n se g u id o r recip ro ­
can te d e ro d illo d escen tra d o . El se g u id o r se e n c u e n tra
e n el p la n o v ertical c o n ta c ta n d o la p a rte s u p e rio r d e
b leva. La d ista n c ia d el d e s c e n tra d o es d e 0 .7 5 in a la
ú q u ie rd a d el c e n tro d e la le v a El d iá m e tro del ro d illo es
d e 1 in . La lev a d e b e ten er u n c írc u lo base d e 3.0 i n y g i­
ra r e n se n tid o h o ra rio . C o n stru y a el perfil gráficam ente
y calcule el m a y o r á n g u lo d e p re sió n m ás grande.
U na leva d e p la c a d e b e p ro p o rc io n a r el desplazam iento
q u e se m u e s tra en la figura P93 7 a u n se g u id o r recip ro ­
can te d e ro d illo c o n d e s c e n tra d o . El s e g u id o r s e e n ­
cu e n tra e n el p la n o vertical co n tactan d o la p arte su p e­
rio r d e la leva. La distan cia d el descentrado es d e 0.5 in
a l a d erech a d el c e n tro d e la leva. El d iá m e tro d el rodillo
o d e 0.75 in. L a leva d e b e ten er u n c írc u lo base d e 2.0 in
y g ira r e n se n tid o a n tih o r a ria C o n s tru y a el perfil gráfi
cam cn te y calcule el m ay o r á n g u lo d e presión.
U na leva d e p la c a d e b e p ro p o rc io n a r el desplazam iento
q u e se m u e s tra e n la figura P 9 J 7 a u n se g u id o r re c ip ro ­
cante d e c a r a p la n a . La leva d e b e te n e r u n circulo base
de 5.0 in y g ir a r e n s e n tid o h o ra rio . C o n stru y a el perfil
p á fic a m e n te y calcule el m ay o r á n g u lo d e presión.
9 -4 4 .
U n a lev a d e placa d e b e p ro p o rc io n a r el d esplazam iento
que s e m u e s tra e n b fig u ra P9.37 a u n s e g u id o r re c i­
p ro c a n te d e c a r a p la n a . La leva d e b e te n e r u n c írc u lo
base d e 6 .0 i n y g ir a r e n s e n tid o a n tih o r a r ia C o n s tru y a
d perfil g ráfica m e n te y calcu le el m a y o r á n g u lo d e p re ­
sión.
9 -4 5 .
U n a lev a d e placa d e b e p ro p o rc io n a r el d esplazam iento
q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .4 5 a u n se g u id o r de
rodillo c o n pivote. L a lo n g itu d d el eslab ó n se g u id o r es
de 4 i n y p iv o ta a 5 in d el eje d e ro ta c ió n d e b leva. El
d iá m e tro d el ro d illo e s d e 1 in . L a leva d e b e te n e r un
circulo b a s e d e 3.0 in y g ir a r e n s e n tid o h o ra rio .
C o n stru y a el perfil g ráficam en te y calcule el m ay o r á n ­
gulo d e presión.
9 -4 6 .
U n a lev a d e placa d e b e p ro p o rc io n a r el d esplazam iento
q u e s e m u e s tra e n b fig u ra P 9 .4 5 a u n s e g u id o r de
rodillo c o n pivote. La lo n g itu d d el eslab ó n se g u id o r es
de 3 i n y p iv o ta a 3 .5 i n del e je d e ro ta c ió n d e la leva. El
diám etro d el rodillo es d e 0 .7 5 i n . L a lev a d e b e ten er un
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Levas: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________257
Á n g u lo d e t i le v a (d e g )
Á n g u lo d e
D csp b zam .
ÁnguVj d e
D csp la za m
Á n g u lo d e
D esplana m
la leva
d e l se g u id o r
la leva
d e l s e g u id o r
la leva
d e l segui«kir
(d e g )
(m m )
♦deg)
(m m )
(d e g )
(m m )
0 .0 0 0
130
3 0 .0 0 0
250
2 1 .4 0 2
10
0 .1 1 3
140
3 0 .0 0 0
260
1 8 .3 0 0
20
0 .8 6 5
150
3 0 .0 0 0
270
15000
30
2 .7 2 5
160
3 0 .0 0 0
280
1 1 .7 0 0
40
5 .8 6 5
170
3 0 .0 0 0
290
8598
50
1 0 .113
180
3 0 .0 0 0
300
5 .8 6 5
3 .6 3 1
0
60
1 5 .0 0 0
190
2 9 .9 6 6
310
70
1 9 .887
2 00
2 9 .7 3 6
320
1 .9 6 5
80
2 4 .1 3 5
2 10
2 9 .1 3 5
330
0 .8 6 5
90
2 7 .2 7 5
2 20
2 8 .0 3 5
340
0 .2 6 4
100
2 9 .1 3 5
2 30
2 6 .3 6 9
350
0034
110
2 9 .8 8 7
2 40
2 4 .1 3 5
360
0 .0 0 0
120
3 0 .0 0 0
f ig u r a
P 9 .4 5 P r o b l e m a s 4 5 , 4 6 , 5 5 y 5 6 .
d r e u l o b a s e d e 2 .0 i n y g ir a r e n s e n tid o a n tih o r a rio ,
( b n s t r u y a e l perfil g ráficam en te y calcule el m a y o r á n ­
g u lo d e p resió n .
D is e n o a n a lític o d e l p e rfil d e u n a lev a d e placa
E n lo s p ro b le m a s 9 -4 7 a 9 -5 6 u se la s ecu ac io n e s especificas del
perfil d e la leva y u n a h o ja d e cálcu lo p a ra g e n e ra r u n a ta b la
con la s c o o rd e n a d a s d el perfil p a ra c ad a 10° d el á n g u lo d e la
leva.
9 - 4 7 . Use la lev a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -3 7 .
9 -4 8 . Use la lev a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -3 8 .
9 -4 9 . Use la lev a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -3 9 .
9 - 5 0 . Use la lev a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -4 0 .
9 - 5 1 . Use b leva d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -4 1 .
9 - 5 2 . Use b lev a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -4 2 .
9 -5 3 . Use b le s a d e sc rita e n el p ro b le m a 9 -4 3 .
9 -5 4 . U sela leva d e sc rita en el p ro b le m a 9 -4 4 .
9 -5 5 . Use b leva d e sc rita e n d p ro b le m a 9 -4 5 .
9 -5 6 . Use b leva d e sc rita e n d p ro b le m a 9 -4 6 .
D ise n o g rá fic o d e u n a lev a c ilin d ric a
9 -5 7 . U n a lev a c ilin d ric a d e b e p ro p o rc io n a r el desp lazam iento q u e s e m u e s tra e n la fig u ra P9.37 a u n seg u id o r
re c ip ro c a n te d e ro d illo . El d iá m e tr o d e l ro d illo e s de
1.0 in. El d iá m e tro d el c ilin d ro es d e 5 in y g ir a e n sen­
tid o h o r a r i a C o n s tru y a el perfil g ráficam en te y calcule
d m ay o r á n g u lo d e p re sió n .
9 -5 8 . U n a lev a c ilin d ric a d e b e p ro p o rc io n a r e l d e s p b z a ­
m ie n to q u e s e m u e s tra e n la fig u ra P9.37 a u n seg u id o r
re c ip ro c a n te d e ro d illo . El d iá m e tr o d e l ro d illo e s de
30 m m . El d iá m e tro d el d lin d r o es d e 150 m m y g ira
e n s e n tid o h o ra rio . C o n s tru y a el perfil g ráficam en te y
calcule el m ay o r á n g u lo d e presió n .
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258
CAPITULO NUEVE
D is e n o a n a lític o d e u n a lev a c ilin d ric a
E n lo s p ro b le m a s 9 -5 9 y 9 -6 0 u s e las ecu ac io n e s d el p e rfil d e
levas c ilin d ric a s y u n a h o ja d e cálcu lo p a r a g e n e ra r u n a ta b la
c o n las c o o rd e n a d a s d el perfil p a ra c ad a á n g u lo d e 10° d e la leva.
9 -5 9 . Use la leva d e sc rita e n el p ro b le m a 9.57.
9 -6 0 . Use la leva d e sc rita e n el p ro b le m a 9.58.
P ro b le m a s d e m e c a n is m o d e G in e b r a
9 -6 1 . S e d ise ñ ó u n m ecan ism o d e G in eb ra c o n c u a tro estad o n e s . La d istan cia e n tre los ejes im p u lso r e im p u lsa d o
es d e 3 in . El b ra z o im p u lso r g ira a u n a velocidad c o n s­
ta n te d e 6 0 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio . D e te rm in e la
velocidad y la aceleración angulares d e la ru e d a , c u a n ­
d o el b r a z o im p u lso r g ir a 25“ a p a r t i r d e la posición
d o n d e el ro d illo acaba d e e n t r a r a la ra n u ra .
9 -6 2 . S e d ise ñ ó u n m e c a n is m o d e G in e b ra c o n cin c o estad o n e s . La d istan cia e n tre los ejes im p u lso r e im p u lsa d o
es d e 60 m m . El b ra z o im p u lso r g ir a a u n a v e lo d d a d
co n stan te d e 7 0 r p m e n s e n tid o h o r a rio . D eterm in e la
velocidad y la a c e le ra c ió n a n g u la re s d e la ru e d a ,
c u a n d o el b ra z o im p u lso r g ira 20" a p a r tir d e la p o s i­
d ó n d o n d e el ro d illo acab a d e e n tr a r a la ra n u ra .
9 -6 3 . S e d is e ñ ó u n m e c a n is m o d e G in e b r a c o n se is estad o n e s . La d istan cia e n tre los ejes im p u lso r e im p u lsa d o
es d e 4 in . El b ra z o im p u lso r g ira a u n a v elo cid ad c o n s­
ta n te d e 9 0 rp m e n s e n tid o a n tih o ra rio . D e te rm in e la
v elo cid ad y la a c e le ra c ió n a n g u la re s d e la ru e d a ,
c u a n d o el b ra z o im p u lso r g ira 25° a p a r tir d e la p o s i­
d ó n d o n d e el ro d illo acab a d e e n tr a r a la ra n u ra .
E ST U D IO S DE CASO
9 -1 . l a leva m o stra d a e n la figura E 9.1 sirv e p a ra alim en tar
p o p el a u n a im p re n ta . E xam in e c u id a d o s a m e n te las
c o m p o n e n te s d el m ecanism o; luego, c o n te ste b s p re ­
g u n tas s ig u ie n te s p a r a o b te n e r m a y o r c o n o c im ie n to
acerca d e s u o p eració n .
1. C o n fo rm e el eje G se fuerza a g ira r e n se n tid o h o rario ,
d e term in e el m o v im ien to d e la p arte E
2. ¿C uál e s el n o m b re d e la u n ió n e n tre la s p a rte s E y P.
3. ¿Q u é h ace q u e la p ila d e p a p e l, u b ic a d a e n / . p e r ­
m an ezca al nivel d o n d e u n m ecanism o e n B p u e d a e n ­
a n c h a r lo ?
4. ¿Por q u é cam b ia el r a d io d e b p a rte H?
5. ¿Q u é característica p e rm ite q u e b ro ta c ió n d e b p arte
H s e tra n sm ita a b p a rte G?
6. D escriba el m e c a n is m o q u e realiza b m ism a función
d e e sta lev a e n pilas m ás p e q u e ñ a s d e papeles e n im p re ­
sa ra s d e c o m p u ta d o r a y fotocopiadoras.
9 -2 . La leva d e b fig u ra E 9.2 im p u lsa el eslabón I que, a la
vez, im p u lsa o tro m ecanism o q u e n o se m uestra. El es­
lab ó n A p iv o ta e n la p arte in fe rio r d e b b an cad a d e la
m á q u in a . Un e s p á rra g o se extiende d el e s b b ó n A a
trav és d e u n a r a n u r a e n el e s b b ó n f t E xam in e cuida­
do sam en te b s co m p o n en tes d el m ecanism o; lu eg o , c o n ­
teste b s sig u ien tes p re g u n ta s p a ra o b te n e r m ay o r
co n o cim ien to acerca d e s u o p e ra d ó n .
HGURA F.9.1 (C ortesía d e In d u strial Press).
1. D escriba el m o v im ien to d el eslabón B c o n fo rm e b leva
D g ira e n se n tid o h o ra rio .
2 . ¿Q ué tip o d e leva e s IX
3 . ¿Qué tip o d e se g u id o r es C?
4 . ¿Q ué tip o d e c o m p o n e n te es b p a rte f?
5 . D escriba la a c d ó n d e b p a rte F.
6 . ¿Q ué tip o d e c o m p o n e n te es b p a rte R
7 . D escriba la fu n ció n d e la p a rte E
HGURA E 9 J ( C o r te s b d e In d u s tria l
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Press).
Leva»: d iserto y a ná lis is c in e m á tico_________259
FIGURA F9.4 (C ortesía d e In d u stria l Press).
FIGURA E 9 J (C o rtesía d e In d u stria l Press).
8. D escriba el m o v im ie n to cíclico d e la p a rte tí.
9. ¿Q u é ca m b io o c u r rir ía e n el m o v im ie n to d e tí s i se
alarg ara la p arte E?
10. ¿Q u é ca m b io o c u r rir ía e n d m o v im ie n to d e tí s i se
x o r t a r a el espárrago e n la p arte £?
9 - 3 . La m á q u in a m o stra d a e n la fig u ra E 9.3 tro q u e la
y m o ld e a p a r te s d e a c e ro . E xam in e c u id a d o s a m e n te
las co m p o n e n te s d el m ecanism o; luego, co n teste las s i­
g u ien tes p reg u n tas p a ra o b te n e r m ay o r co n o cim ien to
acerca d e su o p eración.
1. C o n fo rm e la varilla C c o m ien za a d e sliz a rs e hacia
ab ajo , ¿cuál e s el m o v im ie n to d e la lev a fc?
2 . ¿C uál e s d m o v im ie n to d d ém b o lo H i
3 . ¿Q u é su c ed e c o n la t i r a d e m etal su je ta e n W?
4. C o n fo rm e ia varilla C c o n tin ú a d esliz án d o se hacia ab a ­
jo, ¿cuál e s el m o v im ien to d el ém bolo?
5 . ¿C uál e s el m o v im ie n to d el deslizador P.
6. ¿Q u é su c ed e c o n la t i r a d e acero e n VV?
7 . C o n f o r m e la v a rilla C c o m ien za a d e sliz a rs e h a d a
a rrib a , ¿cuál es d m o v im ien to d d é m b o lo H?
8 . ¿C uál es d o b je tiv o d e este m ecanism o?
9 . ¿Por q u é hay resortes e n c o n ta c to c o n d deslizador 7?
10. ¿ P o rq u é u n reso rte s o p o rta la p a rte K?.
11. ¿Q ué t i p o d e m ecan ism o p o d ría im p u lsar la varilla C?
9 - 4 . En la fig u ra E 9.4 s e m u e s tra u n a m á q u in a . E xam in e
c u id a d o s a m e n te las c o m p o n e n te s d el m ecan ism o ;
luego, c o n te s te las sig u ie n te s p re g u n ta s p a ra o b te n e r
m a y u rc o n o c im ie n to acerca d e su o p eració n .
1. D escrib a el m o v im ie n to d d eslab ó n f , c u a n d o e l e n ­
g ra n e K g ir a e n s e n tid o h o rario .
2 . C o m e n te los d etalles d el m o v im ie n to c íd ic o d d es
Libón F.
3 . D escrib a el m o v im ie n to d e la c o rre d e ra D, c u a n d o el
en g ran e K gira e n se n tid o h o rario .
4 . D escriba d m o v im ien to d el e n g ra n e N . c u a n d o el e n ­
g ra n e K g ira e n se n tid o h o rario .
5 . D escriba el m ovim iento d el eslabón Q , c u a n d o el engra­
n e K g ira e n se n tid o h o rario .
6 . ¿A q u é tip o d e c o m p o n e n te pertenece la p arte Pt
7 . D escrita d m o v im ien to al que está restringida la p arte V.
8 . C o m en te c o n precisión la m a n e ra e n q u e d eslab ó n Q
e stá su je to a la p arte V.
9 . C o m e n te el m o v im ie n to d d i c o d e to d a la m áquina.
10. E xplique la necesidad d e u n a m á q u in a así.
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C A P IT U L O
D I E Z
EN G R A N ES: ANÁLISIS C IN E M Á T IC O
Y SE L E C C IÓ N
OBJETIVOS
A l te r m i n a r d e e s t u d i a r e s te c a p itu la , e l a lu m n o
s e r á c a p a z de:
1. Reconocerlos diferente* tipos «le engrane*.
2 . I d e n t if ic a r y u s a r l a s c a r a c t e r ís t ic a s g e o m é t r ic a ? e s tá n d a r e s
( ir l o s e n g r a n e s .
3 . C a lc u la r l a d i s t a n c i a e n t r e c e n t r o s , l a r a t ó n d e c o n t a c t o , la s
l im it a c io n e s p o r l a i n te r f e r e n c ia y l a s v a r ia c i o n e s e n h o l g u r a
4. C alcular y usar la razón d e velocidad para d eterm in ar las
propiedades cinem áticas de los engranes acoplados.
5 . D e t e r m in a r l a s p r o p i e d a d e s c in e m á t ic a s d e e n g r a n e s y I
d e e n g r a n e s p la n e t a r io s .
10.1 IN T R O D U C C IÓ N
Los en g ran es s o n co m p o n e n te s su m a m e n te co m u n e s utilizados
e n m u ch as m áq u in as. La figura 10.1 ilustra el m ecanism o im p u l­
s o r d e lo s ro d illo s alim entadores d e p a p e l d e u n escáner. En tal
aplicación, u n m o to r eléctrico im p u lsa u n p e q u e ñ o engrane que,
a la vez, im p u lsa en g ran es m á s g ra n d e s p a ra h a c e r g ira r lo s ro d i­
llos alim entadores. D espués, lo s rodillos alim entadores jalan del
d o cu m en to hacia el dispositivo d e escaneado d e la m áquina.
En general, la fu n c ió n d e u n e n g ra n e es tr a n s m itir m o v i­
m ie n to d e u n eje g ira to rio a o tro. En el caso d el a lim e n ta d o r d e
la fig u ra 10. 1, d m o v im ien to d el m o to r se tra n sm ite a lo s ejes
q u e tra n s p o rta n lo s ro d illos. A dem ás d e tra n sm itir m o v im ie n ­
to, lo s en g ra n e s se u tilizan c o n frecuencia p a r a in c rem en tar o
d is m in u ir la v elo cid ad , o b ie n , p a r a c a m b ia r la d ire c c ió n del
m o v im ien to d e u n eje a o tro.
Son su m a m e n te co m u n e s e n la salida d e ftientes d e p o te n ­
cia m e c á n ic a , c o m o m o to re s eléctricos y m o to re s d e c o m ­
b u stió n interna, q u e g ira n a velocidades m u c h o m ayores d e lo
q u e la ap licació n requiere. P o r ejem plo, u n a m á q u in a fax nece­
sita q u e lo s ro d illo s a lim e n te n el d o c u m e n to a trav és d e la
m í q u in a a u n a ra p id e z c o m p a tib le c o n el d isp o sitiv o d e es­
can ea d o . N o o b sta n te , u n m o to r eléctrico típ ic o g ir a a veloci­
d ad es m ayores d e la s necesarias e n lo s rodillos. P o r ello, la ve­
lo d d a d d el m o to r se d e b e re d u c ir c o n fo rm e s e tr a n s m ite a los
ejes d e los ro d illo s d e a lim e n ta d ó n . A sim ism o, lo s ro d illo s s u ­
p erio res tien en q u e g ir a r e n d ire c d ó n o p u e s ta a la d e lo s ro d il o s inferiores, d e m o d o q u e los en g ra n e s s o n u n a e le c d ó n n a tu ­
ral p a ra e sta aplicación.
La fig u ra 10.2a m u estra d o s en g ra n e s rectos acoplados, d i­
se ñ ad o s p a r a tra n sm itir m o v im ie n to e n tre s u s respectivos ejes.
La fig u ra 10.2b p re se n ta d o s ro d illo s o discos d e frie d ó n , que
Q m b ié n f u e ro n d is e ñ a d o s p a r a tr a n s m i ti r m o v im ie n to e n ­
tre los ejes. E s e v id e n te q u e esto s discos s o n m en o s costosos que
Las com plejas c o n fig u ra d o n e s d e lo s engranes. S in em bargo, los
discos d e p e n d e n d e b fricción p a r a tra n sm itir b s tu e rz a s que
a c o m p a ñ a n el m o v im ie n to . Ya q u e m u ch as ap lic a c io n e s re ­
q u ieren tra n sm isió n d e p o te n d a (m o v im ie n to y fuerzas), las sup erfid es lisas d e los discos q u iz á n o sean capaces d e g en erar b s
fuerzas d e fricción su fid en tes y, p o r lo ta n to , se d e sliz a rb n con
m ayores cargas.
Ifcra e lim in a r b p o sib ilid a d d e d esliz am ie n to , s e crea un
e n g ra n e d e m o d o t a l q u e b s s u p e rf id e s lisas d e los discos se
sustituyen p o r d ien tes, q u e ofrecen u n a c o p lam ien to positivo y
d im in a n el deslizam iento. D esde u n p u n to d e v ista a n em ático ,
Rodiltas de ahmereaclón
f ig u r a
10.1
R o d illo s d e a l i m e n t a d ó n d e u n e s c á n e r.
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Engran e»: a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________261
M PlhOnyr»m »]l*M
a ) H f?»"» racto
<r) E n g ra n es r e d a s
FIG U R A 10J
E n g r a n e s y r o d illo s .
el p a r d e en g ra n e s d e la fig u ra 10.2 a reem plazaría lo s discos d e
la fig u ra 10.2 b, y a q u e lo s d iá m e tro s efectivos s o n idénticos.
En este cap ítu lo se e stu d ia n los p rin c ip io s generales d el e n ­
granaje y las relaciones cinem áticas asociadas. El enfoque del li ­
b ro es el análisis y el d ise n o d e m ecanism os que s o n necesarios
p a ra s u m in is tra r el m o v im ie n to requerido p o r u ñ a m á q u in a . En
co n g ru en cia c o n tal objetivo, el e n fo q u e d el presente c ap ítu lo es
la selección d e en g ran es e stá n d a r p a ra p ro d u c ir el m ovim iento
necesario e n las m á q u in as in d u striales. C o m o so n los engranes
m ás u tilizad o s y m en o s co m p licad o s, se h ace énfasis e n lo s e n ­
g ranes rectos. S e in v ita al lecto r a c o n s u lta r o tra s fu en tes p a r a un
m ay o r d etalle so b re lo s perfiles d e d ie n te s d e en g ran es, m an u fac­
tu ra . c a lid a d , d ise ñ o d e resisten cia y e n g ra n e s m á s co m p lejo s
[refe. 4 .1 3 y 15).
c)
tztvno
4 H npar* h cllta d il
a Eryfar» <fc « p ú a d i
10.2 T IP O S DE EN G RA N ES
f l E iy f a iB C ú n x o
Ihiltcoutol d * l e )
L o s engranes reetos so n lo s m ás sencillos y, p o r co n sig u ien te, el
tip o m ás c o m ú n d e los engranes. I-os d ien tes d e u n e n g ra n e recto
so n p aralelo s a l eje d e ro tació n . Los en g ra n e s rectos sirv e n p a ­
r a tr a n s m itir m o v im iento e n tre ejes paralelos, las cuales s e e n ­
c u e n tr a n e n la m a y o ría d e ap licacio n es. En la fig u ra 10.3a se
o b serv a u n p a r d e eng ran es rectos acoplados.
U na crem allera es u n caso especial d e e n g ra n e recto d o n d e
lo s d ien tes n o e stá n c o n fig u rad o s a lre d e d o r d e u n d r e u lo , sino
e n u n a b ase p la n a . La crem allera s e visualiza c o m o u n en g ran e
re c to c o n u n d iá m e tr o in fin ita m e n te larg o . C u a n d o la cre­
m allera se a c o p la c o n u n e n g ra n e re c to , s e p ro d u ce m ovim iento
d e tra sla c ió n . En la figura 10.3b se o b se rv a n u n a crem allera y un
en g ran e recto aco p lad o s.
l o s engranes oirem os o anulares tienen los d ien tes c o n s tru i­
d o s so b re la su p e rficie in te rio r d e u n d r e u lo . C u a n d o s e acoplan
c o n u n e n g ra n e recto, el e n g ra n e in tern o a p o r ta la v en taja d e re ­
d u c ir la d ista n c ia e n tre los cen tro s d e lo s en g ra n e s p a r a lo g rar
d e r t a v ariació n d e velocidad. E n la fig u ra 10.3c se ilu stra u n e n ­
g ra n e in te rn o aco p lad o c o n u n e n g ra n e recto tradicional.
L o s engranes helicoidales s o n p a r e a d o s a los en g ra n e s rec­
to s, q u e sirven e n las m ism as aplicaciones q u e estos. La diferend a es q u e lo s d ien tes d e u n en g ran e helicoidal se in clin an hacia el
eje d e ro tació n . El á n g u lo d e inclinación se co n o ce c o m o el <lnp rlo d e hélice (p. Este á n g u lo b r in d a u n a c o p lam ien to m á s g ra ­
dual d e lo s d ie n te s d u ra n te el aco p lam ien to y p ro d u c e im p acto y
ru id o m en o res. P o r su accio n am ien to m á s suave, e n las aplicad o n e s d e a lta v e lo d d a d s e prefieren en g ra n e s h elico id ales. Sin
em b arg o , el á n g u lo d e h élice p ro d u c e h ie r a s d e em p u je y pares
d e flexión, q u e n o s e g e n e ra ría n e n lo s en g ra n e s recto s. E n la
fig u ra 10 J d se ilu stra u n p a r d e eng ran es helicoidales acoplados.
A) E w a m «p. 8n
F IG U R A 1 0 J
T ip o s d e
en gran es.
Los engranes d e espina de pescado s e u tilizan e n las m ism as
aplicaciones q u e las engranes rectos y helicoidales. D e h ech o , ta m ­
bién se conocen c o m o engranes helicoidales dobles El en g ran e de
esp in a d r pescado se parece a d e s eng ran es helicoidales opuestos
con los extrem os colocadas u n o c o n tra o tro. E sta configuración
com pleja sirv e d e co n trap eso a la h i e r a d e em p u je d e u n engrane
helicoidal L a figura 10 J e ilustra u n engrane d e e s p in a d e pescado.
Los engranes clínicos tien en lo s d ien tes m o ld ead o s so b re u n a
superficie cónica y sirven p a ra tra n sm itir m ovim iento e n tre ejes
n o paralelas. A un c u a n d o b m ayoría d e sus aplicaciones im plican
b c o n ex ió n d e ejes p erp en d icu lares, lo s en g ra n e s c ó n ico s ta m ­
b ié n s e u tilizan e n aplicaciones c o n ejes cu y as á n g u lo s s o n m ayo­
res y m enores d e 90". C u a n d o los eng ran es cónicos s e acoplan, sus
c o n o s p resen tan u n vértice c o m ú n . S in em bargo, el á n g u lo real
d el c o n o d e c ad a en g ran e d ep en d e d e la razón d e en g ran e d e los
e n g ra n e s a c o p la d o s. P o r co n sig u ie n te , los en g ra n e s c ó n ico s se
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262
CAPITULO DIEZ
0 paso diam etral d de u n en g ran e es sim p lem en te el diám etro
d rl d r e u lo d e paso. C o m o b cinem ática d e u n en g ran e re d o
es idéntica a la de u n rodillo de fricción a n á lo g a el paso d ia­
m etral e s u n p a rá m e tro d el e n g ra n e m u y u tiliz a d a S in em ­
b a r g a c o m o d d r e u lo d e p aso está u b icad o cerca d e la m itad
d e lo s d ie n te s d el e n g ra n e , d p a s o d ia m e tra l n o e s posible
m edirlo e n fo rm a directa e n d engrane.
d ise rtan e n c o n ju n to , p o r l o q u e n o es p o sib le s u s titu ir u n e n ­
g ra n e p a ra m o d ificar la r a z ó n d e en g ran e. En la fig u ra 10.3f se
ilu stra u n p a r d e en g ran es cónicos acoplados.
L o s engranes d e iríse te s o n u n caso especial d e en g ra n e s
có n ico s, d o n d e lo s en g ra n e s so n d el m ism o ta m a ñ o y el á n g u lo
d e lo s ejes e s d e 90*. En la fig u ra 10.3g s e p resen ta u n p a r d e e n ­
g ran es d e in g lete acoplados.
U n to m illo s in fin y u n engrane sin f i n s r v e n p a r a tra n sm itir
m o v im ie n to e n tr e e je s n o p a ra le lo s q u e n o se in te rse c a n . El
to m illo sin fin tien e u n d ien te e n fo rm a d e espiral alred ed o r d e
un c ilin d ro d e p aso . Este d ien te tam b ién se c o n o c e c o m o cuerda,
p o rq u e s e asem eja a la c u e rd a de u n to m illo . S im ilar al engrane
helicoidal, la esp iral d e paso d el to m illo sin fin genera u n a fuerza
axial que se d e b e to m a r e n c u e n ta E n la m ay o ría d e la s ap lica­
cio n es, el to m illo s in fin im p u lsa al en g ran e s in fin p a r a efectuar
g ran d es re d u c c io n e s d e v d o d d a d . l\>r lo gen eral, u n en g ran e sin
fin n o e s re v e n irle , e s d e d r , d en g ran e s in fin n o p u e d e im pulsar
d to m illo s in fin. En la fig u ra 10.3h se m u e s tra n a c o p la d o s un
to m illo s in fin y u n en g ran e s in fin.
El n ú m ero d e dientes N es sim p le m e n te d n ú m e ro to ta l de
d ien tes d el en g ran e. Es e v id e n te q u e este v a lo r h a b r á d e ser
u n e n te r a p o rq u e n o se p u e d e n u tiliz a r fra e d o n e s d e diente.
El paso circular p e s la distan cia m e d id a a lo largo d el círculo
d e p a s o d e u n p u n to so b re u n d ie n te a l p u n to c o rre sp o n ­
d ien te, e n d d ien te ady acen te d el en g ran e. El p aso d re u la r
s e calcula a p a r tir d d n ú m e r o d e d ie n te s y el p aso diam etral
d d en g ran e. La e c u a d ó n aplicable es:
nd
P =
(
N
10 . 1 )
El dreulo base d e u n e n g ra n e es d d r e u lo a p a r tir d d cual se
c o n stru y e la fo rm a c u rv a d d d ien te d el en g ran e. En la si­
g u ie n te s e c d ó n se e x p o n e n los d etalles acerca d e la gene
r a d ó n d el perfil c u rv o d d diente.
10.3 T E R M IN O L O G IA DE U N ENGRANE
RECTO
El diám etro base d k e s e l d iá m e tr o d el d r e u lo a p a r tir d d
cual se genera d perfil d d d ie n te d d en g ran e. En la se c d ó n
10.4 se ex p lica co m p letam en te d d r e u lo base.
C o m o ya se m en cio n ó , lo s eng ran es rectos s o n el tip o d e engrane
m á s c o m ú n . A dem ás, la term inología q u e se u sa p a ra d escrib ir
los en g ra n e s recto s tam b ién s e ap lica a o tro s tip o s d e engranes.
R>r lo ta n to , se req u iere u n an álisis c o n cien zu d o d e la s c a ra c ­
terísticas y la term in o lo g ía d e lo s eng ran es rectos.
El ancho d e cara F e¡ la lo n g itu d d d d ie n te d e l e n g ra n e
p a r a ld a al eje d e La ficcha.
El adendo a e s la d ista n c ia r a d ia l d d d r e u lo d e p a s o a la
p arte s u p e rio r d el d ie n te d el en g ran e.
E n la fig u ra 10.4 s e in d ic a n la s c a racterísticas p rin d p a le s
del d ien te d e u n e n g ra n e r e c ta
El dedendo b es la d ista n c ia ra d ia l d d d r e u lo d e p a s o a
la p a rte in fe rio r d el d ien te d d engrane.
0 dreulo de pa so de u n engrane es d c írc u lo q u e representa el
tam ailo d d ro d illo d e fricción co rre sp o n d ien te q u e p o d ría
su s titu ir a l en g ran e. T ales ro d illo s eq u iv alen tes se p resen ­
taro n e n la fig u ra 1 0 2 b . C u a n d o d o s engranes se aco p lan , sus
d re u lo s d e paso so n tangentes e n d p u n to d e c o n ta c to sobre
b lín ea que u n e el cen t r o d é a m b o s d re u lo s . En la figura 10.4
se observa d d r e u lo d e paso.
La pro fu n d id a d total h T es la a ltu r a d el d ie n te d d engrane,
que es igual a la su m a d el a d e n d o y d d e d e n d a
La tolerancia c e s la c a n tid a d e n la cual el d e d e n d o excede al
adendo. Este es d e s p a d o e n tre la p arte s u p e rio r d d d ien te
d e l e n g ra n e y la p a r te in f e r io r d e l d ie n te d d e n g ra n e
a c o p la d a
La holgura tí e s la c a n tid a d q u e d a n c h o d d espacio e n tre
d ien tes excede al esp eso r d d d ien te d d e n g ra n e , m e d id a so ­
b re d d r e u lo d e p a s a
El fu n t o de pa so e s el p u n to d e c o n ta c to d e lo s d o s d re u lo s
d e paso.
C h c u b d e l d e d e id o
F IG U R A 1 0 .4
Características d
d
d ien te d e un engrane recto.
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E n g ra n e » : a n á lis is c in e m á tic o y se lecció n
263
Q/VVV}
48
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10
5
4
f ig u r a
105 T a m a ñ o s e stá n d a r d e diente.
H fu so diam etral P j, o sim p lem en te pasa, s e refiere e n realicbd al ta m a ñ o d d diente, que se h a convertido e n u n estándar
d e especificación p a r a d ta m a ñ o d d m ism o . F orm alm ente,
d p aso d ia m e tra l e s el n ú m e r o d e d ien tes p o r p u lg ad a d d
paso d iam etral.
0 0 . 2)
« - 1
El p aso d iam etral es u n p a rá m e tro d e en g ra n e s q u e s e usa
c o m ú n m e n te e n las unid ad es estadounidenses tradicionales. De
n u ev a cu en ta, es u n a m e d id a relacionada con el ta m a ñ o d d d ie n ­
te d e u n engrane. En la fig u ra 1 0 5 se m uestran la s tam añ o s están­
d a r d e d ie n te s y sus pasos diam etrales. A un c u a n d o la s engranes
aco p lad as suelen ten er diferentes diám etros y diferente n ú m ero d e
dientes, lo s engranes alopiados deben tener e l m ism o paso d ia m e­
tral. Lo an terio r d ebería ser evidente porque d p aso diam etral es
u n a m e d id a d el ta m a ñ o d d diente.
El p a s o d ia m e tra l n o s e m id e d ire c ta m e n te s o b re el e n ­
g ran e, a u n q u e e s u n v a lo r d e referencia ex trem ad am en te co m ú n .
En teoría, es p o sib le p r o d u c ir casi cu alq u ier ta m a ñ o d e dientes
d e engrane; n o o b sta n te , e n aras d e la estandarización d e h e r ra ­
m ie n ta s, la A so ciació n E sta d o u n id e n s e d e F a b ric a n te s d e En­
g ran es ( a g m a , p o r la s siglas d e A m erican G ear M an u tactu rer's
A ssociadon) d esig n ó la s p a sa s d iam etrales m ás usados, la s cuales
se m u estran e n la ta b la 10.1. A u n c u a n d o n o hay u n significado
T A B L A 1 0 .1
20
fisico, los p asos d iam etrales están d ar p re fe rid o s están d a d o s e n
en tero s pares. H ay calibradores q u e m iden los p asos d iam etrales
e stán d ar. L as u n id a d e s d el p a s o d ia m e tra l s o n el re c íp ro c o de
p ulg ad as (in -1); d e cu alq u ier m o d o , n o es (recu en te especificar
unid ad es c u a n d o se expresan los valores n u m érico s.
El m ó d u lo m es u n p a rá m e tro d e e n g ra n e q u e s e utiliza
co m ú n m en te e n el sistem a in tern acio n al ( s t) d e un id ad es. E l m ó ­
d u lo tam b ién es u n a m e d id a relativa al ta m a ñ o d el d ien te. S e d e ­
fine c o m o la razón e n tre el p aso diam etral y el n ú m e ro d e dientes
del engrane.
d
(10.3)
m= Ñ
El m ó d u lo tam b ién es u n a m e d id a relativa d el ta m a ñ o del
d ien te y, e n teo ría, el recíp ro c o d el p aso d ia m e tra l. S in em bargo,
c u a n d o s e em p lea e n el s i, se m id e e n m ilím e tro s. E ntonces, el
m ó d u lo y el paso diam etral n o s o n recíp ro co s num éricam en te.
La relación e n tre e l p a s o d ia m e tra l y e l m ó d u lo , to m a n d o e n
c u en ta las u n id a d e s, es
25.4
(10.4)
m =
Pj
( a m o c o n el p aso d iam etral, lo s en g ra n e s recto s m étrico s
c o m e rc ia lm e n te d isp o n ib le s s e fa b ric a n c o n m ó d u lo s e s ta n ­
darizados. Los valores c o m u n e s se p re se n ta n e n la ta b la 10.2.
P a so s d ia m e tra le s e s tá n d a r
Huoflao
P u ag racM
T A B L A 1 0 .2
M ó d u lo s m é tric o s e s ta n d a riz a d o s
r
2
6
20
80
■
4
16
2 .2 5
8
24
96
L29
5
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25
10
32
120
L5
6
25
3
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40
150
2
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35
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264
CAPITULO DIEZ
Si « s u s t i t u y e n las ecu ac io n e s (10.2) y (10.3) e n (10.1), el
paso circu lar tam b ién s e e x p resa com o:
T ld
P = T N7 =
ñ ; - * «
1 0 .4
Para o b te n e r u n m o v im ie n to suave, el d ie n te d el e n g ra n e debe
ten er u n a fo rm a q u e m a n te n g a el e n g ra n e im p u lsad o g iran d o a
v elo d d ad c o n s ta n te a trav és d el p roceso d e en g ran aje y desen­
granaje. P ara d e d r lo d e m a n e ra concisa, lo s en g ra n e s necesitan
u n a relació n d e v e lo c id a d c o n sta n te . E sta c o n d i d ó n req u iere
q u e la tra y e c to ria d el c o n ta c to d el d ie n te d el e n g ra n e se a u n a
línea recta, la cu al ta m b ié n d e b e in te rse c a r el p u n t o c o m ú n a
a m b o s c irc u io s d e p a s o . La fig u ra 10.8 m u e s tra d o s d ie n te s
« so p la d o s e n tre s m o m e n to s d ife re n te s d e l p ro c e so d e e n g ra ­
naje. O b serv e q u e el p u n to d e c o n ta c to tr a z a u n a recta, co n o d d a c o m o línea d e co n ta cto . E sta lin ea ta m b ié n in te rse c a el
p u n to ta n g e n te a a m b o s círcu lo s d e p a s a lo cu al es necesario
p i r a q u e lo s e n g ra n e s m a n te n g a n u n a r e l a d ó n d e v e lo d d a d
constante.
0 d e sc u b rim ie n to d e u n a fo rm a d e d ie n te q u e cum pliera
® n el co m e tid o n o fue tarea s e n d lla ; sin em b arg o , se h a n id en ti­
ficado v a ria s fo rm a s c o m o p o sib les c an d id ato s. D e las form as
posibles, la ¡n v o lu ta de u n d r e u lo se h a convertido e n u n e stá n ­
d a r e n la m ay o ría d e la s a p lic a d o n e s d e en g ra n e s. L a fo rm a de
n v o lu ta se co n stru y e d e se n ro lla n d o u n a lam b re te n s o a p a rtir
d e u n circulo base d e d iá m e tro d f. La tray ecto ria tra z a d a p o r el
extrem o d el alam bre se d e n o m in a curva de im v lu ta d e u n dreulo.
E n la fig u ra 10.9a s e ilu s tra u n perfil d e in v o lu ta . S e utiliza u n
segm ento d e esta c u rv a d e in w Ju ta p a ra fo rm ar el perfil d el d ie n ­
te d el engrane.
C o m o se estableció e n la s e c d ó n an terio r, e n u n perfil de
involuta la linea d e c o n ta c to es idén tica a la lin ea d e presió n . El
á n g u lo d e p re sió n , o inclinación d e la lin ea d e c o n t a c ta se d e ­
te rm in a a p a r tir d el se g m en to d e la c u rv a d e in v o lu ta u sa d o p o r
el d ie n te d el en g ran e. El á n g u lo d e p re sió n se in c re m e n ta c o n ­
fo rm e a u m e n ta la d is ta n c ia e n tr e el d r e u lo b a s e y e l c írc u lo
d e paso. E sto s e m u e s tra e n la fig u ra 10.9b. La re la d ó n e n tre el
(10.5)
El ángulo d e presión 4> ts el á n g u lo e n tre u n a lin e a tangente
a a m b o s circuios d e p aso d e lo s eng ran es aco p lad o s y u n a linea
perp en d icu lar a lo s d ien tes e n el p u n to d e co n tacto . La lin ea tan ­
g e n te a lo s d rc u lo s d e p a s o se co n o ce c o m o línea d e paso. La linca
p erp en d icu lar a la superficie d e lo s d ie n te s e n el p u n to d e c o n ­
tacto s e co n o ce c o m o I nea d e presión o línea d e contado. í\» r lo
tanto, el á n g u lo d e p resión s e m id e e n tre la lin e a d e p aso y la linca
d e presión. En la fig u ra 10.6 se m u e s tra el á n g u lo d e presión.
H á n g u lo d e p resió n afecta la form a relativa d e u n diente d e
e n g ra n e , c o m o s e in d ica e n la fig u ra 10.7. A un c u a n d o lo s e n ­
g ranes s e fabrican en u n ran g o a m p lio d e án gulos d e presión, la
m ayoría d e lo s en g ran es están estandarizados e n 20° y 25°. Los e n ­
granes con u n á n g u lo de p resión d e 14'A°se usaron pródigam ente,
a u n q u e a h o r a se co n sid eran obsoletos. S e fabrican to d a v ía solo
c o m o su stitutos e n trenes d e eng ran es viejos q u e a ú n se utilizan.
C o m o el á n g u lo d e p resión afecta la form a d el diente, dos engranes
acoplados tam bién deben tener d m ism o ángulo d e p ro tó n .
R ecu erd e q u e las fuerzas se tra n sm ite n d e m a n e ra p e r p e n ­
d ic u la r a la s superficies e n c o n ta c t a P o r ello , la fuerza q u e actú a
s o b re u n d ien te l o hace a k> largo d e la lin ea d e presió n . C o m o se
v erá e n la s ig u ie n te se cció n , lo s d ie n te s d e u n e n g ra n e están
m o ld e a d o s p a r a m a n te n e r u n á n g u lo d e p re sió n c o n s ta n te d u ­
r a n te el a c o p la m ie n to . Los en g ra n e s c o n m e n o re s á n g u lo s d e
p resió n tra n s m ite n eficientem ente el to rq u e y g en eran m enores
carg as ra d ia le s s o b re e l eje y lo s co jin e te s d e s o p o rte . S in e m ­
b arg o . c o n f o rm e lo s á n g u lo s d e p re s ió n s e r e d u c e n , hay u n a
m a y o r te n d e n c ia d e lo s d ie n te s d el e n g ra n e a in tc rfe rirs e c o n ­
fo rm e s e en g ran an .
tTkr
iv ,r e
LAL.VJI
(V n r a l
base
4 * *
P E R F IL E S D E D IE N T E S D E IN V O L U T A
:Brutoi*
'B ru ta !
b ase
♦ -20*
b ase
♦ -25*
F IG U R A 1 0 .7 I n f l u e n c i a d e l á n g u l o d e p r e s i ó n s o b r e l a s f o r m a s d e l d i e n t e .
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Engran e»: a n á lisis d n e m á tic o y selecció n _________265
á n g u lo d e p re sió n , d p a s o d ia m e tra l y el d iá m e tr o d el círculo
base s e expresa com o:
df, = d e o s ó
o)
II
H G U K A 1 0 .9 D i e n t e d e e n g r a n e d e i n v o l u t a .
(10.6)
( a m o p o r d efin ició n u n a in w lu ta se e x tie n d e a p a r tir del
c írc u lo b a s e , c u a lq u ie r p o r c ió n d el p e rfil d el d ie n te d e n tr o
d d c írc u lo base n o es d e in v o lu ta. Es u su a l m a q u in a r e sta p arte
c o m o u n a lín ea rad ial c o n u n filete e n d circulo d el d ed e n d o . La
p o rció n d d d ien te d e n tr o d d c írc u lo base n o íu e d ise ñ ad a p a ra
e n tra r e n c o n ta c to c o n d d ien te d el e n g ra n e acoplado. Este c o n ­
tacto p ro v o carla interferencia.
La desv en taja m á s significativa e n d u s o d e d ien tes d e e n ­
granes c o n perfiles d e in v o lu ta es la p o sibilidad d e q u e haya i n ­
terferencia e n tre la p u n ta d el d ien te d el e n g ra n e y el flanco del
en g ran e aco p lad o . Esto o c u rre c u a n d o el en g ran e m ás p e q u e ñ o
tien e p o c o s d ien tes. En a e r t a s circu n stan cias, e s posible m o d i­
ficar la fo rm a d d d ie n te a c o s ta d e la fo rm a d e la p ro fu n d id ad
total (fig u ra 10.9b) p a r a e lim in a r la interferencia. En b sección
10.6.3 se an alizarán la in terferen cia y el em p le o d e perfiles a lte r­
nativos.
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266
CAPITULO DIEZ
P R O B L E M A DE E JE M P L O 10.1
I h engrane recto de ¡nvoluta con 35 dientes y 20* p ro fundidad total tien e u n paso diam etral de 10. D eterm ine los
diám etros del circulo d e paso, del paso circular y del c írc u lo base.
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule e l paso diam etral
0 p aso d ia m e tra l se c a lc u la re a g ru p a n d o la e c u a c ió n ( 1 0 2 ).
2
D eterm ine el paso circular
H paso circular se calcula con la ecu ació n (10 3 ) .
3.
Calcule e l d iá m etro d el circulo base
0 diám etro d el d rc u lo base se c a b u la directam ente c o n la ecuación ( 10 .6 ).
dh = d e o s ó = 3 3 cos(20*) = 3 2 8 9 in
Es e l d iá m e tro d e l d r c u l o d o n d e se o rig in a la fo r m a d e invo lu ta, q u e n o e s u n a c a ra c te rís tic a e v id e n te c u a n d o se in s ­
p eccio n a u n e n g ra n e real.
1 0 .5
EN G RA N ES ESTÁ N D A R
TABLA 1 0 .3
Los e n g ra n e s se fa b ric a n m e d ia n te v a rio s p rocesos. P ara e n ­
g ran es m etálicos, lo s p ro ceso s m is co m u n e s so n c o rte con m o l­
deadores o m áq u in as co rtad o ras, fundición y m o ld ead o a través
d e pro ceso s c o n p o lv o m etalúrgico. Los eng ran es d e plástico p o r
lo g en eral se fabrican c o n procesos d e inyección. S e recom ienda
a l le c to r c o n s u lta r fu en tes e s p e d fic a s d e m a n u fa c tu ra d e e n ­
g ran es para b s detalles so b re la s p ro ceses in d iv id u ales [rcf. 13|.
C o m o e n la m ay o ría d e los procesos se utilizan herram ientas
esp ecializadas, la s cu ales so n ún icas p a r a c a d a ta m a fto d e e n ­
g ran e, desde el p u n to d e vista eco n ó m ico es deseable estandarizar
el ta m a ñ o d e lo s en g ran es. Los eng ran es estan d ariza d o s se en
a i e n tra n fácilm ente e n la m ayoría d e los catálogos d e e q u ip o i n ­
d u s tria l. E stos e n g ra n e s se v e n d e n in d is tin ta m e n te y pueden
aco p larse con o tro s en g ran es que tengan el m ism o p aso d iam e­
tral y el m ism o ángulo d e presió n . D esde luego, para hacerio, los
fabricantes d eb en se g u ir u n a con v en ció n e stá n d a r p a ra m oldear
los detalles d el perfil d el d ien te d el en g ran e. La a g m a es la p rin c i­
pal organización que su p e rv isa este esquem a d e estandarización.
Es u n a ag ru p ació n com ercial d e se rv icio co m p leto q u e representa
a cerca d e 4 0 0 fabricantes, asf com o u su a rio s d e en g ra n e s y e n ­
g ran ajes, ad em ás d e a proveedores d e equipo.
C o m o s e estableció a n te rio rm e n te , d o s en g ra n e s d e in v o ­
lu ta cu alesquiera, c o n el m ism o paso diam etral y el m ism o áng u b d e p resió n , s e aco p larán . I\>r lo tanto, los d ie n te s d e engrane
s e h a n estan d arizad o con base e n el p aso diam etral y el ángulo d e
p resión. C o m o se ex p u so e n la sección 1 0 3 , b s á n g u lo s d e pre­
s ió n están d ar so n 1456°, 20° y 25*. EJ á n g u lo d e p resión d e 14'A* se
h a v uelto o b so le to y sirve b ásicam en te p a r a s u s titu ir u n engrane
usado.
E s p e c if ic a c io n e s d
e
la
m im a
d e l d ie n te
d e e n g r a n e d e p r o fu n d id a d to ta l
Paso grueso
{ P i< 2 0)
Mfc, o20*o25'
Paso fino
<Ps*20)
20°
.Viendo, a
1.000
1.000
R dendo, b
Pj
1030
Pd
___ „ , 12
0.002 + —
Pd
Profundidad de trahija. h¡
2.000
2.000
Pj
Pd
C aradetfstiau d d diente
para un ángulo de presión <fc
Profundidad to u l. h,
2250
Espesor circulard e diente, r
Pj
1371
Pj
0.002 *
2200
Pd
1371
Pá
Pd
Ridiodel fílete, ry
0300
Pj
no estandarizado
Tolerancia mínima, c
0230
0.002 *
Pj
^
Pj
Toleranc»i c (al fondo dd
diente)
0350
Anchura min. en la parte
superior
0250
Estándar de la at. ma
201X12
]2
207.04
12
Pd
Pd
Ancho de cara
E l p a s o d ia m e tra l e s u n a m e d id a d e l ta m a f lo d e l d ie n te . En
a p lic a c io n e s d o n d e la s fu e rz a s q u e se t r a n s m i t e n s o n a l t a s , se
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0.002 * ^
Pd
Pd
no estandarizado
Pj
E n g r a n e s : a n á l i s i s d n e m á t i c o y s e l e c c i ó n __________ 2 6 7
re q u ie re n d ien tes m ás g ra n d e s, c o n m e n o re s v alo res d e l paso
d ia m e tra l. Los en g ra n e s s e u tiliz a n e n u n a g r a n v a rie d a d de
ap lic a c io n e s, d esd e re lo je s m ecánicos c o n fu erz as p e q u e ñ a s,
h a s ta m o lin o s c o n g ra n d e s ro d illo s d e ac e ro p a r a fu e rz a s e x ­
tre m a d a m e n te g ran d es. P o r co n sig u ie n te , h a y d isp o n ib le una
g ra n v aried ad d e p asos d iam etrales. Los v alo res estandarizados
d el p aso d ia m e tra l se indican e n la ta b la 10.1.
L a m ay o ría d e la s características d e u n d ien te d e en g ran e,
co m o las q u e s e id entifican e n la sección 1 0 3 y e n la fig u ra 103,
e stá n estandarizadas e n relación con el p aso diam etral y el á n g u lo
d e presió n . Las relaciones aplicables se presentan e n la tab la 103.
Estas relaciones so n actualizadas por la agm a, q u e revisa y p ublica
los estándares n u ev o s c ad a año, b m ayoría d e los cuales están cer­
tificados p o r el In stitu to N acional E stadounidense d e E stándares
(an sí, p o r b siglas d e A m erican N ational S tandards Institute). Los
estándares d e b a c m a ejercen gran influencia e n los m ercados a
nivel m undial.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.2
Considere el engrane recto d e involuta con 35 dientes, a 20", profundidad total y con u n paso diam etral igual a 10 del
problem a d e ejem plo 10.1. D eterm ine el diám etro del círculo del adendo, del d r e u lo del dedendo y la tolerancia.
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule el a dendo
B circulo del adendo e s el diám etro exterior del engrane. El adendo e s la distancia desde el círculo d e paso sobre
u n diente del en g ran e hasta la p arte su p erio r del diente. La distancia estándar de este engrane se c a lc u b a partir
<le las ecuaciones d e la tabla 103.
4 * ■ “ ■ O.lOOin
P¿
10
2.
Calcule el d iá m etro d el adendo
Observe que el adendo es b distancia e n tre los radios del d reu lo d e paso y el d reu lo del adendo, d e m odo que el
d b m etro del d r e u lo del adendo está descentrado una d ista n d a a en am bos b d o s del d re u lo d e p a s a En el pro­
blem a d e ejem plo 10.1, el paso diam etral e s d e 3 3 in. E ntonces, el diám etro d e ld rc u lo del adendo se calcub conto:
da - d + 2 a - 3.5 + 2(0.100) - 3.7 in
3.
Calcule el d iá m etro d el dedendo
Cfc m odo sim ia r, el dedendo es la distancia entre los radios del d r e u lo de paso y el d r e u lo del dedendo. Por lo
tanto, el dedendo se calcula como:
Pj
10
en tan to q u e el diám etro del d re u lo d el dedendo es:
db - d - 2b - 3 3 - 2(0.125) - 3 2 5 in
4.
Calcule la c a n tid a d d el perfil d el d ien te q u e no es d e im v lu ta
Observe que el diám etro del d r e u lo base d e este problem a d e ejem plo es de 3 3 8 9 in . C om parando este con el del
d re u lo del dedendo, se obsecra q u e una pequeña porción del perfil del d ien te del engrane s e encuentra d en tro
d d d re u lo base. Al considerar u n a distancia radial, b longitud de esta pequeña porción d el perfil del diente s e de­
term ina pon
(3289)
Longitud radial q u e n o es in so lu ta “ — -— -
(3250)
— -—
“ 0.019
Recuerde q u e por definición u n a involuta se extiende ún icam en te a partir del d re u lo hase. Esta pequeña p o rd ó n
del perfil d el diente n o e s u n a involuta, por lo que n o deberla fncer c o n ta d o con el diente d d en g ran e acoplado.
5.
Calcule la tolerancia
f ttr ú ltim o , la tolerancia es la distancia que el dedendo excede a l adendo. Es el espacio entre la parte su p erio r de
ixi diente de un engrane y la parte inferior del diente d el engrane aco p b d o . La d ista n c b estándar para este e n ­
grane se c a lcu b con las c c u a d o n e s d e la tabla 10 3 .
C-
025
— - Pd
025
—— - 0.025in
0
Observe que la to lcran d a es m ayor que la d ista n d a d e la p a rtc q u c n o es i m o l u ta del diente d el engrane. Por con­
siguiente, n o se espera q u e haya contacto e n tre los dientes de los engranes e n esta p o rd ó n .
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268
CAPITULO DIEZ
En la p ráctica, lo s p erfiles m a n u fa c tu ra d o s del d ie n te d el
e n g ra n e se d esvian d el perfil te ó ric o q u e s e acab a d e exam inar.
l a co m p o sic ió n d el e r r o r to m a e n c u en ta las im perfecciones d e
m a n u fa c tu ra d el perfil d el d ien te, asi c o m o d e l esp aciam icn to
e n tre u n d ien te y o tro . La a g m a [están d ar 2000-A 88| d efine un
esp ectro d e Índices d e calidad q u e v a n d e s d e la m e n o r precisión
(3 ) h a s ta la m ay o r p recisió n (1 6 ). La velocidad d e lo s d ie n te s d e
e n g ra n e s aco p lad o s, la cu al se an alizará e n la sección 10.7, es un
fa c to r q u e d e te r m in a la calid ad re q u e rid a . E v id e n te m e n te , el
co sto d el e n g ra n e e sta rá e n (u n ció n d e la calidad.
10.6 RELA C IO N ES D E LOS ENGRANES
A CO PLA D O S
d is ta n d a e n tre los ejes q u e s o p o rta n lo s en g ran es. E n la config u r a d ó n c o m ú n d e en g ra n e s e x te rn o s (fig u ra 10.3), la d ista n d a
se expresa com o:
« e r a o s = r , + r2 =
<d' - ~ 2)
(10.7)
yaque
La e c u a d ó n (10.7) s e rep lan tea com o:
En la fig u ra 10J s e m u estran d o s eng ran es e n co n tacto . (A tando
d as en g ran es se acoplan, p o r l o general el en g ran e m ás pequeño se
d e n o m in a piñón, el m ás g ran d e s e conoce com o engrane principal
o sim p lem en te engrane. R ecuerde q u e p a r a q u e d o s eng ran es se
acoplen, d eb en ten er el m ism o p a s o diam etral y el m ism o á n g u ­
lo d e p resió n . En las siguientes secciones, se an alizarán las reía
d o n e s d e d a s engranes acopladas.
En e n g ra n e s in te rn o s (fig u r a 10.3c), la d is ta n d a e n tre
cen tro s e s la d ife re n c ia e n tre lo s ra d io s d e p a s o y s e e x p resa
com o:
10.6.1 D is ta n c ia e n t r e c e n t r o s
r
W + Ni)
(
2 Pj
''Cognac* mtrr-KB
10.8 )
( 4 - dt) _ (Afe - Nt)
’l
M
^
~
La d ista n cia en tre centros C s e d e fin e c o m o la d is t a n d a d e un
c e n tro a o tr o e n tre d o s en g ra n e s aco p lad o s, q u e ta m b ié n e s la
2 P¡
(10.9)
P R O B L E M A DF. E JE M P L O 10.3
Ltas eng ran es d e profundidad total a 20*. paso 5, se usan e n u n a pequeña m ezcladora de concreto para construcción.
Los engranes transm iten potencia d e u n pequeño m o to r d e com bustión interna a la olla m ezcladora. En la figura
10.10 se ilustra esta m áquina. El p in ó n tiene 15 dientes y el engrane 30. Determ ine la distancia e n tre centros.
f ig u r a
S O L U C IÓ N :
1.
ta to
M ezcladora d e co n creto d el p ro b le m a d e e jem p lo
Calcule los diám etros d e paso
Los d iám etro s d e p aso p a ra am bos engranes se determ ina con la e c u a d ó n (1 0 2 ).
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1 0 .3 .
E ngranes: a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________269
4 .
2.
Calcule la distancia entre centros
C om o los engranes son externos, la distancia entre centros se calcula con la ecuación (10.7).
(d, + d¡)
(33) in + ó.Oin)
C = ----= ----------- ----------- = 4.3 m
3.
Verifique la distancia entre centros
Desde luego, se utiliza la e c u a d ó n (10.8) para a lc u la r directam ente la distancia e n tre centros a p artir d e la in fo r­
m ación dada.
„
{N l + N 1)
(15 + 30)
c = ^
« ¡ r
...
° 4-5,°
c o r re s p o n d ie n ta d e d i e n t a a d y a c e n ta , m e d id a so b re d d r e u lo
base. El p aso base se calcu la d e la siguiente m anera:
1 0 .6 .2 R a z ó n d e c o n t a c t o
La m zó n de contacto
es el n ú m e ro p ro m e d io d e d ien tes q u e es­
tá n e n c o n ta c to e n u n m o m e n to determ inado. E videntem ente, la
razó n d e c o n ta c to d e b e s e r m ayor q u e 1, p o rq u e n o es posible que
se p ie rd a el co n tacto e n tre las engranes. En la práctica, las razones
d e c o n ta c to d e b e ría n s e r m ayores que 1 2 . Los dise ñ o s robustos
tienen razo n es d e c o n ta c to d e 1.4 o 15. P ara i u s t r a r este p r in d p i a u n a razó n d e c o n ta c to d e 1.2 in d ica q u e u n p a r d e dientes
sie m p re está e n co n tacto , m ie n tra s u n se g u n d o p a r está e n c o n ­
tacto 20% d e las veces.
Los v alo res m á s g ra n d e s d e razones d e c o n ta c to im plican
m a y o r su av id ad , p u es o tr o d ie n te d el e n g ra n e c o m p a rte la carga
d u ra n te m á s tie m p o e n el p ro c e so d e en g ran aje/d esen g ran aje.
A sim ism o , c o n m á s d ie n te s q u e c o m p a r te n la c a rg a , se suele
tr a n s m itir m á s p o te n c ia . C o m o q u ie ra q u e sea, la ra z ó n d e c o n ­
tacto s e in crem en ta d e fo rm a m ás d ire c ta c o n el u so d e e n g r a n a
m á s g ran d es. S in em bargo, a t o se c o n tra p o n e a la m ay o ría de
las m etas d e d ise ñ o d e co m p actib ilid ad .
N u m é ric a m e n te , la r a z ó n d e c o n ta c to s e e x p resa c o m o
la lo n g itu d d e la tra y e c to ria d e c o n ta c to d iv id id a e n tre el paso
b ase Pf. el cual, a la vez, se d e fin e c o m o la d ista n c ia e n tre p u n to s
Pb =
TTdt cos<f»
v d jc o s d »
■V,
N}
( 10 . 1 0 )
D esde lu eg o , la tra y e c to ria d el p u n to d e c o n ta c to e n los
d i e n t a d e in s o lu ta a u n a lín ea recta ( s e c d ó n 10.4). L a lo n g itu d
Z d e e sta tra y e c to ria d e c o n ta d o s e d e d u c e d e la s i n t m e c d o n a
d e los respectivos d r e u lo s d el a d e n d o y la lín ea d e co n ta c to . Esta
b n g itu d e s (reí. 9]:
Z = V ( r 2 + a i)1 -
( r 2cos«*>)2 -
r2s c n ¿
+ V ( r i + « i ) 2 - ( r , cos<¿)2 - ri sen<f>
( 10 . 1 1 )
De m o d o q u e u n a expresión d e la razón d e c o n ta c to e n té r ­
m inos d e la g e o m e tría d el d ien te d e e n g ra n e e stá d a d a por:
Z
( 10 . 1 2 )
Pb
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.4
Para los e n g ra n a d e la m ezcladora de co n creto del problem a de ejem plo 1 0 5 , determ ine la razón de contacto.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule las propiedades básicas d el diente
Los radios d e paso de am bos e n g r a n a se calculan a p artir d e los diám etros d e paso.
d,
r' " T
3.0¡n
" 1 "
di
— -
r, -
- 1 3 ,n
6.0 in
.
- y - - 33) m
O bservando la tabla 1 0 5 , el ad en d o para d ie n ta d e profundidad total a 20a a :
a
»
\_
r
"
t
Pj
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■
0 2 0 in
270
CAPITULO DIEZ
Calcule e l paso base
H paso hase se calcula con la ecuación ( 10.10).
j r d ,c a s ¿
tt(3.0
N,
in>CGs(20”)
- 0.6890 in
15
Calcule la lo n g itu d d e contacto
la lo n g itu d de la lin ea d e contacto se calcula con la ecuación ( 10.11).
Z - V ( r j ♦ aj)2 - ( f i c o s ^ ) 2 - r j x n d t ♦ V ( n + m )1 - ( r , c o s ¿ ) 2 - n s e n ó
= \ / ( 3 . 0 + 0.2)1 - (3.0cos20°)2 - 3.0sen20*
+ V ( \ 5 + 0 2 ) 1 - (1 5 co s2 0 °)J - U s e n 20”
= 0 9 2 5 5 in
lu eg o , la ra /ó n de contacto se determ ina con la ecuación ( 10.12).
r
Z
0 9 2 5 5 in
pb
0.6890 m
= 1.3433
Aun cu an d o esta razón es aceptable, mayores valores serian m ejores (1.4 a U ) .
o b te n e r u n a relación q u e se em p lea p a r a d e te rm in a r el n ú m ero
d e d ien tes necesario e n el e n g ra n e p a ra elim in a r la interferencia
|ref. 9 ]. La ecu ació n (1 0 .1 3 ) d e term in a el n ú m e ro m ás g ra n d e
d e d ie n te s en el en g ran e p a ra aseg u ra r q u e n o h a y a in terferen ­
cia. La re la d ó n está d a d a c o m o u n a fu n ció n d el n ú m ero d e d ie n ­
te s e n el p iñ ó n a c o p b d o , ju n to c o n el á n g u lo d e p re s ió n y el
ta m a ñ o d e l a d en d o .
10.6 .3 I n t e r f e r e n c i a
C o m o se m e n c io n ó an te rio rm e n te , b desventaja m á s significa­
tiva e n el u s o d e perfiles d e d ien te d e en g ra n e s d e in s o lu ta es b
p o sib ilid ad d e in terferen cia. Los d ien tes d el e n g ra n e tien en p e r­
files d e in v o lu ta e n tre el c irc u lo base y e l c irc u lo d e l a d e n d o .
C u a n d o s e c o n stru y e u n en g ran e con p o c o s d ien tes y á n g u lo s d e
p resió n p eq u eñ o s, el circulo d el d e d e n d o es co n sid e ra b le m e n ­
te m e n o r q u e el d r e u lo base d e b in v o lu ta P o r lo ta n to , el d i ­
e n te e n tre el d r e u lo b ase y el d e d e n d o n o es u n a in v o lu ta . Si el
d ie n te d el en g ran e a c o p la d o c o n ta c ta ra e sta p o rció n d el diente,
s e in frin g iría b co n d ició n fu n d am en tal d e b ra z ó n d e v e lo d d a d
{■V?scn2d> -
(10.13)
41c - 2 N ,s e n 24>
d o n d e k e stá defin id a p o r la relación d el adendo:
c o n sta n te , 'la l co n d ició n s e c o n o c e c o m o interferencia y, cu an d o
o c u rre , lo s d ie n te s p u e d e n g e n e ra r ru id o , v ib r a d ó n y desgaste
excesivos.
Los d iseñ ad o res p ro v o can la in te rfe re n c b c u a n d o in ten tan
o b te n e r en sam b les c o m p a c to s usan d o m u y p o c o s d ie n te s e n los
en g ran es. La in terferen cia se p resen ta u su a lm e n te c u a n d o u n e n ­
g ra n e p e q u e ñ o se a c o p b c o n u n o m u c h o m ás g ra n d e . S e lo g ró
TABI.A 1 0 .4
4^1
a =
l a ecu ació n (10.13) sirv e p a r a ta b u la r co m b in acio n es ade­
cuadas d e eng ran es q u e e lim in e n b in te rfe re n c b . 'Iáles c o m b i­
n acio n es se p re se n ta n e n b t a b b 10.4.
C o m b in a c io n e s d e d ie n te s d e e n g r a n e para e lim in a r b in te rfer en cia
- 14°
r
ó
=
20*
*=25”
N ú m e r o d e d íc a le s
N ú m e r o m á x im o d e
N ú m e r o d e d ie n te s
N ú m e r o m d x lm o
N úm ero d e
N ú m e r o m á x im o d e
«W p ifió n
•fie m e s d e l e n g r a n e
d e l p lA ú n
d e d ie n te sd e l en g ra n e
• fie n ! e s d e l p i f i ó n
d e n tes d e l en g ra n e
<23
bitcrfrtmci*
< 13
IntcrfeimcM
<9
Interferencia
23
26
13
16
9
13
24
32
14
26
10
32
23
40
13
45
II
249
26
31
16
101
12
00
27
67
17
1309
28
92
18
00
29
133
30
219
31
496
32
00
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Engra n o : a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________271
O b serv e e n la la b ia 10.4 q u e los pifiones d e 1414*c o n m ás
d e 32 d ie n te s s e a c o p la n , s in in terferen cia, c o n cu a lq u ie r
ta m a ñ o d e e n g ra n e . T a m b ié n q u e u n p iñ ó n e stá n d a r d e 14'/i*
c o n m en o s d e 23 d ien tes s u fre interferencia, in d is tin ta m e n te del
ta m a ñ o d e l e n g ra n e a c o p la d o . Estos lim ite s s e o b tie n e n p a ra
o tro s án g u lo s d e p re sió n estándar.
E n la tab la 10.4 e s evidente que u n p iñ ó n d e in v o lu ta c o n u n
á n g u lo d e p resió n d e 25° p erm ite el uso d e engranes c o n m enos
d ien tes sin interferencia. C o m o consecuencia, e s posible lo g rar
ensam bles m ás c o m p acto s. Este e s el m o tiv o principal d e la p o ­
p u la rid a d d e lo s d ie n te s a 25° y la obsolescencia d e los d ien tes
a 14V,".
En el caso ex trem o d o n d e u n p iñ ó n s e a c o p la c o n cu alq u ier
o tro en g ran e, s e su stituye N j = o o e n la ecu a c ió n (10.13). Esto
d a el ta m a ñ o d el p iñ ó n q u e se a c o p la c o n c u a lq u ie r en g ran e.
C o m o ya se m e n c io n ó , u n p iñ ó n a I4>í* c o n 32 d ie n te s tien e
tales propiedades. U n a v e z q u e se su stitu y e
= oo, s e d e d u c e la
s g u ie n te relación:
2k
Nt >
(10.14)
sen? <f>
Se d ebería n o ta r q u e u n en g ran e c o n N ¡ = o o tam bién ten ­
d ría u n radio d e paso infinito. Este es el concepto subyacente de
una crem allera , c o m o la q u e se m u estra e n la fig u ra 10.3d.
E ntonces, se d e b e satisfacer la ecu ació n (1 0 .1 4 ) p a ra garantizar
q u e u n e n g ra n e se a c o p la con la crem allera y elim in a la interfe­
rencia.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.5
Para los engranes de la m ezcladora d e co n creto descrita e n el problem a de ejem plo 10.3, determ ine si la interferencia
deberla ser u n a preocupación.
S O L U C IÓ N :
I.
I H lic e la ta b la d e in terfe re n c ia p a r a v e r ific a r c riterio *
En la tab la 10.4 se observa q u e u n p iñ ó n d e 15 d ien tes, c o n d ie n te s d e p ro fu n d id a d to ta l a 20°. n o p u ed e
acoplarse con u n en g ran e con m ás d e 45 dientes sin interferencia. C o n tan so lo 30 dientes, la interferencia n o es
u n problem a previsible.
2.
l i e la e c u a tió n d e in te r fe re n c ia p a ra v e r ific a r lo t c riterio s
Se obtiene el m k m o resultado c o n b ecuación (10.13). De b tabla 10 J , el adendo es:
3
1
P
Por lo tanto,
1
Se utiliza b ecuación (10.13) p a ra verificar los problem as de interferencia.
_ |N fscn: «6 - 4 * J)
1V7 ^ --------------------z---4* - 2 N |itn
|15?sen?20* ~ 4(1)*1
** <
4(1) - 2 ( l 5 ) « n 220*
N ¡ < 45.48
B n ú m e ro d e d ien tes del engrane im pulsado, 30, es m e n o r que el valor lim ite de 45.48, por lo q u e la interferen­
cia n o es u n problem a.
C om o se m encionó anteriorm ente, el perfil del d ien te se puede
m odificar a costa d e la forma de h profundidad total, con la finali­
dad d e p e rm itir el acoplam iento d e engranes pequeños con e n ­
granes grandes. Desde luego, esto m inim iza el tam año total del sis­
tem a de engranes, el cu al es un objetivo d e diseño usual. l a acma ha
incluido previsiones estándar para m odificar ios perfiles de invohita.
Se desarrollaron d e n l a de m u ñ ó n (cortos) c o n u n á n g u lo d e
presión grande y dientes pequeños. El sistem a de m uñón tiene d ie n ­
tes m ás fuertes, p ero u n a p ro fundidad d e trabajo usualm ente 20%
m en o r q u e lo s clientes d e p ro fundidad total.
O tro sistem a alternativo es el sistema de adendos largo y corto.
En estos perfiles, au m enta el ad en d o de u n engrane y dism inuye el
adendo del en g ran e acoplado.
El resultado, desde luego, es que tales engranes n o estandariza­
d o s ya n o so n intercam biables c o n los engranes estándar. Los e n ­
granes especializados se u sa n raras veces e n el diseño d e m áquinas
a i general y los detalles están m ás allá d el alcance d e este libro. Se
deben co n su lta r b s referencias p a ra el análisis d e perfiles n o es­
tandarizados (refs. 4 ,9 ,1 3 ,1 5 ).
10.6.4 R e b a je
La interferencia tam b ién se elim in a al rem over m aterial d d diente
<fel en g ran e e n tre d d r e u lo base y d d r e u lo d el d ed e n d o . Esta es
la p o rció n d el d ien te d el en g ran e q u e n o es d e im o lu ta e in te r­
feriría c o n el d ie n te del e n g ra n e acoplado. En la fig u ra 10.11 se
m uestra d d ie n te rebajado d e u n engrane.
0 rebaje reduce ev id en tem en te la resistencia d e u n engrane,
c o n l o cu al d ism in u y e la p o te n c ia q u e se p u e d e tra n sm itir con
se g u rid ad . A dem ás, ta m b ié n reduce b lo n g itu d d e co n ta c to , lo
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272
CAPITULO DIEZ
del d ie n te d el en g ran e, ya q u e la h o lg u ra e s u n a m e d id a d el espe
so r d el d ie n te e n el espacio d el d ien te. La agma especifica valores
de h o lg u ras reco m en d ad as [estándar 2002-B88). A un c u a n d o es­
tos valores s o n a lg o conservadores, lo s eng ran es d e tra n sm isió n
d e p o te n c ia e n g eneral tien en valores reco m en d ad o s d e h o lg u ­
ra de
Perfil estándar del
diente de engrane
0.05
Rebaje para eliminar la Interferencia
(ociare e n el área de mayor e s te n o )
F I G U R A 1 0 .1 1
c u a l d is m in u y e la
D ie n te r e b a ja d o d e
r a z ó n
d e
u n
g e n e r a
u n
0 .3
a c -
0.5
<
d o n a m
d
ic n to m á s b u rd o y r u id o s a
r e b a je a
m e n o s q u e la a p lic a c ió n
e n g ra n a je c o m p a c to . E n ta le s
s is , a s i c o m o
e x p e rim e n to s
ft» r lo
c a so s, e s n e c e s a rio
d e
r e a liz a r a n á li­
re s is te n c ia a v a n z a ­
a d e c u a d a .
C o m o se estableció e n la se cció n Í O J . la h o lg u ra es la cantidad
q u e el a n c h o d el espacio e n tre d ien tes excede al espesor d el diente
d el en g ran e, m e d id a so b re el c írc u lo d e paso. En té rm in o s m ás
prácticos, e s el espacio q u e u n engrane p u e d e g ir a r sin q u e s u e n ­
g ra n e acoplado gire. Si bien la h o lg u ra quizá parezca indeseable,
e s necesaria cierta h o lg u ra p a ra efectos d e lubricación d e los d ie n ­
tes d el engrane. Los en g ran es q u e fu n cio n an co n tin u a m e n te en
una d irecció n pueden tener realm ente h o lg u ra considerable. Los
en g ran es d e a rra n q u e /p a ra d a frecuente o q u e invierten su direc­
c ió n , d eb erían te n e r u n a h o lg u ra m u y controlada.
p e rfil d e d ie n te d e u n
<
t a n t a s e d e b e r ia e v ita r
1 0 .6 .5 H o lg u r a ( ju e g o )
0
« e n g ra n a -d í-n m n u rio
r e q u ie ra d e fin itiv a m e n te u n
c in e m á tic o s y
d o s p a r a g a ra n tiz a r u n a o p e ra c ió n
-"■ ¡5
En lo s eng ran es d isp o n ib les co m ercialm en te, lo s valores de
b h o lg u ra so n m u ch o m ayores p a r a p e r m itir m ay o r flexibilidad
e n las aplicaciones. Los valores d e la h o lg u ra e n esto s eng ran es
so n p o r lo general:
e n g ra n e .
c o n ta c to , m ie n tr a s
0.1
< B
Pj
e n g ra n e s e d is e ñ a c o n
u n
v a lo r d e
h o lg u ra n o m in a l. E i ta m a ñ o d e la h o lg u r a d e te r m in a e l e s p e s o r
D e m a n e ra q u e s e d e b e te n e r c u id a d o c u a n d o s e esp ecifiq u en
engranes d e in v e n ta rio p a r a la s aplicaciones c o n inversión d e las
d irecciones o c o n secuencias frecuentes d e a rra n q u e/p arad a .
Los valores d e la h o lg u ra están m u y influ id o s p o r cualquier
variación d e la distan cia e n tre los cen tro s d e los engranes. Desde
b e g a e n cu alq u ier am b ien te d e p ro d u cció n , varia la distan cia e n ­
tre c e n tro s d e d o s en g ran es. S in em bargo, u n a desviación e n la
distancia n o m in a l e n tre cen tro s p u e d e especificarse a p ro p ó sito
p o r un diseñador, para a ju sta r b holgura a u n rango deseado. La
variación d e h o lg u ra A B que s e o b ten d rá c o n u n a variación A C
en la distan cia e n tre cen tro s s e aproxim a c o n la sig u ien te relación:
AB «
2 (A C )ta n ¿
(10.15)
La ecu ació n (1 0 .1 5 ) s e u sa c o n la ecu ació n (1 0 .7 ) o (10.8)
p a ra especificar b distan c ia e n tre c e n tro s q u e p ro d u c e los valo­
res d e h o lg u ra q u e se d e b e n m a n te n e r e n u n r a n g o d e te rm i­
n a d a La re d u c c ió n d e b d ista n c ia e n tre c e n tro s d ism in u y e la
holgura, y viceversa.
P R O B L E M A DF. E JE M P L O 1 0 .6
lo s eng ran es d e b m ezcladora d e concreto descrito e n el problem a d e ejem plo 10.3 son artícu lo s de catálogo c o n una
holgura d e diseño igual a 0.4/Pj. Especifique b distancia e n tre centros q u e reduce b holgura a u n valor d e 0.1 I P j re ­
com endado por la a c m a.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule la holgura d el diseño
/W u a .2.
T
" 0,08in
D eterm ine la holgura recom endada
«rcamodadj “
3.
"
0 .1
ai
“ 0Á)2,n
Calcule la distancia entre centros ajustada
Reagrupando la ecuación (10.15):
AB
(0.02 - 0.08)
A C =3 ------------ = -------------------- = 0.0824 in
(2 ta n * )
2 ta n (20")
En el problem a de ejem plo 1 0 J , b distancia nom inal entre centros se d eterm in ó igual a 4 5 in . P o r lo to n ta para
ajustar el valor d e la holgura, la distancia entre centros s e deberia red u cir a
Canuda = 4 5 -
0 0 8 2 4 = 4 .4 1 7 6
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Engran e»: a n á lisis d n e m á tic o y selecció n _________273
Se tiene que p o n er énfesis e n que la reducción d e la distancia entre cen tro s producirá un engranaje m uy apre­
tado, adem ás d e que podría causar m ucho ruido, sobrecalentam iento y s o b r e c a ra estructural. Sin e m b a rg o algunas
aplicaciones requieren holgura m ínim a. Desde lu e g o hay que efectuar pruebas para confirm ar el diserto.
1 0 .6 .6 Á n g u lo d e p r e s i ó n d e o p e r a c i ó n
C o m o se m e n c io n ó e n la s secciones an teriores, el á n g u lo d e p re ­
sió n d e fin e la lín ea d e a c ció n d e la fuerza s o b re el d ie n te d el e n ­
g ran e. H1 á n g u lo d e p re sió n d el diserto se c o r ta o m o ld e a e n el
d ien te d el e n g ra n e y afecta la fo rm a real d el d ie n te (fig u ra 10.7).
D eb e m e n cio n arse q u e c o n fo rm e la d ista n c ia e n tre cen tro s
de lo s en g ra n e s a c o p la d o s se desvia d e s u v a lo r n o m in a l, el á n ­
g u lo d e p re sió n real d u r a n te la o p e ra c ió n d ifie re d d v a lo r d e
d iserto. En o t r a s p a la b ra s, d o s en g ra n e s a 2 0 ° te n d r ía n r e a l­
m e n te u n á n g u lo d e p re sió n m ay o r d u ra n te la o p e ra c ió n al in ­
c re m e n ta r el v a lo r n o m in a l d e la d ista n c ia e n tre c e n tro s. La
relación q u e se utiliza p a r a d e te rm in a r la m a g n itu d d e la d is ­
crepancia s e e x p resa [ref. 9 ] com o:
'^operación
{cop,
|
(10.16)
fcn la s ap lic a c io n e s d o n d e s e r e q u ie re c a lc u la r c o n pred s ió n la f u e r a real q u e s e tra n sm ite , s e d e b e rla u sa r d á n g u lo
d e p resión e n o p eració n , ya q u e refleja el d esem p eñ o real d e las
fuerzas e n d en g ran e.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.7
Para los engranes de la m ezcladora d e co n creto descrita e n el problem a de ejem plo 10.3, determ ine el á n g u lo d e pre­
sión e n operación cu an d o la distancia entre cen tro s es de 4.4176 in. c o m o e n el problem a d e ejem plo 10A.
S O L U C IÓ N :
Si s e parte de los n ú m ero s d d problem a de ejem plo 10.6 y de la ecuación (10.16), s e calcula lo siguiente:
} « * * - — ■■ { i ^ } 4» 20- - 09571
7
= 16.82»
10.7 C IN E M Á T IC A DE U N EN G R A N E RECTO
U n a fu n c ió n b á sic a d e los e n g ra n e s c o n s iste e n p r o p o r c io ­
n a r u n a razó n d e v elo cid ad c o n s ta n te e n tre sus respectivos ejes.
C u a n d o u n p a r d e eng ran es tie n e u n a razón d e v d o d d a d c o n s­
ta n te sig n ifica q u e d e n g ra n e im p u lsa d o m an tien e u n a v d o d ­
d a d u n ifo rm e , m ie n tra s d e n g ra n e im p u lso r g ire a v d o d d a d
co n stan te. E sta c o n d id ó n lleva al d esarro llo d el perfil d e in v o lu ta d el d ie n te . En la fig u ra 10.12 s e m u e s tra u n p a r d e engranes
recto s acoplados.
F o rm alm en te, la razón de velocidad VR s e d efine c o m o la
velocidad a n g u la r d el e n g ra n e im p u ls o r (e n g ra n e 1) div id id a
e n tre la v d o d d a d a n g u la r d d e n g ra n e im p u lsa d o (e n g ra n e 2 ).
rt^unpubor
VR =
OJ,
(1 0 .1 7 )
w n i p u la d o
f i g u r a
C o m o la ra z ó n e s válida in d e p e n d ie n te m e n te d e las u n id a ­
des, la ra z ó n d e v e lo d d a d s e define, asim ism o, e n té rm in o s d e
rev o lu c io n e s p o r m in u to , ra d ia n e s p o r u n id a d d e tie m p o o
cu a lq u ie r o tr o c o n ju n to co n v en ien te d e u n id a d e s d e v e lo d d a d
angular. En la p ráctica, u n a ra z ó n d e velocidad igual a 3 se re ­
p resen tarla c o m o 3:1, q u e s e lee c o m o “tres a uno". D e igual m a ­
n e ra , u n a ra z ó n d e velocidad d e 1/3 s e rep re sen tarla c o m o 1:3 y
se leerla c o m o “u n o a tres".
1 0 .1 2
C in e m á tic a d e e n g ra n e s a c o p la d o s .
La v d o d d a d e n la Unta d e paso v , s e d efine c o m o la m a g n i­
tu d d e la velocidad d el p u n to d e p aso de los d o s eng ran es a c o p la­
d o s. E sta velocidad tam b ién se o b se rv a e n la figura 10.12. E s ev i­
d e n te q u e la v e lo d d a d e n la lín ea d e p aso d e a m b o s eng ran es
e s id é n tic a , p o rq u e el d ie n te d e u n e n g ra n e e m p u ja el d ie n ­
te acoplado. P o r l o tanto, la v elo d d ad e n b lin e a d e p aso es u n a
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274
CAPITULO DIEZ
m e d id a lin eal y e stá relacionada c o n las velocidades angulares d e
los en g ran es y s u s rad io s d e paso m ed ian te la e c u a d ó n ( 6 5 ) .
y, = r¡oj, = Tja*i
(1 0 .1 8 )
A dvierta q u e, c o m o e n el c ap itu lo 6, la v e lo d d a d an g u lar e n esta
e c u a d ó n se d e b e esp ed fica r e n rad ian es p o r u n id a d d e tiem po.
l a c o m b in a c ió n d e la s ecuaciones (1 0 .1 7 ) y (1 0 .1 8 ) d a la
sig u ie n te re la d ó n :
^
=
IO¡
VR
Ti
Si s e in tro d u c e n lo s d iá m e tro s d e paso,
Él =
di
™
=
(2 r ,)
H
I
= VR
a s i c o m o el p aso d ia m e tra l y el n ú m e ro d e dientes,
*2
É l = fá
dt
= yn
P j
C o m o el p aso d ia m e tra l d e los d o s en g ra n e s d e b e s e r idéntico
p a ra q u e lo s d ien tes s e a c o p le n .s e elim in a P je n la e c u a d ó n a n ­
terior:
É l
di
= !É l = y o
N,
™
R eu n ien d o to d a s la s relacio n es a n te rio re s s e o b tie n e u n a
o p r e s i ó n integral d e la ra z ó n d e v e lo d d ad .
a
=*
ri
= £ = £
d¡
Nt
La con v en ció n d e sig n o s algebraicos d efine la d ire c d ó n reh tiv a d el giro d el e n g ra n e . En el en g ran aje e x te rn o típico, los
cen tro s d e lo s e je s están e n la d o s o p u e s to s d e la ta n g e n te c o m ú n
a lo s d r e u lo s d e paso, lo cual establece q u e lo s en g ra n e s g ira n en
direcciones op u estas. P ara expresar tal h ech o , la r a z ó n d e v e lo d ­
d a d se p r o p o r d o n a c o n u n v a lo r negativo.
P ara e n g ra n e s in te r n o s , c o m o el m o s tr a d o e n la fig u ra
10.3c, lo s c e n tro s d e lo s e je s e stá n d el m ism o la d o d e la tangente
c o m ú n a lo s d r e u lo s d e p a s o E sto in d ica q u e lo s en g ra n e s g ira n
e n la m ism a d ire c d ó n . P o r lo ta n to , la ra z ó n d e velocidad se e x ­
p resa c o n v a lo r p ositivo.
C o m o se m en cio n ó e n la in tro d u c ció n , m u c h o s en g ra n e s se
u sa n e n aplicaciones d o n d e se d e b e r e d u d r la velocidad d e una
fuente d e po ten cia. E ntonces, e s n o rm a l ten er razo n es d e v e lo d ­
dad m ayores que 1. C o m o se o bserva e n la e c u a d ó n (10.17), esto
indica q u e el engrane im p u lso r g ira m ás rá p id o q u e el engrane
im pulsado, l o cu al e s el caso e n las re d u e d o n e s d e v e lo d d ad .
P R O B L E M A DF. E JE M P L O 10.8
Se utiliza u n g ru p o d e eng ran es para red u cir la velocidad d e u n m o to r eléctrico q u e im pulsa el eje d e u n transporta­
dor. e n la caja registradora d e u n superm ercado (figura 10.13). E l engrane sobre el eje d el m o to r es u n pifión d e paso
10, con 15 dientes y funciona a 1800 rpm e n se n tid o horario. D eterm ine la velocidad d d engrane acoplado, el cual
tiene 45 dientes. C alcule tam bién la velocidad en la lín ea d e paso.
o*j • I S O O r p m
- 15 dientes
F I G U R A 1 0 .1 3
S O L U C IÓ N :
1.
T ra n s p o rta d o r d
e
la caja re g istra d o ra d el p ro b le m a d e e jem p lo
1 0 .8 .
Calcule la razón d e itlo c id a d
La razón d e velocidad se calcula con la ecuación (10.19).
VR = — = —
N,
15
-3
En la práctica. este valor se expresa com únm ente com o razón de engrane d e 3:1. Observe que el valor negitivo
h d ic a q u e los engranes giran e n direcciones opuestas, lo cual es congruente c o n los eng ran es extem os.
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F n g r a n o : a n á l i s i s d n e m á t i c o y s e l e c c i ó n __________^ 7 5
2.
D e te r m in e la tr lo c id a d a n g u la r d e l e n g ra n e im pu lsado
l a v e lo c i d a d a n g u l a r d e l e n g r a n e i m p u ls a d o s e c a lc u l a r e a g r u p a n d o l a e c u a c i ó n ( 1 0 .1 7 ) .
to i
o>< = —
3.
1800 r p m
= — — —— ■ - 6 0 0 rpm = 6 0 0 rpm , e n sentido an tih o ran o
C alcule la v e lo c id a d e n la lin ea d e paso
L o s d i á m e t r o s d e p a s o s e c a lc u l a n c o n l a e c u a d ó n ( 1 0 3 ) .
Ni
* ■
ü
15
■ »
N¡
" u
-
45
L a v e l o d d a d e n b l í n e a d e p a s o s e c a l c u l a c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 .1 8 ) .
r[üi¡
v, -
r, ■
■
0 . 7 5 in
2ir r a d
-
(1 8 0 0 rpm )
-
I I 3 0 9 .7 r a d /m in
I rev
v, -
( 0 .7 5 i n ) ( H 3 0 9 .7 r a d /m in ) -
8 4 8 2 3 in /m in
A l c o n v e r tir la s u n id a d e s .
v, -
8 4 8 2 3 in /m in | — -
-
7 0 6 .9 ft/m in
C o m o s e i n d i c ó a n t e r i o r m e n t e , b a g m a d e f in e |e s t á n d a r 2 0 0 0 A 8 8 ) u n c o n j u n t o d e n ú m e r o s d e c o n t r o l d e c a lid a d q u e v a n d e 3 a
TABLA
1 0 .6
P a s o s d ia m e t r a le s a d e c u a d o s p a ra
1 6 . E s ta s c h s i f k a c i o n e s n u m é r ic a s r e fle ja n b p r e c is i ó n d e l p e r f i l d e l
e n g r a n e s a 20° d e a c e r o d u lc e , c o n
d i e n t e , e l e s p a d a d o d i e n t e a d i e n t e y e l a c a b a d o s u p e r f i c ia l . L a v e ­
a n c h o d e c a r a e stá n d a r
l o c i d a d v , e n b l i n e a d e p a s o e s u n t a c t o r q u e d e t e r m i n a l a c a lid a d
r p m d d p ifió n
« b le n d a
r e q u e r id a d e l e n g r a n e . L a t a b b 1 0 3 p r e s e n t a b c a li d a d d e l e n g r a n e
r e c o m e n d a d a e n s is t e m a s im p u ls o r e s m e c á n i c o s d e p r e c is i ó n .
T A B 1A
1 0 .5
C a lid a d d e e n g r a n e
1
r e c o m e n d a d a p o r la agm a
9
50
100
300
600
900
0 .0 5
20
20
24
32
32
0 .1 0
16
20
20
24
24
1200
1800
2400
3600
32
32
32
32
24
32
32
32
025
12
16
20
20
24
24
24
24
24
C a lid a d su g e r id a
033
10
12
16
20
20
24
24
24
24
h n a d ep u so
d d engrane
030
10
12
16
20
20
20
20
24
24
( ft /m in , fp m )
( d a s if ic a d ó n d e b a g u a )
0 .7 5
8
10
12
16
16
20
20
20
20
V e lo d d a d «
b
0 -8 0 0
6 -8
U)
6
10
12
16
16
16
20
20
20
8 0 0 -2 0 0 0
8 -1 0
13
6
8
12
12
16
16
16
16
20
3 0 0 -4 0 0 0
1 0 -1 2
2a
6
6
10
12
12
12
16
16
16
M ás d e 4 0 0 0
1 2 -1 4
3a
5
6
8
10
12
12
12
12
16
5 .0
4
5
6
8
10
10
12
12
12
73
4
5
6
8
8
8
10
10
10
10
1 0 .8 S E L E C C I Ó N D E U N E N G R A N E R E C T O
E n u n p r o c e s o d e d is e ñ o , s e d e b e n e le g ir l o s e n g r a n e s p a r a r e a ­
10
3
4
6
6
6
8
8
8
15
2
4
5
6
6
6
6
6
8
20
2
3
4
5
6
6
6
6
—
liz a r d e r l a ta r e a . C o n f r e c u e n c ia , la ta r e a e s o b t e n e r u n a r a z ó n
25
—
3
4
5
5
5
6
5
—
30
—
2
4
4
5
5
5
—
—
ñ a d o r t a n s o l o n e c e s it a d e t e r m in a r l o s p a r á m e t r o s c la v e : e l p a s o
40
—
2
3
4
4
—
—
—
—
d ia m e t r a l, e l á n g u lo d e p r e s ió n y e l n ú m e r o d e d ie n t e s e n c a d a
50
—
—
3
4
4
—
—
—
—
d e v e lo d d a d d e t e r m in a d a . D e b i d o a q u e l a m a y o r ía d e l o s e n ­
g r a n e s e n o p e r a c ió n c u m p le n c o n e l e s tá n d a r d e l a a g m a , e l d is e ­
e n g r a n e . L a m a y o r ía d e o t r a s c a r a c t e r ís t ic a s d e u n e n g r a n e se
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276
CAPITULO DIEZ
d e te rm in a con el u so d e las relacio n es están d ar d e la
se n ta d a s en seccio n es an teriores.
agma
p re ­
10.8 .1 P a s o d i a m c t ra l
En u n p ro ceso típ ic o d e diseño, el p rim e r p a rá m e tro a eleg ir es
d p a s o d ia m e tra l a d e c u a d o . C o m o el p a s o d ia m e tra l es el
ta m a ñ o relativ o d el d ie n te d e l e n g ra n e , s e m a n tie n e el a r g u ­
m e n to d e q u e las fuerzas tra n sm itid a s y la s p ro p ied ad es d el m a ­
terial d el e n g ra n e afectan tal d e d s ió n . Los c rite rio s precisos d e
selección req u iere n el cálculo d e los esfuerzos e n el d ien te y las
presio n es d e c o n ta c to d el en g ran e. L o s p ro c e d im ie n to s d e cálcu ­
lo s e in clu y en e n las especificaciones d e la agma . E ste nivel d e
d etalle v a m ás allá d el alcan ce d e este libro.
Se p u ed en o b te n e r fácilm ente estim aciones conservadoras
d e p a s o s d iam etrales a d e c u a d o s c o n la m ay o ría d e los p ro v ee­
dores d e eng ran es com erciales. Los p roveedores u tilizan los es­
tá n d a re s d e la AGMA p i r a d e te rm in a r la c ap ac id a d p a ra tr a n s ­
p o rta r p o te n c ia d e sus eng ran es d e inventario. P artie n d o d e estos
d ato s, se lo g ra u n a estim ació n d el p aso d ia m e tra l adecuado, ya
q u e se conocen la p o te n c ia no m in al tra n sm itid a p o r el p a r d e e n ­
granes, la velocidad a n g u la r d el p iñ ó n y el m aterial d d engrane.
G im o ejem plo, se in d u v e n estos d a to s e n la tab la 1 0 6 . E sta tabla
Esta pasos d iam etrales adecuados p a ra en g ran es, a 20°, d e acero
dulce c o n a n c h o d e cara estándar, c o n b a s e e n la velocidad del
p iñ ó n y la potencia tra n sm itid a . H ay tablas sim ilares p a ra ángub s d e p re sió n y m ateriales alternativos. E l u s o d e estas tablas se
lu s t r a con u n ejem plo.
P R O B L E M A DF. E JE M P L O 10.9
Se va a seleccionar un p a r de engranes d e acero d u k e para b m ezcladora de concreto descrita en el problem a de ejem ­
plo 10.3. La m ezeb d o ra e s im pulsada por un m o to r de com bustión interna d e 10 hp, a u n a velocidad de 1800 rpm .
C tterm inc un p aso diam etral adecuado.
S O L U C IÓ N :
Están especificados los engranes de acero dulce que so n capaces de funcionar a 10 h p con una veloddad del piñón de 1800
ipm. T om ando e n cuenta criterios d e interferencia, b ta b b 10 J indica que un p iñ ó n de 18 dientes con un ángulo de
presión d e 20° se puede a co p b r con cualquier o tro engrane. La ta b b 10.6 sugiere que se debe utilizar u n paso diam etral
igual a o ch o para transm itir b potencia. Por ello, u n piñón de acero dulce d e 18 dientes con un paso diam etral d e ocho
debería resultar adecuado. Para una selección m ás confiable, e s necesario efectuar u n análisis de resistencia completo.
1 0 .8 .2 Á n g u lo d e p r e s i ó n
H se g u n d o p a rá m e tro que s e d ebería seleccionar es el á n g u lo d e
p resión. C o m o s e m en cio n ó , los valores están d ar d e los ángulos
d e p re sió n so n \A'A*, 20* y 25°. Recuerde q u e lo s eng ran es d e 14/í°
se reco m ien d an ú n icam en te p a ra su stitu irlo s engranes d e 14!4®en
las m á q u in as ya existentes. Los eng ran es c o n án gulos d e presión
iguales a 20" s e ad ap tan bien a las aplicaciones generales. Los e n ­
g ranes con ángulos d e p resión d e 25° p u e d e n s e r m ás pequeños,
sin preocuparse p o r la interferencia, pero su eficiencia e s m en o r en
la tra n sm isió n d e la tu e rz a P o r lo ta n to , están m e jo r adap tad o s
para aplicaciones d e alta velocidad y b aja potencia.
locidad deseada. Se su e len p re fe rir los e n g r a n e m ás p eq u eñ o s
p o rq u e m in im iz an el tam añ o , el p eso y el costo. D esde lu eg o , el
ta m a ñ o m ín im o l o d e te rm in a n lo s c rite rio s d e in terferen cia.
El n ú m e r o d e d ie n te s d e u n e n g ra n e tie n e q u e s e r u n en tero .
A un c u a n d o e sta prem isa p a rece evidente, d e b e s e r u n a conside­
ra c ió n p e rm a n e n te , ya q u e la o b te n c ió n d e u n n ú m e r o entero se
d ific u lta ría , a d e m á s d e q u e los fa b ric a n te s d e e n g ra n e s n o
tien en e n in v e n ta rio en g ra n e s c o n in crem en to s d e u n d ien te. La
tib ia 10.7 lista los e n g r a n a c o m u n e s d isp o n ib le s c o m e rc ia l­
m e n te. S e reco m ien d a c o n s u lta r u n c a tá lo g o específico, c o m o
Boston G ear. B row ning G ears o M a rtin S procket 8c G ear, para
elegir el n ú m e ro d e d ien tes, com o o p c i o n a ad icio n ales a las lis­
ta d a s e n la ta b la 10.7,
1 0 .8 .3 N ú m e r o d e d ie n t e s
F in alm en te, s e d e b e d e te rm in a r e l n ú m e r o d e d ie n te s d el e n ­
g ra n e . E sta d ecisión p o r l o g eneral d e p e n d e d e la r a z ó n d e ve­
TA BIA
10.7
N ú m e r o d e d ie n te s d e e n g r a n e s e n in v e n ta r io c o m e r c ia lm c n te d isp o n ib le s
Rb m d ia m e tr a l d e 3 2
12
16
20
28
36
48
64
80
112
14
18
24
32
40
56
72
96
128
96
144
( to o d ia m e tr a l d e 2 4
12
18
24
30
42
54
72
15
21
27
36
48
60
84
120
R e o d ia m e tr a l d e 2 0
12
16
24
35
50
80
100
160
14
18
25
40
60
84
120
180
15
20
30
45
70
90
140
200
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E n g r a n e s : a n á l i s i s c i n e m á t i c o y s e l e c c i ó n __________ 2 7 7
P TA BLA
( C o n tin u a c ió n )
1 0 .7
|
r
P i s o d i a m e t r a l d e 16
12
16
24
32
48
64
96
160
14
18
28
36
56
72
128
192
13
20
30
40
60
80
144
P u o d i a m e t r a l d e 12
12
15
20
28
42
60
84
120
168
13
16
21
30
48
66
96
132
192
14
18
24
36
54
72
108
144
216
200
A n o d i a m e t r a l d e 10
12
16
24
30
45
55
80
120
14
18
25
35
48
60
90
1 40
15
20
28
40
50
70
100
160
H ito d ia m e tra l d e 8
12
16
22
32
44
60
80
112
14
18
24
36
48
64
88
120
15
20
28
40
56
72
96
128
P u to d ia m e tr a l d e 6
12
16
24
33
48
66
96
14
18
27
36
54
72
106
15
21
30
42
60
84
120
A lto d ia m e tra l d e 3
12
16
24
30
45
70
110
160
U
18
25
35
50
80
120
180
15
20
28
40
60
100
140
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.10
Se utiliza u n engranaje red u cto r para u n pequeño m o to r e n u n bote de pesca. I-os engranes deben tran sm itir 5 h p de
m m o to r eléctrico q u e gira a 900 rpm a la hélice que gira a 320 rpm . Seleccione u n co n ju n to de eng ran es para realizar
esta tarea.
S O L U C IÓ N :
I.
D eterm ine el paso d ia m etra l y el ángulo d e presión adecuados
Com o esta aplicación requiere engranajes en general, se usa un ángulo d e presión d e 20". Si s e parte de la ta b b 10.6,
m estim ado del paso diam etral adecuado es:
Pj 2.
10
Emplee la razón d e velocidad requerida p a ra iterar y d eterm in a r el núm ero d e d ien tes adecuado
La razón de velocidad requerida es
= 2 ll2 5
"bitpukadj
3 2 0 ip m
Reagrupando la ecuación (10.19)
N
)=
= N^
2M2>>
C o m o generalm ente s e prefiere u n ensam blaje m ás pequeño, s e sustituyen los valores d e los d ien tes del
piñón (im pulsor), in ician d o con u n p iñ ó n lo m ás pequeño posible. O bserve q u e se debe aplicar u n proceso ite­
rativo, porque el n ú m ero de dientes debe ser u n entero. Usando:
NmfuUo, - 13,
Nmiuh4do - 13
- 3656
N tn p lw r = 14.
Nimpukedo = h ( ^ )
= 3958
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278
CAPITULO DIEZ
^npdaof
“
15,
Nm.pubor
=
16.
H
* * *
"
i í ( ü )
-
45
l a com binación de enteros m ás pequeña es de 16 y 45 dientes. Asimism o, si se parte del análisis anterior, u n paso
ciam etral adecuado es d e 10. l a tabla 10.7 confirm a que estos engranes están disponibles com ercialm ente.
3.
Calcule lo t diám etros d e paso y la distancia e n tr e centros
I b r últim o, los diám etros d e paso correspondientes y la distancia e n tre cen tro s son:
d ,
=
Ni
—
=
4
=
-^
Id,
^«ngrína cucm cB
C o n fre c u e n c ia , lo s e n g ra n e s s e elig en p a r a m o d ific a r la
ra z ó n d e v e lo c id a d e n tr e lo s e je s d e u n m á q u in a ex isten te.
O c u rre u n a situ ac ió n parecida c u a n d o los ejes d e los eng ran es
s e d e b e n esp aciar u n a d ista n c ia específica d e b id o a o tra s re stric ­
cio n es. A m bas situ ac io n e s lim itan la d ista n c ia e n tre cen tro s d e
lo s en g ra n e s. En ca so s a s í, el n ú m e r o d e d ie n te s elegido p a ra
c a d a e n g ra n e q u iz á n o se a el m ás pequeA o p o sib le, s in o el nece­
s a rio p a r a satisfacer el re q u e rim ie n to d e d ista n c ia e n tre los ejes.
B
16
—
=
1.6 in
10
P j
-4 5 .
-
d ,)
+
4 , 3= m•
(1.6 + 4 3 )
2
____
2
T am bién s e p u e d e u s a r u n d ie n te m ás g ra n d e q u e el necesario
p i r a c u m p lir c o n la distan cia e n tre ejes. F inalm en te, es posible
q u e se re q u ie ra alguna desviación d e la razón m eta p a ra especi­
ficar lo s en g ra n e s estándar. En gen eral, las relaciones explicadas
a l o largo d e este capítulo sirv en p a r a especificar cu a lq u ie r c o n ­
ju n to d e en g ran es. Los e je m p lo s sig u ien tes m u e s tra n algunos
escenarios posibles.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.11
Un p a r d e eng ran es e s im p u lsad o p o r u n m o to r eléctrico y se u sa n para im p u lsar el eje d e u n to m o a 200 rpm . En la
figura 10.14 se ilustra este sistem a im pulsor. El m o to r d e 1 h p se sustituirá p o r u n m o to r m ás eficiente, pero d e a lta ve­
locidad. c o n velocidad de 6 0 0 rpm . Para llevar a cabo tal m odificación, se debe seleccionar un n u ev o co iq u n to de e n ­
granes que m a n te n g in la velocidad del h u sillo a 200 rpm . S in em bargo, los eng ran es están m ontados e n u n a car­
casa com plicada q u e n o s e p u ed e modificar. Por lo tanto, la distancia e n tre centros d e los engranes debe perm anecer
o í 7 5 in . Especifique el co n ju n to de engranes a utilizar.
Engrano
fig u r a
t o .u Impulsor del to r n o del problem a d e ejem plo 10.11.
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E ngranes: a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________279
S O L U C IÓ N :
I.
tsp ecifiq u e la razón d e engrane y la distancia e n tr e centros
Los principales parám etros de este problem a so n la razón de velocidad y la distancia e n tre centros, l a razón de
velocidad requerida es:
“ •ím r u b o r »
6 0 0 rp m
VR = —
= ------ — = 3J)
•Ovnpdud»
200 rpm
Entonces,
VR -
y
4
- 3.0
lo cual s e replantea como:
4 - 3 4
Adicionalm cntc, la distancia entre centros es:
2.
D eterm ine el diám etro requerido d e los e n g r a n a
U sando estas relaciones, se determ inan algebraicam ente los diám etros d e paso adecuados mediante:
4 + J,
4 + 34
<4
j
"
2
“ 2
_.
" 73
Despejando,
4
- 3.75 in
y
d¡ - 3(3.75) 3.
1125 in
D eterm ine el paso d ia m etra l adecuado
A hora el problem a se reduce al cálculo del paso diam etral adecuado y del núm ero d e dientes que resultan d el paso
diam etral requerido. C om o esta aplkación implica engranajes e n g eneral se utiliza u n ángulo de presión d e 20*.
Remitiéndose a la tabla 10.6, un estim ado del paso diam etral adecuado es d e 14. Por consiguiente, se consideran
tan solo valores de P jt£ 14. Al relacionar el p aso d ia m e tra l el paso diam etral y el núm ero d e dientes, se calcula lo
siguiente:
= ( 4 ) ( P ¿ = 3.75 P j
Náufámio - (Vfi)Nmpabo. - 3N U ,ubo, - 3(3.75 P d - 1125Prf
Se sustitu>'en los pasos diam etrales de 14 y m enores e n estas d o s ecuaciones. Recuerde q u e tan so lo so n váiid is las soluciones con n ú m ero s d e dientes enteros. D e la iteración a través de todas las com binaciones, solam ente
tres so n los factibles.
La m e jo r alternativa d ep en d ería d e la disponibilidad d e eng ran es estándar, el costo y el peso d el engranaje.
Advierta que la velocidad d e salida será exactam ente d e 2 0 0 rpm . En m uchas situaciones, n o s e logra o b ten er exacta­
m ente la velocidad im pulsada. En el siguiente problem a s e ilustra este c a sa
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.12
En la figura 10.15 se ilustra el ventilador de escape de un engrane im p u lsa d a v la carcasa. Para m ejorar el flujo d e aire,
h velocidad del ventilador necesita increm entarse a 4 6 0 rpm , o bien, acercarse a esta velocidad tan to com o sea posible.
Se utilizará el m o to r existente d e 3 h p que fimeiona a 1750 rpm . La carcasa n o se deberla alterar, pues tiene u n sistem a
de soporte con una distancia entre centros d e 9 5 in. Seleccione un conjunto de engranes para esta aplicación.
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280
CAPITULO DIEZ
h g u r a 10.15 V entilador del escape d el p ro b le m a d e e jem p lo 10.12.
S O L U C IÓ N :
Especifique la razón d e eng ra n e y la distancia entre centros
C om o e n el problem a d e ejem plo 10.11. lo* parám etro* principales de este problem a so n b razón d e velocidad y
la distancia e n tre centros. L a razón de velocidad requerida es:
«"rapu1k>r«
1750 rpm
VR=
■ T ü ¡ 5 = r - M0
E ste e s c e n a rio d e d ise rto s e co m p lica p o r u n a r a z ó n d e v e lo c id a d n o fra c c io n a ria . Es im p o sib le
o b te n e r u n a velocidad im p u lsa d a d e 460 r p m exactam ente, u sa n d o u n n ú m ero e n te ro d e d ien tes d e e n ­
grane. Lo a n te rio r s e resuelve si se red o n d ea la ra z ó n d e v elo cid ad a u n valor fraccionario.
VR - ( - r | *» 3.75
(})
Este redondeo dará u n a velocidad in d u cid a de:
/ n,rapuliera \
/1 7 5 0 rpm \
- 1 .- 5 5 5 “ J - « ' P -
S se su p o n e q u e el ventilador funciona adecuadam ente a esta velocidad,
J ¡ = 3.75 d,
Com o antes, la distancia entre centros es:
(4 + 4)
‘-ragrinc. m m « -
2.
j
~ 5-5 111
D eterm ine los diám etros requeridos d e los engranes
Con el uso de tales relaciones, s e d eterm in an algcbrakam ente los diám etros de paso adecuados.
(di + 3.75d|)
C in c n iM iM H M i ■
4.75d|
“
~
Despejando,
d¡ =
4 in
r
d¡ = 3.75(4) = 15 in
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~
m
F n jr a ne>: a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________281
3.
D eterm ine u n paso d ia m e tra l adecuada
C om o ante», el problem a se reduce ahora al cálculo d e u n paso diam etral adecuado y del n ú m ero de diente» que
resulte d e los diám etro» de paso requeridos. C om o se m encionó, el cálculo de diente» enteros es im probable d e ­
b ido a la razón de la velocidad decim al. Se necesita u n a solución iterativa.
C om o esta aplicación im plica engranajes e n general, se u sa u n á n g u lo de presión de 20*. R em itiéndose a
la tabla 1 0 6 u n estim ado del paso diam etral adecuado a de 12. Por l o tanto, se consideran tan solo valores de
P j s 12. Al relacionar la velocidad, el (« so diam etral el paso diam etral y d núm ero d e dientes, se calcula lo sí­
g nente:
Nrapubo, - W
W
" 2P4
= 3 .7 5 N tapuhor = 3.75(2 P J = 7 5 P j
NnpuW o =
Se sustituyen los pasos diam etrales de 12 y m enores e n estas dos ecuaciones. Recuerde q u e tan so lo so n válictas las soluciones con núm eros d e dientes enteros. Al calcular todas las com binaciones, tre s so n factibles.
l-by o tra s c o m b in acio n es p o sib le s c o n eng ran es q u e tien en u n p aso d ia m e tra l m e n o r d e 8. O tr a vez, la
m e jo r altern ativ a d ep en d ería d e la d isp o n ib ilid ad d e en g ra n e s estándar, el co sto y el peso d el c o n ju n to de
10.9 C IN E M Á T IC A D E LA CREMALLERA
Y EL P IÑ Ó N
En la sección 10.2 s e an alizó b rev em en te u n sistem a d e p ifló n crem allera, que se m u estra en la fig u ra 10.3b. Sirve p a ra convertir
el m o v im ien to g ira to rio d e u n p ifió n en m o v im ie n to d e tr a s ­
lación d e la crem allera. La aplicación m ás d ig n a d e m ención del
sistem a crem allera-pifión está e n la direcció n d e lo s autom óviles,
d o n d e el m o v im iento g ira to rio d el v o la n te d e la d ire c c ió n em ­
p u ja b p a r te p o ste rio r d e la s ru ed as d e la n te ra s, d irig ie n d o al
vehículo e n u n a n u ev a d irecció n . E ntonces, el m o v im ien to g ira ­
to rio se convierte e n lin eal. U n a crem allera y u n p ifió n tam bién
fu n cio n an d e ta l m a n e ra q u e el m o v im ie n to lineal d e la cre­
m allera hag a g ir a r el pifión.
C o m o se m e n c io n ó b rev em en te e n la se cció n 10.5.3, una
c re m a lle ra es u n c a s o especial d e e n g ra n e re c to . C u a n d o el
d iá m e tro d e u n en g ran e se vuelve m u y g ra n d e , el perfil lo cal d e
lo s d ie n te s s e a sem eja a u n a c re m a lle ra . D e h e c h o , u n a cre­
m a lle ra s e p u e d e tr a ta r m a te m á tic a m e n te c o m o u n e n g ra n e
recto c o n p aso d ia m e tra l in fin ito . P o r co n sig u ie n te , to d a s las
p ro p ied ad es g e o m é tric a s d e u n e n g ra n e recto q u e s e p re s e n ­
ta r o n a n te r io rm e n te ta m b ié n se a p lic a n a u n a crem allera . La
única diferen cia es q u e e n vez d e referirse a u n p aso d iam etral,
la crem allera tien e u n a lín ea d e paso.
D esde el p u n to d e vista cin em ático , el m o v im ien to g ira to ­
rio d el pifión y el lineal d e la crem allera se relacio n an m ediante
los c o n c e p to s p re se n ta d o s e n el c a p ítu lo 6, ecu a c ió n (6 .5 ). La
ecu ació n d e d esplazam iento d e b c re m a lle ra está d a d a p o r:
(*Wn)<A<W«>
A R oonaü
= r(A 0 > =
( 10 . 2 0 )
d o n d e A0pift6o se d e b e especificar e n radianes. La m a g n itu d de
b v e lo d d a d lineal d e la crem allera e stá d a d a por:
b u lle n
= «"pútónrpémsn =
------------
(1 0 .2 1 )
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.13
Se utilizan u n a cremallera y un pifión sobre u m prensa para taladrar com o se indica e n b figura 10.16. El pifión tia ie 16
«Scntcs y paso igual a 16. D eterm ine b distancia que dcbe(n) girar el m ango (y el pifión) para avanzar el taladro 0.75 in.
S O L U C IÓ N :
De b ecuación (10.20), la rotación q u e se desea del pifión es:
Y
V an
* “ ■•
16
*
tí
2(0.75in)
r'n6n = iL O b j" =
Al c o n v e rtir a g ra d o s .
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■ IJJ,n
. .
,
282
CAPITULO DIEZ
Cremallera
f ig u r a
1 0 .1 6
P rensa ta la d r a d o ra d e
p iñ ó n y
crem allera.
P R O B L E M A DF, E JE M P L O 10.14
Para la prensa taladradora descrita e n el problem a d e ejem plo 10.13, determ ine la velocidad a la que debe g ira r el
piñón para avanzar el taladro a u n a velocidad d e 12 in/m in.
S O L U C IÓ N :
l > la ecuación (1 0 5 1 ), la velocidad an g u lar del p iñ ó n s e determ ina p o r
2 V a m m 2( 1 2 in;m ¡n)
“ ' ri oon “
n
— i
dp nan
"
—
—
0 0
■ 24 r a d / mm
in )
C onvirtiendo a revoluciones por m inuto,
“ [ .fw " 24
10.10 C IN E M Á T IC A DE U N ENGRANE
H ELICO ID A L
E n la sección 10.2 se p resen taro n lo s eng ran es helicoidales, q u e
s e m u e s tra n en la fig u ra 10.3d. El d esarrollo d e lo s eng ran es h e ­
licoidales en realid ad se d io cu an d o lo s o p e ra d o re s d e m áquinas
d e s c u b rie ro n q u e lo s en g ra n e s escalo n ad o s fu n c io n a b a n m ás
su av em en te y c o n m en o s ru id o q u e los en g ra n e s rectos. U n e n ­
g ra n e e scalo n ad o con sistía e n v ario s en g ra n e s recto s delg ad o s
co lo cad o s la d o a lad o , d o n d e cada e n g ra n e g ira b a a u n á n g u lo
p e q u e ñ o e n relació n c o n el e n g ra n e adyacente. El e n g ra n e a p i­
la d o resu ltan te n o ejercía el m ism o im p acto fu e rte q u e n o rm a l­
m en te tien en d o s d ien tes c u a n d o e n tra n e n c o n ta c to (p . ej. lo s
e n g ra n e s recto s o rd in a rio s ).
L o s engranes h elicoidales s o n el caso e x tre m o d e eng ran es
escalonados, ya q u e lo s d ien tes n o e stá n escalonados, s in o i n d i ­
n ad o s hacia el eje d el engrane. C u a n d o se utilizan so b re ejes p a ra ­
lelos, lo s engranes helicoidales p ro p o rcio n an u n c o n ta c to trasto
p o d o d e lo s d ien tes, e s d e d r , c u a n d o el e x tre m o fro n ta l d e un
d ien te e n tra e n co n tacto y com ienza a llevar la carga tran sm itid a,
d ex trem o p o sterio r d el d ien te a n te rio r tam bién está e n contacto.
E sto o casio n a u n a o p e ra c ió n m ás su a v e y m en o s ru id o sa , c o n ­
" 3<82 T m
fo rm e u n d ien te se carga d e m a n e ra gradual. P o r tales m otivos,
con frecuencia se prefieren los engranes helicoidales, a u n cu an d o
so n m ás difíciles d e fabricar y, com o resultado, son m ás costosos.
Los engranes helicoidales se diseñan h a c ia la derecha o h a d a
b izq u ierd a, según la p e n d ie n te d e in d i n a d ó n d el d ien te. Los
dientes helicoidales, cuya p e n d ie n te baja h a d a la izquierda, se d i ­
señan c o n u n a h élice h a d a la izquierda. Por el co n trario , u n e n ­
grane helicoidal c o n d ie n te s hacia abajo a la d erech a, se diseña
con u n a hélice h a d a la d erech a. El en g ran e helicoidal s u p e rio r
m o stra d o e n la figura 10J d es u n en g ran e h a d a la iz q u ie rd a
Los engranes helicoidales tam b ién s e u sa n e n ejes n o paraleb s sin m o d ific a r s u geom etría intrínseca. Tal configuración s e c o ­
n o c e c o m o engranes helicoidales cruzados. S in em b arg o , e n las
c o n fig u ra d o n e s cru zad as, las fuerzas re q u e rid a s p a ra im p u lsar
d c o n ju n to d e en g ra n e s s e in c re m e n ta d ra m á tic a m e n te c o n el
ángulo del eje. Por l o tanto, config u racio n es asf se reco m ien d an
e n a p lic a d o n e s d e tran sm isió n d e m e n o r potencia.
l a s relacio n es g e o m é tric a s y cin em áticas d e los en g ra n e s
helicoidales s o n m u y p a r e a d a s a la s d e lo s eng ran es rectos. La
diferencia p rin c ip a l es la d efin ició n d el ángulo d e hélice <¿,que es
d á n g u lo d e in d in a d ó n d e los d ien tes. Este á n g u lo se m u estra
e n el en g ran e helicoidal h a d a la izq u ierd a d e la fig u ra 10.17.
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Engrane»: a n á lisi» d n e m á tic o y selecció n
283
m al se relaciona asim ism o con el á n g u lo d e p resión transversal
m ediante
t a n ^ " = ta n
F IG U R A 10.1 7 G e o m e t r í a d e u n e n g r a n e h e l i c o i d a l .
L a vista d e la se cció n transversal d e u n e n g ra n e helicoidal,
p e rp e n d ic u la r al eje d el e n g ra n e , p a rece idén tica a la d e u n e n ­
g ra n e r e c t a E sta vista es p ro d u c to d e la sección A-A d e la (¡gura
10.17, llam ad a sección transversal. la s p ro p ied ad es geom étricas
d el d ie n te d efin id as p a ra lo s e n g ra n e s recto s s e u tiliz a n en los
e n g ra n e s h elico id ales. P a ra e lim in a r c o n fu sió n , estas p ro ­
p ied ad es se d e sig n a n c o m o p ro p ie d a d e s tran sv ersa le s. El paso
circular transversal, el á n g u lo d e p resión transversal y el p a s o d ia­
m e tra l tra n sv e rsa l s o n id é n tic o s a la s d efin icio n es c o rre s p o n ­
d ie n te s d e lo s en g ra n e s rectos. En la fig u ra 10.17 s e ilu s tra el
p aso circu lar tran sv ersal.
A lg u n as p ro p ie d a d e s g e o m é tric a s a d ic io n a le s s e definen
o b se rv an d o la se cció n tran sv ersa l, n o rm a l a los d ie n te s d el e n ­
grane. E sta vista se genera p o r b sección B-B en la fig u ra 10.17,
llam ad a sección n o rm a l
El p is o circular norm al p n se d e fin e c o m o la d ista n d a e n tre
p u n to s co rresp o n d ientes d e u n engrane, m e d id o s sobre el d re u lo
d e paso y n o rm al al d ien te d el engrane. El p aso circu lar norm al
tam b ién s e m u e s tra e n ki figura 10.17. El p aso á r c u l a r no rm al se
r e la d o n a c o n el p aso á r c u l a r tra n sv e rsa l p o r m e d io d e t r i ­
gonom etría.
p " = p e o s 4>
Los en g ra n e s helicoidales r a ra v e z se in tercam b ian : p o r lo
ta n ta n o hay sistem as d e d ien tes estándares c o m o los descrito s
p a ra lo s en g ra n e s rectos. Las d im en sio n es preferid as d e p en d en
u su a lm e n te d el m o d o e n q u e s e cre a n los en g ra n e s helicoidales.
C u a n d o el e n g ra n e s e c o rta a tra v é s d e u n a o p e r a d ó n d e fre ­
s a d a el paso diam etral n o rm a l d e b e rla aju sta rse a lo s estándares
i s ta d o s e n b tab la 10.1. P o r el c o n t r a r i a cu an d o u n en g ran e se
a m a c o n u n c o rta d o r, el p aso d ia m e tra l tra n sv e rsa l tie n e q u e
a ju sta rse a lo s valores d e b ta b la 10. 1.
O á n g u lo d e hélice e n b m ay o ría d e lo s eng ran es v aría e n ­
tre 15* y 45°. C o m o los d ie n te s se e n c u e n tra n a d e r t o á n g u lo del
eje. se p ro d u c e u n a ca rg a d e em p u je e n los eng ran es helicoidales
acoplados. La fu e rz a d e em p u je v aría d irectam en te c o n b ta n ­
g e n te d d á n g u lo d e hélice; p o r co n sig u ie n te , lo s á n g u lo s de
hélice m á s g ra n d e s re q u ie re n su ficien te s o p o r te ax ial e n d e n ­
g rane y e n d eje.
En aplicaciones c o n ejes paralelos, b razón d e v e lo d d a d de
h ecu ació n (10.19) ta m b ié n s e ap lica a lo s eng ran es helicoidales.
D os req u erim ien to s a d id o n a lc s a los d e los eng ran es rectos, para
un aco p lam ien to ad ecu a d o d e eng ran es helicoidales, so n :
1. L o s en g ra n e s d e b e n te n e r á n g u lo s d e h élice iguales.
2 . L as hélices d e los d o s en g ra n e s aco p lad o s d eb en ser d e
se n tid o s o p u esto s. E s d e d r , u n e n g ra n e d e b e ten er la hélice
h a d a b izq u ierd a y el o tr o h a c b la derecha.
La presencia d e u n á n g u lo d e h élice tam b ién ay u d a a e lim i­
n a r la in te rfe re n c ia . Ya se d e d u jo u n a e c u a d ó n s im ib r a b
e c u a d ó n (1 0 .1 3 ) p a ra lo s engranes helicoidales, d e m o d o q u e el
n ú m e r o m ín im o d e d ie n te s e n e l p ifló n q u e s e p u e d e u sa r
—c u a n d o s e a c o p b c o n u n e n g ra n e d e cu a lq u ie r ta m a f l a sin
preocuparse p o r b interferencia— se d e term in a com o:
>
(10.23)
P3 =
El m ódulo norm al m " s e d e fin e asim ism o com o:
(10.24)
T a m b ié n p o r trig o n o m e tría ,
m=
P jjco s 4>
m"
-
e o s 4»
(,a 2 8 )
sen*d>
Los valores o b te n id o s c o n e sta e c u a d ó n se re su m e n e n b lá b il
10. 8 .
T A B L A 1 0 .8
Pj -
(10.27)
( 10. 2 2 )
El p is o diam etral n o rm a l P¿".se d efine usan d o el paso á r c u ­
lar norm al, d e m o d o p a r e a d o a la ecu ació n (10.5).
m n = ir p n
0cosd>
(10.25)
(10.26)
El ángulo de presión n o rm a l 0" ta m b ié n s e d e fin e a p a rtir de
b vista n o rm a l d e b f o rm a d e l d ien te. E l á n g u lo d e p re sió n n o r-
r
D ie n te s m ín im o s p a ra e lim in a r la
¡j
in te r fe r e n c ia e n u n e n g r a n e h e lic o id a l
H
A n g u l o d c p r c s i A n n o r u M l . ¿ <1
1 4 '*
20“
25*
0 ( e n g ra n e recio)
32
17
12
T
32
17
12
W
31
17
12
15*
29
16
II
ar
27
15
10
2 2J*
25
14
10
25'
24
13
9
30-
21
12
8
A n g u lo d e h d l c t
1QI
1t i
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77
«•
■5
8
6
«•
12
7
3
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284
CAPITULO DIEZ
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.15
Para reducirel m id o en u n engrane im pulsor, je sustituyen dos engranes de paso 12, c o n 20 y 65 dientes, por engranes
helicoidales. El nuevo co n ju n to d e engranes debe tener la m ism a razón d e velocidad. C o m o se usará la m ism a carcasa,
la distancia e n tre centros tam bién debe perm anecer igual. S u p o n g i que los engranes helicoidales se fabricaron por
fresado.
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule la razón d e selocidad deseada y la distancia entre centros
La razón d e velocidad original y la distancia entre centros se calcula como:
^mpubKlo
65
VR =
C n gnna«ttcraat "
2.
= 3.25
(N , + N j)
^
(20 + 65)
^
« 3.4m
D eterm ine u n paso d ia m etra l adecuado
Com o los engranes se cortarán c o n una fresa, el paso diam etral no rm al se deberla ajustar a los estándares Estados
en h tabla 10.1. Los engranes originales tienen un paso diam etral d e 12; por lo tanto, se su p o n e que los d ien tes son
b su frie n te resistentes. Entonces, s e seleccionan los engranes heEcoidales con u n paso diam etral d e 12.
3.
D eterm ine el núm ero adecuado d e dientes
Al su stitu ir b ecuación (10.22) en b ecuación (10.7), s e realizan los siguientes cálculos:
_
^-eigrsim nlRROt
w + lf r ) _ w +
¿P JcO S ?
2(12cOS?)
‘ “
Asimismo.
Ny
N,
Por l o tanto.
(N t + 3 2 5 N ;)
24eo sv
lo cual se reduce a:
A
192
Esta ecuación in d ica q u e Ni d e b e ser m e n o r que 1 9 2 e n la aplicación. P o r ensayo y e rro r se co n sid eran las
sg u ic n tc s com binaciones d e b tabla 10.9.
Se utiliza la prim era solución p a ra generar n ú m ero s enteros para am bos dientes. S e seleccionan u n p in ó n de 16
dientes y u n engrane de 52 dientes c o n u n á n g u lo de héEce d e 33.55°. O bserve q u e al aplicar los criterios d e interfe­
rencia de b tabla 103, se utiliza u n á n g u lo d e presión no rm al de 20° o d e 25°.
T A B L A
1 0 .9
I te r a c io n e s d e l p r o b le m
d e e je m
p lo
a
1 0 .1 5
D ia n a
D ie n ta
P a to
A n g u lo
P aso
d el p ifió n
d d en g ran e
d ia m e tra l
d e h d ic e
d ia m e tra l
N,
N,
19
61.75
12
827
1138
18
5830
12
2036
1125
17
5525
12
27.70
932
16
52
12
3335
9.00
n o rm a l
PJ
9
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Eí
Engran e»: a n á lisis d n c m á tic o y selecció n _________285
dos eng ran es a c o p la d o s m o strad o s e n la fig u ra 10.18. El á n g u lo
d e paso d e c ad a e n g ra n e es u n a (u n ció n d e la razón d e velocidad
y se e x p resa com o:
10.11 C IN E M Á T IC A D E ENGRANES
C Ó N IC O S
Ix b en g ran es cónicos se presentaron e n la sección 1 0 2 y se ilus­
tra n e n la fig u ra 10J f . Ixxs en g ra n e s cónicos so n útiles e n la tra n s­
m isión d e m o v im ien to e n tre d o s ejes q u e se intersecan. U na de
b s p ro p ie d a d e s m á s im p o rta n te s d e u n a c o n fig u ra c ió n d e e n ­
g ran es c ó n ico s e s el ángulo d e eje £ . El á n g u lo d e eje s e define
co m o el á n g u lo e n tre 1as lin e a s cen trales d e lo s ejes d e so p o rte.
Las aplicacio n es co m u n e s d e eng ran es c ó n ico s co n sisten e n ejes
q u e s e in tersecan e n á n g u lo s recto s o q u e tie n e n u n á n g u lo de
ejes d e 90*.
C o m o s e ex p u so e n la sección 10.1 y s e m u e s tra e n la figura
10.2, lo s en g ra n e s recto s tie n e n la m ism a cin em ática q u e la de
d o s ro d illo s d e fricció n , l í e m o d o sim ilar, es posible s u s titu ir los
en g ra n e s c ó n ico s p o r d o s c o n o s d e fricció n . C o n esta geom etría
có n ica, la p ro fu n d id a d d e lo s d ie n te s d el e n g ra n e se estrech a
d esd e a iu e ra h a c ia la p arte m e d ia. La m a y o ría d e las caracterís­
tic a g e o m é tric a s d el d ie n te u tiliz a d a s e n lo s e n g ra n e s rectos,
tales c o m o el p aso d ia m e tra l y el a d en d o , se ap lican p a r a los e n ­
g ranes có n ico s. Lo a n te r io r se o b se rv a e n la sección axial d e los
d o s en g ra n e s c ó n ico s a c o p la d o s m o s tra d a e n la fig u ra 10. 18.
C o m o lo s d ie n te s se a n g o s ta n , la s c a racterísticas d el d ie n te se
m id e n e n el b o rd e e x te rio r d el diente.
L a ra z ó n d e v elo cid ad an g u lar, c o m o s e p re se n tó p a ra los
en g ra n e s recto s d e la ecu a c ió n (10.19), ta m b ié n es a p lic a b le a
lo s en g ra n e s có n icos. El paso diam etral y el á n g u lo d e p resión
ta m b ié n tie n e n la m ism a d efin ició n q u e e n lo s eng ran es rectos y
d e b e n s e r id én tico s e n lo s eng ran es c ó n ico s p a ra q u e s e acoplen.
0 p aso d iam etral d e lo s eng ran es cónicos g en eralm en te sig u e el
están d ar d e valores p resen tad o e n la ta b b 10.1. La m ayoría d e los
en g ran es c ó n ico s se fabrican c o n u n á n g u lo d e p re sió n d e 20°;
sin em b arg o , b fo rm a d el d ien te n o es u su a lm e n te u n a involuta
d eb id o a la d ific u ltad d e s u m a n u fa c tu ra . Se h a n d e s a rro lb d o
perfiles a lte rn a tiv o s, q u e s o n m arcas reg istrad as d e lo s v e n d e ­
d o re s y sirven c o m o ventajas com petitivas.
A d em ás d el p aso diam etral y d el á n g u lo d e presió n , lo s e n ­
g ranes c ó n ico s s e clasifican p o r s u ángulo d e paso y . El á n g u lo de
p aso e s el á n g u lo g e n e ra d o p o r el c o n o so b re el cu al s e c o n s­
tru y e el en g ran e. S e h a n id en tificad o lo s á n g u lo s d e p aso d e los
fig u r a
senS
(-
«
* f
e
(1 0 .2 9 )
)
}
sen l
ta n -y ^ ^ =
(1 0 .3 0 )
C o m o el c o n o d e p aso es u n a f u n d ó n d e b ra z ó n d e v e lo d ­
d a d , n o se p u ed e s u s titu ir u n e n g r a n e c ó n ic o in d iv id u a l p a ra
m o d ificar la razó n , c o m o es el caso e n los e n g ra n e s rectos. P o r
lo ta n to , lo s en g ra n e s c ó n ico s se com ercializan e n p aq u ete.
B i la fig u ra 10.18 e s evidente que b su m a d e los á n g u lo ; de
poso d e los d o s eng ran es acoplados debe ser igual al á n g u lo d e eje.
Entonces,
^
Y p tftd n
y e n g ran e
(1 0 .3 1 )
Un en g ran e d e inglete, com o el m o stra d o e n la fig u ra 1 0 Jg ,
es u n c a s o especial d e e n g ra n e c ó n ic o con u n á n g u lo d e eje d e 90°
y u n a ra z ó n d e v elo cid ad d e 1, C o n b s e c u a d o n e s (1 0 .2 9 ) y
(10 J O ), el á n g u lo d e p aso d e am bos engranes d e inglete es d e 45°.
El m ontaje d e lo s eng ran es c ó n ico s e s critico. P ara lo g rar un
¡x o p b m ic n to ideal, el vértice d e lo s c o n o s d e a m b o s eng ran es
d e b e e sta r e n b m ism a u b icació n . C u a lq u ier d e s v ia d ó n p o d ría
cau sar h o lg u ra excesiva o in terferen cia. D e b id o a b geom etría
intrínseca d e los eng ran es cónicos, p o r l o m en o s u n o d e los e n ­
g ranes d e b e e sta r su jeto e n el ex trem o d e u n eje e n voladizo. Esta
configuración trae p o r si m ism a deflexiones excesivas, b s cuales
tam bién suelen cau sar p ro b le m a s d e holgura.
l a s carg as d e e m p u je axial desarro llad as p o r los en g ra n e s
cónicos a c o p la d o s sie m p re tienden a s e p a ra r lo s en g ran es. Esto
pu ed e c o n trib u ir a la deflexión d el e je y tam b ién s e d e b e to m a r
en cuenta. Desde luego, los cojinetes d e so p o rte d el eje tam b ién
se tien en q u e c o n fig u ra r p a r a s o p o rta r e sta fuerza d e e m p u je .
10.18 Engranes cón icos acoplados.
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286
CAPITULO DIEZ
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.16
I h par d e engranes cónicos tienen 18 y 27 dientes, que se usan e n ejes q u e s e intersecan entre s( a un á n g u lo de 70*.
[> te rm in e la razón de velocidad y los án gulos d e paso d e am bos engranes.
S O L U C IÓ N :
I.
Calcule la razón d e velocidad
l a r a z ó n d e v e lo c i d a d s e d e t e r m in a c o n l a e c u a c i ó n ( 1 0 . 1 7 ) .
VR -
-
27dÍCn,CS 18 dientes
Njinán
2.
,.5
Calcule los ángulos d e paso
Los án gulos d e paso se calculan con kisecuaciones (10.29) y (1 0 3 0 ).
sen I
lanypnón
^
[
s e n (7 0 * )
2 7 .0 2 *
ypB fln
[ (eo s 70*) +
( 2 7 /1 8 )
sen S
•anyBigran« =
k * ® ]
,1
sen (70*)
' 1 (00,70*) M - / 2 7 )
10.12 C IN E M Á T IC A DE U N ENGRANE
SIN FIN
E n la sección 10.2 se d e sc rib ie ro n u n to r n illo s in fin y u n e n ­
g ra n e sin fin, q u e se ilu stra n e n la fig u ra 10.3h. El to rn illo s in fin
y el e n g ra n e s in fin se em p le a n p a ra tr a n s m itir m o v im ie n to e n ­
tre ejes n o p aralelo s q u e n o s e intersecan. C o n u n e n g ra n e sin
fin, s e p o d ría n o b te n e r razo n es d e v elo cid ad g ra n d e s e n u n es­
p a c io m u y lim ita d o . El e n g ra n e p e q u e ñ o s e c o n o c e c o m o
to rn illo s in fin ', el e n g ra n e m ás g ra n d e , c o m o eng ra n e sin fin ,
ru eda s in f i n o sim p le m e n te engrane
El to r n illo s i n fin s e a sem eja a u n sim ple to rn illo , p o r lo
q u e c o n frecuencia lo s d ien tes d d to m illo s in fin se d en o m in an
c u erd as (fig u ra 10.3b). Los to rn illo s s in fin se fabrican c o m ú n ­
m en te c o n u n a , d o s o c u a tro cuerdas, d e m o d o q u e el núm ero d e
dientes (cuerdas) de u n tomiHo sin fin , N „ es u n a p ro p ie d a d im ­
p o rta n te . FJ co n cep to d e cuerdas m ú ltip le s s u p e rp u e s ta s e n un
to rn illo sin fin in d iv id u al se ilu stra en la fig u ra 10.19.
■
a
C u e r d a « to b le
F IG U R A 1 0 .1 9
C o n c ep to
d e c u e r d a s m ú lt ip le s .
La fo rm a d el d ien te d el e n g ra n e sin fin e s u su a lm e n te u n a
in v o lu ta. T am bién es c o m ú n c o r ta r có n cav o s lo s d ie n te s a trav és
d e la cara, d e m o d o q u e s e aju sten m e jo r al to m illo sin fin c ilin ­
d ric o . E sta té c n ic a s e d e n o m in a diente d e engrane s in f i n e m o l­
J = 429 r
iente. Es u n in te n to p o r te n e r u n a m a y o r h u ella d e c o n ta c to s o ­
bre la q u e se tra n sfie re n la s fuerzas. El to m illo sin fin tam b ién
se p u e d e c o r ta r c o n u n a lo n g itu d cóncava, d e tal m a n e ra q u e se
ajuste m e jo r a la redondez, d el e n g ra n e sin fin. C u a n d o s e in c o r­
p o ra n a m b a s o p c io n e s , el e n g ra n a je s in fin s e d e n o m in a de
ib b le -e m v ltu ra y b r in d a la h u ella d e c o n ta c to m ás g ra n d e y la
m ay o r tr a n s m is ió n d e p o te n c ia . En ta le s c o n fig u ra c io n e s, el
to m illo s in fin y el en g ran e s in fin n o s o n in tercam b iab les, de
m o d o q u e se a d q u ie re n e n p aq u ete.
0 en g ran e s in fin e s e n realidad el caso e x tre m o d e u n e n ­
grane helicoidal c o n u n á n g u lo d e h élice g ran d e, el cu al e n ro lla
d d ie n te a lre d e d o r d el en g ran e. P o r lo ta n to , el to m illo s in fin se
describe c o n to d as b s p ro p ied ad es g e o m é tric a s d e u n en g ran e
helicoidal d ad as e n la sección 10.6 . L o s valores d el p aso d ia m e ­
tral n o rm a lm e n te s e aju stan a lo s están d ares d e la tab la 10. 1. Los
ángulos d e p re sió n tam b ién se aju stan a lo s estándares d e 14’/* ,
20* y 25* u sa d o s e n lo s eng ran es helicoidales. En b práctica, el
á n g u lo d e p resión ta m b ié n se elig e c o n b a s e e n el á n g u lo d e d es­
p lazam iento d el to m illo s in fin, c o m o s e c o m e n ta rá p o ste rio r­
m ente.
0 to m illo sin fin se d escrib e p o r el n ú m e ro d e cuerdas, el
¡aso diam etral del to m illo sin f i n
paso p w y el ángulo d e desfia za m ie n to
E l p aso d b m e t r a l d el to r n illo s in fin s e d e te r ­
m in a d e m o d o p a re c id o a l d e los en g ra n e s re c to s , c o m o el
d iá m e tro d el c irc u lo ta n g e n te al p aso diam etral d el e n g ra n e sin
fin. El p a s o del to rn illo s in fin ta m b ié n es sim ila r a b definición
d e lo s en g ra n e s recto s, es d e c ir, es b d is ta n c b e n tre p u n to s c o ­
rre sp o n d ie n te s s o b re d ie n te s (c u e rd a s) ad y ace n te s. E stas p ro ­
piedades geo m étricas d el tornillo s in fin se ilu stra n e n b fig u ra
10. 20 .
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Engrane»: a n álisi» c in e m á tic o y selecció n _________287
FÍBO
E n ejes q u e e stá n a 90°, l o cu al e s m u y u su a l, el á n g u lo de
d e s p la z a m ie n to d el to r n illo s in fin e s ig u al a l á n g u lo d e h éli­
ce d el en g ran e s in fin.
La ra z ó n d e v e lo c id a d d e u n e n g ra n a je sin fin s e calcula
c o m o el n ú m e ro d e d ien tes d el en g ran e sin fin d iv id id o e n tre el
n ú m e ro d e c u erd as d el to rn illo sin fin.
f ó s i diametral
VR =
Cbble cuerda -
E sto tam b ién es igual e n la aplicación d el e n g ra n e recto.
En la m ayoría d e lo s engranajes, el to m illo sin fin es el im ­
p u lso r, c o n v irtie n d o d e ese m o d o al c o n ju n to e n u n re d u c to r de
velocidad. La m ay o ría d e los e n g ran ajes so n irreversibles e n el
s e n tid o d e q u e el e n g ra n e s in fin n o p u e d e h a c e r g ir a r el t o r ­
n illo . p o r q u e s e d e s a rro lla u n a g r a n fu e rz a d e fric c ió n e n tre
los d ie n te s . L o s im p u lso res irre v e rsib le s ta m b ié n s e co n o cen
c o m o d e autobloquea L o s to rn illo s sin fin d e b e n te n e r u n á n ­
g u lo d e d e sp la z a m ie n to m a y o r d e 10° a p ro x im a d a m e n te p a ra
s e r im p u lsad o s p o r el e n g ra n e sin fin aco p lad o . E sto d aría lugar
a u n engranaje reversible, p e ro e s m u y r a r a
A u n c u a n d o la irre v e rs ib ilid a d q u iz á su e n e c o m o u n a
d e s v e n ta ja , h a y a lg u n o s b e n e fic io s. P o r e je m p lo , los e q u ip o s
levadizos p o r l o g eneral req u iere n q u e la ca rg a se so sten g a e n
u n a a ltu r a d e te rm in a d a , incluso c u a n d o se desactiv a la fuente
d e en erg ía, c o m o u n m o to r q u e s e apaga. C o m o el to m illo sin
fin y a n o p u e d e h a c e r g ir a r al e n g ra n e s in fin, la carga s e b lo q u ea
a c ie rta a l t u r a E sta a c ció n d e fren o se u tiliz a e n varios d isp o s i­
tiv o s m ecánicos c o m o m o n tacarg as, g a to s y p la ta fo rm a s lev a­
d izas. E n casos asi, s e d e b e n a n a liz a r la resistencia d e los dientes
y la fricción prev ista p a r a g a ra n tiz a r la se g u rid ad .
Angulo de desplazamiento
f ig u r a
10JO
(1 0 .3 4 )
Nw
G eo m etría
de
u n to rn illo sin fin.
E n la fig u ra 10.20 ta m b ié n se m u e s tra e l á n g u lo d e d e s ­
p lazam ien to , el cu al es el á n g u lo d e in clin ació n d e los d ien tes
(c u e rd a s). D ich o á n g u lo s e calcu la a trav és d e la relació n
trig o n o m é tric a c o n o tra s características d el to m illo s in fin.
(1 0 .3 2 )
ta n A =
P ara u n e n g ra n a je sin fin a c o p la d a el paso d el to m illo sin
fin d e b e ser el m ism o p a s o d el en g ran e s in fin. E ntonces, d e la
ecu a c ió n ( 10. 1),
tr
P w = P,
(1 0 .3 3 )
Pj
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.17
Se necesita un engranaje sin fin para reducir la velocidad de u n m o to r eléctrico d e 1800 a 50 rpm . Consideraciones de
resistencia requieren que se utilice u n engrane d e paso 12, y se desea q u e el conjunto ten jp autobloquoo. Seleccione un
juego que realice esta tarea.
S O L U C IÓ N :
I.
Identifique el núm ero d e d ien tes a d em a d o
La razón de velocidad se calcuLi con la ecuación (10.17).
IHOOrpm ^
a fe e n ..'
50 rpm
C uando se se k c d o n a u n tornillo sin fin d e u n a cuerda, el engrane sin fin d e b e tener
VR
• = •£ "
(36)
7T7
„
a-
rx> la ecuación (10 J 3 ) y usan d o u n paso diam etral d e 12, el paso del to m illo se determ ina con:
2.
Calcule el ta m a ñ o del conjunto d e engranes
C o m o se desea au to b lo q u ea s e utiliza u n á n g u lo d e desplazam iento conservador de 5°. C o n la ecuación (10.32),
se determ ina lo siguiente:
■
u - ü *
ndw
(11(02618)
tan 5 o = ----------------
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288
CAPITULO DIEZ
Al despejar,
d , - IXM99 in
El paso diam etral d d engrane sin fin es:
w«n*r*n«
36 dientes
Iter últim o, la distancia e n tre centros es:
c =
(«Anillo + 4m r»r.)
(1.0499 ♦ 3.0)
-------------' -----------------------------= 2.0250 in
10.13 T R E N E S DE ENGRANES
U n tr e n d e e n g ra n e s e s u n a se rie d e c o n ju n to s d e en g ra n e s
acoplados. Los tre n e s d e en g ra n e s se utilizan c o m ú n m e n te p a ra
lo g ra r red u ccio n es d e v e lo d d a d significativas. M u c h as lu en tes
d e p o te n c ia m ecánica, c o m o los m o to re s d e c o m b u s tió n interna,
las tu rb in a s y lo s m o to re s eléctrico s, o p e r a n e n fo rm a e fid en te a
a lta s v elo cid ad es (1 8 0 0 a 10000 r p m ) . M u c h as a p lic a d o n e s d e
e sta p o te n c ia , c o m o la s p u e r ta s a u to m á tic a s d e lo s e sta ­
c io n a m ie n to s, la s ru ed as im p u lso ra s d e los a u to m ó v ile s y los
v e n tila d o re s d e te c h o , re q u ie re n b a ja s v elo cid ad es ( 1 0 a 100
r p m ) p a ra su o p eració n . P o r ello, la reducción d e g ra n d e s v e lo a d ad es es u n req u erim iento u su a l, d o n d e el u so d e tre n e s d e e n ­
g ran es es m u y co m ú n .
P o r ejem p lo , p o d r ía req u erirse la re d u e d ó n d e la v e lo d d a d
d e u n eje d e 1800 a 10 r p m : u n a r e d u e d ó n d e v e lo d d a d d e
180:1. Si se in te n ta ra e sta reducción c o n u n solo c o n ju n to d e e n ­
g ra n e s, la e c u a d ó n (10.19) m o s tra rla q u e el en g ran e im p u lsa d o
se rla 180 v eces m á s g r a n d e q u e e l e n g ra n e im p u lso r. E v id en ­
tem ente, el e n g ra n e im p u lsa d o seria d em asiad o g ra n d e , pesado
y
U na seg u n d a o p d ó n , m ás lógica, seria r e d u d r la velocidad
e n pasos, m e d ia n te u n a serie d e p a re s d e en g ran es. Se tr a ta de
u n a estrategia q u e h ace c a e r e n cascadas las velocidades a n g u ­
lares h a s ta la velocidad d e salida deseada. Es ex actam en te la ló g i­
ca subyacente e n lo s tren es d e en g ran es.
O tá n d o s e usan m últiples pares d e eng ran es e n serie, la razón
d e velocidad total se co n o ce c o m o valor d d tre n TV, el cual s e d e ­
fine c o m o la velocidad d e en trada al tren d e eng ran es div id id a e n ­
tre la velocidad d e salida del tren. E stoes congruente con b defini­
ción d e la razón d e v eloñdad. El valor d el tre n es el p ro d u c to d e la
razón d e velocidad d e los p ares individuales d e engranes acopla­
dos que in teg ran el tre n . E n fo rm a d e ecuación, se expresa como:
7
—
= (V R ,)(V R I ) ( V R , ) . . .
w «i
0 signo algebraico resultante d e la m u ltip lic ació n d e las r a ­
zones in dividuales d e velocidad d e te rm in a la direcció n relativa
d e giro d e los e je s d e e n tra d a y d e salida. Los valores p o sitiv o s
in d ic a n q u e los ejes d e e n tra d a y d e salida g ir a n e n la m ism a d i­
recció n , e n ta n to los valores n e g itiv o s in d ic a n g iro s opuestos.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.18
En la figura 10 2 1 se m uestra u n tren d e engranes. Los engranes tim e n las siguientes propiedades:
f ig u r a
(10.35)
1 0 .2 1 T r e n d e e n g r a n e s d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 0 . 1 8 .
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E ngranes: a n á lisi» d n e m á t ic o y selecció n _________289
E ngrane 2 :N ¡ - 12 dientes y P ¿ - 12
Engrane 3 : d t = 2 5 in
E ngrane 4 : N t = 15 dientes
Engrane 5 : dy = 30 in y P j - 10
E ngrane 6 : d6 = 13 in y P j = 8
Engrane 7 :
- 32 dientes
D eterm ine la velocidad a n g u la r d el engrane 7 cu an d o el en g ran e 2 im p u lsa a 1800 rp m e n se n tid o antihorario.
Calcule asim ism o la distancia entre los ejes que transportan los engranes 2 y 7.
S O L U C IÓ N :
1.
Calcule las dim ensiones adecuadas d e los engranes
Para calcular el valor del tren, se deben determ inar las propiedades adecuadas de los engranes. En este problem a
se utilizan y s e deben calcular los d iám etro s d e paso d e los engranes.
a
**
12
,
H engrane 4 se acopla con el en g ran e 5 y debe ten er u n paso diam etral idéntico.
N* = —
15 = .I<j m
•
aa , = —
P¿
10
B itonces. e l engrane 7 s e acopla con el en g ran e 6 y debe ten er u n paso diam etral idéntico.
Nr
2.
32
4in
Calcule las velocidades y las razones
El valor del tren se calcula como:
TV = (V R ^ X V R ^ X V V t) = ( - ^ ) ( - £ ) ( - | )
La velocidad del en g ran e 7 se determ ina con este valor del tren.
u>2
22 = r v
"7
1800 r p m
W,
to, -
—
-
13^ 3)
-
- 135 rpm - 135 rp m ,en sentido horario
La distancia e n tre los centros de los engranes 2 y 7 se determ ina su m a n d o los nidios de paso d e todos los e n ­
granes de 2 a 7 , lo cual se observa e n la figura 10.21.
C = r2 + r, + r4 + r5 + r6 + r7
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.19
Disene u n tren d e engranes que ten p i u n valor del tre n d e +300:1. Al aplicar los criterios de interferencia, ningún e n ­
grane debería tener m enos d e 15 dientes y, por restricciones de tam año, ningún engrane puede tener m ás de 75 dientes.
S O L U C IÓ N :
1.
Descomponer e l va lo r d el tren e n razones d e \rlo c id a d individuales
C on las restricciones de tam año de los eng ran es usados e n este tren, la razón de velocidad individual m áxim a se
determ ina p o r
C o m o e n todos los problem as d e diseno, hay m ás d e u n a solución. Ya q u e el valor d el tre n es el p ro d u c to
d e las razones d e velocidad individuales, u n a solución s e o btiene facto riza n d o el valor d el tr e n c o n valores
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290
CA PITU LO DIEZ
no m ayores que las razón d e velocidad in d iv id u al m áxim a. En este problem a, n in g ú n factor p u e d e ser m a ­
yor d e 5.
TV = 300 = ( 5 ) ( 60) = ( - 5 ) ( - 5 > < 1 2 ) = ( - 5 ) ( - 5 ) < - 4 ) < - 3 )
Por lo tanto, u n tren d e engranes c o n pares d e engranes c o n razones individuales de velocidad d e - 5 , - 5 , -4
y - 3 dan u n valor total d e tren de 300. S e utiliza u n valor ne^itivo para las razones individuales d e velocidad,
porque se desean usar los engranes extem os m ás com unes.
I d e n tif i q u e e l n ú m e r o d e d ie n t e s d e c a d a e n g r a n e
2.
VR,_ 2 ■
- 5,use engranes externos con N¡ ■
V R,_4 -
- 5 ,use engranes externos c o n N , = 15 y Nt = 75
15 y m 75
VR5- 6 =*
- 4, use engranes externos c o n . = 15 y.V6 “ 60
VR7_ b ■
- 3 ,use engranes externos c o n N , -
15 y N , = 45
En general, cu an d o se u sa n engranes ex tem o s para p roducir giros opuestos, s e debe em plear u n n ú m e ro p a r de
pires de engranes para obtener u n valor positivo del tren d e engranes. C o m o la solución de este ejem plo tien e cu a ­
tro pares d e engranes, la rotación de salida tiene la m ism a dirección que la de entrada.
10.14 EN G RA N ES LO CO S
C o n sid e re el t r e n d e e n g ra n e s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 10.22.
O b s e rv e q u e el e n g ra n e m e d io se a c o p la c o n el e n g ra n e m á s pe­
q u e ñ o p a r a fo rm a r la p r im e ra ra z ó n . El e n g ra n e m e d io tam bién
s e a c o p la c o n e l e n g ra n e m ás g r a n d e p a r a fo rm a r la seg u n d a
razó n . C o m o sie m p re, el v a lo r d el tr e n se calcu la c o m o el p r o ­
d u c to d e las ra z o n e s d e velocidad.
afectar la m ag n itu d d el m ovim iento. P ara ilu s tra r esta fo n d ó n ,
considere u n a c o n f ig u r a r á n d o n d e el e n g ra n e 2 se a c o p la direc­
tam en te c o n el e n g ra n e 4 . El valor d d tr e n resu ltan te seria:
7 V = ( - V R 2_ < ) =
-
^
Asi, d e n g ra n e lo c o sirv e ú n ic a m e n te p a ra in v e rtir la direc­
d ó n d e la sa lid a . C o m o se m e n d o n ó , e l ta m a ñ o d el e n g ra n e
b c o n o influye e n la cin em ática d el tr e n . En la p ráctica, se d e te r­
m in a el ta m a ñ o este engrane c o n la finalidad d e u b ic a r d e m ane­
ta conveniente los c e n tro s d e lo s eng ran es d e e n tra d a y d e sa li­
da. D esde luego, c o m o los tres en g ra n e s están aco p lad o s, d eb en
ten er p asos d iam etrales y á n g u lo s d e p re sió n idénticos.
10.15 TRENES DF. ENGRANES PLANETARIOS
F IG U R A 1 0 0 2 T r e n d e e n g r a n e s c o n u n e n g r a n e l o c a
T
V
-
W
m
X
H
w
)
-
(
-
■
*
)
(
-
A
)
O bserve q u e d , aparece ta n to e n el n u m e ra d o r c o m o e n el
d e n o m in a d o r. En e sta situ a c ió n , se a n u la la influencia d el e n ­
g ra n e m edio. U n a co n fig u rac ió n d e en g ra n e s asi crea u n valor
d e l tre n ig u al a:
-
(-S(-f)-* í
f t j r lo ta n to , el v a lo r del t r e n d e p e n d e ú n ic a m e n te d el
ta m a ñ o d e l p r im e r e n g ra n e y d e l ú ltim o . E l d iá m e tro , o
d n ú m e ro d e d ien tes d el en g ran e c e n tr a l n o influye e n el valo r
del tr e n . El e n g ra n e c e n tra l s e co n o ce c o m o engrane loco, cuya
fo n d ó n e s m o d ificar la direcció n d el m o v im ien to d e salida, sin
Los tre n e s d e en g ra n e s p resen tad o s e n la s s e c d o n e s an terio res
tien en los cen tro s d e los en g ra n e s sujetos a c u e rp o s fijos. En los
tren es d e en g ra n e s p la n e ta rio s, se e lim in a ta l r e s trie d ó n , p u es al
eslabón q u e s o s tie n e lo s cen tro s d e lo s e n g ra n e s s e le p erm ite
m overse. En la fig u ra 10.23 s e ilu s tra u n tre n d e en g ra n e s p la n e ­
t a r i a el cual ta m b ié n se c o n o c e c o m o tren epicidico.
Los tre n e s p lan etario s s e u sa n p a ra o b te n e r g ra n d e s reducó o n e s d e v e lo d d a d e s e n u n espacio m e n o r q u e el d e u n t r e n de
en g ra n e s c o n v en cio n al. S in e m b a r g a el m ayor b e n e fic io e s la
c a p a d d a d p a r a m o d ific a r fá d lm e n te el v a lo r d el tre n . G o m o to ­
d o s lo s eslab o n es so n capaces d e m overse, es factible m o d ificar
d valor d el tr e n a l su je ta r d iferen tes eng ran es o tran sp o rta d o re s.
En b práctica, b conexión d el e s b b ó n fijo se realiza con m ecanis­
m o s d e fre n o o d e em b rag u e, c o n l o q u e lib era u n e s b b ó n y fija
o tro. P o r ta l m o t iv a lo s eng ran es d e tren es p lan etario s s o n m uy
com u n es en la s tra n sm isio n e s autom otrices.
C o m o el m o v im ie n to se a sem eja a los p la n e ta s q u e g ira n
a lre d e d o r d el S ol d e n u e stro sistem a s o la r, se a p lic ó a este sis­
te m a el té r m in o d e tre n d e engranes planetario. A l a m p lia r la
c o m p a ra d ó n , el e n g ra n e cen tral se c o n o c e c o m o solar. Los e n ­
granes q u e g ira n a lre d e d o r d el e n g ra n e s o b r se c o n o c e n c o m o
planetas. Un tra n s p o rta d o r m an tien e a los eng ran es p lan etario s
en ó r b ita alred ed o r d el Sol. P o r ú l t i m a el tre n suele e sta r ence­
rra d o e n u n en g ran e in te rn o llam ado engrane a n u la r o de anillo.
E n la fig u ra 10.23 s e p resen tan esto s engranes.
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En g r a n e » : a n á l i s i s c i n e m á t i c o y s e le c c ió n _________ 291
10.15.1 A n á lis is d e e n g r a n e s p l a n e t a r i o s
p o r s u p e r p o s ic ió n
Taitiportattor (2)
F Jed rsalib
(sujeta al enffane
anubr)
H m o v im ien to d e u n tre n d e engranes planetario n o sie m p re es
tan tácil d e d isc ern ir c o m o e n lo s tren es d e c e n tro f ija C o n fo rm e
los en g ra n e s y lo s tr a n s p o rta d o re s g ira n , el m o v im ie n to p a r e ­
cería m u y co m p lejo . P a ra analizar el m o v im ien to d e u n tr e n d e
eng ran es planetarios, se utiliza el m éto d o d e superposición p a ra
"p asar a través de” lo s m o v im ien to s d e lo s en g ran es.
El m éto d o d e su p e rp o sició n c o n siste e n l o siguiente:
P a so u n o
El p r im e r p a s o es flexibilizar la re s tric c ió n d el eslabón fijo y
s u p o n e r te m p o ralm e n te que el tra n sp o rta d o r e stá b lo q u ead o . Se
g ira u n a revolución el e n g ra n e q u e estaba fijo a n te s y s e calcu la el
efecto e n el tr e n com pleto.
P aso d o s
El se g u n d o p aso e s elim in ar to d as las restriccio n es y re g istra r el
m o v im ien to al g ir a r c ad a eslab ó n u n a rev o lu ció n e n direcció n
o p u e s ta al g iro d d paso u n o . C u a n d o e ste m o v im ien to se c o m ­
bina c o n d m o v im ien to d d p r im e r paso, d m o v im ien to su p e r­
p u esto d el e n g ra n e fijo es igual a cero.
P a so tre s
FIGURA 10.23 T ren d e eng ran es p lan etario .
El m o v im ien to d e to d o s los eslab o n es s e d e term in a c o m b in a n d o
los giros d e los p rim e ro s d o s pasos. F inalm ente, las v d o cid ad es
so n p ro p o rcio n ales a los m o v im ien to s d e rotación.
D ich o e n té rm in o s generales, a u n q u e e ste m é to d o parece
co m p lejo , e s b a s ta n te se n cillo . El m é to d o se ilu s tra m e jo r con
u n p ro b le m a d e ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.20
En la figura 1 0 2 4 s e observa un tre n de engranes planetario. El transportador (esbbón 2) es b en trada al tren. El solar
(engrane I) e s el engrane fijo y tiene 30 dientes. El engrane p b n etario (engrane 3) tiene 35 dientes. El engrane anub r sirve com o h salida del tre n y tiene 100 dientes. Determ ine b velocidad a n g u b r d e todos los m iem bros de este tren
de engranes, cuando el eje de en trada gira a 1200 rpm e n se n tid o horario.
S O L U C IÓ N :
1.
fr a ile e e l paso I
H prim er paso consiste e n fijar tem poralm ente el transportador y, luego, ca lc u b r los m ovim ientos de todos los
engranes, cuando d en g ran e previam ente fijado gira u n a revolución. De este m odo s e determ ina lo siguiente:
H engrane 1 g ira u n a revolución.
A&i = +1 rev
F IG U R A 1 0 2 4 T r e n p l a n e t a r i o d e l p r o b l e m a d e e j e m p l o 1 0 .2 0 .
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292
CAPITULO DIEZ
&i relación c o n el engrane 1, el en g ran e 3 ( VR, j ) g ira lanío como:
A «s - (V R ,-j)(A fl,) - ^
) ( + ! rev) - - 0 8 5 7 rev
Efe acuerdo c o n el en g ran e 3, el engrane 4 ( V R j^) gira tan to como:
¿0< = ( VRj _4) (A 0 j) = (V R ,_a) (V ,_ 3)(A ^ 1) = ( ^ ¿ ) ( - ^ ) ( + , rev ) = - 0 J rev
2.
Realice el p a so 2
0 segundo paso e s g ira r lodos los eslabones -1 revolución. Esto regresa al engrane so lar a su posición origi-nal,
generando asi u n m ovim iento n e to igual a cero.
3.
Realice el p a so 3
H m éto d o d e su p e rp o sic ió n im p lica la co m b in ació n d e estos d o s m ovim ientos, lo cu al d a c o m o resultado
el m o v im ie n to real d el tr e n d e en g ra n e s p l a n e t a r i a Asi, lo s g iro s d e a m b o s p a s o s se s u m a n alg eb raica­
m ente. Los d o s p asos se re su m e n e n la ta b la 10.10.
TA B LA 1 0 .1 0
T a b u la c ió n d e l a n á lis is d e e n g r a n e s p la n c tu r ú
d e l p r o b le m a d e e je m p lo 10.20
E sla b d n
R is o
S o la r
P la n e ta
A n u la r
T r a n sp o rta d o r
1:
Giro con d transportador fijo
+1
-0-837
-0 3
-1
-1
-1
-1
“ 1857
-1 3
-1
0
R is o 2:
Giro de todos los eslabones
R is o ):
Giren totales
4.
0
D eterm ine las velocidades d e todos los eslabones
Las velocidades s e determ inan con las razones de lo s desplazam ientos angulares.
*w
' ( axÜ Ü L . ) ” '™ '” -*" ■ ( r r ) ‘,20°T "’> ■ «'I™
“ |W . ñ o “ ( - ! f f 7 ) <Jmnyo»udcr " (+1*857) (1200rp m ) «■ + 2 2 2 8 rp m - 2228 rpm . e n se n tid o horario
“ millo =
~
^ “ rm .pauJor = ( + 1 3 ) (120Orpm ) = + 1560 rpm = 1560rpm . e n sentido horario
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.21
En la figura 1035 se m uestra u n tren de engranes planetario. El tra n sp o rta d o r (eslabón 2) sirv e com o en tra d a al
tren. El en g ran e a n u la r (engrane 1) es el engrane fijo y tien e 120 dientes. FJ en g ran e planetario (engrane 4) tien e 40
dientes. El engrane so lar (en g ra n e 3) sirve com o la salida del tre n y tien e 30 dientes. D eterm ine b velocidad angular
d e todos los m iem b ro s d e este tre n de engranes, c u a n d o el eje de en tra d a g ira a 1200 rpm e n se n tid o horario.
S O L U C IÓ N :
1.
Realice los pasos I a 3
0 p rim e r paso es fija r tem poralm ente el tran sp o rtad o r. Luego se calculan los m ovim ientos d e to d o s lo s e n ­
granes. cu an d o el engrane fijado con anterioridad gira u n a revolución.
0 segundo paso es girar todos los esb b o n es -1 revolución. Esto regresa el engrane a n u b r a su posición origiru l, generando asi u n m ovim iento n e to igual a c e r a
Estos d o s pasos se resum en e n b tabla 10.11.
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Engran e»: a n á lisis c in e m á tic o y selecció n _________293
p T A B L A 1 0.11
r
P a s o s d e la s o lu c ió n d e l p r o b l e m a d e e je m p lo 10.21
------------------------------E akM a
S o la r ( e n g r a n e 3 )
]
P la n e ta (e n g ra n e » )
A n illo ( e n g r a n e 1)
T ra n sp o rta d o r (en g ra n e 2 )
+1
0
-1
-1
P i* o 1:
Giro con el transportador
foo
(
m
>
-
( 5
) - “
B w l:
Giro de todos los eslabones
R»*o
-i
-1
- 5 .0
+2J>
M
Giros totales
2.
-1
0
Calcule la velocidad d e lodos los eslabones
1a s velo cida d e s se d e te r m im n m e d ia n te la s ra zo n e s d e lo s de sp la z a m ie n to s angulares.
“ ’rt“0 = (
p ^ l dor)
= ( r f ) ( 0 , Pm ) = 0 ,Pm
“•mn^artod® “ I2 00rpm .sentido horario
“ V in rt.n o “
^ - ^ 7 p ^ a ,r» u r**t.d o r ■ ( “ 2 .0 ) (1 2 0 0 r p m ) = - 2 4 0 0 r p m - 2 4 0 0 rp m , s e n tid o a n tih o ra rio
“Vrfar ” í —
J “’irampatiJof ~ (+ 5 .0 ) (1200 rpm ) = + 6000rp m = 6000 rpm , se n tid o horario
1 0 .1 5 .2 A n á lis is p o r e c u a c i ó n d e e n g r a n e s
p la n e ta rio s
A dem ás d d m é to d o ta b u la r, el m o v im ie n to d e u n t r e n d e e n ­
g ra n e s p la n e ta r io ta m b ié n s e a n a liz a m e d ia n te u n a ecu a c ió n
q u e s e d e d u c e d e las velocidades angulares relativas. P a ra desa­
rro lla r el m é to d o d e la fó rm u la, s e exam ina el m o v im ien to d e los
en g ran es acoplados e n relación c o n el tra n sp o rta d o r. Así, se u ti­
liza la in v e rsió n cin e m á tic a p a ra v isu alizar el tr e n c o m o si el
tra n sp o rta d o r estuviera fijo. S e designa el en g ran e d e u n extrem o
del tre n c o m o d p rim e r engrane. El en g ran e d el e x tre m o opues­
to d d tr e n se d esigna c o m o d ú ltim o engrane.
El tr e n está fo rm a d o p o r pares d e eng ran es aco p lad o s c o n ­
sistentes e n engranes im pulsores e im pulsados. El p rim e r engrane
se d esig n a c o m o d en g ran e im p u lso r, el ú ltim o engrane, c o m o d
e n g ra n e im p u lsa d o . Los e n g ra n e s in te rm e d io s s e identifican
co m o corresponda, d ep e n d ie n d o d e si im p u lsan o so n im p u lsa­
dos. Al calcular la razón d e o d a par, la razón e s negativa e n engra­
nes ex tem o s acoplados y positiva e n eng ran es con acoplam iento
interno.
Al cam biar d e n fo q u e a velocidades ab so lu tas, el p rim e r e n ­
g ra n e tie n e u n a v elo cid ad a n g u la r d e s ig n a d a u>f y e l ú ltim o
engrane, u n a v d o c id a d a n g u la r d e n o m in a d a cof. El tra n sp o rta ­
d o r tien e u n a v d o c id a d a n g u la r «>*|r, nip<Mt,a OI. L a relación e n tre
las velocidades angulares y el n ú m e ro d e d ie n te s es c o m o sigue:
tr a n s p o r ta d o »
----------------------------
=
( 1 0 .3 6 )
« tra n s p o r ta d o »
p roducto d el n ú m ero de dientes de los engranes im pulsores
p roducto del n ú m ero d e dientes d e los engranes im pulsados
<■*/. ~ “ transportado.
" F
~
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“ > ir a m p o r ta d o r
294
CAPITULO DIEZ
C o n la ecu a c ió n (1 0 .3 6 ) s e o b tie n e c u a lq u ie r té r m in o d e
velocidad angular, c o n o cien d o los o tro s d o s. C o n frecuencia, se
fija y a sea el p rim e r en g ran e, el ú ltim o o el tra n sp o rta d o r, y ese
té rm in o se hace igual a cero. A un c u a n d o e s m en o s co m p licad o
q u e el m é to d o ta b u la r, el m é to d o d e la fó rm u la se lim ita a casos
d o n d e la tray ecto ria d e a c o p lam ien to u n e el p rim e ro y el ú ltim o
en g ran es. El m é to d o s e ilu stra e n los sig u ien tes p ro b le m a s de
ejem plo.
P R O B L E M A D E E JE M P L L O 10.22
&i b figura 10.24 se m uestra u n tre n de engranes planetarios El transportador (eslabón 2) sirve com o la en trada al
tre a E l solar (engrane I ) es el engrane fijo y tiene 30 dientes. B engrane planetario (engrane 3) tiene 35 dientes. El e n ­
g rane anular sirve com o salida del tre n y tiene 100 dientes. En el problem a de ejem plo 10.20 se d eterm in ó que la ve­
locidad an g u lar del en g ran e anular es d e 1560 rpm e n sentido horario, m ientras que el eje de en trada gira a 1200 rpm
e n se n tid o horario. Use el m éto d o d e la fórm ula p a ra verificar este resultado.
S O L U C IÓ N :
I.
Especifique el prim ero y el ú ltim o engrane*
B so lar (engrane 1) se designa com o el prim er engrane. A l estar e n el otro ex trem o del tren, el engrane anular
(engrane 4) s e designa com o el ú ltim o engrane.
2.
Sustituya las razones d e engrane en l a fó rm u la d el tren planetario
B engrane 1 (prim ero) s e acopfa con el engrane 3, d cual a l a v a s e acopla con el en g ran e4 (últim o). Al sustituir
o í la ecuación (1036):
• ‘•W
I-3 X -8 )-
o .u d o -
—OI
Id en tifiq u e los térm in o s d e velocidad angular
B so lar está fijo y. por lo tanto,
- 0. El transportador g ira a 1200 rpm e n sentido horario. C onsiderando el
sentido horario com o u n a dirección negativa, o*I.nVorUd<r “ -1 200. El engrane anular se debe calcular, d e m odo
« g ie « ¿ -?
d estitu ya los valores e n la fó r m u la del tren pla n eta rio y despeje
Al su stitu ir los valores e n la ecuación (1036):
( - m
)
0 - ( -1 2 0 0 )
Ltespejando,
io[
= 1200^—^
í o o ) - 1 2 0 0 = - 1560 = 1560 rpm , e n sentido horario
P R O B L E M A D E E JE M P L O 10.23
En la figura 1025 se ilustra un tren d e engranes planetario. El transportador (eslabón 2) sirve com o la entrada al tren. El
engrane anular (engrane 1) es el engrane fijo y tiene 120 dientes. El engrane planetario (engrane 4 ) tiene 40 dientes.
B engrane solar (engrane 3) sirve c o m o salida del tre n y tiene 30 dientes. En el problem a de ejem plo 1021 se determ i­
nó que b velocidad a n g u b r del engrane s o b r es d e 6000 rpm e n se n tid o horario, m ientras que el eje d e entrada gira a
1200 rpm e n sentido horario. Use el m étodo de b fó rm u b para verificar este resultado.
S O L U C IÓ N :
I.
Especifique e l prim ero y e l ú ltim o engranes
B so lar (engrane 3) se designa com o el prim er engrane. Al estar e n el otro ex trem o del tren, el engrane anular
(engrane 1) se designa com o el ú ltim o engrane.
2.
Sustituya las razones d e engrane e n la fó rm u la d el tren planetario
B en g ran e 2 (p rim e ro ) se a c o p la con el e n g ra n e 4, el cual a la v a se acopla con el en g ran e 1 (últim o).
Sustituyendo e n b ecuación (1036):
(_ W
\
N
+ NA _
,)\
N ,J
W‘ ~ tl,P»n»pom4cr
<ü [ -
« V .n .p o .u d c
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Fn gran es: a n á lisis c in e m á tic o y se le c c ió n
3.
295
¡den i ¡fique ios ttr m in os d e velocidad angular
El anillo está fijo; por lo tanto, « i “ (XEI transportador gira a 1200 rpm e n so n id o horario. Considerando el sentido
horario com o u n dirección negativa, atm ap m d o r " ” 1200. Se debe calcular el engrane solar, de m odo que to / - ?
4.
S u titu y a los valora e n la fó rm u la d el tren pla n eta rio y despeje
Sustituyendo los valores e n la ecuación (1 0 J6 ):
0 ~ (-1 2 0 0 )
: » y + «
C 4 0 /\
«>f —( —1200)
120.
Despejando,
a if -
1200^ -
~ 1200 ■ - 6 0 0 0 = 6 0 0 0 rp m , e n sentido horario
E n lo s p ro b le m a s 10-9 a 10-14, d e te rm in e l o siguiente:
PROBLEM AS
á ) Los d iá m e tro s d e p aso
b) La d ista n c ia e n tre centros
G e o m e tr ía d e e n g r a n e s r e c to s
En lo s p ro b le m a s 10-1 a 10-4, d e term in e lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
e)
El d iá m e tr o d el d r e u lo
El d iá m e tr o d el d r e u lo
El d iá m e tr o d el d r e u lo
El d iá m e tr o d e l d r e u lo
El p aso circular
d e paso
base
d el a d e n d o
d el d e d e n d o
1 0 -1
1 0 -2 . U n e n g ra n e recto d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d to ta l a
20", c o n 48 d ie n te s , q u e tie n e u n p aso diam etral d e 8.
1. D os eng ran es aco p lad o s tien en 18 y 48 dientes, respecti­
vam ente, asi c o m o u n a distan cia e n tre cen tro s d e 4.125.
1 0-12. Dos en g ra n e s aco p lad o s tien en 20 y 45 d ie n te s , respec­
tivam ente, asi c o m o u n a distan cia e n tre c e n tro s d e 3.25.
1 (3 -1 3 .
Un p ifió n d e 18 d ie n te s c o n u n p aso igual a 8 s e acopla
c o n u n e n g ra n e in te rn o d e 6 4 dientes.
1 0 -1 4 .
U n p if ió n d e 2 4 d ie n te s c o n u n p a s o ig u al a 12 se
¡ to p la c o n u n e n g ra n e in te rn o d e 108 d ien tes.
U n e n g ra n e recto d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d to ta l a
14'/4",con 4 0 d ien tes, que tien e u n p aso diam etral d e 16.
10 -4 . Un e n g ra n e recto a 25*. con 21 d ien tes, que tien e u n m ó ­
d u lo m étric o d e 4 . D eterm in e el d iá m e tro d el d r e u lo de
p o sa
G n c m á ti c a d e e n g ra n e s
En lo s p ro b le m a s 10-15 a 10-18, d e term in e lo siguiente:
a ) La velocidad d el engrane
b ) La v e lo d d a d e n la lín ea d e paso
E n lo s p ro b le m a s 10-5 a 10-8, d e te rm in e lo siguiente:
n)
b)
c)
d)
1 0 -5 .
La d ista n c ia e n tre cen tro s
L a r a z ó n d e c o n ta c to
1 0 -1 5 .
Si hay in terferen cia
L a d is ta n d a e n tre cen tro s q u e reduce la h o lg u ra de
u n v a lo r d e catálogo d e 0.4/ P j a u n valor d e 0 .1 /P j
re c o m en d ad o p o r la mima.
D o s en g ra n e s recto s d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d to ta l a
20”, c o n p aso d e 12, q u e s e u tilizan e n u n a sie rra circular in d ustrial p a ra c o rta r m adera. El p ifió n tiene 18 d ie n ­
te s y el en g ran e, 42.
10-8 . Etos e n g ra n e s recto s d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d total
a 20", c o n p aso igual a 4, s e u tiliz a n e n u n a vo ltead o ra
p a ra e lim in a r las reb ab as d e ac e ro d e p a r te s tr o q u e b d as. El p ifió n tie n e 12 d ie n te s y el en g ran e, 28.
1 0 -7 .
Dos e n g ra n e s aco p lad o s c o n paso igual a 12 tien en 18
d ien tes e x te m o s y 4 8 d ie n te s in te rn o s, respectivam ente.
1 0-10. Dos e n g ra n e s aco p lad o s c o n paso igual a 2 0 tie n e n 15
d ien tes e x te m o s y 6 0 d ie n te s in te rn o s, respectivam ente.
1 0 -1 . Un e n g ra n e recto d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d to ta l a
20°, c o n 18 dientes, q u e tie n e u n p aso d ia m e tra l d e 12.
1 0 -3 .
1 0 -9 .
D o s e n g ra n e s recto s d e p lls tic o d e in v o lu ta , c o n p ro ­
fu n d id a d total, a 25”, c o n p aso igual a 48, s e u tiliz a n en
u n a m á q u in a d e a fe ita r e lé c tric a . El p ifió n tie n e 18
d ien tes y el en g ran e, 42.
1 0 -8 . Dos en g ran es recto s d e in v o lu ta d e p ro fu n d id a d total
a 1454°, c o n p aso ig u al a 16, se u tiliz a n e n el to m o d e
un ta lle r m ecán ico . El p ifió n tie n e 16 d ie n te s y el e n ­
g ran e 72.
Un p ifió n d e 18 d ie n te s c o n u n p aso igual a 8 g ira e n
se n tid o h o r a rio a 1150 r p m y s e a c o p la c o n u n en g ran e
d e 64 dientes.
10 -1 6 . Lto p ifió n d e 15 d ien tes c o n u n p aso igual a 20 g ira en
se n tid o h o ra rio a 1725 r p m y s e a c o p la c o n u n en g ran e
d e 60 dientes.
1 0 -1 7 .
U n p ifió n d e 21 d ie n te s c o n u n p aso igual a 6 g ira e n
se n tid o h o r a rio a 8 5 0 r p m y se a c o p la c o n u n en g ran e
d e 42 dientes.
1 0 -1 8 .
L h p ifió n d e 24 d ien tes c o n u n p aso igual a 24 g ira en
se n tid o h o ra rio a 1725 r p m y s e a c o p la c o n u n en g ran e
d e 144 dientes.
S elecció n d e u n e n g r a n e c o n u n a d ista n c ia
e n tr e c e n tr o s d e fin id a
1 0 -1 9 .
Dos en g ra n e s c o n u n paso ig u al a 10 s e van a m o n ta r
con u n a separación d e 12 i n y tien en u n a ra z ó n d e ve­
lo c id a d d e 5:1. C a lc u le los d iá m e tro s d e p a s o y el
n ú m e ro d e d ien tes d e a m b o s en g ran es.
1 0 -2 0 . D os en g ra n e s c o n u n paso ig u al a 16 s e van a m o n ta r
c o n u n a se p a ra c ió n d e 3 .7 5 i n y tie n e n u n a ra z ó n de
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296
CAPITULO DIEZ
v elo cid ad d e 4 :1. C a lc u le lo s d iá m e tr o s d e p a s o y el
n ú m e ro d e d ie n te s d e a m b o s engranes.
S e le c c ió n d e u n e n g r a n e c o n u n a d ista n c ia
e n tre c e n tr o s d e fin id a
1 0 -2 1 . D os e n g ra n e s c o n u n paso igual a 3 2 se v a n a m o n ta r
con u n a se p a ra c ió n d e 2 .2 5 in y tie n e n u n a r a z ó n d e
v elo cid ad d e 8 :1. C a lc u le lo s d iá m e tro s d e p a s o y el
n ú m e ro d e d ie n te s d e a m b o s engranes.
1 0 -2 2 . D os en g ra n e s s e van a m o n ta r c o n u n a se p a ra c ió n d e
5 in y tien en u n a ra z ó n d e velocidad d e 4:1. C a lc u le lo s
d iá m e tro s d e paso, lo s p asos d iam etrales y el n ú m ero
d e d ie n te s a d e c u a d o s e n a m b o s engranes.
1 0 -2 3 . D os en g ra n e s s e van a m o n ta r c o n u n a se p a ra c ió n d e
3 .5 i n y tie n e n u n a ra z ó n d e velocidad d e 6:1. C alcule
lo s d iá m e tro s d e p aso , los p a s o s d ia m e tra le s y el
n ú m e ro d e d ie n te s ad ecu ad o s e n a m b o s engranes.
1 0 -2 4 . D o s e n g ra n e s s e van a m o n ta r c o n u n a se p a ra c ió n d e
10 i n y tie n e n u n a r a z ó n d e v elo cid ad d e 3:1. C alcule
lo s d iá m e tro s d e p aso , los p a s o s d ia m e tra le s y el
n ú m e ro d e d ie n te s ad ecu ad o s e n a m b o s engranes.
S elecció n d e u n e n g r a n e d e c a tá lo g o
1 0 -2 5 . S e v a a seleccionar u n p a r d e e n g ra n e s d e ac e ro d u lc e , a
20", p a r a u n a ap licació n d o n d e se necesita tra n sm itir
5 h p . El p ifió n im p u lsa a 1800 r p m y el e n g ra n e debe
g ira r tan cerca c o m o sea p o sib le d e 4 8 0 r p m . D e te rm i­
n e u n c o n ju n to ad ecu a d o d e en g ra n e s d e catálogo p a ra
e sta ap licació n , u sa n d o la tab la 10.7.
1 0 -2 6 . S e v a a seleccionar u n p a r d e en g ra n e s d e ac e ro d u lc e a
20", p a r a u n a ap licació n d o n d e se necesita tra n sm itir
2 5 h p . El p ifió n im p u lsa a 1500 r p m y el en g ran e debe
g ir a r t a n cerca c o m o sea p o sib le d e 5 0 0 rp m . D e te r­
m in e u n c o n ju n to a d e c u a d o d e e n g ra n e s d e catálogo
p i r a e sta aplicación, u sa n d o la tab la 10.7.
1 0 -2 7 . S e v a a seleccionar u n p a r d e en g ra n e s d e ac e ro d u lc e a
20", p a r a u n a ap licació n d o n d e s e necesita tra n sm itir
8 h p . El p ifió n im p u lsa a 1500 rp m y el e n g ra n e debe
g ira r t a n cerca c o m o sea p o sib le d e 2 0 0 rp m . D e te r­
m in e u n c o n ju n to a d e c u a d o d e e n g ra n e s d e catálogo
j o r a e sta ap licación, u sa n d o la ta b la 10.7.
1 0 -2 8 . Se v a a seleccionar u n p a r d e engranes d e acero d u lc e a
20", p a ra u n a ap licació n d o n d e s e necesita tra n sm itir
10 h p . El pifión im p u lsa a 8 0 0 r p m y el en g ran e d e b e g i­
ra r ta n cerca c o m o sea posible d e 180 r p m . D e te m iin e
u n c o n ju n to a d e c u a d o d e en g ra n e s d e c a tá lo g o p a ra
esta ap licació n , usan d o la t a b b 10.7.
1 0 -2 9 . Se v a a se leccio n ar u n p a r d e engranes d e acero d u lc e a
20", p a ra u n a ap licació n d o n d e s e necesita tra n sm itir
1 h p . El p ifió n im p u lsa a 1725 rp m y el en g ran e d e b e g i­
ra r ta n cerca c o m o sea posible d e 5 6 0 r p m . D eterm ine
u n c o n ju n to a d e c u a d o d e en g ra n e s d e c a tá lo g o p a r a
esta ap licació n , usan d o la t a b b 10.7.
10 -3 0 . Se v a a seleccionar u n p a r d e engranes d e acero d u lc e a
20", p a ra u n a aplicación d o n d e se necesitan tra n sm itir
10 h p . El p ifió n im p u lsa a 1175 r p m y el engrane debe
g ira r ta n cerca c o m o sea posible d e 230 rp m . D eterm ine
u n c o n ju n to a d e c u a d o d e en g ra n e s d e c a tá lo g o p a ra
esta ap licació n , u sa n d o b t a b b 10.7.
1 0 -3 1 . Se v a a se leccio n ar u n p a r d e en g ra n e s d e ac e ro d u lc e a
7 0 p a ra u n a a p lic a c ió n d o n d e s e necesita tr a n s m itir
10 hp. El p ifió n im p u lsa a 1175 r p m y el e n g ra n e debe
girar ta n cerca c o m o se a posible d e 170 rp m . D eterm i­
n e u n c o n ju n to a d e c u a d o d e eng ran es d e catálogo p a ra
esta aplicación, u s a n d o la t a b b 10.7.
1 0 -3 2 . Se v a a se leccio n ar u n p a r d e en g ra n e s d e ac e ro d u lc e a
20", p a ra u n a a p lic a c ió n d o n d e s e necesita tr a n s m itir
3 hp. El p ifió n im p u lsa a 1750 r p m y el en g ran e debe
girar ta n cerca c o m o sea posible d e 290 rp m . D e te rm i­
n e u n c o n ju n to a d e c u a d o d e eng ran es d e catálogo p a ra
esta aplicación, u s a n d o la t a b b 10.7.
1 0 -3 3 . Se va a se leccio n ar u n p a r d e en g ra n e s d e ac e ro dulce
a 20", p a ra u n a aplicación d o n d e s e necesita tra n sm itir
20 hp. El p ifió n im p u lsa a 8 2 5 r p m y el en g ran e debe
girar ta n cerca c o m o se a posible d e 205 rp m . D e te rm i­
n e u n c o n ju n to a d e c u a d o d e eng ran es d e catálogo para
esta aplicación, m a n d o la t a b b 10.7.
P ifión y c r e m a lle ra
1 0 -3 4 . Se u sa n u n a crem allera y u n p ifió n p a r a a ju sta r b altu ra
d e u n a c á m a ra d e p ie . El p ifió n tie n e 18 d ie n te s y un
poso igual a 24. D eterm ine el á n g u lo q u e d e b e ( n ) girar
el m an g o (y el p ifió n ) p a ra elevar b cám ara 5 in.
1 0 -3 5 . Se u s a n u n a crem allera y u n p ifió n p a ra b ajar el taladro
d e u n a p ren sa ta la d ra d o ra . El p ifió n tien e 2 0 d ie n te s y
u n p a s o ig u al a 16. D e te rm in e el á n g u lo q u e d cb e(n )
g ira r el m an g o (y el p ifió n ) p a r a b a ja r el ta la d ro 3 in.
1 0 -3 6 . Se usan u n p ifió n d e 18 d ien tesy p aso igual a 8 p a ra im ­
pu lsa r u n a crem allera. D eterm in e b distan cia q u e viaja
b crem allera c u a n d o el p ifió n g ir a 3 revoluciones.
1 0 -3 7 . Se u sa n u n p ifió n d e 24 d ie n te s y p aso igual a 12 p a ra
im p u lsa r u n a crem allera . D e te rm in e b d ista n c ia q u e
viaja b crem allera c u a n d o e l p ifió n g ir a 5 revoluciones.
1 0 -3 8 . Se u s a n u n p ifió n y u n a crem allera p a r a d irig ir u n
m ecanism o. El p ifió n tie n e 18 d ie n te s y u n p aso igual a
12. D e te rm in e la v elo cid ad re q u e rid a d el p ifió n p a ra
im p u lsar b crem allera a u n a v elo cid ad d e 50 in /m in .
1 0 -3 9 , Se u s a n u n p iñ ó n y u n a c re m a lle ra p a r a d irig ir u n
m ecanism o. E l p iñ ó n tie n e 2 0 d ie n te s y u n p aso igual a
10. D eterm in e b v elo cid ad re q u e rid a d e b crem allera,
s i el p ifió n g ir a a u n a v elo cid ad d e 80 rpm .
E n g ra n e s h e lic o id a le s
En los p ro b le m a s 10-40 a 10-41, d e term in e lo siguiente:
a)
b)
c)
d)
Los d iá m e tro s d e paso
El paso d ia m e tra l no rm al
El paso c irc u la r n o rm a l
Si la in terferen cia es u n p ro b lem a
1 0 -4 0 . U n p a r d e en g ra n e s h elico id ales tie n e n u n á n g u lo de
p re sió n d e 20", u n á n g u lo d e hélice d e 45° y u n p aso
d iam etral ig u al a 8 . El p ifió n tie n e 16 d ie n te s y el e n ­
g ra n e 32.
1 0 -4 1 . U n p a r d e en g ra n e s h e lic o id a le s tie n e u n á n g u lo de
p re sió n d e 14'A°. u n á n g u lo d e hélice d e 30" y u n p aso
d iam etral igual a 12. El p ifió n tien e 16 d ien tes y e l e n ­
g ra n e 48.
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Engran e»: a n á lisis d n e m á tic o y selecció n _________297
1 0 -4 2 . Para red u cir el ru id o d e u n e n g ra n e im p u lso r, se van a
s u s titu ir d o s en g ra n e s recto s c o n p aso igual a 8 ,2 0 y 40
d ien tes, p o r d o s en g ra n e s h elic o id a le s. El c o n ju n to
nuevo d e b e te n e r la m ism a r a z ó n d e v e lo c id a d y d is ­
tancia e n tre c en tro s. E specifique los d o s eng ran es h eli­
c o id ales, los c u a le s s e f a b ric a ro n c o n u n a fre sa d o ra ,
[ tir a realizar la tarca.
1 0 -4 3 .
Para red u cir el ru id o e n u n e n g ra n e im p u lso r, se van a
s u s titu ir d o s en g ra n e s recto s c o n paso igual a 12, 18 y
54 dientes, p o r d o s eng ran es helicoidales. El c o n ju n to
nuevo d e b e te n e r la m ism a r a z ó n d e v elo cid ad y d is ­
tancia e n tre c en tro s. E specifique los d o s eng ran es h eli­
c o id ales, lo s cuales s e f a b ric a ro n c o n u n a fre sa d o ra ,
jxira realizar la tarea.
E n g ra n e s c ó n ic o s
1 0 -4 4 .
Un p a r d e eng ran es c ó n ico s q u e tien en 20 y 7 5 dientes
se u tilizan e n ejes q u e se intersecan e n u n á n g u lo d e 90°.
D eterm in e la razón d e velocidad y los án gulos d e paso
d e a m b o s engranes.
10 -4 5 .
I h p a r d e eng ran es c ó n ico s q u e tien en 20 y 7 5 dientes
se u tilizan e n ejes q u e se intersecan e n u n á n g u lo d e 60°.
D eterm in e la razón d e velocidad y lo s án gulos d e paso
d e a m b o s engranes.
dientes; N y - 72 d ie n te s y P j • 10; N« ” 16 d ie n te s y
P j ■ 8; y
m 48 d ien tes. D eterm in e la velocidad del
en g ran e 5 c u a n d o el e n g ra n e 2 im p u lsa a 1200 rp m en
9entido h o r a r i a D e te rm in e asim ism o la d ista n c ia e n tre
cen tro s d e lo s en g ra n e s 2 y 5.
1 0 - 5 1.
E n la fig u ra P10.50 s e m u e s tra u n tr e n d e en g ran es. Los
e n g ra n e s tie n e n la s sig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N 2 = 20
d ien tes y P j = 10; d , = 6 in; 4 = 2 i n y P j = & y Ny =
48 d ien tes. D e te rm in e la v e lo c id a d d el e n g ra n e 5
c u a n d o el e n g ra n e 2 im p u lsa a 1800 r p m e n s e n tid o
a n tih o r a rio . D e te rm in e a s im is m o la d is ta n c ia e n tre
c e n tro s d e lo s en g ra n e s 2 y 5.
1 0-52. En la fig u ra P 10.52 s e m u e s tra u n tre n d e en g ran es. Los
e n g ra n e s tie n e n b s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N t = 15
dientes; Ny = 90 d ien tes y P j = 16; N y = 15 dientes;
N f = 7 5 dientes; N6 = 7 5 d ie n te s y P j = 12; N 7 = 15
dientes; y N a = 60 d ie n te s y P j = 8 . D e te rm in e b ve­
lo d d a d d e l e n g ra n e 8 c u a n d o el e n g ra n e 2 im p u lsa a
3600 rp m e n s e n tid o h o ra rio . D eterm in e asim ism o la
d is ta n d a e n tre cen tro s d e lo s e n g ra n e s 2 y 8.
1 0 -4 6 . U i p a r d e eng ran es c ó n ico s q u e tien en 18 y 9 0 dientes
se u tilizan e n ejes q u e se intersecan e n u n á n g u lo d e 75°.
D eterm in e la razón d e velocidad y lo s án gulos d e paso
d e a m b o s engranes.
E n g ra n e s s i n fin
1 0 -4 7 .
Se necesita u n e n g ra n a je s in fin p a ra re d u c ir la veloci­
d a d d e u n m o to r eléctrico d e 3600 a 6 0 r p m . C o n sid e ­
raciones d e resistencia req u iere n q u e se u se n engranes
c o n u n p aso igual a 16, y s e desea q u e el c o n ju n to sea de
a u to b b q u e o . E specifique u n c o n ju n to q u e realice esta
1 0 -4 8 .
Se necesita u n e n g ra n a je s in fin p a ra red u cir la veloci­
d ad d e u n m o to r eléctrico d e 1800 a 18 r p m . C o n sid e ­
raciones d e resistencia req u iere n q u e se u se n engranes
c o n u n p aso igual a 12, y s e desea q u e el c o n ju n to sea de
a ito b lo q u e o . E specifique u n c o n ju n to q u e realice esta
1 0 -4 9 .
Se n ecesita u n e n g ra n a je s in fin p a ra red u cir la veloci­
d a d d e u n m o to r eléctrico d e 3600 a 4 0 rp m . C o n sid e ­
raciones d e resistencia req u iere n q u e se u se n engranes
con u n p aso igual a 20, y s e desea q u e el c o n ju n to sea de
au to b lo q u e o . E specifique u n c o n ju n to q u e realice esta
tarea.
FIGURA P 1032 P roblem as 52 y 53.
10-53. E n la fig u ra P I0 .5 2 s e m u e s tra u n tre n d e en g ran es. Los
e n g ra n e s tie n e n b s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N2 = 16
dientes y P j “ 16; dy ■ 8 in ; 4 - 1 5 in ; N , - 50 d ien tes
y P j - 10; 4 - 5 .5 in ; N ? - 1.5 in y P j - 8; y N ¡ - 56
dientes. D eterm in e b v e lo d d a d d el e n g ra n e 8 cu an d o
el e n g ra n e 2 im p u lsa a 1200 rp m e n s e n tid o a n ti h o ­
r a r i a D e te rm in e a s im is m o b d is ta n d a e n tre cen tro s
d e lo s eng ran es 2 y 8.
1 0 -5 4 .
E n b fig u ra P I0 .5 4 s e m u e s tra u n tre n d e en g ran es. Los
e n g ra n e s tie n e n b s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N \ ~ 20
d ien tes y P j = 16; d2 ■ 8 i n ; y d¡ " 1.5 in y P j = 10.
D eterm in e la d is ta n c b q u e se m ueve b crem allera con
c ad a re v o lu d ó n d el e n g ra n e . D e te rm in e a s im is m o la
d is ta n d a e n tre cen tro s e n tre los en g ra n e s 1 y 3.
1 0 -5 5 .
En b figura P I0 5 4 se m uestra u n tre n d e engranes. Los
en g ra n e s tie n e n b s sig u ien tes p ro p ie d a d e s: N , = 18
T re n e s d e e n g r a n e s
1 0 -5 0 .
En la fig u ra P 10.50 se m u e s tra u n tr e n d e en g ran es. Los
e n g ra n e s t ie n e n la s sig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N 2 = 18
f ig u r a
P l 0 5 0 P r o b le m a s 5 0 y 3 1 .
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F IG U R A P 1 0 3 4
P r o b le m a s 5 4 -5 6 .
298
CAPITULO DIEZ
dientes y P j ■ 20; d¡ ■ 5 3 in ; y d , • 2 3 in y P j • 8.
Determ ine la velocidad requerida del en g ran e I p a r a que
ki crem allera se m ueva a u n a velocidad d e 50 in /m in .
1 0 -5 6 . En la fig u ra P10.54 se m u e s tra u n tr e n d e engranes. Los
en g ran es tien en la s sig u ien tes p ro p ie d a d e s: d t = 2.5 in;
N ¡ = 75 d ie n te s y P j = 10: y N j = 24 d ie n te s .
D eterm in e el p aso d ia m e tra l req u erid o d e la crem allera
p a ra q u e esta s e m ueva 0.5 i n c o n c ad a revolución del
e n g ra n e 1.
1 0 -5 7 . E n la fig u ra P10.57 se m u e s tra u n tr e n d e engranes. Los
e n g ra n e s tie n e n la s s ig u ie n te s p ro p ie d a d e s: N , “ 16
d ien tes y P j ■ 16; d ¡ = 8 in ; N} ■ 20 dientes; y N , 50 d ie n te s . D e te rm in e la v e lo c id a d d e l e n g ra n e 4
c u a n d o el e n g ra n e I im p u lsa a 1800 rp m .
D ise n o d e tr e n e s d e e n g r a n e s
1 0-61. D iserte u n tre n d e en g ra n e s c o n u n v a lo r d el tr e n de
400:1. Especifique el n ú m e ro d e d ien tes e n c ad a engrane.
Según los criterios d e interferencia, ningún en g ran e deberia ten er m enos d e 17 dientes. D e b id o a restricciones
de tam año, n in g ú n en g ran e d e b e ten er m ás d e 75 d ie n ­
tes. Bosqueje asim ism o el concepto d e l tren.
1 0 - 6 2 . Diserte u n tre n d e en g ra n e s c o n u n v a lo r d d tr e n de
-200:1. Especifique d n ú m e ro d e d ien tes e n cada e n g ra ­
ne. S egún los criterio s d e interferencia, n in g ú n engrane
d eberia ten er m enos d e 17 dientes. D ebido a restriccio­
n es d e tam arto, n in g ú n en g ran e d e b e ten er m á s d e 75
dientes. B osqueje asim ism o el concepto d el tren.
1 0-63. D iserte u n tre n d e en g ra n e s c o n u n v a lo r d d tr e n de
-900:1. Especifique d n ú m e ro d e d ien tes e n cada engra­
ne. S egún los criterio s d e interferencia, n in g ú n engrane
deberla te n e r m en o s d e 17 dientes. D e b id o a re stric ­
ciones d e tam arto, n in g ú n e n g ra n e d e b e ten er m ás d e 75
dientes. B osqueje asim ism o el co n cep to d el tren.
M e c a n ism o s d e e n g r a n e s im p u ls a d o s
f ig u r a
1 0 -5 8 .
P l0 3 7
P roblem as 5 7
1 0 -6 4 . En la fig u ra P10.64 s e p resen ta el m ecanism o d e aper­
tu r a d e u n a v e n ta n a c o n bisa g ras. L o s eng ran es tien en
las sig u ien tes propiedades: d , = 1 in ; N 2 = 30 d ie n te s y
P j = 20; N} = 18 d ie n te s y P j = 18; y
= 4 in . Según
b c o n fig u ra c ió n m o s tra d a , c o n 0 = 20*. d e te rm in e
gráficam ente (u san d o técnicas m anuales d e d ib u jo o el
c a d ) la ro ta c ió n a n g u la r d e la v e n ta n a c u a n d o la
m anivela g ir a u n a revolución.
y 58.
En e l tre n d e e n g ra n e s m o s tr a d o e n la fig u ra P10.57.
lo s en g ra n e s tie n e n la s sig u ien tes propiedades: N ( = 17
d ien tes y P j ■ 20; d i - 4 in ;
■ 18 dientes; y N t ■
36 d ien tes. D e te rm in e la v elo cid ad del e n g ra n e 1 p a ra
q u e el en g ran e 4 im p u lse a 380 rp m .
1 0 -5 9 . En el tr e n d e en g ran es m o stra d o e n la fig u ra P 1 0 3 9 , lo s
en g ran es tienen las siguientes p ro p ied ad es: N ^ ja a iU k i
= 1 cu e rd a ; N ¡ = 45 dientes; N j = 18 d ien tes y P j = 16;
d , = 6 in ; y rt/5 = 8 0 d ien tes. D eterm in e la velocidad del
e n g ra n e 5 c u a n d o el e n g ra n e 1 im p u lsa a 1800 rp m .
D eterm in e asim ism o la d ista n c ia e n tre cen tro s d e los
en g ran es 2 y 5.
F IG U R A P I 0 8 4
P roblem as 64 a 67.
1 0 - 6 5 . P ara el m e c a n is m o d e a p e r tu ra d e u n a v e n ta n a
m o stra d o e n la fig u ra P 1 0 6 4 , d e term in e analíticam ente
la r o ta d ó n a n g u la r d e la v e n ta n a , c u a n d o la m anivela
gira u n a rev td u d ó n , usan d o b c o n fig u ra d ó n m ostrada
O - 20•).
1 0-6 0 . En el tr e n d e en g ran es m o stra d o e n la fig u ra P 1 0 3 9 , lo s
en g ran es tienen las siguientes p ro p ied ad es: A’,»„iilownfin
= 2 cuerdas; N , = (O dientes: N , = 18 d ie n te s y P j =
12; d t = 6 in ; y N f = 54 d ien tes. D eterm ine la v elo d d ad
req u erid a d el engrane 1 (el to m illo s in fin) p a ra q u e el
e n g ra n e 5 im p u lse a 2 8 r p m . D e te rm in e a s im is m o la
d istan cia e n tre c e n tro s d e lo s eng ran es 2 y 5.
1 0-66. En el m ecan ism o d e a p e rtu ra d e u n a v entana m o stra d o
en la fig u ra P 10.64. los en g ra n e s tie n e n b s sig u ien tes
propiedades: d , = 0.75 in ; N¡ = 48 d ien tes y P j = 32;
<V, = 16 dientes y P j = 32;
= 4 in . P artie n d o d e b
c o n fig u ra d ó n m o stra d a ((¡ = 20°), d e term in e gráfica­
m en te (u sa n d o técnicas m an u ales d e d ib u jo o el c a d ) b
v e lo d d a d d e a n g u b r