PENDULO FISICO

FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
PENDULO FISICO
INTRODUCCION
Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje
horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de
equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como
línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rígido y con dirección
contraria al desplazamiento angular
, y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra
obtener debido a la inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde
nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio.
En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (demostradas en el punto 8 de
cálculos y resultados):
Donde:
T : periodo
Io : momento inercia respecto al eje
IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)
m : masa
! : Longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O
En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y
relaciones:
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 1
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
I.
OBJETIVOS DE LA PRÁCTICA
1.1 OBJETIVO GENERAL

El objetivo de la práctica es el estudio del movimiento armónico simple y del
péndulo FISICO.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Los objetivos específicos de esta práctica son:

II.
Determinación de la aceleración de la gravedad
 Determinación experimental de la ecuación del péndulo.
JUSTIFICACIÓN
La primera descripción del movimiento de un péndulo se debe al científico Galileo
Galilei, quien observó la regularidad del movimiento de una lámpara colgada del techo
de la catedral de Pisa y lo midió con su propio pulso, llegó a la conclusión que todas
tardan lo mismo en oscilar. Con esta idea, preparó una serie de experimentos para
investigar el movimiento que llamó pendular (es decir, de cosas que cuelgan de un
hilo). Se construyó dos péndulos iguales, pero uno con una bola de oro y otro con una
bola de madera”. ¡¡Increíble, los dos tardan el mismo tiempo en oscilar!! Resulta que
Aristóteles estaba equivocado, efectivamente, con este último experimento Galileo
obtuvo la clave para dominar las mediciones del tiempo, sucedía que cuando utilizaba
un hilo largo, el péndulo tardaba mucho en ir y venir, y cuando lo acortaba, la
oscilación se hacía más rápida. Interesantemente, cuando la longitud de un péndulo
se hace el doble de largo que otro, no tarda el doble del tiempo en realizar una
oscilación completa, sino 1.5 veces más lento, por lo que para hacerlo el doble de
lento debe cuadriplicarse la longitud. A estas conclusiones llegó Galileo
experimentalmente, sin apenas contar con la matemática necesaria para llegar a estos
resultados, lo cual se hace hoy en día a través del cálculo diferencial.
El péndulo simple modela el movimiento de objetos con trayectoria oscilatoria no
amortiguada o amortiguada en ciertos intervalos de tiempo, se ha utilizado para hacer
cálculos del tiempo y para fabricar relojes; también se usa para hallar la gravedad en
un planeta o en algún lugar de la tierra.
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 2
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
III.
HIPOTESIS
Para no sobrepasar el error relativo prefijado en la determinación de la aceleración de
la gravedad, se deben efectuar un número mínimo de oscilaciones para la medida del
periodo.
El valor medido del periodo se lo puede expresar como:
T  T  T
Donde:
T  Valor más probable del periodo
T  Error del periodo
También en este caso:
Donde:
T 
tn
n
T 
e
n
tn 
Tiempo empleado para las “n” oscilaciones
n  Número de oscilaciones
e  Error del dedo del crono metrista
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 3
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
El error relativo del periodo será:
ErT 
T
e

T
T' n
Despejando el número de oscilaciones:
n
e
ErT T '
(29)
T' 
Periodo aproximado
IV.
VARIABLES







V.
Aceleración de la Gravedad
Diferencia porcentual
Masas de la esfera
Prueba de hipótesis
Regresión lineal
Errores relativos
Intervalo de confianza de g
LIMITES Y ALCANCES
g  4 2 n 2
T
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
L
tn2
2 1 / 2
L
g
Página 4
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
VI.
MARCO TEORICO
Es necesario definir:
 METODO MINIMOS CUADRADOS
Elevando al cuadrado la fórmula del periodo P del péndulo compuesto
Que puede ser, la función y=a/x+bx, con y=P2
Dada una tabla de valores xi y periodos yi se trata de calcular los valores de los
coeficientes a y de b que mejor ajustan a los datos experimentales. El
procedimiento aplicado es similar a la regresión lineal
Medimos el periodo Pi de péndulo para cada posición xi, completando una tabla
con N pares de datos
Si (xi, yi) son las coordenadas de un dato experimental, a la abscisa xi le
correspondería la ordenada y=a/xi+bxi. La diferencia es
di=yi-a/xi-bxi

COEFICIENTE DE CORRELACION
El coeficiente de correlación de Pearson es una medida de la relación lineal entre
dos variables aleatorias cuantitativas. A diferencia de la covarianza, la correlación
de Pearson es independiente de la escala de medida de las variables.
De manera menos formal, podemos definir el coeficiente de correlación de
Pearson como un índice que puede utilizarse para medir el grado de relación de
dos variables siempre y cuando ambas sean cuantitativas.
El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1,1]:

Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una
dependencia total entre las dos variables denominada relación directa: cuando una
de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante.

Si 0 < r < 1, existe una correlación positiva.

Si r = 0, no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que
las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales
entre las dos variables.

Si -1 < r < 0, existe una correlación negativa.
Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia
total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la
otra disminuye en proporción constante
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 5
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
VII.
MARCO CONCEPTUAL
El péndulo es uno de los sistemas oscilantes más sencillos. Consiste en una masa m
sujeta a una varilla que se entiende como indeformable y carente de masa y sujeta en
la cima a un punto de apoyo. Es uno de los ejemplos clásicos de oscilador armónico
simple.
En este artículo describiremos el movimiento del péndulo mediante el formalismo de
Newton, es decir, aplicando razonamientos de fuerzas exclusivamente. En otro
artículo sobre el mismo tema, de nivel más alto, se deduce el movimiento mediante el
formalismo de Lagrange..
Las propiedades fundamentales de las oscilaciones del péndulo ya fueron
descubiertas empíricamente por Galileo Galilei. En 1581, mientras estudiaba medicina
en la Universidad de Pisa, Galileo con frecuencia atendía las liturgias en la Catedral
de Pisa. En cierta ocasión observó cómo las corrientes de aire de la catedral hacían
oscilar los enormes candelabros colgados que había en la catedral. La amplitud de las
oscilaciones era distinta y sin embargo a Galileo le pareció que el período era el
mismo. Inmediatamente se puso a medirlo utilizando su ritmo cardíaco como reloj y al
ver que estaba en lo cierto, decidió realizar un experimento riguroso al volver a su
casa, llegando a las siguientes conclusiones:

PÉNDULO SIMPLE (solución aproximada)
El péndulo consiste de un objeto de masa “m” unido a una cuerda de longitud “L” que
oscila en un plano vertical.
Con la finalidad de simplificar el estudio, consideraremos al objeto como masa
puntual, es decir la esfera de masa “m” posee dimensiones, pero si la masa y la
amplitud de oscilación (  0 ) es pequeña.
En un tiempo “t” la cuerda forma un ángulo  con la vertical. Las fuerzas que actúan
sobre la esfera son: la tensión, T, de la cuerda, y el peso, mg .Descomponiendo el
vector ma, en sus componentes normal maN y tangencial mat dirigida hacia la
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 6
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
derecha, es decir, en dirección de los valores de  crecientes, aplicando la segunda
ley de Newton en la dirección tangencial se obtiene:
F
T
 mgsen  mat
(7.1)
Con la aT = L  en la ecuación (7,1) donde alfa es la aceleración angular y
simplificando la masa.
-g sen  = L

(7.2)
Como la aceleración angular
 se escribe:  
d 2
esta expresión en (7.2) y
dt 2
ordenando se tiene:
d 2 g
 sen  0
dt 2 L
(7.3)
Para la oscilación de pequeña amplitud, podemos sustituir sen  por  expresado en
radianes, luego (7,3) se escribe:
d 2 g
  0
dt 2 L
(7.4)
La ecuación diferencial (7.4) corresponde al movimiento armónico simple, cuya
solución fue estudiada en la practica de resortes; entonces el periodo de oscilaciones
pequeñas (T) de un péndulo de longitud L es:
T  2

L
g
(7.5)
PÉNDULO SIMPLE (solución exacta)
La anterior ecuación es solo aproximada, con la finalidad de obtener una expresión
exacta, considerando la ecuación (7.3), multiplicando por 2
velocidad angular. Y ademas considerando
2
d
g
d
 2 sen
dt
L
dt
d 2 d

dt 2
dt
Simplificado (dt) e integrando con los limites:   0 con    0 y

2 d  2
0
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
d
 2
dt
y
con
,
ordenando.
 para  ,
g 
sen d
L O
Página 7
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
Entonces
 2   d   2
2
 dt 
g
cos   cos O 
L
(7.6)
Separando variables:
d

cos  cos 0
2g
dt
L
En la integración se usan relaciones trigonométricos, en la anterior ecuación tenemos:
L 0
g 0
T 2
d
sen
2
0
2
 sen
2
(7.7)

2
Para evaluar la integral, desarrollamos el integral por el teorema del binomio e
integrando resulta:
T  2
L 1
9


2
sen 4 0  ..............
1  sen 0 
g 4
2 64
2

(7.9)
La ecuación diferencial (7,3) puede tambien resolverse por otro método, para ello se
emplea el desarrollo en serie del sen  .
sen   
3
 2 
 ..........  1  
3!
6

(7.10)
Mediante (7. 10) la solución de (7. 3) conduce a:

L   02
1 
T  2
 ..............
g  16


(7.11)
INFLUENCIA DEL RADIO DE LA ESFERA
En la deducción de la ecuación (7. 3) se supone que la esfera tiene una masa puntual
no posee dimensiones, sin embargo a medida que aumenta el radio de la esfera, el
péndulo simple se aproxima al péndulo físico y su movimiento se describe por la
mecánica del sólido rígido, la deducción del periodo de la oscilación de esfera (T)
considerando el radio r de la esfera se escribe:
 2r 2

L 2  1
 5L

T  2
g

(7. 12)
CALCULO DE  0 Y r MÁXIMOS
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 8
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
En el experimento se emplea la ecuación (7. 5), en consecuencia se debera escoger
cierto ángulo de separación y verificar que este ángulo juntamente con el radio de la
esfera no sean factores que invaliden la ecuación (7. 5). en este sentido.
Entonces el ángulo máximo de separación y “r” ya calculado en la guia se tiene:
 0  2arcsen
0
5
(7. 18)
g
rL
(7. 21)
4
Además la longitud máxima de la cuerda L se calcula mediante:
L

4.resfera
(7. 22)
g
NUMERO DE OSCILACIONES
Con la finalidad de determinar la aceleración de la gravedad a partir de las mediciones
L, T mediante la ecuación (7. 13), resulta conveniente medir el numero de
oscilaciones. El numero de oscilaciones que debe realizar el péndulo para cierto error
preestablecido de la aceleración de la gravedad es:
n
et / 2
T T N
(7. 22)
,
Este procedimiento se lo realizo en la practica de resortes.
Para la determinación de error relativo del periodo y con el error relativo de la
gravedad preestablecido se lo calculo por medio de:
T 

g  L
2
(7. 23)
MEDICIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
Para el cálculo de la aceleración de la gravedad se emplea la ecuación, donde en la
esta ecuación se emplea el periodo de las “n” oscilaciones ya calculadas en la anterior
ecuación:
g  4 2 n 2
L
tn2
(7. 24)
Luego mediante propagación de errores, el error de la gravedad se tiene:
E g  4 2 n 2
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
L  EL
E 
 2 tn 
2 
tn  L
tn 
(7.27)
Página 9
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA

VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO
La ecuación del periodo T  2
T
L
, puede escribirse como:
g
2 1 / 2
L
g
(7. 28)
Para lineal izar la ecuación potencial aplicamos logaritmos (log).
T* = A + BL*
(7. 30)
Para validar la ecuación (7. 30) , en la practica se deben determinar
experimentalmente A y B con los diferentes valores de L con su respectivo periodo.
Donde AE y BE deben verificarse por el test de Hipótesis con los valores teóricos
VIII.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
 DETERMINACIÓN DE LA AMPLITUD MÁXIMA DE OSCILACIÓN
1. El instructor le asignara el error relativo de la gravedad para la determinación de g.
2. Empleado la ecuación (7. 18) determine la amplitud máxima de oscilación
3. Dispóngase el péndulo simple, fijando la longitud del hilo en 50 cm.
4. Empleando un lápiz dibuje en el tablero un triangulo rectángulo para representar
el ángulo máximo.
 DETERMINACIÓN DEL NUMERO DE OSCILACIONES
1. Mida la longitud L del péndulo 5 veces.
2. Calcule la longitud promedio (L) y su respectivo desviación estándar.
3. Con la probabilidad del 95% calcule el error relativo de (L).
4. Empleado la ecuación (7. 23) determine el error relativo del periodo.
5. Mídase el periodo aproximado, para ello, de la posición de equilibrio separe la
esfera hasta coincidir su centro de masa con el punto de máxima amplitud, luego
suelte la esfera y mediante un cronometro, determine el tiempo de 10 oscilaciones
mediante T = tn/10, calcule el periodo aproximado.
6. Con la expresión (7. 22) determine el numero de oscilaciones, empleando la
probabilidad del 95%, N=5 y e = 0,2 s.
 DETERMINE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 10
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
1. De la posición de equilibrio, separe la esfera hasta su centro de masa coincida con
la máxima amplitud y suelte la esfera.
2. Con ayuda de un cronometro, mídase el tiempo de las n oscilaciones (t n)
determinado anteriormente repítase este procedimiento 5 veces.
3. Mídase la masa y el diámetro de la esfera.
 VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO
1. Considerando las n oscilaciones y la amplitud máxima mídase el tiempo tn para L =
50 cm.
Repita el anterior procedimiento para L a 45, 40, 35, 30, 25 cm.
IX.
ANALISIS Y TRATAMIENTO DE DATOS
Tabla de datos
 DETERMINACIÓN DE LA AMPLITUD MÁXIMA Y DEL NUMERO
OSCILACIONES
Amplitud angular máxima:
50
Error relativo de la gravedad
(asignado): 0.01
Longitud
del
péndulo L
(cm)
L1
L2
L3
L4
L5
L
50
50.1
49.9
49.8
49.9
49.98
Desviación estándar
t / 2
Error relativo de L
0.11
1.41
2.74*10-3
.t10
(segundos)
14.1

DE
T,
n
1.41
10
DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD.
Masa
44.5 g
del
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
péndulo:
Diámetro de la esfera (cm):
2.23
Página 11
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA


.tn1
.t2n
.t3n
.t4n
.t5n
.tn
67.29
67.25
67.35
66.8
67.86
67.31
VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO
L
50
45
40
35
30
(cm)
.tn
67.31
63.93
60.84
56.43
52.44
(s)
25
48.09
DETERMINACIÓN DE LA AMPLITUD MÁXIMA Y EL NUMERO DE
OSCILACIONES
La amplitud máxima es:
 0  2arcsen
0.01
 5.120
5
Calculo del error relativo del periodo:
T 
0.01  0.00274
 3.63 *10 3
2
Calculo del número de oscilaciones:
n

0.2 * 2.776
 48
1.41 * 0.00363 * 5
DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
1.- Determinación de los promedio de L, tn, y con los n calculados con sus respectivos
errores.
𝐿 = (49.98  0.14) 𝑐𝑚 = (0.4998  0.0014) 𝑚
. 𝑡𝑛 = (67.31  0.46) 𝑠𝑒𝑔
. 𝑛 = 48
2.- Determinación de la aceleración de la gravedad
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 12
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
g  4 2 * 482
0.4998
 10.03m / s 2
2
67.31
3.- Determinación del error de la gravedad
Eg  4 2 * 482
0.4998  0.0014 2 * 0.46 
2

  0.165m / s
2 
67.31  0.4998 67.31 
4.- Calculo del error relativo de la gravedad y compararlo con el asignado.
g 
0.165
 0.016
10.03
 g  0.01 error asignado
 Los errores son casi iguales pero la aceleración de la gravedad es distinto al
teórico, debido a que influyo la medida del tiempo de oscilación, y de la
longitud L.

5.- Test de hipótesis para la aceleración de la gravedad para la probabilidad del 95%
donde g0= 9.775 m/s2
R.- En el test de hipótesis la aceleración de la gravedad es distinto al valor
experimental, por lo que se acepta la hipótesis alternativa H1: g0  g debido a
errores sistemáticos.

VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO
1.- Con los pares de datos del tiempo tn calcular los periodos para los diferentes
longitudes, y con los pares de datos T y L convertirlos a T* y L*
.n
L (m)
T ( seg)
L*
T*
1
0.5
1.4
-0.301
0.147
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 13
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
2
0.45
1.33
-0.347
0.124
3
0.4
1.27
-0.397
0.103
4
0.35
1.17
-0.456
0.0703
5
0.3
1.09
-0.523
0.0384
6
0.25
1.002
-0.602
0.0008135
2.- Grafico T vs L en la escala métrica
1,6
y = 1,6057x + 0,6082
R² = 0,995
1,4
1,2
T
1
0,8
Ряд1
0,6
Линейная (Ряд1)
0,4
0,2
0
0
0,2
0,4
0,6
L
𝐺𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑇 ∗ 𝑣𝑠 𝐿 ∗
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 14
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
L*
T*
-0.301
-0.347
-0.397
-0.45
-0.523
-0.602
Grafico T* vs L*
0.147
0.124
0.103
0.0703
0.0384
0.0008135
0.2
0.15
0.1
T*
T*
Lineal (T*)
0.05
0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
L*
-0.05
0
y = 0.4884x + 0.2938
3.- Calculo de la ecuación experimental del péndulo:
𝑇 ∗ = 0.294 + 0.49 𝐿 ∗
4.- Calculo del coeficiente de correlación.
𝑅 = 0.9997
 Si r se aproxima a la unidad lo que indica que la ecuación experimental
se acerca a la ecuación de la recta.
5.- Test de hipótesis de la ecuación del péndulo para la probabilidad del
2
95%, para AE y BE para los valores teóricos de 𝐀 = log
𝐲 𝐁 = 𝟎. 𝟓
g
N
((AE + BELi) –
Ti)2
Ti 2
Ti
1
0.000002401
0.0216
0.147
2
0.0000000009
0.0154
0.124
3
0.0000124
0.0106
0.103
4
0.0000000676
0.0049
0.0703
5
0.00000044
0.0015
0.0384
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 15
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
6
0.00000321
6.61 E-7
0.0008135

1.64 E-5
0.054011
0.48351
𝑆𝑦/𝑥 
1.64 E  5
 0.00203
4

𝑆𝐵𝐸
0.00203
 0.0165
1
2
0.054011  0.48351
6
𝑆𝐴𝐸  0.00309
0.0540112
 0.0036
6 * 0.054011  0.483512
Pruebas de significación para BE donde t / 2, n  2 = 2.776
𝑡𝑐𝑎𝑙 
0.49  0.5
0.0165
 0.606
Decisión: Se compara el valor de tcal con el valor crítico t / 2, n  2 entonces:
Se acepta la hipótesis nula y concluimos que Be = B = 0.5 y la diferencia observada se
debe a errores aleatorios.
Pruebas de significación AE
Calculo 𝑑𝑒
𝐴 = 𝑙𝑛
𝑡𝑐𝑎𝑙 
2
= 0.303
9.775
0.294  0.303
0.0036
 2.5
Decisión: Se compara el valor de tcal con el valor critico t / 2, n  2 entonces:
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 16
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
Se acepta la hipótesis nula y concluimos que AE = A y la diferencia observada se debe
a errores aleatorios.
6.- Intervalos de confianza de AE y BE y t / 2, n  2 = 2.776
𝐴𝐸 = (0.294  0.009
𝐵𝐸 = (0.49  0.04)

CALCULO DEL RADIO MÁXIMO DE LA ESFERA
1.- Empleando (7. 21) calcule el radio máximo de la esfera, en esta ecuación
considere L = 500 mm y el error relativo de la gravedad asignado.
r  500
0.01
 25mm
4
2.- ¿Se hallara el radio de la esfera dentro del límite señalado?
R.- El radio de la esfera se encuentra dentro del límite porque el radio de la esfera es
11.15 mm por lo que es menor al establecido.
X.
CONCLUSIONES
 Se ha llegado a la conclusión de que el péndulo del laboratorio se comporto
como un péndulo simple con las consideraciones ya explicadas, ayudando al
estudio del péndulo simple; sin embargo cabe recalcar de que en nuestro
estudio todos los cálculos se hicieron bajo un margen de error relativamente
alto lo que no era esperado.
 Con la ayuda de la prueba de hipótesis en la determinación de ecuación
experimental del péndulo, se encontró que los valores AE y BE se aproximan a
los valores teóricos y la diferencia existente es debido a errores sistemáticos.
 Pero en la determinación de la aceleración de la gravedad no se pudo
encontrar la gravedad teórica de la ciudad de La Paz, esto fue debido al
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 17
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
manejo del cronometro y de las medidas de la distancia (L), que influyeron en
la determinación de la gLP
XI.
XII.
BIBLIOGRAFIA


http://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre
Álvarez A., Huayta E. “Prácticas de Física I”. 5ta edición, La Paz – Bolivia,
2012

Internet. www.cienciafisica.com ; y paginas de dominio público
general.
ANEXOS
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 18
FACULTAD DE INGENIERIA
CURSOS BASICOS
LABORATORIO DE FISICA BASICA
Univ. Gutiérrez Choque Lilian
Página 19