Ingeniería asistida por ordenador. Extrapolación de Richardson

APÉNDICE II:
EXTRAPOLACIÓN DE RICHARDSON
La extrapolación de Richardson sirve para generar resultados de gran exactitud
cuando se usan fórmulas de bajo orden.
Este método puede usarse siempre que se conozca que el método de aproximación
original tiene una expresión del error de forma predecible, generalmente basado en un
parámetro que representa el tamaño de paso h.
Supongamos que para cada número h ≠ 0 tenemos una fórmula N(h) que aproxima
un valor desconocido M y que el error que supone la aproximación presenta la forma
M − N (h) = K 1h + K 2 h 2 + K 3 h 3 + ... para algunas constantes desconocidas, pero no
nulas, K i .
Dado que el error es de orden O(h) podemos esperar que M − N (h) ≈ K 1 h salvo que
haya una gran variación de magnitud entre las constantes.
La idea de la extrapolación es combinar adecuadamente las aproximaciones de orden
O(h) para producir fórmulas con un error de orden superior. Supongamos por ejemplo
que pudiéramos combinar las fórmulas N(h) y generar con ellas una aproximación N’(h)
para M con M − N ' (h) = K ' 2 h 2 + K ' 3 h 3 + ... obteniéndose así un error de orden O(h2) y
pudiendo esperar de nuevo que M − N ' (h) ≈ K ' 2 h 2 . La extrapolación continuaría
combinando estas nuevas ecuaciones.
Para ver como combinar la ecuaciones partamos de la fórmula, válida para todo h,
M = N (h) + K 1 h + K 2 h 2 + K 3 h 3 + ...
Sustituyendo h por h/2 obtenemos la fórmula
M = N (h / 2) + K 1 h / 2 + K 2 h 2 / 4 + K 3 h 3 / 8 + ...
de donde se deduce que
æ h2
æ h3
ö
2ö
ç
÷
M = [N (h / 2) + ( N (h / 2) − N (h) )] + K 2 ç − h ÷ + K 3 çç − h 3 ÷÷ + ...
è 2
ø
è 4
ø
Finalmente, definiendo N 1 (h) = N (h) y N 2 (h) = 2 N 1 (h / 2) − N 1 (h) tenemos una
fórmula de aproximación
3K 3 3
K
M − N 2 ( h) = − 2 h 2 −
h + ...
2
4
con un error de orden O(h2).
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