4.2.3. Integracion de Romberg

4.2.3 Integración de Romberg
INTEGRACIÓN DE ROMBERG
La integración de romberg es una técnica diseñada para obtener integrales
numéricas de funciones de manera eficiente, que se basa en aplicaciones
sucesivas de la regla del trapecio. Sin embargo, a través de las manipulaciones
matemáticas, se alcanzan mejores resultados con menos trabajo.
EL ALGORITMO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG.
Observe que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación
suman 1. De esta manera, representan factores de ponderación que, conforme
aumenta la exactitud, dan un peso relativamente mayor a la mejor estimación de
la integral. Estas formulaciones se expresan en una forma general muy adecuada
para la implementación en computadora:
Donde 1ʲ+1k-1 eIjk-1 = las integrales más y menos exactas, respectivamente; e
Ijk=Ia integral mejorada. El subíndicek significa el nivel de la integración
donde k=1 corresponde a la estimación original con la regla del
trapecio, k=2corresponde a 0(h⁴), k=3 a 0(h⁶) y asi sucesivamente. El subíndice j
se usa para distinguir entre las estimaciones mas (j+1) i meno (j) exactas. Por
ejemplo, con k=2 y j =1, la ecuación (22.8) se convierte en
Que es equivalente a la ecuación
La forma general representada por la ecuación se atribuye a Romberg, y su
aplicación sistemática para evaluar integrales se denomina integración de
Romberg. La figura 22.3 es una representación grafica de la sucesión y
estimaciones de la integral generadas usando este procedimiento. Cada matriz
corresponde a una sola iteración.
La primera columna contiene las evaluaciones de la regla del trapecio,
designadas por I j,1 , donde j=1 indica una aplicación con un solo segmento (el
tamaño de paso es b-a) , j=2 corresponde a una aplicación con dos segmentos [el
tamaño de paso es (b-a)/2], j=3 corresponde a una aplicación de cuatro
segmentos [el tamaño de paso es (b-a)/4], y así sucesivamente. Las otras
columnas de la matriz se generan mediante la aplicación sistemática de la
ecuación para obtener sucesivamente mejores estimaciones de la integral.
Si TN.1es el valor calculado de la integral (en donde 2N corresponde al número
de intervalos los de 1 es el orden del polinomio de interpolación usado):
Usado para el cálculo numérico la formula de los trapecios. T0, 1 seria el primer
estimado; es decir, usando directamente las formulas de los trapecios;
T1,1 seria el estimado para dos intervalos idénticos de ancho (b-a)/2:
Simplificado,
En general:
La formula de extrapolación de Richardson puede ser utilizada para cada par de
secuencia T0,1,…..TN,1. Por ejemplo:
En general,
La secuencia del método de Romberg que explicada, puede ser presentada en
forma tabular como s inicia a continuación:
Construcción de la tabla de Romberg
i/j
0
1
2
3
4
5
6
1
T0,1
T1,1
T2,1
T3,1
T4,1
T5,1
T6,1
2
T0,2
T1,2
T2,2
T3,2
T4,2
T5,2
3
T0,3
T1,3
T2,3
T3,3
T4,3
4
T0,4
T1,4
T2,4
T3,4
5
T0,5
T1,5
T2,5
6
T0,6
T1,6
7
T0,7
Método de Romberg(MetRombe)
Se trata de resolver el mismo ejercicio propuesto en el ejercicio anterior, pero
utilizando ahora el método de Romberg. Es importante señalar que el
procedimiento de calculo, todos los resultados I2n=corresponden exactamente a
la primera fila de la tabla de Romberg. Los valores subsiguientes se obtienen de
las formulas de extrapolación de Richardson:
Tabla de Romberg
i/j
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0,362707725
0,367713935
0,368995271
0,3369261626
0,369338807
0,369382672
0,369365636
0,369364598
0,3693364534
0,3693364500
0,3693364529
0,3693364529
0,3693364529
0,3693364529
0,3693364529
Se presenta a continuación una tabla comparativa donde se puede apreciar el
efecto del espaciamiento en el valor de la derivada. Se observa que el error
disminuye a medida que el espaciamiento es menor.
Formula
5-11 % Error
5-12 % Error
5-13 % Error
5-14 % Error
h=0,2
70,6242
16,3
60,20052
1,80741
56,40523
4,799587
59,09497
0,029578
h=0,1
64,56585
8,44626
59,38365
0,4567
58,50749
1,033979
59,11136
0,001837
h=0,05
61,7676
4,29861
59,1802
0,4567
58,50749
0,242665
59,11238
0,000115
h=0,01
59,6324
0,87193
59,11516
0,00458
59,10679
0,009268
59,11245
1,81 E-07
Formula de extrapolación de Richardson, con un espaciamiento inicial de 0,2 y
tomando espaciamientos medios sucesivos.
% Error = 0,0018%
B. Halle el valor de la integral
El valor reportado por las calculadoras es de 98,4276846 (utilizando el método
de Romberg). Para todos los métodos se utilizan n=6, por lo que H=(3-0)/6=0.5
1. Trapecios:
I= [f(0)+2f(0,5)+2f(1)+ 2f(1,5)+ 2f(2)+ 2f(2,5)+ f(3)]
I=104,6479952
% Error = 6,319 %
1. Simpson 1/3
I= [f(0)+4f(0,5)+2f(1)+ 4f(1,5)+ 2f(2)+ 4f(2,5)+ f(3)]
I= 98,64418613
% Error = 0,219 %
1. Simpson 3/8
I= [f(0)+3f(0,5)+3f(1)+ 2f(1,5)+ 3f(2)+ 3f(2,5)+ f(3)]
I= 98,89111022
% Error = 0,471 %
1. Romberg con extrapolación de Richardson:
Resolviendo de igual manera para los demás y aplicando la formula de
extrapolación de Richardson, se obtiene:
…
271,1547485
150,7030748
112,2683938
101,9404118
99,3092397
98,64828042
110,5525169
99,45683347
98,49775113
98,43216136
98,42796597
% Error = 1,43x10-6 c/c
98,71712124
98,43381231
98,42778871
98,42769628
…
…
…
98,42768319