edicion para el docente m9

Matemáticas 9
AUTORA
Anneris del Rocío Joya Vega
Edición para el docente
Competencias generales para el grado noveno
Interpretativa
1
Identificar la función de las variables dentro del contexto algebraico (como número
generalizado, como objeto concreto, como elemento cambiante).
2
Reconocer en situaciones concretas, el concepto de variación entre objetos matemáticos.
3
Identificar propiedades de los objetos matemáticos.
4
Utilizar criterios para reconocer funciones, construir su gráfica y determinar sus
características principales.
Argumentativa
1
Justificar el planteamiento y el desarrollo de conjeturas.
2
Explicar, usando elementos de variación como representaciones gráficas, tablas,
diagramas, figuras y esquemas, el planteamiento de situaciones concretas.
Propositiva
1
Plantear y resolver problemas que involucren los conceptos de variación relacionados con números, figuras, medidas y variables estadísticas.
2
Proponer situaciones modelo para el planteamiento y la solución de un problema en
cualquier tipo de pensamiento matemático.
Estándares
Matemáticas
básicos
de
competencias
en
Octavo a noveno Al terminar noveno grado…
Pensamiento numérico y sistemas numéricos
•
Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.
•
Resuelvo problemas y simplifico cálculos, usando propiedades y relaciones de los números reales y de las
relaciones y las operaciones entre ellos.
•
Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.
•
Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas
y no matemáticas y para resolver problemas.
Pensamiento espacial y sistemas geométricos
•
Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre
objetos tridimensionales en la solución de problemas.
•
Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas
básicos (Pitágoras y Tales).
•
Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y la formulación de
problemas.
•
Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en las otras
disciplinas.
Pensamiento métrico y sistemas de medidas
•
Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de
sólidos.
•
Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficie, volúmenes y ángulos
con nivel de precisión apropiados.
•
Justifico la pertinencia de utilizar unidades de medida estandarizadas en situaciones tomadas de distintas
ciencias.
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
•
Reconozco cómo diferentes maneras de representación de información pueden originar distintas
interpretaciones.
•
Interpreto, analítica y críticamente, información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).
•
Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en
distribuciones de distinta dispersión y asimetría.
Pensamiento aleatorio y sistemas de datos
•
Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema y de información, y al nivel
de la escala en la que esta se representa (nominal, ordinal, de intervalo o de razón).
•
Comparo resultados de experimentos aleatorios con los resultados previstos por un modelo matemático
probabilístico.
•
Resuelvo y formulo problemas, seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de
fuentes diversas (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).
•
Reconozco tendencias que se representan en conjuntos de variables relacionadas.
•
Calculo probabilidad de eventos simples, usando métodos diversos (listados, diagramas de árbol, técnicas
de conteo).
•
Uso conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, independencia…).
Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos
•
Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y las propiedades de las ecuaciones algebraicas.
•
Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.
•
Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.
•
Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.
•
Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
•
Analizo los procesos infinitos que subyacen en las notaciones decimales.
•
Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el
plano cartesiano situaciones de variación.
•
Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de
funciones y los cambios en las gráficas que las representan.
•
Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas
pertenecientes a la familia de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.
Desempeño básico
l
a
s
•
Conoce y aplica propiedades y relaciones de
los números reales.
•
Identifica la notación científica.
•
Identifica la potenciación, la radicación y la
logaritmación y sus propiedades.
•
Soluciona algunos problemas, usando
lenguaje matemático y lleva a cabo la solución en
forma ordenada.
f
ó
r
m
u
l
a
s
Desempeño bajo
p
a
r
a
•
Identifica propiedades y relaciones de los
números reales.
•
Se le dificulta identificar números en
notación científica.
•
Identifica la potenciación, la radicación y la
logaritmación aunque se le dificulta reconocer las
propiedades.
•
Presenta dificultades para solucionar
problemas mediante el lenguaje matemático.
e
n
c
o
n
t
r
a
r
•
Conjetura y verifica propiedades de
congruencias y semejanzas entre figuras
bidimensionales y entre objetos tridimensionales en
la solución de problemas.
•
Conoce propiedades y relaciones
geométricas utilizadas en demostración de los
teoremas de Pitágoras y de Tales.
e
l
á
r
e
a
•
Verifica algunas propiedades de
congruencias y semejanzas entre figuras
bidimensionales y entre objetos tridimensionales.
•
Conoce relaciones geométricas utilizadas en
demostración de los teoremas de Pitágoras y de
Tales.
d
e
• Aplica las fórmulas para encontrar el área de
regiones planas y
•
I
d
e
n
t
i
f el volumen de sólidos.
i
c
a
r
e
g
i
o
n
e
s
p
l
a
n
a
s
y
e
l
v
o
l
u
m
e
n
d
e
s
ó
l
i
d
o
s
.
•
Conoce procesos inductivos y lenguaje
algebraico y prueba algunas conjeturas.
•
Reconoce las generalidades de algunas
funciones.
•
Resuelve sistemas de ecuaciones lineales.
•
Se le dificulta reconocer los procesos
inductivos y probar algunas conjeturas.
•
Identifica la gráfica de algunas funciones.
•
Presenta dificultades para sistemas de
ecuaciones lineales.
•
Conoce los elementos necesarios para
caracterizar variables cualitativas y cuantitativas.
•
Halla los resultados de un experimento
aleatorio.
•
Reconoce las técnicas de conteo.
•
Se le dificulta caracterizar variables
cualitativas y cuantitativas.
•
Presenta dificultades para hallar los
resultados de un experimento aleatorio.
•
Se le dificulta reconocer las tendencias que
se presentan en algunos conjuntos de datos.
•
Identifica solo una de las técnicas de conteo.
Bimestr
e
reales y expresiones algebraicas
1. Conjuntos numéricos.
2. Expresiones algebraicas.
3. Factorización.
4. Fracciones algebraicas.
Unidad 2. Potenciación y radicación en R
1. Potenciación de números reales.
2. Radicación de números reales.
3. Racionalización.
Primero
Unidad 3. Números complejos
1. Números imaginarios.
2. Conjunto de los números complejos.
Unidad 4. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Funciones.
2. Línea recta.
3. Sistemas de ecuaciones lineales.
Segundo
Tercero
Unidad 5. Función y ecuación cuadrática
1. Función cuadrática.
2. Ecuación cuadrática.
3. Ecuaciones reducibles a ecuaciones
cuadráticas.
4. Ecuaciones cuadráticas literales.
5. Problemas de aplicación de ecuaciones
cuadráticas.
Unidad 6. Función exponencial y función
logarítmica
1. Función exponencial.
2. Función logarítmica.
3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Unidad 7. Sucesiones y series
1. Sucesiones.
2. Series.
Cuarto
Pensami
ento
numéric
oy
pensami
ento
variacio
nal
Unidad
1.
Números
Tiempo estimado por semanas Pensamiento
espacial y pensamiento métrico
Unidad
8.
Razona
miento
1
P
roposicio
nes
lógicas.
2
T
eoría de
la
demostr
ación.
Unidad
8.
Razona
miento
1. Razo
nes y
prop
orcio
nes.
2. Políg
onos
seme
jante
s.
Unidad
8.
Razona
miento
1
C
ircunfere
ncia.
2
C
írculo.
U
n
i
d
a
d
os geométricos
1
Cuerpos redondos.
2
Poliedros.
3
Otros cuerpos geométricos.
Tiempo estimado por
semanas
Pensamiento
aleatorio
Unidad
10.
Estadística
y
probabilidad
1
Análisis
de una variable
cualitativa.
2
Caracteri
zación de dos variables
cualitativas.
Unidad 10. Estadística y
probabilidad
3. Caracterización de una
variable
cuantitativa.
Unidad 10.
Estadística y
probabilidad
4. Métodos
numéricos
para la
caracterizació
n de variables.
9
.
C
u
e
r
p
Tiempo estimado por
Unidad 10. Estadística y probabilidad
1
Técnicas de conteo.
2
Probabilidad y conteo.
semanas
Orga
nizad
or
conc
eptua
l
NIDAD
U
Consiste en graficar cada
ecuación en el mismo
plano cartesiano.
La solución es la
Y
Y
intersección de las rectas.
Solución única rectas secantes Infinitas soluciones rectas coincidentes No tiene solución rectas paralelas
Conjuntos numéricos
•
Proponga a los estudiantes que
resuelvan las actividades de la sección Lo que
sabes del inicio de la unidad en la página 8.
Luego, presente las soluciones de los ejercicios
y resuelva las dudas acerca de los preconceptos
de los estudiantes para dar inicio a la unidad.
•
Motive a sus estudiantes, contándoles
sobre las aplicaciones de los números reales.
Para ello, lea con ellos la sección Y esto que vas
a aprender, ¿para qué te sirve? que se presenta
en la página 9. Esta información es un
abrebocas para que los estudiantes aprendan
más acerca de los números reales.
•
Forme grupos de tres estudiantes y
pídales que analicen la cronología de los
números reales. Luego, pídales que busquen
más información en sus casas acerca de la
historia de los sistemas de numeración y la
expongan en clase.
•
Realice un juego de memoria. Para ello,
elabore tarjetas, unas con conjuntos
determinados por extensión y otras con
conjuntos determinados por comprensión.
Ubíquelas boca abajo. Luego, haga que por filas
los estudiantes hallen las parejas de las tarjetas
respectivas. Gana la fila que consiga armar más
parejas.
•
Explique a los estudiantes que el
conjunto de los números reales surge de la
unión de todos los conjuntos numéricos ya
conocidos. Mencione varios números de tal
manera que los alumnos reconozcan a qué
conjunto numérico pertenecen.
•
Cuando trabaje los números irracionales,
haga que los estudiantes busquen distintos
triángulos con igual hipotenusa para verificar
que la representación es igual.
•
Explique la representación simbólica de
la adición y la sustracción de números reales.
•
Trabaje aproximaciones de algunos
números reales. Pida a los estudiantes que
utilicen su calculadora y hallen los valores de
dichos números. Luego, que los aproximen a un
valor determinado.
•
Propicie la elaboración de tablas con
valores aproximados de algunos números reales
de todos los con-juntos numéricos.
•
Proponga a los estudiantes que
completen la siguiente tabla, teniendo en cuenta
las relaciones de
pertenencia y contenencia entre los diferentes
con-juntos numéricos:
• Cuando todos los estudiantes hayan
terminado, dis
cuta con ellos las respuestas. En particular,
aclare cómo hallar las relaciones para el
penúltimo número de la tabla.
•
Proponga a los estudiantes que hallen el
área de cada figura del tangrama con los datos
2
dados en la figura y teniendo en cuenta que x 5
21,11.
xx
x
2x
•
Pida a los estudiantes que clasifiquen las
medidas de los lados de cada una de las figuras
del tangrama como racionales o irracionales.
•
Comente a los estudiantes que cualquier
raíz no exacta de un número racional positivo es
un número irracional, pero que no todos los
números irracionales corresponden a raíces
inexactas de racionales positivos.
Y
2
Expresiones algebraicas
•
Haga ver a los estudiantes la similitud
que existe entre el producto de un número de
varias cifras por otro de una cifra y el producto
de un polinomio por un mo
todas las figuras anteriores.
finalmente, pídales que
calculen el área de dicho cuadrado.
2
•
Demuestre que (a 1 b) 5
2
2
a 1 2ab 1 b . Para esto, pida a
los estudiantes que lleven a
clase tijeras y cartulina para que
realicen la siguiente actividad:
Después pida
que comparen
Trazar y recortar las siguientes
figuras
con
las
medidas
indicadas.
los resultados obtenidos al sumar el
área de cada polígono con el área del
cuadrado grande que construyeron.
Al finalizar la actividad, comente a
los estudiantes que en este caso a 5 2
2
cm y b 5 4 cm así que, (a 1 b) 5 (2 1
2
2
4) 5 36 cm . En el caso general para
2
un a y un b cualesquiera: a estaría
representado por un cuadrado de lado
2
a. b estaría representado por un
cuadrado de lado b. 2ab serían dos
rectángulos de base a y altura b. El
total sería un cuadrado de lado a 1 b.
Figura 1 Figura 2
2 cm 4 cm
2 cm
2 cm
Figura 3 Figura 4
4 cm
4 cm
2 cm
4 cm
Pídales luego, que calculen el área de cada una
de las figuras realizadas. Luego, que sumen
todas las áreas obtenidas, así:
Área de toda la figura 1.
A 5 L 3 L 5 2 cm 3 2 cm 5 4 cm
Área de la figura 2.
A 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm
Área de la figura 3.
2
A 5 b 3 h 5 4 cm 3 2 cm 5 8 cm
Área de la figura 4.
2
A 5 L 3 L 5 4 cm 3 4 cm 5 16 cm
2
Área total 36 cm .
Luego, dígales que intenten formar
cuadrado con
• Proponga a los estudiantes que planteen
una estrategia para demostrar que
3
3
2
2
3
(a 1 b) 5 a 1 3a b 1 3ab 1 b Dibuje, en el
tablero, las siguientes gráficas y pida a los
estudiantes que encuentren la expresión
algebraica que determina el área de cada
región.
7x
6x
2
5x
un
Y
5x 8x
8x
Potenciación en los reales
• Organice a los estudiantes en grupos de dos,
luego propóngales que resuelvan las actividades
de la sección Lo que sabes del inicio de la
unidad de la página
32. Luego, pida a cada pareja que exponga ante
sus compañeros uno de los ejercicios que
resolvieron.
•
Y
Pida a los estudiantes que realicen las
siguientes actividades:
• Calcular las siguientes potencias:
5
3
5
•
(22) c. 2 3 2
3
4
•
(8) d. (23)
• Calcular las siguientes raíces:
•
Proponga a los estudiantes jugar al
Número más grande. Para esto, dígales que
tomen una hoja y un lápiz. Explíqueles que el
juego consiste en escribir con cuatro números
iguales el número más grande posible. Inicie el
juego, proponiendo que escriban los números
utilizando cuatro cuatros. Puede encontrar
respuestas como:
44
44
4
44 (4 3 4) 444 Pídales que
determinen los valores usando una calculadora.
Repita el juego varias veces cambiando
el número con el que deben formar el número
más grande. Algunas posibilidades para el juego
pueden ser:
•
Formar el mayor número de cuatro cifras,
usando dos dígitos diferentes.
•
Formar el número más pequeño.
•
Formar el menor número de cuatro cifras,
usando dos dígitos diferentes.
•
Formar el mayor número sólo usando
suma y división.
• Enfatice que en los exponentes sucesivos de
potencias se resuelven utilizando la propiedad
de potencia de una potencia. Por ejemplo:
4
1 3 � 1) � 4 121 1
3�(
^^2 hh � 2 � 2
12
2 4.096
• Recuerde a los estudiantes las potencias en
base 10 de exponentes positivos y negativos.
Notación científica
•
Haga una lista, en el tablero, de las
aplicaciones que tiene la notación científica.
•
Proponga y resuelva con los estudiantes
problemas de notación científica.
•
Utilice problemas de otras
disciplinas como la física, la química o la
biología, pida que los resuelvan y que
escriban, los resultados en notación
científica.
•
Proponga y resuelva ejercicios sobre
conversiones de unidades con notación
científica.
•
Explique con ejemplos sencillos el
avance de la coma decimal hacia la derecha o
hacia la izquierda, para expresar una cantidad
en notación científica.
•
Pida a los estudiantes que escriban
cuatro líneas más para cada una de las
siguientes secuencias. Luego, dígales que
planteen la regla general que cumpla cada una.
Secuencia 1
9 3 9 17 5 88 98 3 9 1 6 5 888 987 3 9 1 6 5
8.888
9.876 3 9 1 4 5 88.888
Secuencia 2
11 3 11 5 121 111 3 111 5 12.321
1.111 3 1.111 5 1.234.321
11.111 3 11.111 5 123.454.321
Secuencia 3
1 3 9 12 5 11 12 3 9 1 3 5 111 123 3 9 1 4 5
1.111
1.234 3 9 1 5 5 11.111
Secuencia 4
1 3 8 1 1 5 9 12 3 8 1 2 5 98 123 3 8 1 3 5 987
1.234 3 8 1 4 5 9.876
número
21 ? ¿En qué
consistió esa
explicación?
— ¿Qué
Números
aplicaciones
imaginarios
tienen los
•
Comente a los
números
estudiantes que los
complejos en
números imaginarios
la física?
se pueden operar
•
Escrib
como términos
a, en el
algebraicos para
tablero, las
facilitar las operaciones
siguientes
entre ellos.
ecuaciones.
•
• Pida a los
2
2
x 5 16, x 5
estudiantes
que
2
2
25, x 5 4 y x investiguen y
5 29
respondan las
•
Propo siguientes preguntas:
nga a los
•
— ¿Qué
estudiantes hechos relevantes del
que
siglo XVI aportaron al
resuelvan las desarrollo de los
tres primeras números complejos?
ecuaciones y •
— ¿Qué aporte
digan en voz hizo Leonhard Euler al
alta su
desarrollo de los
solución.
2
números complejos?
1�
ii
Luego,
— ¿Qué matemático
� ( dígales que
propuso una
solucionen la
explicación del
cuarta
ecuación y
i
determinen
3
3
por qué no se
i � ( 1) � 1 �
puede
2i
encontrar una 4
4
i � ( 1) � 1
solución.
5
5
2
i � ( 1) 1 � i
1
1)Utilice
� esta
6
6
actividad
i � ( 1) � 1
7
7
como
i � ( 1) � 1 � i
introducción 8
8
i � ( 1) � 1
al tema de
9
9
números
i � ( 1) 1 � i
complejos. • Realice las siguientes
•
Deter preguntas:
mine con los
• ¿Se observa
estudiantes el
alguna regularidad
valor de
en las nueve potodas las
tencias
potencias de
planteadas? ¿Qué
i. Para esto,
tipo de regularidad?
escriba en el
• ¿Se puede
tablero las
plantear una regla
nueve
general para
primeras
encontrar cualquier
potencias de
potencia de i?
i, así:
29 ,
entre otros.
•
Enseñ
e a los
estudiantes a
calcular la
potencia
de 81
i
100
216 225 245 • Luego, pídales quedividiendo
escriban el
los
resultados obtenidos.
exponente
¿Cuál sería la regla?
entre 4. El
•
Luego, proponga a los
residuo
estudiantes que encuentren el , i102 corresponde
a la potencia
45
93
24ybásica que
valor de i , i
• Pida a los estudiantes que hallendetermina el
las siguientes raíces en laresultado.
Comente
calculadora.
también que
• Haga énfasis en el hecho de que cualquier
exponente
en las calculadoras comunes se
trabaja únicamente con cantidades entero de i se
reales. Dígales que esta es la razón puede
por la cual, no es posible determinar descomponer
raíces pares de números negativos en dos
sumandos:
en la calculadora. Por ejemplo,
uno múltiplo
de 4 y otro en
Números complejos
•
Cuando trabaje la división de términos de
números complejos verifique con los una potencia
básica de i.
estudiantes el denominador del
2
inverso multiplicativo de a 2 bi es a 1 De esta
2
manera,
b . Porque al multiplicar en los
dicho
numeradores a 1 bi por a 2 bi se
2
2
exponente
obtiene a 1 b , de esta manera
queda
resulta una fracción igual a 1.
reducido a
•
Entregue a cada estudiante una potencia
una hoja con el siguiente cuadro y básica de i .
pídale que lo complete.
Así, por
23
ejemplo, i 5
20 1 3
23
i ya que i
4?513
5i
, luego,
23
3
i 5 i . En
4n 1 a
general, i 5
a
i.
•
Inste
a los
estudiantes a
que aprendan
la multiplicación de
complejos
como un caso
de la
propiedad
distributiva,
de esta
manera no se
aprenden las
fórmulas
nuevas sin
sentido.
Función
•
Realice junto con sus estudiantes las
actividades de la sección Lo que sabes del inicio
de la unidad en la página 86. Pídales que
expliquen los pasos en la solución de cada
ejercicio.
•
Motive a los estudiantes con la
introducción de la unidad leyendo la sección Y
esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? de
la página 63. Comente a los estudiantes sobre
los diferentes usos de la función lineal y de la
solución de sistemas lineales.
•
Pida a los estudiantes que observen y
lean acerca de la función lineal, que completen
la línea de tiempo con otros hechos matemáticos
y que investiguen los hechos históricos que
estaban sucediendo en el lugar donde ocurrió
cada suceso matemático.
•
Organice a los estudiantes en grupos de
tres. Luego, pídales que respondan las
siguientes preguntas:
unidad de tiempo. Esta situación se puede
representar gráficamente de la siguiente
manera:
A
Y
r2
•
¿Cómo se determina un conjunto por
extensión?
•
¿Cómo se determina un conjunto por
comprensión?
•
¿Cómo se ubican puntos en el plano
cartesiano?
mayor estatura de una persona, mayor será su
sombra en el piso (en un día soleado). Esta
situación se puede representar en un plano
cartesiano por medio de la siguiente gráfica:
Y
Función lineal y función afín
r2
•
¿Qué son rectas paralelas y qué son
rectas perpendiculares?
• Elabore una lista de situaciones cotidianas en
las que
se involucren las funciones lineales. Por
ejemplo: Un vehículo se mueve uniformemente
si recorre distancias iguales en tiempos
iguales. La velocidad en el movimiento
uniforme es el espacio recorrido entre la
• Plantee la siguiente situación para introducir el
tema
de función lineal y función afín. La siguiente
gráfica representa el crecimiento de un árbol
durante un año.
• De acuerdo con la gráfica, pida a los
estudiantes que respondan:
• ¿En qué meses se produjo el mayor
crecimiento del árbol?
• ¿El crecimiento del árbol fue uniforme?
• ¿En qué meses se produjo el mayor
crecimiento del árbol?
•
Pida a los estudiantes que escojan un
intervalo de tiempo, que analicen el segmento
de recta y hallen la pendiente y la ecuación de
esa recta.
X
Sistemas de ecuaciones lineales
•
Presente a los estudiantes tres sistemas
• Proponga la siguiente situación para que la
resuelvan. Mago: Piensa en dos números. José:
Ya los pensé. Mago: Suma el doble del mayor
de los números y el
de ecuaciones que sean equivalentes.
Construya las tablas de valores. Luego, pídales
que observen las soluciones de cada sistema y
presente la clasificación de dichos sistemas.
•
Transcriba, en el tablero, la siguiente
tabla que resume los casos que se presentan
cuando se utiliza el método gráfico para resolver
un sistema 2 3 2.
•
Insista a los estudiantes que un sistema
consistente es aquel que tiene por lo menos una
solución; un sistema inconsistente es aquel que
carece de soluciones o de puntos de corte entre
las líneas rectas y un sistema indeterminado es
aquel que tiene infinitas soluciones.
•
Proponga a los estudiantes que
investiguen en qué consiste el método de
co-factores para resolver un sistema de
ecuaciones.
•
Explique a los estudiantes que así como
sucede con las ecuaciones, dos sistemas de
ecuaciones son equivalentes si tienen las
mismas soluciones. Se obtienen sistemas
equivalentes realizando la misma operación
aritmética en los dos miembros de las
ecuaciones del sistema.
•
Luego, proponga a los estudiantes que
prueben que los siguientes sistemas son
equivalentes.
2a � n � 5
'
6a � 2n �
10
4a � 2n �
10
'
3a � n � 5
triple del menor. ¿Cuánto da?
José: Da 37. Además, el mayor es igual a 1
más que el doble del menor. Mago: Ya sé
qué números pensaste. José ¿Cuáles
pensaste?
— ¿Cómo hizo el mago para determinar los
números?, ¿cuáles eran esos números?
• Recuerde que la finalidad de la calculadora
o de los programas informáticos es
proporcionar a los estudiantes una herramienta
que les permita comprobar sus cálculos.
Puede realizar la página 127 en la cual se
trabajan sistemas de ecuaciones lineales en la
sala de informática.
Solución de sistemas de ecuaciones 3 3
3
• Explique a los estudiantes que resolver
problemas 3 3 3 por el método gráfico consiste
en hallar el punto de corte de tres planos del
espacio, así para graficar la ecuación 6x 1 4y 1
3z 5 12 se realizan los siguientes pasos:
• Primero, se hace y 5 0 y z 5 0, se halla el
punto de corte con el eje x, así 6x 5 12 de
donde x 5 2, que corresponde al punto (2, 0,
0).
• Segundo se hace x 5 0 y z 5 0, se halla
el punto de corte con el eje y. En este caso
queda el punto (0, 3 , 0).
• Tercero, se hace x 5 0 y y 5 0 para hallar
el tercer punto que en este caso es (0, 0, 4).
• Finalmente se ubican los tres puntos
anteriormente hallados y se unen con
segmentos de recta los tres puntos de corte.
Así se obtiene la gráfica de la ecuación 6x 1
4y 1 3z 5 12.
•
• Proponga a los estudiantes la siguiente
situación: Un parque de diversiones de la ciudad
ofrece tres tipos de atracciones mecánicas:
montaña rusa, tobogán y la gran barca. Pablo
paga $28.000 por 3 boletas para la montaña
rusa, 2 boletas para el tobogán y una para la
gran barca; César paga $47.000 por 2 boletas
para la montaña rusa, 2 para el tobogán y 4 para
la gran barca y Susana paga $36.500 por 2
boletas para la montaña rusa, una para el
tobogán y 3 para la gran
•
barca. ¿Cuál es el valor de la boleta para
cada atracción?
•
Elabore con ellos el planteamiento del
sistema de ecuaciones, pídales que lo resuelvan
y verifique con ellos la solución.
Función cuadrática
•
Proponga a los estudiantes que
resuelvan las actividades de la sección Lo que
sabes del inicio de la unidad en la página 128.
Luego, presente las soluciones de los ejercicios
y resuelva las dudas acerca de los preconceptos
de los estudiantes para dar inicio a la unidad.
•
• Motive a sus estudiantes, contándoles
sobre las apli
•
caciones de la función cuadrática en la
física. También puede utilizar la sección .Y esto
que vas a aprender, ¿para qué te sirve? que se
presenta en la página 129. Esta información es
un abrebocas para que los estudiantes aprendan
más acerca de la función cuadrática.
•
Forme grupos de dos estudiantes y
pídales que revisen la cronología de la función
cuadrática. Luego, pídales que realicen una
exposición que se relacione con toda la historia
de la función cuadrática.
•
Proponga a los estudiantes que
consulten sobre la historia de la función
cuadrática y que respondan las siguientes
preguntas:
•
¿Qué métodos utilizaban los babilónicos
para resolver ecuaciones cuadráticas?
•
¿Cómo se clasificaron las ecuaciones
cuadráticas en la época medieval?
•
¿Qué aporte hizo Pitágoras de Samos al
desarrollo de la función cuadrática?
•
¿Qué hechos relevantes y qué
matemáticos contribuyeron al desarrollo de las
ecuaciones cuadráticas en el siglo XVII?
• Cite frases del lenguaje cotidiano que puedan
ser planteadas mediante expresiones en las
cuales se incluya una ecuación cuadrática. Por
ejemplo:
— Un número multiplicado por el mismo es igual
a
49. ¿cuál es el número?
— Un número multiplicado por sí mismo es igual
a 1. ¿Cuál puede ser el número?
— Un número multiplicado por sí mismo y luego
aumentado en tres es igual a 67, ¿cuál es el
número?
• Construya con los estudiantes una parábola a
partir de los siguientes pasos:
— Primero, se trazan dos líneas l y l de igual
longitud, de tal manera que formen un
1
2
ángulo de 508.
•
Segundo, se marcan diez divisiones
iguales en cada una de las líneas y se escribe el
número correspondiente.
•
Tercero, se une con una línea el punto
10 de l y el punto 1 de l , el punto 9 de l y el
punto 2 de l y así sucesivamente.
1
2
1
2
234567891
0
•
Luego, se traza la curva generada por las
líneas que unen los puntos respectivamente.
•
Finalmente, la envolvente de las líneas
que unen los puntos generará una parábola
como la siguiente:
10
Ecuación cuadrática
•
Se recomienda que antes del desarrollo
de este tema los estudiantes realicen un breve
repaso de algunos casos de factorización: factor
común monomio y trinomios.
•
Destaque desde un comienzo la
importancia de mantener toda la expresión en un
solo miembro sea a la derecha o a la izquierda
del igual. Es decir que la ecuación cuadrática
esté igualada a cero.
•
Antes de comenzar las técnicas para
resolver ecuaciones cuadráticas, se sugiere
recordar el significado de la simbología y
promover su buen uso: subíndice, conectivos
lógicos y llaves para el conjunto solución.
•
Recuerde a los estudiantes que las
ecuaciones facilitan las operaciones. Haga una
síntesis, una vez que esté claro para todos y
compruebe siempre las soluciones.
2
•
Analice el comportamiento de b 2 4ac de
la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
a partir de la siguiente actividad:
Remplace los valores a, b y c de cada una de
las siguientes ecuaciones y utilice la ecuación
cuadrática para analizar la naturaleza de sus
raíces:
2
2
2
x 1 2x 2 35 5 0; x 1 4x 1 4 5 0; x 1 2 5 0
Función exponencial
• Lea a los estudiantes el siguiente texto. El
famoso matemático John Napier es
considerado el padre de los logaritmos. Fue
educado en la universidad St. Andrés. En
1571, recorrió Escocia como un devoto
religioso, tomando parte en las controversias
religiosas de ese tiempo. Fue un ferviente
protestante y publicó lo que él consideró como
su más importante trabajo. El Plaine Discovery
of the Whole Revelation of St. John (1593).
Napier estudió matemática solo como
pasatiempo. En el año 1614 publicó una
descripción de cómo multiplicar y dividir con la
ayuda de los logaritmos. También fue quien
acuñó la palabra logaritmo, que es una palabra
griega compuesta por logos que significa
relación y arithmos que significa número.
Independientemente de Napier, pero algo
después, el suizo Burgi trabajó con una tabla
para la multiplicación de logaritmos.
Ni Napier ni Burgi tuvieron una base especial
para sus sistemas de logaritmos. Fue el inglés
Henry Briggs, un amigo de Napier, quien
comenzó a usar los logaritmos en base 10. Es
por esto que llamamos logaritmos de base 10
a los logaritmos.
Briggs escribió acerca de un nuevo
descubrimiento. Los logaritmos son números
que se descubrieron para facilitar la solución
de los problemas aritméticos y geométricos,
gracias a esto, se evitan todas las complejas
multiplicaciones y divisiones transformándolas
a algo completamente simple mediante la
sustitución de la multiplicación por la adición y
la división por la sustracción. Además, el
cálculo de las raíces se realiza también con
gran facilidad.
Los logaritmos pasaron a ser una herramienta
muy valorada, en especial, entre los
astrónomos. Laplace se refiere a esto con la
frase: Los logaritmos han duplicado la vida de
los astrónomos.
Hoy en día los computadores y las
calculadoras han tomado el papel de los
cálculos logarítmicos, pero todavía esta teoría
de los logaritmos es muy relevante cuando se
trata de las matemáticas puras y sus aplicaciones en los estudios de las ciencias
naturales.
• Pida a los estudiantes que grafiquen la función:
x
�1
fx () � 2 � 2
•
Sugiérales que elaboren una tabla con
los siguientes valores 1, 21, 2 22, 3, 23, 4, 24 y
0.
•
• Pídales que representen en el plano
cartesiano los valores de la tabla anterior y que
respondan las siguientes preguntas:
• ¿Cuál es el punto de intercepto con el eje
y?
• ¿La gráfica representa una función
creciente o decreciente?
• ¿La función tiene cortes con el eje x?
x
Función logarítmica
•
Para demostrar que la función
logarítmica es la función inversa de la función
exponencial plantee la siguiente actividad.
•
• Pida a los estudiantes que, en un
mismo plano carte
•
siano, grafiquen las siguientes funciones:
x
y 5 3 ; y 5 Log x.
•
• Dígales que registren los resultados en
tablas de valores. Luego, pregunte a los
estudiantes:
• ¿En qué punto corta cada gráfica al eje
y?
• ¿Qué tipo de crecimiento tiene cada
función?
• ¿En qué puntos corta cada gráfica al eje
x?
•
• Dígales que recorten el plano en el que
trazaron las gráficas de las dos funciones y
pídales que tracen, también, la gráfica de la
recta y 5 x. Solicíteles que doblen el plano por
esta recta y que luego observen lo que sucede
después. Finalmente, coménteles que al hacer
el doblez, la función se sobrepone a su reflexión
que corresponde a la inversa y que una forma
práctica para encontrar la gráfica de la función
inversa a cualquier función, consiste en:
• Trazar la primera función.
• Trazar la recta y 5 x.
• Reflejar la gráfica de la función original,
teniendo como eje de reflexión la recta y 5 x.
•
• Para reforzar el manejo de las
propiedades de los logaritmos, pida a los
estudiantes que lleven a clase una calculadora.
Adviértales que usted va a plantear varias
expresiones con logaritmos y que ellos deben
3
determinar cuáles de esas expresiones son
correctas y cuáles no. También dígales que
deben justificar las respuestas. Las expresiones
pueden ser:
• Log (3 3 2) 5 Log 3 3 Log 2
• Log (3 1 2) 5 Log 3 1 Log 2
• Log (3 4 2) 5 Log 3 2 Log 2
Sucesión
•
Proponga a los estudiantes que
resuelvan la actividad de la sección Lo que
sabes al inicio de la unidad. Esté atento a las
dudas que surjan de ellos mientras resuelven las
diferentes actividades que se proponen. Luego
permítales que formulen otras actividades
similares. Pídales que resuelvan esas nuevas
actividades en forma individual.
•
• Pida a los estudiantes que respondan
las siguientes preguntas:
• ¿Qué hechos relevantes en la época
babilónica contribuyeron al desarrollo de las
progresiones?
• ¿Qué contribución hizo el matemático
Euclides al desarrollo de las progresiones?
• ¿Qué contribución hizo el matemático
Bhaskara al desarrollo de las progresiones?
•
Realice la siguiente actividad como
introducción al
tema de las sucesiones y las progresiones. Si
a 5 23, b 5 4 y c 5 21, hallar el valor numérico
de las siguientes expresiones algebraicas.
abc2a
1
2
2
2
a 2a b 1 c a
•
Resolver: (0,02 1 1,26 1 2,71 2 0,36)
4,36 3 2,1
•
Despejar la variable indicada:
2am
V 5 , despejar p.
p
2
V 5 zam , despejar m.
— Hallar en cada secuencia el término
siguiente. 1, 4, 9, 16…
1, 21, 1, 21, 2 3, 6, 9, 12, …
•
Proponga a los estudiantes distintas
sucesiones y pídales que intenten hallar su regla
de formación y su término general.
•
Organice por parejas a los estudiantes.
Luego, pida que uno de ellos invente una
sucesión y el otro trate de adivinar su término
general. Deje claro que no todas las sucesiones
tienen término general, por ejemplo, los números
primos.
•
Pida a los estudiantes que, en una hoja
cuadriculada, dibujen las siguientes gráficas:
a.
b.
Luego, pídales que cuenten los puntos de la
figura a) teniendo en cuenta los triángulos que
se forman. Así, el primer triángulo tiene un
punto; el segundo triángulo tiene tres puntos;
el tercer triángulo tiene cinco puntos, etc.
Solicite a los estudiantes que escriban la
sucesión que se genera. Luego, pídales que
cuenten en la figura b) los puntos que se
encuentran dentro de cada cuadrado más
grande que el anterior. Así, el primer cuadrado
tiene un punto, el segundo cuadrado tiene
cuatro puntos, el tercer
cuadrado tiene nueve
puntos, etc. Pida a los
estudiantes que escriban
la sucesión que se
genera.
Progresiones
•
Pida a los estudiantes que lleven a clase
40 botones redondos. Luego, instrúyalos para
que construyan una figura similar a un hexágono
regular de dos botones de lado como se
muestra a continuación.
•
Pídales que cuenten el número de
botones que utilizaron.
•
Luego, invítelos a que construyan otra
figura similar a un hexágono regular pero con
tres botones de lado.
•
Repita la actividad para construir
hexágonos de 4, 5 y 6 botones de lado.
•
Indíqueles a los estudiantes que
registren los resultados en una tabla como la
siguiente:
•
Luego, pídales que encuentren la regla
general para determinar el número total de
botones necesarios para obtener cualquier
hexágono regular de lado n sin construirlo.
Y
caucho y dígales que la estiren alrededor de las
puntillas, de tal forma que construyan el
triángulo rectángulo más grande. Luego,
sugiérales que tomen como unidad de medida la
distancia entre puntilla y puntilla.
7 cm
6 cm 5 cm r 5 2 cm 3 cm 1 cm
La empresa consideró que las piezas eran
muy pequeñas así que decidió agrandarlas
con una razón de semejanza de 3,5.
•
¿Cuáles son las nuevas medidas de las
piezas?
•
¿Qué procedimiento utilizaron para
encontrar las nuevas medidas?
•
¿Cuál fue la pieza que menos dificultad
ofreció? ¿Por qué?
•
¿Cuál fue la pieza que más dificultad
causó y por qué?
•
¿Cómo podrías demostrar que las
nuevas piezas son semejantes a las originales?
• Pida a los estudiantes que construyan las
siguientes figuras en cada caso y que respondan
las preguntas y justifiquen sus respuestas.
• Construir dos triángulos isósceles: uno
de lado 5 cm y base 6 cm, y el otro de lado
10 cm y base 12 cm. Los triángulos son
semejantes?
• Construir dos triángulos equiláteros, uno
con
medida
Y
del lado
7 cm y el
otro con
medida
de lado 1 cm. ¿Los triángulos son
semejantes? En caso afirmativo, ¿cuál es la
razón de semejanza? ¿Es la misma para
todos los pares de lados correspondientes?
¿Cuándo son semejantes dos triángulos
equiláteros?
•
Explique a los estudiantes que un
geoplano es un arreglo rectangular o cuadrado
en el cual se distribuyen puntos en una misma
distancia. Luego, propóngales elaborar un
geoplano como el de la figura, utilizando
puntillas y una tabla.
•
Pida a los estudiantes una banda de
• Mida, con una regla, la longitud de la
hipotenusa.
Luego,
explíqueles
las
definiciones de las razones trigonométricas
seno, coseno, y tangente y pídales que las
Y
calculen con las medidas que tomaron con
respecto al ángulo agudo.
Circunferencia y círculo
• Realicen las siguientes actividades como
introducción al tema:
•
Defina cada una de las clases de
ángulos según su medida.
•
Defina cada una de las clases de
ángulos según su posición.
•
Clasifique los siguientes triángulos según
la medi
•
Clasifique los siguientes triángulos según
la medi
da de sus ángulos. A 5 908 B 5 458 C 5 458 A 5
608 B 5 608 C 5 608 A 5 1208 B 5 308 C 5 308
•
Enuncie los criterios de congruencia de
triángulos.
•
• Pida a los estudiantes hilo y tijeras para
realizar la siguiente actividad:
• Dibujar una circunferencia de 9 cm de
diámetro.
• Bordear la circunferencia con el hilo.
Medir con una regla la longitud del hilo que
bordeó la circunferencia.
• Si d 5 diámetro y L 5 la longitud de la
circunferenL
cia, determinar el valor de la razón:
d
•
Realizar el mismo ejercicio para
circunferencias de diámetros 5 cm, 10 cm y 12
cm, respectivamente.
•
Luego, pregunte a los estudiantes si a
partir de los resultados de los cocientes se
puede formular alguna regla para generalizar lo
que está sucediendo.
•
Finalice la actividad explicando a los
estudiantes que esa cantidad constante que
encontraron se denomina pi y que se representa
con la letra griega p.
Cuerpos redondos
•
Pida a los estudiantes que resuelvan las
actividades de la sección Lo que sabes del inicio
de la unidad, en la página 270, para comprobar
que manejan los preconceptos para el desarrollo
de esta unidad.
•
Proponga a los estudiantes que lean la
cronología que se presenta en la página 271 y
que, luego, le expliquen qué les llamó más la
atención de la misma.
•
Comente a los estudiantes que los
cuerpos redondos también son llamados
cuerpos de revolución. Es decir, que un cuerpo
redondo es la figura que se genera cuando una
figura plana gira alrededor de una recta llamada
eje de giro. Así, el cilindro se genera al girar un
rectángulo; el cono se obtiene al girar un
triángulo rectángulo alrededor de uno de sus
catetos; la esfera se obtiene al girar un semi
círculo alrededor de su diámetro.
•
Pida a los estudiantes que realicen las
siguientes acti
vidades
como
introducción
al
tema. Responder:
•
¿Qué
diferencia existe
entre círculo y circunferencia?
•
¿Cómo se
calcula el área de
un círculo?
•
¿Cómo se
calcula la longitud
de la circunferencia?
•
¿Cómo se calcula el área de un polígono
regular? Hallar el área de los siguientes
polígonos regulares.
5 cm
4 cm
•
Pida a los estudiantes que traigan
material concreto, como latas de gaseosas de
diferentes formas y tamaños, así como pelotas y
algunos adornos en forma de conos. Explique la
ubicación de los ejes de giro, altura, radio y la
generatriz de cada objeto si los tuviera.
•
Entregue a cada estudiante una copia
ampliada de los desarrollos de los cuerpos
redondos.
•
Luego, pídales que recorten por la líneas
punteadas, que armen el cuerpo y, finalmente,
calculen su área total y su volumen.
•
Explique a los estudiantes que la altura
de un cilindro es igual a la medida de su
generatriz.
•
Presénteles figuras planas para que
dibujen los cuerpos que se forman al hacerlas
girar sobre su eje.
•
Lea la siguiente información a sus
estudiantes: El actual balón de fútbol no es
esférico sino que tiene forma de un poliedro
denominado icosaedro truncado. Sus doce
pentágonos y veinte hexágonos regulares
ocupan el 86,74% del volumen de la esfera
circunscrita. Pero hay poliedros, aún más
esféricos: del sencillo tetraedro truncado, con
solo ocho caras se puede llegar a un
rombicosidodecaedro, formado por veinte
triángulos equiláteros, treinta cuadrados y doce
pentágonos regulares. Este cuerpo se forma
truncando las aristas y vértices, de un
dodecaedro, y cumple la propiedad de la
máxima compacidad en la que obtiene un
94,33% del volumen de la esfera circunscrita. El
estudio de estos cuerpos nos permite
aventurar cuál sería el balón más perfecto. Por
ello, el candidato más cercano es el
rombicosidodecaedro.
Poliedros
•
Explique la fórmula de Euler en un
poliedro convexo. Pida a los estudiantes que
comprueben en un cubo y en un prisma
pentagonal la relación que existe entre las
caras, los vértices y las aristas.
•
Pídales que construyan, en material
concreto, los cinco poliedros regulares. Haga
que comprueben en cada poliedro la fórmula de
Euler.
•
Presente al grupo un poliedro no
convexo construido en cartulina o alguno que ya
esté hecho y pregunte si en él se cumple la
fórmula de Euler.
• Explique a los estudiantes que un bicubo es un
cuerpo geométrico formado por cubos. Luego,
reparta a los estudiantes una copia de la figura
siguiente para que recorten, peguen y armen
un bicubo.
7 cm
•
Cuando los estudiantes hayan armado el
bicubo, pregúnteles si este cuerpo puede
considerarse un poliedro regular.
•
Presente en cartulina un prisma y una
pirámide armados. Haga que cada estudiante
por turno, indique un elemento de cada poliedro.
•
• Explique las semejanzas y las
diferencias entre un prisma y una pirámide y
formule las siguientes preguntas.
• ¿Cuántas bases tiene un prisma?, ¿y
una pirámide?
• ¿Qué polígonos forman las caras
laterales de un prisma?, ¿y las caras de una
pirámide?
•
Insístales en que no es lo mismo la arista
que la arista lateral de un prisma o una pirámide
y la apotema de la base que la apotema de la
pirámide.
•
Lea la siguiente información a los
estudiantes: La pirámide de Keops fue
construida alrededor de 2550 a. C. Además de
ser un monumento funerario, servía como
observatorio astronómico. Sus cuatro caras
laterales están alineadas con los cuatro puntos
cardinales. Con ella podían medir los días,
meses,…,
así como calcular los equinoccios y solsticios
para predecir el cambio de las estaciones.
Durante el último milenio, el revestimiento
exterior
fue poco a poco extraído para utilizarlo en
otras edificaciones. Por este motivo, la
superficie lateral de la pirámide original se ha
reducido desde su construcción. La pirámide
de Keops es una pirámide recta de base
cuadrada. Sus dimensiones originales eran
146 m de altura, 230 m de lado. Debido a la
erosión y al desmantelamiento de su
recubrimiento, en la actualidad mide 137 m de
altura y 230 m de lado. Pídales a sus
estudiantes que comprueben si es verdad que
la pirámide ha perdido, un 6% de su volumen
original, de acuerdo con los datos dados
anteriormente.
• Proponga un paralelo entre las características
del prisma y de un cilindro y explique el porqué
del área del cilindro se deduce fácilmente el
área del prisma.
•
Comente a los estudiantes la relación
existente entre el volumen de un cuerpo y su
capacidad. Para esto, pídales que lleven a la
clase cartulina, tijeras, pegante y una botella
cuya capacidad sea de un litro.
•
Pídales que elaboren el desarrollo de un
cubo sin tapa de un decímetro de lado y lo
armen. Luego, dígales que llenen con agua la
botella de litro y viertan este líquido dentro del
cubo. Coménteles que un cubo de volumen 1
3
dm , tiene capacidad para contener dentro de él
un litro.
•
Después de realizar esta actividad, pida
a los estudiantes que elaboren tres conos: uno
de capacidad mayor que un litro, otro con
capacidad de un litro y otro con capacidad
menor de un litro.
•
• Explique a los estudiantes qué es un
policubo, así: Un policubo es un poliedro
compuesto por varios cubos.
•
Los policubos son poliedros que tienen la
ventaja de poderse representar fácilmente,
utilizando papel cuadriculado o una trama
triangular así:
Estadística
•
Proponga a los estudiantes que
resuelvan las actividades de la sección Lo que
sabes del inicio de la unidad en la página 292.
Luego, presente las soluciones de los ejercicios
y resuelva las dudas acerca de los preconceptos
de los estudiantes antes de dar inicio a la
unidad.
•
• Motive a sus estudiantes, contándoles
sobre las apli
•
caciones y la importancia de la
Estadística. Puede utilizar la sección Y esto que
vas a aprender, ¿para qué te sirve? que se
presenta en la página 293. Esta información es
un abrebocas para que los estudiantes aprendan
más acerca de estadística y probabilidad.
•
Pídales que revisen la cronología de la
página 293. Luego, que escojan uno de los
hechos que aparecen allí, hagan una consulta
más profunda sobre él y preparen una
exposición para sus compañeros de la clase.
•
Recuerde a los estudiantes conceptos
básicos como estadística, población, muestra,
variable, variable cualitativa, variable
cuantitativa.
•
Recuérdeles cómo se construyen las
tablas de frecuencias y los diagramas de barras,
y explíqueles cómo se analiza cada uno de
estos diagramas.
•
Pida a los estudiantes que realicen una
encuesta sobre los deportes que les gusta
practicar. Luego, dígales que grafiquen en un
diagrama de barras los resultados obtenidos.
Cuando terminen de representar la información
obtenida, explíqueles las otras representaciones
gráficas:
•
•
•
Gráfico circular
Polígono de frecuencias
Histograma
• Proponga a los estudiantes que grafiquen la
información obtenida, utilizando cada una de
las representaciones anteriores.
Pida a los estudiantes que lleven a clase
periódicos y revistas. Luego, dígales que se
organicen en grupos y busquen en las fuentes
que consiguieron una información gráfica.
Pídales que analicen dicha información y que
determinen las variables que intervienen y, si
es posible, las frecuencias de cada variable.
Análisis de dos variables cualitativas
•
Proponga una situación en la cual esté
presentada la relación de dos variables
cualitativas, y explique las formas gráficas y la
tabla de frecuencias marginal.
•
Reparta a cada estudiante una copia con
la siguiente
información: El valor de un subsidio de
vivienda se determina en función del tipo de
vivienda que se va a adquirir, construir o
mejorar. En la siguiente tabla se registran los
tipos de vivienda y el máximo valor de subsidio
al que se puede aspirar.
Subsidio de vivienda
• Luego, proponga las siguientes preguntas.
•
El señor Eduardo Santos solicitó el
subsidio de vivienda para adquirir una vivienda
de $13.000.000, ¿a qué tipo de vivienda
corresponde?
•
¿Qué valores corresponden al tipo de
vivienda tipo 3?
•
Si Carlos Pérez solicita el subsidio de
vivienda para adquirir una vivienda de
$44.900.000, ¿podrá obtener el subsidio? ¿Por
qué?
Medidas de tendencia central
•
Proponga una situación real para la
mejor comprensión del tema. Pregunte a cada
alumno la cantidad de hermanos que tiene;
luego, escriba los valores en el tablero. Dígales
que los va a organizar en una tabla de
frecuencias sin intervalos, luego calcule la media
del conjunto de datos.
•
Proponga un ejercicio en el cual
aparezcan dos variables relacionadas en una
tabla marginal incompleta: pida a los estudiantes
que la completen a partir de los datos
asignados.
•
Es necesario que haga énfasis en que la
media aritmética solo se puede obtener con
variables cuantitativas.
• Explique la manera correcta para hallar los
deciles, los cuartiles y los percentiles de un
conjunto de datos.
Probabilidad
• Proponga el siguiente problema y discuta con
los estudiantes la respuesta.
— Para elegir a un muchacho entre tres se
prepara una bolsa con dos balotas negras y una
balo- ta blanca. Los tres van sacando, en orden,
una balota que no devuelven a la bolsa. Quien
saque la balota blanca gana. ¿Quién lleva más
ventaja; el primero, el segundo o el tercero?
•
Realice una actividad introductoria para
el tema de técnicas de conteo. Para esto,
proponga a los estudiantes encontrar las
posibilidades de escribir arreglos diferentes con
las letras A, B y C. Plantee el primer arreglo que
es ABC y dígales que vayan cambiando el orden
en el que colocan las letras, así:
•
Luego, dígales que escriban las formas
de cambiar los números 2, 3 y 4 para formar
números diferentes de tres dígitos.
•
Explique a los estudiantes que una
propiedad interesante de un dado es que la
suma de sus caras opuestas siempre es 7.
•
Luego, entrégueles los siguientes
desarrollos de un dado y pídales que dibujen los
puntos que faltan en cada cara, de tal forma que
se genere un dado.
•
• Proponga a los estudiantes resolver el
siguiente pro
•
blema: Las letras M y H representan el
nacimiento de una niña o un niño,
respectivamente. Para una familia de tres niñas
y dos niños, un posible orden es MMMHH.
Determina y escribe los otros órdenes posibles
de nacimiento de estos cinco hijos.
•
Proponga las siguientes situaciones a
sus estudiantes
y pida que las resuelvan en parejas: Un
inspector de Tv cable tiene que revisar el
cableado de un edificio, ya sea el lunes, el
martes, el miércoles
o el jueves, a las 8 a. m. a las 10 a. m. o a las
2 p. m. ¿Cuántas maneras tiene este
inspector para hacer las revisiones del
cableado? ¿Cuáles son?
• Si los cinco finalistas de un torneo
internacional de Ajedrez son: Carlos, Alex,
Juan, Diana y Sandra, ¿de cuántas
maneras es posible que se otorgue un primer, un segundo y un tercer lugar?
Considerando que el primer lugar lo gana Alex y
el segundo lo gana Sandra, ¿cuántas maneras
hay de que se otorguen los lugares antes
mencionados?
• Escriba, en el tablero, los dígitos 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 y 9. Proponga a los estudiantes que
determinen la cantidad de números telefónicos
que se pueden for-mar con estos números si:
a. El número telefónico es de siete dígitos.
b. El número telefónico solo puede tener siete
dígitos iguales.
c. El número telefónico es de siete dígitos, pero
el primer dígito solo puede ser 2, 3 ó 6.
d. El número telefónico es de cinco dígitos
diferentes.
•
En cada caso, pida al estudiante
correspondiente que justifique el proceso de
solución que proponga.
•
• Pida a los estudiantes que formen
grupos de cinco
•
para realizar la siguiente actividad: Cada
estudiante pone sobre el escritorio un cuaderno
de una materia. Por ejemplo, español, matemáticas, ciencias, sociales y artes. Luego, un
estudiante del grupo ordena los cinco cuadernos
de la manera que él elija y escribe en su
cuaderno el orden que eligió. Los otros cuatro
estudiantes realizan el mismo procedimiento.
Luego, deben determinar si las cinco
posibilidades que propusieron son las únicas
formas de ordenar los cuadernos. Al final, deben
concluir que hay muchas más posibilidades de
ordenar los cuadernos y proponer una estrategia
para encontrar todas las posibilidades.
•
• Pida a los estudiantes que determinen
para cada evento si:
• es muy probable — es seguro
• es poco probable — es imposible
Evento 2
Evento 1
Escoger un dulce
de fresa Sacar un
trébol entre siete
cartas en un tarro
donde hay
únicamente que son
cuatro tréboles y
tres picas.
dulces de limón.
Evento 3 Evento 4
Que la temperatura en Cartagena
Escoger una balota blanca de una sea
de 15 8C. bolsa de balotas blancas.