LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS INFORME DE BERNOULLI INTRODUCCIÓN............................................................................................................................. 3 OBJETIVOS ....................................................................................................................................... 4 MARCO TEÓRICO........................................................................................................................... 5 EL TEOREMA DE BERNOULLI ........................................................................................................... 5 Ecuación de Bernoulli .............................................................................................................. 5 Características y consecuencias .............................................................................................. 6 Aplicaciones del Teorema de Bernoulli ................................................................................. 10 El tubo de Venturi ................................................................................................................. 10 EQUIPOS Y MATERIALES ........................................................................................................... 11 Descripción del Equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli ............................. 12 Partes del equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli...................................... 13 TOMA DE MUESTRAS.................................................................................................................. 14 Preparativos del Ensayo ........................................................................................................ 14 Procedimiento ....................................................................................................................... 15 Cálculos ............................................................................................................................................. 16 Cálculo de los Caudales y Caudales Promedios..................................................................... 16 Primera Medición .................................................................................................................. 16 Segunda Medición ................................................................................................................. 16 Tercera Medición .................................................................................................................. 16 Cálculo de las velocidades medias ................................................................................................ 17 1° Medición ................................................................................................................................... 17 2° Medición ................................................................................................................................... 17 3° Medición ................................................................................................................................... 18 Cálculo de las alturas (Energía total) ............................................................................................. 18 Cuadro de Cálculos: ....................................................................................................................... 20 GRAFICOS ....................................................................................................................................... 21 1 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Caudal de 0.050 litros/segundos ................................................................................................... 21 Caudal 0.093 litros/segundos:....................................................................................................... 21 Caudal de 0.135 litros/segundos ................................................................................................... 22 Gráfica de la altura Cinética, Altura Piezométrica y la Sumatoria de Ambas ............................... 22 Primera Medición .......................................................................................................................... 22 Segunda Medición ......................................................................................................................... 23 Tercera Medición .......................................................................................................................... 23 Conclusiones y recomendaciones ...................................................................................................... 24 Bibliografía......................................................................................................................................... 24 2 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS INTRODUCCIÓN El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a los largo de una línea de corriente. Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo, como por ejemplo en un tubo de Venturi. Puede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión. Lo que significaría que la energía entre dos puntos no variaría ya que al aumentar la velocidad la presión ira disminuyendo. El informe que es presentado a continuación describe el ensayo que se hizo en laboratorio con el fin de demostrar la validez de este teorema. El cual se hará a través de la comparación de alturas piezométricas de un tubo de Venturi. Ilustración 1 - Efecto Venturi Ilustración 2 - Principio de Bernoulli 3 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS OBJETIVOS General: Verificar el Teorema de Bernoulli haciendo uso del equipo de laboratorio, Tubo Venturi con piezómetros y vertedero, para una comprensión total del tema Objetivos Específicos: Determinar el caudal usando la fórmula del vertedero triangular, unidades 𝐿/s. Determinar la carga de elevación, carga de velocidad y carga de flujo para cada punto especificado del tubo Venturi, asimismo, calcular la carga total, usar como nivel de referencia el eje axial del tubo Venturi. Elaborar un gráfico mostrando la línea de energía a partir de la carga total (eje y) para cada caudal, indicando los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 según corresponda (eje x) del tubo Venturi. Determinar el caudal a partir de la ecuación de Bernoulli para cada medida 𝐿/s. Comparar los resultados obtenidos del caudal, por medio de uso la fórmula del vertedero triangular y la ecuación de Bernoulli. 4 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS MARCO TEÓRICO EL TEOREMA DE BERNOULLI El Teorema de Bernoulli, es un principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738 por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli. El teorema expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. Las líneas de corriente son líneas de flujo imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flujo en cada punto, y en el caso de flujo uniforme coinciden con la trayectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad y la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminuye. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: Cinética: Es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. Potencial gravitacional: Es la energía debido a la altitud que un fluido posea. Energía de flujo: Es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. Ecuación de Bernoulli La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos. Donde: = velocidad del fluido en la sección considerada. = densidad del fluido. = presión a lo largo de la línea de corriente. = aceleración gravitatoria = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. 5 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes supuestos: Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. Caudal constante Flujo incompresible, donde ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente o en un flujo irrotacional Nota: Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el flujo de agua en tubería. Características y consecuencias Cada uno de los términos de esta ecuación tienen unidades de longitud, y a la vez representan formas distintas de energía; en hidráulica es común expresar la energía en términos de longitud, y se habla de altura o cabezal, esta última traducción del inglés head. Así en la ecuación de Bernoulli los términos suelen llamarse alturas o cabezales de velocidad, de presión y cabezal hidráulico, del inglés hydraulic head; el término 𝒛 se suele agrupar con 𝑷⁄𝜸 para dar lugar a la llamada altura piezométrica o también carga piezométrica. También podemos reescribir este principio en forma de suma de presiones multiplicando toda la ecuación por , de esta forma el término relativo a la velocidad se llamará presión dinámica, los términos de presión y altura se agrupan en la presión estática. 6 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Esquema del efecto Venturi: O escrita de otra manera más sencilla: 𝑞 + 𝑝 = 𝑞0 Donde: 𝜌𝑉 2 𝑞= 𝑝 = 𝑃 + 𝛾𝑧 𝑝0 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 Igualmente podemos escribir la misma ecuación como la suma de la energía cinética, la energía de flujo y la energía potencial gravitatoria por unidad de masa: Así el principio de Bernoulli puede ser visto como otra forma de la ley de la conservación de la energía, es decir, en una línea de corriente cada tipo de energía puede subir o disminuir en virtud de la disminución o el aumento de las otras dos. 7 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Esta ecuación permite explicar fenómenos como el efecto Venturi, ya que la aceleración de cualquier fluido en un camino equipotencial (con igual energía potencial) implicaría una disminución de la presión. Gracias a este efecto observamos que las cosas ligeras muchas veces tienden a salirse de un carro en movimiento cuando se abren las ventanas, ya que la presión del aire es menor fuera del auto ya que está en movimiento respecto a aquél que se encuentra dentro del auto, donde la presión es necesariamente mayor ; pero en forma aparentemente contradictoria el aire entra al carro, pero esto ocurre por fenómenos de turbulencia y capa límite. Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal incompresible. 𝐸1 = 𝐸2 𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 𝑍1 + + = 𝑍2 + + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 = 𝑐𝑡𝑒. 𝑃 𝑣2 𝐸 =𝑍+ + 𝛾 2𝑔 8 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Considerando el movimiento del fluido en dos secciones del conducto del Equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli, la ecuación de Bernoulli, queda expresada de la siguiente manera: 𝑃1 𝑣12 𝑃2 𝑣22 𝑍1 + + = 𝑍2 + + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 Para este equipo: Z1 = Z2 p = γ. h Remplazando, tenemos: 𝑯=𝒉+ 𝑽𝟐 𝟐𝒈 9 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Aplicaciones del Teorema de Bernoulli El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli también se emplea en las toberas, donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados Venturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal. También podemos encontrarlos en: Airsoft Chimenea Tubería Sustentación de aviones Movimiento de una pelota o balón con efecto Carburador de automóvil Flujo de fluido desde un tanque El tubo de Venturi El Tubo de Venturi es un dispositivo que origina una pérdida de presión al pasar por él un fluido. En esencia, éste es una tubería corta recta, o garganta, entre dos tramos cónicos. La presión varía en la proximidad de la sección estrecha; así, al colocar un manómetro o instrumento registrador en la garganta se puede medir la caída de presión y calcular el caudal instantáneo, o bien, uniéndola a un depósito carburante, se puede introducir este combustible en la corriente principal. Es importante conocer la relación que existe entre los distintos diámetros que tiene el tubo, ya que dependiendo de los mismos es que se va a obtener la presión deseada a la entrada y a la salida del mismo para que pueda cumplir la función para la cual está construido. 10 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS EQUIPOS Y MATERIALES Para el desarrollo de esta práctica se utilizaron los siguientes equipos y materiales: Equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli Banco hidráulico Cronometro Probeta Agua Banco Hidráulico Cronómetro 11 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Equipo para la demostración del teorema de Bernoulli Probeta Descripción del Equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli El equipo está Formado principalmente por un conducto de sección circular con la forma de un cono truncado, transparente y con siete llaves de presión, que permite medir, simultáneamente, los valores de la presión estática correspondientes a cada punto de las siete secciones diferentes. Todas las llaves de presión están conectadas a un manómetro con un colector de agua presurizada (mantenida a presión constante) o no presurizada. Los extremos de los conductos son extraíbles, lo que permite su colocación de forma convergente o divergente respecto a la dirección del flujo. Se dispone, asimismo, de una sonda (tubo de Pitot), moviéndose a lo largo de la sección para medir la altura en cada sección (presión dinámica). 12 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Partes del equipo para la demostración del Teorema de Bernoulli 13 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS TOMA DE MUESTRAS Preparativos del Ensayo Situar el aparto sobre la encimera del Banco Hidráulico. Actuando sobre los pies de sustentación, que pueden ajustarse, nivelar el aparato. Acoplar dicho conducto al aparato asegurándose de que la parte troncocónica queda en posición convergente. Conectar el conducto de entrada del aparato a la boquilla de impulsión del Banco Hidráulico. Llenar con agua cuidadosamente, los tubos manométricos a fin de evacuar las burbujas de aire del circuito hidráulico y verificar, muy especialmente, que en todos los finos conductos de enlace con la toma estática de presión el aire ha sido eliminado. Regulando el caudal de entrada y la válvula de control de salida se pueden subir y bajar, a voluntad, los niveles en los tubos manométricos. Para hacer descender el nivel hasta un valor determinado se actuará suavemente con la bomba manual, acoplada a la válvula de entrada de aire, para aumentar la presión del aire existente encima de las columnas de líquidas. 14 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Procedimiento Ajustar, con cuidado, el caudal de entrada y la válvula de control de salida para proporcionar al sistema la combinación caudal – presión capaz de establecer en el interior de los tubos piezométricos la mayor diferencia de niveles que sea posible. Tomar nota de las lecturas de escala correspondiente a los niveles alcanzados en los tubos piezométricos. Utilizando el tanque volumétrico y el cronometro, determinar el valor del caudal realizando, al menos tres mediciones. Desplazar la sonda (tubo de Pitot), en operaciones sucesivas, a cada una de las secciones que han de estudiarse y anotar las lecturas a escala correspondiente, que indican la altura de carga total en las mismas. Repetir todo el procedimiento variando el grado de apertura de las válvulas para obtener otros valores de caudal y de presión. Cerrar la alimentación de entrada y parar la bomba, desaguar el aparato. Retirar la sonda del interior del conducto (únicamente la longitud estrictamente necesaria). Aflojar las piezas extremas del acoplamiento del tubo de pruebas. Extraer el tubo y volver a montar en sentido contrario. Realizar de nuevo todo el proceso. 15 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS CÁLCULOS Cálculo de los Caudales y Caudales Promedios Para este cálculo se emplea la siguiente fórmula: Q = V/t Dónde: Q: Caudal en (ml/s, l/s) V: Volumen del fluido (ml) t: Tiempo en segundos Primera Medición Caudal (ml/s) Caudal Promedio (m3/s) 50.45 49.21 49.05 0.00004957 Caudal (ml/s) Caudal Promedio (m3/s) 93.98 92.67 93.75 0.00009347 Caudal (ml/s) Caudal Promedio (m3/s) 134.86 134.41 134.45 0.00013457 Segunda Medición Tercera Medición 16 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Cálculo de las velocidades medias Sabiendo que: Q = AV Q Entonces: V = ⁄A Dónde: Q = Caudal A = Área de la Sección V = Velocidad Media 1° MEDICIÓN Caudal Promedio (m3/s) Área de la Sección (m2) Velocidad Media (m/s) 0.00004957 0.00049087 0.00007854 0.00008841 0.00009887 0.00012173 0.00017435 0.00049087 0.10 0.63 0.56 0.50 0.41 0.28 0.10 2° MEDICIÓN Caudal Promedio (m3/s) Área de la Sección (m2) Velocidad Media (m/s) 0.00009347 0.00049087 0.00007854 0.00008841 0.00009887 0.00012173 0.00017435 0.00049087 0.19 1.19 1.06 0.95 0.77 0.54 0.19 17 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS 3° MEDICIÓN Caudal Promedio (m3/s) Área de la Sección (m2) Velocidad Media (m/s) 0.00013457 0.00049087 0.00007854 0.00008841 0.00009887 0.00012173 0.00017435 0.00049087 0.27 1.71 1.52 1.36 1.11 0.77 0.27 Cálculo de las alturas (Energía total) Usando la ecuación de Bernoulli: 𝑧1 + 𝑃1 𝑉12 𝑃2 𝑉22 + = 𝑧2 + + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 Pero para este aparato: z1 = z2 Entonces: 𝑃1 𝑉12 𝑃2 𝑉22 + = + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 Luego: 𝐻1 = 𝑃1 𝑉12 𝑃2 𝑉22 + … … 𝑦 … … 𝐻2 = + 𝛾 2𝑔 𝛾 2𝑔 𝑉2 𝐻 =ℎ+ 2𝑔 Dónde: H = altura del piezómetro más altura cinética h = P⁄γ Altura del piezómetro (dato) 𝟐 𝐕 ⁄𝟐𝐠 = Altura Cinética. 18 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS 1° Medición Velocidad Media (m/s) Aceleración de la Gravedad (m/s2) Altura Cinética (m) 0.10 0.63 0.56 0.50 0.41 0.28 0.10 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 0.520 20.303 16.023 12.812 8.452 4.120 0.520 2° Medición Velocidad Media (m/s) Aceleración de la Gravedad (m/s2) Altura Cinética (m) 0.19 1.19 1.06 0.95 0.77 0.54 0.19 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 1.848 72.184 56.967 45.551 30.049 14.648 1.848 3° Medición Velocidad Media (m/s) Aceleración de la Gravedad (m/s2) Altura Cinética (m) 0.27 1.71 1.52 1.36 1.11 0.77 0.27 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 9.81 3.831 149.638 118.092 94.427 62.292 30.366 3.831 19 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Cuadro de Cálculos: CAUDAL PROMEDIO DE CAUDAL AREA DE LA SECCION VELOCIDAD MEDIA ALTURA CINETICA ALTURA PIEZOMETRICA ALTURA CINET. + ALTURA PIEZOMETRICA l/seg m3/seg m2 0.000491 7.85E-05 8.84E-05 9.89E-05 0.000122 0.000174 0.000491 0.000491 7.85E-05 8.84E-05 9.89E-05 0.000122 0.000174 0.000491 0.000491 7.85E-05 8.84E-05 9.89E-05 0.000122 0.000174 0.000491 m/seg 0.10 0.63 0.56 0.50 0.41 0.28 0.10 0.19 1.19 1.06 0.95 0.77 0.54 0.19 0.27 1.71 1.52 1.36 1.11 0.77 0.27 mm.c.a 0.52 20.30 16.02 12.81 8.45 4.12 0.52 1.85 72.18 56.97 45.55 30.05 14.65 1.85 3.83 149.64 118.09 94.43 62.29 30.37 3.83 mm.c.a 172 147 149 149 151 156 159 192 119 124 126 144 153 161 234 75 97 113 136 154 172 mm.c.a 172.52 167.30 165.02 161.81 159.45 160.12 159.52 193.85 191.18 180.97 171.55 174.05 167.65 162.85 237.83 224.64 215.09 207.43 198.29 184.37 175.83 0.050 0.049 0.000050 0.049 0.094 0.093 0.000093 0.094 0.135 0.134 0.134 0.000135 20 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS GRÁFICOS Caudal de 0.050 litros/segundos 180,00 ALTURAS PIEZOMETRICAS 175,00 170,00 165,00 160,00 LINEA DE ENERGIA EFECTIVA ALTURA PIEZOMETRICA 155,00 150,00 145,00 140,00 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 SECCION DE LOS TUBOS PIEZOMETRICOS Caudal 0.093 litros/segundos: 200,00 ALTURAS PIEZOMETRICAS 190,00 180,00 170,00 160,00 LINEA DE ENERGIA EFECTIVA 150,00 140,00 ALTURA PIEZOMETRIC A 130,00 120,00 110,00 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 SECCION DE LOS TUBOS PIEZOMETRICOS 21 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Caudal de 0.135 litros/segundos ALTURAS PIEZOMETRICAS 250,00 200,00 150,00 LINEA DE ENERGIA EFECTIVA 100,00 ALTURA PIEZOMETRICA 50,00 S0 S1 S2 S3 S4 S5 S6 SECCION DE LOS TUBOS PIEZOMETRICOS Gráfica de la altura Cinética, Altura Piezométricas y la Sumatoria de Ambas Primera Medición 200 150 100 Altura cinética Altura Piezom. 50 Alt. Cinet. + Piez. 0 S0 S1 S2 S3 S4 Altura cinética S5 S6 22 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS Segunda Medición 200 150 Altura cinética 100 Altura Piezom. Alt. Cinet. + Piez. 50 0 S0 S1 S2 S3 S4 Altura cinética S5 S6 Tercera Medición 250 200 150 Altura cinética Altura Piezom. 100 Alt. Cinet. + Piez. 50 0 Alt. Cinet. + Piez. S0 S1 S2 S3 S4 Altura cinética S5 S6 23 LABORATORIO DE MECÁNICA DE FLUIDOS CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Según los diferentes resultados de las alturas de línea de energía efectiva, a mayor incremento de caudal estas se van alejando más del valor de las alturas piezometricas, por lo que se concluye que a mayor caudal mayor será la sumatoria de pérdidas de energía. Los resultados de las energías cinéticas, en los cuatro casos varía de forma constante en decreciente considerando el orden del tamaño de las secciones. Por lo que se puede concluir que a mayor es el área de la sección, menor será el valor de la energía cinética, esto producto de diversos factores como la fricción, el flujo del agua, el volumen de aire, etc. El teorema de Bernoulli es muy útil para encontrar el valor de las alturas de energías para estos casos, pues un ejemplo real parecido a este ensayo podría ser en el caso de bombas, turbinas y otros. BIBLIOGRAFÍA http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Bernoulli http://www.hangar57.com/teorema_de_bernoulli.html Hidráulica General – Sotelo Avila MANUAL DE PRÁCTICAS FME 03 – EDIBON. S. A. 24
