Matemáticas en Mantenimiento de Aviación Las matemáticas están entretejidas en muchas áreas de la vida cotidiana. Realizar cálculos matemáticos con éxito requiere una comprensión de los métodos y procedimientos correctos, y practicar y revisar estos principios. Las matemáticas pueden considerarse como un conjunto de herramientas. El mecánico de aviación necesitará estas herramientas para completar con éxito el mantenimiento, reparación, instalación o certificación de equipos de aeronaves. Existen muchos ejemplos de uso de principios matemáticos por parte de la mecánica de aviación. Las tolerancias en los componentes del motor de la turbina son críticas, por lo que es necesario medir dentro de una diezmilésima de pulgada. Debido a estas tolerancias cercanas, es importante que el mecánico de aviación pueda realizar mediciones precisas y cálculos matemáticos. Un mecánico de aviación que trabaja en sistemas de combustible de aeronaves también utilizará principios matemáticos para calcular los volúmenes y las capacidades de los tanques de combustible. Se requiere el uso de fracciones y cálculos de área de superficie para realizar reparaciones de chapa en estructuras de aviones. Números enteros Los números enteros son los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc. Adición de números enteros. La suma es el proceso en el cual el valor de un número se agrega al valor de otro. El resultado se llama suma. Cuando se trabaja con números enteros, es importante comprender el principio del valor posicional. El valor posicional en un número entero es el valor de la posición del dígito dentro del número. Por ejemplo, en el número 512, el 5 está en la columna de las centenas, el 1 está en la columna de las decenas y el 2 está en la columna de las unidades. Los valores posicionales de tres números enteros se muestran en la Figura. Decenas de mil 1 Unidades de mil 2 Valor posicional Centenas Decenas Unidades 2 7 3 6 4 5 6 9 Cuando agregue varios números enteros, como 4, 314,122, 93,132 y 10, alinéelos en columnas de acuerdo con el valor posicional y luego sume. 4,314 122 93,132 + 10 97,578 Esta es la suma de los cuatro números enteros. Resta de números enteros. La resta es el proceso en el que el valor de un número se toma del valor de otro. La respuesta se llama la diferencia. Al restar dos números enteros, como 3,461 de 97,564, alinearlos en columnas de acuerdo con el valor posicional y luego restar. 97,564 –3,461 94,103 Esta es la diferencia de los dos números enteros. Multiplicación de números enteros. La multiplicación es el proceso de suma repetida. Por ejemplo, 4 × 3 es lo mismo que 4 + 4 + 4. El resultado se llama producto. Ejemplo: ¿Cuántos filtros del sistema hidráulico hay en la sala de suministros si hay 35 cajas y cada caja contiene 18 filtros? 18 × 35 90 54 630 Por lo tanto, hay 630 filtros en la sala de suministros. División de números enteros. La división es el proceso de encontrar cuántas veces un número (llamado divisor) está contenido en otro número (llamado dividendo). El resultado es el cociente, y cualquier cantidad sobrante se llama el resto. Ejemplo: 218 pernos del tren de aterrizaje deben dividirse entre 7 aviones. ¿Cuántos tornillos recibirán cada avión? La solución es 31 tornillos por avión con un resto de 1 tornillo sobrante. Fracciones Una fracción es un número escrito en la forma N⁄D donde N se llama numerador y D se llama denominador. La barra de fracción entre el numerador y el denominador muestra que la división está teniendo lugar. Algunos ejemplos de fracciones son: El denominador de una fracción no puede ser un cero. Por ejemplo, la fracción 2⁄0 no está permitido. Una fracción impropia es una fracción en la cual el numerador es igual o mayor que el denominador. Por ejemplo, 15⁄8 son ejemplos de fracciones impropias. Encontrar el mínimo denominador común. Para sumar o restar fracciones, deben tener un denominador común. En matemáticas, se utiliza comúnmente el mínimo común denominador (mcm). Una forma de encontrar la pantalla mcm es enumerar los múltiplos de cada denominador y luego elegir el más pequeño que tengan en común. Ejemplo: Agregar 1⁄5 + 1⁄10 encontrando el mínimo común denominador. Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25 y más. Los múltiplos de 10 son: 10, 20, 30, 40 y más. Observe que 10, 20 y 30 están en ambas listas, pero 10 es el mínimo o mínimo común denominador (LCD). La ventaja de encontrar la pantalla LCD es que es más probable que la respuesta final esté en los términos más bajos. También se puede encontrar un denominador común para cualquier grupo de fracciones multiplicando todos los denominadores juntos. Este número no siempre será el LCD, pero aún puede usarse para sumar o restar fracciones. Ejemplo: Agregar 2 ⁄ 3 + 3 ⁄ 5 + 4/7 encontrando un denominador común. Se puede encontrar un denominador común multiplicando los denominadores 3 × 5 × 7 para obtener 105. Adición de fracciones Para agregar fracciones, los denominadores deben ser el mismo número. Esto se conoce como tener "denominadores comunes". Ejemplo: Agregar 1⁄7a3⁄7 Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces uno o todos los denominadores deben cambiarse para que cada fracción tenga un denominador común. Ejemplo: Encuentre el grosor total de un panel hecho de Aluminio de 3 ⁄ 32 pulgadas de grosor, que tiene un recubrimiento de pintura que tiene 1 ⁄ 64 pulgadas de grosor. Para agregar estas fracciones, determine un denominador común. El mínimo común denominador para este ejemplo es 1, por lo que solo la primera fracción debe cambiarse ya que el denominador de la segunda fracción ya es 64. Por lo tanto, 7 ⁄ 64 es el espesor total. Resta de fracciones Para restar fracciones, deben tener un denominador común. Ejemplo: restar 2 ⁄ 17 de 10 ⁄ 17 Si las fracciones no tienen el mismo denominador, entonces uno o todos los denominadores deben cambiarse para que cada fracción tenga un denominador común. Ejemplo: la tolerancia para manipular la caída del alerón de un avión es 7 ⁄ 8 pulgadas ± 1 ⁄ 5 pulgadas. ¿Cuál es la caída mínima a la que se puede manipular el alerón? Para restar estas fracciones, primero cambie ambos a denominadores comunes. El denominador común en este ejemplo es 40. Cambia ambas fracciones a 1 ⁄ 40, como se muestra, luego resta. Por lo tanto, 27 ⁄ 40 es la caída mínima. Multiplicación de fracciones La multiplicación de fracciones no requiere un denominador común. Para multiplicar fracciones, primero multiplica los numeradores. Luego, multiplica los denominadores. Ejemplo: El uso de la cancelación al multiplicar fracciones es una técnica útil que divide o cancela todos los factores comunes que existen entre los numeradores y los denominadores. Cuando todos los factores comunes se cancelan antes de la multiplicación, el producto final estará en los términos más bajos. Ejemplo: División de fracciones La división de fracciones no requiere un denominador común. Para dividir fracciones, primero cambie el símbolo de división a multiplicación. Luego, invierte la segunda fracción. Luego, multiplica las fracciones. Ejemplo: Divide 7 ⁄ 8 por 4 ⁄ 3 Ejemplo: en la Figura 1-2, el centro del orificio está en el centro de la placa. Encuentre la distancia que está el centro del agujero desde los bordes de la placa. Para encontrar la respuesta, el largo y el ancho del plato deben dividirse cada uno por la mitad. Primero, cambie los números mixtos a fracciones impropias: Luego, divide cada fracción impropia por 2 para encontrar el centro de la placa. Finalmente, convierta cada fracción impropia en un número mixto: Por lo tanto, la distancia al centro del orificio desde cada uno de los bordes de la placa es de 2 23⁄32 pulgadas y 1 pulgada Fracciones reductoras Una fracción necesita ser reducida cuando no está en "términos más bajos". Los términos más bajos significan que el numerador y el denominador no tienen ningún factor en común. Es decir, no se pueden dividir por el mismo número (o factor). Para reducir una fracción, determine cuáles son los factores comunes y divídalos del numerador y denominador. Por ejemplo, cuando tanto el numerador como el denominador son números pares, ambos se pueden dividir por 2. Ejemplo: el recorrido total de un tornillo de elevación es de 13/16 de pulgada. Si el recorrido en una dirección desde la posición neutral es 7⁄16, ¿cuál es el recorrido en la dirección opuesta? La fracción 6⁄16 no está en los términos más bajos porque el numerador (6) y el denominador (16) tienen un factor común de 2. Para reducir 6 ⁄ 16, divida el numerador y el denominador entre 2. La fracción reducida final es 3⁄8 como se muestra a continuación. Por lo tanto, el viaje en la dirección opuesta es pulgadas. Números mixtos Un número mixto es una combinación de un número entero y una fracción. Adición de números mixtos Para sumar números mixtos, sume los números enteros. Luego suma las fracciones juntas encontrando un denominador común. El paso final es agregar la suma de los números enteros a la suma de las fracciones para el resultado final. Ejemplo: el área de carga detrás del asiento trasero de un avión pequeño puede manejar sólidos de 43⁄4 pies de largo. Si se quitan los asientos traseros, se agregan 21⁄3 pies al área de carga. ¿Cuál es la longitud total del área de carga cuando se quitan los asientos traseros? Resta de números mixtos Para restar números mixtos, encuentre un denominador común para las fracciones. Reste las fracciones entre sí (puede ser necesario tomar prestado del número entero mayor al restar las fracciones). Resta los números enteros entre sí. El paso final es combinar el número entero final con la fracción final. Ejemplo: ¿Cuál es la longitud del agarre del perno que se muestra en la Figura 13? La longitud total del perno es de 3 1⁄2 pulgadas, la longitud del vástago es de 3 1⁄8 pulgadas, y la porción roscada tiene 1 5⁄16 pulgadas de largo. Para encontrar el agarre, reste la longitud de la porción roscada de la longitud del vástago. 3 1⁄8 pulgadas – 1 5⁄16 pulgadas = longitud de agarre Para restar, comience con las fracciones. Será necesario pedir prestado porque 5⁄16 es mayor que 1⁄8 (o 2/16). Del número entero 3, pida prestado 1, que en realidad es 16/16. Después de pedir prestado, el primer número mixto será ahora Por lo tanto, la longitud de agarre del perno es de 1 13⁄16 pulgadas. (Nota: El valor para la longitud total del tornillo se dio en el ejemplo, pero no fue necesario para resolver el problema. Este tipo de información a veces se denomina "distractor" porque distrae de la información necesaria para resolver el problema.) El sistema de números decimales El origen y la definición El sistema de números que usamos todos los días se llama sistema decimal. El prefijo en la palabra decimal es una raíz latina para la palabra "diez". El sistema decimal probablemente tuvo su origen en el hecho de que tenemos diez dedos (o dígitos). El sistema decimal tiene diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Es un sistema de base 10 y ha estado en uso durante más de 5,000 años. Un decimal es un número con un punto decimal. Por ejemplo, 0.515, .10 y 462.625 son todos números decimales. Al igual que los números enteros, los números decimales también tienen valor posicional. Los valores posicionales se basan en potencias de 10, como se muestra en la Figura 1-4 Adición de números decimales Para agregar números decimales, primero deben organizarse de modo que los puntos decimales estén alineados verticalmente y de acuerdo con el valor posicional. Es decir, sumar décimos con décimos, unos con unos, cientos con cientos, etc. Ejemplo: Encuentre la resistencia total para el diagrama de circuito que se muestra en la figura 1-5. La resistencia total de un circuito en serie es igual a la suma de las resistencias individuales. Para encontrar la resistencia total, Rt, se suman las resistencias individuales. Rt = 2.34 + 37.5 + .09 Organice los valores de resistencia en una columna vertical para que los puntos decimales estén alineados y luego sume. 2,34 37,5 + .09 39,93 Por lo tanto, la resistencia total, RT = 39.93 ohmios. Resta de números decimales Para restar números decimales, primero deben organizarse de modo que los puntos decimales estén alineados verticalmente y de acuerdo con el valor posicional. Es decir, restando décimos de décimos, unos de unos, cientos de cientos, y así sucesivamente. Ejemplo: un circuito en serie que contiene dos resistencias tiene una resistencia total (Rt) de 37.272 ohmios. Una de las resistencias (R1) tiene un valor de 14.88 ohmios. ¿Cuál es el valor de la otra resistencia (R2)? R2 = Rt - R1 = 37.272 - 14.88 Organice los números decimales en una columna vertical de modo que los puntos decimales estén alineados y luego reste. Por lo tanto, la segunda resistencia, R2 = 2.392 ohmios. Multiplicación de números decimales Para multiplicar números decimales, no se requiere la alineación vertical del punto decimal. En su lugar, alinee los números a la derecha de la misma manera que se multiplican los números enteros (sin tener en cuenta los puntos decimales o valores posicionales) y luego multiplicar. El último paso es colocar el punto decimal en el lugar correcto de la respuesta. Para hacer esto, "cuente" el número de lugares decimales en cada uno de los números, sume el total y luego "dé" ese número de lugares decimales al resultado. Ejemplo: para multiplicar 0.2 × 6.03, organice los números verticalmente y alinéelos a la derecha. Multiplica los números, ignorando los puntos decimales por ahora. (Ignore los puntos decimales, por ahora) Después de multiplicar los números, cuente el número total de decimales en ambos números. Para este ejemplo, 6.03 tiene 2 lugares decimales y 0.2 tiene 1 lugar decimal. Juntos hay un total de 3 decimales. El punto decimal para la respuesta se colocará 3 decimales lugares desde la derecha. Por lo tanto, la respuesta es 1.206. Ejemplo: Usando la fórmula Vatios = Amperios × Voltaje, ¿cuál es el vatiaje de un taladro eléctrico que usa 9.45 amperios de una fuente de 120 voltios? Alinee los números a la derecha y multiplique. Después de multiplicar los números, cuente el número total de decimales en ambos números. Para este ejemplo, 9.45 tiene 2 lugares decimales y 120 no tiene lugar decimal. Juntos hay 2 lugares decimales. El punto decimal para la respuesta se colocará 2 decimales desde el derecho. Por lo tanto, la respuesta es 1,134.00 vatios, o 1.134 vatios. División de números decimales La división de los números decimales se realiza de la misma manera que los números enteros, a menos que el divisor sea un decimal. Dividendo Resto divisor cociente Cuando el divisor es un decimal, debe cambiarse a un número entero antes de dividirlo. Para hacer esto, mueva el decimal en el divisor hacia la derecha hasta que no haya decimales. Al mismo tiempo, mueva el punto decimal en el dividendo a la derecha el mismo número de lugares. Entonces divide. El decimal en el cociente se colocará directamente sobre el decimal en el dividendo. Ejemplo: Divida 0.144 entre 0.12 Mueva el decimal en el divisor (0.12) dos lugares a la derecha. Luego mueva el decimal en el dividendo (0.144) dos lugares a la derecha. Entonces divide. El resultado es 1.2. Ejemplo: el área del ala de un avión es de 262.6 pies cuadrados y su envergadura es de 40.4 pies. Encuentre la cuerda media de su ala usando la fórmula: Área ÷ span = cuerda media. Mueva el decimal en el divisor (40.4) un lugar a la derecha. Luego mueva el decimal en el dividendo (262.6) un lugar a la derecha. Entonces divide. La longitud media del acorde es de 6.5 pies. Redondeando números decimales Ocasionalmente, es necesario redondear un número decimal a algún valor que sea práctico de usar. Por ejemplo, una medida se calcula en 29.4948 pulgadas. Para usar esta medida, podemos usar el proceso de “redondeo”. Un decimal se “redondea” manteniendo los dígitos para un cierto número de lugares y descartando el resto. El grado de precisión deseado determina el número de dígitos a retener. Cuando el dígito inmediatamente a la derecha del último dígito retenido es 5 o mayor, redondee hacia arriba por 1. Cuando el dígito inmediatamente a la derecha del último dígito retenido sea menor que 5, deje el último dígito retenido sin cambios. Ejemplo: un eje del actuador tiene 2.1938 pulgadas de diámetro. Redondea a la décima más cercana. El dígito en la columna de las décimas es un 1. El dígito a la derecha del 1 es un 9. Dado que 9 es mayor o igual que 5, "redondee" el 1 a un 2. Por lo tanto, 2.1938 redondeado a la décima más cercana es 2.2. Ejemplo: el diámetro exterior de un rodamiento es 2.1938 pulgadas. Redondea a la centésima más cercana. El dígito en la columna de centésimas es un 9. El dígito a la derecha del 9 es un 3. Como 3 es menor que 5, no redondee el 9. Por lo tanto, 2.1938 a la centésima más cercana es 2.19. Ejemplo: la longitud de un casquillo es 2.1938 pulgadas. Redondea a la milésima más cercana. El dígito en la columna de las milésimas es un 3. El dígito a la derecha del 3 es un 8. Dado que 8 es mayor o igual que 5, “redondee” el 3 a 4. Por lo tanto, 2.1938 a la milésima más cercana es 2.194. Convertir números decimales a fracciones Para cambiar un número decimal a una fracción, "lea" el decimal y luego escríbalo en una fracción tal como se lee como se muestra a continuación. Ejemplo: un remache de gran tamaño tiene un diámetro de 0,52 pulgadas. Convierte 0,52 a fracción. El decimal 0.52 se lee como "cincuenta y dos centésimos". Por lo tanto, una dimensión a menudo aparece en un manual de mantenimiento o en un plano como un decimal en lugar de una fracción. Para usar la dimensión, es posible que deba convertirse a una fracción Un mecánico de aviación frecuentemente usa una regla de acero que está calibrada en unidades de 1⁄64 de pulgada. Para cambiar un decimal a la fracción común equivalente más cercana, multiplique el decimal por 64. El producto del decimal y 64 será el numerador de la fracción y 64 será el denominador. Reduzca la fracción, si es necesario. Ejemplo: el ancho de un perno de cabeza hexagonal es 0.3123 pulgadas. Convierta el decimal 0.3123 en una fracción común para decidir qué zócalo sería el mejor para la cabeza del perno. Primero, multiplica el decimal 0.3123 por 64: 0.3123 × 64 = 19.9872 Luego, redondee el producto al número entero más cercano: 19.98722 ≈ 20. Use este número entero (20) como numerador y 64 como denominador: 20/64 Ahora, reduzca 20⁄64 a 5⁄16. Por lo tanto, el receptáculo correcto sería el receptáculo en pulgadas (20⁄64 reducido). Ejemplo: cuando se requieren agujeros precisos de diámetro uniforme para las estructuras de la aeronave, primero se perforan aproximadamente 1⁄64 de pulgada de tamaño inferior y luego se fresan hasta el diámetro final deseado. ¿Qué tamaño de broca se debe seleccionar para el orificio de menor tamaño si el orificio final tiene un diámetro de 0.763 pulgadas? Primero, multiplique el decimal 0.763 por 64. 0.763 × 64 = 48.832 Luego, redondee el producto al número entero más cercano: 48.832 ≈ 49. Use este número (49) como numerador y 64 como denominador: 49⁄64 es la fracción más cercana al diámetro de fresado final de 0.763 pulgadas. Para determinar el tamaño del taladro para el agujero inicial de menor tamaño, reste 1/64 pulgadas del tamaño del agujero terminado. Por lo tanto, se debe usar una broca de 3⁄4 pulgadas para los agujeros iniciales de menor tamaño. Convertir fracciones a decimales Para convertir cualquier fracción a un decimal, simplemente divida el número superior (numerador) por el número inferior (denominador). Cada fracción tendrá un equivalente decimal aproximado. Consejo de calculadora: Numerador (número superior) ÷ Denominador (número inferior) = el equivalente decimal de la fracción. Algunas fracciones cuando se convierten en decimales producen un decimal repetitivo. Gráfico equivalente decimal La Figura 1-6 (en la página siguiente) es una tabla de equivalencia de fracción a decimal a milímetro. Las medidas que comienzan en 1⁄64 pulgada y hasta 23 pulgadas se han convertido a números decimales y a milímetros. Razón Una razón es la comparación de dos números o cantidades. Una relación puede expresarse de tres maneras: como una fracción, con dos puntos, o con la palabra "a". Por ejemplo, una relación de transmisión de 5: 7 puede expresarse como cualquiera de los siguientes: Aplicaciones de aviación Las proporciones tienen una amplia aplicación en el campo de la aviación. Por ejemplo: La relación de compresión en un motor alternativo es la relación del volumen de un cilindro con el pistón en la parte inferior de su carrera al volumen del cilindro con el pistón en la parte superior de su carrera. Por ejemplo, una relación de compresión típica podría ser 10: 1 (o 10 a 1). La relación de aspecto (aspect ratio) es la relación de la longitud (o extensión) de una superficie aerodinámica a su ancho (o cuerda). Una relación de aspecto típica para un avión comercial podría ser 7: 1 (o 7 a 1). La relación aire-combustible es la relación entre el peso del aire y el peso del combustible en la mezcla que se alimenta a los cilindros de un motor alternativo. Por ejemplo, una relación aire-combustible típica podría ser 14.3 : 1 (o 14.3 a 1). La relación de deslizamiento es la relación de la distancia hacia adelante recorrida a la distancia vertical descendida cuando un avión está operando sin energía. Por ejemplo, si una aeronave desciende 1,000 pies mientras viaja por el aire por una distancia de dos millas lineales (10,560 pies), tiene una relación de planeo de 10,560: 1,000 que puede reducirse a 10.56: 1 (o 10.56 a 1) . La relación de engranaje es el número de dientes que representa cada engranaje cuando se usan dos engranajes en un componente de la aeronave. En la Figura 1-7, el engranaje de piñón tiene 8 dientes y un engranaje recto tiene 28 dientes. La relación de transmisión es 8:28 o 2: 7. Relación de velocidad. Cuando se usan dos marchas en un componente de la aeronave, la velocidad de rotación de cada marcha se representa como una relación de velocidad. A medida que disminuye el número de dientes en un engranaje, aumenta la velocidad de rotación de ese engranaje, y viceversa. Por lo tanto, la relación de velocidad de dos engranajes es la inversa (u opuesta) de la relación de engranajes. Si dos velocidades tienen una relación de transmisión de 2: 9, entonces su relación de velocidad es de 9: 2. Ejemplo: un engranaje de piñón con 10 dientes está impulsando un engranaje recto con 40 dientes. El engranaje recto gira a 160 rpm. Determine la velocidad del piñón. Para resolver SP, multiplique 40 × 160, luego divida por 10. La velocidad del piñón es de 640 rpm. Ejemplo: si la velocidad de crucero de un avión es de 200 nudos y su velocidad máxima es de 250 nudos, ¿cuál es la relación entre la velocidad de crucero y la velocidad máxima? Primero, expresa la velocidad de crucero como el numerador de una fracción cuyo denominador es la velocidad máxima. Luego, reduzca la fracción resultante a sus términos más bajos. Por lo tanto, la relación entre la velocidad de crucero y la velocidad máxima es de 4: 5. Otro uso común de las razones es convertir cualquier relación dada a una relación equivalente con un denominador de 1. Ejemplo: Exprese la razón 9: 5 como una razón con un denominador de 1. Por lo tanto, 9: 5 es la misma relación que 1.8: 1. En otras palabras, 9 a 5 es la misma relación que 1.8 a 1. Proporción Una proporción es una declaración de igualdad entre dos o más razones. Por ejemplo, Esta proporción se lee como: "3 es a 4 como 6 es a 8." Extremos y medias Los primeros y últimos términos de la proporción (los 3 y 8 en este ejemplo) se denominan los extremos. Los términos segundo y tercero (4 y 6 en este ejemplo) se denominan medios. En cualquier proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. En la proporción 2: 3 = 4: 6, el producto de los extremos, 2 × 6, es 12; el producto de los medios, 3 × 4, también es 12. Una inspección de cualquier proporción mostrará que esto es cierto. Resolviendo proporciones Normalmente, al resolver una proporción, se conocerán tres cantidades, y la cuarta será desconocida. Para resolver lo desconocido, multiplique los dos números a lo largo de la diagonal y luego divida por el tercer número. Ejemplo: Resuelva para X en la proporción dada a continuación. Primero, multiplica 65 × 100 = 6500 Luego, divida por 80: 6500 ÷ 80 = 81.25 Por lo tanto, X = 81.25. Ejemplo: un avión que volaba una distancia de 300 millas usaba 24 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará para viajar 750 millas? La relación aquí es: "millas a galones"; por lo tanto, la proporción se configura como: Resuelva para G: (750 × 24) ÷ 300 = 60 Por lo tanto, para volar 750 millas, se requerirán 60 galones de gasolina. Porcentaje Porcentaje significa "partes de cien". El signo de porcentaje es "%". El noventa por ciento se expresa como 90% (= 90 partes de 100). El decimal 0.90 es igual a 90⁄100, o 90 de 100, o 90%. Expresar un número decimal como porcentaje Para expresar un número decimal en porcentaje, mueva el punto decimal dos lugares a la derecha (agregando ceros si es necesario) y luego coloque el símbolo de porcentaje. Ejemplo: Exprese los siguientes números decimales como porcentaje: Expresando un porcentaje como un número decimal A veces puede ser necesario expresar un porcentaje de edad como un número decimal. Para expresar un porcentaje como un número decimal, mueva el punto decimal dos lugares hacia la izquierda y suelte el símbolo %. Por ejemplo: Exprese los siguientes porcentajes como números decimales: Expresando una fracción como porcentaje Para expresar una fracción como porcentaje, primero cambie la fracción a un número decimal (dividiendo el numerador por el denominador), y luego convierta el número decimal a un porcentaje como se mostró anteriormente. Ejemplo: Exprese la fracción 5⁄8 como porcentaje. Encontrar un porcentaje de un número dado Este es el tipo más común de cálculo de porcentaje. Aquí hay dos métodos para resolver problemas de porcentaje: usando álgebra o usando proporciones. Cada método se muestra a continuación para encontrar un porcentaje de un número dado. Ejemplo: en un envío de 80 luces de punta de ala, el 15% de las luces estaban defectuosas. ¿Cuántas de las luces estaban defectuosas? Método de álgebra: 15% de 80 luces = N (número de luces defectuosas) 0.15 × 80 = N 12 = N Por lo tanto, 12 luces defectuosas estaban en el envío. Método de proporción: Para resolver para N: N × 100 = 80 × 15 N × 100 = 1200 N = 1200 ÷ 100 N = 12 o N = (80 × 15) ÷ 100 N = 12 Encontrar qué porcentaje es un número de otro Ejemplo: se encuentra que un motor pequeño con una potencia de 12 caballos de fuerza entrega solo 10.75 caballos de fuerza. ¿Cuál es la eficiencia del motor expresada en porcentaje? Algebra Method: N% of 12 rated horsepower = 10.75 actual horsepower N% × 12 = 10.75 N% = 10.75 ÷ 12 N% = .8958 N = 89.58 Therefore, the motor efficiency is 89.58%. Proportion Method: To solve for N: N × 12 = 10.75 × 100 N × 12 = 1075 N = 1075 ÷ 12 N = 89.58 or N = (1075 × 100) ÷ 12 N = 89.58 Therefore, the motor efficiency is 89.58%. Encontrar un número cuando se conoce un porcentaje de él Ejemplo: ochenta ohmios representan el 52% de la resistencia total de un micrófono. Encuentra la resistencia total de este micrófono. Método algebraico: 52% de N = 80 ohmios 52% × N = 80 N = 80 ÷ .52 N = 153,846 La resistencia total del micrófono es 153.846 ohmios. Método de proporción: Resolver para N: N × 52 = 80 × 100 N × 52 = 8,000 N = 8,000 ÷ 52 N = 153.846 ohmios o N = (80 × 100) ÷ 52 N = 153.846 ohmios Números Positivos y Negativos Los números positivos son números que son mayores que cero. Los números negativos son números menores que cero. [Figura 1-8] Los números con signo también se denominan enteros. Adición de números positivos y negativos La suma (suma) de dos números positivos es positiva. La suma (suma) de dos números negativos es negativa. La suma de un número positivo y un número negativo puede ser positiva o negativa, dependiendo de los valores de los números. Una buena manera de visualizar un número negativo es pensar en términos de deuda. Si tiene una deuda de $ 100 (o −100) y agrega $ 45 a su cuenta, ahora solo tiene una deuda de $ 55 (o −55). Por lo tanto: −100 + 45 = −55. Ejemplo: El peso de un avión es de 2,000 libras. Un estante de radio que pesa 3 libras y un transceptor que pesa 10 libras se retiran del avión. ¿Cuál es el nuevo peso? Para fines de peso y equilibrio, todo el peso eliminado de una aeronave recibe un signo menos, y todo el peso agregado recibe un signo más. 2,000 + −3 + −10 = 2,000 + −13 = 1987 Por lo tanto, el nuevo peso es de 1,987 libras. Resta de números positivos y negativos Para restar números positivos y negativos, primero cambie el "-" (símbolo de resta) a un "+" (símbolo de suma), y cambie el signo del segundo número a su opuesto (es decir, cambie un número positivo a un número negativo o viceversa). Finalmente, agrega los dos Números juntos. Ejemplo: La temperatura diurna en la ciudad de Denver fue de 6 ° bajo cero (−6 °). Un avión está navegando a 15,000 pies sobre Denver. La temperatura a 15,000 pies es 20 ° más fría que en la ciudad de Denver. ¿Cuál es la temperatura a 15,000 pies? Resta 20 de −6: −6 - 20 = −6 + −20 = −26 La temperatura es −26 °, o 26 ° bajo cero a 15,000 pies sobre la ciudad. Multiplicación de números positivos y negativos. El producto de dos números positivos siempre es positivo. El producto de dos números negativos siempre es positivo. El producto de un número positivo y un número negativo siempre es negativo. Ejemplos: 3 × 6 = 18 −3 × 6 = −18 −3 × −6 = 18 3 × −6 = −18 División de números positivos y negativos El cociente de dos números positivos siempre es positivo. El cociente de dos números negativos siempre es positivo. El cociente de un número positivo y negativo siempre es negativo. Ejemplos: 6 ÷ 3 = 2 −6 ÷ 3 = −2 −6 ÷ −3 = 2 6 ÷ −3 = −2 Potencias La potencia (o exponente) de un número es un método abreviado para indicar cuántas veces un número, llamado base, se multiplica por sí mismo. Por ejemplo, 34 significa "3 a la potencia de 4." Es decir, 3 multiplicado por sí mismo 4 veces. El 3 es la base y 4 es la potencia. Ejemplos: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Lea "dos a la tercera potencia es igual a 8". 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100,000 Lea "diez a la quinta potencia es igual a 100,000". Potencias especiales al cuadrado. Cuando un número tiene una potencia de 2, es comúnmente referido como "al cuadrado". Por ejemplo, 72 se lee como "siete al cuadrado" o "siete al segundo potencia". Para recordar esto, piense en cómo un cuadrado tiene dos dimensiones: largo y ancho. Cubica. Cuando un número tiene una potencia de 3, comúnmente se conoce como "en cubos". Por ejemplo, 73 se lee como "siete al cubos" o "siete a la tercera potencia". Para recordar esto, piense en cómo un cubo tiene tres dimensiones: longitud, ancho y profundidad. Potencias de cero. Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero siempre es igual a 1. Ejemplo: 70 = 1 1810 = 1 (-24)0 = 1 Potencias negativas Un número con un potencia negativo es igual a su recíproco con la misma potencia hecho positivo. Ejemplo: el número 2-3 se lee como "2 a la tercera potencia negativa" y se calcula de la siguiente manera: Cuando use una calculadora para elevar un número negativo a una potencia, coloque siempre paréntesis alrededor del número negativo (antes de elevarlo a una potencia) para que todo el número se eleve a la potencia. Ley de exponentes Al multiplicar números con potencias, las potencias se pueden agregar siempre que las bases sean las mismas. Ejemplo: 32 × 34 = (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 36 o 32 × 34 = 3(2 + 4) = 36 Al dividir números con potencias, las potencias se pueden restar siempre que las bases sean las mismas. Ejemplo: Potencias de diez Debido a que usamos el sistema de números decimales, las potencias de diez se ven con frecuencia en las aplicaciones cotidianas. Por ejemplo, la notación científica usa potencia de diez. Además, muchos dibujos de aviones se escalan a potencias de diez. La figura 1-9 proporciona más información sobre las potencias de diez y sus valores. Raíces Una raíz es un número que cuando se multiplica por sí mismo un número específico de veces producirá un número dado. Las dos raíces más comunes son la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Para obtener más ejemplos de raíces, consulte el cuadro en la Figura 1-10, Funciones de números (en la página 1-14). Raíces cuadradas La raíz cuadrada de 25, escrita como √25, es igual a 5. Es decir, cuando el número 5 es cuadrado (multiplicado por sí mismo), produce el número 25. El símbolo √ se llama signo radical. Encontrar la raíz cuadrada de un número es la aplicación más común de raíces. La colección de números cuyas raíces cuadradas son números enteros se llaman cuadrados perfectos. Los primeros diez cuadrados perfectos son: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. La raíz cuadrada de cada uno de estos números es 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10, respectivamente. Por ejemplo, √36 = 6 y √81 = 9 Para encontrar la raíz cuadrada de un número que no es un cuadrado perfecto, use una calculadora o el método de estimación. Existe un método manual para encontrar raíces cuadradas, pero con el advenimiento de las calculadoras y debido a su larga explicación, ya no se incluye en este manual. El método de estimación utiliza el conocimiento de cuadrados perfectos para aproximar la raíz cuadrada de un número. Ejemplo: Encuentra la raíz cuadrada de 31. Dado que 31 se encuentra entre las dos raíces perfectas 25 y 36, sabemos que √31 debe estar entre √25 y √36. Por lo tanto, √31 debe ser mayor que 5 y menor que 6 porque √25 = 5 y √36 = 6. Si estima la raíz cuadrada de 31 en 5.5, está cerca de la respuesta correcta. La raíz cuadrada de 31 es en realidad 5.568. Raíces cúbicas La raíz cúbica de 125, escrita como 3√125, es igual a 5. Es decir, cuando el número 5 está en cubos (5 multiplicado por sí mismo y luego multiplicando el producto (25) por 5 nuevamente), produce el número 125. Es común confundir el "cubo" de un número con la "raíz cúbica" de un número. Para aclarar, el cubo de 27 = 273 = 27 × 27 × 27 = 19,683. Sin embargo, la raíz cúbica de 27 = 3√27 =3. Potencias fraccionales Otra forma de escribir una raíz es usar una fracción como la potencia (o exponente) en lugar del signo radical. La raíz cuadrada de un número se escribe con un 1/2 como exponente en lugar de un signo radical. La raíz cúbica de un número se escribe con un exponente de 1/3 y raíz cuarta con un exponente de 1⁄4 y así sucesivamente. Ejemplo: Tabla de funciones de números La tabla de Funciones de Números [Figura 1-10] se incluye en este capítulo por conveniencia para hacer cálculos. Cada columna en el cuadro se enumera a continuación, con nuevos conceptos explicados. • Número, (N) • N al cuadrado, (N2) • N al cubo, (N3) • Raíz cuadrada de N, (√N) • Raíz cúbica de N, (3√N) • Circunferencia de un círculo con diámetro = N. La circunferencia es la medida lineal de la distancia alrededor de un círculo. La circunferencia se calcula multiplicando el diámetro del círculo por 3.1416 (3.1416 es el número denominado pi, que tiene el símbolo π). Si el diámetro de un círculo es de 10 pulgadas, entonces la circunferencia sería de 31.416 pulgadas porque 10 × 3.1416 = 31.4160. • Área de un círculo con diámetro = N. El área de un círculo es el número de unidades cuadradas de medida contenidas en el círculo con un diámetro de N. El área de un círculo es igual a π multiplicado por el radio al cuadrado. Esto se calcula mediante la fórmula: A = π × r 2. Recuerde que el radio es igual a la mitad del diámetro. Ejemplo: un medidor de instrumentos de cabina tiene una cara redonda de 3 pulgadas de diámetro. ¿Cuál es el área de la cara del medidor? De la Figura 1-10 para N = 3, la respuesta es 7.0686 pulgadas cuadradas. Esto se calcula mediante: Si el diámetro del medidor es de 3 pulgadas, entonces el radio = D⁄2 = 3⁄2 = 1.5 pulgadas. Área = π × r2 = 3.1416 × 1.52 = 3.1416 × 2.25 = 7.0686 pulgadas cuadradas. Notación científica La notación científica se usa como un tipo de taquigrafía para expresar números muy grandes o muy pequeños. Es una forma de escribir números para que no ocupen tanto espacio en la página. El formato de un número escrito en notación científica tiene dos partes. La primera parte es un número mayor o igual a 1 y menor a 10 (por ejemplo, 2.35). La segunda parte es una potencia de 10 (por ejemplo, 106). El número 2.350.000 se expresa en notación científica como 2.35 × 10 6. Es importante que el punto decimal siempre se coloque a la derecha del primer dígito. Tenga en cuenta que los números muy grandes siempre tienen una potencia positiva de 10 y números muy pequeños siempre tienen una potencia negativa de 10. Ejemplo: La velocidad de la velocidad de la luz es superior a 186.000.000 mph. Esto se puede expresar como 1.86 × 108 mph en notación científica. La masa de un electrón es aproximadamente 0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.911 gramos. Esto se puede expresar en notación científica como 9.11 × 10 -28 gramos. Conversión de números de notación estándar a notación científica Ejemplo: Convertir 1, 244, 000, 000,000 a notación científica de la siguiente manera. Primero, tenga en cuenta que el punto decimal está a la derecha del último cero. (Aunque generalmente no se escribe, se supone que está allí). 1.244.000.000.000 = 1.244.000.000.000 Para cambiar al formato de notación científica, el punto decimal debe moverse a la posición entre el primer y el segundo dígito, que en este caso está entre el 1 y el 2. Dado que el punto decimal debe moverse 12 lugares a la izquierda para llegar allí, la potencia de 10 será 12. Recuerde que los números grandes siempre tienen un exponente positivo. Por lo tanto, 1, 244, 000, 000,000 = 1.244 × 1012 cuando está escrito en notación científica. Ejemplo: Convertir 0.000000457 de notación estándar a notación científica. Para cambiar al formato de notación científica, el punto decimal se debe mover a la posición entre el primer y el segundo número, que en este caso se encuentra entre el 4 y el 5. Dado que el punto decimal se debe mover 7 lugares a la derecha para llegar allí, la potencia de 10 será −7. Recuerde que los números pequeños (aquellos menores que uno) tendrán un exponente negativo. Por lo tanto, 0.000000457 = 4.57 × 10-7 cuando está escrito en notación científica. Convertir números de notación científica a notación estándar Ejemplo: Convierta 3.68 × 107 de notación científica a notación estándar, de la siguiente manera. Para convertir de notación científica a notación estándar, mueva el lugar decimal 7 lugares a la derecha. 3.68 × 107 = 36800000 = 36, 800,000. Otra forma de pensar acerca de la conversión es 3.68 × 10 7 = 3.68 × 10, 000,000 = 36, 800,000. Ejemplo: Convertir 7.1543 × 10-10 de notación científica a notación estándar. Mueva el lugar decimal 10 lugares a la izquierda: 7.1543 × 10-10 = .00000000071543. Otra forma de pensar sobre la conversión es 7.1543 × 10-10 = 7.1543 × .0000000001 = .00000000071543 Conversión Números grandes con potencias de 10 Números pequeños con potencia de 10 De notación estándar a notación científica Mueve el lugar decimal a la izquierda Mueve el lugar decimal a la derecha De notación científica a notación estándar Mueve el lugar decimal a la derecha Mueve el lugar decimal a la izquierda Figura 1-11. Conversión entre científica y notación estándar Al convertir, recuerde que los números grandes siempre tienen potencias positivas de diez y los números pequeños siempre tienen potencias negativas de diez. Consulte la Figura 1-11 para determinar en qué dirección mover el punto decimal. Suma, resta, multiplicación y división de números científicos Para sumar, restar, multiplicar o dividir números en notación científica, cambie el número de notación científica a notación estándar. Luego suma, resta, multiplica o divide los números de notación estándar. Después del cálculo, cambie el número de notación estándar final nuevamente a notación científica. Álgebra El álgebra es la rama de las matemáticas que usa letras o símbolos para representar variables en fórmulas y ecuaciones. Por ejemplo, en la ecuación D = V × T, donde Distancia = Velocidad × Tiempo, las variables son: D, V y T. Ecuaciones Las ecuaciones algebraicas se usan con frecuencia en la aviación para mostrar la relación entre dos o más variables. Las ecuaciones normalmente tienen un signo igual (=) en la expresión. Ejemplo: la fórmula A = π × r2 En la expresión. Ejemplo: La fórmula A = π × r2 muestran la relación entre el área de un círculo (A) y la longitud de radio (r) del círculo. El área de un círculo es igual a π (3.1416) multiplicado por el radio al cuadrado. Por lo tanto, cuanto mayor es el radio, mayor es el área del círculo. Reglas algebraicas Al resolver una variable en una ecuación, puede sumar, restar, multiplicar o dividir los términos en la ecuación, usted hace lo mismo a ambos lados del signo de igualdad. Ejemplos: resuelva las siguientes ecuaciones para el valor N. 3N = 21 Para resolver N, divide ambos lados entre 3. 3N ÷ 3 = 21 ÷ 3 N=7 N + 17 = 59 Para resolver N, resta 17 de ambos lados. N + 17-17 = 59-17 N = 42 N - 22 = 100 Para resolver N, suma 22 a ambos lados. N - 22 + 22 = 100 + 22 N = 122 N/5 = 50 Para resolver N, multiplique ambos lados por 5. N/5 × 5 = 50 × 5 N = 250 Resolviendo ecuación de una variable Otra aplicación de álgebra es resolver una ecuación para una variable dada. Ejemplo: Usando la fórmula dada en la Figura 1-12, encuentre la capacitancia total (CT) del circuito en serie que contiene tres condensadores con C1= .1 microfaradios C2 = .015 microfaradios C3 = .05 microfaradios Primero, sustituya los valores dados en la fórmula: Figura 1-12. Capacitancia total en un circuito en serie. Por lo tanto, CT = 1 ⁄ 96.66 = .01034 microfaradios. El microfaradio (10-6 faradios) es una unidad de medida de capacitancia. Esto se discutirá en mayor detalle a partir de la página 10-51 en el capítulo 10, Electricidad. Uso de paréntesis En las ecuaciones algebraicas, los paréntesis se usan para agrupar números o símbolos. El uso de paréntesis nos ayuda a identificar el orden en que debemos aplicar las operaciones matemáticas. Las operaciones dentro de los paréntesis siempre se realizan primero en ecuaciones algebraicas. Ejemplo: Resuelve la ecuación algebraica N = (4 + 3)2. Primero, realice la operación dentro de los paréntesis. Es decir, 4 + 3 = 7. Luego complete el cálculo del exponente N = (7)2 = 7 × 7 = 49. Cuando se usan ecuaciones más complejas, que pueden combinar varios términos y usar múltiples operaciones, agrupar los términos juntos ayuda a organizar la ecuación. Los paréntesis, (), se usan más comúnmente en la agrupación, pero también puede ver corchetes, []. Cuando un término o expresión está dentro de uno de estos símbolos de agrupación, significa que cualquier operación indicada para realizarse en el grupo se realiza a todo el término o expresión. Ejemplo: Resuelva la ecuación N = 2 × [(9 ÷ 3) + (4 + 3)2]. Comience con las operaciones dentro de los paréntesis (), luego realice las operaciones dentro de los corchetes []. N = 2 × [(9 ÷ 3) + (4 + 3)2] N = 2 × [3 + (7)2] Primero, complete las operaciones dentro de los paréntesis (). N = 2 × [3 + 49] N = 2 × [52] Segundo, complete las operaciones dentro de los corchetes []. N = 104 Orden de operación En álgebra, se han establecido reglas para el orden en que se evalúan las operaciones. Estas mismas reglas universalmente aceptadas también se usan al programar ecuaciones algebraicas en calculadoras. Al resolver la siguiente ecuación, el orden de operación se da a continuación: N = (62 - 54)2 + 62 - 4 + 3 × [8 + (10 ÷ 2)] + √25 + (42 × 2) ÷ 4 + 3/4. 1.- Paréntesis. Primero, haga todo entre paréntesis, (). A partir de los paréntesis más internos. Si la expresión tiene un conjunto de corchetes, [], trátelos exactamente como paréntesis. Si está trabajando con una fracción, trate la parte superior como si estuviera entre paréntesis y el denominador como si estuviera entre paréntesis, incluso si no se muestra ninguno. De la ecuación arriba, completar el cálculo entre paréntesis da lo siguiente: N = (8)2 + 62 - 4 + 3 × [8 + (5)] + √25 + (84) ÷ 4 + 3/4, Luego N = (8) 2 + 62 - 4 + 3 × [13] + √25 + 84 ÷ 4 + 3/4 2. Exponentes. Luego, elimine cualquier exponente. Trate las raíces (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.) como exponentes. Completar los exponentes y raíces en la ecuación da lo siguiente: N = 64 + 36 - 4 + 3 × 13 + 5 + 84 ÷ 4 + 3/4 3. Multiplicación y división. Evalúa todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. Multiplica y divide de izquierda a derecha en un solo paso. Un error común es usar dos pasos para esto (es decir, borrar todos los signos de multiplicación y luego borrar todos los signos de división), pero este no es el método correcto. Tratar las fracciones como división. Completar la multiplicación y división en la ecuación da lo siguiente: N = 64 + 36 - 4 + 39 + 5 + 21 + 3⁄4 4. Suma y resta. Evaluar las sumas y restas de izquierda a derecha. Al igual que arriba, la suma y la resta se calculan de izquierda a derecha en un solo paso. Completar la suma y la resta en la ecuación da lo siguiente: X = 161 + 3 ⁄ 4 Orden de operación para ecuaciones algebraicas 1. paréntesis 2. Exponentes 3. Multiplicación y división 4. Suma y resta Use el acrónimo PEMDAS para recordar el orden de operación en álgebra. PEMDAS es un acrónimo de paréntesis, exponentes, multiplicación, división, suma y resta. Sin embargo, recuerde siempre multiplicar / dividir o sumar / restar en un barrido de izquierda a derecha, no por separado. Área de cálculo de sólidos bidimensionales El área es una medida de la cantidad de superficie de un objeto. El área generalmente se expresa en unidades como pulgadas cuadradas o centímetros cuadrados para superficies pequeñas o en pies cuadrados o metros cuadrados para superficies más grandes. Rectángulo Un rectángulo es una figura de cuatro lados con lados opuestos de igual longitud y paralelos. [Figura 1-13] Todos los ángulos son ángulos rectos. Un ángulo recto es un ángulo de 90 °. El rectángulo es una forma muy familiar en mecánica. La fórmula para el área de un rectángulo es: Área = Largo × Ancho = L × W Ejemplo: un panel de piso de un avión tiene la forma de un rectángulo que tiene una longitud de 24 pulgadas y un ancho de 12 pulgadas. ¿Cuál es el área del panel expresada en pulgadas cuadradas? Primero, determine los valores conocidos y sustitúyalos en la fórmula. A = L × W = 24 pulgadas × 12 pulgadas = 288 pulgadas cuadradas Cuadrado Un cuadrado es una figura de cuatro lados con todos los lados de igual longitud y paralelos. [Figura 1-14] Todos los ángulos son ángulos rectos. La fórmula para el área de un cuadrado es: Área = Longitud × Ancho = L × W Dado que la longitud y el ancho de un cuadrado son el mismo valor, la fórmula para el área de un cuadrado también se puede escribir como: Área = Lado × Lado = S 2 Ejemplo: ¿Cuál es el área de una placa de acceso cuadrada cuyo lado mide 25 pulgadas? Primero, determine el valor conocido y sustitúyalo en la fórmula. A = L × W = 25 pulgadas × 25 pulgadas = 625 pulgadas cuadradas Triángulo Un triángulo es una figura de tres lados. La suma de los tres ángulos en un triángulo siempre es igual a 180 °. Los triángulos a menudo se clasifican por sus lados. Un triángulo equilátero tiene 3 lados de igual longitud. Un triángulo isósceles tiene 2 lados de igual longitud. Un triángulo escaleno tiene tres lados de diferente longitud. Los triángulos también se pueden clasificar por sus ángulos: un triángulo agudo tiene los tres ángulos inferiores a 90 °. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (un ángulo de 90 °). Un triángulo obtuso tiene un ángulo mayor de 90 °. Cada uno de estos tipos de triángulos se muestra en la Figura 1-15. La fórmula para el área de un triángulo es Área = 1⁄2 × (Base × Altura) = 1⁄2 × (B × H) Ejemplo: Encuentre el área del triángulo obtuso que se muestra en la Figura 1-16. Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula del área. A = 1⁄2 × (B × H) = 1⁄2 × (2'6 "× 3'2") Luego, convierta todas las dimensiones a pulgadas: 2'6 "= (2 × 12") + 6 "= (24 + 6) = 30 pulgadas 3'2 "= (3 × 12") + 2 "= (36 + 2) = 38 pulgadas Ahora, resuelva la fórmula para el valor desconocido: A = 1⁄2 × (30 pulgadas × 38 pulgadas) = 570 pulgadas cuadradas Paralelogramo Un paralelogramo es una figura de cuatro lados con dos pares de lados paralelos. [Figura 1-17] Los paralelogramos no necesariamente tienen cuatro ángulos rectos. La fórmula para el área de un paralelogramo es: Área = Longitud × Altura = L × H Trapecio Un trapecio es una figura de cuatro lados con un par de lados paralelos. [Figura 118] La fórmula para el área de un trapecio es: Área = 1⁄2 (Base1 + Base2) × Altura Ejemplo: ¿Cuál es el área de un trapecio en la Figura 1-19 cuyas bases son 14 pulgadas y 10 pulgadas, y cuya altura (o altitud) es de 6 pulgadas? Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula. Circulo Un círculo es una figura plana, cerrada y curva. [Figura 1-20] Cada punto en el círculo está a la misma distancia del centro del círculo. El diámetro es la distancia a través del círculo (a través del centro). El radio es la distancia desde el centro hasta el borde del círculo. El diámetro siempre es dos veces la longitud del radio. La circunferencia o distancia alrededor de un círculo es igual al diámetro multiplicado por π. Circunferencia = C = d π La fórmula para el área de un círculo es: Área = π × radio2 = π × r2 Ejemplo: El diámetro interior de un cilindro de motor de avión determinado es de 5 pulgadas. Encuentre el área de la sección transversal del cilindro. Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula: A = π × r2 El diámetro es de 5 pulgadas, por lo que el radio es de 2.5 pulgadas. (Diámetro = radio × 2) A = 3.1416 × (2.5 pulgadas)2 = 3.1416 × 6.25 pulgadas cuadradas = 19.635 pulgadas cuadradas Elipse Una elipse es una figura plana, curva y cerrada, y comúnmente se llama un óvalo. [Figura 1-21] En un motor radial, las varillas de articulación se conectan al cubo por medio de pasadores, que viajan en el patrón de una elipse (es decir, una trayectoria oblicua u elíptica). Área del ala Para describir la forma de un ala [Figura 1-23], se requieren varios términos. Para calcular el área del ala, será necesario conocer el significado de los términos "span" y "chord". La envergadura, S, es la longitud del ala desde la punta del ala hasta la otra punta del ala. El “chord” es el ancho promedio del ala desde el borde de ataque hasta el borde de salida. Si el ala es cónica, se debe conocer el ancho promedio, conocido como mean chord o cuerda media (C), para encontrar el área. La fórmula para calcular el área del ala es: Área de un ala = span × mean chord Ejemplo: Encuentre el área de un ala cónica cuyo envergadura es de 50 pies y cuya cuerda media es de “6’8”. Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula. A=S×C = 50 pies × 6 pies 8 pulgadas (Nota: 8 pulgadas = 8⁄12 pies = .67 pies) = 50 pies × 6.67 pies = 333.5 pies cuadrados Unidades de área Un pie cuadrado mide 1 pie por 1 pie. También mide 12 pulgadas por 12 pulgadas. Por lo tanto, un pie cuadrado también equivale a 144 pulgadas cuadradas (es decir, 12 × 12 = 144). Para convertir pies cuadrados a pulgadas cuadradas, multiplique por 144. Para convertir pulgadas cuadradas a pies cuadrados, divida por 144. Un yarda cuadrada mide 1 yarda por 1 yarda. También mide 3 pies por 3 pies. Por lo tanto, un metro cuadrado también equivale a 9 pies cuadrados (es decir, 3 × 3 = 9). Para convertir yardas cuadradas a pies cuadrados, multiplique por 9. Para convertir pies cuadrados a yardas cuadradas, divida por 9. Consulte la Figura 1-37, Hoja de Fórmulas Matemáticas Aplicadas, al final del capítulo para una comparación de diferentes unidades de área. Cálculo del volumen de sólidos tridimensionales Los sólidos tridimensionales tienen longitud, anchura y altura. Hay muchos sólidos tridimensionales, pero los más comunes son los sólidos rectangulares, cubos, cilindros, esferas y conos. El volumen es la cantidad de espacio dentro de un sólido. El volumen se expresa en unidades cúbicas. Pulgadas cúbicas o centímetros cúbicos se utilizan para espacios pequeños y pies cúbicos o metros cúbicos para espacios más grandes. Sólido rectangular Un sólido rectangular es un sólido tridimensional con seis lados en forma de rectángulo. [Figura 1-24] El volumen es el número de unidades cúbicas dentro del sólido rectangular. La fórmula para el volumen de un sólido rectangular es: Volumen = Longitud × Ancho × Altura = L × W × H En la Figura 1-24, el sólido rectangular mide 3 pies por 2 pies por 2 pies. El volumen del sólido en la Figura 1-24 es = 3 pies × 2 pies × 2 pies = 12 pies cúbicos. Ejemplo: Un compartimento de equipaje rectangular mide 5 pies y 6 pulgadas de largo, 3 pies y 4 pulgadas de ancho y 2 pies y 3 pulgadas de altura. ¿Cuántos pies cúbicos de equipaje tendrá? Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula. V=L×W×H = 5'6 "× 3'4" × 2'3 " = 5.5 pies × 3.33 pies × 2.25 pies = 41.25 pies cúbicos Cubo Un cubo es un sólido con seis lados cuadrados. [Figura 1-25] Un cubo es solo un tipo especial de sólido rectangular. Tiene la misma fórmula para el volumen que el sólido rectangular que es Volumen = Longitud × Ancho × Altura = L × W × H. Como todos los lados de un cubo son iguales, la fórmula del volumen para un cubo también se puede escribir como: Volumen = Lado × Lado × Lado = S3 Ejemplo: un cartón grande con forma de cubo contiene un envío de cajas más pequeñas dentro de él. Cada una de las cajas más pequeñas mide 1 pie × 1 pie × 1 pie. La medida del cartón grande es 3 pies × 3 pies × 3 pies. ¿Cuántas de las cajas más pequeñas hay en el cartón grande? Primero, sustituyo. Los valores conocidos en la fórmula. V = L × W × H = 3 pies × 3 pies × 3 pies = 27 pies cúbicos de volumen en el cartón grande. Dado que cada una de las cajas más pequeñas tiene un volumen de 1 pie cúbico, el cartón grande contendrá 27 cajas. Cilindro Un sólido que tiene la forma de una lata, o una longitud de tubería, o un barril se llama cilindro. [Figura 1-26] Los extremos de un cilindro son círculos idénticos. La fórmula para el volumen de un cilindro es: Volumen = π × radio2 × altura del cilindro = π r × H Una de las aplicaciones más importantes del volumen de un cilindro es encontrar el desplazamiento del pistón de un cilindro en un motor alternativo. El desplazamiento del pistón es el volumen total (en pulgadas cúbicas, centímetros cúbicos o litros) barrido por todos los pistones de un motor alternativo a medida que se mueven en una revolución del cigüeñal. La fórmula para el desplazamiento del pistón se da como: Desplazamiento del pistón = π × (diámetro dividido entre 2)2 × carrera × (# cilindros) El orificio de un motor es el diámetro interior del cilindro. La carrera del motor es la longitud que recorre el pistón dentro del cilindro. [Figura 1-27] Ejemplo: Encuentre el desplazamiento del pistón de un cilindro en un motor de avión de varios cilindros. El motor tiene un diámetro de cilindro de 5,5 pulgadas y una carrera de 5,4 pulgadas. Primero, sustituya los valores conocidos en la fórmula. V = π × r2 × h = (3.1416) × (5.5 ÷ 2)2 × (5.4) V = 23.758 × 5.4 = 128.29 pulgadas cúbicas El desplazamiento del pistón de un cilindro es de 128.29 pulgadas cúbicas. Para un motor de ocho cilindros, el desplazamiento total del motor sería: Desplazamiento total para 8 cilindros = 8 × 128.29 = 1026.32 pulgadas cúbicas de desplazamiento. Esfera Un sólido que tiene la forma de una pelota se llama esfera. [Figura 1-28] Una esfera tiene un diámetro constante. El radio (r) de una esfera es la mitad del diámetro (D). La fórmula para el volumen de una esfera se da como: V = 4⁄3 × π × radio3 = 4⁄3 × π × r3 o V = 1/6 x πD3 Ejemplo: un tanque de presión dentro del fuselaje de un avión de carga tiene la forma de una esfera con un diámetro de 34 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del tanque de presión? V = 4⁄3 × π × radio3 = 4⁄3 × (3.1416) × (34/2)3 = 1.33 × 3.1416 × 173 = 1.33 × 3.1416 × 4913 V = 20,528.125 pulgadas cúbicas Cono Un sólido con un círculo como base y con lados que se van estrechando gradualmente hasta un punto se llama cono. [Figura 1-29] La fórmula para el volumen de un cono se da como: V = 1⁄3 × π × radio2 × altura = 1⁄3 × π × r2 × H Unidades de volumen Como todos los volúmenes no se miden en las mismas unidades, es necesario conocer todas las unidades comunes de volumen y cómo se relacionan entre sí. Por ejemplo, el mecánico puede saber el volumen de un tanque en pies cúbicos o pulgadas cúbicas, pero cuando el tanque esté lleno de gasolina, estará interesado en cuántos galones contiene. Consulte la Figura 1-37, Hoja de Fórmula de Matemática Aplicada, al final del capítulo para una comparación de diferentes unidades de volumen. Calcular el área de superficie de sólidos tridimensionales El área de superficie de un sólido tridimensional es la suma de las áreas de las caras del sólido. El área de superficie es un concepto diferente del de volumen. Por ejemplo, el área de superficie es la cantidad de chapa metálica necesaria para construir un tanque de combustible rectangular, mientras que el volumen es la cantidad de combustible que el tanque puede contener. Sólido rectangular La fórmula para el área de superficie de un sólido rectangular [Figura 1-24] se da como: Área de superficie = 2 × [(ancho × largo) + (ancho × alto) + (largo × alto)] = 2 × [W × L) + (W × H) + (L × H)] Cubo La fórmula para el área de superficie de un cubo [Figura1-25] se da como: Área de superficie = 6 × (lado × lado) = 6 × S2 Ejemplo: ¿Cuál es el área de superficie de un cubo con una medida lateral de 8 pulgadas? Área de superficie = 6 × (lado × lado) = 6 × s2 = 6 × 82 = 6 × 64 = 384 pulgadas cuadradas Cilindro La fórmula para el área de superficie de un cilindro [Figura 1-26] se da como: Área de superficie = 2 × π × radio2 + π × diámetro × altura = 2 × π × r2 + π × D × H Esfera La fórmula para el área de superficie de una esfera [Figura 1-28] se da como: Área de superficie = 4 × π × radio2 = 4 × π × r2 Cono La fórmula para el área de superficie de un cono circular derecho [Figura 1-29] se da como: Área de superficie = π × radio × [radio + (radio2 + altura2) 1⁄2 = π × r × [r + (r2 + H2)1⁄2] La Figura 1-30 resume las fórmulas para calcular el volumen y el área de superficie de los sólidos tridimensionales. Funciones trigonométricas La trigonometría es el estudio de la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo. La palabra trigonometría proviene del griego trigonon, que significa tres ángulos, y metro, que significa medida. Triángulo rectángulo, lados y ángulos En la Figura 1-31, observe que cada ángulo está etiquetado con una letra mayúscula. Frente a cada ángulo hay un lado correspondiente, cada uno etiquetado con una letra minúscula. Este triángulo es un triángulo rectángulo porque el ángulo C es un ángulo de 90 °. El lado a es opuesto al ángulo A, y a veces se le conoce como el "lado opuesto". El lado b está al lado o adyacente al ángulo A y, por lo tanto, se le conoce como el "lado adyacente". El lado c siempre está enfrente del ángulo recto y se conoce como la "hipotenusa". Seno, coseno y tangente Las tres funciones trigonométricas principales y sus abreviaturas son: seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas tres funciones se pueden encontrar en la mayoría de las calculadoras científicas. Las tres funciones trigonométricas son en realidad proporciones que comparan dos de los lados del triángulo de la siguiente manera: Ejemplo: Encuentra el seno de un ángulo de 30 °. Método de la calculadora: Usando una calculadora, seleccione la función "sin", ingrese el número 30 y presione "enter". La calculadora debe mostrar la respuesta como 0.5. Esto significa que cuando el ángulo A es igual a 30°, entonces la relación del lado opuesto (a) a la hipotenusa (c) es igual a 0.5 a 1, entonces la hipotenusa es dos veces más larga que el lado opuesto para un ángulo de 30 °. Por lo tanto, sen 30 ° = 0.5. Método de tabla trigonométrica: Cuando use una tabla de trigonometría, encuentre 30 ° en la primera columna. Luego, encuentre el valor de sin 30 ° debajo de la segunda columna marcada como "seno" o "sin". El valor de sin 30 ° debe ser 0.5. Teorema de Pitágoras El teorema de Pitágoras lleva el nombre del antiguo matemático griego, Pitágoras (~ 500 a. C.). Este teorema se usa para encontrar el tercer lado de cualquier triángulo rectángulo cuando se conocen dos lados. El teorema de Pitágoras establece que a2 + b2 = c2. [Figura 1-32] Donde c = la hipotenusa de un triángulo rectángulo, a es un lado del triángulo y b es el otro lado del triángulo. Ejemplo: ¿Cuál es la longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo, dado que los otros lados son 7 pulgadas y 9 pulgadas? El lado más largo de un triángulo rectángulo es siempre el lado c, la hipotenusa. Usa el teorema de Pitágoras para resolver la longitud del lado c de la siguiente manera: a 2 + b 2 = c2 7 2 + 9 2 = c2 49 + 81 = c2 130 = c2 Si c2 = 130 entonces c = √130 = 11.4 pulgadas Por lo tanto, lado c = 11.4 pulgadas. Ejemplo: la puerta de carga que se abre en un avión militar es un rectángulo que mide 5 1⁄2 pies de alto por 7 pies de ancho. Una sección de placa de acero cuadrada de 8 pies de ancho por 8 pies de alto por 1 pulgada de espesor debe caber dentro del avión. ¿Puede la sección cuadrada de la placa de acero pasar a través de la puerta de carga? Es obvio que la placa de acero cuadrada no pasará horizontalmente a través de la puerta de carga. La placa de acero mide 8 pies de ancho y la puerta de carga tiene solo 7 pies de ancho. Sin embargo, si la placa de acero está inclinada en diagonal, ¿pasará por la abertura de la puerta de carga? La distancia diagonal a través de la abertura de la puerta de carga se puede calcular utilizando el Teorema de Pitágoras, donde "a" es la altura de la puerta de carga, "b" es el ancho de la puerta de carga y "c" es la distancia diagonal a través de la abertura de la puerta de carga. a 2 + b 2 = c2 (5.5 pies)2 + (7 pies)2=c2 30.25 + 49 = c2 79.25 = c2 c = 8.9 pies La distancia diagonal a través de la abertura de la puerta de carga es de 8.9 pies, por lo que la placa de acero cuadrada de 8 pies de ancho se colocará en diagonal a través de la abertura de la puerta de carga y dentro del avión. Sistemas de medida Sistema convencional (EE. UU. O inglés) Nuestro sistema de medición convencional (EE. UU. O inglés) es parte de nuestro patrimonio cultural desde los días en que las trece colonias estaban bajo el dominio británico. Comenzó como una colección de pesos y medidas anglosajones, romanos y normandos. Por ejemplo, la pulgada representa el ancho del pulgar y el pie es de la longitud del pie humano. La tradición sostiene que el rey Enrique I decretó que el patio debería ser la distancia desde la punta de la nariz hasta el final del pulgar. Desde la época medieval, las comisiones designadas por varios monarcas ingleses han reducido el caos de medición al establecer estándares específicos para algunas de las unidades más importantes. Algunas de las unidades de medida convencionales son: pulgadas, pies, yardas, millas, onzas, pintas, galones y libras. Debido a que el sistema convencional no se configuró sistemáticamente, contiene una colección aleatoria de conversiones. Por ejemplo, 1 milla = 5,280 pies y 1 pie = 12 pulgadas. Sistema métrico El sistema métrico, también conocido como el Sistema Internacional de Unidades (SI), es el lenguaje dominante de medición utilizado en la actualidad. Sus características de estandarización y decimales lo hacen ideal para trabajos de ingeniería y aviación. El sistema métrico fue concebido por primera vez por Gabriel Mouton, Vicario de la Iglesia de San Pablo en Lyon, Francia. El metro es la unidad de longitud en el sistema métrico, y es igual a una décima parte de la distancia desde el ecuador hasta el Polo Norte. El litro es la unidad de volumen y es igual a un decímetro cúbico. El gramo es la unidad de masa y es igual a un centímetro cúbico de agua. Todas las unidades métricas siguen un esquema de denominación consistente, que consiste en adjuntar un prefijo a la unidad. Por ejemplo, dado que kilo representa 1,000 un kilómetro equivale a 1,000 metros. Centi es el prefijo de la centésima parte, por lo que un metro equivale a cien centímetros. Milli es el prefijo de una milésima y un gramo equivale a mil miligramos. Consulte la Figura 1-33 para ver los nombres y definiciones de prefijos métricos. Sistemas de medida y conversiones Estados Unidos utiliza principalmente el sistema convencional (EE. UU. O inglés), aunque está integrando lentamente el sistema métrico (SI). En la década de 1970 se inició una recomendación para la transición al sistema métrico dentro de los diez años. Sin embargo, este movimiento perdió impulso, y Estados Unidos continúa utilizando ambos sistemas de medición. Por lo tanto, la información para convertir entre el sistema convencional (EE. UU. O inglés) y el sistema métrico (SI) se ha incluido en la Figura 1-37, Hoja de Fórmula de Matemática Aplicada, al final de este capítulo. Ejemplos de su uso son los siguientes: Para convertir pulgadas a milímetros, multiplique la cantidad de pulgadas por 25.4. Ejemplo: 20 pulgadas = 20 × 25.4 = 508 mm Para convertir onzas a gramos, multiplique la cantidad de onzas por 28.35. Ejemplo: 12 onzas = 12 × 28.35 = 340.2 gramos El sistema de números binarios El sistema de números binarios tiene solo dos dígitos: 0 y 1. El prefijo en la palabra "binario" es una raíz latina para la palabra "dos" y su uso se publicó por primera vez a finales de 1700. El uso del sistema de números binarios se basa en el hecho de que los interruptores o válvulas tienen dos estados: abierto o cerrado (encendido / apagado). Actualmente, uno de los usos principales del sistema de números binarios es en aplicaciones informáticas. La información se almacena como una serie de 0 y 1, formando cadenas de números binarios. Una computadora electrónica temprana, ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Calculator), fue construida en 1946 en la Universidad de Pennsylvania y contenía 17,000 tubos de vacío, junto con 70,000 resistencias, 10,000 capacitores, 1,500 relés, 6,000 interruptores manuales y 5 millones de uniones soldadas. Las computadoras obviamente han cambiado mucho desde entonces, pero todavía se basan en el mismo sistema de números binarios. El sistema de números binarios también es útil cuando se trabaja con electrónica digital porque las dos condiciones básicas de electricidad, encendido y apagado, se pueden representar mediante los dos dígitos del sistema de números binarios. Cuando el sistema está encendido, está representado por el dígito 1, y cuando está apagado, está representado por el dígito cero. Valores de posicion El sistema de números binarios es un sistema de base 2. Es decir, los valores de posición en el sistema de números binarios se basan en potencias de 2. Un sistema de números binarios de 8 bits se muestra en la Figura 1-34 en la página siguiente. Convertir números binarios en números decimales Para convertir un número binario en un número decimal, sume los valores de posición que tienen un 1 (los valores de posición que tienen un cero no contribuyen a la conversión del número decimal). Ejemplo: Convierta el número binario 10110011 en un número decimal. Usando la tabla de valor posicional que se muestra en la Figura 1-35, sume los valores posicionales de los '1s' en el número binario (ignore los valores posicionales con un cero en el número binario). El número binario 10110011 = 128 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 179 en el sistema de números decimales Conversión de números decimales a números binarios Para convertir un número decimal en un número binario, los valores de posición en el sistema binario se utilizan para crear una suma de números que sea igual al valor del número decimal que se está convirtiendo. Comience con el valor posicional binario más grande y reste del número decimal. Continúe este proceso hasta que se determinen todos los dígitos binarios. Ejemplo: Convierta el número decimal 233 en un número binario. Comience restando 128 (el valor posicional más grande del número binario de 8 bits) de 233. 233 - 128 = 105 Se coloca un "1" en el primer espacio de dígitos binarios: 1XXXXXXX. Continúe el proceso de restar los valores de posición de número binario: 105-64 = 41 Se coloca un "1" en el segundo espacio de dígitos binarios: 11XXXXXX. 41 - 32 = 9 Se coloca un "1" en el tercer espacio de dígitos binarios: 111XXXXX. Como 9 es menor que 16 (el siguiente valor posicional binario), se coloca un "0" en el cuarto espacio de dígitos binarios: 1110XXXX. 9-8=1 Se coloca un "1" en el quinto espacio de dígitos binarios: 11101XXX Como 1 es menor que 4 (el siguiente valor posicional binario), se coloca un 0 en el sexto espacio de dígitos binarios: 111010XX. Como 1 es menor que 2 (el siguiente valor posicional binario), se coloca un 0 en el séptimo espacio de dígitos binarios: 1110100X. 1-1=0 Se coloca un "1" en el octavo espacio de dígitos binarios: 11101001. El número decimal 233 es equivalente al número binario 11101001, como se muestra en la Figura 1-36. Las conversiones adicionales de números decimales a números binarios se muestran en la Figura 1-36.
