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Demostrar que los círculos de colores son arquimedianos
Para demostrarlo utilizaré mi propio grá…co y tan sólo demostraré que el círculo F1 es arquimediano.
Datos
AC = 2a; AB = 2a + 2b; AO1 = a; AO2 = 2a + b
O punto medio de AB y O0 punto medio de O1 O2
D1 = (O1 ) \ (O0 ) y D2 = (O2 ) \ (O0 )
W6 proyección ortogonal de D1 sobre AB
L proyección ortogonal de F1 sobre AB
a+b
0
Sea el 4O1 D1 O0 (es isósceles ) puesto que sus lados son O1 D1 = a; O0 D1 = a+b
2 y O1 O = 2
0
Vamos a calcular D1 W6 que es la altura del 4O
a su vértice D1
p 1 D1 O correspondiente
1
a+b
a+b
Primero calcularemos S4O1 D1 O0 = (s a+b
)
s(s
a)
donde
s
=
a
+
= a + 21 b
2
2
2 + 2
S4O1 D1 O0 =
Como S4O1 D1 O0 =
D1 W6 O1 O 0
2
1 p
a b (2a + b)
4
p
a b (2a + b)
2S4O1 D1 O0
D1 W6 =
=
O1 O0 1
a+b
El 4AD1 C es rectángulo en D1 ya que D1 2 (O1 ) y conocemos su hipotenusa AC = 2a y la altura D1 W6 correspondiente al
vértice D1 .Vamos a determinar AW6 y W6 C AD1 y D1 C .
Si AW6 = x (x > a) aplicando el teorema de la altura
(
(2a+b)a
a2 b (2a + b)
2
a+b
= x(2a x) () x =
D1 W6 = AW6 W6 C ,
ab
2
(a + b)
a+b < a no vale
Por lo que AW6 =
(2a + b) a
ab
y W6 C =
(radio círculo arquimediano)
a+b
a+b
Aplicando ahora el teorema del cateto en 4AD1 C obtenemos
s
s
(2a + b)
b
D1 C = 2a
AD1 = 2a
2 (a + b)
2(a + b)
H es el punto medio del segmento AD1 .Consideramos la homotecia de centro A y radio 12
Si aplicamos dicha homotecia a los triángulos 4AD1 C y 4AD1 W6 obtendremos los triángulos 4AHO1 y 4AHL respectivamente. Por lo que
s
s
1
2a + b
1
1
b
AH =
AD1 = a
; AO1 = AC = a; HO1 = D1 C = a
2
2 (a + b)
2
2
2(a + b)
p
1
a
(2a + b) a
1
ab
1
HL =
D1 W6 =
; LO1 = W6 C =
(2a + b) b; AL = AW6 =
2
2(a + b)
2
2(a + b)
2
2(a + b)
Resaltemos que el segmento LO1 es la mitad del radio arquimediano.
Consideramos 4O1 LE1 y 4O1 F 0 F1 rectángulos en L y F 0 respectivamente siendo F 0 la proyección ortogonal de F1 sobre
a
AB. 4O1 LE1 4O1 F 0 F1 siendo la razón de semejanza para pasar del primero al segundo a+b
.Por lo que
F 0 O1 =
q
F F1 = OF12
0
F 0 O12 =
a
ab
a
a2 b
LO=1
=
a+b
2(a + b) a + b
2(a + b)2
s
AF 0 = a
Y como F 0 O = AO
p
a (2a + b) (a + 2b) (3ab + 2a2 + 2b2 )
a4 b2
=
4(a + b)4
2(a + b)2
a2
Vamos a calcular F 0 O
a2 b
Al ser F 0 O1 = 2(a+b)
y como AF 0 = AO1
2
(1)
F 0 O1 por la relación (1)
a 3ab + 2a2 + 2b2
a2 b
=
2
2(a + b)2
2 (a + b)
(2)
AF 0 por (2) tendremos
F 0O = a + b
a 3ab + 2a2 + 2b2
2
2 (a + b)
=
b 4ab + 3a2 + 2b2
2
2 (a + b)
Si consideramos ahora 4F1 F 0 O rectángulo en F 0 por Pitágoras
q
a2 + ab + b2
OF1 = F 0 O2 + F 0 F12 = 1
a+b
(3)
Como OF1 + F1 G1 = OG1 = a + b …nalmente por (3) obtenemos que
F1 G 1 = a + b
a2 + ab + b2
ab
=
a+b
a+b
Lo que nos permite a…rmar que los círculos (F1 ) y (G1 ) son arquimedianos
0
Si ahora consideramos la homotecia de centro O1 y radio a+b
a y se la aplicamos al 4O1 F F1 obtendremos el O1 LE1 : Conocido
este punto E1 trazando por él una paralela al segmento AB y escogiendo un punto H1 en dicha paralela tal que D(E1 ; H1 ) =
ab
2D(L; O1 ) = a+b
es obvio que los circulos (E1 ) y (H1 ) son arquimedianos
Los círculos (H2 ) y (E2 ) son arquimedianos ya que son simétricos de (E1 ) y (H1 ) con respecto a la recta perpendicular a AB
que pasa por O0
Los otros círculos (F2 ) y (G2 ) también son arquimedianos y se pueden obtener a partir de (H2 ) y (E2 ) como se ve en el dibujo
2
2
2
1 b (4ab+3a +2b )
4(a+b)4
2
+
a2 (2a+b)(a+2b)(3ab+2a2 +2b2 )
4(a+b)4
=
(a2 +ab+b2 )2
(a+b)2
2