2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ) 1.- OBJETIVOS Estudiar el comportamiento del tubo de rayos catódicos filiformes. Determinar la relación la carga especifica del electrón (e/mo) Determinar qué clase de partícula emite un filamento al calentarse midiendo su relación carga-masa. 2.- FUNDAMENTO TEÓRICO El montaje experimental según el cual se producen campos magnéticos homogéneos según (Helmholtz - Guagain), se caracteriza por el hecho de que a través de dos conductores separados circulares del mismo radio, cuyos centros se encuentran sobre un eje común a una distancia igual a su radio, pasa la misma corriente. Es posible mantener pequeñas las fluctuaciones en la homogeneidad, si en lugar de conductores circulares separados, se usan bobinas con una sección transversal mejor, y se consideran ciertas condiciones respecto a la sección transversal de las bobinas, siendo la distancia entre los centros de las bobinas idénticas al radio medio de ellas. La densidad del flujo magnético B en el interior de tal sistema de bobinas de Helmholtz podrá ser calculada partiendo del radio R, de la intensidad de corriente I en las bobinas y de la separación a de las mismas, como: 𝟑 − 𝒂 𝟐 𝟐 𝑩 = 𝝁𝟎 𝑰𝑹𝟐 [(𝑹𝟐 + (𝒛 − 𝟐) ) 𝟑 − 𝒂 𝟐 𝟐 + (𝑹𝟐 + (𝒛 + 𝟐) ) ] (A) Donde: Para el caso en el cual a = R y consideramos que cada bobina posee un numero n de vueltas el campo se puede calcular en la forma simplificada 3 4 2 𝑛𝐼 𝐵 = ( ) 𝜇0 5 𝑅 (𝐵) Para las bobina utilizadas en este experimento R = 0,2m y n = 154 espiras MOVIMIENTO DE LAS PARTICULAS EN EL CAMPO MAGNETICO ⃗ 0, su ⃗ a una región de campo magnético uniforme 𝐵 Cuando un electrón ingresa con una velocidad 𝒗 trayectoria es desviada drásticamente formando una espiral alrededor de las líneas de campo magnético. 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda Para observar este fenómeno se va simplificar centrando el estudio de la trayectoria del electrón cuando ⃗ 0. 𝑣 es perpendicular a 𝐵 Usando la segunda ley de Newton y teniendo en consideración que la fuerza del peso del electrón es despreciable y que no hay ningún tipo de fricción, la única fuerza a considerar es la Fuerza de Lorentz magnética 𝐹𝑚 , porque la fuerza componente eléctrica solo actúa para darle una velocidad inicial 𝑣0 . La segunda ley de Newton se reduce ⃗0 ∑ 𝐹𝑖 = 𝐹𝑚 = −𝑒𝑣 × 𝐵 (1) ⃗ 0 = 𝐵0 𝑘̂ y la velocidad inicial 𝑣0 = 𝑣0 𝑗̂ y la posición inicial 𝑟0 = 𝑅𝑖̂ en Por comodidad se tomará que 𝐵 el instante cuando 𝑡0 = 0. Desarrollando explícitamente el segundo miembro de la ecuación (1) 𝑖̂ ⃗ 0 = |𝑣𝑥 𝑣×𝐵 0 𝑘̂ 𝑣𝑧 | = 𝑖̂[𝑣𝑦 𝐵0 − 0] − 𝑗̂[𝑣𝑥 𝐵0 − 0] + 𝑘̂[0 − 0] = 𝑖̂𝑣𝑦 𝐵0 − 𝑗̂𝑣𝑥 𝐵0 𝐵0 𝑗̂ 𝑣𝑦 0 Igualando componentes de esta última ecuación con las componentes de 𝐹𝑚 𝐹𝑥 = 𝑚 𝑑𝑣𝑥 𝐹𝑦 = 𝑚 = −𝑒𝐵0 𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 = 𝑒𝐵0 𝑣𝑥 . (2) Despejando 𝑣𝑦 de la primera ecuación de (2) y derivándola luego con respecto al tiempo e igualando con la segunda ecuación, da 𝑚 𝑑𝑣𝑥 𝑣𝑦 = − 𝑒𝐵 0 𝑚 𝑑2 𝑣𝑥 −𝑚 𝑒𝐵 0 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 , ⇒ = 𝑒𝐵0 𝑣𝑥 ⇒ 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑑2 𝑣𝑥 𝑑𝑡 2 𝑚 𝑑2 𝑣𝑥 = − 𝑒𝐵 0 + 𝑒 2 𝐵02 𝑚2 𝑑𝑡 2 ,(3) 𝑣𝑥 = 0, (4) La solución de la ecuación diferencial de la ecuación (4) 𝑣𝑥 = 𝐴𝑒 𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 + 𝐵𝑒 −𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 . (5) De la manera similar para 𝑣𝑦 , tomando la primera ecuación de (3) y reemplazando la derivada con respecto al tiempo de la ecua. (4) 𝑚 𝑣𝑦 = − 𝑒𝐵 [𝐴𝑖(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑒 𝑖(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡 − 𝐵𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑒 −𝑖(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡 ], 0 ordenando se obtiene 𝑣𝑦 = −𝐴𝑖𝑒 𝑖(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡 + 𝐵𝑖𝑒 −𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 . Aplicando las condiciones iniciales (𝑡0 = 0) (6) 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda 𝑣𝑥 (𝑜) = 𝐴 + 𝐵 = 0 𝑣𝑦 (𝑜) = −𝐴𝑖 + 𝐵𝑖 = 𝑣0 se concluye que: 𝐵 = −𝐴 𝑣 𝐴 = − 2𝑖0 , ⇒ 𝐵= 𝑣0 2𝑖 , (7) usando el resultado (7) en las ecuaciones (5) y (6), se tiene 𝑣 𝑣 𝑣𝑥 = − 2𝑖0 𝑒 𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 + 2𝑖0 𝑒 −𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 𝑣𝑦 = 𝑣0 2𝑖 ⇒ 𝑣𝑥 = −𝑣0 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡, 𝑣 𝑖𝑒 𝑖(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡 + 2𝑖0 𝑖𝑒 −𝑖(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 ⇒ 𝑣𝑦 = 𝑣0 𝑐𝑜𝑠(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡. (8) (9) Integrando las ecuaciones (8) y (9) para hallar la ecuación de la posición 𝑟. 𝑥 = ∫ −𝑣0 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡𝑑𝑡, 𝑚𝑣 𝑥 = 𝑒𝐵 0 𝑐𝑜𝑠(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 + 𝐶, 𝑦 = ∫ 𝑣0 𝑐𝑜𝑠(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡𝑑𝑡, ⇒ ⇒ 0 𝑚𝑣 𝑦 = 𝑒𝐵 0 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡 + 𝐾. 0 (10) (11) Por otro lado, la velocidad inicial 𝑣0 es producida por un campo eléctrico, cuya magnitud se puede calcular usando la relación del trabajo y la energía. El electrón es acelerado por una fuente de voltaje V, es una consideración razonable que la rapidez inicial 𝑣𝑖 = 0 y la energía potencial es constante 𝐸𝑝 = 𝐸0 , de esta relación 𝑊 = ∆𝐸𝑝 + ∆𝐸𝑐 ⇒ 𝑒𝑉 = 12𝑚(𝑣𝑓2 −𝑣𝑖2 ), 1 𝑒𝑉 = 2 𝑚𝑣0 2 ⇒ 2𝑒𝑉 𝑣0 = √ 𝑚 . (12) Si se analiza las ecuaciones (8) y (9), la magnitud de 𝑣 es constante 𝑣0 ; esto quiere decir que la fuerza resultante es la fuerza centrípeta𝐹𝑐 , cuya magnitud se puede evaluar de la ecua. (1), 𝐹𝑚 = 𝐹𝑐 = 𝑚 𝑣2 𝑅 = 𝑒𝑣𝐵0 𝑠𝑒𝑛90𝑜 𝑅 = 𝑚𝑣0 𝑒𝐵0 . (13) Aplicando las condiciones iniciales a las ecuas. (8) y (9) con el resultado hallado la ecua. (13) 𝑥(0) = 𝑚𝑣0 𝑒𝐵0 +𝐶 = 𝑚𝑣0 𝑒𝐵0 ⇒ 𝐶 = 0; 𝑦(0) = 𝑘 = 0, (14) de la aplicación de (14) las ecuaciones (10) y (11) se convierten 𝑥= 𝑚𝑣0 𝑒𝐵0 𝑐𝑜𝑠(𝑒𝐵0 ⁄𝑚)𝑡; 𝑦= 𝑚𝑣0 𝑒𝐵0 𝑠𝑒𝑛(𝑒𝐵0⁄𝑚)𝑡, (15) 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda dela (15) se concluye que la trayectoria del electrón es una circunferencia de radio R, el cual se puede medir (radio del halo circular de luz). Usando (12) en (13) para evaluar la carga específica 𝑒 𝑚 2𝑒𝑉 𝑚 √ = 𝑅𝐵0 ⇒ 𝒆 𝒎 𝟐𝑽 = (𝑹𝑩 (16) 𝟐 𝟎) Por lo que la relación carga masa de la partícula queda: 𝑒 2𝑉 = 2 2 𝑚 𝐵 𝑅 (𝐶) 3.- SISTEMA DE EXPERIMENTACION MATERIAL CARACTERISTICAS Tubo de rayos catódicos Filiforme Par de bobinas Helmholtz De diámetro 400 mm., n=154, Imax=5 A Fuente de alimentación De 0 a 600 V DC. Y 6,3 V AC Dos multímetros digitales De 0 – 1000 V DC. Fuente universal De 0-18 V DC, 5 A. Cables de conexión De varias longitudes 4.- MONTAJE DEL EXPERIMENTO Armar el equipo como se muestra en la fig.1 Fig. 1: Montaje experimental para determinar la carga específica del electrón 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda verificar en la parte posterior que las fuentes del equipo estén apagadas (verificar que esté apagado presionar “0”), y que tengan fuente de alimentación para 220 VAC, luego conectarlas a toma de corriente. poner las perillas de control de voltajes y corrientes de las fuentes al mínimo, girarlas todo a la izquierda. Verificar que la conexión entre bobinas sea en serie como esta mostrada en la fig.2 Fig. 2.- Diagrama de cableado de las bobinas Verificar las conexiones del tubo y la función de cada uno de los elementos del diagrama de la fig. 3 Fig. 3.- diagrama de cableado para el tubo de rayo electrónico filiforme 5.- EJECUCION DEL EXPERIMENTO 1. Encender los respectivos interruptores de las dos fuentes de alimentación que se encuentra en la parte posterior presionando “I” 2. Gire lentamente la perilla 0-50 VDC de la fuente del tubo ¿Qué observa? Confirmar las lecturas con el multímetro y compare los valores. 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda 3. Regrese a cero la perilla de 0-50 VDC y gire lentamente la otra perilla 0-300 VCD del tubo ¿Qué observa? Confirmar las lecturas con el multímetro y compare los valores. 4. Variar el voltaje en la perilla de 0-300 VCD de 50 V en 50 V hasta 250 V como máximo, luego girar lentamente la perilla de 0-50 V, cada 10 voltios, observe ¿Qué ocurre con el haz de electrones? 5. Fijar la perilla de 0-50 VDC en 50 V, y gire la perilla 0-300 VCD y fijar cuando su multímetro registre los datos ,dados en la tabla adjunta , luego gire lentamente y con cuidado las perillas de control de la fuente de las bobinas, hasta que se forme el halo luminoso como se muestra en la fig. 2). Fig. 2: trayectoria del haz de electrones que atraviesa en un campo eléctricomagnetico. 6. gire el eje axial del tubo ¿qué pasa con el halo? 7. invierta la polaridad de la fuente que alimenta las bobinas ¿Qué sucede con halo? ¿su dirección es opuesta? 8. Para comenzar a realizar las medidas, debe tratar de que el halo de luz sea circular y pase por cada uno varillas de medida que están dentro de la ampolla. La señal más luminosa dada por el haz de electrones en las varillas debe tomarse como la medida óptima. 9. Complete la tabla fijando los valores de los radios r (los cuales se medirán tomando la mitad de la distancia entre la punta del cono por donde sale el halo y la varilla que es iluminada por el), tomando las lecturas de la corriente I que pasa por las bobinas para los respectivos voltajes U dados en la tabla, donde debe considerar las condiciones convenidas en el paso 8. 10. Considere las lecturas de U e I que registran los multímetros. 11. Colocar el voltaje en 100 V y ajustar la corriente hasta que el radio coincida con la marca R= 2 cm y registre su dato en la tabla 2, ajuste la corriente hasta que su radio coincida con la marca R = 3 cm, registre su dato en la tabla 2, repita el procedimiento para varios radios. 12. Realizar el procedimiento anterior para las diferencias de potencial descritas en la tabla 2 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda 6.- OBTENCION DE DATOS TABLA 2 R = 0.02 m V (V) R = 0.03 m R = 0.04 m R= 0.05 m 𝐴𝑠 I( 𝑒⁄𝑚 (1011 𝐴𝑠U(V I(A 𝑒⁄𝑚 (1011 𝐴𝑠U(V I(A) 𝑒⁄𝑚 (1011 𝐴𝑠 U(V ) ) ) I(A) 𝑒⁄𝑚 (1011 𝑘𝑔) 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑘𝑔 A) ) ) ) ) 100 150 200 250 300 7.- PROCESAMIENTO DE DATOS 1. Para el cálculo del valor de la relación carga – masa de la tabla 1, se debe utilizar la ecuación (C), y el campo magnético calculado por la ecuación (B), de la tabla 3, para R=0,2 m, N=154 espiras. 2. Halle el valor del campo B reemplazando el valor de la corriente I de la tabla en la ecua. (B), considere N=154 y R=0.2 m. Tabla 3 V(V) R = 0.02 m R = 0.03 m R = 0.04 m R= 0.05 m B B B B 100 150 200 250 300 3. Obtenga los valores de 𝐵2 𝑅 2 2 y llene la tabla 4 2018 - CARGA ESPECÍFICA DEL ELECTRÓN (e/mo ), M.Sc. Ing. Carlos Raul Chura Miranda Tabla 4 V(V) R = 0.02 m R = 0.03 m R = 0.04 m 𝐵2𝑅2 2 𝐵2𝑅2 2 𝐵2𝑅2 2 R= 0.05 m 𝐵2𝑅2 2 100 150 200 250 300 4. 𝐵2 𝑅2 2 Realizar una gráfica por cada uno de los radios de V Vs y obtenga la pendiente 8.- CONCLUSIONES 9.- CUESTIONARIO 1.- Por que se utilizan bobinas Helmholtz, ¿Porque la conexión de las bobinas debe ser en serie?. 2.- A que partícula corresponde la relación carga-masa 3.- con qué finalidad se calcula el término 𝐵2 𝑅2 2 4.- ¿Por qué cree que no se observa nada cuando ejecuta el paso 2? 5.- que significado físico tiene la pendiente de las gráficas obtenidas 6.- Deducir la ecuación (A) 7.- En caso de tener una trayectoria helicoidal como haría para obtener el Angulo entre el campo y la velocidad de las partículas. 10.- BIBLIOGRAFIA
