analisis-I

1 DE LA LOGICA MATEMATICA 1.1 ENUNCIADO Una caracterı́stica de la Matemática es que la mayorı́a de sus resultados son conclusiones que se obtienen como deduciones lógicas impecables de relativamente pocos supuestos y por lo tanto indiscutibles. Para no Matemáticos puede parecer extraño que los resultados ası́ obtenidos, siempre y cuando los supuestos satisfagan a la praxis, describen también correctamente a la realidad objetiva. Esto se debe a que el pensar lógico del hombre refleja correctamente las relaciones objetivas realmente existentes entre objetos o cosas. Def.- Se entiende por enunciado a una forma hablada, escrita o gráfica bien determinada, que refleja o comunica un estado, una situación, hecho o conducta de los objetos del mundo real o de las cosas ideadas, cuya caracterı́stica esencial es que siempre se puede decidir que es o verdero o falso. El enunciado refleja el estado, la situación o el hecho exactament en todos sus puntos tal como es, entonces es verdadero, caso contrario es falso. En todos los campos de la realidad objetiva existen relaciones que se describen matememáticamente mediante enunciados. De estos se deducen otros enunciados, las conclusiones, que también describen relaciones de esa realidad. Nota 1.- El concepto enunciado se dice en francés, enounce, en inglés, statement y en alemán, Aussage. En español, inadecuadamente a veces se dice proposición por enunciado. Ejemplos.1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) César Vallejo es poeta peruano. El problema de los cuatro colores es soluble. Seis es numero primo. Hay hombres infalibles? Llueve. El profesor miente siempre. F = ma. 2H + O → H2 O. Simbolicamente podemos escribir una letra por un enunciado; por ejemplo, el enunciado A. Enunciados concretos se represetan por las primeras letras del alfabeto. 1 La Lógica que estamos tratando es biveritacional, e. d., de dos valores: verdadero = v = 1 y falso = f = 0. En sı́mbolos   1, si A es verdadero v(A) = |A| =  0, si A es falso Nota 2.- Hay Lógicas de varios valores, como la Lógica Difusa(Fuzzy Logic). 1.1.1 Operaciones con Enunciados Dado un enunciado A o dos, A y B, mediante una operación ”◦” se puede obtener un tercer enunciado C := A ◦ B. 1. Negación es el enunciado C que se obtiene al aplicar al enunciado A el operador ◦ = ¬ =: no, es decir, C = ¬A y se lee ”C es igual a no A”. ¬A es verdadero, si A es falso y es falso, si A es verdadero (ver Tab. 1). A 0 1 A B 1 1 1 0 0 1 0 0 ¬A 1 0 Tab. 1 A∧B 1 0 0 0 A∨B 1 1 1 0 Tab. 2 Ejercicio.- Dado el enunciado ”La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o ”. De los siguients enunciados determine cual de ellos es su negación: a) La suma de los ángulos interiores de un triángulo no es diferente a 180o . b) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es diferente a 180o . c) No es correcto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180o . 2. Conjunción es el enunciado C que se obtiene al operar los enunciados A y B mediante el operador ◦ = ∧ =: y, esto es, C = A ∧ B, se lee ”C = A y B” o simplemente ”A y B”. A ∧ B es exactamente verdadero, si A y B son verdaderos a la vez, en el resto de los casos es falso (ver Tab. 2). 2 3. Alternativa es el enunciado C que se obtiene al operar los enunciados A y B mediante el operador ◦ = ∨ =: o, es decir, C = A ∨ B y se lee ”C = A o B”, más breve, ”A o B”. A ∨ B es exactamente verdadero, si por lo menos uno de los enunciados es verdadero o ambos y falso en el resto de casos (ver Tab. 2). En Lógica ”o” no es excluyente. Ejemplos.- Dados los enunciados A = Dos es número primo (v), B = Seis es número primo (f ) y C = Siete es número primo (v), obtenemos los enunciados A ∧ B = Dos y seis son números primos. (f ) A ∨ B = Dos o seis es número primo. (v) A ∨ C = Dos o siete es número primo. (v) 4. Disjunción es el enunciado C que se obtiene al operar los enunciados A y B mediante el operador ◦ = ∨ =: o ... o, esto es, C = A ∨ B y se lee ”C = o A o B”, más breve ”o A o B”. A ∨ B es exactamente verdadero, si uno de los enunciados es verdadero y el otro falso; y falso en el resto de los casos. A B 1 1 1 0 0 1 0 0 A∨B 0 1 1 0 A B 1 1 1 0 0 1 0 0 Tab. 3 A =⇒ B 1 0 1 1 Tab.4 5. Implicación es el enunciado que se obtiene al operar A y B mediante el operador ◦ = =⇒, esto es, C = A =⇒ B y se lee ”si A, entonces B” o ”de A sigue B”. A =⇒ B es exactamente falso, si A es verdadero y B falso, y verdadero en el resto de los casos. Nota 1.- Aquı́ A se llama hipótesis y B tesis de la implicación. A se llama también premisa y B conlusión de la implicación. Nota 2.- Si A =⇒ B es verdadero, entonces se dice que A es condición suficiente para B y B condición necesaria para A. De estos enunciados son de interés aquellos donde A es verdadero. 3 ”A es una condición suficiente para B” significa que para la validez de B basta que se cumpla A o que la veracidad de A trae consigo a la veracidad de B o que A es requisito para B. ”B es condición necesaria para A” significa que B forzosamente tiene que cumplirse, para que se cumple A. De A = 7 < x =⇒ B = 6 < x podemos afirmar, basta que se cumpla A para que se cumpla B y B se cumple de todas maneras, si se cumple A. Nota 3.- La implicación se utiliza para describir relaciones de ”causa efecto”. A es la causa y B es la consecuencia condicionada por A (implicación material ). En general, la implicación puede operar a dos enunciados cualesquiera. Nota 4.- En la Ciencia, en especial en la Matemática los teoremas, los principios, los corolarios toman la forma de ”A =⇒ B”. En la investigación se conoce o A o B y se busca el enunciado desconocido y se intenta demostrar su veracidad. Nota 5.- La implicación es el marco metodológico para la conducción de la demostración matemática y por lo tanto de la investigación cientı́fica. Ejemplos.a) Dados los enunciados A = ”2 es un numéro entero” y B = ”2 es un número racional”. Luego tenemos ”A =⇒ B” = ”Si 2 es número entero, entonces 2 es número racional.” b) Sean dados A = ” − 1 = +1” y B = ”(−1)2 = (+1)2 ”. Luego obtenemos el enunciado verdadero A =⇒ B, aún siendo A falso. De una premisa verdadera nunca se concluye en un enunciado verdadero. 6. Equivalencia es el enunciado que se obtiene al operar A y B mediante el operador ” ⇐⇒ ”, esto es, ”C = A ⇐⇒ B” y se lee ”A si y sólo si B”, ”A exactamente entonces B”, más breve, ”A sss B”. A ⇐⇒ B es verdadero, si ambos enunciados son verdaderos o ambos falsos, y falso en los demás casos. 4 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A ⇐⇒ B 1 0 1 1 Tab. 5 Nota 1.- Si A ⇐⇒ B es verdadero, entonces se dice que que A es condición suficiente y necesaria para B y B es condición necesaria y suficiente para A. También se dice que A y B son lógicamente equivalentes o que de A sigue B y de B sigue A. Desde el punto de vista de la Lógica A y B no se distinguen, aunque puedan ser de naturaleza muy diferente. Ejemplo.- Sean A = El triángulo es equilatero. B = El triángulo es equiángulo. Luego construı́mos A ⇐⇒ B = El triángulo es exactamente equilatero, si es equiángulo. Nota 2.- Un enunciado puede formularse en diferentes formas. Ası́: A = El producto de 3 y 4 es 12, B = 3 × 4 = 12, C = 3 por 4 es 12, D = Si multiplicamos 3 con 4 obtenemos 12. En este caso podemos escribir: A = B = C = D, ya que A, B, C y D son el mismo enunciado, solo expresado de diferentes maneras. 1.2 LEY O PRINCIPIO EN LOGICA MATEMATICA Def.- Ley es un enunciado compuesto por dos o más enunciados, cuyo valor veritacional es siempre 1, e. d., verdadero, independiente del valor de sus componentes. Por lo general toma la forma de una equivalencia lógica. Ejemplos.1. A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A (Ley Commutativa) 2. A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A (Ley Commutativa) 3. A ∧ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∧ C (Ley Asociativa) 4. A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 5. A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (B ∨ C) (Ley Distributiva) (Ley Distributiva) 6. A ∨ ¬A (Ley del Tercio Excluı́do:= Un enunciado o es verdadero o es falso, una tercera posibilidad está excluı́da) 5 7. ¬(A ∧ ¬A) (Ley de los Contrario:= No existe ningún enunciado que sea simultaneamente verdadero y falso) 8. ¬(A ∨ B) ⇐⇒ (¬A ∧ ¬B) (1. Ley de Morgan) 9. ¬(A ∧ B) ⇐⇒ (¬A ∨ ¬B) (2. Ley de Morgan) 10. (A ⇒ B) ⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A) 1.3 (Ley de Contraposición) CUANTIFICADORES Def.- Una forma de enunciado es una proposición en la cual interviene por lo menos una variable, tal que se convierte en un enunciado al reemplazar la variable por una constante, e. d., al reeplazar a la variable por un objeto concreto. A un forma de enunciado se designa con A(x), donde x recorre un determinado ámbito. Nota 1.- Una forma de enunciado no tiene valor veritacional. Ejemplos.1. A(x) = x es número natural (x recorre el ámbito de los números naturales). ”A(121) = 121 es número natural”, ”A(π) = π es número natural” son dos enunciados, el primero verdadero y el segundo falso 2. Nabucco es una opera del compositor x. Se reemplaza x por Verdi, entonces se obtiene un enunciado verdadero. 3. x2 + 2x + 1 = 0. Para x = -1 se obtiene un enunciado verdadero y para x = 1, un falso 4. A(x, y) = x + y = 1. A(x, y) se convierte en enunciado verdadero para infintos muchos pares (x, y) de números, cuya suma es 1. Ejercicio.- Determine los x para los cuales ”x2 − x = 6” es verdadero. Una forma de enunciado se pueden obtener de una situación concreta: El problema de los cuatro colores |es soluble {z } | {z } Sujeto Predicado 6 x es soluble = A(x) (Forma de Enunciado) Ante una forma de enunciado surge la pregunta, para cuantos x de un determinado ámbito o campo, A(x) resulta ser un enunciado verdadero. Puede ser para todos, para algunos o para ninguno. Para precisar esta situación se tiene los cuantificadores ∀ y ∃. Def.- Se entiende por generalización lógica al enunciado ”Para todo x se cumple A(x)”, en sı́mbolos ”∀x : A(x)”. El operador ∀ se llama generalizador. El enunciado ∀x : A(x) es verdadero si A(.) se convierte en enunciado verdadero para todas y cada una de las x que recorre un determinado campo. Es falso, si A(x) es falso para una o varias x fijas o para todas del campo. ∀ x : A(x) todo x} se cumple A(x) = |Para {z {z } | ∀x A(x) (Generalizador) Ejemplos.1. Sea A(x) = ”2 es divisor de x” = ”2/x”. Si x recorre los números enteros pares, el enunciado ∀x : 2/x es verdadero. 2. ∀x : x2 > x. Este enunciado es falso, si x recorre los números reales. 3. ∀x > 1 : x2 > x. racionales. El enunciado es verdadero, si x recorre los números 4. ∀ x : x2 ≥ 0. Es verdadero, si x recorre los números reales. Def.- Se entiende por particularización lógica al enunciado ”Existe un x tal que se cumple A(x)”, en sı́mbolos ”∃x : A(x)”. El operador ∃ se llama particularizador. El enunciado ∃x : A(x) es verdadero, si existe por lo menos un x del campo fijado (puede existir más de uno), para el cual A(x) se convierte en un enunciado verdadero y es falso en los otros casos. Existe | {z un x} |para el cual{zcumple A(x)} = ∃ x A(x) (P articularizador) ∃x A(x) Ejemplos.7 1. Sea A(x) = ”x + 1 = 0”. Si x recorre los números reales, tenemos que el enunciado ”existe un número real x, para el cual se cumple x + 1 = 0” = ”∃x : A(x)” es verdadero ya que para x = -1, la forma de enunciado x + 1 = 0 se convierte en un enunciado verdadero. 2. ∃x : x2 + 1 = 0 es falso en los números reales, ya que no existe ningún número real con x2 + 1 = 0. 3. ∃x : x2 − 4 = 0 es verdadero, ya que existen -2 y +2 tal que se cumple x2 − 4 = 0. 4. ∃x : x2 < −1 es falso en los reales, pués no existe ningún real con x2 < −1. Nota 1.- Se ha fijado el campo donde x se mueve, entonces para la forma de enunciado A(x) se presenta uno de los tres casos: (1) A(x) se convierte en verdadero para cada x, (2) A(x) se convierte en verdadero para algunos x, pero no necesariamente para todos y (3) A(x) no se convierte en enunciado verdadero para ningún x. Nota 2.- ∀ x se lee también ”para cada x”, ”para cualquier x”. Asimismo ∃x se lee ”hay un x”, ”existe por lo menos un x”. Nota 3.- Además existen las siguientes precisiones: 1. ∃!x : A(x) = Existe exactamente un x para el cual A(x) es verdadero. 2. 6 ∃x : A(x) = No existe ningún x para el cual se cumpla A(x). Nota 4.- |∀ x A(x)| = 1 ⇐⇒ |A(x)| = 1 para todo x de un ámbito fijo. 1.4 DEMOSTRACIONES MATEMATICAS En Matemática partiendo de ciertas hipótesis se formulan tesis y luego se demuestran, los llamados teoremas y toman la forma A =⇒ B, donde A es la hipótesis o premisa y B la tesis o conclusión. Def.- Se entiende por demostración del enunciado B a una cadena de transformaciones ejecutadas en virtud de reglas logicamanete válidas, que partiendo de un enunciado verdadero A o suponiendolo verdadero se concluye en B. 8 Nota 1.- El esquema externo de la conducción de una demostración es hipótesis, tesis y demostración. La demostración viene a ser la comprobación de la veracidad de A =⇒ B , e. e., de la veracidad de B. A veces se formula primero la tesis y se busca la hipótesis. Los resultados cientı́ficos se expresan en enunciados, como tesis o hipótesis. Nota 2.- Llegar a una falsa conclusión partiendo de una premisa verdadera es falso. Para concluir en B hay varios procedimientos. Aquı́ veremos los tipos más utilizados en ejemplos. 1. Demostración Directa En la demostración directa se parte de un enunciado verdadero A y de ahı́ se concluye en el enunciado B. La conlusión B es también verdadera, ya que de una premisa verdadera sólo puede seguir un enunciado verdadero. Simbolicamente a una demostración directa se puede representar como A =⇒ A1 =⇒ A2 · · · =⇒ An =⇒ B, o también como A =⇒ A1 · · · =⇒ An =⇒ Bn ⇐⇒ · · · ⇐⇒ B1 ⇐⇒ B. Ejemplo de una Demostración Directa correcta Sean A = x ≥ 1, Demostrar y B = 6x + 3 ≥ 3x + 6. A = x ≥ 1 =⇒ A = 6x + 3 ≥ 3x + 6. Demostración: Ya que A es enunciado verdadero para x número real, de aquı́, al multiplicar ambos lados de la inecuación por 3, se obtiene 3x ≥ 3, luego, al añadir 3 a ambos lados, tenemos 3x + 3 ≥ 6 y finalmente, al agregar 3x a ambos lados, resulta 6x + 3 ≥ 3x + 6, que es lo que queı́amos obtener. Ejemplo de una Demostración Directa incorrecta Demostrar B= a+b √ ≥ ab. 2 9 Partiendo del enunciado verdadero A = (a − b)2 ≥ 0 para todo a, b ∈ R y mediante operaciones permitidas, como desarrollando el cuadrado, agregando 4ab y dividiendo entre 2 a ambos lados de la desigualdad, podemos concluir en B. A se cumple para dos números reales a y b cualquiera, pero B sólo para a ≥ 0 y b ≥ 0. Por eso, cuando no se puede concluir directamente de un enunciado verdadero en el enunciado que se desea demostrar, empleamos la demostración indirecta. 2. Demostración Indirecta La demostración indirecta más simple se inicia aceptando que la tesis o conclusión es falsa, e. d., ¬B es verdadero y partiendo de aquı́ se demuestra que ¬A es verdadero. Luego se tiene que A y ¬A son verdaderos a la vez. Por el Principio de los Contrarios sólo uno de ellos es verdadero. A, por ser hipótesis, es verdadero. Si se demostró que ¬A es verdadero, fue porque se partió de una hipótesis falsa ¬B, e. e., B es verdadero. En resumen, en vez de demostrar A =⇒ B, se demuestra ¬B =⇒ ¬A. Nota 3.- Los enunciados A =⇒ B y ¬B =⇒ ¬A son equivalentes. El segundo se llama contraposición del primero. Otra forma de demostración indirecta del teorema A =⇒ B consiste en que teniendo el enunciado verdadero C, se demuestra ¬B =⇒ ¬(A ∧ C), llegando a una contradicción con A o con C. Otras formas: A ∧ ¬B =⇒ ¬A, A ∧ ¬B =⇒ B, A ∧ ¬B =⇒ (C ∧ ¬C). Ejemplo.- Demostrar a, b reales con a ≥ 0, b ≥ 0 =⇒ a+b √ ≥ ab. 2 Demostración: Negando la tesis tenemos a+b √ < ab. 2 Aquı́ está permitido elevar al cuadrado ambos lados de la inecuación y ası́ 2 < ab. Si los multiplicamos con 4 resulta (a + b)2 < 4ab. obtenemos (a+b) 4 Desarrollando se tiene a2 + 2ab + b2 < 4ab. De aqui, al subtraer 4ab, sigue a2 − 2ab + b2 < 0. Finalmente factorizando se concluye en el enunciado √ falso (a − b)2 < 0. Por lo tanto a+b < ab es falso. Esto quiere decir, que 2 √ a+b ab es verdadero. 2 ≥ Ejercicio.- Demostrar que √ 2 es número irracional. 10 3. Demostración por Inducción Completa Esta demostración consiste: 1. Se demustra que el enunciado se cumple para un número natural inicial fijo no , 2. Se acepta que se cumple para un número natural k, 3. Luego se demuestra que se cumple para k + 1. Se concluye, que el enunciado se cumple para todos los números naturales a partir de no . Ejemplo.- Demostrar que 1 + 2 + ... + n = número natural. n(n + 1) se cumple para todo 2 1. Paso. Se demuestra que se cumple para k = 1. En efecto, 1 = = 1. 2. Paso. Se acepta que se cumple para k, e. d., 1 + 2 + ... + k = 1(1+1) 2 k(k+1) . 2 3. Paso. Se demuestra que se cumple para k + 1. Para eso partimos de la igualdad anterior y agregamos k + 1 a ambos lados y obtenemos 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) k(k + 1) + (k + 1) = 2 2 4. Demostración por Retorno Para demostrar B, mediante procedimientos permitidos, se deduce A y luego se demuestra A =⇒ B. Ejemplo.- Demostrar 6 > 1 √ 3−2 2 Para √ esto, a ambos lados de la desigualdad, primero √ los multiplicamos por 3 − 2 2, luego restamos 1, después agregamos 2 2 y finalmente elevamos al cuadrado y ası́ obtenemos 289 > 288. Ahora demostramos 289 > 288 = A =⇒ B = 6 > de regreso. Ejercicio.- Demostrar 11 1 √ 3−2 2 1) 3) 1 n3 − 5n + 1 < 3n3 + 2 2 √ 1+ √ 2+ √ 3 > (n > 0), 468 113 2) √ 2 2 < 3, 4) a b c ≤ + , 1+b 1+b 1+c a, b, c ≥ 0 ∧ a ≤ b + c. 5. Demostración por Casos En esta demostración se diferencian varios casos y se demuestran uno por uno. Ejemplo.- Demostrar x2 ≥ 0 para todo número real. Distinguimos los casos: 1. Caso. Para x > 0. En este caso multiplicamos a ambos lados de la desigualdad por x > 0 y obtenemos x2 > 0. 2. Caso. Para x = 0. De aquı́ sigue x2 = 0. 3. Caso. Para x < 0. Multiplicando ambos lados de la desigualdad por x < 0, y se tiene x2 > 0. De los 3 casos sigue la desigualdad que se desea demostrar. 6. Demostración con Contraejemplos En esta demostración se supone que el enunciado B siempre se cumple para cada ”juego” de individuos que recorren un ámbito. Luego se busca un ”juego” concreto de indiviuos para el cual no se cumple B. Se concluye que B es falso. Ejemplo.- Demostrar que no existen números naturales m, n, p y q, para los cuales se cumple m 3 n 3 p + = 6. q 12 Pero se encontraron los números 17, 21, 37 y 21 para los cuales se cumple 17 21 3 + 37 21 3 = 6. Por lo tanto el enunciado es falso. Con esto la demostración está concluı́da. Nota 1.- También podemos mencionar la demostración geométrica que se hace con ayuda de figuras y propiedades geométricas. Nota 2.- Con frecuencia aparecen en Matemática demostraciones de existencia y unicidad. Si se tiene un problema, surge las preguntas: ¿existe solución?, y si existen, ¿cuántas son?. Ejercicio.- Demostrar que 2(2 natural n. n ) 13 es número primo para todo número 2 DE LA TEORIA DE CONJUNTOS El creador de la Teorı́a de Conjuntos, George Cantor (1845 - 1918), dió la célebre definición: Entendemos por un conjunto a toda colección M de objetos bién definidos y bien diferenciados de nuestra intuición o de nuestro pensamiento, que denominaremos ”elemenetos de M ”, en un todo. 2.1 DEFINICION DE CONJUNTO Ahora, con los conocimientos que disponemos podemos precisar el concepto de conjunto M en la siguiente Def.- M := {x / P (x)}. Se lee ”M es igual por definición a {x/P (x)}” y significa que M es el conjunto de todos los x que tienen la propiedad P (.) y que recorren el ”universo”. Entiéndase por universo, donde están todas las cosas reales o ideadas. Si para un x concreto tomado del universo, P (x) es un enunciado verdadero, entonces x es elemento de M . En sı́mbolos x ∈ M. Nota 1.- x ∈ M ⇐⇒ v(P (x)) = 1. Nota 2.- x ∈ / M ⇐⇒ v(P (x)) = 0. Cuando se necesita construir un conjunto con elementos que no tienen una propiedad común, se define al conjunto M nombrando a todos y cada uno de sus elementos. Ası́, con los individuos caballo, satanás, triángulo y Π construı́mos el conjunto M : = {Caballo, Satanás, Triángulo, Π} Más breve, por extensionalidad, definimos a los conjuntos: M := {x1 , x2 , · · · , xn } N := {x1 , x2 , x3 , · · · } Nota 3.- Geometricamente a un conjunto M se representa por un cı́rculo o un rectángulo. También por una forma elı́ptica, en este caso se habla de los diagramas de Euler - Venn (ver Fig. 1). 14 Def. 2.- ∅ :⇔ { x /x ∈ / ∅ }. ∅ se llama conjunto vacı́o y es el conjunto que no tiene ningún elemento. F ig.1 F ig.2 Def. 3.- N ⊂ M :⇔ ∀ x : x ∈ N =⇒ x ∈ M . Se lee ”N subconjunto de M ”. Aquı́ todo elemento de N también lo es de M . Lo inverso no siempre se cumple (ver Fig.2). Nota 4.- Cuando se cumple N ⊂ M y existe uno o más elementos x con x ∈ M , pero x ∈ / N , entonces se habla de una inclusión propia. Caso contrario se habla simplemente de una inclusión y se escribe N ⊆ M . Nosotros no haremos distingos entre ambos signos. Ejemplo.- N = {1, −1}, M = {1, 0, -1}. Se tiene N ⊂ M . Ejercicio.- A ⊂ B ⇐⇒ x ∈ / B =⇒ x ∈ / A. Def. 4.- M = N :⇔ M ⊂ N ∧ N ⊂ M . Se dice ”M es igual a N ”, si todo elemento de M está en N y viciversa. Ejemplo.- N = {x/(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0}, Entonces N = M . 2.2 M = {−1, −2, −3}. OPERACIONES CON CONJUNTOS Dado uno o dos conjuntos podemos obtener un tercer conjunto mediante operadores. Las operaciones con conjuntos y sus reglas constituyen el Algebra de Conjuntos. 1. Complemento. Dado los conjuntos M y A con A ⊂ M , podemos obtener otro conjunto, donde están elementos de M , pero no de A. Al conjunto ası́ obtenido se llama complemento de A con respecto a M . En sı́mbolos CM A := {x / x ∈ M ∧ x ∈ / A} Es el conjunto de todos los x que están en M pero no en A (ver Fig. 1). F ig.1 F ig.2 Nota 1.- Si M es el universo, el complemento de A se designa con CA. 15 2. Intersección. Dados los conjuntos A y B, mediante la intersección obtenemos el conjunto A ∩ B := {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Se lee ”A intersecto con B”. La intersección de A y B es el conjunto de todos los x que pertenecen, a la vez, tanto a A como a B (ver Fig. 2). 3. Reunión. Dados dos conjuntos A y B, mediante el operador de reunión obtenemos el conjunto A ∪ B := {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} Se lee ”A reunido con B”. La reunión de A y B es el conjunto de elementos que están o en A o en B o en ambos (ver Fig.3). F ig.3 F ig.4 4. Diferencia. Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, mediante la diferencia obtenemos el conjunto A \ B := {x / x ∈ A ∧ x ∈ / B} Se lee el ”conjunto diferencia de A y B”. La diferencia de A y B es el conjunto de elementos de A que quedan cuando se retiran los elementos que pertenecen a A y a B (ver Fig.4). Ejemplo.- A = {k, a, r, l}, B = {u, r, s, e, l}. Luego A \ B = {k, a} y B \ A = {u, s, e}. 5. Diferencia Simétrica. Dados los conjuntos A y B mediante la diferencia simétrica obtenemos el conjunto A 4 B := (x ∈ A ∨ x ∈ B) Se lee ”el conjunto diferencia simétrica de A y B” y es el conjunto de los elementos que están o en A o en B, pero no en ambos a la vez (ver Fig. 5). Ejercicio 1.- Demostrar: A 4 B ⇐⇒ (A\B) ∪ (B\A). Ejercicio 2.- Demostrar: A 4 B ⇐⇒ (A ∪ B) \ (A ∩ B). Def.- Dos conjuntos A y B se dice que son disjuntos, si exactamente se cumple A ∩ B = ∅. Es decir, cuando no tienen ningún elemento común. 16 2.2.1 Propiedades de las Operaciones Todas las propiedades aquı́ enumeradas son demostrables y se dejan al estudiante como ejercicio. Dados sean los conjuntos cualesquiera A, B, C, el conjunto vacı́o, ∅ y el universo M. Se cumplen: 1. ∅ ⊂ A ∀A 2. A ⊂ A 3. A ⊂ B ∧ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C (Transitividad) 4. A ∪ A = A (Idempotencia ante la Reunión) 5. A ∩ A = A (Idempotencia ante la Intersección) 6. A ∪ ∅ = A 7. A ∩ ∅ = ∅ 8. A ∩ M = A 9. A ∪ M = M 10. A ∪ B = B ∪ A (Commutatividad) 11. A ∩ B = B ∩ A (Commutatividad) 12. C(A ∪ B) = CA ∩ CB (Ley de Morgan) 13. C(A ∩ B) = CA ∪ CB (Ley de Morgan) 14. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (Asociatividad) 17 15. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (Asociatividad) 16. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) (Distributividad) 17. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) (Distributividad) 18. A ⊂ B ⇐⇒ A ∪ B = B 19. A ∩ B = A ⇐⇒ A \ B = ∅ 2.3 SISTEMAS Y FAMILIAS Ahora, imaginemos que hemos construı́do todos los conjuntos posibles con individuos del mundo real o individuos ideados en primera instancia y lo hemos puesto en un otro universo M. Def-. S := {M ∈ M/ P (M )} ası́ definido se llama sistema. Nota 1.- A los sistemas también se les llama conjuntos de segundo tipo, son conjuntos de conjuntos. Nota 2.- Con esta construcción evitamos la paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no se contiene asi mismo. Def.- El conjunto potencia P(M ) del conjunto M se define P(M ) := {X/X ⊂ M }. Es el conjunto de todos los subconjuntos de M . Ejercicio.- Si M tiene n elementos =⇒ P(M ) tiene 2n elementos. Def.- El sistema (Ai∈I ) se llama familia de conjuntos. Los conjuntos Ai están emparentados por el ı́ndice i del conjunto ı́ndice I. Nota 3.- Si en un sistema se han definido dos operaciones, tal que al operar a cada dos conjuntos del sistema con cada una de ellas, se obtiene un conjunto también del sistema y cumplen las propiedades de asociatividad y distributividad, entonces se habla de un anillo de conjuntos y se designa con (S, ∩, ∪). (P(M ), ∪, ∩) es un anillo. 18 2.4 PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Def.- Sean a ∈ A y b ∈ B. Al conjunto { {a}, {a, b} } se llama par ordenado y se designa con (a, b). En sı́mbolos (a, b) := {{a}, {a, b}} . Esencial aquı́ es el orden, a es el primer componente del par y b, el segundo componente. Nota 1.- Por lo general es (a, b) 6= (b, a). Son iguales unicamente en el caso que a = b. Def.- Sean dados los conjuntos A y B, no necesariamente diferentes. Al conjunto A × B := {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B. Nota 2.- Si B = A, se tiene A2 := A × A Ejemplo.- Sean A = {a, b, c} y B = {x, y}, entonces A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}. Ejercicio.- (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d Ejercicio.- Nora tiene 3 faldas y 4 blusas. ¿Cuántas posibilidades tiene de vestirse cada vez diferente? Nota 2.- El concepto de paar ordenado se puede generalizar a triplo (a, b, c) := ((a, b), c), más general aún, a n-tuplo (a1 , a2 , · · · , an ) := ((a1 , a2 , · · · , an−1 ), an ). Y por lo tanto obtenemos el siguiente concepto de producto cartesiano A1 × A2 × · · · × An := {(a1 , a2 , ..., an ) / a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , ..., an ∈ An }. 19 2.5 CONJUNTOS ORDENADOS Def.- Sean dados los conjuntos A y B, no necesariamente diferentes. Una relación binaria R entre los elementos de A y de B es un subconjunto de A × B. En sı́mbolos R ⊂ A × B. Si a ∈ A está en relación R con b ∈ B, e. d., si (a, b) ∈ R, se escribe aRb. Nota 1.- Si R ⊂ A × A = A2 , se dice que en A se ha definido la relación binaria R. Ejemplo 1.- A sea el conjunto de seres humanos. En A tenemos la relación R := ”hermano de”. Def.- En el conjunto A se ha definido la relación R. Se dice que R es 1. reflexiva :⇔ ∀ a ∈ A : aRa, 2. no reflexiva :⇔ ∃ a ∈ A : ¬ aRa, 3. irreflexiva :⇔ ∀ a ∈ A : ¬ aRa, 4. simétrica :⇔ ∀ a, b ∈ A : aRb ⇒ bRa, 5. antisimétrica :⇔ ∀ a, b ∈ A : aRb ∧ bRa ⇒ a = b, 6. asimétrica :⇔ ∀ a, b ∈ A : aRb ∧ ¬ bRa, 7. transitiva :⇔ ∀ a, b, c ∈ A : aRb ∧ bRc ⇒ aRc. Def.- Sea R una relación dada en A. Entonces definimos: R es relación de equivalencia : ⇔ R es reflexiva, transitiva y simétrica. Aquı́, si R es una relación de equivalencia y se cumple aRb, entonces se dice que a y b son equivalentes. Nota 2.- Una relación de equivalencia en M , parte a este en subconjuntos disjuntos dos a dos, llamados clases. Def.- Dado un conjunto A y una relación R en A. R se llama orden parcial, si R es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva. En sı́mbolos R orden parcial :⇔ R ⊂ A2 ∧ R reflexiva ∧ R antisimetrica ∧ R transitiva. 20 Si R es un orden parcial y se cumple aRb, entonces se dice que a y b son comparables. En vez de orden parcial se habla también de semiorden. Si en A se ha definido un orden parcial, se dice que A es un conjunto parcialmente ordenado y se designa con (A, R). Ejemplo 2.- Sea S un sistema. Entonces R := ⊂ es un orden parcial en S. Ejemplo 3.- El Rı́o Amazonas con todos sus afluentes, considerando los lugares como sus elementos y la relación R := ”después de”, es un conjunto parcialmente ordenado. Def.- Sea dado un orden R en A. R se llama orden lineal o total, si para cada dos elementos a, b ∈ A se cumple por lo menos uno de los casos aRb o bRa, e. d., si dos elementos cualesquiera a, b ∈ A siempre son comparables mediante R. En sı́mbolos R es orden lineal :⇔ ∀ a, b ∈ A / aRb ∨ bRa. Nota 3.- Un conjunto A provisto del orden lineal R se llama conjunto linealmente ordenado o totalmente ordenado. Ejemplo 2.- La recta considerada como un conjunto de puntos dispuestos en una misma dirección y con una de las relaciones ”antes de” o ”después de” es un conunto linealmente ordenado. Nota 4.- En conjuntos ordenados podemos hablar de elementos máximos y elementos mı́nimos. 2.6 APLICACIONES Otro concepto básico estrechamente relacionado con el concepto de conjunto es el de aplicación. Def.- Sean M y N dos conjuntos. Una aplicación A desde M en N es una prescripción o regla, según la cual, a cada elemento x ∈ M se le subordina a lo más un único elemento y ∈ N . En sı́mbolos A: M −→ N ; x −→ y = A(x). y = A(x) se lee ”y es igual a A de x”. D(A) := {x ∈ M/ ∃y ∈ N : y = A(x)} se llama campo de definición de A. R(A) := {y ∈ N/∃x : y = A(x)} se llama rango de A. 21 x se llama variable independiente, y se llama variable dependiente de la aplicación A. Si es y = A(x), entonces y se llama la imagen de x bajo A y x, la preimagen de y bajo A. Una aplicación A está bién definida cuando se conocen la prescripción A y los conjuntos M y N , e. d., una aplicación está dada por el triplo (A, M , N ) =: A, donde M = R(A) y N = R(A). Nota 1.- Aplicación se dice en inglés map o mapping, en alemán Abbildung y en francés application. Nota 2.- Una aplicación también puede definirse como una relación A ⊂ M × N , donde cada x ∈ M interviene a lo más una vez como primer componente del par (x, y). Nota. 3- D(A) ⊂ M , R(A) ⊂ N . Nota 4.- Sean M 0 ⊂ M y N 0 ⊂ N . Luego A(M 0 ) := {y/ y = A(x) ∀ x ∈ M 0 } se llama conjunto imagen de M 0 bajo A; A−1 (N 0 ) := {x/ y = A(x) ∀ y ∈ N 0 } se llama conjunto preimagen de N 0 bajo A. Nota 5.- También tenemos las variantes de aplicaciones: A : M −→ N se llama aplicación de M en N :⇔ D(A) = M y R(A) ⊂ N , A: M −→ N se llama aplicación desde M sobre N :⇔ D(A) ⊂ M y R(A) = N . Nota 6.- Son de interés las aplicaciones de ... en ... y de ... sobre ... Ejercicio.- Dada A : M −→ N . Demostrar: y1 = A(x) ∧ y2 = A(x) =⇒ y1 = y2 . Def.- Sea A : M −→ N . El conjunto graf (A) := {(x, y)/ x ∈ M ∧ y = A(x) ∈ N } ⊂ M × N se llama grafo de la aplicación A. Def.- A : M −→ N se llama inyectiva :⇔ x 6= x0 =⇒ A(x) 6= A(x0 ). 22 A : M −→ N se llama sobreyectiva :⇔ A(M ) = N. A : M −→ N se llama biyectiva :⇔ A es inyectiva y sobreyectiva. También es muy usada la Def. A : M −→ N se llama inyectiva :⇔ A(x) = A(x0 ) =⇒ x = x0 . Ejemplo.- Sean M = {x / x es figura plana} y N = {y / y es una cantidad de metros cuadrados}. ¿Es posible que a cada figura se le asigne su área?. Si fuera ası́, entonces y = A(x) es el área de la figura x. Aquı́ se trata de una aplicación de M en N , que no es inyectiva (pueden haber figuras diferentes con la misma área), pero sobreyectiva, si existen figuras de todos los tamaños. Def.- Dadas las aplicaciones A de M en N y B de P en Q, ahora definamos: A se llama aplicación identidad :⇔ M = N ∧ x = A(x) ∀x ∈ M . Se designa con I = A. A se llama aplicación invertible :⇔ A biyectiva y por eso, para cada y ∈ N existe un x ∈ M con A(x) = y. La aplicación ası́ definida de N sobre M se llama aplicación inversa de A y se designa con A−1 . En sı́mbolos x = A−1 (y). A = B :⇔ M = P ∧ N = Q ∧ A(x) = B(x) ∀ x ∈ M. C = B ◦ A se llama composición de las aplicaciones A y B, si R(A) ⊂ P y se cumple C(x) = (B ◦ A)(x) := B(A(x)) = B(y) ∀x ∈ M, donde y = A(x). Nota 7.- Observe, el orden de sucesión, (B ◦ A)(x) significa que B se ejecuta después de A. Nota 8.- (A−1 ◦ A) = I = (A ◦ A−1 ). Nota 9.- También existen los conceptos de restricción y prolongación de una aplicación. Nota 10.- Apl (M, N ) = N M := {A / A: M de todas las aplicaciones de M en N . −→ N } es el conjunto Ejercicios.- Sean A: M −→ N y M 0 , M 00 ⊂ M . Demostrar 23 1. M 0 ⊂ M 00 =⇒ A(M 0 ) ⊂ M 00 , 2. A(M 0 ∪ M 00 ) = A(M 0 ) ∪ A(M 00 ), 3. A(M 0 ∩ M 00 ) ⊂ A(M 0 ) ∩ A(M 00 ). 2.7 CONJUNTOS IMPORTANTES Para hacer Matemática primero se fija un campo bién conocido, que viene a ser un conjunto, donde definimos operaciones, relaciones y procedimientos sujetos a ciertas reglas. Def.- N := {0, 1, 3, · · · , n, · · · } es el cojnunto de los números naturales. L. Kronecker dijo ”el conjunto de los números naturales es un regalo de Dios, todo lo demás en Matemática es obra humana ... ”. Pero G. Peano caracterizó a los naturales con cinco axiomas. 2.7.1 Los Axiomas de Peano 1. El cero es número natural. 2. Todo número natural posee un únivoco número natural como sucesor inmediato. 3. Todo número natural es es sucesor inmediato de a lo más un número natural. 4. El cero no es sucesor de ningún número natural. 5. De todos los conjuntos, que conteniendo al cero, contiene a n y a su sucesor n + 1, el conjunto de los números naturles es el má pequeño con relación a la inclusión. En sı́mbolos: Si 0 ∈ N y de n ∈ N sigue n+1 ∈ N , entonces N = N. De estos axiomas se pueden derivar todas las demás propiedades de los números naturales que se necesitan. (Principio de Inducción) El 5. Axioma es de transcendental importancia en la Matemática e Informática. Es la base para definiciones y demostraciones 24 inductivas o recursivas y las computadoras ejecutan sus operaciones consecutivamente. En el 5. Axioma se fundamenta la demostración por inducción completa. El modelo es: Si demostramos que una propiedad P (.) se cumple para un número natural no y al aceptar que se cumple para un n, demostramos que se cumple para n + 1; hemos demostrado que se cumple ∀ n ∈ N con n ≥ no .  P (no ) se demuestra  P (n) se acepta  P (n + 1) se demuestra =⇒ P (n) ∀ n ≥ no . En este Axioma se basan también las definiciones recursivas. Definición Recursiva. Se tiene que hacer una defición D(n) para todos los números naturales, entonces se procede de la siguiente manera: 1. Se define D(1), 2. Luego se define D(n + 1) bajo el supuesto que ya se ha definido D(n). Ası́ concluye la definición D(·) para todo n ∈ N. Ejemplo.- Definir recursivamente xn para todo n ∈ N (x ∈ R). (D(1)) (D(n + 1)) x1 xn+1 := := x xn · x. Además se acepta x0 := 1 (x ∈ R). Nota 1.- ∀ a, b ∈ N ∃ c ∈ N : c = a + b. En palabras: Para cada dos elementos a y b de N, siempre existe un c de N con c = a + b. c es la suma de a y b. Ejercicio 1.- Demostrar que (N, ≤) es ordenado, pero (N, <) no es ordenado. Ejercicio 2.- Para cada dos numeros naturales a y b, ¿existe un número natural x tal que se cumple a + x = b? Si existe, entonces x = b − a se llama la resta o diferencia de b y a. Def.- Z := {· · · , − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3, · · · } es el conjunto de los números enteros. Ejercicio 3.- ¿Para cada dos números enteros a y b, a 6= 0, existe un b se número entero x, tal que se cumple ax = b? Si existe, entonces x = a llama el cociente de b y a. Def.- Q := { p / p, q ∈ Z} es el conjunto de los números racionales. q 25 ¿Los números racionales bastan para las necesidades prácticas? ¿Se puede medir la diagonal de un triángulo rectágulo, cuyos lados miden √ 1 unidad? Por el Teorema de Pitágoras sabemos que d2 = 12 + 12 =⇒ d = 2. Ejercicio 4.- ¿Es Pero √ √ 2 número racional? La respuesta es no! 2 existe. Ası́ como este, existe otros. Def.- P := {x / x 6= p ; p, q ∈ Z} es el conjunto de los números irraq cionales. Def.- R := {Q ∪ P} es el conjunto de los números reales. Def.- El conjunto {x / p(x) = 0, p(x) es polinomio} se llama conjunto de los números algebráicos. El conjunto de los números no algebráicos se llama conjunto de los números trascendentes. Nota 2.- Entre R y la recta hay una biyección. A cada número real le corresponde un punto de la recta y viciversa. Ejercicio 5.- En R ¿la ecuación x2 + 1 = 0 tiene solución? Nota 3.- Para dar solución hay que ampliar los reales al introducir el número i tal que i2 := −1. i se llama la unidad imaginaria. La introducción de i demoró algo mas de 300 años, ahora se puede explicar eso en 3 minutos. Def.- C := { z/z = a + ib; a, b ∈ R} es el conjunto de los números complejos. Nota 4.- a = Re(z) es la parte real y b = Im(z) la parte imaginaria de z. Def.- El conjunto M se llama infinito enumerable :⇔ Existe una aplicación biunivoca A: N −→ M , e. e., N 3 n ←→ A(n) =: xn ∈ M , n = 1, 2, 3, · · · . Def.- El conjunto M se llama finito, si existe una aplicación biunı́voca entre M y a uno de los conjuntos {1, 2, 3, · · · , n}. Nota 4.- Se dice que M es enumerable, si es infinito o finito enumerable. Z y Q son enumerables, pero R no es enumerable. Nota 5.- Todo subconjunto de un conjunto enumerable es enumerable. La reunión enumerable de conjuntos enumerables es enumerable. Nota 6.- La cardinalidad o potenciabilidad de un conjunto viene a ser el número de elementos del conjunto. Dos conjuntos con la misma cardinalidad se 26 dicen que son equipotentes. La equipotencia es una relación de equivalencia. A la cardinalidad de N se designa con ℵo y a la de R con c. De alepo subcero ℵo y del continuum c se dice que son números transfinitos. Nota 7.- La cardinalidad de Q es ℵo y de (0, 1) es c. Def.- Un conjunto M es infinito, si existe una aplicación biunı́voca de M a un subconjunto propio de M. Ejemplo.- N es infinito, ya que existe una aplicación biunı́voca entre N y su subconjunto propio N = {2n / n ∈ N}: A : N −→ N con A(n) = 2n. Def.- A la aplicación biunı́voca π : {1, 2, · · · , n} −→ {1, 2, · · · , n} se llama permutación de 1, 2, · · · , n y se escribe (π(1), π(2), · · · , π(n)). Una permutación viene a ser un ordenamiento de un número determinado de individuos u objetos. Ejemplos.- (1, 2, 3 ) es la permutación identidad de 1, 2 y 3. Otras permutaciónes son (2, 3, 1), (3, 2, 1). Nota 8.- La pregunta inmediata es cuantas permutaciones u ordenamientos hay de 1, 2, · · · , n. Se denuestra inductivamente que el número de permutaciones es el producto 1 · 2 · · · n. Al cual se lo designa con n! := 1 · 2 · · · n y se llama n factorial. Este concepto juega un papel importante en la Estocástica (Probabilidades, Estadı́stica y afines). Nota 9.- Definiciones y demostraciones inductivas juegan un rol crucial tanto en Matemática como en Informática. Ası́ n! se define inductivamente en dos pasos: 1) 0! = 1, 2) n! = (n − 1)! · n, n = 0, 1, 2, · · · . 27 3 CALCULO DIFERENCIAL EN R 3.1 ESTRUCTURAS EN R R es el conjunto básico más importante de la Matemática. Por eso tenemos que conocer todas sus intimidades, bondades y rendimientos. Los resultados que obtengamos en R lo podemos generalizar a otros conjuntos. Su estudio es para iniciarse en la llamada ”Matemática Superior”, que es sofisticada y muy elaborada. 3.1.1 Estructuras Algebráicas En R se definen dos operaciones, adición y multiplicación, tal que a cada par de elementos a, b ∈ R se asigna exactamente un elemento, según la primera, a + b ∈ R, su suma; según la segunda, a · b = ab ∈ R, su producto. Para a, b, c ∈ R cumplen las propiedades: (A1) (b + c) = (a + b) + c (A2) ∃0 ∈ R con a + 0 = a frente a la adición. (Asociatividad). ∀a ∈ R. 0 se llama cero o elemento neutro (A3) ∀ a ∈ R ∃ b ∈ R con a + b = 0. b se llama el inverso aditivo de a y se designa con b := −a. (A3) a + b = b + a (Commutatividad). Nota 1.- (R, +) con (A1) - (A3) se llama grupo grupo aditivo o simplemente grupo. Si además se cumple (A4) se llama grupo commutativo o abeliano, en honor al matemático noruego Henrik Abel. (M1) (ab)c = a(bc) (Asociatividad). (M2) ∃ 1 ∈ R, 1 6= 0, con a.1 = a ∀ a ∈ R. 1 se llama uno o elemento neutro frente a la multiplicación, (M3) ∀ a ∈ R, a 6= 0, ∃b ∈ R con a.b = 1. b se llama inverso multiplicativo de a y se designa con b := a−1 . (M4) ab = ba (Commutatividad) Nota 2.- (R, ·) con (M1) - M(3) se llama grupo multiplicativo. Si además se cumple M(4) se llama grupo commutativo o abeliano. 28 (C) a(b + c) = ab + ac (Distributividad). (R, +, ·) con (A1) hasta (C) se llama cuerpo. Nota 3.- Ahora podemos definir 1. a − b := a + (−b) es la resta o deferencia de a menos b. 2. a := a · b−1 , b 3. an := |a · a{z· · · a} , (a ∈ R), n ∈ N) es la enésima potencia de a. (b 6= 0) es la división o cociente de a entre b. n veces 4. b = √ n a :⇔ bn = a. b es la enésima raı́z de a. Si n es par, a ≥ 0. 5. a = logb c :⇔ c = ba , c > 0, b > 0, b 6= 1. a es el logarı́tmo de b en base c. Nota 4.- Dados ai ∈ R, i = 1, 2, · · · , n, empleando la asociatividad y commutatividad definamos: n X ai := a1 + a2 + ... + an . 1. i=1 2. n Y ai := a1 · a2 · · · an . n=1 Ejercicios.- Demostrar 1. 0 y 1 son únicos. 2. a+x=b 3. a + (b + c) = (a + c) + b. 4. −(−a) = a y 5. a + a = a ⇐⇒ a = 0. 6. (a−1 )−1 = a y a−1 · b−1 = (ab)−1 , a, b 6= 0. 7. a · b = 0 =⇒ a = 0 ∨ b = 0. (No hay divisores nulos). 8. a · 0 = 0 ∀ a ∈ R. y ax = b, a 6= 0, tienen soluciones únicas. (−a) + (−b) = −(a + b). 29 3.1.2 Estructuras de Orden La relación ” ≤ ” en R es una relación de orden lineal o total, e. d., (R, ≤) es un conjunto linealmente o totalmente ordenado. Para a, b, c ∈ R cualesquiera se cumplen los axiomas o propiedades: 1. a ≤ a, (Reflexividad). 2. a ≤ b ∧ b ≤ a =⇒ a = b (Antisimetrı́a). 3. a ≤ b ∧ b ≤ c =⇒ a ≤ c (Transitividad). 4. a ≤ b ∨ b ≤ a Se cumplen también: • a ≤ b =⇒ a + c ≤ b + c (Monotonı́a de la suma). • a ≤ b ∧ c ≥ 0 =⇒ ac ≤ bc (Monotonı́a de la multiplicación). Nota 1.- (R, +, ·, ≤) se llama cuerpo ordenado. Nota 2.- C no es conjunto ordenado. Def.- a a :⇔ a 0} es el conjunto de los números reales positivos. a ∈ R+ se llama número positivo. R− := {x ∈ R/ x < 0} es el conjunto de los números reales negativos. a ∈ R− se llama número negativo. Nota 5.- El 0 no es ni positivo ni negativo. Nota 6.- Se acostumbra incluir al 0 en los positivos, por eso se dice, R+ es el conjunto de los reales no negataivos. Nota 7.- Se cumplen las propiedades: 30 1. 2. a ∈ R− =⇒ −a ∈ R+ . Para cada a ∈ R se cumple exactamente una de las tres relaciones a ∈ R+ , − a ∈ R+ , a = 0. 3. a, b ∈ R+ =⇒ a + b ∈ R+ . 4. a, b ∈ R+ =⇒ a · b ∈ R+ . 5. a ∈ R− , b ∈ R+ =⇒ a · b ∈ R− . Ejercicios.- Sean a, b, c, d ∈ R. Demsotrar: 1. a −b. 2. a 6= 0 =⇒ a2 > 0. En particular 1 > 0. 3. a > 0 =⇒ 4. a < b ∧ c ≤ d =⇒ a + c 0, a a < 0 =⇒ a < 1, b 1 < 0. a b > 1, a 1 1 > . a b a+b < b. 2 a2 + b2 . 2 31 3.1.3 Estructuras Topológicas Un rol muy importante en R juegan los intervalos y entornos. Def.- Sean a, b ∈ R con a < b. Entonces tenemos 1. [a, b] := {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} intervalo cerrado, 2. (a, b) := {x ∈ R/ a < x < b} intervalo abierto, 3. [a, b) := {x ∈ R / a ≤ x < b} intervalo semiabierto derecho y 4. (a, b] := {x ∈ R / a < x ≤ b} intervalo semiabierto izquierdo. Nota 1.- Podemos considerar a R como un intervalo abierto que se exitiende infinitamente hacia ambos lados. Este hecho se expresa ası́, R := (−∞, +∞). Para el concepto ∞ se dice infinito. En vez de +∞, se escribe ∞. Ahora tienen sentido los intervalos (−∞, a), (a, ∞). Nota 2.- Podemos ampliar al conjunto R al agregar −∞ y ∞ y obtenemos R := R ∪ {−∞, ∞}. Se cumplen ∞ + x = ∞; −∞ + x = −∞; ∞ · x = ∞, si x > 0; ∞ · x = −∞, si x < 0; ∞ + ∞ = ∞ · ∞ = ∞; −∞ + (−∞) = x x (−∞) · ∞ = −∞; = = 0. ∞ −∞ No están definidos ∞ − ∞ y 0 · ∞ . Def.- Al conjunto Eε (xo ) := {x ∈ R/ xo − ε < x < xo + ε, ε > 0} llamaremos ε-entorno de xo . Nota 3.- ε es un número real positivo cualquiera fijo, generalmente pequeño. Se dice que es el radio del entorno. Es evidente que xo ∈ Eε (xo ). El ε - entorno de xo es el intervalo (xo − ε, xo + ε). F ig. Def.- E(xo ) se llama entorno de xo :⇔ ∃ ε > 0 con Eε (xo ) ⊂ E(xo ). Nota 4.- A ⊂ R se llama conjunto abierto :⇔ ∀ x ∈ A ∃ Eε (x) ⊂ A. El sistema de todos los conjuntos abiertos en R se llama topologı́a en R y se designa con τ y se cumplen 32 1. ∅, R ∈ τ , 2. A1 , A2 , · · · ∈ τ =⇒ ∪i=1 Ai ∈ τ. 3. A1 , A2 ∈ τ =⇒ A1 ∩ A2 ∈ τ . Def.- Al conjunto R provisto de la topologı́a τ se llama espacio topológico y se designa con (R, τ ). Brevemente se dice el espacio topológico R. Nota 5.- El complemento de un conjunto abierto se llama conjunto cerrado. A continuación trataremos otros conceptos importantes en R. Def.- Sea a ∈ R. Se llama valor absoluto de a al número   a, si a ≥ 0, |a| :=  −a, si a < 0. El signo de a es sgn(a) :=   1, si 0, si  −1, si a > 0, a = 0, a < 0. Nota 6.- No es difı́cil demostrar que |a| = a · sgn(a), a = |a| · sgn(a), √ |a| = max{a, −a} y |a| = a2 . Teor.- Sean a, b, c ∈ R. Demostrar 1. a ≤ |a|; −a ≤ |a|. 2. |a| ≤ c ⇐⇒ −c ≤ a ≤ c. 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. | |a| − |b| | ≤ |a + b|. 5. (1 + h)n ≥ 1 + nh, h > −1, n ≥ 1 (Desigualdad Triangular). 33 (Desigualdad de Bernoulli). Dem.- Del 1. Por ser |a| = max{a, −a} sigue a ≤ |a| y −a ≤ |a|. Del 2. Ya que es a ≤ |a| ≤ c, es a ≤ c. Asimismo es −a ≤ |a| ≤ c, de donde obtenemos −a ≤ c y luego −c ≤ a. De ambas desigualdades sigue 2. Del 3. La idea clave es |a| = √ a2 . Luego tenemos (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 =⇒ p p (a + b)2 ≤ (|a| + |b|)2 = | |a| + |b| | = |a| + |b|. |a + b| = Del 4. Primero es a = a + b − b ⇒ |a| = |(a + b) + (−b)| ≤ |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a + b|. Luego tenemos b = b + a − a ⇒ |b| = |(a + b) + (−a)| ≤ |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| ⇒ − (|a| − |b|) ≤ |a + b|. De ambas desigualdades sigue 3. Del 5. Por inducción completa: Para n = 1, se cumple (1 + h)1 ≥ 1 + 1 · h. Aceptamos que para n = k se cumple (1 + h)k ≥ 1 + kh. Luego demostramos que también se cumple par n = k + 1. Si multiplicamos por 1 − h > 0 ambos lados de (1 + h)k ≥ 1 + kh, se tiene (1 + h)k+1 ≥ (1 + kh)(1 + h) = 1 + (k + 1)h + kh2 ≥ 1 + (k + 1)h, por ser kh2 ≥ 0. Por lo tanto se cumple 5. para todo n ≥ 1. Nota 6.- El Binomio de Newton tiene el desarrollo (a + b)n := an + n 1 an−1 b + · · · + n n-1 abn−1 + bn ; n donde los se llaman los coeficientes binomiales, que vienen a ser k el número de subconjuntos con k elementos de un conjunto de n elementos y siempre que sea k ≤ n, están definidos por: 1. 2. n 0 n k := 1 , := n(n - 1)(n - 2) · · · (n - k + 1) , 1 · 2 · 3 ··· k 34 k≤n. La fórmula del Binomio de Newton, llamado también el Teorema del Binomio, se demuestra por inducción. Por otro lado, si definimos k! := 1·2 · · · k, podemos demostrar 1. 2. n+1 k+1 n k = Ejemplo.- 49 6 = + n! k!(n - k)! = n k n k+1 = . n n-k . 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 = 13983816. 1·2·3·4·5·6 Ejercicios.- Haciendo uso de las demostraciones directas, indirectas, por inducción o por retorno y de las estructuras definidas, muestre la veracidad de los enunciados que siguen. Aquı́ son n, m ∈ N y a, b, c, x, y ∈ R. 1. 2n > n2 , 2. 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 , 3. 2 + 4 + 6 + 4. Demostrar que n3 − n es divisible entre 6 para cada n, 5. n X n = 2n , i · · · + 2(n − 1) + 2n = n(n − 1), i=0 6. 7. 8. √ 1 + √ 2 + √ 3 > 468 , 113 a, b, c ≥ 0 ∧ a ≤ b + c =⇒ n X i=1 xi = 1 − xn+1 , 1−x 35 a b c ≤ + , 1+a 1+b 1+c 9. a − b, 11. a, b ≥ 0, ∧ a n =⇒ xm < xn , 13. an − bn = (a − b) n X an−k bk−1 , i=a 14. 15. (1 + x)n > 1 + nx, x > 0, ∀ n > 1, √ n a·b = √ n a· √ n b, √ n √ n 16. 0 ≤ x < y ⇐⇒ 17. |a · b| = |a|.|b|, 18. |a| = | − a|, 19. |a| < ε, ∀ε > 0 ⇐⇒ a = 0, 20. |x − xo | < δ ⇐⇒ xo − δ < x < xo + δ, 21. |a − b| ≤ |a − c| + |b − c|, 22. v uY u n n t ai ≤ n X i+1 23. n X i=1 i=1 n x < y, ai , (λai + µbi ) = λ n X ai + µ i=1 n X i=1 36 bi , 24. n X k=1 ak ≤ n X |ak |, k=1 25. ai , bi ∈ R, ai > 0, bi > 0, i = 0, 1, · · · , n =⇒ min{ ao + · · · + an ao ab ≤ max{ , · · · , }. bo + · · · + bn bo bn 3.1.4 ao an ,··· , } ≤ bo bn Conjuntos Acotados en R Def.- Sea M ⊂ R. C se llama cota superior de M, si se cumple x ≤ C ∀x ∈ M . De M se dice que es acotado superiormente o por arriba. c se llama cota inferior de M , si se cumple c ≤ x ∀x ∈ M . De M se dice que es acotado inferiormente o por abajo. M se llama conjunto acotado, si es acotado tanto por arriba como por abajo, e. d., c ≤ x ≤ C ∀ x ∈ M . Nota 7.- Una definición práctica es la siguiente: M ⊂ R es acotado :⇔ ∃ K > 0 : |x| ≤ K ∀ x ∈ M. Nota 8.- Si C 0 > C, entonce C’ también es cota superior. De igual manera, sı́ c0 < c, c0 es también cota inferior. Ejemplos.- Son ejemplos de conjuntos acotados (0, 1); [a, b]; {10, 100, 10000}; {x ∈ R/x2 − 4 = 0}. No son conjuntos acotados [a, +∞); (−∞, b). Def.- s ∈ R se llama supremo del conjunto M ⊂ R, si es la cota superior más pequeña de M . En sı́mbolos : s = sup M :=    (i) x ≤ s ∀ x ∈ M , e. e., s es cota superior;   (ii) x ≤ s0 ∀ x ∈ M =⇒ s ≤ s0 .  i ∈ R se llama ı́nfimo de M , si es la cota inferior más grande de M . Se escribe i := inf M . 37 Ejemplos.- sup(a, b) = b; pero en el segundo a ∈ [a, b). inf[a, b) = a. En el primer caso es b 6∈ (a, b), Nota 9.- (Principio del Supremo). Todo conjunto no vacı́o M ⊂ R acotado por arriba posee un supremo. Todo conjunto ∅ = 6 M ⊂ R acotado por abajo posee un ı́nfimo. Nota 10.- El Principio del Supremo, el Principio de Encajes de Intervalos y la Cortadura de Dedekind son procedimientos equivalentes que sirven para definir uno número real, y por lo tanto, todos los números reales. Teor.- N no es acotado superiormente. Dem.- Aceptemos, N sea acotado por arriba. Entonces existe η = sup N y η − 1 ya no es cota superior de N. Por lo tanto existe un n ∈ N con η − 1 < n. De aguı́ sigue η < n + 1 ∈ N. Contradicción! a la definición de η. Nuestro supuesto es falso, e. d., N no es acotado. Def.- Si existiera un m ∈ M ⊂ R, tal que se cumple x ≤ m para todo x ∈ M , entonces m se llama el máximo de M y se designa con m := max M y es el elemento más grande de M . m0 ∈ M se llama el mı́nimo de M , si se cumple m0 ≤ x para todo x ∈ M , es el elemento más pequeño de M y se designa con m0 := min M . Ejemplos.- max[0, 1] = 1, min[0, 1] = 0. mı́ni- mo. (0, 1) no tiene ni máximo ni Nota 11.- Si s = sup M ∈ M , entonces es s = m = max M . Analogamente, si i = inf M ∈ M , entonces es i = m0 = min M . Nota 12.- Todo máximo es supremo de un conjunto. Lo inverso no siempre se cumple. Similarmente vale para el mı́nimo e ı́nfimo. Teor.- (Propiedad de Arquı́medes) Para cada dos números reales a y u > 0, existe un número natural n, tal que se cumple n · u > a. a Dem.- Fuese nu ≤ a ∀ n ∈ N, se tendrı́a n ≤ ∀ n ∈ N. Este resultado u es una contradicción al teorema anterior. Nota 13.- Ası́ con estas propiedades, R se llama un cuerpo arquimediano. 1 < a. Nota 14.- En particular, para cada a > 0, existe un natural n con n 1 O también, es a ≥ 0 y a ≤ ∀n ∈ N, n 6= 0, entonces a = 0. Estos enuncian dos son casos especiales de la Propiedad de Arquı́medes al hacer u = 1. 38 Nota 15.- La propiedad arquimediana se puede interpretar como la medición de la magnitud a con la unidad de medida u. Def.- Un algorı́tmo es un proceso secuencial de pasos bién definidos con las siguiente propiedades: 1. Consiste de un número finito de pasos. iniquivocable e inconfundible, Cada paso contiene un mando 2. Hay un paso univocamente determinado, que debe ejecutarse como primero. Después de cada paso se sabe, si el algorı́tmo ha terminado o cual es siguiente paso a ejecutarse, 3. Es ejecutable para cualquier valor o elemento de un dominio. Nota 16.- El enfoque algorı́tmico de los conceptos y procedimientos matemáticos es esencial para su tratamiento computacional. 3.2 FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL Función es un concepto central en la Matemática. La palabra función se debe a Gottfried Wilhem Leibniz (1646 - 1717) (Alemania) y Johann Bernoulli (1667 - 1748) (Suiza) lo difundió ampliamente. El concepto de función que tenı́an Bernoulli y su célebre alumno Leonarad Euler (1707 - 1783) a la fecha ha sufrido variaciones. Para ellos, función era dependencia regular dada por una expresión analı́tica, según la cual una magnitud variable y dependı́a de otra magnitud variable x. Joseph Fourier (1768 - 1830) (Francia) notó la estrechez de este concepto. P. G. Lejeune - Dirichlet (1805 - 1859) sentó las bases para la definición actual de función y su generalización al concepto de distribución. Def.- La aplicación f : M ⊂ R −→ R se llama función real de variable real. En sı́mbolos y = f (x). x es la variable independiente, y la variable dependiente de la función f . Nota 1.- Se dice función real porque f (x) ∈ R y variable real porque x ∈ R. Nota 2.- De x se dice que es preimagen de y bajo f y de y que es imagen de x bajo f . Def. Dada la función f : R −→ R. Entonces definamos: D(f ) := {x ∈ R/∃ y ∈ R con f (x) = y} (Campo de definición o dominio de f ), 39 R(f ) := {y ∈ R / ∃ x ∈ R con y = f (x)} (Rango de f ), graf(f ) := {(x, y) ∈ R2 / y = f (x), ∀ x ∈ D(f )} (Grafo de f ). Nota 2.- Diremos también curva para referirnos al grafo de una función. El concepto de curva tiene una definición mas precisa y general en Geometrı́a Diferencial. Ejemplos.- (a) Como función definamos la prescripción f : R −→ R con   1, si x es racional, f (x) =  0, si x es irracional. Esta función es conocida con el nombre de función de Dirichlet. (b) [·] : R −→ R, donde [x] es el número entero más grande con [x] ≤ x. (c) s : R −→ R con s(x) := [x] − x. Es la función serrucho. (d ) f1 (x) = x2 . (e) f2 (x) = x3 . (f ) f3 (x) = √ x. 1 (g) f4 (x) = 3 1−x . Los problemas que se presentan ahora son, responder a los interrogantes: • ¿D(f ) = M ?, • ¿f es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva? • ¿f es reversible?, ¿existe f −1 ? • ¿graf(f )? ¿R(f ) = f (M )? Def.- Dadas las funciones f : M ⊂ R −→ R de M en R y g : N ⊂ R −→ R de N en R, precisaremos los conceptos: R(f ) = {y/y = f (x), x ∈ M }. 1. D(f ) = M , 2. f es inyectiva :⇔ x 6= x0 =⇒ f (x) 6= f (x0 ), x, x0 ∈ M o también f (x) = f (x0 ) =⇒ x = x0 . 3. f es sobreyectiva :⇔ R(f ) = R. 40 4. f es biyectiva :⇔ f es inyectiva ∧ f es sobreyectiva. 5. f −1 es función inversa de f :⇔ f −1 : R(f ) −→ M con x = f −1 (y) para y = f (x). Entonces f se llama invertible. 6. f es función idéntica :⇔ R(f ) = M ∧ f (x) = x ∀ x ∈ M y se desgina con i := f . 7. f es constante :⇔ f (x) = c ∀ x ∈ M, c fijo. 8. f es función nula :⇔ f (x) = 0 ∀ x ∈ M y se designa con o := f . 9. f 6= o es perı́odica :⇔ f (x + λ) = f (x), λ es el perı́odo, si es el número más pequeño para el cual se cumple la igualdad. 10. f es función par :⇔ f (−x) = f (x) ∀ x ∈ M. 11. f es impar :⇔ f (−x) = −f (x). 12. f es lineal :⇔ f (x + y) = f (x) + f (y) ∧ f (λx) = λf (x); M; x, y ∈ λ ∈ R. 13. f = g :⇔ M = N ∧ f (x) = g(x) ∀x ∈ M . 14. Sea A ⊂ M . fA se llama restricción de f sobre A :⇔ fA (x) = f (x) ∀ x ∈ A. Y a la inversa, f se llama la prolongación de fA sobre M . De (a) √ se puede decir: = R, R(f ) = {0, 1}. No es inyectiva, pués √ √ D(f ) √ de 2 6= 2 sigue f ( 2) = f ( 3). Por lo tanto no es reversible. No es sobreyectiva por ser D(f ) subconjunto propio de R. Su grafo es dos lineas punteadas paralelas, una de ellas está sobre el eje x y la otra sobre la recta x = 1. No es perı́odica, no existe un λ con f (x + λ) = f (x). Es par, pués se cumple f (−x) = f (x), si x ∈ Q, igualmente si x ∈ P. No es lineal, no se cumple f (αy + βy) = αf (x) + βf (y) . De (b): D([·]) = R. R([·]) = Z. No es inyectiva, tampoco sobreyectiva ni reversible. Su grafo es una escalera (ver Fig. 1). No es perı́odica. Es impar, ya que [−x] = −[x]. No es lineal. 41 De (c): D(s) = R, R(s) = (0, 1]. No es ni inyectiva ni sobreyectiva ni reversible. Su grafo es un serrucho (ver Fig. 2). Es perı́odica con perı́odo igual a 1, s(x + 1) = s(x). No es ni par ni impar. No es lineal. Analogamente se discuten los otros ejemplos. La función l(x) = ax es lineal, pero l1 (x) = ax+b no es lineal. Compruébelo! Nota 3.- Mediante ciertas cirugı́as en M o en R(f ) se pueden obtener funciones inyectivas, sobreyectivas, invertibles. Por ejemplo, la función f (x) = x2 definida en R no es ni inyectiva, ni sobreyectiva ni reversible. Pero si lo restringuimos a R+ , entonces es inyectiva y por lo tanto reversible. Nota 4.- El graf (f −1 ) es simétrico al graf (f ) con respecto a la recta y = x. 1 Ejercicio.- Demostrar que la función f (x) = 1 − x3 5 + 2 es inyectiva y determine su función inversa. Para comprobar la inyectividad, tenemos que demostar que de f (x1 ) = f (x2 ) sigue x1 = x2 . En efecto, 1 − x31 15 +2 = 1 − x32 51 + 2 =⇒ 1 − x31 51 1 = (1 − x2 ) 5 =⇒ 1 − x31 = 1 − x32 =⇒ x31 = x32 =⇒ x1 = x2 . Por lo tanto la función es inyectiva. Para determinar la función inversa f −1 establecemos la ecuación y = f (x) y lo solucionamos según x: 1 − x3 15 + 2 = y =⇒ 1 − x3 51 = y − 2 =⇒ 1 − x3 = (y − 2)5 =⇒ 1 1 2 − (y − 2)5 3 . 2 − (y − 2)5 3 1 Ası́ hemos obtenido la función inversa f −1 (y) = 2 − (y − 2)5 3 . x3 = 1 − (y − 2)5 =⇒ x = Def.- Dadas las funciones f : M ⊂ R −→ R y g : N ⊂ R −→ R, definiremos las operaciones: 1. f + g :⇔ (f + g)(x) = f (x) + g(x) ∀ x ∈ M ∩ N (Suma). 2. f · g :⇔ (f · g)(x) = f (x) · g(x) ∀ x ∈ M ∩ N (Producto). 3. f f f (x) :⇔ (x) = , g(x) 6= 0 ∀ x ∈ M ∩ N (División). g g g(x) 42 4. α · f :⇔ (α · f )(x) = α · f (x) ∀ x ∈ M . 5. h = g ◦ f es la composición de f y g :⇔ h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀ x ∈ M ∧ R(f ) = N . También de dice h es función de función. 6. 1 1 1 es la función invertida de f :⇔ (x) = ∀x ∈ M f f f (x) tal que f (x) 6= 0 y se designa con (f (x))−1 . Ejemplos.- Dadas las funciones f (x) = ax2 y g(x) = x + 1. Ambas funciones tienen como campo de definición o dominio y rango a R. Luego tenemos 1. (f + g)(x) = f (x) + g(x) = ax2 + x + 1, 2. (f · g)(x) = f (x) · g(x) = ax2 · (x + 1), 3. 4. 1 1 1 = , x 6= −1, (x) = g g(x) x+1 f ax2 f (x) = , x= 6 −1, (x) = g g(x) x+1 5. (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(ax2 ) = ax2 + 1, 6. (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 1) = a(x + 1)2 . Nota 5.- Si y = f (x) y z = g(y) =⇒ z = g(f (x)) = (g ◦ f )(x) = h(x). Ejercicio.- Demostrar f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = i. Conceptos cruciales en la Matemática es el de ecuación y el de solución de una ecuación. Def.- Dada f : M ⊂ R −→ R y b ∈ R fijo. Se llama ecuación a la igualdad f(x) = b. Se llama solución de esta ecuación al conjunto sol(f ) := {x ∈ M/ f (x) = b} = f −1 ({b}). El conjunto solución de f (x) = b es el conjunto de preimagenes de b. 43 Nota 6.- Tarea de la Matemática Numérica es construir algorı́tmos eficientes, estables y consistentes para buscar la solución. Preguntas obligadas son: 1. ¿existe solución? 2. y si existe ¿cuántas son?. Una gran parte de las sofisticadas teorı́as elaboradas por la Matemática son para solucionar los diferentes tipos de ecuaciones. Nota 7.- Por lo general, una ecuación tiene la forma f (x) = 0. Además de las ecuaciones existen las inecuaciones. Def.- Dada f : M ⊂ R −→ R y c ∈ R fijo. Se llama inecuación a la desigualdad f (x) ≤ c. La solución es {x ∈ M/f (x) ≤ c}. Nota 8.- También son inecuaciones f (x) ≥ c, d < f (x) < c. A continuación trataremos otras propiedades importantes de las funciones. 3.2.1 Funcions Monótonas Def.- Sea f : M ⊂ R −→ R una función. 1. f es monótona creciente :⇔ x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ); x1 , x2 ∈ M. 2. f es monótona decreciente :⇔ x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ). 3. f es monótona creciente estricta :⇔ x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ). 4. f es monótona decreciente estricta :⇔ x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ). Nota 9.- Se demuestra que toda función monótona estrı́cta es invertible y la inversa también es monótona estricta. Ejemplo.- La función [·] es monótona creciente, pero no estrı́cta. f (x) = −x3 es monótona decreciente estricta, ya que de x1 < x2 sigue −x31 > −x32 . Nota 10.- La fución f (x) = c es monótona creciente y decreciente a la vez, pués de x1 < x2 sigue f (x1 ) ≤ f (x2 ), pero también f (x1 ) ≥ f (x2 ). 44 3.2.2 Funciones Acotadas Def.- Sea f : M ⊂ R −→ R. 1. f es acotada por arriba :⇔ ∃ C ∈ R fijo con f (x) ≤ C ∀x ∈ M . 2. f es acotada por abajo :⇔ ∃ c ∈ R fijo con c ≤ f (x) ∀x ∈ M . 3. f es acotada :⇔ ∃ C > 0 : |f (x)| ≤ C ∀ x ∈ M . Nota 1.- El acotamiento de f es equivalente al acotamiento del R(f ) o de f (M ). Def.- Sea f : M ⊂ R −→ R una función acotada. 1. sup f (x) := sup f (M ) se llama supremo de f sobre M . x∈M 2. inf f (x) := inf f (M ) se llama el ı́nfimo de f sobre M x∈M Nota 2.- El supremo y el ı́nfimo de un una función acotada están asegurados por el Principio del Supremo. Designemos con s := sup f (x) y con x∈M i := inf f (x). x∈M Ejemplos.- f (x) = x2 es acotada inferiormente, pués se cumple x2 ≥ 0 para todo x, más no superiormete ya que para todo K > 0 existe un x con x2 > K. Su ı́nfimo es 0 y supremo no tiene. 1 1 es acotada, para todo x se tiene 0 < ≤ 1. Su supremo f (x) = 2 1+x 1 + x2 es 1 y su ı́nfimo es 0. 3.2.3 Valores Extremos de una Función Def.- Sea f : M ⊂ R −→ R. 1. x∗ ∈ M se llama lugar máximo de f :⇔ f (x) ≤ f (x∗ ) ∀ x ∈ M y m := f (x∗ ) se llama el valor máximo de f o brevemente el máximo de f . 2. x∗ ∈ M se llama lugar mı́nimo de f :⇔ f (x∗ ) ≤ f (x) ∀ x ∈ M . m0 := f (x∗ ) se llama el valor mı́nimo de f o brevemente el mı́nimo de f . 45 Nota 1.- Para el máximo y mı́nimo de f se dice valores extremos de f y son de gran importancia en todas las Ciencias y merecen un estudio especializado. El Area Cientı́fica que se ocupa de problemas extremales se llama Optimización y tiene mucha aplicación en la Técnica, Economı́a y Ciencias Naturales. Nota 2.- Se demuestra, que si existe el lugar máximo x∗ de f se cumple s = f (x∗ ) = m. Analogamente, se cumple i = f (x∗ ) = m0 . Ejemplos.- De nuevo, sea f (x) = x2 . Su min x2 = 0, máximo no tiene. 1 1 no tiene mı́nimo, pero max = 1. f (x) = 2 1+x 1 + x2 Nota 3.- Dada la función y = f (x), entonces g(x) := f (x − a) + b se llama translación de f alrededor del punto (a, b); g(x) := f ( xa ), dilatación de f en la razón a : 1 en dirección del eje x; y g(x) := af (x), estiramiento de f en dirección del eje y. 3.2.4 Funciones Importantes 1. f (x) = xα , x 6= 0, α ∈ R, α fijo (Función Potencial) x es la base y α el exponente de la función potencial. Si α ∈ N, f está definida en todos los reales. Si α ∈ Z y α < 0, f no está definida en x = 0. Si x > 0 y α ∈ Q o α ∈ R con α > 0, f está bien definida (ver Fig. 01). Si consideramos a x fijo y hacemos variar a n ∈ Z, podemos construir la función ϕ : Z −→ R con ϕ(n) := xn . Esta función satisface el Teorema de Adición: ϕ(m + n) = xm+n = xm · xn = ϕ(m) · ϕ(n) 2. f (x) = ax , 0 < a ∈ R fijo, a 6= 1 (Función Exponencial) (ver Fig.02) F ig.01 F ig.02 a es la base y x el exponente de f y se cumple la ecuación funcional f (x + y) = ax+y = ax · ay = f (x)f (y)· 3. p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + ao (Polinomio) En Algebra, x ∈ R se llama la indeterminada y puede ser también una matriz, una aplicación u otro objeto; ao , · · · , an ∈ R, fijos, son los coeficientes y determinan p. Es an 6= 0, entonces n es el grado de p, e. e., grd (p) = n. Es ao = · · · = an = 0, entonces p es el polinomio 46 nulo y no tiene grado. La suma y el producto de dos polinomios es otro polinomio. xo se llama lugar nulo de p, si p(xo ) = 0. Entonces x − xo es divisor de p, e. d., p(x) = (x − xo )q(x), donde el grd(q) = n − 1. Por el Teorema Fundamental del Algebra un polinomio de grado n tiene n lugares nulos o raı́ces, que pueden ser repetidas, reales o complejas. Si un número complejo es raı́z, también lo es su conjugado. Por lo tanto, p de grado n se puede escribir pn (x) = an (x − x1 )...(x − xn ). Por el Teorema de Identidad, dos Polinomios, p(x) = an xn + · · · + ao y q(x) = bn xn + · · · + bo son iguales, si algebraicamente se cumple ai = bi , i = 0, 1, · · · , n, o analı́ticamente, p(x) = q(x) ∀x. 4. f (x) = p(x) , p, q polinomios ∀ x con q(x) 6= 0 (Función Racional) q(x) α ∈ R se llama polo n-múltiplo de f , si p(α) 6= 0 y q(α) = 0 n veces. 1 es una función racional sin polos. Ejemplo.- f (x) = 1 + x2 5. f (x) = loga x, x > 0, a > 0, a 6= 0 (Función Logarı́tmica a es la base de f . y = loga x :⇔ x = ay . Se demuestra f (x · y) = f (x) + f (y). Asimismo se demuestra loga x · logb a = logb x = (1 + loga b) · logb x. 6. Funciones Trigonométricas a) f (x) = sin x, b) f (x) = cos x, c) f (x) = tan x d) f (x) = arcsin x, e) f (x) = arccos x, f ) f (x) = arctan x La función sin x está definida en R, pero es monótona creciente estricta en [− π2 , π2 ], por lo tanto ahı́ posee la inversa arcsin y con D(arcsin) = [−1, 1] (ver Fig. 03). De igual manera, cos x es monótona decreciente estricta en [0, π] y ahı́ tiene la inversa arccos y con D(arccos) = [−1, 1] (ver Fig. 04). Asimismo la función tan x es monótona creciente estricta en [− π2 , π2 ], luego ahı́ posee la inversa arctan con D(arctan) = (−∞, ∞). (ver Fig. 03) F ig.01 F ig.02 F ig.03 Estas funciones tienen sus propias propiedades, como sin(x±y) = sin x cos y ± cos x sin y, 47 cos(x±y) = cos x cos y ∓ sin x sin y. 7. Funciones Hiperbólicas a) cosh x := ex + e−x , 2 b) sinh x := ex − e−x , 2 c) tanh x := ex + e−x ex − e−x Se cumplen cosh 0 = 1, sinh 0 = 0, cosh2 x − sinh2 x = 1. Además se obtienen: √ d) arcosh x = ln(x + x2 − 1), 1 x+1 f ) artanh x = ln . 2 x−1 e) arsenh x = ln(x + √ x2 + 1), (verF ig.05) La función cosh x es monótona creciente estricta en (0, ∞), donde existe la inversa arcosh y con D(arcosh) = [1, ∞). La función senh x es monótona crecienete estricta en (−∞, ∞), por eso existe la inversa arsenh y con D(arsenh) = (−∞, ∞). La función tanh x es monótona creciente estricta, su función inversa es artan y con D(artanh) = (−1, 1). F ig.05 F ig.06 Nota 13.- A polinomios se les llama también funciones algebráicas y a sus ecuaciones, ecuaciones algebráicas. Las funciones no a0lgebráicas se llaman funciones trascendentes, como las funciones trigonométicas, hiperbólicas, exponenciales y logarı́tmicas y sus respectivas inversas. Números trascendentes satisfacen a ecuaciones trascendentes. Ejercios.a) A cotinuación daremos un listado de funciones. Averiguar su dominio y rango, si son inyectivas, sobreyectivas, biyectivas, monótonas, pares, impares, reversibles, acotadas, perı́odicas y lineales. Determinar el grafo, la función inversa, el supremo, ı́nfimo, lugar máximo o mı́nimo, los polos si lo tuvieran, la suma, el producto y composición de dos o mas funciones. 48 1) f (x) = 2x − 1 , 3x3 − 4 4) f (x) = x3 sgn(x), 1 7) f (x) = 3 1−x , 1 10) f (x) = , x+1 13) f (x) = 1 + 1, x 2) f (x) = √ 1 − 2x, 3) f (x) = x|x|, 1 5) f (x) = sin , x 6) f (x) = √ 8) f (x) = ln |x|, 9) f (x) = ecos x , x , 1 − x2 √ x−4 11) √ , x+1 12) ex sinh x, 14) g(x) = x2 − 5, 15) h(x) = (x + 1)2 , b) Utilizando las funciones de 13) a 15) calcular las funciones que a continuación se indican. También sus campos de definición. 1) f + g, c) g − h, 2) g · h, f , g 3) 13) h ◦ (g ◦ f ). Resolver las ecuaciones e inecuaciones 1) ax2 + bx + c = 0, 3) 1 2 (1 5) 1 2 5 (x 2) sin(x + 2π) = 1, + x) ≤ 6, 4) − 3(4 − x) < 12, − 4x + 3) < 0, 6) (x + 2)(x − 1)(x − 3) < 0 x+2 > 0, 1−x 7) x2 + 4x − 2 ≤ 0 8) 9) |3 − 2x| < 6, 10) |2x + 3| > 5, 11) x+4 < x, x−2 12) |2x| > |5 − 2x| 1 < 2, x + |x − 1| 13) |x − 5| < |x + 1|, 14) 15) |x2 + 3x − 3| > |x2 + 7x − 13|, 16) x + 1 > 17) x2 px + q ≤ 0, 18) x+2 > 1, 1−x 19) 0 < |x − 5| < 1, 20) 3 2 > |x − 9| x+2 d) Demostrar las desigualdades 49 √ x + 3, 1. (1−a1 )(1−a2 ) · · · (1−an ) > 1−(a1 +a2 + · · · +an ), si 0 < ai < 1, i = 1, 2, · · · n, n ≥ 2. 2. |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an |. 3. (m + n)xm y n < mxm+n + ny m+n ; m, n ∈ N, x, y ∈ R+ , x 6= y. e) Definamos la función caracterı́stica χM del conjunto M ⊂ R por   1, si x ∈ M, χM (x) =  0, si x ∈ / M. Demostrar que χM ∩N (x) = χM (x) · χN (x) y que χCM (x) = 1 − χM (x). 3.3 3.3.1 SUCESIONES Y SERIES Sucesiones En esta sección iniciaremos la discusión sobre procesos de lı́mites. El concepto de sucesión, entre otros, nos permiten aproximarnos paso a paso, e. d., discretamente, a un número real, tal que esta aproximación sea tan cerca como lo deseemos. Def. Por una sucesión de números reales, entendemos a una función f : N −→ R, donde a cada n ∈ N le corresponde un an := f (n) ∈ R. Se representa con los siguientes sı́mbolos: (an )n∈N = (an ) = (a1 , a2 , · · · , an , · · · ) Nota 1.- A una sucesión numérica se le puede interpretar como la generalización del concepto de par ordenado, ya que su esencia es el orden. an es el término general, indica la ley de formación de la sucesión. Al primer término se le designa con ao o con a1 . Nota 2.- Se cumple {an } 6= (an ). Ejemplos. 1 1 1 1. = 1, , · · · , , · · · , n 2 n Sucesión armónica 2. (a + nd) = (a, a + ad, · · · , a + nd, · · · ) 50 Sucesión aritmética 3. (aq n ) = (a, aq, · · · , aq n , · · · ) Sucesión geométrica 4. ((−1)n ) = (1, − 1, 1, · · · , (−1)n , · · · ) 5. 6. 1 ( )n 2 n n+1 = 1 1 1 1, , , · · · , ( )n , · · · 2 4 n = 0, Sucesión alternante 1 2 n , , ··· , , ··· 2 3 n+1 7. (n) = (0, 1, 2, · · · , n, · · · ) 8. (a) = (a, a, a, · · · , a, · · · ) Sucesión constante Def.- Monotonı́a. Sea dada una sucesión (an ). Luego tenemos 1. (an ) monótona creciente :⇔ an ≤ an+1 ∀ n. 2. (an ) monótona decreciente :⇔ an ≥ an+1 ∀ n. 3. (an ) monótona creciente estricta :⇔ an < an+1 ∀ n. 4. (an ) monótona decreciente estricta :⇔ an > an+1 ∃ n. 5. (an ) es alterna :⇔ an · an+1 < 0 ∀ n. Ejemplos.1) (a) es monótona creciente, ya que es a ≤ a ∀ n. 2) (n) es monótona creciente estricta, ya que n < n + 1 ∀ n. 1 3) es monótona decreciente estricta, ya que de n n < n + 1 =⇒ 1 1 > ∀ n. n n+1 4) (a) es también monótona decreciente, pues es a ≥ a ∀ n. Def.- (Acotamiento) Dada la sucesión (an ). Definamos 51 1. (an ) acotada por arriba :⇔ ∃ K : an ≤ K ∀ n. 2. (an ) acotada por abajo :⇔ ∃k : k ≤ an ∀ n. 3. (an ) acotada :⇔ ∃ C > 0 : |an | ≤ C ∀ n. K se llama cota superior, k cota inferior y C cota de la la sucesión. Ejemplo.- La sucesión 1 − 3n n es acotada. En efecto, 1 − 3n 1 1 − 3n 1 = − = 3− = 3 − < 3 ≤ C. n n n n 1 1 1 Por otro lado sabemos que < 1 ∀ n > 1 =⇒ − 3 < −2 =⇒ 2 < 3 − . n n n Por lo tanto, 2 es cota inferior. Ejercicio.- (an ) es acotada ⇔ {an } es acotado. Por lo tanto se puede hablar también de cota superior, cota inferior, de supremo e ı́nfimo para una sucesión. Ejercicio.- Demostrar que (aq n ) es acotada para −1 ≤ q ≤ 1, a ∈ R fijo. Def.- (Operaciones con sucesiones). Sean dadas las sucesiones (an ) y (bn ). También son sucesiones 1. (an ) + (bn ) := (an + bn ) 2. (an ) · (bn ) := (an · bn ) (Suma de sucesiones) (Producto de sucesiones) 3. α(an ) := (αan ) (Producto de una sucesión con un número real ) (an ) an 4. := , bn 6= 0 (Divión de sucesiones) (bn ) bn Def.- Subsucesiones. Sean g : N −→ N una función y (an ) una sucesión dada por f . Se entiende por subsucesión de (an ) a la sucesión definida por f ◦ g : N −→ R, e. e., (f ◦ g)(k) = f (g(k)) = f (nk ) = ank . En sı́mbolos (ank ). 1 1 1 . La sucesiones y son Ejemplos.- Dada la sucesión n 2n n2 subsucesiones de la primera. En la primera subsucesión es g(n) = 2n y en la segunda, g(n) = n2 . 52 Nota 3.- Una subsucesión se obtiene de una sucesión al eliminar algunos de sus elementos. Lo que interesa en una sucesión es la tendencia, la conducta de los an cuando n crece y crece, e. e., el comportamiento de los an cuando n tiende hacia el infinito. Tiene una sucesión una tendencia determinado, e. d., se acerca, a saltos, cada vez más y más a un ao ∈ R fijo, cuando n tiende al infito, entonces se dice que es convergente. La noción de convergencia aclara y precisa ciertas situaciones como el problema de Aquiles y la tortuga, el problema del interés continuo, etc. La Paradoja de Zenón. El corredor Aquiles apuesta con la lenta tortuja una carrera dandole cierta ventaja. Según Zenón, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, porque el tiempo que Aquilles emplea para llegar al punto de partida de la tortuga, ésta lo empleará para avanzar cierta distancia, y cuando Aquiles cubra esta cierta distancia, con seguridad, la tortuga se encontrará más allá. Y ası́ sucesivamente. Por lo tanto, Aquiles nunca alcanzará la tortuga. El interés continuo será analizado más tarde. Def.- La sucesión (an ) se llama convergente hacia a, si para cada ε > 0 existe un no ∈ N tal que se cumple |an − a| < ε para todo n > no . Este hecho se simboliza con an −→ a, n −→ ∞. Una definición más breve, an −→ a, n −→ ∞ :⇔ ∀ ε > 0 ∃ no (ε) ∈ N : |an − a| < ε ∀ n > no (ε). Nota 4.- a se llama el lı́mite de an . A veces se escribe también lim an = a. n→∞ Nota 5.- La definición de convergencia nos dice, cuando una sucesión (an ) converge hacia el lı́mite a, pero no nos dice como se obtiene ese lı́mite. El cálculo de a es cuestión de práctica, experiencia, imaginación y creatividad. Def.- Una sucesión que converge hacia cero se llama sucesión nula. En sı́mbolos (an ) es sucesión nula :⇔ ∀ ε > 0 ∃ no : |an | < ε ∀ n > no Nota 6.- En una sucesión nula, cada Eε (0) contiene a casi todos los elementos de la sucesión, excepto a un número finito. 53 Ejemplos.- 1) 1 −→ 0, n n −→ ∞. En efecto, sea dado un ε > 1 y por el Teorema de Arquı́mides existe un no (ε) ∈ N con ε 1 1 1 1 < no (ε) =⇒ < ε =⇒ − 0 < ε ∀ n ≥ no (ε). Por lo tanto es ε n n n una sucesión nula!. 5 1 + 3n + 5n2 −→ , n −→ ∞. Para la demostración, procedemos 2) 2 4n 4 ası́: 0. Luego existe 1 + 3n 1 + 3n + 5n2 − 5n2 n + 3n 1 + 3n + 5n2 5 1 = ≤ − = = . 2 2 2 2 4n 4 4x 4n 4n n Por el ejercicio anterior, para cada ε > 0 existe un n(ε), tal que se cumple < ε ∀ n ≥ no (ε). Esto es lo que queremos demostrar. 1 n √ 3) ( n a) −→ 1,√ n −→ ∞ para a ≥ 1. Demostración: Partimos de a ≥ 1. Hacemos xn := n a − 1. Por el desarrollo binomial se tiene a a = (1 + xn )n ≥ 1 + nxn =⇒ xn < n √ De aquı́, para todo n > no (ε) := aε resulta | n a − 1| = xn < ε. Con esto concluye la demostración. n veces z }| { 4. Demostrar que (an ) = 0, 33 · · · 3 converge hacia ε > 0, luego tenemos 1 3. Para eso, sea n veces n veces z }| { z }| { 1 1 0, 99 · · · 9 −1 1 1 1 = · n < n. |an − | = 0, 33 · · · 3 − = 3 3 3 3 10 10 1 Ahora elegimos un no (ε), tal que n (ε) < ε. Entonces para todo n > no (ε), 10 o por la desigualdad anterior, se cumple 1 1 1 < < ε. |an − | < 3 10n 10no (ε) Nota 7.- ((1)n ) es sucesión convergente, pero no nula. Teor.- Sean (an ) y (bn ) sucesiones nulas. Entonces (an +bn ), (an ·bn ), α · (an ) y (|an |) son sucesiones nulas. 54 Dem.- Primero hay que demostrar, que para todo ε > 0, existe un no (ε) ∈ N, tal que se cumple |an + bn | < ε para todo n > no (ε). Por la desigualdad triangular tenemos |an + bn | ≤ |an | + |bn | ∀ n Por ser (an ) y (bn ) sucesiones nulas, sabemos que para todo ε1 , respectivamente ε2 , existen n1 (ε1 ) ∈ N, respectivamente n2 (ε2 ) ∈ N, tal que se cumplen |an | < ε1 ∀ n > n1 (ε1 ), |bn | < ε2 ∀ n > n2 (ε2 ) Si hacemos no (ε) = max{n1 (ε1 ), n2 (ε2 )}, tenemos que para todo ε = ε1 +ε2 se cumple |an + bn | ≤ |an | + |bn | < ε1 + ε2 = ε ∀ n > no (ε) Por lo tanto, (an + bn ) es sucesión nula. Luego, en forma análoga, hay que demostrar que |an ·bn | < ε, ∀ n > no (ε). Para eso, partimos que toda sucesión nula es acotada. En efecto, por ser (bn ) nula, se cumple |bn | < ε ∀ n > no (ε). Ya que c0 = max{b1 , b2 , · · · , bno (ε) } existe, existe también c = c0 + ε. De esto se concluye |bn | < c ∀ n, e. d., (bn ) es acotada. Por otro lado, por ser (an ) sucesión nula, para todo ε > 0, existe un no (ε) ∈ N, tal que ε ε |an | < , ∀ n > no (ε) =⇒ |an · bn | = |an | · |bn | < · c = c ∀ n > no (ε). c c Con esto hemos demostrado que (an · bn ) es sucesión nula. Para demostrar que α · (an ) = (α · an ) es sucesión nula, basta demostrar, ε partiendo de la sucesión nula (an ) y de α 6= 0, que para todo ε0 = |α| se cumple |α · an | ∀ n > no (ε). En efecto, ε =⇒ |α · an | = |α| · |an | < ε ∀ n > no (ε). |an | < ε0 = |α| Esto demuestra que α · (an ) es sucesión nula. Por último demostraremos que (|an |) es sucesión nula. Sabemos que, por ser (an ) sucesión nula, para todo ε > 0, se cumple |an | < ε ∀ n > no (ε) =⇒ | |an | | < ε ∀ n > no (ε). Con esto termina la demostración. 1 1 Nota 8.- El cociente se comporta diferente. Ası́, las sucesiones n y n2 son sucesiones nulas, pero n1 ÷ n12 = (n) no es nula, y n12 ÷ n1 = ( n1 ) si es nula. Nota 9.- Lo mismo sucede con el acotamiento. Teor.- Sean (an ) −→ a y (bn ) −→ b, n −→ ∞. Entonces 55 1. (an + bn ) −→ a + b, n −→ ∞. 2. (an · bn ) −→ a · b, n −→ n. 3. (α · an ) −→ α · a, n −→ n. 4. an bn −→ a , n −→ ∞, si bn 6= 0 para cası́ todo n y b 6= 0. b 5. (|an |) −→ |a|, n −→ ∞. 6. Es an ≤ bn ∀ n ≥ no =⇒ a ≤ b. 7. Sea (ank ) subsucesión de (an ). Entonces (ank ) −→ a, n −→ ∞. Dem.- Para demostrar las primeras afirmaciones de este teorema, demostraremos, que de an −→ a, n −→ n, sigue que (an −a) es sucesión nula. Por definición de convergencia, sabemos que para todo ε > 0, existe un no (ε) ∈ N, tal que se cumple |an − a| < ε ∀ n > no (ε). Por lo tanto (an − b) es sucesión nula. 1. Ya que an −→ a y bn −→ b, n −→ ∞, por el teorema anterior, (an − a) y (bn − b) son sucesiones nulas y su suma (an + bn − (a + b)) es sucesión nula, e. d., an + bn −→ a + b, n −→ ∞. 2. Para demostrar que an · bn −→ a · b, n −→ ∞, hay que demostrar, que (an · bn − a · b) es una sucesión nula. Esto resulta de an · bn − a · b = an · bn − a · bn + a · bn − a · b = (an − a) · bn + a(bn − b). Depués demostraremos que toda suceción convergente es acotada. Este hecho lo aprovecharemos ahora. (an ) por ser convergente es acotada, e. e., |bn | ≤ c ∀ n. Por eso se tiene an · bn − a · b ≤ (an − a) · c + a(bn − b). Por el teorema anterior, las sucesiones (an − a) · c y a(bn − b) son nulas y por lo tanto su suma. Con esto hemos demostrado que (an · bn ) converge hacia a · b. 3. Sabemos que (an − b) es sucesión nula, por ser (an ) convergente hacia a. Por otro lado sabemos que la sucesión α · (an − a) = (α · an − α · a) también es nula. Si es ası́, concluimos que (α · an ) convegerge hacia α · a 56 an 1 1 a ) converge hacia , demostraremos que ( − ) bn b bn b es sucesión nula siempre que sean bn 6= 0 para casi todo n y b 6= 0. Por ser (bn ) convergente hacia b, e. e., |bn − b| < ε0 . Además utilizamos por adelantado el hecho que |bn | −→ |b| > 0. Por esto, para un ε = |b| 2 existe un no (ε) tal que se cumple 4. Para demostrar que ( | |an | − |b| | < ε =⇒ −ε < |bn | − |b| =⇒ |b| − ε < |bn | =⇒ |b| < |bn | ∀n > no (ε) 2 Ahora obtenemos 1 1 − bn b = b − bn bn b 2 2 0 |b − bn | < ε = ε1 ∀ n > n1 (ε1 ) 2 |b| |b|2 ≤ 1 1 1 1 Por lo tanto ( − ) es una sucesión nula, e. d., ( ) converge hacia . En bn b bn b an consecuencia, ( ) como producto de dos sucesiones convergentes, converge bn a hacia . b 5. Sabemos que | |an | − |a| | ≤ |an − a|. Por otro lado, por ser (an − a) sucesión nula, la sucesión (|an | − |a|) es nula, por consiguiente (|an |) converge hacia |a|. 6. Esta demostración la ejecutamos ası́: an ≤ bn =⇒ an − a − b ≤ bn − a − b =⇒ (an − a) − b ≤ (bn − b) − a =⇒ −b ≤ − a =⇒ a ≤ b, por ser (an − a) y (bn − b) sucesiones nulas. 7. De la sucesión nula (an − a), al eliminar algunos elementos, finitos o infinitos, obtenemos la subsucesión (ank − a), que sigue siendo nula. Por lo tanto, (ank ) converge hacia a. Con esto queda demostrado todo el teorema. Ejemplos. 1 1 1. −→ 15 15 La suma y 1 7 + 15 30n 7 30n = −→ 0, n −→ ∞. 2n + 7 30n 57 −→ 1 , n −→ ∞. 15 3n4 − 3n2 + 1 , la descomponemos n5 − 3n5 en sumas, restas y cocientes de sucesiones y dividimos tanto al numerador como al denominador entre n5 y obtenemos 2. Para calcular el lı́mite de la sucesión  1 3 2 − 3+ 5 0 n n n   −→ = 0, n −→ ∞,  3 1 1− 2 n 3 1 −3 −2 ya que , y son sucesiones nulas. , n n3 n5 n2  √ √ 3. Calcular el lı́mite de ( n + 1 − n). Expresiones de esta naturaleza, generalmente se transforman: √ √ √ √ √ √ ( n + 1 − n)( n + 1 + n) 1 √ n+1− n= =√ √ √ n+1+ n n+1+ n y ası́ se demuestra que es una sucesión nula. Ejercicios.1. ¿Para que c es monótona creciente y para que c monótona creciente estricta la sucesión cn + 37 (−1)n ? 2. ¿Para que q es la sucesión (q n ) convergente? 3. Calcular el lı́mite de (a) (c) 1 + 3n + 5n2 4n2 (b) 7 + 3n + 4n2 − 5n3 2n + 10n3 (d) √ √ √ n( n + 1 − n) , 5n + 4n2 + 6n3 1 − 2n2 + 3n4 , , !! a b (1 − )(1 − ) , n n r (e) n 1− 4. Demostrar que (sn ) = n X (f ) 1 1− 2 n ! q n , |q| < 1, converge hacia i=1 58 n . q 1−q , Teor.- an −→ a ∧ an −→ b =⇒ a = b. Es decir, el lı́mite de una sucesión convergente es único. Dem.- Ya que la sucesión (an ) converge hacia a y hacia b, para todo ε1 > 0, respectivamente para todo ε2 > 0, se cumplen |an − a| < ε1 con n ≥ n(ε1 ) y |an − b| < ε2 con n > n(ε2 ). Por otro lado tenemos |a − b| = | − (an − a) + (an − b)| ≤ |an − a| + |an − b| < ε1 + ε2 = ε. Y esto se cumple para todo ε > 0 con n > no = max{n(ε1 ), n(ε2 )}. Por lo tanto |a − b| = 0, e. e., a = b. Teor.- Toda sucesión convergente es acotada. Dem.- Sea an −→ a, n −→ ∞. Entonces para un ε > 0 existe un no (ε) con |an − a| < ε ∀ n ≥ no (ε) ⇐⇒ a − ε < an < a + ε ∀ n ≥ no (ε). Pero m = max{|a1 |, · · · |ano |}, entonces a − ε − m ≤ an ≤ a + ε + m ∀n. Por lo tanto (an ) es acotada. Teor.- Sean dadas las sucesiones an −→ a y bn −→ b, cuando n −→ ∞, y se cumple an ≤ bn para todo n ≥ no . Entonces es a ≤ b. Dem.- Aceptemos que se cumpla a > b. Para todo n con no ≤ n es pues a − b ≤ a − b + (bn − an ) = (a − an ) − (b − bn ) ≤ |a − an | + |b − bn |. Podemos elegir n tan grande tal que se cumplan |a − an | < De aquı́ sigue a−b 2 . a−b < a−b 2 y |b − bn | < a−b a−b + = a − b. 2 2 Esta contradicción demuestra que es a ≤ b. 3.3.2 Criterios de Convergencia de Sucesiones A continuación expondremos los principales criterios de convergencia para sucesiones. Teor.- Toda sucesión monótona creciente y acotada por arriba es convergente. Dem.- Sea (an ) monótona creciente y acotada por arriba. Por ser (an ) acotada por arriba, se cumple an ≤ K ∀ n y existe a = sup{an }. Para un ε > 0 hay un n(ε) con a − ε < an(ε) . Por ser an(ε) ≤ an ∀ n > nε se cumple a − ε < an < a + ε ∀ n > n(ε). En consecuencia (an ) converge hacia a. 59 Nota 10.- Si (an ) es monótona creciente convergente, entonces su lı́mite es el sup{an }. Nota 11.- Analogamente se puede afirmar de sucesiones monótonas decrecientes y acotadas por abajo. Su lı́mite es el inf{an }. Teor. Toda sucesión (an ) contiene una subsucesión monótona. Dem.- La sucesión tiene infinitos términos o miembros y podemos elegir un an1 y luego buscar otro an2 con an1 ≤ an2 y ası́ sucesivamente. Si no hubiera ningún ank igual o mayor al anterior, entonces la inmensa mayorı́a de ank serı́an iguales o menores al anterior. En todo caso, hemos obtenido una subsucesión monótona creciente o decreciente. Ahora podemos enunciar un teorema que tiene muchas aplicaciones y que es de fundamental importancia en el Análisis. Teor.- (Bolzano - Weierstraß) Toda sucesión acotada posee una subsucesión convergente. Dem.- Por un teorema sabemos que de toda sucesión podemos elegir una subsucesión monótona y por otro, que toda sucesión monótona acotada converge. Con esto queda demostrado el teorema. Ejemplo.- De la sucesión ((−1)n ) acotada, −1 ≤ (−1)n ≤ 1 ∀ n, podemos elegir dos subsucesiones monótonas, una creciente ((−1)2n ) y la otra decreciente ((−1)2n+1 ). Ambas convergentes, la primera hacia 1 y la segunda hacia −1. Def.- (an ) se llama sucesión de Cauchy o sucesión fundamental :⇔ ∀ ε ∃ n(ε) : |am − an | < ε, ∀ m, n ≥ n(ε). Nota. 12 Por lo general se conviene que m = n + k, k ≥ 1 fijo. Teor.- (Criterio de Cauchy) (an ) es convergente ⇐⇒ (an ) es sucesión de Cauchy. Dem.- Sea (an ) convergente hacia a. Luego, para todo ε > 0 podemos encontrar un n(ε) tal que se cumplan |am − a| < 2ε y |an − a| < 2ε para todos m, n ≥ n(ε). De aquı́ obtenemos |am − an | ≤ |am − a| + |an − a| < ε ε + = ε, ∀ m, n ≥ n. 2 2 Con esto, toda sucesión convergente es sucesión de Cauchy. Sea (an ) sucesión de Cauchy. Entonces es −ε < am − an < ε para todos los m, n ≥ n(ε). Si C = max |a1 |, · · · , |an |, tenemos −C − ε < am < ε + C 60 para todo m, e. d., (an ) es acotada. Por el Teorema de Bolzano - Weierstraß de (an ) se puede elegir una subsucesión convergente (ank ) hacia a. Ahora para todo ε > 0 podemos fijar un n(ε) con |ank − a| < 2ε y |am − an | < 2ε para todo m, n, nk ≥ n(ε). Haciendo n = nk resulta |am − a| ≤ |am − ank | + |ank − a| < ε ε + = ε, ∀ m ≥ n(ε). 2 2 Por lo tanto, toda sucesión de Cauchy es convergente. Ejemplo.- Analizar la convergencia de (an ), 0 < a < 1, aplicando el criterio de convergencia de Cauchy. Para eso hay que demostrar que (an ) es sucesión 1 , de donde, usando la de Cauchy. En efecto, hay un x ∈ R, x > 0 con a = 1+x desigualdad de Bernoulli, resulta |am − an | ≤ |am | + |an | = 1 1 1 1 + ≤ + < ε, (1 + x)m (1 + x)n 1 + mx 1 + nx 1 < para todo ε y para un n(ε) con m, n ≥ n(ε), donde se demuestra que 1+mx 1 n ε1 , 1+nx < ε1 y ε = ε1 + ε2 . En consecuencia, (a ), 0 < a < 1, es sucesión de Cauchy, e. d., convergente. Nota 13.- Ser sucesión convergente y ser sucesión de Cauchy en R son sinónimos. Teor.- (Criterio del Sandwich) Sean dadas las sucesiones (an ), (bn ) y (cn ) con an ≤ bn ≤ cn para casi todo n. Entonces tenemos an −→ l ∧ cn −→ l, n −→ ∞ =⇒ bn −→ l, n −→ ∞. Dem.- an ≤ cn ≤ bn se cumpla para n ≥ no . Luego se cumple |cn − a| ≤ |cn − an | + |an − a| ≤ |bn − an | + |an − a| < ε para todo ε y para todo n ≥ n(ε) ≥ no , ya que |bn −an | < ε1 por tener ambas sucesiones el mismo lı́mite y |an − a| < ε2 por ser convergente y ε = ε1 + ε2 . Nota 14.- ”Para casi todo n” significa para todo n con excepción de un número finito de enes. s 2 1 Ejemplo.- Demostrar que 4+ −→ 2, n −→ ∞. Se sabe n s s 2 2 1 1 1 1 2 ≤ 4+ ≤ 4+4 + = 2+ . n n n n Pero 2 −→ 2 y 2 + n1 −→ 2, n −→ ∞. Por el Criterio del Sandwich la sucesión converge a 2. 61 Nota 15.- Los teoremas de Cauchy y de Bolzano - Weierstraß son de importancia fundamental para la Teorı́a de Convergencia en toda la Matemática. Def.- Una sucesión que no converge se llama divergente. Ejemplos.- Las sucesiones (n) y ((−1)n ) son divergentes. De la primera se dice que es divergente determinada, de la segunda, divergente indeterminada u oscilante. Nota 16.- La sucesión (an ) es determinadamente divergente, si para todo número real K > 0, hay un número natural no con |an | > K para todo n ≥ no . Por ejemplo, para determinar que la sucesión (n2 ) es√ determinadamente divergente, hay que encontrar√un K > 0 y luego tenemos K. Por el teorema de Aquı́medes hay un no con K < no ≤ n =⇒ K < n2 = |an | ∀ n ≥ no . La convergencia determinada en sı́mbolos: lim an = + ∞ :⇔ ∀ K > 0, K ∈ R, ∃ no ∈ N / an > K ∀ n ≥ no . lim an = − ∞ :⇔ ∀ K < 0, K ∈ R, ∃ no ∈ N / an < K ∀ n ≥ no . n→∞ n→∞ Def.- Las sucesiones (an ) y (bn ) (bn 6= 0) se llaman asintoticamente an iguales :⇐⇒ converge hacia 1. En sı́mbolos (an ) ∼ = (bn ) para n −→ bn ∞. √ √ 1 Ejemplo.- ( n + 1 − n) ∼ = √ 2 n para n −→ ∞. Tenemos que demostrar que el cociente de ambas sucesiones converge hacia 1. Para esto empleamos las transformaciones ! r √ √ 1 2 n+1− n = 2n 1+ −1 = q 1 n 1 + n1 + 1 √ 2 n q Por el Criterio del Sandwich se demuestra que 1 + n1 converge hacia 1. Con lo que queda demostrada la igualdad asintótica. 3.3.3 Punto de Acumulación En este párrafo introduciremos un nuevo concepto que nos permite generalizar el Teorema de Bolzano - Weierstraß y relacionar convergencia de sucesiones y cerradura de conjuntos. 62 Def.- xo ∈ R se llama punto de acumulación del conjunto M ⊂ R, si en cada E(xo ) hay un punto de M diferente a xo . Ejemplos.- 1) M = (a, b). Sus puntos de acumulación es el intervalo [a, b], pero a, b ∈ / M. 2) M = [a, b]. Sus puntos de acumulación es el mismo M . 3) M = {x / x = (−1)n n1 , n ∈ N}. Sus puntos se acumulan alrededor del 0 y es el único punto de acumulación. 4) M = {x / x = 1+ n+1 n , n ∈ N−{0}} tiene a 2 como punto de acumulación y2∈ / M. 5) Los números reales son puntos de acumulación de los números racionales. Nota 1.- Los puntos de acumulación de un conjunto no necesariamente pertenecen al conjunto ! Teor.- xo es punto de acumulación de M , si en cada E(xo ) hay infinitos muchos puntos de M . Dem.- Suponemos que en cada E(xo ) hay solamente un número finito de puntos de M , e. e., x1 , x2 , · · · , xn ∈ M diferentes de xo están en E(xo ). Sea δ = min{|xo − xi | / i = 1, 2 · · · , n}. Evidentemente en (xo − δ, xo + δ) no habrá ningún punto de M diferente de xo . Esto contradice a al definición. Con esta contradicción queda demostrado el teorema. Nota 2.- Un intervalo I es cerrado, exactamente entonces, si I contiene a todos sus puntos de acumulación. Pués cada entorno de cada x ∈ [a, b] contiene infinitos puntos de [a, b]. Pruébelo! Ejercicios.- 1) Sea M acotado por arriba. Entonces s = sup M es un punto de acumulación de M . 2) Sea M acotado por arriba y cerrado. Entonces s = sup M ∈ M , e. d. s = max M . Def.- xo ∈ R es punto de acumulación de la sucesión (xn ), si cada E(xo ) contiene infinitos muchos términos de esta sucesión. En sı́mbolos: xo es punto de acumulación de M :⇔ ∀ E(xo ) ∀ n ∈ N ∃ no > n / xno ∈ E(xo ). Nota 3.- Hay que distinguir punto de acumulación de un conjunto y punto de acumulación de una sucesión. Ejemplos.- 1) Los puntos de acumulación de la sucesión ((−1)n ) son −1 y 1. Cada E(−1) contiene a todos los (−1)2n+1 y cada E(1) contiene a todos los 63 (−1)2n . Pero el conjunto {x / x = (−1)n , n ∈ N} = {−1, 1} no tiene puntos de acumulación. 2) El 0 es punto de acumulación de ( n1 ). Para cada Eε (0) y para cada n ∈ N existe un no > n tal que n1o ∈ Eε (0), ya que por el Teorema de Arquı́medes para ε−1 hay un no con n < no < ε−1 , de donde sigue n1o < ε, e. e., n1o ∈ Eε (0). 3) (n) no tiene ningún punto de acumulación. Teor.- xo ∈ R es punto de acumulación de (xn ) exactamente entonces, si (xn ) contiene una subsucesión convergente hacia xo . Dem.- (xn ) contenga una subsucesión convergente hacia xo , entonces cada entorno de xo contiene infinitos muchos términos de (xn ) y ası́ xo es punto de acumulación de la sucesión. xo sea punto de acumulación de (xn ). Ahora construyamos una subsucesión de (xn ) convergente hacia xo . Para eso consideremos una sucesión de εn - entornos En (xo ) de radio εn = n1 cada uno y definimos, por inducción, una subsucesión (nk ) de (n) de la siguiente manera: n1 se elige, tal que xn1 ∈ E1 (xo ). Aceptamos que nk ya está definido y definimos a nk+1 como el número natural más pequeño para el cual se cumplen nk+1 > nk y ank+1 ∈ Ek+1 (xo ). La subsucesión (xnk ) es convergente hacia xo . En efecto, es E(xo ) un entorno cualquiera de xo , entonces a partir de un ko se cumple Ek (xo ) ⊂ E(xo ) para todo k ≥ ko , e. e., xnk ∈ E(xo ) para k ≥ ko . Teor.- Toda sucesión acotada posee por lo menos un punto de acumulación. Dem.- Por el Teorema de Bolzano - Weierstraß, toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente. Y por el teorema anterior, el lı́mite de la subsucesión es punto de acumulación de la sucesión. Ejemplo.- La sucesión ((−1)n ) es acotada, −1 ≤ (−1)n ≤ 1. De esta sucesión podemos elegir dos subsucesiones convergentes, a saber, ((−1)2n+1 ) converge hacia -1 y ((−1)2n ) hacia 1. Es conclusión inmediata de los resultados anteriores el Teor.- (xn ) es convergente exactamente entonces, si es acotada y contiene un único punto de acumulación. Dem.- Si (xn ) es convergente hacia x0 , entonces es acotada, por un teorema anterior, xo es un punto de acumulación (xn ). Si x1 fuera otro punto de acumulación de (xn ) distinto de xo , entonces existirı́a una subsucesión convergente hacia x1 . Contradicción, pués toda subsucesión de una sucesión convergente converge hacia el mismo lı́mite. Por ser (xn ) acotada, a ≤ xn ≤ a para todo n, a y b cotas, y por ser xo su único punto de acumulación, casi todos los xn se acumulan alrededor de xo , e. 64 d., para todo ε habrá un n(ε) tal que |xn − xo | < ε para todo n > nε . Por lo tanto (xn ) es convergente. El literatura matemática clásica la versión mas conocida del Teorema de Bolzano - Weierstraß es Teor.- (Teorema de Bozano - Weierstraß para Conjuntos) Todo conjunto infinito y acotado M ⊂ R posee por lo menos un punto de acumulación. Dem.- Una demostración simple y convincente es al hacer M = [a, b], a y b fijos. Dividamos [a, b] en dos subintervalos de igual longuitud, [a, c] y [c, d], c − a = b − c = b−c 2 . Ya que el conjunto es infinito, por lo menos uno de los subintervalos será infinito. Sea [a, c] el infinito y al hacer a = a1 y c = b1 , tenemos el intervalo [a1 , b1 ] infinito. Nuevamente partimos a este intervalo en dos subintervalos le igual longuitud y obtenemos el intervalo [a2 , b2 ] infinito. b−a Ası́ obtenemos la sucesión de intervalos [an , bn ] infinitos de longuitud n con 2 [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ]. Cuando n → ∞ los intervalos definen un xo ∈ R. Este xo es punto de acumulación de M , pués en cada entorno de xo hay infinitos muchos elementos de M . 3.3.4 Definición Recursiva de Sucesiones Hemos visto que una definición recursiva se hace en dos pasos, primero se define el primer término a0 o a1 y luego el término an+1 en función de los términos anteriores. Precisaremos este procedimiento en el siguiente ejemplo: 1. a1 := 0; 2. an+1 := 1 (an + 1), 3 n = 0, 1, 2, · · · . Ejecutando los cálculos indicados, hemos definido la sucesión (an ) := 0, 1 4 13 40 121 , , , , , ··· . 3 9 27 81 243 Ahora queda analizar la convergencia de esta sucesión. Para eso fijamos los siguientes pasos: 1. Comprobamos que (an ) es acotada por arriba (por 21 ), 2. Comprobamos que (an ) es monótona creciente y 3. Calculamos el lı́mite. Para 1. demostramos que se cumple an < 12 para todo n por inducción: (1) Se cumple a1 = 0 < 12 . (2) Aceptemos que se cumpla ak < 21 . (3) Bajo esta hipótesis se cumple también ak+1 = 1 1 1 1 (ak + 1) < ( + 1) = . 3 3 2 2 65 En 2. para demostrar que (an ) es monótona creciente, basta demostrar que an+1 se cumple > 1 para todo n, ya que los términos son positivos. En efecto an an+1 = an 1 3 (an + 1) an = 1 1 1 2 1 + > + = = 1. 3 3an 3 3 2 En 3. hay que calcular el lı́mite. Por ser (an ) monótona creciente estrı́cta y acotada por arriba, es convergente. Sea a su lı́mite. Entonces tenemos a = 1 1 1 lim an+1 = lim ( an + 1) = (a + 1) =⇒ a = . →∞ 3 3 2 n→∞ Para averiguar la convergencia de una sucesión recursivamente definida, analizamos su monotnı́a y su acotamiento. Si es convergente, calculamos su lı́mite en caso de existir. Procesos de crecimientos se modelan mediante funciones exponenciales, como el interés continua que veremos. Pero también mediante sucesiones recursivas como lo demuestra el ejemplo a continuación. Modelo de Población. Leonardo Pisano, llamado Fibonacci, propuso a sus estudiantes el siguiente problema: Suponiendo que los conejos se empreñan al mes de su nacimiento y que su preñez dura otro mes. En un lugar libre de conejos, en el tiempo t = 0, se deja a una pareja (una hembra y un macho) de conejos recién nacidos. Después de un mes, en tiempo t = 1, la pareja es adulta, lista para procrear. Al finalizar el tercer mes se tiene dos parejas, los padres y los recién nacidos. Y ası́ sucesivamente. ¿Cuántos pares de conejos se tienen después de n meses?, aceptando que no hay fallecimientos. Para modelar este proceso de crecimiento de población, razonamos: Al iniciar el primer mes tenemos una pareja de conejos, ao = 1, los recién nacidos. Al iniciar el segundo mes la pareja ya es adulta y se tiene a la misma pareja, a1 = 1. Al iniciar el tercero mes tenemos a2 = 2 = a1 + ao parejas, los padres y los recién nacidos. Al iniciar el cuarto mes tenemos a3 = 3 = a2 +a1 parejas, los padres, los adultos y los recién nacidos de los padres. Generalizado, al iniciar el n + 1 mes, el número de parejas de conejos está dada por la recursión ao := 1, a1 := 1, an := an−1 + an−2 , n ≥ 2. Nota 1.- Los famosos números de esta sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, · · · son llamados lon números de Fibonacci. Su fama se debe a que en el transcurso del tiempo se han descubierto interesantes resultados relacionados con ellos. Raı́z Cuadrada de a ≥ 0. Se define recursivamente la sucesión a 1 an + . ao := cualquiera > 0, an+1 := 4 an 66 Por inducción se demuestra que la sucesión está bién definida para todo n. √ Además se cumple an > a para todo n. En efecto, tenemos 2 1 1 a a a2n − a = − a = an−1 + an−1 − ≥ 0. 4 an−1 4 an−1 √ Por lo tanto an ≥ a, e. d., es acotada por abajo. También se demuestra que es monótona decreciente. Para eso se tiene an − an+1 = 1 (a2 − a) ≥ 0 =⇒ an ≥ an+1 . 2an n Por consiguiente, la sucesión es convergente. Sea x el lı́mite. Entonces, aplicando el lı́mite a la sucesión, resulta x = 3.3.5 1) √ a 1 (x + ) =⇒ x2 = a =⇒ x = a. 2 x Algunas Sucesiones Importantes an , a > 1, k > 0, a, k ∈ R fijos. nk Ya que a > 1 =⇒ a = 1 + d, d > 0. Pero an = (1 + d)n = n X n(n − 1) 2 n2 2 n n di > d2 = d ≥ d i 2 2 4 i=o ∀ n ≥ 2. Reemplazando d por su igual a − 1 tenemos (a − 1)2 2 n 4 1. Caso: Para 0 < k ≤ 1 se cumple an > an (a − 1)2 an ≥ > n. nk n 4 (a − 1)2 Pero n diverge determinadamente hacia ∞, n −→ ∞. Por lo 4 n a . tanto, también nk 2. Caso: Para k > 1 se tiene n k 1 an ã = con ã = a k > 1 nk n 67 Pero debido a que k > 1, se tiene an ãn > . nk n Ya demostramos que última expresión de la derecha diverge determidamente cuando n −→ ∞. Por lo tanto, también la sucesión. Con estos dos casos se ha demostrado la divergencia. √ 2) ( n n) √ √ Sabemos que n n ≥ 1 para n ≥ 1. Construyamos la sucesión an := n n−1 ≥ 0. De aquı́, por el desarrollo binomial, resulta n(n − 1) 2 n n n = (an + 1) ≥ 1 + a2n =⇒ n − 1 ≥ an . 2 2 De estas desigualdades obtenemos r 0 ≤ an ≤ 2 . n Las expresiones de los extremos√tienden a cero, cuando n tiende a ∞. √ Por el teorema del sandwich, (an ) = ( n n − 1) también tiende a cero, e. d., ( n n) tiende a 1. log n 3) n Ya que se cumpla √ n n −→ 1, podemos encontrar un no , tal que para todo ε con 10ε > 1 1 < √ n n < 10ε ∀ n ≥ no Aplicando log a las desigualdades obtenemos √ n 1 log n < ε ∀ ε n Con esto hemos demostrado que la sucesión 3) es una sucesión nula. 1 n 4) (1 + ) n log 1 < log n < log 10ε =⇒ 0 < Se demuestra que esta sucesión es monótona creciente estrı́cta y acotada por arriba. Por lo tanto es convergente. También se demuestra que 2 es cota inferior y 3 cota superior. Leonard Euler calculó su lı́mite en 2.718 · · · . A este número, en su honor, se le designó con la letra e = 2.7182818284 · · · . n 1 lim 1 + =e n→∞ n 68 En efecto, para demostrar que la sucesión es monótana estrı́cta creciente, debemos demostrar que se cumple an = 1 1+ n n < 1 1+ n+1 n+1 = an+1 ∀ n. Aceptemos que se cumpla an ≥ an+1 , e. e., 1 1+ n n = n+1 n n ≥ n+1+1 n+1 n+1 = 1 1+ n+1 Ahora multipliquemos a ambos lados de la desigualdad con mos la desigualdad de Bernoulli y obtenemos n ≥ n+1 n+2 n · n+1 n+1 > 1 − (n + 1) · n+1 = 1 1− (n + 1)2 n+1 . n y apliquen+1 n+1 1 1 n = 1− = . (n + 1)2 n+1 n+1 Esta contradicción demuestra que la sucesión es monótona creciente estrı́cta. Para demostrar el acotamiento utilizamos el desarrolo binomial de (an ): n 1 1 1 1 n n n = 1+ + + · · · + 1+ 1 2 n n n n2 nn > 1 + n 1 = 1 + 1 = 2, ∀ n. Por otro lado tenemos n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) 1 1 n = · k k nk 1 · 2 ··· k n = = n n−1 n−2 n−k+1 · · ··· n n n n 1 · 2 ··· k 1 1 2 k−1 (n − )(1 − · · · )(1 − ) 1 · 2 ··· k n n n 69 Por lo tanto es an 1 1 1 2 2 (1 − ) + (1 − )(1 − ) + · · · + 1·2 n 1·2·3 n n = 1 + 1 + 1 1 2 n−1 (1 − )(1 − ) · · · (1 − ) 1 · 2 ··· n n n n < 1 + 1+ 1 1 1 + + ··· 1·2 1·2·3 1 · 2 ···n < 1 + (1 + 1 − ( 21 )n 1 1 1 + 2 + · · · + n−1 ) = 1 + 2 2 2 1 − 12 1 = 1 + 2 − 2 n−1 Esto demuestra que (1 + < 3 ∀ n ≥ 1. 1 n ) es acotada inferior y superiormente. n Nota 14.- e es un número trascendente. Interés Continuo En conductas de crecimiento o decrecimiento como población, interés, descarga de un condensador o descomposición radioactiva, la sucesión permite una descripción adecuada de estas conductas. Problema: Se tiene un capital inicial c depositado en un banco a un interés p. Se desea saber el capital final, después de cierto tiempo, con un crecimiento continuo! Imaginemos la unidad monetaria depositada en el banco a un interés anual porcentual de p. Al finalizar el año tendrı́amos el capital p 100 Si calculamos el interés después de 6 meses, e. d., después de medio año. El capital al finalizar el año será 1+ p 1+ 2 × 100 + 1+ p 2 × 100 p 2 × 100 = p 1+ 2 × 100 2 Si dividimos al año en k partes iguales y calculamos el interés depués de cada k-ésimo perı́do, al final del año tenemos el capital 1+ p k k.100 70 (∗) Ahora hagamos p 1 p = =⇒ k = n . Entonces (∗) toma la forma k.100 n 100 p p n 100 n 100 1 1 = 1+ 1+ n n Si los perı́odos de calculo se tornan cada vez más pequeños, e. d., k −→ ∞ 100 y por ser n = k , también n −→ ∞. Por eso p p n 100 p p k 1 = e 100 = C lim 1 + = lim 1+ n→∞ n→∞ k.100 n El capital después de un año de 1 unidad monetaria calculando el interés continuamente es C. El capital final C de un capital inicial c en el tiempo t será C = ceαt , donde α es un coeficiente de proporcionalidad especı́fico. Cuando se trata de un decrecimiento el exponente αt es negativo . Si deseamos obtener el mismo capital al año, no aplicando el interés p continuamente, sino aplicando el interés p0 al concluir el año, tenemos p0 p p =⇒ p0 = 100 ln 1 + . e 100 = 1 + 100 100 Para p = 3 se tiene p0 = 2.9559. Ejercicios.- Discuta la monotonı́a, acotamiento y convergencia de las sucesiones. Haga uso de los criterios de convergencia. Intente calcular sus lı́mites, si existieran. 71 1) 1 n (1 + ) , 2n 2 √ 7) 9) 9n4 − 3n2 , nk an n2 2n 13) a1 := 15) 17) 19) 21) √ n+a n+b 12) 3, an+1 := , n n+1 n 16) 1 n 18) , 20) √ 2an , , , −2n2 + n n2 , an+1 := (−1)n n2 , , 14) a1 := 1, , r 1 4 + ( )2 , n 1 − 4n7 24 , n7 + 12n , 23) π 2 n2 − 8 16n2 25) ! √ n n 2 + 3 n2 , 3n2 − 2n + 5 27) 3 + an , 1 + 3n + 5n2 4n2 √ sin3 n n2 , n3 3n3 + 2n2 n ln n en 10) (3 + 4 ) 8) (nan ), |a| < 1, , n n+1 , 6) (2 − (−2)n ) , , k > 0, a > 0, √ 11) n √ √ 4) ( n + 1 − n), 3) (an ) , |a| < 1, 5) cos n 22) , 26) √ n2 + 6n + 1 − n , a n 1+ , n 28) 1 1+ n n+1 ! √ 29) (n( n a − 1)) , 30) ((−1)n n) , 31) (3n + (−2)n ) , 32) 72 , √ √ √ n( n + 1 − n) , 33) 35) 1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 2n n 2 p n4 +4−2 , 34) 1 + 2 + ··· + n n − n+2 2 r , 36 n 1− 5 1 1− n √ p 37) 9n4 + 3 − 3n2 , 39) Demostrar que n X 38) (−1)n , !! n3 + n2 n + 10 , ! . ! ak q k , |q| < 1 es una sucesión de Cauchy. k=0 Demostrar que de |an | −→ 0 sigue an −→ 0, n −→ ∞. n+1 ! 1 41) Demostrar que 1+ es monótona decreciente estrı́cta. n R · Rn 42) Sea la sucesión recursivamente definita R1 := 2R, Rn+1 := R + Rn + R para R > 0. Calcule su lı́mite. 40) 3.3.6 Series La utilización de las series en Análisis comienza con el cálculo de logarı́tmos. Son un instrumento importante en la representación y construcción de funciones. Def.- Sea dada la sucesión (an ). A la sucesión (sn ) de las sumas parciales s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , · · · , sn = a1 + · · · + an se llama serie infinita, más breve, serie y se designa con ∞ X ai = a1 + a2 + · · · + an + · · · . i=1 Los ai , i = 1, 2, · · · son los sumandos o miembros y el an el sumando general de la serie. Def.- La serie ∞ X ai se llama convergente :⇐⇒ (sn ) es convergente. i=1 s = lim sn es la suma de la serie y se escribe n→∞ s= ∞ X i=1 73 si . Si (sn ) no converge, la serie se llama divergente. Nota 1.- Si la divergencia es determinada, se dice que la serie diverge hacia ∞ o hacia −∞. Si la divergencia es indeterminada, se dice que la serie es oscilante. Nota 2.- La suma de una serie se reduce a la convergencia de una sucesión. Nota 3.- A una serie convergente se le designa con ∞ X ak < ∞. k=0 Ejemplos.1. ∞ X 1 1 1 1 = + + ··· + (k + 1)(k + 2) 1·2 2·3 (n + 1)(n + 2) k=0 1 1 1 = − (k + 1)(k + 2) k+1 k+2 Ya que sn = = 1 1 − 1 2 1− + 1 1 − 2 3 + ··· + se tiene 1 1 − n n+1 + 1 1 − n+1 n+2 1 . n+1 Por lo tanto s = lim sn = 1. La serie converge! n→∞ 2. ∞ X qk = 1 + q + q2 + · · · + qn + · · · (Serie geométrica). k=O sn = 1 + q + q 2 + · · · + q n = Para |q| < 1 se tiene sn −→ 3. 1 − q n+1 . 1−q 1 , n −→ ∞ = 1. La serie es convergente! 1−q ∞ X 1 1 1 1 = 1 + + + ··· + + ··· k 2 3 n k=1 74 (Serie armónica). sn = 1 + 1 1 1 + + ··· + 2 3 n ≥ 1 + 1 1 1 1 1 1 1 + ( + ) + ( + + + ) + 2 3 4 5 6 7 8 ( 1 2k−1 + 1 + ··· + ··· + 1 ) 2k ≥ 1 + 1 1 1 + 2· + 4· + 2 4 8 = 1 + k . 2 ··· + 2k−1 · 1 2k Por lo tanto, sn −→ ∞, n −→ ∞, e. d., cuando k −→ ∞. 4. ∞ X 1 = 1 + 1 + 1 + · · · + 1 + · · · −→ ∞ . k=1 5. ∞ X (−1)k = 1 − 1 + 1 − 1 + · · · +(−1)k + · · · (Serie oscilante). k=0 Nota 4.mostrará que Cuando dispongamos de herramientas más poderosas se de- ∞ X 1 π2 , = k2 6 k=1 3.3.7 ∞ X 1 =e, k! k=0 ∞ X xk k=0 k! = ex Teoremas sobre Convergencia de Series Expondremos sin demostración resultados importantes sobre la convergencia de series. Teor.- Si se eliminan o agregan un número finito de sumandos de una serie convergente, la serie sigue siendo convergente. Dem.- Sean ak1 , · · · , akm , m fijo, los sumandos que se agregan o quitan a los sumandos de la serie convergente. Haciendo uso de las leyes asociativa y commutativa, podemos escribir la nueva serie conteniendo los términos agregados o eliminados ∞ X k=o bk := ∞ X ak ± ak1 ± · · · ± akm = s1 ± so = s, k=o 75 donde s1 es la suma de las serie convergente, so es la suma de los términos agregados, −so de los elimados y s la suma de la nueva serie. Por lo tanto, la nueva serie converge. Analogamente, la divergencia de una serie no cambia al eliminar o agregar términos. Teor.- ∞ X ak es convergente =⇒ (ak ) es una sucesión nula. k=1 Dem.- Si la serie converge, las sucesiones (sn ) y (sn−1 ) de las sumas parciales convergen hacia el mismo lı́mite. Pero an = sn − sn−1 =⇒ lim an = n→∞ lim sn − lim sn−1 = s − s = 0. n→∞ n→∞ Nota 1.- La serie armónica no converge, sin embargo (ak ) es sucesión nula. Nota 2.- Si (ak ) no es nula o diverge, la serie diverge. ∞ X Ejemplo.- k=1 Teor.- ∞ X 1 k3 k3 no converge, ya que lim = . k→∞ 3k 3 + 2k 2 3k 3 + 2k 2 3 ak = s, k=1 Dem.- ∞ X ∞ X (ak + bk ) = ∞ X ak + k=1 ∞ X k=1 ∞ X (ak + bk ) = s + s0 , k=1 k=1 k=1 Ejemplo.- bk = s0 =⇒ 1 1 3( )k − 5( )k 8 3 ∞ X bk = s + s0 . k=1 = 3 ∞ X αak = αs. k=1 ∞ X αa = α k=1 ∞ X ak = αs. k=1 ∞ ∞ X X 1 1 29 ( )k − 5 ( )k = − . 8 3 14 k=1 k=1 Teor.- (Agrupación) Los sumandos de una serie convergente se agrupan por la ley asociativa, pero conservando el orden. La nueva serie obtenida es convergente al mismo lı́mite. Dem.- Sea s = ∞ X ak . Por consiguiente, la sucesión sn = a1 + · · · + k=1 an converge hacia s. Luego obtengamos la serie ∞ X bk , con bk = ak + ak+1 + · · · + ak+m , k=1 donde los ak+i , i = 1, · · · , m, son sumandos de la serie convergente. Es evidente que la sucesión de las sumas parciales s0n = b1 + · · · + bn es subsucesión 76 de (sn ). Por lo tanto, (s0n ) converge hacia s, e. d., la serie agrupada tiene la misma suma. Teor.- La convergencia de ∞ X ak es equivalente a la convergencia de k=0 Dem.- De la relación ∞ X ∞ X ak . k=n ak = ao + · · · + an−1 + k=0 ∞ X ak se deduce que k=n de la convergencia de una serie sigue la convergencia de la otra. Ejemplo.- Para |q| < 1 sabemos que ∞ X qk = k=0 1 , 1 + q + · · · + q n−1 1−q ∞ ∞ X X qn 1 − qn qn 1 − qn y . Por lo tanto, + = = ak = qk = 1−q 1−q 1−q 1−q k=n k=0 1 . 1−q 3.3.8 Teor.- Criterios de Convergencia de Series ∞ X ak , con ak ≥ 0 ∀ k, converge ⇐⇒ (sn ) es acotada por arriba. k=0 Dem.- ”=⇒” Si la serie converge, luego (sn ) converge, e. d., es acotada. ”⇐=” Ya que los ak ≥ 0, la sucesión (sn ) es monótona creciente. Además, (sn ) es acotada, por lo tanto, converge, e. d., la serie converge. ∞ X 1 , q ∈ Q. Para q ≤ 1 la serie diverge, para q > 1 converge. Ejemplo.kq k=0 Aquı́ utilizaremos las sumas parciales sn y s2i −1 con 2i − 1 ≥ n y estimaremos. Para el caso q ≤ 1 realizamos la estimación sn = 1 + 1 1 1 1 1 1 + q + ··· + q ≥ 1 + + + ··· + = s0n . q 2 3 n 2 3 n (s0n ) es la sucesión de las sumas parciales de la divergente serie armónica. Por eso la serie diverge para q ≥ 1. Para el caso q > 1 efectuaremos la estimación sn ≤ s2i −1 = 1 + ≤ 1 + 2· 1 1 + q 2q 3 + ··· + 1 2(i−1)q 1 1 + · · · + 2i−1 · (i−1)q q 2 2 77 1 + ··· + i (2 − 1)q < l ∞ X 1 1 = . (1−q) 2q−1 1 − q l=0 (sn ) es pués acotada por arriba. Asimismo se demuestra facilmente que es monótona creciente y por lo tanto convergente. En este caso, la serie armónica (q = 1) es la frontera entre series convergentes y divergentes. Teor.- (Criterio de Cauchy) ∞ X ak converge ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ no : ∀ n, m k=0 con n > m ≥ no se tiene |sn − sm | = |am+1 + ... + an | < ε. Dem.- ” =⇒ ” Si la serie converge, entonces (sn ) converge, e. d., es de Cauchy y se cumple |sn − sm | < ε, ∀ ε > 0 y ∀ n, m ≥ no . ” ⇐= ” Sea |am+1 + ... + an | < ε, ∀ ε > 0, n > m ≥ no . Entonces (sn ) es sucesión de Cauchy y la serie converge. ∞ X 1 con ayuda del Cri1 + k2 k=1 terio de Cauchy. Como m < n, hagamos n = m + p, p ≥ 1 . Ahora debemos demostrar que para todo ε > 0 existe un no con n > m ≥ no , tal que se cumple |sn − sm | < ε, e. e., Ejemplo.- Examinemos la convergencia de 1 1 1 1 1 1 + + ··· + < + +···+ 2 1 + (m + 1)2 1 + (m + 2)2 1 + (m + p)2 m2 m2 m r p p = < ε, cuando m > . La serie converge. 2 m ε El manejo de este criterio requiere cierto esfuerzo. Teor.- (Criterio del Mayorante) Sean dadas las series con ak ≤ bk para todo k. Si ∞ X bk converge, entonces k=1 ∞ X ∞ X k=1 ak y ∞ X bk k=1 ak también converge. k=1 Dem.- sn = a1 + · · · + an es monótona creciente por ser ak ≥ 0 para todo k. Además, por hipótesis, es sn ≤ b1 + · · · + bn = s0n ≤ s0 = ∞ X k=1 78 bk ∀ n, e. d., (sn ) es acotada y monótona creciente, por lo tanto, convergente. Nota 1.- La serie ∞ X bk se llama mayorante para k=1 ∞ X ak . k=0 Nota 2.- El criterio se cumple también cuando es ak ≤ bk ∀ k ≥ no ∈ N fijo. ∞ X 1 . Para esto Ejemplo.- Con este criterio analicemos la convergencia de k2 k=1 ∞ X 1 utilizamos la serie convergente . Pero si comparamos los respectivos k(k + 1) k=1 1 1 sumandos de ambas series tenemos ak = 2 ≥ = bk para todo k. De k k(k + 1) esta desigualdad nada podemos concluir sobre la convergencia que analizamos. ∞ X 1 Sinembargo, a la serie que examinamos lo escribimos en la forma (k + 1)2 k=0 y comparamos los sumandos a partir de no = 1, luego obtenemos la relación 1 1 ak = ≤ = bk para todo k ≥ 1. Por tanto, la serie converge. 2 (k + 1) k(k + 1) Nota 3.- El Criterio del Mayorante se puede generalizarse al exigir que ∞ ∞ X X sean |ak | ≤ |bk | para todo k y |bk | convergente. Entonces ak también k=p k=p converge y se cumple ∞ X ak ≤ k=p ∞ X |bk |. k=p En efecto, para todo ε > 0 hay un no , tal que n X ak ≤ k=m+1 Según esto, y se cumple P ∞ X k=p n X |bk | < ε, si n > m > no . k=m+1 ak satisface el Criterio de Cauchy para series, es convergente ak = lim n→∞ n X ak ≤ k=p lim n→∞ n X k=p |bk | = ∞ X |bk | k=p P Nota P 4.- Si en el teorema del Criterio del Mayorante, la serie ak diverge, P entonces b también diverge. Si aceptamos que b es convergente, luego k k P ak converge por el Criterio del Mayorante. Contradicción. 79 Aquı́, P ak se llama la minorante para P Ejemplo.- Examinemos la convergencia de bk . ∞ X 1 √ . Para eso utilizamos la k k=1 ∞ X 1 1 1 . Puesto que se cumple √ ≥ para todo k, k k k k=1 por la nota 4., la serie diverge. serie divergente armónica Ejercicios.- Examine la convergencia o divergencia de las series. 1) ∞ X k=1 4) k3 , k 5 + 5k 4 + 7 ∞ X k+3 , k(k + 1) 2) 5) k=1 ∞ X 1 √ , k 2 + k2 + k k=1 ∞ X k+2 √ , k 4k − 1 k=1 3) ∞ X k=1 6) 2k 1 −1 ∞ X 1 . kk k=1 Series Alternas Def.- Una serie, para la cual se cumple ak · ak+1 < 0 para todo k, se llama serie alternante. Nota 5.- Una serie alternante se puede escribir en la forma ∞ X (−1)k−1 ak k=1 con ak > 0 para todo k. Un ejemplo tı́pico es la Serie de Leibniz ∞ X (−1)k k=0 1 1 1 1 = 1 − + − + − ··· . 2k + 1 3 5 7 Teor.- (Criterio de Leibniz) Sea (ak ) una sucesión nula monótona de∞ X creciente. Entonces (−1)k−1 ak converge. k=1 Dem.- La idea de la demostración está en observar por separado a las sumas parciales s2n y s2n−1 . Las sumas paraciales s2n constan de un número par de sumandos y constituyen la sucesión (s2n ) monótona creciente, pués se cumple s2n+2 = s2n + a2n+1 − a2n+2 ≥ s2n , ya que a2n+1 − a2n+2 ≥ 0, por ser (ak ) monótona decreciente. 80 Las sumas parciales s2n−1 constan de un número impar de sumandos y conforman la sucesión (s2n−1 ) monótona decreciente, pués es s2n+1 = s2n−1 − a2n + a2n+1 ≤ s2n−1 , ya que −a2n + a2n+1 ≤ 0, por ser (ak ) monótona decreciente. Ambas sucesiones (s2n ) y (s2n−1 ) son acotadas inferiormente por s2 y superiormente por s1 : s2 ≤ s2n = s2n+1 − a2n+1 ≤ s1 , ∀ n. Estos hechos se grafican en la Fig. ?. F ig.? De la monotonı́a y acotamiento sigue que existen s0 = lim s2n n→∞ s00 = y lim s2n−1 . n→∞ Por otro lado, tenemos s2n − s2n−1 = −a2n . Puesto que (−a2n ) es una sucesión nula, tenemos lim (s2n − s2n−1 ) = n→∞ lim s2n − lim s2n−1 = s0 − s00 = n→∞ n→∞ lim −a2n = 0, n→∞ de donde se obtiene s = s0 = s00 . Los elementos de (sn ) son o elementos de (s2n ) o de (s2n−1 ). Por eso el lı́mite de (sn ) es s. Con esto el teorema está demostrado. Ejemplos.- Según este criterio, la serie de Leibniz converge, ya que la 1 ) es monótona decreciente. Se demuestra que converge muy sucesión nula ( 2k+1 letamente hacia π4 , por eso no es apropiada para el cálculo de π. La serie armónica alternante 1 1 1 + − + − ··· 1 − 2 3 4 también cumple con el Criterio de Leibniz y su suma es ln 2. Nota 6.- s está entre s2n y s2n−1 . Por eso es |s − s2n−1 | ≤ |s2n − s2n−1 | = | − a2n | = a2n , e. e., con a2n se estima el error de s, s2n−1 es el valor aproximado. P Nota 7.- Analicemos la convergencia de la serie alternante ak definida por 1 1 y a2k := − √ . a2k−1 := √ k+1−1 k+1+1 Aquı́ (ak ) es sucesión nula pero no monótona. Aceptemos que la serie converga, entonces por el teorema de agrupación de sumandos, podemos escribir ∞ X k=1 ak = ∞ X (a2k−1 + a2k ). k=1 81 √ √ k+2+1− k+2+1 2 √ = √ = , k + 1 ( k + 2 − 1)( k + 2 + 1) Por ser ak = a2k−1 + a2k P la serie ak es minorizada por la serie armónica, por lo tanto diverge. Contradicción a nuestra aceptación. Por eso la importancia de la monotonı́a de la sucesión nula (ak ) para asegurar la convergencia de la serie alternante. Ejercicios.- Con ayuda del Criterio de Leibniz analice la convergencia de las series y estime el error. 1) ∞ X 1 (−1)k √ , k k=1 2) ∞ X (−1)k k=1 k2 , 1 + k2 3) ∞ X (−1)k k=1 1 . k! Convergencia Absoluta Def.- La serie vergente. ∞ X ak se llama convergente absoluta, si k=1 ∞ X |ak | es con- k=1 Nota 8.- Para series con términos no negativos, ”convergente” y ”convergente absoluta” significan lo mismo. P Ejemplos.- La serie armónica alternante (−1)k−1 k1 es convergente, pero no convergente absoluta, pués la serie correspondiente de valores absolutos es la serie armónica y esta diverge. P P En cambio, las series (− 13 )k y ( 31 )k convergen absolutamente, como ya lo vimos anateriormente. Teor.- Si una serie P ak converge absoutamente, entonces converge. P P Dem.- Sea ak convergente absoluta, e. d., |ak | es convergente y cumple con el Criterio de Cauchy, para todo ε > 0 existe un no con |am+1 |+· · ·+|an | < ε para todo n > m > no . Pero |am+1 + · · · + an | ≤ |am+1 | + · · · + |an | < ε, ∀ n > m > no , P por consiguiente, por el mismo Criterio de Cauchy, ak converge. Nota 9.- Se cumple s = P ak ≤ Teor.- (Criterio del Cociente) Sea P |ak | = s0 . ∞ X ak una serie con ak > 0 a partir k=0 de un cierto n y para todo k ≥ n se cumpla ak+1 ≤ q, ak 0 < q < 1, 82 (CC) entonces la serie converge. En cambio, si se cumple la serie diverge. ak+1 ≥ 1 para k ≥ n, ak Dem.- Se cumpla (CC), entonces tenemos ak+1 ≤ qan , ak+2 ≤ qak+1 , ak+3 ≤ qak+2 , · · · . Al reemplazar la primera desigualdad en la segunda y ası́ sucesivamente, resulta ak+1 ≤ qan , ak+2 ≤ q 2 an , ak+3 ≤ q 3 an , · · · . Pero esto significa que la convergente serie geométrica an es un mayorante para ∞ X ∞ X qk , 0 < q < 1 k=n ak , por lo tanto, esta converge y también k=n ak+1 ∞ X ak . k=0 ≥ 1 a partir de un n. De esto sigue ak+1 ≥ ak para ak todo k ≥ n. La sucesión (ak ) de términos positivos es monótona creciente y no se cumple lim ak = 0, condición necesaria para la convergencia de series. Por Ahora se cumpla k→∞ eso la serie diverge. ak+1 = ak q existe, entonces para q < 1 la serie converge, para q > 1 diverge y para q = 1 nada se puede afirmar. Nota 10.- (Criterio del Cociente en forma de Lı́mite). Si lim k→∞ Ejemplo.- ∞ X 1 . Esta serie converge. En efecto, k! k=1 ak+1 k! 1 1 1 · = ≤ = q < 1, ∀ k ≥ 1. = ak (k + 1)! 1 k+1 2 Pero también 1 −→ 0 = q < 1, cuando k −→ ∞ . k+1 Nota 11.- Veremos que para ∞ X k=1 1 el Criterio del Cociente (3k − 2)(3k + 1) falla. En efecto (3k − 2)(3k + 1) 3k − 2 6 ak+1 = = = 1− . ak (3k + 1)(3k + 4) 3k + 4 3k + 4 ak+1 ak+1 < 1, pero no existe un q < 1, tal que ≤ q a partir ak ak 6 de un cierto n, ya que se vuelve lo suficiente pequeño con k creciente. 3k + 4 Se obtiene 83 ak+1 = 1 y nada se puede decir sobre su convergencia. Sin ak embargo la serie converge y su suma es 13 . Por otro lado lim k→∞ Teor.- (Criterio de la Raı́z) Sea ∞ X ak una serie con ak > 0 a partir k=0 de un cierto n y para todo k ≥ n se cumpla √ k ak ≤ q, 0 < q < 1, (CR) entonces la serie converge. En cambio, si se cumple la serie diverge. √ k ak ≥ 1 para k ≥ n, Dem.- Se cumpla (CR), en consecuencia, tenemos ak ≤ q k para k ≥ n. La ∞ ∞ X X serie convergente q k , 0 < q < 1, mayora a ak , por eso, esta converge y también ∞ X k=n k=n ak . k=0 (Criterio de la Raı́z en forma de Lı́mite). Si lim √ k k→∞ ak = q, entonces para q < 1 la serie converge, para q > 1 diverge y para q = 1 nada se puede afirmar. p Esta forma se expresa también como lim sup k |ak |. Ejemplos.- Analizar la convergencia de a) k ∞ X 2k + 1 y de b) 3k − 1 Según el Criterio de la Raı́z y su forma lı́mite para a), tenemos k=0 √ k ak = Y también lim √ k k→∞ ∞ X 2k k=1 k3 . 7 2k + 1 ≤ = q < 1 para k ≥ 3. 3k − 1 8 ak = 2 = q < 1. La serie converge. 3 Para b) tenemos " 1 #3 k3 1 k 1 (ak ) = 2 =2 −→ 2 · 13 = 2, k −→ ∞. k k 1 k Esta serie diverge. Nota 12.- Los Criterios del Cociente y de la Raı́z no son equivalentes. De √ ak+1 la existencia de lim k ak sigue la existencia de lim , pero no a la inversa, k→∞ k→∞ ak de manera que el Criterio de la Raı́z es más eficiente, pero el del Cociene es 84 más fácil de determinar. Esto lo constataremos en un ejemplo. Determinar la convergencia de la serie ∞ X an = n=1 donde a2k−1 = 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· , 2 3 2 3 2 3 1 1 , a2k = 2k , k = 1, 2, · · · . Luego se tiene 22k−1 3  1    2 para n = 2k − 1, √ n an =    1 para n = 2k, 3 de manera que, según el Criterio de la Raı́z, se concluye que la serie converge. En cambio tenemos  n 1 2   para n = 2k − 1,    3 3 an+1 = n  an  1 3    para n = 2k, 2 2 2k−1 an+1 1 2 1 2 2 an+1 de donde resultan = ≤ · = y = an 3 3 3 3 9 an 2k 1 3 9 an+1 · ≥ . Por esto, no hay ningún q < 1 para el cual se cumple ≤q 2 2 8 an an+1 ≥ 1 para todo para todo n a partir de un cierto no . Tampoco se cumple an n a partir de un no . Con el Criterio del Cociente no es posible hacer enunciado alguno sobre la convergencia de la serie. Ejercicios.- Decidir la convergencia de a) ∞ X k=1 3.3.9 1 , (ln k)k b) ∞ X k=1 1 1− k , ∞ X k c) , 10k k=1 d) ∞ X k=1 1 . 2k + 1 Convergencia Condicionada. Reordenamiento de Series No todas las reglas de cálculo para sumas finitas se cumplen irrestrictamente para las series. Ni la ley asociativa ni la commutativa. Veremos en contraejemplos. La serie 1 − 1 + 1 − 1 + − diverge indeterminadamente, pero si asociamos sus sumandos, tenemos series convergentes con diferentes sumas, (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = 0, 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1. 85 Ahora analizaremos la influencia de la ley commutativa a la convergencia de series. Sabemos que la serie armónica alternante converge, sea s su suma, s = 1− 1 1 1 1 1 1 1 + − + − + − + − ··· . 2 3 4 5 6 7 8 Luego cambiemos o commutemos el orden de sus sumandos y ası́ obtenemnos 1+ 1 1 1 1 1 1 − + + − + + ··· . 3 2 5 7 4 9 Para calcular su suma multiplicamos a s por 12 s, lo que es válido, y escribimos 1 1 1 1 1 s = 0 + + 0 − + 0 + + 0 − + ··· . 2 2 4 6 8 Sumando s y 12 , según el teorema se suma de series convergentes, resulta 1 1 1 1 1 3 s = 1 + − + + − + ··· . 2 3 2 5 7 4 Esto demuestra, al commutar los sumandos de la serie armónica, la suma cambia, en contraposición a la suma de muchos, pero finito número de sumandos, que no varı́a ante culaquier cambio de orden de estos. Veremos que la suma de cualquier orden de una seris abasultamente convergente no cambia. Def.- ∞ X bk se llama reordenamiento de k=1 ∞ X ak , si la primera se obtiene k=1 de la segunda al intercambiar el orden de los sumandos de esta. Def.- Una serie se llama convergente condicionada, si es convergente y existe un reordenamiento de la serie que posee otra suma o no converge. La serie se llama convergente incondicionada, si es convergente y su suma permanece invariante ante cada reordenamiento de la serie. Ejemplos.- Un ejemplo tı́pico de seire convergente condicionada es la serie ∞ X 1 (−1)k+1 √ . armónica alternante antes analizada, pero también n k=1 Teor.- Una serie convergente absoluta es convergente incondicionada. Dem.- a) Demostraremos primero para el caso en que los términos de la ∞ ∞ X X serie convergente son positivos. Sea ak tal serie y bk un reordenamiento k=1 k=1 cualquiera. Todos los términos de una cierta suma parcial sn = a1 + · · · + an de la serie dada intervengan en una suma paricial tm = bq + · · · + bm de la 86 serie reordenada. Para eso solo hay que elegir m lo suficiente grande. Pué es sn ≤ sm , n ≤ m. A la inversa, todos los sumandos tm intervienen en una suma parcial sp con m ≤ p. De lo cual resulta tm ≤ sp . Cuando n → ∞, también m y p → ∞, tal que obtenemos s = lim sn ≤ lim tm ≤ lim sp = s. Por lo tanto lim tm = s, n→∞ e. e., ∞ X p→∞ bk es convergente y tiene igual suma que k=1 b) m→∞ Si los términos de ∞ X m→∞ ∞ X ak . k=1 ak tienen cualquier signo, consideremos, por k=1 separado, el comportamiento de la serie con términos positivos ∞ X qk , con k=1 ceros donde estuvieron los negativos, respectivamente la serie de términos ∞ X negativos −rk con ceros donde estuvieron los positivos. Debido a esto es k=1 qk = 21 (|ak | + ak ) y rk = 12 (|ak | − ak ) y siguen ak = qk − rk y |ak | = qk + rk . ∞ ∞ ∞ X X X Si ak converge absolutamente, entonces qk y rk convergen convergen k=1 por tener a ∞ X k=1 k=1 |ak | como mayorante, por ser qk ≤ |ak | y rk ≤ |ak | para todo k. k=1 Se cumple ∞ X k=1 ak = ∞ X qk − ∞ X rk . (S) k=1 k=1 Como se mostró en a), por ser qk ≥ 0, rk ≥ 0, convergen incondicionalmente. Si los términos de ∞ X ∞ X k=1 qk y ∞ X rk k=1 ak se reordenan, lo mismo sucede k=1 entre los términos de qk y rk y las sumas de estas series permanecen invariantes ∞ X y también la suma ak por la igualdad (S). k=1 Nota 1.- Las series que convergen incondicional son precisamente las que convergen absolutamente. P P Sobre el comportamiento de las series qk y rk , cuando la serie es convergente condicionada, nos da información el Teor.- Si ∞ X ak es convergente condicionada, entonces, tanto la serie de k=1 los términos positivos como la de los negativos divergen. 87 Dem.- Por hipótesis, la sucesión (sn ) = (a1 + · · · +an ) es convergente, pero la sucesión (tn ) = (|a1 | + · · · + |an |) no, caso contrario, la serie dada convergerı́a absolutamente y por el teorema anterior, serı́a convergente incondicionada. Como suma de sumandos no negativos, tn = (q1 +· · ·+qn ) + (r1 +· · ·+rn ) será tan grande como se quiera cuando n → ∞ y por eso, por lo menos una de las sumas parciales del lado derecho de esta igualdad tiende a ∞ cuando n → ∞. Pero si se acepta, que solo una de estas sumas parciales diverga, resulta una contradicción a la convergencia de (sn ) = ((q1 + · · · + qn ) − (r1 + · · · + rn )). Por eso ambas series tienden hacia ∞. Sin demostración formulamos dos teoremas que se derivan de los anteriores. Teor.- (Torema del Reordenamiento) Todo reordenamiento de una serie absolutamente convergente es también convergente absoluta y hacia el mismo valor. P Teor.- (Teorema del Reordenamiento de Riemann) Si ak converge condicionalmente, entonces, mediante un reordenamiento, se puede conseguir que converga a un número real cualquiera o diverga hacia −∞ o ∞. No mencionaremos el Gran Teorema del Reordenamiento. 3.3.10 Series Dobles Def.- Una serie de la forma ∞ ∞ X X aik , donde (aik ) es una sucesión doble, se i=0 k=0 llama serie doble. El problema que ahora se presenta es examinar su convergencia y calcular su suma s. Pero antes procedemos a fijar algunas ideas. (aik ) se puede escribir como una matriz infinita a00 a10 a20 . . . a01 a12 a21 . . . a02 a12 a22 . . . ··· ··· ··· Luego construı́mos las series zi = ∞ X aik , ”i-ésima fila-suma, i fijo”. k=0 sk = ∞ X aik , ”k-ésima columna-suma, k fijo”. i=0 88 dn = X aik , ”n-ésima diagonal-suma, n fijo”. i+k=n Aquı́ hay que averiguar si la serie zi y luego probaremos si ∞ X ∞ X aik converge para cada i, e. d., si existe k=0 zi converge. Si ası́ fuera, escribimos i=0 s = X zi = i=0 ∞ X ∞ X aik . i=0 k=0 Con frecuencia hay que decidir sobre la pregunta, si está permitido intercambiar los procesos de convergencia, e. e., si se cumple ∞ X ∞ X aik = i=0 k=0 ∞ X ∞ X aik . k=0 i=0 A esta situación lo aclara el Teor.- (Teorema de las Series Dobles) El conjunto dePtodas las Psumas ∞ ∞ finitas de los sumandos |a | sea acotado. Entonces las series z , ik i i=0 k=0 sk P∞ y n=0 dn convergen absolutamente y se cumple ∞ X zi = i=0 ∞ X sk = ∞ X dn . n=0 k=0 Dem.- Ordenemos los aik de la serie doble considerada en alguna manera. Debido al acotamiento de las sumas parciales de los términos absolutos, la serie converge absolutamente. Del Teorema del Ordenamiento sigue lo afirmado. ∞ X 1 , q ∈ Q, q > 1, construı́mos la función ζ(q) = kq k=1 ∞ ∞ X X 1 . Ahora queremos analizar la convergencia de (ζ(i) − 1), i ∈ N. kq k=2 k=1 Inmediatamente, usando la serie geométrica, obtenemos Ejemplo.- De la serie n X m n X ∞ X X X 1 1 1 < = < 1 ∀ n, m, k k i i k(k − 1) i=2 i=2 k=2 k=2 k=2 que las sumas finitas de los valores absolutos de los términos de la serie doble son acotadas. Luego, aplicando el Teorema de las Series Dobles resulta ∞ X i=2 (ζ(i) − 1) = ∞ X ∞ ∞ X X 1 1 = = 1. k i k(k − 1) i=2 k=2 k=2 89 ∞ X 1 , q > 1, se llama función zeta de Riemann y kq k=1 juega un rol en la investigación de la distribución de los números primos. Nota 1.- ζ(q) = Series dobles intervienen particularmente en la multiplicación de series. P∞ P∞ Se multiplica cada término de la serie i=0 ai con cada término de la serie k=0 bk , entonces se obtiene la matriz (ai bk ). Los zi y dn toman la forma zi = ai ∞ X bk , k=0 La serie P∞Def.- P ∞ i=o ai y k=o bk . X dn = ai bk = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an b0 . i+k=n P∞ n=o dn se llama producto de Cauchy de las series Nota 2.- Se entiende facilmente que también se puede escribir dn = n X ai bn−i ∞ X y dn = n=0 i=0 ∞ X n X ai bn−i . n=0 i=0 P P Si las series ai y bk convergen absolutamente, entoces cada suma finita P∞ P ∞ de términos |ai bk | es acotada por el número i=o |ai | · k=o |bk |. Haciendo uso del Teorema de las Series Dobles, resumiremos este resultado en el Teor.- (Teorema de la Multiplicación de Series) El producto de ∞ ∞ ∞ X X X Cauchy dn de las series convergentes absolutas ai y bk también n=0 i=0 k=0 converge absolutamente y se cumple ∞ X dn = n=0 ∞ X ! ai · i=0 Ejemplo.- Para |x| < 1 hemos calculado ∞ X ! bk . k=0 ∞ X i=0 xk = 1 . Por eso tenemos 1−x ∞ X 1 2 2 2 3 = (1+x+x · · · )(1+x+x +· · · ) = 1+2x+3x +4x +· · · = nxn−1 . (1 − x)2 n=1 3.3.11 Series de Potencias Las series más importantes del Análisis son las series de potencias. 90 Def.- Una serie de la forma p(x) = ∞ X ak xk = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · . k=0 se llama series de potencias, los ak son los coefientes. Su propiedad fundamental es el radio de convergencia descubierta por H. Abel, que estudiaremos después. Ejemplo.- ∞ X k k a x = k=1 ∞ X (−1)k−1 k=1 (x − 1)k k es una serie de potencias. k−1 Para que tome la forma de p(x) hacemos ak := (−1)k y y := x − 1. Un problema tı́pico es averiguar para que x ∈ R converge la serie. Para eso, en este caso, cuando los sumandos son potencias, podemos emplear el Criterio de la Raı́z. Puesto que los sumandos cambian de signo, probamos la convergencia absoluta de la serie. En efecto r r k p k |x − 1| k 1 k |ak | = lim = |x − 1| lim = |x − 1|. a = lim k→∞ k→∞ k→∞ k n El Criterio de la Raı́z dice, para que la serie converga tiene que cumplirse |x − 1| < 1 y para |x − 1| > 1 diverge. Según este criterio, para todo x con 0 < x < 2 la serie converge y para x < 0 y x > 2 diverge. En los puntos frontera x = 0 y x = 2, la convergencia se analiza por separado, ya que el Criterio de la Raı́z para a = 1 no dice nada. Para x = 0 es ak = (−1)k−1 (−1)k 1 = − k n y ∞ X ∞ − k=1 X1 1 = (−1) . n n k=1 En x = 0 la serie es igual a la serie armónica multiplicada por −1, por eso 1 diverge. Para x = 2 es ak = (−1)k−1 . Para estos sumandos, por el Criterio n de Leibniz, la serie converge. En conclusión, la serie de potencias dada converge para 0 < x ≤ 2. Teor.- Converge p(x) en un xo ∈ R con xo 6= 0, entonces converge absolutamente en cada x ∈ R con |x| < |xo |. Dem.- Si p(x) converge en xo hay un s con |ak xko | < s para todo k. Luego es |ak xk | = |ak xko | · x xo k ≤ sq k con q = La serie p(x) posee pués a la serie convergente s y por eso es convergente absoluta. 91 P∞ x xo k=o < 1. q k como mayorante Def.- r := r(p) = sup{x ∈ R / p(x) converge}. Teor.- La serie de potencias p(x) es (a) convergente absoluta para todo x con |x| < r, (b) divergente para todo x con |x| > r. Dem.- De (a). Sea |x| < r. Por la definición de r hay un r0 con |x| < r0 < r, tal que p(r0 ) converge. Por el teorema anterior, p(x) converge absolutamente. Sea ahora |x| > r. Fuese p(x) convergente, entonces, también por el teorema anterior, p(x) serı́a convergente en cada r0 con r < r0 < |x|. Contradicción a la propiedad de supremo de r. Def.- r ≥ 0 se llama radio de convergencia de p(x), si p(x) converge para todo |x| < r y diverge para |x| > r y (−r, r) es el intervalo de convergencia. Ejemplo.- Un ejemplo de serie de potencias es la serie geométrica Su radio de convergencia es r = 1. P∞ k=o xk . Def.- Una serie de potencias p(x) se llama permanentemente convergente, si converge para todo x ∈ R. Si solo converge para x = 0, se dice que no converge en niguna parte. Corolario.- (Cálculo del Radio de Convergencia de p(x)) p 1 con l = lim k |ak | (Fórmula de Cauchy-Hadamard ). k→∞ l ak+1 1 con q = lim , si el lı́mite existe (Fórmula de Euler ). r = k→∞ q ak r = Dem.- Según el Criterio de la Raı́z, para que p(x) converga tiene que cumplirse q p 1 lim k |ak ak | = |x| · lim k |ak | = |x| · l < 1 =⇒ |x| < = r, k→∞ k→∞ l 1 cuando es 0 < l < ∞, y para que p(x) diverga debe cumplirse |x| > = r, l 1 1 e. d., es el radio de convergencia. Cuando l = 0, ponemos r = = ∞ l 0 1 = 0. y cuando l = ∞, hacemos r = ∞ Analogamente, la Fórmula de Euler sigue del Criterio del Cociente. Nota 1.- Sobre la convergencia o divergencia en {x / |x| = r}, e. d., en la frontera del intervalo de convergencia (r, −r) no se puede hacer ninguna 92 afirmación general y debe examinarse la convergencia en −r y r individualmente. Ası́ tenemos las series a) ∞ X xk , b) k=1 ∞ X xk k k=1 , c) ∞ X xk k=1 k2 . Según las Fórmula de Euler, las tres series tienen el radio de convergencia 1. Sin embargo, para los x con |x| = 1, la convergencia para cada caso es diferente: a) para x = −1 diverge indeterminadamente, para x = 1, determinadamente. b) para x = −1 converge, para x = 1, diverge. P −2 c) converge tanto para x = −1 como para x = 1, ya que n converge. ∞ X ∞ X ak xk! = x + x + x2 + x6 + x24 + · · · = xk! , k=0 k=0 p k |a donde a = 1, si k = k! y a = 0, si k = 6 k!. Entonces k | = 1 ó k k p 1 k |ak | = 0. En este caso l = sup{0, 1} = 1, y r = l = 1. En cambio la Fórmula de Euler no es aplicable, ya que en aak+1 , ak puede k ser cero. Más prático, argumentamos ası́: Para |x| > 1 la serie diverge, porque los términos no forman una sucesión nula. Para |x| < 1, a la serie lo mayorizamos con la serie geométrica convergente. Por eso es convergente. Ejemplo.- Nota 2.- Las series de potencias dan lugar a dos problemas importantes: (1) Sea dada una serie de potencias p(x). ¿Para que x converge? ¿Cual es su suma? ¿Que propiedades tiene p(x)? (2) Dada una función f (x). ¿Se puede representar por una serie de potencias, e. d., f (x) = p(x) para todo x ∈ D(f )? Def.- f : I −→ R se llama función analı́tica o regular u holomorfa en xo ∈ I, si hay una serie de potencias con radio de convergencia r > 0 y un δ > 0 con xo ∈ Eδ (xo ) ⊂ I y se cumple f (x) := ∞ X ak (x − xo )k , |x − xo | < r. k=0 f se llama analı́tica en I, si es analı́tica en cada x ∈ I. Nota 3.- Si xo = 0, se tiene la forma inicial de p(x). Y viciversa, si se reemplaza x por x − xo se obtiene esta forma de serie de potencias. Ejemplos.- 1) f (x) = ex = ∞ X xk k=0 k! = 1+x+ Su radio de convergencia es r = ∞, ya que 93 x2 x3 x4 + + + ··· . 2! 3! 4! (n + 1)! = n + 1 −→ ∞. n! 2) f (x) = ln(1 + x) = ∞ X k=1 (−)n−1 x2 x3 x4 x5 xn = x− + − + −+···. n 2 3 4 5 Su radio de convergencia es r = 1, pués es α 3) f (x) = (1 + x) n+1 −→ 1 . n ∞ X α k = x = 1 + αx + k k=0 α(α − 1) 2 x + 2! α(α − 1)(α − 2) 3 x + 3! ··· . Su radio de convergencia es r = 1, según el Criterio del Cociente. Esta √ serie se llama la serie binomial. De aquı́ se obtiene series para 1 + x cuando 1 α = 21 y para √1+x cuando α = − 12 . Nota 4.- En la serie binomial se ha generalizado el coeficiente binomial para cualquier α ∈ R y k ∈ N al definir:  α(α − 1) · · · (α − k + 1)   , si k > 0, α k! :=  k  1 si k = 0. Nota 5.- Para α ∈ N, la serie binomial se interrumpe, pués para k > α es α = 0. (¿Porque?). En este caso tenemos el Binomio de Newton. k Un estudio detallado de las funciones analı́ticas pertenecen a la disciplina de Teorı́a de Funciones, llamada también Análisis de Variable Compleja. Un tema de actualidad y de gran aplicabilidad práctica en la Industria (Tecnomatemática) es el de Series de Fourier y merecen un estudio especializado. Una de las aplicaciones de la diferenciación es la representación de una función mediante Series de Taylor y de Maclaurin. 3.4 LIMITES Y CONTINUIDAD Como veremos el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral se basan en el concepto de lı́mite. Hoy en dı́a ambos calculos son herramientas indispensable para la descripción matemática de fenómenos naturales, pero también de precesos técnicos y económicos. Historicamente los creadores del Cálculo Diferencial, independientes uno del otro, son Isaac Newton (1643 – 1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) y desde entonces ya se calculaba con diferenciales, pero solo con una definición precisa y rigurosa de lı́mite por Bernard Bolzano 94 (1781 – 1848) y Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) se crea un sólido fundamento para el cálculo con infinitésimos. El concepto de lı́mite nos lleva también al concepto de continuidad. Los conceptos de lı́mite, continuidad y derivada se emplean en la descripción exacta de comportamientos o estados de diferentes áreas cientı́ficas. 3.4.1 Lı́mite de una Función Dada una función f : M ⊂ R −→ R nos interesa saber que pasa con f (x) cuando x ∈ M se aproxima a xo ∈ R. Para motivar la definición del concepto de lı́mite trataremos la siguiente situación: A través de un punto fijo Po ( 21 , 14 ) y un punto variable o movible P (x, x2 ) trazaremos una secante a la parábola y = x2 , más exacto, al grafo de la función y = x2 (ver Fig. 1). La pendiente de la secante, se sabe por la Geometrı́a Analı́tica, está dada por la función f del punto movible x: f (x) = x2 − 41 , x − 12 x 6= 1 . 2 (1) F ig.1 Intuitivamente, a causa de que x se aproxima al lugar xo = 21 , se supone, la secante aterriza en una cierta posición lı́mite, y por lo tanto también su pendiente (1) toma un un cierto valor lı́mite. La función f en el lugar xo = 12 no está definida. Para x 6= 12 se cumple f (x) = (x − 12 )(x + 12 ) 1 = x+ 1 2 x− 2 (x 6= 1 ) 2 (2) El graf (f ) o la curva de f está representada en Fig. 1. La intuición nos dice algo como esto: Cuando x tiende hacia 12 , f (x) tiende hacia 1. Ahora nuestra tarea es dar un definición precisa y manejable de lı́mite de una función en un punto, independiente de nuestra intuición. Queremos analizar la conducta de una función f cuando la variable independiente se aproxima a un lugar fijo xo , entonces es conveniente dejar a x recorrer a una sucesión (xn ) con las siguientes propiedades: 1. xn ∈ D(f ) = M ∀ n = 1, 2, 3, · · · , 2. xn 6= xo 3. ∀ n, lim xn = xo n→∞ 95 La propiedad 3) dice que la conducta de f en xo no es de interés, e. d., f (xo ), pero si, que f estea definida en un Eε (xo ) = {x/ xo − ε < x < xo + ε, x 6= xo } aunque no necesariamente en xo mismo (ver Fig. 3). La comportamiento de f en un entorno punteado de xo será caracterizado por la conducta de la sucesión (f (xn )). F ig.3 F ig.4 Def.- La función f sea, por lo menos, definida en un entorno de xo . El número l se llama lı́mite de f cuando x tiende hacia xo , si para cada sucesión (xn ) con las propiedades 1., 2. y 3., la sucesión converge hacia l. En sı́mbolos lim f (x) = l o f (x) −→ l, cuando x −→ xo x→xo Nota 1.- Con esto, el concepto de lı́mite de una función se ha reducido al concepto de lı́mite de una sucesión. En Fig. 4 dibujaremos tres miembros de una sucesión (xn ) y los tres miembros correspondientes de la sucesión (f (xn )). Ejemplo 1.- Busquemos el lı́mite de la función f (x) = x2 − 41 x − 12 para x→ 1 2 Sea (xn ) una sucesión cualquiera con xn 6= 1 2 para todo n y lim1 xn = n→ 2 1 2 Aplicando (2) y teoremas conocidos de lı́mites de sucesiones se tiene 1 1 1 1 = lim xn + lim lim f (xn ) = lim xn + = + = 1. n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ 2 2 2 2 (3) (4) La validez de (4) se ha demostrado para una sucesión cualquiera y con eso para cada sucesión (xn ) con la propiedad 3. Por lo tanto se cumple x2 − 41 = 1, n→∞ x − 1 2 lim lo que coincide con nuestra intuición (Fig. 2). Ejemplo 2.- Ahora vamos a determinar el lı́mite de la función  2 1 x −4   para x 6= 12 ;  1 x − 2 f (x) =    2 para x = 12 . 96 cuando x −→ 1 2 (v. Fig. 5) Aunque f está definida en el lugar x = 21 , sólo consideraremos sucesiones (xn ) con xn −→ 12 , n −→ ∞, para las cuales se cumple xn 6= 21 para tado n. Para cada una de tales sucesiones se obtiene, como en el Ejemplo 1., lim f (x) = n→∞ x2n − n→∞ xn − lim 1 4 1 2 = 1 lim (xn + ) = 1, 2 n→∞ por lo tanto es lim f (x) = 1. x→ 12 Ejercicios.- Averiguar los siguientes lı́mites: 3x + 2 , x→0 x − 1 a) lim b) x2 − 4 x→−2 x + 2 lim 1 (x 6= x 0) cuando x → 0. La curva de f (v. Fig. 6), cuando x → 0, oscila permanentemente entre −1 y 1, tal que los picos cada vez están más cerca. Demostraremos que f para x → 0 no tiene lı́mite. Para esto basta indicar una sucesión (xn ) con Ejemplo 3.- Analizaremos el comportamiento de f (x) = sin xn 6= 0 para todo n y lim xn = 0, n→∞ (5) para la cual, la sucesión (f (xn ) diverge. Por ejemplo, demos la sucesión 2 que cumple con (5), pero la sucesión xn = (2n − 1)π π f (xn ) = sin(nπ − ) = (−1)n+1 2 diverge en forma indeterminada. F ig.5 F ig.6 Nota 2.- La demostración también se puede hacer al dar dos sucesiones (xn ) y (yn ) con la propiedad (5), tal que las sucesiones f (xn ) y f (yn ) tienen diferentes lı́mites. Ejemplo 4.- Ahora observemos a la función 1 f (x) = (1 + x) x (x > −1, x 6= 0), x → 0. 1 Para la sucesión (xn ) = −→ 0, n → ∞, ya se ha demostrado que la n n 1 1 xn sucesión f (xn ) = (1 + xn ) = 1 + −→ e, n → ∞. Por lo tanto n n 1 1 x lim (1 + x) = lim 1 + = e. (6) n→∞ x→0 n 97 Nota 3.- El mismo resultado se obtiene si se elige una sucesión (xn ) con xn > −1, xn = 6 0 y xn −→ 0 cuando n −→ ∞. 3.4.2 La Caracterización ε − δ de Lı́mites Intuitivamente puede interpretarse también al hecho de lim f (x) = l de la x→xo siguiente manera: La distancia entre f (x) y l, e. d., |f (x) − l| es tan pequeña, siempre y cuando la distancia entre x y xo , e. d., |x − xo | sea lo suficiente pequeña, pero diferente de cero”. Esta situción nos permite dar la equivalente Def.- f estea definida, por lo menos, en un entorno de xo . Luego tenemos lim f (x) = l :⇔ x→xo ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 / |f (x) − f (xo | < ε ∀ x con 0 < |x − xo | < δ. (7) Una interpretación geométrica de esta definición nos da la Fig. 7. Con la simbologı́a allı́ empleada, limx→xo = l significa que para cada ε-franja alrededor de y = l (aún por pequeña que sea), existe una δ-franja alrededor de x = xo , de manera que todos los puntos del graf (f ) que están en esta δ-franja, excepto en la linea central x = xo , están también en la ε-franja dada. Evidentemente, aquı́ hay que elegir a δ tan pequeño, como pequeño se ha elegido a ε, e. d., el tamaño de δ depende del tamaño de ε. Este comportamiento se expresa con δ = δ(ε). Nota 1.- Obervemos: |x − xo | > 0 es equivalente a x 6= xo . δ = δ(ε) no es el sentido de función, pués para un ε hay varios δ. Ejemplo.- Demostrar que lim x→xo √ x= √ xo , (xo > 0) (ver Fig. 8). √ En efecto, sea dado un ε > 0 cualquiera. Según (7) hay que estimar | x − √ xo | √ con el ε dado. Para eso multiplicamos y dividimos a la expresión anterior √ con x + xo y obtenemos √ √ |x − xo | 1 = √ (8) ≤ √ |x − xo | < ε √ xo x + xo √ ∀ x ≥ 0 con |x − xo | < xo · ε. Ahora hay que determinar δ > 0. Para eso √ hacemos δ = min{xo , xo · ε}. Entonces para todo x con |x − xo | < δ se cumple x ≥ 0 (¿porqué?) y por lo tanto también (8). x− xo Determinación de un δ para ε. En la definición de lı́mite de una función decimos para cada ε > 0 existe un δ > 0. Este hecho lo expresamos como 98 δ = δ(ε), no en el sentido de función, ya que por lo general, para cada ε hay varios δ. Pero basta determinar uno, que satisfaciendo la desigualdad 0 < |x − xo | < δ se logre demostrar que |f (x) − l| < ε para afirmar que f tiene el lı́mite l en xo . Veremos en un ejemplo como se determina un δ. Para eso consideremos la tarea de demostrar que lim x2 = a2 . Ahora hay que determinar un δ > 0, tal que se x→a cumpla 0 < |x − a| < δ ⇒ |x2 − a2 | < ε, ε > 0 cualquiera. La idea es expresar a (x2 − a2 ) en potencias de (x − a). En efecto, x2 − a2 = (x−a)2 +2ax−2a2 = (x−a)2 +2a(x−a) ⇒ |x2 −a2 | = |(x−a)2 +2a(x−a)| ≤ |x − a|2 + 2|a| · |x − a| < ε. Sin mas explicaciones escribimos |x − a|2 + 2|a| · |x − a| + |a|2 < ε + |a|2 ⇔ (|x − a| + |a|)2 < ε + |a|2 . p De la segunda desigualdad de la expresión anterior se obtiene |x − a| < ε + |a|2 − |a|. Con esto, por ser ε y a conocidos, hemos determinado p ε + |a|2 − |a|. δ = Ejercicio.- Sea lim xn = an , n ∈ N. Si ε > 0 es dado, demuestre que x→a p δ = n ε + |a|n − |a|. 3.4.3 Lı́mites Laterales Para la existencia de lim √ x es requisito esencial que sea xo > 0, ya que para √ xo ≤ 0 no hay ningún entorno de xo , donde la función f (x) = x, x ≥ 0, está √ definida. En el caso xo ≤ 0, pués no existe lim x. Pero al lugar xo = 0 uno x→xo x→xo se puede ”acercar por la derecha” sin abandonar el campo de definición. Esta reflexión nos lleva la concepto de lı́mite lateral. Def.- La función f sea por lo menos definida en un intervalo (xo , xo +c), (c > 0). El número ld se llama lı́mite lateral derecho de f cuando x tiende xo , en sı́mbolos lim f (x) = ld x→x+ 0 o f (x) −→ ld si para cada sucesión (xn ) con las propiedades 1. xn ∈ D(f ) ∀ n, 2. xn > xo ∀ n, 3. lim xn = xo , x→∞ 99 cuando x → x+ o, la sucesión (f (xn )) converge hacia ld (Fig. 9). Nota 1.- Analogamente se define el lı́mite lateral izquierdo li de f cuando x tiende hacia xo . En sı́mbolos lim f (x) = li x→x− 0 o Ejemplo.- Se demuestra que f (x) −→ li √ lim+ x=0 cuando x → x− o , (Fig. 8). x→0 √ En efecto, para cada sucesión (xn ) con xn > 0 para todo n es lim xn = 0, n→∞ √ e. e., lim x = 0. x→0+ Para ver la importancia del concepto de lı́mite lateral en funciones, observemos el siguiente ejemplo de una función definida en un entorno de xo :  3   para 0 < x ≤ 3, x f (x) =   x − 1 para x > 3 Analicemos el comportamiento de esta función durante el ”acercamiento” de x al lugar xo = 0 (ver Fig. 10). Es (xn ) una sucesión cualquiera con 0 < xn < 3 y con lim xn = 3, entonces se cumple x→∞ lim f (xn ) = n→∞ 3 = xn lim 3 x→∞ lim xn = n→∞ 3 = 1 3 Por eso es lim f (x) = 1. Analogamente se obtiene lim f (x) = 2. x→3− x→3+ En el lenguaje ε − δ la definición de lı́mite lateral derecho toma la forma: Def.- Sean f definida en M ⊂ R y xo ∈ M . ld ∈ R se llama lı́mite lateral derecho de f cuando x se aproxima a xo por la derecha, si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que se cumple xo < x < xo + δ =⇒ |f (x) − ld | < ε. Analogamente se define lı́mite lateral izquierdo. Las definiciones secuencial y en ε − δ de los lı́mites laterales son equivalentes. La relación entre lı́mites laterales y lı́mite lo establece el Teor.- La función f posee un lı́mite cuando x se acerca a xo , exactamente entonces, si los lı́mites laterales de f , cuando x tiende a xo , existen y coinciden. En este caso se cumple lim f (x) = lim f (x) = lim f (x). x→xo x→x− o 100 x→x+ o Dem.- ” ⇒ ” Sea lim f (x) = l. Luego, para todo ε > 0 existe un δ(ε) > 0, x→xo tal que de xo −δ < x < xo +δ sigue |f (x)−l| < ε. Por consiguiente, |f (x)−l| < ε también se cumple para xo < x < xo + δ y para xo − δ < x < xo . Esto es, los lı́mites laterales por la derecha y por la izquierda existen y son iguales. ”⇐” Asumamos lim− f (x) = lim+ f (x) = l. Sea ε > 0. Por definición x→xo x→xo existen δ1 y δ2 tal que se cumplen xo − δ1 < x < xo ⇒ |f (x) − l| < ε y xo < x < xo +δ2 ⇒ |f (x) − l| < ε Si hacemos δ = min{δ1 , δ2 }, inmediatamente se cumple 0 < |x − xo | < δ =⇒ |f (x) − l| < ε. Por lo tanto la función tiene lı́mite l. Por este teorema, la función del ejemplo anterior no tiene lı́mite, ya que lim f (x) 6= lim f (x) cuando x → 3. x→x− o x→x+ o Ejercicio.- Analizar la conducta de la función f (x) = 3.4.4 |x| (x 6= o) x cuando x → 0+ , x → 0+ , x → 0. Lı́mite de una Función para x → +∞ y x → −∞ Para caracterizar la conducta de una función cuando la variable independiente crece o decrece ilimitadamente, daremos la Def.- La función estea definida por lo menos en el intervalo (a, +∞). Un número l se llama lı́mite de f cuando x tiende hacia +∞, en sı́mbolos lim f (x) = l x→+∞ o f (x) −→ l, x → +∞, si para cada sucesión (xn ) contenida en D(f ) con lim xn = +∞, la sucesión x→∞ converge hacia l. lim f (x) = l significa geométricamente, que la curva de f cuando x crece x→+∞ se aproxima cada vez más a la recta y = l. Aquı́ f no necesita ser monótona (ver Fig. 11). Nota 1.- Analogamente se define lim f (x) = l. x→−∞ Nota 2.- Estas definiciones lo podemos formular también como sigue: lim f (x) = l :⇔ ∀ ε > 0 ∃ K > 0 / x > K ⇒ |f (x) − l| < ε. x→∞ 101 lim f (x) = l :⇔ ∀ ε > 0 ∃ K > 0 / x < −K ⇒ |f (x) − l| < ε. x→−∞ Ejemplo 1.- Mostrar que lim x→+∞ 1 =0 xk y lim x→−∞ 1 = 0 (k > 0 entero) xk (9) Para mostrar que se cumple estas igualdades, eligamos una sucesión cualquiera (xn ) que diverga determinadamente hacia +∞ o hacia −∞ con xn 6= 0 k ∀ n. Entonces la sucesión (xn ) es también determinadamente divergente. Por 1 lo tanto, la sucesión es una sucesión nula (v. Fig. 12 para k = 2). xkn Ejemplo 2.- Demostraremos ahora que lim ax = 0 (a > 1). x→−∞ En efecto, sea (xn ) una sucesión cualquiera con lim xn = −∞. Entonces n→∞ para cada ε > 0, hay un número natural no = no (ε), tal que se cumple xn < loga ε ∀ n ≥ no . Puesto que la función f (x) = ax es monótona creciente estrı́cta, se tiene |axn − 0| = axn < ε xn Por consiguiente, lim a n→∞ 2 está demostrado. ∀ n ≥ no . = 0. Ya que la sucesión fue cualquiera, el Ejemplo Nota 2.- Es x el tiempo, entonces la existencia de lim f (x) = l significa x→+∞ que la magnitud y = f (x) dependiente del tiempo se acerca más y más al valor estacionario, e. e., a un valor independiente del tiempo. Ejercicio.- Demostrar 3.4.5 lim a−x = 0 . x→+∞ Divergencia Determinada e Indeterminada Para uno de los ”movimientos” x → xo ; x → x+ o; x → x− o ; x → +∞; x → −∞ (10) la función f posee el lı́mite l ∈ R, entonces se llama convergente para ese ”movimiento”, caso contrario, divergente. Como en las sucesiones, se distinguen dos clases de divergencias. 102 Def.- La función f se llama divergente determinada hacia +∞, respectivamente −∞, para uno de los ”movimientos” (10) de la variable independiente x, si para cada sucesión (xn ) ⊂ D(f ) realizadora del ”movimiento”, la sucesión (f (xn )) diverge determinadamente hacia +∞, repectivamente −∞. Para uno de los ”movimientos” (10), f no converge ni diverge determinadamente, entonces f se llama divergente indeterminada para este ”movimiento”. Es f divergente determinada hacia +∞ cuando x → xo , entonces se escribe lim f (x) = +∞ x→xo y se dice que cuando x → xo , f tiene el lı́mite impropio +∞. Análoga terminologı́a se usa para otros casos de divergencia determinada. Nota 1.- Se dice que la sucesión realiza el ”movimiento” x → x+ o , si es xn > xo para todo n y se cumple lim xn = xo . n→∞ 1 = +∞. x2 En efecto, sabemos que para cada sucesión con xn 6= 0 para todo n y con 1 lim xn = 0, la sucesión es determinadamente divergente hacia +∞. x→∞ x2n Ejemplo 1.- Demostrar que lim x→0 Ejemplo 2.- Demostrar lim+ ln x = −∞ x→0 Para esto, (xn ) sea una sucesión nula con xn > 0 para todo n. Para cada número, en especial, para un número grande K > 0 existe un número natural no = no (K), tal que se cumple xn = |xn − 0| < e−K ∀ n ≥ no , de donde se obtiene ln xn < − K ∀ n ≥ no . De aquı́ sigue lim xn = −∞. Ası́ el ejemplo está demostrado. n→∞ Ejemplo 3.- La función f (x) = sin x, cuando x → +∞, es divergente indeterminada. Para demostrar esta afirmación consideremos la sucesión (xn ) con xn = nπ − π2 (n = 1, 2, · · · ). Obviamente se cumple que lim xn = +∞, n→∞ pero sabemos que f (xn ) = (−1)n+1 . Por lo tanto la sucesión (f (xn )) es divergente indeterminada. Totalmente análoga es la demostración de la divergencia indeterminada de f (x) = sin x1 , cuando x → +∞. 103 3.4.6 Teoremas sobre Lı́mites En este parágrafo daremos algunas reglas para el cáculo de lı́mites de funciones. Ya que el concepto de lı́mite de funciones se puede reducir al de lı́mite o convergencia de sucesiones, estas reglas son análogas a las correspondientes para sucesiones. Nota 1.- Los siguientes teoremas formulados cuando x → xo , se cumplen − analogamente para los casos x → x+ o , x → xo , x → +∞, x → −∞. Teor.- Sean dadas la funciones f y g convergentes cuando x → xo con lim g(x) = l0 . lim f (x) = l, x→xo x→xo Entonces se cumplen 1. lim [f (x) + g(x)] = l + l0 , x→xo 2. lim [f (x) − g(x)] = l − l0 , x→xo 3. lim [α · f (x)] = α · l, x→xo (α constante), 4. lim [f (x) · g(x)] = l · l0 , x→xo Es además g 6= 0 para todo x de un entorno de xo y l0 6= 0, entonces se cumple también f (x) l 5. lim = 0. x→xo g(x) l Dem.- De 1. Puesto lim f (x) = l y lim g(x) = l0 , para todo ε > 0 x→xo x→xo existen δ1 , δ2 > 0, tal que se cumplen 0 < |x − xo | < δ1 ⇒ |f (x) − l1 | < ε 2 y 0 < |x − xo | < δ2 ⇒ |g(x) − l0 | < ε . 2 Pero si tomamos δ = min{δ1 , δ2 }, de 0 < |x − xo | < δ sigue también |(f (x) − g(x)) − (l + l0 )| ≤ |f (x) − l| + |g(x) − l0 | < ε ε + = ε. 2 2 Con esto se ha demostrado 1. Para 2., en la demostración anterior se reemplaza g(x) por −g(x) y l0 por −l y listo. 0 3. es un caso especial de 4., cuando f es la función constante. 104 De 4. Para l1 = 0 o l2 = 0, la demostración es trivial. Ahora, sean l1 6= 0 y l2 6= 0. Entonces necesitamos demostrar que para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que se cumple 0 < |x − xo | < δ ⇒ |f1 (x)f2 (x) − l1 l2 | < ε. |f (x)g(x) − ll0 | = |f (x)g(x) − f (x)l0 + f (x)l0 − ll0 | = |f (x)(g(x) − l0 ) + (f (x) − l)l0 | = |(f (x) − l)(g(x) − l0 ) + l(g(x) − l0 ) + (f (x) − l)l0 | ≤ |f (x) − l||g(x) − l0 | + |l||g(x) − l0 | + |f (x) − l||l0 |. Puesto que es limx→xo f (x) = l y limx→xo g(x) = l0 , para el mismo ε, podemos enconctrar δ1 , δ2 , δ3 , δ4 > 0, tal que se cumplen r ε , 0 < |x − xo | < δ1 ⇒ |f (x) − l| < 3 r ε 0 < |x − xo | < δ2 ⇒ |g(x) − l0 | < , 3 ε 0 < |x − xo | < δ3 ⇒ |f (x) − l| < , 3|l0 | ε . 0 < |x − xo | < δ4 ⇒ |g(x) − l0 | < 3|l| Para las cuatro desigualdades arriba descritas y para el ε dado, podemos escoger un δ = min{δ1 , δ2 , δ3 , δ4 }, tal que se cumple 0 < |x − x| < δ =⇒ |f (x)g(x) − ll0 | ≤ |f (x) − l| · |g(x) − l0 | + |l| · |g(x) − l0 | + |l0 | · |f (x) − l| r r ε ε ε ε < · + |l| + |l0 | 0 = ε. 3 3 3|l| 3|l | Por lo tanto, la parte 4. del teorema está demostrada. 1 1 = 0 y luego aplicar 4. Para esto g(x) l necesitamos demostrar que para todo ε > 0 existe un δ > 0. tal que se cumple Para 5. basta demostrar que lim x→xo 0 < |x − xo | < δ ⇒ 1 1 − 0 g(x) l Ya que lim g(x) = l0 y |l0 | > 0, para un ε0 = x→xo < ε. |l0 | podemos encontrar un 2 δ1 > 0, tal que se cumple 0 < |x − xo | < δ1 ⇒ |g(x) − l0 | < 105 |l0 | . 2 Además notamos que |l0 | 2 |l0 | − |g(x)| ≤ |l0 − g(x)| = |g(x) − l0 | < ⇒ |g(x)| > l0 . 2 Pero, por ser lim g(x) = l0 , para todo ε > 0 existe un δ2 > 0, tal que se x→xo cumple |l0 |2 · ε . 2 Si escogemos δ = min{δ1 , δ2 }, para el ε dado también se cumple 0 < |x − xo | < δ2 ⇒ |g(x) − l0 | < 0 < |x − xo | < δ ⇒ 1 1 − 0 g(x) l Con esto se ha demostrado que lim x→xo = l0 − g(x) l0 · g(x) = |g(x) − l0 | |l0 | · |g(x)| < |l0 |2 2 ·ε 0 0 |l | · |l2 | = ε. 1 1 = 0 . Para conluir la demostración g(x) l de 5. utilizamos 4., 1 1 l = lim f (x) · lim = 0. x→x x→x g(x) l o o g(x) √ Ejemplo 1.- Se busca el lim x(3 − x) . lim x→xo f (x) = g(x) lim f (x) · x→xo x→2 √ √ Sabemos que lim x = 2, lim 3 = 3, lim x = 2. Por el teorema anterior, x→2 x→3 x→2 √ √ de aquı́ sigue, que lim x(3 − x) = 2(3 − 2). x→2 Ejemplo 2.- Calcular 2x2 + 5x . x→−∞ 3x2 − 4x + 1 lim Sean f1 (x) = 2x2 + 5x y f2 (x) = 3x3 − 4x + 1. Estas funciones divergen cuando x → −∞ y no se puede aplicar en forma inmediata el teorema anterior. Por eso, primero transformamos la expresión y luego aplicamos Ejemplo 1. de 3. 4. 4. y el teorema anterior y obtenemos 2x2 + 5x lim = x→−∞ 3x2 − 4x + 1 = x2 2 + x5 lim x→−∞ x2 3 − 4 + x 3+0 3−0+0 = 106 1 x2 2 . 3 = 2 + x5 x→−∞ 3 − 4 + x lim 1 x2 Teor.- (Lı́mite de Composición de Funciones) Sean f y g dos funciones con lim f (x) = uo , lim g(u) = g(uo ), h(x) = (g ◦ f )(x) y u = f (x). u→uo x→xo Entonces lim h(x) = x→xo lim (g ◦ f )(x) = x→xo lim g(f (x)) = g( lim f (x)) = g(uo ). x→xo x→xo Dem.- Por ser limx→xo f (x) = uo y limu→uo g(u) = g(uo ), para todo δ1 > 0 existe un δ > 0, tal que se cumple 0 < |x − xo | < δ ⇒ |f (x) − uo | < δ1 , (11) asimismo, para todo ε > 0 encontramos un δ1 , para los cuales se cumple 0 < |u − uo | < δ1 ⇒ |g(u) − g(uo )| < ε. (12) Siempre que se cumpla 0 < |x − xo | < δ, se cumple |f (x) − uo | < δ1 y reemplazando u por f (x) en (12), para todo ε > 0 hay un δ1 > 0, tal que |f (x) − uo | < δ1 ⇒ |g(f (x)) − g(uo )| < ε. (13) De (11) y (13) conluı́mos, que para tado ε > 0 hay un δ > 0, tal que se cumple 0 < |x − xo | < δ ⇒ |g(f (x)) − g(uo )| < ε. Con esto, la demostración ha conluı́do. Ejemplo.- Sean f (x) = x2 − 1, lim f (x) = 3, g(u) = 2u , lim g(u) = 8, x→2 u→3 2 u = x2 − 1. Calcular lim h(x) = lim (g ◦ f )(x) = lim 2x x→2 2 lim h(x) = lim 2x x→2 −1 x→2 x→2 lim x2 − 1 = 2x→2 x→2 −1 . Por el teorema es = 23 = 8. Nota 2.- Si no existe g(uo ), el teorema toma la forma: Sean lim f (x) = uo x→xo y lim g(u) = l, u = f (x) 6= uo para x 6= xo =⇒ lim g(f (x)) = lim g(u) = l. u→uo x→xo u→uo Teor.- Sea lim f (x) = 0 y para todo x de un entorno de xo se cumpla x→xo f (x) > 0, respectivamente 1 = +∞, f (x) respectivamente f (x) < 0. Entonces lim x→xo lim f (x) = −∞. x→xo 1 1 1 y u = f (x). Luego h(x) = g(f (x)) = = . u f (x) u 1 1 1 Por la Nota 2. tenemos lim = lim+ = ∞, respectivamente lim x→xo f (x) x→xo f (x) u→0 u 1 = lim− = −∞. u→0 u Dem.- Hacemos g(u) = 107 Ejemplos.- Ejemplos evidentes son f (x) = x2 y f (x) = −x2 . Teor.-(Teorema del Sandwich) Sea lim f1 (x) = lim f2 (x) = l y para x→xo todo x de un entorno de x→xo xo se cumpla f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x). Entonces se cumple también lim f (x) = l. x→xo Dem.- Ya que lim f1 (x) = lim f2 (x) = l, para todo ε > 0 existen δ1 , δ2 , x→xo x→xo tal que se cumplen 0 < |x − xo | < δ1 ⇒ |f1 (x) − l| < ε ⇔ l − ε < f1 (x) < l + ε y 0 < |x − xo | < δ2 ⇒ |f2 (x) − l| < ε ⇔ l − ε < f2 (x) < l + ε. Sea δ = min{δ1 , δ2 } y puesto que para todo x de un entorno de xo se cumple f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x), siempre que se cumpla 0 < |x − xo | < δ, tenemos l − ε < f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x) < l + ε ⇒ |f (x) − l| < ε. Por lo tanto se cumple lim f (x) = l. x→xo 3.4.7 Algunos Lı́mites Importantes 1.-) Calcular el lim x→0 sin x . x F ig.16 De la Fig. 16 se lee: El área de la superficie del triángulo OPQ es más pequeña que la del sector OPQ y esta es más pequeña que la del triángulo OPR, e. d., se cumple π 1 1 1 · 1 · sin x < · 12 · x < · 1 · tan x para x ∈ 0, . (14) 2 2 2 2 Debido a que es sin x > 0 para x ∈ 0, π2 y a la primera desigualdad en (14), tenemos π 0 < sin x < x para x ∈ 0, . (15) 2 Pero lim 0 = 0 y lim x = 0 y por el teorema del ”sandwich” resulta x→0+ x→0+ lim sin x = 0 x→0+ 108 (16) y de aquı́ sigue lim sin x = lim sin(−x) = − lim sin x = 0. x→0− x→0+ x→0+ (17) Puesto que los lı́mites laterales (16) y (17) existen y coinciden, es lim sin x = 0, (18) x→0 y por lo tanto x = 1. (19) lim cos x = lim 1 − 2 sin2 x→0 x→0 2 2 Multiplicando la desigualdad de (14) con y luego invirtiendo valores, sin x π para x ∈ 0, 2 , obtenemos cos x < sin x x < 1. (20) Debido cos(−x) = cos x y sin(−x) = − sin x, (20) se cumple también para πa que x ∈ − , 0 . Por lo tanto, de (19) y del teorema del ”sandwich” se tiene 2 lim x→0 sin x = 1. x (21) 1 . x→0 x Sabemos que −1 ≤ sin x ≤ 1 para todo x. También se cumple 2) Determinar el lim x sin −1 ≤ sin 1 ≤ 1 x para x 6= 0. (22) Multiplicando la desigualdad (22) por x 6= 0 se tiene −x ≤ x sin 1 ≤ x. x (23) Aplicando el teorema del ”sandwich” a (23) cuando x → 0, resulta lim x sin x→0 1 = 0. x logb (1 + x) , b > 1. x 1 logb (1 + x) Sabemos sque = logb (1 + x) x . Por lo tanto x 3) Examinar el lim x→0 1 1 logb (1 + x) = lim logb (1 + x) x = logb lim (1 + x) x = logb e. x→0 x→0 x→0 x lim 109 (24) En particular lim x→0 4) ln (1 + x) = ln e = 1 . x ax − 1 = ln a, x Demostrar a>0. 1x − 1 = 0 = ln 1 . x→0 x 2. Caso. Sea a 6= 1. Está permitido poner ax = 1 + y. De aquı́ se obtienen ln(1 + y) y ax − 1 = y. x ln a = ln(1 + y) ⇒ x = ln a Para que y → 0, debe ax → 1 y para eso tiene x → 0. Ahora, reemplazar x, 1. Caso. Sea a = 1. Luego, lim ax − 1 y ln a ln a = ln a. = lim = lim 1 x→0 y→0 ln(1 + y) y→0 ln(1 + y) y x lim ex − 1 = 1. x→0 x En particular lim ex = ∞, n ≥ 0 fijo . x→∞ xn Para n = 0 la demostración es trivial. Para n = 1 se cumple x < ex (ver Fig. 84). Para n > 1 y utilizando esta última desigualdad tenemos 5) Demostrar lim ex = xn x e 2n x 2n 1 2 > x 2n x 1 2 2n = 1 1 x2 2n 2n = 1 2n 2n xn . 1 n Pero lim xn = ∞, por consiguiente lim x = ∞ y por el criterio del x→∞ x→0 2n ex minorante, también lim n = ∞. x→∞ x 6) Demostrar lim logb x = logb a, a > 0 y b > 1. x→a 1 1 Ya que las sucesiones b n y b− n convergen hacia 1, cuando n → ∞, para un ε > 0 dado, podemos determinar los números positivos bε − 1 = ε1 y 1 − b−ε = ε2 . Luego tenemos, 1 < bε ⇒ bε − 1 < bε (bε − 1) ⇒ 1 − b−ε < bε − 1 ⇒ ε2 < ε1 . Para el intervalo (−ε2 , ε1 ) buscamos un adecuado δ = δ(ε), tal que para x−a los x con 0 < |x − a| < δ, los valores de la función y = se encuentren en a (−ε2 , ε1 ), e. d., se cumpla −1 + b−ε < y < bε − 1 ⇔ b−ε < 1 + y < bε De la definición de algorı́tmo y de su monotonı́a se obtiene −ε < logb (1 + y) < ε ⇒ | logb (1 + y)| < ε 110 Al reemplazar y resulta x−a logb 1 + a = logb x a = | logb x − logb a| < ε, e. e., lim logb x = log a. x→a ln x = 0, n > 1. xn Por un lado, para 1 ≤ x es 0 ≤ ln x. Por otro lado, de x < ex sigue ln x < x. De ambos lados resulta 7) Demostrar lim x→∞ 0 ≤ ln x < x =⇒ 0 ≤ ln x 1 < n−1 . xn x 1 Sabemos que lim n−1 = 0 para n > 1. Por el criterio del ”sandwich” es x→∞ x ln x lim = 0. Este lı́mite también se cumple cuando n = 1. x→∞ xn Nota 1.- ex , cuando x crece, crece mas rápido que cada potencia xn , n ≥ 0. ln x, cuando x crece, crece mas lento que cada potencia xn , n > 1. ln x = 0. x La demostración consiste en comprobar que para toda sucesión (xn ) con ln xn 1 xn → 0, n → ∞ se cumple lim = 0. Sea xn = → 0, n → ∞. Ahora n→∞ xn n tenemos ln 1 ln n lim 1 n = − lim . n→∞ n→∞ n n 8) Demostrar lim x→0 En 3.3.4, 3) se demostró que log n ln x = 0. Por eso lim = 0. x→0 x n 111 Ejercicios.- Calcule los siguientes lı́mites: x+3 x2 − 1 2 x − 3x 4x3 − 5 3) lim + x→−∞ x3 + 5 2x3 + 3x 1) lim 2) x→0 5) lim x→0 tan x x r 7) lim x→∞ 9) lim x→0 x+ 4) 6) q x+ √ x− √ x2 + 3 x→+∞ x + 2 lim √ x→2 10) lim x→0 [x] x→∞ x 12) lim 13) lim x2 x→0 sin x 14) lim 15) 16) sin ax − sin bx x 1 + sin x x→0 1 − cos x 11) lim 3.4.8 2x − x 2−t 8) lim sin ax sin bx sin x x lim x→+∞ ! x x+2 x2 − 1 lim x→+∞ x→∞ √ x x Los Sı́mbolos de Orden de Landau Para comparar el comportamiento de dos funciones en el lı́mite, son de gran utilidad los ”o” y ”O”, denominados sı́mbolos de orden de Landau. Def.- Las funciones f y ϕ sean funciones definidas por lo menos en un entorno E(xo ), en xo no necesariamente y ϕ sea allı́ diferente de cero. Se cumple lim x→xo f (x) = 0, ϕ(x) entonces se escribe f (x) = o(ϕ(x)) cuando x → xo y se lee ”f (x) es igual a o pequeña de ϕ(x)” f Es en E(xo ) acotada, e. d., hay un número positivo m con ϕ f (x) ≤ m ∀ x ∈ E (xo ), ϕ(x) entonces se escribe 112 f (x) = O(ϕ(x) cuando x → xo y se lee ”f (x) es igual a o grande de ϕ(x). Analogamente se definen f (x) = o(ϕ(x)) cuando x → +∞, f (x) = O(ϕ(x)) cuando x → x− o , etc. Nota 1.- Se sobreentiende hacia donde tiende x, entonces sólo se escribe f (x) = o(ϕ(x)) y f (x) = O(ϕ(x)). Nota 2.- Para una tendencia de x, las funciones f y ϕ convergan hacia 0, entonces f (x) = o(ϕ(x)) significa que f converge hacia 0 más rápido que ϕ, e. e., que f es orden superior frente a ϕ, o también, que f es infinitesimamente más pequeña que ϕ. En caso de que f (x) y ϕ(x) tiendan hacia +∞, f (x) = o(ϕ(x)) significa que ϕ(x) tiende a +∞ más rápido que f (x). f (x) = 0, entonces se dice que f es de orden superior n con Es lim x→xo (ϕ(x))n respecto a ϕ y se escribe f (x) = o((ϕ(x))n ), x → xo . Analogamente, f (x) = O(ϕ(x)) significa que f , por lo menos, converge hacia 0 tan rápido como ϕ, e. d., f y ϕ son, por lo menos, de igual orden. Finalmente mencionemos que en vez de f (x) − g(x) = o(ϕ(x)) se escribe también f (x) = g(x) + o(ϕ(x)), y se entiende que f y g se diferencian en un infinitésimo. Analogamente para O. Ejemplos.- Sabemos que sin x < 1, por eso escribimos sin x = O(x) x cuando x → 0. Por otro lado se demuestra que lim x→0 sin x − x =0 x y escribimos sin x − x = o(x) cuando x → 0, o lo que es lo mismo sin x = x + o(x) cuando x → 0. sin x También se demuestra que lim √ = 0 y por lo tanto se escribe sin x = x→0 x √ 1 2 o( x) = o(x ). 113 3.4.9 Continuidad Con el concepto de continuidad de una funcion f en el lugar xo se quiere dar la idea de que el grafo de f en este lugar ”no se rompe”. Para eso hay que comparar el lı́mite de f cuando x → xo con el valor de la función f (xo ). Para establecer esta comparación, f tiene que estar definida no sólo en un entorno de xo , sino también en el mismo xo . Def.- Una función definida en un E(xo ) se llama continua en el lugar xo , si se cumple lim f (x) = f (xo ). x→xo Nota 1.- Se introduce la substitución x = xo + h, entonces h es la nueva variable independiente y la igualdad anterior se escribe lim f (xo + h) = f (xo ). h→0 Nota 2.- Para la continuidad de f en un punto xo se exigen tres cosas: 1) Que f estea definida en xo , 2) Que exista limx→xo f (x) = l y 3) Que f (xo ) = l. Ejemplo 1.- Sabemos que lim cos x = 1 y que cos 0 = 1. Por lo tanto x→0 lim cos x = cos 0, e. e., f (x) = cos x es continua en el lugar xo = 0. x→0 Ejemplo 2.- También sabemos, que para la función  x2 − 1    lim 2 41 para x 6= 12 x→0 x − 2 f (x) =    2 para x = 12 1 lim f (x) = 1 6= 2 = f ( ). Por lo tanto f no es continua 2 1 en x = 2 (vea Fig. 5), aún estando f definida en ese punto. Pero para cada x 6= 12 , f es evidentemente continua. se cumple x→ 12 Una definición de continuidad de f en xo equivalente a la anterior, empleando el concepto de convergencia de sucesiones, es la Def.- Una función f definida en E(xo ) se llama continua en xo , si para cada sucesión (xn ) ⊂ D(f ) con lim xn = xo se cumple n→∞ lim f (xn ) = f lim xn . n→∞ n→∞ 114 El concepto de continuidad de f en xo se puede caracterizar también en el lenguaje ε - δ. Def.- La función f sea definida en E(xo ). f es exactamente continua en xo , si para cada número real ε > 0 (en particular para cada número pequeño), existe un número δ = δ(ε) > 0, tal que se cumple |f (x) − f (xo )| < ε ∀ x con |x − xo | < δ. Este teorema se puede interpretar graficamente (ver Fig. 2.7). F ig.2.7 Otra definición de continuidad de f en xo se puede dar en el lenguaje de entornos. Def.- f es continua en xo : ⇔ ∀ Eε (f (xo )) ∃ Eδ (xo ), tal que f −1 (Eδ (xo )) ⊂ Eε (f (xo )). Ejemplo 3.- El movimiento rectilı́neo de un punto de masa o masa puntual se describe por la función distancia - tiempo: s = s(t). En el tiempo to el punto de masa se encuentra, digamos, en el lugar s(to ). Cuando observamos el movimiento en un tiempo t, lo suficientemente cerca de to , la masa puntual estará tan cerca como se quiera del lugar s(to ). Matematicamente significa esto, que la función s(t) es continua en to , donde to es cualquiera. Ejemplo 4.- La función de Dirichlet no es continua en ninguna parte. Está definida en R, pero en un entorno de cualquier número real x hay infinitos racionales e irracionales, e. d., la distancia |f (x) − f (xo | = 1 > ε cuando |x − xo | < δ (Se discutirá con mayor detalle como ejercicio). Ejemplo 5.- Con la caracterización ε − δ demostrar que f (x) = |x| es continua en cada lugar xo . En efecto, sea dado un ε > 0 cualquiera. Pués se cumple |f (x) − f (xo )| = | |x| − |xo | | ≤ |x − xo | < ε para todo x con |x − xo | < δ, si se pone δ = ε. Con esto, para cada ε > 0 se ha encontrado un δ > 0 apropiado tal que se cumple el teorema. Y con esto se cumple también lim |x| = |xo | x→xo (xo cualquiera) Ejemplo 6.- Examinar la continuidad en xo = 0 de la función 115 f (x) =    0 para x = 0,   1 k+1 para 1 1 < |x| ≤ k+1 k (k = 1, 2, · · · ) F ig.3.3. Obviamente se cumple 0 ≤ f (x) ≤ |x| para x con −1 < x < 1 (ver Fig. 3.3). Sabemos que lim 0 = 0 y que lim |x| = 0. Luego por el teorema del ”sandx→0 x→0 wich” se tiene que lim f (x) = 0 x→0 Puesto que por definición es f (0) = 0, f es continua en xo . Nota 3.- Fig. 3.3 muestra que el grafo de f consta de trozos o segmentos de recta paralelos al eje x, que cada vez que x se acerca a 0, serán más cortas. El comportamiento de f en un entorno de x = 0 cada vez más pequeño es imposible de imaginarse y sólo se puede comprender a través de la definición de entornos. 3.4.10 Continuidad Lateral. Continuidad en un Intervalo Empleando los conceptos de lı́mites laterales, definiremos la continuidad lateral. Def.- Una función f definida, por lo menos, en un intervalo [xo , xo + c], c > 0, se llama continua lateral por la derecha en xo , si se cumple lim f (x) = f (xo ). x→x+ o Analogamente, f definida en [xo −c, xo ], c > 0, se llama continua lateral por la izquierda en xo , si se cumple lim f (x) = f (xo ). x→x− o Similar a un teorema de lı́mites, tenemos el Teor.- Una función definida en un E(xo ) es continua en xo , sss, ahı́ es continua lateral tanto por la derecha como por la izquierda. Ejemplo.- Para la función  3   para 0 < x ≤ 3, x f (x) =   x − 1 para x > 3. 116 se cumple lim− f (x) = 1 = f (3). Por lo tanto f es continua por la izquierda x→3 en x = 3. Pero por lim+ f (x) = 2 6= f (3), f no es continua por la derecha en x→3 x = 3. Y por eso, tampoco continua en x = 3. Nota 1.- La continuidad de un función en xo es una porpiedad local. Ahora defniremos la continuidad como propiedad global. Def.- Una función f definida en un intervalo I se llama continua sobre I, si se cumple 1. f es continua en cada punto interior de I. 2. Es el punto frontera izquierdo (resp. derecho) de I elemento de I, entonces f es allı́ continuo por la derecha (resp. por la izquierda). Nota 2.- La idea intuitiva de continuidad en I es que el grafo de f se puede trazar en un hoja de papel sin levantar el lápiz o la mano. √ Ejemplo.- La función f (x) = x, x ∈ [0, +∞), es continua en cada xo ∈ (0, +∞) continua y en xo = 0 es continua por la derecha. En conclusión, f es continua en [0, +∞). Ejercicios.- Examine a las siguientes funciones sobre su continuidad, respectivamente sobre sus continuidades laterales en los puntos indicados. 1. f (x) = x2 , xo cualquiera. 2. f (x) = sin x, xo = 0. 3. f (x) = cos x para 2x para 4. ( f (x) = x sin 0 3.4.11 1 x x < 0, x ≥ 0. para x 6= 0, para x = 0. xo = 0 xo = 0 Lugares de Discontinuidad. Su Clasificación Def.- La función f estea definida en un entorno de xo , pero ahı́ no sea continua, entonces xo se llama lugar de discontinuidad de f . De la definición de continuidad resulta, que para cada punto de discontinuidad xo se presentan exactamente uno de los cinco casos siguientes: 117 Caso 1. El lı́mite l = lim f (x) existe, pero es diferente a f (xo ), siempre x→xo y cuando f estea definido en xo . Hagamos   f (x) para x 6= xo (x ∈ D(f )), f ∗ (x) =  l para x = xo . entonces f ∗ es continua en xo , ya que lim f ∗ (x) = lim f (x) = l = f ∗ (xo ). x→xo x→xo Con esto, la discontinuidad de f en este lugar se ha ”levantado”. Por eso xo se llama lugar de discontinuidad evitable de f (ver Fig. 4a y 4b). Ejemplo.- En un ejemplo anterior examinamos el lı́mite de la función f (x) = x2 − 41 x − 12 en x0 = 1 2 Esta función tiene lı́mite en ese punto, pero no es continua en tal punto. Para superar la discontinuidad definamos  2 1 x −4   para x 6= 21 ,  1 x − ∗ 2 f (x) =    1 para x = 12 . Esta función es continua en xo = 12 , ya que lim1 f ∗ (x) = 1 = f ∗ ( 12 ). x→ 2 Nota 1.- Este ejemplo se puede generalizar para funciones racionales quebradas, donde xo es un lugar m veces nulo del numerador y n veces nulo del denominador, e. d., funciones de la forma f (x) = (x − xo )m p(x) (x − xo )n q(x) x 6= xo . Esta función no está definida para x = xo , por lo tanto ahı́ no es continua. En este caso, xo se llama una abertura de f . La discontinuidad en xo se puede evitar al construir la función f ∗ (x) = (x − xo )m−n p(x) . q(x) Para m ≥ n, la función reemplazante f ∗ es continua en xo . Con esto se ha evitado la discontinuidad en xo . Caso 2. Los lı́mites lim+ f (x) y lim− f (x) existen, pero son diferentes. x→xo x→xo En este caso, xo se llama lugar de salto finito de f . Ejemplo.- La función 118 f (x) = 1 0 x ≥ 0, x<0 para para tiene en xo = 0 un salto del tamaño 1 (ver Fig. 5). F ig.5 Caso 3.- Se cumple lim f (x) = +∞ ó x→xo lim f (x) = −∞. En este caso x→xo xo se llama lugar infinito de f . Ejemplo.- Ejemplos tı́picos para este caso son los polos de orden par de funciones racionales quebradas. Se entiende como tales a funciones de la forma g(x) f (x) = y xo se llama polo de orden r de f , si exactamente se cumple h(x) h(xo ) = 0 r veces y g(xo ) 6= 0. Ası́ xo = 0 es polo de orden 2 de f (x) = x−2 . Caso 4.- La función f para una de las dos tendencias ”x −→ x− o ” ó ”x −→ diverge determinadamente hacia +∞ (resp. −∞) y para la otra tendencia converge o diverge determinadamente hacia −∞ (resp. +∞). En este caso se dice que en xo hay un salto infinito de f . Toda función racional tiene un salto infinito en cada polo de orden impar. x+ o” Ejemplo.- Para la función f (x) = 1 para x ≤ 0, ln x para x > 0 se cumple lim+ f (x) = lim+ ln x = −∞ y lim− f (x) = lim− 1 = 1. x→0 x→0 x→0 x→0 F ig. 6 Por eso xo = 0 es un lugar de salto infinito de f (ver Fig. 6). Caso 5.- La función f , por lo menos, para una de las dos tendencias x → ó x → x+ x− o es divergente indeterminada. En este caso a xo se denomina o luagar de descontimnuidad oscilante de f . 1 Ejemplo.- La función f (x) = sin x oscilante. tiene en xo una discontinuidad Nota 2.- Esta esta clasificación de discontinuidad nos permite dar la definición: Una función f se llama continua por trozos en el intervalo I, si es continua en el interior de I, excepto en un número finito de lugares de discontinuidad evitable o de saltos finitos y en cada punto frontera perteneciente a I existe la continuidad lateral. 119 La función del caso 4. no es continua por trozos en [-1, 1], pués en xo = 0 tiene un salto infinito. Ejercicios.- Clasifique los lugares de discontinuidad de las funciones f y en caso de discontinuidad evitable construya la función f ∗ . a) f (x) = sgn(x) b) f (x) = (−∞, +∞) x2 − 1 x+1 xo = 0 (x 6= −1), xo = 0 c)  sin x   x f (x) =   −1 x 6= 0 para x=0 xo = 0 (xo 6= 0) xo = 3 x−3 (x − 3)5 d) f (x) = − e) f (x) = cot x f) f (x) = ln 2 x−1 3.4.12 para (−π < x < π, x 6= 0) 1 (x 6= 1) xo = 0 xo = 1. Propiedades de las Funciones continuas Teor.- (Operaciones con Funciones continuas) Sean f y g continuas en xo . Entonces f + g, f − g, α·f (α = const.) y f ·g son continuas en xo . f también es continua en xo . g Por otra parte, es h = g ◦ f , donde f es continua en xo y g continua en yo = f (xo ), entonces h es continua en xo . Sı́ además es g(xo ) 6= 0, Dem.- Apoyandonos en el teorema similar para lı́mites, obtenemos lim (f + g)(x) = (f + g)(xo ), x→xo lim (α · f )(x) = (α · f )(xo ), x→xo f f (x) = (xo ). x→xo g g lim (f · g)(x) = (f · g)(xo ), lim x→xo 120 Y esto es la continuidad de f + g, α · f, f · g y de el teorema análogo para lı́mites, resulta lim h(x) = x→xo f g en xo . Asimismo, por lim g(f (x)) = g( lim f (x)) = g(f (xo )) = h(xo ). x→xo x→xo De aquı́ sigue la continuidad de h en xo . Con esto ha concluı́do la demostración. Nota 1.- El teorema sigue vigente si se reemplaza ”continua en xo ” por ”continua en en I” o por ”continua lateralmente en xo ”. √ Ejemplo.- La función h(x) = cos x es continua en xo = 0, porque f (x) = √ cos x = y es continua en xo = 0 y g(y) = y es continua en yo = f (0) = 0. Teor.- La función f es continua en xo y f (xo ) > 0 (resp. f (xo < 0, entonces hay un entorno de xo , tal que para todo x de este entorno se cumple f (x) > 0 (resp. f (x) < 0). Dem.- Por ser f continua en xo y f (xo ) > 0, para un ε con 0 < ε < f (xo ) hay un δ - entorno de xo , (xo − δ, xo + δ), tal que se cumple |f (x) − f (xo )| < ε ∀ x ∈ (xo − δ, xo + δ) =⇒ f (xo ) − ε < f (x) < f (xo ) + ε. De f (xo ) − ε > 0 sigue f (x) > 0 para todo x ∈ (xo − δ, xo + δ). Analogamente se demuestra el caso f (xo ) < 0 (ver Fig. 8). Nota 2.- Aprovecharemos la oportunidad para introducir una terminologı́a muy usada en la Matemática. C[a, b] := {f /f : [a, b] −→ R es continua} es el espacio de todas las funciones continuas definidas en el intervalo cerrado [a, b]. Sı́ f es continua en [a, b], entonces f ∈ C[a, b]. Se conocen con el nombre de funciones elementales a todas aquellas que se pueden obtener de las funciones básicas (constantes, potenciales, exponenciales, circulares, hiperbólicas y sus inversas) con ayuda de las cuatro operaciones aritméticas y de la composición de funciones en un número finito de pasos. Ası́, la función f (x) = la función 4 ln(x − 1 − x3 ecos x (x > 1) es elemental, pero no x2 − 1 g(x) = 1 para x ≤ 0 ln x para x > 0. Teor.- Toda función elemental es continua en su campo de definición. 121 Dem.- Las funciones básicas son continuas y por lo tanto toda función elemental, en su campo de definición, ya que se obtiene de las básicas aplicando las cuatro operaciones aritméticas. Nota 3.- Con ayuda de este teorema se puede calcular lı́mites de funciones y sucesiones. Por otro lado, una función no elemental no necesita tener esta propiedad. √ Ejemplo.- Por el teorema anterior es f (x) = 5|x−2|+cosh x − 1 (x ≥ 1) continua en [1, +∞). En particular, en 1 el lim f (x) = 5| − 1| + cosh 0 = 6 x→1+ existe y es igual a f (1). Ejemplo.- Por otro lado, el lı́mite de la sucesión n+1 n arctan existe n n+1 1 por ser f (x) = x arctan continua en los intervalos (−∞, 0) y (0, +∞). En x efecto se cumple lim f (xn ) = f ( lim ) = 1 · arctan 1 = n→∞ n→∞ π . 4 Ejercicios 1.- Calcule los siguientes lı́mites: a) lim (ecos x + tan 2x) b) lim x→1− x→0 r d) lim n→∞ 2n + 1 n+3 arcsin x x2 + 1 1 d) lim n ln 1 + . n→∞ n Ejercicios 2.- Examine a las funciones sobre su continuidad en el lugar indicado. −x e para x ≤ 0, a) f (x) = cosx para x > 0, xo = 0. √ 5 − 3 para x < 2, b) f (x) = |x − 3| para x ≥ 0, xo = 2. En este parágrafo observaremos funciones continuas en intervalo cerrado [a, b]. Recordaremos también que f se llama acotada sobre [a, b] ⊂ D(f ), si existe un c > 0 tal que se cumple |f (x)| < c para todo x ∈ [a, b]. Teor.- Toda función continua sobre [a, b] es allı́ acotada. 122 Dem.- Aceptemos que f no es acotada, entonces para todo K > 0 existe por lo menos un xo ∈ [a, b] con f (xo ) > K o f (xo ) < −K. Por ser f continua en xo , para un ε > 0, tiene que cumplirse |f (xo ) − f (x)| < ε, para los x con |x − xo | < δ, e. d., se cumple −K = f (x) − ε < f (xo ) < f (x) + ε = K. Esta contradicción a lo aceptado demuestra la veracidad del teorema. La hipótesis de la cerradura del intervalo es esencial para el teorema, como lo veremos en el 1 es continua en el intervalo no cerrado Ejemplo.- La función f (x) = x 1 (0, 1], pero por ser lim+ = +∞ no es acotada. x→0 x Def.- La función f sea definida en el intervalo I. El lugar xo ∈ I se llama lugar máximo absoluto o global de f sobre I, si se cumple f (xo ) ≥ f (x) ∀ x ∈ I. xo se llama lugar mı́nimo absoluto o global de f sobre I, si se cumple f (xo ) ≤ f (x) ∀ x ∈ I. El valor de la función f (xo ) se llama valor máximo absoluto o global de f en I o simplemente el máximo de f . Respectivamente, el valor mı́nimo absoluto o global, o simplemente, el mı́nimo de f en I. Nota 4.- El máximo absoluto de f en I es el valor más grande que toma f sobre I. Analogamente, el mı́nimo aboluto es el valor más pequeño que toma f en I. Es f continua sobre [a, b], entonces, por el teorema anterior, el conjunto M = {f (x) / a ≤ x ≤ b} es acotado y por lo tanto existen sup f (x) = m1 y a≤x≤b inf f (x) = m2 . Se a≤x≤b demuestra que m1 , m2 ∈ M , e. d., que existen, por lo menos, un x1 y un x2 , elementos de [a, b], con m1 = f (x1 ) y m2 = f (x2 ). Teor.- (Teorema de Weierstraß) Toda función continua sobre [a, b] tiene allı́ un máximo absoluto y un mı́nimo absoluto. Dem.- Demostraremos la existencia del máximo absoluto de f en [a, b]. En efecto, por ser f continua en [a, b], f es acotada y existe supx∈[a,b] = s < ∞. Por otro lado, para todo n ∈ N elegimos un xn ∈ [a, b] con s − 1 ≤ f (xn ) ≤ s. n 123 (M) Por el Teorema de Bolzano - Weierstraß, de toda sucesión (xn ) acotada, se puede elegir una subsucesión convergente hacia xo ∈ [a, b], que lo designaremos también con (xn ). Por definición de continuidad se cumple lim f (xn ) = f ( lim xn ) = f (xo ). n→∞ n→∞ De (M), cuando n → 0, sigue f (xo ) = lim f (xn ) = s. n→∞ Debido a que f (x) ≤ s para todo x ∈ [a, b], resulta que xo es lugar máximo de f en [a, b] y f (xo ) el valor máximo. Para la existencia del mı́nimo la demostración es similar. En sı́mbolos m1 = max f (x), m2 = min f (x). a≤x≤b a≤x≤b Ejemplo.- La función continua f (x) = sin x tiene sobre [0, π] el máximo π absoluto f ( ) = 1 y el mı́nimo absoluto f (0) = f (π) = 0. Sobre el intervalo 2 3 no cerrado [0, π) f tiene mı́nimo absoluto, ya que el ı́nfimo de f en este 4 intervalo es −1, pero no existe ningún elemento dentro del intervalo donde f tome el valor −1 (ver Fig. 9). De esto se concluye que no se puede renunciar a la cerradura y acotamiento de [a, b]. Una función puede tomar su máximo o mı́nimo absolutos en varios lugares. Teor.- (Teorema de Bolzano) Es f sobre [a, b] continua y los valores de la función f (a) y f (b) tienen signos contrarios, entonces existe por lo menos, un ξ ∈ (a, b) con f (ξ) = 0. Dem.- Veremos el caso f (a) < 0 < f (b). Para eso construyamos el conjunto M := {x ∈ [a, b] / f (x) ≤ 0.} Este conjunto es no vacı́o y es acotado superiormente, luego tiene sup M = ξ ∈ [a, b]. Se puede demostrar que existe una sucesión (xn ) ⊂ M que converge hacia ξ con a < ξ. Por la continuidad de f en ξ se cumple f (ξ) = lim f (xn ). N →∞ Y puesto que f (xn ) ≤ 0 para todo xn ∈ M , es también f (ξ) < 0 < b. De aquı́ se deduce también que ξ 6= b, e. e., ξ < b. Ahora construyamos una 124 sucesión (xn ) ⊂ [ξ, b] tal que converga hacia ξ. En este caso es f (xn ) ≥ 0 y por la continuidad de f se cumple f (ξ) = lim f (xn ) ≥ 0. n→∞ En conclusión es f (ξ) = 0 y a < ξ < b. F ig.10 En Fig. 10 hemos ilustrado la afirmación del teorema. Este teorema suministra un método los intervalos donde la ecuación f (x) = 0 tiene una solución. Ejemplo.- Se busca un intervalo lo más pequeño, que contenga una solución positiva de la ecuación 10x − x − 2 = 0. f (x) = 10x − x − 2 = 0 como función elemental es continua. Y por ser f (0) = −1 < 0 y f (1) = 7 > 0, por el Teorema de Bolzano, hay en (0, 1) por lo menos una solución de la ecuación. El valor de la función en el punto medio √ de este intervalo es f ( 21 ) = 10 − 25 > 0. De esto, de nuevo por el Teorema de Bolzano, resulta que en (0, 21 ) hay una solución positiva de la ecuación. Ası́ se puede continuar partiendo en dos mitades al intervalo que contiene una solución, luego el Teorema de Bolzano nos dice en que mitad del intervalo está la solución, hasta que el intervalo que queda sea lo suficientemente pequeño. Cualquier elemento de ese intervalo puede ser una solución aproximada y la longitud del intervalo es el máximo error que se pueda cometer. Nota 5.- El Teorema del Bolzano se conoce también con el nombre de Teorema del Valor Intermedio y puede formularse como sigue: Una función continua f : [a, b] −→ R toma todo valor γ entre f (a) y f (b) en por lo menos un lugar ξ ∈ [a, b], e. e., para un γ entre f (a) y f (b), existe un ξ ∈ [a, b] con f (ξ) = γ. Nota 6.- Una generalización del Teorema de Bolzano es el Teorema del Punto Fijo de Brouwer, que dice ”La función continua f : [0, 1] −→ [0, 1] tiene un punto fijo, e. d., existe un ξ ∈ (a, b) con f (ξ) = ξ ”. En efecto, siempre se cumple 0 ≤ f (x) ≤ 1. Es f (0) = 0 ó f (1) = 1, entonces no hay nada que demostrar. Ni 0 ni 1 sean puntos fijos. Construı́mos la función g(x) = x − f (x) en [a, b]. Luego g(0) = 0 − f (0) < 0 por ser f (0) > 0. Analogamente g(1) = 1 − f (1) > 0 por ser f (1) < 1. Por el Teorema de Bolzano existe un ξ ∈ (0, 1) con g(ξ) = ξ − f (ξ) = 0 =⇒ ξ = f (ξ). Teor.- Sea f continua sobre el intervalo I, entonces f (I) = {f (x) / x ∈ I} también es un intervalo. 125 Dem.- Sea I = [a, b]. Por el Teorema de Weierstraß f posee máximo m1 y mı́nimo m2 . Por el Teorema del Valor Intermedio para todo x ∈ [a, b] se cumple f (x) ∈ [m1 , m2 ], e. e., f ([a, b]) = [m1 , m2 ]. Ejercicios.- Demuestre que 1. x · log x − 1 = 0 tiene en (2, 3) por lo menos una solución, 2. p(x) = xn − α 3. (α > 0), tiene un lugar nulo positivo, √ El ejercio anterior es equivalente a determinar α. Recordemos que una función definida en un intervalo I se llama inyectiva, si para cada y ∈ f (I) hay exactamente un x ∈ I con f (x) = y. Por lo tanto se puede obtener la función f −1 : f (I) −→ I a f , e. e., x = f −1 (x) (ver Fig. 11). Teor.- La función f sea inyectiva y continua sobre I. Entonces su inversa f −1 es también continua sobre el intervalo f (I). Dem.- Sea I = [a, b]. Ya que f es continua en [a, b] es f ([a, b]) = [c, d] y por ser inyectiva es reversible, e. d., existe f −1 (y) = x, y ∈ [c, d]. Para demostrar la continuidad de f −1 en cada yo ∈ [c, d], definamos, yo = f (xo ), yo −δ = f (xo −ε) y yo + δ = f (xo + ε). Por la continuidad de f es f (x) = y ∈ (yo − δ, yo + δ) para todo x ∈ (xo −ε, xo +ε) y por la reversibilidad de f es f −1 (y) = x ∈ (xo −ε, xo +ε) para todo y ∈ (yo − δ, yo + δ). Esto es, la continuidad de f −1 en yo ∈ (c, d). En c y d solo puede existir continuidad lateral de f −1 . Sabemos que toda función monótona estricta es inyectiva y tiene inversa. El teorema anterior se puede formular como ”Sea f función monótona estricta y continua, entonces f −1 es continua” (ver Fig. 3.11). Ejemplo.- La función f (x) = sin x es continua y monótona estricta creciente en [− π2 , π2 ], allı́ tiene el mı́nimo absoluto f (− π2 = −1 y el máximo absoluto f ( π2 ) = 1. f posee en [−1, 1] la función inversa continua f −1 (y) = arcsin y = x. Ejercicios 1.- Discuta la continuidad de las funciones. En caso de una discontinuidad hay que examinar, si es evitable. Fundamente los resultados ! a) y = x |x| b) y = sin d) y = x 1 + x 1+x x−4 e) y = √ x−2 126 1 x c) y = x sin 1 x 1 f ) y = ln 2 x−1 Ejercicios 2.- Discuta la discontinuidad de las funciones! a) y = x2 |x| b) y = 2 1 d) y = x − [x] 3.5 |x| x e) y = 2 x−1 c) y = x · 2 f) y = |x| x 1−x 1 − |x| DIFERENCIACION Motivación Al concepto de derivada se llega por diferentes motivos. Nada mejor que partir de situaciones reales. P1.- Velocidad de un Movimiento. La distancia o espacio s recorrida por una masa puntual (punto de masa) en movimiento rectilı́neo es directamente proporcional al tiempo invertido t, e. e., s = v·t (v una constante), entonces al constante cociente s t se denomina velocidad del movimiento, e. d., a la rapidez del movimiento. v = En general, la ley espacio - tiempo de un movimiento rectilı́neo está descrito por la función s = s(t) . En particular, la caı́da libre de un cuerpo está dada por s = 12 gt2 . Ahora surge la pregunta, si s(t) es la distancia en t, como hay que definir la velocidad en to . En un intervalo de tiempo de to hasta to + ∆t recorre la masa puntual el trayecto ∆s = s(to + ∆t) − s(to ). Por lo tanto, la velocidad promedio del movimiento en el intervalo de tiempo [to , to + ∆] está dada por el cociente s(to + ∆t) − s(to ) ∆s = . ∆t ∆t ∆s Es razonable designar al lim , caso de existir, como la velocidad ∆t→0 ∆t momentánea v(to ) del movimiento s en el tiempo to : s(to + ∆t) − s(to ) . ∆t→0 ∆t v(to ) := lim 127 P2.- Elasticidad de una Relación Causa - Efecto. Una magnitud económica y (por ejemplo, el consumo de energı́a) sea una función f de otra magnitud económica x (por ejemplo, del volumen de producción): y = f (x). Un cambio de la causa x en alrededor ∆x tiene por consecuencia la alteración del efecto en alrededor ∆y = f (x + ∆x) − f (x). Al cociente f (x + ∆x) − f (x) ∆y = . ∆x ∆x se designa elasticidad (absoluta) promedio en [x, x + ∆x] y al lı́mite f (x + ∆x) − f (x) , ∆x→0 ∆x caso de existir, se designa la elasticidad (absoluta) de la considerada relación ”causa - efecto” y = f (x) en el lugar x. ϕ(x) := lim P3.- Pendiente de una Curva. Sea dada una curva como grafo de una función continua f (Fig. 4). Podemos considerar como pendiente promedio de C en [xo , xo + h] a la pendiente de la secante que pasa por los puntos Po (xo , f (xo )), P (xo + h, f (xo + h), e. e., a la pendiente f (xo + h) − f (xo ) . h Por lo tanto, designaremos como pendiente de C en el punto Po a tan αh = f (xo + h) − f (xo ) h en caso de que exista. La recta que pasa por Po con esta pendiente se llama tangente a la curva C en el punto Po . Intuitivamente hablando, la tangente es pués la recta que se obtiene de la secante cuando P tiende sobre C hacia Po . tan α = lim tan αh = lim h→0 h→0 El Cálculo Diferencial e Integral fundado por Leibniz y Newton constituye el núcleo del Análisis. Leibniz aclaró el problema de la tangente y Newton explicó el problema de la rapidez de cambio del movimiento en Mecánica. Ahora pasaremos a la definición formal de derivada. En la motivación partimos de tres situaciones diferentes y llegamos, en abstracto, al mismo concepto matemático. Def.- Sean f definida en Eδ (xo ) y h 6= 0 con xo + h ∈ Eδ (xo ). Al cociente ∆y f (xo + h) − f (xo ) = ∆x h 128 (h 6= 0) se llama cociente de diferencias de f en xo , donde ∆x := (x0 + h) − h = h es la diferencia del argumento x, ∆y := f (xo + h) − f (xo ) es la respectiva diferencia de la función. Nota 1.- Para un xo fijo, el cociente de diferencias depende de h y obtenemos la función ϕ(h) := f (xo + h) − f (xo ) h definida en Eδ (0). Def.- La función f definida en un entorno de xo se llama diferenciable en xo , si el f (xo + h) − f (xo ) h existe. A este lı́mite se llama 1. derivada o derivada del 1. orden de f en xo y se designa con lim h→0 0 f (xo ) := lim h→0 f (xo + h) − f (xo ) . h Nota 2.- Pongamos x = xo + h. Aquı́, cuando h → 0, entonces x → xo y también se obtiene 0 f (xo ) := lim x→xo f (x) − f (xo ) . x − xo Otros sı́mbolos para designar la 1. derivada de f en xo son: 0 y (xo ), dy dx , x=xo y df (xo ). dx Nota 3.- Interpretación geométrica de la 1. derivada. Sea f diferenciable en xo . La recta secante que pasa por los puntos Po = (xo , f (xo )) y P = (xo + h, f (xo + h)) del grafo de f está dada por l(x) := f (xo ) + f (xo + h) − f (xo ) (x − xo ) x ∈ R h 129 f (xo + h) − f (xo ) 0 La pendiente mh = → f (xo ) = tan α = m, cuando h h → 0. La recta definida 0 y = f (xo ) + f (xo )(x − xo ) 0 se llama recta tangente al grafo de f en Po . De f (xo ) = m se dice que es la pendiente de la curva en Po o de la recta tangente al grafo de f en Po . Observemos una vez más el problema P1., donde s(t) describe el movimiento rectilı́neo de una masa puntual, luego la velocidad en to está dada por la 1. derivada del trayecto s en to : v(t) = ṡ(t). Analogamente la elasticidad ϕ(t) de 0 una relación causa - efecto y = f (x) es ϕ(x) = f (x). Similarmente se definen otros conceptos de la Ténica, de las Ciencias Naturales y de la Economı́a, como la tensión inductiva de una bobina, la velocidad de una reacción quı́mica, la velocidad de crecimiento de un organismo, la intensidad de una producción se definen como la 1. derivada de cierta función. Generalizando, la 1. derivada de una función se puede ver como medida de la rapidez de cambio de un proceso. Ejercicios.1) A través de una determinada sección transversal de un conductor eléctrico Q se designa fluye una carga eléctrica constante en el tiempo. Al cociente t como intensidad eléctrica, donde Q es la cantidad de carga eléctrica que fluye en el tiempo t a través de la sección. Sea Q(t) la cantidad de carga que fluye en el tiempo t a través de la sección. Defina en forma razonable para este caso la intensidad promedio en [to , to + ∆t] y la intensidad en to . 2) Una varilla idealizada como una recta (eje x) revestida con masa. Es el revestimiento de masa uniforme (varilla homogénea), entonces al cociente % = m se designa como densidad del revestimiento. Aquı́ es m la masa necesaria l para revestir la varilla de longuitud l. Ahora sea la varilla inhomogénea y m(x) la masa revestida en el intervalo [0, x] (x > 0). Para este caso, de una definición razonable de densidad promedio del revestimiento en [xo , xo + ∆x] y la densidad %(xo ) en xo . Ejemplos.- Calcular la derivada de algunas funciones. 1. f (x) = c (c constante) El cociente de direferencias de f en xo es f (xo + h) − f (xo ) c−c = h h (h 6= 0). Por consiguiente se cumple f (xo + h) − f (xo ) = 0, h→0 h lim 130 0 e. d., f es en cada xo diferenciable y allı́ se cumple f (xo ) = 0 . 2. f (x) = xn (n ∈ N) . Construyamos el cociente de diferencias de f en xo aplicando la fórmula de Newton y obtenemos f (xo + h) − f (xo (xo + h)n − xno = h h 1 n 1 n−1 n n−2 2 = [xo + xo h + x h + · · · + hn − xno ] h n 2 o n n−1 n n−2 = xo + x + · · · + hn−1 . 1 2 o De aquı́ sigue que el f (xo + h) − f (xo = lim h→0 h n n−1 x = nxn−1 . o 1 o Por lo tanto, la función f es diferenciable en cada lugar xo y allı́ tiene la derivada 0 f (xo ) = nxon−1 . 0 En particular, la derivada de f (x) = x2 en xo es f (xo ) = 2xo y en xo 0 = 12 es f ( 12 ) = 1. La tangente t a la parábola y = x2 en el punto Po ( 21 , 14 ) tiene la pendiente 0 m = tan α = f ( 12 ) = 1, e. d. , el ángulo pendiente α = π4 = 45o . La ecuación de la recta tangente es y= 1 1 + 1 · (x − ) 4 2 e. e. y =x− 1 4 (ver Fig. 4.2) 3. f (x) = sin x. Formamos una vez más el cociente de diferencias y aplicamos el teorema de suma de senos y obtenemos: sin(xo + h) − sin xo 2 xo + h − xo xo + h + xo = sin cos h h 2 2 h 2 cos(x + h ). o h 2 2 sin = 131 Para h → 0 es también h → 0. Por eso se tiene 2 sin lim h→0 h 2 h 2 = 1. Por otro lado, debido a la continuidad de la función coseno se cumple lim cos(xo + h→o h ) = cos xo . 2 Por lo tanto sigue 0 sin (xo ) = lim h→0 sin(xo + h) − sin xo = cos xo . h 4. f (x) = ex . Construyamos el cociente de diferencias, luego aplicamos lı́mites y se tiene e(xo +h) − exo xh − 1 = exo · −→ exo cuando h → 0. h h 0 Por lo tanto (exo ) = exo . 5. f (x) = ln x. Analogamente tenemos ln(xo + h) − ln xo 1 ln(1 + = · h h xo x o 0 Entonces (ln xo ) = h xo ) −→ 1 xo cuando h → 0. 1 . xo Ejercicio.- Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = sin x en el punto de la curva con abzisa xo = 34 π. Nota 4.- La diferenciabilidad de f en xo se interpreta también como la 0 aproximación lineal de f mediante la función t(x) = f (xo ) + f (xo )(x − xo ) en un δ-entorno de xo . En otras palabras, una función es diferenciable en xo , si es linealmente aproximable en un entorno de xo . 132 3.5.1 Derivadas Laterales Con el concepto de lı́mite lateral se define la derivada lateral de una función. Es f no diferenciable en xo ∈ D(f ), e. d., no existe el lı́mite del cociente de diferencias, entonces hay que examinarlo, si por lo menos existe uno de los lı́mites laterales. Def.- Una función f definida por lo menos en un intervalo [xo , xo + c] se llama diferenciable por la derecha en xo , si existe el lı́mite lateral derecho lim h→0+ f (xo + h) − f (xo ) . h A este lı́mite se llama derivada lateral derecha en xo y se designa 0 con fd (xo ). Analogamente definimos derivada lateral izquierda en xo y designamos con 0 f (xo + h) − f (xo ) fi (xo ) = lim . h h→0− De esta defición sigue inmediatamente el Teor.- La función es exactamente entonces diferenciable en xo , si allı́ es 0 diferenciable tanto por la derecha como por la izquierda y se cumple fd (xo ) = 0 fi (xo ). En este caso tenemos 0 0 0 f (xo ) = fd (xo ) = fi (xo ). Dem.- Sin demostración. 0 0 Nota 1.- En la ecuación de la tangente se reemplaza f (xo ) por fd (xo ), 0 respectivamente por fi (xo ), entonces se obtiene la ecuación lateral correspondiente. Ejemplos.- Las funciones deben ser exminadas sobre su diferenciabilidad lateral en un punto dado. 1) f (x) = |x3 − 1|, xo = 1. Sabemos que f (x) = f (1 + h) − f (1) = h x3 − 1 −(x3 − 1) para x ≥ 1, para x < 1. =⇒ (1 + h)3 − 1 = 3h + 3h3 + h3 para h ≥ 0 −[(1 + h)3 − 1] = −(3h + 3h2 + h3 ) para h < 0. Luego se tiene 133 f (1 + h) − f (1) = h 3 + 3h + h2 para −(3 + 3h + h2 ) para h>0 h < 0. De aquı́ se obtiene 0 fd (1) = lim (3 + 3h + h2 ) = 3, h→0+ 0 fi (1) = lim [−(3 + 3h + h2 )] = −3. h→0− Por lo tanto, f es en xo = 1 diferenciable por la derecha y por la izquierda, pero no es diferenciable, ya que 3 6= −3. La curva de f en el punto (1, 0) tiene la tangente derecha td (x) = 3(x − 1) y la tangente izquierda ti (x) = −3(x − 1). Cuando hay derivadas laterales diferentes en xo se refleja en la curva de f como un doblez o un pico (ver Fig. 4.3). Las derivadas laterales son también de utilidad práctica. 2) f (x) = √ x (x ≥ 0). Esta función no está definida para x < 0 y por eso en x = 0 no es diferenciable por la izquierda. Para el lı́mite lateral derecho en este lugar del cociente de diferencias se tiene √ √ h− 0 1 lim = lim √ = +∞. + + h h→0 h→0 h De lo que se deduce, que tampoco es diferenciable por la derecha en x = 0. Sinembargo se dice a veces, que f posee en x = 0 una derivada lateral derecha impropia y su curva tiene allı́ una tangente lateral derecha vertical (ver Fig. 2. 8). 3) Una viga de longitud a sea fija en un extremo y en el otro es dobladiza. En este extremo actúa una fuerza F en dirección horizontal, entonces la viga se curva (ver Fig. 4.4). Si introducimos un sistema de coordenadas apropiado, la curva de la viga por efecto de F se puede describir por y = f (x) (0 ≤ x ≤ a). Esta función es diferenciable por la derecha en x = 0 y por la izquierda en x = a y en base a datos técnicos se cumple 0 fd (0) = 0 0 y fi (a) 6= 0. 134 3.5.2 Diferenciabilidad en un Intervalo Similar a la continuidad en un intervalo, se define la diferenciabilidad de una función en un intervalo. Def.- Una función f definida en un intervalo I se llama diferenciable en I, si se cumple: 1. f es diferenciable en cada punto interior de I. 2. Es el punto frontera izquierdo (resp. derecho) elemento de I, entonces f es allı́ diferenciable por la derecha (resp. por la izquierda). Nota 1.- Es f diferenciable en I, entonces a cada x ∈ I se le puede 0 subordinar el número f (x). Esta correspondencia define una función en I que 0 se llama función derivada de f y se designa con f . En otras palabras, f 0 0 asigna a cada x la pendiente m = f (x) a la curva en el punto (x, f (x)). Ejemplos.- Examinaremos funciones diferenciables en un intervalo. 1. f (x) = xn Esta función está definida en (−∞, +∞) y es allı́ diferenciable y su función derivada, más breve, su derivada es 0 f (x) = nxn−1 (−∞ < x < ∞) 0 Otra forma de escribir su derivada es (xn ) = nxn−1 . 2. f (x) = sin x También es diferenciable en un intervalo y su derivada es 0 (sin x) = cos x (−∞ < x < +∞) 3.5.3 Diferenciabilidad y Continuidad Aquı́ analizaremos las relaciones que exiten entre ambos conceptos. Teor.- Una función f diferenciable en xo es ahı́ también continua. Dem.- Evidentemente se cumple f (xo + h) − f (xo ) · h + f (xo ) (h 6= 0). h Cuando h → 0, por la diferenciabilidad de f en xo , existe el lı́mite del lado derecho de la igualdad y se tiene f (xo + h) = 135 0 lim f (xo + h) = f (xo ) · 0 + f (xo ) = f (xo ). h→0 Por consiguiente f es continua en xo . Nota 1.- A la inversa, una función continua en xo no necesita ser diferenciable allı́, como lo muestra el ejemplo f (x) = |x| en xo . La continuidad de una función f en xo es pués una condición necesaria, pero no suficiente, para la diferenciabilidad de f en ese punto. Enunciados análogos se cumplen entre la continuidad y diferenciabilidad laterales. 3.5.4 Reglas de Diferenciación Con funciones se pueden operar, e. e., sumar y multiplicar, etc. Ahora veremos que pasa con la diferenciabilidad de la suma o producto de dos funciones diferenciables en xo . Teor.- Sean f y g diferenciables en xo . Entonces f + g, c · f y f · g también son diferenciables en xo y se cumplen 0 0 0 (f + g) (xo ) = f (xo ) + g (xo ). 0 0 (c · f ) (xo ) = c · f (xo ) 0 (c = constante) 0 0 (f · g) (xo ) = f (xo ) · g(xo ) + f (xo ) · g (xo ) (Regla del Producto). f Es además g(xo ) 6= 0, entonces ( ) es diferenciable xo y se cumple g 0 0 f 0 f (xo · g(xo ) − f (xo ) · g (xo ) ( ) (xo ) = g [g(xo )]2 (Regla del Cociente). Dem.- Por definición sabemos que 0 (f + g) (xo ) = lim (f + g)(xo + h) − (f + g)(xo h = lim f (xo + h) − f (xo ) g(xo + h) − g(xo ) + lim h→0 h h h→0 h→0 0 0 = f (xo ) + g (xo ). 136 Ahora demostraremos la Regla del Producto. Aplicando la definición 0 (f · g) (xo ) = lim h→0 (f · g)(xo + h) − (f · g)(xo ) h f (xo + h) · g(xo + h) − f (xo ) · g(xo ) h→0 h = lim = lim h→0 f (xo + h) − f (xo ) g(xo + h) − g(xo ) · g(xo + h) + lim f (xo ) h→0 h h 0 0 = f (xo ) · g(xo ) + f (xo ) · g (xo ). Las otras demostraciones son análogas. Nota 1.- La derivada de la función constante f (x) = c en cualquier lugar es 0. En efecto 0 (c) (x) = lim h→0 f (xo + h) − f (xo ) c−c = lim = 0. h→0 h h 0 0 Con este resultado y la Regla del Producto se demuestra (c · f ) = c · f . Nota 2.- Por inducción completa se demuestra que el teorema antes mencionado también se cumple para un número finito de sumandos o factores. Ejemplos.- Aceptando que las funciones son diferenciables, calcular sus derivadas. 1. f (x) = x5 − 5x4 + 6x − 2 0 0 0 0 0 f (x) = (x5 ) − (5x4 ) + (6x) − (2) = 5x4 − 20x3 + 6. 2. ϕ(x) = x3 − 2x − 3 x2 − 1 Podemos hacer f (x) = x3 − 2x − 3 y g(x) = x2 − 1. Estas funciones son diferenciables y además g(x) 6= 0 para x con |x| 6= 1. Aplicando la Regla del Cociente resulta 0 f (x) g = (3x2 − 2) · (x2 − 1) − (x3 − 2x − 3) · 2x (x2 − 1)2 = x4 − x2 + 6x + 2 , (x − 1)2 137 |x| = 6 1. 3. f (x) = x3 sin x. La derivada de f se calcula según la Regla del Producto con f (x) = x3 y con g(x) = sin x. En efecto es 0 f (x) = 3x2 · sin x + x3 · cos x. Generalizando, la derivada de una función racional entera o quebrada es nuevamente entera o racional. Nota 3.- La Regla del Producto para tres factores: 0 0 0 0 0 0 (f gh) = [(f g)h] = (f g) h + (f g)h = f gh + f g h + f gh 0 Ejercicios.- Construya las derivadas de las funciones ! 1. f (x) = 2x3 − 5x − 3 sin x + sin π8 , 2. f (x) = (x4 4x) sin x, 3. f (x) = 4. 3.5.5 x2 − sin x . 2 + sin x La ley ”trayecto - tiempo” de la caı́da libre de los cuerpos está dada g por s = t2 + vo t + so (g = gravedad, vo = velocidad en to , so = 2 trayecto en to ) De que tamaño es la velocidad de este movimiento en el tiempo t > 0? Derivada de Función compuesta Teor.- Sean y = g(x) diferenciable en xo y z = f (y) en yo = f (xo ). Entonces la función compuesta h(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)) es diferenciable en xo y se cumple 0 0 0 0 h (xo ) = (f ◦ g) (xo ) = f (yo )g (xo ) con yo = g(xo ) Dem.- Para la demostración construı́mos la función  f (yo + k) − f (yo )   k ∗ f (y) =   0 f (yo ) para k 6= 0, para y = yo , ∗ donde k = y − yo . f ası́ definida es continua yo y se cumple f (yo + k) − f (yo ) = kf ∗ (y) = (y − yo )f ∗ (y) Por lo tanto también 138 (y 6= yo ). g(xo + h) − g(xo ) f (g(xo + h)) − f (g(xo )) = f ∗ (g(xo + h)) . h h Por la continuidad de g y f ∗ y por la diferenciabilidad de g resulta que 0 0 f (g(xo + h) − f (g(xo )) = f (xo )g (xo ). h→0 h Por consiguiente h es diferenciable en xo . 0 h (x0 ) = lim Nota 1.- Si y = g(x) y z = f (y) = f (g(x)), más fácil de recordar es la fórmula dz dz dy = · . dx dy dx Ejemplo.- Calcular la 1. derivada de 1) y = sin(x2 ) y = g(x) = x2 y obtenemos Hacemos z = f (y) = sin y, dz = cos y, dy 0 Por lo tanto z = dy = 2x dx dz = cos y · 2x = 2x · cos(x2 ). dx Nota 2.- Analicemos la derivada de w = ((f ◦g)◦h)(x) = f (g(h(x))). Según el teorema antes mencionado se tiene 0 0 0 0 0 0 w = (f ◦ g) (z) · h (x) = ((f (z) · g (y)) · h (x)). Lo que es lo mismo, pero más fácil para los cáculos, 0 w = dw dz dy dw = · · dx dz dy dx 2) y = sin3 (4x2 − 5). Hacer w = z 3 , z = sin y, dw = 3z 2 , dz y = 4x2 − 5. De aquı́ obtenemos dz = cos y, dy y = 8x dx De donde resulta 0 w = 3z 2 · cos y · 8x = 24x sin2 (4x2 − 5) cos(4x2 − 5) Ejercicios.- Derive las funciones 139 a) (2x3 − 3x + 4 sin x)7 , r c) 3.5.6 b) sin(x3 + 3x2 − 8)4 , 1 2 d) e 1 + 1 . √ x2 + x + 1 , 3x − 9 Derivada de la Función Inversa Estableceremos una relación entre una función y su inversa con respecto a la diferenciabilidad. Fig. 4. 5 muestra el grafo o la curva C de una función reversible y diferenciable y = f (x). La tangente t a C en Po (xo , f (xo ) tiene el ángulo pendiente α. Pero la curva C es al mismo tiempo la curva de f −1 , visto desde el eje y. En este caso el ángulo pendiente de t es β. Se cumple pués 0 (f )(yo ) = tan β = tan( 1 1 α − cot α) = = 0 . 2 tan α f (xo ) Apoyandonos en esta reflexión intuitivamente clara, formulamos el Teor.- La función f sea inyectiva y diferenciable en un entorno de xo con f 0 (xo ) 6= 0. Entonces la funció inversa f −1 es diferenciable en yo = f (xo ) y se cumple (f −1 )0 (yo ) = 1 f 0 (xo ) . Dem.- Ya que la función f es reversible, se cumple f −1 ◦ f (x) = x, x ∈ D(f ). Entonces la deriva de esta función compuesta en xo es f −1 ◦ f 0 (xo ) = (f −1 )0 (yo ) · f 0 (xo ) = 1 =⇒ (f −1 )0 (yo ) = donde yo = f (xo ). 1 , f 0 (xo ) Nota 1.- Para una función reversible con y = f (x) diferenciable se puede escribir la forma más sugestiva y dx 1 = . dy dy dx π Ejemplo.- y = f (x) = sin x |x| < . 2 Esta función es inyectiva y diferenciable con (f −1 )0 (xo ) = dy = (sin x)0 = cos x 6= 0 dx 140 |x| < π . 2 x = f −1 (y) y Su función inversa es x = f −1 (y) = arcsin y (|x| < 1) es también es diferenciable y por el teorema antes citado se cumple 1 dx 1 = = . dy dy cos x dx es cos x > 0 y por lo tanto p √ cos x = cos2 x = 1 − sin2 x, (arcsin y)0 = Para |x| < π 2 de donde resulta 1 (arcsin y)0 = p 1 − y2 (|y| < 1). Se reemplaza en esta fórmula a y por x, se obtiene finalmente (arcsin x)0 = √ 3.5.7 1 1 − x2 (|x| < 1). Derivadas de algunas Funciones básicas A continuación exponemos las derivadas de algunas funciones básicas. Estas fórmulas son en cierta forma el ”abc” de la derivación, por eso hay que tratar de memorizarlas. 141 (c)0 = 0 (c = constante) (1) (xα )0 = αxα−1 (x > 0, si α real) (2) (ex )0 = ex (−∞ < x < +∞) (3) (ax )0 = ax ln a (a > 0, − ∞ < x < +∞) (4) (ln |x|)0 = (x 6= 0) (5) (sin x)0 = cos x (−∞ < x < +∞) (6) (cos x)0 = − sin x 1 = = 1 + tan2 x cos2 x (−∞ < x < +∞) π (x 6= + kπ, k entero) 2 (7) (x 6= kπ, k entero) (9) (|x| < 1) (10) (−∞ < x < +∞) (11) 0 (tan x) 1 x (cot x)0 = − (arcsin x)0 = √ (arctan x)0 = 1 = − (1 + cot2 x) sin2 x 1 1 − x2 1 1 + x2 (8) Nota 1.- Para a = e, la fórmula (4) se convierte en (ex )0 = ex y para x > 0 1 de (5) sigue (ln x)0 = . x También es de utilidad ocasionalmente la fórmula |x|0 = x = sgn(x) |x| (x 6= 0). Aquı́ hay que considerar los casos x > 0 y x < 0. Todas estas fórmulas son demostrables. Sólo haremos demostraciones para algunas de ellas. 1 Para (2). Sea α < 0, por ejemplo α = −n ∈ Z. Entonces tenemos xα = n . x Aplicando la Regla del Cociente resulta α 0 (x ) = 1 xn 0 = 0 · xn − 1 · nxn−1 = −nx−n−1 = αxα−1 x2n 142 (x 6= 0). Para (5). Sea x > 0, e. e., ln |x| = ln x. Construyamos el cociente de diferencias en el lugar x y usemos las leyes de logaritmos x 1 x x+h 1 h h ln(x + h) − ln(x) = · ln = ln 1 + . h x h x x x h Hagamos t = . Entonces cuando h → 0, x fijo, también t → 0. Sabemos x por otro lado, que 1 lim (1 + t) t = e t→0 y que f (x) = ln x es continua en x = e. Por eso obtenemos finalmente ln(x + h) − ln x 1 1 = lim ln(1 + x) h x h→0 t i 1 1 1 h = ln lim (1 + t) t ln e = t→0 x x Analogamente se demuestra cuando x < 0. (ln x)0 = lim h→0 = 1 x (x > 0). Para (3). Esta fómula se demuestra facilmente al tener en cuenta que x = ey es la función inversa de y = ln x (x > 0). Según la derivada de esta función se tiene dx 1 1 = = x = ey , = dy dy (ln x)0 dx y luego al reemplazar x se tiene (3). (ey )0 = Para (4). Para demostrar esta fórmula escribimos y = ax = (eln a )x = ex ln a , dz dy = ez , = ln a y luego ponemos y = ez , z = x ln a y las derivamos dz dx por la Regla de la Cadena obtenemos dy = ez · ln a = ex ln a · ln a = ax ln a. dx En forma similar se puede demostar también (2) al poner xα = (eln x )α . La fórmula (7) se obtiene de las ya demostradas y de cos x = sin( Para demostar (8) y (9) se aplica la Regla del cociente a sin x cos x , respectivamente cot x = . cos x sin x Finalmente (11) sigue de (8) como derivada de la función inversa. tan x = 143 π − x). 2 Ejercicios.- Demuestre 3.5.8 a) Las fórmulas de (1) a (11), b) (sinh x)0 = cosh x, c) (cosh x)0 = sinh x, d) (arctan x)0 = 1 . 1 + x2 Técnicas de Derivación A continuación vamos a ejercitar la aplicación de las fórmulas en algunos ejemplos. E1.- f (x) = √ 5 −4 x x3 (x > 0) Para derivar esta función aplicar (2) y la derivada de la suma es la suma de 5 las derivadas. Para eso hacemos f (x) = f1 (x) + f2 (x), donde f1 (x) = 3 = x √ 1 5x−3 para x 6= 0 y f2 (x) = −4 x = 4x 2 para x > 0 son diferenciables. Por eso f es diferenciable para todo x > 0 y es 15 1 1 2 f 0 (x) = 5 · (−3)x−4 − 4 · x− 2 = − 4 − √ 2 x x En lo sucesivo aplicamos las fórmulas sin indicar de que fórmula se trata. E2.- f (x) = ln tan x . 2 x está definida y es diferente de 0, e. 2 d., para todo x 6= kπ (k entero). Para esos x es f también diferenciable. Pongamos La función está definida donde tan y = ln |z|, z = tan w, w = x . 2 Derivando cada una de ellas dy 1 dz 1 = , = dz z dw cos2 w y la Regla de la Cadena nos suministra dw 1 = , dx 2 1 1 = (x 6= kπ, k entero). 2 x sin x 2 sin · cos 2 2 En algunos ejercicios la Regla de la Cadena se puede aplicar mentalmente, sin recurrir a substituciones. f 0 (x) = 144 1−x E3.- f (x) = cos e 1 + x . Evidentemente f es diferenciable para todo x 6= −1. Si ponemos mentalmente z = ew , y = cos z, w = 1−x , 1+x obtenemos 1−x 1−x (−1) · (1 + x) − (1 − x) f (x) = − e 1 + x · e 1 + x . , (1 + x)2 0 ejecutando operaciones resulta 1−x 1−x 2 1 + x e f (x) = sin e 1 + x (1 + x)2 0 (x 6= −1). Ejercicios.- A continuación se dan funciones. El campo de definición sean todos los x, para los cuales las expresiones de la derecha de la igualdad tienen sentido. Determine estos x. Determine también los x, para los cuales las f son diferenciables y calcule las respectivas derivadas. a) f (x) = 2 1 √ + − 3x x3 , x x x5 c) f (x) = arctan 2 1 x d) √ 3 e) f (x) = e−x − cos g) b) f (x) = ln | ln x|, √ 1 − 2x, 1 x2 +1 f ) f (x) = cosh2 1 − x2 . 1 + x2 Determine todos los puntos de la parábola y = (x − 1)3 (x + 1), por los cuales pasa una tangente a la curva paralela al eje x. h) La oscilación libre amortiguada de un oscilador armónico (oscilación de un espiral) se describe por s(t) = Ae−γt cos(ωt − α), donde A, α, γ, ω son constantes. Determine la velocidad de este movimiento en un tiempo cualquiera t ≥ 0. 145 3.5.9 Diferenciación Logarı́tmica Sea f una función diferenciable en un intervalo y diferente de cero. Entonces la función u = ln |f (x)| es diferenciable y por la Regla de la Cadena se obtiene u0 = 1 · f 0 (x), f (x) e. e., [ln |f (x)|]0 = f 0 (x) f (x) (f (x) 6= 0). De aquı́ sigue f 0 (x) = f (x) · [ln |f (x)|]0 . Nota 1.- Al cociente (∗) f 0 (x) se llama también derivada logarı́tmica de f . f (x) Esta fórmula se usa oportunamente para calcular la derivada de f (x). E1.- f (x) = (x − 2)e2x (x − 1)3 )(x + 3)2 (x 6= 1, x 6= −3) Aquı́ el cálculo directo de f 0 (x) es muy laborioso. En cambio, para ln |f (x)| aplicando las leyes de logaritmos se tiene ln |f (x)| = ln |x − 2| + 2x − 3 ln |x − 1| − 2 ln |x + 3|, luego derivando resulta [ln |f (x)|]0 = 3 2 1 +2− − x−2 x−1 x+3 De (∗) sigue f 0 (x) = (x − 2)e2x 1 3 2 + 2 − − . (x − 1)3 (x + 3)2 x − 2 x−1 x+3 Para evitar la discontinuidad en x = 2 en el segundo factor se introduce x−2 del primero en el segundo y se tiene f 0 (x) = 3(x − 2) 2(x − 2) e2x 1 + 2(x − 2) − − . (x − 1)3 (x + 3)2 x−1 x+3 Nota 2.- De esta manera se construye también la derivada de funciones de la forma f (x) = [ux)v(x) (u(x) > 0)], al diferenciar primeramene según la Regla del Producto a 146 ln |f (x) = v(x) ln u(x)| y luego aplicar (∗). E2.- f (x) = xsin x (x >= 0). Aplicando el logaritmo se tiene ln |f (x)| = sin x · ln x y la Regla del Producto suministra [f (x)]0 = cos x · ln x + sin x · y finalmente con (∗) se obtiene sin x 0 sin x f (x) = x cos x · ln x + x 1 , x (x > 0). Ejercicios.- Con la diferenciación logarı́tmica cálcule las derivadas de a) f (x) = xx (x > 0), b) f (x) = (tan x)x (0 < x < c) f (x) = p (x + 1)(x − 3) √ (x3 + 2) 3 x − 2 x d) f (x) = xx π ), 2 (x > 3), (x > 0). Nota 3.- La derivada de cada función elemental diferenciable, mediante las reglas generales de diferenciación, se pueden reducir a las derivadas de las funciones básicas, e. e., a funciones elementales. Por eso la derivada de toda función elemental diferenciable en un intervalo es una función elemental. En los parágrafos anteriores hemos tratado la diferenciación de funciones elementales. En caso de funciones no elementales, por lo general, tenemos que recurrir a la definición de derivadas, e. d., a analizar el cociente de diferencias. Un ejemplo de una función no elemental es ( 1 para x sin f (x) = x 0 para 147 x 6= 0, x = 0. Para x 6= 0 se deriva primero según la Regla del Producto y luego según la Regla de la Cadena y resulta 1 f (x) = 1 · sin x + x · x 0 1 − 2 x = sin 1 1 1 − cos x x x (x 6= 0). Para analizar la diferenciabilidad de f en x = 0 formamos el cociente de diferencias en este lugar: 1 h sin − 0 f (h) − f (0) 1 h = = sin (h 6= 0). h h h 1 Sabemos que para h → 0 la función sin diverge indeterminadamente. h Por consiguiente f no es diferenciable en x = 0. Pero sabemos también que f es continua en x = 0. Con este tenemos otro ejemplo de una función continua en xo que allı́ no es diferenciable. Ejercicio.- Demuestre que la función ( 1 para x 6= 0, x2 sin f (x) = x 0 para x = 0. es diferenciable en cada x y determine su derivada . 3.5.10 La Ecuación diferencial y 0 = αy Para estudiar esta ecuación consideremos la función f (x) = Ceαx (C, α constantes), y derivando según la Regla de la Cadena obtenemos f 0 (x) = Ceαx · α. Aquı́ se reemplaza Ceαx por su igual y se tiene f 0 (x) = αf (x) 0 (−∞ < x < +∞). 0 Ya que y = f (x), e. d., y = f (x), la ecuación anterior se puede escribir en la forma y 0 = αy. (EDO) Esta ecuación es un simple ejemplo de una ecuación diferencial ordinaria. Toda función f diferenciable en un intervalo I con la propiedad 148 f 0 (x) = αf (x) (x ∈ I) se llama solución de la ecuación diferenciable (EDO) en I. Con f 0 (x) = αf (x) se muestra que f (x) = Ceαx , para cada constante C, es una solución de y 0 = αy en (−∞, +∞). A la inversa, como consecuencia del Teorema del Valor Medio, demostraremos también, que cada solución de y 0 = αy en un intervalo I, con un apropiado valor C, se puede representar en la forma f (x) = Ceαx . La ecuación caracteriza aquellas funciones f , cuyos ”cambios de velocidad” f 0 (x) en x es proporcional en este lugar al valor f (x) de la función con el factor de proporcionalidad α. Muchos procesos naturales, por lo menos aproximativamente, tienen este comportamiento y se pueden describir por funciones de la forma f (x) = Ceαx . Eh ahı́ la importancia especial de las funciones exponenciales para la aplicación. Ejemplo.- Sea m(t) la masa existente en el tiempo t de una substancia dm(t) en radioactiva. Es sabido, que la llamada velocidad de descomposición dt cada tiempo t es proporcional a la masa m(t) existente, e. d., se cumple dm(t) = − λm(t) (t ≥ 0). (EdD) dt Aquı́, λ > 0 es una constante propia de la substancia (constante de descomposición). El signo menos significa, como veremos en el tema monotonı́a, cuando el tiempo crece la mase disminuye. Según lo antes expuesto, la ecuación diferencial (EdD) tiene la solución m(t) = mo e−λt (t ≥ 0), 0 donde mo , debido a m(0) = mo e = mo es la masa existente en el tiempo t = 0 (ver. Fig. 4.6) 3.5.11 El Operador de Diferenciación Ası́, como hemos construı́do C[a, b], el conjunto de todas las funciones continuas definidas en [a, b], podemos construir el conjunto C 1 [a, b] = {f /f : [a, b] −→ R diferenciable continua en [a, b]} , e. e., el conjunto de todas las funciones f definidas y diferenciables en [a, b] y cuyas derivadas f 0 son también continuas en [a, b], e. d., f 0 ∈ C[a, b]. 149 Def.- Funciones con esta propiedad se llaman funciones diferenciables continuas en [a, b] y al conjunto de estas funciones se le designa con C 1 [a, b] . Nota 1.- Hemos demostrado que toda función diferenciable en [a, b] es allı́ continua. Por consiguiente se cumple C 1 [a, b] ⊂ C[a, b]. Más preciso, C 1 [a, b] es un subconjunto propio de C[a, b]. En efecto f (x) = |x| es continua en [−1, 1], e. d., f ∈ C[−1, 1], pero no es diferenciable en [−1, 1], e. e., f ∈ / C 1 [−1, 1]. Nota 2.- Sean f, g ∈ C 1 [a, b] y α, β ∈ R. Se demuestra, en base a un teorema anterior, que la combinación lineal αf + βg es diferenciable sobre [a, b] y que se cumple (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 . Por otro lado, ya f 0 y g 0 son continuas en [a, b], por eso (αf + βg)0 también es continua en [a, b], e. e., αf + βg ∈ C 1 [a, b]. El conjunto C 1 [a, b] con dos funciones f y g contiene también a cada una de sus combinaciones lineales, por eso se dice que es un espacio lineal o vectorial: f, g ∈ C 1 [a, b] =⇒ αf + βg ∈ C 1 [a, b]. Def.- La aplicación D : C 1 [a, b] −→ C[a, b], f −→ D(f ) = f 0 se llama operador de diferenciación o, más breve, derivación. Nota 3.- D subordina a cada f ∈ C 1 [a, b] su derivada f 0 ∈ C[a, b] y se cumple D(αf + βg) = αD(f ) + βD(g) ∀ f, g ∈ C 1 [a, b] ∀ α, β ∈ R. En efecto, D(αf + βg) = (αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 = αD(f ) + βD(g). Operadores con esta propiedad se llaman operadores lineales, e. d., el operador de diferenciación es lineal. Por eso (EDO) se puede escribir como D(y) = αy. En Matemática y sus aplicaciones intervienen operadores de diferentes clases. Un estudio detallado y general de estos conceptos se hace en la disciplina de Teorı́a de Operadores. El operador de diferenciación D es el ejemplo más simple de un operador diferencial, en este caso, ordinario. 150 3.5.12 Derivadas de Orden Superior Toda función f diferenciable en el intervalo abierto (a, b) posee una función derivada f 0 , que está definida en (a, b). Def.- Sean f diferenciable en (a, b) y f 0 definida en (a, b). Entonces f se llama dos veces diferenciable en xo , si f 0 es diferenciable en xo . A la derivada de f 0 en xo se llama segunda derivada de f en xo y se designa con d2 y d2 f (x ) o (xo ). o dx2 dx2 Analogamente se define la 3. derivada de f y se designa con f 000 (xo ). En general, para n > 1 la n-derivada o derivada de orden n de f en xo se define recursivamente según la prescripción d dn−1 y n (n−1) 0 (xo ). f (xo ) = [f (xo )] o dx dxn−1 f 00 (xo ) o En algunas situaciones es conveniente considerar a f como la derivada de orden cero en x y se escribe f 0 (x) = f (x). A veces, en lugar de ”derivada de orden n” se dice ”cociente diferencial dn y de orden n” y se escribe y se lee ”d a la n y entre d x a la n. dxn Def.- f : [a, b] −→ R se llama n veces diferenciable continua en [a, b], si existen f 0 , f 00 , · · · , f n y son continuas en [a, b]. En a y b sólo existen las diferenciaciones y continuidad laterales por la derecha, respectivamente por la izquierda. Nota 1.- Designaciones C 0 [a, b] C n [a, b] := := C ∞ [a, b] := Espacio vectorial de las funciones continuas en [a, b]. Espacio vectorial de las funciones n veces diferenciables continuas. Espacio vectorial de las funciones infinitamente diferenciables. Nota 2.- La propiedad ”diferenciable continua” es más fuerte que la propiedad ”diferenciable”, pués hay funciones diferenciables cuyas derivadas no son continuas. Ası́ lo demuestra el ejemplo  2  x sin x1 para x 6= 0, f (x) =  0 para x = 0. 151 f es diferenciable en R, pero su derivada f 0 es discontinua en 0. En efecto, para x 6= 0 se cumple 1 1 f 0 (x) = 2x sin − cos x x y en x = 0 se tiene lim h→0 f (h) − f (0) 1 = lim h sin = 0 = f 0 (0). h→0 h h Evidentemente, f 0 no tiene lı́mite cuando h tiende a 0 (v. Fig. ). E1.- Calcule las derivadas de f (x) = sin x. f 0 (x) = (sin x)0 = f 00 (x) = (cos x)0 = f 000 (x) = (− sin x) = f 4 (x) = (− cos x) = cos x, − sin x, − cos x, sin x. La función f (x) = sin x es infinitamente diferenciable en cada x y ya que se cumple f (4) (x) = f (x) es f (5) (x) = f 0 (x) y ası́ sucesivamente. Por eso podemos deducir la fórmula  (−1)k sin x para n = 2k, n d sin x  =  dxn (−1)k cos x para n = 2k + 1. E2.- Similarmente determine las derivadas de f (x) = ln x f 0 (x) = 1 , x f 00 (x) 1·2 , f (4) (x) x3 Por inducción completa se demuestra f 000 (x) = dn ln x (n − 1)! = (−1)n−1 dxn xn = − 1 , x2 = − 1·2·3 . x4 (x > 0). (n natural). Ejercicios.1) Calcule la 2. derivada de f (x) = esin x . 2) Determine todas las derivadas de f (x) = xn (n natural). 3) Suministre una fórmula para la n-derivada de f (x) = cos x en x = 0. 4) Como es la n-derivada de f (x) = ax . En particular para a = e. 152 3.5.13 La Derivada como Razón de Cambio El estado de las cosas se observa en el tiempo. Si en el tiempo to el estado de un fenómeno o movimiento es xo = x(to ) y en t1 es x1 = x(t1 ) y estas magnitudes son diferentes, e. d., xo − x1 6= 0, entonces se dice hay un cambio de estado de to a t1 . Es xo − x1 = 0, entonces no hay cambio. x se llama Sean x y t magnitudes dadas mayores que cero. La expresión t razón y mide la relación de tamaño entre x y t. Si la razón es aproximadamente 1, se dice que x y t son cası́ iguales. Es la razón menor que 1, entonces es x < t, es la razón cercana a cero, entonces t es relativamene muy grande frente a x. Y viceversa se puede decir que x > t cuando la razón es mayor que 1. Similar análisis se hace cuando x y t son negativos o de signos contrarios. El grafo de una función lineal y = f (x) = mx + b es una recta, donde m mide la pendiente o grado de inclinación de la recta. Si x cambia de xo a x1 se obtiene el cambio de y de yo a y1 (ver Fig. 3.4.1). De esto resulta y1 − yo = m(x1 − xo ) =⇒ m = y 1 − yo = f 0 (x). x1 − xo Por lo tanto m indica la razón de cambio de y con respecto a x , e. e., el cambio de y cuando x cambia por unidad. En general, el grafo de una función diferenciable y = f (x) es una curva. La pendiente m(x) = f 0 (x) nos da la razón de cambio de y en x, la cual puede cambiar de punto en punto. Por ejemplo, si tengo un cuadrado de lado s, su área está dada por A = s2 . Si s cambia de 1 a 2, A cambia en 3 unidades cuadradas. Y la razón de cambio es mo = A(2) − A(1) 22 − 12 = 3. = s1 − so 2−1 Si s cambia de 2 a 3, A cambia en 5 unidades cuadradas y la razón de cambio es A(3) − A(2) 32 − 22 = = 5. 3−2 3−2 Si continuamos, observamos que las razones de cambio son diferentes y están dadas por m(s) = A0 (s). m1 = 153 3.5.14 Interpretación fı́sica de la 2. Derivada En la motivación de la derivada hemos visto que el movimiento rectilı́neo está descrito por la función distancia - tiempo s = s(t) (s es el camino transcurrido en el tiempo t). Su velocidad es la 1. derivada de s según t. En este caso se designa con v(t) = ṡ(t). En general, la velocidad depende también del tiempo (en movimientos desuniformes). Cuando el cambio del tiempo es t+h−t = h), el cambio de la velocidad es v(t + h) − v(t). Al cociente v(t + h) − v(t) h designamos como aceleración promedio en el intervalo [t, t + h] y al lı́mite v(t + h) − v(t) = v̇(t) h→0 h como aceleración del movimiento en el tiempo t. Por lo tanto a(t) = lim a(t) = s̈(t). Es decir, la acelaración de un movimiento rectilı́neo es la 2. derivada de la función s(t). La Ley de Newton para el movimiento rectı́lineo de una masa puntual bajo la influencia de la fuerza actuante F en dirección de la trayectoria (camino) está dada por ma = F. (LdN) F es la fuerza que se necesita para imprimir la aceleración a a un cuerpo de masa en m en dirección del trayecto. Si reemplazamos en (LdN) a por su igual s̈ y aceptamos a F y m como dados, obtenemos una ecuación diferencial ms̈ = F. Ejercicio.- En una espiral fijada por un extremo se ha colocado en el otro un cuerpo de masa m, sobre el cual actúa, sin considerar la fricción, la fuerza de la espiral F = −ks, donde k > 0 es la constante de la espiral y s es la distancia del cuerpo de su lugar de reposo al estirar la espiral. Demuestre que s = A cos(ωo t − α), r describe la oscilación del cuerpo, donde A y α son constantes y ωo = 154 k . m 3.5.15 Operaciones con Derivadas superiores Las reglas de que la deriva de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas y de que la derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera por la segunda más la primera por la derivada de la segunda, se pueden transmitir a derivadas de cualquier orden n. Se cumplen 1. (f + g)(n) = f (n) + g (n) , 2. (cf )(n) = cf (n) 3. (f g)(n) = (c constante), n X n f (n−k) g (k) k (Regla de Leibniz) k=0 Estas fórmulas se demuestran por inducción completa. Ası́ tenemos (f g)00 = ((f g)0 )0 = (f 0 g + f g 0 )0 = f 00 g + f 0 g 0 + f 0 g 0 + f g 00 = f 00 g + 2f 0 g 0 + f g 00 y también (f g)000 = f 000 g + 3f 00 g + 3f g 00 + f g 000 . La Regla de Leibniz nos hace recordar al binomio de Newton (f + g)n , donde los ı́ndices superiores son exponentes. Ejemplo.- Se busca la 3. derivada de f (x) = x2 sin x. Ahora podemos emplear la Regla de Leibniz para f (x) = x2 , g(x) = sin x y n = 3. Luego tenemos 000 f (x) = 3 0 3 2 + Pero 3 0 = 1, 2 000 (0) (x ) (sin x) 2 0 00 = 3, 3 1 3 3 + (x ) (sin x) 3 1 3 2 + = (x2 )00 (sin x)0 (x2 )(0) (sin x)000 3·2 = 3, 1·2 Por consiguiente f 000 (x) = 6 cos x − 6x sin x − x2 cos x. 155 3 3 = 1. Ejercicio.- Calcule la 4. derivada de las funciones x a) f (x) = 3x4 − 5x2 + cos , 2 3.5.16 b) f (x) = x3 . ex El Diferencial La Fig. 1 muestra el grafo de f y debajo su tangente en el punto (x, f (x)). Como indica la figura, para pequeños h, el valor f (x + h) − f (x), el cambio de f entre x y x + h, se puede aproximar por el producto f 0 (x)h, e. d., f (x + h) − f (x) ∼ = f 0 (x)h. (A) La pregunta inmediata es ¿que buena es esta aproximación? ¿Es buena en el sentido de que para pequeños h, la diferencia [f (x + h) − f (x)] − f 0 (x)h es pequeña en comparación con h? ¿Que tan pequeña? Tan pequeña, tal que el cociente [f (x + h) − f (x)] − f 0 (x)h h tienda a 0 cuando h tiende a 0, e. d., que se cumple f (x + h) − f (x) − f 0 (x)h h→0 h lim = f (x + h) − f (x) f 0 (x)h − lim h→0 h→0 h h lim = f 0 (x) − f 0 x) = 0. Nota 1.- La diferencia f (x + h) − f (x) se llama incremento de f entre x y x + h y se designa con 4f = f (x + h) − f (x). Def.- La función f sea diferenciable en x. El producto f 0 (x)h se llama el diferencial de f en x correspondiente al incremento h del argumento y se designa con df (x, h) = f 0 (x)h. 156 Nota 2.- En vez de df (x, h) se escribe también df o dy. Observe que el diferencial dy = df depende además de x, donde es diferenciable, también de h, que puede tomar cualquier valor. La expresión (A) dice que 4f y df , para pequeños h son cası́ iguales, 4f ∼ = df. ¿Que buena es esta casi igualdad? Tan buena que el cociente 4f − df f (x + h) − f (x) = − f 0 (x) h h tiende a 0 cuando h se aproxima a 0. Todo lo que esto significa lo veremos en un caso muy simple. El área de un cuadrado, cuyos lados de longitud x, está dada por la función f (x) = x2 , x > 0. Si la longitud de cada lado aumenta de x a x + h, el área crece de f (x) a f (x + h) (ver Fig. 02). El cambio de área viene a ser el incremento 4f , 4f = f (x + h) − f (x) = (x + h)2 − x2 = (x2 + 2xh + h2 ) − x2 = 2xh + h2 . Como estimación o aproximación de este cambio podemos utilizar el diferencial de f , df = f 0 (x)h = 2xh. El error de esta aproximación es la diferencia entre el propio cambio 4f y el cambio estimado df , = 4f − df = h2 . Como se esperaba, el error es pequeño ante h, en el sentido de que h2 4f − df = = h h h va hacia 0, cuando h tiende a 0. Ejemplos.- 1) El diferencial de f (x) = sin s en cualquier lugar x y para un incremento cualquiera h es df (x, h) = (sin x)0 h = cos xh. 2) La función y = g(x) = x tiene el diferencial dx = dy = (x)0 h = h. 157 Por este hecho identificaremos al incremento h de x con el diferencial dx de la función especial g y escribiremos df (x, h) = f 0 (x)dx dy = f 0 (x)dx. o De aquı́ resulta que dy = f 0 (x) dx Con esto la derivada f 0 (x) adquiere un nuevo significado y viene a ser el cociente de los diferenciales dy y dx. Por eso a veces se dice en lugar de derivada, cociente diferencial. Ejercicio.- Emplee el diferencial para calcular aproximadamente √ Sabemos que √ 104. 100 = 10. Ahora necesitamos estimar el incremento de f (x) = √ x cuando x aumenta de 100 a 104. En este caso tenemos f 0 (x) = 1 √ 2 x y por lo tanto df = f 0 (x)h = h √ . 2 x Con x = 100 y h = 4 tenemos el incremnto aproximado de f , df = 4 1 √ = = 0, 2. 5 2 100 Por consiguiente, cuando x aumenta de 100 a 104, el valor de la incrementa aproximadamente en 0, 2, e. d., √ 104 ∼ = √ √ x se 100 + 0, 2 = 100 + 0, 2 = 10, 2. Nota 3.- Si f es diferenciable en x, se cumple f (x + h) − f (x) lim − f 0 (x) = 0. h→0 h Ya que x es fijo, podemos definir la función η(h) := f (x + h) − f (x) − f 0 (x) h (h 6= 0), y ası́ tenemos f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + η(h)h con lim η(h) = 0. h→0 A esta expresión, utilizando el Sı́mbolo de Landau, lo podemos escribir como f (x + h) − f (x) = f 0 (x)h + o(h) 158 cuando h → 0. Esta fórmula se llama la Decomposición de Weierstraß. Ejercicios.- 1) Calcule el diferencial en cualquier punto y para cualquier incre mento dx de las funciones a) f (x) = cos x, b) f (x) = xe−x , c) f (x) = √ x2 + 3. 2) De un valor aproximado para sin x, conociendo sin 45. 3.5.17 Diferenciales de Orden superior Sea f una función dos veces diferenciable en (a, b). El diferencial correspondiente a un x ∈ (a, b) cualquieran y al incremento h dy = f 0 (x)h es una función difernciable con respecto a x con la derivada f 00 (x)h y por lo tanto con el diferencial d 0 [f (x)h] = dx d(dy) = [f 00 (x)h]h = f 00 (x)h2 donde h es el mismo incremento del 1. diferencial. A este diferencial se le designa con d2 y y se llama diferencial de 2. orden. Para h2 se escribe (dx)2 , e. e., h2 = dx2 . 3.6 APLICACIONES DE LA DIFERENCIACION El concepto de diferenciabilidad lo utilizaremos para estudiar y tratar propiedades de funciones diferenciables y para resolver problemas de gran trascendencia teórica y práctica de otras disciplinas cientı́ficas. 3.6.1 Teoremas de Fermat y de Rolle Teor.- (Teorema de Fermat) La función f sea definida en un intervalo I y tome en un punto interior ξ de I un valor extremo absoluto. Es f en ξ diferenciable, entonces se cumple f 0 (ξ) = 0. Dem.- Aceptemos que el punto interior ξ de I sea un lugar máximo de f . Entonces para ξ + h, h > 0 se cumple f (ξ + h) − f (ξ) ≤ 0. h Cuando h → 0+ , la expresión anterior se convierte en f 0 ξ) ≤ 0. Analogamente, si −h → 0− , la misma expresión se convierte en f 0 (ξ) ≥ 0. Ambas desigualdades demuestra la afirmación del teorema. 159 Geometricamente hablando, este teorema dice, que la tangente al grafo de f en el punto P (ξ, f (ξ)) tiene una pendiente nula, e. d., transcurre paralela al eje x (ver. Fig. 1). Teor.- (Teorema de Rolle) Sea f una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) con f (a) = f (b). Entonces existe, por lo menos, un ξ ∈ (a, b) tal que se cumple f 0 (ξ) = 0. Dem.- Por ser f continua en [a, b], según el Teorema de Weierstrass, toma un mı́nimo absoluto m1 y un máximo absoluto m2 . Diferenciamos dos casos: 1. Es m1 = m2 , entonces f es constante en [a, b], por lo tanto es f 0 (ξ) = 0 para todo ξ ∈ (a, b). 2. Es m1 6= m2 , entonces, por ser f (a) = f (b), f toma, por lo menos, uno de los extremos absolutos en un lugar interior ξ de [a, b]. Y por el Teorema de Fermat se tiene f 0 (ξ) = 0. Con lo que el teorema está demostrado. En la Fig. 2. se ha graficado geometricamente el Teorema de Rolle, a lo cual hay agregar que pueden haber varios lugares ξ ∈ (a, b), para los cuales hay una tangente horizontal a la curva de f . Nota 1.- Debemos subrayar que la hipótesis de la continuidad de f en el intervalo cerrado [a, b] es esencial para la validez del Teorema de Rolle, como lo veremos en la función   x para 0 ≤ x < 1 f (x) = (ver Fig. 3),  0 para x = 1. que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) y se cumple f (0) = f (1) = 0. Sin embargo, f no es continua por la izquierda en x = 1. Realmente se cumple f 0 (x) = 1 6= 0 para todo x ∈ (a, b). 3.6.2 Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial Es evidente que el Teorema de Rolle también se puede interpretar geometricamente de la siguiente manera: Bajo las hipótesis de continuidad en [a, b] y diferenciabilidad en (a, b) de la función f , hay por lo menos una tangente a la curva de f que es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)), e. e., que tiene la misma pendiente que esta secante. El importante teorema que sigue, geometricamente, dice, que este enunciado también es válido, aún cuando la secante no necesariamente transcurra horizontalmente (ver Fig. 4). Observe que la pendiente de la secante s es f (b) − f (a) b−a y la pendiente de la tangente t es f 0 (ξ). 160 Teor.- (TVM) La función f sea continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Entonces existe, por lo menos, un lugar ξ con f (b) − f (a) = f 0 (ξ) (a < ξ < b) (VM). b−a Dem.- Sea g la función que describe a la secante s, e. e., g(x) = f (a) + f (b) − f (a) (x − a). b−a La función ϕ(x) := f (x) − g(x) satisface pués en [a, b] todas las hipótesis del Teorema de Rolle (vea Fig. 4). Por lo tanto existe un número ξ ∈ (a, b) con 0 = ϕ0 (ξ) = f 0 (ξ) − g 0 (ξ) = f 0 (ξ) − El teorema está demostrado. f (b) − f (a) . b−a Haciendo xo = a, h = b − a, entonces xo + h = b, podemos representar a cada ξ ∈ (a, b) = (xo , xo + h) en la forma ξ = xo + ϑh con ϑ ∈ (0, 1) (ver Fig. 5). Con esto, (VM) se puede escribir también en la forma f (xo + h) − f (xo ) = f 0 (xo + ϑh) h o también f (xo + h) − f (xo ) = hf 0 (xo + ϑh) (0 < ϑ < 1) (VM1) (0 < ϑ < 1) (VM2) (0 < ϑ < 1) (VM3) o también f (xo + h) = f (xo ) + hf 0 (xo + ϑh) Naturalmente h puede ser también negativo. Para |h| pequeño podemos escribir f (xo + h) − f (xo ) ≈ hf (xo ). Esto nos hace recordar al diferencial, solo que f (xo + h) − f (xo ) = hf (xo + ϑh) es exacta, pero donde de ϑ sólo se sabe, por lo general, que está en (0, 1). En casos simples determinaremos al número ϑ. Ejemplo 1.- Observemos la función f (x) = cx2 161 (c 6= 0 constante). Obviamente, f satisface las hipótesis del (TVM) para cada intervalo [xo , xo + h]. Hay pués, por lo menos, un ϑ, tal que se cumple (VM1), e. e., c(xo + h)2 − cx2o = 2c(xo + ϑh) (0 < ϑ < 1). h Esta ecuación se puede interpretar como una ecuación para determinar ϑ, ya que es soluble, y se obtiene ϑ = 12 . Aquı́ ϑ no depende ni de xo ni de h (pero compare el ejercicio que sigue). Geometricamente esto significa, ver Fig. 6, que para la secante que pasa por los puntos Po y P1 hay exactamente una tangente a la parábola y = cx2 paralela a esta secante. La tangente corresponde al punto h medio xo + del intervalo [xo , xo + h]. De la misma manera se obtiene igual 2 resultado para un parábola cudrática y = a2 x2 + a1 x + ao , (a2 6= 0). Con esto se ha logrado un simple método para la construcción de una tangente a la parábola cuadrática. La forma (VM3) del Teorema del Valor Medio se puede emplear para el cálculo numérico de un valor aproximado para f (xo + h), si se conoce a f (xo ), por lo menos, aproximadamente y |h| es pequeño. Para eso hay que estimar apropiadamente a f 0 (xo + ϑh), considerando que 0 < ϑ < 1. Ejemplo 2.- De una Tabla de Logaritmos de cinco decimales se toma el valor de ln 17 = 2, 83321. (L1) Se busca un valor aproximado para ln 17.2! Ya que ln 17, 2 = ln(17 + 0, 2) aplicamos el Teorema del Valor Medio a la función f (x) = ln x en xo = 17, h = 0, 2. 1 , según (VM3), para cualesquiera xo y h se cumple x 0, 2 ln(xo + h) = ln xo + (0 < ϑ < 1). xo + ϑh Con f 0 (x) = Reemplazando xo y h por sus valores, resulta ln 17, 2 = ln 17 + 0, 2 17 + 0, 2ϑ (0 < ϑ < 1). (L2) Ahora determinaremos numericamente cotas facilmente calculables para Debido a que 0 < ϑ < 1, se cumple 0, 2 0, 2 0, 2 < < . 17 + 0, 1 · 1 17 + 0, 2ϑ 17 + 0, 2 · 0 162 0, 2 . 17 + 0, 2ϑ De esto y de (L) sigue ln 17 + 0, 2 0, 2 < ln 17 < ln 17 + . 17, 2 17 (D1) En (L1) el valor se ha redondeado a cinco cifras decimales, más exacto, se cumple 2, 833205 < ln 17 < 2, 833215. (D2) 0, 2 = 0, 011627... > 0, 011627, 17, 2 (D3) Además es 0, 2 = 0, 011764... < 0, 011765. (D4) 17 De estas desigualdades, de (D1) y de (D2) sigue finalmente 2, 833205 + 0, 011627 < ln 17, 2 < 2, 833215 + 0, 011765, es decir, 2, 844832 < ln 17, 2 < 2, 844980, y redondeando a tres cifras decimales, se tiene ln 17, 2 = 2, 845. La exactitud alcanzada no se puede mejorar, aún elevando el número de cifras decimales en (L1), (D3) y (D4), ya que las cotas dadas en (D1) para ln 17, 2, como se ve en (D3) y (D4), comienzan a diferenciarse a partir de la cuarta cifra decimal. Conoceremos otros métodos que permiten el cálculo del valor de una función con cualquier exactitud. Ejercicios.1. Determine todos los ϑ ∈ (0, 1), tal que las tangentes a la curva y = ex en el lugar ξ = xo + ϑh sean paralelas a la secante perteneciente al intervalo [xo , xo + h]. 2. Empleando el valor e = 2, 7183, de una cota inferior y una superior para e1,01 . 163 3.6.3 Consecuencias del Teorema del Valor Medio Hemos demostrado que la derivada de una función constante en un intervalo es igual a cero. Podemos demostrar también que se cumple lo inverso. Teor.- Sea f continua en [a, b] y diferenciable en todo x ∈ (a, b) con f 0 (x) = 0. Entonces f es constante en [a, b]. Dem.- Eligamos un número cualquiera k ∈ [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], (x 6= k), según el (TVM) aplicado a [k, x], hay un ξ ∈ (k, x), y por lo tanto también ξ ∈ (a, b), con f (x) − f (k) = (x − k) · f 0 (ξ). Ya que f 0 (ξ) = 0, sigue de aquı́ f (x) = f (k). Puesto que x ∈ (a, b) fue cualquiera y f (k) es un valor fijo, f es la función constante. Teor.- Las funciones f y g sean continuas en [a, b] y diferenciables en cada x ∈ (a, b) con f 0 (x) = g 0 (x). Entonces f y g se diferencian en [a, b] sólo en una constante aditiva. Dem.- La función ϕ(x) = f (x) − g(x) (x ∈ [a, b] satisface las hipótesis del teorema anterior. Por consiguiente hay una constante c, tal que c = ϕ(x) = f (x) − g(x) ∀ x ∈ [a, b]. Lo que era para demostrar. Ejemplo.- Anteriormente habı́amos mencionado que cada solución de la ecuación diferenciable ordinaria y 0 = αy (α constante) (EDO1) en un intervalo abierto I, e. d., de cada ecuación diferenciable f 0 (x) = αf (x) (x ∈ I), (EDO2) tiene la forma f (x) = Ceαx (x ∈ I), dond C es una constante apropiada. Ahora podemos demostrar esta tesis. Para eso observemos la función ϕ(x) = e−αx f (x) (x ∈ I). 164 Con f es también ϕ diferenciable en I y tiene la derivada ϕ0 (x) = − αe−αe f (x) + e−αx f 0 (x) = e−αx (f 0 (x) − αf (x)) (x ∈ I). De aquı́ y de (EDO2) se obtiene que ϕ0 (x) = 0 para todo x ∈ I. Entonces, por un teorema anterior, hay un número C con C = ϕ(x) = e−αx f (x) De esto resulta la tesis. (x ∈ I). Ejercicios.- Demuestre que las funciones 1) f (x) = − arcsin 1 x (x ≥ 1) y g(x) = arctan p x2 − 1 (x ≥ 1) se diferencian sólo en una constante aditiva y determine esta constante. 2) (Caracterización de y = ex ) Demustre que la función y = ex es la única función con y = y 0 y y(0) = 1 3.6.4 El Teorema del Valor Medio Generalizado Teor.- (TVMG) Las funciones f y g sean continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b). Además sea g 0 (x) 6= 0 ∀ x ∈ I. Entonces existe, por lo menos, un ξ con f 0 (ξ) f (b) − f (a) = 0 g(b) − g(a) g (ξ) 165 (a < ξ < b). Dem.- Primero construı́mos la función ϕ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) [g(x) − g(a)]. g(b) − g(a) Ya que ϕ es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) con ϕ(a) = ϕ(b) = 0, cumple con los requisitos del Teorema de Rolle, entonces hay un ξ ∈ (a, b) tal que ϕ0 (ξ) = 0, e. e., ϕ0 (x) = f 0 (x) − f (b) − f (a) 0 g (x) = 0. g(b) − g(a) De aquı́ sigue la afirmación del teorema. 3.6.5 El Polinomio de Taylor y la Serie de Taylor Hemos visto que el polinomio p1 (x) = f (xo )+f 0 (xo )(x−xo ) es una aproximación lineal de f en un entorno de xo con f (xo ) = p1 (xo ) y f 0 (xo ) = p01 (xo ). Ahora surge la pregunta, de existir f 00 (xo ), habrá un polinomio de segundo orden de la forma p2 (x) = ao + a1 (x − xo ) + a2 (x − xo )2 con f (xo ) = p2 (xo ), f 0 (xo ) = p02 (xo ) y f 00 (xo ) = p002 (xo ), tal que se acerque mejor a f que p1 . En general, para una función f n veces diferenciable en xo existirá un polinonio de grado n pn (x) = ao + a1 (x − xo ) + a2 x2 + · · · + an xn (an 6= 0) (n) con f (n) (ak ) = pn (xk ), k = 0, 1, 2, · · · , n, que se aproxime mejor a f en un entorno de xo . Para determinar pn , hay que determinar los ak , k = 0, 1, 2, · · · , n, y para (i) eso hay que calcular los pn (xo ) y luego igualarlos a f (i) (xo ), i = 0, 1, 2, · · · , n,  f (xo ) = pn (xo ) = 0!ao ,         f 0 (xo ) = p0n (xo ) = 1!a1 ,      f 00 (xo ) = p00n (xo ) = 2!a2 ,       . . . . . . . . .,        (i) (i) f (xo ) = pn (xo ) = n!an . 166                            =⇒  f (xo )   , ao =   0!        f 0 (xo )   a = ,  1   1!    f 00 (xo ) a = ,  2   2!       . . . . . . .,        n    an = f (xo ) . n! De esto resulta pn (x) = f (xo ) + f 0 (xo ) f 00 (xo ) f n (xo ) (x − xo ) + (x − xo )2 + ... + (x − xo )n . 1! 2! n! Def.- Al polinomio aproximador pn , n = 0, 1, 2, · · · , n, ası́ definido se llama Polinomio de Taylor, Fórmula de Taylor o el Desarrollo de Taylor de f alrededor de xo . Este polinomio se debe al matemático inglés Brook Taylor (1685 - 1731). Nota 1.- En especial, para xo = 0, se tiene pn (x) = f (xo ) + f 00 (xo ) 2 f (n) (xo ) n f 0 (xo ) x+ x + ··· + x . 1! 2! n! Este polinomio se llama también la Fórmula de MacLaurin de f en xo . Nota 2.- De la forma f (xo + h) = f (xo ) + f 0 (xo )f (xo + ϑh) del Teorema del Valor Medio, conociendo el valor de la función y su de su drerivada en xo se puede calcular, por lo menos, aproximativamente los valores de f en x = xo + h, |h| pequeño. En este caso el Polinomio de Taylor de f en xo toma la forma pn (xo + h) = f (xo ) + f 00 (xo ) 2 f n (xo ) n f 0 (xo ) h+ h + ··· + h . 1! 2! n! Naturalmente no basta decir que pn aproxima a f alrededor de xo . Hay que determinar que buena es esta aproximación. Información sobre la bondad del acercamiento nos da el error rn (x) := f (x) − pn (x) en x. (R) Teor.- (Teorema de Taylor) Sea f diferenciable (n + 1) vces en un E(xo ) y además sea x ∈ E(xo ). Pongamos f (x) = n X f (k) (xo ) k=0 k! (x − xo )k + rn (x), (T) entonces hay, por lo menos, un número real ϑ con rn (x) = f (n+1) (xo + ϑ(x − xo )) (x − xo )n+1 (n + 1)! (0 < ϑ < 1) (R1) y, por lo menos, un número ϑ0 con rn (x) = f (n+1) (xo + ϑ0 (x − xo )) (1 − ϑ0 )n (x − xo )n+1 n! 167 (0 < ϑ0 < 1) (R2). La representación (R1) se llama el Resto de Lagrange y (R2), el Resto de Cauchy. Debemos mencionar que hay otras formas del resto. Dem.- Definamos la función auxiliar ϕ al reemplazar en pn a xo por la variable independiente z y al considerar x como constante, ϕ(z) = f (z) + f 0 (z) f 00 (z) f (n) (z) (x − z) + (x − z)2 + · · · + (x − z)n . 1! 2! n! Ya que ϕ(x) = f (x) y ϕ(xo ) = pn (x), y por definición de rn se cumple rn (x) = ϕ(x) − ϕ(xo ). Por otro lado tenemos ϕ0 (z) = f 0 (z)+[ f 00 (z) f 0 (z) f (n+1) (z) f (n) (z) (x−z)− ]+· · ·+[ (x−z)n − (x−z)n−1 ], 1! 1! n! n! de donde al anularse mutuamente los sumandos con signos contrarios, queda ϕ0 (z) = f (n+1) (z) (x − z)n . n! La función ϕ en [xo , x] satisface los requisitos del Teorema del Valor Medio Generalizado. Ahora bién, sea g, en principio cualquiera, una función que también satisface los mismos requisitos. Entonces hay un ξ ∈ (xo , x) tal que ϕ(x) − ϕ(xo ) ϕ0 (ξ) = 0 . g(x) − g(xo ) g (ξ) De (R) y de ϕ0 (z) sigue rn (x) = g(x) − g(xo ) f (n+1)(ξ ) · (x − ξ)n . g 0 (xo ) n! (C) En especial, haciendo g(z) = (x − z)n+1 , se tiene g(x) = 0, g(xo ) = (x − xo )n+1 , g 0 (ξ) = −(n + 1)(x − ξ)n+1 , de manera que obtenemos rn = f (n+1) (ξ) (n + 1)! Ya que ξ está entre xo y x, eligiendo un apropiado ϑ, se puede representar en la forma ξ = xo + ϑ(x − xo ). Y ası́ se ha demomstrado (R1). Anlogamente se demuestra (R2) de (C) al poner g(z) = x − z, eligiendo un adecuado ϑ0 que depende de este último g. 168 Para x = xo + h, (T) toma la forma f (xo + h) = n X f (k) (xo ) k! k=0 donde rn∗ (h) = hk + rn0 (h), f (n+1) (xo + ϑh) n+1 h (n + 1)! (T1) (0 < ϑ < 1), respectivamente rn∗ (h) = f (n+1) (xo + ϑ0 h) (1 − ϑ0 )n hn+1 n! (0 < ϑ0 < 1). Aquı́ al resto rn (x) = rn (xo + h) lo hemos designado con rn∗ (h). Para n = 0, (T1) se convierte en el Teorema del Valor Medio. Empleando los diferenciales d(k) f (xo , h) = f (k) (xo ) · hk , podemos escribir a (T1) en la forma f (xo + h) = n X dk f (xo , h) k! k=0 + rn∗ (h). Utilizando la Fórmula de MacLaurin, (T) se convierte en f (x) = n X f (k) (0) k=0 k! xk + rn (x), (T2) donde rn (x) = f (n+1) (ϑx) n+1 x (n + 1)! (0 < ϑ < 1), respectivamente rn (x) = f (n+1) (ϑ0 x) (1 − ϑ0 )n xn+1 n! (0 < ϑ0 < 1). La representación del resto rn debe servir para estimar el error absoluto que se comete al aproximar f por pn , |rn (x)| = |f (x) − pn (x)|. Cada una de estas representaciones contiene el número ϑ, respectivamente ϑ0 , de los cuales sólo se sabe que estan entre 0 y 1. Para obtener numericamente cotas del error hay que determinar cotas superiores de |rn (x)|, donde no intervenga ϑ, respectivamente ϑ0 . Cual de las formas del resto es más apropiada y como hay que proceder en situciones concretas depende de la función dada f , pero a veces también de x y n. En todo caso se hará uso de la desigualdad 0 < ϑ, ϑ0 < 1. 169 Fórmulas de Taylor para algunas Funciones En este parágrafo vamos a desarrollar la Fórmula de Taylor en la forma de MacLaurin para algunas funciones importantes y a estimar el resto. 1.- f (x) = ex (−∞ < x < +∞). Según (T2) tenemos ex = 1 + x x2 xn + + ··· + + rn (x) 1! 2! n! con el resto en la forma de Lagrange rn (x) = eϑx xn+1 . (n + 1)! Para estimar el resto observamos 0 < ϑ < 1. De esto sigue ϑx ≤ ϑ|x| ≤ |x|, y de aquı́, por la monotonı́a de la función exponencial, se tiene |rn (x)| ≤ e|x| |x|n+1 (n + 1)! (−∞ < x < +∞). |x|n+1 = 0 y por lo tanto también lim rn (x) = 0 n→∞ (n + 1)! n→∞ ∀ x ∈ R. Esto significa que para cada valor de x, el polinomio Se demuestra que lim pn (x) = n X xk k=0 k! se aproxima a la función f (x) = ex con cualquier exactitud, si se elige a n lo suficiente grande (ver Fig. 6.7). Tanto más grande n, tanto más próximo pn (x) de f (x). Se ve también para x, mientras más lejos del lugar de desarrollo xo = 0, para mantener el resto pequeño, más grande tiene que ser n. 2.- f (x) = sin x (−∞ < x < +∞). Calculando derivadas de la función conseguimos f (2k) (0) = 0, f (2k+1) (0) = (−1)k (k = 0, 1, 2, · · ·) f (2n+1) (x) = (−1)n cos x. Debido a que f (2n) (0) = 0 es p2n (x) = p2n−1 (x) y por eso 170 f (x) = p2n−1 (x) +   r2n−1 (x),  r2n (x). Utilizando el resto r2n (x) en la forma de Lagrange obtenemos sin x = x − x5 x2n−1 x3 + − + · · · +(−1)n−1 + r2n (x), 3! 5! (2n − 1)! donde r2n (x) = (−1)n cos ϑx 2n+1 x . (2n + 1)! De | cos ϑx| ≤ 1, sigue inmediatamente la estimación |r2n (x)| ≤ |x|2n+1 (2n + 1)! (−∞ < x < +∞). Se demuestra también que lim r2n (x) = 0 ∀ x ∈ R. n→∞ Para justificar el empleo de r2n (x) en lugar de r2n−1 (x), demostramos también que se cumple |r2n−1 (x)| ≤ x2n (2n)! (−∞ < x < +∞). Para |x| < 2n + 1, en especial para x en las cercanı́as de xo = 0, la cota de |r2n (x)| es más pequeña que la de |r2n−1 (x)|, e. d., la estimación de |r2n | es una estimación más fina para el error |f (x) − p2n−1 (x)|. 3.- f (x) = cos x (−∞ < x < +∞) Derivando varias veces se tiene f (2k) (0) = (−1)k , f (2k+1) (0) = 0 (k = 0, 1, 2, · · ·, ), f (2n+2) (x) = (−1)n cos x, como en el ejemplo anterior resulta cos x = 1 − x4 x2n x2 + − + · · · +(−1)n + r2n+1 (x), 2! 4! (2n)! donde r2n+1 (x) = (−1)n+1 cos ϑx 2n+2 x , (2n + 2)! con la estimación |r2n+1 (x)| ≤ x2n+2 (2n + 2)! 171 (−∞ < x < +∞), de donde otra vez sigue lim r2n+1 (x) = 0 (∞ < x < +∞). n→∞ 4.- f (x) = ln(1 + x) (x > −1) Se cumple f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)! f (n+1) (x) = (−1)n (k = 1, 2, · · · ), n! . (1 + x)n+1 De aquı́ resulta la fórmula de Taylor x2 x3 xn + − + · · · +(−1)n−1 + rn (x). 2 3 n Luego anotamos el resto en la forma de Lagrange ln(1 + x) = x − xn+1 (−1)n · (1 + ϑx)n+1 n + 1 rn (x) = y en la forma de Cauchy rn (x) = (−1)n (1 − ϑ0 )n n+1 ·x . (1 + ϑ0 x)n+1 Para estimar rn (x) para x ≥ 0 elegimos la forma de Langrange y debido a que 1 1 + ϑx ≥ 1, e. e., ≤ 1, 1 + ϑx resulta la desigualdad |rn (x)| ≤ xn+1 n+1 (x ≥ 0). Para estimar rn (x) para −1 < x < 0 es más apropiada la forma de Cauchy. Para eso primero hay que transformarla en n 1 − ϑ0 1 |rn (x)| = xn+1 . 1 + ϑ0 x 1 + ϑ0 x Ahora, para −1 < x < 0 debido a 0 < ϑ0 < 1 se cumple 0 < 1 − ϑ0 < 1 + ϑ0 x, 1 + ϑ0 > 1 + x > 0, por lo tanto 0 < 1 − ϑ0 < 1, 1 + ϑ0 x 0 < 172 1 1 < . 0 1+ϑ 1+x Finalmente, de todo esto, resulta |rn (x)| ≤ |x|n+1 1+x (−1 < x < 0). Las cotas, ya sea para la forma de Lagrange, x ∈ [0, 1], respectivamente para la forma de Cauchy, x ∈ (−1, 0), son sucesiones nulas con respecto a n. En efecto lim rn (x) = 0 n→∞ (−1 < x ≤ 1). xn+1 = +∞, de manera que para estos valores n→∞ n + 1 En cambio, para x > 1 es lim rn (x) diverge. Nota 3.- Observe que f (x) = ln x no se puede desarrollar alrededor de x = 0, ya que sólo está definida para x > 0. 5.- f (x) = (1 + x)α (x > −1, α real cualquiera).Ya que f (k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1)(1 + x)α−k f (k) (0) = α(α − 1) · · · (α − k + 1), f (n+1) (x) = α(α − 1) · · · (α − n)(1 + x)α−n−1 , (k = 1, 2, · · · ), y utilizando el coeficiente binomial α(α − 1) · · · (α − k + 1) = k! α k (k = 1, 2, · · · ) obtenemos la Fórmula de Taylor α α 2 α n α (1 + x) = 1 + x+ x +··· x + rn (x). 1 2 n El resto en la forma de Lagrange α rn (x) = (1 + ϑx)α−n−1 xn+1 n+1 y en la forma de Cauchy α rn (x) = (n + 1) (1 − ϑ0 )n (1 + ϑ0 x)α−n−1 xn+1 . n+1 Como en los ejemplos anteriores, aquı́ se recomienda también estimar rn (x) en la forma de Lagrange para x ≥ 0 y en la forma de Cauchy para −1 < x < 0. Renunciamos a la ejecución detallada y anotamos el resultado, 173 |rn (x)| ≤             α xn+1 n+1 para α |x|n+1 n+1 (n + 1)         |x|n+1 α    (n + 1) n + 1 (1 + x)1−α x ≥ 0, n + 1 > α, para − 1 < x < 0, α ≥ 1, para − 1 < x < 0, α < 1. De igual manera comunicamos que de aquı́ se demuestra lim rn (x) = 0 n→∞ (|x| < 1). α Todavı́a falta considerar el caso especial α = n. En este caso es n+1 = 0, e. d., rn (x) = 0 para cada x > −1, de manera que (1 + x)α se convierte en el binomio de Newton. Ejercicios.- 1) Suministre la Fórmula de Taylor para la función f (x) = 3x4 + x2 − 5x + 2 en xo = 0 con el resto r1 (x) = 2 en la forma de Lagrange. 2) Determine la Fómula de Taylor para la función f (x) = cosh x en la forma de MacLaurin con el resto r2n+1 (x) (n ≥ 0, entero), según Lagrange. 3) Aproxime a la función f (x) = ecos x por su polinomio de 2. orden en xo = 0. Estime tanto |r2 (x)| ası́ como |rx (x)| (Utilice | sin x| ≤ 1!). Nota 4.- En el empleo de la Fórmula de Taylor para una función dada se puede aún disponer sobre el lugar de desarrollo xo y el orden n. El punto xo se puede elegir cerca de los x que nos interesan y al mismo tiempo que se puedan calcular con facilidad los valores f (k) (xo ). El n se elige de acuerdo a la Fórmula de Taylor que se va a emplear. Una primera posibilidad de aplicación es reemplazar a la función f por un polinomio de Taylor aproximador, donde n está dado. Ası́ obtenemos f (x) = n X f (k) (xo k=0 k! (x − xo )k , donde el error absoluto |f (x) − pn (x)| = |rn (x)|, se puede estimar. La cota obtenida de este error todavı́a depende de x. Se presentan dos casos: 174 1. Para un intervalo dado I hay que calcular cota válida del error para todo x ∈ I. 2. Para una cota de error dada δ > 0 hay que buscar los x para los cuales se cumple |rn (x) ≤ δ|. Estos casos lo veremos en algunos ejemplos, donde xo = 0. Ejemplo 1.- La función f (x) = sin x debe ser aproximada por su polinomio de Taylor de 2. orden y el error para |x| < 5o debe ser estimado (1. caso). Sabemos que para sin x es p1 (x) = p2 (x) = x, e. e., sin x ≈ x y para n = 1 obtenemos la estimación del error absoluto de la fórmula en 2.-, | sin x − x| = |r2 (x)| ≤ |x|3 6 para cada x. Por lo tanto el error es tanto más pequeño como pequeño sea |x|. En especial para π = 0, 0872... < 0, 0873 |x| ≤ 5o = 5 180 se obitiene 1 | sin x − x| < (0, 0873)3 < 0, 00012. 6 o o Para un ángulo entre −5 y 5 la aproximación sin x ≈ x es exacta hasta por lo menos 3 lugares detrás de la coma. Empleando el Sı́mbolo de Landau se puede escribir sin x = x + O(x3 ) cuando x → 0. Ejemplo 2.- Se aproxima a la función f (x) = sin x por su polinomio de Taylor de 3. orden, se obtiene sin x ≈ x − x3 . 6 Se buscan aquellos valores de x, para los cuales el error absoluto es a lo más 10−4 (2. caso). Para n = 2 del resto en 2.- se obtiene x3 |x|5 sin x − x − = |r4 (x)| ≤ , 6 120 √ |x|5 ≤ 10−4 sigue |x| ≤ 5 0, 012 = 0, 41 · · · . 120 Para estos x, en especial para |x| ≤ 23o (= 0, 40 · · · ) se alcanzará la 3 exactitud deseada con x − x6 . y de la inecuación Ejercicio.- Determine el polinomio de Taylor de f (x) = en xo = 0 y n = 1 y estime el resto. 175 √ 1 + x (x > −1) Una segunda posibilidad de aplicación de la Fórmula de Taylor consiste en el cálculo numérico del valor de la función f en un x dado, e. d., de f (x). Para eso se aproxima a f (x) mediante el polinomio de Taylor pn (x). Pero en el cálculo de pn (x), debido a los redondeos, se obtiene también una aproximación ỹ de pn (x). De |f (x) − ỹ| ≤ |[f (x) − pn (x)] + [pn (x) − ỹ]|, por la desigualdad triangular, sigue |f (x) − ỹ| ≤ |rn (x)| + |pn (x) − ỹ|. (T 3) Si para el valor considerado de x se cumple lim rn (x) = 0, n→∞ entonces se puede mantener al error |rn (x)|, al elegir un n lo suficiente grande, tan pequeño como se quiera. El error de redondeo |pn (x) − ỹ|, al elevar el número de decimales lo suficiente, en cada caso, se puede hacer tan pequeño como se desee. Bajo la hipótesis de que rn (x) → 0 cuando n → ∞, de esta menera se pueden calcular numericamente los valores f (x) con cualquier axactitud. El cálculo de ỹ no ofrece ninguna dificultad, sobre todo, si se utiliza una computadora, la dificultad está en la estimación del error. Ejemplo.- Se busca un valor aproximado ỹ del número e con un error absoluto de a los más 0, 5 · 10−5 . La Fórmula de Taylor de la función f (x) = ex para x = 1 es 1 1 1 + rn (1) e = 1+ + + ··· + 1! 2! n! y para la estimación del resto, según 1.-, se cumple |rn (1)| = e . (n + 1)! 1 De la definición del número e como lim (1 + )n , se puede concluir que e < 3. n→∞ n De aquı́ resulta 3 . |rn (1)| < (n + 1)! Ahora eligamos n tan grande, que sea 3 < 10−6 (n + 1)! Para alcanzar la exactitud prevista partimos de 10! = 362880 > 3 · 106 , e. d., para n = 9 se cumple |rn (1)| < 10−6 . 176 En el cálculo numérico de pn (1) = 1 + 1 1 1 1 + + +···+ 1! 2! 3! 9! se pueden dar los 3 primeros sumandos con exactitud. Se redondea cada uno de los otros 7 sumandos a 6 decimales, entonces se obtiene un valor aproximado ỹ para pn (1) con el error de redondeo |p9 (1) − ỹ| ≤ 7 · 0, 5 · 10−6 = 3, 5 · 10−6 . De esta desigualdad y de la estimación de |rn (1)|, debido a (T3), sigue |e = ỹ| < 10−6 + 3, 5 · 10−6 = 4, 5 · 10−6 . Efectivamente, el error es más pequeño que 0, 5 · 10−5 . Se calcula p9 (1) en la forma antes indicada, entonces resulta ỹ = 2, 718282. Utilizando la desigualdad anterior se tiene ỹ − 4, 5 · 10−6 < e < ỹ + 4, 5 · 10−6 , esto es, 2, 7182775 < e < 2, 7182865, redeondeado a 4 decimales es e = 2, 7183. Ejercicios.- 1) De una cota, dependiendo de x, para el error absoluto de la aproximación x2 . cos x ≈ 1 − 2 Para que valores de x es con seguridad este error más pequeño que 10−4 ? x1 2) Sean x1 y x2 números positivos con 0 ≤ x1 − x2 ≤ . De una 10 x2 aproximación simple para ln y estime el error absoluto! x1 1 con un error absoluto de a lo 1100 (Utilide la transformación 1100 = 103 (1 + 0, 1). 3) Calcule un valor aproximado para √ 3 más 0, 5 · 10−4 3.6.6 Cálculo de Lı́mites con Ayuda de Derivadas A la Teorı́a de Lı́mites que conocemos podemos agregar otros enunciados, como por ejemplo, los que trataremos a continucación. De lim f1 (x) = l x→xo y 177 lim f2 (x) = ∞ x→xo sigue lim [f1 (x) · f2 (x)] = x→xo +∞ para −∞ para l>0 l < 0. En cambio para el caso lim f1 (x) = 0 lim f2 (x) = + ∞ y x→xo x→xo no es posible formular un enunciado general sobre el lim [f1 (x) · f2 (x)]. x→xo En este caso el comportamiento de f1 (x) · f2 (x) cuando x → xo depende de las propiedades especiales de las funciones f1 y f2 en un entorno de xo . A esta situación se puede expresar simbolicamente como ”0 · (+∞)”. Significado similar tienen los sı́mbolos ”0 · (−∞)” , ” 0” , 0 ” +∞ ” , +∞ ” (+∞) − (∞)” , 0” ”0 , 0” ” (+∞) , +∞ ” . ”1 Para el tratamiento de estos lı́mites, caracterizados simbolicamente, supone también el conocimiento de las funciones que allı́ intervienen. Nota.- A estos lı́mites caracterizados por estos sı́mbolos se le designa como expresiones indeterminadas. Pero estos lı́mites, ası́ caracterizados, para concretos f1 y f2 tienen lı́mites determinados. + Todo lo dicho cuando x → xo , se cumple también cuando x → xo en el sentido correspondiente. ln x es del tipo x→1 x − 1 Ejemplo.- El lim ” 0” , el lim (x ln x) es del tipo ” 0 · 0 x→0+ (−∞)” . A continuación trataremos un método para examinar tales lı́mites empleando el Cálculo Diferencial. Reglas de Bernoulli - de l’Hospital a) Tipos ” 0” 0 y ” +∞ ” +∞ Teor.- (1. Regla de de l’Hospital) Las funciones f1 y f2 sean diferenciables en un intervalo (xo , xo + c) (c > 0) y allı́ se cumpla f20 (x) 6= 0. Además sea 178 lim f1 (x) = 0 y x→x+ o f10 (x) es convergente o divergente determinada, entonces f20 (x) Cuando x → x+ o, lo mismo es lim f2 (x) = 0. x→x+ o f1 (x) y se cumple f2 (x) lim x→x+ o f1 (x) = f2 (x) lim x→x+ o f10 (x) . f20 (x) Dem.- En caso de que f1 y f2 aún no fueran continuas por la derecha en xo , se puede hacerlas al poner f1 (xo ) = 0 y f2 (xo ) = 0. Con esto, de ninguna f1 (x) manera se influenciará al comportamiento de cuando x tiende a x+ o. f2 (x) Ahora sea (xn ) una sucesión convergente hacia xo con xn ∈ (xo , xo + c) para todo n. Entonces f1 y f2 satisfacen las hipótesis del Teorema del Valor Medio Generalizado en cada intervalo [xo , xn ]. Por eso, para cada n hay un ξn ∈ (xo , xn ) con f1 (xn ) − f1 (xo ) f 0 (ξn ) f1 (xn ) = = 1 . f2 (xn ) f2 (xn ) − f2 (xo ) f2 (ξn ) f10 (ξn ) , por f20 (ξn ) hipótesis, es convergente o divergente determinada, de la igualdad anterior, sigue f1 (xn ) que también ası́ lo es. Con lo que queda demostrada la afirmación. f2 (xn ) Puesto que (ξn ) también converge hacia xo (porqué?) y ya que La 1. Regla de de l’Hospital se refiere al tipo lı́mites del tipo +∞ ” +∞ ” 0” ”0 . Un teorema análogo para daremos sin demostración. Teor.- (2. Regla de de l’Hospital) La 1. Regla de de l’Hospital permanece válida, si la hipótesis se reemplaza por lim f1 (x) = +∞ y x→x+ o lim x→x+ o = +∞. Nota 1.- Estos teoremas se mantienen también válidos, según el sentido, para las tendencias x → x− o , x → xo , Ejemplos.- 1) Se busca el lim x → + ∞, x→1 ln x . x−1 179 x → − ∞. Puesto que el 1 (ln x)0 x = lim lim = 1 x→1 1 x→1 (x − 1)0 existe, según la 1. Regla y la nota, se cumple lim x→1 ln x (ln x)0 = 1. = lim x→1 (x − 1)0 x−1 √ x−1 . ln x x→1 ” Este lı́mite es también del tipo ” 00 . Se cumple 2) Calcular el lim+ 1 √ 2 x−1 lim = 1 x→1+ x √ ( x − 1)0 lim+ = (ln x)0 x→1 x = + ∞, lim+ √ x→1 2 x − 1 donde la divergencia determinada resulta de un teorema de lı́mites. También en este caso se aplica la 1. Regla y se tiene √ √ x−1 ( x − 1)0 lim+ = lim+ = + ∞. ln x (ln x)0 x→1 x→1 Los dos ejemplos anteriores muestran que problemas de lı́mites del mismo tipo conducen a diferentes resultados. Con frecuencia hay que aplicar las reglas repetidas veces hasta llegar a resultados satisfactorios, como lo veremos. 3) Calcular el x2 . ex lim x→+∞ Este lı́mite es del tipo +∞ ” ” +∞ . Sin embargo el (x2 )0 = x→+∞ (ex )0 lim lim x→+∞ 2x ex sigue siendo del mismo tipo. Diferenciando otra vez, se obtiene lim x→+∞ (2x)0 = (ex )0 lim x→+∞ 2 = 0. ex Pués la aplicación de la 2. Regla dos veces nos suministra lim x→+∞ x2 = ex lim x→+∞ 2x = ex 180 lim x→+∞ 2 = 0. ex (n) Nota 2.- Si los lı́mites de (n+1) pero el f1 (x) (n+1) f2 (x) f1 (x) f1 (x) f10 (x) 0” , · ··, , , son del tipo ” (n) f2 (x) f20 (x) 0 f2 (x) existe, entonces se cumple lim x→xo (n+1 f1 (x) = f2 (x) lim x→xo x + sin x 4) Determinar lim x→+∞ x Sabemos que f1 (x) (n+1) f2 (x) +∞ Tipo +∞ . (x + sin x)0 = 1 + cos x. (x)0 Puesto que cuando x → +∞, 1+cos x diverge indeterminadamente, no se puede aplicar la 2. Regla. Sinembargo por otro camino se obtiene inmediatamente x + sin x sin x lim = lim 1+ = 1 + 0 = 1. x→+∞ x→+∞ x x Ejercicios.- Analice los siguientes lı́mites: ax − bx (a > 0, b > 0) x→0 x a) lim c) b) Tipos b) limπ x→ 2 ln sin x (π − 2x)2 x3 . x→+∞ ln x lim ”0 · (+∞)” y ” (+∞) − (+∞)” Estos casos, mediante transformaciones apropiadas, se reducen a los tipos anteriores. Ası́ el caso lim [f1 (x) · f2 (x)] x→x+ o (” 0 · (+∞)” ) se puede transformar en lim+ x→xo f1 (x) 1 f2 (x) ” 0” 0 o lim+ x→xo f2 1 f1 (x) ” +∞ ” +∞ Para otras tendencias de x se procede analogamente. Ejemplos.- 1) Determinar el lim (x ln x) x→0+ 181 (” 0 · (−∞)” ) Se obtiene lim+ (x ln x) x→0 = lim+ x→0 ln x 1 x 1 = lim+ x = 1 x→0 − 2 x −∞ +∞ lim (−x) = 0. x→0+ En el caso lim [f1 (x) − f2 (x)] x→x+ o (” (+∞) − (+∞) mediante la transformación 1 1 − f2 (x) f2 (x) f1 (x) − f2 (x) = 1 f1 (x)f2 (x) (?) 0” se obtiene el tip ” . Ocasionalmente se llega más rápido a este tipo a través 0 de otra transformación adecuada a la funcón especial en consideración. Ejemplo.- La velocidad v de un cuerpo en caı́da de masa m, aceptando un factor de proporcionalidad k > 0 que viene a ser la resistencia del aı́re proporcional a la velocidad, está dada por mg − k t mg v = vo − e m + (t > 0) k k Para k = 0 no tiene sentido. Queremos examinar el comportamiento de v cuando k → 0+ . Para eso escribimos a esta expresión en la forma k mg mg v = − − vo e− m t , k k y ası́ reconocemos que cuando k → 0+ , tenemos un lı́mite del tipo ” (+∞) − (+∞)” . Pero en vez de transformarlo según (?), lo tranformamos como sigue k mg 1 − e− m t k + vo e− m t . v = k Cuando k → 0+ , el segundo sumando converge hacia vo y el primer viene a ser ” del tipo ” 00 . Con i k d h mg 1 − e− m t lim dk = lim+ (gt) = gt d(k) k→0+ k→0 dk 182 se obtiene finalmente lim+ v = gt + vo , e. e., la fórmula conocida para la k→0 velocidad de la ca´(i)da de un cuerpo despreciando la resistencia del aı́re. Ejercicios.- Examine los siguientes lı́mites:   2 p 3 b) lim x3 + 2x2 − x a) lim x2 e x2  x→+∞ x→0 c) 0” ”0 , Tipos 0” ” (+∞) +∞ ” ”1 y Para determinar lim f1 (x)f2 (x) x→xo consideremos, para estos casos mencionados, primero a la función ln[f1 (x)f2 (x) ] = f2 (x) · ln f1 (x) (f1 (x) > 0). Pero aquı́ vemos facilmente que el + lim [f2 (x) · ln f1 (x)] x→xo es del tipo ” 0·(+∞)” y por lo tanto calculable según ese tipo. Si este lı́mite existe como lı́mite propio, por la continuidad de la función exponencial, se cumple lim+ [f1 (x)] f2 (x) lim [f2 (x) · ln f1 (x)] = e x→x+ o . x→xo lim+ xx es del tipo Ejemplos.- 1) El x→0 0” ”0 . Según (⊕) tenemos lim [x · ln x] lim xx = ex→0+ = e0 = 1, x→0+ ya que x lim ln x x→0+ 2) El = lim [x · ln x] = 0. x→0+ 1 lim− (1 − sin x) x es del tipo x→0 183 ”1 −∞ ” (⊕) Puesto que 1 lim− ln(1 + sin x) x = x→0 lim− x→0 ln(1 + sin x) x 0” ” 0 cos c 1 + sin x = 1 = lim− 1 x→0 Por lo tanto, aplicando (⊕) resulta 1 lim− ln(1 + sin x) x = e1 = e. x→0 Ejercicios.- Examine los siguientes lı́mites: a) 3.6.7 lim x→+∞ a x 1+ x b) sin x 1 . lim x x→0+ Monotonı́a En este y en los siguientes parágrafos estableceremos las relaciones que existen entre propiedades caracterı́ticas de una función y sus derivadas. Recordemos el concepto de monótona, respectivamente de monótona estrı́cta de una función. La Fig. 7.1. muestra el grafo o curva de una función monótona creciente estrı́cta y diferenciable en (a, b). A simple vista se nota que f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, b). Teor.- Es f : (a, b) −→ R diferenciable, entonces se cumple f0 f0 f0 f0 >0 <0 ≥0 ≤0 en en en en (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) =⇒ =⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ f f f f es monótona creciente estricta en (a, b); es monótona decreciente estricta en (a, b); es monótona creciente en (a, b); es monótona decreciente en (a, b); Dem.- La demostración en el sentido ” =⇒” es válida para todas las afirmaciones y en el sentido ” ⇐=” para las dos últimas. a) ” =⇒” Sea f 0 x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f no fuera monótona creciente estricta, habrı́a números xo , x1 ∈ (a, b) con xo < x1 y f (xo ) > f (x1 ), e. e., f (x1 ) − f (x2 ) < 0. x1 − xo 184 Pero por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial existe un ξ ∈ (xo , x1 ) ⊂ (a, b), tal que se cumplierı́a f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (ξ) < 0. x1 − xo Contradicción a la hipótesis! Para los otros casos se procede analogamente. b) ” ⇐=” f sea monótona creciente. Hubiera un xo ∈ (a, b) tal que se cumpla f (x) − f (xo ) lim = f 0 (xo ) < 0, x→xo x − xo entonces para números x1 6= xo suficientemente cercanos a xo se cumplirı́a f (x1 ) − f (xo ) < 0. x1 − xo Por consiguiente, f no serı́a monótona creciente. Contradicción! Para el otro caso, la demostración transcurre similar. Nota.- Mientras que la no negatividad de f 0 es condición necesaria y suficiente para la monotonı́a de f , la positividad de f 0 es condición necesaria para la estrictez de la monotonı́a. Ası́ por ejemplo f (x) = x3 es monótona estricta en (−∞, +∞), pero f 0 (0) = 0. Ejemplo.- Examine la monotonı́a de f (x) = ln(1 + x) − x (x > −1). Debido a que 1 1 −1 = − f (x) = 1+x 1+x 0 > 0 para < 0 para x ∈ (−1, 0), , x ∈ (0, +∞) es f monótona creciente estricta en (−1, 0] y monótona decreciente estricta en [0, +∞). Por eso, para cada x > −1, x 6= 0 es f (x) < f (0) = 0 (ver Fig. 7.2.). Con esto, hemos demostrado al mismo tiempo la inecuación ln(x + 1) < x (x > −1, x 6= 0). Ejercicios.- 1) Examine el comportamiento monótono de f (x) = 31 x3 + x − 7 (−∞, +∞). 2 2) Demuestre la Desigualdad de Bernoulli (1 + x)n > 1 + nx (n ≥ 2 entero, x > −1, x 6= 0). Indicación: Determine la monotonı́a de la función f (x) = (1 + x)n − 1 − nx 185 (x > −1). 3.6.8 Extremos Relativos La propiedad de f (xo ) de ser valor extremo absoluto de la función f en el conjunto D(f ) tiene carácter global, e. d., se compara a f (xo ) con todos los valores que f toma en D(f ). Con el concepto de valor extremo relativo f (xo ) vamos a introducir una propiedad local de f , e. d., se compara a f (xo ) con los valores que toma f en un cierto entorno de xo , eventual muy pequeño. Para eso f tiene que estar definida, por lo menos, en un entorno de xo , e. e, xo tiene que ser punto interior de D(f ). Esta idea nos lleva a la Def.- Un lugar xo en el interior de D(f ) se llama lugar de un máximo relativo o local, respectivamente lugar de un mı́nimo relativo o local de f , si existe un E(xo ) ⊂ D(f ), tal que se cumple f (xo ) ≥ f (x), respectivamente f (xo ) ≤ 0 ∀x ∈ E(xo ). respectivamente f (xo ) < 0 ∀x ∈ E(xo ), Se cumple f (xo ) > f (x), entonces xo se llama lugar de un máximo relativo o local, respectivamente lugar de un mı́nimo relativo o local, de f en el sentido estricto. El valor f (xo ) se llama máximo relativo o local, respectivamente mı́nimo relativo o local de f (en sentido estricto). Para máximos y mı́nimos relativos se dice, más breve, extremos relativos. Fig. 7.3. muestra el grafo de una función f que tiene en x1 un máximo relativo en sentido estricto. Para eso, basta que se cumpla la definición de máximo en un entorno de x1 , el comportamiento de f fuera de este entorno no tiene importancia. No interesa que sea f (x3 ) > f (x1 ), ya que x3 está fuera del entorno. En x3 tiene la función otro máximo relativo, pero no en sentido estricto. Además lo lugares x2 , x4 y x5 son lughares mı́nimos relativos en sentido estrcito. Observando Fig. 7.3. notamos que f toma sus máximos relativos en x1 y x3 y es continua en [x1 , x3 ]. Por el Teorema de Weierstrass, f toma en un x ∈ [x1 , x3 ], más exacto en x2 ∈ [x1 , x3 ], su mı́nimo absoluto en [x1 , x3 ]. Con seguridad es x ∈ (x1 , x3 ) ⊂ D(f ), por eso, f (x2 ) es también un mı́nimo relativo. Nota.- Una función continua, entre dos máximos (respectivamente mı́nimos) relativos, toma siempre un mı́nimo (respectivamente máximo) relativo. Una función discontinua no necesita tener esta propiedad, como se ve en los lugares x4 y x5 de la Fig. 7.3. 3.6.9 Condición Necesaria par Extremos Relativos. Puntos Crı́ticos Un extremo relativo f (xo ) es un extremo absoluto de f con respecto a un entorno de xo . Por eso, del Teorema de Fermat aplicado a este entorno se tiene el 186 Teor.- La función f tenga en xo un extremo relativo y sea allı́ diferenciable. Entonces se cumple f 0 (xo ) 0. Demn.- Es obvia. Esta condición es pués necesaria para que una función diferenciable en xo tome ahı́ un extemo relativo, pero no es sufiente. Ası́ la función f (x) = x3 (−∞ < x < +∞) en xo = 0 no toma ningún extremo relativo, sinembargo se cumple f 0 (0) = 0. Por otro lado, una función puede tener un extremo en un xo , en el cual no es diferenciable. Un ejemplo es f (x) = |x| (−∞ < x < +∞), que no es difeenciable en xo , pero allı́ tiene un mı́nimo relativo en sentido estricto, que también es absoluto. Resumiendo, hay dos clases de lugares ”sospechosos” de ser extremos, que los decribiremos en la Def.- Un punto xo en el interior del campo de definición de f se llama punto crı́tico de f, si o f es diferenciable en xo y se cumple f 0 (xo ) = 0 o f no es diferenciable en xo . Geometricamente, xo es exactamente entonces punto crı́tico de f , si el grafo de f en xo o posee una tangente paralela a la absiza o no posee tangente. Nota.- Todo lugar extremo relativo de f es punto crı́tico de f . Las Fig. 7.4a) hasta 7.4f) muestran algunos casos tı́picos del comportamiento de una función continua f en un entorno de un punto crı́‘tico xo . En los casos a) hasta d) xo es punto extremo relativo y en los casos e) y f) no. De la nota se desprende el procedimiento para determinar los valores extremos relativos de una función f : 1. Paso: Determinar los puntos crı́ticos de f . 2. Paso: Examinar cuales de los puntos crı́ticos son realmente lugares extremos relativos. 3. Paso: Calcular los valores extremos relativos. Ejemplo.- Determinar los puntos crı́ticos de la función f (x) = x2 e−x (−∞, +∞). Ya que f es diferenciable en todo x, los puntos crı́ticos de f se obtienen como solución de la ecuación f 0 (x) = 0. Pero de f 0 (x) = 2xe−x − x2 e−x = x(2 − x)e−x = 0 y e−x 6= 0 ∀ x, resulta que x1 = 0 y x2 = 2 son las soluciones. El segundo paso requiere de conocimientos de condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos. Con esto nos ocuparemos a continuación. 187 3.6.10 Condición Sufieciente para Extremos Teniendo los puntos crı́ticos de f hay que averiguar cual de estos son lugares extremos. Esto es posible si f es lo suficientemente diferenciable en un entorno del punto crı́tico. Teor.- La función f posea en un entorno E de xo derivadas continuas hasta del orden n (n ≥ 2) y se cumpla f 0 (xo ) = f 00 (xo ) = ... = f (n−1) (xo ) = 0, pero f (n) (xo 6= 0. I. Es n par, entonces f tiene en xo un extremo relativo, y en efecto, en caso (n) f (xo ) < 0 máximo de un relativo en sentido estricto. mı́nimo f (n) (xo ) > 0 II. Es n impar, entonces f no tiene en xo extremo relativo, en cambio en un cierto entorno de xo , f es, en caso (n) f (xo ) < 0 decreciente de monótona estricta creciente f (n) (xo ) > 0 Dem.- En la demostración nos limitamos al caso f (n) (xo ) < 0; en el caso f (n) (xo ) > 0 se concluye analogamente. Por hipótesis, f es desarrollable en cada xo ∈ E según la Fórmula de Taylor con el resto de Lagrange rn−1 (x) y se tiene f (x) − f (xo ) = f (n) (xo + ϑ(x − xo )) (x − xo )n n! (0 < ϑ < 1). Puesto que f (n) es continua en xo , ademá se cumple f n (xo ) < 0 y por una porpiedad de funciones continuas, existe un ε > 0, tal que f (n) (x) < 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε) ⊂ E. Debido a que 0 < ϑ < 1 es particularmente xo +ϑ(x−x0 ) ∈ (xo −ε, xo +ε) y por lo tanto f (n) (x0 + ϑ(x − xo )) < 0 I. Es n par, entonces es f (x) − f (xo < 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε). (x − xo > 0 para todo x 6= xo . De esto se tiene n! para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε) x 6= xo ), e. d., f (xo ) es un máximo relativo en sentido estricto. II. Es n impar, entonces es (x − xo )n < 0 para todo x < xo , > 0 para todo x > xo . n! 188 De las expresiones anteriores se deduce que > 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo ), f (x) − f (xo ) < 0 para todo x ∈ (xo , xo + ε), de manera que f (xo , con seguridad, no es extremo relativo. Emplear este teorema a un punto crı́tivo de f , quiere decir, diferenciar f hasta obtener, por primera vez, una derivada en xo diferente a cero. Con frecuencia la segunda derivada ya cumple con esto. Por eso formulamos el Corol.- La función f posea derivadas continuas hasta del segundo orden y se cumpla f 0 (xo ) = 0, pero f 00 (xo ) 6= 0. Entonces f tiene en xo un extremo relativo, y en efecto en caso 00 f (xo ) < 0 máximo de un relativo en sentido estricto f 00 (xo ) > 0 mı́nimo Ejemplo 1.- Se buscan los lugares extremos relativos y los valores extremos relativos de la función f (x) = x2 e−x (−∞, + ∞). La solución transcurre en tres pasos: 1. Puntos crı́ticos: x1 = 0 y x2 = 2 2. (a) Para x1 = 0. Sabemos que f 00 (x) = (2 − 4x + x2 )e−x , e. e., f 00 (0) = 2 > 0. Por el corolario, f tiene en x1 = 0 un mı́nimo relativo en sentido estricto. (b) Para x2 = 2. Ya que f 00 (2) = 2e−2 < 0, es x2 un lugar máximo relativo en sentido estricto. 3. Máximo relativo: f (2) = 4e−2 . Mı́nimo relativo: f (0) = 0. La Fig. 7.5 muestra el grafo de f . Ejemplo 2.- Asimismo determinar los lugares extremos relativos y los valores extremos relativos de la función f (x) = (x − 1)3 (x + 1) 1. Puntos crı́ticos: x1 = 1 2 (−∞, + ∞). y x2 = 1 2. (a) Para x1 = 12 . Se cumple f 00 (x) = 12x(x−1), e. e., f 00 (− 21 ) = 9 > 0. Por el corolario, f tiene en x1 = 12 un mı́nimo relativo en sentido estricto. 189 (b) Para x2 = 1. Ya que f 00 (2) = 0, se diferencia una vez más y se obtiene f 000 (x) = 24x − 12, e. e., f 000 (1) = 12 6= 0. Ya que la primera derivada que no es igual a cero en x2 = 1 es de orden impar, más exacto, de tercer orden, por el teorema anterior, f ni tiene extremo relativo en x1 = 1. (Por f 000 (1) > 0, f es en cierto entorno de x2 = 1 monótona creciente estricta). 3. Máximo relativo: f (− 21 ) = − 27 16 . Mı́nimo relativo: No existe. Ver Fig. 7.6 Ejercicios.- Determine los lugares y valores extremos relativos de las funciones: 1. f (x) = 4 cos x + cos 2x (−∞ < x < +∞) 2. f (x) = x3 e−x (−∞ < x < +∞) 3.6.11 Otra Condición Suficiente para Extremos El siguiente teorema es sólo aplicable, si la función f es diferenciable en un entorno de xo , pero en xo continua no necesariamnte diferenciable. Otra ventaja de este teorema es que sólo se necesita la primera derivada de f . Teor. Exista un ε > 0, tal que f es diferenciable en (x0 − ε, xo + ε), con excepción eventual en xo mismo. I. Es f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (xo − ε, xo ) y entonces f tiene en xo un II. Es f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 máximo mı́nimo f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (xo , xo + ε), relativo en sentido estricto. ∀ x ∈ (xo − ε, xo + ε) x 6= xo , entonces f no tiene en xo un extremo relativo, sino que f en (xo − ε, xo + ε) es monótona estricta creciente . decreciente Cualitativamente este criterio se puede formular también ası́: I. f 0 al transitar sobre xo de izquierda a la derecha cambia el signo de mas a menos (repectivamente, de menos a mas), entonces f tiene en xo un máximo (respectivamente, mı́nimo) relativo (ver Fig. 7.7). II. f 0 durante este tránsito no cambia de signo, entonces f no toma ningún extremo relativo en xo . 190 Dem.- Este teorema es consecuencia inmediata del criterio de monotonı́a: Es f 0 (x) > 0 para x ∈ (xo −ε, xo ) y f 0 (x) < 0 para x ∈ (xo , xo +ε), entonces f es en (xo −ε, xo ] monótona creciente estricta y en [xo , xo +ε) monótona decreciente estricta. Por consiguiente f (xo ) tiene que ser el valor más grande que toma la función f en (xo − ε, xo + ε). Analogamente se concluye para los otros casos. Observe para eso Fig. 7.4a) hasta 7.4f). Ejemplo.- Buscar los lugares y valores extremos relativos de p 3 x3 + 2x2 (x ≥ −2). f (x) = 1. El radicando desaparece en los lugares x = −2 √ y x = 0, pero en estos lugares f no es diferenciable, ya que la derivada de x en x = 0 no existe. El lugar x = −2 por ser punto frontera del D(f ) no es punto crı́tico. El lugar x = 0 es punto interior del D(f ) y posiblemente f allı́ no sea diferenciable. No necesitamos comprobar, si realmente x = 0 es un punto crı́tico de f . Má bién lo consideraremos ”sospechoso” de ser lugar extremo y seguiremos analizando. Para suministrar otros puntos crı́ticos de f hay que diferenciarla y se obtiene f 0 (x) = x(3x + 4) 2 3(x3 + 2x2 ) 3 (x > −2, x 6= 0). 4 La única solución de f 0 (x) = 0 es x = − . 3 4 2. a) Para x1 = − : Se lee: 3 f 0 (x) > 0 para 4 −2<x<− , 3 f 0 (x) < 0 para − 4 < x < 0. 3 4 Puesto que f al pasar por el lugar x1 = de izquierda a la derecha cambia de 3 signo mas a menos, tiene ahı́, por el teorema anterior, un máximo relativo en sentido stricto. b) Para x2 = 0: En este lugar es también aplicable el último teorema. En este caso se puede concluir en lo siguiente: Ya que f (0) = 0 y f (x) > 0 para todo x 6= 0 y x > −2, se tiene en x = 0 un lugar mı́nimo relativo en sentido estricto. 2√ 4 3 4. Mı́nimo relativo: f (0) = 0. 3. Máximo relativo: f (− ) = 3 3 Ver Fig. 7.8, donde se ha esbozado el grafo de f . La recta y = x + su significado que lo explicaremos después. 191 3 3 tiene Ejercicios.- Emplenado el último teorema, determine los lugares y valores extremos relativos. 1. f (x) = )x + 1)5 (x − 2) (−∞ < x < +∞), 2. f (x) = x|x − 1| (−∞ < x < +∞) 3.6.12 Valores Estremos Absolutos Hasta aquı́ sabemos como determinar los extremos (máximos y mı́nimos) relativos de una función, e. e., extremos alrededor de un punto. Para determinar los extremos absolutos, e. e., extremos en todo el campo de definición de la función hay determinar los puntos candidatos a lugares extremos, luego examinar si estos son extremos relativos y calcular el valor de la función en estos lugares. Son cadidatos a lugares extremos: 1. Los puntos, donde f es diferenciable y se cumple f 0 (x) = 0, 2. Los puntos, donde f no es diferenciable y 3. Los puntos frontera. Si D(f ) = [a, b], los puntos frontera son a y b. Entonces el procedimiento para determinar los extremos (máximo y mı́nimo) absolutos de f en [a, b] consiste: 1. Determinar todos los extremos relativos en (a, b). 2. Determinar f (a) y f (b). 3. De ellos elegir el valor más grande y el más pequeño de f . Recordemos que todo función continua en [a, b] posee máximo y mı́nimo. Teor.- Si f es continua en I y tiene en un único xo ∈ I un extremo relativo, entonces f (xo es extremo absoluto de f en I. Ejemplo.[1, +∞). Se busca los extremos absolutos de f (x) = x2 e−x en I = El único extremo relativo de f en [1, +∞) es el máximo relativo f (2) = 4e−2 , por el teorema anterior, es también el máximo absoluto de f en [a, +∞). El mı́nimo absoluto pudiera tomarlo en en punto frontera x = 1. Pero resulta que x2 f (1) = e−1 > 0 y lim f (x) = lim x = 0, x→+∞ x→+∞ e Por lo tanto f no tiene mı́nimo absoluto en [1, +∞) (ver Fig. 7.5). Ejercicio.- Determine los extremos absolutos de f (x) = (x + 3)2 (x − 2)3 . 192 3.6.13 Funciones Convexas y Cónvexas Geometricamente se dice que una curva es convexa, si la secante que pasa por cada dos puntos de la curva siempre está por encima de la porción de curva comprendida entre los puntos. Analiticamente se dice que una función es convexa en I, si la secante por cada dos puntos P1 , P2 de su grafo está por encima de la porción del grafo comprendido entre P1 y P2 . Ya que la ecuación de la secante por los puntos P1 y P2 está dada por s(x) = f (x1 ) + x2 − x x − x1 f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) = f (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 se puede dar la siguiente formulación analı́tica: Def.- Sea I un intervalo. f : I −→ R se llama convexa en I, si para cada tres puntos x1 , x, x2 ∈ I con x1 < x < x2 se cumple la inecuación f (x) ≤ x − x1 x2 − x f (x1 ) + f (x2 ), x2 − x1 x2 − x1 y se llama cóncava, si con las mismas premisas se cumple la inecuación f (x) ≥ x2 − x x − x1 f (x1 ) + f (x2 ), x2 − x1 x2 − x1 En vez de ≤ se cumple < , entonces f se llama convexa estricta en I. En vez de ≥ se cumple > , entonces f se llama cóncava estricta en I. (ver Fig.) Ya que para todo x ∈ (x1 , x2 ) existe exactamente un λ con λ ∈ (0, 1) tal que es x = λx1 + (1 − λ)x2 , podemos enunciar el Teor.- La función f es convexa en I ⊂ D(f ), si para cada dos puntos x1 , x2 ∈ I con x1 6= x2 y para cada λ ∈ (0, 1) se cumple la inecuación f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). Si en cambio se cumple f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), entonces f es cóncava en I. Dem.- Trivial! Ejemplo.- f )x) = |x| es una función convexa que no es diferenciable. Para funciones diferenciables caracterizamos la convexidad y concavidad por la posición de la tangente al grafo de la función. 193 Sea f diferenciable en I, por lo tanto su grafo acepta tangente en cada punto. f es entonces exactamente convexa (respectivamente, concava) en I, si cada punto del grafo de f está por encima (respectivamente, por debajo) de cada tangente o la más en la tangente (ver Fig.). En Fig. se deja intuir que para una función convexa la pendiente de la tangente en el punto P (x, f (x)) crece cuando x aumenta, de manera que f 0 es monótona creciente. En realidad se cumple el Teor.- La función f sea en I diferenciable. Entonces f es exactamente convexa (respectivamente, cóncava) (estricta) en I, si f 0 es monótona creciente (respectivamente, decreciente) (estricta). De teoremas anteriores se obtiene el siguiente criterio de convexidad. Teor.- La función f tenga una primera de primer orden continua en I y una de derivad de segundo orden en el intgrior de I. I. Entonces f es exactamente convexa (cóncava) en I, si se cumple f 00 (x) ≥ 0 00 (f (x) ≤ 0) para cada x del interior de i. II. Se cumple f 00 (x) > 0(f 00 (x) < 0) para cada x del interior de I, entonces f es convexa (cóncava) estricta en I. Ejemplo.- Para la función f (x) = (x − 1)3 (x + 1) (−∞ < x < +∞) se tiene f 00 (x) = 12(x − 1) > 0 < 0 para para x < 0 y para 0 < x < 01. x > 1, Por el criterio de convexidad, f es convexa estricta en (−∞, 0] y en [1, +∞) y cóncava estricta en [0, 1] (ver Fig. ). Ejercicio.- Examine el comportamiento convexo de las funciones 1. f (x) = x2 x +1 3. f (x) = ln x 3.6.14 (−∞, + ∞), 2. f (x) = ex (−∞, + ∞), (0, + ∞), 4. f (x) = xp [0, + ∞). Puntos de Flexión de una Función Hay que resaltar aquellos puntos, donde el ”cambio de velocidad”, de una función toma un máximo o mı́nimo relativos. Para eso damos la Def.- La función f sea diferenciable en un entorno de xo . El punto (xo , f (x0 ) se llama punto de felexión de f , si la derivada f 0 tiene en xo un extremo relativo en sentido estricto. La tangente en un punto de flexión se llama tangente 194 de flexión. Es esta horizontal, e. e., es f 0 (xo ) = 0, entonces (xo , f (x0 ) se llama punto de flexión horizontal. Un resultado inmediato de los teoremas anteriores y de esta definición es el Teor.- La función f sea diferenciable en el intervalo [xo − ε, xo + ε], ε > 0. Es f en [x0 −ε, xo ] convexa estricta y en [xo , xo +ε] cóncava estricta o viciversa, entonces el punto Po (xo , f (xo )) es un punto de flexión de f (ver Figs. ..) En el último ejemplo la función f tiene los puntos de flexión P1 (0, −1) y P2 (1, 0). A P1 pertenece la tangente de flexión y = −1 + 2x y por ser f 0 (1) = 0, P2 es un punto de flexión horizontal con la tangente de flexión y = 0 (ver Fig. 7.6). De la conclusión, de que todo lugar extremo de una función es punto crı́tico de la misma y de la condición suficiente para extremos, se deriva el siguiente criterio para la existencia de un punto de flexión: La función f solo entonces puede tener en xo un punto de flexión, o si f 00 (xo ) = 0 o si la segunda derivada de f no existe en xo . Teor.- La función f posea en un entorno de xo derivadas continuas hasta el orden n (n ≥ 3) y se cumpla f 00 (xo ) = f 000 xo ) = · · · = f (n−1) (xo ) = 0, pero f (n) (xo ) 6= 0. Es n impar, entonces f tiene en xo un punto de flexión, en otro caso no. Ejemplo.- La ecuación de Van der Waal sobre reales gases es p = a RT − v − b v2 (v > b), donde T = temperatura, v = volumen mol, p = presión, R = constante general de gas, a y b = constantes especı́‘ficas. En temperatura constante T , la presión es una función del volumen v, cuyo grafo o curva se llama isoterma. De reflexiones fı́sicas se concluye en la existencia de una isoterma T = Tk con un punto de flexión horizontal K. En la Fig. 7.17 se han esbozado tres isotermas tı́picas que corresponden a tres temperaturas T1 < Tk < T2 . (El comportamiento real de la materia entre los puntos A y B se describe por un segmento de recta paralelo al eje v.) Ahora vamos a demostrar matematicamente la existencia de un punto de flexión horizontal K y luego determinar K. Las codiciones necesarias son dp = 0 dv y 195 d2 p = 0. dv 2 Derivando la función p, reemplazando T por Tk e igualando a 0 resulta − RTk 2a + 3 = 0 (v − b)2 v y 2RTk 6a − 4 ) = 0. (v − b)3 v La única solución v = vk de estas ecuaciones es vk = 3b. Se reemplaza este 8a . Reemplazando estos valor en ambas ecuaciones, y se obtiene Tk = 27Rb a valores en la función p otenemos pk = . Debido a que 27b2 d3 p 6RTk 24a a (vk ) = − + 5 = − 6= 0 dv 3 (vk − b)4 vk 81b5 es K(vk , pk ) realmente un punto de flexión por el último teorema. A las magnitudes Tk , vk y pk se le denominan datos crı́ticos y a K punto crı́tico. Ejercicio.- Determine puntos de flexión y las correspondientes tangentes de flexión de f (x) = x2 ln x (x > 0). 3.6.15 Discusión de Curvas Hasta aca hemos esbozado grafos o curvas de funciones sin haber tratado la confección misma de tales esbozos. Con esto nos queremos ocupar a continuación. Para eso, de una función dada examinaremos las siguientes propiedades: 1. Lugares de discontinuidad, 2. Intrvalos de monotonı́a, 3. Extremos relativos, 4. Intervalos de convexidad, 5. Puntos de flexión 6. Compoartamiento de f cuando x → +∞, Ası́ntotas La discusión de una curva permite, en principio, conocer el transcurso de la curva para aproximadamente esbozarla. Para elevar la exactitud del esbozo además hay que conocer el valor de la función en algunos lugares y los lugares nulos. De ser necesario también las propiedades de perı́ocidad y simetrı́a. De todas las propiedades arriba mencionadas nos falta definir el concepto de ası́ntota. − Def.- Es la función f , cuando x → x+ o o cuando x → xo , determinadamente divergente, entonces a la recta x = xo se llama ası́ntota (vertical) de f para ese movimiento de x. Una recta y = ax + b 196 se llama ası́ntota (inclinada) de f cuando x → +∞, si se cumple lim [f (x) − (ax − b)] = 0. x→+∞ Análogo es cuando x → −∞. Intuitivamente hablando, una ası́ntota es pués una recta, a la cual la curva de f se aproxima tan cerca como se quiera cuando x tiende a xo lateralmente o a +∞ (ver Fig. 7.18). Para determinar la ası́ntota y = ax + b hay que conocer a y b. Para eso escribimos a la expresión anterior en la forma f (x) b lim x −a− = 0. x→+∞ x x b f (x) −a− = 0 De lim x = + ∞ sigue lim x→+∞ x→+∞ x x y de aquı́, por lim x→+∞ b = 0, resulta x a = lim x→+∞ f (x) . x Y conociendo a, se obtiene inmediatamente b = lim [f (x) − ax]. x→+∞ Y viciversa. Nota.- La curva de f poesee exactamente una ası́ntota cuando x → +∞, si existen a y b. Con estos lı́mites la ası́ntota está dada por y = ax + b. En especial, existe lim f (x), entonces a = 0 y por lo tanto b = lim f (x). x→+∞ x→+∞ En este caso la curva de f tiene la ası́ntota (horizontal) y = b (b = lim f (x)). x→+∞ Todos estos razonamientos se cumplen analogamente cuando x → −∞. En lo que precede hemos definido ası́ntotas lineales para cualquier función. Ahora consideraremos ası́ntotas curvilineas para funciones racionales quebradas. Primeramente recordemos que una función h tal tiene la forma h(x) = p(x) , q)x) donde p(x) y q(x) son polinomios de grado m y n respectivamente. El quebrado es propio, si m > n. Por eso, para funciones racionales quebradas propias h siempre se cumple lim h(x) = 0. x→+∞ 197 Ahora sea f una función racional quebrada propia. Al dividir el numerador entre el denominador, podemos descomponer a f de la siguiente manera: f (x) = g(x) + h(x), donde g es una función racional entera y h una función racional quebrada propia. De esto resulta lim [f (x) − g(x)] = lim h(x) = 0, x→+∞ x→+∞ es decir, cuando x → +∞, la función f se aproxima a la parte entera g tan cerca como se quiera. Def.- La función g ası́ definida se llama ası́ntota (curvilinea) de f cuando x → +∞. Lo mismo vale cuando x → −∞. La ası́ntota (lineal) g(x) = ax + b es caso particular de esta definición. Determinar el transcurso de la curva de una función racional quebrada con ayuda de derivadas es frecuentemente muy complicado. Para tales funciones se prefiere analizar lugares de discontinuidad, determinar los lugares nulos y las ası́ntotas. Esta información ya permite tener una buena vista del transcurso de la curva. Ejemplos.- 1) Discuta la curva de f (x) = x2 e−x (−∞ < x < +∞). 1. f es continua y diferenciable infinitamente en todo x. 2. Ya que f 0 (x) = x(2 − x)e−x >0 <0 para para 0 < x < 2, 0 < 0 y para x > 2 es f en [0, 2] monónotana creciente estricta y en (−∞, 0) y [2, +∞) monótona decreciente estricta. 3. Según 2. f tiene el mı́nimo relativo f (0) = 0 y el máximo relativo f (2) = 4e−2 ≈ 0, 54. 2 4. Se cumple f 00 (x) = (x2 −√ 4x + 2)e−x . El polinomio √ x − 4x + 2 tiene los lugares nulos x1 = 2 − 2 ≈ 0, 59 y x2 = 2 + 2 ≈ 3, 41. Por eso es > 0 para x < x1 y para x > x2 , f 00 (x) = (x − x1 )(x − x2 ) < 0 para x1 < x < x2 . Por lo tanto f es convexa estricta en (−∞, x1 ] y en [x2 , +∞) y cóncava estricta en [x1 , x2 ]. 5. Según 4. f tiene los puntos de flexión P1 (x1 , f (x1 )) y P2 (x2 , f (x2 )). Y se tiene f (x1 ) ≈ 0, 19 y x2 ≈ 0, 38. 198 6. Se cumple lim f (x) = +∞ y limx→−∞ = 0. Por lo tanto cuando x→−∞ x → +∞, f tiene la ası́ntota y = 0. En cambio, cuando x → −∞, f no f (x) tiene ası́ntota debido a lim = lim xe−x = −∞. x→−∞ x x→−∞ Además calculamos los valores f (−1) = e ≈ 2, 72 y f (5) = 25e−5 = 0, 17 y observamos que es f (x) > 0 para todo x 6= 0. Con esta información podemos esbozar la curva de f con mayor exactitud. p 3 x3 + 2x2 (x ≥ −2). 2) Investige a f (x) = 1. f es continua en [−2, +∞). 2. Ya que    >0 x(3x + 4) f (x) = √ 2  <0 3 3 x3 + 2x2  0 para para 4 −2 < x < − y para x > 0, 3 4 − <x<0 3 es f monótona creciente estricta en [−2, − 34 ] y en [0, +∞) y monótona decreciente estricta en [− 34 , 0]. √ 3. Según 2., f tiene el máximo relativo f (− 43 ) = 23 3 4 ≈ 1, 06 y el mı́nimo relativo f (0) = 0. 4. Después de breves calculos obtenemos f 00 (x) = − 8 √ 2 3 9(x + 2) x3 + 2x2 (x > −2, x 6= 0), esto es, f 00 (x) < 0 para −2 < x < 0 y para x > 0. Por eso f es cóncava estricta en (−2, 0) y en (0, +∞). 5. Según 4., f no tiene ningún punto de flexión. 6. Se cumple r 3 f (x) = lim x→+∞ x lim x→+∞ y luego calculando obtenemos y =x+ 2 3 x3 (1 + x 2 ) x r = lim x→+∞ lim [f (x) − 1 · x] = x→+∞ 3 1+ 2 = 1, x 2 . Por eso la recta 3 es ası́ntota de f cuando x → +∞. Se recomienda también analizar la diferenciabilidad (lateral) de f en los lugares x = −2 y x = 0. El cociente de diferencias en x = 0 es p 3 h2 (h + 2) − 0 f (0 + h) − f (0) = (h > −2, h 6= 0). h h 199 p Ahora sea h < 0, entonces es −h > 0 y por lo tanto −h = 3 (−h)3 . Con esto se tiene s r 2 f (0 + h) − f (0) h+2 3 h (h + 2) = − 3 = − (−2 < h < 0). h (−h)3 −h De aquı́ resulta, empleando un teorema de lı́mites, que lim− h→0 f (0 + h) − f (0) = −∞. h Por lo tanto, f tiene en x = 0 una tangente lateral izuierda vertical. Analogamente se comprueba que f también tiene en x = 0 y en x = −2 una tangente lateral derecha vertical (ver Fig. 7.8). Ejercicios.- Para las siguientes funciones hay que ejecutar la discusión de curvas y esbozarlas. 1. f (x) = x2 − x − 2 , x2 − 6x + 9 2. f (x) = x2 (x + 2)5 , (x − 1)(x + 2)2 (x + 2)2 3. f (x) = (x−µ)2 1 √ e− 2σ2 σ 2π 4 (σ > 0, µ: constantes) CALCULO INTEGRAL Ası́ como el Cálculo Diferencial, talvez en mayor medida, el Cálculo Integral es una herramienta decisiva en cası́ todas las disciplinas de las Ciencias Naturales e Ingenieriles. Mientras el Cálculo Diferencial, entre otros, se debe al problema de la tangente, el Cálculo Integral, como veremos, se debe al problema del área o contenido de las figuras geómetricas. Ambos problemas tienen de común, que se reducen a problemas de lı́mites, es decir, al cálculo de un valor lı́mite. En caso del problema de la tangente es la derivada y en caso del paroblema del área es la integral definida. Como tema pravio trataremos el concepto de integal indefinida. Ambas integrales forman parte del Teorema Fundamental del Cálculo Diferncial e Integral. 4.1 La Integral Indefinida La tarea del Cálculo Diferencial es, dada una función f determinar su derivada f 0 . En muchos problemas de las Ciencias Naturales y de la Técnica hay que solucionar el problema inverso. Dada una función f , se busca una función F tal que F 0 = f . Para esta nueva función F hay que introducir un nombre. 200 Def.- Sea dada una función f (x) definida en (a, b). A cada función F (x), tal que F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b), denominaremos una función primitiva o antiderivada de f (x) en a, b). x3 es una función primitiva de f (x) = x2 . Aquı́ el 3 intervalo puede ser cualquiera. (−∞, +∞) serı́a el intervalo má grande posible para el cual se cumple Ejemplo.- F (x) = F 0 (x) = x3 3 0 = x2 = f (x). Teor.- Es F (x) una primitiva cualquiera de f (x) en (a, b), entonces F (x) + c (c una constante cualquiera) es también una primitiva de f en (a, b). Dem.- Sea F (x) una primitiva de f (x), entonces, por definición, es F 0 (x) = f (x). Pero (F (x) + c)0 = F 0 (x) = f (x) x ∈ (a, b). Por lo tanto F (x) + c es primitiva de f (x). Por otro lado, es F (x) una primitiva cualquiera de f (x), entonces otra primitiva cualquiera F1 (x) de f (x) se puede representar en la forma F1 (x) = F (x)+c. Por hipótesis es F10 (x) = f (x) y F 0 (x) = f (x). De aquı́ sigue F10 (x) = F 0 (x). Entonces, por un teorema anterior, es F1 (x) = F (x) + c. Nota.- Dos funciones primitivas de una función se diferencian sólo por una constante. Def.- Es F (x) una primitiva cualquiere de f (x) en (a, b) y sea {F (x)+c / c ∈ R constante} la clase de todas las primitivas de f (x). Un representante de esta clase F (x) + c se denomina integral indefinida de f en(a, b) y ses dedigna con Z f (x)dx = F (x) + c. c es la constante de integración. Según esta definición, la integral indedinida de f (x) es pués el conjunto de todas las primitivas de f (x). Ya que es F 0 (x) = f 0 (x) se cumple Z d f (x)dx = f (x). dx Esta igualdad se puede utilizar para probar que la integral indefinida está correctamente calculada. 201 4.1.1 Integral Indedinida de algunas Funciones Básicas En el Cálculo Diferencial conocimos reglas de diferenciacı́on. Cada regla de diferenciación, por la relación entre deriva e integral indefinida, suministra una regla de integración. Por ejemplo, la regla de diferenciación (sin x)0 = cos x suministra la regla de integración Z cos xdx = sin x + c. Para f (x) = cos x es F (x) = sin x es una primitiva, pués se cumple F 0 (x) = f (x) para todo x. 1 para todo x 6= 0 suministra la regla La regla de diferenciación (ln |x|)0 = x de integración Z Z dx 1 = dx = ln |x| + c (x 6= 0). x x Analogamente, para cada regla de diferenciaciación se pue dar una regla de integración, a las cuales, por su importancia fundamental, se le pues denominar integrales básicas. Z Z Z Z xα = xα+1 α+1 (α real cualquiera > −1; x > 0) ex dx = ex + c ax dx = (2) ax +c ln a dx = ln |x| + c x (1) (3) (a > 0, a 6= 1) (4) Z cos xdx = sin x + c (5) sin xdx = − cos x + c (6) Z dx = tan x + c (cos x 6= 0 ∀ x ∈ (a, b)) cos2 x Z dx dx = − cot x (sin x 6= 0 ∀ x ∈ (a, b)) sin2 x Z dx √ = arcsin x + c 1 − x2 Z dx = arctan x + c 1 + x2 202 (7) (8) (9) (10) Z Nota.- En (1) es α = n ∈ N, entonces xn dx = xn+1 + c. n+1 Además de las integrales básicas hay una serie de otras reglas de integración. Nos contentaremos con las indicadas y ellas bastarán para comprender la relación entre diferenciación e integración. Para calcular una integral haremos uso de una gran colección de fórmulas. Pero debemos subrayar que estas jamás substituierán a ciertas técnicas de integración como la integración por substitución o la integración parcial. A integrales complicadas se intentará de transformarlas apropiadamente en integrales básicas o en otras ya conodidas. 4.1.2 Algaunas Reglas de Integración Z Z α · f (x)dx = α · f (x)dx (α constante) (1) Un factor constante se puede sacar delante del signo integral. En efecto, si f (x) tuviera la primitiva F (x), entonces Z Z f (x)dx = F (x) + c =⇒ k f (x)dx = k(·F (x) + c) = k · F (x) + kc. 0 0 Z 0 Pero (k·F (x)+ck) = k·F (x)+(ck) = k·f (x) =⇒ kf (x)dx = k·F (x)+ck. De ambas expresiones se concluye en (1). Z Z (f (x) + g(x))dx = Z f (x)dx + g(x)dx (2) La integral de la suma de dos funciones es igual al a la suma de las integrales de las funciones. En egfecto, sean F (x) y G(x) las primitivas de f (x) y g(x) respectivamente. Entonces se cumple Z Z f (x)dx = F (x) + c1 y g(x)dx = G(x) + c2 =⇒ Z Z f (x)dx + g(x)dy = (F (x) + c1 ) + (G(x) + c2 ). Por otro lado se cumple (F (x) + G(x) + c1 + c2 )0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x) =⇒ Z (f (x) + g(x))dx = F (x) + G(x) + c1 + c2 = (F (x) + c1 ) + (G(x) + c2 ). Por lo tanto se cumple (2). 203 Es F (x) la primitiva de f (x) en (a, b), entonces 1 F (ax + b) es primitiva de a f (ax + b) en (a, b) y se cumple Z 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + c (3) a 0 1 1 En efecto, · F (ax + b) + c = · F 0 (ax + b) · a = f (ax + b). a a Z Ejemplos.- 1) Z 2) Z x1 dx = xdx = (x2 + 6x − 5)dx = Z x2 dx + 6 · x2 + c, según fórmula (1). 2 Z 3 Z xdx + 5 · dx = 3 +5· x2 − 5x + c. 2 De acuerdo a las reglas (1) y (2). Z dx 3) dx = x2 fórmula (1). Z 4) Z 5) √ Z 1 dx = x2 Z x dx = √ Z x−2 dx = 3 1 x 2 dx = 1 5x + 2dx = · 5 x2 3 2 +c = x−1 1 +c = − +c (x 6= o). Vea −1 x 2 √ x x+c 3 √ 2 (5x + 2) · 5x + 2 + c 3 (x ≥ 0). 2 (x ≥ − ). Vea regla 5 (3). Z dx = ln |x + 5| + c. Requisito: x + 5 6= 0, e. d., x 6= −5. x+5 Vea fórmula (4) y regla (3), donde a = 1, b = 5. Ahora, como la antiderivada 1 1 es de f (x) = es F (x) = ln |x|, entonces la antiderivada de f (x + 5) = x x+5 1 · F (x + 5) = ln |x + 5|. 1 6) Ejercicios.- Calcule Z Z 4 2 3 a) x + − 3 dx x x Z √ b) 204 x3 dx. 4.1.3 El Método de Substitución en Integrales Indefinidas R Si la integral indefinida f (x)dx de la función f (x) no se encuentra entre las integrales básicas o entre las integrales ya conocidas, hay que transformarla de manera que se obtenga una integral básica o ya conocida. Un método de obtener esto consiste en introducir una nueva variable u que está relacionada con al antigua x mediante la ecuación x = ϕ(u), respectivamente u = ψ(x), donde ψ es la inversa de ϕ. La inversa ψ existe, si ϕ es monótona estricta, e. d., si ϕ0 (x) 6= 0 en el intervalo. R Teor.- (Método de Subsitución) En f (x)dx se substituye x por una función x = ϕ(u) de una nueva variable, entonces se cumple Z Z f (x)dx = f (ϕ(u))ϕ0 (u)du (f, ϕ, ϕ0 continuas) Dem.- Sean F (x) y G(u) antiderivadas de f (x) y f (ϕ(u))ϕ0 (u) respectivamente y sea u = ψ(x), e. e., F 0 (x) = f (x), G0 (u) = f (ϕ(u) · ϕ0 (u) y u0 = ψ 0 (x). Pero al derivar G con respecto a x y luego reemplazar G0 (u) y u0 se tiene 1 dG (u) = G0 (u) · u0 = (f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)) · ψ 0 (x) = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u) · 0 dx ϕ (u) = f (ϕ(u)) = f (x). Por lo tanto, G(u) es antiderivada de f (x) y con ello se ha demostrado la afirmación. Nota.- Para los calculos es conveniente escribir estos resultados en la forma dG(u) = f (u)du donde u = ϕ(x) y du = ϕ0 (x)dx. Z Ejemplos.- 1) cos(5x + 1)dx (f (x) = cos(5x + 1). u−1 La substitución u = ψ(x) = 5x + 1 =⇒ x = ϕ(u) = nos conduce 5 a la integral básica Z Z Z 1 1 1 1 cos(5x+1)dx = (cos u) du = cos udu = sin u+c = sin(5x+1)+c. 5 5 5 5 Z xdx x √ 2) f (x) = √ (a 6= 0) . 2 ax + b ax2 + b 205 Substitución: u = ψ(x) = ax2 + b =⇒ Z xdx √ ax2 + b du = 2ax. dx Z du Z Z 1 1 du 2a = 1 √ √ = = u− 2 du 2a 2a u u 1 = 1 u2 1√ 1p 2 · 1 +c = u+c = ax + b + c. 2a 2 a a Nota.- Aquı́ no ha sido r necesario de obtener la función x = ϕ(u). Pero de u−b u = ax2 + b sigue x = + . De esto elegimos como función x = ϕ(u) = a r u−b . Entonces la integral del ejemplo 2) tomará la forma a r u−b 1 Z Z du a a √ √ . · r du = u 2a u u−b 2 a R Obtenemos pués el mismo resultado que antes, que cuando en f (x)dx consideramos a dx como un diferencial. En muchos otros ejemplos no necesitaremos calcular a ϕ(x). Z 3) √ dx du + x2 a2 (|x| < |a|). Por transformación del integrando se tiene Z Z 1 dx dx √ r = x 2 . 2 2 a a −x 1− a Substitución: x = sin u ⇒ x = a · sin u = ϕ(u), a dx = a · cos udu, Luego es Z √ 1 dx = a a2 − x2 Z a cos udu p = 1 − sin2 u Z du = u + c x Despejando u se tiene u = arcsin . Por lo tanto es a Z dx x √ = arcsin + c a a2 − x2 206 En este ejemplo no hemos comprobado, si reune las condiciones necesarias para aplicar el Método de Substitución. Por eso hay que hacer la ”prueba”. Z x e −1 4) dx. ex+1 Substitución: ex = u(ψ(x)) = u, ϕ(u) = ln u = x ⇒ ex − 1 dx ex + 1 Z du du = ex = u ⇒ dx = . dx u Z u − 1 du 2 1 · = − du u+1 u u+1 u Z Z 2du du = − = 2 · ln |u + 1| − ln |u| + c u+1 u Z = = 2 · ln |ex + 1| − ln |ex | + c = 2 · ln(ex + 1) − ln(ex ) + c = 2 · ln(ex + 1) − x + c. Nota.- ex es siempre positivo y se cumple ln ex = x. Ejercicios.- Calcule Z a) Z c) Z e) Z g) 4.1.4 Z sin3 dx, b) dx , 9 + 2x2 Z arctan x dx 1 + x2 Z f 0 (x) dx, f (x) d) p 8x3 − 1dx, f) 6x2 + 4 dx, 3 x + 2x + 1 h) x2 (ln x)2 dx x Z tan 3xdx. La Integración Parcial En analogı́a a la Regla del Producto en el Cálculo Diferencial, (uv)0 = u0 v + uv 0 , 207 (x > 0), en el Cáculo Integral ses cumple el Teor.- (Integración Parcial) Son R u = u(x) y v = v(x) funciones diferenciables enR (y, b) y existe la integral u0 (x) · v 0 (x)dx, entonces existe también la integral u(x) · v 0 (x) y se cumple Z Z u(x)v 0 (x)dx = u(x) · v(x) − v(x)u0 (x)dx, R 0 R más breve uv = uv − vu0 dx. Dem.- Hay que demostrar que la derivada del lado izquierdo de la ecuación es es igual al integrando de la integral del lado derecho. En efecto, Z [u(x) · v(x) − v(x)u0 (x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) − v(x)u0 (x) = u(x)v’(x). A la ecuación del teorema se designa también como Método de la Integración Parcial. La integral de la izquierda se convierte en un producto u(x) · v(x) y en una nueva integral. El empleo de este método es naturalmente razonable, sólo si para v 0 (x) se puede determinar una primitiva y la integral de la derecha es más facil de calcular que la integral de la izquierda de la ecuación. Z Ejemplos.- 1) xex dx. Elijamos u(x) = x y v 0 (x) = ex , de manera que tenemos u0 (x) = 1 y v(x) = e . Por la integración parcial se cumple Z Z xex dx = xex − ex · 1dx = xex − ex + c = (x − 1)ex + c. x Si eligieramos u(x) = ex y v(x) = x, entonces la integración parcial no suministrarı́a ninguna simplificación. Indiquemos, en forma especial, una vez más, que todas las transformaciones, substituciones o algo parecido, que efectuemos para la solución de una integral tienen como meta transformarla en otra que corresponda a una integral básica. Z 2) x2 · sin xdx. En este caso, obtenemos la integral indefinida al aplicar dos veces la integración parcial: R x2 · sin xdx R = x2 (− cos x) − (− cos x) · 2xdx = − x2 cos x + 2 · R x · cos xdx R = − x2 cos x + 2 · [x · sin x − (sin x) · 1dx] = − x · cos x + 2x · sin x + 2 · cos x + c. 208 Z 3) ln xdx. Visiblemente en esta integral no se puede aplicar la integración parcial, puesto que no existe un producto. Sin embargo, al multiplicar al integrando R por R 1 se puede obtener un producto sin que cambie la integral, e. e, ln xdx = 1 · ln xdx. Entonces es razonable poner u(x) = ln x y v 0 (x) = 1, ya que si ponemos v 0 (x) = ln x, tendriamos que determinar su primitiva y estarı́amos como en 1 inicios. Sabemos que u0 (x) = y v(x) = x y por lo tanto, según la integración x parcial, Z 1 1 · ln x dx = x · ln x − x · dx = x ln x − x + c = x(ln x − x) + c. x Z 4) In = ex xn dx (n = 1, 2, · · · ). Aplicando una vez la integración parcial a In nos suministra la fórmula recursiva Z Z Z ex xn dx = ex · xn − ex · nxn−1 dx = ex · xn − n · ex xn−1 dx. De donde resulta In = ex xn − n · In−1 (n = 2, 3, · · · ). Una fó‘rmula de recursión depende de n y permite el cálculo de In mediante In−1 . Fórmulas recursivas juegan un papel importante en la Informátaica y Matemátaica. Ejercicios.- Calcule Z dx a) dx, (4x − 2) Z b) 3x x · e dx, Z c) x2 · sin 4xdx. En el Cálculo Diferencial pudimos comprobar que toda función elemental f (x) (llamada también ”función representable en forma cerrada”) es diferenciable y su derivada f 0 (x) es también una función elemental. Este hecho teórico es el fundamento para que, por lo genral, la diferenciación no ofrezca mayores sin x dificultades. Contemplando a la función y = , vemos que lo podemos diferx enciar inmediatamente. Por eso es sorprendente, que todo intento de integrarla fracasen. Este ejemplo lo trataremos después. Se puede demostrar que esta función y muchas otras no se pueden integrar en forma cerrada, e. d., su integral no se puede representar en forma cerrada como función elemental. Por lo 209 general existen estas integrales, pero no se pueden representar como funciones elementales. Pueda ser que su integral sea dada como una serie infinita. Por eso la integración, por lo general, sale del conjunto de funciones elementales. 4.1.5 Integración de Funciones Racionales Sea dada una función racional quebrada r(x) = pn (x) ao + a1 x + · · · + an xn = qm (x) bo + b1 x + · · · + bm xm (an 6= 0, bm 6= 0). r(x) es el cociente de los polinomios pn (x) y qm (x). r(x) se llama quebrado propio, si n < m (grado pn (x) < grado qm (x)) y quebrado impropio, si n ≥ m. La tarea es calcular la integral indefinidad de cada función racional quebrada. Esta tarea se puede simplificar un poco por el hecho de cada función racional quebrada imporpia siempre se puede descomponer en la suma de un polinomio y de una función racional quebrada propia. Los polinomios se pueden integrar facilmente, queda solo determinar la integral indefinida de la función racional quebrada propia. Nota.- Los analı́ticos dicen que f (x) es una función racional entera, si es representable por un polinomio, e. d., si f (x) = ao + a1 x + ax x2 + · · · + an xn y hablan de una función racional r(x), si se puede expresar como el cociente de dos funciones racionales enteras f (x) y g(x), e. e., r(x) = f (x)/g(x). Ahora vamos a demostrar en un ejemplo la descomposición de una función racional quebrada impropia en la suma de un polinomio y de una función racional quebrada propia. x 6 + 5x + 3x2 + 2x3 = 2x + 3 + = p1 (x) + r1 (x), 2 2+x 2 + x2 x donde p1 (x) = 2x + 3 es polinomio y r1 (x) = es función racional 2 + x2 quebrada propia. r(x) = En la integración de funciones racionales quebradas nos apoyamos en el Teor.- (Teorema de la Descomposición en Quebrados Parciales) Toda función racional quebrada propia r(x) = pn (x) qm (x) (n < m) se puede descomponer en una suma de quebrados (llamados quebrados parciales) de la forma A (x − a)α y Bx + C (x2 + px + q)β 210 con p2 − 4q < 0. Aquı́ α y β ≥ 1 son números naturales, a es un lugar nulo real y (x2 + px + q) es un factor cuadrático den denominador qm (x), que ya no puede descomponerse en factores reales. Dem.- La demostración puede verse en el tomo II de Fichtenholz ”Differentialund Integralrechnung”. El Teorema Fundamental del Algebra nos dice que un polinomio pn (x) de grado n tiene n raı́ces o lugares nulos que pueden reales, complejas y repetidas. Por lo tanto al denominador de r(x) se lo puede expresar como factores del grado más bajo: qm (x) = (x − x1 )β1 · · · (x − xk )αk (x2 + p1 x + q1 )β1 · · · (x2 + pl + ql )βl , donde xi (i = 1, · · ·, k) son lugares nulos αi veces repetidos y x2 + pj x + qj factores βj veces repetidos con p2j − 4qj < 0 de qm (x). Entonces a la función racional quebrada propia r(x) se puede representar en la forma r(x) = A11 A1α1 A12 pn (x) = + ··· + + qm (x) x − x1 (x − x1 )2 (x − x1 )α1 ············································· + Ak1 x − xk + B1β + C1β1 B11 x + C11 B12 x + C12 + ··· + 2 1 + 2 2 2 x + p1 x + q 1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 )β1 + Ak2 (x − xk )2 + ··· + Akαk (x − xk )αk ············································· + Bl1 x + Cl1 Bl2 x + Cl2 Blβl x + Clβl + 2 + ··· + . x2 + pl x + ql (x + pl x + ql )2 (x2 + pl x + ql )βl Aquı́, Aiν , Bjµ , Cjµ son números reales desconocidos que todavı́a hay que determinarlos. Nota.- Debe anotarse, que en la descomposición en quebrados parciales, al factor (x − a)α de qm (x), a = xi , α = αi , pertenece una suma de la forma A1 A2 Aα + + ··· + . 2 x−a (x − a) (x − a)α Y al factor (x2 + px + q)β de qm (x), donde p = pj , q = qj , β = βj , p − 4q < 0, pertenece una suma de la forma 2 B1 x + C1 B2 x + C2 Bβ x + Cβ + + ··· . x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x2 + px + q)β 211 Ejemplo.- En un ejemplo vamos a mostrar los pasos esenciales que tienen que hacerse en toda descomposición en quebrados parciales de un función racional quebrada propia. r(x) = f (x) −3x3 + 12x2 − 6x + 7 = 4 g(x) x − 2x3 + 5x2 − 8x + 4 (f (x) = p3 (x), g(x) = q4 (x)). 1. Paso Búsqueda de los lugares nulos del polinomio denominador g(x) y de su descomposición de factores reales de grado mı́nimo. Este paso es el más difı́cil en la descomposición en quebrados parciales, ya que hay que determinar los lugares nulos de una ecuación de grado m. Para polinomios de grado 3 es ya, por lo general, complicado. En nuestro ejemplo g(x) es de grado 4. En este tema nuestra tarea no es tratar todo el problema de la determinación de los lugares nulos de una ecuación de grado n. Recordemos aquı́ el hecho important: Es x1 un lugar nulo de g(x), que se ha determinado probando o mediante algún procedimiento, entonces se divide a g(x) entre x − x1 y obtenemos un polinomio q(x) de grado menor en 1. Ahora intentamos encontrar un lugar nulo x2 de q(x). Luego dividimos a q(x) entre x − x2 y asi sucesivamente. Aquı́ el Esquema de Horner es de gran ayuda. En nuestro ejemplo es g(1) = 0. En efecto, dividimos a g(x) entre x − 1. Se obtiene g(x) : (x − 1) = x3 − x2 + 4x − 4 = q(x). Para q(x) también se cumple q(1) = 0. La división nos da q(x) : (x − 1) = x2 + 2. De aquı́ sigue g(x) = (x − 1)2 (x2 + 4). Esta es la descomposición de g(x) en factores reales de grado más bajo. Otra descomposición en reales ya no es posible, porque x2 + 4 no tiene lugares nulos reales. 2. Paso Utilizando la forma de descomposición y la nota anterior, se tiene 7 − 6x + 12x2 − 3x3 A B C + Dx f (x) = = + + 2 . 2 2 g(x) (x − 1) x − 1 (x − 1) x +4 (∗) Ahora hay que determinar los números reales A, B, C, D. (x1 = 1, α1 = 2, β1 = 1). 3. Paso Determinación de las incógnitas que aparecen en la forma de descomposición. Un método, el denominado método de comparación de coeficientes, conduce siempre a la meta. Se multiplica a ambos de la ecuación (∗) con el denominador polinomio g(x) y se obtiene a la izquierda y derecha de la ecuación polinomios. La comparación de los factores delante de x0 , x1 , x2 , x3 , · · · suministra un sistema de ecuaciones lineales para determinar las incógnitas A, B, C, D (por eso el nombre de método de comparación de coeficientges). En nuestro ejemplo, de (∗) al multiplicar ambos lados con g(x) = (x − 1)2 (x2 + 4), sigue 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = A(x − 1)(x2 + 4) + B(x2 + 4) + (C + Dx)(x − 1)2 . 212 Ejecutando las multiplicaciones del lado derecho y factorizando según potencias de x, tenemos 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = (−4A + 4B + C) + (4A − 2C + D)x + (−A + B + C − 2D)x2 + (A + D)x3 . Por comparación de coeficientes resultan la siguientes cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas A, B, C. D: −4A + 4B + C 4A = − 2C + D −A + B + C − 2D A + D 7 = −6 = 12 = − 3. Se trata de un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas (m = n = 4), para el cual hay métodos generales de solución como el Algoritmo de Gauss. En nuestro ejemplo calcular las cuatro incógnitas sin procedimientos especiales. Despejamos D = −3 − A y lo reemplazamos en la 2. y 3. ecuación. Nos queda tres ecuaciones con tres incógnitas A, B, C. Ası́ sucesivamente y obtenemos la solución A = 1, B = 2, C = 3, D = −4. Conociendo las incógnitas, obtenemos la descomposición en quebrados parciales 1 2 3 − 4x 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = + + 2 . (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 x +4 Nota.- Por lo general, el Método de Comparación de Coeficientes no es aquel que permite determinar las incónitas lo más rápido. Hay otro métodos como el Método de los Lı́mites y el Método de Substitución. 4.1.6 Integración de Quebrados Parciales Por el teorema de la descomposición en quebrados parciales y la regla (2) de integración, podemos integrar a toda función racional quebrada propia, siempre que podamos integrar a cada uno de los quebrados parciales. Las seis siguientes fórmulas permiten integrar a cada quebrado parcial que interviene. Con las dos primeras fórmulas podemos integrar quebrados parciales de la forma A (x 6= a, ν > 1) y con las cuatro restantes a quebrados parciales de (x − a)ν Bx + C la forma 2 (p2 − 4q < 0, µ > 1). (x + px + q)µ 213 Z Z A A +c dx = − (x − a)ν (ν − 1)(x − a)ν−1 (1) A dx x−a (2) Z (x2 Z x2 A · ln |x − a| + c b 1 Bx + C dx = − + · 2 µ + px + q) 2(µ − 1) (x + px + q)µ−1 Z 1 dx (C − Bp) 2 2 (x + px + q)µ dx (x2 + px + q)µ Z Z = dx dx + px + q Bx + C dx x2 + px + q 1 2x + p · (µ − 1)(4q − p2 ) (x2 + px + q)µ−1 Z µ−6 dx + · (µ − 1)(4q − p2 ) (x2 + px + q)µ−1 (3) = 2 2x + p = p · arctan p +c 2 4q − p 4q − p2 B 1 ln |x2 + px + q| + (C − Bp)· 2 2 Z dx (x2 + px + q) · 2 x + px + q (4) (5) = (6) Nota.- Las fórmulas (1) y (2), por substitución x − a = u, se reducen a integrales básicas. La fórmula (2) no está incluı́da en (1). La demostración de todas las fórmulas del (3) al (6) se puede hacer al diferenciar el lado derecho y la derivada tiene que coincidir con la función debajo del signo de la integral. Bx + C Por la fórmula (3), la integración del quebrado parcial se (x2 + px + q)µ 1 reduce a la integración de y la integración de esta se reduce (x2 + px + q)µ 1 recursivamente a la integración de 2 empleando la fórmula (4) para x + px + q µ, µ − 1, µ − 2, · ··, 1. La fórmula (5) suministra el final de toda la cadena. La fórmula (6) no está incluı́da en (3). Las integrales de los quebrados parciales no tienen que calcularse de todas maneras según las fórmulas de (1) a (6). Si en una integral mediante una apropi214 ada transformación, substicución u otro, se llega más rápido a la meta, naturalmente habrá que preferir este camino. Las fórmulas de (1) al (6) habrá que emplearlas cuando transformaciones simples u optros no conducen a la solución. Z Ejemplo.- x3 + 5x2 + 4x + 8 dx. x2 (x2 + 4) El integrando es es una función racional quebrada propia f (x) , donde el g(x) grado de f (x) es 3 y el grado de g(x) es 4. 1. Paso: Búqueda de los lugares nulos y descomposición de g(x) en factores reales de grado mı́nimo. En este caso está demás, ya que g(x) = x2 (x2 + 4). 2. Paso: Planteo para la descomposición en quebrados parciales Cx + D A b x3 + 5x3 + 4x + 8 = + 2+ 2 . 2 2 x (x + 4) x x x +4 (?) 3. Paso: Determinación de las incógnitas A, B, C, D. Es muy favorable determinar las incógnitas de los quebrados parciales con los más altos exponentes ν, respectivamente µ por el Método de los Lı́mites y las incógnitas que todavı́ quedan, por el Método de la Substitución. En nuestro ejemplo determinaremos B ası́ como C y D por el Método de los Lı́mites, y A por el Método de la Substitución. Determinación de B: Multiplicamos a (?) con x2 (x2 es el denominador donde aparece B) y mandamos tender a x → 0 (de ahı́ el nombre del método!. Para x = 0 será x2 = 0). Cx + D 2 x3 + 5x3 + 4x + 8 = Ax + B + 2 ·x . 2 2 x (x + 4) x +4 Ahora, a ambos lados de la ecuación mandamos tender a x → 0 y obtenemos x3 + 5x2 + 4x + 8 = 2. x→0 x2 + 4 B = lim Determinación de C y D: Multiplicamos a (?) con x2 + 4 (es el denominador del quebrado parcial, donde interviene C y D) y mandamos tender a x → 2i. (Para x = 2i ó x = −2i será, x2 + 4 = 0). A 2 B x3 + 5x2 + 4x + 8 = (x + 4) + 2 (x2 + 4) + (Cx + D). x2 x x En esta ecuación mandamos tender a x → 2i! (2i)3 + 5 · (2i)2 + 4 · (2i) + 8 = C · 2i + D ⇒ 3 = 2Ci + D. (2i)2 215 Recordemos que i2 = −1, i3 = −i. Si comparemos la parte real y la parte imaginaria en D + 2Ci = 3 + 0 · i = 3, resulta C = 0, D = 3. Determinación de A por el Método de Substitución: En (?) substituimos x por 1 o por cualquier otro valor simple, siempre y cuando ningauno de los denominadores en (?) sea igual a 0, y tenemos c+D 18 = A+B+ ⇒ A = 1, 5 5 ya que B = 2, C = 0, D = 3. En este ejemplo, por el Método de los Lı́mites, sólo hemos deteminado una incógnita, a saber A. Hubiesen quedado 2 ó 3 incógnitas, hubiesemos tenido que substituir a x por dos o tres valores para obtener el número necesario de ecuaciones que nos permitan determinar las incógnitas. En conclusión, la descomposición en quebrados parciales es: 1 2 3 x3 + 5x2 + 4x + 8 = + + 2 . x2 (x2 + 4) x x2 x +4 La integración de estos quebrados parciales no ofrecen dificultad: Z Z Z 1 dx x = ln |x| + c1 2 dx x2 = 2· 3 dx x2 + 4 3 = · 4 Z = Z 2 + c2 x Z dx 3 2du dx + · 2+1 x 2 4 u +1 x−2 dx = − subst.: u = 2 3 x 3 arctan u + c3 = arctan + c3 . 4 4 2 Resultado final: x3 + 5x2 + 4x + 8 2 3 x = ln |x| − + arctan + c. 2 2 x (x + 4) x 2 2 (x 6= 0) Ejercicios.- Calcule las siguienes integrales: Z a) 2x3 + 9x2 + 8x + 5 dx, x2 + 4x + 3 x4 + 4x2 + 1 c) 3 dx, x − x2 + 4x − 4 Z 4x3 − 2x2 + 9x − 18 dx, x2 (x2 + 9) Z xdx . 2x2 + 5x − 3 b) d) 216 x 2 4.1.7 Integración de otras Clases de Funciones A continuación indicaremos funciones o clases de funciones importantes importantes, cuyas integralas indefinidas se pueden representar por funciones elementales, las que a su vez se integran en ”forma cerrada”. En general se trata de integrales indefinidas que mediante una apropiada substitución se reducen a una función racional. Antes hemos comprobado que toda función racional se puede integrar en ”forma cerrada” Ahora recordemos el concepto de funciones racionales de dos variables. Una función r)u, v) en las variable u, v se llama racional, si se puede representar como una expresión que se obtiene mediante por un número finito de operaciones racionales (adición, substracción, multiplicació y división) de u, v y constantes. Ejemplos de funciones racionales de dos variable: r1 (x, y) = x3 + 4x2 y , 3 − xy r2 (x, y) = π + xy 3 3 − 3 7 x 2 Ejemplos de funciones no racionales de dos variables: 4.1.8 ln |x| y f1 (x, y) = p x2 − 3xy 2 , f2 (x, y) = f3 (x, y) = sin y , cos y f4 (x, y) = y · 2x . La Integral R r(x, √ n ax + b )dx √ Teor.- Todas las funciones de la forma r(x, n ax + b ), e. d., funciones de x que se pueden √ construir mediante muchas, pero finitas, operaciones racionales de x y de n ax + b ası́ como de constantes, se pueden integrar en forma cerrada. √ Dem. Desmostraremos que mediante la substitución t = n axb, la √ integral dada se puede reducir a la integral de una función racional. De t = n ax + b sigue ax + b = tn . Por lo tanto x = tn − b ntn−1 (a 6= 0) =⇒ dx = dt. Luego se cumple: a a Z Z n √ t −b n n r(x, ax + b) dx = r , t · tn−1 dt. a a El integrando del lado derecha es una funciónal en t, ya que al aplicar operatn − b ciones racionales a ambas magnitudes y t se obtiene una función racional a n t +b en t, e. e., r , t es una función racional en t. El resultado de la multia n n−1 plicación con t es también es una función racional en t. a 217 Z Ejemplos.Substitución: √ √ Z √ x+ x−1 √ dx = r(x, x − 1)dx (n = 2, a = 1, b = −1). x− x−1 x − 1 = t ⇒ x − 1 = t2 ⇒ x = t2 + 1 ⇒ dx = 2tdt. Luego se tiene: Z √ Z Z 3 x+ x−1 (t2 + 1) + t t + t2 + t √ dx = · 2t dt = 2 · dt (t2 + 1) − 1 t2 − t + 1 x− x−1 Z =: 2 · r∗ (t)dt. El integrando r∗ (t) es una función racional quebrada impropia. L división nos da 2t − 2 =: p(t) + r1 (t). r∗ (t) = t + 2 + 2 t −t+1 El polinomio p(t) se integra inmediatamente. A la función racional quebrada propia se aplica las fórmulas (6) y (5) de 1.1.6. Natauralmente, después de √ ejecutar la integración tenemos que regresar a la antigua variable x (t = x − 1). Al final obtenemos √ Z √ √ x+ x−1 √ dx = x + 4 x − 1 + 2 ln(x − x − 1) x− x−1 √ 4 2 x−1−1 √ = − √ arctan + c. 3 3 Ejercicio.- Calcule Z dx √ , a) x + 2x − 1 Z 4.1.9 La Integral Z b) √ 4 xdx . 3x + 2 r(ex )dx Esta integral, por la substitución t = ex , se puede reducir a una función racional. De t = ex sigue dt = ex dx, por lo tanto se cumple Z Z r(t) x r(e )dx = dt t donde el integrando r∗ (t) = r(t) es una función racional en t (ver definición). t 218 e2x dx. −1 Z Ejemplo.Z Substitución: t = ex . Luego se tiene ex e2x dx = ex − 1 Z t2 dt = t−1 t Z t dt = t−1 Z (1 + 1 )dt t−1 = t + ln |t − 1| + c = ex + ln |ex − 1| + c. t es una función racional quebrada impropia que por división t−1 se descompone en un polinomio y en una función racional propia. Nota.- Ejercicios.- Calcule Z a) Z dx , 2x e −1 b) ex dx dx 1 + 3ex ex − 1 dx. ex + 2 Z c) Z 4.1.10 La Integral r(sin x, cos x) Debido a los teoremas de adición para seno y coseno se cumplen las siguientes relacione: x x x x x 2 · sin · cos sin + tan 2 2 = 2 2 = 2· 2 sin x = x x x . 1 cos2 + sin2 1 + tan2 2 2 2 x 2 . cos x = 2 x 1 + tan 2 1 − tan2 Analogamente se tiene: x Estas transformaciones hacen posible empprender la substitución t = tan . De 2 aquı́ resultan las ecuaciones sin x = 2t , 1 + t2 cos x = 1 − t2 , 1 + t2 dx = 2dt . 1 + t2 x Para obtener la última ecuación se ha tenido en cuenta que t = tan , de 2 x = arctan t (−π < x < π). Por lo tanto reemplazando se tiene donde sigue 2 Z Z r(sin x, cos x)dx = r 2t 1 − t2 , 1 + t 2 1 + t2 · 2 dt =: 1 + t2 Z r∗ (t)dt. El integrando r∗ (t) es nuevamente una función racional en t, como se reconoce a simple vista. 219 x Nota.- Antes de substituir t = tan es a menudo conveniente intentar 2 con otras substituciones más simples, por ejemplo, con t = cos x. Puede suceder que el integrando r(sin x, cos x) estea definido para todo x, en cambio el nuevo integrando r∗ (t) no estea definido para todo t. Un hecho concreto es que la substitución t = tan x2 no está definida para los x = π + k · 2π. Se recomienda, al final, probar si la función F (x) para que intervalo es una antiderivada de f (x). Ejemplo.Z dx sin x Z = (sin x, cos x)dx (cos x no interviene explcita) Z 2 1 · dt 2t 1 + t2 1 + t2 Z x dt + c. = ln |t| + c = ln tan t 2 = = Condición: tan x2 6= 0 para todo x 6= kπ. Z Ejercicios.- Calcule a) Z 4.1.11 La Integral r(x, dx , cos x Z b) sin x dx . cos3 x p ax2 + bx + c)dx √ Antes hemos comprobado que todas las funciones de la forma r(x, ax + b), al √ substituir t = ax + b, se pueden integrar en forma cerrada. Este √ hecho puede ampliarse también para todas las funciones de la forma r(x, ax2 + bx + c). 2 En √ el caso de a > 0,√ D = b − 4ac 6= 0, se puede ejecutar la substitución 2 ax + bx + c = t+x a y ası́ reducir la integral dada a la integral de√un función racional. De la ecuación de substitución sigue ax2 + bx + c = t2 + 2 atx + ax2 , e. d., √ √ −2t2 a + 2bt − 2c a t2 − c √ , x = dx = dt =: r1 (t)dt √ 2 b − 2t a (b − 2t a Finalmente obtenemos √ Z Z 2 p t −c (t2 − c) a 2 √ , t+ √ r(x, ax + bx + c) = r · r1 (t)dt. b − 2t a b − 2t a El integrando r∗ = r · r1 es una función racional en t. 220 √ x2 − 5x + 1 dx, la susbtitución t + x = x2 Z 3 2 √ 2t + 10t + 2t dt (comprobar). El nuevo x2 − 5x + 1 conduce a la integral (1 − t2 )2 integrando es una función racional quebrada propia en t. Z x− Funciones de la forma p r(x, ax3 + bx2 + cx + e) y Ejemplo.- En la integral r(x, p ax4 + bx3 + cx2 + ex + f ) por lo general no se pueden integrar en forma cerrada. Integrales de estas funciones se denominan integrales elı́pticas. El nombre ”elı́ptico” se debe a que en el cálculo de la longuitud del arco de una elipse interviene una integral tal. Z Ejercicio.- Calcule 4.2 4.2.1 √ 4x2 dx . − 3x + 5 La Integral Definida Definición, Existencia y Propiedades En un intervalo cerrado I = [a, b] sea definida la función y = f (x). Elijamos un número finito de valores x1 , x2 , · · · en el intervalo I con a < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b, entonces se obtiene una partición P de [a, b] en muchos, pero en un número finito de subintervalos [xo , x1 ], [x1 , x2 ], · · ·, [xn−1 , xn ]. Para uniformizar la designación se ha puesto a = xo y b = xn (ver Fig. 10.1). Es P la partición antes descrita de [a, b], entonces a δ := max 4xi (4xi i=1,2,···n := xi − xi−1 ) se dednomina finura de la partición P. δ es la longuitud del subintervalo más largo de P. Tanto más pequeño es δ, tanto más fina es la partición P. En cada subintervalo [xi−1 , xi ] elejimos un punto ξi con xi−1 < ξi < xi z construı́mos la siguiente suma S(P) := n X f (ξi )4xi . i=1 Def.- S(P) se llama la suma integral perteneciente a la partición P. 221 Nota.- S(P) se llama también suma intermedia o de partición. La suma integral depende de P y de la elección de los puntos intermediarios ξi . Tomando esto con exactitud se tendrı́a que escribir S(P; ξi , · · ·, ξ). La integral determinada se obtiene de las sumas de integrales al hacer cada vez más fina las partaiciones. Def.- Una sucesión de particiones P1 , P2 , · · · del intervalo [a, b] se llama una sucesión nula de particiones de [a, b], si la correspondiente sucesión de finuras δ1 , δ2 , · · · tiende a cero, e. d., lim δn = 0. n→∞ Nota.- En lugar de sucesión nula se habla de sucesión distinguida. Fig. 10.2 muetra un ejemplo de una sucesión nula de particiones de [a, b]. Si para cada sucesión nula de particiones P1 , P2 · · · de [a, b], la correspondiente sucesión de sumas integrales S(P1 ), S(P2 ), · · ·, converge hacia un valor determinado l y este lı́mite es independiente de la elección de la sucesión nula de particiones e independiente de la elección de los puntos intermediarios, enn X tonces vamos a designar a este lı́mite l con el sı́mbolo lim f (ξi )4xi , que 4xi →0 i=1 encierra la esencia de lo dicho aquı́. Def.- Si el lı́mite l = lim 4xi →0 n X f (ξi )4xi existe, entonces se lo denomina i=1 la integral determinada o integral de Riemann de la función f (x) sobre el intervalo [a, b] y se lo designa con Z b n X f (x)dx = lim f (ξi )4xi . a 4xi →0 i=1 Nota.- El concepto de integral introducido aquı́, en lo esencial, se debe a Bernhard Riemann (1826 - 1866). Naturalmente el valor de la integral definida de la función f sobre el intervalo [a, b] no depende de la letra con que se designe Z b a la variable independiente. En lugar de f (x)dx se puede escribir también a Z b Z b f (t)dt o f (u)du o algo parecido. a a La integral definida es le lı́mite de unaPsucesión de sumas de la forma Sf (ξi )4xi . Hemos para dar a entender de donde R escrito S en lugar de deriva el sı́mbolo . En la construcción de nuestra exposición hemos partido del intervalo [a, b] con a < b. De esta restricción nos libraremos mediante la 222 Z a Def.- f (x)dx := 0. Z b Z Para a > b se cumple f (x)dx := − a a a f (x)dx. b A continuación conoceremos una primera aplicación de la integral definida: Se cumpla f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], e. d., la curva y = f (x) transcurre sobre el eje x. Buscamos el área A de la superficie limitada por las cuatro curvas y = 0, x = a, x = b y y = f (x) (ver Fig. 10.3) F ig.10.3 n X ≈ i=1 n X f (ξi )4xi es pués una aproximación para el área buscada A, e. e., A f (ξi )4xi . Esta aproximación es tanto mejor, mientras más fina sea la i=1 partición. El valor exacto de A se obtiene mediante un proceso de lı́mite: Z b n X A = lim f (ξi )4xi = f (x)dx. 4xi →0 a i=1 Nota.- En caso de f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] se cumple Z b A = − f (x)dx. a Def.- Una función f (x) se llama integrable (según Riemann) en [a, b], si la integral definida de f (x) sobre [a, b] existe , e. d., si el lı́mite de una sucesión de sumas de integrales existe en el sentido indicado en la definición. Dar un condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de una función, como el Criterio de Integrabilidad de Riemann, nos llevarı́a a profundizar ideas. Para nuestros fines basta saber que funciones que intervienen en las aplicaciones son integrables. El siguiente teorema nos da una respuesta satisfactoria para la gran mayorı́a de nuestras necesidades. Teor.- Toda función f (x) continua en el intervalo [a, b] es integrable en este intervalo. Dem.- La demostración está en ”Cálculo Diferencial e Integral, tomo II, de Fichtenholz. Ya que en las aplicaciones, junto a las funciones continuas intervienen también las funciones continuas por trozos o segmentos (ver Fig. 10.4), quisieramos saber, si la integrabilidad de esta clase de funciones está garantizada. 223 F ig.10.4 Teor.- Toda función f (x) continua por trozos en [a, b] es integrable en este intervalo. Dem.- Está también en el libro indicado en el teorema anterior. Nota.- Toda función f (x) acotada y monótona en [a, b] es integrable en el intervalo. 4.2.2 Propiedades de la Integral determinada Teor.- Es f (x) continua por trozos en [a, b] y c ∈ (a, b), a < c < b, entonces se cumple b Z c Z f (x)dx = b Z f (x)dx + a f (x)dx. a c Dem.- La demostración es muy simple. Se construye una sucesión nula de particiones P1 , Pi , · · ·, tal que en cada partición Pi (i = 1, 2, ...) intervenga c. La suma de a a b se descompone en dos sumas de a a b y de b a c. El resto resulta de la definición de la integral determinada. Para el caso f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] (ver Fig. 10.5): Z A = b c Z f (x)dx = A1 + A2 = a b Z f (x)dx + f (x)dx. a c Nota.- Este teorema permanece correcto, si la hipótesis a < c < b no se cumple. Por ejemplo, es a < b < c (todos los otros casos pensables se solucionan análogamente), pués de este teorema sigue c Z b Z f (x)dx = c Z f (x)dx + a a f (x)dx. b Y de aquı́ resulta Z b Z Z f (x)dx − f (x)dx = a c a c Z f (x)dx = b c Z f (x)dx + a b f (x)dx. c Teor.- Son f1 (x) y f2 (x) dos funciones integrables en [a, b], α y β constantes, entonces αf (x) + βf (x) es integrable y se cumple Z b Z αf1 (x)dx + a b Z βf2 (x)dx = α a Z f (x) + β a 224 b b f (x)dx. a Dem.- Por definición de integral determinada tenemos Z n X b (αf1 (x) + βf2 (x))dx = a = lim 4i →0 (αf1 (ξi ) + βf2 (ξi ))4xi i=1 lim (α 4i →0 n X f1 (ξi )4xi + β i=1 n X = α lim 4i →0 f2 (ξi )4xi ) i=1 f1 (ξi )4xi + β lim 4i →0 i=1 b Z = α n X Z f1 (x)dx + β a n X f2 (ξi )4xi i=1 b f2 (x)dx. a Teor.- (Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral) Es f (x) continua en [a, b], entonces hay por lo menos un ξ ∈ [a, b] con Z b f (x)dx = (b − c) · f (ξ). a Dem.- Ver en Nota.- ξ ∈ [a, b] ⇐⇒ ξ = a + ϑ(b − a), 0 ≤ ϑ ≤ 1. El contensido de este toerema, para el caso f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], lo visualizaremos en Fig. 10.6. F ig.10.6 El área Z A = b f (x)dx a de la región sombreada es igual al área A1 := (b − a)f (ξ) de un rectángulo construı́do sobre el intervalo [a, b] (ξ tiene que elegirse apropiadamente!). Teor.- f (x) y g(x) sean en [a, b] conntinuas por trozos. Se cumple f (x) ≤ Z b Z b g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces sigue f (x)dx ≤ g(x)dx. a Dem.- La demostración es trivial. De este teorema resulta facilmente el siguiente 225 a Teor.- Sea f (x) en [a, b] continua por trozos. Entonces se cumple b Z b Z f (x)dx ≤ |f (x)|dx. a a Dem.- La demostración se deja como ejercicio! 4.2.3 Cáculo de Integrales determinadas Z b Se quisiera calcular la integral determinada f (x)dx según la definición, eso a serı́a una empresa muy complicada y para P las aplicaciones inservible. Pués hay que calcular la suma integral S(Pn ) = f (ξi ) · 4xi para cada partición Pn de una sucesión nula de particiones (Pn ) de [a, b] y luego determinar el lı́mite de la sucesión (S(Pn )). En particular, determinar el lı́mite de la sucesión de las sumas integrales es ya extraordinariamente complicado para funciones simples. Como ejemplo mencionemos la función f (x) = x2 (parábola normal) que con seguridad Rb no tiene nada de difı́cil. Quien podra pensar que el cálculo de a x2 dx según la Z b definición ya choca con algunas dificultades. Para calcular la integral f (x)dx 0 dividiremos al intervalo [0, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, · ··, n) de b igual longuitud 4xi = . Como puntos intermediarios ξi elijamos a la frontera n derecha xi de cada intervalo. Para esta partición tenemos la suma integral Sn = n X f (ξi )4xi = i=0 = (4x)3 + n X f (xi )4xi = x2i 4x = i=0 i=0 n X (i4xi )2 4xi i=0 3 b (12 + 22 + · · · + n2 ). n Se sabe sabe que 12 + 22 + · · · + n2 = Sn = n X n(n + 1)(2n + 1) . Luego se tiene 6 b3 n(n + 1)(2n + 1) b3 1 1 · = (1 + )(2 + ). 3 n 6 6 n n De donde resulta Z 0 b x2 dx = lim Sn = n→∞ b3 . 3 Por lo general la integral determinada no se calcula según su definición. Se conoce una antiderivada F (x) de f (x), entonces se puede calcular inmediatamente la integral determinada de f (x) sobre [a, b]. Este será el contenido del 226 llamado Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial e Integral. Antes de formular este teorema daremos algunos teoremas que sirven de apoyo. Ejercicios.- Calcular sesgún la definición Z b αdx, b) a) b βxdx. a a 4.2.4 Z Integral determinada con Frontera superior variable A la integral determinada de la función f (x) sobre [a, b] se le designa con el Z b sı́mbolo f (x)dx. Imaginese, cambiar en [a, b] la b por la variable frontera x a y luego pregunte por la intgral determinada de f (x) sobre [a, x], e. d., por Z x f (x)dx. a A este integral denominamos integral determinada con frontera superior variable. La x de la frontera superior en esto no tiene nada que ver con la x de f (x). Para asegurar esta situación en lugar de Z x Z x f (x)dx escribimos f (t)dt. a a Es y = f (x) continua en el intervalo I = [A, B], a ∈ [A, B] un valor fijo y x ∈ R x [A, B] un valor variable, entonces, por un teorema anterior, existe la integral dx (vea Fig. 10.7) a R x f (t)dt está definida para cada x ∈ [a, b] y al dar la frontera superior x a Rx está univocamente determinada, e. d., a f (t)dt es una función de su frontera superior x. Este hecho lo vamos a designar con Z x F1 (x) = f (t)dt. a Teor.- Es f (t) continua en I, a un valor fijo de I, entonces la función definida en I Z x F1 (x) = f (t)dt a es diferenciable y se cumple F10 (x) = f (x) ∀x ∈ I, e. d., d dx Z x f (t)dt = f (x) ∀x ∈ I. a Dem.- Tenemos que demostrar que para cada xo ∈ I se cumple lim x→xo F1 (x) − F1 (xo ) = f (xo ). x − xo 227 Si este lı́mite existe es igual a F10 (xo ). Si xo es punto frontera se considera el lı́mite lateral respectivo. x Z F1 (x) − F1 (xo ) xo Z f (t)dt − = a Z a Z a x Z f (t)dt xo f (t)dt. xo a xo a x f (t)dt = f (t)dt + Z f (t)dt + a = x Z f (t)dt = Por hipótesis f (x) es continua en [a, x], por lo tanto, por un teorema, existe un ξ entre xo y x, tal que se cumple Z x F1 (x) − F1 (xo ) = f (t)dt = (x − xo ) · f (ξ). xo De aquı́ obtenemos para cada x 6= xo F1 (x) − F1 xo = f (ξ). x − xo Hagamos ξ = xo +ϑ(x−xo ), 0 ≤ ϑ ≤ 1. Por la continuidad de f (x) tenemos lim f (ξ) = ξ→xo lim f (xo + ϑ(x − xo )) = f ( lim (xo + ϑ(x − xo ))) = f (xo ). x→xo x→xo Por consiguiente lim x→xo F1 (x) − F1 (xo ) = f (xo ). x − xo Nota.- Para complementar el teorema anterior afirmamos, que si f (t) es Rb continua por trozos en I, a un valor fijo de I, entonces F1 (x) = a es conntinua en I. Esta es la llamada propiedad de alisamiento de la integral determinada con frontera superior variable. Teor.- Toda función continua en un intervalo cerrado I posee una antiderivada. Dem.- Este teorema es una consecuencia inmediata del anterior. 4.2.5 Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial e Integral Teor.- Es f (x) continua en [a, b] y F (x) una antiderivada cualquiera de f (x) en [a, b], entonces se cumple Z b f (x)dx = F (b) − F (a). a 228 Dem.- Es F1 (x) una Rantiderivada de f (x) en [a, b], entonces por el teox rema anterior es F1 (x) = a f (t)dt. Por otro lado, F (x) = F1 (x) + c es otra antiderivada cualquiera. De esto sigue F (b) − F (a) = (F1 (b) + c) − (F1 (a) + c) = F1 (b) − F2 (a) Z = b Z f (t)dt + a a Z x f (t)dt. f (t)dt = a a Rb Nota.- Se quiere calcular la integral determinada a según este R teorema, entonces haz que determinar primero la integral indeterminada f (x)dx = F (x) + c. La diferencia F (b) − F (a) suministra el valor de la integral determinada. En lugar de F (b) − F (a) se escribe más breve, F (x)|ba o también [F (x)]ba . Z Ejemplos.- 1) 4 x2 dx = 1 Z 2) 64 1 x3 4 |1 = − = 21. 3 3 3 π sin xdx = − cos x|π0 = − cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2. 0 Ambos ejemplos suministran geometricamente las áreas de superficies planas. Nota.- Con ayuda el Teorema Fundamental es muy fácil calcular la integral Rb determinada de a f (x)dx en caso de conocer una antiderivada de f (x). Si no se puede encontrar una antiderivada de f (x), entonces hay que recurrir a la Matemática Numérica. Ejercicios 01.- Calcular las integrales Z 5 a) (x4 + x−2 )dx, 0 2 π Z 3 · sin xdx, c) d) sin xdx, −π 0 Z (1 − x3 )dx, b) 1 Z 2 Z 1 2 e) 0 √ 2 Z dx √ , 1 − x2 1 f) −1 dx 1 + x2 Ejercicios 02.- a) Calcular el área de la superficie plana limitada por las curvas y = x2 − 4x, y = 0, x = −1, x = 6 (ver Fig. sombreada). Z 3 f (x)dx para f (x) = |x − 2| + |x + 1| (Indicación: Considere b) Calcule −3 los intervalos x ≤ −1, − 1 ≤ x ≤ 2, x ≥ 2). 229 c) Determinar F1 (x) = continua por trozos en [a, b] f (x) = Rx 0 f (t)dt para cada x ∈ [0, 6] de la función f (x)   x  para 0 ≤ x ≤ 3, 8 − x para 3≤x≤6 y compruebe que F1 (x) es continua en x = 3. 4.2.6 El Método de Substitución en Integrales determinadas Para determinar la integral indeterminada se emplea a menudo el método de substitución. Por nuestros conocimientos actuales, para calcular la integral determinada con ayuda de una substitución procederı́amos como sigue: R 1. Calculamos la integral indeterminada f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du. 2. Retransformamos la nueva variable u a la antigua variable x y ası́ obtenemos la antiderivada F (x) de f (x). 3. Calculamos la diferencia F (b) − F (a). Z 8 xdx . x2 + 1 −3 Con ayuda de la substitución u = x2 + 1, du = 2xdx se puede calcular la correspondiente integral indeterminada Ejemplo.- Calcular I = Z xdx √ = x2 + 1 √ Z Z Z du √ 1 1 1 du √2 = √ = u− 2 du = u + c. 2 2 u u La retransformación u p = x2 + 1 suministra una antiderivada F (x) de f (x) = x √ , a saber F (x) = x2 + 1. De aquı́ sigue x2 + 1 b I = F (x)|a = p x2 − 1 8 −3 = √ 65 − √ 10 = 8, 06 − 3, 16 = 4, 9. Lo esencial en este proceder es que hay que calcular por totalmente separado la integral indeterminada correspondiente! En un segundo método, durante la transformación de la antigua variable x en la nueva variable u, se transformarán también las fronteras de integración. Teor.- Si para la integral indeterminada de f (x) se cumple la fórmula Z Z f (x)dx = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du , u=ψ(u) 230 entonces se cumple para la integral determinada la siguientes fórmula Z b Z ψ(b) f (x)dx = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du. a ψ(a) Dem.- Sea G(u) una antiderivada de f (ϕ(u)) · ϕ0 (u) y F (x) una de f (x). La primera fórmula del teorema es pués equivalente a F (x) = G(ψ(x)) + c. De aquı́ sigue F (b) − F (a) = G(ψ(b)) − F (ψ(x)). Pero esta ecuación es equivalente con la segunda fórmula del teorema. Naturalmente tienen que estar dadas las condiciones exigidas en el Teorema del Método de la Substitución y sobre todas la función x = ϕ(u), y por lo tanto u = ψ(x), tiene que ser reversible en el intervalo correspondiente. π 2 Z Ejemplos.- 1) Calcular sin2 x · cos xdx ! 0 Por la transformación u = sin x = ψ(x) (ψ(x) reversible en [0, π2 ], du = cos xdx; x1 = 0, u1 = sin x1 = 0; x2 = π2 , u2 = sin x2 = 1) convierte a la integral en Z 1 1 u3 1 u2 du = = . 3 3 0 0 Z 2) Calclular 4 p 1 − (x − 3)2 dx. 2 Mediante la substitución u = x − 3, esta integral se transforma en Z 1p 1 − u2 du, −1 donde u = x − 3 es reversible en [2, 4] y a x1 = 2 le corresponde u1 = −1 y a x2 = 4 le corresponde u2 = 1. Una segunda substitución u = sin t (u = sin t es una aplicación reversible de − π2 ≤ t ≤ π2 sobre −1 ≤ x ≤ 1) nos suministra la integral Z π2 p Z π2 √ 1 − sin2 t · cos t dt = cos2 t · cos t dt −π 2 −π 2 Z π 2 = 2 cos t dt = −π 2 Indicación: √ 1 (sin t · cos t + t) 2 π 2 = −π 2 π . 2 a2 = |a|. Nota.- En los dos ejemplos anteriores nos hemos convencido que las dos funciones ϕ, ψ que intervienen en la substitución son inversas mutuas. Con 231 frecuencia en la prxis no se presta la debida atención a estas finezas, se ejecuta la substitucin y uno se contenta con el resultado. El siguiente ejemplo muestra que un tal proceder puede conducir a un resultado falso. 1 Z x2 dx se calcula inmediatamente: I = Ejemplo.- La integal I = −1 x3 3 1 2 . 3 = −1 Ahora vamos a calcular I con ayuda del Método de la Subsitución para √ integrales determinadas. Substituyendo u = x2 (du = 2xdx, x = u; x1 = −1, u1 = 1; x2 = 1, u2 = 1) obtenemos Z 1 1 Z 2 du u √ = 0 2 u x dx = −1 1 (frontera superior = frontera inferior!) Donde está el error? Respuesta: La función no es reversible en −1 ≤ x ≤ 1! Hubiesemos obtenido el resultado correcto, si hubiesemos descomupesto el R 0 intervalo [−1, 1] en dos subintervalos [−1, 0] y [0, 1] y a ambas integrales −1 x2 dx R1 y 0 x2 dx hubiesemos aplicado por separado el Método de Substitución. La función u = x2 en cada subintervalo [−1, √0] y [0, 1] es reversible. Las respectivas √ funciones inversas son x = − u y x = u. Z 0 Z 1 Z 0 Z 1 du du 2 2 √ I = x dx + x dx = u + u· √ −2 u 2 u −1 0 1 0 1 2 = Z = − 0 √ udu + 1 1 2 − 2 3 + 1 2 Z 1 √ udu = − 0 0 1 1 2 √ 1 2 √ u u u u + 2 3 2 3 1 0 1 2 2 · = . 2 3 3 Nota.- En el cálculo de la integral determinada mediante el Métaodo de Substitución se puede a) Transformar las fronteras de integación o b) No transformar las fronteras de integración. Se recomienda seguir el procedimiento b), por que se puede descuidar la reversibilidad de las funciones ϕ y ψ. Ejercicios.- Mediante el Métado de Substitución calcular Z a) 0 4 √ xdx , 1 + 2x Z b) 0 π 2 sin xdx cos2 x − 4 232 (Substituir u = cos x). 4.3 Algunas Aplicaciones de la Integral determinada Como ya dijimos, el Cálculo Integral es una herramienta imprescindible en diferentes áreas del saber. Algunas aplicaciones vimos en la aniderivada. Veremos otras aplicaciones. Es de conocimiento general que métodos del Cálculo de Probabilidades y de la Estadı́stica Matemática encuentran empleo cada vez más en las Ciencias Naturales e Ingenierı́as. También en la Economı́a, el Cálculo de Probabilidades y la Estadı́stica son herramientas importantes en la solución de sus problemas. Pero sin Cálculo Integral no se puede construir un Cálculo de Probabilidades y Estadı́taica. Como ejemplo indicamos la siguiente relación: En una magnitud casual o aleatoria X con la función de densidad f (x), la probabilidad para que Z b X tome valores en [a, b] es igual a f (x)dx. a A continuación conoceremos detalladamente algunas aplicaciones de la integral determinada en la Geometrı́a, en las Ciencias Naturales, en la Técnica y en la Economı́a. Se trata de aplicaciones relativamene faciles y de interé general. 4.3.1 Aplicaciones en la Geometrı́a Una primera aplicación de la integral determinada que vimos es el cálculo de la superficie limitada por las curvas y = 0, x = a, x = b y y = f (x), en caso de Rb f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Esta superfice está dada por a f (x)dx. En caso de f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], la integral suministra una superficie negativa. El siguiente teorema generaliza ambos casos. Teor.- Es R una región del plano x, y limitada por arriba por y = f (x), por abajo por y = g(x) y lateralmente por x = a, respectivamente por x = b (Fig. 10.13), entonces el área A de R es b Z (f (x) − g(x))dx. A = a F ig.10.13 Dem.- El área de R resulta de la diferencia de las áreas entre las superficies limitadas por f (x) ≥ o para todo x ∈ [a, b], y = 0, x = a y x = b y por g(x) ≥ o para todo x ∈ [a, b], y = 0, x = a y x = b, e. e., de Z b Z b f (x)dx − a g(x)dx = A. a Si no se cumple el requisito g(x) ≥ 0, por una traslación paralela en dirección del eje y se puede lograr que la región R quede totalmente sobre el eje x. El 233 área permanece inalterable ante una tal traslación. La traslación paralela de las curvas esá dada por f ∗ (x) = f (x) + c, g ∗ (x) + c, (c ≥ 0). Entonces el área de la región es Z A b f ∗ (x)dx − = a Z g ∗ (x)dx = Z a b Z a b Z (f (x) + c)dx − (g(x) + c)dx a b Z Z b g(x)dx − cdx − a b a b f (x)dx + = b Z Con esto se completa la demostración. b Z f (x)dx − cdx = a a Z a b g(x)dx a Requisitos: 1. f (x) y g(x) son continuas en [a, b], 2. f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], e. d., la curva y = f (x) transcurre siempre por encima de la curva y = g(x) en [a, b]. Una región tal se llama región normal. 1 Ejemplo.- Calcule el área limitada por las curvas x = 1, x = 4, y = x2 y 4 4 y = − (ver Fig. 10.14) x F ig.10.14 Tenemos que Z A = 1 = 4 4 1 2 4 1 3 x − − dx = x + 4 ln |x| 4 x 12 1 16 1 + 4 · ln 4 − = 10, 79. 3 12 Ejercicios.- 1) Calcular el área de la región limitada por x = 0, x = 4, y = 41 x2 + 1, y = −x (Primero visualice la región). 2) Determine el área de la región encerrada por las curvas y = y = 2x (La región está en el primer cuadrante). 1 2 2x y En la praxis con frecuencia hay que determinar el área de un superficie, que por lo general no es una región normal. Pero siempre es posible descomponerla en un número finito de regiones normales, luego aplicar el teorema anterior a cada una de ellas. Para esto tienen que existir la curva ”superior” y = f (x) y la curva ”inferior” y = g(x). El problema que ahora nos planteamos es determinar el área de la superficie plana limitada por los segmentos de recta OP1 , OP2 y por el segmento de curva 234 orientada que va de P1 hacia P2 . Más general, determinar la superficie encerrada por una curva cerrada sin doble punto. Para dar solución a estos problemas, con ayuda de la integral determinada, primero tenemos que precisar el concepto de curva. Anteriormente, sin precisar, hemos llamado curva al grafo de una función continua definida en [a, b]. Ahora daremos la Def.- Se llama curva parametrizada, más breve, curva en R2 a la aplicación γ : I −→ R, I 3 t −→ (x(t), y(t)) ∈ R2 , donde x, y : I −→ R son funciones continuas (ver Fig. ). γ se llama diferenciable, respectivamente diferenciable continuas, si x y y son diferenciables, respectivamente diferenciables continuas. La imagen de I bajo γ, e. d., γ(I) se llama huella o trayectoria de γ. Una curva γ se llama simple o de Jordan, si de t1 6= t2 sigue γ(t1 ) 6= γ(t2 ), t1 , t2 ∈ I. Se llama de Jordan cerrada, si además para I = [a, b] se scumple γ(a) = γ(b), e. d., el punto inicial y final de la curva coinciden. Nota 1.- γ(t) = (x(t), y(t)) es la parametrización de la curva γ(t) que va desde γ(a) = (x(a), y(b)) hacia γ(b) = (x(b), y(b)), cuando el parámetro t va de a hacia b. Nota 2.- Diferentes curvas pueden tener la misma huella. Por ejemplo α(t) β(t) = (cos t, sin t), = (cos t, − sin t), t ∈ [0, 2π] t ∈ [0, 2π] son dos curvas diferentes, ya que α(t) 6= β(t) para todo t ∈ [0, 2π], pero con la misma huella, puesto que α(I) = β(I). Se dice que una está orientada en sentido positivo porque se mueve en sentido contrario a las ajugas del reloj cuando t va de 0 hacia 2π y la otra en sentido negativo porque se mueve contrariamene a la anterior. Nota 3.- El movimiento de un punto en el plano, e. e., una curva en el plano se puede describir también indicando el radio polar r = r(t) y el ángulo polar ϕ = ϕ(t) en cada x ∈ I, e. d., por la aplicación t −→ (r(t), ϕ(t)) (ver Fig. ). r y ϕ se llaman coordenadas polares. De aquı́ resulta una relación entre coordenadas rectangulares y polares x(t) = r(t) · cos ϕ(t), y(t) = r(t) · sin ϕ(t) y . x La función y = f (x), en coordenadas polares, toma la forma r = g(ϕ). r2 = x2 + y 2 tan ϕ = 235 Una pregunta de interés es cuando una curva γ : I −→ R2 representa al grafo de una función f : I 0 −→ R? Una respuesta lo da el Teor.- (La Huella como Grafo) Sea γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R diferenciable continua. La función ẋ no tenga ningún lugar nulo en I. Entonces hay una función diferenciable continua f en I 0 = x(I), cuyo grafo es la huella de γ. Además para la derivada de f en xo = x(to ) ∈ I 0 se cumple ẏ(to) . ẋ(to ) f 0 (xo ) = Dem.- Debido a la continuidad de ẋ en I y a ẋ(t) 6= 0 para todo x ∈ I, x es monótona estricta. Por lo tanto existe una función inversa a γ diferenciable continua τ : x(I) −→ I. Entonces para t ∈ I se cumple γ(t) = (x(t), y(t)) = (x(t), y ◦ τ (x(t))) = (x(t), f (x(t))). Aquı́ es f := y ◦ τ . La derivada de f se calcula por la regla de la cadena y por la regla de la derivada de la función inversa: f 0 (xo ) = ẏ(τ )(xo ) = ẏ (to ). ẋ Volviendo a nuestro problema, por la Geometrı́a Euclidiana, sabemos que el área del sector dA limitado por los radios OP1 = OP2 = r y el arco ds ≈ rdϕ (ver Fig. ) es 1 1 dA = r · rdϕ = r2 dϕ. 2 2 F ig. F ig. El área total orientada es A = 1 2 Z ϕ2 r2 dϕ, ϕ1 donde ϕ1 = ϕ(a) y ϕ2 = ϕ(b) cuando t va de a hacia b, I = [a, b]. En este caso ϕ es monótona creciente, la superficie se encuentra al lado izquierdo de la curva y la integral es positiva. Si ϕ se moviera de ϕ2 hacia ϕ1 , la superficie se encontrarı́a al lado derecho de la curva y la integral serı́a negativa. Por otro lado se tienen y(t) = r(t) · sin ϕ(t) x(t) = r(t) · cos ϕ(t) =⇒ tan ϕ(t) = 236 y(t) . x(t) Derivando ambos lados de la igualdad, se tiene 1 dϕ xẏ − ẋy , · = cos2 ϕ dt x2 de donde, por ser x = r cos ϕ, resulta 1 dϕ xẏ − ẋy · = 2 cos2 ϕ dt r cos2 ϕ =⇒ r2 dϕ = (xẏ − ẋy)dt. Por lo tanto Z 1 b (xẏ − ẋy)dt. A = 2 a Esta es la llamada fórmula sectorial de Leibniz. A esta fórmula se llega también del Teorema Integal de Green o del área del triángulo conociendo los vertices. Ahora vamos a calcular el área de una superficie plana limitada por una curva cerrada sin doble punto (ver Fig. ). Pensemos a la curva cerrada γ : [a, b] −→ R formada por dos curvas, γ1 : [a, c] −→ R y γ : [c, b] −→ R, a < c < b. El área de las superficies A1 y A2 limitadas por OP1 , OP2 y la curva γ1 , respectivamente γ2 , se calcula por la fórmula sectorial de Leibniz, Z Z 1 c 1 c A1 = (xẏ − ẋy)dt, A2 = (xẏ − ẋy)dt. 2 a 2 b Por definición A1 es positiva y A2 es negativa, ya que a partir de c la curva se voltea. Por eso para el área de la superficie cerrada A se cumple Z c Z c A = A1 + A2 = (xẏ − ẋy)dt − (xẏ − ẋy)dt a = 1 2 Z b b I (xẏ − ẋy)dt = (xẏ − ẋy)dt. a Los requisitos que se exigen aquı́ son que a x y a y sean diferenciables continuas y que [a, b] se pueda descomponer en un número finito de subintervalos, donde γ sea orientable. H Nota.- El sı́mbolo significa integral sobre una curva cerrada. Ejemplos.- 1.-) Calcular el ŕea de la superficie barrida por el rayo OP1 = r = constante, fijo en O, que al moverse en sentido contrario a las ajugas del reloj va hasta el rayo OP2 = r, e. e., cuando ϕ va de 0o a 90o = π2 . La superficie viene a ser la cuarta parte del cı́culo de radio r (ver Fig. ) En cordenadas polares se tiene Z π Z π 1 2 2 1 2 2 1 2 π 1 A = r dϕ = r dϕ = ·r · = πr2 . 2 0 2 2 2 4 0 237 En forma parametrizada: x = r cos t, y = r sin t, 0 ≤ t ≤ A 1 2 Z 1 = 2 Z = π 2 se tiene π 2 [(r · cos t)(r · cos t) − (r · sin t)(−r·) sin t]dt 0 0 π 2 1 (cos t + sin tdt = 2 2 2 Z π 2 dt = 0 1 2 πr . 4 Integrando en coordenadas polares o rectangulares obtenemos facilmente el mismo resultado. A veces es más ventajoso trabajar en coordenadas polares. 2) Calcular el área de la elipse con semiejes a y b: x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π], Z 1 2π A = ab(cos2 t + sin2 t)dt = πab. 2 0 3).- Calcule el área de la superficie barrida por el rayo OP1 al desplazarse el extremo libre sobre un ramal de la hiperbola x = cosh t, y = sinh t desde su posición horizontal hasta la posición OP2 , e. e., cuando t = 0 va hasta t (ver Fig. ) Por la fórmula sectorial de Leibniz es Z Z 1 t 1 t t A = (cosh2 t − sinh2 t)dt = dt = 2 0 2 0 2 Ejercicios.- 1) Calcule el área de la superficie encerrada por la cardiode r = a(1 + cos ϕ). 2) Calcule las áreas de las superficies encerradas por las curvas a) x = 2a(cos t + cos 2t), y = 2a(sin t − sin 2t). b) x = a cos t, y = b sin 2t. √ 3) Calcule las áreas de la superficies encerradas por la lemniscata (r(ϕ) = a cos 2ϕ) y el trebol (r(ϕ) = a cos 3ϕ). cos t , y 4) Las ecuaciones paramétricas de una espiral hiperbólica son: x = 6 t 12 4 sin t , (0 < t < ∞). P1 = (0, ) y P2 = (0, − ) son dos puntos de = 6 t π π la espiral. Calcule el area del sector limitado por esta curva y los rayos OP1 y OP2 . Ahora vamos a calcular la longuitud de un trozo de curva plana dada por y = f (x) , a ≤ x ≤ a. El problema de asignar a todo trozo de curva un número, 238 su medida, no es elemental. El problema pertenece a la Teorı́a de Medida o de Integración. Para que un trozo de curva tenga longuitud se pone condiciones a f . Si f es diferenciable continua tiene lonnguitud. Pero también hay curvas que no tienen esta propiedad y poseen longuitud. Curvas que tienen longuitud se llaman rectificables. En adelante suponemos que todas las curvas a tratar son rectificables y hay determinar su longuitud. Para obtener la longuitud de un trozo de curva procedemos a elegir una partición de [a, b] en a = xo , x1 , · · ·, xn−1 , xn = b, a determinar los puntos de la curva (xi , f (xi )), i = 0, 1, · · ·, n, luego se unen estos puntos por segmentos de recta y se obtiene un lı́nea poligonal, cuya longuitud se aproxima a la longuitud del trozo de curva. La longuitud de la lı́nea poligonal es la suma de las longuitudes de los segmentos de recta de que se compone. De la Fig. F ig., por el Teorema de Pitagoras, se obtiene q M si = M x2i + M yi2 , M xi = xi −xi−1 , M yi = f (xi )−f (xi−1 ), i = 1, ···, n. Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial hay un ξ ∈ [xi−1 , xi ] M yi tal que = f 0 (ξi ). De aquı́ resulta M xi p p (M xi )2 + (f 0 (xi )· M xi )2 = 1 + (f 0 (ξi ))2 · M xi . M si = Pero M s se aproxima al elemento de linea ds cuando M x → 0. La longuitud de la linea poligonal es entonces n X n p X 1 + (f 0 (ξi ))2 · M xi . M si = i=1 i=1 Esta suma representa una aproximación de la longuitud del trozo de curva y = f (x), a ≤ x ≤ b y es más exacta mientras más fina sea la partición del intervalo [a, b]. La longuitaud exacta se obtiene mediante el proceso de lı́mites: s = lim Mxi →0 Z n p X 1 + (f 0 (ξ))2 · M xi = b p 1 + (f 0 (x))dx. a i=1 Por lo tanto hemos encontrado la fórmula buscada. Resumamos! Teor. Para la longuitud s del trozo de curva plana y = f (x), a ≤ x ≤ b, se cumple Z s = b p 1 + (f 0 (x))2 dx. a 239 Requisito: Que y = f (x) sea diferenciable continua en [a, b]. Ejemplos.- 1) Calcular la longuitud del trozo de curva y = ≤ x ≤ 6. 6 Z 0 Z s = 0 4 0 r Según la fórmula se tiene s = se obtiene 1 2 3x , 4 3 1 + x2 dx. Por substitución z = x 9 2 4 p p 3 3 1 2 2 1 + z · dz = (z · z + 1 + arsinh z) 2 2 2 0 = i4 p √ √ 3 3h p 2 = z · z + 1 + ln(z + 1 + z 2 ) · (4 17 + ln(4 + 17)) 4 4 0 = √ 3 3 · (4 17 + ln 8, 123) ≈ 12, 37 + · 2, 09 ≈ 13, 94. 4 4 2) Calccular la longuitud de la catenaria y = cosh x entre los puntos con la absiza −a y a. Debido a la simetrı́a de la curva, hay que integrear de 0 hasta a y duplicar el resultado. Z a s = 2 Z p 1 + [(sinh x2 )0 ]dx = 2 0 Z = 2 0 b p 1 + sinh2 xdx a a a cosh xdx = 2 sinh x|0 = 2 sinh a. √ Ejercicios.- 1) Calcule la longuitud de y = x x, 0 ≤ x ≤ 8. 2) Calcule la longuitud de la circunferencia con radio igua a 1. El trozo de curva está dado en forma paramétrica x = x(t), y = y(t) con el parámetro t ∈ [t1 , t2 ], entonces el elemento de linea ds está dado por s 2 2 p p dy dx ds = + dt = (dx)2 + (dy)2 = ẋ + ẏ dt. dt dt Teor.- La longuitud s de un trozo de curva plana x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 está dada por Z t2 p (ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt. s = t1 Requisito: Que las funciones x y y sean diferenciables continuas en [t1 , t2 ]. 240 Nota.- Si el trozo de curva estuviera dada en coordinadas polares, e. d., en la forma r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], entonces se tiene Z βp Z β |r0 (ϕ)|dϕ. s = (r0 (ϕ)2 dϕ = α α Ejemplos.- 1) Calcular la longuitud del trozo de curva x = r · cos t, y = r · sin t, 0 ≤ t ≤ π. Sabemos que la curva es la semicircumferencia de radio r y su longuitud es πr. Aplicando la fórmula tenemos Z πp s = (−r · sin t)2 + (r · cos t)2 dt 0 Z = π Z p 2 2 r · sin t + cos tdt = 0 π rdt = πr. 0 2) Calcular la longuitud de arco del trozo de curva x = a · cos t, y = b · sin t, 0 ≤ t ≤ π2 . Es la representación paramétrica de un cuarto de la elipse. Aplicando nuevamente la fórmula anterior resulta Z π2 r Z π2 p b2 − a2 sin2 ϕ dϕ (−a · sin ϕ)2 + (b · cos ϕ)2 dϕ = b · 1− s = 2 b 0 0 Z = b· π 2 q 1 − e · sin2 ϕ dϕ, 0 b2 − a2 con b > a. e se llama excentricidad numémerica. Esta donde e2 = b2 integral por lo general no se puede resolver en forma elemental. Una integral de Z ψq la forma 1 − e2 . sin2 ϕ dϕ se llama integral elı́ptica del 2. género y cuya 0 solución se encuentra en las tablas. Ejercicios.- 1) Calcular la longuitud del arco que une dos picos consecutivos de la cicloide generada por un punto fijo de un cı́rculo de radio r al rodar sobre una recta. Su representación parámetrica es x = r(1 − sin t), y = r(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π). 2) Calcular la longuitud de arco de la espiral logarı́tmica r = a · ekϕ comprendida entre los puntos ϕ1 y ϕ2 (ϕ1 < ϕ2 ). (La ecuación en coordenadas polares r = a · ekϕ , − ∞ < ϕ < ∞, se puede transforma en la representación paramétrica x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ). 3) Determinar la longuitud del arco de la catenaria que se extiende desde x a x −1 hasta 1. Su ecuación es y = e a + e− a . 2 4) Calcular la longuitud del arco de y = x2 comprendida entre 0 y x > 0. 241 Cálculo del Volumen de un Cuerpo. El cálculo del volumen de un conjunto acotado de puntos del espacio, generalmente, requiere del empleo del concepto de integral múltiple, concepto que será materia de un segundo tomo. Pero hay casos siemples, que ocurren con frecuencia, donde sólo se necesita del concepto de integral que ya conocemos. Para estos casos exigimos que el cuerpo, cuyo volumen deseamos determinar, se encuentre en el espacio con coordenadas rectangulares x, y, z, dentro de un intervalo [a, b], por ejemplo, del eje x y que la intersección del cuerpo con los planos paralelos al plano yz originen una superficie, cuya área estea dada por q(x), como se ve en la Fig. 10.19. Nos imaginamos que para cada x ∈ [a, b] existe el área del corte transversal del cuerpo originado por la intersección del plano paralelo a yz y perpendicular al eje x en el punto (x, 0, 0). Es decir, q es función de x integrable. Siguiendo la definición de la Integral de Riemann, elegimos la partición a = xo < x1 < · · · < xn−1 < xn = b y los ξi con xi−1 < ξi < xi , i = 1, 2, · · ·, n. Entonces el volumen del cuerpo es n X V ≈ q(z)4zi . i=1 Porlo tanto V = lim n X n→∞ Z q(z)4zi = b q(x)dx. a i=1 Este resultado nos permite formular el Teor.- En el espacio con coordenadas rectangulares x, y, z sea dado un cuerpo K, tal que con respecto al eje x sea a su ı́nfimo y b su supremo. Para cada x ∈ [a, b] sea q(x) el área de la superficie Sx determinada por aquellos planos que pasan por (x, 0, 0 y son paralelos al plano yz. Entonces para el volumen del cuerpo K se cumple Z V = b q(x)dx. a Ejemplos.- 1) Determinar el volumen de la elipsoide y2 z2 x2 + + = 1. a2 b2 c2 Para cada x ∈ [a, b] el corte transversal Sx es una elipse y su proyección Sx0 en el plano yz es descrita por y2 z2 x2 a2 − x2 + 2 = 1− 2 = 2 b c a a2 o por 242 y2 2 b (a2 − x2 ) a2 + z2 2 c (a2 − x2 ) a2 Por lo tanto la elipse tiene los semiejes = 1. cp 2 bp 2 a − x2 y a − x2 . a a Por otro lado, sabemos que el área de la superficie limitada por una elipse es A = πab, donde a y b son los semiejes. Por consiguiente tenemos que q(x) = πbc 2 (a − x2 ) a2 y el volumen está dado por Z a Z πbc a 2 4 V = q(x)dx = (a − x2 )dx = πabc. 2 a 3 −a −a 2) Con ayuda del teorema anterior calcule el volumen de una piramide con base cuadrada, el lado del cuadrado es a y la altura h. En el sistema coordenado rectangular situemos a la piramide tal, que la base cuadrática descanse en el plano xy, el centro del cudrado coincida con el origen y el eje z pase por el vértice de la piramide como se ve en Fig. 10.30. De la Geometrı́ Plana sabemos que se cumple la relación: r : a = (h−z) : h (Teorema de las Proporciones). De aquı́ se obtiene r = a (h − z). h Por cada z entre 0 y h pasa un plano que determina corte transversal cuarado en la pirada de lado r, cuya área es r2 , e. d., q(z) = r2 . Por lo tanto el volumen de la piramide es h Z V = Z q(z)dz = o = a2 h2 o h Z 2 a2 h (h − z) = 2 (h − z)dz h h o a z=h a2 1 1 a2 h = 2 · h3 = . − (h − z) 3 h 3 3 z=0 Naturlamente este resultado ya se conoces de la Geometrı́a Elemental. Con este teorema también se puede utilizar para calcular el volumen de cuerpos de rotación. Def.- Se entiende por un cuerpo de rotación aquel que se obtiene al rotar la superficie limitada por las curvas x = a, x = b, y = 0 y y = f (x) ∀ x ∈ [a, b] alrededor del eje x. Se entiende que f (x) ≥ 0 (vea Fig. 10.21). 243 Teor.- Para el volumen de un cuerpo de rotación se cumple b Z (f (x))2 dx. V = π a Dem.- El plano paralelo al plano yz y que pasa por x ∈ [a, b] intersecta al cuerpo en un circulo con superficie q(x) = π · r2 . Por lo tanto su volumen es Z V = b Z q(x)dx = π a b (f (x))2 dx. a Ejemplo.- Determinar el volumen del cuerpo de rotación originado por y = 41 x2 , 0 ≤ x ≤ 4 alredor del eje x (ver Fig. 10.22). Por el último teorema tenemos que Z V = π· 4 2 (f (x)) 0 4 Z = π· 0 1 2 x 4 2 dx = π · 12, 8 ≈ 40, 21. Ejercicios 1) Calcular el volumen de un cono circular recto de radio r y de altura h. 2) Aplicando los dos últimos teoremas determinar el volumen de uns esfera de readio r. 3) Se tiene un cuerpo de base circular de radio r. Encontrar su volumen, si cada plano perpendicular a su diametro intersecta al cuerpo en un triángula equilatero. √ 4) Calcular el volumen del cuerpo de rotación originado por la√curva y = 2 x definida en [0, 9] (más exacto, originado por las curvas y = 2 x, x = 0 y x = 9. 5) Se ha construı́do un cuerpo al hacer rotar la cuarva y = x2 + 2 definida en [−2, 3] alededor del eje x. Determine su volumen! 6) Se ha generado un cuerpo al ahcer girar alrededor del eje y a la superficie limitada por las curvbas y = 4x2 y y = 2x. Calcule su volumen! También es posible calcular el área de una superfice que cubre un cuerpo de rotación con ayuda de la integral que ya conocemos. Estas son las superficies de rotación. Teor.- Se rota la curva y = f (x) definida en [a, b], entonces el área de la respectiva superficie de rotación está dada por b Z A = 2π · y p 1 + y 02 dx. a 244 Se supone que a) f (x) > 0 ∀ x ∈ [a, b] y b) f (x) es diferenciable continua en [a, b]. Dem.- Consideremos la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b. Al intervalo lo dividimos en n subintervalos [xi−1 , xi ] de longuitud 4xi , i = 1, · · ·, n. Sea ξi el punto medio del subintervalo [xi−1 , xi ]. El ”trozo de curva” de y = f (x) sobre el intervalo [xi−1 , xi ] se reemplazará por el ”trozo de tangente” ti de la recta tangente t, la cual es tangente a la curva y = f (x) en el punto (ξi , f (ξi )) (ver Fig. 10.23). Hacemos rotar a ti alrededor del eje x, entonces obtenemos la superficie exterior de un cono truncado, cuya área Ai se calcula por una fórmula elemental p de la Geometrı́a Plana. Para la longuitud li de ti se cumple li = 1 + (f 0 (ξi ))2 · 4xi (La demostración de esta ecuación lo dejamos como ejercicio. Punto de partida es aquel triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es ti y cuyo cateto base es 4xi ). Por lo tanto, ya tenemos todas las magnitudes necesarias para el cálculo del área Ai del cono truncado (ver Fig. 10.24). p Ai = π · li · 2f (ξi ) = 2π · 1 + (f (ξ1 ))2 · f (ξ) · 4xi . La suma de todos los Ai , i = 1, · · ·, n se puede considerar como aproximación del área buscada de la superficie de rotación, si la partición de [a, b] es lo suficiene n X fina: A ≈ Ai . (Interprete una vez mas este hecho geométrico in Fig. 10.23! i=1 Compare la superficie de rotación obtenida por rotación de y = f (x) con aquella superficie de rotación obtenida por la rotación cde los n trozos de tangente ti alrededor del eje x!). Se cumple pués ! n n X X p A = Ai = 2π f (ξi ) · 1 + (f 0 (ξi ))2 · 4xi . i=1 i=i El valor exacto de A se obtiene nuevamente mediannte el proceso de lı́mite de la definición de la integral de Riemann: ! Z b n X p p 0 2 A = lim 2π · f (ξi ) · 1 + f (ξi )) 4xi = 2π f (x) 1 + f 0 ((x))2 dx. 4xi →0 a i=1 Nota.- Este lı́mite existe, ya que por hipótesis f (x) es diferenciable continua, e. d., el integrando es función continua y por lo tanto integrable en el sentido de Riemann. Ejemplo.- Calcule el área de la superficie de rotación originada por la curva y = 21 x2 , 0 ≤ x ≤ 4, al girar alrededor del eje x. Por el teorema se tiene Z 4 p 1 1 + x2 dx. A = 2π 0 2 245 √ R Esta integral es del tipo r(x, ax2 + bx + c)dx, cuya integral se puede encontrar en las tablas de integrales. Por otro lado su integración es laboriosa. Por eso escribimos aquı́ el resultado. Y se tiene Z p p p x 1 p x2 1 + x2 dx = (1 + x2 ) 1 + x2 − [x 1 + x2 + ln(x + 1 + x2 )]. 4 8 Por lo tanto es A = π(17 · √ 17 − √ 1√ 1 17 − ln(4 + 17)) = 212, 9. 2 8 Ejercicio.- 1)√Sea dada la superficie de rotación construı́da por la rotación de la curva y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 9, al rotar alrededor del eje x. Determine su área! 2) √ Caallcule el área obtenida al hacer rotar alrededor del eje x a la curva y = 1 − x2 , − 1 ≤ x ≤ 1. (Rspta. 4π) 4.3.2 Aplicaciones a las Ciencias Naturales e Ingenieriles Problema 1: De que tamaño es el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de un camino rectilı́neo? En el lenguaje diario, trabajo es el esfuerzo requerido para realizar una actividad (job). Fisicalmente, el trabajo W es la fuerza F requerida para trasladar un objeto de un punto A a otro B a lo largo de un camino (orientado) de longuitud s (ver Fig. 10.25) Matematicamente, dada una fuerza constante F de importe F , que aplicada a un objeto lo traslada a lo largo de una recta (orientada) de longuidtud s ha realizado el trabajo W definido por W = F ·s (”Trabajo” = ”Fuerza” por ”Distancia”). Ejemplos de trabajo son: a) mover un objeto contra la fricció n, b) comprimir un gas de un balón de volumen V1 a otro de volumen V2 y c) comprimir o estirar un resorte. Más difı́cil es el cálculo de W cuando la fuerza F ya no es contante, sino que varı́a de punto en punto. Imaginese, por ejemplo, la fuerza quer interviene al estirar un resorte o espiral elástico. Para dar solución satisfactoria a este problema, nos imaginas al segmento de recta de A a B como parte del eje x y que A coincide con el punto a del eje x, respectivamente B con b. La fuerza F actua en dirección de este segmento, pero cambia de punto en punto, e. d., F = F(x) (ver Fig. 10.26). De que tamaño es el trabajo W realizado por esta fuerza de importe F (x) a lo largo del segmento de recta de a hacia b? 246 Partamos al intervalo [a, b] en muchos, pero finitos, subintervalos [xi−1 , xi ], i = 1, · · ·, n, donde xo = a y xn = b. De cada subintervalo eligamos un ξi ∈ (xi−1 , xi ). Entonces el trabajo realizado por la fuerza F = F(x) en el camino desde xi−1 hasta xi es aproximadamente F (ξi ) · 4xi (4xi = xi − xi−1 : longuitud del camino). Por consiguiente, el trabajo realizado de a hacia b es n X aproximadamente F (ξi ) · 4xi . El valor exacto del trabajo W se obtiene i=1 mediante el proceso de limite, como en la integral de Riemann, cuando 4xi → 0: W = lim n X 4xi →0 Z F (ξi ) · 4xi = b F (x)dx. a i=1 Este resultado lo resumimos en el Teor.- La fuerza F = F(x) de importe F = F (x), actuando en dirección positiva del eje x a lo largo del camino desde a hasta b realiza el trabajo Z W = b F (x)dx. a Ejemplo.- Que trabajo ha realizado un resorte al estirarse de su estado normal? (ver Fig. 10.27) Por experiencia sabemos, que en este caso, F (x) varı́a linealmente con x, e. d., F (x) = px + q. Por otro lado sabemos también, que si en b no hay desplazamiento es F (b) = 0 y F es monótona decreciente en [a, b]. De esto sigue que pb + q = 0 y F 0 (x) = q < 0. Pués se cumple F (x) = px − pb = −p(b − x). Haciendo −p = c > 0, tenemos F (x) = c(b − x). Por lo tanto Z b c(b − x)dx = W = a ib h c c = (a − b)2 . − (b − x)2 2 2 a Ejercicio.- Un resorte tiene una rigidez de k = 6 Newtons por metro y su longuitud de comprensión es de 1 metro. Que trabajo se requiere para extender al resorte una longuitud de 1, 5 metros? Que trabajo se requiere para estirar al resorte de 2 a 3 metros? (Indicación: Emplear la Ley de Hook) Problema 2: Sea dada una superficie plana S limitada por las curvas x = a, x = b, y = 0 y y = f (x) para todo x ∈ [a, b] con f (x) ≥ 0. Imaginemos a B provista de una capa de masa de densidad ρ = constante. Se busca el centro de gravedad G(xg , yg ) de B (ver Fig. 10.28): Para determinar G de B necesitamos hacer uso del siguiente teorema de la Mecánica Elemental: Para el punto der gravedad (x, y) de un sistema de puntos de masa P1 (x1 , y1 ), · · ·, Pn (xn , yn ) de masa m1 , · · ·, mn se cumplen las fórmulas 247 x = m1 x1 + · · · + mn xn , m1 + · · · + mn y = m1 y1 + · · · + mn yn . m1 + · · · + mn (?) La demostración de estas fórmulas para n = 2 resulta facilmente de la Ley de la Palanca (vea Fig. 10.29): k1 = m1 · g y k2 = m2 g son la fuerzas que actúan en P1 , respectivamente P2 con los importes k1 = m1 g, respectivamente k2 = m2 g. Para que el sistema S de los puntos P1 y P2 estea en equilibrio tiene que cumplirse −−→ −−→ |P1 G| · k1 = |GP2 | · k2 , −−→ −−→ donde G es el centro de gravedad de S y |P1 G|, |GP2 | son las distancias de P1 y de P2 a G respectivamente. De aquı́, debido a que k1 = m1 · g y k2 = m2 · g (g es la gravedad), resulta −−→ −−→ |P1 G| · m1 = |GP2 | · m2 −−→ −−→ Considerando que los vectores P1 G y GP2 tienen igual dirección y sentido, se cumple la ecuación vectorial −−→ −−→ m1 · P1 G = m2 · GP2 . Esta ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones m1 (x − x1 ) = m2 (x2 − x), m1 (y − y1 ) = m2 (y2 − y), donde (x, y) son las coordenadas de G, (x1 , y1 ) de P1 y (x2 , y2 ) de P2 respectivamente. Solucionando este sistema de ecuaciones obtenemos x y y: x = m1 x1 + m2 x2 , m1 + m2 y = m1 y 1 + m2 y 2 . m1 + m2 Para n = 3 se procede de la siguiente manera: Primero se determina el centro de gravedad G de P1 y P2 y luego el centro de gravedad de G con masa m1 + m2 y P3 con masa m3 . Ası́ inductivamente se justifica el teorema. Con ayuda de (?) podemos determinar el centro de gravedad G de la superficie S. De nuevo, al intervalo [a, b] lo dividimos en n subintervalos [xi−1 , xi ] de longuitud correspondiente 4xi , i = 1, · · ·, n, xo = a, xn = b. Sea ξi el punto intermedio de [xi−1 , xi ]. Para pequeño 4xi , el centro de gravedad de la superficie Si limitada por x = xi−1 , x = xi , y = 0, y = f (x) es aproximadamente igual al centro de gravedad del rectángulo Ri limitado por x = xi−1 , x = xi , y = 0, y = f (ξi ) (ver Fig. 30). Si la densidad es constante, el centro de gravedad Gi del rectángulo Ri está dado por las coordenadas xi = ξi , yi = 12 f (ξi ). La masa de Si es aproximadamente igual a la masa de Ri : m(Si ) ≈ m(Ri ) = ρ · f (ξi ) · 4xi (”densidad” por ”área” de Ri igual a ”masa” de Ri ). 248 Imaginemos ahora, a cada Si , i = 1, · ··, n reemplazado por un punto Pi de masa m(Ri ) en el lugar del centro de gravedad de Ri . Entonces Pi tiene las coordinadas (xi , y i ) = (ξi , 12 f (ξi ) y la masa mi = ρ · f (ξi ) · 4xi . Con esto hemos logrado reemplazar a la superficie S por un sistema de puntos materiales Pi , i = 1, · · ·, n de coordenadas (xi , y1 ) y de masa mi . (Ante el efecto de la gravedad, este sistema de puntos materiales se comportará aproximadamente como la superficie S cubierta con la masa, si la partición de [a, b] es lo suficientemente fina). El punto de gravedad de este sistema lo podemos calcular según las fórmulas (?). x = n n n 1 X 1 X ρ X mi xi = (ρ · f (ξi ) · 4xi ) · ξi = ξi · f (ξi ) · 4xi , Mo i=1 Mo i=1 Mo i=1 donde Mo := m1 +···+mn es la masa total del sistema de puntos materiales. y = n n n 1 X 1 X ρ X 1 mi y i = (ρ·f (ξi )·4xi )· f (ξi ) = (f (ξi ))2 ·4xi Mo i=1 Mo i=1 2 2 · Mo i=1 Ya que Mo es aproximadamente igual a la masa M de S, en las ecuaciones anteriores podemos reemplazar a Mo por M . Por otro lado es A · ρ = M , donde A es área y M masa de S. Por lo tanto tenemos n x = n 1 X ξi · f (ξi ) · 4xi , A i=1 y = 1 X (f (ξi ))2 · 4xi . 2A i=1 El punto (x, y) ası́ determinado es una aproximación del del punto de gravedad buscado (xG , yG ) de S. La aproximación es tonto mejor, mientras más fina sea la partición de [a, b]. Los valores exactos de xG y yG se obtienen nuevamente mediante procesos de lı́mites: Z n 1 X 1 b xG = lim ξi · f (ξi ) · 4xi = x · f (x)dx, 4xi →0 A A a i=1 n yG = 1 1 X (f (ξi ))2 · 4xi = 4xi →0 2A 2A i=1 Z lim b (f (x))2 dx. a A este resultado lo formulamos en el Teor.- A las coordenadas del centro de gravedad de S lo calculamos con las fórmulas Z Z b 1 1 b x · f (x)dx, yG = (f (x))2 dx. xG = A a 2A a Z b Aquı́ A = f (x)dx es el área de la superficie S y S la superficie limitada a por las curvas x = a, x = b, y = 0, y = f (x) para x ∈ [a, b] con f (x) ≥ 0, a la cual iamginamos cubierta con una masa de densidad ρ = constante. 249 Si ρ = constante para todos los puntos de S, entonces se dice que S es una superficie homogenea y a su centro de gravedad se designa centro de gravedad geométrico o centroide. Nota.- Generalizaciones de esta idea son los conceptos de centro de gravedad, momento estático y momento de inercia con ρ = ρ(x) variable. Ejemplo.- Encuentre el centroide de la superficie o región limitada por la recta y = 2x y la parábola y = x2 . Primero bosquejamos la superficie limitadas por las curvas (ver Fig. 5.519). Las curvas se interceptan en (0, 0) y (2, 4). El área es 2 Z 2 4 x3 2 2 = . (2x − x )dx = x − A = x 3 0 0 Por lo tanto xG = 1 A Z 2 x(2x − x2 )dx = 0 3 4 Z 2 (2x2 − x3 )dx 0 2 3 2 3 x4 3 16 = x − = −4 = 1 4 3 4 0 4 3 yG = 1 2A Z 0 2 3 (2x)2 − (x2 )2 dx = 8 Z 2 (4x2 − x4 )dx 0 2 8 x5 3 4x3 = . − = 8 3 5 0 5 8 El centro de gravedad es (1, ). 5 Ejercicios.- 1) Calcular el centroide de la superficie limitada por y 2 = ax y x = a (a > 0). 2) Determine el centroide de la superficie limitada por las curvas y = sin x, 0 ≤ x ≤ π y y = 0. Problema 3: Son el voltaje o tensión u y la intensidad i en una instalación eléctrica constantes, e. d., u = U = constante, i = I = constante, entonces el trabajo eléctrico W realizado en cierto tiempo T está dado por W = U · I · T. Pero si la tensión y la intensidad varán en el tiempo, entonces la trabajo realizado en el tiempo T se calcula mediante una integral determinada. 250 Teor.- Se tiene la tensión u = u(t) y la intensidad i = i(t), entonces el trabajo eléctrico realizado en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ T es T Z uidt. W = 0 Nota.- En caso de u = U = constante, i = I = constante, se obtiene Z T Z T dt = U IT . Por lo tanto W = U IT es un caso U Idt = U I W = 0 0 particular de este teorema. Para la deducción de la fórmula general se utiliza el mismo procedimiento que para la deducción de la fórmula del trabajo mecánico. Al intervalo [0, T ] lo dividimos en muchos, pero en número finito de subintervalos. Es τk un punto, n X 4tk la longuitud del k-ésimo subintervalo, entonces la suma u(τk )i(τk )4tk k=0 es una aproximación para el trabajo elétrico W buscado. El valor exacto se obtiene nuevamente mediante un proceso de lı́mite que conduce a la integral de Riemann: Z T n X u(τk )i(τk )4tk = W = lim u(t)i(t)dt. 4tk →0 0 k=1 Ejemplo.- Calcule el trabajo eléctrico W , si la tensión e intensidad satisfacen a las ecuaciones (corriente alterna) i = Iˆ · sin(ωt + ϕi ), u = Û · sin(ωt + ϕu ), 2π y sea elegido T = . ω Aquı́, ω, ϕu y ϕi son magnitudes constantes. ω es la ”frecuencia circular”, T = 2π ω el perı́odo. Esto es, calcularemos el trabajo eléctrico durante un perı́odo. Al substiruir x = ωt + ϕu , la integral Z W = T Û · sin(ωt + ϕu ) · Iˆ · sin(ωt + ϕi )dt 0 se transforma en W = 1 ˆ Û I ω Z ϕu +2π sin x · sin(x + ϕ)dx, ϕu donde ϕ = ϕi − ϕu (fase de traslación). Puesto que para una función Z c+2π Z 2π periódica f (x) con el perı́odo 2π se cumple f (x)dx = f (x)dx, podec mos simplificar a la integral anterior: Z 1 ˆ 2π Û I sin x sin(x + ϕ)dx. W = ω 0 251 0 De esto, debido a sin(x + ϕ) = sin x cos ϕ + cos x sin ϕ, resulta Z 1 ˆ 2π W = Û I (sin2 x cos ϕ + sin x cos x sin ϕ)dx ω 0 2π 1 ˆ 1 1 2 = Û I (cos ϕ) (x − sin x cos x) + (sin ϕ) sin x ω 2 2 0 π ˆ T ˆ Û I cos ϕ = Û I cos(ϕi − ϕu ). ω 2 Resultado: Para el trabajo eléctrico durantre un perı́odo T se cumple = W = 4.3.3 1 ˆ Û IT cos(ϕi − ϕu ). 2 Un Modelo Integral en la Economı́a Una fábrica F 1 necesita para su producción de un semifabricado que se produce en la fábrica F 2. La demanda de F 1 en este semifabricado importa U unidades de lotes (Por ejemplo, 1 lote = 1.000 piezas. La demanda anual debe cubrirse mediante n suministros por año que se envı́an en tiempos equidistantes n1 y en las mismas cantidades Un (Por ejemplo, n = 24 suministros por año tienen que 1 U suministrarse en fechas distantes de 24 de año y cada vez en la cantidad de 24 lotes. Se supone que las existencias o estado del depósito entre dos suministros consecutivos se describe por una función monótona decreciente b(t) y que al agotarse las existencias (b(t) = 0) , se recibe un nuevo suministro (ver Fig. 10.31). Naturalmente la función bosquejada con esta figura representa una cierta idealización matemática, ya que en la prática el estado del depósito cambia generalmene a saltos. Los costos del transporte sea independiente de la cantidad del suministro transportado y su importe sea k1 unidades monetarias por cada transporte de F 2 hacia F 1. Por el almacenamiento del semifabricado F 1 tiene que pagar k2 unidades monetarias por año y unidad de lote, tomada en ”promedio” de existencias. Cuánto es el costo total K que F 1 tiene que pagar durante un año por el transporte y almacenamiento del semifabricado? Los costos de transporte de los n suministros importa nk1 unidades monetarias. Que se tiene que entender por ”promedio” de existencias por año? Hay que entenderlo como la suma de las áreas de todas las superficies sombreadas de Fig. 10.31, que por hipótesis todas tienen igual área, porque las existencias de suministro a suministro varı́an según la misma regla. Z τ 1 Para el área de la primera superficie se sumple b(t)dt, (τ = ). Entonces n 0 Z τ las existencias promedio son n · b(t)dt. El costo total es Z K = k1 n + k2 n 0 0 τ 1 b(t) = τ 252 Z k1 + k2 τ b(t)dt . 0 En el problema formulado, el costo total K está en función de n, e. e., el costo total solo dependen del número de suministros. Nota.- Además de la integral de Riemann existen la integral en el sentido de Lebesgue, que generaliza a la primera y tiene ciertas ventajas en el Análisis Funcional. 4.4 Integrales Impropias Z b f (x)dx se ha supuesto que: En la definición de la integral determinada a 1. El intervalo [a, b] es finito, 2. La función f (x) es acotada en [a, b]. Toda la definición de la integral de Riemann se basaZen estos dos Zrequisitos. 1 ∞ 1 Por lo tanto, según Riemann, integrales de la forma e−x dx dx o 0 x 0 no están definidas. En la práctica se presentan frecuentemente integrales de la Z ∞ forma , por ejemplo, cuando hay que determinar el mı́nimo trabajo necesario a de un cohete para abandonar la gravedad de la tierra. Por eso vamos ampliar el concepto de integral permitiendo intervalos no acotacos como [a, ∞] y funciones no acotadas como inegrandos. 4.4.1 Integración sobre Invervalos no Acotados Se presentan tres tipos de integrales: Z ∞ Z b f (x)dx (I), f (x)dx Z −∞ a ∞ (II), f (x)dx (III). −∞ Los sı́mbolos −∞, +∞ = ∞ encierran conceptos que deben precisarse, a y b son números reales (finitos). Observemos a la función f definida en [a, ∞) con la propiedad: Z x f (x)dx existe para todo x con a ≤ x < ∞. a Entonces a f llamamos local integrable. Analogamente definimos la integrabilidad local para funciones definidas en (−∞, b]. Z x Def.- Sea f local integrable sobre [a, ∞). Existe el lim f (t)dt, enx→∞ a Z ∞ Z x tonces a f (t)dt = lim f (t)dt se llama integral impropia de f sobre a x→∞ a 253 [a, ∞0), de la integral impropia se dice que converge, de f se dice que es impropiamente integrable sobre [a, ∞). Z ∞ Si el lı́mite no existe, se dice que la integral impropia f (t)dt diverge. a Z b Z b f (x)dx. f (t)dt = lim Analogamente se define x→−∞ −∞ x Ejemplos.- 1) Determine el área de la superficie limitada por el eje x, el 1 eje y y el grafo de f (x) = , x ∈ [0, ∞). 1 + x2 Primero vemos si f es local integrable en [a, ∞), e. d., si es integrable sobre [0, x], x fijo con 0 ≤ x < ∞. Para esto calculamos el área A(x) de la superficie limitada por el eje y, el segmento ax, la perdendicular al eje x en x fijo y el grafo de f . En efecto, existe Z x 1 A(x) = dt = arctan x − arctan 0 = arctan x. 1 + t2 0 Ahora es evidente que el área buscada A es Z x 1 = A = lim A(x) = lim x→∞ x→∞ 0 1 + t2 lim arctan x = n→∞ π . 2 2) Calcular el área de la superficie limitada por el eje x, el eje y y el grafo 1 de 0f (x) = 1+x Inmediatamente obtenemos x Z A(x) = 0 x Z Pero el lim A(x) = x→∞ lim x→∞ 0 buscada. Z 1 dt = ln(1 + t). 1+t 1 dt no existe, e. d., no existe el área 1+t ∞ Nota.- Para el cálculo de f (x)dx se procede de la siguiente manera: Z x Primero se determina la antiderivada F (x) de f (x), luego se calcula f (x)dx = a F (x) − F (a) (x fijo) y finalmente se calcula lim (F (x) − F (a)). a x→∞ Ejercico.- 1) Analice la convergencia o divergencia de la integrales im- 254 propias ∞ Z a) 1 1 dx, xr b) cos x dx 0 ∞ Z d) −∞ 0 Z 2 −π Z e−x dt, c) ∞ Z (r ∈ R), ∞ e) 0 dx dx, a2 + x2 Z (a 6= 0) 1 1 sin dt 2 x x 0 sin xdx. f) −∞ 2) En el origen de un sistema de coordenadas se encuentra una masa M . Esta atrae a una masa m que se encuentra a la distancia r sobre el eje x. La fuerza de atracción está dada por F (x) = γ nM , x2 donde γ es una constante de proporcionalidad (Esta ecuación es la Ley de Newton). Cual es el trabajo W que tiene que realizarse para empujar a la masa m a lo largo del eje x de x = r hacia el infinito? Para el caso del intervalo (−∞, ∞) tenemos la Def.- ZSea dada la función Z ∞ f : (−∞, ∞) −→ R. ExisteZun∞c ∈ R, tal que las c integrales f (x)dx y f (x)dx convergen, entonces f (x)dx también −∞ −∞ c converge y se cumple Z ∞ Z c Z f (x)dx = −∞ f (x)dx + −∞ ∞ f (x)dx. c Caso contrario se dice que la integral diverge. Nota.- La convergencia o la divergencia de una integral es independiente de c. Esto se comprueba eligiendo otro c0 6= c, digamos c0 > c, y luego se ve que el resultado no ha variado. Z ∞ 1 Ejemplo.- Calcular dx. 1 + x2 −∞ Z ∞ 1 π De un ejemplo anterior sabemos que dx = lim arctan x = . 2 x→∞ 1+x 2 0 Z 0 Falta comprobar la convergencia de −∞ Z 0 lim x→−∞ x 1 dt = 1 + t2 1 dx, e. e, que exista 1 + x2 lim (arctan 0 − arctan x) = x→−∞ 255 π . 2 Por lo tanto se tiene Z ∞ Z 0 Z ∞ 1 1 1 π π dt = dt + dt = + = π, 2 2 2 1 + t 1 + t 1 + t 2 2 −∞ −∞ 0 e. d., la integral converge. 1 a simple vista tiene cası́ la misma 1 + x2 forma que la famosa campana de Gauss (curva del error), la cual en su forma 1 2 1 más simple se describe por y = ϕ(x) = √ · e− 2 x . Ambas funciones tienen 2π el mismo valor máximi en x = 0 y el mismo comportamiento en el infinito, e. d., lim f (x) = lim ϕ(x) = lim f (x) = lim ϕ(x) = 0. x→−∞ x→−∞ Z x→∞ x→∞ ∞ Para ϕ(x) se cumple ϕ(x)dx = 1, lo que no es tan simple de comprobar −∞ Z ∞ como f (x)dx = π. Nota.- La curva y = f (x) = −∞ La curva de Gauss toma un lugar central en el Cálculo de Probabilidades. Ejercicios.- Analizar la convergencia o divergencia de Z ∞ Z ∞ dx , b) a) e−a|x| dx (a > 0). 2 −∞ −∞ x + x + 2 4.4.2 El Valor Principal de Cauchy Z ∞ A la integral impropia f (x)dx también lo podemos definir ası́: −∞ Z ∞ Z f (x)dx = −∞ y lim x→−∞ y→∞ f (t)dt, x donde las fronteras de integración x y y independiente una de la otra tienden a −∞, respectivamente a ∞. Elegirı́amos, por ejemplo, y = −3x, entonces x y y serı́an independientes una de la otra, con x → −∞, automaticamene se cumplirı́a y → ∞. Se elige a = −x y y = x, se llega al concepto de valor principal de Cauchy (VPC) de la integral imppropia. Def.- Se entiende por valor principal Z x de Cauchy de la integral imporpia f (t)dt. A este lı́mite, caso de existir, de f (x) sobre (−∞, ∞) al lı́mite lim x→∞ −x Z ∞ se le designa con V P C f (x)dx. −∞ 256 De la definición sigue inmediatamene, que la existencia de la integral imporpia implica la existesncia del valor principal de Cauchy y que ambas son iguales. Lo inverso, generalmente no se cumple, e. d., la existencia del valor principal de Cauchy no implica automaticamente la existencia de la integral impropia. El siguiene ejemplo aclara esta situación. Ejemplo.- Consideremos la integral Para c = 0 se cumple Z y 1 tdt = lim ( y 2 ) = ∞ y lim y→∞ 2 y→∞ 0 R∞ −∞ Z xdx. 0 1 lim (− x2 ) = − ∞. 2 x Z ∞ tdt. Basta que una de las integrales impropias diverga para que diverga lim x→−∞ tdt = x→−∞ −∞ Z x 1 1 lim ( x2 − (−x2 )) = 0. Por lo tanto 2 2 −x existe el valor principal de Cauchy para la función f (x) = x y es 0. Sin embargo: lim x→∞ tdt = x→∞ Ejercicios.- Analice si existen Z ∞ a) x3 dx ∞ c) −∞ x3 dx b) V P C −∞ Z ∞ Z −∞ Z xdx x2 + 3 ∞ d) V P C −∞ xdx . x2 + 3 Nota.- Hay que cuidarse de la expresión −∞ + ∞! 4.4.3 Criterios de Convergencia La Z ∞pregunta sobre la existencia (convergencia) de una integral impropia del tipo f (x)dx se puede contestar generalmene rápido, si se conoce la antiderivada a Z ∞ F (x) de f (x). Entonces se cumple f (x)dx = lim F (x)−F (a). Por lo tanto x→∞ a la pregunta sobre la existencia de la integral imporopia se reduce a la existencia de lim F (x). x→∞ Una dificultad puede presentarse en el caso que f (x) no tenga o es dificil determinar su antiderivada F (x). Trataremos de formular teoremas de existencia de integrales impropias para funciones de las cuales no sabe si tienen o no antiderivas. Muchas veces basta saber si una integral impropia converge o diverge. Aquı́ como en sucesiones y series, criterios de comparación juegan un papel importante. 257 Para comprender mejor el criterio de comparación, en primer lugar nos limitaremos a considerar funciones f (x) positivas y acotadas. Luego establecemos la relació entre la integral impropia de f y la de |f | y finalmene enunciaremos el criterio de comparación. Lema.- Sea f local integrable sobre [a, ∞) y no negativa, e. d., f (x) ≥ 0 ∀x ∈, [a, ∞). Además exista una constante M > 0, tal que Z x A(x) := f (t)dt ≤ M, ∀x ≥ a. a Z ∞ f (x)dx converge. Entonces a Dem.- Para cada sucesión monótona creciente (xn ) con lim xn = ∞, x→∞ la sucesión (A(xn )) es monótona creciente y acotada y por lo tanto existe lim A(xn ). n→∞ Por otro lado, por ser A(x) continua en [a, b), este lı́mite es independiente de la elección de la sucesión (xn ). Por lo tanto el lim A(x) existe y x→∞ Z ∞ por eso f (t)dt converge. a Ahora veremos la relación entre la convergencia de R∞ gencia de a |f (t)|dt. R∞ a f (t)dt y la conver- Z Lema.- Sea f local integrable sobre [a, ∞) y converga Z ∞ tonces f (t)dt también converge. ∞ |f (t)|dt. Ena a Dem.- Se demuestra que con f es también |f (x)| local integrable sobre [a, ∞). Ahora crearemos la situación del lema antrior. Para eso definimos una función auxiliar g(x) := f (x) + |f (x)|, ∀x ≥ 0. Se ve facilmente que se cumple 0 ≤ g(x) ≤ 2|f (x)| ∀x ∈ x ≥ a. De aquı́ sigue Z x Z x g(t)dt ≤ |f (t)|dt ∀x ≥ a. a Z a ∞ |f (x)|dx sigue De la supuesta convergencia de a Z x Z ∞ |f (t)|dt ≤ 2 2 a |f (t)|dt =: M. a 258 Z x g(t)dt ≤ M ∀x ≥ a. Con esto g satisface a la Z ∞ g(x)dx converge. Debido a hipótesis del lema anterior. Por lo tanto Por lo tanto se obtiene a a Z x x Z Z Z (f (t) + |f (t)|)dt = g(t)dt = a a x Z x Z x g(t)dt − a |f (t)|dt a Z f (t)dt = ∞ f (t)dt + a se tiene x a |f (t)|dt. a ∞ Z Ya que el lado derecho de la igualdad converge cuando x → ∞, converge. f (x)dx a Resumen: Toda función absoluta impropiamente integrable es impropiamente integrable. Teor.- (Criterio del Mayorante - Minorante) Sean f funciones definidas en [a, ∞) local integrables. y g dos Z (a) (Mayorante) Es |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ [a, ∞) y converga Z ∞ entonces f (x)dx también converge y se cumple ∞ g(x)dx, a a Z ∞ Z f (x)dx ∞ ≤ a Z |f (x)|dx ≤ g(x)dx. a a cumple 0 ≤ g(x) ≤ f (x) Z ∞(b) (Minorante) Z Se ∞ g(x)dx, entonces f (x)dx también diverge. a ∞ ∀x ∈ [a, ∞) y diverga a Dem.- (a) De |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ [a, ∞), sigue Z x Z x |f (t)|dt ≤ g(t)dt ∀x ∈ [a, ∞). a a Además se cumple Z x ∞ Z g(t)dt ≤ a =: M ∀x ≤ a, a porque g es no negativa y porque R∞ a g(t)dt converge. De las dos últimas desigualdades sigue Z x |f (t)|dt ≤ M a 259 ∀x ≥ a, R∞ e. d., según un lema anterior, a |f (x)|dx converge. Por lo tanto converge R∞ también a f (x)dx, según el otro lema. Las desigualdades de (a) resulta inemediatmente de las propiedades de las integrales y de los lı́mites. R∞ (b) Aceptemos que a f (x)dx converge. Debido a |g(x)| = g(x) y según la R∞ parte (a), también converge a g(t). Contradicción a la hipótesis! Nota.- El Teorema Mayorante - Minorante se cumple anologamente para Z b f (t)dt. −∞ Estos criterios son importantes para decidir la convergencia y la divergencia de una integral impropia. Pero también es importante encontrar una función que R ∞ mayore o minore a la función dada. Para determinar si la integral impropia f (x)dx de f (x) ≥ 0 existe, sin conocer una antiderivada F (x), se busca a R∞ una función mayorante g(x) de f (x), tal que la integral impropia a g(x)dx exista. Ya que para f (x) posiblemente existen infinitos mayorantes, el arte consiste precisamene en encontrar un mayorante no demasiado grade, cuya integral impropia exista. Z ∞ Ejemplos.- 1) Examine si la integral impropia 1 dx existe! x2 + ex Ya que ex > 0 para todo x, se cumple x2 + ex > x2 . De aquı́ sigue 1 1 < 2. x2 + ex x La función g(x) = 1 1 es un mayorante de f (x) = 2 . x2 x + ex integral se cumple Z ∞ Z x dx dx = lim = 2 x→∞ 1 x2 x 1 lim x→∞ 1 − |x1 x = lim x→∞ 1 1− x Para esta = 1. Por lo tanto la integral Z ∞ impropia g(x) converge. Y por el teorema anterior la dx integral impropia de tiene que converger y tendrá un valor menor 2 + ex x 1 a 1. Z ∞√ x+5 converge! 2) Analise, si la integral impropia x 1 √ Solución: Se cumple f (x) := x+5 > x 260 √ x =: g(x) > 0 x ∈ [1, ∞). x Z ∞ Pero Z ∞ g(x)dx = 1 1 dx √ = x x Z lim x→∞ 1 ∞ √ Z Entonces, por el teorema anterior, 1 dx √ = x √ lim 2 x x 1 x→∞ = ∞ x+5 diverge. x Nota.- El criterio del mayorante o minorante solo nos permite decidir si la integral impropia existe o converge, pero no nos permite determinar su valor. Ejercicios.- 1) Examine si existen o no las integrales impropias: Z ∞ Z ∞ dx e−x sin xdx, , b) a) x2 ex 0 1 ∞ Z √ c) 0 ∞ Z e) 0 4.4.4 x4 0 Z x +1 dx, d) −∞ Z x dx, 2 x + 2x + 5 f) 0 x · arctan x dx, x3 − 1 ∞ √ dx dx. x3 + 1 Integral Impropia de Funciones no Acotado Def.- Se dice que la función f es no acotada en a, si lim f (x), x→c o lim f (x) x→c− lim f (x) son −∞ ó ∞. x→c+ Z 2 dx no está definida porque f tiene un salto infito en c = 0 ∈ −2 x [−2, 2] y por lo tanto no se puede calcular el área limitada por x = −2, x = 2 y y = f (x) x ∈ [−2, 2]. En tales casos podemos aislar al lugar no acatado al encerrarlo en un entorno pequeño (c − δ1 , c + δ) ⊂ [a, b] y calcular las integrales sobre los subintervalos [a, c − δ1 ] y [c + δ2 , b] y luego examinamos a las integrales obtenidas cuando δ1 → 0 y δ2 → 0. Para el lugar c de no acotamiento de la función pueden darse tres opciones: (1) c = a, (2) a < c < b, (3) c = b. La integral Def.- Sea c un lugar de no acotamiento de f en el intervalo [a, b]. Z b a) Es c = a, f local integrable sobre [a + δ1 , b] y existe el lim f (x)dx, δ1 →0 a+δ1 entonces f se llama impropiamente integrable. Al lı́mite se llama integral impropia y se le designa con Z b Z b f (x)dx := lim f (x)dx. a δ1 →0+ 261 a+δ1 Z b−δ 2 b) Es c = b, f local integrable sobre [a, b−δ2 ] y existe el lim δ2 →0+ f (x)dx, a entonces f también impropiamente integrable y al lı́mite se llama integral impropia se le designa con Z b−δ2 Z b f (x)dx. f (x)dx := lim+ δ2 →0 a a c) Es a < c < b, f local integrable sobre los intervalos [a, c − δ1 ], [c + Z b Z c−δ1 f (x)dx, f (x)dx, lim+ δ2 , b] y existen los lı́mites respectivos lim+ δ1 →0 δ2 →0 a c+δ2 entonces f se llama impropiamente integrable y para la integral impropia se cumple Z b Z c−δ1 Z b f (x)dx. f (x)dx + lim+ f (x)dx = lim+ δ1 →0 a δ2 →0 a c+δ2 De estas integrales impropias se dice que son convergente. si no existen los lı́mites, se dice que la integrales impropias divergen. Z 1 dx √ es integral imporpia convergente! Ejemplos.- 1) Examine, si x 0 1 f (x) = √ es no acotada en x = 0. La integral impropia existe (converge), x Z 1 dx √ existe y es finito. si G = lim+ x δ→0 δ Z 1 Z 1 √ √ 1 dx dx √ = 2 x δ = 2 − 2 δ, sigue G = 2, e. e., √ = 2. La De x x 0 δ integral impropia existe. Geometricamente significa que el área de la superficie 1 limitada por y = √ , 0 ≤ x ≤ 1 y el eje y es 2. (ver Fig. 11.8) x 1 Z 2) Analise, si la integral impropia 1 dx dx converge o diverge! x2 1 La función f (x) = 2 en x = 0 no es acotada (ver Fig. 11.9). x Para c = 0, por definición, se tiene Z 1 Z −δ1 Z 1 dx dx dx = lim + lim 2 2 2 + + x δ1 →0 δ2 →0 −1 x −1 δ2 x ( = lim δ1 →0+ = lim δ1 →0+ 1 − x −δ1 ) ( + −1 1 −1 δ1 lim δ2 →0+ 1 − x 1 ) δ2 1 + lim+ −1 + = ∞ + ∞ = ∞ δ2 δ2 →0 262 Conclusión: La integral impropia diverge. Nota.- El cálculo formal, sin tener en cuenta el lugar de no acotamiento dentro del intervalo, conduce a resultados falsos: Z 1 −1 dx 1 = − x2 x 1 = − 1 − 1 = − 2. −1 En Fig. 11.9, a simple vista, a simple vista se ve que la superficie limitada por y = x12 , − 1 ≤ x ≤ 1, nunca puede ser negaiva. Nota.- Si el intervalo [a, b], donde está definida f contiene varios puntos de no acotamiento c1 , c2 , · · ·, cn , on aleqc1 < c2 · · · cn ≤ b, entonces se examine a la expresión b Z Z c1 f (x)dx := a Z c2 Z b + ··· + f (x)dx + a f (x)dx. c1 cn Ejercicios.- Examine, si las siguiente integrales imporpias son o no convergentes: Z 1 Z 1 Z 1 xdx dx √ a) , b) , c) ln xdx 1 − x2 0 0 x 0 Z d) 0 2 dx , (x − 1)4 1 Z √ e) 0 Z dx , 1 − x2 f) 1 2 dx . t ln t Nota.- Sea c (a < c < b) un lugar de no acotamiento de f . En este caso se entiende por VPC de la integral impropia sobre el intervalo [a, b] a "Z # Z Z b V PC c−δ f (x)dx = a Z 1 Por ejemplo, −1 δ→0+ b f (x)dx + lim a dx no existe, pero V P C x f (x)dx . c+δ Z 1 −1 dx dx si exsiste y es 0. x Nota.- El criterio del mayorante - minorante para integrales impropias, en el caso de lugares de no acotamiento, coincide en todo con el criterio anterior, excepto en el intervalo de integración. 263 BIBLIOGRAFIA 1. Bartle, R. G.; Sherbert, D. R.: Introduction to Real Analysis, New York, J. Wiley, 1982. 2. Berberian, S. K.: Introduction to Analysis, Berlin, Springer-Vrlag, 1999. 3. Courant, R.; John, F.: Introduction to Calculus and Analysis 1, 2., Berlin - New York, de Gruyter, 1983 4. Deminovich, B. P.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. 8a. Ed., Paraninfo VAAP, Madrid, 2000. 5. Edwards, C. H.; Penney, D. E.: Cálculo con Gemetrı́a Analı́tica, Prentice Hall, México, 1996. 6. Fichtenholz, G. M.: Diferential- und Integralrechnung 1, 2, 3, Berlin, VEB DVW, 1964. 7. Hoffmann, L. O.; Bradley, G. L.: Cálculo, 7a. Ed. McGraw-Hill, Bogotá, 2000. 8. Königsberger, K.: Analysis 1, 2. Ed., Berlin, Springer-Verlag, 1996. 9. Kudriávtsev, L. D.: Curso de Análisis Matemático 1, Moscú, Mir, 1983. 10. Lages Lima, Elon; Análise Real, IMPA, Rio de Janeiro, 1989. 11. Larson, R. E.; Hostetler, R. P.: Cálculo 1, 6. Ed. Madrid, McGraw-Hil, 1999. 12. Mangoldt, H. v.; Knopp, K.: Einführung in die Höhere Matematik, 12. Ed., Leipzig, Hirzel Verlag, 1967. 13. Piskunov, N. S.: Cálculo Diferencial e Integral, 6. Ed. Moscú, 1983. 14. Purcell, E.; Varberg, D.: Cálculo, 4. Ed. México, Prentice-Hall, 1987. 15. Salas, S. L.; Hille, E.: Calculus, 6. Ed., New York, J. Wiley, 1990. 16. Smirnow, W. I.: Lehrgang der Höhere Mathematik 1, Berlin, VEB DVW, 1971. 17. Smith, R. T.; Minton, R. B.: Cáculo I, II. McGraw-Hill, Bogotá, 2000. 18. Stein, S.: Cálculo y Gemetrı́ Analı́tica. McGraw-Hill, México, 2000. 19. Stewart, J.: Cálculo Diferencial e Integral, Intrnational Thomson Editors S. A., México, 1999. 20. Yuen, F.; Yuan, W.: Calculus, Singapur, Springer-Verlag, 2000. INDICE 264 4.5 APLICACIONES DE LA DIFERENCIACION El concepto de diferenciabilidad lo utilizaremos para estudiar y tratar propiedades de funciones diferenciables y para resolver problemas de gran trascendencia teórica y práctica de otras disciplinas cientı́ficas. 4.5.1 Teoremas de Fermat y de Rolle Teor.- (Teorema de Fermat) La función f sea definida en un intervalo I y tome en un punto interior ξ de I un valor extremo absoluto. Es f en ξ diferenciable, entonces se cumple f 0 (ξ) = 0. Dem.- Aceptemos que el punto interior ξ de I sea un lugar máximo de f . Entonces para ξ + h, h > 0 se cumple f (ξ + h) − f (ξ) ≤ 0. h Cuando h → 0+ , la expresión anterior se convierte en f 0 ξ) ≤ 0. Analogamente, si −h → 0− , la misma expresión se convierte en f 0 (ξ) ≥ 0. Ambas desigualdades demuestra la afirmación del teorema. Geometricamente hablando, este teorema dice, que la tangente al grafo de f en el punto P (ξ, f (ξ)) tiene una pendiente nula, e. d., transcurre paralela al eje x (ver. Fig. 1). Teor.- (Teorema de Rolle) Sea f una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) con f (a) = f (b). Entonces existe, por lo menos, un ξ ∈ (a, b) tal que se cumple f 0 (ξ) = 0. Dem.- Por ser f continua en [a, b], según el Teorema de Weierstrass, toma un mı́nimo absoluto m1 y un máximo absoluto m2 . Diferenciamos dos casos: 1. Es m1 = m2 , entonces f es constante en [a, b], por lo tanto es f 0 (ξ) = 0 para todo ξ ∈ (a, b). 2. Es m1 6= m2 , entonces, por ser f (a) = f (b), f toma, por lo menos, uno de los extremos absolutos en un lugar interior ξ de [a, b]. Y por el Teorema de Fermat se tiene f 0 (ξ) = 0. Con lo que el teorema está demostrado. En la Fig. 2. se ha graficado geometricamente el Teorema de Rolle, a lo cual hay agregar que pueden haber varios lugares ξ ∈ (a, b), para los cuales hay una tangente horizontal a la curva de f . Nota 1.- Debemos subrayar que la hipótesis de la continuidad de f en el intervalo cerrado [a, b] es esencial para la validez del Teorema de Rolle, como lo veremos en la función 265 f (x) =   x para  0 0≤x<1 (ver Fig. 3), para x = 1. que es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) y se cumple f (0) = f (1) = 0. Sin embargo, f no es continua por la izquierda en x = 1. Realmente se cumple f 0 (x) = 1 6= 0 para todo x ∈ (a, b). 4.5.2 Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial Es evidente que el Teorema de Rolle también se puede interpretar geometricamente de la siguiente manera: Bajo las hipótesis de continuidad en [a, b] y diferenciabilidad en (a, b) de la función f , hay por lo menos una tangente a la curva de f que es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)), e. e., que tiene la misma pendiente que esta secante. El importante teorema que sigue, geometricamente, dice, que este enunciado también es válido, aún cuando la secante no necesariamente transcurra horizontalmente (ver Fig. 4). Observe que la pendiente de la secante s es f (b) − f (a) b−a y la pendiente de la tangente t es f 0 (ξ). Teor.- (TVM) La función f sea continua en [a, b] y diferenciable en (a, b). Entonces existe, por lo menos, un lugar ξ con f (b) − f (a) = f 0 (ξ) (a < ξ < b) (VM). b−a Dem.- Sea g la función que describe a la secante s, e. e., g(x) = f (a) + f (b) − f (a) (x − a). b−a La función ϕ(x) := f (x) − g(x) satisface pués en [a, b] todas las hipótesis del Teorema de Rolle (vea Fig. 4). Por lo tanto existe un número ξ ∈ (a, b) con 0 = ϕ0 (ξ) = f 0 (ξ) − g 0 (ξ) = f 0 (ξ) − El teorema está demostrado. f (b) − f (a) . b−a Haciendo xo = a, h = b − a, entonces xo + h = b, podemos representar a cada ξ ∈ (a, b) = (xo , xo + h) en la forma 266 ξ = xo + ϑh con ϑ ∈ (0, 1) (ver Fig. 5). Con esto, (VM) se puede escribir también en la forma f (xo + h) − f (xo ) = f 0 (xo + ϑh) h o también f (xo + h) − f (xo ) = hf 0 (xo + ϑh) (0 < ϑ < 1) (VM1) (0 < ϑ < 1) (VM2) (0 < ϑ < 1) (VM3) o también f (xo + h) = f (xo ) + hf 0 (xo + ϑh) Naturalmente h puede ser también negativo. Para |h| pequeño podemos escribir f (xo + h) − f (xo ) ≈ hf (xo ). Esto nos hace recordar al diferencial, solo que f (xo + h) − f (xo ) = hf (xo + ϑh) es exacta, pero donde de ϑ sólo se sabe, por lo general, que está en (0, 1). En casos simples determinaremos al número ϑ. Ejemplo 1.- Observemos la función f (x) = cx2 (c 6= 0 constante). Obviamente, f satisface las hipótesis del (TVM) para cada intervalo [xo , xo + h]. Hay pués, por lo menos, un ϑ, tal que se cumple (VM1), e. e., c(xo + h)2 − cx2o = 2c(xo + ϑh) (0 < ϑ < 1). h Esta ecuación se puede interpretar como una ecuación para determinar ϑ, ya que es soluble, y se obtiene ϑ = 12 . Aquı́ ϑ no depende ni de xo ni de h (pero compare el ejercicio que sigue). Geometricamente esto significa, ver Fig. 6, que para la secante que pasa por los puntos Po y P1 hay exactamente una tangente a la parábola y = cx2 paralela a esta secante. La tangente corresponde al punto h medio xo + del intervalo [xo , xo + h]. De la misma manera se obtiene igual 2 resultado para un parábola cudrática y = a2 x2 + a1 x + ao , (a2 6= 0). Con esto se ha logrado un simple método para la construcción de una tangente a la parábola cuadrática. La forma (VM3) del Teorema del Valor Medio se puede emplear para el cálculo numérico de un valor aproximado para f (xo + h), si se conoce a f (xo ), por lo menos, aproximadamente y |h| es pequeño. Para eso hay que estimar apropiadamente a f 0 (xo + ϑh), considerando que 0 < ϑ < 1. Ejemplo 2.- De una Tabla de Logaritmos de cinco decimales se toma el valor de 267 ln 17 = 2, 83321. (L1) Se busca un valor aproximado para ln 17.2! Ya que ln 17, 2 = ln(17 + 0, 2) aplicamos el Teorema del Valor Medio a la función f (x) = ln x en xo = 17, h = 0, 2. 1 Con f 0 (x) = , según (VM3), para cualesquiera xo y h se cumple x 0, 2 ln(xo + h) = ln xo + (0 < ϑ < 1). xo + ϑh Reemplazando xo y h por sus valores, resulta ln 17, 2 = ln 17 + 0, 2 17 + 0, 2ϑ (0 < ϑ < 1). (L2) Ahora determinaremos numericamente cotas facilmente calculables para 0, 2 . 17 + 0, 2ϑ Debido a que 0 < ϑ < 1, se cumple 0, 2 0, 2 0, 2 < < . 17 + 0, 1 · 1 17 + 0, 2ϑ 17 + 0, 2 · 0 De esto y de (L) sigue ln 17 + 0, 2 0, 2 < ln 17 < ln 17 + . 17, 2 17 (D1) En (L1) el valor se ha redondeado a cinco cifras decimales, más exacto, se cumple 2, 833205 < ln 17 < 2, 833215. (D2) 0, 2 = 0, 011627... > 0, 011627, 17, 2 (D3) Además es 0, 2 = 0, 011764... < 0, 011765. (D4) 17 De estas desigualdades, de (D1) y de (D2) sigue finalmente 2, 833205 + 0, 011627 < ln 17, 2 < 2, 833215 + 0, 011765, es decir, 2, 844832 < ln 17, 2 < 2, 844980, 268 y redondeando a tres cifras decimales, se tiene ln 17, 2 = 2, 845. La exactitud alcanzada no se puede mejorar, aún elevando el número de cifras decimales en (L1), (D3) y (D4), ya que las cotas dadas en (D1) para ln 17, 2, como se ve en (D3) y (D4), comienzan a diferenciarse a partir de la cuarta cifra decimal. Conoceremos otros métodos que permiten el cálculo del valor de una función con cualquier exactitud. Ejercicios.1. Determine todos los ϑ ∈ (0, 1), tal que las tangentes a la curva y = ex en el lugar ξ = xo + ϑh sean paralelas a la secante perteneciente al intervalo [xo , xo + h]. 2. Empleando el valor e = 2, 7183, de una cota inferior y una superior para e1,01 . 4.5.3 Consecuencias del Teorema del Valor Medio Hemos demostrado que la derivada de una función constante en un intervalo es igual a cero. Podemos demostrar también que se cumple lo inverso. Teor.- Sea f continua en [a, b] y diferenciable en todo x ∈ (a, b) con f 0 (x) = 0. Entonces f es constante en [a, b]. Dem.- Eligamos un número cualquiera k ∈ [a, b]. Para cada x ∈ [a, b], (x 6= k), según el (TVM) aplicado a [k, x], hay un ξ ∈ (k, x), y por lo tanto también ξ ∈ (a, b), con f (x) − f (k) = (x − k) · f 0 (ξ). Ya que f 0 (ξ) = 0, sigue de aquı́ f (x) = f (k). Puesto que x ∈ (a, b) fue cualquiera y f (k) es un valor fijo, f es la función constante. Teor.- Las funciones f y g sean continuas en [a, b] y diferenciables en cada x ∈ (a, b) con f 0 (x) = g 0 (x). Entonces f y g se diferencian en [a, b] sólo en una constante aditiva. Dem.- La función ϕ(x) = f (x) − g(x) (x ∈ [a, b] satisface las hipótesis del teorema anterior. Por consiguiente hay una constante c, tal que c = ϕ(x) = f (x) − g(x) ∀ x ∈ [a, b]. 269 Lo que era para demostrar. Ejemplo.- Anteriormente habı́amos mencionado que cada solución de la ecuación diferenciable ordinaria y 0 = αy (α constante) (EDO1) en un intervalo abierto I, e. d., de cada ecuación diferenciable f 0 (x) = αf (x) (x ∈ I), (EDO2) tiene la forma f (x) = Ceαx (x ∈ I), dond C es una constante apropiada. Ahora podemos demostrar esta tesis. Para eso observemos la función ϕ(x) = e−αx f (x) (x ∈ I). Con f es también ϕ diferenciable en I y tiene la derivada ϕ0 (x) = − αe−αe f (x) + e−αx f 0 (x) = e−αx (f 0 (x) − αf (x)) (x ∈ I). De aquı́ y de (EDO2) se obtiene que ϕ0 (x) = 0 para todo x ∈ I. Entonces, por un teorema anterior, hay un número C con C = ϕ(x) = e−αx f (x) De esto resulta la tesis. (x ∈ I). Ejercicios.- Demuestre que las funciones 1) f (x) = − arcsin 1 x (x ≥ 1) y g(x) = arctan p x2 − 1 (x ≥ 1) se diferencian sólo en una constante aditiva y determine esta constante. 2) (Caracterización de y = ex ) Demustre que la función y = ex es la única función con y = y 0 y y(0) = 1 4.5.4 El Teorema del Valor Medio Generalizado Teor.- (TVMG) Las funciones f y g sean continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b). Además sea g 0 (x) 6= 0 ∀ x ∈ I. Entonces existe, por lo menos, un ξ con f (b) − f (a) f 0 (ξ) = 0 g(b) − g(a) g (ξ) 270 (a < ξ < b). Dem.- Primero construı́mos la función ϕ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) [g(x) − g(a)]. g(b) − g(a) Ya que ϕ es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b) con ϕ(a) = ϕ(b) = 0, cumple con los requisitos del Teorema de Rolle, entonces hay un ξ ∈ (a, b) tal que ϕ0 (ξ) = 0, e. e., ϕ0 (x) = f 0 (x) − f (b) − f (a) 0 g (x) = 0. g(b) − g(a) De aquı́ sigue la afirmación del teorema. 4.5.5 El Polinomio de Taylor y la Serie de Taylor Hemos visto que el polinomio p1 (x) = f (xo )+f 0 (xo )(x−xo ) es una aproximación lineal de f en un entorno de xo con f (xo ) = p1 (xo ) y f 0 (xo ) = p01 (xo ). Ahora surge la pregunta, de existir f 00 (xo ), habrá un polinomio de segundo orden de la forma p2 (x) = ao + a1 (x − xo ) + a2 (x − xo )2 con f (xo ) = p2 (xo ), f 0 (xo ) = p02 (xo ) y f 00 (xo ) = p002 (xo ), tal que se acerque mejor a f que p1 . En general, para una función f n veces diferenciable en xo existirá un polinonio de grado n pn (x) = ao + a1 (x − xo ) + a2 x2 + · · · + an xn (an 6= 0) (n) con f (n) (ak ) = pn (xk ), k = 0, 1, 2, · · · , n, que se aproxime mejor a f en un entorno de xo . Para determinar pn , hay que determinar los ak , k = 0, 1, 2, · · · , n, y para (i) eso hay que calcular los pn (xo ) y luego igualarlos a f (i) (xo ), i = 0, 1, 2, · · · , n,  f (xo ) = pn (xo ) = 0!ao ,         f 0 (xo ) = p0n (xo ) = 1!a1 ,      f 00 (xo ) = p00n (xo ) = 2!a2 ,       . . . . . . . . .,        (i) (i) f (xo ) = pn (xo ) = n!an . 271                            =⇒  f (xo )   , ao =   0!        f 0 (xo )   a = ,  1   1!    f 00 (xo ) a = ,  2   2!       . . . . . . .,        n    an = f (xo ) . n! De esto resulta pn (x) = f (xo ) + f 0 (xo ) f 00 (xo ) f n (xo ) (x − xo ) + (x − xo )2 + ... + (x − xo )n . 1! 2! n! Def.- Al polinomio aproximador pn , n = 0, 1, 2, · · · , n, ası́ definido se llama Polinomio de Taylor, Fórmula de Taylor o el Desarrollo de Taylor de f alrededor de xo . Este polinomio se debe al matemático inglés Brook Taylor (1685 - 1731). Nota 1.- En especial, para xo = 0, se tiene pn (x) = f (xo ) + f 00 (xo ) 2 f (n) (xo ) n f 0 (xo ) x+ x + ··· + x . 1! 2! n! Este polinomio se llama también la Fórmula de MacLaurin de f en xo . Nota 2.- De la forma f (xo + h) = f (xo ) + f 0 (xo )f (xo + ϑh) del Teorema del Valor Medio, conociendo el valor de la función y su de su drerivada en xo se puede calcular, por lo menos, aproximativamente los valores de f en x = xo + h, |h| pequeño. En este caso el Polinomio de Taylor de f en xo toma la forma pn (xo + h) = f (xo ) + f 00 (xo ) 2 f n (xo ) n f 0 (xo ) h+ h + ··· + h . 1! 2! n! Naturalmente no basta decir que pn aproxima a f alrededor de xo . Hay que determinar que buena es esta aproximación. Información sobre la bondad del acercamiento nos da el error rn (x) := f (x) − pn (x) en x. (R) Teor.- (Teorema de Taylor) Sea f diferenciable (n + 1) vces en un E(xo ) y además sea x ∈ E(xo ). Pongamos f (x) = n X f (k) (xo ) k=0 k! (x − xo )k + rn (x), (T) entonces hay, por lo menos, un número real ϑ con rn (x) = f (n+1) (xo + ϑ(x − xo )) (x − xo )n+1 (n + 1)! (0 < ϑ < 1) (R1) y, por lo menos, un número ϑ0 con rn (x) = f (n+1) (xo + ϑ0 (x − xo )) (1 − ϑ0 )n (x − xo )n+1 n! 272 (0 < ϑ0 < 1) (R2). La representación (R1) se llama el Resto de Lagrange y (R2), el Resto de Cauchy. Debemos mencionar que hay otras formas del resto. Dem.- Definamos la función auxiliar ϕ al reemplazar en pn a xo por la variable independiente z y al considerar x como constante, ϕ(z) = f (z) + f 0 (z) f 00 (z) f (n) (z) (x − z) + (x − z)2 + · · · + (x − z)n . 1! 2! n! Ya que ϕ(x) = f (x) y ϕ(xo ) = pn (x), y por definición de rn se cumple rn (x) = ϕ(x) − ϕ(xo ). Por otro lado tenemos ϕ0 (z) = f 0 (z)+[ f 00 (z) f 0 (z) f (n+1) (z) f (n) (z) (x−z)− ]+· · ·+[ (x−z)n − (x−z)n−1 ], 1! 1! n! n! de donde al anularse mutuamente los sumandos con signos contrarios, queda ϕ0 (z) = f (n+1) (z) (x − z)n . n! La función ϕ en [xo , x] satisface los requisitos del Teorema del Valor Medio Generalizado. Ahora bién, sea g, en principio cualquiera, una función que también satisface los mismos requisitos. Entonces hay un ξ ∈ (xo , x) tal que ϕ(x) − ϕ(xo ) ϕ0 (ξ) = 0 . g(x) − g(xo ) g (ξ) De (R) y de ϕ0 (z) sigue rn (x) = g(x) − g(xo ) f (n+1)(ξ ) · (x − ξ)n . g 0 (xo ) n! (C) En especial, haciendo g(z) = (x − z)n+1 , se tiene g(x) = 0, g(xo ) = (x − xo )n+1 , g 0 (ξ) = −(n + 1)(x − ξ)n+1 , de manera que obtenemos rn = f (n+1) (ξ) (n + 1)! Ya que ξ está entre xo y x, eligiendo un apropiado ϑ, se puede representar en la forma ξ = xo + ϑ(x − xo ). Y ası́ se ha demomstrado (R1). Anlogamente se demuestra (R2) de (C) al poner g(z) = x − z, eligiendo un adecuado ϑ0 que depende de este último g. 273 Para x = xo + h, (T) toma la forma f (xo + h) = n X f (k) (xo ) k! k=0 donde rn∗ (h) = hk + rn0 (h), f (n+1) (xo + ϑh) n+1 h (n + 1)! (T1) (0 < ϑ < 1), respectivamente rn∗ (h) = f (n+1) (xo + ϑ0 h) (1 − ϑ0 )n hn+1 n! (0 < ϑ0 < 1). Aquı́ al resto rn (x) = rn (xo + h) lo hemos designado con rn∗ (h). Para n = 0, (T1) se convierte en el Teorema del Valor Medio. Empleando los diferenciales d(k) f (xo , h) = f (k) (xo ) · hk , podemos escribir a (T1) en la forma f (xo + h) = n X dk f (xo , h) k! k=0 + rn∗ (h). Utilizando la Fórmula de MacLaurin, (T) se convierte en f (x) = n X f (k) (0) k=0 k! xk + rn (x), (T2) donde rn (x) = f (n+1) (ϑx) n+1 x (n + 1)! (0 < ϑ < 1), respectivamente rn (x) = f (n+1) (ϑ0 x) (1 − ϑ0 )n xn+1 n! (0 < ϑ0 < 1). La representación del resto rn debe servir para estimar el error absoluto que se comete al aproximar f por pn , |rn (x)| = |f (x) − pn (x)|. Cada una de estas representaciones contiene el número ϑ, respectivamente ϑ0 , de los cuales sólo se sabe que estan entre 0 y 1. Para obtener numericamente cotas del error hay que determinar cotas superiores de |rn (x)|, donde no intervenga ϑ, respectivamente ϑ0 . Cual de las formas del resto es más apropiada y como hay que proceder en situciones concretas depende de la función dada f , pero a veces también de x y n. En todo caso se hará uso de la desigualdad 0 < ϑ, ϑ0 < 1. 274 Fórmulas de Taylor para algunas Funciones En este parágrafo vamos a desarrollar la Fórmula de Taylor en la forma de MacLaurin para algunas funciones importantes y a estimar el resto. 1.- f (x) = ex (−∞ < x < +∞). Según (T2) tenemos ex = 1 + x x2 xn + + ··· + + rn (x) 1! 2! n! con el resto en la forma de Lagrange rn (x) = eϑx xn+1 . (n + 1)! Para estimar el resto observamos 0 < ϑ < 1. De esto sigue ϑx ≤ ϑ|x| ≤ |x|, y de aquı́, por la monotonı́a de la función exponencial, se tiene |rn (x)| ≤ e|x| |x|n+1 (n + 1)! (−∞ < x < +∞). |x|n+1 = 0 y por lo tanto también lim rn (x) = 0 n→∞ (n + 1)! n→∞ ∀ x ∈ R. Esto significa que para cada valor de x, el polinomio Se demuestra que lim pn (x) = n X xk k=0 k! se aproxima a la función f (x) = ex con cualquier exactitud, si se elige a n lo suficiente grande (ver Fig. 6.7). Tanto más grande n, tanto más próximo pn (x) de f (x). Se ve también para x, mientras más lejos del lugar de desarrollo xo = 0, para mantener el resto pequeño, más grande tiene que ser n. 2.- f (x) = sin x (−∞ < x < +∞). Calculando derivadas de la función conseguimos f (2k) (0) = 0, f (2k+1) (0) = (−1)k (k = 0, 1, 2, · · ·) f (2n+1) (x) = (−1)n cos x. Debido a que f (2n) (0) = 0 es p2n (x) = p2n−1 (x) y por eso 275 f (x) = p2n−1 (x) +   r2n−1 (x),  r2n (x). Utilizando el resto r2n (x) en la forma de Lagrange obtenemos sin x = x − x5 x2n−1 x3 + − + · · · +(−1)n−1 + r2n (x), 3! 5! (2n − 1)! donde r2n (x) = (−1)n cos ϑx 2n+1 x . (2n + 1)! De | cos ϑx| ≤ 1, sigue inmediatamente la estimación |r2n (x)| ≤ |x|2n+1 (2n + 1)! (−∞ < x < +∞). Se demuestra también que lim r2n (x) = 0 ∀ x ∈ R. n→∞ Para justificar el empleo de r2n (x) en lugar de r2n−1 (x), demostramos también que se cumple |r2n−1 (x)| ≤ x2n (2n)! (−∞ < x < +∞). Para |x| < 2n + 1, en especial para x en las cercanı́as de xo = 0, la cota de |r2n (x)| es más pequeña que la de |r2n−1 (x)|, e. d., la estimación de |r2n | es una estimación más fina para el error |f (x) − p2n−1 (x)|. 3.- f (x) = cos x (−∞ < x < +∞) Derivando varias veces se tiene f (2k) (0) = (−1)k , f (2k+1) (0) = 0 (k = 0, 1, 2, · · ·, ), f (2n+2) (x) = (−1)n cos x, como en el ejemplo anterior resulta cos x = 1 − x4 x2n x2 + − + · · · +(−1)n + r2n+1 (x), 2! 4! (2n)! donde r2n+1 (x) = (−1)n+1 cos ϑx 2n+2 x , (2n + 2)! con la estimación |r2n+1 (x)| ≤ x2n+2 (2n + 2)! 276 (−∞ < x < +∞), de donde otra vez sigue lim r2n+1 (x) = 0 (∞ < x < +∞). n→∞ 4.- f (x) = ln(1 + x) (x > −1) Se cumple f (k) (0) = (−1)k−1 (k − 1)! f (n+1) (x) = (−1)n (k = 1, 2, · · · ), n! . (1 + x)n+1 De aquı́ resulta la fórmula de Taylor x2 x3 xn + − + · · · +(−1)n−1 + rn (x). 2 3 n Luego anotamos el resto en la forma de Lagrange ln(1 + x) = x − xn+1 (−1)n · (1 + ϑx)n+1 n + 1 rn (x) = y en la forma de Cauchy rn (x) = (−1)n (1 − ϑ0 )n n+1 ·x . (1 + ϑ0 x)n+1 Para estimar rn (x) para x ≥ 0 elegimos la forma de Langrange y debido a que 1 1 + ϑx ≥ 1, e. e., ≤ 1, 1 + ϑx resulta la desigualdad |rn (x)| ≤ xn+1 n+1 (x ≥ 0). Para estimar rn (x) para −1 < x < 0 es más apropiada la forma de Cauchy. Para eso primero hay que transformarla en n 1 − ϑ0 1 |rn (x)| = xn+1 . 1 + ϑ0 x 1 + ϑ0 x Ahora, para −1 < x < 0 debido a 0 < ϑ0 < 1 se cumple 0 < 1 − ϑ0 < 1 + ϑ0 x, 1 + ϑ0 > 1 + x > 0, por lo tanto 0 < 1 − ϑ0 < 1, 1 + ϑ0 x 0 < 277 1 1 < . 0 1+ϑ 1+x Finalmente, de todo esto, resulta |rn (x)| ≤ |x|n+1 1+x (−1 < x < 0). Las cotas, ya sea para la forma de Lagrange, x ∈ [0, 1], respectivamente para la forma de Cauchy, x ∈ (−1, 0), son sucesiones nulas con respecto a n. En efecto lim rn (x) = 0 n→∞ (−1 < x ≤ 1). xn+1 = +∞, de manera que para estos valores n→∞ n + 1 En cambio, para x > 1 es lim rn (x) diverge. Nota 3.- Observe que f (x) = ln x no se puede desarrollar alrededor de x = 0, ya que sólo está definida para x > 0. 5.- f (x) = (1 + x)α (x > −1, α real cualquiera).Ya que f (k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1)(1 + x)α−k f (k) (0) = α(α − 1) · · · (α − k + 1), f (n+1) (x) = α(α − 1) · · · (α − n)(1 + x)α−n−1 , (k = 1, 2, · · · ), y utilizando el coeficiente binomial α(α − 1) · · · (α − k + 1) = k! α k (k = 1, 2, · · · ) obtenemos la Fórmula de Taylor α α 2 α n α (1 + x) = 1 + x+ x +··· x + rn (x). 1 2 n El resto en la forma de Lagrange α rn (x) = (1 + ϑx)α−n−1 xn+1 n+1 y en la forma de Cauchy α rn (x) = (n + 1) (1 − ϑ0 )n (1 + ϑ0 x)α−n−1 xn+1 . n+1 Como en los ejemplos anteriores, aquı́ se recomienda también estimar rn (x) en la forma de Lagrange para x ≥ 0 y en la forma de Cauchy para −1 < x < 0. Renunciamos a la ejecución detallada y anotamos el resultado, 278 |rn (x)| ≤             α xn+1 n+1 para α |x|n+1 n+1 (n + 1)         |x|n+1 α    (n + 1) n + 1 (1 + x)1−α x ≥ 0, n + 1 > α, para − 1 < x < 0, α ≥ 1, para − 1 < x < 0, α < 1. De igual manera comunicamos que de aquı́ se demuestra lim rn (x) = 0 n→∞ (|x| < 1). α Todavı́a falta considerar el caso especial α = n. En este caso es n+1 = 0, e. d., rn (x) = 0 para cada x > −1, de manera que (1 + x)α se convierte en el binomio de Newton. Ejercicios.- 1) Suministre la Fórmula de Taylor para la función f (x) = 3x4 + x2 − 5x + 2 en xo = 0 con el resto r1 (x) = 2 en la forma de Lagrange. 2) Determine la Fómula de Taylor para la función f (x) = cosh x en la forma de MacLaurin con el resto r2n+1 (x) (n ≥ 0, entero), según Lagrange. 3) Aproxime a la función f (x) = ecos x por su polinomio de 2. orden en xo = 0. Estime tanto |r2 (x)| ası́ como |rx (x)| (Utilice | sin x| ≤ 1!). Nota 4.- En el empleo de la Fórmula de Taylor para una función dada se puede aún disponer sobre el lugar de desarrollo xo y el orden n. El punto xo se puede elegir cerca de los x que nos interesan y al mismo tiempo que se puedan calcular con facilidad los valores f (k) (xo ). El n se elige de acuerdo a la Fórmula de Taylor que se va a emplear. Una primera posibilidad de aplicación es reemplazar a la función f por un polinomio de Taylor aproximador, donde n está dado. Ası́ obtenemos f (x) = n X f (k) (xo k=0 k! (x − xo )k , donde el error absoluto |f (x) − pn (x)| = |rn (x)|, se puede estimar. La cota obtenida de este error todavı́a depende de x. Se presentan dos casos: 279 1. Para un intervalo dado I hay que calcular cota válida del error para todo x ∈ I. 2. Para una cota de error dada δ > 0 hay que buscar los x para los cuales se cumple |rn (x) ≤ δ|. Estos casos lo veremos en algunos ejemplos, donde xo = 0. Ejemplo 1.- La función f (x) = sin x debe ser aproximada por su polinomio de Taylor de 2. orden y el error para |x| < 5o debe ser estimado (1. caso). Sabemos que para sin x es p1 (x) = p2 (x) = x, e. e., sin x ≈ x y para n = 1 obtenemos la estimación del error absoluto de la fórmula en 2.-, | sin x − x| = |r2 (x)| ≤ |x|3 6 para cada x. Por lo tanto el error es tanto más pequeño como pequeño sea |x|. En especial para π = 0, 0872... < 0, 0873 |x| ≤ 5o = 5 180 se obitiene 1 | sin x − x| < (0, 0873)3 < 0, 00012. 6 o o Para un ángulo entre −5 y 5 la aproximación sin x ≈ x es exacta hasta por lo menos 3 lugares detrás de la coma. Empleando el Sı́mbolo de Landau se puede escribir sin x = x + O(x3 ) cuando x → 0. Ejemplo 2.- Se aproxima a la función f (x) = sin x por su polinomio de Taylor de 3. orden, se obtiene sin x ≈ x − x3 . 6 Se buscan aquellos valores de x, para los cuales el error absoluto es a lo más 10−4 (2. caso). Para n = 2 del resto en 2.- se obtiene x3 |x|5 sin x − x − = |r4 (x)| ≤ , 6 120 √ |x|5 ≤ 10−4 sigue |x| ≤ 5 0, 012 = 0, 41 · · · . 120 Para estos x, en especial para |x| ≤ 23o (= 0, 40 · · · ) se alcanzará la 3 exactitud deseada con x − x6 . y de la inecuación Ejercicio.- Determine el polinomio de Taylor de f (x) = en xo = 0 y n = 1 y estime el resto. 280 √ 1 + x (x > −1) Una segunda posibilidad de aplicación de la Fórmula de Taylor consiste en el cálculo numérico del valor de la función f en un x dado, e. d., de f (x). Para eso se aproxima a f (x) mediante el polinomio de Taylor pn (x). Pero en el cálculo de pn (x), debido a los redondeos, se obtiene también una aproximación ỹ de pn (x). De |f (x) − ỹ| ≤ |[f (x) − pn (x)] + [pn (x) − ỹ]|, por la desigualdad triangular, sigue |f (x) − ỹ| ≤ |rn (x)| + |pn (x) − ỹ|. (T 3) Si para el valor considerado de x se cumple lim rn (x) = 0, n→∞ entonces se puede mantener al error |rn (x)|, al elegir un n lo suficiente grande, tan pequeño como se quiera. El error de redondeo |pn (x) − ỹ|, al elevar el número de decimales lo suficiente, en cada caso, se puede hacer tan pequeño como se desee. Bajo la hipótesis de que rn (x) → 0 cuando n → ∞, de esta menera se pueden calcular numericamente los valores f (x) con cualquier axactitud. El cálculo de ỹ no ofrece ninguna dificultad, sobre todo, si se utiliza una computadora, la dificultad está en la estimación del error. Ejemplo.- Se busca un valor aproximado ỹ del número e con un error absoluto de a los más 0, 5 · 10−5 . La Fórmula de Taylor de la función f (x) = ex para x = 1 es 1 1 1 + rn (1) e = 1+ + + ··· + 1! 2! n! y para la estimación del resto, según 1.-, se cumple |rn (1)| = e . (n + 1)! 1 De la definición del número e como lim (1 + )n , se puede concluir que e < 3. n→∞ n De aquı́ resulta 3 . |rn (1)| < (n + 1)! Ahora eligamos n tan grande, que sea 3 < 10−6 (n + 1)! Para alcanzar la exactitud prevista partimos de 10! = 362880 > 3 · 106 , e. d., para n = 9 se cumple |rn (1)| < 10−6 . 281 En el cálculo numérico de pn (1) = 1 + 1 1 1 1 + + +···+ 1! 2! 3! 9! se pueden dar los 3 primeros sumandos con exactitud. Se redondea cada uno de los otros 7 sumandos a 6 decimales, entonces se obtiene un valor aproximado ỹ para pn (1) con el error de redondeo |p9 (1) − ỹ| ≤ 7 · 0, 5 · 10−6 = 3, 5 · 10−6 . De esta desigualdad y de la estimación de |rn (1)|, debido a (T3), sigue |e = ỹ| < 10−6 + 3, 5 · 10−6 = 4, 5 · 10−6 . Efectivamente, el error es más pequeño que 0, 5 · 10−5 . Se calcula p9 (1) en la forma antes indicada, entonces resulta ỹ = 2, 718282. Utilizando la desigualdad anterior se tiene ỹ − 4, 5 · 10−6 < e < ỹ + 4, 5 · 10−6 , esto es, 2, 7182775 < e < 2, 7182865, redeondeado a 4 decimales es e = 2, 7183. Ejercicios.- 1) De una cota, dependiendo de x, para el error absoluto de la aproximación x2 . cos x ≈ 1 − 2 Para que valores de x es con seguridad este error más pequeño que 10−4 ? x1 2) Sean x1 y x2 números positivos con 0 ≤ x1 − x2 ≤ . De una 10 x2 aproximación simple para ln y estime el error absoluto! x1 1 con un error absoluto de a lo 1100 (Utilide la transformación 1100 = 103 (1 + 0, 1). 3) Calcule un valor aproximado para √ 3 más 0, 5 · 10−4 4.5.6 Cálculo de Lı́mites con Ayuda de Derivadas A la Teorı́a de Lı́mites que conocemos podemos agregar otros enunciados, como por ejemplo, los que trataremos a continucación. De lim f1 (x) = l x→xo y 282 lim f2 (x) = ∞ x→xo sigue lim [f1 (x) · f2 (x)] = x→xo +∞ para −∞ para l>0 l < 0. En cambio para el caso lim f1 (x) = 0 lim f2 (x) = + ∞ y x→xo x→xo no es posible formular un enunciado general sobre el lim [f1 (x) · f2 (x)]. x→xo En este caso el comportamiento de f1 (x) · f2 (x) cuando x → xo depende de las propiedades especiales de las funciones f1 y f2 en un entorno de xo . A esta situación se puede expresar simbolicamente como ”0 · (+∞)”. Significado similar tienen los sı́mbolos ”0 · (−∞)” , ” 0” , 0 ” +∞ ” , +∞ ” (+∞) − (∞)” , 0” ”0 , 0” ” (+∞) , +∞ ” . ”1 Para el tratamiento de estos lı́mites, caracterizados simbolicamente, supone también el conocimiento de las funciones que allı́ intervienen. Nota.- A estos lı́mites caracterizados por estos sı́mbolos se le designa como expresiones indeterminadas. Pero estos lı́mites, ası́ caracterizados, para concretos f1 y f2 tienen lı́mites determinados. + Todo lo dicho cuando x → xo , se cumple también cuando x → xo en el sentido correspondiente. ln x es del tipo x→1 x − 1 Ejemplo.- El lim ” 0” , el lim (x ln x) es del tipo ” 0 · 0 x→0+ (−∞)” . A continuación trataremos un método para examinar tales lı́mites empleando el Cálculo Diferencial. Reglas de Bernoulli - de l’Hospital a) Tipos ” 0” 0 y ” +∞ ” +∞ Teor.- (1. Regla de de l’Hospital) Las funciones f1 y f2 sean diferenciables en un intervalo (xo , xo + c) (c > 0) y allı́ se cumpla f20 (x) 6= 0. Además sea 283 lim f1 (x) = 0 y x→x+ o f10 (x) es convergente o divergente determinada, entonces f20 (x) Cuando x → x+ o, lo mismo es lim f2 (x) = 0. x→x+ o f1 (x) y se cumple f2 (x) lim x→x+ o f1 (x) = f2 (x) lim x→x+ o f10 (x) . f20 (x) Dem.- En caso de que f1 y f2 aún no fueran continuas por la derecha en xo , se puede hacerlas al poner f1 (xo ) = 0 y f2 (xo ) = 0. Con esto, de ninguna f1 (x) manera se influenciará al comportamiento de cuando x tiende a x+ o. f2 (x) Ahora sea (xn ) una sucesión convergente hacia xo con xn ∈ (xo , xo + c) para todo n. Entonces f1 y f2 satisfacen las hipótesis del Teorema del Valor Medio Generalizado en cada intervalo [xo , xn ]. Por eso, para cada n hay un ξn ∈ (xo , xn ) con f1 (xn ) − f1 (xo ) f 0 (ξn ) f1 (xn ) = = 1 . f2 (xn ) f2 (xn ) − f2 (xo ) f2 (ξn ) f10 (ξn ) , por f20 (ξn ) hipótesis, es convergente o divergente determinada, de la igualdad anterior, sigue f1 (xn ) que también ası́ lo es. Con lo que queda demostrada la afirmación. f2 (xn ) Puesto que (ξn ) también converge hacia xo (porqué?) y ya que La 1. Regla de de l’Hospital se refiere al tipo lı́mites del tipo +∞ ” +∞ ” 0” ”0 . Un teorema análogo para daremos sin demostración. Teor.- (2. Regla de de l’Hospital) La 1. Regla de de l’Hospital permanece válida, si la hipótesis se reemplaza por lim f1 (x) = +∞ y x→x+ o lim x→x+ o = +∞. Nota 1.- Estos teoremas se mantienen también válidos, según el sentido, para las tendencias x → x− o , x → xo , Ejemplos.- 1) Se busca el lim x → + ∞, x→1 ln x . x−1 284 x → − ∞. Puesto que el 1 (ln x)0 x = lim lim = 1 x→1 1 x→1 (x − 1)0 existe, según la 1. Regla y la nota, se cumple lim x→1 ln x (ln x)0 = 1. = lim x→1 (x − 1)0 x−1 √ x−1 . ln x x→1 ” Este lı́mite es también del tipo ” 00 . Se cumple 2) Calcular el lim+ 1 √ 2 x−1 lim = 1 x→1+ x √ ( x − 1)0 lim+ = (ln x)0 x→1 x = + ∞, lim+ √ x→1 2 x − 1 donde la divergencia determinada resulta de un teorema de lı́mites. También en este caso se aplica la 1. Regla y se tiene √ √ x−1 ( x − 1)0 lim+ = lim+ = + ∞. ln x (ln x)0 x→1 x→1 Los dos ejemplos anteriores muestran que problemas de lı́mites del mismo tipo conducen a diferentes resultados. Con frecuencia hay que aplicar las reglas repetidas veces hasta llegar a resultados satisfactorios, como lo veremos. 3) Calcular el x2 . ex lim x→+∞ Este lı́mite es del tipo +∞ ” ” +∞ . Sin embargo el (x2 )0 = x→+∞ (ex )0 lim lim x→+∞ 2x ex sigue siendo del mismo tipo. Diferenciando otra vez, se obtiene lim x→+∞ (2x)0 = (ex )0 lim x→+∞ 2 = 0. ex Pués la aplicación de la 2. Regla dos veces nos suministra lim x→+∞ x2 = ex lim x→+∞ 2x = ex 285 lim x→+∞ 2 = 0. ex (n) Nota 2.- Si los lı́mites de (n+1) pero el f1 (x) (n+1) f2 (x) f1 (x) f1 (x) f10 (x) 0” , · ··, , , son del tipo ” (n) f2 (x) f20 (x) 0 f2 (x) existe, entonces se cumple lim x→xo (n+1 f1 (x) = f2 (x) lim x→xo x + sin x 4) Determinar lim x→+∞ x Sabemos que f1 (x) (n+1) f2 (x) +∞ Tipo +∞ . (x + sin x)0 = 1 + cos x. (x)0 Puesto que cuando x → +∞, 1+cos x diverge indeterminadamente, no se puede aplicar la 2. Regla. Sinembargo por otro camino se obtiene inmediatamente x + sin x sin x lim = lim 1+ = 1 + 0 = 1. x→+∞ x→+∞ x x Ejercicios.- Analice los siguientes lı́mites: ax − bx (a > 0, b > 0) x→0 x a) lim c) b) Tipos b) limπ x→ 2 ln sin x (π − 2x)2 x3 . x→+∞ ln x lim ”0 · (+∞)” y ” (+∞) − (+∞)” Estos casos, mediante transformaciones apropiadas, se reducen a los tipos anteriores. Ası́ el caso lim [f1 (x) · f2 (x)] x→x+ o (” 0 · (+∞)” ) se puede transformar en lim+ x→xo f1 (x) 1 f2 (x) ” 0” 0 o lim+ x→xo f2 1 f1 (x) ” +∞ ” +∞ Para otras tendencias de x se procede analogamente. Ejemplos.- 1) Determinar el lim (x ln x) x→0+ 286 (” 0 · (−∞)” ) Se obtiene lim+ (x ln x) x→0 = lim+ x→0 ln x 1 x 1 = lim+ x = 1 x→0 − 2 x −∞ +∞ lim (−x) = 0. x→0+ En el caso lim [f1 (x) − f2 (x)] x→x+ o (” (+∞) − (+∞) mediante la transformación 1 1 − f2 (x) f2 (x) f1 (x) − f2 (x) = 1 f1 (x)f2 (x) (?) 0” se obtiene el tip ” . Ocasionalmente se llega más rápido a este tipo a través 0 de otra transformación adecuada a la funcón especial en consideración. Ejemplo.- La velocidad v de un cuerpo en caı́da de masa m, aceptando un factor de proporcionalidad k > 0 que viene a ser la resistencia del aı́re proporcional a la velocidad, está dada por mg − k t mg v = vo − e m + (t > 0) k k Para k = 0 no tiene sentido. Queremos examinar el comportamiento de v cuando k → 0+ . Para eso escribimos a esta expresión en la forma k mg mg v = − − vo e− m t , k k y ası́ reconocemos que cuando k → 0+ , tenemos un lı́mite del tipo ” (+∞) − (+∞)” . Pero en vez de transformarlo según (?), lo tranformamos como sigue k mg 1 − e− m t k + vo e− m t . v = k Cuando k → 0+ , el segundo sumando converge hacia vo y el primer viene a ser ” del tipo ” 00 . Con i k d h mg 1 − e− m t lim dk = lim+ (gt) = gt d(k) k→0+ k→0 dk 287 se obtiene finalmente lim+ v = gt + vo , e. e., la fórmula conocida para la k→0 velocidad de la ca´(i)da de un cuerpo despreciando la resistencia del aı́re. Ejercicios.- Examine los siguientes lı́mites:   2 p 3 b) lim x3 + 2x2 − x a) lim x2 e x2  x→+∞ x→0 c) 0” ”0 , Tipos 0” ” (+∞) +∞ ” ”1 y Para determinar lim f1 (x)f2 (x) x→xo consideremos, para estos casos mencionados, primero a la función ln[f1 (x)f2 (x) ] = f2 (x) · ln f1 (x) (f1 (x) > 0). Pero aquı́ vemos facilmente que el + lim [f2 (x) · ln f1 (x)] x→xo es del tipo ” 0·(+∞)” y por lo tanto calculable según ese tipo. Si este lı́mite existe como lı́mite propio, por la continuidad de la función exponencial, se cumple lim+ [f1 (x)] f2 (x) lim [f2 (x) · ln f1 (x)] = e x→x+ o . x→xo lim+ xx es del tipo Ejemplos.- 1) El x→0 0” ”0 . Según (⊕) tenemos lim [x · ln x] lim xx = ex→0+ = e0 = 1, x→0+ ya que x lim ln x x→0+ 2) El = lim [x · ln x] = 0. x→0+ 1 lim− (1 − sin x) x es del tipo x→0 288 ”1 −∞ ” (⊕) Puesto que 1 lim− ln(1 + sin x) x = x→0 lim− x→0 ln(1 + sin x) x 0” ” 0 cos c 1 + sin x = 1 = lim− 1 x→0 Por lo tanto, aplicando (⊕) resulta 1 lim− ln(1 + sin x) x = e1 = e. x→0 Ejercicios.- Examine los siguientes lı́mites: a) 4.5.7 lim x→+∞ a x 1+ x b) sin x 1 . lim x x→0+ Monotonı́a En este y en los siguientes parágrafos estableceremos las relaciones que existen entre propiedades caracterı́ticas de una función y sus derivadas. Recordemos el concepto de monótona, respectivamente de monótona estrı́cta de una función. La Fig. 7.1. muestra el grafo o curva de una función monótona creciente estrı́cta y diferenciable en (a, b). A simple vista se nota que f 0 (x) > 0 para todo x ∈ (a, b). Teor.- Es f : (a, b) −→ R diferenciable, entonces se cumple f0 f0 f0 f0 >0 <0 ≥0 ≤0 en en en en (a, b) (a, b) (a, b) (a, b) =⇒ =⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ f f f f es monótona creciente estricta en (a, b); es monótona decreciente estricta en (a, b); es monótona creciente en (a, b); es monótona decreciente en (a, b); Dem.- La demostración en el sentido ” =⇒” es válida para todas las afirmaciones y en el sentido ” ⇐=” para las dos últimas. a) ” =⇒” Sea f 0 x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Si f no fuera monótona creciente estricta, habrı́a números xo , x1 ∈ (a, b) con xo < x1 y f (xo ) > f (x1 ), e. e., f (x1 ) − f (x2 ) < 0. x1 − xo 289 Pero por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial existe un ξ ∈ (xo , x1 ) ⊂ (a, b), tal que se cumplierı́a f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (ξ) < 0. x1 − xo Contradicción a la hipótesis! Para los otros casos se procede analogamente. b) ” ⇐=” f sea monótona creciente. Hubiera un xo ∈ (a, b) tal que se cumpla f (x) − f (xo ) lim = f 0 (xo ) < 0, x→xo x − xo entonces para números x1 6= xo suficientemente cercanos a xo se cumplirı́a f (x1 ) − f (xo ) < 0. x1 − xo Por consiguiente, f no serı́a monótona creciente. Contradicción! Para el otro caso, la demostración transcurre similar. Nota.- Mientras que la no negatividad de f 0 es condición necesaria y suficiente para la monotonı́a de f , la positividad de f 0 es condición necesaria para la estrictez de la monotonı́a. Ası́ por ejemplo f (x) = x3 es monótona estricta en (−∞, +∞), pero f 0 (0) = 0. Ejemplo.- Examine la monotonı́a de f (x) = ln(1 + x) − x (x > −1). Debido a que 1 1 −1 = − f (x) = 1+x 1+x 0 > 0 para < 0 para x ∈ (−1, 0), , x ∈ (0, +∞) es f monótona creciente estricta en (−1, 0] y monótona decreciente estricta en [0, +∞). Por eso, para cada x > −1, x 6= 0 es f (x) < f (0) = 0 (ver Fig. 7.2.). Con esto, hemos demostrado al mismo tiempo la inecuación ln(x + 1) < x (x > −1, x 6= 0). Ejercicios.- 1) Examine el comportamiento monótono de f (x) = 31 x3 + x − 7 (−∞, +∞). 2 2) Demuestre la Desigualdad de Bernoulli (1 + x)n > 1 + nx (n ≥ 2 entero, x > −1, x 6= 0). Indicación: Determine la monotonı́a de la función f (x) = (1 + x)n − 1 − nx 290 (x > −1). 4.5.8 Extremos Relativos La propiedad de f (xo ) de ser valor extremo absoluto de la función f en el conjunto D(f ) tiene carácter global, e. d., se compara a f (xo ) con todos los valores que f toma en D(f ). Con el concepto de valor extremo relativo f (xo ) vamos a introducir una propiedad local de f , e. d., se compara a f (xo ) con los valores que toma f en un cierto entorno de xo , eventual muy pequeño. Para eso f tiene que estar definida, por lo menos, en un entorno de xo , e. e, xo tiene que ser punto interior de D(f ). Esta idea nos lleva a la Def.- Un lugar xo en el interior de D(f ) se llama lugar de un máximo relativo o local, respectivamente lugar de un mı́nimo relativo o local de f , si existe un E(xo ) ⊂ D(f ), tal que se cumple f (xo ) ≥ f (x), respectivamente f (xo ) ≤ 0 ∀x ∈ E(xo ). respectivamente f (xo ) < 0 ∀x ∈ E(xo ), Se cumple f (xo ) > f (x), entonces xo se llama lugar de un máximo relativo o local, respectivamente lugar de un mı́nimo relativo o local, de f en el sentido estricto. El valor f (xo ) se llama máximo relativo o local, respectivamente mı́nimo relativo o local de f (en sentido estricto). Para máximos y mı́nimos relativos se dice, más breve, extremos relativos. Fig. 7.3. muestra el grafo de una función f que tiene en x1 un máximo relativo en sentido estricto. Para eso, basta que se cumpla la definición de máximo en un entorno de x1 , el comportamiento de f fuera de este entorno no tiene importancia. No interesa que sea f (x3 ) > f (x1 ), ya que x3 está fuera del entorno. En x3 tiene la función otro máximo relativo, pero no en sentido estricto. Además lo lugares x2 , x4 y x5 son lughares mı́nimos relativos en sentido estrcito. Observando Fig. 7.3. notamos que f toma sus máximos relativos en x1 y x3 y es continua en [x1 , x3 ]. Por el Teorema de Weierstrass, f toma en un x ∈ [x1 , x3 ], más exacto en x2 ∈ [x1 , x3 ], su mı́nimo absoluto en [x1 , x3 ]. Con seguridad es x ∈ (x1 , x3 ) ⊂ D(f ), por eso, f (x2 ) es también un mı́nimo relativo. Nota.- Una función continua, entre dos máximos (respectivamente mı́nimos) relativos, toma siempre un mı́nimo (respectivamente máximo) relativo. Una función discontinua no necesita tener esta propiedad, como se ve en los lugares x4 y x5 de la Fig. 7.3. 4.5.9 Condición Necesaria par Extremos Relativos. Puntos Crı́ticos Un extremo relativo f (xo ) es un extremo absoluto de f con respecto a un entorno de xo . Por eso, del Teorema de Fermat aplicado a este entorno se tiene el 291 Teor.- La función f tenga en xo un extremo relativo y sea allı́ diferenciable. Entonces se cumple f 0 (xo ) 0. Demn.- Es obvia. Esta condición es pués necesaria para que una función diferenciable en xo tome ahı́ un extemo relativo, pero no es sufiente. Ası́ la función f (x) = x3 (−∞ < x < +∞) en xo = 0 no toma ningún extremo relativo, sinembargo se cumple f 0 (0) = 0. Por otro lado, una función puede tener un extremo en un xo , en el cual no es diferenciable. Un ejemplo es f (x) = |x| (−∞ < x < +∞), que no es difeenciable en xo , pero allı́ tiene un mı́nimo relativo en sentido estricto, que también es absoluto. Resumiendo, hay dos clases de lugares ”sospechosos” de ser extremos, que los decribiremos en la Def.- Un punto xo en el interior del campo de definición de f se llama punto crı́tico de f, si o f es diferenciable en xo y se cumple f 0 (xo ) = 0 o f no es diferenciable en xo . Geometricamente, xo es exactamente entonces punto crı́tico de f , si el grafo de f en xo o posee una tangente paralela a la absiza o no posee tangente. Nota.- Todo lugar extremo relativo de f es punto crı́tico de f . Las Fig. 7.4a) hasta 7.4f) muestran algunos casos tı́picos del comportamiento de una función continua f en un entorno de un punto crı́‘tico xo . En los casos a) hasta d) xo es punto extremo relativo y en los casos e) y f) no. De la nota se desprende el procedimiento para determinar los valores extremos relativos de una función f : 1. Paso: Determinar los puntos crı́ticos de f . 2. Paso: Examinar cuales de los puntos crı́ticos son realmente lugares extremos relativos. 3. Paso: Calcular los valores extremos relativos. Ejemplo.- Determinar los puntos crı́ticos de la función f (x) = x2 e−x (−∞, +∞). Ya que f es diferenciable en todo x, los puntos crı́ticos de f se obtienen como solución de la ecuación f 0 (x) = 0. Pero de f 0 (x) = 2xe−x − x2 e−x = x(2 − x)e−x = 0 y e−x 6= 0 ∀ x, resulta que x1 = 0 y x2 = 2 son las soluciones. El segundo paso requiere de conocimientos de condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos. Con esto nos ocuparemos a continuación. 292 4.5.10 Condición Sufieciente para Extremos Teniendo los puntos crı́ticos de f hay que averiguar cual de estos son lugares extremos. Esto es posible si f es lo suficientemente diferenciable en un entorno del punto crı́tico. Teor.- La función f posea en un entorno E de xo derivadas continuas hasta del orden n (n ≥ 2) y se cumpla f 0 (xo ) = f 00 (xo ) = ... = f (n−1) (xo ) = 0, pero f (n) (xo 6= 0. I. Es n par, entonces f tiene en xo un extremo relativo, y en efecto, en caso (n) f (xo ) < 0 máximo de un relativo en sentido estricto. mı́nimo f (n) (xo ) > 0 II. Es n impar, entonces f no tiene en xo extremo relativo, en cambio en un cierto entorno de xo , f es, en caso (n) f (xo ) < 0 decreciente de monótona estricta creciente f (n) (xo ) > 0 Dem.- En la demostración nos limitamos al caso f (n) (xo ) < 0; en el caso f (n) (xo ) > 0 se concluye analogamente. Por hipótesis, f es desarrollable en cada xo ∈ E según la Fórmula de Taylor con el resto de Lagrange rn−1 (x) y se tiene f (x) − f (xo ) = f (n) (xo + ϑ(x − xo )) (x − xo )n n! (0 < ϑ < 1). Puesto que f (n) es continua en xo , ademá se cumple f n (xo ) < 0 y por una porpiedad de funciones continuas, existe un ε > 0, tal que f (n) (x) < 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε) ⊂ E. Debido a que 0 < ϑ < 1 es particularmente xo +ϑ(x−x0 ) ∈ (xo −ε, xo +ε) y por lo tanto f (n) (x0 + ϑ(x − xo )) < 0 I. Es n par, entonces es f (x) − f (xo < 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε). (x − xo > 0 para todo x 6= xo . De esto se tiene n! para todo x ∈ (xo − ε, xo + ε) x 6= xo ), e. d., f (xo ) es un máximo relativo en sentido estricto. II. Es n impar, entonces es (x − xo )n < 0 para todo x < xo , > 0 para todo x > xo . n! 293 De las expresiones anteriores se deduce que > 0 para todo x ∈ (xo − ε, xo ), f (x) − f (xo ) < 0 para todo x ∈ (xo , xo + ε), de manera que f (xo , con seguridad, no es extremo relativo. Emplear este teorema a un punto crı́tivo de f , quiere decir, diferenciar f hasta obtener, por primera vez, una derivada en xo diferente a cero. Con frecuencia la segunda derivada ya cumple con esto. Por eso formulamos el Corol.- La función f posea derivadas continuas hasta del segundo orden y se cumpla f 0 (xo ) = 0, pero f 00 (xo ) 6= 0. Entonces f tiene en xo un extremo relativo, y en efecto en caso 00 f (xo ) < 0 máximo de un relativo en sentido estricto f 00 (xo ) > 0 mı́nimo Ejemplo 1.- Se buscan los lugares extremos relativos y los valores extremos relativos de la función f (x) = x2 e−x (−∞, + ∞). La solución transcurre en tres pasos: 1. Puntos crı́ticos: x1 = 0 y x2 = 2 2. (a) Para x1 = 0. Sabemos que f 00 (x) = (2 − 4x + x2 )e−x , e. e., f 00 (0) = 2 > 0. Por el corolario, f tiene en x1 = 0 un mı́nimo relativo en sentido estricto. (b) Para x2 = 2. Ya que f 00 (2) = 2e−2 < 0, es x2 un lugar máximo relativo en sentido estricto. 3. Máximo relativo: f (2) = 4e−2 . Mı́nimo relativo: f (0) = 0. La Fig. 7.5 muestra el grafo de f . Ejemplo 2.- Asimismo determinar los lugares extremos relativos y los valores extremos relativos de la función f (x) = (x − 1)3 (x + 1) 1. Puntos crı́ticos: x1 = 1 2 (−∞, + ∞). y x2 = 1 2. (a) Para x1 = 12 . Se cumple f 00 (x) = 12x(x−1), e. e., f 00 (− 21 ) = 9 > 0. Por el corolario, f tiene en x1 = 12 un mı́nimo relativo en sentido estricto. 294 (b) Para x2 = 1. Ya que f 00 (2) = 0, se diferencia una vez más y se obtiene f 000 (x) = 24x − 12, e. e., f 000 (1) = 12 6= 0. Ya que la primera derivada que no es igual a cero en x2 = 1 es de orden impar, más exacto, de tercer orden, por el teorema anterior, f ni tiene extremo relativo en x1 = 1. (Por f 000 (1) > 0, f es en cierto entorno de x2 = 1 monótona creciente estricta). 3. Máximo relativo: f (− 21 ) = − 27 16 . Mı́nimo relativo: No existe. Ver Fig. 7.6 Ejercicios.- Determine los lugares y valores extremos relativos de las funciones: 1. f (x) = 4 cos x + cos 2x (−∞ < x < +∞) 2. f (x) = x3 e−x (−∞ < x < +∞) 4.5.11 Otra Condición Suficiente para Extremos El siguiente teorema es sólo aplicable, si la función f es diferenciable en un entorno de xo , pero en xo continua no necesariamnte diferenciable. Otra ventaja de este teorema es que sólo se necesita la primera derivada de f . Teor. Exista un ε > 0, tal que f es diferenciable en (x0 − ε, xo + ε), con excepción eventual en xo mismo. I. Es f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ (xo − ε, xo ) y entonces f tiene en xo un II. Es f 0 (x) > 0 f 0 (x) < 0 máximo mı́nimo f 0 (x) < 0 f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ (xo , xo + ε), relativo en sentido estricto. ∀ x ∈ (xo − ε, xo + ε) x 6= xo , entonces f no tiene en xo un extremo relativo, sino que f en (xo − ε, xo + ε) es monótona estricta creciente . decreciente Cualitativamente este criterio se puede formular también ası́: I. f 0 al transitar sobre xo de izquierda a la derecha cambia el signo de mas a menos (repectivamente, de menos a mas), entonces f tiene en xo un máximo (respectivamente, mı́nimo) relativo (ver Fig. 7.7). II. f 0 durante este tránsito no cambia de signo, entonces f no toma ningún extremo relativo en xo . 295 Dem.- Este teorema es consecuencia inmediata del criterio de monotonı́a: Es f 0 (x) > 0 para x ∈ (xo −ε, xo ) y f 0 (x) < 0 para x ∈ (xo , xo +ε), entonces f es en (xo −ε, xo ] monótona creciente estricta y en [xo , xo +ε) monótona decreciente estricta. Por consiguiente f (xo ) tiene que ser el valor más grande que toma la función f en (xo − ε, xo + ε). Analogamente se concluye para los otros casos. Observe para eso Fig. 7.4a) hasta 7.4f). Ejemplo.- Buscar los lugares y valores extremos relativos de p 3 x3 + 2x2 (x ≥ −2). f (x) = 1. El radicando desaparece en los lugares x = −2 √ y x = 0, pero en estos lugares f no es diferenciable, ya que la derivada de x en x = 0 no existe. El lugar x = −2 por ser punto frontera del D(f ) no es punto crı́tico. El lugar x = 0 es punto interior del D(f ) y posiblemente f allı́ no sea diferenciable. No necesitamos comprobar, si realmente x = 0 es un punto crı́tico de f . Má bién lo consideraremos ”sospechoso” de ser lugar extremo y seguiremos analizando. Para suministrar otros puntos crı́ticos de f hay que diferenciarla y se obtiene f 0 (x) = x(3x + 4) 2 3(x3 + 2x2 ) 3 (x > −2, x 6= 0). 4 La única solución de f 0 (x) = 0 es x = − . 3 4 2. a) Para x1 = − : Se lee: 3 f 0 (x) > 0 para 4 −2<x<− , 3 f 0 (x) < 0 para − 4 < x < 0. 3 4 Puesto que f al pasar por el lugar x1 = de izquierda a la derecha cambia de 3 signo mas a menos, tiene ahı́, por el teorema anterior, un máximo relativo en sentido stricto. b) Para x2 = 0: En este lugar es también aplicable el último teorema. En este caso se puede concluir en lo siguiente: Ya que f (0) = 0 y f (x) > 0 para todo x 6= 0 y x > −2, se tiene en x = 0 un lugar mı́nimo relativo en sentido estricto. 2√ 4 3 4. Mı́nimo relativo: f (0) = 0. 3. Máximo relativo: f (− ) = 3 3 Ver Fig. 7.8, donde se ha esbozado el grafo de f . La recta y = x + su significado que lo explicaremos después. 296 3 3 tiene Ejercicios.- Emplenado el último teorema, determine los lugares y valores extremos relativos. 1. f (x) = )x + 1)5 (x − 2) (−∞ < x < +∞), 2. f (x) = x|x − 1| (−∞ < x < +∞) 4.5.12 Valores Estremos Absolutos Hasta aquı́ sabemos como determinar los extremos (máximos y mı́nimos) relativos de una función, e. e., extremos alrededor de un punto. Para determinar los extremos absolutos, e. e., extremos en todo el campo de definición de la función hay determinar los puntos candidatos a lugares extremos, luego examinar si estos son extremos relativos y calcular el valor de la función en estos lugares. Son cadidatos a lugares extremos: 1. Los puntos, donde f es diferenciable y se cumple f 0 (x) = 0, 2. Los puntos, donde f no es diferenciable y 3. Los puntos frontera. Si D(f ) = [a, b], los puntos frontera son a y b. Entonces el procedimiento para determinar los extremos (máximo y mı́nimo) absolutos de f en [a, b] consiste: 1. Determinar todos los extremos relativos en (a, b). 2. Determinar f (a) y f (b). 3. De ellos elegir el valor más grande y el más pequeño de f . Recordemos que todo función continua en [a, b] posee máximo y mı́nimo. Teor.- Si f es continua en I y tiene en un único xo ∈ I un extremo relativo, entonces f (xo es extremo absoluto de f en I. Ejemplo.[1, +∞). Se busca los extremos absolutos de f (x) = x2 e−x en I = El único extremo relativo de f en [1, +∞) es el máximo relativo f (2) = 4e−2 , por el teorema anterior, es también el máximo absoluto de f en [a, +∞). El mı́nimo absoluto pudiera tomarlo en en punto frontera x = 1. Pero resulta que x2 f (1) = e−1 > 0 y lim f (x) = lim x = 0, x→+∞ x→+∞ e Por lo tanto f no tiene mı́nimo absoluto en [1, +∞) (ver Fig. 7.5). Ejercicio.- Determine los extremos absolutos de f (x) = (x + 3)2 (x − 2)3 . 297 4.5.13 Funciones Convexas y Cónvexas Geometricamente se dice que una curva es convexa, si la secante que pasa por cada dos puntos de la curva siempre está por encima de la porción de curva comprendida entre los puntos. Analiticamente se dice que una función es convexa en I, si la secante por cada dos puntos P1 , P2 de su grafo está por encima de la porción del grafo comprendido entre P1 y P2 . Ya que la ecuación de la secante por los puntos P1 y P2 está dada por s(x) = f (x1 ) + x2 − x x − x1 f (x2 ) − f (x1 ) (x − x1 ) = f (x1 ) + f (x2 ) x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 se puede dar la siguiente formulación analı́tica: Def.- Sea I un intervalo. f : I −→ R se llama convexa en I, si para cada tres puntos x1 , x, x2 ∈ I con x1 < x < x2 se cumple la inecuación f (x) ≤ x − x1 x2 − x f (x1 ) + f (x2 ), x2 − x1 x2 − x1 y se llama cóncava, si con las mismas premisas se cumple la inecuación f (x) ≥ x2 − x x − x1 f (x1 ) + f (x2 ), x2 − x1 x2 − x1 En vez de ≤ se cumple < , entonces f se llama convexa estricta en I. En vez de ≥ se cumple > , entonces f se llama cóncava estricta en I. (ver Fig.) Ya que para todo x ∈ (x1 , x2 ) existe exactamente un λ con λ ∈ (0, 1) tal que es x = λx1 + (1 − λ)x2 , podemos enunciar el Teor.- La función f es convexa en I ⊂ D(f ), si para cada dos puntos x1 , x2 ∈ I con x1 6= x2 y para cada λ ∈ (0, 1) se cumple la inecuación f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). Si en cambio se cumple f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), entonces f es cóncava en I. Dem.- Trivial! Ejemplo.- f )x) = |x| es una función convexa que no es diferenciable. Para funciones diferenciables caracterizamos la convexidad y concavidad por la posición de la tangente al grafo de la función. 298 Sea f diferenciable en I, por lo tanto su grafo acepta tangente en cada punto. f es entonces exactamente convexa (respectivamente, concava) en I, si cada punto del grafo de f está por encima (respectivamente, por debajo) de cada tangente o la más en la tangente (ver Fig.). En Fig. se deja intuir que para una función convexa la pendiente de la tangente en el punto P (x, f (x)) crece cuando x aumenta, de manera que f 0 es monótona creciente. En realidad se cumple el Teor.- La función f sea en I diferenciable. Entonces f es exactamente convexa (respectivamente, cóncava) (estricta) en I, si f 0 es monótona creciente (respectivamente, decreciente) (estricta). De teoremas anteriores se obtiene el siguiente criterio de convexidad. Teor.- La función f tenga una primera de primer orden continua en I y una de derivad de segundo orden en el intgrior de I. I. Entonces f es exactamente convexa (cóncava) en I, si se cumple f 00 (x) ≥ 0 00 (f (x) ≤ 0) para cada x del interior de i. II. Se cumple f 00 (x) > 0(f 00 (x) < 0) para cada x del interior de I, entonces f es convexa (cóncava) estricta en I. Ejemplo.- Para la función f (x) = (x − 1)3 (x + 1) (−∞ < x < +∞) se tiene f 00 (x) = 12(x − 1) > 0 < 0 para para x < 0 y para 0 < x < 01. x > 1, Por el criterio de convexidad, f es convexa estricta en (−∞, 0] y en [1, +∞) y cóncava estricta en [0, 1] (ver Fig. ). Ejercicio.- Examine el comportamiento convexo de las funciones 1. f (x) = x2 x +1 3. f (x) = ln x 4.5.14 (−∞, + ∞), 2. f (x) = ex (−∞, + ∞), (0, + ∞), 4. f (x) = xp [0, + ∞). Puntos de Flexión de una Función Hay que resaltar aquellos puntos, donde el ”cambio de velocidad”, de una función toma un máximo o mı́nimo relativos. Para eso damos la Def.- La función f sea diferenciable en un entorno de xo . El punto (xo , f (x0 ) se llama punto de felexión de f , si la derivada f 0 tiene en xo un extremo relativo en sentido estricto. La tangente en un punto de flexión se llama tangente 299 de flexión. Es esta horizontal, e. e., es f 0 (xo ) = 0, entonces (xo , f (x0 ) se llama punto de flexión horizontal. Un resultado inmediato de los teoremas anteriores y de esta definición es el Teor.- La función f sea diferenciable en el intervalo [xo − ε, xo + ε], ε > 0. Es f en [x0 −ε, xo ] convexa estricta y en [xo , xo +ε] cóncava estricta o viciversa, entonces el punto Po (xo , f (xo )) es un punto de flexión de f (ver Figs. ..) En el último ejemplo la función f tiene los puntos de flexión P1 (0, −1) y P2 (1, 0). A P1 pertenece la tangente de flexión y = −1 + 2x y por ser f 0 (1) = 0, P2 es un punto de flexión horizontal con la tangente de flexión y = 0 (ver Fig. 7.6). De la conclusión, de que todo lugar extremo de una función es punto crı́tico de la misma y de la condición suficiente para extremos, se deriva el siguiente criterio para la existencia de un punto de flexión: La función f solo entonces puede tener en xo un punto de flexión, o si f 00 (xo ) = 0 o si la segunda derivada de f no existe en xo . Teor.- La función f posea en un entorno de xo derivadas continuas hasta el orden n (n ≥ 3) y se cumpla f 00 (xo ) = f 000 xo ) = · · · = f (n−1) (xo ) = 0, pero f (n) (xo ) 6= 0. Es n impar, entonces f tiene en xo un punto de flexión, en otro caso no. Ejemplo.- La ecuación de Van der Waal sobre reales gases es p = a RT − v − b v2 (v > b), donde T = temperatura, v = volumen mol, p = presión, R = constante general de gas, a y b = constantes especı́‘ficas. En temperatura constante T , la presión es una función del volumen v, cuyo grafo o curva se llama isoterma. De reflexiones fı́sicas se concluye en la existencia de una isoterma T = Tk con un punto de flexión horizontal K. En la Fig. 7.17 se han esbozado tres isotermas tı́picas que corresponden a tres temperaturas T1 < Tk < T2 . (El comportamiento real de la materia entre los puntos A y B se describe por un segmento de recta paralelo al eje v.) Ahora vamos a demostrar matematicamente la existencia de un punto de flexión horizontal K y luego determinar K. Las codiciones necesarias son dp = 0 dv y 300 d2 p = 0. dv 2 Derivando la función p, reemplazando T por Tk e igualando a 0 resulta − RTk 2a + 3 = 0 (v − b)2 v y 2RTk 6a − 4 ) = 0. (v − b)3 v La única solución v = vk de estas ecuaciones es vk = 3b. Se reemplaza este 8a . Reemplazando estos valor en ambas ecuaciones, y se obtiene Tk = 27Rb a valores en la función p otenemos pk = . Debido a que 27b2 d3 p 6RTk 24a a (vk ) = − + 5 = − 6= 0 dv 3 (vk − b)4 vk 81b5 es K(vk , pk ) realmente un punto de flexión por el último teorema. A las magnitudes Tk , vk y pk se le denominan datos crı́ticos y a K punto crı́tico. Ejercicio.- Determine puntos de flexión y las correspondientes tangentes de flexión de f (x) = x2 ln x (x > 0). 4.5.15 Discusión de Curvas Hasta aca hemos esbozado grafos o curvas de funciones sin haber tratado la confección misma de tales esbozos. Con esto nos queremos ocupar a continuación. Para eso, de una función dada examinaremos las siguientes propiedades: 1. Lugares de discontinuidad, 2. Intrvalos de monotonı́a, 3. Extremos relativos, 4. Intervalos de convexidad, 5. Puntos de flexión 6. Compoartamiento de f cuando x → +∞, Ası́ntotas La discusión de una curva permite, en principio, conocer el transcurso de la curva para aproximadamente esbozarla. Para elevar la exactitud del esbozo además hay que conocer el valor de la función en algunos lugares y los lugares nulos. De ser necesario también las propiedades de perı́ocidad y simetrı́a. De todas las propiedades arriba mencionadas nos falta definir el concepto de ası́ntota. − Def.- Es la función f , cuando x → x+ o o cuando x → xo , determinadamente divergente, entonces a la recta x = xo se llama ası́ntota (vertical) de f para ese movimiento de x. Una recta y = ax + b 301 se llama ası́ntota (inclinada) de f cuando x → +∞, si se cumple lim [f (x) − (ax − b)] = 0. x→+∞ Análogo es cuando x → −∞. Intuitivamente hablando, una ası́ntota es pués una recta, a la cual la curva de f se aproxima tan cerca como se quiera cuando x tiende a xo lateralmente o a +∞ (ver Fig. 7.18). Para determinar la ası́ntota y = ax + b hay que conocer a y b. Para eso escribimos a la expresión anterior en la forma f (x) b lim x −a− = 0. x→+∞ x x b f (x) −a− = 0 De lim x = + ∞ sigue lim x→+∞ x→+∞ x x y de aquı́, por lim x→+∞ b = 0, resulta x a = lim x→+∞ f (x) . x Y conociendo a, se obtiene inmediatamente b = lim [f (x) − ax]. x→+∞ Y viciversa. Nota.- La curva de f poesee exactamente una ası́ntota cuando x → +∞, si existen a y b. Con estos lı́mites la ası́ntota está dada por y = ax + b. En especial, existe lim f (x), entonces a = 0 y por lo tanto b = lim f (x). x→+∞ x→+∞ En este caso la curva de f tiene la ası́ntota (horizontal) y = b (b = lim f (x)). x→+∞ Todos estos razonamientos se cumplen analogamente cuando x → −∞. En lo que precede hemos definido ası́ntotas lineales para cualquier función. Ahora consideraremos ası́ntotas curvilineas para funciones racionales quebradas. Primeramente recordemos que una función h tal tiene la forma h(x) = p(x) , q)x) donde p(x) y q(x) son polinomios de grado m y n respectivamente. El quebrado es propio, si m > n. Por eso, para funciones racionales quebradas propias h siempre se cumple lim h(x) = 0. x→+∞ 302 Ahora sea f una función racional quebrada propia. Al dividir el numerador entre el denominador, podemos descomponer a f de la siguiente manera: f (x) = g(x) + h(x), donde g es una función racional entera y h una función racional quebrada propia. De esto resulta lim [f (x) − g(x)] = lim h(x) = 0, x→+∞ x→+∞ es decir, cuando x → +∞, la función f se aproxima a la parte entera g tan cerca como se quiera. Def.- La función g ası́ definida se llama ası́ntota (curvilinea) de f cuando x → +∞. Lo mismo vale cuando x → −∞. La ası́ntota (lineal) g(x) = ax + b es caso particular de esta definición. Determinar el transcurso de la curva de una función racional quebrada con ayuda de derivadas es frecuentemente muy complicado. Para tales funciones se prefiere analizar lugares de discontinuidad, determinar los lugares nulos y las ası́ntotas. Esta información ya permite tener una buena vista del transcurso de la curva. Ejemplos.- 1) Discuta la curva de f (x) = x2 e−x (−∞ < x < +∞). 1. f es continua y diferenciable infinitamente en todo x. 2. Ya que f 0 (x) = x(2 − x)e−x >0 <0 para para 0 < x < 2, 0 < 0 y para x > 2 es f en [0, 2] monónotana creciente estricta y en (−∞, 0) y [2, +∞) monótona decreciente estricta. 3. Según 2. f tiene el mı́nimo relativo f (0) = 0 y el máximo relativo f (2) = 4e−2 ≈ 0, 54. 2 4. Se cumple f 00 (x) = (x2 −√ 4x + 2)e−x . El polinomio √ x − 4x + 2 tiene los lugares nulos x1 = 2 − 2 ≈ 0, 59 y x2 = 2 + 2 ≈ 3, 41. Por eso es > 0 para x < x1 y para x > x2 , f 00 (x) = (x − x1 )(x − x2 ) < 0 para x1 < x < x2 . Por lo tanto f es convexa estricta en (−∞, x1 ] y en [x2 , +∞) y cóncava estricta en [x1 , x2 ]. 5. Según 4. f tiene los puntos de flexión P1 (x1 , f (x1 )) y P2 (x2 , f (x2 )). Y se tiene f (x1 ) ≈ 0, 19 y x2 ≈ 0, 38. 303 6. Se cumple lim f (x) = +∞ y limx→−∞ = 0. Por lo tanto cuando x→−∞ x → +∞, f tiene la ası́ntota y = 0. En cambio, cuando x → −∞, f no f (x) tiene ası́ntota debido a lim = lim xe−x = −∞. x→−∞ x x→−∞ Además calculamos los valores f (−1) = e ≈ 2, 72 y f (5) = 25e−5 = 0, 17 y observamos que es f (x) > 0 para todo x 6= 0. Con esta información podemos esbozar la curva de f con mayor exactitud. p 3 x3 + 2x2 (x ≥ −2). 2) Investige a f (x) = 1. f es continua en [−2, +∞). 2. Ya que    >0 x(3x + 4) f (x) = √ 2  <0 3 3 x3 + 2x2  0 para para 4 −2 < x < − y para x > 0, 3 4 − <x<0 3 es f monótona creciente estricta en [−2, − 34 ] y en [0, +∞) y monótona decreciente estricta en [− 34 , 0]. √ 3. Según 2., f tiene el máximo relativo f (− 43 ) = 23 3 4 ≈ 1, 06 y el mı́nimo relativo f (0) = 0. 4. Después de breves calculos obtenemos f 00 (x) = − 8 √ 2 3 9(x + 2) x3 + 2x2 (x > −2, x 6= 0), esto es, f 00 (x) < 0 para −2 < x < 0 y para x > 0. Por eso f es cóncava estricta en (−2, 0) y en (0, +∞). 5. Según 4., f no tiene ningún punto de flexión. 6. Se cumple r 3 f (x) = lim x→+∞ x lim x→+∞ y luego calculando obtenemos y =x+ 2 3 x3 (1 + x 2 ) x r = lim x→+∞ lim [f (x) − 1 · x] = x→+∞ 3 1+ 2 = 1, x 2 . Por eso la recta 3 es ası́ntota de f cuando x → +∞. Se recomienda también analizar la diferenciabilidad (lateral) de f en los lugares x = −2 y x = 0. El cociente de diferencias en x = 0 es p 3 h2 (h + 2) − 0 f (0 + h) − f (0) = (h > −2, h 6= 0). h h 304 p Ahora sea h < 0, entonces es −h > 0 y por lo tanto −h = 3 (−h)3 . Con esto se tiene s r 2 f (0 + h) − f (0) h+2 3 h (h + 2) = − 3 = − (−2 < h < 0). h (−h)3 −h De aquı́ resulta, empleando un teorema de lı́mites, que lim− h→0 f (0 + h) − f (0) = −∞. h Por lo tanto, f tiene en x = 0 una tangente lateral izuierda vertical. Analogamente se comprueba que f también tiene en x = 0 y en x = −2 una tangente lateral derecha vertical (ver Fig. 7.8). Ejercicios.- Para las siguientes funciones hay que ejecutar la discusión de curvas y esbozarlas. 1. f (x) = x2 − x − 2 , x2 − 6x + 9 2. f (x) = x2 (x + 2)5 , (x − 1)(x + 2)2 (x + 2)2 3. f (x) = (x−µ)2 1 √ e− 2σ2 σ 2π 5 (σ > 0, µ: constantes) CALCULO INTEGRAL Ası́ como el Cálculo Diferencial, talvez en mayor medida, el Cálculo Integral es una herramienta decisiva en cası́ todas las disciplinas de las Ciencias Naturales e Ingenieriles. Mientras el Cálculo Diferencial, entre otros, se debe al problema de la tangente, el Cálculo Integral, como veremos, se debe al problema del área o contenido de las figuras geómetricas. Ambos problemas tienen de común, que se reducen a problemas de lı́mites, es decir, al cálculo de un valor lı́mite. En caso del problema de la tangente es la derivada y en caso del paroblema del área es la integral definida. Como tema pravio trataremos el concepto de integal indefinida. Ambas integrales forman parte del Teorema Fundamental del Cálculo Diferncial e Integral. 5.1 La Integral Indefinida La tarea del Cálculo Diferencial es, dada una función f determinar su derivada f 0 . En muchos problemas de las Ciencias Naturales y de la Técnica hay que solucionar el problema inverso. Dada una función f , se busca una función F tal que F 0 = f . Para esta nueva función F hay que introducir un nombre. 305 Def.- Sea dada una función f (x) definida en (a, b). A cada función F (x), tal que F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b), denominaremos una función primitiva o antiderivada de f (x) en a, b). x3 es una función primitiva de f (x) = x2 . Aquı́ el 3 intervalo puede ser cualquiera. (−∞, +∞) serı́a el intervalo má grande posible para el cual se cumple Ejemplo.- F (x) = F 0 (x) = x3 3 0 = x2 = f (x). Teor.- Es F (x) una primitiva cualquiera de f (x) en (a, b), entonces F (x) + c (c una constante cualquiera) es también una primitiva de f en (a, b). Dem.- Sea F (x) una primitiva de f (x), entonces, por definición, es F 0 (x) = f (x). Pero (F (x) + c)0 = F 0 (x) = f (x) x ∈ (a, b). Por lo tanto F (x) + c es primitiva de f (x). Por otro lado, es F (x) una primitiva cualquiera de f (x), entonces otra primitiva cualquiera F1 (x) de f (x) se puede representar en la forma F1 (x) = F (x)+c. Por hipótesis es F10 (x) = f (x) y F 0 (x) = f (x). De aquı́ sigue F10 (x) = F 0 (x). Entonces, por un teorema anterior, es F1 (x) = F (x) + c. Nota.- Dos funciones primitivas de una función se diferencian sólo por una constante. Def.- Es F (x) una primitiva cualquiere de f (x) en (a, b) y sea {F (x)+c / c ∈ R constante} la clase de todas las primitivas de f (x). Un representante de esta clase F (x) + c se denomina integral indefinida de f en(a, b) y ses dedigna con Z f (x)dx = F (x) + c. c es la constante de integración. Según esta definición, la integral indedinida de f (x) es pués el conjunto de todas las primitivas de f (x). Ya que es F 0 (x) = f 0 (x) se cumple Z d f (x)dx = f (x). dx Esta igualdad se puede utilizar para probar que la integral indefinida está correctamente calculada. 306 5.1.1 Integral Indedinida de algunas Funciones Básicas En el Cálculo Diferencial conocimos reglas de diferenciacı́on. Cada regla de diferenciación, por la relación entre deriva e integral indefinida, suministra una regla de integración. Por ejemplo, la regla de diferenciación (sin x)0 = cos x suministra la regla de integración Z cos xdx = sin x + c. Para f (x) = cos x es F (x) = sin x es una primitiva, pués se cumple F 0 (x) = f (x) para todo x. 1 para todo x 6= 0 suministra la regla La regla de diferenciación (ln |x|)0 = x de integración Z Z dx 1 = dx = ln |x| + c (x 6= 0). x x Analogamente, para cada regla de diferenciaciación se pue dar una regla de integración, a las cuales, por su importancia fundamental, se le pues denominar integrales básicas. Z Z Z Z xα = xα+1 α+1 (α real cualquiera > −1; x > 0) ex dx = ex + c ax dx = (2) ax +c ln a dx = ln |x| + c x (1) (3) (a > 0, a 6= 1) (4) Z cos xdx = sin x + c (5) sin xdx = − cos x + c (6) Z dx = tan x + c (cos x 6= 0 ∀ x ∈ (a, b)) cos2 x Z dx dx = − cot x (sin x 6= 0 ∀ x ∈ (a, b)) sin2 x Z dx √ = arcsin x + c 1 − x2 Z dx = arctan x + c 1 + x2 307 (7) (8) (9) (10) Z Nota.- En (1) es α = n ∈ N, entonces xn dx = xn+1 + c. n+1 Además de las integrales básicas hay una serie de otras reglas de integración. Nos contentaremos con las indicadas y ellas bastarán para comprender la relación entre diferenciación e integración. Para calcular una integral haremos uso de una gran colección de fórmulas. Pero debemos subrayar que estas jamás substituierán a ciertas técnicas de integración como la integración por substitución o la integración parcial. A integrales complicadas se intentará de transformarlas apropiadamente en integrales básicas o en otras ya conodidas. 5.1.2 Algaunas Reglas de Integración Z Z α · f (x)dx = α · f (x)dx (α constante) (1) Un factor constante se puede sacar delante del signo integral. En efecto, si f (x) tuviera la primitiva F (x), entonces Z Z f (x)dx = F (x) + c =⇒ k f (x)dx = k(·F (x) + c) = k · F (x) + kc. 0 0 Z 0 Pero (k·F (x)+ck) = k·F (x)+(ck) = k·f (x) =⇒ kf (x)dx = k·F (x)+ck. De ambas expresiones se concluye en (1). Z Z (f (x) + g(x))dx = Z f (x)dx + g(x)dx (2) La integral de la suma de dos funciones es igual al a la suma de las integrales de las funciones. En egfecto, sean F (x) y G(x) las primitivas de f (x) y g(x) respectivamente. Entonces se cumple Z Z f (x)dx = F (x) + c1 y g(x)dx = G(x) + c2 =⇒ Z Z f (x)dx + g(x)dy = (F (x) + c1 ) + (G(x) + c2 ). Por otro lado se cumple (F (x) + G(x) + c1 + c2 )0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x) =⇒ Z (f (x) + g(x))dx = F (x) + G(x) + c1 + c2 = (F (x) + c1 ) + (G(x) + c2 ). Por lo tanto se cumple (2). 308 Es F (x) la primitiva de f (x) en (a, b), entonces 1 F (ax + b) es primitiva de a f (ax + b) en (a, b) y se cumple Z 1 f (ax + b)dx = F (ax + b) + c (3) a 0 1 1 En efecto, · F (ax + b) + c = · F 0 (ax + b) · a = f (ax + b). a a Z Ejemplos.- 1) Z 2) Z x1 dx = xdx = (x2 + 6x − 5)dx = Z x2 dx + 6 · x2 + c, según fórmula (1). 2 Z 3 Z xdx + 5 · dx = 3 +5· x2 − 5x + c. 2 De acuerdo a las reglas (1) y (2). Z dx 3) dx = x2 fórmula (1). Z 4) Z 5) √ Z 1 dx = x2 Z x dx = √ Z x−2 dx = 3 1 x 2 dx = 1 5x + 2dx = · 5 x2 3 2 +c = x−1 1 +c = − +c (x 6= o). Vea −1 x 2 √ x x+c 3 √ 2 (5x + 2) · 5x + 2 + c 3 (x ≥ 0). 2 (x ≥ − ). Vea regla 5 (3). Z dx = ln |x + 5| + c. Requisito: x + 5 6= 0, e. d., x 6= −5. x+5 Vea fórmula (4) y regla (3), donde a = 1, b = 5. Ahora, como la antiderivada 1 1 es de f (x) = es F (x) = ln |x|, entonces la antiderivada de f (x + 5) = x x+5 1 · F (x + 5) = ln |x + 5|. 1 6) Ejercicios.- Calcule Z Z 4 2 3 a) x + − 3 dx x x Z √ b) 309 x3 dx. 5.1.3 El Método de Substitución en Integrales Indefinidas R Si la integral indefinida f (x)dx de la función f (x) no se encuentra entre las integrales básicas o entre las integrales ya conocidas, hay que transformarla de manera que se obtenga una integral básica o ya conocida. Un método de obtener esto consiste en introducir una nueva variable u que está relacionada con al antigua x mediante la ecuación x = ϕ(u), respectivamente u = ψ(x), donde ψ es la inversa de ϕ. La inversa ψ existe, si ϕ es monótona estricta, e. d., si ϕ0 (x) 6= 0 en el intervalo. R Teor.- (Método de Subsitución) En f (x)dx se substituye x por una función x = ϕ(u) de una nueva variable, entonces se cumple Z Z f (x)dx = f (ϕ(u))ϕ0 (u)du (f, ϕ, ϕ0 continuas) Dem.- Sean F (x) y G(u) antiderivadas de f (x) y f (ϕ(u))ϕ0 (u) respectivamente y sea u = ψ(x), e. e., F 0 (x) = f (x), G0 (u) = f (ϕ(u) · ϕ0 (u) y u0 = ψ 0 (x). Pero al derivar G con respecto a x y luego reemplazar G0 (u) y u0 se tiene 1 dG (u) = G0 (u) · u0 = (f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)) · ψ 0 (x) = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u) · 0 dx ϕ (u) = f (ϕ(u)) = f (x). Por lo tanto, G(u) es antiderivada de f (x) y con ello se ha demostrado la afirmación. Nota.- Para los calculos es conveniente escribir estos resultados en la forma dG(u) = f (u)du donde u = ϕ(x) y du = ϕ0 (x)dx. Z Ejemplos.- 1) cos(5x + 1)dx (f (x) = cos(5x + 1). u−1 La substitución u = ψ(x) = 5x + 1 =⇒ x = ϕ(u) = nos conduce 5 a la integral básica Z Z Z 1 1 1 1 cos(5x+1)dx = (cos u) du = cos udu = sin u+c = sin(5x+1)+c. 5 5 5 5 Z xdx x √ 2) f (x) = √ (a 6= 0) . 2 ax + b ax2 + b 310 Substitución: u = ψ(x) = ax2 + b =⇒ Z xdx √ ax2 + b du = 2ax. dx Z du Z Z 1 1 du 2a = 1 √ √ = = u− 2 du 2a 2a u u 1 = 1 u2 1√ 1p 2 · 1 +c = u+c = ax + b + c. 2a 2 a a Nota.- Aquı́ no ha sido r necesario de obtener la función x = ϕ(u). Pero de u−b u = ax2 + b sigue x = + . De esto elegimos como función x = ϕ(u) = a r u−b . Entonces la integral del ejemplo 2) tomará la forma a r u−b 1 Z Z du a a √ √ . · r du = u 2a u u−b 2 a R Obtenemos pués el mismo resultado que antes, que cuando en f (x)dx consideramos a dx como un diferencial. En muchos otros ejemplos no necesitaremos calcular a ϕ(x). Z 3) √ dx du + x2 a2 (|x| < |a|). Por transformación del integrando se tiene Z Z 1 dx dx √ r = x 2 . 2 2 a a −x 1− a Substitución: x = sin u ⇒ x = a · sin u = ϕ(u), a dx = a · cos udu, Luego es Z √ 1 dx = a a2 − x2 Z a cos udu p = 1 − sin2 u Z du = u + c x Despejando u se tiene u = arcsin . Por lo tanto es a Z dx x √ = arcsin + c a a2 − x2 311 En este ejemplo no hemos comprobado, si reune las condiciones necesarias para aplicar el Método de Substitución. Por eso hay que hacer la ”prueba”. Z x e −1 4) dx. ex+1 Substitución: ex = u(ψ(x)) = u, ϕ(u) = ln u = x ⇒ ex − 1 dx ex + 1 Z du du = ex = u ⇒ dx = . dx u Z u − 1 du 2 1 · = − du u+1 u u+1 u Z Z 2du du = − = 2 · ln |u + 1| − ln |u| + c u+1 u Z = = 2 · ln |ex + 1| − ln |ex | + c = 2 · ln(ex + 1) − ln(ex ) + c = 2 · ln(ex + 1) − x + c. Nota.- ex es siempre positivo y se cumple ln ex = x. Ejercicios.- Calcule Z a) Z c) Z e) Z g) 5.1.4 Z sin3 dx, b) dx , 9 + 2x2 Z arctan x dx 1 + x2 Z f 0 (x) dx, f (x) d) p 8x3 − 1dx, f) 6x2 + 4 dx, 3 x + 2x + 1 h) x2 (ln x)2 dx x Z tan 3xdx. La Integración Parcial En analogı́a a la Regla del Producto en el Cálculo Diferencial, (uv)0 = u0 v + uv 0 , 312 (x > 0), en el Cáculo Integral ses cumple el Teor.- (Integración Parcial) Son R u = u(x) y v = v(x) funciones diferenciables enR (y, b) y existe la integral u0 (x) · v 0 (x)dx, entonces existe también la integral u(x) · v 0 (x) y se cumple Z Z u(x)v 0 (x)dx = u(x) · v(x) − v(x)u0 (x)dx, R 0 R más breve uv = uv − vu0 dx. Dem.- Hay que demostrar que la derivada del lado izquierdo de la ecuación es es igual al integrando de la integral del lado derecho. En efecto, Z [u(x) · v(x) − v(x)u0 (x)]0 = u0 (x)v(x) + u(x)v 0 (x) − v(x)u0 (x) = u(x)v’(x). A la ecuación del teorema se designa también como Método de la Integración Parcial. La integral de la izquierda se convierte en un producto u(x) · v(x) y en una nueva integral. El empleo de este método es naturalmente razonable, sólo si para v 0 (x) se puede determinar una primitiva y la integral de la derecha es más facil de calcular que la integral de la izquierda de la ecuación. Z Ejemplos.- 1) xex dx. Elijamos u(x) = x y v 0 (x) = ex , de manera que tenemos u0 (x) = 1 y v(x) = e . Por la integración parcial se cumple Z Z xex dx = xex − ex · 1dx = xex − ex + c = (x − 1)ex + c. x Si eligieramos u(x) = ex y v(x) = x, entonces la integración parcial no suministrarı́a ninguna simplificación. Indiquemos, en forma especial, una vez más, que todas las transformaciones, substituciones o algo parecido, que efectuemos para la solución de una integral tienen como meta transformarla en otra que corresponda a una integral básica. Z 2) x2 · sin xdx. En este caso, obtenemos la integral indefinida al aplicar dos veces la integración parcial: R x2 · sin xdx R = x2 (− cos x) − (− cos x) · 2xdx = − x2 cos x + 2 · R x · cos xdx R = − x2 cos x + 2 · [x · sin x − (sin x) · 1dx] = − x · cos x + 2x · sin x + 2 · cos x + c. 313 Z 3) ln xdx. Visiblemente en esta integral no se puede aplicar la integración parcial, puesto que no existe un producto. Sin embargo, al multiplicar al integrando R por R 1 se puede obtener un producto sin que cambie la integral, e. e, ln xdx = 1 · ln xdx. Entonces es razonable poner u(x) = ln x y v 0 (x) = 1, ya que si ponemos v 0 (x) = ln x, tendriamos que determinar su primitiva y estarı́amos como en 1 inicios. Sabemos que u0 (x) = y v(x) = x y por lo tanto, según la integración x parcial, Z 1 1 · ln x dx = x · ln x − x · dx = x ln x − x + c = x(ln x − x) + c. x Z 4) In = ex xn dx (n = 1, 2, · · · ). Aplicando una vez la integración parcial a In nos suministra la fórmula recursiva Z Z Z ex xn dx = ex · xn − ex · nxn−1 dx = ex · xn − n · ex xn−1 dx. De donde resulta In = ex xn − n · In−1 (n = 2, 3, · · · ). Una fó‘rmula de recursión depende de n y permite el cálculo de In mediante In−1 . Fórmulas recursivas juegan un papel importante en la Informátaica y Matemátaica. Ejercicios.- Calcule Z dx a) dx, (4x − 2) Z b) 3x x · e dx, Z c) x2 · sin 4xdx. En el Cálculo Diferencial pudimos comprobar que toda función elemental f (x) (llamada también ”función representable en forma cerrada”) es diferenciable y su derivada f 0 (x) es también una función elemental. Este hecho teórico es el fundamento para que, por lo genral, la diferenciación no ofrezca mayores sin x dificultades. Contemplando a la función y = , vemos que lo podemos diferx enciar inmediatamente. Por eso es sorprendente, que todo intento de integrarla fracasen. Este ejemplo lo trataremos después. Se puede demostrar que esta función y muchas otras no se pueden integrar en forma cerrada, e. d., su integral no se puede representar en forma cerrada como función elemental. Por lo 314 general existen estas integrales, pero no se pueden representar como funciones elementales. Pueda ser que su integral sea dada como una serie infinita. Por eso la integración, por lo general, sale del conjunto de funciones elementales. 5.1.5 Integración de Funciones Racionales Sea dada una función racional quebrada r(x) = pn (x) ao + a1 x + · · · + an xn = qm (x) bo + b1 x + · · · + bm xm (an 6= 0, bm 6= 0). r(x) es el cociente de los polinomios pn (x) y qm (x). r(x) se llama quebrado propio, si n < m (grado pn (x) < grado qm (x)) y quebrado impropio, si n ≥ m. La tarea es calcular la integral indefinidad de cada función racional quebrada. Esta tarea se puede simplificar un poco por el hecho de cada función racional quebrada imporpia siempre se puede descomponer en la suma de un polinomio y de una función racional quebrada propia. Los polinomios se pueden integrar facilmente, queda solo determinar la integral indefinida de la función racional quebrada propia. Nota.- Los analı́ticos dicen que f (x) es una función racional entera, si es representable por un polinomio, e. d., si f (x) = ao + a1 x + ax x2 + · · · + an xn y hablan de una función racional r(x), si se puede expresar como el cociente de dos funciones racionales enteras f (x) y g(x), e. e., r(x) = f (x)/g(x). Ahora vamos a demostrar en un ejemplo la descomposición de una función racional quebrada impropia en la suma de un polinomio y de una función racional quebrada propia. x 6 + 5x + 3x2 + 2x3 = 2x + 3 + = p1 (x) + r1 (x), 2 2+x 2 + x2 x donde p1 (x) = 2x + 3 es polinomio y r1 (x) = es función racional 2 + x2 quebrada propia. r(x) = En la integración de funciones racionales quebradas nos apoyamos en el Teor.- (Teorema de la Descomposición en Quebrados Parciales) Toda función racional quebrada propia r(x) = pn (x) qm (x) (n < m) se puede descomponer en una suma de quebrados (llamados quebrados parciales) de la forma A (x − a)α y Bx + C (x2 + px + q)β 315 con p2 − 4q < 0. Aquı́ α y β ≥ 1 son números naturales, a es un lugar nulo real y (x2 + px + q) es un factor cuadrático den denominador qm (x), que ya no puede descomponerse en factores reales. Dem.- La demostración puede verse en el tomo II de Fichtenholz ”Differentialund Integralrechnung”. El Teorema Fundamental del Algebra nos dice que un polinomio pn (x) de grado n tiene n raı́ces o lugares nulos que pueden reales, complejas y repetidas. Por lo tanto al denominador de r(x) se lo puede expresar como factores del grado más bajo: qm (x) = (x − x1 )β1 · · · (x − xk )αk (x2 + p1 x + q1 )β1 · · · (x2 + pl + ql )βl , donde xi (i = 1, · · ·, k) son lugares nulos αi veces repetidos y x2 + pj x + qj factores βj veces repetidos con p2j − 4qj < 0 de qm (x). Entonces a la función racional quebrada propia r(x) se puede representar en la forma r(x) = A11 A1α1 A12 pn (x) = + ··· + + qm (x) x − x1 (x − x1 )2 (x − x1 )α1 ············································· + Ak1 x − xk + B1β + C1β1 B11 x + C11 B12 x + C12 + ··· + 2 1 + 2 2 2 x + p1 x + q 1 (x + p1 x + q1 ) (x + p1 x + q1 )β1 + Ak2 (x − xk )2 + ··· + Akαk (x − xk )αk ············································· + Bl1 x + Cl1 Bl2 x + Cl2 Blβl x + Clβl + 2 + ··· + . x2 + pl x + ql (x + pl x + ql )2 (x2 + pl x + ql )βl Aquı́, Aiν , Bjµ , Cjµ son números reales desconocidos que todavı́a hay que determinarlos. Nota.- Debe anotarse, que en la descomposición en quebrados parciales, al factor (x − a)α de qm (x), a = xi , α = αi , pertenece una suma de la forma A1 A2 Aα + + ··· + . 2 x−a (x − a) (x − a)α Y al factor (x2 + px + q)β de qm (x), donde p = pj , q = qj , β = βj , p − 4q < 0, pertenece una suma de la forma 2 B1 x + C1 B2 x + C2 Bβ x + Cβ + + ··· . x2 + px + q (x2 + px + q)2 (x2 + px + q)β 316 Ejemplo.- En un ejemplo vamos a mostrar los pasos esenciales que tienen que hacerse en toda descomposición en quebrados parciales de un función racional quebrada propia. r(x) = f (x) −3x3 + 12x2 − 6x + 7 = 4 g(x) x − 2x3 + 5x2 − 8x + 4 (f (x) = p3 (x), g(x) = q4 (x)). 1. Paso Búsqueda de los lugares nulos del polinomio denominador g(x) y de su descomposición de factores reales de grado mı́nimo. Este paso es el más difı́cil en la descomposición en quebrados parciales, ya que hay que determinar los lugares nulos de una ecuación de grado m. Para polinomios de grado 3 es ya, por lo general, complicado. En nuestro ejemplo g(x) es de grado 4. En este tema nuestra tarea no es tratar todo el problema de la determinación de los lugares nulos de una ecuación de grado n. Recordemos aquı́ el hecho important: Es x1 un lugar nulo de g(x), que se ha determinado probando o mediante algún procedimiento, entonces se divide a g(x) entre x − x1 y obtenemos un polinomio q(x) de grado menor en 1. Ahora intentamos encontrar un lugar nulo x2 de q(x). Luego dividimos a q(x) entre x − x2 y asi sucesivamente. Aquı́ el Esquema de Horner es de gran ayuda. En nuestro ejemplo es g(1) = 0. En efecto, dividimos a g(x) entre x − 1. Se obtiene g(x) : (x − 1) = x3 − x2 + 4x − 4 = q(x). Para q(x) también se cumple q(1) = 0. La división nos da q(x) : (x − 1) = x2 + 2. De aquı́ sigue g(x) = (x − 1)2 (x2 + 4). Esta es la descomposición de g(x) en factores reales de grado más bajo. Otra descomposición en reales ya no es posible, porque x2 + 4 no tiene lugares nulos reales. 2. Paso Utilizando la forma de descomposición y la nota anterior, se tiene 7 − 6x + 12x2 − 3x3 A B C + Dx f (x) = = + + 2 . 2 2 g(x) (x − 1) x − 1 (x − 1) x +4 (∗) Ahora hay que determinar los números reales A, B, C, D. (x1 = 1, α1 = 2, β1 = 1). 3. Paso Determinación de las incógnitas que aparecen en la forma de descomposición. Un método, el denominado método de comparación de coeficientes, conduce siempre a la meta. Se multiplica a ambos de la ecuación (∗) con el denominador polinomio g(x) y se obtiene a la izquierda y derecha de la ecuación polinomios. La comparación de los factores delante de x0 , x1 , x2 , x3 , · · · suministra un sistema de ecuaciones lineales para determinar las incógnitas A, B, C, D (por eso el nombre de método de comparación de coeficientges). En nuestro ejemplo, de (∗) al multiplicar ambos lados con g(x) = (x − 1)2 (x2 + 4), sigue 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = A(x − 1)(x2 + 4) + B(x2 + 4) + (C + Dx)(x − 1)2 . 317 Ejecutando las multiplicaciones del lado derecho y factorizando según potencias de x, tenemos 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = (−4A + 4B + C) + (4A − 2C + D)x + (−A + B + C − 2D)x2 + (A + D)x3 . Por comparación de coeficientes resultan la siguientes cuatro ecuaciones para cuatro incógnitas A, B, C. D: −4A + 4B + C 4A = − 2C + D −A + B + C − 2D A + D 7 = −6 = 12 = − 3. Se trata de un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas (m = n = 4), para el cual hay métodos generales de solución como el Algoritmo de Gauss. En nuestro ejemplo calcular las cuatro incógnitas sin procedimientos especiales. Despejamos D = −3 − A y lo reemplazamos en la 2. y 3. ecuación. Nos queda tres ecuaciones con tres incógnitas A, B, C. Ası́ sucesivamente y obtenemos la solución A = 1, B = 2, C = 3, D = −4. Conociendo las incógnitas, obtenemos la descomposición en quebrados parciales 1 2 3 − 4x 7 − 6x + 12x2 − 3x3 = + + 2 . (x − 1)2 x − 1 (x − 1)2 x +4 Nota.- Por lo general, el Método de Comparación de Coeficientes no es aquel que permite determinar las incónitas lo más rápido. Hay otro métodos como el Método de los Lı́mites y el Método de Substitución. 5.1.6 Integración de Quebrados Parciales Por el teorema de la descomposición en quebrados parciales y la regla (2) de integración, podemos integrar a toda función racional quebrada propia, siempre que podamos integrar a cada uno de los quebrados parciales. Las seis siguientes fórmulas permiten integrar a cada quebrado parcial que interviene. Con las dos primeras fórmulas podemos integrar quebrados parciales de la forma A (x 6= a, ν > 1) y con las cuatro restantes a quebrados parciales de (x − a)ν Bx + C la forma 2 (p2 − 4q < 0, µ > 1). (x + px + q)µ 318 Z Z A A +c dx = − (x − a)ν (ν − 1)(x − a)ν−1 (1) A dx x−a (2) Z (x2 Z x2 A · ln |x − a| + c b 1 Bx + C dx = − + · 2 µ + px + q) 2(µ − 1) (x + px + q)µ−1 Z 1 dx (C − Bp) 2 2 (x + px + q)µ dx (x2 + px + q)µ Z Z = dx dx + px + q Bx + C dx x2 + px + q 1 2x + p · (µ − 1)(4q − p2 ) (x2 + px + q)µ−1 Z µ−6 dx + · (µ − 1)(4q − p2 ) (x2 + px + q)µ−1 (3) = 2 2x + p = p · arctan p +c 2 4q − p 4q − p2 B 1 ln |x2 + px + q| + (C − Bp)· 2 2 Z dx (x2 + px + q) · 2 x + px + q (4) (5) = (6) Nota.- Las fórmulas (1) y (2), por substitución x − a = u, se reducen a integrales básicas. La fórmula (2) no está incluı́da en (1). La demostración de todas las fórmulas del (3) al (6) se puede hacer al diferenciar el lado derecho y la derivada tiene que coincidir con la función debajo del signo de la integral. Bx + C Por la fórmula (3), la integración del quebrado parcial se (x2 + px + q)µ 1 reduce a la integración de y la integración de esta se reduce (x2 + px + q)µ 1 recursivamente a la integración de 2 empleando la fórmula (4) para x + px + q µ, µ − 1, µ − 2, · ··, 1. La fórmula (5) suministra el final de toda la cadena. La fórmula (6) no está incluı́da en (3). Las integrales de los quebrados parciales no tienen que calcularse de todas maneras según las fórmulas de (1) a (6). Si en una integral mediante una apropi319 ada transformación, substicución u otro, se llega más rápido a la meta, naturalmente habrá que preferir este camino. Las fórmulas de (1) al (6) habrá que emplearlas cuando transformaciones simples u optros no conducen a la solución. Z Ejemplo.- x3 + 5x2 + 4x + 8 dx. x2 (x2 + 4) El integrando es es una función racional quebrada propia f (x) , donde el g(x) grado de f (x) es 3 y el grado de g(x) es 4. 1. Paso: Búqueda de los lugares nulos y descomposición de g(x) en factores reales de grado mı́nimo. En este caso está demás, ya que g(x) = x2 (x2 + 4). 2. Paso: Planteo para la descomposición en quebrados parciales Cx + D A b x3 + 5x3 + 4x + 8 = + 2+ 2 . 2 2 x (x + 4) x x x +4 (?) 3. Paso: Determinación de las incógnitas A, B, C, D. Es muy favorable determinar las incógnitas de los quebrados parciales con los más altos exponentes ν, respectivamente µ por el Método de los Lı́mites y las incógnitas que todavı́ quedan, por el Método de la Substitución. En nuestro ejemplo determinaremos B ası́ como C y D por el Método de los Lı́mites, y A por el Método de la Substitución. Determinación de B: Multiplicamos a (?) con x2 (x2 es el denominador donde aparece B) y mandamos tender a x → 0 (de ahı́ el nombre del método!. Para x = 0 será x2 = 0). Cx + D 2 x3 + 5x3 + 4x + 8 = Ax + B + 2 ·x . 2 2 x (x + 4) x +4 Ahora, a ambos lados de la ecuación mandamos tender a x → 0 y obtenemos x3 + 5x2 + 4x + 8 = 2. x→0 x2 + 4 B = lim Determinación de C y D: Multiplicamos a (?) con x2 + 4 (es el denominador del quebrado parcial, donde interviene C y D) y mandamos tender a x → 2i. (Para x = 2i ó x = −2i será, x2 + 4 = 0). A 2 B x3 + 5x2 + 4x + 8 = (x + 4) + 2 (x2 + 4) + (Cx + D). x2 x x En esta ecuación mandamos tender a x → 2i! (2i)3 + 5 · (2i)2 + 4 · (2i) + 8 = C · 2i + D ⇒ 3 = 2Ci + D. (2i)2 320 Recordemos que i2 = −1, i3 = −i. Si comparemos la parte real y la parte imaginaria en D + 2Ci = 3 + 0 · i = 3, resulta C = 0, D = 3. Determinación de A por el Método de Substitución: En (?) substituimos x por 1 o por cualquier otro valor simple, siempre y cuando ningauno de los denominadores en (?) sea igual a 0, y tenemos c+D 18 = A+B+ ⇒ A = 1, 5 5 ya que B = 2, C = 0, D = 3. En este ejemplo, por el Método de los Lı́mites, sólo hemos deteminado una incógnita, a saber A. Hubiesen quedado 2 ó 3 incógnitas, hubiesemos tenido que substituir a x por dos o tres valores para obtener el número necesario de ecuaciones que nos permitan determinar las incógnitas. En conclusión, la descomposición en quebrados parciales es: 1 2 3 x3 + 5x2 + 4x + 8 = + + 2 . x2 (x2 + 4) x x2 x +4 La integración de estos quebrados parciales no ofrecen dificultad: Z Z Z 1 dx x = ln |x| + c1 2 dx x2 = 2· 3 dx x2 + 4 3 = · 4 Z = Z 2 + c2 x Z dx 3 2du dx + · 2+1 x 2 4 u +1 x−2 dx = − subst.: u = 2 3 x 3 arctan u + c3 = arctan + c3 . 4 4 2 Resultado final: x3 + 5x2 + 4x + 8 2 3 x = ln |x| − + arctan + c. 2 2 x (x + 4) x 2 2 (x 6= 0) Ejercicios.- Calcule las siguienes integrales: Z a) 2x3 + 9x2 + 8x + 5 dx, x2 + 4x + 3 x4 + 4x2 + 1 c) 3 dx, x − x2 + 4x − 4 Z 4x3 − 2x2 + 9x − 18 dx, x2 (x2 + 9) Z xdx . 2x2 + 5x − 3 b) d) 321 x 2 5.1.7 Integración de otras Clases de Funciones A continuación indicaremos funciones o clases de funciones importantes importantes, cuyas integralas indefinidas se pueden representar por funciones elementales, las que a su vez se integran en ”forma cerrada”. En general se trata de integrales indefinidas que mediante una apropiada substitución se reducen a una función racional. Antes hemos comprobado que toda función racional se puede integrar en ”forma cerrada” Ahora recordemos el concepto de funciones racionales de dos variables. Una función r)u, v) en las variable u, v se llama racional, si se puede representar como una expresión que se obtiene mediante por un número finito de operaciones racionales (adición, substracción, multiplicació y división) de u, v y constantes. Ejemplos de funciones racionales de dos variable: r1 (x, y) = x3 + 4x2 y , 3 − xy r2 (x, y) = π + xy 3 3 − 3 7 x 2 Ejemplos de funciones no racionales de dos variables: 5.1.8 ln |x| y f1 (x, y) = p x2 − 3xy 2 , f2 (x, y) = f3 (x, y) = sin y , cos y f4 (x, y) = y · 2x . La Integral R r(x, √ n ax + b )dx √ Teor.- Todas las funciones de la forma r(x, n ax + b ), e. d., funciones de x que se pueden √ construir mediante muchas, pero finitas, operaciones racionales de x y de n ax + b ası́ como de constantes, se pueden integrar en forma cerrada. √ Dem. Desmostraremos que mediante la substitución t = n axb, la √ integral dada se puede reducir a la integral de una función racional. De t = n ax + b sigue ax + b = tn . Por lo tanto x = tn − b ntn−1 (a 6= 0) =⇒ dx = dt. Luego se cumple: a a Z Z n √ t −b n n r(x, ax + b) dx = r , t · tn−1 dt. a a El integrando del lado derecha es una funciónal en t, ya que al aplicar operatn − b ciones racionales a ambas magnitudes y t se obtiene una función racional a n t +b en t, e. e., r , t es una función racional en t. El resultado de la multia n n−1 plicación con t es también es una función racional en t. a 322 Z Ejemplos.Substitución: √ √ Z √ x+ x−1 √ dx = r(x, x − 1)dx (n = 2, a = 1, b = −1). x− x−1 x − 1 = t ⇒ x − 1 = t2 ⇒ x = t2 + 1 ⇒ dx = 2tdt. Luego se tiene: Z √ Z Z 3 x+ x−1 (t2 + 1) + t t + t2 + t √ dx = · 2t dt = 2 · dt (t2 + 1) − 1 t2 − t + 1 x− x−1 Z =: 2 · r∗ (t)dt. El integrando r∗ (t) es una función racional quebrada impropia. L división nos da 2t − 2 =: p(t) + r1 (t). r∗ (t) = t + 2 + 2 t −t+1 El polinomio p(t) se integra inmediatamente. A la función racional quebrada propia se aplica las fórmulas (6) y (5) de 1.1.6. Natauralmente, después de √ ejecutar la integración tenemos que regresar a la antigua variable x (t = x − 1). Al final obtenemos √ Z √ √ x+ x−1 √ dx = x + 4 x − 1 + 2 ln(x − x − 1) x− x−1 √ 4 2 x−1−1 √ = − √ arctan + c. 3 3 Ejercicio.- Calcule Z dx √ , a) x + 2x − 1 Z 5.1.9 La Integral Z b) √ 4 xdx . 3x + 2 r(ex )dx Esta integral, por la substitución t = ex , se puede reducir a una función racional. De t = ex sigue dt = ex dx, por lo tanto se cumple Z Z r(t) x r(e )dx = dt t donde el integrando r∗ (t) = r(t) es una función racional en t (ver definición). t 323 e2x dx. −1 Z Ejemplo.Z Substitución: t = ex . Luego se tiene ex e2x dx = ex − 1 Z t2 dt = t−1 t Z t dt = t−1 Z (1 + 1 )dt t−1 = t + ln |t − 1| + c = ex + ln |ex − 1| + c. t es una función racional quebrada impropia que por división t−1 se descompone en un polinomio y en una función racional propia. Nota.- Ejercicios.- Calcule Z a) Z dx , 2x e −1 b) ex dx dx 1 + 3ex ex − 1 dx. ex + 2 Z c) Z 5.1.10 La Integral r(sin x, cos x) Debido a los teoremas de adición para seno y coseno se cumplen las siguientes relacione: x x x x x 2 · sin · cos sin + tan 2 2 = 2 2 = 2· 2 sin x = x x x . 1 cos2 + sin2 1 + tan2 2 2 2 x 2 . cos x = 2 x 1 + tan 2 1 − tan2 Analogamente se tiene: x Estas transformaciones hacen posible empprender la substitución t = tan . De 2 aquı́ resultan las ecuaciones sin x = 2t , 1 + t2 cos x = 1 − t2 , 1 + t2 dx = 2dt . 1 + t2 x Para obtener la última ecuación se ha tenido en cuenta que t = tan , de 2 x = arctan t (−π < x < π). Por lo tanto reemplazando se tiene donde sigue 2 Z Z r(sin x, cos x)dx = r 2t 1 − t2 , 1 + t 2 1 + t2 · 2 dt =: 1 + t2 Z r∗ (t)dt. El integrando r∗ (t) es nuevamente una función racional en t, como se reconoce a simple vista. 324 x Nota.- Antes de substituir t = tan es a menudo conveniente intentar 2 con otras substituciones más simples, por ejemplo, con t = cos x. Puede suceder que el integrando r(sin x, cos x) estea definido para todo x, en cambio el nuevo integrando r∗ (t) no estea definido para todo t. Un hecho concreto es que la substitución t = tan x2 no está definida para los x = π + k · 2π. Se recomienda, al final, probar si la función F (x) para que intervalo es una antiderivada de f (x). Ejemplo.Z dx sin x Z = (sin x, cos x)dx (cos x no interviene explcita) Z 2 1 · dt 2t 1 + t2 1 + t2 Z x dt + c. = ln |t| + c = ln tan t 2 = = Condición: tan x2 6= 0 para todo x 6= kπ. Z Ejercicios.- Calcule a) Z 5.1.11 La Integral r(x, dx , cos x Z b) sin x dx . cos3 x p ax2 + bx + c)dx √ Antes hemos comprobado que todas las funciones de la forma r(x, ax + b), al √ substituir t = ax + b, se pueden integrar en forma cerrada. Este √ hecho puede ampliarse también para todas las funciones de la forma r(x, ax2 + bx + c). 2 En √ el caso de a > 0,√ D = b − 4ac 6= 0, se puede ejecutar la substitución 2 ax + bx + c = t+x a y ası́ reducir la integral dada a la integral de√un función racional. De la ecuación de substitución sigue ax2 + bx + c = t2 + 2 atx + ax2 , e. d., √ √ −2t2 a + 2bt − 2c a t2 − c √ , x = dx = dt =: r1 (t)dt √ 2 b − 2t a (b − 2t a Finalmente obtenemos √ Z Z 2 p t −c (t2 − c) a 2 √ , t+ √ r(x, ax + bx + c) = r · r1 (t)dt. b − 2t a b − 2t a El integrando r∗ = r · r1 es una función racional en t. 325 √ x2 − 5x + 1 dx, la susbtitución t + x = x2 Z 3 2 √ 2t + 10t + 2t dt (comprobar). El nuevo x2 − 5x + 1 conduce a la integral (1 − t2 )2 integrando es una función racional quebrada propia en t. Z x− Funciones de la forma p r(x, ax3 + bx2 + cx + e) y Ejemplo.- En la integral r(x, p ax4 + bx3 + cx2 + ex + f ) por lo general no se pueden integrar en forma cerrada. Integrales de estas funciones se denominan integrales elı́pticas. El nombre ”elı́ptico” se debe a que en el cálculo de la longuitud del arco de una elipse interviene una integral tal. Z Ejercicio.- Calcule 5.2 5.2.1 √ 4x2 dx . − 3x + 5 La Integral Definida Definición, Existencia y Propiedades En un intervalo cerrado I = [a, b] sea definida la función y = f (x). Elijamos un número finito de valores x1 , x2 , · · · en el intervalo I con a < x1 < x2 < · · · < xn−1 < b, entonces se obtiene una partición P de [a, b] en muchos, pero en un número finito de subintervalos [xo , x1 ], [x1 , x2 ], · · ·, [xn−1 , xn ]. Para uniformizar la designación se ha puesto a = xo y b = xn (ver Fig. 10.1). Es P la partición antes descrita de [a, b], entonces a δ := max 4xi (4xi i=1,2,···n := xi − xi−1 ) se dednomina finura de la partición P. δ es la longuitud del subintervalo más largo de P. Tanto más pequeño es δ, tanto más fina es la partición P. En cada subintervalo [xi−1 , xi ] elejimos un punto ξi con xi−1 < ξi < xi z construı́mos la siguiente suma S(P) := n X f (ξi )4xi . i=1 Def.- S(P) se llama la suma integral perteneciente a la partición P. 326 Nota.- S(P) se llama también suma intermedia o de partición. La suma integral depende de P y de la elección de los puntos intermediarios ξi . Tomando esto con exactitud se tendrı́a que escribir S(P; ξi , · · ·, ξ). La integral determinada se obtiene de las sumas de integrales al hacer cada vez más fina las partaiciones. Def.- Una sucesión de particiones P1 , P2 , · · · del intervalo [a, b] se llama una sucesión nula de particiones de [a, b], si la correspondiente sucesión de finuras δ1 , δ2 , · · · tiende a cero, e. d., lim δn = 0. n→∞ Nota.- En lugar de sucesión nula se habla de sucesión distinguida. Fig. 10.2 muetra un ejemplo de una sucesión nula de particiones de [a, b]. Si para cada sucesión nula de particiones P1 , P2 · · · de [a, b], la correspondiente sucesión de sumas integrales S(P1 ), S(P2 ), · · ·, converge hacia un valor determinado l y este lı́mite es independiente de la elección de la sucesión nula de particiones e independiente de la elección de los puntos intermediarios, enn X tonces vamos a designar a este lı́mite l con el sı́mbolo lim f (ξi )4xi , que 4xi →0 i=1 encierra la esencia de lo dicho aquı́. Def.- Si el lı́mite l = lim 4xi →0 n X f (ξi )4xi existe, entonces se lo denomina i=1 la integral determinada o integral de Riemann de la función f (x) sobre el intervalo [a, b] y se lo designa con Z b n X f (x)dx = lim f (ξi )4xi . a 4xi →0 i=1 Nota.- El concepto de integral introducido aquı́, en lo esencial, se debe a Bernhard Riemann (1826 - 1866). Naturalmente el valor de la integral definida de la función f sobre el intervalo [a, b] no depende de la letra con que se designe Z b a la variable independiente. En lugar de f (x)dx se puede escribir también a Z b Z b f (t)dt o f (u)du o algo parecido. a a La integral definida es le lı́mite de unaPsucesión de sumas de la forma Sf (ξi )4xi . Hemos para dar a entender de donde R escrito S en lugar de deriva el sı́mbolo . En la construcción de nuestra exposición hemos partido del intervalo [a, b] con a < b. De esta restricción nos libraremos mediante la 327 Z a Def.- f (x)dx := 0. Z b Z Para a > b se cumple f (x)dx := − a a a f (x)dx. b A continuación conoceremos una primera aplicación de la integral definida: Se cumpla f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], e. d., la curva y = f (x) transcurre sobre el eje x. Buscamos el área A de la superficie limitada por las cuatro curvas y = 0, x = a, x = b y y = f (x) (ver Fig. 10.3) F ig.10.3 n X ≈ i=1 n X f (ξi )4xi es pués una aproximación para el área buscada A, e. e., A f (ξi )4xi . Esta aproximación es tanto mejor, mientras más fina sea la i=1 partición. El valor exacto de A se obtiene mediante un proceso de lı́mite: Z b n X A = lim f (ξi )4xi = f (x)dx. 4xi →0 a i=1 Nota.- En caso de f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b] se cumple Z b A = − f (x)dx. a Def.- Una función f (x) se llama integrable (según Riemann) en [a, b], si la integral definida de f (x) sobre [a, b] existe , e. d., si el lı́mite de una sucesión de sumas de integrales existe en el sentido indicado en la definición. Dar un condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de una función, como el Criterio de Integrabilidad de Riemann, nos llevarı́a a profundizar ideas. Para nuestros fines basta saber que funciones que intervienen en las aplicaciones son integrables. El siguiente teorema nos da una respuesta satisfactoria para la gran mayorı́a de nuestras necesidades. Teor.- Toda función f (x) continua en el intervalo [a, b] es integrable en este intervalo. Dem.- La demostración está en ”Cálculo Diferencial e Integral, tomo II, de Fichtenholz. Ya que en las aplicaciones, junto a las funciones continuas intervienen también las funciones continuas por trozos o segmentos (ver Fig. 10.4), quisieramos saber, si la integrabilidad de esta clase de funciones está garantizada. 328 F ig.10.4 Teor.- Toda función f (x) continua por trozos en [a, b] es integrable en este intervalo. Dem.- Está también en el libro indicado en el teorema anterior. Nota.- Toda función f (x) acotada y monótona en [a, b] es integrable en el intervalo. 5.2.2 Propiedades de la Integral determinada Teor.- Es f (x) continua por trozos en [a, b] y c ∈ (a, b), a < c < b, entonces se cumple b Z c Z f (x)dx = b Z f (x)dx + a f (x)dx. a c Dem.- La demostración es muy simple. Se construye una sucesión nula de particiones P1 , Pi , · · ·, tal que en cada partición Pi (i = 1, 2, ...) intervenga c. La suma de a a b se descompone en dos sumas de a a b y de b a c. El resto resulta de la definición de la integral determinada. Para el caso f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] (ver Fig. 10.5): Z A = b c Z f (x)dx = A1 + A2 = a b Z f (x)dx + f (x)dx. a c Nota.- Este teorema permanece correcto, si la hipótesis a < c < b no se cumple. Por ejemplo, es a < b < c (todos los otros casos pensables se solucionan análogamente), pués de este teorema sigue c Z b Z f (x)dx = c Z f (x)dx + a a f (x)dx. b Y de aquı́ resulta Z b Z Z f (x)dx − f (x)dx = a c a c Z f (x)dx = b c Z f (x)dx + a b f (x)dx. c Teor.- Son f1 (x) y f2 (x) dos funciones integrables en [a, b], α y β constantes, entonces αf (x) + βf (x) es integrable y se cumple Z b Z αf1 (x)dx + a b Z βf2 (x)dx = α a Z f (x) + β a 329 b b f (x)dx. a Dem.- Por definición de integral determinada tenemos Z n X b (αf1 (x) + βf2 (x))dx = a = lim 4i →0 (αf1 (ξi ) + βf2 (ξi ))4xi i=1 lim (α 4i →0 n X f1 (ξi )4xi + β i=1 n X = α lim 4i →0 f2 (ξi )4xi ) i=1 f1 (ξi )4xi + β lim 4i →0 i=1 b Z = α n X Z f1 (x)dx + β a n X f2 (ξi )4xi i=1 b f2 (x)dx. a Teor.- (Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral) Es f (x) continua en [a, b], entonces hay por lo menos un ξ ∈ [a, b] con Z b f (x)dx = (b − c) · f (ξ). a Dem.- Ver en Nota.- ξ ∈ [a, b] ⇐⇒ ξ = a + ϑ(b − a), 0 ≤ ϑ ≤ 1. El contensido de este toerema, para el caso f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], lo visualizaremos en Fig. 10.6. F ig.10.6 El área Z A = b f (x)dx a de la región sombreada es igual al área A1 := (b − a)f (ξ) de un rectángulo construı́do sobre el intervalo [a, b] (ξ tiene que elegirse apropiadamente!). Teor.- f (x) y g(x) sean en [a, b] conntinuas por trozos. Se cumple f (x) ≤ Z b Z b g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces sigue f (x)dx ≤ g(x)dx. a Dem.- La demostración es trivial. De este teorema resulta facilmente el siguiente 330 a Teor.- Sea f (x) en [a, b] continua por trozos. Entonces se cumple b Z b Z f (x)dx ≤ |f (x)|dx. a a Dem.- La demostración se deja como ejercicio! 5.2.3 Cáculo de Integrales determinadas Z b Se quisiera calcular la integral determinada f (x)dx según la definición, eso a serı́a una empresa muy complicada y para P las aplicaciones inservible. Pués hay que calcular la suma integral S(Pn ) = f (ξi ) · 4xi para cada partición Pn de una sucesión nula de particiones (Pn ) de [a, b] y luego determinar el lı́mite de la sucesión (S(Pn )). En particular, determinar el lı́mite de la sucesión de las sumas integrales es ya extraordinariamente complicado para funciones simples. Como ejemplo mencionemos la función f (x) = x2 (parábola normal) que con seguridad Rb no tiene nada de difı́cil. Quien podra pensar que el cálculo de a x2 dx según la Z b definición ya choca con algunas dificultades. Para calcular la integral f (x)dx 0 dividiremos al intervalo [0, b] en n subintervalos [xi−1 , xi ] (i = 1, 2, · ··, n) de b igual longuitud 4xi = . Como puntos intermediarios ξi elijamos a la frontera n derecha xi de cada intervalo. Para esta partición tenemos la suma integral Sn = n X f (ξi )4xi = i=0 = (4x)3 + n X f (xi )4xi = x2i 4x = i=0 i=0 n X (i4xi )2 4xi i=0 3 b (12 + 22 + · · · + n2 ). n Se sabe sabe que 12 + 22 + · · · + n2 = Sn = n X n(n + 1)(2n + 1) . Luego se tiene 6 b3 n(n + 1)(2n + 1) b3 1 1 · = (1 + )(2 + ). 3 n 6 6 n n De donde resulta Z 0 b x2 dx = lim Sn = n→∞ b3 . 3 Por lo general la integral determinada no se calcula según su definición. Se conoce una antiderivada F (x) de f (x), entonces se puede calcular inmediatamente la integral determinada de f (x) sobre [a, b]. Este será el contenido del 331 llamado Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial e Integral. Antes de formular este teorema daremos algunos teoremas que sirven de apoyo. Ejercicios.- Calcular sesgún la definición Z b αdx, b) a) b βxdx. a a 5.2.4 Z Integral determinada con Frontera superior variable A la integral determinada de la función f (x) sobre [a, b] se le designa con el Z b sı́mbolo f (x)dx. Imaginese, cambiar en [a, b] la b por la variable frontera x a y luego pregunte por la intgral determinada de f (x) sobre [a, x], e. d., por Z x f (x)dx. a A este integral denominamos integral determinada con frontera superior variable. La x de la frontera superior en esto no tiene nada que ver con la x de f (x). Para asegurar esta situación en lugar de Z x Z x f (x)dx escribimos f (t)dt. a a Es y = f (x) continua en el intervalo I = [A, B], a ∈ [A, B] un valor fijo y x ∈ R x [A, B] un valor variable, entonces, por un teorema anterior, existe la integral dx (vea Fig. 10.7) a R x f (t)dt está definida para cada x ∈ [a, b] y al dar la frontera superior x a Rx está univocamente determinada, e. d., a f (t)dt es una función de su frontera superior x. Este hecho lo vamos a designar con Z x F1 (x) = f (t)dt. a Teor.- Es f (t) continua en I, a un valor fijo de I, entonces la función definida en I Z x F1 (x) = f (t)dt a es diferenciable y se cumple F10 (x) = f (x) ∀x ∈ I, e. d., d dx Z x f (t)dt = f (x) ∀x ∈ I. a Dem.- Tenemos que demostrar que para cada xo ∈ I se cumple lim x→xo F1 (x) − F1 (xo ) = f (xo ). x − xo 332 Si este lı́mite existe es igual a F10 (xo ). Si xo es punto frontera se considera el lı́mite lateral respectivo. x Z F1 (x) − F1 (xo ) xo Z f (t)dt − = a Z a Z a x Z f (t)dt xo f (t)dt. xo a xo a x f (t)dt = f (t)dt + Z f (t)dt + a = x Z f (t)dt = Por hipótesis f (x) es continua en [a, x], por lo tanto, por un teorema, existe un ξ entre xo y x, tal que se cumple Z x F1 (x) − F1 (xo ) = f (t)dt = (x − xo ) · f (ξ). xo De aquı́ obtenemos para cada x 6= xo F1 (x) − F1 xo = f (ξ). x − xo Hagamos ξ = xo +ϑ(x−xo ), 0 ≤ ϑ ≤ 1. Por la continuidad de f (x) tenemos lim f (ξ) = ξ→xo lim f (xo + ϑ(x − xo )) = f ( lim (xo + ϑ(x − xo ))) = f (xo ). x→xo x→xo Por consiguiente lim x→xo F1 (x) − F1 (xo ) = f (xo ). x − xo Nota.- Para complementar el teorema anterior afirmamos, que si f (t) es Rb continua por trozos en I, a un valor fijo de I, entonces F1 (x) = a es conntinua en I. Esta es la llamada propiedad de alisamiento de la integral determinada con frontera superior variable. Teor.- Toda función continua en un intervalo cerrado I posee una antiderivada. Dem.- Este teorema es una consecuencia inmediata del anterior. 5.2.5 Teorema Fundamental del Cálculo Diferencial e Integral Teor.- Es f (x) continua en [a, b] y F (x) una antiderivada cualquiera de f (x) en [a, b], entonces se cumple Z b f (x)dx = F (b) − F (a). a 333 Dem.- Es F1 (x) una Rantiderivada de f (x) en [a, b], entonces por el teox rema anterior es F1 (x) = a f (t)dt. Por otro lado, F (x) = F1 (x) + c es otra antiderivada cualquiera. De esto sigue F (b) − F (a) = (F1 (b) + c) − (F1 (a) + c) = F1 (b) − F2 (a) Z = b Z f (t)dt + a a Z x f (t)dt. f (t)dt = a a Rb Nota.- Se quiere calcular la integral determinada a según este R teorema, entonces haz que determinar primero la integral indeterminada f (x)dx = F (x) + c. La diferencia F (b) − F (a) suministra el valor de la integral determinada. En lugar de F (b) − F (a) se escribe más breve, F (x)|ba o también [F (x)]ba . Z Ejemplos.- 1) 4 x2 dx = 1 Z 2) 64 1 x3 4 |1 = − = 21. 3 3 3 π sin xdx = − cos x|π0 = − cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2. 0 Ambos ejemplos suministran geometricamente las áreas de superficies planas. Nota.- Con ayuda el Teorema Fundamental es muy fácil calcular la integral Rb determinada de a f (x)dx en caso de conocer una antiderivada de f (x). Si no se puede encontrar una antiderivada de f (x), entonces hay que recurrir a la Matemática Numérica. Ejercicios 01.- Calcular las integrales Z 5 a) (x4 + x−2 )dx, 0 2 π Z 3 · sin xdx, c) d) sin xdx, −π 0 Z (1 − x3 )dx, b) 1 Z 2 Z 1 2 e) 0 √ 2 Z dx √ , 1 − x2 1 f) −1 dx 1 + x2 Ejercicios 02.- a) Calcular el área de la superficie plana limitada por las curvas y = x2 − 4x, y = 0, x = −1, x = 6 (ver Fig. sombreada). Z 3 f (x)dx para f (x) = |x − 2| + |x + 1| (Indicación: Considere b) Calcule −3 los intervalos x ≤ −1, − 1 ≤ x ≤ 2, x ≥ 2). 334 c) Determinar F1 (x) = continua por trozos en [a, b] f (x) = Rx 0 f (t)dt para cada x ∈ [0, 6] de la función f (x)   x  para 0 ≤ x ≤ 3, 8 − x para 3≤x≤6 y compruebe que F1 (x) es continua en x = 3. 5.2.6 El Método de Substitución en Integrales determinadas Para determinar la integral indeterminada se emplea a menudo el método de substitución. Por nuestros conocimientos actuales, para calcular la integral determinada con ayuda de una substitución procederı́amos como sigue: R 1. Calculamos la integral indeterminada f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du. 2. Retransformamos la nueva variable u a la antigua variable x y ası́ obtenemos la antiderivada F (x) de f (x). 3. Calculamos la diferencia F (b) − F (a). Z 8 xdx . x2 + 1 −3 Con ayuda de la substitución u = x2 + 1, du = 2xdx se puede calcular la correspondiente integral indeterminada Ejemplo.- Calcular I = Z xdx √ = x2 + 1 √ Z Z Z du √ 1 1 1 du √2 = √ = u− 2 du = u + c. 2 2 u u La retransformación u p = x2 + 1 suministra una antiderivada F (x) de f (x) = x √ , a saber F (x) = x2 + 1. De aquı́ sigue x2 + 1 b I = F (x)|a = p x2 − 1 8 −3 = √ 65 − √ 10 = 8, 06 − 3, 16 = 4, 9. Lo esencial en este proceder es que hay que calcular por totalmente separado la integral indeterminada correspondiente! En un segundo método, durante la transformación de la antigua variable x en la nueva variable u, se transformarán también las fronteras de integración. Teor.- Si para la integral indeterminada de f (x) se cumple la fórmula Z Z f (x)dx = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du , u=ψ(u) 335 entonces se cumple para la integral determinada la siguientes fórmula Z b Z ψ(b) f (x)dx = f (ϕ(u)) · ϕ0 (u)du. a ψ(a) Dem.- Sea G(u) una antiderivada de f (ϕ(u)) · ϕ0 (u) y F (x) una de f (x). La primera fórmula del teorema es pués equivalente a F (x) = G(ψ(x)) + c. De aquı́ sigue F (b) − F (a) = G(ψ(b)) − F (ψ(x)). Pero esta ecuación es equivalente con la segunda fórmula del teorema. Naturalmente tienen que estar dadas las condiciones exigidas en el Teorema del Método de la Substitución y sobre todas la función x = ϕ(u), y por lo tanto u = ψ(x), tiene que ser reversible en el intervalo correspondiente. π 2 Z Ejemplos.- 1) Calcular sin2 x · cos xdx ! 0 Por la transformación u = sin x = ψ(x) (ψ(x) reversible en [0, π2 ], du = cos xdx; x1 = 0, u1 = sin x1 = 0; x2 = π2 , u2 = sin x2 = 1) convierte a la integral en Z 1 1 u3 1 u2 du = = . 3 3 0 0 Z 2) Calclular 4 p 1 − (x − 3)2 dx. 2 Mediante la substitución u = x − 3, esta integral se transforma en Z 1p 1 − u2 du, −1 donde u = x − 3 es reversible en [2, 4] y a x1 = 2 le corresponde u1 = −1 y a x2 = 4 le corresponde u2 = 1. Una segunda substitución u = sin t (u = sin t es una aplicación reversible de − π2 ≤ t ≤ π2 sobre −1 ≤ x ≤ 1) nos suministra la integral Z π2 p Z π2 √ 1 − sin2 t · cos t dt = cos2 t · cos t dt −π 2 −π 2 Z π 2 = 2 cos t dt = −π 2 Indicación: √ 1 (sin t · cos t + t) 2 π 2 = −π 2 π . 2 a2 = |a|. Nota.- En los dos ejemplos anteriores nos hemos convencido que las dos funciones ϕ, ψ que intervienen en la substitución son inversas mutuas. Con 336 frecuencia en la prxis no se presta la debida atención a estas finezas, se ejecuta la substitucin y uno se contenta con el resultado. El siguiente ejemplo muestra que un tal proceder puede conducir a un resultado falso. 1 Z x2 dx se calcula inmediatamente: I = Ejemplo.- La integal I = −1 x3 3 1 2 . 3 = −1 Ahora vamos a calcular I con ayuda del Método de la Subsitución para √ integrales determinadas. Substituyendo u = x2 (du = 2xdx, x = u; x1 = −1, u1 = 1; x2 = 1, u2 = 1) obtenemos Z 1 1 Z 2 du u √ = 0 2 u x dx = −1 1 (frontera superior = frontera inferior!) Donde está el error? Respuesta: La función no es reversible en −1 ≤ x ≤ 1! Hubiesemos obtenido el resultado correcto, si hubiesemos descomupesto el R 0 intervalo [−1, 1] en dos subintervalos [−1, 0] y [0, 1] y a ambas integrales −1 x2 dx R1 y 0 x2 dx hubiesemos aplicado por separado el Método de Substitución. La función u = x2 en cada subintervalo [−1, √0] y [0, 1] es reversible. Las respectivas √ funciones inversas son x = − u y x = u. Z 0 Z 1 Z 0 Z 1 du du 2 2 √ I = x dx + x dx = u + u· √ −2 u 2 u −1 0 1 0 1 2 = Z = − 0 √ udu + 1 1 2 − 2 3 + 1 2 Z 1 √ udu = − 0 0 1 1 2 √ 1 2 √ u u u u + 2 3 2 3 1 0 1 2 2 · = . 2 3 3 Nota.- En el cálculo de la integral determinada mediante el Métaodo de Substitución se puede a) Transformar las fronteras de integación o b) No transformar las fronteras de integración. Se recomienda seguir el procedimiento b), por que se puede descuidar la reversibilidad de las funciones ϕ y ψ. Ejercicios.- Mediante el Métado de Substitución calcular Z a) 0 4 √ xdx , 1 + 2x Z b) 0 π 2 sin xdx cos2 x − 4 337 (Substituir u = cos x). 5.3 Algunas Aplicaciones de la Integral determinada Como ya dijimos, el Cálculo Integral es una herramienta imprescindible en diferentes áreas del saber. Algunas aplicaciones vimos en la aniderivada. Veremos otras aplicaciones. Es de conocimiento general que métodos del Cálculo de Probabilidades y de la Estadı́stica Matemática encuentran empleo cada vez más en las Ciencias Naturales e Ingenierı́as. También en la Economı́a, el Cálculo de Probabilidades y la Estadı́stica son herramientas importantes en la solución de sus problemas. Pero sin Cálculo Integral no se puede construir un Cálculo de Probabilidades y Estadı́taica. Como ejemplo indicamos la siguiente relación: En una magnitud casual o aleatoria X con la función de densidad f (x), la probabilidad para que Z b X tome valores en [a, b] es igual a f (x)dx. a A continuación conoceremos detalladamente algunas aplicaciones de la integral determinada en la Geometrı́a, en las Ciencias Naturales, en la Técnica y en la Economı́a. Se trata de aplicaciones relativamene faciles y de interé general. 5.3.1 Aplicaciones en la Geometrı́a Una primera aplicación de la integral determinada que vimos es el cálculo de la superficie limitada por las curvas y = 0, x = a, x = b y y = f (x), en caso de Rb f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Esta superfice está dada por a f (x)dx. En caso de f (x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b], la integral suministra una superficie negativa. El siguiente teorema generaliza ambos casos. Teor.- Es R una región del plano x, y limitada por arriba por y = f (x), por abajo por y = g(x) y lateralmente por x = a, respectivamente por x = b (Fig. 10.13), entonces el área A de R es b Z (f (x) − g(x))dx. A = a F ig.10.13 Dem.- El área de R resulta de la diferencia de las áreas entre las superficies limitadas por f (x) ≥ o para todo x ∈ [a, b], y = 0, x = a y x = b y por g(x) ≥ o para todo x ∈ [a, b], y = 0, x = a y x = b, e. e., de Z b Z b f (x)dx − a g(x)dx = A. a Si no se cumple el requisito g(x) ≥ 0, por una traslación paralela en dirección del eje y se puede lograr que la región R quede totalmente sobre el eje x. El 338 área permanece inalterable ante una tal traslación. La traslación paralela de las curvas esá dada por f ∗ (x) = f (x) + c, g ∗ (x) + c, (c ≥ 0). Entonces el área de la región es Z A b f ∗ (x)dx − = a Z g ∗ (x)dx = Z a b Z a b Z (f (x) + c)dx − (g(x) + c)dx a b Z Z b g(x)dx − cdx − a b a b f (x)dx + = b Z Con esto se completa la demostración. b Z f (x)dx − cdx = a a Z a b g(x)dx a Requisitos: 1. f (x) y g(x) son continuas en [a, b], 2. f (x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b], e. d., la curva y = f (x) transcurre siempre por encima de la curva y = g(x) en [a, b]. Una región tal se llama región normal. 1 Ejemplo.- Calcule el área limitada por las curvas x = 1, x = 4, y = x2 y 4 4 y = − (ver Fig. 10.14) x F ig.10.14 Tenemos que Z A = 1 = 4 4 1 2 4 1 3 x − − dx = x + 4 ln |x| 4 x 12 1 16 1 + 4 · ln 4 − = 10, 79. 3 12 Ejercicios.- 1) Calcular el área de la región limitada por x = 0, x = 4, y = 41 x2 + 1, y = −x (Primero visualice la región). 2) Determine el área de la región encerrada por las curvas y = y = 2x (La región está en el primer cuadrante). 1 2 2x y En la praxis con frecuencia hay que determinar el área de un superficie, que por lo general no es una región normal. Pero siempre es posible descomponerla en un número finito de regiones normales, luego aplicar el teorema anterior a cada una de ellas. Para esto tienen que existir la curva ”superior” y = f (x) y la curva ”inferior” y = g(x). El problema que ahora nos planteamos es determinar el área de la superficie plana limitada por los segmentos de recta OP1 , OP2 y por el segmento de curva 339 orientada que va de P1 hacia P2 . Más general, determinar la superficie encerrada por una curva cerrada sin doble punto. Para dar solución a estos problemas, con ayuda de la integral determinada, primero tenemos que precisar el concepto de curva. Anteriormente, sin precisar, hemos llamado curva al grafo de una función continua definida en [a, b]. Ahora daremos la Def.- Se llama curva parametrizada, más breve, curva en R2 a la aplicación γ : I −→ R, I 3 t −→ (x(t), y(t)) ∈ R2 , donde x, y : I −→ R son funciones continuas (ver Fig. ). γ se llama diferenciable, respectivamente diferenciable continuas, si x y y son diferenciables, respectivamente diferenciables continuas. La imagen de I bajo γ, e. d., γ(I) se llama huella o trayectoria de γ. Una curva γ se llama simple o de Jordan, si de t1 6= t2 sigue γ(t1 ) 6= γ(t2 ), t1 , t2 ∈ I. Se llama de Jordan cerrada, si además para I = [a, b] se scumple γ(a) = γ(b), e. d., el punto inicial y final de la curva coinciden. Nota 1.- γ(t) = (x(t), y(t)) es la parametrización de la curva γ(t) que va desde γ(a) = (x(a), y(b)) hacia γ(b) = (x(b), y(b)), cuando el parámetro t va de a hacia b. Nota 2.- Diferentes curvas pueden tener la misma huella. Por ejemplo α(t) β(t) = (cos t, sin t), = (cos t, − sin t), t ∈ [0, 2π] t ∈ [0, 2π] son dos curvas diferentes, ya que α(t) 6= β(t) para todo t ∈ [0, 2π], pero con la misma huella, puesto que α(I) = β(I). Se dice que una está orientada en sentido positivo porque se mueve en sentido contrario a las ajugas del reloj cuando t va de 0 hacia 2π y la otra en sentido negativo porque se mueve contrariamene a la anterior. Nota 3.- El movimiento de un punto en el plano, e. e., una curva en el plano se puede describir también indicando el radio polar r = r(t) y el ángulo polar ϕ = ϕ(t) en cada x ∈ I, e. d., por la aplicación t −→ (r(t), ϕ(t)) (ver Fig. ). r y ϕ se llaman coordenadas polares. De aquı́ resulta una relación entre coordenadas rectangulares y polares x(t) = r(t) · cos ϕ(t), y(t) = r(t) · sin ϕ(t) y . x La función y = f (x), en coordenadas polares, toma la forma r = g(ϕ). r2 = x2 + y 2 tan ϕ = 340 Una pregunta de interés es cuando una curva γ : I −→ R2 representa al grafo de una función f : I 0 −→ R? Una respuesta lo da el Teor.- (La Huella como Grafo) Sea γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R diferenciable continua. La función ẋ no tenga ningún lugar nulo en I. Entonces hay una función diferenciable continua f en I 0 = x(I), cuyo grafo es la huella de γ. Además para la derivada de f en xo = x(to ) ∈ I 0 se cumple ẏ(to) . ẋ(to ) f 0 (xo ) = Dem.- Debido a la continuidad de ẋ en I y a ẋ(t) 6= 0 para todo x ∈ I, x es monótona estricta. Por lo tanto existe una función inversa a γ diferenciable continua τ : x(I) −→ I. Entonces para t ∈ I se cumple γ(t) = (x(t), y(t)) = (x(t), y ◦ τ (x(t))) = (x(t), f (x(t))). Aquı́ es f := y ◦ τ . La derivada de f se calcula por la regla de la cadena y por la regla de la derivada de la función inversa: f 0 (xo ) = ẏ(τ )(xo ) = ẏ (to ). ẋ Volviendo a nuestro problema, por la Geometrı́a Euclidiana, sabemos que el área del sector dA limitado por los radios OP1 = OP2 = r y el arco ds ≈ rdϕ (ver Fig. ) es 1 1 dA = r · rdϕ = r2 dϕ. 2 2 F ig. F ig. El área total orientada es A = 1 2 Z ϕ2 r2 dϕ, ϕ1 donde ϕ1 = ϕ(a) y ϕ2 = ϕ(b) cuando t va de a hacia b, I = [a, b]. En este caso ϕ es monótona creciente, la superficie se encuentra al lado izquierdo de la curva y la integral es positiva. Si ϕ se moviera de ϕ2 hacia ϕ1 , la superficie se encontrarı́a al lado derecho de la curva y la integral serı́a negativa. Por otro lado se tienen y(t) = r(t) · sin ϕ(t) x(t) = r(t) · cos ϕ(t) =⇒ tan ϕ(t) = 341 y(t) . x(t) Derivando ambos lados de la igualdad, se tiene 1 dϕ xẏ − ẋy , · = cos2 ϕ dt x2 de donde, por ser x = r cos ϕ, resulta 1 dϕ xẏ − ẋy · = 2 cos2 ϕ dt r cos2 ϕ =⇒ r2 dϕ = (xẏ − ẋy)dt. Por lo tanto Z 1 b (xẏ − ẋy)dt. A = 2 a Esta es la llamada fórmula sectorial de Leibniz. A esta fórmula se llega también del Teorema Integal de Green o del área del triángulo conociendo los vertices. Ahora vamos a calcular el área de una superficie plana limitada por una curva cerrada sin doble punto (ver Fig. ). Pensemos a la curva cerrada γ : [a, b] −→ R formada por dos curvas, γ1 : [a, c] −→ R y γ : [c, b] −→ R, a < c < b. El área de las superficies A1 y A2 limitadas por OP1 , OP2 y la curva γ1 , respectivamente γ2 , se calcula por la fórmula sectorial de Leibniz, Z Z 1 c 1 c A1 = (xẏ − ẋy)dt, A2 = (xẏ − ẋy)dt. 2 a 2 b Por definición A1 es positiva y A2 es negativa, ya que a partir de c la curva se voltea. Por eso para el área de la superficie cerrada A se cumple Z c Z c A = A1 + A2 = (xẏ − ẋy)dt − (xẏ − ẋy)dt a = 1 2 Z b b I (xẏ − ẋy)dt = (xẏ − ẋy)dt. a Los requisitos que se exigen aquı́ son que a x y a y sean diferenciables continuas y que [a, b] se pueda descomponer en un número finito de subintervalos, donde γ sea orientable. H Nota.- El sı́mbolo significa integral sobre una curva cerrada. Ejemplos.- 1.-) Calcular el ŕea de la superficie barrida por el rayo OP1 = r = constante, fijo en O, que al moverse en sentido contrario a las ajugas del reloj va hasta el rayo OP2 = r, e. e., cuando ϕ va de 0o a 90o = π2 . La superficie viene a ser la cuarta parte del cı́culo de radio r (ver Fig. ) En cordenadas polares se tiene Z π Z π 1 2 2 1 2 2 1 2 π 1 A = r dϕ = r dϕ = ·r · = πr2 . 2 0 2 2 2 4 0 342 En forma parametrizada: x = r cos t, y = r sin t, 0 ≤ t ≤ A 1 2 Z 1 = 2 Z = π 2 se tiene π 2 [(r · cos t)(r · cos t) − (r · sin t)(−r·) sin t]dt 0 0 π 2 1 (cos t + sin tdt = 2 2 2 Z π 2 dt = 0 1 2 πr . 4 Integrando en coordenadas polares o rectangulares obtenemos facilmente el mismo resultado. A veces es más ventajoso trabajar en coordenadas polares. 2) Calcular el área de la elipse con semiejes a y b: x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π], Z 1 2π A = ab(cos2 t + sin2 t)dt = πab. 2 0 3).- Calcule el área de la superficie barrida por el rayo OP1 al desplazarse el extremo libre sobre un ramal de la hiperbola x = cosh t, y = sinh t desde su posición horizontal hasta la posición OP2 , e. e., cuando t = 0 va hasta t (ver Fig. ) Por la fórmula sectorial de Leibniz es Z Z 1 t 1 t t A = (cosh2 t − sinh2 t)dt = dt = 2 0 2 0 2 Ejercicios.- 1) Calcule el área de la superficie encerrada por la cardiode r = a(1 + cos ϕ). 2) Calcule las áreas de las superficies encerradas por las curvas a) x = 2a(cos t + cos 2t), y = 2a(sin t − sin 2t). b) x = a cos t, y = b sin 2t. √ 3) Calcule las áreas de la superficies encerradas por la lemniscata (r(ϕ) = a cos 2ϕ) y el trebol (r(ϕ) = a cos 3ϕ). cos t , y 4) Las ecuaciones paramétricas de una espiral hiperbólica son: x = 6 t 12 4 sin t , (0 < t < ∞). P1 = (0, ) y P2 = (0, − ) son dos puntos de = 6 t π π la espiral. Calcule el area del sector limitado por esta curva y los rayos OP1 y OP2 . Ahora vamos a calcular la longuitud de un trozo de curva plana dada por y = f (x) , a ≤ x ≤ a. El problema de asignar a todo trozo de curva un número, 343 su medida, no es elemental. El problema pertenece a la Teorı́a de Medida o de Integración. Para que un trozo de curva tenga longuitud se pone condiciones a f . Si f es diferenciable continua tiene lonnguitud. Pero también hay curvas que no tienen esta propiedad y poseen longuitud. Curvas que tienen longuitud se llaman rectificables. En adelante suponemos que todas las curvas a tratar son rectificables y hay determinar su longuitud. Para obtener la longuitud de un trozo de curva procedemos a elegir una partición de [a, b] en a = xo , x1 , · · ·, xn−1 , xn = b, a determinar los puntos de la curva (xi , f (xi )), i = 0, 1, · · ·, n, luego se unen estos puntos por segmentos de recta y se obtiene un lı́nea poligonal, cuya longuitud se aproxima a la longuitud del trozo de curva. La longuitud de la lı́nea poligonal es la suma de las longuitudes de los segmentos de recta de que se compone. De la Fig. F ig., por el Teorema de Pitagoras, se obtiene q M si = M x2i + M yi2 , M xi = xi −xi−1 , M yi = f (xi )−f (xi−1 ), i = 1, ···, n. Por el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial hay un ξ ∈ [xi−1 , xi ] M yi tal que = f 0 (ξi ). De aquı́ resulta M xi p p (M xi )2 + (f 0 (xi )· M xi )2 = 1 + (f 0 (ξi ))2 · M xi . M si = Pero M s se aproxima al elemento de linea ds cuando M x → 0. La longuitud de la linea poligonal es entonces n X n p X 1 + (f 0 (ξi ))2 · M xi . M si = i=1 i=1 Esta suma representa una aproximación de la longuitud del trozo de curva y = f (x), a ≤ x ≤ b y es más exacta mientras más fina sea la partición del intervalo [a, b]. La longuitaud exacta se obtiene mediante el proceso de lı́mites: s = lim Mxi →0 Z n p X 1 + (f 0 (ξ))2 · M xi = b p 1 + (f 0 (x))dx. a i=1 Por lo tanto hemos encontrado la fórmula buscada. Resumamos! Teor. Para la longuitud s del trozo de curva plana y = f (x), a ≤ x ≤ b, se cumple Z s = b p 1 + (f 0 (x))2 dx. a 344 Requisito: Que y = f (x) sea diferenciable continua en [a, b]. Ejemplos.- 1) Calcular la longuitud del trozo de curva y = ≤ x ≤ 6. 6 Z 0 Z s = 0 4 0 r Según la fórmula se tiene s = se obtiene 1 2 3x , 4 3 1 + x2 dx. Por substitución z = x 9 2 4 p p 3 3 1 2 2 1 + z · dz = (z · z + 1 + arsinh z) 2 2 2 0 = i4 p √ √ 3 3h p 2 = z · z + 1 + ln(z + 1 + z 2 ) · (4 17 + ln(4 + 17)) 4 4 0 = √ 3 3 · (4 17 + ln 8, 123) ≈ 12, 37 + · 2, 09 ≈ 13, 94. 4 4 2) Calccular la longuitud de la catenaria y = cosh x entre los puntos con la absiza −a y a. Debido a la simetrı́a de la curva, hay que integrear de 0 hasta a y duplicar el resultado. Z a s = 2 Z p 1 + [(sinh x2 )0 ]dx = 2 0 Z = 2 0 b p 1 + sinh2 xdx a a a cosh xdx = 2 sinh x|0 = 2 sinh a. √ Ejercicios.- 1) Calcule la longuitud de y = x x, 0 ≤ x ≤ 8. 2) Calcule la longuitud de la circunferencia con radio igua a 1. El trozo de curva está dado en forma paramétrica x = x(t), y = y(t) con el parámetro t ∈ [t1 , t2 ], entonces el elemento de linea ds está dado por s 2 2 p p dy dx ds = + dt = (dx)2 + (dy)2 = ẋ + ẏ dt. dt dt Teor.- La longuitud s de un trozo de curva plana x = x(t), y = y(t), t1 ≤ t ≤ t2 está dada por Z t2 p (ẋ(t))2 + (ẏ(t))2 dt. s = t1 Requisito: Que las funciones x y y sean diferenciables continuas en [t1 , t2 ]. 345 Nota.- Si el trozo de curva estuviera dada en coordinadas polares, e. d., en la forma r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], entonces se tiene Z βp Z β |r0 (ϕ)|dϕ. s = (r0 (ϕ)2 dϕ = α α Ejemplos.- 1) Calcular la longuitud del trozo de curva x = r · cos t, y = r · sin t, 0 ≤ t ≤ π. Sabemos que la curva es la semicircumferencia de radio r y su longuitud es πr. Aplicando la fórmula tenemos Z πp s = (−r · sin t)2 + (r · cos t)2 dt 0 Z = π Z p 2 2 r · sin t + cos tdt = 0 π rdt = πr. 0 2) Calcular la longuitud de arco del trozo de curva x = a · cos t, y = b · sin t, 0 ≤ t ≤ π2 . Es la representación paramétrica de un cuarto de la elipse. Aplicando nuevamente la fórmula anterior resulta Z π2 r Z π2 p b2 − a2 sin2 ϕ dϕ (−a · sin ϕ)2 + (b · cos ϕ)2 dϕ = b · 1− s = 2 b 0 0 Z = b· π 2 q 1 − e · sin2 ϕ dϕ, 0 b2 − a2 con b > a. e se llama excentricidad numémerica. Esta donde e2 = b2 integral por lo general no se puede resolver en forma elemental. Una integral de Z ψq la forma 1 − e2 . sin2 ϕ dϕ se llama integral elı́ptica del 2. género y cuya 0 solución se encuentra en las tablas. Ejercicios.- 1) Calcular la longuitud del arco que une dos picos consecutivos de la cicloide generada por un punto fijo de un cı́rculo de radio r al rodar sobre una recta. Su representación parámetrica es x = r(1 − sin t), y = r(1 − cos t), (0 ≤ t ≤ 2π). 2) Calcular la longuitud de arco de la espiral logarı́tmica r = a · ekϕ comprendida entre los puntos ϕ1 y ϕ2 (ϕ1 < ϕ2 ). (La ecuación en coordenadas polares r = a · ekϕ , − ∞ < ϕ < ∞, se puede transforma en la representación paramétrica x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ). 3) Determinar la longuitud del arco de la catenaria que se extiende desde x a x −1 hasta 1. Su ecuación es y = e a + e− a . 2 4) Calcular la longuitud del arco de y = x2 comprendida entre 0 y x > 0. 346 Cálculo del Volumen de un Cuerpo. El cálculo del volumen de un conjunto acotado de puntos del espacio, generalmente, requiere del empleo del concepto de integral múltiple, concepto que será materia de un segundo tomo. Pero hay casos siemples, que ocurren con frecuencia, donde sólo se necesita del concepto de integral que ya conocemos. Para estos casos exigimos que el cuerpo, cuyo volumen deseamos determinar, se encuentre en el espacio con coordenadas rectangulares x, y, z, dentro de un intervalo [a, b], por ejemplo, del eje x y que la intersección del cuerpo con los planos paralelos al plano yz originen una superficie, cuya área estea dada por q(x), como se ve en la Fig. 10.19. Nos imaginamos que para cada x ∈ [a, b] existe el área del corte transversal del cuerpo originado por la intersección del plano paralelo a yz y perpendicular al eje x en el punto (x, 0, 0). Es decir, q es función de x integrable. Siguiendo la definición de la Integral de Riemann, elegimos la partición a = xo < x1 < · · · < xn−1 < xn = b y los ξi con xi−1 < ξi < xi , i = 1, 2, · · ·, n. Entonces el volumen del cuerpo es n X V ≈ q(z)4zi . i=1 Porlo tanto V = lim n X n→∞ Z q(z)4zi = b q(x)dx. a i=1 Este resultado nos permite formular el Teor.- En el espacio con coordenadas rectangulares x, y, z sea dado un cuerpo K, tal que con respecto al eje x sea a su ı́nfimo y b su supremo. Para cada x ∈ [a, b] sea q(x) el área de la superficie Sx determinada por aquellos planos que pasan por (x, 0, 0 y son paralelos al plano yz. Entonces para el volumen del cuerpo K se cumple Z V = b q(x)dx. a Ejemplos.- 1) Determinar el volumen de la elipsoide y2 z2 x2 + + = 1. a2 b2 c2 Para cada x ∈ [a, b] el corte transversal Sx es una elipse y su proyección Sx0 en el plano yz es descrita por y2 z2 x2 a2 − x2 + 2 = 1− 2 = 2 b c a a2 o por 347 y2 2 b (a2 − x2 ) a2 + z2 2 c (a2 − x2 ) a2 Por lo tanto la elipse tiene los semiejes = 1. cp 2 bp 2 a − x2 y a − x2 . a a Por otro lado, sabemos que el área de la superficie limitada por una elipse es A = πab, donde a y b son los semiejes. Por consiguiente tenemos que q(x) = πbc 2 (a − x2 ) a2 y el volumen está dado por Z a Z πbc a 2 4 V = q(x)dx = (a − x2 )dx = πabc. 2 a 3 −a −a 2) Con ayuda del teorema anterior calcule el volumen de una piramide con base cuadrada, el lado del cuadrado es a y la altura h. En el sistema coordenado rectangular situemos a la piramide tal, que la base cuadrática descanse en el plano xy, el centro del cudrado coincida con el origen y el eje z pase por el vértice de la piramide como se ve en Fig. 10.30. De la Geometrı́ Plana sabemos que se cumple la relación: r : a = (h−z) : h (Teorema de las Proporciones). De aquı́ se obtiene r = a (h − z). h Por cada z entre 0 y h pasa un plano que determina corte transversal cuarado en la pirada de lado r, cuya área es r2 , e. d., q(z) = r2 . Por lo tanto el volumen de la piramide es h Z V = Z q(z)dz = o = a2 h2 o h Z 2 a2 h (h − z) = 2 (h − z)dz h h o a z=h a2 1 1 a2 h = 2 · h3 = . − (h − z) 3 h 3 3 z=0 Naturlamente este resultado ya se conoces de la Geometrı́a Elemental. Con este teorema también se puede utilizar para calcular el volumen de cuerpos de rotación. Def.- Se entiende por un cuerpo de rotación aquel que se obtiene al rotar la superficie limitada por las curvas x = a, x = b, y = 0 y y = f (x) ∀ x ∈ [a, b] alrededor del eje x. Se entiende que f (x) ≥ 0 (vea Fig. 10.21). 348 Teor.- Para el volumen de un cuerpo de rotación se cumple b Z (f (x))2 dx. V = π a Dem.- El plano paralelo al plano yz y que pasa por x ∈ [a, b] intersecta al cuerpo en un circulo con superficie q(x) = π · r2 . Por lo tanto su volumen es Z V = b Z q(x)dx = π a b (f (x))2 dx. a Ejemplo.- Determinar el volumen del cuerpo de rotación originado por y = 41 x2 , 0 ≤ x ≤ 4 alredor del eje x (ver Fig. 10.22). Por el último teorema tenemos que Z V = π· 4 2 (f (x)) 0 4 Z = π· 0 1 2 x 4 2 dx = π · 12, 8 ≈ 40, 21. Ejercicios 1) Calcular el volumen de un cono circular recto de radio r y de altura h. 2) Aplicando los dos últimos teoremas determinar el volumen de uns esfera de readio r. 3) Se tiene un cuerpo de base circular de radio r. Encontrar su volumen, si cada plano perpendicular a su diametro intersecta al cuerpo en un triángula equilatero. √ 4) Calcular el volumen del cuerpo de rotación originado por la√curva y = 2 x definida en [0, 9] (más exacto, originado por las curvas y = 2 x, x = 0 y x = 9. 5) Se ha construı́do un cuerpo al hacer rotar la cuarva y = x2 + 2 definida en [−2, 3] alededor del eje x. Determine su volumen! 6) Se ha generado un cuerpo al ahcer girar alrededor del eje y a la superficie limitada por las curvbas y = 4x2 y y = 2x. Calcule su volumen! También es posible calcular el área de una superfice que cubre un cuerpo de rotación con ayuda de la integral que ya conocemos. Estas son las superficies de rotación. Teor.- Se rota la curva y = f (x) definida en [a, b], entonces el área de la respectiva superficie de rotación está dada por b Z A = 2π · y p 1 + y 02 dx. a 349 Se supone que a) f (x) > 0 ∀ x ∈ [a, b] y b) f (x) es diferenciable continua en [a, b]. Dem.- Consideremos la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b. Al intervalo lo dividimos en n subintervalos [xi−1 , xi ] de longuitud 4xi , i = 1, · · ·, n. Sea ξi el punto medio del subintervalo [xi−1 , xi ]. El ”trozo de curva” de y = f (x) sobre el intervalo [xi−1 , xi ] se reemplazará por el ”trozo de tangente” ti de la recta tangente t, la cual es tangente a la curva y = f (x) en el punto (ξi , f (ξi )) (ver Fig. 10.23). Hacemos rotar a ti alrededor del eje x, entonces obtenemos la superficie exterior de un cono truncado, cuya área Ai se calcula por una fórmula elemental p de la Geometrı́a Plana. Para la longuitud li de ti se cumple li = 1 + (f 0 (ξi ))2 · 4xi (La demostración de esta ecuación lo dejamos como ejercicio. Punto de partida es aquel triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es ti y cuyo cateto base es 4xi ). Por lo tanto, ya tenemos todas las magnitudes necesarias para el cálculo del área Ai del cono truncado (ver Fig. 10.24). p Ai = π · li · 2f (ξi ) = 2π · 1 + (f (ξ1 ))2 · f (ξ) · 4xi . La suma de todos los Ai , i = 1, · · ·, n se puede considerar como aproximación del área buscada de la superficie de rotación, si la partición de [a, b] es lo suficiene n X fina: A ≈ Ai . (Interprete una vez mas este hecho geométrico in Fig. 10.23! i=1 Compare la superficie de rotación obtenida por rotación de y = f (x) con aquella superficie de rotación obtenida por la rotación cde los n trozos de tangente ti alrededor del eje x!). Se cumple pués ! n n X X p A = Ai = 2π f (ξi ) · 1 + (f 0 (ξi ))2 · 4xi . i=1 i=i El valor exacto de A se obtiene nuevamente mediannte el proceso de lı́mite de la definición de la integral de Riemann: ! Z b n X p p 0 2 A = lim 2π · f (ξi ) · 1 + f (ξi )) 4xi = 2π f (x) 1 + f 0 ((x))2 dx. 4xi →0 a i=1 Nota.- Este lı́mite existe, ya que por hipótesis f (x) es diferenciable continua, e. d., el integrando es función continua y por lo tanto integrable en el sentido de Riemann. Ejemplo.- Calcule el área de la superficie de rotación originada por la curva y = 21 x2 , 0 ≤ x ≤ 4, al girar alrededor del eje x. Por el teorema se tiene Z 4 p 1 1 + x2 dx. A = 2π 0 2 350 √ R Esta integral es del tipo r(x, ax2 + bx + c)dx, cuya integral se puede encontrar en las tablas de integrales. Por otro lado su integración es laboriosa. Por eso escribimos aquı́ el resultado. Y se tiene Z p p p x 1 p x2 1 + x2 dx = (1 + x2 ) 1 + x2 − [x 1 + x2 + ln(x + 1 + x2 )]. 4 8 Por lo tanto es A = π(17 · √ 17 − √ 1√ 1 17 − ln(4 + 17)) = 212, 9. 2 8 Ejercicio.- 1)√Sea dada la superficie de rotación construı́da por la rotación de la curva y = 2 x, 0 ≤ x ≤ 9, al rotar alrededor del eje x. Determine su área! 2) √ Caallcule el área obtenida al hacer rotar alrededor del eje x a la curva y = 1 − x2 , − 1 ≤ x ≤ 1. (Rspta. 4π) 5.3.2 Aplicaciones a las Ciencias Naturales e Ingenieriles Problema 1: De que tamaño es el trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de un camino rectilı́neo? En el lenguaje diario, trabajo es el esfuerzo requerido para realizar una actividad (job). Fisicalmente, el trabajo W es la fuerza F requerida para trasladar un objeto de un punto A a otro B a lo largo de un camino (orientado) de longuitud s (ver Fig. 10.25) Matematicamente, dada una fuerza constante F de importe F , que aplicada a un objeto lo traslada a lo largo de una recta (orientada) de longuidtud s ha realizado el trabajo W definido por W = F ·s (”Trabajo” = ”Fuerza” por ”Distancia”). Ejemplos de trabajo son: a) mover un objeto contra la fricció n, b) comprimir un gas de un balón de volumen V1 a otro de volumen V2 y c) comprimir o estirar un resorte. Más difı́cil es el cálculo de W cuando la fuerza F ya no es contante, sino que varı́a de punto en punto. Imaginese, por ejemplo, la fuerza quer interviene al estirar un resorte o espiral elástico. Para dar solución satisfactoria a este problema, nos imaginas al segmento de recta de A a B como parte del eje x y que A coincide con el punto a del eje x, respectivamente B con b. La fuerza F actua en dirección de este segmento, pero cambia de punto en punto, e. d., F = F(x) (ver Fig. 10.26). De que tamaño es el trabajo W realizado por esta fuerza de importe F (x) a lo largo del segmento de recta de a hacia b? 351 Partamos al intervalo [a, b] en muchos, pero finitos, subintervalos [xi−1 , xi ], i = 1, · · ·, n, donde xo = a y xn = b. De cada subintervalo eligamos un ξi ∈ (xi−1 , xi ). Entonces el trabajo realizado por la fuerza F = F(x) en el camino desde xi−1 hasta xi es aproximadamente F (ξi ) · 4xi (4xi = xi − xi−1 : longuitud del camino). Por consiguiente, el trabajo realizado de a hacia b es n X aproximadamente F (ξi ) · 4xi . El valor exacto del trabajo W se obtiene i=1 mediante el proceso de limite, como en la integral de Riemann, cuando 4xi → 0: W = lim n X 4xi →0 Z F (ξi ) · 4xi = b F (x)dx. a i=1 Este resultado lo resumimos en el Teor.- La fuerza F = F(x) de importe F = F (x), actuando en dirección positiva del eje x a lo largo del camino desde a hasta b realiza el trabajo Z W = b F (x)dx. a Ejemplo.- Que trabajo ha realizado un resorte al estirarse de su estado normal? (ver Fig. 10.27) Por experiencia sabemos, que en este caso, F (x) varı́a linealmente con x, e. d., F (x) = px + q. Por otro lado sabemos también, que si en b no hay desplazamiento es F (b) = 0 y F es monótona decreciente en [a, b]. De esto sigue que pb + q = 0 y F 0 (x) = q < 0. Pués se cumple F (x) = px − pb = −p(b − x). Haciendo −p = c > 0, tenemos F (x) = c(b − x). Por lo tanto Z b c(b − x)dx = W = a ib h c c = (a − b)2 . − (b − x)2 2 2 a Ejercicio.- Un resorte tiene una rigidez de k = 6 Newtons por metro y su longuitud de comprensión es de 1 metro. Que trabajo se requiere para extender al resorte una longuitud de 1, 5 metros? Que trabajo se requiere para estirar al resorte de 2 a 3 metros? (Indicación: Emplear la Ley de Hook) Problema 2: Sea dada una superficie plana S limitada por las curvas x = a, x = b, y = 0 y y = f (x) para todo x ∈ [a, b] con f (x) ≥ 0. Imaginemos a B provista de una capa de masa de densidad ρ = constante. Se busca el centro de gravedad G(xg , yg ) de B (ver Fig. 10.28): Para determinar G de B necesitamos hacer uso del siguiente teorema de la Mecánica Elemental: Para el punto der gravedad (x, y) de un sistema de puntos de masa P1 (x1 , y1 ), · · ·, Pn (xn , yn ) de masa m1 , · · ·, mn se cumplen las fórmulas 352 x = m1 x1 + · · · + mn xn , m1 + · · · + mn y = m1 y1 + · · · + mn yn . m1 + · · · + mn (?) La demostración de estas fórmulas para n = 2 resulta facilmente de la Ley de la Palanca (vea Fig. 10.29): k1 = m1 · g y k2 = m2 g son la fuerzas que actúan en P1 , respectivamente P2 con los importes k1 = m1 g, respectivamente k2 = m2 g. Para que el sistema S de los puntos P1 y P2 estea en equilibrio tiene que cumplirse −−→ −−→ |P1 G| · k1 = |GP2 | · k2 , −−→ −−→ donde G es el centro de gravedad de S y |P1 G|, |GP2 | son las distancias de P1 y de P2 a G respectivamente. De aquı́, debido a que k1 = m1 · g y k2 = m2 · g (g es la gravedad), resulta −−→ −−→ |P1 G| · m1 = |GP2 | · m2 −−→ −−→ Considerando que los vectores P1 G y GP2 tienen igual dirección y sentido, se cumple la ecuación vectorial −−→ −−→ m1 · P1 G = m2 · GP2 . Esta ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones m1 (x − x1 ) = m2 (x2 − x), m1 (y − y1 ) = m2 (y2 − y), donde (x, y) son las coordenadas de G, (x1 , y1 ) de P1 y (x2 , y2 ) de P2 respectivamente. Solucionando este sistema de ecuaciones obtenemos x y y: x = m1 x1 + m2 x2 , m1 + m2 y = m1 y 1 + m2 y 2 . m1 + m2 Para n = 3 se procede de la siguiente manera: Primero se determina el centro de gravedad G de P1 y P2 y luego el centro de gravedad de G con masa m1 + m2 y P3 con masa m3 . Ası́ inductivamente se justifica el teorema. Con ayuda de (?) podemos determinar el centro de gravedad G de la superficie S. De nuevo, al intervalo [a, b] lo dividimos en n subintervalos [xi−1 , xi ] de longuitud correspondiente 4xi , i = 1, · · ·, n, xo = a, xn = b. Sea ξi el punto intermedio de [xi−1 , xi ]. Para pequeño 4xi , el centro de gravedad de la superficie Si limitada por x = xi−1 , x = xi , y = 0, y = f (x) es aproximadamente igual al centro de gravedad del rectángulo Ri limitado por x = xi−1 , x = xi , y = 0, y = f (ξi ) (ver Fig. 30). Si la densidad es constante, el centro de gravedad Gi del rectángulo Ri está dado por las coordenadas xi = ξi , yi = 12 f (ξi ). La masa de Si es aproximadamente igual a la masa de Ri : m(Si ) ≈ m(Ri ) = ρ · f (ξi ) · 4xi (”densidad” por ”área” de Ri igual a ”masa” de Ri ). 353 Imaginemos ahora, a cada Si , i = 1, · ··, n reemplazado por un punto Pi de masa m(Ri ) en el lugar del centro de gravedad de Ri . Entonces Pi tiene las coordinadas (xi , y i ) = (ξi , 12 f (ξi ) y la masa mi = ρ · f (ξi ) · 4xi . Con esto hemos logrado reemplazar a la superficie S por un sistema de puntos materiales Pi , i = 1, · · ·, n de coordenadas (xi , y1 ) y de masa mi . (Ante el efecto de la gravedad, este sistema de puntos materiales se comportará aproximadamente como la superficie S cubierta con la masa, si la partición de [a, b] es lo suficientemente fina). El punto de gravedad de este sistema lo podemos calcular según las fórmulas (?). x = n n n 1 X 1 X ρ X mi xi = (ρ · f (ξi ) · 4xi ) · ξi = ξi · f (ξi ) · 4xi , Mo i=1 Mo i=1 Mo i=1 donde Mo := m1 +···+mn es la masa total del sistema de puntos materiales. y = n n n 1 X 1 X ρ X 1 mi y i = (ρ·f (ξi )·4xi )· f (ξi ) = (f (ξi ))2 ·4xi Mo i=1 Mo i=1 2 2 · Mo i=1 Ya que Mo es aproximadamente igual a la masa M de S, en las ecuaciones anteriores podemos reemplazar a Mo por M . Por otro lado es A · ρ = M , donde A es área y M masa de S. Por lo tanto tenemos n x = n 1 X ξi · f (ξi ) · 4xi , A i=1 y = 1 X (f (ξi ))2 · 4xi . 2A i=1 El punto (x, y) ası́ determinado es una aproximación del del punto de gravedad buscado (xG , yG ) de S. La aproximación es tonto mejor, mientras más fina sea la partición de [a, b]. Los valores exactos de xG y yG se obtienen nuevamente mediante procesos de lı́mites: Z n 1 X 1 b xG = lim ξi · f (ξi ) · 4xi = x · f (x)dx, 4xi →0 A A a i=1 n yG = 1 1 X (f (ξi ))2 · 4xi = 4xi →0 2A 2A i=1 Z lim b (f (x))2 dx. a A este resultado lo formulamos en el Teor.- A las coordenadas del centro de gravedad de S lo calculamos con las fórmulas Z Z b 1 1 b x · f (x)dx, yG = (f (x))2 dx. xG = A a 2A a Z b Aquı́ A = f (x)dx es el área de la superficie S y S la superficie limitada a por las curvas x = a, x = b, y = 0, y = f (x) para x ∈ [a, b] con f (x) ≥ 0, a la cual iamginamos cubierta con una masa de densidad ρ = constante. 354 Si ρ = constante para todos los puntos de S, entonces se dice que S es una superficie homogenea y a su centro de gravedad se designa centro de gravedad geométrico o centroide. Nota.- Generalizaciones de esta idea son los conceptos de centro de gravedad, momento estático y momento de inercia con ρ = ρ(x) variable. Ejemplo.- Encuentre el centroide de la superficie o región limitada por la recta y = 2x y la parábola y = x2 . Primero bosquejamos la superficie limitadas por las curvas (ver Fig. 5.519). Las curvas se interceptan en (0, 0) y (2, 4). El área es 2 Z 2 4 x3 2 2 = . (2x − x )dx = x − A = x 3 0 0 Por lo tanto xG = 1 A Z 2 x(2x − x2 )dx = 0 3 4 Z 2 (2x2 − x3 )dx 0 2 3 2 3 x4 3 16 = x − = −4 = 1 4 3 4 0 4 3 yG = 1 2A Z 0 2 3 (2x)2 − (x2 )2 dx = 8 Z 2 (4x2 − x4 )dx 0 2 8 x5 3 4x3 = . − = 8 3 5 0 5 8 El centro de gravedad es (1, ). 5 Ejercicios.- 1) Calcular el centroide de la superficie limitada por y 2 = ax y x = a (a > 0). 2) Determine el centroide de la superficie limitada por las curvas y = sin x, 0 ≤ x ≤ π y y = 0. Problema 3: Son el voltaje o tensión u y la intensidad i en una instalación eléctrica constantes, e. d., u = U = constante, i = I = constante, entonces el trabajo eléctrico W realizado en cierto tiempo T está dado por W = U · I · T. Pero si la tensión y la intensidad varán en el tiempo, entonces la trabajo realizado en el tiempo T se calcula mediante una integral determinada. 355 Teor.- Se tiene la tensión u = u(t) y la intensidad i = i(t), entonces el trabajo eléctrico realizado en el intervalo de tiempo 0 ≤ t ≤ T es T Z uidt. W = 0 Nota.- En caso de u = U = constante, i = I = constante, se obtiene Z T Z T dt = U IT . Por lo tanto W = U IT es un caso U Idt = U I W = 0 0 particular de este teorema. Para la deducción de la fórmula general se utiliza el mismo procedimiento que para la deducción de la fórmula del trabajo mecánico. Al intervalo [0, T ] lo dividimos en muchos, pero en número finito de subintervalos. Es τk un punto, n X 4tk la longuitud del k-ésimo subintervalo, entonces la suma u(τk )i(τk )4tk k=0 es una aproximación para el trabajo elétrico W buscado. El valor exacto se obtiene nuevamente mediante un proceso de lı́mite que conduce a la integral de Riemann: Z T n X u(τk )i(τk )4tk = W = lim u(t)i(t)dt. 4tk →0 0 k=1 Ejemplo.- Calcule el trabajo eléctrico W , si la tensión e intensidad satisfacen a las ecuaciones (corriente alterna) i = Iˆ · sin(ωt + ϕi ), u = Û · sin(ωt + ϕu ), 2π y sea elegido T = . ω Aquı́, ω, ϕu y ϕi son magnitudes constantes. ω es la ”frecuencia circular”, T = 2π ω el perı́odo. Esto es, calcularemos el trabajo eléctrico durante un perı́odo. Al substiruir x = ωt + ϕu , la integral Z W = T Û · sin(ωt + ϕu ) · Iˆ · sin(ωt + ϕi )dt 0 se transforma en W = 1 ˆ Û I ω Z ϕu +2π sin x · sin(x + ϕ)dx, ϕu donde ϕ = ϕi − ϕu (fase de traslación). Puesto que para una función Z c+2π Z 2π periódica f (x) con el perı́odo 2π se cumple f (x)dx = f (x)dx, podec mos simplificar a la integral anterior: Z 1 ˆ 2π Û I sin x sin(x + ϕ)dx. W = ω 0 356 0 De esto, debido a sin(x + ϕ) = sin x cos ϕ + cos x sin ϕ, resulta Z 1 ˆ 2π W = Û I (sin2 x cos ϕ + sin x cos x sin ϕ)dx ω 0 2π 1 ˆ 1 1 2 = Û I (cos ϕ) (x − sin x cos x) + (sin ϕ) sin x ω 2 2 0 π ˆ T ˆ Û I cos ϕ = Û I cos(ϕi − ϕu ). ω 2 Resultado: Para el trabajo eléctrico durantre un perı́odo T se cumple = W = 5.3.3 1 ˆ Û IT cos(ϕi − ϕu ). 2 Un Modelo Integral en la Economı́a Una fábrica F 1 necesita para su producción de un semifabricado que se produce en la fábrica F 2. La demanda de F 1 en este semifabricado importa U unidades de lotes (Por ejemplo, 1 lote = 1.000 piezas. La demanda anual debe cubrirse mediante n suministros por año que se envı́an en tiempos equidistantes n1 y en las mismas cantidades Un (Por ejemplo, n = 24 suministros por año tienen que 1 U suministrarse en fechas distantes de 24 de año y cada vez en la cantidad de 24 lotes. Se supone que las existencias o estado del depósito entre dos suministros consecutivos se describe por una función monótona decreciente b(t) y que al agotarse las existencias (b(t) = 0) , se recibe un nuevo suministro (ver Fig. 10.31). Naturalmente la función bosquejada con esta figura representa una cierta idealización matemática, ya que en la prática el estado del depósito cambia generalmene a saltos. Los costos del transporte sea independiente de la cantidad del suministro transportado y su importe sea k1 unidades monetarias por cada transporte de F 2 hacia F 1. Por el almacenamiento del semifabricado F 1 tiene que pagar k2 unidades monetarias por año y unidad de lote, tomada en ”promedio” de existencias. Cuánto es el costo total K que F 1 tiene que pagar durante un año por el transporte y almacenamiento del semifabricado? Los costos de transporte de los n suministros importa nk1 unidades monetarias. Que se tiene que entender por ”promedio” de existencias por año? Hay que entenderlo como la suma de las áreas de todas las superficies sombreadas de Fig. 10.31, que por hipótesis todas tienen igual área, porque las existencias de suministro a suministro varı́an según la misma regla. Z τ 1 Para el área de la primera superficie se sumple b(t)dt, (τ = ). Entonces n 0 Z τ las existencias promedio son n · b(t)dt. El costo total es Z K = k1 n + k2 n 0 0 τ 1 b(t) = τ 357 Z k1 + k2 τ b(t)dt . 0 En el problema formulado, el costo total K está en función de n, e. e., el costo total solo dependen del número de suministros. Nota.- Además de la integral de Riemann existen la integral en el sentido de Lebesgue, que generaliza a la primera y tiene ciertas ventajas en el Análisis Funcional. 5.4 Integrales Impropias Z b f (x)dx se ha supuesto que: En la definición de la integral determinada a 1. El intervalo [a, b] es finito, 2. La función f (x) es acotada en [a, b]. Toda la definición de la integral de Riemann se basaZen estos dos Zrequisitos. 1 ∞ 1 Por lo tanto, según Riemann, integrales de la forma e−x dx dx o 0 x 0 no están definidas. En la práctica se presentan frecuentemente integrales de la Z ∞ forma , por ejemplo, cuando hay que determinar el mı́nimo trabajo necesario a de un cohete para abandonar la gravedad de la tierra. Por eso vamos ampliar el concepto de integral permitiendo intervalos no acotacos como [a, ∞] y funciones no acotadas como inegrandos. 5.4.1 Integración sobre Invervalos no Acotados Se presentan tres tipos de integrales: Z ∞ Z b f (x)dx (I), f (x)dx Z −∞ a ∞ (II), f (x)dx (III). −∞ Los sı́mbolos −∞, +∞ = ∞ encierran conceptos que deben precisarse, a y b son números reales (finitos). Observemos a la función f definida en [a, ∞) con la propiedad: Z x f (x)dx existe para todo x con a ≤ x < ∞. a Entonces a f llamamos local integrable. Analogamente definimos la integrabilidad local para funciones definidas en (−∞, b]. Z x Def.- Sea f local integrable sobre [a, ∞). Existe el lim f (t)dt, enx→∞ a Z ∞ Z x tonces a f (t)dt = lim f (t)dt se llama integral impropia de f sobre a x→∞ a 358 [a, ∞0), de la integral impropia se dice que converge, de f se dice que es impropiamente integrable sobre [a, ∞). Z ∞ Si el lı́mite no existe, se dice que la integral impropia f (t)dt diverge. a Z b Z b f (x)dx. f (t)dt = lim Analogamente se define x→−∞ −∞ x Ejemplos.- 1) Determine el área de la superficie limitada por el eje x, el 1 eje y y el grafo de f (x) = , x ∈ [0, ∞). 1 + x2 Primero vemos si f es local integrable en [a, ∞), e. d., si es integrable sobre [0, x], x fijo con 0 ≤ x < ∞. Para esto calculamos el área A(x) de la superficie limitada por el eje y, el segmento ax, la perdendicular al eje x en x fijo y el grafo de f . En efecto, existe Z x 1 A(x) = dt = arctan x − arctan 0 = arctan x. 1 + t2 0 Ahora es evidente que el área buscada A es Z x 1 = A = lim A(x) = lim x→∞ x→∞ 0 1 + t2 lim arctan x = n→∞ π . 2 2) Calcular el área de la superficie limitada por el eje x, el eje y y el grafo 1 de 0f (x) = 1+x Inmediatamente obtenemos x Z A(x) = 0 x Z Pero el lim A(x) = x→∞ lim x→∞ 0 buscada. Z 1 dt = ln(1 + t). 1+t 1 dt no existe, e. d., no existe el área 1+t ∞ Nota.- Para el cálculo de f (x)dx se procede de la siguiente manera: Z x Primero se determina la antiderivada F (x) de f (x), luego se calcula f (x)dx = a F (x) − F (a) (x fijo) y finalmente se calcula lim (F (x) − F (a)). a x→∞ Ejercico.- 1) Analice la convergencia o divergencia de la integrales im- 359 propias ∞ Z a) 1 1 dx, xr b) cos x dx 0 ∞ Z d) −∞ 0 Z 2 −π Z e−x dt, c) ∞ Z (r ∈ R), ∞ e) 0 dx dx, a2 + x2 Z (a 6= 0) 1 1 sin dt 2 x x 0 sin xdx. f) −∞ 2) En el origen de un sistema de coordenadas se encuentra una masa M . Esta atrae a una masa m que se encuentra a la distancia r sobre el eje x. La fuerza de atracción está dada por F (x) = γ nM , x2 donde γ es una constante de proporcionalidad (Esta ecuación es la Ley de Newton). Cual es el trabajo W que tiene que realizarse para empujar a la masa m a lo largo del eje x de x = r hacia el infinito? Para el caso del intervalo (−∞, ∞) tenemos la Def.- ZSea dada la función Z ∞ f : (−∞, ∞) −→ R. ExisteZun∞c ∈ R, tal que las c integrales f (x)dx y f (x)dx convergen, entonces f (x)dx también −∞ −∞ c converge y se cumple Z ∞ Z c Z f (x)dx = −∞ f (x)dx + −∞ ∞ f (x)dx. c Caso contrario se dice que la integral diverge. Nota.- La convergencia o la divergencia de una integral es independiente de c. Esto se comprueba eligiendo otro c0 6= c, digamos c0 > c, y luego se ve que el resultado no ha variado. Z ∞ 1 Ejemplo.- Calcular dx. 1 + x2 −∞ Z ∞ 1 π De un ejemplo anterior sabemos que dx = lim arctan x = . 2 x→∞ 1+x 2 0 Z 0 Falta comprobar la convergencia de −∞ Z 0 lim x→−∞ x 1 dt = 1 + t2 1 dx, e. e, que exista 1 + x2 lim (arctan 0 − arctan x) = x→−∞ 360 π . 2 Por lo tanto se tiene Z ∞ Z 0 Z ∞ 1 1 1 π π dt = dt + dt = + = π, 2 2 2 1 + t 1 + t 1 + t 2 2 −∞ −∞ 0 e. d., la integral converge. 1 a simple vista tiene cası́ la misma 1 + x2 forma que la famosa campana de Gauss (curva del error), la cual en su forma 1 2 1 más simple se describe por y = ϕ(x) = √ · e− 2 x . Ambas funciones tienen 2π el mismo valor máximi en x = 0 y el mismo comportamiento en el infinito, e. d., lim f (x) = lim ϕ(x) = lim f (x) = lim ϕ(x) = 0. x→−∞ x→−∞ Z x→∞ x→∞ ∞ Para ϕ(x) se cumple ϕ(x)dx = 1, lo que no es tan simple de comprobar −∞ Z ∞ como f (x)dx = π. Nota.- La curva y = f (x) = −∞ La curva de Gauss toma un lugar central en el Cálculo de Probabilidades. Ejercicios.- Analizar la convergencia o divergencia de Z ∞ Z ∞ dx , b) a) e−a|x| dx (a > 0). 2 −∞ −∞ x + x + 2 5.4.2 El Valor Principal de Cauchy Z ∞ A la integral impropia f (x)dx también lo podemos definir ası́: −∞ Z ∞ Z f (x)dx = −∞ y lim x→−∞ y→∞ f (t)dt, x donde las fronteras de integración x y y independiente una de la otra tienden a −∞, respectivamente a ∞. Elegirı́amos, por ejemplo, y = −3x, entonces x y y serı́an independientes una de la otra, con x → −∞, automaticamene se cumplirı́a y → ∞. Se elige a = −x y y = x, se llega al concepto de valor principal de Cauchy (VPC) de la integral imppropia. Def.- Se entiende por valor principal Z x de Cauchy de la integral imporpia f (t)dt. A este lı́mite, caso de existir, de f (x) sobre (−∞, ∞) al lı́mite lim x→∞ −x Z ∞ se le designa con V P C f (x)dx. −∞ 361 De la definición sigue inmediatamene, que la existencia de la integral imporpia implica la existesncia del valor principal de Cauchy y que ambas son iguales. Lo inverso, generalmente no se cumple, e. d., la existencia del valor principal de Cauchy no implica automaticamente la existencia de la integral impropia. El siguiene ejemplo aclara esta situación. Ejemplo.- Consideremos la integral Para c = 0 se cumple Z y 1 tdt = lim ( y 2 ) = ∞ y lim y→∞ 2 y→∞ 0 R∞ −∞ Z xdx. 0 1 lim (− x2 ) = − ∞. 2 x Z ∞ tdt. Basta que una de las integrales impropias diverga para que diverga lim x→−∞ tdt = x→−∞ −∞ Z x 1 1 lim ( x2 − (−x2 )) = 0. Por lo tanto 2 2 −x existe el valor principal de Cauchy para la función f (x) = x y es 0. Sin embargo: lim x→∞ tdt = x→∞ Ejercicios.- Analice si existen Z ∞ a) x3 dx ∞ c) −∞ x3 dx b) V P C −∞ Z ∞ Z −∞ Z xdx x2 + 3 ∞ d) V P C −∞ xdx . x2 + 3 Nota.- Hay que cuidarse de la expresión −∞ + ∞! 5.4.3 Criterios de Convergencia La Z ∞pregunta sobre la existencia (convergencia) de una integral impropia del tipo f (x)dx se puede contestar generalmene rápido, si se conoce la antiderivada a Z ∞ F (x) de f (x). Entonces se cumple f (x)dx = lim F (x)−F (a). Por lo tanto x→∞ a la pregunta sobre la existencia de la integral imporopia se reduce a la existencia de lim F (x). x→∞ Una dificultad puede presentarse en el caso que f (x) no tenga o es dificil determinar su antiderivada F (x). Trataremos de formular teoremas de existencia de integrales impropias para funciones de las cuales no sabe si tienen o no antiderivas. Muchas veces basta saber si una integral impropia converge o diverge. Aquı́ como en sucesiones y series, criterios de comparación juegan un papel importante. 362 Para comprender mejor el criterio de comparación, en primer lugar nos limitaremos a considerar funciones f (x) positivas y acotadas. Luego establecemos la relació entre la integral impropia de f y la de |f | y finalmene enunciaremos el criterio de comparación. Lema.- Sea f local integrable sobre [a, ∞) y no negativa, e. d., f (x) ≥ 0 ∀x ∈, [a, ∞). Además exista una constante M > 0, tal que Z x A(x) := f (t)dt ≤ M, ∀x ≥ a. a Z ∞ f (x)dx converge. Entonces a Dem.- Para cada sucesión monótona creciente (xn ) con lim xn = ∞, x→∞ la sucesión (A(xn )) es monótona creciente y acotada y por lo tanto existe lim A(xn ). n→∞ Por otro lado, por ser A(x) continua en [a, b), este lı́mite es independiente de la elección de la sucesión (xn ). Por lo tanto el lim A(x) existe y x→∞ Z ∞ por eso f (t)dt converge. a Ahora veremos la relación entre la convergencia de R∞ gencia de a |f (t)|dt. R∞ a f (t)dt y la conver- Z Lema.- Sea f local integrable sobre [a, ∞) y converga Z ∞ tonces f (t)dt también converge. ∞ |f (t)|dt. Ena a Dem.- Se demuestra que con f es también |f (x)| local integrable sobre [a, ∞). Ahora crearemos la situación del lema antrior. Para eso definimos una función auxiliar g(x) := f (x) + |f (x)|, ∀x ≥ 0. Se ve facilmente que se cumple 0 ≤ g(x) ≤ 2|f (x)| ∀x ∈ x ≥ a. De aquı́ sigue Z x Z x g(t)dt ≤ |f (t)|dt ∀x ≥ a. a Z a ∞ |f (x)|dx sigue De la supuesta convergencia de a Z x Z ∞ |f (t)|dt ≤ 2 2 a |f (t)|dt =: M. a 363 Z x g(t)dt ≤ M ∀x ≥ a. Con esto g satisface a la Z ∞ g(x)dx converge. Debido a hipótesis del lema anterior. Por lo tanto Por lo tanto se obtiene a a Z x x Z Z Z (f (t) + |f (t)|)dt = g(t)dt = a a x Z x Z x g(t)dt − a |f (t)|dt a Z f (t)dt = ∞ f (t)dt + a se tiene x a |f (t)|dt. a ∞ Z Ya que el lado derecho de la igualdad converge cuando x → ∞, converge. f (x)dx a Resumen: Toda función absoluta impropiamente integrable es impropiamente integrable. Teor.- (Criterio del Mayorante - Minorante) Sean f funciones definidas en [a, ∞) local integrables. y g dos Z (a) (Mayorante) Es |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ [a, ∞) y converga Z ∞ entonces f (x)dx también converge y se cumple ∞ g(x)dx, a a Z ∞ Z f (x)dx ∞ ≤ a Z |f (x)|dx ≤ g(x)dx. a a cumple 0 ≤ g(x) ≤ f (x) Z ∞(b) (Minorante) Z Se ∞ g(x)dx, entonces f (x)dx también diverge. a ∞ ∀x ∈ [a, ∞) y diverga a Dem.- (a) De |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ [a, ∞), sigue Z x Z x |f (t)|dt ≤ g(t)dt ∀x ∈ [a, ∞). a a Además se cumple Z x ∞ Z g(t)dt ≤ a =: M ∀x ≤ a, a porque g es no negativa y porque R∞ a g(t)dt converge. De las dos últimas desigualdades sigue Z x |f (t)|dt ≤ M a 364 ∀x ≥ a, R∞ e. d., según un lema anterior, a |f (x)|dx converge. Por lo tanto converge R∞ también a f (x)dx, según el otro lema. Las desigualdades de (a) resulta inemediatmente de las propiedades de las integrales y de los lı́mites. R∞ (b) Aceptemos que a f (x)dx converge. Debido a |g(x)| = g(x) y según la R∞ parte (a), también converge a g(t). Contradicción a la hipótesis! Nota.- El Teorema Mayorante - Minorante se cumple anologamente para Z b f (t)dt. −∞ Estos criterios son importantes para decidir la convergencia y la divergencia de una integral impropia. Pero también es importante encontrar una función que R ∞ mayore o minore a la función dada. Para determinar si la integral impropia f (x)dx de f (x) ≥ 0 existe, sin conocer una antiderivada F (x), se busca a R∞ una función mayorante g(x) de f (x), tal que la integral impropia a g(x)dx exista. Ya que para f (x) posiblemente existen infinitos mayorantes, el arte consiste precisamene en encontrar un mayorante no demasiado grade, cuya integral impropia exista. Z ∞ Ejemplos.- 1) Examine si la integral impropia 1 dx existe! x2 + ex Ya que ex > 0 para todo x, se cumple x2 + ex > x2 . De aquı́ sigue 1 1 < 2. x2 + ex x La función g(x) = 1 1 es un mayorante de f (x) = 2 . x2 x + ex integral se cumple Z ∞ Z x dx dx = lim = 2 x→∞ 1 x2 x 1 lim x→∞ 1 − |x1 x = lim x→∞ 1 1− x Para esta = 1. Por lo tanto la integral Z ∞ impropia g(x) converge. Y por el teorema anterior la dx integral impropia de tiene que converger y tendrá un valor menor 2 + ex x 1 a 1. Z ∞√ x+5 converge! 2) Analise, si la integral impropia x 1 √ Solución: Se cumple f (x) := x+5 > x 365 √ x =: g(x) > 0 x ∈ [1, ∞). x Z ∞ Pero Z ∞ g(x)dx = 1 1 dx √ = x x Z lim x→∞ 1 ∞ √ Z Entonces, por el teorema anterior, 1 dx √ = x √ lim 2 x x 1 x→∞ = ∞ x+5 diverge. x Nota.- El criterio del mayorante o minorante solo nos permite decidir si la integral impropia existe o converge, pero no nos permite determinar su valor. Ejercicios.- 1) Examine si existen o no las integrales impropias: Z ∞ Z ∞ dx e−x sin xdx, , b) a) x2 ex 0 1 ∞ Z √ c) 0 ∞ Z e) 0 5.4.4 x4 0 Z x +1 dx, d) −∞ Z x dx, 2 x + 2x + 5 f) 0 x · arctan x dx, x3 − 1 ∞ √ dx dx. x3 + 1 Integral Impropia de Funciones no Acotado Def.- Se dice que la función f es no acotada en a, si lim f (x), x→c o lim f (x) x→c− lim f (x) son −∞ ó ∞. x→c+ Z 2 dx no está definida porque f tiene un salto infito en c = 0 ∈ −2 x [−2, 2] y por lo tanto no se puede calcular el área limitada por x = −2, x = 2 y y = f (x) x ∈ [−2, 2]. En tales casos podemos aislar al lugar no acatado al encerrarlo en un entorno pequeño (c − δ1 , c + δ) ⊂ [a, b] y calcular las integrales sobre los subintervalos [a, c − δ1 ] y [c + δ2 , b] y luego examinamos a las integrales obtenidas cuando δ1 → 0 y δ2 → 0. Para el lugar c de no acotamiento de la función pueden darse tres opciones: (1) c = a, (2) a < c < b, (3) c = b. La integral Def.- Sea c un lugar de no acotamiento de f en el intervalo [a, b]. Z b a) Es c = a, f local integrable sobre [a + δ1 , b] y existe el lim f (x)dx, δ1 →0 a+δ1 entonces f se llama impropiamente integrable. Al lı́mite se llama integral impropia y se le designa con Z b Z b f (x)dx := lim f (x)dx. a δ1 →0+ 366 a+δ1 Z b−δ 2 b) Es c = b, f local integrable sobre [a, b−δ2 ] y existe el lim δ2 →0+ f (x)dx, a entonces f también impropiamente integrable y al lı́mite se llama integral impropia se le designa con Z b−δ2 Z b f (x)dx. f (x)dx := lim+ δ2 →0 a a c) Es a < c < b, f local integrable sobre los intervalos [a, c − δ1 ], [c + Z b Z c−δ1 f (x)dx, f (x)dx, lim+ δ2 , b] y existen los lı́mites respectivos lim+ δ1 →0 δ2 →0 a c+δ2 entonces f se llama impropiamente integrable y para la integral impropia se cumple Z b Z c−δ1 Z b f (x)dx. f (x)dx + lim+ f (x)dx = lim+ δ1 →0 a δ2 →0 a c+δ2 De estas integrales impropias se dice que son convergente. si no existen los lı́mites, se dice que la integrales impropias divergen. Z 1 dx √ es integral imporpia convergente! Ejemplos.- 1) Examine, si x 0 1 f (x) = √ es no acotada en x = 0. La integral impropia existe (converge), x Z 1 dx √ existe y es finito. si G = lim+ x δ→0 δ Z 1 Z 1 √ √ 1 dx dx √ = 2 x δ = 2 − 2 δ, sigue G = 2, e. e., √ = 2. La De x x 0 δ integral impropia existe. Geometricamente significa que el área de la superficie 1 limitada por y = √ , 0 ≤ x ≤ 1 y el eje y es 2. (ver Fig. 11.8) x 1 Z 2) Analise, si la integral impropia 1 dx dx converge o diverge! x2 1 La función f (x) = 2 en x = 0 no es acotada (ver Fig. 11.9). x Para c = 0, por definición, se tiene Z 1 Z −δ1 Z 1 dx dx dx = lim + lim 2 2 2 + + x δ1 →0 δ2 →0 −1 x −1 δ2 x ( = lim δ1 →0+ = lim δ1 →0+ 1 − x −δ1 ) ( + −1 1 −1 δ1 lim δ2 →0+ 1 − x 1 ) δ2 1 + lim+ −1 + = ∞ + ∞ = ∞ δ2 δ2 →0 367 Conclusión: La integral impropia diverge. Nota.- El cálculo formal, sin tener en cuenta el lugar de no acotamiento dentro del intervalo, conduce a resultados falsos: Z 1 −1 dx 1 = − x2 x 1 = − 1 − 1 = − 2. −1 En Fig. 11.9, a simple vista, a simple vista se ve que la superficie limitada por y = x12 , − 1 ≤ x ≤ 1, nunca puede ser negaiva. Nota.- Si el intervalo [a, b], donde está definida f contiene varios puntos de no acotamiento c1 , c2 , · · ·, cn , on aleqc1 < c2 · · · cn ≤ b, entonces se examine a la expresión b Z Z c1 f (x)dx := a Z c2 Z b + ··· + f (x)dx + a f (x)dx. c1 cn Ejercicios.- Examine, si las siguiente integrales imporpias son o no convergentes: Z 1 Z 1 Z 1 xdx dx √ a) , b) , c) ln xdx 1 − x2 0 0 x 0 Z d) 0 2 dx , (x − 1)4 1 Z √ e) 0 Z dx , 1 − x2 f) 1 2 dx . t ln t Nota.- Sea c (a < c < b) un lugar de no acotamiento de f . En este caso se entiende por VPC de la integral impropia sobre el intervalo [a, b] a "Z # Z Z b V PC c−δ f (x)dx = a Z 1 Por ejemplo, −1 δ→0+ b f (x)dx + lim a dx no existe, pero V P C x f (x)dx . c+δ Z 1 −1 dx dx si exsiste y es 0. x Nota.- El criterio del mayorante - minorante para integrales impropias, en el caso de lugares de no acotamiento, coincide en todo con el criterio anterior, excepto en el intervalo de integración. 368 BIBLIOGRAFIA 1. Bartle, R. G.; Sherbert, D. R.: Introduction to Real Analysis, New York, J. Wiley, 1982. 2. Berberian, S. K.: Introduction to Analysis, Berlin, Springer-Vrlag, 1999. 3. Courant, R.; John, F.: Introduction to Calculus and Analysis 1, 2., Berlin - New York, de Gruyter, 1983 4. Deminovich, B. P.: 5000 Problemas de Análisis Matemático. 8a. Ed., Paraninfo VAAP, Madrid, 2000. 5. Edwards, C. H.; Penney, D. E.: Cálculo con Gemetrı́a Analı́tica, Prentice Hall, México, 1996. 6. Fichtenholz, G. 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