Ecuación de Dirac y Klein-Gordon: Mecánica Cuántica Relativista

Ecuación de Dirac y ecuación de Klein-Gordon.
Izamar Benavides∗
Mecántica Cuántica
B. Izamar Tapia Benavides†
(Dated: May 24, 2017)
Se presenta una descripción relativista de la mecánica cuántica utilizando ecuaciones de onda que
sean covariantes bajo transformaciones de Lorentz y cuyas soluciones admitan una interpretación
probabilı́stica. Para ello se utilizó la ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac.
I.
INTRODUCCIÓN
A principios del siglo XX se llevó a cabo la primera
unificación de la Teorı́a de la Relatividad con la Mecánica
Cuántica. Dicho logro corresponde a la formulación de la
”ecuación de onda relativista” de Paul Adrien Maurice
Dirac.
Considerando que la ecuación de Schrödinger está
basada en los principios de la mecánica newtoniana y
por tanto es compatible con el principio de relatividad
de Galileo. La generalización de esta ecuación de onda
implica la utilización de términos relativistas y fue propuesta primeramente por Klein-Gordon en 1926, con una
formulación matemática aparentemente simple.
El problema de unir adecuadamente la Mecánica
Cuántica y la Teorı́a de la Relatividad parecia estar estancada, hasta que en 1930, el fı́sico ingles Paul Dirac,
logró deducir una ecuación que describe adecuadamente
los fenómenos cuánticos y es compatible con el principio
de la relatividad.
Dado que la materia cargada está descrita por un formalismo no relativista basado en la función de onda Ψ
que resuelve la ecuación de Schrödinger con un potencial dado, y como los principios de la relatividad especial son aceptados, entonces, una teorı́a cuántica correcta debe satisfacer dichos postulados: las ecuaciones
de movimiento deben ser válidad en todos los sistemas de
referencia inerciales. Decimos que la teorı́a cuántica relativista debe formularse en la forma covariante de Lorentz.
La descripción de los fenómenos a altas energı́as requiere la investigación de ecuaciones de onda relativistas. La transición de una descripción no relativista a
una descripción relatvista implica que varios conceptos
de la teorı́a no relativista tienen que ser reinvestigados.
Si ponemos atención a la ecuación de onda de
Schrödinger (1) para una partı́cula libre, en donde el
vector x es el vector posición en tres dimenciones, encontramos que no aparece la velocidad de la luz, además,
no hay ningun término que impida que la partı́cula pueda
∗
†
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autonoma de
México
[email protected]
viajar a la velocidad de la luz, o con una velocidad aun
mayor.
i~
∂Ψ(x, t)
~2 2
=−
∇ Ψ(x, t)
∂t
2m
(1)
Además, la energı́a y el momento que aparecen en
esta ecuación se transforman diferente bajo transformaciones de Lorentz. Decimos entonces que la ecuación de
Schrödinger no es covariante, por lo que no puede ser una
buena ecuación de onda relativista.
Es a partir de la ecuación de Dirac y de la ecuación
de Klein-Gordon, que se tiene una ecuación relativista
covariante de tipo Schrödinger con densidad de probabilidad definida positiva. De dicha formulación, y de su
solución, fue posible la predicción teorica de la antimateria, que pocos años después fue detectada experimentalmente.
La ecuación de Dirac permite calcular la función de
onda de un electrón, y de otras partı́culas elementales,
tomando en cuenta todos los efectos relativistas.
En este trabajo se presenta una descripción relativista
de la mecánica cuántica utilizando ecuaciones de onda
que sean covariantes bajo transformaciones de Lorentz
y cuyas soluciones admitan una interpretación probabilı́stica. Lo haremos a través de la ecuación de KleinGordon y la ecuación de Dirac, comenzaremos con un
repaso básico de algunas nociones de relatividad y continuaremos con la derivación de la ecuación de Klein-Gordon
e incorporando elementos de esta ecuación llegaremos a
la formulación de Dirac.
II.
NOCIONES DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
El concepto de invariancia relativista, se deriva de la
teorı́a especial de la relatividad, la cual tiene dos principios básicos:
1. La fı́sica debe ser la misma en todos los sistemas de
referencia.
2. El principio de covariancia de la luz, que implica que
la velocidad de la luz es isótropa y de igual magnitud en
todos los sistemas inerciales. Es por ello que no se puede
desplazar a una velocidad superior a la de la luz en el
vacı́o.
2
La invariancia relativista implica que las ecuaciones
fı́sicas deben ser independientes del sistema de referencia utilizado. Por ello, si se conocen las leyes fı́sicas que
gobiernan un sistema fı́sico, ha de saberse cómo transformar sus observables dependiendo del sistema de referencia desde el que se observa. Estas transformaciones
entre sistemas de coordenadas son las transformaciones
de Lorentz (generalización de las conocidas transformaciones de Galileo de la Fı́sica clásica). La invariancia
Lorentz, es en el mismo plano al tiempo y el espacio.
Para estudiar las concecuencias de las transformaciones de Lorentz, se presenta a continuación la notación
relativista basada en cuadrivectores.
A.
gµν = g µν
0
0
−1
0

0
0
0
−1
xµ = gµν xν xµ = g µν xν gµν g µσ = δνσ
∂
∂ ~
, ∇)
= ∂µ =
µ
∂x
∂t
Análogamente se define el cuadrivector de energı́amomento:
∂µ = (
∂µ ∂ µ =
III.
(4)
ct0 = γ(ct − β~ · ~x)
(5)
A.
En el caso de elegir la dirección de O0 según el eje z
la transformación es más sencilla, quedando matricialmente:
 0 
 
ct
γ 0 0 −βγ
ct
 x0   0 1 0 0   x 
(6)
 y0  =  0 0 1 0   y 
0
z
−βγ 0 0 γ
z
donde β = v/c y γ = (1 − β 2 )−1/2
Todo cuadrivector que se transforme según la ley (1)
se dice que es un vector contravariante xµ . Los vectores
contravariantes tienen idéntica componente temporal y
las especiales cambiadas de signo; también se transforman según la misma matriz de Lorentz. El tensor métrico
gµν cuya definición es:
(9)
∂
~
, −∇)
∂t
(10)
(11)
Con lo cual el operador de D’Alambert toma la forma:
En el caso general en el que el sistema O0 se mueve con
velocidad β~ respecto de O, la transformación de Lorentz
es:
γ ~
~
β · ~x − ct)
x~0 = ~x + βγ(
γ+1
(8)
Sucede pues que, un cuadrivector covariante se diferencia del contravariante en el hecho de que las coordenadas
espaciales cambian de signo.
Una curiosidad es la derivada del cuadrivector. Si se
trata del cuadrivector derivada respecto a las coordenadas contravariantes, será un cuadrivector covariante:
(2)
(3)
(7)
Su producto es igual a la delta de Kronecker, por lo
tanto los tensores:
gµν = g µν
Las coordenadas relativistas de un punto en el espaciotiempo (ct, x, y, z) = xµ forman un vector contravariante que se denomina el cuadrivector de posición xµ que
también suele escribirse como:
x0µ = Λµν xν
0
−1
0
0
es el que permite transformar cuadrivectores contravariantes y covariantes entre si:
Notación relativista
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (x0 , x); x0 = ct

1
0
=
0
0
∂2
− ∇ 2 = 2
∂t2
(12)
ECUACIÓN DE KLEIN-GORDON.
¿Cómo hacemos la ecuación de onda relativista?
De acuerdo al procedimiento canónco de la mecánica
cuántica no relativista:
p̂ = −i~∇
(13)
Ê = i~∂t
(14)
i.e.pµ = (
E
, p) → p̂µ
c
(15)
Si hacemos el proceso de cuantización a la energı́a, tenemos:
pµ pµ = (E/c)2 − p2 = m2 c2
(16)
E(p) = (m2 c4 + p2 c2 )1/2 → i~∂t ψ = [m2 c4 − ~c2 ∇2 ]1/2 ψ
(17)
3
Hacemos una expanción en serie de Taylor para darle
significado a la raı́z cuadrada:
i~∂t ψ = mc2 ψ −
~4 (∇2 )2
~2 ∇2
ψ + ...
ψ−
2m
8m3 c2
(18)
Es decir, la evolución temporal de ψ especificada por un
número infinito de condiciones a la frontera, entoncés es
no localizadad, y la asimetrı́a espacio-temporal nos sugiere que esta ecuación es un punto de partida bastante
pobre. Ahora, aplicamos el mismo principio de correspondencia a la relación de dispersión relativista:E 2 =
p2 c2 + m2 c4 , y obtenemos:
−~
∂2ψ
= −~2 c2 ∇2 ψ + m2 c4 ψ
∂t2
(19)
C.
La densidad de probabilidad, ecuación (25), no esta
definida positiva, pensamos entonces; ¿la ecuación de
Klein-Gordon es aceptable?, tenemos que considerar ciertas cosas:
1. La ecuación de Klein-Gordon no es de primer orden
en la derivada temporal, por lo que debemos especificar
ψ y ∂t ψ en todo punto en t = 0.
2. La ecuación tiene soluciones de energı́a tanto positiva como negativa.
Por otra parte, tampoco podemos rechazar las soluciones de energı́a negativa, ya que las interacciones locales pueden dispersar entre estados de energı́a positivos
y negativos. En conclusión, la ecuación de Klein-Gordon
describe a una partı́cula sin espı́n.
Definiendo kc = 2π/λc = mc/~, llegamos a la ecuación
de Klein-Gordon
(∂ 2 + kc2 )ψ = 0
IV.
DERIVACIÓN DE LA ECUACIÓN DE
DIRAC.
(20)
La ecuación de Klein-Gordon es local y manifiestamente
Lorentz covariante. La invariancia de ψ bajo rotaciones
significa que, si es válida para todo, la ecuación de KleinGordon está limitada a partı́culas sin espin.
B.
Viabilidad de la ecuación de Klein-Gordon.
Probabilidades.
¿Es posible que |ψ|2 sea interpretada como una densidad de probabilidad? De la mecánica cuántica no relativista, sabemos que:
~2 ∇2
~2 ∇2 ∗
ψ (i~∂t +
)ψ = 0, ψ(−i~∂t +
)ψ = 0 (21)
2m
2m
La ecuación de Dirac se puede introducir si consideramos las variables fı́sicas clásicas identificadas como observables y remplazarlas por operadores matriciales u operadores diferenciales, ası́ como considerar relaciones de
energı́a válidas en la Teorı́a Especial de la Relatividad.
El desarrollo se llevara a cabo para una partı́cula libre,
que podemos considerar en reposo o en movimiento, y sobre la que no actuan fuerzas, de manera que se encuentra
en una región de potencial constante, V = 0.
Tomamos entonces la expresión para la energı́a cinética
de una partı́cula considerada como una observable;
E 2 = p2 c2 + m2 c4
(26)
∗
y de la relación de continuidad ∂t ρ + ∇ · j = 0, y la
conservación de la probabilidad tenemos que:
ρ = |ψ|2 j = −i
~
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2m
Donde la masa m corresponde a la masa en reposo de
la partı́cula. Establecemos el momento p̄ como un vector
tridimencional en coordenadas rectangulares
p̄ = (px , py , pz )
(22)
Aplicando lo anterior a la ecuación de Klein-Gordon:
1
ψ ( 2 ∂t2 − ∇2 + kc2 )ψ = 0
c
∗
p2 =
3
X
p2j = p2x + p2y + p2z
(27)
(28)
j=1
(23)
Si los operadores E y p estan dados por lo siguiente:
~2 ∂t (ψ ∗ ∂t ψ−ψ∂t ψ ∗ )−~2 c2 ∇·(ψ ∗ ∇ψ−ψ∇ψ ∗ ) = 0 (24)
E 2 = −~2
con ∇t ρ + ∇ · j = 0, j µ = (ρc, j), obtenemos:
~
~
(ψ ∗ ∇t ψ − ψ∂t ψ ∗ ), j = −i
(ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ )
2mc2
2m
(25)
Con la cuadri-corriente la relación de continuidad:∂µ j µ =
0. Es decir, la densidad de Klein-Gordon es la componente timelike(como el tiempo) de un cuadrivector.
∂ ∂
∂2
·
= −~2 2
∂t ∂t
∂t
p2 = −~2 ∇ · ∇ = −~2 ∇2
ρ=i
(29)
(30)
=⇒
−~2
∂2
= −~2 c2 ∇2 + m2 c4
∂t2
(31)
4
∇2 −
m2 c2
1 ∂2
=
2
2
c ∂t
~2
(32)
Ahora hacemos actuar lo anterior sobre una función de
onda de materia φ,
1 ∂2
m2 c2
∇2 − 2 2 φ =
φ
(33)
c ∂t
~2
De donde el termino entre paréntesis es el operador de
onda, y la función φ es una cantidad escalar que consideramos como un número complejo con el mismo valor
numérico en todos los sistemas de referencia. Por lo que
la ecuación (33) es relativista. Sin embargo la función
de onda no determina el futuro del sistema, pues al aplicarle el criterio de Born, ρ = ψ ∗ ψ, en donde ρ siempre
es una cantidad positiva, se tienen problemas. Ahora, si
consideramos la densidad de probabilidad relativista
ρ=
i~
(φ ∗ ∂t φφ − φ∂t φ∗)
2m
(40)
La densidad de probabilidad tiene que ser calculada
ahora como un producto matricial en orden:
4
X
Ψ†j (x, t)Ψj (x, t)
(41)
j=1
Ahora aplicando el operador matricual en ambos lados del resultado que se habı́a obtenido anteriormente,
nos permite recuperar la ecuación de onda para ondas de
materia,donde κ = mc
~ ;
(36)
Sin embargo ésta ecuación no trata por igual al espacio
y el tiempo, pues la parte derecha de la ecuación contiene una derivada de primer orden respecto al tiempo,
y la parte de la izquierda no contiene dicha derivada. Lo
que se propuso fue tomar una factorización tentativa del
operador de onda;
1 ∂2
i
∇2 − 2 2 = A∂x + B∂y + C∂z + D∂t
c ∂t
c
× A∂x + B∂y + C∂z + 1c D∂t (37)
mc
1 ∂2
Ψ
∇2 − 2 2 Ψ =
c ∂t
~
i
mc
A∂x + B∂y + C∂z + D∂t −
Ψ=0
c
~
1
0
γ1 = 
0
0

(38)
Con κ una constante multiplicativa. Notamos que del
lado izquierdo de la igualdad es una expresión matricial
(42)
Por tanto, la ecuación de onda mecánico-cuántica relativista que se busca, la cual es de primer orden tanto en
el espacio como en el tiempo, será:
Dirac encontró que las matrices requeridas son:
Con A, B, C y D matrices. De modo que podemos
obtener la siguiente ecuación de onda
i
A∂x + B∂y + C∂z + D∂t Ψ = κΨ
c
Ψ† (x, t) = [Ψ∗1 (x, t)Ψ∗2 (x, t)Ψ∗3 (x, t)Ψ∗4 (x, t)]
(35)
Obtenemos entonces la ecuación de Schrödinger;
(39)
Lo cual quiere decir que para poder describir el comportamiento del electrón se requerirı́an cuatro ecuaciones
diferenciales, sólo para una partı́cula libre. A la función
de onda multicomponente se le conoce como espinor, entonces la función de onda serı́a un espinor de dimención
cuatro. Al escribir al espinor como un vector columna,
entonces el dual Ψ∗ de este vector columna que se requiere para poder obtener la densidad de probabilidad
bajo el criterio de Born como Ψ∗ Ψ cuyos componentes
serán los conjugados complejos de los elementos correspondientes tomados como vector columna:
Ψ† Ψ(x, t) =
j=1
v
u
3
X
u
∂Ψ
t(mc2 )2 +
(pj c)2 Ψ = i~
∂t
j=1
Ψ = (Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 )
(34)
Nuevamente tenemos un problema; la densidad de probabilidad no es definitivamente positiva en todo momento,
pues φ y ∂φ
∂t pueden tomar el signo que se desee. Ahora,
si tomamos la raı́z cuadrada del operador de onda;
v
u
3
X
u
(pj c)2
E = t(mc2 )2 +
que involucra matrices 4x4, mientras que del lado derecho
es una cantidad escalar. De manera que podemos asumir
que la función de onda Ψ es un vector, es decir, una
función multicomponente;
0
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
γ2 = 
0
−1


0
0
=β
0
−1
0
0
−1
0
0
1
0
0

1
0
0
0
(43)
5
∂Ψ(x, t)
βmc2 + cᾱ · p̄ Ψ(x, t) = i~
∂t
0
0
γ3 = 
0
−i
0
0
i
0
0
i
0
0

−i
0
0
0
0
0
γ4 = 
−1
0
0
0
0
1
1
0
0
0

0
−1
0
0


Considerando el termino entre paréntesis como un operador Hlibre que está actuando sobre el espinor Ψ(x, t)
y que vendrá siendo el operador Hamiltoniano relativista
para la partı́cula libre, de modo que:
Hlibre = βmc2 + cᾱ · p̄
Las matrices de Dirac pueden ser expresadas de una
manera más compacta poniendo tres de ellas en función
de las tres matrices de Pauli:
0 1
0 −i
1 0
σk =
,
,
1 0
i 0
0 −1
Definimos las siguientes matrices αk cuyos elementos
son las matrices de Pauli y la matriz β:
0 σk
σk 0
Una vez definidas las matrices de Dirac que serán
utilizadas en lugar de los coeficientes A, B, C, D, haciendo; (A, B, C) = iβαk , D = β, y representando a
∂
los operadores usuales de momento como pk = ~i ∂k
, con
k = x, y, z, podemos escribir la ecuación relativista de
Dirac de la siguiente manera:
βmc2 + c
3
X
!
αk pk
Ψ(x, t) = i~
k=1
∂Ψ(x, t)
∂t
(44)
Definiendo los vectores ᾱ y p̄ como:
ᾱ = (α1 , α2 , α3 )
p̄ =
~ ∂ ~ ∂ ~ ∂
,
,
i ∂x i ∂y i ∂z
(45)
~ ∂
~ ∂
~ ∂
+ α2
+ α3
i ∂x
i ∂y
i ∂z
(50)
SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE DIRAC.
Para obtener una solución a la ecuación de Dirac consideraremos una partı́cula libre en reposo en un potencial
V = 0. De manera que tomamos una simplificación semejante a cuando en la teorı́a especial de la relatividad se
consideran fenómenos que ocurren a una velocidad menor
a la de la luz. Dado que la partı́cula está en reposo, entonces no tiene momento. Por lo que la ecuación de Dirac
se reduce a lo siguiente:
i~
∂Ψ
= mc2 βΨ
∂t

 
Ψ1
1
∂
Ψ2 
2 0
i~ =   = mc 
Ψ3
0
∂t
0
Ψ4
0
1
0
0
0
0
−1
0
(51)
 
Ψ1
0
0  Ψ2 
0  Ψ3 
−1 Ψ4
Llevando a cabo el producto matricial:
(46)
Hciendo el producto punto entre los vectores anteriores, tenemos:
ᾱ · p̄ = α1
∂Ψ(x, t)
∂t
Lo que Dirac buscaba era una ecuación relativista
covariante de tipo Schrödinger definida positiva, que
además debı́a ser lineal en el tiempo y en las coordenadas
espaciales. La ecuación es invariante bajo rotaciones espaciales, por lo que αk no son simplemente números, si no
matrices. Ψ no es un simple escalar, de hecho ρ = Ψ∗ Ψ
es la componente temporal de un cuadrivector.
V.
I 0
β=
0 −I
(49)
Obtenemos entonces la ecuación de Dirac con la estructura de la ecuación de Schrödinger:
Hlibre Ψ(x, t) = i~
αk =
(48)
(47)
Escribimos entonces la ecuación relativista de Dirac
como:


  2
mc Ψ1
0
0
0
i~ · ∂Ψ1 /∂t
0
0
mc2 Ψ2

i~ · ∂Ψ2 /∂t  0
i~ · ∂Ψ /∂t =  0

2
0
−mc
Ψ
0
3
3
2
i~ · ∂Ψ4 /∂t
0
0
0
−mc Ψ4
Obtenemos las siguientes cuatro ecuaciones:
mc2
∂Ψ1
= −i
Ψ1
∂t
~
(52)
6
∂Ψ2
mc2
= −i
Ψ2
∂t
~
(53)
mc2
∂Ψ3
=i
Ψ3
∂t
~
(54)
∂Ψ4
mc2
=i
Ψ4
∂t
~
(55)
Ψ1 = e−i(mc
2
/~)t
(56)
Ψ2 = e−i(mc
2
/~)t
(57)
Ψ3 = e
Ψ4 = e+i(mc
2
/~)t
(58)
(59)
Obtenemos entonces que las primeras dos funciones de
onda corresponden a valores positivos de energı́a, mientras que las últimas dos soluciones corresponden a valores negativos de energı́a. Ahora, para la solución a
la eigenecuación de onda independiente del tiempo, utilizamos el operador de energı́a Hamiltoniano descubierto
por Dirac:
HΨo (x) = EΨo (x)
(60)
En donde Ψo (x) es el fragmento independiente del
tiempo:
Ψ(x, t) = Ψo (x)e−iEt/~
(61)
Consideramos una partı́cula libre cuyo momento no es
necesariamente igual a cero, como en el caso anterior.
Proponemos una solución de onda plana la cual será una
función de onda multicomponentes. Tomamos el eje z
como la dirección en que la partı́cula se está moviendo,
Ψo = we
ipx
~
Tenemos entonces dos estados propio para cada momento p. Un espacio contiene valores propio positivos de
la forma:
p
E± (p) = ± (mc2 )2 + (pc)2
Podemos escribir las cuatro soluciones de las ecuaciones anteriores, que representan cada uno de los cuatro
componentes del espinor Ψ, como sigue:
+i(mc2 /~)t
 2

mc
0
pc
0
0
−pc 
 0 mc2
ω = Eω
 pc
0 −mc2
0 
0 −pc
0
−mc2
(62)
Como Ψo consta de cuatro componentes, y la exponencial es un número, podemos ver que la constante ω es un
espinor de cuatro componentes, siendo p el momento de
la partı́cula. La ecuación aplicada a la solución tentativa Ψo nos produce la siguiente eigenecuación de valores
propios con el espinor ω escrito como una matriz 4x1:
(63)
Entonces el espacio propio está estructurado por los
siguientes dos estados propios eigen:
   
0
pc
1
 0   pc 
p
  ,  0 
2 + (pc)2
−
0
Con = |E|−mc2 . El primer estado propio eigen de la
estructura de cada estado propio tiene el espı́n apuntando
en la dirección positiva del eje z, y el segundo estado propio eigen tiene el espı́n apuntando en la dirección negativa del eje z. En el lı́mite relativista, la componente del espinor reduce la energı́a cinética de la partı́cula, que
es insignificante comparada con pc:
∼
p2
<< pc
2m
(64)
Por lo que podemos interpretar las cuatro componentes
de la función de onda como sus amplitudes respectivas
del espı́n hacia arriba con energı́a positiva, el espı́n hacia abajo con energı́a positiva, el espı́n hacia arriba con
energı́a negativa, y el espı́n hacia abajo con energı́a negativa. Llegamos esencialmente a la predicción teórica del
spin del electrón.
La ecuación de Dirac permite describir las amplitudes
de probabilidad para un electrón solitario, ası́ como una
buena predicción del espin y del momento magnético del
electrón. Sin embargo también predice la existencia de un
conjunto infinito de estados cuánticos en que el electrón
tiene energı́a negativa, de modo que se está hablando de
la predicción teórica de la antimateria.
VI. ECUACIÓN DEL FERMIÓN. ECUACIÓN
DE DIRAC EN SU REPRESENTACIÓN QUIRAL.
La ecuación del Fermión se utiliza para producir la
corriente de probabilidad, y reproduce en forma directa
todas las propiedades espectrales conocidas, tales como
resonancia de espı́n electr”onica y resonancia magnética
nuclear. Esto se logra sin caer en las dificultades
de la energı́a negativa, por lo tanto, la ecuación del
7
Fermión ocupa el sitio de la ecuación de Dirac y puede
desarrollarse ampliamente en electrodinámica cuántica.
Tomando la ecuación de Dirac en su representación
quiral,
(γ µ p̂µ − mc)ΨD = 0
0
0
0
1
0 0
0 0
γ =
0 −i
−i 0

2
1
0
0
0


0
0
1 1 0
,γ = 
0
0
0
1
0
−i
0
0
0
0
1
0

0
−i
0  3 0
,γ = 
1
0
0
0

0
−1
0
0

−1
0
,
0
0
0
0
0
−1
−1
0
0
0

0
1
,
0
0
Ahora el formato de onda de la ecuación de Dirac es:
( + (mc/~)2 )ΨD
(66)
Ahora, escribimos la ecuación del Fermión:
σ 0 ÊΨσ 0 −cσ 3 (p̂x Ψσ 1 −p̂γ Ψσ 2 +p̂z Ψσ 3 ) = mc2 σ 1 Ψ (67)
En el cual la eigenfunción es una tetrada definida por:
Ψ=
R
ΨR
1 Ψ2
L
Ψ1 ΨR
2
Utilizando los operadores de mecánica cuántica, entonces la ecuación tiene la siguiente forma:
R R
R
Ψ1 Ψ2
−iΨR
iΨR
ΨR
1
2
1 Ψ2
+
cp̂
−
cp̂
x
γ
R
R
−iΨR
ΨL
iΨL
ΨL
1 Ψ2
1
2
1 Ψ2
L L
R R
Ψ1 Ψ2
Ψ1 Ψ2
= mc2
-cz
R
R
R
Ψ
Ψ
ΨL
1 Ψ2
1
2
Ê
Lo anterior puede expresarse como las siguientes siguientes cuatro ecuaciones:
R
R
2 L
ÊΨR
1 − c(p̂z Ψ1 + (p̂x + ip̂γ )Ψ2 ) = mc Ψ1
(68)
R
R
2 L
ÊΨR
2 − c((p̂x − ip̂γ )Ψ1 − p̂z Ψ2 ) = mc Ψ2
(69)
L
L
2 R
ÊΨL
1 − c(p̂z Ψ1 + (p̂x + p̂γ )Ψ2 ) = mc Ψ1
(70)
(Ê − cσ · p̂)ΨR = mc2 ΦL
(72)
(Ê + cσ · p̂)ΨL = mc2 ΦR
(73)
Las anteriores constituyen la ecuación de Dirac en su
representación quiral
(Ê − cσ · p̂)(Ê + cσ · p̂)ΨL = mc4 ΦL
(74)
(Ê − cσ · p̂)(Ê − cσ · p̂)ΨR = mc4 ΦR
(75)
La formulación original de las matrices de 2 × 2 por
Pauli fue puramente fenomenológica. La contribución de
Dirac fue, esencialmente, la factorización del operador de
d’Alembert de la ecuación de onda con sus bien conocidas matrices de 4 × 4, las matrices de Dirac, y la métrica
de Minkowski. Este procedimiento produjo una ecuación
de primer orden, la ecuación de Dirac del electrón. La
eigenfunción de esta ecuación es el espinotensor de Dirac,
un vector columna de cuatro componentes, y que frecuentemente se describe como la superposición de dos espinotensores de Pauli, con simetrı́a derecha e izquierda.
El espinotensor de Pauli es un vector columna de dos
componentes y constituye un ejemplo de un espinotensor
de Cartan.
VII.
(71)
Estas cuatro ecuaciones se pueden expresar en su forma
matricial. Ahora escribiendolas en su notación condensada:
(65)
En donde la eigenfunción es el espinotensor de Dirac.
De manera que las matrices de Dirac en su representación
quiral son diferentes de aquellas utilizadas originalmente
por Dirac,

0
0
0
γ =
1
0
L
L
2 R
ÊΨL
2 − c((p̂x − ip̂γ )Ψ1 − p̂z Ψ2 ) = mc Ψ2
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE
DIRAC.
Las partı́culas de espı́n (1/2) moviéndose en un campo
vectorial externo experimentan una interacción espı́nórbita. Derivaremos esta interacción de la ecuación de
Dirac la cual nos dice con:
i~
∂ψ
= Ĥψ
∂t
(76)
Ĥ = HˆD − e[α · A(r) − Ao (r)]
(77)
ĤD = eα̂ · p̂ + mo c2 β̂
(78)
Donde ĤD es el Hamiltoniano libre de Dirac y α y
β representan las matrices de Dirac. H incluye la interacción con el campo electromagnético externo donde
A representa el vector potencial y Ao (r) el potencial de
Coulomb.
La carga de una partı́cula de Dirac se designa como e,
y p = −i~∇ corresponde al operador de momento.
8
La ecuación de Dirac incluye la interacción con campos externos A(r) y Ao (r) y en particular también de la
interacción espı́n-orbita.
La primera ecuación incluye solo la unión del campo
electromagnético. Pero las partı́culas elementales experimentan fuerzas que no son de origen electromagnético
(la interacción fuerte, la interacción débil, la gravedad)...
Para tomar en cuenta términos adiciones por otra interacciones sobre la partı́cula de Dirac, reescribimos la
ecuación de Dirac de la siguiente forma:
(i
X
γ̂ µ p̂µ + mo c)ψ =
µ
1X
c
Q̂a ψ
(79)
y escribimos la cuadri-componente del spinor como:
φ(r)
ψ(r) =
(87)
χ(r)
Elegimos B(r) = 0, y llegamos a un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas:
(E − Bo (r) − [mo c2 − V (r)])φ(r) = c(σ̂ · p̂)χ(r)
(88)
(E − Bo (r) + [mo c2 − V (r)])χ(r) = c(σ̂ · p̂)φ(r)
(89)
Y con E = E 0 + mc2 obtenemos:
a
γ̂ = −iβ̂ α̂, γ4 = β
(80)
Los operadores Qa caracterizan los diferentes tipos de
interacción. Existen las siguientes posibilidades:
1. La interacción con un campo escalar V (r). El operador de interacción simplemente está dado por: Q̂s =
V (r). Este tipo de interacción actúa como una masa
espacio-dependiente, debido a que V (r)c/c2 puede ser directamente añadido a la masa m para obtener la unión.
[E 0 − Bo (r) + V (r)]φ(r) = c(σ̂ · p̂)χ(r)
(90)
[2mo c2 + E 0 − Bo (r)]χ(r) = c(σ̂ · p̂)φ(r)
(91)
Ahora, investigaremos el caso del movimiento no relativista de una partı́cula de espı́n 1/2 influenciada por
campos externos Bo (r) y V (r). Consideramos unicamente términos del orden v 2 /c2 . Y una expansión a
primer orden en:
[E 0 − Bo (r) − V (r)]/2mo c2
(92)
Lo cual nos conduce a:
2. La interacción con el campo vectorial βµ , donde la
interacción del operador se lee como:
X
Q̂v = −i
γ̂ µ Bµ
(81)
µ
Bµ = Bo (r), −B(r)
(82)
Un vector especial de este tipo está dado por el campo
electromagnético; es la descripción del cuadri-potencial:
Aµ = (Ao (r), −A(r)), Bµ = eAµ
χ(r) = (1 −
µ,ν
Consideremos el caso de una partı́cula que simultáneamente interactúa con un campo escalar y
un campo vectorial, rearreglando las ecuaciones mencionadas anteriormente:
σ̂ · p̂
E 0 − Bo (r) − V (r)
)σ̂·p̂φ(r)
(1−
2mo
2mo c2
(94)
Para una función de un spinor de dos componentes. Utilizando las relaciones:
[E 0 −Bo (r)+V (r)]φ(r) =
(σ̂ · A)(σ̂ · B) = A · B + i(σ̂ · [A × B])
1
∂ψ
= (cα̂·[p̂− B(r)]+ β̂[mo c2 −V (r)]+Bo (r))ψ (85)
∂t
c
Ahora, consideremos el lı́mite no relativista de esta
ecuación de Dirac. Hacemos el ansatz:
ψ(r, t) = ψ(r)exp(−i
E
t)
~
(86)
(95)
(σ̂ · p)f (r)(σ̂ · p) = f (r)(σ̂ · p)(σ̂ · p) − i~(σ̂ · ∇f )(σ̂ · p)
=f(r)p2 − i~((∇f · p̂) + i[σ̂ · (∇f × p̂)])(96)
obtenemos:
Ĥ 0 φ(r) = E 0 φ(r)
(97)
donde:
Ĥ 0 = (1 −
i~
(93)
con lo que obtenemos la sigugiente ecuación diferencial:
(83)
3. La interacción con un campo tensorial de la forma:
X
Q̂T =
γ µ γ ν Cµν
(84)
E 0 − Bo (r) − V (r) σ̂ · p̂
)
ψ(r)
2mo c2
2mo c2
E 0 − Bo (r) − V (r) p̂2
)
+ Bo (r) − V (r)
2mo c2
2mo
+~(σ̂ · [∇Bo (r) × p̂]) 4m12 c2
o
+~(σ̂ · [∇V (r) ×
p̂]) 4m12 c2
o
-i~ 4m12 c2 [∇Bo (r) · p̂] − i~ 4m12 c2 [∇V (r) · p̂](98)
o
o
9
Para que nuestra teorı́a sea consistente en el orden de
v 2 /c2 , tenemos que ser cuidadoso en la normalización
de φ(r). En la teorı́a de Dirac, la densidad de carga:
ρ = e(φ† φ + χ† χ), se normaliza como: ∫ ρd3 r = 1. Y de
σ̂·p̂
ahı́: χ ≈ 2m
φ. Y obtenemos la densidad de carga:
oc
ρ ≈ eψ † (1 +
p̂2
)ψ
4m2o c2
(U1 )Coul =
U2 = −
(99)
Ademas de la normalización integral, la cual representa
la propia condición de normalización para φ(r);
Z
Z
p̂2
3
ρd r = φ† (1 +
)φd3 r = 1
(100)
4m2o c2
U3 =
ψ † ψd3 r =
Z
φ† ĝ † ĝφd3 r = 1
p̂2 1/2
p̂2
)
≈
1
+
4m2o c2
8m2o c2
p̂2
2mo +
~(σ̂·[∇Bo (r)×p̂])
4m2o c2
~2
2
8m2o c2 ∇ V (r)
=
p̂2
p̂2
0
)
Ĥ
(1
−
)
8m2o c2
8m2o c2
Bo (r) − V (r) −
+
~(σ̂·[∇V (r)×p̂])
4m2o c2
(107)
(108)
∇Bo (r) =
dBo (r) r
dr r
(109)
∇V (r) =
dV (r) r
dr r
(110)
(101)
U3 =
(102)
Y obtenemos el Hamiltoniano ĝ Ĥ 0 ĝ −1 ĝφ = E 0 ĝφ, ası́
Ĥψ = Eψ, donde H es:
Ĥ = (1 +
(106)
Describen la interacción espı́n-orbita. Con simetrı́a
esférica:
donde g en general es un operador de la forma:
ĝ = (1 +
[E 0 − Bo (r)]2 − V 2 (r)
2m2o c2
~(σ̂ · [∇Bo (r) × p̂]) ~(σ̂ · [∇V (r) × p̂])
+
4m2o c2
4m2o c2
Por otra parte, la normalización para una función de
onda de Schrödinger está dada por: ∫ ψ † ψd3 r = 1. Dado
que tenemos que introducir un término propio de reescalamiento para la funciön de onda en el rango no relativista, tomamos ψ = ĝφ, con la propiedad de:
Z
π~2 e2 Z
δ(r)
2m2o c2
(103)
[E 0 −Bo (r)]2 −V 2 (r)
2m2o c2
~2
− 8m2 c2 ∇2 Bo (r)
o
dBo (r) ŝ · ˆl
dV (r) (ŝ · ˆl)
+
2
2
dr 2mo c r
dr 2m2o c2 r
(111)
El primer término describe la interacción espı́n-órbita
con el campo electromagnético, la segunda representa la
interacción con el campo nuclear. Dado que la interacción
nuclear es más intensa o fuerte para pequeñas distancias, entonces el término electromagnético corresponde
a la contribución principal. Esta es la razón de la contribución de la unión nuclear espı́n-órbita. Finalmente,
estimamos el potencial:
+
+
Para términos por arriba de v 2 /c2 .
Habı́amos usado las relaciones: p̂2 V (r) − V (r)p̂2 =
−~2 ∇2 V (r) − 2i~(∇V (r) · p̂),
E 0 − Bo (r) + V (r) 2
[E 0 − Bo (r)]2 − V 2 (r)
)p̂ ≈ p̂2 −
2
2mo c
c2
(104)
Los primeros tres términos corresponden al Hamiltoniano no relativista conocido. Los términos adicionales son
relativistas y los distinguimos como U = U1 + U2 + U3 ,
donde el primer término es:
(~ω)2
(6M eV )2
dV (r) (ŝ · ˆl)
|
≈
≈
≈ 0.02M eV
dr 2m2o c2 r
2mo c2
2000M eV
(112)
De esta manera dedujimos que la fuerza espı́n-orbita, la
cual es causada por efectos relativistas sobre un potencial
central, provee una pequeña contribución espı́n-orbita,
sin embargo es demasiado pequeña para explicar la fuerza
fuerte en la interacción con el modelo de capas.
|
(1 −
U1 = −
~2
~2
2
∇
B
(r)
+
∇2 V (r)
o
8m2o c2
8m2o c2
VIII.
APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE
KLEIN-GORDON.
Consideremos ahora la ecuación de Klein-Gordon,
ecuación (19), cuando la partı́cula esta sometida a fuerzas
externas que derivan de la energı́a potencial V (r), de
forma que el hamiltoniano se describe:
(105)
Ahora con: Bo = Ze2 /r, y ∇2 (1/r) = −4πδ(r), tenemos:
H=
p
c2 p2 + m2 c4 + V
La ecuación de movimiento será entonces
(113)
10
IX.
i~
p
d
|ti = ( c2 p2 + m2 c4 + V )|ti
dt
(114)
que también se puede escribir de la forma
(i~
p
d
+ V )|ti = ( c2 p2 + m2 c4 )|ti
dt
(115)
Si aplicamos de nuevo el operador i~d/dt − V a esta
ecuación, obtenemos
(i~
d
+ V )2 ψ(r, t) = (−c2 ~2 ∇2 + m2 c4 )ψ(r, t)
dt
(116)
Sustituyendo
ψ(r, t) = ψ(r)e−i
Et
~
(117)
obtenemos una ecuación para la función de onda independiente del tiempo ψ(r),
La cuantificación de los campos vendrı́a entonces a demostrar que todo, hasta los mismos campos, están cuantificados. Quizá lo más interesante es que el punto de
entrada a la teorı́a cuántica de los campos resulta ser
precisamente la primera ecuación mecánico-cuántica relativista que habı́amos descartado al principio, ecuación
llamada como la ecuación Klein-Gordon. Para regresar
a dicha ecuación, era necesario destronar a la función de
onda ψ como un ente indivisible, lo cual obtuvo Dirac
(sin haberlo anticipado) con el descubrimiento de su
ecuación de onda. Una vez hecho esto, y con una reinterpretación del asunto de la densidad de probabilidad
negativa, el camino estaba abierto para un nuevo e importante desarrollo de tamaño cuántico. Para poder interpretar a la ecuación Klein-Gordon como una ecuación
que proporciona la amplitud de probabilidad para una
partı́cula en una posición dada, las soluciones de frecuencias negativas deben ser interpretadas como describiendo a una partı́cula que viaja hacia atrás en el tiempo,
propagándose hacia el pasado, lo cual podrá parecernos como otro asunto digno de una novela de cienciaficción que no mejora en nada la explicación teórica dada
por Dirac con su teorı́a de los agujeros. Esto nos confirma que, a partir del descubrimiento del principio de
incertidumbre de Heisenberg, el cual ha resistido todos
los intentos experimentales por desbancarlo, la Mecánica
Cuántica tiene su propia lógica de funcionamiento que
trabaja de modo muy distinto a la lógica humana.
A.
2
2 2
2
2 4
(E − V ) ψ(r) = (−c ~ ∇ + m c )ψ(r)
CONCLUSIÓN.
Citations and References
(118)
ésta es la ecuación de autovalores a partir de la cual se
pueden obtener los estados estacionarios de una partı́cula
moviendose en un campo de energı́a potencial V . Esta
ecuación ha sido utilizada para obtener los estados estacionarios de los átomos hidrogenoides tomando V =
−Ze2 /r.
La ecuación de Klein-Gordon no es la descripción relativista correcta de los electrones o de las partı́culas de
espı́n (1/2). Esto no es sorprendente puesto que tanto
ψ(~r, t) como ψ(~r) son funciones escalares que no contienen información alguna sobre los movimientos internos
de las partı́culas. Por esta razón debemos decir que dicha
ecuación describe partı́culas de espı́n cero, tales como los
mesones (piones y kaones).
Dado que las partı́culas de espı́n cero están sujetas,
además de a la fuerza electromagnética, a la interacción
fuerte (y débil), por lo tanto, la descripción apropiada
entra dentro de la teorı́a de campos.
[1] L. H. Ryder, “Quantum Field Theory” (Cambridge
University Press, 1996, 2a edition).
[2] M. W. Evans, “Generally Covariant Unified Field
Theory” (Abramis, 2005 en adelante), en siete volúmenes
a la fecha.
[3] Tong David. Quantum field theory. Cambridge
2006.
[4] Peskin M. Schroeder D. An introduction to Quantum Field theory. Addison - Wesley. Massachusetts.
1995. [5] Liboff, Introductory Quantum Mechanics
[6] Walter Greiner, Quantum Mechanics an Introduction, fourth Edition,2000, Edit. Springer.
[7] Genaro Toledo, Notas Minicurso de Fı́sica.
[8] Mittal, Introduction to nuclear and particle physics.
[9] Los portales de la teorı́a ECE abiertos al publico: www.aias.us, archivado trimestralmente en la Biblioteca Nacional de Gales y en la Biblioteca Británica
es el portal www.webarchive.org,uk como portal sobresaliente; www.atomicprecision.com, www.et3m.net,
www.upitec.org.