CONTENIDO Prefacio Introducción Capítulo 1 Funciones 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. Caso de estudio Función Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Funciones elementales Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Opraciones con funciones Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Función inversa Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Solcuión del caso de estudio Respuestas del capítulo Capítulo 2 Límites y continuidad 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. Caso de estudio Límite de una función Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Límites laterales, límites al infinito e infinito Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Límites trigonométricos Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Límites exponenciales Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Asíntotas de una función Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Continuidad de una función Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Solcuión del caso de estudio Respuestas del capítulo Capítulo 3 La derivada y Aplicaciones 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Caso de estudio Derivadade una función Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Derivada de una función implícita Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Trazado de curvas Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Optimización 3.6. Ejercicios resueltos Ejercicios propuestos Solución del caso de estudio Respuestas del capítulo OBJETIVO: Formar en el estudiante universitario una base sólida y dotarle de herramientas básicas del cálculo diferencial para enfrentar con éxito los cursos de nivel superior que usen como pre requisito el cálculo diferencial. CAPÍTULO I FUNCIONES CASO DE ESTUDIO: SEDATRU Y EL COSTO DEL AGUA El directorio de la empresa de agua SEDATRU en su última reunión acordó actualizar su estructura de costos y como consecuencia de ello proyecta para el 2012 una nueva tarifa domestica la cual se detalla a continuación: Servicio de agua De 0 a 8m3 s costo unitario del servicio S/. 1,291 De 8 a 20m3 s costo unitario del servicio S/. 1,356 De 20 a más costo unitario del servicio S/. 3,273 Servicio de alcantarillado De 0 a 8m3 s costo unitario del servicio S/. 0,704 De 8 a 20m3 s costo unitario del servicio S/. 0,739 De 20 a más costo unitario del servicio S/. 1,785 SEDATRU también acordó incluir un cargo fijo de S/. 2,94 y el 18% del IGV El servicio de cobranzas desea elaborar un recibo que permita brindar una información detallada al usuario, para tal fin esta solicitando: a. Indicar las variables de entrada (independiente) y la variable de salida ( dependiente) b. Un modelo funcional de la estructura de costos del servicio c. Elaborar un grafico de la función de costo d. Si ud. En el mes de marzo Consumió 63m3, detalle: el monto a pagar en el primer, segundo tercer rango (intervalo) y monto total a pagar. Podrías atender la solicitud del jefe de cobranzas ¡inténtalo! En nuestra vida diaria podemos establecer muchas relaciones que involucran a dos variables de modo tal que el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo las ventas de un producto dependen de su precio; la distancia recorrida por un móvil depende de su velocidad. Si consideramos la relación entre el área de un círculo y su radio, expresada por la ecuación A r2 , donde el valor de A depende del valor r elegido. En este sentido hablamos de A como la variable dependiente y de r como la variable independiente. 1. FUNCIÓN 1.1. Definición: Una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de otro conjunto B, se denomina Función. Gráficamente. g f A B x a A B a x y y z b b z Fig. a Fig. b Una función se denota por f : A B , la cual se lee f es una función de A en B. Nota: No es función si a un elemento del conjunto A (z) le hace corresponder dos o más elementos del conjunto B ( a y b). Figura b Notación Funcional. La variable característica llamada función se denota por una letra. f, g , h, , ó F, G , H , f(x) : se lee f evaluado en x . Ejemplos: 1. f(x) x 3 3. f(r) r2 2. f(x) x2 1 4. f(x) x2 2x 1.2. Dominio y Rango Sea la función f : A B . Todos los elementos del conjunto A que se asocian con único elemento del conjunto B, forman el dominio de dicha función f, y los elementos del conjunto B asociados con los elementos del conjunto A forman el rango o imagen de la función f. Es decir: Dominio: Df {x A / ! y B , y f(x)} Rango: Rf {y B / x A , y f(x)} Gráfica A B f Df Rf 1 2 2 4 3 6 4 5 4 Nota Si A B R entonces f : R R , se llama función real de variable real, puesto que los valores de las características o variables son números reales y su imagen o rango viene a hacer también el conjunto de los números reales. Cuando no se especifica ningún dominio, se asume que es el mayor conjunto de números reales en el que la regla de correspondencia es válida Ejemplo: Halle el dominio y rango de: f(x) 2 x 1 Solución: a) Dominio f(x) existe para todo x 1 . Por lo tanto, Df {x R / x 1} b) Rango Despejando x se tiene: 2 yx y x 2y , y0 y Luego el rango es: Rf {y R / y 0} Observación La gráfica de una ecuación representa a una función si toda recta vertical trazada sobre la grafica corta a esta en un solo punto No es función Es función 1.3. Valor numérico de una función El valor numérico de una función es el valor que se obtiene al reemplazar la variable independiente por un valor asignado. Es decir, sea f una función dada, entonces si a x se le asigna el valor de a, el valor numérico de la función f es f(a). Nota: No confundir f con f(x): f es la función y f(x) es el valor de la función evaluado en x. Ejemplo Sea f la función definida por f(x) = 2x+1, entonces calcule el valor numérico de la función f cuando x 2. Solución Sólo se debe de reemplazar el valor de x en la función dada. Es decir: f(2) = 2(2) + 1 = 4+1 = 4. Por lo tanto, el valor numérico de la función es: f(2) = 4. Ejercicios Resueltos 1. Sean los conjuntos A={2; 4; 6; 8; 10} y B={a; b; c; d; e}. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos definen una función de A en B? f = {(2;a), (4;c), (10;c), (8;e), (6;e)} g = {(10; a), (6;b), (2;a), (6;e), (4;d)} Solución Por definición de función se tiene que g no es función por que el elemento 6 tiene dos imágenes. Es decir: g(6) = b y g(6) =e. 2. Determine el valor numérico de N f(0) f(2) en cada caso: f(4) a) f(x) 5x 10 b) f(x) mx b c) f(t) t2 t 5 d) f(x) 19573 e) f(x) x3 2x 4 Solución Reemplace el valor de la variable x en la función y se tiene: a) f(0) = 5(0) – 10 = –10. f(–2) = 5(–2) – 10 = –20. f(4) = 5(4) – 10 = 10. Por lo tanto, f(0) f(2) 10 (20) 10 20 N 3 f(4) 10 10 b) f(0) = m(0) +b = b. f(–2) = m(–2)+b = –2m+b. f(4) = m(4) +b = 4m+b. Por lo tanto, f(0) f(2) b (2m b) b 2m b 2b 2m N f(4) 4m b 4m b 4m b c) f(0) = (0)2 +(0)–5 = –5. f(–2) = (–2)2 + (–2) – 5 = –3. f(4) = (4)2 + 4 – 5 = 15. Por lo tanto, N d) f(0) = 19 573. f(–2) = 19 573. f(4) = 19 573. Por lo tanto, N e) f(0) f(2) 5 (3) 5 3 8 f(4) 15 15 15 f(0) f(2) 19573 19573 2(19573) 2 f(4) 19573 19573 f(0) = (0)3 –2(0) + 4= 4 f(–2) = (–2)3 –2(–2) + 4= 0. f(4) = (4)3 –2(4) + 4= 60 Por lo tanto, N f(0) f(2) 4 0 1 f(4) 60 15 3. Halle el dominio y rango de : y f(x) 2 3x x2 Solución: a) Dominio Df {x R / y R ,y f(x)} y 2 3x x2 existe 2 3x x2 0 (x 1)(x 2) 0 – + Por lo tanto, b) + 1 2 Df 1,2 Rango Presentamos dos formas de calcular el rango. A) Despejar la variable x en función de la variable y. Rf {y R / x R, y f(x)} y 2 3x x2 , y0 Despejar x en función de y . Es decir: 3 9 y2 2 3x x2 x2 3x 2 y2 0 (x )2 2 y2 0 2 4 3 1 4y2 3 1 (x )2 y2 0 x 2 4 2 x existe sí: 1 4y2 0 4y2 1 0 (2y 1)(2y 1) 0 y0 + – –0,5 – 0 + 0,5 Pero y 0 , entonces Rf 0 ; 0,5 B) Partir del dominio de la función hasta obtener la función dada 2 y f(x) Es decir: Sumar 2 3x x2 x 1,2 1 x 2 3 1 3 1 en (1) y se tiene: x 2 2 2 2 1 3 x 4 2 (1) (2) 2 3 1 Elevar al cuadrdo en (2) y se tiene: 0 x 2 4 (3) 2 Multiplicar por –1 en (3) y se tiene: 1 3 x 0 4 2 (4) 2 1 3 1 1 Sumar en (4) y se tiene: 0 x 4 2 4 4 (5) 2 Finalmente sacamos la raíz cuadrada en (5) y se tiene: 0 1 3 1 x 4 2 2 (6) Por lo tanto de (6) se concluye que el rango de la función es el intervalo 1 Rf 0; 2 4. Si y f(x) x2 4x 7, x 2,3 . Determine el rango Solución El dominio es dado, es decir x 2,3 . Para encontrar el rango se debe despejar x en función de y. Es decir: 4 16 4(7 y) y x2 4x 7 x2 4x 7 y 0 x 2 4 4y 12 x 2 x 2 y 3 2;3 , entonces: 2 2 y 3 3 0 y 3 1 0 y 3 1 3 y 4 y 3;4 5. Halle el dominio y rango de y f(x) 2x x 4 2 Solución: Para hallar el dominio de una función raíz cuadrada se debe exigir que el radicando sea no negativo, es decir: 2x 2x 0 0 2 (x 2)(x 2) x 4 Luego, ubique los puntos críticos en la recta real y se tiene: – – + – –2 0 + 2 Por lo tanto, el dominio de la función es: Df ] 2;0] ]2; [ Cálculo del rango: + Presentamos dos formas de calcular el rango. A) Despejar la variable x en función de la variable y. y 2x x 4 2 0 y2 2x x 4 2 0 y2 2x x 4 2 0 y2 2x x 4 (1) De (2) se tiene: y2 De (1) se tiene: y2 x 2 4 16y 4 2y2 2x x 4 2x 2 x 4 2 2 0 (2) 0y0 (a) 0 x2 y2 4y2 2x x2y2 2x 4y2 0 existe para todo valor de y diferente de cero (b) Por lo tanto de (a) y (b) se concluye: Rf [0; [ R0 B) Partir del dominio de la función hasta obtener la función dada. x ] 2;0] ]2; [ 2 x 0 x 2 (1) Multiplicando por 2 a cada desigualdad de (1) se tiene: 4 2x 0 2x 4 (2) Elevando al cuadrado cada desigualdad de (1) se tiene: 0 x2 4 x2 4 (3) Sumar –4 a cada desigualdad de (3) se tiene: 4 x2 4 0 x2 4 0 (4) Invertir cada desigualdad de (4) y se tiene: De (2) se tiene: 4 2x 0 2x 4 1 1 1 De (5) se tiene: 2 2 0 x 4 4 x 4 x 4 1 1 2 0 4 x 4 (5) (6) (7) Multiplicar por (–2x) y (2x) respectivamente en (7) se tiene: 2x x 4 2 1 2 2x 2x 2x 0 2 0 2 0 4 x 4 x 4 Saque la raíz cuadrada en (8) y se tendrá la función dada. 2x x 4 2 0 Esto quiere decir que el rango de la función es: Rf [0; [ R0 Aplicaciones (8) 6. Si un monto P se invierte a una tasa de interés i, compuesto anualmente, en t años crecerá al monto A dado por: A=P(1+i)t. Suponga que se invierten $1000 al 8%, compuesto anualmente. ¿Cuánto habrá en la cuenta al finalizar el segundo año? Solución Identificando los datos tenemos: P= 1 000; i=8%, t = 2. A=1000(1+0,08)2 A= 1166,4 dólares 7. Usando datos del International Revenue Service, la carga tributaria per cápita T (en cientos de dólares) se puede describir por medio de la ecuación: T(x)=20,37+1,834t, donde t es el número de años que han pasado desde 1980. a) Encuentre T(20) y escriba un enunciado que explique su significado. b) Trace e interprete la gráfica de la ecuación para la carga tributaria per cápita desde 1980 hasta 1990. Solución a) T(20) = 20,37 + 1,834(20) = 57,05 La carga tributaria en el año 2 000 es de 5 705 dólares b) Gráfica: Y La carga tributaria per cápita desde 1980 hasta 1990 aumentó en: 38,71 – 20, 37 = 18,34 cientos de dólares. 38,71 20,37 X 1980 1990 8. Función de demanda. La función q f(p) 280000 35p es una función de la demanda que expresa la cantidad demandada de un producto q como una función del precio cobrado del producto p, expresado en nuevos soles. Determine el dominio restringido y el rango de esta función. Solución El dominio de la función Se sabe que la cantidad nunca es negativa. Es decir: q = 280 000 – 35p 0 Despejando se tiene: 280 000 p 8000 35 Por otro lado, p 0 entonces el dominio restringido es: 0 p 8 000 Rango de la función Como la función q es lineal se tiene: q(0) = 280 000 es el límite superior y q(8 000)=0 es el límite inferior. Es decir: 0 q 280 000 Otra forma de analizar el dominio y el rango de una función es a través de la gráfica. q Dominio: 0 p 8 000 Rango: 0 q 280 000 28 000 Rango 0 Dominio p 8 000 9. Función demanda. Suponga que la función de demanda anual para que cierto actor protagonice una película es p 1 200 000 , donde q es el número de películas que protagoniza durante el q año. Si el artista actualmente cobra $ 600 000 por película, ¿Cuántas protagoniza cada año?. Si quiere protagonizar cuatro cintas por año, ¿Cuánto cobrará por cada una? Solución a) El número de películas que protagoniza cada año es: p 1200000 1200000 1200000 q 2 q p 600000 Con el precio de $600 000 por película, el actor sólo podrá realizar 2 películas. b) Por película cobrará: p 1200000 1200000 300000 q 4 Si el actor realiza cuatro películas por año, el precio de cada película será de $300 0000. 10. El peso M de los músculos de un ser humano es directamente proporcional a su peso corporal W. a) Una persona que pesa 100 kilos tiene 40 kilos de musculatura. Halle una ecuación de variación que exprese M en función de W. b) Exprese la constante de variación en forma porcentual e interprete la ecuación que resulta. Solución a) La oración: “El peso M de los músculos de un ser humano es directamente proporcional a su peso corporal W”. Se formula. M = KW; donde K es la constante de proporcionalidad Para calcular la constante basta reemplazar los valores M=40 y W= 100. Es decir: 40 = K(100) K 40 2 100 5 Por lo tanto, la ecuación es: M 2 w 5 b) M 40%w Es decir el peso muscular es el 40% del peso corporal. 11. El valor de un automóvil, V, es una función del tiempo de uso del auto, a, así que V f(a) . a) Interprete el enunciado f(5)=9 en términos del valor del automóvil, si V está en miles de dólares, y a en años. b) En las mismas unidades, el valor de un auto Honda se aproxima por f(a) 13,25 0,9a . Encuentre e interprete las intersecciones verticales y horizontales de la gráfica de esa función de depreciación f. Solución a) f(5)=9 quiere decir que dentro de 5 años el valor del automóvil será de 9 mil dólares. b) f(a)=13,25 – 0,9a. Intersección vertical Significa que a=0, entonces f(0)=13,25. Esto quiere decir que el automóvil costó 13,25 mil dólares Intersección horizontal Significa que f(a) =0 entonces 0=13,25 – 0,9a a = 14,722… años. Esto quiere decir, que el automóvil dentro de 15 años se ha depreciado totalmente, es decir carece de valor. 12. Ventas. Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si su grupo es menor de 12, cada boleto cuesta $9,50. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta $8,75. Escriba una función que definida por partes represente el costo de comprar n boletos. Solución Según los datos se puede definir la siguiente función: 9,50n ; 0 n 12 C f(n) 8,75n ; n 12 13. Melliza solicita la impresión de unos folletos a una imprenta local. La imprenta cobra S/. 200 más S/. 1,20 por folleto para una orden menor de 400 folletos. Si el pedido es de 400 folletos o más, se cobran S/. 200 más S/. 0,80 por folleto. a) Halle el costo en función de la cantidad de folletos y = f(x). b) Estime el costo para dos pedidos de 250 y 650 folletos. Solución a) Según los datos la función pedida es: 200 1,2x ; x 400 f(x) 200 0,8x ; x 400 b) f(250) = 200 + 1,2(250) = 500 f(650) = 200 + 0,8(650) = 720 14. Valor de un negocio. Un negocio cuyo capital original es de $ 25 000, tiene ingresos y gastos semanales de $6 500 y $4 800, respectivamente. Si se conservan todas las utilidades, exprese el valor V del negocio al final de t semanas, como una función de t. Solución El negocio inicialmente tiene un valor de $25 000. Luego, cada semana hay ingresos y gasto, por lo cual deja una utilidad de: $6500 – $4800 =$ 1700 Por lo tanto, después de t semanas el valor del negocio será: V= capital inicial + utilidad por semana V f(t) 25000 1700t 15. Depreciación. Si una máquina de $ 300000 se deprecia 2% de su valor original cada año, determine una función f que exprese el valor V de la máquina después de t años transcurridos. Solución La depreciación es de 2 (30000) 600 por cada año. Entonces en t años la depreciación es 100 600t. Por lo tanto, el valor de la máquina después de t años es: V f(t) 300000 600t 16. Si 20m3 es el volumen de una caja cerrada de base rectangular cuyo largo es el doble del ancho, expresar el área total de la caja en términos del ancho de la base. Solución Volumen de la caja es: V 2x2h 20 h 10 x2 h x 2x Área total: A 2xh 4x2 4xh 4x2 6xh Reemplace el valor de h y se tiene la función área total de la caja rectangular. Es decir: A(x) 4x2 6x( 10 x 2 ) A(x) 4x2 60 x 17. En un triángulo de 10 unidades de base y altura 6 unidades está inscrito un rectángulo. Exprese la superficie del rectángulo en función de su base. Solución Supongamos que la base del rectángulo es 10 – x, donde x es la medida de las bases de los dos triángulos rectángulos. Y h la altura del rectángulo. Entonces el área del rectángulo es: 6 S S = (10 – x)h …. (1) 10 Ahora, calculemos h usando semejanza de triángulos: 6 h 10 x 6 10 30 5h 30 3x 3x h 0,6x 5 A Luego reemplazando el valor de h en la ecuación (1) se tiene: S(x) 0,6x(10 x); x 0 B P 6-h Q h S R C 10 –x 18. Un estudiante universitario decide trabajar en verano cortando césped. El costo inicial de las podadoras es $250. Los costos de gasolina y mantenimiento son $1 por máquina. a) Formule una función C para el costo total de movilizar x podadoras. b) El estudiante determina que la función de utilidad total U para el negocio está dado por: U(x) 9x 250 . Halle una función para el ingreso total de movilizar x podadoras. ¿Cuánto cobraría el estudiante por podadora? c) ¿Cuántas podadoras debe movilizar el estudiante antes de obtener ganacia? Solución Sea x el número de máquina que tiene el estudiante universitario. a) Costo total para movilizar x podadoras es: C(x) = 250 + x b) Recordemos: Utilidad total = Ingreso total – costo total 9x – 250 = I(x) – 250 – x I(x) = 10x El estudiante cobraría por podadora 10 dólares. c) Analice el punto de equilibrio. Es decir: I(x) = C(x) 10x = 250 +x x = 250 27,7 9 Por lo tanto, el estudiante estaría movilizando 27 maquinas antes de obtener utilidad. 19. Halle el área de un rectángulo de base “x” y perímetro “2a” (a>0). Luego exprese el área como una función que dependa de la base del rectángulo. Solución Sea x la base e y la altura del rectángulo entonces el perímetro esta dado por: 2a x y y 2a x Según los datos anteriores se construye la gráfica: x a –x a –x Área del rectángulo A(x) = x (a–x) A(x) = ax – x2 x 20. Una flota de taxis tiene 40 automóviles, cada uno de los cuales recorre 250 km al día y gasta un promedio de un galón cada 30 km. Si el precio de la gasolina es de 1.10 por galón, establecer una función que exprese la cantidad de dinero que la compañía de taxis debe calcular para gastos en gasolina durante los próximos x días. Solución Cada automóvil consume 1 galón por cada 30km entonces en 250 km ha consumido 25 galones, 3 25 galones de gasolina en un día. 3 Cada galón de gasolina cuesta 1.1 por galón entonces los 40 automóviles tendrán un gasto de: por lo tanto, los 40 automóviles consumen 40 1,1 40 25 nuevos soles cada día. 3 Por lo tanto, en x días se tiene el siguiente costo: C(x) = (1,1)(40)( 25 1100x )x = 3 3 21. Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar 8000 tablas especiales de espuma de plástico para entrenamientos de natación. La firma posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El costo de adaptación de las máquinas para producir tablas especiales es de 20 u.m. por máquina. Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación es completamente automática y puede ser supervisada por un solo capataz, cuyo salario es de 4,80u.m. por hora. Hallar la función costo que dependa del número de máquinas que deben adaptarse para producir dichas tablas. Solución Sea x el número de máquinas que se tendrá que adaptar. En este problema se debe de analizar dos costos: costo de adaptación de x máquinas y el sueldo del supervisor. a) El costo de adaptación de cada máquina es de 20 u.m. entonces en x máquinas se gastará 20x. b) El sueldo del supervisor depende del número de horas que van a funcionar las x máquinas para producir 8000 tablas. Es decir: Una máquina adaptada fabricará 30 tablas por hora entonces las 8000 tablas la fabricará en 8000 horas. Pero son x máquinas adaptas entonces las 8000 tablas lo fabricaran en 30 8000 horas. 30x 8000 Por lo tano, el sueldo del supervisor es: (4,8) 30x En consecuencia, la función que describe el costo total es: C(x) = 20x + 8000 1280 64 = 20(x+ ) (4,8) = 20x + 30x x x 22. Impuestos federales sobre la renta. La tabla siguiente muestra las tasas tributarias federales en 1991 para los matrimonios que declaran de manera conjunta. Ingreso gravable Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria (en dólares) (en dólares) (%) 0 34 000 15 34 000 82 150 82 150 28 31 Determine la función T= f(x), donde T es igual al pasivo tributario (en dólares) para personas casadas que declaran de manera conjunta y x equivale al ingreso gravable (en dólares). Solución Se grafica la información de la tabla según el problema y se tiene. x 0 15% x–34 000 x–82 150 x 82 150 34 000 15%x x 28% 31% 15%(34 000) + 28%(x–34 000) = 28%x–4420 15%(34 000) + 28%(82 150 – 34 000 ) + 31%(x–82 150) = Por lo tanto, aplicando porcentajes y simplificando se tiene ; 0 x 34 000 15%x T f(x) 28%x 4 420 ; 34 000 x 82 150 31%x 6 884,5 ; 82 150 x 31%x–6884,5 Ejercicios Propuestos 1.1. Nivel 1 1. Determine el valor de N en cada caso: f(0) f(2) a) f(x) 2x 1; N f(1) b) f(x) 2x2 3x; N f(1) f(1) f(2) c) f(x) x 3; N f(19) f(12) f(7) d) f(x) e) f(x) x3 2x2 3x 12; N f(2) f(0) f(2) x2 f(0) f(1) ; N f(2) f(3) 3x 4 2. Sean los conjuntos A={1; 3; 5; 7; 9} y B={a; b; c; d; e}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos define una función de A en B? f = {(3;a), (5;a), (9;c), (1;d), (7;e)} g = {(7; b), (5;b), (9;a), (3;d), (5;e)} 3. Dadas las siguientes funciones: F 2;3 , 3;4 , 4;5 , 5;6 G –1;2 , 0;3 , 2;5 , 4;7 H 1;1 , 2;4 , 3;9 , 4;16 Calcule: a) M F(2) G(1) H(4) b) N F2 (4) G2 (0) H(2) c) P F(4) G(0) H(3) 4. Si la relación F 3;a b , 4;a – b , 3;10 , 4;4 es una función, calcule 2a+5b. 5. Utilice la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas siguientes corresponden a una función. Y Y a) b) X X Y Y c) d) X X 6. El cargo mensual por agua en un pueblo pequeño está dado por: 38 f(x) 38 0.4(x 20) ; 0 x 20 ; x 20 Donde x es la cantidad en cientos de galones y f(x) se da en dólares. Encuentre el cargo mensual para cada uno de los siguientes consumos: a) 300 galones b) 5000 galones. 7. Una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de x vestidos son dados por la función: R x 200x 50. Halle R 10 R 100 . 8. Un minorista ha determinado que el consumo anual C de la compra, posesión y mantenimiento de sus productos se comporta de acuerdo a la función: 20000 C(q) 0,5q 50000 q Donde q es el tamaño (en unidades) de cada pedido comprado a los proveedores. ¿Cuál es el costo anual si el pedido es de 100, 200 y 500? 9. La función de demanda para un producto particular es q = f(p) = 200 000e–0,15p donde q es la cantidad demandada y p es el precio. a) ¿Cuál se espera que sea la demanda con un precio de $20? b) Construya la función de ingreso total c) ¿Cuál se espera que sea el ingreso total con un precio de $ 25? ¿Cuál es la demanda con este precio? 10. La función C x 15x 80 000, expresa el costo total C(x) (en dólares) de fabricar x unidades de un producto. Si el número máximo de unidades que se pueden producir es de 50 000, determine el dominio restringido y el rango para esta función costo. 11. Suponga que un fabricante de receptores de estéreo tiene la función C(x) = 105x + 1650 y la función de ingreso R(x) = 215x a) ¿Cuál es la función que representa la ganancia para la mercancía? b) ¿Cuál es la ganancia de 50 unidades? 12. Para estimular las ventas a grupos grandes, un teatro cobra dos precios. Si un grupo es menor de 12, cada boleto cuestas/18.75. Si su grupo es de 12 o más, cada boleto cuesta S/15.75. Escriba una función definida por partes para representar el costo de comprar n boletos. 13. Halle el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) d) f(x) x b) f(x) 9 x2 x2 5x 6 2x x 15x 18 3 2 e) f(x) x 1 x2 5x 6 c) f(x) (x2 4)(x2 9) x 4 17x2 16 x 3 4 x2 Nivel 2 1. Isla ecológica. Se ha observado que sobre una Isla de área A millas cuadradas, el número promedio de especies animales es aproximadamente igual a s(A) 2.8 3 A . a) En promedio, ¿cuántas especies animales se podría esperar encontrar sobre una isla de 8 millas cuadradas? b) Si s1 es el número promedio de especies sobre una isla de área A y s2 es el número promedio de especies sobre una isla de área 2A , ¿cuál es la relación entre s1 y s2 ? c) ¿Qué tan grande debe ser una isla para tener un promedio de 100 especies animales? 2. Posición de un objeto en movimiento. Se deja caer una pelota desde la parte superior de un edificio. Su altura (en metros) después de t segundos está dada por la función H(t) 15t2 225. a) ¿Cuál es la altura de la pelota después de 2 segundos? b) ¿Qué distancia recorrerá la pelota durante el tercer segundo? c) ¿Cuál es la altura del edificio? d) ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? 3. Una empresa vende un producto en S/. 55 por unidad. Los costos variables por unidad son S/. 35 y los costos fijos equivalen a S/. 50 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? 4. Una investigación de mercado indica que los fabricantes ofertarán x unidades de un artículo particular en el mercado cuando el precio es p=S(x) dólares por unidad, y que el mismo número de unidades serán demandadas (vendidas) por los consumidores cuando el precio es p=D(x) dólares por unidad, donde las funciones de oferta y demanda están dadas por S(x) x2 14 y D(x) 194 8x a) ¿A qué nivel de producción x y a qué precio unitario p el mercado alcanza el equilibrio? b) Dibuje las curvas de oferta y demanda, p=S(x) y p=D(x), en el mismo plano e interprétela. 5. La investigación de mercado indica que los consumidores comprarán x miles de unidades de un tipo particular de productor de café cuando el precio unitario es p 0.27x 52 dólares. El costo de producir las x unidades es C(x) 2.24x2 3.6x 86 miles de dólares. a) ¿Cuáles son las funciones de ingreso y de utilidad, de este proceso de producción? b) ¿Para qué valores de x es redituable la producción de los fabricantes de café? 6. Costo De Fabricación. Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de S/40 soles cada una, teniendo costos fijos de S/ 1200. Se estima que si las grabadoras se venden a p soles cada una, los consumidores comprarán 120 p de ellas al mes. Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio, grafique esta función y utilícela para estimar el precio óptimo de venta. 7. La función de demanda para el fabricante de un producto es p f(p) 1200 3q , donde p es el precio (en dólares) por unidad cuando q unidades son demandadas (por semanas). Encontrar el nivel de producción que maximiza el ingreso total del fabricante y determinar ese ingreso. 8. Suponga que la altura s de una pelota lanzada verticalmente hacia arriba desde el piso está dada por s 4.9t2 58.8t , donde s está en metros y t es el tiempo transcurrido en segundos. ¿Después de cuántos segundos la pelota alcanza su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? 9. Durante una colisión, la fuerza F (en newtons) que actúa sobre un objeto varía con el tiempo t de acuerdo con la ecuación F(t) 87t 21t2 , donde t está en segundos. ¿Para qué valor de t fue máxima la fuerza?. ¿Cuál fue el valor máximo de la fuerza? 10. El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t , en años, viene dado por la función: f(t) 4t2 60t 15; 1t8 a) ¿Cuál será el valor de las existencias para t 2 ? ¿Y para t 4 ? b) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros? 11. El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función: B(x) 0,01x2 3,6x 180 a) Representa gráficamente esta función. b) Determina el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. c) Determina cuántos kilogramos se deben producir y vender, como máximo, para que la empresa no tenga pérdidas. Nivel 3 1. Contaminación del aire. En ciertas partes del mundo, se ha observado que el número de muertes por semana, N , está linealmente relacionado con la concentración promedio de dióxido de sulfuro en el aire, x ,. Suponga que hay 97 muertes cuando x 100mg / m3 y 110 muertes cuando x 500mg / m3 . a) ¿Cuál es la relación funcional entre N y x ? b) Utilice la función del inciso a) para hallar el número de muertes por semana cuando x 300mg / m3 . ¿Qué concentración de dióxido de sulfuro corresponde a 100 muertes por semana? 2. Una compañía de transporte, con una tarifa de 800 soles transporta 8000 pasajeros por día. Al considerar un aumento en la tarifa, la compañía determina que perderá 400 pasajeros por cada 50 soles de aumento. Bajo estas condiciones ¿Cuál debe ser la función que describe este fenómeno? 3. Tres fábricas están situados en los vértices de un triangulo isósceles. Las fábricas B y C que distan entre sí de 16 millas están situados en la base, en tanto que la fábrica A en el tercer vértice y a una distancia de 10 millas de la base. Encuentre una función que describa el recorrido total del agua, si a lo largo de la altura se debe colocar una instalación de bombeo de agua. 4. Un fabricante, desea construir cajas cerradas de 256 cm3 de capacidad, la base debe ser un rectángulo cuyo largo es el doble del ancho. El precio del material para la base y la tapa es de S/. 3 por cada cm2 y para los lados es de S/. 2 por cm2. Hallar la función que describe el costo de la caja. 5. Un prisma rectangular tiene una longitud tres veces mayor que su ancho, y la altura una unidad menor que el doble del ancho. Escriba el volumen del prisma rectangular como una función de su ancho. 6. Una librería puede adquirir cierto libro a un costo de S/. 20 por libro, el librero calcula que puede vender 700 ejemplares al precio de S/. 40 cada uno y que estará en capacidad de vender 45 ejemplares más por cada reducción de S/. 2 en el precio de venta. Expresar la utilidad de la librería como una función del precio de venta. 7. Multas por exceso de velocidad. En el condado de Washington, una persona detenida y multada por conducir a una velocidad mayor del límite permitido. Si el exceso de velocidad sobre el límite permitido es menor de 15 kms por hora el conductor paga una multa que incluye un cargo administrativo de $ 20 más $ 5 por cada km la por hora que conduzca arriba del límite de velocidad. Un conductor detenido por ir a una velocidad mayor o igual a 15 kms por hora sobre el límite de velocidad debe pagar el cargo administrativo de $ 20 más $10 por cada km por hora que conduzca arriba del límite de velocidad. Escriba una función definida por partes que describa este problema. 8. Una inmobiliaria tiene un edificio de 120 apartamentos. Cuando la renta de cada uno es de $330 al mes, todos los apartamentos están ocupados. La experiencia ha demostrado que por cada incremento mensual de $30 en la renta, se desocupan 5 de ellos. El costo de mantenimiento de cada apartamento es de 430 mensuales. ¿Qué renta debe cobrarse para maximizar la utilidad? 9. Un constructor de edificios quiere cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto utilizando la orilla del río para un lado del área encerrada. Si el contratista tiene 200 metros de cerca, encontrar las dimensiones para encerrar el área máxima. 10. Si el número de turistas que hace un recorrido en autobús a una ciudad es exactamente 30, una empresa cobra 20 soles por persona. Por cada persona adicional a las 30, se reduce el cobro personal en 0,5 soles. ¿Cuál es el número de turistas que debe llevar un autobús para maximizar los ingresos de la empresa? 11. A partir de una lámina metálica rectangular y larga, de 12 pulgadas de ancho, hay que fabricar una canoa doblando hacia arriba dos lados, de modo que sean perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas deben doblarse para dar a la canoa su máxima capacidad? 12. Desde el comienzo del año, el pan integral de trigo en un supermercado ha ido en aumento a una razón constante de 2 céntimos por mes. Para el 1º de octubre, el precio llegó a S/0.46 por unidad. Exprese el precio del pan como una función del tiempo y determine el precio al comienzo del año. 13. Depreciación lineal. Un médico posee libros de medicina cuyo valor es de S/ 1500; para efectos de impuesto, se supone que ese valor se deprecia linealmente a cero en un periodo de 10 años. Esto es, el valor de los libros disminuye a razón constante de manera que será igual a cero al final de 10 años. Exprese el valor de los libros como una función del tiempo. 14. El programa de tasa tributaria para contribuyentes casados que presentan una declaración conjunta (que se muestra en la tabla ) parece tener un salto en los impuestos para ingresos gravables en $ 109 250. Sobre (dólares) Pero no sobre (dólares) forma De la cantidad que excede a: 0 45 200 109 250 166 500 297 350 45 200 109 250 166 500 297 350 15% 6 780 + 27,5% 24 393, 75 + 30,5% 41 855 + 35,5% 88 306,75 + 39,1% 0 45 200 109 250 166 500 297 350 a) Utilice la tabla y escriba la función que asigna el impuesto sobre la renta para contribuyentes casados como una función del ingreso gravable. b) ¿Cuál es el impuesto cuando el contribuyente tiene un ingreso gravable de 109300 15. Tarjeta de créditos. Cada vez hay más personas que pagan sus deudas con tarjetas de crédito, en forma mensual. El porcentaje de quienes lo hacen se ha incrementado, de acuerdo con los datos que aparecen en la siguiente tabla. a) Utilizando los puntos de los datos (0; 29), (3; 32).y (7; 41), halle una función cuadrática que ajuste los datos. b) Utilice la función para predecir el porcentaje que pagará sus deudas en el año 2000 y en el año 2008. Años, x (desde 1990) 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Porcentaje, P de quienes pagan sus deudas 29 30 31 32 33 34 36 41 2. FUNCIONES ESPECIALES 2.1. Gráfica de una función Sea la función f : R R , llamaremos gráfica de la función f al conjunto: Gf (x;y) R2 / y f(x) Estudiaremos las gráficas de las siguientes funciones. 2.1.1. Función Constante Diremos que una función f : R R es constante si su regla de correspondencia es: f(x) c donde Gráfica: Df R, Rf {c} Y y=C C -1 0 X 1 2.1.2. Función Identidad Una función f : R R , es llamada función identidad si su regla de correspondencia es: f(x) x Gráfica: Donde Df R, Rf R Y y=x 1 -1 X 0 1 -1 2.1.3. Función Lineal Diremos que una función f : R R es lineal si su regla de correspondencia es: f(x) ax b; a 0; b constantes Donde Gráfica: Y y = ax+b b a 0 X Df R, Rf R 2.1.4. Función Raíz Cuadrada Una función f : R0 R0 es llamada raíz cuadrada si su regla de correspondencia es: f(x) Df R0 , Rf R0 Donde x Gráfica: Y 2 1 0 1 3 2 4 X 2.1.5. Función Valor Absoluto Diremos que la función f es llamada valor absoluto si su regla de correspondencia es: x si x 0 Donde f(x) | x | x si x 0 Df R, Rf R0 Gráfica: Y 2 1 -2 -1 0 X 1 2 Propiedades a) x 0 , x 0 x 0 b) x a a 0 a x a c) x a x a x a 2.1.6. Función Máximo Entero La función f es llamada función máximo entero si su regla de correspondencia es: f(x) x n Z n x n 1 Donde Df R, Rf Z Gráfica: Y 2 1 -1 -2 0 1 2 X -1 -2 Propiedades de la función Máximo Entero x n x n; n Z a) b) Si k x entonces x = k, siempre que k Z c) Si x k entonces x = k –1, siempre que k Z d) Si a > 0, entonces: b (i) a a x x b b e) Si a a Z entonces : <0; b b (i) a a x x 1 b b f) (ii) x (ii) x a a x b b a a x 1 b b x x 1 si x Z 2.1.7. Función signo La función f es llamada función signo si su regla de correspondencia es: x0 1, f(x) sig(x) 0 1 x 0 . Donde Df R, Rf 1; 0; 1 x0 Gráfica: Y 1 -2 -1 0 -1 X 1 2 2.1.8. Función Cuadrática Diremos que una función f es cuadrática si su regla de correspondencia es: f(x) ax2 bx c, a,b,c R; a 0 Donde: 4ac b2 4ac b2 Df R , R f , ,si a 0 Rf , , si a 0 4a 4a Gráfica: Y X b 2a 0 4ac b2 4a 2.1.9. Función Cúbica Diremos que una función f es cúbica si su regla de correspondencia es: f(x) ax3 bx2 cx d, a,b,c,d R; a 0 Caso particular Si b c d 0 y a 1 , entonces se tiene la funciçon cçubica f(x) x3 donde Df R y Rf R Gráfica: y x3 Y 2 1 -2 -1 0 -1 -2 X 1 2 2.1.10. Función Hipérbola Equilátera Es la función cuya regla de correspondencia viene dado por: f(x) 1 donde: x Df R^0 , Gráfica: Rf R -0 Y 2 y 1 -2 -1 0 1 1 x 3 2 X -1 -2 2.1.11. Función Exponencial Y Logarítmica A) Función Exponencial Tienen la forma y f(x) ax , a 0, a 1 . Df R^ , Rf R Y a >1 -4 -3 -2 -1 0 Y a2 a3 1 a 2 La función exponencial es creciente X 1 2 a 1 3 -2 -1 0 0<a<1 1 2 3 4 X La función exponencial es decreciente Si se utiliza el número irracional e como base, la función y ex se denomina función exponencial natural. Aplicación de Funciones Exponenciales Crecimiento exponencial: Q(n) Q0 an donde (0 n ) proporciona un modelo matemático de una cantidad Q(n) que en un principio está representada con la cantidad Q(0) Q 0 , y cuya razón de crecimiento an es directamente proporcional a la cantidad presente en el periodo n. La fórmula anterior puede plantearse también como , Q(n) Q 0ekt ; 0 t . Donde k es la constante de crecimiento y t es el tiempo. Cuando se presenta un decrecimiento el exponente de la fórmula es negativo. Interés Compuesto: M C (1 ni) donde M es el monto o valor futuro, C el capital o valor presente, i la tasa de interés periódica y n es el número de periodos de inversión. Decaimiento Radioactivo Los elementos radioactivos tienen la característica de que su cantidad disminuye con el tiempo. Se dice que un elemento radioactivo decae. La función que describe este fenómeno es: N(t) N0et Donde: t es el tiempo. N =N(t) es la cantidad en el instante t. N0 es la cantidad inicial. se la constante de decaimiento. Supongamos que T es el tiempo que tarda un elemento radioactivo en disminuir a la mitad de su cantidad inicial. Entonces la función exponencial asociada a este fenómeno es: N0 N0eT 2 Ahora demostremos que para cada intervalo de tiempo T, la cantidad se reduce a su mitad. En efecto. Consideremos el intervalo t; t T . Entonces Esto significa que N0 N et N(t) ) 0 2 2 2 Esto significa que la cantidad en el tiempo t+T es la mitad de la cantidad en el t. Con esto queda demostrado que: en cada intervalo de tiempo T, la población se reduce a su mitad. Es decir, si la cantidad inicial es 4 gramos, entonces dentro de un tiempo T habrá 2 gramos y dentro de un tiempo 2T habrá 1 gramo y así sucesivamente. A este valor de T se llama vida media del elemento radioactivo y se calcula de la siguiente manera: ln(2) T N(t T) N0e(t T) N0eteT et (N0eT ) et ( Ejemplo Una muestra de 1 gramo de plomo 211 radiactivo ( que se denota 211Pb ) decae de acuerdo con la ecuación N e0,0192t , donde N es el número de gramos presente después de t minutos. Encuentre la vida media del 211Pb a la décima de minuto más cercano. Solución Identificando la constante decaimiento se tiene: 0,0192 Entonces la vida media es: T La vida media del 211 ln(2) 36,10141565 0,0192 Pb a la décima de minuto más cercano es 36,1 minuto B) Función Logaritmo Son las funciones inversas a las funciones exponenciales: y loga (x); a 0 a 1,x 0 si y sólo sí x ay Esto quiere decir, loga x es la potencia y a la cual a debe elevarse para obtener x . Por lo tanto, el dominio de las funciones logarítmicas son todos los números positivos. Es decir: Df R ^ , Rf R Propiedades de los logaritmos: loga 1 0 a0 1 loga (a) 1 a1 a loga MN loga M loga N aman amn M loga loga (M) loga (N) N am loga Mn nloga M a 1 loga loga (N) N 1 m n amn an n a amn an 2.1.12. Función Periódica Una función f : R R es periódica si existe un número T 0 que cumple las siguientes condiciones. I) x Df se cumple (x T) Df II) f(x T) f(x), x Df Al menor número positivo T se le llama periodo mínimo o simplemente periodo. Para graficar una función periódica f, es suficiente con graficar en [0;T[ donde T es el periodo de la función y luego repetir esta gráfica en todos los intervalos de longitud T. 2.1.13. Función Par e impar A) Función Par La función f : R R[ se llama función par si f(x) f(x); x R[ B) Función Impar La función f : R R[ se llama función impar si f(x) f(x); x R[ 2.1.14. Función trigonométrica Estudiaremos las siguientes funciones trigonométricas Función Seno Sea la función f : R [1;1] definida por f(x) sen(x) Dominio: Df R , Periodo: T 2 Rango: Rf [1;1] , Función impar: sen(–x) = –sen(x) En general: f(x) Asen[Bx C] D Donde A es la amplitud, el periodo es T 2 , C es traslación horizontal o ángulo de fase y D es la B traslación vertical. Gráfica Función Coseno Sea la función f : R [1;1] definida f(x) cos(x) Dominio: Df R , Rango: Rf [1;1] , Periodo: T 2 Función par: cos(–x) = cos(x) En general: f(x) Acos[Bx C] D Donde A es la amplitud, el periodo es T traslación vertical. 2 , C es traslación horizontal o ángulo de fase y D es la B Gráfica Función tangente Sea la función f : R R definida f(x) tg(x) 2k 1 Dominio: Df R , k Z , 2 sen(x) cos(x) Rango: Rf R , Periodo: T Gráfica Y X 2.1.15. Función Definida por Partes. Se llaman así a las funciones definidas con dos o más reglas de correspondencias. Es decir: f1 (x), x Df1 f(x) f2 (x), x Df2 Con Df1 Df2 (vacio) , además Df Df1 Df2 y Rf Rf1 Rf2 Ejemplo Sea la función f, definida x 1 si x 0 f(x) 2 x 2 si x 0 Halle el rango de la función y dibuje la gráfica. Solución Por definición el rango es: Ran(f) Ran(f1 ) Ran(f2 ) 1º. Encuentre Ran(f1 ) x 0 x 1 1 y x 1 1 y 1 Entonces, Ran(f1 ) 1; 2º. Encuentre Ran(f2 ) x 0 x2 0 x2 2 2 y x2 2 2 y 2 Entonces: Ran(f2 ) ] 2; [ Por lo tanto, Ran(f) Ran(f1 ) Ran(f2 ) [1; [ ] 2; [ ] 2; [ Y f1(x)=x+1 f2(x)=x2 – 1 1 X –2 2.2. Traslación Reflexión y Simetría de Gráficas. Debemos destacar que cuando se conoce la grafica de una función, en base a esta función se puede graficar otra función de la siguiente manera. A) Traslación a. Traslación Vertical: Conocida la gráfica de la función f , entonces la gráfica de la función F definida F(x) f(x) c , tiene una traslación vertical. Si c 0 la gráfica de la función f se desplaza hacia arriba c unidades. Figura a Si c 0 la gráfica de la función f se desplaza hacia abajo c unidades. Figura b Y Y F f f X X F Fig. a Fig. b b. Traslación Horizontal: Conocida la gráfica de la función f , entonces la gráfica de la función F definida F(x) f(x c) , tiene una traslación horizontal. Si c 0 la gráfica de f se desplaza a la Izquierda c unidades. Figura c Si c 0 la gráfica de f se desplaza hacia la Derecha c unidades. Figura d Y Y F F f f X X Fig. c Fig. d c. Traslación horizontal y verticala la vez F(x) f(x c) k , la gráfica se obtiene primero desplazándose c unidades horizontalmente y luego k unidades verticalmente. c>0 y K>0 c<0 y K>0 Y Y F F f X X f Fig. e Fig. f c>0 y K<0 c<0 y K<0 Y Y f f X X F F Fig. h Fig. g d. F(x) af(x), a 0 Si a 0 la gráfica de f(x) se alarga verticalmente alejándose del eje x por un factor a. Figura i. Si 0 a 1 la gráfica de f(x) se contrae verticalmente hacía el eje x por un factor a. Figura j. Y Y 3x2 2x2 x2 –1 3 3 2 2 1 1 X 1 0 –2 –1 0 x2 / 2 x2 1 x2 / 4 X 2 Fig. j Fig. i B) Reflexión y=f(–x) es la reflexión de la función f respecto al eje Y. Figura K. y=–f(x) es la reflexión de la función f respecto al eje X. figura l. Y Y f f(x) 2 1 2 0 1 –1 0 Fig. k 1 X 2 –1 1 X –2 Fig. l –f(x) C) Simetría Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio. La recta con respecto a la cual son simétricos los dos puntos se llama eje de simetría. a) Simetría con el eje Y La función f es simétrica con respecto al eje Y si su regla de correspondencia no cambia cuando se reemplaza x por x . Es decir: y = f(–x) = f(x). Figura m. Las funciones simétricas respecto al eje Y reciben el nombre de funciones pares b) Simetría con respecto al orige La función f es simétrica con respecto al origen si se cumple: f(–x)= –f(x). Figura n. Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre de funciones impares Y Y f(x) f(x) 2 1 2 –2 –1 0 1 1 –1 0 1 X Fig. n Fig. m Ejercicios Resueltos 1. x 2 Halle dominio, rango y gráfica de la siguiente función: f(x) sig x 3 Solución Por definición se tiene: x 2 1, si x 3 0 x 2 x 2 f(x) sig 0 0 , si x3 x 3 x 2 1, si x 3 0 1 , si x 3 x 2 f(x) 0 , si x 2 1, si 3 x 2 Df , 3 2, {2} 3,2 R {3} 2 X Rf {1,0,1} Gráfica: Y –3 2. X 2 Halle dominio, rango y gráfica de la siguiente función: f(x) | x | | x 3| Solución Por definición de valor absoluto se tiene: x x 0 |x | x x 0 x 3 si x 3 0 x 3 si x 3 |x 3| x 3 si x 3 0 x 3 si x 3 Si x 0 entonces f(x) | x | | x 3| x (x 3) 2x 3 Si 0 x 3 entonces f(x) | x | | x 3| x (x 3) 3 Si x 3 entonces f(x) | x | | x 3| x (x 3) 2x 3 Finalmente tenemos que: si x 0 2x 3 f(x) 3 si 0 x 3 2x 3 si x 3 Dom(f) R, Ran(f) 3, Gráfica: Y 5 3 –1 1 2 3 4 5 X 3. Determine si la función es simétrica con respecto al eje Y (función par) o simétrica con respecto al origen (función impar) o ninguna de las dos. 1. g x x2 1 2. h x x x2 1 3. g x x 4 3x2 1 Solución Recordar los siguientes definiciones: a) x es una función par si y=f(–x) = f(x) b) x es una función impar si y=f(–x)=–f(x) Entonces 1. g x (x)2 1 x2 1 g(x) Esto quiere decir que g es una función par o simétrica con el eje Y. 2. g x (x) x 1 x(x 1) g(x) Esto quiere decir que g no es simétrica con el eje Y y no es simétrica con el origen. 3. h x (x) (x)2 1 x(x2 1) h(x) Esto quiere decir que h es una función impar o simétrica con el origen. 4. Utilice la gráfica de las funciones especiales y las técnicas de traslaciones y reflexiones para graficar las funciones dadas. a) f x x 2 b) f x 1 x 1 2 Solución a) f x x 2 Grafiquemos la función identidad y=x (figura a) luego graficar f(x) = x–2, significa trasladar 2 unidades hacia la derecha en el eje X la gráfica de la identidad (figura b) Y Y y=x y = x–2 X Figura a X Figura b b) f x 1 x 1 2 Se grafica la parábola x2 (figura a). Graficar (x–1)2 significa trasladar una unidad hacia la derecha en el eje X la gráfica de x2 (figura b). Graficar –(x–1)2 significa invertir la gráfica de (x–1)2 manteniendo el vértice fijo (figura c). Finalmente, graficar f x 1 x 1 significa trasladar una unidad hacia arriba en el eje Y 2 (figura d) Y Y f(x)= (x–1)2 X Figura a X Figura b Y X f(x)= 1-(x-2)2 f(x)= 1-(x-2)22 f(x)=–(x–2) Figura c Figura c 5. Trace la gráfica de: b) f(t) Asen(t) c) f(t) sen(Bt) Para A=1; 2 y B= 2; 1 2 Solución a) Caso 1: A=1; f(t) = sen(t) Figura d Tabulando se tiene: t –2 f(t) 0 – 3 2 1 – 0 2 –1 – 0 0 2 1 0 3 2 –1 2 0 Graficando se tiene: Graficando se tiene: Y X Caso 2: A=2; f(t) = 2sen(t) Tabulando se tiene: t –2 f(t) 0 – 3 2 2 – 0 2 –2 – 0 0 2 2 0 3 2 -2 2 0 Graficando se tiene Graficando se tiene Y X Observación Si a la función seno se le multiplica por un número entero positivo, la amplitud queda multiplicada por dicho número y su periodo es el mismo. b) Caso 1: B= 2; f(t)= sen(2t) Tabulando se tiene: t – f(t) 0 – 3 4 1 – 2 0 4 0 4 2 3 4 –1 0 1 0 –1 0 – Graficando se tiene Y X Observación Si se multiplica por un número entero positivo al ángulo de la función seno, la amplitud se mantiene y su periodo queda dividió por dicho número. Es decir, la gráfica se contrae. 1 t ; f(t)= sen( ) 2 2 Tabulando se tiene: Caso 2: B= t f(t) –4 0 –3 1 –2 0 – –1 0 0 1 2 0 3 –1 4 0 Graficando se tiene: Graficando se tiene: Y X Observación Si se divide entre un número entero positivo al ángulo de la función seno, la amplitud se mantiene y su periodo se multiplica por dicho número. Es decir, la gráfica se extiende. 6. Encuentre la ecuación posible para cada gráfica: a) Y X b) Y X Solución a) De la gráfica a) se puede suponer que la función trigonométrica es de la forma: y(x) = Asen( x ) + B Y Amplitud Periodo X Donde 2 2 y(0)=2 ; 1; T T Entonces, la función tiene la siguiente forma A=1; T= 2 ; B=2 (Traslación vertical) y(x) = sen( x )+2 Usa los datos y tienes: y(0)=2 2 = sen( )+2 n; n Z …. (1) (4n 1) y( ) 1 1 = sen( )+2 sen( )= –1 ;nZ 2 2 2 2 2 (4n 1) (2n 1); n Z …. (2) 2 2 Entonces, de (1) y (2) se tiene: n (2n 1); n Z n 1 Por lo tanto, la función es: y(x) sen(x ) 2 b) Según el gráfico se tiene, la función trigonométrica tiene la forma y(x) = 5sen( x ) Periodo: T= 4 Y X Amplitud Periodo Frecuencia angular: 2 2 1 T 4 2 Luego, y(x) = 5sen( x ) 2 Por otro lado, del gráfico se tiene y(0) 0 0 5sen() n; n Z …. (1) (4n 1) y( ) 5 5 5sen( ) 1 sen( ) ;nZ 2 2 2 2 2 (4n 1) …. (2) 2n; n Z 2 2 Entonces, de (1) y (2) se tiene: n 2n; n Z n=0 Por lo tanto, la función es: x y(x) = 5sen( ) 2 7. Una máquina se compra en $10 000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: V(t) 10000e0.2t . Determine el valor de la máquina después de 8 años. Solución El valor después de 8 años es: V(8) 10000e0.2(8) 2018,965 dólares 8. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p 2500ex , donde x es el número de unidades demandadas a un precio p por unidad. Evalúe el precio para una demanda de 6 unidades. Solución El precio para 6 unidades demandadas es: p(6) 2500e6 6,19 x ) donde x es el número de 100 unidades y p es el precio por unidad. ¿A qué precio el fabricante ofrecerá 700 unidades? 9. La ecuación de oferta de un fabricante es p 28 log(5 Solución Si x = 700 unidades entonces el precio es: p 28 log(5 700 ) 28 log(12) 28 1,0791 29,0791 100 Es decir, el fabricante ofrecerá a un precio de 29,0791 unidades monetarias por cada unidad. 10. Una compañía encuentra que los gastos semanales en publicidad (en dólares) y están dados 800 por: y 1250ln donde x 200 . Calcule el gasto en publicidad para vender 800 1000 x unidades. Solución El gasto en 800 unidades es: 800 800 y(800) 1250ln 1250ln 1250ln 4 1732,86 1000 800 200 El gasto en publicidad para vender 800 unidades es de 1732,86 dólares 11.La tasa de crecimiento poblacional de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando ésta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especímenes se duplica cada 20 minutos. a) Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t. b) Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo? Solución Según el enunciado se tiene: Q(t) c0ekt Donde: t es el tiempo en minutos. Q(t) es la cantidad poblacional de la bacteria en el instante t. K es la constante de proporcionalidad. C0 es la cantidad poblacional inicial. Cálculo de la constante k Como la cantidad de bacterias se duplica cada 20 minutos se tiene: t 0 Q(0) c0 t 20 Q(20) c0ek(20) 2Q(0) c0ek(20) 2c0 ek(20) 2 k ln(2) 20 Por lo tanto, la función exponencial es: Q(t) c0 ln(2) t e 20 c0 t ln(2) 20 (e ) c0 t 20 (2 ) Luego, t a) Cantidad inicial c0=100 entonces la función es: Q(t) 100(220 ) b) Cantidad inicial c0=3500 entonces la función es: Q(t) 3500(220 ) t El nuevo modelo es 35 veces el modelo anterior en cada instante t. 12. La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población continúa creciendo en forma exponencial con la razón actual de aproximadamente 2% por año: a) Encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de millones) como función del tiempo t (en año), donde t=0 corresponde al inicio de 1990. b) Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio del 2007? Solución El crecimiento exponencial se define: Q(t) c0ekt Donde: t es el tiempo en años Q(t) es la cantidad de personas en miles de millones por cada año. K es la razón de crecimiento poblacional por año. c0 es la población inicial. Luego, a) Según los datos se tiene: Q(t) 5,3e0,02t b) t es el tiempo transcurrido desde inicio del año 1990 hasta el inicio del año 2007. Es decir, t = 2007–1990 = 17 años. Gráficamente se tiene: 1 1990 2 1991 3 1992 10 1993 17 2000 2007 Entonces La población mundial al inicio del año 2007 es: Q(t) 5,3e0,02(17) 7,4462 mil millones 13.Una boya en el océano oscila de arriba hacia abajo mientras pasan las olas. Suponiendo que la boya está en su punto más alto en t=0, además la boya se mueve un total de 80 cm. desde el punto más alto cada 12 s. Encuentre la ecuación de la boya que está en movimiento. y Boya t 80 cm. 12 s Océano Solución El movimiento es ondulatorio, entonces está descrita por: y(t) Asen(t ) Donde: y(t) es la posición de la boya en el instante t. t es el tiempo en segundos. es la frecuencia angular. T es el periodo A es la amplitud. es el ángulo de fase. Según los datos se tiene: 80 A= cm =40 cm 2 2 2 T = 12 segundos entonces T 12 6 t=0 , y(0)=40 entonces 40 40sen() 1 sen() 2 Por lo tanto, la ecuación que describe el movimiento de la boya es: y(t) 40sen( t ) 6 2 14. El 10 de febrero de 1990 la marea alta en el Callao fue a media noche. La altura del agua en el puerto es una función periódica, ya que oscila entre las mareas alta y baja. Si t se mide en horas desde la media noche, la altura (en metros) se aproxima por medio de la fórmula y 5 4.9cos t 6 a) b) c) d) e) Use el derive 6.1 para trazar la gráfica de esta función de t=0 a t=24. ¿Cuál fue el nivel del agua en la marea alta? ¿Cuándo estaba baja la marea y cuál fue el nivel del agua en ese momento? ¿Cuál es el periodo de esta función y que representa en términos de mareas? ¿Cuál es la amplitud de esta función y qué representa en términos de marea? Solución a) Usando derive 6.1 se tiene a) Y t t b) t=0 significa media noche También: t= 0=12=24 significa marea alta y en ese momento la altura es: y(0) 5 4,9cos 0 = 9,9 metros c) t= 6 significa marea baja y en ese momento la altura es: y(6) 5 4,9cos = 5 – 4,9 = 0,1 metros d) El periodo es de 12 horas y significa que cada 12 horas la marea será alta y alcanzará una altura de 9,9 metros. e) La amplitud de esa ecuación es de 4,9 metros y significa que el crecimiento promedio de la marea es de 4,9 metros sobre el nivel del mar. 15. Corriente Eléctrica. El voltaje normal V que suministra un contacto eléctrico en muchos países es una función senoidal que oscila entre –165 volts y +165 volts, con una frecuencia de 60 ciclos por segundo. Determine una ecuación del voltaje en función del tiempo t. Solución De los datos se puede calcular: Amplitud. A= 165 (165) = 165 voltios 2 Frecuencia: f=60 ciclos/s Periodo: T= 1 1 s f 60 Frecuencia angular: 2 2f 2(60) 120 ciclos/s T Luego, la función senoidal es: V(t) Asen(t ) V(t) 165sen(120t ) Por dato, el voltaje oscila entre –165 y +165 entonces f(0)=0. Es decir: 0 165sen() Por lo tanto, V(t) 165sen(120t ) 16. Un fabricante ofrece a las personas que trabajan en un producto en particular un incentivo salarial. El tiempo estándar para completar una unidad es de 15 horas. Se paga a los trabajadores un promedio de $ 8 por hora hasta un máximo de 15 horas por cada unidad del producto. Si una unidad del producto requiere más de 15 horas, sólo se paga al trabajador por las 15 horas que la unidad debería haber requerido. El fabricante creó un incentivo salarial por la terminación de una unidad en menos de 15 horas. Por cada hora por debajo del estándar de 15 horas, el salario por hora del trabajo aumenta $1,50. Suponga que se aplica el incentivo de $1,50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora. Determine la función w=f(n), donde w es la tasa salarial promedio en dólares y n es el número de horas requeridas para completar una unidad del producto. Solución Se paga a los trabajadores un promedio de $ 8 por hora hasta un máximo de 15 horas por cada unidad del producto. Es decir el salario es: 120 dólares Por cada hora por debajo del estándar de 15 horas, el salario por hora del trabajo aumenta $1,50. Suponga que se aplica el incentivo de $1,50 por hora a cualquier ahorro incremental que incluya fracciones de hora. Esto quiere decir que si trabajador termina el producto en 14h20m, 14h1m o 14h59m su sueldo es el mismo. Es decir, 120 dólares + 1,5 dólares. Entonces la función que modela este fenómeno es: ; x 15 120 s(x) 120 1,5 16 x ; 0 x 15 x Z 120 1,5(15 x) ; 0 x 15 x Z Ejercicios Propuestos 1.2. Nivel 1 1. Sismología. Para medir la magnitud de los sismos se usa la escala de Richter. La fórmula para la escala de Richter es R logI , donde R es el número de Richter e I la intensidad del sismo. Exprese la escala de Richter en forma exponencial. 2. Modelo Logístico. EL peso de un cultivo de bacterias está dado por y 2 1 3(2 t ) en donde t se mide en horas. ¿Cuál es el peso cuando t 0,1,2 ? 3. Electricidad. La resistencia equivalente R de dos resistores, R1 y R2 , conectados en paralelo se RR expresa como R 1 2 R1 R2 En un circuito dado, R1 x3/2 y R2 x . a) Exprese R en términos de x . Asegúrese de simplificar la respuesta. b) Si x 20 , ¿cuál es el valor de R ? 4. Si 800 soles se invierten al 6% de interés compuesto anual, ¿cuál es el valor futuro después de 10 años? 5. Si se depositan 800 soles en una cuenta de ahorro que ofrece el 6% de interés compuesto mensual, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de 10 años? 6. Si 800 soles se invierten en una cuenta de ahorro que ofrece un interés compuesto de manera continua al 6%, ¿cuánto se acumulará al cabo de 10 años? 7. Biología. Cuando el tamaño de una colonia de bacterias está limitado por la falta de espacio o nutrientes, su crecimiento se describe por la ley de crecimiento logístico: mQ 0 Q Q 0 (m Q 0 )ek.m.t Donde Q 0 es la cantidad inicial de bacterias, m el tamaño máximo y k una constante positiva. Si Q 0 400 , m 2000 y Q 800 cuando t 1 / 2 , encuentre k . 8. Ingeniería acústica. Para medir la intensidad del sonido se utiliza la escala en decibeles (dB). Esta escala se usa porque la respuesta del oído humano a la intensidad del sonido no es proporcional. La intensidad, I0 1012 W / m2 ( watts/m2 ) apenas es audible, por lo que se le asigna un valor de 0 dB. A un sonido 10 veces más intenso se le asigna un valor de 10 dB; a un sonido 100 más intenso que 0 dB se le valora como 20 dB. Al proseguir de esta manera se obtiene la fórmula I 10log donde es la intensidad en decibeles e I la intensidad en W/m2 . I0 a) Exprese la escala en decibeles en notación exponencial. b) ¿Cuál es la intensidad en decibeles de un sonido que mide 10-7 W/m2 ? c) ¿Cuál es la intensidad del sonido que emite un camión pesado al pasar junto a un peatón parado a un lado de la carretera si la intensidad I de la onda sonora que produce es de 10-3 W/m2 ? 9. Tecnología de computación. Para diseñar el tablero de una computadora personal, la impedancia de un trazo depende del ancho de éste, del grosor del conductor y del material con que se haga el tablero en una configuración lineal, como se muestra en la ecuación 87 6H Z0 ln . Despeje t en esta ecuación. e' 1.4 0.8W t 10. Ecología. Como resultado de la contaminación, disminuye la población de peces en un río según P la fórmula ln 0.0435t , donde P es la población después de t años y P0 la población P0 original. a) ¿Después de cuántos años habrá sólo el 50% de la población original de peces? b) ¿Después de cuántos años la población original se reducirá en 90%? c) ¿Qué porcentaje de la población morirá durante el primer año de contaminación? 11. Difusión de información. Se desarrolló una nueva variedad mejorada de arroz. Se determinó que después de t años, la proporción de agricultores de arroz quienes han cambiado a la nueva variedad está dado por medio de un modelo logístico P (1 Cekt )1 En t 0 , el 2% de los agricultores están utilizando la nueva variedad. Cuatro años más adelante, el 50% lo está haciendo. Evalúe C y k y calcule cuántos años pasarán antes de que el 90% hayan cambiado a la nueva variedad. 12. Cuando un capacitor cargado se descarga a través de una resistencia (considerando un circuito donde sólo se considera un resistor y un capacitor), la disminución en la carga Q está dada por la fórmula Q Q 0et/T donde t es el tiempo en segundos, Q 0 CV , la carga inicial, T RC , y C es la capacitancia, V el voltaje de la batería y R la resistencia. El producto RC se denomina constante de tiempo del circuito. Si un capacitor de 15F se carga al conectarlo a una batería de 60V a través de un circuito con una resistencia de 12 000 , ¿cuál es la carga sobre el capacitor 9 segundos después de que se desconecta la batería? 13. Tecnología Nuclear. El número de miligramos de una sustancia radioactiva presente después de t años está dado por Q 125e0.375t . a) ¿Cuántos miligramos había inicialmente? b) ¿Cuántos miligramos habrá después de 1 año? c) ¿Cuántos miligramos habrá después de 16 años? 14. Termodinámica. Según la ley de enfriamiento de Newton, la razón a que se enfría un objeto caliente es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura de su entorno. La temperatura T de un objeto después de un periodo de tiempo t (en minutos) es T Tm (T0 Tm )ekt donde T0 es la temperatura inicial y Tm la temperatura del medio circundante. Un objeto se enfría de 180 F a 150 F en 20 minutos cuando está rodeado de aire a 60 F . ¿Cuál es la temperatura después de 1 hora de enfriamiento? P 15. Meteorología. La ecuación barométrica H (30T 8000)ln 0 relaciona la altura H en P metros por arriba del nivel del mar, la temperatura del aire T en grados Celsius, la presión atmosférica P0 en centímetros de mercurio a nivel del mar y la presión atmosférica P en centímetros de mercurio a la altura H . Un día, la presión atmosférica en la cima del Monte Whitney en california fue igual a 43,29 cm de mercurio. La temperatura media del aire fue de 5 C y la presión atmosférica a nivel del mar fue de 76 cm de mercurio. ¿Cuál es la altura del Monte Whitney? 16. La aceleración, a, de un péndulo esta definida por a gsen() , donde g es la aceleración de la gravedad y el desplazamiento angular con respecto a la vertical. ¿Cuál es la aceleración de un péndulo cuando 5 y g 32pies/s2 ? 17. Electrónica. El ángulo de fase, , en un circuito RC entre la reactancia capacitiva, X C , y la resistencia, R , cuando la resistencia está en serie con la reactancia capacitiva, puede X encontrarse mediante el empleo de tan1 C . Encuentre cuando XC 33 y R R 40 18. La altura máxima, h , de un proyectil con velocidad inicial 0 , a un ángulo está dada por 20sen2 . 2g a) Despeje b) Si 0 175,5m/s y g 9,8m/s 2 , ¿a qué ángulo fue lanzado el proyectil si su máxima altura fue de 431.1m ? h 19. En un cultivo hay inicialmente 500 bacterias; y después de 4 horas hay 8 000. Si suponemos que estas bacterias crecen exponencialmente, ¿cuántas habrá al cabo de 10 horas? 20. La vida media del cobre 67 es de 62 horas. Si inicialmente hay 100 g de cobre 67, ¿cuánto quedará después de 15 días? 21. Tecnología Nuclear. El radio decae exponencialmente y tiene una vida media de 1600 años. Si inicialmente había 100 mg, ¿cuántos habrá después de 2 000 años? 22. La población de cierta ciudad crece a razón del 7% anual; actualmente es de 200 000. a) ¿Cuál será la población dentro de 5 años? b) ¿Y a cuánto ascenderá dentro de 10 años? Nivel 2 1 ; si x es par Z / f(x) 1; si x es impar ¿Cuáles son verdaderas? a) f(2x) f(3y) 0 x es par y es impar b) f(x)f(y) 1, x, y c) ! / f(x) f(x), x 1. Sea f : 2x2 bx c intercepta al eje x en los puntos: (2,0) y (5,0) , y al 3 eje y en el punto (0,k) . Halle el valor de b c k 2. La gráfica de la función f(x) 3. Dada las funciones f y g definidas por las fórmulas 4f(x) 3x2 6x 9, 2g(x) x2 4x , y sean los conjuntos: A x 4. / f(x) 0 , B x En las siguientes funciones, halle los intervalos (si existen) en los que las funciones no son negativas ( y 0 ). a) f(x) x2 5x 4 b) f(x) (x 1)(x 2)(x2 9) 5. 6. / g(x) 0 , halle A B . c) f(x) x2 6x 5 3 3x2 d) f(x) 1 15 Si f(x) ax2 bx c, f(1) 0, f(1) 8, f( 1) f( ) , halle f(5) 2 4 x x Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) x x2 9 4 x2 7. Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) 8. Halle el dominio de la función f(x) 9. x2 x 2 x 1 x 4 9 x2 4 x3 Halle el dominio de la función f(x) 49 2 x 1 (x 1) x2 4 10. Halle el dominio de la función f(x) x3 10x2 29x 20 11. Para un bien en particular la relación de la oferta es 6p; 0 p 1 x 6 1p p ; y la relación de la demanda es x 2p 7 . Determine los puntos de equilibrio del mercado. 12. Contaminación Atmosférica. El índice de contaminación atmosférica en cierta ciudad varía 0t2 2 4t; 6 2t; 2t4 durante el día de la siguiente manera: P(t) 4 t 12 14; 50 3t; 12 t 16 Aquí t es el tiempo en horas, con t 0 correspondiente a 6 a.m. y t 16 a 10 p.m. Dibuje la gráfica de esta función. ¿Cuáles son los niveles de contaminación a las 8 a.m., 12 m., 6 p.m. y 8 p.m.? x 1 ; 3 x 1 ; 1x2 13. Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función f(x) 0 2x 3; 2 x 4 2 x 5 3x 2 ; 14. Grafique la función f(x) 2 5 x 10 x 6x 30 ; 5x 1 4 x 2 ; 15. Grafique la función f(x) 1x7 x 1 ; log(x 2); 16. Grafique la función f(x) x 9 ; 1 x 8 8 x 15 17. Si la gráfica de la función f está dada en la figura, halle su regla de correspondencia: OA //BC, OX // AB . Y C A B 45 45 0 2 4 5 18. Sea f(x) x2 2 x 3 . Halle su dominio, su rango y su gráfica. 19. Grafique la función f(x) D 8 x 3 x2 x 1 , indicando su dominio y rango. x 1 X 20. Grafique la función f(x) 2 x 1 1; 1 x 2 21. En los siguientes ejercicios proporcione la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal, vertical (si existen) y luego grafique las funciones dadas. a) f(x) 2sen(x) b) f(x) 0,5cos(x) c) f(x) 4sen(x) 2 d) f(x) 3sen(x) 1 e) f(x) 4tan(x) f) f(x) 0,5 sec(x) g) f(x) 0,5 cot(x) h) f(x) 3 csc(x) Nivel 3 1. Halle el dominio, el rango y la gráfica de f(x) x x 2. Halle el dominio, el rango y la gráfica de f(x) x x 3. Halle el rango y la gráfica de la función f(x) 2 x2 4x 5, 2 x 6 4. En los siguientes ejercicios proporcione la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal, vertical (si existen) y luego grafique las funciones dadas. 1 3 a) f(x) 2.5 sen 3x 1 e) f(x) cos x 1 i) f(x) csc 2x 2 2 3 6 b) f(x) 2sen x f) f(x) 3sen 6x 510 2,5 4 j) f(x) 3cot 5x 6 1 c) f(x) cos 3x g) f(x) cot x 2 6 6 k) f(x) 2sec x 3 6 1 d) f(x) 2cos x 4 h) f(x) tan x 3 4 l) f(x) 2tan 0.5x 2 4 x x Determine el rango y la gráfica de f(x) sen sen ; 2 x 2 2 2 5. 6. 4 x 2 ; 5 x 1 Grafique la función f(x) 3 log3 (x 2); 1 x 7 7. x 6 2 Grafique la función f(x) x2 1 4 x 8. 9. si 4 x 12 si 5 x 4 si x 5 0.5 x 9 2 si 7 x 11 Grafique la función f(x) x2 2x 1 si 1 x 7 2log (1 x) si x 1 4 En un triángulo ABC cuya base es AC 12 y su altura BD 6 está inscrito un rectángulo KLMN de altura x . Si S es el área del rectángulo, exprese S S(x) como una función de x , e indique su dominio y rango. Halle el valor de x 0 tal que S(x 0 ) sea el máximo valor de S(x) . Grafique S(x) 10. Halle los puntos de la curva f(x) x2 2x 25 en los que las rectas tangentes pasan por el origen. 11. Halle los puntos (x0 ,0), (0,y0 ) donde la recta tangente a la curva f(x) 2x2 3x 1 , en el punto P de abscisa 1 corta a los ejes X e Y , respectivamente. 12. Un cazador situado en el punto A(2,5) dispara a un pato situado en B(1, 4) . La trayectoria del proyectil es una recta de pendiente m . Si la presión arterial "p" del pato depende de la distancia "d" con que rosa el proyectil, según la relación. ; si d 0 0 p 1 12 ; si d 0 d Exprese la presión "p" del pato en función de la pendiente m , para m 0,3 13. La corriente, I (en amperes), en un circuito de corriente alterna está dada por I 6.5 sen(120t) donde t es el tiempo en segundos. a) Encuentre el periodo, la amplitud y la frecuencia de esta función. b) Trace I como una función de t para 0 t 0.1 s 14. En ciertas condiciones, la altura de la marea sobre su nivel medio está dada por y 2.1 cos(0.45t) , donde “ y ” está en metros y t en horas. a) Encuentre la amplitud, el periodo y la frecuencia de esta función b) Trece dos periodos de la gráfica de “ y ”. Asegúrese de que ambos ejes estén correctamente identificados 15. En cierto punto del océano, el desplazamiento vertical del agua debido a la acción de las olas está dada por y 3sen t 5 , donde “ y ” se mide en metros y t está en segundos. 6 a) Determine la amplitud, el periodo de la gráfica de esta acción de las olas b) Trace un ciclo completo de esta función. 16. En un circuito de corriente alterna con sólo una inductancia constante, el voltaje está dado por V 12sen(120t 0.5) a) Determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento horizontal y vertical de esta función b) Trace un periodo de la gráfica de esta función. Asegúrese de identificar en el eje X los instantes en que la gráfica cruza el eje y la ubicación de los puntos máximos y mínimos. 17. El diámetro del extremo pequeño, d , de un orificio ahusado es una función del ángulo, , de torneado y está dado por d 2htan() D , donde h es la profundidad del orificio ahusado y D el diámetro del extremo grande. Cierto orificio ahusado, medido en cm , tiene h 8 y D 4,5 a) ¿Cuál es el diámetro del extremo pequeño cuando 10 ? b) ¿Cuál es el menor ángulo con que se obtiene un diámetro del extremo pequeño igual a 0 ? c) Trace la gráfica de la ecuación para d cuando 0 30 . 18. Un rayo Gama puede describirse por medio de la ecuación y 1012 sen(21023 t) . ¿cuáles son la frecuencia y la amplitud de este rayo gama? 19. En un circuito resistencia-inductancia, I Imáxsen(2 f t ) . Si Imáx 1.2A, f 400Hz y 37 , trace un ciclo de I contra t . 20. Un rayo X es descrito por la ecuación y 1010 sen(21018 t ) donde y está en metros y t en segundos a) Determine el periodo y la amplitud de este rayo X b) Trace un ciclo de esta función. Asegúrese de identificar los ejes. 21. La población de cierta especie animal en una región puede determinarse en cualquier instante dado mediante la ecuación P 25 000 7 250cos t donde P es la población después de t 12 meses a) ¿Cuál es el tamaño máximo y mínimo de la población? b) ¿Cuál es la población al cabo de un año? c) Grafique esta función para un periodo de tres años. 3. OPERACIONES CON FUNCIONES. Sean las funciones f : R R y g : R R , con dominio Df ; Dg talque Df Dg . Entonces se define las siguientes operaciones con funciones 3.1. Igualdad de Funciones Las funciones f y g son iguales si y sólo si: a) Df Dg b) f(x) g(x); x Df Dg Ejemplo Sean las funciones f(x) x2 x y g(x) x(x 1) . Esas funciones son iguales pues se cumple: a) Df Dg R b) f(x) x2 x x(x 1) g(x); x Df Dg 3.2. Adición de Funciones. Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la Adición de f y g como: a) Df g Df Dg b) (f g)(x) f(x) g(x) , x Df Dg Ejemplo Sean las funciones f(x) 3x3 2x 5 ; g(x) 2x3 3x 1 . Halle la función (f g) Solución a) Dominio: Df g Df Dg R R R b) Función adición: (f g)(x) f(x) g(x) (3x3 2x 5) (2x3 3x 1) (f g)(x) 5x3 x 4 3.3. Diferencia de Funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la diferencia de f y g como: a) Df g Df Dg b) (f g)(x) f(x) g(x) , x Df Dg Ejemplo Sean las funciones f(x) 3x3 2x 5 ; g(x) 2x3 3x 1 . Halle la función (f g) Solución a) Dominio: Df g Df Dg R R R b) Función Diferencia: (f g)(x) f(x) g(x) (3x3 2x 5) (2x3 3x 1) (f g)(x) x3 5x 6 3.4. Multiplicación de funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos la multiplicación de f y g como: a) Df g Df Dg b) (f g)(x) f(x) g(x) , x Df Dg Ejemplo Sean las funciones f(x) 3x3 2x 5 ; g(x) 2x3 3x 1 . Halle la función (f g) Solución a) Dominio: Df g Df Dg R R R b) Función multiplicación: (f g)(x) f(x) g(x) (3x3 2x 5)(2x3 3x 1) x 3 2x 0x2 –3x 1 3x3 6x6 0x5 –9x4 3x3 0x2 0x5 0x4 0x3 0x2 2x 4x4 0x3 –6x2 2x –5 –10x3 0x2 15x –5 (f g)(x) 6x6 0x5 5x4 7x3 6x2 17x 5 3.5. División de Funciones Si f y g son dos funciones con dominio Df , Dg respectivamente, entonces definimos el cociente de f y g como: a) D f Df Dg {x Dg / g(x) 0} g f f(x) b) ( )(x) , g g(x) x D f g Ejemplo Sean las funciones f(x) 3x3 2x 5 ; g(x) 2x3 x2 2x 1 . Halle f g Solución a) D f R R {x R / 2x3 x2 2x 1 0} g D f R R {x R / (2x 1)(x 1)(x 1) 0} g 1 D f R {1; ; 1} 2 g b) (x 1) (3x2 3x 5) f f(x) 3x3 2x 5 ( )(x) 3 g g(x) 2x x2 2x 1 (2x 1)(x 1) (x 1) f 3x2 3x 5 ( )(x) ; x Df g (2x 1)(x 1) g 3.6. Composición de Funciones Dadas las funciones reales f : A B y g : B C , con Rf Dg , entonces la función compuesta gof es aquella función definida por: a) Dg f x / x Df f(x) Dg b) (g f)(x) g(f(x)) ( Regla de correspondencia) Observación Para que exista la composición de funciones gof es necesario que: Rf Dg Gráficamente: g f A Df Dg f x B C Dg Rf R f Dg f(x) g f Rg Rg f (g f)(x) g(f(x)) Ejemplos Halle f g si f(x) 3x 2, x 0; y g(x) x2 ; x 3; 5 1. Solución Halle primero el dominio de la composición. D(f g) {x / x Dg g(x) Df } x 3,5 x2 0, 3 x 5 0 x2 3 x 5 ( x x 0) x 3,0 0,5 Finalmente tenemos el dominio de la composición de funciones: D(f g) x / x 3,0 0,5 Ahora determine la composición de las funciones: (f g)(x) f(g(x)) f(x2 ) 3x2 2 Por lo tanto, la función compuesta es: (f g)(x) 3x2 2; x 3,0 0,5 Si f(x) x2 encontrar dos funciones g tal que (f g)(x) 4x2 12x 9 2. Solución Sea g la función que se desea encontrar, entonces: Analice el dominio de cada función dada. Dominio de f: Df R , Dominio de la función compuesta: Df g R= x / x Dg g(x) R= Analice la función compuesta dada. (f g)(x) 4x2 12x 9 (2x 3)2 g2 (x) (2x 3)2 Por lo tanto, las funciones buscadas son: g(x) 2x 3 g(x) (2x 3) 3 2x 3.7. Aplicaciones de las funciones a la Economía Ley de la Oferta: “A mayor precio mayor será la cantidad ofertada y a menor precio menor será la cantidad oferta” De acuerdo a este comportamiento se dice que la función Oferta es una función creciente. Ley de la Demanda: “A mayor precio menor será la cantidad Demandada y a menor precio mayor será la cantidad Demandada” De acuerdo a este comportamiento se dice que la función Demanda es una función decreciente. Función Ingreso Total: IT = (Precio unitario de venta)(Cantidad vendida) Función Costo Variable: Es aquel llamado costo de producción que se modifica de acuerdo a variaciones del volumen de producción. CV = (Costo unitario)(Cantidad producida) Función Costo Fijo: Es el costo que no depende del volumen de la producción. Por ejemplo pago del alquiler de local, pago de vigilancia, pago a personal administrativo, etc. CF = constante Función Costo Total: CT = Costo variable + Costo fijo Función Costo Promedio: Cp CT Cantidad producida Función Utilidad Total: U IT CT Punto de Equilibrio de la Empresa: IT CT U 0 Punto de Equilibrio de Mercado: Oferta = Demanda Ejemplo Un fabricante vende un producto a $ 8 la unidad, y vende todo lo que produce. El costo fijo es de 22 . $5 000 y el costo variable por unidad es de $ 9 a) Encuentre la función Ingreso total. b) Encuentre la función costo total. c) Encuentre el punto de equilibrio de la empresa. d) Encuentre la función utilidad. e) Encontrar la utilidad cuando se producen 1 800 unidades. Interprete el resultado. f) Encontrar la utilidad cuando se producen 450 unidades. Interprete el resultado. g) Encuentre la cantidad producida para obtener una utilidad de $10 000. Solución Sea x la cantidad producida, entonces: a) Ingreso Total: I(x) = 8x dólares b) Costo Total: 22 x dólares 9 CF(x) = 5 000 dólares 22 CT(x) = x + 5 000 dólares 9 CV(x) = c) Punto de equilibrio de la empresa: I(x) = C(x) 8x = 22 22 x + 5 000 8x – x = 5 000 x = 900 9 9 Por lo tanto, el punto de equilibrio de la empresa se alcanza cuando se produce y se vende 900 unidades. d) La función utilidad: U(x) = I(x) – C(x) = 8x – ( e) U(1 800) = 22 50 x + 5 000) = x – 5 000 dólares 9 9 50 (1800) – 5 000 = 5 000 dólares 9 Esto significa que cuando se produce y se vende 1 800 unidades, se tiene una ganancia de $5 000. f) U(450) = 50 (450) – 5 000 = – 2 500 dólares 9 Esto significa que cuando se produce y se vende 450 unidades, se tiene una pérdida de $2 500. g) 10 000 = 50 50 x – 5 000 15 000 = x x = 2 700 unidades 9 9 Si se produce y se vende 2 700 unidades se obtendrá una ganancia de $ 10 000. Ejercicios Resueltos 1. Halle f + g; f –g; f.g; f/g de las siguientes funciones a) Si f = { (3;4), (2;5), (–1;4), (–3;8) } y g = { (2;1), (3;–1), (–1;0), (6;–3), (1;–1) } b) f(x) 2x2 5x 6; g(x) x2 2x 3 c) f(x) 9 x2 ; g(x) x2 4 Solución a) Se halla el dominio de cada función: f = { (3;4), (2;5), (–1;4), (–3;8) } D(f) = {–3; –1; 2; 3 } g = { (2;1), (3;–1), (–1;0), (6;–3), (1;–1) } D(f) = {–1; 1; 2; 3; 6 } Antes de hacer alguna operación con las funciones se debe de hallar primero el dominio. Adición de funciones D(f+g) =D(f) D(g) = {–1; 2; 3} f+g = { (x; f(x)+g(x)) / x D(f+g)} = {(–1; 4+0), (2; 5 + 1), (3; 4 + -1)} = {(–1; 4), (2; 6), (3; 3)} Sustracción de funciones D(f–g) = D(f) D(g) = {–1; 2; 3} f–g = {(x ; f(x)–g(x) )/ x D(f–g) } = {(–1; 4–0), (2; 5 – 1), (3; 4 – -1)} = {(–1; 4), (2; 4), (3; 5)} Multiplicación de funciones D(f g) = D(f) D(g) = {–1; 2; 3} f g = { (x; f(x) g(x)) / x D(f g) } = {(–1; 4 0), (2; 5 1), (3; 4 -1)} = {(–1; 0), (2; 5), (3; –4)} División de funciones D f Df Dg x Dg / g(x) 0 = { 1; 2; 3} – {–1 D(g) / g(–1)=0} = { 2 ; 3} g 5 4 f f(x) x; / x D f = 2; , 3; (2;5),(3; 4) g g(x) 1 1 g b) Al igual que el ejercicio anterior, se debe hallar primero el dominio de cada función. g(x) x2 2x 3 f(x) x2 5x 6 y f y g son funciones polinómicas de grado 2 y toda función polinómica tienen como dominio a los números reales. Entonces, Df y Dg Adición de funciones: Df g ; (f+g)(x) =f(x)+g(x) = 2x2 +3x–9 Sustracción de funciones: Df g ; (f–g)(x) = f(x)–g(x) = 7x –3 Multiplicación de funciones: Dfg (f g )(x) = f(x) g(x) = (x2+5x–6)(x2–2x–3) = x4 –2x3 – 3x2 + 5x3 – 10x2 – 15x – 6x2 + 12x + 18 = x4 + 3x3 – 19x2 –3x + 18 División de funciones: Df x Dg / g(x) 0 g = –{ x Dg / x2–2x–3 = 0} = –{ x Dg / (x–3)(x+1) = 0} = –{ x Dg / x=3 x = –1} = – { –1; 3} f f(x) x2 5x 6 (x 6)(x 1) ( )(x) ; x Df g g(x) x2 2x 3 (x 3)(x 1) g c) Calculemos el dominio de cada función. f(x) 9 x2 9 x2 0 (3 x)(3 x) 0 Df = [–3; 3] – –3 3 g(x) x2 4 x2 4 0 (x 2)(x 2) 0 Dg = ]– ;–2] [2; [ – –2 2 Por lo tanto, la intersección de las dos funciones es: – –3 –2 2 3 Df Dg = [–3; –2 ] [2; 3] Luego, se calcula las operaciones siguientes: x2 4 (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 9 x2 + (f–g)(x) = f(x)–g(x) = 9 x2 – x2 4 (f g)(x) = f(x) g(x) = 9 x2 x2 4 = (9 x2 )(x2 4) = 36 13x2 x4 En la división se debe quitar del dominio los valores que anulan a la función del denominador. Por lo tanto la función es: f f(x) ( )(x) g g(x) 9 x2 x2 4 (3 x)(3 x) ; x [3; 2[ ]2;3] (x 2)(x 2) 2. Halle f g ; g f de las siguientes funciones. a) Si f = { (1;2), (2;3), (3;5), (4;7) } y g = { (0;3), (1;2), (2;1), (3;4) } 1 x b) f(x) = ; g(x) = x 1 x 1 Solución a) Sean las funciones f = { (1;2), (2;3), (3;5), (4;7) } ; g= { (0;3), (1;2), (2;1), (3;4) } Por definición se tiene: f g = { (x; f(g(x)) ) / x Dg g(x) Df } Los dominios son: Dg = {0; 1; 2; 3} Df = {1; 2; 3; 4} 0 Dg g(0)=3 Df (0;f(g(0)))=(0;f(3)) = (0;5) f g 1 Dg g(1)=2 Df (1;f(g(1)))=(0;f(2)) = (1;3) f g 2 Dg g(2)=1 Df (2;f(g(2)))=(0;f(1)) = (2;2) f g 3 Dg g(3)=4 Df ) (3;f(g(3)))=(0;f(4)) = (3;7) f g Gráficamente se tiene: g f B A C .0 .1 .2 =fog(2) .1 .2 .3 = fog(1) .2 .3 .5=fog(0) .3 .4 .7 = fog(3) fog Por lo tanto, la función compuesta es: f g = { (x; g(x)) / x Dg g(x) Df } = {(0;5), (1;3),(2;2),(3;7)} Ahora hallaremos la composición de g con f. Por definición se tiene: g f = { (x ; g(f(x))) / x Df f(x) Dg } Los dominios son: Dg = {0; 1; 2; 3} Df = {1;2;3;4} 1 Df f(1)=2 Dg (1; g(f(1)))=(0; g(2)) = (1;1) g f 2 Df f(2)=3 Dg (2; g(f(2)))=(0; g(3)) = (2;4) g f 3 Df f(3)=5 Dg (2; g(f(3))) 4 Df f(4)=7 Dg (3; g(f(4))) Gráficamente se tiene: f g C B A .1 .0 .2 .2 .3 .2 .3 .5 .4 .1 =fog(1) .1 .3=fog(2) .4 .7 fog Por lo tanto, la función compuesta es: b) g f = { (x; g(f(x)) ) / x Df f(x) Dg } = {(1;1), (2;4)} 1 x f(x) = ; g(x) = x 1 x 1 1 ; Df = 1 Dg = Df g = {x/x Dg g(x) Df } x 1 x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Analice: x x 1 0 1 0 x 1 x 1 + 1 – 1 2 + + 1 Entonces el dominio es: Df 2x 1 2x 1 0 0 x 1 x 1 g = – 1 2 + 1 1 ;1 2 Por lo tanto, (fog)(x) = 1 = g(x) 1 1 x 1 = x 2x 1 1 x 1 Dg f = {x/x Df f(x) Dg } x 1 1 x 1 1 1 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 0 0 0 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Analicemos: + – –1 + + 0 – –1 + 0 Entonces el dominio es: Dg f = 1;0 Por lo tanto, f(x) (g f)(x) = = f(x) 1 3. Halle f + g; f – g; f g ; 1 x 1 = 1 1 x 1 x 1 f y f g de las siguientes funciones g x2 ; x 2 a) f(x) , 2x ; x 2 2 x 1, x , b) f(x) x 1 , x ,1 2x 1 3 ; x 0 g(x) 1 ;x0 x x 1, x 1 , g(x) 2 x 1, x , 1 Solución a) Sean las funciones f (x) x2 ; D(f1 ) ] ; 2[ f(x) 1 g(x) f2 (x) 2x ; D(f2 ) [2; [ 2x 1 ; D(g1 ) ] ; 0] g1 (x) 3 g (x) 1 ; D(g2 ) ]0; [ 2 x Entonces Adición de funciones En este caso se debe de sumar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ; 2 g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 2;0 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) 0; 3x2 2x 1 ; x ; 2 3 8x 1 (f g)(x) ; x 2;0 3 2x2 1 ; x 0; x Sustracción de funciones En este caso se debe de restar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ; 2 g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 2;0 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) 0; 3x2 2x 1 ; x ; 2 3 4x 1 (f g)(x) ; x 2;0 3 2x2 1 ; x 0; x Multiplicación de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 g1 )(x) (f1 g2 )(x) (f g)(x) (f2 g1 )(x) (f g )(x) 2 2 ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ; 2 ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 2;0 ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) 0; 2x 3 x2 ; x ; 2 3 4x2 2x (f g)(x) ; x 2;0 3 2 ; x 0; División de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) x / g1 (x) 0 ; 2 g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) x / g2 (x) 0 g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) x / g1 (x) 0 2;0 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) x / g2 (x) 0 0; 3x2 2x 1 6x (f g)(x) 2x 1 2x2 ; x ; 2 ; x 2;0 ; x 0; Composición de funciones En este caso se debe de hacer la composición de las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f (f g)(x) 1 (f2 (f2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) g2 )(x) ; D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) g2 )(x) ; D(f2 g2 ) Analice por partes la composición de f con g. Caso 1. 2x 1 ]– ; –2[ } 3 Trabajar en el dominio de f1 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir: D(f1 g1 ) x / x D(g1 ) g1 (x) D(f1 ) = {x / x ]– ; 0 ] 2x 1 2x 1 5 5 < –2 x < – x ]– ; – [ ]– ; –2[ 2 2 3 3 Por lo tanto, D(f1 g1 ) = ]– ; 0] ]– ; – 5 5 [ = ]– ; – [ 2 2 2 (f1 2x 1 g1 )(x) 3 Caso 2. 1 ]– ; –2[ } x Trabajar en el dominio de f1 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir: D(f1 g2 ) = x / x D(g2 ) g2 (x) D(f1 ) = {x / x ] 0; + [ 1 2x 1 1 1 < –2 +2 < 0 <0 ]– ; –2[ x x x x 1 Entonces, x ]– ; 0 [ 2 Por lo tanto, D(f1 o g2) =] 0; + [ ]– + – + – –1/2 0 1 ;0[ = 2 Esto quiere decir que no existe la composición (f1 o g2) Caso 3. 2x 1 [–2 ; + [ } 3 Trabajar en el dominio de f2 para encontrar entre que valores se encuentra x. Es decir: D(f2 g1 ) = x / x D(g1 ) g1 (x) D(f2 ) ={x / x ]– ; 0 ] 2x 1 2x 1 5 5 [–2 ; + [ –2 x – x [– ; + [ 2 2 3 3 Por lo tanto, 5 5 D(f2 g1 ) =]– ; 0] [– ; + [ = [– ; 0 ] 2 2 2x 1 (f2 o g1)(x) = 2 3 Caso 4. 1 [–2 ; + [ } x 1 2x 1 1 1 [–2 ; + [ –2 +2 0 0 x x x x D(f2 g2 ) = x / x D(g2 ) g2 (x) D(f2 ) = {x / x ] 0; + [ + – + – 1 2 0 1 Entonces, x ; 0; 2 Por lo tanto, D(f2 g2 ) = 0; ; 2 0; 0; 1 (f2 g2 )(x) = 2 x Finalmente la función compuesta es: 2x 1 2 5 ; x 2 3 2x 1 5 (f g) f(g(x)) 2 ; x0 3 2 1 ; x0 2 x b) Sean las funciones x2 , x 1; x2 , x 1; f(x) x 1 , x ;1 1 x , x ;1 x 1 , x 1; g(x) 2 x ; 1 x 1, Adición de funciones En este caso se debe de sumar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f 1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ]1; [ g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 1;1 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) ; 1 x 2 x ; x ; 1 (f g)(x) 1 x x 1 ; x 1;1 2 x x 1 ; x ]1; [ Sustracción de funciones En este caso se debe de restar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f 1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ]1; [ g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 1;1 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) ; 1 x2 x 1 ; x ]1; [ (f g)(x) 1 x x 1 ; x 1;1 2 ; x ; 1 2 x x Multiplicación de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 g1 )(x) (f g )(x) 2 1 (f g)(x) (f2 g1 )(x) (f g )(x) 2 2 ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) ]1; [ ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) 1;1 ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) ; 1 x2 ; x 1; x 1 (f g)(x) (1 x) x 1 ; x 1;1 2 (1 x)(x 1) ; x ; 1 División de funciones En este caso se debe de multiplicar las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f1 (f g)(x) (f2 (f 2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) D(f1 g1 ) x / g(x) 0 ]1; [ g2 )(x) ; D(f1 g2 ) D(f1 g2 ) x / g(x) 0 g1 )(x) ; D(f2 g1 ) D(f2 g1 ) x / g(x) 0 1;1 g2 )(x) ; D(f2 g2 ) D(f2 g2 ) x / g(x) 0 ; 1 x 2 x 1 ; x 1; (1 x) (f g)(x) ; x 1;1 x 1 1 ; x ; 1 x 1 Composición de funciones En este caso se debe de hacer la composición las funciones definidas por intervalos, teniendo en cuenta sus respectivos dominios. Es decir: (f1 (f (f g)(x) 1 (f2 (f2 g1 )(x) ; D(f1 g1 ) g2 )(x) ; D(f1 g2 ) g1 )(x) ; D(f2 g1 ) g2 )(x) ; D(f2 g2 ) Analicemos por partes la composición. Caso 1 Cálculo del dominio: D(f1 g1 ) x / x D(g1 ) g1 (x) D(f1 ) x / x 1; x 1 1; D(f1 g1 ) x / x 1; x 1 1 x / x 1; x 1 1 x / x 1 x 0 x / x 0 0; Cálculo de la regla de correspondencia (f1 g1 )(x) f1 (g1 (x)) g12 (x) x 1 2 x 1 Caso 2 Cálculo del dominio: D(f1 g2 ) x / x D(g2 ) g2 (x) D(f1 ) x / x ; 1 x2 1 1; x / x 1 (x D(f1 g2 ) x / x 1 x2 1 1 x / x 1 x2 2 0 – 2)(x 2) 0 –1 – 2 + 2 Luego, del diagrama se tiene: D(f1 g2 ) ; 2 Cálculo de la regla de correspondencia (f1 g2 )(x) f1 (g2 (x)) g22 (x) x2 1 Caso 3 Cálculo del dominio: 2 x 4 2x2 1 D(f2 g1 ) x / x D(g1 ) g1 (x) D(f2 ) x / x 1; x 1 ;1 D(f2 g1 ) x / x 1 x 1 1 x / x 1 0 x 1 1 x / x 1 1 x 0 – 0 –1 + Luego, del diagrama se tiene: D(f2 g1 ) 1;0 Cálculo de la regla de correspondencia D(f2 g1 ) f2 (g1 (x)) 1 g(x) 1 x 1 Caso 4 Cálculo del dominio: D(f2 g2 ) x / x D(g2 ) g2 (x) D(f2 ) x / x ; 1 x2 1 ; 1 x / x 1 (x D(f2 g2 ) x / x 1 x2 1 1 x / x 1 x2 2 0 + 2)(x 2) 0 – 2 –1 2 + Luego, del diagrama se tiene: D(f2 g2 ) 2; 1 Cálculo de la función compuesta: (f2 g2 )(x) f2 (g2 (x)) 1 g2 (x) 1 (x2 1) 2 x2 Por lo tanto, la función compuesta es: x 1 4 x 2x2 1 (f g)(x) 1 x 1 2 2 x Ordenando los intervalos se tiene: x 4 2x2 1 2 x2 (f g)(x) 1 x 1 x 1 ; x 0; ; x ; 2 ; x 1;0 ; x 2; 1 ; x ; 2 ; x 2; 1 ; x 1;0 ; x 0; Ejercicios de aplicación 1. Una empresa vende un producto en S/. 45 la unidad. Los costos por unidad son S/. 33 y los costos fijos equivalen a S/. 450 000. ¿Cuántas unidades se deben vender para tener el punto de equilibrio? Solución Precio unitario de venta: Pv = 45 Precio de costo por unidad: Pc= 33 Costos fijos: CF = 450 000 Sea x la cantidad de productos producidos y vendidos. Entonces: Ingreso total es: I(x) = 45x Costo variable: Cv(x)= 33x Costo total: Ct = 33x + 450 000 Punto de equilibrio de la empresa se da cuando I(x) = C(x) 45x = 33x + 450 000 Resolviendo esa ecuación lineal se tiene: x = 37 500 Respuesta Se debe de vender 37 500 productos para llegar al punto de equilibrio. O dicho de otra manera, para no perder ni ganar. El costo total de fabricar un producto se determina por medio de C(x)=x2-30x+250 nuevos soles, donde x es el número de unidades producidas. Determine a) El costo total de producir 10 unidades. b) El número de unidades que se debe de fabricar tal que el costo sea mínimo y además determine dicho costo. Solución a) C(10) = (10)2 – 30(10) + 250 = 50 nuevos soles b) Completando cuadrados tenemos: C = x2 + 3 0 x + 250 = x2 + 3 0 x + 1 52 – 1 52 + 250 = ( x – 1 5 )2 + 25 Es una parábola que se abre hacia arriba y cuyo vértice (punto más bajo de la curva) es: V(15; 5). Esto quiere decir, que cuando x = 15, el costo es mínimo y vale 25 nuevos soles. 2. Un fabricante de esquíes planea sacar un nuevo modelo. En el primer año, los costos fijos para montar la nueva línea de producción son $22 500. Los costos variables para producir cada par de esquíes se estiman en $40. El departamento de ventas proyecta que pueden venderse 3 000 pares durante el primer año a $85 el par. a) Formule las funciones C, I y U para el costo total, ingreso total y utilidad total respectivamente, de producir y vender x pares de esquíes. b) ¿Qué utilidad o pérdida obtendrá la compañía si se presentan las ventas esperadas de 3 000 pares? y ¿Cuántos pares se debe vender para llegar al punto de equilibrio de la empresa? Solución Según los datos se tiene: a) Costo total: C(x) = 40x + 22 500, x 0;3 000 Ingreso Total: I(x) = 85x, x 0;3 000 Utilidad: U(x) = I(x)–C(x) = 45x – 22 500 ; x 0;3 000 b) Venta de 3 000 unidades y punto de equilibrio de la empresa. Venta de 3 000 unidades: U(3 000) = 45(3 000) – 22 500 = 112 500. Ese resultado quiere decir que gana 112 500 dólares al año por la venta de 3 000 pares de esquíes. Punto de equilibrio en la empresa: U(x) = 45x – 22 500 = 0 x= 500. Si se vende 500 pares de esquíes al año no se pierde ni se gana. 3. Una compañía que vende microcomputadoras determinó que su utilidad total está dada por: P(x) 0,08x2 80x 260 Donde x es el número de unidades producidas y vendidas. Suponga que x está en función del tiempo, en meses, donde x 5t 1 . Halle la utilidad total en función del tiempo Solución Los dominios tanto para la función x y la función P, son los números reales positivos. Es decir: DP y Dx . Entonces: P(x) 0,08(5t 1)2 80(5t 1) 260 Al desarrollar el binomio al cuadrado y al simplificar se tiene la ganancia en función del tiempo. 2004 8502 P(t) 2t2 t 5 25 4. Suponga que la ganancia de la producción y la venta de x unidades de un producto se determina x2 200 . Además, que para cierto mes, el número de unidades 100 producidas en el día t del mes es x q(t) 1000 10t . por medio de p(x) 180x a) Encuentre (p q)(t) para expresar la ganancia como función del día del mes b) Encuentre el número de unidades producidas y la ganancia en el día 15 del mes. Solución a) b) (1 000 10t)2 200 = t2 1 600t 169 800 100 Las unidades producidas en el día 15 es: x(15) 1 000 10(15) 1 150 h(t)= p(x(t)) 180(1 000 10t) La ganancia en día 15 es: p(15) (15)2 1 600(15) 169 800 193 575 5. Suponga que el ingreso R de una compañía es una función f del número de clientes C. Suponga así mismo que la cantidad gastada en publicidad A afecta al número de clientes de modo que C es una función g de A. a) ¿Está definida f g ?. Explique, si está definida identifique cual es la variable independiente (entrada) y la variable dependiente (salida) b) ¿Está definida g f ?. Explique, si está definida identifique cual es la variable independiente (entrada) y la variable dependiente (salida) Solución Ingreso R f(C) ; donde C =g(A) es el número de clientes y A es la publidad. a) (f g)(A) si está bien definida dado que la variación de A hace que varié la cantidad de clientes C y la variación de clientes C hará que varíe el ingreso en la compañía. Variable independiente = Gasto en la publicidad A. Variable dependiente = Ingreso R. b) (g f)(A) no está bien definida porque el número de clientes hace variar el ingreso y al variar el ingreso no necesariamente varía el gasto en la publicidad. 6. Dos de los procesos que un fabricante de casas pre-fabricadas utiliza es el enarenado (función s) y la pintura (función p). Escriba un enunciado que explique cada una de las siguientes expresiones funciones que implican que se apliquen s y p en una puerta. a) s(puerta) b) p(puerta) c) ( p s )(puerta) d) ( s p )(puerta) e) ( p p )(puerta) Solución a) s(puerta) La puerta es enarenada. b) p(puerta) La puerta está pintada c) ( p s )(puerta) = p(s(puerta)) La puerta se enarena y luego se pinta. d) ( s p )(puerta) = s(p(puerta)) La puerta se pinta y luego se enarena. e) ( p p )(puerta)= p(p(puerta)) La puerta se pinta, luego se vuelve a pintar. 7. Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, q, es una 40m m2 . 4 El ingreso total, r, que recibe por la venta de q unidades, está dado por la función g, donde r=g(q)=40q. Determine ( g f )(m). ¿Qué es lo que describe esta función compuesta? función f del número de empleados, m, donde q = f(m) = Solución El dominio de f es: Df 0;40 y Dg 0; Df g 0;40 40m m2 ) = 400m – 10m2 4 Esta nueva función describe que el ingreso es función que depende del número de empleados. ( g f )(m) = g(f(m)) =40f(m) =40 ( 8. Un estudio de impacto ambiental realizado para la ciudad de Oxnard indica que, bajo las leyes actuales de protección al ambiente, el nivel de monóxido de carbono (CO) presente en el aire y 2/3 debido a la contaminación provocada por los automóviles será de 0,01x partes por millón (ppm), cuando el número de vehículos motorizados es de x unidades de millar. Un estudio independiente hecho por una agencia del gobierno estatal estima que dentro de t años el número de vehículos motorizados en Oxnard será de x=0,2 t2 + 4t + 64 unidades de millar. a) Determinar una expresión para la concentración de CO en el aire, debido a los residuos expulsados por los autos, dentro de t años. b) ¿Cuál será el nivel de concentración dentro de 5 años? Solución. Sea la función f la que describe el nivel de monóxido de carbono presente en el aire. 3 f(x) 0,01 x2 Sea g la función que describe el número de vehículos motorizados. x= g(t) 0,2t2 4t 64 a) h(t) (f g)(t) f(g(t)) 0,013 g2 (t) 0,013 (0,2t2 4t 64)2 ppm b) h(5) 0,013 (0,2(5)2 4(5) 64)2 0,1993 ppm 9. La tasa de ocupación del hotel Wonderland, está dado por la función 10 3 10 2 200 r(t) t t t 55 , ( 0 t 11 ); donde t se mide en meses y t 0 corresponde al 81 3 9 inicio de enero. La administración del hotel a estimado que los ingresos mensuales (en miles de 3 3 9 2 dólares) se aproxima mediante la función R(r) r r , ( 0 r 100 ), donde la r es la 5000 50 tasa de ocupación. a) ¿Cuál es la tasa de ocupación del hotel al inicio de Enero?. ¿Al inicio de Junio? b) ¿Cuál es el ingreso mensual del hotel al inició de enero? ¿Al inicio de Junio? Solución. a) Inicio de enero: r(0) = 55. Inicio de Junio: 10 10 200 r(6) = (63 ) (62 ) (6) 55 95 81 3 9 b) Inicio de enero: R( r(0) )=R(55) = 3 9 17787 (553 ) (552 ) 444,675 5000 50 40 Inicio de Junio: R( r(6) )=R(95) = 44 403 3 9 (953 ) (952 ) 1 110,075 5 000 50 40 10. Un avión vuela con rapidez de 350 millas/h, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el instante t 0 . a) Expresar la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t . b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d . c) Aplique la composición para expresar s , como función de t . Solución Se construye el gráfico según los datos: Altura en millas d 1 s Tiempo 0 a) Expresar la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado como función de t . d(t) = 350 t b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar como función de d . Usando el teorema de Pitágoras se tiene: s(d) 1 d2 c) Aplique la composición para expresar s , como función de t . s(d(t)) = s(d(t)) 1 d2 1 (350t)2 Ejercicios propuestos 1.3. Nivel 1 F en los siguientes casos. G a) F (1;2),(5;3),(4;7),(9;6),(8;1) y G (9;7),(5;1),(8;0),(1;4) 1. Halle F G, F G, F G y b) F (3;4),(2;5),(1;4),(3;8) y G (2;1),(3; 1),(1;0),(6; 3),(1; 1) c) F (1;4),(4;5),(2;3),(3;2) y G (0;2),(1;2),(2;1) 2. Halle f g, f g, f g y f en los siguientes casos. g a) f(x) 3x 5x2 ; g(x) 5x 3x2 x3 b) f(x) x 2; g(x) x2 2x c) f(x) x 2 ; g(x) 5 x2 3. Halle FoG y GoF , si existen, de las siguientes funciones a) F (0;1),(1;2),(2;3),(4;3),(5;2) y G (6;7),(5;4),(4;3),(2;4),(1;4),(0;7) b) F (3;4),(2;5),(1;4),(3;8) y G (2;1),(3; 1),(1;0),(6; 3),(1; 1) c) F (1;4),(4;5),(2;3),(3;2) y G (0;2),(1;2),(2;1) d) F (1;2),(5;3),(4;7),(9;6),(8;1) y G (9;7),(5;1),(8;0),(1;4) 4. Si F (0; 4),(2;1),(5;4),(2;5),(4;8) y G (2;4),(5;3),(1;2),(3; 3) , calcule el valor de (FoG)(1) (GoF)(2) F3 (0) 2F(2) M G(5) (FoG)(2) (F2 G)(2) 5. Dados los conjuntos A 4;5;6 , B 7;8 y C 9;10 y las funciones f : A B y g : B C definidas por: f (4) 8, f (5) 7, f (6) 8, g(7) 10, g(8) 9 . Calcule g f . 6. Halle f g y g f , si existen, de las siguientes funciones a) f(x) x 1; g(x) 2x 5 b) f(x) ex ; g(x) ln(x) f(x) 1 d) ; g(x) 4x 2 x3 f(x) 2x 1; g(x) 2x 5 e) f(x) 2x2 5x 6; g(x) x2 2x 4 c) f) f(x) x 1 1 ; g(x) 3 x2 x x 1 ; g(x) x2 x 1 h) f(x) 2x 2, 5 x 10; g) f(x) g(x) x2 6, 3 x 4 7. Si g (2;0),(1;3),(2;1),(3; 2),(4;2),(5;0) , f(x) x2 2; x Z, halle la función g f . 8. Encuentre f g h , si existe, en cada caso. a) f(x) x 1; g(x) x; h(x) x 1 b) f(x) x4 1; g(x) x 5; h(x) x x f(x) x; g(x) ; h(x) 3 x x 1 c) 9. El ingreso mensual I que se obtiene por vender zapatos es una función de la demanda x del mercado. Se observó que, como una función del precio p por par, el ingreso mensual y la demanda son: I(p) 300p 2p2 y x(p) 300 p. ¿Cómo depende I de x ? 10. Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, en donde 20p 40q 600. Como una función de la cantidad q demandada en el mercado, el ingreso semanal total está dado por I(q) 3000q 15q2 . ¿En qué forma depende R del precio? Nivel 2 1. Dadas las funciones f(x) 2 x ,0 x y g (3;6),(2;1),(0;2),(1;5),(2;3),(4; 2) , halle las funciones f g ; f g ; f g ; f 2 y f 2 3g 2. Sean A 1;2;3 y B 1;2;3;4 . Si f (3;1),(x;3),(2;3) es una función de A en B , g (3;1),(y;z),(1;3) es una función inyectiva de A en A , y si h (1;1),(2;w),(3;2),(4;2) es una función suryectiva de B en A , halle el valor de: yz (x w) 3. Si f : R Bbes una función suryectiva tal que f(x) x 2 x , halle el conjunto B 4. Dadas las funciones reales definidas en valor de a tal que (fog)(2) 2a . 5. Si f(x 2) x2 x 1; g(x a) x , halle el valor de a de modo que (f og)(2) (g o f)(a 2). 6. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será C(p) 0,4p 1 pates por millón (ppm) cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la población de la comunidad será , f(x 1) 3x2 ax 12; g(x 1) 5x 7. Halle el p(t) 8 0,2t2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuál será el nivel de monóxido de carbono en 2 años, a partir de hoy? c) ¿Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6.2 partes por millón? 7. El estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que el promedio diario de monóxido de carbono en el aire será de C(p) 0,6p 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p(t) 10 0,02t2 miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuándo el nivel de monóxido de carbono alcanzará 8,2 partes por millón? 8. Una compañía que vende microcomputadoras determinó que su utilidad total está dada por: U(x) 8x 2 800x 2600 , donde x es el número de unidades producidas y vendidas. Suponga que x está en función del tiempo, en meses, donde x(t) 4t 2 . Halle la utilidad total en función del tiempo. 9. En una fábrica, el costo total de elaborar q unidades durante un día de trabajo es C(q) q2 q 900 dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras t horas se fabrican q(t) 25t unidades. a) Exprese el costo de fabricación total como una función de t . b) ¿Cuánto se habrá gastado en la producción al final de la tercera hora? c) ¿Cuándo llegará el costo total de fabricación a los $11000? 10. La función g(x) 2x 50 que indica el salario semanal "y" de un vendedor, determinado por el número de unidades "x " vendidas cada semana. Un análisis revela que la cantidad vendida cada semana por el vendedor depende del precio cobrado por el producto, dada por la función h(p) 150 2,5p ; donde "p" es el precio expresado en dólares. a) Halle el salario semanal en función del precio por unidad. b) Use el apartado anterior para calcular el salario semanal esperado para un precio de $30. 11. Un fabricante ha ideado un nuevo diseño para los paneles solares colectores. Según los estudios de mercadotecnia que se han realizado, la demanda anual de los paneles dependerán del precio al que se venden. La función de su demanda se ha estimado así q 100 000 200p Donde q es el número de unidades demandadas al año y p el precio en dólares. Los estudios de ingeniería indican que el costo total de la producción de q paneles está muy bien estimado por la función C(q) 150 000 100q 0,003q2 a) Formula la función de costo total en función del precio. b) Formula la función de utilidad que exprese la utilidad anual en función del precio c) Formula la función de utilidad que exprese la utilidad anual en función del número de unidades de q que se producen y venden 12. Se han hecho estudios concernientes a la relación estadística entre posición social, educación e ingresos. Se denota con S el valor numérico de la posición social, con base en el ingreso anual I. Para cierto tipo de población suponga S f(I) 0,45(I 1000)0,53 . Además, suponga que el ingreso de una persona I es una función que depende del número de años de educación E, donde I g(E) 7202 0,29E3,68 . Determine (f g)(E) . ¿Qué es lo que describe esta función? (R.K. Leik y B.F. Meeker. Mathematical Sociology. Prentice Hall, 1975) 13. Un importador de café brasileño estima que los consumidores locales comprarán 4374 aproximadamente Q(p) 2 kilogramos de café por semana, cuando el precio sea de p p dólares por kilogramo. Se estima que en t semanas el precio del café será p(t) 0,04t2 0,2t 12 dólares por kilogramo. a) Exprese la demanda de consumo semanal de café como una función de t b) ¿Cuántos kilogramos de café comprarán los consumidores al importador al cabo de 10 semanas? c) ¿Cuándo será la demanda de café de 30,375 kilogramos? 14. Una compañía estima que la demanda de su producto fluctúa con su precio. La función de la demanda es: q 280000 400p donde q es el número de unidades demandadas y p el precio en dólares. El costo total de producir q unidades se estima con la función: C(q) 350000 300q 0,0015q2 . a) Determine cuántas unidades q deberían producirse con objeto de maximizar la utilidad anual. b) ¿Qué precio debería fijarse? Nivel 3 1. Halle f g, f g, f g y f g 3x 1; 1 x 1 de las siguientes funciones: f(x) 2x ; 1 x 6 2 x 1; 0 x 3 g(x) x 1 ; x [3;5] 6;8 y 2. f g, f Halle g , f f g , g 2 x 2; x 0 funciones: f(x) , f odeg las y g siguientes of 2x 1; x 1 y 3 ; x 10 x g(x) 3x 1; x 8 3. Pruebe que la siguiente función es inyectiva: f (x) 4 x 2x 4. 2 ; 1 x 0 x 2 Halle y grafique la función f g , para las funciones f (x) 2 cos x ; x 0 x 3; 3 x 4 y 3 2x ; x 0 g(x) cos x ; 0 x 3 / 2 5. ;3 x 0 4x x Dadas las funciones f y g , halle f g y grafique. f(x) 2 x 1 3x ; 1 x 6 , x 5x ; 4 x 1 g(x) ; 0x2 x 3 f x2 ; 0 x 3 x ; 5 x 1 y graficarla, para f (x) y g(x) 2 g ; 3 x 6 2x ; 1 x 4 x 6. Halle 7. Sea la función f (x) 8. Dadas f(x) x 2 1; x 0 x 2; x 0 . Halle f f . (x 3)2 ; 1 x 5 8 halle la composición f g ; x [0;4] 2 y g(x) x2 x 3 ; 6 x 1 si existe. 9. Dadas las funciones f (x) 48 2x x 2 ; x 1 5 , g(x) 1 3 ; 3 x 3 . Halle, x3 si existe, la función f g 10. Halle todas las funciones lineales f (x) tal que (f f )( 1x ) 11. Si f (x) x 2 , g(x) 1 x , (h g f)(x) 9 4x ; x 0 x 3x 1 , halle (g h)(0) utilizando la propiedad x2 x 2 a 2 x 2 ; a 0 . 12. Si existe, g(x) x halle 2 g f para las funciones 2x 1; si x es entero par f(x) 2x ; si x es entero impar 0 ; si x no es entero x ;x2 x 2 13. Sean las funciones f(x) 2x x2 4; 3 x 2 y g(x) 9x 2 ; 2 x 3 . 2 (x 3) 5; x 3 Halle f g y 4. FUNCIÓN INVERSA. Antes de definir la función inversa veamos algunas definiciones importantes: 4.1. Función inyectiva Sea f : A B diremos que la función f es inyectiva (biunívoca, uno a uno ó univalente) si a cada elemento del rango le corresponde un único elemento del dominio. Es decir: x1 , x2 Df A: f(x1 ) f(x2 ) x1 x2 O en forma equivalente se tiene: x1 , x2 Df A: x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) Ejemplo Demuestre que la función: f(x) x 1 , x 1 es inyectiva. x 1 Demostración f(x) 1 2 x 1 Por definición se tiene: x1 ,x2 Df : f(x1 ) f(x2 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 x 2 1 x1 1 x 2 x1 x1 1 x 2 1 x1 1 x 2 1 x 1 1 x 2 1 Por lo tanto f es inyectiva. Observación Para saber si una función es inyectiva se debe realizar lo siguiente: a) Bosquejar su gráfica. b) Trazar una recta horizontal c) Observar si la gráfica es cortada por la recta horizontal sólo en un punto entonces la función es una función inyectiva. Si una función f es una función compuesta es decir: f1 (x) si x Df1 f2 (x) si x Df2 f(x) f (x) si x D fn1 n1 fn (x) si x Dfn f será inyectiva si y sólo sí cada función f1 ,f2 ,...,fn son inyectivas y además Rfi Rfj i j 4.2. Función suryectiva Una función f : A B es llamada suryectiva (sobreyectiva o sobre) si para todo y B existe por lo menos un x A tal que f(x) =y. En otras palabras el rango de f es todo el conjunto B . Ejemplo Sea la función f : 1; 2; x f(x) x2 Analice si la función es sobreyectiva o no. Solución La función está definida para x 1; . Es decir: 1 x 0 x2 0 f(x) Rf [0; [ Por lo tanto, el conjunto de llegada B 2; no coincide con el Rf 0; . Esto quiere decir que la función f así definida no es una función sobreyectiva. 4.3. Función biyectiva Se llama así a toda función que es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejemplo La función f(x) 1 es una función biyectiva. x En efecto De la gráfica se tiene: Y Dominio: Df R 0 Rango Rf R 0 X Recordar que, si trazamos cualquier recta horizontal a la gráfica, ésta corta a dicha gráfica en un solo punto, por lo tanto f es inyectiva. Se observa también que el , el cual coincide con el conjunto de llegada, por lo tanto es sobreyectiva. De esta manera se concluye que f es biyectiva. Ahora se dará la definición de función inversa. 4.4. Definición de función inversa Una función g:B A se llama función inversa de la función f : A B si se cumple: g f idA: A A (Identidad sobre A) y f g idB:B B (Identidad sobre B). Se le denota: g f 1 (f(x);x) / x Df Gráficamente se tiene lo siguiente: f A .a f–1 B A .f(a) f–1(f(a))=a Además, de la definición de f 1 se deduce que: D 1 Rf y R 1 Df f f B .f(a) Proposiciones Una función f : A B tiene una función inversa f 1 :B A si y sólo si es biyectiva. Si la función f : A B tiene una función inversa f 1 :B A entonces esa función es única. 1. 2. La gráfica de una función inversa se halla reflejando la gráfica de la función dada con respecto a la recta de ecuación y x , que actúa como un espejo, de modo que: “Para que resulte ser una función, su gráfica debe satisfacer la condición de que toda recta vertical puede cortarla a lo más en un punto; esto equivale a que toda recta horizontal corte a la gráfica de la función a lo más en un punto (por la simetría con respecto a la recta ). Esto significa que la función debe ser necesariamente inyectiva.” Y f y=x (x;f(x)) f(x) f –1 x o (f(x);x ) x x f(x) Propiedades Sean las funciones f : A B y f 1 :B A 1. (f 1 ) 1 f 2. (f g) 1 g 1 f 1 3. f 1[f(x)] x, x Df 4. f[f 1 (y)] y, y D f 1 Rf Ejemplo Dada la función f (2;6),(4;7),(1;8),(3;9) . Halle, si existen: a) f 1 b) f f 1 c) f 1 f Solución a) f 1 (6;2),(7;4),(8;1),(9;3) b) D (f f 1 ) f f f f c) f 1 D 1 Rf 6;7;8;9 B f 1 (6;f(f 1 (6))),(7;f(f 1 (7))),(8;f(f 1(8))),(9;f(f 1 (9))) 1 (6;6,(7;7),(8;8),(9;9) f (2;2),(4;4),(1;1),(3;3) IdA 4.5. Estrategia para hallar la inversa de una función 1. 2. Analice si la función dada es inyectiva Despeje x en función de y: x = g( y) = f 1 (y) 3. Intercambie x con y, entonces la ecuación resultante es y f 1 (x) 4. 5. Halle el dominio de f 1 Verifique que f(f 1 (x)) f 1 (f(x)) x Observación Para determinar si una función tiene inversa, solamente hay que verificar que sea inyectiva en su dominio. Ejercicios Resueltos 1. Dada la función f : A B donde A y B son conjuntos finitos, ¿cuáles son verdaderas? a) f inyectiva n(A) n(B) b) f Suryectiva n(B) n(A) c) n(B) n(A) f es suryectiva Solución c) f inyectiva significa que para cada par de elementos x1 , x2 A : x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) . Es decir, para cada elemento del conjunto A , f, le hace corresponder un único elemento en el conjunto B, mas no garantiza que cada elemento de B tiene su pre imagen. Por lo tanto, se puede afirmar que n(A) n(B) es verdadero. d) f Suryectiva significa que todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del dominio de f. En otras palabras f(Df ) B . Por otro, lado se sabe que Df A , entonces se puede afirmar que n(B) n(A) es verdadero. e) Es falso. Sean los conjuntos finitos A = { –1; 0; 1; 2} y B = {0; 1; 2} y f : A B tal que f(x) = x2. Entonces se verifica que n(B)<n(A) pero f (2) no es elemento del conjunto B. 2. Demuestre que la función f(x) x ; 1 x 1 es inyectiva, y halle su rango. x 1 2 Demostración Por definición se sabe: x1 , x2 Df : Entonces: x1 x12 1 x2 x22 1 x1 x12 1 f(x1 ) f(x2 ) x1 x2 x2 x22 1 0 x1 x12 1 x2 x 22 1 0 Esto quiere decir que las variables x1 y x2 tienen el mismo signo. Es decir: 0 x1 ,x2 1 1 x1 ,x2 0 Luego, al pasar a ambos lados los denominadores se tiene: x1 (x22 1) x2 (x12 1) x1x22 x1 x2x12 x2 Después pasar todo a un solo lado y factorizar se tiene: x1x22 x1 x2x12 x2 0 x1x2 (x2 x1 ) (x2 x1 ) 0 (x2 x1 )(x1x2 1) 0 (x2 x1 ) 0 x2 x1 . x1x2 1 0 x1 x2 1 . Por lo tanto, la función f es inyectiva. Rango de f. x Df 1 x 1 1 x 0 0 x 1 Elevar al cuadrado y sumar 1 se tiene: 0 x2 1 1 x 2 1 2 Invierta el término del centro y se tiene: 1 1 1 2 x2 1 Multiplique (1) con (2) y se tiene: (1) (2) 1 x x 1 1 x 1 0 0 2 2 2 x2 1 2 2 x 1 x 1 2 Por lo tanto el rango es: 1 1 Rf ; 2 2 3. Demuestre que f : 0;2 ;0 , tal que f(x) x es suryectiva. x 2 Demostración Por definición se tiene: y ;0 x 0;2 / y f(x) y x 2y yx 2y x xy x 2y x x 2 y 1 Se debe demostrar que para cada y 0 siempre es posible encontrar x 2y 0;2 y 1 En efecto, y 0 y 1 1 1 1 y 2y 00 1 0 2 y 1 y 1 y 1 Por lo tanto, la función f es suryectiva. 4. Dada la función f : A B;f(x) 1 ax b determine las constantes a y b para que f sea biyectiva, cuando: a) A 1;4 y B 4;5 b) A 1;4 y B 2;6 Solución a) Para que f sea biyectiva se debe cumplir que f es inyectiva y suryectiva. 1. f es inyectiva implica que la función es creciente o decreciente en todo su dominio. 2. f es suryectiva implica que el rango de f es todo el conjunto B. Es decir, f 1;4 4;5 Entonces se cumple: f(1) 4 f(4) 5 f(1) 5 f(4) 4 . Luego, 1 1 1 1 a b 4 4a b 5 a b 5 4a b 4 1 4a 4b 1 20a 5b 1 5a 5b 1 16a 4b 5 20a 20b 4 20a 20b 1 20a 5b 5 80a 20b Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene: 3 2 3 7 b b a a 20 5 20 20 b) En forma similar que el caso a) se tiene: 1 1 1 1 a b 2 4a b 6 a b 6 4a b 2 1 2a 2b 1 24a 6b 1 6a 6b 1 8a 2b 3 6a 6b 1 6a 6b 1 24a 6b 3 18a 6b Al resolver el sistema de ecuaciones se tiene: 1 11 1 1 a b a b 9 18 9 18 5. Halle y grafique la función inversa f 1 , si existe, de f(x) x2 2x 1; x 2. Solución i. Demuestre si la función es inyectiva. En efecto. f(x) x2 2x 1 (x 1)2 2 f(x1) f(x2) (x1 1)2 2 (x2 1)2 2 (x1 1)2 (x2 1)2 (x1 1) (x2 1);x1,x2 2 f(x1) f(x2) x1 x2 Por lo tanto, la función es inyectiva. ii. Calcule el dominio de f –1. x 2 x 1 1 (x 1)2 1 (x 1)2 2 1 f(x) 1 Se sabe que: D 1 Rf entonces f D 1 1; f iii. Despeje x en función de y=f(x). y (x 1)2 2 y 2 (x 1)2 y 2 x 1 Se sabe que: x 2 x 1 1 x 1 0 , entonces se debe de considerar la raíz con el signo positivo. Es decir: y 2 x 1 x y 2 1 f 1(y) y 2 1 iv. Cambie la variable “y” por “x” y se tiene: f 1(x) x 2 1 Por lo tanto, la función inversa es: f 1(x) x 2 1; x 1 6. Dada f(x) x x 2; x 2 , halle f 1 si existe. a) Demuestre si la función es inyectiva. En efecto. x1 2 x2 2 x1 x2 x1 2 x2 2 x1 2 x2 2 x1 x1 2 x2 x2 2 f(x1) f(x2) Por lo tanto, la función es inyectiva. b) Calcule el dominio de f –1. x 2 x 2 4 x 2 2 Entonces: x 2 x 2 2 x x 2 4 f(x) 4 Por otro lado se sabe que D 1 Rf entonces f D 1 4; f c) Despeje x en función de y=f(x). y x x 2 y x x 2 (y x)2 x 2 Al desarrollar el binomio se tiene: y2 2xy x2 x 2 x2 x(2y 1) (y2 2) 0 Al usar la formula general de segundo grado se tiene: x 2y 1 (2y 1)2 4(y2 2) 2y 1 4y 9 2 , y 4 2 2 d) Cambie la variable “y” por “x” y se tiene: 2x 1 4x 9 2 f 1(x) 2x 1 4x 9 2 Como la función es inyectiva, entonces está garantizada la existencia de la función inversa. Por lo tanto, use la composición de funciones para descartar una de las dos funciones halladas. Es decir: (f f 1)(x) (f 1 f)(x) x; x Sea x = 10, entonces 2(10)1 4(10)9 f( ) f(14) 14 14 2 18 (No cu mp l e) 2 1 (f f )(10) f(2(10)1 4(10)9 f(7) 7 7 2 10 (si cu mp l e) 2 (f 1 21 2 12 49 2 48 21 48 (48 1) 2 48 1 2 2 f )(10) f 1(10 12 ) 21 2 12 49 2 48 21 48 (48 1) 2 48 1 2 2 Pasando radicales dobles a simple se tiene: (f 1 (x y) 2 xy x y 21 48 48 1 22 2 48 11 48 (No cumple) 2 2 f )(10) 21 48 48 1 20 10 (si cumple) 2 2 Por lo tanto, la función inversa es: f 1(x) 7. Halle la función inversa f 1 2x 1 4x 9 ; x 4 2 ; x 2 x 2 , si existe, para: f(x) 9x 2 ; 2 x 3 2 (x 3) 5 ; x 3 Solución a) Demostrar que la función es inyectiva. Sean x1,x2 2 , entonces f(x1) f(x2) x1 2 x2 2 x1 x2 (1) Sean 2 x1,x2 3 , entonces f(x1) f(x2) 9x1 2 9x2 2 9x1 2 9x2 2 x1 x2 (2) Sean x1,x2 3 , entonces f(x1) f(x2) (x1 3)2 5 (x2 3)2 5 (x1 3)2 (x2 3)2 x1 3 x2 3 x1 x2 Por lo tanto, de (1), (2) y (3) se concluye que la función así definida es inyectiva. (3) b) Demostremos que las intersecciones de los rangos son vacias. Es decir: Rf1 Rf2 ; Rf1 Rf3 ; Rf2 Rf3 En efecto: Sean las subfunciones f1(x) x 2; x 2 f2(x) 9x 2 ; 2 x 3 f2(x) (x 3)2 5 ; x 3 Entonces, el rango de cada subfunción es Rf1 ;4 ; Rf2 4;5 ; Rf3 5; Por lo tanto se demuestra que: Rf1 Rf2 ; Rf1 Rf3 ; Rf2 Rf3 c) Dominio de f –1 x 2 x 2 4 f1(x) 4 Rf1 D f1 1 4; (4) 2 x 3 18 9x 27 16 9x 2 25 4 9x 3 5 4 f2(x) 5 Rf2 D f2 1 4; 5 (5) x 3 x 3 0 (x 3)2 0 (x 3)2 5 5 f3(x) 5 Rf3 D f3 1 5; (6) Por lo tanto, de (4), (5) y (6) se tiene: D 1 ;4 4;5 5; f d) Despejar x en función de y=f(x), luego regresar a la variable x y se tiene la función inversa. ; y4 ; x4 y 2 x 2 2 2 y 2 x 2 x ; 4 y 5 f 1(x) ; 4x5 9 9 y5 3 ; y 5 x 5 3 ; x 5 8. Halle la función inversa de la función exponencial y f(x) akx ;a 1, a 0,x R,K R-0 . Solución a) Función inyectiva. f(x1 ) f(x2 ) akx1 akx2 kx1 kx2 x1 x2 Por lo tanto la función es inyectiva. b) Dominio de f –1 1 x x 0 a x 0 xR a x 0 ax 0 Por lo tanto, D 1 Rf 0; f c) Despejar x en función de y f(x) y akx ;a 1, a 0 loga y loga akx ; a 1,a 0 loga y loga x loga y kx x ; k 0 f 1 (x) k k Por lo tanto, la función inversa de la kx y f(x) a ;a 1, a 0,x R,K R-0 es la función logaritmo: f 1 (x) 9. función exponencial loga x ;a 1,a 0,k 0,x 0; k 1200000 ; q 0 , expresa el sueldo p de una actriz, q por película, como una función del número de películas q que protagoniza. Exprese el número de cintas en las que actúa, en términos de su sueldo por película. Muestre que la función resultante es la inversa de la función que especifica p en términos de q. Función de demanda: La función p p(q) Solución Al despejar q se tiene: 1200000 1200000 0 p1 (q) ;q 0 p q Esa función es ahora una función que está dependiendo de p y para comprobar que es la inversa de la función dada, usemos la composición de funciones. q 1200000 1200000 q 1200000 p(q) q 1200000 1200000 q (p p1 )(q) p(p1 (q)) 1200000 p1 (q) q 1200000 Por lo tanto, p1 (q) es la inversa de p(q). q (p1 p)(q) p1 (p(q)) 10. Función de oferta: La función de la oferta semanal de una libra de café, la mezcla de la casa, en q una cafetería es p p(q) ; q 0 , donde q es la cantidad ofertada de café en libras por 48 semana, y p es el precio por libra. Exprese q como una función de p y demuestre que esta función es la inversa de la función dada. Solución Al despejar q se tiene: q 48p p1 (q) 48q; q 0 Esa función es ahora una función que está dependiendo de p y para comprobar que es la inversa de la función dada, usemos la composición de funciones. q (p1 p)(q) p1 (p(q)) 48p(q) 48 q 48 p1 (q) 48q q 48 48 Por lo tanto, p1 (q) 48q es la inversa de p(q). (p p1 )(q) p(p1 (q)) 11. Crecimiento de la población: La población de un país de América del Sur ha comenzado a crecer en forma exponencial con un índice constante de 2,5% por año. El 1 de enero de 2000 la población era de 30 millones de habitantes. a) Formule la función de crecimiento de exponencial general P f(t) para la población del país, donde t equivale al tiempo medido en años desde el 1 de enero del 2000. b) Si el índice y el patrón de crecimiento continúan, calcule f 1 (40) Solución a) La función de crecimiento exponencial en forma general es: P f(t) P0e2,5%t b) Por el ejercicio número 8 se sabe que la función inversa de la exponencial es la función logaritmo. Es decir: p ln( ) P f(t) 30e2,5%t f 1 (t) 30 2,5% Entonces 40 4 f 1 (40) 40ln( ) 40ln( ) 11,51 30 3 Eso quiere decir que a mitad del año 2011 (dentro de once años y medio aproximadamente) la población en ese país será de 40 millones. 12. Respuesta a la publicidad: Una compañía grande de grabaciones vende DVD y discos compactos (CD) sólo por correo directo. Se hace publicidad por medio de una red de televisión. Mucha experiencia con este tipo de planteamiento de ventas ha permitido que los analistas determinen la respuesta esperada a un programa de publicidad. Específicamente, la función de respuesta para los CD y DVD de música clásica es R f(t) 1 e0,05t , donde R es el porcentaje de clientes en el mercado objetivo que en realidad compran el CD o la DVD y t es el número de veces que aparece un anuncio en la televisión nacional. Calcule f 1(0,9) e intérprete su resultado. Solución Al despejar t se tiene la función inversa f –1. Es decir: R 1 e0,05t e0,05t 1 R ln(e0,05t ) ln(1 R) 0,05t ln(1 R) t ln(1 R) 0,05 Luego, f 1 (t) ln(1 t) ;0 t1 0,05 Por lo tanto, f 1 (0,9) ln(1 0,9) 2,3025 46,05 0,05 0,05 Esto significa que si la publicidad de los CD y las DVD aparece 46 veces por la televisión se podrá vender un 90% de los CD o DVD. 13. Retención de la memoria: Se efectúo un experimento para determinar los efectos del tiempo transcurrido sobre la memoria de una persona. Se pidió a los sujetos que vieran una fotografía que contenía muchos objetos diferentes. En distintos intervalos de tiempo después de esto, se les pedía que recordaran tantos objetos como pudieran. Con base en el experimento, se desarrolló la siguiente función R f(t) 90 20ln(t),t 1 . Donde R representa la memoria porcentual promedio y t es igual al tiempo desde el estudio de la fotógrafa (en horas). Calcule f 1(80) e interprete el resultado. Solución Al despejar t se tiene R 90 20ln(t) 20ln(t) 90 R ln(t) 90 R te 20 90R 20 Entonces, f 1 (t) e 90 t 20 Por lo tanto, 1 f (80) 9080 e 20 10 e 20 1 e2 1,64872 La memoria porcentual dentro de 1,6 horas es del 80%. Ejercicios propuestos 1.4 Nivel 1 1. Dada la función f(x) (1;0),(2;5),(3;6),(7;7) halle f 1 , f 1 f y f f 1 2. Dadas las funciones f (1,3),(7,2),(6, 1) y g (1,a),(2,b),(6,a),(7,c) , ¿Cuáles son ciertas? a) go(f -1 ) {(3,a),( 1,a),(2,c)} b) go(f -1 ) x1 go(f -1 ) x2 x1 x2 3p p 1 1 3. Sea f una función biyectiva tal que f q , si se sabe que f (q) 3p 1 para un p p particular, halle 4p 7 . 4. Sea f: R R tal que f(x 3) 3x 2 . Calcule f 1 (x) 5. Si f(x 5) 6. Sea f(x)= 4 1 . Halle el valor de x que satisface la relación: (f -1of)( ) 2 . x x 2 3x 4a , x R , f -1 (3) 2a 3b, f -1 (5) 3a b . Halle el valor de f -1 (a 3b) 5 7. La función inversa de f(x) log2 (x 2) log2 (x 2) es: 8. Halle f 1 si existe de: x , x 0 a) f(x) 2 x0 x b) 1 f(x) 10 x 9. Si f(x) 2x3 3, x R Demuestra que: a) f es inyectiva b) Rango de f es R 1 c) 3 x 3 f (x) 2 1 10. Sean las funciones f(2x 1) 3x 1, si 1 x 2 y g(x) f(x) x g 1 . 2 , si 3 x 1 . Halle la función 11. Investigaciones médicas han demostrado que durante periodos breves cuando se cierran las válvulas que van hacia la aorta de un adulto normal, la presión en la aorta es una función del tiempo y se puede modelar con la ecuación: P = 95e–0,491t donde t está en segundos. a) ¿Cuál es la presión aórtica cuando las válvulas se cierran por primera vez? b) ¿Cuál es la presión aórtica después de 0,1 segundo? c) ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la presión llegue a 80? 12. Suponga que el número y de nutrias que se reintrodujeron en un río silvestre y pintoresco se determina con: y = 2500 – 2490e–0,1t ; donde t es el tiempo en meses a) Encuentre la población cuando se reintrodujeron las nutrias b) ¿Cuánto tiempo pasará antes que la población de nutrias llegue a 1 500? 13. La función de demanda de un producto está dada por q D(p) 3ln(p) 3ln(3000) . Calcule D1 (9) e interprete su resultado. Nivel 2 1. Dada f(x) 2x x2 4 ; 3 x 2 , halle f 1 y f f 1 si existen. 2. Dada f(x) x x ; x 4 , halle f 1 si existe 3. Dada f(x) x x2 1 ; x 1 , halle f 1 si existe 4. 2 2 (x 1) (x 1) ; x 1 Halle la función inversa f 1 , si existe, para: f(x) 2 ; x 1 1 (x 1) 5. 6. 7 Dada las funciones f definida por f(x 1) x , halle el rango de la función y evaluar f 1 ( ) 4 x 4 Sea f una función inyectiva tal que f 1 a , Halle el conjunto solución de la inecuación: x 4 x 3 f(a) 2x 1 7. 1 x x2 2 1, 1 x 2 . Determine f 1 (x) Sea f(x) 2 [ 7 ] , 2x 4 x 1 8. 2x2 12x 3, x 2,3 Sea f(x) x 2 . Detemine f 1 , si existe , x 3 x 3 9. Dada la función f(x)=x2 2x 4 , determine f - 1 sabiendo que existe, además Rf 3, , y que (0,4) f 1 10. Si f(x) 4 x x ; x [0,1] . Determine f , si existe 1 4 3 2 11. Dada la función f(x) x x 2 1 . Si x 2 , determine f 1 si existe. 4 12. Halle la función inversa de f(x) x2 8x 9 ; x 9 13. Dada la función f(x) (x 2)(x2 6x 16)(x 6) (x 2)(x 4x 12) 2 1 . Halle f si existe. x 2 4 si g 1 (f 1 (a)) . Hallar g 1 (a 5) x 3 3 15. Si una población de bacterias comenzó con 100 y se duplica cada tres horas, la cantidad de 14. Sean f(x) x3 2 , g(x) t 3 100 2 bacterias después de t horas es n f(t) a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado b) ¿Cuándo habrá 50000 ejemplares? 16. Cuando se dispara el flash de una cámara, de inmediato las pilas empiezan a recargar el t capacitor del flash, en el cual se almacena la carga eléctrica dada por Q(t) Q 0 (1 e a ) (la capacidad máxima de carga es Q 0 y t se mide en segundos) a) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado b) ¿Cuánto tarda en recargarse el capacitor hasta 90% de su capacidad, si a 2 ? 17. En base a las ventas esperadas y los datos para compañías semejantes, el director de personal de industrias nacionales predice que el número de empleados se puede describir mediante la 0,5t ecuación. N(t) = 200(0,04) en donde N(t) representa el número de empleados después de t años. Suponiendo que esto es correcto. ¿Cuántos empleados tendrán las industrias nacionales después de tres años? ¿Cuántos empleados empleó la compañía inicialmente? Y ¿Cuántos empleará cuando alcance su máximo desarrollo? 18. Un trabajo en una línea de producción consiste en atornillar un pequeño tornillo en una plancha de metal. Para un empleado regular, el número de planchas que completa por hora, se describe –0,3x según la ecuación y = 50 – 40e donde x es el número de horas que el empleado ha trabajado en la línea de producción. a) ¿Cuántas planchas puede completar el empleado en la primera hora? b) ¿Cuántas en la quinta hora? 19. Los costos de producción (centavos de dólar) para una compañía se describe con la ecuación C(x) = 100 – 70e –0,02x donde x es el número de unidades producidas. ¿A cuánto ascienden los costos fijos de la empresa? Cuando la producción es de 100 unidades, ¿qué proporción se fija para los costos de producción? Nivel 3 1. Halle la función f 1 , si existe, para f(x) x 5 1 x 5 x 2. Dada las función f(x) x3 7x2 14x 8 x2 6x 8 a) Halle su dominio y probar que es inyectiva b) Halle f 1 3. 4. 2 , si x 3; 1 4;7 1 x 8x 7 sea f(x) . Halle f si existe. , si x 1;3 7 2x ax 7 Dada f (x) , halle a y b tales que: 2x b a) Dom f 1 = R {3} b) f -1 =f . x , x 1, 1 . Halle f 1 1 x 5. Sea f(x) 6. Pruebe que f es inyectiva y calcule f 1 si f(x) 7. 8. 9. x 3 1 1, x 1;2 x 1 x2 2x 1 1 Si A y B son intervalos y f : A B definida por f(x) es una función inyectiva y 1 x2 suryectiva. Determine los intervalos A y B para que ello ocurra. x2 , x ;0 Dada la función f(x) 1 . Halle f 1 , si existe. , x 0; x Dadas las funciones f(x) (x 3)2 , 1 x 5 8 1 , x[0,4] {2} y g(x) g si . Halle f x 2 x 3 , 6 x 1 existe: 10. Sea f una función inyectiva, tal que f a,b c,d . 1 ( x 4 x 3 ) a . Si el C.S. de la inecuación f(a) es 2x 1 x4 Determine el valor de M bcd a 1 11. Considere la función f(x) 4 x2 ( x2 4 x2 ) ,x [ 8,0] . Halle f Respuesta del Capítulo I SOLUCIÓN DEL CASO a. Indicar las variables de entrada (independiente) y la variable de salida ( dependiente) Variable de entrada (x)= Nº de m3 de agua que se consumen. Variable de salida ( C(x) )= Costo total a pagar en soles. b. MODELO FUNCIONAL Costo total a pagar C(x) = costo de consumo ( Cc (x) )+ cargo fijo+ IGV 1, 291x 0, 704x Cc (x) 15, 96 1, 356(x 8) 0, 739(x 8) 41,1 3, 273(x 20) 1, 785(x 20) 0x8 8 x 20 x 20 Por tanto el costo total a pagar: C(x) Cc (x) 2, 94 0,18(Cc (x) 2, 94) C(x) 1,18(Cc (x) 2, 94) c. Gráfica de C(x) d. Si el consumo es de 63m3 el detalle de la facturación es como sigue: Primer rango : C1 (x) 1, 291*8 0,704*8 S / .15,96 Segundo rango: C2 (x) 1, 356(12) 0,739*12 S / .25,14 Tercer rango : C3 (x) 3, 273*43 1,785*43 S / .217,5 Monto total a pagar: C(x) 1,18(15,96 25,14 217,5 2,94) S / .308,62 Ejercicios Propuestos 1.1. Nivel 1 1. a)-2/3 b) 2 c) 6 d) 5/4 e) -2448 c) si d) si 2. f 6. a) 38 b) 50 7. 22 100. 3. a) 5/16 b) 4 c) 53 9 8. 50 250, 50 200, 50 290 4. 29 5. a) si b) no 9. a) 20000 e3 b) R 200000pe 0.15p c) 5000000 e15/4 10. Dominio: x [0,50000] 18.75n 11. a) g 110x 1650 b) 3850 12. c(n) 15.75n Rango: x [80000,830000] n 12 13. a) ; 3 0;3 n 12 3 b) 1;2 3; c) 4; 3 2; 1 1;2 3;4 d) 2; 2; e) 2;2 3; 2 Nivel 2 3 4 c) 45554 2. a) 165 m b) 135 m c) 225 m d) 3,87 s 3. 2500 unidades. 2 4. a) x=10; p= $114 b) Gráfica 5. a) R 0,27x2 52x ; u 2,51x2 48,4x 86 . b) La producción debe ser entre 1980 y 17300 unidades. 6. u p2 160p 6000 , p 80 7. q=200, I=120 000 8. t=6 s, h=176.4 m. 9. t = 2,7 s, F = 90,11 N. 10. a) 89; 161 b) 210; 7,5 c) 5; 10 11. a) Gráfica b) 180kg. c) 300kg. 1. a) 5,6 b) Nivel 3 1. a) N 13 375 x 400 4 3. d 2 x2 64 10 x 6. U 2. I 20000x2 80000x 6400000 b) 103.5 4. c(x) 12x2 3072 x 5. V 8x3 4x2 20 5x x 15 7. f(x) 20 10x x 15 45 2 x 2050x 32000 , x: precio de venta. 2 8. $ 740 9. 50; 100 10. 35 11. 3 12. p x3 , 50 p0 28 céntimos. 13. y 150t 1500 14. 15%x 6780 27,5%(x 45200) a) r(x) 24393,75 30,5%(x 109250) 41855 35,5%(x 166500) 88306,75 39,1%(x 297350) 15. a) y 0 x 45200 45200 x 109250 109250 x 166500 b) 24 409 166500 x 297350 297350 x 5 2 13 x x 29 b) 51,5 y 95,2 28 28 Ejercicios Propuestos 1.2. Nivel 1 1 4 8 x3 40 5 1. I=10 2. a) b) c) 3. a) b) 4. 1 432,678 5. 1 455,517 2 7 5 x 1 21 8 ln(3 / 8) 6. 1 457,695 7. 8. a) I I0 10/10 b) I 10 121010 c) 90 1000 ln(1 / 49) z e1.4 /87 0,8w 10. a) t=16 b) t=53 c) 4,26% 11. C=49; k 9. t 6He 0 t=6,2583 ; 4 R 12. Q=899,955 13. a) Q=125 b) Q= 86 c) Q=0.3098 16. H=4 601.534 m 20. Q=1,7868 gr 17. =39,5 21. Q=42,04 2gh b) 31,585 v 0 18. a) sen 1 19.B=512 000 22. a) 283 813,5 b) 402 750,5 NIVEL 2 1. a) F b) F c) V ( 1 ) 2. 18 3. 3;4 4. a) x ;1 4; b) x 3; 1 2;3 c) x 5;1 1 d) x 3; 2 2;3 6. Df R {0} Rf {0,2} 14. T=110.625 15. H=4 601.534 m 5. f(5) 96 7. Df R {1} Y 8. Df 3;3 4; Rf R 4 3 Y 9. Df , { 1} 3 4 10. Df ; 2 1;2 4;5 X X 12. P(2)=10, P(6)=14, P(12)=14 y P(14)=8 11. P(7/8;21/4), Q(3/2;4), R(2;3) 13. Y Y Df 3; 1 1;2 2;4 Rf 4; 2 1;5 0 X X 14. 15. 16. Y Y X X X 17. 18. Y x ; x 0;2 2 ; x 2;4 f(x) x 2 ; x 4;5 x 8; x 5;8 19. Y X Df R Rf 4; X Df R { 1} Rf ; 2 1; 20. 21. a) b) A 2 P 2 Y A 2 P 2 Y X X Ejercicios Propuestos 1.3. NIVEL 1 1. a) F G (1;6),(5;4),(9;13),(8;1) , F G (1; 2),(5;2),(9; 1),(8;1) , F G (1;8),(5;3),(9;42),(8;0) F / G (1;1 / 2),(5;3),(9;6 / 7) b) F G (3;3),(2;6),(1;4) , F G (3;5),(2;4),(1;4) F G (3; 4),(2;5),(1;0) , F / G (3; 4),(2;5) c) F G (1;6),(2;2) , F G (1;2),(2;4) , F G (1;8),(2; 3) , F / G (1;2),(2; 3) 2. a) (f g)(x) x3 2x2 8x , (f g)(x) x3 8x2 2x f 5x2 3x , x 0 b) (f g)(x) x 2 3x 2 , (f g)(x) 5x5 12x4 16x3 15x2 , ( )(x) 3 2 g x 3x 5x f x2 5 , x 0, 2 c) (f g)(x) x 2 ,x 2 (f g)(x) x2 x 2 , (f g)(x) x3 4x2 4x , ( )(x) 2 g x2 x 2x 3 5 5 x2 , x 2 , (f g)(x) , x 2 , (f g)(x) , x 2 x2 5 x2 3. a) F G (5;3),(2;3),(1;3) , G F (0;4),(1;4),(5;4) b) F G (3;4),(1;4) , G F (f g)(x) x 2 c) F G (0;3),(1;3) , G F (3; 1) d) F G (5;2),(1;7) , G F (8;4) 4. M 27 5. g f (4;9),(5;10),(6;9) 6. a) (f g)(x) 2x 5 1 , x 5 / 2 , (g f)(x) 2x 3 , x 3 / 2 b) (f g)(x) x , (g f)(x) x c) (f g)(x) 1 (4x 2) 3 , x 1 / 2 , (g f)(x) 4 x3 2,x 0 d) (f g)(x) 4x 11 , (g f)(x) 4x 3 e) (f g)(x) 2x4 8x3 29x2 42x 58 , x2 2x 1 1 3,x 1 ,x , (g f)(x) (g f)(x) 4x4 20x3 45x2 50x 28 f) (f g)(x) x 1 5x 1 5 x2 1 g) (f g)(x) x 1 2 , x 1, 1 , (g f)(x) x 1 , x 1 h) (f g)(x) 2x2 14 , 2 x 2 , x 1 5 (g f)(x) 4x2 8x 10 , x 1 7. g f (0;1),(1; 2) 8. a) (f g h)(x) x 1 1 , x 1 2 b) (f g h)(x) x 5 4 1 ,x 0 , (f g h)(x) 3 3 x x 1 , x 1 9. I depende de x , de forma cuadrática; I depende del precio , de forma cuadrática NIVEL 2 1. a) (f g)(x) (0;2),(1;7),(2;2 2 3),(4;2) b) (f g)(x) (0; 2),(1; 3),(2;2 2 3),(4;6) c) (f g)(x) (0;0),(1;10),(2;6 2),(4; 8) d) f 2 (x) 4x;x 0 e) f2 3g (0; 6),(1; 11),(2; 1),(4;22) 12 6. a) C(t) 0,08t2 4,2 b) C(2) 4,52 7 c) t 5 7. a) C(t) 0,012t2 7 b) t 10 8. U(t) 128t2 3328t 4232 9. a) C(t) 625t2 25t 900 b) C(3) 6600 c) t 4 10. a) y 350 5p b) y 200 11. a) C(p) 18750p2 1520000p 40150000 379 2 q 86650q 3967650000 b) U(p) 18950p2 1620000p 40150000 c) U(q) 800 12. S 0,45(6202 0,29E3,68 )0,53 . Describe la posición social depende de los años de estudio que tiene una 4374 persona. 13. a) Q(t) b) Q(10) 13,5 c) t 0 14. a) q 5 104 b) p 575 2 0,04t2 0,2t 12 2. yz (x w) 6 3. B 2; 4. a 22 5. a NIVEL 3 2 x 3x ; 0 x 1 1. (f g)(x) 2 x 2x 1 ; 1 x 3 3x 1 ; 3x 5 , (3x 1)(2 x 1); 0 x 1 (f g)(x) 2x(2 x 1) ; 1x3 2x(x 1) ; 3x5 x2 3x 3 ; 2. (f g)(x) x 3 2x 1 ; 5x ; (x2 2)(3x 1) , (f g)(x) (2x 1)x 3 , (2x 1)(3x 1), x0 x 10 1x8 x0 x 10 1x8 2 9x 6x 1 ; x 1 / 3 (f g)(x) 2x 3 1 ; x 10 2 6x 1 ; x8 3 2 x 3x 2; 0 x 1 (f g)(x) 2 x 2x 1; 1 x 3 x 1 ; 3x5 3x 1 1 ; x 0;1 4 2 x 1 2x (f / g)(x) ; 1x3 2 x 1 2x ; 3x5 x 1 x2 3x 1 ; x0 3 (f g)(x) x 2x 1 ; x 10 x 2 ; 1x8 (x2 2) , x0 (3x 1) (2x 1) (f / g)(x) , x 10 3 x (2x 1) 1x8 (3x 1) , (x2 2)3 ; (2x 1)3 ; (g f)(x) 3x2 7 ; 6x 2 ; 3. La función f se puede expresar como 4x 6 x3 , 3 x 7 / 2 ............f1 f(x) 4 x 7 x 3 , 7 / 2 x 4 .............f2 8 , x 4 .......................f3 Para f1 se tiene: f1 (x1 ) f2 (x2 ) 4 x1 6 x1 3 4 x2 6 x2 3 x 12 x 9/2 10 x 0 1 x 7/2 4 x1 4 x2 6 x 2 x1 4 x1 4 x 2 x1 3 x2 3 6(x2 x1 ) x1 3 x 2 3 x2 x1 0 x2 x1 f1 es inyectiva Si se hace lo mismo para f2 y f3 se tiene que estas son inyectivas. Por lo tanto f es inyectiva. (x 1)2 ; 1 x 0 ; x0 4 4. (f g)(x) 2 cos x ; x 0; 3 2 2 3 1 cos x ; / 2 x 2 2 x 1 ; x 3; 2 2; 1 ; x 2 2 5. (f g)(x) ; x 1 1 x2 4x 4; x 1;2 2x ; 1 x 2 6. (f / g)(x) 2 x ; 3 x 4 x 4 2x2 ; 1 x 0 7. (f f)(x) x2 1 ; x 1 x 4 ; x0 8. (f 1 g)(x) 4, x 1 3 9. (f g)(x) 49 2 , 12 / 5 x 3 x 3 10. f(x) 3x 1 ; f(x) 3x 2 2 11. (g h)(0) 1 3 4x2 2x ; x entero par 2 (g f)(x) 12. x 2x ; x entero impar 0 ; x no es entero Ejercicios propuestos 1.4 NIVEL 1 1 f (1;1),(2;2),(3;3),(7;7) f f 1 (0;0),(5;5),(6;6),(7;7) 1. f 1 (0;1),(5;2),(6;3),(7;7) , f 2. a) verdadero b) Falso 3. 6 4. f 1 (x) 7. f 1 (x) x7 x 3 115 935 5. x 2 6. f -1 (a 3b) f -1 3 17 1 4 x , x 0 1 8. a) b) f 1 (x) , x 0, x 1 , 09. --f (x) 2 x 1 2 log x x , x 0 1 4x 1 p ln b) t f 1 (80) 0,35 c) Cuando el tiempo es de 0,35 11. a) t 3 0,491 95 249 1 segundos la presión de la ahorta es 80. 12. a)10 b) t 10ln 9 13. p D (9) 149,36 Si la 100 cantidad demandada es 9, el precio es 149,36 10. f -1 (x) NIVEL 2 1. f 1 (x) 3. f 1 (x) 2x x2 12 1 ; 13 6 x 2 2 4 ; f f (x) x 3 2 x 1 2x , x 1 2, 4. f 1 2. f 1 (x) (2x 1) 1 4x ; x 6 2 x 2 / 2 , x 4 33 5. Ranf 1, f 1 (x) (x) ; 16 1 x 1 , x 5 1 9 5 15 x 2 , 15 x 35 (x 1) , 1 x 3 2 2 6. CS x / x 4,1 / 2 2,8 7. f 1 (x) 2 4 8. f 1 (x) 1 3 x 5 3x 2 , x , 1x 2 x x 1 3 5 7 9. f 1 (x) 1 x 3 10. f 1 (x) 8 4 4 x x ;x ]0;1[ 11. f 1 (x) 3 2 2 x ; x 4 12. f 1 (x) x2 25 4,x 0 13. f 1 (x) x 8,x R-6,10,4 14. a=–6; g 1 (1) 0,5 n Q(t) 1 15. a) f 1 (n) 3log2 b) t 26,897h 16. a) Q (t) aln 1 b) t 4,6s 100 Q0 17. N(3) 1,6 ; N(0) 200 18. a) y 20,367 b) y 41,075 19. Costo fijo: CF C(0) 30 C(100) 90,526 NIVEL 3 1. f 1 (x) 1 180 x2 , x 0, 2. a) Domf x / x 4, 2 b) f 1 (x) x 1 36 4 x 9 ,x 9,0 3. f 1 (x) 4 x 9 ,x 16,40 4. a b 6 5. f 1 (x) 2 (7 x ) / 2,x 1,3 6. d) f 1 (x) 2 3 x x 1 x 1 , x 1 x x x 7. a) x 1 x , 0 x 1 x , 1x0 2 1 x A ] ; 1[ B ] ;0[ b) A ] 1;0] B [1; [ c) A [0;1[ B [1; [ x ,x ,0 64 x2 1 ,x [0,8] 8. f 1 (x) 9. (f og) (1,4);(5,4) 10.–2 11. f 1 (x) 2 B ] ;0[ 4 1 / x ,x 0, A ]1; [