Lección 5 Técnicas cualitativas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden: Campos de pendientes y lı́neas de fase 5.1. Técnicas Cualitativas Hasta ahora hemos estudiado técnicas analı́ticas para calcular, mediante integración, las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamente, estas técnicas sólo sirven para hallar soluciones analı́ticas de muy pocas ecuaciones. Y lo que es peor, no se puede esperar descubrir métodos que permitan hallar, mediante técnicas analı́ticas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar también la posibilidad de estudiar las ecuaciones diferenciales mediante otros métodos. En esta Lección estudiaremos algunos métodos cualitativos. 5.2. Campos de Pendientes La idea básica que está detrás de los métodos cualitativos que estudiaremos en esta sección es la de que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta 67 68 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Con esta idea en mente, decir que x(t) es solución de la ecuación diferencial x0 = f (t, x) significa que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de x = x(t) en el punto (t0 , x0 ), x0 = x(t0 ), es f (t0 , x0 ). En otras palabras, dar la ecuación diferencial es dar el valor de la pendiente de las curvas solución en todos los puntos del plano. De esta forma podemos asociar a cada punto (t0 , x0 ) del plano un pequeño segmento que tenga de pendiente, en (t0 , x0 ), el valor f (t0 , x0 ). Este conjunto de pequeños segmentos en el plano t − x se llama campo de pendientes de la ecuación. En la práctica sólo es posible dibujar un pequeño número de segmentos en el plano, pero dibujando un número suficientemente grande de ellos podemos tener una idea más o menos clara de como son las tangentes a las curvas solución de la ecuación. Dibujar el campo de pendientes de una ecuación a mano es una tarea costosa. Afortunadamente hay programas de ordenador que nos ayudan en esta tarea. No obstante, y aunque mostraremos enseguida los resultados que produce uno de estos programas, conviene, al menos una vez, dibujar a mano un pequeño campo de pendientes para alguna ecuación. Esta es la única forma de comprender lo que de forma más rápida y con mejores resultados hace el programa de ordenador. Consideremos por ejemplo la ecuación x0 = x2 − t Esta ecuación tan simple no es de ninguno de los tipos que hemos estudiado. Ası́ que no tenemos una idea de cómo son sus soluciones. En este caso f (t, x) = x2 − t. Para dibujar el campo de pendientes (sólo en unos pocos puntos del plano), escogemos unos cuantos puntos, y calculamos en cada uno de ellos el valor de f . Este número será la pendiente de la recta tangente a la curva solución que pasa por dichos puntos. Por ejemplo, la pendiente de la tangente a la curva solución en el punto (1, 1) es f (1, 1) = 1 − 1 = 0. Dibujamos, entonces, en el punto (1, 1) una pequeña recta de pendiente 0. Podemos hacer lo mismo con otros puntos y podemos colocar todos los valores obtenidos en una tabla. Por ejemplo: (t, x) f (t, x) (−1, 1) 2 (−1, 0) 1 (−1, −1) 2 (t, x) f (t, x) (0, 1) 1 (0, 0) 0 (0, −1) 1 (t, x) f (t, x) (1, 1) 0 (1, 0) −1 (1, −1) 0 En cada uno de estos puntos dibujamos pequeñas segmentos, centrados en dichos puntos, con la pendiente dada por el valor de f en ese punto. Obtendrı́amos en este caso algo parecido a lo siguiente: 5.2 Campos de Pendientes 69 1.5 Figura 5.1: Campo de pendientes de la ecuación 1 0.5 x0 = x2 − t −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 correspondiente a los nueve puntos de la tabla. No son puntos suficientes como para tener una idea de cómo son las gráficas de las soluciones. −0.5 −1 −1.5 Tal y como hemos comentado, se puede usar el ordenador para conseguir campos de pendientes que nos proporcionan una idea más precisa de cómo pueden ser las gráficas de las solucione se la ecuación diferencial. La Figura 5.2 ha sido producida por un ordenador y corresponde al campo de pendientes de la ecuación x0 = x2 − t. En él se aprecia que las curvas solución que cortan al eje de abscisas a la izquierda de −1 son curvas que son siempre crecientes, mientras que las que cortan a la derecha de este punto alcanzan un máximo y comienzan a decrecer. Parece también que las pendientes en el cuarto cuadrante tuvieran todas del punto t = 3 en adelante fueran todas en la misma dirección, como si hubiera una ası́ntota. El mismo programa de ordenador produce, mediante métodos numéricos, algunas curvas solución (Figura 5.3. Aunque algunas de estas curvas parecen coincidir en el cuarto cuadrante, se trata solamente de un efecto visual y de la imprecisión de la salida gráfica del ordenador. Sabemos, en efecto, que la ecuación x0 = x2 − t cumple las hipótesis del teorema de unicidad y, en consecuencia, no puede haber soluciones de la ecuación que se toquen. x x 4 4 3 3 2 2 1 1 t −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 t −4 −3 −2 −1 1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 Figura 5.2: Campo de pendientes de la ecuación x0 = x2 −t generado por ordenador. 2 3 4 Figura 5.3: Algunas curvas solución de la ecuación x0 = x2 − t producidas mediante aproximación numérica por un ordenador. 70 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase Aún disponiendo de una buen esbozo del campo de pendientes de una ecuación diferencial, no siempre reulta fácil hacerse una idea precisa de cómo pueden ser las curvas solución. Hay, sin embargo, algunos casos particulares importantes para los que sı́ podemos estudiar fácilmente cómo son los campos de pendientes y las curvas solución. 5.2.1. Algunos casos particulares importantes Los casos particulares que podemos estudiar fácilmente son los correspondientes a las ecuaciones diferenciales de la forma x0 = f (t) y x0 = f (x). Estos casos son los más sencillos incluso desde el punto de vista analı́tico. Nos podemos preguntar para qué estudiar técnicas analı́ticas cuando podemos integrar directamente. La razón ya la hemos expuesto en varias ocasiones anteriormente: Sólo somos capaces de calcular analı́ticamente funciones muy sencillas. A poco que las funciones f (t) o f (x) sean un poco complicadas no vamos a ser capaces de encontrar una solución analı́tica (explı́cita ni implı́cita) de nuestras ecuaciones. Por ejemplo, ¿cómo son las curvas solución de la ecuación diferencial 2 x0 = e−t ?. 2 Puesto que no podemos encontrar una “fórmula” que nos de una primitiva de e−t no somos capaces analı́ticamente de decir gran cosa de las soluciones de esta ecuación. Sin embargo, como vamos a ver enseguida, sı́ podemos conseguir mucha información a través de su campo dependientes. Consideremos, en primer lugar, la ecuación x0 = f (t) ¿Qué significa que la función f no depende de x?. El significado es que si fijamos un valor de t, digamos t = t0 , el valor de f en todos los puntos de la recta vertical t = t0 es el mismo: f (t0 ). Como x0 (t0 ) = f (t0 ) tenemos que la pendiente de todas las curvas solución de la ecuación en todos los puntos de la recta t = t0 es la misma. Es decir, los pequeños segmentos que marcan las rectas tangentes a las curvas solución son todos paralelos. (Véase la Figura 5.4). Ahora bien, si a lo largo de cada recta vertical todas las marcas de pendiente son iguales, esto quiere dcir que todas la curvas solución de la ecuación son paralelas. Consideremos, por ejemplo, la siguiente ecuación: x0 = 2t. 5.2 Campos de Pendientes 71 x 6 5 4 3 2 1 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 t −1 −2 Figura 5.4: Si el lado derecho de la ecuación diferencial no depende de la variable dependiente, las marcas de las pendientes son paralelas a lo largo de cualquier recta paralela al eje x. −3 −4 −3 −2 4 4 3 3 2 2 1 1 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4 Figura 5.5: Campo de pendientes de la ecuación x0 = 2t. Todas las marcas de las pendientes son paralelas a lo largo de rectas verticales. 2 3 Figura 5.6: Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación x0 = 2t superpuestas sobre su campo de pendientes. Ya sabemos que la solución general de esta ecuación es x(t) = t2 + C siendo C una constante cualquiera. La función x(t) = t2 es una parábola con vértice el punto (0, 0) y la función x(t) = t2 + C es una parábola con vértice el punto (0, C). Por lo tanto, todas la soluciones de la ecuación x0 = 2t son parábolas con vértices a lo largo del eje de ordenadas. Además como a lo largo de cada recta t = t0 las pendientes de cada curva solución son iguales: 2t0 , todas las parábolas son paralelas unas a otras. esto se refleja en las Figuras 5.5 y 5.6. De forma similar, aunque no tengamos una “fórmula” para la integral de la función 2 e−t podemos obtener, con ayuda de un ordenador el campo de pendientes de la ecuación 2 diferencial x0 = e−t y un esbozo de la gráfica de algunas soluciones: Figuras 5.7 y 5.8 72 −2 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase −1.5 −1 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 −0.5 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −0.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 −0.5 −1 −1 −1.5 −1.5 −2 −2 Figura 5.7: Campo de pendientes de la 2 ecuación x0 = e−t . De nuevo, todas las marcas de las pendientes son paralelas a lo largo de rectas verticales. Figura 5.8: Algunas gráficas de las so2 luciones de la ecuación x0 = e−t superpuestas sobre su campo de pendientes. 1 0.9 0.8 Figura 5.9: Si la ecuación diferencial es autónoma las marcas de las pendientes son paralelas a lo largo de cualquier recta paralela al eje t. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −3 −2 5.2.2. −1 0 1 2 3 4 5 Campo de pendientes para ecuaciones autónomas Las ecuaciones diferenciales autónomas son las de la forma x0 = f (x), es decir, ecuaciones en las que f no depende de t. El mismo razonamiento que hemos hecho para las ecuaciones en las que f no depende de x nos sirve ahora para concluir que las marcas de pendientes de todas las ecuaciones autónomas son paralelas a lo largo de las rectas x = x0 ; es decir, rectas horizontales. En efecto, en este caso si t1 y t2 son dos valores distintos de t entonces f (t1 , x) = f (t2 , x) = f (x) para todo valor de x. (veáse Figura 5.9) Consideremos, por ejemplo, la ecuación autónoma x0 = 4x(1 − x). Su campo de pendientes es el de la Figura 5.10. Se puede comprobar a simple vista que a lo largo de cada lı́nea horizontal las marcas de pendiente son pararalelas. De hecho, si 0 < x < 1 5.2 Campos de Pendientes 73 entonces x0 > 0 y las pendientes sugieren que las soluciones entre las rectas x = 0 y x = 1 son crecientes. Sin embargo, si x < 0 o x > 1 entonces x0 < 0 y las marcas de pendiente sugieren que las soluciones correspondientes son decrecientes. Además, tenemos soluciones de equilibrio en x = 0 y x = 1. Para estos valores las marcas de pendientes son horizontales. Todo esto queda puesto de manifiesto en la Figura 5.11. El hecho de que las ecuaciones autónomas producen campos de pendientes que son paralelos a lo largo de lı́neas horizontales, indica que podemos obtener un número infinito de soluciones a partir de una dada sin más que trasladarla hacia la izquierda o hacia la derecha (véase la Figura 5.12) 5.2.3. Análisis analı́tico versus cualitativo Para la ecuación autónoma x0 = 4x(1 − x) podrı́amos haber utilizado procedimientos analı́ticos para encontrar fórmulas explı́citas para las soluciones. Se trata, en efecto, de una ecuación en variables separables que podemos integrar más o menos fácilmente. En efecto, vemos, como ya hemos mencionado más arriba, que hay dos soluciones de equilibrio: x(t) = 0 y x(t) = 1, y que una vez consideradas podemos separar las variables: 1 dx = 4 dt. x(1 − x) −1.5 −1 2 2 1.5 1.5 1 1 0.5 0.5 −0.5 0.5 1 1.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 −0.5 −0.5 −1 −1 −1.5 −1.5 −2 −2 Figura 5.10: Campo de pendientes de la ecuación x0 = 4x(1 − x). Todas las marcas de las pendientes son paralelas a lo largo de rectas horizontales. 0.4 0.6 0.8 1 Figura 5.11: Algunas gráficas de las soluciones de la ecuación x0 = 4x(1 − x) superpuestas sobre su campo de pendientes. 74 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase 3 2.5 2 Figura 5.12: Gráfica de cuatro soluciones de una ecuación autónoma. Cada una de ellas se obtiene de otra trasladándola hacia la derecha o hacia la izquierda. 1.5 1 0.5 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −0.5 −1 −1.5 −2 Integrando: Z 1 dx = x(1 − x) y Z µ 1 1 + x 1−x ¶ dx = ln x 1−x Z 4 dt = 4t. De forma que la solución general de la ecuación serı́a: ln x(t) x(t) = 4t + C ⇒ = Ke4t , 1 − x(t) 1 − x(t) y despejando x(t) obtenemos la solución general en forma explı́cita: x(t) = Ke4t . 1 + Ke4t Dibujar la gráfica de esta función “ a mano” no es tarea sencilla. Claro que podrı́amos ayudarnos de algún programa de ordenador y si lo hacemos obtendrı́amos una gráfica como la que se muestra en la Figura 5.13. 2 x 1.5 1 0.5 −1.5 −1 −0.5 0.5 −0.5 −1 −1.5 1 1.5 t Figura 5.13: Gráfica de tres soluciones de la ecuación autónoma x0 = 4x(1−x) junto a las soluciones de equilibrio. La gráfica c ha sido producida con MATLAB°. 5.3 Diagramas de Fase 75 Hay sin embargo ecuaciones autónomas de las que muy poco podemos decir de sus soluciones si las tratamos exclusivamente mediante métodos analı́ticos. Consideremos, por ejemplo, la ecuación x2 x0 = e 10 sen2 x. Como es una ecuación autónoma podemos separar las variables y resolverla analı́ticamente: Z Z dx = dt, x2 e 10 sen2 x pero la integral de la izquierda no puede evaluarse fácilmente. Debemos, entonces, recurrir a métodos cualitativos. El lado derecho de la ecuación diferencial es positivo salvo para x = nπ, cualquiera que sea el entero n. Estos valores especiales de x coresponden a soluciones de equilibrio. Y entre estas posiciones de equilibrio las curvas integrales son siempre crecientes porque la derivada es positiva. Esto se refleja claramente en el campo de pendientes (véase la Figura 5.14): entre dos soluciones de equilibrio las marcas de pendiente señalan que las soluciones crecen de una solución de equilibrio a la otra. Por lo tanto podemos predecir el comportamiento de las soluciones a largo plazo aún cuando no dispongamos de una solución explı́cita de la ecuación. 4 3 2 1 −3 −2 −1 1 2 3 −1 −2 Figura 5.14: Campo de pendientes y gráficas de dos soluciones de la ecuación autónoma x2 x0 = e 10 sen2 x junto a dos soluciones de equilibrio. −3 −4 5.3. Diagramas de Fase Los campos de pendientes nos dan mucha información sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales sin tener que calcularlas analı́ticamente. La objección que se podrı́a poner a esta técnica cualitativa es que construir a mano un campo de pendiente significativo para una ecuación complicada es una tarea muy costosa salvo que se disponga de un ordenador y de los programas adecuados. Desde luego se trata de una objección menor debido a la popularización del uso de los ordenador y la disponibilidad de dichos programas. Hay, no obstante, otra técnica cualitativa que requiere mucho menos trabajo y que para algunas 76 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase ecuaciones diferenciales proporciona abundante información. Se trata de los diagramas de fase, que estudiaremos en esta sección aunque sólo lo haremos para ecuaciones autónomas. En realidad las ecuaciones autónomas aparecen con muchı́sima frecuencia como modelos matemáticos para el estudio de los fenómenos fı́sicos. Ello es debido a que la mayorı́a de ellos funcionan (o al menos se espera que funcionen) igual todo el tiempo; es decir, son invariantes en el tiempo. Ya hemos visto que los campos de pendientes de las ecuaciones autónomas tienen la caracterı́stica especial de que las marcas de pendiente son paralelas a lo largo de rectas horizontales. Esto significa que si conocemos las marcas de pendiente de la ecuación a lo largo de una recta vertical, digamos t = t0 , entonces las marcas de pendiente para cualquier otro valor de t son las mismas. Entonces, ¿para qué dibujar todo el campo de pendientes si toda la información se encuentra en una, cualquiera, de las rectas verticales?. En vez de dibujar todo el campo de pendientes podrı́amos dibujar sólo una lı́nea vertical que contuviera toda la información. Esta lı́nea se llama diagrama o lı́nea de fase de la ecuación autónoma. Consideremos la siguiente ecuación autónoma x0 = (1 − x)x En este caso f (x) = x(1 − x) con lo que las soluciones de equilibrio de esta ecuación son x(t) = 0 y x(t) = 1. Los puntos x = 0 y x = 1 sobre el eje x se llaman puntos de equilibrio. Los señalamos en la lı́nea de fase de la ecuación con un punto o circulito. Observamos, además, que f (x) > 0 si 0 < x < 1 y f (x) < 0 si x < 0 o x > 1. Esto significa que las curvas solución de la ecuación son crecientes si 0 < x < 1 y decrecientes si x > 1 o x < 0. Indicamos esta situación sobre la lı́nea de fase poniendo una flecha apuntando hacia arriba entre x = 0 y x = 1 y dos flechas apuntando hacia abajo: una por encima de x = 1 y otra por debajo de x = 0 (véase las Figuras 5.15 y 5.16). Si comparamos con el campo de pendientes x x 2 1.5 x=1 x=0 1 t 0.5 t −0.5 −1 Figura 5.15: Lı́nea de fase para la ecuación x0 = x(1 − x) con su campo de pendientes. Figura 5.16: Lı́nea de fase de la ecuación x0 = x(1 − x) y algunas soluciones. 5.3 Diagramas de Fase 77 de la ecuación (Figura 5.15) observamos que la lı́nea de fase mantiene la información acerca de las soluciones de equilibrio y de si las curvas solución crecen o decrecen. La información relativa a la velocidad de crecimiento se pierde. Podemos, sin embargo, dibujar croquis de las gráficas de las soluciones usando sólo la lı́nea de fase. Éstos no serán tan exactos como los que podemos conseguir a partir de los campos de pendientes, pero contendrán toda la información acerca del comportamiento de las soluciones cuando t se hace muy grande o muy pequeño (Figura 5.16). 5.3.1. Cómo dibujar lı́neas de fase (a) (b) x=2 (c) x=π x=0 x=−3 x=π/2 x=0 x=−π/2 x=−π Figura 5.17: Lı́nea de fase para las ecuaciones (a) x0 = (x − 2)(x + 3), (b) x0 = sen x y (c) x0 = x cos x. Para dibujar la lı́nea de fase de una ecuación autónoma seguiremos los siguientes pasos Dibujamos la lı́nea x, vertical. Buscamos los puntos de equilibrio de la ecuación; es decir, los puntos para los que f (x) = 0;, y los marcamos sobre la recta x. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) > 0, y dibujamos flechas que apunten hacia arriba en dichos intervalos. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) < 0, y dibujamos flechas que apunten hacia abajo en dichos intervalos En la Figura 5.17 hemos dibujado varios ejemplos de lı́neas de fase. 78 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase 5.3.2. ¿Cómo usar las lı́neas de fase para esbozar soluciones? Podemos obtener croquis aproximados de las gráficas de las soluciones de ecuaciones diferenciales autónomas a partir de su lı́nea de fase. Tal y como hemos dicho éstos no serán tan aproximados como los que se obtienen a partir del campo de direcciones pero el método es menos costoso y sirve, sobre todo, para predecir el comportamiento de las soluciones a largo plazo. Consideremos por ejemplo la ecuación dw = (2 − w) sen w dt La lı́nea de fase de esta ecuación está dada en la Figura 5.18. Los puntos de equilibrio son w = 2 y w = kπ para k = ±1, ±2, . . .. Supongamos que queremos esbozar la gráfica de la solución con la condición inicial w(0) = 0,4. Como w(t) = 0 y w(t) = 2 son soluciones de equlibrio y 0 < 0,4 < 2, por el teorema de unicidad, sabemos que 0 < w(t) < 2 para todo t. Además, debido a que 2 − w sen(w) > 0 para 0 < w < 2 resulta que w0 > 0 en este intervalo y la solución debe ser creciente en todo él. Por lo tanto la solución tiende hacia w = 2 cuando t → ∞ y a w = 0 cuando t → −∞. Podemos ası́ dibujar una imagen cualitativa de la gráfica con la condición inicial w(0) = 0,4 (Figura 5.19). x=π x=2 x=0 x=−π Figura 5.18: Lı́nea de fase para w0 = (2 − w) sen w w 3 2.5 w=2 Figura 5.19: Gráfica de la solución del problema de condiciones iniciales 2 1.5 1 0.5 w=0 −2 −1 1 2 3 4 t dw = (2−w) sen w, ; w(0) = 0,4. dt −0.5 −1 De la misma forma podemos dibujar otras soluciones a partir de la información dada por la lı́nea de fase. Las soluciones de equilibrio son fáciles de dibujar pues son rectas paralelas al eje t; es decir, de la forma w(t) = c donde w = c es un punto de equilibrio. En nuestro caso las soluciones constantes de la ecuación (2 − w) sen w = 0 nos proporcionan las soluciones de equilibrio. Éstas son w = 2 y w = kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .. Hay pues infinitas soluciones 5.3 Diagramas de Fase 79 de equilibrio. Los intervalos sobre la lı́nea de fase con flechas señalando hacia arriba corresponden a soluciones crecientes, y aquellos con flechas señalando hacia abajo a soluciones decrecientes. Sabemos por el teorema de unicidad que las soluciones correspondientes a valores iniciales diferentes no se pueden cortar. En particular, ninguna solución cortará a las soluciones de equilibrio. Por lo tanto, las curvas de las soluciones que no son de equilibrio se aproximarán cada vez más a éstas pero nunca llegarán a cortarlas. Sabiendo si la curva crece o decrece en el intervalo correspondiente podemos hacernos una idea bastante aproximada de cómo son las gráficas de las soluciones de la ecuación. Lo único que no sabemos es cuán rápidamente o lentamente se acercan a las soluciones de equilibrio. La Figura 5.20 muestra unas cuantas soluciones de la ecuación dw = (2 − w) sen w, dt w w=2π 6 5 4 w=π 3 w=2 2 1 w=0 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 t −1 −2 w= −π −3 Figura 5.20: Gráficas de variassoluciones de la ecuación dw dt = (2 − w) sen w. Ası́ pues de forma general podemos decir lo siguiente sobre las soluciones de las ecuaciones diferenciales autónomas: Sea x(t) es una solución de la ecuación dx = f (x). dt Si f (x(0)) = 0, entonces x(0) es un punto de equilibrio y x(t) = x(0) para todo t; i. e. x(t) = x(0) es una solución de equilibrio. Si f (x(0)) > 0, entonces x(t) es creciente para todo t y, o bien x(t) → ∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio mayor que x(0) cuando t → ∞. También sucede que o bien x(t) → −∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio menor que x(0) cuando t → −∞. Si f (x(0)) < 0, entonces x(t) es decreciente para todo t y, o bien x(t) → −∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio menor que x(0) cuando t → ∞. También sucede que o bien x(t) → ∞ o bien x(t) tiende al primer punto de equilibrio mayor que x(0) cuando t → −∞. 80 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase Para terminar volvemos a insistir que las lı́neas de fase nos ayudan a comprender el comportaniento a largo plazo de las soluciones de las ecuaciones diferenciales siempre que éstas estén acotadas entre dos puntos de equilibrio. Si éste no es el caso, es decir, si la solución no está acotada, el comportamiento de la solución puede no poderse predecir sólo por la lı́nea de fase de la ecuación. Consideremos, por ejemplo, la ecuación dx = (1 + x)2 . dt > 0 para cualquier otro valor de x. Por lo Tiene un punto de equilibrio en x = −1 y dx dt tanto las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales x0 6= −1 son todas crecientes. Y al ser x = −1 una solución de equilibrio podemos concluir que si x(t) es solución de la ecuación y x(0) > −1 entonces x(t) crece indefinidamente a medida que pasa el tiempo (i.e. a medida que crece t). Este comportamiento de las soluciones se obtiene a partir del estudio de la lı́nea de fase de la ecuación (véase la Figura 5.21). Pero sólo de este estudio no podemos predecir lo rápida o lentamente que la ecuación tiende hacia infinito: puede ser que x(t) tienda a infinito a medida que t se acerque a cierto valor (es decir que x(t) tenga una ası́ntota vertical) o puede ser que x(t) tienda a infinito a medida que t crece y crece (es decir, a medida que t tiende tambiéna infinito). Para esta ecuación concreta esta información la podemos conseguir resolviendo propiamente la ecuación. Si separamos variables: 1 1 1 dx = dt =⇒ − = t + C =⇒ x(t) = −1 − 2 (1 + x) 1+x t+C para alguna constante C. Como estamos suponiendo que x(0) > −1 y x(t) es siempre creciente debe ser x(t) > −1 para todo t > 0. También para t < 0 debe ser x(t) > −1 porque x(t) = −1 es una solución de equilibrio y debido al teorema de unicidad. Ası́ pues 1 x(t) = −1 − t+C > −1 para todo t. Por lo tanto t + C < 0 para todo t y lı́m x(t) = +∞. t→−C Es decir t = −C es una ası́ntota vertical de la solución. Esto no se puede deducir de la lı́nea de fase. x 2 1.5 1 0.5 −4 −3 −2 −1 1 −0.5 x=−1 −1 −1.5 −2 −2.5 −3 2 3 4 t Figura 5.21: Lı́nea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación dx = (1 + x)2 dt 5.3 Diagramas de Fase 81 x 3 2.5 Figura 5.22: Lı́nea de fase y algunas gráficas solución de la ecuación 2 1.5 x=1 1 0.5 x=0 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2 t −0.5 dx x = dt 1−x −1 −1.5 De forma similar las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales x(0) < −1 son asintóticas a x = −1 cuando t → +∞ y tienen a −∞ cuando t → −C. El ejemplo anterior es uno en el que el conocimiento de la lı́nea de fase no nos permite concocer con exactitud el comportamiento a largo plazo de las soluciones de la ecuación diferencial debido a que éstas “explotan” en un tiempo finito (tienden a + o - ∞ cuando t se aproxima a cierto valor finito). En otras palabras, cada solución no existe para valores de t suficientemente grandes. Lo mismo puede suceder respecto de x: hay ecuaciones diferenciales cuyas soluciones no pueden transpasar cierto valor finito de x. He aquı́ un ejemplo sencillo. Consideramos la ecuación dx x = dt 1−x Hay un punto de equilibrio x = 0, pero hay otro punto crı́tico:x = 1. No se trata de un x punto de equilibrio porque la función f (x) = 1−x no se anula en x = 1, sino que no existe dx para x = 1. Ahora bien, si x < 0 entonces dt < 0 por lo que las soluciones de la ecuación con condición inicial x(0) < 0 son decrecientes. Para 0 < x < 1, dx > 0 y las soluciones con dt condición inicial 0 < x(0) < 1 son crecientes y para x > 1 las soluciones con condición inicial x(0) > 1 son, de nuevo, decrecientes. (Veáse la Figura 5.22). El punto x = 1 es crı́tico para el estudio del crecimiento o decrecimiento de las soluciones, pero no es un punto de equilibrio. Observamos además que todas las soluciones con condición inicial x(0) > 0 tienden a x = 1 cuando t aumenta y que cuando x está próximo a 1 entonces adquiere un valor muy grande. Es decir, a medida que la 1 − x es casi cero por lo que dx dt solución se va acercando a x = 1 su velocidad de aproximación es cada vez mayor pero no puede ni alcanzar este valor ni transpasarlo porque al alcanzarlo abandona el dominio de definición de la ecuación. La solución cae en lo que podemos llamar un “agujero” de la lı́nea de fase. Como el punto x = 1 no es un punto de equilibrio, lo representamos en la lı́nea de fase mediante un circulo pequeño y vacı́o (esto nos recuerda que se trata de un “agujero” de la lı́nea de fase). 82 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase f(x) x=c a c b x=b x x=a Figura 5.23: Gráfica de f (x). Figura 5.24: Lı́nea de fase de la ecuación dx = f (x) para la f (x) de la dt Figura 5.23. x x=c x=b t x=a Figura 5.25: Gráfica de f (x). 5.3.3. Clasificación de los puntos de equilibrio Ahora ya somos conscientes de la importancia de los puntos de equilibrio y de las soluciones de equilibrio a ellos asociadas. Éstos son fundamentales para dibujar la lı́nea de fase y ésta nos da mucha información, con poco esfuerzo, del comportamiento a largo plazo de las soluciones de una ecuación diferencial (al menos en muchos casos). Se debe observar ahora que, en realidad, para dibujar la lı́nea de fase de la ecuación dx = f (x) no necesitamos dt conocer explı́citamente la función f (x), basta conocer aquellos puntos en los que f (x) = 0 y los intervalos en los que f (x) > 0 o f (x) < 0. Supongamos, por ejemplo, que no conocemos una fórmula para la función f (x) pero, por el medio que sea, sabemos que su gráfica es la que se da en la Figura 5.23. De la gráfica podemos deducir que en x = a, x = b y x = c la función se hace cero, que es positiva para x < a y b < x < c y negativa en el intervalo (a, b) y para x > c. Por lo tanto, la lı́nea de fase de la ecuación diferencial es la que se muestra en la Figura 5.24. Una vez dibujada la lı́nea de fase, podemos dibujar un croquis de las soluciones según sean las condiciones iniiciales (Figura 5.25). Observando los puntos de equilibrio vemos que los podemos clasificar de acuerdo con el comportamineto de las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales próximas a dicho punto de equilibrio. Considere mos por ejemplo un punto de equilibrio, x = x0 , como el que se 5.3 Diagramas de Fase 83 muestra en la Figura 5.26. Para x un poco mayor que x0 la flecha señala hacia arriba; y para x un poco menor que x0 la flecha señala hacia abajo. Esto significa que todas las soluciones de la ecuación diferencial (la que sea que tenga x = x0 como punto de equilibrio) con condiciones iniciales mayores que x0 , pero próximas a x0 , son siempre decrecientes para todo t. Y las soluciones correspondientes a condiciones iniciales menores que x0 , y también próximas a x0 , son siempre crecientes para todo t. Por lo tanto, las soluciones son como las representadas en la gráfica de la Figura 5.26. Es decir, a medida que t crece, todas las soluciones de la ecuación con condiciones iniciales próximas a x0 se acercan cada vez más al punto de equilibrio. Se dice entonces que las soluciones de la ecuación son asintóticamente estables, y que el punto de equilibrio es estable o que es un sumidero (es como si las soluciones cayeran hacia el punto de equilibrio). Las soluciones de una ecuación diferencial que no convergen, cuando t → +∞, x x x=x0 x=x0 t Figura 5.26: Lı́nea de fase con un punto de equilibrio que es estable o sumidero, y gráficas de soluciones cerca de un sumidero. t Figura 5.27: Lı́nea de fase con un punto de equilibrio que es inestable y fuente, y gráficas de soluciones cerca de una fuente. a un punto de equilibrio estable se dice que son inestables. Y los puntos de equilibrio que no son estables también se dice que son puntos de equilibrio inestables. Ahora bien, entre los puntos de equilibrio inestables los hay de dos tipos. En efecto, si consideramos un punto de equilibrio como el de la Figura 5.27, la flecha señala hacia arriba para valores de xmayores, y próximos, a x0 ; y hacia abajo para valores de x menores y próximos a x0 . Esto significa que las soluciones correspondientes a condiciones iniciales mayores y próximas a x0 son siempre crecientes y, consecuentemente, se alejan más y más del punto de equilibrio a medida que t crece. Y las soluciones correspondientes a condiciones iniciales menores y próximas a x0 son siempre de crecientes y también se alejan más y más del punto de equilibrio a medida que t crece. Estos puntos de equilibrio se llaman fuentes (es como si las soluciones brotaran del punto de equilibrio). Finalmente, los puntos de equilibrio que no son ni sumideros ni fuentes se dice que son nodos. Los hay de dos tipos según que las soluciones correspondientes a condiciones iniciales próximas al punto de equilibrio sean crecientes o decrecientes tal y como se muestra en la Figura 5.28. 84 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase x x x=x0 x=x0 t t Figura 5.28: Lı́nea de fase con puntos de equilibrio que son inestables y nodos, y gráficas de soluciones cerca de nodos. x=2 x=−3 Figura 5.29: Lı́nea de = x2 +x− fase para dx dt 6 Dada una ecuación diferencial podemos clasificar los puntos de equilibrio como sumideros, fuentes o nodos a partir de la lı́nea de fase. Por ejemplo, para la ecuación dx = x2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2) dt los puntos de equilibrio son x = −3 y x = 2. Además dx < 0 para −3 < x < 2, y dx > 0 para x < −3 dt dt y x > 2. Con esta información podemos dibujar la lı́nea de fase (Figura 5.29) y vemos que x = −3 es un sumidero y x = 2 es una fuente. Incluso sin conocer la fórmula para la función f (x) en la ecuación dx = f (x), sino sólo a dt partir de la gráfica de dicha función podemos clasificar los puntos de equilibrio. Supongamos, por ejemplo que la gráfica de f (x) es la representada en la Figura 5.30. La ecuación diferencial correspondiente tiene tres puntos de equilibrio (donde f (x) = 0): x = −1, x = 1 y x = 2. Además, f (x) > 0 para x < −1 y para −1 < x < 1, f (x) < 0 para 1 < x < 2 y, de nuevo, f (x) > 0 para x > 2. Esto significa que dx > 0, i.e. x(t) es creciente, para x < −1 y para dt dx −1 < x < 1, dt < 0, i.e. x(t) es decreciente, para 1 < x < 2 y de nuevo x(t) es creciente para x > 2. Ası́ pues, la lı́nea de fase es la dibujada en la Figura 5.31 y podemos clasificar los puntos de equilibrio: Los puntos x = −1 y x = 2 son puntos de equilibrio inestables, el primero de ellos es un nodo y el segundo una fuente. Y el punto x = 1 es un punto de equilibrio asintóticamente estable y, por lo tanto, un sumidero. Finalmente, podemos dar un criterio analı́tico para saber si un punto crı́tico es sumidero = f (x) un punto de equilibrio, o fuente. Para ello debemos observar que dada la ecuación dx dt x0 , es un sumidero si, en las proximidades de x0 , f (x) > 0 a la izquierda de x = x0 y f (x) < 0 a la derecha de x0 . Y es una fuente si ocurre lo contrario. Por lo tanto, un punto de equilibrio, x0 , es un sumidero si y sólo si f es decreciente en x0 y es una fuente si y sólo si f es creciente en dicho punto. En el supuesto de que f sea diferenciable en dicho punto, podemos aplicar el concepto de derivada para concluir lo siguiente: 5.3 Diagramas de Fase 85 f(x) x=2 x=1 −1 1 2 x Figura 5.30: Gráficas de f(x). x=−1 Figura 5.31: Lı́nea de fase de dx = dt f (x), paraf(x) tal y como se mustra en la Figura 5.30. Teorema 5.1 .- Supongamos que x0 es un punto de equilibrio para la ecuación que f es una función diferenciable. dx dt = f (x) y Si f 0 (x0 ) < 0 entonces f es decreciente en x0 y x0 es un punto de equilibrio asintóticamente estable o sumidero. Si f 0 (x0 ) > 0 entonces f es creciente en x0 y x0 es un punto de equilibrio inestable y es una fuente. Si f 0 (x0 ) = 0 entonces no podemos concluir nada, se necesita más información para determinar el tipo de punto de equilibrio que es x0 . En el caso f 0 (x0 ) = 0 no se puede concluir nada porque pueden ocurrir las tres posibilidades (véase la Figura 5.32). Como un ejemplo de utilización del teorema anterior consideremos la siguiente ecuación: dx = f (x) = x(cos(x5 + 2x) − 27πx4 ) dt Un punto de equilibrio de esta ecuación es x = 0. ¿Qué tipo de punto es?. Dibujar la lı́nea de fase de esta ecuación serı́a muy complicado porque no es sencillo decidir cuándo f (x) es positivo o negativo. Según el Teorema 5.1, con un poco de suerte podremos saber qué tipo de punto es calculando la derivada de f en x0 = 0. Concretamente f 0 (x) = cos(x5 + 2x) − 27πx4 + x d (cos(x5 + 2x) − 27πx4 ) dt y f 0 (0) = cos(0) − 0 + 0 = 1 > 0. El Teorema 5.1 nos permite asegurar que x = 0 es una fuente. Las soluciones que comienzan suficientemente cerca de x = 0 se alejan de este punto cuando t crece. Ahora bien puesto que no disponemos de información adicional (como 86 Técnicas cualitativas: Campos de pendientes y lı́neas de fase f(x) f(x) x=x0 x0 x=x0 x x0 x f(x) x=x0 x0 x Figura 5.32: Gráficas de varias funciones junto a la correspondiente lı́nea de fase para la = f (x). En todos los casos x0 es un punto de equilibrio y f 0 (x0 ) = 0. ecuación diferencial dx dt por ejemplo qué otros puntos de equilibrio hay) no podemos concretar lo cerca de x = 0 que deben empezar dichas soluciones. En definitiva, volvemos otra vez a observar que con poco esfuerzo conseguimos buena información sobre algunas soluciones de la ecuación. Si queremos obtener información más precisa necesitaremos estudiar la función f (x) con más detenimiento.
