GUIA 7
La transformada de Laplace
1.
Concepto de la transformada de Laplace
Definición. Una función u(t) definida en 0R ≤ t < ∞ tiene transformada de
∞
Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral 0 e−st u(t) dt converge para s > a.
En este caso, la transformada de Laplace de la función u es la función û definida en
el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s está dado por
Z ∞
û(s) =
e−st u(t) dt.
(1)
0
A veces conviene denotar la transformada
R ∞ de−stLaplace û de u mediante L {u}.
Recuérdese que la integral impropia 0 e u(t) dt converge si la integral finita
R B −st
RB
e u(t) dt existe para todo B > 0 y si lı́mB→∞ 0 e−st u(t) dt existe y es finito.
0
Entonces, por definición,
Z ∞
Z B
−st
e u(t) dt = lı́m
e−st u(t) dt
B→∞
0
0
Ejemplos.
(Función constante). La función constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace
û(s) = 1s definida en 0 < s < ∞. En efecto,
Z
Z
∞
û(s) =
e
−st
B
dt = lı́m
B→∞
0
e−st dt = lı́m (−
B→∞
0
e−sB 1
1
+ )= ,
s
s
s
R∞
para 0 < s < ∞. Se observa que la integral 0 e−st dt diverge para s ≤ 0.
(Función exponencial). La función u(t) = eat tiene transformada de Laplace
1
û(s) = s−a
definida en a < s < ∞ . En este caso,
Z
Z
∞
û(s) =
e
0
∞
−st at
e dt =
e(a−s)t dt =
0
1
s−a
para s > a.
(Función tn , n > 0 entero). La función u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada
n!
de Laplace û(s) = sn+1
definida en 0 < s < ∞.
Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos
Z
Z ∞
1 ∞ −st
1
t −st ¯¯t=B
−st
e dt = 2
L {t} =
t e dt = lı́m (− e
t=0 ) +
B→∞
s
s 0
s
0
1
para 0 < s < ∞.
Para n > 1, la integración por partes da
Z ∞
¯
tn
n
L {t } =
tn e−st dt = lı́m (− e−st ¯t=B
t=0
B→∞
s
0
Z
ª
n ∞ n−1 −st
n ©
+
t e dt = L tn−1 .
s 0
s
Y aplicando esto repetidamente, obtenemos
L {tn } =
= ··· =
).
n © n−1 ª n(n − 1) © n−2 ª
L t
=
L t
s
s2
n(n − 1)(n − 2) . . . 1
n!
L
{1}
=
sn
sn+1
para 0 < s < ∞.
(Funciones seno y coseno). Se tiene
L {cos at} =
s2
s
,
+ a2
L {sen at} =
s2
a
+ a2
para 0 < s < ∞, donde a 6= 0.
Integrando por partes obtenemos
Z ∞
¯
1
L {cos a t} =
e−s t cos a t dt = e−s t sen a t ¯t=∞
t=0
a
0
Z ∞
s
s
e−s t sen a t dt = L {sen a t} .
+
a 0
a
(2)
Y volviendo a integrar por partes,
Z ∞
¯
1
L {sen a t} =
e−s t sen a t dt = − e−st cos at ¯t=∞
t=0
a
0
Z ∞
s
1 s
−
e−s t cos a t dt = − L {cos a t} .
a 0
a a
Luego
1 s2
− L {sen a t}
a a2
De aquı́ se obtiene la expresión para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresión para
L {cos a t}.
(Función de Heaviside). La función escalón de Heaviside o salto unitario es la
función H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por
½
0, t < 0
H(t) =
1, t ≥ 0
L {sen a t} =
2
1
t
a
Figura 1: Función de Heaviside de salto unitario
La función salto unitario en a es la translación H(t − a) de H (véase figura 1):
½
0, t < a
H(t − a) =
1, t ≥ a
Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene
Z
∞
L{H(t − a)} =
e−st dt =
a
En general
Z
∞
L{H(t − a) u(t − a)} =
e−as
.
s
e−st u(t − a) dt
a
Z
∞
=
e−s(x+a) u(x) dx = e−as L {u} .
0
Es decir,
L{H(t − a) u(t − a)} = e−as L {u} , para a > 0, 0 < s < ∞.
2
(Una función sin transformada de Laplace). La función u(t) = et no tiene transformada de Laplace. Pues la integral
Z ∞
Z ∞
s 2
s2
−st t2
e
e dt =
e− 4 e(t− 2 ) dt
0
0
diverge para todo s.
¿Para cuáles funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos
anteriores sugieren el siguiente criterio:
Teorema 1 (Criterio de Existencia). Supóngase que u(t) es una función definida en
0 ≤ t < ∞ que satisface las siguientes condiciones:
3
L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un número finito de intervalos
[b0 , b1 ] = [0, b1 ], [b1 , b2 ] , . . . [bn−1 , bn ] = [bn−1 , B] tales que u(t) es continua en
( bk−1 , bk ) y lı́mt→b+ u(t), lı́mt→b− u(t) existen y son finitos.
k−1
k
L2 Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que
|u(t)| ≤ M eat
para 0 ≤ t < ∞.
Entonces u(t) tiene transformada de Laplace û(s) definida en el intervalo a <
s < ∞.
Demostración. Esto es consecuencia del criterio de comparación para la convergencia de integrales impropias, pues por la condición (L2) se tiene
Z ∞
Z ∞
Z ∞
¯
¯ −st
M
−st
at
¯e u(t)¯ dt ≤
e
M e dt = M
e−( s−a) t dt =
s−a
0
0
0
para a < s < ∞.
RB
La condición (L1) garantiza que las integrales finitas 0 e−st u(t) dt existen para
todo B > 0.
Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) definidas en 0 ≤ t < ∞
que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞. Para abreviar las denominaremos funciones
de orden exponencial.
El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo:
Toda función u(t) de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada
de Laplace û(s) definida en algún intervalo a < s < ∞.
El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra
la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulación de û en ∞):
(Anulación de û en ∞) Para toda función u(t)de orden exponencial en
0 ≤ t < ∞ , la transformada de Laplace û(s) satisface
lı́m û(s) = 0
s→∞
Utilizando argumentos un poco más sofisticados se puede demostrar que la propiedad de anulación de û en ∞ es válida para toda función u que posea transformada
de Laplace. Esta propiedad sirve para determinar que ciertas funciones no son una
transformada de Laplace:
4
Si g(s) es una función definida en un intervalo a < s < ∞ tal que
lı́m g(s) no existe o
lı́m g(s) 6= 0,
s→∞
s→∞
entonces g(s) no es transformada de Laplace de función alguna
Por ejemplo, las funciones detalladas a continuación no son transformadas de
Laplace de función alguna:
Polinómicas
p(s) =
n
X
ak sk ,
k=0
Trigonométricas, exponenciales y logarı́tmicas
cos ωs, sen ωs,
eas (a > 0), ln s,
Racionales, p(s)
, con grado(p)≥grado (q).
q(s)
2.
Propiedades básicas de la transformada de Laplace
Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador
u → L {u} = û
que a cada función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ y de orden exponencial la transforma
en una función û(s) definida en algún intervalo a < s < ∞. Este operador tiene las
siguientes propiedades básicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el cálculo
de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes.
Teorema 2 . (Propiedades básicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial
en 0 ≤ t < ∞ y a, b constantes reales.
1. ( Linealidad). L{au + bv} = aL{u} + bL{v}.
2. (Translación). Si û(s) =L{u(t)}(s) está definida en el intervalo b < s < ∞,
entonces
L{eat u(t)}(s) = û(s − a)
para a + b < s < ∞.
5
3. (Translación y truncamiento). Si a > 0
L{H(t − a) u(t − a)}(s) = e−as L {u} (s).
4. (Transformada de la derivada). L{u0 (t)} = sL{u} − u(0). En general, para
n∈N
L{u(n) (t)} = sn L {u} − sn−1 u(0) − sn−2 u0 (0) − . . . − s u(n−2) (0) − u(n−1) (0).
d
5. (Derivada de la transformada). L{tu(t)} = − ds
L{u}. En general, para n ∈ N
d
L{tn−1 u(t)}
ds
2
2 d
= (−1) 2 L{tn−2 u(t)}
ds
..
=.
L{tn u(t)} = −
dn
= (−1)
L {u} .
dsn
n
6. (Transformada de la integral). L{
Rt
0
u(r) dr} = 1s L{u}.
7. (Periodicidad). Si u(t) es periódica con perı́odo p > 0 , es decir, u(t + p) = u(t)
para todo t ≥ 0 , y si u(t) es continua en [0, p] , entonces
R p −st
e u(t) dt
L {u} = 0
.
1 − e−ps
Demostración. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la definición.
A modo de ejemplos, verificaremos desde 4 al 7.
4. Por sencillez, supondremos que u0 (t) es continua en 0 ≤ t < ∞. Integrando por
partes
Z ∞
Z ∞
¯t=∞
0
−st 0
−st
L{u (t)} =
e u (t) dt = e u(t) ¯t=0 + s
e−st u(t) dt
0
0
L{u0 (t)} = −u(0) + sL {u} .
Aquı́ se usa el hecho de que |u(t)| ≤ M eat , esto implica que e−st u(t) |t=∞ =
lı́mt→∞ e−st u(t) = 0, para s > a.
La identidad para L{u(n) (t)} se obtiene aplicando repetidamente la identidad
para L{u0 (t)}.
6
5. Suponiendo que es válido el intercambiar el orden de la derivación y la integración
d
en ds
L{u}, se obtiene
Z ∞
Z
Z ∞
d
d ∞ −st
d −st
L {u} =
e u(t) dt = −
e u(t) dt =
te−st u(t) dt
ds
ds 0
ds
0
0
d
L {u} = −L{tu(t)}
ds
La identidad para n > 1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n = 1.
Rt
6. Se deduce de (iv) tomando 0 u(r) dr en vez de u.
7. Se tiene
Z
∞
−st
L {u} =
e
u(t) dt =
0
L {u} =
∞ Z
X
k=0
∞
X
Z
p
−kps
e
−st
e
(k+1) p
kp
u(t) dt =
Rp
0
0
k=0
e−st u(t) dt
e−st u(t) dt
,
1 − e−ps
para s > a > 0. Aquı́ utilizamos primero el hecho de que mediante el cambio de
variable r = t − kp,
Z
(k+1) p
Z
−st
e
p
u(t) dt =
kp
Z
−s( r+kp)
e
p
−kps
u( r + kp) dr = e
0
e−st u(r) dr,
0
y, segundo, que
∞
X
k=0
xk =
1
1−x
para | x| < 1 con x = e−sp .
Cálculo de transformadas de Laplace. Con ayuda de la definición, de un
pequeño repertorio o tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades básicas
se puede calcular fácilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales
de uso corriente en la solución de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales
con coeficientes constantes.
Ejemplos.
(Polinomios).
©
ª
© ª
L t3 − 10t + 1 = L t3 − 10L {t} + L {1}
3! 10 1
6
10 1
− 2 + = 4− 2 +
4
s
s
s
s
s
s
n!
n
para s > 0, utilizando la linealidad de L y L {t } = sn+1 .
=
7
1
2
3
4
5
Figura 2: Función encendido-apagado
at
(Seno y coseno hiperbólicos). Si cosh at = e +e
2
por la linealidad y el ejemplo (1) de la sección 1,
−at
y senh at =
eat −e−at
,
2
entonces
©
ª¢
1 ¡ © at ª
L e + L e−at =
2
µ
¶
1
1
1
s
+
= 2
, para s > |a|
2 s−a s+a
s − a2
L {cosh at} =
a
Análogamente, L {senh at} = s2 −a
para s > |a|.
2
(Onda cuadrada entre a y b , 0 < a < b). La función u(t) definida (conviene trazar
su gráfica)
½
0 si t < a ó t ≥ b
u(t) =
1 si a ≤ t < b
se puede expresar en términos de la función de Heaviside como u(t) = H(t − a) −
H(t − b). Entonces por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la sección 1,
û(s) =
e−as − e−bs
s
(Otras funciones de interés)
d
d
a
2as
L {sen at} = − ds
( s2 +a
L {tsen at} = − ds
2 ) = ( s2 +a2 )2
¡
¢
n
n
1
n!
d
at
n d
= (s−a)
L {tn eat } = (−1)n ds
n L {e } = (−1) dsn
n+1
s−a
s>a
(Función encendido-apagado). La función (veáse figura 2.)
1
u(t) = (1 + (−1)[|at|] ) =
2
½
1,
2ka ≤ t < (2k + 1) a
0, (2k + 1) a ≤ t < 2(k + 1) a
k entero.
es periódica con perı́odo p = 2a. Aquı́ [| x |] denota el mayor entero n menor o
igual que x.
8
Por la propiedad de periodicidad (vii),
Z 2a
Z a
1
1
−st
L {u} =
e u(t) dt =
e−st dt
1 − e−2as 0
1 − e−2as 0
1 − e−as
1
=
−2as
s(1 − e
)
s (1 + e−as )
Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo de u(t) = v(t) = t muestra que, en general, L{u v} 6= L{u} L{v}. Sin embargo, se puede expresar L{u}L{v}
como transformada de Laplace de una función obtenida a partir de u y v como sigue.
Primero,
µZ
¶ µZ
¶
L {u} =
∞
∞
L{u}L{v} =
e u(x) dx
e−sy v(y) dy
0
Z ∞ 0Z ∞
=
{
e−s(x+y) u(x)v(y) dx}dy
0
−sx
0
Ahora, para cada y fijo (0 ≤ y ≤ ∞), hacemos el cambio de variable t = x + y en la
integral interna, de modo que x = t − y , dt = dx, t = y cuando x = 0, t = ∞ cuando
x = ∞, y
Z
∞
e−st u(t − y) v(y) dt.
y
Luego
Z
∞
L{u}L{v} =
Z
{
∞
e−st u(t − y) v(y) dt}dy.
y
0
Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral
doble sobre la región
R = {(t, y)| 0 ≤ y < ∞, y ≤ t < ∞} = {(t, y)| 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ y ≤ t},
y que es posible invertir el orden de integración. Entonces
ZZ
L{u}L{v} =
e−st u(t − y) v(y) dt dy
R
Z ∞
Z t
∞ Z t
−st
−st
e { u(t − y) v(y) dy}dt
=
{ e u(t − y) v(y) dy}dt =
0
0
0
0
Z t
=L{
u(t − y) v(y) dy}.
Z
0
Definición.(Convolución). La convolución de dos funciones u(t), v(t) continuas
por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ es la función u ∗ v definida en
0 ≤ t < ∞ por
Z
t
(u ∗ v)(t) =
u(t − y) v(y) dy.
0
Suponiendo válido el cambio de orden en la integración indicado antes podemos establecer el siguiente teorema.
9
Teorema 3 ( Propiedad de convolución)
L{u ∗ v} = L{u}L{v}
Ejemplo.
Sea u(t) = t y v(t) = sen at. Entonces
Z t
t
1
u ∗ v(t) =
(t − y) sen ay dy = − 2 sen at,
a a
0
1
a
t
.
L{u ∗ v} = L{ − 2 sen at} = L{t}L{sen at} = 2 2
a a
t (t + a2 )
3.
Transformada inversa de Laplace
Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
Teorema 4 . (Propiedad de inversión). Sean u1 (t) y u2 (t) funciones continuas por
tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ . Si L{u1 }(s) = L{u2 }(s) en un intervalo
a < s < ∞ , entonces en cada intervalo finito [0, B]se tiene
u1 (t) = u2 (t),
salvo a lo más en un número finito de puntos.
La demostración de este resultado requiere técnicas de análisis que no están al alcance
de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics ., McGraw-Hill, New
York, 1972.)
La propiedad de inversión implica que dada una función v(s) definida en un intervalo a < s < ∞, si existe una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal que
L{u} = v,
entonces la función u es esencialmente única. Esto significa que si u1 es otra función
tal que L{u1 } = v, entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u y u1 coinciden,
con la posible excepción de un número finito de puntos.
Por ejemplo, es fácil verificar que, para a > 0, las funciones
½
½
0, t < a
0, t ≤ a
H(t − a) =
,
H1 (t) =
,
1, t ≥ a
1, t > a
½
0, t < a ó t ∈ Z
H2 (t) =
1, en otra parte
10
son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0 ≤ t < ∞ tales que
1
L{H(t − a)} = L{H1 } = L{H2 } = .
s
En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales.
Definición. Una función v(s) definida en un intervalo a < s < ∞ tiene transformada inversa de Laplace si existe una función u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal
que
L{u} = v,
En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por
L−1 {v}.
Recordamos que por la propiedad de anulación de las transformadas de Laplace
en ∞, una condición necesaria para que una función v(s) posea transformada inversa
de Laplace es que
lı́m v(s) = 0.
s→∞
También, las propiedades básicas de la transformada de Laplace implican propiedades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transformada inversa , se tiene:
(Linealidad)
L−1 {av + bw} = aL−1 {u} + bL−1 {w}.
(Translación)
L−1 {v(s − a)} = eas L−1 {v}.
(Derivada)
L−1 {
dn
v(s)} = (−1)n tn L−1 {v}.
n
ds
(Integración 1)
v(s)
L {
}=
s
Z
t
−1
L−1 {v}(r) dr .
0
(Convolución)
L−1 {v(s)w(s)} = L−1 {v} ∗ L−1 {w}.
(Integración 2)
Z
∞
1
v(r) dr} = L−1 {v}.
t
s
La última relación es consecuencia de:
(Integral de una transformada).
Z ∞
u(t)
}.
L{u}(γ) dγ = L{
t
s
−1
L {
La cual es válida para u(t) tal que lı́mt→0+
11
u(t)
t
exista y sea finito.
4.
Método de Heaviside
Este método se aplica al cálculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial.
Supóngase que se desea hallar la solución x(t) en 0 ≤ t < ∞ de un problema de valor
inicial para una ecuación lineal con coeficientes constantes
x00 + ax0 + bx = f (t),
x(0) = x0 , x0 (0) = x00
(3)
El fı́sico-matemático e ingeniero inglés Oliver Heaviside propuso la siguiente idea.
Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuación
L{x00 + ax0 + bx} = L{f (t)}.
Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuación se
reduce a
s2 L{x} − sx(0) − x0 (0)) + a(sL{x} − x(0)) + bL{x} = L{f }
(s2 + as + b)L{x} = L{f } + x(0)s + ax(0) + x0 (0).
Ası́, la transformada de Laplace de la solución x(t) de (3) es
L{x} =
L{f }
x(0)s + ax(0) + x0 (0)
+
.
(s2 + as + b)
(s2 + as + b)
La solución x(t) de (3) en 0 ≤ t < ∞ se obtiene mediante la transformada inversa
½
¾
L{f }
x(0)s + ax(0) + x0 (0)
−1
x(t) = L
+
.
(s2 + as + b)
(s2 + as + b)
Ejemplos. Buscaremos la solución de
dx
+ 2x = 1,
dt
x(0) = 10.
Aplicando transformada a la ecuación, se obtiene
1
sL{x} − x(0) + 2L{x} = .
s
De donde (usando fracciones parciales)
1
10
1
L{x} =
+
=
s(s + 2) s + 2
2
1 1
19
L{x} = ( +
)
2 s s+2
12
µ
1
1
−
s s+2
¶
+
10
,
s+2
para 0 ≤ t < ∞.
Finalmente, la solución x(t) en 0 ≤ t < ∞ es
1 1
19
1
1
19
1
)} = L−1 { } + L−1 {
}
x(t) = L−1 { ( +
2 s s+2
2
s
2
s+2
1 19 −2t
+
e .
2
2
Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un
oscilador lineal no amortiguado con masa m y constante de rigidez k sometido a una
fuerza externa variable F (t) que se anula antes del instante t0 > 0 y que es constante
e igual a F0 después del instante t0 :
½
0, t < 0
F (t) = F0 H(t − t0 ) =
.
F0 , t ≥ t0
x(t) =
El problema de valor inicial correspondiente es
F0
d2 x
2
+
ω
x
=
H(t − t0 ),
dt2
m
q
con ω =
k
.
m
x(0) = 0, x0 (0) = 0,
Tomando transformada de Laplace, la ecuación se reduce a
s2 L{x} − sx(0) − x0 (0) + ω 2 L{x} =
F0
L{H(t − t0 )}.
m
Utilizando las condiciones iniciales, x(0) = x0 (0) = 0 , se obtiene
L{x}(s) =
F0
1
L{H(t − t0 )},
m s2 + ω 2
y por tanto
F0 −1
1
L { 2
L{H(t − t0 )}}.
m
s + ω2
Por la propiedad de convolución de L y observando que
x(t) =
1
1
=
L{
sen ωt},
s2 + ω 2
ω
se tiene que
1
1
L{H(t − t0 )} = L{sen ωt}L{H(t − t0 )}} =
2
+ω
ω
Z t
1
1
L{ sen ωt ∗ H(t − t0 )} = L{ sen ω(t − z)H(z − t0 )dz}
ω
ω
0
s2
Luego,
F0
x(t) =
mω
Z
t
sen ω(t − z)H(z − t0 )dz, para 0 ≤ t < ∞.
0
13
FO H( t−tO )
FO
t
xO
x(t)
FO
mω 2
t
tO
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina
Para evaluar la integral en esta expresión para x(t), observamos que cuando 0 ≤ t <
t0 ,0 ≤ z ≤ t < t0 implica H(z −t0 ) = 0, y cuando t ≥ t0 0 ≤ z ≤ t implica 0 ≤ z < t0
con H(z − t0 ) = 0 ó t0 ≤ z ≤ t con H(z − t0 ) = 1. Ası́ que
½
Z t
0,
t < t0
sen ω(t − z)H(z − t0 ) dz = R t
sen ω(t − z) dz, t ≥ t0 ,
0
t0
Z
½
t
sen ω(t − z)H(z − t0 ) dz =
1
(1
ω
0
0,
t < t0
− cos ω(t − t0 ) ), t ≥ t0 ,
Se concluye que la solución x(t) en 0 ≤ t < ∞ está dada por
½
0,
t < t0
x(t) =
F0
(1 − cos ω(t − t0 ) ), t ≥ t0 .
m ω2
Esta solución representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas
externas la masa permanece en reposo en la posición de equilibrio x = 0 hasta el
instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0 . A partir del instante t0 ,
la masa inicia una oscilación armónica con frecuencia igual a la frecuencia natural ω
unidades de tiempo se desplaza m2Fω02
del oscilador libre en la cual la masa cada 2π
ω
unidades de distancia en la dirección de la fuerza F0 y vuelve luego a la posición de
equilibrio x = 0 ( véase figura 3).
14
5.
5.1.
Resumen
Transformada de Laplace
1. Definición: L{f (t)}(s) =
R∞
0
e−s t f (t) dt.
2. Linealidad: L{α f (t) + β g(t)}(s) = α L{f }(s) + β L{g}(s).
3. Translación: si û(s) = L{u(t)}(s) entonces û(s − a) = L{eat u(t)}(s).
4. Translación y truncamiento: L{H(t − a)u(t − a)}(s) = e−as L{u}(s).
5. Derivada n-esima:
L{f 0 (t)}(s)
=
00
L{f (t)}(s)
=
(n)
L{f (t)}(s) =
s L{f }(s) − f (0+ ).
s2 L{f }(s) − s f (0+ ) − f 0 (0+ ).
sn L{f }(s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f 0 (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ).
6. Transformada de la integral:
nR
o
Ra
t
L a f (r) dr (s)
= 1s L{f }(s) − 1s 0 f (t) dt.
Z t
Z t
···
f (t)dt . . . dt (s) = s1n L{f }(s).
L
| 0 {z 0}
R ∞ n-veces
} (s) .
L{u}(γ) dγ
= L{ u(t)
t
s
7. Producto y convolución
Rt
L{u}L{v} = L{ 0 u(t − y)v(y) dy}.
Rt
L{u ∗ v}
= L{u}L{v}
, donde (u ∗ v)(t) = 0 u(t − y)v(y) dy.
8. Transformada de una función periódica f (s) con perı́odo p > 0
R p −s t
e f (t) dt
.
L{f (t)}(s) = 0
1 − e−p s
9. Propiedades varias
L{eat f (t)}(s)
L{tn f (t)}(s)
L{H(t − a)g(t)}(s)
L{ f (t)
}(s)
t
= L(f )(s − a).
dn
= (−1)n ds
n L{f }(s).
= e−as L{g(t + a)}(s).
R∞
= s L{f }ds
, si lı́mt→0+
15
f (t)
t
existe.
5.2.
Transformada inversa de Laplace
1. Linealidad de la transformad inversa:
L−1 {α f (t) + β g(t)} = α L−1 {f } + β L−1 {g}.
2. Translación:
L−1 {v(s − a)} = eas L−1 {v}.
3. Derivada de la transformada inversa:
L−1 {
dn
v(s)} = (−1)n tn L−1 {v}.
n
ds
4. Integral
v(s)
L−1 {©R
}
s∞
ª =
−1
L
v(r) dr
=
s
Rt
L−1 {v}(r)
0
1 −1
L {v}.
t
dr.
5. Convolución:
L−1 {v(s)w(s)} = L−1 {v} ∗ L−1 {w}.
A continuación presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de
algunas funciones
L{1}
L{eat }
L{tn }
L{sen at}
L{cos at}
L{senh at}
L{cosh at}
=
=
=
=
=
=
=
1
s
1
s−a
n!
sn+1
a
s2 +a2
s
s2 +a2
a
s2 −a2
s
s2 −a2
,
,
,
,
,
,
,
L{δ(t)}
L{δ(t − a)}
n−1 eat
L{ t(n−1)!
}
1
L{ 2a3 (sen at − at cos at)}
L{ 2a13 (sen a t + a t cos a t)}
R t t −1
1
L{ 0 2n
L [ (s2 +a
2 )n ] dt}
t
1
−1
L{ 2n L [ (s2 +a2 )n ]}
= 1
= e−as
1
= (s−a)
n (n ≥ 1)
1
= (s2 +a2 )2
2
= a2 (s2s+a2 )2
= (s2 +a12 )n+1
= (s2 +as2 )n+1
Nota:La función δ(t − t0 ) es la función Delta de Dirac definida como sigue
½
∞ si t = t0
δ(t − t0 ) =
0 si t 6= t0
y además
Z
∞
δ(t − t0 ) dt = 1.
−∞
16
Ejercicios
1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones
a. e2t sen 3t,
b. 3e−t cos 2t, c. t3 sen 3t, d. t2 et cos t,
Rt
.
e. e−3t cos (2t + 4) , f. a r cos r dr, g. sen2 t,
h. | cos t |,
2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones
a.
e.
1
,
s (s+1)
1
,
s2 +4s+29
b.
f.
3
,
(s−1)2
2s
,
(s2 +1)2
c.
g.
5
,
s2 (s−5)2
−s
1+e
,
s
d.
h.
1
,
(s−a)(s−b)
−s
e
.
s4 +1
a, b constantes,
3. Hallar la transformada de Laplace de
½
f (t) :=
0, t ≤
1+t t>
1
2
1
2
½
, g(t) :=
t, t ≤ 2
.
2 t>2
4. Hallar la transformada de Laplace de la función escalera
f (t) = n + 1,
si n < t ≤ n + 1,
n = 0, 1, 2, ..., .
5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace
a. dy
+ 3y = t sen at
y(0) = 1, a constante,
dt
dy
d2 y
t
y(0) = 0, y 0 (0) = 0,
b. dt2 − 2 dt + y = t e sen t
2
c. ddt2y + 2r dy
+ ω 2 y = A δ(t − t0 ) y(0) = 0, y 0 (0) = 0, t0 constante,
dt ½
4
0, t ≤ 1
d. ddt4y + y =
y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0,
t−1 t>1
Rt
e. dy
+
2y
+
y(s) ds = cos t
y(0) = 1.
dt
0
Respuestas
1.
2.
a.
e.
3
,
9+(s−2)2
(s+3) cos 4−2sen 4
4+(s+3)2
b.
,
f.
3(s+1)
,
4+(1+s)2
2 s+(1+s2 )s
sen a
− cos a+a
(1+s2 )2
s
a. 1 − e−t ,
b. 3et t ,
at −ebt
5t
5t t
, d. e a−b
,
c. 2−2e +5t+5e
25
e. 51 e−2t sen 5t ,
f. t sen t ,
g. 1 + H(t − 1) ,
s
3. L{f }(s) = e− 2
h. − 12 e
¡ 2+3s ¢
2s2
t−1
√
2
³
cos
, L{g}(s) =
π
4
+
e2s −1
e2s s2
17
t−1
√
2
´
c.
, g.
72s3 −648s
(s2 +9)4
2
,
s(s2 +4)
√
− t−1
− 21 e
2
³
cos
,
3π
4
d.
h.
+
2s3 −6s2 +4
,
(1+(s−1)2 )3
(e−π s +1)s
− (eπ s −1)(1+s2 ) .
t−1
√
2
´
H(t − 1).
4. L{f }(s) =
P∞
k=0
e−sk
.
s
5. a. (9+a1 2 )2 ((81 − 6 a + 18 a2 + a4 )e−3 t − a((9 + a2 )t − 6) cos a t + (a2 − 9 + 27 t +
3 a2 t)sen a t),
b. y (t) = 2et − 2et cos t − et t sen t,
c. y (t) =
√
A H(t−t0 ) −(t−t0 )(r− r2 −w2 )
√
(e
2 r2 −w2
d. (t − 1 − 12 e
e. y (t) =
1
2et
t−1
√
2
−
sen( π4 −
t
2et
+
t−1
√ )
2
+ 12 e
√
− e(t−t0 )(r+
t−1
√
2
sen( 3π
+
4
cos t
.
2
18
r2 −w2 )
),
t−1
√ ))H(t
2
− 1),
